matemática financeira

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1 Matemática Financeira – Prof. Guilherme Neves 1 Juros Compostos ................................................................................................................... 2 1.1 Período de Capitalização ............................................................................................... 2 1.2 Fórmula do Montante Composto.................................................................................. 3 2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ................................................... 3 3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ........................................................................ 4 4 Taxas Equivalentes .............................................................................................................. 18 5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ............................................................................................... 20 6 Taxa Real e Taxa Aparente .................................................................................................. 21 7 Capitalização Contínua ........................................................................................................ 31

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Page 1: Matemática Financeira

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Matemática Financeira – Prof. Guilherme Neves 1 Juros Compostos ................................................................................................................... 2

1.1 Período de Capitalização ............................................................................................... 2

1.2 Fórmula do Montante Composto .................................................................................. 3

2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta ................................................... 3

3 Convenção Linear e Convenção Exponencial ........................................................................ 4

4 Taxas Equivalentes .............................................................................................................. 18

5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva ............................................................................................... 20

6 Taxa Real e Taxa Aparente .................................................................................................. 21

7 Capitalização Contínua ........................................................................................................ 31

Page 2: Matemática Financeira

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1 Juros Compostos

No regime de capitalização composta, o juro gerado em cada período agrega-se ao capital, e essa soma passa a render juros para o próximo período. Daí que surge a expressão “juros sobre juros”.

Imagine a seguinte situação: Guilherme aplicou R$ 10.000,00 a juros compostos durante 5 anos à taxa de 20% a.a. Vamos calcular os juros gerados em cada período e o montante após o período de cada aplicação .

Os juros gerados no primeiro ano são ��

���∙ 10.000 = 2.000 e o montante após

o primeiro ano é 10.000 + 2.000 = 12.000.

Os juros gerados no segundo ano são ��

���∙ 12.000 = 2.400 e o montante

após o segundo ano é 12.000+2.400=14.400.

Os juros gerados no terceiro ano são ��

���∙ 14.400 = 2.880 e o montante após

o terceiro ano é 14.400 + 2.880 = 17.280.

Os juros gerados no quarto ano são ��

���∙ 17.280 = 3.456 e o montante após o

quarto ano é 17.280 + 3.456 = 20.736.

Os juros gerados no quinto ano são ��

���∙ 20.736 = 4.147,20 e o montante

após o quinto ano é 20.736 + 4.147,20 = 24.883,20.

1.1 Período de Capitalização

O intervalo de tempo em que os juros são incorporad os ao capital é chamado de período de capitalização.

Dessa forma, se o problema nos diz que a capitalização é mensal, então os juros são calculados todo mês e imediatamente incorporados ao capital.

Capitalização trimestral: os juros são calculados e incorporados ao capital uma vez por trimestre.

E assim por diante.

Caso a periodicidade da taxa e do número de períodos não estiverem na mesma unidade de tempo, deverá ser efetuado um “ajuste prévio” para a mesma unidade antes de efetuarmos qualquer cálculo. Abordaremos este assunto em seções posteriores (taxas de juros).

Page 3: Matemática Financeira

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1.2 Fórmula do Montante Composto

Para calcular o montante de uma capitalização composta utilizaremos a seguinte fórmula básica:

� = � ∙ (1 + �)�

M → montante (capital + juros).

C → Capital inicial aplicado.

i → taxa de juros

n → número de períodos.

Observe que se a capitalização é bimestral e aplicação será feita durante 8 meses, então o número de períodos é igual a 4 bimestres .

Não utilizaremos uma fórmula específica para o cálculo dos juros compostos. Se por acaso em alguma questão precisarmos calcular o juro composto, utilizaremos a relação:

� = � + � ⇔ � = � − �

2 Comparação entre as Capitalizações Simples e Composta

Considere a seguinte situação: João aplicará a quantia de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês. Calcule os montantes simples e compostos para os seguintes períodos de capitalização:

a) 1 mês b) 15 dias (meio mês) c) 2 meses

Resolução

a) Capitalização Simples

�� = � ∙ (1 + � ∙ �)

�� = 1.000 ∙ �1 + 0,1 ∙ 1� = 1.100

Capitalização Composta

�� = � ∙ (1 + �)�

�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.100

Observe que, para � = 1, o montante simples é igual ao montante composto.

Page 4: Matemática Financeira

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b) Capitalização Simples

�� = � ∙ (1 + � ∙ �)

�� = 1.000 ∙ �1 + 0,1 ∙ 0,5� = 1.050

Capitalização Composta

�� = � ∙ (1 + �)�

�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)�,� = 1.048,81

Observe que, para � = 0,5, o montante simples é maior do que o montante composto.

c) Capitalização Simples

�� = � ∙ (1 + � ∙ �)

�� = 1.000 ∙ �1 + 0,1 ∙ 2� = 1.200

Capitalização Composta

�� = � ∙ (1 + �)�

�� = 1.000 ∙ (1 + 0,1)� = 1.210

Observe que, para � = 2, o montante simples é menor do que o montante composto.

Em resumo, temos as seguintes relações

� = 1 O montante simples é igual ao montante composto. 0 < � < 1 O montante simples é maior do que o montante

composto. � > 1 O montante simples é menor do que o montante

composto.

3 Convenção Linear e Convenção Exponencial

Vimos que se o número de períodos for menor do que 1, é mais vantajoso para o credor cobrar juros simples.

Utilizaremos esse fato a favor do credor quando, na capitalização composta, o número de períodos for fracionário.

