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1 Matemática EsSA FERNANDO CUNHA CÓRES SÉRIE FORÇAS ARMADAS ESSA MATEMÁTICA VOLUME 3 PRIMEIRA EDIÇÃO BRASÍLIA FERNANDO CUNHA CÓRES 2011

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Page 1: Matemática EsSA

1 Matemática EsSA

Fernando Cunha Córes

série Forças armadas

essamatemátiCa

Volume 3

Primeira edição

Brasília

Fernando Cunha Córes

2011

Page 2: Matemática EsSA

2 Matemática EsSA

Page 3: Matemática EsSA

3 Matemática EsSA

Córes, Fernando Cunha Série Forças Armadas. EsSA: Matemática/Fer-nando Cunha Córes. - 1.ed. - Brasília, 2011.

1. Matemática. 2. Admissão à Escola de Formação de Sargento das Armas.

IPM Publicações

ISBN -----------------

Page 4: Matemática EsSA

4 Matemática EsSA

Page 5: Matemática EsSA

5 Matemática EsSA

CAP

1Conceitos e relações numéricas

1) Teoria elementar dos conjuntos

2) Conjuntos numéricos

3) Funções

1) Teoria elementar dos Conjuntos

A teoria dos conjuntos desempenha papel fundamental na Matemática moderna. Conjunto, elemento e relação de pertinência são elementos intuitivos, ou seja, aceitos sem definição.

Revisemos os principais operadores lógicos.

Símbolo Significado

∧ e

∨ou

→Se ... então

↔Se, e somente se...

∃Existe (para algum)

∃Existe um único

∀Qualquer que seja

Notação:

É comum representarmos os conjuntos por letras latinas maiúsculas e seus elementos entre chaves, separados por vírgulas ou ponto e vírgula.

Exemplos: 1) Seja A o conjunto das vogais, podemos representar A das seguintes formas: (a) forma tabular: A = { }a b c d e, , , , .

(b) por uma propriedade: A é vogal={ }x x/ .

(c) diagrama de Venn – Euler:

Page 6: Matemática EsSA

6 Matemática EsSA

Relação de pertinência:

Usada para indicar se um elemento está ou não em um conjunto. Exemplo: A = { }a b c d e, , , , ; a Î A , f Ï A .

Relação de inclusão

Se todo elemento de um dado conjunto A é também elemento de um conjunto B, então di-zemos que A está contido em B, isto é, A BÌ . Em símbolos, x x∈ ⇒ ∈ ⇔ ⊂A B A B .

Exemplo: Sejam A 1 1= { } { }{ }{ }1 1, , , e B 1 1= { } { }{ } { }{ }{ }1 1 1, , , , , temos que A BÌ .

Conjuntos Especiais

a) Conjunto Vazio – Æ ou { } .

b) Conjunto unitário – a{ } .

Igualdade de conjuntos

Se dois ou mais conjuntos possuírem os mesmos elementos então eles serão iguais. Em lin-guagem simbólica A B A B B A.= ⇔ ⊂ ⊂∧

Observe que no caso dos conjuntos A 1 1= { } { }{ }{ }1 1, , , e B 1 1= { } { }{ } { }{ }{ }1 1 1, , , , , A é

um subconjunto próprio de B, pois está contido em B, mas não é igual a B.

Conjunto das partes

O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é chamado de conjunto das partes ou conjunto potência de A.

Exemplo: A A={ }⇒ = ∅ { } { } { }{ }1 2 1 2 1 2 1 2, ( ) , , , , , ,P .

Observe que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto e que o número de ele-mentos do conjunto das partes, ou seja, a cardinalidade do conjunto P( )A com n elementos é igual a n P n( )A( ) = 2 .

Operações com conjuntos

1) União - A B A B∪ = ∈ ∈{ }∨x x x/ .

A

BU

Page 7: Matemática EsSA

7 Matemática EsSA

2) Interseção – A B A B∩ = ∈ ∈{ }∧x x x/ .

U

A

B

*Dois conjuntos são ditos disjuntos se A B∩ =∅ .

3) Diferença – A B A B− = ∈ ∉{ }∧x x x/ .

A

BU

4) Complementar – C x x xAB A B= ∈ ∧ ∉{ }/ .

A

BU

Cardinalidade da União

Representaremos por n( )A o número de elementos do conjunto A, ou seja, sua cardinalida-de. Daí temos que:

1) Para dois conjuntos:n n n n( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B∪ = + − ∩ .

Se A e B são disjuntos, então n n n( ) ( ) ( )A B A B∪ = + . 2) Para três conjuntos:

n n n n n n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( (A B C A B B A B A C) B C) A B C)∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

Exemplo: No lançamento de um dado, de quantas maneiras podemos obter números ímpares ou números primos?

Nesse caso temos A = { }1 3 5, , e B 3,= { }2 5, , então A B 2, 3,∪ ={ }1 5, .

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8 Matemática EsSA

n( )A B∪ = + − =3 3 2 4

5) Produto Cartesiano – A B A B× = ( ) ∈ ∧ ∈{ }x y x y, / .

Exemplo: Sejam A = { }1 2 3, , e B = { }1 5, , então A B (1, 1); (1, 5); (2, 1); (2, 5); (3, 1); (3, 5)× = { }

1) Num clube, dentre os 500 inscritos no departamento de natação, 30 são unicamente nada-dores, entretanto 310 também jogam futebol e 250 também jogam tênis. Os inscritos em nata-ção que também praticam futebol e tênis são em número de:

a) 80b) 90c) 100d) 110e) 120

2) Considere os seguintes conjuntos:I é ímpar= ∈{ / }n n

P é primo= ∈{ / }n n

M é múltiplo de 3= ∈{ / }n n

Então temos:a) P I⊂b) I P⊂c) P M ∩ =∅d) ( ) ( )M P I P∩ ⊂ ∩e) M I⊂

3) Num grupo de 2000 adultos, apenas 20% são portadores do vírus da hepatite B. Os ho-mens desse grupo são exatamente 30% do total e apenas 10% das mulheres apresentam o vírus. O número total de homens desse grupo que não apresenta o vírus é, exatamente,

a) 140b) 260c) 340d) 400e) 600

4) (Epcar) Seja X um conjunto tal que X 4−{ }={ }1 2 3 7 8, , , , e X 1 2 3 5 6 1 2 3∩{ }={ }, , , , , , . En-tão, X pode ser igual a

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9 Matemática EsSA

a) {1, 2, 3} b) {1, 2, 3, 4}c) {1, 2, 3, 4, 5, 6}d) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

5) (Epcar) Se C e D são dois conjuntos não-vazios, de modo que C DÌ , então, a) sempre existe x, x Î D , tal que x Ï C .b) se x Î D , então x ÎC .c) se x Ï D , então x ÎC .d) C e D não têm elementos em comum.

6) (EsSA) Sejam três conjuntos A, B e C. Sabe-se que o número de elementos do conjunto A é 23; o número de lementos de B C∩( ) é 7 e o número de elementos de A B C∩ ∩( ) é 5. O número de elementos de A B A C∪( )∩ ∪( ) é:

a) 21b) 25c) 30d) 23e) 27

7) (EsSA) Se A e B são conjuntos quaisquer, não vazios, podemos afirmar que a única opção falsa é:

a) A B B A− = ∅⇒ ⊂b) A B A A B B∩ = ⇒ ∪ =c) a a a∈ ∈ ⇒ ∈ ∩A e B A Bd) a a a∈ ⊂ ⇒ ∈A e B Be) a a a∈ ∪ ⇒ ∈ ∈A B A ou B

8) (EEAR) Dados os conjuntos A = { }1 2 3 4, , , , B = { }3 4 5, , e C = { }1 2 5, , . Ao determinar o conjunto M, tal que: A M = { }1 2 3 4, , , , B M = { }3 4 5, , , C M A B = , podemos concluir que M é um conjunto

a) vazio. b) que possui dois elementos.c) unitário.d) que possui três elementos.

