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Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
0>a 0<a
CrescenteCrescente DecrescenteDecrescente
30/01/15 1Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y
bb
ab−
ab−
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
30/01/15 2Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – Linear (b = 0) Função de 1º Grau – Linear (b = 0)
( ) xxf = xy −=
x
( )xf
IdentidadeIdentidade
B.Q.I.B.Q.I.
x
y
B.Q.P.B.Q.P.
30/01/15 3Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 1º Grau – (Reta)Função de 1º Grau – (Reta)
( ) baxxf += baxy +=
x
( )xf
x
y0=a
ConstanteConstante ConstanteConstante
( ) byxf ==
b
b
0>b
0=a0<b
30/01/15 4Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2
x
( )xf 0>a 0<a
Concavidade voltada Concavidade voltada para cimapara cima
x
y
Concavidade voltada Concavidade voltada para baixopara baixo
30/01/15 5Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – (Parábola)Função de 2º Grau – (Parábola)
( ) cbxaxxf ++= 2 cbxaxy ++= 2
x
( )xf
x
yc
cRaiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
30/01/15 6Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – RaízesFunção de 2º Grau – Raízescbxaxy ++= 2
0=ycbxax ++= 2002 =++ cbxax
acb 42 −=∆a
bx
2
∆±−=
30/01/15 7Professor: Osmar da Silva Pereira
0∆ <
0∆ =
0∆ >
não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).
possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).
possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.
30/01/15 8Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º GrauFunção de 2º Grau
x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0>a0>∆
0>a0=∆
0>a0<∆
x x x1x 2x 21 xx = Rxex ∈∃/ 21
0<a0>∆ 0<a
0=∆0<a0<∆
Raízes reais Raízes reais distintasdistintas
Raízes reais Raízes reais iguaisiguais
Não existem Não existem raízes reaisraízes reais
30/01/15 9Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
eixo de eixo de simetriasimetria
ayV 4
∆−=
a
bxV 2
−=( )VV yxV ,=
∆−−=
aa
bV
4,
2
30/01/15 10Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – VérticeFunção de 2º Grau – Vértice
x
y
VérticeVértice
x
yPonto de Ponto de máximomáximo
VérticeVértice
Ponto de Ponto de mínimomínimo
0>a
0<a
30/01/15 11Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – pontos notáveisFunção de 2º Grau – pontos notáveis
x
y
c
Raiz da Raiz da funçãofunção
Raiz da Raiz da funçãofunção
VérticeVérticeayV 4
∆−=
a
bxV 2
−=
30/01/15 12Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – ImagemFunção de 2º Grau – Imagem
x
y
VérticeVértice
x
yVérticeVértice
Se a >0, então:
{ }vyyRy ≥∈= /Im
Se a < 0, então:
{ }vyyRy ≤∈= /Im30/01/15 13Professor: Osmar da Silva Pereira
Função de 2º Grau – Forma fatoradaFunção de 2º Grau – Forma fatorada
( ) cbxaxxf ++= 2
( ) ( ) ( )21 xxxxaxf −⋅−⋅=
raízessãoxex 2130/01/15 14Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
INJETORAINJETORAPara uma função ser classificada como injetora, devemos Para uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para lembrar que, para DOMÍNIOSDOMÍNIOS diferentes devem gerar diferentes devem gerar IMAGENSIMAGENS diferentes, ou seja: diferentes, ou seja:
( ) ( )2121 xfxfxx ≠⇒≠Ex.:Ex.: ( ) 63 −= xxf
( ) ( )( )( ) 91
631
6131
−=−−−=−
−−=−
f
f
f ( ) ( )( )( ) 60
600
6030
−=−=
−=
f
f
f
30/01/15 15Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como sobrejetora, Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIOCONTRADOMÍNIO deve ser igual deve ser igual a a IMAGEMIMAGEM da função dada, ou seja: da função dada, ou seja:
Im=CDEx.:Ex.: +→ RRf : ( ) 2xxf =
x
y
SOBREJETORASOBREJETORA
30/01/15 16Professor: Osmar da Silva Pereira
Funções injetoras, sobrejetoras e bijetorasFunções injetoras, sobrejetoras e bijetoras
Para uma função ser classificada como bijetora, devemos Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser lembrar que ela deve ser INJETORA INJETORA e e SOBREJETORASOBREJETORA ao ao mesmo tempo, ou seja:mesmo tempo, ou seja:
Im=CDEx.:Ex.: ++ → RRf : ( ) 2xxf =
x
y
BIJETORABIJETORA
30/01/15 17Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
-2-2 22
- 4- 4
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
44
30/01/15 18Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
-2-2 22-2-2 22
44f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
f : D → CDxx
30/01/15 19Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
f : D → CD
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é Injetora
Não é Injetora
30/01/15 20Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
00
Im(f) = [0, +∞)CD = R
Não é Sobrejetora
Não é Sobrejetora
Im(f) ≠ CD
f : D → CD
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
xx yy
30/01/15 21Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 22Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
Não é Injetora Não é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 23Professor: Osmar da Silva Pereira
x
y
2222
44
22
44
É uma função SimplesÉ uma função Simples
Não é Injetora Não é Injetora
f : D → CD
f(x) =|x2 - 4|f : R+ → R
f(x) = x2 - 4
xx yy
Não é SobrejetoraNão é Sobrejetora
30/01/15 24Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa
( ) 12 −= xxf
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
{ }4,3,2,1=A{ }7,5,3,1=B
BAf →:
30/01/15 25Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função composta
{ }4,3,2,1=AFunção inversaFunção inversa
{ }7,5,3,1=BABg →: ( )
2
1+= xxg
A
4
3
2
1 B
7
5
3
1
( ) ( )xfxg 1−=30/01/15 26Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa
A inversa de uma função f só existirá se f for A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora. bijetora.
Lei de Formação da inversaLei de Formação da inversa
1º – Troca 1º – Troca xx por por yy e e yy por por xx..
2º – Isola a variável 2º – Isola a variável yy..
30/01/15 27Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversaFunção inversa
( ) 12 −= xxf
12 −= xy
12 −= yxyx 21=+
yx =+2
1
2
1+= xy
2
11 +=− xy
( )2
11 +=− xxf
30/01/15 28Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversa Função inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)
2−= xy
21 +=− xy
x
y
2
2
2−
2−
B.Q.I.B.Q.I.30/01/15 29Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção inversa Função inversa
(representação gráfica)(representação gráfica)f
1−f
x
y
B.Q.I.B.Q.I.30/01/15 30Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 12 −= xxg
CBg →:
30/01/15 31Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta
( ) ( )[ ]xfgxh =CAh →:
( ) ( ) 12 −⋅= xfxh
( ) ( ) 122 −+⋅= xxh
( ) 142 −+= xxh
( ) 32 += xxh
( ) 12 −= xxg ( ) 2+= xxf
( ) ( ) 32 +== xxfgxh
30/01/15 32Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta
A
4
3
2
1 B
6
5
4
3
( ) 2+= xxf
BAf →:
B
6
5
4
3 C
11
9
7
5
( ) 32 += xxh( ) 32 += xxfg
( ) 12 −= xxg
CBg →:
30/01/15 33Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta
A
B
Cfg
fgh =
( ) ( )[ ]xfgxh =
( ) ( )xfgxh =
fgh =
x f
30/01/15 34Professor: Osmar da Silva Pereira
Função inversa e função compostaFunção inversa e função compostaFunção compostaFunção composta
A composta de uma função com sua inversa é a A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (função identidade. (foffof-1-1 = f = f-1-1of = xof = x))
2−= xy21 +=− xy
( ) 221 −+=− xff
xff =−1
( ) 221 +−=− xff
xff =− 1
30/01/15 35Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção Exponencial
RRf →:
DefiniçãoDefinição
RDomínioDomínio
( ) ] [+∞= ,0Im f
ImagemImagem
( ) xaxf = 10 ≠< a
*+R
( ) ( )+∞= ,0Im f( ) RfD =
30/01/15 36Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2=x
1
2
3
4
... ..
x
xy 2=221 ==y422 ==y823 ==y1624 ==y
xy 2=
y
1 21−2−3− x
1
2
4
0
30/01/15 37Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
( )x
xg
=
2
1
1 22− x
y
1
4
0
30/01/15 38Professor: Osmar da Silva Pereira
Função ExponencialFunção ExponencialRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2=
1 21−2−3− x
y
1
2
4
1 22− x
y
1
4
( )x
xg
=
2
1
1−
1>aCrescente
10 << aeDecrescent
00
30/01/15 39Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
322 =x
819
1 =
x
171333 112 =−+ +−+ xxx
093109 =+⋅− xx
30/01/15 40Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
kxaa kx =⇔=
322 =x522 =x
5=x ( ) 42 33 =− x
42 33 =− x
819
1 =
x
42 =− x 2−=x30/01/15 41Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
63933 1212 =−+ −+ xxx
( ) 6333
333 2
22 =−+⋅ x
xx
6333
333 2
22 =−+⋅ x
xx
yx =23
633
3 =−+ yy
y
3
18939 =−+ yyy
1897 =y 27=y
32 33 =x2
3=∴ x
30/01/15 42Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação exponencialEquação exponencial
224 =− xx
( ) 02222 =−− xx
( ) 02222 =−− xx
yx =2
11 −=y
12 −=x
1=x
022 =−− yy
22 =y
22 =x
30/01/15 43Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
322 >x
819
1 ≤
x
64,08,0 2 <+x
093109 ≤+⋅− xx
30/01/15 44Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
kx aa ≥
322 >x522 >x
5>x ( ) 21 99 ≤− x
299 ≤− x
2≤− x
2−≥x
1 , >≥ asekx
10 , <<≤ asekx
819
1 ≤
x
30/01/15 45Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação exponencialInequação exponencial
1−>x
64,08,0 2 <+x
100
648,0 2 <+x
100
648,0 2 <+x
10
88,0 2 <+x
8,08,0 2 <+x
12 >+x
30/01/15 46Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
0>a 01 >≠ bCondição de ExistênciaCondição de Existência
30/01/15 47Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
