Marcelo de Figueiredo Alves MATEMTICA FINANCEIRA Matemtica Financeira 1 MATEMTICA FINANCEIRA aanlisedasrelaesformaisentretransaesfinanceiras,quetraduzemaumpadro equivalente,quantidadesmonetriastransacionadasemdiferentesperodosdetempo.O objetivocentraldaMatemticaFinanceirareduzirequaesmatemticas,ascomplexas relaesdeinterdependnciafinanceiraestabelecidasnomercadofinanceiropelosseus vrios participantes e agentes, tornando possvel quantific-las. Podemostambmdefini-lacomooestudodasrelaesrelativasaevoluodosrecursos financeirosaolongodotempo,procurandoestabelecerrelaesformaisentrevalores expressos em diferentes perodos de tempo, constituindo-se em uma das mais importantes e segundovriosautores,bsica,ferramentasutilizadasnaresoluodeproblemas relacionados a Finanas. Por traduzir todas as relaes existentes no mundo financeiro a equaes matemticas, de fundamentalimportncia,oconhecimentodosconceitosexistentesemcadaformulao matemtica,deformaasabermosperfeitamentequalrelaodeveserutilizadaemcada situao que nos defrontamos no nosso dia a dia. Odesconhecimentodosconceitos,apesardeumeventualdomnionomanuseiode ferramentasauxiliaresempregadasnasoluodeproblemasfinanceiros(calculadorase planilhaseletrnicas),poderepresentaroclculodevalorescompletamenteequivocados, trazendo srios prejuzos financeiros. Poressemotivo,independentedaferramentadeajudautilizada,precisoqueconheamos profundamentetodososconceitosaseremapresentados,deformaapodermoscalcular corretamente,todososproblemasfinanceirosrepresentadosporrelaesdaMatemtica Financeira, independente da ferramenta de suporte que estejamos utilizando. Matemtica Financeira 2 1 - Conceitos Bsicos i) Valor do Dinheiro no Tempo Esteconceitoestrelacionadomudanadevalorsofridapelodinheiroaolongodeum horizontedetempoqualquer,sejapelaperdadepoderaquisitivocausadapelosprocessos inflacionrios,sejapelapossibilidadedeobtermosalgumtipoderemuneraoatravsdo investimento dos recursos envolvidos. Apossibilidadedeobtenodealgumtipoderemuneraoparaosdetentoresderecursos, porsisgeradiferenasnovalordodinheiro,querpelarentabilidadeefetivaobtidaem alguma aplicao, quer pelo ganho que deixa de obter caso opte por no utilizar nenhum tipo de alternativa existente, para aplicao de suas disponibilidades. Responda as seguintes perguntas: -SevocemprestasseR$1.000,00hoje,vocaceitariareceberdaquiadoismesesos mesmos R$ 1.000,00? Caso negativo, quanto voc aceitaria receber? -Vocvaiaumalojaeovendedorlheofereceduasalternativasdepagamento.Na primeira, voc paga R$ 500,00 vista. Na segunda, voc paga 10 prestaes de R$ 50,00. Essas alternativas so indiferentes? Qual voc escolheria? O que podemos concluir que o valor do dinheiromuda em relaoao tempo. S faz sentido falarmos de valores financeiros se pudermos localiz-los no tempo. Sendo assim, podemos derivar duas conseqncias de fundamental importncia: 1. Operaesalgbricassimples(asquatrooperaes)somentepodemser realizadas com quantias expressas em uma mesma data; 2. Acomparaoentredoisvaloresquaisquer,somentepossvelseestiverem expressas em uma mesma data. ii) Fluxo de Caixa Define-se fluxo de caixa, seja de um indivduo, uma empresa ou de um investimento, como oconjuntodeentradasesadasderecursosaolongodeumdadointervalodetempo.Para efeitoderepresentaoeutilizaodesteconceitonamatemticafinanceira,considera-se que as entradas e sadas representadas ao longo do horizonte em anlise, so valores lquidos (total das entradas menos o total das sadas) Matemtica Financeira 3 Conveno: Podemos representar o fluxo de caixa da seguinte forma: - Sadas de recursos + Entradas de recursos __________________________________________________Tempo 0 12n - A escala horizontal representa o tempo, podendo ser expresso em qualquer unidade de tempo (anos, meses, dias, etc.). -Ospontosabaixodaescalahorizontalrepresentamoseventosnotempo,tomando como partida a data inicial, representada pela data zero. - Convencionou-se indicar no fluxo de caixa, as setas para baixo indicando as sadas derecursos(osnmerostemosinalnegativo)eassetasparacimaindicandoas entradas de recursos (nmeros positivos). Oconceitododiagramadofluxodecaixa,apesarderelativamentebvio,extremamente relevanteemFinanas,umavezquetodasasquestesqueenvolvemaMatemtica Financeira,recorrememltimainstnciaautilizaodessediagramaparaumamelhor definio do problema e a partir da utilizar uma metodologia de clculo. Exemplo:VocemprestouaumamigoR$1.000eestesecomprometeuempagaressa dvidaem5pagamentosdeR$300emparcelasmensaissucessivas,sendooprimeiro pagamento feito s daqui a 3 meses. 300 300300300 300

