matematica financeira
TRANSCRIPT
APRESENTAÇÃO
Núcleo de Educação a Distância - NEAD
APRESENTAÇÃO
Prezado(a) Aluno(a).
Entender a lógica do mercado financeiro requer um domínio de conceitos efórmulas que muitos acham confusos e difíceis de entender. Esses conceitos e fórmulas,
entretanto, são facilmente definidos, em grande parte, na Matemática Comercial e Financeira,que é o ramo da Matemática que trata dos mecanismos do mercado, constituindo-se assim,
uma ferramenta de trabalho não apenas para executivos, mas também para todos os
profissionais que atuam ou pretendem atuar no mercado financeiro.
A Matemática Comercial e Financeira é também ferramenta básica para
várias disciplinas de cursos superiores, nas áreas de Administração, Economia, Ciências
Contábeis, Engenharia de Produção, entre outras. Daí sua importância.
Como o gestor empresarial, para um bom desempenho profissional, deve ter
espírito empreendedor, visão social de empresa, preocupação com a qualidade, visão clarada concorrência e facilidade de comunicação e relacionamento. Procuramos desenvolver
este curso do seguinte modo:
- As três primeiras unidades tratam da Matemática Comercial. Nessas unidadesprocuramos desenvolver com você, conceitos básicos introdutórios e uma sólida base do
conceito de percentagem, com suas aplicações tanto em regras de sociedade, como em
operações de compra e venda sobre mercadorias, além de questões relacionadas a jurosimples e desconto simples;
- Nas unidades 4, 5, 6 e 7 tratamos da Matemática Financeira dando ênfase
para situações reais que envolvam juro composto, desconto composto, capitalização eamortização composta, além de empréstimos e planos de amortização; e
- Na última unidade você conhecerá diferentes métodos utilizados para
determinar a depreciação de bens móveis e imóveis, além de discutir suas vantagens edesvantagens.
Privilegiamos os aspectos práticos, utilizando amplamente ao longo do curso,calculadoras eletrônicas, planilha eletrônica Excel e tabelas financeiras, sem deixarmos de
enfatizar os aspectos matemáticos, com oda a sua simbologia e com o desenvolvimento de
fórmulas para cada situação específica.
Trabalharemos o conteúdo programático com a finalidade de oferecer a você,conhecimentos básicos elementares sobre as mais variadas operações financeiras. Em
particular, a Matemática Financeira desenvolveu-se, simultaneamente, com o sistema
econômico conhecido por Economia de Mercado. Dominá-la, por conseguinte, tornou-se impositivo, quer pelas implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra
e venda, quer pelos investimentos de capital.
Antônio Estáquio Paes
Objetivos da aprendizagem
3
UNIDADE
ARITMÉTICA RACIONAL
1
v Desenvolver a habilidade de resolver problemas que
envolvam proporção;
v Estabelecer a proporcionalidade direta e inversa
entre números e grandezas;
v Resolver problemas de regra de sociedade;
v Conhecer e usar nas formas centesimal, percentual,unitária e vice-versa;
v Resolver problemas que envolvam percentagem;
v Utilizar cálculo percentual na obtenção de lucro ouprejuízo sobre as operações de compra e venda de
mercadorias; e
v Calcular abatimentos e aumentos sucessivos.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
4Universidade da Amazônia – UNAMA
Se o seu salário sofresse hoje um reajuste de R$100,00. Acharia muito ou pouco?
Por que na compra por atacado, o preço por unidade é menor do que nas compras
a varejo?
Como dividir de forma justa os lucros ou os prejuízos entre pessoas que formamuma sociedade?
Como determinar o valor da contribuição paga mensalmente à previdência social?
Como calcular os encargos sociais de uma empresa?
Questões como essas, que fazem parte da nossa vida diária, são objetos de
estudo dessa unidade. Nessas questões, estão envolvidos conceitos de razão, proporção,
grandezas proporcionais, regras de sociedade e percentagem.
1.1 RAZÃO E PROPORÇÃO
Vamos então, iniciar o estudo dessa unidade. Você terá como guia para realizarseus estudos, o livro texto Matemática Comercial e Financeira Fácil de Antônio Arnot
Crespo da Editora Saraiva.
Dirija-se agora ao livro texto e estude o Capítulo 1.
Agora que você já estudou razão e proporção e suas propriedades, vamos
recapitular algumas de suas aplicações:
- Quando você calcula a razão entre dois números ou duas grandezas, você naverdade, irá fazer a divisão entre eles, na ordem que aparecem, tendo o cuidado de simplificar
o resultado o máximo possível. Por exemplo:
Exemplo 1:
Qual a razão de 32
para 65
?
S o l u ç ã o : procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: montamos a divisão entre 32
e 65
, nessa ordem:
32
65
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
5Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Lembre: Na multiplicação de fração, numerador multiplica numeradore denominador multiplica denominador.
3º Passo: Simplificamos o resultado:
1512
33
÷÷
54
Na simplificação de fração, dividi-se o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número.
Logo, a razão de 32
para 65
é 54
.
Exemplo 2:
Qual a razão de 8 para 40?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Montamos a divisão entre 8 e 40 nessa ordem:
408
2º Passo: Como não há outras operações a realizar...
3º Passo: Simplificamos o resultado:
408
88
÷÷
= 51
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
6Universidade da Amazônia – UNAMA
Logo, a razão de 8 para 40 é 51
.
Exemplo 3:
Qual a razão de 70dm para 14m?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Montamos a divisão entre 70dm e 14m:
mdm
1470
2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso
afirmativo, as medidas devem ser expressas na mesma unidade. Em seguida eliminamosas unidades iguais:
14m = 140dm, então
mdm
1470
= dm
dm14070
= 14070
3º Passo: Simplificamos (quando possível)
14070
7070
÷÷
= 21
Logo, a razão de 70dm para 14m é 21
.
