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ANLISE COMBINATRIA Introduo

A Anlise Combinatria a parte da Matemtica que estuda o nmero de maneiras distintas de ocorrer um certo evento.

Como exemplos, vamos analisar alguns acontecimentos que so facilmente entendidos e outros que constituem problemas tpicos e clssicos da Anlise Combinatria: Ao jogarmos uma moeda para cima, o resultado, quando ela

cai, pode ser cara ou coroa duas possibilidades; Ao gerar duas crianas gmeas, uma mulher pode dar luz

dois meninos, duas meninas ou um casal trs possibilidades;

Com 5 enfermeiros podemos formar 10 equipes diferentes de 3 enfermeiros cada uma;

Geralmente a Anlise Combinatria utilizada na indstria e

na cincia em todos os nveis, e, associada Probabilidade e Estatstica, torna-se um instrumento poderoso e at responsvel, muitas vezes, por tomadas de decises at na rea governamental. CONTAGEM: PRINCPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO

A grande maioria dos problemas que envolvem o Clculo Combinatrio pode ser reduzida a alguns tipos de problemas bsicos que consistem na determinao do NMERO DE AGRUPAMENTOS que podemos formar com determinado nmero de elementos.

Muitos dos problemas que iremos resolver a partir de agora se baseiam no PRINCPIO ADITIVO e no PRINCPIO MULTIPLICATIVO (ou PRINCPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM PFC).

Princpio Aditivo (Regra da Soma)

Convenciona-se chamar de REGRA DA SOMA aquela que procura determinar o nmero de elementos do conjunto reunio de dois conjuntos dados.

Sejam A e B dois conjuntos tais que o nmero de elementos de A n(A) e o nmero de elementos de B n(B). 1 Caso: Conjuntos Disjuntos A B = A B

n(A B) = n(A) + n(B) Portanto: Dados dois conjuntos no-vazios e disjuntos, o nmero de elementos que pertencem a A ou a B n(A B) a soma do nmero de elementos de A com o nmero de elementos de B. 2 Caso: Conjuntos com Interseo no-vazia A B A B

n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)

Portanto: Dados dois conjuntos no-vazios, o nmero de elementos que pertencem a A ou a B n(A B) a soma do nmero de elementos de A com o nmero de elementos de B menos o nmero o nmero de elementos que possuem em comum. Exemplo: Seja A o conjunto dos divisores positivos de 12, e B o conjunto dos divisores positivos de 8. fcil ver que, se quisermos o nmero de elementos do conjunto dos divisores positivos de 8 ou de 12, valer o esquema:

Onde: n(A) = 6; n(B) = 4; n(AB) = 3 A B

n(AB) = n(A)+ n(B) n(AB) 3 1 n(A B) = 6 + 4 3 = 7 6 2 8 Portanto: 12 4 n(A B) = 7 Princpio Multiplicativo (Regra do Produto)

Se um acontecimento composto de vrias etapas sucessivas e independentes umas das outras (e1, e2, ..., en), o nmero total (N) de possibilidades de ocorr-lo pode ser calculado por:

N = e1 e2 e3 ... en

Exemplo 01: Uma moa possui 4 saias, 3 sapatos e 5 blusas. Durante quantos dias ela poder sair sem repetir o mesmo conjunto (saia, blusa e sapato)? Resoluo:

N = 4 3 5 = 60 Resposta: 60 dias Exemplo 02: Atualmente, as placas dos veculos so formadas por trs letras seguidas de quatro algarismos. Considerando estas informaes, calcule o nmero de placas distintas que podem ser fabricadas, iniciadas pelas letras HUI, nesta ordem, e cujo ltimo algarismo seja mpar. Resoluo: Como as placas iniciaro por HUI, e os nmeros que se seguem so mpares, o clculo fica assim: 10 10 10 5 = 5000 Em que: 5 a quantidade de algarismos mpares (1, 3, 5, 7 e 9); 10 a quantidade de algarismos (0, 1, 2, ..., 9, 10). Resposta: 5.000 placas.

EXERCCIOS 1. Do cardpio de um restaurante contam 8 tipos de salada e 5

tipos de grelhado. De quantas formas distintas um cliente pode fazer um pedido de um salada acompanhada de um grelhado?

2. Uma prova constituda de 12 testes do tipo verdadeiro ou

falso. Quantas so as opes para resolver tal prova?

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3. A senha de um cadeado formada por uma seqncia de quatro letras, escolhidas entre as 26 do alfabeto.

a) Quantas senhas podemos formar? b) Quantas senhas com quatro letras distintas podemos formar? c) Quantas senhas comeando por vogal podem ser formadas? d) Quantas senhas de letras distintas podem ser formadas

comeando e terminando por vogal? Respostas: 1. 40 2. 4.096 3. a) 456.976 b) 358.800 c) 87.880 d) 11.040 Fatorial de um Nmero Natural

Dado um nmero natural n, o FATORIAL de n (indica-se por n!) o produto dos n primeiros naturais positivos, escritos desde n at 1, isto :

n! = n (n 1) (n 2) ... 3 2 1

Por exemplo: 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Valem tambm as seguintes definies especiais: Observao:

medida que n aumenta, o clculo de n! torna-se mais trabalhoso. Notemos, ento, as seguintes simplificaes: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5 . 4! = 5 . 4 . 3! , etc. 8! = 8 . 7 . 6! = 8 . 7 . 6 . 5!, etc.

Exemplo 01: Vamos simplificar !85!87 .

Resoluo: Desenvolvendo o fatorial do maior natural, chegamos ao fatorial do menor natural. Assim:

482.786.87!85

!85.86.87!85!87

Exemplo 02: Vamos simplificar !5.!10

!15 .

Resoluo: Vamos desenvolver o fatorial do numerador at o maior fatorial do denominador. Devemos, aps, desenvolver completamente o menor fatorial do denominador. Assim:

003.31.2.3.4.5.!10

!10.11.12.13.14.15!5.!10

!15

Exemplo 03: Vamos simplificar !5

!10!8 .

Resoluo: Podemos transformar essa frao numa soma de duas fraes. Assim:

096.5

040.5567.8.9.107.8!6!10

!6!8

!6!10!8

EXERCCIOS 1. Calcule:

a) 5! b) !5!6 c)

!9!7

d) 0! + 2! e) 2 . 4! f) !3!8!11

g) !5

!9!7 h) !8!9!9!10

i) 5! 3!

Respostas:

1. a) 120 b) 6 c) 721 d) 3 e) 48 f) 165

g) 3.066 h) 1099 i) 114

AGRUPAMENTOS

Todo problema de contagem pode, pelo menos teoricamente, ser resolvido pelo PFC. Na prtica, entretanto, a resoluo de alguns desses problemas usando s o PFC pode-se tornar muito complicada.

Dessa forma, estudaremos tcnicas de contagem de determinados AGRUPAMENTOS baseadas no PFC , as quais simplificaro a resoluo de muitos problemas.

Consideraremos, inicialmente, os agrupamentos (ARRANJOS, PERMUTAES e COMBINAES) simples, isto , formados por elementos distintos. Arranjos e Combinaes

Imagine a seguinte situao: um partido poltico ir escolher, dentre 10 de seus representantes, um grupo de 4 para gravarem uma propaganda poltica na TV.

Posteriormente, dentre os mesmos 10 de seus representantes, o partido ir escolher 2 para candidatarem-se a prefeito e vice-prefeito em uma eleio municipal.

Se o partido quisesse saber de quantas maneiras ele poderia escolher seu grupo de 4 representantes para a gravao da propaganda, e depois, os candidatos a prefeito e vice, como proceder?

Estamos diante de dois problemas: Problema 1: De 10 representantes do partido, escolher 4

para a gravao da propaganda poltica. Problema 2: Dos 10 representantes escolhidos, escolherem

2 para serem candidatos eleio municipal.

Basicamente, os problemas parecem ser de mesma natureza: escolher um grupo de pessoas de um grupo maior. Mas existe uma diferena entre eles. Observe:

Suponhamos que, no primeiro problema, fossem escolhidos os representantes A, B, C, D na seguinte ordem:

B C A D

Mudando-se a ordem de escolha desse grupo, por exemplo,

para: A C D B

Os grupos seriam diferentes? bvio que no! A ordem de

escolha dos elementos de um grupo j definido no modifica o grupo como um todo.

Grupos como esse, em que a ordem dos seus elementos no os alteram, ou seja, no importante, so chamados de COMBINAO.

1! = 1 0! = 1

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Neste primeiro problema, teremos de escolher 4 elementos de um grupo de 10, ou seja, uma COMBINAO DE 10 ELEMENTOS TOMADOS 4 A 4 4,10C .

Portanto: Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se COMBINAO de n elementos tomados p a p qualquer subconjunto de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

Agora, vamos ao problema 2. Dos mesmos 10 representantes,

devem-se definir apenas 2 para formarem uma chapa de candidatos a prefeito e vice-prefeito.

Suponhamos que fossem escolhidos os candidatos A e B na seguinte ordem:

Prefeito Vice-prefeito

A B Se fosse escolhida essa mesma mesma chapa na outra ordem:

Prefeito Vice-prefeito B A

Seria a mesma coisa? Claro que no! Antes, o candidato A

concorreria a prefeito, agora, ele concorrer a vice-prefeito. Os grupos so diferentes, a ordem dos elementos importante na formao do grupo.

Grupos como esse, em que a ordem dos seus elementos os alteram, ou seja, importante, so chamados de ARRANJO.

Neste problema, teremos de escolher 2 elementos de um grupo de 4, ou seja, um ARRANJO DE 10 ELEMENTOS TOMADOS 2 A 2 2,10A .

Portanto: Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se ARRANJO de n elementos tomados p a p qualquer seqncia ordenada de p elementos distintos escolhidos entre os n existentes.

Veremos agora como se procedem os clculos de arranjo e de

combinao para a resoluo desses problemas. Clculo do Nmero de Arranjos e Combinaes Arranjo

Um arranjo de n elementos tomados p a p pode ser calculado pela frmula:

)!pn(!nA p,n

Combinao

Uma combinao de n elementos tomados p a p pode ser calculado pela frmula:

)!pn(!p!nC p,n

Ento:

Problema 1: 210!6!4

!10)!410(!4

!10C 4,10

Problema 2: 90!8!10

)!210(!10A 2,10

Portanto, existem 210 maneiras de se escolher o grupo de 4 representantes para a gravao da propaganda poltica e 90 maneiras de se escolher os 2 candidatos a prefeito e vice-prefeito. Exemplo 01: Ao se cadastrar em um portal eletrnico de compras, o usurio deve criar uma senha formada por duas letras distintas (entre as 26 do alfabeto) seguidas por dois algarismos distintos. Quantas senhas podem ser criadas nessas condies? Soluo: A senha BG 18 diferente da senha GB 81, isto , importa a ordem em que as letras e os algarismos so escolhidos. Trata-se, portanto, de um arranjo.

Para a escolha das letras, h 650!24!26

A 2,26 maneiras;

Para a escolha dos algarismos, temos

90!8!10

A 2,10 possibilidades;

Logo, pelo PFC, h ao todo 650 . 90 = 58.500 senhas. Exemplo 02: Num acampamento, o monitor deve montar uma equipe de quatro jovens para improvisar uma ponte que possibilite a travessia do riacho. Se h 8 rapazes e 6 moas, quantas equipes de dois rapazes e duas moas podem ser formadas? Soluo: O nmero de maneiras de escolher os rapazes

28!6!2

!8C 2,8 ;

A escolha das moas pode ser feita de

15!4!2

!6C 2,6 modos.

Pelo PFC, a equipe poder ser formada de 28 . 15 = 420 maneiras distintas.

EXERCCIOS 1. Numa pesquisa on-line pediu-se aos entrevistados que

escolhessem dois dias da semana, em ordem de preferncia, para a realizao de um amistoso da seleo brasileira. Quantas respostas distintas podem ter sido obtidas?

2. Num grmio universitrio, so realizadas eleies para

definir trs cargos: presidente, vice-presidente e tesoureiro. Oito jovens, entre eles Barbosa, candidataram-se a tais cargos. a) De quantos modos distintos podero ser escolhidos os

ocupantes dos trs cargos? b) Quantos resultados apresentam Barbosa como

presidente? c) Em quantos resultados Barbosa no tesoureiro?

3. Sobre todos os nmeros de 5 algarismos que podem ser

formados, responda: a) Qual o total deles? b) Quantos deles tm os algarismos distintos? c) Quantos deles comeam pelo algarismo 7? d) Quantos deles tm os algarismos distintos e comeam

pelo algarismo 7?

4. Com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, quantos nmeros de 4 algarismos podem ser formados de modo que: a) Comecem por algarismo par? b) Terminem por algarismo mpar? c) Comecem por algarismo par e terminem por algarismo

mpar?

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d) Comecem por algarismo par ou terminem por algarismo mpar?

5. Com os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, quantos nmeros de 4

algarismos distintos podem ser formados de modo que: a) Comecem por algarismo par? b) Terminem por algarismo mpar? c) Comecem por algarismo par e terminem por algarismo

mpar? d) Comecem por algarismo par ou terminem por

algarismo mpar? 6. Usando-se os algarismos 1, 2, 3, 5, 7, quantos nmeros de

algarismos distintos podemos formar de modo que sejam maiores que 200 e menores que 600?

7. Dona Maria tem 8 filhos: 3 homens e 5 mulheres. Se ela

deseja passear com alguns de seus filhos, calcule quantas so as possibilidades de Dona Maria sair com: a) Apenas uma mulher? b) Apenas com dois filhos, sendo um homem e uma

mulher? c) Apenas um filho, homem ou mulher? d) Somente duas mulheres? e) Somente trs filhos, sendo uma mulher e dois homens? f) Apenas com um filho, mulher, ou apenas com dois

filhos, homens? g) Cinco filhos apenas, sendo trs mulheres e dois

homens? 8. Para compor a tripulao de um avio, dispomos de 20

pilotos, 4 co-pilotos, 3 aeromoas e 5 comissrios de bordo. Sabendo-se que em cada vo vo duas aeromoas, dois comissionrios, um piloto e dois co-pilotos, de quantos modos pode ser escolhida a tripulao?

Respostas: 1. 42 2. a) 336 b) 42 c) 294 3. a) 90.000 b) 27.216 c) 10.000

d) 3.024 4. a) 250 b) 375 c) 150 d) 475 5. a) 48 b) 72 c) 36 d) 84 6. 36 7. a) 5 b) 15 c) 8 d) 10 e) 15 f) 8 g) 30 8. 3.600 PERMUTAO

Vamos escrever todos os anagramas da palavra PAZ. Um ANAGRAMA de uma palavra obtido quando trocamos

a ordem de suas letras, sem repeti-las, de modo que se forme uma nova seqncia de letras,com ou sem sentido. Temos:

PAZ PZA ZAP ZPA AZP APZ

Cada anagrama obtido corresponde a uma PERMUTAO das letras P, A e Z.

Observe que a permutao um caso particular do arranjo, pois das trs letras disponveis, P, A, Z, escolhemos exatamente trs para formar uma seqncia ordenada (anagrama).

De maneira mais formal, segue a definio: Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se

PERMUTAO das n elementos todo arranjo desses n elementos tomados n a n. Clculo do Nmero de Permutaes

O nmero total de permutaes de n elementos, indicado por Pn, dado por:

!n!0!n

)!nn(!n

AP n,nn

Exemplo 01: Um grupo de 6 alunos (A, B, C, D, E, F) dever apresentar um seminrio de Geografia em que cada um ter que explicar uma parte do assunto. Em relao ordem de apresentao, vamos responder s seguintes perguntas: a) Como poder ser definida a ordem, se o aluno C deve iniciar

e o aluno E deve finalizar a apresentao? Soluo: Definidos os alunos que abriro e encerraro o seminrio, os demais quatro podero apresentar-se em qualquer ordem, totalizando P4 = 4! = 24 possibilidades. b) Como poder ser definida a ordem, se os alunos A e B

devem apresentar-se um em seguida do outro? Soluo: A fim de que possam se apresentar consecutivamente, vamos considerar A e B uma s pessoa, que ir permutar com as quatro restantes (C, D, E, F), num total de P5 = 5! = 120 maneiras. Porm, para cada uma dessas possibilidades, os alunos A e B podem trocar de lugar entre si, num total de P2 = 2! = 2 maneiras. Assim, o nmero de situaes em que A e B aparecem sucessivamente 120 . 2 = 240. PERMUTAO COM REPETIO

J vimos que o nmero de permutao de 4 elementos distintos, por exemplo, dado por P4 = 4! = 24. Assim, o nmero de anagramas que podem ser formados a partir de GATO, CAF, ILHA, etc. igual a 24.

Consideramos agora a palavra CASA. Ao montarmos seus anagramas, percebemos que so apenas 12. tal diminuio deve-se ao fato de que a letra A aparece repetida. De fato, dado um anagrama qualquer de CASA, ao mantermos fixas as posies de C e de S e permutarmos as duas letras A, obteremos a mesma seqncia:

SACA SACA troca

Nosso objetivo descobrir uma maneira de contar tais permutaes.

De modo geral, se temos n elementos, dos quais n1 so iguais a a1 (a1 representa, por exemplo, uma letra), n2 so iguais a a2 (a2 representa outra letra), n3, ..., o nmero de permutaes possveis dado por:

!n...!n!n!nP

r21

n,...,n,n

nr21

Ento, no exemplo da palavra CASA, temos 4 letras, sendo a

letra A repetida duas vezes. Portanto, o clculo do nmero de anagramas :

12!2!4P

)2(

4 anagramas.

Exemplo 01: Quantos so os anagramas da palavra GARRAFA?

60

Soluo: So 7 letras ao todo. As letras R e A aparecem, respectivamente, duas e trs vezes. Temos ento:

420!3!2

!7P

)3,2(7 anagramas.

Exemplo 02: Quantos so os anagramas da palavra PAPAGAIO? Soluo: So 8 letras ao todo, repetindo trs vezes a letra A e duas vezes a letra P. Portanto:

360.3!2!3

!8P)2,3(

8 anagramas.

EXERCCIOS

1. Considere os anagramas formados a partir de JANEIRO.

a) Quantos so? b) Quantos comeam por J? c) Quantos comeam e terminam por vogal? d) Quantos comeam por vogal e terminam por

consoante? e) Quantos apresentam as letras J, A, N juntas? f) Quantos apresentam a letra N antes da letra R?

2. Um indivduo esqueceu a senha de seu carto bancrio.

Sabia que havia utilizado, sem repetio, todos os algarismos de sua data de nascimento vinte e cinco de agosto de mil novecentos e setenta e trs e recordava-se de que os algarismos 2 e 5 estavam juntos. Se em um dia ele consegue testar 144 senhas, em quanto tempo, no mximo, ele ter acesso conta?

3. Considere todos os nmeros que podem ser obtidos

permutando os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. Colocando-os em crescente, que lugar ocupa o nmero 78.659?

4. Determine o nmero de anagramas formados a partir de: a) MALA b) CORRER c) BANANA d) ASSISTENTE e) IRRIGAR f) COCO 5. Uma moeda lanada 5 vezes. De quantos modos distintos

podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas? 6. Considere os anagramas formados a partir de CORREDOR.

Responda: a) Quantos so? b) Quantos comeam por R? c) Quantos comeam por COR? d) Quantos comeam e terminam por R?

7. Uma prova contm 10 testes que devem ser respondidos

com V ou F. De quantos modos distintos ela pode ser resolvida assinalando-se 3 testes com V e 7 com F?

Respostas: 1. a) 5.040 b) 720 c) 1.440 d) 1.440 e) 720 f) 2.520 2. 70 dias 3. 63 lugar 4. a) 12 b) 120 c) 60 d) 151.200 e) 420 f) 6 5. 10 6. a) 3.360 b) 1.260 c) 60 d) 360 7. 120

TESTES GERAIS

1. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, ento o nmero de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente :

a) 8 b) 16 c) 40 d) 48 e) 56

2. (PUC-SP) Cinco cavalos disputam um preo. Qual o nmero de resultados possveis para os trs primeiros lugares?

a) 60 b) 30 c) 15 d) 10 e) nda 3. (CESGRANRIO) Uma moa possui 5 sapatos e 6 meias.

Quantas so as formas em que ela pode usar uma meia e um sapato?

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60 4. (CESGRANRIO) De quantas formas voc pode preencher

um carto da loteria esportiva (3 colunas), apenas com um palpite simples em cada jogo (16 jogos)?

a) 216 b) 316 c) 163 d) 48 e) n.d.a. 5. (UC-MG) Uma prova de Matemtica contm 30 questes

do tipo mltipla escolha, tendo cada questo cinco alternativas. Se todas as questes forem respondidas ao acaso, o nmero de maneiras de preencher a folha de respostas :

a) 530 b) 305 c) 230 d) 150 e) 60 6. (UFGO) No sistema de emplacamento de veculos, que

seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por trs letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o nmero mximo possvel de prefixos, usando-se somente vogais, seria:

a) 20 b) 60 c) 120 d) 125 e) 243 7. (PUC-SP) Os nmeros dos telefones de uma determinada

cidade so constitudos de 7 algarismos. Determinar o nmero mximo de telefones que podem ser instalados, sabendo-se que os nmeros no podem comear com zero:

a) 10.000.000 b) 9.999.999 c) 9.000.000 d) 9.999.998 e) 9.999.997

8. (FATEC-SP) Dispomos de 4 cores diferentes entre si, todas

elas devem ser usadas para pintar as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma s cor, e de modo que as vogais sejam pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso?

a) 4 b) 36 c) 28 d) 120 e) 24 9. (MACK-SP) A partir dos algarismos 1, 3, 5 e 7, quantos

nmeros com dois algarismos distintos podemos formar? a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 60 10. (UFBA) Quatro jogadores saram de Manaus para um

campeonato em Porto Alegre, num carro com 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria uma vez. Combinaram tambm que, toda vez que houvesse mudana de motorista, todos deveriam trocar de

61

lugar. O nmero de arrumaes possveis dos quatro jogadores durante toda a viagem :

a) 4 b) 8 c) 12 d) 24 e) 162 11. (CEFET) Quatro times de futebol disputam um torneio em

que so atribudos prmios ao campeo e ao vice-campeo. De quantos modos os prmios podem ser atribudos?

a) 12 b) 24 c) 30 d) 36 e) 48 12. (PUC-PR) As placas dos automveis so formadas por duas

letras seguidas de 4 algarismos. Calcular o nmero de placas que podem ser confeccionadas com duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, sendo o algarismo das unidades sempre o 5.

a) 840 b) 60.480 c) 10.800 d) 10.080 e) 524

13. (CEETEPS-SP) Para proteger certo arquivo de computador,

um usurio deseja criar uma senha constitudo por uma seqncia de 5 letras distintas, sendo as duas primeiras consoantes e as trs ltimas vogais. Havendo no teclado 21 consoantes e 5 vogais, o nmero de senhas distintas do tipo descrito : a) 25.200 b) 13.172 c) 5.040 d) 3.125 e) 2.100

14. (CEFET) Numa reunio definida como Queijos e Vinhos,

estavam disponveis no buffet 8 tipos de queijos e 6 tipos de vinhos. Sabendo que Jaime serve-se de dois tipos diferentes de queijo e um tipo de vinho cada vez que vai ao buffet, o nmero total de opes distintas para servir-se :

a) 34 b) 62 c) 42 d) 168 e) 336 15. (SANTA CASA-SP) Existem 4 estradas de rodagem e 3

estradas de ferro entre as cidades A e B. Quantos so os diferentes percursos para fazer a viagem de ida e volta entre A e B, utilizando rodovia e trem, obrigatoriamente, em qualquer ordem?

a) 14 b) 144 c) 24 d) 12 e) 7 16. (FCC/TCE-MG/2007) Tefilo foi a um caixa eletrnico

retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua senha, no conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, ento, que sua senha no tinha algarismos repetidos, era um nmero par e o algarismo inicial era 8. Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Tefilo lembrou?

a) 224 b) 210 c) 168 d) 144 e) 96 17. (FCC/TCE-PB/2007) Sinsio pretendia ligar para um

amigo mas esqueceu dos dois ltimos dgitos do nmero do telefone desse amigo. Lembrava-se apenas dos nmeros iniciais 5613-49??. Como ele sabia que o nmero no tinha algarismos repetidos, quantas possibilidades existem para o nmero de tal telefone?

a) 6 b) 9 c) 12 d) 14 e) 18 18. (FCC/TCE-PB/2007) Dona Mocinha teve 6 filhos. Sabendo

que cada filho lhe deu 5 netos, cada neto lhe deu 4 bisnetos

e cada bisneto teve 3 filhos, quantos so os descendentes de Dona Mocinha?

a) 516 b) 484 c) 460 d) 380 e) 320 19. (FCC/TCE-PB/2007) O caixa eletrnico de um banco foi

programado para fazer pagamentos utilizando apenas cdulas de R$ 50,00, R$ 20,00 e R$ 10,00. Ao usar esse caixa, de quantos modos distintos uma pessoa poder fazer uma retirada de R$ 100,00?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 20. (U.F.Uberlndia) De quantas maneiras trs mes e seus

respectivos filhos podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada me sente junto de seu filho?

a) 6 b) 18 c) 12 d) 36 e) 48 21. (UFCE) Assinale a alternativa na qual consta a quantidade

de nmeros inteiros formados por trs algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7, e 9, e que so maiores que 200 e menores que 800.

a) 30 b) 36 c) 42 d) 48 e) 54 22. (UFAL) O diretor de um pronto-socorro dispe de 5

mdicos, 4 enfermeiros e 4 atendentes para escalar uma equipe de planto. A equipe formada por 3 mdicos, 2 enfermeiros e 1 atendente. O nmero de equipes diferentes que o diretor poder formar de:

a) 24 b) 72 c) 80 d) 120 e) 240 23. (UNISINOS) No vestibular de inverno da Unisinos, Joo

conheceu Maria, que lhe informou seu telefone. Joo no anotou o nmero, mas sabe que Maria mora em So Leopoldo e que este nmero comea por 59. Lembra ainda que o 3 algarismo 1 ou 2 e os outros quatro algarismos so 0, 3, 6, 8, mas no sabe sua ordem. As possibilidades de Joo descobrir o telefone de Maria so:

a) 4 b) 12 c) 20 d) 24 e) 48 24. (PUC-RS) Suponha que no Brasil existam n jogadores de

vlei de praia. O nmero de duplas que podemos formar com esses jogadores :

a) 2n b)

2n2n2 c)

4n2n2

d) 2

nn2 e) 2

nn2

25. (UFJF-MG) Cinco amigos vo viajar utilizando um carro

com cinco lugares. Sabendo-se que apenas dois deles podem dirigir, o nmero de maneiras que os cinco amigos podem se acomodar para a viagem :

a) 12 b) 24 c) 48 d) 120 e) 60 Gabarito: 1.e 2.a 3.c 4.b 5.a 6.d 7.c 8.e 9.b 10.d 11.a 12.d 13.a 14.d 15.c 16.a 17.c 18.a 19.e 20.e 21.b 22.e 23.e 24.e 25.c

62

GEOMETRIA PLANA

Semiplanos e ngulos Uma reta r contida em um plano divide este plano em duas

regies denominadas SEMIPLANOS. Os dois semiplanos tm em comum apenas a reta r, chamada ORIGEM ou CONTORNO dos dois semiplanos.

r N M

O semiplano de origem r que contm o ponto M pode ser chamado semiplano (rM); o outro o semiplano (rN). Dizemos que o ponto M INTERIOR ao semiplano (rM). Dois semiplanos de um mesmo plano, com a mesma origem r, tais como os da figura acima, se dizem OPOSTOS. Cada uma deles o prolongamento do outro.

Consideraremos, agora, duas semi-retas distintas e no opostas OA e OB, de mesma origem O, contidas em um plano .

Elas dividem o plano em duas regies que possuem em comum apenas as semi-retas AO e OB.

B

N M

O

A

Cada uma dessas regies chamada NGULO. As semi-retas OA so os lados e o ponto O o VRTICE dos dois ngulos. Chamamos ngulo cncavo AB o ngulo que contm os prolongamentos dos lados OA e OB. O ponto N interior ao ngulo AB. Chamamos ngulo convexo AB o ngulo que no contm os prolongamentos dos lados OA e OB. O ponto M interior ao ngulo convexo AB.

Na figura acima, o ngulo convexo aparece em branco; o ngulo cncavo aparece sombreado.

Quando no houver dvida quanto ao tipo de ngulo (se cncavo ou convexo), podemos indic-lo simplesmente por AB ou por . B D C B A O A O

Quando aparecem, numa mesma figura, vrios ngulos com mesmo vrtice, cmodo indic-lo atravs de letras gregas minsculas; desta forma, os ngulos AB, BC e CD da figura acima foram indicados respectivamente por , e .

Considerando a figura abaixo, se as semi-retas OA e OB tendem a coincidir uma com a outra, o ngulo convexo AB tem por limite o chamado NGULO NULO; o ngulo cncavo AB tem por limite o chamado NGULO COMPLETO. (ngulo raso) B O A O B A

Se as semi-retas OA e OB so opostas, cada um dos dois ngulos determinados chamado ngulo raso; na verdade, o ngulo raso nada mais que um semiplano cuja origem a reta suporte dos lados do ngulo. NGULOS CONSECUTIVOS E NGULOS ADJACENTES

Dizemos que dois ngulos de um mesmo plano so CONSECUTIVOS se e somente se tm um lado comum e nenhum outro ponto comum. o caso dos ngulos AB e BC da figura abaixo, que tem em comum apenas os pontos do lado OB. C (ngulos consecutivos) O

A O conceito de ngulos consecutivos nos permite definir a

soma e a diferena de ngulos. Considerando ainda a figura acima, podemos escrever:

AB + BC = AC ou AC BC = AB

Dizemos que dois ngulos so ADJACENTES se, e somente

se, eles so consecutivos e seus lados no comuns so semi-retas opostas. Os ngulos XY e YZ da figura abaixo so adjacentes.

De fato, eles so consecutivos, pois s tm em comum o lado OU e os lados no comuns OX e OZ so semi-retas opostas.

Y (ngulos adjacentes) X O Z

importante notar que a soma de dois ngulos adjacentes um ngulo raso. NGULOS OPOSTOS PELO VRTICE

Dois ngulos convexos se dizem OPOSTOS PELO VRTICE se, e somente se, os lados de um deles so os prolongamentos dos lados do outro. B A (ngulos opostos pelo vrtice)

O

B A

Os ngulos AB e AB da figura acima, por exemplo, so

opostos pelo vrtice, j que os lados OA e OB do ngulo AB so os prolongamentos dos lados OA e OB do ngulo AB. MEDINDO NGULOS

63

Para medir um ngulo, necessrio que se defina um ngulo como unidade de medida. A medida de qualquer ngulo ser obtida comparando sua abertura com a abertura da unidade de medida previamente definida. A O B

Suponhamos, por exemplo, que o ngulo AB da figura

acima seja considerado como unidade de medida. Ento a medida do ngulo AB 1u (1 unidade). Podemos escrever, ento:

AB = 1u

Como o ngulo unitrio AB cabe quatro vezes no ngulo

MNP (figura abaixo), dizemos que a medida de MNP 4u. M N Portanto:

P MNP = 4u

claro que o nmero que mede um ngulo numa

determinada unidade no necessariamente inteiro. O GRAU COMO UNIDADE DE MEDIDA DE NGULOS

Apesar de a unidade de medida de ngulos ser arbitrria, existe uma unidade de uso universal: o GRAU (smbolo ).

Intuitivamente, podemos dizer que um ngulo mede 1 (um grau) quando ele cabe exatamente 180 vezes no ngulo raso. Logo:

O ngulo raso mede 180

Observe a figura acima. Como o ngulo cabe exatamente trs vezes no ngulo raso, a medida do ngulo :

603

180

claro que o ngulo completo (equivalente a 2 rasos) mede 360 e o ngulo nulo mede 0.

O grau ainda pode ser subdividido em minutos (smbolo ) e segundos (smbolo ). Valem as seguintes equivalncias entre as unidades de medidas de ngulos:

1 raso = 180

1 = 60 1 = 60

Assim, a medida de um determinado ngulo poderia ser

indicada, por exemplo, = 56 23 40

OPERANDO COM MEDIDAS DE NGULOS

O grau subdividido na base sexagesimal e no na base decimal, como costuma ocorrer com as unidades de medida da maioria das grandezas. Por isso, as operaes usuais com as medidas de ngulos fogem dos padres operacionais usuais. Veja, a seguir, alguns exemplos. Exemplos 01: Vamos calcular + sendo = 12 39 16 e = 47 43 52. Resoluo:

+"68'8259

"52'4347"16'3912

Mas 82 = 60 + 22 = 1 22 e 68 = 60 + 8 = 1 8. Logo, + = 60 23 8 Exemplo 02: Vamos agora determinar o valor de 5, sendo = 32 23 43. Resoluo:

"215'115160

5"43'2332

Como 115 = 60 + 55 = 1 55 e 215 = 3.60 + 35 = 3 35, vem: 5 = 161 58 35 Exemplo 03: Sendo a = 23 e b = 12 23 48, vamos calcular a b. Resoluo: Em primeiro lugar, importante que, na medida de a, apaream, como em b, minutos e segundos. Temos, ento: a = 23 = 22 60 = 22 59 60

-"12'3610

"48'2312"60'5922

Portanto, a b = 10 36 12. BISSETRIZ DE UM NGULO

Chama-se BISSETRIZ de um ngulo a semi-reta contida no ngulo, de origem em seu vrtice, que o divide em dois ngulos congruentes.

A O X (bissetriz)

B Na figura acima, a semi-reta OX bissetriz do ngulo AB. Se AB = , temos que:

AX = BX = 2

64

NGULO RETO, AGUDO E OBTUSO

A bissetriz de um ngulo raso divide-o em dois ngulos denominados ngulos RETOS (figura abaixo). Assim, o ngulo reto a metade do ngulo raso.

C

(ngulo reto)

B O A Chama-se ngulo AGUDO todo ngulo no nulo menor que

um ngulo reto. Chama-se ngulo OBTUSO todo ngulo maior que um ngulo reto e menor que um ngulo raso (figura abaixo). ngulo reto ngulo agudo ngulo obtuso

Temos, portanto, a seguinte classificao dos ngulos em funo de suas medidas: ngulo nulo = 0 ngulo completo = 360 ngulo raso = 180 ngulo reto = 90 ngulo agudo 0 < < 90 ngulo obtuso 90 < < 180 NGULOS COMPLEMENTARES E NGULOS SUPLEMENTARES

Dizemos que dois ngulos e so COMPLEMENTARES se, e somente se, + = 90. Cada um dos ngulos e o COMPLEMENTO do outro. Exemplo: Os ngulos a = 34 e b = 56 so complementares porque a + b = 34 + 56 = 90. Logo, 34 o complemento de 56 e vice-versa. De maneira geral, o complemento de um ngulo pode ser indicada por (90 - ).

Dizemos que dois ngulos e so SUPLEMENTARES se, e somente se, + = 180. Cada um dos ngulos e o SUPLEMENTO do outro. Exemplo: So suplementares os ngulos m = 43 23 40 e n = 136 36 20. De fato, temos: m + n = 43 23 40 + 136 36 20 = 179 59 60 = 179 60 = 180. Portanto, m o suplemento de n e reciprocamente. O suplemento de um ngulo pode ser indicado genericamente por (180 - ).

claro que dois ngulos adjacentes so sempre suplementares, j que sua soma igual a 1 ngulo raso.

de grande importncia o seguinte teorema:

Dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

De fato, observando a figura abaixo, temos que o suplemento de e tambm o suplemento do mesmo ngulo, claro que = .

TRINGULOS

Chama-se TRINGULO todo polgono de trs lados. Na figura seguinte temos um tringulo ABC de lados AB, BC e AC e vrtices A, B e C.

B A C A soma dos lados o PERMETRO do tringulo e costuma

ser representado por 2p. Portanto:

2p = AB + BC + AC

NGULOS INTERNOS ou simplesmente ngulos do tringulo so os ngulos convexos.

A = BC, B = ABC e C = ACB

Cada ngulo adjacente a um ngulo interno um NGULO EXTERNO do tringulo. Em cada vrtice h dois ngulos externos opostos pelo vrtice e, portanto, congruentes.

Na figura a seguir, destacamos e , ngulos externos relativos ao ngulo interno . (ngulos externos)

B C

claro que + = + = 180, isto , cada ngulo externo de um tringulo o suplemento do ngulo interno a ele adjacente.

Num tringulo ABC, costumamos dizer que os lados AB, AC e BC so opostos, respectivamente, aos vrtices ou aos ngulos C, B e A e reciprocamente.

comum representarmos a medida de cada lado pela letra minscula que corresponde ao seu vrtice oposto.

Assim, na figura acima:

AB = c; BC = a; AC = b e 2p = a + b + c

65

B a c

A b C SEGMENTOS NOTVEIS DE UM TRINGULO

Alem dos lados, existem no tringulo outros segmentos de grande importncia: as medianas, as bissetrizes e as alturas.

Chama-se MEDIANA de um tringulo qualquer segmento que tem como extremos um vrtice e o ponto mdio do lado oposto do tringulo. Todo tringulo tem trs medianas, cada uma relativa a um vrtice (ou a um lado).

Na figura a seguir, o segmento AM a mediana relativa ao vrtice A (ou ao lado BC). A (AM mediana)

B M C Chama-se BISSETRIZ INTERNA de um tringulo qualquer

segmento de uma bissetriz de um ngulo interno que tem como extremos o vrtice do ngulo e o ponto onde a bissetriz corta o lado oposto. Todo tringulo tem trs bissetrizes internas, cada uma relativa a um ngulo (ou ao lado BC).

A (AM bissetriz interna) B M C

Chama-se BISSETRIZ EXTERNA de um tringulo qualquer segmento de uma bissetriz de um ngulo externo que tem como extremos o vrtice ao ngulo e o ponto onde a bissetriz corta o prolongamento do lado oposto. A (AM bissetriz externa) B C M

Na figura acima, o segmento AM a bissetriz externa relativa ao ngulo A (ou lado BC).

Convm observar que nem sempre existe a bissetriz externa relativa a um ngulo de um tringulo. Isso ocorre no caso em que a semi-reta bissetriz do ngulo externo paralela ao lado oposto.

Chama-se ALTURA de um tringulo qualquer segmento perpendicular a um de seus lados que tem como extremos o vrtice oposto a esse lado e o p da perpendicular sobre o suporte

do lado. Todo tringulo tem trs alturas, cada uma relativa a um vrtice (ou a um lado).

Na figura abaixo, o segmento AH a altura relativa ao vrtice A (ou ao lado BC). A (AH altura) B C H CONGRUNCIA DE TRINGULOS

Dizemos que dois tringulos so CONGRUENTES se, e somente se, cada lado de um deles congruente a um lado do outro e cada ngulo de um deles congruente a um ngulo do outro.

Na figura abaixo, os tringulos ABC e ABC so congruentes. Em smbolos, escrevemos:

ABC = ABC A A B C B C

Podemos definir, ento, a congruncia da seguinte maneira:

ABC = ABC

'CC;'BB;''C'BBC;'C'AAC;'B'AAB

Para concluir que dois tringulos so congruentes, no

necessrio provar a congruncia de todos os lados e de todos os ngulos.

Existem alguns critrios mnimos, chamados CASOS DE CONGRUNCIA, que permitem garantir a congruncia de alguns de seus lados ou ngulos.

Vamos apresentar esses casos sem demonstrao. 1Caso: se dois tringulos tm dois lados e o ngulo formado por eles respectivamente congruentes, ento eles so congruentes caso LAL (lado ngulo lado).

'C'AAC

''B'AAB

ABC = ABC

A A B C B C 2 Caso: se dois tringulos tm dois ngulos e o lado adjacente a eles respectivamente congruentes, ento eles so congruentes caso ALA (ngulo lado ngulo).

66

'BB'B'AAB

' ABC = ABC

A A

B C B C 3 Caso: Se dois tringulos tm um lado, um ngulo adjacente a esse lado e o ngulo oposto a esse lado respectivamente congruentes, ento eles so congruentes, ento eles so congruentes caso LAA (lado ngulo ngulo).

'

'BB'C'BBC ABC = ABC

A A B C B C 4 Caso: Se dois tringulos tm os trs lados respectivamente congruentes, ento eles so congruentes caso LLL (lado lado lado).

'C'BBC'C'AAC'B'AAB ABC = ABC

A A

B C B C Observe que no existe o caso de congruncia ALL.

De fato, pois, observando a figura abaixo, temos que os tringulos ABC e ABC no so congruentes, apesar de ocorrerem as congruncias :

= (ngulo comum) AB = AB (lado comum) BC = BC

C C A B

Em sntese, podemos concluir que dois tringulos so congruentes se verificarmos que so respectivamente congruentes: a) os trs lados ou b) dois ngulos e um lado ou c) dois lados e um ngulo, desde que ele seja o ngulo formado

pelos dois lados. NGULOS NO TRINGULO

Vamos deduzir, agora, duas relaes fundamentais a respeito dos ngulos de um tringulo. A soma dos ngulos internos de um tringulo constante e igual a 180.

Para demonstrar essa relao, passemos pelo vrtice A do tringulo ABC (figura a seguir) uma reta r paralela ao lado BC. Temos: = B e = C.

Como + + = 180, conclumos que A + B + C = 180. B C Todo ngulo externo de um tringulo igual soma dos dois ngulos internos no adjacentes.

Considerando a figura seguinte, j sabemos que A + B + C = 180.

A f

e C B g

Como os ngulos B (interno) e (externo) so adjacentes, claro que B + = 180.

Logo: B + = A + B + C = A + C

De maneira anloga: f = B + C e g = A + B.

muito importante que o estudante desenvolva a habilidade de aplicar, mesmo em figuras mais complexas, esta ltima relao.

Na figura abaixo, por exemplo, podemos escrever:

A 2 3 7 1 6 5 4 8

B C D

67

ACD: 6 = 3 + 4 ABC: 5 = 1 + 2 ABC: 7 = 2 + 6 ABD: 7 = 4 + (2 + 3) ACD: 8 = 3 + 5 ABD: 8 = 1 + (2 + 3)

A partir dessas relaes, resolvemos uma srie de problemas de determinao de ngulos em um tringulo. Exemplo 01: Em um triangulo ABC, sabe-se que = 3B e que o ngulo B ultrapassa em 3 o complemento de C. Vamos determinar os trs ngulos desse tringulo. Resoluo: O complemento de C (90 C). Logo: B = 3 + (90 - C) C = 93 - B. Mas sabemos que A + B + C = 180. Ento: 3B + B + 93 - B = 180 3B = 87 B = 29 A = 3B = 3.29 A = 87 C = 93 - B 93 - 29 C = 64 CLASSIFICANDO OS TRINGULOS

Em funo da comparao entre seus lados, um tringulo pode ser chamado de: a) ESCALENO se, e somente se, no tem lados congruentes. b) ISSCELES se, e somente se, tem dois lados congruentes. c) EQUILTERO se, e somente se, tem os trs lados

congruentes. escaleno issceles eqiltero

No caso do tringulo issceles, sendo AB = AC, o terceiro lado BC chamado BASE e os ngulos B e C so os ngulos da BASE. O ngulo A, oposto base, chamado NGULO NO VRTICE.

Observe que todo tringulo eqiltero issceles, podendo qualquer de seus lados ser considerado como base.

Sendo a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180, claro que um tringulo pode ter, no mximo, um ngulo reto ou um ngulo obtuso.

Em funo da natureza de seus ngulos, um tringulo pode ser classificado como: a) ACUTNGULO se, e somente se, tem trs ngulos agudos. b) RETNGULO se, e somente se, tem um ngulo reto (e

consequentemente dois ngulos agudos). c) OBTUSNGULO se, e somente se, tem um ngulo obtuso

(e consequentemente dois ngulos agudos). acutngulo retngulo obtusngulo

No tringulo retngulo, sendo = 90, claro que B + C = 90, ou seja, os ngulos agudos so complementares.

O lado BC do tringulo retngulo, oposto ao ngulo reto, chamado HIPOTENUSA; os outros dois lados so chamados CATETOS.

Para os tringulos retngulos, vale o seguinte caso especial de congruncia: se dois tringulos retngulos tm a hipotenusa e um cateto respectivamente congruentes, ento eles so congruentes.

A respeito dos tringulos issceles, podemos demonstrar alguns teoremas importantes. Num tringulo issceles: a) os ngulos das bases so congruentes; b) a mediana relativa base tambm altura e bissetriz

interna.

B

A M C SEMELHANA DE TRINGULOS Tringulos Semelhantes Definio

Dois tringulos so semelhantes quando tm os ngulos correspondentes congruentes e os lados homlogos proporcionais. Em smbolos, temos: D A c f e B a C E d F

ABC ~ DEF

^^

^^

^

FC

EB

D

e fc

eb

da

Razo de Semelhana

Quando dois tringulos so semelhantes, a razo entre dois lados correspondentes a RAZO DE SEMELHANA.

kfd

eb

da

Em que k (constante) a razo de semelhana.

De kfd

eb

da

, decorre que kfeddba

, donde

conclumos que a razo entre os permetros dos tringulos igual razo de semelhana.

Se a razo de semelhana de dois tringulos igual a 1 (k = 1), os tringulos so congruentes. Teorema Fundamental

Consideremos um tringulo ABC e seja DE um segmento paralelo ao lado BC, como indica a figura.

68

A D E B C a) Observemos os ngulos dos tringulos ADE e ABC. Do

paralelismo de DE e BC, temos que:

EDA = CBA e AD = ACB

Ento, os tringulos ADE e ABC tm os ngulos ordenadamente congruentes: EDA = CBA, AD = ACB e comum (I) b) Sendo DE//BC, temos que: A D E B C

ACAE

ABAD

(II)

Pelo ponto E vamos conduzir EF paralelo a AB. Sendo EF//AB, temos:

BCDE

ACAE

(III)

Comparando (II) e (III), temos:

BCDE

ACAE

ABAD

(IV)

Agora, voltando aos tringulos ADE e ABC, conclumos que

eles tm ngulos congruentes (pela expresso (I)) e lados proporcionais (pela expresso (IV)). Logo, eles so SEMELHANTES.

ADE ~ ABC Toda paralela a um lado de um tringulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina um novo tringulo semelhante ao primeiro. Critrio de Semelhana AA (ngulo ngulo)

Consideremos dois tringulos, ABC e ABC, com dois ngulos respectivamente congruentes: A = e B = B A B C B C

Vamos supor que os tringulos no sejam congruentes e que AB > AB.

Tomemos D em AB de modo que: A

AD = AB D E B C

E por D vamos traar DE // BC. Observemos que os tringulos ADE e ABC so

congruentes. ADE = ABC

Pelo teorema fundamental, os tringulos ADE e ABC so

semelhantes. ADE ~ ABC

Ento, os tringulos ABC e ABC tambm so semelhantes. Se dois tringulos possuem dois ngulos respectivamente congruentes, ento eles so semelhantes. Concluindo, podemos dizer que: Se dois tringulos possuem dois ngulos congruentes, ento eles so semelhantes e, por isso, tm os lados proporcionais. Exemplo: Na figura abaixo, sabe-se que: ASR = ABC, AB = 10cm, BC = 8cm, AC = 14cm e AS = 5cm. Calcule RS = x e AR = y. A Resoluo: Iniciamos por notar que A comum a dois Tringulos. A seguir, separamos esses tri- S ngulos, anotando os dados e os pedidos. R A A C B 5 y S 14 10 R x C B 8 Agora, basta observar a semelhana dos tringulos ASR e ABC e aplicar o critrio de semelhana: comum

ASR = ABC ASR ~ ABC

105

14y

8x

7y105

14y

4x105

8x

Logo, RS = 4cm e AR = 7cm. REAS DE FIGURAS PLANAS rea do Retngulo

O RETNGULO um paralelogramo de ngulos internos retos. Indicando a rea por A, a medida da base por b e a medida da altura por h, temos:

69

A = b . h rea h b A rea de um retngulo igual ao produto da medida da base pela medida da altura. rea do Quadrado

O QUADRADO um retngulo de lados congruentes. Vamos representar por a medida do lado do quadrado.

Aplicando a frmula da rea do retngulo para b = e h = , temos: A = b.h = . = 2 A = 2 rea do Paralelogramo

Um PARALELOGRAMO um quadriltero de lados opostos paralelos.

Vamos representar por b a base AB e por h a altura do paralelogramo. D C D C D C h h h h A B A E B F E B F

Notemos que a rea do paralelogramo ABCD igual rea do retngulo EFCD, porque: ABCD a soma do quadriltero EBCD com o tringulo

AED; EFCD a soma do quadriltero EBCD com o tringulo

BFC; Os tringulos AED e BFC, por serem congruentes, tm reas

iguais. Portanto, a rea A do paralelogramo dada por:

A = b . h A rea do paralelogramo igual ao produto da medida da base pela medida da altura. rea do Tringulo

Um TRINGULO um polgono de trs lados. Consideremos o tringulo ABC de base b e altura h, e, a

seguir, o paralelogramo ABDC com a mesma base b e a mesma altura h. B B D h h A b C A b C

Notemos que os tringulos ABC e DCB so congruentes e, portanto, tm reas iguais. Segue da que a rea do tringulo ABC igual metade da rea do paralelogramo ABCD.

2hbA

A rea de um tringulo igual metade do produto da medida da base pela medida da altura. Caso particular: tringulo eqiltero a h a h a a a/2

O TRINGULO EQILTERO aquele que possui todos os lados congruentes.

A altura de um tringulo eqiltero de lado a 2

3ah .

Clculo da rea:

A = b.h 2

3aa21h.a

21

2h.aA

43aA

2

A rea de um tringulo eqiltero de lado a dada por 4

3a 2

rea do losango

Um LOSANGO um paralelogramo de lados congruentes. Vamos representar por D a diagonal maior e por d a diagonal

menor do losango.

d/2 d D/2 D A rea do losango quatro vezes a rea do tringulo retngulos de catetos D/2 e d/2:

2d.D

8d.D4

22d

2D

4A

Logo:

2d.DA

A rea do losango igual metade do produto das medidas das diagonais. rea do Trapzio

Um TRAPZIO um quadriltero que possui dois lados opostos paralelos e os outros dois lados no-paralelos.

Vamos representar as bases do trapzio por B e b e a altura por h.

70

b b h h B B A rea do trapzio igual soma das reas de dois

tringulos, um de base B e altura h, e o outro de base b e altura h:

2h)bB(

2h.bh.B

2h.b

2b.BA

2h).bB(A

A rea de um trapzio igual metade do produto da soma das bases pela altura. rea do Crculo

Dado um ponto O de um plano, um CRCULO o conjunto de todos os pontos desse plano que esto a uma distncia menor ou igual a R (R 0) do ponto O. A medida R chamada RAIO DO CRCULO.

Vamos indicar por R o raio. R ap Considerando polgonos regulares inscritos, observamos que quando o nmero de lados grande: O permetro do polgono (2p) aproximadamente igual ao

comprimento da circunferncia (2R); O aptema (ap) aproximadamente igual ao raio (R). Logo, a rea do polgono aproximadamente:

A = .R2

que a rea do crculo.

A rea do crculo de raio R dada por R2

Em que = 3,1415926535... 3,14

TESTES 1. (UFMG) Se a medida de um ngulo 26 40 51, sua tera

parte mede: a) 8 13 17 b) 8 13 37 c) 8 33 37 d) 8 53 17 e) 8 53 37

2. (UFMG) As bissetrizes de dois ngulos consecutivos

formam um ngulo de 46. Se um dos ngulos mede 32, a medida do outro : a) 23 b) 39 c) 55 d) 60 e) 62

3. (UFMG) Na figura BE ED, AE EC e AD = 144. O ngulo BC mede: a) 30 B b) 32 A C c) 34 d) 36 e) 54

E D 4. (UFMG) Na figura, OC a bissetriz do ngulo AB, BD

= 50 e AD = 22. A medida do ngulo DC : a) 36 B b) 28 c) 22 C d) 16 O e) 14 D

A 5. (UFMG) Na figura, OM, ON e OP so bissetrizes dos

ngulos AB, BC e CD, respectivamente. A soma PD + MN igual a: a) 120 N b) 90 C B c) 75 d) 60 P M e) 45

D O A 6. Dois ngulos adjacentes medem (3x 10) e (2x + 20). A

diferena dos dois ngulos : a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4 7. (UFU-MG) Dois ngulos consecutivos so complementares.

Ento o ngulo formado pelas bissetrizes desses ngulos : a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 8. O suplemento de um ngulo excede o prprio ngulo em

50. O complemento desse ngulo mede: a) 65 b) 50 c) 45 d) 35 e) 25 9. A diferena entre o complemento de um ngulo e a nona

parte de seu suplemento de 6. A medida desse ngulo : a) 36 b) 45 c) 67 d) 72 e) 80 10. Dois ngulos x e y so adjacentes. Se o suplemento de x

igual ao complemento de y, ento o ngulo x igual a: a) 3y b) 2y c) y + 60 d) 120 e) 150

11. O complemento do ngulo agudo AB supera em 6 os 2/5

de seu suplemento. A medida de AB : a) 20 b) 44 c) 64 d) 60 e) 70 12. Dois ngulos opostos pelo vrtice medem em graus (4m +

10) e (2m + 30). O complemento de cada um desses ngulos :

71

a) 30 b) 40 c) 50 d) 70 e) 80 13. (UFMG) Sobre geometria plana, a nica afirmativa correta

: a) Dois tringulos ABC e ABC tais que o ngulo C

igual ao ngulo C, AB = AB e BC = BC so congruentes.

b) Se dois ngulos de um tringulo ABC so agudos, ento ABC um tringulo retngulo.

c) Trs pontos distintos sempre determinam um plano. d) Se dois tringulos tm os trs ngulos congruentes, eles

so congruentes. e) Se a reta m paralela s retas r e s, ento r e s so

paralelas ou coincidentes. 14. (UFMG) Sobre geometria plana, correto afirmar-se que:

a) Dois tringulos retngulos so congruentes se tm um par de ngulos agudos congruentes.

b) Por um ponto no pertencente a uma reta passa uma nica perpendicular a essa reta.

c) Sejam dois tringulos ABC e DEF. Se o lado AB maior que o lado DE, ento o ngulo ACD maior que o ngulo DFE.

d) Se, num tringulo ABC, a altura relativa ao lado AB intercepta esse lado, ento esse tringulo issceles.

e) Trs pontos determinam uma reta. 15. (MACK-SP) Na figura, DE paralelo a BC. O valor de :

a) 90 A b) 80 c) 70 d) 60 e) 30 60

D E

130 B C 16. (UFMG) Num tringulo retngulo, um dos ngulos mede

32. O ngulo formado pela altura e mediana relativa hipotenusa mede:

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32 17. (PUC-SP) Na figura: BC = CA = AD = DE. O ngulo CD

mede: A a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 60 40 40

B C D E 18. Num tringulo retngulo, as bissetrizes dos ngulos agudos

se interceptam formando um ngulo obtuso de: a) 100 b) 135 c) 145 d) 120 e) 160 19. (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, AB = BD = DE e

BD bissetriz do ngulo EBC. A medida de AB, em graus, : D a) 96 b) 100 c) 104 E d) 108 e) 110 A B C

20. (FUVEST) Na figura abaixo, AB = AC, O o ponto de encontro das bissetrizes do tringulo ABC, e o ngulo BC o triplo do ngulo . Ento a medida de : a) 18 b) 12 B c) 24 d) 36 A O e) 15

C 21. (MACK-SP) Na figura, BD = AD = DC e BM = MD. Ento

mede: A a) 45 b) 60 c) 30 d) 15 e) 20 30

B M D C 22. (UFMG) Na figura, ABCD um quadrado e BCE um

tringulo eqiltero. A medida do ngulo AB, em graus, : a) 30 b) 49 A D c) 60 E d) 75 e) 90

B C

23. (FUVEST) Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o ngulo A mede 40, ento o ngulo XYZ mede: a) 40 C b) 50 c) 60 d) 70 Z Y e) 90

A X B

24. (UFMG) No tringulo ABC tem-se: AB = AC, BD = DE =

EC e BD = ABD. A medida do ngulo BD : a) 20 b) 2230 A c) 25 d) 30 e) 3730

B D E C 25. (FUVEST-SP) Na figura, AB = DB = CD. Ento:

a) y = 3x b) y = 2x D c) x + y = 180 y d) x = y e) 3x = 2y

x A B C

26. (UFMG) Observe a figura. BD bissetriz de ABC, ECB =

2(EB) e a medida do ngulo ECB 80. A medida do ngulo CDB : a) 40 E b) 50 C c) 55 D d) 60 e) 65

A B

72

27. (SANTA CASA-SP) O tringulo ABC, representado na

figura ao lado, issceles. A medida do ngulo x assinalado : A a) 90 b) 100 20 c) 105 d) 110 P e) 120

x B C 28. (CESGRANRIO) Na figura, ABCD um quadrado, ADE e

ABF so tringulos eqilteros. Se os pontos C, A e M so colineares, ento o ngulo FM mede: a) 75 b) 80 M c) 8230 d) 85 D A e) 8730

F

C B

29. (PUC-SP) A soma das medidas dos ngulos: A + B + C + D

+ E : a) 60 A B b) 120 c) 180 E d) 360 C e) Varia de estrela para estrela.

D 30. (PUC-MG) Os lados de um tringulo ABC medem AB =

20cm, BC = 15cm e AC = 10cm. Sobre o lado BC, marca-se BD = 3cm e traam-se as DE ao lado AB e DF ao lado AC. O permetro de AEDF, em cm, : a) 15 b) 18 c) 20 d) 32 e) 36

31. No paralelogramo ABCD, da figura, BD = 3m, M o ponto

mdio do segmento BC e X o ponto de interseo dos segmentos BD e AM. A medida do segmento BX, em metros, : D C a) 2/3 b) 1 c) 4/3 X M d) 3/2 e) 2

A B 32. (UFMG) Na figura, O o centro da circunferncia, AO =

5m, AB = AO e a reta AM tangente circunferncia no ponto A. A medida do segmento MB, em metros, : a) 5 12 b) 2 c) 2,5 O d) 5 B e) 10

A M

33. (CESGRANRIO) No tringulo ABC da figura, CD bissetriz do ngulo interno em C. Se AD = 3cm, DB = 2cm e AC = 4cm, ento o lado BC mede: a) 3cm C b) 5/2cm c) 7/2cm d) 8/3cm e) 4cm

A D B

34. (UFMG) Na figura, os segmentos BC e DE so paralelos,

AB = 15m, AD = 5m e AE = 6m. A medida do segmento CE , em metros: a) 5 A b) 6 c) 10 d) 12 D E e) 18

B C

35. (CESGRANRIO) O losango ADEF est inscrito no

tringulo ABC, como mostra a figura. Se aB = 12m, BC = 8m e AC = 6m, o lado m do losango mede: a) 5m m b) 3m c) 2m m d) 4m e) 8m m

m 36. (UFMG) Dois crculos de raios 6cm e 4cm tm centro na

altura relativa base do tringulo issceles da figura e so tangentes exteriormente. A altura do tringulo relativa base, em metros, : a) 25 b) 26 c) 30 d) 32 e) 36

37. (MACK) O tringulo ABC da figura eqiltero. AM =

MB = 5 e CD = 6. O valor de AE : a) 76/11 A b) 77/11 c) 78/11 d) 79/11 M e) 80/11 E

B C D 38. (FUVEST-SP) O retngulo ABCD representa um terreno

retangular cuja largura 3/5 do comprimento. A parte colorida representa um jardim retangular cuja largura tambm 3/5 do comprimento. Qual a razo entre a rea do jardim e a rea total do terreno? a) 30% b) 36% c) 40% A B d) 45% e) 50%

D C

73

39. (FUVEST-SP) O retngulo abaixo de dimenses a e b est decomposto em quadrados. Qual o valor da razo a/b? a) 5/3 a b) 2/3 c) 2 d) 3/2 e) b

40. (UFRS) Dois dos lados opostos de um quadrado tm um

aumento de 40% e os outros dois lados opostos tm um decrscimo de 40%. A rea desse quadrado: a) aumenta 20% b) aumenta 16% c) permanece inalterada d) diminui 16% e) diminui 20%

41. (UFMG) A rea do paralelogramo ABCD a. Ento, a rea

de um tringulo ABE, onde E pertence reta-suporte de DC, : a) a/4 b) a/3 c) a/2 d) 2a/3 e) a

42. (UFPE) No semicrculo abaixo temos BC = 10cm e AB =

8cm. Qual o valor aproximado da rea colorida? a) 15,25 cm2 b) 14,25 cm2 c) 16,25 cm2 d) 19,25 cm2 e) 12,25cm2

43. (UFMG) Sejam ABC um tringulo qualquer e M e N os

pontos mdios dos lados AC e CB, respectivamente. A razo entre as reas do trapzio AMNB e do tringulo ABC, nessa ordem, : a) 1/3 b) 1/2 c) 3/5 d) 2/3 e) 3/4

44. (ESCCAI) Um quadrado e um tringulo eqiltero tm

permetros iguais. Se a medida do lado do tringulo excede a medida do lado do quadrado em 5cm, a rea do tringulo, em centmetros quadrados, : a) 50 b) 100 c) 50 3

d) 100 3

e) 200 3 Gabarito 1.e; 2.d; 3.d; 4.e; 5.b; 6.e; 7.e; 8.e; 9.d; 10.a; 11.a; 12.b; 13.e; 14.b; 15.c; 16.b; 17.b; 18.b; 19.d; 20.d; 21.c; 22.d; 23.d; 24.d; 25.a; 26.d; 27.b; 28.a; 29.c; 30.e; 31.b; 32.d; 33.d; 34.d; 35.d; 36.e; 37.e; 38.b; 39.a; 40.d; 41.c; 42.a; 43.e; 44.d

CRCULO E DISCO CRCULO

Sejam r um nmero real positivo e O um ponto de um plano. Chama-se CRCULO de centro O e raio r o lugar geomtrico dos pontos do plano que esto a uma distncia menor ou igual a r a partir de O.

Costuma-se indicar C(O, r) o crculo de centro O e raio r. P r O

Todo segmento que tem como extremos o centro e um ponto qualquer do crculo chamado RAIO do crculo. Um crculo tem infinitos raios, congruentes entre si.

Na figura seguinte, traamos os raios AO = OB = OC = r. A r C r r B

Chamamos CORDA de um crculo qualquer segmento que tem como extremos dois pontos distintos do crculo. Um crculo tem infinitas cordas.

Na figura abaixo, os segmentos AB, CD e EF so cordas do crculo. C B D

A F

E

Toda corda que passa pelo centro de um crculo

denominada DIMETRO do crculo. Um crculo tem infinitos dimetros, congruentes entre si, sendo sua medida o dobro da medida do raio.

Na figura a seguir, traamos os dimetros MN = PQ = RS = 2r.

Dizemos que dois pontos de um crculo so DIAMETRALMENTE OPOSTOS se eles so extremos de um mesmo dimetro. o caso, por exemplo, dos pontos M e N da figura: R P M N O Q S

Os dimetros so as maiores cordas de um crculo. Dizemos que dois crculos distintos so CONGRUENTES se,

e somente se, tm o mesmo raio.

74

r r O O

Na figura:

(O, r) = (O, r) r = r

Dizemos que dois crculos distintos so CONCNTRICOS se, e somente se, tm o mesmo centro. o caso dos crculos (O,r) e (O, r). ARCOS DE UM CRCULO

Chama-se NGULO CENTRAL de um crculo todo ngulo que tem como vrtice o centro do crculo. Na figura a seguir, os ngulos e so ngulos centrais do crculo, j que seu vrtice o ponto O, centro do crculo.

C

A

O B

D A interseo de um crculo com um de seus ngulos centrais

chamada ARCO DE CRCULO. Na figura anterior, o ngulo central AB = intercepta o

crculo segundo o arco AB de extremos A e B; o ngulo central CD = intercepta o crculo segundo o arco CD de extremos C e D.

Os conceitos apresentados acima estabelecem uma correspondncia entre ngulos centrais e arcos de um crculo. Em funo dessa correspondncia, natural que se utilizem, para medir um arco de crculo, as mesmas unidades de medidas utilizadas para medir um ngulo central: o grau () e suas subdivises (minuto () e segundo ()).

Em particular, vejamos as medidas de alguns arcos especiais: M O A=B O A=B B B A A a) Arco completo: AMB = ngulo cncavo AB = 360; b) Arco nulo: AB = ngulo convexo AB = 0; c) Arco de meia volta ou semicrculo: AB = AB = 180; d) Arco de um quarto de volta: AB = AB = 90.

A congruncia, a soma e a diferena de arcos de um crculo equivalem congruncia, soma e diferena dos ngulos centrais correspondentes.

Assim, na figura seguinte, podemos escrever:

C B D A O E AB = DE AB = DE ABC = AB + BC AC = AB + BC ABC AB = BC AC AB = BC

Vamos enunciar, em seguida, alguns teoremas importantes a respeito dos arcos de um crculo. Num mesmo crculo (ou em crculos congruentes), arcos congruentes correspondem a cordas congruentes. Portanto, na figura seguinte: AB = CD AB = CD

B A O

C D

A demonstrao desse teorema simples. Basta provar a

congruncia dos tringulos AOB e COD pelo caso LAL. O raio perpendicular corda de um crculo divide ao meio essa corda e tambm o arco correspondente corda.

A partir da congruncia dos tringulos retngulos POB e POC (figura seguinte), podemos concluir:

B

O A P C

AO BC

ACarcoABarcoCPBP

Arcos de um crculo compreendidos entre duas cordas paralelas so congruentes. Portanto, na figura abaixo: A C B D

75

AB // CD arco AC = arco BD Esse teorema uma conseqncia do teorema anterior. Em um crculo, duas cordas congruentes so eqidistantes do centro. DISCO E SUAS PARTES Dado, em um plano, um crculo de centro O e raio r, chamamos: a) REGIO INTERIOR do crculo o conjunto dos pontos do

plano que esto a uma distncia do centro menor que r; b) REGIO EXTERIOR do crculo o conjunto dos pontos do

plano que esto a uma distncia do centro maior que r. Temos ento, na figura seguinte:

Q R O P P crculo OP = r Q regio interior OQ < r R regio exterior OR > r O conjunto constitudo dos pontos da regio interior de um crculo chamado DISCO.

Na figura abaixo, vemos um disco de centro O e raio r. A CIRCUNFERNCIA de centro O e raio r o contorno ou a fronteira do crculo correspondente. r O

Os conceitos de corda, dimetro, arco e congruncia vistos para o crculo se aplicam tambm ao disco correspondente. A P O B Q

Uma corda de um crculo divide-o em duas partes. Cada uma delas chamada SEGMENTO CIRCULAR. Os dois segmentos circulares tm em comum a corda AB, que a base dos dois segmentos.

Na figura anterior, destacamos os segmentos circulares APB (o menor) e AQB (o maior), determinados pela corda AB.

A interseo de um ngulo central de um crculo com o disco correspondente chamada SETOR CIRCULAR.

Na figura abaixo, destacamos o setor circular AOB. O ngulo AB o NGULO DO SETOR CIRCULAR. Obs.: As propriedades e relaes no crculo que vamos estudar daqui por diante tambm valem para o disco correspondente. NGULOS NO CRCULO

Vamos estudar agora uma srie de relaes entre as medidas

de arcos e ngulos no crculo. Convm recordar, inicialmente, que a medida de um arco de

crculo a mesma medida do ngulo central correspondente. Desta forma, na figura seguinte:

A O B AB = arco AB = NGULO INSCRITO

Dizemos que um ngulo est INSCRITO em um crculo se, e somente se, seu vrtice um ponto crculo e seus lados so secantes ao crculo.

Na figura a seguir, o ngulo APB est inscrito no crculo. Dizemos tambm que APB est inscrito no arco AB, interseo do ngulo com o crculo. A

P B

A medida de um ngulo inscrito a metade da medida do arco correspondente.

Em smbolos:

2ABAPB

Usando soma e diferena de arcos, podemos demonstrar essa

relao para o caso em que nenhum dos lados do ngulo passa pelo centro do crculo.

Como conseqncia dessa relao, podemos afirmar: Q R P S B A

ngulos inscritos em um mesmo arco so congruentes.

Na figura acima, podemos escrever:

APB = AQB = ARB = ADB = 2

AB

Neste caso, o arco APB que contm todos os vrtices dos

ngulos considerados, chamado ARCO CAPAZ do ngulo . A respeito de ngulos inscritos, podemos enunciar ainda o

seguinte fato importante:

76

Todo ngulo inscrito em um semicrculo reto.

Em outras palavras: o arco capaz de um ngulo reto um semicrculo. Essa afirmao bvia. Observe a figura abaixo: N

M P

A O B C AB dimetro ACB um semicrculo ACB = 180. Logo:

AMB = ANB = APB = 902

1802

ACB

NGULO SEMI-INSCRITO

Dizemos que um ngulo est SEMI-INSCRITO em um crculo se, e somente se, seu vrtice um ponto do crculo e seus lados so uma tangente e uma secante ao crculo.

B A C

Na figura acima, o ngulo CB est semi-inscrito no crculo. Podemos dizer tambm que ele est semi-inscrito no arco AB, interseo do ngulo com o crculo.

Pode-se provar que a medida de um ngulo semi-inscrito a

metade da medida do arco correspondente. Em smbolos:

2ABBC

NGULO DE VRTICE INTERIOR

Um NGULO DE VRTICE INTERIOR a um crculo tem por medida a semi-soma das medidas dos arcos interceptados pelo ngulo e pelo seu oposto pelo vrtice.

Assim, na figura abaixo: A C P D

B

2CDABAPB

^

NGULO DE VRTICE EXTERIOR

Um ngulo de vrtice exterior a um crculo tem por medida a semi-diferena dos dois arcos interceptados pelo ngulo e limitados pelas intersees dos lados do ngulo com o crculo.

claro que os lados do ngulo podem ser secantes ou tangentes ao crculo. Na figura, apresentamos as trs situaes possveis e as relaes entre o ngulo e os arcos em cada caso. A

2CDABAPB

^

P B A

2CDABAPB

^

C B P

A

2ANBAMBAPB

^

B P

As relaes que acabamos de estudar tm inmeras aplicaes em problemas que envolvem a determinao de ngulos em crculos. PERMETRO DO CRCULO

O conceito de arco de crculo e a correspondncia que estabelecemos entre ngulo central e arco nos permitem introduzir uma nova unidade para medida de ngulos e arcos: o radiano.

Inicialmente, vamos enunciar uma importante relao entre permetro (comprimento) de um crculo e o seu dimetro. A razo entre o comprimento de qualquer crculo e o seu respectivo dimetro igual a uma constante.

Convencionou-se indicar essa constante pela letra grega

(pi). O nmero irracional e seu valor decimal aproximado 3,14.

Portanto, chamando de C o comprimento de um crculo e de d o seu dimetro, podemos escrever:

dC

Isso significa que, na prtica, se retificarmos um arco

completo de qualquer crculo, seu dimetro caber aproximadamente 3 vezes nesse arco retificado.

Sendo r o raio de um crculo, d = 2r, ento:

r2

CdC

C = 2.r

Portanto: C = 2.r

Essa frmula que acabamos de deduzir nos d o comprimento de um crculo em funo de seu raio.

77

TESTES 1. (CESGRANRIO) Se, na figura, AB = 20, BC = 124, CD

= 36 e DE = 90, ento o ngulo x mede: a) 34 E b) 35 20 c) 37 d) 38 30 D A e) 40

x B C

2. (ITA) Numa circunferncia de centro O, os pontos A, B e C

so vrtices de um tringulo eqiltero. Seja D um quarto ponto da circunferncia, no coincidente com os demais. Sobre a medida x do ngulo ADC, podemos afirmar que: a) 0 < x < 30 ou 60 < x < 120 b) x = 60 ou x = 120 c) x = 45 ou x = 150 d) x = 240 para qualquer posio de D na circunferncia e) x = 30 para qualquer posio de D na circunferncia

3. (PUC-SP) Na figura, AB dimetro da circunferncia. O

menor dos arcos (AC) mede: a) 100 C b) 120 c) 140 d) 150 40 e) 160 A B

4. (CESGRANRIO) As semi-retas PM e PN so tangentes ao

crculo da figura e o comprimento do arco MGN 4 vezes o do arco MFN. O ngulo MPN vale: a) 76 b) 80 M c) 90 d) 108 e) 120 G F P

N

5. (U.C.SALVADOR) Na figura abaixo, o tringulo ABC

issceles da base BC e BD a bissetriz do ngulo de vrtice B. A medida , do ngulo assinalado, :

A a) 55 b) 50 35 c) 45 D d) 40 e) 35

B C 6. (UFES) Na figura, a medida de em graus :

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58

90 32

7. Na figura ao lado, O o centro do crculo, = 20 e b = 80. Ento, podemos afirmar que: a) x = 30 b) x > c) x = b B d) AD = AP e) PA = AB

b O A

a x D C

8. (FESP) Os valores dos ngulos , b e c so respectivamente:

a) 58, 32, 116 b) 32, 58, 64 A c) 58, 32, 34 d) 32, 58, 116 e) nra 90

C a 32 D c b

B 9. (MACK-SP) Na figura, sabe-se que m (CD) = 20 e m

(CD) = 70. Ento AMB igual a: a) 50 b) 45 B c) 60 D d) 22 30 e) 30 M E

C A 10. Em relao figura abaixo, o valor de x :

a) 20 b) 25 c) 30 E D d) 35 20 e) 50 B

O A

x F 11. (UFMG) Na figura, MN = OB. Se AB = x, ento MBO =

y : a) 4x/7 b) x/2 B c) 3x/5 N y d) 5x/6 x e) 2x/3 M O A

12. (FATEC-SP) Na figura ao lado, os pontos A, B e C

pertencem circunferncia de centro O. Se = 150 e = 50, ento : a) 30 B b) 45 c) 35 d) 15 e) 20

O A C

78

13. (UCMG) Na figura, O o centro do crculo, AB = AC, BH = HC e AM = MC. A relao entre e : a) = /2 A b) = 2 c) = d) = /3 M e) + = 90 O

B H C

14. ABC um tringulo inscrito em um crculo, de modo que o

AB = x + 20, BC = 2x 10 e AC = 2x. A medida do menor ngulo do tringulo :

a) 10 b) 15 c) 24 d) 30 e) 45 15. De um ponto M, exterior a um crculo de centro O, traam-

se as tangentes MA e MB. Se a corda AB lado de um pentgono regular inscrito nesse crculo, a medida do ngulo AMB : a) 144 A b) 108 c) 100 d) 96 M e) 72

B 16. Na figura, AB e CD so respectivamente os lados do

quadrado e tringulo eqiltero inscrito no crculo. A diferena - : a) 85 A B b) 95 c) 100 d) 105 e) 80 C

10

D 17. (PUC-SP) Na figura abaixo, a reta r tangente

circunferncia em P. Portanto, entre os ngulos , e , subsiste a relao: a) - = 180 + b) + = 108 + c) = 180 - ( + ) d) + = 360 - r e) nda

18. (FUVEST-SP) Numa circunferncia est inscrito um

tringulo ABC. Seu lado BC igual ao raio da circunferncia. O ngulo BC mede:

a) 15 b) 30 c) 36 d) 45 e) 60 19. Na figura abaixo, BM = 4, BP = 2AP e NC = 3AN. O

permetro do tringulo ABC : a) 24 b) 25 A c) 26 N d) 27 P e) 28

B C

M

20. (UFMG) Na figura, o crculo est inscrito no tringulo ABC cujos lados medem AB = 9cm, BC = 8cm e AC = 5cm e M o ponto de tangncia. A medida de MB : a) 5cm C b) 5,5cm c) 6cm d) 6,5cm e) 7cm

A B M Gabarito 1.d; 2.c; 3.d; 4.d; 5.d; 6.a; 7.d; 8.b; 9.a; 10.c; 11.d; 12.b; 13.a; 14.c; 15.b; 16.b; 17.c; 18.b; 19.a; 20.c

PRISMA Definio

Prisma um poliedro convexo tal que duas faces so polgonos congruentes situados em planos paralelos e as demais faces so paralelogramos.

Os polgonos (ABCDEF) e (ABCDEF) situados em planos paralelos so as bases do prisma. Os paralelogramos (ABBA), (BCCB) ... (AFFA) so suas faces laterais. F E

A D

B C A D

B C Elementos Seja o prisma representado abaixo: os segmentos AB, BC, ..., EA, ... so as ARESTAS DA BASES. Os segmentos AA, BB, ..., EE so as ARESTAS LATERAIS. A distncia entre os planos e que contm as bases (ABCDEF) e (ABCDEF) a altura do prisma, cuja medida h.

E D A B C h E D A C B Seco

a interseco de um prisma com um plano que intercepta todas as arestas laterais.

79

Seco transversal de um prisma a interseco desse prisma com um plano paralelo s bases. A seco transversal congruente s bases. Nomenclatura

dada de acordo com o nmero de lados do polgono das bases. Sendo assim: PRISMA TRIANGULAR as bases so tringulos; PRISMA QUADRANGULAR as bases so quadrilteros; PRISMA PENTAGONAL as bases so pentgonos; PRISMA HEXAGONAL as bases so hexgonos. Prisma reto pentagonal prisma regular hexagonal Classificao

Os prismas so classificados em prismas retos e prismas oblquos.

PRISMA RETO aquele cujas arestas laterais so perpendiculares aos planos das bases. Obs.: Em um prisma reto, as faces laterais so retngulos.

PRISMA OBLQUO aquele cujas arestas laterais so oblquos aos planos das bases.

PRISMA REGULAR um prisma reto cujas bases so polgonos regulares, ou seja, possuem todos os lados iguais. Em um prisma regular as faces laterais so retngulos congruentes entre si. Superfcie

SUPERFCIE LATERAL de um prisma a reunio das faces laterais. A rea desta superfcie chamada de rea lateral.

SUPERFCIE TOTAL de um prisma a reunio da superfcie lateral com as bases. A rea desta superfcie chamada REA TOTAL.

A figura procura ilustrar a superfcie lateral e a total de um prisma regular hexagonal, desenvolvidas sobre um plano. (base) (superfcie lateral) (base) Paraleleppedos

Paraleleppedo um prisma cujas bases so paralelogramos. A superfcie total de um paraleleppedo a reunio de seis paralelogramos. Paraleleppedo Reto-Retngulo

um prisma reto cujas faces so retngulos. Cubo

um paraleleppedo reto-retngulo que possui todas as arestas congruentes entre si.

Em um cubo as faces so quadrados congruentes entre si. Postulado de Volume

O volume de um paraleleppedo reto-retngulo o produto da rea da base pela altura.

O volume de um paraleleppedo reto-retngulo de dimenses a, b e c :

b c a

V = a . b . c

Exemplo 01: Dado um paraleleppedo reto-retngulo de dimenses a, b e c, calcule: a) a medida d de uma diagonal. b) a rea da superfcie total. c) o volume

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Resoluo: a) H G H E F c d c d D C D C b b d1 A a B A B D C H b d1 c d A a B D d1 B Sendo d1 a medida da diagonal da base ABCD, temos:

22

12

2221

cdd:DBH

bad:ABD d2 = a2 + b2 + c2

222 cbad b) Sendo a superfcie total a reunio de seis retngulos dois a dois congruentes, temos: c a b S = 2ab + 2ac + 2bc bcacab2S c) Pelo postulado do volume, temos: cbaV Exemplo 02: Dado um cubo de aresta de medida a, calcule: a) a medida d de uma diagonal. b) a rea da superfcie total. c) o volume. Resoluo: a) a) H G D C H E F a a d1 a d d D C A a B D d1 B a A a B Sendo d1 a medida de uma diagonal de face (por exemplo, ABCD), temos:

2

122

22221

dad:DBH

a2aad:ABD d2 = 3a2 3ad

b) A superfcie total de um cubo a reunio de seis quadrados congruentes. Portanto, a rea de sua superfcie total igual a seis vezes a rea de um quadrado de lado a.

2a6S

c) O volume de um cubo : V = a . a . a 3aV

EXERCCIOS PROPOSTOS 1. A rea lateral de um cubo, cuja aresta mede 7cm, :

a) 196cm2 b) 198 cm2 c) 249 cm2 d) 294 cm2 e) n.r.a

2. A aresta de um cubo, cuja rea lateral 100cm2, mede:

a) 4cm b) 5cm c) 4,8cm d) 5,4cm e) n.r.a

3. Qual o volume de um cubo, cuja rea de base 64m2?

a) 418m3 b) 481 m3 c) 512 m3 d) 521 m3 e) n.r.a.

4. A diagonal de um cubo de 324 m3 de volume mede: a) 6m b) 6 3 m c) 5 3 m d) 5m e) n.r.a. 5. A diagonal de um cubo de 450m2 de rea total mede: a) 13m b) 14m c) 15m d) 16m e) n.r.a 6. A rea total de um cubo cuja diagonal mede 6m :

a) 27m2 b) 54m2 c) 45m2 d) 72m2 e) n.r.a

7. A diagonal de um cubo de 1.000m3 de volume mede: a) 10 3 m b) 9 3 m c) 10m d) 9m e) n.r.a 8. Calcular a diagonal de um cubo, sabendo-se que a diagonal

de uma face mede 6cm. a) 3 3 cm b) 4 3 cm c) 5 3 cm

d) 3 6 cm e) n.r.a f) 9. A relao entre as medidas da diagonal da face e a diagonal

do prprio cubo :

a) 32 b)

23 c)

36 d)

26 e) n.r.a

10. Calcular o volume de um cubo, sabendo que, quando se

aumenta sua aresta de 1m, a rea lateral do mesmo aumenta de 164m2. a) 2.000m3 b) 4.000 m3 c) 6.000 m3 d) 8.000 m3 e) n.r.a

11. A diagonal de um paraleleppedo retngulo, cujas dimenses

medem 6m, 3m e 2m, mede: a) 5 2 m b) 6 2 m c) 7m

d) 7 2 m e) n.r.a 12. A rea total de um paraleleppedo retngulo, cujas

dimenses so 3m, 5m e 10m, : a) 140m2 b) 150m2 c) 160m2 d) 190m2 e) n.r.a

13. O volume de um paraleleppedo retngulo cujas dimenses

so 3cm, 4cm e 7cm, : a) 64cm2 b) 72 cm2 c) 84 cm2 d) 96 cm2 e) n.r.a

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14. Sabendo que as dimenses de um paraleleppedo retngulo so proporcionais aos nmeros 4, 5 e 6 e que sua rea total mede 592m2, o volume : a) 860m3 b) 960 m3 c) 1.020 m3 d) 1.240 m3 e) n.r.a

15. O volume de um paraleleppedo retngulo mede 96m3.

Determinar suas dimenses, sabendo que so proporcionais aos nmeros 9, 12 e 24. a) 3m, 4m e 9m b) 4m, 5m e 8m c) 3m, 4m e 8m d) 4m, 6m e 12m e) n.r.a

Gabarito 1.a; 2.b; 3.c; 4.a; 5.c; 6.d; 7.a; 8.d; 9.c; 10.d; 11.c; 12.d; 13.c; 14.b; 15.c PRISMA REGULAR: APLICAES Seja um prisma reto cuja base um polgono regular de n lados. rea Lateral (AL)