matemÁtica e suas tecnologias ensino fundamental, 8º ano equações do primeiro grau o significado...

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIASEnsino Fundamental, 8º Ano

Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas

MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas

Objetivos da matemática para o quarto ciclo do pensamento algébrico:- produzir e interpretar diferentes escritas algébricas - expressões, igualdades e desigualdades - , identificando as equações, inequações e sistemas;- resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos;- observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis.(PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 81,1998)

CONCEITOS E PROCEDIMENTOS : Número e operações-Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 87,1998).

Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 40,1998).


FALANDO EM EQUAÇÃO, QUEM PODERIA ME FALAR

O SEU SIGNIFICADO?

EQUAÇÃO:“Igualdade entre duas expressões matemática que se verifica para determinados

valores das variáveis”(Dicionário eletrônico Houaiss)

É MUITO COMUM NAS AULAS DE MATEMÁTICA SE TRADUZIR O ENUNCIADO DE UM PROBLEMA DO

PORTUGUÊS PARA A EQUAÇÃO.

VAMOS CONSULTAR O DICIONÁRIO:


c – b ≥ 11 6x + 5 = 4120 > 13 9 + 7 = 15

É verdadeira! Não são verdadeiras e nem falsas!

Podemos classificar essas expressões como verdadeiras ou falsas?

VAMOS OBSERVAR ALGUMAS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS:

Vamos analisar:

20 > 13 9 + 7 = 15 c – b ≥ 11 6x + 5 = 41

É falsa!


Uma expressão matemática que podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA.

EXEMPLOS:15 > 9

5 + 7 = 12

3 . 7 = 20

SENTENÇA VERDADEIRA

SENTENÇA FALSA

SENTENÇA VERDADEIRA


Uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA.

EXEMPLOS:

c – d ≥ 9

4b + 3 = 15x + y ǂ 20

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b.

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES

ATRIBUÍDOS A x E A y.

PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A c E A d.


Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade

ou de desigualdade:

15 > 9

5 + 7 = 12

c – d ≥ 9

4b + 3 = 15

x + y ǂ 20

EXEMPLOS:


As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas...

EQUAÇÃO!!!!!

A letra encontrada em uma equação é chamada de INCÓGNITA ou VARIÁVEL.


Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas

3x – 5 = 12

x – y = 10

4x = 12

r² + 1 = r + 13

x + 3 = 2x - 7

É uma equação de incógnita x

x é a incógnita da equação

É uma equação com duas incógnita: x e y

É uma equação com uma incógnita: r

É uma equação com uma incógnita: x


Observe a equação 3x + 5 = 29.

3x + 5 = 29

Denomina-se 1º membro da

equação

Denomina-se2º membro da

equação


EQUAÇÃO DO 1º GRAU : DEFINIÇÃO

Equações do tipo ax + b = 0, ou equivalentes, sendo a e b números racionais e a ǂ 0, são chamadas equações do 1º grau na incógnita x.EXEMPLOS:

2x – 8 = 0 Equação do 1º grau na incógnita x

8y = 32 Equação do 1º grau na incógnita y

2 n – 1 = 13 5

Equação do 1º grau na incógnita n


Em uma equação o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja:

3x – 5 = 124x² = 12

r² + 1 = r + 13

É uma equação do primeiro grau

Lembre-se que X = X¹

É uma equação do segundo grau

Também é uma equação do segundo grau.

Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.


Geralmente em uma equação procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença fechada

verdadeira.Exemplo:

Na equação 6x = 30, qual o valor de x ?Observe que a equação 6x = 30 é do 1º grau!


Resolvendo mentalmente: 6x = 30 O número é 5: 6 . 5 = 30

Logo, x = 5, ou seja, 5 é a solução ou RAIZ da equação

6x = 30 Isso significa dizer que substituindo o x por 5 na equação 6x = 30, temos uma sentença fechada verdadeira.


Resolva a equação 3x + 4 = 25.

Observação:Equações do 1º grau têm 1 raiz.Equações do 2º grau têm 2 raiz.Equações do 3º grau têm 3 raiz...

Nota: Equações de grau superiores ao 1º serão estudadas em séries subsequentes.


Resolvendo mentalmente: A equação pode ser escrita assim:

3 . x + 4 = 25Então temos que x = 7

7 = 25 3 .

Logo, x = 7 é soluções da equação 3x + 4 = 25

+ 4

25 21 = + 4


Podemos observar que:

5 é a RAIZ da equação 6x = 30, pois a satisfaz.

