matemática e – extensivo – v. 8 4 ! 18) d sabemos que, se r 1, r 2, r 3 e r 4 são raízes de...
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GABARITO
1Matemática E
Matemática E – Extensivo – V. 8
Exercícios
01) 5
Sejam r1, r2 e r3 as raízes da equação 4x3 – 20x2 + 23x – 7 = 0.
Logo, r1 + r2 + r3 = −ba
= −−( )204
= 5.
02) A
Sejam r1, r2, r3 e r4 as raízes. Então:
r1 . r2 . r3 . r4 = ca
= 21
= 2
03) Soma = 0 ; produto = – 25
Seja S a soma das raízes e P o produto.
S = − =−b
a0
5 = 0
P = –ea
= – 25
04) 64
Temos que r1, r2, r3 são raízes da equação.
r3
r2r
1
V = r1 . r2 . r3
V = − =−−d
a( )64
1 = 64 m3
05) D
Sejam a, b e c as raízes e PA (a, b, c).
Da equação, temos: s = r t+2
, então
r + t = 2s (i).
Da equação, temos r + s + t = – ( )−31
= 3.
De (i) e (ii), temos: 2s + s = 3 3s = 3 s = 1 Aplicando Briot-Ruffini:
1
1
1
–3
–2
–1
–3
k
k–3}resto
Logo, k – 3 = 0 ⇒ k = 3.
06) C
Temos que 5, a e b são raízes de x3 – 6x2 – x + 30 = 0.Logo:5 + a + b = −−( )6
1 = 6
a + b = 6 – 5a + b = 1
07) C
log2 m + log2 p + log2 q = log2 (m . p . q) = ?Como m, p e q são raízes de x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0,
logo, m . p . q =−da
= −−( )8
1 = 8.
Logo, log28 = y ⇒ 2y = 8 ⇒ y = 3.
08) A
Temos: x y z
xy xz yz
x y z
+ + =+ + =
=
7
14
8. .
Temos: −ba
= 7 ⇒ –b = 7a ⇒ b = –7a
ca
= 14 ⇒ c = 14a
−da
= 8 ⇒ –d = 8a ⇒ d = –8a
ax3 + bx2 + cx + d = 0 ⇒ ax3 + (–7a)x2 + 14ax + (–8a) = 0 ⇒ x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0
09) {–4, 4, 12}
Temos que as raízes a, b e c estão em uma P.A., ou seja, (a, b, c) ⇒ (b – r, b, b + r), em que r é a razão da P.A.Sabemos que a + b + c = 12 e a . b . c = –192.b – r + b + b + r = 123b = 12b = 4
(b – r) . b . (b + r) = –192(b2 – br) . (b + r) = –192b3 + b2r – b2r – br2 = –192b3 – br2 = –19243 – 4r2 = –192r = 8
Logo, (a, b, c) ⇒ (4 – 8, 4, 4 + 8) ⇒ (–4, 4, 12).
GABARITO
2 Matemática E
10) 14
As raízes da equação, a, b e c, formam uma P.G (a, b, c) ⇒
(bq
, b, b . q).
Sabemos que a + b + c = 7 e a . b . c = 8.bq
. b . b . q = 8 bq
+ b + bq = 7
b3 = 8 2q
+ 2 + 2q = 7
b = 2 2 2 2 2+ +q qq
= 7
2 + 2q + 2q2 = 7q
2q2 – 5q + 2 = 0 ⇒q
q
=
=
2
12
Observe que, se q = 2, então (1, 2, 4); e se q = 12
, en-
tão (4, 2, 1). Logo as raízes a, b e c são {1, 2, 4}.Sabemos que a . b + a . c + b . c = k 1 . 2 + 1 . 4 + 2 . 4 = k 2 + 4 + 8 = k k = 14.
11) C
Sabemos que:P(x) = x3 + ax2 + bx + c e Q(x) = P(x) + P(–x)
Q(2) = P(2) + P(–2) == (23 + a . 22 + b . 2 + c) + ((–2)3 + a (–2)2 + b . (–2) + c)= 8 + 4a + 2b + c – 8 + 4a – 2b + c = 0= 8a + 2c = 0 (I)
Q(1) = P(1) + P(–1) == (13 + a . 12 + b . 1 + c) + ((–1)3 + a (–1)2 + b . (–1) + c)= 1 + a + b + c – 1 + a – b + c = 2= 2a + 2a = 2 (II)
De I e II, temos:8 2 0
2 2 213
43
a c
a ca c
+ =+ =
⇒ =− =
Logo, se r1, r2 e r3 são raízes de P(x), então:
r1 . r2 . r3 = – c1
= – 43
.
12) B
P(x) = x3 + 4x2 + x – 6 Note que x = 1 é raiz, pois P(1) = 0. Reduzindo o polinômio P(x), temos:
1
1
4
5
1
6
–6
0
1
Logo, Q(x) = x2 + 5x + 6. Resolvendo a equação acima, temos: x' = –3 ou x'' = –2 Portanto, S = {–3, -2, –1}.
13) a) q = 10 b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i
Sejam a, b e c raízes da equação e elas estão em P.A (a, b, c) ⇒ (b – r, b + b + r).