Por exemplo, estamos fazendo uma aplicação a juros compostos durante 3 meses e meio. Podemos dizer que o tempo 3,5 meses é igual a 3 meses + 0,5 meses. Assim, poderíamos calcular o montante no período fracionário sob o regime simples (para ganhar mais dinheiro obviamente).

Page 5: Matemática Financeira

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Em Matemática Financeira, quando o número de períodos é fracionário, podemos calcular o montante de duas maneiras:

- Convenção Exponencial

- Convenção Linear

Um capital de R$ 10.000,00 será aplicado por 3 meses e meio à taxa de 10% ao mês, juros compostos, em que se deseja saber o montante gerado.

- Convenção Exponencial

A convenção exponencial diz que o período, mesmo fracionário, será utilizado no expoente da expressão do montante.

Assim, (1 )nM C i= ⋅ +

3,510.000 (1 0,10)M = ⋅ +

3,510.000 1,10M = ⋅

O valor 1,103,5 = 1,395964 deverá ser fornecido pela questão.

10.000 1,395964M = ⋅

13.959,64M =

- Convenção Linear

A convenção linear considera juros compostos na parte inteira do período e, sobre o montante assim gerado, aplica juros simples no período fracionário.

Podemos resumir a seguinte fórmula para a convenção linear:

(1 ) (1 )IntfracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅

Nessa formula “Int” significa a parte inteira do período e nfrac a parte fracionária do período.

310.000 (1 0,10) (1 0,10 0,5)M = ⋅ + ⋅ + ⋅

310.000 1,10 1,05M = ⋅ ⋅

13.975,50M =

Page 6: Matemática Financeira

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Como era de se esperar, o montante da convenção linear foi maior do que o montante da convenção exponencial.

EC 1. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) O valor de um investimento de R$ 20 000,00, a uma taxa de juros compostos de 50% ao ano, ao final de dois anos é a) R$ 45.000,00 b) R$ 47.500,00 c) R$ 60.000,00 d) R$ 90.000,00 e) R$ 50.000,00 Resolução

� = � ∙ (1 + �)�

� = 20.000 ∙ (1 + 0,50)� = 45.000,00 Letra A EC 2. (BACEN 2010/CESGRANRIO) Um investidor aplicou R$ 20.000,00 num CDB com vencimento para 3 meses depois, a uma taxa composta de 4% ao mês. O valor de resgate dessa operação foi, em reais, de (Nota: efetue as operações com 4 casas decimais) a) 20.999,66 b) 21.985,34 c) 22.111,33 d) 22.400,00 e) 22.498,00

Resolução

� = � ∙ (1 + �)�

� = 20.000 ∙ 1,04� O enunciado mandou efetuar as operações com 4 casas decimais.

1,04 × 1,04 = 1,0816 1,0816 × 1,04 = 1,124864 ≅ 1,1249

� = 20.000 ∙ 1,04� = 20.000 ∙ 1,1249 = 22.498,00

Letra E

EC 3. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Os juros auferidos pela aplicação de um capital no valor de R$ 12.500,00, durante dois anos, a uma taxa de juros compostos de 8% ao ano, são iguais aos da aplicação de um outro capital no

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valor R$ 10.400,00, a juros simples, à taxa de 15% ao ano. O tempo em que o segundo capital ficou aplicado foi igual a

a) 22 meses b) 20 meses c) 18 meses d) 16 meses e) 15 meses

Resolução

Aplicação a juros compostos:

� = � ∙ �1 + ���

� = 12.500 ∙ �1 + 0,08��

� = 14.580

Assim, o juro composto é a diferença entre o montante e o capital aplicado 14.580 – 12.500 = 2.080.

Esse juro é igual ao da aplicação à taxa simples. A resposta do tempo de aplicação será dada em meses. Como a taxa é de 15% ao ano, a taxa equivalente mensal é 15%/12 = 1,25%=0,0125 ao mês.

� = � ∙ � ∙ �

2.080 = 10.400 ∙ 0,0125 ∙ �

2.080 = 130 ∙ �

� = 16 �

Letra D

EC 4. (AFRE-SC 2010/FEPESE) Suponha que uma taxa de juros compostos de 10% ao mês acumule no final de 5 meses $ 10.000,00. Calcule o valor inicial do investimento e assinale a alternativa que indica a resposta correta .

a) $ 2.691,43 b) $ 3.691,43 c) $ 4.691,43 d) $ 5.691,43 e) $ 6.691,43

Resolução

Na capitalização composta o montante é dado por

� = � ∙ (1 + �)�

10.000 = � ∙ (1 + 0, 10)�

Page 8: Matemática Financeira

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10.000 = � ∙ 1,61051

� =10.000

1,61051= 6.209,21

Não há gabarito compatível e a questão foi anulada.

EC 5. (Esp-Adm-Orç-Fin-Púb Pref. de São Paulo 2010/FCC) Uma pessoa aplicou metade de seu capital, durante um ano, a uma taxa de juros compostos de 8% ao semestre. Aplicou o restante do capital, também durante um ano, a uma taxa de juros simples de 4% ao trimestre. A soma dos juros destas aplicações foi igual a R$ 4.080,00. O montante referente à parte do capital aplicado a juros compostos apresentou o valor de a) R$ 14.400,00. b) R$ 14.560,00. c) R$ 14.580,00. d) R$ 16.000,00. e) R$ 16.400,00.

Resolução

Digamos que o capital total aplicado seja 2x. Assim , como utilizamos a metade do capital em cada uma das aplicações, então o capital das aplicações será x.

