matematica financeira basica com o uso do excel

CONSELHO REGIONAL DE CONTABILIDADE NO ESTADO DO RIO DE JANEIRO

Câmara de Pesquisa e Desenvolvimento Profissional

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MATEMÁTICA FINANCEIRA BÁSICA

COM O USO DO EXCEL Fernando Santoro

[email protected]

Leonardo Santoro [email protected]

Rio de Janeiro Atualização: 04/05/2005

http://www.crc.org.br/

mailto:[email protected]

SUMÁRIO

Módulo I - Juros ..................................................................................................2 Conceitos Introdutórios .......................................................................................3 Juros Simples e Compostos ..................................................................................5

Módulo II ...........................................................................................................11 Regimes de Capitalização – Juros Simples e Descontos Simples Regimes de Capitalização Simples e Composta .................................................12 Cálculo dos Juros simples .................................................................................15 Desconto Simples ..............................................................................................19

Módulo III .........................................................................................................30 Regimes de Capitalização – Juros Compostos e Descontos compostos Cálculo dos Juros Compostos .............................................................................31 Descontos Compostos ........................................................................................40 Crescimento Linear X Crescimento Exponencial ..............................................45

Módulo IV - Taxas de Juros .............................................................................49 Taxas Proporcionais – Juros Simples .................................................................50 Taxas Equivalente – Juros Composto .................................................................52 Taxa Nominal e Taxa Efetiva .............................................................................54 Taxas proporcionais x Taxas Equivalentes ........................................................58

Módulo V - Séries Uniformes ...........................................................................62 Séries Uniformes Prestações Iguais.................................................................... 63 Séries Uniforme Imediata ...................................................................................63 Séries Uniforme Diferida ....................................................................................83 Pagamento Fixo X Amortização ........................................................................86

Matemática Financeira Básica com o uso do Excel

Módulo I – Juros Objetivos do módulo

• Entender o significado de juros, taxas de juros, capital, período de tempo, valor futuro, fluxo de caixa e valor do dinheiro no tempo.

• Saber qual é o objetivo da matemática financeira • Entender os conceitos básicos de juros simples e juros compostos através de

aplicações numéricas.

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CONCEITOS INTRODUTÓRIOS

Juros: Consideram-se juros a remuneração paga e/ou recebida pelo capital empregado. Quando você possui recursos financeiros excedentes, você pode, em geral, aplicá-los ou até mesmo emprestá-los a alguém. Neste sentido, você está abrindo mão, de forma temporária, do dinheiro e, em troca disto, exige uma remuneração por esta perda.

Da mesma forma, quando você precisa de recursos imediatos e não os possui,

como, por exemplo, para liquidar uma dívida ou comprar um imóvel, você normalmente recorre a amigos e/ou, em último caso, pede o dinheiro no Banco. Ao devolver a quantia original, você paga pelo aluguel deste dinheiro, ou seja, você paga juros.

Taxa de Juros: No ambiente de finanças, os juros são representados pela

remuneração do capital empregado. A expressão percentual de tal valor, em determinada unidade de tempo é denominada taxa de juros.

Desta forma teremos:

Capital Taxa PeríodoR$ 1.000,00 12,61% ao ano R$ 126,10 no anoR$ 1.000,00 6,83% ao semestre R$ 68,30 no semestreR$ 1.000,00 1,20% ao mês R$ 12,00 no mêsR$ 1.000,00 0,05% ao dia R$ 0,50 no dia

Juros Pagos

A taxa de 12,61% a.a. (ao ano) significa que durante um empréstimo (ou

aplicação) de um ano, o valor do juro pago (ou recebido) é igual a 12,61% do capital. Vale lembrar que uma taxa de juros pode ser expressa em qualquer unidade de

tempo. Exemplos: 1,00% a.b. (ao bimestre); 3,45% a.t. (ao trimestre); etc... As taxas de juros podem ser representadas das seguintes formas: - Percentual: 10% a.a. - Decimal: 0,10 a.a. Capital: O Capital, Principal ou Valor Presente (termo que utilizaremos com

maior freqüência) é o valor monetário disponível na data zero, ou seja, o dinheiro empregado no momento inicial da operação.

Período de Tempo: Corresponde ao número de períodos em que o Valor

Presente será capitalizado pela taxa de juros. Umas das regras mais importantes em matemática financeira é que o período de tempo sempre deve coincidir com o período utilizado na taxa de juros. Por exemplo: Se a minha aplicação rende 12% ao mês, meu período de tempo tem que ser expresso em meses.

Valor Futuro: O Valor Futuro, Montante ou Capital acumulado é o valor do

capital acrescido da devida capitalização de juros, ou seja, é o Valor Presente mais os juros.

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Fluxo de Caixa: É o conjunto de entradas e saídas de recursos monetários ao longo do tempo. As entradas de caixa representam recebimentos e as saídas desembolsos.

Valor do Dinheiro no tempo: Sob o ponto de vista da matemática financeira, o

dinheiro tem valor no tempo, pois existem alternativas de investimento que resultarão no recebimento de juros, bem como a moeda perde seu valor (pela inflação) ou ganha (com a deflação).

Objetivo da Matemática Financeira: Após a elucidação dos conceitos acima,

podemos definir a Matemática Financeira como o estudo da evolução do dinheiro no tempo, analisando e comparando as diversas alternativas de fluxos de caixa.

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JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

Como já vimos, juros são a remuneração paga pela utilização do capital de terceiros, por um determinado período de tempo.

Por exemplo, caso uma empresa faça uma aplicação de certo valor de capital,

ao final de cada período, a instituição financeira na qual a empresa aplicou o capital, deverá pagar juros sobre o valor aplicado.

O valor em Reais dos juros é determinado por uma taxa (i) que mede o custo da unidade de capital no período a que ela se refere.

Exemplo: Se aplicássemos um capital de R$ 100,00 à taxa de 1% ao mês, no regime

de capitalização a juros simples, significaria dizer que, ao final de 12 meses de aplicação, obteríamos uma renda de 12% do valor do capital, ou seja, os juros de R$ 12,00.

Como encontramos esse valor dos juros? Utilizando a seguinte expressão: Valor dos Juros = Valor Presente x Taxa de Juros x número de períodos

J = VP * i * n Então, temos: J = 100 * 1% * 12 = 12 Ou, J = 100 *x 1/100 * 12 ⇒ J = 100 * 0,01 * 12 = 12

Também podemos desenvolver este cálculo na calculadora HP-12C e na planilha eletrônica. Observe:

No teclado visor Objetivo100, ENTER 100,00 Armazenar o valor da aplicação (VP)

0,01 X 1,00 inserir o valor da taxa e multiplica12 X 12,00 inserir o número de períodos

100, ENTER 100,00 armazenar o valor aplicação (VP)1 1,00 inserir o valor da taxa% 1,00 pressionar o sinal de porcentagem

12 X 12,00 inserir o número de períodos

Calculadora HP 12-C

Ou,

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A B C D E1 Nper Taxa VP VF Juros 2 12 1% 100,00 112,00 12,00

Planilha 1

Nas células destacadas aplicamos as seguintes fórmulas:

D2 =C2*(1+B2*A2) E2 =D2-C2 No regime de juros simples, temos os juros iguais a R$ 12,00.

Entretanto, se continuarmos desenvolvendo o exemplo anterior no regime de

capitalização composta, teremos: Capital (Valor Presente)= R$ 100,00 Número de períodos = 12 meses Taxa de juros = 1% Juros = ? Ao final de cada período os juros calculados são somados ao capital, formando

um montante (Valor Futuro), que será utilizado para calcular os juros do período seguinte.

C a p i t a l (V P ) 1 0 0 , 0 0J u ro s d o p e r ío d o (J ) 1 , 0 0M o n t a n t e (V F ) 1 0 1 , 0 0

1 º m ê s


2 º m ê s


3 º m ê s

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No 1º mês para calcular o montante (VF) podemos fazer o seguinte desenvolvimento:

Juros = Valor presente * Taxa de juros

• J = VP * i • J = 100 x 0,01 = 1,00

Montante (Valor futuro) = valor presente + juros

Ou seja,

Valor futuro = Valor presente + (Valor presente * Taxa de juros)

VF = VP + (VP * i)

Simplificando, temos: VF = VP x (1*i) Então o montante é :

• VF = 100 * (1+0,01) = 100 * 1,01 = 101,00 No 2º mês, utilizamos o valor do montante do 1º mês para calcular os juros,

observe:

• J = VP * i

• J = 101 * 0,01 = 1,01

Ou, podemos calcular os juros com o valor do capital do 1º mês:

• J = VP * (1+i) * i

• J = 100 * (1+0,01) * 0,01 = 1,01 Para encontrarmos o montante, fazemos os seguintes procedimentos:

• VF = VP + VP * i

• VF = 101 + 101 * 0,01 = 101 + 1,01 = 102,01

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Ou, também, podemos encontrar o montante utilizando o valor do capital no 1º mês:

• VF = VP * (1+i) + VP * (1+i) * i =

= VF = VP * (1+i) * (1+i) = = VF = VP * (1+i)2

• VF = 100 * (1+0,01)2 = 102,01

Para o 3º mês podemos proceder conforme abaixo: Calculamos o montante:

• VF = VP * (1+i)3

• VF = 100 * (1+0,01)3 = 100 * (1,01)3 = 100 * 1,03 = 103,03

Para encontrarmos o valor dos juros basta subtrair o valor do capital inicial (VP),

utilizado na fórmula acima, pelo valor do montante (VF): • Juros = VF - VP • J = 103,03 – 100,00 = 3,03

Portanto, os juros são de R$ 3,03 Concluímos que, para sabermos o valor dos juros no 12º mês, podemos fazer:

VF = 100 * (1+0,01)12 = 100 * (1,01)12 = 100 * 1,1268 = VF = 112,68

J = 112,68 - 100,00 = 12,68

No regime de juros compostos, temos os juros igual a R$ 12,68.

Vamos desenvolver os cálculos dos juros e do montante na calculadora HP-12C

e na planilha eletrônica. Observe:

No teclado visor Objetivo100, CHS PV -100,00 Armazenar o valor da aplicação (VP) com sinal negativo

0,01 i 1,00 Inserir o valor da taxa 12 n 12,00 Inserir o número de períodosFV 112,68 Calcular o valor futuro

RCL PV -100,00 Retornar ao valor presente+ 12,68 Encontrar o valor dos juros

Calculadora HP 12-C

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Na planilha eletrônica existem duas maneiras de calcular o valor futuro no regime de juros compostos, uma é desenvolvendo a fórmula matemática dada acima e a outra é utilizando a função financeira (VF) do Excel.

A B C D E1 Nper Taxa VP VF Juros 2 12 1% 100,00 112,68 12,683 12 1% -100,00 112,68 12,68

Planilha 2

Observação: Na célula C3, o valor presente R$ 100,00 aparece com o sinal (-) negativo, isso ocorre porque a função financeira do Excel funciona como um fluxo de caixa (se o dinheiro está saindo sinal negativo (-), se o dinheiro está entrando sinal positivo(+)). Nas células em destaque inserimos as seguintes fórmulas:

D2 =C2*(1+B2)^A2 D3 =VF(B3;A3;0;C3) E2 =D2-C2 E3 =D3+C3 Observação: Para acessar a função financeira VF clique sobre o ícone fx na barra de ferramentas ou no menu “inserir”, na opção “função”, aparecerá a caixa “inserir fórmulas”, na janela referente a categoria selecione “financeira” e na janela referente a função selecione “VF”, aparecerá a caixa “argumentos da função”, onde iremos preencher as janelas referentes aos argumentos necessários para a montagem da fórmula.

Para calcular o montante a função VF solicitará o valor do capital , do período e da taxa. Para o preenchimento das janelas podemos digitar os valores ou fazer referência à célula onde estão localizados os dados. Nas janelas das variáveis pgto e tipo, vamos atribuir o valor zero, pois estas se referem a séries uniformes e não são necessárias para procedimento deste cálculo.

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Módulo I – Juros

• Resumo: Neste módulo foram estudados os conceitos básicos (introdutórios) de juros, taxas de juros, capital, período de tempo, valor futuro, fluxo de caixa e valor do dinheiro no tempo. Foi apresentado o objetivo da matemática financeira e foram desenvolvidas aplicações de juros simples e juros compostos, sendo apresentadas fórmulas para o cálculo dos juros e do montante.

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Módulo II – Regimes de Capitalização - Juros Simples e Desconto Simples

Objetivos do Módulo:

Introduzir os conceitos básicos sobre os regimes de capitalização simples e composta.

Desenvolver os cálculos de juros simples, na calculadora HP 12-C e na planilha

eletrônica.

Conhecer os tipos de descontos simples e entender como funcionam suas operações.

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REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA

No processo de formação dos juros existem dois tipos de regime de

capitalização: o de capitalização simples e o de capitalização composta

No regime de capitalização simples obtemos os juros aplicando a taxa de juros (i) sobre o valor presente (VP), resultando num mesmo valor de juros em todos os períodos. Somente o principal rende juros, não há capitalização de juros sobre juros.

Exemplo: Paulo pegou um empréstimo no Banco XYZ no valor de R$ 2.000,00. Este terá uma duração de quatro meses. A taxa de juros cobrada nesta operação será de 5% ao mês no regime de capitalização simples. Com estes dados, vamos calcular o valor dos juros e o valor do montante (VF), ou seja, o valor que Paulo terá que pagar ao banco após quatro meses.

VP: 2000 NPER : 4 meses Taxa: 5% J = ? VF = ?

• J = VP * i * n J = 2000 * 0,05 * 4 = 400 • VF = VP*x (1 + i * n) VF = 2000 * (1 + 0,05 * 4) = 2400

Os juros ao final dos quatro meses serão de R$ 400,00 e o valor total que Paulo

terá que pagar ao banco será de R$ 2.400,00.