Temos que b – r + b + b + r = 33b = 3b = 1
a) x3 – 3x2 + 12x – q = 0 13 – 3 . 12 + 12 . 1 – q = 0 1 – 3 + 12 – q = 0 q = 10
b) Rebaixando a equação:
1 1
1
–3
–2
12
10
–10
0
Q(x) = x2 – 2x + 10, cujas raízes são 1 + 2i e 1 – 2i, pela fórmula de Báskara.Logo, as raízes da equação são:{1, 1 + 2i, 1 – 2i}
14) E
Como m e n são raízes, temos: m2 + m2 + n = 0 e n2 + mn + n = 0 2m2 + n = 0 n(n + m + 1) = 0 Logo, n = 0 (não serve) ou n + m + 1 = 0 Daí, obtemos o sistema:
2 0
1 0 1
2m n i
m m n m ii
+ =+ + = ⇒ =− +
( )
( )
Substituindo (ii) em (i), teremos: 2m2 – m – 1 = 0 Resolvendo a equação acima, temos: m = 1 ⇒ n = – 2
GABARITO
3Matemática E
Logo, a equação é dada: p1(x) = x2 + x – 2 Note que m = 1 e n = –2 são raízes da equação p1(x),
pois p1(1) = p(–2) = 0. Temos ainda da solução da equação (iii):
m = – 12
⇒ n = – 32
Logo, a equação é dada por p2(x) = x2 – x2
– 32
.
Observe:
m = – 12
e n = – 32
, pois m = – 12
não é raiz de p2(x).
Portanto, m – n = 1 – (–2) = 1 + 2 = 3
15) 17
01. Correta.
x
x
x x
x x x x x
1 1
1 2
1
2 2 03 2− = − + − + − =
x3 + 2x2 – x – 2 = 0 Temos que x = –2 é solução. Rebaixando o polinômio:
1
1
2
0
–1
–1
–2
0
–2
Logo, Q(x) = x2 – 1. Portanto, as raízes de Q(x) são x = 1 e x = –1. Assim, as raízes pertencem ao intervalo [–2, 1].02.04. Incorreta. P(x) = 3x3 + x2 – 7x – M P(–2) = 3(–2)3 + (–2)2 – 7(–2) – M = 0 = – 24 + 4 + 14 – M = 0 = – 6 – M = 0 M = – 608. Incorreta.
2
2
2
5
–1
–9
–35
–32
4
–80
16
0
48
0
–3
–4
Logo, Q(x) = 2x2 – 9x + 4. Portanto, o produto é dado por:
P = ca
= 42
= 2.
16. Correta.
1 1 17161
76a b c
a b a c b ca b c
+ + =⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ ⋅=−
−=
16) 5, 1 – 2i, 1 + 2i
ERRATA: Para resolução do exercício considere x3 + mx2 + 15x – 25 = 0.
Se a, b e c são raízes e 1 1 1a b c
, ,
formam uma progres-
são aritmética, então:
1b
=
1 1
2a c+
2 1 1b a c= +
2ac = bc + ab (i) Na equação x3 + mx2 + 15x – 25 = 0, encontram-se as
seguintes relações coeficientes e raízes: ac + ab + bc = 15 ac + 2ac = 15 (substituir (i)) ⇒ ac = 5 e ab + bc = 10 Temos ainda: a . b . c = 25 5b = 25 b = 5 Logo: ab + bc = 10 b(a + c) = 10 5(a + c) = 10 a + c = 2 Como a + c = 2 e a . c = 5, a equação x2 – 2x + 5 = 0
possui raízes a e c. Resolvendo essa equação, tem-se: a = 1 + 2i e c = 1 – 2i Assim, as raízes são {5, 1 + 2i; 1 – 2i}.
17) V – F – V – V – F.
Verdadeiro. Pelo Teorema das raízes racionais.
Falso. Temos que S = −189
= –2 e P = 209
.
Logo, P + 9S = 209
+ 9 . (–2) = 1429
≠ 18.
Verdadeiro. S = –2 e P = 209
, logo
9P + S = 9 . 209
– 2 = 20 – 2 = 18.
Verdadeiro. S = –2, que é um número inteiro.
Falso. P = 209
, que não é um número inteiro.
GABARITO
4 Matemática E
18) D
Sabemos que, se r1, r2, r3 e r4 são raízes de 2x4 – 7x3 + 8x2 – 2x – 4 = 0, então:
r1 . r2 . r3 . r4 = −42
= –2.
Como i – i é raiz da equação, então 1 + i também é raiz da equação (teorema das raízes complexas).
Logo:(1 + i) . (1 – i) . r2 . r3 = –2(1 – i2) . r2 . r3 = –22 . r2 . r3 = –2r2 . r3 = –1.
19) 31
01. Correta. Temos que x1 = 2, x2 = 1 – i e x3 = 1 + i. Logo:
x1 . x2 . x3 = – ca
2(1 – i) . (1 + i) = – c1
2(1 – i2) = – c 2 . (2) = – c 4 = –c (–1) c = –402. Correta.
a + b + c = −ba
a + b + c = −−( )91
a + b + c = 9 Logo, log3 9 = 204. Correta. Sejam a e b as raízes. De problema, temos:
a + b = −−( )6K
= 8
⇒ 6K
= 8
⇒ K = 68
⇒ K = 34
Logo:
a.b = ca
= 734
7 43
283
=⋅=
08. Correta. P(–2) = 2(–2)3 – (–2)2 – 2K + t = 0 – 16 – 4 – 2K + t = 0 – 2K + t = 20 (i)
P(3) = 2(3)3 – 32 + 3K + t = 0 54 – 9 + 3K + t = 0 3K + t = – 45 (ii) Fazendo (i) – (ii), obtemos: –5K = 65 K = –13 Substituindo K = –13 em (i), temos: t = – 6 Assim, P(x) = 2x3 – x2 – 13x – 6 Segue,
(–2) . 3 . c = −−( )6
2
− ⋅ ⋅ =2 3 3c
c = – 12
16. Correta.
πa
+ πb
+ πc
= π 1 1 1a b c+ +
1 1 1a b c
ab ac cba b c
+ + =+ +⋅ ⋅
Temos:
ab + ac + cb = – 41
= – 4
a . b . c = – 81
= – 8
Assim:
1a
+ 1b
+ 1c = −−
48
= 12
Logo:
πa
+ πb
+ πc
= π2
Portanto:
cos π π πa b c+ +
= cos π2
= 0
20) C
Sabemos que:a + b + c = 5 (I) e a . b . c = –8 (II).