1ª aplicação (Regime Composto)

Sabemos que � = � + � ⇔ � = � − �

No regime composto, a relação entre o montante e o capital é a seguinte.

� = � ∙ (1 + �)�

A taxa é de 8% ao semestre e o tempo de aplicação é igual a 1 ano (2 semestres).

� = � ∙ 1,08�

� = 1,1664 ∙ �

Como � = � − �,

�� = 1,1664 ∙ � − �

�� = 0,1664 ∙ �

2ª aplicação (Regime Simples)

�� = � ∙ � ∙ �

Lembrando que a taxa é trimestral e que um ano é composto por 4 trimestres.

Page 9: Matemática Financeira

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�� = � ∙ 0,04 ∙ 4

�� = 0,16 ∙ �

A soma dos juros compostos com os juros simples é igual a R$ 4.080,00.

�� + �� = 4.080

0,1664 ∙ � + 0,16 ∙ � = 4.080

0,3264 ∙ � = 4.080

� = 12.500

Na aplicação do regime composto tivemos o seguinte montante.

� = 1,1664 ∙ �

� = 1,1664 ∙ 12.500 = 14.580,00

Letra C

EC 6. (CEF 2004 FCC) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de

a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40

Resolução

Temos nesta questão duas aplicações: uma no regime de capitalização simples e outra na capitalização composta. É fato que o montante na capitalização

simples é dado por (1 )SM C i n= ⋅ + ⋅

A taxa de juros e o tempo de aplicação do capital já estão na mesma unidade. Podemos aplicar diretamente a fórmula acima. O enunciado informou que a taxa é de 4% ao mês e o tempo é igual a 3 meses. Dessa forma,

500 (1 0,04 3)SM = ⋅ + ⋅

500 1,12SM = ⋅

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560SM =

Esse montante obtido na capitalização simples será o capital da segunda aplicação.

Teremos agora uma aplicação em juros compostos com capital inicial igual a R$ 560,00, taxa de juros igual a 5% ao mês durante dois meses.

O montante da capitalização composta é dado por (1 )nCM C i= ⋅ + .

2560 (1 0,05)CM = ⋅ +

2560 1,05CM = ⋅

617, 40CM =

Letra E

EC 7. (AFRE-CE ESAF 2006) Metade de um capital foi aplicada a juros compostos à taxa de 3% ao mês por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada à taxa de 3,5% ao mês, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais próximo deste capital, dado que as duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02 ao fim do prazo. (Considere que 1,0312 = 1,425760)

a) R$ 25 000,00. b) R$ 39 000,00. c) R$ 31 000,00. d) R$ 48 000,00. e) R$ 50 000,00.

Resolução

Chamemos o capital total aplicado de 2C. Assim, met ade (C) será aplicada a juros compostos e a outra metade (C) será aplicad a a juros simples.

Em qualquer um dos dois tipos de regime, o montante sempre é a soma do capital com os juros.

M C J J M C= + ⇒ = −

Capitalização Composta

Page 11: Matemática Financeira

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Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3% = 0,03 ao mês

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização composta será dado por:

12(1 )CJ M C C i C= − = ⋅ + −

121,03CJ C C= ⋅ −

1,425760 1CJ C C= ⋅ − ⋅

0,425760CJ C= ⋅

Capitalização Simples

Capital aplicado: C

Taxa de juros: 3,5% = 0,035 ao mês

Tempo de aplicação: 12 meses

Assim, o juro da capitalização simples será dado por:

SJ C i n= ⋅ ⋅

0,035 12SJ C= ⋅ ⋅

0, 42SJ C= ⋅

As duas aplicações juntas renderam um juro de R$ 21.144,02.

21.144,02S CJ J+ =

0, 42 0, 425760 21.144,02C C⋅ + ⋅ =

0,84576 21.144,02C⋅ =

Page 12: Matemática Financeira

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21.144,02

0,84576C =

25.000C =

O capital total aplicado é 2 ∙ �.

Logo, 2 50.000C⋅ =

Letra E

EC 8. (AFRE-MG ESAF 2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado aumenta 80% ao fim de quinze meses.

a) 4%. b) 5%. c) 5,33%. d) 6,5%. e) 7%.

Resolução

Podemos, para facilitar o raciocínio, admitir o que o capital inicial é igual a R$ 100,00. Para que o capital aumente 80%, os juros serão iguais a R$ 80,00 (80% de 100,00). Então o montante será igual a R$ 180,00. A taxa e o tempo estão na mesma unidade.

Apliquemos a fórmula dos juros compostos.

(1 )nM C i= ⋅ +

15180 100 (1 )i= ⋅ +

151,80 (1 )i= +

Foi fornecida uma tabela na prova para o auxílio de questões como essa.

Page 13: Matemática Financeira

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De acordo com essa tabela, a uma taxa de 4% temos 151,04 1,80≅ .

Letra A

EC 9. (Auditor Interno do Poder Executivo-Secretarias de Estado da Fazenda e da Administração-SC – 2005 – FEPESE) Determine o tempo em meses que um capital aplicado a uma taxa de juro composto de 3,00% ao mês será triplicado. Informações adicionais: log 3 ≅ 0,48 e log 1,03 ≅ 0,012.

Assinale abaixo a única alternativa correta .

a) 5 meses b) 10 meses c) 20 meses d) 30 meses e) 40 meses

Resolução

Já que a taxa de juros é mensal, então diremos que a capitalização também é mensal.

