matemática instrumental

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Matemtica Instrumental Operaes matemticas, resolues de problemas lgicos, sistema de medidas, razo e proporo, progresses matemticas, matrizes matemticas.


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Nmeros Nmero um objeto da Matemtica usado para descrever quantidade, ordem ou medida. O conceito de nmero provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemticos assimilados pela humanidade no processo de contagem. Para isto, os nmeros naturais eram um bom comeo. O trabalho dos matemticos nos levou a descobrir outros tipos de nmeros. Os nmeros inteiros so uma extenso dos nmeros naturais que incluem os nmeros inteiros negativos. Os nmeros racionais, por sua vez, incluem fraes de inteiros. Os nmeros reais so todos os nmeros racionais mais os nmeros irracionais. O conceito de nmero na sua forma mais simples claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitgoras, por exemplo, considerava o nmero a essncia e o princpio de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numrico apresenta-se "como a cincia do tempo puro". Outras definies: Nmero a relao entre a quantidade e a unidade (Newton); Nmero um composto da unidade (Euclides); Nmero o resultado da medida de uma grandeza (Brennes); Nmero uma coleo de objetos de cuja natureza fazemos abstrao (Boutroux); Nmero o resultado da comparao de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant); Nmero o movimento acelerado ou retardado (Aristteles); Nmero a representao da pluralidade (Kambly); Nmero uma coleo de unidades (Condorcet); Nmero a pluralidade medida pela unidade (Schuller, Natucci); Nmero a expresso que determina uma quantidade de coisas da mesma espcie (Baltzer); Nmero a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell). Conjuntos de nmeros

Naturais Inteiros Racionais Reais Imaginrios Complexos Nmeros hiper-reais Nmeros hipercomplexos Quaternies Octonies Sedenies Complexos hiperblicos Quaternies hiperblicos BicomplexosApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 4

Biquaternies Coquaternies Tessarines Curiosidades sobre nmeros Nmero excessivo ou abundante: nmero cuja soma de seus divisores (excludo o prprio nmero) maior do que ele mesmo (p. ex.: 12). Nmero perfeito: nmero cuja soma de seus divisores (excludo o prprio nmero) igual a ele mesmo (p. ex.: 6). Nmero deficiente ou defectivo: nmero cuja soma de seus divisores (excludo o prprio nmero) menor do ele mesmo (p. ex.: 10). Nmero levemente imperfeito: nmero cuja soma de seus divisores o prprio nmero menos a unidade (p. ex.: 4, 8, 16, 32, 2n). Nmeros amigveis: so dois nmeros cuja soma dos divisores de um resulta no outro e vice-versa. Pares amigveis: 220 e 284, 1184 e 1210, 17296 e 18416, 9363584 e 9437056. Nmeros sociveis: grupo de trs ou mais nmeros que formam um crculo fechado, pois a soma dos divisores do primeiro forma o segundo e assim por diante at que a soma dos divisores do ltimo forma o primeiro (p. ex.: 12496, 14288, 15472, 14536 e 14264). O nmero 26 o nico que existe que se encontra entre um quadrado (25 = 52) e um cubo (27 = 33) (provado por Fermat). O nmero 69 o nico que existe cujos algarismos que compem seu quadrado (692 = 4761) e seu cubo (693 = 328509) formam todos os nmeros entre 0 e 9 sem repetio. O nmero de Skewes (10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) um dos maiores nmeros que j serviram a algum propsito em Matemtica (na frmula de Gauss). O nmero de Graham, ainda maior, aparece em problemas de combinatria. Uma pessoa levaria doze dias para contar de 1 at 1 milho, se demorasse apenas um segundo em cada nmero. Para chegar a 1 bilho, ela precisaria de 32 anos. Conjuntos Numricos Nmeros Naturais Pertencem ao conjunto dos naturais os nmeros inteiros positivos incluindo o zero. Representado pela letra N maiscula. Os elementos dos conjuntos devem estar sempre entre chaves. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ... } - Quando for representar o Conjunto dos Naturais no nulos (excluindo o zero) devemos colocar * ao lado do N. Representado assim: N* = {1, 2,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12, ... } A reticncia indica que sempre possvel acrescentar mais um elemento. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... } Qualquer que seja o elemento de N, ele sempre tem um sucessor. Tambm falamos em antecessor de um nmero. 6 o sucessor de 5. 7 o sucessor de 6. 19 antecessor de 20. 47 o antecessor de 48. Como todo nmero natural tem um sucessor, dizemos que o conjunto N infinito. Quando um conjunto finito?Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 5

O conjunto dos nmeros naturais maiores que 5 infinito: {6, 7, 8, 9, ...} J o conjunto dos nmeros naturais menores que 5 finito: {0, 1, 2, 3, 4} Veja mais alguns exemplos de conjuntos finitos. O conjunto dos alunos da classe. O conjunto dos professores da escola. O conjunto das pessoas que formam a populao brasileira. Operaes com Nmeros Naturais Propriedades da adio: Fechamento: A propriedade de fechamento satisfeita pela adio pois a soma de dois nmeros naturais ainda um nmero natural, por exemplo: 3 e 5 so nmeros naturais e somados resultam no nmero 8 que tambm um nmero natural de maneira genrica essa propriedade pode ser representada pelo seguinte diagrama:

Associatividade: A adio no conjunto dos nmeros naturais associativa pois se somarmos, por exemplo, o

Existncia de elemento neutro: Apesar do zero no ser considerado um nmero natural no sentido de no ser proveniente de objetos de contagem natural vamos consider-lo como um nmero natural pois ele possui as mesmas caractersticas algbricas dos nmeros naturais. Sendo assim, existe no conjunto dos nmeros naturais um elemento neutro para soma que o nmero zero, pois qualquer natural somado a zero o prprio nmero, de maneira genrica esta propriedade pode ser representada pelo seguinte diagrama:

Comutatividade: A soma nos naturais comutativa pois a ordem das parcelas no altera a soma, por exemplo, 3+5=5+3=8. De maneira genrica esta propriedade pode ser representada pelo seguinte diagrama:

Propriedades da subtrao Fechamento: A subtrao no possui a propriedade de fechamento pois, por exemplo, o nmero 3 - 5= -2 no pertence ao conjunto dos naturais.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 6

Associatividade: A subtrao no possui a propriedade de associatividade pois, por exemplo, (3-5) - 2 no igual (5-2)-3 Existncia de Elemento Neutro: No existe elemento neutro na subtrao pois, por exemplo, 0 - 3= -3 no pertence aos naturais. Comutatividade: No existe comutatividade na subtrao pois, por exemplo, 5 - 3= 2 no igual a 3 - 5= -2. Propriedades da Multiplicao Fechamento: A propriedade de fechamento satisfeita pois o produto de dois nmeros naturais ainda um nmero natural. De maneira genrica esta propriedade pode ser representada pelo seguinte diagrama.

Associatividade: A propriedade de associatividade satisfeita na multiplicao pois, por exemplo: (3.5).2 =15.2 =30 3.(5.2) =3.10 =30

Comutatividade: A propriedade comutativa tambm satisfeita pela multiplicao, pois a ordem dos fatores no altera o produto. De maneira geral essa propriedade pode ser representada pelo seguinte diagrama.

Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas ento na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substitumos as laranjas por um nmero, por exemplo, o nmero 6. Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6. De maneira geral, podemos representar a propriedade com o seguinte diagrama.

Propriedades da DivisoApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 7

Fechamento: Esta propriedade no satisfeita pela diviso, pois, por exemplo, 1 dividido por 2 no pertence aos conjunto dos nmeros naturais. Associatividade: Esta propriedade no satisfeita, pois (15/5)/3 diferente de (3/5)/15, por exemplo. Existncia de Elemento Neutro: Esta propriedade no satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 2, mas 1 dividido por 2 no pertence aos naturais. Comutatividade: Esta propriedade no satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 diferente de 1 dividido por 2, o qual nem pertence aos naturais. Algoritmo da Adio Vimos que a operao adio est ligada idia de juntar, acrescentar. Sendo a, b, e c nmeros naturais quaisquer, a sentena matemtica que traduz esta operao : a + b = c onde, a e b so as parcelas da adio e c a soma. NMEROS INTEIROS Tendo em vista que j conhecemos os nmeros Naturais (0, 1, 2, 3, 4 ...), vejamos alguns exemplos do cotidiano onde esses nmeros no so suficientes para representar as situaes reais. 1 Exemplo: Quando dizemos que determinado fato ocorreu no ano 257, ficamos sem saber se esse fato ocorreu no ano 257 aps o nascimento de Cristo ou antes do nascimento de Cristo. Isto , o nmero natural 257 no foi suficiente para representar essa situao. Podemos, ento, utilizar o smbolo a.C. (antes de Cristo) para identificar fatos que ocorreram antes do nascimento de Cristo e d.C. (depois de Cristo) para identificar fatos que ocorreram depois do nascimento de Cristo. 257 a.C. : ano 257 antes do nascimento de Cristo 257 d.C. : ano 257 depois do nascimento de Cristo

2 Exemplo: Quando dizemos que a temperatura ambiente de uma determinada cidade, de 2 Celsius, com isso no identificamos se esta temperatura est acima de zero ou abaixo de zero. Para representarmos a situao acima, podemos utilizar os smbolos + e - . Assim teremos: + 2C representa 2C positivos ou 2C acima de zero; - 2C representa 2C negativos ou 2C abaixo de zero. Essa notao tambm utilizada para demonstrarmos uma conta bancria, uma dvida ou crdito no comrcio, ou seja: Crdito de 100 reais ou saldo positivo de 100 reais (+ 100 reais); Dbito de 100 reais ou saldo negativo de 100 reais (- 100 reais). Nas situaes exemplificadas, utilizamos os nmeros naturais precedidos pelos sinais + ou - . Os nmeros precedidos pelo sinal + so chamados de nmeros inteiros positivos ( +1, +2, +3, ...) Os nmeros precedidos pelo sinal - so chamados de nmeros inteiros negativos (-1, -2, -3, ...).


