matematica financeira

42
Núcleo de Educação a Distância - NEAD APRESENTAÇÃO Prezado(a) Aluno(a). Entender a lógica do mercado financeiro requer um domínio de conceitos e fórmulas que muitos acham confusos e difíceis de entender. Esses conceitos e fórmulas, entretanto, são facilmente definidos, em grande parte, na Matemática Comercial e Financeira, que é o ramo da Matemática que trata dos mecanismos do mercado, constituindo-se assim, uma ferramenta de trabalho não apenas para executivos, mas também para todos os profissionais que atuam ou pretendem atuar no mercado financeiro. A Matemática Comercial e Financeira é também ferramenta básica para várias disciplinas de cursos superiores, nas áreas de Administração, Economia, Ciências Contábeis, Engenharia de Produção, entre outras. Daí sua importância. Como o gestor empresarial, para um bom desempenho profissional, deve ter espírito empreendedor, visão social de empresa, preocupação com a qualidade, visão clara da concorrência e facilidade de comunicação e relacionamento. Procuramos desenvolver este curso do seguinte modo: - As três primeiras unidades tratam da Matemática Comercial. Nessas unidades procuramos desenvolver com você, conceitos básicos introdutórios e uma sólida base do conceito de percentagem, com suas aplicações tanto em regras de sociedade, como em operações de compra e venda sobre mercadorias, além de questões relacionadas a juro simples e desconto simples; - Nas unidades 4, 5, 6 e 7 tratamos da Matemática Financeira dando ênfase para situações reais que envolvam juro composto, desconto composto, capitalização e amortização composta, além de empréstimos e planos de amortização; e - Na última unidade você conhecerá diferentes métodos utilizados para determinar a depreciação de bens móveis e imóveis, além de discutir suas vantagens e desvantagens. Privilegiamos os aspectos práticos, utilizando amplamente ao longo do curso, calculadoras eletrônicas, planilha eletrônica Excel e tabelas financeiras, sem deixarmos de enfatizar os aspectos matemáticos, com oda a sua simbologia e com o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica.

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Page 1: Matematica Financeira

APRESENTAÇÃO

Núcleo de Educação a Distância - NEAD

APRESENTAÇÃO

Prezado(a) Aluno(a).

Entender a lógica do mercado financeiro requer um domínio de conceitos efórmulas que muitos acham confusos e difíceis de entender. Esses conceitos e fórmulas,

entretanto, são facilmente definidos, em grande parte, na Matemática Comercial e Financeira,que é o ramo da Matemática que trata dos mecanismos do mercado, constituindo-se assim,

uma ferramenta de trabalho não apenas para executivos, mas também para todos os

profissionais que atuam ou pretendem atuar no mercado financeiro.

A Matemática Comercial e Financeira é também ferramenta básica para

várias disciplinas de cursos superiores, nas áreas de Administração, Economia, Ciências

Contábeis, Engenharia de Produção, entre outras. Daí sua importância.

Como o gestor empresarial, para um bom desempenho profissional, deve ter

espírito empreendedor, visão social de empresa, preocupação com a qualidade, visão clarada concorrência e facilidade de comunicação e relacionamento. Procuramos desenvolver

este curso do seguinte modo:

- As três primeiras unidades tratam da Matemática Comercial. Nessas unidadesprocuramos desenvolver com você, conceitos básicos introdutórios e uma sólida base do

conceito de percentagem, com suas aplicações tanto em regras de sociedade, como em

operações de compra e venda sobre mercadorias, além de questões relacionadas a jurosimples e desconto simples;

- Nas unidades 4, 5, 6 e 7 tratamos da Matemática Financeira dando ênfase

para situações reais que envolvam juro composto, desconto composto, capitalização eamortização composta, além de empréstimos e planos de amortização; e

- Na última unidade você conhecerá diferentes métodos utilizados para

determinar a depreciação de bens móveis e imóveis, além de discutir suas vantagens edesvantagens.

Privilegiamos os aspectos práticos, utilizando amplamente ao longo do curso,calculadoras eletrônicas, planilha eletrônica Excel e tabelas financeiras, sem deixarmos de

enfatizar os aspectos matemáticos, com oda a sua simbologia e com o desenvolvimento de

fórmulas para cada situação específica.

Page 2: Matematica Financeira

Trabalharemos o conteúdo programático com a finalidade de oferecer a você,conhecimentos básicos elementares sobre as mais variadas operações financeiras. Em

particular, a Matemática Financeira desenvolveu-se, simultaneamente, com o sistema

econômico conhecido por Economia de Mercado. Dominá-la, por conseguinte, tornou-se impositivo, quer pelas implicações do trabalho assalariado, quer pelas operações de compra

e venda, quer pelos investimentos de capital.

Antônio Estáquio Paes

Page 3: Matematica Financeira

Objetivos da aprendizagem

3

UNIDADE

ARITMÉTICA RACIONAL

1

v Desenvolver a habilidade de resolver problemas que

envolvam proporção;

v Estabelecer a proporcionalidade direta e inversa

entre números e grandezas;

v Resolver problemas de regra de sociedade;

v Conhecer e usar nas formas centesimal, percentual,unitária e vice-versa;

v Resolver problemas que envolvam percentagem;

v Utilizar cálculo percentual na obtenção de lucro ouprejuízo sobre as operações de compra e venda de

mercadorias; e

v Calcular abatimentos e aumentos sucessivos.

Page 4: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

4Universidade da Amazônia – UNAMA

Se o seu salário sofresse hoje um reajuste de R$100,00. Acharia muito ou pouco?

Por que na compra por atacado, o preço por unidade é menor do que nas compras

a varejo?

Como dividir de forma justa os lucros ou os prejuízos entre pessoas que formamuma sociedade?

Como determinar o valor da contribuição paga mensalmente à previdência social?

Como calcular os encargos sociais de uma empresa?

Questões como essas, que fazem parte da nossa vida diária, são objetos de

estudo dessa unidade. Nessas questões, estão envolvidos conceitos de razão, proporção,

grandezas proporcionais, regras de sociedade e percentagem.

1.1 RAZÃO E PROPORÇÃO

Vamos então, iniciar o estudo dessa unidade. Você terá como guia para realizarseus estudos, o livro texto Matemática Comercial e Financeira Fácil de Antônio Arnot

Crespo da Editora Saraiva.

Dirija-se agora ao livro texto e estude o Capítulo 1.

