matemática - caderno de resoluções - apostila volume 3 - pré-universitário - mat5 aula12

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 1 Matemática 5 aula 12 C OMENTÁRIOS A TIVIDADES PARA S ALA 1. Considere K = sen40 sen20 ° ° cos 40 cos 20 ° ° . Desenvolvendo a expressão, temos: sen40 .cos20 cos40 .sen20 sen20 .cos20 ° °− ° ° ° ° = sen(40 20 ) sen20 cos 20 °− ° °− ° = sen sen 20 20 20 ° ° ° .cos = 1 cos 20° = sec 20° Como queremos K 2 – 1, temos: (sen 20°) 2 – 1 = sec 2 (20°) – 1 = tg 2 (20°) Resposta correta: C 2. Considere o retângulo abaixo: Como temos 3 quadrados na situação acima, então po- demos dizer que são 3 quadrados congruentes. I) tg θ = x x = 1 tg θ = 1 θ = 45° = π 4 II) tg β = x x 2 tg β = 1 2 tg α = x 3x tg α = 1 3 III) tg (β + α) = tg tg 1 tg .tg β+ α β α tg(β + α) = 1 1 2 3 1 1 1 . 2 3 + tg (β + α) = 3 2 6 1 1 6 + = 5 6 5 6 = 1 tg (α + β) = 1 Assim: α + β = 45° = 4 π . Finalmente temos α + β + θ = 4 π + 4 π = 2 π Resposta correta: A 3. I) Substituindo A = 20° e B = 25° na expressão: (1 + tg A) (1 + tg B), temos: (1 + tg 20°) (1 + tg 25°) = 1 + tg tg tg tg 25 20 20 25 ° + ° + ° ° . 1 2 44444 3 44444 II) tg (A + B) = tgA tgB tgA tgB + 1 . Como: A = 20° e B = 25° A + B = 45° Assim temos a nova expressão: tg (45°) = tg tg tg tg 20 25 1 20 25 °+ ° ° ° . 1 = tg tg tg tg 20 25 1 20 25 °+ ° ° ° . 1 – tg 20° . tg 25° = tg 20° + tg 25° 1 = tg tg tg tg 20 25 20 25 ° + ° + ° ° . 1 2 44444 3 44444 III) Substituindo () temos: (1 + tg 20°) ( 1 + tg 25°) = 1 + 1 = 2 Resposta correta: B 4. I) Se α, β, ϕ, ψ formam uma PA com α = 45º, então temos a seqüência { o o o o 45 , 45 r , 45 2r , 45 3r . α β ϕ ψ + + + 14243 14243 14243 II) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º, então α + β + ϕ + ψ = 360º, logo: 45º + 45º + r + 45º + 2r + 45º + 3r = 360 r = 30º. III) Como r = 30º, temos: α = 45º, β = 75º, ϕ = 105º, ψ = 135º IV) o o 2 sen45 sen135 2 = = V) sen75 o = sen105 o = sen(60º + 45º) = = sen60 o . cos45 o + cos60 o . sen45 o o o 3 2 1 2 sen75 sen105 . . 2 2 2 2 = = + o o 6 2 sen75 sen105 4 4 = = + VI) sen45 o + sen75 o + sen105 o + sen135 o =

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Page 1: Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 3 - Pré-Universitário - mat5 aula12

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 1

Matemática 5 aula 12 COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Considere K = sen40sen20

°°

– cos 40cos20

°°

.

Desenvolvendo a expressão, temos: sen40 .cos20 cos 40 .sen20

sen20 .cos20° ° − ° °

° ° =

sen(40 20 )sen20 cos20

°− °° − °

=

sensen

2020 20

°° °.cos

= 1

cos20° = sec 20°

Como queremos K2 – 1, temos: (sen 20°)2 – 1 = sec2 (20°) – 1 = tg2 (20°) Resposta correta: C

2. Considere o retângulo abaixo:

Como temos 3 quadrados na situação acima, então po-demos dizer que são 3 quadrados congruentes.

I) tg θ = xx

= 1

tg θ = 1

θ = 45° = π4

II) tg β = xx2

tg β = 12

tg α = x

3x

tg α = 13

III) tg (β + α) = tg tg

1 tg . tgβ+ α

− β α

tg(β + α) =

1 12 3

1 11 .

2 3

+

tg (β + α) =

3 26

11

6

+

− =

5656

= 1

tg (α + β) = 1 Assim:

α + β = 45° = 4π

.