Como a = –2bc, logo bc = −a2
. Em (II):
a . −
a2
= –8
a2 = 16 ⇒ a = 4
Temos também, em (I):4 + b + c = 5b + c = 1
Como queremos ab
+ ac
, então:
ac abbc
a b cbc
aa
+=
+=−=−=
⋅ −=−
( ) . . ( )1
2
4 142
4 2
42 .
GABARITO
5Matemática E
21) Falso. Pois log 12
≠ 0.
Temos que:
log 1 1 1a b c+ +
= log bc ac ab
a b c+ +
. .
, mas
bc ac ab
a b c
+ + =
=−−
125
2501
. .( ) relações de Girard
Temos log 125250
= log 12
≠ 0.
22) Verdadeiro.
x2 – x + c = 0α + β = 1α . β = cx2 – bx + 2 = 0(α + 1) + (β + 1) = b(α + β) + 2 = b1 + 2 = bb = 3(α + 1) . (β + 1) = 2α . β + α + β + 1 = 2α . β + 1 + 1 = 2α . β = 0 Temos assim que:b = 3 e c = 0.Logo, b + c = 3 + 0 = 3.
23) B
Temos que p + q + r = 2 e pq + pr + qr = 1.
Logo: (p + q + r) . (p + q + r) = = p2 + pq + pr + qp + q2 + qr + rp + rq + r2 =
= p2 + q2 + r2 + 2 . (pq + pr + qr).
Temos assim:(p + q + r)2 = 22
p2 + q2 + r2 + 2 . ( )pq pr qr+ +1
� ������� ������� = 4
p2 + q2 + r2 + 2 . 1 = 4p2 + q2 + r2 = 2
24) a) A = 132
, B = 272
e C = 9
b) d = 612
cm
Temos a, b e c como as raízes da equação.Tiramos dos dados do enunciado:a . b . c = 92(ab + ac + bc) = 274(a + b + c) = 26
a) Sabemos que a + b + c = −−( )A1
= A.
Logo, A = 132
.
ab + ac + bc = B1
= B. Logo, B = 272
.
a . b . c = −−( )c1
= c. Logo, C = 9.
b) ERRATA: D = 612
cm
A diagonal de um paralelo é medida por
D = a b c2 2 2+ + .
Temos que (a + b + c)2 = 132
2
a2 + b2 + c2 + 2 . 272
= 169
4
a2 + b2 + c2 = 1694
– 27
a2 + b2 + c2 = 614
D = 614
D = 612
cm
25) B
Sejam p, q e r as raízes de P(x) e p, q e s as raízes de Q(x).
Da relação de Girard, temos:
p q r a
p q s
+ + =−+ + =
0
⇒ s – r = a
p q r
p q s
⋅ ⋅ =−⋅ ⋅ =−
18
12⇒
rs
= 32
Segue, s = –2a e r = –3a. Substituindo r = –3a em P(x), temos: (–3a)3 + a(–3a)2 + 18 = 0 –27a3 + 9a3 + 18 = 0 –18a3 = –18 a3 = 1 a = 1 Logo, s = –2 e r = –3. Substituindo s = –2 em Q(x), temos: (–2)3 + b(–2) + 12 = 0 – 8 – 2b + 12 = 0 – 2b = – 4 b = 2 Logo, 2a = b.
GABARITO
6 Matemática E
26) D
Como m, N e p são raízes da equação, temos:
m m m
N N N
p p p
3 2
3 2
3 2
2 0
2 0
2 0
− + − =− + − =− + − =
Somando essas equações, temos:(m3 + n3 + p3) – (m2 + n2 + p2) + (m + n + p) – 6 = 0 (I).
Das relações de Girard:(m + n + p)2 = m2 + n2 + p2 + 2 . (mp + Np + mN),em que m + N + p = 1 e mp + Np + mN = 1 (Girard)
Logo:12 = m2 + n2 + p2 + 2 . 1 ⇒ m2 + N2 + p2 = –1 (II).
Substituindo (II) em (I) temos:m3 + n3 + p3 – (–1) + 1 – 6 = 0m3 + n3 + p3 = 4.
27) V – V – V – F
Verdadeiro. P(0) = 04 – 5 . 0 + 2 = 2Verdadeiro. P(1) = 14 – 5 . 1 + 2 = –2Verdadeiro. Como P(0) . (1) < 0, logo admite número ímpar de raízes no intervalo (0, 1).Falsa. Devido à alternativa anterior ser verdadeira.
28) Verdadeiro.
P(2) = 23 – 11 . 22 + 31 . 2 – 21 = 8 – 44 + 62 – 21 = 5P(4) = 43 – 11 . 42 + 31 . 4 – 21 = 64 – 176 + 124 – 21 = –9
Logo, P(2) . P(4) < 0. Possuindo uma quantidade ímpar de raízes.