Exemplo 4:
Qual a razão de 380km para 4h?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Montamos a divisão entre 380km e 4h:
hkm
4380
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
7Núcleo de Educação a Distância – NEAD
2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em casonegativo, mantemos as unidades e procedemos como nos exercícios anteriores.
3º Passo: Simplificamos:
hkm
4380
= 95km/h
Logo, a razão de 380km para 4h é 95km/h.
- Para verificarmos se uma proporção é verdadeira, ou para calcularmos um ou maistermos desconhecidos em uma proporção, fazemos uso das propriedades fundamentaisque são apresentados no Capítulo 1 do livro texto.
Exemplo 1:
A proporção 73
= 146
é verdadeira?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Multiplicamos separadamente os extremos e os meios da proporção:
Produto dos extremos: 3 x 14= 42
Produto dos meios: 7 x 6 = 42
2º Passo: Verificamos se esses produtos são iguais:
3 x 14 = 7 x 6 = 42
3º Passo: Em caso afirmativo, essa proporção é verdadeira:
Logo, 73
= 146
é uma proporção.
Observação: Caso os produtos não sejam iguais, a proporção é falsa.
Exemplo 2:
Qual o valor de x na proporção?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
8Universidade da Amazônia – UNAMA
1º Passo: Multiplicamos os extremos e em seguida os meios da proporção, igualandoesses produtos.
Na multiplicação de frações: numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.
95
está multiplicando
a variável X, então passa para o outro lado
da igualdade dividindo a fração 94
2º Passo: Isolamos o termo desconhecido.
3º Passo: Efetuamos as operações indicadas e simplificamos quando possível.
Na divisão de frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.
Logo, o valor de x é 54
.
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
9Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Exemplo 3:
Qual o valor de x, y e z na proporção múltipla 12x
= 15y
= 18z
, sabendo que zyx ++ =
630?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: A partir da proporção múltipla 12x
= 15y
= 18z
construímos uma nova razão (2ª
propriedade fundamental). Essa nova razão se constrói da seguinte maneira:
Antecedentes: x , y , z
Conseqüentes: 12,15,18
esconsequent dos somaesantecedent dos soma
= 181512 ++
++ zyx =
45630
= 14
do problema sabemos que x + y + z =630
2º Passo: A nova razão que encontramos (14), será igual (2ª propriedade fundamental)
a cada razão que compõe a proporção múltipla 12x
= 15y
= 18z
, logo
12x
= 14 ⇒ x = 12x14 ⇒ x = 168
15y
= 14 ⇒ y = 15x14 ⇒ y = 210
18z
= 14 ⇒ z = 18x14 ⇒ z = 252
Dessa forma, determinamos os valores de x , y e z .
Observação: Para verificar se os valores que você encontrou estão corretos faça
o seguinte:
- Some os valores encontrados para x , y e z : 168 + 210 + 252 = 630;
- O resultado desta adição tem que ser igual ao que foi dado no texto do
problema zyx ++ = 630; e
- Caso não confira, verifique novamente, todas as operações que você realizou
no desenvolvimento do problema.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
10Universidade da Amazônia – UNAMA
Após ter recapitulado o estudo referente ao capítulo 1 do livro texto,acesse a ferramenta ATIVIDADES e realize a Atividade 1 – MeusConhecimentos Sobre Razão e Proporção.
1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Agora que estudamos razão e proporção, retorne ao livro texto e estude grandezas
proporcionais, no Capítulo 2. Nesse capítulo, você encontrará as definições; suaspropriedades características; a relação entre elas, se direta ou inversa.
– Grandezas diretamente proporcionais:
A tabela seguinte, relaciona o comprimento do metro de um fio de titânio especial
com os seus respectivos preços:
Para sua melhor compreensão, acesse a Animação 1 - GrandezasDiretamente Proporcionais e Grandezas InversamenteProporcionais, na ferramenta MATERIAL DIDÁTICO, e observe ocomportamento dos gráficos dos exemplos a seguir.
comprimento (m) valor (R$) 2 24,00 3 36,00 4 48,00 5 60,00
12 144,00
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
11Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que o comprimentodo fio aumenta e o preço correspondente também. Observamos ainda que:
– Se o comprimento do fio duplica, o preço também duplica;
– Se o comprimento do fio triplica, o preço também triplica; e
– Se o comprimento do fio quadruplica, o preço também quadruplica, e assimsucessivamente.
Dessa forma, podemos afirmar que as grandezas, comprimento do fio e preço,
aumentam na mesma proporção, logo essas grandezas são diretamente proporcionais, ousimplesmente proporcionais.
Outra forma de determinar se duas grandezas são diretamente proporcionais, é
verificar se a razão entre elas permanece constante, veja:
fio do oComprimentfio do Preço
= 1212
1445
604
483
36224
=====
Nesse caso, 12 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade. E as sequências denúmeros (24, 36, 48, 60, 144) e (2, 3, 4, 5, 12) são diretamente proporcionais.
Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas proporcionais:
144
132
120
108
96
84
72
60
48
36
24
12
Comprimento do fio de titânio = x
Y = preço (R$)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
xky
kxy
.=⇓
=
, ondeK é a constante de proporcionalidade
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
12Universidade da Amazônia – UNAMA
Não esqueça, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete o aumentoda outra para que elas sejam caracterizadas como grandezas diretamente porporcionais.
É preciso que esse aumento ocorra proporcionalmente, isto é, se uma grandeza é multiplicada
por um número n, a outra grandeza também ficará multiplicada por esse mesmo número n.Em outras palavras, se dividirmos uma grandeza por n, a outra também ficará dividida por
n.
– Grandezas inversamente proporcionais:
A tabela seguinte relaciona os tempos e as respectivas velocidades médias de
um veículo para percorrer uma distância de 720km:
Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que a velocidade
do veículo aumenta e o tempo necessário para percorrer aquela distância diminui.
