SEMANA 01SEMANA 01

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SumárioBem-vindo ................................................................................................3

Introdução ................................................................................................3

Razão .......................................................................................................4

Proporção .................................................................................................5

Exemplos de Proporção ...........................................................................5

Média Aritmética .......................................................................................7

Média Aritmética Ponderada ....................................................................8

Média Aritmética Ponderada ....................................................................9

Grandezas ..............................................................................................10

Regra de três .......................................................................................... 11

Porcentagem ..........................................................................................12

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Bem-vindoOlá! Seja bem-vindo ao componente Matemática Financeira Aplicada!

Esperamos que você possa rever conceitos, reciclar e refletir sobre os assuntos que veremos nesta disciplina.

Porém, mais importante do que isso é o resultado que você pode ter a partir desse aprendiza-do, ou seja, as novas atitudes que você poderá incorporar no seu dia a dia, qualificando o seu atendimento através das ferramentas e dos conceitos de Matemática Financeira que serão aqui apresentadas.

Aproveite desde já esta disciplina que foi elaborada para você.

Sucesso!

IntroduçãoAo longo dessas três semanas abordaremos os diversos conceitos que caracterizam a Matemá-tica Financeira. Inicialmente, veremos alguns conteúdos de matemática básica que serão essen-ciais para a continuidade dos estudos.

Os tópicos de Matemática Financeira que iremos abordar são, entre outros, relativos a Juros Simples e Composto, Descontos, Equivalência de Capitais, Séries Uniformes de Pagamentos e

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Sistemas de Amortização de Dívidas.

Em alguns momentos, veremos como o conteúdo de Matemática Financeira pode ser desenvol-vido com o uso da Calculadora Financeira.

Caso seja do seu interesse, selecionamos um vídeo do site do MEC (TV Escola) que mostra, de maneira muito criativa, como e quando utilizamos a matemática financeira no nosso dia a dia. Para assisti-lo basta acessar o site da TV Escola (http://tvescola.mec.gov.br/index.php?&option=com_zoo&view=item&item_id=2256).

Esperamos que você aproveite seus estudos!

RazãoObserve o seguinte exemplo:

Quando falamos que um automóvel faz 11km com 1 litro de gasolina ou que um jogador de fu-tebol fez 3 gols em dois jogos, ou ainda dizemos que acertamos 18 questões de uma avaliação com 30 questões, estamos considerando quocientes ou razões.

A razão entre dois números a e b, escrita é a fração desde que tenhamos b diferente de zero. Assim, nas situações apresentadas podemos escrever:

Muitos conceitos importantes são apresentados como razões, por exemplo:

● Escala: é a razão entre a medida do comprimento usado em um desenho e a medida do comprimento real.

● Densidade Demográfica: é a razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região.

● Taxa Percentual: é a razão entre um número e 100.

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Vale lembrar ainda que duas razões como a:b e b:a são denominadas razões inversas e sendo assim, podemos dizer que as razões 1:7 e 7:1 são razões in-versas. O mesmo ocorre com as razões 2:3 e 3:2.

Proporção

Outro conceito matemático importante nos nossos estudos é o conceito de proporção que signi-

fica a igualdade de duas razões Com a, b, c e d todos diferentes de zero. A propor-

ção pode ser lida da seguinte forma: a está para b assim como c está para d.

Os termos a e d da proporção são denominados extremos e os termos b e c são denominados

meios. Você deve se lembrar de alguma vez ter ouvido “O produto dos extremos é igual ao pro-

duto dos meios”. Esta expressão se refere a propriedade fundamental das proporções que em

símbolos matemáticos pode ser representada por

Esta propriedade é muito utilizada na resolução de problemas, entre eles, os que envolvem divi-são proporcional e regra de três.

