matemática discreta

Prof. Diógenes Furlan

Matemática Discreta e Análise Combinatória

2014

VII BIBLIOGRAFIA BÁSICA · MENEZES, P. B. – “Matemática Discreta para Computação e Informática” – Sagra Luzzato Editores. · GERSTING, J. – “Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação” – LTC – 4a Ed.

VIII BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR · GOLDBARG, M. C., LUNA, H. – “Otimização Combinatória e Programação Linear” – Campus. · LIPSCHUTZ, Seymour – “Schaum´s outline of theory and problems of discrete mathematics” –

McGraw-Hill – 2a Ed – 1997. · BROOKSHEAR, J. – “Ciência da Computação” – Bookman – 5a Ed.

Professor Diógenes Furlan 2

Capítulo 1

Noções de Conjuntos Conjunto é uma coleção de objetos (elementos) sem repetição.

Pertinência: define a relação entre um elemento e um conjunto:

o x ∈A ≡ Lê-se x pertence ao conjunto A

o b ∉ A ≡ Lê-se b não pertence ao conjunto A

Conjuntos Numéricos

• �: Conjunto dos números naturais

• �: Conjunto dos números inteiros

• �: Conjunto dos números racionais

• �: Conjunto dos números reais

• �: Conjunto dos números complexos

Conjuntos Especiais • ∅ ou {}: Conjunto vazio, conjunto sem elementos

• U: Conjunto universo, conjunto com todos os elementos de um contexto.

Notação

Conjuntos Finitos

• listar seus elementos entre { }; Ordem dos elementos de um conjunto não importa. Ex: {1,2,3} = {3,2,1} = {2,3,1}

• diagramas de Venn (conjuntos finitos)

Conjuntos Infinitos

• listar seus elementos entre { }; Ordem dos elementos de um conjunto não importa. Ex: {1,2,3} = {3,2,1} = {2,3,1}

• descrever uma propriedade que caracteriza seus elementos (normalmente utiliza-se cálculo

proposicional e cálculo de predicados);

• usar recorrência (conjuntos infinitos);

Exemplo 1: S = números inteiros entre 0 e 5 Exemplo 2: S = números pares S = {2, 4, 6, 8, ...}

S = {x*2 | x ∈ IN}

S = 2 ∈ S

se n ∈ S, então (n+2) ∈ S

Convenções

• letras minúsculas para denotar elementos

• letras maiúsculas para denotar conjuntos


Subconjuntos • Continência: um conjunto está contido em outro:

o A ⊂ B ≡ Lê-se A está contido em B

o B ⊃ C ≡ Lê-se B contém A

• Igualdade: dois conjuntos são iguais se possuem os mesmos elementos

o A = B ≡1 A ⊆ B e B ⊆ A

Exercícios 1) O que significa:

a) {∅} b) {{}} c) () d) ({}) e) (())

2) Descrever os seguintes conjuntos, utilizando todas as notações aplicáveis:

a) múltiplos de 5

b) números maiores que 5 e menores que 10

c) números maiores que 5 e menores que 2

d) quadrados dos números naturais

3) Se A = {1,2}, diga se é V ou F:

1 ∈ A 3 ∉ A

{1} ⊄ A {1,2} ⊆ A

Operações sobre Conjuntos

• Cardinalidade: número de elementos de um conjunto: |A|

• União: A ∪ B = {x | x∈A ou x∈B}

• Interseção: A ∩ B = {x | x∈A e x∈B}

• Complemento: ~A = {x | x∈ U e x ∉ A}

• Diferença: A – B = {x | x∈A e x∉B}

• União Disjunta: A + B = {aA | a∈A } ∪ {bB | b∈B} (elementos rotulados)

• Produto Cartesiano: A x B = A . B = { (x,y) | x∈A e y∈B}

• Conjunto das Partes ou Conjunto Potencia: P(A) ou 2A

= {X | X ⊆ A}

• �� = {X | X ⊆ A e |X| = k}

• Se A é finito e |A| = n então 2A

= ∑ ��

Outras Notações • A

2: A x A

• A3: A x A x A

• A0: { () } = { ε } = Conjunto contendo somente o elemento neutro

• A*: A

0 + A

1 + A

2 + ...