Cálculo na HP-12C e na Planilha Eletrônica

No teclado visor Objetivo2000, ENTER 2000,00 Armazenar o valor da aplicação (VP)

0,05 X 5,00 Inserir o valor da taxa e multiplica4 X 400,00 Inserir o número de períodos

2000 + 2400,00 Calcular o valor futuro

2000, ENTER 2000,00 Armazenar o valor aplicação (VP)5 5,00 Inserir o valor da taxa% 5,00 Pressionar o sinal de porcentagem

4 X 400,00 Inserir o número de períodos+ 2400,00 Calcular o valor futuro

Calculadora HP 12-C

ou

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A B C D E1 Nper Taxa VP VF Juros 2 4 5% 2000,00 2400,00 400,00

Planilha 3


D2 =C2*(1+B2*A2) E2 =D2-C2

• Paulo pagará juros de 5%, em cima do valor presente (R$ 2.000,00):

VP

(100,0)

meses 0 1 2 3 4

(100,0) (100,0) (100,00) 2.000

J J JJ

• Os juros serão calculados sempre sobre o valor de R$ 2.000,00. • Ao final dos quatro meses acumularam-se os juros de R$ 400,00.

No regime de capitalização composta os juros, no final de cada período, são

somados ao capital passando a render juros, ou seja, calculamos os juros sobre o valor do saldo no início do respectivo período, e não sempre sobre o capital inicial (valor principal), como no caso do regime de capitalização simples.

Utilizando os dados do exemplo acima, calcularemos agora o valor dos juros e do montante no regime de capitalização composta: VP: 2000 NPER : 4 meses Taxa: 5% J = ? VF = ?

• VF = VP * (1 + i)n

VF = 2000 * (1+0,05)4 = 2.431,01

• J = VF – VP J = 2.431,01 - 2.000,00 = 431,01

No regime de capitalização composta, os juros ao final dos quarto meses são de R$ 431,01 e o montante (valor futuro) é de R$ 2.431,01.

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Cálculo na HP 12-C e na Planilha Eletrônica

No teclado visor Objetivo

2000, CHS PV -2.000,00 Armazenar o valor da aplicação (VP) com sinal negativo5 i 5,00 Inserir o valor da taxa 4 n 4,00 Inserir o número de períodosFV 2.431,01 Calcular o valor futuro

RCL PV -2.000,00 Retornar ao valor presente+ 431,01 Encontrar o valor dos juros

Calculadora HP 12-C

A B C D E1 Nper Taxa VP VF Juros 2 4 5% 2000,00 2431,01 431,013 4 5% -2000,00 2.431,01 431,01

Planilha 4


D2 =C2*(1+B2)^A2 D3 =VF(B3;A3;0;C3) E2 =D2-C2 E3 =D3+C3

Paulo pagará 5% de juros, em cima do valor inicial de cada período:

Os juros serão calculados sempre sobre o valor inicial de cada período:

VP (mês 1) = R$ 2.000,00 VP (mês 2) = R$ 2.100,00 VP (mês 3) = R$ 2.205,00 VP (mês 4) = R$ 2.315,25

• Ao final dos quatro meses acumularam-se os juros de R$ 431,01

0 1 2 3 4

J = (105,00) VF = (2.205,00)

2.000,00

VP

J = (100,00) VF = (2.100,00)

J = (115,76) VF = (2.431,01)

J = (110,25) VF = (2.315,25)

meses

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CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES

Para o cálculo dos juros simples podemos utilizar dois métodos: pela regra de três e pela fórmula específica. Vejamos: Exemplo: Temos um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês,

durante 3 meses. Pela Regra de Três teremos: Observe que, a taxa de 15% ao mês significa dizer que, se você tem R$ 100,00,

emprestado durante um mês, você ganhará R$ 15,00 ao final do período. Assim, para o cálculo dos juros de R$ 1.000,00 durante 3 meses, teremos a seguinte proporção:

Capital Tempo Juros

100 1 15 1.000 3 x

100 ________ 1 15 x = 1*100

15*3*1000 = 450

1000 ________ 3 x Pela fórmula específica temos:

J = VP * i * n Onde , J = juros; VP = valor presente; i = taxa; n = número de períodos. Então, J = (1000 * 15 * 3) / 100 = 450 ⇒ taxa percentual J = 1000 * 0,15 * 3 = 450 ⇒ taxa centesimal Para aplicarmos esta fórmula, devemos verificar se a taxa e o prazo possuem a mesma unidade de tempo, ou seja, se a taxa for de 10% ao mês, o tempo deverá vir expresso em meses.

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Montante (Valor Futuro) É o valor obtido após a aplicação da taxa de juros durante o período estabelecido ao capital inicial, ou seja, é a soma do capital mais o juro. A fórmula para aplicação do montante é: VF = VP + J ou, VF = VP + (VP * i * n) ⇒ VF = VP * (1+ i * n) De acordo com os dados do exemplo anterior, o montante será: VF = 1.000,00 + 450,00 = 1.450,00 ou, VF = 1.000 * (1 + 0,15 * 3) = 1.450,00 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. A loja WS está vendendo gravadores de CD por R$ 350,00 à vista. A prazo, o preço é de R$ 380,00, sendo que com uma entrada de R$ 50,00 e o restante após 90 dias. Qual é a taxa de juros mensal cobrada (a juros simples)?

Observe o diagrama:

050

90

330

350 O diagrama mostra que, se a pessoa preferir comprar o CD a prazo, receberá o financiamento por apenas R$ 300,00, se ela já tivesse essa quantia poderia então comprar à vista, até porque os R$ 50,00 serão desembolsados em qualquer hipótese. Podemos demonstrá-lo da seguinte forma:

300

330

90

0

Verificamos que é como se o cliente tivesse recebido R$ 300,00 emprestados, devendo devolver, ao final de 90 dias, R$ 330,00.

Fórmula Matemática: i = VF/VP-1

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Então temos:

A B C D1 Taxa (i) VP nper VF2 10,00% 300 3 330

Planilha 5

Na célula destacada aplicamos a fórmula:

esposta : a taxa mensal de juros cobrada é 10%

2. ssinamos uma Nota Promissória hoje, no valor de R$ 5.625,00, com

Primeiramente ajustamos a taxa (i) para o período mensal = 36,5%/12 = 3,04%

A2 =(D2/B2)-1R Avencimento para 5 meses, Qual será o valor nominal desta nota se a taxa de aplicação for de 36,5% aa.?

a.m.

A B C D1 Taxa (i) VP nper VF12 3,04% 5.625,00 5 6.480,47

Planilha 6

Na célula “D2” aplicamos a fórmula:

alor nominal = R$ 6.480,47

XERCÍCIOS PROPOSTOS

D2 =B2*(1+A2*C2) 5.625,00

5 meses 6.480,47hoje VJuros = VF - VP = R$ 855,47 E

1. Maria aplicou R$ 20.000,00 à taxa de 30% aa. pelo prazo de 18 meses. Dois

meses antes da data de vencimento, ela propôs a transferência da aplicação a sua

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amiga Ana. Quanto deverá pagar pelo título, se a taxa de juros de mercado for de 32% aa.na ocasião da transferência?

A) R$ 29.000,00 B) R$ 27.531,65 C) R$ 28.000,00 D) R$ 27.500,00 2. O Banco Alfa oferece aos seus clientes uma taxa de 1,5% ao mês, a juros

simples. Ao aplicar R$ 15.000,00 neste Banco por 20 dias, qual será o valor do resgate?

A) R$ 15.500 B) R$ 19.500 C) R$ 15.150 D) R$ 19.150

3. Uma loja vende um celular por R$ 2.000,00 à vista ou por 15% do valor à vista

como entrada e mais um pagamento de R$ 2.060,00 após 5 meses. Qual é a taxa de juros cobrada ao ano?

A) 50,8% B) 4,2% C) 25,4% D) 0,6%

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DESCONTOS SIMPLES

De posse de um título de crédito a ser pago em uma data futura, o devedor

poderá antecipar o pagamento deste título, ou, para o caso de estar necessitando de dinheiro, ele poderá realizar uma operação de troca do título em uma instituição financeira. Essas operações são chamadas operações de desconto. Nas operações de desconto estão incluídos os seguintes elementos:

Valor nominal (valor futuro) = valor que será pago no vencimento; Valor atual (valor presente) = é o valor obtido após ter recebido o desconto; Data de vencimento = data estabelecida no título para pagamento; Prazo ou tempo = espaço de tempo entre o dia do vencimento e a data a ser negociada.

Existem dois tipos de operações de descontos, desconto “por fora”

(comercial ou bancário) e desconto “por dentro” (racional). 1- Desconto “Por Fora” O desconto “por fora” é obtido através da aplicação da taxa de desconto (d) sobre o valor nominal (valor futuro), proporcionando aos descontos o mesmo valor em todos os períodos.

O cálculo do desconto sobre o valor futuro do título ocasiona maiores encargos financeiros nas operações, ou seja, ao apurar o valor do desconto sobre o valor futuro serão adicionados custos à pessoa a quem é concedido o desconto. Costuma-se adotar o desconto por fora em operações comerciais de curto prazo e de crédito bancário.

A fórmula para o cálculo do desconto simples por fora é:

Df = VF * d * n Df = desconto por fora; VF = valor futuro; d = taxa de desconto; n = tempo.

A fórmula para obter o valor líquido, ou seja, o valor presente, é:

VP = VF – Df Ou,

VP = VF – VF * d * n VP = VF * (1 – d * n)

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Exemplo: Temos um título no valor de R$ 900,00 e resolvemos pagá-lo 1 mês e 15 dias antes da data de seu vencimento, à taxa de desconto de 6,5% am.. Qual será o valor do desconto obtido e o valor do título que vamos pagar após recebermos o desconto? Verificamos que os dados do exemplo não coincidem com a forma de aplicação exigida pela fórmula, devemos fazer os ajustes necessários: 1 – O tempo que está em 1 mês e 15 dias deve ser transformado em dias:

1 mês = 30 dias + 15 dias = 45 dias 2 – A taxa de desconto de 6,5% am. deve ser transformada em taxa diária: 6,5 ÷ 30 = 0,217% ad.

• Df = VF * d * n • Df = 900 * 0,00217 * 45 = 87,89

• VP = VF * (1 – d * n) • VP = 900 * (1 – 0,00217 * 45) = 812,11

O valor do desconto é R$ 87,89 e o valor que vamos pagar é R$ 812,11. Cálculo na HP-12C e na Planilha Eletrônica Exemplo: Vamos calcular o valor líquido dos títulos: Título 1 – R$ 2.000,00 / Vencimento em 05/11/2001 Título 2 – R$ 3.500,00 / Vencimento em 18/11/2001 Título 3 – R$ 1.000,00 / Vencimento em 08/12/2001 Estes títulos foram descontados em 10/10/2001 à taxa de 6% am. Observe: Para o cálculo na planilha eletrônica devemos transformar a taxa de 6%

am. em uma taxa diária, pois, ao subtrairmos a datas do vencimento e do pagamento do título, estaremos obtendo o intervalo de tempo em dias:

6% am. ÷ 30 = 0,20% ad.

Para o cálculo na calculadora HP-12C devemos transformar a taxa de 6% am. em taxa anual:

6% am. * 12 = 72% aa.

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No teclado visor Objetivo10,102001 ENTER 10,102001 Armazenar a 1ª data

5,112001 5,112001 Introduzir a 2ª datag ADYS 26,00 calcular o número de períodos

n 26,00 Determinar que o número encontrado se refere ao período72 i 72,00 Inserir a taxa anual

2000 CHS PV -2.000,00 Inserir o valor do 1º títulof INT 104,00 obter o valor do desconto

- -1.896,00 pressionar o sinal (-) obtemos o valor líquido

Calculadora HP 12-CCalcular o desconto e o valor líquido do 1º título





- -3.227,00 pressionar o sinal (-) obtemos o valor líquido






- -765,62 pressionar o sinal (-) obtemos o valor líquido


A B C D E F123 2.000,00 0,20% 05/11/01 10/10/01 104,00

273,00118,00

1.896,003.227,00

882,004 3.500,00 0,20% 18/11/01 10/10/015 1.000,00 0,20% 08/12/01 10/10/016 6.500,00 - - - 495,00 6.005,00

Planilha 7

Título Taxa de desconto Vencimento Data do

desconto Valor do desconto

Valor líquido

- 21 -


Nas células destacadas aplicamos as fórmulas:

E3 =A3*B3*(C3-D3) F3 =A3-E3 A6 =SOMA(A3:A5) F6 =SOMA(E3:E5) G6 =SOMA(F3:F5) Na célula E3 calculamos o valor do desconto aplicando a fórmula do desconto por fora e copiamos a fórmula para as demais células referentes ao valor do desconto. Na célula F3 calculamos o valor líquido, subtraindo o valor do título pelo valor do desconto e também copiamos a fórmula para as demais células. 2 – Desconto Bancário Como já vimos, o desconto “por fora” é abatido do valor futuro para obtermos o valor líquido (valor presente). O que ocorre no desconto bancário é que, para realizar essa operação, os bancos comerciais cobram taxas adicionais de desconto para cobrir suas despesas administrativas, portanto, o desconto por fora é acrescido de uma taxa de despesas bancárias e cobrado sobre o valor futuro. A fórmula para o cálculo do desconto bancário é:

Db = Df + VF * h

Ou

Db = VF * (d * n + h) Onde, Db = desconto bancário Df = desconto “por fora” N = valor nominal h = taxa de despesas administrativas i = taxa de desconto n = número de períodos antes do vencimento

- 22 -


Exemplo: Um banco YZ cobra uma taxa de 4% para as despesas administrativas sobre o valor de um título de R$ 6.000,00. Este título foi descontado 2 meses antes do seu vencimento e, a taxa de desconto cobrada é de 50% aa. Vamos determinar o valor do desconto bancário e qual será o valor líquido do título descontado. Primeiro devemos igualar as unidades de tempo do período e da taxa. Como o período está expresso em meses, vamos passar a taxa anual de 50% para taxa mensal. 50% / 12 = 0,0417 ou 4,17% am.

