matematica financeira

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Matemática financeira

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Marcelo de Figueiredo Alves MATEMTICA FINANCEIRA Matemtica Financeira 1 MATEMTICA FINANCEIRA aanlisedasrelaesformaisentretransaesfinanceiras,quetraduzemaumpadro equivalente,quantidadesmonetriastransacionadasemdiferentesperodosdetempo.O objetivocentraldaMatemticaFinanceirareduzirequaesmatemticas,ascomplexas relaesdeinterdependnciafinanceiraestabelecidasnomercadofinanceiropelosseus vrios participantes e agentes, tornando possvel quantific-las. Podemostambmdefini-lacomooestudodasrelaesrelativasaevoluodosrecursos financeirosaolongodotempo,procurandoestabelecerrelaesformaisentrevalores expressos em diferentes perodos de tempo, constituindo-se em uma das mais importantes e segundovriosautores,bsica,ferramentasutilizadasnaresoluodeproblemas relacionados a Finanas. Por traduzir todas as relaes existentes no mundo financeiro a equaes matemticas, de fundamentalimportncia,oconhecimentodosconceitosexistentesemcadaformulao matemtica,deformaasabermosperfeitamentequalrelaodeveserutilizadaemcada situao que nos defrontamos no nosso dia a dia. Odesconhecimentodosconceitos,apesardeumeventualdomnionomanuseiode ferramentasauxiliaresempregadasnasoluodeproblemasfinanceiros(calculadorase planilhaseletrnicas),poderepresentaroclculodevalorescompletamenteequivocados, trazendo srios prejuzos financeiros. Poressemotivo,independentedaferramentadeajudautilizada,precisoqueconheamos profundamentetodososconceitosaseremapresentados,deformaapodermoscalcular corretamente,todososproblemasfinanceirosrepresentadosporrelaesdaMatemtica Financeira, independente da ferramenta de suporte que estejamos utilizando. Matemtica Financeira 2 1 - Conceitos Bsicos i) Valor do Dinheiro no Tempo Esteconceitoestrelacionadomudanadevalorsofridapelodinheiroaolongodeum horizontedetempoqualquer,sejapelaperdadepoderaquisitivocausadapelosprocessos inflacionrios,sejapelapossibilidadedeobtermosalgumtipoderemuneraoatravsdo investimento dos recursos envolvidos. Apossibilidadedeobtenodealgumtipoderemuneraoparaosdetentoresderecursos, porsisgeradiferenasnovalordodinheiro,querpelarentabilidadeefetivaobtidaem alguma aplicao, quer pelo ganho que deixa de obter caso opte por no utilizar nenhum tipo de alternativa existente, para aplicao de suas disponibilidades. Responda as seguintes perguntas: -SevocemprestasseR$1.000,00hoje,vocaceitariareceberdaquiadoismesesos mesmos R$ 1.000,00? Caso negativo, quanto voc aceitaria receber? -Vocvaiaumalojaeovendedorlheofereceduasalternativasdepagamento.Na primeira, voc paga R$ 500,00 vista. Na segunda, voc paga 10 prestaes de R$ 50,00. Essas alternativas so indiferentes? Qual voc escolheria? O que podemos concluir que o valor do dinheiromuda em relaoao tempo. S faz sentido falarmos de valores financeiros se pudermos localiz-los no tempo. Sendo assim, podemos derivar duas conseqncias de fundamental importncia: 1. Operaesalgbricassimples(asquatrooperaes)somentepodemser realizadas com quantias expressas em uma mesma data; 2. Acomparaoentredoisvaloresquaisquer,somentepossvelseestiverem expressas em uma mesma data. ii) Fluxo de Caixa Define-se fluxo de caixa, seja de um indivduo, uma empresa ou de um investimento, como oconjuntodeentradasesadasderecursosaolongodeumdadointervalodetempo.Para efeitoderepresentaoeutilizaodesteconceitonamatemticafinanceira,considera-se que as entradas e sadas representadas ao longo do horizonte em anlise, so valores lquidos (total das entradas menos o total das sadas) Matemtica Financeira 3 Conveno: Podemos representar o fluxo de caixa da seguinte forma: - Sadas de recursos + Entradas de recursos __________________________________________________Tempo 0 12n - A escala horizontal representa o tempo, podendo ser expresso em qualquer unidade de tempo (anos, meses, dias, etc.). -Ospontosabaixodaescalahorizontalrepresentamoseventosnotempo,tomando como partida a data inicial, representada pela data zero. - Convencionou-se indicar no fluxo de caixa, as setas para baixo indicando as sadas derecursos(osnmerostemosinalnegativo)eassetasparacimaindicandoas entradas de recursos (nmeros positivos). Oconceitododiagramadofluxodecaixa,apesarderelativamentebvio,extremamente relevanteemFinanas,umavezquetodasasquestesqueenvolvemaMatemtica Financeira,recorrememltimainstnciaautilizaodessediagramaparaumamelhor definio do problema e a partir da utilizar uma metodologia de clculo. Exemplo:VocemprestouaumamigoR$1.000eestesecomprometeuempagaressa dvidaem5pagamentosdeR$300emparcelasmensaissucessivas,sendooprimeiro pagamento feito s daqui a 3 meses. 300 300300300 300