Observamos ainda:
– Se a velocidade do veículo duplica, o tempo de percurso se reduz a metade
do tempo anterior;
– Se a velocidade do veículo triplica, o tempo de percurso é a terça parte dotempo anterior; e
– Se a velocidade do veículo quadruplica, o tempo de percurso é a quarta parte
do tempo anterior.
Desse modo, podemos afirmar que ao aumentar a velocidade, o tempo de
percurso diminui na mesma proporção, logo essas grandezas são inversamente
proporcionais.
Outra forma de determinar se duas grandezas são inversamente proporcionais,
é verificar se o produto entre elas permanece constante, veja:
Velocidade média X tempo de percurso = 30 x 24 = 60 x 12 = 80 x 9 = 90 x 8 =120 x 6 = 720.
Velocidade (km/h)
Tempo (h)
30 24 60 12 80 9 90 8
120 6 180 4
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
13Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Nesse caso, 720 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. E as
seqüências de números (30, 60, 80, 90, 120) e (24, 12, 9, 8, 6) são inversamenteproporcionais.
Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas inversamente
proporcionais:
Lembre-se, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete a diminuição
da outra, para que essas grandezas sejam caracterizadas como inversamente proporcionais.É preciso que o aumento de uma, que leva a diminuição da outra, ocorra proporcionalmente,
isto é, se uma grandeza é multiplicada por um número n, a outra grandeza ficará divididapor esse mesmo número n ( )0≠n e vice-versa.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
14Universidade da Amazônia – UNAMA
1.3 DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE
Dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 3. Nesse capítulo vocêaprenderá como fazer a divisão proporcional direta, inversa e composta,e, como aplicar estes conceitos na divisão de lucros ou prejuízos entreas pessoas que formam uma sociedade.
Vamos recapitular e reforçar esses conceitos.
Como você pode ter observado durante os seus estudos do Capítulo 3, a divisãoproporcional é uma aplicação da propriedade fundamental das proporções múltiplas,
apresentada no Capítulo 1 do livro texto, que você já estudou.
Portanto, qualquer dúvida, vá até o Capítulo 1 do livro texto, nas páginas 19 e 20.
Relembrando:
Exemplo 1:
Dividir o número 320 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3, 5.
Solução:Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que nós queremos encontrar..
2º Passo: O número 320 será então dividido nas partes:
x que é proporcional ao número 2;
y que é proporcional ao número 3; e
z que é proporcional ao número 5.
3º Passo: Como x , y , z são partes de 320 e diretamente proporcionais a 2, 3 e 5,então, a razão entre eles permanece constante:
532zyx
==
E a soma deles é 320: zyx ++ = 320
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
15Núcleo de Educação a Distância – NEAD
4º Passo: Aplicamos então, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na
série de razões 532zyx
==
Seus antecedentes são: x , y , z
Seus conseqüentes são: 2, 3, 5
3210320
532esconsequent dos somaesantecedent dos soma ==
++++= zyx
Essa propriedade nos garante que, a nova razão encontrada, no caso, 32, será igual a
cada uma das razões que compõe a série de razões 532zyx
== .
5º Passo: Igualamos cada razão da série 532zyx
== ao valor encontrado, 32 e
determinamos x , y e z :
160325325
96323323
64322322
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zxx
yxx
xxx
Exemplo 2:
Dividir o número 78 em três partes que sejam inversamente proporcionais aos números2, 3 e 4.
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que desejamos encontrar..
2º Passo: O número 78 será dividido nas partes:
x que é inversamente proporcional ao número 2;
y que é inversamente proporcional ao número 3; e
z que é inversamente proporcional ao número 4.
Lembramos aqui, que isso siginifica dividir o número 78proporcionalmente aos inversos dos números 2, 3 e 4, ou seja:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
16Universidade da Amazônia – UNAMA
– x será proporcional ao inverso de 2 21
→
– y será proporcional ao inverso de 3 31
→
– z será proporcional ao inverso de 4 41
→
3º Passo: Como x, y e z são partes de 78, sua soma será zyx ++ = 78; e como x , y e
z são diretamente proporcionais a 41
31
,21
e a razão entre eles permanece constante:
41
31
21
zyx==
4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas nasérie de razões:
41
31
21
zyx==
,
seus antecedentes são: x , y e z
seus conseqüentes são: 41
31
,21
e
721312
78
121378
12346
78
41
31
21esconsequent dos soma
esantecedent dos soma=×==
++=
++
++=
zyx
5º Passo: Igualamos cada razão da série
41
31
21
zyx==
ao número encontrado, neste caso, 72, assim:
Lembre-se que:
– zyx ++ = 78
– na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica-se pela segunda fração invertendo seus termos.
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
17Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Desse modo, determinamos os valores de x , de y e de z .
Exemplo 3:
Dividir o número 495 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3
e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 30, 36 e 48, respectivamente:
Solução: procedemos da seguinte maneira.
1º Passo: chamamos de x , y e z as três partes que queremos determinar..
2º Passo: o número 495 será dividido nas partes:
- x que é diretamente proporcional a 2 e ao mesmo tempo, inversamente proporcional
a 30. Logo x também é proporcional ao inverso de 30, isto é, 301
;
- y que é diretamente proporcional ao número 3 e ao mesmo tempo é inversamenteproporcional ao número 36. Logo, y também é proporcional ao inverso de 36,
18724172
41
24723172
31
36722172
21
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zzz
yyy
xxx
isto é, 361
;
- z que é diretamente proporcional ao número 6 e ao mesmo tempo, inversamenteproporcional ao número 48. Logo z também é proporcional ao inverso do número 48, isto
é, 481
.
Lembre-se, quando um número x é proporcional aos números a , b e c ao mesmotempo, esse número x será proporcional ao produto de a , b e c , isto é, x será proporcionala a x b x c .
