Matemática elementar/ConjuntosOrigem: Wikilivros, livros abertos por um mundo aberto.< Matemática elementarIr para: navegação, pesquisa

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Em Matemática, conjunto é uma coleção de objetos (chamados elementos). Os elementos podem representar qualquer coisa — números, pessoas, letras, etc - até mesmo outros conjuntos. Um conjunto pode conter outro(s) conjunto(s), inclusive. Incorretamente chamada de "Teoria dos Conjuntos" no ensino médio. Essa teoria existe, mas não é tratada no ensino médio, sendo a Teoria mais conhecida, a Axiomática de Zermello Frankel (ZFC, C relacionado ao Axioma da Escolha), tratada de forma elementar no livro "Teoria Ingênua dos Conjuntos" de Paul Halmos, traduzida para o português pelo prof. Irineu Bicudo.

Trata-se de um conceito primitivo. Um conjunto possui como única propriedade os elementos que contém. Ou seja, dois conjuntos são iguais se eles tem os mesmos elementos.

Índice

[esconder]← 1 Representação

← 1.1 Especificando conjuntos ← 2 Terminologia

← 2.1 Conjunto unitário ← 2.2 Conjunto vazio ← 2.3 Conjuntos numéricos

2.3.1 Conjunto dos números naturais 2.3.2 Conjunto dos números inteiros 2.3.3 Conjunto dos números racionais 2.3.4 Conjunto dos números irracionais 2.3.5 Conjunto dos números reais 2.3.6 Conjunto dos números complexos 2.3.7 Conjunto dos números imaginários 2.3.8 Outros conjuntos numéricos

← 2.4 Subconjuntos 2.4.1 Conjunto das partes ou potência

← 2.5 Conjunto Universo ← 3 Relações entre conjuntos

← 3.1 Relação de inclusão ← 3.2 Relação de pertinência

3.2.1 Subconjuntos próprios e impróprios ← 3.3 Igualdade de conjuntos ← 3.4 Simetria de conjuntos

← 4 Operações com conjuntos ← 4.1 União ← 4.2 Intersecção ← 4.3 Diferença ← 4.4 Complementar

← 5 Cardinalidade ← 5.1 Problemas matemáticos sobre cardinalidade ← 5.2 Exercícios

← 6 Produto cartesiano ← 6.1 Par ordenado ← 6.2 Relações

← 7 Ver também ← 7.1 Wikilivros

← 7.2 Wikipédia

← 8 Ligações externas

Representação

O conjunto A e seus 4 elementos

Matematicamente o conjunto é representado por uma letra do alfabeto latino, maiúscula (A, B, C, ...). Já os elementos do conjunto são representados por letras latinas minúsculas. E a representação completa do conjunto envolve a colocação dos elementos entre chaves, da seguinte maneira:

A = {v,x,y,z}

Para um conjunto A de 4 elementos v, x, y e z

A exceção é feita a conjuntos que contenham elementos que devem ser representados por letras maiúsculas — por exemplo, pontos geométricos:

S = {A,B,C,D}

Especificando conjuntos

A maneira mais simples de representar algebricamente um conjunto é através de uma lista de seus elementos entre chaves ({ }), conforme descrito nas seções anteriores:

P = {6,28,496}

Informalmente, usa-se o sinal ... quando a regra de formação do conjunto é óbvia a partir da enumeração de alguns elementos. Por exemplo, os conjuntos abaixo, o primeiro com um número finito, e o segundo com um número infinito de elementos:

N = {0,1,2,3,4,5,...}

Conjuntos que são elementos de outros conjuntos são representados com chaves dentro de chaves:

T = {{1,6},{5,8}}

Porém há notações alternativas para representar os conjuntos, como a chamada notação de composição do conjunto, que utiliza uma condição P para definir os elementos do conjunto:

A = {x | P(x)}

P é uma função na variável x que tem o domínio igual ao conjunto A. A variável x pode estar limitada por outro conjunto, indicando-se a relação de pertinência adequada. Por exemplo:

O conjunto A será formado, de acordo com o desenvolvimento da equação dada, por 2 e 4 (únicos números inteiros que satisfazem a condição P, ou seja, que tornam verdadeira a equação). Logo, A = {2,4}.