Page 14: Matemática Financeira

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Queremos que o capital seja triplicado. Ou seja, o montante será o triplo do capital (M = 3.C)

Assim, 3M C= ⋅ .

Ora, mas sabemos que na capitalização composta o montante é dado por

(1 )nM C i= ⋅ + . Temos então:

(1 ) 3nC i C⋅ + = ⋅

(1 0,03) 3n+ =

1,03 3n =

log1,03 log 3n =

log1,03 log 3n ⋅ =

log 3

log1,03n =

0, 48

0,012n =

0, 480 0480 48040 meses.

0,012 0012 12n = = = =

Letra E

EC 10. (CEF 2008 CESGRANRIO) O gráfico a seguir representa as evoluções no tempo do Montante a Juros Simples e do Montante a Juros Compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em unidades monetárias e t, na mesma unidade de tempo a que se refere à taxa de juros utilizada.

Page 15: Matemática Financeira

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Analisando-se o gráfico, conclui-se que para o credor é mais vantajoso emprestar a juros

a) compostos, sempre. b) compostos, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo. c) simples, sempre. d) simples, se o período do empréstimo for maior do que a unidade de tempo. e) simples, se o período do empréstimo for menor do que a unidade de tempo.

Resolução

O gráfico acima descreve bem o exemplo que fizemos anteriormente (aquele em que o montante simples foi maior do que o montante composto).

Quando o número de períodos da capitalização for menor do que 1 o juro simples será maior do que o juro composto.

Letra E

EC 11. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) A fração de período pela convenção linear produz uma renda a e pela convenção exponencial produz uma renda b. Pode-se afirmar que:

a) � = log� � b) � < � c) � = �

d) � = √�� e) � > �

Resolução

Vimos que:

� = 1 O montante simples é igual ao montante composto.

0 < � < 1 O montante simples é maior do que o montante

composto.

� > 1 O montante simples é menor do que o montante

composto.

Page 16: Matemática Financeira

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Assim, a fração de período pela convenção linear produz uma renda maior do que a convenção exponencial.

Letra E

EC 12. (AFRE – PB 2006 FCC) Um capital no valor de R$ 20.000,00 foi investido a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, durante 2 anos e 3 meses. O montante no final do período, adotando a convenção linear, foi igual a

a) R$ 25.500,00 b) R$ 24.932,05 c)) R$ 24.805,00 d) R$ 23.780,00 e) R$ 22.755,00

Resolução

Nesse problema temos uma taxa de 10% ao ano e o capital será investido durante 2 anos e 3 meses. Devemos adotar a convenção linear, então a parte fracionária do período (3 meses) será utilizada no regime simples. Como o ano tem 12 meses, 3 meses é igual a 1/4 do ano= 0,25 anos.

Assim,

(1 ) (1 )IntfracM C i i n= ⋅ + ⋅ + ⋅

220.000 (1 0,10) (1 0,10 0, 25)M = ⋅ + ⋅ + ⋅

220.000 1,10 1,025M = ⋅ ⋅

24.805,00M =

Letra C

EC 13. (BESC 2004/FGV) O montante de um principal de R$ 300,00 em 2 meses e 10 dias, a juros de 10% ao mês pela convenção linear, é igual a: a) R$ 370,00 b) R$ 372,00 c) R$ 373,00 d) R$ 375,10 e) R$ 377,10

Resolução

Page 17: Matemática Financeira

17

De acordo com a convenção linear, a parte inteira do período será aplicada a juros compostos enquanto que a parte fracionária será aplicada a juros simples. O período de 10 dias equivale a 1/3 do mês.

� = � ∙ �1 + ���� ∙ (1 + � ∙ �����)

� = 300 ∙ �1 + 0,10 ∙ 1 + 0,10 ∙1

3�

� = 300 ∙ 1,21 ∙ 1 +1

30� = 363 ∙ 1 +

1

30�

� = 363 +363

30= 363 + 12,1 = 375,10

Letra D

EC 14. (AFRF 2003/ESAF) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ano durante um ano e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percentual do montante considerando o seu cálculo pela convenção exponencial em relação ao seu cálculo pela convenção linear, dado que 1,401,5 =1,656502. a) 0,5% b) 1% c) 1,4% d) 1,7% e) 2,0%

Resolução

Assuma, por hipótese, que o capital aplicado é de R $ 100,00.

Convenção Exponencial

� = � ∙ �1 + ��

� = 100 ∙ (1 + 0,40),� = 100 ∙ 1,40,� = 100 ∙ 1,656502 = 165,6502

Convenção Linear

� = � ∙ �1 + ���� ∙ (1 + � ∙ �����)

� = 100 ∙ �1 + 0,40 ∙ (1 + 0,40 ∙ 0,5)

� = 100 ∙ 1,40 ∙ 1,20 = 168,00

Cálculo da perda percentual

������� = 168,00

����� = 165,6502

Page 18: Matemática Financeira

18

� =����� − �������

������� =165,6502 − 168

168=

2,3498

168∙ 100% =

234,98

168% ≅ 1,398%

Letra C

EC 15. (SEFAZ-RJ 2008/FGV) José dispõe de R$ 10.000,00 para aplicar durante seis meses. Consultando determinado banco, recebeu as seguintes propostas de investimento:

I – Juros simples de 2% ao mês. II – Juros compostos de 1% ao mês. III – Resgate de R$ 12.000,00, ao final de um período de seis meses.

