Estruturas Matemticas para ComputaoMnimo Mltiplo Comum, Mudana de Base e

Critrios de Divisibilidade - Apostila 04

Vinicius Rispoli

Mdulo 1

1 Mnimo Mltiplo ComumO Mnimo Mltiplo Comum de dois nmeros positivos a e b o menor inteiro positivo que divisvelpor a e b. Iremos denot-lo por [a, b].

Exemplo:Para determinarmos o mnimo mltiplo comum entre os nmeros 54 e 36 podemos para cada um dos

nmeros encontrar o seu conjunto de seus mltiplos e ento verificarmos qual o menor elemento emcomum nos conjuntos. Assim, o conjunto de divisores de 36

M36 = {36, 72,108, 144, 180, }

e os de 54 M54 = {54,108, 162, 216, 270, }.

Vemos que em ambos os conjuntos de divisores o menor elemento em comum o nmero 108, portanto[54, 36] = 108. Assim como encontrar o mdc atravs de um elemento comum no conjunto de divisoresno era prtico, essa tambm no uma forma nem um pouco prtica de se clcular o mmc entre doisnmeros. Se os nmeros forem suficientemente grandes o seu conjunto de divisores pode ter muitoselementos o que inviabiliza o uso dessa forma de calcular. Logo, precisamos de uma forma mais eficiente,o que ser discutido no teorema a seguir.

Teorema 1:Se a = p11 p

22 pnn e b = p

11 p

22 pnn , em que pi so nmeros primos distintos, ento

[a, b] = pmax(1,1)1 p

max(2,2)2 pmax(n,n)n .

Demonstrao: Da definio do mnimo mltiplo comum nenhum fator promo pi deste mnimo poderter um expoente que seja inferior nem a i e nem a i. Se tormarmos, pois, o maior destes dois paraexpoente de pi teremos, no apenas um mltiplo comum, mas o menor possvel entre todos eles. O queconclui a demonstrao.

Exemplo:

Para determinar o mnimo mltiplo comum entre 96 e 144 devemos primeiramente encontrarmos adecomposio em fatores primos destes nmeros. Temos que, 96 = 25 3 e 144 = 24 32 e portanto[96, 144] = 2max(5,4) 3max(1,2) = 288.

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Para determinar o mnimo mltiplo comum entre 48, 30 e 72 devemos novamente encontrarmos adecomposio em fatores primos destes nmeros. Temos que, 48 = 24 3, 30 = 2 3 5 e 72 = 23 32eportanto [30, 48, 72] = 2max(1,3,4) 3max(1,2) 5max(0,1) = 720.

Proposio 1:Se x e y so nmeros reais, ento

max(x, y) + min(x, y) = x+ y.

Demonstrao: Se x = y, ento max(x, y) = min(x, y) = x = y e o resultado se verifica de formatrivial. Sem perder a generalidade podemos supor que x < y. Ento, max(x, y) = y e min(x, y) = x, oque conclui a demonstrao.

Teorema 2:Para a e b inteiros positivos, temos [a, b] (a, b) = a b.

Demonstrao: Vamos supor que a = p11 p22 pnn e b = p

11 p

22 pnn , de tal forma que

(a, b) =

ni=1

pmin(i,i)i

e que

[a, b] =

ni=1

pmax(i,i)i .

Ento, pela proposio anterior, temos

(a, b) [a, b] =ni=1

pmin(i,i)i

ni=1

pmax(i,i)i

=

ni=1

pmin(i,i)+max(i,i)i

=

ni=1

pi+ii

=

ni=1

pii ni=1

pii

= a b.

