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MATEMÁTICA e suas TECNOLOGIAS Volume 2 Módulo 1 Matemática Professor

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MATEMÁTICAe suas TECNOLOGIAS

Volume 2 • Módulo 1 • Matemática

Professor

GOVERNO DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Governador

Sergio Cabral

Vice-Governador

Luiz Fernando de Souza Pezão

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

Secretário de Educação

Wilson Risolia

Chefe de Gabinete

Sérgio Mendes

Secretário Executivo

Amaury Perlingeiro

Subsecretaria de Gestão do Ensino

Antônio José Vieira De Paiva Neto

Superintendência pedagógica

Claudia Raybolt

Coordenadora de Educação de Jovens e adulto

Rosana M.N. Mendes

SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA

Secretário de Estado

Gustavo Reis Ferreira

FUNDAÇÃO CECIERJ

Presidente

Carlos Eduardo Bielschowsky

PRODUÇÃO DO MATERIAL NOVA EJA (CECIERJ)

Diretoria Adjunta de ExtensãoElizabeth Ramalho Soares Bastos

Coordenadora de Formação ContinuadaCarmen Granja da Silva

Diretoria Adjunta de Material DidáticoCristine Costa Barreto

Coordenadores de MatemáticaAgnaldo Esquincalha

Filipe IorioGisela Pinto

Wallace Vallory Nunes

ElaboraçãoAna Cristina Mendes

André Luiz Cordeiro dos SantosAndré Luiz Martins Pereira

André Luiz SilvaBruna Moustapha CorrêaCleber Dias da Costa Neto

Cleber FernandesÉrika Silos de Castro

Fernando Celso Villar Marinho

Gabriela dos Santos BarbosaHeloísa Lopes

Heitor Barbosa Lima de OliveiraIvail Muniz

Jones ColomboJosemeri Araujo Silva Rocha

Leo Akio YokoyamaLilian Spiller

Luciana Felix da Costa SantosLuciane de Paiva Moura CoutinhoMarcos Paulo Ferreira de Araujo

Patrícia Nunes da SilvaRenata Cardoso P. de Abreu

Susan WoutersTelma Alves

Revisão de Língua PortuguesaPaulo Cesar Alves

Coordenação de Desenvolvimento Instrucional

Flávia BusnardoPaulo Vasques de Miranda

Desenvolvimento InstrucionalJuliana Bezerra da Silva

Coordenação de ProduçãoFábio Rapello Alencar

Projeto Gráfico e CapaAndreia Villar

Imagem da Capa e da Abertura das Unidadeshttp://www.sxc.hu/photo/475767

DiagramaçãoAlexandre d' OliveiraAlessandra Nogueira

André GuimarãesAndreia VillarBianca LimaBruno Cruz

Carlos Eduardo VazJuliana Fernandes

IlustraçãoBianca Giacomelli

Clara GomesFernando RomeiroJefferson Caçador

Sami Souza

Produção GráficaVerônica Paranhos

SumárioVolume 2

Unidade 6 • Introdução ao conceito de função 5

Unidade 7 • Áreas de figuras planas 57

Unidade 8 • Avançando com as áreas de figuras planas 115

Unidade 9 • A Função do 1° grau 145

Unidade 10 • Sistemas de Equações Lineares 187

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 5

Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 6

Introdução ao conceito de funçãoAndré Luiz Martins Pereira, Érika Silos de Castro, Heloísa Lopes, Leo Akio Yokoyama,

Luciana Felix da Costa Santos e Susan Wouters

IntroduçãoNa unidade 6 do material do aluno, são apresentadas várias situações que

introduzem o conceito de função. Para potencializar o material didático do aluno,

pesquisamos alguns recursos que talvez possam ajudar a você, professor, a com-

plementar a exposição deste tema em suas aulas.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade

disparadora. Esta é uma atividade proposta para ser realizada em grupo, promo-

vendo uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, é esperado que eles de-

senvolvam algumas noções básicas relacionadas ao conceito de função: variável,

variação, reconhecimento de regularidades, generalidade e dependência.

Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns

recursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais re-

cursos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste

material. Sugerimos a sua realização nas aulas subsequentes à aula inicial de acor-

do com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas alterações e

adaptações quando necessárias.

Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em

dois momentos: o primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado

durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada

de questões que surgiram durante o seu estudo e o segundo, um momento de

avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento

da reprodução de exercícios feitos anteriormente.

Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas a seguir, e seus

detalhamentos no texto que segue.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

6

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemática 2 1 6 3 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Introdução ao conceito de função Função

Objetivos da unidade

Ler e interpretar dados de uma conta de água, telefone, luz ou gás;

Solucionar Equações do 2º grau a partir de diferentes métodos.

SeçõesPáginas no material do

aluno

Para início de conversa... 129 a 130

Seção 1 – Conhecendo uma conta d’água 131 a 134

Seção 2 – Noção intuitiva de Função 135 a 140

Momento de reflexão 141

Voltando à conversa inicial... 141 a 142

Veja ainda... 142

O que perguntam por aí? 145 a 146

Respostas das atividades 147 a 150

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 7

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.

Applets

São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis

para os alunos.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

8

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Construindo triângulos com

palitos

Palitos de fós-foro, folha de atividades e lápis/caneta

Construir a noção de depen-dência numérica através da observação da relação da quantidade de palitos (p)

com a quantidade de triân-gulos construídos (t)

Discussão coletiva e

participação individual dos

alunos

40 minutos

Identificando funções

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Levar os alunos a identifica-rem intuitivamente as leis de

formação das funções que representam as situações

apresentadas em forma de tabela

Turma dividida em duplas 30 minutos

Para início de conversa...Páginas no material do aluno

129 a 130

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Pesquisa e tomada de

decisão

um boleto bancário por grupo, folha

de atividades, lápis/caneta

A partir da análise de um bo-leto bancário, responder às

questões propostas em uma folha de atividades de acordo com os dados contidos nesse

boleto

Turma divida em 4 ou 5 alunos

30 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 9

Seção 1 – Conhecendo uma conta d’águaPáginas no material do aluno

131 a 134

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Desvendando o cálculo da conta de luz

Uma conta de luz por grupo, calculadora,

folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Modelar os dados presentes em uma conta de luz utilizan-do a linguagem matemática

de função

Turma divida em duplas ou

trios20 minutos

Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno

135 a 140

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Calculando as horas extras trabalhadas

Folha de ativi-dades, cópias de contrache-ques, calcula-dora e lápis/

caneta

Levar os alunos a compreen-derem a relação entre salário

final e hora extra a receber como uma relação entre

variáveis, percebendo que o salário final depende do total

de horas extras a receber

Turma divida em duplas 30 minutos

“Como b depende

de a?”

Computadores para os alunos, folha de ativi-dades, applet disponível no pen drive do professor e

lápis/caneta

A atividade tecnológica que utiliza o recurso de movi-

mentar o ponto “a” sobre a reta numérica com o objeti-vo de descobrir a expressão algébrica que define como o número “b” depende do

número “a”

Discussão coletiva e

participação individual dos

alunos

40 minutos

10

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

145 a 146

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Enem 2010

Imagem disponível no “pen drive do

professor”

Identificar uma função apresentada na linguagem

corrente (situação-problema) e posteriormente a partir da leitura e interpretação grá-fica, verificar se este corres-ponde ao comportamento

da função em questão (se ela cresce ou decresce, em que

intervalos, com que velocida-de, etc...)

Turma divida em duplas 20 minutos

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

141 a 142

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ConsolidandoMaterial

didático do aluno

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma organizada em duplas ou indi-

vidualmente

40 minutos

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

141

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de atividades

Sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas etapas:

registro de aprendizagens e questões tanto objetivas

como discursivas

Participação individual dos

alunos40 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 11

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Construindo triângulos com

palitos

Palitos de fós-foro, folha de atividades e lápis/caneta

Construir a noção de depen-dência numérica através da observação da relação da quantidade de palitos (p)

com a quantidade de triân-gulos construídos (t)

Discussão coletiva e

participação individual dos

alunos

40 minutos

Aspectos operacionais

A atividade consiste na observação e registro do padrão numérico obtido ao organizar uma determinada

quantidade de palitos de fósforo sobre uma superfície plana (que pode ser sobre a carteira escolar, por exemplo) for-

mando triângulos equiláteros adjacentes. Para tal, você deve solicitar aos alunos que, em grupos, sigam as seguintes

instruções (que constam da folha de atividades):

1º Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos.

2º Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente.

3º Forme três triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente.

Em seguida de cada uma dessas instruções, peça para que o aluno observe e registre a quantidade de palitos

utilizados.

Aspectos pedagógicos

Essa atividade foi planejada para ser trabalhada com a turma dividida em pequenos grupos. De acordo com o

tamanho da turma, sugerimos que você, professor, opte pela formação de duplas ou trios. Para a aplicação dessa ativi-

dade será necessário pedir, previamente, que os alunos tragam para essa aula palitos de fósforo (uma caixa), cada um.

Depois de solicitar que os alunos se organizem em grupos, você poderá distribuir a folha de atividades, dispo-

nível neste material e também no seu pen drive, sendo uma para cada aluno. Isso porque, apesar da atividade ser tra-

balhada em grupos, seria interessante que cada aluno pudesse fazer seus registros de observação individualmente,

transformando a folha de atividades em mais um instrumento de consulta e estudo.

Você pode desafiar os alunos a pensarem em situações inversas, como por exemplo, com 9 palitos quantos

triângulos posso formar?

12

Sugerimos que você escreva a sequência de número de palitos no quadro antes de escrever a lei de formação

e faça uma explanação que leve os alunos a induzirem outras sequências com quadriláteros, por exemplo.

É importante frisar aos alunos que a construção dos triângulos deverão ser feitas sempre dois a dois, conforme

a figura a seguir, pois podem surgir construções com triângulos adjacentes em torno de um único ponto.

Depois dessa manipulação, espera-se que o aluno possa perceber que a cada triangulo adjacente formado, o

número de palitos segue um padrão, onde a cada triângulo formado o número de palitos seja acrescido de 2 unida-

des. A partir dessa constatação, os alunos provavelmente estarão prontos para uma generalização com a proposição

de uma lei de formação ou fórmula matemática que descreva tal situação. Neste momento é importante ressaltar a

relação de dependência do número de palitos a ser utilizado com a quantidade de triângulos formados.

Folha de Atividades – Construindo triângulos com palitos

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

Nesta atividade construiremos triângulos cujos lados serão representados por palitos.

Atenção: cada construção deverá utilizar o menor número de palitos possível.

Vamos à construção? Para isso, utilize os palitos seguindo as regras a seguir e responda as questões propostas.

1. Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos. Quantos palitos foram utiliza-dos?____________________________________________.

2. Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente. Quantos palitos foram uti-lizados?__________________________________________.

3. Para formar três triângulos também com lados adjacentes, quantos palitos você usa-ria?_____________________________. E para formar quatro? ___________________________. E para for-mar cinco?_________________________. E para formar dez?__________________________. E para formar vinte?__________________________.

Agora vamos completar a tabela:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 13

Quantidade de triângulos Quantidade de palitos (p)

1 p =

2 p =

3 p =

4 p =

5 p =

10 p =

20 p =

T p =

“Lei de formação: é a regra ou fórmula matemática que define exatamente como uma função deve ser representada.”

4. A partir da tabela acima, tente escrever uma lei de formação que traduza a quantidade de palitos (p) utiliza-dos para a construção de t triângulos. __________________________________________.

Comentário sobre as questões propostas

1. Forme um triângulo com a menor quantidade possível de palitos. Quantos palitos foram utilizados? Três palitos.

2. Forme dois triângulos com os palitos de modo que tenham um lado adjacente. Quantos palitos foram uti-lizados? Cinco palitos

3. Para formar três triângulos também com lados adjacentes, dois a dois, quantos palitos você usaria? Sete triângulos. E para formar quatro? Nove triângulos. E para formar cinco? Onze palitos. E para formar dez? Vinte e um palitos. E para formar vinte? Quarenta e um palitos.

Agora vamos completar a tabela:

14

Quantidade de triângulos Quantidade de palitos (p)

1 p = 2.1+ 1 = 3

2 p = 2.2 + 1 = 5

3 p = 2.3 + 1 = 7

4 p = 2.4 + 1 = 9

5 p =2.5 + 1 = 11

10 p= 2.10 + 1 = 21

20 p = 2.20 + 1 = 41

T p = 2.t+ 1

4. A partir da tabela acima, escreva uma lei de formação que traduza a quantidade de palitos (p) utilizados para a construção de t triângulos. Chamando de “t”o número de triângulos a ser construído, teremos p = 2t + 1.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Identificando funções

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Levar os alunos a identifica-rem intuitivamente as leis de

formação das funções que representam as situações

apresentadas em forma de tabela

Turma dividida em duplas 30 minutos

Aspectos operacionais

Essa atividade tem como objetivo levar os alunos a identificar uma lei de formação da função que representa

cada situação apresentada em forma de tabela.

Cada tabela proposta deverá ser preenchida por números sugeridos pelos alunos na primeira linha (x) enquan-

to que a segunda linha (y) será preenchida por você, professor, com números que correspondam às imagens dos

números da primeira linha, utilizando uma função qualquer escolhida por você previamente, sem decifrá-la para os

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 15

alunos. Após a observação dos números dispostos nesta tabela, o aluno deverá identificar a lei de formação da função

utilizada pelo professor para completar a segunda linha da tabela, podendo expressar inicialmente em linguagem

corrente e depois tentando escrevê-la em linguagem matemática (quando possível).

A folha de atividades estende esses exemplos, apresentando outras situações em que os alunos devem preen-

cher tabelas a partir das leis de formação observadas.

Aspectos pedagógicos

A atividade foi planejada de modo que a turma fosse dividida em duplas. Após a divisão da turma, resolva

alguns exemplos, desenhando no quadro pelo menos uma tabela conforme a figura a seguir:

Número dito pelos alunos (x)

Número calculado pelo professor (y)

Professor, antes de preencher a tabela, escolha uma função e guarde-a em segredo até que os alunos a descu-

bram. Por exemplo, y = x+1.

Peça que cada dupla, uma de cada vez, diga um número, o qual será usado na 1ª linha e no cálculo para com-

pletar a 2ª linha da tabela. Sugerimos que cada dupla diga pelo menos um número. Para tanto, acrescente o número

de colunas que achar necessário para que todos participem da atividade. Em caso de turmas muito grandes, você

poderá dar outros exemplos.

Supondo, por exemplo, que as duplas digam os números: 2, 5, 8, 10, 6 e 20, você, professor, já com uma função

em mente (y= x+1) completa a segunda linha da tabela:

Número dito pelos alunos (x) 2 5 8 10 6 20

Número calculado pelo professor (y) 3 6 9 11 7 21

Após o preenchimento da tabela, estimule os alunos a descobrirem e expressarem oralmente qual foi o cál-

culo feito por você para chegar àqueles resultados a partir de cada número dito por eles. Oriente-os e instigue-os a

encontrarem a função (fórmula matemática) representada na tabela, expressando, agora, em linguagem matemática.

Tente identificar quais foram os erros mais comuns e exercite mais questões que os ajudem a superar as dificul-

dades encontradas. Espera-se que ao final desta discussão, os alunos consigam identificar relações de dependência

entre duas variáveis e expressar matematicamente a lei de formação que determina esta relação.

A partir daí, você pode convidá-los a resolverem as questões propostas na folha de atividades.

16

Folha de Atividades – Identificando funções

Nome da escola:______________________________________________________________________

Nome:______________________________________________________________________________

1. Nas tabelas a seguir, o professor pedirá que cada grupo diga números que serão usados para preencher a primeira linha (x) e preencherá a segunda linha (y), a partir de padrões de cálculos determinados por ele. O desafio é: descubra qual foi o cálculo feito pelo professor para chegar àqueles resultados a partir de cada número dito por alunos. Escreva a função (fórmula matemática) abaixo de cada tabela.

Número dito pelos alunos (x)

Número calculado pelo professor (y)

Lei de formação: y =_________.

Número dito pelos alunos (x)

Número calculado pelo professor (y)

Lei de formação: ____________.

Número dito pelos alunos (x)

Número calculado pelo professor (y)

Lei de formação: ____________.

2. Cada tabela apresenta um padrão de relação de dependência entre os números x e y. Identifique, em cada tabela, a lei de formação que determina esta relação e preencha corretamente as lacunas.

x 15 30 50 100 13 27

y 10 25 95 22

x 2 5 3 7 0 4

y 7 10 22 1

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 17

Comentário sobre as questões propostas

1. Supondo que a turma tenha trinta alunos e que os números ditos pelas quinze duplas sejam: 2, 5, 3, 7, 0, 4, 15, 27, 13, 30, 16, 12, 22, 50, 100, temos:

� Utilizando, por exemplo, os seis primeiros números ditos pelos alunos: 2, 5, 3, 7, 0, 4 e supondo que você,

professor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2 y x= .

Número dito pelos alunos(x) 2 5 3 7 0 4

Número calculado pelo professor(y) 4 25 9 49 0 16

� Utilizando, por exemplo, os números 15, 30, 13, 27, 16 e 12 ditos pelos alunos e supondo que você, profes-

sor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2y x= − .

Número dito pelos alunos(x) 15 30 13 27 16 12

Número calculado pelo professor(y) 13 28 11 25 14 10

� Utilizando, por exemplo, os seis últimos números ditos pelos alunos: 30, 16, 12, 22, 50, 100 e supondo que

você, professor, tenha preenchido a tabela conforme a seguir, então 2 1y x= + .

Número dito pelos alunos(x) 30 16 12 22 50 100

Número calculado pelo professor(y) 61 33 25 45 101 201

2. Na primeira tabela, y = x-5 e na segunda, y= 3x+1. Daí:

x 15 30 50 100 13 27

y 10 25 55 95 8 22

x 2 5 3 7 0 4

y 7 16 10 22 1 13

18

Para início de conversa...Páginas no material do aluno

129 a 130

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Pesquisa e tomada de

decisão

um boleto bancário por grupo, folha

de atividades, lápis/caneta

A partir da análise de um bo-leto bancário, responder às

questões propostas em uma folha de atividades de acordo com os dados contidos nesse

boleto

Turma divida em 4 ou 5 alunos

30 minutos

Aspectos operacionais

Cada grupo de 4 ou 5 alunos deve levar um boleto bancário para a sala de aula e responder às questões pro-

postas na folha de atividades, disponível neste material e no seu pen drive, a partir dos dados obtidos nesse boleto.

Depois disso, os grupos trocarão os boletos com outra equipe e deverão repetir a atividade com os novos dados.

Aspectos pedagógicos

Na aula anterior a esta, solicite que os alunos levem para a aula um boleto bancário qualquer. Antes de iniciar

a atividade, você pode resolver o exemplo a seguir para facilitar o entendimento da atividade proposta.

Exemplo: Observe o boleto bancário anterior que deverá ser pago em 10 de setembro de 2012 a uma empresa

de venda de material de construção.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 19

Sugestão de questões:

Considere V(x) o valor total a ser pago pelo boleto, em função de x, que é o número de dias de atraso no pa-

gamento.

a. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento?

b. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 2 dias de atraso? E com 5 dias atrasados? E 10 dias após o vencimento?

c. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?

d. Tente explicar, com suas palavras, a relação de dependência entre o valor a ser pago e o número de dias em atraso.

Neste momento é importante que os alunos observem a relação de dependência do valor a ser pago com o

número de dias em atraso. Espera-se que os alunos respondam que o valor a ser pago depende do número de dias

em atraso, ou que quanto maior o número de dias atrasados, maior será o valor a ser pago.Aqui, se desejar, você pode

introduzir os conceitos de variáveis dependentes e independentes de uma função, identificando x como a variável

independente e V(x) como a variável dependente. Estes conceitos serão retomados na seção “Noção intuitiva da Fun-

ção” do material do aluno.

Após a explicação, sugerimos que você divida a turma em grupos de 4 ou 5 alunos e distribua uma folha de

atividades para cada aluno. Se no grupo tiver mais de um boleto, deixe-os escolher o boleto que será analisado pelo

grupo e peça que resolvam as questões propostas na folha de atividades, intervindo apenas quando necessário. De-

termine um tempo para esta primeira etapa, avisando-os quando este estiver se esgotando. Essa parte da atividade

deve tomar cerca de 15 minutos.

Quando todos os grupos tiverem concluído a atividade ou o tempo dado se esgotado, solicite que os grupos,

dois a dois, troquem os boletos entre si e respondam novamente as questões da folha de atividades para o novo bo-

leto. Essa troca de boletos pode ser feita com o grupo mais próximo, por exemplo. Para esta parte, sugerimos cerca

de 5 minutos.

Ao final da atividade, você pode pedir que alguns grupos exponham oralmente as suas respostas e comente-as

a partir dos resultados obtidos na folha de atividades, ouvindo os argumentos que os alunos utilizaram para obter as

respostas encontradas.

Folha de Atividades - Pesquisa e tomada de decisão

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

Observando o boleto que o seu grupo irá analisar e considerando V(x) o valor total a ser pago pelo boleto após

o dia de vencimento, em que x é o número de dias de atraso no pagamento, responda as seguintes questões:

20

1. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento?

2. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 3 dias de atraso? E com 7 dias atrasados? E 30 dias após o vencimento?

3. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?

Comentário sobre as questões propostas

Considere, por exemplo, o boleto a seguir:

1. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado até a data de vencimento? R$ 236,00

2. Quanto será pago pelo boleto, se este for quitado com 3 dias de atraso? E com 7 dias atrasados? E 30 dias após o vencimento?

� 3 dias de atraso: ( )3 236,00 1 5, 50 0,50 . 3 251, 50 1 ,50 253,00V = + + = + =

� 7 dias de atraso: ( )7 236,00 1 5, 50 0,50 .7 251, 50 3,50 255,00V = + + = + =

� 30 dias de atraso: ( )30 236,00 1 5, 50 0,50 . 30 251, 50 15,00 266, 50V = + + = + =

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 21

2. Qual é a expressão que define V(x), se o pagamento for efetuado com x dias após o vencimento?

( ) 236,00 15,50 0,50V x x= + + então: ( ) 251,50 0,50V x x= +

Seção 1 – Conhecendo uma conta d’águaPáginas no material do aluno

131 a 134

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Desvendando o cálculo da conta de luz

Uma conta de luz por grupo, calculadora,

folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Modelar os dados presentes em uma conta de luz utilizan-do a linguagem matemática

de função

Turma divida em duplas ou

trios20 minutos

Aspectos operacionais

Cada grupo deve levar uma conta de luz para a sala de aula e responder as questões propostas na folha de

atividades, disponível no seu material e no seu pen drive, a partir dos dados obtidos nessa conta.

Aspectos pedagógicos

Na aula anterior a esta, solicite que os alunos levem para a aula uma conta de luz antiga ou atual. Antes de

iniciar a atividade, você pode resolver o exemplo a seguir para facilitar o entendimento da atividade proposta.

Exemplo:

Segue a seguir um exemplo do cálculo da conta de energia elétrica com incidência de tributos e a imagem de

um passo a passo de como desvendar o cálculo do valor da conta.

� Unidade consumidora: Residencial

� Consumo mensal: 330 kWh

� Valor do PIS/COFINS aplicado: 5,35% (alíquota efetiva, com variação mensal, conforme apuração)

� Alíquota do ICMS: 29%

22

� Valor do kWh: 0,34304

� COSIP: R$ 11,03

Referência: http://www.light.com.br/web/institucional/atendimento/informacoes/tarifas/tetarifas_calculo.asp

Sugestões de questões:

a. Baseado nos dados do exemplo, se um cliente tiver um consumo mensal de 280 kWh, qual será o valor total da sua conta de luz?

Primeiro passo: 0,34304/(1-(0,0535 + 0,29))=

0,34304/(1-(0,3435)=0,34304/0,6565=0,52253

Segundo passo: (0,52253x280) + 11,03= 146,308 +11,03=R$157,33

b. Se um cliente quiser pagar no máximo R$ 100,00 de conta de luz, qual deverá ser o seu consumo máximo?

Considere Y o consumo que queremos determinar. Então,

(0,52253 . Y) + 11,03 = 100

(0,52253 . Y) = 100 - 11,03

Y = 88,97/0,52253 = 170KWh

Neste momento é importante que os alunos compreendam como ler e interpretar dados da conta de luz e

observem os cálculos e as relações matemáticas envolvidas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 23

Após a explicação, sugerimos que você divida a turma em duplas ou trios e distribua uma folha de atividades

para cada aluno. Primeiramente deixe-os analisar as contas de luz levadas pelos membros das suas equipes (dupla

ou trio) e peça para que eles respondam as questões da folha de atividades, intervindo apenas quando necessário.

Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos na folha de ati-

vidades, questionando, por exemplo, qual grupo teve a conta com maior consumo e qual a média de consumo (em

KWh) por pessoa em cada conta de luz , ouvindo os argumentos dos alunos.

Saiba Mais

Mesmo se o consumidor não usa a energia elétrica por um determinado período, quando viaja de férias, por

exemplo, a distribuidora cobra o valor mínimo na fatura. Isso ocorre porque a empresa tem que manter seu sistema

elétrico e sua estrutura de atendimento em perfeito funcionamento para que o consumidor possa utilizar a energia

no momento em que desejar. Ou seja, mesmo que o interruptor não seja acionado, deve ser mantida em estado de

prontidão toda a rede elétrica para atendimento à unidade consumidora. É o chamado custo de disponibilidade, pre-

sente nas tarifas aplicáveis ao faturamento de unidades consumidoras atendidas em baixa tensão de fornecimento.

Para que esse valor não seja cobrado, o consumidor tem a opção de solicitar à concessionária o desligamento

da sua unidade consumidora da rede de distribuição. Entretanto, quando decidir restabelecer o consumo de energia,

terá que pagar uma taxa para a execução do religamento da rede.

Acreditamos que após a realização desta atividade, os alunos estejam aptos a desenvolverem as atividades da

seção “Conhecendo uma conta d’água” do material do aluno.

Folha de Atividades – Desvendando a conta de luz

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

Analisando as contas de luz trazidas pelo seu grupo, responda as seguintes questões:

1. Qual foi o consumo mensal (em KWh) de cada conta?

_____________________________________________________________________________________

2. Qual foi o valor pago em cada conta?

_____________________________________________________________________________________

3. Qual é o valor cobrado por KWh?

_____________________________________________________________________________________

4. Tente escrever qual é a função utilizada para calcular o valor da sua conta.

______________________________________________________________________________________

24

Comentário sobre as questões propostas

Considerando o exemplo que foi apresentado, espera-se que as respostas sejam apresentadas nos seguintes moldes:

1. o consumo mensal de 330KWh.

2. o valor pago foi de R$183,45.

3. o valor do KWh é R$ 0,34304.

4. Chamando de Y o consumo mensal e V(Y) o valor pago temos que:

Primeiro passo: ( )( ) ( )

0,34304 0,34304 0,34304 0,52253(1 0,3435 0,65651 0,0535 0, 29

= = =−− +

Segundo passo: ( ) ( )0,52253 . 1 1,03V Y Y= +

Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno

135 a 140

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Calculando as horas extras trabalhadas

Folha de ativi-dades, cópias de contrache-ques, calcula-dora e lápis/

caneta

Levar os alunos a compreen-derem a relação entre salário

final e hora extra a receber como uma relação entre

variáveis, percebendo que o salário final depende do total

de horas extras a receber

Turma dividida em duplas ou

trios30 minutos

Aspectos operacionais

Esta atividade apresenta mais uma situação cotidiana e propõe uma discussão em grupo a respeito de concei-

tos de função envolvidos no cálculo legal de horas extras. Esta discussão se dará a partir da leitura de um texto base

contido na folha de atividades, disponível neste material e no seu pen drive.

Na folha de atividades há uma tabela com as colunas salário normal (assim considerado, aquele que é apresen-

ta um salário fixo, independente de ter ou não feito horas extras), salário hora (aquele recebido por hora trabalhada),

valor da hora extra (que irá variar de acordo com o salário hora), número de horas extras trabalhadas (quantidade de

horas extras realizadas no mês em questão), total de horas extras a receber e salário final que é a soma de horas extras

a receber com o salário normal. Os alunos serão levados a entenderem o cálculo do valor das horas extras trabalhadas

e o salário final em determinado mês.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 25

Aspectos pedagógicos

A sugestão inicial é que esta atividade seja trabalhada em trios, porém isso vai depender do tamanho da tur-

ma, sugerindo-se que seja realizada em pequenos grupos. Após a divisão da turma distribua a folha de atividades,

disponível neste material e também no seu pen drive, sendo uma para cada aluno, pois apesar de ser uma atividade

em grupo é importante que cada um aluno possa fazer seus registros e observações.

Depois da distribuição da folha de atividades, se houver necessidade, leia o texto base com os alunos, e co-

mente sobre a questão de forma a levar os alunos a participarem da discussão sobre horas extras. No texto base é

apresentada a justificativa legal para pagamento de horas extras. É importante que nesse momento, você, professor,

abra um espaço para discussão sobre o tema, com o intuito de estimular os alunos a realizarem a atividade que traz

como proposta o cálculo de horas extras que um determinado indivíduo tem a receber e o seu salário final.

Como forma de interagir com os alunos e estimulá-los a participarem da discussão, você pode questioná-los se

eles já fizeram hora extra em seu trabalho e indagá-los indague-os se eles sabem conferir se o pagamento recebido

por hora extra feita está correto. Acreditamos que esse tipo de discussão irá aumentar o interesse da turma na ativida-

de, uma vez que o tema é referente a algo do dia a dia então eles se sentirão mais motivados.

Após esse momento de discussão, convide-os a colocarem em prática o que foi explicado na folha de ativi-

dades. Ajude-os no início dos cálculos para que sintam segurança e em seguida convide-os a fazerem o cálculo no

contracheque que trouxeram. Se preferir, permita o uso da calculadora.

Após a explicação do texto base e explanação de como é feito o cálculo, convide-os a fazerem alguns cálculos

com os valores dados na tabela, como uma prática para em seguida calcularem seus próprios salários. Ressalte que

essa divisão por 220, pressupõe um trabalhador com 44 horas semanais de serviço e para pessoas que trabalham

menos horas a divisão seria por outro valor.

Ao final da atividade, solicite aos alunos que façam o cálculo com o salário que recebem, e verifiquem se houve

alguma diferença. Auxilie-os na conferência dos cálculos.

Folha de Atividades - Calculando as horas extras trabalhadas

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

Texto base

Você sabe calcular quanto você receberá de horas extras?

A Constituição Federal prevê, no inciso XVI do artigo 7º, que o trabalho extraordinário (ou hora extra) será re-

munerado com acréscimo mínimo de 50% (cinquenta por cento) à hora normal.

Para calcular o valor de sua hora extra é necessário, primeiramente, saber o valor de sua hora trabalhada, o que

chamaremos de salário hora (SH). Para saber quanto é o seu “salário hora(SH)” você deve pegar o seu salário e dividir

por 220 que são o total de horas trabalhadas por mês.

26

Agora pegue o seu salário-hora e acrescente 50%, que é o percentual legal da hora extra, o resultado desta

conta será o valor de uma hora extra (HE).

Por fim, multiplique o valor de uma hora extra pelo número de horas que você trabalhou a mais. Assim, saberá

o total em dinheiro que deverá receber no final do mês, além do salário normal.

Exemplo:

O salário normal (fixo) de César é R$ 880,00 e fez 30 horas extras neste mês.

Vamos aos cálculos:

1.º - Achar o valor do salário hora o qual chamaremos de SH

Para isso você deve pegar o seu salário normal, aquele que é fixo, sem acréscimo nenhum ao qual chamaremos

de SN e dividi-lo por 220.

Assim temos:

SH = SN / 220. Como SN de César é R$ 880,00 então temos 880/ 220 = 4,00. O salário hora de César é 4,00, ou

seja ,SH = 4,00.