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Para visualizarmos melhor essas situaes podemos utilizar a reta numrica, onde nosso referencial o nmero zero. Os nmeros negativos ficaro esquerda do zero e os nmeros positivos ficaro direita do zero.

Esses nmeros formam o conjunto dos Nmeros Inteiros ( representado pelo smbolo Z). Operaes com nmeros inteiros (Z) Qualquer adio, subtrao ou multiplicao de dois nmeros inteiros sempre resulta tambm um nmero inteiro. Dizemos ento que estas trs operaes esto bem definidas em Z ou, equivalentemente, que o conjunto Z fechado para qualquer uma destas trs operaes. As divises, as potenciaes e as radiciaes entre dois nmeros inteiros nem sempre tm resultado inteiro. Assim, dizemos que estas trs operaes no esto bem definidas no conjunto Z ou, equivalentemente, que Z no fechado para qualquer uma destas trs operaes. Adies e subtraes com nmeros inteiros Existe um processo que simplifica o clculo de adies e subtraes com nmeros inteiros. Observe os exemplos seguintes: Exemplo1: Calcular o valor da seguinte expresso: 10 - 7 - 9 + 15 - 3 + 4 Soluo: Faremos duas somas separadas uma s com os nmeros positivos: 10 + 15 + 4 = +29 outra s com os nmeros negativos: (-7) + (-9) + (-3) = -19 Agora calcularemos a diferena entre os dois totais encontrados: +29 - 19 = +10 Ateno: preciso dar sempre ao resultado o sinal do nmero que tiver o maior valor absoluto! Exemplo2: Calcular o valor da seguinte expresso: -10 + 4 - 7 - 8 + 3 - 2 1 passo: Achar os totais (+) e (-): (+): +4 + 3 = +7 (-): -10 - 7 - 8 - 2 = -27 2 passo: Calcular a diferena dando a ela o sinal do total que tiver o maior mdulo: -27 + 7 = - 20 Multiplicao Os termos de uma multiplicao so chamados fatores e o resultado da operao de multiplicao donominado produto. 1 fator x 2 fator = produto O primeiro fator tambm pode ser chamado multiplicando enquanto o segundo fator pode ser chamado multiplicador.Dados do Comprador: 9


A ordem dos fatores nunca altera o resultado de uma multiplicao: a x b = b x a O nmero 1 o elemento neutro da multiplicao: 1 x a = a x 1 = a Se adicionarmos uma constante k a um dos fatores, o produto ser adicionado de k vezes o outro fator: a x b = c (a + k) x b = c + (k x b) Se multiplicarmos um dos fatores por uma constante k, o produto ser multiplicado por k: a b = c (a k) b = k c Podemos distribuir um fator pelos termos de uma adio ou subtrao qualquer: a (b c) = (a b) (a c) Diviso inteira Na diviso inteira de N por D 0, existir um nico par de inteiros, Q e R, tais que: Q D + R = N e 0 R < R < |D| (onde |D| o valor absoluto de D) A segunda condio significa que R (o resto) nunca pode ser negativo. Os quatro nmeros envolvidos na diviso inteira so assim denominados: N o dividendo; D o divisor (sempre diferente de zero); Q o quociente; R o resto (nunca negativo). Exemplos: 1) Na diviso inteira de 60 por 7 o dividendo 60, o divisor 7, o quociente 8 e o resto 4. 8 7 + 4 = 60 e 0 4 < |7| 2) Na diviso inteira de -60 por 7 o dividendo -60, o divisor 7, o quociente -9 e o resto 3. -9 7 + 3 = -60 e 0 3 < |7| Quando ocorrer R = 0 na diviso de N por D, teremos Q D = N e diremos que a diviso exata indicando-a como N D = Q. Quando a diviso de N por D for exata diremos que N divisvel por D e D divisor de N ou, equivalentemente, que N mltiplo de D e D fator de N. O zero divisvel por qualquer nmero no nulo: D 0 0 D = 0. Todo nmero inteiro divisvel por 1: N 1 = N. Se multiplicarmos o dividendo (N) e o divisor (D) de uma diviso por uma constante k 0, o quociente (Q) no ser alterado mas o resto (R) ficar multiplicado por k, se R k < D, ou ser igual ao resto da diviso de R k por D, se R k D. Multiplicao e divises com nmeros inteiros Nas multiplicaes e divises de dois nmeros inteiros preciso observar os sinais dos dois termos da operao: Exemplos: Sinais iguais (+) Sinais opostos (-) (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (+) = + (-) (-) = + (+) (-) = (-) (+) = (+) (-) = (-) (+) = -


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Nmeros inteiros - Exerccios Resolvidos 1. Numa adio com duas parcelas, se somarmos 8 primeira parcela, e subtrarmos 5 da segunda parcela, o que ocorrer com o total? Soluo: Seja t o total da adio inicial. Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total acrescido de 8 unidades: t+8 Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total reduzido de 5 unidades: t+8-5=t+3 Resposta: Portanto o total ficar acrescido de 3 unidades. 2. Numa subtrao, a soma do minuendo com o subtraendo e o resto igual a 264. Qual o valor do minuendo? Soluo: Sejam m o minuendo, s o subtraendo e r o resto de uma subtrao qualquer, sempre verdade que: m-s=rs+r=m (a soma de s com r nos d m) Ao somarmos os trs termos da subtrao, m + s + r, observamos que a adia das duas ltimas parcelas, s + r, resulta sempre igual a m. Assim poderemos escrever: m + (s + r) = m + m = 2m O total ser sempre o dobro do minuendo. Deste modo, temos: m + s + r = 264 2m = 264 m = 264 2 = 132 Resposta: O minuendo ser 132. 3. Numa diviso inteira, o divisor 12, o quociente 5 e o resto o maior possvel. Qual o dividendo? Soluo: Se o divisor 12, ento o maior resto possvel 11, pois o resto no pode superar nem igualar-se ao divisor. Assim, chamando de n o dividendo procurado, teremos: n = (quociente) (divisor) + (resto) n = 5 12 + 11 n = 60 + 11 n = 71 Resposta: O dividendo Procurado 71. Nmeros racionais Racionais Positivos e Racionais Negativos O quociente de muitas divises entre nmeros naturais um nmero racional absoluto.


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Nmeros racionais positivos e nmeros racionais negativos que sejam quocientes de dois negativos que sejam quocientes de dois nmeros inteiros, com divisor diferente de zero. Por exemplo: (+17) : (-4) = um nmero racional negativo

Nmeros Racionais Positivos Esses nmeros so quocientes de dois nmeros inteiros com sinais iguais. (+8) : (+5)

(-3) : (-5)

Nmeros Racionais Negativos So quocientes de dois nmeros inteiros com sinais diferentes. (-8) : (+5)

(-3) : (+5)

Nmeros Racionais: Escrita Fracionria tm valor igual a e representam o nmero racional .

Obs.: Todo nmero inteiro um nmero racional, pois pode ser escrito na forma fracionria:

Denominamos nmero racional o quociente de dois nmeros inteiros (divisor diferente de zero), ou seja, todo nmero que pode ser colocado na forma fracionria, em que o numerador e denominador so nmeros inteiros. Operaes com nmeros racionais Adio e SubtraoApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 12

Para simplificar a escrita, transformamos a adio e subtrao em somas algbricas. Eliminamos os parenteses e escrevemos os nmeros um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os nmeros inteiros. Exemplo 1: Qual a soma:

Exemplo 2: Calcule o valor da expresso

Multiplicao e diviso Na multiplicao de nmeros racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como mostrado nos exemplos abaixo:

Na diviso de nmeros racionais, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda, como mostrado no exemplo abaixo:

Potenciao e radiciao Na potenciao, quando elevamos um nmero racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:


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Na radiciao, quando aplicamos a raiz quadrada a um nmero racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

NMERO COMPLEXO Definio: Dados dois nmeros reais a e b , define-se o nmero complexo z como sendo: z = a + bi , onde i = -1 a unidade imaginria . Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) u = 100i ( a = 0 e b = 100) NOTAS: a) diz-se que z = a + bi a forma binmica ou algbrica do complexo z . b) dado o nmero complexo z = a + bi , a denominada parte real e b parte imaginria. Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z um imaginrio puro . Ex: z = 3i . d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z um nmero real . Ex: z = 5 = 5 + 0i . e)do item (c) acima conclumos que todo nmero real complexo, ou seja, o conjunto dos nmeros reais um subconjunto do conjunto dos nmeros complexos. f) um nmero complexo z = a + bi pode tambm ser representado como um par ordenado z = (a,b) . Exerccios Resolvidos: 1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginrio puro. Soluo: Para que o complexo z seja um imaginrio puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 2) Determine a parte real do nmero complexo z = (1 + i)12 . Soluo: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condies, vamos desenvolver o produto notvel (1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i \ (1 + i)2 = 2i (isto uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada). Substituindo na expresso dada, vem: (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. Portanto, o nmero complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real igual a -64. 3) Determine a parte imaginria do nmero complexo z = (1 - i)200 .


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Soluo: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notvel (1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i \ (1 - i)2 = - 2i (isto uma propriedade importante, que merece ser memorizada). Substituindo na expresso dada, vem: z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. Logo, o nmero complexo z igual a 2100 e portanto um nmero real. Da conclumos que a sua parte imaginria zero. CONJUGADO DE UM NMERO COMPLEXO Dado um nmero complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro nmero complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginria o simtrico aditivo da parte imaginria de z . z = a + bi = a - bi = 3 - 5i Ex: z = 3 + 5i ; Obs : Sabemos que os nmeros complexos podem tambm ser representados na forma de pares ordenados . Assim que z = a + bi = (a,b). Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer nmero complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginria b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal chamado eixo real e o eixo vertical chamado eixo imaginrio. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. O ponto que representa o nmero complexo z , denomina-se afixo de z. DIVISO DE NMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINMIA Regra : Para dividir um nmero complexo z por outro w 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador . Ex: = = = 0,8 + 0,1 i

Agora que voc estudou a teoria, tente resolver os seguintes exerccios: 1 - Calcule o nmero complexo i126 + i-126 + i31 - i180 2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z . 3 - UCMG - O nmero complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i : 4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b : 6 - Mackenzie-SP - O valor da expresso y = i + i2 + i3 + ... + i1001 : 7) Determine o nmero natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0. Resp: 3 Clique aqui para ver a soluo. 8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240 Resp: 1+2i 9) Se os nmeros complexos z e w so tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w um nmero real e z.w . um imaginrio puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. Resp: 50 10) Se o nmero complexo z = 1-i uma das razes da equao x10 + a = 0 , ento calcule o valor de a. Resp: 32iApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 15

11) Determine o nmero complexo z tal que iz + 2 .