Assinale:

a) se todas apresentarem o mesmo retorno. b) se a proposta I for a melhor alternativa de investimento. c) se a proposta II for a melhor alternativa de investimento. d) se a proposta III for a melhor alternativa de investimento. e) se as propostas I e III apresentarem o mesmo retorno.

Resolução

I – Juros simples de 2% ao mês durante 6 meses.

� = � ∙ �1 + � ∙ � = 10.000 ∙ �1 + 0,02 ∙ 6 = 11.200

II - Juros compostos de 1% ao mês durante 6 meses.

� = � ∙ �1 + �� = 10.000 ∙ �1 + 0,01� = 10.615,20

Portanto, a proposta III é a melhor alternativa de investimento.

Letra D

4 Taxas Equivalentes

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Essa definição de taxas equivalentes aplica-se tanto a juros simples quanto a juros compostos. Só que falar em taxas equivalentes no regime simple s é o mesmo que falar em taxas proporcionais.

Essa afirmação não é verdadeira quando se trata de juros compostos.

Exemplo

Page 19: Matemática Financeira

19

Qual é a taxa trimestral equivalente à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

Duas taxas são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital inicial, pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.

Se considerarmos o tempo igual a um trimestre (três meses), então teremos a seguinte equação:

3 1(1 ) (1 )m tC i C i⋅ + = ⋅ +

3(1 0,10) 1 ti+ = +

1 1,331ti+ =

0,331ti =

33,1%ti =

Portanto, a taxa de 10% ao mês é equivalente a 33,1% ao trimestre.

Para o cálculo das taxas equivalentes basta efetuar a comparação dos fatores �1 + ��

Exemplo

Qual é a taxa anual equivalente à taxa de juros compostos de 20% ao trimestre?

Já que 1 ano é o mesmo que 4 trimestres, temos a seguinte relação:

�1 + ����� = �1 + ���������� �

1 + ����� = �1 + 0,2�

1 + ����� = 2,0736

����� = 1,0736

����� = 107,36% � ��

Page 20: Matemática Financeira

20

5 Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Há um mau hábito em Matemática Financeira de anunciar taxas proporcionais (no regime composto) como se fossem equivalentes. Uma expressão do tipo “24% ao ano com capitalização mensal” significa na realidade “2% ao mês”.

A taxa de 24% ao ano é chamada taxa nominal e a taxa 2% ao mês é chamada de taxa efetiva.

No regime de juros compostos, uma taxa é dita nominal quando o período a que a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização. Por exemplo, uma taxa de 24% ao ano com capitalização mensal é uma taxa nominal porquanto a taxa se refere ao período de um ano, mas a capitalização dos juros é realizada mensalmente (ou seja, os juros são calculados uma vez por mês e imediatamente incorporados ao capital). Já quando a taxa é efetiva quando o período a que a taxa se refere coincide como período de capitalização. No nosso exemplo, a taxa de 2% ao mês com capitalização mensal é uma taxa efetiva.

São exemplos de taxas nominais:

- 30% ao mês com capitalização diária .

- 48% ao ano com capitalização bimestral .

Uma taxa de juro é dita efetiva se o período a que ela estiver referenciada for coincidente com o período de capitalização. Assim, uma taxa de juros de 20% ao ano com capitalização anual é uma taxa efetiva.

Nesse caso, podemos dizer simplesmente “taxa efetiva de 20% ao ano” que estará subentendido “20% ao ano com capitalização anual”.

A taxa de juros nominal é a mais comumente encontrada nos contratos financeiros. Contudo, apesar de sua larga utilização, pode conduzir a ilusões sobre o verdadeiro custo financeiro da transação, pois os cálculos não são feitos com taxa nominal !!!

Ao se deparar com uma taxa nominal, para efeito de cálculo, a mesma deve ser convertida para taxa efetiva por meio da seguinte fórmula:

���� ������� =���� ����

ú��� �� ���í�� �� ������ ���çã ������ �� ���� �����

Vejamos alguns exemplos que mostram a conversão de taxa nominal para taxa efetiva.

Page 21: Matemática Financeira

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Exemplo 1: Taxa nominal de 60% ao ano com capitalização bimestral.

1 ano corresponde a 6 bimestres. Assim, a taxa efetiva bimestral será

60%10% a.b.

6bi = =

Se quisermos calcular a taxa efetiva anual, temos que utilizar o conceito de taxas equivalentes.

Portanto, a taxa efetiva anual será calculada da seguinte maneira:

1 6(1 ) (1 )a bi i+ = +

61 (1 0,10)ai+ = +

61,10 1ai = −

0,7715ai =

77,15%ai =

Ou seja, se a unidade do período utilizado for ano, a taxa que deverá ser utilizada para efeito de cálculo será 77,15% a.a. (essa é a taxa efetiva) e não 60% (taxa nominal). Já se a unidade utilizada for bimestre, a taxa utilizada para efeito de cálculo será 10% a.b..

Para o cálculo dos juros ou do montante, nunca utilizaremos a taxa nominal diretamente. Devemos utilizar a taxa efetiva implícita na taxa nominal.

6 Taxa Real e Taxa Aparente

Imagine que Thiago fez uma aplicação financeira durante 2 anos e obteve um rendimento total de 80%. Mas nesse período de 2 anos houve uma inflação total de 60%. Então, na verdade, o ganho real não foi de 80%, pois se assim fosse, não estaríamos levando em conta a perda causada pela inflação!

A taxa de 80% do nosso problema é denominada taxa aparente.

A taxa real é aquela que leva em consideração a perda influenciada pela inflação.

E como calcular a taxa real nessa situação?