0 123 4567 meses 1.000 Matemtica Financeira 4 REPRESENTAODEFINIO DO FLUXO Fluxos com apenas uma entrada e uma sada de caixa Sries de pagamentos ou recebimentos uniformes Perpetuidades Pagamentos uniformes feitos indefinidamente Fluxos no definidos acima Valor Presente Representa o valor do capital investido ou tomado como emprstimo na data inicial do fluxo de caixa. O valor presente tambm chamado de Principal, Valor Atual ou CapitalInicial, sendonormalmenterepresentadoporP,VouC.NaHP12C,representadoporPV (present value). Valor Futuro Representa o valor do capital em uma data futura, posterior a data inicial do fluxo de caixa. O valor futuro tambm chamado de Montante ou Capital Acumulado, sendo normalmente representado por M, S ouVF.Na HP 12C, representado porFV (future value). Prestao Uniforme Correspondeaumfluxocomvaloresiguaisesucessivosaserempagosourecebidosno futuro. Na HP 12C so representadas porPMT (payment). Perodo de Capitalizao Representa o perodo de tempo em que um determinado capital sofre a incidncia de juros, ou seja, de quanto em quanto tempo os juros so incorporados ao principal. A capitalizao dos juros refere-se nica e exclusivamente ao regime de juros compostos. Regime de Capitalizao Indicaseosjurosseroincorporadosaocapitalatravsdoregimedejurossimplesoudo regime de juros compostos. Matemtica Financeira 5 Equivalncia de Capitais Dois capitais so ditos equivalentes se, investidos ou emprestados mesma taxa, produzem um mesmo montante em uma mesma data, determinada apenas para efeito de comparao.Parauminvestidorouparaumtomadorderecursos,doiscapitaisequivalentessignificam quequalquertipodetrocacomrelaoadatasdevencimento,porexemplo,totalmente indiferente para eles, ou seja, no existem ganhos ou perdas para nenhuma das partes. Prazo das Aplicaes Paraefeitodeclculodeoperaesfinanceiraspodemosusarcomoreferenciaoano comercial de 360 dias ou o ano civil (ano exato) de 365 ou 366 dias.Dos conceitos apresentados acima podemos inferir algumas relaes bsicas em Matemtica Financeiraequeservemtantoparaoregimedejuroscompostoscomoparaoregimede juros simples. Valor Futuro (VF) = Valor Presente (VP)+Juros VP = VF-Juros Juros = VF -VP Matemtica Financeira 6 2 - Juros Simples e Compostos- Conceitos Juros Simples Noregimedejurossimples,osjurossocalculadosacadaperodo,sempretomando como base de clculo o capital inicial empregado, no incidindo, portanto, juros sobre os juros acumulados em perodos anteriores, ou seja, no existindo a capitalizao dos juros. Apenas o principal que rende juros. Na prtica, o regime de juros simples tem sua utilizao no mercado financeiro, restrita a umpequenonmerodeaplicaes,comoporexemplo,asoperaesdedescontode duplicatas,notaspromissriasenoclculodosjurosparaasoperaescomcheques especiais. Para tornar mais claro conceito de juros simples, suponha o seguinte exemplo: Calcular o valor acumuladoem uma aplicao de $1000,00 que rende juros simples uma taxa de 10% ao ms, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses)VPJurosVF 11.00010% x 1.000 = 1001.100 21.10010% x 1.000 = 1001.200 31.2001001.300 41.3001001.400 Resposta:Jurossimplesde10%aoms,durante4meses,produziramapartirdeum capital inicial de $ 1.000, juros de $400. Obteve-se assim, um montante de $1.400. 1000 1100 1200 1300 1400 01324 Matemtica Financeira 7 Observa-sequeosvaloresdossaldosnofinaldecadaanoapresentamumcrescimento linear. Esses valores crescem, portanto como uma Progresso Aritmtica (PA). Dessa forma, a representao grfica se d por uma reta. Juros Compostos Noregimedecapitalizaocomposta,osjurosrelativosacadaperodo,socalculados tomando-se como base, o saldo do perodo imediatamente anterior. Este saldo por sua vez, j resultante da incorporao de juros determinados com base no intervalo de tempo a que se refereoperododecapitalizao,formandoumnovomontantesobreoqualentoosjuros sero calculados e assim por diante. Este processo de clculo no regime de juros compostos difere daquele utilizado para os juros simples, uma vez que neste ltimo, somente o capital inicial sofre a incidncia de juros, no ocorrendo nenhum tipo de remunerao sobre os juros formados em perodos anteriores. Paratornarmaisfcilosconceitosapresentados,suponhaquefaamosamesmaaplicao realizada no regime de juros simples s que dessa vez, no regime de juros compostos. Calcularovaloracumuladoemumaaplicaode$1000,00querendejuroscompostos uma taxa efetiva de 10% ao ms, pelo prazo de 4 meses. Tempo (meses)VPJurosVF 11.000,0010% x 1.000 = 100,001.100,00 21.100,0010% x 1.100 = 110,001.210,00 31.210,0010% x 1.210 = 121,001.331,00 41.331,0010% x 1.331 = 133,101.464,10 01324 1000,00 1100,00 1210,00 1331,00 1464,10 Matemtica Financeira 8 Observa-sequeosvaloresdossaldosnofinaldecadaanoapresentamumcrescimento no-linear(veremosadiantequeessecrescimentoexponencial).Essesvalorescrescemcomo uma Progresso Geomtrica (PG). 3 - Juros Simples Regime no qual os juros de cada perodo so calculados sobre o capital inicial. Os juros so proporcionais ao tempo de aplicao. Juros= VP . i . n VF = VP + Juros VF = VP + VP . i . n

(colocando VP em evidencia, temos:) VF = VP x ( 1 + i . n ) onden = prazo totali = taxa de jurosVP = valor presente (Principal ou capital inicial) VF= valor futuro(Montante) Asrelaesdefinidasparaoclculodovalorfuturoedovalorpresentepodemser visualizadas da seguinte forma: Asfrmulasacimapressupemqueoprazoeataxadejurosreferem-seamesma unidadedetempo,isto,seataxaestiverexpressaemmeses,oprazotambm obrigatoriamente dever estar em meses. VF=VP [1 +i .n ] VP = VF 1 + i .n VP VF Matemtica Financeira 9 Paracompatibilizarprazoetaxadejurosnoregimedecapitalizaosimples,vocpode escolher o tempo que voc quiser. Cuidado!!!! Isto s possvel no caso de juros simples. Exemplo: A empresa Estrela Marina pagou a conta de luz de R$ 3.600,00 com atraso de 18 dias, e a concessionria Luz Eterna cobrou juros de mora de 5 % ao ms.Qual o valor pago ? (R: 3.708,00) VP= 3600 n = 18 dias = 18/ 30 ms= 0,6 msi= 5% ao ms VF = VP (1 + i . n)= 3600 (1 + 0,6 .5%)= 3600 ( 1 + 0,6 .0,05) VF = 3600 ( 1 + 0,03)= 3600 . 