+ 1 - i = 0.

12 - UEFS-92.1 - O valor da expresso E = x-1 + x2, para x = 1 - i , : a)-3i b)1-i c) 5/2 + (5/2)i d) 5/2 - (3/2)i e) - (3/2)i 13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expresso E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtm-se: a) -1+2i b) 1+2i c) 1 - 2i d) 3 - 4i e) 3 + 4i 14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), ento m e n so respectivamente: a) 1 e 10 b) 5 e 10 c) 7 e 9 d) 5 e 9 e) 0 e -9 15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado igual a -8 - 6i. O mdulo de z : a) 13 b) 7 c) 13 d) 7 e) 5 16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i a unidade imaginria. Podemos afirmar que z8 igual a: a) 16 b) 161 c) 32 d) 32i e) 32+16i 17 - UCSal - Sabendo que (1+i)22 = 2i, ento o valor da expresso y = (1+i)48 - (1+i)49 : a) 1 + i b) -1 + i c) 224 . i d) 248 . i e) -224 . i GABARITO: 1) -3 - i 2) -3 + 18i 3) 4 + 3i 4) 3/2 5) -2 + 18i 6) i 7) 3Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 16

8) 1 + 2i 9) 50 10) 32i 11) -1 - i 12) B 13) D 14) A 15) A 16) A 17) E Fatorao Fatorar transformar equaes algbricas em produtos de duas ou mais expresses, chamadas fatores. Ex: ax + ay = a.(x+y) Existem vrios casos de fatorao como: 1) Fator Comum em evidncia Quando os termos apresentam fatores comuns Observe o polinmio: ax + ay Ambos os termos apresentam o fator a em evidncia. Assim: ax + ay = a.(x+y) Forma fatorada Exs : Fatore: a) bx + by - bz = b.(x+y-z) b) c) d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y) e) 2) Fatorao por agrupamento Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinmios especiais. Como por exemplo: ax + ay + bx + by Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois ltimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidncia: a.(x+y) + b.(x+y) Este novo polinmio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidncia: (x+y).(a+b) Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b) Exs: Fatore: a) x fator a fator (x-3) fator comum Forma comum comum fatoradaApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 17

b) Forma comum comum fatorada 3) Fatorao por diferena de quadrados:

fator

fator (2+a) fator comum

Consiste em transformar as expresses em produtos da soma pela diferena, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado Assim: Exs: Fatore: a) b) c) Note que possvel fatorar a expresso duas vezes 4) Fatorao do trinmio quadrado perfeito: O trinmio que se obtm quando se eleva um binmio ao quadrado chama-se trinmio quadrado perfeito. Por exemplo, os trinmios ( )e( ) so quadrados perfeitos porque so obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.

Assim: | |

| | 2x 3y |__________| | 2.2x.3y = 12xy note que igual ao segundo termo de Portanto trata-se de um trinmio quadrado perfeito. = |_______________| Sinal Logo: Sinal Exs: a) b) *Convm lembrarmos que ao fatorarmos uma expresso algbrica, devemos fator-la por completo:Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 18

forma fatorada

= |_______________|

forma fatorada

Exs: a) b) Outros casos de fatorao: 1) 2) 3)

Fatorao 1) Fatore, colocando os fatores comuns em evidncia: Exemplos: ax+2a = a(x+2) a-b = (a+b)(a-b) a - 4ab + 4b = (a-2b) 2x-2 = 2(x-1) = 2(x+1)(x-1) a) 3ax-7ay b) x -x + x c) xy + xy + xy d) ab - ab e) a + ab + ac + bc f) x - b g) x-25 h) (x/9 - y/16) i) x + 4x + 4 j) a + 6ab + 9b l) 144x-1 m) ab + ac + 10b + 10c n) 4a - 4 o) xy - xy p) x + 16x + 64 q) 2x + 4x + 2 r) ax + 2ax + ax Resoluo do exerccio e) a + ab + ac + bc = a.(a+b) + c.(a+b) = (a+b).(a+c) RAZO E PROPOROApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 19

Razo Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por a/b ou a : b. Exemplo: Na sala da 6 B de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso)

Voltando ao exerccio anterior, vamos encontrar a razo entre o nmero de moas e rapazes.

Lendo Razes

Termos de uma Razo

Grandezas Especiais Escala, a razo entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

Exemplo: Em um mapa, a distncia entre Montes Claros e Viosa representada por um segmento de 7,2 cm. A distncia real entre essas cidades de 4320km. Vamos calcular a escala deste mapa. As medidas devem estar na mesma unidade, logo 4320km = 432 000 000 cm


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Velocidade mdia, a razo entre a distncia a ser percorrida e o tempo gasto. (observe que neste caso as unidades so diferentes)

Exemplo: Um carro percorre 320km em 4h. determine a velocidade mdia deste carro. Velocidade= 320/4 = 80 Densidade demogrfica, a razo entre o nmero de habitantes e a rea.

Exemplo: O estado do Cear tem uma rea de 148.016 km2 e uma populao de 6.471.800 habitantes. D a densidade demogrfica do estado do Cear.

Razes Inversas Vamos observar as seguintes razes.

Observe que o antecessor(5) da primeira o conseqente(5) da segunda. Observe que o conseqente(8) da primeira o antecessor(8) da segunda. O Produto das duas razes igual a 1, isto 5/8 x 8/5 =1 Dizemos que as razes so inversas. Exemplos:

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas so diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma proporo da primeira.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 21

Exemplo: Um carro percorre: * 80 km em 1 hora * 160 km em 2 horas * 240km em 3 horas Ento, o tempo e a distncia so grandezas diretamente proporcionais, pois aumentam na mesma proporo.

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Duas grandezas so inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razo da primeira. Exemplo: Um carro faz um percurso em: * 1 hora com velocidade de 90km/h * 2 horas com velocidade de 45km/h * 3 horas com velocidade de 30km/h Ento, o tempo e a velocidade so grandezas inversamente proporcionais, conforme mostrado no exemplo acima. Exerccios de Grandezas Proporcionais 1) Um prmio de R$ 600.000,00 vai ser dividido entre os acertadores de um bingo. Observe a tabela e responda: Nmero de acertadores 3 Prmio R$ 200.000,00

4 R$ 150.000,00 a) Qual a razo entre o nmero de acertadores do prmio de R$200.000,00 para o prmio de R$150.000,00? b) Qual a razo entre os prmios da tabela acima, considerando 3 acertadores e 4 acertadores? c) O nmero de acertadores e os prmios so grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Resposta a:

Resposta b:

Resposta c: Inversamente proporcionais.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 22

2) Diga se diretamente ou inversamente proporcional: a) Nmero de pessoas em um churrasco e a quantidade (gramas) que cada pessoa poder consumir. b) A rea de um retngulo e o seu comprimento, sendo a largura constante. c) Nmero de erros em uma prova e a nota obtida. d) Nmero de operrios e o tempo necessrio para eles construrem uma casa. e) Quantidade de alimento e o nmero de dias que poder sobreviver um nufrago. Resposta a: Inversamente proporcionais. Resposta b: Diretamente proporcionais. Resposta c: Inversamente proporcionais. Resposta d: Inversamente proporcionais. Resposta e: Diretamente proporcionais. 3) Os nmeros x, y e 32 so diretamente proporcionais aos nmeros 40, 72, 128. Determine os nmeros x e y. 128/32 = 4 Ento, x = 40 / 4 = 10 y = 72 / 4 = 18 4) Sabendo que a, b, c e 120 so diretamente proporcionais aos nmeros 180, 120, 200 e 480, determine os nmeros a, b e c. 480/120 = 4 Ento, a = 180/4 = 45 b = 120/4 = 30 c = 200/4 = 50 Seqncia Numrica Seqncia sucesso, encadeamento de fatos que se sucedem. comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos esto dispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqncia. Por exemplo: Todos ns sabemos que o Brasil penta campeo mundial de futebol e os anos, em ordem cronolgica, em que ele foi campeo mundial so: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem. O estudo de seqncia dentro da matemtica o conjunto de nmeros reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqncia numrica.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 23

Exemplo: O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) a seqncia de nmeros pares. O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) a seqncia de nmeros impares 7 e 15. O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) uma seqncia de nmeros que comea com a letra D. Matematicamente quando temos uma seqncia numrica qualquer, representamos o seu 1 termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-simo termo an. Exemplo: (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10 A seqncia acima uma seqncia finita sua representao geral (a1, a2, a3,..., an ), para as seqncias que so infinitas a representao geral (a1, a2, a3, an, ... ). Para determinarmos uma seqncia numrica precisamos de uma lei de formao. Exemplo: A seqncia definida pela lei de formao an = 2n - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an o termo que ocupa a n-sima posio na seqncia. Por esse motivo, an chamado de termo geral da sequncia. Utilizando a lei de formao an = 2n - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqncia. n = 1 a1 = 2 . 1 - 1 a1 = 1 n = 2 a2 = 2 . 2 - 1 a2 = 7 n = 3 a3 = 2 . 3 - 1 a3 = 17 n = 4 a4 = 2 . 4 - 1 a4 = 31 . . . Assim a seqncia formada (1, 7, 17, 31, ...) Progresso aritmtica e geomtrica 1) Progresso aritmtica Definio Progresso aritmtica uma sequncia de nmeros reais cuja diferena entre um termo e seu antecedente, a partir do segundo, uma constante. Propriedades