Agora que você já estudou razão e proporção e suas propriedades, vamos

recapitular algumas de suas aplicações:

- Quando você calcula a razão entre dois números ou duas grandezas, você naverdade, irá fazer a divisão entre eles, na ordem que aparecem, tendo o cuidado de simplificar

o resultado o máximo possível. Por exemplo:

Exemplo 1:

Qual a razão de 32

para 65

?

S o l u ç ã o : procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: montamos a divisão entre 32

e 65

, nessa ordem:

32

65

Page 5: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

5Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Lembre: Na multiplicação de fração, numerador multiplica numeradore denominador multiplica denominador.

3º Passo: Simplificamos o resultado:

1512

33

÷÷

54

Na simplificação de fração, dividi-se o numerador e o denominador da fração pelo mesmo número.

Logo, a razão de 32

para 65

é 54

.

Exemplo 2:

Qual a razão de 8 para 40?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Montamos a divisão entre 8 e 40 nessa ordem:

408

2º Passo: Como não há outras operações a realizar...

3º Passo: Simplificamos o resultado:

408

88

÷÷

= 51

Page 6: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

6Universidade da Amazônia – UNAMA

Logo, a razão de 8 para 40 é 51

.

Exemplo 3:

Qual a razão de 70dm para 14m?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Montamos a divisão entre 70dm e 14m:

mdm

1470

2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em caso

afirmativo, as medidas devem ser expressas na mesma unidade. Em seguida eliminamosas unidades iguais:

14m = 140dm, então

mdm

1470

= dm

dm14070

= 14070

3º Passo: Simplificamos (quando possível)

14070

7070

÷÷

= 21

Logo, a razão de 70dm para 14m é 21

.

Exemplo 4:

Qual a razão de 380km para 4h?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Montamos a divisão entre 380km e 4h:

hkm

4380

Page 7: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

7Núcleo de Educação a Distância – NEAD

2º Passo: Verificamos se as grandezas são da mesma espécie. Em casonegativo, mantemos as unidades e procedemos como nos exercícios anteriores.

3º Passo: Simplificamos:

hkm

4380

= 95km/h

Logo, a razão de 380km para 4h é 95km/h.

- Para verificarmos se uma proporção é verdadeira, ou para calcularmos um ou maistermos desconhecidos em uma proporção, fazemos uso das propriedades fundamentaisque são apresentados no Capítulo 1 do livro texto.

Exemplo 1:

A proporção 73

= 146

é verdadeira?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Multiplicamos separadamente os extremos e os meios da proporção:

Produto dos extremos: 3 x 14= 42

Produto dos meios: 7 x 6 = 42

2º Passo: Verificamos se esses produtos são iguais:

3 x 14 = 7 x 6 = 42

3º Passo: Em caso afirmativo, essa proporção é verdadeira:

Logo, 73

= 146

é uma proporção.

Observação: Caso os produtos não sejam iguais, a proporção é falsa.

Exemplo 2:

Qual o valor de x na proporção?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

Page 8: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

8Universidade da Amazônia – UNAMA

1º Passo: Multiplicamos os extremos e em seguida os meios da proporção, igualandoesses produtos.

Na multiplicação de frações: numerador multiplica numerador e denominador multiplica denominador.

95

está multiplicando

a variável X, então passa para o outro lado

da igualdade dividindo a fração 94

2º Passo: Isolamos o termo desconhecido.

3º Passo: Efetuamos as operações indicadas e simplificamos quando possível.

Na divisão de frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.

Logo, o valor de x é 54

.

Page 9: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

9Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Exemplo 3:

Qual o valor de x, y e z na proporção múltipla 12x

= 15y

= 18z

, sabendo que zyx ++ =

630?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: A partir da proporção múltipla 12x

= 15y

= 18z

construímos uma nova razão (2ª

propriedade fundamental). Essa nova razão se constrói da seguinte maneira:

Antecedentes: x , y , z

Conseqüentes: 12,15,18

esconsequent dos somaesantecedent dos soma

= 181512 ++

++ zyx =

45630

= 14

do problema sabemos que x + y + z =630

2º Passo: A nova razão que encontramos (14), será igual (2ª propriedade fundamental)

a cada razão que compõe a proporção múltipla 12x

= 15y

= 18z

, logo

12x

= 14 ⇒ x = 12x14 ⇒ x = 168

15y

= 14 ⇒ y = 15x14 ⇒ y = 210

18z

= 14 ⇒ z = 18x14 ⇒ z = 252

Dessa forma, determinamos os valores de x , y e z .

Observação: Para verificar se os valores que você encontrou estão corretos faça

o seguinte:

- Some os valores encontrados para x , y e z : 168 + 210 + 252 = 630;

- O resultado desta adição tem que ser igual ao que foi dado no texto do

problema zyx ++ = 630; e

- Caso não confira, verifique novamente, todas as operações que você realizou

no desenvolvimento do problema.

Page 10: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

10Universidade da Amazônia – UNAMA

Após ter recapitulado o estudo referente ao capítulo 1 do livro texto,acesse a ferramenta ATIVIDADES e realize a Atividade 1 – MeusConhecimentos Sobre Razão e Proporção.

1.2 GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Agora que estudamos razão e proporção, retorne ao livro texto e estude grandezas

proporcionais, no Capítulo 2. Nesse capítulo, você encontrará as definições; suaspropriedades características; a relação entre elas, se direta ou inversa.

– Grandezas diretamente proporcionais:

A tabela seguinte, relaciona o comprimento do metro de um fio de titânio especial

com os seus respectivos preços:

Para sua melhor compreensão, acesse a Animação 1 - GrandezasDiretamente Proporcionais e Grandezas InversamenteProporcionais, na ferramenta MATERIAL DIDÁTICO, e observe ocomportamento dos gráficos dos exemplos a seguir.

comprimento (m) valor (R$) 2 24,00 3 36,00 4 48,00 5 60,00

12 144,00

Page 11: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

11Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que o comprimentodo fio aumenta e o preço correspondente também. Observamos ainda que:

– Se o comprimento do fio duplica, o preço também duplica;

– Se o comprimento do fio triplica, o preço também triplica; e

– Se o comprimento do fio quadruplica, o preço também quadruplica, e assimsucessivamente.

Dessa forma, podemos afirmar que as grandezas, comprimento do fio e preço,

aumentam na mesma proporção, logo essas grandezas são diretamente proporcionais, ousimplesmente proporcionais.

