matematica financeira unid i

Matemática Financeira

Professor conteudista: Dalton Millan Marsola

SumárioMatemática Financeira

Unidade I

1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .........................................................................................................................11.1 Taxa de juros ..............................................................................................................................................21.2 Taxa percentual ........................................................................................................................................41.3 Taxa unitária ..............................................................................................................................................41.4 Juro exato e juro comercial .................................................................................................................61.5 Equivalência de capitais .......................................................................................................................7

2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................................................73 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL ................................................................................. 10

3.1 Regime de capitalização dos juros .................................................................................................113.1.1 Regime de capitalização simples .......................................................................................................113.1.2 Regime de capitalização composta ................................................................................................. 12

3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta .............................................................. 134 JUROS SIMPLES ................................................................................................................................................ 14

4.1 Montante e capital .............................................................................................................................. 195 JUROS COMPOSTOS ....................................................................................................................................... 236 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES ............................................................................................ 29

6.1 No regime de juros simples .............................................................................................................. 306.2 No regime de juros compostos ....................................................................................................... 32

7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO” ......................................................................... 368 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA” ................................................................ 39

Unidade II

9 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS .................................... 429.1 Definições básicas ................................................................................................................................ 43

10 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) ............................................................................... 4610.1 Expressões de cálculo do SAC ....................................................................................................... 4910.2 SAC com carência .............................................................................................................................. 50

11 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS ................................................................................................. 5411.1 Expressões de cálculo do SAF ........................................................................................................ 5711.2 SAF com carência ............................................................................................................................... 58

12 TABELA PRICE ................................................................................................................................................. 6113 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO ...................................................................................................... 65

14 COMPARAÇÕES ENTRE SAC, SAF E SAM ............................................................................................. 6614.1 Gráfico de comparação SAC, SAF E SAM ................................................................................. 67

15 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO ......................................................................................... 6815.1 Sinking fund ou fundo de amortização ................................................................................... 70

16 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CRESCENTE (SACRE) .......................................................................... 7217 SISTEMA PRICE X SISTEMA SACRE ........................................................................................................ 7618 CUSTO EFETIVO .............................................................................................................................................. 80

18.1 Planilha com despesas adicionais ............................................................................................... 80

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OBJETIVOS

Fornecer subsídios fundamentais para a formação acadêmica do discente na área financeira e, também, contribuir para o desenvolvimento da capacidade de raciocínio lógico e reflexivo. Este é um fator essencial na tomada de decisão, atividade típica da função de administrador financeiro.

1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

“Um dólar hoje vale mais do que um dólar no futuro...” (Gitman, 2004).

A matemática financeira trata do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo. Seu objetivo é efetuar análises e comparações da movimentação de dinheiro em tempos diferentes.

As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por uma instituição financeira, que capta recursos no mercado e os empresta a outros com taxas maiores. A diferença entre a captação e o empréstimo é a remuneração (lucro) da instituição.

Investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição, e cada opção tem sua taxa em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos.

Do ponto de vista matemático, um determinado valor a qualquer época é chamado de Capital, e a soma dos juros de determinado tempo a esse Capital é chamada de Montante.

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Segundo Assaf (2009), ao se emprestar um recurso a taxas de juros deve-se ser eficiente de maneira a remunerar os seguintes fatores importantes:

• risco: probabilidade de o tomador do empréstimo não resgatar a dívida, sendo a incerteza como futuro;

• perda do poder de compra do capital motivado pela inflação: a inflação é um fenômeno que corrói o capital, é a desvalorização do poder aquisitivo da moeda previsto para o prazo do empréstimo, diminuindo o poder de compra de um bem pelo mesmo capital;

• ganho (ou lucro): fixado em função das demais oportunidades de investimentos; justifica-se pela privação da utilidade do capital pelo seu dono;

• despesas (nos dias atuais): todas as despesas operacionais, contratuais e tributárias para a formalização do empréstimo e à efetivação da cobrança.

1.1 Taxa de juros

Taxa de juros é o coeficiente que determina o valor do juro, a razão entre os juros recebidos (ou pagos) e o capital inicial aplicado (ou emprestado).

As taxas de juros referem-se sempre a uma unidade de tempo (dia, mês, semestre, ano etc.) e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras: taxa percentual e taxa unitária (fração decimal).

A desvantagem da definição da taxa de juro J não incluir um período de tempo é eliminada com a taxa unitária de juro i, definida como:

iJP

=

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Exemplo 1

i x= = = =$$ .

, , , %110

10 0000 0110 0 011 100 11

Exemplo 1.1

O gerente do banco outorgou um empréstimo de $2.000,00 pelo prazo de 48 dias. No momento de assinar o contrato, o devedor se comprometeu a devolver $2.250,00. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa operação.

• Juro da operação é j=2.250–2000=$250.

• Taxa unitária de juro é i = =$$ .

,250

2 0000 125 em 48 dias.

• Taxa percentual de juro é i=0,125x100=12,5% em 48 dias.

Exemplo 1.2

O gerente da instituição garantiu que aplicando $5.000,00, pelo prazo de sessenta (60) dias nominais, você resgatará $5.122,50 no final da operação. Calcule o juro, a taxa unitária de juro e a taxa percentual de juro dessa aplicação.

• Juro da operação é j = 5.122,50–5.000 =122,50.