2.º - Achar o valor de uma hora extra, chamaremos de (HE).

Pelo texto vimos que HE = SH + 50% . SH (valor do “salário hora” mais 50%).

Assim temos HE = 4,00 + 50%(4,00) = 4,00 + 0,50. (4,00)=4,00 + 2,00 = 6,00. Então, o valor de uma hora extra

de César será R$6,00, ou seja HE = 6,00.

3.º Calcular o valor a receber por todas as horas extras trabalhadas no mês

Agora vamos calcular quanto ele receberá neste mês por todas as horas extras trabalhadas, para isso basta

pegarmos o valor de uma hora extra multiplicando pelas horas trabalhadas a mais, ou seja:

6,00 X 30 (horas extras) = 180,00.

Sendo assim ao final deste mês César receberá 180 reais a mais pelas horas extras trabalhadas.

Para sabermos o salário final que César teria direito a receber, basta somarmos o salário normal ao total de

horas extras recebidos no mês. Neste caso teríamos:

880,00 + 180,00 = 1060,00

Logo César receberá neste mês R$ 1060,00.

Praticando

Com as informações dadas no texto e baseados no exemplo anterior, vamos construir uma tabela da relação

salário X horas extras

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 27

Salário Normal(SN)

Salário hora(SH)

Valor da hora extra(HE)

Nº de horas extras

trabalhadas

Total de horas extras a receber

Salário final(salário normal + horas extras)

R$ 2200,00 9

R$ 980,00 16

R$ 4400,00 11

R$1000,00 32

Agora vamos aos cálculos em seu contracheque!!!

Comentário sobre as questões propostas

Salário Normal(SN)

Salário hora(SH)

Valor da hora extra(HE)

Nº de horas extras

trabalhadas

Total de horas extras a receber

Salário final(salário normal + horas extras)

R$ 2200,00 10,00 10,00 + 5,00 = 15,00 9 135,00 2335,00

R$ 980,00 4,45 4,45 + 2,23 = 6,68 16 106,88 1086,88

R$ 4400,00 20,00 20,00 + 10,00 = 30,00 11 330,00 4730,00

R$1000,00 4,55 4,55 + 2,28 = 6,83 32 213,76 1273,76

Os valores preenchidos na tabela são meros referenciais que podem ser substituídos, se necessário

Seção 2 – Noção intuitiva de FunçãoPáginas no material do aluno

135 a 140

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

“Como b depende

de a?”

Computadores para os alunos, folha de ativi-dades, applet disponível no pen drive do professor e

lápis/caneta

A atividade tecnológica que utiliza o recurso de movi-

mentar o ponto “a” sobre a reta numérica com o objeti-vo de descobrir a expressão algébrica que define como o número “b” depende do

número “a”

Discussão coletiva e

participação individual dos

alunos

40 minutos

28

Aspectos operacionais

Essa atividade foi adaptada de uma proposta elaborada pelo projeto “Conteúdos Digitais Para o Ensino e

Aprendizagem de Matemática e Estatística” do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense (UFF),

disponível em http://www.uff.br/cdme/. Ela inicialmente foi planejada para aplicação em laboratório de informática,

onde cada aluno poderia interagir diretamente com o aplicativo proposto, mas caso a sua escola não disponha de

um laboratório de informática, a mesma atividade poderá ser aplicada em sala de aula com um computador ligado

a um projetor multimídia ou a uma TV. Nesse caso, os alunos poderão interagir com o aplicativo de maneira indireta

e coletiva.

Após a interação com este aplicativo virtual, os alunos serão levados a responderem questões, em uma folha

de atividades, relacionadas à atividade e realizarem alguns registros das suas aprendizagens.

Aspectos pedagógicos

Professor, a atividade pode ser acessada on-line, através do link http://www.uff.br/cdme/c1d/ (endereço alter-

nativo: http://www.cdme.im-uff.mat.br/c1d/). Se você preferir, solicite que o responsável pelo laboratório da escola

instale a atividade para acesso off-line, isto é, sem a necessidade de conexão com a internet, o que pode ser feito a

partir do próprio site ou utilizando o pacote de arquivos disponível, e também, no seu pen drive.

O aplicativo pode ser executado em qualquer sistema operacional, porém, para executá-lo, é preciso que o

computador tenha a linguagem JAVA instalada. A instalação da linguagem JAVA pode ser feita seguindo as orienta-

ções disponíveis no seguinte link http://www.java.com/pt_BR/.

Atenção: se você optar pelo uso da atividade off-line através de uma cópia local em seu computador ou no

servidor do laboratório, é importante que os arquivos não estejam em um diretório cujo nome contenha acentos ou

espaços. Também é importante lembrar que algumas distribuições Linux vêm com o interpretador JAVA GCJ Web

Plugin que não é compatível com o applet da atividade. Neste caso, recomendamos que você solicite ao responsável

pelo laboratório da escola que instale o interpretador nativo da Sun, disponível no link http://www.java.com/pt_BR/.

Antes de conduzir seus alunos até o laboratório de informática, certifique-se de que o aplicativo foi devida-

mente instalado e testado, para que não seja necessário realizar tais procedimentos durante a aula. Lembre-se de que

durante o tempo de espera para a devida instalação e teste do aplicativo, seus alunos estarão ociosos, o que pode

fazer com que eles dispersem a atenção, prejudicando a aplicação da atividade.

Uma vez que tudo esteja preparado, leve os alunos até o laboratório de informática da sua escola e apresente o

aplicativo aos alunos clicando, primeiro, no link “Como Jogar” e, depois, resolvendo um dos desafios como exemplo. É

preciso chamar a atenção para o quadro explicativo no fim da página, que orienta quanto às diferenças na escrita das

operações matemáticas em linguagem de programação. A saber:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 29

Figura extraída do site http://www.cdme.im-uff.mat.br/c1d/

Sugerimos que você apresente o aplicativo aos alunos, resolvendo um dos desafios como exemplo e, a partir

daí, deixe-os explorar livremente, alunos tentem resolver os demais, intervindo apenas quando necessário.

Durante a exploração do aplicativo (o que deve levar, aproximadamente, entre 15 e 20 minutos), sugerimos

que você leve os alunos a refletir a respeito da noção de dependência trabalhada no aplicativo. Este é um bom mo-

mento para se definir variáveis dependentes e independentes. Para que essa reflexão seja feita de uma forma um pou-

co mais orientada e objetiva, você poderá distribuir a folha de atividades, disponível para reprodução neste material e

no seu pen drive, e pedir que os alunos respondam as questões propostas e faça os registros solicitados. O registro, ao

final da atividade, é muito importante para que o aluno possa organizar mentalmente os conceitos trabalhados (no

caso, a relação de dependência entre números) e adquirir a habilidade de redigir corretamente um texto matemático

que possa ser compreendido por outras pessoas.

Folha de Atividades – “Como b depende de a?”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

1. Preencha a tabela a seguir na medida em que for realizando os desafios propostos pelo aplicativo.

Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio

1 b = f(a) =

2 b = f(a) =

3 b = f(a) =

4 b = f(a) =

5 b = f(a) =

6 b = f(a) =

7 b = f(a) =

8 b = f(a) =

30

Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio

9 b = f(a) =

10 b = f(a) =

11 b = f(a) =

12 b = f(a) =

13 b = f(a) =

14 b = f(a) =

15 b = f(a) =

16 b = f(a) =

� Quantos desafios você tentou?

� Qualfoi a sua pontuação final?

� Você teve dificuldade em identificar alguma das relações? Qual(is)?

2. A partir da tabela anterior, escolha uma lei de formação de um dos desafios, preencha a nova tabela, obser-vando a relação de dependência entre os valores de a e de b e responda as questões propostas.

Lei de formação Variável dependente Variável Independente

Na relação escolhida, é possível haver valores diferentes de b para um dado valor de a?

Saiba Mais

O domínio de uma função pode ser definido como o conjunto dos números possíveis de serem atribuídos

aos valores da variável independente de uma função. O conjunto dos números que expressam os valores da variável

dependente é chamado de Imagem da função.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 31

Podemos definir uma função de A em B como toda relação em que a cada elemento de A associa um único

elemento de B.

A relação que você escolheu é uma função de R em R?

Comentário sobre as questões propostas

Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio

1 b = 1 b = f(a) = a + 1

2 b = -1 b = f(a) = a – 1

3 b = 0 b = f(a) = 2*a

4 b = 0 b = f(a) = - a

5 b = 0 b = f(a) = a/2

6 b = 1,5 b = f(a) = a + 1,5

7 b = 1 b = f(a) = 2*a + 1

8 b = 2 b = f(a) = 2*(a + 1)

Desafio Valor da função em a = 0 Resposta do desafio

9 b = 0 b = f(a) = a/3

10 b = 0 b = f(a) = a^2

11 b = 0 b = f(a) = sqrt(a)

12 b não está definido b = f(a) = 1/a

13 b = 0 b = f(a) = abs(a)

14 b = 1 b = f(a) = abs(a + 1)

15 b = 1 b = f(a) = 2^a

16 b = 2 b = f(a) = 2

32

� Quantos desafios você tentou? Resposta pessoal. Qual foi a sua pontuação final? Resposta pessoal.

� Você teve dificuldade em identificar alguma das relações? Qual(is)? Resposta pessoal.

3. A partir da tabela anterior, escolha uma lei de formação de um dos desafios, preencha a nova tabela, obser-vando a relação de dependência entre os valores de a e de b e responda as questões propostas.

Supondo que o aluno tenha escolhido a relação b = f(a) = 2*a, temos:

Lei de formação Variável dependente Variável Independente

b = f(a) = 2*a b a

� Na relação matemática escolhida, é possível haver valores diferentes de b para um dado valor de a?

Não. No exemplo, basta notar que b é o dobro de a, havendo apenas um número b que atende a esta proprie-

dade de a.

� A relação que você escolheu é uma função de R em R?

Sim.

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

145 a 146

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Enem 2010

Imagem disponível no “pen drive do

professor”

Identificar uma função apresentada na linguagem

corrente (situação-problema) e posteriormente a partir da leitura e interpretação grá-fica, verificar se este corres-ponde ao comportamento

da função em questão (se ela cresce ou decresce, em que

intervalos, com que velocida-de, etc...)

Turma divida em duplas 20 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 33

Aspectos operacionais

Na página 145, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 1, questão do ENEM 2010

envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem corrente (situação-problema) para uma represen-

tação em linguagem matemática, através da lei de formação da função. Você poderá trabalhar esta proposta com a

imagem disponível no seu pen drive e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Aspectos pedagógicos

Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas

pelos alunos, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.

Comentário sobre as questões propostas

Gabarito: (B)

Analisando os possíveis erros dos alunos, espera-se que as escolhas pelas alternativas incorretas possam ser

justificadas conforme exposto a seguir:

(A) O aluno que optou por esta alternativa, provavelmente, multiplicou indevidamente número de lados do

quadrado pela quantidade de quadrados para obter a lei de formação C=4Q, desconsiderando a relação de depen-

dência entre a quantidade de canudos e a quantidade de quadrados.

(C) O aluno que optou por esta alternativa pode ter considerado indevidamente a relação C=4Q para definir

a formação do quadrado da Figura 1, considerando que ao formar a figura II foram acrescidos 3=4-1 palitos ao qua-

drado da figura I, isto é, 1 palito a menos do que os utilizados para formar 2 quadrados disjuntos, associando este

comportamento à lei C=4Q-1

34

(D) O aluno que optou por esta alternativa pode ter observado apenas a relação entre as Figuras I e II, conside-

rando indevidamente a lei C=Q+3, não observando as relações seguintes.

(E) O aluno que optou por esta alternativa pode ter considerado indevidamente a relação C=4Q para definir a

formação do quadrado da Figura 1 e observado que ao formar a figura III (3 quadrados adjacentes) foram necessários

2 palitos a menos do que os utilizados para formar 3 quadrados disjuntos, considerando, assim a relação C=4Q-2.

Procure discutir as soluções apresentadas pelos alunos, valorizando cada estratégia mesmo que esta não te-

nha o conduzido a uma resposta verdadeira.

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

141 a 142

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ConsolidandoMaterial

didático do aluno

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma organizada em duplas ou indi-

vidualmente

40 minutos

Aspectos operacionais

Na página 141, a seção “Voltando à Conversa Inicial” pode servir de motivação para esta revisão e sugere uma

consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade, a partir de uma reflexão mais detalhada do texto

apresentado em “Para início de conversa...” (p. 129), sobre o boleto de cobrança bancária de uma escola em 2008.

Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-

tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como

um valioso exercício de revisão.

Aspectos pedagógicos

Professor, retome o problema proposto na seção “Para início de conversa...” do material do aluno, resgatando

as habilidades trabalhadas na unidade.

O problema a seguir foi extraído da prova do Enem 2008.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 35

Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então:

(A) M(x) = 500 + 0,4x.

(B) M(x) = 500 + 10x.

(C) M(x) = 510 + 0,4x.

(D) M(x) = 510 + 40x.

(E) M(x) = 500 + 10,4x.

Gabarito: (C)

A solução da questão acima é apresentada na página 142 do material do aluno, por isso, sugerimos que,

antes dos alunos a consultarem, esta seja discutida coletivamente com a turma.

Após a resolução desta questão, sugerimos que você, professor, proponha mais algumas questões com o mes-

mo nível de dificuldade para fixar o conhecimento adquirido nesta unidade.

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

141

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de atividades

Sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas etapas:

registro de aprendizagens e questões tanto objetivas

como discursivas

Participação individual dos

alunos40 minutos

36

Aspectos operacionais

Para o momento de avaliação e consolidação, sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula desti-

nados à unidade 6. A seguir apresentamos sugestões para a retomada aos conteúdos trabalhados e para a avaliação

das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme ex-

plicitadas a seguir.

Etapa 1: Registros de aprendizagens

Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 60 do material do aluno. Aqui,

você poderá propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponível para reprodução neste

material, as aprendizagens matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação, apre-

sentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar às suas no que tange a avaliação do desen-

volvimento das habilidades matemáticas pretendidas:

� Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?

� Descreva uma situação na qual você poderia usar uma relação de dependência entre duas variáveis para

representá-la.

� Liste algumas relações que você conheça e diga em qual das situações as relações constituem funções

entre duas variáveis. Por quê?

Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-

gues ao seu formador no curso de formação presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com você como os

alunos estão reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho, para se for o caso, repensá-los

de acordo com as características apresentadas.

Etapa 2: Questão Objetiva

Sugerimos nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questão objetiva que contemple uma habilidade pre-

tendida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher uma das questões pro-

postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível nas p. 145 e p. 146 do material do aluno, distinta daquela já

trabalhadas em aula ou entre as questões sugeridas neste material. A ideia é que o aluno se familiarize com questões

cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.

Sugestões de questões objetivas para a avaliação:

Questão 1 (Enem– 2013)

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 37

Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu

que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no

dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do des-

conto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão

que relaciona V e x é:

(A) 10.000 + 50x – x2

(B) 10.000 + 50x + x2

(C) 10.000 - 50x – x2

(D) 10.000 + 50x – x2

(E) 10.000 - 50x + x2

Questão 2 (FUVEST - 1992)

A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:

(A) f(x) = x - 3

(B) f(x) = 0,97x

(C) f(x) = 1,3x

(D) f(x) = -3x

(E) f(x) = 1,03x

Questão 3 (UFMG - 1992)

Suponha que o número f(x) de funcionários necessários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por

cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função 300x

f(x) =150 - x

.

Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de

moradores que receberam é:

(A) 25

(B) 30

(C) 40

(D) 45

(E) 50

38

Questão 4 (VUNESP)

Carlos trabalha como DJ e cobra uma taxa fixa de R$ 100,00, mais R$ 20,00 por hora, para animar uma festa.

Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de

uma festa, para que a contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

(A) 6 horas

(B) 5 horas

(C) 4 horas

(D) 3 horas

(E) 2 horas

Comentário sobre as questões propostas

1. alternativa D

2. alternativa B

3. alternativa B

4. alternativa D

Folha de Atividades – Avaliação

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na unidade 6 e registre as aprendizagens

matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder as questões

a seguir:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 39

Questão 1

Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?

Questão 2

Descreva uma situação do cotidiano na qual podemos usar uma relação de dependência entre duas variáveis

para representá-la.

Questão 3

Liste algumas relações estudadas em aula, ou que você conheça e diga em qual das situações as relações cons-

tituem funções entre duas variáveis. Tente justificar a sua resposta.

Comentário sobre as questões propostas

Questão 1

Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?

Resposta: Espera-se que o aluno lembre e registre que iniciamos o estudo de funções. Propositalmente re-

produzimos o texto da seção “Momento de reflexão” com a intenção de observar a atenção do aluno e situá-lo no

conceito matemático antes de fazer os registros das suas aprendizagens.

40

Questão 2

Descreva uma situação do cotidiano na qual podemos usar uma relação de dependência entre duas variáveis

para representá-la.

Espera-se que o aluno lembre e registre os exemplos da conta de luz, água, boletos bancários, horas extras etc.

Questão 3

Liste algumas relações estudadas em aula, ou que você conheça e diga em qual das situações as relações cons-

tituem funções entre duas variáveis. Tente justificar a sua resposta.

Espera-se que o aluno registre as relações obtidas nos exemplos trabalhados em aula, como por exemplo o

boleto bancário, cuja lei de formação da função é dada por M(x) = 510 + 0,4x. Para justificar este exemplo, basta que

o aluno registre que o valor da mensalidade (M(x)) depende do número de dias de atraso (x) e que para cada quanti-

dade de dias atrasados existe um único valor de mensalidade associado.

Exercícios Complementares

A seguir, apresentamos alguns exercícios que podem auxiliar você, professor, na fixação das principais noções

ligadas ao conceito de função, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno quanto nas atividades

sugeridas neste material. São elas: variável, dependência, regularidade e generalização.

Esses exercícios foram separados e distribuídos em três seções: exercícios de fixação (1) introdutórios, (2) refe-

rentes à seção 1 e (3) referentes à seção 2 do material do aluno. Cada uma dessas seções são constituídas de exercícios

discursivos e objetivos e estes compõem as três respectivas “Folhas de atividades” – que se encontram disponíveis

para reprodução neste material e também no “pen drive do professor” – que poderão ser aplicadas ao término de

cada seção correspondente do material do aluno.

Logo depois da apresentação dos exercícios, você poderá encontrar suas soluções propostas e organizadas na

seção “Respostas dos exercícios de fixação complementares”.

Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - Introdutórios”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

1. Leia, a seguir, a reportagem da revista eletrônica “Mundo Estranho” (disponível em: http://mundoestranho.abril.com.br/materia/por-que-os-passaros-ao-voar-em-bando-formam-um-v).

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 41

Por que os pássaros, ao voar em bando, formam um V?

Porque, assim, eles poupam energia. A estratégia é inteligentíssima e produz uma economia fundamental para

pássaros migratórios que precisam percorrer distâncias longas. Trata-se de uma questão de aerodinâmica: quando a

ave que encabeça o bando bate as asas, vencendo a resistência do ar, forma-se, atrás dela, um vácuo que ajuda as

outras a planar por mais tempo e com menos esforço. Observando no céu uma formação dessas, você perceberá que

o animal que vai na frente bate as asas muito mais intensamente do que os que vêm atrás. E tem mais: para não cansar

o líder, eles se revezam nessa posição dianteira. Há muito tempo os cientistas suspeitavam que a aerodinâmica bene-

ficiasse a formação em V, mas só conseguiram comprovar esse efeito recentemente, graças a estudos conduzidos pelo

biólogo Henri Weimerskirch no Centro Nacional de Pesquisa Científica de Villiers, na França.

Ele descobriu que o batimento cardíaco de pelicanos voando em V era menor do que quando estavam em

terra. Isso foi possível graças à instalação de pequenos monitores cardíacos nas costas das aves, treinadas para per-

seguir a luz de uma aeronave. O monitoramento mostrou que os pelicanos que seguem o líder economizam até 14%

de energia.

Existem outras formas possíveis de voar, com um consumo de energia mais econômico. Observe a sequência

seguinte, que representa alguns grupos cujo voo aconteceria a partir de uma formação em W.

Cada ponto representa um pássaro do bando em formação. Imaginando manter o mesmo padrão de forma-

ção, apenas acrescentando, a cada passo, o número mínimo de pássaros para aumentar o bando, sem modificar o

padrão de formação, responda as perguntas registrando seu raciocínio:

Quantos pontos terá a 4ª figura desta sequência?

a. E a 5ª?

b. E a 8ª?

c. E a 100ª?

d. Proponha uma lei algébrica que descreva o número de pontos na figura de número n (na número na-tural maior que zero).

42

2. Observe as seguintes sequências e, em seguida, faça o que se pede:

a. 1, 6, 1, 6, 1, 6, 1,... – (1) Determine o próximo termo, (2) encontre o 127º termo e (3) indique se existe alguma fórmula para encontrar um termo de ordem qualquer dessa sequência.

b. , , , , , ... – (1) Indique quais as figuras que representam, respectivamente, os termos 15º, 18º e 20º, e (2) indique quais as possíveis posições que o quadrado pode ocupar.

c. Essa é uma sequência de mosaicos quadrados construída com azulejos quadrados pretos e brancos, todos do mesmo tamanho, como se segue:

(1) Como calcular a quantidade de azulejos brancos e pretos para a figura de ordem n, da sequência? (2) E do

total de azulejos? (3) Escreva uma regra e justifique.

Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - 1: “Conhecendo

uma conta d’água”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

1. Na seção 1, Conhecendo uma conta d’água, são propostas algumas questões (página 71) que tem por objetivo auxiliar na interpretação dos dados presentes no demonstrativo de uma conta de água. Uma vez compreendidos esses dados, como podemos facilitar a identificação um padrão de consumo ao longo dos meses para estabelecer estimativas de gasto futuras? Podemos usar para essa identificação, dois recursos visuais ligados ao conceito de função: uma tabela e um gráfico. Complementando as questões propostas, vamos, então, fazer uso desses recursos para interpretar os dados fornecidos na conta de água apresentada.

a. Complete a tabela de consumo mensal de água da residência do Sr. Pedro.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 43

MêsConsumo de água

(em m3)

b. Com base na tabela construa um gráfico de barras que represente o consumo mensal de água X mês, da residência do Sr. Pedro.

De acordo com a “Tabela de Tarifa” apresentada na página 63, responda as questões de 2 a 4.

2. Considere os dados fornecidos pela “Tabela de Tarifa” (apresentada na página 63, seção 1: Conhecendo uma conta d’água) e responda:

a. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 12 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

b. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada social deve pagar pelo consumo de 12 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

c. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada popular deve pagar pelo consumo de 18 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

d. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão superior deve pagar pelo consumo de 35 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

e. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada popular deve pagar pelo consumo de 35 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

f. Para um valor superior a 30 m3, há diferença no total a pagar por um consumidor cuja residência seja considerada popular e outro cuja residência seja considerada de padrão superior? Justifique.

44

g. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 8 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

h. Qual o valor, em reais por metro cúbico, que um consumidor cuja residência seja considerada padrão deve pagar pelo consumo de 6,5 m3 de água? Qual seria o total a pagar?

i. Para um valor inferior a 10 m3, há diferença no total a pagar entre dois consumidores de um mesmo setor residencial? Justifique.

3. O valor total a ser pago pelo consumo de 20 m3 no setor residencial popular seria de:

(A) R$ 51,80

(B) R$ 70,80

(C) R$76,60

(D) R$ 3, 84

(E) R$ 30,00

4. O valor total a ser pago pelo consumo de 7 m3 no setor residencial popular seria de:

(A) R$ 1,50

(B) R$ 5,39

(C) R$ 7,70

(D) R$ 15,00

(E) R$ 24,78

No quadro abaixo estão os valores das contas de luz e água de uma mesma residência.

Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m³) e de eletri-

cidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já

na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação. Utilize essas informações para responder

às questões de 5 a 7.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 45

5. Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de:

(A) R$ 55,23

(B) R$ 106,46

(C) R$ 802,00

(D) R$ 100,00

(E) R$ 22,90

6. Suponha que dobre o consumo d água. O novo valor da conta será de:

(A) R$ 22,90

(B) R$ 106,46

(C) R$ 43,82

(D) R$ 17,40

(E) R$ 22,52

7. Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o valor da conta de água, de acordo com o consumo, é:

46

Folha de Atividades – “Exercícios de Fixação Complementares - 2: “Noção intuitiva

de função”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome dos Alunos: ____________________________________________________________________

1. Um estudante vai de carro para a escola. Após 5 minutos de percurso, percebe que esqueceu seu material. Ele volta rapidamente para casa, pega seu material e retorna para a escola em alta velocidade. Porém, 5 minutos após ter deixado a sua casa, bate em uma árvore. Esboce um gráfico aproximado que descreva razoavelmente a distância do estudante a sua casa em função do tempo, a partir do momento de sua pri-meira saída até o momento da batida.

2. Um técnico que presta serviços de manutenção de computadores em residências cobra uma taxa fixa de R$35,00 pela visita e R$10,00 por hora trabalhada.

a. Qual é o valor de um serviço iniciado às 15h 45min e concluído às 17h 45min?

b. Quantas horas esse técnico trabalhou, sabendo-se que ele recebeu R$ 75,00 pelo serviço?

c. Escreva uma lei matemática de correspondência que relaciona o valor pago pelo serviço prestado e as horas de trabalho desse técnico.

d. Qual é a variável dependente da lei obtida no item c? E a variável independente?

3. Coloca-se um objeto ao relento em um dia frio no instante t = 0. Com o passar do tempo, a temperatura do objeto diminui. A figura abaixo apresenta o esboço do gráfico cartesiano da função H = f(t) (a temperatura f(t), em graus Celsius, em função do tempo t, em minutos).

a. Explique o que significa f(30) = 10 em termos do tempo e da temperatura do objeto.

b. Explique o significado de a, intersecção com o eixo vertical, e de b, intersecção com o eixo horizontal em termos da temperatura H do objeto e do tempo t transcorrido.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 47

4. Chamamos de função A B→f : (f de A para B) uma relação entre os conjuntos não-vazios A e B que a cada um dos elementos x do conjunto A associa um único elemento y = f(x) do conjunto B. Dessa forma, se a população de uma cidade, (p), em milhões de habitantes, é uma função do número de anos (t) desde 1950, de modo que p = f(t). Explique o significado da afirmação f(35) = 12 em termos da população da cidade.

5. Determine o valor de f(5) para cada uma das funções apresentadas a seguir a partir de suas representações analíticas, gráficas ou tabulares.

a. (, ) 2 5f x x −→ = f :

b. 2( ) 2 3, f x x x=→ − + f : ,

c. 1| , ( ) 2 2 12

x f x x ∈ ≥ → = + +

f : x

d. [ ] [ ]: 0,10 0,6f →

e. { }→f : 1,2,3,4,5,6,7,8

x 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x) 2,3 2,8 3,2 3,7 4,1 5,0 5,6 6,2

6. Dados os conjuntos A e B, verifique se cada situação a seguir representa uma função de A em B.

a. Dois elementos de A estão associados a um mesmo elemento de B.

b. Todos os elementos de A estão associados a elementos distintos de B, exceto um, que está associado a dois elementos de B.

c. Um elemento de A não está associado a nenhum elemento de B.

d. Um elemento de A está associado a mais de um elemento de B.

48

7. Um retângulo tem largura x, comprimento y e área de 24 cm2, como mostrado abaixo.

Determine o que se pede em cada item.

a. A lei de correspondência que expressa o valor do comprimento y em função da largura x.

b. O comprimento y, se a largura desse retângulo for 4,8 cm.

c. As dimensões desse retângulo, se o comprimento for 6 vezes a largura.

8. A relação R = {(–2, –1), (–1, 0), (0, 1)} é uma função. Expresse o seu domínio e o seu conjunto imagem, res-pectivamente.

9. Determinar em cada caso a imagem da função → f : cuja lei de correspondência é ƒ(x) = x2 + 1.

a. ƒ(0)

b. ƒ(1)

c. ƒ( 2 )

d. ƒ(- 4)

e. ƒ(- 1)

f. ƒ(− 2 )

10. Dada a função f: A → R, onde A = {1, 2, 3} e f(x) = x – 1, determine o conjunto imagem de f. 

11. Determinar o valor do domínio da função → f : , cuja lei de correspondência é dada por ƒ(x) = x3 + 4 e a imagem é 12.

12. Dada a função real →f : A , cuja lei de correspondência seja dada por f(x) = 5x + 4, sendo A = {1,2,3,4,5}, faça o que se pede:

a. Construa uma tabela de correspondência entre os valores do domínio e suas respectivas imagens.

b. Apresente o conjunto de todos os pares ordenados pertencentes à função f.

c. Construa um gráfico cartesiano que represente essa função.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 49

13. Escreva em seu caderno a lei de correspondência da função ƒ pedida em cada item.

a. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro.

b. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com sua metade.

c. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu quadrado.

d. Lei da função ƒ que relaciona um número real x com seu dobro adicionado de sua metade.

e. Uma função ƒ que associa cada número real a seu inverso.

14. No instante t = 0 um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura. A função posição que nos fornece a altura h do mergulhador em cada instante é dada por h(t) = - 16t2+ 16t + 32, onde t é dado em segundos. Após quantos segundos o mergulhador atinge a água?

15. O gráfico abaixo indica a variação da inflação no Brasil, medida com o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) em função do tempo.

a. O gráfico representa uma função? Justifique sua resposta.

b. Indique em que ano houve o maior e em que ano houve o menor IPCA registrado, considerando o pe-ríodo representado no gráfico.

c. Represente em seu caderno alguns pares ordenados que pertencem ao gráfico dessa função.

16. Uma pesquisa de opinião foi realizada para avaliar os níveis de audiência de alguns canais de televisão, entre 20h e 21h, durante uma determinada noite. Os resultados obtidos estão representados no gráfico de barras a seguir:

50

O número de residências atingidas nessa pesquisa foi APROXIMADAMENTE de:

(A) 100

(B) 135

(C) 150

(D) 200

(E)220

Respostas dos Exercícios de Fixação Complementares

Introdutórios – Seção “Para início de Conversa”

1.

a. 17 pontos

b. 21 pontos

c. 33 pontos

d. 401 pontos

e. Espera-se que o aluno perceba que a cada passo são acrescidos 4 pontos, assim o número de pontos de uma figura n é dado por: 5 + 4 . (n – 1), ou em sua forma simplificada, 4n + 1. Claro que outras estratégias interessantes podem ser sugeridas pelos alunos e estas devem fazer parte do debate a cerca da questão proposta.

2.

a. (1) 6; (2) 1; (3) Espera-se que os alunos percebam que toda posição de ordem é ímpar na sequência é ocupada pelo número 1 enquanto que toda ordem par é ocupada pelo número 6.

b. (1) , e ; (2) Espera-se que o aluno perceba que o quadradinho ocupa todas as posições anteriores a de uma ordem múltipla de três, ou seja, uma ordem 3n – 1, onde n é natural maior que zero.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 51

c) (1) É esperado que o aluno perceba que o número de quadrados brancos corresponde ao quadrado do nú-

mero da figura correspondente (n2). Já o número de quadrados pretos corresponde ao número da figura multiplicado

por 4 e somado com quatro (4n + 4), dado que cada um dos quatro lados dos quadrados brancos é adjacente.