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10 Matemática EsSA

2) Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números naturais ( )

Chama – se conjunto dos números naturais o conjunto � …= { }1 2 3, , , . Este conjunto também é chamado de conjunto dos números inteiros positivos. Podemos considerar com a inclusão do 0, ou seja, � …= { }0 1 2 3, , , , . A discussão de o número "0" ser ou não natural é irre-levante, entretanto nas aplicações deve estar bem claro se o "0" pertence ao conjunto dos núme-ros naturais.

Conjunto dos números inteiros ( )

Chama – se conjunto dos números inteiros o conjunto � …= ± ± ±{ }0 1 2 3, , , , . No conjun-

to dos números inteiros vamos destacar uma importante operação, a divisão.Dizemos que um inteiro a é divisível por outro inteiro b se, e somente se, existe um inteiro

c tal que a b c= ⋅ . Em simbologia matemática: b a c a b c⇔ ∃ = ⋅/ . Dizemos então que:

(i) b é divisor de a .(ii) b divide a ( b a ).(iii) a é múltiplo de b .(iv) a é divisível por b .

Da definição de divisibilidade temos como conseqüência o conceito de número primo. Um inteiro positivo p , p >1 , é dito primo se, e somente se, os únicos divisores de p são ±1 e ± p , ou seja, os únicos divisores naturais de p são ele mesmo e a unidade. Todo número não primo é dito composto.

Teorema fundamental da Aritmética. Todo inteiro positivo pode ser escrito de forma única como produto de números primos.

Exemplo: 12 2 32= ⋅ Para fatorarmos um inteiro positivo devemos dividi–lo sucessivamente pelos primos conhe-

cidos. Quantidade de divisores positivos de um número natural. Estando o número natural na

forma canônica (forma fatorada) devemos adicionar uma unidade a cada expoente e multiplicar essas somas.

N = ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ = + ⋅ + ⋅ ⋅ +p p p n Dnn

n11

22

1 21 1 1α α α α α α ( ) ( ) ( ) ( ) .

Exemplo: 48 2 34= ⋅ ⇒ = + ⋅ + =n( ) ( ) ( )48 4 1 1 1 10

Máximo divisor comum (MDC). Para determinarmos o maior divisor positivo comum de dois números devemos, estando os números na forma fatorada, tomar o produto dos fatores comuns com menores expoentes.

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11 Matemática EsSA

Exemplo: 48 2 34= ⋅ 30 2 3 5= ⋅ ⋅ MDC (30, 48) = ⋅ =2 3 6 Mínimo múltiplo comum (MMC). Para determinarmos o menor múltiplo positivo comum

de dois números devemos, estando os números na forma fatorada, tomar o produto dos fatores comuns com maiores expoentes e dos fatores não comuns.

Exemplo: 48 2 34= ⋅ 30 2 3 5= ⋅ ⋅ MMC (30, 48) = ⋅ ⋅ =2 3 5 2404

Critérios de Divisibilidade

Podemos verificar se determinado número inteiro é divsível por outro aplicando algumas regras de divisibilidade que descrevemos a seguir:

i) Divisibilidade por 2: um número é divisível por dois quando o algarismo das unidade for 0, 2, 4, 6 ou 8.

ii) Divisibilidade por 3 (ou 9): um número é divisível por três (ou nove) quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por três (ou nove).

iii) Divisibilidade por (4 ou 8): um número é divisível por quatro (ou oito) quando o número formado pelos dois (ou três) últimos algarismos da direita for divisível por quatro (ou oito).

iv) Divisibilidade por 5: um número é divisível por cinco quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.

v) Divisibilidade por 6: um número é divisível por seis quando for divisível simultaneamen-te por 2 e 3.

vi) Divisibilidade por 10: um número é divisível por dez quando o algarismo das unidades for 0.

vii) Divisibilidade por 11: um número é divisível por onze quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par for divisível por onze.

viii) Divisibilidade por 12: um número é divisível por doze quando for divisível simultane-amente por 3 e 4.

b.3) Conjunto dos números racionais ( ) Chama – se número racional todo número que pode ser expresso na forma p

q,

p q q, ∈ ≠ e 0 , i.e., � � �= = ∈ ∧ ∈

x x pqp q/ , * .

Exemplos: a) 0 25 1

4, = ;

b) 1 666 53

, = .

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Conjunto dos números irracionais ( ).

Chama – se número irracional a todo número que não pode ser expresso na forma pq

, p q q, ∈ ≠ e 0 .

Exemplos: a) π = 3 1415, ; b) 2 1 14142= , .

Conjunto dos números reais ( )

Chama – se conjunto dos números reais ao conjunto dos racionais e dos números irra-cionais.

� � � �= ∪ −( )

9) A seguir, estão três afirmativas sobre números reais:I. O número 2,325666… é racional.

II. O número 7 pode ser escrito na forma pq , na qual p e q são inteiros, com q ¹ 0 .

III. O valor de m=−( )33

2 é –1 ou 1.

O número de afirmativas corretas é:a) 0b) 1c) 2d) 3

10) (EsSA) Se 3a9b é divisível ao mesmo tempo por 2 e por 5, então b é igual a:a) -2b) -1 c) 2d) 1e) 0

11) Assinale a afirmativa CORRETA:a) Para quaisquer a b e irracionais, a b- 2 é irracional.b) Se a b e são reais e a b ab2 2 2+ = , então a b= .

c) Para quaisquer a b e reais, a b≠− , a ba b

a ab b−

+= + −3 3

23 3 23.

d) Se a é real e a a4 2= , então a =1 ou a=−1 .e) Se a b e são reais e a b a b3 33 + = + , então a b= = 0 .

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13 Matemática EsSA

12) Considere as seguintes afirmativas:I. O produto de dois números irracionais é um número irracional.II. A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional;III. Se um número natural “a” é divisor do produto de dois outros naturais “b” e “c”, então “a”

é divisor de “b” ou de “c”. IV. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real.Pode-se afirmar que:a) todas as afirmativas são falsas.b) todas as afirmativas são verdadeiras.c) apenas a afirmativa IV é verdadeira.d) apenas as afirmativas I e III são falsas.e) apenas a afirmativa I é falsa.

13) (EsPCEx) É correto afirmar que:a) A soma e a diferença de dois números naturais é sempre um número natural.b) O produto e o quociente de dois números inteiros é sempre um número inteiro.c) A soma de dois números racionais é sempre um número racional.d) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.e) O produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.

14) (EsSA) A soma de dois números naturais consecutivos é 11. O produto desses números é:a) 13b) 22c) 30d) 9e) 28

15) (EsPCEx) Dados os conjuntos:

={ }x x/ é um número real={ }x x/ é um número racional={ }x x/ é um número naturalP x x={ }/ é um número primo

E considerando as afirmações:(I) P Ì(II) � �Ì(III) P É(IV) 6∈ ∩ ∩ ∩( )� � � P(V) 5∈ ∩( ) P

Estão corretas as afirmações:

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14 Matemática EsSA

a) I e IIIb) II e Vc) III e IVd) IV e Ve) I e V

16) (EsSA) O menor número que se deve subtrair de 21.316 para se obter um número que seja simultaneamente divisível por 5 e por 9 é:

a) 29b) 31c) 33d) 36e) 37

17) (EsSA) Três rolos de fio medem, respectivamente, 24 m, 84 m, 90 m, Eles foram cortados em pedaços iguais e do maior tamanho possível. Então, o comprimento de cada pedaço é:

a) 8 m b) 3 m c) 6 m d) 2 m e) 4 m

18) (EsSA) A potência 2 12121212 990 0, ...( ) tem quantos divisores naturais ?a) 12.b) 13. c) 120. d) 121. e) 991.