29) a) p(–2) = –1, p(0) = 1, p(1) = –1 e p(2) = 3 b) Três raízes reais e nenhuma raiz imaginária.
a) p(–2) = (–2)3 – 3 . (–2) + 1 = –8 + 6 + 1 = –1 p(0) = 03 – 3 . 0 + 1 = 1 p(1) = 13 – 3 . 1 + 1 = –1 p(2) = 23 – 3 . 2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3
Veja o gráfico a seguir:p(x)
–2
0 x
(0,1)
(1,–1)(–2, –1)
(2, 3)
1 2
b) Observe, através do gráfico, que a função possui três raízes reais (intersecção com o eixo 0x).
Como o polinômio é de grau 3, não possui raiz além dessas três; sendo assim, não possui raízes complexas.
30) k < –4
Observe que:P(0) = k . 03 – 2 . 02 + 5 . 0 + 1 = 1P(1) = k . 13 – 2 . 12 + 5 . 1 + 1 = k + 4
Como deve admitir quantidade ímpar de raízes, P(0) e P(1) devem possuir sinais opostos.
Como P(0) > 0, logo P(1) < 0.k + 4 < 0 ⇒ k < –4
31) –5 < m < 3
P(–1) = 2 . (–1)3 + (–1)2 + 2(– 1) + mP(–1) = –2 + 1 – 2 + m = –3 + m
P(1) = 2 . 13 + 12 + 2 . 1 + mP(1) = 2 + 1 + 2 + m = 5 + m
Para que P(x) admita um número ímpar de raízes, P(–1) e P(1) devem ter sinais opostos. Logo:
–3 + m > 0 e 5 + m < 0m > 3 e m < –5
–5
m > 3
m < – 5
3
Logo, intersecção vazia, portanto não serve.
–3 + m < 0 e 5 + m > 0 m < 3 e m > –5
–5
m < 3
m > – 5
3
Logo –5 < m < 3.
GABARITO
7Matemática E
32) zero, duas, quatro ou seis.
P(–1) = (–1)6 – 6 . (–1) – 3 = 1 + 6 – 3 = 4P(2) = 26 – 6 . 2 – 3 = 64 – 12 – 3 = 49
Como P(–1) . P(2) > 0, logo, nesse intervalo, possuímos uma quantidade par de raízes.Podemos ter então 0, 2, 4 ou 6 raízes.
33) D
Note que ∀ x ∈ [c, e], tal que x1 < x2 temos f(x1) > f(x2). Logo, f é decrescente no intervalo [c, e].
34) A
Essa questão requer raciocínio lógico e visual.Observe que f(x) = m ou f(x) – m = 0.
Para que f(x) – m = 0 possua 3 raízes, o gráfico preci-sa deslocar-se m casas para cima, ou seja, o gráfico precisa interceptar o eixo x em três pontos.
Isso acontece se o gráfico se deslocar até o ponto (0, 0). Após isso, o gráfico volta a interceptar somente em dois pontos.
Logo, –4 < m < 0.
35) E
Observando o gráfico, temos que a função intercepta o eixo 0x em cinco pontos. Logo, ela possui no mínimo 5 raízes reais. Portanto, a função possui grau maior ou igual a 5.
36) a = 14
e p = –2
Temos, através dos pontos dados, que p = –2 e
a = 14
, pois as raízes são P(de duplicidade 2) e 0.
Pelas relações de Girard, temos:
p + p + 0 = – 1a
p . p + p . 0 + 0 . p = 1a
2p = – 1a
p2 = 1a
Logo, 2p = – p2 ⇒ p2 + 2p = 0 ⇒ p = 0 ou p = –2.Como P ≠ 0, logo p = –2.
Se p = –2, –4 = – 1a
⇒ a = 14
.
37) a) x
0
1
–1
2
–2
0
1
1
16
16
y
b) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila. c) Pelo gráfico podemos observar que 0 é raiz de mul-
tiplicidade 4, ou ainda, f(x) = x4 ⇒ x4 = 0 ⇒ x = 0. S = {0} d) f(x) é uma função par, pois f(x) = f(–x) e seu gráfico
é simétrico ao eixo 0y.
38) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.
39) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.
40) Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.
41) S = x R x ou x∈−
< <+
>
/1 3
21 3
22
ERRATA: x R x ou x∈−
< <+
>
/1 3
21 3
22
Para P(x) > 0, isto é, os valores da imagem maiores que zero.
Segundo o gráfico temos x = 2 como raiz. Reduzindo o P(x), obtemos:
2
2
–6
–2
3
–1
2
0
2
Logo, Q(x) = 2x2 – 2x – 1. Resolvendo a equação acima, temos:
x' = 1 32− ou x'' = 1 3
2+
Os valores para P(x) > 0 é dado para todo
x ∈ ] 1 32− , 1 3
2+ [ ∪ ]2, ∞[.
GABARITO
8 Matemática E
42) a) – 3 b) {x ∈ R / –1 < x < 1 ou x > 3}
a) B = 23 – 3 . 22 – 2 + 3 = 8 – 12 – 2 + 3 = –3 B = –3
b) Podemos observar que 1 é raiz do polinômio, pois P(1) = 13 – 3 . 12 – 1 + 3 = 0.
Rebaixando o polinômio, temos:
1 1
1
–3
–2
–1
–3
3
0
Q(x) = x2 – 2x – 3, e as raízes de Q(x) são –1 e 3. Logo:
–3
–1 1 32
3
Observe que x3 – 3x2 – x + 3 > 0 no intervalo ]–1, 1[ e ]3, ∞[. Logo, {x ∈ R / –1 < x < 1 ou x > 3}.