Seção 1: “Conhecendo uma conta d’água”1. a)

MêsConsumo de água

(em m3)

Agosto 2010 12

Setembro 2010 30

Outubro 2010 29

Novembro 2010 24

Dezembro 2010 28

Janeiro 2011 29

b)

Consumo de água (em m3)

0

5

10

15

20

25

30

35

ago/10 set/10 out/10 nov/10 dez/10 jan/11

Mês

m3

2.

a. 1,93; R$ 23,16

b. 0,77; R$ 9,24

c. 3,54; R$ 63,72

d. 4,27; R$ 149,45

e. 4,27; R$ 149,45

52

f. Não, pois o valor cobrado, em reais por metro cúbico, para os dois setores residenciais nesta faixa de consumo é o mesmo.

g. 1,93; R$ 19,30

h. 1,93; R$ 19,30

i. Não, pois o consumo mínimo faturado é de 10 m3 para os dois consumidores independentemente de quanto consumiram de fato.

3. Letra B

4. Letra D

5. Letra B

6. Letra C

7. Letra A

Seção 2: Noção intuitiva de função

1. Espera-se que o aluno seja capaz de perceber que a medida que o estudante se afasta de casa o gráfico deve crescer e, a medida que se aproxima de casa, o gráfico deve decrescer. Também deve notar que quan-do o estudante se encontra em casa, o gráfico deve encontrar o eixo do tempo (no caso, horizontal).

2.

a. R$ 55,00

b. 4 horas

c. V = 35 + 10t

d. Variável dependente: V Variável independente: t

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 53

3.

a. Significa que o objeto atingiu uma temperatura de 10°C após terem sido transcorridos 30 minutos.

b. O valor a, intersecção com o eixo vertical, representa a temperatura do objeto no início da observação, ou seja, no tempo igual a zero. Já o valor b, intersecção com o eixo horizontal, representa o tempo para que o objeto atingisse temperatura igual a 0°C.

4. Significa que a população atingiu o número de 12 milhões de habitantes após terem sido transcorridos 35 anos desde 1950.

5.

a. f(5) = 5

b. f(5) = 18

c. f(5) = 5

d. f(5) = 3

e. f(5) = 4,1

6.

a. Sim

b. Sim

c. Não

d. Não

7.

a. 24

y =x

b. 5 cm

c. comprimento: y = 12 e largura: x = 2

8.

Df = {-2, -1, 0}; Imf = {-1, 0, 1}

9.

a. f(0) = 1

b. f(1) = 2 f( 2 ) = 3

c. f(-4) = 17

d. f(-1) = 2

e. f(− 2 ) = 3

54

10.

Imf = {0, 1, 2}

11.

3

12.

a.

x f(x)

1 9

2 14

3 19

4 24

5 29

b. {(1,9); (2,14); (3,19); (4,24); (5,29)}

c.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 55

13.

a. f(x) = 2x

b. f(x) = x2

c. f(x) = x2

d. f(x) = 2x + x2

e. f(x) = 1x

14.

2 segundos.

15.

a. Sim, pois para cada elemento do domínio existe uma e só uma imagem.

b. Maior IPCA em 2002 e o menor em 2006.

c. O aluno deve apontar alguns dos pontos a seguir: (1999; 8,94), (2000; 5,97), (2001; 7,67), (2002; 12,53), (2003; 9,3), (2004; 7,6), (2005; 5,69), (2006; 3,14), (2007; 4,46).

16.

Letra D.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 57

Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 7

Áreas de figuras planasAna Lisa, Cleber, Francilene, Heitor, Patrícia e Telma

IntroduçãoNa unidade 7 do material do aluno são apresentadas diversas situações e

atividades que abordam o cálculo de área de figuras planas.

Para auxiliá-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos

que podem complementar a exposição deste tema em suas aulas. Uma descri-

ção destas sugestões está colocada na tabela a seguir , e seu detalhamento no

texto que segue.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma ativi-

dade disparadora. É uma atividade cujo intuito, além de iniciar a exposição do

tema, é promover uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se

que eles comecem a se familiarizar com as possíveis unidades de medida de

área, além do desenvolvimento de estratégias de utilização para o cálculo das

áreas de diversas regiões.

Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais recur-

sos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste ma-

terial. Sugerimos a sua realização nas aulas subsequentes à aula inicial de acordo

com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas as alterações e

adaptações sempre que achar necessário.

Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em

dois momentos. O primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado

durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada

de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de

avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento

da mera reprodução de exercícios feitos anteriormente.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

58

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemática 2 1 7 6 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Áreas de figuras planas Área

Objetivos da unidade

Identificar expressões utilizadas para indicar a área de figuras planas;

Deduzir e utilizar fórmulas para calcular áreas de superfícies planas e aplicá-las na resolução de problemas.

SeçõesPáginas no material do

aluno

Para início de conversa... 151 e 152

Seção 1 – Reconhecendo a área 153 a 156

Seção 2 – Outros tipos de área 157 a 163

Voltando a conversa inicial... 164 a 165

Veja ainda 166 a 168

O que perguntam por aí? 169 a 171

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 59

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

60

Seção – Para início de conversa...Páginas no material do aluno

151 a 152

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Ilusão de ótica –

Nessa atividade, o aluno será

estimulado a se concentrar

na percepção da unidade de

referência como elemento

determinante no cálculo e na

comparação de duas áreas.

Turma dispos-

ta em duplas.30 minutos

Quebra-

cabeça–

Nessa atividade, os alunos

serão desafiados a montar

um quebra-cabeça e a com-

parar as áreas das figuras

construídas.

Turma dividida

em grupos

de quatro

pessoas.

20 minutos

Experimentan-

do as relações

entre grande-

zas e medidas

Textos im-pressos sobre grandezas e

medidas

Fita métrica

Metro de pedreiro

Balança de cozinha

Pacote de um quilo

de feijão(ou qualquer

outro tipo de alimento)

Copos descar-táveis(200 ml), garrafa pet de 2 litros, garra-fas descartá-veis de 1 litro,

500 ml, etc.

Essa atividade tem o obje-

tivo de trazer à discussão o

uso de diferentes medidas

e grandezas. Através de al-

guns pesos e comparações

realizadas pelos alunos,

são apresentadas diver-

sas medidas e grandezas.

Depois dessa comparação,

os alunos lerão um texto

com algumas explanações

sobre grandezas e medidas.

Por fim, realizará algumas

atividades para fazer a

comparação de áreas com

medidas diferentes.

Pedir aos

alunos para

colocarem as

cadeiras em

forma de círcu-

lo, colocando

uma mesa no

centro com os

materiais des-

critos acima.

20 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 61

Seção – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno

153 a 156

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Multidões –

Nessa atividade o aluno será

estimulado a utilizar uma

unidade de referência (o me-

tro quadrado) para estimar

a quantidade de pessoas

presentes em um evento

assistido por uma multidão.

Turma dis-

posta em

grupos de três

pessoas.

30 minutos

Construindo

uma caixa–

Abrindo uma caixa de sapa-

to sem tampa o professor irá

propor aos alunos a cons-

trução de uma nova caixa.

Depois da construção, o pro-

fessor irá propor diferentes

recortes para obter novos

valores para a área da caixa.

A divisão da

turma pode

ser feita em

duplas.

30 minutos

Seção – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno

157 a 163

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Reorganizando –

Nessa atividade, o aluno

será induzido à dedução das

fórmulas para cálculo da

área do triângulo, losango

e trapézio, reorganizando

essas figuras até obter um

retângulo de área equiva-

lente.

Turma dispos-

ta em grupos

com três

pessoas.

25 minutos

62

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Construindo

um telhado

colonial e

calculando os

gastos

Através de um problema

proposto pelo professor os

alunos irão calcular os gas-

tos e quantidade de telhas

para a construção de um

telhado colonial.

Individual ou

a cargo do

professor

30 minutos

Cálculo da

área de triân-

gulo utilizando

o Tangram

Nessa atividade o aluno será

incentivado a utilizar um

Tangram construído e ob-

servar através de um vídeo

as figuras geométricas que

ele possui. O vídeo também

mostrará as razões e propor-

ções entre as formas geomé-

tricas apresentadas. Após a

exibição do vídeo o aluno

irá realizar cálculos das áreas

dos triângulos utilizando as

proporções entre eles.

A divisão pode

ser em duplas

ou trios.

25 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 63

Voltando à conversa inicial...Páginas no material do aluno

164 a 165

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Reformando

uma sala de

aula

Através da escolha de uma

sala de aula qualquer, que

tenha formato retangular

ou quadrado o professor irá

propor aos alunos o cálculo

da quantidade necessária

de piso para a reforma da

sala. Esse tipo de atividade

poderá ser utilizado para

relembrar o processo de

conversão de medidas linea-

res e de superfície.

A turma pode

ser dividida

em duplas.

50 minutos

Medindo áreas –

Nessa atividade, deseja-

-se fazer com que o aluno

compreenda que medir

envolve a comparação entre

duas grandezas da mesma

natureza e a verificação de

quantas vezes uma grande-

za tomada como unidade de

medida cabe na outra. Em

seguida, o professor irá

levantar a questão das me-

didas agrárias comparando

os alqueires nos diversos

estados brasileiros. Depois

da comparação dos alquei-

res serão propostas diversas

questões que estão relacio-

nadas ao cálculo de áreas

utilizando essas medidas

agrárias.

Grupos de 4

ou 5 alunos.30 minutos

64

Seção – Veja ainda... Páginas no material do aluno

166 a 168

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Horário de

Verão

Nessa atividade, os alunos

vão analisar uma explicação

para o uso do horário de

verão em termos do con-

sumo de energia elétrica,

fazendo uma analogia com

triângulos de bases e alturas

inversamente proporcionais,

mas com a mesma área. Isto

é, mesmo que o consumo

total (correspondendo à

área) for igual, o horário de

verão distribui (aumenta a

base) o consumo e diminui

o pico (a altura) de uso da

energia elétrica.

A turma pode-

rá ser dividida

em trios ou

quartetos.

30 minutos

A lenda de

Dido

Nessa atividade, os alunos

vão assistir a um vídeo A

Lenda de Dido sobre a fazen-

deira Elisa. Ela comprou tela

para fazer um cercado para

as suas ovelhas e está ten-

tando determinar o formato

para o cercado que permita

acomodar o maior número

de ovelhas em seu interior.

A turma pode-

rá ser dividida

em grupos de

três pessoas.

35 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 65

Seção – Consolidação e Avaliação

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Registros de

aprendizagens

Esta etapa é articulada à

seção “Momento de refle-

xão” disponível na p. 92 do

material do aluno. Nesta

atividade, indicamos que

seja proposto ao aluno que

registre numa folha de papel

as aprendizagens matemáti-

cas adquiridas com o estudo

desta unidade. Para nortear

esta avaliação, são apresen-

tadas algumas questões

para os alunos. A intenção

é estabelecer relações entre

conteúdos do capítulo e

conteúdos já conhecidos

pelo aluno.

Individual-

mente30 minutos

Questão

Objetiva

Sugerimos nesta etapa,

a escolha de questões

objetivas que contemplem

uma habilidade pretendida

nesta unidade para compor

o instrumento avaliativo. Se

desejar, você pode escolher,

a seu critério, uma das ques-

tões propostas na seção “O

que perguntam por aí?”

disponível no material do

aluno. A ideia é que o aluno

se familiarize com questões

cobradas em avaliações de

larga escala, como ENEM,

vestibulares, concursos, etc.

Individual-

mente20 minutos

66

Descrevemos a seguir situações motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discussão co-

letiva e se familiarizem com o conteúdo matemático a ser trabalhado de forma empírica e com atividades de fácil

compreensão antes da formalização. Sugerimos que você escolha a que seja mais adequada à sua realidade. Ou, se

preferir, utilize uma atividade própria.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Ilusão de ótica

cópias do texto

do problema

proposto; kits1

para realização

das atividades

de “ilusão de

ótica”.

Nessa atividade, o aluno será

estimulado a se concentrar

na percepção da unidade de

referência como elemento

determinante no cálculo e na

comparação de duas áreas.

Turma dispos-

ta em duplas30 minutos

Aspectos operacionais

1. Leitura em duplas do problema abaixo2:

� Análise do problema, descrito a seguir, feita em duplas:

Observem as duas salas. Qual delas é mais espaçosa? Em qual delas cabe mais gente, ou cabem mais cadeiras?

1 Cada kit é produzido pelo professor e é composto de uma folha de papel colorset preta, 2 círculos de papel colorset vermelho (de raio 2 cm); 6 círculos de papel colorset branco (de raio 1 cm) e 6 círculos de papel colorset branco (de raio 3 cm)

2 Fonte usada para texto e imagens: http://tvescola.mec.gov.br/images/stories/publicacoes/cadernos_tv_escola/mate-matica1.pdf

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 67

Divida a discussão em duas etapas.

� Informe aos alunos que nas duas salas, os ladrilhos são iguais.

� Dê alguns minutos para que cada dupla analise o problema proposto. Em seguida, discuta as propostas

apresentadas pelas duplas. Registre algumas propostas e aproveite a análise de cada uma delas (corretas

ou não) para explorar e aprofundar o conteúdo da unidade. Por exemplo, olhar para as paredes e simples-

mente dizer que são maiores na segunda sala é uma afirmação verdadeira? Ou contar os pisos em cada

uma das salas pode ajudar em algo?

Uma solução:

Após saber que os ladrilhos são iguais, podemos contar quantos ladrilhos há em cada sala. Na da esquerda,

há duas fileiras com cinco ladrilhos. Logo, para recobrir todo o piso foram necessários, 10 (=2 × 5) ladrilhos cada. Na

sala da direita, há três fileiras com três ladrilhos cada. Logo, para recobrir todo o piso foram necessários, 9 (= 3 × 3)

ladrilhos. Consequentemente, a sala da esquerda (que exigiu mais ladrilhos) é a mais espaçosa.

2. Análise dos Círculos3

� Usando papel colorset branco, preto e vermelho, cole no quadro uma reprodução da figura abaixo.

� Discuta com os alunos se os círculos vermelhos têm ou não área de mesma medida.

� Distribua entre as duplas: fita dupla face; uma folha A4 preta; 2 círculos vermelhos (de raio 2 cm); 6 círculos

brancos (de raio 1 cm) e 6 círculos brancos (de raio 3 cm).

3 Fonte: ILUSÕES VISUAIS: UMA RECONSTRUÇÃONA CONSTRUÇÃO DA GEOMETRIA (MC18499600115T.doc)

68

� Peça aos alunos que utilizem a fita dupla face e reproduzam a figura afixada no quadro:

� Rediscuta com eles a relação entre as áreas dos círculos vermelhos.

� Proponha que eles sobreponham os círculos vermelhos para efetuar a comparação de suas áreas.

Uma explicação:

Nossa percepção das figuras é resultado de uma sensação global, as partes são inseparáveis do todo. Assim

como os círculos brancos do primeiro conjunto têm área maior que a do círculo central, enquanto no outro conjunto

a situação é inversa, acabam por promover a ilusão de que os círculos centrais têm áreas inversamente proporcionais

à dos círculos à sua volta.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 69

Aspectos pedagógicos

� É provável que algum aluno pergunte o que é “ilusão de ótica”.

Você pode discutir com eles antes de apresentar o problema proposto. Se achar conveniente, use o texto sobre

este assunto localizado neste link: http://minilua.com/que-temos-ilusao-otica/

� Inicialmente, devido à ilusão de ótica, é provável que os alunos respondam que os círculos vermelhos no

centro não têm o mesmo tamanhos. Você pode sugerir que eles superponham os círculos vermelhos para

efetuar a comparação de suas áreas.

� Antes de apresentar uma razão para o efeito visual provocado pelos dois arranjos de círculos, instigue os

alunos a identificarem o tamanho dos círculos brancos como a diferença entre os dois arranjos de círculos

e a tentarem criar possíveis explicações para a ilusão de ótica criada.

ATIVIDADE INICIAL – Opção 2

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Quebra-

cabeça4

Quebra-cabe-

ça produzido

pelo professor

a partir da

reprodução

do modelo

apresentado

na próxima

página.

Nessa atividade, os alunos

serão desafiados a montar

um quebra-cabeça e a com-

parar as áreas das figuras

construídas.

Turma dividida

em quartetos,

propician-

do trabalho

organizado e

colaborativo.

20 minutos

Modelo para produção do quebra-cabeça

� Para produzir as peças do quebra-cabeça, consideramos um quadrado ABCD de

lado 20 cm. Os pontos M e N são pontos médios.

� Para produzir os quebra-cabeças, faça cópias do modelo abaixo e recorte nas

linhas pontilhadas.

4 Fonte do problema e das figuras: http://www.revista.vestibular.uerj.br/questao/por-nivel-imprimir.php?nivel=dificil.

70

Aspectos operacionais

� Distribua um conjunto de peças do quebra-cabeça para cada grupo.

� Instrua alguns grupos a tentar montar um quadrado com as peças e

� Instrua os grupos restantes a tentar montar um retângulo com as peças.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 71

� Tão logo, sejam montados os quadrados e os retângulos, interrompa as atividades dos grupos e reproduza

no quadro as soluções propostas (você pode colar com durex as peças no quadro).

� Discuta com os alunos se as duas figuras têm a mesma área e solicite justificativas.

Uma solução:

Na descrição de construção do quebra-cabeça, há uma solução para obter o quadrado. Na figura a seguir apa-

rece uma disposição das peças que resulta em um retângulo:

Aspectos pedagógicos

� É possível que os alunos não consigam estabelecer uma conexão entre as áreas do quadrado e do retângu-

lo construídos com as peças dos quebra-cabeças por estarem mais atentos ao fato de se tratarem de figuras

diferentes. Estimule-os a deixarem de lado a visão global e a tentarem estabelecer uma relação entre as

partes que compõem cada uma das figuras.

� Durante a discussão sobre as áreas das duas figuras, explore o fato de todas as peças serem diferentes e

estimule os alunos a estabelecerem uma correspondência um-a-um entre as peças para justificar o fato

das áreas serem iguais. Isto é, observe que no quadrado há um paralelogramo igual ao que também está

presente no quadrado e assim por diante.

72

ATIVIDADE INICIAL – Opção 3

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Experimentan-

do as relações

entre grande-

zas e medidas

Cópias do

texto Grande-

zas e medidas

(disponível na

Seção Aspec-

tos opera-

cionais); fita

métrica; metro

de pedreiro;

balança de co-

zinha; pacote

de um quilo de

feijão (ou qual-

quer outro tipo

de alimento);

copos descar-

táveis (200 ml);

garrafa pet de

2 litros; garra-

fas descartá-

veis de 1 litro,

500 ml,

etc.

Essa atividade tem o ob-

jetivo de expor diferentes

grandezas de medidas. Em

seguida, os alunos lerão um

texto com algumas expla-

nações sobre grandezas e

medidas com o objetivo de

realizarem algumas ativida-

des para fazer a compara-

ção de áreas com medidas

diferentes.

Pedir aos

alunos para

colocarem as

cadeiras em

forma de círcu-

lo, colocando

uma mesa no

centro com os

materiais des-

critos acima.

30 minutos

Aspectos operacionais

� Inicie o estudo da relação das unidades de medida com as grandezas (comprimento, capacidade e área da

superfície) propondo algumas perguntas que estabeleçam equivalências. Veja os exemplos a seguir:

- “Tenho duas ripas de madeira, uma mede 126 centímetros e outra mede 1 metro e 20 centímetros. Qual é a

mais comprida?”

- “Em um copo cabe mais ou menos que meio litro de água? Qual a relação de 200 mililitros com um copo?”

- A área de uma sala A mede 96 cm2 e a área da sala B mede 1,12 cm2. Qual das salas é a maior?

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 73

- “Um quadro mede 2 metros e 45 centímetros. Qual(is) das seguintes escritas representa(m) o comprimento

dele: 245 centímetros, 2,45 metros, 24,5 metros ou 245 metros?”

- “Se uma pessoa caminha meio quilômetro para chegar à escola. Quantos metros ele percorre nesse trajeto?”

Depois de respondidas as perguntas, distribua o texto abaixo para que os alunos leiam.

Grandezas e medidas

No mundo atual as pessoas necessitam saber qual a temperatura de uma cidade, quantos litros de suco têm

em uma garrafa ou até mesmo qual o peso delas próprias. Devido a isso existem as unidades de medida.

Quantas vezes no dia-a-dia precisamos medir alguma coisa. Durante o nascimento de uma criança é necessá-

rio realizar medições, pois, existem medidas que são padrão de pessoas normais. Numa viagem, por exemplo, antes

de pegar a estrada é necessário saber qual a distância de uma cidade para outra. Essa medida da distância ajuda a

calcular quantos litros de combustível serão necessários para abastecer o carro. Também é importante saber a tem-

peratura da cidade para onde está indo viajar, assim, você levará roupas adequadas para o tipo de temperatura da

cidade. Imagina levar uma mala inteira com shorts, camisetas, chinelos e chegar na cidade com temperatura fria?

Todos esses são exemplos de relação entre grandezas e medidas.

Mas afinal, qual o conceito de grandeza? É o nome dado a algo que pode ser medido. Alguns exemplos de

grandeza são: comprimento, massa, temperatura, que medem respectivamente, altura, peso, clima (quente ou frio).

As grandezas podem ser representadas por números e cada uma tem uma unidade de medida, que por sua

vez tem um símbolo correspondente, como o quilo (kg), o litro (l) e o metro (m). Que tal conhecer as grandezas e as

unidades de medida mais utilizadas no dia-a-dia e os instrumentos apropriados para medi-las?

Capacidade

Nessa grandeza, medimos quanto cabe em determinado recipiente, como por

exemplo: uma garrafa, um balde, uma piscina, uma caixa d’água, etc. A unidade de

medida de capacidade é o litro.

Massa

O instrumento de medida de massa ou peso é a balança. As unidades de medi-

da é o grama(g), mas utilizamos bastante o quilograma (kg) e a tonelada (t). Quando

subimos na balança, o valor obtido representa a quantidade de massa do seu corpo.

Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1262339

Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/875413

74

Comprimento

Mede alturas e distâncias de ruas, casas, cidades. A unidade de medida de

comprimento é o metro(m), mas utilizamos bastante o centímetro (cm), o milímetro

e o quilometro(km). O quilometro é usado para medir grandes distâncias, como es-

tradas. Os principais instrumentos de medida de comprimento são a régua, a trena

e a fita métrica.

Medidas de Superfície

Medidas utilizadas em situações relacionadas à compra de um terreno, aqui-

sição de casas, pintura de paredes, ladrilhamento de pisos, entre outras situações.

Também é utilizada para saber qual a quantidade de piso ou revestimento de parede

para se colocar em um cômodo, ou para sabermos a superfície de um município.

A unidade padrão das medidas de superfície é o metro quadrado m2. Em algu-

mas ocasiões, outras unidades de medidas como o km² são utilizadas, por exemplo,

na medição da área de uma reserva florestal.

Depois da leitura do texto, proponha as seguintes atividades:

1. Uma parede tem 3 metros de comprimento por 4 metros de altura, formando assim uma área de 12 m2. Outra parede mede 30 cm de comprimento por 40 cm de altura, formando assim a área de 1200 cm2. Utili-zando o metro de pedreiro compare as medidas e verifique qual parede tem área maior.

2. O tampo de uma mesa tem uma área que mede 120 cm2. Sabendo que a medida da área de outro tampo de mesa mede 2 m2. Qual tampo tem maior área?

3. Márcia comprou um piso para reformar sua casa. Esse piso tem as dimensões 15 cm de largura por 20 cm de comprimento, totalizando uma área de 300 cm2. Já Augusta, sugeriu que Márcia comprasse um piso com dimensões 1 m por 0,5 m, totalizando uma área de 0,5 m2. Qual dos pisos Márcia gastará mais quantidade.

Peça a dois alunos que preencham a tabela abaixo no quadro:

Metros 1 30

Centímetros 5000

litros 1 20

ml 250

Quilogramas 1 75

Miligramas 500

Metro quadrado 1 0,25

Centímetro quadrado 50

Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1192445

Fonte: http://www.sxc.hu/pho-to/1413427

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 75

Aspectos pedagógicos

� O início da atividade é para que os alunos sugiram medidas para certas quantidades de alimentos, entre

outros.

� O professor pode dispor os alunos em duplas durante a leitura dos textos.

� O preenchimento do quadro pode ser feito por um aluno na lousa do professor juntamente com a ajuda

dos colegas.

É esperado que o aluno seja capaz de estabelecer a relação entre alguma (s) das unidades de medidas das

grandezas apresentadas na atividade; há expectativa de que sejam apresentados questionamentos sobre a relação

nas unidades de medidas de superfície comparando-as com as relações existentes entre as unidades de medidas

lineares (ou de comprimento).

SEÇÃO 1 – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno

153 a 156

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Multidões

trena, calcula-

doras, cópias

do texto sobre

estimativas

de público

presente, fita

crepe.

Nessa atividade o aluno será

estimulado a utilizar uma

unidade de referência (o me-

tro quadrado) para estimar

a quantidade de pessoas

presentes em um evento

assistido por uma multidão.

Turma dispos-

ta em trios.30 minutos

Professor, após a aplicação de uma das atividades iniciais e durante o desenvolvimento do conteúdo desta

unidade você pode explorar as atividades sobre área de figuras planas que descrevemos nesta seção. Utilize-as de

acordo com a sua necessidade.

Nessa seção, procuramos: apresentar atividades em que seja necessário comparar as áreas de regiões planas,

sem necessariamente utilizar fórmulas; construir objetos a partir de informações a área de sua superfície; perceber

que a medição de figuras planas é a comparação da região observada com uma unidade de medida. Todas as ati-

vidades estão concatenadas com as habilidades que se relacionam com o conteúdo que será abordado, utilizando

recursos tecnológicos ou não.

Aspectos operacionais

76

Discussão inicial

Pergunte aos alunos se eles já estiveram presentes em grandes eventos como comícios, réveillon em Copaca-

bana, etc. Pergunte quantas pessoas eles acham que estiveram presentes e como essa informação é obtida. Proble-

matize brevemente com os alunos ideias e maneiras de calcular o número de pessoas presentes em grandes eventos.

Em seguida, entregue o texto abaixo para os trios para leitura e resolução das atividades propostas.

Leitura em trios do texto5:

Início do texto

Quantas pessoas foram à praia de Copacabana para ver os fogos na passagem de ano? Quantas pessoas esta-

vam nos comícios da campanha Diretas Já?

Quando um evento reúne uma multidão e não há controle de bilheteria ou de portaria, no dia seguinte apare-

cem as notícias nos jornais com o número de pessoas presentes no evento. Entretanto, sempre existem várias versões

contraditórias. Existe o número dos organizadores, da polícia, da prefeitura. E eles nunca batem...

Mas como eles chegam nesses números? Como saber se havia dois ou três milhões de pessoas? Afinal, como

se contam multidões?

Primeiramente, não se conta. O que é feito por qualquer uma das partes é dar um “chute”. Os estatísticos, mate-

máticos e geógrafos não gostam desta palavra. Eles preferem estimativa ao invés de chute. Para eles chute é coisa de

estudante. Na verdade a estimativa nada mais é do que um chute baseado em algum dado concreto.

E aqui começa a resposta. O único dado concreto nesses eventos é a área disponível para ser ocupada pelo pú-

blico. Seja numa avenida, parque ou praia é sabido de antemão a área que ela ocupa. Então o que é feito é dividir esta

área enorme em pequenos quadrados imaginários de um metro quadrado cada e contar quantas pessoas tinham em

um único quadrado imaginário. Basta enfim multiplicar pelo número de quadrados que existem na área total.

Vejamos um exemplo:

No dia 01/01/2013, foi manchete na imprensa carioca6:

Queima de fogos leva mais de 2 milhões às areias de Copacabana

5 As fontes para o texto e figuras foram: http://ghiorzi.org/aglom.htm, http://www.eduexplica.com/2009/12/como-se--calcula-multidoes-em-um-evento.html, http://www0.rio.rj.gov.br/defesacivil/IT 20CEPD 20001.pdf.

6 http://noticias.terra.com.br/brasil/cidades/queima-de-fogos-leva-mais-de-2-milhoes-as-areias-de-copacabana,b7482050334fb310VgnVCM5000009ccceb0aRCRD.html

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 77

A região destinada ao público para assistir a queima de fogos está indicada na figura abaixo:

No mapa abaixo, selecionamos o trecho da Av. Atlântica e da faixa de areia compreendidos entre a Av. Princesa

Isabel e a Rua Francisco Otaviano.

78

A medida da área dessa região é aproximadamente igual a 553.000m2

Isto é, para cobrir a região indicada com placas quadradas de lado igual a ,

seriam necessárias quinhentas e cinquenta e três mil placas.

Sabendo disso, vamos agora pensar em quantas pessoas cabem em cada

uma dessas placas.

Normalmente, em cada uma dessas placas, vamos encontrar cerca de quatro

pessoas como indicado na figura ao lado.

Note que não há espaço que permita a passagem de pessoas, mas é possível

ver algumas áreas vazias.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 79

Se imaginarmos que em todas as placas as pessoas estavam aglomeradas dessa maneira, para estimar quantas

pessoas presentes, basta multiplicar a quantidade de pessoas por placa pela quantidade de placas necessária para

cobrir o espaço disponível na areia e na Av. Atlântica:

número de pessoas por placa × no de placas.

1. De acordo com essas informações, você acha que a manchete exagerou ou deu uma informação razoável sobre o número de presentes?

2. Imagine que a sala de aula corresponde a um trecho da faixa de areia. Quantas pessoas caberiam nessa sala. Sem usar a trena ou sua calculadora. (Considere que na sala não há mesas, carteiras, ...)

Discussão após o texto:

Após a leitura do texto, use a fita crepe e a trena para construir no chão um quadrado com . Convide os alunos

a vivenciar várias “densidades”: 2 pessoas no quadrado, 4 pessoas no quadrado, 8 pessoas no quadrado, etc. Peça para

eles relacionarem cada uma dessas possibilidades com situações reais: ônibus vazio/lotado, trens, filas, etc.

Uma solução:

� Distribua as calculadoras para resolução do primeiro problema:

quantas pessoas por placa no de placas

4 2.212.000

A estimativa de mais de dois milhões de pessoas apresentada na manchete é razoável.

� No segundo problema, será necessário conhecer a área da sala. A sala deve ser medida com a trena. Nesse

caso, o número de pessoas na sala será:

Aspectos pedagógicos

� Acompanhe os trios e verifique se não haverá confusão entre 553.000 (quinhentos e cinquenta e três mil) e

553. É possível também que os alunos encontrem dificuldades em “ler” o valor total encontrado 2.212.000

(dois milhões e duzentos e doze mil)

� Enquanto os trios estiverem lendo o texto e resolvendo os problemas, você pode circular entre elas para

auxiliar em possíveis dificuldades de compreensão do texto ou de manipulação da calculadora.

� Na resolução do segundo problema, caso nenhum trio sinta necessidade de conhecer a área da sala, pro-

blematize com eles quais os dados necessários e como podem ser obtidos.

� Caso haja interesse e receptividade dos alunos, o professor pode usar a ferramenta http://www.freemapto-

ols.com/area-calculator.htm para selecionar áreas no mapa e determinar sua área.

80

SEÇÃO 1 – Reconhecendo a áreaPáginas no material do aluno

153 a 156

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Construindo

uma caixa

Régua, te-

soura, papel

quadriculado

de 1 cm de

lado e 1 caixa

de sapatos

sem tampa

A divisão da

turma pode

ser feita em

duplas, mas,

também, pode

ficar a cargo

do professor.

30 minutos

Aspectos operacionais

Desmontando a caixa de sapato

Nessa atividade o professor irá propor aos alunos que construam uma caixa cuja base retangular tenha medida

área igual a um valor previamente fixado.. Porém, antes dos alunos começarem a confeccionar a caixa, o professor

deverá introduzir a aula trazendo uma caixa de sapato para abrir na frente dos alunos. Dessa forma, eles terão uma

ideia de qual formato tem uma caixa de sapato antes de ser dobrada.