19) (EsSA) O maior número pelo qual se deve dividir 243 e 391 para obter respectivamente os restos 3 e 7 é “x”. Pode-se afirmar que o algarismo das dezenas de “x” é igual a:

a) 9b) 8c) 2d) 6e) 4

20) (EsSA) Se decompusermos em fatores primos o produto dos números naturais de 1 a 200 e escrevermos os fatores comuns em uma única base, o expoente do fator 5 será:

a) 46b) 49c) 48

Page 15: Matemática EsSA

15 Matemática EsSA

d) 45e) 47

21) (EEAR) Sendo A = × ×2 3 53 2 , B = ×2 34 3 e C = ×2 35 4 , então o quociente da divisão do m.m.c. pelo m.d.c. dos números A, B e C é

a) 36b) 90c) 180d) 450

22) (EEAR) Assinale a alternativa falsa.a) Se dois números são primos, então eles são primos entre si.b) Dois números primos entre si podem ser primos.c) Um número par e outro ímpar podem ser primos entre si.d) Se dois números são primos entre si, então eles são necessariamente primos.

23) (EEAR) Quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, pode-se dizer quea) x y⋅ é irracional.b) y y⋅ é racional.c) x y− + 2 é irracional.d) x y+ 2 é irracional.

24) (EEAR) Se m a= ⋅ ⋅ ⋅2 3 5 72 2 3 e n b= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 3 5 7 113 5 3 , e mdc m n, .( ) =18 900 , então os va-lores de a e b são, respectivamente,

a) 3 e 1 b) 2 e 3 c) 3 e 2 d) 2 e 2

25) (EEAR) Os elementos de um conjunto A são tais que 10 deles são múltiplos de 4; 9 são múltiplos de 6; 8 são múltiplos de 12; e 4 são números ímpares. Se A Ì ( = conjunto dos números naturais), então o número de elementos de A é

a) 31. b) 25. c) 21. d) 15.

26) (EEAR) Seja n n∈ <

* / 312 . A fração irredutível n312

, escrita na forma decimal, é um (a)

a) decimal exato. b) número inteiro.c) dízima periódica simples.

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16 Matemática EsSA

d) dízima periódica composta. 27) (EEAR) Dois números primos entre si têm por produto 5184. Se o menor deles é a maior

potência inteira de 2, menor que 100, então o maior deles éa) uma potência de 5. b) uma potência de 3. c) múltiplo de 11.d) múltiplo de 7.

Produtos Notáveis e Fatoração

a) Produtos Notáveis

a) Produto de conjugados b) Quadrado de um binômio

( )( )x a x b x a− − = −2 2 ( )x a x xa a+ = + +2 2 22

( )x a x xa a− = − +2 2 22

c) Cubo de um binômio d) Produto de Stevin

( )x a x x a xa a+ = + + +3 3 2 2 33 3

( )x a x x a xa a− = − + −3 3 2 2 33 3

( )( ) ( )x a x b x a b x ab+ + = + + +2

e) Quadrado de um trinômio

( )a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +2 2 2 2 2 2

f) Cubo de um trinômio

( )a b c a b c a b a c ab ac b c bc abc+ + = + + + + + + + + +3 3 3 3 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 6

b) Fatoração

a) Agrupamento b) Diferença de quadrados

ax bx ay by a b x y+ + + = + +( )( ) a b a b a b2 2− = − +( )( )

c) Diferença de cubos d) Soma de cubos

a b a b a ab b3 3 2 2− = − + +( )( ) a b a b a ab b3 3 2 2+ = + − +( )( )

e) Trinômio quadrado perfeito

x xa a x a2 2 22+ + = +( )

Exemplos1) Calcule a) ( ) ( )a b c a b c+ + − + +2 2 2 2 .

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17 Matemática EsSA

Solução:Temos que: ( ) ( ) (a b c a b c a b c ab ac bc a b c ab ac+ + − + + = + + + + + − − − = + +2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 bbc)

2) Calculando 934287 9342862 2− , obtemos:a) 1. b) 2. c) 1868573.d) 1975441.e) 0.

Solução:

Observe que 934287 934286 934287 934286 934287 934286 18685732 2− = + ⋅ − =( ) ( )

28) O natural n para o qual ( ) ( )10 2500 10 2500 1012 2 12 2+ − − = n é igual a:a) 10. b) 12. c) 14. d) 16. e) 18.

29) Se m n p+ + = 6 , mnp = 2 e mn mp np+ + =11 , podemos dizer que o valor de mnp

nmp

pmn

+ + é:

a) 1.b) 18. c) 3. d) 22.e) 7.

30) Calcule o valor de 123456789 123456790 1234567882 − ( ).( ) .

31) (EsSA) Na fatoração do polinômio x y xy x y2 2 2+ − − + , um dos fatores é:a) x y- -1 b) x y+ c) x y+ −1 d) x y− +1 e) x y+ +1

Page 18: Matemática EsSA

18 Matemática EsSA

32) (EsSA) A expressão algébrica x y z yz x y z2 2 2 2− − + + + − admite como fator:a)− + + +x y z 1

b) x y z− − +1c) x y z+ − +1d) x y z− + +1e) x y z+ + +1

33) (EsSA) A expressão a b a b+( ) ⋅ −( )2 2 é equivalente a:

a) a b4 4- b) a b4 + 4 �c) a a b b4 2 2 42+ + d) a a b b4 2 2 42− +e) a a b b4 2 2 42- -

34) (EsSA) Sendo a a¹ ¹3 0 e , a forma mais simples da expressão a a

a a

2

26 9

3− +

− é:

a) 2 9a + b) 9 2- a c) 2 3a + d)

aa− 3

e)aa−+

33

35) (EsSA) Se a a b ab b3 2 2 33 3 125+ + + = e a a b ab b3 2 2 33 3 1− + − = , tem-se que 2 3a b−vale:

a) 0 b) 6 c) –1 d) 5 e) 8

Grandezas proporcionais

Duas grandezas são proporcionais quando existe uma correspondência x y→ , que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da outra, de tal modo que sejam cumpri-das as seguintes condições:

Page 19: Matemática EsSA

19 Matemática EsSA

1) Quanto maior for x , maior será y . Em termos matemáticos:se x y→ então x x< ' implica y y< ' .

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x então o valor correspondente de y será do-brado, triplicado, etc. Na linguagem matemática:

se x y→ então nx ny→ , para todo n∈ .

Nas condições acima, a correspondência x y→ chama-se uma proporcionalidade. x e y são ditas grandezas diretamente proporcionais.

Da mesma forma, duas grandezas são inversamente proporcionais quando existe uma cor-respondência x y→ , que associa a cada valor x de uma delas um valor y bem definido da ou-tra, de tal modo que sejam cumpridas as seguintes condições:

1) Quanto maior for x , menor será y . Em termos matemáticos:se x y→ então x x< ' implica y y> ' .

2) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x então o valor correspondente de y será me-tade, a terça parte etc. do valor inicial. Na linguagem matemática:

se x y→ então nxyn

→ , para todo n∈ .

Nas condições acima, a correspondência x y→ chama-se uma proporcionalidade. x e y são ditas grandezas inversamente proporcionais.

36) (EsSA) Um pedreiro verificou que para transportar 180 tijolos usando um carrinho de mão, levando sempre a mesma quantidade de tijolos, precisaria dar “x” viagens. Se levasse 3 tijo-los a menos em cada viagem, precisaria fazer mais duas viagens. A soma dos algarismos de “x” é:

a) 2b) 10c) 9d) 1e) 11 37) (EsSA) Um trabalhador gasta 5 horas para limpar um terreno circular de 8 m de raio. Ele

cobra r$ 4,00 por hora de trabalho. Para limpar um terreno circular de 24 m de raio, o trabalhador cobrará, em reais:

a) 40.b) 180.c) 60.

