matemática financeira descontos prof. ms. cristiane attili castela aula 05

Matemática FinanceiraMatemática Financeira

DescontosDescontos

Prof. Ms. Cristiane Attili Castela

Aula 05

Prof. Cristiane A. Castela 2

DescontosDescontos• O cálculo do desconto refere-se ao

valor de um título numa data antes de seu vencimento;

• O desconto é a diferença entre o valor de resgate e o valor presente do título na data da operação.

pf VVD


AplicaçõesAplicações

• Cheques pré-datados;

• Duplicatas


Situação Exemplo:Situação Exemplo:

Você é um fornecedor de matéria-prima para a indústria automotiva. Ao fornecer um lote de mercadorias recebe um cheque pré-datado com vencimento em 60 dias. Estando na época de pagar os seus funcionários, você precisa de capital para fazer os respectivos depósitos. Como fazer para ter dinheiro hoje?


Resposta:Resposta:

Você pode ir até o banco e antecipar o recebimento do cheque, porém o banco irá cobrar por esta antecipação. Esta cobrança efetuada pelo banco é o que chamamos de desconto.


Tipos de DescontosTipos de Descontos• Desconto Simples

(Bancário ou comercial)

– A taxa de desconto incide sobre o valor futuro do título

(D = VF.id.n)

– Valor descontado

(D=VF - VP)

• Desconto Composto– A taxa de desconto

incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior.

VP = VF(1-id)n

– Valor do desconto (D)

D = VF - VP


Algumas consideraçõesAlgumas considerações

• O desconto praticado pelo mercado é o desconto simples, por que?

• O desconto composto existe na teoria, porém na prática não é usado.


Exemplo 1Exemplo 1

D = VF.id.n

D = 70.000 x 3 x 0,027 = 5.670,00

VP = VF – D

VP = 70.000,00 – 5.670,00 = $ 64.330,00

Uma duplicata de $70.000,00, com vencimento para 90 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.


Exemplo 2Exemplo 2

Calcular o valor do desconto de um título de 100.000,00, com 115 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 3% ao mês.

00,500.11$

03,030

115000.100

D

D

nidVFD


Exercício 1Exercício 1 Uma duplicata de $95.000,00, com

vencimento para 80 dias, foi descontada por um banco à taxa de 2,35% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.

$ 89.046,67


Exercício 2Exercício 2

Uma duplicata de $5.000,00, com vencimento para 125 dias, foi descontada por um banco à taxa de 3,6% ao mês. Calcular o valor líquido entregue ou creditado ao cliente.

$ 4.250,00



Calcular o valor do desconto de um título de $68.000,00, com 225 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 3,5% ao mês.

$ 17.850,00



Calcular o valor do desconto de um título de $34.000,00, com 200 dias a vencer, sabendo-se que a taxa de desconto é 20% ao ano.

$ 3.777,78



Determinar quantos dias faltam para o vencimento de uma duplicata, no valor de $9.800,00, que sofreu um desconto de $548,50 , à taxa de 32% ao ano.

63 dias


Descontos CompostosDescontos Compostos

• “A taxa de desconto incide sobre o valor futuro deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido através de cálculos exponenciais e praticamente não é usado em nenhum país do mundo”. (Vieira Sobrinho)

nidVFVP )1( VPVFD


ExemploExemplo

D1 = VF.id = 1000x0,02 = 20,00

VP1 = 1000-20 = 980,00

D2 = 980x0,02 = 19,60

VP2 = 980 – 19,60 = 960,40

D3 = 960,40x0,02 = 19,21

VP3 = 960,40 – 19,21 = 941,19

D = D1+D2+D3 = $58,81

Calcular o desconto composto efetuado sobre um título, cujo valor de face é de 1000,00, com vencimento em 90 dias à taxa de 2% ao mês.


Fazendo as contas pela fórmulaFazendo as contas pela fórmula

nidVFVP )1(

VPVFD

19,941)02,01(1000 3 VP

81,5819,9411000 D


Uma duplicata no valor de R$ 8.000,00 foi descontada para quatro meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial composto igual a 3%a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto sofrido pelo título.

R$ 7.082,34 e R$ 917,66



Construa uma tabela apresentando o valor do desconto e o valor de resgate de um título de $2.000,00 descontado à taxa de 2% ao mês, para os prazos 30, 60, 90, 120 e 150 dias, considerando descontos simples e descontos compostos.


Cálculo de Desconto para uma Cálculo de Desconto para uma série de Títulos do mesmo série de Títulos do mesmo

valorvalorTítulo 1 – VF D1 = VF.id.1 Titulo 2 – VF D2 = VF.id.2Título 3 – VF D3 = VF.id.3Título 4 – VF D4 = VF.id.4...Titulo n – VF Dn = VF.id.nDesconto total = D1+D2+D3+...+Dn


Cálculo do desconto total Cálculo do desconto total (Dt)(Dt)

Dt = D1+D2+D3+...+DnDt = VF.id.1+VF.id.2+VF.id.3+...VF.id.nDt = VF.id(1+2+3+...n)

Mas, (1+2+3+...+n) é uma P.A.