Quando aberta a caixa terá o seguinte formato:

Construção da caixa pelos alunos

O professor pode orientar os alunos durante a construção da caixa seguindo os passos abaixo:

1. Recorte o papel quadriculado no formato de um retângulo com 30 cm de largura por 50 cm de comprimento.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 81

2. Proponha aos alunos que cortem quadrados com medidas de lado de 10 cm nos quatro cantos do retân-gulo, conforme figura abaixo:

3. Agora peça aos alunos que calculem a área total da nova figura retirando os quatro quadrados cuja medida da área de cada um é 10 m2. E anotem no caderno o valor da área.

Solução:

ÁREA DO RETÂNGULO INICIAL = 30 × 50 = 1500 cm2

ÁREA DE DE UM QUADRADO DE 10 cm = 100 cm2

4 QUADRADOS DE 100 cm2 = 4 × 100 = 400 cm2

ÁREA TOTAL DA CAIXA = 1500 – 400 = 1100 cm2

4. Construa uma tabela para que os alunos possam completar e calcular a área com cortes de diferentes tama-nhos de quadrados. Mas, não é necessário que eles cortem mais quadrados utilizando o papel cartão. Peça a eles que imaginem, anotem e façam os cálculos.

Nessa etapa o professor pode sugerir algumas áreas dos quadrados menores para que os alunos realizem o

cálculo das áreas finais:

Medida do lado dos quadrados laterais

Área de cada quadrado lateral

Soma das áreas dos 4 quadrados

Área final da caixa = AREA TOTAL – AREA DOS QUADRADOS

10 cm 100 cm2 4*100= 400 cm2 1500-400= 1100 cm2

11 cm 121 cm2 4*121= 484 cm2 1500-484= 1016 cm2

12 cm 144 cm2 4*144= 576 cm2 1500-576= 924 cm2

13 cm 169 cm2 4*169= 676 cm2 1500-676= 824 cm2

13,5 cm 182,25 cm2 4*182,25= 729 cm2 1500-729= 771 cm2

14 cm 196 cm2 4*196= 784 cm2 1500-784= 716 cm2

14,2 cm 201,64 cm2 4*201,64=806,56 cm2 1500-806,56=693,44 cm2

15 cm 225 cm2 4*225=900 cm2 1500-900= 600 cm2

82

5. Depois da construção dessa tabela o professor pode fazer algumas perguntas aos alunos. Veja as sugestões abaixo.

� Qual deve ser o maior tamanho dos quadrados laterais para que a caixa sem tampa tenha uma base retan-

gular e a área dessa base meça 300 cm2?

Solução:

Teríamos algumas opções para esse caso:

Quadrados com 14 cm de lado:

ÁREA = 2 x 22 = 66 cm2

Quadrados com 13 cm de lado:

ÁREA = 4 x 24 = 96 cm2

Quadrados com 12 cm de lado:

ÁREA = 6 x 26 = 156 cm2

Quadrados com 11 cm de lado:

ÁREA = 8 x 28 = 224 cm2

Quadrados com 10 cm de lado:

ÁREA = 10 x 30 = 300 cm2

Logo: a maior medida para o lado dos quadrados laterais nas condições exigidas na questão deve ser: 10 cm.

� Qual a diferença entre o quadrado e o retângulo?

O quadrado possui 4 lados iguais e 4 ângulos iguais enquanto, o retângulo possui os lados opostos iguais e 4

ângulos iguais.

� É possível, com o material apresentado, produzir uma caixa com altura de 15 cm?

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 83

Não. Pois, assim não sobraria papel para fazer a base da caixa.

Observe que se tivessem 4 quadrados com medidas de 15 cm de lado cada um, então a área de cada quadra-

do seria 15 x 15 = 225 cm2, como são 4 quadrados a área dos quadrados a serem recortados seria 4 * 225 = 900 cm2.

Observe que apesar de ainda sobrar papel, o formato da caixa depois dos recortes dos quadrados fica diferente do

formato da caixa inicial. Devido ao exposto não conseguiríamos montar a caixa com o papel restante.

Aspectos pedagógicos

� É possível que os alunos não percebam que a montagem da caixa exige sejam retirados dos quatro cantos:

� Quadrados

� Quarados iguais

No primeiro caso, se este tipo de dúvida surgir, sugira que eles experimentem recortar dos cantos outras fi-

guras planas (que não sejam quadrados) e tentem montar a caixa. No segundo caso, sugira que eles experimentem

recortar dos cantos quadrados diferentes e tentem montar a caixa.

� Explore a caixa planificada para reforçar a necessidade de que sejam cortados dos quatro cantos do retângulo 4 quadrados iguais.

É possível que os alunos compreendam não ser possível construir uma caixa de altura 15 cm a partir do retân-

gulo de 30 × 50 sem, no entanto, perceber que na verdade não é possível construir uma caixa de altura maior ou igual

a 15 cm a partir do retângulo de 30 × 50. Problematize essa questão com os alunos. Estimule-os a propor soluções

para que caixas de altura maior ou igual a 15 cm sejam construídas.

Seção 2Outros tipos de área

Nesta seção, apresentamos atividades que envolvem o cálculo ou comparação de área de figuras planas dife-

rentes do retângulo (triângulo, losango, trapézio, entre outros). Dessa maneira, a atividade “Reorganizando” cumpre

um papel importantíssimo, pois proporciona ao aluno a dedução das fórmulas da área de figuras planas, que comu-

84

mente são decoradas. O intuito nessa atividade é a de mostrar para os alunos a origem das expressões que represen-

tam a área. Nas atividades seguintes, propomos atividades que representem situações vivenciadas no cotidiano e/ou

que colaborem para a percepção da conservação de área.

SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno

157 a 163

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Reorganizando7

Tesouras,

fitas adesivas,

triângulos e

trapézios feitos

com cartolina.

(Em cada figu-

ra, indique de

forma algébri-

ca ou numéri-

ca as medidas

de: alturas e

bases, para

os triângulos;

diagonais,

para os losan-

gos; e altura e

bases maior e

menor, para os

trapézios).

Nessa atividade, o aluno

deduz as fórmulas de cál-

culo de área do triângulo,

losango e trapézio, reorga-

nizando essas figuras até

obter um retângulo de área

equivalente.

Turma dispos-

ta em trios,

propiciando

trabalho

organizado e

colaborativo.

25 minutos

Aspectos operacionais

� Antes de distribuir as figuras, desenhe um retângulo no quadro e discuta com os alunos quais as informações necessárias para o cálculo da área do retângulo e registre a fórmula de cálculo de sua área.

� Distribua as figuras entre as duplas e oriente-as a recortá-las e reorganizá-las de modo a:

� obter um retângulo e

� calcular sua área.

7 Fonte das ideias e figuras: Geometria no Plano e no Espaco I – Algumas demonstracoes geometricas

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 85

Algumas soluções:

Partindo da Área do Retângulo:

podemos deduzir:

� Área do triângulo

Considere dois triângulos de altura h e base b:

Recorte os triângulos pelas alturas de modo a produzir 4 triângulos dois a dois iguais que possam ser reorga-

nizados como indicado na figura abaixo:

86

� Área do losango

Considere um losango de diagonais d e D.

Recorte o losango pelas diagonais obtendo 4 triângulos. Reorganize-os de modo a obter o retângulo indicado

na figura abaixo:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 87

� Área do trapézio

Considere dois trapézios de altura h e bases B e b. Recorte um deles de modo a obter os dois triângulos e o

retângulo indicados abaixo:

Reorganize-os de modo a obter o retângulo indicado na figura abaixo:

88

Aspectos pedagógicos

� Talvez seja necessário relembrar a definição de diagonais do losango.

� O professor deve circular na sala orientando os alunos a proporem decomposições das figuras em retân-

gulos para os quais seja possível determinar as medidas de seus lados a partir dos dados iniciais fornecidos

em cada figura.

� Como algumas decomposições podem exigir a utilização de dois triângulos iguais, por exemplo, estimule-os

a não trabalhar apenas com uma única figura de cada vez.

Caso os alunos se mostrem pouco familiarizados com as fórmulas de cálculo de áreas apresentadas, reforce a

obtenção da fórmula da área do retângulo explorando retângulos cujas medidas dos lados sejam números inteiros.

Proponha aos alunos que desenhem no caderno um retângulo de lados de medidas 2 cm e 3 cm, por exemplo, e

peçam que eles subdividam os lados para gerar um malha quadriculada de quadrados de lados de medida 1cm. Peça

que contem os quadradose estabeleçam uma relação entre a quantidade obtida e o resultado de 2 × 3.

SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno

157 a 163

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Construindo

um telhado

colonial e

calculando os

gastos

Calculadora

Através de um problema

proposto pelo professor os

alunos irão calcular os gas-

tos e quantidade de telhas

para a construção de um

telhado colonial.

Individual ou

a cargo do

professor

30 minutos

Aspectos operacionais

O professor irá propor um problema inicial aos alunos:

Seu Jorge deseja construir seu próprio telhado. Após pesquisar na internet e conversar com alguns amigos ele

decidiu fazer o telhado com formato de 4 águas. Esse tipo de telhado forma quatro inclinações para o escoamento

da água pluvial e dá uma estética bonita para a casa. A figura abaixo representa a vista superior do telhado que seu

Jorge deseja construir. A partir da análise da figura abaixo vamos responder algumas dúvidas que seu Jorge necessite

esclarecer antes da construção do telhado.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 89

Figura 1

Disponível em: http://www.amma.com.pt/?p=5689, acessado em 15 Jan 2013)

� Qual a área total do telhado, já que ele é formado por dois triângulos e dois trapézios, conforme mostra a

figura?

Cálculo da área do triângulo Cálculo da área do trapézio

A= (b x h)/2 A=(B+ b)*h/2

A = (5,60 x 6,75)/2 A=(18+8)*4/2

A=18,9m2 A=(26*4)/2

A=104/2

A=52 m2

Como são 2 triângulos que possuem área de 18,9 m2 então:

2 x 18,9 = 37,8m2

Como são 2 trapézios que possuem área de 52 m2 então:

90

2 x 52 = 104 m2

Então, a área total seria a soma das 4 figuras, os 2 triângulos e 2 trapézios, então o valor da área do telhado será:

ÁREA TOTAL = 37,8 + 104 = 141,8 m2

� Já que são necessárias 16 telhas por metro quadrado e deve-se comprar 3% a mais do total das telhas para

suprir aquelas que por ventura venham a quebrar durante a construção do telhado, quantas telhas em fim

seu Jorge deve comprar?

Quantidade de telhas a ser compradas:

1 m2 = 16 telhas, 141,8 m2 = 141,8 x 16 telhas = 2268,8 que corresponde aproximadamente: 2269 telhas.

Quantidade de telhas que devem ser compradas a mais para suprir a perda a material:

3% do total de telhas

3/100 x 2269 = 0,03 x 2269 =68,07 que corresponde a 69 telhas aproximadamente

Logo, serão necessários comprar 2269 + 69 = 2338 telhas

Na hora da compra das telhas, seu Jorge descobriu que pode comprá-las de duas formas: por lotes de mil

(milheiros), no valor de R$ 700,00 cada milheiro ou por unidade de telhas no valor de R$ 0,85 cada telha. Para tomar a

melhor decisão (qual forma será mais barata), Seu Jorge tem que comparar o preço de cada telha. Por isso ele calcula

o preço da unidade comprada no milheiro.

1. comprando o milheiro, quanto custa cada unidade de telha?

R$ 700,00 : 1000 telhas = R$ 0,70 cada telha

2. Qual o custo total das telhas considerando o valor total de telhas encontrado na questão anterior?

Como são necessárias 2338 telhas o valor a ser pago será:

2 milheiros = 2 x R$ 700,00 = R$ 1400,00

e

338 telhas individuais = 338 x 0,85 = R$ 287,30

Portanto:

O valor total a ser pago será 1400,00 + 287,30 = R$ 1687,30.

Aspectos pedagógicos

� A situação problema pode ser proposta em uma folha impressa ou até mesmo no quadro negro.

� Depois da explanação do problema o professor pode propor as questões no quadro para que os alunos

realizem os cálculos.

� Durante a realização dos cálculos o professor pode circular pela sala para retirar dúvidas que possam surgir

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 91

ao longo da execução da questão.

� Como se trata de EJA os alunos podem questionar a quantidade de telhas e também perguntar um pouco

sobre inclinações. O texto abaixo pode servir como ilustração para esclarecimento da questão:

Cálculos da quantidade necessária de telhas, para cada tipo usado!

Existe uma grande variedade de materiais para telhamento de coberturas. Porém, essa escolha depende de

diversos fatores, como: o custo, qualidade, entre outros. Porém, na construção de um telhado colonial deve-se con-

siderar algumas condições mínimas: impermeabilidade, resistência, peso próprio e dimensões, articulação, durabili-

dade, etc.

Existem diversos tipos de telhas, e cada um possui um cálculo para obter a quantidade necessária para cada

metro quadrado. Abaixo, seguem alguns tipos:

Telha Francesa

Inclinação : 30%

Peso: 2,6 kg/peça

Quantidade: 16 telhas/m2

Telhas Francesas, planas de encaixe em suas bordas com saliências e reentrâncias. Ressalto na face inferior

para apoio na ripa e outro (orelha de aramar) usada para eventual fixação à ripa em regiões com muito vento ou nas

inclinações acentuadas.

Telha Portuguesa

Inclinação : 30%

Peso: 2,6 kg/peça

Quantidade: 16 telhas/m2

A Telha Portuguesa é ideal para construção e acabamento de telha-

dos ondulados, principalmente se o projeto exige uma releitura de estilo e épo-

ca ou pretende dar uma forma mais arredondada e com movimento ao telhado.

A montagem, simples e prática, é facilitada pela hegemonia de cada peça, com encaixe per-

feito e ondulação simetricamente definida.

92

Telha Italiana

Inclinação : 30%

Peso: 3,1 kg/peça

Quantidade: 13,5 telhas/m2

Telha Paulista

Inclinação : 20%

Quantidade: 26 telhas/m2

Paulista, capa e canal em forma de meia-cana. Os canais que se apóiam acima

das ripas com um ressalto na face inferior que têm uma largura maior; e as capas se

apóiam sobre os canais, com largura menor; possuem uma reentrância para permitir

o perfeito acoplamento com os canais e uma saliência inferior para o deslizamento

da telha.

Telha Colonial

Branca e Mesclada

Inclinação: 20%

Peso : 3,0 kg

Quantidade p/m²: 18 unid.

Colonial, com forma capa e canal iguais, com reentrâncias no lado convexo e um reentrância no lado côncavo.

Telha Romana

Inclinação : 30%

Peso: 2,6 kg/peça

Quantidade: 16 telhas/m2

Romana, telha plana com uma leve ondulação longitudinal, usada para o encaixe da capa com o canal, forma-

do pela mesma telha invertida, cada uma ocupando aproximadamente a metade da telha.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 93

Telha Americana

Inclinação : 30%

Peso: 3,1 kg/peça

Quantidade: 11,5 telhas/m2

O que significa inclinação?

A inclinação dos telhados é medida em porcentagem. É comum, junto com a telha vim especificado o tipo de inclinação.

“O telhado tem inclinação de 10%” ou

“O telhado tem inclinação de 30%”.

Mas o que isso significa?

10% é igual a 10cm/100cm, ou, 10 dividido por 100.

Ou seja: a cada 100 cm (1 metro) na horizontal, o telhado sobe 10 cm na vertical, vejam a figura:

A mesma ideia serve para o telhado com 30% de inclinação:

94

SEÇÃO 2 – Outros tipos de áreaPáginas no material do aluno

157 a 163

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Cálculo da

área de triân-

gulo utilizando

o Tangram

O TANGRAM

construído

conforme

a figura da

página 161 do

material do

aluno.

A divisão pode

ser em duplas

ou trios.

25 minutos

Aspectos operacionais

No início dessa atividade o professor irá fazer uma abordagem sobre o TANGRAM conforme foi explicitado na

página 161 do material do aluno.

Construindo o TANGRAM

Em seguida, o professor propõe as medidas iniciais para que o tamanho do TANGRAM seja o mesmo para todos os

alunos. Sugerimos que o recorte do EVA ou do papel cartaz seja em forma de quadrado com medida de lado igual a 10 cm.

Um Tangram possui: dois triângulos grandes, três triângulos menores, um paralelogramo e um quadrado. Con-

forme o desenho a seguir:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 95

Antes de propor a atividade seguinte ao aluno, recomenda-se a exibição do vídeo, que segue no pendrive com

arquivo identificado como vídeo tangram.áreas.swf.

Esse vídeo pode ser uma boa ferramenta para que os alunos possam compreender as relações e proporções

que as peças do tangram apresentam.

Calculando áreas dos triângulos com as peças do Tangram confeccionado

Proponha aos alunos que calculem a área dos 5 triângulos existentes no Tangram confeccionado. Faça algumas

perguntas aos alunos para que eles descubram as medidas dos lados e das alturas de cada triângulo. Algumas suges-

tões de perguntas encontram a seguir:

1. Quais as medidas das bases dos triângulos maiores, AGI e IGJ, do Tangram que foi confeccionado?

Como foi cortado um quadrado de lado 10 cm, a medida da base dos triângulos AGI e IGJ medem 10 cm.

2. Qual a medida da altura desses triângulos? Qual a área do triângulo AGI?

Sendo F o ponto médio do lado EJ do quadrado maior e G o ponto de encontro das diagonais do quadrado en-

tão, as alturas dos triângulos AGI e IGJ são iguais e medem 5 cm. Logo as bases AI e IJ medem 10 cm cada uma. Então:

96

Logo, a área do triângulo maior mede:

(base x altura)/2 = (10x5)/2=25cm2

3. Qual a classificação do triângulo BEF quanto aos ângulos? Qual é a medida da base BE e da altura EF?

Esse triângulo é chamado de triângulo retângulo pois ele possui um ângulo reto E. Partindo do mesmo princí-

pio do exercício anterior, sendo F o ponto médio do lado EJ do quadrado AEIJ, então a altura EF do triângulo mede 5

cm. Assim como, B é ponto médio de AE, então a base BE mede 5 cm.

4. Sabendo que os segmentos AB e CD são paralelos, qual é a medida da base do triângulo CGD?

Como B é ponto médio do segmento AE e o segmento AB // CD então a base CD mede 5cm.

5. Calcule as demais áreas dos outros triângulos e em seguida, construa uma tabela que estabeleça as rela-ções entre áreas desses triângulos?

ÁREA= (5 x 2,5)/2

ÁREA= (12,5)/2

ÁREA= 6,25

ÁREA= (5 x 2,5)/2

ÁREA= (12,5)/2

ÁREA= 6,25

ÁREA= (5 x5)/2

ÁREA=25/2

ÁREA=12,5

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 97

Observando os valores das áreas encontrados nos triângulos desse TANGRAM conforme a tabela:

TRIÂNGULO ÁREAAGI 25

IGJ 25

CGD 6.25

BEF 12.5

JHF 6.25

Os triângulos CGD e JHF possuem um quarto da área de cada um dos triângulos AGI e IGJ, enquanto o triângu-

lo BEF tem a metade da área do triângulo AGI e IGJ.

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

164 a 165

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Reformando

uma sala de

aula

Material EVA,

fita métrica,

caneta, papel e

calculadora.

A turma pode

ser dividida

em duplas ou

a cargo do

professor

50 minutos

Nessa seção, apresentamos atividades parecidas com as atividade iniciais, com o intuito de resgatar a discus-

são estabelecida com a atividade disparadora e continuada com as atividades da seção “Reconhecendo a área”.

Aspectos operacionais

Para iniciar a atividade, o professor escolhe uma sala de aula retangular ou quadrada que esteja vazia na escola.

Caso não haja uma sala disponível, pode utilizar a sala de aula que esteja lecionando, desde que ela seja quadrada ou

retangular.

O professor deve propor a tarefa aos alunos de reformar a sala de aula colocando os pisos. Para isso, será neces-

sário calcular a quantidade necessária de pisos para a reforma da sala.

O professor poderá propor aos alunos o corte de uma folha de EVA num tamanho de 40 cm de comprimento

por 50 cm de largura. Conforme exemplo abaixo:

98

1. Calculando a área do chão da sala de aula onde o piso será colocado

Para saber o tamanho total da área do chão, peça para que dois alunos voluntários meçam o comprimento

e a largura da sala de aula. Depois de tiradas as medidas, o professor pode pedir para cada aluno desenhar em seu

caderno um modelo da sala com as respectivas medidas tiradas. É uma maneira do professor saber se os alunos já

conseguem registrar a ideia “retângulo”. Em seguida, o professor pode desenhar no quadro o formato da sala e escre-

ver as medidas conforme foram tiradas pelos alunos.

Supondo nesse momento que as medidas da sala sejam:

Comprimento = 3 m

Largura = 4 m

Em seguida, o professor irá calcular a área da sala.

Área do chão da sala: comprimento x largura

Então, a área será: 3 x 4 = 12 m2

2. Calculando a área do piso de EVA

Para calcular a quantidade de pisos necessários será fundamental calcular a área de cada piso, aqui usaremos

as medidas do piso de EVA proposto.

Sabendo que a área de cada piso é calculada pela fórmula Área= c x l e sabendo que nesse piso comprimento=

50 cm e largura= 40 cm, então a área de cada piso será:

ÁREA = 50 cm x 40 cm

ÁREA = 2000 cm2

3. Convertendo as medidas para metros

Porém, é importante observar que a unidade de medida do piso é centímetros e a unidade de medida da sala

é metros. Antes de realizar qualquer cálculo o professor deve propor aos alunos que sejam feitas inicialmente a con-

versão das unidades.

As medidas dos pisos estão em centímetros e devem ser convertidas em metros.

50 cm = 0,5 metros

40 cm = 0,4 metros

Área= 0,5 x 0,4 =0,20 m2

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 99

4. Calculando a quantidade de pisos necessários para a reforma do chão da sala

Para realizar esse cálculo será necessário que o aluno compreenda que para cobrir a sala toda, sejam utilizados

vários pisos. O professor pode colocar alguns pisos no chão ou até mesmo colocar pisos de EVA ao longo de uma

parede da largura e também ao longo de uma parede do comprimento. Esse ato pode induzir os alunos a construir

as demais fileiras, seja mentalmente ou até através de um esboço no caderno. Em seguida, o professor poderá fazer

algumas perguntas do tipo:

� Um piso de EVA cobre uma superfície de quantos metros quadrados?

0,20 m2

� Dez pisos de EVA cobrem uma superfície de quantos metros quadrados?

0,20 x 10 = 2 m2

� Qual a quantidade de pisos necessária para a reforma dessa sala?

Área do chão = 12 m2

Área do piso = 0,20 m2

Quantidade de pisos = 12 : 0,20 = 60 pisos

� Suponha que o metro quadrado desse piso custa R$ 15,00. Quanto você gastará com a compra dos pisos?

12 m2 x R$ 15,00 = R$ 180,00

Aspectos pedagógicos

Depois que os alunos perceberem que vários pisos de EVA cabem no chão da sala, o uso da palavra “cabem” é

o gancho para apresentar a divisão como a operação que traduz a comparação entre a unidade de medida e a área

da região em questão. Então, o professor pode explicar no quadro que dividindo a medida da área do chão da sala

pela medida da área do piso obtém-se a quantidade de pisos que serão necessários para a reforma do chão da sala.

O professor pode fazer uma explanação sobre o método de conversão de unidades antes ou durante a questão

apresentada anteriormente.

100

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

164 a 165

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Medindo áreas

Metro de pe-

dreiro; Durex;

Jornal.

Nessa atividade, deseja-

-se fazer com que o aluno

compreenda que medir

envolve a comparação entre

duas grandezas da mesma

natureza e a verificação de

quantas vezes uma grande-

za tomada como unidade de

medida cabe na outra.

Grupos de 4

ou 5 alunos.30 minutos

Aspectos operacionais

Levantando o conhecimento dos alunos

Aproveitando que alguns alunos do EJA, dependendo do seu trabalho, podem conhecer medidas, seria inte-

ressante começar a aula discutindo noções de grandezas como comprimento, massa, capacidade, etc.

Organize as carteiras da turma em forma de círculo. Em seguida, pergunte o que os alunos entendem como

medição. Nesse momento, provavelmente, muitas respostas passarão pelo uso de algum instrumento para a obten-

ção da medida. Dessa maneira, lance mão de algo deles.

Na sala de aula, o professor pode levar o metro de pedreiro e pedir para que um dos alunos meça todos os

lados desse quadrado. O professor pode perguntar aos alunos por que todos os lados são iguais e assim frisar a dife-

rença de um quadrado para um retângulo.

Em seguida, pergunte aos alunos o que significam expressões como:

“A área do terreno da minha casa é maior do que a da sua.”

Ou

“A área da quadra de futebol de salão é de 375 m².”

Os alunos podem dizer que a área é um espaço que ocupa a casa ou a quadra.

Em seguida, pergunte aos alunos se eles conhecem outras medidas de superfície como hectare ou alquei-

re, que são muito utilizadas em medidas agrárias. Se eles sentirem dificuldades o professor pode introduzir o

assunto dizendo:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 101

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A

principal unidade destas medidas é o are (a) e possui um múltiplo, o hectare (ha)

Em seguida, peça para alguns alunos irem ao quadro e preencherem a tabela de equivalência dessas medidas.

Peça a eles para utilizarem a calculadora.

MEDIDA MULTIPLIQUE POR EQUIVALE A:ARE 100 100 m2

HECTARE 10.000 10.000 m2

ALQUEIRE PAULISTA 2,42 hectares 24.200 m2

ALQUEIRE MINEIRO 4,84 hectares 48.400 m2

ALQUEIRE BAIANO 9,68 hectares 96.800 m2

ALQUEIRE DO NORTE 2,72 hectares 27.200 m2

ALQUEIRE RIO DE JANEIRO 4,84 hectares 48.400 m2

Depois de preenchida a planilha deixe no quadro e questione aos alunos. Em qual estado brasileiro o alqueire

tem maior área? E menor área? Comente a igualdade de medidas de área dos alqueires nos estados do Rio de Janeiro

e Minas Gerais.

Em seguida, para mostrar que as unidades agrárias são superfícies muito grandes, o professor pode utilizar um

quadrado de área 1m2 feito com uma folha de jornal e perguntar para os alunos:

� Quantos quadrados desse tamanho seriam necessários para obter uma área de um are? E para obter uma

área de um hectare?

Como cada quadrado feito com jornais medem 1 m2 de área, são necessários 100 quadrados para obter um are.

E para obter um hectare seriam necessários 10.000 quadrados de 1m2 para obter um hectare(10.000 m2).

� Quantos ares têm uma área de 250 m2?

Como cada are tem 100 m2, basta dividirmos 250 m2 por 100 m2 = 2,5

Logo, 250 m2 correspondem a 2,5 a.

� Quantos decímetros quadrados têm 14 a?

Como cada are têm 100 m2, temos, 14 x 100 = 1 400 m2

Como nosso problema nos pede a resposta em decímetros, fazemos a conversão de 1400 m2 para dm2, ou seja,

1 400 x 100 = 140 000 dm2.

Logo, 14 a correspondem a 140 000 dm2.

� Quantos hectares correspondem 995000 m2?

Como cada ha têm 10.000 m2, basta dividirmos a área dada em 10.000 partes iguais:

99.5000 : 10.000 = 9,5

102

� O Parque Nacional da Serra da Canastra (MG) tem 71.525 ha. Quantos alqueires paulistas tem o parque

mineiro?

Sabemos que o parque mineiro tem 71525 ha. Para sabermos quantos metros quadrados correspondem esta

área, multiplicamos este valor por 10 000.

71.525 x 10.000 = 715.250.000 m2

Cada alqueire paulista corresponde a 24 200 m2, assim temos:

715.250.000 : 24.200 ≅ 29555

O Parque Nacional da Serra da Canastra tem então aproximadamente 29.555 alqueires paulistas.

� Uma propriedade rural, de forma retangular, mede 2420 m por 540 m.

1. Quantos alqueires mineiros tem essa propriedade?

2. Qual o valor da propriedade se o alqueire mineiro custa R$ 7200,00?

SOLUÇÃO:

1. Primeiro calcular a área da propriedade:

2420 x 540 = 1306800 m2

Sabendo que 1 alqueire mineiro = 48.400 m2, divida:

1.306.800 : 48.400 = 27 alqueires mineiro.

2. 27 x 7200 = 194.400

Portanto, R$ 194.400,00.

Aspectos pedagógicos

� É possível que os alunos encontrem dificuldade em fazer as conversões entre as diferentes unidades de

medidas. Se isto acontecer, aproveite problemas como:

Quantos ares têm uma área de 250 m2?

para efetuar o cálculo paulatinamente. Como cada are tem , é conveniente escrever

Isto é, estamos tentando identificar quantos ares “inteiros” cabem em 250. Vemos que

Basta agora, cuidar da sobra que é menor do que 1 are. Nesse caso, como 50 é metade de 100, podemos con-

cluir que

.

Sempre que possível, explore nos demais problemas estratégias desse tipo a fim de sedimentar os novos con-

ceitos bem como a conversão entre diferentes unidades de medidas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 103

A estratégia de decomposição apresentada acima é bastante comum em alunos que fazem cálculos mentais.

Ela pode ser explorada e valorizada ao invés de deixá-los apenas reféns das calculadoras.

Veja ainda...Páginas no material do aluno

166 a 168

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Horário de

Verão8

geogebra,

cópias dos

textos.

Nessa atividade, os alunos

vão analisar uma explicação

para o uso do horário de

verão em termos do con-

sumo de energia elétrica,

fazendo uma analogia com

triângulos de bases e alturas

inversamente proporcionais,

mas com a mesma área. Isto

é, mesmo que o consumo

total (correspondendo à

área) for igual, o horário de

verão distribui (aumenta a

base) o consumo e diminui

o pico (a altura) de uso da

energia elétrica.

– –

Nessa seção, apresentamos atividades que apresentam relação com algum fato curioso, seja ele inerente a

matemática ou não, utilizando áreas de figuras planas e a variação de suas dimensões para associar a um problema

cotidiano.

Texto:

O horário de verão

Benjamin Franklin queria economizar velas no verão. Afinal, se os dias eram tão longos nessa época do ano,

por que não usar um truque e esticá-los um pouco mais? Foi assim que teve a ideia de propor o adiantamento dos

relógios. Assim, seria possível chegar do trabalho, jantar, relaxar e o sono chegaria com o dia ainda claro e uma boa

economia em velas.

E assim nasceu o horário de verão nos Estados Unidos, em 1784!

É claro que o nosso horário de verão não serve para economizar velas, certo?

8 http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1339, horariodeverao-guia.pdf, http://empresasefinancas.hsw.uol.com.br/horario--de-verao.htm, http://www2.elektro.com.br/elektroescolas/atividades_hverao.asp

104

Então por que ele é mantido?

Bem, na verdade, há uma pequena economia de energia com o adiantamento dos relógios, mas a grande

vantagem para um país como o nosso é distribuir o consumo por um espaço de tempo maior. Deixar as coisas mais

suaves para o nosso Sistema Elétrico Interligado. Assim, mesmo que as pessoas consumam a mesma quantidade de

energia elétrica durante o dia todo, o fato do Sol ainda estar no horizonte depois das seis horas diminui a chance de

que vários aparelhos e lâmpadas sejam ligados ao mesmo tempo.

No verão aumenta bastante o uso de ar condicionado. O pessoal do sul e sudeste não percebe tanto, mas do

Rio de Janeiro para o Norte as temperaturas são mais elevadas no verão. Isso faz com que, pela manhã e ao final do

dia, o consumo de energia fique lá nas alturas, com todo mundo tomando banho, com o ar ligado, TV, luzes acesas

etc.. Isso é chamado “demanda máxima durante o horário de ponta”. Se não for controlada, essa demanda pode so-

brecarregar o Sistema Elétrico Interligado e aí podem acontecer os temidos apagões que trazem muitos problemas

para todos. Sem o horário de verão, o consumo maior de energia acontece por volta das 18h, coincidindo também

com o consumo do comércio e da indústria. Com o adiantamento em uma hora, não há coincidência da entrada da

iluminação, pois em sua grande maioria o comércio e a indústria reduzem o seu consumo a partir das 18h.