Outra forma de determinar se duas grandezas são diretamente proporcionais, é

verificar se a razão entre elas permanece constante, veja:

fio do oComprimentfio do Preço

= 1212

1445

604

483

36224

=====

Nesse caso, 12 é a razão ou coeficiente de proporcionalidade. E as sequências denúmeros (24, 36, 48, 60, 144) e (2, 3, 4, 5, 12) são diretamente proporcionais.

Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas proporcionais:

144

132

120

108

96

84

72

60

48

36

24

12

Comprimento do fio de titânio = x

Y = preço (R$)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

xky

kxy

.=⇓

=

, ondeK é a constante de proporcionalidade

Page 12: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

12Universidade da Amazônia – UNAMA

Não esqueça, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete o aumentoda outra para que elas sejam caracterizadas como grandezas diretamente porporcionais.

É preciso que esse aumento ocorra proporcionalmente, isto é, se uma grandeza é multiplicada

por um número n, a outra grandeza também ficará multiplicada por esse mesmo número n.Em outras palavras, se dividirmos uma grandeza por n, a outra também ficará dividida por

n.

– Grandezas inversamente proporcionais:

A tabela seguinte relaciona os tempos e as respectivas velocidades médias de

um veículo para percorrer uma distância de 720km:

Observando os valores apresentados na tabela, verificamos que a velocidade

do veículo aumenta e o tempo necessário para percorrer aquela distância diminui.

Observamos ainda:

– Se a velocidade do veículo duplica, o tempo de percurso se reduz a metade

do tempo anterior;

– Se a velocidade do veículo triplica, o tempo de percurso é a terça parte dotempo anterior; e

– Se a velocidade do veículo quadruplica, o tempo de percurso é a quarta parte

do tempo anterior.

Desse modo, podemos afirmar que ao aumentar a velocidade, o tempo de

percurso diminui na mesma proporção, logo essas grandezas são inversamente

proporcionais.

Outra forma de determinar se duas grandezas são inversamente proporcionais,

é verificar se o produto entre elas permanece constante, veja:

Velocidade média X tempo de percurso = 30 x 24 = 60 x 12 = 80 x 9 = 90 x 8 =120 x 6 = 720.

Velocidade (km/h)

Tempo (h)

30 24 60 12 80 9 90 8

120 6 180 4

Page 13: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

13Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Nesse caso, 720 é o fator ou coeficiente de proporcionalidade. E as

seqüências de números (30, 60, 80, 90, 120) e (24, 12, 9, 8, 6) são inversamenteproporcionais.

Veja como fica a representação gráfica de duas grandezas inversamente

proporcionais:

Lembre-se, não basta que o aumento de uma grandeza acarrete a diminuição

da outra, para que essas grandezas sejam caracterizadas como inversamente proporcionais.É preciso que o aumento de uma, que leva a diminuição da outra, ocorra proporcionalmente,

isto é, se uma grandeza é multiplicada por um número n, a outra grandeza ficará divididapor esse mesmo número n ( )0≠n e vice-versa.

Page 14: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

14Universidade da Amazônia – UNAMA

1.3 DIVISÃO PROPORCIONAL E REGRA DE SOCIEDADE

Dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 3. Nesse capítulo vocêaprenderá como fazer a divisão proporcional direta, inversa e composta,e, como aplicar estes conceitos na divisão de lucros ou prejuízos entreas pessoas que formam uma sociedade.

Vamos recapitular e reforçar esses conceitos.

Como você pode ter observado durante os seus estudos do Capítulo 3, a divisãoproporcional é uma aplicação da propriedade fundamental das proporções múltiplas,

apresentada no Capítulo 1 do livro texto, que você já estudou.

Portanto, qualquer dúvida, vá até o Capítulo 1 do livro texto, nas páginas 19 e 20.

Relembrando:

Exemplo 1:

Dividir o número 320 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3, 5.

Solução:Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que nós queremos encontrar..

2º Passo: O número 320 será então dividido nas partes:

x que é proporcional ao número 2;

y que é proporcional ao número 3; e

z que é proporcional ao número 5.

3º Passo: Como x , y , z são partes de 320 e diretamente proporcionais a 2, 3 e 5,então, a razão entre eles permanece constante:

532zyx

==

E a soma deles é 320: zyx ++ = 320

Page 15: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

15Núcleo de Educação a Distância – NEAD

4º Passo: Aplicamos então, a propriedade fundamental das proporções múltiplas na

série de razões 532zyx

==

Seus antecedentes são: x , y , z

Seus conseqüentes são: 2, 3, 5

3210320

532esconsequent dos somaesantecedent dos soma ==

++++= zyx

Essa propriedade nos garante que, a nova razão encontrada, no caso, 32, será igual a

cada uma das razões que compõe a série de razões 532zyx

== .

5º Passo: Igualamos cada razão da série 532zyx

== ao valor encontrado, 32 e

determinamos x , y e z :

160325325

96323323

64322322

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

zxx

yxx

xxx

Exemplo 2:

Dividir o número 78 em três partes que sejam inversamente proporcionais aos números2, 3 e 4.

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Chamamos de x , y e z as três partes que desejamos encontrar..

2º Passo: O número 78 será dividido nas partes:

x que é inversamente proporcional ao número 2;

y que é inversamente proporcional ao número 3; e

z que é inversamente proporcional ao número 4.

Lembramos aqui, que isso siginifica dividir o número 78proporcionalmente aos inversos dos números 2, 3 e 4, ou seja:

Page 16: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

16Universidade da Amazônia – UNAMA

– x será proporcional ao inverso de 2 21

– y será proporcional ao inverso de 3 31

– z será proporcional ao inverso de 4 41

3º Passo: Como x, y e z são partes de 78, sua soma será zyx ++ = 78; e como x , y e

z são diretamente proporcionais a 41

31

,21

e a razão entre eles permanece constante:

41

31

21

zyx==

4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas nasérie de razões:

41

31

21

zyx==

,

seus antecedentes são: x , y e z

seus conseqüentes são: 41

31

,21

e

721312

78

121378

12346

78

41

31

21esconsequent dos soma

esantecedent dos soma=×==

++=

++

++=

zyx

5º Passo: Igualamos cada razão da série

41

31

21

zyx==

ao número encontrado, neste caso, 72, assim:

Lembre-se que:

– zyx ++ = 78

– na divisão de frações, conserva-se a primeira fração e multiplica-se pela segunda fração invertendo seus termos.

Page 17: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

17Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Desse modo, determinamos os valores de x , de y e de z .

Exemplo 3:

Dividir o número 495 em três partes que sejam diretamente proporcionais a 2, 3

e 6 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 30, 36 e 48, respectivamente:

Solução: procedemos da seguinte maneira.