Page 20: Matemática EsSA

20 Matemática EsSA

d) 120.e) 80.

38) (EsSA) 50 operários deveriam fazer uma obra em 60 dias. 15 dias após o início do serviço, são contratados mais 25 operários para ajudar na construção. Em quantos dias ficará pronto o restante da obra?

a) 30b) 34c) 36d) 28e) 32

39) (EsSA) A proporção entre as medalhas de ouro, prata e bronze conquistadas por um atleta é 1:2:4, respectivamente. Se ele disputar 77 competições e ganhar medalhas em todas elas, quantas medalhas de bronze ele ganhará?

a) 55b) 33c) 44 d) 22e) 11

40) (EsSA) Um grupo de 18 homens pretendem construir um muro em 15 dias. Ao final de 10

dias perceberam que só haviam realizado 25

da obra. Se o grupo for reforçado com mais 12

homens, quanto tempo a mais que o pretendido levarão para concluir a obra? a) 2b) 4c) 7d) 9e) 10

41) (EsSA) Para armar um circo, 50 homens levam 2 dias, trabalhando 9 horas por dia. Com a dispensa de 20 homens, em quantos dias o circo será armado, trabalhando-se 10 horas por dia?

a) 7 dias b) 6 diasc) 5 diasd) 4 diase) 3 dias 42) (EEAR) Se os números 3, x e 10 são inversamente proporcionais aos números 5, 25 e y,

então os valores de x e y estão compreendidos entrea) 0 e 1

Page 21: Matemática EsSA

21 Matemática EsSA

b) 1 e 2 c) 1 e 3 d) 0 e 2

43) (EEAR) Se 20 cavalos consomem 30 toneladas de feno em 45 dias, então, durante quan-tos dias se podem alimentar 15 cavalos, com 40% menos toneladas de feno, dando a mesma quantidade de feno por dia?

a) 24 b) 36 c) 40 d) 42

3. Funções

Definição. Uma função f , de um conjunto A em um conjunto B, é uma relação que faz cor-respondência entre cada elemento x de A e um único elemento y de B, ou seja, y f x= ( ) ( y é função de x ). Em linguagem simbólica temos:

f é uma função ⇔∀ ∈ ∃ ∈ =x y f x yA, B tal que ( ) .

O conjunto A é chamado de domínio da f e B é chamado de contradomínio de f , cada elemento y de B que corresponde ao elemento x de A é chamado de imagem de x e re-presentado por f x( ) .

1

2

34

5

a

b

c

d

A

BA B

Notações: Domínio: D f a b c d e( ) , , , ,= { } .

Contradomínio: CD f( ) , , , ,= { }1 2 3 4 5 .

Imagem: Im( ) , ,f = { }1 2 3 .

Domínio de funções reais

Page 22: Matemática EsSA

22 Matemática EsSA

Um a função fica completamente definida quando conhecemos seu domínio, seu contrado-mínio e sua lei de formação. Quando nos referimos a uma função real, ou seja, de valores reais, citando apenas sua lei de formação fica implícito que seu domínio é o mais amplo possível . Desta forma o conjunto D f( ) é constituído por todos os números reais x para os quais f x( )∈ . Assim, por exemplo, se f D: → tal que f x p x

q x( ) ( )

( )= devemos ter

D x q x= ∈ ≠{ } / ( ) 0 ou se f x p x( ) ( )= então D x p x= ∈ ≥{ } / ( ) 0 .

Gráfico de uma função

Dado que uma função é uma relação de equivalência, portanto um conjunto de pares orde-nados e como entre cada par ordenado e cada ponto do plano cartesiano há uma correspondên-cia biunívoca, então toda função possui representação gráfica.

y

xx1

y1

y2

x2 0

Paridade de uma função

a) função par Uma função é dita par se, e somente se, para todo elemento do seu domínio temos que

f x f x( ) ( )= − .f é par ⇔ ∀ ∈ ⇒ = −x D f f x f x( ) ( ) ( )

Exemplo: f x x( ) = 2 .

b) função ímparUma função é dita ímpar se, e somente se, para todo elemento do seu domínio temos que

f x f x( ) ( )− = − . f é ímpar ⇔ ∀ ∈ ⇒ − = −x D f f x f x( ) ( ) ( )

Exemplo: f x x( ) = 3 .

Page 23: Matemática EsSA

23 Matemática EsSA

Tipologia de uma função

a) função injetoraUma função f é dita injetora se, e somente se, para quaisquer dois elementos do domínio,

x1 e x2 , se x x1 2¹ então f x f x( ) ( )1 2¹ .

f é injetora ⇔ ∀ ∈ ≠ ⇒ ≠x x D f x x f x f x1 2 1 2 1 2, ( ), ( ) ( )

ou

f é injetora ⇔ ∀ ∈ = ⇒ =x x D f f x f x x x1 2 1 2 1 2, ( ), ( ) ( )

b) função sobrejetoraUma função f é dita sobrejetora, e somente se, para todo y do contradomínio existe x do

domínio tal que f x y( ) =

f é sobrejetora ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =y CD f x D f f x y( ), ( ) / ( )

c) função bijetoraUma função f é dita bijetora se, e somente se, for injetora e sobrejetora.

f é bijetora ⇔ ∀ ∈ ∃ ∈ =y CD f x D f f x y( ), ( ) / ( )

Função Afim

Definição

Chama-se função afim a toda f : → tal que f x ax b( ) = + , com a be constantes.

Exemplos:

a) f x x( ) = 12

(função linear).

b) f x( ) = 3 (função constante).

c) FC

= +95

32 , esta função expressa a temperatura na escala Fahrenheit em função da

escala Celsius.

Page 24: Matemática EsSA

24 Matemática EsSA

Gráfico

O gráfico da função afim é uma reta. y

0

(0, b)

f x ax b( ) = +

Estudo do sinal da função afim

(1) Primeiro caso: a f> ⇒0 é crescente.

ba

-

( ) 0f x =( ) 0f x >

( ) 0f x <

¯

Concluímos que para: a) x b

a f x> − ⇒ >( ) 0 (imagens sempre positivas).

b) x ba f x= − ⇒ =( ) 0 (imagem nula, −b a é zero da função).

c) x ba f x< − ⇒ <( ) 0 (imagens sempre negativas).

(2) Segundo caso: a f< ⇒0 é decrescente.

ba

-

( ) 0f x =( ) 0f x >

( ) 0f x <

¯

Concluímos que para: a) x b

a f x> − ⇒ <( ) 0 ( imagens sempre negativas).

b) x ba f x= − ⇒ =( ) 0 (imagem nula, −b a é zero da função).

Page 25: Matemática EsSA

25 Matemática EsSA

c) x ba f x< − ⇒ >( ) 0 ( imagens sempre positivas).

Exemplo:Seja f x

x xx

( ) ( )( )=

− − ++

2 2 62 3

uma função definida em − −{ }32 . Determine os valores de x

para os quais as imagens de f são não negativas.Solução:

O enunciado nos pede que solucionemos a inequação

( )( ) ( )( )x xx

x xx

− − ++

≥ ⇔− −

+≤

2 2 62 3

0 2 2 62 3

0 , primeiro observe que f x g x h xi x

( ) ( ) ( )( )

=⋅

, onde

g h i, e são funções do tipo afim, cujas raízes são 2, 3 e −32

.

32

-

- - - - ---+++ + ++ + +++ + ++

2 3

Como − 32 não pertence ao domínio da função, temos nossa solução é dada por

x x< − ≤ ≤32 3 ou 2 ou −∞ −( ) [ ], , 33

2 2 .