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
18Universidade da Amazônia – UNAMA
Logo, como:
– x é diretamente proporcional a 2 e 301
ao mesmo tempo, ele será também
proporcional ao produto:
2 × 151
302
301
== (simplificando);
- y é diretamente proporcional a 3 e 361
ao mesmo tempo, ele será também
proporcional ao produto:
3 121
363
361
==× (simplificando);
- z é diretamente proporcional a 6 e 481
ao mesmo tempo, ele será também
proporcional ao produto:
6 81
486
481
==× (simplificando).
3º Passo: Como x , y e z são partes de 495, sua soma será: zyx ++ = 495.
E como x , y e z são diretamente proporcionais a 81
121
,151
e , respectivamente, a razão
entre eles permanece constante: 81
121
151
zyx==
4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas, nasérie de razões.
81
121
151
zyx==
Seus antecedentes são: x , y e z
Seus conseqüentes são: 81
121
,151
e
180033
120495
12033
495
12015108
495
81
121
151esconsequent dos soma
esantecedent dos soma=×==
++=
++
++=
zyx
Observe o que foi feito:
- achamos o m.m.c de 15, 12 e 8.
O m.m.c (15 ,12, 8) = 120
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
19Núcleo de Educação a Distância – NEAD
- reduzimos as frações 81
121
,151
e ao menor denominador comum, adicionando seus
numeradores.
- fizemos então a divisão de frações
12033
495
Conservando a primeira (495) e multiplicando pelo inverso da segunda
5º Passo:Igualamos agora cada razão da série 81
121
151
zyx==
ao número encontrado,
neste caso, 1800, assim:
225180081
1800
81
15018001211800
121
1201800151
1800
151
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
=⇒×=⇒=
zzz
yyy
xxx
Desse modo, fica determinado os valores de x , de y e de z .
Agora que você revisou o Capítulo 3 do livro texto, coloque em prática o que
estudou!
Lembre-se que você estudou quatro casos de regra de sociedade. Porém, dois
desses casos, não ocorrem na prática, sendo somente estudados do ponto de vista teórico.
Não esqueça, que em uma sociedade, os sócios integrantes, não podem permanecer portempos diferentes.
Quando um sócio sai ou um novo sócio é admitido em uma sociedade, procede-se o balanço geral, determinando ativo e passivo, e em seguida realiza-se a reforma do
contrato social.
Reúnam-se em duplas e, exercitem os seus conhecimentos sobredivisão proporcional resolvendo as questões referentes aAtividade 2 - Aplicando Meus Conhecimentos de DivisãoProporcional , disponível na ferramenta ATIVIDADES.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
20Universidade da Amazônia – UNAMA
1.4 REGRA DE TRÊS
Sua próxima tarefa será estudar o Capítulo 4 do livro texto. Nesse capítulo você
conhecerá uma nova ferramenta para a resolução de problemas que, envolvem grandezasproporcionais: a regra de três.
Após você ter estudado o Capítulo 4 do livro texto, vamos juntos, relembrar um
pouco de regra de três.
Existem dois casos de regra de três:
– A regra de três simples; e
– A regra de três composta.
A regra de três simples por sua vez, pode ser: direta ou inversa.
Antes de iniciarmos a resolução de qualquer problema por meio da regra detrês, deveremos estar atentos para:
1º - A disposição correta dos valores numéricos envolvidos no problema:
- Na horizontal, coloca-se os valores numéricos que correspondem a grandezasdiferentes; e
- Na vertical, coloca-se os valores numéricos correspondentes a grandezas iguais.
2º - Reconhecer a natureza da dependência entre as grandezas envolvidas: sedireta ou inversa; e
3º - A montagem da proporção e sua resolução.
Exemplo 1:
Um operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias. Quantos metros quadradosde pavimentação asfáltica, o mesmo operário faria em 12 dias?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.
Grandeza 1 ____________ Grandeza 2
Área em m2 Tempo em dias
240 ______________ 16
X ______________ 12
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
21Núcleo de Educação a Distância – NEAD
2º Passo: Fazer o reconhecimento da natureza da dependência que existe entre
as grandezas: se direta ou inversa.
Para isso fazemos a seguinte análise:
Se esse operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias, quantos
metros quadrados dessa mesma pavimentação, esse operário fará em 12 dias? Mais m2
ou menos m2 ? É claro que em 12 dias esse operário fará uma quantidade menor de metros
quadrados de pavimentação asfáltica.
Quando as grandezas envolvidas só aumentam ou quando as grandezasenvolvidas só diminuem, as grandezas são diretamente proporcionais.
3º Passo: Montagem da proporção e resolução:
240 16
X 12
16x = 240 x 12
x = 16
12240 ×
x = 180m2
As setas apontando no mesmo sentido, indicam que a proporção é direta. Ou seja, as grandezas indicadas são diretamente proporcionais.
Logo, em 12 dias esse operário fará 180m2 de pavimentação asfáltica.
Exemplo 2:
Uma pequena indústria dispõe de 12 máquinas para executar sua produção.
Quando as 12 máquinas estão funcionando, uma certa produção leva 40 dias para serobtida. Em quanto tempo essa indústria terá a mesma produção se quatro máquinas estão
em manutenção?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
22Universidade da Amazônia – UNAMA
1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.
Grandeza 1 _____________ Grandeza 2
Máquinas Tempo em dias
12 ___________________ 40
8 ___________________ x
Observação: Como 4 máquinas estão em manutenção, apenas 8 máquinas estãofuncionando.
2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas:se direta ou inversa. Para isso, analisaremos o seguinte:
Se 12 máquinas levam 40 dias para obter uma produção, 8 máquinas levariam
quantos dias para se obter essa mesma produção? Mais dias ou menos dias?
Certamente que 8 máquinas, levariam mais dias para se atingir a mesma
produção.
Observe ainda, que duplicando o número de máquinas o tempo fica reduzidopela metade.
Quando se aumenta o valor de uma grandeza, o valor correspondente da outra
grandeza diminui, na mesma proporção, essas grandezas são inversamenteproporcionais.