A B C D E F123 6.000,00 2 4% 4,17% 740,40 5.259,60

Valor líquido

Planilha 8

Valor do título

Período (meses)

Taxa despesas

Taxa de desconto

Desconto bancário


E3 =A3*(D3*B3+C3) F3 =A3-E3 3 – Desconto “Por Dentro” ou Racional O desconto por dentro é obtido através da aplicação da taxa de desconto sobre o valor líquido do título (valor presente), ou seja, por representar as relações de juros simples já estudadas, o desconto “por dentro” incide sobre o valor atual do título (capital liberado). O valor do desconto “por dentro” é obtido ao multiplicarmos o valor presente pela taxa de desconto (i) e o prazo da operação.

Dd = 360

** niVP

Onde, Dd = desconto por dentro VP = valor presente (valor líquido) i = taxa anual n = número de período

- 23 -


O valor do desconto “por dentro” também pode ser obtido pela aplicação da fórmula geral para desconto:

Dd = VF -VP A fórmula para calcular o valor nominal (valor futuro) é: VF = VP + Dd Cálculo na HP-12C e na Planilha Eletrônica Exemplo: Um título descontado “por dentro” em 15/04/2001, à taxa de 2% am.,

com data para vencimento em 20/05/2001, resulta num valor líquido de R$ 4.230,50. Qual o valor do desconto e o valor nominal do título?

Para fazermos os cálculos transformamos a taxa de 2% am. em taxa anual: 2% * 12 = 24% aa.


20,052001 20,052001 Introduzir a 2ª datag ADYS 35,00 Calcular o número de períodos


4.230,50 CHS PV -4.230,50 Inserir o valor líquido do títulof INT 98,71 Obter o valor do desconto

+ 4.329,21 Obter o valor nominal do título

Calculadora HP 12-CCalcular o desconto "por dentro"

A B C D12 Data inicial 15/4/20013 Data final 20/5/20014 número de dias 3556 Valor Líquido Taxa anual Desconto por dentro Valor nominal7 4.230,50 24,00% 98,71 4.329,21

Planilha 9

Determinar o período em dias

Calcular o desconto por dentro e o valor líquido

- 24 -



C7 =(A7*B7*B4)/360 D7 =A7+C7 Digamos que no exemplo acima não tenha sido dado o valor líquido, mas sim, o valor nominal. Como, acharíamos o valor do desconto por dentro, se este incide sobre o valor líquido? Podemos acha-lo utilizando a seguinte fórmula:

Dd = niniVF

*360**

+

A B C D12 Data inicial 15/4/20013 Data final 20/5/20014 número de dias 3556 Valor nominal Taxa anual Desconto por dentro Valor Líquido7 4.329,21 24,00% 98,71 4.230,50

Planilha 10

Determinar o número de períodos

Calcular o desconto por dentro e o valor líquido

Nas células destacadas aplicamos as fórmulas;

C7 =(A7*B7*B4)/(360+B7*B4) D7 =A7-C7 Comparação entre Desconto “Por Fora” e Desconto “Por Dentro” com Uso da Planilha Eletrônica. Utilizaremos o exemplo abaixo para fazer uma comparação entre os descontos “por dentro” e “por fora” e avaliaremos as diferenças entre estes descontos. Exemplo: Você tem um título no valor de R$ 5.000,00 a ser resgatado em 2 anos.

Você decidiu pagar o título seis meses antes do vencimento (18 meses). Foi determinada uma taxa de desconto de 45% aa. Calcule o desconto e o valor descontado desta operação.

Observe: Neste exemplo não foi dado o número de dias exatos, sabemos que o período é de seis meses, mas não podemos saber exatamente quantos dias teremos por não termos o conhecimento de quais são os meses do calendário civil, portanto utilizaremos a fórmula a seguir, para o cálculo do desconto “por dentro”, não mais tomando como base o ano comercial e o número de períodos em dias (tempo exato).

- 25 -


A fórmula que vamos aplicar para calcular o desconto “por dentro” a partir do valor nominal será:

Dd = niniVF

*1**

+ A fórmula para o cálculo do desconto por fora é:

Df = VF * i * n Para aplicarmos os valores nestas fórmulas, devemos primeiramente transformar a taxa anual em taxa mensal, já que o período está expresso em meses. 45% aa. / 12 = 3,75% am.

A B C D E12 Valor nominal Taxa mensal Período em meses Desconto por dentro Valor descontado3 5.000,00 3,75% 6 918,37 4.081,63456 Valor nominal Taxa mensal Período em meses Desconto por fora Valor descontado7 5.000,00 3,75% 6 1.125,00 3.875,00

Calcular o desconto "por dentro" e o valor descontado

Calcular o desconto "por fora" e o valor descontado

Planilha 11


D3E3D7E7 =A7-D7

=A3*B3*C3/(1+B3*C3) =A3-D3 =A7*B7*C7

Observe que o desconto “por fora” possui um valor maior de juros cobrado pelo título, isso ocorre porque ele é aplicado sobre o valor nominal e não sobre o valor atual (valor líquido) como acontece no desconto “por dentro”.

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Quero saldar uma dívida de R$ 13.000,00 três meses antes do seu vencimento. Qual será o desconto racional (por dentro) que vou obter, se a taxa de juros for de 26% aa.?

0 1 2 3

VF = 13.000Df

VP

meses

Transformar a taxa anual em mensal = 26%/12 = 2,167%

A B C D1 Valor Futuro Taxa (i) Nper Valor do Desconto2 13.000 2,167% 3 793,54

Planilha 12

Na célula destacada aplicamos a fórmula para o cálculo do desconto “por dentro”:

D2 =A2*B2*C2/(1+B2*C2) O desconto racional que eu obtive pelo resgate antecipado da dívida é R$ 793,43

2. O banco Beta cobra taxa administrativa de 1,5% e taxa de desconto racional (por dentro) de 30% aa. para financiamentos. Uma pessoa necessita de R$ 12.000,00 e pede um financiamento ao banco por 3 meses. Qual deverá ser o valor deste financiamento?

A pessoa precisa de R$ 12.000,00. Logo, este é o valor líquido que ela receberá

do banco. Neste caso, precisamos apurar o valor futuro da operação.

Transformar a taxa de juros de 30%aa em taxa mensal = 30%/12 = 2,50% a.m.

A B C D E F1 Valor Futuro Taxa adm. Taxa (i) Nper Valor do Desconto Valor Presente2 13.080,00 1,50% 2,50% 3 1.080,00 12.000,00

Planilha 13

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Nas células destacadas aplicamos as fórmulas para o cálculo do desconto e a soma do valor presente com o valor do desconto para encontramos o valor futuro, respectivamente:

A2 =F2+E2 E2 =F2*(C2*D2+B2)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Carla descontou uma Nota Promissória, no valor de R$ 15.000,00 em seu vencimento, dois meses antes do prazo para resgate. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial era de 2,33% am.. Qual foi o valor do desconto e o valor atual?

A) R$ 700,00 e R$ 14.301,00 B) R$ 810,00 e R$ 14.190,00 C) R$ 699,00 e R$ 14.301,00 D) R$ 699,00 e R$ 14.300,99

2. Calcule o valor do desconto simples “por dentro” de um título de R$ 1.500,00 a

vencer em 90 dias, sabendo-se que a taxa de desconto é de 2% ao mês. A) R$ 84,91 B) R$ 74,91 C) R$ 964,29 D) R$ 964,30

3. A empresa Beta retira do Banco Alfa um empréstimo por 4 meses no valor de

R$ 400.000,00. Com a taxa de juros de 20% a.a. e a taxa para despesas administrativas 1%, qual será o desconto bancário?

A) R$ 30.560,00 B) R$ 30.666,67 C) R$ 29.600,00 D) R$ 31.667,00

- 28 -


Módulo II – Regimes de Capitalização - Juros Simples e Desconto Simples

Resumo: Neste módulo foram conceituados os regimes de capitalização simples e composta, bem como foram desenvolvidos os cálculos de juros simples. Estudamos ainda funcionamento das operações de descontos simples e os tipos de descontos existentes no sistema financeiro.

- 29 -


Módulo III – Regimes de Capitalização - Juros Compostos e Desconto Compostos

Objetivo do Módulo:

Desenvolver os cálculos de juros compostos, montante (valor futuro), capital (valor presente), taxas e números de períodos na calculadora HP 12-C e na planilha eletrônica.

Conhecer os tipos de descontos existentes no sistema financeiro e entender como

funcionam as operações de descontos compostos.

Fazer uma comparação entre juros simples (crescimento linear) e juros compostos (crescimento exponencial).

- 30 -


CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS Exemplo: Aplicamos um capital de R$ 2.000,00 à taxa de juros composta de 10%

ao mês por 2 meses. Determine o valor futuro (FV) de cada período:

1º mês: Juros = 2.000 * 10% = 200

Montante = 2.000 + 200 = 2.200 Ou seja,

VF = VP * (1 + i) Onde, VP = valor presente (capital) i = taxa de juros composta Então, VF = 2.000 * (1 + 0,10) = 2.200 2º mês: VF = VP * (1 + i) * (1 + i) VF = 2.000 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) VF = 2.000 * (1 + 0,10)2 = 2.420 Se aplicarmos o raciocínio acima para n períodos teremos: VF = 2.000 * (1 + 0,10) * (1 + 0,10) … (1 + 0,10) VF = 2.000 * (1 + 0,10)n

A partir deste raciocínio obtemos as fórmulas para calcular o montante e o capital:

VF = VP (1 + i)n

VP = niVF

)1( +

- 31 -


CÁLCULO DO MONTANTE, CAPITAL, TAXA E NÚMERO DE PERÍODOS

Para obtermos os cálculos do montante (VF), capital (VP), taxa de juros (i) e número de períodos (NPER) na calculadora HP-12C e na planilha eletrônica, podemos fazer uso de fórmulas ou aplicações de funções. Vejamos como realizar esses cálculos: 1 – Montante (VF)

Com um capital (VP) de R$ 8.000,00, em regime de juros compostos, à taxa de 1% ao mês, em 5 meses, vamos calcular o valor do montante (valor futuro).


No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 limpar os registradores financeiros8000 CHS PV -8.000,00 armazenar o valor presente

5 n 5,00 armazenar o número de períodos1 i 1,00 armazenar a taxaFV 8.408,08 Calcular o valor futuro

RCL PV + 408,08 Calcular o valor dos Juros

Calculadora HP 12-CCalcular os Juros e o Valor futuro

Aplicando a função Financeira

Na planilha eletrônica o procedimento para o cálculo da VF é semelhante ao

fluxo de caixa, as variáveis VP e VF não podem ter sinais iguais, no exemplo citado, o capital está sendo aplicado, portanto, está ocorrendo uma saída de caixa, então, o valor a ser inserido no campo da variável VP deverá ser negativo, assim o resultado (VF) será positivo (entrada de caixa).

A sintaxe da função é:

=VF(taxa;nper;pgto;vp;tipo)

A B C D E F12 Taxa (i) Nper Pgto VP Tipo VF

8.408,083 1% 5 0 -8.000,00 0

Cálculo do Valor Futuro

Planilha 14

- 32 -


Na célula destacada aplicamos a função financeira VF:

F3 =VF(A3;B3;C3;D3;E3)

Aplicando a fórmula matemática para o cálculo do montante (VF):

Podemos fazer os mesmos cálculos do exemplo acima utilizando a fórmula matemática para cálculo do montante. Para isso, a taxa e o período devem estar na mesma unidade de tempo. Como, neste caso, os valores não precisam ser convertidos a mesma unidade, basta aplica-los diretamente na fórmula.

VF = VP (1 + i)n

A B C D12 VP Nper i VF

8.408,083 -8.000,00 5 1%

Cálculo do Valor Futuro

Planilha 15


D3 =-A3*(1+C3)^B3 2 – Capital (VP) Eu obtive R$ 10.500,00 ao depositar um certo valor, durante 2 anos, em uma poupança que está rendendo 1,5% ao mês (a juros compostos). Quanto eu depositei? Devemos transformar o período anual em mensal ou a taxa mensal de 1,5% em taxa anual. Passaremos o período de 2 anos para 24 meses. 2 anos = 24 meses Cálculo na HP-12C e na Planilha Eletrônica

N o te cla d o v iso r O b je tivof C L EA R F IN 0,00 lim par os reg is t radores financ e iros

10.500 F V 10.500,00 arm az enar o va lor fu rturo24 n 24,00 arm az enar o núm ero de períodos1,5 i 1,50 arm az enar a tax a

P V -7 .345,21 C alc u lar o va lor pres enteRC L F V + 3.154,79 C alc u lar o va lor dos Juros

C a lcu la d o ra H P 12-CCa lcu la r o s Ju ro s e o V a lo r P re se n te

- 33 -


• Aplicando a função financeira VP Sintaxe: =VP(taxa;nper;pgto;vf;tipo)

A B C D E F12 Taxa (i) Nper Pgto VF Tipo VP

Cálculo do Valor Presente

Planilha 16

(7.345,21)3 1,5% 24 0 10.500,00 0 Na célula destacada aplicamos a função financeira VP:

F3 =VP(A3;B3;C3;D3;E3)

• Aplicando a fórmula matemática para o cálculo do capital O período deve estar expresso na mesma unidade de tempo da taxa.

VP = ___VF__ (1 + i)n

A B C D12 VF Nper i VP

7.345,213 10.500,00 24 1,5%

Cálculo do Valor Presente

Planilha 17


D3 =-A3/(1+C3)^B3 3 – Taxa (i)


Determine a taxa mensal a juros compostos de um capital de R$ 50.000,00 que gera um montante de R$ 54.590,60 após um semestre. Nota: Para encontrarmos a taxa mensal será necessário que o período esteja em meses, ou seja, um semestre é o mesmo que 6 meses.

