3ª SÉRIE E EXTENSIVO | VOLUME 2 | MATEMÁTICA 1 1

Matemática 1 Aula 10

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

1. Lembrando: Considere as retas r, com coeficiente angular mr e a reta

s com coeficiente angular ms: • Se mr = ms ⇒ r // s (paralelas) • Se mr ≠ ms ⇒ r x s (concorrentes) • Se mr ≠ ms e mr . ms = –1 ⇒ r ⊥ s (perpendiculares)

I. r: 2x + 3y – 7 = 0 ⇒ mr = A 2B 3

− = −

s: 6x – 4y + 13 = 0 ⇒ ms = A 6 3B 4 2

−− = =

−

II. Como mr ≠ ms, já temos que as retas são concorrentes.

III. mr . ms = 2 3

. 13 2

− = − . Assim também são perpen-

diculares. Resposta correta: B

2. I. Se r // s, então mr = ms.

II. r: 3x + 2y – 9 = 0 ⇒ mr = A 3B 2

− −=

s: 2kx + 12y + 7 = 0 ⇒ 12y – 2kx – 7 ⇒

⇒ y = kx 76 12

− − ; ms = k

6−

III. Como mr = ms ⇒ − −

= ⇒ =k 3

k 96 2

Resposta correta: D 3. I. Sabemos que para duas retas r e s serem perpendi-

culares, temos que além de mr ≠ ms, mr . ms = 1− .

II. r: a1x + b1y + c1 = 0 ⇒ mr = 1

1

ab−

mr ≠ sm

s: a2x + b2y + c2 = 0 ⇒ mr = 2

2

ab−

III. mr . ms = –1 ⇒ 1 2 1 2

1 2 1 2

a a a a. 1 1

b b b b

− −= − ⇒ = − ⇒

⇒ a1a2 = – b1b2 ⇒ a1a2 + b1b2 = 0

Resposta correta: A

4. I. Observando a figura temos r // s, assim mr = ms. Lembrando:

O coeficiente angular de uma reta, também é dado pela relação m = tα, onde α é o ângulo formado pela reta e o eixo x (sentido anti-horário).

II. ms = tg s5 3

m6 3π ⇒ = −

.

III. Como a reta r passa pelo ponto (0; –2) e o coeficiente

angular mr =3

3− , temos:

y – (–2) = 3

3− (x – 0) ⇒ y + 2 =

33

− x ⇒

⇒ 3y + 6 = 3x− ⇒ y = 3

3− x 2− .

Resposta correta: A

5. I. Temos a reta r: 3x – 2y + 1 = 0 com mr = 32

−⇒

−

⇒ r3

m2

= .

II. Supondo que s // r, então ms = 32

. Como “s” passa pelo

ponto P(–1; 2), temos: y – y0 = m(x – x0) ⇒ y – 2 = 3/2 (x + 1) ⇒ 2y – 4 = 3x + 3 ⇒ ⇒ s: 3x – 2y + 7 = 0

III. Supondo que t ⊥ r, então mt . mr = –1 ⇒ mt = –2/3. Co-mo a reta t passa pelo ponto P(–1; 2), então pela relação

y – y0 = m(x – x0), temos y – 2 = 2

3−

(x + 1) ⇒

⇒ 3y – 6 = –2x – 2 ⇒ t: 2x + 3y – 4 = 0

Resposta correta: E

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. I. Temos a reta r: 4x – 5y + 6 = 0 ⇒ 5y = 4x + 6 ⇒

⇒ y = 4 6

x5 5

+ .

coeficiente angular

II. Como s ⊥ r e ms . mr = –1 ⇒ ms = 54

− .

III. A reta s passa pelo ponto (5; 0) e pela relação:

y – y0 = m(x – x0) temos y – 0 = ( )5x 5

4− − ⇒

⇒ 4y = –5x + 25 ⇒ 5x + 4y – 25 = 0 Resposta correta: D

2. I. Se s: 2x + 3y – 6 = 0, então ms = A 2

B 3− −

= ⇒ ms = 2

3−

.

II. Sabemos que o ponto que uma reta intercepta o ei-xo das abscissas é do tipo (x; 0). Assim o ponto em que s intercepta o eixo das abscissas é:

1º modo:

2x + 3y – 6 = 0 ⇒ 2x + 3y = 6 ⇒ 2x 3y 66 6 6

+ = ⇒

⇒ x y

13 2

+ =

↓ (3; 0) 2º modo: Para y = 0 ⇒ 2x + 3 . (0) – 6 = 0 ⇒ 2x = 6 ⇒

⇒ x 3 ;= (3; 0)

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III. Assim a reta r passa pelo ponto (3; 0) e mr = 32

, pois

mr . ms = –1. Assim pela relação y – y0 = m(x – x0), te-mos:

y – 0 = 32

(x – 3) ⇒ 2y = 3x – 9 ⇒ 3x – 2y – 9 = 0

Resposta correta: A

3. I. Sabemos que o ponto de encontro das retas é o ponto do tipo (x; 0), pois se dá no eixo das abscis-sas.

II. Para y = 0 temos na equação y = –5x + 4 ⇒

⇒ 0 = –5x + 4 ⇒ x = 45

.