3º Passo: Montagem e resolução da proporção:
12 ___________ 40
8 ___________ x
408
12 x=
As setas apontando em sentidos opostos, indicam que a proporção entre essas grandezas é inversa, ou seja, que essas grandezas são inversamente proporcionais.
Como a proporção é inversa, na sua modelagem, conservamos uma coluna e invertemos a outra.
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
23Núcleo de Educação a Distância – NEAD
8 x = 12 x 40 ⇒ =x 8
4012 × ⇒ x = 60 dias.
Logo, serão necessários 60 dias para que essa indústria tenha a mesma produção.
Exemplo 3:
Uma pequena empresa com 32 máquinas de costura, produz 1440 uniformesmilitares em 12 dias de trabalho. Quantos dias de trabalho serão necessários para produzir
4320 uniformes militares do mesmo tipo, com apenas 24 máquinas trabalhando?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Dispor os valores numéricos que se correspondem de forma correta:
Grandeza 1____________Grandeza 2 __________ Grandeza 3
Máquinas Uniformes militares Tempo em dias
32 _______________ 1440 _______________ 12
24 _______________ 4320 _______________ X
2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas:
se direta ou inversa.
Neste caso, que a regra de três é composta, analisamos em separado, a grandeza
que desejamos encontrar, com cada uma das outras grandezas que são conhecidas no
problema. É como se dividíssemos a regra de três composta, em várias regras de trêssimples, como segue:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
24Universidade da Amazônia – UNAMA
Grandeza 1 Grandeza 3 Grandeza 2 Grandeza 3
Máquina Tempo em dias Uniformes Tempo em dias
32 _______________ 12 1440 _______________ 12
24 _______________ X 4320 _______________ X
Se 32 máquinas gastam 12 dias para produzir os uniformes, 24 máquinas gastarão mais dias ou menos dias para realizar a mesma produção? A resposta a essa pergunta é: 24 máquinas gastarão mais dias para fazer a mesma produção. Em outras palavras, se diminuirmos o número de máquinas pela metade, o tempo necessário para se atingir a mesma produção é duplicado. Logo, número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. As setas apontarão em sentidos opostos, para indicar que a proporção é inversa.
Se para produzir 1440 uniformes, são necessários 12 dias, para produzir 4320 uniformes serão necessários mais dias ou menos dias? A resposta a essa pergunta é: serão necessários mais do que 12 dias de trabalho para se atingir essa produção. Em outras palavras, quando duplicamos o número de uniformes a ser produzido, o tempo necessário para que essa produção se conclua, também se duplicará. Logo, quantidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Nesse caso, as setas apontarão no mesmo sentido, para indicar que a proporção é direta.
3º Passo: Montagem e resolução da proporção:
32 _________ 1440 _________ 12
24 _________ 4320 _________ X
Observação: Para escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que
todas as setas, estejam apontando para o mesmo sentido. Neste caso, é mais rápido invertera seta da primeira coluna.
24 _________ 1440 _________ 12
32 _________ 4320 _________ X
Agora que todas as setas apontam no mesmo sentido, podemos escrever a
proporção e resolvê-la.
Esse é o resultado da análise realizada, quanto a natureza das grandezas envolvidas no problema.
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
25Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Na modelagem da proporção, a coluna que contém a variável x, fica do lado esquerdo da igualdade e os valores numéricos das outras colunas ficam do lado direito da igualdade separados pelo sinal da operação multiplicação.
Logo, serão necessários 48 dias de trabalho.
Agora, que já revisamos a técnica de resolver problemas entregrandezas proporcionais, chamada de regra de três, iremosrealizar a Atividade 3 - Utilizando a Regra de Três na Soluçãode Problemas, disponível na ferramenta ATIVIDADES.
1.5 PERCENTAGEM
Após você ter realizado mais esta atividade, vá até o livro texto e estude o Capítulo
5. Nesse capítulo, você iniciará seus estudos sobre percentagem. Identificará os elementosdo cálculo percentual, verá como se transforma taxa percentual em taxa unitária e vice-
versa, além de resolver problemas de percentagem por meio de uma pequena fórmula querelaciona os elementos do cálculo percentual.
A aplicação de percentagem é muito freqüente no universo econômico-financeiro.
Ela aparece sob diversas denominações, tais como: percentagem, corretagem, comissão,abatimento, desconto, multa, parte, quota, prejuízo e lucro.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
26Universidade da Amazônia – UNAMA
Os problemas que envolvem percentagem podem ser, em geral, resolvidos
fazendo uso de conhecimentos sobre frações, razões, proporções e regra de três. Mas,esses caminhos para a resolução de problemas de percentagem não são os únicos possíveis
e nem tampouco os mais práticos.
Vamos agora, apresentar e discutir uma pequena expressão que facilita a soluçãode problemas de percentagem. Antes de iniciarmos propriamente a discussão sobre essa
expressão, vamos relembrar:
O que é taxa percentual e taxa unitária?
Toda razão que apresenta o conseqüente igual a 100 é chamada de razão
centesimal. Portanto, as razões 10089
10075
,10040
,10015
e são razões centesimais. Quandosubstituímos o conseqüente 100 pelo símbolo % (que se lê: por cento) esse numeral passa
a ser chamado de taxa percentual ou taxa centesimal, ou ainda, como alguns preferem,taxa de percentagem. Portanto, 15%, 40%, 75% e 89% são taxas percentuais, ou seja:
= 15%; que se lê: quinze por cento.
= 40%; que se lê: quarenta por cento.
= 75%; que se lê: setenta e cinco por cento.
= 89%; que se lê: oitenta e nove por cento.10089
10075
10040
10015
Do mesmo modo que a taxa percentual se refere a 100, podemos determinar
uma taxa que se refere a unidade. Essa taxa é chamada de taxa unitária, muito prática epor vezes necessária, na resolução de muitas questões. Chamando a taxa unitária de i:
a)
b)
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
27Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Em outras palavras, para encontrarmos a taxa unitária, basta fazer a divisão da taxapercentual.
