matemática - caderno de resoluções - apostila volume 1 - pré-vestibular mat4 aula02

4
PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4 1 Matemática 4 Módulo 2 C OMENTÁRIOS A TIVIDADES PARA SALA 01. I. Temos a função ƒ(x) = 3x – 1 e ƒ(g(x)) = x + 2. Assim, temos: II. 93 3 94 f 1 3 94 . 3 3 94 f = = III. Sabendo que f(x) = 3x – 1, assim podemos afirmar que: * f(1) = 3 . (1) – 1 * f( ) = 3 . ( ) – 1 * f(g(x)) = 3 . g(x) – 1 x + 2 = 3 . g(x) – 1 3 . 123 (x + 2) g(x) = x + 3 3 3 x ) x ( g + = IV. Como , 93 3 94 f = então ). 93 ( g 3 94 f g = Como , 3 3 x ) x ( g + = então 32 3 94 f g e 32 3 96 3 3 93 ) 93 ( g = = = + = V. 5 2 log ] 32 [ log 3 94 f g log 5 2 2 2 = = = VI. 3 log . 3 2 log 8 log 2 2 3 2 2 = = = VII. ( ) ( ) 6 6 6 6 6 3 . 3 1 3 3 1 3 3 log 3 8 2 = = = = VIII. A equação original fica x 2 – 5x + 6 = 0, x’ = 3 e x= 2 Resposta correta: C 2. log 2 (12 – 2 x ) = 2x 2 2x = 12 – 2 x (2 x ) 2 + 2 x – 12 = 0 Substituindo 2 x por y: y 2 + y – 12 = 0 y = – 4 e y = 3 2 x = – 4 2 x = 3 Não convém log 2 2 x = log 2 3 x = log 2 3 Resposta correta: E 3. i) log a x = 2 log x a = 1 2 ii) log b x = 4 log x b = 1 4 iii) log c x = 5 log x c = 1 5 iv) log abc x = 1 log abc x log abc x = 1 l l l og a og b og c x x x + + log abc x = 1 1 2 1 4 1 5 + + log abc x = 1 10 5 4 20 + + log abc x = 20 19 19log abc x = 20 Resposta correta: 20 4. Lembrando: b a b a log = Da propriedade operatória dos logaritmos acima, temos: I. 6 5 6 6 6 6 6 5 6 log n 1 n = = = II. 3 5 5 5 5 5 5 3 5 log k 1 k 1 = = = II. Da expressão 6 n-1 + 5 1-k , ficamos: 2 5 6 15 6 10 5 3 5 6 5 = = + = + Resposta correta: E 5. x = 2 1000 log 10 x = log 10 2 1000 log 10 x = 1000 log 10 2 log 10 x = 1000 . 0,301 03 log 10 x = 301,03 x = 10 301,03 Teremos 302 algarismos Resposta correta: C C OMENTÁRIOS A TIVIDADES P ROPOSTAS 1. Lembrando: 1) a b a b log . n m log m n = 2) 1 log b b = Assim, temos: n m log . n m log log 2 2 2 2 a b m n = = = Resposta correta: D

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Page 1: Matemática - Caderno de Resoluções - Apostila Volume 1 - Pré-Vestibular mat4 aula02

PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4

1

Matemática 4 Módulo 2

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA

01.

I. Temos a função ƒ(x) = 3x – 1 e ƒ(g(x)) = x + 2. Assim, temos:

II. 93394f1

394.3

394f =

⇒−

=

III. Sabendo que f(x) = 3x – 1, assim podemos afirmar

que: * f(1) = 3 . (1) – 1 * f( ) = 3 . ( ) – 1 * f(g(x)) = 3 . g(x) – 1 ⇒ x + 2 = 3 . g(x) – 1 ⇒ 3 .