2) Progresso geomtrica Definio Progresso geomtrica uma sequncia de nmeros reais no nulos cujo quociente entre um termo e seuApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 24

antecedente, a partir do segundo, uma constante. Propriedades

Progresso geomtrica Soma de um nmero finito de termos Numa progresso geomtrica (PG) com um nmero finito de termos possvel calcular a soma desses termos, a exemplo do que ocorre com a progresso aritmtica (PA). Somar os termos da PG significa fazer ou, ainda, Para encontrarmos uma expresso para calcular essa soma, multiplicaremos por "q" os dois membros da igualdade acima:

E, subtraindo a 1 igualdade da 2:

Eis a frmula da soma dos termos de uma PG finita. No caso de uma PG com razo igual a 1, como, por exemplo, (2, 2, 2, 2, 2), essa frmula no funciona, pois o denominador seria zero. Nesse caso, a soma igual ao nmero de termos multiplicado pelo 1 termo:


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PGs infinitas Mas existe, ainda, outro caso: o das PGs infinitas. Numa PG do tipo (2, 6, 18, 54, ...) no seria possvel calcular exatamente a soma de termos que crescem infinitamente. Essa soma seria infinita. Porm, em casos em que a PG decrescente, ou seja, possui razo 0 < q < 1, a soma bastante intuitiva. Considere, por exemplo, uma pessoa que possui uma barra de chocolate e no quer v-la acabar to cedo. Essa pessoa decide, ento, que vai comer sempre a metade do pedao que ela tiver. Assim, no primeiro dia comer a metade da barra inteira. No segundo dia, a metade da metade que sobrou do dia anterior. No terceiro dia, comer a metade do pedao do dia anterior, e assim por diante. Esses pedaos consumidos formam uma PG infinita (considerando-se que a pessoa conseguiria dividi-la sempre) e decrescente: .

Porm, a soma de todas essas quantidades seria igual barra toda, ou seja, 1. Logo, possvel determinar a soma desse tipo de PG infinita, por meio da expresso:

Exerccios resolvidos 1) Comprei um terreno e vou pag-lo em 8 prestaes crescentes, de modo que a primeira prestao de 100 unidades monetrias - e cada uma das seguintes o dobro da anterior. Qual o valor do terreno? Como sabemos o total de prestaes (8), vamos calcular o valor do terreno por meio da soma da PG finita, pois as prestaes esto em PG de razo 2.

Logo, o valor do terreno de 25500 unidades monetrias. 2) D a frao geratriz da dzima peridica 0, 8888... Podemos escrever a dzima da seguinte forma: 0, 8888... = 0, 8 + 0, 08 + 0, 008 + 0, 0008 + ..., o que seria igual soma da PG infinita


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. A frao geratriz , ento, o valor da soma dessa PG.

3) Resolver a equao

.

Mais uma vez, aplicaremos a frmula da soma da PG infinita, pois o 1 membro da equao uma PG infinita e decrescente.

A soma de uma nmero finito de termos de uma PA Seja uma progresso aritmtica, tal que: an = an 1 + r Onde an o termo atual e r a razo. Podemos encontrar a soma dos termos por:

Exerccios Resolvidos 1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...). Resoluo: a1=3 a2=9 r = a2 - a1 = 9 3 = 6 (a1, a2, a3, a4,... ) Ento: a4 = a1 + r + r + r a4 = a1 + 3r a4 = 3 + 3.6 a4 = 3+18 a4 = 21Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 27

com a formula do termo geral: an = a1 + (n - 1 ) r a4= 3 + (4 - 1) 6 a4 = 3 + 3.6 a4 = 9 + 18 a4 = 21 2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3. Resoluo: a3 = 8 r = -3 (a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )

Ento: a8 = a3 + r + r + r + r + r a8 = a3 + 5r a8 = 8 + 5.-3 a8 = 8 - 15 a8 = - 7 com a formula do termo geral : an = a1 + (n -1)r a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razo negativa a PA decrescente sendo a1 = 15 a8 = 15 + (-21) a8 = -7 3. 3. Interpole 3 meios aritmticos entre 2 e 18. Resoluo: Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que: a1 = 2 an = a5 = 18 n=2+3=5 Para interpolarmos os trs termos devemos determinar primeiramente a razo da PA. Ento: a5 = a1 + r + r + r + r a5 = a1 + 4r 18 = 2 + 4r 16 = 4r r = 16/4 r=4 Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18) Exerccios Resolvidos 1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 28

Resoluo: a1 = 2 r = a2 a1 = 6 2 = 4 Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50): a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198 Aplicando a frmula temos: S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000 2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progresso aritmtica. Quantos quilmetros percorrer em 5 horas? Resoluo: PA = (20, 17,14,...) a1 = 20 r = a2 a1 = 17 - 20 = -3 Para podemos achar quantos quilmetros ele percorrer em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5): a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8 Aplicando a frmula temos: S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70 Logo ele percorreu em 5 horas 70 km. EXERCICIOS 1) Qual o dcimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88) 2) Qual o centsimo nmero natural par? (R:198) 3) Ache o sexagsimo nmero natural mpar (R:119) 4) Numa PA de razo 5 o primeiro termo 4. Qual a posio do termo igual a 44? (R:9) 5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157) 6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....) (R:-4360) 7) Numa progresso aritmtica, a19=70 e a razo 7 determine: ---a)O primeiro termo (R:-56) ---b)O dcimo termo (R:7) ---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210) 8) O vigsimo termo da Progresso Aritmtica , 3, 8, 13, 18 . obs: dados an= a1 + (n - 1)r a) 63 b) 74 c) 87 d) 98 (X) e) 104Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 29

9)Se x, x + 5, -6 so termos consecutivos de uma progresso aritmtica (PA) ento o valor de x a) -16 (X) b) -14 c) -18 d) -12 e) -20 10) Achar o 14 termo da PA (3,10,17,.....)(R:94) 11) Escrever os trs primeiros termos de uma PA de razo 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21) 12)Determine a localizao do nmero 22 na PA (82,76,70,....) (R:11) 13) Os termos consecutivos de uma progresso aritmtica (PA) so x; 10; 12. Podemos concluir que x vale a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 (X) Porcentagem Ao abrir um jornal, ligar uma televiso, olhar vitrines, comum depararmos com expresses do tipo: A inflao do ms foi de 4% (l-se quatro por cento) Desconto de 10% (dez por cento) nas compras vista. O ndice de reajuste salarial de maro de 0,6% (seis dcimos por cento) A porcentagem um modo de comparar nmeros usando a proporo direta, onde uma das razes da proporo uma frao cujo denominador 100. Toda razo a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Exemplos: (1) Se h 30% de meninas em uma sala de alunos, pode-se comparar o nmero de meninas com o nmero total de alunos da sala, usando para isto uma frao de denominador 100, para significar que se a sala tivesse 100 alunos ento 30 desses alunos seriam meninas. Trinta por cento o mesmo que 30 = 30% 100 (2) Calcular 40% de R$300,00 o mesmo que determinar um valor X que represente em R$300,00 a mesma proporo que R$40,00 em R$100,00. Isto pode ser resumido na proporo: 40 = 100 300 Como o produto dos meios igual ao produto dos extremos, podemos realizar a multiplicao cruzada para obter: 100X=12000, assim X=120 Logo, 40% de R$300,00 igual a R$120,00. (3) Li 45% de um livro que tem 200 pginas. Quantas pginas ainda faltam para ler? X


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30

45 =

X

100 200 o que implica que 100X=9000, logo X=90. Como eu j li 90 pginas, ainda faltam 200-90=110 pginas. JUROS SIMPLES O regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em frmula temos: J=P.i.n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = nmero de perodos Exemplo: Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei sero: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nmero de perodos ) M=P.(1+i.n) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicao de R$70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o perodo n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Da ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, j que um ano comercial possui 360 dias.

Exerccios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 3 = 0.0433.. implica que 13% a.t. equivale a 4,33..% a.m. 4 m 15 d = 4,5 m, pois 15 dias significa 0,5 m. Ento j = 1200 x 0.0433..x 4,5 = 234 2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias?Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 31

Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o perodo n em relao mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 x 2,5 = P . 0,030; Da, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67 4 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Frmula: M = P (1 + i . n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses JUROS COMPOSTOS O regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros do perodo seguinte. Chamamos de capitalizao o momento em que os juros so incorporados ao principal. Aps trs meses de capitalizao, temos: 1 ms: M =P.(1 + i) 2 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a frmula: M = P . (1 + i)n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao ms para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do perodo: J=M-P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 3,5% ao ms. Resoluo: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=? Usando a frmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 = 6000.1,511 = 9066,41.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 32

Portanto o montante R$9.066,41 Relao entre juros e progresses No regime de juros simples: M( n ) = P + P.i.n ==> P.A. comeando por P e razo J = P.i.n No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + i ) n ==> P.G. comeando por P e razo ( 1 + i ) n Portanto: num regime de capitalizao a juros simples o saldo cresce em progresso aritmtica num regime de capitalizao a juros compostos o saldo cresce em progresso geomtrica Matrizes Uma matriz de ordem m x n qualquer conjunto de m . n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Representao

Cada elemento de uma matriz localizado por dois ndices: aij. O primeiro indica a linha, e o segundo, a coluna. A matriz A pode ser representada abreviadamente por uma sentena matemtica que indica a lei de formao para seus elementos. A = (aij)mxn | lei de formao. Ex.: (aij)2x3 | aij = i . j

Classificao das Matrizes Em funo dos valores de m e n, classifica-se a matriz A = (aij)mxn em:


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Ex.: uma matriz quadrada de ordem 3. Numa matriz A = (aij)mxn quadrada de ordem n, os elementos aij com i = j constituem a diagonal principal. Os elementos aij com i + j = n + 1 formam a diagonal secundria.