• Taxa unitária de juro é i = =$ ,$ .

,122 505 000

0 0245i = =$ ,$ .

,122 505 000

0 0245 em 60 dias.

• Taxa percentual de juro é i=0,0245x100=2,45% em 60 dias.

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1.2 Taxa percentual

Trata-se dos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. Esse valor é um acréscimo sobre o valor inicial em forma de fração, onde o denominador é sempre 100, conhecido como porcentagem (%).

Se falarmos em 10% (dez por cento), significa que, a cada grupo de 100, haverá um acréscimo de 10.

Exemplo 1.3

Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período:

Juros x= $ ,2000 00100

20 Juros = $ 20,00 x 20 = $ 400,00

O capital de R$ 2.000,00 tem vinte centos. Como cada um deles rende 20, a remuneração total da aplicação no período é de $ 400,00.

1.3 Taxa unitária

É o rendimento de cada unidade de capital em certo período. A transformação da taxa percentual em unitária é processada pela divisão da notação em percentagem por 100.

Exemplo 1.4

Um capital de R$2.000,00, aplicado a 20% ao ano, rende de juros, ao final deste período.

A taxa percentual de 20% ao ano indica um rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada, ou seja:

Juros R x= $ . ,2 000 0020

100 Juros = R$ 2.000,00 x 0,20 = $ 400,00

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Para a transformação inversa, basta multiplicar a taxa unitária por 100, assim transformando a taxa unitária em porcentagem.

Exemplo 1.5

Taxa percentual Fórmula N / 100 Taxa unitária

0,5% 0,5 / 100 0,005

1,3% 1,3 / 100 0,013

22% 22 / 100 0,22

31,5% 31,5 / 100 0,315

58% 58 / 100 0,58

150% 150 / 100 1,5

Exemplo 1.6

Converta para a forma percentual:

0,57 = 0,57 x 100 = 57%2,08 = 2,08 x 100 = 208%0,02 = 0,02 x 100 = 2%

Exemplo 1.7

Converta para a forma unitária:

163% = 163 / 100 = 1,632.107% = 2,107 / 100 = 21,0712% = 12 / 100 = 0,12

Exemplo 1.8

Num lote de 100 lâmpadas, 15 apresentam defeito. A razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:

15100

15= %

Nas fórmulas de matemática financeira, todos os cálculos são efetuados utilizando-se a taxa unitária de juros.

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Exemplo 1.9

Um DVD é vendido por R$ 28,00. Se o seu preço fosse acrescido em 18%, quanto o DVD passaria a custar?

Se fosse anunciado um desconto de 20% sobre o preço original, quanto o DVD passaria a custar?

• Aumento: preço = 28 + 0,18 x 28 = 28 . (1 + 0,18) = 28 . 1,18 = R$ 33,04.

• Desconto: preço = 28 – 0,20 x 28 = 28 . (1 – 0,20) = 28 . 0,80 = R$ 22,40.

1.4 Juro exato e juro comercial

Comum nas operações de curto prazo – onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples – ter o prazo definido em número de dias. Nesses casos, o número de dias pode ser calculado:

a) pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato;

b) pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tem-se, por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário.

Exemplo 1.10

15% ao ano equivalem, pelo critério de juro simples, à taxa diária de:

a) Juro exato: 15% / 365 dias= 0,041096% ao dia.

b) Juro comercial: 15% / 360 dias = 0,041667% ao dia.

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1.5 Equivalência de capitais

Imaginemos uma situação em que eu saiba, hoje, que dentro de um ano terei de efetuar um pagamento no valor de $1200,00. Entretanto, eu disponho de dinheiro hoje para quitação desse débito. Será melhor eu efetuar o pagamento hoje? A resposta é não. Se eu efetuar esse pagamento hoje, terei de desembolsar $1200,00 sendo que eu poderia aplicar $1000,00 no prazo de um ano a uma taxa de 20% ao ano.

Percebemos que o dinheiro não tem o mesmo valor ao passar do tempo (mesmo não existindo inflação), e essa argumentação foi feita com termos estritamente econômicos e não pessoais.

Pagamentos diferentes em sua magnitude total, mas que são feitos em datas diferentes, podem ser equivalentes. Capitais são ditos equivalentes quando os seus valores, transferidos para a mesma data, com a mesma taxa de desconto (custo de oportunidade), são iguais.

Em termos gerais:

Valor Atual = Valor Futuro / (1 + i) e, também,

Valor futuro = Valor Atual x (1 + i), onde i é a taxa de desconto referente ao período considerado. Como i corresponde ao período inteiro em consideração, é chamado de taxa simples. O termo (1 + i) permite a comparação entre valores em tempos diferentes.

A taxa de desconto pode corresponder a um custo de oportunidade.

2 DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA

Para facilitar a visualização dos movimentos monetários estabelecidos em distintos momentos ao longo do tempo,

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o diagrama do fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações de matemática financeira.

500 200700 200

800200

0 1 2 3 4 5i%

A linha horizontal registra a escala de tempo, o ponto zero indica o momento inicial, e os demais pontos representam entrada e saída de caixa ao longo do tempo.

As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas de dinheiro e as setas para baixo da linha horizontal indicam saídas de dinheiro. É imprescindível que o prazo e a taxa de juros estejam expressos na mesma unidade.

