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MATEMATICAS BASICAS PARA

ECONOMISTAS 0

FUNDAMENTOS

Con Notas Historicas y Contextos Economicos

SERGIO MONSALVE

EDITOR

FACULTAD DE CIENCIAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

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Autores

Sergio Monsalve Departamento de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia, Bogota

Con la colaboracion de:

Fernando Puerta Escuela de MatematicasUniversidad Nacional de Colombia, Medellın

Olga Manrique Escuela de EconomıaUniversidad Nacional de Colombia, Bogota

Facultad de EconomıaUniversidad Externado de Colombia

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“La ciencia se ha construido para satisfacerciertas necesidades de nuestra mente;

ella nos describe.Y aunque tiene cierta relacion con el mundo real,

esa relacion es muy, muy compleja”

Robert J. Aumann(Premio Nobel de Economıa 2005)

Presentacion general

Este libro es el resultado de varios anos de trabajo de los autores comoprofesores de matematicas y/o economıa para nuestras Facultades deCiencias y Ciencias Economicas de las Universidades Nacional (sedesMedellın y Bogota), Externado de Colombia y Pontificia Javeriana, y suobjetivo central es exponer algunos de los elementos fundamentales dellenguaje matematico que deberıan ser comunes a todos los estudiantesde economıa de nuestras epocas. Pensando en esto, hemos optado porescribir el texto en cuatro volumenes: en el volumen 0 (Fundamentos)presentamos los requisitos matematicos que el estudiante debe llenarpara acceder mas comodamente al corpus total; el volumen I consisteen las nociones basicas del algebra lineal; el volumen II en las nocionesbasicas del calculo diferencial e integral; y el volumen III en las nocionesbasicas de la teorıa de la optimizacion y de la dinamica.

En cada uno de los cuatro volumenes, hemos dividido los temas trata-dos a traves de lecciones con un tratamiento matematico riguroso y sinreferencia a aplicacion economica alguna. Todas estas lecciones presen-tan, ademas, notas historicas que esperamos ayuden a trazar el devenirde los conceptos matematicos que se desarrollan al punto. Por lo tan-to, aquellos que consideran que un curso de matematicas basicas paraeconomistas deberıa ser solo eso y no un curso con aplicaciones, estaranaquı servidos. Sin embargo, para aquellos que difieren de esta postu-ra metodologica y pedagogica hemos tambien separado la seccion finalde casi todas las lecciones para el “contexto economico”. Pero esta noes una seccion ordinaria de aplicaciones a la economıa: es, por el con-trario, una aproximacion coherente a problemas centrales en la teorıaeconomica y una orientacion para el estudiante atento y disciplinado.Por ejemplo, en el volumen I aparecen discusiones sobre los modelos

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lineales fundamentales de la teorıa economica: el modelo walrasiano deCassel, el modelo insumo-producto de Leontief, el modelo de equilibriogeneral de von Neumann, el modelo sraffiano, la teorıa de juegos devon Neumann y Morgenstern, el modelo “keynesiano” lineal IS-LM, yel analisis de actividades de Koopmans. En el volumen II se encuen-tran, entre otras discusiones, notas historicas y contextualizadoras delproblema de la racionalidad, de la revolucion marginalista y de la co-munion entre racionalidad y marginalismo; en el volumen III aparecentres de las visiones modernas mas importantes sobre el comportamientoeconomico: el modelo “keynesiano” IS-LM no-lineal de Hicks, el modelowalrasiano de Arrow y Debreu, y los modelos de interacciones economi-cas y sociales. El objetivo en cada uno de estos analisis es el problemaeconomico por sı mismo y las consecuencias que el desarrollo logico delas hipotesis y herramientas matematicas entregan para discusion tantoa nivel teorico-conceptual como de polıtica economica. En ningun casose centra en las herramientas matematicas que estan siendo utilizadas.

En definitiva, este trabajo es una invitacion a comenzar a entender elpotencial y, sobre todo, los lımites de la herramienta matematica tra-dicional en la teorıa economica; es una invitacion a entender que lasmatematicas tradicionales estan mejor disenadas y adaptadas a cienciasexactas como la fısica, pero quizas no para el estudio de los fenomenossociales y economicos, y esto intentamos resaltarlo en el texto cuandopresentamos numerosos ejemplos tomados de la fısica, de la quımica, ode la biologıa. Pero aunque estamos convencidos de que las matemati-cas son mas claras que cualquier otro lenguaje y de que en numerosasocasiones muestran lo que no podrıa lograrse por introspeccion, proba-blemente el verdadero aporte de ellas a las ciencias sociales y economicasunicamente podra ser evaluado por las generaciones futuras. No antes;y, por supuesto, no ahora. Solo que en ese camino no deberıamos seguirni la moda del dıa, ni la aprobacion o desaprobacion de nuestros colegas.En su lugar, nos deberıa preocupar alcanzar mas y mas claras compren-siones de lo que sucede en los fenomenos economicos que enfrentamosdıa a dıa, y si estas, u otras matematicas, son un mecanismo apropiadopara lograrlo, habrıamos avanzado un paso mas en este proposito.

Una palabra final. Algunos tienen la creencia de que no hay manualni texto, por bueno que sea, que pueda relevarnos de la lectura delos artıculos originales y de los textos clasicos; y que nadie deberıa

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permitirse que “le cuenten” lo que dicen los escritos originales. Perocreemos que esta es una opinion, por lo menos, falaz. Claro esta que esideal poder leer los textos originales y los clasicos. Sin embargo, el estu-diante que apenas se insinua en cualquier area del conocimiento, requierede esquemas y de puntos de referencia para poder avanzar con mayorseguridad y consistencia; posteriormente, una vez haya adquirido ciertamadurez y entendimiento, es absolutamente necesario que recurra, aho-ra sı, a los textos clasicos y a los originales. Un estudiante que comiencepor esta estrategia correra, creemos, un menor riesgo de confundirse o,lo que serıa fatal, de extraviarse definitivamente.

Por ultimo, ha sido un honor para quien esto escribe, haber podidorealizar en companıa de su antiguo profesor de matematicas de la Uni-versidad Nacional de Medellın, Fernando Puerta, los volumenes 0 y IIde este texto. Agradecemos al Departamento de Matematicas, y a laEscuela de Economıa de la Universidad Nacional de Colombia. Tambiena la Facultad de Economıa de la Universidad Externado de Colombia,y al Departamento de Matematicas de esta Universidad. De igual ma-nera a aquellos de los que recibimos sugerencias y comentarios: DiegoArevalo, Julian Arevalo, Oscar Benavides, Catalina Blanco, Lina Canas,Angelica Chappe, Lola Coba, Luis Jorge Ferro, Jorge Gallego, NormaGomez, Carlos Augusto Jimenez, Crescencio Huertas, Norman Maldo-nado, Juliana Moncada, Eduardo Mantilla, Angela Ospina, Diego Pardo,Sergio Parra, Carolina Pelaez, Lida Quintero, Aida Sofıa Rivera, DiegoRojas, Marcela Rubio, Renata Samaca, Alejandra Sanchez, HumbertoSarria, Biviana Suarez, Jennifer Taborda, Marıa del Pilar Tejada, AnaTamayo, Hector Useche y Miguel Zarate. Un agradecimiento del editoral Banco de la Republica por su apoyo en la realizacion de estudios deeconomıa a nivel de doctorado (University of Wisconsin-Madison y TheHebrew University of Jerusalem). Tambien a Maribel Romero, SantiagoSierra, Danny Sierra, Dora Millan y Nathalie Jimenez, por su pacientedigitacion de nuestros difıciles manuscritos. Pero, por encima de todo, anuestras familias que son el gran aliento y nuestra razon de ser.

Sergio MonsalveBogota D.C., febrero de 2008

Nota del editor para el volumen 0

El proposito central al escribir este primer volumen (Fundamentos) de laserie “Matematicas Basicas para Economistas”, ha sido el de entregarlea los estudiantes de primer semestre de nuestras Facultades de economıa,una vision general e integradora del devenir historico y conceptual de lasmatematicas que, muy seguramente, ya habıan sido presentadas por susprofesores en el Bachillerato. Aquı intentamos mostrarle al estudiante,con un nivel de profundidad que podrıa ser apropiado, como fue el desa-rrollo historico de algunas de las mas importantes ideas matematicasdesde las antiguas geometrıa y aritmetica griegas, pasando por el alge-bra y la geometrıa analıtica del Renacimiento, hasta la estructuracionformal del siglo XX, basada en logica y teorıa de conjuntos. Todo ello,por supuesto, sin descuidar el acompasamiento con los correspondientesejercicios tıpicos (y otros no tan tıpicos) del Bachillerato, que le ayu-daran al estudiante a tener una vision panoramica de como ha venidoaprendiendo y entendiendo las matematicas basicas del colegio.

Cabe resaltar que, al final de la leccion 4 del presente volumen, quisi-mos tambien mostrarle al estudiante nuevo de economıa, dos direccionesprincipalmente. La primera es que, ahora que comienza su proceso edu-cativo superior, observe algunas de las posturas generales que, con res-pecto a la participacion de la herramienta matematica en la discusionde los problemas economicos, han tenido algunos de los mas notableseconomistas de la historia. Y la segunda, que comience a distinguir lostipos de funciones y otros objetos matematicos que, casi con seguridad,requerira conocer en distintos cursos y seminarios de su carrera.

No sobra senalar que hacer una cantidad apreciable de los ejerciciosplanteados es fundamental para el desarrollo armonico de este traba-jo. A algunos de ellos les hemos proveıdo de respuesta. Sin embargo,es la opinion del editor que el entregar una cantidad abundante de

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repuestas es inconveniente. De hecho, el tener softwares adecuados comoMATLAB hace la comprobacion de muchos ejercicios algo rutinario. Yesto, por supuesto, es tambien cierto para los siguientes tres volumenes.

Varias advertencias de notacion, no solo para este, sino tambien paralos otros tres volumenes. Los numeros con expresion decimal se escribenutilizando el punto (.) para separar la cantidad entera de la decimal. Nose recurre a la notacion, tambien comun, de la coma (,). De otro lado,utilizamos la notacion � para indicar que una demostracion (prueba deun teorema) ha finalizado, la notacion N para indicar que un ejercicio(o ejemplo) ha terminado, y los asteriscos para indicar que un ejerciciopropuesto puede ser “difıcil” ( (∗) para los ejercicios “difıciles” y (∗∗)para los “muy difıciles”).

Finalizamos diciendo que tenemos la esperanza de que este primer volu-men, complementado con algunos de los numerosos textos de geometrıa,trigonometrıa, algebra, etc., a los que se recurre en el Bachillerato, sirvatanto de estudio como de consulta para nuestros estudiantes nuevos deeconomıa, y que ayude a que, ya entendiendo por que y como ha deve-nido una idea o concepto matematico, la actitud hacia el pensamientoformal cambie muy positivamente en nuestras actuales aulas de clase y,ojala, en el ambiente profesional de los economistas futuros.

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Sergio Monsalve le dedica este esfuerzo asu profesor de matematicas Jairo Charris

A la memoria de Juan Alonso, Jorge Diego, Nancy y Adriana

Sobre “Matematicas Basicas Para

Economistas”

Por: Eduardo Mantilla P.

En esta obra se recogen las experiencias didacticas de los autores enla ensenanza de la Matematica, especialmente en las carreras de cien-cias economicas, tomando como eje central el trabajo de varios anos delprofesor Sergio Monsalve.

Los textos hechos a partir de los apuntes de clase tienen el encanto detraslucir la manera de trabajar del maestro. Su manera de enfocar lostemas. Su particular manera de decir las cosas para hacerlas comprensi-bles a los estudiantes. Su manera de acercarse al conocimiento. A que leda prelacion. Un texto hecho ası es como una radiografıa del alma pe-dagogica del maestro. Por eso es tan importante que no se pierdan lasexperiencias de quienes trabajan bien, para que otros las aprovechen einspirados en ellas adelanten su labor docente y cimenten su formacioncomo educadores.

Esta obra refleja una manera de hacer las cosas de manera atractiva yrigurosa y, en cuanto a su contenido, completa para las carreras de cien-cias economicas. Sus autores logran darle unidad y sabor en un trabajodispendioso para ellos y util para quienes tienen a su cargo asignaturasde Matematicas que aquı pueden seleccionar los temas que les sean nece-sarios, con la seguridad de que estan bien tratados y que son accesiblespara los estudiantes.

Al ver la totalidad de la obra resaltan el enorme trabajo que significo pa-ra el profesor Monsalve y sus companeros recoger, ordenar y reelaborarsus experiencias y presentarlas como lo hacen. Para quien esto escribe,es especialmente atractivo el manejo de los temas geometricos que tanbuenos resultados dan desde el punto de vista formativo y para la com-prension general de la materia. La presentacion de modelos economicos

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y las notas historicas son herramienta formidable para mostrar y dar uncontexto al devenir de los conceptos matematicos y su utilizacion porparte de la Economıa.

Los autores merecen felicitaciones y el reconocimiento de la comunidaduniversitaria por haberse comprometido en tamana tarea, y por la for-ma cuidadosa en que lo hicieron. Por lo bien que les quedo, y por lo utilque sera para las futuras promociones de estudiantes. Ojala esta obrasea probada por otros maestros que, en la practica, son quienes con sufrecuente utilizacion, califican la excelencia de este tipo de trabajo.

Bogota, junio de 2007

Indice general

1. Sobre la geometrıa, aritmetica y trigonometrıa grie-ga 11. Sobre la geometrıa y aritmetica griega clasica . . . . . . . 3

2. Sobre el Libro I de los Elementos de Euclides . . . . . . . 5

a). Explicaciones y definiciones del Libro I de Euclides 5

b). Postulados del Libro I de Euclides . . . . . . . . . 9

c). Nociones comunes del Libro I de Euclides . . . . . 11

d). Las proposiciones y problemas del Libro I de Eu-clides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Sobre el Libro II de los Elementos de Euclides . . . . . . . 29

4. Sobre el Libro III de los Elementos de Euclides . . . . . . 32

5. Sobre el Libro IV de los Elementos de Euclides . . . . . . 35

6. Sobre el Libro V de los Elementos de Euclides . . . . . . . 36

7. Sobre el Libro VI de los Elementos de Euclides . . . . . . 38

8. Sobre el Libro VII de los Elementos de Euclides . . . . . . 39

9. Sobre el Libro VIII de los Elementos de Euclides . . . . . 40

10. Sobre el Libro IX de los Elementos de Euclides . . . . . . 41

11. Sobre el Libro X de los Elementos de Euclides . . . . . . . 44

12. Sobre el Libro XI de los Elementos de Euclides . . . . . . 44

13. Sobre el Libro XII de los Elementos de Euclides . . . . . . 50

14. Sobre el Libro XIII de los Elementos de Euclides . . . . . 53

15. Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

16. Geometrıa y aritmetica griega alejandrina . . . . . . . . . 55

17. Sobre la trigonometrıa en la Grecia alejandrina . . . . . . 58

a). Relaciones trigonometricas de Hiparco y Ptolomeo 68

18. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

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2. El algebra de los siglos XVI y XVII 911. Las leyes fundamentales del algebra de numeros . . . . . . 932. Breve sobre potenciacion y radicales . . . . . . . . . . . . 98

a). Exponentes enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98b). Exponentes fraccionarios . . . . . . . . . . . . . . . 101

3. Breve sobre factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104a). Algunos productos especiales y el proceso de fac-

torizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105b). La formula binomial de Newton (1676) . . . . . . . 108

4. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3. La geometrıa analıtica de Descartes y Fermat 1251. El plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

a). Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . 1302. La ecuacion de primer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

a). Rectas paralelas y perpendiculares . . . . . . . . . 1343. La ecuacion de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . 138

a). La ecuacion de la circunferencia . . . . . . . . . . . 140b). La ecuacion de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . 142c). La ecuacion de la parabola . . . . . . . . . . . . . 146d). La ecuacion de la hiperbola . . . . . . . . . . . . . 150e). Ecuacion general de segundo grado . . . . . . . . . 153

4. Curvas trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156a). La curva seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156b). La curva coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157c). La curva tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5. Vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160a). Definicion, norma e igualdad de vectores . . . . . . 161b). Algebra de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

6. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165a). Ecuacion polar de una lınea recta . . . . . . . . . . 167b). Ecuacion polar de una circunferencia . . . . . . . . 169c). Ecuacion polar de una conica . . . . . . . . . . . . 171d). Ecuaciones polares de curvas clasicas . . . . . . . . 174

7. Coordenadas parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1788. Teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . 181

a). Numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

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b). Raıces de una ecuacion algebraica . . . . . . . . . 189

c). Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9. Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

10. Nota final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4. Sobre los fundamentos para las matematicas contem-poraneas 2291. Sımbolos logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

a). Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

b). Los sımbolos conectivos de la logica . . . . . . . . 233

c). Las tablas de verdad: axiomas de la logica . . . . . 234

d). Tautologıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

2. Nociones de la teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . 243

a). Nocion de conjunto y definiciones basicas . . . . . 248

b). Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . 250

3. Los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

a). Los numeros naturales (N): descripcion . . . . . . 264

b). Los numeros enteros (Z): descripcion . . . . . . . . 266

c). Los numeros racionales (Q): descripcion . . . . . . 268

d). Los numeros reales (R): definicion axiomatica . . . 273

4. Intervalos de numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

5. Valor absoluto de un numero real . . . . . . . . . . . . . . 291

6. Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

a). Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

b). Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

c). Formas funcionales basicas . . . . . . . . . . . . . 316

d). Algebra de funciones reales . . . . . . . . . . . . . 325

e). Composicion de funciones reales . . . . . . . . . . 327

f). Inversion de funciones reales . . . . . . . . . . . . . 330

g). Funciones trigonometricas inversas . . . . . . . . . 333

7. Funciones de dos variables reales . . . . . . . . . . . . . . 339

8. Contexto economico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

a). Sobre los orıgenes de la economıa matematica . . . 348

b). Algunos economistas sobre el metodo matematicoen economıa (Cournot, Jevons, Marshall, Walras,Koopmans, Kantorovich, Allais y Debreu) . . . . . 349

c). Sobre ciertas funciones de la teorıa economica . . . 378

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Bibliografıa 409

Respuestas 420

Indice alfabetico 439

Leccion 1

Sobre la geometrıa, aritmetica y

trigonometrıa griega

Introduccion

La palabra “geometrıa” que significa “medicion de la tierra” provienedel griego geo que significa “tierra”, y metron que significa “medida”. Elorigen de la geometrıa se remonta a mas de cuatro mil anos y surgio dela actividad practica. Las primeras formas geometricas registradas en lahistoria estaban ıntimamente conectadas con la naturaleza: el cırculo yla luna llena; el plano y la superficie de un lago tranquilo; la lınea rectay un rayo de luz del sol. Tambien, aquı y alla, aparecıan cuadrados ytriangulos.

Quizas esta es la principal razon del por que los hombres gradualmentedesarrollaron una concepcion mental abstracta de estas figuras a partirde la observacion activa de la naturaleza. Ası comenzaron la manufacturade objetos mas y mas regulares en forma: viviendas, edificios, plantacio-nes, vasijas, etc. Al reconocer la forma de los cuerpos, el hombre pudomejorar su trabajo y desarrollar, con mas precision, la nocion abstractade forma, y ası la actividad practica sirvio como base a los conceptosabstractos de la geometrıa. De la misma manera, las nociones de longi-tud, de area, de volumen, surgieron de la actividad practica: se medıanlongitudes, se determinaban distancias, se estimaban (a ojo) areas desuperficies y volumenes de cuerpos. Todo con propositos practicos. Fuede esta forma que aparecieron las “leyes generales” mas simples de lageometrıa: por ejemplo, la ley segun la cual el area de un rectangulo

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2 Matematicas basicas para economistas 0: Fundamentos

es igual a la multiplicacion de las longitudes de sus lados era util parael agricultor de una parcela en terminos de cantidades de siembra y decosecha.

Obviamente, la medida de la tierra no fue el unico problema que llevo alos antiguos a la geometrıa. De textos fragmentarios que han sobrevivi-do, es posible establecer que los egipcios y babilonios ya podıan calcularareas simples y algunos volumenes; que ademas conocıan con considera-ble exactitud la proporcion de la circunferencia al diametro del cırculo;y que, quizas, tambien podıan calcular el area de la superficie de unaesfera. En pocas palabras, ya poseıan una considerable cantidad de co-nocimientos geometricos. Sin embargo, para ellos, la geometrıa nuncaalcanzo el nivel de ciencia teorica con teoremas y pruebas. Mas aun, lageometrıa no se distinguıa claramente de la aritmetica: los problemasgeometricos eran problemas con calculos aritmeticos.

Por su parte, la palabra “aritmetica”, que hoy utilizamos, significa “elarte de los numeros” y proviene del adjetivo griego arithmos (que signi-fica “numero”) que, a su vez, modifica el sustantivo griego techne (quesignifica “arte” o “tecnica”). Y este nombre proviene del hecho de quelas operaciones (calculos) con los numeros surgieron en la historia comola reflexion sobre relaciones entre objetos concretos y no como abstrac-cion alguna: la suma de los numeros correspondıa a colocar, juntas, doso mas colecciones de objetos dadas; la multiplicacion surgio del habitode contar colecciones iguales: de a dos, de a tres, etc.

En este proceso de contar, se descubrıan y asimilaban relaciones entrelos numeros que, gradualmente, se establecerıan como reglas generales.Por experiencia practica se descubrıa, por ejemplo, que el orden en quese suman dos colecciones de objetos no afecta el resultado final. Losnumeros comenzaban entonces a aparecer, no separados ni independien-tes unos de otros, sino en profundas interrelaciones. Y esto se notaba enla forma en que algunos nombres se expresaban en terminos de otros:en espanol, “veintidos” es realmente “veinte y dos”; en ingles, “twenty”significa “two (times) ten” (dos (veces) diez); en frances, “ochenta” es“quatrevingt” (cuatro - veintes); el numeral romano VIII denota 8=5+3(donde V=5 y III=3). El objetivo de la aritmetica era entonces el estu-dio del sistema de los numeros con sus relaciones y reglas: un numeroaislado no tenıa propiedades tangibles; solo a traves de sus relacionescon otros numeros era que podıa identificarse. Por ejemplo, el numero 6,

Leccion 1: Geometrıa, aritmetica y trigonometrıa griegas 3

por sı mismo, no significa nada a menos que establezcamos que 6=5+1,6=2x3, 6=4+2, etc. Estudiar aritmetica significaba entonces estudiarrelaciones entre los numeros, donde estos eran abstracciones de la men-te humana acerca de relaciones cuantitativas reales entre colecciones deobjetos. Podemos entonces decir que la aritmetica es una ciencia queestudia relaciones cuantitativas reales consideradas de manera abstractay, que, por lo tanto, no es “pensamiento puro”: es el resultado de lareflexion humana a partir de una larga experiencia practica de muchasgeneraciones desde, por lo menos, las antiguas Babilonia y Egipto hacemas de cuatro mil anos.

1. Sobre la geometrıa y aritmetica griega clasica

En el siglo VII a.C. los conocimientos de aritmetica y geometrıa pasa-ron, de Babilonia y Egipto, a Grecia, donde fueron desarrollados porlos grandes filosofos materialistas Tales de Mileto, Democrito y otros,como tambien por la escuela idealista de Pitagoras y sus sucesores. Estotuvo, por lo menos, dos resultados importantes: primero, el concepto de“teorema” y el de “prueba”; y, segundo, la clasificacion de cuando unaproposicion puede ser fundamental y cuando es deducida de otras masfundamentales aun: era el origen de los “postulados” y de los “axiomas”.Ası la aritmetica y la geometrıa comenzaban a ser teorıa matematica.

Pero la primera exposicion sistematica de geometrıa y aritmetica en lahistoria del pensamiento matematico solo aparecio en Grecia hasta elsiglo III a.C. con los Elementos de Euclides. Puede decirse que aunqueeste libro fue seguramente una compilacion de trabajos de sus predece-sores, el merito fundamental esta en la elegancia y habilidad con la queordeno el conocimiento disponible hasta su epoca dentro de una argu-mentacion logico-deductiva. Los Elementos fue escrito en trece libros,en los que aparecen un total de 467 teoremas y un buen numero decorolarios.