Tipos de Matrizes Matriz Nula a matriz onde todos os elementos so nulos.

Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn a matriz B = (bij)mxn tal que bij = -aij.

Exemplo de Matriz


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Operaes com Matrizes Matriz Identidade ou Matriz Unidade


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Matriz Transposta (At) a matriz que se obtm trocando ordenadamente as linhas pelas colunas da matriz dada. Se B = (bij)mxn transposta de A = (aij)mxn, ento bij = aij.

Matriz Diagonal uma matriz quadrada onde aij = 0, para i nulos. j, isto , os elementos que no esto na diagonal principal so

Matriz Simtrica uma matriz quadrada A tal que At = A, isto , aij = aij para i j.

Matriz Anti-simtrica uma matriz quadrada A tal que At = -A , isto , aij = -aij para i e j quaisquer.

Operaes com Matrizes Igualdade de Matrizes Duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem, so iguais se, e somente se, aij = bij.

Propriedades da Igualdade - Se A = B, ento At = Bt


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- (At)t = A Adio e subtrao de Matrizes A soma de duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)mxn de mesma ordem uma matriz C = (aij)mxn tal que C = aij + bij. A subtrao de matrizes dada pela sentena: A B = A + ( B )

Propriedades da adio de Matrizes a) A + B = B + A (COMUTATIVA) b) (A + B) + C = A + (B + C) (ASSOCIATIVA) c) A + 0 = 0 + A = A (ELEMENTO NEUTRO) d) A + (-A) = (-A) + A = 0 (ELEMENTO OPOSTO) e) (A + B)T = AT + BT (TRANSPOSTA DA SOMA) Matriz inversa Sabemos calcular o inverso de um nmero real e o inverso de uma matriz segue o mesmo conceito. Quando queremos encontrar o inverso de um nmero real temos que nos orientar pela seguinte definio: Sendo t e g dois nmeros reais, t ser inverso de g, se somente se, t . g ou g . t for igual a 1. Quando um nmero real inverso do outro, indicamos o inverso com um expoente -1: 1 / 5 = 5-1, dizemos que 1 /5 o inverso de 5, pois se multiplicarmos 1 / 5 . 5 = 1 Dizemos que uma matriz ter uma matriz inversa se for quadrada e se o produto das duas matrizes for igual a uma matriz identidade quadrada de mesma ordem das outras. Dada duas matrizes quadradas C e D, C ser inversa de D se, somente se, C . D ou D . C for igual In. Portanto, dizemos que C = D-1 ou D = C-1. Exemplo 1: Verifique se a matriz A = e a matriz B = so inversas entre si.37


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Para que seja verdade o produto A . B = I2.

Portanto, conclumos que as matrizes A e B no so inversas. Exemplo 2:

Verifique se as matrizes G=

e K=

so inversas entre si.

Para que seja verdade o produto de G . K = I3

Portanto, conclumos que as matrizes G e K so inversas entre si. DETERMINANTES de Matriz Entenderemos por determinante , como sendo um nmero ou uma funo, associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras especficas . importante observar , que s as matrizes quadradas possuem determinante . Regra para o clculo de um determinante de 2 ordem Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:

O determinante de A ser indicado por det(A) e calculado da seguinte forma : det (A) = A = ad - bc Exemplo:Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 38

Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relao Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada igual unidade. Para o clculo de um determinante de 3 ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 1 - Reescreva abaixo da 3 linha do determinante, a 1 e 2 linhas do determinante. 2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados esquerda e sinal positivo para os resultados direita. 3 - Efetue a soma algbrica. O resultado encontrado ser o determinante associado matriz dada. Exemplo:

.2 3 5 .1 7 4 Portanto, o determinante procurado o nmero real negativo .- 77. Principais propriedades dos determinantes P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta so iguais: det(A) = det( At ). P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , nulo. Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. P4) se trocarmos de posio duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, nulo. P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um nmero, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse nmero. P7) um determinante no se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, multiplicada por um nmero real qualquer. P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) . Se A-1 a matriz inversa de A , ento A . A-1 = A-1 . A = In , onde In a matriz identidade de ordem n . Nestas condies , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1. Logo , podemos tambm escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; logo , conclumos que: det(A-1) = 1 / det(A). Notas: 1) se det(A) = 0 , no existe a matriz inversa A-1. Dizemos ento que a matriz A SINGULAR ou NOApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 39

INVERSVEL . 2) se det A 0 , ento a matriz inversa A-1 existe e nica . Dizemos ento que a matriz A INVERSVEL . P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o determinante igual ao produto dos elementos da diagonal principal. P10) Se A matriz quadrada de ordem n e k R ento det(k.A) = kn . det A Exemplos: 1) Qual o determinante associado matriz?

Observe que a 4 linha da matriz proporcional 1 linha (cada elemento da 4 linha obtido multiplicando os elementos da 1 linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada NULO. 2) Calcule o determinante:

Observe que a 2 coluna composta por zeros; FILA NULA DETERMINANTE NULO , conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0. 3) Calcule o determinante:

Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 Exerccios propostos: 1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, so tais que B = 2.At , onde At a matriz transposta de A. Se o determinante de B igual a 40 , ento o determinante da matriz inversa de A igual a: *a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i j . Se det (3A) = 1296 , ento n igual a: Resp: n = 4 3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde aij = i + j se i j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 40

Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82 4) Se A = ( aij ) matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j ento podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A igual a: Resp: zero Relao entre Matriz e Sistemas Lineares Os sistemas lineares so formados por um conjunto de equaes lineares de m incgnitas. Todos os sistemas possuem uma representao matricial, isto , constituem matrizes envolvendo os coeficientes numricos e a parte literal. Observe a representao matricial do seguinte sistema: Matriz incompleta (coeficientes numricos) .

Matriz completa

Representao Matricial

A relao existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resoluo de sistemas pelo mtodo de Cramer.

Vamos aplicar a regra de Cramer na resoluo do seguinte sistema:

.

Aplicamos a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utilizamos Sarrus no clculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos sistemas:

Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtrada da soma dos produtos da diagonal secundria.

Substituir a 1 coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 41

Substituir a 2 coluna da matriz dos sistemas pela coluna formada pelos termos independentes do sistema.


De acordo com regra de Cramer, temos:

Portanto, o conjunto soluo do sistema de equaes : x = 1, y = 2 e z = 3. Relao entre Matriz e Sistemas Lineares Os sistemas lineares so formados por um conjunto de equaes lineares de m incgnitas. Todos os sistemas possuem uma representao matricial, isto , constituem matrizes envolvendo os coeficientes numricos e a parte literal. Observe a representao matricial do seguinte sistema: Matriz incompleta (coeficientes numricos) .

Matriz completa

Representao MatricialApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 42

A relao existente entre um sistema linear e uma matriz consiste na resoluo de sistemas pelo mtodo de Cramer.

Vamos aplicar a regra de Cramer na resoluo do seguinte sistema:

.

Aplicamos a regra de Cramer utilizando a matriz incompleta do sistema linear. Nessa regra utilizamos Sarrus no clculo do determinante das matrizes estabelecidas. Observe o determinante da matriz dos sistemas:

Regra de Sarrus: soma dos produtos da diagonal principal subtrada da soma dos produtos da diagonal secundria.




De acordo com regra de Cramer, temos:


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Portanto, o conjunto soluo do sistema de equaes : x = 1, y = 2 e z = 3. Sistema de equaes lineares Sistemas lineares um ramo da lgebra linear, uma matria que fundamental para a matemtica moderna. Algoritmos computacionais para achar solues so uma parte importante da lgebra linear numrica, e tais mtodos tm uma grande importncia na engenharia, fsica, qumica, cincia da computao e economia. Um sistema de equaes no-lineares freqentemente pode ser aproximado para um sistema linear, uma tcnica til quando se est fazendo um modelo matemtico ou simulao computadorizada de sistemas complexos. Tcnicas de resoluo Existem vrios mtodos equivalentes de resoluo de sistemas. Mtodo da substituio O mtodo da substituio consiste em isolar uma incgnita em qualquer uma das equaes, obtendo igualdade com um polinmio. Ento deve-se substituir essa mesma incgnita em outra das equaes pelo polinmio ao qual ela foi igualada. Sistemas com duas equaes Um sistema com duas equaes lineares se apresenta por:

Onde

e

so as incgnitas.

Para solucion-lo por substituio, substituem-se as variveis em suas equaes por seus polinmios correspondentes:

Portanto:

Mtodo da soma O mtodo da soma o mais direto para se resolverem os sistemas, pois uma forma simplificada de usar o mtodo da substituio. S possvel quando as equaes so dispostas de forma que, ao subtrair ou somar os polinmios das equaes, todas as incgnitas, exceto uma, se anulam. mais simples e direto que o outro


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mtodo

3x = 21 x = 7y = 12 7 = 5 e so as incgnitas, deve-se

Sistemas com duas equaes Para solucionar um sistema como o apresentado a seguir por soma, onde subtrair os polinmios das equaes.

O mtodo da soma possvel apenas com determinadas incgnitas, dependendo das equaes do sistema. Nesse caso, possvel apenas com uma. A outra deve ser determinada substituindo o valor descoberto para a primeira incgnita em uma das equaes do sistema. Mtodo da comparao Consiste em compararmos as duas equaes do sistema, aps termos isolado a mesma varivel (x ou y) nas duas equaes. e as equaes ficam mais detalhadas.