43) B
Temos que o gráfico de g(x) é o gráfico da função f(x) estocado 5 unidades para baixo, isto é:
020
g(x)
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–3
x
y
Portanto, como podemos verificar no gráfico, temos uma raiz.
44) a) S = {–92
, 3}.
b) f(x) ≤ 0 para {x ∈ R / x ≤ – 92
}
a) Pelo gráfico apresentado, podemos observar que 3 é raiz da função.
Rebaixando a equação:
3 2
2
–3
3
–36
–27
81
0
⇒ 2x2 – 3x – 27 = 0,
em que as raízes são x = 3 e x = – 92
.
Logo, as raízes de 2x3 – 3x2 – 36x + 81 = 0 são:
S = {3, 3, – 92
} ou {3, – 92
}.
b) Observando o gráfico, temos que f(x) ≤ 0 quando
x ≤ – 92
.
GABARITO
9Matemática E
45) E
Temos que a função é P(x) = ax3 + bx2 + cx + d.
Com os dados informados, temos:− + − + =+ + + =+ + + =
a b c d
a b c d
a b c d
0
0
27 9 3 0
e ainda P(0) = 2, logo:a . 0 + b . 0 + c . 0 + d = 2,d = 2
− + − =−+ + =−+ + =−
a b c
a b c
a b c
2
2
27 9 3 2
Resolvendo o sistema (por Cramer ou es-calonamento), temos:
a = 23
, b = –2 , c = – 23
Logo, P(x) = 23
x3 – 2x2 – 23
x + 2.
Temos assim,
P(5) = 23
. 125 – 2 . 25 – 23
. 5 + 2 = 32.
46) C
Temos P(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Com os dados informados:
− + − + =+ + + =+ + + =
a b c d
a b c d
a b c d
0
0
8 4 2 0
Temos ainda que P(0) = 2. Logo:a . 0 + b . 0 + c . 0 + d = 2,d = 2− + − =−+ + =−+ + =−
a b c
a b c
a b c
2
2
8 4 2 2
Resolvendo o sistema por Cramer ou esca-lonamento, obtemos:a = 1 , b = –2 , c = – 1Logo, P(x) = x3 – 2x2 – x + 2.
Pelo teorema do resto:P(–2) = (–2)3 – 2 . (–2)2 – (–2) + 2P(–2) = –8 – 8 + 2 + 2 = –12.
47) 18
01. Incorreta. Substituindo o ponto Q(1, 0) na circunferência, temos: 12 + 02 – 4 . 1 + 2 . 0 – 4 1 – 4 – 4 = – 7 < 0 Logo, o ponto é interior.
02. Correta. Note que, x = 2 é raiz de P(x). Reduzindo o polinômio,
temos:
1
1
–10
–8
31
15
–30
0
2
Logo, Q(x) = x2 – 8x + 15. Resolvendo a equação anterior, obtemos:
x' = 3 ou x'' = 5. Assim, as dimensões do paralelepípedo são 2, 3 e 5.
Portanto, o valor da área total é dado por: A = 2 (2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5) A = 2 (6 + 10 + 15) A = 2 . 31 A = 62 m2
04. Incorreta. Pelo teorema do resto, temos: P(4) = 2 . 43 – 42 + 5 . 4 – 3 P(4) = 128 – 16 + 20 – 3 P(4) = 132
08. Incorreta. a1 = 1986 an = a1 + (n – 1)r
an = 3054 3054 = 1986 + (n –1 ) 76
r = 76 3054 – 1986 = 76n – 76 n = ? 1068 + 76 = 76n 1144 = 76n
n = 114476
n = 15,05 Como n ∉N, então o cometa não passará 3054.
16. Correta. Vamos verificar alguns pontos notáveis (raízes e ponto
(0, y)).
f
f
f
f
f
( )
( )
( )
( )
( )
− =− ====
2 0
1 0
1 0
2 0
0 4
Portanto, o gráfico é parte da função f(x) = x4 – 5x2 + 4.
GABARITO
10 Matemática E
48) C
Analisando os sinais separadamente:
+ + + + + + + + + + + +
2
– – – – – – – – – – – – –
+ + + + + + + + + + + +
2– 2
– 2
– 4 8
P
S
PS
4
+ + + + + + + + + + + +– – – – – – – – – – – –
– – – – – – + + + + + +
4
Logo, P(x) . Q(x) < 0, para todo x ∈ [–4, –2[ ∪ ]2, 4[.
49) D
Observe que o gráfico intercepta o eixo 0x em três pontos. Logo, o grau de f(x) deve ser maior ou igual a 3, descartando assim a alternativa a.
Observe também o descarte das alternativas b, c, e e, pois x2 . (x – 1) = 0, x = 0 (multiplicidade 2) e x = 1; x3(x – 1) possui x = 0 (multiplicidade 3); por fim, x2(x2 – 1) possui x = 0 (multiplicidade 2); o que diverge do gráfico, pois nenhuma raiz é de multiplicidade 2.
50) a) {–2, 0, 2} b) {3, 1, 5}
a) Segundo o gráfico, as raízes de P são {–2, 0, 2}.
b) Substituir x por x – 3 é trasladar o gráfico 3 unidades para a direita, pois a = –3 < 0.