• A+: A

* - A

0

1 O símbolo ≡ define uma equivalência lógica entre duas fórmulas.


Exercícios

4) Se A = {1,2} e B = {2,3}, calcule:

A ∪ B A + B A2 |A|

A ∩ B A x B A3 |A2| A - B B x A A0 |A3| B – A 2A A* |2A|

5) Idem (4) para A={a,b,c} e B={b,d}.

6) Idem (4) para A={0,1,2} e B={3,4,5}.

Propriedades das Operações

Sejam • e ○ operações binárias sobre conjuntos. Pode-se definir:

1) idempotência

A • A = A

2) associatividade A •(B • C) = (A • B)• C

3) comutatividade A • B = B • A

4) elemento neutro (ε) A • ε = ε • A = A

5) elemento absorvente (α) A • α = α • A = α

6) distributividade A ○(B • C) = (A ○ B)•(A ○ C)

Exercícios

7) Mostrar as cinco primeiras propriedades para:

a) União

b) Intersecção

c) Diferença

d) Produto Cartesiano

8) Seja B um subconjunto de A, |A| = n, |B| = k. Qual é o número de todos os subconjuntos de A cuja interseção com B tem 1 elemento?

9) Verificar a distributividade:

a) da ∪ sobre a ∩

b) da ∩ sobre a ∪

c) do X sobre a ∪

d) do X sobre a ∩

e) da – sobre a ∪

f) da – sobre a ∩


Capítulo 2

Combinatória Combinatória é o ramo da matemática que trata da contagem.

Problemas de contagem se resumem em determinar o número de elementos em algum conjunto finito.

Uso:

• Quanto espaço em disco um BD vai usar?

• Quantos cálculos são efetuados num determinado algoritmo?

Princípio da Multiplicação (ou Fundamental da Contagem)

Problema I – O time da Seleção Brasileira dispõe de três modelos de camiseta e quatro de calção para

se diferenciar do time adversário. Quantos uniformes distintos ele possui? 3x4=12

- Sendo os conjuntos A={a1, a2, a3, .......,am} e B={b1, b2, b3, .........., bn}, determine quantos

elementos tem A e quantos elementos tem B. Quantos são os pares ordenados, do tipo (ai, bj) onde

ai∈A e bj∈B, que podemos formar com os elementos destes conjuntos?

Problema II – Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 2004, oito atletas disputavam as três

primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o

pódio com os três primeiros colocados? 8*7*6 = 336 -- 83=512

- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,am}, quantos serão os pares ordenados, do tipo (ai, aj) onde

ai , aj∈A que poderemos formar com os elementos deste conjunto? E se i ≠ j?

Problema III – O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em

estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro

algarismo tem de ser par. Quantos são os diferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for

permitida a repetição? 23*5*10*10=11500 23*5*9*8 = 8280

Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2

maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras

distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podem ocorrer sucessivamente é

n1.n2.....nk.

Exercícios 1) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual o número de seqüências possíveis de cara e

coroa? 25=32

2) A turma do 1º período tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de possíveis disposições das pessoas nas vagas? 19*18

3) A ultima parte do seu numero de telefone contém 4 dígitos. Quantos destes

números existem? E se um mesmo digito não puder ser repetido? 10.10.10.10=10000 10.9.8.7=5040


4) Quantos números de celulares podem ser criados com 8 casas, iniciando-se por

9? 10 milhões

5) De quantas maneiras podemos responder a 10 perguntas de um questionário, cujas

respostas para cada pergunta são: sim ou não? 210=1024

6) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto

de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla SIM.

7) De quantas maneiras podemos responder a um questionário com n perguntas, cujas

respostas para cada pergunta podem ser alternativas de a até e? 5n

8) Quantos anagramas existem para as palavras:

a) PARE 4.3.2.1=24 b) MULHER 6!=720 c) PEDRA 5!=120

Principio da Adição

Problema – Suponha que queremos selecionar uma sobremesa entre 3 tortas e 4 bolos. De quantas

maneiras isso pode ser feito?

