Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 1 - Pré-Vestibular mat4 aula02

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PR-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMTICA 4 1Matemtica 4 Mdulo 2 COMENTRI OS ATI VI DADES PARA SALA 01. I. Temos a funo (x) = 3x 1 e (g(x)) = x + 2. Assim, temos: II. 93394f 1394. 3394f = |.|

\| |.|

\|= |.|

\| III. Sabendo que f(x) = 3x 1, assim podemos afirmar que: * f(1) = 3 . (1) 1 * f( ) = 3 . ( ) 1 * f(g(x)) = 3 . g(x) 1 x + 2 = 3 . g(x) 1 3 . 123 (x + 2) g(x) = x + 3 3 3 x) x ( g += IV. Como , 93394f = |.|

\| ento ). 93 ( g394f g =||.|

\||.|

\| Como ,3 3 x) x ( g += ento 32394f g e 323963 3 93) 93 ( g =||.|

\||.|

\|= =+= V. 5 2 log ] 32 [ log394f g log 52 2 2 = = =

||.|

\||.|

\| VI. 3 log . 3 2 log 8 log 2232 2 = = = VII. ( ) ( ) 6 6 6 6 6 3 .3133133log3 82= =|||.|

\|= = VIII. A equao original fica x2 5x + 6 = 0, x = 3 e x = 2 Resposta correta: C 2. log2(12 2x) = 2x 22x = 12 2x (2x)2 + 2x 12 = 0 Substituindo 2x por y: y2 + y 12 = 0 y = 4 e y = 3 2x = 4 2x = 3 No convm log22x = log23 x = log23 Resposta correta: E 3. i) logax = 2 logxa = 12 ii) logbx = 4 logxb = 14 iii) logcx = 5 logxc = 15 iv) logabcx = 1log abcx logabcx = 1l l l og a og b og cx x x+ + logabcx = 1121415+ + logabcx = 110 5 420+ + logabcx = 2019 19logabcx = 20 Resposta correta: 20 4. Lembrando: b a balog= Da propriedade operatria dos logaritmos acima, temos: I. 6566666 56log n1 n = = = II. 355 5555 35logk1k 1 = = = II. Da expresso 6n-1 + 51-k, ficamos: 25615610 53565= =+= + Resposta correta: E 5. x = 21000 log10x = log1021000 log10x = 1000 log102 log10x = 1000 . 0,301 03 log10x = 301,03 x = 10301,03 Teremos 302 algarismos Resposta correta: C COMENTRI OS ATI VI DADES PROPOSTAS 1. Lembrando: 1) abab log .nmlog mn = 2) 1 logbb = Assim, temos: nmlog .nmlog log 2222ab mn = = = Resposta correta: D PR-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMTICA 4 2 2. i) (x) = lognx (n) = lognn m = 1 ii) (x) = lognx (n + 2) = logn(n + 2) m + 1 = logn(n + 2) 1 + 1 = logn(n + 2) logn(n + 2) = 2 n2 = n + 2 n2 n 2 = 0 n = 2 ou n = 1 Resposta correta: A 3. Lembrando 1) Dada a equao do 2o grau ax2 + bx + c = 0, temos: 1.1) Soma das razes abx x 2 1 = + 1.2) Produto das razes acx . x 2 1 = Da equao x2 + 6x + 4 = 0, temos: 1) 616abx x 2 1 === + 2) 414acx . x 2 1 = = = 3) Observe a expresso 5x1x2 2x1 2x2 = = { =|||.|

\|+ 43 42 1Soma 2 1oduto Pr 2 1 x x 2 x x 5 5 . (4) 2 . (6) = 20 + 12 = 32 4) 252 log .25log 32 log ) x 2 x 2 x x 5 ( log 2224 2 1 2 1 4 52 = = = = Resposta correta: B 4. Sendo E = log pnq2e j, ento: E og p ogq qn= + l l2 E og p ogq qn= + l l122 E og P ogq qn= +122 l l E = + 120 2222 2 0 3333 , , E = + 0 1111 0 6666 , , E = 0 7777 , Resposta correta: C 5. Sendo Eog ogog oga bc d= +LNMMOQPP247 96449l ll l teremos Eog ogog og= +LNMMOQPP24497279641323249l ll l Eog ogog og= +LNMMMMOQPPPP24773322 321256231232l ll ld id i Eog ogog og= +LNMMMOQPPP24122321773322562323l ll l Eog= + + LNMMMOQPPP24121231652 122l E = + +LNMMMOQPPP2412236521 E = + +LNMMMOQPPP243 466 105 E = FHGGIKJJ247645 E = 247654 E = 35 Resposta correta: 35 6. Lembrando: n . mmn b b = 1) 33 1010110001100010 10 1010 10 10 10 10 = = = = 2) 3 10103 101010 10 1010 log . log 10 log 10 log 3 = = =||.|