III. Para y = 0 e x = 45

, temos na equação, y = 2x +5m ⇒

⇒ 0 = 2 . 4 8 8

5m 5m m5 5 25

−+ ⇒ = ⇒ = − .

Resposta correta: B 4. I. Da reta t: 2x + y – 3 = 0, temos mt = 2− .

II. Como r // t, então mr = mt ⇒ mr = 2− . III. Como r passa pelo ponto (3; –6), então pela relação

y – y0 = m(x – x0) temos: r: y –(–6) = –2(x – 3) ⇒ y + 6 = –2x + 6 ⇒ ⇒ r: y = 2x− . IV. Como o ponto Q({ {

x yn 6 ; n 3− + ) pertence à reta r, en-

tão n + 3 = –2(n – 6) ⇒ n + 3 = –2n + 12 ⇒ ⇒ 3n = 9 ⇒ n = 3

Resposta correta: E 5. I. Se o ângulo formado pela reta t e o eixo x é 45°,

então mt = tg45° ⇒ mt = 1− . II. Seja o ponto P(0; b), o ponto (de abscissa zero) que

as retas r e t se encontram. Assim podemos: x + y – 1 = 0 ⇒ 0 + b – 1 = 0 ⇒ b = 1− . Assim o ponto P é P(0; 1). III. Como mt = 1 e P ε t, então pela relação: y – y0 = m(x – x0), temos: y – 1 = 1(x – 0) ⇒ y = x + 1 ⇒

⇒ x – y + 1 = 0

Resposta correta: C

6. Lembrando: Para analisar se as retas são paralelas, concorrentes ou

perpendiculares, vamos primeiramente encontrar os co-eficientes angulares, pois para duas retas r e s, temos: • Se mr = ms ⇒ r // s (paralelas) • Se mr ≠ ms ⇒ r x s (concorrentes) • Se mr ≠ ms e mr . ms = –1 ⇒ r ⊥ s (concorrentes e

perpendiculares) I. r1: 3y – 2x – 12 = 0 ⇒ r1: –2x + 3y – 12 = 0;

1r

A 2m

B 3= − =

r2: 2y + 3x – 10 = 0 ⇒ r2: 3x + 2y – 10 = 0;

2r

3m

2= −

r3: –3y + 2x + 6 = 0 ⇒ r3: 2x – 3y + 6 = 0;

3r

2 2m

3 3−

= =−

r4: –2y –3x + 4 = 0 ⇒ r4: –3x – 2y + 4 = 0;

( )

4r3 3

m2 2

− − −= =

−

II. Temos 1 2 3 4r r r r

2 3 2 3m , m , m e m

3 2 3 2− −

= = = = . Assim:

r1 r2 r3 r4

r1 ⊥ // ⊥ r2 ⊥ ⊥ // r3 // ⊥ ⊥ r4 ⊥ // ⊥

Resposta correta:C (retificação do gabarito)

7. É dada a equação 10 2 40 0x y− − = . Transformando a equação em segmentária, temos:

10 2 40 404 20

1x yx y

− = ÷ ⇒ +−

=( )

Resposta correta: E 8. I. Para encontrar o ponto m temos que resolver o

sistema x y 6 0

3x y 2 0

− − =⇒ + − =

( ) ( )

− =⇒ + + =

==

= − −

x y 6

3x y 2

4x 8

x 2

y 4 m 2; 4

II. O coeficiente da reta que é paralela ao eixo das abs-

cissas é m = tg0° ⇒ m = 0

III. A equação da reta que passa por m(2; –4) e tem m = 0, pela relação y – y0 = m(x – x0) é:

y – (–4) = 0(x – 2) ⇒ y 4= −

Resposta correta: E

9. I. r: x + 2y – 5 = 0 ⇒ mr = rA 1 1

mB 2 2

− − −= ⇒ =

s: x – y – 2 = 0 ⇒ ms = s1

m 11

−⇒ =

−

t: x – 2y – 1 = 0 ⇒ mt = t1 1

m1 2

−⇒ =

−

II. As retas só podem ser concorrentes, pois mr ≠ ms ≠ mt

Resposta correta: E

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10. Lembrando: O ângulo formado pelas retas r e s é dado pela relação

r s

r s

m mtg

1 m .m−

θ =+

, onde mr e ms são os coeficiente angu-

lares.

I. r: −

− + = → = − = ⇒ =−r r

A 3 33x 3y 9 0 m m

B 3 3

s: s3x y 3 0 m 3− − = ⇒ =

II. tgθ =

3 2 33 33 3tg tg

2 331 . 3

3

−−

⇒ θ = ⇒ θ = − ⇒+

⇒ tgθ = 3

3, com isso θ = 30° ou θ = 210.

III. Como queremos o menor, então θ = 30° = 6π

.

Resposta correta: C