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Matemática Financeira Aplicada Séries Periódicas Uniformes

Séries Uniformes Postecipadas

Séries Uniformes Antecipadas

Séries Uniformes Diferidas (antecipada/postecipada)

0 1 2 3 4 n

R

0 1 nn-1432

R

nc+3c+2c+1c0

Rcarência

Matemática Financeira Aplicada Valor Presente das Séries Periódicas

Uniformes

( ) 1i1R −+( ) 2i1R −+( ) 3i1R −+( ) 4i1R −+( ) ni1R −+

0 1 2 3 4 n

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]n321

n32

i1...i1i1i1RP

i1R...

i1R

i1R

i1RP

−−−− ++++++++=

+++

++

++

+=


UniformesNa fórmula anterior, o somatório entre colchetes representa a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. Logo, pode ser reescrita como:

Onde: a1 = primeiro termo da série;an = enésimo termo da série;q = razão da série.

−

−=q1

.qaaRP n1


UniformesSubstituindo as respectivas expressões, encontra-se:

Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de valor presente o símbolo , onde “n” representa o número de termos da série e “i” a sua taxa de capitalização.

( ) ( ) ( )( ) i%n1

-1-n-1

.Ri11

i1.i1i1RP ¬=

+−

++−+= − a

i%n¬a

Matemática Financeira Aplicada

Valor Presente das Séries Periódicas UniformesExemplo

Calcular o valor das prestações anuais postecipadas iguais e consecutivas que liquidam um débito de $ 200,000 no prazo de seis anos, sendo a taxa de juros efetiva de 18% a.m. para os três primeiros anos e de 20% para os demais.


Valor Presente das Séries Periódicas UniformesExemplo – Séries Diferidas

Um financiamento de $ 50,000 será pago em 12 prestações mensais aplicando-se juros efetivos de 8% a.m. Considerando que foi estipulado um período de carência de três meses, calcular o valor das prestações antecipadas e postecipadas.


Montante de Séries Periódicas Uniformes

Considerando uma série postecipada, capitalizada por n períodos o valor presente da série:

Obs: Internacionalmente, chama-se de fator de valor futuro o símbolo .

( )( ) ( ) ( )

i%n

nn

n

n

R.S

i1i1RSi1.

.ii11i1RS

¬=

−+=⇒+

+

−+=

s

i%n¬s

Matemática Financeira Aplicada Montante de Séries Periódicas

UniformesExemplo

Inicialmente uma pessoa deveria pagar pela compra de um eletrodoméstico quatro prestações de $ 80 cada (a primeira para 30 dias), mais três prestações de $ 60. Entretanto a loja oferece outro esquema de pagamento em que o cliente faria um único pagamento daqui a 5 meses. Considerando uma taxa de juros de 6%a.m., qual será o valor desse pagamento único?


( ) ( ) ( ) ( ) 0i1

R...i1

Ri1

Ri1

R-P n321 =+

−−+

−+

−+

Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uniformes

A taxa de juros ou taxa interna de retorno de um fluxo uniforme de n pagamentos ou recebimentos é a taxa que capitaliza os termos da série:


Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas Uniformes

O cálculo da taxa interna de retorno em fluxos multiperiódicos é um processo complexo, resolvido por tentativas ou interpolação linear.Os métodos iterativos indicados são:

Newton-Raphson; Gauss-Cantelli; Método de Karpin; Método de Baily-Lenzi.


Cálculo das Taxas de Juros em Séries Periódicas UniformesExemplo

Depositando mensalmente $ 4,000 durante 18 meses, acumulou-se um capital de $124,136.67. Calcular a taxa de juros efetiva mensal ganha pelos depósitos.


Séries VariáveisSão comuns as situações em que as projeções dos fluxos de caixa das aplicações financeiras ou dos projetos de investimento são crescentes ou decrescentes ao longo do tempo. Serão estudados dois tipos de fluxos:

Séries variáveis em progressão aritmética; Séries variáveis em progressão geométrica.

Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Gradientes Uniformes

Em uma anuidade vencida cujos termos ou rendas variam de acordo com uma lei predeterminada, denomina-se gradiente a diferença entre duas rendas. Cada termo da anuidade é constituído pela renda-base mais os gradientes acumulados.

0 1 2 3 4 5 6

Renda-base

Gradientes

0G1G

2G3G

4G5G

Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Aritmética

Crescente e postecipada0 1 2 3 4 n

0G1G

2G

3G(n-1)G

Sn-1

S3

S2

S1

( )niG S i%n −¬= s

( ) ( )ni1i

G P i%nn −¬+

= s


Crescente e antecipada0 1 2 3 4 n

1G2G

3G

nG

Sn

S4

S3

S1

( )[ ]n.i1iG S i%n −¬+= s ( ) ( )

+

−¬+= ni%n n1n.i1

iG P a

4G S2


Decrescentes0 1 2 3 4 n

1G

(n-1)G

Pn

P4

P3

P1

( )[ ]i%nni1n

iG S ¬−+= s ( ) ( )[ ]i%n

nn -i1n

i1iG P ¬++

= snG

P2(n-2)G

(n-3)G


Séries Variáveis em Progressão AritméticaExemplo

Uma máquina permite uma economia de custos de $ 10,000 no primeiro ano e gradativamente crescente até o quinto ano de suas vida útil. Considerando uma taxa efetiva de 12% a.ª, calcular o valor atual dessa economia de custos.

Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis em Progressão Geométrica

Valor presente de séries crescentes e decrescentes

( )( )( )

+−+−

+=

i1hi1h

i1A P

nn

n

0 1 2 3 4 n-1 n

AAh

Ah²Ah³

Ahⁿ‾²Ahⁿ‾¹


Séries Variáveis em Progressão GeométricaExemplo

Uma pessoa pagará mensalmente durante 18 meses uma série de prestações com reajuste mensal de 5%. Considerando que o primeiro pagamento de $ 48,000 será efetuado no fim do primeiro mês, calcular o valor presente da série de prestações a juros efetivos de 7% a.m.


Séries Variáveis – PerpetuidadesÉ um conjunto de rendas cujo número não pode ser determinado exatamente, pois é muito grande e tende ao infinito. Pode ser antecipada, postecipada e diferida. Um exemplo são os dividendos pagos pelas empresas.

0 1 2 3 4 5 ∞ tempo

R R R R R R


Séries Variáveis – PerpetuidadesPostecipada

AntecipadaiRPP.iR =⇔=

( )i

i1RPi1

iP.R aa

+=⇔

+=

Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Perpetuidades

Custo Capitalizado Existem atividades cujos ativos devem ser mantidos

permanentemente, reformados ou substituídos periodicamente através de desembolsos de capital.

0 1 2 k 4 5 ∞ tempo

R R R R R RR

k

C

S S

( )

−+

+=+=1i1

SCPCF k


Séries Variáveis – PerpetuidadesExemplo

Uma jazida de ouro com reservas para exploração estimada em mais de cem anos produz lucros médios de $ 4,000,000/ano. Calcular o valor da mina, considerando que nos próximos dois anos a mina não operará por motivos de renovação de equipamentos. O custo de oportunidade do capital é de 15% a.a.

Matemática Financeira Aplicada Séries Variáveis – Perpetuidades

ExemploUm canal de irrigação teve um custo inicial de $ 500,000. O engenheiro projetista estima que para estar permanentemente em condições operacionais, a cada três anos, deve ser realizada uma reforma do canal a um custo aproximado de $ 150,000. Determinar a quantia que deve ser aplicada hoje a juros de 15% a.a., de modo que assegure a reforma perpétua do canal, bem como o custo capitalizado do canal, admitindo-se um custo de capital de 15% a.a.

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