Finalmente temos α + β + θ = 4π

+ 4π

= 2π

Resposta correta: A

3. I) Substituindo A = 20° e B = 25° na expressão: (1 + tg A) (1 + tg B), temos: (1 + tg 20°) (1 + tg 25°) = → 1 + tg tg tg tg25 20 20 25° + °+ ° °

.1 244444 344444

II) tg (A + B) = tgA tgB

tgA tgB+

−1 .

Como: A = 20° e B = 25° → A + B = 45° Assim temos a nova expressão:

tg (45°) = tg tg

tg tg20 25

1 20 25° + °

− ° °.

1 = tg tg

tg tg20 25

1 20 25° + °

− ° °.

1 – tg 20° . tg 25° = tg 20° + tg 25° 1 = tg tg tg tg20 25 20 25° + °+ ° °

.1 244444 344444

III) Substituindo (∗) temos: (1 + tg 20°) ( 1 + tg 25°) = 1 + 1 = 2

Resposta correta: B

4. I) Se α, β, ϕ, ψ formam uma PA com α = 45º, então

temos a seqüência {o o o o45 , 45 r , 45 2r , 45 3r .

α β ϕ ψ

+ + +

14243 14243 14243

II) Como a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º, então α + β + ϕ + ψ = 360º, logo: 45º + 45º + r + 45º + 2r + 45º + 3r = 360 ⇒ r = 30º.

III) Como r = 30º, temos: α = 45º, β = 75º, ϕ = 105º, ψ = 135º

IV) o o 2sen45 sen135

2= =

V) sen75o = sen105o = sen(60º + 45º) = = sen60o . cos45o + cos60o . sen45o ⇒

o o 3 2 1 2sen75 sen105 . .

2 2 2 2⇒ = = + ⇒

o o 6 2sen75 sen105

4 4⇒ = = +

VI) sen45o + sen75o + sen105o + sen135o =

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 2

= 2 6 2 6 2 2

2 4 4 4 4 2

+ + + + + ⇒

⇒ sen45o + sen75o + sen105o + sen135o = 3 2 6

2+

Resposta correta: C

5. I) Observe a figura:

Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆ABC, temos:

2 2 2(AB) 7 1 AB 50= + ⇒ =

II) o o o1 1cos(x 45 ) cos x .cos 45 senx .sen45

50 50+ = ⇒ − =

⇒ − =2 2 1

cos x senx2 2 50

III) o o o7 7sen(x 45 ) senx .cos45 cos x .sen45

50 50+ = ⇒ + =

2 2 7

senx cos x2 2 50

⇒ + =

IV) Fazendo (3) – (2) temos:

2 2 2 2 7 1senx cos x cos x senx

2 2 2 2 50 50

+ − − = − ⇒

2 2sen x cos x

2 2⇒ +

2cos x

2−

2 6sen x

2 50+ = ⇒

2⇒

22

6 6senx 2 . senx

50 506 6 6 3

senx senx senx10 550 . 2 100

= ⇒ = ⇒

⇒ = ⇒ = ⇒ = =

Resposta correta: C

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Considere os triângulos ABD e ABC:

I) ( ) 20 130tg

30+

α + β =

tg(α + β) = 5

II) 20

tg30

α =

2

tg3

α =

Sabemos que tg tg

tg( ) ,1 tg . tg

α + βα +β =

− α β então:

2tg

352

1 . tg3

+ β=

− β

3tg 2 153 2tg 3

β +=

− β

3tgβ + 6 = 45 – 30tgβ

39tgβ = 39

tgβ = 1

β = 45o

Resposta correta: B 2.

I) Temos que x + y = 60° → x = 60° – y

II) Se coscos

xy

= 1 3

2+

→ cos( )

cos60° − y

y =

1 32+

x

Page 3: Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 3 - Pré-Universitário - mat5 aula12

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 3

2 . cos (60° – y) = cos y + 3 cos y ⇒

2 . (cos60° . cosy + sen60° . seny) = cosy + 3 . cosy

212

32

.cos .y seny+FHG

IKJ = cosy + 3 cos y ⇒

cos y + 3 sen y = cos y + 3 cos y ⇒

3 sen y = 3 cos y → sen y = cos y ⇒ y = 45° Assim, temos: x = 60° – 45° → x = 15° | x – y | = | 15° – 45° | = 30°

Resposta correta: E

3. Calculando cos β:

sen2β + cos2β = 1

45

2FHGIKJ + cos2β = 1

cos2β = 1 – 1625

cosβ = 9

25

cosβ = 35

Desenvolvendo a expressão:

