matemática enem

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1 Palmito • 1x8 + 1= 9 • 12x8 + 2 = 98 • 123x8 + 3 = 987 • 1234x8 + 4 = 9876 • 12345x8 + 5 = 98765 • 123456x8 + 6 = 987654 • 1234567x8 + 7 = 9876543 • 12345678x8 + 8 = 98765432 123456789x8 + 9 = 987654321

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Page 1: Matemática Enem

1Palmito

• 1x8 + 1= 9• 12x8 + 2 = 98

• 123x8 + 3 = 987• 1234x8 + 4 = 9876

• 12345x8 + 5 = 98765• 123456x8 + 6 = 987654

• 1234567x8 + 7 = 9876543• 12345678x8 + 8 = 98765432

• 123456789x8 + 9 = 987654321

Page 2: Matemática Enem

2Palmito

Cada questão do ENEM testa, no mínimo, três das cinco competências exigidas. As competências mais

diretamente ligadas à Matemática são:

• I) Dominar linguagens: saber interpretar textos, gráficos, tabelas,quadros, ilustrações,esquemas e qualquer forma de comunicação escrita em papel.

• II) Compreender e interpretar fenômenos: capacidade de interligar as disciplinas entre si e conectar o conteúdo aprendido com o mundo que nos cerca.

• III) Solucionar problemas: é preciso interpretar o fato (competência I) e ter as informações corretas sobre o fenômeno (competência II) para tomar a decisão acertada e resolver a proposta.

Page 3: Matemática Enem

3Palmito

Dentre as 21 habilidades, das quais aparecem pelo menos três em cada questão, as mais diretamente

ligadas à Matemática são:

• 1) Identificar variáveis

• 2) Compreender gráficos

• 3) Identificar tendências

• 4) Transformar linguagens

• 5) Conhecer as formas geométricas

• 6) Calcular probabilidades.

Page 4: Matemática Enem

4Palmito

Problema 1: Um time de futebol amador ganhou uma taça ao vencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmio seria guardado na casa de um deles.

• Como todos queriam ficam com o troféu, travou-se o seguinte diálogo:

• Pedro (camisa 6): Nós somos onze jogadores e nossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho 2 dados com faces numeradas de 1 a 6.

• Vou jogar os dois dados simultaneamente e somar os resultados das duas faces.

• Os resultados podem variar de 2 (1+1) até 12 (6+6). • Quem tiver a camisa com o resultado, guardará o

troféu em sua casa.

Page 5: Matemática Enem

5Palmito

• Tadeu (camisa 2): Não sei não... Acho que Pedro está querendo levar vantagem com esta proposta.• Ricardo(camisa 12): Você pode estar certo. O Pedro

pode ter mais chances de ganhar do que nós dois juntos... Desse diálogo conclui-se que:

• a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidade de ganhar a guarda da taça era a mesma para todos.

• b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham mais chance de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

Page 6: Matemática Enem

6Palmito

• c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos, tinham a mesma chance de ganhar a guarda da taça do que Pedro.

• d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinham menos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro

• e) Não é possível saber qual dos dois jogadores tinha razão, por se tratar de um resultado probabilístico, que depende exclusivamente da sorte.

Page 7: Matemática Enem

7Palmito

•Na tabela a seguir, estão colocadas todas as somas possíveis que podem aparecer no lançamento de dois dados distinguíveis:

A probabilidade da soma ser seis (Pedro ficar com a taça) é 5/36. Os dois outros, juntos, teriam probabilidade igual a 2/36. A resposta correta é a (d)

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Dado 1

Dado 2

Page 8: Matemática Enem

8Palmito

Page 9: Matemática Enem

9Palmito

• 9x9 + 7 = 88• 98x9 + 6 = 888

• 987x9 + 5 = 8 888• 9 876x9 + 4 = 88 888

• 98 765x9 + 3 = 888 888• 987 654x9 + 2 = 8 888 888

• 9 876 543x9 + 1 = 88 888 888• 98 765 432x9 + 0 = 888 888 888

• 987 654 321x9 – 1= 8 888 888 888• 9 876 543 210x9 – 2 = 88 888 888 888

Page 10: Matemática Enem

10Palmito

Problema 2: Os gráficos 1 e 2 a seguir, mostram, em milhões de reais, o total do valor das vendas que uma empresa realizou em

cada mês, nos anos de 2004 e 2005.