1º Passo: chamamos de x , y e z as três partes que queremos determinar..

2º Passo: o número 495 será dividido nas partes:

- x que é diretamente proporcional a 2 e ao mesmo tempo, inversamente proporcional

a 30. Logo x também é proporcional ao inverso de 30, isto é, 301

;

- y que é diretamente proporcional ao número 3 e ao mesmo tempo é inversamenteproporcional ao número 36. Logo, y também é proporcional ao inverso de 36,

18724172

41

24723172

31

36722172

21

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

zzz

yyy

xxx

isto é, 361

;

- z que é diretamente proporcional ao número 6 e ao mesmo tempo, inversamenteproporcional ao número 48. Logo z também é proporcional ao inverso do número 48, isto

é, 481

.

Lembre-se, quando um número x é proporcional aos números a , b e c ao mesmotempo, esse número x será proporcional ao produto de a , b e c , isto é, x será proporcionala a x b x c .

Page 18: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

18Universidade da Amazônia – UNAMA

Logo, como:

– x é diretamente proporcional a 2 e 301

ao mesmo tempo, ele será também

proporcional ao produto:

2 × 151

302

301

== (simplificando);

- y é diretamente proporcional a 3 e 361

ao mesmo tempo, ele será também

proporcional ao produto:

3 121

363

361

==× (simplificando);

- z é diretamente proporcional a 6 e 481

ao mesmo tempo, ele será também

proporcional ao produto:

6 81

486

481

==× (simplificando).

3º Passo: Como x , y e z são partes de 495, sua soma será: zyx ++ = 495.

E como x , y e z são diretamente proporcionais a 81

121

,151

e , respectivamente, a razão

entre eles permanece constante: 81

121

151

zyx==

4º Passo: Aplicamos agora, a propriedade fundamental das proporções múltiplas, nasérie de razões.

81

121

151

zyx==

Seus antecedentes são: x , y e z

Seus conseqüentes são: 81

121

,151

e

180033

120495

12033

495

12015108

495

81

121

151esconsequent dos soma

esantecedent dos soma=×==

++=

++

++=

zyx

Observe o que foi feito:

- achamos o m.m.c de 15, 12 e 8.

O m.m.c (15 ,12, 8) = 120

Page 19: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

19Núcleo de Educação a Distância – NEAD

- reduzimos as frações 81

121

,151

e ao menor denominador comum, adicionando seus

numeradores.

- fizemos então a divisão de frações

12033

495

Conservando a primeira (495) e multiplicando pelo inverso da segunda

5º Passo:Igualamos agora cada razão da série 81

121

151

zyx==

ao número encontrado,

neste caso, 1800, assim:

225180081

1800

81

15018001211800

121

1201800151

1800

151

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

=⇒×=⇒=

zzz

yyy

xxx

Desse modo, fica determinado os valores de x , de y e de z .

Agora que você revisou o Capítulo 3 do livro texto, coloque em prática o que

estudou!

Lembre-se que você estudou quatro casos de regra de sociedade. Porém, dois

desses casos, não ocorrem na prática, sendo somente estudados do ponto de vista teórico.

Não esqueça, que em uma sociedade, os sócios integrantes, não podem permanecer portempos diferentes.

Quando um sócio sai ou um novo sócio é admitido em uma sociedade, procede-se o balanço geral, determinando ativo e passivo, e em seguida realiza-se a reforma do

contrato social.

Reúnam-se em duplas e, exercitem os seus conhecimentos sobredivisão proporcional resolvendo as questões referentes aAtividade 2 - Aplicando Meus Conhecimentos de DivisãoProporcional , disponível na ferramenta ATIVIDADES.

Page 20: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

20Universidade da Amazônia – UNAMA

1.4 REGRA DE TRÊS

Sua próxima tarefa será estudar o Capítulo 4 do livro texto. Nesse capítulo você

conhecerá uma nova ferramenta para a resolução de problemas que, envolvem grandezasproporcionais: a regra de três.

Após você ter estudado o Capítulo 4 do livro texto, vamos juntos, relembrar um

pouco de regra de três.

Existem dois casos de regra de três:

– A regra de três simples; e

– A regra de três composta.

A regra de três simples por sua vez, pode ser: direta ou inversa.

Antes de iniciarmos a resolução de qualquer problema por meio da regra detrês, deveremos estar atentos para:

1º - A disposição correta dos valores numéricos envolvidos no problema:

- Na horizontal, coloca-se os valores numéricos que correspondem a grandezasdiferentes; e

- Na vertical, coloca-se os valores numéricos correspondentes a grandezas iguais.

2º - Reconhecer a natureza da dependência entre as grandezas envolvidas: sedireta ou inversa; e

3º - A montagem da proporção e sua resolução.

Exemplo 1:

Um operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias. Quantos metros quadradosde pavimentação asfáltica, o mesmo operário faria em 12 dias?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.

Grandeza 1 ____________ Grandeza 2

Área em m2 Tempo em dias

240 ______________ 16

X ______________ 12

Page 21: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

21Núcleo de Educação a Distância – NEAD

2º Passo: Fazer o reconhecimento da natureza da dependência que existe entre

as grandezas: se direta ou inversa.

Para isso fazemos a seguinte análise:

Se esse operário faz 240m2 de pavimentação asfáltica em 16 dias, quantos

metros quadrados dessa mesma pavimentação, esse operário fará em 12 dias? Mais m2

ou menos m2 ? É claro que em 12 dias esse operário fará uma quantidade menor de metros

quadrados de pavimentação asfáltica.

Quando as grandezas envolvidas só aumentam ou quando as grandezasenvolvidas só diminuem, as grandezas são diretamente proporcionais.

3º Passo: Montagem da proporção e resolução:

240 16

X 12

16x = 240 x 12

x = 16

12240 ×

x = 180m2

As setas apontando no mesmo sentido, indicam que a proporção é direta. Ou seja, as grandezas indicadas são diretamente proporcionais.

Logo, em 12 dias esse operário fará 180m2 de pavimentação asfáltica.

Exemplo 2:

Uma pequena indústria dispõe de 12 máquinas para executar sua produção.

Quando as 12 máquinas estão funcionando, uma certa produção leva 40 dias para serobtida. Em quanto tempo essa indústria terá a mesma produção se quatro máquinas estão

em manutenção?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

Page 22: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

22Universidade da Amazônia – UNAMA

1º Passo: Dispor corretamente os valores numéricos apresentados no problema.