Exemplos de ProporçãoOs exemplos a seguir irão demonstrar a utilização da propriedade fundamental das proporções. Observe:

1. Determine o valor de x na proporção

Aplicando a propriedade fundamental das proporções, podemos encontrar o valor de x:

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Observe que estamos trabalhando com a equação do primeiro grau na qual vale lembrar que o objetivo é o de encontrar o valor de X. Neste caso, resolvermos da seguinte forma:

1. Determine o valor de x da proporção

A linha de pensamento para resolver essa proporção e encontrar o valor de x é a mesma que a do exemplo anterior. Porém, será necessário um pouco mais de atenção, pois iremos realizar alguns “movimentos matemáticos” para poder chegar ao resultado.

Para finalizarmos nosso estudo sobre proporção, um último exemplo para fixarmos o que vimos até aqui.

Dois amigos resolveram fazer uma sociedade. Combinaram que o lucro ou prejuízo seria dividido entre os dois de maneira proporcional, conforme o investimento inicial de cada um. O amigo A investiu inicialmente R$ 10.000,00 enquanto que o amigo B investiu R$ 15.000,00. Ao final do primeiro ano de funcionamento do empreendimento o lucro obtido foi de R$ 30.000,00. Quanto

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desse lucro cabe a cada amigo?

Para resolver este problema vamos considerar os seguintes dados:

Amigo A investiu R$10.000,00 e deve receber a

Amigo B investiu R$15.000,00 e deve receber b

O total investido foi de R$25.000,00

Os amigos vão receber de lucro um total de R$30.000,00, ou seja,

A divisão dos lucros deverá ser proporcional ao investimento

Observe que temos aqui as seguintes razões que são proporcionais:

Considerando as razões obtidas e a propriedade fundamental das proporções, faremos os se-guintes cálculos:

Concluímos, então que o investidor A deve receber R$ 12.000,00 do lucro obtido e o investidor B irá receber R$18.000,00.

Observe que poderíamos fazer de outra maneira, usando a razão em que aparece o valor b:

Média AritméticaSegundo o IBGE, o Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), apresentou as se-guintes variações para a cidade de Porto Alegre:

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Fonte:

http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/ipca-inpc_201212_3.shtm

Se quisermos saber qual foi o valor médio do IPCA neste período, iremos proceder da seguinte forma:

Ou seja, somamos todos os valores apresentados no período e dividimos pela quantidade de perí-odo, neste caso, anos que possuímos. A esse procedimento, damos o nome de Média Aritmética Simples.

Média Aritmética PonderadaSegundo o Edital para o vestibular 2013 da UFRGS, disponível no site da universidade (http://www.ufrgs.br/vestibular/cv2013/manual_CV2013.pdf), o peso de cada prova, para o curso de Administração, foi distribuído da seguinte forma:

Supondo que o candidato A obteve as seguintes pontuações nas provas:

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Qual foi a média do candidato A?

Levando em consideração que cada prova possui um valor, ou melhor, um peso diferente, deve-mos multiplicar cada resultado obtido por seu peso e ao contrário da média aritmética simples, não iremos dividir o resultado pela quantidade de avaliações, mas sim, pelo total de pontos avaliados.

Média Aritmética PonderadaObserve:

Assim, a média do candidato A foi de 9,2733.

Sempre que calculamos a média de um conjunto de valores, no qual foi atribuído um peso, ou grau de importância para cada elemento do conjunto de valores, chamamos de Média Aritméti-ca Ponderada.

Outro exemplo:

O cálculo do índice Geral de Preços (IGP) é feito através da média aritmética ponderada de três outros índices de preços. São eles: o índice de Preços ao Produtor Amplo (IPA), o Índice de Pre-ços ao Consumidor (IPC) e o Índice Nacional de Custo da Construção (INCC). Os pesos de cada um dos índices componentes correspondem a parcelas da despesa interna bruta, calculadas com base nas Contas Nacionais – resultando na seguinte distribuição: peso 6 para o IPA, peso 3 para o IPC e peso 1 para o INCC. Sabendo que os índices registrados em um determinado mês de 2008 foram os seguintes: IPA(1,25%), IPC(0,72%) e INCC(0,18%), temos que o IGP deste mês ficou em:

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GrandezasGrandeza é tudo aquilo que pode ser medido. Tudo o que pode ser medido, pode sofrer varia-ções, como velocidade, tempo e etc..