Então (1+2+3+...+n) =

• Conclusão...

2

1 nn


Fórmula para o desconto de Fórmula para o desconto de uma série de n títulos com uma série de n títulos com

vencimentos periódicosvencimentos periódicos

Obs: O primeiro título vence no final do primeiro período.

n

nidVFDt 2

1..


Exemplo 1Exemplo 1

Calcular o valor líquido correspondente ao desconto bancário de 12 títulos, no valor de $2.000,00 cada um, vencíveis de 30 a 360 dias, respectivamente, sendo a taxa de desconto cobrada pelo banco de 2% ao mês.


SoluçãoSolução

00,120.312

2

12102,02000

Dt

n

nidVFDt 2

1..

Valor Líquido recebido:

00,880.20$00,120.300,000.212 totalVP


Exemplo 2Exemplo 2

Cinco duplicatas, no valor de $40.000,00 cada uma, com vencimento para 90, 120, 150, 180 e 210 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto.


SoluçãoSolução

• Observe que o vencimento da primeira duplicata ocorre em 90 dias (3 meses).

• A fórmula deve ser adaptada para esta situação:

n

ttidVFD N

t 2.. 1


SoluçãoSolução

n

ttidVFD N

t 2.. 1

00,000.305

2

7303,0000.40

tD



Uma empresa apresenta a um banco, para desconto, 4 duplicatas no valor de $32.600,00 cada uma, com vencimentos para 60, 120, 180 e 240 dias. Calcular o valor líquido creditado pelo banco na conta da empresa, sabendo-se que a taxa de desconto cobrada é de 2,4% ao mês.

$ 114.752,00



Determinar o número de títulos com vencimentos sucessivos de 30 em 30 dias, descontados à taxa de 3,3% ao mês, sabendo-se que todos são do mesmo valor, igual a $13.000,00 cada um, e cujo desconto total é de $12.012,00.

7 títulos


Comparação entre juros Comparação entre juros compostos e descontos compostos e descontos

simplessimples• Vamos supor que exista um título no

valor de $1.000,00 (valor de face) que pode ser descontado à taxa de desconto de 2,5% ao mês.

• Construir uma tabela com o valor de resgate para vários períodos de antecipação.


Tabela 1Tabela 1

Prazos (n)

Valor do desconto

(D)

Valor líquido

(VL)

1 25,00 975,005 125,00 875,00

10 250,00 750,0015 375,00 625,0020 500,00 500,0025 625,00 375,0030 750,00 250,0035 875,00 125,0040 1.000,00 0,00


Calculando a taxa de juros que Calculando a taxa de juros que corresponde ao desconto corresponde ao desconto

efetuadoefetuadoPrazos

(n)

Valor do desconto

(D)

Valor líquido

(VP)

taxa de juros compostos correspondente à taxa de desconto de 2,5% ao mês

(%)

1 25,00 975,00 2,5645 125,00 875,00 2,707

10 250,00 750,00 2,91915 375,00 625,00 3,18320 500,00 500,00 3,52625 625,00 375,00 4,00130 750,00 250,00 4,72935 875,00 125,00 6,12140 1.000,00 0,00 *******

niVPVF )1(


ExercícioExercício

Que taxa de desconto ao mês deve ser cobrada numa operação com prazo de 90 dias que resulte numa taxa efetiva de juros de 7,1% ao mês, calculada com base no regime de capitalização composta?

6,2% a.m.

Prof. Ms. Cristiane Attili Castela

Exercícios sobre Exercícios sobre Descontos com IOFDescontos com IOF

Matemática FinanceiraMatemática Financeira

Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3%a.m. mais uma taxa operacional (IOF) igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título, no regime de capitalização simples.


R$ 785,00


A fábrica das Medalhas Milagrosas recebeu, líquidos, R$ 16.613,00, resultantes do desconto de uma nota promissória no valor de R$ 18.500,00. Se a taxa de desconto por fora da operação foi igual a 5%a.m. e a taxa (IOF) aplicada sobre o valor nominal foi igual a 0,20%, calcule a duração da operação, no regime de capitalização simples.

2 meses

Matemática I Prof. Cristiane A. Castela 37

Exercício 3Exercício 3Um banco realiza operações de desconto de notas promissórias mediante a aplicação de uma taxa simples de desconto por fora igual a 4% a.m. Além disso, cobra a título de IOF uma taxa igual a 0,3% sobre o valor nominal. Qual será o valor líquido recebido após desconto de um título com valor nominal igual a R$ 12.500,00 e vencimento em 50 dias?

R$ 11.629,17

Matemática I Prof. Cristiane A. Castela 38

Exercício 4Exercício 4O desconto bancário de um título com valor nominal igual a R$ 15.000,00 rendeu, líquidos, R$ 12.885,00. Se a taxa de desconto por fora foi igual a 3% a.m. e o prazo da operação foi igual a quatro meses e meio, estime a taxa percentual incidente sobre o valor nominal da operação, no regime de capitalização simples.

0,6%


Lista de ExercíciosLista de Exercícios

Resolver os exercícios do livro:

Matemática Financeira - J. D. Vieira Sobrinho: pág. 61 - 63

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