44) Na função real definida por f xx x

x( )

.=

−( ) +( )−

1 1

12 , x ¹1 , f 2( ) vale:

a) 2 1−b) 2 1+c) 2 14 −d) 2 14 +e) 2

45) Dadas as funções reais definidas por f x x( ) = +4 1 e f g x x( )( ) = 3 , então o valor de k

tal que g f k( )( ) = 4 é:

a) 14

b) 45

Page 26: Matemática EsSA

26 Matemática EsSA

c) 2d) 3

e) 76

46) (EEAR) Seja f xx

xxx x

( ) =+ −

+++

5 121

91

5 . O domínio de f é

a) − −{ }0 1, b) *

c) − −{ }1 5,d) * , ,− − −{ }1 1 5

47) (EEAR) Dois números, x e y, estão relacionados da seguinte forma: “a cada número x corresponde um único número y, que é o dobro do quadrado de x menos 8 unidades”. Nessas condições, é falso afirmar que

a) y é função de x.b) x é função de y.c) se x = 13 , y =18 .d) se y = 32 , x = ± 2 5 .

48) (EEAR) É par a função f : * → definida por

a) f xx

( ) = 12

b) f xx

( ) = 1

c) f x x( ) =

d) f x x( ) = 5

49) (EEAR) A função f : → definida por f n

n n

n n( )

,

,=

+

21

2

se é par

se é ímpar é

a) bijetora.b) somente sobrejetora.c) somente injetora.d) não injetora e não sobrejetora.

50) (EEAR) O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos −( )3 4, e

3 0,( ) . Se f −1 é a função inversa de f , então f − ( )1 2 é

Page 27: Matemática EsSA

27 Matemática EsSA

a) 2 b) 0

c) −32

d) 32

51) (EEAR) Se x∈ e f x( ) é uma função tal que f p q f p f q+( ) = ( ) ( ). e f 2 2( ) = , então

f f0 2( ) −( ) e são, respectivamente,

a) 1 e 12

b) 0 e 12

c) 1 e 0

d) 1 e – 4

52) (EEAR) Seja f : → uma função. O conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com uma reta vertical

a) é não enumerável.b) possui um só elemento.c) possui exatamente dois elementos.d) possui, pelo menos, dois elementos.

53) (EEAR) Seja uma função f do 1.º grau. Se f −( ) =1 3 e f 1 1( ) = , então o valor de f 3( ) éa) – 1. b) – 3. c) 0. d) 2.

54) (EEAR) O maior valor inteiro de k que torna crescente a função f : → , definida por f x k x( ) ( )= − +2 3 3 , é

a) 1b) 0c) –1d) –2

Page 28: Matemática EsSA

28 Matemática EsSA

55) (EEAR) Seja a função f : −{ }→ −{ }3 1 , definida por f xxx

( ) = +−

33

. Pela inversa de f ,

o número 5 é imagem do número

a) 14

b) 13

c) 4

d) 3

56) (EsPCEx) O conjunto solução da inequação x

x x+≥

−61

4é:

a) { / }x x ou x∈ < − > 6 4 b) { / }x x x x∈ < − − ≤ < ≥ ou ou 6 1 4 6c) { / } x x∈ − < < 6 4d) { / } ou x x x∈ − < ≤ ≥ 6 1 6e) { / }x x∈ − ≤ < 1 6

57) (EEAR) O maior número inteiro que satisfaz a inequação 23

12

1 12

2 3x x+

− ≥ +( ) é

a) – 4b) – 3c) – 2d) 3

58) (EsPCEx) Com relação à função g xxx

( ) = −+

11

, definida para x ≠ −1 , pode-se afirmar que

a única alternativa correta é:

a) g x( )£ 0 para todo x∈ − −{ } 1 , 0 .b) não existe x∈ tal que g x( ) = 0c) g x( ) ≥ 0 para todo x∈ − + ∞] [1,d) g x( ) < 0 para todo x∈ −] [1 1,e) não existe x∈ tal que g x( ) = 2

59) (EsPCEx) Sejam as funções reais f x( ) e g x( ) . Se f x x( ) = + 2 e f g xx( ( )) =2

, pode-se

afirmar que a função inversa de g x( ) é:

Page 29: Matemática EsSA

29 Matemática EsSA

a) g x f x− =1

2( ) ( )

b) g x x− =+1 42

( )

c) g x f x− =1( ) ( )

d) g x f x− =1 2( ) ( )

e) g x x− =−1 42

( )

60) (EsPCEx) A quantidade de combustível gasto por um veículo blindado, por quilômetro rodado, está indicada pelo gráfico abaixo. Qual a função que representa o consumo C(d) em relação à distância d percorrida?

a) C d d( ) = 0 75,

b) C d d( ) = 0 25,

c) C d d( ) =1 75,

d) C d d( ) = 0 25,

e) C d d( ) =1 20,

C (litros)

75

0 100 d (km)

Função Quadrática

Definição

Uma função f : → que associa a todo número x∈ o número ax bx c2 + + , onde a b c, e são constantes reais, a ¹ 0 , é chamada de função quadrática.

f : →x ax bx c→ + +2

Zeros da função

Os zeros (ou raízes) da função quadrática, i.e., os valores que anulam a função

f x ax bx c( ) = + +2 são iguais a xba1 2

=− + ∆

e xba2 2

=− − ∆

.

Page 30: Matemática EsSA

30 Matemática EsSA

Forma fatorada

Se ∆ ≥ 0 a função terá duas raízes reais. Então podemos escrever: f x a x x x x( ) ( )( )= − −1 2 .

Forma canônica

Uma função quadrática está na forma canônica quando podemos a escrevemos na forma

f x a x ba a

( ) = +

2 4

2

2 .

Gráfico de uma função quadrática

O gráfico de uma função quadrática é a representação no plano cartesiano dos pontos ( , )x ax bx c 2 + + , x∈ . Tal curva recebe o nome de parábola.

Parábola

Eixo de simetria

Vértice

Diretriz

V

Coordenadas do vértice

Vamos tomar sobre a parábola dois pontos, P e P’, que estejam sobre uma mesma paralela. É fácil verificar que P e P’ são simétricos em relação ao eixo que contém o vértice da parábola. Tais pontos têm ordenadas iguais e abscissas dadas por x kV + e x kV − , observe a figura abaixo.

Vértice V

y

x

PP’

Vx x +kx -kV

Vy

V

As coordenadas do vértice são V ( , )− −∆b

a a2 4.

Com as propriedades discutidas até aqui, e levando em conta ainda que para ∆ < 0 a pará-bola não corta o eixo das abscissas e para ∆ = 0 ela apenas tangencia aquele eixo, é possível construir o gráfico da função y ax bx c= + +2 .

Page 31: Matemática EsSA

31 Matemática EsSA

Exemplo:

Esboçar o gráfico da função f x x x( ) = − + +2 2 3 .

Solução:

Raízes⇒ = −x1 1 e x2 3= , concavidade⇒ = − <a 1 0 (para baixo) e vértice⇒ V ( , )1 4 .

y

x0-1 3

3V(1, 4)

Imagem da função quadrática

(1) Primeiro caso: a > 0 .

V

y

xx 1

x v

Vy

x 2

(0, c)

0

Observe que todas as imagens são tais que f x y( ) ≥ V , logo podemos escrever que:

Im = ∈ ≥ −∆

y ya

/4

.

(2) Segundo caso: a < 0 .

Vy

xx 1 x v

Vy

x 2(0, c)

0

Observe que todas as imagens são tais que f x y( )£ V , logo podemos escrever que:

Im = ∈ ≤ −∆

y ya

/4

.