Pela regra de Cramer: Dx x= D Em que Dx o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a linha dos coeficientes de x, e D o determinante da matriz dos coeficientes das incgnitas. Dx = b e d f D= a b c d

Para calcular o y basta trocar o Dx pelo Dy, que deve ser calculado da mesma forma, calculando o determinante da matriz dos termos do sistema excluindo a coluna dos coeficientes de y. Esse mtodo serve para sistemas de qualquer tamanho, desde que o numero de incgnitas seja igual ao numero de equaes. E muitas vezes esse mtodo se mostra o caminho mais facil para soluo de um sistema. Determinantes - Exerccios resolvidos


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a) 64 b) 8 c) 0 d) -8 e) -64 RESPOSTA: D

a) 2 ou -2 b) 1 ou 3 c) -3 ou 5 d) -5 ou 3 e) 4 ou -4 RESPOSTA: A

a) no se define; b) uma matriz de determinante nulo; c) a matriz identidade de ordem 3; d) uma matriz de uma linha e uma coluna; e) no matriz quadrada. RESPOSTA: B


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a) duas linhas proporcionais; b) duas colunas proporcionais; c) elementos negativos; d) uma fila combinao linear das outras duas filas paralelas; e) duas filas paralelas iguais. RESPOSTA: D

a) -9 b) -6 c) 3 d) 6 e) 9 RESPOSTA: E

igual a: a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 RESPOSTA: C


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RESOLUO: det M = 21

a) 2 b) 1 c) -1 d) -2 e) 3 RESPOSTA: D

a) x > 2 b) 0 < x < 5 c) x < -2 d) x > 5 e) 1 < x < 2 RESPOSTA: C

a) -4


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b) -2 c) 0 d) 1 e) 1131 RESPOSTA: C

Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equao Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equao x + 2 = 5. Observe que o nmero 3 do conjunto A denominado conjunto universo da equao e o conjunto {3} o conjunto verdade dessa mesma equao. Observe este outro exemplo: Determine os nmeros inteiros que satisfazem a equao x = 25 O conjunto dos nmeros inteiro o conjunto universo da equao. Os nmeros -5 e 5, que satisfazem a equao, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-5, 5}. Da conclumos que: Conjunto Universo o conjunto de todos os valores que varivel pode assumir. Indica-se por U. Conjunto verdade o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equao . Indica-se por V. Observaes: O conjunto verdade subconjunto do conjunto universo.

No sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos nmeros racionais.

O conjunto verdade tambm conhecido por conjunto soluo e pode ser indicado por S. Equaes racionais funo racional uma razo de polinmios. Para uma simples varivel x, uma tpica funo racional , portanto


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onde P e Q so polinmios tendo x como indeterminado, e Q no pode ser o polinmio zero. Qualquer polinmio no-zero Q aceitvel; mas a possibilidade que um dado a assinalado para o x poderia fazer Q(a) = 0 significa que a funo racional, diferente dos polinmios, no possuem sempre uma funo domnio de definio bvia. De fato se ns temos

esta funo definida para qualquer nmero real x; mas no para nmeros complexos, onde o denominador assume o valor 0 para x = i e x = i, onde i Sistemas de equaes lineares Equao Linear toda equao que possui variveis e apresenta na seguinte forma a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn = b, em que a1, a2, a3, ....., so os coeficientes reais e o termo independente e representado pelo nmero real b. Exemplos: x + y + z = 20 2x 3y + 5z = 6 4x + 5y 10z = 3 x 4y z = 0 Sistema Linear Um conjunto de p equaes lineares com variveis x1, x2, x3,....,xn formam um sistema linear com p equaes e n incgnitas. Exemplos: x+y=3 xy=1 Sistema linear com duas equaes e duas variveis. 2x + 5y 6z = 24 x y + 10z = 30 Sistema linear com duas equaes e trs variveis. x + 10y 12z = 120 4x 2y 20z = 60 x + y + 5z = 10 Sistema linear com trs equaes e trs variveis. x y z + w = 10 2x + 3y + 5z 2w = 21 4x 2y z + w = 16 Sistema linear com trs equaes e quatro variveis. Soluo de um sistema linear Dado o sistema: x+y=3 xy=1Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 50

.

Dizemos que a soluo deste sistema o par ordenado (2,1), pois ele satisfaz as duas equaes do sistema linear. Observe: x=2ey=1 2+1=33=3 21=11=1 Dado o sistema: 2x + 2y + 2z = 20 2x 2y + 2z = 8 2x 2y 2z = 0 Podemos dizer que o trio ordenado (5, 3, 2) soluo do sistema, pois ele satisfaz as trs equaes do sistema linear. Veja: 2 * 5 + 2 * 3 + 2 * 2 = 20 2*52*3+2*2=8 2*52*32*2=0 10 + 6 + 4 = 20 10 6 + 4 = 8 10 6 4 = 0 20 = 20 8=8 0=0

Classificao de um sistema linear Todo sistema linear classificado de acordo com o nmero de solues apresentadas por ele. SPD Sistema Possvel e Determinado possui apenas uma soluo. SPI Sistema Possvel e Indeterminado possui infinitas solues. SI Sistema Impossvel no possui soluo. Associando um sistema linear a uma matriz Um sistema linear pode estar associado a uma matriz, os seus coeficientes ocuparo as linhas e as colunas da matriz, respectivamente. Veja exemplo 1: O sistema: x+y=3 xy=1 pode ser representado por duas matrizes, uma completa e outra incompleta. Matriz completa 1 1 3 1 -1 1 Matriz incompleta 1 1 1 -1

Exemplo 2 x + 10y 12z = 120 4x 2y 20z = 60 x + y + 5z = 10


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Matriz completa 1 10 -12 120 4 -2 -20 60 -1 1 5 10 Matriz incompleta 1 4 10 -12 -2 -20 5

-1 1

Obs.: O sistema tambm pode possuir uma representao matricial. Observe o sistema de equaes lineares: x + 10y 12z = 120 4x 2y 20z = 60 x + y + 5z = 10 Equao matricial do sistema:

Regra de Cramer A regra de Cramer uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas s poder ser utilizada na resoluo de sistemas que o nmero de equaes e o nmero de incgnitas forem iguais. Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equaes e n incgnitas para a sua resoluo devemos calcular o determinante (D) da equao incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz: Os valores das incgnitas so calculados da seguinte forma: x1 = D1 D x2 = D2 D x3 = D3 ... xn = Dn D D Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:


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Dado o sistema linear , para resolv-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equaes e 3 incgnitas, ou seja, o nmero de incgnitas igual ao nmero de equaes. Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que ser chamada de A.

. Agora calculamos o seu determinante que ser representado por D.

D=1+6+2+31+4 D = 15. Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que ser representada por Ax.

. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.

Dx = 8 + 4 + 3 + 2 8 + 6 Dx = 15 Substitumos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.

. Agora calcularmos o seu determinante Dy.

Dy = -3 + 24 +4 9 2 + 16Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 53

Dy = 30 Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.

. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.

Depois de ter substitudo todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prtica a regra de Cramer. A incgnita x = Dx = 15 = 1 D 15 A incgnita y = Dy = 30 = 2 D 15 A incgnita z = Dz = 45 = 3 D 15 Portanto, o conjunto verdade desse sistema ser V = {(1,2,3)}.

Exerccios resolvidos de equaes de 1 grau com uma e duas variveis 01 Em um stio, entre ovelhas e cabritos, h 200 animais. Se o nmero de ovelhas igual a 1/3 do nmero de cabritos, determine quantas so o nmero de ovelhas e quantos so o nmero de cabritos. R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (ovelhas e cabritos). Soluo: x = ovelhas y = cabritos Sabendo que x igual 1/3 do total de 200 animais, temos o valor de ovelhas = 67 (valor arred.) assim: x + y = 200 67 + y = 200 y = 200 67Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 54

y = 133 >> S = {67,133} Existem, desta forma, 67 ovelhas e 133 cabritos, totalizando 200 animais. 02 Em um quintal existem porcos, avestruz e galinhas, fazendo um total de 60 cabeas e 180 ps. Quantos so os animais de duas patas e quantos so os de quatro patas? R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (animais de duas patas e animais de quatro patas). Soluo: x = animais de duas patas (avestruz e galinhas) y = animais de quatro patas (porcos) x + y = 60 >> x = 60 y Assim: animais de duas pernas 2x, e quatro pernas 4y, logo so observados. 2x + 4y = 180 2(60 y) + 4y = 180 120 2y + 4y = 180 2y = 180 120 2y = 60 >> y = 30 x + y = 60 x + 30 = 60 x = 60 -30 >> x = 30 >> S = {30,30} Existem, ento, 30 animais de 02 pernas e 30 animais de 04 pernas. 03 Determine os valores da incgnita x, nas expresses abaixo: a) 2x + 6 = 0 2x = -6 x = -6/2 x = -3 >> V = {-3} b) 5x + 4 = 5 + 4x 5x 4x = 5 4 x = 1 >> V = {1} c) -10x + 6 = -18 + 2xApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 55

-10x 2x = -18 6 -12x = -24 (.-1) , multiplicar por (-1), pois a varivel x est com valor negativo 12x = 24 x = 24/12 >> x = 2 >> V = {2} 04 A soma de dois nmeros dados 8 e a diferena entre estes mesmos nmeros igual a 4. Quais sos os nmeros? R.: Este problema se trata de uma equao do 1 grau com duas variveis (aplica-se aqui o estudo da linguagem textual). x+y=8 xy=4 x+x+yy=8+4 2x = 12 x = 12/2 >> x = 6 xy=4 6y=4 -y = 4 6 -y = -2 (.-1) >> y = 2 >> S = {6,2} Mais Exerccios: 1) Um nmero mais a sua metade igual a 150. Qual esse nmero? Soluo: n + n/2 = 150 2n/2 + n/2 = 300/2 2n + n = 300 3n = 300 n = 300/3 n = 100 Resposta: Esse nmero 100. 2) A diferena entre um nmero e sua quinta parte igual a 36. Qual esse nmero? Soluo: x - x/5 = 36 (5 x - x)/5 = 36 4x /5 = 36 4x = 36.5 4x = 180 x = 180/4 x = 45 Resposta: Esse nmero 45. 3) O triplo de um nmero igual a sua metade mais 20. Qual esse nmero?Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 56