M = 3

4

3

3

3( cos cos ) (cos cos )sen sen

x

xsen sen

sen

α β β α α β α β

α

+ − −

M = 3

35

45

4 33

35

45

sen sen

sen

α α α α

α

. cos cos . .+FHG

IKJ − −F

HGIKJ

M =

3 35

4 35

12 315

16 315

sen sen

sen

α α α α

α

+ − +cos cos

M =

9 3 12 3 12 3 16 315

sen sen

sen

α α α α

α

+ − +cos cos

M =

25 315

sen

sen

α

α

M = 5 3

3

Portanto:

3 M = 3 . 5 3

3 =

5 . 33

= 5

Resposta correta: 5

4. Igualando a proporção a k: MC

3 =

CB4

= AB8

= k

I) MC3

= k → MC = 3k

II) CB4

= k → CB = 4k

III) AB8

= k → AB = 8k

Triângulo BCD

tgα = 4k6k

= 23

Triângulo AMN

tgβ = 45kk

= 45

Observe que x = α + β, pois x é ângulo externo do Tri-

ângulo MOD, portanto: tgx = tg (α + β)

tgx = tg tg

tg tgα βα β+

−1 .

tgx =

2 43 5

2 41 .

3 5

+

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3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 4

tgx =

10 1215

15 815

+

tgx = 227

Resposta correta: B

5. Considere a equação 3x2 – 6x + 2 = 0. Se tg α e tg β são

suas raízes, então temos:

I) x’ + x’’ = −ba

tg α + tg β = 63

= 2

tg α + tg β = 2

II) x’ . x’’ = ca

tg α . tg β = 23

III) Como queremos tg (α + β) e sabemos que:

tg (α + β) = tg tg

tg tgα βα β+

−1 ., temos:

tg (α + β) = 2

123

− =

213

= 6

Resposta correta: A

6. Sabemos que sen2α + cos2α = 1, então:

I) cosβ = 3cosα

cosα = cosβ

3

II) sen2α + cos2α = 1

(2senβ)2 + cosβ

3

2FHGIKJ = 1

4sen2β + cos2

= 1

36sen2β + cos2β = 9 cos2β = 9 – 36sen2β III) sen2β + cos2β = 1 sen2β + 9 – 36sen2β = 1 –35 sen2β = –8

sen2β = 835

IV) cos2β = 9 – 36sen2β

cos2β = 9 – 36 . 835

cos2β = 2735

Calculando cos (α – β): cos(α – β) = cosα cosβ + senα . senβ

cos (α – β) = cosβ

3 . cosβ + 2senβ . senβ

cos (α – β) = cos2

+ 2sen2β

cos (α – β) =

27353

+ 2 . 835

cos (α – β) = 935

+ 1635

cos (α – β) = 2535

cos (α – β) =57

Resposta correta: D

7. Temos o sistema abaixo:

12

0

2 0

. ( )

. ( )

tgx seny I

senx seny II

− =

− =

RS|T|

Da equação (I), temos:

sen y = 12

. tg x → sen y = 12

. senx

xcos

Da equação (II), temos:

sen x = 2 . sen y → senx

2 = sen y

Igualando (I) e (II), temos:

12

. senx

xcos =

senx

2 → cos x =

22

Como 0 < x < π2

, temos que x = π4

, assim sen x = 2

2.

Substituindo sen x = 2

2 em (II), temos:

senx

2 = sen y →

222

= sen y →

seny = 2

2 .

1

2 → sen y =

12

.

Como π2

< y < π, então y = 56π

.

Page 5: Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 3 - Pré-Universitário - mat5 aula12

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 5

Assim:

12.( )x y+π

= 12

456

.π π

π

+FHGIKJ

= →

123 10

12.

π π

π

+FHG

IKJ

= 13ππ

= 13

Resposta correta: A

8. I) Da equação 22(senx cos x) m 2,− = − temos:

2

2

2o o

senx . 2 cos x . 2 m 2 ( 2)

2 2 m 2senx . cos x .