Page 32: Matemática EsSA

32 Matemática EsSA

Extremos da função quadrática

(1) Primeiro caso: a > 0 .Se a > 0 dizemos que a função tem um valor mínimo igual a y

amin = −∆4

quando xba

= −2

.

(2) Segundo caso: a < 0 .Se a < 0 dizemos que a função tem um valor máximo igual a y

amax = −∆4

quando xba

= −2

Exemplo: (UnB) A trajetória de um projétil é dada pela função f x x x( ) = −10 2 . Se a é a altura máxima

atingida pelo projétil e b seu alcance máximo, encontre ab5

.

Solução: Primeiro vamos observar que a = − <1 0 , logo a função terá um ponto de máximo. Portanto

a altura máxima é dada por f xa

mmax ( ) ( )( )

= −∆= −

− ⋅ − ⋅⋅ −

=4

10 4 1 04 1

252

. Para calcular o alcance

máximo vamos considerar que o projétil tenha sido lançado ao nível do solo, como os zeros da função são 0 e 10, temos a situação descrita pelo gráfico abaixo.

Vy

5

25

10 0 x

Logo temos que a m= 25 e b m=10 , daí ab m5

25 102

125=⋅

= .

Variação do sinal da função quadrática

(1) Primeiro caso: a > ∆ >0 0 e .

xx 1 x 2( ) 0f x = ( ) 0f x =

( ) 0f x >( ) 0f x >

( ) 0f x <¯ ¯

As imagens de f são positivas para todos os valores de x que estão nos intervalos exteriores às raízes e negativas para todos os valores de x que estão no intervalo das raízes, ou seja:

( i ) Se x x x f x∈ −∞] [ ∞] [ ⇒ >, , ( ) + 1 2 0 .

Page 33: Matemática EsSA

33 Matemática EsSA

( ii ) x x x x f x= = ⇒ =1 2 0 ou ( )

( iii ) Se x x x f x∈] [⇒ <1 2 0, ( ) .

(2) Segundo caso: a < ∆ >0 0 e .

xx 1 x 2

( ) 0f x = ( ) 0f x =( ) 0f x >

( ) 0f x < ( ) 0f x <

¯ ¯

As imagens de f são negativas para todos os valores de x que estão nos intervalos exterio-res às raízes e positivas para todos os valores de x que estão no intervalo das raízes, ou seja:

(i) Se x x x f x∈ −∞] [ ∞] [ ⇒ <, , ( ) + 1 2 0 .

(ii) x x x x f x= = ⇒ =1 2 0 ou ( )

(iii) Se x x x f x∈] [⇒ >1 2 0, ( ) .

(3) Terceiro caso: ∆ = 0 .As imagens de f serão positivas (negativas) se a > 0 (se a < 0 ) ou nulas caso em que

x x x= =1 2 .

x

( ) 0f x =

( ) 0f x =

( ) 0f x >

( ) 0f x >( ) 0f x >

( ) 0f x <( ) 0f x <( ) 0f x <

¯

¯

4) Quarto caso: ∆ < 0 .As imagens de f serão sempre positivas (negativas), se a > 0 (se a < 0 ) para todos os valo-

res de x Df∈ .

x( ) 0f x >

a>0( ) 0f x >( ) 0f x >

( ) 0f x <

( ) 0f x <

a<0( ) 0f x <

Page 34: Matemática EsSA

34 Matemática EsSA

52) Para que a parábola y x mx= + +2 52 não intercepte a reta y = 3 , devemos tera) − < <4 4mb) m m< − >3 4 ou c) m m> < −5 5 ou d) m m= − =5 5 ou e) m ¹ 0

53) (EEAR) A fórmula que define a função quadrática, cuja representação gráfica é uma pará-bola, cuja concavidade é voltada para baixo e que não intercepta o eixo das abscissas, é

a) y x x=− − − 2 2 1b) y x x=− + +5 72 c) y x x= − −3 2 22

d) y x x=− − −6 52

54) (EEAR) A expressão que completa o conjunto S x= ∈{ } / .............. , solução das inequa-

ções x x x2 21 2 3 5+ < − ≤ − , é

a) − < ≤2 12

x

b) 12

2≤ <x

c) − ≤ < −3 2x

d) x x< − ≥2 12

ou

55) (EEAR) As dimensões de um retângulo são numericamente iguais às coordenadas do vértice da parábola de equação y x x= − + −4 12 82 . A área desse retângulo, em unidades de área, é

a) 1.b) 1,5. c) 2. d) 2,5.

56) (EEAR) A função f : A → , definida por f x x x( ) = + +2 4 3 tem conjunto domínio A igual a

a) x x x∈ ≤ ≥{ } / 1 3 oub) x x x∈ < >{ } / 1 3 ouc) x x x∈ < − > −{ } / 3 1 oud) x x x∈ ≤ − ≥ −{ } / 3 1 ou

Page 35: Matemática EsSA

35 Matemática EsSA

57) (EsPCEx) Se um retângulo tem base x e perímetro 100, então a área A do retângulo é dada em função de sua base por:

a) A x x x x( ) ;= − < <2 50 0 50b) A x x x x( ) ;=− + < <2 50 0 50c) A x x x x( ) ;=− + < <2 100 0 100d) A x x x x( ) ( );= − < <2 50 0 50e) A x x x x( ) ( );= − < <100 0 100

58) (EsPCEx) Considere m n p, e números reais não nulos e as função f ge de variável real, definida por f x mx nx p( )= + +2 , g x mx p( )= + . A alternativa que melhor representa os grá-ficos de f ge é:

a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

d)

x

y

e)

x

y

Page 36: Matemática EsSA

36 Matemática EsSA

59) (EsPCEx) Pode-se afirmar que a função real yx x xx x

=− − ⋅ +

+ −

( ) ( )2 1 32 3

2

2 , após conveniente-

mente simplificada, é equivalente a:

a) y x= +2 1 para − −{ }3 1, .

b) y x= +2 1 para − −{ }3 1, .

c) y x= + 2 para − −{ }3 1, .

d) y x= +12

para − −{ }3 1, .

e) y x= +3 1 para − −{ }3 1, .

60) (EsPCEx) A função f x x( )= − ⋅ −2 16256 10 tem como uma de suas raízes:a) 0,00016b) 16 10 4⋅ −

c) 0,00000016d) 16 10 16⋅ −

e) 160 4-

61) (EEAR) A inequação x x x2 5 6 3 0− +( ) −( ) ≥ tem para conjunto soluçãoa) x x∈ ≥{ } / 3 b) x x∈ ≥{ } / 2 c) x x∈ ≤ ≤{ } / 2 3 d) x x x∈ ≤ ≥{ } / 2 3ou

62) (EEAR) Se f x mx m x m( ) ( ) ( )= + − + −2 2 1 2 possui um zero real duplo, então o valor de m é

a) −14

b) −35

c) 4d) 5

63) (EsPCEx) Se o domínio da função f x x x( ) ( ) ( )= − ⋅ −2 29 4 é D f( ) { , , , , }= − −3 2 0 2 3 ,

pode-se dizer que seu conjunto imagem possui:a) exatamente 5 elementos.b) exatamente 4 elementos.c) um único elemento.d) exatamente 2 elementos.e) exatamente 3 elementos.

Page 37: Matemática EsSA

37 Matemática EsSA

64) (EsPCEx) A figura mostra uma função quadrática, definida por f x x x( )=− + +2 6 7 , e uma função afim g x( ) . O ponto V é o vértice da parábola e P é uma raiz da função f x( ) . O grá-fico de g x( ) passa por esses dois pontos. O valor da ordenada onde o gráfico da função g x( ) corta o eixo y é:

a) 2

b) 72

c) 4

d) 92

e) 6

y

P

V

f(x)x

g(x)

43) (EsPCEx) Sejam as funções reais f x x( )= +2 1 e g x x x( )= − +2 6 4 . A função composta h x g f x( ) = ( )( ) é:

a) 4 6 12x x- - b) 2 2 12x x+ −c) 4 12x - d) 4 8 12x x- -e) 2 12 12x x- -

Função Modular

Módulo de um número real

Definição. Dado um número real x , definimos módulo ou valor absoluto de x (indica-se x ) da seguinte forma:

xx x

x x=

≥− <

,, se

se 0

0.