Exemplo 2

Uma dívida de R$ 48.000,00 vence daqui a 6 meses. O devedor pretende quitá-la da seguinte forma: uma prestação hoje de R$ 4.800,00, uma prestação de R$14.000,00 daqui a 2 meses e uma última prestação de R$ 27.500,00 daqui a 7 meses. Como fica o diagrama do fluxo de caixa dessa dívida?

R$ 48.000,00

0 2 6 7

R$ 4.800,00 R$ 14.000,00 R$ 27.500,00

Exemplo 2.1

Um estudante pode ter seus cinco anos de estudos financiados pela Caixa Econômica com juros de 14% ao ano. Observe que

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esses juros totais, inferiores à inflação, correspondem a um subsídio. A devolução iniciará após a formatura. Assim, a quantia emprestada no início do primeiro ano será devolvida no início do sétimo ano.

Primeiro empréstimo

Ingresso na escola

Formatura

Primeiradevolução

anos

A primeira anuidade cobrada pela escola é de R$ 14.000,00. É de se esperar reajustes anuais de 35% devidos à inflação. O custo de oportunidade do capital é de 40% ao ano (depósito bancário a prazo fixo).

Calcule a redução percentual nas anuidades da escola a que correspondem esses empréstimos a juros baixos da Caixa Econômica.

A B C D

Anuidades em R$

Devolução para CE 6 períodos

depois: 14% a.a.

Valor do empréstimo 6 períodos mais tarde: 40% a.a.

Desconto (C – B) / C

1º ano 14.000 30.730 105.414 71%

2º ano 18.900 41.485 142.308 71%

3º ano 25.515 56.005 192.116 71%

4º ano 34.445 75.606 259.355 71%

5º ano 46.501 102.068 350.131 71%

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De fato, o estudante que deixar de pagar R$ 14.000,00 no primeiro ano e depositar essa quantia a prazo fixo durante seis anos receberá R$ 105.414,00, mas só terá de devolver R$ 30.730,00 à Caixa Econômica, por ter tido sua anuidade paga pela Caixa Econômica. Observe que a coluna D pode ser calculada devido às parcelas B e C estarem referidas ao mesmo ponto no tempo.

3 ANÁLISE DE ALTERNATIVAS POR VALOR ATUAL

Trata-se de comparar e discutir critérios econômicos para escolher a melhor alternativa baseando-se no valor atual das possibilidades.

Exemplo 3

500 600 500 550

– 1000

Alternativa I

400 550 450 550

– 1200

Alternativa II

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Na figura acima, fica evidente que a alternativa II é melhor, devido aos valores estarem no mesmo tempo e período, o que torna simples a comparação, sem a necessidade de cálculo.

O método do valor atual consiste em descapitalizar todos os valores para a data de hoje (período igual a zero). Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes às séries correspondentes e compará-los para decidir qual é a melhor.

3.1 Regime de capitalização dos juros

É a forma como os juros são incorporados ao capital no decorrer do tempo e podem ser identificados em dois regimes de capitalização: simples e composto.

3.1.1 Regime de capitalização simples

Compara-se a uma progressão aritmética, isto é, o juro cresce de forma linear ao longo do tempo. Os juros incidem somente ao capital inicial da operação e não acumulativo.

AnoSaldo no início de cada ano

Juros apurados para cada ano

Saldo devedor ao final de cada ano

Crescimento anual do saldo

devedor

Hoje 0 – 1000 –

1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100 100

2 1100 0,10 x 1000 = 100 1200 100

3 1200 0,10 x 1000 = 100 1300 100

4 1300 0,10 x 1000 = 100 1400 100

5 1400 0,10 x 1000 = 100 1500 100

Algumas observações podem ser apresentadas:

• os juros, por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de $1.000,00, apresentam valores idênticos ao final de cada ano ($ 100,00);

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• em consequência, o crescimento dos juros no tempo é linear, revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética. Os juros totais da operação atingem, nos 5 anos, $ 500,00;

• se os juros simples não forem pagos ao final de cada ano, a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial ($ 1.000,00), não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período. Assim, no 5º ano, a remuneração calculada de $ 100,00 é obtida com base no capital emprestado há 5 anos, ignorando-se os $400,00 de juros que se foram acumulando ao longo do período;

• como os juros variam linearmente no tempo, a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual, isto é: 5 anos x 10% ao ano = 50% para 5 anos.

3.1.2 Regime de capitalização composta

Compara-se a uma progressão geométrica, isto é, o juro cresce de forma exponencial ao longo do tempo. Os juros incorporam-se ao capital inicial da operação e de forma acumulativa, isto é, juros sobre juros.

AnoSaldo no

início de cada ano

Juros apurados para cada ano

Saldo devedor ao final de cada ano

Hoje – – 1000

1 1000 0,10 x 1000 = 100 1100

2 1100 0,10 x 1100 = 110 1210

3 1210 0,10 x 1210 = 121 1331

4 1331 0,10 x 1331 = 133,1 1464,1

5 1464,1 0,10 x 1464,10 = 146,41 1610,51

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Os comentários sobre o quadro ilustrativo são colocados:

• no critério composto, os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de $ 1.000,00, mas sobre o saldo total existente no início de cada ano. Esse saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores;

• o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica, evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo.