123 (x + 2)

g(x) = x + 3 33x)x(g +

=⇒

IV. Como ,93394f =

então ).93(g

394fg =

Como

,33x)x(g +

= então

32394fge32

396

3393)93(g =

==+

=

V. 52log]32[log394fglog 5

222 ===

VI. 3log.32log8log 22

322 ===

VII. ( ) ( ) 666663.

313

31

33log382 ==

==

VIII. A equação original fica x2 – 5x + 6 = 0, x’ = 3 e x” = 2 Resposta correta: C

2. log2(12 – 2x) = 2x

22x = 12 – 2x (2x)2 + 2x – 12 = 0 Substituindo 2x por y: y2 + y – 12 = 0 y = – 4 e y = 3 2x = – 4 2x = 3 Não convém log22

x = log23 x = log23

Resposta correta: E

3. i) logax = 2

logxa = 12

ii) logbx = 4

logxb = 14

iii) logcx = 5

logxc = 15

iv) logabcx = 1

log abcx

logabcx = 1

l l log a og b og cx x x+ +

logabcx = 1

12

14

15

+ +

logabcx = 1

10 5 420+ +

logabcx = 2019

19logabcx = 20

Resposta correta: 20 4. Lembrando:

babalog =

Da propriedade operatória dos logaritmos acima, temos:

I. 65

66

666

56logn

1n ===−

II. 35

5

5555 3

5logk

1k1 ===−

II. Da expressão 6n-1 + 51-k, ficamos:

25

615

6105

35

65

==+

=+

Resposta correta: E

5. x = 21000

log10x = log10 21000

log10x = 1000 log102 log10x = 1000 . 0,301 03 log10x = 301,03 x = 10301,03 Teremos 302 algarismos

Resposta correta: C

COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS

1. Lembrando:

1) ab

ab

log.nmlog

m

n =

2) 1logbb =

Assim, temos: nmlog.

nmloglog 2

222

ab

m

n ===

Resposta correta: D

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PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4

2

2. i) ƒ(x) = lognx ƒ(n) = lognn m = 1

ii) ƒ(x) = lognx

ƒ(n + 2) = logn(n + 2) m + 1 = logn(n + 2) 1 + 1 = logn(n + 2) logn(n + 2) = 2 n2 = n + 2 n2 – n – 2 = 0 n = 2 ou n = –1

Resposta correta: A

3. Lembrando 1) Dada a equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, temos:

1.1) Soma das raízes abxx 21−

=+

1.2) Produto das raízes acx.x 21 =

Da equação x2 + 6x + 4 = 0, temos:

1) 616

abxx 21 −=

−=

−=+

2) 414

acx.x 21 ===

3) Observe a expressão 5x1x2 – 2x1 – 2x2 =

= { =

+−43421

Soma21

odutoPr21 xx2xx5 5 . (4) – 2 . (–6) = 20 + 12 = 32

4) 252log.

25log32log)x2x2xx5(log 2

224212145

2 ====−−

Resposta correta: B

4. Sendo E = log p nq2e j, então:

E og p ogq qn= +l l

2

E og p ogq qn= +l l

12

2

E og P ogq qn= +

12

2l l

E = ⋅ + ⋅12

0 2222 2 0 3333, ,

E = +0 1111 0 6666, , E = 0 7777,

Resposta correta: C

5. Sendo Eog og

og oga b

c d

= ⋅+

LNMM

OQPP24

7 9

64 49

l l

l l teremos

Eog og

og og= ⋅

+

L

NMM

O

QPP24 49

727

9

64132

32

49

l l

l l

Eog og

og og= ⋅

+

L

N

MMMM

O

Q

PPPP−

24 77

33

2

2 3

2

125

6

23

1

23

2

l l

l ld id i

Eog og

og og= ⋅

+

−−

L

N

MMM

O

Q

PPP−

24

12

2321

77

33

22

5

6

23

23

l l

l l

Eog

= ⋅⋅ + ⋅

−+ ⋅

L

N

MMM

O

Q

PPP24

12

123

1

65

2 122l

E = ⋅+

− +

L

N

MMM

O

Q

PPP24

12

23

65

21

E = ⋅

+

− +

L

N

MMM

O

Q

PPP24

3 46

6 105

E = ⋅FHGGIKJJ24

76

45

E = ⋅ ⋅2476

54

⇒ E = 35

Resposta correta: 35

6. Lembrando: n.mm n bb =

1)33 1010

110001

100010 10 10 1010101010−

====

2) 31010

31010

10 10 10 10log.log10log10log3 −− ===

3)

