matemática - caderno de resoluções - apostila volume 3 - pré-universitário - mat5 aula12
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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 1
Matemática 5 aula 12 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA
1. Considere K = sen40sen20
°°
– cos 40cos20
°°
.
Desenvolvendo a expressão, temos: sen40 .cos20 cos 40 .sen20
sen20 .cos20° ° − ° °
° ° =
sen(40 20 )sen20 cos20
°− °° − °
=
sensen
2020 20
°° °.cos
= 1
cos20° = sec 20°
Como queremos K2 – 1, temos: (sen 20°)2 – 1 = sec2 (20°) – 1 = tg2 (20°) Resposta correta: C
2. Considere o retângulo abaixo:
Como temos 3 quadrados na situação acima, então po-demos dizer que são 3 quadrados congruentes.
I) tg θ = xx
= 1
tg θ = 1
θ = 45° = π4
II) tg β = xx2
tg β = 12
tg α = x
3x
tg α = 13
III) tg (β + α) = tg tg
1 tg . tgβ+ α
− β α
tg(β + α) =
1 12 3
1 11 .
2 3
+
−
tg (β + α) =
3 26
11
6
+
− =
5656
= 1
tg (α + β) = 1 Assim:
α + β = 45° = 4π
.
Finalmente temos α + β + θ = 4π
+ 4π
= 2π
Resposta correta: A
3. I) Substituindo A = 20° e B = 25° na expressão: (1 + tg A) (1 + tg B), temos: (1 + tg 20°) (1 + tg 25°) = → 1 + tg tg tg tg25 20 20 25° + °+ ° °
∗
.1 244444 344444
II) tg (A + B) = tgA tgB
tgA tgB+
−1 .
Como: A = 20° e B = 25° → A + B = 45° Assim temos a nova expressão:
tg (45°) = tg tg
tg tg20 25
1 20 25° + °
− ° °.
1 = tg tg
tg tg20 25
1 20 25° + °
− ° °.
1 – tg 20° . tg 25° = tg 20° + tg 25° 1 = tg tg tg tg20 25 20 25° + °+ ° °
∗
.1 244444 344444
III) Substituindo (∗) temos: (1 + tg 20°) ( 1 + tg 25°) = 1 + 1 = 2
Resposta correta: B
4. I) Se α, β, ϕ, ψ formam uma PA com α = 45º, então
temos a seqüência {o o o o45 , 45 r , 45 2r , 45 3r .
α β ϕ ψ
+ + +
14243 14243 14243
II) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º, então α + β + ϕ + ψ = 360º, logo: 45º + 45º + r + 45º + 2r + 45º + 3r = 360 ⇒ r = 30º.
III) Como r = 30º, temos: α = 45º, β = 75º, ϕ = 105º, ψ = 135º
IV) o o 2sen45 sen135
2= =
V) sen75o = sen105o = sen(60º + 45º) = = sen60o . cos45o + cos60o . sen45o ⇒
o o 3 2 1 2sen75 sen105 . .
2 2 2 2⇒ = = + ⇒
o o 6 2sen75 sen105
4 4⇒ = = +
VI) sen45o + sen75o + sen105o + sen135o =
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= 2 6 2 6 2 2
2 4 4 4 4 2
+ + + + + ⇒
⇒ sen45o + sen75o + sen105o + sen135o = 3 2 6
2+
Resposta correta: C
5. I) Observe a figura:
Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆ABC, temos:
2 2 2(AB) 7 1 AB 50= + ⇒ =
II) o o o1 1cos(x 45 ) cos x .cos 45 senx .sen45
50 50+ = ⇒ − =
⇒ − =2 2 1
cos x senx2 2 50
III) o o o7 7sen(x 45 ) senx .cos45 cos x .sen45
50 50+ = ⇒ + =
2 2 7
senx cos x2 2 50
⇒ + =
IV) Fazendo (3) – (2) temos:
2 2 2 2 7 1senx cos x cos x senx
2 2 2 2 50 50
+ − − = − ⇒
2 2sen x cos x
2 2⇒ +
2cos x
2−
2 6sen x
2 50+ = ⇒
2⇒
22
6 6senx 2 . senx
50 506 6 6 3
senx senx senx10 550 . 2 100
= ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ = ⇒ = =
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1. Considere os triângulos ABD e ABC:
I) ( ) 20 130tg
30+
α + β =
tg(α + β) = 5
II) 20
tg30
α =
2
tg3
α =
Sabemos que tg tg
tg( ) ,1 tg . tg
α + βα +β =
− α β então:
2tg
352
1 . tg3
+ β=
− β
3tg 2 153 2tg 3
β +=
− β
3tgβ + 6 = 45 – 30tgβ
39tgβ = 39
tgβ = 1
β = 45o
Resposta correta: B 2.