- 34 -


No te cla do visor Obje tivo5.0000 CHS PV -50.000,00 Armazenar o valor presente

54.590,60 FV 54.590,60 armazenar o valor futuro6 n 6,00 armazenar o número de períodosi 1,47 Calcular a taxa i

Ca lcula dora HP 12-CCa lcula r a Ta x a de Juros

Vejamos um exemplo com o uso do excel: Se temos um capital de R$ 500,00 que gera um montante de R$ 630,50, em 4 anos, com capitalização anual, qual a taxa de juros anual empregada sobre este capital?

• Aplicando a função financeira “taxa” Sintaxe: =taxa(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Observe que o capital e o montante devem ser introduzidos com sinais opostos.

A B C D E F G12 Nper Pgto VP VF Tipo Estimativa Taxa (i)3 4 0 -500,00 630,50 0 0

Cálculo da Taxa

Planilha 18

6% Na célula destacada aplicamos a função financeira “Taxa”:

G3 =TAXA(A3;B3;C3;D3;E3;F3)

• Aplicando a fórmula matemática para o cálculo da taxa A fórmula para o cálculo da taxa é:

i = 11

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ n

VPVF


6%3 500,00 4 630,50

Cálculo da Taxa

Planilha 19


C3 =(D7/A7)^(1/B7)-1

- 35 -


4 – Períodos (tempo - NPER) Quanto tempo leva para um capital de R$ 3.000,00 produzir juros de R$ 935,00, sendo capitalizado quadrimestralmente à taxa de 15% aa.? Como o capital está sendo capitalizado quadrimestralmente, devemos transformar a taxa nesta mesma unidade de tempo. O ano tem 3 quadrimestres então, 15% dividido por 3 = 5% ao quadrimestre. Para calcularmos o número de períodos também precisamos do valor do montante (VF), podemos obtê-lo somando capital (VP) mais juros, ou seja, 3.000,00 + 935,00 = R$ 3.935,00.


No teclado visor Objetivo3.000 CHS PV -3.000,00 Armazenar o valor presente

3.935 FV 3.935,00 armazenar o valor futuro5 i 5,00 armazenar a taxan 6,00 Calcular o número de períodos

Calculadora HP 12-CCalcular o Número de Períodos

No cálculo do número de períodos a calculadora fornece o resultado arredondado para o inteiro superior, por exemplo, se o número de períodos for 4,5, a calculadora apresenta o número 5. por esse motivo devemos conferir se o número de períodos encontrado no cálculo acima vai gerar o montante de R$ 3.935,00.

No teclado visor Objetivo6 n 6,00 Armazenar o número de períodos

3.000 CHS PV -3.000,00 Armazenar o valor presente5 i 5,00 armazenar a taxaFV 4.020,29 Calcular o valor futuro

Calculadora HP 12-CCalcular o Valor Futuro

Vejamos que o número de períodos 6 gera um montante superior ao apresentado no exemplo, a diferença é de R$ 85,29. Vamos calcular o montante com o número de períodos 5 para ver se chegaremos ao resultado esperado:

No teclado visor Objetivo5 n 5,00 Armazenar o número de períodos



- 36 -


Agora, veja que, o valor do montante encontrado ao aplicar o número de períodos 5 foi menor do que valor apresentado no exemplo, a diferença é de R$ 106,16 a menor. O que devemos fazer para encontrar o número exato de períodos? 1 – Primeiramente devemos calcular a diferença entre os montantes encontrados no 5º e 6º períodos e, depois, calcular a diferença entre o montante dado no enunciado e o montante do menor número de períodos.

• Diferença entre os montantes do 5º e 6º períodos:

6 4.020,29

15−

45,19184,828.3−

• Diferença entre o montante dado no enunciado e o montante do menor

número de períodos: x 3.935,00

16,106

84,828.3−

2- Agora vamos admitir que as diferenças encontradas sejam proporcionais. Fazendo a seguinte regra de três, acharemos um valor que acrescentado ao menor período (5) resultará no valor do período exato.

x1 =

16,10645,191

x = 45,191

16,106*1 = 0,56 aproximadamente

O número de períodos que gerará o montante de R$ 3935,00 é 5,56 quadrimestrais (=5 + 0,56). Vamos conferir:

No teclado visor Objetivo5,56 n 5,56 Armazenar o número de períodos



Aproximadamente = 3.935,00

- 37 -


O resultado não será exatamente o valor do enunciado, mas estará bem mais próximo.

• Aplicando a função financeira NPER Sintaxe: =nper(taxa;pgto;vp;vf;tipo)

A B C D E F12 i Pgto VP VF Tipo Nper

63 5% 0 3.000,00 3.935,00 0

Cálculo do Número de períodos

Planilha 20

Na célula destacada aplicamos a função financeira NPER:

F6 =NPER(A3;B3;-C3;D3;E3)

• Aplicando a fórmula matemática para cálculo do período A fórmula para calcular o número de períodos a seguinte:

N= )1( iLog

VPVFLog

+

Podemos calcular o número de períodos digitando a fórmula anterior na célula ou utilizando a função matemática “LOG”. Para encontrar esta função seguimos os mesmos procedimentos que aplicamos para encontrar as funções financeiras, porém em categoria devemos selecionar “Matemática e Trigonométrica”.


63 3.000,00 5% 3.935,00

Cálculo do Número de períodos

Planilha 21


B3 =LOG(D3/A3)/LOG(1+C3)

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1. Você aplicou R$ 2.500,00 em um certo Banco a uma taxa de juros compostos de 1.5% ao mês. Após 18 meses quanto você receberá do Banco? A) R$ 3.682,53 B) R$ 3.268,35 C) R$ 3.238,00 D) R$ 3.268,50 2. Ao fazer uma aplicação, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, eu obtive, após dois anos, um valor acumulado de R$ 2.000,00. Qual foi o valor investido nesta aplicação? A) R$ 1.575,13 B) R$ 1.960,70 C) R$ 131,76 D) R$ 1.960,59 3. Um capital inicial aplicado de R$ 3.000,00 produz um montante de R$ 3.500,00, no final de 15 meses. Qual foi a taxa de juros mensal desta aplicação, no regime de juros compostos? A) 201,03% B) 1,03% C) 11,03% D) 101,30% 4. Determine o número de meses necessários para fazer um capital de R$ 1.000,00 dobrar de valor, com a taxa de juros de 5% ao mês, no regime de juros compostos. A) 14,2 B) 14,0 C) 15,0

D) 15,2 5. Se eu quiser comprar uma casa no valor de R$ 85.000,00, qual o valor que eu tenho que aplicar hoje para que daqui a 3 anos possua o montante desejado? Considere as taxas de aplicação de 3% a.m., 15% a.s. e 30% a.a. A) R$ 36.747,85; R$ 39.688,12; R$ 35.942,94 B) R$ 29.327,76; R$ 36.747,85; R$ 38.689,12 C) R$ 29.237,76; R$ 36.747,85; R$ 38.689,12 D) R$ 34.942,97; R$ 36.747,85; R$ 38.689,12

- 39 -


DESCONTOS COMPOSTOS O desconto composto, assim como o desconto simples, é dividido em desconto “por fora” e desconto “por dentro”. No Brasil é mais comum aplicação do desconto “por dentro” que é geralmente utilizado nas operações de longo prazo. 1- Desconto Composto “Por Fora” Podemos obter o desconto composto “por fora” aplicando a taxa de desconto (d) sobre o valor presente existente no início do período do desconto. Exemplo: Com um capital de R$ 3.000,00 à taxa de 15% am., calcule o

desconto composto. 1º período: Valor no início do período = 3.000,00 Desconto do período = 3.000,00 * 1,5% = 45,00 Valor Líquido do período = 3.000,00 - 45,00 = 2.955,00 2º período: Valor no início do período = 2.955,00 Desconto do período = 2.955,00 * 1,5% = 44,33 Valor Líquido do período = 2.955,00 - 44,33 = 2.910,67 E assim é o desenvolvimento do cálculo por n períodos.

Para facilitar o cálculo do desconto por fora temos a fórmula: Ou seja,

Df = VF * [1- (1 - i)n]

Df = VF - VP


Exemplo 1: Uma empresa comprou uma máquina no valor de R$ 50.000,00, sendo que a mesma sofre depreciação de 10% ao ano sobre o saldo residual. Qual será o seu valor daqui a 4 anos?

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No te cla do visor O bje tivof CLEAR F IN 0,00 Lim par os regis tradores financ eiros

4 n 4,00 A rm az enar o núm ero de períodos10 CHS i -10,00 A rm az enar a tax a c om s inal negativo1

50.000 CHS P V -50.000,00 A rm az enar o valor pres enteFV 32.805,00 Calc ular o valor futuro

RCL P V + -17.195,00 Calc ular o valor do des c onto por fora

Ca lcu la dora HP 12-CCa lcu la r o de sconto "por fora "

Desconto por fora = R$ 17.195,00 Valor da máquina após o desconto = 32.805,00 Exemplo 2: Faltando 2 meses para o seu vencimento, um título foi descontado à taxa

de desconto por fora de 2% ao mês. Sendo o valor nominal do título R$ 30.000,00, qual o valor do título e o valor do desconto?

A B C D E12 Valor Futuro Taxa mensal Período em meses Valor presente Valor do desconto3 30.000,00 2,00% 2 28.812,00

Calcular o desconto "por fora" e o valor descontado

Planilha 22

1.188,00


D3E3

=A3*(1-B3)^C3 =A3-D3

3 – Desconto Composto Por Dentro O desconto composto por dentro incide sobre o valor líquido e é apurado de forma equivalente ao cálculo do valor presente, também podendo ser estabelecido pela diferença entre o valor nominal e o valor descontado. Assim, temos as seguintes fórmulas para cálculo do desconto composto por dentro:

VP = niVF

)1( +

- 41 -


Dd = VF - VP


• A partir do valor nominal

Exemplo 1: Com título de R$ 5.500,00 calcule o desconto por dentro para um período

de 3 meses antes do vencimento, à taxa de 2% am.

No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 Limpar os registradores financeiros

5.500 FV 5.500,00 Armazenar o valor nominal3 n 3,00 Armazenar o número de períodos2 i 2,00 Armazenar a taxa PV -5.182,77 Calcular o valor líquido

RCL FV + 317,23 Calcular o valor do desconto por dentro


Desconto = R$ 317,23 Valor líquido = R$ 5.182,77

A partir do valor líquido Exemplo 2: Um título foi resgatado por R$ 5.793,56, quando faltavam 5 meses para o

seu vencimento, à taxa de 2% am. Qual o valor do desconto composto por fora?


5.793,56 CHS PV -5.793,56 Armazenar o valor líquido5 n 5,00 Armazenar o número de períodos2 i 2,00 Armazenar a taxa FV 6.396,56 Calcular o valor nominal

RCL PV + 603,00 Calcular o valor do desconto por dentro


Desconto = R$ 603,00 Valor nominal = R$ 6.396,56

- 42 -


Exemplo 3: Foi feita uma aplicação no Banco W que produziu um valor acumulado de R$ 3.000,00 ao final de 2 anos. Este investimento se deu no regime de juros compostos à taxa de 0,50% ao mês. Qual o valor do investimento e do desconto por dentro?

A B C D E12 Valor acumulado Taxa mensal Período em meses Valor do investimento Desconto por dentro3 3.000,00 0,50% 24 2.661,56 338,44

Calcular o desconto "por dentro" e o valor descontado

Planilha 23


D3E3

=A3/(1-B3)^C3 =A3-D3

EXERCÍCIO RESOLVIDO:

1. Determine o valor do investimento inicial que devo fazer no regime de juros compostos, com uma taxa efetiva mensal de 2%, de modo que produza um montante acumulado de R$ 2.000,00 ao final de 24 meses. Determine também o valor do desconto “por dentro”.

Solução: n = 24 meses i = 2% ao mês VF = R$ 2.000,00 Pgto = 0,00 VP = ? Dd = ?

A B C D E F G1 Taxa (i) Nper Pgto VF Tipo VP Desconto2 2% 24 0,00 -2.000,00 - R$ 1.243,44 R$ 756,56

Planilha 24

Nas células destacadas aplicamos, respectivamente, a função financeira VP e a fórmula para encontrarmos o desconto:

F2 =VP(A2;B2;C2;D2;E2) G2 =-E2-F2

- 43 -


EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Determine o valor atual de um título de R$ 2.500,00 que será resgatado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto “por dentro” de 1% ao mês.

A) R$ 49,25 B) R$ 49,30 C) R$ 49,27 D) R$ 49,25

2. Qual é o valor do desconto concedido sobre um título de R$ 5.000,00, resgatado 4 meses antes do vencimento, à taxa de 25% a.a., com capitalização bimestral. A) R$ 395,84 B) R$ 202,00 C) R$ 295,20 D) R$ 753,27

3. Um título de R$ 3.000,00 foi pago 3 meses e 45 dias antes do seu vencimento. Por ter sido pago antecipadamente,foi concedido um desconto composto, capitalizado trimestralmente, à taxa de 25% a.a.. Qual foi o valor do título após este desconto? A) R$ 2.740,00 B) R$ 2.818,22 C) R$ 2.739,23 D) R$ 2.736,23

- 44 -


CRESCIMENTO LINEAR x CRESCIMENTO EXPONENCIAL

Tomemos uma aplicação de R$ 1.000,00 nos regimes de juros simples e compostos durante 5 períodos a uma taxa de 30% a.a.