2 Mudana de BaseConsidere o nmero n = 34756 queremos poder representar este nmero de uma outra maneira. Destaforma, vamos comear dividindo o nmero n por 10. Assim, obtemos 34756 = 3475 10+6. Vamos repetireste procedimendo dividindo agora o quociente da ltima diviso por 10, ou seja 3475 = 347 10 + 5.Repetindo esta ltima ideia obtemos sem dificuldades mais duas divises que so 347 = 34 10 + 7 e34 = 3 10 + 4. Portanto,

34756 = 3475 10 + 6= (347 10 + 5) 10 + 6= 347 102 + 5 10 + 6= (34 10 + 7) 102 + 5 10 + 6= 34 103 + 7 102 + 5 10 + 6= (3 10 + 4) 103 + 7 102 + 5 10 + 6= 3 104 + 4 103 + 7 102 + 5 10 + 6,

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que a representao usual do nmero 34756 na base 10. E se, por acaso, precisssemos reescrever onmero 34756 no formato

34756 = a0 + a1b+ a2b2 + + anbn

em que b 6= 10?Vamos utilizar a mesma ideia que usamos para reescrever 34756 na base 10 e reescrever o nmero 34756

na base 16. Comearemos, ento, dividindo o nmero 34756 por 16 e obtemos 34756 = 2172 16 + 4.Dividindo o quociente por 16 resulta em 2172 = 135 16 + 12. Repetindo este procedimento, temos135 = 8 16 + 7. Assim,

34756 = 2172 16 + 4= (135 16 + 12) 16 + 4= 135 162 + 12 16 + 4= (8 16 + 7) 162 + 12 16 + 4= 8 163 + 7 162 + 12 16 + 4.

Se fizermos as associaes 10 = a, 11 = b, 12 = c, 13 = d, 14 = e e 15 = f , ento escrevemos o nmero34756 como sendo 34756 = (87c4)16.

Com esses dois exemplos podemos concluir que para escrevermos um nmero n qualquer em umaoutra base b basta fazermos divises sucessivas do nmero n e dos quocientes das divises por b. Osrestos das divises formaro a nova representao, como pode ser observado nos exemplos. A partir destaideia escrevemos o seguinte teorema.

Teorema:Seja b um inteiro positivo maior que 1. Ento todo nmero inteiro positivo n pode ser representado

de maneira nica da seguinte forma:

n = a0 + a1b+ a2b2 + + akbk,

em que k 0, 0 ai < b, i = 0, 1, 2, , k.Demonstrao: A demonstrao ficar como exerccio, pois apenas uma repetio do procedimento

utilizado nos exemplos.

3 Critrios de DivisibilidadeDiscutiremos aqui os critrios de divisibilidade de um nmero n por 3, 4, 7, 9 e 11.

3.1 Critrio de divisibilidade por 3 e 9Para descrever a metodologia vamos considerar um nmero natural com 5 algarismos escrito na formaabcde (os procedimentos aqui descritos podem ser extendidos para nmeros naturais com qualquerquantidade de algatismos). A representao deste nmero na base 10 dada por

104 a+ 103 b+ 102 c+ 10 d+ e = (9999 + 1) a+ (999 + 1) b+ (99 + 1) c+ (9 + 1) d+ e= 9999 a+ 999 b+ 99 c+ 9 d+ (a+ b+ c+ d+ e)= 9 (1111 a+ 111 b+ 11 c+ d) + (a+ b+ c+ d+ e).

Desta forma, o nmero abcde ser divisvel por 3 ou por 9 se a+ b+ c+ d+ e for divisvel por 3 ou 9,respectivamente, tendo em vista que se n|a e n|b, ento n|(a+ b).

Exemplo:

O nmero 5271 divisvel por 3, pois 5 + 2 + 7 + 1 = 15 que um nmero divisvel por 3. Noentanto, este nmero no divisvel por 9.

O nmero 1935 divisvel por 9, pois 1 + 9 + 3 + 5 = 18 que um nmero divisvel por 9.

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3.2 Critrio de divisibilidade por 4Considere um nmero inteiro n > 100, assim podemos escrev-lo como sendo n = 100c+ du, em que du um nmero formado pelos dois ltimos algarismos de n. Como 100 divisvel por 4, ento, se o nmerodu for divisvel por 4 o nmero n tambm ser. Desta forma, para que n seja divisvel por 4 o nmeroformado pelos dois ltimos algarismos dever ser divisvel por 4.

Exemplo:

O nmero 276 divisvel por 4, pois 76 = 4 19.

O nmero 7615238 no divisvel por 4, pois 38 = 2 19.