En el Libro I, Euclides comienza definiendo algunos conceptos geometri-cos basicos como el punto, la lınea, la superficie, el angulo, la circunferen-cia, el triangulo, el cuadrilatero, etc. Despues, enuncia cinco postuladossobre los que en adelante basa todos sus razonamientos y, finalmente,cinco “nociones comunes” (axiomas).


El Libro II es acerca del algebra geometrica en donde aparecen expre-siones geometricas de identidades algebraicas.

El Libro III discute acerca de circunferencias, tangentes, y angulos rela-cionados con estas.

En el Libro IV aparecen las construcciones pitagoricas, con regla ycompas, de algunos polıgonos regulares.

El Libro V esta dedicado a la teorıa de las proporciones de Eudoxio.Serıa esta teorıa la que, mas de dos mil anos despues, permitirıa estable-cer los fundamentos logicos de los numeros reales por parte de RichardDedekind en el siglo XX.

En el Libro VI aparece la teorıa de la proporcion de Eudoxio aplica-da a teoremas de triangulos semejantes y a la solucion geometrica deproblemas cuadraticos.

Los Libros VII, VIII y IX tratan de la teorıa elemental de los numerosnaturales, y son el primer tratado de aritmetica desde una perspectivaarticulada.

El Libro X trata de las magnitudes inconmensurables, es decir, de aque-llas que no son medibles con respecto a una unidad de medida dada. Esel origen formal de los numeros irracionales.

Los tres Libros finales, XI, XII y XIII, estan dedicados a la geometrıade los solidos, que es, esencialmente, el mismo material que se estudiahoy en el bachillerato, exceptuando el tema de las esferas. En el LibroXI encontramos definiciones y teoremas acerca de planos y rectas en elespacio, y tambien de paralelepıpedos; en el XII encontramos el calculode ciertos volumenes; y, en el XIII, las construcciones de los cinco po-liedros regulares (tetraedro (cuatro caras), cubo (seis caras), octaedro(ocho caras), dodecaedro (doce caras), icosaedro (20 caras)).

Los textos tradicionales de geometrıa del Bachillerato constan, principal-mente, del material de los Libros I, III, IV, VI, XI y XII de Euclides. Soloalgunos temas como los de mediciones de la circunferencia y la esfera,son de origen posterior a Euclides y no se encuentran en los Elementos.


2. Sobre el Libro I de los Elementos de Euclides

Como decıamos antes, en el Libro I, Euclides define los terminos funda-mentales de punto, lınea, superficie, angulo, figura, etc. Sin embargo, laforma en que Euclides define punto, lınea y superficie, difiere de las defi-niciones dadas en textos previos a los Elementos. Por ejemplo, la nocionde punto se definıa, antes de Euclides, como el extremo de una lınea; lalınea como el extremo de una superficie; y la superficie como el extremode un solido. Euclides (quizas en respuesta a las crıticas que surgieron aestas definiciones) intenta definir cada termino independientemente delos otros.

a). Explicaciones y definiciones del Libro I de Euclides

Son las siguientes:

1. Un punto es lo que no tiene partes.

2. Una lınea es una longitud sin anchura.

3. Los extremos de una lınea son puntos.

4. Una lınea recta es aquella que yace por igual respecto a los puntosque estan en ella.

5. Una superficie es aquella que solo tiene longitud y anchura.

6. Los extremos de una superficie son lıneas.

7. Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual res-pecto de las lıneas que estan en ella.

8. Un angulo plano es la inclinacion mutua de dos lıneas que se en-cuentran una a otra en una superficie plana y no estan en lınearecta (ver figura 1).

Figura 1: Angulo plano


9. Cuando las lıneas que comprenden el angulo son rectas, el angulose dice que es rectilıneo (ver figura 2).

Figura 2: Angulo rectilıneo

10. Cuando una recta se levanta sobre otra formando angulos adyacen-tes iguales, cada uno de los angulos iguales se llama angulo recto,y la recta que se eleva sobre la otra se llama perpendicular a estaotra (ver figura 3).

Figura 3: Rectas perpendiculares

11. Un angulo obtuso es un angulo mayor que un angulo recto (verfigura 4).

Figura 4: Angulo obtuso

12. Un angulo agudo es un angulo menor que un angulo recto (verfigura 5).

Figura 5: Angulo agudo

13. Un lımite es lo que es extremo de algo.


14. Una figura es lo que esta contenido en un lımite o en varios lımites.

15. Un cırculo es una figura plana contenida en una lınea, llamadacircunferencia, tal que todas las rectas que van desde un puntoparticular que queda dentro de la figura, hasta puntos de ella, soniguales entre sı (ver figura 6).

Figura 6: Circunferencia y cırculo

16. El punto particular de la definicion anterior se llama centro delcırculo (ver figura 7).

17. Un diametro de un cırculo es una recta que pasa por su centroy termina, en ambos sentidos, en la circunferencia. Dicha rectabiseca, ademas, a la circunferencia y al cırculo (ver figura 7).

Figura 7: Centro (C) y diametro de un cırculo

•C

18. Un semicırculo es la figura contenida entre un diametro y unasemicircunferencia; o sea, la mitad de la circunferencia cortadapor el. El centro del semicırculo es el mismo que el del cırculo.

19. Figuras rectilıneas son las contenidas entre rectas; figuras trilateras(o triangulos) son las contenidas entre tres; cuadrilateras(o cuadrilateros) las contenidas entre cuatro y las multilateras (opolıgonos) las contenidas entre mas de cuatro rectas (ver figura 8).


Figura 8: Figuras rectilıneas

20. De los triangulos, un triangulo equilatero es aquel cuyos tres ladosson iguales; un triangulo isosceles es el que tiene dos de sus ladosiguales (ver figura 9); y un triangulo escaleno el que tiene sus treslados desiguales.

Figura 9: Triangulo equilatero y triangulo isosceles

21. Ademas, de los triangulos, un triangulo rectangulo es el que tieneun angulo recto; un triangulo obtusangulo el que tiene un anguloobtuso; y un triangulo acutangulo el que tiene sus tres angulosagudos (ver figura 10).

Figura 10: Triangulos rectangulo, obtusangulo y acutangulo.

22. De los cuadrilateros, un cuadrado es el que es equilatero y susangulos son rectos; un rombo es el que es equilatero pero sin angulosrectos; y un romboide el que tiene sus lados y angulos opuestosiguales unos a otros, pero no es ni equilatero ni tiene angulos rectos.


Los cuadrilateros distintos a los anteriores se llaman trapecios (verfigura 11)1.

Figura 11: Cuadrado, rombo y trapecio

23. Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano ysiendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se en-cuentran una a otra en ninguno de ellos (ver figura 12).

Figura 12: Rectas paralelas

A B

C D

b). Postulados del Libro I de Euclides

Cinco son los postulados sobre los cuales Euclides construye toda sugeometrıa. Estos, al igual que las nociones comunes, se admiten sin de-mostracion. Pero no son tan evidentes, y por eso se postulan; es decir, sepide que se acepten: son las propiedades especıficas de su geometrıa. Detodas maneras, los postulados y las nociones comunes que presentamosadelante, constituyen, quizas, uno de los textos cientıficos mas notablesjamas escrito. Veamos en que consisten estos postulados.

POSTULADO 1. Una recta puede trazarse desde un punto cual-quiera hasta otro.

POSTULADO 2. Una recta finita puede prolongarse continuamen-te y hacerse una recta ilimitada o indefinida.

1Esta no coincide con el significado que se le da, en la geometrıa de hoy, a lapalabra trapecio: Actualmente, se llama trapecio a un cuadrilatero con un par delados paralelos. A su vez, un rombo es un cuadrilatero que tiene sus lados iguales.


POSTULADO 3. Una circunferencia puede describirse con un cen-tro y una distancia.

POSTULADO 4. Todos los angulos rectos son iguales entre sı.

POSTULADO 5. Si una recta que corte a otras dos forma conestas angulos interiores del mismo lado de ella que sumados seanmenores que dos rectos, las dos rectas, si se prolongan indefini-damente, se cortaran del lado en que dicha suma de angulos seamenor que dos rectos (ver figura 13).

Figura 13: Quinto Postulado: α+ β es menor que dos rectos

α

β

En los primeros tres postulados, Euclides asume la existencia de puntos,lıneas y cırculos; la existencia de los otros objetos geometricos se pruebaen proposiciones posteriores. Sobre el cuarto y el quinto postulados sepenso durante mucho tiempo que deberıan ser teoremas en lugar depostulados; el cuarto asegura, fundamentalmente, que el angulo recto esun punto de referencia para medir los otros angulos; y el quinto postulado(que se cree que es del propio Euclides) se penso que era demostrabledebido a su complejidad y longitud de texto, ademas de que la afirmacionrecıproca fue demostrada por el propio Euclides. Pero la imposibilidadde demostrar el postulado 5 (tambien conocido como postulado de lasparalelas) convencio a muchos matematicos (entre los que se incluyenKarl F. Gauss [1777-1855] y Nicolai I. Lobachevski [1793-1856]), sobre laviabilidad de construir geometrıas no-euclidianas. En 1829, Lobachevskipublicarıa la construccion de una muy util geometrıa que contradecıaprecisamente el postulado de las paralelas.

Un ejemplo clasico de geometrıa en la que no se cumplen los postula-dos de Euclides, es el de una esfera. Si dibujamos una recta sobre estaesfera, esta no podra ser infinita como lo es en un plano, puesto quevolverıamos al mismo punto, es decir, no tendremos rectas en el sentidotradicional, sino que tendrıamos circunferencias que cumplen la misma


funcion que las rectas en la geometrıa tradicional. Este comportamientosobre la esfera nadie lo habıa estudiado seriamente, pues se considerabaque solo eran casos degenerados de la geometrıa de Euclides. Sin embar-go, desde el siglo XIX de Lobachevski, se les consideran tan validas comola geometrıa clasica, y, de hecho, existen infinitas geometrıas posibles,dependiendo de la curvatura de la superficie que estemos estudiando.La geometrıa euclıdea solo es el caso particular cuando la curvatura esnula. 2

c). Nociones comunes del Libro I de Euclides

Los axiomas de su geometrıa, que Euclides llama nociones comunes,son afirmaciones validas en todas las ciencias, cuya evidencia las haceaceptables de manera general. Las siguientes son las que incluye:

NOCION COMUN 1. Cosas iguales a otra son iguales entre sı.

NOCION COMUN 2. Si a cantidades iguales se suman cantidadesiguales, los totales seran iguales.

NOCION COMUN 3. Si a cantidades iguales se restan cantidadesiguales, los residuos seran iguales.

NOCION COMUN 4. Las cosas que coinciden entre sı son igualesentre sı

NOCION COMUN 5. El todo es mayor que una parte.

2Entendemos que vivimos en un universo de cuatro dimensiones: las tres espacialesmas la dimension temporal. El problema de la curvatura del espacio-tiempo se puedeentender mas facilmente imaginando un universo plano. Si en ese plano se pone unapequena esfera, esta se quedara quieta; pero si despues colocamos una bola grandepesada, esta curvara el plano de tal forma que la pequena esfera tendera a acercarse ala bola pesada. Se puede decir que la curvatura del plano es un ejemplo en dos dimen-siones de como el Sol curva el espacio a su alrededor atrayendo a los objetos. AlbertEinstein [1879-1955] describio el funcionamiento de este “extrano” espacio: La curva-tura del espacio-tiempo en una zona del universo que esta relacionada con la masa y laenergıa de esa region, y su geometrıa no es la de Euclides, sino una no-euclidiana quesupone consecuencias que nos dan explicaciones distintas para fenomenos que hastaentonces se creıan comprendidos. Por ejemplo, los planetas que giran alrededor delSol en realidad estan describiendo una “lınea recta” en este espacio-tiempo generadopor la masa del Sol.


Sobre estos cinco postulados y cinco nociones comunes (axiomas), Eu-clides construye todo el edificio de lo que hoy conocemos como geo-metrıa euclidiana. Puesto que no es posible retroceder infinitamente enla busqueda de los principios fundamentales, hubo de establecer en unpunto dado, los fundamentales de su teorıa. Los primeros son propiosdel campo considerado (en este caso, la geometrıa); sin embargo, lassegundas, son comunes a todas las ciencias.

d). Las proposiciones y problemas del Libro I de Euclides

En las proposiciones y problemas del Libro I, Euclides presenta la geo-metrıa familiar de lıneas y angulos del plano, incluyendo resultados sobretriangulos, lıneas que se intersecan, lıneas paralelas, y paralelogramos.Son 34 proposiciones y 14 problemas, algunos de los cuales presenta-mos aquı, e invitamos al lector (recordando sus clases de geometrıa delBachillerato) a ilustrar cada una/o con una figura correspondiente y aconvencerse de su veracidad (no a demostrarlas, obviamente) . Tambien,ojala ası sea, es una invitacion a la lectura del texto original de Euclidesen traduccion al Ingles del famoso helenista Thomas L. Heath.3

1. Dada una recta finita, construyase un triangulo equilatero.

Para satisfacer nuestra curiosidad, y ver como utiliza Euclides elmetodo deductivo, demostremos esta primera proposicion:

Sea AB una recta cualquiera (ver figura 14). Con centro en A y conradio AB descrıbase (postulado 3) el cırculo BCD; y con centroen B y con radio AB descrıbase (postulado 3) el cırculo ACE.En el punto C, en donde los cırculos se cortan recıprocamente,se trazan (postulado 1) para los puntos A y B, las rectas CA yCB. El triangulo ABC sera equilatero pues siendo el punto A elcentro del cırculo BCD, entonces AC y AB son iguales (definicion15); y siendo el punto B el centro del cırculo ACE, debe ser queBC y BA son iguales. Sin embargo, sabemos que CA y AB soniguales. Luego tanto AC, como CB, son iguales a AB. Pero puestoque cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sı (nocioncomun 1), debe ser que AC y CB son iguales. Luego las tres rectas

3Heath, Thomas L. (1908), “The Thirteen Books of Euclid”, Cambridge.


CA, AB y BC son iguales, y, por consiguiente, el triangulo ABC,sobre la recta AB, es equilatero (definicion 20).

Figura 14: Ilustracion de la proposicion 1

A B

C

D E

En la demostracion anterior se hace uso de las definiciones, postu-lados y nociones comunes (indicados entre parentesis). Obviamen-te, al tratarse de la primera proposicion no se hace uso de otrasproposiciones. No obstante, observese que Euclides asume, implıci-tamente, que el punto C donde se cortan los cırculos en la grafica,existe. No hay, sin embargo, ningun postulado que lo garantice.

2. Por un punto dado trazar un recta igual a una recta dada.

Veamos tambien como Euclides prueba esta proposicion. Sean Ay BC el punto y la recta dada, respectivamente (ver figura 15). Sedebe construir una lınea recta igual a la recta dada BC que tengaal punto A como extremo. Desde el punto B tracese (postulado 1)una recta AB, y sobre esta construyase (proposicion 1 anterior)un triangulo equilatero DAB. Ası se producen (postulado 2) lasrectas AE, BF en direccion de las rectas DA y DB. Con centroB e intervalo BC se describira (postulado 3) el cırculo CGH; ytambien con centro D e intervalo DG se describe el cırculo GKL.Siendo B el centro del cırculo CGH, debe ser que BC y BG soniguales (definicion 15). Y siendoD el centro del cırculo GKL, deberser que DL y DG son iguales. Ademas, las partes DA y DB delas rectas DL y DG son iguales. Luego las diferencias AL y BGseran tambien iguales (axioma 3). Y ası, tanto AL como BC seraniguales a BG. Mas como cosas iguales a una tercera, son igualesentre sı (nocion comun 1), debe ser que AL y BC son iguales. Por


lo tanto, hemos construido, desde el punto A, una lınea recta ALigual a otra dada BC.


A

BC

D

E

F

G

H

K

L

3. Dadas dos rectas desiguales, cortese o separese, de la mayor, unarecta igual a la menor (ver figura 16). 4

A

D

F

EB

C


En esta figura 16, los segmentos son AB (segmento mayor) y C.

4. Si dos triangulos tienen dos lados de uno iguales respectivamentea dos del otro, y los angulos comprendidos por dichas parejas derectas son iguales, tambien tendran la base de uno igual a la delotro, un triangulo sera igual al otro, y los angulos restantes de unoseran iguales a los restantes del otro, respectivamente; es decir, queseran iguales los angulos opuestos a lados iguales (ver figura 17).

4Debe tenerse en cuenta que, en general, la construccion de las figuras que ilustranlas proposiciones euclidianas, sigue un orden alfabetico.


A

B

C D

E

F


En lenguaje geometrico de hoy, esta proposicion euclidiana es elconocido criterio “lado-angulo-lado” de congruencia en triangulos.

5. En los triangulos isosceles, los angulos de la base son iguales entresı, y si las rectas iguales se prolongan, los angulos que estan bajola base seran tambien iguales (ver figura 18).


A

B C

F G

D E

En la figura 18, el triangulo isosceles que menciona Euclides es△ABC; los angulos de la base, que tambien son iguales, son ∠ABCy ∠BCA; y los angulo externos que se forman por la prolongacionde los lados iguales son ∠FBC y ∠BCG. Dice la tradicion queesta Proposicion 5, que al parecer se remonta a Tales de Mileto,era conocida en las universidades de la Edad Media como el “ponsasinorum”, o el puente de los asnos. El nombre viene de la formade sombrero de su dibujo (figura 18) y de que a los malos alumnosles costaba pasar de esta proposicion, como a los asnos, dicen, lescuesta cruzar un puente.

Una diferencia entre las proposiciones de Euclides que podemoshacer en este punto, es que las tres primeras tratan de resolver


un problema sobre como podemos realizar cierta construccion; encambio, las dos siguientes tratan de describir propiedades de unafigura dada. Al primer tipo de proposiciones se les llama problemas,y, al segundo tipo, teoremas.

6. Si en un triangulo, dos angulos son iguales, los lados opuestos alos angulos iguales tambien seran iguales (ver figura 19).

B C

A

D


En la figura 19, el triangulo es △ABC, los angulos iguales son∠ABC = ∠BCA, y Euclides prueba que AB = AC.

7. Dadas dos rectas trazadas sobre otra (a partir de sus extremos)y que se corten en un punto, no pueden trazarse sobre la mismarecta (a partir de sus extremos), y del mismo lado de ella, otrasdos rectas que se corten en otro punto y que sean iguales a lasanteriores respectivamente, es decir, cada una igual a la que pasepor el mismo extremo (ver figura 20).

A B

C D



En la figura 20, se trazan AC y BC sobre AB. Entonces Euclidesmuestra, con ayuda de esta misma figura, que BD 6= BC y AD 6=AC.

8. Si dos triangulos tienen dos lados del uno iguales respectivamentea otros dos del otro, y ademas tienen sus bases iguales, tendrantambien iguales los angulos opuestos a las rectas iguales.

Este es el hoy conocido como criterio “lado-lado-lado” de congruen-cia de triangulos. Invitamos al lector a acompanar esta proposicioncon una grafica que la ilustre.

9. Bisequese un angulo rectilıneo dado (ver figura 21).

A

B C

D E

F


El angulo a bisecar es ∠BAC en la figura 21. Euclides toma Dsobre AB. Luego corta AE = AD de AC, y despues junta lospuntos D y E. Despues construye el triangulo equilatero △DEFsobre DE, y traza AF . Esta ultima bisecara el angulo ∠BAC.

10. Bisequese una recta finita dada (ver figura 22).


A B

C

D


Aquı, la recta finita es el segmento AB. Euclides construye eltriangulo equilatero △ABC sobre AB, y luego biseca el angulo∠ACB mediante la lınea CD. Entonces muestra que AB se bisecaen el punto D.

11. Tracese una recta perpendicularmente a otra dada desde un puntode esta.

12. Tracese una recta perpendicular a otra infinita dada, desde unpunto que no este sobre esta ultima.

13. Si se traza una recta sobre otra, formando angulo, formara dosangulos rectos o bien angulos cuya suma sea igual a dos angulosrectos.

14. Si con una recta cualquiera, y pasando por un punto sobre ella, dosrectas, que no esten al mismo lado de la primera, forman angulosadyacentes cuya suma sea igual a dos angulos rectos, las dos rectasseran una continuacion de la otra constituyendo una sola recta (verfigura 23).

A

BC D

E


En la figura 23, la “recta” es el segmento de recta AB, el puntoes B, y las dos rectas que menciona Euclides son allı BC y BD.Su argumento de prueba sigue esta lınea: Si BD no esta en lıneacon BC, entonces produce BE en lınea recta con CB. Como ABdescansa sobre CBE entonces la suma de ∠ABC y ∠ABE es dosrectos. Pero como tambien la suma de los angulos ∠ABC y ∠ABDes dos rectos, entonces ∠CBA+ ∠ABE = ∠CBA+ ∠ABD. Porlo tanto, ∠ABE = ∠ABD, es decir, un angulo menor que es iguala un angulo mayor, lo que es una contradiccion.

15. Si dos rectas se cortan, forman angulos opuestos por el verticeiguales entre sı (ver figura 24).


A

B

D

C

E


Las dos rectas son los segmentos AB y CD. Los angulos opuestospor el vertice son ∠AEC = ∠DEB. Tambien son opuestos por elvertice ∠AED = ∠CEB.

16. En un triangulo, si se prolonga uno de los lados, el angulo exteriores mayor que el angulo del interior y que los angulos opuestos (verfigura 25).

A

B C D

E

F

G


Aquı, el triangulo es △ABC, y el lado prolongado es BC hasta D.Entonces Euclides prueba que el angulo exterior ∠ACD es mayorque el angulo interior ∠CBA, y que el angulo opuesto ∠BAC.

17. En un triangulo dado, la suma de dos angulos cualquiera es menorque dos rectos (ver figura 26).

A

BC

D



En la figura 26, Euclides ha extendido el lado BC del triangulo△ABC hasta D. Como ∠ACD es exterior al triangulo, entonceses mayor que el angulo interior ∠CBA y que el opuesto ∠BAC.Por lo tanto, ∠ACD+∠ACB es menor que ∠CBA+∠ACB. Pero∠ACD+∠ACB es igual a dos rectos; por lo tanto, ∠CBA+∠ACBes menor que dos rectos.

18. En un triangulo, el lado menor es opuesto al angulo menor.

19. En un triangulo, el angulo mayor es opuesto al lado mayor.

20. En un triangulo, la suma de dos lados cualquiera es mayor que elotro lado (ver figura 27).

A

CB

D


En la figura 27, Euclides muestra que AB + BC es mayor queAC, siendo los otros casos de prueba similar. Esta proposicion,que hoy se conoce como la desigualdad triangular, se considerabaevidente en aquella epoca. Sin embargo, Euclides tuvo la claridadde distinguir que la percepcion de verdad de un teorema es algodiferente de la prueba en sı misma. Hoy, la desigualdad triangulares tomada como axioma en la teorıa de espacios metricos (vervolumen III: Optimizacion y dinamica).

21. Si sobre uno de los lados de un triangulo, y a partir de sus extremos,se trazan dos rectas que se corten dentro del triangulo, la sumade las rectas ası trazadas sera menor que la suma de los dos ladosrestantes del triangulo, pero el angulo que comprendan sera mayor(ver figura 28).


A

BC

D


Desde los puntosB y C del lado BC del triangulo △ABC, Euclidestraza las “rectas” BD y DC que se cortan dentro de △ABC en elpunto D. Entonces prueba que BD+DC es menor que BA+AC,y tambien muestra que ∠BDC es mayor que ∠BAC.

22. Con tres rectas, que sean iguales a tres rectas dadas, construyaseun triangulo (por tanto, es necesario que la suma de dos cuales-quiera de ellas sea mayor que la restante).

23. Sobre una recta dada y con vertice en un punto de ella, construyaseun angulo rectilıneo igual a otro dado.

24. Si dos triangulos tienen dos lados de uno iguales respectivamentea dos del otro, pero el angulo comprendido por una de las parejasde lados es mayor que el de la otra pareja, entonces la mayor basela tendra el triangulo de la pareja de mayor angulo.