Para exemplificar tudo isso, imagine o seguinte. Nas grandes cidades, as pessoas começam a chegar em casa

por volta de 18 horas, ou seja, no início da noite. Chegando em casa a pessoa liga a luz elétrica interna. Nessa mesma

hora, entra em operação a iluminação pública, placas de luminosos comerciais, etc. Além disso, as indústrias continu-

am trabalhando. Com o horário de verão, as cargas de iluminação pública e das residências passam a entrar após 19

horas, justamente quando o consumo industrial começa a cair. Com isso há a redução na carga nesse horário.

Pensando matematicamente, nós podemos imaginar dois triângulos de alturas diferentes, mas de mesma área.

Assim, basta aumentar a base e diminuir a altura na mesma proporção para que a área do triângulo seja mantida a

mesma.

A comparação que fazemos então é que a área do triângulo está associada ao consumo total e a altura seria

o consumo em horário de pico. Veja que assim teremos a seguinte situação: o consumo pode ser o mesmo, mas, nos

horários de picos, o consumo pode ser comparativamente menor. Esse é o segredo do horário de verão: diminuir o

pico de consumo de energia!

Aspectos operacionais

� Antes de distribuir o texto acima entre os alunos, discuta e registre no quadro opiniões da turma sobre o horário de verão: pra que serve? Funciona? Por quê?

� Distribua o texto O horário de verão entre os alunos para leitura individual.

� Retome a discussão e altere algum dado do registro se necessário.

� Abra o arquivo horariodeveraogeogebra.htm apresente e discuta a representação do consumo de energia com os alunos.

� A área dos dois triângulos é a mesma e representa o consumo de energia no verão.

� A altura de cada triângulo representa o pico de consumo de energia.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 105

� No caso do triângulo verde, a altura é o pico de energia quando o sol se põe às 18h.

� Ao deslocar o ponto para direita, você estará simulando o comportamento do consumo de energia quando

temos dias “mais longos” pela introdução do horário de verão (que retarda a chegada da noite). Como isso

implica em aumento da base do triângulo azul, para que a área seja mantida, é preciso que a altura do tri-

ângulo azul diminua. Isto é, que diminua o pico de consumo de energia.

Aspectos pedagógicos

� Durante a discussão e utilização do arquivo do geogebra horariodeveraogeogebra.html, o professor deve

ressaltar e insistir na relação inversa de diminuição da altura em função do aumento da base do triângulo

para que haja manutenção da área.

Veja ainda...Páginas no material do aluno

166 a 168

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

A lenda de

Dido9

projetor, có-

pias dos textos

dos proble-

mas.

Nessa atividade, os alunos

vão assistir a um vídeo A

Lenda de Dido sobre a fazen-

deira Elisa. Ela comprou tela

para fazer um cercado para

as suas ovelhas e está ten-

tando determinar o formato

para o cercado que permita

acomodar o maior número

de ovelhas em seu interior.

Para resolução

dos problemas

propostos

na atividade,

divida a turma

em trios,

estimulando

o trabalho

colaborativo.

35 minutos

Aspectos operacionais

� Inicialmente, a turma assiste ao vídeo.

� Em seguida, ela é dividida em trios para resolução dos problemas propostos:

9 Fonte das ideias e figuras: 343.pdf, livro_aprender_mais_matematica_ens_medio.pdf.

106

1.

2. O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. As dimen-sões do cercado podem variar, desde que ele sempre use 36 metros de tela para ser construído.

� Ilustrem alguns cercados que podem ser assim construídos e determine a área interna deles.

� Depois de ter assistido ao vídeo, você saberia dizer como construir o cercado que tivesse maior área interna?

Algumas soluções:

1.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 107

a. Cálculo das áreas

Área do retângulo = 6 × 2 = 12 cm2

Área do quadrado = 4 × 4 = 16 cm2

b. Cálculo dos perímetros

Perímetro do retângulo = 6 + 2 + 6 + 2 = 16 cm

Perímetro do quadrado = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm

2.

a. Alguns cercados retangulares que podem ser construídos com 36 m de tela aproveitando um muro já existente:

O da esquerda tem área igual a e o da direita, .

b. A apresentação do vídeo nos diz que são os polígonos regulares (isto é, com lados iguais) que maximi-zam a área interna. No entanto, ele nos explica como encontrar a maior área de uma região “completa-mente” cercada! Para podermos aproveitar as ideias do vídeo. Vamos imaginar que há um espelho em todo o muro e que a cerca que vamos construir é formada por dois pedaços: a cerca real e o seu reflexo. Já que o cercado da granja deve ser retangular, para obter área inscrita máxima, devemos considerar um quadrado. Como estamos considerando também o reflexo, devemos pensar em um quadrado com o dobro do perímetro. Isto é, com 72 m e lado, . Desse modo, o cercado com área interna máxima é:

E sua área é igual a 18 × 9 = 162 m2.

108

Aspectos pedagógicos

� O professor pode estimular os alunos a usarem o cálculo da área interna como elemento de decisão entre

duas propostas diferentes de cercados.

� O professor pode auxiliar os alunos a relembrarem informações fornecidas no vídeo para sedimentar as

ideias e conceitos apresentados.

Seção: Consolidação e avaliação

Nessa seção, apresentaremos atividades que retomam as habilidades verificadas nas seções anteriores, com o

intuito de consolidar e avaliar o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo proposto.

Sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula destinados a esta unidade. A seguir, apresentamos

sugestões para a retomada dos conteúdos trabalhados e para avaliação das habilidades pretendidas. Dividiremos

nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir:

Etapa 1: Registros de aprendizagens

Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 92 do material do aluno.

Aqui, você poderá propor que o aluno registre individualmente, numa folha de papel, as aprendizagens matemáticas

adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação, apresentamos algumas questões para os alunos,

que podem complementar as suas no que tange à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pre-

tendidas.

A intenção é estabelecer relações entre conteúdos do capítulo e conteúdos já conhecidos pelo aluno. Em geral,

buscam atingir a compreensão e a explicação. Mais do que avaliar se o aluno sabe responder, supõe uma tomada de

consciência dos instrumentos e procedimentos utilizados, o que torna possível o aluno aplicá-los em outros contextos.

Como exemplo disso, trouxemos as seguintes questões:

1ª situação

A figura a seguir representa uma área quadrada, no jardim de uma residência. Nessa área, as regiões sombrea-

das são formadas por quatro triângulos cujos lados menores medem 3 m e 4 m, onde será plantado grama. Na parte

branca, será colocado um piso de cerâmica.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 109

O proprietário vai ao comércio comprar esses dois produtos e, perguntado sobre a quantidade de cada um,

a. Deverá responder que precisará de quantos metros quadrados de grama ?

b. E quantos metros quadrados de cerâmica o proprietário vai precisar ?

Resolução:

a. A área sombreada onde será plantada a grama é dada por ⋅⋅ = 23 4

4 24 m .2

b. De acordo com as informações, o lado do quadrado maior é igual a 7 m ( 3 m + 4 m ). Portanto, a área do qua-drado maior é igual a 7 x 7 = 49 m2; Dessa área total, retirando a parte da grama ( quatro triângulos = 24 m2 ), temos 49 m2 – 24 m2 = 25 m2 de cerâmica.

2ª situação

O Sr. João precisa cercar seu terreno. Utilizou 120 metros de arame que havia comprado em apenas uma volta

dada em todo terreno retangular. Ele sabe que o terreno de 40 metros de comprimento. Você seria capaz de calcular

a medida da largura do terreno para o Sr. João ? E se ele desejasse descobrir o valor da área desse terreno para futura-

mente vendê-lo, você saberia calcular tal área ?

110

Resolução:

Devemos avaliar se o aluno compreende que o perímetro do retângulo é 120 m, e por isso, teremos um re-

tângulo de medidas 40m, 40m, x m, x m. Com x metros de largura. Portanto, 40 + 40 + x + x = 120, teremos x = 20 m

(largura do terreno). Também deve reconhecer que a área do retângulo é dada pelo produto (largura x comprimen-

to) = 20 x 40 = 800 m2 (área do terreno ).

3ª situação

Observe a planta do apartamento que Joelma pretende comprar.

a. Para escrever um documento para o financiamento desse imóvel, Joelma precisa escrever por extenso a largura e o comprimento do Dormitório 1. Como ela deve escrever essas medidas ?

b. Joelma pretende revestir a sacada com um piso de madeira. Para isso, precisa saber a medida da área da sacada para comprar as peças de madeira. Qual seria a medida dessa área ?

c. Qual é o maior banheiro do apartamento ? Justifique.

Resolução

a. Dois metros e setenta e cinco centímetros e três metros e sessenta centímetros.

b. 10,125 metros quadrados.

c. O banheiro 1, por ter área maior que o banheiro 2.

Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-

gues ao seu formador no curso de formação presencial.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 111

Etapa 2: Questão Objetiva

Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão objetiva que contemple uma habilidade pretendida nesta

unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher, a seu critério, uma das questões pro-

postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível da p. 95 e 96 do material do aluno. A ideia é que o aluno se

familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.

1. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a pri-meira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:

a. 2xy

b. 15 – 3x

c. 15 – 5y

d. –5y – 3x

e. 5y + 3x – xy

2. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que con-some 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

112

Avaliando-se todas as informações, serão necessários

a. quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B.

b. três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.

c. duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.

d. uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.

e. nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.

3. (Enem 2000) Em uma empresa, existe um galpão que precisa ser dividido em três depósitos e um hall de entrada de 20m2, conforme a figura abaixo. Os depósitos I, II e III serão construídos para o armazenamento de, respectiva-mente, 90, 60 e 120 fardos de igual volume, e suas áreas devem ser proporcionais a essas capacidades.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 113

A largura do depósito III dever ser, em metros, igual a:

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

4. (Ufrgs 2008) Na figura abaixo, A, B e C são vértices de hexágonos regulares justapostos, cada um com área 8.

Segue-se que a área do triângulo cujos vértices são os pontos A, B e C é

a. 8.

b. 12.

c. 16.

d. 20.

e. 24.

Resoluções

Resposta da questão 1:

[E]

Como o retângulo de dimensões ×x y está contido nos retângulos de dimensões ×5 y e ×3 x, segue que a

área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por + −3x 5y xy.

Resposta da questão 2:

[C]

114

Calculando as áreas dos ambientes, obtemos

= ⋅ = 2IS 8 5 40 m ,

= − ⋅ = 2IIS (14 8) 5 30 m ,

= − ⋅ − = 2IIIS (14 8) (9 5) 24 m

e

− += ⋅ = 2

IV(14 8) 4

S 7 35 m .2

Desse modo, como Jorge quer gastar o mínimo com gás, ele deverá instalar duas unidades do tipo A (ambien-

tes II e III) e duas unidades do tipo B (ambientes I e IV).

Resposta da questão 3:

[D]

Área destinada aos fardos: 2A (10 11) 20 90m .= ⋅ − =

x é a largura do depósito 3.10x _______12090 _______270

2700x 10800x 4m==

Resposta da questão 4:

[B]

Sabemos que, de acordo com a figura abaixo, que o triângulo ABC é composto por 3 metades de hexágono ( a

área do hexágono é 8, logo a metade é 4 ), ou seja, a área do triângulo é igual a 3x4 = 12.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 115

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Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 8

Avançando com as áreas de figuras planasAndré Luiz Cordeiro dos Santos, Gabriela dos Santos Barbosa, Josemeri Araujo Silva Rocha,

Luciane de Paiva Moura Coutinho

IntroduçãoNa unidade 8 do material do aluno, são apresentadas algumas situações

que envolvem o cálculo de área de polígonos irregulares e também o cálculo da

área de um círculo. Ao iniciar este módulo, é importante que você tenha uma

visão ampla da proposta apresentada.

“O cálculo de área é uma atividade cotidiana na vida de todos nós. Sempre

nos vemos envolvidos em alguma situação em que há a necessidade de se calcular a

área de uma forma geométrica plana. Seja na aquisição de um terreno, na reforma

de um imóvel ou na busca de reduzir custos com embalagens, o uso do conhecimento

de cálculo de áreas se faz presente. É uma atividade muito simples, mas às vezes dei-

xamos algumas questões passarem despercebidas.”

Fonte: Brasil Escola – http://www.brasilescola.com/matematica/analise-area-dos-poligonos.htm

Caro professor, os dois objetivos destacados no módulo do aluno (realizar

o cálculo de área de polígonos irregulares, utilizando triangulação e calcular áre-

as de círculo) podem ser enriquecidos com algumas das atividades propostas a

seguir que preparamos com carinho e muita dedicação, pensando em você, nos

seus interesses, nas suas necessidades e nas suas dúvidas e facilidades. A ideia

central que conduziu a produção da equipe foi, a todo o momento, que tipo de

proposta levar a você, que possa ser de real valor para ajudá-lo a melhor desen-

volver seu trabalho pedagógico nas aulas de matemática.

116

O mundo em que vivemos é feito de formas geométricas – elas estão nas casas, nos espaços urbanos, nas obras

de engenharia, nas artes, na disposição escolhida para os móveis, em pequenas reformas que organizamos em nossos

lares.

Muitas vezes essas formas geométricas aparecem como polígonos irregulares, como mostrado no módulo

do aluno. As atividades aqui apresentadas procuram ampliar a possibilidade de resolver situações que envolvem os

objetivos propostos, utilizando outros métodos para sua resolução (por exemplo, a decomposição de polígonos em

polígonos menores, a utilização de malhas para o cálculo de áreas).

Sugerimos que a primeira aula desta unidade inicie-se com uma atividade disparadora. Apresentaremos duas

opções de atividade. A primeira irá tratar da área de polígonos irregulares, e a segunda, da Área do Círculo.

Na atividade disparadora Mapeando o ambiente escolar, os alunos terão a oportunidade de desenhar uma

planta baixa de algum ambiente na escola pré-selecionado pelos grupos, cujo formato não seja a de um polígono

regular como eles viram na Unidade 7, e calcular a medida de sua área.

A atividade Área do Círculo pode ser realizada em grupo, promovendo uma dinâmica entre os alunos. Nesse

momento, é esperado que eles percebam que a área do polígono formado pelos recortes de um círculo pode ser

calculada pela aproximação da área de um polígono regular já conhecido.

Para dar sequência ao estudo desta unidade, apresentamos para a Seção 1 as atividades “Malha quadriculada

x Triangulação” e “Calculando o preço de venda dos terrenos”. Na primeira atividade, o aluno poderá calcular a área

de polígonos irregulares usando o método da triangulação e comparar com a área calculada com uma malha qua-

driculada. Já na segunda, o aluno irá calcular o preço de venda de dois terrenos no formato de polígonos irregulares.

Recomendamos que sejam feitas as alterações e adaptações quando necessárias.

Para a Seção 2, temos a atividade “Planificação do Cilindro e a Área do Círculo”, que propõe o cálculo da área de

uma figura obtida por meio da planificação do cilindro, e a atividade “Áreas de figuras hachurada”, onde são apresen-

tadas três situações para o cálculo da área de figuras hachurada envolvendo área do círculo.

Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em dois momentos. O primeiro dedica-

do a uma revisão geral do estudo realizado durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da

retomada de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de avaliação do estudante,

priorizando questionamentos reflexivos em detrimento da reprodução de exercícios feitos anteriormente.

Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas abaixo, e seus detalhamentos no texto que segue.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 117

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemática 2 1 8 4

Titulo da unidade Tema

Avançando com as áreas de figuras planas Áreas de figuras planas

Objetivos da unidade

Realizar o cálculo de área de polígonos irregulares, utilizando o método de triangulação.

Calcular áreas de círculos.

SeçõesPáginas no material do

aluno

Para início de conversa... 179

Seção 1 – Áreas irregulares 180 e 183

Seção 2 – A área do círculo 183 e 187

Momento de reflexão 187 e 188

Voltando à conversa inicial 188 a 190

O que perguntam por aí? 192 a 192

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

118

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 119

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Mapeando o ambiente

escolar

Papel pardo ou papel 40 kg

para cada grupo, régua.

O método da triangulação para cálculo de área de

polígonos irregulares será utilizado para calcular a área de uma planta baixa de um

ambiente da escola.

Turma dividi-da em grupos de 4 alunos.

30 minutos

Área do Círculo

Círculos ane-xos no arquivo Área do Círcu-lo, disponibi-lizado no pen

drive, folha A4, tesoura e cola.

A atividade trabalha a área de polígonos irregulares

formados a partir de recor-tes de um círculo, e compara

suas áreas.

A turma deve-rá ser dividida em 4 grupos.

30 minutos

Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno

180 a 183

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Malha quadri-culada x Trian-

gulação

Folha de ati-vidades com

figuras planas irregulares

desenhadas sobre a malha quadriculada e sobre o papel sem malha ao fundo, régua.

A atividade propõe o cálculo de área de polígonos irregu-lares por meio da utilização

da malha quadriculada e por meio da triangulação.

A atividade pode ser re-alizada em

duplas.

30 minutos

Calculando o preço de venda dos terrenos

Folha de atividades.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

A atividade pode ser

realizada em duplas.

30 minutos

120

Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno

183 a 187

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Planificação do Cilindro e a

Área do Círculo

Embalagens em formato

cilíndrico, fo-lhas de papel

A4, réguas graduadas em centímetros.

A atividade propõe o cálculo da área de uma figura obtida por meio da planificação do

cilindro.

A atividade pode ser re-alizada em

grupos de 4 alunos.

30 minutos

Áreas de figuras

hachuradas

Folha de atividades e tesoura sem

ponta.

São propostas três situações para o cálculo da área de

figuras hachuradas.

A atividade pode ser re-alizada em

duplas.

30 minutos

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de atividades

Verificar e registrar as aprendizagens matemáticas

adquiridas com o estudo desta unidade.

Individual 40 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 121

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

207 a 209

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ConsolidandoMaterial

didático do aluno

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente

40 minutos

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

211 e 212

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ENEM 2010

Imagem disponível no

material do professor

Questão dissertativa que complementa a seção “O que

perguntam por aí?”

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente

10 minutos

122

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Mapeando o ambiente

escolar

Papel pardo ou papel 40 kg

para cada grupo, régua.

O método da triangulação para cálculo de área de

polígonos irregulares será utilizado para calcular a área de uma planta baixa de um

ambiente da escola.

Turma dividi-da em grupos de 4 alunos.

30 minutos

Aspectos operacionais

Nesta atividade, propomos o desenho da planta baixa de algum ambiente da escola para a obtenção de sua

área por meio do método da triangulação.

A atividade prevê que você e seus alunos conheçam antecipadamente o ambiente escolar. Se for preciso, leve

a turma para um passeio pela escola. Note, ainda, que, para que ela faça sentido, é necessário estimular os alunos a

optarem pelo desenho da planta baixa de cômodos da escola, como a sala dos professores ou a cozinha, por exemplo,

que possam ser modelados por polígonos irregulares.

Para realizar esta atividade, você, professor, irá distribuir uma folha de papel pardo ou 40 kg para cada grupo de

alunos. No desenvolvimento da atividade, irá pedir que escolham um cômodo da escola, desenhem sua planta baixa

e, em seguida, tentem calcular sua área.

O ato de desenhar a planta de um ambiente começa propondo uma reflexão sobre a relação entre o que será

desenhado e o que existe na realidade. Assim, solicita a definição de uma escala e, por fim, a utilização de uma régua.

É importante que você, professor, esteja atento à maneira como os alunos desenham, isto é, como utilizam a ré-

gua, e como definem a escala. Vale lembrar que, embora a régua graduada em centímetros seja uma ferramenta comum

na escola, mesmo os alunos de níveis de ensino mais elevados podem apresentar dificuldades para usá-la. Um equívoco

frequente é considerá-la a partir da indicação do número 1, desprezando-se o centímetro que se antepõe a ela.

No segundo momento da atividade, você irá questioná-los sobre as possibilidades de emprego das fórmulas

que eles conhecem para o cálculo de áreas de polígonos regulares para a obtenção da área desejada. E, uma vez que

estas fórmulas não se empregam, peça-lhes sugestões do que deve ser feito para obtenção da área desejada. Depois

de muito refletir, você pode apresentar a triangulação como uma alternativa.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 123

Aspectos pedagógicos

Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você relembre com seus alunos a fórmula da

área do triângulo e também o conceito de altura de um triângulo. Mostre que um triângulo possui três alturas. Dê

exemplos de que, independente do lado que se tome como base, a área do triângulo não se altera. Uma vez que a

planta desenhada esteja dividida em triângulos, os alunos precisarão lançar mão destas ideias para o cálculo da área.

Pode ser útil que os alunos registrem todas as medidas que precisarem obter para o cálculo da área de cada

triângulo. A verbalização das medidas obtidas pode não ser suficiente para que eles selecionem adequadamente

aquelas que vão ser empregadas em cada cálculo. Enquanto estiverem realizando as medições, peça-lhes que preen-

cham uma tabela como a que segue. Certamente, isto irá ajudá-los na organização das ideias.

Base Altura Área

Triângulo I

Triângulo I

(...)

Durante a atividade esteja atento aos cálculos que os alunos efetuam. Muitos alunos ainda apresentam dificul-

dades na realização de cálculos. Como este não é o foco da aula, sugerimos que você incentive o uso de calculadoras.

É desejável ainda que, ao final desta atividade, você procure comparar os resultados dos diferentes grupos.

Um cômodo notadamente maior que outro teve o resultado para a sua área maior que o do outro? Grupos diferentes

que escolheram desenhar a planta baixa de um mesmo cômodo chegaram ao mesmo resultado? Quais as causas das

possíveis diferenças?

Completando as discussões iniciadas nesta atividade, não deixe de realizar aquelas que estão presentes no

material do aluno.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Área do Círculo

Círculos ane-xos no arquivo Área do Círcu-lo, disponibi-lizado no pen

drive, folha A4, tesoura e cola.

A atividade trabalha a área de polígonos irregulares

formados a partir de recor-tes de um círculo, e compara

suas áreas.

A turma deve-rá ser dividida em 4 grupos.

30 minutos

124

Aspectos operacionais

Para essa atividade cada grupo receberá um dos quatro círculos de raio R do arquivo Área do Círculo, disponibi-

lizado no pen drive. Peça aos alunos que, com o auxílio de uma tesoura, recortem o círculo dado, os setores circulares

e reagrupe-os como nas figuras do arquivo. Em seguida, eles deverão colar essa montagem em uma folha A4 em

branco. Pergunta-se:

a. A figura construída pelo grupo é um polígono regular?

b. A que polígono regular a figura se assemelha?

c. Quais são as dimensões da figura (altura e comprimento)?

d. Como podemos calcular a medida da área da figura que você formou (lembre-se que ela se assemelha a um polígono regular já conhecido)? Qual é a fórmula?

e. Qual é a relação entre a medida das áreas da figura construída e do círculo inicial?

f. Então, qual é a medida da área do círculo?

g. Compare as figuras construídas pelos outros grupos e suas respectivas respostas.

Aspectos pedagógicos

O primeiro aspecto a ser discutido com a turma é sobre a figura construída ser um polígono irregular, mas cuja

área se assemelha a de um polígono regular já conhecido deles, que é o paralelogramo. Uma breve revisão sobre área

de polígonos regulares pode ajudá-los a responder com mais facilidade os itens (a) e (b).

No item (c) é preciso reconhecer que a altura do paralelogramo corresponde ao raio da circunferência e que

sua base é a metade do comprimento da circunferência. Como eram 4, 8, 16 e 32 setores no total, a base é formada por

2, 4, 8 e 16 setores, tendo como comprimento ½(2πr) = πr. Lembre-se que estamos trabalhando com aproximações.

Dessa forma, eles poderão obter a medida da área do polígono irregular fazendo a multiplicação da base pela altura,

chegando a fórmula A = πR².

É necessário que os alunos percebam que a área do polígono irregular e do círculo possuem a mesma medida,

já que o polígono foi construído a partir dos recortes desse círculo. Dessa forma, a área do círculo também será dada

pela fórmula A = πR².

Professor, mesmo que a turma esteja dividida em grupos, é importante que haja interação entre os alunos.

Peça que eles comparem as figuras construídas a partir dos recortes do círculo e verifiquem que a medida da área

dessa figura é a mesma em todos os grupos.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 125

Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno

180 a 183

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Malha quadri-culada x Trian-

gulação

Folha de ati-vidades com

figuras planas irregulares

desenhadas sobre a malha quadriculada e sobre o papel sem malha ao fundo, régua.

A atividade propõe o cálculo de área de polígonos irregu-lares por meio da utilização

da malha quadriculada e por meio da triangulação.

A atividade pode ser re-alizada em

duplas.

30 minutos

Aspectos operacionais

Nesta atividade, propomos o cálculo de área de polígonos irregulares por meio da utilização da malha quadri-

culada e por meio da triangulação. A ênfase está na comparação entre os valores obtidos nos dois processos.

A atividade prevê a utilização de polígonos irregulares desenhados sobre a malha quadriculada e sobre o pa-

pel sem malha ao fundo.

Para realizar esta atividade, você, professor, irá distribuir entre os alunos, as folhas de atividades com os respec-

tivos desenhos. No desenvolvimento da atividade, irá pedir para que calculem a área dos polígonos primeiro, con-

tando as unidades quadradas e, em seguida, voltando-se para as mesmas figuras feitas fora da malha, empregando

o método da triangulação.

As questões propostas para cada método começam favorecendo dois tipos de reflexão. A primeira se refere ao

tipo de aproximação que se pretende obter, pois, dependendo das escolhas que façam (contar apenas os quadradi-

nhos que estão dentro do polígono ou contar também com aqueles que têm partes dentro e partes fora), os alunos

podem chegar a um valor inferior ou superior à área desejada. A segunda se refere à unidade de medida que deve

ser empregada na medição das linhas dos triângulos obtidos na triangulação. Note que, para que possamos estabe-

lecer comparações entre os valores encontrados nos dois métodos, é necessário que eles estejam com as mesmas

unidades de medida. Assim, as linhas dos triângulos que os alunos utilizarão no cálculo da área devem ser medidas

utilizando-se como unidade o lado do quadrado da malha. Por isso, junto com a folha de atividades, segue uma régua

graduada nesta unidade para que os alunos recortem e usem-na nas suas medições.

No segundo momento da atividade você, professor, irá refletir com os grupos sobre espaços conhecidos por

eles que podem ser modelados por polígonos irregulares. Em que tipo de circunstâncias seria necessário calcular

a área destes espaços? Qual método é mais adequado para a obtenção da área? Qual é mais trabalhoso? Com que

método obtemos medidas mais precisas? Em que situações do dia a dia necessitamos de medidas precisas? Em quais

podemos abrir mão da precisão e trabalhar com estimativas?

126

Aspectos pedagógicos

Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você sinalize para os seus alunos que, com ambos

os métodos, a intenção é a mesma: o cálculo da área do polígono irregular que se encontra desenhado tanto na malha

quadriculada quanto na parte lisa do papel. Isto porque pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que alguns

alunos não “conservam” a noção de área. Pensam, por exemplo, que, se mudarmos a posição do polígono, sua área irá se

alterar. Se eles constroem esta falsa ideia quando ocorre uma simples mudança de posição, podem muito bem seguir no

mesmo caminho equivocado quando propomos métodos diferentes para o cálculo da área, você não acha?

É importante que os alunos registrem, além das respostas, os dados coletados em cada etapa de cada método

e ainda organizem seus cálculos no caderno. Você pode investir na diversificação das representações pelos alunos.

Quanto mais representações eles associarem a um conceito, mais eles avançarão no seu processo de construção. A

verbalização e os desenhos são apenas duas formas de representarmos as ideias associadas ao cálculo da área de po-

lígonos irregulares. A linguagem matemática, escrita no caderno ou no quadro, é mais uma representação poderosa

que, quando bem compreendida, torna-se uma aliada do processo de construção de conceitos matemáticos. Convi-

dar seus alunos para irem ao quadro registrar seus cálculos e depois explicarem seus raciocínios para a turma é uma

boa estratégia que integra diferentes tipos de representação.

Durante a atividade esteja atento à possibilidade de alguns alunos ainda não terem construído efetivamente

o conceito de área. Você pode aproveitar a contagem dos quadradinhos da malha para resgatar este conceito. Afinal,

se ele não estiver bem consolidado, o restante da aula pode ficar sem sentido.

Utilize a segunda parte da aula para promover a interação entre os alunos e, uma vez mais, mostrar-lhes apli-

cações do que está sendo estudado. Relembre situações de calçamento de assoalho com pisos, cobertura de paredes

com azulejos ou papel de parede, colocação de forros em tetos, entre outras tarefas que requerem o cálculo de áreas.

Você pode ressaltar que, em todos estes casos, podem-se usar estimativas. Entretanto, se a estimativa for inferior à

área onde se pretende trabalhar, pode ocorrer falta de materiais para a conclusão do serviço.

Ao final desta atividade, você ainda poderá descobrir que alguns alunos trabalham no ramo da construção civil

ou qualquer outro que os leve a calcular ou estimar áreas. Permita-os que exponham seus métodos. Tente identificar,

se existirem, pontos de aproximação entre estes métodos e os que foram apresentados na atividade. Assim, os alunos

serão levados a perceber que a Matemática faz parte de suas vidas e que eles dominam, mesmo sem se darem conta,

uma gama considerável de conhecimentos matemáticos.

Folha de Atividades – Malha quadriculada x Triangulação

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________

Calcule a área dos polígonos irregulares apresentados abaixo, e em seguida, preencha a tabela. Nos polígonos

a esquerda você deverá utilizar a malha quadriculada, onde cada quadradinho representa 1 (uma) unidade de área.

Para os polígonos da direita, você deverá utilizar o método da triangulação.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 127

Fonte: Figura desenhada pela Conteudista Josemeri Araujo Silva Rocha.

Polígono irregularÁrea utilizando a malha

quadriculadaÁrea empregando o

método da triangulação

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

As áreas obtidas são iguais?

128

Seção 1 – Áreas irregularesPáginas no material do aluno

180 a 183

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Calculando o preço de venda dos terrenos

Folha de atividades.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

A atividade pode ser

realizada em duplas.

30 minutos

Aspectos operacionais

Nesta atividade propomos o cálculo do preço de venda de dois terrenos que estão representados por polígo-

nos irregulares. São conhecidos o valor do metro quadrado e a escala com que as representações foram construídas.

A ênfase está na obtenção da área pelo método da triangulação para, em seguida, efetuar a multiplicação do valor da

área por R$ 480,00, que é o preço de venda do metro quadrado de cada terreno.

Para realizar esta atividade, você irá distribuir entre os alunos, as folhas de atividades com os respectivos dese-

nhos. No desenvolvimento, irá questioná-los sobre as informações que são relevantes para resolução do problema e

a resposta esperada é a área de cada polígono, que os fará empregar o método da triangulação.

Aspectos pedagógicos

Assim como nas outras atividades voltadas para a triangulação, nesta atividade os alunos deverão medir os la-

dos de cada polígono e a altura de cada triângulo construído na triangulação. Mais uma vez recomendamos que você

preste atenção ao modo como os alunos manipulam a régua e como utilizam as informações relativas à escala de

construção dos polígonos. Além disso, continuamos sugerindo que você compare os resultados das duplas e discuta

com os alunos as causas das possíveis diferenças.

