matemática bb

Concurso Público Banco do Brasil

INTRODUÇÃO

Temos seis conjuntos numéricos existentes, os naturais, inteiros, racionais,irracionais, reais e complexos. Estudaremos, nesta primeira parte, somente os cincoprimeiros.

O conjunto dos números naturais são os primeiros a serem estudados. São os inteiros epositivos.

O conjunto dos números inteiros são aqueles que envolvem os naturais e os negativos.

O conjunto dos racionais são todos aqueles que podem ser escritos na forma de frações,já os irracionais não podem ser escritos na forma de fração.

Os reais vão englobar todos os anteriores.

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NÚMEROS NATURAIS

Começando pelo zero e acrescentando uma unidade, vamos escrevendo oconjunto dos números naturais, representados pela letra IN:

IN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

A reticências significa que o conjunto não tem fim, pois um número naturalsempre possui um sucessor e a partir do zero um sucessor.

Exemplos:v o sucessor de 10 é 11 e o antecessor de 10 é 9.v o ano que sucede 2003 é 2004 e 2002 antecede 2003.v Generalizando: o sucessor de n é n + 1 e o antecessor de n é n - 1.

Exercícios Resolvidos1) Um número natural e seu sucessor chamam-se consecutivos. Escreva todos ospares de números consecutivos entre esses números:

2 - 10 - 9 - 101 - 0 - 1 - 256 - 702 - 500 - 255Resolução:0 e 1; 1 e 2; 9 e 10; 255 e 256

2) Hudson disse: "Reinivaldo tem 45 anos. Thaís é mais velha que Reinivaldo. Asidades de Reinivaldo e Thaís são números consecutivos. A minha idade é umnúmero que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís ". Quantos anos Hudsontem?

Resolução:Como Thaís é mais velha que Reinivaldo e as suas idades são números consecutivos, então seReinivaldo tem 45 anos, Thaís tem 46 anos. Como a idade de Hudson é o sucessor do sucessorde 46, então esta idade será 48 anos.

3) Escreva todos os números naturais que são maiores que 3 e menores que 7.

Resolução:Seja o conjunto: A = {x ∈ IN / 3 < x < 7}, por uma propriedade específica o enunciadodo exercício ficará escrito desta forma, ilustrando todos os elementos fica assim:A = {4, 5, 6}

ADIÇÃOUm automóvel segue de João Pessoa com destino a Maceió. Seu condutor desejapassar por Recife, sabendo-se que a distância de João Pessoa até Recife é de 120km e que Recife está a 285 km de Maceió, quantos quilômetros o automóvel irá



percorrer até chegar em Maceió? Esta é uma pergunta relativamente fácil deresponder, basta somar as distâncias: 285 + 120 = 405 km.Adição é uma operação que tem por fim reunir em um só número, todas asunidades de dois, ou mais, números dados.

O resultado da operação chama-se soma ou total, e os números que sesomam, parcelas ou termos.

Propriedades

Fechamento - A soma de dois números naturais é sempre um número natural. Ex:8 + 6 = 14

Elemento Neutro - Adicionando-se o número 0 (zero) a um número natural, oresultado é o próprio número natural, isto é, o 0 (zero) não influi na adição. Ex: 3 +0 = 3

Comutativa - A ordem das parcelas não altera a soma.

Ex: 3 + 5 + 8 = 16 ou 5 + 8 + 3 = 16

Associativa - A soma de vários números não se altera se substituirmos algumasde suas parcelas pela soma efetuada. Os sinais empregados para associaçõessão denominados:

( ) parênteses [ ] colchetes { } chaves

Exemplos:8 + 3 + 5 = (8 + 3) + 5 = 11 + 5 = 1613 + 5 + 2 + 7 = (13 + 5) + (2 + 7) = 18 + 9 = 27

De um modo geral a + (b + c) = (a + b) + c

Nota:Estudando-se as línguas, verificamos a importância da colocação das vírgulaspara entendermos o significado das sentenças.

Exemplo:

1) "Tio Sérgio, André vai ao teatro."2)"Tio, Sérgio André vai ao teatro."

Podemos verificar que essas duas sentenças apresentam significados diferentes,pelo fato da vírgula ter sido deslocada.

Nas expressões e sentenças matemáticas, os sinais de associação (parênteses,colchetes e chaves) podem funcionar como verdadeiras vírgulas. Resolvem-se ossinais na seqüência:

( ) parênteses [ ] colchetes{ } chaves



Exemplo:

A expressão (10 - 5) + 2 = 5 + 2 = 7 e 10 - (5 + 2) = 10 - 7 = 3, são diferentes, daí aimportância da associação.

Dissociativa - Em toda soma pode-se substituir uma parcela por outra cuja somaseja igual a ela. Esta propriedade é de sentido contrário da anterior.

Exemplo:

9 + 3 + 8 = (5 + 4) + 3 + 8 (Neste caso o número 9 foi dissociado em dois outros 5 e4).De uma maneira geral (a + b) + c = a + b + c.Observe que o zero como parcela não altera a soma e pode ser retirado.

Exemplo:20 + 7 + 0 + 3 = 20 + 7 + 3

SUBTRAÇÃOFabiano fez um depósito de R$ 1 200,00 na sua conta bancária. Quando retirou umextrato, observou que seu novo saldo era de R$ 2 137,00. Quanto Fabiano tinhaem sua conta antes do depósito?Para saber, efetuamos uma subtração:

2 1371 200

R$ 937,00

minuendo

subtraendo

resto oudiferença

Denomina-se subtração a diferença entre dois números, dados numa certaordem, um terceiro número que, somado ao segundo, reproduz o primeiro. Asubtração é uma operação inversa da adição.

O primeiro número recebe o nome de minuendo e o segundo desubtraendo, e são chamados termos da subtração. A diferença é chamada deresto.

Propriedades

Fechamento:- Não é válida para a subtração, pois no campo dos númerosnaturais, não existe a diferença entre dois números quando o primeiro é menorque o segundo. Ex: 3 - 5Comutativa: Não é válida para a subtração, pois 9 - 0 ≠ 0 - 9

Associativa: Não é válida para a subtração, pois (15 - 8) - 3 = 7 - 3 = 4 e 15 - (8- 3) = 15 - 5 = 10



Somando-se ou subtraindo-se um mesmo número aos termos de uma subtração,a diferença não se altera.

Exemplo: seja a diferença 15 - 8 = 7, somando-se 4 aos seus dois termos, teremos(15 + 4) - (8 + 4) = 19 - 12 = 7

MULTIPLICAÇÃOMultiplicar é somar parcelas iguais.

Exemplo: 5 + 5 + 5 = 15

Nesta adição a parcela que se repete (5) é denominada multiplicando e onúmero de vezes que o multiplicamos (3) é chamado multiplicador e o resultadoé chamado de produto.

Então:5

× 3

15

multiplicandomultiplicador

produto

Multiplicação é a operação que tem por fim dados dois números, umdenominado multiplicando e outro multiplicador, formar um terceiro somando oprimeiro tantas vezes quando forem as unidades do segundo. O multiplicando e omultiplicador são chamados de fatores.

Propriedades

1) Fechamento - O produto de dois números naturais é sempre um númeronatural.Ex: 5 x 2 = 10

2) Elemento Neutro - O número 1 (um) é denominado de elemento neutro damultiplicação porque não afeta o produto.Ex: 10 x 1 = 10

3) Comutativa - A ordem dos fatores não altera o produto.Ex: 5 x 4 = 20 ou 4 x 5 = 20

4) Distributiva em relação à soma e a diferença - Para se multiplicar uma soma ouuma diferença indicada por um número, multiplica-se cada uma das suas parcelasou termos por esse número, e em seguida somam-se ou subtraem-se osresultados.

Exemplo:1º) (4 + 5) x 3 = 4 x 3 + 5 x 3 = 27



2º) (7 - 4) x 5 = 7 x 5 - 5 x 4 = 15

Essa propriedade é chamada distributiva porque o multiplicador se distribui portodos os termos.

Para multiplicar uma soma por outra, pode-se multiplicar cada parcela da primeirapelas parcelas da segunda e somar os produtos obtidos.

Exemplo:(6+ 3) x (2 + 5) = 6 x 2 + 6 x 5 + 3 x 2 + 3 x 5 = 63

DIVISÃODivisão Exata

Divisão exata é a operação que tem por fim, dados dois números, numacerta ordem, determinar um terceiro que, multiplicado pelo segundo, reproduza oprimeiro. A indicação dessa operação é feita com os sinais:ou ÷ que se lê:dividido por. O primeiro número chama-se dividendo, o segundo divisor e oresultado da operação, quociente.

Exemplo:15 : 3 = 5, pois 5 x 3 = 15Onde 15 é o dividendo, 3 é o divisor e 5 é o quociente.

Divisão AproximadaNo caso de se querer dividir, por exemplo, 53 por 6, observa-se que não se

encontra um número inteiro que, multiplicado por 6, reproduza 53, pois 8 ´ 6 = 48 émenor que 53 e 9 ´ 6 = 54 é maior que 53.

O número 8, que é o maior número que multiplicado por 6 não ultrapassa odividendo 53, é denominado quociente aproximado a menos de uma unidade porfalta, porque o erro que se comete, quando se toma o número 8 para o quociente,é menor que uma unidade. Temos, assim, a seguinte definição: chama-se resto deuma divisão aproximada a diferença entre o dividendo e o produto do quocienteaproximado pelo divisor. A indicação dessa divisão é feita assim:

DIVIDENDO = DIVISOR × QUOCIENTE + RESTO

Exemplo:



⇒ 53 = 6 × 8 + 5

NÚMEROS INTEIROS (Z)

Em tempos remotos, com o desenvolvimento do comércio, um comerciante desejandoilustrar a venda de 3 kg de um total de 10 kg de trigo existente num saco, escreve no saco: "-3", a partir daí um novo conjunto numérico passa a existir, o Conjunto dos NúmerosInteiros, hoje, representamos pela letra Z.

Z = {..., -3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

A reticências, no início ou no fim, significa que o conjunto não tem começo nem fim.Concluímos, então, que todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor.Com a relação às operações que serão possíveis de se efetuar, ilustraremos exemplos daadição e multiplicação.

ADIÇÃO

v Sinais Iguais: Somam-se os números prevalecendo o sinal.

Exemplos:(+2) + (+3) = +5(-2) + (-3) = - 5

v Sinais Diferentes: Subtraem-se os números prevalecendo o sinal do maior número emmódulo.

Exemplos:(-2) + (+3) = +1(+2) + (-3) = -1

Exercícios Resolvidos



1) Calcule a soma algébrica: -150 - 200 + 100 + 300

Resolução:

-150 - 200 + 100 + 300-350 + 100 + 300

-250 + 30050

2) Alexandre tinha 20 figurinhas para jogar bafo. Jogou com Marcelo e perdeu 7figurinhas, jogou com Jorge e ganhou 2, ao jogar com Gregório ganhou 3 e perdeu 8 e comHudson ganhou 1 e perdeu 11. Com quantas figurinhas ficou Alexandre no final do jogo?

Resolução:

Representando em soma algébrica:20 - 7 + 2 + 3 - 8 + 1 - 11 = 0

Resposta: Nenhuma.

MULTIPLICAÇÃO

Na multiplicação de números inteiros vamos, sempre, considerar a seguinte regra:(+) . (+) = (+)(+) . (-) = (-)(-) . (+) = (-)(-) . (-) = (+)

Exemplos:v (+2) × (+3) = (+6)v (+2) × (- 3) = (- 6)v (-2) × (+ 3) = (- 6)v (-2) × (- 3) = (+ 6)

Exercício Resolvido

1) Calcule o valor da expressão abaixo:{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1)

Resolução:

{(16 - 4) + [3.(-2) - 7.1]}.[-12 - (-4).2.2] + (-7).2 - 3 . (-1){12 + [-6 - 7]} .[-12 -(-16)] + (-14) - (-3){12 + [-13]} . [-12 + 16] - 14 + 3{12 - 13} . 4 - 14 + 3{-1}.4 - 14 + 3



-4 - 14 + 3-18 + 3-15

NÚMEROS RACIONAIS (Q) - FRAÇÕES

São aqueles constituído pelos números inteiros e pelas frações positivas e

negativas. Número racional é todo número indicado pela expressão ba

, com b ≠ 0e é representado pela letra Q.

Atenção:

I) Todo número natural é um racional.

II) Todo número inteiro relativo é racional.

FRAÇÕES

Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou maispartes da unidade que foi dividida em partes iguais.

Exemplos:

v 1 hora = 60 minutosv ¼ hora = 15 minutos

v 42

hora = 30 minutos

v 43

hora = 45 minutos



⇒ Representação

Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendouma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamentede numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.

O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e onumerador, quantas partes foram tomadas.

As frações podem ser decimais e ordinárias.

FRAÇÕES DECIMAIS

Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja,10, 100, 1000, etc.

Exemplo:

FRAÇÕES ORDINÁRIAS

São todas as outras frações:

TIPOS DE FRAÇÕES

a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso afração é menor que a unidade.

Exemplo:



b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador.Nesse caso a fração é maior que a unidade.

Exemplo:

c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelodenominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aosnúmeros internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador.

Exemplo:

d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é,não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primosentre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum.

Exemplo:

Simplificando-se3624 , temos

32 (fração irredutível)

REDUÇÕE DE FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR

1) Reduzem-se as frações à forma irredutível2) Determina-se o M.M.C. dos denominadores dessas frações3) Divide-se o mmc pelo denominador e multiplica-se pelo numerador o resultadoda divisão.

Exemplo:



1-)

63 =

21

2-)mmc (2, 5, 7) = 70

3-)

52 ,

21 ,

74 ⇒

70,

70,

70⇒

7028 ,

7035 ,

7040

PROPRIEDADE DAS FRAÇÕES

1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certonúmero diferente de zero, o valor de fração fica multiplicado ou dividido poresse número.

Exemplo:

Seja a fração 103

. Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração 106

,

que é duas vezes maior que 103

, pois se em 106

tomamos 6 das 10 divisões da

unidade, em 103

tomamos apenas três.

Ilustração:

Observando a ilustração, verificamos que 103

é duas vezes menor que 106

.



2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um númerodiferente de zero, o valor da fração fica dividido ou multiplicado por essenúmero.

Exemplo:

Seja a fração 52

. Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração 102

, que é

duas vezes menor que 52

, pois em 52

dividimos a unidade em 5 partes iguais e das

cinco tomamos duas, enquanto que em 102

, a mesma unidade foi dividida em 10partes iguais e tomadas apenas duas em dez.

Ilustrações:

Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que 52

é duas vezes maior que

102

.

3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente dezero, o valor da fração não se altera.

Exemplo:

52 ⇒

22⋅⋅

52 ⇒

104

Logo:52 =

104

Ilustrações:



NÚMEROS MISTOS

Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração.Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o

denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultadoobtido com o numerador.

Exemplo:

74

6 =7

442 + =746

COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES

Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e quala menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior

numerador.

Exemplo:

104 >

103 >

101

2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menordenominador.

Exemplo:



54 >

74 >

104

3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes acomparação é feita reduzindo-as ao mesmo denominador ou ao mesmonumerador.

Exemplo:

52 <

21 <

74 ⇒

7028 <

7035 <

7040


1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.

54 ,

107 ,

52 ,

21 ,

36

Resolução:

Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e paratanto o mmc(2, 3, 5, 10) = 30:

54 ,

107 ,

52 ,

21 ,

36 ⇒

30,

30,

30,

30,

30⇒

⇒3024 ,

3021 ,

3012 ,

3015 ,

3060

Logo:

3012 <

3015 <

3021 <

3024 <

3060 ⇒

52 <

21 <

107 <

54 <

36

FRAÇÕES EQUIVALENTES

São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, sãofrações de mesmo valor.

Na figura acima temos:21 =

63 =

42

logo são frações equivalentes.



SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES

Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e odenominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração bastadividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.

1 O . M o d o :4836

⇒44

4836

÷÷

⇒129

⇒33

129

÷÷

⇒43

43

está na sua forma irredutível.

2O. Modo:Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisorcomum) entre o mdc (48,36) = 12

1212

4836

÷÷ ⇒

43


1) Obter 3 frações equivalentes a 53

.

Resolução:

Basta tomar os termos da fração 53

multiplicá-lo por um mesmo número diferentede zero:

33

53××

=159

77

53××

=3521

1212

53××

=6036

ADIÇÃO DE FRAÇÕES

Temos dois casos à considerar:

v Caso 1:Denominadores Iguais

"Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum".

Exemplo:

511 +

59 +

52 =

52911 ++ =

522



v Caso 2:Denominadores Diferentes

"Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-se a regraanterior ".

Exemplo:

54 +

107 +

52 +

21 +

36 ⇒

3024 +

3021 +

3012 +

3015 +

3060 ⇒

⇒30

6015122124 ++++ =30

132

Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:

66

30132

÷÷ =

522

Nota:Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos osnúmeros mistos em frações impróprias.

SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES

Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição(Caso 1 e Caso 2).

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se osnumeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre:

Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores.

Exemplos:

Þ53

×76 =

7563

×× =

3518

Þ54 ×

107 ×

52 =

5105274

×××× =

25056 =

22

25056

÷÷ =

12528

Nota:

Neste último exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante oproduto, observe:



54 ×

107 ×

52 =

52 ×

57 ×

52 =

12528

, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.

DIVISÃO DE FRAÇÕES

Na divisão de duas frações, vamos sempre:

Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda.

Exemplo:

Þ53 ÷

76 =

53 ×

67 =

51 ×

27 =

2571

×× =

107

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS FRACIONÁRIAS

O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos defrações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem:

1º) As multiplicações e divisões

2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes echaves.

Exemplo:Vamos resolver a seguinte expressão:

÷⋅+÷÷

+−

65

21

34

711

311

52

241

29 =

=

÷+×÷

+−

65

64

117

311

5210

41

29 =

=

×+÷

×−

56

64

37

512

41

29 =

+÷

−

54

37

53

29 =

=

+

÷

−

151235

10645 =

1547

1039

÷ =4715

1039

× =

=473

239

× =473

239

× =94

117

NÚMEROS REAIS (IR)



A união de todos os conjuntos vistos até agora dará origem ao conjunto dosnúmeros reais, representado pela letra IR.

Observe o diagrama:

v Observação ⇒ "Números Irracionais"

A parte que está em forma de "telhado", ou seja, IR - Q representa oconjunto dos números irracionais, e estes por sua vez são aqueles que nãopodem ser escritos na forma de fração:

Exemplos:

2 , 3 , π etc.

EXERCÍCIOSP1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5?

P2) Qual o menor número que se deve somar a 4831 para que resulte um númerodivisível por 3 ?


P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são asbolinhas?

P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemosafirmar que o conjunto A tem :a) 5 elementos b) 6 elementos



c) 7 elementos d) 8 elementos

P6) Qual o menor número pelo qual se deve multiplicar 1080 para se obter umnúmero divisível por 252?


P8) Assinalar a alternativa correta.a) O número 1 é múltiplo de todos os números primosb) Todo número primo é divisível por 1c) Às vezes um número primo não tem divisord) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

P9) Assinalar a alternativa falsa:a) O zero tem infinitos divisoresb) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

P10) Para se saber se um número natural é primo não:a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

P11) Determinar o número de divisores de 270.

P12) Calcule o valor das expressões abaixo:a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, afim de que os quocientes sejam iguais.a) 15 e 17 b) 16 e 18c) 14 e 18 d) 12 e16

P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.

Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos decada uma.9, 8, 6 partes de 18 metros8, 6, 5 partes de 18 metros9, 7, 6 partes de 18 metros10, 8, 4 partes de 18 metros



e) e) e)

P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, umterreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados doterreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?a) 562 árvores b) 528 árvoresc) 474 árvores d) 436 árvores

P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, ossenadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os trêscargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para essescargos?

P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada rodatem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentesesmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiropercorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistaspartido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamenteno ponto de partida e quantas voltas darão cada um?

P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinadomomento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,estes dentes estarão juntos novamente?

P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemosafirmar que:a) os números são primosb) eles são divisíveis entre sic) os números são primos entre sid) os números são ímpares

P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a quehoras do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outrashoras, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantosladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são osnúmeros?



P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu umapeça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeucada um ?

P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeirocomprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça?

P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual opreço do terreno ?

P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficoucom R$80,00. Quanto possuía?

P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 dorestante. Quanto falta para atingir o cume?

P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3unidades?

P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?

P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qualdas duas comeu mais e quanto sobrou?

P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é essenúmero?

P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantasbalas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e osegundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeirorecebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempoenche 3/7 desse tanque?



P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, osegundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.Quanto recebeu cada pobre?

P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavamlutando?

P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há aindamais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cincoquilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu ocorredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

P43) Efetuar as adições:1º) 12,1 + 0,0039 + 1,982º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

P44) Efetuar as subtrações:1º) 6,03 - 2,94562º) 1 - 0,34781

P45) Efetuar as multiplicações1º) 4,31 x 0,0122º) 1,2 x 0,021 x 4

P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.1º) 56 por 17 a menos de 0,012º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,13º) 5 por 7 a menos de 0,001

P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:Escreva a representação decimal do número de acertos;Transformar numa fração decimal;Escreva em % o número de acertos de Luciana.

d) d) d)P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem dasoperações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que

representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 1081

; Eleacertou ou errou a resposta.

P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor?



P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá omesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custaR$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro quecusta R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes deum banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duaspessoas na fila é 0,45m.Responder:a) Quantas pessoas estão na fila?b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto temposerão atendidas todas as pessoas que estão na fila?

GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS

P1) 1,2,3,4

P2) 2

P3) 2

P4) 45

P5) B

P6) 7

P7) 10

P8) B

P9) D

P10) B

P11) 16

P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357f) 682

P13) A

P14) B



P15) C

P16) 1941

P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor

P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos

P19) Após 4 voltas

P20) C

P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h

P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h

P23) 24.339

P24) 72 e 48

P25) 12 metros

P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00

P27) 90 metros

P28) R$420.000,00

P29) R$300,00

P30) 155/4

P31) 2/7

P32) 24

P33) 9 h

P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada

P35) 35

P36) 6,6,15

P37) R$35.000,00

P38) 3horas

P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,3º 4º e 5º R$16,00



P40) 45.000

P41) 105

P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros

P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791

P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;

P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;

P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;

P47) a) 0,85 b) 10085

c) 85%

P48) 0,05

P49) Errou, a resposta é 81/1000

P50) 2,03; 2,030 e 2,0300

P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603

P52) 13,6256

P53) a indústria A

P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.

NÚMEROS DECIMAIS

Os números decimais fazem parte do conjunto dos números racionais, eno entanto, estes números merecem uma atenção especial, que aparecem muitoem nosso cotidiano, além de se relacionar com muitas questões de provas deconcursos públicos.

ADIÇÃO



Escrevem-se os números decimais uns sobre os outros de modo que asvírgulas se correspondam; somam-se os números como se fossem inteiros, e,coloca-se a vírgula na soma, em correspondência com as parcelas.

Exemplo:

13,8 + 0,052 + 2,9 =

13,8 13,8000,052 ou 0,0522,9 2,900

16,752 16,752

SUBTRAÇÃO

Escreve-se o subtraendo sob o número de modo que as vírgulas secorrespondam. Subtraem-se os números como se fossem inteiros, e coloca-se avírgula no resultado em correspondência com os dois termos.

Exemplo:5,08 - 3,4852 =

5,0800−3,4852

1,5948

MULTIPLICAÇÃO

Para se efetuar o produto entre números na forma decimal, deve-se multiplicarnormalmente, como se fossem números inteiros e após conta-se a quantidade decasas decimais que cada um dos fatores apresenta somando em seguida etransferindo para o resultado do produto.

Exemplo:

1,23 × 0,4 = 0,492; 12,345 × 5,75 = 70,98375

DIVISÃO



Reduzem-se o dividendo e o divisor ao mesmo número de casas decimais,desprezam-se as vírgulas de ambos, e efetua-se a divisão como se fosseminteiros. Obtido o quociente, coloca-se ao mesmo tempo, uma vírgula a sua direitae um zero a sua esquerda do resto, a fim de continuar a divisão.

Os demais algarismos do quociente serão sempre obtidos colocando-seum zero a direita de cada resto.

Exemplo:72,2379 ÷ 5,873

Igualando-se as casas decimais do dividendo e do divisor temos:

EXPRESSÕES ARITMÉTICAS

É um conjunto de números reunidos entre si por sinais de operações.A partir do estudo da adição e subtração, já podemos começar a resolver

expressões aritméticas, envolvendo adições e subtrações.O cálculo dessas expressões é feito na ordem em que é indicada, devendo

observar-se que são feitas inicialmente as operações indicadas entre parênteses,em seguida as indicadas entre colchetes e finalmente as indicadas entre chaves.

Exemplos:

1) Calcular o valor da expressão aritmética35 - [4 + (5 - 3)]

efetuando-se as operações indicadas dentro dos parênteses obtemos35 - [4 + 2]

efetuando-se as operações indicadas dentro dos colchetes temos35 - 6 = 29

2) Calcular o valor da expressão aritmética86 - {26 - [8 - (2 + 5)]}

efetuando-se as operações indicadas nos parênteses obtemos86 - {26 - [8 - 7]}

efetuando-se as operações indicadas nos colchetes temos86 - {26 - 1}

efetuando as operações indicadas entre as chaves vem que86 - 25 = 61

3) Calcular o valor da expressão aritmética53 - {[48 + (7 - 3)] - [(27 - 2) - (7 + 8 + 10)]}



53 - {[ 48 + 4 ] - [ 25 - 25]}53 - {52 - 0}53 - 52 = 1

O cálculo das expressões aritméticas que contém as 4 operações (adição,subtração, multiplicação e divisão) deve obedecer a seguinte ordem:

Inicialmente as multiplicações e divisões e em seguida, as adições esubtrações, respeitando-se a ordem de se iniciar com os parênteses maisinternos, a seguir os colchetes e finalmente as chaves.

Exemplo:54 - 3 x [ (7 + 6 : 2) - (4 x 3 - 5) ]

efetuando-se inicialmente as multiplicações e divisões que estão indicadas nosparênteses temos:

54 - 3 x [ 10 - 7 ]efetuando-se os colchetes vem que

54 - 3 ´ [ 3 ]54 - 9 = 45


1) Resolva a seguinte expressão aritmética{[( 8 x 4 + 3) : 7 + ( 3 + 15 : 5) x 3] x 2 - (19 - 7) : 6} x 2 + 12

Resolução:{ [ ( 32 + 3) : 7 + (3 + 3) x 3 ] x 2 - 12 : 6} x 2 + 12{ [ 35 : 7 + 6 x 3 ] x 2 - 2 } x 2 + 12{ [ 5 + 18 ] x 2 - 2 } x 2 + 12{ 23 x 2 - 2} x 2 + 12{ 46 - 2 } x 2 + 1244 x 2 + 1288 + 12100

DIVISIBILIDADEExistem algumas regras que podem nos auxiliar a identificar se um número é ou nãodivisível por outro.Por exemplo, sabemos que 16 é divisível por 2, ou que 27 é divisível por 3, e no entanto seráque 762 é divisível por 2? E por 3?



Todo número que é par é divisível por 2.Exemplos: 762, 1 572, 3 366 etc.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por3, então o número inicial o será também.

Exemplos:v 762, pois 7 + 6 + 2 = 15v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18v 53 628, pois 5 + 3 + 6 + 2 + 8 = 24

Observe os dois últimos algarismos se for dois zeros ou se terminar numa dezena divisívelpor 4 o número será divisível por 4.

Exemplos:v 764, pois 64 é divisível por 4.v 1 572, pois 72 é divisível por 4.v 3 300, pois o número termina em dois zeros.

Observe o último algarismo se for zero ou cinco o número será divisível por 5.



Exemplos:760, 1 575, 3 320.

Todo número que é divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, será também, divisível por 6.

Exemplos:762, 1 572, 33 291.

Seguindo um algoritmo apresentado por um professor, vamos seguir 3 passos:1O. Separe a casa das unidades do número;2O. Multiplique esse algarismo separado (da direita) por 2;3O. Subtraia esse resultado do número à esquerda se esse resultado for divisível por 7,então o número original também o será.

Exemplos: v 378 é divisível por 7, pois

Passo1: 37 ........ 8Passo 2: 8 × 2 = 16Passo 3: 37 − 16 = 21

Como 21 é divisível por 7, então 378 também o é.

v 4 809 é divisível por 7, pois


Repetindo os passos para o número encontrado:




Como 42 é divisível por 7, então 4 809 também o é.

Observe os três últimos algarismos, se for três zeros ou uma centena divisível por 8 então onúmero original também será.

Exemplos:1 416, 33 296, 57 800, 43 000.

Somam-se os algarismos do número em questão, se o resultado for um número divisível por9, então o número inicial o será também.

Exemplos:v 3 573, pois 3 + 5 + 7 + 3 = 18v 53 928, pois 5 + 3 + 9 + 2 + 8 = 27v 945 675, pois 9 + 4 + 5 + 6 + 7 + 5 = 36

Observe o último algarismo se for zero o número será divisível por 10.

Exemplos:760, 3 320, 13 240.



Um número será divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordempar e a soma dos algarismos de ordem ímpar tiver como resultado um número divisível por11.

Exemplos:v 2 937, pois:soma dos algarismos de ordem par: 9 + 7 = 16soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 3 = 5fazendo a diferença: 16 - 5 = 11

v 28 017, pois:soma dos algarismos de ordem par: 8 + 1 = 9soma dos algarismos de ordem ímpar: 2 + 0 + 7 = 9fazendo a diferença: 9 - 9 = 0

MÚLTIPLOS E DIVISORES

⇒ Múltiplo: é o resultado da multiplicação de um número natural por outro natural.

Exemplos:v 24 é múltiplo de 3, pois 3 x 8 = 24.v 20 é múltiplo de 5, pois 5 x 4 = 20 e é múltiplo de 2, pois 2 x 0 = 0

⇒ Divisor: se um número x é divisível por y, então y será um divisor de x.

Exemplos:v 8 é divisor de 864, pois 864 é divisível por 8.v 21 é divisor de 105, pois 105 é divisível por 21.

NÚMEROS PRIMOSTodo número que apresenta dois divisores naturais, sendo eles: o próprio número e aunidade; ele será considerado um número primo, são eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, ...

RECONHECENDO UM NÚMERO PRIMO:

Dividimos o número, de maneira sucessiva, pelos números que formam a série dosnúmeros primos, até encontramos um coeficiente igual ou menor ao divisor. Caso nenhumadessas divisões seja exata, então o número é primo.



Nota: utilizando-se os critérios de divisibilidade, poderemos evitar algumas dessas divisões.

Exemplo:Vamos verificar se o número 193 é primo. Utilizando os critérios da divisibilidade,

podemos verificar que 193 não é divisível por 2, 3, 5, 7.Então, dividindo:

193 11 193 13 193 17

83 17 63 14 23 116 11 6

Quociente menor que o divisor ⇒ 11 < 17, e não houve divisão exata, então o número 193 éprimo.

DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Quando um número não é primo, pode ser decomposto num produto de fatoresprimos.

A fatoração consiste, portanto, em encontrar todos os fatores primos divisores deum número natural.

⇒ Regra: dividimos o número pelo seu menor divisor primo, excetuando-se aunidade, a seguir, dividimos o quociente pelo menor divisor comum e assim sucessivamenteaté encontrarmos o quociente 1. O número dado será igual ao produto de todos os divisoresencontrados que serão números primos.

Exemplo:

QUANTIDADE DE DIVISORES DE UM NÚMERO

Podemos determinar o total de divisores de um número, mesmo não seconhecendo todos os divisores.

⇒ Regra: O número total de divisores de um número é igual ao produto dosexpoentes dos seus fatores primos aumentados (cada expoente) de uma unidade.

Exemplo:



Vamos determinar o total de divisores de 80.Fatorando-se o número 80 encontraremos: 80 = 24 × 51

Aumentando-se os expoentes em 1 unidade:v 4 + 1 = 5v 1 + 1 = 2Efetuando-se o produto dos expoentes aumentados

5 × 2 = 10Portanto, o número de divisores de 80 é 10.

Nota:Ao determinarmos a quantidade de divisores estamos encontrando apenas osdivisores positivos desse número.

MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C.)Denomina-se máximo divisor comum entre dois ou mais números naturais não

nulos, ao maior número natural que divide a todos simultaneamente.

Exemplo: O máximo divisor comum entre 6, 18 e 30 é o número 6, pois este divide aomesmo tempo o 6, o 18 e o 30 e, além disso, é o maior dos divisores simultâneos dos númerosdados.

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

Decompõe-se os números em fatores primo e em seguida escolhe-se os fatores primoscomuns com os menores expoentes e em seguida efetua-se o produto destes expoentes.

Exemplo:1-) Encontrar o MDC entre os números 60 e 280

Escolhemos agora os fatores primos comuns aos dois números que decompomos, com osmenores expoentes. Os fatores comuns aos dois números são 2 e 5, e estes fatores com seusmenores expoentes são :

22 × 5 = 4 × 5 = 20



Logo o M.D.C. entre 60 e 280 é 20 e se escreve da seguinte forma:MDC (60, 280) = 20

2-) Determinar o M.D.C. entre 480 e 188

O único fator primo comum entre 480 e 188 é 2, e como deve ser escolhido aquele que tivero menor expoente, então temos 22 = 4 mdc (480, 188) = 4

MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS

(MÉTODO DE EUCLIDES)

Vamos encontrar o máximo divisor comum entre 60 e 280.

1O. Passo: Utilize o dispositivo abaixo colocando o maior número na primeira lacuna (domeio) e o menor na segunda lacuna (do meio):

2O. Passo: Divida 280 por 60 colocando o quociente na lacuna de cima do 60 e o resto nalacuna abaixo do 280:



3O. Passo: O resto da divisão vai para a lacuna do meio do lado direito de 60 e repete-se ospassos 1, 2 e 3 até encontrarmos resto zero.

4O. Passo: O último divisor encontrado será o mdc.

mdc (60, 280) = 20

Nota:"Números Primos entre Si"Dois ou mais números são considerados primos entre si se e somente o Máximo DivisorComum entre esses números for igual a 1.

Exemplo:21 e 16, pois mdc (21, 16) = 1


1) Determinar os dois menores números pelos quais devemos dividir 144 e 160, a fim deobtermos quocientes iguais.

Resolução:Determinamos o M.D.C. entre 144 e 160



mdc (144, 160) = 24 = 16

Então:144 ÷ 16 = 9O maior divisor de 144 é 16 e o menor quociente 9,Vem que 160 ÷ 16 = 10 onde 16 é também o maior divisor de 160 e 10 o menor quociente.Logo os números procurados são 9 e 10,pois 144 ÷ 9 = 16 e 160 ÷ 10 = 16.

2) Um terreno de forma retangular tem as seguintes dimensões, 24 metros de frente e 56metros de fundo. Qual deve ser o comprimento de um cordel que sirva para medirexatamente as duas dimensões?

Resolução:

Então:mdc ( 56, 24) = 8

Resposta:O comprimento do maior cordel que pode ser utilizado para medir as dimensões do terrenodeve ser de 8 metros de comprimento, pois, 8 é o maior dos divisores comuns entre 56 e 24.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C)"Mínimo múltiplo comum de dois ou mais números naturais não nulos é o menor dos

múltiplos, não nulo, comum a esses números."

Sejam dois conjuntos, um constituído pelos múltiplos de 6 e outro constituído pelosmúltiplos de 9.

v M(6) = {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...}v M(9) = {0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, ...}

Observando-se os dois conjuntos de múltiplos de 6 e 9, verificamos que existemnúmeros que aparecem em ambos, isto é, são comuns aos dois conjuntos, como os números18 e 36, isto é:

M(6) ∩ M(9) = {0, 18, 36, ...}



Isto significa que 18 e 36 são múltiplos comuns de 6 e 9, isto é, estes números sãodivisíveis ao mesmo tempo por 6 e por 9.Logo teremos como Mínimo Múltiplo Comum entre 6 e 9 o número 18, isto é:

mmc (6, 9) = 18

MÉTODO DA COMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS

O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números, obtém-se decompondosimultaneamente este números e efetuando-se o produto dos fatores primos comuns e nãocomuns escolhidos com seus maiores expoentes.

Exemplo:Determinar o M.M.C. dos números 70, 140, 180.Fatorando os números:

70 2 140 2 180 235 5 70 2 90 27 7 35 5 45 31 7 7 15 3

1 5 51

Então temos:70 = 2 x 5 x 7140 = 22 x 5 x 7180 = 22 x 32 x 5

Os fatores primos comuns, isto é, que aparecem nas três fatorações são 2e 5.O número 7não é fator primo comum porque só aparece na fatoração dos números 70 e 140. O número3 também não é fator primo comum porque só aparece na fatoração do número 180. Logo:

v fatores primos comuns escolhidos com os maiores expoentes: 22 e 5.

v Fatores primos não comuns escolhidos com os maiores expoentes: 32 e 7.

mmc (70, 140,180) = 22 x 5 x 32 x 7 = 1260

MÉTODO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA



Então:

mmc (70, 140, 180) = 22 x 32 x 5 x 7 = 1260

RELAÇÃO ENTRE O MMC E O MDC

O produto de dois números dados é igual ao produto do M.D.C. desses números.

mmc (a, b) × mdc (a, b) = a x b

Exemplo:

Sejam os números 18 e 80Temos pela regra que: 18 x 80 = mmc (18, 80) × mdc (18, 80)O produto é 18 × 80 = 1440.

Vamos agora determinar o M.M.C. desses dois números.

80, 18 240, 9 220, 9 210, 9 2

5, 9 35, 3 35, 1 51, 1

mmc (80, 18) = 24 x 32 x 5 = 720

Logo:mdc(80, 18) = 1440 ÷ mmc(18, 80) = 1440 ÷ 720 = 2



EXERCÍCIO RESOLVIDO

Para identificarmos se um problema deve ser resolvido através do M.M.C. temosalgumas indicações importantes.I - Diante de um problema, verificar se trata de fatos repetitivos, significa que estes fatos sãomúltiplos;II - Os acontecimentos deverão ser simultâneos, isto é, comuns;III - Ao buscarmos a primeira coincidência, estamos buscando o M.M.C.

Exemplo:

Três viajantes passam por determinado local respectivamente a cada 15, 20 e 25 dias.Sabendo-se que hoje os três se encontram, quando acontecerá o novo encontro?

Resolução:v Existe a idéia de repetição: "Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando

ocorrerá o novo encontro?"⇒ Múltiplo

v "Encontrar-se-ão num determinado dia"⇒ Comum

v "Quando acontecerá o novo encontro"⇒ Mínimo

Portanto

15, 20, 25 215, 10, 25 215, 5, 25 3

5, 5, 25 51, 1, 5 51, 1 1

300

Resposta:O primeiro encontro ocorrerá dentro de 300 dias.

SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS



MEDIDAS DE COMPRIMENTO

A medida básica de comprimento é o metro cujo símbolo é m.

O metro é um padrão adequado para medir a largura de uma rua, o comprimentode um terreno, a altura de uma sala.

Para medir grandes distâncias, há unidades derivadas de metro e que são maioresque ele, como por exemplo medir a extensão de uma estrada.

Há também unidades derivadas do metro e que servem para medir pequenoscomprimentos, como por exemplo o comprimento de um prego.

Observe a tabela que representa os múltiplos e submúltiplos do metro.

Nome Símbolo RelaçãoMúltiplos do Metro decâmetro dam 10 m

hectômetro hm 100 mquilômetro km 1000 m

Submúltiplos do Metro decímetro dm 0,1 mcentímetro cm 0,01 mmilímetro mm 0,001 m

Nota:Os múltiplos e os submúltiplos do metro são obtidos a partir do metro, realizandosucessivas multiplicações ou divisões por 10.



MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada de unidadesabaixo representada:

Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros para centímetros, vamosmultiplicar o número por 100, pois estaremos descendo dois degraus.

Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus esta escada (metros pra hectômetropor exemplo), iríamos dividir o número por 100. Analogamente, de acordo com aquantidade de degraus é que vamos escolher o fator múltiplo de dez.

Exemplo1:

Vamos reduzir 424,286 hectômetros pra metros.v hm → m ⇒ × 100 (Desce 2 degrau) 424,286 ×100 = 42428,6 m

Exemplo2:

Reduzindo 5645,8 decímetros para quilômetros.v dm → km ⇒ ÷ 10.000 (Sobe 4 degraus)

5645,8 ¸10.000 = 0,56458 km

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDASRELACIONADAS AO METRO

v Polegada = 2,54 cmv Pé = 30,48 cmv Milha = 1609 metros



EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

P1) Reduzir 28,569 hm a metros.

P2) Exprimir 456,835 cm em quilômetros.

P3) Quantos metros existem em 8 dm?

P4) Quanto dista, em quilômetros, a terra da lua; sabendo-se que essa distância equivale,em média, a 60 raios terrestres? (Nota: o raio da terra mede 6.370.000 m).

P5) Um viajante percorreu em 7 horas, 33.600 metros. Quantos quilômetros ele fez, emmédia, por hora?

P6) O passo de um homem mede cerca de 0,80m. Quanto tempo empregará esse homempara percorrer 4.240 km de uma estrada, sabendo-se que anda à razão de 100 passos porminuto?

P7) Uma senhora comprou 20 metros de fazenda à razão de R$ 84,00 o metro. Se estafazenda foi medida com uma régua que era 1 cm mais curta que o metro verdadeiro;pergunta-se:1º) Quanto de fazenda a senhora recebeu?2º) Quanto pagou a mais?

P8) Numa construção, chama-se pé direito a distância do chão ao teto. Nos prédios deapartamentos, o pé direito mínimo é de 2,70 m. Qual a altura aproximada de um prédio de15 andares?

P9) As telas dos aparelhos de televisão costumam ser medidas, em diagonal por polegadas.Considerando-se a polegada igual a 2,5 cm. Quantos cm tem a diagonal de um aparelho de16 polegadas?

P10) De acordo com a Bíblia, a arca de Noé tinha 300 cúbitos de comprimento, 50 cúbitos delargura e 30 cúbitos de altura. Considerando-se 1 cúbito = 0,5 m. Calcule as dimensões daarca de Noé.

P11) Em um mapa cada cm corresponde a 25 km no real. Sabendo-se que a distância realde São Paulo a Curitiba é de aproximadamente 400 km, essa distância corresponde aquantos cm no mapa?

P12) A figura a seguir mostra parte de um mapa onde estão localizadas as cidades A, B, C<D e as distâncias (em km) entre elas. Um automóvel percorria uma menor distância saindode A, passando por B e chegando a D ou saindo de A, passando por C e chegando a D?



P13) Com 32,40 m de arame, Roberto quer formar 20 pedaços de mesmo comprimento.Qual deverá ser o comprimento de cada pedaço?

P14) Uma cidade A está ligada a uma cidade B por uma estrada que tem 52,5 km decomprimento. Por sua vez a cidade B está ligada a cidade C por uma estrada cujocomprimento é igual a 2/3 da distância de A até B. Quantos quilômetros percorrerá umveículo que sai de A, passa por B e atinge C?

P15) Um carpinteiro está colocando rodapé no contorno de uma sala que tem 7,40m decomprimento por 4,15m de largura. Esta sala tem três portas, duas delas com 90 cm de vãocada uma e a outra com 130 cm de vão. Considerando-se que ele não vai colocar rodapé novão da porta, podemos dizer que ele vai usar de rodapé:a) 16mb) 17mc) 18 md) 19 me) 20 m

GABARITO - MEDIDAS DE COMPRIMENTO

P1) 2856,9

P2) 0,00456835

P3) 0,80

P4) 382.200 km

P5) 4,8 km/h

P6) 53.000 minutos

P7) Recebeu 19,80 m e pagou a mais 16,80

P8) 40,50 m

P9) 40 cm

P10) 150 m de comprimento, 25 m de largura e 15 m de altura



P11) 16 cm

P12) Passando por C

P13) 1,62 m

P14) 87,5 km

P15) E

MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

"Superfície é a região do plano determinada por segmentos de reta ou por linhas curvas.Medir uma superfície é compará-la com outra tomada como unidade".

Para medirmos as superfícies, utilizamos as unidades da área do sistema métricointernacional, cuja unidade básica é o metro quadrado (m2) e que corresponde a umquadrado de 1 metro de lado.

Neste sistema, cada unidade de área é cem vezes maior que a unidade imediatamenteinferior.

O metro quadrado foi criado para medir grandes superfícies, como por exemplo, asuperfície de uma fazenda.

Para medir grandes superfícies foram criadas unidades maiores que o metroquadrado, bem como, foram criadas unidades menores que o metro quadrado para medirpequenas superfícies.

Múltiplos do Metro Quadrado

Decâmetro Quadrado (dam2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 dam delado, eqüivalendo a 100 m2.

Hectômetro Quadrado (hm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 hm delado, eqüivalendo a 10.000 m2.



Quilômetro Quadrado (km2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 km delado, eqüivalendo a 1.000.000 m2.

Submúltiplos do Metro Quadrado

Decímetro Quadrado (dm2) - que corresponde a uma região quadrada de 1 dm delado, equivalendo a 0,01 m2.

Centímetro Quadrado (cm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 cm delado, equivalendo a 0,0001 m2.

Milímetro Quadrado (mm2) - que corresponde a uma área quadrada de 1 mm delado, equivalendo a 0,000001 m2

QUADRO DAS UNIDADES DAS MEDIDAS DE SUPERFÍCIE

As unidades de superfície variam de 100 em 100, assim, qualquer unidade é sempre100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior e 100 vezes menor que a unidadeimediatamente superior.

MUDANÇA DE UNIDADE

Para transformar a unidade de uma medida, em geral, utilizaremos a escada deunidades abaixo representada:



Por exemplo, se quisermos passar uma unidade de metros quadrados paracentímetros quadrados, vamos multiplicar o número por 10.000, pois estaremos descendodois degraus. Por outro lado, se fôssemos subir dois degraus desta escada (metrosquadrados pra decâmetros quadrados por exemplo), iríamos dividir o número por 10.000.Analogamente, de acordo com a quantidade de degraus é que vamos escolher o fatormúltiplo de cem.

MEDIDAS AGRÁRIASSão medidas utilizadas na agricultura para medir campos, fazendas, etc.As unidades são o hm2, o dam2 e o m2 que recebem designações especiais.A unidade fundamental de medida é o ARE, cujo símbolo é a, eqüivale a 1 dam2 ou

seja 100 m2.O are possui apenas um múltiplo e um submúltiplo:

v O múltiplo do are é o hectare que vale 100 ares ou 1 hectômetro quadrado. Seu símbolo éha.

v O submúltiplo do are é o centiare, cujo símbolo é ca e cujo valor corresponde a 0,01 are eequivale a 1m2.

Múltiplo hectare ha Hectômetro quadrado 10.000 m2are a Decâmetro quadrado 100 m2

Sub-múltiplo centiare ca Metro quadrado 1 m2

Observação:

Existem unidades não legais que pertencem ao sistema métrico decimal.

v Alqueire Paulista = 24.200 m2v Alqueire Mineiro = 48.400 m2



EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS AGRÁRIAS

P1) Uma fazenda tem 6 há de área. Qual sua área em m2?

P2) Uma reserva florestal tem 122.800m2 de área. Qual a área dessa reserva em ha?

P3) Uma plantação de café tem uma área de 406 ha. Qual a área dessa plantação em km2?

P4) Uma gleba de terra tem uma área de 5/8 ha. 60% da área dessa gleba foi reservada parapasto. Quantos m2 de pasto foram formados nessa gleba?

P5) Roberto comprou 6 alqueires paulistas de terra, Quantos m2 ele comprou?

P6) Numa fazenda de criação de gados para engorda, foram formados 50 alqueires(mineiros) de pasto de excelente qualidade. Quantos m2 de pasto foram formados nessafazenda?

P7) Uma plantação de cana de açúcar cobre uma extensão de 42 ha. Qual é, em m2, asuperfície ocupada pela plantação?

GABARITO - MEDIDAS AGRÁRIAS

P1) 60.000 m2

P2) 12,28 ha

P3) 4,06 km2

P4) 3750 m2

P5) 145.20 m2

P6) 2.420.000 m2

P7) 420.000 m2

MEDIDAS DE CAPACIDADE



" Capacidade é o volume de líquido que um sólido pode conter em seu interior".

Assim, quando dizemos que no interior de uma garrafa de água mineral cabe meiolitro, estamos medindo a quantidade de líquido que a garrafa pode conter.

Como a capacidade é um volume, podemos utilizar as unidades de volume paramedir os líquidos. Mas para este fim, utilizamos uma outra unidade de medida chamadalitros, que se abrevia por l.O litro corresponde à capacidade de um cubo com 1 dm dearesta, ou seja, corresponde ao volume de um decímetro cúbico.

Exemplo:

O hidrômetro de uma casa registrou no mês que passou, um consumo de25m3 de água. Quantos litros de água foram consumidos nessa casa?

•25m3 = (25 x 1000)dm3 = 25.000dm3 = 25.000l

MUDANÇA DE UNIDADE

Como os múltiplos e submúltiplos do litro variam de 10 em 10, pode-se concluir queas mudanças de unidades são feitas como nas medidas de comprimento, ou seja, deslocando-se a vírgula de uma em uma casa decimal para a esquerda ou para a direita ou ainda, comofoi dito, utilizando a escada de transformações representada abaixo:



EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE CAPACIDADE

P1) Expressar 2l em ml.

P2) Sabendo-se que 1dm3 = 1l, expressar 250 l em cm3.

P3) Na leitura de um hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último

mês foi de 36m3, quantos litros de água foram consumidos?

P4) Uma indústria farmacêutica fabrica 1400 litros de uma vacina que deve ser

colocada em ampolas de 35cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com estaquantidade de vacina?

P5) O volume interno de uma carreta de caminhão-tanque é de 85m3. Quantos litrosde combustível essa carreta pode transportar quando totalmente cheia?

P6) Um reservatório, cujo volume é de 10m3, estava totalmente cheio quando delesforam retirados 2.200 l. Numa segunda vez foi retirado 1/3 da quantidade de águaque restou. Nessas condições, quantos litros ainda restam no reservatório?

P7) O volume máximo interno de uma ampola de injeção é de 12cm3. Qual é acapacidade máxima em ml desta ampola?

P8) Qual é a capacidade, em litros, de uma caixa d´água cujo volume interno é de0,24m3?

GABARITO - MEDIDAS DE CAPACIDADE

P1) 2000ml

P2) 250000 cm3

P3) 36.000 litros

P4) 40.000 ampolas

P5) 85.000l de combustível

P6) 5200 litros



MEDIDAS DE MASSA

"Massa de um corpo qualquer é a quantidade de matéria que esse corpo contém".

O sistema métrico decimal é utilizado, para estabelecer as unidades que servem paramedir a massa de um corpo.

A unidade padrão para medir a massa de um corpo é a massa de um decímetrocúbico de água, a uma temperatura de 4ºC. Entretanto, por ser mais prático, foi utilizadocomo unidade principal o grama (abrevia-se g) e que se constitui numa massa igual amilésima parte do quilograma ou seja,

1g = 0,001kg ou 1kg = 1000g.

RELAÇÃO IMPORTANTE

Volume Capacidade Massa1 dm3 = 1 litro = 1 kg

Exemplo:Um recipiente, totalmente cheio contém um volume de 5m3 de água pura. Qual é o

peso (massa) da água contida neste recipiente?v 5m3 = 5.000 dm3 = 5000 kgLogo, o peso dessa água contida nesse recipiente é de 5.000 kg

OUTRAS UNIDADES DE MEDIDAS RELACIONADAS AO GRAMA

v Tonelada (T) = 1.000 kgv Megaton = 1.000 toneladasv Quilate = 0,2 g (unidade para medida de pedras e metais preciosos)



EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE MASSA

P1) Com uma certa quantidade de papel, foram feitos 25.000 blocos, todos com o mesmonúmero de páginas. Se cada bloco tem 0,75 kg, quantos quilogramas de papel foram usadospara fazer esses blocos?

P2) Uma laje é formada por 40 blocos de concreto. Cada bloco de concreto tem 1 1/4 T. demassa. Qual a massa da laje toda?

P3) Um litro de uma certa substância corresponde a uma massa de 2.5 kg. Quantos kg háem 6 m3 dessa substância?

P4) Um comprimido contém 3,5 mg de vitamina x. Uma pessoa toma três dessescomprimidos por dia. Quantos miligramas de vitamina x essa pessoa vai ingerir após 1 mêsde 30 dias?

P5) Um recipiente contém água pura. A massa dessa água é de 18.000 kg. Qual é em m3 ovolume interno desse recipiente?

P6) Um volume de 0,01 m3 corresponde a quantos decímetros cúbicos?

P7) Um reservatório tem um volume de 81 m3 e está totalmente cheio d´água. Uma válvulacolocada nesse reservatório deixa passar 1500l de água a cada 15 minutos. Esta válvulaficou aberta durante um certo tempo e depois foi fechada. Verificou-se que havia, ainda27m3 de água no reservatório. Durante quanto tempo esta válvula permaneceu aberta?a) 8 horasb) 9 horasc) 12 horasd) 18 horase) 36 horas

GABARITO - MEDIDAS DE MASSA

P1) 18.750 kgP2) 50 TP3) 15.000 kgP4) 315 mgP5) 18 m3P6) 10 dm3P7) B



MEDIDAS DE TEMPO

A unidade fundamental do tempo é o segundo. As unidades secundárias, que seapresentam somente como múltiplos, constam no quadro:

NOMES Símbolos Valores emsegundos

Segundo s ou seg 1Minuto min 60Hora h 3.600Dia d 86.400

Outras unidades, usadas na prática, são:v Semana (se) 7 diasv Mês (me) 30, 31 ou 29 ou 28 diasv Ano (a) 360, 365 ou 366 dias

O ano compõe-se de 12 meses. O ano comercial tem 360 dias, o ano civil tem 365 dias eano bissexto 366 dias.

Os meses de janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias; osmeses de abril, junho, setembro e novembro têm 30 dias. O mês de fevereiro tem 28 dias nosanos comuns (civil) e 29 dias nos anos bissextos.

Todo ano que for divisível por 4, são bissextos. Assim, por exemplo:1940, 1952, 1964 são bissextos1910, 1953, 1965 não são bissextos

Nomenclaturas:

v 02 anos chama-se biêniov 03 anos chama-se triêniov 04 anos chama-se quadriêniov 05 anos chama-se quinquênio ou lustrov 10 anos chama-se decênio ou décadav 100 anos chama-se séculov 1000 anos chama-se milêniov 02 meses chama-se bimestrev 03 meses chama-se trimestrev 06 meses chama-se semestre

A representação do número complexo que indica unidade de tempo, é feitaescrevendo-se em ordem decrescente o valor, s números correspondentes às diversasunidades acompanhados dos respectivos símbolos.

Exemplo:

v 9 a 4 me 18 d 15 h 23 min 17 seg



MUDANÇA DE UNIDADES

Podem ocorrer dois casos:

Caso 1: Transformação de número complexo em unidades inferiores também chamadas demedidas simples ou número incomplexo.

Exemplo:Verificar quantos minutos há em 3d 8h 13min?

v Como 1 dia tem 24 horas → 24 h x 3 = 72 hv Temos + 8 h. Estas 72 h + 8 h dá 80 h.v Como a hora vale 60 min. → 80 h x 60 min = 4800 min.v Somando-se ainda mais 13 min. → 4813 min.

Caso2: Transformação de um número expresso em medidas simples ou unidades inferioresou em números incomplexos.

Exemplo:Transformar 4813 min. em número não decimal, é o mesmo que determinar quantos

dias, horas e minutos há em 4813 min. Neste caso efetuamos as operações inversas doproblema anterior.

v 4813 ¸ 60 = 80 h e 13 minv 80h ¸ 24 = 3 d e 8 h

Logo, 4813 minutos é o mesmo que 3 dias 8horas e 13 minutos.

EXERCÍCIOS - MEDIDAS DE TEMPO

P1) Dizer: a) Quantos minutos há numa semana?b) Quantas horas há em duas semanas?

P2) Converter: a) 2d 12 h 15 min em minutos.b) 4 a 8 me 12 d em dias.

P3) Efetuar a operação: 13 d 55 h 42 min + 8 d 34 h 39 min.

P4) Exprimir quantos meses e dias contém a fração 5/8 do ano.

P5) Numa certa fábrica um operário trabalhou 2 a 10 me 15 d e outro durante 11 me 29 d.Qual é a diferença entre os tempos de trabalho dos dois operários?



P6) As 9 h da manhã acertou-se um relógio que atrasa 6 min em 24 h. Que horas serão, naverdade, quando o relógio marcar 5 h da tarde?

GABARITO - MEDIDAS DE TEMPO

P1) a) 10.080 min b) 336 h

P2) a) 3.615 min b) 1.712 dias

P3) 242 d 18 h 21 min

P4) 7 me e 20 d

P5) 1 a 10me 14d

P6) 4 h 58 min

INTRODUÇÃOAntes de iniciarmos o estudo de perímetros de figuras planas, vamos

revisar alguns conceitos básicos da Geometria Plana.

ÂNGULOS"Ângulo é a união de duas semi-retas de mesma origem".

Ângulo: BOA

BISSETRIZ

"É uma semi-reta de origem no vértice do ângulo, que o divide em 2 ânguloscongruentes".



ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

"São ângulos cujos lados de um, são semi-retas opostas aos lados do outro,como ilustra a figura".

TEOREMA: ba ˆˆ =

CLASSIFICAÇÕES



ÂNGULOS ADJACENTES

TRIÂNGULOS"Os Triângulos são Polígonos de três lados".

CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS LADOS



CLASSIFICAÇÕES - QUANTO AOS ÂNGULOS



QUADRILÁTEROS

"Os Quadriláteros são Polígonos de quatro lados".

TRAPÉZIO

"Quadrilátero com dois lados paralelos e ângulos consecutivos (agudo e obtuso)suplementares".

Trapézio ABCD:

v AD // BCv A + B = 180O

v C + D = 180º

PARALELOGRAMO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos, ângulos opostos iguais econsecutivos suplementares".

Paralelogramo ABCD:

v AB // CD e AC // BD

v A + B = 180O

v C + D = 180ºv A = D e C = B

LOSANGO



"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos opostos iguais eângulos consecutivos suplementares".

Losango ABCD:

v AB // CD e AC // BDv AB =BC = CD = ADv A + B = 180O

v C + D = 180ºv A = C e D = B

RETÂNGULO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos ângulos internos de medida igual a90O".

Retângulo ABCD:

v AB // CD ev AD // BCv A =B = C =D =90O

QUADRADO

"Quadrilátero com lados dois a dois paralelos e iguais, ângulos internos demedida igual a 90O".

Quadrado ABCD:



v AB // CD e AD // BCv AB = BC = CD = ADv A =B = C = D = 90O

POLÍGONOS DIVERSOSAlém dos triângulos e quadriláteros, temos polígonos de lados maiores que 4,que é o caso do Pentágono (5 lados), Hexágono (6 lados), e assimsucessivamente. Observe a tabela abaixo, referente aos nomes dos polígonos:

Nomenclatura

Número de lados3 Triângulo4 Quadrilátero5 Pentágono6 Hexágono7 Heptágono8 Octógono9 Eneágono

10 Decágono11 Undecágono12 Dodecágono20 Icoságono

Exemplos:

v Pentágono



v Hexágono

Notas: v "Polígonos Regulares"

Os polígonos são ditos regulares quando seus lados e ângulos são iguais entresi. Por exemplo, um polígono regular de três lados é triângulo eqüilátero, ou dequatro lados, o quadrado. v Perímetro dos Polígonos

Para a obtenção do perímetro de qualquer figura plana é necessário apenas, somaos lados da figura em questão.

EXERCÍCIOS / FIGURAS PLANAS

P1) Um terreno é retangular. As medidas dos seus lados são 58 m e 22,5 m. Se esse terrenoprecisa ser murado em todo o seu contorno, determine:a) Quantos metros de muro devem ser construídos?b) Quantos tijolos serão usados na construção do muro, se para cada m de muro são usados45 tijolos?

P2) Um jardim é quadrado e cada um de seus lados mede 62,5m nestas condições:a) Se Manoel der 3 voltas completas em torno do jardim, quantos m ele andará?b) Se Helena andar a metade da medida do contorno desse jardim, quantos m ela andará?

P3) Um jardim é retangular. O maior lado desse jardim mede 150 m e o lado menor mede3/5 do maior. Nestas condições.a) Quanto mede o menor lado do jardim?b) Qual a medida do contorno desse jardim?

P4) Raul tem 100 m de tela de arame para fazer uma cerca. Nessas condições:



a) Ele poderia fazer uma cerca de 23 m de lado?b) Ele poderia fazer uma cerca retangular de 32 m de comprimento por 12 m de largura?c) Quais as medidas de uma cerca retangular que ele poderia fazer usando toda a tela quetem?

P5) Usando um pedaço de barbante, Helena mediu o contorno de uma mesa quadrada eencontrou ao todo 8 pedaços. Se esse pedaço de barbante mede 24 polegadas, calcule:a) Quantas polegadas mede o contorno da mesa?b) Quantos cm mede o contorno dessa mesa, se uma polegada mede 2,5 cm.

P6) Um hexágono regular tem 6 lados, todos com a mesma medida. Se o perímetro dessehexágono é 51 cm, quanto mede cada lado desse hexágono?

GABARITO - PERÍMETROS

P1) a) 161 m b) 7245 tijolos

P2) a) 750 m b) 125 m

P3) a) 90 m b) 480 m c) 2400 m

P4) a) sim b) sim

P5) a) 192 polegadas b) 480 cm

P6) 8,5 cm

ÁREAS DE POLÍGONOSQuando medimos superfícies tais como um terreno, ou piso de uma sala,

ou ainda uma parede, obtemos um número, que é a sua área.

"Área é um número real, maior ou igual a zero, que representa a medida de umasuperfície."

Obteremos, portanto, as relações que vão nos auxiliar a encontrar as áreasdos polígonos mais comuns.

RETÂNGULO (SR)

A área de uma região retangular de altura h e base b é dada por b × h unidades deárea, ou seja:



SR = b × h

QUADRADO (SQ)

A área de uma região quadrada de lado a é dada por (a × a= a2) unidades de área, ou seja:

SQ = a × a = a2

PARALELOGRAMO (SP

Vamos recortar o triângulo ADH e coloca-lo no espaço existente no ladoBC:



Como as duas áreas são iguais, podemos dizer que a área da região limitada porum paralelogramo é dada multiplicando-se o comprimento (ou base) b pelalargura (ou altura) h, ou seja:

SP = b × h

TRIÂNGULO (S∆)

Para chegarmos na fórmula para cálculo da área limitada por um triângulo vamosprimeiramente dividir um retângulo por uma das diagonais, encontrando assimdois triângulos retângulos congruentes:

Observando a figura acima, concluímos que a área de um triângulo podeser obtida pela metade da área de um retângulo:

S∆ =2

SR =2

hb×

SD =2

hb×

LOSANGO (SL)



Seja o Losango MNPQ abaixo de diagonal maior D e diagonal menor d.

Para deduzirmos qual a fórmula para cálculo da sua área vamos separa-lo emdois outros triângulos (∆MNP e ∆MQP) de base D e altura d/2 congruentes entresi:

Logo: SL = 2 × S1 = 2 x2

.D2d

= 2 ×4

d.D =2

d.D

2d.DSL =

TRAPÉZIO (ST)

Seja o Trapézio abaixo de base menor b, base maior B e altura h.

Para deduzirmos a fórmula para o cálculo da área limitada por um trapézio,vamos inverter sua posição e "encaixar" num segundo trapézio idêntico aoprimeiro, observe:



Desta forma, encontramos um paralelogramo, e para calcular a área de umparalelogramo basta multiplicar a sua base pela sua altura, logo:

SP = 2 × ST ⇒ ST =2

SP ⇒ ST =2alturabase ×

ST =2b).h(B +

CÍRCULO

A área de um círculo de raio r é dada por:

S = π . r2

SETOR CIRCULAR

Se α é dado em graus, a área do setor circular pode ser calculada por:



SSC =2r

360á π°

COROA CIRCULAR

A área da Coroa Circular pode ser calculada pela diferença da área do círculomaior pela área do círculo menor.

SCC = π (R2 − r2)

Observação:

"Comprimento da Circunferência"

O comprimento de uma circunferência é calculado a partir da fórmula:

C = 2.π.R

Não confunda circunferência com o círculo: para você enxergar a diferença bastavocê imaginar uma pizza, a sua borda será a circunferência e o todo o seu recheioserá o círculo.

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) Uma parede tem 27m2 de área. Sabendo-se que já foram pintados 15m2 dessaparede, quantos m2 de parede ainda resta pintar?

P2) Em um terreno de 5.000m2, 42% da área foi reservada ara construções,ficando o restante como área livre. Quantos metros quadrados restaram de árealivre?

P3) Uma parede dever ser revestida com azulejos. A parede tem 20m2 de área ecada azulejo tem 0,04m2 de área. Quantos azulejos devem ser comprados pararevestir totalmente essa parede?



P4) Uma região retangular tem 6 m de comprimento por 4 de largura, uma regiãoquadrada tem 5m de lado. Qual das duas regiões tem a maior área?

P5) Consideremos uma região retangular que tem 27m de comprimento e 8 delargura. Essa região foi dividia em duas outras regiões A e B, de forma que a áreada região A corresponde a 1/3 da área da região que foi dividida. Calcule a área decada região.

P6) Uma região circular tem 5m de raio. Essa região foi dividida em duas outras, Ae B, de modo que a área da região B corresponde a 40% da área da regiãooriginal. Calcule a área de cada uma dessas regiões.

P7) Foram confeccionadas 1.500 flâmulas triangulares. Cada flâmula tem 0,40m debase de 0,15m de altura. Quantos metros quadrados foram usados na confecçãodessas flâmulas?

P8) Uma peça de madeira tem a fórmula de losango. A diagonal maior mede 50cme a diagonal menor 20cm. Qual a área desse losango?

P9) Calcular a base de um paralelogramo cuja a área é de 8,8336dm2 e a altura1,52dm.

P10) A área de um losango mede 2,565 dm2 e uma das suas diagonais tem 2,7dm.Quanto mede a outra diagonal?

P11) A base maior de um trapézio mede 2,4m e a menor é igual a 1/3 da maior.Qual é a sua área em m2. Sabendo-se que a altura mede 8,5dm?

P12) O comprimento de uma circunferência é 25,12cm. Qual é a área dacircunferência?

P13) A medida do raio de uma circunferência é igual a metade da medida dodiâmetro dessa circunferência. Esta afirmação é falsa ou verdadeira?

P14) A roda de um automóvel tem 0,6 m de diâmetro. Quando a roda desseautomóvel der 5.000 voltas completas, de quantos metros será a distânciapercorrida pelo automóvel?

P15) Uma circunferência tem 80 cm de raio. Se eu dividi-la por pontos em 4 partesde mesmo comprimento, qual será o comprimento de cada uma dessas 4 partes?

P16) Determinar o valor do raio de uma circunferência cujo comprimento é 12,56dm.

P17) Cada uma das rodas, de 0,30 m de raio, de um automóvel, deu 4.500 voltaspercorrendo um certo trajeto. Quantos quilômetros percorreu este automóvel?



GABARITO - MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREAS)

P1) 12m2

P2) 2900 m2

P3) 500 azulejos

P4) A quadrada pois 25 m2 > 24 m2

P5) 144 m2 para B e 72 m2 para A

P6) A região A = 47,10m2 e a região B = 31,40m2.

P7) 45 m2

P8) 500 cm2

P9) 5,8116 dm

P10) 1,9 dm

P11) 1,36 m2

P12) 50,21 cm2

P13) Verdadeiro

P14) 9425 m

P15) 125,66 cm

P16) 2 dm de raio

P17) 8,478 km

VOLUME DOS SÓLIDOS



"As abelhas em virtude de uma certa intuição geométrica sabem, que o hexágono é maior queo quadrado e o triângulo e conterá mais mel com o mesmo gasto de material..."

Papus de Alexandria

As abelhas, na realidade, não fazem hexágonos em suas colméias como disse o MatemáticoPapus de Alexandria, elas constroem Prismas Hexagonais.

Os prismas são figuras geométricas consideradas sólidos geométricos, assim como asPirâmides, Cilindros, Cones, Esferas.

Nesta parte de nossos estudos daremos uma atenção especial para os sólidosgeométricos. Até agora, quando estudamos quadrados, triângulos; falávamos apenas dasáreas ou perímetros dessas figuras, e agora poderemos calcular o volume desses sólidos.

PRISMAS

Observe os Prismas abaixo:

Observe agora apenas o Prisma Hexagonal:



Você deve ter observado que de acordo com a base de um prisma é ocomo ele será chamado, se a base for um hexágono, um Prisma Hexagonal; se forum quadrado, um Prisma Quadrangular etc. O mesmo ocorrerá com as Pirâmides.

Em todo sólido nós teremos as arestas, faces e vértices. A aresta nadamais é do que uma intersecção entre as faces. Os vértices, a intersecção entre asarestas, e assim por diante.

Para o cálculo do volume de um prisma basta multiplicarmos a área dabase pela altura.

Estudaremos a princípio, os prismas mais comuns, o Paralelepípedo e oCubo que são particularidades de Prismas Quadrangulares.

CUBO

v VOLUME: V = a3

v ÁREA TOTAL: AT = 6a2

v DIAGONAL: D = a 3

PARALELEPÍPEDO

v VOLUME: V = a.b.c



v ÁREA TOTAL: AT = 2(a.b + b.c + a.c)

v DIAGONAL: D =2c2b2a ++


1) Calcule a área total e a medida da diagonal de um cubo cujo volume é 125 m3.

Resolução:

V = 125 ⇒ a3 = 125 ⇒ a =3 125 ⇒ a = 5 m

AT = 6a2 ⇒ AT = 6´52 ⇒ AT = 6 × 25 ⇒ AT = 150 m2

D = a 3 ⇒ D = 5 3 m

PIRÂMIDESPara estudarmos as Pirâmides, vamos partir de um prisma:

Observe que a pirâmide se encaixa perfeitamente dentro de um prisma(desde que suas dimensões, como a base, altura e propriedades sejam asmesmas, no nosso caso um prisma quadrangular e uma pirâmide quadrangular).Se pudéssemos completar um prisma com areia, e após completar uma pirâmideconcluiríamos que com o volume de areia contido no prisma poderíamos enchertrês vezes a pirâmide, daí o volume desse prisma seria o triplo do volume damesma pirâmide.Na realidade é isso que acontece, o volume do prisma quadrangular da figuraacima é numericamente igual ao triplo do volume da pirâmide, portanto o volumede uma pirâmide pode ser pegando o volume de um prisma e dividindo por três.Podemos ainda identificar outros elementos da pirâmide, observe a figura

abaixo:



v VOLUME: V = 3HAb ⋅

v ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab

v RELAÇÃO: ap2 = ab2 + H2

Onde:ap ⇒ apótema da pirâmide;ab ⇒ apótema da base;H ⇒ altura da pirâmide.


R2) Calcule o volume e a área lateral de uma pirâmide regular, sabendo que seuapótema mede 5 cm e a sua base é um quadrado sujo lado mede 8 cm.

Resolução:

Para encontrarmos o volume dessa pirâmide precisamos saber a sua altura:

ap2 = ab2 + H2 ⇒ 52 = ( 28

)2 + H2 ⇒ H2 = 25 − 16H2 = 9 ⇒ H = 3 cm

Logo:

3HA

V b ⋅= ⇒ V =3

38 2 ⋅ ⇒ V = 64 cm3

Para se chegar na área lateral devemos saber quantas são as faces laterais e quala área de uma face. Como a base é um quadrado de lado 8cm e cada face de umapirâmide é um triângulo, fica ilustrada uma face lateral da seguinte forma:



ap = 5cm

b = 8cm

.

apótema dapirâmide

AF =258⋅ = 20 cm2

AL = 4 × 20 = 80 cm2

CILINDROS

Encontramos vários tipos de cilindros no nosso dia a dia:

Para se calcular o volume de um cilindro, faremos analogamente ao prisma (Ab × H),somente com a ressalva de que a base de um cilindro será um círculo. Na figurasrepresentadas abaixo temos a planificação de um cilindro (Figura 4) onde podemosperceber que para o cálculo de sua área lateral vamos considerar o retângulo formado coma base sendo numericamente igual ao comprimento da circunferência.



v VOLUME: VC = Ab× H

v ÁREA LATERAL: AL = 2πr× H

v ÁREA TOTAL: AT = AL + 2Ab

Exercícios Resolvidos1) Calcule o volume de um cilindro reto de altura 10 cm, sabendo que sua área lateral é 60pcm2.

Resolução:AL = 2πr× H ⇒ 60π = 2πr × 10 ⇒ r = 3cmV = Ab × H = πr2 × H = 9π × 10 = 90π cm3

V = 90p cm3

2) Calcule o volume de um cilindro eqüilátero, sabendo que a área de sua secção meridianaé 64 m2.

Resolução:Um cilindro eqüilátero é aquele que possui a altura igual ao diâmetro da base:

Cilindro Eqüilátero: H = d Secção Meridiana



ASM = 64 ⇒ H × d = 64 ⇒ d2 = 64 ⇒ H = d = 8 mV = Ab × H = πr2 × H = π 42 × 8 = 128π m3

V = 128π m3

ESFERA

Considere um semicírculo, fixo num eixo, rotacionando o mesmo em torno doeixo, este semicírculo gera uma esfera:

v VOLUME: V =3R

34 ð

v ÁREA ESFERA: A = 4πR2




1 ) Uma esfera tem raio 15 cm.

Calcule:a) seu volume;b) sua área;c) a área da secção feita a 9cm do centro.

Resolução:

a) Volume:

V =34π R3 =

34π 153 ⇒ V = 4 500π cm3

b) Área:

A = 4 π R2 = 4 π 152 ⇒ A = 900π cm2

c) Secção:

Cálculo do raio da secção:

152 = 92 + r2 ⇒ r2 = 144 r = 12cm



Logo a área da secção:

As = π r2 = 144π cm2

Αs = 144π cm2

CONESUm cone pode ser obtido através da rotação de um triângulo retângulo em tornode um eixo (e). Na figura temos que a hipotenusa (g) do triângulo será a geratrizdo cone.

A relação que existe entre um cone e um cilindro é a mesma existente entreuma pirâmide e um prisma, observe:

Podemos concluir então que volume de um cone será obtido dividindo o volumede um cilindro, de mesma base e mesma altura, por três.



v VOLUME: V = 3HAb ⋅

v ÁREA LATERAL: AL = π r g

v ÁREA TOTAL: AT = AL + Ab

v RELAÇÃO: g2 = H2 + r2

Onde:g ⇒ geratriz do cone;r ⇒ raio da baseH ⇒ altura do cone.


1) Os catetos de um triângulo retângulo medem 8 cm e 15 cm. Calcule o volume ea área total do cone de revolução gerado pela rotação completa desse triânguloem torno de um eixo que contém seu cateto maior.

Resolução:



O triângulo retângulo considerado, ao dar uma volta completa,gera no espaço um cone de raior = 8cm e altura H = 15cm . Sendo g a medida da geratriz dessecone, por Pitágoras:g2 = 82 + 152 ⇒ g2 = 64 + 225 ⇒ g = 17 cm

Volume:

V =3

HAb ⋅ =3

2 Hr ⋅⋅π=

31564 π⋅⋅ = 320π cm3

Área Total:

AT = AL + Ab = π r g + π r2 = π .8 .17 + π . 82 = 200π cm2

EXERCÍCIOS SOBRE VOLUMES

P1) Sendo 5cm a medida de uma aresta de um cubo, obtenha:a) a medida de uma diagonal de uma face de um cubo.b) a medida de uma diagonal desse cubo.c) sua área total.d) seu volume.

P2) Se a diagonal de uma face de um cubo mede 5 2 , então o volume desse cuboé:

a) 600 3

b) 625c) 225d) 125

e) 100 3

P3) Um paralelepípedo reto retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Se a sua

diagonal mede 3 10 , o valor de k é:a) 3b) 7c) 9d) 10e) 20



P4) Se a soma das medidas de todas as arestas de um cubo é 60cm, então ovolume desse cubo, em centímetros cúbicos, é:a) 125b) 100c) 75d) 60e) 25

P5) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10cm e6cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado comoum paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de x é:a) 16b) 17c) 18d) 19e) 20

P6) A água de um reservatório na forma de um paralelepípedo reto retângulo decomprimento 30m e largura 20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas eo calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório evaporaram. A águarestante no reservatório atingiu a altura de:a) 2 mb) 3 mc) 7 md) 8 me) 9 m

P7) Dado um prisma regular triangular (base é um polígono regular) de aresta dabase medindo 4cm e altura 6cm, calcule:

a) a área de uma base.

b) a área de uma face lateral.



c) a área lateral.

d) a área total.

e) o volume.

P8) Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a

aresta da base 2 3 cm . O volume dessa pirâmide em cm3, é:

a) 24 3

b) 36 3

c) 48 3

d) 72 3

e) 144 3

P9) Um imperador de uma antiga civilização mandou construir uma pirâmide queseria usada como seu túmulo. As características dessa pirâmide são:1O. Sua base é um quadrado com 100m de lado.2O. Sua altura é de 100m.Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000 m3, os escravos,utilizados como mão-de-obra, gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média,o tempo necessário para a construção da pirâmide, medido em anos de 360 dias,foi de:a) 40 anosb) 50 anosc) 60 anosd) 90 anose) 150 anos

P10) Qual é a altura de uma pirâmide quadrangular que tem as oito arestas iguais

a 2 ?

P11) Na figura seguinte, o ponto V é o centro de uma face do cubo. Sabendo queo volume da pirâmide VABCD é 6m3, o volume do cubo, em m3, é:



a) 9b) 12c) 15d) 18e) 21

P12) Num cilindro de revolução, o raio da base mede 8cm e a altura mede 10cm.Calcule desse cilindro:a) a área da base.b) a área lateral.c) a área total.d) a área de uma secção meridiana.e) o volume.

P13) Um tanque de petróleo tem a forma de um cilindro circular reto, cujo volumeé dado por: V = p R2 h. Sabendo-se que o raio da base e a altura medem 10 m,podemos afirmar que: o volume exato desse cilindro (em m3) é:a) 1 000p b) 100p c) (1 000p)/3d) (100p)/3 e) 200p

P14) O volume de um cilindro circular reto é 36 6 p cm3. Se a altura desse

cilindro mede 6 6 cm, então a área total desse cilindro, em cm2, é:a) 72pb) 84pc) 92pd) 94pe) 96p

P15) Na figura, a base do cone reto está inscrita na face do cubo. Supondo p = 3,se a área total do cubo é 54, então o volume do cone é:

a) 281

b) 227

c) 49

d) 427



e) 481

P16) Uma esfera tem raio medindo 15cm. Calcule:a) a área de sua superfície esférica.b) o volume dessa esfera.c) a área de uma secção feita nessa esfera por um plano que dista 9 cm do seucentro.

P17) Bolas de tênis, normalmente são vendidas em embalagens cilíndricascontendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem.Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é 2p, o volumeda embalagem é:

a) 6πb) 8π c) 10π d) 12π e) 4π

P18) Considere uma laranja como sendo uma esfera de 3cm de raio. Se adividirmos em doze gomos congruentes, então o volume de cada em gomo, emcm3, será:

a) πb) 2πc) 38

π

d) 3πe) 649

π

P19) Um tijolo tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Esse tijolo tem 22cmde comprimento, 10 cm de largura e 7cm de altura. Qual é o volume de argilausado na fabricação desse tijolo?