25. Si dos triangulos tienen dos lados de uno iguales, respectivamente,a dos del otro, pero la base del primero es mayor que la del segundo,el angulo de la primera pareja de rectas sera mayor que el de lasegunda.

26. Si dos triangulos tienen dos angulos de uno iguales, respectiva-mente, a dos del otro, y un lado igual a otro, es decir, los respecti-vos lados adyacentes a los angulos iguales, o los respectivos ladosopuestos a uno de los angulos iguales, entonces tambien tendranlos lados restantes del uno iguales a los lados restantes del otro, yel angulo restante igual al otro angulo restante.


27. Si una recta que atraviesa a otras dos, forma con estas angulosalternos iguales, las dos rectas seran paralelas (ver figura 29).


AB

C D

G

E

F

En la figura 29, la lınea recta es la que pasa por E y F , y que caesobre las rectas AB y CD. Allı, Euclides muestra que la igualdadde los angulos alternos ∠AEF y ∠EFD, implica que las rectasAB y CD son paralelas.

28. Si una recta que atraviesa a otras dos, forma con una de estas unangulo externo igual al interno y opuesto a la misma parte, o de lamisma parte son iguales a dos rectos, las dos rectas seran paralelas.

A B

C D

E

F

G

H


Aquı, la recta EF cae sobre AB y CD. Euclides muestra quesi el angulo externo ∠EGB es igual al angulo interior y opuesto∠GHD, o ∠BGH + ∠GHD es igual a dos rectos, entonces AB esparalela a CD.

29. Una recta que atraviesa a otras dos paralelas forma con estas angu-los alternos iguales, un angulo externo igual al interno no adyacentedel mismo lado de la transversal, y los angulos internos del mismolado de esta son iguales a dos rectos.


Solo hasta esta proposicion 29, que es la recıproca de la 27, llegaEuclides a emplear el postulado quinto de las paralelas. Es normalque al analizar esta proposicion se piense que se debe poder de-mostrar sin utilizar el quinto postulado, pues Euclides demuestrala proposicion 27, que es su recıproca, sin recurrir a tal postula-do. Si eso pudiera hacerse, el quinto postulado serıa un corolarioinmediato de la proposicion 29. Y aunque muchos matematicospropusieron “demostraciones” al postulado, hoy se sabe, y ya lohabıamos mencionado antes, que aceptar otros postulados no equi-valentes permite desarrollar otro tipo de geometrıas.

30. Las rectas paralelas a la misma recta son tambien paralelas entresı (ver figura 31).


A B

C

E F

D

G

K

H

31. Trazar por un punto dado, una recta paralela a otra dada (verfigura 32).


E F

B C

A

D

32. En un triangulo, si se prolonga uno de los lados, el angulo externoformado es igual a la suma de los dos internos no adyacentes, ylos tres angulos internos del triangulo suman dos rectos (ver figura33).



A

BC

D

E

Aquı, Euclides prueba que ∠ACD = ∠CAB + ∠ABC, y tambienque ∠ABC + ∠BCA+ ∠CAB es igual a dos rectos.

33. Las rectas que unen en la misma direccion los extremos de rectasiguales y paralelas, son paralelas e iguales.

Observese que esta proposicion garantiza la existencia de los pa-ralelogramos, termino que Euclides utiliza a partir de aquı en susproposiciones y construcciones. De otro lado, las proposiciones 27a 33, junto con la 17, el quinto postulado, y la definicion de rectasparalelas, constituyen el nucleo de la teorıa de las paralelas en losElementos.

34. En areas paralelogramicas, los lados y los angulos opuestos soniguales entre sı y el diametro, o diagonal, biseca las areas (verfigura 34).


A

B C

D

35. Los paralelogramos que estan sobre la misma base y entre las mis-mas paralelas son iguales 5 (ver figura 35).

5Es decir, tienen la misma area.


A

B C

D E F

G


Aquı, los paralelogramos son ABCD y EBCF . Euclides pruebaque si tienen la misma base BC y las mismas paralelas AF y BC,entonces los dos paralelogramos tiene la misma area.

36. Los paralelogramos que estan sobre bases iguales y entre las mis-mas paralelas son iguales.

37. Los triangulos que estan sobre la misma base y entre las mismasparalelas son iguales (ver figura 36).


B

E A D F

C

En la figura 36, los triangulos son △ABC y △DBC; BC es la basecomun; y AD y BC son las mismas paralelas. Euclides muestra queaquellos triangulos tienen la misma area.

38. Los triangulos que estan sobre bases iguales y entre las mismasparalelas son iguales.

39. Los triangulos iguales que estan sobre la misma base y al mismolado de ella tambien estan entre las mismas paralelas.

40. Los triangulos iguales que estan sobre bases iguales y al mismolado de ellas estan tambien entre las mismas paralelas.


41. Si un paralelogramo tiene la base comun con la de un trianguloy ambos estan entre las mismas paralelas, el paralelogramo es eldoble del triangulo (ver figura 37).


B

A D E

C

Aquı, el paralelogramos es ABCD. Este, ademas de compartir lamisma base con el triangulo △EBC, esta entre las mismas parale-las BC y AE que el triangulo △EBC. Euclides muestra entoncesque el paralelogramo ABCD es el doble del triangulo △EBC. Estaproposicion es, precisamente, el resultado que nos permite calcularareas de triangulos. Es la que afirma, en terminos de hoy, que elarea de un triangulo es igual a la mitad del producto de su basepor su altura (¿por que?).

42. Construir, dentro de un angulo rectilıneo dado, un paralelogramoigual a un triangulo dado.

43. En un paralelogramo, los complementos de los paralelogramos aun lado u otro de la diagonal, son iguales.

44. A una recta dada aplıquese, dentro de un angulo rectilıneo dado,un paralelogramo igual a un triangulo dado.

45. Construyase, dentro de un angulo rectilıneo dado, un paralelogra-mo igual a una figura rectilınea dada.

46. Construyase sobre una recta dada un cuadrado (ver figura 38).


A B

C

D E


47. (Teorema de Pitagoras) En triangulos rectangulos, el cuadradosobre el lado opuesto al angulo recto es igual a la suma de loscuadrados de los lados que forman el angulo recto (ver figura 39)6.

Figura 39: Teorema de Pitagoras

B

E

AF

C

D

G H

K

L

Esta proposicion 47 se le atribuye, segun la tradicion, a Pitagoras.

6Note que esta no es mas que la expresion geometrica de la identidad algebraicaque hoy escribimos como

a2 = b

2 + c2

donde a es la longitud de la hipotenusa, y b y c son las longitudes de los catetos deltriangulo rectangulo (ver final de la presente leccion). Sin embargo, debe resaltarseaquı que la palabra hipotenusa que hoy utilizamos, no aparece en los Elementospero sı en textos pitagoricos anteriores a Euclides. Por su parte, la palabra catetoproviene de la palabra latina cathete que fuera utilizada por Nicolas Chuquet enel siglo XV.


Sin embargo, algunos matematicos griegos como Proclo de Licia selo atribuye al fundador de la escuela pitagorica. Veamos su prueba.

Sea ABC un triangulo rectangulo que tiene el angulo recto ∠BAC.Mostremos que el cuadrado construido sobre BC es igual a lasuma de los cuadrados construidos sobre BA y AC. Para ello,construyamos sobre BC el cuadrado BDEC. Por A se traza laparalela AL a BD, y se une A con D, y F con C. Puesto que losangulos BAC y BAG son rectos sobre BA en el punto A, las rectasAC y AG forman angulos adyacentes iguales a dos rectos; por esoCA es prolongacion de AG. Y ya que el angulo DBC es igual aFBA (pues cada uno es recto), al anadir ABC a ambos, tendremosque todo el DBA sera igual a todo el FBC. Luego la base AD esigual a FC, y el triangulo ABD es igual al triangulo FBC. Masel paralelogramo ABDL es el doble del triangulo ABD por tenerla misma base BD, y estar entre las mismas paralelas BD y AL.Por otra parte, el cuadrado GFBA es el doble del triangulo FBC,pues tienen la misma base FB y estan entre las mismas paralelasFB y GC. Por consiguiente, el paralelogramo ABDL es igual alcuadrado GFBA.

Analogamente, trazadas AE y BK, Euclides demuestra que el pa-ralelogramo ACEL es igual al cuadrado AHKC. Luego todo elcuadrado BDEC es igual a la suma de los dos cuadrados GFBAy AHKC.

48. Si en un triangulo, el cuadrado construido sobre uno de los ladoses igual a la suma de los cuadrados sobre los dos lados restantesdel triangulo, el angulo comprendido por los dos lados restantesdel triangulo es recto (ver figura 40).


A

B

CE


Como hemos podido observar, las proposiciones ocupan la mayor partede los Elementos. Note el extremo cuidado que tiene Euclides en los pasosque da, tratando que la obra sea inobjetable. Se constata facilmente queeste trabajo es una verdadera red en la que resulta difıcil quitar o anadiralgo sin cambiar todo el libro.

3. Sobre el Libro II de los Elementos de Eucli-

des

El Libro II de los Elementos, que contiene dos definiciones y catorceproposiciones, trata, fundamentalmente, de lo que se ha dado en llamaralgebra geometrica. De acuerdo con este punto de vista, los geometrasgriegos tomaron resultados algebraicos y los establecieron en terminosgeometricos. Al menos esto era lo que afirmaban a finales del siglo XIXlos influyentes matematicos Hyeronimus Zeuthen y Paul Tannery. Sinembargo, en las ultimas decadas esto se ha re-evaluado, pues se ha idoentendiendo que, quizas, no es historicamente valido.

Las once primeras proposiciones se suelen interpretar como propiedadesalgebraicas cuando, en lugar de magnitudes de segmentos, se habla decantidades. La proposicion 1, por ejemplo, afirma que “Si hay dos rectasy una de ellas se corta en varios segmentos, el rectangulo comprendidopor las dos rectas es igual a los rectangulos comprendidos por la recta nocortada y cada uno de los segmentos” (ver figura 41). Observese que estano es mas que una version geometrica un tanto confusa de la identidadalgebraica

a(b+ c+ d) = ab+ ac+ ad


a

b c d


Un ejemplo mas es la proposicion 2 que afirma que “Si se divide arbi-trariamente una recta, la suma de los rectangulos contenidos en toda larecta y en cada una de las partes, es igual al cuadrado de toda la recta”que, algebraicamente, serıa

(a+ b)a+ (a+ b)b = (a+ b)2

Por su parte, en la proposicion 3, Euclides dice: “Si se divide arbitra-riamente una recta, el rectangulo contenido en toda la recta y en unade las partes en que se halla dividida, es igual a la suma del rectangulocontenido en las dos partes, con el cuadrado de la parte ya considerada”.

a

b a

a


Esto, algebraicamente, es (ver figura 42)

(a+ b)a = ab+ a2

Otro ejemplo de esto es la proposicion 4 que afirma que “Si se cortaarbitrariamente una lınea recta, el cuadrado de la recta entera es iguala los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectangulo comprendidopor los segmentos” (ver figura 43). Observese que esta, a su vez, no esmas que la expresion geometrica de la identidad algebraica

(a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab


a

b

b

a

a+ b


Singularmente, en las proposiciones 12 y 13, Euclides presenta el queserıa el equivalente geometrico de la ley de cosenos 7. La proposicion12 plantea que “En los triangulos obtusangulos, el cuadrado del ladoopuesto al angulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados quecomprenden el angulo obtuso en dos veces el rectangulo comprendido porun lado de los del angulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y larecta exterior cortada por la perpendicular, hasta el angulo obtuso”.

En la figura 44, Euclides prueba que sobre el triangulo obtusangulo△ABC con angulo obtuso ∠BAC, se tiene que

(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 − 2AC AD

Note que esta ecuacion no es mas que la expresion geometrica de laconocida identidad algebraica

a2 = b2 + c2 − 2bc cosA

donde A = ∠BAC, a = BC, b = AB, c = AC, y AD = b cosA. 8


AD C

B

De forma similar, en la proposicion 13 plantea que “En los triangulosacutangulos, el cuadrado del lado opuesto al angulo agudo, es menor quelos cuadrados de los lados que comprenden el angulo agudo en dos vecesel rectangulo comprendido por uno de los lados del angulo agudo sobre elque cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicularhasta el angulo agudo” (ver figura 45).

7Ver la seccion de trigonometrıa al final de esta leccion.8Para la nocion de coseno de un angulo, ver la seccion de trigonometrıa al final de

la presente leccion.



AB C

D

Finalmente, en la proposicion 14, Euclides plantea el problema de “Cons-truir un cuadrado igual a una figura rectilınea dada”. Claramente, esteserıa, en terminos algebraicos, el problema de encontrar la solucion auna ecuacion cuadratica de la forma x2 = a para a dada.

Sin embargo, repetimos, Euclides presenta estas proposiciones y sus de-mostraciones en forma puramente geometrica: son problemas geometri-cos resueltos geometricamente.

4. Sobre el Libro III de los Elementos de Eu-clides

En el Libro III, Euclides estudia 11 definiciones y 37 proposiciones so-bre los cırculos, y los sectores de cırculos. Algunas de las definicionescentrales son las siguientes:

1. Circunferencias iguales son aquellas cuyos diametros son iguales,o los radios son iguales.

2. Una recta es tangente a una circunferencia cuando, tocando ala circunferencia y siendo alargada, no corta a la circunferenciaulteriormente (ver figura 46).

A

Figura 46: Tangente a una circunferencia


3. Dos cırculos se dicen tangentes entre sı, si teniendo un puntocomun no se cortan (ver figura 47).

b A

Figura 47: Cırculos tangentes

6. Un segmento de un cırculo es la figura comprendida por una rectay una circunferencia de un cırculo (ver figura 48).

Figura 48: Segmento de un cırculo

C

BD

7. Un angulo de un segmento es el que esta comprendido por unarecta y una circunferencia de un cırculo.

10. Un sector de un cırculo es la figura constituida por dos radios delcırculo y el arco que ellos interceptan.

Y algunas de las proposiciones centrales son las siguientes:

1. Dado un cırculo encontrar su centro.

3. Si en el cırculo, una recta conducida por el centro corta a otra queno pasa por el centro, en dos partes iguales, entonces es perpendi-cular a ella. Y viceversa, si es a ella perpendicular, la corta en dospartes iguales (ver figura 49).

A B

C

ED

Figura 49: Ilustracion proposicion 3


9. Si dentro de un cırculo se toma un punto cualquiera y desde estepunto se pueden conducir hasta su encuentro con la circunferenciamas de dos rectas iguales, aquel punto es el centro del cırculo.

10. Dos cırculos no se cortan en mas de dos puntos.

11. Si dos cırculos se tocan interiormente, la recta que une sus centrosprolongada encuentra a la circunferencia en el punto de contado(ver figura 50).

O′

O

Figura 50: Ilustracion proposicion 11

15. En un cırculo, el diametro es la recta mayor y, de las demas, lamas proxima al centro es siempre mayor que la mas lejana (verfigura 51).


17. Desde un punto dado, dibujar una lınea recta tangente a un cırculodado.

18. Si una recta es tangente a un cırculo y del centro se dirige unarecta hasta el punto de contacto, tal recta es perpendicular a latangente (ver figura 52).


A

B

C

DD

F


20. En un cırculo, el angulo correspondiente al centro es el doble delcorrespondiente a la circunferencia cuando los angulos comprendenel mismo arco (ver figura 53).

A

B

C

O


Sin embargo, varias de las proposiciones de este Libro III no se consi-deran completamente satisfactorias, y a algunas de las pruebas les faltaclaridad y rigor. De hecho, los textos de geometrıa modernos no presen-tan el material de la forma en que Euclides lo hace en el Libro III.

5. Sobre el Libro IV de los Elementos de Eu-clides

El Libro IV consta de 7 definiciones y 16 proposiciones (todos problemas,ningun teorema). Allı Euclides se interesa por las figuras inscritas (en)y circunscritas por cırculos. Todas las proposiciones aquı son, de hecho,construcciones a realizar que consisten en cuatro ejercicios: el primero esinscribir una figura dada dentro de un cırculo; el segundo es circunscribir


una figura dada alrededor de un cırculo; el tercero es, dada una figura,inscribir un cırculo; y el cuarto es, dada una figura, circunscribir uncırculo. Y estos cuatro ejercicios los hace para triangulos de cualquierforma (proposiciones 2 a 5), para el cuadrado (proposiciones 6 a 9), parael pentagono regular (proposiciones 11 a 14), y para un polıgono regularde 15 lados (proposicion 16). Todas son construcciones pitagoricas, esdecir, solo con regla y compas.

Este libro es el mas sencillo de todos los anteriores. Aquı, Euclides des-cribe exactamente como se pueden construir estos polıgonos regulares de3, 4, 5, 6 y 15 lados. Y aunque no lo mencione, a partir de esos polıgo-nos es facil dibujar tambien los de 8, 10, 12 o 16 lados, ya que bastarıatrazar las bisectrices de los angulos centrales de las figuras halladas. Fal-tarıan, por ejemplo, las construcciones de los polıgonos de 7, 9, 11, 13,17, 19 lados, y los que se obtendrıan por biseccion del angulo central,a partir de ellos. Euclides nada dice de esas figuras, pero hoy se sabeque esos polıgonos, con una sola excepcion, no se pueden construir conregla y compas: esa excepcion es el polıgono regular de 17 lados. Karl F.Gauss, en 1796 (aunque publicado en 1801), demostro que unicamentese pueden construir con regla y compas los polıgonos de un numero nimpar de lados, cuando los factores primos de n son de la forma 22k

+1.Ası, Euclides muestra la forma de dibujar con regla y compas todos lospolıgonos regulares de 15 o menos lados para los que esto es posible. Sinembargo, no explica, como se puede trazar, solo con regla y compas, elpolıgono regular de 17 = 222

+ 1 que Gauss demostro que era posible.

6. Sobre el Libro V de los Elementos de Eucli-des

En el Libro V, a traves de 18 definiciones y 25 proposiciones, Euclidespresenta una exposicion magistral de la teorıa de las proporciones (quela tradicion ha atribuido a Eudoxio (? 355 a.C)) y que es necesaria parapoder definir figuras semejantes. En los libros anteriores solo se discutesobre figuras iguales, mayores o menores; ahora se estudia la nocion desemejanza.

Dos de las mas importantes definiciones en este libro son la cuarta yla quinta. La cuarta afirma que dos magnitudes tienen una proporcion

(ratio) entre sı, cuando es posible que, multiplicando una de ellas, excedaa la otra. Es decir, en terminos de hoy, que A y B tienen una proporcionsi A : B :: m : n para numeros enteros m y n (y que se lee “A esa B como m es a n”). Este es, esencialmente, el hoy conocido comoaxioma arquimediano de los numeros, pero que el mismo Arquımedes,posteriormente, atribuirıa a Eudoxio.

La quinta definicion, relativa a magnitudes que estan en la misma pro-porcion, afirma:“Se dice que una primera magnitud guarda la mismaproporcion con una segunda, que una tercera con una cuarta, cuandocualquiera equimultiplos de la primera y la tercera excedan a la par, seaniguales a la par, o resulten inferiores a la par, que cualquier equimulti-plos de la segunda y la cuarta, respectivamente, y tomados en el ordencorrespondiente”. Es decir, en terminos de hoy, que A y B estan en lamisma proporcion que C y D (A : B :: C : D) si dados cualquier dos en-teros positivos m y n, mC < nD cuando mA < nB; mC = nD cuandomA = nB; y mC > nD cuando mA > nB.

Otras definiciones presentan denominaciones que aun hoy se utilizan enalgunos textos cuando discuten acerca de transformacion de proporcio-nes: antecedente, consecuente, y diferentes nombres a la igualdad entrerazones dependiendo de las posiciones de los antecedentes y consecuentesdentro de la proporcion: proporcion alterna, proporcion inversa, etc.

Todas las proposiciones del Libro V estan dirigidas al estudio de multi-plos de magnitudes, proporcion de magnitudes y magnitudes en propor-ciones dadas. De ellas, la mayorıa son obvias si utilizamos la notacionmoderna. De hecho, Euclides mismo, a menudo, utiliza letras en reem-plazo de las magnitudes. Dos ejemplos de esto son los siguientes: Pro-posicion 4): Si A : B :: C : D, entonces mA : nB :: mC : nD, paratodos los enteros positivos m y n, y Proposicion 17): Si A : B :: C : D,entonces (A−B) : B :: (C −D) : D.

Sin embargo, cabe advertir que en las proposiciones, Euclides empleamagnitudes y equimultiplos de ellas. Nunca se mencionan ni numeros nifracciones como nosotros los entendemos hoy en dıa. De hecho, las de-mostraciones estan acompanadas de dibujos que son siempre segmentos.


7. Sobre el Libro VI de los Elementos de Eu-

clides

El Libro VI de los Elementos trata de figuras rectilıneas semejantes, yextiende la tecnica de transformacion de areas desarrollada en el Libro Ia la manera de la aplicacion de areas. La primera definicion de este libroestablece que figuras rectilıneas semejantes son aquellas que tienen susangulos iguales, y los lados que forman estos angulos, proporcionales.Observese como la teorıa de las figuras semejantes depende de la nocionde proporcion, y esta es la razon por la que los teoremas de semejanzano aparecen en el Libro I: se requerıa el Libro V.

En el caso particular de los triangulos, y en lenguaje moderno, lo anterior

se puede leer como: Si α = α′, β = β′ y γ = γ′ yAB

A′B′ =BC

B′C ′ =CA

C ′A′entonces el triangulo ABC es semejante al triangulo A′B′C ′ (ver figura54).

Figura 54: Triangulos semejantes

A B

C

A′ B′

C′

α β

γ

α′ β′

γ′

En la proposicion 1, Euclides prueba que los triangulos de la mismaaltura son uno a otro como sus bases. La segunda proposicion afirmaque trazando una paralela a la base de un triangulo, los segmentos quese determinan en los lados son proporcionales. Las proposiciones 4 a 7se refieren a triangulos semejantes. Esta es la teorıa basica que apareceen los textos de geometrıa del Bachillerato.

A partir de la novena proposicion, Euclides trata de la division de unalınea en partes proporcionales, explicandose como se obtiene la terceraproporcional de dos segmentos y la cuarta proporcional de tres segmen-tos. En la proposicion 13 se muestra la forma de encontrar la media pro-porcional de dos segmentos. A estas proposiciones se les podrıa encontrar


una interpretacion geometrica simple. Por ejemplo, hallar la cuarta pro-porcional, es hacer una tıpica regla de tres; y la media proporcional esequivalente a calcular la raız cuadrada, ya que, en notacion de hoy, sia : x :: x : b entonces x2 = ab, y ası x =

√ab. Sin embargo, nuevamen-

te, no podemos perder de vista que el planteamiento y la solucion deEuclides era puramente geometrica.

Otro ejemplo: La proposicion 16 afirma que: “Si cuatro lıneas son pro-porcionales, el rectangulo hecho de las extremas sera igual al de las me-dianas; y si el de estas es igual al de las extremas, las cuatro lıneas seranproporcionales”. En lenguaje algebraico actual esto es, simplemente, la

conocida propiedad de las fracciones que dice que sia

b=

c

dentonces

ad = bc.

En las proposiciones 27, 28 y 29 se mencionan propiedades de unosparalelogramos construidos sobre un segmento dado, que resultan ex-tranos y su utilidad no es clara. Sin embargo, en lenguaje algebraicode hoy podrıan equivaler a las soluciones de las ecuaciones cuadraticasax− bx2 = c y ax+ bx2 = c.

Curiosamente, en la proposicion 31 de este libro, Euclides plantea unageneralizacion del teorema de Pitagoras que ya habıa establecido en elLibro I: En triangulos con un angulo recto, la figura sobre el lado quesubtiende al angulo recto, es igual a [la suma de las areas de] las figurasde manera similar descritas sobre los lados que contienen el angulo recto.Al parecer este teorema es del propio Euclides.