[ ] 3log.310log10loglog 1010

310

10 10 101010 −=−==

4)

⇒=⇒=−⇒

+ −−− 3303310loglog3 8x8x10 10 10

108x 222

3x9x2 ±=⇒=⇒

Resposta correta: B

7. Lembrando: xb

a abxlog =⇒=

Pela definição acima, temos que:

1) 63 3n6nlog =⇒=

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PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4

3

Assim, a expressão ,n.3n2 3+ fica:

8127549.327.23.33.23.33.23.332 233

626

3 66

=+=+==+=+=+

Resposta correta: D

8. Observe que: p q og x

p q og ya

a

+ =− =RS|T|

l

l

2p = logax + logay, como logam = p, então

2logam = logaxy

logam2

= logaxy

m2 = xy

Resposta correta: A 9. Igualando cada logaritmo a zero:

i) l l log og og x2 3 4 0( )b g =

l log og x o3 4 2 1( ) = =

log x413=

x = 43 x = 64 ii) log3 (log4 (log2y)) = 0

log4 (log2y) = 3° = 1

log2y = 41

y = 24

y = 16 iii) log4 (log2 (log3z)) = 0

log2 (log3z) = 4° = 1

log3z = 21

z = 32

z = 9 De (i), (ii) e (iii), temos: x + y + z = 64 + 16 + 9

x + y + z = 89 Resposta correta: 89

10. i) logabab = logaba + logabb

1 = 4 + logabb logabb = –3

ii) logab

a

b

3

= logab a3 – logab b

logab

a

b

3

= logab a13 – logab b

12

logab

a

b

3

= 13

. 4 – 12

. (–3)

logab

a

b

3

= 43

+ 23

logab

a

b

3

= 176

6logab

a

b

3

= 17

Resposta correta: 17

11. Seja a função y2 2ƒ(x) log x log x y x 2= ⇒ = ⇒ =

Lembrando Todo par ordenado é do tipo (x; y) O único ponto que satisfaz a condição acima é (8; 3), pois 8 = 23. Resposta correta: E

12. Resolvendo o sistema:

27 = 9

logy = 2

x y

x

RS|T|

(3 ) = (3 )

y = x

3 x 2 y

2

RS|T|

3 = 3

y = x

3x 2y

2

RS|T|

3x = 2y

y = x2

RS|T|

Substituindo x = y2 em 3x = 2y 3y2 = 2y 3y2 – 2y = 0 y(3y – 2) = 0 y = 0 ou 3y – 2 = 0 (Não convém) 3y = 2

y = 23

Se y = 23

, teremos:

x = y2

x = 23

2FHGIKJ

x = 49

Portanto x + y = 49

+ 23

= 4 6

9+

= 109

Resposta correta: B

+

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PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4

4

13. Sendo E = log2 (sen 135o) teremos:

E og= l 22

2

E og og= −l l2 22 2

E og= −l 22 112

E og= −12

2 12l

E = ⋅ −12

1 1

E =−

= −1

20 5,

Resposta correta: D

14. i) 5n = 2

log25n = log22

nlog25 = 1

log25 = 1n

ii) log2100 = log22

2 . 52 = log22

2 + log252

= 2log22 + 2 . log25

= 2 . 1 + 2 . 1n

= 2 + 2n

= 2 2n

n+

Resposta correta: E 15. Igualando as funções teremos:

600 . 3t = 400 . 22t

6 . 3t = 4 . 22t (÷2)

3 . 3t

= 2 . 22t

3t + 1 = 21 + 2t

log3t + 1 = log21 + 2t

(t + 1) log3 = (1 + 2t) log2,

como log2 = 0,30 e log3 = 0,48

(t + 1) 0,48 = (1 + 2t) . 0,30

0,48t + 0,48 = 0,30 + 0,60t

– 0,12t = − 0,18 t = 1,5 mês Resposta correta: B