P20) Um cubo tem 3cm de aresta. Um segundo cubo tem uma aresta que é igualao triplo da aresta do primeiro. Calcule o volume de cada cubo e verifique quantasvezes o volume do segundo cubo é maior que o volume do primeiro.



P21) Uma piscina, em forma de paralelepípedo retângulo, tem 10m decomprimento, 5m de largura e 1,75m de profundidade internamente. Quantos m3de água são necessários para encher totalmente essa piscina?

P22) Uma parede é feita de blocos. Cada bloco tem 0,4m de comprimento, 0,15mde largura e 0,25m de altura. Sabendo-se que foram usados 200 desses blocospara a construção dessa parede, qual é o volume da parede em m3?

P23) Um bloco de pedra cúbico tem 2m de aresta. Qual é o peso desse bloco, secada m3 pesa 1/2 tonelada?

P24) Deseja-se cimentar um quintal retangular que tem 12m de comprimento por 7de largura. Com uma mistura de areia e cimento que tem 3cm de espessura. Qualé em m3, o volume da mistura usada nesse revestimento?

P25) Um paralelepípedo retângulo tem 4 m de comprimento, 3m de largura e 2mde altura. Um cubo tem 3m de aresta. Qual deles tem o volume maior?

P26) A carroceria de um caminhão tem as seguintes medidas internas: 4m decomprimento, 2,5m de largura e 0,5m de altura. Essa carroceria estátransportando uma quantidade de areia que corresponde a 3/5 do seu volume.Quantos m3 de areia estão sendo transportados pelo caminhão:?

P27) Expresse em dm3:

a) 0,08m3 b) 13600 cm3 c) 21

m3

P28) Um volume de 2.500.000 cm3 corresponde a quantos metros cúbicos?

P29) O volume de 0,7m3 de uma solução líquida deve ser distribuído em ampolascujo volume máximo é de 250 cm3. Quantas ampolas serão usadas?

P30) Uma caixa d´água está totalmente cheia e contém 2m3 de água. Um registrocolocado nessa caixa, deixa escolar 0,25m3 de água a cada 20 minutos, quandoestá aberto. Se o registro ficar aberto durante uma hora, quantos metros cúbicosde água restarão na caixa após seu fechamento?

P31) Um sólido tem 1,2m3 de volume. Um segundo sólido tem um volume quecorresponde a 5/8 do sólido dado. Qual o volume do segundo sólido?

P32) A leitura de um hidrômetro feita em 01/4/98 assinalou 1936m3. Um mês após,a leitura do mesmo hidrômetro assinalou 2014m3. Qual foi, em m3, o consumonesse período?



P33) O volume inicial de um tanque é 1m3 de ar. Cada golpe de uma bomba devácuo extrai 100dm3 de ar desse tanque. Após o 7º golpe da bomba, quantos m3de gás permanecem no tanque?

GABARITO - VOLUMES

P1)

a) 5 2 cm b) 5 3 cmc) 150 cm2 d) 125 cm3

P2) D

P3) B

P4) A

P5) D

P6) C

P7)

a) 4 3 cm2 b) 24 cm2

c) 72 cm2 d) 8( 3 + 9) cm2

e) 24 3 cm3

P8) C

P9) B

P10) 1 = 1

P11) D

P12)a) 64p cm2 b) 160p cm2c) 288p cm2 d) 80p cm2e) 640p cm3

P13) A

P14) B

P15) D

P16)a) 900p cm2 b) 4500p cm3c) 144p cm2



P17) A

P18) D

P19) 1540 cm3

P20) 27cm3, 729cm3, 27vezes

P21) 87,50 m3

P22) 3 m3

P23) 4 toneladas

P24) 2,52 m3

P25) o cubo pois 27m3 > 24 m3

P26) 3 m3

P27)a) 80 dm3 b) 13,6 dm3 c) 500 dm3

P28) 2,5 m3

P29) 2800 ampolas

P30) 1,25 m3

P31) 0,75 m3

P32) 78 m3

P33) 0,3 m3

RAZÃOv Grandeza: é tudo aquilo que pode ser medido.v Razão: é a relação entre duas grandezas.

DEFINIÇÃO



"Chama-se razão de duas grandezas da mesma espécie, ao quociente da divisãodos números que medem essas grandezas numa mesma unidade. Este quociente

é obtido, dividindo-se o primeiro número pelo segundo".

Conforme a definição, para determinarmos a razão entre duas grandezas énecessário que sejam da mesma espécie, e medidas com a mesma unidade.

A razão é representada sob a forma ba

ou a : b (que se lê "a está para b"), sendo ae b dois números racionais, com b ≠ 0.

Exemplo 1:Num exame há 1200 candidatos disputando 400 vagas. Se compararmos essesdois números através de uma divisão, obtemos:

v 400

1200 = 3

Dizemos que há 3 candidatos para cada vaga ou que a razão entre o número decandidatos e o número de vagas é de 3 para 1.

v 1200400 =

31

Dizemos que para cada vaga há 3 candidatos ou que a razão entre o número devagas e o número de candidatos é de 1 para 3.

Quando comparamos dois números através de uma divisão, o resultadoobtido chama-se razão entre esses números.

Exemplo 2:Admite-se como ideal, numa cidade, a existência de 1 médico para cada 5000habitantes. Nessas condições, quantos médicos deverá ter uma cidade com50.000 habitantes?De acordo com o problema, a razão entre o número de médicos e o número de

habitantes é 50001

.

Número de habitantes Número de médicos5.000 1

10.000 215.000 3

...... ......50.000 10

A cidade deverá ter 10 médicos.

Verificamos que as razões destacadas, 50001

e 5000010

são iguais.




1) Achar a razão entre dois segmentos de 1dm e 25cm respectivamente.

Resolução:Como é necessário medir as duas grandezas com a mesma unidade,

vamos reduzir as duas medidas a cm, para obter a

razão.

Logo ,cmcm

2510

s im p l if ic ando -s e ⇒52

ou 2 : 5

Assim: 1 dm = 10cm

2) Em uma competição esportiva participam 500 atletas, sendo 100 moças e 400rapazes.a) Qual a razão do número de moças para o número de rapazes?b) Qual a razão do número de rapazes para o número de moças?

Resolução:a) Dividindo-se o número de moças pelo número de rapazes, encontramos a

razão: 400100

=41

b)100400

=14

= 4

3) Determinar a razão entre 21

e 65

Resolução:

6521

=21×

56 =

106 =

53

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS RAZÕES

"Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmonúmero, diferente de zero, obtém-se um razão equivalente a uma razão dada".

Exemplo:33

53××

=159

RAZÕES ESPECIAIS



VELOCIDADE MÉDIA

"Denomina-se velocidade média a razão entre a distância percorrida e otempo gasto para percorrê-la".

Velocidade Média =GastoTempo

PercorridaDistância

Exemplo:Vamos determinar a velocidade média de um trem que percorreu a distância de453km em 6 horas:

Vm =td =

6453 = 75,5 km/h

Resposta:A velocidade média do trem foi de 75,5 km/h

ESCALA

"Denomina-se escala de um desenho a razão entre o comprimentoconsiderado no desenho e o correspondente comprimento real, medido com a

mesma unidade".

Escala =RealoCompriment

DesenhooCompriment

As escalas têm grande aplicação nos esboços de objetos (móveis,automóveis, etc), nas plantas de casas e terrenos, nos mapas e cartascartográficas.

Exemplo1:Em um mapa a distância entre duas cidades é de 3 cm. Sabendo-se que adistância real entre as cidades é de 300 km, qual a escala utilizada no mapa?

Resolução:v Comprimento do desenho: 3 cmv Comprimento real: 300 km = (300 x 100.000) cm = 30.000.000 cm

Escala =al

oDeResenh =

300000003 =

100000001

Resposta:A escala utilizada foi de 1:10.000.000

Exemplo2:



Ao desenhar a sua sala de aula, Paula traçou um segmento de 12 cm, quecorresponde ao comprimento total da sala. Sabendo-se que a escala utilizada foide 1:60, qual o comprimento real da sala?

Escala =al

oDeResenh ⇒

601 =

x12

⇒ x = 720 cm

Logo, o comprimento de 12 cm no desenho corresponde a um comprimento de720 cm ou 7,2 m do real.

Resposta:O comprimento real desta sala é 7,2m.

EXERCÍCIOS - RAZÕES

P1) A soma de dois números é 54 e a razão 7/11. Calcular os dois números.

P2) A diferença entre dois números é 15 e a razão 8/5. Calcular os dois números.

P3) Num ginásio há ao todo 540 alunos distribuídos em classes. A cada classe de 45 meninoscorresponde uma classe de 30 meninas. Calcular o número de meninas do ginásio.

P4) A razão entre a base e a altura de um triângulo é de 5 para 2, e a área do triângulo é de45m2. Calcular a base e a altura.

P5) Uma barra feita com uma liga de ouro/cobre tem a massa de 513g. Achar a massa decada metal sabendo que estão na razão de 11 para 8.

P6) Um trapézio é isósceles. A base menor está para a base maior na razão 2:5. Determine aárea, sabendo que:1º) A altura do trapézio vale 12cm.2º) A altura está para a base maior na razão 4:5.

P7) Qual a razão entre as áreas de dois círculos se o raio de um deles é o quádruplo do raiodo outro.

P8) Numa prova de matemática, um aluno acertou 12 questões sobre 20 que foram dadas.Qual a razão entre o número de questões que ele acertou para o número de questões daprova?

P9) Uma mercadoria acondicionada numa embalagem de papelão, possui 200g de pesolíquido e 250g de peso bruto. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?

P10) Um retângulo A tem 10cm e 15cm de dimensões, enquanto as dimensões de umretângulo B são 10cm e 20cm. Qual a razão entre a área do retângulo A e a área doretângulo B?



P11) A razão entre a altura de Tarcísio e sua sombra, em determinada hora do dia é de 3para 2. Se a sombra mede 1,2m, qual a altura de Tarcísio?

P12) A razão entre a velocidade de 2 móveis, A e B é de 3/8. Encontre a velocidade do móvelA, quando a velocidade do móvel B for igual a 20m/s

P13) A razão entre as massas de enxofre e de ferro que se combinam para formar o sulfetode ferro é de 4,7. Calcular:a) A massa de ferro que deve combinar com 32 gramas de enxofre para formar o sulfeto deferro.b) A massa de enxofre que se deve combinar com 1,12g de ferro para formar o sulfeto deferro.

P14) Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza narazão de 5 para 3. Se ele precisar de 25 litros dessa misturam, quantos litros de cada cor iráutilizar?

P15) Qual é a escala de um desenho em que um comprimento de 3m está representado porum comprimento de 5cm?

P16) A largura de um automóvel é 2 metros, uma miniatura desse automóvel foi construídade modo que essa largura fosse representada por 5cm. Qual foi a escala usada paraconstruir a miniatura?

P17) Em um mapa, a distância entre duas cidades é de 3cm. Sabendo-se que a distância realentre as cidades é de 300km. Qual a escala utilizada no mapa?

P18) A distância entre São Paulo e Rio de Janeiro é de aproximadamente 408km. Qual é aescala de um mapa onde esta distância está representada por 20,4cm?

P19) Numa escala de 1:50, qual o comprimento real em metros, correspondente a 8cm.

P20) Uma fotografia aérea mostra parte de uma região cuja área é 480m2 (área da partefotografada). Sabendo que a foto tem 8cm por 15cm, qual foi a escala da foto.

GABARITO - RAZÕES

P1) 21 e 33P2) 40 e 25P3) 216P4) 15m e 6 mP5) 297g e 216gP6) 126 cm2

P7) 161

P8) 53



P9) 54

P10) 43

P11) 1,80P12) 7,5 m/sP13)a) 56,00g b) 0,64gP14) 15 litros de tinta branca e 9 litros de tinta cinzaP15) 1:60P16) 1:40P17) 1:10.000.000P18) 1:2.000.000P19) 1:3000P20) 1:200

PROPORÇÃO

INTRODUÇÃO

Um posto de gasolina oferece um desconto de 1 real para cada 10 litroscompletos de gasolina. Se uma pessoa colocar 50 litros de gasolina no carro, quedesconto irá obter?

Com os dados do problema, podemos montar uma tabela:

Litros Descontos (em R$)10 120 230 340 450 5

O desconto será de R$ 5,00Nesta tabela podemos destacar:

vRazão entre desconto e litros: 101

vRazão entre desconto e litros: 505

.



V erificamo s que as razõ es101 e

505 são igu ais (o u equivalentes).

DEFINIÇÃO DE PROPORÇÃO

"Proporção é a igualdade entre duas razões, ou seja, quando duas razõesapresentam o mesmo quociente, sendo, portanto iguais".

Quatro números racionais a, b, c, d, diferentes de zero, nessa ordem, formam umaproporção quando a razão do primeiro número para o segundo é igual a razão doterceiro para o quarto.

ba =

dc

Ou, ainda, podemos escrever:a : b = c : d

que se lê:

"a está para b assim como c está para d"

Os quatro termos que formam a proporção são denominados termos daproporção. O primeiro e o quarto termo são chamados extremos da proporção. O

segundo e o terceiro são chamados meios.

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

"Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos".

dc

ba = ⇒ a.d = b.c

Exemplo:

v155

186= ⇒ 6 x 15 = 5 x 18 ⇒ 90 = 90

RECÍPROCA DA PROPRIEDADE FUNDAMENTAL

"Quando o produto de dois números é igual ao produto de dois outros, os quatronúmeros formam uma proporção".

Observação:



Para verificar se quatro números formam uma proporção, efetuamos o produto donúmero maior pelo menor e verificamos se esse produto é igual aos outro dois.

Assim, os quatro números 4,10,16 e 40 formam uma proporção, pois os produtos4 ´ 40 e 10 ´ 16, tem como resultado 160.

QUARTA PROPORCIONAL

"Chama-se Quarta Proporcional a três números dados, um quarto número queforma com os mesmos uma proporção".

Exemplo:

Vamos encontrar a quarta proporcional aos números 16, 12 e 48.Representando por x o termo procurado, veremos que o problema admite

três soluções, correspondentes às proporções, pois a posição do número x éarbitrária.

I-)1

164812

x= ⇒ x1 = 64

II-)4816

12 2x= ⇒ x2 = 36

III-)164812

3

=x

⇒ x3 = 4

Só há três soluções porque em cada solução o produto de um dos númerosdados por x é igual ao produto dos outros dois. Em geral, considera-se a soluçãoobtida, conservando na proporção a ordem dos números dados, e considerandocomo incógnita o último termo.

PROPORÇÃO CONTÍNUA

"Proporção contínua é aquela em que os meios e os extremos são iguais".

Exemplo:9

4 66= (os meios são iguais)

Na proporção contínua, o termo igual é denominado média proporcional ougeométrica, e qualquer um dos outros termos (4 ou 9) é denominado terceiraproporcional. No exemplo acima, 4 é a terceira proporcional entre 9 e 6, sendo 9 aterceira proporcional entre 4 e 6.


1) Achar a terceira proporcional a 5,6 e 0,84.



Resolução:Observando que, se a média não for previamente fixada, haverá duas

soluções:

1O. Modo:x84,0

84,06,5= ⇒ 5,6x = (0,84)2 ⇒ x = 0,126

2O.Modo:x6,5

6,584,0

= ⇒ 0,84x = (5,6)2 ⇒ x = 37,33

Se, contudo, a média for previamente fixada, só haverá uma das resoluções.

2) Achar a terceira proporcional a 3 e 9, sendo 9 a média.

Resolução:

x9

93= ⇒ 3x = 81 ⇒ x = 27

PROPRIEDADES GERAIS DAS PROPORÇÕES

PROPRIEDADE 1

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o primeirotermo, assim como a soma dos dois últimos termos está para o terceiro termo".

dc

ba = ⇒

cdc

aba +=+

PROPRIEDADE 2

"Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundotermo, assim como a soma dos dois últimos está para o quarto termo".

dc

ba = ⇒

ddc

bba +=+

PROPRIEDADE 3

"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o primeirotermo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o terceiro

termo".



dc

ba= ⇒

cdc

aba −=

−

PROPRIEDADE 4"Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo

termo, assim como a diferença dos dois últimos termos está para o quarto termo".

dc

ba= ⇒

ddc

bba −=

−

PROPRIEDADE 5

"Numa proporção, a somados antecedentes está para a soma dos conseqüentes,assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

dc

ba= ⇒

dc

dbcae

ba

dbca

=++

=++

PROPRIEDADE 6

"Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dosconseqüentes, assim como cada antecedente está para seu conseqüente".

dc

ba = ⇒

dc

dbcae

ba

dbca

=−−

=−−

PROPRIEDADE 7

"Em toda proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dosconseqüentes assim como o quadrado de qualquer antecedente está para o

quadrado do respectivo conseqüente".

dc

ba= ⇒ 2

2

2

2

dc

dbcae

ba

dbca

=⋅⋅

=⋅⋅


1o ExercícioA diferença entre os antecedentes de uma proporção é 10 e os conseqüentes 9 e

7. Achar os antecedentes.

Resolução:Representando por a e b os antecedentes, formamos a

proporção: 7b

9a=

aplicando-se a propriedade relativa à diferença, vem que:



979aba

=−−

⇒92

10 a= ⇒ 2a = 90 ⇒ a = 45

logo, b = 35

Resposta:Os antecedentes são, respectivamente 45 e 35.

2o Exercício

=

=+

7y

3x

20yxsistemaoResolver

Resolução:Aplicando-se a propriedade relativa à soma, vem:

373xyx

=++ ⇒

31020 x

= ⇒ x = 6

logo, y = 14

Resposta:Os antecedentes procurados são respectivamente 6 e 14.

PROPORÇÃO PROLONGADA

Proporção prolongada é a sucessão de três ou mais razões iguais.

Exemplo:168

126

42

==

PROPRIEDADE DAS PROPORÇÕES PROLONGADAS

"Numa proporção prolongada, a soma dos antecedentes está para a soma dosconseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente".

Exemplo:16124862

168

126

42

++++

===




1) Achar a, b, c na seguinte proporção 6c

4b

3a

==sabendo-se que a soma é a + b +

c = 26.

Resolução:Aplicando-se a propriedade das proporções prolongadas temos:

21326

643cba

6c

4b

3a

==++++

===

Logo,

v 3a = 2 ⇒ a = 6

v 4b = 2 ⇒ b = 8

v 6c = 2 ⇒ c = 12

NÚMEROS PROPORCIONAIS

NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais, não nulos, são diretamenteproporcionais se, e somente se, a razão dos termos correspondentes são todas

iguais entre si".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (2, 5, 6, 9) e (8, 20, 24, 36). Essas seqüências sãodiretamente proporcionais porque:

369

246

205

82

=== = k

O v alo r co m u m d as raz õ e s é k =41

, u m a co n st an te nã o nu la.

"K é denominado fator constante ou coeficiente de proporcionalidade".


1) Dada as seqüências proporcionais (3, 5, 7, y) e (6, 10, x, 8). Determine ocoeficiente de proporcionalidade e os valores de x e y.



Resolução:

Como:8

7105

63 y

x=== =

21 , logo o coeficiente de proporcionalidade é

21 .

Então:

v x7 =

21 ⇒ x = 14

v 8y =

21⇒ 2y = 8 ⇒ y = 4

Resposta:

O valor de x é 14 e o valor de y é 4. O coeficiente de proporcionalidade é 21

.

NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

"Duas seqüências A e B de números reais são inversamente proporcionais,quando o produto entre qualquer termo da primeira seqüência e seucorrespondente na segunda, é sempre uma constante k não nula".

Exemplo:

Sejam as seqüências: (20, 25, 40, 50) e (10, 8, 5, 4). Essas seqüênciasapresentam números inversamente proporcionais porque o produto dos termoscorrespondentes é sempre 200.Observe: 20 ´ 10 = 200; 25 ´ 8 = 200; 40 ´ 5 = 200; 50 ´ 4 = 200.

O produto k = 200 denomina-se coeficiente de proporcionalidade.Podemos escrever esses produtos, também, da seguinte forma:

41

50

5140

8125

101

20 === = k

Logo 20, 25, 40, 50 são diretamente proporcionais aos números: 101 ,

81 ,

51 ,

41

DIVISÃO PROPORCIONAL

DIVISÃO ENTRE AS PARTES DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:



Vamos dividir o número 32 em parcelas que sejam diretamente proporcionais aosnúmeros 3, 5, 8.

Resolução:O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 32, e que

sejam proporcionais aos números 3, 5, 8.Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:

x + y + z = 32 e853zyx ==

Pela propriedade da proporção:

853853 ++++

===zyxzyx

=1632

= 2

substituindo os valores:

v 3x = 2 ⇒ x = 6

v 5y = 2 ⇒ y = 10

v 8z = 2 ⇒ z = 16


1) Dividir 153 em partes diretamente proporcionais aos números 32

e 43

.

Resolução:Neste caso, o número 153 deve ser dividido em duas parcelas, x e y:

1712153

1217

153

1298

153

43

32

43

32

⋅==+

=+

+== yxyx = 9 × 12 ⇒ k = 108

Uma vez que encontramos o coeficiente de proporcionalidade:

108

32=x ⇒ x =

32 .108 ⇒ x = 72

v 108

43 =y

⇒ y =43 108 ⇒ y = 81

Resposta:Os números procurados são 72 e 81.



DIVISÃO ENTRE AS PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Exemplo:Vamos dividir o número 273 em partes inversamente proporcionais a

31 ,

41 e

72 .

O problema consiste em encontrar três parcelas cuja soma seja 273, e que

sejam inversamente proporcionais aos números 31 ,

41 ,

72 .

Chamamos essas parcelas de x, y e z temos:

x + y + z = 273 e

2743zyx ==

note que invertemos os número, no denominador das razões. Pela propriedade daproporção:

26K =⇒⋅

==+

=++

++===

212273

221

273

2714

273

27

432743

zyxzyx

Substituindo os valores:

v 3x = 26 ⇒ x = 78

v 4y = 26 ⇒ y = 104

v

27z = 26 ⇒ z =

27 . 26 ⇒ z =

91EXERCÍCIOS - PROPORÇÕES

P1) Calcular x e y, na proporção 5y

4x=

, sabendo que x + y = 45.

P2) Calcular x e y, na proporção 3y

5x=

, sabendo que x - y = 14.

P3) Calcular x, y e z na proporção 4z

3y

2x

==sabendo que 2x + 3y + 4z = 58.



P4) Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18.

P5) Determinar o coeficiente de proporcionalidade entre os seguintes grupos de

números proporcionais: 71,

568,

355,

142

P6) Verificar se as seguintes seqüências (45, 60, 75) e (3, 4, 5) são proporcionais.

P7) Achar x nas sucessões proporcionais (2, 8, 3) e (4, 16, x).

P8) A grandeza x é diretamente proporcional a y. Quando a grandeza y tem o valor8, x tem o valor 40. Determinar o valor da grandeza x, quando y vale 10.

P9) Em 18 gramas de água, há 2 de hidrogênio e 16 de oxigênio; em 45 gramas deágua há 5 de hidrogênio e 40 de oxigênio. Verificar se há proporcionalidade entreas massas de água e hidrogênio, água e oxigênio, hidrogênio e oxigênio. Em casoafirmativo determinar os coeficientes de proporcionalidade.

P10) Dividir 180 em três partes, diretamente proporcionais a 3, 4 e 5.

P11) Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo queparticiparam da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cadaum?

P12) Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de umjogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidaspor cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5?

P13) Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendoque o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que osegundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses.

P14) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os trêsprimeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$

507.000,00 divididas em partes inversamente proporcionais a 412 ,

321

e 1,2.Nessas condições, qual o prêmio de menor valor a ser pago?

P15) Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes quesejam ao mesmo tempo diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e inversamenteproporcionais a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá?

P16) Um pai distribuiu 284 bombons entre os filhos Hudson, Larissa e Carol, empartes diretamente proporcionais à nota de Matemática e inversamenteproporcional a idade dos filhos. Calcule o número de bombons recebidos deacordo com os dados:Hudson: 10 anos e nota 7;



Larissa: 12 anos e nota 5;Carol: 8 anos e nota 10.

GABARITO - PROPORÇÕES

P1) x = 20; y = 25

P2) x = 35; y = 21

P3) x = 4; y = 6; z = 8

P4) x = 8; y = 6; z = 4

P5) k =71

P6) Sim, k = 15

P7) x = 6

P8) x = 50

P9) Sim, k =52

P10) 45, 60, 75

P11) Sócio1: R$ 2.700,00; Sócio2: R$ 4.500,00; Sócio 3: R$6.300,00

P12) R$ 60.000,00; R$ 30.000,00; R$ 30.000,00; R$ 20.000,00; R$12.000,00

P13) R$ 21.600,00; R$6.600,00

P14) R$ 120.000,00

P15) 27 e 108

P16) Hudson: 84; Larissa: 50; Carol: 150.

SEQÜÊNCIA NUMÉRICA

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjuntoordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, oconjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujoprimeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 eassim sucessivamente.



Uma seqüência pode ser finita ou infinita.O exemplo dado acima é de uma seqüência finita.Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente naforma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é osegundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo.

(Neste caso, k < n).Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemosdizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecema uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relaçãomatemática entre eles.Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo apartir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3.A lei de formação ou seja a expressão matemática que relacionaentre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dadopor an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo.

Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n -ésimo termo) correspondente.Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, eportanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65.

Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda aseqüência S que seria:S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la.Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro epositivo.

Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como:(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo:

a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)



Chama-se Progressão Aritmética - PA - à toda seqüência numéricacujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somadocom um valor constante denominado razão.

Observe as seqüências numéricas abaixo:

I. (2, 4, 6, 8, ...)

II. (11, 31, 51, 71, ...)

III. (9, 6, 3, 0, ...)

IV. (3, 3, 3, 3, ...)

V. (4, 29

, 5, 211

, ...)

Note que de um número para outro está sendo somada uma constante,podendo ser:

Um número positivo ⇒ Seqüências I e II2 + 2 = 44 + 2 = 6

ou

11 + 20 = 3131 + 20 = 51 Um número negativo ⇒ Seqüência III

9 + (-3) = 66 + (-3) = 3

O número Zero (elemento neutro da adição)⇒ Seqüência IV

3 + 0 = 33 + 0 = 3

Uma fração ⇒ Seqüência V

As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Aritméticas(P.A.) e a constante que em cada caso foi adicionada a um termo, é chamada derazão (r) da progressão.



Definição: "Progressão Aritmética (P.A.) é uma seqüência numérica em que cadatermo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo,chamado razão da progressão. "

CLASSIFICAÇÕES

De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinteforma:

a) se r > 0 (razão positiva) ⇒ P.A. crescenteCasos: I, II e V

b) se r < 0 (razão negativa) ⇒ P.A. decrescenteCaso: III

c) se r = 0 (razão nula) ⇒ P.A. constanteCasos: IV

TERMO GERAL

Seja a P.A. representada na forma matemática:

P.A.: (a1, a2, a3, a4, ..., an)

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.A.conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (r).

Da P.A. acima de razão "r" temos:

a2 = a1 + ra3 = a2 + r ⇒ a3 = a1 + 2ra4 = a3 + r ⇒ a4 = a1 + 3ra5 = a4 + r ⇒ a5 = a1 + 4r. .. .. .an = an-1 + r ⇒ an = a1 + (n - 1) × r

PROPRIEDADES IMPORTANTES



Seja a P.A.:

TERMOS EQÜIDISTANTES

A soma dos termos eqüidistantes de uma P.A. é sempre constante:

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo é sempre obtido pela média aritmética dos "vizinhos", ou doseqüidistantes.


1) Encontre o 21º termo da P.A. (22, 27, 32, ...).

Resolução:

Sabemos que a1 = 22 e r = 27 - 22 = 5

Utilizando a relação do termo geral escrevemos:a21 = a1 + (21 - 1) r ⇒ a21 = 22 + 20 . 5a21 = 122

2) Numa P.A. de razão 4, o quinto termo é 97. Qual a ordem do termo que é igual a141?

Resolução:

Sabemos que a5 = 97 e r = 4a5= a1 + (5 - 1)r ⇒ 97 = a1 + 4 . 4 ⇔ a1 = 81⇒an = a1 + (n - 1)r ⇒ 141 = 81 + (n - 1) . 4n = 16

3) Sabendo que a seqüência (3y, y + 1, 5, ...) é uma P.A. Encontre a sua razão e oprimeiro termo dessa progressão.



Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinterelação:

y + 1 =2

53 +y⇒ 2(y+1) = 3y + 5

Resolvendo a equação do primeiro grau obtemos y = -3

Logo a P.A. fica escrita (-9, -2, 5, ...)e portanto a1 = -9 e r = -2 - (-9) = 7

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A.

Imagine se quiséssemos somar os cem primeiros números naturais, ou seja,obteríamos a seguinte soma:

Seria a soma dos 100 primeiros termos da seguinte P.A.:

e portanto se somarmos seus termos eqüidistantes obteremos somas constantes,fazendo uso desta propriedade poderemos escrever a soma dos 100 primeirostermos da seguinte forma:

Observando que para somar todos esses termos foi necessário somar oprimeiro termo com o último, multiplicar pelo número de termos e dividir por dois.Chegamos, portanto na relação da soma dos "n" primeiros termos de progressãoaritmética:




1) Determine a soma dos 20 primeiros termos da progressão aritmética (2, 5, 8, ...).

Resolução:

Temos a1 = 2 e r = 3precisamos obter o a20 ⇒ a20 = a1 + (20 - 1) . ra20 = 2 + 19 . 3 ⇒ a20 = 59

Portanto

S20 =2

20).592( +⇒ S20 = 61 . 10

S20 = 610

2) Um torneio de futebol é disputado em nove semanas. Na 1ª semana, há doisjogos; na 2ª semana, cinco; na 3ª oito; e assim por diante. Quantos jogos, aotodo, são disputados nesse torneio?

Resolução:

Observando a seqüência de jogos disputados durante as nove semanasencontramos a seguinte P.A. de nove termos:

(2, 5, 8, ..., a9)e portanto para sabermos quantos jogos serão realizados, no total, devemossomar todos os termos, ou seja, todos os jogos disputados em cada semana:

a9 = a1 + 8.r ⇒ a9 = 2 + 8 . 3 ⇒ a9 = 26

S9 =()Τϕ/Φ6 14.813 Τφ1 0 0 1 154.5 360.89 Τµ ()

29.91 aa +⇒ S9 =

()Τϕ/Φ6 14.906 Τφ1 0 0 1 244.5 360.89 Τµ ()2

9.262 +⇒ S9 = 14 . 9

S9 = 126

Contudo serão realizados 126 jogos, nestas nove semanas de jogo.

EXERCÍCIOS - P.A.

P1) O trigésimo primeiro termo de uma P.A. de 1º termo igual a 2 e razão 3 é:

a) 63b) 65c) 92d) 95e) 102

P2) Sendo 47 o 17º termo de uma P.A. e 2,75 a razão, o valor do primeiro termo é:



a) -1b) 1c) 2d) 0e) 3

P3) Interpolando-se 7 termos aritméticos entre os números 10 e 98, obtém-se umaprogressão aritmética cujo quinto termo vale:

a) 45b) 52c) 54d) 55e)57

P4) Se os ângulos internos de um triângulo estão em P.A. e o menor deles é ametade do maior, então o maior mede:

a) 60ºb) 80ºc) 70ºd) 50ºe) 40º

P5) Uma montadora de automóveis produz uma quantidade fixa de 5000 carros aomês e outra, no mesmo tempo, produz 600, para atender ao mercado interno. Emjaneiro de 1995 ambas as montadoras farão um contrato de exportação.Mensalmente, a primeira e a segunda montadoras deverão aumentar ,respectivamente, em 100 e 200 unidades. O número de meses necessários paraque as montadoras produzam a mesma quantidade de carros é:

a) 44b) 45c) 48d) 50e) 54

P6) Sabendo que a seqüência (1 - 3x, x - 2, 2x + 1, ...) é uma P.A., então o décimotermo da P.A. (5 - 3x, x + 7, ...) é:

a) 2b) 6c) 5d) 4e) 3

P7) A soma dos vinte primeiros termos da P.A. (-13, -7, -1, ...) é:

a) 400b) 480



c) 880d) 800e) 580

P8) O oitavo termo de uma P.A. é 89 e a sua razão vale 11. Determine a soma:

a) de seus oito primeiros termos;b) de seus quinze primeiros termos.

P9) Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na segunda fila,28 na terceira fila, 32 na quarta fila e as demais se compõem na mesmaseqüência. Quantas filas são necessárias para a casa ter 800 lugares?

P10) Um agricultor colhe laranjas durante doze dias da seguinte maneira: no 1ºdia, são colhidas dez dúzias; no 2º, 16 dúzias; no 3º, 22 dúzias; e assim por diante.Quantas laranjas ele colherá ao final dos doze dias?

P11) Verificou-se que o número de pessoas que comparecia a determinado eventoaumentava, diariamente, segundo uma P.A. de razão 15. Sabe-se que no 1º diacompareceram 56 pessoas e que o espetáculo foi visto, ao todo, por 707 pessoas.

Durante quantos dias o espetáculo ficou em cartas? (Dado: 94249 = 307.)

P12) Um estacionamento adota a seguinte regra de pagamento:1ª hora: R$ 4,002ª hora: R$ 3,50A partir daí, o preço das horas varia segundo uma P.A. de razão igual a -R$ 0,30

a) Qual o valor a ser cobrado na 8ª hora de permanência de um carro nesteestacionamento?

b) Quanto pagará um proprietário de um veículo estacionado por oito horas?

P13) A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é:

a) 5000b) 3950c) 4000d) 4950e) 4500

GABARITO - P.A.

P1) CP2) EP3) CP4) BP5) AP6) DP7) C



P8) a) 404 b) 1335P9) 16 filasP10) 6192 laranjasP11) 7 diasP12) a) R$ 1,40 b) R$ 21,15P13) D

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA(P.G.)

Observe as seqüências numéricas abaixo:

I. (2 , 4 , 8 , 16 , .. .)II . (11 , 33 , 99 , 297 , ...)

II I. (9, 3 , 1 , 31

, ...)IV . (3, 3 , 3 , 3 , .. .)V . (4, -8 , 16 , -32 , .. .)

Note que de um número para outro está sendo multiplicada uma constante,podendo ser:

Um número positivo ⇒ Seqüências I e II2 × 2 = 44 × 2 = 8ou11 × 3 = 3333 × 3 = 99

Uma fração ⇒ Seqüência III

9 x 31

= 3

3 x 31

= 1

O número 1 (elemento neutro da multiplicação) ⇒ Seqüência IV3 x 1 = 33 x 1 = 3

Um número negativo ⇒ Seqüência V4 x (-2) = -8(-8) x (-2) = 16



As cinco seqüências numéricas são exemplos de Progressões Geométricas (P.G.)e a constante que em cada caso foi multiplicada a um termo, é chamada de razão(q) da progressão.

Definição: "Progressão Geométrica (P.G.) é uma seqüência numérica em que cadatermo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por um número fixo,chamado razão da progressão. "

CLASSIFICAÇÕES

De acordo com a razão de uma P.A. podemos classifica-la da seguinteforma:

a) se a1 > 0 e q > 1 (primeiro termo e razão positiva) ⇒ P.G. crescenteCasos: I e IIb) se a1 > 0 e 0 < q < 1 (primeiro termo positivo e razão entre 0 e 1) ⇒ P.G.decrescenteCaso: IIIc) se q = 1 (razão igual a 1) ⇒ P.G. constanteCasos: IVd) se a1 ≠ 0 e q < 0 ⇒ P.G. alternanteCaso: V

TERMO GERAL

Seja a P.G. representada na forma matemática:

P .G . : (a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . , a n )

Encontraremos uma relação que nos auxiliará a obter um termo qualquer da P.G.conhecendo-se apenas, o primeiro termo (a1) e a razão (q).

Da P.G. acima de razão "q" temos:

a2 = a1 × qa3 = a2 × q ⇒ a 3 = a 1 × q2

a4 = a3 × q ⇒ a 4 = a 1 × q3

a5 = a4 × q ⇒ a 5 = a 1 × q4

. .

. .

. .an = an -1 × q ⇒ an = a1 × q (n - 1 )

PROPRIEDADES IMPORTANTES



Seja a P.G.:(1 , 3 , 9 , 2 7 , 8 1 , 2 43 , 72 9)

TERMOS EQÜIDISTANTES

A produto dos termos eqüidistantes de uma P.G. é sempre constante:

1 × 7 2 9 = 3 × 2 4 3 = 9 × 8 1 = 2 7 × 2 7 = 2 7 2

TERMOS CONSECUTIVOS

Um termo é sempre obtido pela média geométrica dos "vizinhos", ou doseqüidistantes.

3 2 = 1 × 9 ; 2 7 2 = 9 × 8 1 ; 9 2 = 3 × 2 7


1) Calcule o quinto termo da P.G. (2, 6, 18, ...).

Resolução:

Sabemos que a1 = 2 e q = 6 ÷ 2 = 3Utilizando a relação do termo geral escrevemos:a5 = a1 × q(5 - 1) ⇒ a5 = 2 × 34a5 = 162

2) Sabendo que a seqüência (3, y + 2, 5y - 2, ...) é uma P.G. Encontre a sua razão eo primeiro termo dessa progressão.

Resolução:

Utilizando a propriedade de três termos consecutivos obtemos a seguinterelação:(y + 2)2 = 3 .(5y - 2)y2 + 4y + 4 = 15y - 6y2 - 11y + 10 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:



y = 1 0P .G .: (3 , 1 2 , 4 8 , . . . )

==

4q3a 1

o u

y = 1P .G .: (3 , 3 , 3 , .. . )

==

1q3a 1

SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G.

Para o cálculo da soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica,usa-se a fórmula abaixo:

S n =q1

)q(1a n1

−−⋅ o u S n =

1-q1)-(qa n

1 ⋅


1) Determine a soma dos 8 primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9,...).

Resolução:

Temos a1 = 1 e q = 3Portanto

S8 =)13(

)13(1 8

−−⋅ ⇒ S8 =

216561 −

S8 = 3 280

2) Determine a soma dos oito primeiros termos da P.G. (-1, 2, -4, 8, ...)

Resolução:

Da P.G. acima temos: a1 = -1 e q = 2 ÷ (-1) = -2Utilizando a fórmula para o cálculo dos cem primeiros termos da P.G.:

S8 = ()Τϕ/Φ6 15.25 Τφ1 0 0 1 257 192.89 Τµ ())12(

]12[1 8

−−−−⋅− ⇒ S8 =

3255−−

S8 = 85



EXERCÍCIOS - P.G.

P1) Qual é o quinto termo da P.G. ( 92

, 34

, 8, ...)?

P2) O 4º. termo de uma P.G. é 2501

e o 1º. termo é igual a 4. Qual é a razão dessaP.G.?

P3) O 9º. termo de uma P.G. é 82

e a sua razão é 22

. Determine:a) O primeiro termo;b) o quarto termo.

P4) Qual é o décimo termo da P.G.: (20, 10, 5, ...)?

P5) Numa pequena cidade, um boato é espalhado da seguinte maneira: no 1º. dia,5 pessoas ficam sabendo; no 2º., 15; no 3º., 45; e assim por diante. Quantaspessoas ficam sabendo do boato no 10º. dia?

P6) Num cassino, são disputadas dez rodadas em uma noite. Na 1ª. rodada, ovalor do prêmio é R$2000,00. Caso os valores dos prêmios aumentem segundouma P.G., qual é o valor do prêmio na última rodada, se na 5ª. rodada ele for deR$10 125,00?

P7) Calcule o valor de x, de modo que a seqüência (x - 4, 2x - 4, 4x + 4) seja umaP.G.

P8) Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (4, -12, 36, ...).