Page 22: Matemática Financeira

22

Para facilitar o processo mnemônico, utilizaremos as seguintes notações:

A → taxa aparente

I → inflação no período

R → taxa real

É válida a seguinte relação:

A I R I R= + + ⋅

No nosso exemplo:

A = 80% = 0,8

I = 60% = 0,6

R → taxa real = ?

A I R I R= + + ⋅

0,8 0,6 0,6R R= + + ⋅

0,8 0,6 1,6 R− = ⋅

1,6 0, 2R⋅ =

0, 2 20,125

1,6 16R = = =

12,5%R =

Podemos concluir, que a taxa real de juros nesse ambiente inflacionário foi de 12,5%.

A expressão que fornece a taxa real em função da taxa aparente e da inflação é a seguinte:

1

A IR

I

−=+

No nosso exemplo,

Page 23: Matemática Financeira

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0,8 0,6 0, 212,5%

1 1 0,6 1,6

A IR

I

− −= = = =+ + .

EC 16. (CEF 2008 CESGRANRIO) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente?

a) 75,0% b) 72,8% c) 67,5% d) 64,4% e) 60,0%

Resolução

Vamos analisar cada parte do enunciado.

“ ... uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente”.

Já que um quadrimestre (4 meses) é composto por dois bimestres (2 meses), a taxa efetiva bimestral é dada por

40%20% a.b.

2bi = =

Já que a taxa efetiva bimestral é 20%, para calcula r a taxa efetiva semestral devemos utilizar o conceito de taxas equi valentes. Lembrando que um semestre é composto por 3 bimestres.

1 3(1 ) (1 )s bi i+ = +

31 (1 0,20)si+ = +

1,728 1 0,728si = − =

72,8%si =

Letra B

EC 17. (AFRF 2001/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. a) 12,3600% b) 12,5508% c) 12,6825%

Page 24: Matemática Financeira

24

d) 12,6162% e) 12,4864%

Resolução

Já que um ano é composto por 12 meses, a taxa efetiva mensal é:

�� =12%

12= 1% �� �ê�

Devemos fazer a comparação dos fatores �1 + ��� para o cálculo da taxa de juros anual.

�1 + ���� = �1 + �����

1 + �� = �1 + 0,01���

Consultando a tabela financeira:

1 + �� = 1,126825

�� = 0,126825 = 12,6825%

Letra C

EC 18. (Auditor Fiscal – Pref. de Fortaleza 2003/ESAF) O capital de R$ 20.000,00 é aplicado à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização trimestral. Obtenha o montante ao fim de dezoito meses de aplicação. a) R$ 27.200,00 b) R$ 27.616,11 c) R$ 28.098,56 d) R$ 28.370,38 e) R$ 28.564,92

Resolução

Já que um ano é composto por 4 trimestres, a taxa efetiva trimestral é:

�� =24%

4= 6% �� �����

O tempo de aplicação é de 18 meses, mas como a nossa taxa efetiva é trimestral, então usaremos o fato de que 18 meses equivalem a 6 trimestres.

� = � ∙ (1 + �)�

� = 20.000 ∙ (1 + 0,06)� = 28.370,38

Letra D

Page 25: Matemática Financeira

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EC 19. (SUSEP 2010/ESAF) No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crédito ao custo de 80 % ao ano com capitalização trimestral. Também no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crédito ao custo dado pela taxa semestral equivalente à taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mário, por sua vez, obteve 100 unidades monetárias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mário honraram seus compromissos nos respectivos períodos contratados, então os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mário, foram, respectivamente, iguais a: a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre. b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre. c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre. d) 240 % ao ano e 88 % ao ano. e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre. Resolução Banco X: 80% ao ano com capitalização trimestral (taxa nominal). Logo, a taxa efetiva trimestral é 80% /4 = 20% a.t. O custo efetivo pago por Maria ao longo de um ano (4 trimestres) foi de:

(1 + ��)� = (1 + ��)�

�� = (1 + ��)� − 1

�� = (1 + 0,20)� − 1 = 1,0736 = 107,36% Banco Y: Já que a taxa efetiva trimestral do banco Y é de 20% a.t., a taxa equivalente semestral será (1+20%)2 – 1 = 0,44 = 44% ao semestre. Como Mário pagará sua dívida ao final de um semestre, seu custo percentual foi de 44%. Letra E

EC 20. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) A taxa de juros compostos anual equivalente à taxa de 30% ao quadrimestre é a) 114,70% b) 107,55% c) 109,90% d) 90,00% e) 119,70% Resolução

Page 26: Matemática Financeira

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Lembremos que o quadrimestre é um período de 4 mese s e que 1 ano é composto por 3 quadrimestres.

(1 + ��)� = (1 + �)

1 + �� = (1 + 0,3)

1 + �� = 2,197

�� = 1,197 = 119,70% Letra E EC 21. (DNOCS 2010/FCC) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: a) (1,02)�� − 1� b) �(18 ∙ √1,36

��

− 1� c) �(18 ∙ √1,24

��

− 1� d) �(3 ∙ √1,24 − 1� e) �(6 ∙ √1,24

− 1� Resolução O primeiro passo é calcular a taxa efetiva mensal. O problema forneceu a taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal. Portanto, a taxa efetiva mensal é de 24%/12 = 2%.