8. Sobre el Libro VII de los Elementos de Eu-clides

En este libro, que consta de 22 definiciones y 39 proposiciones, Euclidesestablece la teorıa de numeros pitagorica. En el, introduce los concep-tos de unidad y numero; explica cuando un numero es divisor o node otro numero; define los numeros pares e impares, junto con otrosnumeros como los parmente par (pares multiplicados por pares), im-parmente par (impares multiplicados por pares), o imparmente impar(impares multiplicados por impares), que hoy ya no se utilizan; definelo que son los numeros primos y los numeros compuestos. Los numerosprimos son aquellos que no pueden escribirse como el producto de dos


numeros menores que ellos; los numeros 5 y 7 son primos pero no loson los numeros 14 = 7 · 2 o 39 = 13 · 3. Una lista de numeros pri-mos es 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,... . Sin embargo, Euclides noconsidera al numero 1 como numero primo. Los numeros compuestosson aquellos que son producto de numeros primos. Mas adelante, ex-pone lo que es multiplicar un numero por otro y, con esta nocion demultiplicacion, define los numeros planos (el producto de dos numeros);cuadrados (el producto de dos numeros iguales); solidos (el producto detres numeros); y cubos (el producto de tres numeros iguales); finalizacon la nocion de numero perfecto como el que “es igual a sus propiaspartes”(es decir, numeros iguales a la suma de sus divisores, tal como28=1+2+4+7+14). Estas definiciones sirven como base para los LibrosVII, VIII, y IX (llamados los libros aritmeticos) y que son, casi entera-mente, independientes de los primeros seis libros.

Comienza, como dijimos, con la definicion 1 de unidad que es aquella envirtud de la cual cada una de las cosas que existen es llamada uno. En ladefinicion 2 establece que un numero es una multitud compuesta de uni-dades. Ası, el concepto pitagorico de numero solo incluye a los numerosmayores que 1. Las proposiciones 2 y 3 presentan un metodo para encon-trar el maximo comun divisor de dos y tres numeros, respectivamente.Las proposiciones 4 a 20 establecen la teorıa pitagorica de la proporcionbasada en numeros conmensurables, es decir, en numeros que tienen undivisor comun. En las proposiciones 21 hasta 32 se estudian los numerosprimos y los primos relativos. Los mınimos comun multiplos se discutenen las proposiciones 34 hasta 39; aquı aparece el problema de encontrarel mınimo comun multiplo de dos o tres numeros.

9. Sobre el Libro VIII de los Elementos de Eu-clides

Las proposiciones del Libro VIII tratan, en su mayorıa, de numeros en“proporcion continua”; es decir, de numeros en progresion geometrica.En las primeras proposiciones se estudian progresiones que en nuestranotacion de hoy se establecerıan, algunas, de la forma b, ab2, a2b3, a3b4, ...y cuya razon entre un termino y el que lo antecede es siempre ab. En lasproposiciones 8, 9 y 10 se indica la forma de interpolar entre dos numeros


dados, varios numeros en progresion geometrica. Hasta la proposicion 23se indican propiedades de progresiones en las que los numeros son planos,cuadrados, solidos o cubos. En las ultimas proposiciones del libro seexplica que cuando la razon entre dos numeros es igual a la razon entredos cuadrados, si uno de los dos es cuadrado, entonces el otro tambienlo es. Finalmente, se demuestra la misma propiedad con cubos y connumeros planos.

10. Sobre el Libro IX de los Elementos de Eu-clides

El Libro IX (el ultimo de los libros aritmeticos) contiene 36 proposicionesque se ocupan, principalmente, de la multiplicacion y clasificacion de losnumeros de acuerdo a progresiones geometricas a partir de la unidad.Comienza estudiando los numeros planos y solidos, y las propiedades quetienen estos productos. Por ejemplo, la proposicion 1 afirma una versionde que si un numero cuadrado se multiplica por otro numero cuadrado, elproducto sera tambien un numero cuadrado. Y la proposicion 5 afirma,explıcitamente, que si un numero cubo se multiplica por otro numerocubo, el producto sera tambien un numero cubo.

A partir de la proposicion octava se estudian progresiones geometricasque comienzan en la unidad, demostrando, en la proposicion 14, el quehoy se conoce como el teorema fundamental de la aritmetica que afirmaque cualquier numero puede descomponerse en factores primos de unasola forma: “Si un numero es el menor medido por numeros primos nosera medido por ningun otro numero primo fuera de los que le medıandesde el principio” (es decir, cualquier numero puede factorizarse, paso apaso, hasta que se haya reducido a un producto unico de numeros primos.Ejemplos de esto son 6 = 2 · 3, 15 = 5 · 3, 24 = 3 · 2 · 2 · 2, 30 = 2 · 3 · 5).En la proposicion 20, Euclides afirma que los numeros primos son masque cualquier cantidad propuesta de numeros primos, y lo prueba de unaforma simple e ingeniosa que, en notacion de hoy, se puede explicar ası:los numeros 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... son todos multiplos de 3; a su vez, losnumeros 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... que son los multiplos de 3 aumentado en 1,no son divisibles por 3. De la misma forma, los multiplos de 5 aumentadoen 1 no son divisibles por 5; y lo mismo es cierto para 7, para 11, etc.


Despues, Euclides anota lo que hoy podrıamos escribir ası:

2 · 3 + 1 = 7

2 · 3 · 5 + 1 = 31

2 · 3 · 5 · 7 + 1 = 211

2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 = 2, 311

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1 = 30, 031

etc. Es decir, los dos primeros primos, los tres primeros primos, etc., semultiplican conjuntamente y luego se les agrega 1. Despues observa queninguno de estos numeros es divisible por ninguno de los primos que seutilizan para formarlo. Aplicando el mismo argumento, sea p cualquiernumero primo y formemos el producto de todos los primos desde 2 hastap y le agregamos 1. Entonces obtenemos el numero

N = (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · . . . · p ) + 1

Observemos que ninguno de los primos 2, 3, 5,..., p divide a N , ası que Ndebe ser un numero primo (mucho mas grande que p) o todos los factoresprimos de N son diferentes de 2, 3, 5,..., p. Cualquiera que sea el caso,siempre podremos encontrar un primo mas grande que p: no importaque tan grande sea un numero primo, siempre podremos encontrar otronumero primo mas grande que el.

Desde la proposicion 21 hasta la 34, Euclides discute sobre la suma, laresta, la multiplicacion y division de numeros pares e impares. En laproposicion 35 indica la forma de encontrar la suma de los terminos deuna progresion geometrica: “Si tantos numeros como se quiera son conti-nuamente proporcionales, y se quitan del segundo y del ultimo, numerosiguales al primero, entonces el exceso del segundo es al primero, comoel exceso del ultimo sera a todos los anteriores”. Y aunque esta no esla forma de expresarlo hoy en dıa, la descripcion es correcta: Dada laprogresion que hoy escribirıamos como an = rn, para r un numero fijo,y n = 1, 2, 3, ..., Euclides afirma que si Sn = a1 + a2 + ...+ an entonces

a2 − a1

a1=an − a1

Sn−1


y esto, a su vez, es equivalente a

Sn−1

a1=an − a1

a2 − a1

Pero como an = rn, entonces

Sn−1 =rn − r

r − 1

que es una formula (hoy con recurrencia utilizada) que describe la sumade n terminos en progresion geometrica.

La proposicion 36 es famosa porque explica como se pueden obtener losnumeros perfectos: “Si tantos numeros como se quiera a partir de unaunidad, se disponen en proporcion duplicada hasta que su suma total seaun numero primo, y ese total se multiplica por el ultimo, el productosera perfecto”. A la manera de hoy, esta proposicion afirma que paran = 1, 2, 3, ..., el numero N = (2n+1 − 1)2n es un numero perfecto si2n+1 − 1 es un numero primo. Ası, N = 6 (para n = 1), N = 28 (paran = 2), N = 496 (para n = 4), N = 8,128 (para n = 6)..., son numerosperfectos. Hay cierta evidencia de que Euclides reconocıa que no habıamas numeros perfectos que aquellos dados por el mediante la descrip-cion de la proposicion 36, pero no se conoce prueba alguna de esto enlos antiguos griegos. No obstante, es creıble que sı lo hayan hecho, puesLeonhard Euler lo probo en el siglo XVIII utilizando formulas conte-nidas, esencialmente, en este libro de Euclides. De todas maneras, elproblema de los numeros perfectos y los teoremas concernientes a ellosque se probaron despues de Euclides, no son considerados hoy mas queuna curiosidad matematica.

De nuevo, debemos advertir que en los tres libros aritmeticos de Eu-clides, los numeros siempre se representan mediante segmentos. En laredaccion original no se incluıan ejemplos con numeros, aunque en ver-siones posteriores los traductores explicaban los resultados con valoresnumericos. Aquı, el rigor es el de la geometrıa de los libros anteriores: noexiste un desarrollo axiomatico de la aritmetica en Euclides como sı lotuvo para la geometrıa. Sin embargo, se cree que se escribieron algunostextos de Elementos de Aritmetica en la antigua Grecia, que desafortu-nadamente hoy estan perdidos, aunque, probablemente, no incluirıan lasesperadas “reglas aritmeticas del comercio” tales como la regla de tres


simple y compuesta, pues es sabido que las matematicas aplicadas enGrecia se consideraban propias de mercaderes y no de matematicos.

11. Sobre el Libro X de los Elementos de Eu-clides

La mayor parte de este libro esta dedicada a la clasificacion de las mag-nitudes conmensurables (racionales) e inconmensurables (irracionales);es decir, de los segmentos de recta que son medibles respecto a algunsegmento rectilıneo dado, y los que no lo son, respectivamente. Las no-ciones de Euclides de las magnitudes racionales e irracionales son untanto diferentes de las que hoy conocemos. De hecho, de acuerdo con ladefinicion 1, Euclides afirmaba que “se llaman magnitudes conmensura-bles a aquellas que se miden con la misma medida, e inconmensurablesa aquellas de las que no es posible hallar una medida comun”.

Al parecer, buena parte de toda esta teorıa se debe a Theaetetus [425-369], pero Euclides la completo, ordeno y finalizo. Se le considera el masdifıcil de los trece libros (en traduccion e interpretacion), y es el masextenso en numero de proposiciones: 115. Sin embargo, la mayor partede sus proposiciones no tienen hoy en dıa mayor interes pues actualmentese estudian los numeros irracionales con procedimientos mas directos quelos desarrollados en este libro.

12. Sobre el Libro XI de los Elementos de Eu-clides

En los tres libros finales, Euclides se concentra en la geometrıa del es-pacio. En el XI, establece 28 definiciones y 39 proposiciones, en dondese precisan los objetos y relaciones habituales de la geometrıa del espa-cio tales como rectas y planos; paralelismo y perpendicularidad; angulosdiedros y poliedros; piramide, prisma, esfera, cono, cilindro, cubo, oc-taedro, icosaedro, y dodecaedro. En este libro, Euclides se aparta dela tradicion en muchas de sus definiciones de figuras solidas. Por ejem-plo, Aristoteles define una esfera como un solido cuyos “extremos sonequidistantes de su centro”. Euclides, por su parte, en la definicion 14,


establece que una esfera es una figura descrita por la revolucion de unsemicırculo alrededor de su diametro fijo. Y se dan definiciones similaresbasadas en movimientos, tanto para el cono (definicion 18) como parael cilindro (definicion 21).

Veamos, explıcitamente, algunas de estas definiciones:

1. Un solido es aquello que tiene longitud, anchura y profundidad.

2. Y el extremo de un solido es una superficie.

3. Una recta es ortogonal a un plano cuando forma angulos rectoscon todas las rectas que la tocan y que estan en el plano.

4. Un plano es ortogonal a otro plano cuando las rectas dibujadasen uno de los planos formando angulos rectos con la interseccioncomun a los dos planos, forman angulos rectos con el plano quequeda (ver figura 55).

Figura 55: Planos ortogonales

5. Cuando desde el extremo de una recta elevado sobre un plano sedibuja una perpendicular al plano y se traza otra recta desde elpunto que va hasta el extremo que esta en el plano de la prime-ra recta, el angulo comprendido por la recta dibujada y la queesta sobre el plano, es la inclinacion de la recta con respecto alplano.

6. La inclinacion de un plano respecto a otro plano, es el angulocomprendido por las rectas dibujadas a un mismo punto formandoangulos rectos con la seccion comun a cada uno de los planos.

7. Se dice que un plano se inclina sobre un plano de manera semejantea como otro plano se inclina sobre otro, cuando los angulos deinclinacion son iguales entre sı.


8. Planos paralelos son los que no concurren (ver figura 56).

Figura 56: Planos paralelos

9. Figuras solidas semejantes son las comprendidas por planos seme-jantes iguales en numero.

10. Figuras solidas iguales y semejantes son las comprendidas por pla-nos semejantes iguales en numero y tamano.

11. Un angulo solido es la inclinacion de mas de dos lıneas que se tocanentre sı, y no estan en la misma superficie respecto a otras lıneas. Odicho de otra manera: Un angulo solido es el que esta comprendidopor mas de dos angulos planos construidos en el mismo punto, sinestar en el mismo plano (ver figura 57).

Figura 57: Angulo solido

12. Una piramide es la figura solida comprendida por planos, cons-truida desde un plano a un punto (ver figura 58).

Figura 58: Piramide


13. Un prisma es una figura solida comprendida por planos, dos de loscuales, los opuestos, son iguales, semejantes y paralelos, mientrasque los demas planos son paralelogramos (ver figura 59).

Figura 59: Prisma

14. Cuando, estando fijo el diametro de un semicırculo, se hace girarel semicırculo y se vuelve de nuevo a la misma posicion inicial, lafigura comprendida es una esfera (ver figura 60).

Figura 60: Esfera

15. Y el eje de la esfera es la recta que permanece fija en torno a laque gira el semicırculo.

16. Y el centro de la esfera es el mismo que el del semicırculo.

17. Y el diametro de la esfera es cualquier recta dibujada a travesdel centro y limitada en las dos direcciones por la superficie de laesfera.

18. Cuando, estando fijo uno de los lados que comprenden el angulorecto de un triangulo rectangulo, se hace girar el triangulo y sevuelve de nuevo a la posicion inicial, la figura comprendida es uncono. Y si la recta que permanece fija es igual a la que queda delangulo recto, el cono sera rectangulo, y si es menor, obtusangulo,y si es mayor, acutangulo (ver figura 61).


Figura 61: Conos acutangulo, obtusangulo y rectangulo.

19. Y el eje del cono es la recta que permanece fija.

20. Y la base del cono es el cırculo que describe la recta que gira.

21. Cuando estando fijo uno de los lados que comprenden el angulorecto de un paralelogramo rectangulo, se hace girar el paralelogra-mo y vuelve de nuevo a la posicion inicial, la figura comprendidaes un cilindro (ver figura 62).

Figura 62: Cilindro

22. Y el eje del cilindro es la recta que permanece fija en torno a laque gira el paralelogramo.

23. Y las bases son los cırculos descritos por los dos lados opuestosque giran.

24. Conos y cilindros semejantes son aquellos en los que los ejes ydiametros de las bases son proporcionales.

25. Un cubo es la figura solida que esta comprendida por seis cuadradosiguales (ver figura 63).


Figura 63: Cubo

26. Un octaedro es una figura solida comprendida por ocho triangulosiguales y equilateros (ver figura 64).

Figura 64: Octaedro

27. Un icosaedro es la figura solida comprendida por veinte triangulosiguales y equilateros (ver figura 65).

Figura 65: Icosaedro

28. Un dodecaedro es la figura solida comprendida por doce pentagonosiguales equilateros y equiangulos.

Es posible que estas definiciones esten tomadas de algun texto anterior yque Euclides no las corrigiera con tanto rigor como las del primer Libro.Eso podrıa explicar tambien el que establezca algunas definiciones queluego no utiliza.


En las primeras proposiciones demuestra que una recta no puede tenersegmentos en dos planos paralelos, y que dos rectas que se cortan deter-minan un plano. En la tercera se afirma que dos planos que se cortandefinen una recta. Le siguen varias proposiciones dedicadas a estudiarel paralelismo y la perpendicularidad entre rectas, entre rectas y pla-nos, y entre planos. Desde la proposicion 20 hasta la 26 se estudian losangulos solidos, y desde la proposicion 27 hasta la ultima, los parale-lepıpedos y los prismas. La proposicion 34, por ejemplo, afirma que sidos paralelepıpedos son iguales, es decir, tienen el mismo volumen, susbases son inversamente proporcionales a sus alturas. Algunas de estasproposiciones sirven como lemas a proposiciones en el Libro XII.

13. Sobre el Libro XII de los Elementos de Eu-

clides

El Libro XII esta dedicado a la obtencion del area del cırculo y losvolumenes de los solidos mas corrientes: piramides, conos y cilindros.En este libro, Euclides emplea el metodo de exhauscion de Eudoxio (esdecir, inscribiendo o circunscribiendo en el solido, otras figuras (solidas)de las que se conocen ciertas propiedades esenciales, y haciendo cadauna de estas figuras mas y mas proximas a la figura original), por lo quealgunos creen que, en su mayor parte, se debe al mismo Eudoxio.

Las proposiciones 1 y 2 sirven para demostrar que los cırculos son pro-porcionales al cuadrado de sus diametros. Esto lo hace (recurriendo almetodo de exhauscion) inscribiendo polıgonos (cuadrados, octagonos,polıgonos de 16 lados, etc.) y mostrando que todos estos polıgonos, a suvez, satisfacen la condicion de que son uno a otro como los cuadradosde sus diametros.

Figura 66: Area de un cırculo

r


Y esta proposicion, a su vez, servirıa para mostrar, en terminos de hoy,que existe una constante que notamos π (y se lee “pi”) tal que

[Area del cırculo de radio r] = πr2

Sin embargo, Euclides nunca establecio la constante de proporcion π,ni una formula como esta. Como senalaremos adelante, este trabajo locomenzarıa a establecer posteriormente Arquımedes en su trabajo clasicoMedidas de una circunferencia, a mediados del siglo III a.C.

En las proposiciones 3, 4 y 5, Euclides demuestra, tambien por el metodode exhauscion, que las piramides de igual altura y base triangular tienenel volumen proporcional a sus bases. Para complementar esto, en lasproposiciones de la 6 a la 9, tambien por exhauscion, Euclides relacionalos volumenes de los prismas con los de las piramides, y establece lo queen notacion algebraica actual serıa:

[Volumen de un cubo] = base por altura = (l · l) · l = l3

[Volumen de un prisma] = base por altura

[Volumen de una piramide] =1

3base por altura

Figura 67: Volumen de un cubo y de un prisma

l

l

lbase

altura

Figura 68: Volumen de una piramide

base

altura


La proposicion 10 muestra que el volumen de un cono es un tercio del deun cilindro que tiene la misma base y altura (h). Es decir, en notacionalgebraica actual,

[Volumen de un cilindro] = base por altura = (πr2) · h

[Volumen de un cono] =1

3base por altura =

(1

3πr2)

· h

Y en las proposiciones siguientes, hasta la 16, se estudia la relacion entreel volumen y las bases o las alturas en los conos y en los cilindros.

Figura 69: Volumen de un cono

base

altura

En la proposicion 18 establece una relacion que ayuda a determinar elvolumen de la esfera: “Las esferas son entre sı como las razones tripli-cadas de sus diametros” (aquı triplicadas significa, en terminos de hoy,cubicas). Pero tampoco en este caso podrıa indicar una expresion talcomo se escribe actualmente:

[Volumen de una esfera de radio r] =4

3πr3

Euclides, dada la tradicional dicotomıa de los griegos clasicos entre mag-nitud y numero, solo senala la proporcionalidad entre las magnitudes queintervienen. Este resultado serıa establecido posteriormente tambien porArquımedes quien afirmaba en Sobre la Esfera y el Cilindro que el volu-men de la esfera es 2/3 del volumen del cilindro circunscrito. Y, a su vez,afirmaba que el area de la superficie de la esfera es 2/3 de la superficietotal del cilindro circunscrito; es decir, en notacion algebraica de hoy,

[Superficie de una esfera de radio r] = 4πr2

o, en otra forma, el area de la superficie de una esfera es igual a 4 vecesel area del cırculo maximo de esta.


Figura 70: Esfera y cilindro

r

d

Y es que la dificultad principal al tratar de especificar los volumenes deestos solidos, tenıa que ver no solo con la concepcion griega de numero,sino tambien con que los metodos de lımites estaban en su infancia. Soloel metodo de exhauscion de Eudoxio permitıa hacer algunos calculos deeste tipo. Y la tecnica que generaliza el metodo de exhauscion, que esel calculo integral, estaba aun lejos: en el siglo XVII de Isaac Newton yGottfried Leibniz (ver volumen II: Calculo).

14. Sobre el Libro XIII de los Elementos deEuclides

El Libro XIII consta de 18 proposiciones en las que Euclides construyelos cinco solidos regulares (tetraedro (cuatro lados), cubo (seis lados),octaedro (ocho lados), dodecaedro (doce lados), icosaedro (veinte lados)).Se asume que una parte importante de este trabajo esta basado en unoprevio de Aristaeus. Por su parte, Proclo, reconocido comentador deEuclides, afirmaba que el objetivo de los Elementos era, precisamente,la construccion de estas “figuras platonicas”, basado en la creencia deque Euclides era platonista.9 Sin embargo, no hay una base seria queapoye esta afirmacion: las proposiciones de este libro tenıan que ir alfinal porque dependıan importantemente del resto de libros. Ademas,la mayor parte de los temas que trata Euclides en los Elementos nada

9Nombre que proviene del filosofo griego Platon que vivio entre los siglos IV y Va.C.


tienen que ver con estos cinco solidos. Al parecer, este ultimo libro notiene un peso especial en el conjunto de la obra.

Figura 71: Cubo (hexaedro regular), tetraedro regular,octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.

En las primeras proposiciones del Libro XIII, Euclides estudia ciertosproblemas planos que le sirven de base para las construcciones poste-riores. En la proposicion 13 muestra como inscribir un tetraedro en unaesfera; en la proposicion 14 inscribe un octaedro; en la 15 un cubo; enla 16 un icosaedro; y en la 17 un dodecaedro. La ultima proposicionesta dedicada a comparar entre sı los lados de las cinco figuras regularesy allı, finalmente, demuestra que no hay mas solidos regulares que esoscinco (ver figura 71).

15. Final

A pesar de que los Elementos tienen una precision y una claridad ines-peradas en una obra escrita hace mas de 2400 anos, poco a poco se hanido descubriendo numerosas lagunas en su sistema de postulados y axio-mas, como hemos resaltado en algunos puntos anteriores. Pero habrıa


que esperar hasta finales del siglo XIX para que se desarrollaran estruc-turas axiomaticas de la geometrıa diferentes a la euclidiana, mas acordescon la creciente exigencia de rigor matematico. De hecho, en el sistemaaxiomatico de la geometrıa mas difundido y aceptado hoy en dıa que esel de David Hilbert [1862-1943], publicado en el ano 1899 en su trabajoFundamentos de la Geometrıa, no se diferencia entre nociones comunesy postulados y no se incluyen definiciones; ademas, contiene el llama-do axioma de las paralelas en una version equivalente popularizada porJohn Playfair [1748-1819] que afirma que “Por un punto dado que noeste en una recta dada solo se puede trazar una unica recta paralela”. Esde observar aquı que sin cambiar los objetos y palabras primitivos es po-sible encontrar otros grupos de axiomas basicos a partir de los cuales sepuedan deducir los mismos teoremas y proposiciones de Euclides, pues,en una misma teorıa, un axioma se puede considerar una proposicioncon respecto a otro grupo distinto de axiomas. Y tambien se puedencambiar los objetos y palabras primitivos y elaborar teorıas diferentes.Esta observacion ha sido central en el desarrollo de las matematicas mo-dernas. Sin duda, el trabajo geometrico de Euclides ha jugado un papeldefinitivo en la forma como entendemos hoy las matematicas. 10

Muy pocos libros en el mundo han tenido el impacto y la duracion delos Elementos de Euclides. Y aunque las matematicas han continuado suavance, y nuestra comprension de los fundamentos de la geometrıa se haampliado notablemente, los Elementos llegaron a ser (y siguen siendo)el modelo de un libro de matematicas puras.

16. Geometrıa y aritmetica griega alejandrina

La aritmetica de los Elementos no tiene, como vimos, una estructuraaxiomatica similar a la de la geometrıa. Ademas, no tuvo la misma utili-dad para las matematicas aplicadas que la parte dedicada a la geometrıa.Ası, el aporte de los griegos clasicos a problemas aritmeticos practicosno fue importante comparado con su aporte al pensamiento geometricoformal.

Alrededor del ano 300 a.C., a la civilizacion griega clasica le siguio lo

10Si el lector esta interesado en realizar un estudio adicional de la geometrıa plana ydel espacio, recomendamos el texto “Curso de Geometrıa” (1958), Reunion deProfesores, Leigel, Parıs.


que se conoce como la civilizacion griega de Alejandrıa, que surgirıa enaquella ciudad egipcia luego de que las campanas conquistadoras de Ale-jandro Magno desplazaran la Grecia antigua e hicieran de Alejandrıa elcentro del mundo helenico y de todo su imperio. Esta fusion entre laGrecia clasica y las civilizaciones egipcia, babilonica e india produjo cu-riosos resultados en la matematica deductiva y empırica. De esta epocafueron Arquımedes [s. III a.C.], Eratostenes [s. III a.C.], Hiparco [s. IIa.C], Heron [s. I d.C], Ptolomeo [s. II d.C.], Apolonio [s. III d.C] (autordel monumental Secciones Conicas y con cuya muerte llegarıa a su finla edad de oro de la geometrıa griega), Diofanto [s. III d.C.], y Pap-pus [s. IV d.C.]. De ellos, Heron estudio ciertos problemas de medicionde areas y volumenes; Eratostenes, Hiparco y Ptolomeo contribuyerona la creacion de la trigonometrıa como metodo para la geografıa y laastronomıa; Diofanto contribuyo a fundamentar el algebra como cienciaindependiente de la aritmetica y de la geometrıa; y Pappus, el “ultimode los geometras griegos”, en su trabajo Coleccion, tratarıa en vano derevivir la geometrıa griega que entonces comenzaba a desaparecer comoestudio vivo.

Una muestra excepcional de este giro de los griegos alejandrinos con res-pecto a sus antecesores de la Grecia clasica lo encontramos precisamenteen Heron quien en uno de sus escritos presentaba su famosa formula paracalcular el area de cualquier triangulo que, en nuestra notacion moderna,es

A =√

p(p − a)(p − b)(p − c)

donde a, b, c son las longitudes de los lados y p es la mitad del perımetro(o semi-perımetro).

Esta notable expresion, que surgio al inscribir un cırculo en un triangu-lo,11 rompe con algunos de los preceptos de la matematica griega clasi-ca. Las matematicas de los griegos alejandrinos no estaban pensadas enterminos axiomatico-deductivos: estaban disenadas, en su lugar, paraconstruir calendarios, medir el tiempo, construir instrumentos opticos.La geografıa, la neumatica, la hidrostatica, etc., necesitaban de la uti-lizacion de los numeros (en particular, de los numeros irracionales) ylo hicieron sin dudar. En este ambiente tuvo su genesis la astronomıa

11Ver ejercicios complementarios.


cuantitativa de Hiparco y Ptolomeo que era una astronomıa geocentricaque permitıa predecir el movimiento de los planetas, el Sol, la Tierra yla Luna. En este camino, Hiparco y Ptolomeo crearon la trigonometrıaque, aunque difiere en notacion, es esencialmente la misma que se estudiahoy. Allı, obligadamente, utilizaban longitudes irracionales aunque, parapropositos practicos, solo hacıan aproximaciones racionales de ellas.

Y tambien numeros como π eran utilizados a traves de aproximaciones.Una de estas fue realizada por el mismo Arquımedes quien afirmara queπ estaba entre 223/71 y 22/7. Supiera o no que este era un numero irra-cional, lo calculo para fines practicos en Medidas de una Circunferenciaque es uno de sus cinco grandes trabajos (junto con la Cuadratura dela Parabola y Sobre Espirales, Sobre la Esfera y el Cilindro, y SobreConoides y Esferoides). Induciendo, a partir de los trabajos de los pi-tagoricos, y de Eudoxio, que la longitud de la circunferencia de diametro1 era, precisamente, dos veces aquella constante π de proporcionalidadque buscaba12, y que la longitud de la circunferencia estaba entre elperımetro de un polıgono inscrito y el de uno circunscrito, calculaba en-tonces estos perımetros partiendo del polıgono inscrito y circunscrito deseis lados, luego duplicaba el numero de lados de estos dos polıgonos,y repetıa el proceso anterior, obteniendo ası que π estaba entre 223/71y 22/7, que significa que, con dos lugares decimales, π esta dado por3·14. Este novedoso metodo (que es el ya mencionado “metodo de ex-hauscion”) de obtener aproximaciones cada vez mas exactas del numeroπ permitirıa obtener una descripcion del numero que, sabemos hoy endıa, esta compuesto de infinitos lugares decimales.

Pero el mas alto punto de la aritmetica griega no se alcanzo con Euclides,ni con Arquımedes, ni con Heron, sino con Diofanto en el siglo III d.C.,de quien poco se sabe acerca de sus orıgenes y vida. En su Aritmetica,Diofanto dio grandes pasos en la introduccion de sımbolos en los calculosaritmeticos que es el origen mismo del algebra. Segun la historia (por-que de la Aritmetica solo existe informacion de segunda mano que datadel siglo XIII), allı utilizaba sımbolos que correspondıan a nuestra x; apotencias de x desde 2 hasta 6; y a nuestra 1/x. Su ejecucion de operacio-nes era completamente algebraica sin recurrir a ninguna idea geometri-

12Ya para los pitagoricos y para Eudoxio era claro que la longitud y el diametro dela circunferencia eran proporcionales. Sin embargo, Euclides no establece explıci-tamente esta propiedad en sus Elementos.


ca para substanciar sus afirmaciones. Por ejemplo, una expresion como(x − 1)(x − 2) la llevaba a cabo algebraicamente como lo hacemos hoyen dıa. Tambien utilizo expresiones como a2 − b2 = (a− b)(a+ b) y aunotras mas complicadas. Ademas, otro elemento esencial de la Aritmeti-ca de Diofanto fue la solucion de ecuaciones indeterminadas como, porejemplo, ecuaciones en dos incognitas y otros tipos aun mas complicadosde ecuaciones. Aun ası, a pesar de este notable uso del algebra, Diofantosolo aceptaba raıces racionales positivas e ignoraba las otras: cuando unaecuacion conducıa a raıces negativas, irracionales o imaginarias, afirma-ba que la ecuacion no era soluble.

Puede entonces observarse que los griegos tuvieron dos caminos nota-blemente diferentes de entender las matematicas: uno fue el deductivo,sistematico y casi totalmente geometrico de los clasicos; y el otro, el dela aritmetica empırica y el algebra sin ninguna estructura logica de losalejandrinos. Esta llegarıa a ser, precisamente, una de las grandes di-ficultades en el posterior desarrollo de las matematicas, como veremosmas adelante.

17. Sobre la trigonometrıa en la Grecia alejan-drina

La trigonometrıa (del latın trigonus (triangulo) y metros (medida)) co-mo rama de las matematicas tuvo su origen, habıamos ya afirmado, enla aplicacion de la geometrıa a los calculos geograficos y astronomicos. Alos matematicos griegos alejandrinos (particularmente a Hiparco [sigloII a.C.] y Ptolomeo [siglo II d.C.] se les asigna su “invencion” expues-ta por primera vez en el Almagesto (que significa “la (coleccion) masgrande”), nombre con el cual los arabes bautizaron la obra completasobre teorıa astronomica de estos dos matematicos, y que domino enla astronomıa hasta el siglo XV de Copernico y Kepler 13. Mediante latrigonometrıa, los griegos alejandrinos calculaban tamanos y distanciasde cuerpos celestes; y tambien latitudes, longitudes y superficies de lasregiones conocidas: fue la herramienta del conocimiento geografico delmundo antiguo.

13No obstante, no podemos perder de vista que la historia de muchos de los con-ceptos trigonometricos tienen raız en las matematicas egipcias y babilonicas.


La tradicion trigonometrica griega fue heredada por los arabes a partirdel siglo VIII. Estos la aplicaron para sus propios propositos astronomi-cos y geograficos, y con tal precision que las tablas de seno y cosenoque produjeron para cada paso de 1

60 grados, tenıan solo un error de1

700′000,000 . Despues del Almagesto de Ptolomeo, el Libro de la FiguraTransversal de Nasir ad-Din at-Tusi en el siglo XIII, resumirıa todo elconocimiento trigonometrico alcanzado por los arabes hasta entonces.

Occidente se familiarizarıa con la tradicion griega y arabe a traves de lastraducciones al Latın de sus libros. El primer trabajo que aparecerıa so-bre trigonometrıa fue el del astronomo aleman Regiomontanus en el sigloXV. A el le debemos expresiones explıcitas de la ley de senos y del areadel triangulo en forma trigonometrica (que estudiaremos al final de lapresente leccion). Despues, ya en el Renacimiento, matematicos del nivelde Francois Viete [1540-1603] y John Neper [1550-1617] simplificarıan lanotacion y ampliarıan el nivel de aplicacion de la trigonometrıa, entreotros, a “triangulos oblicuos”. No obstante, el termino mismo, trigono-metrıa, fue acunado en 1595 por Bartholomaeus Pitiscus en su trabajoTrigonometria sive de Dimensione Triangulea.

Un siglo despues de Neper, Isaac Newton [1642-1727] escribirıa, en termi-nos de lo que hoy se conoce como series (infinitas) de Taylor, expresionespara senx, cos x y tan x sin importar el valor del “angulo x”(ver VolumenII: Calculo). Con la “invencion”de la geometrıa analıtica y del calculo di-ferencial e integral, las curvas trigonometricas senx, cos x y tan x, etc.reemplazaron a las antiguas “tablas de cuerdas” de Ptolomeo y at-Tusi:ahora no era necesario recurrir a triangulos, ni a hipotenusas, ni a ca-tetos, para estudiar el comportamiento de los numeros trigonometricospues bastaba con ciertas nociones de funcion y de lımite para abarcartoda la trigonometrıa conocida y ampliarla aun mas. De hecho, en elsiglo XVIII, Leonhard Euler definirıa las funciones trigonometricas para“numeros complejos” de la forma x = a+ bi donde i =

√−1 y a y b son

numeros cualquiera. Esto mostrarıa que, en el fondo, la trigonometrıaera un problema reducible a la aritmetica de los numeros complejos (verleccion 3).

Regresando entonces a nuestro objetivo central, y para introducir lasideas trigonometricas basicas, consideremos dos triangulos rectanguloscomo en la figura 72, y supongamos que el angulo θ es igual al anguloθ′. Uno de los teoremas del Libro VI de los Elementos que expusimos


antes, afirma que, puesto que los dos triangulos son semejantes, entoncesla razon que hay entre los lados correspondientes, es la misma. Ası, ennotacion algebraica actual 14, esto es

BC

B′C ′ =AC

A′C ′

o, equivalentemente,BC

AC=B′C ′

A′C ′

A

C

B A′

C′

B′

θ θ′

Figura 72: Triangulos semejantes

De allı que para cualquier triangulo rectangulo que tenga θ como uno delos angulos internos, la razon BC

AC es siempre la misma. A esta razon se lellama sen(θ) (“seno de θ”) y es independiente del triangulo rectangulo.Pero lo expuesto para la razon BC

AC se aplica a cualquier otra razon entrelos lados de cualquiera dos triangulos rectangulos ABC. Las seis razonesresultantes son las siguientes:

i) sen(θ) =BC

AC; ii) cos(θ) =

AB

AC

iii) tan(θ) =BC

AB; iv) cot(θ) =

AB

BC

v) sec(θ) =AC

AB; vi) csc(θ) =

AC

BC14En lo que sigue utilizaremos libremente la notacion algebraica moderna, de laque, esperamos, el lector ya tenga un conocimiento suficiente de sus cursos delBachillerato. De otra manera serıa difıcil exponer, en este punto historico del sigloII d.C., las ideas trigonometricas fundamentales de Hiparco y Ptolomeo que son,salvo esta notacion algebraica, esencialmente las mismas que hoy, mas de 1800anos despues, estudiamos en nuestros textos escolares. Aun ası, los temas delalgebra los abordaremos propiamente (es decir, desde el punto de vista historico)en la proxima leccion 2.


donde leeremos, mediante las abreviaciones anteriores, ası:

i) sen(θ) ≡ seno de θ ; ii) cos(θ) ≡ coseno de θ

iii) tan(θ) ≡ tangente de θ ; iv) cot(θ) ≡ cotangente de θ

v) sec(θ) ≡ secante de θ ; vi) csc(θ) ≡ cosecante de θ

La variable de estas razones es el angulo θ. Generalmente, los angulosse miden en grados en el estandar sistema sexagesimal: una circunferen-cia equivale a 360o(se lee “360 grados”), y de allı las correspondientesdivisiones de la circunferencia tendran medidas acordes con la misma di-vision de los 360o (por ejemplo, 30o, 45o, 90o (angulo recto), 180◦ (angulollano), etc.). A su vez, el grado se divide en 60 angulos iguales, cada unode los cuales se denomina minuto (y se nota con una prima superior (′);cada minuto, a su vez, se divide en 60 angulos iguales, cada uno de loscuales se denomina un segundo (y se nota con una doble prima superior(′′)). Ası, un angulo tal como 47◦ 34′ 12′′ se lee como “cuarenta y sietegrados, treinta y cuatro minutos, y doce segundos”.

Y al parecer, existe la idea de que los angulos sexagesimales vienende Babilonia pues allı el 60 jugaba un papel importante en el sistemanumerico. De la misma manera, se cree que los babilonios dividıan elcırculo en 360 partes iguales, debido a que para ellos un ano consistıa en360 dıas. Y no parece que haya razon para dudar que el numero 60 leshubiera llegado a los griegos desde la tradicion babilonica. Ademas, fueutilizada por Ptolomeo en el Almagesto aunque con notacion diferente 15.Ahora: sobre la primera aparicion del sımbolo de grados (◦) parece quehubiera sido en un apendice sobre fracciones astronomicas de JacquesPeletier que data de 1558. A su vez, Erasmus Reinhold en su Prvtenicaetabulae coelestium motuum de 1571, utiliza, por primera vez, ademas dela notacion ◦ de Peletier para grados, tambien la notacion ′ y ′′ paraminutos y segundos, respectivamente.

La necesidad de medidas exactas para cualquier angulo (pues los gra-dos, minutos y segundos son, en la mayorıa de los casos, solo medidas

15Por ejemplo, en el primero de los trece libros del Almagesto, Ptolomeo presentauna tabla que muestra las longitudes de las cuerdas de todos los angulos centrales,en una circunferencia de radio 60, en intervalos de medio grado desde 1

2

◦hasta

180◦, que se asemeja a una tabla de senos.


aproximadas de un angulo dado) llevo, casi 300 anos despues, en 1869,al matematico James Muir y al fısico James Thomson a acunar una me-dida diferente para los angulos que, en general, resulta mas conveniente:el radian16. Un radian puede definirse como el tamano del angulo θ for-mado por un arco de longitud igual al radio (ver figura 73). Y puestoque la circunferencia del cırculo tiene una longitud total de 2πr (dondeπ=3.14159...), una circunferencia completa debe contener un angulo de2π radianes que, en terminos de grados, corresponde a 360o. Igualando2π radianes a 360o obtenemos la Tabla 1 de conversion.

r

r

θ

Figura 73: θ mide 1 radian

Grados 360 270 180 90 45 0

Radianes 2π 32π π π

2π4

0

Tabla 1: Grados vs. radianes

Continuando con nuestra descripcion de la trigonometrıa, ahora calcu-lamos tres de los seis valores definidos arriba (seno, coseno, tangente)para algunos angulos especiales. Esto es posible a partir de la geometrıade los Elementos que estudiamos al comienzo de la presente leccion.

i. Un caso muy simple es el del triangulo equilatero (ver figura 74).

Allı hemos construidoAM perpendicular a BC. Por lo tanto, comola suma de los angulos interiores del triangulo ABC es igual a unangulo llano (180◦), el angulo ABM es 60◦, y el angulo BAM es30◦, y, como BM = 1 y AB = 2, entonces, por el teorema dePitagoras, AM =

√3. Por lo tanto,

16Para una historia completa sobre el origen del concepto de radian, ver “Flo-rian Cajori (1929), History of Mathematical Notations, Vol. 2, pp. 147-148; y Nature(1910), Vol. 83, pp. 156, 217, y 459-460”.


Figura 74: Trigonometrıa en un triangulo equilatero

B

A

CM1

2

Allı hemos construido AM perpendicular a BC. Por lo tanto, comola suma de los angulos interiores del triangulo ABC es igual a unangulo llano (180◦), el angulo ABM es 60◦, y el angulo BAM es30◦, y, como BM = 1 y AB = 2, entonces, por el teorema dePitagoras, AM =

√3. Por lo tanto,

sen 60◦ =AM

AB=

√3

2; cos 60◦ =

BM

AB=

1

2; sen 30◦ =

BM

AB=

1

2

cos 30◦ =AM

AB=

√3

2; tan 60◦ =

AM

BM=

√3; tan 30◦ =

BM

AM=

1√3;

ii. Otro caso simple es el del triangulo isosceles con angulo recto (verfigura 75).

Figura 75: Trigonometrıa en un triangulo rectangulo

B

A

C1

1

En la figura 75 se tiene que el angulo B es recto (90◦), y AB =BC = 1. Por lo tanto, por el teorema de Pitagoras, AC =

√2.

Segun la geometrıa del primer libro de los Elementos, se tiene queel angulo A es igual al angulo C, y como la suma de los angulosinteriores de todo triangulo es igual a un angulo llano (180◦), y


el angulo B es recto (90◦), entonces ambos angulos, A y C, soniguales a 45◦. Por lo tanto,

sen 45◦ =AB

AC=

1√2

=

√2

2; cos 45◦ =

BC

AC=

1√2

=

√2

2;

tan 45◦ =AB

BC= 1

En general, la Tabla 2 siguiente nos indica los valores de las razones seno,coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante para diferentes valoresdel angulo θ, incluyendo los presentados arriba para θ = 30◦, 45◦, 60◦.Queda como ejercicio para el lector justificar los otros valores allı reco-pilados.

θ 0o 30o 45o 60o 90o

sen θ 0 12

√2

2

√3

2 1

cos θ 1√

32

√2

212 0

tan θ 0√

33 1

√3 no existe

cot θ no existe√

3 1√

33 0

sec θ 1 2√

33

√2 2 no existe

csc θ no existe 2√

2 2√

33 1

Tabla 2: Tabla de valores trigonometricos

Cabe observar aquı la siguiente uniformidad en la primera fila de la

Tabla 2:

√0

2,

√1

2,

√2

2,

√3

2,

√4

2, para angulos de 0o, 30o, 45o, 60o y 90o,

respectivamente, que facilita recordar estos valores.

Nota 1. (Sobre el origen historico de los seis terminos trigo-nometricos)

a) Al parecer, el primer trabajo en referirse explıcitamente a la ideadel seno como una “funcion” del angulo es el trabajo hindu Aryab-hatiya del siglo VI d.C. Despues comenzarıa un interesante desa-rrollo etimologico que conducirıa a la palabra moderna seno. Cuan-do los arabes tradujeron el Aryabhatiya a su lenguaje, escribieron


jiva (o jaib) para la ultima parte del nombre del texto. Despues,la version latina de Gerardo de Cremona en 1150, la convertirıaen sinus que significa curva. A partir del siglo XII se utilizarıafrecuentemente la palabra sinus o seno en los textos matemati-cos europeos, aunque no siempre fue reconocida esta acepcion. Alparecer, la primera vez que aparece el sımbolo explıcito sen pa-ra seno es en un texto de trigonometrıa del matematico francesHerigone en 1634, aunque podrıa tener un origen previo en 1632en el Addition vnto the Vse of the Instrvment called the Circlesof Proportion de William Oughtred. Otros, inclusive, remontan elorigen del termino hasta Thomas Fincke quien en su GeometriaRotundi de 1583, utilizaba el sımbolo sen. (con punto).

b) Por su parte, la palabra coseno surgio de la necesidad de calcularel seno del angulo complementario. Aunque, al parecer, el nombrecoseno fue acunado por Edmund Gunter en 1620 y lo escribıa co-mo co.sinus, otros autores le dan prioridad a Thomas Fincke quienen su Geometria Rotundi de 1583, utilizaba sen.com para el co-seno. Sin embargo, el uso extendido de cos para el coseno, algunoshistoriadores lo asocian con Leonhard Euler, quien lo utilizara am-pliamente en el Commentarii Academiae Scient. Petropollitanae,ad annum de 1729.

c) El termino tangente, que proviene del Latin tangere que significatocar, fue introducido en 1583 por Thomas Fincke quien en suya mencionada Geometria Rotundi utilizaba tan. (con punto), ytambien tang, para la tangente.

d) El termino cotangente fue introducido por Thomas Fincke en suGeometria Rotundi de 1583. Allı, utilizaba tan.com para la co-tangente. Pero quizas el primero en utilizar el termino cot parala cotangente fue A.G. Kastner quien en su Anfangsgrunde derArithmetik Geometrie...Trigonometrie de 1758 utilizo la notacioncot de hoy.

e) Secante fue otro de aquellos terminos introducidos en 1583 porThomas Fincke en su Geometria Rotundi. Allı utilizaba sec. (conpunto) para la secante. En 1632, William Oughtred utilizarıa yala notacion actual, sec, para secante.


f) El termino cosecante tambien serıa introducido en 1583 por Tho-mas Fincke en su Geometria Rotundi. Allı utilizaba sec.com parala cosecante. Al parecer, la primera vez que se utilizo la notacionactual, csc, para la cosecante fue en 1881 en el Treatise on Trigo-nometry de los autores Oliver, Wait y Jones.

Ejemplo 1. (Un ejemplo sencillo de Heron de Alejandrıa)Heron, el celebre matematico de la grecia alejandrina, mostro como serıaposible construir un tunel bajo una montana, cavando simultaneamentedesde ambos extremos, para que al final se encontraran las dos perfo-raciones. Eligio, por un lado, el punto que juzgo conveniente para susplanes, A; por el otro lado escogio el punto B; y, por ultimo, escogio elpunto C como vertice del angulo recto ACB. A continuacion midio ACy BC; las longitudes respectivas fueron de 100 y 75 m. Con esto pudocalcular los angulos A y B. Luego dio instrucciones a los trabajadoresque se encontraban en el punto A para que siguieran la lınea que for-maba el angulo ya calculado con el lado AC; y analogas instruccionesse dieron a la cuadrilla que esperaba en B para iniciar la perforacion.¿Como logro Heron calcular los angulos A y B?

Solucion.

En la figura 76, puesto que tanA =75

100entonces A = 36o 52′; y ası B =

90o- (36o 8′) = 53o 8′.

Figura 76: Problema trigonometrico de Heron

A

B

C

75

100


Ejemplo 2. (Cartografıa del cielo)Despues de los calculos de latitud y longitud terrestres, Hiparco y Pto-lomeo trataron de calcular distancias y tamanos de cuerpos celestes.Basados en relojes de sol y de agua, pero, fundamentalmente, en losdatos astronomicos que egipcios, babilonios, y otros alejandrinos compi-laron por siglos, pudieron entonces “triangular” los cielos. Por ejemplo,veamos como calculaban la distancia de la Tierra a la Luna.

Supongamos (ver la figura 77) que P y Q son dos puntos del ecuadorterrestre, escogidos de la siguiente forma: la Luna debe estar exactamen-te encima de P ; es decir, la Luna, L, considerada como un punto, debeestar en lınea con el centro de la tierra, T , y con P (la Luna se encuentraen esta posicion en ciertas fechas de cada mes). Se elige Q de tal formaque la Luna apenas sea visible desde el, y ası la lınea LQ sera tangenteal ecuador en el punto Q y, por tanto, el angulo TQL sera recto pues elradio del cırculo que pasa por el punto de contacto de una tangente esperpendicular a esta.