P9) Numa P.G. de termos positivos, o 1º. termo é igual a 5 e o 7º. é 320. Calcule asoma dos dez primeiros termos dessa P.G.

P10) Um indivíduo contraiu uma dívida e precisou pagá-la em oito prestaçõesassim determinadas: 1º. R$60,00; 2ª. R$90,00; 3ª. R$135,00; e assim por diante.Qual o valor total da dívida?

P11) Numa cidade, 3100 jovens alistaram-se para o serviço militar. A junta militarda cidade convocou, para exame médico, 3 jovens no primeiro dia, 6 no 2º. dia, 12no 3º., e assim por diante. Quantos jovens ainda devem ser convocados para oexame após o 10º. dia de convocações?

GABARITO - P.G.

P1) 288

P2) q = 101



P3) a) 22 b) 1

P4) 1285

P5) 98 415

P6) R$ 76 886,72

P7) 8

P8) 2 188

P9) 5 115

P10) R$ 2 956,00, aproximadamente

P11) 31

SISTEMAS LINEARES

É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3..................................................................................................................................am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

Exemplo:

3x + 2y - 5z = -84x - 3y + 2z = 47x + 2y - 3z = 20x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).

Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientese b1, b2, ... , bn são os termos independentes.



A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente sesatisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo:O termo ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:

x + y + 2z = 73x + 2y - z = 11x + 2z = 43x - y - z = 2pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmassoluções.

Exemplo:

S1: 2x + 3y = 123x - 2y = 5

S2: 5x - 2y = 116x + y = 20

Os sistemas lineares são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3,como solução. Verifique!

2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que eleé POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.

3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele éIMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.

4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução,dizemos que ele é DETERMINADO.

5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução,dizemos que ele é INDETERMINADO.

6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear foremtodos nulos, ou sejab1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:

x + y + 2z = 02x - 3y + 5z = 05x - 2y + z = 0




1 -Se os sistemasS1: x + y = 1

x - 2y = -5

S2: ax - by = 5ay - bx = -1

são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:

a) 1b) 4c) 5d) 9e) 10

Resolução:

Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamosresolver o sistema S1:x + y = 1x - 2y = - 5

Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (- 2y) = 1 - (- 5). Logo, 3y = 6 \ y = 2.

Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.

O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.

Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução dosistema S2. Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para osistema S1, vem:

a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1

Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:-2 a - 4b = 10

Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (emvermelho),fica: -3b = 9 \ b = - 3

Substituindo o valor encontrado para b na equação acima, teremos:2 a + (-3) = -1 \ a = 1.

Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.



Portanto a alternativa correta é a letra E.

2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,

2x - my = 103x + 5y = 8, seja impossível.

Resolução:

Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:x = (10 + my) / 2

Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:3[(10+my) / 2] + 5y = 8

Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:3(10+my) + 10y = 1630 + 3my + 10y = 16(3m + 10)y = -14y = -14 / (3m + 10)

Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x,deveremos ter o denominador igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTEDIVISÃO POR ZERO.

Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema sejaimpossível, ou seja, não possua solução.

Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:

a) 2x + 5y .- ..z = 10.............3y + 2z = ..9.....................3z = 15

b) 3x - 4y = 13.....6x - 8y = 26

c) 2x + 5y = 6....8x + 20y = 18

Resposta:a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.c) sistema impossível. Não admite soluções

Método de eliminação de Gauss ou método do escalonamento

Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.



O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equaçõeslineares, também conhecido como escalonamento, baseia-se em trêstransformações elementares, a saber:

T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições deduas equações quaisquer do sistema.

Exemplo:

Os sistemas de equações lineares

2x + 3y = 105x - 2y = 65x - 2y = 62x + 3y = 10são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução.

Observe que apenas mudamos a ordem de apresentação das equações.

T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos osmembros de qualquer uma das equações do sistema, por um número real nãonulo.

Exemplo:Os sistemas de equações lineares

3x + 2y - z = 52x + y + z = 7x - 2y + 3z = 13x + 2y - z = 52x + y + z = 73x - 6y + 9z = 3são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro amembro por 3.

T3- um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos umaequação qualquer por outra obtida a partir da adição membro a membro destaequação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.

Exemplo:Os sistemas

15x - 3y = 225x + 2y = 3215x - 3y = 22...... - 9y = - 74são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), poisa segunda equação foi substituída pela adição da primeira equação, com asegunda multiplicada por ( -3 ).



Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelométodo de Gauss ou escalonamento.

Seja o sistema de equações lineares:. x + 3y - 2z = 3 .Equação 12x . - .y + z = 12 Equação 24x + 3y - 5z = 6 .Equação 3

Resolução:

1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2,vem:2x .-...y + z = 12x ..+ 3y - 2z = 34x + 3y - 5z = 6

2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso datransformação T2 - somando o resultado obtido com a equação 1 e substituindo aequação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:

2x - ..y + z = 12.....- 7y + 5z = 64x + 3y - 5z = 6

3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultadoobtido com a equação 3 e substituindo a equação 3 pela nova equação obtida,vem:

2x - ..y + ..z = ...12.....- 7y + 5z = ....6........5y - 7z = - 18

4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:

2x -.....y + ....z =....12.....- 35y +25z =... 30.......35y - 49z = -126

5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceirapelo resultado obtido, vem:

2x - .....y + ....z = ..12.....- 35y + 25z = ..30...............- 24z = - 96

6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z =4.

Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outrasincógnitas:



Teremos: - 35y + 25(4) = 30 \ y = 2.

Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equaçãoacima, fica:

2x - 2 + 4 = 12 \ x = 5.

Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos entãoescrever que o conjunto solução S do sistema dado, é o conjunto unitárioformado por um terno ordenado (5,2,4) :

S = { (5, 2, 4) }

Verificação:

Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:

5 + 3(2) - 2(4) = 32(5) - (2) + (4) = 124(5) + 3(2) - 5(4) = 6o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.

Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado,podemos observar que o nosso objetivo era escrever o sistema na forma

ax + by + cz = k1dy + ez = k2fz = k3de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, porsubstituição, determinar y e x. Este é o caminho comum para qualquer sistema.

É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:

a) f ¹ 0 , o sistema é possível e determinado.

b) f = 0 e k3 ¹ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos

c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = f .

d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um númeroinfinito de soluções.

Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema deequações lineares, a não ser recomendar a correta e oportuna aplicação dastransformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.

Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consistebasicamente em eliminar a primeira incógnita a partir da segunda equação,



eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e assimsucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.

A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons eesperados resultados.

Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica deescalonamento:

Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }4x - 2y = 22x + 3y = 21

Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }2 a + 5b + .3c = ...205 a + 3b - 10c = - 39...a + ..b + ....c = .....5

Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }..x + .y .- ..z = ...0..x - 2y + 5z = 214x + .y + 4z = 31

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equaçõeslineares com n equações e n incógnitas.

Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas,na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3....................................................= .......................................................= ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termosindependentes b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xnsão as incógnitas do sistema nxn.

Seja D o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.



Seja D xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo acoluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termosindependentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas sãodados por frações cujo denominador é o determinante D dos coeficientes dasincógnitas e o numerador é o determinante D xi, ou seja:xi = D xi / D

Exemplo:

Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6

Teremos:



Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4

Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.

Agora, resolva este:

2 x + 5y + 3z = 205 x + 3y - 10z = - 39x + y + z = 5

Resp: S = { (-1, 2, 4) }

EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES- 1º e 2º GRAUS

EQUAÇÃO DO 1º. GRAU

Observe as sentenças abaixo:1º) 2 x 3 + 5 = 112º) 2 x 4 + 5 = 11



3º) 2 x x + 5 = 11

A sentença 1 é verdadeira pois verificamos a igualdadeA 2 é uma sentença falsa pois 2 x 4 + 5 = 13.Com relação a sentença 3 ela será uma sentença aberta pois não sabemos que valor que ox poderá assumir; que inclusive essa sentença é um caso particular de equação do 1O.grau.

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 1O. GRAU

Exemplo1:

Resolva, em IR, a equação 2(x - 3) = x - 3.

Resolução:Aplicando a propriedade distributiva no primeiro membro da igualdade temos:2x - 6 = x - 3 ⇒ 2x - x = 6 - 3 ⇒ x = 3


Resolvendo

2x −

5x = −6 ⇒

1060

10x2x5 −=

− ⇒ 5x − 2x = −60 ⇒ 3x = −60 ⇒ x = −20

Resposta: O número real é o - 20.

02) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números sãoesses?

Resolução:x + (x + 1) + (x + 2) = 3933x + 3 = 3933x = 390

x = 130Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.

03) Resolva as equações a seguir:

a)18x - 43 = 65

b) 23x - 16 = 14 - 17x

c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20

d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12

e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4

f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2

Resolução:

(a)18x = 65 + 4318x = 108x = 108/18x = 6(b)23x = 14 - 17x + 1623x + 17x = 3040x = 30x = 30/40 = 3/4(c)10y - 5 - 5y = 6y - 6 -205y - 6y = -26 + 5-y = -21y = 21(d)



x² + 4x + x² + 2x = 2x² + 122x² + 6x = 2x² + 12Diminuindo 2x² em ambos os lados:6x = 12x = 12/6 = 2

(e)[2(x - 5) + 4(1 - 2x)] / 20 = 5 (3 - x) / 202x - 10 + 4 - 8x = 15 - 5x-6x - 6 = 15 - 5x-6x + 5x = 15 + 6-x = 21x = -21

(f)4x² + 24x - x² = 5x²4x² - x² - 5x² = -24x-2x² = -24xDividindo por x em ambos os lados:-2x = - 24x = 24/2 = 12

04) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejamiguais.

Resolução:(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 66 (3a + 6) = 8 (2a + 10)18a + 36 = 16a + 802a = 44a = 44/2 = 22

05) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):

a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)

b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc

Resolução:

(a)(20 - 8x) / 4x = x/4x20 - 8x = x-8x = x - 20-8x - x = -20-9x = -20x = 20/9

(b)



3bx = 7bx + 3bc - 6bc3bx - 7bx = -3bc-4bx = -3 bcx = (3bc/4b)x = 3c/4

INEQUAÇÃO DO 1º. GRAU

A resolução de inequações do 1º. grau é análoga a resoluções de equações do 1º. grau,observe:

Inequação: 4(x + 1) − 5 ≤ 2x + 6

4(x + 1) − 5 ≤ 2x + 64x + 4 − 5 ≤ 2x + 64x − 2x ≤ 6 − 4 + 52x ≤ 7

x ≤27

S = {x ∈ IR / x ≤27

}


R3) Obtenha o conjunto domínio da função representada por f(x) = x211x

−+

.

Resolução:Para obter o domínio de uma função basta verificar quando ela vai existir, ou seja, nestecaso, temos uma raiz quadrada, então devemos impor que o radicando seja não negativo,isto é:

x211x

−+ ≥ 0

Obtemos uma inequação do tipo quociente, para a resolução da mesma devemos estudaro sinal do numerador e denominador:

Estudo do sinal do numerador

x + 1 = 0 ⇒ x = −1



+−1_

Estudo do sinal do denominador

1 − 2x = 0 ⇒ 2x = 1 ⇒ x =21

+_

21

O próximo passo é estudar o sinal do quociente entre as duas funções e paratantofaremos uso do "quadro de sinais":

Quadro de Sinais

f ( x ) = x + 1

g ( x ) = 1 – 2 x

g(x)

f(x)

− 1 21

Assim o domínio da função é:

D = { x ∈ IR / −1 ≤ x <21 }

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 1O.GRAU

P1) Uma empresa aérea vai vender passagem para um grupo de 100 pessoas. A empresacobrará do grupo 2 000 dólares por cada passageiro embarcado, mais 400 dólares porcada passageiro que não embarcar. Pergunta-se:



a) Qual a relação entre a quantidade de dinheiro arrecadado pela empresa e número depassageiros embarcados?b) Quanto arrecadará a empresa se só viajarem 50 passageiros?c) Quantos passageiros viajarão se a empresa só conseguir arrecadar 96 000 dólares?

P2) Um padeiro fabrica 300 pães por hora. Considerando esse dado, pede-se:a) a função que representa o número de pães fabricados (p) em função do tempo (t);b) quantos pães são fabricados em 3 horas e 30 minutos?

P3) Um motorista de táxi, em uma determinada localidade, cobra uma quantia mínima fixade cada passageiro, independentemente da distância a ser percorrida, mais uma certaquantia, também fixa, por quilômetro rodado. Um passageiro foi transportado por 30km epagou R$32,00. Um outro passageiro foi transportado por 25km e pagou R$27,00. Calculeo valor de reais cobrado por quilômetro rodado.

P4) Uma função f afim é tal que f(-1) = 3 e f(1) = 1. Determine o valor de f(3).

P5) Resolva, em IR, as seguintes inequações:a) 3x - 4 ≤ x + 5 b) 19 - 17x < -4 + xc) 5 - 3x > 7 - 11x d) 3 - x ≤ -1 + x

P6) Resolva, em IR, as inequações:

a)2x1x2

++

> 0 b)x232x3

−−

< 0 c)1x5x43

+−

≥ 0

P7) O gráfico abaixo representa a de IR em IR dada por f(x) = ax + b (a, b ∈ IR). De acordocom o gráfico, conclui-se que

x

y

a) a < 0 e b > 0b) a < 0 e b < 0c) a > 0 e b > 0d) a > 0 e b < 0e) a > 0 e b = 0

P8) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos (-1, 3) e (2, 7). O valor de m é:



a)34

b)35

c) 1 d) 2 e) 3

P9) Numa escola é adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova é multiplicada por1, a nota da segunda prova é multiplicada por 2 e a nota da terceira prova é multiplicadapor 3. Os resultados, após somados, são divididos por 6. Se a média obtida por estecritério for maior ou igual a 6,5 o aluno é dispensado das atividades de recuperação.Suponha que um aluno tenha tirado 6,3 na primeira prova e 4,5 na segunda prova. Quantoprecisará tirar na terceira prova para ser dispensado da recuperação?

GABARITO - FUNÇÃO DO 1O.GRAU

P1)a) Sendo x a quantidade de passageiros embarcados e Q a quantidade de dinheiroarrecadado, temos Q = 1600x + 40 000.b) 120 000 dólaresc) 35 passageiros

P2)a) p = 300 tb) 1050 pães

P3) R$ 1,00

P4) -1

P5)

a) S = {x ∈ IR | x ≤ 29

} b) S = {x ∈ IR | x > 1823

}

c) S = {x ∈ IR |x > 41

} d) S = {x ∈ IR |x ≥ 2}

P6)

a) S = {x ∈ IR | x < - 2 ou x > 21

−}

b) S = {x ∈ IR | x < 32

ou x > 23

}

c) S = {x ∈ IR | 51

−< x ≤ 4

3

}

P7) A

P8) A

P9) No mínimo 7,9

EQUAÇÃO DO 2O. GRAU



Definição: "É toda sentença aberta, em x, redutível ao tipo ax2 + bx + c = 0,com a ∈ IR*, b ∈ IR e c ∈ IR."

RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DO 2º. GRAU

1O. CASO ⇒ b = 0 e c ≠ 0

Exemplo1: 2x2 - 8 = 0Resolução análoga à resolução de uma equação do 1O. grau, observe:

2x2 − 8 = 0 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ± 2

S = {2; -2}

2O. CASO ⇒ b ≠ 0 e c = 0

Exemplo2: x2 - 4x = 0Utilizando a fatoração:

x2 − 4x = 0 ⇒ x(x − 4) = 0

=−

=

04xou

0x⇒ x = 0 ou x = 4

S = {0; 4}

CASO GERAL - "FÓRMULA DE BHASKARA"

x = a2Äb

⋅±−

⇒ ∆ = b2 − 4.a.c

Exemplo3: x2 - 5x + 6 = 0Para a resolução desta equação utilizaremos a fórmula de Bhaskara e paratanto vamosretirar os coeficientes da equação:

x2 − 5x + 6 = 0

=−==

6c5b1a

substituindo...



∆= b2 – 4ac⇒ ∆= (−5)2 − 4.1.6⇒ ∆ = 25 − 24 ⇒ ∆ = 1

x =a2

b⋅

∆±− ⇒ x = ()Τϕ/Φ6 13.188 Τφ1 0 0 1 227 693.89 Τµ ()12

15⋅±−−

x =2

15 ±

==−

=

==+

=

224

215x

326

215x

⇒ S = {2; 3}

Observação:Sendo S o conjunto-solução de uma equação do 2O. grau do tipo ax2 + bx + c = 0, conclui-se que:

v ∆ > 0 ⇒ S =

∆−−∆+−

a2b

;a2

b

⇒ Duas raízes reais e distintas

v ∆ = 0 ⇒ S =

−

a2b

⇒ Uma raiz real ou duas raízes idênticasv ∆ < 0 ⇒ S = ∅⇒ Não há solução real


R1) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultadoencontrado é 60. Qual é esse número?

Resolução:quadrado do número: x2quádruplo do número: 4xEquação: x2 − 4x = 60Normalizada: x2 − 4x − 60 = 0Resolvendo com o auxílio da fórmula de Bhaskara, obteremos como solução 10 e −6, logo onúmero real descrito poderá ser o 10 ou o −6.

R2) Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = x2 + (3m + 2)x + (m2 + m +2) tenha um zero real duplo.

Resolução:Ter um zero real duplo significa que a equação tenha duas raízes reais e idênticas, ou seja, ∆ =0, logo:b2 - 4ac = 0 ⇒ (3m + 2)2 −4.1.(m2 + m +2) = 0Desenvolvendo o quadrado perfeito e aplicando a propriedade distributiva9m2 + 12m + 4 − 4m2 − 4m − 8 = 05m2 + 8m − 4 = 0com o auxílio da fórmula de Bhaskara



m = −2 ou m =52

INEQUAÇÕES DO 2O. GRAU

Vamos aplicar o estudo do sinal de uma função quadrática na resolução deinequações.Utilizaremos como exemplo o item a do exercício R1:

y = x2 − 3x − 10Uma inequação que podemos formar:

x2 − 3x − 10 > 0Para a resolução desta inequação basta considerarmos o estudo do sinal para a y > 0, ouseja:

S = {x ∈ IR / x < −2 ou x > 5}Geometricamente:

−2 5

+_

+_

Observações:v Se tivéssemos uma inequação do tipo x2 − 3x − 10 ≥ 0, a solução seria S = {x ∈ IR / x ≤ −2

ou x ≥ 5} e o esboço ficaria da seguinte forma:

−2 5

+_

+_

Agora os valores −2 e 5 pertencem à solução da inequação e por isso representamos noeixo com uma "bolinha" fechada diferentemente da inequação anterior.

v Não há necessidade do eixo y na representação do esboço.

EXERCÍCIOS - FUNÇÃO DO 2O. GRAU

P1) Considere a função y = −x2 + 2x + 3.a) Determine o ponto onde a parábola que representa a função corta o eixo dos y.b) Verifique se a parábola que representa a função corta o eixo dos x; em caso afirmativo,determine as coordenadas dos pontos onde isso acontece.c) Determine as coordenadas do vértice da parábola que representa a função.d) Desenhe o gráfico da função.



P2) A soma de dois números é 207. O maior deles supera o menor em 33 unidades. Quaissão os dois números?

P3) A soma de um número real com o seu quadrado dá 30. Qual é esse número?

P4) Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. Oresultado encontrado é 60. Qual é esse número?

P5) Sabe-se que Junior tem 5 anos a mais que Hudson e que o quadrado da idade deJunior está para o quadrado da idade da idade de Hudson assim como 9 está para 4. Qualé a idade de Junior e qual a idade de Hudson?

P6) A diferença entre o quadrado e o triplo de um número real é igual a 4. Qual é essenúmero?

P7) O produto de um número inteiro positivo pelo seu consecutivo é 20. Qual é essenúmero?

P8) A medida da base de um triângulo é de x cm. A altura mede (x + 2) cm. Ache essasmedidas, sabendo que a área desse triângulo é igual a 12 cm2.

P9) A classe de Flávio Betiol vai fazer uma excursão ao Rio de Janeiro, para comemorar aformatura da 8ª série. A despesa total seria de R$3.600,00. Como 6 alunos não poderão irao passeio, a parte de cada um aumentou em R$ 20,00. Quantos alunos estudam na classede Flávio Betiol?

P10) O quadrado de um número estritamente positivo adicionado com o seu dobro é igualao quadrado do seu triplo. Qual é esse número?

P11) A metade de um número positivo somado com o dobro do seu quadrado é igual aoquádruplo do número. Qual é o número?

P12) O quadrado da idade de Reinivaldo menos o quíntuplo de sua idade é igual a 104.Qual é a idade de Reinivaldo?

P13) Subtraímos 3 do quadrado de um número. Em seguida, calculamos a soma de 7 como triplo desse mesmo número. Nos dois casos, obtemos o mesmo resultado. Qual é essenúmero, se ele é um número natural?

P14) Resolva, em IR, as inequações:

a) x2 − 3x + 2 > 0b)−x2 + x + 6 > 0c) x2 − 4 = 0d)−3x2 − 8x + 3 ≤ 0e)−2x2 + 3x > 0f) x2 + 10x > 0

GABARITO - FUNÇÃO DO 2O.GRAU



P1) a) y = 3 b) x1 = −1 ou x2 = 3c) xv = 1 e yv = 4 d) Gráfico: a < 0 e ∆ > 0

P2) O número menor é 87, o maior é 120.

P3) O número procurado é 5 ou - 6

P4) O número procurado é 10 ou - 6

P5) -2 não convém pois pede-se idades ⇒Hudson = 10 anos e Junior = 15 anos

P6) 4 ou -1

P7) 4

P8) base = 4cm e altura = 6cm

P9) 36 alunos

P10) 1

P11) 7/4

P12) 13 anos

P13) 5

P 1 4 ) a ) S = { x ∈ IR / x < 1 o u x > 2 }b) S = { x ∈ IR / −2 < x < 3 }c ) S = { x ∈ IR / x < −2 o u x > 2 }

d ) S = { x ∈ IR / x ≤ −3 o u x ≥31 }

e ) S = { x ∈ IR / 0 < x <23 }

f) S = { x ∈ I R / x < −1 0 o u x > 0 }

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Regra:

21xx xxaa 21 =⇔=



Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equação exponencial:

2x = 128 ⇒ fatorando o segundo membro ⇒ 2x = 27


2a.)x

21

>

1281 ⇒

x

21

>

7

21

⇒ x < 7


c) S = {x ∈ IR / x < 4} d) S = { x ∈ IR / x ≤ −3}

e) S = {x ∈ IR / x ≤ −6} f) S = {x ∈ IR / x ≤38

− }

g) S = {x ∈ IR / x ≥23

}

FUNÇÕES

INTRODUÇÃO

Uma determinada gráfica imprime apostilas para concursos públicos. Ocusto de cada apostila varia em função da quantidade de páginas a seremimpressas. Vamos supor que cada página tenha o custo de R$ 0,07 e para cadaapostila confeccionada ainda há um custo fixo de R$ 5,00 relacionado com acapa, plastificação etc. Observe a tabela abaixo que relaciona o preço de cadaapostila montada em função da quantidade de páginas impressas:

Páginas Preço50 R$ 8,5070 R$ 9,90

100 R$ 12,00200 R$ 19,00

É impossível até estabelecermos uma fórmula que relacione a quantidade depáginas impressas (x) e o preço (y) de cada apostila:

y = 0,07x + 5

Este é um exemplo de função, observe que para cada valor de x encontramosum único valor de y, podemos dizer então que y é função de x, isto é, y está emfunção de x, e outra forma de escrevermos a mesma fórmula é:

f(x) = 0,07x + 5

Se uma pessoa interessada em editar suas apostilas nesta gráfica quisesse sabero quanto deveria desembolsar para confeccionar uma apostila com 300 páginas,ela poderia simplesmente substituir x = 300, na expressão acima:

f(300) = 0,07 . 300 + 5 = 21 + 5 = 26

Logo, o valor que iria desembolsar seria de R$ 26,00 por apostila impressa.

DEFINIÇÃO



Seja f uma relação entre dois conjuntos A e B, diz-se que f é uma função de A emB e indica-se por f: A → B, se e somente se para cada elemento de x ∈ A existaum único elemento y ∈ B.

f

A B

x1 y1

O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B é chamado decontra-domínio e os elementos de B que estão relacionados com os de A fazem

parte do conjunto imagem da função.

RECONHECENDO UMA FUNÇÃO

PELOS DIAGRAMAS

Exemplo1:

Observe as relações abaixo entre os conjuntos A e B dizendo em cada item sesão ou não função, em caso afirmativo, encontre o seu domínio (Df), contra-domínio (CDf) e conjunto imagem (Imf) das funções identificadas.

a)

0 •

1 •

•0•5•10•20

A B

Esta relação é uma função, pois cada elemento de A estárelacionado com apenas um de B.

v Df = {0, 1}v CDf = {0, 5, 10, 20}v Imf = {0, 5}

b)



0 •1 •2 •

3 •

•0•2•4•6•8•10

A B

Esta relação não é uma função, pois existe um elemento deA que não se relaciona com nenhum de B.

c)

-1•-2•2•1•

•1•2•3•6•7•8

A B

Esta relação é uma função, pois cada elemento de A estárelacionado com apenas um de B, e não existe nenhumaelemento de A sobrando.

v Df = {-1, -2, 2, 1}v CDf = {1, 2, 3, 6, 7}v Imf = {1, 7}

d)

0 •

2 •

•-1

•0

•1

A B

Esta relação não é uma função, pois existe um elemento deA que se relaciona com dois de B.

Observação:Repare que podemos ter um elemento do contra-domínio relacionado com doisdo domínio, e ainda, pode haver sobras de elementos no contra-domínio.



PELOS GRÁFICOS

Exemplo2:Identifique quais dos gráficos abaixo representam funções, em caso

afirmativo determine o Domínio e a Imagem de cada uma das funçõesidentificadas.

a)

−3

−5

3

6

0 x

y

Este gráfico representa uma função, as retas verticaispontilhadas "cortam" o gráfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.

v Df = {x ∈ IR / −3 ≤ x ≤ 3} ⇒ Eixo xv Imf = {y ∈ IR / −5 ≤ y ≤ 6} ⇒ Eixo y

b)

−37

4

0 x

y

−1

Este gráfico não representa uma função, pois observe que as retaspontilhadas "cortam" em mais de um ponto o gráfico.

c)

x

y

8

−21

3

−7

−6

Este gráfico representa uma função, as retas verticais pontilhadas "cortam" ográfico em apenas um ponto.Logo, cada elemento x estará relacionado com apenas um y.v Df = {x ∈ IR / -2 < x ≤ 8} ⇒ Eixo xv Imf = {y ∈ IR / −7 ≤ y ≤ 1} ⇒ Eixo y




1 ) Se f(x) = 2x + 3x2 - 7x, encontre o valor de:

f(0) - f(1) + f(2)Resolução:

v f(0) = 20 + 3(0)2 - 7(0) = 1v f(1) = 21 + 3. (1)2 - 7.(1) = 2 + 3 - 7 = -2v f(2) = 22 + 3.22 - 7.2 = 4 + 12 - 14 = 2

Logo: f(0) - f(1) + f(2) = 1 - (-2) + 2 = 5

2 ) Um pedreiro vai ladrilhar uma sala de 3m ´ 3m com ladrilhos quadrados, todosiguais entre si. Se ele pode escolher ladrilhos com lados iguais a 10cm, 12cm,15cm, 20cm, 25cm e 30cm, qual é o número de ladrilhos que usará em cada caso?

Resolução:Para sabermos a quantidade de ladrilhos que serão utilizados, basta dividir a áreatotal da sala pela área de um ladrilho, portanto podemos chegar na seguintefunção que relaciona a quantidade de ladrilhos (y) em função da dimensão (x) decada ladrilho:

y =L

T

SS = 2x

33⋅ = 2x9

⇒ y = 2x9

É importante ressaltar que a área de cada ladrilho deve estar em m2, isto é, adimensão x deve ser dada em metros.Observe a tabela que relaciona cada ladrilho com a quantidade necessária para cobrir a sala:

x (m) 0,10 0,12 0,15 0,20 0,25 0,30Y 900 625 400 225 144 100

EXERCÍCIOS - FUNÇÕES

P1) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças deautomóvel:

Peças custos1 12 43 94 165 256 36



Observando a tabela responda:

a) Qual é o custo da produção de 3 peças?b) Qual é o número de peças produzidas com R$ 25,00?c) Qual a lei que representa o custo c da produção em função do número depeças n?d) Com relação ao item anterior, qual o número máximo de peças produzidas comR$ 1 000,00?

P2) O número y de pessoas (em milhares) que tomam conhecimento do resultado

de um jogo de futebol, após x horas em sua realização, é dado por x10y = .Responda:a) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo após 4 horas?b) Quantas pessoas já sabem o resultado do jogo em 1 dia?c) Após quantas horas de sua realização, 30 mil pessoas tomam conhecimento doresultado do jogo?

P3) A velocidade média de um automóvel em uma estrada é de 90km/h.Responda:a) Qual é a distância percorrida pelo automóvel em 1hora? E em 2 horas?b) Em quanto tempo o automóvel percorre a distância de 360 km?c) Qual é a expressão matemática que relaciona a distância percorrida (d) emfunção do tempo (t)? (d em quilômetros e t em horas)

P4) Um professor propõe à sua turma de 40 alunos um exercício-desafio,comprometendo-se a dividir um prêmio de R$ 120,00 entre os acertadores. Sejamx o número de acertadores (x = 1, 2, 3, .., 40) e y a quantia recebida por cadaacertador (em reais). Responda:a) y é função de x? Por quê?b) Quais os valores de y para x = 2, x = 8, x = 20 e x = 25?c) Qual é o valor máximo que y assume?d) Qual é a lei de correspondência entre x e y?

P5) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções de IR em IR?a) f associa cada número real ao seu dobro.b) g associa cada número real ao seu quadrado.c) h associa cada número real ao seu triplo menos 1.

P6) Qual é a notação de cada uma das seguintes funções?a) f é a função de IR* em IR* que associa cada número real ao seu inverso.b) g é a função de IN em IN que associa cada número natural ao quadrado de seusucessor.

P7) Sendo f uma função de Z em Z definida por f(x) = 2x + 3. Calcule:a) f(0) b) f(1) c) f(-2)

P8) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 5x + 4. Calcule:a) f(1) b) f(2) c) f(-1)



P9) Seja f: IR → IR definida por f(x) = x2 - 3x + 4. Calcule:

a) f

21 b) f( 3 ) c) f(1 − 2 ) d) f(2p)

P10) Os diagramas de flechas dados representam relações binárias. Pede-se, paracada uma:a) dizer se é ou não uma função;b) em caso afirmativo, determinar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem da mesma.

I-)

1 •

2 •3 •4 •

•5

•6•7•8

II-)

1 •

3 •

4 •

•9

•10•11•12

III-)

1 •

2 •

3 •

•1•4 •5•2

•3

IV-)

1 •

2 •

3 •

•1

•2

V-)



1 •

2 •3 •

•0

VI-)

1 ••1

•2

•3

P11) Observe os gráficos abaixo:

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Podemos afirmar que:a) todos os gráficos representam funções;b) os gráficos I, III e IV representam funções;c) apenas o gráfico V não representa uma função;d) os gráficos I, II, III e IV representam funções;e) apenas o gráfico II não representa função.

P12) As funções f e g são dadas por:



v f(x) =53 x − 1 e g(x) =

34 x + a

Sabe-se que f(0)− g(0) =31 .O valor de f(3) − 3.g

51 é:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

P13) A função y = f(x) é representada graficamente por:

x

y

−2 0 2 4

2

4

Através da análise do gráfico, encontre:a) Domínio da função (Df);b) Imagem da função (Imf);c) f(3);d) o valor de x tal que a função seja nula.

P14) Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x + 1) = f(x) + f(1) qualquerque seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, pode-se concluir que f(3) éigual a:

a)41 b)

21 c)

23 d) 2 e)

25

GABARITO - FUNÇÕES

P1) a) R$ 9,00 b) 5 c) c = n2 d) 31

P2) a) 20 mil b) 48 989 c) 9 horas

P3) a) 90 km; 180 km b) 4 horas c) d = 90t

P4) a) Sim, pois a cada valor de x corresponde um único valor de y.b) x = 2 → y = 60, x = 8 → y = 15, x = 20 → y = 6

x = 20 → y = 6 e x = 25 → y = 4,8



c) 120 d) y =x

120

P5) a) f: IR → IRf(x) = 2x

b) g: IR → IRg(x) = x2

a) h: IR → IRh(x) = 3x − 1

P6) a) f: IR* → IR

f(x) =x1

b) g: IN → INg(x) = (x + 1)2

P7) a) 3 b) 5 c) −1

P8) a) 0 b) −2 c) 10P9)

a)4

11 b) 7 − 3 3 c) 2 + 4

d) 4p2 − 6p + 4

P10) I-) Não é função II-) Não é funçãoIII-) é função: Df = {1, 2, 3}

CDf = {1, 2, 3, 4, 5}Imf = {1, 2, 3}

IV-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {1, 2},Imf = {1, 2}

V-) é função: Df = {1, 2, 3}, CDf = {0}Imf = {0}

VI) Não é função.

P11) B

P12) E

P13) a) Df = {x ∈ IR / −2 < x ≤ 4}b) Imf = {y ∈ IR / 0 < x < 4}c) f(3) = 4d) x = 0

P14) C



FUNÇÃO DO 1o. GRAU

INTRODUÇÃO

Larissa toma um táxi comum que cobra R$ 2,60 pela bandeirada e R$ 0,65 porquilômetro rodado. Ela quer ir à casa do namorado que fica a 10 km de onde elaestá. Quanto Larissa vai gastar de táxi?Ela terá que pagar 10 × R$ 0,65 pela distância percorrida e mais R$ 2,60 pela

bandeirada, ou seja 6,50 + 2,60 = R$ 9,10.Se a casa de seu namorado ficasse a 17 km dali, o preço da corrida (em reais)seria:

0,65 × 17 + 2,60 = 13,65

Enfim, para cada distância x percorrida pelo táxi há um certo preçop(x) em função de x:

p(x) = 0,65x + 2,60

que é um caso particular de função polinomial do 1º. grau, ou função afim.

DEFINIÇÃO

"Toda função polinomial representada pela fórmula matemáticaf(x) = a.x + b ou y = a.x + b, com a ∈ IR, b ∈ IR e a ≠ 0, definida para todo real, é

denominada função do 1º grau."

Na sentença matemática y = a.x + b, as letras x e y representam asvariáveis, enquanto a e b são denominadas coeficientes.

Assim são funções do 1º grau:f(x) = 2.x +3 (a = 2 e b = 3)y = -3.x (a = -3 e b = 0)

Observações:

1º.) No caso de a ≠ 0 e b ≠ 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome defunção afim.2º.) No caso de a ≠ 0 e b = 0, a função polinomial do 1º grau recebe o nome de

função linear.




1) Dada a função f(x) = ax + b sendo f(1) = 3 e f(2) = 9, qual o valor de f(0)?

Resolução:

f(1) = 3 ⇒ a.(1) + b = 3f(2) = 9 ⇒ a.(2) + b = 9

Chegamos no sistema de duas equações e duas incógnitas:

⇒

=+=+

923

baba

, resolvendo o sistema obtemos

a = 6 e b = - 3, logo:f(x) = 6x - 3 ⇒ f(0) = 6.(0) - 3 ⇒ f(0) = - 3

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1O. GRAU

Seja a função do 1O. grau f(x) = ax + b, o gráfico desta função é uma reta:

Nota:

v "Denomina-se zero ou raiz da função f(x) = ax + b o valor de x que anula afunção, isto é, torna f(x) = 0."

v O ponto onde o gráfico "corta" o eixo y será sempre (0, b), onde b é ocoeficiente da função.

ANÁLISE DOS GRÁFICOS:

v Gráfico 1: Gráfico de uma função crescente onde teremos o coeficiente a > 0.

v Gráfico 2: Gráfico de uma função decrescente onde teremos o coeficiente a <0.

Exemplo1:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 9:



Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e liga-los com oauxílio de uma régua. (Ou ainda, podemos observar que precisamos obter a raizda função e o coeficiente b

Raiz:

3x − 9 = 0 ⇒ 3x = 9 ⇒ x =39

⇒ x = 3

Logo, já sabemos que o ponto (3, 0) é o ponto de intersecção do gráfico com oeixo x.

Coeficiente b:

Da lei de formação da função ⇒ b = -9Logo, sabemos que o ponto (0, -9), nos dará a intersecção do gráfico com o eixoy.

Gráfico:

Exemplo2:

Vamos construir o gráfico da função y = -2x + 4:Analogamente ao exemplo 1, obteremos a raiz da função e seu coeficiente b.

Raiz:

-2x + 4 = 0 ⇒ -2x = - 4 ⇒ x = 2

Coeficiente b:

Da lei de formação ⇒ b = 4



SINAL DA FUNÇÃO DO 1O. GRAU

Estudar o sinal de uma função qualquer é determinar para quais valores de x afunção é positiva, ou seja, y > 0; para quais valores de x a função é zero, ou seja,y = 0; e, para quais valores de x a função é negativa, ou seja, y < 0.Considere a função f(x) = ax + b, ou seja, y = ax + b; vamos estudar o sinal dafunção.

.consideraracasosdoishá,abxparaanulasefunçãoaqueVimos −=

1O. Caso) a > 0 ⇒ Função Crescente

ab

−x

y

y > 0

y < 0

+_

v y > 0 ⇒ x >ab

−

v y < 0 ⇒ x <ab

−

2O. Caso) a < 0 ⇒ Função Decrescente

v y > 0 ⇒ x <ab

−

v y < 0 ⇒ x >ab

−



FUNÇÃO DO 2O. GRAU

INTRODUÇÃO

Uma empresa de táxis fez uma análise de custos operacionais e chegou àseguinte conclusão:Para cada automóvel, ela tem:

a) um ganho fixo de R$ 8,00 na bandeirada.b) um ganho calculado como o quadrado da distância percorrida (em km).c) uma despesa de R$ 6,00 por quilômetro rodado, relativa a combustível,

manutenção, taxas e impostos, salários, etc.

1) Vamos escrever a função que relaciona o lucro dessa empresa com a distânciapercorrida, para cada automóvel. Chamemos de x a distância percorrida e de y olucro total da empresa para cada automóvel:

y = 8 + x2 - 6x ⇒ y = x2 -6x + 8

2) Analisando essa função, descobriu-se que, dependendo da distânciapercorrida, o táxi poderia dar lucro ou prejuízo, observe a tabela abaixo:

Tabela

x y0 81 32 03 -14 05 36 8

Notas:Observe que quando o táxi percorre 2km e 4km, não há prejuízo e nem lucro.Se o táxi percorre 3km, há um prejuízo de R$1,00.Os maiores lucros, de acordo com os dados da tabela, são obtidos se o táxi nãoandar (em caso do passageiro só pagar a bandeirada), ou se o táxi percorrer 6km.

3) Para uma melhor visualização do lucro da empresa variando de acordo com adistância percorrida foi feito o gráfico abaixo representando a distânciapercorrida no eixo x (em km) e no eixo y o lucro obtido (em reais).



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x

Notas:De acordo com o gráfico podemos observar que:

v Para distâncias percorridas menores que 2km ou maiores que 4km o táxi dárealmente lucro:

x < 2 ou x > 4v Para distâncias percorridas entre 2km e 4km o táxi dá prejuízo:

2 < x < 4v Se o táxi percorrer 2km ou 4km o táxi não dará nem lucro nem prejuízo:

x = 2km ou x = 4kmv A função representada pelo gráfico é uma função do 2O. grau e o gráfico

ilustrado é uma parábola.

DEFINIÇÃO

denomina-se função do 2º grau ou função quadrática".

GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2O. GRAU

Para toda função do 2O. grau temos o gráfico sendo uma parábola, assim comona função do 1O. grau. Entretanto aqui, os pontos mais importantes serão:⇒ intersecção com o eixo y: (0; c) o coeficiente c nos "diz" onde o gráfico "corta" oeixo y.



⇒ zeros (ou raízes) da função: (x1; 0) e (x2; 0) onde o gráfico se intercepta o eixo x;para a obtenção das raízes da função devemos resolver uma equação do 2O. grauobtida através da própria função.⇒ vértice da parábola: (xv, yv) são os pontos de máximo ou de mínimo da função.

VÉRTICE DA PARÁBOLA

Para o cálculo das coordenadas do vértice da parábola utilizaremos asfórmulas a seguir:

V(xv , yv)

2ab

vx −=

4aÄ

vy −=

Em geral, a parábola poderá estar em posições distintas no que se refereaos eixos coordenados, observe a tabela a seguir:



∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

a > 0

a < 0

Observações:

De acordo com o coeficiente a e o discriminante ∆ numa função do 2O. grau,podemos tirar algumas conclusões a respeito da posição da parábola:

v A parábola poderá ter a concavidade voltada para cima (a > 0) ou para baixo (a <0).

v O gráfico poderá interceptar o eixo x em dois pontos ( ∆ > 0 - duas raízesdistintas), ou em um único ponto (∆ = 0 - uma única raiz) ou ainda nãointerceptar o eixo x (∆ > 0 - a função não possui raízes reais).

Exemplo1:

Façamos o esboço do gráfico da função y = 2x2 - 5x + 2:

Características:

⇒ concavidade voltada para cima: a = 2 > 0⇒ zeros (ou raízes): 2x2 - 5x + 2 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:

x1 = 21

ou x2 = 2

−

=

−−=⇒

89,

45

4aÄ,

2abVparáboladavértice

⇒ intersecção com o eixo y: (0, c) = (0, 2)

Gráfico:



Exemplo 2:

Façamos agora, o esboço do gráfico da função y = x2 - 2x + 1:

Características:

⇒ concavidade voltada para cima: a = 1 > 0⇒ zeros (ou raízes): x2 - 2x + 1 = 0

Resolvendo a equação, obtemos:x1 = x2 = 1 (raiz dupla)

(0,1)c)(0,:yeixocomoointersecçã

(1,0)4aÄ,

2abV:paráboladavértice

=⇒

=

−=⇒

Gráfico:

Exemplo3:

Façamos por fim, o esboço do gráfico da função y = -x2 - x - 3:

Características:

⇒ concavidade voltada para baixo: a = −1 < 0

⇒ zeros (ou raízes): x2 − 2x + 1 = 0



não existe x ∈ IR, pois ∆ < 0

3)(0,-c)(0,:yeixocomoointersecçã411-,

21-

4aÄ-,

2ab-V:paráboladavértice

=⇒

=

=⇒

Gráfico:

SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA

Considere a função quadrática y = f(x) = ax2 + bx + c, vamos determinarpara quais valores de x temos a função positiva (y > 0), função negativa (y < 0) oua função nula (y = 0).

Na tabela a seguir temos as posições relativas e os sinais de acordo comos eixos coordenados, o discriminante (D) e o coeficiente a.



∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0

a > 0

a < 0 +_

+

_

+

_

+_

+

_

+

_

+

_ _

+


R1) Estude o sinal das funções abaixo:a) y = x2 - 3x - 10.b) y = -x2 + 6x - 9c) y = x2 + 7x + 13

Resolução:

a)1O.) Raízes: x2 - 3x - 10 = 0 ⇒ x1 = -2 ou x2 = 5

2O.) Esboço:



3O.) Estudo do Sinal:y > 0 ⇒ x < -2 ou x > 5y = 0 ⇒ x = - 2 ou x = 5y < 0 ⇒ -2 < x < 5

b)1O.) Raízes: -x2 + 6x - 9 = 0 ⇒ x1 = x2 = 3

2O.) Esboço:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 ⇒ não existe x ∈ IRy = 0 ⇒ x = 3y < 0 ⇒ x < 3 ou x > 3

c)1O.) Raízes: x2 + 7x + 13 = 0 ⇒ ∆ < 0 (não existe x real)

2O.) Esboço:

3O.) Estudo do Sinal:y > 0 ⇒ ∀ x ∈ IRy = 0 ⇒ não existe x realy < 0 ⇒ não existe x ∈ IR



FUNÇÃO EXPONENCIAL

INTRODUÇÃOImagine que exista um micróbio que a cada minuto ele se duplicada. Podemos entãoformar a seguinte seqüência numérica relativamente a quantidade desses seres em cadaminuto:

(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ...)Podemos ainda, escrever esta seqüência na forma de potência:

(20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, ...)Se chamarmos os minutos de x e a quantidade de elementos de y. Concluímos que

y está em função de x e encontraremos a seguinte função:y = f(x) = 2x

Para encontrar qual a quantidade existente de elementos após o término do 10O. minuto,basta encontrarmos o valor de y, quando x = 10.f(10) = 210 = 1024

DEFINIÇÃO

'Chama-se função exponencial qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da formaf(x) = ax, onde a é um número real dado, a > 0 e a ¹ 1".

GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIALVamos construir o gráfico relativo ao desenvolvimento do micróbio descrito

acima:

y

16

8

4

21

1 2 3 4 x (min)

Como não há tempo negativo, o gráfico existirá apenas para x ≥ 0.

Exemplo:



Vamos construir num mesmo sistema cartesiano os gráficos das funções

f(x) = 3x e g(x) =x

31

..

x f(x) g(x)-3 1/27 27-2 1/9 9-1 1/3 30 1 11 3 1/32 9 1/93 27 1/27

y

x

g(x) =x

3

1

f(x) = 3x

0

Observações: v A função f é uma função crescente, pois conforme os valores de x crescem o

mesmo acontece com os valores de y. v A função g é uma função decrescente, pois conforme os valores de x crescem, os

valores de y diminuem. v f(x) = ax ⇒ crescente, pois a = 3 > 1

v g(x) = ax ⇒ decrescente, pois 0 < a =31 < 1

LOGARITMOS

Vimos que para resolver equações exponenciais, devemos ter dos dois lados daigualdade bases iguais nas potências. Entretanto equações exponenciais do tipo 2x = 6,se torna impossível de resolve-las utilizando os artifícios estudados até aqui.

Querendo resolver a equação 2x = 6, não conseguiremos reduzir todas as potências àmesma base. Neste caso, como 4 < 6 < 8, então 4 < 2x < 8, ou seja, 22 < 2x < 23 e apenaspodemos garantir que 2 < x < 3. Para resolver equações exponenciais onde é impossívelreduzir as duas potências à mesma base, estudaremos agora os logaritmos.

DEFINIÇÃO



Chama-se logaritmo de a na base b, e se indica por logba, o expoente x ao qual se deveelevar b para se obter a, observe:

logba = x ⇔ bx = a

onde:a ⇒ logaritmando e a > 0b ⇒ base do logaritmo e b > 0 e b ≠ 1x ⇒ logaritmo

Exemplos:

v log24 = x ⇒ 2x = 4 ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 2


cologaN = logaN1

= - logaN

ANTILOGARITMO

Da nomenclatura apresentada logaN = α decorre que N (logaritmando) é o antilogaritmo deα na base a.

logaN = α ⇔ antilogaα = N


R1) Calcule o valor de y = log44 + log71 + 2.log10.Resolução:log44 = 1log71 = 0log10 = log1010 = 1Logo: y = 1 + 0 + 2.1 = 3

PROPRIEDADES DOS LOGARITMOSObserve a igualdade:

log28 + log24 = log232Podemos escrever log232 como sendo log2(8×4), logo:

log28 + log24 = log2(8 × 4)Isto não é uma mera coincidência e sim, uma das propriedades operatórias doslogaritmos.

LOGARITMO DO PRODUTOloga(x . y) = logax + logay

LOGARITMO DO QUOCIENTE

loga( yx ) = logax + logay

LOGARITMO DA POTÊNCIAlogaxn = n . logax




R2) Sabendo-se que log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6990, determine:a) log 30 b) log 25 c) log 2,5 d) log cos 45ºResolução:log 30 = log(5 . 6)

= log 5 + log 6= 0,6990 + log(2 . 3)= 0,6990 + log 2 + log 3= 0,6990 + 0,3010 + 0,4771= 1,4771

b) log 25 = log 52= 2 . log 5= 2 . 0,6990= 1,3980

c) log 2,5 = log (25 )

= log 5 – log 2= 0,6990 – 0,3010= 0,3980

d) log cos45º = log22

= log √2 – log 2= log 21/2 – 0,3010= ½ . log 2 – 0,3010= ½ . 0,3010 – 0,3010= - 0,1505

ou ainda:

log22 = log (21/2 . 2-1)

= log (21/2 – 1)= log 2-1/2

= - ½ . log 2= - ½ . 0,3010

= - 0,1505

MUDANÇA DE BASE:

Há situações em que podemos nos deparar com sistemas de logaritmos combases distintas e para aplicarmos as propriedades operatórias dos logaritmos devemoster logaritmos com bases iguais.A fórmula abaixo nos auxiliará a converter a base do logaritmo em uma base maisconveniente.



logba =bclogaclog


R3) Se log2 = 0,3 e log3 = 0,48, qual é o valor de log23?Resolução:Temos o log2 e o log3, que aparecem todos na base dez, pede-se o log de 3 na base 2,portanto devemos converter log23 para um log na base dez:

log23 =log2log3 =

0,30,48 = 1,6

R4) Qual é o valor de y = log32 . log43 . log54 . log65?

Resolução:

y = log32 .4log3log

3

3 .5log4log

3

3 .6log5log

3

3

cancelando os logs obteremos:

y = log32 .6log

13

⇒ y = log32 .3log2log

133 +

y =3log2log

2log

33

3

+ou y = 1 +

3log2log

3

3

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

DEFINIÇÃO

"Chama-se função logarítmica qualquer função f de IR*+ em IR dada por uma lei da formaf(x) = logax,, onde a é um número real dado, a > 0 e a ¹ 1".

GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

1-) Vamos construir o gráfico da função y = log2x, definida para x > 0:

x y = log2x

81 −3

¼ −2½ −11 0



2 14 28 3

1 2 4x

y

2

1

0

2-) Vamos construir agora, o gráfico da função y = xlog21 , definida para x > 0:

xy =

xlog21

8 −34 −22 −11 0½ 1¼ 2

3

1 2 4x

y

2

1

0

−1

Observações: A função f(x) = logax será:v Crescente quando a > 1 ⇒ Gráfico 1v Decrescente quando 0 < a < 1 ⇒ Gráfico 2

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS



Regra:

212a1a xxxlogxlog =⇔=

Exemplo1: Vamos resolver a seguinte equação logarítmica:log2(2x − 5) = log23

Observe que temos no logaritmando do primeiro membro uma expressão 2x − 5 e deacordo com a condição de existência de um logaritmo devemos sempre no logaritmandoum número positivo, portanto:C.E.: 2x − 5 > 0Uma vez que tenhamos encontrada a C.E. resolveremos a equação pela regra descritaacima (a regra somente é válida quando as bases dos dois logaritmos forem iguais).

log2(2x − 5) = log23 ⇒ 2x − 5 = 3 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 4Substituindo na C.E.:2 . 4 − 5 = 8 − 5 = 3 > 0S = {4}


R4) Resolva a equação log2(x − 3) + log2(x + 3) = 4.

Resolução:

1O.Passo) C.E. ⇒

−>⇒>+>⇒>−

3x03x3x03x

, como todo número que é maior que 3, é tambémmaior que −3, concluímos da Condição de Existência: x > 3.

2O.Passo) Regra ⇒ para aplicarmos a regra prática para a resolução de equaçõeslogarítmicas devemos ter apenas um logaritmo, portanto se faz necessário a aplicação dapropriedade:log2(x − 3) + log2(x + 3) = 4 ⇒ log2[(x − 3).(x + 3)] = 4⇒ log2(x2 − 9) = 4

A partir daqui podemos utilizar a definição para a resolução da equação:log2(x2 − 9) = 4 ⇒ x2 − 9 = 24 ⇒ x2 = 16 + 9 ⇒ x2 = 25x = ± 5Da C.E. ⇒ x = 5 > 3Logo: S = {5}

INEQUAÇÕES LOGARÍTMICASRegra:

<⇒<<>⇒>

⇔>21

212a1a xx1a0

xx1axlogxlog

Exemplo: Vamos resolver a inequação:log3(2x − 5) < log3x



1O.Passo) C.E. ⇒

>

>⇒>−

0x35x05x2


d) log5(2x − 3) = 2e) log2(x2 + x − 4) = 3

P9) Resolva as seguintes equações:a) log2(x + 4) + log2(x − 3) = log218b) 2 log x = log 2 + log(x + 4)

GABARITO - LOGARITMOS

P1) a) 2 b) 7 c) 4d) 3 e)34 f)

25

− g)23

−

P2) a) A =23

b) B =21

− c) C = 0

P3) B

P4) a) a + b b) 2a c) a + 1 d)21

a e) −a f) 1 − a

g) 1 − a + b

P5) 5

P6) 23

P7)ba

2a-1+

P8) a) S = {2} b) S = {4} c) S = {−1} d) S = {14}e) S = {−4; 3}

P9) a) S = {5} b) S = {4}

PROBABILIDADE

INTRODUÇÃO

Em um jogo, dois dados são lançados simultaneamente, somando-se, emseguida, os pontos obtidos na face superior de cada um deles. Ganha quemacertar a soma desses pontos.

Antes de apostar, vamos analisar todos os possíveis resultados que podemocorrer em cada soma. Indicando os números da face superior dos dados pelopar ordenado (a, b), onde a é o número do primeiro dado e b o número dosegundo, temos as seguintes situações possíveis:

a + b = 2, no caso (1, 1);a + b = 3, nos casos (1, 2) e (2, 1);



a + b = 4, nos casos (1, 3), (2, 2) e (3,1);a + b = 5, nos casos (1,4), (2,3), (3, 2) e (4, 1)a + b = 6, nos casos (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4,2) e (5, 1);a + b = 7, nos casos (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4,3), (5, 2) e (6, 1);a + b = 8, nos casos (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3) e (6, 2);a + b = 9, nos casos (3, 6), (4, 5), (5, 4) e (6,3);a + b = 10, nos casos (4, 6), (5, 5) e (6, 4);a + b = 11, nos casos (5, 6) e (6,5);a + b = 12, no caso (6, 6).

É evidente que, antes de lançar os dois dados, não podemos prever oresultado "soma dos pontos obtidos"; porém, nossa chance de vencer serámaior se apostarmos em a + b = 7, pois essa soma pode ocorre de seis maneirasdiferentes.

Situações como essa, onde podemos estimar as chances de ocorrer umdeterminado evento, são estudas pela teoria das probabilidades. Essa teoria,criada a partir dos "jogos de azar", é hoje um instrumento muito valioso eutilizado por profissionais de diversas áreas, tais como economistas,administradores e biólogos.

ESPAÇO AMOSTRAL

Um experimento que pode apresentar resultados diferentes, quando repetido nasmesmas condições, é chamado experimento aleatório.Chamamos Espaço Amostral ao conjunto de todos os resultados possíveis de

um experimento aleatório. Dizemos que um espaço amostral é equiprovávelquando seus elementos têm a mesma chance de ocorrer.No exemplo acima temos, como espaço amostral 36 possibilidades, para a

ocorrência de quaisquer eventos.

No exemplo de uma moeda lançando-se para cima, a leitura da face superior podeapresentar o resultado "cara" (K) ou "coroa" (C). Trata-se de um experimentoaleatório, tendo cada resultado a mesma chance de ocorrer.Neste caso, indicando o espaço amostral por S1 e por n(S1) o número de seus

elementos, temos:

S1 = {K, C} e n(S1) = 2

Se a moeda fosse lançada duas vezes, teríamos os seguintes resultados: (K, K),(K, C), (C, K), (C, C).

Neste caso, indicando o espaço amostral por S2 e por n(S2) o número de seuselementos, temos:

S2 = {(K, K), (K, C), (C, K), (C, C)} e n(S2) = 4

EVENTOS



Chama-se evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Considerandoo lançamento de um dado e a leitura dos pontos da face superior, temos o espaçoamostral:

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

Um exemplo que podemos elucidar de evento é "ocorrência de número par".Indicando esse evento por A, temos:

A = {2, 4, 6} e n(A) = 3

PROBABILIDADE DE OCORRER UM EVENTO

Ainda levando-se em consideração o exemplo acima, "ocorrência de número par",no lançamento de um dado, teremos:

21

63

)S(n)A(n)A(P ===

Concluí-se que a probabilidade de o evento "ocorrência de número par" ocorrer é50% ou ½. Isto quer dizer que ao lançarmos um dado ao acaso teremos 50% dechance de obter um número par, na face do dado.

Voltando ao nosso primeiro exemplo, onde num jogo, ganha quem conseguir asoma das faces. Vimos que a probabilidade de ocorrer o número 7 era maior, poistínhamos diversas maneiras de ocorrer. Chamaremos o evento "ocorrência dasoma 7" entre os dois dados, de E:

n(E) = 6;n(S) = 36.

portanto:61

366

)S(n)E(n)E(P === , temos então que 16,7% é a probabilidade do evento ocorrer.


R1) Qual a probabilidade do número da placa de um carro ser um número par?

Resolução:Para o número da placa de uma carro ser um número par, devemos ter umnúmero par no algarismo das unidades, logo o espaço amostral (S) e o evento (E)serão:

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⇒ n(S) = 10E = {2, 4, 6, 8, 0} ⇒ n(E) = 5



Portanto a Probabilidade de ocorrer o referido evento será:

21

105

)S(n)E(n)E(P ===

Resposta: 50% ou ½

R2) O número da chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo dasunidades ser zero é:

a )101 b )

21 c )

94 d )

95 e )

51

Resolução:Se a placa de um carro é um número par, então, independente do numero dealgarismos que tenha a placa o algarismo das unidades será, necessariamente,um número par.O espaço amostral, neste caso:

S = {2, 4, 6, 8, 0} ⇒ n(S) = 5

O evento é "ocorrência do zero", logo só podemos ter ocupando o últimoalgarismo o número zero:

E = {0} ⇒ n(E) = 1

51

)S(n)E(n)E(P ==

Resposta: 20% ou51

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Consideremos dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral S.

Da teoria dos conjuntos temos:

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

Dividindo os dois membros dessa igualdade por n(S), temos:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

A probabilidade da união de dois eventos A e B é igual à soma das probabilidadesdesses eventos, menos a probabilidade da intersecção de A com B."

Observação: se A e B forem disjuntos, isto é:

se A ∩ B = Æ, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B).



Neste caso, ainda, os eventos são ditos Eventos Independentes.


R3) No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter o número 3 ouum número ímpar?

Resolução:

Espaço amostral é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e n(S) = 6

evento "número 3" é: A = {3}e n(A) = 1

evento "número ímpar" é: B = {1,3,5} e n(B) = 3

A ∩ B = {3} ∩ {1,3,5} = {3}, então n(A∩ B) = 1

Logo:

P(A ∪ B) = 1/6 + 3/6 - 1/6 = ½

Resposta: 50% ou ½

Observação:

A soma da probabilidade de ocorrer um evento A com a probabilidade de nãoocorrer o evento A é igual a 1:

p(A) + p( A ) = 1

Assim, se a probabilidade de ocorrer um evento A for 0,25 (41 ), a probabilidade de não ocorrer o

evento A é 0,75 (43 ).

EXERCÍCIOS

P1) Joga-se um dado "honesto" de seis faces, numeradas de 1 a 6, lê-se o númeroda face voltada para cima. Calcular a probabilidade de se obter:a) o número 2 b) o número 6

c) um número par d) um número ímpar

e) um número primo



P2) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos atravésdos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, qual aprobabilidade de ele ser um número ímpar?

P3) Qual a probabilidade de uma bola branca aparecer ao retirar-se uma únicabola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis?

P4) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam eterminam pela letra N. Qual a probabilidade de se escolher ao acaso um dessesanagramas e ele ter as vogais juntas?

P5) A probabilidade de ocorrerem duas caras ou duas coroas no lançamento deduas moedas é:

a)41 b)

43 c) 1 d) 2 e)

21

P6) Em uma indústria com 4.000 operários, 2.100 têm mais de 20 anos, 1.200 sãoespecializados e 800 têm mais de 20 anos e são especializados. Se um dosoperários é escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele ter no máximo 20anos e ser especializado é:

a )101 b )

52 c )

83 d )

8527 e )

187

P7) Um prêmio vai ser sorteado entre as 50 pessoas presentes em uma sala. Se40% delas usam óculos, 12 mulheres não usam óculos e 12 homens os usam , aprobabilidade de ser premiado um homem que não usa óculos é:

a )254 b )

256 c )

258 d )

259 e )

52

P8) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que, se asoma dos números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for 8, B é quemganha. Os dados são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidadede B ter ganho?

a )3610 b )

324 c )

365 d )

355



e) não se pode calcular sem saber os números sorteados.

P9) Se dois prêmios iguais forem sorteados entre 5 pessoas, sendo duasbrasileiras e três argentinas, qual será a probabilidade de:

a) serem premiadas as duas brasileiras?b) ser premiada pelo menos uma argentina?c) serem premiadas duas argentinas?

P10) Numa caixa existem 5 balas de hortelã e 3 balas de mel. Retirando-sesucessivamente e sem reposição duas dessas balas, qual a probabilidade de queas duas sejam de hortelã?

GABARITO

P 1 ) a )61 b )

61 c )

21

d )21

e )21

P 2 )52

P 3 )31

P 4 )51

P 5 ) E P 6 ) A P 7 ) D

P 8 ) B

P 9 ) a ) 101

b ) 109

c ) 103

P 1 0 ) 169

NOÇÕES DE ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO

Em anos de eleições é inevitável nos depararmos com pesquisas eleitorais, como porexemplo, quem está em primeiro lugar nas pesquisas, ou em segundo, mas será que todos oseleitores foram consultados? Com certeza não, pois há métodos mais convenientes, comopor exemplo, considera-se uma amostra dos eleitores e a partir desta amostra se concluipara o restante dos eleitores.

Em março de 1983, o deputado federal Dante de Oliveira, atendendo a uma forte pressão dopovo brasileiro, apresentou uma proposta de emenda à Constituição, que pretendia



restabelecer as eleições diretas para a Presidência da República. A expectativa em tornodessa votação deu origem à maior manifestação popular já conhecida neste país, que ficouconhecida como "Diretas já".

Em abril de 1984, cerca de 500 mil pessoas estavam na Praça da Candelária, no Rio deJaneiro e mais 1 milhão no Vale do Anhangabaú em São Paulo. A relação desseacontecimento com a Matemática, é a forma como foram contadas as pessoas nestes lugares.Conta-se a quantidade de pessoas em um certo local, e divide-se pela área ocupada por essaspessoas, em seguida, multiplica-se pela área total ocupada, obtendo assim o valor estimadoque é bem próximo do total.

ROL

As notas de 20 alunos de uma turma de oitava série estão abaixo relacionadas:

5,9 - 5,8 - 3,4 - 7,4 - 4,0 - 7,3 - 7,1 - 8,1 - 3,7 - 7,9 - 7,6 - 7,7 - 5,6 - 3,2 - 6,7 - 7,4 - 8,7 - 2,1 - 9,6- 1,3Para encontrarmos o Rol desta distribuição de valores basta colocarmos os valores emordem crescente ou decrescente: v 1,3 - 2,1 - 3,2 - 3,4 - 3,7 - 4,0 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 6,7 - 7,1 - 7,3 - 7,4 - 7,4 - 7,6 - 7,7 - 7,7 - 8,1 -

8,7 - 9,6

v 9,6 - 8,7 - 8,1 - 7,7 - 7,7 - 7,6 - 7,4 - 7,4 - 7,3 - 7,1 - 6,7 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 4,0 - 3,7 - 3,4 - 3,2 -2,1 - 1,3

CLASSES

Qualquer intervalo real que contenha um rol é chamado de classe. Considerando a relaçãode notas especificadas acima podemos estabelecer as seguintes classes de intervalos:

v o intervalo [1, 2[ contém a nota 1,3v o intervalo [2, 1[ contém a nota 2,1v o intervalo [2, 3[ contém as notas 3,2; 3,4; 3,7

E assim sucessivamente.

Observação:A amplitude é a diferença entre o maior e o menor elemento de uma distribuição, intervaloou classe.



Exemplos: v 9,6 - 1,3 = 8,5 é amplitude da distribuição das notas. v A amplitude da classe [7, 8[ é 7,7 - 7,1 = 0,6.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA (fi)

É a quantidade de vezes que um determinado valor aparece numa classe. Observe atabela abaixo, referente à distribuição das notas:

CLASSES Freqüência Absoluta (fi)[1, 2[ 1[2, 3[ 1[3, 4[ 3[4, 5[ 1[5, 6[ 3[6, 7[ 1[7, 8[ 7[8, 9[ 2

[9, 10[ 1TOTAL 20

Da tabela podemos concluir que, por exemplo, 7 alunos tiraram notas entre 7,0 e8,0.

FREQÜÊNCIA ABSOLUTA ACUMULADA (fa)

A distribuição de freqüências absolutas pode ser completada com mais uma coluna,chamada freqüências absolutas acumuladas (fa), cujos valores são obtidos adicionando acada freqüência absoluta os valores das freqüências anteriores.

CLASSES Freqüência Absoluta (fi) Freqüência Absoluta Acumulada (fa)[1, 2[ 1 1[2, 3[ 1 2[3, 4[ 3 5[4, 5[ 1 6[5, 6[ 3 9



[6, 7[ 1 10[7, 8[ 7 17[8, 9[ 2 19

[9, 10[ 1 20TOTAL(n) 20 ℵℵ ℵ ℵ ℵ ℵℵ ℵℵ ℵℵ ℵℵ

FREQÜÊNCIA RELATIVA (f%)

FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA (fa%)

A freqüência relativa é obtida através do quociente:

onde fi representa a freqüência absoluta de um dado valor ou classe, e n representa a somade todos as freqüências absolutas.A freqüência relativa acumulada é obtida de modo análogo à freqüência absolutaacumulada, mas agora utilizando a freqüência relativa.Acrescentando mais duas colunas na tabela:

CLASSES F.A. (fi) F.A.Al. (fa) F. R. (f%) F. R. A. (fa%)[1, 2[ 1 1 5% 5%[2, 3[ 1 2 5% 10%[3, 4[ 3 5 15% 25%[4, 5[ 1 6 5% 30%[5, 6[ 3 9 15% 45%[6, 7[ 1 10 5% 50%[7, 8[ 7 17 35% 85%[8, 9[ 2 19 10% 95%

[9, 10[ 1 20 5% 100%TOTAL(n) 20 ℵ ℵℵ ℵℵ 100% ℵ ℵℵ ℵ ℵ

•F.A. (fi) = Freqüência Absoluta

•F.A.A. (fa)= Freqüência Absoluta Acumulada

•F. R. (f%) = Freqüência Relativa

•F. R. A. (fa%) = Freqüência RelativaAcumuladaNota:Esta tabela é chamada de Tabela de Distribuição de Freqüência.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA



A tabela de distribuição de freqüência do exemplo anterior pode ser representadagraficamente:

GRÁFICO DE LINHA

[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]

CLASSES

NOTAS

FREQÜÊNCIANúmero de

Alunos

Para a construção deste gráfico, marcam-se os pontos determinados pelasclasses e as correspondentes freqüências, ligando-os, a seguir, por seguimentosde reta.

GRÁFICO DE BARRAS

Vamos agora construir um diagrama de barras verticais, e paratanto, basta disporas freqüências num eixo vertical:



FREQÜÊNCIANúmero de

Alunos

[1,2] [2,3] [3,4] [4,5] [5,6] [6,7] [7,8] [8,9] [9,10]

CLASSES

NOTAS

GRÁFICO DE SETORES

Para a construção deste gráfico vamos dividir um círculo em setores comângulos proporcionais às freqüências. No nosso caso já temos a freqüênciarelativa:

[1, 2[ ⇒ 5% de 360O = 0,05 ´ 360O = 18O[2, 3[ ⇒ 5% de 360O = 0,05 ´ 360O = 18O[3, 4[ ⇒ 15% de 360O = 0,15 ´ 360O = 54O[4, 5[ ⇒ 5% de 360O = 0,05 ´ 360O = 18O[5, 6[ ⇒ 15% de 360O = 0,15 ´ 360O = 54O[6, 7[ ⇒ 5% de 360O = 0,05 ´ 360O = 18O[7, 8[ ⇒ 35% de 360O = 0,35 ´ 360O = 126O[8, 9[ ⇒ 10% de 360O = 0,10 ´ 360O = 36O[9, 10[ ⇒ 5% de 360O = 0,05 ´ 360O = 18O



5% 5%

5%

5%

5%

10%

15%15%

35%

HISTOGRAMA

Freqüência(Número de alunos)

ClassesNotas

MEDIDAS DE POSIÇÃOMÉDIA ARITMÉTICA ( x )

Para encontrar a média aritmética entre valores, basta somar todos eles edividir pela quantidade que aparecem. Matematicamente:

ou usando símbolos:



MODA (Mo)

Considere a distribuição abaixo referente às idades de 11 pessoas integrantes deum movimento popular:

16 - 19 - 18 - 14 - 19 - 16 - 14 - 14 - 15 - 20 - 14Repare que a idade de maior freqüência é 18 anos, portanto dizemos que a modadesta amostra é 14 anos.Mo = 14 anos

Exemplos:v 3 - 7 - 4 - 6 - 9 - 6 - 4 - 2 - 1 - 4 ⇒ Mo = 4 v 5 - 3 - 2 - 8 - 8 - 9 - 5 - 1 - 5 - 8 ⇒ Mo = 8

Mo' = 5Esta amostra é considerada bimodal por apresentar duas modas.v 1 - 9 - 8 - 6 - 4 - 3 - 2 - 7 - 5 ⇒ Esta amostra não apresenta moda, repare que

todos os elementos apresentam a mesma freqüência.

MEDIANA (Md)

Considerando ainda, o mesmo exemplo anterior e dispondo as idades em roltemos:14 - 14 - 14 - 14 -15 - 16 - 16 - 18 - 19 - 19 - 20O termo central desse rol é chamado mediana da amostra:Md = 16 anos

Exemplo:

v Dispondo em rol as estaturas de seis atletas de um colégio temos:1,68 - 1,68 - 1,70 - 1,72 - 1,72 - 1,74

Agora temos dois termos centrais, pois é uma distribuição com um número par deelementos, toda vez que isso ocorrer, a mediana será a média aritmética dos doistermos:

Md = 1,71m

Observação:

O rol pode ser disposto na sua forma crescente ou decrescente, pois o(s)



termo(s) central(is) será(ão) o(s) mesmo(s) nos dois casos.

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Observe as notas de três turmas de um curso de espanhol e suas respectivasmédias:v Turma A: 5 - 5 - 5 - 5 - 5 ⇒ xA = 5

v Turma B: 4 - 6 - 5 - 6 - 4 ⇒ x B = 5

v Turma C: 1 - 2 - 5 - 9 - 8 ⇒ x C = 5

Se fôssemos nos basear apenas nas médias aritméticas de todas asturmas, diríamos que todas apresentam desempenho igual, no entantoobservamos pelas notas dos integrantes que isso não é verdade, daí vem anecessidade de se definir uma nova medida que avalie o grau de variabilidade daturma, de tal forma que a análise dos dados não fique comprometida.

DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (Dam)

Nas notas acima podemos encontrar qual o desvio de cada turma, paratanto bastaefetuar a diferença entre uma nota e a média, nessa ordem. O módulo dessadiferença é chamado desvio absoluto. Logo, a média aritmética desses desviosabsolutos é chamada Desvio Absoluto Médio:

O desvio absoluto médio mede o afastamento médio de cada turma com relação amédia. Assim, temos que a turma C apresenta uma variação muito grande damédia, a turma B um afastamento moderado e A não apresenta afastamento.Matematicamente:



VARIÂNCIA (S2)

A variância também pode apresentar esse grau de variabilidade entre oselementos de uma distribuição. Define-se essa medida como a média aritméticaentre os quadrados dos desvios dos elementos da amostra:

Em símbolos:

DESVIO PADRÃO (S)

Muitas vezes as amostras estão relacionadas com unidades de medidasque ao serem interpretadas, poderá causar algumas dificuldades, como porexemplo se os elementos da amostra representam as estaturas em metros, avariância representará um valor em m2 (unidade de área); e portanto como aunidade não tem a ver com as medidas dos elementos da amostra, não seráconveniente utilizar a variância. Por dificuldades como essa é que foi definido odesvio padrão que nada mais é que a raiz quadrada da variância.

A ⇒ σ = 0 = 0

B ⇒ σ = 0,8≅ 0,89

C ⇒ σ = 10 ≅ 3,16



Observação:

Apresentamos três formas distintas de se analisar as dispersões entre asamostras, em cada caso analisaremos da forma que mais convir.

EXERCÍCIOS

P1) Que restos pode dar na divisão por 5, um número que não seja divisível por 5?



P4) Numa caixa existem menos de 60 bolinhas. Se elas forem contadas de 9 em 9não sobra nenhuma e se forem contadas de 11 em 11 sobra uma. Quantas são asbolinhas?

P5) O conjunto A é formado por todos os divisores de 10 ou 15 ; então podemosafirmar que o conjunto A tem :a) 5 elementos b) 6 elementosc) 7 elementos d) 8 elementos



P8) Assinalar a alternativa correta.a) O número 1 é múltiplo de todos os números primosb) Todo número primo é divisível por 1c) Às vezes um número primo não tem divisord) Dois números primos entre si não tem nenhum divisor

P9) Assinalar a alternativa falsa:a) O zero tem infinitos divisoresb) Há números que tem somente dois divisores: são os primos;c) O número 1 tem apenas um divisor: ele mesmo;d) O maior divisor de um número é ele próprio e o menor é zero.

P10) Para se saber se um número natural é primo não:



a) Multiplica-se esse número pelos sucessivos números primos;b) Divide-se esse número pelos sucessivos números primos;c) Soma-se esse número aos sucessivos números primos;d) Diminuí-se esse número dos sucessivos números primos.

P11) Determinar o número de divisores de 270.

P12) Calcule o valor das expressões abaixo:a) (12 - 6) + (14 - 10) x 2 - (3 + 7)b) 103 - [ 23 + (29 - 3 x 5) ] + 14 x 2c) 22 - { 14 + [ 2 x 10 - (2 x 7 - 3) - (2 + 4) ] } + 7d) [ 60 - (31 - 6) x 2 + 15] ¸ [ 3 + (12 - 5 x 2) ]e) [150 ¸ (20 - 3 x 5) + 15 x (9 + 4 x 5 x 5) ] ¸ 5 + 12 x 2f) ( 4 + 3 x 15) x ( 16 - 22 ¸ 11) - 4 x [16 - (8 + 4 x 1) ¸ 4] ¸ 13

P13) Calcular os dois menores números pelos quais devemos dividir 180 e 204, afim de que os quocientes sejam iguais.a) 15 e 17 b) 16 e 18c) 14 e 18 d) 12 e16

P14) Deseja-se dividir três peças de fazenda que medem, respectivamente, 90, 108e 144 metros, em partes iguais e do máximo tamanho possível.

Determinar então, o número das partes de cada peça e os comprimentos decada uma.9, 8, 6 partes de 18 metros8, 6, 5 partes de 18 metros9, 7, 6 partes de 18 metros10, 8, 4 partes de 18 metrose) e) e)

P15) Quer-se circundar de árvores, plantadas à máxima distância comum, umterreno de forma quadrilátera. Quantas árvores são necessárias, se os lados doterreno tem 3150,1980, 1512 e 1890 metros?a) 562 árvores b) 528 árvoresc) 474 árvores d) 436 árvores

P16) Numa república, o Presidente deve permanecer 4 anos em seu cargo, ossenadores 6 anos e os deputados 3 anos. Em 1929 houve eleições para os trêscargos, em que ano deverão ser realizadas novamente eleições para essescargos?

P17) Duas rodas de engrenagens tem 14 e 21 dentes respectivamente. Cada rodatem um dente esmagador. Se em um instante estão em contato os dois dentesesmagadores, depois de quantas voltas repete-se novamente o encontro?

P18) Dois ciclistas percorrem uma pista circular no mesmo sentido. O primeiropercorre em 36 segundos, e o segundo em 30 segundos. Tendo os ciclistaspartido juntos, pergunta-se; depois de quanto tempo se encontrarão novamenteno ponto de partida e quantas voltas darão cada um?



P19) Uma engrenagem com dois discos dentados tem respectivamente 60 e 75dentes, sendo que os dentes são todos numerados. Se num determinadomomento o dento nº 10 de cada roda estão juntos, após quantas voltas da maior,estes dentes estarão juntos novamente?

P20) Sabendo-se que o M.M.C. entre dois números é o produto deles, podemosafirmar que:a) os números são primosb) eles são divisíveis entre sic) os números são primos entre sid) os números são ímpares

P21) Da estação rodoviária de São Paulo partem para Santos, ônibus a cada 8minutos; para Campinas a cada 20 minutos e para Taubaté a cada 30 minutos. Às7 horas da manhã partiram três ônibus para essas cidades. Pergunta-se: a quehoras do dia, até às 18 horas haverá partidas simultâneas?

P22) No aeroporto de Santos Dumont partem aviões para São Paulo a cada 20minutos, para o Sul do país a cada 40 minutos e para Brasília a cada 100 minutos;às 8 horas da manhã á um embarque simultâneo para partida. Quais são as outrashoras, quando os embarques coincidem até as 18 horas.

P23) Para ladrilhar 5/7 de um pátio empregando-se 46.360 ladrilhos. Quantosladrilhos iguais serão necessários para ladrilhar 3/8 do mesmo pátio?

P24) A soma de dois números é 120. O menor é 2/3 do maior. Quais são osnúmeros?

P25) Sueli trabalha após as aulas numa loja de fazendas. Uma tarde recebeu umapeça de linho de 45 metros para vender. Nesta mesma tarde vendeu 3/5 da peça,depois 1/3 do que sobrou. Quantos metros restaram por vender?

P26) Uma senhora repartiu R$273,00 entre seus três filhos. O primeiro recebeu 3/4do que tocou ao segundo e este, 2/3 do que tocou ao terceiro. Quanto recebeucada um ?

P27) Um negociante vendeu uma peça de fazenda a três fregueses. O primeirocomprou 1/3 da peça e mais 10 metros. O segundo comprou 1/5 da peça e mais 12metros e o terceiro comprou os 20 metros restantes. Quantos metros tinha a peça?

P28) Dois amigos desejam comprar um terreno. Um deles tem 1/5 do valor e outro,1/7. Juntando ao que possuem R$276.000,00, poderiam comprar o terreno. Qual opreço do terreno ?

P29) Paulo gastou 1/3 da quantia que possuía e, em seguida, 3/5 do resto. Ficoucom R$80,00. Quanto possuía?



P30) Qual é o número que multiplicado por 1/5 dá 7 3/4?

P31) Um alpinista percorre 2/7 de uma montanha e em seguida mais 3/5 dorestante. Quanto falta para atingir o cume?

P32) Qual é o número que aumenta 1/8 de seu valor quando se acrescentam 3unidades?

P33) Um trem percorre 1/6 do caminho entre duas cidades em 1 hora e 30minutos. Quanto tempo leva de uma cidade a outra uma viagem de trem?

P34) Lia comeu 21/42 de uma maçã e Léa comeu 37/74 dessa mesma maçã. Qualdas duas comeu mais e quanto sobrou?

P35) Dividindo os 2/5 de certo número por 2/7 dá para quociente 49. Qual é essenúmero?

P36) Um pacote com 27 balas é dividido igualmente entre três meninos. Quantasbalas couberam a cada um, se o primeiro deu 1/3 do que recebeu ao segundo e osegundo deu ½ do que possuía ao terceiro?