� = � ∙ (1 + �)�

� + � = � ∙ (1 + �)�

� = � ∙ (1 + �)� − �

� = � ∙ (1 + �)� − 1�

� = 25.000 ∙ (1 + 0,02)�� − 1�

� = 25.000 ∙ (1,02)�� − 1� Letra A EC 22. (AFRM – Pref. de Angra dos Reis 2010/FGV) Um empréstimo pós-fixado foi pago com uma taxa aparente de 23,20%. Sabendo-se que a taxa de inflação no período do empréstimo foi de 10%, a taxa de juros real foi de a) 12,00%

Page 27: Matemática Financeira

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b) 25,52% c) 16,52% d) 33,20% e) 13,20% Resolução Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente

I → inflação no período

R → taxa real

É válida a seguinte relação:

� = � + � + � ∙ �

0,2320 = 0,10 + � + 0,10 ∙ �

0,2320 − 0,10 = 1,10 ∙ �

1,10 ∙ � = 0,1320

� = 0,12 = 12%

Letra A

EC 23. (APOFP/SEFAZ-SP/FCC/2010) Um investidor aplicou o capital de R$ 24.000,00, resgatando todo o montante após um ano. Sabe-se que a taxa real de juros desta aplicação e a taxa de inflação do período correspondente foram iguais a 10% e 2,5%, respectivamente. O montante resgatado pelo investidor foi de

a) R$ 27.060,00 b) R$ 27.000,00 c) R$ 26.460,00 d) R$ 26.400,00 e) R$ 25.800,00

Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente

I → inflação no período

R → taxa real

Page 28: Matemática Financeira

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É válida a seguinte relação:

� = � + � + � ∙ �

� = �,���+ �,��+ �,��� ∙ �,�� = �,���� = ��,��%

Então o montante resgatado pelo investidor é dado por

� = � ∙ �1 + ��� = 24.000 ∙ �1 + 0,1275�� = 27.060,00

Letra A

EC 24. (BESC 2004/FGV) Uma rentabilidade nominal de 80%, em um período em que a inflação foi de 20%, equivale a uma rentabilidade real de: a) 20% b) 44% c) 50% d) 55% e) 60%

Resolução

Para facilitar o processo mnemônico, chamaremos de:

A → taxa aparente

I → inflação no período

R → taxa real

É válida a seguinte relação:

� = � + � + � ∙ �

0,80 = 0,20 + � + 0,20 ∙ �

0,60 = 1,20 ∙ �

� =0,60

1,20= 0,50 = 50%

Letra C

EC 25. (BNB 2004 ACEP) A quantia de R$ 5.000,00 foi aplicada por um período de 2 anos, transformando-se em R$ 40.000,00. Se a rentabilidade real no período foi de 100%, qual a inflação medida no mesmo período?

a) 100% ao período b) 200% ao período c) 300% ao período d) 400% ao período e) 500% ao período

Page 29: Matemática Financeira

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Resolução

O problema já nos deu diretamente o valor de R (taxa real): 100% = 1.

Calculemos a taxa de juros aparente no período.

(1 )nM C A= ⋅ +

O valor de n é igual a 1, pois a taxa real foi dada para todo o período de 2 anos (biênio).

140.000 5.000 (1 )A= ⋅ +

8 1 A= +

7A =

Para calcular a inflação no período, vamos utilizar a fórmula descrita anteriormente.

A I R I R= + + ⋅

7 1 1I I= + + ⋅

6 I I= +

3I =

Para transformar a inflação em termos percentuais d evemos multiplicar por 100%.

3 100% 300%I = ⋅ =

Letra C

EC 26. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um investidor aplicou R$ 80.000,00 no início de um determinado ano e resgatou no final de dois anos o montante de R$ 98.280,00, esgotando-se totalmente seu crédito referente a esta operação. Sabe-se que a taxa de inflação referente ao primeiro ano de aplicação foi de 5% e ao segundo, 4%. Então, a correspondente taxa real de juros, no período desta aplicação foi de

2 6I⋅ =

Page 30: Matemática Financeira

30

a) 11,25% b) 12,5% c) 12,85% d) 13,65% e) 13,85%

Resolução

Para calcular a inflação acumulada podemos utilizar a seguinte fórmula:

� = ��+ ��� ∙ ��+ � � ∙ ⋯ ∙ ��+ ��� − �

Dessa forma, a inflação acumulada nos dois anos foi de:

� = �1 + 0,05� ∙ �1 + 0,04� − 1 = 0,092

Para o cálculo da taxa aparente, consideraremos � = 1, pois queremos calcular a taxa real no período de 2 anos.

� = � ∙ (1 + �)�

98.280 = 80.000 ∙ (1 + �)�

� = 0,2285

� = � + � + � ∙ �

0,2285 = 0,092 + � + 0,092 ∙ �

0,1365 = 1,092 ∙ �

� =0,1365

1,092= 0,125 = 12,5%

Letra B

EC 27. (SEFAZ-RJ 2007/FGV) O artigo 1º da Lei 11.948 de 28 de junho de 2007, que dispõe sobre o salário mínimo a partir de 1º de abril de 2007, é transcrito a seguir: “A partir de 1º de abril de 2007, após a aplicação do percentual correspondente à variação do Índice Nacional de Preços ao Consumidor – INPC, referente ao período entre 1º de abril de 2006 e 31 de março de 2007, a título de reajuste, e de percentual a título de aumento real, sobre o valor de R$ 350,00 (trezentos e cinqüenta reais) o salário mínimo será de R$ 380,00 (trezentos e oitenta reais).” Considerando que o INPC acumulado no período foi de 3,4%, o percentual a título de aumento real a que a lei se refere foi de: a) 5,2%. b) 4,8%. c) 5,0%. d) 5,8%. e) 5,5%.