Exemplo 3.1

Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10% ao ano, em regime de juros compostos. No final do período, o montante será?

• 1o ano: 1.000,00 x 0,10 = $ 100,00 ⇒ Montante = $ 1.100,00

• 2o ano: 1.100,00 x 0,10 = $ 110,00 ⇒ Montante = $ 1.210,00

• 3o ano: 1.210,00 x 0,10 = $ 121,00 ⇒ Montante = $ 1.331,00

3.2 Diferenças entre capitalização simples e composta

Segundo Mathias e Gomes (2002), a diferença entre o regime de juros simples e juros compostos é caracterizada pelo fato de que nos juros simples apenas o capital inicial rende juros e este é diretamente proporcional ao tempo e à taxa, e os juros compostos, que retratam melhor a realidade, são capitalizados junto ao capital, incorporando-o e passando a participar da geração de juros do período seguinte.

Juros compostos

Juros simples

M

n0 0,5 1 1,5

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Observe, na figura acima, que o comportamento do juro simples cresce linearmente ao longo do tempo, enquanto o juro composto cresce exponencialmente.

Os juros simples têm aplicações práticas limitadas devidas às suas restrições técnicas. São raras as operações financeiras que usam a capitalização linear e, dentre elas, as operações financeiras de curtíssimo prazo.

O regime composto é adotado por todo mercado financeiro e de capitais: aplicações financeiras, cartão de crédito, sistema financeiro de habitação etc.

4 JUROS SIMPLES

O regime de juros simples tem como particularidade a incidência dos juros sobre o valor principal do empréstimo, isto é, os cálculos dos montantes (capital + juros) serão realizados com referência no valor principal, independente do período. Sobre os juros gerados a cada período, não incidirão novos juros.

Valor principal ou simplesmente principal ou capital é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando isso em fórmula, temos:

J=C.i.n

Algebricamente:

C=J/(i.n)I=J/(C.n)n=J/(C.i)

Onde:

J = jurosC = Capital (Principal)

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i = taxa de jurosn = número de períodos

Abreviaturas empregadas na notação das taxas:

Abreviatura Significado

a.d. ao dia

a.m. ao mês

a.b. ao bimestre

a.t. ao trimestre

a.q. ao quadrimestre

a.s. ao semestre

a.a. ao ano

Observação: a taxa de juros (i) e o número de períodos (n) devem estar na mesma base. Porém, deve-se sempre alterar n, evitando-se alterar i.

Exemplo 4

Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 5% a.m. pelo período de 2 meses no regime de capitalização simples. Qual o valor dos juros mensais?

J=C.i.n1500 x 0,05 x 2J = $ 150

Exemplo 4.1

Um capital de $1120,00 foi aplicado a uma taxa de 5% a.m. no regime de capitalização simples por sete meses. Qual o valor dos juros capitalizados durante o período de vigência da aplicação?

J=C.i.n1120,00 x 0,05 x 7J = $ 392,00

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Exemplo 4.2

Uma pessoa compra a prazo um DVD (que custa, à vista, $ 500,00) que pode ser pago em três parcelas mensais iguais (entrada no ato) no valor de $ 270,00. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?

C = 500,00 – 270,00 = $ 230,00J = 270,00 – 230,00 = $ 40,00i=J/(C.n)i = 40 / 230 x 1i = 0,1739 ou 17,39%

Exemplo 4.3

Temos uma dívida de R$ 80.000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 3 meses. Quanto pagaremos de juros?

J=C.i.nJ = 80000 x 0,08 x 3J = R$ 19.200,00

Exemplo 4.4

Temos uma dívida de R$ 50.000,00 que deve ser paga com juros de 20% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 8 meses. Quanto pagaremos de juros?

J=C.i.nJ = 50000 x 0,20 x 8J = R$ 80.000,00

Exemplo 4.5

Um negociante pegou um empréstimo a uma taxa de 12% no regime de juros simples para pagar daqui a 10

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meses. O juro apurado foi de R$ 20.000,00. Quanto ele pegou emprestado?

C=J/(i.n)C = 20000 / (0,12 x 10)C = R$ 24.000,00

Exemplo 4.6

Você investiu numa aplicação o valor de R$ 45,000,00 por 12 meses, o que lhe proporcionou um rendimento de R$ 8.000,00. Qual foi a taxa de juros simples dessa aplicação?

i=J/(C.n)i = 8000 / (45000 x 12)i = 0,014815 “taxa unitária”taxa percentual = 0,014815 x 100 = 1,4815% a.m.

Exemplo 4.7

Quanto tempo você tem de deixar R$ 6.200,00 aplicados a uma taxa de 4,7% a.m. para obter um rendimento de R$ 1.625,00.

n=J/(C.i)n = 1625 / ( 6200 x 0,047)n = 5,576 meses ou 6 meses

Exemplo 4.8

Um capital de $75.000,00 é aplicado à taxa de 4% ao mês durante um período de um quadrimestre. Calcular o valor dos juros acumulados.