P37) Uma herança de R$70.000,00 é distribuída entre três herdeiros. O primeirorecebe ½, o segundo 1/5 e o terceiro o restante. Qual recebeu a maior quantia?

P38) Uma torneira leva sete horas para encher um tanque. Em quanto tempoenche 3/7 desse tanque?

P39) R$120,00 são distribuídos entre cinco pobres. O primeiro recebe ½, osegundo 1/5 do que recebeu o primeiro e os restantes recebem partes iguais.Quanto recebeu cada pobre?

P40) Em um combate morrem 2/9 de um exército, em novo combate morrem mais1/7 do que restou e ainda sobram 30.000 homens. Quantos soldados estavamlutando?

P41) 2/5 dos 3/7 de um pomar são laranjeiras; 4/5 dos ¾ são pereiras; há aindamais 24 árvores diversas. Quantas árvores há no pomar?

P42) Um corredor depois de ter decorrido os 3/7 de uma estrada faz mais cincoquilômetros e assim corre 2/3 do percurso que deve fazer. Quanto percorreu ocorredor e qual o total do percurso, em quilômetros?

P43) Efetuar as adições:1º) 12,1 + 0,0039 + 1,982º) 432,391 + 0,01 + 8 + 22,39

P44) Efetuar as subtrações:1º) 6,03 - 2,9456



2º) 1 - 0,34781

P45) Efetuar as multiplicações1º) 4,31 x 0,0122º) 1,2 x 0,021 x 4

P46) Calcular os seguintes quocientes aproximados por falta.1º) 56 por 17 a menos de 0,012º) 3,9 por 2,5 a menos de 0,13º) 5 por 7 a menos de 0,001

P47) Em uma prova de 40 questões, Luciana acertou 34. Nestas condições:Escreva a representação decimal do número de acertos;Transformar numa fração decimal;Escreva em % o número de acertos de Luciana.

d) d) d)P48) Calcular o valor da seguinte expressão numérica lembrando a ordem dasoperações: 0,5 + ( 0,05 ¸ 0,005).

P49) Quando o professor pediu a Toninho que escrevesse a fração decimal que

representa o número 0,081 na forma de fração decimal, Toninho escreveu 1081

; Eleacertou ou errou a resposta.

P50) Dentre os números 2,3; 2,03; 2,030; 2,003 e 2,0300, quais tem o mesmo valor?

P51) É correto afirmar que dividir 804 por 4 e multiplicar o resultado por 3 dá omesmo resultado que multiplicar 804 por 0,75?

P52) Um número x é dado por x = 7,344 ¸ 2,4. Calcule o valor de 4 - x .

P53) Uma indústria A, vende suco de laranja em embalagem de 1,5 litro que custaR$ 7,50. Uma indústria B vende o mesmo suco em embalagem de 0,8 litro quecusta R$ 5,40. Qual das duas vende o suco mais barato?

P54) Em certo dia, no final do expediente para o público, a fila única de clientes deum banco, tem um comprimento de 9 metros em média, e a distância entre duaspessoas na fila é 0,45m.Responder:a) Quantas pessoas estão na fila?b) Se cada pessoa, leva em média 4 minutos para ser atendida, em quanto temposerão atendidas todas as pessoas que estão na fila?

GABARITO - CONJUNTOS NUMÉRICOS



P1) 1,2,3,4

P2) 2

P3) 2

P4) 45

P5) B

P6) 7

P7) 10

P8) B

P9) D

P10) B

P11) 16

P12) a) 4 b) 94 c) 12 d) 5 e) 357f) 682

P13) A

P14) B

P15) C

P16) 1941

P17) Duas voltas da menor ou três voltas da menor

P18) Os ciclistas se encontraram depois de 180 segundos

P19) Após 4 voltas

P20) C

P21) 9h; 11h; 13h; 15h; 17h

P22) 11h e 20min; 11h e 40min; 18h

P23) 24.339

P24) 72 e 48

P25) 12 metros



P26) R$63,00 ; R$84,00 ; R$126,00

P27) 90 metros

P28) R$420.000,00

P29) R$300,00

P30) 155/4

P31) 2/7

P32) 24

P33) 9 h

P34) Cada comeu ½ e não sobrou nada

P35) 35

P36) 6,6,15

P37) R$35.000,00

P38) 3horas

P39) 1º- R$60,00 , 2º- R$12,00 ,3º 4º e 5º R$16,00

P40) 45.000

P41) 105

P42) 14 quilômetros e 21 quilômetros

P43) 1º) 14,0839; 2º) 462,791

P44) 1º) 3,0844; 2º) 0,65219;

P45) 1º) 0,05172; 2º) 0,1008;

P46) 1º) 3,29; 2º) 1,5; 3º) 0,714;

P47) a) 0,85 b) 10085

c) 85%

P48) 0,05

P49) Errou, a resposta é 81/1000



P50) 2,03; 2,030 e 2,0300

P51) Nos dois casos é correto afirmar, pois o resultado é 603

P52) 13,6256

P53) a indústria A

P54) a) 20 pessoas b) 80 minutos.

GABARITO - ESTATÍSTICA

P1)Conjunto A - a) 8 b) 6 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.Conjunto B - a) 8 b) 7 c) 2,4 d) 8 e) 2,8 aprox.

P2)a) Conjunto A X = 9 DP » 1,51

Conjunto B X = 11 DP » 1,53Conjunto C X = 7 DP » 0,75

b) O Conjunto B tem a maior dispersão porque tem o maior desvio padrão

P3) Máquina 1, pois tem a melhor média e o menor desvio

P4) Turma A. Desvio menor significa que, de modo geral, as notas estãomais próximas da média.

P5) Uma distribuição possível é:

Classe (m) fi f%[1,69; 1,76[ 3 18,75%[1,76; 1,83[ 5 31,25%[1,83; 1,92[ 5 31,25%[1,92; 1,93[ 3 18,75%

P6)Gráfico de Barras Verticais



450

250

15010050

Freqüência

Numeração1 2 3 4 5

Gráfico de Linha

450

250

15010050

Freqüência

Numeração1 2 3 4 5

Gráfico de Setores

15% 2

15%

325%

445%

510%

P7) I-) D II-) A

P8) a) 7 alunos b) 20 alunos c) 25%

P9) a) 700 garrafas b) aproximadamente 57,14%

P10) C

P11) D



P12) 20,2 anos

P13) 8

P14) a) 1 520 candidatosb) não, pois a nota média, nessa questão, é:

x = 2,30 e portanto, x > 2.

P15) a) Mo = 2 b) Md = 2

P16) 180 mulheres e 40 homens.

P17) a) x = 6,6 b) Md = 7 c) Mo = 7

P18) a) Jogador A: Ax =20, jogador B: Bx = 20;b) jogador A: σA = 1,2, jogador B: σB = 6,5c) Você decide! Observe, porém, que, apesar de os jogadores

possuírem a mesma média de pontos por jogo, o desvio-padrão do jogadorA é menor do que o do jogador B. Isso quer dizer que, em muito maisjogos, o jogador A esteve mais próximo da média do que o jogador B, istoé, A foi mais regular do que B.

REGRA DE TRÊS

É uma técnica de cálculo por meio da qual são solucionados problemas sobregrandezas proporcionais.

Estes problemas são de dois tipos:

1) Regra de Três Simples: quando se referem a duas grandezas diretamente ouinversamente proporcionais.

2) Regra de Três Composta: quando se referem a mais de duas grandezasdiretamente ou inversamente proporcionais.

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:



Sobre uma mola são colocados corpos de massa diferentes. A seguir,medindo o comprimento da mola, que se modifica com a massa do corpocolocado sobre ela, pode-se organizar a seguinte tabela:

Massa do corpo (em kg) Comprimento da mola (em cm)10 5020 10030 150

Pela tabela pode-se notar que:v Se a massa do corpo duplica, o comprimento da mola também duplica.v Se a massa do corpo triplica, o comprimento da mola também triplica.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 20kg, dizemos que a massavaria na

razão2010 =

21 . Enquanto isso, o comprimento da mola passa de 50cm para 100cm, ou seja, o

comprimento varia na razão de10050

=21

.

2-) Quando a massa do corpo passa de 10kg para 30kg, dizemos que a massavaria na

razão3010 =

31 . Enquanto isso o comprimento da mola passa de 50cm para 150cm, ou seja, o

comprimento varia na razão de15050 =

31

Note que a massa do corpo e o comprimento da mola variam sempre namesma razão; dizemos, então, que a massa do corpo é uma grandezaDIRETAMENTE PROPORCIONAL ao comprimento da mola.

"Quando duas grandezas variam sempre na mesma razão, dizemos que essasgrandezas são diretamente proporcionais, ou seja, quando a razão entre os

valores da primeira é igual a razão da segunda".

Veja outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais:

v Quando vamos pintar uma parede, a quantidade de tinta que usamos édiretamente proporcional à área a ser pintada duplicando-se a área, gasta-se odobro de tinta; triplicando-se a área, gasta-se o triplo de tinta.

v Quando compramos laranjas na feira, o preço que pagamos é diretamenteproporcional à quantidade de laranjas que compramos; duplicando-se aquantidade de laranjas, o preço também duplica; triplicando-se a quantidadede laranjas, o preço também triplica.



GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Consideremos a seguinte situação:

A professora de Português da 6ª série tem 48 livros para distribuir entre seusmelhores alunos. Vamos observar que:v Se ela escolher apenas os dois melhores alunos, cada um receberá 24 livros.v Se ela escolher os quatro melhores alunos, cada um receberá 12 livros.v Se ela escolher os seis melhores alunos, cada um receberá 8 livros.

Vamos colocar esses dados no quadro seguinte:

Número de alunos Número de livrosescolhidos distribuído a cada aluna

2 244 126 8

Pela tabela podemos notar que:

v Se o número de alunos duplica, o número de livros cai pela metade.v Se o número de alunos triplica, o número de livros cai para a terça parte.

Usando os números que expressam as grandezas, temos:

1-) Quando o número de alunos passa de 2 para 4, dizemos que o número de

alunos varia na razão: 42

. Enquanto isso, o número de livros passa de 24 para 12,

variando na razão: 1224

.

Note que essas razões não são iguais, elas são inversas, ou seja:

42 =

21 e

1224 =

12

Nessas condições, o número de alunos escolhidos e o número de livrosdistribuídos variam sempre na razão inversa; dizemos então que o número dealunos escolhidos é INVERSAMENTE PROPORCIONAL ao número de livrosdistribuídos.

"Quando duas grandezas variam sempre uma na razão inversa da outra, dizemosque essas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quando a razão

entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores dasegunda".

Veja outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais:



v Quando vamos fazer uma construção, o tempo que se gasta nessaconstrução é inversamente proporcional ao número de operários que secontrata; duplicando-se o número de operários o tempo cai pela metade.

v Quando fazemos uma viagem, o tempo que se leva é inversamenteproporcional à velocidade do veículo usado: dobrando-se a velocidade doveículo, o tempo gasto na viagem cai pela metade.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Consideremos as seguintes situações:

1º) Um carro faz 180km com 15 litros de álcool. Quantos litros de álcool este carrogastaria para percorrer 210km?

O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.

Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e asgrandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha.

Distância Litros de álcool

180 15210 x

Na coluna "litros de álcool" vamos colocar uma flecha apontada para o x.

Distância Litros de álcool

180 15210 x

Observe que aumentando a distância, aumenta também o consumo de álcool.Então, as grandezas distância e litros de álcool, são diretamente proporcionais.No esquema que estamos montando, indicamos isso colocando uma flecha nomesmo sentido da anterior.

Distância Litros deálcool

180 15210 x

x15

210180

= ⇒x

1576= ⇒ 6x = 105 ⇒ x = 17,5 l



Resposta: O carro gastaria 17,5 litros de álcool.

2º) Um avião voando à velocidade de 800km por hora vai de São Paulo a BeloHorizonte em 42 minutos. Se voar a 600km, por hora em quanto tempo fará amesma viagem?

As duas grandezas são: velocidade do avião e tempo de vôo.

Observemos que, se a velocidade do avião aumenta, o tempo de vôo diminui, logoa velocidade e o tempo são grandezas inversamente proporcionais.

Chamando de x o tempo necessário para voar de São Paulo à Belo Horizonte a600km por hora, temos:

Tempo de vôo Velocidade42 800

X 600

80060042

=x

⇒4342

=x

⇒ 3x = 168 ⇒ x = 56 minutos

Resposta:

O avião vai de São Paulo a Belo Horizonte em 56 minutos, voando a 600km/h.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta se refere a problemas que envolvem mais deduas grandezas. A grandeza cujo valor procuramos pode ser diretamente ouinversamente proporcional a todas as outras, ou até mesmo diretamenteproporcional a umas e inversamente proporcional a outras.

1O) Em quatro dias oito máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6máquinas iguais às primeiras produzirão 360 dessas peças?

Resolução:

Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécieem uma só coluna, e as grandezas de espécies diferentes que se correspondemem uma mesma linha.Na coluna "dias" coloquemos uma flexa apontada para x.

Máquinas Peças Dias8 160 46 360 x



Comparemos cada grandeza com aquela onde está o x.

As grandezas, peças e dias são diretamente proporcionais. No nossoesquema isso será indicado colocando-se na coluna "peças" uma flecha nomesmo sentido da flecha da coluna "dias".


As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (quantomaior o número de máquinas, menos dias para se efetuar o trabalho). No nossoesquema isso será indicado colocando-se na coluna "máquinas" uma flecha nosentido contrario na coluna "dias"


Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é x4

,como o produto das outras razões, obtidas segundo orientação das flechas:

x4 =

68

360160

⋅ ⇒x4 =

43

94⋅ ⇒

x4 =

11

31⋅ ⇒

x4 =

31

⇒

⇒ x = 12

Resposta: 12 dias.

2º) Trabalhando durante 6 dias, 5 operários produzem 400 peças. Quantas peçasdesse mesmo tipo serão produzidas por 7 operários trabalhando durante 9 dias?

Resolução:Inicialmente vamos organizar os dados no seguinte quadro, indicando o

número de peças pedido pela letra x.

Operários Dias Peças5 6 4007 9 xA B C

v Fixando a grandeza A, vamos relacionar as grandezas B e C, se aumentarmos onúmero de dias, o número de peças também aumentará; logo, as grandezas B eC são diretamente proporcionais.

v Fixando a grandeza B, vamos relacionar as grandezas A e C, se aumentarmos onúmero de operários, o número de peças também aumentará, logo, asgrandezas A e C são diretamente proporcionais.



Então, a grandeza C é diretamente proporcional às grandezas A e B; logoseus valores são diretamente proporcionais aos produtos dos valores dasgrandezas A e B, ou seja:

x400 =

96

75⋅ ⇒

x400 =

32

75⋅ ⇒

x400 =

2110

⇒

⇒x

40 =211

⇒ x = 40 . 21 ⇒ x = 840

Resposta:Produzirão 840 peças.

EXERCÍCIOS

P1) Um automóvel gasta 10 litros de gasolina para percorrer 65km. Quantos litrosgastará num percurso de 910km?

P2) Qual o tempo gasto por 12 homens para executar um trabalho que 8 homensnas mesmas condições executam em 9 dias?

P3) Um fonte dá 38 litros de água em 5 minutos; quantos litros dará em uma horae meia?

P4) Para tecer 19m de um tecido com 50cm de largura são gastos 38kg de lã.Quantos metros serão tecidos com 93kg da mesma lã, sendo a largura de 60cm?

P5) Numa transmissão de correia, a polia maior tem 30cm de diâmetro e a menor18cm. Qual o número de rotações por minuto da menor polia, se a maior dá 45 nomesmo tempo?

P6) Com 9 há de gasto podem ser mantidas 20 cabeças de gado. Quantos háserão necessários para manter 360 cabeças?

P7) Uma máquina, que funciona 4 horas por dia durante 6 dias produz 2000unidades. Quantas horas deverá funcionar por dia para produzir 20.000 unidadesem 30 dias?

P8) Um automóvel, com a velocidade de 80km por hora, percorreu certa distânciaem 6 horas. Que tempo gastará para percorrer a mesma distância se reduzir avelocidade para 50km por hora?

P9) Um automóvel percorreu certa distância em 4h, com a velocidade de 60km porhora. Qual o tempo que gastará para percorrer a mesma distância com avelocidade de 90km por hora?



P10) Se três homens podem arar um campo de 8 há em 5 dias, trabalhando 8horas diárias, em quantos dias 8 homens poderão arar 192 há trabalhando 12horas diárias?

P11) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 uniformes em 8 dias detrabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionarem 2160uniformes em 24 dias?

P12) Se 54 operários trabalhando 5 horas por dia levaram 45 dias para construiruma praça de forma retangular de 225m de comprimento por 150m de largura,quantos operários serão necessários para construir em 18 dias, trabalhando 12horas por dia, outra praça retangular de 195m de comprimento por 120m delargura?

P13) Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e7m de largura, 100 operários, trabalhando 7 horas por dia, levaram 2 meses emeio. Aumentando de 40 o número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horaspor dia, pergunta-se: em quanto tempo os operários construíram um segundocanal, com o mesmo comprimento do primeiro, porém de profundidade e larguraduplas da do primeiro?

P14) Se com 1000 litros de água se rega um campo de 450 há durante 20 dias,qual é a quantidade de água necessária para se regar outro campo de 200 hádurante 30 dias?

P15) Para o piso de uma sala empregam-se 750 tacos de madeira de 5cm decomprimento por 3cm de largura. Quantos tacos de 40cm de comprimento por7,5cm de largura são necessários para um piso cuja superfície é dupla daanterior?

P16) Se 10 operários, trabalhando 8 horas diárias, levantam em 5 1/2 dias umaparede de 22m de comprimento por 0,45 de espessura em quanto tempo 16operários, trabalhando também 8 horas por dia, levantam outra parede de 18m decomprimento, 0,30 de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?

P17) Um bloco de mármore de 3m de comprimento, 1,50m de largura e 0,60 dealtura pesa 4350kg. Quanto pesará um bloco do mesmo mármore cujasdimensões são: comprimento 2,20 largura 0,75m e altura 1,20?

P18) Um navio tem viveres para 20 dias de viagem. Porém um imprevisto deixou-oancorado em alto mar durante 10 dias, onde o comandante do navio foi avisadoda previsão do atraso. Em quanto se deve reduzir a ração diária da tripulação,para que não faltasse comida até o fim da viagem?

P19) Uma pessoa calculou que o dinheiro que dispunha seria suficiente parapassar 20 dias na Europa. Ao chegar, resolveu prolongar sua viagem por mais 4dias. A quanto teve de reduzir o sue gasto diário médio?



P20) Alguns operários devem terminar certo serviço em 36 dias, trabalhando 8horas por dia. O encarregado, após 20 dias, verifica que só 0,4 da obra estavapronta. Para entregar o serviço na data fixada; quantas horas por dia devem osoperários trabalhar nos dias restantes?

GABARITO - REGRA DE TRÊS

P1) 140 litros

P2) 6 dias

P3) 684 litros

P4) 38,75 metros

P5) 75 rotações

P6) 162 há

P7) 8 horas por dia

P8) 9 horas e 36min

P9) 2 h e 45min

P10) 30 dias

P11) 12 máquinas

P12) 39 operários

P13) 5 meses

P14) 666,666 litros

P15) 75 tacos

P16) 3,15 dias

P17) 3190 kg

P18) 31

P19) 61

P20) 15 horas



PORCENTAGEM (%)

"Porcentagem é uma fração decimal, cujo denominador é cem, a expressão x %, échamada de

taxa percentual e representa a razão100

x".

Exemplos:

OPERAÇÕES COM PORCENTAGEM

Podemos, por exemplo, operar números na forma de porcentagem, observe:

Exemplo:

Efetue:

v %64 =54

108

10064

== = 0,8 = 80%

v (10%)2 =22

101

10010

=

=

1001 = 1%

v 5% × 15% =100

5×

10015 =

201×

203 =

4003 = 0,75%

TRANSFORMAÇÕES

Muitas vezes teremos que transformar números decimais, ou frações, para aforma de porcentagem, ou mesmo teremos que fazer o contrário, transformarporcentagens em números decimais ou frações.

DECIMAIS → PORCENTAGEM



"Para converter números decimais em porcentagem, basta multiplicar o númeropor 100".

Exemplos:Vamos converter os números abaixo para a forma de porcentagem:v 0,57 ×100 = 57%v 0,007 ×100 = 0,7%v 1,405 ×100 = 140,5%

FRAÇÕES → PORCENTAGEM

"Para converter frações para porcentagens, em geral, vamos transformar asfrações em números decimais, em seguida multiplicá-los por 100".

Exemplos:

v 157 =0,466...=46,666% aproximadamente 46,7%

v 43 = 0,75 = 75%

CÁLCULOS EM PORCENTAGEMExistem problemas onde precisamos encontrar a porcentagem de um valorespecífico, ou mesmo a porcentagem de um determinado número de elementosem um conjunto, ou população:

Exemplo1:Em uma empresa trabalham 60 pessoas, sendo 15 mulheres. Vamos

determinar qual a porcentagem de homens, existente nesta empresa.Observe que de 60 pessoas, 15 são mulheres e 45 são homens, logo, em

sabemos que 6045

dos funcionários da empresa são homens.

Simplificando a fração encontrada obtemos 43

, então teremos 75% dosfuncionários como sendo homens e o restante (25%) sendo mulheres.

Exemplo2:Vamos determinar quanto é 23% de R$ 500,00. Paratanto, vamos calcular

de duas formas distintas, a primeira utilizando uma regra de três, e a outra,utilizando a relação "fração → todo", utilizada na resolução de problemas queenvolvem frações.

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$23 x



100 500

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

v 10023 =

500x

⇒ 100x = 23 . 500 ⇒ x = 23 . 5 ⇒ x = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.

2O.Modo: "Fração → Todo"

v 23% de 500 =10023 . 500 = 23 . 5 = 115

Logo, 23% de R$ 500,00 é igual a R$ 115,00.


R1) Ao receber uma dívida de R$ 1.500,00, uma pessoa favorece o devedor comum abatimento de 7% sobre o total. Quanto recebeu?

Resolução:Uma pessoa deve receber R$ 1.500,00, e no entanto, essa pessoa, concede umabatimento de 7% sobre esse valor, portanto, ela recebeu 93% do valor total (R$1.500,00).

v 93% de 1.500 =10093

× 1.500 = 93 . 15 = 1.395

Logo a pessoa recebeu R$ 1.395,00.

R2) Uma pessoa ao comprar uma geladeira, conseguiu um abatimento de 5%sobre o valor de venda estipulado, e assim foi beneficiado com um desconto deR$ 36,00. Qual era o preço da geladeira?

Resolução:

1O.Modo: "Regra de Três"

% R$5 36

100 x

Como as grandezas são diretamente proporcionais a equação fica assim:

v100

5 =x

36⇒ 5x = 36 . 100 ⇒ x = 36 . 20 = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.



2O.Modo: "Fração → Todo"

Sabemos, do enunciado, que 5% de um valor qualquer (aquele que temos quedescobrir) é igual a R$ 36,00, logo:

v 5% de x = 36 ⇒100

5 . x = 36 ⇒ 5x = 36 . 100 ⇒ x = 720

Portanto, o preço da geladeira era de R$ 720,00.

R3) Uma coleção de livros foi vendida por R$ 150,00. Com um lucro de R$ 12,00.Qual foi a porcentagem do lucro?

Resolução:

"Fração → Todo":

x% de 150 = 12 ⇒100

x. 150 = 12 ⇒ x = 8%

"Regra de Três"

% R$X 12

100 150

100x

=15012

⇒ 150x = 1200 ⇒ x = 8%

AUMENTOS E DESCONTOSUma determinada loja de roupas dá as seguintes opções de compra de uma calçajeans, cujo preço é de R$ 40,00:v 1a.Opção de Pagamento ⇒ pagamento à vista com um desconto de 5%.v 2a.Opção de Pagamento Þ pagamento a prazo com um aumento de 5%.

Qual será o novo preço da calça, nos dois casos considerados?

Uma forma de encontrarmos estes dois valores é determinando quanto é5% de R$ 40,00. Na opção de pagamento à vista, subtrairíamos do valor da calça,e na segunda opção, somaríamos os 5% no valor da calça, obtendo assim, nosdois casos, os seus respectivos valores.

Entretanto, em geral, utilizaremos um Fator de Multiplicação, para o caso de haverum desconto ou um aumento.

DESCONTOS

"Um desconto de x % em cima de um valor V é dado por: (0,a) × V, ondea = (100 - x)".



Exemplos (Tabela):

Descontos (%) Fator de Multiplicação25 0,7530 0,7070 0,305 0,95

Observe que:

v 75 = (100 − 25)v 70 = (100 − 30)v 30 = (100 − 70)v 95 = (100 − 5)

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento àvista será:

v 0,95 × 40 = R$ 38,00

AUMENTOS"Um aumento de x % em cima de um valor V é dado por: (1,x) × V".

Exemplos (Tabela):

Aumentos (%) Fator de Multiplicação25 1,2530 1,3070 1,705 1,05

Voltando ao nosso exemplo inicial, o preço pago pela calça, no pagamento aprazo será:

v 1,05 × 40 = R$ 42,00


1) Uma adega vende certa quantidade de garrafas de vinho a R$ 580,00, obtendoum lucro de 25% sobre o preço da compra. Determinar o preço da compra e olucro obtido.

Resolução:Como se trata de um lucro, nos deparamos com um problema de aumento. Pelo

enunciado R$ 580,00 é o preço de venda e o lucro de 25 % (ou o aumento) é dado



em cima de um valor de compra desconhecido, vamos escrever uma equação quenos relacione esses valores em linguagem matemática:

Preço de Compra: C

Logo:v 1,25 × C = 580 ⇒ C = 464

Portanto o preço de compra é R$ 464,00 e o lucro obtido é igual a 580 - 464 = R$116,00.

2) Um número diminuído de seus 18% vale 656. Qual o número?

Resolução:Houve uma diminuição, portanto é o mesmo que dizer que houve um desconto, eeste foi de 18%, logo o fator de multiplicação é 0,82. Escrevendo a equaçãomatemática vem:

Número: xv 0,82 .x = 656 ⇒ x = 800

Portanto o número é 800.

EXERCÍCIOS - PORCENTAGEM

P1) Qual o número cujos 18% valem 108?

P2) Qual o número cujos 43% valem 374,1?

P3) Uma pessoa compra um terreno por R$ 17,500,00 e vende-o com um lucro deR$ 3.500,00. Qual a porcentagem do lucro?

P4) Qual o número que aumentado de seus 20% da a soma de 432?

P5) Escrever a razão 3/8 na forma de porcentagem.

P6) Um desconto de R$ 7.000,00 sobre um preço de R$ 25.000,00,representa quantos por cento de desconto?

P7) Um lucro de R$ 12.000,00 sobre um preço de R$ 150.000,00,representa quantos por cento desse preço?

P8) Exprimir 51% na forma decimal.

P9) Em um jogo de basquete, um jogador cobrou 20 lances livres, dos quaisacertou 65%. Quantos lances livres acertou?



P10) Durante o ano de 1992, uma equipe de basquete disputou 75 jogos, dosquais venceu 63. Qual a porcentagem correspondente aos jogos vencidos?

P11) Comprei 60 figurinhas e aproveitei apenas 45 em meu álbum. As restanteseram repetidas. Qual foi a porcentagem de figurinhas repetidas?

P12) Em um colégio, 1400 alunos estudam no período da manhã. Esse númerorepresenta 56% do número de alunos que estudam no colégio. Quantos alunosestudam ao todo nesse colégio?

P13) Na compra de um objeto, obtive um desconto de 15%. Paguei, então, R$7.650,00 pelo objeto. Nessas condições qual era o preço original desse objeto?

P14) Um representante comercial recebe de comissão 4% pelas vendas querealiza. Em um mês recebeu de comissão R$ 580,00. Quanto vendeu nesse mês?

P15) Em uma fábrica 28% dos operários são mulheres, e os homens são 216.Quantos são no total os operários dessa fábrica?

P16) Um comerciante compra 310 toneladas de minério à R$ 450,00 a tonelada.Vende 1/5 com lucro de 25%; 2/5 com lucro de 15% e o resto com um lucro de10%. Quanto recebe ao todo e qual é o seu lucro?

P17) Um agente de motores adquire os mesmos por R$ 18.000,00 e pagauma taxa alfandegária de 15%. Devendo dar ao vendedor uma comissão de 10%.Por quanto deve vender para pagar 30% sobre o mesmo preço?

P18) Uma pessoa compra uma propriedade por R$ 300.000,00. Paga detaxas, comissões e escritura R$ 72.000,00. Por quanto deve revendê-la para obterum lucro de 12%?

P19) Um número diminuído de seus 27% vale 365. Qual é o número?

P20) Uma pessoa ganha em uma transação 3/5 da quantia empregada. De quantospor cento foi o lucro?

P21) A porcentagem de 36% sobre um valor, que fração é desse mesmo valor?

P22) Uma betoneira depois de trabalhar na construção de um edifício, sofre umadepreciaçãode 27% sobre seu valor e, é então avaliada emR$ 36.500,00. Qual o valor primitivo?

P23) Com uma lata de tinta é possível pintar 50m2 de parede. Para pintar umaparede de 72m2 gastam-se uma lata e mais uma parte de uma Segunda. Qual aporcentagem que corresponde a parte que se gasta da segunda lata?



P24) Sabendo-se que uma substância chamada óxido de magnésio contém 24g demagnésio. Sendo assim, qual a porcentagem de magnésio existente em 40g deóxido de magnésio?

P25) A área de um terreno A é 930m2, enquanto a área do terreno B é 1500 m2.Nessas condições a área do terreno A representa quantos por cento da área doterreno B?

GABARITO - PORCENTAGEM

P1) 600

P2) 870

P3) 20%

P) 360

P5) 37,5

P6) 28%

P7) 8%

P8) 0,51

P9) 13

P10) 84%

P11) 25%

P12) 2.500

P13) 9.000

P14) 14.500

P15) 300

P16) Recebe R$ 160.580,00 e lucra R$ 21.080,00

P17) R$ 29.250,00

P18) R$ 416.640,00

P19) 500

P20) 60%



P21)25

9

P22) R$ 50.000,00

P23) 44%

P24) 60%

P25) 62%

JUROS

"Juro é a remuneração do capital empregado. É a compensação em dinheiro quese recebe quando se emprega uma determinada quantia por um determinado

tempo".

Quando aplicamos um capital durante um certo período de tempo,esperamos obter um rendimento. Após esse período, o capital se transformará emum valor capitalizado, chamado montante.

"Montante é o capital aplicado acrescido do rendimento obtido durante o períododa aplicação. É também chamado valor futuro, valor de resgate ou valor

capitalizado".Sejam:v C = Capital aplicado ou principalv t = Tempo de aplicaçãov i = Taxa porcentualv J = Juro produzido ou rendimentov M = Montante

Observação:

O tempo de aplicação deve estar coerente com a taxa, isto é, se um estiverexpresso em anos o outro deve estar também, e assim sucessivamente.

JUROS SIMPLES

"No juro simples a taxa será incidente apenas no valor inicial".

Exemplo:



Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros simples, qual será ovalor resgatado após 3 meses?

Repare que:

v C = 5.000v t = 3 mesesv i = 10%v J = ?v M = ?

O que se pede no problema é o montante (M), vamos então, estabeleceruma seqüência de rendimentos durante os meses, sabendo que se a aplicaçãoestá relacionada com o juros simples devemos empregar a taxa apenas ao valorinicial

(Capital = 5.000):10% de 5000 = 500

Logo, a seqüência:(5000; 5000 + 500, 5500 + 500, 6000 + 500, ...)

(5000; 5500; 6000; 6500; ...)Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação

termos um montante de R$ 6.500,00, tendo rendido R$ 1.500,00 de juros.

Imagine agora se fôssemos calcular o montante obtido após 30 meses. Seriainviável utilizar uma seqüência para a obtenção do montante, portantoutilizaremos para cálculo do Juros Simples, a seguinte fórmula.

Nota:Para a obtenção do montante basta somar o juros obtido com o capitalempregado.

100tiCJ ⋅⋅=

e M = J + C

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 a umataxa de 10% a.m. durante 3 meses:

v 100

3105000 ⋅⋅=J =

100150000 = 1500

v M = 1500 + 5000 = 6500

Observações:

v Para o nosso estudo, designaremos m (minúsculo) e d (minúsculo) parareferirmo-nos ao tempo em meses e a dias, respectivamente.

v Vamos considerar o ano com 360 dias (ano comercial).




R1) Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de jurossimples de 120% a.a.. Calcule:a) O juro obtido.b) O montante.

Resolução:a) Dados:

v C = 800.000v t = 4 mesesv i = 120 % a.a.

Observe que a taxa está em anos e o tempo em meses, portanto devemosconverter um deles, é mais conveniente, em geral, transformar o tempo de acordocom a taxa e paratanto podemos utilizar uma regra de três:

Ano Meses1 12x 4

Como são grandezas diretamente proporcionais, o cálculo será imediato.Repare que não haveria necessidade da regra de três, uma vez que quatro meses

é uma parte do ano e essa parte nada mais é que 124

que é o mesmo que 31

.

Logo:

v t =31

Substituindo na fórmula:

100tiCJ ⋅⋅= =

1003

1120800000 ⋅⋅= 320.000

M = J + C = 320.000 + 800.000 = 1.120.000

JUROS COMPOSTOS

"No Juro Composto, os juros gerados são calculados em cima do valor inicial decada período, sendo incorporado ao montante de cada período".

Exemplo:



Empregando R$ 5.000,00 a uma taxa de 10% a.m. a juros compostos, qual será ovalor resgatado após 3 meses?

Repare que:

v C = 5.000v t = 3 mesesv i = 10%v J = ?v M = ?

Analogamente aos juros simples vamos estabelecer uma seqüência derendimentos durante os meses, como o juros será calculado em cima do valorinicial de cada período, vamos utilizar um fator de multiplicação para orendimento de 10%⇒ 1,10

A seqüência:(5000; 1,10 . 5000, 1,10 . 5500, 1,10 . 6050, ...)

(5000; 5500; 6050; 6655; ...)Pela seqüência podemos concluir que após os três meses de aplicação

termos um montante de R$ 6.655,00, tendo rendido R$ 1.655,00 de juros.

Em geral, utilizaremos a fórmula:

Mt = C .(1 + i)t

Vamos calcular novamente o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00 auma taxa de 10% a.m. durante 3 meses:

M3 = 5000 . (1 + 0,10)3 = 5000 . (1,10)3 = 6.655

EXERCÍCIOS - JUROS

P1) Qual o juro produzido por R$ 14.000,00 em três anos, a 5% ao ano?

P2) Calcular o juro de R$ 2.700,00 a 8% ao ano, em 3 anos e 4 meses.

P3) Calcular o juro produzido por R$ 900,00 em 1 ano, 5 meses e 20 dias a 0,8% aomês.

P4) Calcular o juro de R$ 264,00 em 9 meses a 7% ao ano.

P5) Qual o capital que produz R$ 400,00 de juro ao ano em 1 ano e 8 meses á umataxa de 1% ao mês?

P6) A que taxa ao ano deve ser empregado o capital de R$ 16.000,00 para produzirR$ 2.520,00 em 2 anos e 3 meses?



P7) O capital de R$ 6.000,00 empregado à 9% ao ano, produziu R$ 810,00 de juro.Durante quanto tempo esteve empregado?

P8) Uma pessoa adquire um automóvel por R$ 18.000,00. O vendedoroferece um abatimentode 5% pelo pagamento à vista. A pessoa, no entan-to, prefere pagar em duas prestações iguais. A primeira 6 meses depois dacompra e a outra um ano depois submetendo-se ao pagamento de 7% de juro aoano. Quanto gastou a mais, adotando o pagamento em prestações?

P9) Certo capital colocado a juro durante 3 anos e 4 meses a 8% ao ano, produziuR$ 720,00 de juro. Qual o capital?

P10) O capital de R$ 900,00 empregado a 0,8% de juro ao mês, produziu R$ 127,00de juro. Durante quanto tempo esteve empregado?

P11) Um aparelho eletrônico custa R$ 620,00 à vista. Em 5 prestações mensais opreço passa a ser de R$ 868,00. Sabendo-se que a diferença entre os preços édevida ao juros, qual a taxa de juros cobrada ao mês por essa loja?

P12) Quem aplicou R$ 20.000,00 por 2 meses a uma taxa de 10% ao mês vaireceber a mesma quantia que quem aplicou R$ 25.000,00 a uma taxa de 8% aomês pelo mesmo período de tempo. Esta afirmação é VERDADEIRA ou FALSA?

P13) Qual o tempo necessário para que um capital, colocado a 5% ao ano, dobrede valor?

P14) Qual o capital que colocado a 6% ao ano, produz um montante de R$100.000,00 no fim de 15 anos?

P15) Qual o montante de R$ 100.000,00 no fim de 10 anos à taxa de 5,5%?

P16) Qual a taxa que esteve empregado o capital de R$ 24.750,00, se ao fim de 60dias produziu o montante de R$ 24.997,50?

P17) Uma pessoa deposita suas economias no valor de R$ 13.000,00 num bancoque paga 5% ao ano. Qual o capital acumulado em 5 anos?

P18) Uma pessoa emprega seu capital a 8% e, no fim de 3 anos e 8 meses recebecapital e juros reunidos no valor de R$ 15.520,00. Qual o capital empregado?

P19) No fim de quanto tempo um capital qualquer aplicado a 5% triplica de valor?

P20) Uma pessoa coloca um capital a 4%. No fim de 3 anos retira o capital e jurose coloca o montante a 5%. Ao cabo de 2 anos o novo montante é de R$ 6.160,00.Qual o capital?

GABARITO - JUROS



P1) R$ 2.100,00

P2) R$ 720,00

P3) R$ 127,20

P4) R$ 13,86

P5) R$ 2.000,00

P6) 7% ao ano

P7) 1 ano e 6 meses

P8) R$ 1.845,00

P9) R$ 2.700,00

P10) 1 ano, 5 meses e 20 dias

P11) 8%

P12) sim

P13) 20 anos

P14) R$ 52.631,58

P15) R$ 155.000,00

P16) 1,67% a.d.

P17) R$ 16.250,00

P18) 12.000

P19) 40 unidades de tempo

P20) R$ 5.000,00

O QUE É CAPITALIZAÇÃODo ponto de vista das finanças, CAPITALIZAÇÃO é o processo de aplicação de uma importância auma determinada taxa de juros e de seu crescimento por força da incorporação desses mesmos jurosà quantia inicialmente aplicada. No sentido particular do termo, CAPITALIZAÇÃO é uma



combinação de economia programada e sorteio, sendo que o conceito financeiro acima expostoaplica-se apenas ao componente "economia programada", cabendo ao componente lotérico o papelde poder antecipar, a qualquer tempo, o recebimento da quantia que se pretende economizar ou deum múltiplo dela de conformidade com o plano. Para a venda de um título de Capitalização énecessário uma série de formalidades que visam a garantia do consumidor. A Sociedade deCapitalização deve submeter o seu plano ao órgão fiscalizador do Sistema Nacional de Capitalização- SUSEP.

Plano de Capitalização - é o conjunto de elementos que dão forma ao título, são as Condiçõesque caracterizam um produto e os diferenciam entre si. Os planos são representados pelas CondiçõesGerais, Nota Técnica Atuarial e Material de Comercialização.