3.3 Critrio de divisibilidade por 7Considere um nmero inteiro n = 10d+u, em que u representa as unidades de n. Suponha que o nmeron seja divisvel por 7, ento o nmero d 2u tambm , pois d 2u = d 2(n 10d) = 21d 2n.Alm disso, se k = d 2u for divisvel por 7, ento n = 10d + u tambm divisvel por 7, poisn = 10(k + 2u) + u = 10k + 21u. Portanto, para determinarmos se um nmero divisvel por 7 bastaseguirmos o seguinte algoritmo:

Dado um nmero abcde, faa a diferena abcd2e. Se este nmero for divisvel por 7, ento abcdetambm ser. Se no for possvel verificar que o nmero abcd 2e divisvel por 7, considere entoabcd 2e = abcd e faa abc 2d, se este nmero for divisvel por 7, ento n = abcde tambmser. Repita este procedimento at obter um nmero suficientemente pequeno que seja possvel verificarse ele divisvel por 7.

Exemplo:

O nmero 165928 divisvel por 7. Faamos 16592 2 8 = 16576, logo 1657 2 6 = 1645, ento164 2 5 = 154 e finalmente 15 2 4 = 7. Como 15 2 4 divisvel por 7, ento 165928 tambmser.

O nmero 4261 no divisvel por 7. Temos 426 2 1 = 424, logo 42 2 4 = 34. Como 34 no divisvel por 7, ento 4261 no divisvel por 7.

3.4 Critrio de divisibilidade por 11Considerare um nmero natural com 5 algarismos escrito na forma abcde. A representao deste nmerona base 10 dada por

104 a+ 103 b+ 102 c+ 10 d+ e = (9999 + 1) a+ (1001 1) b+ (99 + 1) c+ (11 1) d+ e= 9999 a+ 1001 b+ 99 c+ 11 d+ (a b+ c d+ e)= 11 (909 a+ 91 b+ 9 c+ d) + (a b+ c d+ e).

Desta forma, o nmero abcde ser divisvel por 11 se a b+ c d+ e for divisvel por 11.

Exemplo:

O nmero 29458 divisvel por 11, pois 2 9 + 4 5 + 8 = 0 que um nmero divisvel por 11.

O nmero 65218 no divisvel por 11, pois 6 5 + 2 1 + 8 = 10 que no um nmero divisvelpor 11.

4 Exerccios1. Encontre o mnimo mltiplo comum para os seguintes pares de nmeros.

(a) 234 e 12(b) 142 e 742(c) 501 e 2141(d) 104 e 64

2. Verifique se os seguintes nmeros so divisveis por 2, 3, 4, 5, 7, 9 e 11.

4

(a) 80475

(b) 41909

(c) 581472

(d) 94186565

3. Transformar para base 10 os seguintes nmeros.

(a) (2351)7(b) (1001110)2(c) (7706)8(d) (11122)4

4. Transforme os nmeros na base 10 para a base indicada.

(a) 1753 para base 9

(b) 9567 para base 13

(c) 71619 para base 2

(d) 51726 para base 5

5. Determinar todos os nmeros de trs algarismos que so divisveis por 8. Determine tambm todosos nmeros de trs algarismos divisveis por 11 e por 12.

6. Considere o nmero n = 10d+ u, em que u so as unidades do nmero n. Verifique que o nmeron = 10d + u divisvel por 13 se, e somente se, d + 4u for divisvel por 13. Verifique se o nmero16562 divisvel por 13.

7. Considere o nmero n = 10d+ u, em que u so as unidades do nmero n. Verifique que o nmeron = 10d + u divisvel por 17 se, e somente se, d + 5u for divisvel por 17. Verifique se o nmero23936 divisvel por 17.

5 Referncias Mollin, R. A., Fundamental Number Theory With Applications. Second Edition. Chapman

& Hall. Calgary, Canada, 2008.

Santos, J. P. O., Introduo Teoria dos Nmeros. Terceira Edio. Coleo MatemticaUniversitria. IMPA, Rio de Janeiro, Brasil, 2011.

Yan, S. Y., Number Theory For Computing . Second Edition, Springer, New York, 1998.

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