1,03= 3708 Exerccios Propostos 1) Julieta pagou seu segurocom atraso de 18 dias. No vencimento, o valor era R$ 1.000,00 e os juros de mora foram de 2% ao ms. Qual o valor pago ? (Resp: 1.012,00) 2)Joo pagou uma prestao com atraso de 60 dias. A Cia. Enluarada cobrou juros de mora de15%aoano.OvalorpagofoideR$8.200,00.Qualovalororiginaldaprestao? (Resp: 8.000,00) 3) Maria aplicou R$ 3000,00 por 1 ano e 8 meses taxa de 1% ao ms, juros simples. Qual o rendimento? (Resp: R$ 600,00) 4)Qualocapitalqueaplicadoa12%amproduzR$288,00dejurosem6meses? (Resp. R$ 400,00) 5)Aquetaxamensalumcapitalaplicadodurante10mesesproduzjurosiguais5/8do capital ? (Resp: 6,25%) 6)Emquantotempoumcapitaltriplicadevalorquandoaplicadoa16%aoano,juros simples ? (Resp: 12,5 anos ou 12 anos e 6 meses) Matemtica Financeira 10 TAXAS PROPORCIONAIS (Lineares) Produzem os mesmos juros quando aplicados no mesmo prazo a juros simples. Exemplo : 6 % ao semestre Taxa proporcional mensal : 6% 6=1 % Taxa proporcional anual : 6% x 2=12 % 4 - Desconto Simples O "desconto bancrio", "desconto comercial" ou "desconto por fora" calculado sobre o valor nominal do ttulo. Valor nominal (VF): valor futuro, valor de face, valor de resgate Valor presente (VP): valor presente, valor descontado Desconto (D): existe por conta dos juros cobrados pelo banco Taxa de desconto (d): taxa que incide sobre o valor futuro Desconto= Valor Futuroxtaxa de desconto no perodo D = VF x d x n VP = VF Desconto VP = VF - VF x d x n Colocando VF em evidencia VP = VF x ( 1 - d x n ) Matemtica Financeira 11 Exemplo: O Moinho Piradescontou uma duplicata de R$ 18.000,00 no Banco Estrela. O prazo do ttulo era de 40 dias e a taxa de desconto de 4,2 % ao ms.O banco cobrou ainda uma TAC (tarifa de abertura de crdito)de R$ 50,00. Qual o valor recebido pela empresa ? D = VF . d. n VF = 18000 d= 4,2% ao ms n = 40 dias = 1,3333... meses D = 18000 .4,2%. 1,33333 = 1008 VP = VF D= 18000 1008 = 16992 Deduzindo o pagamento da TAC de R$ 50, sobrou R$ 16.942,00. Exerccios Propostos 1)AIndustrialFesteiradescontouumaduplicatadeR$14.000,00noBancodoCu.O prazo do ttulo era de 45 dias e a taxa de desconto foi de5% ao ms. Qual o valor lquido recebido? (Resp: 12.950,00) 2)JooCruisedescontouumaNotaPromissrianoBancoVerdinho.Oprazodottuloera de 40 dias e a taxa de desconto foi de6 % ao ms. O valor recebido no ato da operao foi de R$ 7.820,00. Qual o valor nominal da NP ? (Resp: 8.500,00) 3) Qual o prazo deantecipao de um ttulo de valor nominal R$ 1.200,00 que descontado comercialmente taxa de 9% ao ms gera um valor atual de R$ 1.056,00 ? (Resp: 40 dias) 4) Uma instituio financeira realiza suas operaes de desconto com uma taxa de desconto comercial ("por fora") de 2% ao ms, no regime de juros simples. Determinar o valor a ser creditadonacontadeumaempresaqueapresentouumttuloparadescontonessas condies,sabendo-sequeovalordetalttulo$100.000,00equeoprazoatseu vencimento de 45 dias. (Resp: $ 97.000) Matemtica Financeira 12 Desconto por dentro ou racional Diferentementedataxadedescontocomercialouporfora,queincidesobreoValor Futuro,ataxadedescontoracionaloupordentro,incidesobreovalorpresenteparaa obteno do valor do desconto. Sendo assim, D = VF . d . nou D=VP .i.n d=taxa de desconto comercial;i= taxa de desconto racional = taxa de juros efetiva Calcula-se o valor presente usando a frmula de juros simples: VP = VF / (1 + i . n) Exerccio: 1) Um ttulo de R$ 109.000, 00 descontado trs meses antes do vencimento a uma taxa de desconto de 3% ao ms. Calcule o valor do desconto considerando que esta taxa de desconto : a) taxa de desconto comercial (por fora) (Resp: 9.810,00) b) taxa de desconto racional (por dentro) (Resp: 9.000,00) 2)Umttulode$10.000,00foiresgatado25diasantesdoseuvencimentocomataxade desconto racional de 15% ao ano. Determinar o valor do principal, assumindo-se regime de juros simples e ano com 360 dias. (Resp: $9.896,91) 3) Um certificado de depsito de um banco comercial foi negociado com um investidor para umaaplicaode62dias,garantindo-senesseprazoumarentabilidadede2%aoms,no regimedejurossimples.Sabendo-sequeovalorderesgatedessecertificadodedepsito de $10.000,00, determinar o valor da aplicao e a taxa mensal de desconto comercial ("por fora") desse banco, no regime de juros simples. (Resp: $9.603,07 e 1,9206% a.m.) 4)Umttulocomvencimentodaquiatrsmesesdescontado,ajurossimples,comuma taxadedesconto"pordentro"de15%aoano,gerandoumdescontode$15.000,00. Utilizandoamesmataxa,pormcomdesconto"porfora",qualseriaovalordodesconto comercial correspondente ? (Resp: $15.562,50) Matemtica Financeira 13 5 - Juros Compostos Noregimedecapitalizaocomposta,osjurosdecadaperodosoincorporadosao principalemcadaintervalodetempoaquesereferirtaxadejurosepassamagerar rendimentosparaoperodoseguinte.Esteprocessooqueseconvencionouchamarde juros sobre juros ou capitalizao dos juros. Dadaaexistnciadeincorporaodejurossobreoprincipal(capitalinicial)em determinados intervalos de tempo, para que possamos efetuar qualquer tipo de clculo neste regimedecapitalizao,fundamentalquesaibamosapriori,aperiodicidadeemqueeste processo ocorre, ou seja, precisamos saber o perodo de capitalizao dos juros incidentes sobreumaaplicaoouemprstimo.Semestainformaobsicaefundamentalparao clculodeoperaesnoregimedejuroscompostos,osresultadosapresentadosestaro