Soluo: 3 m = m/2 + 20 6m/2 = (m+40)/2 6m = m + 40 6m - m = 5m = 40 m = 40/5 m=8 Resposta: Esse nmero 8. 4) O triplo de um nmero, mais 5, igual a 254. Qual esse nmero? Soluo: 3p + 5 = 254 3p = 254 - 5 3p = 249 p = 249/3 p = 83 Resposta: Esse nmero 83. 5)Resolver as equaes: a. 3x 5 = 2x + 6 Resoluo 3x 2x = 6 + 5 x = 11 S = {11} b. 2 (x + 3) + 3 (x 1) = 7 (x + 2) Resoluo 2x + 6 + 3x 3 = 7x + 14 2x + 3x 7x = 14 + 3 6 2x = 11

Exerccios resolvidos de equaes de 2 grau 1) Resolver em R a equao x - 4x = 0 Colocando o fator x em evidncia, obtemos: x(x 4) = 0 Quando o produto de dois nmeros reais igual zero, ento pelo menos um dos fatores igual a zero. Portanto: x = 0 ou x 4 = 0 x=4 Logo as razes so 0 e 4. Verificao: Para x = 0, temos: 0 - 4.0 = 0 0 = 0 (V)


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Para x = 4, temos: 4 - 4.4 = 16 16 = 0 (V) Portanto a soluo est correta. 2) Resolver em R a equao: (2x + 5) + 3x = 25 4x + 20x + 25 +3x = 25 4x + 23x = 0 x(4x + 23) = 0 x = 0 ou 4x + 23 = 0 4x = -23 x = -23/4 3) Resolver em R a equao: 4/2x 3x = 2 + 2/x, sendo x 0

Multiplicando os dois membros da equao por 2x, para eliminar os denominadores vem:


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A partir do enunciado o nmero zero foi excludo da soluo dessa equao (x 0), ento: x = -2/3 soluo nica. 4) Resolver em R a equao:

Equaes do tipo ax + c = 0


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5) Resolver em R a equao 2x - 18 = 0 Adicionamos 18 aos dois membros da equao: 2x - 18 + 18 = 0 + 18 2x = 18 Dividimos os dois membros da equao por 2

Ento +3 e -3 so as razes da equao. 6) Resolver em R a equao: 2x + 4 = 0

Equaes do tipo ax = 0 A equao do tipo ax = 0 admite uma nica soluo: x = 0 7) Resolver em R a equao 2x = 0

Utilizando a frmula de Bhskara, vamos resolver alguns exerccios: 1) 3x-7x+2=0 a=3, b=-7 e c=2 = (-7)-4.3.2 = 49-24 = 25Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 60

Substituindo na frmula: = e Logo, o conjunto verdade ou soluo da equao :

2) -x+4x-4=0 a=-1, b=4 e c=-4 = 4-4.-1.-4 = 16-16 = 0 Subistituindo na frmula de Bhskara: x=2

- Neste caso, tivemos uma equao do 2 grau com duas razes reais e iguais. ( 3) 5x-6x+5=0 a=5 b=-6 c=5 = (-6)-4.5.5 = 36-100 = -64 Note que real. Logo:

)

0, teremos de desenhar a parbola x2 + 3x 10 = y e encontrar os pontos para os quais ela assume valores positivos. Calculamos alguns pares ordenados que compem a parbola: x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 y 8 0 6 10 12 12 10 6 0 8 Por estes pares ordenados, traamos a parbola no grfico e nela podemos ver que os valores positivos (em y) so dados a partir da unio de duas semi-retas [ , 5] e [2, + ] no eixo x. Observe que os valores 5 e 2 esto excludos da soluo da inequao. Por decomposio Se resolvermos por decomposio, teremos de encontrar o produto de fatores lineares e estudar as possveis solues. Como j temos as duas razes, podemos decompor a inequao diretamente: x2+ 3x 10 = (x 2) (x + 5) > 0 Que valores tornaro positiva tal expresso? Um produto de dois fatores resulta positivo quando: ' Os dois fatores forem positivos, o que se verifica para x > 2. ' Os dois fatores forem negativos, o que se verifica para x < 5. Desta forma, o conjunto soluo da inequao x2+ 3x 10 > 0ser formado pela unio das duas semi-retas citadas anteriormente.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 70

Funo Funo um dos conceitos mais importantes da matemtica. Existem vrias definies, dependendo da forma como so escolhidos os axiomas. A maioria dos livros representa uma funo atravs da notao: em que: D um conjunto (chamado de domnio da funo) Y tambm um conjunto (que pode ou no ser igual a D, chamado de contra-domnio da funo) f uma lei que associa elementos do conjunto D ao conjunto Y, satisfazendo certos axiomas (abaixo delineados) Se x um elemento do domnio D, a funo sempre associa a ele um nico elemento f(x) do contra-domnio Y: . O grfico da funo o conjunto de pares ordenados (x, f(x)), sendo um subconjunto de D x Y. Alguns livros chamam de funo o que foi chamado aqui de seu grfico; em alguns casos, este grfico nem precisa ser um conjunto, sendo uma classe. Por outro lado, em alguns contextos so consideradas funes parciais (em que nem todos pontos do domnio D tem um valor f(x)) ou funes multivariadas (em que alguns pontos do domnio D podem ter mais de um valor f(x)). Conceito O conceito de uma funo uma generalizao da noo comum de "frmula matemtica". Funes descrevem relaes matemticas especiais entre dois objetos, x e y=f(x). O objeto x chamado o argumento ou domnio da funo f e o objeto y que depende de x chamado imagem de x pela f. Intuitivamente, uma funo uma maneira de associar a cada valor do argumento x um nico valor da funo f(x). Isto pode ser feito especificando atravs de uma frmula, um relacionamento grfico entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra de associao ou mesmo uma tabela de correspondncia pode ser construda; entre conjuntos numricos comum representarmos funes por seus grficos, cada par de elementos relacionados pela funo determina um ponto nesta representao, a restrio de unicidade da imagem implica um nico ponto da funo em cada linha de chamada do valor independente x. Este conceito determinstico, sempre produz o mesmo resultado a partir de uma dada entrada (a generalizao aos valores aleatrios chamada de funo estocstica). Uma funo pode ser vista como uma "mquina" ou "caixa preta" que converte entradas vlidas em sadas de forma unvoca, por isso alguns autores chamam as funes de relaes unvocas. O tipo de funo mais comum aquele onde o argumento e o valor da funo so ambos numricos, o relacionamento entre os dois expresso por uma frmula e o valor da funo obtido atravs da substituio direta dos argumentos. Considere o exemplo Que resulta em qualquer valor de x ao quadrado. Uma generalizao direta permitir que funes dependam no s de um nico valor, mas de vrios. Por exemplo, recebe dois nmeros x e y e resulta no produto deles, xy.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 71

De acordo com o modo como uma funo especificada, ela pode ser chamada de funo explcita (exemplo acima) ou de funo implcita, como em que implicitamente especifica a funo

A noo intuitiva de funes no se limita a computaes usando apenas nmeros. A noo matemtica de funes bem mais ampla. Assim, uma funo liga um domnio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto o contra-domnio (ou codomnio) de tal forma que a cada elemento do domnio est associado exactamente um elemento do contra-domnio. O conjunto dos elementos do contra-domnio que so relacionados pela f a algum x do domnio, chamado de "conjunto-imagem" ou "imagem". As funes so definidas abstractamente por certas relaes. Por causa de sua generalizao as funes aparecem em muitos contextos matemticos e muitas reas desta cincia baseiam-se no estudo de funes. Pode notar-se que as palavras "funo", "mapeamento", "mapear" e "transformar" so geralmente usadas como termos equivalentes. Alm disso funes podem ocasionalmente ser referidas como funes bem definidas ou funo total. Definio formal Considere dois conjuntos X e Y. Uma funo f de X em Y: relaciona com cada elemento x em X, um nico elemento y=f(x) em Y. Outra maneira de dizer isto afirmar que f uma relao binria entre os dois conjuntos tal que: 1. f unvoca: se y = f(x) e z = f(x), ento y = z. 2. f total: para todos x em X, existe um y em Y tal que y = f(x). Se a segunda condio atendida, mas a primeira no, temos uma funo multivalorada, o termo funo multvoca , por vezes utilizado na mesma acepo. Se a primeira condio atendida, mas a segunda no, temos uma funo parcial. Considere as trs funes seguintes:

Esta no uma funo, pois o elemento 3 em X associado com dois elementos (d e c) em Y (a correspondncia funcional). Apesar de no ser uma funo, representa uma funo multivalorada.


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Esta no uma funo, pois o elemento 1 em X no associado com, pelo menos, um elemento em Y. Apesar de no ser uma funo, representa uma funo parcial.

Esta uma funo (no caso, uma funo discreta). Ela pode ser definida explicitamente pela expresso:

Domnio, contradomnio e imagem So trs conjuntos especiais associados funo. O domnio o conjunto que contm todos os elementos x para os quais a funo deve ser definida. J o contradomnio : o conjunto que contm os elementos que podem ser relacionados a elementos do domnio. Tambm define-se o conjunto imagem como o conjunto de valores que efetivamente f(x) assume. O conjunto imagem , pois, sempre um subconjunto do contradomnio. Note-se que a funo se caracteriza pelo domnio, o contradomnio, e a lei de associao. A funo diferente da funo .