7 satisfaz a equação 3x + 4 = 25, logo, é sua RAIZ.


- A raiz é o valor da incógnita que satisfaz a equação.

- A incógnita, ao ser substituída por esse valor gera uma sentença fechada verdadeira.

Podemos concluir que:

Dica: No link http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php do site www.somatematica.com.br você poderá revisar e se aprofundar um pouco mais nesse conteúdo.

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php

http://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php

http://www.somatematica.com.br/


PROBLEMAS VERBAIS E SUAS EQUAÇÕES.1) A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números?

RESPOSTA:

Representamos os dois números consecutivos por:

x e x + 1

Chamamos o número desconhecido de x.


A soma dos dois números é 13:

x

x

2x

+ x + 1 = 13

+ 1 = 13

+ ( x + 1) = 13

-1 = 13 -1

2x = 12

2x + 1

2x = 12

6 + (6 + 1) = 13

x

VERIFICAÇÃO:

:2 :2

= 6

6 + 7 = 13

x+ 1 = 6 + 1 = 7

Então:

Logo os números procurados são 6 e 7.

Eliminando os parênteses

Adicionando -1 aos dois membros

Dividindo os dois membros por 2

Adicionando as incógnitas

12


2) Um vendedor de uma loja de eletrodomésticos possui um salário mensal dado pela expressão 678 + 10/100p que corresponde a um salário mínimo e mais 10% do valor dos produtos vendidos pelo funcionário que é representado pela letra p.Durante um determinado mês o vendedor efetuou a venda de apenas um produto e teve como salário R$ 800,00. Qual o valor do produto vendido? NOTA: Esse problema mostra uma aplicabilidade de equações do 1º grau no mercado de trabalho : cálculo do salário de um trabalhador.


Vamos equacionar o problema: Utilizar o dicionário para entender o significada da palavra equacionar

Igualamos a expressão 678 + 10/100p, que representa um salário mínimo mais 10% do valor do produto vendido, ao salário ganho nesse mês :

10 p100

= 800+678VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO:

Observe que:10% = 10 ou ainda 0,10 100


678 10 p100

= 800+ Adicionando -678 aos dois membros

- 678678 10 p100

+ = 800 - 678

122 10 p100

=Multiplicando os dois membros por 100

122 10 p100

=. 100 . 100

10p = 12200

A RAIZ da equação é 1220.

O que essa raiz significa?Dividindo os dois

membros por 10 e simplificando.10 10 p = 1220


Como p = 1220 e ele representa o valor do produto, isso significa dizer que:

Para o vendedor ter um salário de R$ 800,00 ele precisa vender um ou mais produtos totalizando R$ 1220,00 .

Vamos verificar:678 10 p

100= 800+

678 1 . 122010

= 800+

Substituindo p por 1220 e simplificando a fração 10/100, temos:

Simplificando a expressão 1 . 1200, temos:10

678 122 = 800+

800 = 800


3) O professor de João passou 20 problemas como lição de casa e dará 5 pontos para cada resposta correta e 2 pontos para cada resposta incorreta. Sabendo que João obteve 72 pontos, quantas respostas corretas e quantas incorretas ele teve? NOTA: Nos vestibulares e concursos geralmente as notas são calculadas de maneiras variadas: são dados pesos a determinadas disciplinas, cada erro perde um certo, ...


Vamos equacionar o problema:

Observação: Representando por x o número de respostas corretas, o número de respostas incorretas será 20 – x.

Total de pontos por resposta correta: 5x

Total de pontos por resposta incorreta: 2.(20 – x)A diferença entre o total de pontos por

resposta correta e resposta incorreta é igual a 72 pontos:

5x 2.(20 – x) - = 72


5x 2.(20 – x) - = 72RESOLVENDO A EQUAÇÃO: Propriedade distributiva

da multiplicação em relação a subtração.

5x (40 – 2x) - = 72 Eliminando os parênteses

5x - 40 + 2x = 72 Aplicando a propriedade comutativa

5x + 2x -40

= 72 7x -40

= 72

= 72 Adicionando as incógnitas

Adicionando +40 aos dois membros

7x +40-40 +40

7x = 112

112

Dividindo os dois membros por 7

7x = 112 : 7 : 7

x = 16

A raiz da equação é 16.

Isso significa dizer que João teve 16

respostas corretas e, ...


... Como a expressão 20 – x representa o número de respostas incorretas, temos:

20 – 16 = 4

Como x = 16 e substituindo em 20 – x, tem-se:

Logo João teve 4 respostas incorretas

CONCLUSÃO:

Dos 20 problemas apresentados pelo professor, João respondeu corretamente 16 e errou 4.