J=C.i.nJ = 75.000 x 0,04 x 4J = $ 12.000,00

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Unidade I

Revi

são:

Ger

aldo

- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

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Para operações com prazo em dias e o período da taxa de juro com período anual, o prazo da operação em dias é convertido numa fração de um ano, faltando definir quantos dias tem um ano e como se calcula a fração de um ano. Por exemplo, para um ano de 360 dias e uma operação a prazo de t dias, a fração que ajusta a taxa anual de juro ao prazo da operação é (t/360).No cálculo do juro, o período da taxa de juro é ajustado ao prazo da operação utilizando taxas proporcionais:

J = P x i x t / 360

Exemplo 4.9

O empréstimo de $ 17.000,00 pelo prazo de 55 dias foi acertado com a taxa de juro de 19% ao ano, com a condição de pagar o juro junto à devolução do empréstimo. Calcule o juro no regime de juros simples considerando o ano de 360 dias.

J C in= . .

360

J = 17000 x 0,19 x 55 / 360J = $ 493,47

Exemplo 4.10

Um capital de $ 1500,00 foi aplicado à taxa de 3% a.m. no regime de capitalização simples por um período de 4 meses. Qual o valor dos juros mensais?

J=C.i.nJ = 1500 x 0,03 x 4J = $ 180,00

No cálculo do exemplo 4.9, foi utilizada a taxa de juro 4% com período igual a 55 dias, igual ao prazo do empréstimo, resultado obtido com:

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it = 0 455360

, .

A partir da taxa anual i com período de 360 dias e a taxa proporcional it com período igual ao prazo da operação t obtém-se:

i it

t = .360

t itt

360=

O resultado do primeiro membro da última expressão é a taxa diária proporcional da taxa i com período de um ano de 360 dias. E o resultado do segundo membro é a mesma taxa unitária, porém calculada com a taxa de juro it com período t.

4.1 Montante e capital

Um capital aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante é calculado com o capital mais o valor acumulado dos juros:

M = C + J

No entanto, sabe-se que:

J = C . i . n

Assim,

M = C + C . i . nM = C.(1 + i . n)

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Unidade I

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O valor de C pode ser obtido por:

C = M(1 + i .n)

O valor de i pode ser obtido por:

i

MC

n=

−

1

O valor de n pode ser obtido por:

n

MC

i=

−

1

Exemplo 4.11

Um capital de $ 70.000,00 é aplicado à taxa de 3,5% ao mês no RCS, durante um semestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste período.

J = C . i . nJ = 70000 . 0,035 . 6J =$ 14.700,00

Exemplo 4.12

Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 8% ao mês durante dez meses. Ao final deste período, calculou em $ 255.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo:

CMi n

=+ ⋅( )1

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CC= −

+ ⋅( )255 000

1 0 08 10.

,

C = 318.750,00

Exemplo 4.13

Um capital de $ 35.000,00 foi aplicado num fundo de poupança por 9 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.750,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operação.

i

MC

n=

−

1

i =−

4475035000

1

9

i = 0,03095 = 3,095%

Exemplo 4.14

Uma aplicação de $ 244.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,9% ao mês produz, ao final de determinado período, juros no valor de $ 31.000,00. Calcular o prazo da aplicação.

n

MC

i=

−

1

n =−

275 000244 000

1

0 019

.

.,

n = 6,686 meses ou 7 meses

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Exemplo 4.15

Uma empresa tomou $ 3.500,00 emprestados para pagar dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação.

M = C.(1 + i . n)M = 3.500.(1 + 0,055 . 7)M = $ 4.847,50

Exemplo 4.16

Uma aplicação feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 780,00 após 6 meses, a uma taxa de 9,5% a.m. Qual o capital inicial da operação?

CMi n

=+ ⋅( )1

C =+ ⋅( )

7801 0 095 6,

C = $ 496,81

Exemplo 4.17

O valor de $ 350,00 foi aplicado por seis meses, permitindo a obtenção de $ 480,00. Sabendo que o regime de capitalização é simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operação.

i

MC

n=

−

1

i =−

480350

1

6i =0,0619 = 6,19%

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Exemplo 4.18

A quantia de $ 254,00 foi obtida como montante de uma aplicação de $ 78,00 feita à taxa de 2,5% a.m. no regime de capitalização simples. Qual a duração da operação?

n

MC

i=

−

1

n =−

25478

1

0 025,

n = 90,26 ou 91 meses

5 JUROS COMPOSTOS

O regime de juros compostos é comumente usado no sistema financeiro e, com isso, o mais usual para cálculos de problemas financeiros do cotidiano.

Uma particularidade dos juros compostos é que são juros gerados a cada período e incorporados ao principal para serem referência no cálculo dos juros do período seguinte, isto é, juros sobre juros.

O momento quando os juros são incorporados ao valor principal é quando ocorre a capitalização.

Abaixo, temos a expressão algébrica que demonstra os juros sobre juros em três períodos:

1º mês:

M =C.(1 + i)

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2º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:

M = C x (1 + i) x (1 + i)

3º mês: o principal passa a ser o montante do mês anterior:

M = C x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

Dessa forma, é possível obter a fórmula:

M=C.(1+i)n

Algebricamente:

C = M

(1 + i)n

Para calcular o juro:

j=C.[(1+i)n–1]

Importante: a taxa i tem de ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Obviamente, podem ser usadas outras unidades de tempo como ano, semestre, entre outras, mas sempre usar a mesma unidade para período e taxa.

Para calcular o juro, basta diminuir o principal do montante ao final do período:

J=M–C

Exemplo 5

Se uma pessoa deseja obter R$ 26.750,00 dentro de onze meses, quanto deverá depositar hoje numa poupança que rende 1,65% de juros compostos ao mês?