Logo: A raiz 2 somaria 3 unidades = 5. A raiz 0 somaria 3 unidades = 3. A raiz –2 somaria 3 unidades = 1. Logo, as raízes f(x – 3) são {1, 3, 5}.
51) D
Analisando os sinais separadamente, temos:
+ + + + + + + + + + + +f(x)
–––––––––––––
–1/2
P(x) = f (x) . g(x)
g(x)+ + + + + + + + + + + +– – – – – – – – – – – –
– – – – – –
– 2 2
– 2 2
+ + + + + + – – – – – –+ + + + + +
–1/2
Portanto,
S = {x ∈ R/ – 2 < x < – 12
ou x > 2}.
52)
Gráfico pode ser observado no gabarito da apostila.
53) D
I. Verdadeira. A(x) = B(x) x3 – x = x – 1 x3 – 2x + 1 = 0 Note que x = 1 é raiz.
1
1
0
1
–2
–1
1
0
1
Logo, Q(x) = x2 + x – 1. Resolvendo a equa-
ção anterior, obtemos x' = − +1 52
ou
x'' = − −1 52
.
Portanto, os gráficos A(x) e B(x) inter-ceptam em três pontos.
II. Falsa. Raízes de A(x): A(x) = x3 – x = x(x2 – 1) = 0 Logo, x' = 0, x'' = 1 e x''' = –1. Raízes de B(x): B(x) = x – 1 = 0 Logo, x = 1. Portanto, possuem uma raiz em co-
mum.
III. Verdadeira. Volume. Ruffini.
1
1
0
1
–1
0
0
0
1
Logo, r(x) = 0.
IV. Verdadeira. Soma das raízes: S = 0 + 1 – 1 + 1 = 1
GABARITO
11Matemática E
54) a) q1(x) = a1 . (x + 1) . (x – 3) e q2(x) = a2 . (x – 1) . (x – 4). Logo, q(x) = a1 . a2 . (x + 1) . (x – 3) . (x – 1) . (x – 3). Como q(x) < 0, para x < –1 e x > 4 um possível gráfico para
a função será:
x
q(x)
0 1
–12 3 4
b) h(x) = a1 . a2 . x . (x + 1) . (x – 3) . (x – 1) . (x – 3). Dividindo h(x) por (x + 1), temos o quociente a . x(x – 1) . (x – 3) . (x – 4) e suas raízes são 0, 1, 3, 4.
55) C
Reduzindo o polinômio P(x), temos:
2
2
–5
–1
1
–1
2
0
2
Logo, Q(x) = 2x2 – x – 1. Resolvendo a equação anterior, obtemos
x' = – 12
ou x'' = 1.
Segue:
P x x x x( ) ( ) ( )= ⋅ − ⋅ +
⋅ −2 2
12
1
Queremos 2(x – 2) x+
12
(x – 1) ≥ 0. Analisando os sinais se-
paradamente:
1
(x – 2)2
2
+ + + + + +––––––––––––
–––––––––––– + + + + + +
––––––
––––––
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + ––––––
12 – 1
2
1
––––––
(x – 1)
(x + )
P( x )– 1
2
Portanto, P(x) ≥ 0 para todo:
x ∈ −
12
1, ∪ [2, ∞[.
56) C
Pelo Teorema do resto, temos:P(–1) = 4 . (–1)9 + 7 . (–1)8 + 4 . (–1)3 + 3P(–1) = –4 + 7 –4 + 3 = 2
57) A
Pelo teorema do resto, temos:P(1) = 15 . 116 + b . 115 + 1 = 015 + b + 1 = 0b = –16.
58) C
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
3 2 0 1
0 2
2 2
0
− − + + + −
− + + − −
− − + +
+ −
−
/
/ 22 0 2
2 0 2
0
2
2
x x
x x
+ +
+ −
Daí, x4 – x3 – 3x2 + x + 2 = (x + 1)2 . (x – 1) . (x – 2).
Portanto, outro divisor é (x + 1)2.
59) E
x4 + 2x2 + 1 dividido por x2 – 2x + 1.
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3
0 2 0 1 2 1
2 2 5
2 0 1
2 4
+ + + + − +
− + − + +
+ + +
− +
/22
2
2
2
5 2 1
5 10 5
8 4
−
− +
− + −
−
x
x x
x x
x
/
Logo, r(x) = 8x – 4.
GABARITO
12 Matemática E
60) a) a = 0 b) V = {0, 1, 2}
a) Se a = 0, então p(x) é claramente um poli-nômio.
Se a ≠ 0, para que p(x) seja um polinômio,
a cosxx2 2+
deve ser também um polinômio:
P(x) – (x3 – 3x2 + 2x) = a cosxx2 2+
P1(x) = p(x) – (x3 – 3x2 + 2x)
pois a diferença de dois polinômios é um polinômio.
a cosxx2 2+
não é um polinômio nulo, pois para
x = 0 temos aacos0
2 0 22+= .
Logo, p1(x) também é nulo. Para algum po-linômio não nulo p1(x) devemos ter então a identidade em R.
a cosxx2 2+
= p1(x) (i)
Isto é, para algum polinômio não nulo p1(x) e para todo x ∈ R.
Suponhamos, por absurdo, que (i) seja a iden-tidade em R. Podemos escrever:
cos x = 1a
(2 + x2) p1(x) (ii)
O primeiro membro de (ii) admite infinitas raízes reais. Já o segundo membro é um polinômio não nulo, pois o produto de dois polinômios não nulos admite um número finito de raízes reais. Assim, (ii) não é uma identidade em R e portanto (i) também não.