Se A1, A2, ... Am são eventos disjuntos, que podem ocorrer de n1, n2, ..., nm maneiras distintas, então o

numero total de possibilidades para o evento “A1 ou A2 ou ... ou Am” é n1 + n2 + ...+ nm.

Exercícios 1) Um consumidor deseja comprar um veículo de uma concessionária. A concessionária

possui 23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis o consumidor tem? 37


Combinando os dois princípios

Problema – Quantos inteiros de 3 dígitos (números entre 100 e 999) são pares? Somar terminados em 0, em 2, em 4, em 6, em 8.

Exercícios 1) Suponha que os 4 últimos dígitos de um número de telefone têm que incluir pelo

menos um digito repetido. Quantos desses números existem?

2) Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?

3) Com relação ao conjunto dos inteiros com 3 dígitos: a) Quantos são divisíveis por 5? b) Quantos não são divisíveis por 5? c) Quantos são divisíveis por 4? d) Quantos são divisíveis por 4 e 5? e) Quantos são divisíveis por 4 ou 5? f) Quantos não são divisíveis nem por 4 nem por 5?

4) (ENADE 2011 – Questão 26) Um baralho tem 52 cartas, organizadas em 4 naipes, com

13 valores diferentes para cada naipe. Os valores possíveis são: Ás, 2, 3, ..., 10, J, Q, K. No jogo de poker, uma das combinações de 5 cartas mais valiosas é o full house, que é formado por três cartas de mesmo valor e outras duas cartas de mesmo valor. São exemplos de full houses:

i) três cartas K e duas 10 (como visto na figura) ii) três cartas 4 e duas Ás.

Quantas possibilidades para full house existem em um baralho de 52 cartas? a) 156. b) 624. c) 1872. d) 3744. e) 7488.

5) Calcule o espaço de busca para o jogo da velha. Depois responda: quantos casos

resultam em vitória na quinta jogada? (Arvore de Busca)


Principio da Inclusão e Exclusão

Para 2 conjuntos:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| .

Precisamos subtrair os elementos da intersecção para não contá-los 2 vezes.

Exercícios 1) Em um grupo de 42 turistas, todos falam inglês ou francês, 35 falam inglês e 18

falam francês. Quantos falam inglês e francês? 2) Montar a mesma equação genérica para 3 e para 4 conjuntos. 3) (POSCOMP 5) Todos os convidados presentes num jantar tomam chá ou café. Treze

convidados bebem café, dez bebem chá e 4 bebem chá e café. Quantas pessoas têm nesse jantar? (a) 19 (b) 27 (c) 23 (d) 15 (e) 10

4) Em um grupo de 24 pessoas que gostam de rock, musica sertaneja (MS) ou musica

clássica (MC), 14 gostam de rock, 17 de MC, 11 de rock e MS, 9 de rock e MC, 13 de MS e MC, e 8 gostam dos três tipos de musica. Quantas gostam somente de MS?

Principio da Casa de Pombos

Importante na resolução de problemas de existência.

Se n+1 pombos são colocados em n gaiolas, então pelo menos uma gaiola deverá conter 2 ou mais

pombos.

Exercícios 5) Quantas pessoas (mínimo) têm que estar presentes em uma sala para garantir que

duas delas têm o primeiro nome começando com a mesma letra? 27

6) Quantas vezes (mínimo) é preciso jogar um dado de modo a garantir que um mesmo valor apareça duas vezes? 07

7) Um grupo tem que conter quantas pessoas para se garantir que duas pessoas no grupo façam aniversario no mesmo dia? E no mesmo mês? 366 13

8) Um serviço de encontros por computador tem uma lista contendo 50 homens e 50 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente. Quantos nomes têm que ser selecionados para se garantir que apareçam nomes de uma pessoa de cada sexo? 51

9) Um serviço de empregados domésticos por computador tem uma lista contendo 50 homens e 50 mulheres. São selecionados nomes aleatoriamente. Quantos nomes têm que ser selecionados para se garantir que apareçam nomes de pessoas do mesmo sexo? 03


Fatorial

Chamamos de Fatorial de um número n∈� o valor n! determinado pela expressão:

n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).........3.2.1 para n ≥ 1

0! = 1

Exemplos:

3! = 3.2.1 = 6

6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exercícios 1) Simplifique as expressões abaixo:

a) 10!