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CM

i n=+( )1

C =+

26750

1 0 0165 11( , )

C = R$ 22.343,05

Exemplo 5.1

Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 12.000,00 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 3,5% a.m.?

M = C . (1 + i)n

M = 12000 (1 + 0,035 )8

M = R$ 15.801,71

Exemplo 5.2

Calcule o montante de um capital de R$6.750,00 aplicado a juros compostos, durante 13 meses, à taxa de 3,8% ao mês.

C = R$6.750,00n = 13 mesesi = 3,8% a.m. = 0,038M = ?M=C.(1+i)n

M=6750.(1+0,038)13

M=10.961,48

Exemplo 5.3

Determinar o juro pago de um empréstimo de $ 87.520,00 pelo prazo de 6 meses à taxa composta de 3,35% ao mês.

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j=C[(1+i)n–1]j = 87.520 [(1,0335 )6 – 1]j = $ 19.132,29

Exemplo 5.4

Calcule quanto se deve depositar hoje para resgatar $ 100.000,00 daqui a 15 meses, considerando a taxa de juro de 1,75% ao mês no regime de juros compostos.

C = M / (1 + i)n

C = 100.000 / (1+0,0175) 15

C = $ 77.087,46

Exemplo 5.5

Um financiamento foi desenvolvido após seis meses, desembolsando $ 141.852,00. Calcule a taxa de juro mensal dessa operação sabendo que o valor recebido pelo cliente foi $ 100.000,00.

i = (M / C)1/n –1

i = (141.852 / 100.000)1/6 –1

i = 0,06

Exemplo 5.6

Hoje, foram aplicados $ 10.000,00 pelo prazo de 4 trimestres, com taxa de juro de 3,5 ao trimestre. Calcule o valor do resgate considerando o regime de juros compostos.

M = C x ( 1 + i )n

M = 10.000 x ( 1 + 0,035 )4 = $ 11.475,23

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Exemplo 5.7

Calcule quanto deveria ser aplicado hoje para se resgatarem $ 10.000,00 daqui a doze meses, considerando a taxa de juro constante de 2,2% ao mês no regime de juros compostos.

C = M / (1 + i)n

C = 10000 / (1+0,022)12

C = $ 7.701,75

Exemplo 5.8

Um investidor tem R$ 11.000,00 para aplicar durante 4 meses. Consultou um determinado banco e recebeu as propostas de investimento:

• I – 2,5% de juros simples ao mês;

• II – 1,3% de juros compostos ao mês;

• III – resgate de R$ 11.450,00, no final de um período de quatro meses.

A considerar a situação hipotética acima, e, uma vez aplicado o dinheiro, não haja retirada alguma antes de quatro meses, julgue os itens seguintes:

a) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 1º mês, R$11.275,00.

b) Se optar pela proposta I, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.500,00.

c) Se optar pela proposta II, ele terá, no final do 2º mês, mais de R$11.250,00.

d) Para o investidor, a proposta financeiramente menos favorável é a III.

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Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,025

Na proposta I, no final do primeiro mês:

MI = 11000 * (1+0,025*1)MI = 11.275,00

Na proposta I, no final do segundo mês:

MI = 11000 * (1+0,025*2)MI = 11.550,00

Logo, as alternativas a) e b) são verdadeiras.

Solução: C = 11000; n =4; iI = 0,013

Na proposta II, no final do segundo mês:

iII = 0,01MII = 11.000 * (1+0,013)²MII = 11.287,86

Então, a alternativa c) também é verdadeira.

Olhando para todas as opções de investimento, temos:

MI = 11000 * (1+0,025*4) = 12.100,00MII = 11.000 * (1+0,013)4 = 11.583,25

• MI = 12.100,00

• MII = 11.583,25

• MIII = 11.450,00

Então, a alternativa d) também é verdadeira.

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Exemplo 5.9

Calcule os juros compostos e o montante referentes a um capital de R$ 7.500,00 aplicado durante 6 meses à taxa de 10% a.m.

C = R$ 7.500,00i = 10% a.m. = 0,10n = 6 mesesJ = ?M = ?M = C . (1 + i)n

M = 7.500,00 . (1 + 0,10)6

M = 7.500,00 . 1,106

M = 7.500,00 . 1,77M = 13.286,71J = M – CJ = 13.286,71 – 7.500,00J = 5.786,71

ou

J = C . [(1 + i)n – 1]J = 7.500,00 . [(1 + 0,10)6 – 1]J = 5.786,71

6 TAXAS PROPORCIONAIS E EQUIVALENTES

Para compreender o significado dessas taxas, é necessário reconhecer que toda operação envolve dois prazos:

• prazo a que se refere a taxa de juros;

• prazo de capitalização dos juros.

A fim de exemplificar, um investimento paga aos investidores uma taxa de juros de 6% ao ano, a qual é capitalizada ao principal

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todo mês por meio de um percentual proporcional de 0,5% ao mês. Portanto, temos dois prazos: prazo da taxa em ano e prazo da capitalização em mês.

Para uso das fórmulas da matemática financeira, é necessário expressar esses prazos diferentes, na mesma unidade de tempo.

6.1 No regime de juros simples

No regime de juros simples, essa transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros e é obtida pela divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros (número de períodos de capitalização).