Valor ValorInicial Final

1 1000,00 1300,002 1300,00 1600,003 1600,00 1900,004 1900,00 2200,005 2200,00 2500,00

Juros Simples

PeríodoValor ValorInicial Final

1 1000,00 1300,002 1300,00 1690,003 1690,00 2197,004 2197,00 2856,105 2856,10 3712,93

Juros Compostos

Período

Juros Simples

0,00500,00

1000,001500,002000,002500,003000,00

1 2 3 4 5Período (Anos)

Note que no regime de juros simples a diferença entre os valores finais de

períodos consecutivos é constante, neste exemplo a diferença é igual a R$ 300,00. A seqüência formada pelos valores finais de uma aplicação a juros simples é uma progressão aritmética (PA), pois cada termo pode ser obtido do somando-se o termo anterior a um valor constante. R$ 1000,00 + 300,00 = 1.300,00R$ 1300,00 + 300,00 = 1.600,00R$ 1600,00 + 300,00 = 1.900,00R$ 1900,00 + 300,00 = 2.200,00R$ 2200,00 + 300,00 = 2.500,00

- 45 -


Diferentemente do que ocorre no regime de juros compostos, a diferença entre os valores finais não é constante, verifique, por exemplo, que a diferença entre os valores finais do segundo e do primeiro períodos é de R$ 120,00 – R$ 100,0 = R$20,00 e entre o terceiro e o segundo é R$ 144,00 – R$ 120,00 = R$ 24,00. Na verdade, a seqüência formada pelos valores finais de uma aplicação a juros compostos é uma progressão geométrica (PG), pois cada termo pode ser obtido a partir do anterior multiplicando-se o termo anterior e um valor constante. Observe que:

Juros Compostos

0,00500,00

1000,001500,002000,002500,003000,003500,004000,00


Juros Simples x Juros Compostos

0,00500,00

1000,001500,002000,002500,003000,003500,004000,00


Juros simples Juros compostos

R$ 2856,10 x 1,3 = 3.712,93

R$ 1000,00 x 1,3 = 1.300,00R$ 1300,00 x 1,3 = 1.690,00R$ 1690,00 x 1,3 = 2.197,00R$ 2197,00 x 1,3 = 2.856,10

- 46 -


Conclusão: É fácil ver que fixada a mesma taxa, a aplicação no regime de juros compostos produzirá, a partir do final do segundo período um montante maior que uma aplicação no regime de juros simples. Isto se deve ao fato de que nas aplicações a juros compostos os juros também são capitalizados, o que sabemos não ocorre nas aplicações a juros simples, onde apenas o principal é capitalizado durante a vigência da aplicação.

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Módulo III – Regimes de capitalização – Juros Compostos e Descontos Compostos

Resumo

Neste módulo foram desenvolvidos os cálculos de juros compostos, montante, capital, taxa e número de períodos na calculadora HP-12C e na planilha eletrônica (aplicando fórmulas matemáticas e funções financeiras). Estudamos ainda o funcionamento das operações de descontos compostos e os tipos de descontos existentes no sistema financeiro. Por fim, analisamos através de gráficos, que no regime de juros simples ocorre um crescimento linear (progressão aritmética) e que no regime de juros compostos ocorre um crescimento exponencial (progressão geométrica).

- 48 -


Módulo IV – Taxas de Juros

Objetivos do Módulo:

Conhecer as taxas proporcionais – regime de juros simples e taxas equivalentes - regime de juros compostos.

Reconhecer a diferença entre as taxas nominal e efetiva

Fazer uma comparação entre as taxas proporcionais (juros simples) e taxas

equivalentes (juros compostos).

- 49 -


TAXAS PROPORCIONAIS - JUROS SIMPLES No regime de juros simples, quando as taxas de juros que são fornecidas em unidades de tempo diferentes ao serem aplicadas num mesmo capital, durante o mesmo prazo de tempo, produzem o mesmo valor do montante, dizemos que estas taxas são proporcionais. Para que duas taxas sejam proporcionais é necessário que as razões entre seus valores e os períodos a que se referem sejam iguais. Exemplo: A partir de um capital de R$ 500,00 , vamos calcular os juros às taxas de

2% ao mês, por 24 meses e 24% ao ano, por 2 anos. Resolução: J = 500,00 x 0,02 x 24 = 240,00 J = 500,00 x 0,24 x 2 = 240,00 Vimos que as taxas de 2% ao mês e 24% ao ano são proporcionais, pois resultaram no mesmo valor de R$ 240,00 (mesmo montante), sendo aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo período de tempo. As taxas proporcionais referidas acima são também chamadas de taxas equivalentes, porque foram aplicadas ao mesmo capital, pelo mesmo período, e renderam o mesmo juro. Portanto as taxas proporcionais são sempre equivalentes para o caso do regime de juros simples.

Cálculo na HP-12C e na Planilha Eletrônica Vamos calcular a taxa mensal proporcional a 8% ao ano e a 15% ao quadrimestre, fazendo os seguintes procedimentos:

• Cálculo da taxa anual:

No te cla do visor Obje tivo8 ENTER 8,00 Arm azenar a taxa anual de 8%

Ca lcula dora HP 12-CCa lcula r a ta x a m e nsa l a pa rtir da ta x a a nua l

Dividir o valor da taxa pela quantidade de m eses ex is tentes em um ano

0,6712 ÷

A taxa é de 0,67% ao mês Cálculo da taxa quadrimestral:

No teclado visor Obje tivo15 ENTER 15,00 Armazenar a taxa quadrimestral de 15%

Calculadora HP 12-CCalcular a taxa m ensa l a partir da taxa quadrim estra l

4 ÷ 3,75 Dividir o valor da taxa pela quantidade de meses existentes em um quadrimestre

- 50 -


A taxa é de 3,75% ao mês. Agora vamos calcular a taxa trimestral proporcional a 4% ao mês:

No te cla do visor Obje tivo4 ENTER 4,00 Armazenar a taxa mensal de 4%

Ca lcula dora HP 12-CCa lcula r a ta x a Trim e stra l

3 X 12,00 Multiplicar o valor da taxa pela quantidade de meses que um trimestre possui.

A taxa é de 12% ao trimestre. Exemplo: Com um capital de R$ 2.000,00, no regime de juros simples,

vamos calcular o valor do montante, ao final de 3 anos, com as seguintes taxas de juros:

a) 24% ao ano b) 6% ao trimestre c) 2% ao mês

A B C D E12 n i VP VF

344034403440

3 a) anual 3 24% 20004 b) trimestral 12 6% 20005 c) mensal 36 2% 2000

cálculo de taxas proporcionais

Planilha 25


E3E4E5 =D5*(1+C5*B5)

=D3*(1+C3*B3) =D4*(1+C4*B4)

- 51 -


TAXAS EQUIVALENTES – JUROS COMPOSTOS

No regime de juros compostos, quando as taxas de juros que são fornecidas em unidades de tempo diferentes, ao serem aplicadas num mesmo capital, durante o mesmo prazo de tempo, produzem o mesmo valor do montante, dizemos que estas taxas são equivalentes.

A diferença entre as taxas equivalentes e taxas proporcionais se dá de acordo com o regime de juros considerado. As taxas proporcionais estão diretamente ligadas ao regime de juros simples e as taxas equivalentes estão diretamente ligadas ao regime de juros compostos. Exemplo: Seja um capital de R$ 100,00, aplicado à taxa de 2% ao mês, por 24 meses. Em dois anos a taxa anual equivalente será de 26,82%. 2% em 24 meses (capitalização mensal) = VF = 100,00 *(1+0,02)24 = 160,84 26,82% em 2 anos (capitalização anual) = VF = 100,00*(1+0,2682)2 = 160,83 Aplicando a função taxa: A sintaxe da função é: =taxa(nper;pgto;vp;vf;tipo;estimativa) Vamos calcular as taxas equivalentes para cada uma das seguintes taxas e prazos:

taxa mensal equivalente a 26,82% aa. (capitalização mensal); taxa semestral equivalente a 16% aa. (capitalização semestral); taxa diária equivalente a 4% am. (capitalização diária).

Cálculo na Planilha Eletrônica

A B C D123 26,82% 360 2,000%

7,703%0,131%

304 16% 360 1805 4% 30 1

Planilha 26

Taxas Período a que a taxa se refere (dias)

Taxas equivalentes

Período de capitalização (dias)

C3 =TAXA(B3/D3;0;-1;1+A3)

Copiamos a fórmula para as demais células C4 e C5. No campo nper, dividimos

o valor do período a que a taxa se refere pelo período da capitalização: [B3/D3], nos campos pgto, tipo e estimativa não inserimos valores, no campo do valor presente

- 52 -


inserimos o número 1 antecedido do sinal negativo e no campo do valor futuro adicionamos ao valor 1 a célula referente a taxa: [1+A3].

Aplicando a fórmula matemática:

Voltemos ao primeiro exemplo em que um capital de R$ 100,00, aplicado

à taxa de 2% ao mês, por 24 meses, gera uma taxa anual equivalente de 26,82%. O cálculo da taxa equivalente é feito pela fórmula:

ik = (1 + i)k – 1

Onde: k = número de períodos de capitalização contidos na taxa (no caso acima, o número é 12); i = taxa relacionada ao período de capitalização (2%); ik = taxa equivalente (no caso, taxa anual).

Cálculo de taxas equivalentes na planilha eletrônica

A B C D123 2% 30 26,82% 360

Planilha 27

Taxa Período da capitalização (em dias)

Taxas equivalente

Período de capitalização (dias)

Na célula destacada aplicamos seguinte fórmula: C3 =(1+A3)^(D3/B3)-1

- 53 -


TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA

Quando a taxa e o período possuem a mesma unidade de tempo de capitalização, chamamos a taxa de juros de taxa efetiva. Por exemplo, aplicamos um capital de R$ 5.000,00 à taxa de 4% am., capitalizado mensalmente, durante um ano. Podemos observar que a taxa e o período de capitalização possuem a unidade de tempo em meses.

Outros exemplos: 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 2 anos (=4 períodos);

3% ao ano, capitalizados anualmente, durante 12 meses (=1período).

Esta taxa é utilizada nas funções financeiras do Excel , na calculadora financeira e nos fatores das tabelas financeiras. Quando a taxa e o período não possuem a mesma unidade de tempo da capitalização, chamamos de taxa nominal. A taxa nominal sempre será apresentada de forma anual e seus períodos de capitalização poderão ter com qualquer unidade de tempo.

Na solução de problemas financeiros sempre precisaremos da taxa efetiva, e esta encontra-se implícita no enunciado da taxa nominal.

A taxa efetiva implícita é obtida de forma proporcional, no regime de juros simples. Vejamos, então, como apuramos a taxa efetiva, a partir de uma taxa nominal, dentro do regime de capitalização simples: Como exemplos temos: 36% ao ano, capitalizados semestralmente, durante 18 meses; 4% ao ano, capitalizados mensalmente, durante 5 meses; 12% ao ano, capitalizados trimestralmente, durante 1 ano. Uma Taxa Nominal de 36% ao ano, capitalizados semestralmente:

semestres2%36

= 18% ao semestre

- 54 -


• Uma Taxa Nominal de 4% ao ano, capitalizados mensalmente:

meses12%4

= 0,33% ao mês

• Uma taxa Nominal de 12% ao ano, capitalizados trimestralmente:

trimestres4%12

= 3% ao trimestre

EXEMPLO NUMÉRICO:

Determine as taxas efetivas anuais equivalentes a uma taxa nominal de 10% ao ano, com capitalização mensal, trimestral e semestral. Capitalização Mensal:

Taxa efetiva mensal: im = 10%/12 = 0,83% ao mês Taxa efetiva anual = (1+im)12 = (1+0,83%)12-1 = 0,104713 x 100 = 10,47% ao ano.

Podemos obter essa mesma taxa fazendo os cálculos na planilha eletrônica e na

calculadora HP 12-C:

A B C D E1 NPER TAXA VP PGTO VF2 12 0,83% -100,00 0 R$ 110,4713024

Planilha 28

Na célula E2 aplicamos a função financeira VF

No teclado visorf CLEAR FIN 0,00

12 n 12,000,83333 i 0,83

100,00 CHS PV -100,00FV 110,47

100 - 10,47 Calcular a taxa efetiva anual

Armazenar o número de períodos

Calculadora HP 12-CCalcular a taxa efetiva anual

ObjetivoLimpar os registradores financeiros

Armazenar a taxa Armazenar o valor presenteCalcular o valor futuro

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O valor encontrado de R$ 110,4713, obtido pela função VF, em relação ao valor principal de R$ 100,00, indica uma taxa efetiva de 10,4713% ao ano. Capitalização Trimestral:

Taxa efetiva trimestral: it = 10%/4 = 2,50% ao trimestre. Taxa efetiva anual = (1+it)4 = (1+2,5%)4-1 = 0,10381289 x 100 = 10,38% ao ano.



A B C D E1 NPER TAXA VP PGTO VF2 4 2,50% -100 0 R$ 110,3812891

Planilha 29

Na célula E2 aplicamos a função financeira VF.


4 n 4,002,5 i 2,50

100,00 CHS PV -100,00FV 110,38



ObjetivoLimpar os registradores financeirosArmazenar o número de períodosArmazenar a taxa Armazenar o valor presenteCalcular o valor futuro

O valor encontrado de R$ 110,3813, obtido pela função VF, em relação ao valor principal de R$ 100,00, indica uma taxa efetiva de 10,3813% ao ano.

Capitalização Semestral:

Taxa efetiva semestral: is = 10%/2 = 5,00% ao semestre. Taxa efetiva anual = (1+is)2 = (1+5,0%)2-1 = 0,102500 x 100 = 10,25% ao ano.



A B C D E1 NPER TAXA VP PGTO VF2 2 5,00% -100 0 R$ 110,2500000

Planilha 30

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Na célula E2 aplicamos a função financeira VF.


2 n 2,005,0 i 5,00

100,00 CHS PV -100,00FV 110,25


Objetivo


Limpar os registradores financeirosArmazenar o número de períodosArmazenar a taxa Armazenar o valor presenteCalcular o valor futuro

O valor encontrado de R$ 110,25, obtido pela função VF, em relação ao valor principal de R$ 100,00, indica uma taxa efetiva de 10,25% ao ano.