I) Temos que x + y = 60° → x = 60° – y
II) Se coscos
xy
= 1 3
2+
→ cos( )
cos60° − y
y =
1 32+
⇒
x
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2 . cos (60° – y) = cos y + 3 cos y ⇒
2 . (cos60° . cosy + sen60° . seny) = cosy + 3 . cosy
212
32
.cos .y seny+FHG
IKJ = cosy + 3 cos y ⇒
cos y + 3 sen y = cos y + 3 cos y ⇒
3 sen y = 3 cos y → sen y = cos y ⇒ y = 45° Assim, temos: x = 60° – 45° → x = 15° | x – y | = | 15° – 45° | = 30°
Resposta correta: E
3. Calculando cos β:
sen2β + cos2β = 1
45
2FHGIKJ + cos2β = 1
cos2β = 1 – 1625
cosβ = 9
25
cosβ = 35
Desenvolvendo a expressão:
M = 3
4
3
3
3( cos cos ) (cos cos )sen sen
x
xsen sen
sen
α β β α α β α β
α
+ − −
M = 3
35
45
4 33
35
45
sen sen
sen
α α α α
α
. cos cos . .+FHG
IKJ − −F
HGIKJ
M =
3 35
4 35
12 315
16 315
sen sen
sen
α α α α
α
+ − +cos cos
M =
9 3 12 3 12 3 16 315
sen sen
sen
α α α α
α
+ − +cos cos
M =
25 315
sen
sen
α
α
M = 5 3
3
Portanto:
3 M = 3 . 5 3
3 =
5 . 33
= 5
Resposta correta: 5
4. Igualando a proporção a k: MC
3 =
CB4
= AB8
= k
I) MC3
= k → MC = 3k
II) CB4
= k → CB = 4k
III) AB8
= k → AB = 8k
Triângulo BCD
tgα = 4k6k
= 23
Triângulo AMN
tgβ = 45kk
= 45
Observe que x = α + β, pois x é ângulo externo do Tri-
ângulo MOD, portanto: tgx = tg (α + β)
tgx = tg tg
tg tgα βα β+
−1 .
tgx =
2 43 5
2 41 .
3 5
+
−
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tgx =
10 1215
15 815
+
−
tgx = 227
Resposta correta: B
5. Considere a equação 3x2 – 6x + 2 = 0. Se tg α e tg β são
suas raízes, então temos:
I) x’ + x’’ = −ba
tg α + tg β = 63
= 2
tg α + tg β = 2
II) x’ . x’’ = ca
tg α . tg β = 23
III) Como queremos tg (α + β) e sabemos que:
tg (α + β) = tg tg
tg tgα βα β+
−1 ., temos:
tg (α + β) = 2
123
− =
213
= 6
Resposta correta: A
6. Sabemos que sen2α + cos2α = 1, então:
I) cosβ = 3cosα
cosα = cosβ
3
II) sen2α + cos2α = 1
(2senβ)2 + cosβ
3
2FHGIKJ = 1
4sen2β + cos2
9β
= 1
36sen2β + cos2β = 9 cos2β = 9 – 36sen2β III) sen2β + cos2β = 1 sen2β + 9 – 36sen2β = 1 –35 sen2β = –8
sen2β = 835
IV) cos2β = 9 – 36sen2β
cos2β = 9 – 36 . 835
cos2β = 2735
Calculando cos (α – β): cos(α – β) = cosα cosβ + senα . senβ
cos (α – β) = cosβ
3 . cosβ + 2senβ . senβ
cos (α – β) = cos2
3β
+ 2sen2β
cos (α – β) =
27353
+ 2 . 835
cos (α – β) = 935
+ 1635
cos (α – β) = 2535
cos (α – β) =57
Resposta correta: D
7. Temos o sistema abaixo:
12
0
2 0
. ( )
. ( )
tgx seny I
senx seny II
− =
− =
RS|T|
Da equação (I), temos:
sen y = 12
. tg x → sen y = 12
. senx
xcos
Da equação (II), temos:
sen x = 2 . sen y → senx
2 = sen y
Igualando (I) e (II), temos:
12
. senx
xcos =
senx
2 → cos x =
22
Como 0 < x < π2
, temos que x = π4
, assim sen x = 2
2.
Substituindo sen x = 2
2 em (II), temos:
senx
2 = sen y →
222
= sen y →
seny = 2
2 .
1
2 → sen y =
12
.
Como π2
< y < π, então y = 56π
.
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Assim:
12.( )x y+π
= 12
456
.π π
π
+FHGIKJ
= →
123 10
12.
π π
π
+FHG
IKJ
= 13ππ
= 13
Resposta correta: A
8. I) Da equação 22(senx cos x) m 2,− = − temos:
2
2
2o o
senx . 2 cos x . 2 m 2 ( 2)
2 2 m 2senx . cos x .