• Como mostra o gráfico 1, durante o ano de 2004, houve, em cada mês, crescimento das vendas, em relação ao mês anterior.

• A diretoria da empresa, porém, considerou muito lento o ritmo do crescimento naquele ano. Por isso, estabeleceu como meta mensal para o ano de 2005 o crescimento das vendas em ritmo mais acelerado que o de 2004.

Page 11: Matemática Enem

11Palmito

• Pela análise do gráfico 2, conclui-se que a meta para 2005 foi atingida em:

• a) janeiro, fevereiro e outubro

• b) fevereiro, março e junho

• c) março, maio e agosto

• d) abril, agosto e novembro

• e) julho, setembro e dezembro.

Page 12: Matemática Enem

12Palmito

Problema 3: As 23 alunas de uma turma que completou o Ensino Médio há 10 anos encontraram-se em uma reunião comemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. • A distribuição das mulheres,

de acordo com o números de filhos, é mostrado no gráfico ao lado.

• Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.

• A probabilidade de que a criança sorteada tenha sido um filho(a) único(a) é:

• a) 1/3 b) 1/4 c) 7/15• d) 7/23 e) 7/25

Page 13: Matemática Enem

13Palmito

Problema 4: A escolaridade dos jogadores de futebol, nos grandes centros, é maior do que se imagina. É o que mostra a pesquisa a seguir, realizada com os jogadores profissionais dos quatro principais clubes do Rio de Janeiro.

De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino Médio é aproximadamente:

• a) 14% b) 48% c) 54% d) 60% e) 68%

0

20

40

60

Fundamentalincompleto

Fundamental Médioincompleto

Médio Superiorincompleto

14 16 14 54 14

Page 14: Matemática Enem

14Palmito

Dos 112 jogadores, 54 + 14 = 68 concluíram o Ensino Médio, e portanto, a resposta correta é 68/112 ≈ 60 % (D)

• Problema 5: Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como os vértices de um quadrado de 40 km de lado.

• Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo eqüidistante das estações A e B, e da estrada (reta) que liga as estações C e C. A nova estação deve ser localizada:

• a) no centro do quadrado• b) na perpendicular à estrada que liga C e D

passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada

• c) na perpendicular à estrada que liga C e C passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada

Page 15: Matemática Enem

15Palmito

d) No vértice de um triângulo eqüilátero de base AB, oposto a essa base.e) No ponto médio estrada que liga as estações A e B.

• Resolução: Veja na figura: • (40 – x)2 + 202 = x2 1600 – 80x + x2 + 400 = x2 • 8x = 2000 x = 25

A B20 20

P

x40 40

CD 20 20

40 - xx x

Page 16: Matemática Enem

16Palmito

Page 17: Matemática Enem

17Palmito

• 1x1= 1• 11x11= 121

• 111x111 = 12321• 1111x1111= 1234321

• 11111x11111 = 123454321• 111111x111111= 12345654321

• 1111111x1111111= 1234567654321• 11111111x11111111 =

123456787654321

Page 18: Matemática Enem

18Palmito

Prefixos múltiplos (antepostos ao nome de unidades usuais de medidas)

Unidade: grama (g), litro (l), hertz (hz), watt (w), byte (b) Deca: (da) 10 vezes 101

Hecto: (h) 100 vezes 102

Quilo: (k) 1000 vezes 103

Mega: (M) 1milhão vezes 106

Giga: (G) 1bilhão vezes 109

Tera: (T) 1trilhão vezes 1012

Peta: (P) 1 quadrilhão vezes 1015

Exa: (E) 1 quinqüilhão vezes 1018

Zetta: (Z) 1 hexilhão 1021

Yotta: (Y) 1 heptilhão 1024

Page 19: Matemática Enem

19Palmito

Prefixos sub-múltiplos antepostos ao nome de unidades usuais de medidas

Unidade: grama (g); litro (l), hertz (hz), watt (w), ... Deci: (d) décima parte 10 -1

centi: (c) centésima 10 -2

mili: (m) milésima parte 10 -3

micro: milionésima parte 10 -6

nano: (n) bilionésima parte 10 -9

pico: (p) trilionésima parte 10 -12

femto: (f) quadrilionésima parte 10 -15

atto: (a) quinqüilionésima parte 10 -18

zeptto: (z) hexilionésima parte 10 -21

yocto: (y) heptilionésima parte 10 -24

Page 20: Matemática Enem

20Palmito

Problema 6: Quem é maior: 230.000 ou 320.000 ?