Insistimos novamente para que você não deixe de mostrar as aplicações deste conhecimento no dia a dia. Uma

maneira de fazer isso, que ainda não mencionamos anteriormente, é pedir aos alunos que pesquisem na Internet

plantas de terrenos ou mesmo de bairros. Diante deste material, que pode estar impresso ou na tela do computador,

você terá oportunidade de refletir com eles sobre o polígono mais adequado para representar estes elementos e o

uso da triangulação no cálculo de suas áreas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 129

Folha de Atividades – Calculando o preço de venda dos terrenos

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________

1. As figuras a seguir são plantas de terrenos que serão vendidos brevemente na região metropolitana do Rio de Janeiro. Se cada metro quadrado custará R$ 480,00, qual será o valor de cada terreno?

Observação: Os desenhos foram construídos na escala 1:1000, isto é, cada centímetro corresponde a 10 m.

Terreno A

Terreno B

Fonte: Figura desenhada pela Conteudista Gabriela Barbosa.

130

1. Complete a tabela a seguir:

Área total do terreno Valor da Venda

Terreno A

Terreno B

Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno

183 a 187

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Planificação do Cilindro e a

Área do Círculo

Embalagens em formato

cilíndrico, fo-lhas de papel

A4, réguas graduadas em centímetros.

A atividade propõe o cálculo da área de uma figura obtida por meio da planificação do

cilindro.

A atividade pode ser re-alizada em

grupos de 4 alunos.

30 minutos

Aspectos operacionais

Nesta atividade, propomos o cálculo da área da figura obtida por meio da planificação do cilindro. A ênfase

está na utilização da fórmula da área do retângulo, estudada na Unidade 7, para obtenção da área lateral do cilindro e

na utilização da fórmula da área do círculo, estudada nesta aula, para obtenção das áreas de suas bases.

A atividade prevê a manipulação de objetos cilíndricos, a planificação e o desenho do cilindro e de sua planificação.

Para realizar esta atividade, você pode pedir, previamente, aos alunos que tragam de suas casas embalagens

de produtos que tenham consumido, objetos e outros pertences cujas formas se assemelham a um cilindro. No de-

senvolvimento da atividade, você irá pedir para que imaginem e depois desenhem no papel A4 o que imaginaram

para a planificação destes objetos. Finalizando, sob o pretexto de fazerem um molde para a confecção de novas

embalagens com o mesmo formato das que planificaram, devem calcular as áreas das planificações para saberem a

quantidade de papel a ser gasta.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 131

As questões propostas para cada etapa da atividade (manipulação, planificação e cálculo da área da planifica-

ção) favorecem dois tipos de reflexão. A primeira se refere às figuras que surgirão na planificação e aos procedimentos

envolvidos neste processo. Em alguns casos, os alunos poderão rasgar ou cortar os objetos para planificá-los, porém,

é necessário outro procedimento para a planificação de objetos rígidos ou que ainda vão ser reutilizados que não

consista na sua destruição. Nesse sentido, a utilização de folhas retangulares para “embalar” os objetos, a retirada dos

rótulos das embalagens e o contorno com lápis das bases apoiadas no papel onde se pretende desenhar a planifica-

ção, podem ajudar. A segunda se refere à unidade de medida que deve ser empregada no desenho da planificação.

Note que, para que possamos obter quantos centímetros quadrados de papel serão gastos na reprodução das formas

dos objetos, ou seja, para obtermos a área total dos cilindros, é necessário que, no desenho das planificações, a cada

linha seja atribuída sua medida real. Mesmo que, no desenho, as linhas não tenham estas medidas, você terá aí uma

boa oportunidade de refletir com seus alunos sobre a importância das escalas. Se ainda assim, você julgar que falar

sobre escalas poderá lhe fazer fugir um pouco do foco da aula, você pode argumentar com seus alunos que os dese-

nhos deles são apenas esboços da realidade. Então, não deixe de comentar também sobre como os esboços podem

nos ajudar a entender e a resolver problemas de Geometria.

No segundo momento da atividade, você, professor, irá refletir com os grupos sobre as circunstâncias do dia

a dia, do comércio e da prestação de serviços em geral em que é preciso planificar objetos e calcular as áreas destas

planificações. Além disso, você pode solicitar deles exemplos de situações em que terão que calcular novamente área

de círculos. Observe que, assim como nas atividades para a seção 1, propomos aqui uma reflexão sobre os contextos

em que os conceitos estudados podem ser aplicados. É, por meio destas reflexões que os alunos conseguirão perce-

ber as utilidades daquilo que aprendem na escola. No caso da área dos círculos, há praças e jardins cujas formas se

assemelham a círculos, há serviços como colocação de grama e pintura cujos valores são dados em função da área

trabalhada, entre outras coisas.

Aspectos pedagógicos

Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que, sempre que possível, você sinalize para os seus

alunos que o cilindro é uma figura tridimensional e sua planificação é uma figura bidimensional. Isto porque, se não

tiverem esta distinção bem clara, os alunos podem acabar confundindo os conceitos de volume e área.

Como já mencionamos em outras atividades, os registros, quer utilizando desenhos, quer utilizando a lingua-

gem matemática, têm muito valor no processo de ensino-aprendizagem. Além disso, a manipulação de objetos torna

este processo mais significativo e favorece a abstração dos conceitos apreendidos na situação. Por mais que, com

base no que observam dos objetos manipulados, seus alunos tenham sucesso nas questões que você lhes propuser,

procure contribuir para que eles abstraiam os conceitos, falem e tirem conclusões sobre os objetos sem que, neces-

sariamente, eles estejam por perto. A abstração cria condições para que os alunos apliquem os conhecimentos cons-

truídos na situação proposta nesta atividade a outros tipos de situação.

Por fim, durante a atividade, esteja atento à possibilidade de alguns alunos, apressadamente, levantarem a hipó-

tese de que, planificando um cilindro, obterão apenas um círculo. Se isso acontecer, você pode insistir na manipulação

ou levar para a sala de aula, já construídos, alguns cilindros de papel e permitir que sejam recortados e planificados.

132

Seção 2 – A área do círculoPáginas no material do aluno

183 a 187

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Áreas de figuras

hachuradas

Folha de atividades e tesoura sem

ponta.

São propostas três situações para o cálculo da área de

figuras hachuradas.

A atividade pode ser re-alizada em

duplas.

30 minutos

Aspectos operacionais

Nesta atividade propomos três situações para o cálculo da área de figuras hachuradas. A ênfase está na utiliza-

ção da fórmula da área do quadrado, estudada anteriormente, na utilização da fórmula da área do círculo, estudada

nesta unidade e na escolha adequada da operação a ser realizada com os valores encontrados para a obtenção das

áreas desejadas. Apenas na primeira situação proposta não se utiliza a fórmula da área do quadrado.

A atividade prevê que os alunos recortem as figuras para que possam identificar mais seguramente que fórmu-

las devem empregar e que cálculos devem efetuar além daqueles envolvidos nas fórmulas.

Comece discutindo o significado da palavra “hachurada”, pois ela não pertence ao vocabulário da maioria dos

alunos. Insistimos no seu uso, pois é comumente empregada na matemática.

Para realizar esta atividade, você pode pedir, previamente, aos alunos que tragam de casa tesouras sem pontas para

que possam recortar as figuras que desejarem. No desenvolvimento, irá reforçar a solicitação dos enunciados presentes na

ficha de atividades. Enfatize que não é possível resolver o problema, empregando-se apenas uma fórmula, entretanto as

fórmulas são necessárias numa primeira etapa da solução. Caso os alunos sintam dificuldades, você pode incentivá-los a

recortar as figuras que são ampliações daquelas presentes nos enunciados e seguem anexas à ficha de atividade.

Finalizando, você pode pedir às duplas que exponham seus procedimentos para resolverem os três problemas.

Na primeira questão, que área calcularam primeiro: a do círculo menor ou a do círculo maior? Na segunda e na terceira

questão, calcularam primeiro a área do quadrado ou a área dos setores circulares? A ordem destes cálculos faz alguma

diferença? E, depois, quando eles tiveram que efetuar a subtração para obterem a área hachurada, a ordem dos valo-

res envolvidos nesta operação influencia no seu resultado?

Depois de esgotar as reflexões acima, você ainda pode solicitar dos alunos exemplos de elementos do nosso

cotidiano que se assemelham às figuras hachuradas nas questões. Eles podem identificar a primeira figura com um

CD, a segunda com acabamento de grades usadas em muros e portões de casas e a terceira com folhas de alguns

tipos de plantas. Mais uma vez, você estará tendo oportunidade de contextualizar o estudo, mas não deixe de escla-

recer que são apenas semelhanças, pois os elementos do nosso cotidiano são bidimensionais e as figuras planas são

idealizações dos matemáticos.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 133

Aspectos pedagógicos

Professor, durante a execução da atividade, é aconselhável que você sinalize para os seus alunos que, na pri-

meira questão, temos uma coroa circular e, nas outras duas, temos dois setores circulares. Na segunda, o setor corres-

ponde a ¼ da circunferência cujo raio é o lado do quadrado e, na terceira, o setor corresponde à metade da circunfe-

rência cujo raio é o lado do quadrado. Neste último caso, também costumamos empregar o termo semicircunferência.

É importante que os alunos percebam que, de acordo com o valor que adotarem para π, poderão encontrar

resultados diferentes. Na primeira questão, aqueles que adotarem π = 3 encontrarão um número menor que o encon-

trado por aqueles que fizerem π = 3,14. Já nas outras duas questões, isto se inverterá.

Recomendamos que, logo de início, você defina com eles que valor deverão atribuir a π. Se você decidir por

3,14, terá, aí, uma boa oportunidade para que seus alunos utilizem a calculadora durante a aula. Se a ideia da calcula-

dora ainda não lhe agrada ou, mesmo, se seus alunos não tiverem calculadora, você pode aproveitar para fazer uma

revisão da multiplicação de números decimais. A aula transcorrerá mais lentamente, mas a construção dos conceitos

não ficará comprometida. Além disso, observe que algumas manipulações algébricas como, por exemplo, colocar o π

em evidência na primeira questão antes de substituí-lo por qualquer valor, podem agilizar os cálculos.

Por fim, também não se esqueça de alertá-los que há possibilidade de não substituir o π por nenhum valor e

deixa-lo indicado na notação da solução da questão como é comum em algumas provas de concurso.

Folha de Atividades – Áreas das Figuras Hachuradas

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________

1. Considerando que os círculos da figura abaixo possuem o mesmo centro, calcule a área da figura hachurada:

134

2. Considerando que o lado do quadrado é 4 cm, calcule a área da figura hachurada:

3. Considerando que o lado do quadrado é 10 cm, calcule a área da figura hachurada:

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de atividades

Verificar e registrar as aprendizagens matemáticas

adquiridas com o estudo desta unidade.

Individual 40 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 135

Aspectos operacionais

Sugerimos que você utilize o último tempo de aula desta unidade para a avaliação do desenvolvimento das

habilidades pretendidas. Dividiremos nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.

Aspectos pedagógicos

Etapa 1: Registros de aprendizagem

Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível nas páginas 187 e 188 do material do aluno.

Caso você siga nossa estimativa de aulas para abordar o conteúdo, esperamos que no terceiro dia seja possível

realizar com seus alunos um momento de consolidação do que foi estudado. Você pode propor que o aluno registre

individualmente na folha de atividades disponível para reprodução no pen drive as aprendizagens matemáticas ad-

quiridas com o estudo desta unidade.

Para auxiliá-lo, propomos a seguir algumas questões para os alunos responderem, que podem complementar

as suas no que diz respeito à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas.

1. Qual foi o conteúdo matemático estudado nesta unidade?

2. Você poderia definir com suas próprias palavras o que significa área de uma figura plana? E perímetro, como você definiria?

3. Qual o método descrito no livro texto que é usado para o cálculo de áreas de regiões poligonais? No que consiste tal método?

4. Cite dois modos distintos para calcular a área de um triângulo.

5. Cite algumas situações do cotidiano em que é desejável conhecer o conceito de área de um círculo.

Certifique-se de fazer com que os resultados deste momento de avaliação indiquem os pontos em que os

alunos que ainda não conseguiram êxito no aprendizado. Parabenize e elogie o quanto for necessário, para que este

momento de avaliação se torne agradável.

Ao final de seus registros de avaliação, compartilhe as informações com os alunos. Indique exercícios e ativida-

des para que as dúvidas e erros possam ser devidamente contornados.

Etapa 2: Questões objetivas

Sugerimos nesta etapa, a escolha de questões objetivas que contemplem uma habilidade pretendida nesta

unidade para compor o instrumento avaliativo. Se desejar, você pode escolher, a seu critério, uma das questões pro-

postas na seção “O que perguntam por aí?” disponível nas páginas 191 e 192 do material do aluno ou ainda buscar

outras questões de acordo com o perfil da sua turma. A ideia é que além de avaliar o aprendizado, o aluno se familia-

rize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como Enem, vestibulares, concursos etc.

136

Deixamos aqui mais algumas sugestões de atividades objetivas para serem exploradas em sala de aula.

Observe a figura abaixo, a qual refere-se as questões objetivas 1 e 2.

Unidade de comprimento

Questão objetiva 1

Assinale a sentença que traduz uma afirmação verdadeira.

a. O perímetro da figura é menor que 4 unidades de comprimento.

b. O perímetro da figura é igual a 4 unidades de comprimento.

c. O perímetro da figura é menor que 8 unidades de comprimento.

d. O perímetro da figura é maior que 8 unidades de comprimento.

Questão objetiva 2

Assinale a sentença que traduz uma afirmação verdadeira.

a. A área da figura é menor que 4 unidades de área.

b. A área da figura é igual a 4 unidades de área.

c. A área da figura é maior que 5 unidades de área.

d. A área da figura é igual a 8 unidades de área.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 137

Questão objetiva 3

Uma roda gigante tem 8 m de raio. Quanto percorrerá uma criança na roda gigante em 6 voltas no brinquedo?

Fonte: http://www.flickr.com/photos/marianapekin/2242221221/

a. 196 m

b. 224 m

c. 288 m

d. 300 m

Folha de Atividades – Avaliação

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome do(s) Aluno(s): _________________________________________________________________

Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na Unidade 8 e registre as aprendizagens mate-

máticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder às questões a seguir:

138

1. Qual foi o conteúdo matemático estudado nesta unidade?

2. Você poderia definir com suas próprias palavras o que significa área de uma figura plana? E perímetro, como você definiria?

3. Qual o método descrito no livro texto que é usado para o cálculo de áreas de regiões poligonais? No que consiste tal método?

4. Cite dois modos distintos para calcular a área de um triângulo.

5. Cite algumas situações do cotidiano em que é desejável conhecer o conceito de área de um círculo.

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

207 a 209

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ConsolidandoMaterial

didático do aluno

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente

40 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 139

Aspectos operacionais

A seção “Voltando à conversa inicial”, na página 188, pode ser o ponto de partida para uma revisão e sugere

uma consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade. É possível fazer uma reflexão mais detalhada

do texto apresentado em “Para início de conversa...” (p. 179), onde é discutido que nem todos os polígonos possuem

fórmulas específicas para cálculo da medida de sua área.

Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-

tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como

um valioso exercício de revisão.

Aspectos pedagógicos

O problema inicial propõe uma situação em que o aluno precisa calcular a área de um terreno e a única coisa

que sabe é que a planta dele foi feito na escala 1:100, ou seja, cada centímetro equivale a 1 metro, como mostra a

imagem a seguir.

A pergunta é: quanto mede a área desse terreno?

A questão inicial é resolvida no material do aluno (p. 188), onde o método da triangulação é apresentado . É

importante que haja uma discussão coletiva com a turma antes da consulta a solução do problema. No caso de dificul-

dades por parte dos alunos em calcular a área dos triângulos que formam a figura, o texto mostra que é possível calcular

esta área de duas maneiras distintas. Permita que seus alunos escolham a que melhor se adequa ao problema.

140

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

211 e 212

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

ENEM 2010

Imagem disponível no

material do professor

Questão dissertativa que complementa a seção “O que

perguntam por aí?”

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente

10 minutos

Aspectos operacionais

Na seção O que perguntam por aí? do material do aluno são apresentadas duas questões do ENEM que envol-

vem o conceito de comprimento da circunferência. Escolhemos, para esta atividade, a questão do ENEM 2010, p. 192.

Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível no seu pen drive e pedir que os alunos discutam e

resolvam a questão proposta.

Aspectos pedagógicos

Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas

por eles, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.

É possível que alguns alunos optem pela alternativa (d), onde a resposta é dada pelo comprimento da circunfe-

rência de raio R. Isso pode acontecer por eles não estarem atentos ao fato do bloco se deslocar por dois comprimen-

tos da circunferência da base do rolo cilíndrico, como mostra a imagem a seguir.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 141

Referências

� Caed. Projeto Entre Jovens. Instituto Unibanco. Universidade Federal de Juiz de Fora. p.142 e 143. 2011

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 143

Anexo: Seção 2 – A área do círculo

Figuras para recorte

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 145

Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 9

A Função do 1° grauÉrika Silos de Castro, André Luiz Martins Pereira, Leo Akio Yokoyama e Luciana Felix

da Costa Santos

IntroduçãoNa unidade 9 do material do aluno são apresentadas várias situações que

retomam o conceito de função, enfocando a Função Polinomial do 1° grau. Nesta

unidade, o aluno terá a oportunidade de relacionar as representações gráfica e

algébrica, além de identificar propriedades desse tipo de função.

Para potencializar o material didático do aluno, pesquisamos alguns recur-

sos e atividades que talvez possam ajudar a você, professor, a ampliar possibilida-

des para exploração deste tema em suas aulas.

Sugerimos que a primeira aula dessa unidade se inicie com uma atividade dis-

paradora. Esta é uma atividade proposta para ser realizada em grupo, promovendo

uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, é esperado que eles desenvolvam

algumas noções básicas relacionadas ao conceito de função polinomial do 1° grau.

Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático do aluno.

Sugerimos as suas realizações nas aulas subsequentes à aula inicial de acordo

com a realidade da sua turma. Recomendamos que sejam feitas alterações e

adaptações quando necessárias.

Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em

dois momentos: o primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado

durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retoma-

da de questões que surgiram durante o seu estudo e o segundo, um momento

de avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos que comple-

mentem as atividades e exercícios resolvidos durante as aulas.

Uma descrição destas sugestões está colocada nas tabelas a seguir, e seus

detalhamentos no texto que segue.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

146

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemática 2 1 9 3 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

A Função do 1° grau Função polinomial do 1° grau

Objetivos da unidade

Reconhecer a expressão que traduz uma função do primeiro grau;

Reconhecer e traçar gráficos de funções do primeiro grau;

Utilizar funções do primeiro grau na resolução de problemas.

SeçõesPáginas no material do

aluno

Para início de conversa... 197 e 198

Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grau 199 a 206

Momento de reflexão 206

Voltando à conversa inicial... 207 a 209

Veja ainda... 209 e 210

O que perguntam por aí? 211 e 212

Respostas das atividades 213 a 217

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 147

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.

Applets

São programas que precisam ser instalados em computadores ou smart-phones disponíveis

para os alunos.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

148

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Aplicando Funções de

Primeiro Grau no Dia a Dia

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta e papel.

Esta atividade propõe a apre-sentação de um problema

contextualizada, cuja solução é dada usando a teoria de

funções, em particular, funções polinomiais do

primeiro grau.

Turma dividida em grupos de 3 ou 4 alunos.

30 minutos

Analisando Gráficos de Funções do

Primeiro Grau

Cartas para recorte, folha de atividades, lápis/caneta.

Esta atividade apresenta 5 funções polinomiais do primeiro grau e propõe que o aluno relacione a

representação gráfica com a algébrica dessas funções, além de destacar a impor-

tância do coeficiente angu-lar e coeficiente linear. Para

isso, propomos um jogo de cartas em que os alunos precisarão associar 3 cartas correspondentes para cada função dada: gráfico, lei de

formação e coeficientes.

A atividade pode ser dupla

ou em trio. 30 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 149

Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno

199 a 206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Custo da passagem de

ônibus

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Esta atividade pode servir como complementar às ativi-dades propostas na Situação Problema 1, da seção 1 (pági-nas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar

a definição de função, a identificação de variáveis

dependente e independente, a identificação do domínio

da função e a determinação do valor da função para um determinado valor do do-

mínio – como podemos ob-servar nas atividades de 1 a 3 – esta atividade traz a pos-sibilidade de exploração de

outro aspecto importante no estudo de uma função do 1º grau, que é o reconhecimen-to de um padrão numérico a partir de dados expressos em uma tabela como base para

escrita de uma expressão algébrica que a represente,

o que pode servir como uma forma de interligação entre as atividades propostas na situação 1 e na situação 2.

Turma dividida em duplas ou

trios40 minutos

Entrega de encomendas

Computadores com o progra-ma Geogebra

instalado, folha de papel para efetuar os

registros.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

Turma dividida em duplas ou

trios40 minutos

Função de primeiro grau no Geogebra

Computadores com o progra-ma Geogebra

instalado, folha de papel para efetuar os

registros.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

A atividade pode ser dupla

ou em trio40 minutos

150

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

211 e 212

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Atividade 1 – ENEM 2008

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do mate-rial do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM 2008 que envolve a representação

gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo

e distância percorrida. Você poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Turma dividida em duplas

Atividade 2 – ENEM 2011

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno.

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, ques-tão do ENEM 2011 envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem

corrente (situação-problema) para uma representação al-gébrica (matemática). Você

poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Turma dividida em duplas

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

207 a 209

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Consolidando

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno.

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 151

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de ativi-dades, mate-rial do aluno, lápis/caneta.

Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas

etapas: registro de apren-dizagens e questões tanto

objetiva como dissertativas, a serem escolhidas a critério

do professor.

Participação individual dos

alunos40 minutos

152

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Aplicando Funções de

Primeiro Grau no Dia a Dia

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta e papel.

Esta atividade propõe a apre-sentação de um problema

contextualizada, cuja solução é dada usando a teoria de

funções, em particular, funções polinomiais do

primeiro grau.

Turma dividida em grupos de 3 ou 4 alunos.

30 minutos

Aspectos operacionais

O objetivo principal da atividade é mostrar ao aluno que a matemática está fortemente presente no seu dia a

dia. Isso pode motivar e facilitar o seu estudo.

� Professor, distribua uma folha de atividades para cada grupo e inicie uma discussão e reflexão a partir da

situação cotidiana proposta.

� Solicite que os alunos reflitam sobre a situação apresentada e tentem representá-la matematicamente de

acordo com as questões propostas na folha de atividades, disponível para reprodução neste material.

Aspectos pedagógicos

� Solicite que a turma se organize em grupos de 3 ou 4 alunos;

� Ao apresentar a situação-problema para os alunos, oriente-os no preenchimento da tabela e nas questões

propostas pela atividade;

� É possível levantar uma discussão sobre os pontos entre os números inteiros, e perceber que suas coordenadas também estão na reta que representa o gráfico da função. Por exemplo, entre os valores

de t=1 e t=2 possuem infinitos pontos, e todos eles possuem seus correspondentes e cujas coordenadas

estão na reta.

� Também é importante, mostrá-los que neste caso, os valores de t e v são sempre positivos, uma vez que não

faz sentido nesta situação, que as horas trabalhadas e os valores recebidos, em reais, sejam negativos. Esta

observação introduz a ideia de domínio e imagem da função;

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 153

� Outra discussão relevante é a respeito da relação de crescimento entre as duas variáveis envolvidas. Aqui,

é possível mostrá-los que quanto mais horas trabalhadas, maior será o valor recebido. Esta ideia permite a

abertura de uma discussão sobre funções crescentes e decrescentes.

� Espera-se que com esta atividade, os alunos consigam identificar uma função polinomial do primeiro grau

a partir de uma situação contextualizada e a partir daí, possam refletir sobre as propriedades matemáticas

envolvidas na situação apresentada, identificando diferentes formas de representações (gráfica e algébrica) e

explorando suas propriedades, como por exemplo que o gráfico desta função é representado por uma reta.

Folha de Atividades – Aplicando Funções do Primeiro Grau no dia a dia

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Situação do Cotidiano: Salário x Tempo de Trabalho

Uma companhia de tele-marketing paga R$ 4,00 por hora de trabalho aos seus atendentes.

A partir desses dados, complete a tabela a seguir:

Horas trabalhadas (t)Valor , em reais, a ser rece-

bido (v)(t, v)

1

2

5

6

8,5

10

t

A partir da tabela:

� Identifique a variável dependente e a independente no problema proposto.

� Tente encontrar uma lei matemática para representar a relação entre o número de horas trabalhadas e o

valor a ser recebido, em reais.

Agora, responda:

154

� Quantas horas por semana deverá trabalhar uma pessoa que pretende um salário semanal de R$ 68,00?

� Quanto irá receber um atendente que trabalhar 120 horas num mês?

� Quantas horas deverá trabalhar um atendente para que possa comprar um aparelho de som que custa R$

140,00?

� Localize, se possível, os pontos (t, v) no plano cartesiano a seguir e identifique o padrão geométrico deter-

minado por estes pontos.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 155

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Analisando Gráficos de Funções do

Primeiro Grau

Cartas para recorte, folha de atividades, lápis/caneta.

Esta atividade apresenta 5 funções polinomiais do primeiro grau e propõe que o aluno relacione a

representação gráfica com a algébrica dessas funções, além de destacar a impor-

tância do coeficiente angu-lar e coeficiente linear. Para

isso, propomos um jogo de cartas em que os alunos precisarão associar 3 cartas correspondentes para cada função dada: gráfico, lei de

formação e coeficientes.

A atividade pode ser dupla

ou em trio. 30 minutos

Aspectos operacionais

Cada grupo receberá um conjunto de 15 cartas, sendo 5 gráficos, 5 leis de formação e 5 com os coeficientes.

Após receberem estas cartas e associarem as diferentes representações, os alunos serão orientados a responderem

às questões propostas numa folha de atividades. As cartas e a folha de atividade estão disponíveis para reprodução

e recorte, em anexo, a este material.

� Professor, é importante que você reproduza as cartas e a folha de atividades com antecedência, de acordo

com o número de alunos da sua turma e recorte as cartas, disponíveis neste material para que possam ser

distribuídas para os grupos.

� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios e distribua 5 kits de 3 cartas para cada grupo, sendo

5 gráficos, 5 leis de formação e 5 cartas com coeficientes.

� Após esta etapa, você pode distribuir uma folha de atividades para cada grupo.

156

Aspectos pedagógicos

� Professor, primeiro você pode deixar os alunos analisarem as cartas recebidas e orientá-los a associá-las em

grupos de 3 cartas correspondentes a uma mesma função.

� Você pode orientá-los a analisarem os gráficos a partir da sua inclinação, crescimento ou decrescimento

das funções e do ponto em que o gráfico corta o eixo das ordenadas, associando estas propriedades com

os coeficientes da função.

� Caso os alunos apresentem dificuldades, você pode pedir que eles escolham um ponto em um dos gráficos

e tentem identificar em qual(is) das leis de formação é (são) satisfeita(s). O aluno poderá repetir este proce-

dimento até encontrar uma única lei que satisfaça o ponto escolhido.

� Ao final da atividade, você pode promover um debate a partir dos resultados obtidos no jogo de cartas e

na folha de atividades.

� Nesta atividade, esperamos que os alunos identifiquem as relações entre o gráfico, a lei de formação e os

coeficientes da função, e reconheçam diferentes formas de representar uma função polinomial do 1º grau.

Por exemplo, para a função f(x)=x, temos as 3 cartas correspondentes:

Folha de Atividades – Analisando Gráficos de Funções do Primeiro Grau

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 157

1. Esboce todos os gráficos das cartas no mesmo plano:

2. Quais das funções acima, os gráficos apresentam inclinação para a direita? E para a esquerda?

3.

a. Em que ponto cada uma das funções corta o eixo x?

b. Determine as raízes destas funções e diga se existe alguma relação dessas raízes com as abscissas dos pontos obtidos no item anterior.

158

4.

a. Em que ponto cada uma das funções corta o eixo y?

b. Existe alguma relação das ordenadas destes pontos com o coeficiente linear “b”? Escreva o que você observa.

5. Compare os coeficientes e os gráficos das funções f(x)= x e f(x)=-x e tente descrever, qual é a diferença e a relação entre eles. A partir daí, tente identificar o que determina a mudança na inclinação nas retas que representam os gráficos destas funções.

Questão Desafio

Com o conhecimento que foi adquirido no jogo de cartas, represente no plano cartesiano, as funções f(x)=

2x+1 e g(x) = -2x+1.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 159

Compare-as e tente descrever, qual é a diferença entre elas e o que determina a mudança na inclinação e os

pontos que tocam o eixo x, nas retas que representam os gráficos.

Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno

199 a 206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Custo da passagem de

ônibus

Folha de ativi-dades, lápis/

caneta

Esta atividade pode servir como complementar às ativi-dades propostas na Situação Problema 1, da seção 1 (pági-nas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar

a definição de função, a identificação de variáveis

dependente e independente, a identificação do domínio

da função e a determinação do valor da função para um determinado valor do do-

mínio – como podemos ob-servar nas atividades de 1 a 3 – esta atividade traz a pos-sibilidade de exploração de

outro aspecto importante no estudo de uma função do 1º grau, que é o reconhecimen-to de um padrão numérico a partir de dados expressos em uma tabela como base para

escrita de uma expressão algébrica que a represente,

o que pode servir como uma forma de interligação entre as atividades propostas na situação 1 e na situação 2.

Turma dividida em duplas ou

trios40 minutos

160

Aspectos operacionais

A atividade se propõe a descrever uma situação que relaciona o número de passageiros de uma linha de ôni-

bus e o valor da arrecadação. Consideramos que essa é uma situação problema atual, bastante próxima do cotidiano

da maior parte dos alunos da Nova EJA, que contribuirá para uma reflexão do aluno em relação ao contexto, possibi-

litando que este desenvolva um olhar crítico sobre alguns aspectos de sua realidade.

Com o valor da passagem de ônibus da região dos alunos, estes podem organizar os dados na tabela a seguir:

Número de passageiros

pagantes1 2 4 8

Valor arrecadado

pelo cobrador9

� Professor, é importante que você reproduza a folha de atividades, disponível neste material, com antece-

dência, de acordo com o número de alunos da sua turma.

� Após esta etapa, você pode distribuir uma folha de atividades para cada grupo.

Aspectos pedagógicos

� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.

� Primeiramente deixe-os analisar a situação problema, peça para que preencham a tabela com o valor da

passagem de ônibus local e resolvam as questões 1 e 2, intervindo apenas quando necessário;

� Na folha de atividades, as letras d) e e), assim como as letras f ) e g) solicitam do aluno o mesmo raciocínio,

porém com enunciados diferentes. Já, a questão 3 já fornece a fórmula e solicita detalhes sobre o que ela

representa. Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos,

questionando: a diferença entre as questões 2 a) e 3; e a semelhança entre as letras d) e e), assim como as

letras f ) e g).

Folha de Atividades – “Custo da passagem de ônibus”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 161

Com o valor da passagem de ônibus da sua região preencha a tabela a seguir:

Número de passageiros

pagantes1 2 4 8

Valor arrecadado

pelo cobrador9

1. Justifique por que essa situação se trata de uma função?

2. Determine:

a. a função que representa a relação entre o número de passageiros pagantes (p) e a arrecadação (A); ________________________________________________________________________.

b. a variável dependente; _______________________________________________________.

c. a variável independente; ______________________________________________________.

d. o valor arrecadado para 37 passageiros pagantes;____________________________________.

e. o valor de y=A(p) para p = 26, em que A(p) é a arrecadação e p é o número de passageiros pagantes; _____________________________________________________________________.

f. a quantidade de passageiros pagantes para uma arrecadação de R$150,00 (este valor deve ser um múl-tiplo do valor da passagem);_________________________________________________.

g. o resultado da equação A(p) = 180,00 (este valor também deve ser um múltiplo do valor da passagem). ___________________________________________________________________.