Por exemplo, para uma taxa de juros de 25% a.a., se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão juros 12 vezes em um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será:

Taxa proporcional = 25% / 12 = 2,083% ao mês.

A aplicação de taxas proporcionais é difundida em operações de curto e curtíssimo prazo como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente bancária etc.

As taxas de juros simples são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo: produzem o mesmo volume linear de juros.

Exemplo 6

Em juros simples, um capital de $4.000,00, se aplicado a 5% ao mês ou 15% ao trimestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros:

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ão: M

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J (5% a.m.) = $ 4.000,00 x 0,05 x 12 meses = $ 2.4000,00J (15% a.t.) = $ 4.000,00 x 0,15 x 4 trimestres = $ 2.4000,00

Os juros produzidos pelas taxas lineares são iguais, portanto, equivalentes.

Exemplo 6.1

Calcular a taxa de juros semestral proporcional de:

60% ao ano:

Solução: i = =6012

6 30%

. % ao semestre;

9% ao trimestre:

Solução: i = =93

6 18%

. % ao semestre ou i=9%.2=18%.

Exemplo 6.2

Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre:

Solução: 123

3612

=

Colocadas as taxas em proporções iguais para comparação, notamos que as taxas não são proporcionais, pois o produto dos meios (3x6) é diferente do produto dos extremos (12x12).

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6.2 No regime de juros compostos

No regime de juros compostos, o conceito de taxa equivalente permanece válido, diferenciando a fórmula de cálculo da taxa de juros.

i iqq= + −1 1

onde:

q = número de períodos de capitalização.

Exemplo 6.3

Qual a taxa equivalente composta mensal de 10,3826% ao semestre?

i66 1 0 103826 1= + −,

i66 1103826 1 1 0166 1 0 0166= − = − =, , , ou 1,66%

A um mesmo capital e prazo de aplicação, é financeiramente indiferente o rendimento de 1,66% ao mês ou 10,3826% ao semestre.

A fim de demonstrar, usaremos um exemplo de aplicação de $ 50.000,00 aplicado por dois anos:

Para i = 1,66% e n = 24 meses:

M = 50.000,00 (1,0166)24 = $ 74.228,81

Para i = 10,3826% e n = 4 semestres:

M = 50.000,00 (1,103826)4 = $ 74.228,81

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Exemplo 6.4

A taxa Selic anual (do dia 8 de junho de 2004) foi de 15,84%. Calcule a taxa equivalente diária.

i ia= + −( )1 11

252 ou i ia= + −1 1252 (essas fórmulas são as

mesmas!)

i = + −( , )1 0 1584 11

252 = 0,00058366

Resposta: para as aplicações no mercado financeiro, em setembro de 2000, o Banco Central do Brasil definiu que o número de dias úteis do ano é de 252 dias. A taxa equivalente diária no regime de juros compostos com 252 dias úteis por ano é 0,0005837 ou 0,05837% ao dia útil.

Exercício 6.5

No dia 1 de fevereiro de 2005, a operação foi fechada com taxa diária 0,066509%. Calcule a taxa equivalente anual.

i=(1+id)252–1

i=(1+0,00066509)252–1

i=0,1824008

Resposta: a taxa equivalente anual no regime de juros compostos considerando 252 dias úteis por ano é 0,1824 ou 18,24% ao ano de 252 dias úteis.

Exercício 6.6

A taxa de juros de um financiamento está fixada em 4,2% a.m. em determinado instante. Qual a taxa acumulada para um ano?

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i=(1+im)12–1i=(1+0,042)12–1

64% a.a.

Exercício 6.7

A taxa de juros de um financiamento está fixada em 3,3% a.m. em determinado momento. Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano?

Capitalizar as seguintes taxas:

• 2,3 % ao mês para um ano: ia=(1+0,023)12–1 = 31,37% a.a.

• 0,14% ao dia para 23 dias: id=(1+0,0014)23–1 = 3,27% para 23 dias.

• 7,45% ao trimestre para um ano: ia=(1+0,0745)4–1 = 33,30% a.a

• 6,75% ao semestre para um ano: ia=(1+0,0675)2–1= 13,96% a.a.

Exercício 6.8

Calcular a taxa equivalente composta a 34% ao ano para os seguintes prazos:

• 1 mês:

im = + −( , )1 0 34 11

12 = 2,47% a.m.

• 1 quadrimestre:

iq = + −( , )1 0 34 113 = 10,25% a.q.

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• 1 semestre:

is = + −( , )1 0 34 112 = 15,76% a.s.

• 5 meses:

im = + −( , )1 0 34 15

12 = 12,97% para 5 meses.

• 10 meses:

im = + −( , )1 0 34 11012

= 27,62% para 10 meses.

Exercício 6.9

Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25% ao ano?

Solução:

Taxa de juros equivalente mensal:

i = 25% ao ano;q = 1 ano (12 meses)

i12121 0 25 1= + −,

i1212125 1= −,

i12=1,877% a.m.

Taxa de juros equivalente trimestral:

q = 1 ano (4 trimestres)

i4 4 1 0 25 1= + −,

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i4 4 125 1= −,

i4=5,737% a.t.

7 DESCONTO SIMPLES RACIONAL OU “POR DENTRO”

Desconto simples racional, também chamado de desconto “por dentro”, assume os conceitos e relações básicas de juros simples.