0 123 4567 meses 1.000 Matemtica Financeira 4 REPRESENTAODEFINIO DO FLUXO Fluxos com apenas uma entrada e uma sada de caixa Sries de pagamentos ou recebimentos uniformes Perpetuidades Pagamentos uniformes feitos indefinidamente Fluxos no definidos acima Valor Presente Representa o valor do capital investido ou tomado como emprstimo na data inicial do fluxo de caixa. O valor presente tambm chamado de Principal, Valor Atual ou CapitalInicial, sendonormalmenterepresentadoporP,VouC.NaHP12C,representadoporPV (present value). Valor Futuro Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. O valor futuro tambm chamado de Montante ou Capital Acumulado, sendo normalmente representado por M, S ouVF.Na HP 12C, representado porFV (future value). Prestao Uniforme Correspondeaumfluxocomvaloresiguaisesucessivosaserempagosourecebidosno futuro. Na HP 12C so representadas porPMT (payment). Perodo de Capitalizao Representa o perodo de tempo em que um determinado capital sofre a incidncia de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros so incorporados ao principal. A capitalizao dos juros refere-se nica e exclusivamente ao regime de juros compostos. Regime de Capitalizao Indicaseosjurosseroincorporadosaocapitalatravsdoregimedejurossimplesoudo regime de juros compostos. Matemtica Financeira 5 Equivalncia de Capitais Dois capitais so ditos equivalentes se, investidos ou emprestados mesma taxa, produzem um mesmo montante em uma mesma data, determinada apenas para efeito de comparao.Parauminvestidorouparaumtomadorderecursos,doiscapitaisequivalentessignificam quequalquertipodetrocacomrelaoadatasdevencimento,porexemplo,totalmente indiferente para eles, ou seja, no existem ganhos ou perdas para nenhuma das partes. Prazo das Aplicaes Paraefeitodeclculodeoperaesfinanceiraspodemosusarcomoreferenciaoano comercial de 360 dias ou o ano civil (ano exato) de 365 ou 366 dias.Dos conceitos apresentados acima podemos inferir algumas relaes bsicas em Matemtica Financeiraequeservemtantoparaoregimedejuroscompostoscomoparaoregimede juros simples. Valor Futuro (VF) = Valor Presente (VP)+Juros VP = VF-Juros Juros = VF -VP Matemtica Financeira 6 2 - Juros Simples e Compostos- Conceitos Juros Simples Noregimedejurossimples,osjurossocalculadosacadaperodo,sempretomando como base de clculo o capital inicial empregado, no incidindo, portanto, juros sobre os juros acumulados em perodos anteriores, ou seja, no existindo a capitalizao dos juros. Apenas o principal que rende juros. Na prtica, o regime de juros simples tem sua utilizao no mercado financeiro, restrita a umpequenonmerodeaplicaes,comoporexemplo,asoperaesdedescontode duplicatas,notaspromissriasenoclculodosjurosparaasoperaescomcheques especiais. Para tornar mais claro conceito de juros simples, suponha o seguinte exemplo: Calcular o valor acumuladoem uma aplicao de $1000,00 que rende juros simples uma taxa de 10% ao ms, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses)VPJurosVF 11.00010% x 1.000 = 1001.100 21.10010% x 1.000 = 1001.200 31.2001001.300 41.3001001.400 Resposta:Jurossimplesde10%aoms,durante4meses,produziramapartirdeum capital inicial de $ 1.000, juros de $400. Obteve-se assim, um montante de $1.400. 1000 1100 1200 1300 1400 01324 Matemtica Financeira 7 Observa-sequeosvaloresdossaldosnofinaldecadaanoapresentamumcrescimento linear. Esses valores crescem, portanto como uma Progresso Aritmtica (PA). Dessa forma, a representao grfica se d por uma reta. Juros Compostos Noregimedecapitalizaocomposta,osjurosrelativosacadaperodo,socalculados tomando-se como base, o saldo do perodo imediatamente anterior. Este saldo por sua vez, j resultante da incorporao de juros determinados com base no intervalo de tempo a que se refereoperododecapitalizao,formandoumnovomontantesobreoqualentoosjuros sero calculados e assim por diante. Este processo de clculo no regime de juros compostos difere daquele utilizado para os juros simples, uma vez que neste ltimo, somente o capital inicial sofre a incidncia de juros, no ocorrendo nenhum tipo de remunerao sobre os juros formados em perodos anteriores. Paratornarmaisfcilosconceitosapresentados,suponhaquefaamosamesmaaplicao realizada no regime de juros simples s que dessa vez, no regime de juros compostos. Calcularovaloracumuladoemumaaplicaode$1000,00querendejuroscompostos uma taxa efetiva de 10% ao ms, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses)VPJurosVF 11.000,0010% x 1.000 = 100,001.100,00 21.100,0010% x 1.100 = 110,001.210,00 31.210,0010% x 1.210 = 121,001.331,00 41.331,0010% x 1.331 = 133,101.464,10 01324 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10 Matemtica Financeira 8 Observa-sequeosvaloresdossaldosnofinaldecadaanoapresentamumcrescimento no-linear(veremosadiantequeessecrescimentoexponencial).Essesvalorescrescemcomo uma Progresso Geomtrica (PG). 3 - Juros Simples Regime no qual os juros de cada perodo so calculados sobre o capital inicial. Os juros so proporcionais ao tempo de aplicao. Juros= VP . i . n VF = VP + Juros VF = VP + VP . i . n

(colocando VP em evidencia, temos:) VF = VP x ( 1 + i . n ) onden = prazo totali = taxa de jurosVP = valor presente (Principal ou capital inicial) VF= valor futuro(Montante) Asrelaesdefinidasparaoclculodovalorfuturoedovalorpresentepodemser visualizadas da seguinte forma: Asfrmulasacimapressupe