3. Uma dada empresa de ônibus calcula o valor da arrecadação com a seguinte fórmula: A(p) = 2,75.p, em que A(p) é o valor da arrecadação, em reais, e p é o número de passageiros pagantes.

a. Identifique o valor da passagem para esta empresa de ônibus. ___________________________.

b. Qual a arrecadação para 150 passageiros pagantes?__________________________________.

c. Quantos passageiros pagaram, se a arrecadação foi de R$ 825,00?_______________________.

162

Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno

199 a 206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Entrega de encomendas

Computadores com o progra-ma Geogebra

instalado, folha de papel para efetuar os

registros.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

Turma dividida em duplas ou

trios40 minutos

Aspectos operacionais

Esta atividade também pode servir como complementar às atividades propostas na Situação Problema 1, da

seção 1 (páginas de 199 a 201) do material do aluno. Além de trabalhar a definição de função, a identificação de va-

riáveis dependente e independente, a identificação do domínio da função e a determinação do valor da função para

um determinado valor do domínio – como podemos observar nas atividades de 1 a 3.

� Professor, distribua uma folha de atividades para cada grupo e inicie uma discussão e reflexão a partir da

situação cotidiana proposta.

� Solicite que os alunos reflitam sobre a situação apresentada e tentem responder as questões propostas na

folha de atividades, disponível para reprodução neste material.

Aspectos pedagógicos

� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios;

� Primeiro deixe-os analisar a situação problema;

� Antes de preencher as tabelas, o professor pode perguntar para a turma qual dos planos parece o melhor,

sem fazer contas. Em quais situações uma empresa é melhor que a outra.

� Peça para que preencham as tabelas com os valores do preço a ser pago por peso das encomendas nas

duas empresas;

� Com o preenchimento das tabelas já é possível vislumbrar qual empresa escolher com um determinado

peso de encomenda;

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 163

� Porém a construção gráfica é muito importante também. A visualização gráfica auxilia os alunos com outra

visão (não apenas das tabelas) da situação, ou seja, fica claro que o gráfico da empresa A cresce mais “rápi-

do” que o da empresa B, apesar de começar abaixo;

� Ao final da atividade, promova um debate sobre a atividade baseado nos resultados obtidos, questionan-

do: a relevância ou não das funções do 1º grau nas tomadas de decisão; e a semelhança entre as letras d)

e e), assim como as letras f ) e g).

Folha de Atividades – “Entrega de encomendas”

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Duas companhias de entregas de encomendas cobram os seguintes preços:

Empresa A: R$ 2,00 por quilo.

Empresa B: taxa fixa de R$ 10,00, mais R$ 0,50 por quilo.

a. Complete as tabelas a seguir, conforme as regras de cada empresa:

Empresa A Empresa B

Peso da encomenda (Kg)

Preço a ser pago (R$)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Peso da encomenda (Kg)

Preço a ser pago (R$)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

164

b. Determine a fórmula que fornece o preço a ser pago por peso da empresa A.

c. Determine a fórmula que fornece o preço a ser pago por peso da empresa B.

d. Use os valores das tabelas do item a) para marcar os pontos no plano cartesiano a seguir. Use uma cor para a empresa A e outra cor para a empresa B.

e. Se o peso de uma encomenda fosse 4 kg, qual a empresa que oferece o melhor preço?

f. E se o peso fosse 8 kg?

g. Qual o peso (valor inteiro) da encomenda a partir da qual a empresa B fornece o melhor preço?

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 165

Seção 1 – Conhecendo uma função de primeiro grauPáginas no material do aluno

199 a 206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Função de primeiro grau no Geogebra

Computadores com o progra-ma Geogebra

instalado, folha de papel para efetuar os

registros.

Esta atividade propõe a cons-trução de gráficos de funções polinomiais do primeiro grau

e a identificação de suas propriedades através de um software livre, o Geogebra.

A atividade pode ser dupla

ou em trio40 minutos

Aspectos operacionais

Essa atividade foi planejada para ser aplicada no laboratório de informática e propõe a familiarização e o reco-

nhecimento de diferentes representações e propriedades de uma função polinomial do 1º grau. Para isso, sugerimos

a você, professor, oriente seus alunos nos seguintes passos:

� Abrir o programa Geogebra;

� Clicar com o botão direito do mouse e escolha “malha”. Neste momento, aparecerá uma malha quadricula-

da no plano cartesiano representado na tela. Conforme figura a seguir:

� No canto inferior esquerdo da tela, no campo “Entrada”, digite a lei de formação de uma função polinomial

do 1º grau, por exemplo, f(x)= 2x-2 ou f(x)= 2*x-2 e pressione “enter”.

166

O software construirá automaticamente o gráfico desta função de primeiro grau.

� Observe que à esquerda, há a “Janela de Álgebra”, onde fica registrada a lei de formação da função. Esta

ferramenta permite que o aluno visualize a representação algébrica e gráfica simultaneamente.

� Após estes passos, você pode colocar no quadro uma tabela, conforme a seguir e solicitar que os alunos a

preencham, utilizando a mesma função trabalhada no software.

Valor de x y= 2x – 2 (x, y)

0

1

2

3

4

5

6

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 167

� De volta ao Geogebra, peça aos alunos para inserirem no campo “Entrada” os pontos obtidos na tabela

anterior, por exemplo, (0, -2) e pressione “enter”, após digitar cada ponto.

� Após estas digitações, espera-se que os alunos observem que os pontos obtidos recaem sobre a reta que

representa o gráfico da função.

� A seguir, peça para os alunos selecionarem com o mouse o ícone “Novo Ponto” e clicarem sobre um ponto

qualquer da reta.

168

Neste momento, surgirá um novo ponto sobre reta que representa a função y = 2x – 2. Os alunos poderão clicar

no ícone “Mover” para movimentar este novo ponto sobre a reta. Para isso, basta clicar em cima deste ponto com o bo-

tão esquerdo do mouse, segurá-lo e movimentá-lo. Espera-se que o aluno perceba que este ponto se move somente

sobre a reta que representa o gráfico da função.

� Por fim, você pode levar os alunos a observarem que conforme o ponto se movimenta sobre a reta, suas

coordenadas correspondentes vão variando e estas alterações podem ser observadas na “Janela da Álge-

bra” do software. Além disso, este ponto, quando sobreposto aos pontos obtidos na tabela, apresenta as

mesmas coordenadas daqueles.

� Com isso, os alunos poderão conferir que todos os pontos que obtiveram na tabela pertencem à reta dada

e perceber que sobre ela há infinitos pontos.

� A partir daí, você pode deixar os alunos criarem outras funções de primeiro grau no geogebra e observarem

como elas se comportam. Sugira a inclusão de um coeficiente angular “a” negativo.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 169

Aspectos pedagógicos

� Antes de realizar esta atividade é aconselhável que o professor teste-a. E se desejar complemente as ativi-

dades propostas.

� Solicite que os alunos organizem-se em duplas ou trios.

� Oriente os alunos a seguirem as instruções da atividade.

� É possível retomar a discussão sobre os pontos entre os números inteiros, e perceber que suas coordenadas

também estão na reta que corresponde ao gráfico da função. Por exemplo, entre os valores de x=1 e x=2 pos-

suem infinitos pontos, e todos eles possuem seus correspondentes e cujas coordenadas estão na reta.

� Outro ponto a ser questionado é sobre a limitação do software com relação à representação de números

irracionais. O computador só lida com números racionais e portanto não é possível representar todos os

números entre dois pontos quaisquer.

� Incentive seus alunos a criarem outras funções de primeiro grau. É importante fazê-los perceber o que

acontece quando variamos o coeficiente angular e o coeficiente linear.

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

211 e 212

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Atividade 1 – ENEM 2008

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do mate-rial do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM 2008 que envolve a representação

gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo

e distância percorrida. Você poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Turma dividida em duplas

170

Aspectos operacionais

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 1, é uma questão do ENEM

2008 que envolve a representação gráfica de uma função de primeiro grau, associando grandezas como o tempo e

distância percorrida. Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível neste material e pedir que os

alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Aspectos pedagógicos

� Após a resolução desta questão em aula, você pode promover uma análise coletiva das respostas encontradas

pelos alunos, com uma breve discussão a respeito dos possíveis erros (erros mais comuns) por eles cometidos.

Analisando as alternativas

A alternativa a) não define bem o que se entende por “carroça”. Ela é puxada por algum animal? Ou é somente

a carroça? Levando em conta um senso comum, uma carroça não levaria mais de 2 semanas para andar 10 km.

Na alternativa b) um carro normalmente anda a mais de 10km por hora, então não poderia levar mais de 2 dias

para andar 10 km.

Na alternativa d) uma bicicleta atinge no máximo uns 55km por hora, portanto não poderia alcançar 10km em

2 minutos.

Na alternativa e) um avião chega a 900 km por hora, 15km por minuto e 0,25km por segundo. Portanto não

poderia percorrer 10km em 2 segundos.

Resta apenas a alternativa c). É razoável que uma pessoa ande a 5km por hora, e 10km por 2 horas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 171

O que perguntam por aí?Páginas no material do aluno

211 e 212

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Atividade 2 – ENEM 2011

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno.

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, ques-tão do ENEM 2011 envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem

corrente (situação-problema) para uma representação al-gébrica (matemática). Você

poderá trabalhar esta propos-ta com a imagem disponível neste material e pedir que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

Turma dividida em duplas

Aspectos operacionais

Na página 211, seção O que perguntam por aí?, do material do aluno, a atividade 2, questão do ENEM 2011

envolve a transposição de uma função apresentada na linguagem corrente (situação-problema) para uma represen-

tação algébrica (matemática). Você poderá trabalhar esta proposta com a imagem disponível neste material e pedir

que os alunos discutam e resolvam a seguinte questão proposta:

O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo re-

gistrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve

incremento de 4300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada.

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros

meses do ano. Considerando-se que y e x representam respectivamente, as quantidades de trabalhadores

varejistas e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica

que relaciona essas quantidades nesses meses é:

a. y = 4.300 x

b. y = 884.905 x

c. y = 872.005 + 4.300 x

d. y = 876.305 + 4.300 x

e. y = 880.605 + 4.300 x

172

Aspectos pedagógicos

� Professor, procure discutir as soluções apresentadas pelos alunos, valorizando cada estratégia mesmo que

esta não tenha o conduzido a uma resposta verdadeira.

Analisando as alternativas

O aluno que marcar a alternativa a) pode ter apenas considerado o incremento (4300) e multiplicado pelo

número que representa os meses (x).

O aluno que marcar a alternativa b) soma 880 605 com 4300, obtendo 884 905, e o multiplica pelo número de meses.

O aluno que marcar a alternativa d) subtrai 4300 de 880 605, obtendo 876 305, e soma com o incremento

(4300) multiplicado pelo número de meses.

O aluno que marcar a alternativa e) considera 880 605, e o multiplica pelo número de meses.

A alternativa c) é o gabarito pois para x = 1 (janeiro) y = 872 005 + 4300 = 876 305;

para x = 2 (fevereiro) y = 872 005 + 4300*2 = 880 605.

Voltando à conversa inicialPáginas no material do aluno

207 a 209

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Consolidando

Imagem dis-ponível para

projeção neste material; mate-

rial do aluno.

Retoma às primeiras ques-tões da unidade como

revisão e sugere, a partir da seção “Voltando à conversa inicial...”, uma consolidação

do conceito de função

Turma orga-nizada em

duplas ou indi-vidualmente.

Aspectos operacionais

Na página 207, a seção “Voltando à Conversa Inicial” pode servir de motivação para esta revisão e sugere uma

consolidação dos objetos matemáticos trabalhados na unidade, a partir de uma reflexão mais detalhada do texto

apresentado em “Para início de conversa...” (p. 197), sobre como representar graficamente funções polinomiais do

primeiro grau.

Nesta etapa, esperamos que os alunos já tenham desenvolvido as habilidades necessárias ao alcance dos obje-

tivos de aprendizagem desta unidade. Por isso, acreditamos que a retomada às primeiras questões pode servir como

um valioso exercício de revisão.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 173

Aspectos pedagógicos

Professor, retome o problema proposto na seção “Para início de conversa...” do material do aluno, resgatando

as habilidades trabalhadas na unidade.

O problema apresentado é uma questão adaptada do Enem de 2009.

Uma empresa produz jogos pedagógicos com custos fixos de R$ 500,00 e custos variáveis de R$ 10,00 por

unidade de jogo produzida. Desse modo, o custo total para x jogos produzidos é dado por C(x) = 500 +10x.

A gerência da empresa determina que o preço de venda do produto seja de R$ 30,00. Com isso, a receita

bruta para x jogos produzidos é dado por R(x) = 30x.

O lucro líquido obtido pela venda de x unidades de jogos é calculada pela diferença entre a receita bru-

ta e os custos totais, ou seja, L(x) = 20x – 500.

A tarefa consiste em identificar os gráficos que representam cada uma das funções. As opções seguem abaixo:

A solução da questão acima é apresentada da página 207 a 209 do material do aluno. No entanto, sugerimos

que, antes dos alunos a consultem, esta seja discutida coletivamente com a turma.

Após a resolução desta questão sugerimos que você, professor, proponha mais algumas questões que pudes-

sem dar continuidade ao conhecimento adquirido nesta unidade.

174

Momento de ReflexãoPáginas no material do aluno

206

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Folha de ativi-dades, mate-rial do aluno, lápis/caneta.

Esta atividade sugere um instrumento avaliativo para a unidade dividido em duas

etapas: registro de apren-dizagens e questões tanto

objetiva como dissertativas, a serem escolhidas a critério

do professor.

Participação individual dos

alunos40 minutos

Aspectos operacionais

Para o momento de avaliação, sugerimos a utilização do último tempo de aula destinados à unidade 9. A seguir

apresentamos sugestões para a avaliação das habilidades pretendidas nesta unidade. Dividiremos nossas sugestões

avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir.

Etapa 1: Registros de aprendizagens

Esta etapa pode estar articulada à seção “Momento de reflexão” disponível na p. 206 do material do aluno.

Aqui, você poderá propor que o aluno registre individualmente, na folha de atividades, disponível para reprodução

neste material, as aprendizagens matemáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para nortear esta avaliação,

apresentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar às suas no que tange a avaliação do de-

senvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas:

� Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?

� Descreva uma situação na qual você poderia usar uma função polinomial do 1º grau para representá-la.

� Liste algumas funções do primeiro grau que foram utilizadas na resolução dos problemas.

� Como é a representação gráfica de uma função polinomial do primeiro grau, isto é, como os pares (x, y)

ficam dispostos no gráfico?

Sugerimos também, que este material seja recolhido para uma posterior seleção de registros a serem entre-

gues ao seu formador no curso de formação presencial. Desta forma, esperamos acompanhar com você como os

alunos estão reagindo aos caminhos que escolhemos para desenvolver este trabalho, para se for o caso, repensá-los

de acordo com as características apresentadas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 175

Etapa 2: Questões objetivas e discursivas

Sugerimos nesta etapa, a escolha de pelo menos uma questão objetiva que contemple uma habilidade preten-

dida nesta unidade para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o aluno se familiarize com questões cobradas

em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares, concursos, etc.

Sugestões de questões objetivas para a avaliação:

Questão 1: (ENEM 2011)

Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo que produz. O custo total para fabricar

uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa

obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda

da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q).

Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima

de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo?

a. 5

b. 4

c. 3

d. 2

e. 1

Questão 2: (UNESP – 2011)

O gráfico mostra o resultado de uma experiência relativa à absorção de potássio pelo tecido da folha de um

certo vegetal, em função do tempo e em condições diferentes de luminosidade.

176

Nos dois casos, a função linear y = mx ajustou-se razoavelmente bem aos dados, daí a referência a m como taxa

de absorção (geralmente medida em moles por unidade de peso por hora). Com base no gráfico, se m1 é a taxa de

absorção no claro e m2 a taxa de absorção no escuro, a relação entre essas duas taxas é:

a. m1 = m2

b. m2 = 2m

c. m1 . m2 = 1

d. m1 . m2 = -1

e. m1 = 2m2

Questão 3: (CESGRANRIO)

O valor de um carro novo é de R$9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$4.000,00. Supondo que o preço caia

com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é:

a. R$8.250,00

b. R$8.000,00

c. R$7.750,00

d. R$7.500,00

e. R$7.000,00

Questão 4: (FATEC)

Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta ali-

mentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu

objetivo ao fim de:

a. 71 semanas.

b. 70 semanas.

c. 69 semanas.

d. 68 semanas.

e. 67 semanas.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 177

Comentário sobre as questões propostas

1. (B)

2. (E)

3. (C)

4. (B)

Sugestões de questões objetivas para a avaliação:

Questão 1:

O governo do Estado do Rio de Janeiro detectou que uma certa companhia estava jogando ácido sulfúrico no

Rio Guandu, multou-a em $ 125.000,00, mais $ 1.000,00 por dia até que a companhia se ajustasse às normas legais que

regulamentam os índices de poluição.

Expresse o total da multa como função em numero de dias em que a companhia continuou violando as normas.

Questão 2:

Em algumas cidades você pode alugar um carro $ 154 por dia mais um adicional de R$16,00 por km.

a. Determine a função por um dia e esboce no gráfico.

b. Calcule o preço para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km.

Questão 3:

Na revelação de um filme, uma óptica calcula o preço a ser cobrado usando a fórmula P=12,00 + 0,65n, onde P

é o preço, em reais, a ser cobrado e n o número de fotos reveladas do filme.

a. Quanto pagarei se forem reveladas 22 fotos do meu filme?

b. Se paguei a quantia de R$ 33,45 pela revelação, qual o total de fotos reveladas?

178

Questão 4: (Unicamp – SP)

Três planos de telefonia celular são apresentados na tabela abaixo:

Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize 25 minutos por mês?

Comentário sobre as questões propostas

Questão 1:

Devemos encontrar a função que descreve a multa aplicada pelo Estado do Rio. Pelo enunciado podemos

concluir que é uma função de primeiro grau, logo da forma f(x)= ax+b.

Além disso quando x = 0 o valor a ser pago é de 125.000,00 ou seja, 125.000,00 = f(0) = a 0 + b, logo b =

125.000,00

A multa aumenta 1.000,00 por dia, logo a = 1.000,00.

Obtemos então a função f(x) = 1.000 x + 125.000

Questão 2:

a. Devemos encontrar a função . Pelo enunciado podemos concluir que é uma função de primeiro grau, logo da forma f(x) = ax + b.

Além disso quando x = 0 o valor a ser pago é de 154 ou seja, 154= f(0) = a 0 + b, logo b = 154 .

Após percorrer 1 km o preço vai para 170 reias, isto é, 170 = a.1 + 154, isto é, a = 16.

Obtemos então a função f(x) = 16 x + 154.

b. Basta fazer f(200) = 16 . 200 + 154 = 3354. Logo, o preço para se alugar por um dia e dirigi-lo por 200 km é R$ 3354,00

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 179

Questão 3:

a. Basta fazer P(22) = 12 + 0,65 . 22 = 26,30

b. Para isso basta resolver a equação de primeiro grau

33 = 12 + 0,65 n

n = 33

Questão 4:

a. Plano A, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será f(x) = 0,5 x + 35. Assim f(25) = 47,5.

Plano B, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será g(x) = 0,8 x + 20.

Assim g(25) = 40.

Plano C, a função que descreve o custo mensal do plano em relação aos minutos será h(x) = 1,2 x . Assim

h(25) = 37,5.

Logo o melhor plano é o C.

Folha de Atividades – Avaliação

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

Neste momento, propomos que você retome as discussões feitas na unidade 9 e registre as aprendizagens ma-

temáticas adquiridas com o estudo desta unidade. Para ajudá-lo nos seus registros, tente responder as questões a seguir:

180

Questão 1:

Qual foi o conteúdo matemático que você estudou nesta unidade?

Questão 2:

Descreva uma situação na qual você poderia usar uma função polinomial do 1º grau para representá-la.

Questão 3:

Liste algumas funções do primeiro grau que foram utilizadas na resolução dos problemas.

Questão 4:

Como é a representação gráfica de uma função polinomial do primeiro grau, isto é, como os pontos (x, y) ficam

dispostos no gráfico?

Folha de Atividades – Exercícios adicionais

Nome da Escola: _____________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________________________________

A seguir, apresentamos alguns exercícios que podem auxiliar você, professor, na fixação das principais noções

ligadas ao conceito de função polinomial do 1º grau, trabalhadas ao longo dessa unidade tanto no material do aluno

quanto nas atividades sugeridas neste material.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 181

1. Considere a função f(x) = -3x + 2. Determine os valores de x para que se tenha:

a. f(x) = 0

b. f(x) = 11

c. f(x) = -1/2

2. Determinar a expressão algébrica da função do 1º grau que passa pelo ponto (-2, 1) e cujo coeficiente an-gular é -4.

3. Determine a lei da função do 1º grau que passa pelos pares de pontos abaixo:

a. (0, 1) e (1, 4)

b. (-1, 2) e (1, -1)

4. Faça os gráficos, usando papel milimetrado, das seguintes funções:

a. y = 2x + 3

b. y = (-3x + 1)/2

c. y = –x

5. Em uma determinada loja, o salário mensal fixo de um vendedor é de R$ 240,00. Além disso, ele recebe R$ 12,00 por unidade vendida.

a. Expresse o ganho mensal desse vendedor em função do número de unidades vendidas.

b. Quantas unidades ele deve vender para receber um salário de R$ 700,00?

6. Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Sabendo que em média é consumido, por dia, 0,5 kg de gás:

a. Expresse a massa, m, de gás no botijão, em função do número, t, de dias de consumo.

b. Esboce o gráfico desta função.

c. Depois de quantos dias o botijão estará vazio?

7. A água congela a 0° C e a 32° F; ferve a 100° C e 212° F. A temperatura em graus Fahrenheit (F) varia linear-mente com a temperatura em graus Celsius (C).

a. Expresse a temperatura em F em função de C e faça o gráfico desta função.

b. A temperatura do corpo humano não febril é de 37° C. Qual é esta temperatura em graus Fahrenheit?

c. A que temperatura, em graus Celsius, corresponde 20° F?

182

8. Dois táxis têm preços dados por:

Táxi A: bandeirada a R$ 4,00, mais R$ 0,75 por quilômetro rodado;

Táxi B: bandeirada a R$ 3,00, mais R$ 0,90 por quilômetro rodado.

a. Obtenha a expressão que fornece o preço de cada táxi (PA e PB) em função da distância percorrida.

b. Para que distâncias é vantajoso tomar cada táxi?

9. Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes:

� Primeira parte fixa, no valor de $ 1.000,00

� Segunda parte variável que corresponde a uma comissão de 18% do total de vendas que ele fez durante o mês.

a. Expressar a função que representa seu salário mensal.

b. Calcular o salário do vendedor durante um mês, sabendo-se que vendeu 10.000,00 reais em produtos.

10. Um fabricante usa como política de vendas, colocar seu produto ao início de janeiro ao preço p e aumentar

mensalmente esse preço de 3,00. Em 1 de setembro esse preço passou a R$ 54,00. Nestas condições determinar:

a. O preço inicial em janeiro.

b. Qual será o preço em dezembro?

c. Esboçar o gráfico da função que rege o preço do produto.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 183

Anexo - Atividade Inicial

Analisando Gráficos de Funções do Primeiro Grau

Para recortar:

Anexo184

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 185

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 187

Volume 2 • Módulo 1 • Matemática • Unidade 10

Sistemas de Equações LinearesCleber Dias da Costa Neto, Heitor Barbosa Lima de Oliveira, Patrícia Nunes da Silva e

Telma Alves

IntroduçãoNa unidade 10 do material do aluno, são apresentadas diversas situações e

atividades que abordam sistemas de equações lineares.

Para auxiliá-lo, pesquisamos e elaboramos algumas atividades e recursos que

podem complementar a exposição deste tema em suas aulas. Uma descrição destas

sugestões está colocada na tabela a seguir e seu detalhamento no texto que segue.

Sugerimos que a primeira aula desta unidade tenha uma atividade inicial.

É com uma atividade cujo intuito, além de iniciar a exposição do tema, é promo-

ver uma dinâmica entre os alunos. Nesse momento, espera-se que eles se familia-

rizarem com problemas que envolvam duas incógnitas, modelando matematica-

mente, a fim de solucionar o referido problema.

Para dar sequência ao estudo dessa unidade, disponibilizamos alguns re-

cursos complementares vinculados ao conteúdo do material didático. Tais recur-

sos apresentam-se associados a atividades descritas detalhadamente neste mate-

rial. Aqui, além da modelagem algébrica também será discutida a representação

geométrica de um sistema de equações. Sugerimos a sua realização nas aulas

subsequentes à aula inicial de acordo com a realidade da sua turma. Recomen-

damos que sejam feitas as alterações e adaptações sempre que achar necessário.

Por fim, aconselhamos que a última aula desta unidade seja dividida em

dois momentos. O primeiro dedicado a uma revisão geral do estudo realizado

durante esta unidade, consolidando o aprendizado do aluno a partir da retomada

de questões que surgiram durante o seu estudo. E o segundo, um momento de

avaliação do estudante, priorizando questionamentos reflexivos em detrimento

da mera reprodução de exercícios feitos anteriormente.

Ma

te

ria

l d

o P

ro

fe

ss

or

188

Apresentação da unidade do material do aluno

Caro professor, apresentamos, abaixo, as principais características desta unidade:

Disciplina Volume Módulo UnidadeEstimativa de aulas para

essa unidade

Matemática 2 1 10 6 aulas de 2 tempos

Titulo da unidade Tema

Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equações Lineares

Objetivos da unidade

Representar a relação entre duas grandezas por meio de gráficos

Utilizar sistemas de equações para calcular os valores de duas incógnitas

Resolver problemas que envolvam duas incógnitas

SeçõesPáginas no material do

aluno

Para início de conversa... 210

Seção 1 – Representando a função no gráfico 221 a 228

Momento de Reflexão 229

Voltando a conversa inicial... 229

Veja ainda 230 a 231

Em seguida, serão oferecidas as atividades para potencializar o trabalho em sala de aula. Verifique a correspon-

dência direta entre cada seção do Material do Aluno e o Material do Professor.

Será um conjunto de possibilidades para você, caro professor.

Vamos lá!

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 189

Recursos e ideias para o Professor

Tipos de Atividades

Para dar suporte às aulas, seguem os recursos, ferramentas e ideias no Material do Professor, correspondentes

à Unidade acima:

Atividades em grupo ou individuais

São atividades que são feitas com recursos simples disponíveis.

Ferramentas

Atividades que precisam de ferramentas disponíveis para os alunos.

Avaliação

Questões ou propostas de avaliação conforme orientação.

Exercícios

Proposições de exercícios complementares

190

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Quem tem razão?

Cópias do texto Quem tem razão? (disponível

na Seção Aspectos

Operacionais);

Calculadoras

Nesta atividade, o aluno irá se familiarizar com situações modeladas por sistemas de equações lineares. Ele terá

de verificar qual das propostas de pagamento

feitas ao entregador José é mais vantajosa

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

15 minutos

Olimpíadas: quadro de medalhas1

Cópias do texto Quem tem razão? (disponível

na Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade, os alunos irão analisar e discutir um

problema que envolve uma equação linear que permite estabelecer as classificações

esportivas nas olimpíadas

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

20 minutos

O porquinho de Joana2

Cópias do problema O

porquinho de Joana

(disponível na Seção Aspec-tos Operacio-

nais);

Fichas plásticas (ou

feitas em papel pelo

professor) de duas cores diferentes

Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os

alunos irão analisar e discutir um problema que envolve duas incógnitas

Turma disposta em

trios, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

20 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 191

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Felipe vai às compras3

Cópias do texto Felipe

vai às compras (disponível na

Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade os alunos irão determinar a solução de um sistema linear através da análise de dados apresenta-dos em tabelas. Cada tabela ilustra possíveis soluções de cada uma das equações do

sistema

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

Equilibrando a balança4

Pratinhos de papel, fichas plásticas (ou

feitas em papel pelo

professor) de duas cores diferentes,

cópias da lista de sistemas propostos

(disponível na Seção

Aspectos Operacionais)

Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os alunos irão associar a ima-gem de equilíbrio em uma balança de dois pratos à re-solução de sistemas lineares

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

A voz do interior6

Projetor, vídeo7, cópias

dos problemas propostos

(disponível na Seção

Aspectos Operacionais).

Nessa atividade, os alunos assistem a um vídeo. Nele, o locutor de um programa de rádio lança uma pegadinha

envolvendo o número de galinhas e porcos em um

celeiro dando apenas informações sobre o total

de patas e rabos. Então um jovem ouvinte entra em

contato com o programa e ensina a todos como

resolver o problema. Além disso, discutem os

problemas apresentados no vídeo

Para resolução dos

problemas, divida a turma

em duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

192

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

A codorna doente8

Projetor, planilha excel9,

cópias do texto

A codorna doente

(disponível na Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade, os alunos vão determinar as

dimensões de um cercado de isolamento para a codorna doente. Para

determiná-las, os alunos vão resolver um sistema linear

graficamente

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

Tabuleiro X10

Tabuleiros XY, peões e dados

adaptados produzidos

pelo professor (para mais

detalhes, ver Seção

Aspectos operacionais)

Esta é uma atividade de fixação de resolução de sistemas. Trata-se de um

jogo de tabuleiro que envolve a resolução de

sistemas simples de equações lineares

Turma disposta em grupos de

quatro, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

Registros de AprendizagensPáginas no material do aluno

229 a 231

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Cópias do texto “Todo sistema de equações

lineares tem solução?”

Esta etapa pode estar articulada à seção

“Momento de reflexão” disponível na p. 81 do

material do aluno. Aqui, você poderá propor que o

aluno registre individualmente, numa fo-

lha de papel, as aprendizagens matemáticas

adquiridas com o estudo desta unidade

Individual-mente 20 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 193

Seção de AvaliaçãoPáginas no material do aluno

229 a 231

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Questões de avaliações de larga escala

Cópias das questões

Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão que contemple uma habilidade pretendida nesta unidade

para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o

aluno se familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares,

concursos, etc.

Individual-mente 20 minutos

194

Descrevemos a seguir situações motivadoras nas quais queremos que os alunos iniciem uma discussão co-

letiva e familiarizem-se com o conteúdo matemático a ser trabalhado de forma empírica e com atividades de fácil

compreensão antes da formalização. Sugerimos que você escolha a que seja mais adequada à sua realidade. Ou, se

preferir, utilize uma atividade própria.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Quem tem razão?

Cópias do texto Quem tem razão? (disponível

na Seção Aspectos

Operacionais);

Calculadoras

Nesta atividade, o aluno irá se familiarizar com situações modeladas por sistemas de equações lineares. Ele terá

de verificar qual das propostas de pagamento

feitas ao entregador José é mais vantajosa

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

15 minutos

Aspectos operacionais

� Leitura do Texto

� Divida a turma em duplas e distribua o texto:

Quem tem razão?

Seu José e sua esposa Ana moram no Rio de Janeiro. Seu José é entregador. Atualmente, seu patrão Antônio

paga por dia a José uma quantia fixa de R$ 12,00 e mais R$ 2,00 por cada entrega feita. Hoje, no fim do expediente, ele

propôs a Antônio uma mudança da forma de pagamento: seu fixo diário passaria para R$ 22,00 e ele passaria a ga-

nhar R$ 1,00 por cada entrega. Chegando em casa, José e Ana começaram a falar a respeito da proposta de seu Antô-

nio. Durante a conversa, seus ânimos se exaltaram e suas vozes podiam ser ouvidas por quem passava por sua janela:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 195

— José, é muito mais vantajoso ter um fixo maior!

— Ana, Ana, me escuta. Pode apostar que seu Antônio tá tentando me enrolar!