Grandeza 1 _____________ Grandeza 2

Máquinas Tempo em dias

12 ___________________ 40

8 ___________________ x

Observação: Como 4 máquinas estão em manutenção, apenas 8 máquinas estãofuncionando.

2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas:se direta ou inversa. Para isso, analisaremos o seguinte:

Se 12 máquinas levam 40 dias para obter uma produção, 8 máquinas levariam

quantos dias para se obter essa mesma produção? Mais dias ou menos dias?

Certamente que 8 máquinas, levariam mais dias para se atingir a mesma

produção.

Observe ainda, que duplicando o número de máquinas o tempo fica reduzidopela metade.

Quando se aumenta o valor de uma grandeza, o valor correspondente da outra

grandeza diminui, na mesma proporção, essas grandezas são inversamenteproporcionais.

3º Passo: Montagem e resolução da proporção:

12 ___________ 40

8 ___________ x

408

12 x=

As setas apontando em sentidos opostos, indicam que a proporção entre essas grandezas é inversa, ou seja, que essas grandezas são inversamente proporcionais.

Como a proporção é inversa, na sua modelagem, conservamos uma coluna e invertemos a outra.

Page 23: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

23Núcleo de Educação a Distância – NEAD

8 x = 12 x 40 ⇒ =x 8

4012 × ⇒ x = 60 dias.

Logo, serão necessários 60 dias para que essa indústria tenha a mesma produção.

Exemplo 3:

Uma pequena empresa com 32 máquinas de costura, produz 1440 uniformesmilitares em 12 dias de trabalho. Quantos dias de trabalho serão necessários para produzir

4320 uniformes militares do mesmo tipo, com apenas 24 máquinas trabalhando?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Dispor os valores numéricos que se correspondem de forma correta:

Grandeza 1____________Grandeza 2 __________ Grandeza 3

Máquinas Uniformes militares Tempo em dias

32 _______________ 1440 _______________ 12

24 _______________ 4320 _______________ X

2º Passo: Identificar a natureza da dependência que existe entre as grandezas:

se direta ou inversa.

Neste caso, que a regra de três é composta, analisamos em separado, a grandeza

que desejamos encontrar, com cada uma das outras grandezas que são conhecidas no

problema. É como se dividíssemos a regra de três composta, em várias regras de trêssimples, como segue:

Page 24: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

24Universidade da Amazônia – UNAMA

Grandeza 1 Grandeza 3 Grandeza 2 Grandeza 3

Máquina Tempo em dias Uniformes Tempo em dias

32 _______________ 12 1440 _______________ 12

24 _______________ X 4320 _______________ X

Se 32 máquinas gastam 12 dias para produzir os uniformes, 24 máquinas gastarão mais dias ou menos dias para realizar a mesma produção? A resposta a essa pergunta é: 24 máquinas gastarão mais dias para fazer a mesma produção. Em outras palavras, se diminuirmos o número de máquinas pela metade, o tempo necessário para se atingir a mesma produção é duplicado. Logo, número de máquinas e tempo são inversamente proporcionais. As setas apontarão em sentidos opostos, para indicar que a proporção é inversa.

Se para produzir 1440 uniformes, são necessários 12 dias, para produzir 4320 uniformes serão necessários mais dias ou menos dias? A resposta a essa pergunta é: serão necessários mais do que 12 dias de trabalho para se atingir essa produção. Em outras palavras, quando duplicamos o número de uniformes a ser produzido, o tempo necessário para que essa produção se conclua, também se duplicará. Logo, quantidade e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Nesse caso, as setas apontarão no mesmo sentido, para indicar que a proporção é direta.

3º Passo: Montagem e resolução da proporção:

32 _________ 1440 _________ 12

24 _________ 4320 _________ X

Observação: Para escrever corretamente a proporção, devemos fazer com que

todas as setas, estejam apontando para o mesmo sentido. Neste caso, é mais rápido invertera seta da primeira coluna.

24 _________ 1440 _________ 12

32 _________ 4320 _________ X

Agora que todas as setas apontam no mesmo sentido, podemos escrever a

proporção e resolvê-la.

Esse é o resultado da análise realizada, quanto a natureza das grandezas envolvidas no problema.

Page 25: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

25Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Na modelagem da proporção, a coluna que contém a variável x, fica do lado esquerdo da igualdade e os valores numéricos das outras colunas ficam do lado direito da igualdade separados pelo sinal da operação multiplicação.

Logo, serão necessários 48 dias de trabalho.

Agora, que já revisamos a técnica de resolver problemas entregrandezas proporcionais, chamada de regra de três, iremosrealizar a Atividade 3 - Utilizando a Regra de Três na Soluçãode Problemas, disponível na ferramenta ATIVIDADES.

1.5 PERCENTAGEM

Após você ter realizado mais esta atividade, vá até o livro texto e estude o Capítulo

5. Nesse capítulo, você iniciará seus estudos sobre percentagem. Identificará os elementosdo cálculo percentual, verá como se transforma taxa percentual em taxa unitária e vice-

versa, além de resolver problemas de percentagem por meio de uma pequena fórmula querelaciona os elementos do cálculo percentual.

A aplicação de percentagem é muito freqüente no universo econômico-financeiro.

Ela aparece sob diversas denominações, tais como: percentagem, corretagem, comissão,abatimento, desconto, multa, parte, quota, prejuízo e lucro.

Page 26: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

26Universidade da Amazônia – UNAMA

Os problemas que envolvem percentagem podem ser, em geral, resolvidos

fazendo uso de conhecimentos sobre frações, razões, proporções e regra de três. Mas,esses caminhos para a resolução de problemas de percentagem não são os únicos possíveis

e nem tampouco os mais práticos.

Vamos agora, apresentar e discutir uma pequena expressão que facilita a soluçãode problemas de percentagem. Antes de iniciarmos propriamente a discussão sobre essa

expressão, vamos relembrar:

O que é taxa percentual e taxa unitária?

Toda razão que apresenta o conseqüente igual a 100 é chamada de razão

centesimal. Portanto, as razões 10089

10075

,10040

,10015

e são razões centesimais. Quandosubstituímos o conseqüente 100 pelo símbolo % (que se lê: por cento) esse numeral passa

a ser chamado de taxa percentual ou taxa centesimal, ou ainda, como alguns preferem,taxa de percentagem. Portanto, 15%, 40%, 75% e 89% são taxas percentuais, ou seja:

= 15%; que se lê: quinze por cento.

= 40%; que se lê: quarenta por cento.

= 75%; que se lê: setenta e cinco por cento.