2 2 2m 2

senx . cos 45 cos x . sen452

− = − ÷ ⇒

−⇒ − = ⇒

−⇒ − = ⇒

2

o m 2sen(x 45 )

2−

⇒ − = , como temos que

1 sen 1,− ≤ θ ≤ então:

II) −

− ≤ ≤ ⇒ − ≤ − ≤ ⇒ − + ≤2 2m 2 m

1 1 1 1 1 1 12 2

− + ≤ + ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤2 2

2m m1 1 1 1 0 2 0 m 4,

2 2

resolver essa desigualdade é o mesmo que resolver

o sistema 2

2

m 0 (I)

m 4 (II)

(I) m2 ≥ 0 m2 = 0 m = 0 (II) m2 – 4 ≤ 0 m = ±2 (I) ∩ (II)

2 m 2− ≤ ≤

Resposta correta: B

9. Considere:

M = cos a + cos b (M)2 = (cos a + cos b)2 → M2 = cos2a + cos2b + 2cos a cos b ( I )

Se: N = sen a – sen b (N)2 = (sen a – sen b)2 N2 = sen2a + sen2b – 2sen a sen b (II) Somando (I) + (II), temos:

M2 = cos2a + cos2b + 2cos a cos b

N2 = sen2a + sen2b – 2sen a sen b

M2 + N2 = 1 + 1 + 2(cos a cos b – sen a sen b) M2 + N2 = 2 + 2 . cos (a + b) M2 + N2 = 2 + 2 cos (120°)

M2 + N2 = 2 + 2 . −FHGIKJ

12

M2 + N2 = 2 – 1 = 1

Resposta correta: A

10. Sendo S a soma das áreas:

S = senb acos

2 +

senb acos2

+ sen a cos b + sen a cos

b + senb acos

2 +

senb acos2

S = 2

2senb acos

+ 2sen a cos b + 2

2senb acos

S = 2sen a cos b + 2sen b cos a S = 2(sen a cos b + sen b cos a)

S = 2sen (a + b), como a + b = π6

, então:

S = 2sen π6

S = 2 . 12

→ S = 1

Resposta correta: A

11. Se sen b =

45

com π2

< b < π, temos:

I)

y2 = 52 – 42 y2 = 25 – 16 y = 3

Como b ∈ ao 2° quadrante, temos que tg b = – 43

.

II) Também podemos encontrar tg b pela relação fun-

damental. Veja! sen2b + cos2b = 1

45

2FHGIKJ + cos2b = 1

cos2b = 1 – 1625

cos2b = 925

cos b = ±35

Como π2

< b < π, então cos b = –35

Assim tg b = senb

bcos =

4535

− = –

43

III) Sabemos que:

tg (a + b) = tga tgb

tga tgb+

−1 . =

23

43

123

43

− −FHGIKJ.

= −

+

23

189

= →

+

0

Page 6: Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 3 - Pré-Universitário - mat5 aula12

3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 3 | MATEMÁTICA 5 6

−23

179

= −23

1

. 917

3

= −617

Resposta correta: D 12. Calculando os valores de sen200o, sen310o e cos340o:

I) sen200o

II) sen310o

III) cos340o

Substituindo na expressão: E = sen 200o sen 310o + cos 340o . cos 50o E = –sen 20o . (–sen 50o) + cos 20o . cos 50o E = cos 50o . cos 20o + sen 50o sen 20o E = cos(50o – 20o) E = cos 30o

E = 3

2

Desta maneira:

2 3 . E = 2 3 . 3

2 → 2 3 . E = 3

Resposta correta: C

13. Calculando tg[(x – y) + (y – z)]:

tg x y y ztg x y tg y z

tg x y tg y z− + − =

− + −− − −

b g b g b g b gb g b g1 .

tg x ztg x y tg y z

tg x y tg y z− =

− + −− − −

b g b g b gb g b g1 .

Como tg x ya ba b

− =−+

b g e tg y zb aa b

− =−+

b g , então:

tg x z

a ba b

b aa b

a b

a b

b a

a b

− =

−+

+−+

−−+

−+

b g b g b g1 .

tg x z a ba b b a

a b

− = +

−− −

+

b g b g b gb g

0

1 2

→ tg (x – y) = 0

Resposta correta: E

14. Sendo E = 110

310sen °

−°cos

, então:

E = 1 10 3 10

10 10cos

cos° − °° °

sensen

E =

212

103

210

10 10

2

2

. cos

cos

° − °FHG

IKJ

° °

sen

sen

x

x

E = 4 30 10 30 10

2 10 10

sen sen

sen

° ° − ° °° °

cos cos

cosb g

Como sen (30o – 10o) = sen 30o cos 10o – sen 10o cos 30o,

então:

E = 4 30 10

20

sen

sen

° − °°

b g

E = 4 20

20sen

sen°°

→ E = 4

Resposta correta: D

15. cos θ + 3 sen θ = A [cos θ cos 60° + sen θ sen 60°] →

cos θ + 3 sen θ = A cos . .θ θ12

32

+FHG

IKJsen →

2(cos θ + 3 sen θ) = A (cos θ + 3 sen θ) → A = 2

Resposta correta: B