2) Propriedades:a) x ≥ 0 , ∀ ∈x .

b) x y x y x y⋅ = ⋅ ∀ ∈, , .

c) x x2 2= , ∀ ∈x .

d) x x£ , ∀ ∈x .

e) x y x y x y+ ≤ + ∀ ∈, , .

Page 38: Matemática EsSA

38 Matemática EsSA

f) x a a x a x a≥ > ⇔ ≤ − ≥, ou 0 .

g) x a a a x a≤ > ⇔ − ≤ ≤, 0 .

Função Modular

Chama-se função módulo ou função modular a toda f : → , tal que f x x( ) = .

Gráfico

Como f x x( ) = , temos que f xx xx x

( ),

,=

≥− <

00

. Daí temos que o seguinte gráfico:

y

0 x

( )f x x=( )f x x=-

44) (EEAR) A equação x x2 6 0+ − =

a) só tem uma solução.b) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a – 6.c) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a – 4.d) tem duas soluções, tais que seu produto é igual a 0.

45) (EEAR) Sobre a equação na variável real x , x− − − =1 3 2 0 , podemos afirmar que

a) ela não admite solução real.b) a soma de todas as suas soluções é 6.c) ela admite apenas soluções positivas.d) a soma de todas as soluções é 4.e) ela admite apenas duas soluções reais.

46) (EsPCEx) O valor da soma entre o menor e o maior valor assumido pela expressão

xx

yy

xyxy

+ +2

, quando x y e variam no conjunto de todos os números reais não nulos, é:

a) –6 b) –2

Page 39: Matemática EsSA

39 Matemática EsSA

c) 2 d) 4 e) 6

47) (EsPCEx) Dada a equação 2 3 5 0x x− + − = a soma de todas as suas soluções é igual a:

a) 3

b) 83

c) 2

d) 43

e) 23

48) (EEAR) Se a be são dois números reais e a razão de a para b é 0,7, pode-se afirmar sem-pre que

a) a b>

b) a b<

c) a b>

d) a b<

49) (EEAR) A soma das raízes da equação 2 3 1x x− = − é:a) 1

b) 53

c) 103

d) 5

50) (EEAR) Considere a equação − = +3 6 2x x . Com respeito às raízes dessa equação, pode-mos afirmar que elas pertencem ao intervalo

a) 1 2, . [ ]b) 2 5, . ] [c) 0 4, . ] ]d) 1 4, . ] ]

Page 40: Matemática EsSA

40 Matemática EsSA

51) (EEAR) No conjunto solução da inequação 13

5− <x

, a quantidade de números inteiros pares é

a) 14 b) 12 c) 10 d) 8

52) (EsPCEx) Sejam x ye números reais não nulos. Das seguintes afirmações:

I - Se x y= então x y=

II - x y x y+ ≥ +

III - Se 0 1< <x então x x2 <

IV - Se x < 0 então x x= 2

Pode-se concluir que:a) todas são verdadeirasb) somente a IV é falsac) somente I e III são verdadeirasd) somente a III é verdadeirae) somente II e IV são falsas

Função Exponencial

1) Definição

Dado um número real a ( a > 0 e a ¹1 ), chama-se função exponencial a toda f : * → +

definida por f x ax( ) = .

2) Gráfico

(1) Primeiro caso: a >1 .

y

x

(0, 1)

0

( ) xf x a=

Page 41: Matemática EsSA

41 Matemática EsSA

Observe que a função é crescente em todo o seu domínio, ou seja, x x f x f x2 1 2 1> ⇒ >( ) ( ) .

(2) Segundo caso: 0 1< <a .

y

x(0, 1)

0

( ) xf x a=

Observe que a função é decrescente em todo o seu domínio, ou seja, x x f x f x2 1 2 1> ⇒ <( ) ( ) .

Da análise dos gráficos acima podemos concluir que o conjunto imagem da função exponen-cial é o conjunto dos reais positivos ( Im *= + ). Logo se tomarmos para contradomínio o mesmo conjunto a função será sobrejetora e admitirá inversa.

Equações exponenciaisSão as equações do tipo a af x g x( ) ( )= , onde a a> ≠0 1 e . Se a > 0 e a ¹1 , então a equação

a af x g x( ) ( )= é equivalente a equação f x g x( ) ( )= . Exemplo: Resolver a equação 2 9 8

20x

x− + = .

Solução:A equação acima é equivalente a 2 9 2 8 0 2 9 2 8 02 2x x x x− ⋅ + = ⇒ ( ) − ⋅ + = , fazendo 2x y= ,

temos que y y y y21 29 8 0 8 1− ⋅ + = ⇒ = ∨ = . Daí temos que

2 8 3 2 1 0x xx x= ⇒ = ∨ = ⇒ = . S = { }0 3,

Inequações exponenciais É toda desigualdade do tipo a af x g x( ) ( )≥ , ou similar. Para sua resolução deve-se ob-

servar as seguintes condições:

Primeira condição: 0 1< <a . a a f x g xf x g x( ) ( ) ( ) ( )≥ ⇒ ≤ .

Segunda condição: a >1 . a a f x g xf x g x( ) ( ) ( ) ( )≥ ⇒ ≥

Page 42: Matemática EsSA

42 Matemática EsSA

Exemplo:

Resolver 13

13

2 2

−x x.

Solução:

13

13

2 2 0 1 22 2

2 2

⇒ − ≤ ⇒ − − ≤ ⇒ − ≤ ≤

−x xx x x x x . S x x= ∈ − ≤ ≤{ } / 1 2 .

53) O menor valor assumido pela função g xx

( )( )

=

−12

2 2

é

a) 8b) 4c) 1

2

d) 14

e) 18

54) O valor de x que satisfaz a equação seguinte é um número: 4 15 2 16 0x x− − =.a) ímparb) irracionalc) negativod) primoe) par

55) (EEAR) Se 8 169 2x x− = , então “ x ” é um número múltiplo dea) 2b) 3c) 5d) 7

56) (EEAR) Os valores de x para os quais ( , ) ( , ) ( )0 8 0 84 3 12x x x− +> são

a) − < <32

12

x

b) x < − 32

ou x > 12

Page 43: Matemática EsSA

43 Matemática EsSA

c) − < <12

32

x

d) x x< − >12

32

ou

57) (EEAR) O conjunto solução da inequação 12

22

≥− x

, sendo U = , é

a) { / }x x x∈ ≤ − ≤ ou 1 1b) −[ ]1 1, c) ∅ .d)

58) (EEAR) A soma dos valores de x que verificam a equação 5 7 5 10 02x x− ⋅ + =a) log 10 b) log5 10c) log log2 55 2+d) log log2 22 5+

59) (EsPCEx) Se n é um número inteiro positivo, então o valor de −( ) + −( ) +2 2 1n n será

sempre igual a:a) zero b) 2 c) 2n , para todo nd) −( )2 n

, se n for ímpare) -2n , se n for par

60) (EsPCEx) O conjunto solução da inequação 12

14

3 ≤−x

é:a) 5,+∞[ [ b) 4,+∞[ [ c) −∞] ],5d) { / }x x∈ ≤− 5e) { / }x x∈ ≥− 5

61) (EEAR) Na equação 2 2 31x x+ −+ = , é verdadeira a afirmativa:a) Uma das raízes é 1.b) A soma das raízes é um número inteiro positivo.c) O produto das raízes é um número inteiro negativo.d) O quociente das raízes pode ser zero (0).