= 89%; que se lê: oitenta e nove por cento.10089

10075

10040

10015

Do mesmo modo que a taxa percentual se refere a 100, podemos determinar

uma taxa que se refere a unidade. Essa taxa é chamada de taxa unitária, muito prática epor vezes necessária, na resolução de muitas questões. Chamando a taxa unitária de i:

a)

b)

Page 27: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

27Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Em outras palavras, para encontrarmos a taxa unitária, basta fazer a divisão da taxapercentual.

Exemplo 1:

Qual taxa unitária correspondente a 3%?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Fazemos a divisão de 3 por 100 e obtemos a taxa unitária.

, logo i = 0,03.

Exemplo 2:

Qual a taxa unitária correspondente a 2,5%?

Solução: procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Dividimos 2,5 por 100, o resultado encontrado representa a taxa unitária.

, logo i = 0,025.

Exemplo 3:

Qual a taxa percentual correspondente a 0,7?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Multiplicamos a taxa unitária por cem e compensamos acrescentando o símbolo%. O resultado encontrado representa a taxa percentual.

0,7 x 100 = 70%, logo i = 70%

Quais os elementos do cálculo percentual?

Os elementos do cálculo percentual são: a taxa, a percentagem e o principal.

Vamos identificar esses elementos, no seguinte exemplo: em um concurso público queteve 1200 candidatos inscritos, deixaram de comparecer no dia do exame 300 candidatos.Qual a razão do número de candidatos que perderam o exame para o número total deinscritos? Escreva essa razão com consequente 100.

1) Número de candidatos inscritos = 1200

2) Número de candidatos que não compareceram = 300

Razão de 2 para 1 : 1200300

Escrevendo essa razão com conseqüente 100:

Page 28: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

28Universidade da Amazônia – UNAMA

Verifique que 300 representa em 1200, o mesmo que 25 representa em 100.

• 1200 representa o principal;

• 300 representa a percentagem; e

•10025

= 25% = 0,25 representa a taxa unitária i.

1200300

10025

Simplificamos a

razão 1200300 por 12

Retomando a proporção:

Chamando a percentagem de p

Chamando o principal de P

Chamando a taxa de i, teremos:

PrincipalmPercentage

= taxa unitária ou

i

Pp = que é a formula para o cálculo percentual

— Se desejamos calcular a percentagem:

Page 29: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

29Núcleo de Educação a Distância – NEAD

p = i . P (i)

— Se desejamos calcular o Principal:

ipP = (ii)

— Se desejamos calcular a taxa unitária:

Ppi = (iii)

Vamos agora aplicar essa expressão!

Exemplo 1:

Um corretor vende um apartamento por R$ 150.000,00. Sabendo que sua

comissão sobre a venda é de 3%, quanto o corretor ganhou?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Primeiro identificamos e destacamos os dados que são apresentadosno problema.

· R$ 150.000,00 representa o principal ⇒ P = 150000.

· 3% representa a taxa ⇒ i = 3% ⇒ i = 0,03.

· Quanto o corretor ganhou representa uma parcela do principal, logo representaa percentagem ⇒ p = ?

2° Passo: Como queremos determinar a percentagem, tomamos a expressão (I)e fazemos as devidas substituições:

p = i . P

p = 0,03 . 150000 ⇒ p = 4500

Page 30: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

30Universidade da Amazônia – UNAMA

O corretor ganhou nessa transação R$ 4.500,00.

Exemplo 2:

Uma taxa de 20% é aplicada num determinado capital, produzindo um valor de

R$ 3.250,00. De quanto era esse capital?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações que são apresentadasno problema:

• 20% representa a taxa ⇒ i = 20% ⇒ i = 0,2;

• R$ 3.250,00 é parte do capital que corresponde a 20%. Logo representa a percentagem⇒ p = 3250; e

• deseja-se saber o valor do capital, que nesse caso representa o principal⇒ P = ?

2° Passo: Como queremos determinar o principal, tomamos a expressão (II) efazemos as devidas substituições:

162502,0

3250 =⇒=

=

PP

ip

P

Logo, o valor desse capital é R$ 16.250,00.

Exemplo 3:

Uma televisão foi adquirida por R$ 2.360,00 e em seguida vendida por R$

2.950,00. Qual a taxa de lucro?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1° Passo: Vamos identificar e destacar as informações apresentadas no

problema:

· R$ 2.360,00 representa o principal ⇒ P = 2360;

· o lucro do vendedor, que é dado pela diferença: valor da venda – valor de

custo = 2950 – 2360 = 590, representa a percentagem ⇒ P=590; e

· queremos saber o valor da taxa ⇒ i = ?

Page 31: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

31Núcleo de Educação a Distância – NEAD

2° Passo: Como queremos determinar a taxa, tomamos a expressão (III) e

fazemos as devidas substituições:

%2525,02360590 =⇒=⇒=

=

iii

Pp

i

Logo, a taxa de lucro foi de 25%.

Vamos realizar mais uma atividade? Na ferramenta ATIVIDADESfaça a Atividade 4 - Resolvendo Problemas de Percentagem.

1.6 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS

Estude agora o Capítulo 6 do livro texto; no qual, você terá oportunidade de fazer

cálculos de lucro ou prejuízo sobre os preços de custo ou de venda de mercadorias. Verátambém que esses problemas, são problemas de percentagem ligados a operações sobre

mercadoria. E, ainda, terá oportunidade de conhecer algumas fórmulas básicas que facilitamsobremaneira os cálculos nesses tipos de problemas.

Agora que você já estudou o Capítulo 6 do livro texto, vamos recordar alguns

conceitos.

Quando há lucro:

– Preço de venda = preço de custo + lucro;

– Preço de custo = preço de venda – lucro; e

– Lucro = preço de venda – preço de custo.

Quando há prejuízo:

– Preço de venda = preço de custo – prejuízo;

– Preço de custo = preço de venda + prejuízo;

– Prejuízo = preço de custo – preço de venda.

O preço de custo de uma mercadoria é assim formado:

Page 32: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

32Universidade da Amazônia – UNAMA

Preço de custo = preço de aquisição da mercadoria + despesas diretas sobre acompra + despesas diretas sobre a venda + despesas de administração + despesas de

funcionamento da empresa.