completamente equivocados. importante ressaltar, da mesma forma que no regime de juros simples, qualquer que seja o tipodeoperaocalculadasobreoregimedejuroscompostos,oprazoeataxadevero obrigatoriamentereferir-seaummesmointervalodetempo,ouseja,taxaexpressaem diasparaumaoperaotambmemdias;taxaexpressaemmsparaumaoperaoparan meses. Essa taxa dever seguir o perodo de capitalizao. Diferentementedoregimedejurossimples,atransformaoparaumamesmaunidadede tempo no pode ser feita atravs de operaes de multiplicao e diviso. Neste caso, deve-se utilizar o conceito de equivalncia de taxas a juros compostos. juros simples taxas proporcionais juros compostos taxas equivalentes VoltemosaoexemplodaaplicaodeR$1.000ajuroscompostosde10%aomspor 4 meses. VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00VF1 = 1000 X 1,10 = 1100,00 VF2 = 1100 X 1,10 = 1210,00VF2 = 1000 X1,102 = 1210,00 VF4 = 1210 X1,10 = 1331,00VF3 = 1000 X1,103 = 1331,00 VF4 = 1331 X1,10 = 1464,10VF4 = 1000 X1,104 = 1464,10 Observe que:

VF1 = VP x (1 + i) VF2 = VP x (1 + i) x (1 + i) VF2 = VP x ( 1 + i )2 VF3 = VF2 x (1 + i) VF3 = VP x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) VF3 = VP x ( 1 + i )3 Sendo assim: VF = VP x(1+i)n Crescimento Exponencial Matemtica Financeira 14 Damesmaformaquenoregimedejurossimples,asrelaesdefinidasparaoclculodo valorfuturo(montante)edovalorpresente(principal)podemservisualizadasdaseguinte forma: O fator(1+i)n chamado de fator de capitalizao ou valor futuro. O fator 1 ou (1+i)-n chamado fator de atualizao de capital, fator (1+i)n de valor presente ou valor atual. Exerccios: 1) A empresa Estrela Marinha pegou um emprstimo de R$ 10.000,00 no Banco da Praa taxa efetiva de 5% ao ms por 2 meses.Qual o valor no vencimento ?(Resp: 11.025,00) 2) A empresa Estrela do Cu aplicou um capital no Banco da Praa taxa efetiva de 2% ao ms por 3 meses e resgatou R$ 5.306,00. Qual o valor aplicado? (Resp: 5.000) 3)Determinarataxaefetivadejurosdeumaaplicao,noregimedejuroscompostos,de umcapitalde$10.000,00quegerouummontantede$11.088,57aps8meses. (Resp: 1,3% ao ms) 4)Determinarovalorfuturodeumaaplicaofinanceirade$10.000,00comprazode22 dias,aumataxaefetivade10%a.a.,assumindo-seregimedejuroscompostoseanocom 360 dias.(Resp: $10.058,42)5) Faa o exerccio anterior mas considere regime de juros simples. Comente. VF=VP (1 +i) n VP = VF (1 +i)n VP VF Matemtica Financeira 15 6 - Voltando ao Juros Simples x Compostos Conhecidos os conceitos de juros simples, de juros compostos podemos determinar em que situaescadamodalidadedecapitalizaodosjurosmaisconveniente,dependendo claro, se estamos na posio do tomador de recursos ou do aplicador. Exemplo: Umfinanciamentode$100deverserpagoem5parcelasquinzenaiscomjurosde10%a.m.Osquadrosdepagamentos,calculadoscombaseemjurossimplese compostos so apresentados a seguir: JUROS SIMPLES DATASALDO INICIALJUROSSALDO FINAL 15/03100,00(10% 2) 100 = 5,00105,00 30/03105,00(10% 2) 100 = 5,00110,00 15/04110,00(10% 2) 100 = 5,00115,00 30/04115,00(10% 2) 100 = 5,00120,00 15/05120,00(10% 2) 100 = 5,00125,00 JUROS COMPOSTOS DATASALDO INICIAL JUROSSALDO FINAL 15/03100,00[(1 + 0,10)15/30 1] 100,00 = 4,88104,88 30/03104,88[(1 + 0,10)15/30 1] 104,88 = 5,12110,00 15/04110,00[(1 + 0,10)15/30 1] 110,00 = 5,37115,37 30/04115,37[(1 + 0,10)15/30 1] 115,37 = 5,63121,00 15/05121,00[(1 + 0,10)15/30 1] 121,00 = 5,91126,91 JC > JS JS=JC JC JS 110,0M n JS > JC Matemtica Financeira 16 Analisando os quadros e o grfico acima podemos concluir: 1.Semprequeoprazodaoperaoformenordoqueaunidadedetempodataxa (pagamento quinzenal com taxa de juros mensal), o valor dos juros calculado por juros simples resultar em um valor maior; 2.Quando o prazo for maior do que a unidade de tempo da taxa, os juros calculados pelo regime de juros compostos resultaro em um valor maior. Outro Exemplo: Renata Maria pagou uma dvida de R$ 80.000,00 com atraso de 20 dias e os juros de mora foram de 9% ao ms. a) Qual o valor pago se a credora cobrajuros simples ? VF = 80.000 x (1 + 0,09 x 20/30) = 84.800,00 Juros = 4.800,00 a) Qual o valor pago se a credora cobrajuros compostos ? VF = 80.000 x (1 + 0,09)20/30 = 84.730,74 Juros = 4.730,74 JC JS 84.730,74 80.000,00 010302040 84.800,00 Matemtica Financeira 17 CONCLUSO Se n = 1 ,ento JUROS COMPOSTOS = JUROS SIMPLES, Se n < 1,ento JUROS COMPOSTOS < JUROS SIMPLES e Se n >1, ento JUROS COMPOSTOS > JUROS SIMPLES ! 7 Taxas de Juros Taxa Nominal X Taxa Efetiva Uma ou mais taxas de juros so conceituadas como nominais quando so expressas para um intervalodetempodiferentedoperododecapitalizaoaquesereferem,notendo portanto, qualquer utilizao prtica. Uma taxa nominal serve apenas como um indicador de custoourentabilidade,nodevendoemhiptesealgumaserutilizadaemqualquertipode clculo financeiro, antes de transformada para taxa efetiva, conforme veremos a seguir. Umavezqueastaxasnominaisnosoexpressasparaomesmointervalodetempodo perododecapitalizao,semprequenosdepararmoscomestetipodetaxadeveremos primeiramente transform-las em taxas correspondentes a esses perodos. Exemplo: 12% ao ano capitalizado trimestralmente taxa nominal 1 ano possui 4 trimestres, logo: taxa efetiva = 12% / 4 =3% ao trimestre RESUMO Taxa nominal: expressa em uma unidade de tempo diferente do prazo que capitalizada. Taxa efetiva: expressa na unidade de tempo que capitalizada. 1)Marceloaplicouseucapitaltaxade24%aoanocomcapitalizaomensal. Qual foi o montante obtido aps 2 anos? 2)Rodrigoaplicouseucapitaltaxade1%aomscomcapitalizaosemestral.Qual foi o montante obtido aps 4 anos? 3)UmBancovendeCDBspelataxade60%a.a.dejuros,capitalizadosmensalmente. Qual a taxa de juros mensal paga por esta instituio? 4) Qual o valor a ser pago por um emprstimo tomado nesta data no valor de R$ 20.000,00 a taxa de 60% a.a., capitalizada mensalmente, pelo prazo de 3 meses? Matemtica Financeira 18 TAXAS EQUIVALENTES So aquelas que, aplicadas ao mesmo principal durante o mesmo prazo, no regime de JUROS COMPOSTOS, produzem os mesmos montantes. (1 + i anual) = (1 + i sem )2 = (1 + i mensal )12 = (1 + i dirio )360 Qual a taxa anual equivalente 2% ao ms ? (1 + i mensal )12 = (1 + i anual) i anual = (1,0212 - 1) x 100 i anual = (1,2682 - 1) x 100 = 26,82% 1) Qualataxaefetivatrimestralequivalentetaxade6%aotrimestrecapitalizado mensalmente ? (Resp: 6,12%) 2)Qualataxaefetivatrimestralequivalentetaxade12%aotrimestrecomcapitalizao mensal ? (Resp: 12,49%) 3)Qualataxabimestralequivalente18%aoanocomcapitalizaomensal?(Resp: 3,02%) 4) Calcule as taxas semestrais, trimestrais, mensais e dirias equivalentes a 820% ao ano. 5)Uminvestidorsevfrenteaduasalternativasdeinvestimentoparaseusrecursos.A primeira um ttulo com taxa efetiva de juros de 20% a.m. A segunda alternativa oferece a esse investidor, uma taxa efetiva de 300% a.a. Uma vez que ambas as alternativas referem-se a juros compostos, determinar qual a melhor alternativa para o investidor. 6) Um Banco vende CDBs pela taxa de 60% a.a. de juros, capitalizados mensalmente. Qual a taxa de juros mensal e anual efetiva paga por esta instituio? Taxa Aparente (Nominal) X Real Muitas vezes estamos interessados em saber se o rendimento de uma aplicao financeira ou umavariaopercentualsuperouumdeterminadoindexador,comoainflao.Quando excede a variao do ndice escolhido, houve ganho real. Em caso contrrio, perda real. Assim, chamamos de taxa real a taxa de juros ou variao percentual descontada a inflao. ( 1 + taxa aparente)=(1 + inflao ) x (1 + taxa real) Matemtica Financeira 19 Exemplo: Aps um ano o salrio da Renata subiu 18,72% e a inflao foi de 12%. Qual o aumento real no poder de compra ? (1 + taxa aparente)=(1 + inflao ) x(1 + taxa real)(1 + taxa real) =1,1872/ 1,12(1 + taxa real) =1,06 taxa real = 0,06 = 6% 1)OsalriodeSerginhoaumentou20%noltimoano,diantedeumainflaoacumulada de 15% . Qual o aumento real no salrio (Resp: 4,35%) ? 2) As aplicaes em renda fixa para 1 ano esto rendendo 15% diante de uma expectativa de inflaode5%paraosprximos12meses.Qualorendimentorealesperado? (Resp: 9,5%) 3)OsalriodeMarisaaumentou15%diantedeumainflaode25%Qualaperdareal?(Resp: -8%) Exerccios Resolvidos: 1) Um negociante compra hoje mercadorias no valor de R$ 50.000,00. Paga R$ 10.000,00 vista e compromete-se a pagar R$ 35.000,00 no fim de 6 meses. Que pagamento ainda deve ser feito no fim de 10 meses para liquidar a dvida, se o vendedor cobrar uma taxa efetiva de 3,5% a.m., no regime de juros compostos?(Resp: R$ 16.260,65) Valor financiado = 50.000 - 10.000=40.000 35.000 =? ________________________________ 0 610meses 40.000 VF = VP ( 1+i)n VF6 = 40.000 (1 + 0,035)6 - 35.000 = 14.170,21 VF10 = 14.170,21 (1 + 0,035)4 = 16.260,65 Matemtica Financeira 20 2) Uma empresa toma emprestado a quantia de R$ 150.000,00 comprometendo-se a restitu-la no fim de 20 meses com juros de 36% a.a., compostos mensalmente. No fim de 14 meses propeodevedorpagarR$120.000,00imediatamenteeosaldo,4mesesaps.Supondo aceitaapropostataxacompostade2,5%a.m.,calcularovalordosaldo.(Resp: R$ 125.404,86) taxa nominal de juros = 36% 12 = 3% a.m taxa efetiva = 36% 12 = 3% a.m. VF= ? __________________________________ 020 meses 150.000 VP = 150.000 i = 3% a.m. n = 20 meses VF = ? Esquema proposto: 120.000 X=? ____________________________ 0 1418 meses 150.000 VF = 150.000 (1 + 0,03)20 = 270.916,69 X = 270.916,69 (1 + 0,025)-2 - 120.000 (1 + 0,025)4 X = 125.404,86

3)UmdbitodeR$350.000,00contradoh60diasestsendoamortizadocomum pagamento de R$ 45.000,00 hoje, R$ 130.000,00 de hoje a 3 meses eR$ 85.000,00 de hoje a 8 meses. Que pagamento no fim de 5 meses, contados de hoje, ainda necessrio ser feito para uma taxa de juros composta de 2% a.m.? Resposta = R$ 137.006,95 45.000130.000 X85.000___________________________________________________ -2 0 35 8meses 350.000 VF = VP (1 + i)n X = 350.000 (1 + 0,02)7 - 45.000 (1 + 0,02)5 - 130.000 (1 + 0,02)2 - 85.000 (1 + 0,02)-3 X = 137.006,95 Matemtica Financeira 21 Exerccios Propostos: 1) A empresa Estrela do Mar aplicou um capital no Banco da Praa taxa efetiva de 2% ao ms e resgatou R$ 2.080,80 em 2 meses e R$ 6.494,58 em 4 meses. Qual o valor aplicado ?(Resp: 8.000) 2)Umaempresatemduasnotaspromissriasquevencemdentrode60e120dias,com valoresde$180.000,00e$250.000,00,respectivamente,edesejaliquid-las antecipadamente.Determinarovaloraserdesembolsadoparaumataxadedesconto"por dentro" de 1,2% ao ms, assumindo-se ms com 30 dias. (Resp: $414.108,07) 8 - Sries de Pagamentos Uniformes Anuidades Todososdiasnosdefrontamoscomsituaesemqueprecisamosdecidirqualamelhor alternativa de consumo ou poupana. De uma forma geral, gostamos de previsibilidade tanto noqueserefereacapacidadedeinvestimentoquantoadeserealizarpagamentos.Sendo assim,oquemaiscomumqueencontremosparcelasaolongodotempodemesma magnitude. Anuidadeourendacertaumasriefinitaouinfinitadepagamentosourecebimentos exigveis em perodos pr-determinados com o objetivo de liquidar uma dvida ou constituir um capital. Termo de uma Anuidade Representa o valor do pagamento ou recebimento (valor de cada parcela da anuidade) a serincorridoemumadatapreestabelecida.Umaanuidadeuniformequandotodosos valores so iguais. O termo de uma anuidade uniforme usualmente representado pela letraR ou PMT. Anuidade Temporria Anuidade temporria aquela em que os termos da anuidade tm um perodo de tempo definido, ou seja, a anuidade tem incio e fim preestabelecidos. Anuidades Postecipadas Uniformes Umaanuidadedefinidacomopostecipadaquandooprimeiropagamentoourecebimentoocorre no final de cada perodo de tempo a que se referir a taxa de juros considerada. Matemtica Financeira 22 Graficamente uma anuidade postecipada uniforme pode ser visualizada da seguinte forma: VF PMTPMTPMTPMT PMT _______ ____ ____ __________________ _____ 01 2 3n-1 nperodos VP onde: VP = Valor Presente ou Atual da anuidade PMT = termo constante da anuidade VF = Valor Futuro i = taxa de juros n = nmero de perodos Valor Atual da Anuidade (VP) Ovaloratualdeumaanuidadepostecipadauniformeigualasomadosvalores atuais de cada um de seus termos. Temos ento: VP = PMT(1+i)-1+ PMT(1+i)-2+ PMT(1+i)-3+ .................... + PMT(1+i)-n

Colocando R em evidncia, temos: VP = PMT [(1+i)-1+ (1+i)-2+ (1+i)-3+ .................... + (1+i)-n ] Observe que a srie acima uma P. G. de razo (1+i)-1eprimeiro termo igual a PMT(1+i) -1. Da frmula da soma dos n primeiros termos de uma P. G. temos: S = a1 [qn - 1] [q -1] Aplicando a frmula da soma de uma P. G., temos: VP= PMT (1 + i)n-1 i (1 + i)n Matemtica Financeira 23 Valor Futuro (VF) O Valor Futuro de uma anuidade postecipada uniforme de n termos, a soma dos valores capitalizados taxa de juros da anuidade, de cada um de seus termos. Sabemos que: VF = VP(1+i)n e VP = PMT (1+i)n -1 i(1+i)n Logo, procedendo as devidas substituies, temos: VF = PMT(1 + i)n-1 i Valor da Anuidade (PMT) Para calcularmos o valor da anuidade necessrio conhecermos o valor futuro ou ovalorpresente.Comosabemoscalcularovalorfuturoeovalorpresente conhecido a anuidade, para calcularmos a anuidade basta alterarmos as frmulas. a) Conhecido o valor futuro: PMT = VFi (1 + i)n -1 b) Conhecido o valor presente: PMT=VPi (1 + i)n

(1 +i )n-1 Matemtica Financeira 24 Lista de Exerccios 1 1)UmaTVcustavistaR$8.000,00maspodeserfinanciadaem3prestaesmensaise iguais, sem entrada, taxa de 3% ao ms, a 1 prestao paga 30 dias aps a compra. Qual o valor da prestao ?(Resp: R$ 2.828,24) 2)Umfogofoifinanciadoem5prestaesmensaisiguaisesucessivas,sementrada,no valor de R$ 425,00, sendo a 1 prestao paga 30 dias aps a compra. Sabendo que a taxa do financiamento de 5% ao ms, qual o valor financiado? (Resp: R$ 1.840,03) 3) Uma mquina digital custa R$ 1.500,00a vista mas pode ser financiada em 3 prestaes mensais e iguais, com ou sem entrada, taxa de 4% ao ms. Quais os valores das prestaes com e sem entrada? (Resp: R$ 519,73 e R$ 540,52) 4) Uma geladeira foi financiada em 2 prestaes mensais e iguais, com entrada, no valor de R$ 500,00, taxa de 2% ao ms. Qual o valor vista ? (Resp: R$ 990,20) 5)Maxdesejaviajar.Seconseguirumrendimentode2%aoms,quantodeverdepositar porms,nosprximos3meses,paraterumsaldode600,00nadatadoltimodepsito (Resp. R$ 196,05) ? 6) Uma empresa tomou um emprstimo de R$ 50.000,00 para pagamento em 12 prestaes mensais,sendoaprimeirapaganoatodaliberaodofinanciamento.Sabendo-sequeeste banco cobra uma taxa efetiva de juros de 4% a.m, calcular o valor da prestao. 7)UmemprstimodeR$250.000,00deverserpagoem24prestaesmensaisataxade 3% a.m. com capitalizao mensal, mais 2 pagamentosadicionais no valor de R$ 50.000,00 juntamente com os vencimentos da sexta e dcima oitava prestao. Calcular a prestao. 8) Uma recente promoo anuncia que, nas compra a prazo, o cliente aps receber um carn com 10 prestaes, somente pagar as 7 primeiras, o que configuraria um desconto de 30% sobreosaldodevedor.Avaliesetalinformaoestounocorreta,sabendoquealoja anuncianteutiliza5%a.m.comcapitalizaomensal,comotaxadejurosparaefetuarseus credirios. 9) Ao comprar um carro cujo preo vista de R$ 15.000,00, uma pessoa ofereceu 30% de sinal e o saldo em 18 prestaes mensais. Determinar o valor da prestao, sabendo-se que o vendedor cobra uma taxa de 3% a.m. composta mensalmente. Resposta = R$ 763,44 Matemtica Financeira 25 Lista de Exerccios 2 1.Umacomprafinanciadaemdezprestaesmensaisde$500,00,queincluemjuros calculadosaumataxade1%aoms,capitalizadosmensalmente.Determinarovalordo principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1 prestao deve ser ocorrer 30 dias aps a data da compra.Resp : $ 4.735,65 2.Umacomprafinanciadaemseisprestaesmensaisde$10.000,00,queincluemjuros calculadosaumataxade15%aoano,capitalizadosmensalmente.Determinarovalordo principal desse financiamento, no regime de juros compostos, sabendo-se que a 1 prestao deve ser ocorrer 30 dias aps a data da compra.Resp : $ 56.460,10 3.Umacomprade$10.000,00financiadaemoitoprestaestrimestrais,iguaise sucessivas,sendoquea1prestaodeveserpaga90diasapsaliberaodo financiamento.Determinarovalordessasprestaesparaumataxade3%aotrimestre,no regime de juros compostos.Resp : $1.424,56 4.Umequipamentocujovalorvistade$10.000,00serfinanciadoem12prestaes mensais e sucessivas, alm de uma entrada de $2.500,00, por ocasio da compra. Determinar ovalordas12prestaesmensaissabendo-sequeofinanciamentoserrealizadoajuros compostos de 15% ao ano, capitalizados mensalmente, e que a 1 prestao vencer 30 dias aps a data da compra. Resp : $676,94 5. Uma compra deve ser financiada em seis prestaes mensais de $10.000,00, que incluem juroscalculadoscomataxade1,25%aoms.Determinarovalordoprincipaldesse financiamento,noregimedejuroscompostos,sabendo-sequea1prestaoocorrenoato da realizao da compra, a ttulo de entrada.Resp : $58.178,35 5. Um equipamento cujo valor vista $50.000,00 financiado a juros compostos de 12% ao ano, capitalizados mensalmente, no prazo dedois anos. Determinar ovalor a ser dado a ttulodeentrada,paraqueovalordas24prestaesmensais,iguaisesucessivasseja limitadoa$2.000,00.Assumirquea1prestaoocorre30diasapsaliberaodos recursos. Resp : $7.513,23 Matemtica Financeira 26 6.Umaempresafinanciaavendadeseusequipamentosemseisvezes,compagamentos mensaiseiguais.A1prestaodeveocorrer30diasapsarealizaodavenda.Emuma vendade$50.000,00aprestaoaserpagade$8.640,00.Determinarataxadejuros mensal efetiva da operao, no regime de juros compostos. Resp :1,042%a.m. 9. Uma loja de eletrodomsticos realiza financiamentos, em prestaes iguais, num plano de "1,20%aoms".Nesseplano,paraumfinanciamentode$1.000,00,comprazodequatro meses, porexemplo, o total de juros de 4x1,2 = 4,80% sobre o valorfinanciado, ou seja, $48,00.Ototalaserpagonoprazodequatromesesiguala$1.048,00,eovalorda prestaomensaliguala$1.048,00/4=$262,00.Determinarastaxasefetivasmensais dessesfinanciamentos,ajuroscompostos,paraoprazodecincomeses,nasseguintes hipteses: (I)pagamentoda1prestaoocorrendo30diasapsaliberaodosrecursos;(II) pagamento da 1 prestao ocorrendo no ato da liberao dos recursos, a ttulo de entrada. Resp : (I) 1,974%a.m. e (II) 3,001%a.m. 10.Umacadeiadelojasdevarejofinanciaosseusprodutosnumplanode"trsvezessem juros",mediantepagamentosmensais,iguaisesucessivos,apartirde30diasdadatada venda. Assumir ms com 30 dias e determinar o percentual de acrscimo que essa cadeia de lojas tem que aplicar nos seus preos vista, para obter uma remunerao efetiva de 1,5% ao ms, a juros compostos, nas vendas financiadas por esse plano. Resp : 3,015% 11. Um cliente de uma loja de eletrodomsticos comprou uma televiso por $800,00 para ser paga em cinco prestaes mensais e iguais, a uma taxa de 1,5% ao ms, a juros compostos, sendoquea1prestaoocorre30diasapsadatadacompra.Determinarovalordo pagamento a ser feito no final do 3 ms (incluindo o valor da 3 prestao) para liquidar o saldo devedor (principal remanescente). Assumir a mesma taxa de juros para essa liquidao antecipada das duas ltimas prestaes. Resp : $494,43 12. Um investidor efetuou seis depsitos mensais sucessivos de $5.000,00 numa Caderneta dePoupanaqueofereceumaremuneraode12%aoano,capitalizadosmensalmente. DeterminarosaldoacumuladoporesseinvestidornessaCadernetadePoupana, imediatamente aps a efetivao do seu ltimo depsito. Resp : $30.760,08 Matemtica Financeira 27 13.Umbancodeinvestimentosoperacomumataxade12%aoano,capitalizados mensalmente, no regime de juros compostos. Um cliente tomou um financiamento que deve serliquidadoem12prestaesmensais,a1delas30diasapsaliberaodosrecursos. Determinar o principal desse financiamento sabendo-se que as seis primeiras prestaes tm valor de $4.000,00 e as ltimas seis, $2.000,00. Resp : $34.101,10 14. Um investidor efetuou oito depsitos mensais de $2.000,00 numa instituio financeira e verificouqueosaldosuadisposio,imediatamenteapsaefetivaodeseultimo depsito, era de $16.700,00. Determinar a taxa de remunerao mensal desses depsitos, no regime de juros compostos. Resp : 1,220%a.m. 9. Sistemas de Amortizao Emumaanuidade,aosaldarmosumcompromissoatravsdepagamentosiguaisou variveis, estamos na realidade fazendo dois pagamentos. O primeiro pagamento refere-se a devoluo ao credor do capital recebido, processo chamado de amortizao, pago de acordo comcondiescombinadaspreviamente.Asegundaparcelapagaaocredordizrespeito remuneraodosrecursosdepropriedadedodetentordocapital.Essesvaloresreferem-se aos juros. Logo: Prestao =Amortizao + Juros

Matemtica Financeira 28 i) Sistema Francs ou Tabela Price Osistemafrancsdeamortizaoomaisaplicadopelasinstituiesfinanceirasnos financiamentosimobiliriosepelocomrcioemgeral,atravsdochamadoCrditoDireto ao Consumidor (CDC). Este sistema tem as seguintes caractersticas bsicas: 1.As prestaes so iguais ao longo do tempo. 2.O valor da amortizao varivel ao longo do tempo. 3.Os juros incidem sobre o saldo devedor que pordecrescerem ao longo do tempo, geram juros cada vez menores, ou seja, os juros so decrescentes. 4.Como as prestaes so fixas e os juros decrescentes, a amortizao crescente. ii) Mtodo Hamburgus ou Sistema de Amortizao Constante - SAC Este mtodo caracteriza-se por utilizar amortizaes constantes e iguais e juros decrescentes, calculadossobreosaldodevedor.Omtodohamburguesutilizadoprimordialmentepara financiamentos imobilirios. 1.As amortizaessoiguais ao longo do tempo. 2.O valor da prestao varivel ao longo do tempo. 3.Os juros incidem sobre o saldo devedor que por decrescerem ao longo do tempo, geram juros cada vez menores, ou seja, os juros so decrescentes. 4.Como as amortizaes so fixas e os juros decrescentes, a prestao decrescente. iii) Sistema de Amortizao Misto - SAM O sistema de amortizao misto reflete a juno do sistema de amortizao constante (SAC oumtodohamburgus)comosistemafrancsdeamortizao(Price).Poresta metodologia,aamortizaodeprincipalcalculadacombaseem50%dosvalores originariamente determinados por cada uma daquelas metodologias. iv) Sistema de Amortizao Americano Nessesistemadeamortizao,paga-se,atovencimento,apenasosjurosacadaperodo, sem amortizao nenhuma. No ltimo pagamento paga-se os juros devidos e todo o valor do principal. Matemtica Financeira 29 Exemplo: Uma financeira opera com CDC nas seguintes condies: um fnanciamento de R$ 4.000,00 deverser pago em 4 prestaes mensais iguais,a uma taxa efetiva mensal de 10% a.m. MTODO FRANCS ( PRICE ) MSPRESTAOJUROSAMORTIZAOSALDO DEVEDOR 1 2 3 4 TOTAL Prestaes Fixas, Juros Decrescentes, Amortizao crescente PMT=VPi (1 + i)n

(1 +i )n-1 Juros = Saldo xi Prestao = Amort + Juros MTODO SAC - Sistema de Amortizaes Constantes MSPRESTAOJUROSAMORTIZAOSALDO DEVEDOR 1 2 3 4 TOTAL Amortizao constante, Juros Decrescentes, Prestao decrescente Amort = VP / n Juros = Saldo xi Prestao = Amort + Juros Matemtica Financeira 30 MTODO SAM MSPRESTAOJUROSAMORTIZAOSALDO DEVEDOR 1 2 3 4 TOTAL Prestao= (Prestao Price + Prestao SAC) /2 MTODO AMERICANO MSPRESTAOJUROSAMORTIZAOSALDO DEVEDOR 1 2 3 4 TOTAL Matemtica Financeira 31 10. Anlise de Investimentos ACia.Simpatiaestudafazeruminvestimentode100milhesqueproduzirumfluxode caixa com entradas lquidas anuais de 55 milhes durante dois anos. Calcular a Taxa Interna deRetornoeoValorPresenteLquidoconsiderandoumcustodecapitalk(taxade desconto) de 10% ao ano ? Valor Presente Liquido VPL Valor presente dos fluxos de caixa futuros subtrado do valor presente dos investimentos. Clculo do VPL: K = taxa de desconto (taxa mnima de atratividade) de 10% 4,5 - VPL 100 - ) % 10 (155) % 10 (155 2= =+++ Valor Presente Lquido Taxa Interna de Retorno - TIR Taxa que faz com que o VPL assuma um valor nulo. Clculo do TIR: i) (155i) (1551002+++= Resposta: 6,6% taxa interna de retorno (TIR) CRITRIOS DE DECISO: Projeto vivelProjeto no vivel VPL > 0 VPL < 0TIR > KTIR < K K0%1%2%3%4%5%6%6,6%7%8%9%10% VPL10,08,46,85,23,72,30,80,0-0,6-1,9-3,2-4,5 Matemtica Financeira 32 Quanto maior a taxa de juros exigida (K) menor ser o VPL. TIR a taxa que torna o VPL igualzero ! Taxa de desconto TIR 6,6% VPLL Matemtica Financeira 33 BNDES- CONCURSOS ANTERIORES Matemtica Financeira 34 BNDES 2005 CONTADOR Matemtica Financeira 35 BNDES 2005 ADMINISTRADOR CASA DA MOEDA ANALISTA FINANAS Matemtica Financeira 36 CONTABILIDADE FINANAS Matemtica Financeira 37 ANALISTA CVM 2001 Matemtica Financeira 38 ELETROBRAS 1 SEM/2002 - CONTADOR 65-Umttulocomvencimentoparadaquiacincomesesevalorderesgatede $ 10.000colocado nomercadooferecendorentabilidadede9% aoms,ajuros compostos. Ento, este ttulo deve ser negociado hoje por: (A)$ 5.962,68; (B)$ 6.386,20; (C)$ 6.499,33; (D)$ 6.858,36; (E)$ 7.084,25. 66 - Uma instituio financeira oferece um produto que remunera o capital investido a uma taxa de 16% ao ano, capitalizados semestralmente. A taxa anual efetiva de remunerao deste produto : (A)16,10%; (B)16,64%; (C)16,99%; (D)17,02%; (E)17,26%. 67-Umaempresapodepagarporserviosprestados$ 2.000,00aprazo,em60 dias, ou vista, com 15% de desconto. Se ela optar por financiar o pagamento, a taxa real embutida neste financiamento ser de: (A)14,75%; (B)15,00%; Matemtica Financeira 39 (C)16,93%; (D)17,65%; (E)18,25%. 68 - Para custear planos de expanso, uma empresa estar efetuando a partir do prximo ms 12 retiradas mensais de $ 20.000,00, de uma aplicao financeira que lherende3%aoms.Ovalorqueaempresaprecisaterdepositadonesta aplicao, para suportar os saques, : (A)$ 199.080,00; (B)$ 219.504,08; (C)$ 222.400,00; (D)$ 228.684,16;(E)$ 232.648,60. ADMINISTRAO 67-Osistemaemqueaamortizaofeitaemparcelasiguaise,portanto,os valores dos juros e das prestaes so decrescentes denominado sistema: (A)de amortizao constante; (B)de amortizao francs; (C) price; (D)de amortizao americano; (E)de amortizao varivel. ELETROBRAS 1 SEM/2002 - ADMINISTRAO 69-Dentreasmodalidadesdedesconto,aquelaqueconhecidacomodescontopor dentro o desconto: (A)nominal; (B)industrial; (C)bancrio; (D)comercial; (E)racional. 70 - O Sistema de amortizao em que o valor do emprstimo pago de uma s vez no finaldoprazodeamortizaoeosjurossopagosnofinaldecadaperodode capitalizao, o sistema de amortizao: (A)price; (B)americano; (C)francs; (D)constante; (E)varivel. Matemtica Financeira 40 PETROBRAS ADMNISTRADOR PLENO 2005 Matemtica Financeira 41 Matemtica Financeira 42 PETROBRAS CONTADOR 2005 Matemtica Financeira 43 Matemtica Financeira 44 PETROBRAS ECONOMISTA JUNIOR 2005 PETROBRAS ECONOMISTA PLENO 2005 Matemtica Financeira 45 Gabarito Exerccios de Concursos Anteriores

50C70B 49C31E 16E32E 17A33B 48E36C 49C37E 34C38D 67B39A 19Anulada40B 20A41C 26E43D 16D44C 27D45A 28D25Anulada 66B26D 67D43D 68A44B 71C53E 65C70B 66B72D 67D73E 68A74D 67A33E 69E