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TAXAS PROPORCIONAIS X TAXAS EQUIVALENTES Comparando Taxas Anuais Na tabela a seguir apresentamos uma comparação de taxas anuais, proporcionais e equivalentes a determinadas taxas mensais. Nesta tabela queremos mostrar as diferenças entre as taxas anuais obtidas a juros simples (proporcionais) e a juros compostos (equivalentes) à medida que as taxas de juros aumentam de valor

A B C D E1234 0,50%5 2,50%6 4,50%7 6,50%8 10,00%9 14,00%

10 16,00%11 18,00%12 20,00%

Taxas Efetivas Mensais

Taxas Anuais Proporcionais (Juros

Simples)

Taxas Anuais Equivalentes (Juros Compostos)

Planilha 31

6,0% 6,17%30,0%54,0%78,0%120,0%168,0%192,0%216,0%240,0%

34,49%69,59%

112,91%213,84%381,79%493,60%628,76%791,61%

Na célula B4 aplicamos a fórmula [=A4*12] e copiamos a mesma para as

demais células da coluna B. Na célula D4 aplicamos a fórmula [=(1+A4)^12] e copiamos a mesma para as demais células da coluna D.. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1. Qual é a taxa de juros anual cobrada nos casos a seguir, se eu aplicar um capital de R$ 1.500,00 e receber:

• VF = R$ 2.000,00 Prazo de 1 ano • VF = R$ 1.650,00 Prazo de 8 meses • VF = R$ 1.850,00 Prazo de 1 ano e 3 meses

A B C D E F1 Situação Nper VP VF Juros Taxa (i)2 a) 1 1.500 2.000 500 33%3 b) 8 1.500 1.650 150 7%4 c) 15 1.500 1.850 350 29%

Planilha 32

Nas células E2, E3 e E4, calculamos os juros subtraindo o valor presente do valor futuro.

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Na célula F2 aplicamos a seguinte fórmula para encontrarmos o valor da taxa:

F2 Juros/VP*n =E2/C2*B2

Nas células F3 e F4 a fórmula sofre uma alteração, pois o número de períodos está expresso em meses, portanto devemos dividir o número de períodos por 12:

F3 Juros/VP*(n/12) =E3/C3*(B3/12) F4 Juros/VP*(n/12) =E4/C4*(B4/12)

2. Com a taxa bimestral de 12%, encontre as taxas proporcionais (juros simples) e as taxas equivalentes (juros compostos), com as capitalizações diária, mensal, trimestral, quadrimestral, semestral e anual. Depois faça uma comparação entre as taxas proporcionais e equivalentes.

A B C D E F G12 Diária Mensal Bimestral Trimestral Quadrimestral Semestral Anual3 0,20% 6,00% 12,00% 18,00% 24,00% 36,00% 72,00%

TAXAS PROPORCIONAIS - JUROS SIMPLES


A3 =C3/60 B3 =C3/2 D3 =C3*1,5 E3 =C3*2 F3 =C3*3 G3 =C3*6

A B C D E F G12 Diária Mensal Bimestral Trimestral Quadrimestral Semestral Anual3 0,19% 5,83% 12,00% 18,53% 25,44% 40,49% 97,38%

TAXAS EQUIVALENTES - JUROS COMPOSTOS


A3 =(1+C3)^(1/60)-1 B3 =(1+C3 )^(1/2 )-1D3 =(1+C3)^(1,5 )-1 E3 =(1+C3 )^2-1F3 =(1+C3)^3-1 G3 =(1+C3 )^6-1

EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcule a taxa de juros anual que um investidor recebe ao aplicar R$ 2.000,00 e

resgata os montantes de: R$ 2.725,00 – 3 meses, R$ 2.500,00 – 1 ano e R$ 3.100,00 – 6 meses .

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A) 9,06%; 25,00%; 27,50% B) 108,75%; 250,00%; 330,00% C) 12,08%; 25,00%; 9,16% D) 25,00%; 27,50%; 9,06%

2. Um título de R$ 5.000,00 é resgatado por R$ 4..550,00, faltando seis meses para o seu vencimento. Considerando a capitalização trimestral, calcule a taxa nominal (anual) da operação.

A) 4,8% B) 1,6% C) 6,3% D) 19,3%

3. Sabendo que a taxa proporcional do desconto composto é de 25% ao bimestre e que a capitalização é mensal, calcule o valor atual de um título de R$ 3.000,00, descontado 3 meses antes do seu vencimento. A) (R$ 2.316,55) B) (R$ 2.316,56) C) (R$ 2.628,89) D) (R$ 2.268,86)

- 60 -


Módulo IV – Taxas de Juros Resumo Neste módulo apresentamos as taxas proporcionais (regime de juros simples) e as taxas equivalentes (regime de juros compostos). Vimos, também, as diferenças entre taxas nominais e taxas efetivas. Por fim, fizemos uma comparação entre as taxas proporcionais (juros simples) e taxas equivalentes (juros compostos).

- 61 -


Módulo V – Séries Uniformes Objetivo do módulo:

Entender o significado de séries uniformes com prestações iguais. Conhecer as séries uniformes imediatas (postecipadas e antecipadas), as séries

uniformes diferidas postecipadas e uma noção básica das séries uniformes diferidas antecipadas.

Desenvolver aplicações de séries uniformes imediatas e diferidas na calculadora

financeira e na planilha eletrônica.

Obter um conhecimento introdutório sobre empréstimos, que será estudado no curso de matemática financeira avançado, através de uma tabela que relaciona o pagamento fixo e as amortizações.

- 62 -


SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES – PRESTAÇÕES IGUAIS

As séries periódicas uniformes são um sistema no qual todos os compromissos (quer em relação ao principal, quer em relação aos juros) são satisfeitos mediante pagamentos iguais e em intervalos de tempo iguais.

As séries periódicas uniformes quanto à forma de exigência dos compromissos (pagamento ou recebimento) dividem-se de acordo com o diagrama abaixo:

Antecipadas Postecipadas

Imediatas

Antecipadas Postecipadas

Diferidas

Séries Periódicas Uniformes

SÉRIE UNIFORME IMEDIATA

Sistema em que os compromissos são exigidos a partir do primeiro período da

operação. As séries uniformes imediatas, de acordo com o diagrama acima, dividem-se em

dois grupos menores a saber: I– Série Uniforme Imediata Postecipada

Caracteriza-se pelo pagamento das parcelas no final de cada período.

Exemplo: Financiamento com vencimento no final de cada período.

Períodos0 1 2 3 4 n - 1 n

Vamos estudar a determinação do valor presente e do valor futuro constituídos por séries uniformes imediatas postecipadas.

1 – Valor presente nas séries uniformes postecipadas

- 63 -


Suponha que você compre um bem para pagar em seis prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 300,00, e devem ser pagas no final de cada mês, a uma taxa de 3%. Calcule o valor à vista do bem. Observação: do seu ponto de vista, o valor do bem à vista é representado por uma entrada de caixa e as prestações correspondem a saídas de caixa. Sabe-se que você já conhece as prestações, portanto, para calcular o valor do bem à vista, basta calcular os valores atuais, na época zero, de cada prestação e depois somar os resultados.

• O valor da 1ª prestação encontra-se no início do financiamento até o final do 1º período;






Veja como ficará o fluxo de caixa:

VP

0 1 2 3 4 5 6 300,00*(1+0,03)-5 = 258,78

300,00*(1+0,03)-3 = 274,54

300,00*(1+0,03)-1 = 294,12

300,00*(1+0,03)-6 = 251,25 valor à vista 1.628,02

300,00*(1+0,03)-4 = 266,55

300,00*(1+0,03)-2 = 282,78

Será mais difícil calcular os valores atuais das parcelas individualmente, à

medida que as operações financeiras apresentem fluxos de caixa maiores. Por isso, faremos o uso da calculadora HP 12-C e da planilha eletrônica para facilitar os cálculos.

- 64 -


Calculando o valor à vista do bem na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3% 6 1.625,16 0,00

Planilha 33

(300,00) Fórmula aplicada na célula destacada:

C2 =VP(A2;B2;E2;D2)

Observação: após realizar o procedimento de limpeza dos registradores financeiros, aciona-se a opção (g) END, para a modalidade postecipada e, para a modalidade antecipada, aciona-se a opção (g) BEGIN.


g END 0,00 Optar pela modalidade postecipada300 CHS PMT -300,00 Armazenar o valor do pagamento

6 n 6,00 Armazenar o número de períodos3 i 3,00 Armazenar a taxa

0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroPV 1.625,16 Calcular o valor do capital

Calculadora HP 12-CCalcular o PV

O valor à vista do bem é R$ 1.625,16.

1.1 – Valor da prestação ou depósito

Consideremos os dados do exemplo anterior, porém, partindo do valor do

financiamento de R$ 1.625,16, calcule o valor da prestação mensal a uma taxa de 3% a.m. e liquidação em seis prestações.

Calculando o valor prestação na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3% 6 1.625,16 0,00 (300,00)

Planilha 34

- 65 -


Fórmula aplicada na célula destacada:

E2 =PGTO(A2;B2;C2;D2)

No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 Limpar os registradores financeiros1.625,16 PV 1.625,16 Armazenar o valor presente


0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroPMT -300,00 Calcular o valor do pagamento

Calculadora HP 12-CCalcular o PGTO

O valor da prestação é igual a R$ 300,00.

1.2 – Número de prestações ou depósitos

Com o exemplo que estudamos nos itens anteriores, calcule o número de prestações mensais de R$ 300,00, à taxa de 3%, relativas ao valor de R$ 1.625,16 do bem que está sendo financiado.

Calculando o número de prestações na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 35


B2 =NPER(A2;E2;C2;D2)


300 CHS PMT -300,00 Armazenar o valor do pagamento3 i 3,00 Armazenar a taxa

0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuron 6,00 Calcular o número de prestações

Calculadora HP 12-CCalcular número de prestações

- 66 -


O número de prestações é igual a 6. 1.3– Taxa

Qual a taxa mensal está sendo praticada no caso de um bem que está sendo vendido à vista por R$ 1.625,16 e a prazo, em 6 prestações mensais de R$ 300,00 sem entrada?

Calculando o valor da taxa na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3,00% 6 1.625,16 0,00 (300,00)

Planilha 36


A2 =TAXA(B2;E2;C2;D2)


300 CHS PMT -300,00 Armazenar o valor do pagamento6 n 6,00 Armazenar o número de prestações

0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroi 3,00 Calcular a taxa

Calculadora HP 12-CCalcular a taxa

A taxa é igual a 3% ao mês.

Veja um outro exemplo que inclui encargos nos cálculos das prestações.

Suponha que você faça um financiamento no qual ficou acertada uma comissão de 1% sobre o valor do empréstimo de R$ 60.000,00, que deve ser pago em 10 anos, à taxa de 6% ao ano, com pagamentos mensais. Qual o valor real da taxa que está sendo efetivamente praticada?

- 67 -


Primeiramente, você deve calcular a prestação com base no valor do financiamento e na taxa de operação. Depois, você calcula a taxa real que essa prestação representa comparada ao valor líquido disponível (financiamento menos a comissão).

A B C D E1 60.000,002 (R$ 666,12)3 1204 0,50%5 1,00%6 600,007 59.400,008 0,5186%9 6,2227%

Taxa real (mensal) =Taxa real (anual) =

Taxa = Comissão cobrada (taxa) = Valor da comissão =Valor do financiamento líquido da comissão

Planilha 37

Valor do financiamento =Prestação = Número de períodos =

=

Fórmulas aplicadas nas células destacadas:

E8E9

=TAXA(E3;E2;E7;0) =E8*12


60.000 PV 60.000,00120 n 120,00 0,5 i 0,50

666,12 CHS PMT -666,12RCL PV 1, % - PV 59.400,00

i 0,5212, x 6,22

Calcular a taxa mensal do VF com relação à prestaçãoCalcular a taxa anual correspondente

Objetivo


Armazenar o número de prestaçõesArmazenar a taxa Armazenar o valor do pagamentoDeterminar o valor líquido recebido

Limpar os registradores financeirosArmazenar o valor presente

Podemos verificar que a taxa mensal de 0,5% praticada no início do financiamento sobe, como conseqüência da comissão cobrada, para 0,518% ao mês ou 6,22% ao ano.

2) Valor Futuro nas séries uniformes postecipadas

Continuemos utilizando alguns dados do exemplo desenvolvido anteriormente, sendo que, neste exemplo, você deposita em sua caderneta de poupança a quantia de R$ 300,00, durante seis meses, à taxa de 3% ao mês, depositada ao final de cada período. Qual será o saldo da sua caderneta de poupança ao final dos seis meses? Do seu ponto de vista, no fluxo de caixa, você terá seis saídas referentes aos depósitos, e uma entrada, ao final dos seis meses.

- 68 -


Para encontrar o saldo da sua poupança no final do 6º mês, basta calcular o valor futuro de cada depósito e depois somar os resultados obtidos.

• O primeiro depósito encontra-se no final do 1º período até o final do 6º período;

• O segundo depósito encontra-se mo final do 2º período até o final do 6º período;

• O terceiro depósito encontra-se no final do 3º período até o final do 6º período;

• O quarto depósito encontra-se no final do 4º período até o final do 6º período;

• O quinto depósito encontra-se no final do 5º período até o final do 6º período;

• O sexto depósito não será capitalizado, pois será efetuado na data escolhida para o cálculo.

Veja como ficará o fluxo de caixa:

300,00*(1+0,03)3 = 327,82 300,00*(1+0,03)2 = 318,27

300,00.................. = 300,00 64 53210

VP

300,00*(1+0,03)1 = 309,00

300,00*(1+0,03)6 = 358,22 saldo final 1.950,96

300,00*(1+0,03)4 = 337,65

Como vimos, anteriormente, calcular o valor futuro das parcelas

individualmente, fica muito trabalhoso, portanto vamos desenvolver os cálculos necessários utilizando a planilha eletrônica e a calculadora HP 12-C.