1. Se seu José faz por volta de dez entregas diárias, ele deve ou não aceitar a proposta de seu Antônio?

2. Caso ele fizesse menos de 10 entregas por dia, qual proposta de pagamento seria mais vantajosa? Use a tabela abaixo para auxiliá-lo na análise da proposta e na sua decisão. Determine quanto é a diária recebida pelo José, quando o número de entregas varia de 0 a 9.

Entregas/diaProposta Antiga Proposta Nova

Diária Diária

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3. E se ele fizesse mais do que 10 entregas por dia? Qual proposta de pagamento é mais vantajosa? Use a tabela abaixo para auxiliá-lo na análise da situação e em sua decisão.

196

Entregas/diaProposta Antiga Proposta Nova

Diária Diária

10

11

12

13

14

15

Aspectos pedagógicos

É importante a leitura dirigida, destacando-se os dados.

Como nas tabelas apresentadas não aparece a coluna do valor fixo, talvez os alunos esqueçam de incluí-lo.

� Caso os alunos encontrem dificuldades em estabelecer um mecanismo de cálculo de quanto seu José ga-

nha por dia, estimule-os a determinar a diária no caso de uma entrega, de duas e assim por diante.

� Quando o número de entregas é conhecido (10 entregas), é provável que os alunos não encontrem dificul-

dade em determinar quanto José ganharia por dia em cada uma das propostas de pagamento.

� Nos demais problemas, os alunos podem encontrar alguma dificuldade por não disporem de um valor

exato para ser substituído. Eles devem ser estimulados a montar tabelas. Quando estiverem avaliando as

propostas no caso de menos do que 10 entregas diárias, devem considerar todas as possibilidades: de

nenhuma até nove entregas. No caso de mais do que 10 entregas diárias, eles devem ser estimulados a

calcular alguns valores particulares. No entanto, devem ser levados a perceber que não é possível esgotar

em uma tabela todas as possibilidades. Eles devem ser estimulados a observar e identificar padrões de

regularidade nas colunas de cada proposta e decidir entre as duas propostas. Esses procedimentos foram

ilustrados na proposta de solução apresentada anteriormente.

� Note que quando são menos do que 10 entregas, podemos calcular os pagamentos para TODAS as possi-

bilidades: de 0 a 9 entregas. Quando são mais do que 10, não. Por isso a análise feita através da escolha de

alguns valores não pode ser considerada necessariamente conclusiva, pois não foram esgotadas (e nem é

possível esgotar) todas as possibilidades. É preciso perceber que há um comportamento (a segunda pro-

posta é menos vantajosa) que se mantém para todas as possíveis entregas em número maior do que 10.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 197

� É importante ressaltar a importância da análise com organização matemática para decidir entre as duas

propostas. Sugira aos alunos que se coloquem no lugar de seu José. Discuta e problematize com os alunos

como tomar a decisão entre as propostas. Se seu José está percebendo um aumento na quantidade de

entregas, o que ele deve fazer?

� Para explorar a atividade é importante observar se há divergência de opiniões entre os alunos e mediá-las

a fim de produzir o debate saudável com a construção de argumentações.

� O esperado é que os alunos, depois das primeiras respostas calculadas provavelmente de cabeça, organi-

zem suas ideias. Eles devem perceber que a organização e a formalização do raciocínio necessário a ativi-

dade leva ao desenvolvimento de estratégias de análise de problemas.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Olimpíadas: quadro de medalhas1

Cópias do texto Quem tem razão? (disponível

na Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade, os alunos irão analisar e discutir um

problema que envolve uma equação linear que permite estabelecer as classificações

esportivas nas olimpíadas

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

20 minutos

1 Fontes: http://revistaescola.abril.com.br/ensino-medio/conquista-medalhas-questao-resolver-equacoes-427746.shtml, http://estaticog1.globo.com/2010/11/Anglo/07/Q143.pdf, http://futrankings.blogspot.com.br/2012/08/quadro-de-medalhas-alternativo-da.html

Aspectos operacionais

� Leitura do Texto

� Divida a turma em duplas e distribua o texto

198

Quadro de Medalhas

Que país obtém melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista três medalhas de ouro e uma de

prata ou o que consegue oito de bronze?

A resposta depende dos critérios estabelecidos — e eles podem ser variados. Usualmente, a classificação de

um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na com-

petição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de

bronze conquistados.

Vamos analisar aqui uma proposta diferente. Nem vamos supervalorizar as medalhas de ouro nem considerar

que todas as medalhas tenham o mesmo peso na contagem de pontos. Conforme o esporte, conquistar uma meda-

lha de ouro é bem mais difícil do que uma de prata ou de bronze. Vamos adotar o seguinte critério, cada medalha de

ouro valerá 4 pontos, cada medalha de prata valerá 2 pontos e cada medalha de bronze valerá 1 ponto.

1. Utilize o critério de pontuação por medalha e responda à pergunta proposta no início do texto: Que país obtém melhor classificação nas Olimpíadas: aquele que conquista três medalhas de ouro e uma de prata ou o que consegue oito de bronze?

2. Na tabela abaixo, apresentamos o total de medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas pelos países A, B, C e D.

País Ouro Prata Bronze Total

A 3 3 3

B 2 4 4

C 4 0 3

D 2 5 3

Utilize o critério de pontuação por medalha e determine a classificação final dos países A, B, C e D na

competição.

Aspectos pedagógicos

Para essa atividade ser bem aproveitada é necessário que o professor se dedique, por algum tempo, a fazer

comparações entre os campeonatos de futebol em que vitórias, empates e derrotas têm pontuações próprias.

� É possível que os alunos encontrem dificuldades na compreensão das metodologias de classificação apre-

sentadas no texto. Antes da resolução dos problemas, o professor pode fazer um levantamento com os

alunos e discussão das diferentes formas de classificação apresentadas e resumi-las no quadro.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 199

� É provável que os alunos não encontrem dificuldades na resolução do primeiro problema. O professor

pode instigar os alunos a avançar na discussão com perguntas do tipo: Quantas medalhas de bronze o

segundo país deveria ganhar para empatar com o primeiro?

� Caso os alunos encontrem dificuldade na interpretação da tabela, reproduza-a no quadro e faça uma leitu-

ra de seus dados indicando, por exemplo, que o país C ganhou 4 medalhas de ouro, nenhuma medalha de

prata e 3 medalhas de bronze.

� No segundo problema, você pode propor que os alunos criem um critério de desempate entre os países A

e D. Por exemplo, a quantidade de medalhas de ouro.

Atividade Inicial

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

O porquinho de Joana2

Cópias do problema O

porquinho de Joana

(disponível na Seção Aspec-tos Operacio-

nais);

Fichas plásticas (ou

feitas em papel pelo

professor) de duas cores diferentes

Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os

alunos irão analisar e discutir um problema que envolve duas incógnitas

Turma disposta em

trios, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

20 minutos

2 Fontes: Matemática com Projetos – 6º Ano (5ª Série), Nicola Siani Filho, Thales do Couto Filho e Renata Cardoso Pires Abreu, Access Editora, http://www.liberosocial.com.br/wp-content/uploads/2012/05/cofrinho.jpg.

Aspectos operacionais

� Leitura do problema

� Divida a turma em trios e distribua o texto

200

O porquinho de Joana

Joana resolveu abrir seu cofrinho para conferir quanto havia guar-

dado. Ela contou ao todo 17 moedas de R$ 0,50 e de R$ 1,00, totalizando

R$ 12,50. Quantas moedas de R$ 1,00, ela guardou no cofrinho?

Ao final da leitura do texto, entregue a cada grupo 12 fichas verme-

lhas e 12 fichas amarelas (caso não disponha de fichas plásticas, o profes-

sor poderá reproduzir os modelos abaixo).

Indique que cada ficha vermelha representará uma moeda de um real e que cada ficha amarela representará

uma de cinquenta centavos. Proponha que cada grupo use as fichas para tentar obter a solução do problema.

Aspectos pedagógicos

É muito comum os alunos começarem a “chutar” valores: sugira que eles usem de bom senso e analisem a

razoabilidade dos “chutes”.

� É possível que os alunos elejam fixar a quantidade de moedas utilizadas e tentar investigar quando o total

em reais é iguala R$ 12,50. Neste caso, a tabela abaixo ilustra algumas possíveis tentativas:

Fichas deR$ 1,00

Fichas deR$ 0,50

Total em R$Quantidades

de Moedas

12 5 R$ 14,50 17

11 6 R$ 14,00 17

10 7 R$ 13,50 17

9 8 R$ 13,00 17

8 9 R$ 12,50 17

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 201

Fichas deR$ 1,00

Fichas deR$ 0,50

Total em R$Quantidades

de Moedas

7 10 R$ 12,00 17

6 11 R$ 11,50 17

5 12 R$ 11,00 17

Caso essa estratégia não aconteça, ao final da resolução e discussão nos grupos, apresente e discuta essa pos-

sibilidade coletivamente com os alunos.

� É possível também que os alunos alternem entre as duas estratégias e fiquem um pouco perdidos na aná-

lise do problema. Acompanhe a discussão nos grupos, sugira que eles efetuem um registro sistemático de

suas tentativas, a fim de facilitar a compreensão e resolução do problema.

� Discuta e problematize com os alunos se a quantidade de fichas entregues é adequada para resolver o pro-

blema. Seria necessário que os grupos tivessem recebido 17 fichas de um real? Sim? Não? Por quê?

Em outras unidades, já foram abordadas representações gráficas em diferentes contextos. Aqui, construiremos

gráficos a fim de que a relação existente entre duas grandezas possa ser percebida não só algebricamente, mas tam-

bém geometricamente.

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Felipe vai às compras3

Cópias do texto Felipe

vai às compras (disponível na

Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade os alunos irão determinar a solução de um sistema linear através da análise de dados apresenta-dos em tabelas. Cada tabela ilustra possíveis soluções de cada uma das equações do

sistema

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

3 Fonte: Matemática com Projetos – 6º Ano (5ª Série), Nicola Siani Filho, Thales do Couto Filho e Renata Cardoso Pires Abreu, Access Editora.

202

Aspectos operacionais

� Leitura do Texto

� Divida a turma em duplas e distribua o texto:

Felipe vai às compras

Felipe quer comprar uma bola e uma camisa do seu time de futebol. Os dois objetos juntos custam setenta e seis

reais. Como ele só tem cinquenta e um reais, só poderá comprar um dos objetos. Ele gostaria muito de comprar a camisa.

Será que a quantia que ele possui é suficiente?

Para avaliar sua situação, Felipe resolveu primeiro pensar em algumas possibilidades de preços da camisa e da

bola que totalizassem R$ 76,00. Ele montou uma tabela. Se a camisa custasse R$ 51,00, a bola deveria custar R$ 25,00

para que o total fosse igual a R$ 76,00 e assim por diante:

Preço da Camisa Preço da Bola Total

R$ 51,00 R$ 25,00 R$ 76,00

R$ 54,00 R$ 22,00 R$ 76,00

R$ 57,00 R$ 19,00 R$ 76,00

R$ 60,00 R$ 16,00 R$ 76,00

Posteriormente, ele se lembrou de uma informação dada pelo vendedor:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 203

Ele resolveu então investigar algumas possibilidades de preços da camisa e da bola de modo que o preço da

camisa fosse o triplo do da bola. Ele montou mais uma tabela:

Preço da Camisa Preço da Bola

R$ 51,00 R$ 17,00 3 × 17 = 51

R$ 54,00 R$ 18,00 3 × 18 = 54

R$ 57,00 R$ 19,00 3 × 19 = 57

R$ 60,00 R$ 20,00 3 × 20 = 60

Analise as duas tabelas montadas por Felipe e responda

1. É possível determinar qual é o preço da camisa? E o da bola?

2. Felipe tem dinheiro para comprar a camisa?

Aspectos pedagógicos

� É provável que os alunos encontrem dificuldade em identificar a necessidade dos preços da camisa e da

bola satisfazerem simultaneamente às duas condições do problema: a soma deles deve ser igual a R$ 76,00

e o preço da camisa deve ser o triplo do da bola. Caso sejam feitas escolhas que violem uma das condições,

sugira aos alunos que verifiquem se essas escolhas também satisfazem a outra condição. Por exemplo, se

uma dupla achar que a camisa custa R$ 51,00 e a bola custa R$ 17,00, sugira que verifiquem qual é a soma

dos preços. No caso, R$ 51,00 + R$ 17,00 = R$ 68,00. Discuta com eles que esses não podem ser os preços

praticados na loja, pois uma das condições foi violada.

� É possível que a informação “Felipe só tem cinquenta e um reais” interfira na análise dos alunos. Discuta e

problematize como e quando fizer uso dessa informação.

� É fundamental promover a percepção de que a presença do par (57,19) nas duas tabelas permite determi-

nar os preços da camisa e da bola.

204

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Equilibrando a balança4

Pratinhos de papel, fichas plásticas (ou

feitas em papel pelo

professor) de duas cores diferentes,

cópias da lista de sistemas propostos

(disponível na Seção

Aspectos Operacionais)

Nessa atividade, com auxílio de material manipulável, os alunos irão associar a ima-gem de equilíbrio em uma balança de dois pratos à re-solução de sistemas lineares

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

4 Fonte: Baseado no recurso Balanza Algebraica disponível em http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_201_g_4_t_2.html?open=instructions.

Aspectos operacionais

Antes de dividir a turma em duplas, você deve apresentar a estratégia de resolução aplicando-a a alguns exem-

plos como mostraremos a seguir.

A estratégia que será apresentada pode ser aplicada a sistemas que possam ser escritos na forma5

ax b y

cx d y

+ = + =

onde a, b, c e d são números inteiros não negativos. Vamos ilustrar a estratégia através da resolução de um

exemplo.

Apresentação da estratégia de resolução:

� Considere o sistema:

3 2

4

x y

x y

− + =− + =

� Vamos isolar nas duas equações:

3 2

4

y x

y x

= + = +

5 Na verdade, basta que os coeficientes de y sejam iguais nas duas equações. Além disso, é preciso que a coordenada x da solução do sistema não seja negativa. Todos os problemas propostos lista satisfazem à essa condição.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 205

� Igualando as duas equações, vemos que devemos determinar tal que

3x + 2 = x + 4

� Vamos associar a essa identidade a imagem de uma balança em equilíbrio:

Note que no prato da esquerda temos 3 “pesos” que valem e 2 “pesos” que valem 1. Esse prato representa a

expressão x + 4. No prato da direita, a expressão 3x + 2 foi representada por 1 “peso” que vale x e 4 “pesos” que valem

1. A igualdade desejada dessas duas expressões está representada pela balança em equilíbrio.

� A estratégia de resolução consiste em retirar “pesos” dos dois pratos da balança de modo que ela se man-

tenha em equilíbrio. Isso é possível se retirarmos os “pesos” que aparecem em quantidades “repetidas” nos

dois pratos da balança.

� Vamos retirar 2 “pesos” que valem 1 dos dois pratos da balança:

Veja que a balança permanece em equilíbrio. Esse equilíbrio pode ser interpretado como 3x = x + 2

� Vamos agora retirar 1 “peso” que vale dos dois pratos da balança:

206

A balança permanece em equilíbrio. Esse equilíbrio pode ser interpretado como 2x = 2. E, facilmente, determi-

namos que x = 1.

Voltando ao início da resolução, tínhamos y = x + 4. Logo, y = 5.

� Utilize essa estratégia para resolver no quadro alguns sistemas de equações lineares.

� Divida a turma em duplas. Entregue a cada grupo 1 cópia da lista de sistemas propostos, 2 pratos de papel,

10 fichas vermelhas marcadas com um e 10 fichas amarelas marcadas com 1 (caso não disponha de fichas

plásticas, o professor poderá reproduzir os modelos abaixo).

� Proponha aos alunos que usem os pratos de papel para representar os pratos de uma balança.

� Sugira que usem a estratégia apresentada no quadro para resolver os sistemas propostos na lista.

Lista de Sistemas Propostos

Resolva os sistemas abaixo com a estratégia da balança.

3 21.

6

x y

x y

− + =− + =

3 22.

2 4

x y

x y

− + =− + =

2 23.

3 1

x y

x y

− + =− + =

5 24.

2 5

x y

x y

− + =− + =

2 15.

5 1

x y

x y

− + =− + =

5 26.

6 0

x y

x y

− + =− + =

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 207

Aspectos pedagógicos

� É possível que os alunos encontrem dificuldade em “traduzir” a expressão algébrica, por exemplo, 6x + 1 na

equivalente em pesos: 6 “pesos” que valem e 1 “peso” que vale 1.

� Sempre que for necessário corrigir uma operação, explore bastante a metáfora da balança. Faça isso caso

ele retire mais pesos de um prato do que de outro ou caso ele retire pesos de tipos diferentes de cada um

dos pratos. Por exemplo, tire um peso que vale x de um prato e um que vale 1 do outro. Faça analogia com

tirar de uma balança um peso de 1 Kg e um de meio quilo.

� Com o “desaparecimento” do y no início da resolução, é provável que algumas duplas se esqueçam de de-

terminar o valor de y. Lembre aos alunos que queremos resolver o sistema. Precisamos determinar as duas

incógnitas.

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

A voz do interior6

Projetor, vídeo7, cópias

dos problemas propostos

(disponível na Seção

Aspectos Operacionais).

Nessa atividade, os alunos assistem a um vídeo. Nele, o locutor de um programa de rádio lança uma pegadinha

envolvendo o número de galinhas e porcos em um

celeiro dando apenas informações sobre o total

de patas e rabos. Então um jovem ouvinte entra em

contato com o programa e ensina a todos como

resolver o problema. Além disso, discutem os

problemas apresentados no vídeo

Para resolução dos

problemas, divida a turma

em duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

6 Fonte: http://m3.ime.unicamp.br/recursos/1192.

7 Ver arquivo 751.mpg disponível na pasta ArquivosAtividadeVozdointerior

208

Aspectos operacionais

� Projete o vídeo “A voz do interior” (10 minutos)

� Antes de dividir a turma em duplas, retome com os alunos o problema das galinhas e porcos. Discuta com

os alunos a fim de levantar possíveis dúvidas e percepções.

� Divida a turma em duplas e distribua os problemas

Agora é com vocês! Resolvam os problemas abaixo:

Problema 1

Se num celeiro com porcos e galinhas há 40 patas e 15 rabos, qual a

quantidade de cada um dos animais neste celeiro?

Problema 2

Em um parque de diversões, a entrada para adultos custa R$ 5,00

e para crianças custa R$ 3,00. Se num dia de funcionamento, a catraca re-

gistrou a entrada de 2.000 pessoas e a bilheteria uma arrecadação de R$

7.600,00. Qual o número de adultos e crianças que entraram no parque

nesse dia?

Aspectos pedagógicos

� Depois de formulado o problema pelo apresentador do programa de rádio, você pode pausar o vídeo e dar

uma chance para que os alunos resolvam o desafio por conta própria.

� Quando os problemas forem resolvidos em duplas, acompanhe o trabalho das duplas e, se necessário,

ajude na modelagem. Caso perceba dificuldade na obtenção dos sistemas, discuta cada um dos problemas

coletivamente com os alunos. Determinem quais são as incógnitas do problema e quais informações que

temos sobre elas.

� Deixe bastante livre a escolha de estratégias de resolução dos sistemas. Aceite inclusive soluções obtidas

por tentativa e erro.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 209

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

A codorna doente8

Projetor, planilha excel9,

cópias do texto

A codorna doente

(disponível na Seção Aspectos

Operacionais)

Nessa atividade, os alunos vão determinar as

dimensões de um cercado de isolamento para a codorna doente. Para

determiná-las, os alunos vão resolver um sistema linear

graficamente

Turma disposta em

duplas, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

8 Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=1863.

9 Ver arquivo luci.xls disponível na pasta ArquivosAtividadeCodornaDoente.

Aspectos operacionais

� Leitura do Texto

� Divida a turma em duplas e distribua o texto:

A codorna doente

Lucas possui uma criação de codornas. Uma delas está doente e deve ficar isolada das demais. Lucas com-

prou tela de arame para cercar uma área retangular com a finalidade de fazer um cercado de isolamento para a

codorna doente. Ele gastou 150 cm para cercá-lo e o fez de tal forma que o comprimento resultou no dobro da

largura. Quais são as dimensões do cercado?

210

Modelagem

� Após a leitura do texto solicite às duplas que expressem algebricamente as condições que devem ser satis-

feitas pelo comprimento e largura do cercado de isolamento.

� Discuta coletivamente e expresse o sistema obtido no quadro na forma

ax by c

dx ey f

+ = + =

� Identifique com os alunos os valores dos coeficientes .

Análise

� Projete a planilha excel no quadro.

� Mostre aos alunos que os valores escolhidos para os coeficientes a, b, c, d, e e f. são os mesmos do sistema

linear deduzido por eles.

a = 2

b = 2

c = 150

d = 1

e = -2

f = 0

Indique aos alunos que na tabela do lado esquerdo da planilha, na primeira coluna temos valores atribuídos a

x, na segunda coluna os valores calculados de y referente à primeira equação do sistema 2x + 2y = 150, e na terceira

coluna os valores de calculados na segunda equação x - 2y = 0.

x y y

-1 76 -0,5

0 75 0

5 70 2,5

10 65 5

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 211

x y y

15 60 7,5

20 55 10

25 50 12,5

30 45 15

35 40 17,5

40 35 20

45 30 22,5

50 25 25

55 20 27,5

Peça aos seus alunos que comparem os valores da segunda coluna e os valores da terceira. Discuta

com eles o que acontece com os valores? O que acontece na linha onde x é igual a 50? (Na segunda coluna,

correspondente à equação 2x + 2y = 150, os valores de y decrescem de 5 em 5 — a partir de x = 0. Na ter-

ceira coluna, os valores de correspondente à equação x - 2y = 0, os valores de y crescem de 2,5 em 2,5 — a

partir de x = 0. Quando x = 50, o valor de y que satisfaz à equação 2x + 2y = 150 é o mesmo que satisfaz à

equação x - 2y = 0. Logo encontrarmos uma solução do sistema).

� Determine as medidas do cercado (x = 50 cm e y = 25 cm).

Aspectos pedagógicos

� É provável que os alunos encontrem dificuldade em expressar alge-

bricamente o problema. Conduza a discussão gradualmente, esque-

matize o cercado no quadro e convencione, por exemplo, que o com-

primento será denotado por e a largura por

� Uma vez estabelecido o sistema 2 2 150

2 0

x y

x y

+ = − =

, identifique os coefi-

cientes: a = b = 2, c = 150, d = 1, e = -2, f = 0. Interprete cada uma das equações a fim de sedimentar a per-

cepção de que cada uma das equações captura uma das condições estabelecidas no problema. Ressalte

e discuta por que apareceu o 2 na equação que expressa o material gasto 2x + 2y = 150 (para determinar

x

y

212

o material gasto, calculamos o perímetro do retângulo de comprimento x e largura y. O problema nos in-

forma que Lucas usou 150 cm de arame para o cercado. Por isso obtemos 2x + 2y = x + y + x + y = 150. No

enunciado, também soubemos que o comprimento x é o dobro da largura y. Por isso obtivemos x - 2y = 0).

� É possível que os alunos encontrem dificuldade em fazer a transição entre a equação x = 2y que expressa

que o comprimento é o dobro da largura para a equação x - 2y = 0. Discuta com eles essa transição. Além

disso, é importante que identifiquem que o coeficiente de y será igual a -2 e que não há problema se o

termo do lado direito for igual a zero.

� Problematize a análise propondo e discutindo questões como: as retas se cruzam em algum ponto? Existe

alguma solução para o sistema? Existe algum par ordenado que seja solução do sistema de equações?

� Explore e estabeleça uma relação entre a igualdade obtida nas segunda e terceira colunas quando x = 50 e

a interseção das duas retas (Reforce junto aos alunos que os pares de pontos (x, y) que satisfazem à equa-

ção 2x + 2y = 150 pertencem à reta em marrom. Os pares de pontos (x ,y) que satisfazem à equação x - 2y

= 0 pertencem à reta em magenta. Para que as duas equações sejam satisfeitas, o par (x, y) deve pertencer

simultaneamente às duas retas. Isto é, a solução do sistema coincide com a interseção das duas retas. Como

temos retas concorrente, apenas em um ponto encontramos a igualdade no valor de y nas segunda e ter-

ceira colunas).

� Peça a eles que observem a solução no lado esquerdo da planilha.

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 213

Seção 1 – Representando a função no gráficoPáginas no material do aluno

210 a 228

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Tabuleiro X10

Tabuleiros XY, peões e dados

adaptados produzidos

pelo professor (para mais

detalhes, ver Seção

Aspectos operacionais)

Esta é uma atividade de fixação de resolução de sistemas. Trata-se de um

jogo de tabuleiro que envolve a resolução de

sistemas simples de equações lineares

Turma disposta em grupos de

quatro, propiciando

trabalho organizado e colaborativo

30 minutos

10 Fontes: http://pibiduspsc.blogspot.com.br/2012/09/sistemas-lineares-metodo-da-substituicao.html, http://portuguese.alibaba.com/product--gs/plastic-board-game-pieces-plastic-board-game-pawns-board-game-producer-745462977.html.

Aspectos operacionais

� Divida a turma em grupos de quatro. Em cada grupo, forme duas duplas de jogadores.

� Distribua para cada grupo dois peões, um tabuleiro XY e um dado adaptado.

1

3

x y

x y

− = + =

INÍCIO

FIM

1

2 2

x y

x y

− = + =

2 3

0

x y

x y

− = + =

3 6

4

x y

x y

+ = + =

1

3

x y

x y

− = + =

2 9

6

x y

x y

− = + =

2

0

x y

x y

− = + =

2 0

3

x y

x y

− = + =

1

3

x y

x y

− = + =

5

3

x y

x y

− = + =

X

XY

Y

Y

X

214

Para produzir o dado adaptado, cubra as faces de um dado comum com etiquetas brancas. Nas faces original-

mente ímpares, escreva x e nas pares, escreva y. O tabuleiro XY pode ser produzido através de reprodução do modelo

apresentado na próxima página

Tabuleiro XY

� Faça uma cópia para cada grupo do tabuleiro.

X

XY

Y

Y

X

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 215

1

3

x y

x y

− = + =

INÍCIO

FIM

1

2 2

x y

x y

− = + =

2 3

0

x y

x y

− = + =

3 6

4

x y

x y

+ = + =

1

3

x y

x y

− = + =

2 9

6

x y

x y

− = + =

2

0

x y

x y

− = + =

2 0

3

x y

x y

− = + =

1

3

x y

x y

− = + =

5

3

x y

x y

− = + =

216

Regras do Jogo

� Cada dupla posiciona seu peão na primeira casa (a casa que contém o sistema linear localizado ao lado da

casa INÍCIO).

� A dupla que inicia a partida dele resolver este sistema, encontrando o valor de x e de y, em seguida deve

jogar um dado que possui em suas faces x e y, dependendo do valor apontado pelo dado, a dupla anda o

número de casas no tabuleiro de acordo com o valor da do por x ou y.

Por exemplo:

� A dupla resolve o sistema linear e encontra os seguintes valores: x = 1 e y = 2.

� Quando joga o dado, ele cai no y, então a dupla deve andar duas casas, se tivesse caído no ele andaria

uma casa.

� Caso x < 0 ou y < 0, a dupla deve retroceder o número de casas indicado.

� O jogo se dá desta forma até o final.

Aspectos pedagógicos

� É possível que as duplas tenham dúvidas ao resolver os sistemas e necessitem de auxílio do professor.

Sugira o uso de métodos de resolução apresentados em sala e também considere as soluções obtidas por

tentativa.

� Espera-se que a aplicação do jogo desperte o interesse dos alunos e propicie a fixação de técnicas e méto-

dos de resolução apresentados em sala.

Nessa seção, apresentaremos atividades que retomam as habilidades verificadas nas seções anteriores, com o

intuito de consolidar e avaliar o processo de ensino-aprendizagem do conteúdo proposto.

Sugerimos a utilização dos dois últimos tempos de aula destinados a esta unidade. A seguir, apresentamos

sugestões para a retomada dos conteúdos trabalhados e para avaliação das habilidades pretendidas. Dividiremos

nossas sugestões avaliativas em duas etapas, conforme explicitadas a seguir:

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 217

Registros de AprendizagensPáginas no material do aluno

229 a 231

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Avaliação da Unidade

Cópias do texto “Todo sistema de equações

lineares tem solução?”

Esta etapa pode estar articulada à seção

“Momento de reflexão” disponível na p. 81 do

material do aluno. Aqui, você poderá propor que o

aluno registre individualmente, numa fo-

lha de papel, as aprendizagens matemáticas

adquiridas com o estudo desta unidade

Individual-mente 20 minutos

Aspectos operacionais

� Para nortear esta avaliação, apresentamos algumas questões para os alunos, que podem complementar as

suas no que tange à avaliação do desenvolvimento das habilidades matemáticas pretendidas.

� A intenção é estabelecer relações entre conteúdos do capítulo e conteúdos já conhecidos pelo aluno. Em

geral, buscam atingir a compreensão e a explicação. Mais do que avaliar se o aluno sabe responder, supõe

uma tomada de consciência dos instrumentos e procedimentos utilizados, o que torna possível o aluno

aplicá-los em outros contextos.

Como exemplo disso, trouxemos as seguintes questões:

Todo sistema de equações lineares tem solução?

Será que todo sistema linear tem solução? Ou seja, será que sempre é possível encontrar um valor para x e y,

por exemplo? Será que as retas sempre se encontram? Observe os sistemas a seguir e tente solucioná-los.

218

3 71)

2 4 6

212)

2 2 42

213)

10

x y

x y

x y

x y

x y

x y

+ = − =

+ = + =

+ = + =

Qual a diferença entre esses sistemas? O que se pode observar?

Aspectos pedagógicos

� A partir das respostas dos alunos, estimule o debate sobre ter ou não ter solução e o que isso significa al-

gebricamente e geometricamente.

� Após isso, podem-se inserir as nomenclaturas adequadas, ou seja, Sistema Possível e Determinado (SPD),

Sistema Possível mas Indeterminado (SPI) e Sistema Impossível (SI).

� Provavelmente, os alunos sentirão alguma dificuldade na adequação dos termos para classificar um siste-

ma. Assim, dê mais atenção às características da representação geométrica para que eles façam a corres-

pondência correta.

� Quando os alunos falarem sobre o que observaram entre as duas equações dos sistemas, ressalte o que sig-

nifica ter os mesmos coeficientes em x e y e diferentes termos independentes, ter os coeficientes e termos

independentes múltiplos, etc.

Seção de AvaliaçãoPáginas no material do aluno

229 a 231

Tipos de Atividades

Título da Atividade

Material Necessário

Descrição SucintaDivisão da

TurmaTempo

Estimado

Questões de avaliações de larga escala

Cópias das questões

Sugerimos nesta etapa, a escolha de uma questão que contemple uma habilidade pretendida nesta unidade

para compor o instrumento avaliativo. A ideia é que o

aluno se familiarize com questões cobradas em avaliações de larga escala, como ENEM, vestibulares,

concursos, etc.

Individual-mente 20 minutos

Matemática e suas Tecnologias · Matemática 219

Aspectos operacionais

A seguir, oferecemos duas questões objetivas sobre sistemas de equações.

Questão 1 (ENEM 2011)

Questão 2 (Unesp 2004)

Maria tem em sua bolsa R$ 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos. Dado que o número de moedas

de 25 centavos é o dobro do número de moedas de 10 centavos, qual o total de moedas na bolsa?

Aspectos pedagógicos

� Após a resolução das questões, proponha uma discussão sobre as soluções encontradas.

� Possivelmente, aparecerão soluções divergentes. Pondere as equivocadas ressaltando onde reside o erro.

� As questões do ENEM têm em suas alternativas erradas sempre uma justificativa com erro plausível. Obvia-

mente, isso não está evidente na alternativa. Dessa forma, procure identificar o erro que gerou cada uma

das alternativas e discuta com os alunos.