62) (EsPCEx) A solução de 2 848x= é um:

a) Múltiplo de 16.

Page 44: Matemática EsSA

44 Matemática EsSA

b) Múltiplo de 3.c) Número primo.d) Divisor de 8.e) Divisor de 9.

63) (EEAR) Sejam f g h t, , e definidas, respectivamente, por f xx

( )=

−23

, g x x( ) = π ,

h xx

( ) = ( )−2 e t xx

( ) =

103

. Dessas quatro funções, é (são) decrescente (s)

a) todas b) somente três c) somente duasd) somente uma

64) (EEAR) Se x é raiz da equação 23

2 25

=

x

, , então o valor de x é

a) 5 b) 3 c) –2 d) –4

65) (EsSA) A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio da função definida por

f xx x

( ) =−− − +

1

9 32 1 2 4 é

a) 3b) 1c) –1d) 7e) 5

Page 45: Matemática EsSA

45 Matemática EsSA

Função Logarítmica

Logaritmos

Definição

Dados os números reais positivos a be , com b ¹1 , chama-se logaritmo de a na base b ao expoente c tal que b ac = , ou seja, log a cb = . O número a é chamado logaritmando, de base b e c de logaritmo.

Exemplo:

log238 3 2 8= ⇔ = .

Consequências da definição

Quaisquer que sejam b∈ −{ }+ 1 , a c e ∈ + e n∈ , temos como consequência imediata da definição que:

(1) logb1 0= .

(2) log bb =1 .

(3) log b nbn = .

(4) log a log c a cb b= ⇔ = .

(5) b alogba = .

Propriedades operatórias

Quaisquer que sejam b∈ −{ }+ 1 e a i ni ∈ ∈{ }+� … com 1 2, , , .

(1) log a a a log a log a log ab n b b b n1 2 1 2⋅ ⋅ ⋅( ) = + + +… � .

(2) logaa

log a log ab b b1

21 2

= − .

(3) log a n log abn

b= ⋅ .

(4) log anlog a

bn b= ⋅1

.

Page 46: Matemática EsSA

46 Matemática EsSA

Mudança de base

Para mudarmos a base de log ab para uma base c fazemos log alog alog bb

c

c= .

Função Logarítmica

Definição

Dado um número real b ( b > 0 e a ¹1 ), chama-se função logarítmica de base b a toda f : * + → definida por f x log xb( ) = .

2) Gráfico

(1) Primeiro caso: b >1 .

y

x0 (1, 0)

( ) ( 1)bf x log x b= >

Observe que a função é crescente em todo o seu domínio, ou seja, x x f x f x2 1 2 1> ⇒ >( ) ( ) .

(2) Segundo caso: 0 1< <b .

y

x0(1, 0)

( ) (0 1)bf x log x b= < <

Observe que a função é decrescente em todo o seu domínio, ou seja, x x f x f x2 1 2 1> ⇒ <( ) ( )

Da análise dos gráficos acima podemos concluir que o conjunto imagem da função logarít-mica é o conjunto dos reais ( Im = ). Logo a função é sobrejetora e admite inversa.

Equações Logarítmicas

A equação log f x log g xa x a x( ) ( )( ) ( )= é equivalente ao sistema:

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47 Matemática EsSA

f x g xf xg xa x

( ) ( )( )( )

( )

=>>

< ≠

00

0 1

.

Exemplo: Resolver a equação log xx ( )2 3 2+ = .

Solução:A equação acima é equivalente ao sistema

2 30 1

2x x ix ii+ =< ≠

( )( )

, resolvendo ( )i temos x x x x2 2 3 0 3 1− − = ⇒ = ∨ = − , como pela condi-

ção ( )ii , x deve ser positivo e distinto de 1, temos que S = { }3 .

Inequações Logarítmicas

É toda desigualdade do tipo log f x log g xa x a x( ) ( )( ) ( )£ , ou similar. Para sua resolução devem--se observar as seguintes condições:

Primeira condição: Se 0 1< <a x( ) , então temos que:

log f x log g xf x g xf x g xa x a x( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

≤ ⇒≥> >

0 0 e

.

Segunda condição: Se a x( ) >1 , então temos que:

log f x log g xf x g xf x g xa x a x( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

≤ ⇒≤> >

0 0 e

.

Exemplo: Resolver log x log x2 23 2 1( ) ( )− + − ≤ .

Solução:Primeiro observe que x x x− > − > ⇒ >3 0 2 0 3 e (I), como base a x( ) = >2 1 , temos então

que a equação original é equivalente a: log x x x x x x2

1 23 2 1 3 2 2 5 4 0( ) ( ) ( ) ( )− ⋅ − ≤ ⇒ − ⋅ − ≤ ⇒ − + ≤ , esta última tem solução igual a 1 4£ £x (II). A solução ao problema deve satisfazer às condições (I) e (II), portanto a solução é S x x= ∈ < ≤{ } / 3 4 .

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48 Matemática EsSA

67) Sabe-se que y é um número positivo e que 12

2 3log log logy = − . O valor de y é:

a) 4 3

b) 3 5

c) 2 33

d) 4 33

68) Adotando-se os valores log 2 0 30= , e log ,3 0 48= , a raiz da equação 5 60x = vale apro-ximadamente:

a) 2,15b) 2,28c) 41d) 2,54e) 2,67

69) (EsPCEx) A figura abaixo fornece a representação gráfica da função y xb= log

0,25

y

x

- 1

1

Nestas condições, o valor de b é:

a) 14

b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

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49 Matemática EsSA

70) (EsPCEx) A função f xx

x( ) log=

−+

12

tem por domínio:

a) −] [2 1, b) - -{ }2 c) - -{ , }2 1 d) −∞ −] [∪ +∞[ [, ,2 1 e)

71) (EsPCEx) Há números reais para os quais o quadrado do seu logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal de seu quadrado. A soma dos números que satisfazem essa igualdade é:

a) 90 b) 99 c) 100 d) 101 e) 201

72) (EsPCEx) Acrescentando 48 unidades a um número, seu logaritmo na base 5 aumenta de 2 unidades. Esse número é:

a) 1 b) 2 c) 3 d) 6 e) 12

73) (EsPCEx) A equação 5 152 1x+ = pode ser resolvida dispondo-se de uma tabela de logarit-mos decimais. O valor de x que a satisfaz é:

a) 2 5

3log

log

b) loglog

52 3

c) 2 3

5log

log

d) S = −{ }2 26 e) S = −{ }2 6

74) (EsPCEx) O número real x que satisfaz a equação log xx2 12 2 2−( )= é:

a) log3 2 b) log2 3 c) log3 4

Page 50: Matemática EsSA

50 Matemática EsSA

d) log4 3 e) log4 2

75) (EsPCEx) O logaritmo de um número natural n , n>1 , coincidirá com o próprio n se a base for:

a) nn

b) 1n

c) n2 d) n e) nn

1

76) (EsPCEx) Sendo y= ⋅2 6 25 6log log , o valor de y é:a) 2 b) 5 c) 6 d) 12 e) 30

77) (EEAR) Na figura abaixo, a curva representa o gráfico da função y log x= , para x > 0 . Assim, a soma das áreas das regiões hachuradas é igual a

a) log 2b) log 3c) log 4d) log 6

78) (EEAR) A equação log logx x2

12

19 7 2 3 1( ) ( )− −+ = + + possuia) duas raízes positivas. b) duas raízes negativas. c) duas raízes simétricas.d) uma única raiz.

79) (EEAR) Considerando n >1 , se log n na = , então o valor de a éa) nb) nn

c) 1n

d) nn1