Calculando o valor futuro na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3% 6 0,00 1.940,52

Planilha 38

(300,00)

- 69 -



D2 =VF(A2;B2;E2;C2)


g END 0,00 Optar pela modalidade postecipada300 CHS PMT -300,00 Armazenar o valor do pagamento


0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presenteFV 1.940,52 Calcular o valor futuro

Calculadora HP 12-CCalcular o FV

O valor futuro no sexto mês é de R$ 1.940,52.

2.1 – Valor das prestações ou depósitos Quanto você deverá depositar, no final de cada mês, a uma taxa de 3% ao mês, para ao final do sexto mês, obter uma poupança de R$ 1.940,52. Calculando o valor dos depósitos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3% 6 0,00 1.940,52 (300,00)

Planilha 39


E2 =PGTO(A2;B2;C2;D2)

No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 Limpar os registradores financeiros1.940,52 FV 1.940,52 Armazenar o valor futuro


0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presentePMT -300,00 Calcular o valor do pagamento


O valor dos depósitos mensais é de R$ 300,00.

- 70 -


2.2 – Número de depósitos ou prestações Para obter uma poupança de R$ 1.940,52, quantos depósitos de R$ 300,00 deverão ser feitos, ao final de cada mês, a uma taxa de 3% ao mês? Calculando o número de depósitos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 40


B2 =NPER(A2;E2;C2;D2)



0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presenten 6,00 Calcular o número de depósitos

Calculadora HP 12-CCalcular número de depósitos

O número de depósitos que você deverá fazer é de 6 meses. 2.3 – Taxa Qual será a taxa aplicada, pela instituição financeira, sobre depósitos mensais de R$ 300,00, feitos no final de cada mês, gerará um fundo de R$ 1.940,52.

Calculando a taxa na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 3,00% 6 0,00 1.940,52 (300,00)

Planilha 41

- 71 -



A2 =TAXA(B2;E2;C2;D2)

A taxa aplicada sobre o valor dos depósitos é de 3% ao mês.

No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 Limpar os registradores financeiros1.940,52 PV 1.940,52 Armazenar o valor futuro


0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presentei 3,00 Calcular a taxa


II– Série Uniforme Imediata Antecipada Caracteriza-se pelo pagamento das parcelas no início de cada período.

Exemplo: Financiamento com vencimento no início de cada período.

Períodos0 1 2 3 4 n - 1 n

Vamos estudar a determinação do valor presente e do valor futuro constituídos por séries uniformes imediatas antecipadas. 1 - Valor presente nas séries uniformes imediatas antecipadas. Suponha que você compre um bem para pagar em oito prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 400,00, a uma taxa de 4% ao mês. Considere o pagamento das prestações no início de cada mês. Calcule o valor à vista do bem. Conforme vimos anteriormente, do seu ponto de vista, o valor à vista do bem é representado por uma entrada e as prestações correspondem a sucessivas saídas, no início de cada mês. Para você determinar o valor à vista do bem basta calcular os valores presentes no período zero de cada prestação e depois somar os resultados.

• O valor da primeira prestação ficará no início do 1º período (à vista); • O valor da 2ª prestação encontra-se no início do financiamento até o

final do 2º período;

- 72 -








Veja como ficará o fluxo de caixa: VP 0 1 2 3 4 5 6 4 Assim como nos exemplos anteriores, ficará mais difícil calcular os valores presentes das prestações individualmente, por isso, vamos facilitar os cálculos utilizando a calculadora HP 12-C e a planilha eletrônica.

Calculando o valor presente na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C Observação: O que difere ao cálculo da prestação ou depósito postecipado do cálculo da prestação ou depósito antecipado é o argumento “tipo”. Na postecipada, o seu valor

400,00*(1+0,04)-5 = 328,77

00,00*(1+0,04)-3 = 355,60

400,00*(1+0,04)-7 = 303,97 valor à vista 2.800,83

400,00*(1+0,04)-6 = 316,13

400,00*(1+0,04)-4 = 341,92

400,00*(1+0,04)-2 = 369,82 400,00*(1+0,04)-1 = 384,62

7 8

400 00

- 73 -


é sempre (0) zero, ou pode, também, não ser informado, e na antecipada o seu valor é 1 (um). O valor (0) zero inserido no argumento “tipo”, significa dizer que a prestação ou o depósito, será pago ou aplicado, no final de cada período. O valor 1 (um) inserido no argumento “tipo”, significa dizer que a prestação ou o depósito, será pago ou aplicado, no início de cada período.

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 4% 8 2.800,82 0,00

Planilha 42


C2 =VP(A2;B2;E2;D2;1) Observação: para calcular o valor presente de uma série uniforme imediata antecipada, primeiramente, você precisar ajustar a calculadora para a modalidade BEGIN.


g BEG BEGIN Optar pela modalidade antecipada400 CHS PMT -400,00 Armazenar o valor do pagamento


0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroPV 2.800,82 Calcular o valor do capital


O valor à vista do bem é igual a R$ 2.800,82.

1.1 – Valor da prestação ou depósito Calcule o valor da prestação mensal de um bem que, às vista , custa R$ 2.800,82 e deve ser liquidado em 8 prestações (uma entrada e mais sete parcelas), a uma taxa de 4% ao mês.

Calculando o valor a prestação na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 43

- 74 -



E2 =PGTO(A2;B2;C2;D2;1) Verifique se a modalidade BEGIN está sendo exibida no visor, caso não esteja, acione-a pressionando as teclas g e REG.



0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroPMT -400,00 Calcular o valor do pagamento


O valor da prestação é R$ 400,00.

1.2 – Número de prestações ou depósitos. Utilizando o exemplo anterior, calcule o número de prestações mensais>

Calculando o número de prestações na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 44


B2 =NPER(A2;E2;C2;D2;1) Verifique se a modalidade BEGIN está sendo exibida no visor, se não, acione-a.



0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuron 8,00 Calcular o número de prestações

Calculadora HP 12-CCalcular número de prestações

- 75 -


O número de prestações é igual a 8 meses. 1.3 - Taxa Qual é a taxa mensal que está sendo aplicada no parcelamento de um bem que, à vista, custa R$ 2.800,82, está sendo oferecido, a prazo, em oito parcelas de R$ 400,00, devendo ser pagas no início de cada mês (com uma entrada e mais sete parcelas)?

Calculando a taxa na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 4,00% 8 2.800,82 0,00 (400,00)

Planilha 45


A2 =TAXA(B2;E2;C2;D2;1) Verifique se a modalidade BEGIN está sendo exibida no visor, se não, acione-a.



0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuroi 4,00 Calcular a taxa


A taxa é de 4% ao mês. 2 – Valor futuro nas séries uniformes imediatas antecipadas. Suponha que você quer depositar, na sua caderneta de poupança, por oito meses, a quantia de R$ 400,00, à taxa de 4% ao mês. Qual será o saldo da sua poupança ao final do 8º mês? (Considere que o depósito será feito no início de cada mês). Do seu ponto de vista, os depósitos representam as saídas de caixa, no final de cada mês, e o saldo obtido após o 8º mês, corresponde a uma entrada de caixa. Para você encontrar o saldo da poupança após o 8º período, basta calcular o valor futuro de cada depósito e depois somar os resultados.

• O primeiro depósito encontra-se no início do 1º período até o final do 8º período;

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• O segundo depósito encontra-se no início do 2º período até o final do 8º período;

• O terceiro depósito encontra-se no início do 3º período até o final do 8º período;

• O quarto depósito encontra-se no início do 4º período até o final do 8º período;

• O quinto depósito encontra-se no início do 5º período até o final do 8º período;

• O sexto depósito encontra-se no início do 6º período até o final do 8º período;

• O sétimo depósito encontra-se no início do 7º período até o final do 8º período;

• O oitavo depósito encontra-se no início até o final do 8º período; Veja como ficará o fluxo de caixa:

400,00*(1+0,04)3 = 449,95 400,00*(1+0,04)2 = 432,64

86 75432

VP

400,00*(1+0,04)1 = 416,00

400,00*(1+0,04)8 = 547,43 saldo final 3.833,12

400,00*(1+0,04)4 = 467,94

10

400,00*(1+0,04)6 = 506,13 400,00*(1+0,04)7 = 526,37

400,00*(1+0,04)5 = 486,66

Calculando o valor futuro na planilha eletrônica e calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 4% 8 0,00 3.833,12

Planilha 46


D2 =VF(A2;B2;E2;C2;1)

- 77 -



g BEG BEGIN Optar pela modalidade antecipada400 CHS PMT -400,00 Armazenar o valor do pagamento


0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presenteFV 3.833,12 Calcular o valor futuro

Calculadora HP 12-CCalcular o FV

O valor futuro é de R$ 3.833,12. 2.1 – Valor de depósitos ou prestações Quanto você deve depositar na sua caderneta de poupança, no início de cada mês , para obter, ao final do 8º mês, um saldo de R$ 3.833,12, a uma taxa de 4% ao mês. Calculando o valor dos depósitos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 47


E2 =PGTO(A2;B2;C2;D2;1) Lembre-se de verificar se a modalidade BEGIN está acionada.



0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presentePMT -400,00 Calcular o valor do pagamento


O valor dos depósitos é igual a R$ 400,00.

- 78 -


2.2 - Número de depósitos ou prestações Você quer formar um fundo de R$ 3.833,12 e fará depósitos no valor de R$ 400,00, no início de cada mês, à taxa de 4% ao mês. Quantos depósitos você vai fazer para chegar ao valor desejado?

Calculando o número de depósitos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C


Planilha 48


B2 =NPER(A2;E2;C2;D2;1) Lembre-se de verificar se a modalidade BEGIN está acionada



0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presenten 8,00 Calcular o número de depósitos

Calculadora HP 12-CCalcular número de depósitos

O número de depósitos é igual a 8 meses. 2.3 – Taxa Qual é a taxa aplicada sobre oito prestações de R$ 400,00, feitas no início de cada mês, que gera um montante de R$ 3.833,12? Calculando o número de depósitos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E1 Taxa (i) Nper VP VF PGTO2 4,00% 8 0,00 3.833,12 (400,00)

Planilha 49


A2 =TAXA(B2;E2;C2;D2;1) Lembre-se de verificar se a modalidade BEGIN está acionada

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No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0,00 Limpar os registradores financeiros3.833,12 PV 3.833,12 Armazenar o valor futuro


0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presentei 4,00 Calcular a taxa


A taxa é de 4% ao mês. EXEMPLOS NUMÉRICOS Exemplo 1.

Um título de capitalização tem as seguintes características: 5 depósitos iguais no valor de R$ 50,00 a serem efetuadas ao final de cada período envolvido na transação e a taxa de juros oferecida é de 10% por período. Tal título gera ao fim do 5º período de capitalização um montante de 305,26. Observe atentamente a tabela a seguir.

Saldo no Juros do Saldo no final do Saldo no final

do período período Antes do depósito Após o depósito1 0,00 0,00 0,00 50,00 50,002 50,00 5,00 55,00 50,00 105,003 105,00 10,50 115,50 50,00 165,504 165,50 16,55 182,05 50,00 232,055 232,05 23,21 255,26 50,00 305,26

Período Depósito

Você deve observar que os juros de cada período são calculados tendo por base o saldo antes do depósito, o que está de acordo com o seguinte fluxo de caixa.

Períodos0 1 2 3 4 5

Montante= R$ 300,00

Depósito= R$ 50,00

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Exemplo 2 Uma determinada mercadoria custa R$ 250,00 se for vendida à vista. A prazo, esta mesma mercadoria pode ser adquirida em 6 parcelas mensais e iguais de R$ 57,40 com uma taxa de juros embutida de 10% ao mês.

Saldo no Juros do Saldo no final do Saldo no final do período Período antes da parcela após a parcela

1 -250,00 -25,00 -275,00 57,40 -217,602 -217,60 -21,76 -239,36 57,40 -181,963 -181,96 -18,20 -200,15 57,40 -142,754 -142,75 -14,27 -157,02 57,40 -99,625 -99,62 -9,96 -109,59 57,40 -52,186 -52,18 -5,22 -57,40 57,40 0,00

Período Parcela

Os dois exemplos apresentados são amostras de série uniforme imediata postecipada, pois as prestações possuem valores iguais e não há intervalo de períodos entre o início da transação e o cumprimento das exigências.

Obs: Observando as tabelas o leitor deve atentar para a seguinte conclusão: • Os juros de cada período são calculados tendo como base o saldo do início

do período. Portanto a capitalização do pagamento do 1º mês ocorrerá a partir do 2º mês, o do 2º mês a partir do 3º e, de maneira mais geral, a capitalização do pagamento de um determinado mês passa a ocorrer no mês seguinte.

EXPRESSÕES MATEMÁTICAS

A expressão matemática que relaciona o montante e o valor dos pagamentos (depósitos no primeiro exemplo e parcelas no segundo) é a seguinte:

Pagamento [(1 ) 1]Montanteni

i× + −

= (exp.1)

Outra expressão bastante importante que relaciona o principal e o valor dos

pagamentos é dada pela igualdade:

Principal (1 )Pagamento[(1 ) 1]

× × +=

+ −

n

n

i ii (exp.2)

onde i é taxa de juros e n o número de períodos.

- 81 -


Aplicação:

Voltando ao exemplo 1, suponha que quiséssemos determinar o montante final acumulado sabendo que o valor das parcelas é R$ 50,00, a taxa de juros é de 10% a.m. e o número de períodos é 6. Ao invés de construirmos a tabela usamos apenas (exp.1). Assim temos:

5Pagamento [(1 ) 1] 50,00 [(1 0,10) 1]Montante 305,260,10

× + − × + −= =

nii

≅

O resultado encontrado foi R$ 305,26 e isto está de acordo com a tabela do

primeiro exemplo. (Verifque!)