Sugestão de revisão: Novo Telecurso, Matemática, Ensino Fundamental, Aula 62.


1) Quase todos os dias, Euclides pega um táxi para ir à casa da sua namorada, que fica a 20km de distância. Os valores aplicados pelo taxista são: bandeirada: R$ 4,15 e quilômetro rodado: R$ 2,15 (bandeira 1). Quanto ele pagou na corrida em bandeira 1?

MAIS PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU E SUAS APLICABILIDADES NO DIA A DIA.

Problema retirado do site: http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html#ixzz2IBPs03XM

http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html


SOLUÇÃO: EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:

BANDEIRADA = R$ 4,15;

A CADA 1km RODADO ELE PAGARÁ, NA BANDEIRA 1, R$ 2,15, ENTÃO PARA X km RODADOS TEM-SE 2,15 . X = 2,15X;

DE ACORDO COM O ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS:

4,15 + 2,15 . X

VAMOS CHAMAR O VALOR TOTAL DA CORRIDA DE Y .

Y=

QUANTIDADE DE QUILÔMETROS A SEREM RODADOS: 20 km;


SUBSTITUINDO X POR 20 TEMOS:

4,15 + 2,15 .

Y= X 20

RESOLVENDO PRIMEIRO A

MULTIPLICAÇÃO

4,15 +Y= 43 ADICIONANDO

Y= 47,15EUCLIDES PAGOU R$ 47,15 PELA CORRIDA NA BANDEIRA 1.OBSERVE QUE ESSA EQUAÇÃO TEM DUAS VARIÁVEIS X e Y, E QUE O Y VARIA DE ACORDO COM O X, QUE É A DISTÂNCIA PERCORRIDA ATÉ À CASA DA NAMORADA DE EUCLIDES.NOTA: O VALOR DA VARIÁVEL Y DEPENDE DO VALOR DA VARIÁVEL X, OU SEJA, Y ESTÁ EM FUNÇÃO DE X (NESSE MOMENTO PODE-SE INTRODUZIR A IDEIA BEM BÁSICA DE FUNÇÃO QUE PODE SER ILUSTRADA COM OUTROS EXEMPLOS)


2) Pedro tinha um saldo bancário positivo de R$ 1.000,00. Ao chegar ao banco ele percebe em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem cédulas de R$ 50,00. Qual o saldo de Pedro após o saque de 15 cédulas?

Problema retirado do site: http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html#ixzz2IBPs03XM, com adaptação.

OBSERVAÇÃO: ESSE PROBLEMA PODE SER RESOLVIDO POR MAIS DE UMA MANEIRA, MAS VAMOS DA PREFERÊNCIA A SOLUÇÃO ENVOLVENDO

EQUAÇÃO DO 1º GRAU.

http://www.prof-edigleyalexandre.com/2012/06/equacao-do-1-grau-aplicacoes.html


SOLUÇÃO: SALDO DE PEDRO: R$ 1.000,00VALOR FIXO EM REAIS QUE PODEM SER SACADOS: R$ 50,00

REPRESENTAREMOS O NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS POR X, LOGO, PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS: X=15.

O SALDO APÓS O SAQUE SERÁ REPRESENTADO POR Y.

EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:

Y = 1000 - 50 . X


SUBSTITUINDO X POR 15

RESOLVENDO A MULTIPLICAÇÃO

SUBTRAINDO TEMOS:

Y = 1000 - 50 . X15

Y = 1000 - 750

Y = 250

APÓS SACAR 15 CÉDULAS O SALDO DE PEDRO É IGUAL A R$ 250,00.

NOTA: OBSERVE QUE O SALDO DE PEDRO ESTÁ EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS.


Indicação de livros didáticos com suas respectivas páginas para aprofundamento do

estudo sobre equações do 1º grau:-Bigode, Antônio Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, 2000. Páginas 63 a 72.-Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, 2002. Páginas 111 a 123.-Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, 1997. Página 213 a 222.-Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. Página 98 a 113.-Guelli, Oscar, Matemática uma aventura do pensamento, 7ª série, 8ª edição, Ática, 2001. Página 91 a 102.


REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA-Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010.-Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998.-Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, 2002.-Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, 1997.-Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. -Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 7ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001.-Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, 2000.-www.somatematica.com.br-Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 62.-http://tvescola.mec.gov.br/

matemÁtica e suas tecnologias ensino fundamental, 8º ano equações do primeiro grau o significado...

Documents