Para simplificar vamos representar as informações acima, por meio das letras:

– preço de custo = C

– preço de venda = V

– valor do lucro = L

– valor do prejuízo = P

– taxa de lucro ou de prejuízo = i

Quando há lucro, esse lucro pode ser:

– sobre o preço de custo ( )iV +=⇒ 1 . C

– sobre o preço de venda⇒ i

CV

−=

1

Quando há prejuízo, esse prejuízo pode ser:

– sobre o preço de custo ⇒ V = (1 – i) . C

– sobre o preço de venda ⇒ V = i

C+1

Vamos agora descobrir em que situações essas expressões matemáticas

facilitam a resolução de problemas que envolvem percentagem.

Exemplo 1:

Um empresário vendeu mercadorias com um lucro de 15% sobre o preço de

custo. Sabendo que as mesmas custaram R$ 1.700,00, determine o preço de venda dessasmescadorias.

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

Page 33: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

33Núcleo de Educação a Distância – NEAD

1º Passo: Devemos, inicialmente, escolher a expressão matemática correta. Issoestá claro no texto do problema.

O problema fala em lucro sobre o preço de custo, logo a expressão usada será:

V = (1+ i) C.

2º Passo: Agora identificamos e destacamos as informações fornecidos no

problema:

R$ 1.700,00 representa o preço de custo : C = 1700

15% representa a taxa de lucro: i = 15% = 0,15

3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula e calculamos:

V = (1+i) . C

V = (1+0,15) . 1700

V = 1,15 . 1700 ⇒ V = 1955.

Logo, o preço de venda dessas mercadorias será de R$ 1.955,00.

Exemplo 2:

Antônio comprou um relógio por R$ 230,00, e deseja vender esse relógio

ganhando 30% sobre o preço de venda. Por quanto Antônio deve vender esse relógio?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática certa para resolver

esse problema. Isso está claro no texto. Antônio deseja ter lucro sobre o preço de venda,logo a expressão será: V =

iC−1

.

Page 34: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

34Universidade da Amazônia – UNAMA

2º Passo: Agora vamos identificar e destacar as informações fornecidas noproblema:

R$ 230,00 é o preço de custo ⇒ C = 230

30% é a taxa de lucro ⇒ i = 30% = 0,3

3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e realizamos oscálculos:

- observe que o lucro foi:

L = V - C = 328,57 - 230,00 = 98,57.

- Verifique que R$ 98,57 corresponde a 30% de R$328,57

que é o preço pelo qual o relógio foi vendido.

Logo, Antônio deverá vender o relógio por R$ 328,57.

Exemplo 3:

Comprei um terreno por R$ 32.500,00. Ao vendê-lo tive um prejuízo de 12% sobre

o preço de custo. Por quanto vendi o terreno?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Vamos primeiro escolher a expressão matemática correta para resolver

essa questão, baseado no texto. O problema fala em prejuízo sobre o preço de custo. Logo,a expressão correta será: V = (1 – i) . C

2º Passo: Agora destacamos as seguintes informações:

· R$ 32.500,00 é o preço de custo ⇒ C = 32500

· 2% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 12% = 0,12

57,3287,0

2303,01

2301

=⇒=

−=

−=

VV

V

iC

V

Page 35: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

35Núcleo de Educação a Distância – NEAD

3º Passo: Fazemos agora as devidas substituições na fórmula escolhida eefetuamos o cálculo:

V = (1 – i) . C

V = (1 – 0,12) . 32500

V = 0,88 . 32500 ⇒ V = 28600

Logo, vendi o terreno por R$ 28.600,00.

Exemplo 4:

Calcule o preço de venda de um apartamento que custa R$ 275.000,00 e que foivendido com um prejuízo de 15% sobre o preço de venda.

Solução: Proceda da seguinte maneira:

1º Passo: Fazer a escolha da expressão matemática correta. Isso é feito baseado

no texto do problema. Onde fala em prejuízo sobre a venda, logo, a expressão correta será:

V = i

C+1

2º Passo: Vamos agora retirar as informações do problema:

· R$ 275.000,00 é o preço de custo ⇒ C = 275000

· 15% é a taxa de prejuízo ⇒ i = 15% = 0,15

3º Passo: Vamos substituir esses valores na fórmula escolhida e fazer os cálculos:

Logo, o preço de venda do apartamento foi R$ 239.130,44

.44,23913015,1

27500015,01

2750001

=⇒=

+=

+=

VV

V

iC

V

Page 36: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

36Universidade da Amazônia – UNAMA

Até aqui, estudamos alguns problemas que tratam apenas da compra e venda

de mercadorias e bens imóveis.

Vamos agora relembrar mais duas expressões matemáticas que tambémfacilitam a resolução de problemas que tratam de abatimentos ou de aumentos sucessivos.

- Quando o problema fala em abatimentos sucessivos, lançamos mão daseguinte fórmula:

, em que )1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPL −−−−=

L = valor líquido após os abatimentos.

P = valor principal sobre o qual incide os descontos.

niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.

- Quando o problema sugere aumentos sucessivos, usamos a seguinte

expressão:

)1)...(1).(1).(1.( 321 niiiiPM ++++= , em que

M = valor final após os aumentos sucessivos

P = valor principal sobre o qual incidem os aumentos

niiii ,...,, 321 = taxas sucessivas.

Exemplo 1:

Um atacadista oferece sobre o valor de uma fatura, os descontos sucessivos de

10%, 6% e 3%. Sabendo que o valor da fatura é de R$ 35.000,00, qual o valor líquido damesma?

Solução: Procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Trata-se de um problema de abatimentos sucessivos. Logo,

Page 37: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

37Núcleo de Educação a Distância – NEAD

2º Passo: Os dados do problema são:

• R$ 35.000,00 é o valor da fatura ⇒ P = 35000

• 10%, 6% e 3% são as taxas sucessivas:

03,0%3

06,0%6

1,0%10

3

2

1

======

i

i

i

3º Passo: Substituímos esses dados na fórmula e encontramos o resultado:

70,28721

97,0.94,0.9,0.35000

)03,01).(06,01).(1,01.(35000

)1).(1).(1.( 321

==

−−−=−−−=

L

L

L

iiiPL

Logo, o valor líquido da fatura será R$ 28.721,70.

Exemplo 2:

Uma empresa automobilística produziu certo ano 22.000 unidades de veículos.

Nos quatro anos seguintes, sua produção aumentou de 3%, 5%, 7% e 9%, respectivamente.Qual a produção anual após esses aumentos?

Solução: procedemos da seguinte maneira:

1º Passo: Trata-se de um problema de aumentos sucessivos. Logo, a expressão usadaserá:

)1).(1).(1).(1.( 4321 iiiiPM ++++=

2º Passo: Destacando os dados do problema:

• 22.000 é a quantidade que sofrerá aumentos sucessivos ⇒ P = 22000

• 3%, 5%, 7% e 9% são as taxas sucessivas.

