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CONCURSOS MATEMÁTICA PARA Matemática para Concursos Polícia Rodoviária Federal 2

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  • MATEMTICA PARA

    CONCURSOS

  • Matemtica para Concursos

    Polcia Rodoviria Federal 2

    Sumrio

    Nmeros Naturais ------------------------------------------- 03

    Conjuntos numricos: racionais e reais ------------------- 05

    Divisibilidade ------------------------------------------------- 10

    Nmeros Primos --------------------------------------------- 12

    Mximo Divisor Comum (mdc mmc) ---------------------- 13

    Nmeros Racionais ------------------------------------------ 15

    Nmeros Fracionrios --------------------------------------- 16

    Nmeros Decimais ------------------------------------------- 21

    Potenciao -------------------------------------------------- 23

    Radiciao ---------------------------------------------------- 24

    Razes e Propores ---------------------------------------

    Mdia ---------------------------------------------------------- 25

    Produtos Notveis ------------------------------------------- 27

    Diviso Proporcional ---------------------------------------- 28

    Regra de Trs: Simples e Composta ----------------------- 29

    Porcentagens ------------------------------------------------- 31

    Juros Simples ------------------------------------------------ 32

    Juros Compostos --------------------------------------------- 34

    Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35

    Sistema Mtrico Decimal ------------------------------------ 45

    Equaes do 1. grau ---------------------------------------- 47

    Equaes do 2. grau --------------------------------------- 51

    Sistemas ------------------------------------------------------ 56

    Equaes ----------------------------------------------------- 57

    Progresso aritmtica --------------------------------------- 62

    Progresso geomtrica ------------------------------------- 64

    Noes de trigonometria ------------------------------------ 65

    Teorema de Pitgoras --------------------------------------- 68

    Funes exponenciais --------------------------------------- 69

    Logaritmos ---------------------------------------------------

    Polinmios ----------------------------------------------------

    Geometria ---------------------------------------------------- 71

    Noes de probabilidade ------------------------------------ 73

    Noes de estatsticas -------------------------------------- 76

  • Matemtica para Concursos

    Polcia Rodoviria Federal 3

    Editado por: Flvio Nascimento

    Nmeros Naturais

    Conjunto dos Nmeros Inteiros

    Este mais um conjunto numrico que devemos conhecer para futuros estudos, representadopela letra Z.Conjunto dos Nmeros Naturais representado pela letra N.O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto infinito ou seja no tem fim.Este ficou pequeno para a matemtica, observe os exemplos:a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?

    Dentro do conjunto dos nmero naturais no existe resposta para estas perguntas, ou seja asrespostas esto dentro do conjunto dos nmeros inteiros.Vamos conhecer este conjunto:

    O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto formado por nmeros negativos, zero e nmeros positivos. Vale lembrar que zero umnmero nulo ou neutro, no negativo e nem positivo.

    No seu dia a dia voc j dever ter deparado com nmeros inteiros.Quando temos um crdito temos um nmero positivo, um dbito um nmero negativo,temperaturas acima de zero so positivas, abaixo de zero so negativas, tambm em relaoao nvel do mar, os pases que esto acima do nvel do mar tem altitudes positivas, abaixo donvel do mar altitudes negativas, se voc prestar ateno ao seu redor vai encontrar muitosnmeros negativo e positivos.

    Reta Numrica Inteira

    Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos nmeros, eles estocrescendo da esquerda para a direita, -7 menor que -6, 0 maior que -1 e assim em diante.

    Vamos comparar alguns nmeros inteiros.a) -5 > -10, b) +8 > -1000, c) -1 > -200.000, d) -200 < 0, e) -234 < -1, f) +2 > -1, g) g) -9 < +1

    Lembrete:1: Zero maior que qualquer nmero negativo.2: Um o maior nmero negativo.3: Zero menor que qualquer nmero positivo.4: Qualquer nmero positivo maior que qualquer nmero negativo.

    Nmeros opostos ou simtricos

    Observe que a distancia do -3 at o zero a mesma do +3 at o zero, estes nmeros sochamados de opostos ou simtricos.

  • Matemtica para Concursos

    Polcia Rodoviria Federal 4

    Logo:- 2 oposto ou simtrico do + 2, + 20 oposto ou simtrico do - 20, - 100 oposto ousimtrico de + 100.

    Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos nmeros)b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos nmeros)c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dosnmeros)d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero queestava depois da subtrao)e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero queestava depois da subtrao) Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta operaes pensando em dbito(nmero negativo)e crdito(nmero positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo15 reais se tenho s dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho umadivida de 5 reais fao mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.

    Multiplicao e Diviso de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +) b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +) c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +) f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +) h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)

    Lembrete:Observe que a multiplicao ou diviso de nmeros de mesmo sinal o resultado e semprepositivo, a multiplicao ou diviso de nmeros de sinais diferentes o resultado semprenegativo.

    Potenciao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32

    c) (-8)0 = 1 (todo nmero elevado a zero igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo nmeroelevado a zero igual a 1 positivo)

    e) (18)1 = 18 (todo nmero elevado a um igual a ele mesmo)

    Importante: (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No primeiro caso tanto o sinal quanto ao nmero esto ao quadrado e no segundo caso apenaso nmero est elevado ao quadrado.

    Radiciao de Nmeros Inteiros Exemplos:

    a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)

    c) (lembre-se no existe raiz quadrada de nmero inteiro negativo)

    d) (observe que neste caso o menos est fora da raiz, sendo assim existe a raiz)e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso raiz cbica e no raiz quadrada.

    d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8)

  • Matemtica para Concursos

    Polcia Rodoviria Federal 5

    Resolvendo Expresses Numricas com Nmeros Inteiros

    a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]= - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]= 3 - 2 + 4 - 5 - 6= 7 - 13= - 6

    Primeiro eliminamos os parnteses, como antesdele tinha um sinal de menos todos os nmerossaram com sinais trocados, logo depois eliminamosos colchetes, como tambm tinha um sinal demenos todos os nmeros saram com os sinaistrocados, somamos os positivo e o negativos

    b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]}= { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]}= {- 5 - 8 + 15 - 3}= - 5 - 8 + 15 - 3= - 16 + 15= - 1

    Primeiro resolvemos dentro do parnteses, depoismultiplicamos o resultado por 3, logo apseliminamos os colchetes, como antes deste tinhaum sinal de mais, todo os nmeros saram semtrocar sinal, eliminamos tambm as chaves,observe que tambm no teve troca de sinais pelomesmo motivo anterior, juntamos positivo enegativos.

    Conjuntos numricos: racionais e reais

    Conjunto

    Conceito primitivo; no necessita, portanto, de definio.

    Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-seforma de listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedadedos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamosescrever:P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

    Relao de pertinncia

    Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o smbolo 0significa "pertencea".Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notao yA.O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por .Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qualpertencemtodos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U.Assim que, pode-se escrever como exemplos:

    i= { x; x x} e U = {x; x = x}.Subconjunto

    Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que

    A subconjunto de B e indicamos isto por A d B.Notas:

    a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A d A )b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. (id A)c) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos.d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominadoconjunto das partes de A e indicado por P(A).

  • Matemtica para Concursos

    Polcia Rodoviria Federal 6

    Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A.

    Conjuntos numricos fundamentais

    Entendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos s