matemática - caderno de resoluções - apostila volume 1 - pré-vestibular mat4 aula02
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PRÉ-VESTIBULAR | VOLUME 1 | MATEMÁTICA 4
1
Matemática 4 Módulo 2
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PARA SALA
01.
I. Temos a função ƒ(x) = 3x – 1 e ƒ(g(x)) = x + 2. Assim, temos:
II. 93394f1
394.3
394f =
⇒−
=
III. Sabendo que f(x) = 3x – 1, assim podemos afirmar
que: * f(1) = 3 . (1) – 1 * f( ) = 3 . ( ) – 1 * f(g(x)) = 3 . g(x) – 1 ⇒ x + 2 = 3 . g(x) – 1 ⇒ 3 .
123 (x + 2)
g(x) = x + 3 33x)x(g +
=⇒
IV. Como ,93394f =
então ).93(g
394fg =
Como
,33x)x(g +
= então
32394fge32
396
3393)93(g =
==+
=
V. 52log]32[log394fglog 5
222 ===
VI. 3log.32log8log 22
322 ===
VII. ( ) ( ) 666663.
313
31
33log382 ==
==
VIII. A equação original fica x2 – 5x + 6 = 0, x’ = 3 e x” = 2 Resposta correta: C
2. log2(12 – 2x) = 2x
22x = 12 – 2x (2x)2 + 2x – 12 = 0 Substituindo 2x por y: y2 + y – 12 = 0 y = – 4 e y = 3 2x = – 4 2x = 3 Não convém log22
x = log23 x = log23
Resposta correta: E
3. i) logax = 2
logxa = 12
ii) logbx = 4
logxb = 14
iii) logcx = 5
logxc = 15
iv) logabcx = 1
log abcx
logabcx = 1
l l log a og b og cx x x+ +
logabcx = 1
12
14
15
+ +
logabcx = 1
10 5 420+ +
logabcx = 2019
19logabcx = 20
Resposta correta: 20 4. Lembrando:
babalog =
Da propriedade operatória dos logaritmos acima, temos:
I. 65
66
666
56logn
1n ===−
II. 35
5
5555 3
5logk
1k1 ===−
II. Da expressão 6n-1 + 51-k, ficamos:
25
615
6105
35
65
==+
=+
Resposta correta: E
5. x = 21000
log10x = log10 21000
log10x = 1000 log102 log10x = 1000 . 0,301 03 log10x = 301,03 x = 10301,03 Teremos 302 algarismos
Resposta correta: C
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1. Lembrando:
1) ab
ab
log.nmlog
m
n =
2) 1logbb =
Assim, temos: nmlog.
nmloglog 2
222
ab
m
n ===
Resposta correta: D
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2. i) ƒ(x) = lognx ƒ(n) = lognn m = 1
ii) ƒ(x) = lognx
ƒ(n + 2) = logn(n + 2) m + 1 = logn(n + 2) 1 + 1 = logn(n + 2) logn(n + 2) = 2 n2 = n + 2 n2 – n – 2 = 0 n = 2 ou n = –1
Resposta correta: A
3. Lembrando 1) Dada a equação do 2o grau ax2 + bx + c = 0, temos:
1.1) Soma das raízes abxx 21−
=+
1.2) Produto das raízes acx.x 21 =
Da equação x2 + 6x + 4 = 0, temos:
1) 616
abxx 21 −=
−=
−=+
2) 414
acx.x 21 ===
3) Observe a expressão 5x1x2 – 2x1 – 2x2 =
= { =
+−43421
Soma21
odutoPr21 xx2xx5 5 . (4) – 2 . (–6) = 20 + 12 = 32
4) 252log.