Um cuidado deve ser tomado com a propriedade P(x), já que a formação de conjuntos através deste método pode gerar resultados paradoxais.

Terminologia

Conjunto unitário

Um conjunto unitário possui um único elemento.

Conjunto vazio

Todo conjunto também possui como subconjunto o conjunto vazio representado por , , ou . Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem elementos.

Conjuntos numéricos

Existem também os conjuntos numéricos, que em consideração especial em matemática. Os principais conjuntos númericos são listados a seguir.

Conjunto dos números naturais

Os números naturais são usados para contar. O símbolo usualmente representa este conjunto.

O capítulo sobre números naturais oferece informações detalhadas sobre os seguintes assuntos: Tópicos:

← Definição ← Divisão em ← Critérios de divisibilidade ← Números primos ← Decomposição em fatores primos (fatoração) ← Máximo Divisor Comum (MDC)

← Fatoração disjunta ← Fatoração conjunta (algoritmo de Euclides)

← Mínimo Múltiplo Comum (MMC) ← Propriedade do MDC e do MMC

Conjunto dos números inteiros

O conjunto dos números inteiros aparecem como soluções de equações como x + a = b. O símbolo usualmente representa este conjunto (do termo alemão Zahlen que significa números).

Conjunto dos números racionais

O conjunto dos números racionais são todos os números que podem ser representados por frações (e são expressos tanto na forma fracionária quanto na forma decimal - por exemplo 3/4 e 0,75). Eles aparecem como soluções de equações como a + bx = c. O símbolo usualmente representa este conjunto (da palavra quociente).

Tópicos

← Números racionais e frações ← Definições ← Decimais ← Tipos de frações ← Operações

Conjunto dos números irracionais

O conjunto dos números irracionais contém todos os números que não podem ser representados por frações do tipo p/q, onde p e q são números inteiros, com q diferente de zero. Estes números podem, no entanto, ser associados a pontos numa reta, a reta real. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Conjunto dos números reais

O conjunto dos números reais é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. Os números reais podem ser dispostos ordenadamente em uma reta que é chamada reta real.

Tópicos

← Potenciação ← Definição ← Propriedades da potenciação

← Radiciação ← Propriedades da radiciação ← Racionalização de denominadores ← Intervalos reais ← Exercícios

Conjunto dos números complexos

O conjunto dos números complexos inclue os números, que resultam de qualquer radiciação possível, tendo uma parte imaginária e uma parte real. O símbolo usualmente representa este conjunto.

Cada numero complexo é a soma dos números reais e dos imaginários: . Aqui tanto r quanto s podem ser iguais a zero; então os conjuntos dos números reais e o dos imaginários são subconjuntos do conjunto dos números complexos.

Tópicos

← Introdução ← O número imáginario ← Formas de representar os complexos ← Operações com os complexos

← Soma e subtração ← Multiplicação ← Divisão

Conjunto dos números imaginários

O conjunto dos números imaginários puros inclui os números que aparecem como soluções de equações como x 2 + r = 0 onde r > 0.

Outros conjuntos numéricos

Há outros conjuntos numéricos definidos na matemática, mas que não interessam nesse nível de estudo.

Exemplo: O conjunto dos números algébricos inclue os números, que aparecem como soluções de equações polinomiais (com coeficientes

inteiros) e envolvem raízes e alguns outros números irracionais. O símbolo ou usualmente representa este conjunto.

Subconjuntos

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro conjunto B quando todos os elementos de A também pertencem a B. Por exemplo:

A = { 1,2,3 }B = { 1,2,3,4,5,6 }

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se . Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os subconjuntos de B que não são iguais a B são chamados subconjuntos próprios.

Nota: O conjunto vazio, { } ou Ф (phi), é um subconjunto de todos os conjuntos.

Conjunto das partes ou potência

Dado um conjunto A, definimos o conjunto das partes de A, , como o conjunto que contém todos os subconjuntos de A (incluindo o conjunto vazio e o próprio conjunto A).