Porém, devemos ter atenção uma vez que há grandezas inversamente proporcionais e direta-mente proporcionais. Mas o que é isso? Observe:

Essas são grandezas diretamente proporcionais, pois quanto maior minha lista de convidados, maior será o meu custo com a festa.

Agora observe:

Neste caso, são grandezas inversamente proporcionais uma vez que quanto maior a quantida-de de funcionários a trabalhar, menor será o tempo para finalizar a tarefa.

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Regra de trêsRegra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Quando trabalhamos com Regra de três, estamos interpretando questões diversas e aplicando os conhecimentos de razão e proporção para encontrar a solução.

Observe:

1) Uma máquina produz, durante 4h de funcionamento, 560 peças de um determinado produto. Quantas peças a máquina produz em 10h? Podemos construir uma tabela com os dados do problema:

Inicialmente, observe que a grandeza é diretamente proporcional, pois, se aumentarmos o número de horas de funcionamento da máquina, vamos aumentar a quantidade de peças produ-zidas.

Podemos montar a proporção:

Utilizando a propriedade fundamental das proporções temos que:

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Assim, concluímos que o número de peças produzidas em 10h é 1400.

Observe mais um exemplo:

2) Para construir uma casa, 20 pedreiros levam 180 dias. Quantos dias 12 pedreiros levariam para construir a mesma casa?

Assim, como no exemplo anterior, vamos montar uma tabela com os dados:

Neste exemplo observamos que se o número de pedreiros diminuir, o número de dias para cons-truir a casa irá aumentar. Temos aqui um exemplo de grandeza inversamente proporcional.

A proporção agora fica um pouco diferente:

Observe que a razão com o número de dias ficou invertida. Assim teremos:

PorcentagemA regra de três também é muito útil no cálculo de porcentagens.

Vale lembrar que a expressão k% (k por cento) é denominada taxa percentual e é a razão entre número k e 100. Assim:

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Considerando o que foi colocado, podemos afirmar que:

Vamos ver um exemplo da aplicação da proporção e do cálculo de porcentagens.

1) Paguei por uma geladeira, com desconto de 8%, um total de R$1.840,00. Qual era o preço da geladeira sem o desconto?

Observe a tabela com os dados do problema:

A proporção fica:

Assim, temos R$2.000,00 como valor da geladeira sem o desconto. De maneira mais prática, você pode optar por dividir o valor com o desconto por 0,92. Observe:

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2) Ganho 6,5% de comissão nas vendas que faço. Se vender R$36.567,00, qual será o valor da comissão?

Observe a tabela com os dados do problema:

A proporção fica:

Assim, o valor da comissão será de R$2.376,86.

De maneira mais prática, você pode optar por multiplicar o valor da venda por 0,065, observe:

Fator de Multiplicação

Uma dica importante:

Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação.

Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

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Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos:

No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:

Veja a tabela abaixo:

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos:

Taxa Percentual

Suponhamos que um aluno tenha acertado, em um exame, 12 das 15 questões apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões é:

Quando uma razão é apresentada como consequente de 100 ( neste caso, 80/100) ela é chama-da de razão centesimal, que também podemos escrever da seguinte forma:

80/100 = 80%

Esse numeral (80%) é denominado taxa percentual ou centesimal.

Ex: Escreva a razão 3 por 4 em forma de taxa percentual.

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Elementos de cálculo percentual

● Taxa: é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100. ● Percentagem: é o valor que representa a quantidade tomada de outra quantidade (total), proporcionalmente.

● Principal: é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

Representando:

● O principal por P ● A percentagem por p ● A taxa por r

Exemplo:

Um vendedor tem 3% de comissão nos negócios que faz. Qual sua comissão numa venda de R$3.600,00 ?

Logo, a comissão é de R$108,00