Page 31: Matemática Financeira

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Resolução

Vejamos primeiramente qual foi o aumento aparente do salário mínimo.

�������� = 350 e ������ = 380

� =������ − ����������������

=380 − 350

350= 8,57%

A inflação no período considerado, medido pelo INPC, foi de 3,4%.

Calculemos o aumento real:

� = � + � + � ∙ �

0,0857 = 0,034 + � + 0,034 ∙ �

0,0517 = 1,034 ∙ �

� =0,0517

1,034= 0,05 = 5%

Letra C

7 Capitalização Contínua

Voltemos à fórmula = ! ∙ (�+ �)�.

Essa formula é a base para virtualmente todos os cálculos financeiros, aplicando-se a contas bancárias, empréstimos, hipotecas e anuidades.

Alguns bancos calculam o juro acumulado não uma vez, mas várias vezes por ano!

Se, por exemplo, uma taxa de juros anual de 5% é capitalizada semestralmente, o banco usará metade da taxa de juros anual como taxa por período. Daí que, num ano, um capital inicial de R$ 100,00 será composto duas vezes, cada vez a uma taxa de 2,5%. Assim, teremos 100 x 1,0252 = 105,0625, cerca de seis centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.

Na comunidade bancária podemos encontrar todos os tipos de composição de juros - anual, semestral, trimestral, e mesmo diário.

Suponha que a capitalização será feita 12 vezes ao ano (uma vez por mês). O banco usa a taxa de juros anual dividida por 12. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 12.

O montante obtido seria igual a

Page 32: Matemática Financeira

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120,05

100 112

M = ⋅ +

105,11M =

Cerca de 11 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.

Suponha que a capitalização será feita 1000 vezes ao ano . O banco usa a taxa de juros anual dividida por 1000. A taxa usada seria igual a 5% dividido por 1000.

O montante obtido seria igual a

10000,05

100 11000

M = ⋅ +

105,12M =

Cerca de 12 centavos a mais do que o mesmo dinheiro renderia se fosse composto anualmente a 5%.

Parece que qualquer aumento no número de capitalizações no período não afetará o resultado – as mudanças acontecerão em dígitos cada vez menos significativos.

Mas será que esse padrão continua? É possível que, não importa o quão elevado seja n, os valores do montante estacionem em algum ponto.

Esta intrigante possibilidade foi de fato confirmada!!

Imagine agora que queiramos capitalizar o nosso valor principal a TODO INSTANTE. Não estamos falando a cada hora, nem a cada minuto, nem muito menos a cada segundo. Estamos falando a TODO INSTANTE. Qual seria o montante ao final de um ano?

Essa resposta é dada pela fórmula, inM C e= ⋅ , onde

2,7182818...e = .

Essa capitalização “a todo instante” é denominada c apitalização contínua.

Vejamos um exemplo:

Page 33: Matemática Financeira

33

Calcule o montante após 20 anos, da aplicação, a juros compostos, de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 5% ao ano, considerando a capitalização contínua.

Resolução

Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capita lização contínua.

inM C e= ⋅

0,05 201.000M e ⋅= ⋅

11.000 1.000 2,71828M e= ⋅ = ⋅

2.718,28M =

EC 28. (Inspetor Fiscal – Prefeitura do Município de São Paulo – 1998/ESAF) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado à taxa mensal de 5% por um prazo de 40 meses, com regime de capitalização contínua. Qual o montante resultante dessa aplicação? (Use e = 2,7)

a) R$ 62.300,00 b) R$ 63.900,00 c) R$ 66.700,00 d) R$ 72.900,00 e) R$ 75.600,00

Resolução

Devemos aplicar a fórmula do montante em uma capita lização contínua.

inM C e= ⋅

0,05 4010.000 2,7M ⋅= ⋅

210.000 2,7M = ⋅

72.900,00M =

Letra D

Page 34: Matemática Financeira

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EC 29. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere que o logaritmo neperiano de 1,8 é igual a 0,6. Aplicando um capital de R$ 25.000,00 a uma taxa de 4% ao mês, com capitalização contínua, verifica-se que o montante, no momento do resgate, é igual a R$ 45.000,00. O período de aplicação é igual a a) 12 meses. b) 15 meses. c) 18 meses. d) 21 meses. e) 24 meses.

Resolução

O montante, na capitalização contínua é dado por � = � ∙ ��

45.000 = 25.000 ∙ �,���

�,��� = 1,8

ln �,��� = ln 1,8

0,04n ∙ ln = ln 1,8

0,04� ∙ 1 = 0,6

� =0,6

0,04= 15 ���

Letra B

EC 30. (SEFAZ-SP 2006/FCC) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado à taxa semestral �, durante 2 anos, com capitalização contínua, apresentando, no final do período, um montante igual a R$ 200.000,00. Utilizando ln 2 = 0,69 (ln é o logaritmo neperiano), tem-se que � é igual a

a) 14,02% b) 17,25% c) 30% d) 34,5% e) 69%

Resolução

Observe que como a taxa é semestral, então o número de períodos é igual a 4 semestres.

O montante, na capitalização contínua é dado por � = � ∙ ��

200.000 = 50.000 ∙ ��

�� = 4

Page 35: Matemática Financeira

35

ln �� = ln 4

ln �� = ln 2�

4� ∙ "� = 2 ∙ "�2

4� ∙ 1 = 2 ∙ 0,69

� = 0,345 = 34,5%

Letra D