8! d)

( )!

( )!

n

n

+

−

1

1 g)

210

270

b) 12

9 3

!

!. ! e)

( )!n

n

+1 h)

)!3(

!

+m

m

c) m

m

!

( )!− 1 f)

120

720

Permutação

Problema – Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três

alunos? Com quatro? E com cinco?

– Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantas sequencias distintas poderemos fazer com

todos os seus elementos?

Chamamos de Permutação a todos os agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de

um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja:

Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1

Exercícios

2) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:

a) não houver qualquer restrição; b) as mulheres forem as primeiras da fila; c) duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas; d) as mulheres ficarem todas juntas;

3) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:

a) Todos. b) começam com vogal? b) T e R aparecem juntas? c) começam com DE?


Arranjo e Combinação

Problema – Em uma corrida com 8 participantes, de quantas maneiras distintas podemos ter as três

primeiras colocações? E as 4 primeiras posições?

– Com n participantes de quantas maneiras poderíamos ter os quatro primeiros colocados? Os

cinco primeiros colocados? Ou os p primeiros colocados?

Chamamos de Arranjo a todos os agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um

conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através

da expressão simplificada obtida acima:

An

n pn p,

!

( )!=

−

Problemas

– Em uma turma temos 4 alunos, de quantas maneiras distintas podemos obter grupos de dois

alunos? Descreva esses grupos.

– E se dividíssemos em grupos de 3 alunos? Descreva esses grupos.

– Se a turma tiver 12 alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4

alunos? E quantos grupos de 8 alunos?

– Se a turma tiver n alunos quantos grupos de 3 alunos podemos formar? Quantos grupos de 4

alunos? E quantos grupos de r alunos?

– A partir do resultado obtido no problema acima obtenha uma expressão que represente o caso

de p alunos na turma e r no grupo.

Chamamos de Combinação a todos os agrupamentos com p elementos, onde a ordem dos elementos

não importa, ou seja, serão combinações de n elementos, p a p.

Cn

n p pn p,

!

( )! !=

−

Exercícios

1) Calcule: a) A(7,2) b) A(10,6) c) A(6,4) d) A(n,n) e) A(n,1) f) A(n,n-1)

g) C(10,7) h) C(9,2) i) C(8,6) j) C(n,n) k) C(n,1) l) C(n,n-1)

2) Os nomes que representam as ações num pregão de uma bolsa de valores estão

limitados a 3 letras. Quantos nomes possíveis existem? E se as letras não puderem ser repetidas?


3) De quantas maneiras pode-se selecionar um júri composto por 12 pessoas de um grupo contendo 40 indivíduos? E se o júri fosse composto por 5 homens e 7 mulheres, sabendo-se que há 17 homens no grupo? E se o júri fosse formado somente por homens ou somente por mulheres?

4) Com oito pessoas que sabem dirigir, de quantas maneiras distintas conseguimos colocar 5 delas em um fusca?

5) Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se utilizar de seu sistema

informatizado. Como essa senha deve ter 6 algarismos (numéricos) distintos, quantas são as possíveis senhas? E se pudesse haver repetição?

6) Um químico dispõe de 9 substâncias para realizar três experimentos (A, B e C).

De quantos modos poderá fazer os experimentos, colocando 4 substâncias no experimento A, 3 substâncias no experimento B e 2 substâncias no experimento C?

7) Seja um grupo com 10 pessoas, das quais 5 sabem dirigir, e as outras 5 não

sabem. De quantas maneiras distintas conseguimos colocá-las num fusca?