Já para o segundo exemplo, suponha que desejássemos determinar o valor das parcelas fixas, sabendo que o valor à vista é R$ 250,00, que na venda a prazo é cobrada uma taxa de juros de 10% a.m. e que a compra será feita em seis pagamentos. Usando (exp.2) temos:

6

6

Principal (1 ) 250,00 0,1 (1 0,1) 44, 29Pagamento 57,40[(1 ) 1] [(1 0,1) 1] 0,771561

× × + × × += = =

+ − + −

n

n

i ii

≅

O resultado encontrado é R$ 57,40 o que coincide com a tabela do exemplo 2.

- 82 -


SÉRIE UNIFORME DIFERIDA

Sistema que se caracteriza pela existência de um intervalo de períodos entre o

início da operação e início da exigência dos compromissos. Este intervalo de períodos recebe o nome de período de carência.

Exemplo: Promoções do tipo compre agora e pague daqui a x dias. De maneira semelhante ao que ocorre com as séries imediatas, as séries diferidas

também dividem-se um dois grupos menores:

I– Série Uniforme Diferida Antecipada Após o período de carência, o pagamento das parcelas é feito no início de cada

período.

Períodosc c+1 c+2 c+3 c+4 c+n - 1 c+n0 1 2

Período de Carência

II– Série Uniforme Diferida Postecipada Após o período de carência, o pagamento das parcelas é feito no final de cada

período.

Períodosc c+1 c+2 c+3 c+4 c+n - 1 c+n0 1 2

Período de Carência EXEMPLO NUMÉRICO: Vamos continuar aplicando o exemplo anterior, no qual você compra um bem a prazo, a uma taxa de 4% ao mês, e que deve ser pago em oito prestações de R$ 400,00, no final de cada mês, sabendo que a primeira parcela será cobrada quatro meses após a compra do bem. Qual o valor do bem à vista?

• O período de quatro meses sem efetuar o pagamento das prestações é chamado de período de carência.

• A primeira prestação será cobrada no final do 5º mês.

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Modelo postecipado Período de carência

3 1 2 4 65 7 8 9 10 11 12 0

400, 400,400, 400, 400, 400, 400, 400,

Primeiro

Aplicando o raciocínio utilizado nos exemplos anteriores para o cálculo de séries uniformes postecipadas, o resultado será encontrado no final do 4º período. O resultado obtido será o valor futuro no final da carência. Após encontrarmos o valor futuro, devemos transportá-lo para o período zero, para isso, basta calcularmos o valor presente que gera o referido valor futuro. Veja como ficará o fluxo de caixa:

400,00*(1+0,04)-5 = 328,77

3 1 2 4 65 7 8 9 10 11 120

400,00*(1+0,04)-3 = 355,60

400,00*(1+0,04)-8 = 292,28 valor futuro 2.693,11

400,00*(1+0,04)-6 = 316,13

400,00*(1+0,04)-4 = 341,92

400,00*(1+0,04)-2 = 369,82 400,00*(1+0,04)-1 = 384,62

400,00*(1+0,04)-7 = 303,97

Transportando o valor presente, do final da carência, de R$ 2.693,11 para o período zero: 2.693,11 x (1+0,04)-4 = R$ 2.302,08 = valor presente diferido Fazer os cálculos individualmente, torna-se mais difícil, à medida que o fluxo de caixa aumenta, portanto, Vamos desenvolver os cálculos na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C.

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Calculando o valor presente diferido na planilha eletrônica e na calculadora HP 12-C

A B C D E F123 4% 8 0,00 (400,00) 2.693,10 2.302,07

Planilha 50

Taxa (i) Nper VF PGTO VP (final da carência)

VP (no período zero)

Fórmulas aplicadas nas células destacadas:

E3F3 =E3*(1+A3)^-4

=VP(A3;B3;D3;C3;0)

Verifique, primeiramente, se a modalidade END está acionada, se não, acione-a.

No teclado visor Objetivof CLEAR FIN 0 Limpar os registradores financeiros

g END 0 Optar pela modalidade postecipada400 CHS PMT -400 Armazenar o valor do pagamento

8 n 8 Armazenar o número de períodos4 i 4 Armazenar a taxa

0,00 FV 0 Armazenar o valor futuroPV 2.693,10 Calcular o valor presente no final da carência

÷ 2.302,07 Calcular o valor presente no período zero

Calculadora HP 12-CCalcular o PV no período zero

1,04 ENTER 4, yx 1,1698

Determinar o fator para o cálculo do valor presente no período zero

O valor do bem à vista é R$ 2.302,07.

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PAGAMENTO FIXO X AMORTIZAÇÃO

Uma observação muito importante é a relação entre a soma dos pagamentos e a dívida real. Imagine que um indivíduo compre uma casa no valor de R$ 100.000,00 através de um financiamento de 12 parcelas mensais iguais e com uma taxa de juros de 8% a.m. Quanto da dívida terá sido amortizada no 6º mês? Observe a tabela abaixo.

Juro s Saldo Sald o no finald o

Períd o Dívida + Juros Pagamento Parcela Dív ida - PGTO(PGTO) Amortizad a

100.000,00 8.000,00 108.000,00 13.269,50 8.000,00 5.269,50 94.730,5094.730,50 7.578,44 102.308,94 13.269,50 7.578,44 5.691,06 89.039,4489.039,44 7.123,15 96.162,59 13.269,50 7.123,15 6.146,35 82.893,0982.893,09 6.631,45 89.524,54 13.269,50 6.631,45 6.638,05 76.255,0476.255,04 6.100,40 82.355,44 13.269,50 6.100,40 7.169,10 69.085,9469.085,94 5.526,87 74.612,81 13.269,50 5.526,87 7.742,63 61.343,3161.343,31 4.907,46 66.250,77 13.269,50 4.907,46 8.362,04 52.981,2752.981,27 4.238,50 57.219,77 13.269,50 4.238,50 9.031,00 43.950,2743.950,27 3.516,02 47.466,29 13.269,50 3.516,02 9.753,48 34.196,7934.196,79 2.735,74 36.932,54 13.269,50 2.735,74 10.533,76 23.663,0323.663,03 1.893,04 25.556,08 13.269,50 1.893,04 11.376,46 12.286,5812.286,58 982,93 13.269,50 13.269,50 982,93 12.286,58 0

TOTAIS 159.234,02 59.234,02 100.000,00

Período DívidaComposiç ão dos pagamentos

Ju ros

123456789101112

O cálculo da prestação seria facilmente apurado pela fórmula:

Principal (1 )Pagamento

[(1 ) 1]× × +

=+ −

n

n

i ii

Pagamento = 100.000 x 0,08 x 1,0812 = 13.269,50 (1,0812-1)

Entretanto, sabemos que os juros sempre incidem sobre o saldo da dívida do período. Assim, no primeiro período, os juros serão de: R$ 100.000 x 8% = R$ 8.000,00

Como a prestação é fixa no valor de R$ 13.269,50, podemos concluir que no 1º mês a amortização do principal é de: R$ 13.269,50 – R$ 8.000,00 = R$ 5.269,50

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No segundo mês, a dívida estará reduzida pelo valor da amortização: R$ 100.000 – R$ 5.269,50 = R$ 94.730,50 Logo, os juros do 2º período já serão menores: R$ 94.730,50 x 8% = R$ 7.578,44 Enquanto que a amortização cresce: R$ 13.269,50 – R$ 7.578,44 = R$ 5.691,06 Este processo ocorrerá em todos os períodos, até acabar com a dívida contraída.

Assim, o total amortizado até o 6º mês será obtido pela soma das amortizações do primeiro ao sexto período. Observe:

1º Período 5.269,502º Período 5.691,063º Período 6.146,354º Período 6.638,055º Período 7.169,106º Período 7.742,63Soma: 38.656,69

Os gráficos abaixo evidenciam importantes características das séries uniformes imediatas:

JurosAmortizaçõesPagamentos

Os pagamentos são compostos por uma parcela referente à amortização da dívida e uma outra referente aos juros do período. Este gráfico nos mostra que com o passar do tempo as amortizações passam a ser a parcela de maior valor, isto é, os pagamentos passam a ser quase que exclusivamente compostos pelas amortizações.

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Dívida

Soma dasAmortizações

A dívida é completamente quitada ao longo do tempo. A soma das amortizações é que indica o quanto da dívida já foi quitado. Após o último pagamento a soma das amortizações alcança o valor total da dívida, isto é, o capital financiado.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

• Dado o Valor Futuro (VF) encontraremos o valor do pagamento (PGTO ou PMT):

Suponhamos que a cada trimestre você efetua um depósito em sua caderneta de

poupança. No final do 4º trimestre você possui um saldo de R$ 20.000,00. Determine o valor dos 4 depósitos trimestrais, com uma taxa efetiva de 5% ao trimestre, no regime de juros compostos. Solução: n = 4 trimestres i = 5% ao trimestre VF = R$ 20.000,00 VP = R$ 0,00 Pgto = ?

No teclado visor Objetivo4 n 4,00 Armazenar o número de períodos5 i 5,00 Armazenar a taxa

20.000 FV 20000,00 Armazenar o valor futuro0,00 PV 0,00 Armazenar o valor presente

PMT -4.640,24 Calcular o valor do depósito

Calculadora HP 12-CCalcular o PMT

A B C D E F1 Taxa (i) Nper VP VF Tipo PGTO2 5% 4 0,00 20.000,00 -

Planilha 51

(R$ 4.640,24) Na célula destacada aplicamos a função financeira PGTO:

F2 =PGTO(A2;B2;C2;D2;E2)

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Dado o valor do pagamento (PGTO) encontraremos o valor presente (VP):

Qual o capital que eu devo aplicar para garantir um recebimento semestral de R$

5.000,00 no final de cada um dos próximos 16 semestres, e eu sei que esta aplicação será remunerada com uma taxa efetiva 5% ao semestre, no regime de juros compostos: Solução: n = 16 semestres i = 5% ao semestre Pgto = R$ 5.000,00 VF = 0,00 VP = ?


5.000 PMT 20000,00 Armazenar o valor do pagamento0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuro

PV -54.188,85 Calcular o valor do capital aplicado


A B C D E F1 Taxa (i) Nper Pgto VF Tipo VP2 5% 16 5.000 0,00 -

Planilha 52

(R$ 54.188,85) Na célula destacada aplicamos a função financeira VP:

F2 =VP(A2;B2;C2;D2;E2)

• Dado o valor presente (VP) encontraremos o valor do pagamento (PGTO):

Você obteve um financiamento no qual foi cobrada uma taxa efetiva de 10% ao

ano, no regime de juros compostos. O valor que você obteve foi de R$ 2.000,00. Determine o valor das prestações anuais desse financiamento para um prazo de operação de 5 anos. Solução: n = 5 anos i = 10% ao ano VP = R$ 2.000,00 VF = R$ 0,00 Pgto = ?

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0,00 FV 0,00 Armazenar o valor futuro2.000 PV 2.000,00 Armazenar o valor presente

PMT -527,59 Calcular o valor das prestações

Calculadora HP 12-CCalcular o PMT

A B C D E F1 Taxa (i) Nper VP VF Tipo PGTO2 10% 5 2.000,00 0,00 -

Planilha 53

(R$ 527,59) Na célula destacada aplicamos a função financeira PGTO:

F2 =PGTO(A2;B2;C2;D2;E2) Exercícios Propostos: 1- Um empréstimo, cujo principal é de R$ 25.000,00, foi realizado a juros compostos, e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Determinar o valor dessas prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é 0,25% ao mês e que a primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos. A) R$ 2.117,34 B) R$ 2.017,34 C) R$ 3.117,34 D) R$ 6.711,19 2- Uma determinada mercadoria será vendida em 8 prestações mensais iguais com vencimento no dia 30 de cada mês e no valor de R$ 35,00. Sabendo que a taxa utilizada pela em suas transações é de 7% ao mês, determine o preço pelo qual a mercadoria seria vendida à vista. A) R$ 616,99 B) R$ 207,98 C) R$ 209,00 D) R$ 616,98 3- Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em oito prestações mensais iguais pagas ao fim de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% ao mês, calcular o valor das prestações. A) R$ 618,98

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B) R$ 618,89 C) R$ 718,89 D) R$ 418,89 4- Considere que no exercício anterior no ato da compra foi paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações. A) R$ 395,11 B) R$ 490,00 C) R$ 495,11 D) R$ 515,05 5- Uma pessoa pode abater R$ 7.500 se entregar seu carro usado na compra de um veículo novo, cujo valor à vista é de R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de uma determinada entrada, mais 18 prestações mensais postecipadas de R$ 350,00. Considerando que foram aplicados juros de 6% ao mês, calcular o valor da entrada. A) 6,5 meses B) 8,0 meses C) 8,5 meses D) 6,0 meses 6- Um financiamento de R$ 450.000,00 foi contratado a juros efetivos de 20% ao ano, devendo ser amortizado em 12 prestações mensais postecipadas iguais. Calcular o valor das prestações. A) R$ 41.335,57 B) R$ 40.335,57 C) R$ 43.745,65 D) R$ 38.701,22

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Módulo V – Séries Uniformes

Resumo Neste módulo foi apresentado o conceito e aplicações numéricas de séries uniformes com prestações iguais, verificando que elas são divididas em: série uniforme imediata (antecipada e postecipada) e série uniforme diferida (antecipada e postecipada). E apresentamos um conhecimento introdutório sobre empréstimos, relacionando o pagamento fixo e as amortizações.

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Bibliografia:

• PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada – 6ª ed. – São Paulo: Saraiva, 1999.

• MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira: para usuários do Excel e

da calculadora HP-12C – São Paulo: Atlas, 2001.

• ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas aplicações - 7ª ed. – São Paulo: Atlas, 2002.

• MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática

Financeira: com mais de 600 exercícios resolvidos e propostos – São Paulo: Atlas, 2002.

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matematica financeira basica com o uso do excel

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