Uma maneira prática de determinar é pensar em todos os subconjuntos com um elemento, depois todos os subconjuntos com dois elementos, e assim por diante.

Exemplo:

Se A = { 1, 2, 3 }, então = { ∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} }.

Observação:

Se o conjunto A tem n elementos, o conjunto terá 2n elementos. Ou seja:

.

Demonstração: Seja P(A) o conjunto de partes de A e n(S) o número de elementos distintos de S.

Se A = → P(A) = { } → n(P(A)) = 2^0 = 1

Se A = {a} → P(A) = { ,a} → n(P(A)) = 2^1 = 2

Se A = {a,b} → P(A) = { ,a,b,{a,b} → n(P(A)) = 2^2 = 4

Se A = {a,b,c} → P(A) = { ,a,b,{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}} → n(P(A)) = 2^3 = 8

...

P(A) é formado por somado às possiveis combinações dos elementos de A, com taxa variando de 1 a n(A).

Assim, n(P(A)) = número de combinações n(A), com taxa variando de 1 a n(A) somado a 1 (responsável por ).

n(P(A)) =

Pelo triângulo de pascal, com a soma das linhas:

→ n(P(A)) =

Mas,

→ n(P(A))

Provando, portanto, que o número de elementos do conjunto de partes de A é dois elevado ao número de elementos distintos de A.

Nota: O conjunto das partes é uma álgebra booleana sobre as operações de união e interseção.

O Teorema de Cantor estabelece que | A | < | P(A) | .

Conjunto Universo

Em certos problemas da teoria dos conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntos considerados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que é conhecido como conjunto universo, ou simplesmente universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros Z é o conjunto universo; em um problema envolvendo palavras (consideradas como conjuntos de letras), o universo é o alfabeto.

Relações entre conjuntos

Relação de inclusão

Relação de pertinência

Se é um elemento de , nós podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto e podemos escrever . Se não é um elemento de

, nós podemos dizer que o elemento não pertence ao conjunto e podemos escrever .

Exemplos:

←

←

←

←

Subconjuntos próprios e impróprios

Se e são conjuntos e todo o elemento pertencente a também pertence a , então o conjunto é dito um subconjunto do conjunto , denotado por . Note que esta definição inclui o caso em que A e B possuem os mesmos elementos, isto é, são o mesmo conjunto (A = B). Se e ao menos um elemento pertencente a não pertence a , então é chamado de subconjunto próprio de , denotado por

. Todo conjunto é subconjunto dele próprio, chamado de subconjunto impróprio.

Igualdade de conjuntos

Dois conjuntos A e B são ditos iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Ou seja, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. A

simbologia usada é . Se um conjunto não é igual a outro, utiliza-se o símbolo .

Simetria de conjuntos

Um conjunto A é dito simétrico se, para todo elemento a pertencente a ele, houver também um elemento -a pertencente a esse conjunto. Os conjuntos numéricos Z, R, Q e C são simétricos.

Operações com conjuntos

União

União de A e B (em azul mais escuro)

A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém todos os elementos de A, todos os elementos de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um universo U e dois conjuntos A e B, chama-se união de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem pelo menos ao conjunto A ou ao conjunto B. Matematicamente:

Por exemplo:

Observar no último exemplo que os elementos repetidos (3,5) não aparecem na união.

← A união de um conjunto , qualquer que seja, com o conjunto vazio é igual ao próprio conjunto , .

← Também deve ser observado que a operação de união é comutativa, ou seja, .

Intersecção

Intersecção de A e B (em azul mais escuro)

A intersecção de dois conjuntos e , é o conjunto de elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então: Dados dois conjuntos e , pertencentes a um universo U, chama-se intersecção de A com B ao conjunto cujos elementos pertencem tanto a quanto a . Matematicamente:

Por exemplo:

Observar no último exemplo que, dado os conjuntos não terem elementos iguais, a intersecção resulta num conjunto vazio.

Diferença

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

Dado um universo U ao qual pertencem dois conjuntos A e B, chama-se diferença de A menos B ao conjunto de elementos que pertencem a A e não pertencem a B; chama-se de diferença de B menos A ao conjunto de elementos que pertencem a B e não pertencem a A. Matematicamente:

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre os números inteiros e números naturais é igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):

Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}N = {1,2,3,4,5,...}

← A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A, A - {} = A.