Logo, a = 0.
b) Se a = 0, então P(x) = x3 – 3x2 – 2x – x(x2 – 3x + 2) P(x) = x(x – 1)(x – 2) = 0 Logo, x = 0, x = 1 e x = 2.
61) D
12 2 1 2 2 1( )( )x x
Ax
Bx+ +
=++
+1
2 2 12 1
22
2 1( )( )( ) ( )
x xA x
xB x
x+ +=
++
+++
1 = 2Ax + A + Bx + 2B(2A + B)x + (2B + A) = 1
2 0
2 1
A B
A B
+ =+ =
⇒ A = – 13
B = 23
Logo, A + B = 23
– 13
= 13
.
62) B
Se gn(P) = m e gn(Q) = N, então gn(P . Q) = m + nAssim, 4N + 2 + 3N – 1 = 7N + 1.
63) D
f(x) = g(x) . P(x) + n(x)f(x) = (x2 – 1) . (2x + 1) + (kx – 9)f(x) = 2x3 + x2 – 2x – 1 + kx – 9f(x) = 2x3 + x2 + (k – 2)x – 10
Pelo teorema do resto, temos:f(2) = 2 . 23 + 22 + (k – 2) . 2 – 10 = 016 + 4 + 2k – 4 – 10 = 02k + 6 = 02k = –6k = –3.
64) A
Do enunciado temos:P(x) = (x – 1) . q(x) + 10 e P(x) = (x – 3) . q'(x) + 0
Do teorema do resto, queremos saber o valor de q(3).P(3) = 2 . q(3) + 10 e P(3) = (3 – 3) . q'(3) + 00 = 2 . q(3) + 10 P(3) = 0q(3) = –5
65) C
Pelas relações de Girard:
r1 + r2 + r3 = −ba
= −−( )61
= 6
r1 . r2 . r3 = −da
= −301
= –30
66) A
2x3 – 5x2 – 28x + 15 = (2x – 1) . (x + 3) . (x – k)2x3 – 5x2 – 28x + 15 = (2x2 + 6x – x – 3) . (x – k)2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 2x3 – 2kx2 + 6x2 – 6kx – x2 + kx – 3x + 3k2x3 – 5x2 – 28x + 15 = 2x3 + (5 – 2k)x2 + (–5k – 3)x + 3kTemos:3k = 15,k = 5.
GABARITO
13Matemática E
67) B
Rebaixando a equação:
–2 1
1
–3
–5
4
14
28
0
Temos assim x2 – 5x + 14.
68) B
Sejam a, b e c as raízes da equaçãox3 – 12x2 + 44x – 48 = 0.
Sabemos que a, b e c formam uma P.A, ou ainda, (b – r, b, b + r). Pelas relações de Girard, temos:
b – r + b + b + r = 12 (b – r) . b, (b + r) = 483b = 12 (4 – r) . 4, (4 + r) = 48b = 4 r = ±2
Logo, as raízes são (2, 4, 6).
69) 57
Temos que as proposições corretas são 01, 08, 16 e 32, totalizando 57.
70) a) S = {2, 4, 8} b) k = 56
a) Sejam a, b e c raízes da equação. Como estão em
P.G, temos (bq
, b, b . q). Pelas relações de Girard
temos:
bq
. b . b . q = 64 bq
+ b + b . q = 14
b3 = 64 4q
+ 4 + 4q = 14
b = 4 q' = 2
q" = 12
Logo, as raízes são (2, 4, 8).
b) Como 2, 4 e 8 são raízes da equação x3 – 14x2 + kx – 64 = 0, temos: 23 – 14 . 22 + k . 2 – 64 = 0 8 – 56 + 2k – 64 = 0 ⇒ k = 56.
71) C
Temos:A(–1) = B(–1) + 3(–1)3 + 2(–1)2 + (–1) + 1A(–1) = B(–1) – 3 + 2 – 1 + 10 = B(–1) – 1B(–1) = 1.
A(3) = B(3) + 3 . 33 + 2 . 32 + 3 + 1A(3) = 0 + 81 + 18 + 3 + 1A(3) = 103
Logo, 103 – 1 = 102.
72) A
Podemos observar que 2 é raiz da equação e que 0 é raiz de multiplicidade dois da equação.x5 – 8x2 = 0x2 . (x3 – 8) = 0x2 = 0 ⇒ x = 0
Rebaixando três vezes a equação, temos:
2 1 0 0 –8 0 0
0 1 2 4 0 0 0
0 1 2 4 0 0
1 2 4 0
Logo, temos x2 + 2x + 4 = 0, em que as raízes são:
–1 + −3 e –1 – −3 .
Temos assim:
–1 + −3 + (–1) – −3 = –1 + (–1) = –2.
73) B
Rebaixando duas vezes a equação:
2 2 –7 3 8 –4
2 2 –3 –3 2 0
2 1 –1 0
Logo, temos 2x2 + x – 1 = 0, cujas raízes são:
x' = –1 e x" = 12
Temos –1 + 12
= – 12
= –0,5.
GABARITO
14 Matemática E
74) C
Temos que Q(x) = 2 – P(x) = 0 para todo x ∈ R, tal que P(x) = 2. Segundo o gráfico do polinômio P(x), temos:
P( x )
x
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–1
–2
–3
–4
–2 1 2 3 4 5 6 7
Note que existem três valores para x tal que P(x) = 2. Portanto, o número de raízes é 3.
75) D
Rebaixando a equação:
–3 1 5 4 –6
1 2 –2 0
Logo temos x2 + 2x – 2 = 0, cujas raízes são:
x' = –1 + 3 e x" = –1 – 3.