A comercialização de um título de Capitalização envolve termos próprios, a saber:O QUE É TÍTULO DE CAPITALIZAÇÃO?É um papel do mercado mobiliário, nominativo, que pode ser adquirido à prazo ou à vista.O QUE SIGNIFICA "JUROS"?É uma remuneração do capital aplicado a uma determinada taxa, denominada taxa de juros.No final de cada período de Capitalização que é previamente estipulado, os juros produzidos sãoadicionados ao capital, passando a fazer parte do mesmo para efeito de cálculo dos próximos juros.Assim, estamos diante de uma aplicação de juros compostos.CONDIÇÕES GERAISÉ o documento onde contém todos os direitos e deveres da Sociedade de Capitalização e docomprador do título.É, portanto, de fundamental importância conhecer o texto das Condições Gerais de um título, tantopara vendê-lo como para comprá-lo. Atente-se ainda para o fato de que não existe padrão deCondições Gerais, assim sendo, os direitos conferidos pela aquisição de um título de Capitalização ouos deveres decorrentes da sua venda variam substancialmente de empresa para empresa e até deplano para plano em uma mesma empresa.NOTA TÉCNICAÉ o documento que contém as demonstrações de cálculos dosparâmetros técnicos de um título de Capitalização. Esse documento consistede enunciados e fórmulas matemáticas e deve ser assinado por atuárioregistrado no órgão de classe e credenciado junto à SUSEP.

MATERIAL DE COMERCIALIZAÇÃOÉ o material usado para a divulgação e venda do título.

Deve ser bem claro, atendendo ao Código de Defesa do Consumidor.É fundamental o conhecimento do produto para que todos possam prestar quaisquer esclarecimentosaos clientes.COMO SE ADQUIRE UM TÍTULO DE CAPITALIZAÇÃO?

O título pode ser adquirido, mediante preenchimento de uma Proposta para Compra de Título deCapitalização.O QUE É PROPOSTA?

Proposta é um formulário contendo os dados do subscritor, bem como sua autorização para débitoem sua conta das mensalidades do título.



SOBRE A NATUREZA E TRANSFERIBILIDADE DO TÍTULONATUREZA DO TÍTULO

O título é livremente negociável, podendo ser vendido, trocado ou doado, desde que sejaformalizada junto a Sociedade de Capitalização a transferência conjunta do cedente ecessionário. Assim, o cessionário sucede o cedente em todos os seus direitos e obrigações.

CEDENTE - Pessoa física ou Jurídica que cede o Título de Capitalização.CESSIONÁRIO - Pessoa física ou Jurídica a quem está sendo cedido o título e que setornará o novo subscritor.

ATRIBUTOS BÁSICOS DO TÍTULOO título de Capitalização possui os seguintes atributos básicos: prazos, sorteios, mensalidades eatualizações monetárias.

QUE SIGNIFICA PRAZO?É o prazo para pagamento das mensalidades do título cujos valores são capitalizados nomesmo período, ou não, dependendo do plano.

QUE SIGNIFICA VIGÊNCIA?O título é considerado em vigor no primeiro dia útil seguinte ao do pagamento da primeiramensalidade. O título permanecerá nessa condição enquanto não houver atraso nopagamento das mensalidades subsequentes.

QUE SIGNIFICA TÍTULO SUSPENSO?Vencido o prazo para pagamento e não quitado o débito, ficará suspenso automaticamente odireito de o título concorrer a sorteios, até que venha a ficar novamente em dia, pelopagamento das mensalidades vencidas.

QUE É PRAZO DE CARÊNCIA?É o período de tempo em que o subscritor do título terá que esperar para receber o valor deresgate correspondente ao saldo de Capitalização garantido.

Decomposição das Mensalidades de um Título de CapitalizaçãoA mensalidade é composta pelo menos de três elementos a saber:

Reserva Matemática - É a parcela deduzida de cada mensalidade para constituir as quantiaseconomizadas pelo subscritor. É somente sobre a reserva matemática que se aplicamcorreção monetária e juros e não sobre o total das mensalidades. A reserva matemática nadamais é que o valor de resgate ao final do plano.

Despesas Operacionais - É a parcela deduzida de cada mensalidade para cobrir despesasoperacionais e administrativas da Companhia tais como: salários, honorários, aluguéis,publicidade, material, correios, etc.

Custo de Sorteios - É a parcela deduzida de cada mensalidade para garantir o pagamento dosprêmios aos subscritores contemplados.

FORMA DE PAGAMENTOO título de Capitalização pode ser adquirido à prazo ou à vista.

PRAZO DE PAGAMENTO / TAMANHO DA SÉRIEO prazo de pagamento e o tamanho da série são definidos em função do plano a serelaborado pela Companhia de Capitalização.



DESCONTO BANCÁRIO

Chamamos de desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simplesproduzido pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxafixada.Sejam d o valor de desconto comercial, N o valor nominal do título, A o valor atualcomercial, n o tempo que falta para o vencimento e i a taxa de desconto, então:O valor atual bancário é dado por:

EXERCÍCIOS1. Um título de R$ 60.000,00 vai ser descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 45 diaspara o vencimento do título, determine:a . o valor do desconto comercialb . o valor atual comercialSoluçãoN = 60.000,00 i = 2,1% a.m. n = 45 diasa. d = N i n = 60.000 x 0,021 x 1,5 = R$ 1.890,00b. A = N - d = 60.000 - 1.890 = R$ 58.110,00

2. Uma duplicata de R$ 6.900,00 foi resgatada antes de seu vencimento por R$ 6.072,00.Calcule o tempo de antecipação, sabendo que a taxa de desconto comercial foi de 4% aomês.

SoluçãoN = 6.900,00 A = 6.072,00 i = 4% a.m.d = N - A = N i n . (6.900 - 6.072) = 6.900 x 0,04 x nn = 828

69000 x 0.04= 3

Resp: 3 meses

DESCONTO COMPOSTO

O desconto simples, racional ou comercial são aplicados somente aos títulos de curtoprazo, geralmente inferiores a 1 ano.Quando os vencimentos têm prazos longos, não é conveniente transacionar com essestipos de descontos, porque podem conduzir a resultados que ferem o bom senso.Observe o EXEMPLO

Calcular o desconto comercial de um título de R$ 100.0000,00 com resgate para 5 anos, àtaxa de 36% ao ano.

RESOLUÇÃOFórmula: d = N i nN = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 a.a. n= 5 anosd = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000

Como vemos, o valor do desconto é superior ao valor nominal do título, o que é umabsurdo!!!É por esse motivo que, em casos como o apresentado, adotamos o regime de regime dejuros compostos, que jamais darão resultados desse tipo.Como no desconto simples, temos duas formas de desconto composto, o descontocomercial, bancário composto ou por fora e o desconto racional ou por dentro.



DESCONTO COMERCIAL, BANCÁRIO COMPOSTO OU POR FORAComo o desconto comercial simples, o desconto comercial composto é calculado sobre ovalor nominal do título. O valor atual é obtido por meio de uma sucessão de descontossobre o valor nominal, isto é, sobre o valor expresso no título.

Assim, Instante n: valor do título é NInstante n - 1 (ou 1 período anterior: valor do título era N - iN = N (1 - i)Instante n - 2: valor do título era (N - iN) - i (N - iN) = (N - iN) [1 - i] == N(1 - i)[1 - i] = N (1 - i)2e, assim sucessivamente, n períodos antes do vencimento o valor do título era:A = N (1 - i)n

O desconto comercial é a diferença entre o valor nominal do título e o seu valoratual. Assim,d = N - A = N - N(1 - i)n = N [ 1 - (1 - i)n]

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes dovencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizáveltrimestralmente.

SOLUÇÃOA = ? N = R$ 20.000,00 i = 5% a.t. = 0,05 a.t. n = 1 ano = 4trimestresA = N (1 - i)n = 20.000 (1 - 0,05)4 = 20.000 . 0,814506 = 16.290,13A = N (1 - i)n

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Calcular a taxa de desconto bancário composto de um título de R$ 20.000,00,descontado 4 meses antes do vencimento, recebendo líquido o valor de R$ 16.290,13.

2. Um título de R$ 20.000,00 foi descontado num banco, pelo desconto bancáriocomposto, à taxa de 5% a.m., sendo creditada, na conta do cliente, a importância de R$16.290,13. Quanto tempo antes do vencimento foi descontado este título?

Gabarito01 - Resp: 5% 02 - Resp : 4 meses

O que é Taxa de Juros?

É o preço do dinheiro. Dinheiro é uma mercadoria com outra qualquer. Tomemos oexemplo de uma geladeira. O preço varia em função da lei da oferta e da procura. Quanto



maior a quantidade de geladeira no mercado, menos o consumidor pagará por ele. Com odinheiro é a mesma coisa. Quanto mais dinheiro os bancos têm para oferecer aos seusclientes, menos eles cobram pelo empréstimo. E o preço que os bancos cobram é a taxade juros. Os bancos precisam captar recursos no mercado para poder emprestar. Paraatrair esse capital eles remuneram os clientes que depositam seu rico dinheirinho. Eadivinhe com o se chama essa remuneração: taxa de juros. Portanto, por definição, o queo banco lucra é a diferença entre a taxa de juros paga ao depositante e a taxa cobrada dequem pega um empréstimo. É o chamado spread.

TAXAS

DESCONTO COMERCIAL SIMPLES

Se uma pessoa deve uma quantia em dinheiro numa data futura, é normal que entregue ao credorum título de crédito, que é o comprovante dessa dívida.Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-loantecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.O desconto é uma das mais comuns aplicações da regra de juro.Os títulos de crédito mais utilizados em operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e aletra de câmbio.A nota promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. Éum título muito usado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituição financeira.A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica),para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundoum contrato.A letra de câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capitalcom vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por umainstituição financeira.

Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:•que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Neste caso, ele se beneficia com um

abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo detempo que falta para o vencimento;

•que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender otítulo de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente aojuro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar opagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantidades. Essebenefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o ato de efetuá-las échamado descontar um título.

A fórmula é:

d = N.i.nExemplo:



Qual o desconto de um título no valor de R$ 50.000,00, se ele for pago 2 meses antes do vencimento à umataxa de 5,5 % a.m.?

Aplicando a fórmula:

d : o que você quer saberN : 50.000,00i : 5,5% - 0,055n : 2

Logo : 50000 . 0,055 . 2 = > R$ 5.500,00 de desconto

Valor Atual / Nominal

O cálculo do valor atual está para o Desconto Simples como o Montante para o cálculo de JurosSimples , ou seja, é o valor final após calcular o desconto.

Pegando o exemplo da seção anterior, o Valor Nominal do título era de $ 50.000,00 e o descontoincidente foi de $ 5.500,00 ( ou seja , A = N-d ). Logo, o Valor Atual é de $ 44.500,00. Fácil, não?

A fórmula para o cálculo direto do Valor Atual é:

A = N. (1-i.n)Exemplo:

Após receber sua devolução do I.R., você resolve quitar de uma vez as suas parcelas restantes do seuconsórcio, num valor total de $ 70.000,00 ( claro, como você é uma pessoa consciente você paga suasdívidas e não sai por ai torrando e fazendo novas dívidas). Faltam 5 parcelas mensais e o desconto seráde um 1% a.m. . Quanto você terá de pagar em cash ?

Aplicando a fómula:A = o que você quer descobrirN =70.000,00i = 1% a.m.n = 5 meses

Logo: A=70000. (1 - 0,01.5) resultando $ 66.500,00 , ou seja, uma diferença de $ 500,00.

Taxas Equivalentes

Em linguagem simples, são duas taxas ou mais taxas que, quando aplicadas, em determinado lapsode tempo em determinada quantia têm como resultado o mesmo valor.

Complicado? Tá, então digamos assim: você tem uma aplicação que rende 1 % a.m. se você aplicardurante 6 meses . E você tem outra que rende 12 % a.a. se você aplicar durante um ano. Qual é maisvantajosa? É tudo a mesma coisa , ou seja, elas são equivalentes, ou não? Ou será que é melhor pagarantecipadamente uma dívida ou aplicar o dinheiro e pagá-la no vencimento previsto?

EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00- à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses- à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestresRESOLUÇÃONo primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00



Como os juros são iguais, podemos dizer que 4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes

Ah, mais uma coisinha que causa confusão entre os não-iniciados. Muitas vezes você vai ouvir sobreTaxas Nominais, Taxas Efetivas e Taxas Reais e quiçá, Proporcional e Aparente . Mas, afinal, do quese trata tudo isso?

Vamos lá:

Taxa Nominal - Versão financiês : É quando o período de formação e o período de incorporação dejuros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - Versão português : Équando você diz, por exemplo, que uma aplicação é de 35% ao ano só que a capitalização é mensal ouque a aplicação financeira é de 0,85% ao mês só que a capitalização é diária, como os FIFs ou FAQs,de capitalização diária , dos bancos.Assim, por exemplo,35% ao ano, com capitalização mensal;16% ao ano, com capitalização semestral;36% ao mês, com capitalização diária.Veja bem: A taxa nominal é muito utilizada no mercado, quando da formalização dos negócios. Não é,porém, utilizada diretamente nos cálculos, por não corresponder, de fato, ao ganho/custo financeiro donegócio.Qual é, então, a taxa efetivamente utilizada?É a taxa efetiva

Taxa Efetiva - falando financiês : É quando o período de formação e o período de incorporação dejuros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referenciada. - falando português : É quandovocê diz, por exemplo, que uma aplicação é de 1 % ao mensal e capitalização é mensal, como apoupança.

Como se obtém a TAXA EFETIVA?O seu valor pode ser determinado através da equivalência: o principal VP aplicado à taxa iaadurante um ano deve produzir mesmo montante que quando aplicado à taxa idurante m períodos:VP( 1 + iaa) = VP( 1 + i)m.Portanto,iaa = (1 + i)m - 1 = FAC (m,i) - 1

EXEMPLOSejam R$ 100,00 aplicados a 2% ao mês, capitalizados mensalmente.Taxa nominal: iN = 12 x 2% = 24% ao ano.Taxa efetiva: iE = (1 + 0,02)12 - 1 = 1,268 - 1 = 0,268 = 26,8% ao anoO montante após um ano será 100(1 + 0,268) = 126,8 e não 100(1 + 0,24)= 124 como se poderia supor!!.

A distinção entre taxa efetiva e taxa nominal é de suma importância. Em situações envolvendoempréstimos ou financiamentos, por exemplo, a taxa que figura nos contratos é geralmente a taxanominal, que não pode ser tomada como critério de decisão.

Taxa Real - é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período. Você vai ouvir esse termoadoidado. Pegando o exemplo da poupança , quando o Governo diz que a poupança tem umrendimento real de 0,5% ao mês , siginifica que seu dinheiro foi corrigido primeiro pela inflação doperíodo e sobre este montante foi aplicado 0,5%.

Bom agora que você está suficientemente confuso ou confusa , vamos aos cálculos de equivalência:



Taxa de Juros Proporcional

Duas taxas são ditas proporcionais quando os números que indicam as taxas são diretamenteproporcionais aos respectivos números que indicam os períodos de referência. É um conceito doregime de juros simples.Por exemplo:15% ao trimestre é proporcional a 5% ao mês. Isto porque:15% / 3 meses = 5% / 1 mês

Taxa de Juros Aparente

É um conceito usado em estudos financeiros em contexto inflacionário. Hoje em dia não é utilizadadevido às baixas taxas de inflação registradas já há alguns anos no Brasil.

Equivalência entre duas taxas no regime de juros simples

Essa é Fácil: é só pegar a taxa e multiplicá-la (ou dividi-la) pelo período correspondente ao quedeseja descobrir. Exemplo : você tem uma taxa de 5% a.m. e quer saber quanto é equivalente ao ano.Ora, um ano tem 12 meses então é só multiplicar 5% por 12 e você tem 60% a.a. O inverso também éverdadeiro : você tem uma taxa de 15% a.m. e quer saber quanto é ao dia . É só dividir 15% por 30dias e você tem 0,5% a.d. Fácil, não ?

Equivalência entre duas taxas no regime de juros composto

Bom, essa é um pouco mais complicada, mas também não é nenhum bicho-de-sete-cabeças. Se vocêquer passar de uma unidade de tempo "menor" para uma "maior" , como de mês para ano, vocêeleva a taxa de juros pelo número de períodos correspondente. Se for o contrário, como por exemplode ano para mês, você eleva ao inverso do período . Complicado ? Que nada , isso é matéria de 2ºgrau mas para os que não se lembram ou cochilaram na aula, abaixo uma tabelinha com asconversões necessárias :

De a.m. para a.a. = ia = (1+im)12 -1

De a.d. para a.m. = im = (1+id)30 -1

De a.d. para a.a. = ia = (1+id)360 -1

De a.a. para a.m. = im = (1+ia)1/12 -1

De a.m. para a.d. = ia = (1+im)1/30 -1

De a.a. para a.d. = id = (1+ia)1/360 -1

Exemplo : você tem uma taxa de 24% a.a. e quer saber quanto é equivalente ao mês. Usando afórmula dá aproximadamente 1,81% a.m. Será? Então faça uma prova de confirmação : use as duastaxas sobre um valor simples como R$ 1.000,00 e veja se o resultado não é igual. (Na verdade dáuma pequena diferença porque eu arredondei o decimal na hora de calcular ;))

Equivalência entre uma aplicação e um desconto no regime de juros simples

Há ocasiões em que será necessário verificar se uma taxa de juros aplicada a um capital e uma taxade juros aplicada para fins de desconto são equivalentes.Isso é fundamental para decidir se vale a pena pagar antes, aplicar , reinvestir , etc..A fórmula para determinar uma taxa equivalente é :

Se você tem a taxa de desconto e quer descobrir a taxa de juros correspondente:



i / 1- i.n

Se você tem a taxa de juros para aplicação e quer descobrir a taxa de desconto correspondente:i / 1+ i.n

Exemplo: Vamos pegar um capital de $ 60.000,00 investido a juros simples de 8% a.m. por 3 meses.Qual a taxa de desconto simples equivalente ?Usando a fórmula : i / 1+ i.n = > 0,08 / 1,08*3 = >0,0645 Ou seja 6,45% a.m. de desconto éequivalente a 8% a.m. para aplicação, em regime de juros simples, num prazo de 3 meses.

RENDAS UNIFORMES E VARIÁVEIS (Rendas Certas ouAnuidades)

Bom, anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto anível de financiamentos quanto de investimentos.

Se a renda possui um número finito de termos será chamada de temporária caso contrárioé chamada de permanente. Apesar da opinião de alguns mutuários da Caixa Econômica ,o financiamento da casa própria é temporária, apesar de ter um termo de conclusão bemlongo.

Agora, se os termos da renda certa forem iguais é chamada de renda certa de termoconstante ou renda certa uniforme; senão é uma renda certa de termo variável.

Finalmente, quando o período entre as datas correspondentes aos termos tiverem omesmo intervalo de tempo , diz-se que a renda certa é periódica ; caso contrário é nãoperiódica.

Exemplo:

Um financiamento de casa própria é um caso de renda certa temporária, de termo variável(sujeito à variação da TR) e periódica.

Um financiamento de eletrodoméstico é um caso de renda certa temporária, de termoconstante (você sabe quanto pagará de juros) e periódica.

Já a caderneta de poupança pode se considerar como um caso de renda certa perpétua(pelo menos enquanto o dinheiro estiver à disposição para aplicação), de termo variável eperiódica. Bico, como pode ver. E já que é bico, mais algumas definições :

As rendas periódicas podem ser divididas em :

§Postecipadas§Antecipadas§Diferidas

As Postecipadas são aquelas na qual o pagamento no fim de cada período e não naorigem. Exemplo: pagamento de fatura de cartão de crédito

As Antecipadas são aquelas na qual os pagamentos são feitos no início de cada períodorespectivo.Exemplo: financiamentos com pagamento à vista



E as Diferidas são aquelas na qual o primeiro pagamento é feito após um determinadoperíodo.Exemplo: promoções do tipo, compre hoje e pague daqui a x dias

Caso ainda não tenha percebido , os cálculos envolvendo renda certa lembram oscálculos de Juros Compostos e Descontos Compostos já vistos anteriores.

Calculando Valor Atual em casos de Rendas Certas

Bom, para começar, trabalharemos aqui com cálculos de renda certas do tipo periódicos,de termos constantes e temporários, os quais são mais usados.

Para se calcular o Valor Atual num caso de Rendas Certas, a fórmula a ser utilizadadepende de ser postecipada , antecipada ou diferida. Assim , se for:

Postecipada a fórmula é : V=T.an¬iAntecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬iDiferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m

m é sempre uma unidade menor do que a se deseja calcular, ou seja, se a venda é diferidade 3 meses, m será 2 .

Para saber o valor de an¬i , você pode:§calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + i )n.

Exemplo:

Um carro é vendido a prazo em 12 pagamentos mensais e iguais de R$2.800,00 (num totalde R$ 36.000,00), sendo a primeira prestação no ato da compra, ou seja, o famoso " comentrada" , ou ainda, um caso de renda certa antecipada. Sendo que a loja opera a umataxa de juros de 8% a.m. , calcule o preço à vista desse carro.

Aplicando a fórmula:n = 12T = 2800V = 2800+2800.a11¬8% = R$ 22.789,10

Outro exemplo:

Um dormitório é vendido em 4 prestações de R$ 750,00, com o primeiro pagamento para 3meses após a compra (ou seja, esse é um caso de diferida) Sabendo que a loja trabalhacom juros de 6% a.m. , calcule o valor à vista.

Aplicando a fórmula:n = 4T = 750m = 2i = 6%V = 750.a4¬6%/(1+.06)2 = 750.3,465106/1.1236 =R$2.312,95



Calculando o Montante em casos de Rendas Certas

Como você deve se lembrar, Montante nada mais é do que a somatória dos juros com ocapital principal. No caso de rendas certas , a fórmula é dada por:

M=T.Sn¬i

Para saber o valor de Sn¬i você pode:

-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i.

Exemplo:

Calcule o Montante de uma aplicação de R$ 100,00 , feita durante 5 meses, a uma taxa de10% a.m.Aplicando a fórmula (esse é um caso de postecipada, porque o primeiro rendimento é ummês após a aplicação) :

n = 5T = 100i = 10% a.m.M = 100.S5¬10% = R$ 610,51

Quando for uma situação de:

antecipada : subtraia 1 de ndiferenciada : após determinar Sn¬i, divida o resultado por (1+i)m

Nomenclaturas usadas

i = do inglês Interest , é usado para representar os juros envolvidos em quaisqueroperações financeiras.

C = do inglês Capital , é usado para representar o Capital utilizado numa aplicaçãofinanceira.

M = do inglês a Mount , é usado para representar o Montante que é o resultado dasoma do Capital com os juros.

n = nesse caso é uma incógnita (quem aprendeu equações do segundo grau usoumuitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z são incógnitas.) referente ao período detempo (dias, semanas, meses, anos...) de uma aplicação financeira. Lembre-se daexpressão : "levou n dias para devolver o dinheiro..."

a.d. = abreviação usada para designar ao dia

a.m. = abreviação usada para designar ao mês

a.a. = abreviação usada para designar ao ano

d = do inglês Discount , é usado para representar o desconto conseguido numaaplicação financeira.



N = do inglês Nominal , é usado para representar o valor Nominal ou de face de umdocumento financeiro.

A = do inglês Actual , é usado para representar o valor real ou atual de um documentofinanceiro em uma determinada data.

V = incógnita usada para representar o Valor Atual em casos de renda certa ouanuidades

T = incógnita usada para representar o Valor Nominal em casos de renda certa ouanuidades

an¬i = expressão que representa o fator de valor atual de uma série de pagamentos.

Sn¬i = expressão que representa o fator de acumulação de capital de uma série depagamentos.

PLANOS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS EFINANCIAMENTOS

Amortização - SAC(Sistema de Amortização Constante)

Neste sistema, o devedor obriga-se a restituir o principal em n prestações nas quais ascotas de amortização são sempre constantes. Ou seja, o principal da dívida é dividido pelaquantidade de períodos n e os juros são calculados em relação aos saldos existentes mêsa mês. A soma do valor de amortização mais o dos juros é que fornecerá o valor daprestação. Não há necessidade de fórmulas complicadas mas você precisará montar umaplanilha em situações de períodos mais ou menos longos. Esse tipo de empréstimo éusado pelo SFH e também, em certos casos, em empréstimos às empresas privadasatravés de entidades governamentais.

Exemplo:

Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um bancocom juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

Bom, o valor da amortização é calculado dividindo-se o principal pela quantidade deperíodos, ou seja, 300.000 por 5 que dá 60.000 Os juros são calculados sobre os saldos daprestação, assim :

1º mês 300.000 * 4% = 12.000,002º mês 240.000 * 4% = 9.600,003º mês 180.000 * 4% = 7.200,004º mês 120.000 * 4% = 4.800,005º mês 60.000 * 4% = 2.400,00

Os saldos são calculados subtraindo-se apenas o valor da amortização. Por exemplo, noprimeiro mês você pagará $ 72.000,00 de prestação mas do saldo devedor será subtraídoapenas o valor da amortização que é $ 60.000,00 e por aí vai...

Ou seja, ao final você pagará $ 336.000,00 em 5 prestações, sendo a primeira de $72.000,00, a segunda de $ 69.600,00 , a terceira de $ 67.200,00 , a quarta de $ 64.800,00 e a



quinta de $ 62.400,00. Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.000,00 aosjuros.

Amortização - SACRE

O SACRE é uma modalidade de financiamento criada pela Caixa Econômica Federal a seraplicada nos empréstimos para aquisição de casa própria.

A Caixa costumava (em alguns casos ainda utiliza) utilizar os sistemas Price , SAC e oSAM, só que enquanto que nesses sistemas os juros são calculados sobre o saldo dosaldo devedor menos amortização, a Caixa calculava os juros antes do abatimento daamortização o que acabava resultando em um abatimento menor. Junte-se a isso a altainadimplência, a Caixa optou por desenvolver um mecanismo próprio de amortização.

Em termos comparativos é como fosse um Sistema Price só que as mensalidades iniciaissão maiores do que as finais. Qual a vantagem disso ? Bom o contratante quitaria ogrosso do empréstimo mais cedo e, caso ficasse inadimplente, haveria uma grandepossibilidade de que a maior parte do empréstimo já estivesse paga.

O cálculo divide-se em duas partes: o cálculo do Encargo Mensal sobre o qual é calculadoa prestação mensal a ser paga.

A fórmula para o Encargo Mensal é :

EM = C * ( i +1/n)

Exemplo:

Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um bancocom juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal.

EM = 300000 ( 0,04 + 1/5 )EM = 72000

Para calcular a Prestação Mensal entram dois índices também criados pela CaixaEconômica : O CES (Coeficiente de Equivalência Salarial) e o Seguro , que possui umametodologia toda própria. Não vou me alongar no conceito jurídico ou do porquê elesexistem senão precisarei de um livro só para isso.

CES - 1,12, fixado por Circular.

Seguro - a taxa do seguro é composta por duas partes, a DIF, para Danos Físicos, e a MIP,Morte e Invalidez. Outra coisa, ela trabalha, atualmente, sobre o valor da avaliação doimóvel e não sobre o valor financiado. Isso quer dizer que se o imóvel foi avaliado em R$500.000,00 é sobre isso que será calculado e não sobre o valor financiado. As fórmulassão básicas:

DIF = valor da avaliação x taxa de seguro x CESMIP = valor da avaliação x taxa de seguro x CES

Apresentamos as duas fórmulas em separado, porque as taxas de seguro são diferentes (faz sentido, afinal Danos Físicos é bem diferente de Morte, não ?). Para saber quais taxasaplica-se no seu caso você tem de contatar a Caixa, mas para os planos feitos após 94 ,na Categoria 6 a taxa para DIF é 0,02402 % e para MPI é 0,14429% . A taxa de seguro variaconforme a categoria (que é dividida conforme o valor da avaliação) conforme o plano



contratado, quando você fechou o contrato... enfim, estamos assumindo que o contrato érealizado HOJE .

Então vamos lá:

DIF = 500.000 * 0,02402% * 1,12 = 134,51MIP = 500.000 * 0,14429%*1,12 = 808, 02

Total do seguro = 942,53Agora vamos finalmente calcular quanto será sua prestação mensal.

A fórmula para o Encargo Mensal é:

PM = (EM*CES)+ Seguro

Exemplo:

Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um bancocom juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:

EM = 300000 ( 0,04 + 1/5 )EM = 72000PM = ( 72000*1,12) + 942,54PM = 81.582,54

Agora, não se esqueça que existem outras coisas a considerar:

- esse é um método exclusivo da Caixa, apresentado aqui apenas para fins didáticos.- existem outros pontos a serem considerados como TR e reajustes da prestação quedevem ser levados em conta ao montar a planilha.

Amortização - SAM(Sistema de Amortização Mista)

Esse sistema é baseado no SAC e no Sistema Price. Nesse caso, a prestação é igual àmédia aritmética entre as prestações dos dois outros sistemas, nas mesmas condições.

Esse é o caso típico daquela frase: para quê simplificar se pode complicar... na verdade éapenas mais uma forma de se fazer um pagamento, uma outra alternativa que o clientetem para quitar suas dívidas...

Exemplo:


Esse problema já foi resolvido pelos outros dois sistemas, logo, tudo que tenho a fazer ésomar os valores das prestações dos dois casos e dividir por dois.

Ou seja, ao final você pagará $ 336.470,34 em 5 prestações, divididas da seguinte forma :

1ª $ 69.694,062ª $ 68.494,073ª $ 67.294,07



4ª $ 66.094,075ª $ 64.894,07

Disso, $ 300.000,00 corresponde ao principal e $ 36.470,34 aos juros.

Sistema Alemão de Amortização

Esse sistema é utilizado mais em países europeus. Assim, quem fizer negócios com aAlemanha, Suíça e outros é bem capaz de você encontrar esse tipo de amortização.

O que o torna diferente? Enquanto que nos outros sistemas de amortização os juros sãopagos no vencimento, neste sistema os juros são pagos antecipadamente. Ou seja,quanto você contrai o empréstimo os juros do primeiro período são pagos; quando forpagar a 1ª parcela pagará, também, os juros antecipados da 2ª parcela e por aí vai.

A prestação é calculada pela fórmula :C * i / 1 - (1-i)n

Exemplo:

Na compra de um apartamento de R$ 300.000,00, você faz um financiamento em um bancosuíço com juros de 4% a.a., a ser pago em 5 anos. Calcule a prestação anual.


C*i / 1 - (1-i)n300000* 4% / 1-(1-4%)564.995,80

Ou seja, ao final você pagará $ 336.979,02 em 5 prestações, correspondente $ 300.000,00ao valor de amortização e $ 36.979,02 aos juros.Alguém poderá dizer: mas 64995,80 vezes 5 anuidades dá 324.979,00, o que dá umadiferença de 12.000. É, mas não se esqueça que os juros são pagos antecipados. E 4%sobre 300.000 dá 12.000.

Abaixo uma tabela para melhor entendimento.

Parc. Juros Anuidade Saldo12000 12000

1 300000 9400 64995,8 2350042 235004 6800 64995,8 1700083 170008 4200 64995,8 1050134 105012 1601 64995,8 400175 40017 64995,8 -24979Total 336979,0

Sistema Americano

Neste sistema, o devedor obriga-se a devolver o principal em um único pagamento,normalmente ao final, enquanto os juros são pagos periodicamente. Nesse caso, nãoexistem cálculos complexos. Se for uma taxa de juros fixa, basta usar um cálculo de jurossimples que você terá o total de juros, dividindo o mesmo pelo período terá ospagamentos mensais.



Exemplo:

Na compra de um apartamento de $ 300.000,00, você faz um financiamento em um bancocom juros de 4% a.m., a ser pago em 5 meses. Calcule a prestação mensal:

Calculando:

300.000 *4%*5 => 60.000,00

Ou seja, ao final você pagará $ 360.000,00 em 5 prestações, correspondendo $ 300.000,00ao valor de amortização, paga de uma única vez ao final do período e $ 60.000,00 de juros,pagos em 5 prestações iguais de $ 12.000,00

Há casos em que o cliente, não desejando pagar de uma só vez o valor do principal,negocia com o banco a criação de um fundo de amortização denominado SINKING FUNDde forma que, ao final do período, o total de fundo seja igual ao valor a pagar. Um tipo decaderneta de poupança forçada vamos assim dizer.

A prestação é calculada pela fórmula :

M=T. Sn¬i

Se preferir, divida o principal pelo número de prestações, que você terá o valor dodepósito mensal a ser feito.

Sistema Price de Amortização

Batizado em homenagem ao economista inglês Richard Price, o qual incorporou a teoriado juro composto às amortizações de empréstimos, no século XVIII, é uma variante doSistema Francês.

O sistema Price caracteriza-se por pagamentos do principal em prestações iguaismensais, periódicas e sucessivas. A prestação é calculada pela fórmula:

T. an¬i

Os juros são calculados sobre o saldo devedor e o valor da amortização é a diferençaentre o valor dos juros e da prestação.

Exemplo:



F= T. an¬i300000=T. a5¬4%T=67.388,13

Ou seja, ao final você pagará R$ 336.940,65 em 5 prestações, correspondente R$300.000,00 ao valor de amortização e R$ 36.940,65 aos juros.



Cálculo financeiro: custo real efetivo de operações definanciamento, empréstimo e investimento.

Nos financiamentos incide uma série de custos adicionais, como IOF, despesasadministrativas de elaboração do contrato, comissões, etc.Tais fatores elevam o custo (ou taxa) efetivo e devem ser considerados ao se tomar umempréstimo.

Em contextos inflacionários inflacionários, deve-se ficar atento para a denominada ilusãomonetária, ou rendimento aparente. Nesta situação é importante determinar a taxa real dejuros e o custo ou rendimento real de um financiamento ou aplicação.

No processo de cálculo da taxa real, é necessário homogeneizar os valores das sériesfinanceiras, de forma a retirar os efeitos corrosivos da inflação nos valores aplicados ourecebidos em cada data, traduzindo-os ao mesmo padrão monetário de referência em umadeterminada época, ou seja, é necessário "datar" a moeda; dizer, por exemplo, moeda de1994, moeda de 1995 etc.

O processo de homogeneização dos valores monetários utiliza índices de preços a fim dedeflacionar ou inflacionar as séries de valores nominais ou aparentes.o deflacionamento permite reduzir todos os valores da série a uma base comum dereferência, situada preteritamente no início da série. Os índices de preços permitemcalcular deflatores. ou seja. operadores que, multiplicados pelos valores monetários dasdiversas épocas, reduzem-nos a valores correspondentes ao nível de preços da datainicial de referência.

O inflacionamento (indexação ou atualização monetária), inversamente, traduz acolocação dos diversos valores correntes nominais, em termos de moeda de poderaquisitivo do final da série; isto é, a indexação (inflacionar) transforma os valoresnominais de cada época em valores compatíveIs com a capacidade de compra verificadanuma data superior.

Em contextos inflacionários são muitos usadas as expressões, "em preços correntes"(valores nominais) e "em preços constantes". A primeira representa poder aquisitivo dadata respectiva do fluxo considerado, enquanto a segunda representa poder aquisitivo deuma única data (preços constantes de uma única data).

ÍNDICES DE PREÇOS

Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis de preços de umperíodo para outro.

No Brasil, a maioria dos cálculos de índices de preços está a cargo da Fundação GetúlioVargas do Rio de Janeiro. Os índices nacionais e regionais são publicados mensalmentena revista Conjuntura Econômica. Outras instituições também têm elaborado índices depreços: o IBGE, a FIPE e o DIEESE em São Paulo, a FUNDARJ em Recife, o IPEAD -UFMGem Belo Horizonte.

Para comparações específicas e obtenção de taxas reais de crescimento em determinadossetores, devem ser utilizados índices de preços particulares de cada setor, como, porexemplo, construção civil, produtos agropecuários etc.



O índice mais geral disponível é o Índice Geral de Preços -disponibilidade interna da FGVClGP-di).Para inflacionar ou deflacionar uma série de valores monetários cujas causasforam devidas a muitos fatores. o mais indicado é usar o IGP-di que mede a inflação dopaís. O processo de "inflacionar" ou "deflacionar" uma série de pagamentos/recebimentospara uma determinada data de referência traduz em si uma comparação entre asevoluções dos valores monetários em análise e o comportamento dos preços dosprodutos enfeixados no índice escolhido. Assim, se um investimento teve um rendimentode 15% real, tomando-se como referência um determinado índice de preços, isso significaque este rendimento superou em 15% a evolução do índice escolhido, ou seja, a evoluçãomédia dos preços dos bens e serviços que compõem o índice.

REPRESENTATIVIDADE DOS VALORES FINANCEIROS EM AMBIENTESINFLACIONÁRIOS

O processo inflacionário obriga a quem faz cálculo financeiro ou toma decisões deinvestimento ou financiamento a prestar especial atenção ao significado econômico doslucros e contas nominais apresentados pelas empresas. ao impacto da inflação naavaliação dos investimentos e com o processo decisório é afetado.

Como resultado da inflação, o significado das medidas contábeis e econômicas derentabilidade. lucros e custos diverge, e esta divergência é maior à medida que a inflaçãose acelera. No Brasil, diversos mecanismos foram desenvolvidos para atenuar o impactoda inflação nas peças contábeis das empresas (correção monetária do BalançoPatrimonial, Correção integral etc.). Mas, são mecanismos imperfeitos que aliviam. masnão curam o mal.

Enquanto a inflação estiver presente na economia. o tomador de decisões deve saber lidarcom ela. Deve-se compreender o significado dos valores nominais, taxas de jurosaparentes e reais, custos efetivo aparente e real dos financiamentos, rentabilidade efetivae real das aplicações, taxas de crescimento nominal e real, atualização monetária ecambial etc.

Exemplos:1) Um eletrodoméstico. cujo valor à vista é $ 1000.00. foi financiado em 3 prestaçõesmensais (Sistema Francês) sem entrada, a uma taxa de 10% a.m. Calcule o valor dasprestações, sabendo-se que as mesmas serão corrigidas mensalmente pelo IGPM.

Supor variação mensal do IGPM 1%a.m.

Solução:Cálculo da Prestação:



2) Numa aplicação financeira, um investidor obteve uma taxa aparente de 10%. Sendo ainflação do período de 25%. qual a taxa de juros reais desta aplicação?

3) Uma pessoa aplicou seu capitaI de R$ 10.000,00 na caderneta de poupança por 1 mês eobteve um montante de R$ 1025,00.Sendo a taxa de inflação do mês em questão igual a 2%, qual a taxa de juros reais destaaplicação?

AVALIAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

O Comitê de Política Monetária (Copom) em recente reunião estabeleceu a taxa de jurosbásica em 17,25% a.a. Cada vez mais, a definição dos juros está basicamente relacionadacom o cumprimento da meta de inflação de 2006 (vale lembrar que o efeito de mudançasnos juros sobre o nível de preços da economia leva alguns meses para ser sentido). Comoas projeções disponíveis hoje apontam para uma inflação acima da meta para o ano quevem, o Copom continua optando por uma trajetória mais amena de queda dos juros.

As recentes reduções nos juros têm trazido a taxa de juros básica, paulatinamente, paraníveis mais baixos. Em termos de aplicação financeira, isso significa que osinvestimentos em renda fixa estão se tornando cada vez menos atraentes em termos deretorno, o que tem incentivado os agentes a buscar alternativas mais arriscadas para



aplicar seu dinheiro. Essa situação é nova no mercado brasileiro, onde as aplicações demenor risco (renda fixa) eram também as de maior retorno esperado.

Reflexo disso é que os fundos de renda fixa ainda respondem por cerca de 96% do totalde aplicações em fundos de investimentos no Brasil. Com os juros mais baixos, oinvestidor que quiser maiores retornos terá que aprender a conviver com maiores riscos,ou seja, com maior possibilidade de perda. Porém, essa busca por novas opções deinvestimento pode trazer diversas complicações. Neste momento, os investidores devemter alguns princípios básicos em mente, que, embora pareçam óbvios, nem sempre sãolembrados no momento da aplicação.

