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Matemática e suas Tecnologias - Matemática

Ensino Médio, 3ª AnoGeometria analítica:

Equações da circunferência

MATEMÁTICA, 3º AnoGeometria analítica: equações da circunferência

Neste tópico, estudaremos as equações da circunferência no plano cartesiano. Antes, porém, é importante compreender alguns conceitos de Geometria Plana ou Euclidiana, que veremos a seguir.

INTRODUÇÃO

CIRCUNFERÊNCIA REVISANDO

Raio (r): distância do centro a qualquer ponto da circunferência.

Circunferência Diâmetro = 2r.O diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência.

Centro (C)


Corda: distância (segmento) entre dois pontos da circunferência.


DIFERENÇA ENTRE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

REVISANDO

Circunferência não tem área.Ex.: anel.

Círculo Ex.: moeda.

Comprimento da circunferência(C = 2r)

Área do círculoAc = r²


EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA


Considere no plano cartesiano uma circunferência de centro C (a, b), raio r e um ponto qualquer da circunferência P(x, y), como mostra a figura a seguir:

P(x, y)

C(a, b)

r

xa

b

x

yNote que, ao localizar o ponto P(x, y) e o centro C(a, b), formamos um triângulo retângulo.

O raio (r) da circunferência é a hipotenusa desse triângulo retângulo.

y


REVENDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

a

b

c

Hipotenusa “a”.É o maior lado do triângulo retângulo.

Cateto “c”.

Cateto “b”.

Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c² REVISANDO


Na circunferência, temos o triângulo retângulo de raio r, cateto (x – a) e cateto (y – b). Dessa forma, ao aplicarmos o Teorema de Pitágoras, encontramos a equação reduzida da circunferência.

r

(x – a)

(y – b)

Pelo Teorema de Pitágoras, temos:

Equação reduzida da circunferência.

(x – a)² + (y – b)² = r²


RESOLVA AS SITUAÇÕES-PROBLEMA.

S1) Considerando a equação da circunferência (x - 2)² + (y + 5)² = 16, determine o centro e o raio dessa circunferência.


SOLUÇÃO

Vamos comparar a equação reduzida da circunferência com a equação da situação proposta.

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – 2)² + (y + 5)² = 16

• - a = -2 . (-1) a = 2• - b = +5 . (-1) b = -5

• r² = 16 r = 4

ConclusãoEssa circunferência possui C(2, -5) e r = 4.



S2) Escreva a equação reduzida da circunferência que tem centro C(-3, 6) e raio r = 5.


SOLUÇÃO

A equação reduzida da circunferência é da forma (x – a)² + (y – b)² = r². Como o centro é C(-3, 6) e o raio é r = 5, vamos substituir os valores do centro e do raio nessa equação.

(x – a)² + (y – b)² = r² (x – (-3))² + (y – 6)² = 5² (x + 3)² + (y – 6)² = 25

ConclusãoA equação reduzida da circunferência é (x + 3)² + (y – 6)² = 25.


EQUAÇÕES DA CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA


Antes de determinarmos a equação geral da circunferência, vamos relembrar a regra dos produtos notáveis: o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois termos.

REVISANDO

(a + b)² = a² + 2ab + b²(a – b)² = a² - 2ab + b²

Quadrado da diferença de dois termos.

Quadrado da soma de dois termos.


EXEMPLO: Calcule os produtos notáveis a seguir.

REVISANDO

a) (a – 2)²

b) (b + 3)²

= a² - 2. a . 2 + 2² = a² - 4a + 4.

= b² + 2 . b . 3 + 3² = b² + 6b + 9.

RESPOSTAS


Para determinar a equação geral da circunferência, utilizaremos a equação reduzida da circunferência (x – a)² + (y – b)² = r² e resolveremos os produtos notáveis: quadrado da diferença de dois termos.

(x – a)² + (y – b)² = r²

x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² = r²

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0

Equação geral da circunferência.



S1) Escreva a equação geral da circunferência, que tem centro C(-1, 2) e raio r = 3.


SOLUÇÃO

S1) Vamos utilizar a equação reduzida e substituir o centro C(-1, 2) e o raio r = 3. Em seguida, vamos resolver os produtos notáveis.

(x – a)² + (y – b)² = r²

(x – (-1))² + (y – 2)² = (3)²

(x + 1)² + (y – 2)² = (3)²

x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 3

x² + y² + 2x – 4y+ 4 + 1 - 3 = 0

Conclusão:

x² + y² + 2x – 4y+ 2 = 0

Equação geral da circunferência.



S2) A equação x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0 representa uma circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio.


SOLUÇÃO

S2) Vamos comparar a equação da situação com a equação geral da circunferência.

x² + y² - 2ax - 2by + a² + b² - r² = 0 x² + y² - 6x + 8y + 5 = 0

-2a = -6 . (-1) a = 3

-2b = 8 b = -4

a² + b² - r² = 5(3)² + (-4)² - r² = 59 + 16 – r² = 5r² = 20 r = 20=25

Conclusão C(3, -4) e r = 25 .


EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1º) Determine as coordenadas do centro C(a, b) e o raio r das circunferências de equação:

a) ( x – 5) ² + (y + 6) ² = 8 b) x ² + (y – 4) ² = 25

C(5, -6) e r = 8=22

C(0, 4) e r = 5

RESPOSTAS



2º) Determine a equação reduzida da circunferência de centro (2, 5) e raio igual a 3.

RESPOSTA

(x – 2)² + (y – 5)² = 9



3º) Escreva a equação geral da circunferência de centro C (-1, -2) e de raio 4.

RESPOSTA

x² + y² + 2x + 4y – 11 = 0



4º) Verifique entre os pontos A(-1, 3), B(-1, 2), C(-2, 3) e D(7, 2) quais pertencem à circunferência de equação (x – 3)² + (y + 1)² = 25.

RESPOSTA

B e D



5º) Escreva a equação geral da circunferência, representada pelo gráfico a seguir.

RESPOSTA

x² + y² - 64 = 00 x

y

-8


PROBLEMAS DE VESTIBULARES

1º) (FEI-SP) Quais são o centro e o raio da circunferência de equação x² + y² = 2(x – y) + 1?

RESPOSTA

C(1, -1) e r = 3


PROBLEMAS DE VESTIBULARES

2º) (UFRS) A equação da circunferência de diâmetro AB , com A (3, 1) e B (1, -3), é:

a) x2 + y2 + 4x – 2y – 15 = 0b) x2 + y2 – 4x + 2y – 15 = 0c) x2 + y2 – 4x + 2y = 0d) x2 + y2 + 4x + 2y = 0e) x2 + y2 – 2x + 4y = 0

RESPOSTA

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2005.

IEZZI, Gelson... [et al], Matemática: ciência e aplicações, 3ª série, Ensino Médio. Atual, São Paulo, 2004.

GUELLI, Oscar. Matemática, volume único. 1ª edição. Ática. São Paulo, 2003.

PAIVA, Manoel. Matemática, volume único. 1ª edição, Moderna. São Paulo, 1999.


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