• a) 230.000

• b) 320.000 • c) Os dois números são iguais.• d) Não é possível calcular o valor exato de potências

com expoentes tão grandes.• e) Só é possível a comparação de potências que

possuam a mesma base.

Temos:

• 230.000 = (23)10.000 = 810.000

• 320.000 = (32)10.000 = 910.000

• Assim, 320.000 > 230.000 . Alternativa (b).

Page 21: Matemática Enem

21Palmito

Problema 7: Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e do outro lado, uma letra.

• A B 2 3

• Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:

• a) É necessário virar todos os cartões.• b) É suficiente virar o primeiro e o último cartão.• c) É suficiente virar os dois cartões do meio.• d) É suficiente virar os dois primeiros cartões.• e) N. d. a.

Page 22: Matemática Enem

22Palmito

Problema 8: O custo para se produzir x unidade de um determinado produto é C(x) dólares e o faturamento

obtido pela venda de x unidades é R(x) dólares. • Define-se a função lucro L(x) como a diferença entre o

faturamento e o custo, ou seja, L(x) = R(x) – C(x). • Os gráficos de R(x) e C(x) estão representados na

figura abaixo:

Page 23: Matemática Enem

23Palmito

•Então: a) Esta empresa nunca terá lucro porque o custo é

sempre crescente e a receita não.

• b) Esta empresa terá lucro enquanto a receita R estiver crescendo, ou seja, para x < b.

• c) Esta empresa terá lucro para a < x < c.

• d) Esta empresa terá lucro para 0 < x < a e c < x < d.

• e) N. d. a

Page 24: Matemática Enem

24Palmito

• 1x9 + 2 = 11• 12x9 + 3 = 111

• 123x9 + 4 = 1 111• 1234x9 + 5 = 11 111

• 12345x9 + 6 = 111 111• 123456x9 + 7 = 1 111 111

• 1234567x9 + 8 = 11 111 111• 12345678x9 + 9 = 111 111 111

• 123456789x9 +10 = 1 111 111 111

Page 25: Matemática Enem

25Palmito

Problema 9: sete círculos idênticos, cada um com raio igual a 1 centímetro, são colocados tangencialmente, conforme indica a figura.

• Qual é a área do hexágono que se constrói ao se conectar os centros dos círculos exteriores?

• a) 3 b) 6 c) 6√2 d) 6√3 e) 10

• Para ajudar um pouco: o hexágono regular, de lado “a” é composto de seis triângulos eqüiláteros de mesmo lado:

• S∆ = 2

33 2a

Page 26: Matemática Enem

26Palmito

Problema 10: Em um dado, a soma dos pontos de duas faces opostas é sempre igual a 7.

• Duas pessoas estão sentadas à mesa, frente a frente, e entre elas está colocado um grande dado sobre a mesa.

• Cada uma das pessoas vê três faces do dado, sendo que a face superior é vista simultaneamente pelas duas pessoas.

• Se a soma dos números nas faces vistas por uma das pessoas é 7 e a soma dos números nas faces vistas pela outra pessoa é 11,

• então o número na face que está em contato com a mesa é igual a:

• a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Page 27: Matemática Enem

27Palmito

• Resolução: Sejam x, y ,z as três faces vistas por uma das pessoas, sendo z, t, w as três faces vistas pela outra pessoa.

• Seja ainda z´ a face voltada para a mesa, e oposta da face z, que é vista simultaneamente pelas duas pessoas.

• Temos x + y = 7 – z e t + w = 11 – z.

• x + y + z + t + w + z´ = 21

• Assim, 7 – z + z + 11 – z + z´ = 21

• z´ - z = 3 e z` + z = 7. Logo, z´ = 5.