Complementar

Complementar de B em relação a A (em azul mais escuro)

Dado um universo U, diz-se complementar de um conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que contém todos os elementos presentes no universo e que não pertençam a A. Também define-se complementar para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A) — é o complementar relativo — e usa-se o símbolo . Matematicamente:

Exemplo:

A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} }D = { {10,12} }

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto A representa a quantidade de elementos do conjunto, e é

Exemplos:

Se A = { 7, 8, 9 }, então A = 3Se A = { }, então A = 0.

Se um conjunto tem n elementos, onde n é um número natural (possivelmente 0), então diz-se que o conjunto é um conjunto finito com uma cardinalidade de n ou número Número cardinal n.

Mesmo se o conjunto não possui um número finito de elementos, pode-se definir a cardinalidade, graças ao trabalho desenvolvido pelo matemático Georg Cantor. Neste caso, a cardinalidade poderá ser (aleph zero), .

Nos dois casos a cardinalidade de um conjunto A é denotada por | A | ou por . Se para dois conjuntos A e B é possível fazer uma relação um-a-um (ou seja, uma bijeção) entre seus elementos, então | A | = | B | .

Problemas matemáticos sobre cardinalidade

Os problemas matemáticos no nível elementar sobre cardinalidade usualmente tomam as formas seguintes:

← É dada a cardinalidade de alguns conjuntos e suas interseções, uniões ou diferenças, e pede-se a cardinalidade de algum conjunto derivado dele

← É dada a proporção ou porcentagem de alguns subconjuntos de algum conjunto (universo), e pede-se este número para outro subconjunto.

Um problema típico simples do primeiro caso é:

← Em uma escola, existem duas atividades extra-escolares: Artesanato ou Bioterrorismo. 59 alunos fazem Artesananto, 87 alunos fazem Bioterrorismo, e 31 alunos fazem ambos. Quantos alunos fazem alguma atividade extra?

Um problema típico simples do segundo caso é:

← Em uma cidade, 5% da população foi exposta ao Antrax, 8% da população foi exposta a Peste Bubônica, e 87% da população não foi exposta a Antrax nem Peste Bubônica. Quantas pessoas foram expostas a Antrax e Peste Bubônica?

A resolução, nos dois casos, deve ser feita com o Diagrama de Venn, marcando-se em cada pedaço o número (ou porcentagem) de elementos, começando-se sempre do mais interno para o mais externo. No caso da porcentagem, deve-se levar em conta que o total do Universo é 100%.

Exercícios← Matemática elementar/Conjuntos/Exercícios

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os pares ordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O simbolo do produto cartesioano é . Matematicamente:

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

.

← O produto cartesiano é não-comutativo: .← Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a geometria analítica. Ele enunciou,

por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos de números reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Par ordenado

Um par ordenado é uma coleção de dois objetos que tem uma ordem definida; existe o primeiro elemento (ou primeira coordenada) e o segundo elemento (ou segunda coordenada). Diferentemente do conjunto { a,b }, um par ordenado — simbolizado por (a,b) — precisa ser apresentado em uma determinada ordem, e dois pares ordenados só são iguais quando os primeiros elementos são iguais e os segundos elementos são iguais. Ou seja,

Porém, o par ordenado pode ser representado como um conjunto, tal que não existe ambiguidade quanto à ordem. Esse conjunto é:

(a,b) = {{a},{a,b}}(b,a) = {{b},{b,a}}

Observar que o formato do conjunto, que inclui um subconjunto contendo os dois elementos do par e um conjunto contendo o primeiro elemento, elimina a possibilidade de ambiguidade quanto à ordem. A notação (a,b) também é conhecida como intervalo aberto.

Relações

Na teoria dos conjuntos, qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B é chamada relação de A em B. (O assunto é abordado com mais detalhes na próxima seção.)

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Divisões dos Números Complexos

Para trabalharmos com números, devemos primeiramente ter um conhecimento básico de quais são os conjuntos ("tipos") de números existentes atualmente.