T

Q

PLbb

b

b

Figura 77: Distancia a la Luna

Ahora: TQ es el radio de la Tierra y este lo conocıan; el angulo T esla diferencia de la longitud entre los puntos P y Q y, si conocıan laslongitudes de estos lugares de la Tierra, conocıan entonces este angulo.Hoy se sabe que este angulo es T = 89o4′, que es mas preciso que el queellos utilizaban. El calculo de TL es inmediato pues

TL =TQ

cos T

Pero cos T = 0.0163 y TQ=6,400 km; luego

TL =6, 400

0.0163= 392, 638 km


Restando a esta cifra el radio de la Tierra, encontramos que la distanciade la Tierra a la Luna, PL, es

PL = 392, 638 − 6, 400 = 386.238 km

Hiparco realmente obtuvo que esta distancia era de, aproximadamente,450,615 km. Cabe aquı decir que, aunque su calculo de T no era preciso,tambien la distancia de la Tierra a la Luna varıa durante el ano. El valorde 386,238 km es un valor promedio.

a). Relaciones trigonometricas de Hiparco y Ptolomeo

En lo que sigue mostraremos algunas de las relaciones trigonometricasbasicas, casi todas ya conocidas en su epoca por Hiparco y Ptolomeohace mas de 1800 anos, y que ahora escribimos en notacion algebraica ytrigonometrica actual: son las formulas de reduccion, y las formulas desuma de angulos.

I). Formulas de reduccion

a) sen2 α+cos2 α = 1 (version trigonometrica del teorema de Pitago-ras)

En efecto, de la figura 78, sabemos que senα = BC/AC y cosα =AB/AC. Elevando cada una de estas expresiones al cuadrado, te-nemos sen2 α = (BC)2/(AC)2 y cos2 α = (AB)2/(AC)2. Y su-mando estas dos ultimas igualdades obtenemos que

sen2 α+ cos2 α =(BC)2

(AC)2+

(AB)2

(AC)2=

(BC)2 + (AB)2

(AC)2

Pero, por el teorema de Pitagoras, (BC)2 + (AB)2 = (AC)2, yası tendremos que, efectivamente,

sen2 α+ cos2 α = 1


A

C

B

α

Figura 78: sen2 α+ cos2 α = 1

b) sen(−α) = − senα ; cos(−α) = cosα. 17

En efecto, de la figura 79 tenemos que senα =AB

OA. Por tanto,

sen(−α) =A′B

OA=

−ABOA

= − senα 18

De igual forma, cosα =OB

OAy, por tanto,

cos(−α) =OB

OA′ =OB

OA= cosα

A A′

O

B

α -α

Figura 79: sen(−α) = − sen(α)

II). Formulas de suma de angulos

a) sen(α+ β) = senα cos β + cosα sen β17Evidentemente, en esta propiedad estamos pensando en el sentido del “movimien-

to” para formar un angulo. Si es formado en el sentido contrario de las manecillas delreloj, el angulo es positivo; y si es formado en el otro sentido, el angulo sera negativo.

18No hay duda de que, aquı, hemos utilizado argumentos propios de la geometrıaanalıtica (ver leccion 3) que nunca estuvieron en la mente de los pioneros griegosHiparco y Ptolomeo. Solo que nos hemos visto obligados a hacerlo ası, debido anecesidades expositivas y tematicas del texto. ¿Cuales podrıan ser estos “argumentospropios (...)”?


O A

B

C

D

α

β

H

Figura 80: Formulas de suma de angulos

En efecto, de la construccion de la figura 80, sabemos que sen(α+

β) =AB

OB, y que AB = AH +HB y AH = DC. Luego, sustitu-

yendo tendremos que AB = DC +HB y, por tanto,

sen(α+ β) =DC +HB

OB=DC

OB+HB

OB

Ahora: multiplicando el numerador y el denominador de la primerafraccion por OC y el numerador y el denominador de la segundafraccion por CB tendremos que

sen(α+ β) =DC

OC

OC

OB+HB

CB

CB

OB

Pero como

DC

OC= senα,

OC

OB= cos β,

HB

CB= cosα, ,

CB

OB= sen β

entonces tendremos que, efectivamente,

sen(α+ β) = senα cosβ + cosα sen β

b) cos(α+ β) = cosα cos β − senα sen β

En efecto, en la misma figura 80, sabemos que cos(α+ β) =OA

OB.

Pero como OA = OD − AD y AD = HC, tendremos que OA =OD −HC. Por tanto,

cos(α+ β) =OD −HC

OB=OD

OB− HC

OB


Multiplicando el numerador y el denominador de la primera frac-cion por OC, y el numerador y el denominador de la segundafraccion por CB, tendremos que

cos(α+ β) =OD

OC

OC

OM− HC

CB

CB

OB

PeroHC

CB= senα,

OD

OC= cosα,

CB

OB= sen β,

OC

OB= cos β. Luego,

sustituyendo estos valores, tendremos entonces que, efectivamente,

cos(α+ β) = cosα cos β − senα sen β 19

c) tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1 − tanα tan βEn efecto, sabemos que

tan(α+ β) =sen(α+ β)

cos(α+ β)=

senα cos β + sen β cosα

cosα cos β − senα sen β

Dividamos ahora el numerador y el denominador por cosα cos β,de manera que podamos escribir la igualdad anterior como

tan(α+ β) =

senα

cosα+

sen β

cosβ

1 − senα sen β

cosα cos β

Pero comosenα

cosα= tanα y

sen β

cosβ= tan β, entonces tendremos

que, efectivamente,

tan(α+ β) =tanα+ tanβ

1 − tanα tan β

19Aunque esta formula del coseno y la correspondiente formula del seno, fuerondemostradas solo para los casos en que la suma de los angulos α y β es menor que90o, es posible tambien utilizarlas, extrapolando, para el caso en que la suma de es-tos dos angulos es cualquier angulo. Por ejemplo, utilizando la Tabla 2, tendremosque sen 150◦ = sen(90o + 60o) = sen 90o cos 60o + cos 90o sen 60o = cos 60◦ = 1

2,

y cos 150o = cos(90o + 60o) = cos 90o cos 60o − sen 90o sen 60o = − sen 60◦ =

−√

3

2. Y tambien, por ejemplo, que sen 180o = sen(90o + 90o) = sen 90o cos 90o +

cos 90o sen 90o = 0 y cos 180o = cos(90o+90o) = cos 90o cos 90o−sen 90o sen 90o = −1.


III). Formulas para cualquier triangulo

Dos de las formulas basicas de la trigonometrıa son la ley de senos y laley de cosenos. Son las siguientes:

a)a

senα=

b

sen β=

c

sen γ(ley de senos)

donde a, b y c son los lados de un triangulo (ver la figura 81), α esel angulo opuesto a a; β es el angulo opuesto a b; y γ es el anguloopuesto a c.

A B

C

D

E

ab

c

α β

γ

Figura 81: Ley de senos

En efecto, en el triangulo ACD de la figura 81, senα =CD

by,

por tanto, CD = b senα; y en el triangulo CBD se tiene que

sen β =CD

ay, por consiguiente, CD = a sen β. Igualando los dos

valores de CD anteriores, tendremos que b senα = a sen β, que esigual a

a

senα=

b

sen β.

De forma similar, en el triangulo ACE de la figura 81, se tiene que

sen γ =AE

b, y por tanto, AE = b sen γ; y en el triangulo AEB se

tiene que sen β =AE

c, y por tanto, AE = c sen β. Igualando los

dos valores de AE anteriores, tendremos que b sen γ = c sen β y,por consiguiente,

b

sen β=

c

sen γ


Resumiendo, hemos encontrado entonces que, efectivamente,

a

senα=

b

sen β=

c

sen γ

b)a2 = b2 + c2 − 2bc cosα (ley de cosenos)

donde a, b, c son los lados del triangulo y α el angulo entre loslados b y c. En efecto, consideremos el triangulo ABC de la figura82. Por el teorema generalizado de Pitagoras de los Elementosde Euclides (proposiciones 12 y 13, Libro II), se tiene que a2 =b2 + c2 − 2cAD donde AD = b cosα. Sustituyendo este AD en laformula del teorema generalizado tendremos que, efectivamente,

a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

A

B

CD

ha

b

c

α

β

γ

Figura 82: Ley de cosenos

Ejemplo 3. (Area del polıgono regular)Mediante la trigonometrıa de Hiparco y Ptolomeo podemos obtener unaformula para el area de un polıgono regular inscrito en una circunferen-cia. Es de la siguiente manera: en la figura 83, notemos que, si n es el

numero de lados del polıgono, entonces el angulo AOB es θ =2π

n, y el

angulo ABO es α =1

2(π − θ) =

1

2

(

π − 2π

n

)

. Ahora notemos que la

altura del triangulo AOB es h = r senα; y la base es x = 2r cosα. Por

lo tanto, el area del triangulo AOB esxh

2= r2 senα cosα = r2

sen 2α

2.

Ası, el area del polıgono regular de n lados es

An = nr2 sen 2α

2= r2

[n

2sen

(

π − 2π

n

)]

= r2[n

2sen

2π

n

]


x

O r

r

A

h

B

Figura 83: Area del polıgono regular

Nota 2.En el volumen II (Calculo), mostraremos que si n es grande, entoncesn

2sen

2π

nes cercano a π. ¿Serıa esta una prueba valida de que el area

del cırculo de radio r es πr2? Notemos que hemos utilizado, en algunaparte de la deduccion de la formula, el hecho de que la circunferencia deradio r tiene longitud 2πr. ¿En que punto sucedio esto?

Ejemplo 4.En la figura 84, dados a, α y β, podemos mostrar que

h =a sen β senα

sen(α− β); x =

a sen β cosα

sen(α− β)

a x

h

αβ

γ

Figura 84

En efecto: notemos primero que γ = α−β; despues, por la ley de senos,se tiene que

sen(α− β)

a=

sen β√x2 + h2

(1)

y luego observamos que

cosα =x√

x2 + h2, h = x tanα (2)


De (1) y (2) el lector puede deducir facilmente las formulas de arriba.

Como aplicacion de esto, veamos un ejemplo simple. Supongamos quedeseamos encontrar la altura de un edificio (h) si el angulo de elevaciondesde un extremo crece desde β = 20o hasta α = 40o cuando la personaque esta haciendo la medida avanza a = 75 mt hasta el pie del edificio.Aplicando la formula

h =a sen β senα

sen(α− β)

obtendremos que

h =75 sen 20o sen 40o

sen 20omt = 75 sen 40o mt = 48 mt

Ejemplo 5. (Distancia entre dos puntos remotos)

Supongamos que se conoce la distancia entre dos puntos C y D, peroque queremos encontrar la distancia entre otros dos puntos remotos A yB, basados en la observacion de los dos primeros puntos (ver figura 84).Este problema es de particular interes ya que puede no ser facil ir hastael lugar remoto para hacer la medicion correspondiente. Sin embargo,veamos como podemos utilizar la trigonometrıa para estimar la distanciaentre A y B.

Figura 84: Distancia entre dos puntos remotos

C

A B

D

α

β

θ

ψ

Observemos que, de la ley de senos, si conocemos dos angulos interioresy la longitud de uno de los lados de un triangulo, podemos conocer laslongitudes de los otros dos lados. Y de la ley de cosenos, si conocemosla longitud de dos lados y el angulo entre ellos, podemos conocer lalongitud del otro lado. Con la ayuda de la figura 84, mostraremos que


si conocemos α, β, θ y ψ, y ademas sabemos que CD = d, entoncespodremos encontrar AB. En efecto, por la ley de senos, tenemos que

AC

sen θ=

d

sen(π − β − θ)

y, por tanto,

AC =d sen θ

sen(β + θ)

De manera similar, se tiene que

BC =d senψ

sen(α+ ψ)

Ahora: de la ley de cosenos se tiene que

(AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2(AC)(BC) cos(β − α)

Por lo tanto,AB =

d

√[

sen θ

sen(β + θ)

]2

+

[senψ

sen(α+ ψ)

]2

− 2sen θ

sen(β + θ)

senψ

sen(α+ ψ)cos(β − α)

18. Nota final

El perıodo que va desde la caıda del Imperio Romano (a mediados delsiglo V) hasta el siglo XI, se conoce como la Edad del Oscurantismo enEuropa, debido a la decadencia de la escolaridad, a la casi desaparicionde la ensenanza griega y a que, en general, el legado del mundo anti-guo fue casi totalmente olvidado. Los hindues y arabes fueron entoncesquienes tomaron el relevo del desarrollo matematico despues de la des-truccion de la Grecia alejandrina por parte de los mismos arabes en el641 d.C. Sin embargo, el pensamiento riguroso y la demostracion deduc-tiva de los griegos estaba en contradiccion con la forma de aproximacionarabe-hindu. Utilizando numeros enteros y fraccionarios, numeros nega-tivos y numeros irracionales, estos arribaron a nuevas y correctas reglaspara sumar, restar, multiplicar y dividir cualquier clase de numeros, pero


sin ningun fundamento logico. Por ejemplo, llegaban a que√ab =

√a√b

para todos los numeros a y b, solo porque era verdad que√

36 =√

4√

9,y ası el metodo axiomatico-deductivo de los griegos clasicos fue reempla-zado por el metodo inductivo. Su interes claramente inclinado hacia elcalculo numerico practico, dandole mayor importancia a temas como laescritura simbolica de los numeros, a las operaciones entre ellos, y a lasaplicaciones tales como la regla de tres, no les permitirıa ver los profun-dos problemas que habıan perturbado tanto a los griegos, aunque, a suvez, esto mismo tambien ayudarıa a facilitar un inmenso (pero incons-ciente) progreso matematico: la aritmetica comenzaba a independizarsede la geometrıa y se acercaba al algebra. 20

20Si el lector desea profundizar en el estudio de la trigonometrıa plana, de nuevo,recomendamos el texto “Curso de Geometrıa”, Reunion de Profesores, Leigel, Parıs.


Ejercicios complementarios

1. Ilustre con una figura todas las proposiciones del Libro I de losElementos de Euclides. Ademas, en cada una de aquellas proposi-ciones a las que ya se les ha incluido la correspondiente figura, trate(hasta donde le sea posible) de explicar el posible razonamiento deEuclides al demostrarla. Si encuentra dificultades en esto, recurraal texto de T. Heath (1908) que aparece en la bibliografıa.

2. Utilizando regla, transportador y compas, conteste lo siguiente:

a) ¿Sera posible construir un triangulo que tenga un angulo de40o y dos lados de 4 y 3 unidades de longitud?

b) Dos angulos de un triangulo miden 40o y 30o, respectivamen-te, ¿cuanto mide el tercer angulo y cada uno de los angulosexteriores?

c) ¿Sera posible construir un triangulo rectangulo que tenga unahipotenusa que mida 5 unidades de longitud lineal y un anguloque mida 45o? ¿Cuanto miden los otros dos lados?

3. La siguiente es una parafrasis de la prueba del teorema de Pitago-ras (proposicion 47 del Libro I de los Elementos). Pedimos al lectorestudiarla cuidadosamente y explicar las razones por las que Eu-clides no la habrıa probado de esta forma.

a2

b c

a

b2 a

c2a

En la figura de la izquierda, el area total esta descompuesta encuatro triangulos iguales, mas el cuadrado de lado a (con areaa2). A su vez, el cuadrado de la derecha, igual al primero, se hadescompuesto en seis regiones: los mismos cuatro triangulos de laizquierda (explicar esto ultimo es el nucleo de este ejercicio), mas


dos cuadrados de lados b y c, y areas respectivas b2 y c2. Eliminandoa ambos lados los cuatro triangulos, obtenemos, a la izquierda a2,y a la derecha b2 + c2.

4. Sea a la hipotenusa y b y c los catetos de un triangulo rectangulo.Calcule en cada caso el lado que falta:

a) b = 5, c = 4 b) a = 3, c = 2

c) a = 30, b = 10 d) b = 20, c = 15

5. Halle, si existen, las areas de las siguientes figuras:

a) Un cuadrado cuya diagonal mide 8√

3 unidades de longitud.

b) Un rectangulo con una diagonal de 20 unidades de longitudy una altura de 12 unidades de longitud.

c) Un triangulo cuya base mide 7 unidades de longitud y altura10 unidades de longitud.

d) Un paralelogramo con una base de 15 unidades de longitud yuna altura de 10 unidades de longitud.

6. Muestre que la suma de los angulos internos de un polıgono (nonecesariamente regular) de n lados es 180o(n − 2). [Indicacion:“triangule” el interior del polıgono y recuerde que la suma de losangulos internos de un triangulo es 180o].

7. Utilizando el resultado anterior, calcule el angulo interno de unpolıgono regular de n lados.

* 8. (Demostracion geometrica del teorema de Heron) Sea △ABC eltriangulo dado, y AB, BC, CA, sus lados dados.

Se quiere encontrar el area del triangulo △ABC. Se inscribe en eltriangulo, el cırculo DEF cuyo centro sea G (Libro IV de Eucli-des), y se trazan las “rectas” AG, BG, CG, DG, EG, FG. Ası,BC · EG es el doble del area del triangulo △BGC; y asimismoCA · FG es el doble del area del triangulo △AGC, y AB ·DG esel doble del triangulo △ABG.


A

BC

D

E

FG

HK

L

Sumando, tendremos que el producto del perımetro 2p del triangu-lo △ABC y del radio EG del cırculo DEF es el doble del area del△ABC.

Se prolonga ahora CB, y sea BH igual a AD. Puesto que AD =AF , entonces DB = BE, FC = CE y CH = p.

Por consiguiente,

CH ·EG = area △ABC

y ası

(area △ABC)2 = CH2 · EG2

Tracemos la perpendicular GL a FG, y BL a AB, y unamos Ccon L; entonces el cuadrilatero CGBL se puede inscribir en uncırculo (¿por que?), y, por tanto (Libro III, proposicion 22 (Ele-mentos)21), la suma ∠CGB+ ∠CLB es igual a dos rectos; y tam-bien ∠CGB + ∠AGD es igual a dos rectos, porque los angulos enG estan divididos por mitad, por AG, BG y CG. Luego

∠CGB + ∠AGD = ∠AGC + ∠DGB

y estos todos juntos, son cuatro rectos. Se tiene, pues, que lostriangulos △AGD y △CBL son semejantes; luego,

CB : BL = AD : DG = BH : EG21La proposicion 22 del Libro III afirma que la suma de los angulos opuestos de un

cuadrilatero inscrito en un cırculo es igual a dos angulos rectos.


y alternando

CB : BH = BL : EG = BK : KE

de las cuales, componiendo,

CH : HB = BE : EK

Por tanto, tambien

CH2

CH ·HB =BE · CECE · EH =

BE · ECEG

2

Luego

(area△ABC)2 = CH2 · EG2

= CH ·HB ·BE ·EC =

= p(p−BC)(p −AB)(p −AC) =

= p(p− a)(p − b)(p− c) �

9. Escoja casos concretos de triangulos y corrobore la formula deHeron.

10. Muestre que el area de un triangulo equilatero, en terminos de su

lado a, es

√3

4a2. [Indicacion: El area del triangulo equilatero es

A =ah

2donde h =

√a2 − (a

2 )2]

11. Responda, yendo a otras fuentes bibliograficas si es necesario, lasiguiente pregunta: El resultado geometrico que hoy escribimos ennotacion algebraica como

[longitud de una circunferencia de radio r] = 2πr

es:

a) Original de Pitagoras.

b) Anterior a Euclides y posterior a Pitagoras.

c) Original de Euclides en sus Elementos.

d) Original de Arquımedes en su Medidas de la Circunferencia.


12. Responda, yendo a otras fuentes bibliograficas si es necesario, lasiguiente pregunta: La notacion π para la razon entre la longitudde la circunferencia y la longitud de su diametro es:

a) Original de Babilonia (Mesopotamia).

b) Original de Egipto.

c) Original de Pitagoras.

d) Anterior a Euclides y posterior a Pitagoras.

e) Original de Euclides en sus Elementos.

f) Original de Arquımedes en su Medidas de la Circunferencia.

g) Original de Leonhard Euler quien adopto este sımbolo en elsiglo XVIII.

h) Posterior al siglo XVIII de Leonhard Euler.

13. Muestre que el area de un sector circular que subtiende a un anguloθ esta dado por

As =1

2r2θ

donde θ esta medido en radianes (ver figura abajo). [Indicacion:Una simple “regla de tres” resuelve el problema asumiendo queπr2 es el area con angulo 2π].

r

Oθ

14. ¿Cual es una formula para calcular la superficie lateral de un cono?¿y la de un cilindro? ¿y la de un cubo? ¿y la de una piramide?

15. Halle la superficie lateral de un cono, si la base tiene un radio de2 unidades de longitud y la generatriz (es decir, la hipotenusa deltriangulo rectangulo que lo genera) tiene 12 unidades de longitud.

16. Muestre que el volumen del prisma de altura h en el que la base es

un triangulo equilatero de lado, a es

√3

4a2h (ver figura siguiente).


h

a

17. Halle el volumen de un cubo cuyo lado (arista) mide 5 unidadesde longitud.

18. Halle el volumen de una esfera cuyo diametro mide 5 unidades delongitud.

19. Halle el volumen de un cilindro cuyo radio de la base mide 9 uni-dades de longitud, y tiene una altura de 20 unidades de longitud.

20. Suponga que una pelota esta contenida en una caja cubica deforma tal, que toca cada una de las caras en su punto medio. Halleel volumen de la pelota dado que se conoce que el volumen de lacaja es 125 unidades cubicas.

21. Resuelva los siguientes problemas aritmeticos euclidianos:

a) Escriba la descomposicion en numeros primos de 218 y 1.540.

b) Calcule el maximo divisor comun de 218 y 1.540.

c) Calcule su mınimo multiplo comun.

d) Asuma que un numerom es par si m = 2k para algun numeronatural k; y, de forma similar, el numero m es impar si m =2k + 1 para algun numero natural k (los numeros naturales(los numeros de contar) son k = 1, 2, 3, 4, ...). Pruebe entoncesque el producto de dos numeros pares, es par; que el productode dos numeros impares, es impar; y que el producto de unnumero par con otro impar, es un numero par.

*e) (Fibonacci (1202)) Encuentre un numero que sea divisible por7 y que tenga un residuo de 1 cuando se divide por 2, 3, 4, 5,o 6.


*f) (Fibonacci (1202)) Encuentre un numero que sea multiplo de7 y que tenga residuos 1, 2, 3, 4 y 5 cuando se divide por 2,3, 4, 5 y 6, respectivamente.

22. En el Libro X de los Elementos, Euclides estudia el problema dela conmensurabilidad e inconmensurabilidad de las magnitudes. Yaunque el analisis allı presentado no tiene hoy pertinencia dadoslos desarrollos actuales del concepto de numero, en aquella epocapermitıa el entendimiento de magnitudes tales como la hipotenu-sa de un triangulo rectangulo de catetos de magnitud unitaria,que nosotros escribimos hoy como

√2. Obviamente, los griegos

nunca escribieron ni entendieron un sımbolo como este, debido aque, como ya hemos advertido, la concepcion griega de numerosolo admitıa relaciones de magnitudes, pero nunca numeros porsı mismos. Aun ası, hoy en dıa se presenta, tıpicamente, la demos-tracion de que

√2 es un numero inconmensurable (irracional), de

la siguiente forma:

Se comienza asumiendo, por el contrario, que√

2 =a

bpara ciertos

enteros a y b que no tienen ningun numero primo como factor

comun. Entonces tendrıamos que 2 =a2

b2y, por tanto, a2 = 2b2,

que muestra que a2 es par, y, por tanto, que a mismo es par; esdecir, existe un numero entero k tal que a = 2k. Por lo tanto,(2k)2 = 2b2, y ası 2k2 = b2, lo que muestra, a su vez, que tambienb2 es par, y, por tanto, que el mismo b es par. Pero ası, hemosarribado a la contradiccion de que a y b son pares, y que, portanto, tienen al numero primo 2 como factor comun.

Pruebe, siguiendo lineamientos similares al anterior, que√

3 esinconmensurable.