Exemplo 1:
Qual taxa unitária correspondente a 3%?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Fazemos a divisão de 3 por 100 e obtemos a taxa unitária.
, logo i = 0,03.
Exemplo 2:
Qual a taxa unitária correspondente a 2,5%?
Solução: procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Dividimos 2,5 por 100, o resultado encontrado representa a taxa unitária.
, logo i = 0,025.
Exemplo 3:
Qual a taxa percentual correspondente a 0,7?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Multiplicamos a taxa unitária por cem e compensamos acrescentando o símbolo%. O resultado encontrado representa a taxa percentual.
0,7 x 100 = 70%, logo i = 70%
Quais os elementos do cálculo percentual?
Os elementos do cálculo percentual são: a taxa, a percentagem e o principal.
Vamos identificar esses elementos, no seguinte exemplo: em um concurso público queteve 1200 candidatos inscritos, deixaram de comparecer no dia do exame 300 candidatos.Qual a razão do número de candidatos que perderam o exame para o número total deinscritos? Escreva essa razão com consequente 100.
1) Número de candidatos inscritos = 1200
2) Número de candidatos que não compareceram = 300
Razão de 2 para 1 : 1200300
Escrevendo essa razão com conseqüente 100:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
28Universidade da Amazônia – UNAMA
Verifique que 300 representa em 1200, o mesmo que 25 representa em 100.
• 1200 representa o principal;
• 300 representa a percentagem; e
•10025
= 25% = 0,25 representa a taxa unitária i.
1200300
10025
Simplificamos a
razão 1200300 por 12
Retomando a proporção:
Chamando a percentagem de p
Chamando o principal de P
Chamando a taxa de i, teremos:
PrincipalmPercentage
= taxa unitária ou
i
Pp = que é a formula para o cálculo percentual
— Se desejamos calcular a percentagem:
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
29Núcleo de Educação a Distância – NEAD
p = i . P (i)
— Se desejamos calcular o Principal:
ipP = (ii)
— Se desejamos calcular a taxa unitária:
Ppi = (iii)
Vamos agora aplicar essa expressão!
Exemplo 1:
Um corretor vende um apartamento por R$ 150.000,00. Sabendo que sua
comissão sobre a venda é de 3%, quanto o corretor ganhou?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Primeiro identificamos e destacamos os dados que são apresentadosno problema.
· R$ 150.000,00 representa o principal ⇒ P = 150000.
· 3% representa a taxa ⇒ i = 3% ⇒ i = 0,03.
· Quanto o corretor ganhou representa uma parcela do principal, logo representaa percentagem ⇒ p = ?
2° Passo: Como queremos determinar a percentagem, tomamos a expressão (I)e fazemos as devidas substituições:
p = i . P
p = 0,03 . 150000 ⇒ p = 4500
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
30Universidade da Amazônia – UNAMA
O corretor ganhou nessa transação R$ 4.500,00.
Exemplo 2:
Uma taxa de 20% é aplicada num determinado capital, produzindo um valor de
R$ 3.250,00. De quanto era esse capital?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações que são apresentadasno problema:
• 20% representa a taxa ⇒ i = 20% ⇒ i = 0,2;
• R$ 3.250,00 é parte do capital que corresponde a 20%. Logo representa a percentagem⇒ p = 3250; e
• deseja-se saber o valor do capital, que nesse caso representa o principal⇒ P = ?
2° Passo: Como queremos determinar o principal, tomamos a expressão (II) efazemos as devidas substituições:
162502,0
3250 =⇒=
=
PP
ip
P
Logo, o valor desse capital é R$ 16.250,00.
Exemplo 3:
Uma televisão foi adquirida por R$ 2.360,00 e em seguida vendida por R$
2.950,00. Qual a taxa de lucro?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações apresentadas no
problema:
· R$ 2.360,00 representa o principal ⇒ P = 2360;
· o lucro do vendedor, que é dado pela diferença: valor da venda – valor de
custo = 2950 – 2360 = 590, representa a percentagem ⇒ P=590; e
· queremos saber o valor da taxa ⇒ i = ?
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
31Núcleo de Educação a Distância – NEAD
2° Passo: Como queremos determinar a taxa, tomamos a expressão (III) e
fazemos as devidas substituições:
%2525,02360590 =⇒=⇒=
=
iii
Pp
i
Logo, a taxa de lucro foi de 25%.
Vamos realizar mais uma atividade? Na ferramenta ATIVIDADESfaça a Atividade 4 - Resolvendo Problemas de Percentagem.
1.6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
Estude agora o Capítulo 6 do livro texto; no qual, você terá oportunidade de fazer
cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo ou de venda de mercadorias. Verátambém que esses problemas, são problemas de percentagem ligados a operações sobre
mercadoria. E, ainda, terá oportunidade de conhecer algumas fórmulas básicas que facilitamsobremaneira os cálculos nesses tipos de problemas.
Agora que você já estudou o Capítulo 6 do livro texto, vamos recordar alguns
conceitos.
Quando há lucro:
– Preço de venda = preço de custo + lucro;
– Preço de custo = preço de venda – lucro; e
– Lucro = preço de venda – preço de custo.
Quando há prejuízo:
– Preço de venda = preço de custo – prejuízo;
– Preço de custo = preço de venda + prejuízo;
– Prejuízo = preço de custo – preço de venda.
O preço de custo de uma mercadoria é assim formado:
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
32Universidade da Amazônia – UNAMA
Preço de custo = preço de aquisição da mercadoria + despesas diretas sobre acompra + despesas diretas sobre a venda + despesas de administração + despesas de
funcionamento da empresa.