Logo, a + b = –1 + 3 + (–1) – 3 = (–1) + (–1) = –2.
76) D
6 9 3 7 2 1
6 3 3 3 2 5
4 12 3 7
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
x x x x x x
x x x x x
x x x
− − − + + +
− − − − −
− − − +
+
/
44 2 2
10 7
10 5 5
4 12
3 2
2
2
x x x
x x
x x
x
+ +
− − +
+ + +
+
/
/
Logo, q(x) = 3x2 – 2x – 5, cujas raízes são
x' = 53
e x" = –1.
Temos também r(x) = 4x + 12, cuja raiz é x = –3.
Logo, 53
. (–1) . (–3) = +5.
77) a) k = 2 b) x = – 3
2 e x = 1
2
c) −
32
12
, e ]2, +∞[
a) ERRATA: k = 6. x = 2 ⇒ P(2) = 4 . 23 – 4 . 22 – 11 . 2 + k = 0 32 – 16 – 22 + k = 0 32 – 38 + k = 0 – 6 + k = 0 k = 6
b)
2 4
4
–4
4
–11
–3
6
0
Logo, Q(x) = 4x2 + 4x – 3.
Resolvendo a equação acima, temos:
x' = – 32
ou x'' = 12
c) Temos que:
P(x) = 4(x – 2) x−
12
x+
32
Analisando os sinais:
GABARITO
15Matemática E
(x – 6)6
2
+ + + + + +––––––––––––
–––––––––––– + + + + + +
––––––
––––––
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + ––––––
32
12
– 32
––––––
(x + )
(x – )
P( x )– 3
212
12
Logo, x ∈ ] – 32
; 12
[ ∪ ] 2, ∞ [.
78) A
P(x) = x3 + ax2 + bxPelo Teorema do resto, temos:P(2) = 23 + a . 22 + b . 2 = 2P(2) = 4a + 2b = –6
P(1) = 13 + a . 12 + b . 1 = 4P(1) = 1 + a + b = 4P(1) = a + b = 3
Montando um sistema temos:4 2 6
3
6
9
a b
a b
a
b
+ =−+ =
⇒=−=
79) C
Temos x4 + 16 = 0. Pelo método de substituição de variável, temos:y2 + 16 = 0y = −16y = ± 4i
Temos então x' = 4i e x" = −4i , em que:
x' = 2 i x"' = 2 −i
x" = –2 i x"" = –2 −i
80) E
P(x) = q(x) . (x – 1) . (x + 2) + (Ax + B)
Pelo teorema do resto:P(1) = q(1) . 0 . 3 + A + B = 1A + B = 1
P(–2) = q(–2) . (–3) . 0 + (–2A) + B = –23–2A + B = –23
Montando um sistema, temos: A B
A B
A
B
+ =− + =−
⇒==−
1
2 23
8
7
Logo, o resto é 8x – 7.
GABARITO
16 Matemática E
81) quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
x x x x x x
x x x x x
x
100 99 98 2 2
100 98 98 96 2
98
0 0 0 1 1
1
+ + + + + + −
− + + + + +
…
...
/ / ++ + + + +
− +
+ + + + + +
0 0 0 1
0 0 0 1
0
97 96 2
98 96
96 4 3 2
x x x
x x
x x x x x
...
/ / ...
� � �
xx x x x
x x
x x
x
x
4 3 2
4 2
2
2
0 0 1
1
1
2
+ + + +
− +
+ +
− +
+
/ /
Temos q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1.R(x) = x + 2
82) a) 3 cm b) 5 cm
x
x
x
x
16 – 2x
30 – 2x
30 – 2x
x
16 – 2x
x
x
x
x
a) 2 . [(30 – 2x) . x + (16 – 2x) . x] = 204 30x – 2x2 + 16x – 2x2 = 102 –4x2 + 46x = 102 –2x2 + 23x – 51 = 0,
e as raízes são x' = 172
e x" = 3.
Observe que x = 172
não pode ser, pois senão 16 – 2x seria negativo.
Logo, x = 3.
b) (30 – 2x) . (16 – 2x) . x = 600 4x3 – 92x + 480x = 600 x3 – 23x2 + 120x – 150 = 0
Cujas raízes são:x = 5, x = 0 + 51 e x = – 51.
Temos assim que x = 5.
GABARITO
17Matemática E
83) F – V – V – F – V
(F) P(x) = 1x4 + bx3 + cx2 + dx + e P(–x) = x4 – bx3 + cx2 – dx – e são iguais para todo b = d = 0. Logo, P(x) = x2 + cx2 + e, como p(x) = 4, temos e = 4 e P(x) = x2 + cx2 + 4. Sabendo que p(1) = –1, temos: 1 + c + 4 = –1 com c = –6. Temos agora P(x) = x4 – 6x2 + 4.(V) Determinando as raízes, temos:
p(x) = (x2 – 3)2 – 5 = 0. Logo, x = ± ±3 5(V) p(x) = (x2 + 2)2 – 10x2,
se x2 + 2 = ± 10x e x = ± ±10 22
(F) Pois p(x) = x2 – 6x2 + 9 – 5 = (x2 – 3)2 – 5
(V) p(x) = (x2 – 3)2 – 5, segue que o valor mínimo de p(x) é –5 e corre para x = ± 3.
84) D
Essa questão pode-se resolver por eliminação, pois é fácil observar que as afirmações a), b) e c) são verdadeiras.