2 2 2m 2
senx . cos 45 cos x . sen452
− = − ÷ ⇒
−⇒ − = ⇒
−⇒ − = ⇒
2
o m 2sen(x 45 )
2−
⇒ − = , como temos que
1 sen 1,− ≤ θ ≤ então:
II) −
− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − + ≤2 2m 2 m
1 1 1 1 1 1 12 2
− + ≤ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤2 2
2m m1 1 1 1 0 2 0 m 4,
2 2
resolver essa desigualdade é o mesmo que resolver
o sistema 2
2
m 0 (I)
m 4 (II)
≥
≤
(I) m2 ≥ 0 m2 = 0 m = 0 (II) m2 – 4 ≤ 0 m = ±2 (I) ∩ (II)
2 m 2− ≤ ≤
Resposta correta: B
9. Considere:
M = cos a + cos b (M)2 = (cos a + cos b)2 → M2 = cos2a + cos2b + 2cos a cos b ( I )
Se: N = sen a – sen b (N)2 = (sen a – sen b)2 N2 = sen2a + sen2b – 2sen a sen b (II) Somando (I) + (II), temos:
M2 = cos2a + cos2b + 2cos a cos b
N2 = sen2a + sen2b – 2sen a sen b
M2 + N2 = 1 + 1 + 2(cos a cos b – sen a sen b) M2 + N2 = 2 + 2 . cos (a + b) M2 + N2 = 2 + 2 cos (120°)
M2 + N2 = 2 + 2 . −FHGIKJ
12
M2 + N2 = 2 – 1 = 1
Resposta correta: A
10. Sendo S a soma das áreas:
S = senb acos
2 +
senb acos2
+ sen a cos b + sen a cos
b + senb acos
2 +
senb acos2
S = 2
2senb acos
+ 2sen a cos b + 2
2senb acos
S = 2sen a cos b + 2sen b cos a S = 2(sen a cos b + sen b cos a)
S = 2sen (a + b), como a + b = π6
, então:
S = 2sen π6
S = 2 . 12
→ S = 1
Resposta correta: A
11. Se sen b =
45
com π2
< b < π, temos:
I)
y2 = 52 – 42 y2 = 25 – 16 y = 3
Como b ∈ ao 2° quadrante, temos que tg b = – 43
.
II) Também podemos encontrar tg b pela relação fun-
damental. Veja! sen2b + cos2b = 1
45
2FHGIKJ + cos2b = 1
cos2b = 1 – 1625
cos2b = 925
cos b = ±35
Como π2
< b < π, então cos b = –35
Assim tg b = senb
bcos =
4535
− = –
43
III) Sabemos que:
tg (a + b) = tga tgb
tga tgb+
−1 . =
23
43
123
43
−
− −FHGIKJ.
= −
+
23
189
= →
+
0
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−23
179
= −23
1
. 917
3
= −617
Resposta correta: D 12. Calculando os valores de sen200o, sen310o e cos340o:
I) sen200o
II) sen310o
III) cos340o
Substituindo na expressão: E = sen 200o sen 310o + cos 340o . cos 50o E = –sen 20o . (–sen 50o) + cos 20o . cos 50o E = cos 50o . cos 20o + sen 50o sen 20o E = cos(50o – 20o) E = cos 30o
E = 3
2
Desta maneira:
2 3 . E = 2 3 . 3
2 → 2 3 . E = 3
Resposta correta: C
13. Calculando tg[(x – y) + (y – z)]:
tg x y y ztg x y tg y z
tg x y tg y z− + − =
− + −− − −
b g b g b g b gb g b g1 .
tg x ztg x y tg y z
tg x y tg y z− =
− + −− − −
b g b g b gb g b g1 .
Como tg x ya ba b
− =−+
b g e tg y zb aa b
− =−+
b g , então:
tg x z
a ba b
b aa b
a b
a b
b a
a b
− =
−+
+−+
−−+
−+
b g b g b g1 .
tg x z a ba b b a
a b
− = +
−− −
+
b g b g b gb g
0
1 2
→ tg (x – y) = 0
Resposta correta: E
14. Sendo E = 110
310sen °
−°cos
, então:
E = 1 10 3 10
10 10cos
cos° − °° °
sensen
E =
212
103
210
10 10
2
2
. cos
cos
° − °FHG
IKJ
° °
sen
sen
x
x
E = 4 30 10 30 10
2 10 10
sen sen
sen
° ° − ° °° °
cos cos
cosb g
Como sen (30o – 10o) = sen 30o cos 10o – sen 10o cos 30o,
então:
E = 4 30 10
20
sen
sen
° − °°
b g
E = 4 20
20sen
sen°°
→ E = 4
Resposta correta: D
15. cos θ + 3 sen θ = A [cos θ cos 60° + sen θ sen 60°] →
cos θ + 3 sen θ = A cos . .θ θ12
32
+FHG
IKJsen →
2(cos θ + 3 sen θ) = A (cos θ + 3 sen θ) → A = 2
Resposta correta: B