xab =log ⇔ ab x =
30/01/15 48Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmos
xab =logBase do logaritmoBase do logaritmo
LogaritmandoLogaritmando LogaritmoLogaritmo
x=8log2 ⇔ 82 =x3=x
8log2
38log2 =30/01/15 49Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmosSistema de LogaritmosSistema de Logaritmos
aa loglog10 =
2100log100log10 ==
30/01/15 50Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)Sistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)
bae =log
...718281828,2=e
2log ee 2ln 2 =e5logee 55ln =e
ba =ln
30/01/15 51Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmosPropriedades operátóriasPropriedades operátórias
( ) babaP ccc logloglog1 +=⋅⇒
bab
aP ccc logloglog2 −=
⇒
( ) anaP bn
b loglog3 ⋅=⇒
30/01/15 52Professor: Osmar da Silva Pereira
LogaritmosLogaritmosMudança de BaseMudança de Base
b
aa
c
cb log
loglog =
bab
aa cc
c
cb loglog
log
loglog −≠=
30/01/15 53Professor: Osmar da Silva Pereira
Função LogarítmicaFunção LogarítmicaDefiniçãoDefinição
RRf →+*: ( ) xxf blog=
*+RDomínioDomínio
( ) Rf =Im
ImagemImagem R
( ) *+= RfD
30/01/15 54Professor: Osmar da Silva Pereira
Função LogarítmicaFunção LogarítmicaRepresentação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxf 2log=
1 x
y
1
2
1−
2
1
0
30/01/15 55Professor: Osmar da Silva Pereira
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxg2
1log=
12
x
y
1−
1
0
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 56Professor: Osmar da Silva Pereira
Representação GráficaRepresentação Gráfica
( ) xxg2
1log=
12
x
y
1−
1
1 x
y
1
2
1−
2
1
0 0
( ) xxf 2log=1>b
Crescente10 << beDecrescent
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 57Professor: Osmar da Silva Pereira
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) xbxf =
1>bCrescente
xy =
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 58Professor: Osmar da Silva Pereira
Inversa da Função LogarítmicaInversa da Função Logarítmica
x
y
( ) xxf blog=
1
1
( ) xbxf = 10 << beDecrescent
xy =
Função LogarítmicaFunção Logarítmica
30/01/15 59Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) 53log2 =−x
325 −= xx=+ 332
35=x
03 >−x3>x
{ }35=S30/01/15 60Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 295log 1 =−− xx
( ) 951 2 −=− xx
95122 −=+− xxx
095 >−x5
9>⇒ x
01>−x 1>⇒ x
11≠−x 2≠⇒ x
01072 =+− xx21 =x 51 =x { }5=S
30/01/15 61Professor: Osmar da Silva Pereira
Equação LogarítmicaEquação Logarítmica
( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf bb =⇔= loglog
( ) ( ) 8log4log3log 555 =++− xx
03 >−x 3>⇒ x
04 >+x 4−>⇒ x
41 =x
3>⇒ x
{ }4=S
( ) ( ) 8log43log 55 =+⋅− xx
8122 =−+ xx0202 =−+ xx 52 −=x
0202 =−+ xx
30/01/15 62Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b( ) ( )xgxf ≥
10 << b( ) ( )xgxf ≤
( ) 5log3log 22 >−x
53 >−x8>x
03 >−xC.EC.E
3>x{ }8/ >∈= xRxS
] [+∞= ,8S30/01/15 63Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica
( ) ( )xgxf bb loglog ≥
1>b( ) ( )xgxf ≥
10 << b( ) ( )xgxf ≤
( ) ( )2log82log3
2
3
2 −<− xx
282 −>− xx6>x
082 >−xC.EC.E
4>x02 >−x
2>x
I II
4>=∩ xIII30/01/15 64Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
8122 <−+ xx
( ) ( ) 322 2log43log <+⋅− xx
( ) ( ) 322 2log43log <+⋅− xx
0202 <−+ xx
51 −=x42 =x
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x30/01/15 65Professor: Osmar da Silva Pereira
Inequação LogarítmicaInequação Logarítmica( ) ( ) 34log3log 22 <++− xx
x5− – – – – – –– – – – – –
+ + ++ + +
4
+ + ++ + +
45 <<− x
03 >−xC.EC.E
3>x04 >+x
4−>x
3>∴ x
{ }43/ <<∈= xRxS
0202 <−+ xx
30/01/15 66Professor: Osmar da Silva Pereira
30/01/15 67Professor: Osmar da Silva Pereira