8) Um banco pede que cada cliente crie uma senha para se utilizar de seu sistema

informatizado. Como essa senha deve ter 3 consoantes distintas, seguidas por 3 algarismos numéricos distintos, quantas são as possíveis senhas? E se pudesse haver repetição?

9) Com um grupo de 10 homens e 8 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos

formar se em cada uma deve haver pelo menos uma pessoa de cada sexo?

10) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 12 homens e 8 mulheres numa

fila, se: a) Todas as mulheres ficam no inicio da fila? b) Todos os homens ficam juntos? c) 2 mulheres nunca ficam juntas? d) Os homens ficam em duplas?

11) Sabendo-se que C

C

p

p

8 2

8 1

2,

,

++++

++++

==== , determine o valor de p.

12) Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo de 19 alunos do 1º ano

e 34 alunos do 2º ano. De quantas maneiras pode-se selecionar uma comissão contendo:

a) 3 alunos do 1º ano e 5 do 2º ano? b) Exatamente 1 aluno do 1º ano? c) No máximo 1 aluno do 1º ano? d) Pelo menos 1 aluno do 1º ano?


Permutações com Repetição

Problema – De quantas formas 3 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? E se forem 4

pessoas? E se forem 5 pessoas?

– Determine agora de quantas formas n pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular?

Chamamos de Permutação Circular a disposição dos elementos de um conjunto ao redor de um

circulo. Para determinarmos o número de disposições possíveis utilizamos a expressão determinada no

exemplo acima: (((( ))))PC nn ==== −−−− 1 ! .

Problemas

– Quantos são os anagramas do nome ANA?

– Quantos são os anagramas das palavras NADA?

– Quantos são os anagramas das palavras ARARA?

– Sendo o conjunto A={ a1, a1,...,a1, a2, a3, a4,...,an-n1. }, quantas são as seqüências de n elementos

em que o elemento a1 aparece exatamente 1

n vezes?

Chamamos de Permutação com Repetição a permutação de n elementos, onde temos n1 elementos

iguais a a1, n2 elementos iguais a a2, ..., nk elementos iguais a ak, de modo que n1+ n2+ +nk=n e ai≠aj

se i≠j. Esta permutação será determinada pela expressão:

Pn

n n nn

n n n

k

k1 2

1 2

, ,...,

!

!

! !....====

Exercícios

1) De quantas maneiras distintas você pode sentar 11 homens e 8 mulheres numa mesa redonda?

2) Em um jantar devem-se acomodar cinco pessoas (A, B, C, D e E) em uma mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa? E se fossem 6 pessoas?

3) Quantos são os anagramas das palavras:

a) VATAPA b) PROFESSOR c) PARANAENSE

4) Quantos são os anagramas da palavra BANANA? Quantos começam com A? Quantos

terminam em consoante?

5) Uma palavra tem 7 letras sendo que uma delas aparece n vezes e as outras

comparecem sem repetição. Sabendo que o número de anagramas que se obtém permutando as letras desta palavra é 210, calcule n.

6) (ENADE 2005 – Questão 49) Para o desenvolvimento de um projeto, determinada

organização precisa definir dois grupos de trabalho, um com três membros e outro com quatro membros. Para o grupo de três elementos, o primeiro indivíduo nomeado será o


presidente, o segundo, o relator, e o terceiro será o auxiliar, enquanto que, para o de quatro elementos, a ordem de nomeação não é relevante. Essa organização conta com um quadro de quatorze funcionários, todos igualmente aptos a compor qualquer um dos grupos de trabalho, em qualquer função, sendo que cada um deles integrará, no máximo, um desses grupos. Nessa situação, representando por C(m, p) a combinação de m elementos p a p e por A(m, p) o arranjo de m elementos p a p, conclui-se que a quantidade de maneiras distintas que a organização citada dispõe para compor os seus dois grupos de trabalho é igual a

a) A(14, 4) × A(14, 3). b) A(14, 4) × C(14, 3). c) C(14, 4) × A(10, 3). d) C(10, 3) × A(14, 4). e) C(14, 4) × C(10, 3).

QUESTÃO 50

matemática discreta

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