Alocação imprópria: muitos analistas dizem que 90% do retorno de um investimento édado pela alocação adequada dos recursos. Isso significa que as aplicações escolhidaspelo investidor devem ser compatíveis com diversos parâmetros determinados por ele,como tempo de duração do investimento, a necessidade de saques ocasionais duranteeste período, a capacidade do investidor de suportar períodos de alta volatilidade, entreoutros.Resumindo, para poder alcançar uma alocação adequada de recursos, o investidor deveter objetivos muito bem estudados e claramente definidos.

Evitar um elevado número de transações: no entusiasmo dos negócios, muitosinvestidores exageram na quantidade de transações e, com isso, acabam desperdiçandoseu tempo e parte expressiva de seus recursos no pagamento de taxas e impostos. Alémdisso, aumentasse a possibilidade de cometer erros de avaliação. O pior é que, em geral,esse excesso de movimentações não traz ganhos expressivos em termos de retorno.

Fugir de taxas exageradas: antes de aplicar o dinheiro, deve-se sempre prestar muitaatenção no custo das operações que serão realizadas. Promessas de retornos elevadospodem esconder custos operacionais exagerados. Portanto, muita atenção com as taxasque são cobradas em cada etapa do processo de investimento.

Tomar cuidado com a diversificação excessiva: alternativas simples de investimentopodem oferecer retornos tão bons quanto muitas alternativas sofisticadas. Embora adiversificação de investimentos seja uma estratégia recomendável, deve-se ter cuidadopara não exagerar na dose e cair numa situação na qual torna-se extremamente difícilmonitorar adequadamente sua carteira de investimentos.

Ter opinião própria: embora seja muito importante ouvir a avaliação de váriosespecialistas, é sempre mais importante possuir uma opinião própria sobre as tendênciasdo mercado. Caso contrário, você ficará como um cego que tem que confiar no seu guiapara não errar o caminho. Enquanto o guia estiver certo, tudo bem. Por outro lado,quando o guia começar a falhar, você fica sem rumo. Neste ponto, vale lembrar umamáxima do mercado: quando todos estão seguindo um determinado caminho, tentedescobrir se não existe um melhor. No entanto, essa descoberta é possível somentequando se tem consciência do que se está fazendo.

Muitos fundos de investimento cobram dos investidores uma taxa de performance, que éa remuneração do administrador do fundo pelo seu desempenho. Este desempenho éavaliado de acordo com algum parâmetro predeterminado no estatuto do fundo. Porexemplo, se um fundo de ações tem como meta superar o desempenho do Ibovespa, ataxa de performance será cobrada sempre que o retorno do fundo em determinadoperíodo for maior que o do Ibovespa. Se o fundo não conseguir superar o retorno doIbovespa, não será cobrada taxa de performance. Portanto, ao escolher um fundo deinvestimento, deve-se prestar muita atenção nessa taxa. Alguns investidores preocupam-se em analisar apenas o desempenho passado do fundo (o que também deve ser feito) ese esquecem de verificar se existe uma taxa de performance e de quanto ela é. Afinal,



retornos esperados elevados podem ser ofuscados por altas taxas de performance, o que,normalmente, o investidor só percebe quando é tarde demais.

O ato de investir recursos vem se tornando uma tarefa que exige cada vez mais atençãopor parte dos investidores.Como alternativas de investimentos tem-se à disposição do investidor uma cesta deativos composta por instrumentos de Renda Fixa como operações estruturadas definanciamento a termo na BOVESPA, debêntures, certificados de depósitos bancários(CDB) emitidos por empresas e bancos estrangeiros de primeira linha, que apresentam asmelhores rentabilidades e garantias, proporcionando sempre nas reaplicações emovimentações financeiras a isenção da CPMF e oferecendo liquidez diária.Atualmente, há mais de R$ 200 bilhões aplicados nas diversas modalidades de fundosoferecidos pelas instituições administradoras de recursos.Escolher qual fundo investir não é tarefa simples, nem mesmo para grandes investidores.As alternativas são inúmeras e as informações nem sempre estão facilmente disponíveis.

APLICAÇÕES FINANCEIRAS COM RENDA FIXAS

São as seguintes as aplicações financeiras com a renda fixa que temos no mercado:•Renda pré - fixada: CDB, RDB, LC, BBC, LTN•Renda pós - fixada: CDB, RDB, LC, Caderneta de Poupança, NTN, Debêntures,•Operações com Fundo de Investimento de Renda Fixa, FAF

ENGENHARIA ECONÔMICAEngenharia econômica é o conjunto de princípios e técnicas necessárias para se tomardecisões sobre aquisições e disponibilidades de bens de capital pelas empresas.De uma forma geral, podemos dizer que a engenharia econômica consiste na teoria,baseada na matemática financeira, que trata da análise técnico-financeira e decisão entrealternativas de investimentos.Um estudo técnico-econômico/financeiro completo, envolve normalmente os seguintespassos :

11) Objetivo : um problema a resolver ou uma decisão a tomar ou uma função a executar.12) Linhas de ação : As diversas soluções alternativas tecnicamente possíveis.13) Estratégia : Avaliação de cada alternativa de investimento, determinando vantagens edesvantagens. Análise das diferenças, eliminando os fatores comuns.14) Decisão : Comparação e escolha da melhor alternativa de investimento.

OBS : naturalmente, só existirá uma decisão se existirem alternativas (linhas) de ação atomar; é necessário que elas sejam tecnicamente viáveis para que o problema sejasolucionado efetivamente e não só teoricamente. Normalmente os métodos existentes deavaliação de alternativas de investimentos analisam e visam uma decisão de optar pelaalternativa que apresente o menor custo para atingir a um mesmo objetivo, o maior lucrodecorrente de uma aplicação definida ou mesmo a maior taxa de rentabilidade doscapitais empregados, sempre visando soluções de longo prazo.

CRITÉRIOS DE DECISÃO:O que caracteriza uma decisão é a existência de mais de uma alternativa de investimento.No limite deste raciocínio, poderemos inclusive adotar como alternativa o "não fazernada" em oposição a apenas uma alternativa a investir.Não é simples a avaliação das vantagens e desvantagens de cada alternativa deinvestimento, uma vez que devemos enfocar somente eventos futuros, eliminando fatoresconstantes e tendo como denominador comum o dinheiro, com isto, iremos elaborar, paracada alternativa, um fluxo caixa.



Caso estejamos estudando alternativas de custo, iremos optar pela alternativa maiseconômica (de menor custo) e, caso estejamos analisando alternativas que irão gerarrecursos, iremos optar pela alternativa mais lucrativa (de maior lucro).Todos os métodos e critérios de avaliação de alternativas de investimento baseiam-se noprincípio da equivalência. A comparação das alternativas só poderá ser realizada quandoo investidor estabelecer uma medida de equivalência. Esta medida e comumente chamadade Taxa mínima de Atratividade, Taxa mínima Atrativa de Retorno de um Investimento, ou,Taxa Interna de Retorno (IRR-Internal Rate of Return).

VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO:O conceito de equivalência está ligado, intimamente, à capacidade do dinheiro gerarlucros (juros). Não se pode comparar valores absolutos de dinheiro em épocas ou datasdiferentes. Esta comparação dependerá da taxa de juros que se atribuir ao dinheiro.Sempre iremos supor que o dinheiro poderá ser investido em alguma atividade produtivaque nos irá fornecer uma certa quantia de juros que serão a remuneração doinvestimento.A taxa de rendimento mínima que esperamos de nosso investimento é calculada emfunção da situação prevista para o mercado financeiro e do risco que atribuímos aoinvestimento.A taxa mínima atrativa de retorno de um investimento é portanto, totalmente subjetiva,podendo variar de pessoa para pessoa, de empresa para empresa, de ramo de negóciopara ramo de negócio, etc..Não se tem, geralmente, um conhecimento preciso sobre todas as oportunidades deinvestimento que se está perdendo. Baseado na sensibilidade, o investidor irá determinaruma taxa mínima que uma nova proposta de investimento deverá atingir para ser atrativa :é a taxa mínima de atratividade.Recomenda-se utilizar em um estudo econômico, as estimativas sempre em moedacorrente, incluindo-se, portanto, a inflação, ou seja, a expectativa de inflação pode serincorporada à taxa mínima de atratividade, sem qualquer problema. Todavia, se asestimativas forem feitas em moeda constante, eliminado-se o efeito da inflação, a taxamínima de atratividade não estará incluindo a taxa de inflação. Também, pode-se nãoconsiderar a despesa oriunda do imposto de renda, que é uma percentagem do lucrolíquido, e que faz com que ocorram duas taxas mínimas de atratividade : uma antes doimposto de renda e outra depois do imposto de renda.

FLUXO DE CAIXA (CASH-FLOW):O fluxo de caixa indicará os recebimentos e pagamentos futuros decorrentes de uminvestimento realizado hoje; ele é portanto, um modelo da alternativa de investimento emestudo.Em um fluxo de caixa as datas que aparecem são sempre futuras, partindo de ummomento atual (hoje). Por outro lado, lembramos que na análise econômica-financeira,não interessará saber de que maneira as receitas e despesas estarão sendocontabilizadas e sim em quais datas elas estarão efetivamente ocorrendo.O estudo econômico deve cobrir um intervalo de tempo compatível com a duração daproposta de investimento considerada, frequentemente denominada de VIDA ÚTIL, VIDAECONÔMICA OU VIDA DO PROJETO.

TAXA INTERNA DE RETORNO

Em muitas situações práticas (investimentos e empréstimos por exemplo), é necessário ocômputo da taxa de juro que ao ser usada para obtenção do valor presente de um fluxo derecebimentos ou de pagamentos, torna esse valor igual a zero. A taxa de juro queapresenta essa propriedade com relação a um dado fluxo de recebimentos e pagamentosé chamada taxa interna de retorno desse fluxo.



A importância da diversificação

Freqüentemente nos deparamos com perguntas do tipo: Qual a melhor alternativa deinvestimento no momento? Qual é o investimento mais rentável? Estas perguntas são tãosem sentido quanto entrar em uma farmácia e solicitar o melhor remédio para curar umagripe, por exemplo. A tabela abaixo apresenta uma relação de alguns aspectos que devemser observados em relação a um medicamento e um determinado investimento.

Um bom investimento é aquele que a pessoa escolhe, após uma análise cuidadosadas informações disponíveis, como apropriado às suas preferências em termos de risco etaxa de retorno (rentabilidade), bem como adequando o investimento ao perfil deconsumo, patrimônio e fluxo de caixa, do indivíduo ou da família.Baseado nesta premissa, o investidor deve alocar seus recursos de acordo com suasnecessidades. Em contrapartida, se o investidor busca maiores retornos precisa assumirmaiores riscos. Portanto, o investimento mais adequado é aquele que atende aos seusobjetivos financeiros ao longo do tempo e com a melhor relação entre risco e retorno.Podemos entender que a parcela de recursos disponível para um prazo maior pode serdirecionada para alternativas de investimento com maior risco e conseqüentemente comexpectativas de maiores retornos. E recursos disponíveis para um prazo mais curtodevem ser destinados para investimentos com menor risco e maior liquidez econseqüentemente menores rentabilidades.Com as elevadas taxas de juros vigentes no Brasil, fica difícil justificar a diversificação emativos com maiores riscos em troca de expectativas de maior retorno. O mercado deações, naturalmente uma alternativa de investimento de longo prazo, vem apresentandoriscos mais elevados dos que os tradicionais fundos de renda fixa, porém, sem oferecerrentabilidades compensadoras. Nos últimos sete anos (junho de 1995-2002), o índice daBolsa de Valores de São Paulo registrou uma rentabilidade acumulada de 167,1%,enquanto que o Certificado de Depósito Interbancário (CDI), o referencial mais utilizadopara investimentos em renda fixa, 160,0%. Porém, o risco proporcionado pela Bovespa foi15 (quinze) vezes ao de um investimento de renda fixa. Então, podemos concluir, que paraeste período analisado o retorno em ações não compensou o risco proporcionado. Emcontrapartida, a poupança no mesmo período apresentou uma rentabilidade de 95,3%(líquida de IR). Neste caso, o ganho proporcionado pelo mercado de ações foi deaproximadamente 40% sobre a poupança.O maior problema para conscientizar as pessoas da necessidade de diversificação emativos de maior risco está representado no gráfico abaixo. Este gráfico mostra arentabilidade mensal do Ibovespa, CDI, Dólar e Poupança no período de junho de 1995 a2002. A volatilidade (= risco) apresentada pelo Ibovespa assusta, principalmente, oinvestidor menos experiente. Historicamente, observamos que investidores optam emdiversificar na Bolsa em momentos de alta, porém sem entender a dinâmica destemercado. A conseqüência imediata é o resgate (ou liquidação) da posição no primeiroretorno negativo apresentado.Outro bom exemplo seria a demanda existente atualmente pelo dólar devido,principalmente, a escalada desenfreada e desequilibrada do seu valor em relação ao realnos últimos dois meses. Comprar dólares ou investir em papéis atrelados ao dólar é umaalternativa para as pessoas que estejam poupando para realizar um gasto futuro em dólar(viagem, estudo dos filhos no exterior, compra de imóveis no exterior, etc) ou que tenhamdívidas atreladas em dólar.A diversificação dos investimentos tem por objetivo a redução do risco e a adequação àsreais necessidades e/ou objetivos do investidor no curto, médio e longo prazos Vamos



utilizar um exemplo para apresentar a importância da diversificação mesmo em momentosde elevada incerteza e volatilidade no mercado.Uma pessoa concentra todo o seu dinheiro em poupança. Em junho de 1995 haviadefinido como meta de longo prazo (junho de 2002) fazer uma viagem para os EstadosUnidos de um mês com sua família. O correto seria definir o valor em dólares que gostariade acumular neste período e programar investimentos periódicos equivalentes em dólarem alguma alternativa de investimento atrelada ao dólar. Porém, como esta pessoa émuito conservadora resolveu concentrar seus investimentos em poupança. Decorridostrês anos fez uma comparação entre a poupança e o dólar e chegou a conclusão de quesua escolha foi correta. Porém, em janeiro de 1999 veio a surpresa, o dólar se valorizouem relação ao Real. Em junho de 2002, o dólar havia acumulado uma valorização próximaa 120% enquanto a poupança estava com 100%. A escolha mais conservadora seriapoupar em dólar para gastos em dólar, independente das expectativas de valorização dodólar ou se este está caro ou barato.

A conclusão é que a diversificação dos seus investimentos é muito importante enecessária, porém não descarta uma boa análise e um entendimento das principaisalternativas existentes.

QUESTIONÁRIOPertinência:

01. O QUE É UM FUNDO DE INVESTIMENTO?

É uma forma de investimento que reune vários aplicadores, formando uma espécie decondomínio, no qual as receitas e as despesas são divididas. O patrimônio é gerido porespecialistas - os administradores - e aplicado em títulos diversos ou em outros fundos,buscando maximizar os retornos e diminuir os riscos dos investimentos. O dinheirodepositado nos fundos é convertido em cotas. Os cotistas - pessoas que integram o fundo- são proprietários de partes da carteira, proporcionais ao capital investido. A cota éatualizada diariamente e o cálculo do saldo é feito multiplicando o número de cotasadquiridas pelo valor da cota daquele dia. O dinheiro aplicado nos fundos é utilizado paraa compra de títulos diversos como por exemplo ações, títulos públicos, CDBs, etc.conforme a política de cada fundo.

02. POR QUE INVESTIR EM FUNDOS?

Uma das principais razões de se investir em fundos é a comodidade para o investidor, queprefere deixar sob os cuidados de especialistas a gestão de seus recursos. As equipes degestores acompanham e analisam o mercado diariamente em busca de boasoportunidades de investimento, o que muitas vezes o investidor não tem tempo nemcondições de fazer. Em virtude do volume de dinheiro que capta, o fundo consegue taxasmais vantajosas em várias operações do que um pequeno e médio investidorindividualmente conseguiria. Os fundos são investimentos com alta liquidez, o quepermite na grande maioria dos casos saques a qualquer momento sem qualquer tipo decarência.

03. OS FATORES QUE DETERMINAM A RENTABILIDADE ?

A rentabilidade de cada fundo é determinada pela estratégia de investimento adotada peloadministrador que deve respeitar as características definidas no seu estatuto. Existem



fundos conservadores e fundos mais agressivos com graus de risco definidos de acordocom seu objetivo. Se um fundo conseguir rentabilidade de 3% em um mês, todos oscotistas terão a mesma valorização, independentemente do valor aplicado. As taxas eimpostos têm grande importância na rentabilidade do fundo, portanto, vale a pena ficaratento às taxas cobradas, que variam de acordo com o fundo e com a instituição.

04. QUEM ADMINISTRA OS FUNDOS?

Os administradores de fundos são as instituições financeiras responsáveis legais peranteos órgãos normativos e reguladores (Comissão de Valores Mobiliários - CVM e BancoCentral) além de determinar a política e o regulamento de cada fundo. Existe também afigura do gestor de fundos que é responsável pela escolha dos papéis, avaliação doscenários e montagem das carteiras. No Brasil, existem administradores que realizam agestão de seus fundos e que também terceirizam esta gestão para asset managersindependentes. Profissionais especializados acompanham o mercado e procuram definiros melhores momentos de compra e venda e quais ativos comporão a carteira do fundo.Cada fundo de investimento constitui-se como uma pessoa jurídica própria, não seconfundindo com a instituição gestora. O que significa que o dinheiro aplicado num fundoestá resguardado de qualquer eventual problema financeiro que a administradora ou agestora venha a ter.

05. AS TAXAS COBRADAS?

Taxa de administração. A taxa de administração é a porcentagem cobrada sobre o valortotal da aplicação de cada cotista do fundo independentemente do resultado do mesmo.Será recolhida diariamente uma parcela pelo administrador, que varia de fundo parafundo. É a remuneração da instituição administradora pelo serviço de gestão e custódiados recursos. O regulamento do fundo deve prever quanto será o percentual cobradorelativo à taxa de administração. Taxa de Performance Muitos fundos cobram uma taxaextra, além da taxa de administração, sobre o que exceder o seu benchmark (seuparâmetro de comparação). O benchmark muda de acordo com o tipo de fundo. OsFundos de renda fixa normalmente adotam o CDI ou o IGP-M como comparativo, osfundos cambiais usam como benchmark o dólar e os fundos de renda variável costumamadotar o IBOVESPA. Sobre a rentabilidade obtida acima destes índices, é aplicada umataxa de performance, que pode variar de um fundo para outro. Por exemplo: Um fundo derenda fixa que possui como meta o CDI, cobra uma taxa de 20% sobre a rentabilidade queexceder o rendimento do CDI. Portanto, se o fundo render 30% no ano, e o CDI render20%, sobre a diferença, no caso 10% será cobrada a taxa de performance. O que no caso,será 2% fazendo com que o rendimento do fundo de 30% passe para 28% no ano,descontada a taxa de performance.

06. APLICAÇÕES E RESGATES

Cada fundo define o valor mínimo para a aplicação inicial e para os movimentosadicionais. Os valores exigidos pelas administradoras de recursos de terceiros variamconforme sua política de investimento, composição da carteira e público-alvo. Há fundosbem populares, que aceitam aplicações iniciais a partir de R$ 100,00. Os prazos paramovimentação dos fundos devem ser divulgados, uma vez que diferem de acordo com ofundo e com a instituição. Para aplicação, o padrão é considerar as cotas de D+0 ou D+1.Se for solicitada uma aplicação até o horário permitido do dia que varia das 9.00 às 16.00horas, a cota que valerá será a daquele dia (D+0) ou a do dia útil seguinte (D+1). Éimportante notar que a data do pedido de resgate (que costuma ser D+1) nãonecessariamente é igual à data em que o dinheiro estará disponível na conta corrente (quepode ser D+0, D+1 ou D+3).

07. ÓRGÃOS REGULADORES ?



O órgão regulador a que o fundo vai se submeter varia conforme a composição e políticade investimento da carteira. O Conselho Monetário Nacional (CMN), entidade superior dosistema financeiro, autoriza a criação e o funcionamento dos fundos e delega à Comissãode Valores Mobiliários (CVM) ou ao Banco Central (Bacen) a responsabilidade pelocontrole e acompanhamento da gestão. O Banco Central (Bacen) é o órgão executivo dosistema financeiro. A entidade é responsável pela regulação e fiscalização dos fundos deinvestimento de renda fixa. A Comissão de Valores Mobiliários (CVM) é o órgão normativodo sistema financeiro voltado basicamente para a fiscalização do mercado de ações e dedebêntures. A CVM está para os fundos de renda variável assim como o Bacen está paraos de renda fixa. As carteiras reguladas e fiscalizadas pela CVM devem ter, no mínimo,51% dos recursos aplicados em ações de companhias abertas registradas na própriaentidade. Além disso, podem ser constituídas sob a forma de condomínio aberto oufechado, com prazo de duração determinado ou indeterminado.

08. AS CATEGORIAS DOS FUNDOS?

Os fundos de investimento podem ser classificados em duas grandes categorias: rendafixa e renda variável. Renda Fixa Os fundos de renda fixa devem aplicar no mínimo 51% deseu patrimônio em títulos de renda fixa que pagam juros pré ou pós-fixados. Estes fundosdividem-se em: os FIFs e os FACs. Os FIFs - Fundos de Investimento Financeiro-investemseu patrimônio diretamente em títulos diversos do mercado, como títulos públicosfederais, CDBs e debêntures, entre outros. Todo o patrimônio líquido dos FIFs pode seralocado em títulos públicos federais. De acordo com o Bacen, o investimento em ações ecotas de fundos de ações não pode ultrapassar 49% do patrimônio líquido (PL). Opercentual da carteira em títulos emitidos por uma mesma pessoa jurídica, sociedades porela controladas ou coligadas deve ser igual ou menor a 10% do patrimônio. Aplicações empapéis de uma única instituição financeira ou coligada não podem representar mais doque 20% dos recursos. Já os FACs - Fundos de Aplicação em Cotas - aplicam seupatrimônio em cotas de diferentes tipos de FIFs, em proporções variáveis. Os FACs,portanto, são fundos de fundos, o que significa que em vez de aplicar diretamente emativos, preferem aplicar em cotas de fundos diversos inclusive de outras instituições. Ostítulos de renda fixa mais comuns que compõem as carteiras dos fundos são o Certificadode Depósito Bancário (CDB) e os títulos públicos, como LTN e NBC, entre outros. Ostítulos com juros prefixados têm definido no momento do investimento o percentual queserá pago. Por exemplo: No caso de um CDB de 60 dias prefixado, o investidor saberá nomomento da aplicação, que será pago 3% de juros nesse período. Os títulos com jurospós-fixados têm sua valorização atrelada a um indicador como, por exemplo, o DI(depósito interbancário). Isso significa que o investidor não sabe, no momento daaplicação, quanto serão os juros pagos ao final do período, pois eles irão depender daperformance do indicador.

09. OS GRUPOS DE FUNDOS DE RENDA FIXA ?

Existem diversos tipos de fundos de renda fixa uns mais conservadores com baixo nívelde risco e outros mais arrojados. Os fundos de renda fixa mais arrojados mesclam em suacomposição ativos de renda fixa e de renda variável ou operações com derivativos(mercado futuro). A Associação Nacional dos Bancos de Investimento (ANBID)desenvolveu uma classificação para os fundos procurando identificar mais claramente asdiferentes famílias de acordo o perfil de risco, potencial de retorno e metas doinvestimento. A idéia é separar os fundos principalmente de acordo com seu grau de riscoe obrigar as instituições administradoras a seguir mais de perto o objetivo de cada fundo,buscando evitar que o investidor compre \"gato por lebre\". A classificação adotada pelaANBID dividiu os fundos de renda fixa em 3 grandes grupos:•referenciados,•não referenciados e



•genéricos.

1. Fundos Referenciados: Fundos referenciados são aqueles que adotam umaadministração passiva, ou seja, o fundo busca replicar a performance de determinadoindicador. Os fundos referenciados devem ser compostos por no mínimo 95% de ativosde renda fixa que acompanham o desempenho de um único indicador escolhido peloadministrador, como o CDI ou o dólar. Pelo menos 80% da sua carteira deve ser aplicadaem títulos públicos federais ou ainda títulos de empresas privadas, que apresentem baixorisco de crédito. Estes fundos não podem possuir uma posição que comprometa seupatrimônio em operações futuras, evitando possibilidades de perdas. Fazem parte destegrupo: Fundos DI Estão totalmente atrelados à variação do Certificado de DepósitoInterbancário (CDI) no prazo de um dia. A indexação é feita por meio de derivativosfinanceiros, como swap de taxas. São fundos que acompanham a taxa de juros, sendoindicados para cenários cuja expectativa é de alta da taxa de juros. Fundos CambiaisBuscam proteger a moeda nacional contra eventuais desvalorizações. Aplicam em títulosde renda fixa corrigidos pelo dólar, como NTN- C (Notas do Tesouro Nacional Cambiais) eexport notes. Instrumentos de derivativos como swap de dólar também são permitidos.Além de acompanhar a variação do dólar, o capital é rentabilizado com uma taxa de juros.É indicado para quem possui dívidas em dólar ou quem acredita na desvalorização danossa moeda.

2. Fundos Não Referenciados: São fundos considerados conservadores e/ou moderados,e que não precisam seguir nenhum referencial ou indicador. Neste tipo de fundo épossível diversificar a carteira em títulos prefixados e pós-fixados com diferentesindexadores. Estes fundos deverão ser compostos com no mínimo 80% de títulospúblicos federais, ou títulos de empresas privadas que apresentem baixo risco. Fazemparte desta categoria: » Fundos de Renda Fixa Tradicionais Aplicam em ativos de rendafixa prefixados e pós-fixados. Tais carteiras não possuem uma estratégia de investimentoclaramente definida, o que dificulta mensurar os riscos envolvidos na aplicação. Arentabilidade varia de acordo com os humores do mercado e a estratégia usada peloadministrador.

3. Fundos Genéricos: São fundos que podem apresentar risco moderado ou agressivo,uma vez que possuem total liberdade na composição da carteira, podendo aplicar até 49%de seu patrimônio em ações além de aceitar operações de derivativos. Em virtude do riscoexistente nestes fundos, informações como a política de investimentos, taxas,classificação, etc, devem ser destacadas para que o investidor entenda exatamente emque tipo de fundo está aplicando. Fazem parte desta categoria: Fundos DerivativosAplicam em ativos de renda fixa pré ou pós-fixados e assume posições em derivativos,incrementando a rentabilidade por meio de contratos no mercado de futuros, opções eoperações no mercado a termo. Em função das estratégias arrojadas, os valores dascotas podem sofrer fortes impactos, acarretando, inclusive, perda do patrimônio. Osfundos derivativos recebem a classificação "FIFs Livres". Fundos Multiportfólio Sãoaqueles que tem sua carteira diversificada entre títulos e operações de renda fixa eaplicações em renda variável, podendo atuar também no mercado de derivativos. Fundode Investimento no Exterior - Fiex. Foi criado como alternativa de investimento em moedaestrangeira. Deve investir no mínimo 80% da carteira em títulos da dívida externabrasileira, também conhecidos como bradies e até 20% em qualquer título de créditonegociado no mercado internacional, com o limite de concentração máximo de 10% emtítulos de um mesmo emitente. Os títulos são mantidos em custódia no exterior em nomedo fundo e pode alternativamente, ter no máximo, 10% do seu patrimônio, isolada oucumulativamente, em conta de depósito no exterior ou no país, em nome do fundo e aindarealizar operações em mercado organizados de derivativos no exterior, exclusivamentepara fins de hedge. É um fundo aberto formado por cotas sem carência para resgate,caracterizado como de renda fixa, embora com volatilidade de renda variável.



10.OS GRUPOS DE FUNDOS DE RENDA VARIÁVEL ?

Os fundos de renda variável devem ter no mínimo 51% de sua carteira aplicada em títulosde renda variável como ações, além de também poderem operar no mercado futuro. Estesfundos portanto, estão sujeitos a fortes oscilações em sua rentabilidade, possuem altorisco, possibilidade de altos retornos e também de eventuais perdas. São conhecidospopularmente como Fundos de Ações e são chamados oficialmente de FITVM - Fundos deInvestimento em Títulos e Valores Mobiliários. Os fundos de renda variável podem serdivididos em três grupos: fundos passivos, fundos ativos e setoriais. O FITVM podeaplicar seu patrimônio em: - ações de emissão de companhias com registro na CVM;valores mobiliários cuja distribuição tenha sido objeto de registro na CVM; - certificadosou recibos de depósitos de valores mobiliários, regulados pelo CMN ou pela CVM; títulospúblicos de emissão do Tesouro Nacional ou do BC; títulos de renda fixa de emissão deinstituições financeiras; cotas de FIF, cotas de FAC e cotas de FIEX; operações comderivativos, envolvendo contratos referenciados em títulos e valores mobiliários,realizadas em pregão ou em sistema eletrônico que atenda as mesmas condições dossistemas competitivos administrados por bolsas;operações de empréstimos de ações, naforma regulada pela CVM e - operações compromissadas de acordo com aregulamentação do CMN, limitadas a 5% do PL do fundo. Os fundos passivos têm comoobjetivo seguir um indexador como o Ibovespa ou qualquer outro. Na prática, um fundopassivo de Ibovespa vai compor sua carteira com base na carteira do Ibovespa e aguardaros resultados. Já os fundos ativos buscam superar a rentabilidade de seu indexador. Paraisto é necessário ter uma estratégia agressiva na composição da carteira, usando emalguns casos operações no mercado futuro. Os fundos setoriais por sua vez possuemcomo estratégia investir em ações de determinado setor como telecomunicações, energia,bancos e tecnologia.

11- TRIBUTAÇÃO IR ?

Imposto de renda 20% é a alíquota aplicada nos ganhos obtidos com fundos de renda fixa,já os ganhos com fundos de renda variável são tributados em 10%. Para a Receita Federalum fundo só pode ser tributado em 10% se possuir no mínimo 67% de seu patrimônioaplicado em títulos de renda variável como ações. IOF - Imposto sobre operaçõesfinanceiras Apenas os fundos de renda fixa estão sujeitos à cobrança de IOF. Saquesrealizados com prazos inferiores a 30 dias terão incidência do IOF sobre os rendimentosauferidos.

12- ANÁLISE DE DESEMPENHO

Transparência É obrigação dos administradores de recursos fornecerem todo o tipo deinformação relevante para o cotista sobre a política de investimento do fundos, os riscosenvolvidos e os principais direitos e responsabilidades dos investidores e dos gestores. Oprospecto e o regulamento do Fundo são os instrumentos básicos de informação nomomento inicial do investimento. Porém, durante o período de permanência do investidorno fundo ele deve ser informado sobre todas as mudanças importantes, seja na equipe degestores ou no estatuto do fundo. A utilização do correio eletrônico (e-mail) como meio decomunicação entre o administrador de fundos e os cotistas é uma das principaisinovações nas regras dos fundos. Benchmark é um indicador que dá a referência deperformance que cada fundo busca acompanhar. Os fundos de Renda Fixa costumam tercomo ponto de referência o CDI ( Certificado de Depósito Interbancário ). A meta é sempreobter resultados iguais ou superiores à taxa do CDI, como mostra o exemplo a seguir: OFundo XYZ obteve em 1998 rentabilidade igual a 36,16%, enquanto o CDI rendeu 28,61% .Portanto se o objetivo do fundo era render 110% do CDI, ele superou seus objetivos erendeu na verdade 126% em relação a taxa do CDI. Já em 1999, por exemplo o Fundo XYZrendeu apenas 22,56% enquanto o CDI teve retorno de 25,26% . O Fundo não atingiu seuobjetivo pois rendeu na verdade apenas 89% comparada à taxa do CDI. Já os fundos de



Renda Variável possuem como principal benchmark o Índice Bovespa. Os fundos deações buscam alcançar rentabilidade anual igual ou maior que o IBOVESPA, dependendodo perfil e composição do fundo. Volatilidade A volatilidade vem a ser a dispersão positivaou negativa em relação à média das rentabilidades diárias. Mais especificamente seria amédia dos desvios padrões . Um investimento com alta volatilidade deve ser consideradocomo de maior risco. Já os investimentos com baixa volatilidade possuem umaperformance mais estável e, portanto, com um comportamento mais previsível, suaperformance não surpreende o investidor. Risco e retorno Retorno e risco são duasvariáveis que andam juntas no mundo dos investimentos. Quanto maior a possibilidadede retorno maiores os riscos envolvidos. Por exemplo, fundos que investem mais do queseu patrimônio no mercado futuro e que podem ter alta rentabilidade em certos períodos,trazem consigo um alto risco e a possibilidade de rendimentos negativos durante algumperíodo. Já os fundos mais conservadores procuram garantir mais segurança aos seusinvestidores e portanto rentabilidades menores. Análise de Risco Antes de investir em umfundo é importante avaliar!

§os riscos envolvidos na aplicação. Conhecer o tipo de investimento, a volatilidadedas cotas e os índices de risco do fundo é fundamental para a escolha conscientedo investidor.

Outros aspectos que devem ser analisados pelo investidor são: a instituição que faz agestão e a administração do fundo, o agente custodiante (instituição que faz a custódiados títulos do fundo) bem como a empresa que faz auditoria dos fundos. AlavancagemUm conceito importante a ser explorado é o de Alavancagem. A alavancagem ocorrequando o gestor assume obrigações maiores do que o patrimônio do fundo caso asoperações previstas dêem errado. O regulamento de cada fundo preceitua quanto é olimite de alavancagem de cada fundo. Por isso, é importante sempre ler no regulamentoquanto é este limite para se conhecer o campo de atuação do gestor. Há gestores quealavancam mais de três vezes o patrimônio do fundo. Para os fundos de renda variável háum limite estabelecido pela CVM (Comissão de Valores Mobiliários) de 100% dealavancagem sobre o patrimônio. Risco de Crédito É a avaliação da capacidade doemissor de cada papel em honrar a obrigação assumida no título. Por exemplo, se umCDB compuser a carteira do fundo, é fato relevante saber se o Banco emissor estápagando suas contas, adimplento no mercado, em suma a saúde financeira da instituição.Índice de Sharpe O índice de Sharpe, criado por William Sharpe, é um indicador quepermite avaliar a relação entre o retorno e o risco dos fundos. Ele deve ser usado paracomparar fundos de uma mesma categoria. O índice de Sharpe é definido pela seguinteequação: (Retorno Fundo - Retorno Livre de Risco) IS = ----------------------------------------------Desvio Padrão do Retorno do Fundo.

O Retorno do Fundo menos o Retorno Livre de risco é definido como prêmio que oinvestidor tem pelo risco que se dispôs a assumir. Quanto maior este prêmio, maior oSharpe, quanto menor o desvio padrão, será maior o Sharpe. Histórico do Fundo e doGestor Embora rentabilidade passada não seja garantia de rentabilidade futura, aevolução do valor das cotas do fundo é um bom parâmetro para se tomar como base naescolha de um fundo de investimento. Porém, é importante saber se a política de gestãopraticada, o gestor e o procedimentos de análises atuais são os mesmos que garantiramaquela rentabilidade passada.

13- OUTROS FUNDOS

1. Fundo Capital Garantido tem como meta proteger o capital principal investido. Investeuma pequena parcela do patrimônio em renda variável, buscando uma rentabilidade maiordo que a dos demais fundos de renda fixa, porém, sem colocar em risco o valor principal.Se o mercado de renda variável alcançar bom desempenho este fundo renderá mais doque os fundos que só investem em renda fixa. Caso o mercado de renda variável não



apresente bons resultados, o investidor não perde seu capital como aconteceria se eletivesse aplicado num fundo de ações, ele terá garantido o capital inicial investido. Porexemplo: Um fundo investe 98% de seu patrimônio em títulos de renda fixa prefixado, comeste rendimento ele garante uma rentabilidade que cobrirá os 2% restante do patrimôniodo fundo. Os outros 2% o administrador investe em títulos de renda variável ou nomercado futuro, buscando maior rentabilidade. Caso, haja perda total nos investimentosde renda variável ele tem garantido os 100% do patrimônio do fundo. Na pior dashipóteses este fundo não perde.

2. Fundos Off Shore: São carteiras que aplicam recursos disponíveis no exterior emativos brasileiros e que têm a sua sede formalmente localizada no exterior.

3. Fundos Private Equity: São fundos fechados que compram participações minoritáriasem empresas privadas. Esses fundos não podem investir em empresas de capitalfechado. Por esta razão esta razão as empresas interessadas em receber essesinvestimentos devem abrir o capital ou fazer a chamada abertura técnica\" (registro naCVM e emissão de ações que são compradas pelo fundos). Os objetivos dos fundosprivate equity são capitalizar a empresa, definir uma estratégia de crescimento, valorizaras ações e vender com lucro esta participação. O horizonte da aplicação varia de três aoito anos. Fontes de consulta: Mercado Financeiro, Produtos e Serviços - EduardoFortuna Banco Central do Brasil Comissão de Valores Mobiliários.

TAXAS DE RETORNOA taxa de retorno de um investimento é a taxa de juros que anula a diferença entre osvalores atuais das receitas e das despesas de seu fluxo de caixa. Numa análise deinvestimentos, a escolha recai na alternativa de maior taxa de retorno.

Uma alternativa de investimento é considerada vantajosa quando a taxa de retorno émaior que a taxa mínima de atratividade.

Dentre todos os indicadores mais utilizados a TIR é aquele que, ao primeiro exame,aparenta apresentar as menores limitações. Isso se deve, possivelmente, a independênciade informações exógenas ao projeto para a sua obtenção.



Em particular, não depende da definição "a priori" de um custo de oportunidade do capitalpara sua elaboração, como ocorre nos casos dos outros indicadores considerados.Todavia, essa vantagem é apenas aparente, pois a TIR somente será um indicadorconsistente, em uma situação em que um investidor que dispuser de um capital paraaplicação de valor K, tendo como alternativas de investimento projetos mutuamenteexclusivos, não puder aplicar o valor residual de seu capital inicial após o investimento noprojeto escolhido, o que é uma situação bem pouco realista. Em alguns casos, osresultados da aplicação do critério TIR são absolutamente incoerentes, como ocorre noprojeto I, que apresenta o seguinte fluxo de caixa líquido, definido para os períodos 0 e 1:

Fo = 100 e F1 = -90

A TIR desse projeto que é -10%, tornaria, à primeira vista, inviável sua seleção quandocomparado a qualquer projeto com TIR positiva. Entretanto, basta uma rápida inspeção nofluxo de caixa para se perceber que o projeto é altamente viável (corresponde a umasituação na qual toma-se 100 unidades monetárias no período 0 para pagamento deapenas 90 unidades monetárias no período 1).

A análise dos projetos E e F apresentados previamente permite constatar outraslimitações da TIR quando comparado ao VA por exemplo. Pelo critério da TIR o projeto E(TIR = 20,00%) seria preferido ao projeto F (TIR = 15,76%) ; contudo, se o custo deoportunidade considerado for de 10,0 %, o critério do VA apresentaria o projeto F comopreferido ao projeto E.

Uma justificativa para a escolha do projeto F resulta da análise do fluxo de caixa dosprojetos. O investimento nos dois projetos é idêntico e igual a 100 unidades monetárias.Oprojeto E apresenta seu benefício de 120 unidades monetárias no período 1 e o projeto Fapresenta seu beneficio de 134 unidades monetárias no período 2. É fácil verificar que àtaxa de 10%(custo de oportunidade do capital considerado)o valor do benefício recebidono projeto E de 120 unidades monetárias,no período 1, representaria um valor de 132unidades no período 2, valor inferior ao obtido pelo projeto F no período 2.

Uma outra dificuldade na utilização da TIR como indicador está associada à possibilidadede ocorrência de múltiplas TIR para um mesmo fluxo de caixa. Ou seja, para alguns fluxosde caixa existirá mais de uma TIR que atenda à definição desse indicador.

O descarte de projetos através da TIR pode ser realizado comparando-se seu valor com odo custo de oportunidade do capital. Caso o valor da TIR (positivo) de um projeto sejainferior ao valor do custo de oportunidade do capital, então esse projeto será descartado.



matemática bb

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