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Funo x2, definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conjunto domnio (D), contradomnio (CD) e imagem (delineado pela linha tracejada). Funes sobrejetoras, injetoras e bijetoras Os tipos de funes podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relao regra uma nica sada para cada entrada. Como no foi dito nada sobre as entradas, ou se as sadas tem que ser nicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao fazer isto encontramos apenas trs tipos de classes de funes ( classe como em 'classificao' no classe de equivalncia): Funes injectoras (ou injectivas) So funes em que cada elemento da imagem (da sada) est associado a apenas um elemento do domnio (da entrada), isto uma relao um para um entre os elementos do domnio e da imagem. Isto , quando no no contradomnio. A cardinalidade do contra-domnio sempre maior ou igual domnio ento do domnio em uma funo inje(c)tora. Ressalta-se portanto que podem haver mais elementos no contradomnio que no conjunto imagem da funo. Exemplo:

Funes sobrejetoras (ou sobrejetiva) Uma funo em que todos os elementos do contra-domnio (da sada) esto associados a algum elemento do domnio (da entrada). Em outras palavras, isso significa que o conjunto imagem igual ao conjunto contradomnio


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Funes bijetoras (ou bijetiva) Se for sobrejetora e injetora, isto , se todos os elementos do domnio esto associados a todos os elementos do contra-domnio de forma um para um e exclusiva.

a f(a)Podemos verificar este terceiro critrio de crescimento de uma funo observando o grfico da figura seguinte :Ao contrrio do que acontece com as funes crescentes, numa funo decrescente, quando aumentam os valores de x, diminuem os valores de y. Esta particularidade fica perfeitamente definida observando o grfico da figura seguinte:Critrios de Decrscimo de uma Funo: 1. Uma funo estritamente decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que: a f(b)Dados do Comprador: 76Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados2. Uma funo decrescente num intervalo se, para dois valores quaisquer a e b, se verifica que: a a f(x) > f(a) f(x) < f(a)Verificamos este terceiro critrio de decrscimo de uma funo observando o grfico da figura seguinte:Funes Inversas Analisemos inicialmente a funo definida por .Como no estamos dentro de um contexto particular, devemos considerar para seu domnio, como tambm para contradomnio, o conjunto IR, isto : : IR IR Assim observamos que: existem elementos distintos que possuem a mesma imagem; existem elementos do contradomnio que no fazem parte da imagem ( o (1), por exemplo). Esses fatos podem ser observados geometricamente quando:Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 77 traamos uma reta paralela ao eixo das abscissas acima desse eixo. Teremos dois pontos de interseco dessa reta com a curva, grfico de dessa reta com a curva, grfico de ; . , inversa da : traamos uma reta paralela ao eixo das abscissas abaixo desse eixo. No teremos pontos de interseco Com esses fatos, podemos constatar que se estabelecermos uma relao : IR IR, essa relao no ser funo pois: existem pontos de IR que no possuiro correspondentes em IR ( o (-4) por exemplo)); existem elementos de IR que tero duas imagens. Com essas consideraes podemos dizer que existem funes que no possuem uma funo inversa, a funo definida acima um exemplo. (Tens condies de apontar um bom nmero dessas funes.) Assim, uma condio para que uma funo possua uma funo inversa, isto , seja invertvel, a de que seja um a um: Se a, b Dom( ) e a b ento contradomnio da Desse modo: Seja uma funo um a um com domnio A e contradomnio B onde y = (x). Se existe uma funo invertvel e de domnio B e contradomnio A tal que x= (y) se e s se y = (x), dizemos que inversa. Notaremos como -1 . Assim y= fcil ver que (importantssimo): ( -1o )(x) = -1( (x)) = x, para todo x do Dom (x) x = -1(y) sua funo (a) (b). igual ao domnio de sua inversa, ou melhor,Alm dessa exigncia deveremos ter o contradomnio da igual a sua imagem.( o-1)(x) =( -1(x)) = x, para todo x do Dom-1Observe que se crescente (decrescente) ento um a um pois,Se a, b Dom( ) e a < b ento Se a, b Dom( ) e a < b ento(a) < (a) >(b) (crescente) (b) (decrescente)e portanto temos uma das condies necessrias.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 78Exemplos: 1) y = (x) =x 3. Dom =IR Im( ) = IR. (x1)=( x1)3< = -1(x) (x2)=( x2)3 um a um pois crescente. (Faa sua Se x1 e x2 so reais e x1 < x2 ento representao geomtrica). Assim, para y =x 3 temos x = y3 y =As representaes dee-1 so simtricas reta y = x. (x) = ax + b com a e b reais.2) Faa o trabalho do exemplo 1 para a funo definida por y =3) Se dada por (x)= e no apresentado o seu domnio e contradomnio, devemos consider-los respectivamente [0, + ) e IR. Desse modo, embora a funo seja um a um, no possui imagem igual ao contradomnio e portanto no invertvel. No entanto a funo :[0, + ) [0, + ) tal que (x)= , :[0, + ) [0, + ) dada por (x) = x2. inversvel e sua inversa a funoAnalise os exemplos que seguem verificando se os domnios e contradomnios apresentados so adequados para que existam:4) 5) 6) 7) 5)(x) = ex-1(x)= ln(x):IR (0, + ) :[-p/2; p/2] [-1; 1] :[0; p] [-1; 1] :(-p/2; p/2) IR(x)=sen(x), (x)=cos(x), (x)=tan(x),-1(x)=arc sen(x) ; -1(x)=arc cos(x) ; -1(x)=arc tan (x) ;Entre as representaes que seguem esto as relacionadas com as restries inversveis apontadas nos exemplos 4, 5, 6, 7.Apostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservadosDados do Comprador:79Funo Quadrtica A funo quadrtica (Parbola) A funo quadrtica f:R->R definida porApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 80f(x)=ax+bx+c onde a, b e c so constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta funo tambm denominada funo trinmia do segundo grau, uma vez que a expresso a x + b x + c = 0 representa uma equao trinmia do segundo grau ou simplesmente uma equao do segundo grau. O grfico cartesiano desta funo polinomial do segundo grau uma curva plana denominada parbola. Aplicaes prticas das parbolas Dentre as dezenas de aplicaes da parbola a situaes da vida, as mais importantes so: Faris de carros: Se colocarmos uma lmpada no foco de um espelho com a superfcie parablica e esta lmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parablico do farol, os raios refletidos sairo todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vrtice da superfcie parablica. Esta uma propriedade geomtrica importante ligada tica, que permite valorizar bastante o conceito de parbola no mbito do Ensino Fundamental.Antenas parablicas: Se um satlite artificial colocado em uma rbita geoestacionria emite um conjunto de ondas eletromagnticas, estas podero ser captadas pela sua antena parablica , uma vez que o feixe de raios atingir a sua antena que tem formato parablico e ocorrer a reflexo desses raios exatamente para um nico lugar, denominado o foco da parbola, onde estar um aparelho de receptor que converter as ondas eletromagnticas em um sinal que a sua TV poder transformar em ondas que por sua vez significaro filmes, jornais e outros programas que voc assiste normalmente.Radares: Os radares usam as propriedades ticas da parbola, similares s citadas anteriormente para a antena parablica e para os faris. Lanamentos de projteis: Ao lanar um objeto no espao (dardo, pedra, tiro de canho) visando alcanar a maior distncia possvel tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto aproximadamente uma parbola, se considerarmos que a resistncia do ar no existe ou pequena.Sob estas circunstncias o ngulo de maior alcance horizontal de 45 graus. O sinal do coeficiente do termo dominante O sinal do coeficiente do termo dominante desta funo polinomial indica a concavidade da parbola ("boca aberta"). Se a>0 ento a concavidade estar voltada para cima e se a0, a concavidade ("boca") da nossa parbola estar voltada para cima. Exemplo: Construir a parbola f(x)=-x+2x-3.Este exemplo anlogo ao anterior, s que nesse caso, a0 a 0 Corta o eixo horizontal em 2 pontosD = 0 Toca em 1 ponto do eixo horizontalD 0, denominada funo logartmica de base a. Nesse tipo de funo o domnio representado pelo conjunto dos nmeros reais maiores que zero e o contradomnio, o conjunto dos reais. Exemplos de funes logartmicas: f(x) = log2x f(x) = log3x f(x) = log1/2x f(x) = log10x f(x) = log1/3x f(x) = log4x f(x) = log2(x 1) f(x) = log0,5x Determinando o domnio da funo logartmicaApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 83Dada a funo f(x) = (x 2)(4 x), temos as seguintes restries: 1) 4 x > 0 x > 4 x < 4 2) x 2 > 0 x > 2 3) x 2 1 x 1+2 x 3 Realizando a interseco das restries 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4. Dessa forma, D = {x R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}Grfico de uma funo logartmica Para a construo do grfico da funo logartmica devemos estar atentos a duas situaes: a>1 0 0. Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), ento a raiz da funo x = 1. Note que y assume todos as solues reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R. Atravs dos estudos das funes logartmicas, chegamos concluso de que ela uma funo inversa da exponencial. Observe o grfico comparativo a seguir:Podemos notar que (x,y) est no grfico da funo logartmica se o seu inverso (y,x) est na funo exponencial de mesma base. Funes trigonomtricas A palavra trigonometria formada por trs radicais gregos: tri(trs), gono(ngulos)e metron(medida); significando assim "medida dos tringulos". Inicialmente considerada como uma extenso da geometria, a trigonometria j era estudada pelos babilnios , que a utilizavam para resolver problemas prticos de Astronomia, de Navegao e de Agrimensura. Alis, foram os astrnomos como o grego Hiparco (190 aC 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relaes entre os lados e os ngulos de um tringulo retngulo. No sculo VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemticos rabes contriburam notavelmente para o avano da trigonometria. Este avano continuou aps a construo da primeira tbua trigonomtrica, por um matemtico alemo, nascido em Baviera, chamado Purback. Porm o primeiro trabalho matemtico sobre trigonometria foi o "tratado dos tringulos", escrito pelo matemtico alemo Johann Mller, tambm chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a trigonometria no se limita apenas a estudar tringulos. Sua aplicao se estende na outros campos da matemtica, como a Anlise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecnica, a Acstica, a Msica, a Topologia, a Engenharia Civil, etc. Funo seno Definio Chamamos de funo seno a funo f: R R que a cada nmero real x, associa o seno desse nmero: f: R R, f(x) = sen xApostilas Aprendizado Urbano Todos os direitos reservados Dados do Comprador: 85O domnio dessa funo R e a imagem Im [ -1,1] ; visto que, na circunferncia trigonomtrica o raio unitrio e, pela definio do seno, 1 sen x 1, ou seja: Domnio de f(x) = sen x; D(sen x) = R. Imagem de f(x) = sen x; Im

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