Para simplificar vamos representar as informações acima, por meio das letras:
– preço de custo = C
– preço de venda = V
– valor do lucro = L
– valor do prejuízo = P
– taxa de lucro ou de prejuízo = i
Quando há lucro, esse lucro pode ser:
– sobre o preço de custo ( )iV +=⇒ 1 . C
– sobre o preço de venda⇒ i
CV
−=
1
Quando há prejuízo, esse prejuízo pode ser:
– sobre o preço de custo ⇒ V = (1 – i) . C
– sobre o preço de venda ⇒ V = i
C+1
Vamos agora descobrir em que situações essas expressões matemáticas
facilitam a resolução de problemas que envolvem percentagem.
Exemplo 1:
Um empresário vendeu mercadorias com um lucro de 15% sobre o preço de
custo. Sabendo que as mesmas custaram R$ 1.700,00, determine o preço de venda dessasmescadorias.
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
33Núcleo de Educação a Distância – NEAD
1º Passo: Devemos, inicialmente, escolher a expressão matemática correta. Issoestá claro no texto do problema.
O problema fala em lucro sobre o preço de custo, logo a expressão usada será:
V = (1+ i) C.
2º Passo: Agora identificamos e destacamos as informações fornecidos no
problema:
R$ 1.700,00 representa o preço de custo : C = 1700
15% representa a taxa de lucro: i = 15% = 0,15
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula e calculamos:
V = (1+i) . C
V = (1+0,15) . 1700
V = 1,15 . 1700 ⇒ V = 1955.
Logo, o preço de venda dessas mercadorias será de R$ 1.955,00.
Exemplo 2:
Antônio comprou um relógio por R$ 230,00, e deseja vender esse relógio
ganhando 30% sobre o preço de venda. Por quanto Antônio deve vender esse relógio?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática certa para resolver
esse problema. Isso está claro no texto. Antônio deseja ter lucro sobre o preço de venda,logo a expressão será: V =
iC−1
.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
34Universidade da Amazônia – UNAMA
2º Passo: Agora vamos identificar e destacar as informações fornecidas noproblema:
R$ 230,00 é o preço de custo ⇒ C = 230
30% é a taxa de lucro ⇒ i = 30% = 0,3
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e realizamos oscálculos:
- observe que o lucro foi:
L = V - C = 328,57 - 230,00 = 98,57.
- Verifique que R$ 98,57 corresponde a 30% de R$328,57
que é o preço pelo qual o relógio foi vendido.
Logo, Antônio deverá vender o relógio por R$ 328,57.
Exemplo 3:
Comprei um terreno por R$ 32.500,00. Ao vendê-lo tive um prejuízo de 12% sobre
o preço de custo. Por quanto vendi o terreno?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática correta para resolver
essa questão, baseado no texto. O problema fala em prejuízo sobre o preço de custo. Logo,a expressão correta será: V = (1 – i) . C
2º Passo: Agora destacamos as seguintes informações:
· R$ 32.500,00 é o preço de custo ⇒ C = 32500
· 2% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 12% = 0,12
57,3287,0
2303,01
2301
=⇒=
−=
−=
VV
V
iC
V
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
35Núcleo de Educação a Distância – NEAD
3º Passo: Fazemos agora as devidas substituições na fórmula escolhida eefetuamos o cálculo:
V = (1 – i) . C
V = (1 – 0,12) . 32500
V = 0,88 . 32500 ⇒ V = 28600
Logo, vendi o terreno por R$ 28.600,00.
Exemplo 4:
Calcule o preço de venda de um apartamento que custa R$ 275.000,00 e que foivendido com um prejuízo de 15% sobre o preço de venda.
Solução: Proceda da seguinte maneira:
1º Passo: Fazer a escolha da expressão matemática correta. Isso é feito baseado
no texto do problema. Onde fala em prejuízo sobre a venda, logo, a expressão correta será:
V = i
C+1
2º Passo: Vamos agora retirar as informações do problema:
· R$ 275.000,00 é o preço de custo ⇒ C = 275000
· 15% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 15% = 0,15
3º Passo: Vamos substituir esses valores na fórmula escolhida e fazer os cálculos:
Logo, o preço de venda do apartamento foi R$ 239.130,44
.44,23913015,1
27500015,01
2750001
=⇒=
+=
+=
VV
V
iC
V
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
36Universidade da Amazônia – UNAMA
Até aqui, estudamos alguns problemas que tratam apenas da compra e venda
de mercadorias e bens imóveis.
Vamos agora relembrar mais duas expressões matemáticas que tambémfacilitam a resolução de problemas que tratam de abatimentos ou de aumentos sucessivos.
- Quando o problema fala em abatimentos sucessivos, lançamos mão daseguinte fórmula:
, em que )1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPL −−−−=
L = valor líquido após os abatimentos.
P = valor principal sobre o qual incide os descontos.
niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.
- Quando o problema sugere aumentos sucessivos, usamos a seguinte
expressão:
)1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPM ++++= , em que
M = valor final após os aumentos sucessivos
P = valor principal sobre o qual incidem os aumentos
niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.
Exemplo 1:
Um atacadista oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de
10%, 6% e 3%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 35.000,00, qual o valor líquido damesma?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Trata-se de um problema de abatimentos sucessivos. Logo,
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
37Núcleo de Educação a Distância – NEAD
2º Passo: Os dados do problema são:
• R$ 35.000,00 é o valor da fatura ⇒ P = 35000
• 10%, 6% e 3% são as taxas sucessivas:
03,0%3
06,0%6
1,0%10
3
2
1
======
i
i
i
3º Passo: Substituímos esses dados na fórmula e encontramos o resultado:
70,28721
97,0.94,0.9,0.35000
)03,01).(06,01).(1,01.(35000
)1).(1).(1.( 321
==
−−−=−−−=
L
L
L
iiiPL
Logo, o valor líquido da fatura será R$ 28.721,70.
Exemplo 2:
Uma empresa automobilística produziu certo ano 22.000 unidades de veículos.