Dessa forma, Dr é o valor do desconto racional, C é o capital (ou valor atual), i é a taxa periódica de juros e n é o prazo do desconto (número de períodos em que o título é negociado antes de seu vencimento), tem-se abaixo a expressão de juros simples:

Dr = C x i x n

Pela definição de desconto, e incorporando o conceito de valor descontado no lugar do capital no cálculo do desconto, obtém-se:

Dr = N – Vr

Sendo que N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante) e Vr é o valor descontado racional (ou valor atual) na data da operação. Como:

V CNi nr = =

+ ×1

Algebricamente, obtém-se o valor do desconto racional a juros simples:

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Revi

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Ger

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- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

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D NNi n

N i n N

i nN N i n N

i nr = −+ ×

=+ ×( ) −+ ×

= + × × −+ ×1

1

1 1

DN i n

i nr = × ×+ ×1

O valor descontado é obtido pela seguinte expressão:

Vr = N – Dr

V NN i n

i n

N i n N i n

i nN N i n N i n

i nr = − × ×+ ×

=+ ×( ) − × ×

+ ×= + × × − × ×

+ ×1

1

1 1

VNi nr =

+ ×1

No desconto racional, o juro incide sobre o capital do título. A taxa de juro (desconte) cobrada representa o custo efetivo de todo o período do desconto.

Exemplo 7

Seja um título de valor de $ 3.500,00 vencível em um ano, que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. Sendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado.

Solução (graficamente):

N=$3.500,00Vr

i=48% a.a.4% a.m.

0 10 12 (meses)

Desconto: DN i n

i nr = × ×+ ×1

38

Unidade I

Revi

são:

Ger

aldo

- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

06/1

2/10

Dr = × ×+ ×

= =3 500 00 0 04 21 0 04 2

280 001 08

259 26. , ,

,,

,$ ,

Valor descontado: Vr = N – Dr

Vr = 3.500,00 – 259,29 = $ 3.240,71

ou VNi nr =

+ ×1

Vr =+ ×

=3 500 001 0 04 2

. ,,

$ 3.240,71

Para o devedor, $ 259,26 representa o valor que está deixando de pagar por quitar a dívida antecipadamente. O valor líquido do pagamento (valor descontado) é de $ 3.240,71.

Exemplo 7.1

Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento. O valor de resgate é $ 28.800,00 e valor atual na data do desconto é de $ 25.235,10.

Solução: sabe-se que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título, ou seja, sobre o capital liberado.

Dr = Vr x i x n e iD

V nr

r=

×

iVr

= −×

= =28 800 00 25 235 103

1 563 9048 872 20

0 04725 23510

. , . , . ,. ,

,. ,

008 ou

4,708% a.m.

39


Revi

são:

Ger

aldo

- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

06/1

2/10

8 DESCONTO BANCÁRIO OU COMERCIAL OU “POR FORA”

Esse tipo de desconto, simplificadamente, por incidir sobre o valor nominal (valor de resgate) do título, proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações.

A modalidade de desconto “por fora” é amplamente adotada pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial em curto prazo.

O valor desse desconto (desconto por fora) DF no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título (N), da taxa de desconto periódica “por fora” contratada na operação (d) e do prazo de antecipação definido para o desconto (n). Isto é:

DF = N x d x n

O valor descontado “por fora” (VF), aplicando-se a definição, é obtido:

VF = N – DF

VF = N – N x d x n

VF=N(1–d x n)

Exemplo 8

Determinar a taxa de desconto “por fora” de um título negociado 90 dias antes de seu vencimento, sendo seu valor de resgate igual a $ 27.500,00 e valor atual na data do desconto de $ 21.225,10.

Solução:

N=$27.500,00VF=$21.225,10

t – 3 t (meses)

n = 3 meses

40

Unidade I

Revi

são:

Ger

aldo

- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

06/1

2/10

DF = N – VF

DF = 27.500,00 – 21.225,10 ⇒ DF = $ 6.274,90DF = N x d x n6.274,90 = 27.500,00 x d x 36.274,90 = 82.500,00 x d

d = =6.274,90 82 500 00

0 07606. ,

, ou 7,606% ao mês

Exemplo 8.1

Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de R$ 100,00 descontado 60 dias antes do vencimento, à taxa de desconto de 0,2% a.d.?

Db = ?

N = R$ 100,00

i = 0,2% a.d. = 0,002 a.d.

n = 60 dias

Db = N . i . n

Db = 100,00 x 0,002 x 60

Db = R$ 12,00

O valor do desconto bancário é de R$ 12,00.

Exercício 8.2

Uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 7.500,00 a vencer em 03 de abril. No dia 19 de janeiro, descontou o título num banco que cobra 2,5% a.m. de desconto bancário. Calcular o valor de resgate do título.

41


Revi

são:

Ger

aldo

- D

iagr

amaç

ão: M

árci

o -

06/1

2/10

N = R$ 7.500,00C = ?i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.n = 74 dias

C = N (1 – i . n)

C = 7.500,00 × − ×

10 025 74

30,

C = 7.500,00 x (1 – 0,061667)C = 7.500,00 x 0,938333C = 7.037,50

O valor do resgate é R$ 7.037,50.

matematica financeira unid i

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