Esta lição tem como objetivo mostrar ao aluno todas estas divisões e apresentar o conjunto dos números COMPLEXOS.

E o que é um conjunto?

Mas, bah!! A concepção de conjuntos nem precisa ser dita, o próprio nome já diz tudo.Ex. Pega um grupo de cadeiras e junta sobre um círculo feito no chão. Pronto, temos um conjunto de cadeiras.

Mas como o nosso negócio é matemática, o que nos interessa é números.

Conjuntos numéricos podem ser representados de diversas formas. A forma mais simples é dar um nome ao conjunto e expor todos os seus elementos, um ao lado do outro, entre os sinais de chaves. Veja o exemplo abaixo:

Esse conjunto se chama "A" e possui três termos, que estão listados entre chaves.

Os nomes dos conjuntos são sempre letras maiúsculas. Quando criamos um conjunto, podemos utilizar qualquer letra.

Vamos começar nos primórdios da matemática.

- Se eu pedisse para você contar até 10, o que você me diria?

- Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove e dez.

Pois é, estes números que saem naturalmente de sua boca quando solicitado, são chamados de números NATURAIS, o qual é representado pela letra .

Foi o primeiro conjunto inventado pelos homens, e tinha como intenção mostrar quantidades.

*Obs.: Originalmente, o zero não estava incluído neste conjunto, mas pela necessidade de representar uma quantia nula, definiu-se este

número como sendo pertencente ao conjunto dos Naturais. Portanto:

Obs.2: Como o zero originou-se depois dos outros números e possui algumas propriedades próprias, algumas vezes teremos a necessidade de representar o conjunto dos números naturais sem incluir o zero. Para isso foi definido que o símbolo * (asterisco) empregado ao lado do símbolo do conjunto, iria representar a ausência do zero. Veja o exemplo abaixo:

Estes números foram suficientes para a sociedade durante algum tempo. Com o passar dos anos, e o aumento das "trocas" de mercadorias entre os homens, foi necessário criar uma representação numérica para as dívidas.

Com isso inventou-se os chamados "números negativos", e junto com estes números, um novo conjunto: o conjunto dos números inteiros, representado pela letra .

O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números NATURAIS mais todos os seus representantes negativos.

Note que este conjunto não possui início nem fim (ao contrário dos naturais, que possui um início e não possui fim).

Assim como no conjunto dos naturais, podemos representar todos os inteiros sem o ZERO com a mesma notação usada para os NATURAIS.

Em algumas situações, teremos a necessidade de representar o conjunto dos números inteiros que NÃO SÃO NEGATIVOS.

Para isso emprega-se o sinal "+" ao lado do símbolo do conjunto (vale a pena lembrar que esta simbologia representa os números NÃO NEGATIVOS, e não os números POSITIVOS, como muita gente diz). Veja o exemplo abaixo:

Obs.1: Note que agora sim este conjunto possui um início. E você pode estar pensando "mas o zero não é positivo". O zero não é positivo nem negativo, zero é NULO.

Ele está contido neste conjunto, pois a simbologia do sinalzinho positivo representa todos os números NÃO NEGATIVOS, e o zero se enquadra nisto.

Se quisermos representar somente os positivos (ou seja, os não negativos sem o zero), escrevemos:

Pois assim teremos apenas os positivos, já que o zero não é positivo.

Ou também podemos representar somente os inteiros NÃO POSITIVOS com:

Obs.: Este conjunto possui final, mas não possui início.

E também os inteiros negativos (ou seja, os não positivos sem o zero):

Uma propriedade interessante dos números inteiros, que já foi mencionada neste texto (e que podemos representar em um gráfico) é a de ter em seu interior todos os números naturais. Veja o gráfico abaixo:

Olhando ainda pela linha do tempo, em um determinado momento começou a ficar crucial a necessidade de se representar "partes" de alguma coisa. Ex.: fatia de um bolo, pedaço de um terreno,... e por essa necessidade foi inventado as frações. Para incluir os número ditos fracionários junto com os já existentes, criou-se o conjunto dos números RACIONAIS ( ), que indica uma razão (divisão) entre dois números inteiros.