25log32log)x2x2xx5(log 2
224212145
2 ====−−
Resposta correta: B
4. Sendo E = log p nq2e j, então:
E og p ogq qn= +l l
2
E og p ogq qn= +l l
12
2
E og P ogq qn= +
12
2l l
E = ⋅ + ⋅12
0 2222 2 0 3333, ,
E = +0 1111 0 6666, , E = 0 7777,
Resposta correta: C
5. Sendo Eog og
og oga b
c d
= ⋅+
−
LNMM
OQPP24
7 9
64 49
l l
l l teremos
Eog og
og og= ⋅
+
−
L
NMM
O
QPP24 49
727
9
64132
32
49
l l
l l
Eog og
og og= ⋅
+
−
L
N
MMMM
O
Q
PPPP−
24 77
33
2
2 3
2
125
6
23
1
23
2
l l
l ld id i
Eog og
og og= ⋅
+
−−
L
N
MMM
O
Q
PPP−
24
12
2321
77
33
22
5
6
23
23
l l
l l
Eog
= ⋅⋅ + ⋅
−+ ⋅
L
N
MMM
O
Q
PPP24
12
123
1
65
2 122l
E = ⋅+
− +
L
N
MMM
O
Q
PPP24
12
23
65
21
E = ⋅
+
− +
L
N
MMM
O
Q
PPP24
3 46
6 105
E = ⋅FHGGIKJJ24
76
45
E = ⋅ ⋅2476
54
⇒ E = 35
Resposta correta: 35
6. Lembrando: n.mm n bb =
1)33 1010
110001
100010 10 10 1010101010−
====
2) 31010
31010
10 10 10 10log.log10log10log3 −− ===
−
3)
[ ] 3log.310log10loglog 1010
310
10 10 101010 −=−==
−
4)
⇒=⇒=−⇒
+ −−− 3303310loglog3 8x8x10 10 10
108x 222
3x9x2 ±=⇒=⇒
Resposta correta: B
7. Lembrando: xb
a abxlog =⇒=
Pela definição acima, temos que:
1) 63 3n6nlog =⇒=
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Assim, a expressão ,n.3n2 3+ fica:
8127549.327.23.33.23.33.23.332 233
626
3 66
=+=+==+=+=+
Resposta correta: D
8. Observe que: p q og x
p q og ya
a
+ =− =RS|T|
l
l
2p = logax + logay, como logam = p, então
2logam = logaxy
logam2
= logaxy
m2 = xy
Resposta correta: A 9. Igualando cada logaritmo a zero:
i) l l log og og x2 3 4 0( )b g =
l log og x o3 4 2 1( ) = =
log x413=
x = 43 x = 64 ii) log3 (log4 (log2y)) = 0
log4 (log2y) = 3° = 1
log2y = 41
y = 24
y = 16 iii) log4 (log2 (log3z)) = 0
log2 (log3z) = 4° = 1
log3z = 21
z = 32
z = 9 De (i), (ii) e (iii), temos: x + y + z = 64 + 16 + 9
x + y + z = 89 Resposta correta: 89
10. i) logabab = logaba + logabb
1 = 4 + logabb logabb = –3
ii) logab
a
b
3
= logab a3 – logab b
logab
a
b
3
= logab a13 – logab b
12
logab
a
b
3
= 13
. 4 – 12
. (–3)
logab
a
b
3
= 43
+ 23
logab
a
b
3
= 176
6logab
a
b
3
= 17
Resposta correta: 17
11. Seja a função y2 2ƒ(x) log x log x y x 2= ⇒ = ⇒ =
Lembrando Todo par ordenado é do tipo (x; y) O único ponto que satisfaz a condição acima é (8; 3), pois 8 = 23. Resposta correta: E
12. Resolvendo o sistema:
27 = 9
logy = 2
x y
x
RS|T|
(3 ) = (3 )
y = x
3 x 2 y
2
RS|T|
3 = 3
y = x
3x 2y
2
RS|T|
3x = 2y
y = x2
RS|T|
Substituindo x = y2 em 3x = 2y 3y2 = 2y 3y2 – 2y = 0 y(3y – 2) = 0 y = 0 ou 3y – 2 = 0 (Não convém) 3y = 2
y = 23
Se y = 23
, teremos:
x = y2
x = 23
2FHGIKJ
x = 49
Portanto x + y = 49
+ 23
= 4 6
9+
= 109
Resposta correta: B
+
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13. Sendo E = log2 (sen 135o) teremos:
E og= l 22
2
E og og= −l l2 22 2
E og= −l 22 112
E og= −12
2 12l
E = ⋅ −12
1 1
E =−
= −1
20 5,
Resposta correta: D
14. i) 5n = 2
log25n = log22
nlog25 = 1
log25 = 1n
ii) log2100 = log22
2 . 52 = log22
2 + log252
= 2log22 + 2 . log25
= 2 . 1 + 2 . 1n
= 2 + 2n
= 2 2n
n+
Resposta correta: E 15. Igualando as funções teremos:
600 . 3t = 400 . 22t
6 . 3t = 4 . 22t (÷2)
3 . 3t
= 2 . 22t
3t + 1 = 21 + 2t
log3t + 1 = log21 + 2t
(t + 1) log3 = (1 + 2t) log2,
como log2 = 0,30 e log3 = 0,48
(t + 1) 0,48 = (1 + 2t) . 0,30
0,48t + 0,48 = 0,30 + 0,60t
– 0,12t = − 0,18 t = 1,5 mês Resposta correta: B