\| 3) | | 3 log . 3 10 log 10 log log 101031010 10 1010 10 = = =

4) = =

+ 3 3 0 3 3 10 log log 3 8 x 8 x10 10 10108 x 2 2 23 x 9 x2 = = Resposta correta: B 7. Lembrando: x ba a b x log = = Pela definio acima, temos que: 1) 63 3 n 6 n log = = PR-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMTICA 4 3Assim, a expresso , n . 3 n 2 3+ fica: 81 27 54 9 . 3 27 . 2 3 . 3 3 . 2 3 . 3 3 . 2 3 . 3 3 2 2 336263 6 6= + = + = = + = + = + Resposta correta: D 8. Observe que: p q og xp q og yaa+ = =RS|T|ll 2p = logax + logay, como logam = p, ento 2logam = logaxy logam2 = logaxy m2 = xy Resposta correta: A 9. Igualando cada logaritmo a zero: i) l l l og og og x2 3 40 ( ) b g = l l og og xo3 42 1 ( ) = = log x413 = x = 43 x = 64 ii) log3 (log4 (log2y)) = 0 log4 (log2y) = 3 = 1 log2y = 41 y = 24 y = 16 iii) log4 (log2 (log3z)) = 0 log2 (log3z) = 4 = 1 log3z = 21 z = 32 z = 9 De (i), (ii) e (iii), temos: x + y + z = 64 + 16 + 9 x + y + z = 89 Resposta correta: 89 10. i) logabab = logaba + logabb 1 = 4 + logabb logabb = 3 ii) logabab3 = logaba3 logabb logabab3 = logaba13 logabb12 logabab3 = 13 . 4 12 . (3) logabab3 = 43 + 23 logabab3 = 176 6logabab3 = 17 Resposta correta: 17 11. Seja a funo y2 2(x) log x log x y x 2 = = = Lembrando Todo par ordenado do tipo (x; y) O nico ponto que satisfaz a condio acima (8; 3), pois 8 = 23. Resposta correta: E 12. Resolvendo o sistema: 27 = 9logy = 2x yxRS|T| (3 ) = (3 )y = x3 x 2 y2RS|T| 3 = 3y = x3x 2y2RS|T| 3x = 2yy = x2RS|T| Substituindo x = y2 em 3x = 2y 3y2 = 2y 3y2 2y = 0 y(3y 2) = 0 y = 0 ou 3y 2 = 0 (No convm) 3y = 2 y = 23 Se y = 23, teremos: x = y2 x = 232FHG IKJ x = 49 Portanto x + y = 49 + 23 = 4 69+ = 109 Resposta correta: B + PR-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMTICA 4 4 13. Sendo E = log2 (sen 135o) teremos: E og = l222 E og og = l l2 22 2 E og = l22 112 E og = 122 12l E = 121 1 E = = 120 5 , Resposta correta: D 14. i) 5n = 2 log25n = log22 nlog25 = 1 log25 = 1n ii) log2100 = log222 . 52 = log222 + log252 = 2log22 + 2 . log25 = 2 . 1 + 2 . 1n = 2 + 2n = 2 2 nn+ Resposta correta: E 15. Igualando as funes teremos: 600 . 3t = 400 . 22t 6 . 3t = 4 . 22t (2) 3 . 3t = 2 . 22t 3t + 1 = 21 + 2t log3t + 1 = log21 + 2t (t + 1) log3 = (1 + 2t) log2, como log2 = 0,30 e log3 = 0,48 (t + 1) 0,48 = (1 + 2t) . 0,30 0,48t + 0,48 = 0,30 + 0,60t 0,12t = 0,18 t = 1,5 ms Resposta correta: B