Alguns exemplos de números racionais são mostrados abaixo:

Ou seja, números racionais são todos aqueles que podem ser representados por uma fração de números inteiros.

- Ué, o que que o 6 e o 2,3 estão fazendo ali em cima, se eles não têm o sinal de fração?

- Ora, o 6 pode ser representado pela fração ou até mesmo , e o 2,3 pode ser , portanto, se um número tem a possibilidade de ser escrito em fração de números inteiros, é considerado racional.

- Então me parece que todos os números com vírgula serão racionais??- Não. Somente os que possuírem finitos algarismos após a vírgula, e as chamadas dízimas periódicas, que possuem infinitos algarismos após a vírgula mas são números racionais. Veja os exemplos abaixo.

3,14159265... Este não é um número Racional, pois possui infinitos algarismos após a vírgula (representados pelas reticências)

2,252 Este é um número Racional, pois possui finitos algarismos após a vírgula.

2,252525... Este número possui infinitos números após a vírgula, mas é racional, é chamado de dízima periódica. Reconhecemos um número destes quando, após a vírgula, ele sempre repetir um número (no caso 25).

Com isso podemos concluir que o conjunto dos números RACIONAIS é formado por todos os números Inteiros (como vimos no exemplo

anterior, um inteiro pode ser representado como uma fração, por exemplo 10 pode ser ) e mais alguns.

Portanto, o conjunto dos inteiros está "dentro" do conjunto dos Racionais. Representamos assim:

Note que até agora o conjunto dos números racionais é o maior de todos. E assim durou por muito tempo!

Obs.1: As notações para os "não positivos" e os "não negativos", utilizados para os inteiros, também podem ser usadas para os racionais.

Obs.2: O zero É um número racional, pois podemos representá-lo pela fração:

= {Todos os racionais sem o zero}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS}

= {Todos os racionais NÃO NEGATIVOS sem o zero, ou seja, os positivos}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS}

= {Todos os racionais NÃO POSITIVOS sem o zero, ou seja, os negativos}

Se formos um pouco mais além na história, vamos chegar ao famoso teorema de Pitágoras.

- Ué, não estamos estudando conjuntos?

- Sim, calma lá, é só para explicar.

Pense comigo:

Se temos um triângulo com catetos medindo 1 unidade de comprimento.

Pelo teorema de Pitágoras, calculamos que o terceiro lado (a hipotenusa), vale .

- E quanto é ?- Pois isto não podemos dizer exatamente. O que se sabe é que não dá para representar como uma fração de números inteiros, pois tem infinitas casas depois da vírgula (e não é uma dízima periódica). Então não podemos chamá-lo de número racional. Por este motivo houve a necessidade de criar-se mais um conjunto. Que, por oposição aos números racionais, chama-se "CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS". Formado por todos os números que, ao contrário dos racionais, NÃO podem ser representados por uma fração de números inteiros. Este conjunto é representado por .

As raízes quadradas não exatas são os principais representantes deste conjunto.

Por exemplo:

=> Todos estes valores não podem ser representados por uma fração de números inteiros, portanto, são chamados de

números irracionais.

=> Este número também não tem uma representação em forma de fração, por isso também é um número irracional. Ou seja, se somarmos um racional com um irracional teremos como resultado um irracional.

=> Este também é irracional, pelo mesmo motivo do número acima.

- Ah, entendi! Então o conjunto dos irracionais é formado só pelas raízes quadradas não exatas?

- Não, todas raízes não exatas fazem parte do conjunto dos números irracionais. Mas não são só elas, também estão neste conjunto o número pi (π=3,141592...), o número de Euler (e = 2,71828...), e alguns outros.

Para o Vestibular esses são os irracionais mais importantes!

Portanto, se um número for racional, não pode ser irracional, e vice-versa.

Por isso que, ao representarmos nos balões, devemos separá-los. Veja a figura abaixo:

Estes números foram utilizados por séculos e até hoje são considerados os mais importantes. Por este motivo, foi dado um nome para o conjunto formado por todos estes conjuntos. O nome escolhido foi "CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS"

Ou seja, o conjunto dos números Reais é formado por todos os números Racionais junto com os números Irracionais, portanto:

Note que na parte pintada, não há nenhum número.