23. Recuerde que en el Libro IX de los Elementos, Euclides escribıa loque, en notacion algebraica moderna, podrıa ser

r + r2 + r3 + ...+ rn =rn+1 − r

r − 1

a) Deduzca de esto, utilizando las reglas algebraicas aprendidas


en el Bachillerato, que si r = 110 entonces

1

10+

1

100+

1

1000+ ...+ [

1

10]n =

[ 110 ]n+1 − 1

10110 − 1

b) Si n es un numero entero “grande”, entonces la igualdad an-terior se puede asimilar a la igualdad

0·1111··· =110

1 − 110

=1

9

que es la equivalencia entre la notacion decimal estandar yla notacion fraccionaria. Solo que, en el camino, hubo de re-querirse de un concepto fundamental en el desarrollo de lasmatematicas modernas: el de lımite (ver volumen II: Calcu-lo), pues allı asumimos que si n es “muy grande” entonces[ 110 ]n+1 es “muy pequeno”.

El ejercicio aquı consiste en que el lector encuentre, imitandolo realizado arriba, a que numero fraccionario corresponde eldecimal 2·44444...22.

24. Calcule, en cada caso, sen(α+ β) y cos(α+ β) si se sabe que:

a) senα =3

5y sen β =

2√13

[Indicacion: Note que cosα =

45 ; cos β = 3√

13]

b) cosα =2√

5

5y sen β =

√2

2

25. Pruebe las siguientes “identidades trigonometricas”:

a) sen(π

2± α

)

= cosα y cos(π

2± α) = ∓ senα

22Una observacion pertinente aquı, es que este ejercicio nos da ejemplo de una reglageneral, que podrıamos probar de forma similar a lo realizado en este ejercicio 23, yque afirma que los numeros que tienen descomposicion decimal periodica o finita, sonprecisamente los numeros fraccionarios (racionales) y que, ası, los numeros irraciona-les, todos, tendrıan descomposicion decimal infinita y no periodica. Ası, un numerocomo

√2 tiene infinitos decimales en su descomposicion. Otro numero irracional es,

precisamente, π.


b) sen 2α = 2 senα cosα [Indicacion: sen 2α = sen(α+ α)]

c) cos 2α = cos2 α− sen2 α = 2cos2 α− 1 = 1 − 2 sen2 α

d) sen2 α = 12(1 − cos 2α)

e) cos2 α = 12(1 + cos 2α)

f) tan 2α =2 tanα

1 − tan2 α[Indicacion: tan 2α = tan(α+ α)]

g) sen 3α = 3cos2 α senα−sen3 α [Indicacion: sen 3α = sen(2α+α)]

h) cos 3α = cos3 α− 3 sen2 α cosα

i) senα+ sen β = 2 senα+ β

2cos

α− β

2

j) senα− sen β = 2cosα+ β

2sen

α− β

2

k) cosα+ cos β = 2cosα+ β

2cos

α− β

2

l) cosα− cos β = −2 senα+ β

2sen

α− β

2

m) tanα+ tanβ =sen(α+ β)

cosα cos β

n) tanα− tan β =sen(α− β)

cosα cos β

o)senα+ sen β

senα− sen β=

tanα+ β

2

tanα− β

2

26. Pruebe, utilizando algunas de las identidades trigonometricas delejercicio anterior, que:

a) sen 35o cos 25o = 12 (sen 60o+sen 10o) [Indicacion: Haga α+β

2 =

35◦; α−β2 = 25◦, y utilice el ejercicio 25 i) anterior]

b) sen 25o cos 75o = 12 (sen 100o − sen 50o)

c) cos 50o cos 70o = 12 (cos 120o + cos 20o)

d) sen 40o + sen 20o = cos 10o

e) sen 105o + sen 15o =√

6/2


27. Simplifique las siguientes expresiones:

a)sen(α+ β) + sen(α− β)

cos(α+ β) + cos(α− β)

b)sen(α+ β) − sen(α− β)

sen(α+ β) + sen(α− β)

c)cos(α+ β) − cos(α− β)

sen(α+ β) − sen(α− β)

d)cos(α+ β) + cos(α− β)

sen(α+ β) + − sen(α− β)

28. [Ecuaciones trigonometricas] Encuentre, en cada caso, todos losα′s, 0 ≤ α ≤ 2π, tales que:

a) sen2 α−senα = 0 [Indicacion: sen2 α−senα = senα(senα− 1)]

b) cosα+2 sen2 α−1 = 0 [Indicacion: Haga sen2 α = 1−cos2 α]

c) senα cosα =1

2[Indicacion: Recuerde una identidad para

sen 2α en el ejercicio 25 anterior]

29. Si en el triangulo de la figura de abajo se tiene que:

a) a = 25.1, α = 26o, γ = 35o30′

b) c = 680, β = 38o50′, γ = 92o20′

c) b = 139, c = 133, γ = 60o10′

encuentre, si es posible, los otros tres elementos en cada caso, uti-lizando alguna(s) formula(s) trigonometrica(s) conveniente(s).

α

β

γ

a

b

c

30. La escalera de un carro de bomberos puede extenderse hasta unalongitud maxima de 18 metros cuando se levanta hasta un angulode 60o. La base de la escalera se coloco en el carro, a 2 metros sobreel suelo. ¿Que altura sobre el suelo podra alcanzar la escalera?


31. Si se proyecta construir una carretera que debera ascender 500metros con una pendiente de 7o, ¿cual debe ser su longitud?

32. Para medir la altura de un edificio AB se colocan dos listonesCD = 3 metros. y EF = 2 metros, y separados por 5 metros. Elliston CD esta a una distancia de 10 metros de la base del edifi-cio. Calcule la altura del edificio, suponiendo que B, D y F estanalineados (ver figura siguiente).

10m5m

3m2m

B

D

F

A C E

33. Eratostenes (230 a.C.) hizo una famosa medicion de la Tierra.

S

α

α

Al

Observo en Siena (Italia), al mediodıa y en solsticio de verano 23,que una barra vertical no arrojaba sombra mientras que en Ale-

23Durante el solsticio de verano, en el hemisferio boreal (norte) ocurren el dıa mayory la noche menor del ano, y en el hemisferio austral (sur) todo lo contrario. Ademas,Eratostenes afirmaba que al mediodıa (12 m.) el Sol se proyectaba perpendicularmentesobre Siena.


jandrıa (Egipto), en el mismo meridiano de Siena24, los rayos delSol estaban inclinados 1

50 de una circunferencia completa respec-to a la vertical. Calculo entonces la circunferencia de la Tierra apartir de la distancia conocida de 5,000 estadios entre Alejandrıay Siena. Obtenga el resultado de Eratostenes de 250,000 estadiospara la circunferencia de la Tierra. Hay razones para suponer queun estadio es, aproximadamente, igual a 157.5 metros. Asumiendoesto, calcule, del resultado anterior, el diametro polar de la Tierraen kilometros. (El diametro polar real de la Tierra es, aproxima-damente, 12,714 kilometros).

34. En la figura de abajo, mostremos que x, b, y h estan relacionadasmediante (

b

x

)2

=h− b

h+ b, h > b

x

b

h

α

α

En efecto, el resultado se obtiene del hecho de que, segun la figura,

tanα =b

x, tan 2α =

h+ b

x(1)

y de que, ademas,

tan 2α =2 tanα

1 − tan2 α(2)

pues reemplazando (1) en (2) obtenemos el resultado pedido comopuede comprobar, facilmente, el lector.

24Aunque la tradicion afirma que es Siena la ciudad que Eratostenes tomo comopunto de comparacion con Alejandrıa, una simple observacion de mapa nos muestraque, realmente, Siena y Alejandrıa no estan sobre el mismo meridiano.

Leccion 2

El algebra de los siglos XVI y XVII

Introduccion

La palabra “algebra” proviene del nombre de un tratado del matematicoy astronomo arabe Mahommed ibn Musa Al-Khwarizmi [780-835], lla-mado Al-jebr al-muqabala, que significa “transposicion y remocion”. Por“transposicion” (al-jebr) se entendıa la transferencia de terminos nega-tivos al otro lado de una ecuacion; y por “remocion” (al-muqabala) seentendıa la cancelacion de terminos iguales a ambos lados de la ecuacion.Tambien podrıamos notar aquı que el termino “algoritmo”, que significapara nosotros “conjunto de reglas (o metodo) para calcular”, provienedel nombre del matematico mencionado arriba: Al-Khwarizmi.

El algebra esta caracterizada, primero que todo, por un metodo que im-plica el uso de letras, y expresiones en letras, con las cuales llevamos acabo operaciones de acuerdo con claras reglas explıcitas. En el algebraelemental las letras denotan numeros ordinarios, ası que las operacionessobre expresiones en letras estan basadas en leyes generales de operacio-nes sobre numeros. Por ejemplo, que la suma no depende del orden delos sumandos, se escribe en algebra a + b = b+ a; que al multiplicar lasuma de dos numeros con otro numero podemos multiplicar cada uno delos numeros individualmente y luego sumar los productos obtenidos, seescribe (a+ b)c = ac+ bc, etc. Ası, en cualquier prueba algebraica de unteorema, es facil ver que esta depende solo de las leyes de operacionesde los numeros y no de lo que representan las letras.

91


El metodo algebraico, es decir, el metodo de calcular con letras, se haadentrado en todas las matematicas. De hecho, una parte sustancial demuchos problemas matematicos a menudo resulta ser solo un computoalgebraico. Ademas, una consecuencia del metodo algebraico con nume-ros es que en matematicas se emplean diferentes calculos simbolicos enlos cuales las letras ya no denotan numeros sino otros objetos, y lasoperaciones entre ellos pueden ser diferentes de las leyes del algebra ele-mental de numeros. Los vectores de la geometrıa analıtica y los numeroscomplejos que discutiremos en la siguiente leccion son un buen y ele-mental ejemplo de ello.

En las epocas antiguas, cualquier ley de numeros que se identificaba, seconservaba en palabras o en signos mas o menos aislados ya que aunno existıa un lenguaje simbolico suficientemente amplio: era lo que seconocıa como “algebra retorica”. Y a pesar de los trabajos de Diofanto(siglo III) en la antigua Grecia, de los hindues y arabes, y del importantetrabajo de Al-Khwarizmi en el siglo IX (en el que ya aparecen las prime-ras leyes generales para la solucion de ecuaciones de primer y segundoorden) que dieron caracter al perıodo conocido como del “algebra sinco-pada”, fueron Francois Viete [1540-1603] y Rene Descartes [1596-1650]quienes primero introdujeron realmente la notacion simbolica denotan-do, tanto las cantidades conocidas como las desconocidas, con letras. Esen este momento que el algebra realmente comienza como ciencia delcalculo simbolico, de transformacion de formulas escritas en letras, deecuaciones algebraicas, etc., en contraste con la aritmetica que siempreoperaba con numeros enteros concretos. Aun hasta hace 250 anos, el“algebra” era el algebra desde este punto de vista de Viete y Descartes.Esta es la que hoy se conoce en algunos libros de texto como “algebrasuperior”.

Aun ası, a pesar de estos pincelazos de su historia, siempre es difıciltrazar el devenir historico de las ideas matematicas que conforman loque hoy conocemos como algebra. Quizas el lector coincida con noso-tros en que allı (como en cualquier intento de descripcion) se entrelazanvarias historias: en primer lugar, la historia del sistema simbolico ma-tematico que utiliza el algebra; en segundo lugar, la historia del conceptomismo de numero, y la historia de las tradiciones en resolucion de proble-mas matematicos concretos; y, finalmente, la historia de los metodos deanalisis para resolverlos. Precisamente sobre estos problemas generales

Leccion 2: El algebra de los siglos XVI y XVII 93

centraremos nuestra atencion en esta, y en posteriores lecciones.

1. Las leyes fundamentales del algebra de nume-ros

En este punto, asumiremos que la suma, la resta, la multiplicacion yla division entre numeros, son operaciones familiares al lector; que losnumeros naturales (enteros positivos) n = 1, 2, 3, · · · ; los numeros en-teros z = 0,±1,±2,±3, · · · ; los numeros fraccionarios (numeros racio-nales) r = p/q donde p y q son numeros enteros, q 6= 0; y que algunosnumeros no-fraccionarios (o “irracionales”) como

√2, tambien son cono-

cidos. Ademas, asumiremos que podemos construir nuevos numeros bajocuatro operaciones entre numeros (suma (+), resta (−), producto (×, ·),division (÷, /), y que las siguientes “leyes fundamentales” son ciertas: Sia, b, c y d son numeros, entonces 1

1) (a+ b) + c = a+ (b+ c) 2) a+ b = b+ a

3) a+ 0 = a 4) a− a = 0

5) a(bc) = (ab)c = abc 6) ab = ba

7) a · (−b) = −ab 8) (−a)(−b) = ab;

9) a · 1 = a 10) a1

a= 1; a 6= 0

11) a(b+ c) = ab+ ac 12)a

b+c

d=ad+ bc

bd; b, d 6= 0

13)

a

bc

d

=ad

bc; b, c, d 6= 0 14)

(a

b

)( c

d

)

=ac

bd; b, d 6= 0

15)−ab

= −ab; b 6= 0 16)

a

−b = −ab; b 6= 0

1No se preocupe el lector, en este punto, sobre los nombres dados a algunas de laspropiedades, ni sobre justificacion alguna de ellas. Solo deberıa preocuparse poraplicarlas correctamente teniendo un manejo adecuado y agil de cada una. Masadelante, en la leccion 4 (Fundamentos para las matematicas contemporaneas),las estableceremos axiomaticamente.


Nota 1. (Sobre los sımbolos =, +, −, × , · , ÷, :)

1. Como curiosidad historica, la tradicion afirma que el sımbolo =(igual) fue introducido por primera vez en la historia en 1557 porRobert Recorde, quien en su The Whetstone of Witte afirmabaque “nada puede ser mas igual que dos paralelas”.

2. Segun afirman connotados historiadores de la notacion simboli-ca en matematicas, la primera vez que aparecieron impresos lossımbolos + (suma) y − (resta) fue en 1489, en el Mercantile Arith-metic de Johannes Widmann, aunque no en el contexto de nume-ros positivos o negativos sino como excedentes o deficits en proble-mas comerciales. Al parecer, el primer signo (+) tiene su origen encierta ligadura en el conectivo et, que significa y en Latın, que seencontro en manuscritos no impresos anteriores a Widmann y quevan hasta el Algorismus Proportionum de Nicolas Oresme escritoentre 1356 y 1361.

3. Por su parte, el sımbolo de producto (×) aparece en 1618 en unapendice, al parecer de William Oughtred, de una traduccion delMirifici Logarithmorum Canonis Descriptio de John Neper [1550-1617] en donde se establecen las primeras versiones de los logarit-mos actuales.

4. Aunque no esta del todo claro, al parecer fue Gottfried W. Leibniz[1646-1716] quien primero introdujo el punto (·) como sımbolo demultiplicacion. En una carta en 1698 a John Bernoulli, escribıa:“No me gusta el sımbolo X para la multiplicacion, ya que se con-funde facilmente con la variable x; ... a menudo, simplemente re-laciono dos cantidades mediante un punto interpuesto e indico lamultiplicacion por ZC · LM . Ası, al designar una proporcion, noutilizo un punto sino dos puntos, que tambien utilizo para la divi-sion”.

5. El sımbolo / para la division fue utilizado por Leonardo de Pisa(mejor conocido como Fibonacci) [1175-1250] en el ano 1220. Nosabemos de un uso de este sımbolo anterior a este. A su vez, elsımbolo ÷ de division fue utilizado por primera vez en 1659 porJohann Rahn en su Teutsche Algebra. Por su parte, el sımbolo : de


proporcion fue utilizado por primera vez por Leibniz. Aparecio ensu Acta Eruditorum de 1684.

Ejemplo 1.

a)

1

4+

1

5

2 − 1

4· 1

6

+3 + 2 · 1

8

5 − 2

3

=

5 + 4

20

2 − 1

24

+3 +

1

415 − 2

3

=

9

2048 − 1

24

+

12 + 1

413

3

=9

20· 24

47+

13

4· 3

13=

54

235+

3

4

=921

940

b) Jorge, trabajando solo, estima que puede hacer una casa en 36meses; Giancarlo, a su vez, cree que la hace en 20 meses; y Diegosupone que la hace en 40 meses. ¿Cuantos meses se estima quenecesitarıan los tres para hacer juntos la casa?

Solucion.

Jorge hara1

36de la casa en un mes; Giancarlo hara

1

20de la casa

en un mes; y Diego hara1

40del mismo trabajo en un mes. Por lo

tanto, los tres juntos haran1

36+

1

20+

1

40=

10 + 18 + 9

360=

37

360de la casa en un mes. Luego para hacer toda la casa, necesitaran360

37=

(

9 +27

37

)

meses.

Ejercicios 1

1. Utilizando las propiedades fundamentales de los numeros que es-cribimos antes, simplifique las siguientes expresiones numericas,mostrando claramente el proceso:


a)8(1 − 7)

7(5 − 2)

9

b)

3 − (−4 − 3)

8(−2 + 7)

10(−2 − 6)

11

c)5(3 − 7) + 4(3 − 1)

1 +2(7 − 2)

8

d)

3 − (−4 − 3)

8(−2 + 7)

10(−2 − 6)

11+

8

3(11 − 16)

e)3(4 − 2)

1 +2

5

f)

1

52

3+

7

8

g)3

4

[2

9− 11

23

] [9

17− 21

2

]

h)2

3

(1

7− 5

8

)

+12

37

i)

1

2− 2

35

8

− 7

3+

316

9j)

2

17− 19

6+

26

3

k)

(54)

(

7 +1

7

)

− 25 + 19

13 + 2

3

l)

2

3+

7

58

9+

3

4

− 21

3

m)

(

62 − 1

7

)

22 − −2

9 +1

8

− 31 +

1 − 7

411

15

−2

3

+118

13

n)

1 +3

49

+

4

39

6

710

− 9

8

− 1

3


2. Utilizando las propiedades fundamentales de los numeros que es-cribimos al comienzo de esta seccion 1, simplifique las siguientesexpresiones algebraicas:

a)a(b− 1)

b+e

c

b)

1

dc

b+a

7

c) bcd(a

b+a

c− a

d) d)

b

c(a

b− c

b+ 1)

e)

a

2− a

3a

8

− a

3+

a

169

f)b

17− b

6− b

3

g)a(7 +

b

a) − 25 +

1

cd

4+e

3

h)

a

1 + a+

1 − b

32 − c

9+d− 1

4

− e

3

3. Indique como cada una de las primeras seis leyes fundamentales delos numeros (numerales 1) a 6) al comienzo de esta seccion) puedenestablecerse geometricamente, asumiendo que las cantidades a, b, cson positivas.

4. a) ¿Que numero (si existe) debe sumarse a los terminos de lafraccion 4/5 para obtener una razon igual a 4/3? [Indicacion:4 + a

5 + a=

4

3y resuelva para a.]

b) La suma de dos numeros es 195. Si al mayor se le agrega15 tendrıamos un cociente exacto de 5 al ser dividido por elmenor. Muestre que los numeros son 35 y 160.

c) Pruebe que una piscina demora 6 horas en vaciarse si tantola manguera que la llena en 12 horas, como el sumidero quela vacıa en 4 horas, permanecen abiertos.

d) Dos tipos de vino tienen, hoy, 8 y 12 anos de anejamiento.¿Sera posible que en el futuro la edad del vino mas joven seala tercera parte del mas anejo?


5. El senor Gonzalez tiene 114.000 dolares en el Banco, colocados al5% anual. Los retira para comprar una finca (para la jubilacion)que le produce 10.000 dolares al ano. ¿Cuanto gana o pierde enesta operacion despues de un ano?

6. Un comerciante que se ha declarado en quiebra le debe $30 millonesal Banco A, $9 millones al Banco B, y $12 millones al Banco C.¿Cuanto recibira cada acreedor, si solo le quedan $7 millones, y elcomerciante quiere pagarles proporcionalmente a lo que les debe?

7. Un agente compro 15 acciones al precio de $1′900.000 cada una. Alano cobro $125.000 de dividendo y luego las vendio en $1′980.000.¿Cuanto obtuvo de beneficio al final?

8. Tres operarios han realizado una obra en tres etapas independien-tes que ha necesitado de 85 dıas de trabajo (un operario para cadaetapa). ¿Durante cuantos dıas trabajo cada uno sabiendo que unode ellos recibio $525.000, otro $420.000, y el tercero $330.000, yque el salario diario es el mismo para todos?

2. Breve sobre potenciacion y radicales

La nocion de potenciacion surge naturalmente de procesos de multipli-cacion reiterada, a los que la aritmetica recurre en diversas situaciones.Veamos como.

a). Exponentes enteros

El primer paso es definir la operacion de multiplicar un numero porsı mismo, una y otra vez.

Definicion 1. (Exponentes enteros)

Si a es un numero cualquiera y m un numero natural cualquiera, pode-mos definir:

am = a · a · a · · · a︸︷︷︸

m veces


a0 = 1 a−m = 1/am si a 6= 0

De esta definicion es inmediato probar el siguiente teorema:

Teorema 1. (Reglas de los exponentes enteros)Si a es un numero cualquiera, y m,n numeros enteros positivos, en-tonces

i) am · an = am+n ii) (a · b)m = ambm

iii)am

an= am−n, si a 6= 0 iv) (am)n = amn

v)(a

b

)m=am

bm, si b 6= 0

Como veremos, estas propiedades solo son una aplicacion directa de laspropiedades de los numeros: En efecto:

i) aman = (a · a · · · a)︸︷︷︸

m veces

· (a · a · · · a)︸︷︷︸

n veces

= a · a · · · · · · a︸︷︷︸

m+n veces

ii) (ab)m = (ab)(ab) · · · (ab)︸︷︷︸

m veces

= (a · · · a)︸︷︷︸

m veces

· (b · · · b)︸︷︷︸

m veces

= ambm

iii) Supongamos que m es mayor que n. Entonces

am

an=

n veces︷︸︸︷

(a · · · a) ·m−n veces︷︸︸︷

(a · · · a)(a · · · a)︸︷︷︸

n veces

= (a · · · · · · a)︸︷︷︸

(m−n) veces

= am−n

Si m es menor que n, utilizamos la propiedad de queam

an=

1an

am

y

aplicamos lo anterior para obtener el mismo resultado.

iv) (am)n = (am · · · · · · am)︸︷︷︸

n veces

= (a · · · · · · a)︸︷︷︸

m veces

(a · · · · · · a)︸︷︷︸

m veces

· · · (a · · · · · · a)︸︷︷︸

m veces︸︷︷︸

n veces

=

(a · · · · · · a)︸︷︷︸

mn veces

= amn


v) Supongamos b 6= 0. Entonces:

(a

b

)m=

m veces︷︸︸︷(a

b

)(a

b

)

· · ·(a

b

)

=

m veces︷︸︸︷

(a · · · a)(b · · · b)︸︷︷︸

m veces

=am

bm�

Ejemplo 2.

Veamos como operan, en los siguientes casos, las reglas de los expo-nentes enteros. Aquı y en adelante, a menos que se especifique de otramanera, supondremos, por simplicidad, que todas las letras desconocidasrepresentan numeros positivos.

a) 3233 = 32+3 = 35 = 243 b) (2x)5 = 25x5 = 32x5

c)x3

x4= x3−4 =

1

xd) ((2x)2)3 = (2x)6 = 64x6

e)

(2x

3y

)2

=(2x)2

(3y)2=

4x2

9y2f)

(2y)4

(y2)3=

16y4

y6=

16

y2

g) (ab2)(c2d)(abc)2 = a3(bc)4d h)(ab)5

(ab)3= (ab)5−3 = (ab)2

Nota 2. (Sobre los exponentes enteros)

La notacion de exponentes enteros que utilizamos hoy en dıa fue intro-ducida por Rene Descartes en 1637 (con enteros positivos, unicamente)en su Geometrie (en donde, ademas, introducirıa el nuevo metodo dela geometrıa analıtica). Sin embargo, ya antes, Simon Stevin (1585) yJames Hume (1636) habıan dado una discusion sistematica de los expo-nentes enteros positivos. Este ultimo escribıa, por ejemplo, Aiii en lugarde A3; pero exceptuando esta notacion en numeros romanos de sus ex-ponentes, Hume habıa ya desarrollado toda la notacion de exponentespositivos que utilizamos hoy.