Nos quatro anos seguintes, sua produção aumentou de 3%, 5%, 7% e 9%, respectivamente.Qual a produção anual após esses aumentos?
Solução: procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Trata-se de um problema de aumentos sucessivos. Logo, a expressão usadaserá:
)1).(1).(1).(1.( 4321 iiiiPM ++++=
2º Passo: Destacando os dados do problema:
• 22.000 é a quantidade que sofrerá aumentos sucessivos ⇒ P = 22000
• 3%, 5%, 7% e 9% são as taxas sucessivas.
09,0%9
07,0%7
05,0%503,0%3
4
3
2
1
==
==
====
i
i
ii
)1).(1).(1.( 321 iiiPL −−−=
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
38Universidade da Amazônia – UNAMA
3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e encontramos o resultado:
77,27749
09,1.07,1.05,1.03,1.22000
)09,01).(07,01).(05,01).(03,01.(22000
)1).(1).(1).(1.( 4321
==
++++=++++=
M
M
M
iiiiPM
A produção anual após esses aumentos será de 27.749 veículos.
Agora, que já revisamos e aplicamos as fórmulas matemáticas que facilitam eagilizam a resolução de problemas sobre operações de mercadorias, retorne ao livro texto,
mais precisamente nas páginas 65, 66 e 67 e estude a resolução dos exercícios 1, 2, 3, 4 e
5 feitas pelo autor, e logo após, realize a Atividade 5.
Concluindo os estudos dessa unidade, aprofunde os seusconhecimentos realizando a Atividade 5 - Aprofundando MeusConhecimentos Sobre Operações com Mercadorias,disponível na ferramenta ATIVIDADES.
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
39Núcleo de Educação a Distância – NEAD
SÍNTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você revê a oportunidade de construir os seguintes conhecimentos.
Razão: Representação, termos.
econsequentbeantecedenta
→→
ou eantecedent
econsequentba
α
→:
Lê-se: a para b ou a está para b.
Proporção
Representação dc
ba
=→ ou dcba ::::
Lê-se: a está para b, assim como c está para d.
Termos → a , b , c e d (1º, 2º. 3º e 4º termos, respectivamente).
Antecedentes → a e c
Consequentes → b e d
Extremos → a e d
Meios → b e c
Propriedade Fundamental → a . d = b . c
Série de Razões iguais → nm
dc
ba
=== ...
Propriedade Fundamental → nm
dc
ba
ndbmca
====+++=++
.........
Grandezas Diretamente Proporcionais
São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função dotipo y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.
Propriedade característica: se duas grandezas, x e y são diretamente proporcionais, arazão entre dois valores de uma delas é igual a razão entre os dois valores correspondentes
da outra, isto é, 21
21
yy
xx = .
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
40Universidade da Amazônia – UNAMA
Números diretamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1,a2, ..., an) e (b1, b2, ..., bn) são diretamente proporcionais se, e somente se
)tan(...22
11
teconskbnan
ba
ba
==== .
Grandezas Inversamente Proporcionais
São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do
tipo xk
y = , onde k é um número bem constante, diferente de zero.
Propriedade característica: se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, arazão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores
correspondentes da outra, isto é, 12
21
yy
xx = .
Números inversamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1,a2, ..., an) e (b1, b2, ..., bn) são inversamente proporcionais se, e somente se
a1 . b2 = a2 . b2 = ... an . bn = k (constante) ou então:
k
bn
an
b
a
b
a====
1...
212
111
.
Grandezas Proporcionais a Várias Outras
Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamenteproporcional a cada uma delas quando as demais não variam.
Propriedade: se uma grandeza variável x é ao mesmo tempo diretamente proporcionalas grandezas a e b e inversamente proporcional as grandezas c e d, então, cada valordessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezasdiretamente proporcionais, multiplicado pelo produto dos inversos dos valorescorrespondentes das grandezas inversamente proporcionais, isto é,
dcbakx
1.
1...= ou
cdab
kx .=
UNIDADE 1 – Aritmática Racional
41Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Divisão Proporcional
Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados, é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.
A divisão proporcional pode ser:
– em partes diretamente proporcionais;
– em partes inversamente proporcionais; e
– divisão proporcional composta.
Regra de Sociedade
É uma aplicação da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou dosprejuízos entre as pessoas que formam uma sociedade.
Classicamente, há quatro casos a considerar:
1º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante o mesmo tempo: O lucroou o prejuízo é dividido em partes iguais entre os sócios;
2º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Olucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais de cada sócio;
3º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante tempos diferentes: Olucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo; e
4º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante tempos tambémdiferentes: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos produtosdo capital pelo respectivo tempo de cada sócio.
Regra de Três
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é diretaou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.
A regra de três pode ser:
– Simples: Quando envolve apenas duas grandezas; e
– Composta: Quando envolve mais de duas grandezas.
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
42Universidade da Amazônia – UNAMA
Percentagem
Elementos do cálculo percentual: taxa, percentagem e principal.
Taxa (i): É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada
100.
Percentagem (p): É o valor que representa a quantidade tomada de outra,proporcionalmente a uma taxa.
Principal (P): É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
Fórmula para o cálculo da taxa: Pp
i =
Fórmula para o cálculo da percentagem: Pip .=
Fórmula para o cálculo do principal: ip
P =
Operações sobre Mercadorias
Vendas com lucro sobre o preço de custo: CiV ).1( +=
Vendas com lucro sobre o preço de venda: i
CV
−=
1
Vendas com prejuízo sobre o preço de custo: CiV ).1( −=
Vendas com prejuízo sobre o preço de venda: i
CV
+=
1
Fórmula do valor líquido para abatimentos sucessivos:
L = P . (1 – i1) . (1 – i2) . (1 – i3) ... (1 – in)
Fórmula do valor líquido para aumentos sucessivos:
M = P . (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) ... (1 + in)