Pois, se um número é Real, ou ele será Racional ou ele será Irracional, e se encontrará no seu respectivo conjunto. Não existindo nenhum número que seja REAL e não seja ou RACIONAL ou IRRACIONAL.

Durante muito tempo foi só isso que precisamos, conseguíamos fazer todos os cálculos necessários com apenas estes números.

Mas o tempo foi passando e novas necessidades foram surgindo, veja a história a seguir.

Com um grande salto no tempo, chegamos na casa de nosso querido amigo Caju!

Estava ele brincando com números em sua casa, quando houve o seguinte diálogo...

Caju - Mãe, mãe. Olha só que legal, eu sei que é 5, porque 5 ao quadrado é 25.

Mãe - Oh! Meu filhão, muito bem!Caju - Também sei que é 9, pois 9 ao quadrado é 81.Mãe - Ah, filhinho, que bonitinho! Mas me diz uma coisa, quanto é ?Caju - Ora mãe, isso é fácil, é –5 ! Mãe - Então me prova.Caju - Olha mãe, (–5) ao quadrado dá... dá...... ops, dá +25...

Pois é galera, qualquer número negativo elevado ao quadrado resulta um valor positivo, então como fazer para calcular a raiz quadrada de um número negativo?

A partir daí firmou-se um mistério na Matemática: quanto vale esta droga de raiz?

O tempo passou, e para solucionar o caso, convencionou-se que , onde i é chamado de unidade imaginária.

Então este mistério foi solucionado

Ex.:           ^-- Aqui foram usadas as propriedades de radiciação.

E com isso formou-se o conjunto dos números IMAGINÁRIOS, representado pela letra , que é composto por todas as raízes de números negativas.

Novamente temos uma divisão, ou o número é Real ou não é Real. Por isso devemos colocar o balão dos imaginários separado dos números Reais. Veja o desenho:

Agora, neste caso temos uma dúvida. Se somarmos um número Real com um número imaginário, como por exemplo:

2+3i

Em que balão ele vai se encontrar?Não pode ser real, e também não pode ser imaginário.

Para solucionar este caso, convencionou-se que o conjunto dos Reais junto com o conjunto dos Imaginários, é chamado de Conjunto dos números COMPLEXOS, que é representado por C.

Note que o conjunto dos números complexos é o conjunto de TODOS os números que conhecemos até hoje! Preste bem atenção, eu disse TODOS os números conhecidos até hoje! Veja o gráfico abaixo:

E com estes números a sociedade vive "muito bem, obrigado" até hoje. Quem sabe, com a evolução da matemática, novas necessidades poderão surgir e novos números aparecerão. Esperaremos ansiosos!! Falow!!

Exercícios:

1. Diga a qual conjunto pertence os números:

a) Este número pode ser representado por 355/10 então é RACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

b) Este número é inteiro e positivo, então NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO.

c) Esta raiz não é exata, então, IRRACIONAL e consequentemente REAL e COMPLEXO

d) Esta raiz é exata, e isto é igual a 12, então, NATURAL e consequentemente INTEIRO, RACIONAL, REAL e COMPLEXO

e) Raiz de número negativo, que é igual a 9i, então, IMAGINÁRIO  e consequentemente COMPLEXO.

f) Número multiplicado por unidade imaginária, IMAGINÁRIO e consequentemente COMPLEXO.

g) Número real somado com um imaginário, COMPLEXO.

2) (FUVEST) P é uma propriedade relativa aos números naturais. Sabe-se que:

I) P é verdadeira para o natural n = 10;II) se P é verdadeira para n, então P é verdadeira para 2n;III) se P é verdadeira para n, n > 2, então P é verdadeira para n - 2.

Pode-se concluir que:

    (A) P é verdadeira para todo número natural n.     (B) P é verdadeira somente para números naturais n, n ≥ 10.     (C) P é verdadeira para todos os números naturais pares.     (D) P é somente verdadeira para potências de 2.     (E) P não é verdadeira para os números ímpares.