09,0%9

07,0%7

05,0%503,0%3

4

3

2

1

==

==

====

i

i

ii

)1).(1).(1.( 321 iiiPL −−−=

Page 38: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

38Universidade da Amazônia – UNAMA

3º Passo: Substituímos esses valores na fórmula escolhida e encontramos o resultado:

77,27749

09,1.07,1.05,1.03,1.22000

)09,01).(07,01).(05,01).(03,01.(22000

)1).(1).(1).(1.( 4321

==

++++=++++=

M

M

M

iiiiPM

A produção anual após esses aumentos será de 27.749 veículos.

Agora, que já revisamos e aplicamos as fórmulas matemáticas que facilitam eagilizam a resolução de problemas sobre operações de mercadorias, retorne ao livro texto,

mais precisamente nas páginas 65, 66 e 67 e estude a resolução dos exercícios 1, 2, 3, 4 e

5 feitas pelo autor, e logo após, realize a Atividade 5.

Concluindo os estudos dessa unidade, aprofunde os seusconhecimentos realizando a Atividade 5 - Aprofundando MeusConhecimentos Sobre Operações com Mercadorias,disponível na ferramenta ATIVIDADES.

Page 39: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

39Núcleo de Educação a Distância – NEAD

SÍNTESE DA UNIDADE

Nesta unidade, você revê a oportunidade de construir os seguintes conhecimentos.

Razão: Representação, termos.

econsequentbeantecedenta

→→

ou eantecedent

econsequentba

α

→:

Lê-se: a para b ou a está para b.

Proporção

Representação dc

ba

=→ ou dcba ::::

Lê-se: a está para b, assim como c está para d.

Termos → a , b , c e d (1º, 2º. 3º e 4º termos, respectivamente).

Antecedentes → a e c

Consequentes → b e d

Extremos → a e d

Meios → b e c

Propriedade Fundamental → a . d = b . c

Série de Razões iguais → nm

dc

ba

=== ...

Propriedade Fundamental → nm

dc

ba

ndbmca

====+++=++

.........

Grandezas Diretamente Proporcionais

São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função dotipo y = kx, onde k é um número real constante, diferente de zero.

Propriedade característica: se duas grandezas, x e y são diretamente proporcionais, arazão entre dois valores de uma delas é igual a razão entre os dois valores correspondentes

da outra, isto é, 21

21

yy

xx = .

Page 40: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

40Universidade da Amazônia – UNAMA

Números diretamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1,a2, ..., an) e (b1, b2, ..., bn) são diretamente proporcionais se, e somente se

)tan(...22

11

teconskbnan

ba

ba

==== .

Grandezas Inversamente Proporcionais

São grandezas, cujos valores correspondentes x e y são expressos por uma função do

tipo xk

y = , onde k é um número bem constante, diferente de zero.

Propriedade característica: se duas grandezas x e y são inversamente proporcionais, arazão entre dois valores de uma delas é igual ao inverso da razão entre os dois valores

correspondentes da outra, isto é, 12

21

yy

xx = .

Números inversamente proporcionais: as seqüências de números reais e não-nulos (a1,a2, ..., an) e (b1, b2, ..., bn) são inversamente proporcionais se, e somente se

a1 . b2 = a2 . b2 = ... an . bn = k (constante) ou então:

k

bn

an

b

a

b

a====

1...

212

111

.

Grandezas Proporcionais a Várias Outras

Dizemos que uma grandeza é proporcional a várias outras se é direta ou inversamenteproporcional a cada uma delas quando as demais não variam.

Propriedade: se uma grandeza variável x é ao mesmo tempo diretamente proporcionalas grandezas a e b e inversamente proporcional as grandezas c e d, então, cada valordessa grandeza é proporcional ao produto dos valores correspondentes das grandezasdiretamente proporcionais, multiplicado pelo produto dos inversos dos valorescorrespondentes das grandezas inversamente proporcionais, isto é,

dcbakx

1.

1...= ou

cdab

kx .=

Page 41: Matematica Financeira

UNIDADE 1 – Aritmática Racional

41Núcleo de Educação a Distância – NEAD

Divisão Proporcional

Dividir um número em partes proporcionais a vários outros números dados, é decompô-lo em parcelas proporcionais a esses números.

A divisão proporcional pode ser:

– em partes diretamente proporcionais;

– em partes inversamente proporcionais; e

– divisão proporcional composta.

Regra de Sociedade

É uma aplicação da divisão proporcional. Tem por objetivo a divisão dos lucros ou dosprejuízos entre as pessoas que formam uma sociedade.

Classicamente, há quatro casos a considerar:

1º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante o mesmo tempo: O lucroou o prejuízo é dividido em partes iguais entre os sócios;

2º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante o mesmo tempo: Olucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos capitais de cada sócio;

3º) Os capitais de cada sócio são iguais e empregados durante tempos diferentes: Olucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais ao tempo; e

4º) Os capitais de cada sócio são diferentes e empregados durante tempos tambémdiferentes: O lucro ou prejuízo é dividido em partes diretamente proporcionais aos produtosdo capital pelo respectivo tempo de cada sócio.

Regra de Três

Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é diretaou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A regra de três pode ser:

– Simples: Quando envolve apenas duas grandezas; e

– Composta: Quando envolve mais de duas grandezas.

Page 42: Matematica Financeira

MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA

42Universidade da Amazônia – UNAMA

Percentagem

Elementos do cálculo percentual: taxa, percentagem e principal.

Taxa (i): É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada

100.

Percentagem (p): É o valor que representa a quantidade tomada de outra,proporcionalmente a uma taxa.

Principal (P): É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

Fórmula para o cálculo da taxa: Pp

i =

Fórmula para o cálculo da percentagem: Pip .=

Fórmula para o cálculo do principal: ip

P =

Operações sobre Mercadorias

Vendas com lucro sobre o preço de custo: CiV ).1( +=

Vendas com lucro sobre o preço de venda: i

CV

−=

1

Vendas com prejuízo sobre o preço de custo: CiV ).1( −=

Vendas com prejuízo sobre o preço de venda: i

CV

+=

1

Fórmula do valor líquido para abatimentos sucessivos:

L = P . (1 – i1) . (1 – i2) . (1 – i3) ... (1 – in)

Fórmula do valor líquido para aumentos sucessivos:

M = P . (1 + i1) . (1 + i2) . (1 + i3) ... (1 + in)