Por su parte, los numeros enteros negativos como exponentes fueronutilizados por primera vez, con notacion moderna, por Isaac Newton[1642-1727] en 1676 en una carta en la que describıa su descubrimien-to, veinte anos antes, del conocido teorema binomial que estudiaremosadelante.


b). Exponentes fraccionarios

El siguiente paso es generalizar el algebra de los exponentes enteros a lade exponentes fraccionarios.

Definicion 2. (Exponentes fraccionarios)Si a es un numero positivo cualquiera y m es un numero entero po-sitivo, entonces m

√a es un numero (que aquı supondremos unico) que

satisface la condicion ( m√a)m = a. Por conveniencia algebraica, ( m

√a)n

se notara por anm para cualquier numero entero (positivo o negativo) n.

Teorema 2. (Reglas de exponentes fraccionarios)Si a, b son numeros positivos y m,n numeros enteros positivos, entonces

i) m√a

m√b =

m√ab ii)

m√a

m√b

= m

√a

b

iii)n

√

m√a = mn

√a =

m

√

n√a iv) ( m

√a)n = m

√an

v) ( n√a)( m

√a) =

(mn√a)n+m

vi)n√a

m√a

=(

mn√a)m−n

En efecto,

i) Por la parte ii) del teorema 1, ( m√a m√b)m = ( m

√a)m( m

√b)m = ab;

y, por definicion, ( m√ab)m = ab. Luego m

√a m√b = m

√ab.

ii) Por la parte v) del teorema 1,

(m√a

m√b

)m

=( m√a)m

( m√b)m

=a

b; y por

definicion,

(

m

√a

b

)m

=a

b. Luego

m√a

m√b

= m

√a

b

iii) Primero, por la parte iv del teorema 1,(

n√

m√a)mn

=((

n√

m√a)n)m

=

( m√a)

m= a; tambien ( mn

√a)

mn= a; y, similarmente,

(m√

n√a)mn

=((

m√

n√a)m)n

= ( n√a)n = a. La conclusion se sigue.

iv) Por definicion,(

m√an)m

= an; y por la parte iv) del teorema 1,(( m√a)

n)m=(( m√a)

m)n= an. La conclusion se tiene de estas dos

igualdades.


v) Basta observar que [( n√a)( m

√a)]mn = (a)m(a)n = am+n

vi) Es similar a v) y queda como ejercicio para el lector. �

Nota 3.

Podemos tambien escribir el anterior teorema mediante exponentes frac-cionarios, de la siguiente forma:

i) a1

m b1

m = (ab)1

m ii)a

1

m

b1

m

= (a

b)

1

m

iii) (a1

m )1

n = a1

mn iv) (a1

m )n = anm

v) (a1

n )(a1

m ) = an+mmn vi)

a1

n

a1

m

= am−nmn

que muestra la conveniencia de la notacion fraccionaria en lugar de la deradicales. Sin embargo, esta ultima notacion continua (y probablementecontinuara) utilizandose.

Nota 4.

Debemos aclarar aquı que el teorema 2 anterior de reglas para exponen-tes fraccionarios aun se tiene en los casos en que a es negativo, siempre ycuando los radicales implicados tengan sentido para el algebra ordinaria.Por ejemplo, el lector no deberıa dudar en escribir

( 3√−27)5 = (−3)5 = −243, o 5

√−8 5

√−4 = 5

√

(−8)(−4) =5√

32 = 2

Ejemplo 3.

Veamos como operan, en los siguientes casos, las reglas de los exponentesfraccionarios. Asumamos aquı que, por simplicidad, las letras descono-cidas representan numeros positivos.

a) 6√

8 =6√

23 = 23

6 = 21

2 =√

2

b)√

8ab3 =√

4b2√

2ab = 2b√

2ab = 23

2 a1

2 b3

2

c) 3

√

3c

d3e6=

3√

3c3√d3e6

=3√

3c

de2= 3

1

3 c1

3 d−1e−2


d) 4√

16x7y9 = 2xy2 4√

x3y = 2x7

4 y9

4

e) 9√

27x3y6 = 3√

3xy2 = 31

3x1

3 y2

3

f)3√

2√

8x3 =6√

8x3 =2√

3√

8x3 = 2√

2x = 21

2x1

2

g)

(

3

√2x

3y

)2

= 3

√

(2x

3y)2 = 3

√

4x2

9y2=

3√

4x2

3√

9y2= 2

2

3 3−2

3x2

3 y−2

3

h)3√xy

2√xy

=1

6√xy

= x−1

6 y−1

6

i) 3√

27x3y6 4√

16x4y8 = (3xy2)(2xy2) = 6x2y4

Nota 5. (Sobre los exponentes fraccionarios)

A menudo se sugiere que el sımbolo moderno de radical√

proviene deuna r alterada, que es la primera letra de la palabra latina radix. Dehecho, esta era la opinion de Leonhard Euler [1707-1783] en su Insti-tutiones Calculi Differentialis de 1775. La primera vez que se utilizo

√para la raız cuadrada, fue en 1525 en el Die Cross de Cristoff Rudolff,aunque este no utilizaba ındices de raıces superiores sino que modificabala apariencia del sımbolo de la raız cuadrada. En 1637, Descartes, en suya mencionada Geometrie, lo harıa universal.

De otro lado, los primeros en explicar el significado de los exponentesfraccionarios fueron John Wallis (1656)(en su Arithmetica Infinitorum),e Isaac Newton (1676)(en la misma carta mencionada en la Nota 2 ante-rior). Es a ellos a quienes les debemos la notacion que es hoy reconocida.

Ejercicios 2


a) (ab2c3)(a3b)2(ac3)5 b) (2x2y4)3(ax5y11)2 c) (2a2x3y7)5

d) (x2y8z7)7 e) (a2bmc3)2n f) (ambncm)n


2. Reduzca cada uno de los siguientes radicales a su forma mas simplecon exponentes fraccionarios:

a)√

18 b)√

588 c)3√

272

d)9√

1000 e)

√

3

2f)

3

√

3

2

g)3

√

3

4h)

5

√

3

16i) 12

√

8x6y9z15

j)3

√

c(n+3)

a(3n)b(3n+2)k)

4

√

z16

a8x8l)

3√a2bc2

3√ab2c

m) 2n√a 3n

√a n) (

√12)3 o)

3

√√18

p)

√

23√

2 q)

√√3

3√

3 r)2m

√

n√am

s) a2

5a−1

3 a−1

15 t) (32a10)3

5 u) a2

3 a3

4a5

6

3. Breve sobre factorizacion

Los procesos de factorizacion son, esencialmente, procesos de simplifica-cion algebraica que, en muchas ocasiones, revelan ciertas caracterısticasde la expresion, que pueden ser muy utiles dentro del problema bajoestudio. De hecho, la idea inicial es que algunas expresiones algebraicaspueden tener un termino que podrıa tomarse como factor comun, poraplicacion de la ley distributiva; es decir, la regla de numeros que afirmaque

ab+ ac = a(b+ c)

para a, b, c, numeros cualquiera. Veamos en detalle los metodos de fac-torizacion mas recurrentes en la practica. Pero antes, para darnos unaidea general, observemos los siguientes ejemplos de factorizaciones.


Ejemplo 4.

Factoricemos las siguientes expresiones:

a) a2c− abd− abc+ a2d b) ac+ bd+ ad+ bc

c) a2 + ab− bd− ad+ ac− cd d) x5 − x3 − 8x2 + 8

e) x4 − x3 + x− 1 f) x4 + x3 + x2 + x

Solucion

a) a2c− abd− abc+ a2d = ac(a− b) + ad(a− b) = a(a− b)(c+ d)

b) ac+ bd+ ad+ bc = a(c+ d) + b(d+ c) = (a+ b)(c+ d)

c) a2+ab−bd−ad+ac−cd = a(a+b+c)−d(a+b+c) = (a−d)(a+b+c)

d) x5 − x3 − 8x2 + 8 = x2(x3 − 8) − (x3 − 8) = (x2 − 1)(x3 − 8)

e) x4 − x3 + x− 1 = x3(x− 1) + (x− 1) = (x3 + 1)(x− 1)

f) x4 + x3 + x2 + x = x2(x2 + x) + (x2 + x) = (x2 + 1)(x2 + x) =x(x+ 1)(x2 + 1)

Enseguida, cuando conozcamos otros casos tıpicos de factorizacion, po-dremos escribir algunos de estos productos mas explıcitamente.

a). Algunos productos especiales y el proceso de factori-zacion

Existe un numero de productos especiales que, cuando se presentan,podrıan hacer expedito el proceso de factorizacion: los cuadrados per-fectos, las diferencias de cuadrados, y la suma y diferencia de potenciasen general.

I). Cuadrados perfectos

Si a y b son dos numeros cualquiera, entonces:

a) a2 + 2ab+ b2 = (a+ b)2 b) a2 − 2ab+ b2 = (a− b)2

y la prueba de esto es inmediata expandiendo los respectivos terminosde la derecha en ambas igualdades.


Ejemplo 5.

Factoricemos como cuadrados perfectos las siguientes expresiones:

a) 9x2 − 12xy + 4y2 b) a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

Solucion.

a) 9x2 − 12xy + 4y2 = (3x)2 − 2(3x)(2y) + (2y)2 = (3x− 2y)2

b) a2+b2+c2 +2ab+2ac+2bc = (a+b)2 +2(a+b)c+c2 = (a+b+c)2

En estos dos ultimos ejemplos podemos observar la virtud principal delos procesos de factorizacion, y es que al simplificar ası una expresionalgebraica, es posible que revelemos informacion que antes no se tenıa asimple vista. Por ejemplo, notemos como la factorizacion de las expresio-nes algebraicas del ejemplo anterior nos muestra que ambas expresionesson no-negativas, puesto que todo numero elevado al cuadrado es no-negativo. Y esa informacion no era, en absoluto, obvia, a partir de lasexpresiones originales antes de factorizar.

II). Diferencia de cuadrados

Si a y b son dos numeros cualquiera, entonces

a2 − b2 = (a− b)(a+ b)

y la prueba de esto es inmediata expandiendo el termino de la derechade la igualdad.

Ejemplo 6.

Observemos como podemos factorizar las dos siguientes diferencias decuadrados:

a) x2 − y2 − z2 + 2yz = x2 − (y2 − 2yz + z2) = x2 − (y − z)2 =(x+ y − z)(x− y + z)

b) x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 − x2y2 = (x2 + y2)2 − x2y2 =(x2 + y2 − xy)(x2 + y2 + xy)


III). Suma y diferencia de potencias en general

La generalizacion directa del caso anterior, y de otros casos, la encon-tramos en las tres siguientes expresiones:

i) Si n es cualquier numero natural, se tiene que

an − bn = (a− b)(an−1 + an−2b+ ...+ abn−2 + bn−1)

ii) Si n es par, se tiene que

an − bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ ...+ abn−2 − bn−1)

iii) Si n es impar, tambien se tiene que

an + bn = (a+ b)(an−1 − an−2b+ ...− abn−2 + bn−1)

y la prueba de estos tres casos se realiza efectuando los respectivos pro-ductos en cada uno de los lados derechos de las tres igualdades.

Ejemplo 7.

Veamos algunas factorizaciones de sumas o diferencias de potencias:

a) x6 − 1 = (x− 1)(x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)

b) x6 − 1 = (x+ 1)(x5 − x4 + x3 − x2 + x− 1)

c) x7 + 1 = (x+ 1)(x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x+ 1)

d) 8a3 + 27b3c3 = (2a)3 + (3bc)3 = (2a + 3bc)[(2a)2 − (2a)(3bc) +(3bc)2] = (2a+ 3bc)(4a2 − 6abc+ 9b2c2)

e) x6 − y15 = (x2)3 − (y5)3 = (x2 − y5)(x4 + x2y5 + y10)

f) x5 − x3 − 8x2 + 8 = x2(x3 − 8) − (x3 − 8) = (x2 − 1)(x3 − 8) =(x− 1)(x+ 1)(x− 2)(x2 + 2x+ 4) 2

2Algunas de estas factorizaciones podrıan ir mas alla, encontrando otros factores.¿Podrıa el lector, como ejercicio opcional de este punto, identificar cuales son estos,y hacerlo efectivamente? Cuando conozcamos en la proxima leccion algo mas sobrefactorizacion, en particular sobre raıces de polinomios, sera claro cuales pueden serestos factores.


b). La formula binomial de Newton (1676)

La formula binomial es la forma ampliada de la expresion algebraica(a + b)n donde n es un numero entero positivo. En el camino de estedesarrollo nos encontramos con que los coeficientes de esta expansionsatisfacen ciertas caracterısticas que el matematico frances Blaise Pascal(1654) resumio en lo que ahora se llama el triangulo de Pascal.

I). El triangulo de Pascal

Aunque el triangulo de Pascal debe su nombre a este matematico, yaera conocido desde mucho antes. Las primeras referencias del triangulocorresponden a China, donde se constata que el triangulo se estudiabaalrededor de 1100. En relacion con el, se suelen citar al matematico chinoYang Hui, del siglo XIII, conocido por haber estudiado algunas de suspropiedades, y al matematico persa Omar Khayyam, del siglo XI-XII,cuyo descubrimiento del triangulo se presume que fue independiente delos matematicos chinos.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 տ6ր 4 1

1 տ5ր 10 տ10ր 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 տ35ր 35 տ21ր 7 1

Figura 1: Triangulo de Pascal

Para entender como se construye el triangulo de Pascal, tomemos lasfilas del triangulo de la figura 1 comenzando a numerarlas desde 0, demodo que la fila n contiene n + 1 elementos, de los cuales el primero yel ultimo toman el valor 1, mientras que los demas elementos de estafila se obtienen sumando los elementos inmediatamente superiores dela fila anterior. El triangulo de arriba muestra solo las primeras filasdel triangulo. El interes del triangulo de Pascal tiene diferentes razones,pero la principal es que los numeros que aparecen en cada fila son los


coeficientes que se obtienen al desarrollar (a + b)n. Por ejemplo, si ob-servamos la fila 3, notamos que los numeros 1, 3, 3, 1 son, precisamente,los coeficientes del desarrollo de (a + b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3. Estapropiedad del triangulo de Pascal permite, en particular, los calculos enla formula binomial de Newton, que presentamos a continuacion.

II). La formula binomial de Newton

La formula binomial de Newton3 para un numero natural n, es

(a+ b)n = an +n

1an−1b+

n(n− 1)

1 · 2 an−2b2 +n(n− 1)(n − 2)

1 · 2 · 3 an−3b3 + ...+ bn

Por ejemplo,

i) Para n = 2 es (a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2

ii) Para n = 3 es (a+ b)3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

iii) Para n = 4 es (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4

Observamos que la formacion de los coeficientes, efectivamente, coinci-den con la prescrita por el triangulo de Pascal: para n = 2 los coeficientesde la fila 2; para n = 3 los coeficientes de la fila 3; etc.

Cabe agregar que si cambiamos b por −b en la formula binomial y sim-plificamos terminos, se obtiene que

(a− b)n = an − nan−1b+n(n− 1)

1 · 2 an−2b2 − n(n− 1)(n − 2)

1 · 2 · 3 an−3b3 + ...+ (−b)n

Ejemplo 8.Encontremos la expansion por la formula binomial de (2x− y3)6.

Solucion.

(2x− y3)6 = (2x)6 − 6(2x)5y3 +6 · 51 · 2(2x)4(y3)2 − 6 · 5 · 4

1 · 2 · 3(2x)3(y3)3 + ...+ (y3)6

= (2x)6 − 6(2x)5y3 + 15(2x)4(y3)2 − 20(2x)3(y3)3 + 15(2x)2(y3)4

− 6(2x)(y3)5 + (y3)6

= 64x6 − 192x5y3 + 240x4y6 − 160x3y9 + 60x2y12 − 12xy15 + y18

3Sin embargo, Newton nunca publico este resultado. En su “Treatise of Algebra”de 1685, John Wallis afirma que el resultado es de Newton.


Ejemplo 9.Encontremos la expansion por la formula binomial de (x3 + y3)3.

Solucion.

(x3 + y3)3 = (x3)3 + 3(x3)2y3 +3 · 21 · 2(x3)(y3)2 +

3 · 2 · 11 · 2 · 3(x3)0(y3)3

= x9 + 3x6y3 + 3x3y6 + y9

Ejemplo 10.

Encontramos la expansion por la formula binomial de

(

1 − 1

x

)10

.

Solucion(

1 − 1

x

)10

= 1−10

x+

45

x2−120

x3+

210

x4−252

x5+

210

x6−120

x7+

45

x8−10

x9+

1

x10

Nota 6.La generalizacion de la formula binomial para enteros negativos y frac-cionarios de n se debe a Newton (1676), aunque su prueba formal re-quirio de los trabajos posteriores de Colin MacLaurin (1742), LeonhardEuler (1774) y Niels H. Abel (1825) (ver Volumen II: Calculo).

Ejercicios 3

1. Factorice, si es posible, las siguientes expresiones algebraicas:

a) a2c− abd− abc+ a2d b) a2 + cd− ab− bd+ ac+ ad

c) x4 + x3 + x2 + x d) 10xy + 5y2 + 18x+ 9y

e) x3 + 3x2 − 2x− 6 f) x3 + 2x2 + 2x+ 1

2. Pruebe la verdad de la igualdad

(a2 + b2)(c2 + d2) = (ac+ bd)2 + (ad− bc)2

e inmediatamente deduzca que si dos numeros son sumas de cua-drados, entonces su producto tambien es suma de cuadrados. Com-pruebe esto en el caso de 13 = 9 + 4, 41 = 25 + 16, 533 = 13 · 41 =(32 + 22) · (52 + 42) = (3 · 5 + 2 · 4)2 + (3 · 4 − 2 · 5)2 = 232 + 22.



a) 12a3x3 − 75axy2 b) 6a3 − 6ab2

c) 36x4 − 1 d) x4 − 3x2y2 + y4

e) x6 − y6 f) 25x4 − 49y4

g) 64x3 − 125y3 h) 16x4 − 81y4

i) x8 − 1 j) x7 − 1

k) x3 − 1 l) x4 − 1

m) x2 + 3x+ 2 n) x2 + x− 30

n) x2 + 20x+ 96 o) x2 − 21x+ 80

p) abx2 − (ac− b2)x− bc q) 6x2 − 13x+ 6

4. Expanda las siguientes expresiones algebraicas con la ayuda delbinomio de Newton:

a) (3x+ 2y)2 b) (1 + 2x2)3

c) (a2 − b)4 d)

(

2 +1

y

)5

e) (a2 + ax− x2)2 f) (a2 + ax− x2)3

4. Racionalizacion

Cuando el producto de dos expresiones es “racional” (es decir, sin radi-cales), a cada una de estas se le llama un factor racionalizador del otro.El proceso de “racionalizacion” es, esencialmente, de simplificacion deexpresiones algebraicas cuya conveniencia depende, estrictamente, delproblema que se esta estudiando. Consiste en eliminar, de ser posible,los radicales de un numerador o de un denominador. Es de creer queeste tipo de procedimiento podrıa provenir del temor y confusion quela aparicion de expresiones con raıces (cuadradas, cubicas, etc), par-ticularmente en los denominadores, causo durante muchos anos en elpensamiento matematico.


Ejemplo 11.

a) Sabemos que

i) (√a +

√b)(

√a −

√b) = a − b; ası

√a +

√b es un factor

racionalizador de√a−

√b, y viceversa.

ii) Para encontrar un factor racionalizador de (1 + y) +√x(1 +

2y), multipliquemos por (1 + y) − √x(1 + 2y) para obtener

(1 + y)2 − x(1 + 2y)2.

b) Racionalicemos el denominador de1

4√a3

.

Utilizando notacion de exponentes fraccionarios tendremos que

14√a3

=1

a3

4

=a

1

4

a3

4a1

4

=a

1

4

a=

4√a

a

c) Racionalicemos el denominador de

√x2 + a2 +

√x2 − a2

√x2 + a2 −

√x2 − a2

.

√x2 + a2 +

√x2 − a2

√x2 + a2 −

√x2 − a2

=(√x2 + a2 +

√x2 − a2)2

(√x2 + a2 −

√x2 − a2)(

√x2 + a2 +

√x2 − a2)

=x2 +

√x4 − a4

a2

d) Racionalicemos el numerador de( 3√xy)2

x+ y.

Utilizando notacion de exponentes fraccionarios tendremos que

( 3√xy)2

x+ y=

(xy)2

3 (xy)1

3

(x+ y)(xy)1

3

=xy

(xy)1

3 (x+ y)

e) Racionalicemos el numerador de

√ab+

√c√

ab+√b.

Utilizando exponentes fraccionarios tendremos que

[√ab+

√c√

ab+√b

][√ab−√

c√ab−√

c

]

=ab− c

ab− (abc)1

2 + a1

2 b− (bc)1

2


f) Para racionalizar el denominador de1

3√a− 1

procedemos ası:

13√a− 1

=(a2/3 + a1/3 + 1)

( 3√a− 1)(a2/3 + a1/3 + 1)

=a2/3 + a1/3 + 1

a− 1

Ejercicios 4

Racionalice los denominadores de las siguientes fracciones:

a)1

√a

5√b2

b)

√3 −

√2

2√

3 + 3√

2c)

1

b+√b2 − a2

d)

√x+ y +

√x− y√

x+ y −√x− y

e)

√5 +

√3a√

5 −√

3af)

13√

3 − 1

g)1

4√x+ 1

h)1

5√

3 − 1i)

15√x− 1

5. Nota final

Cuando los europeos de la ultima parte del perıodo medieval y del Re-nacimiento recibieron el conocimiento existente en matematicas prove-niente de los griegos, hindues y arabes, intentaron enfrentar el problemapresentado por las dos aproximaciones a las matematicas: las deductivasy bien fundamentadas de la geometrıa griega clasica, y las practicas dela aritmetica y algebra de los griegos alejandrinos, hindues y arabes que,sin embargo, no tenıan fundamentacion logica.

El problema principal que persistıa era el de los numeros irracionales.Matematicos importantes de aquella epoca como Michael Stifel [1486-1567] y Jeronimo Cardano [1501-1576], y el mismo Francois Viete [1540-1603], utilizaban los numeros irracionales dentro de la tradicion hindu-

arabe. Por ejemplo, Stifel estudiaba irracionales de la formam√

a+√b;

Cardano trabajaba con irracionales en la forma de raıces de ecuaciones,y Viete encontraba la notable expresion

2

π=

√

1

2·√

1

2+

1

2

√

1

2·

√√√√1

2+

1

2

√

1

2+

1

2

√

1

2· · ·


Inclusive los mismos irracionales se utilizaron en una de las mas impor-tantes creaciones matematicas del Renacimiento: los logaritmos. Estos,inventados por John Neper [1550-1617] con el unico objeto de hacer masrapidos ciertos calculos aritmeticos, fueron, por esta misma razon, masque bienvenidos.

Hubo tambien, sin embargo, afirmaciones positivas sobre que los nume-ros irracionales eran entidades legıtimas. Simon Stevin [1548-1620] reco-nocıa los irracionales como numeros al aproximarlos, mas y mas, median-te fraccionarios; y John Wallis [1616-1703] en su Algebra de 1685 tambienaceptaba los numeros irracionales como numeros por sı mismos. Sin em-bargo, ni Stevin ni Wallis dieron fundamentos logicos a sus afirmacionesy esto privo a las matematicas de desarrollos mas tempranos en su logi-ca. Aun ası, cuando Descartes en su Geometrıa (1637) creo, junto conFermat en su Isagoge (1629), la geometrıa analıtica, estaba presuponien-do una correspondencia uno-a-uno entre todos los numeros positivos ylos puntos de una lınea recta; y como muchos de estos numeros eran irra-cionales, aceptaron, implıcitamente, la naturaleza real de estos numerosa pesar de tampoco tener ninguna fundamentacion logica para ellos. Dehecho, serıan los sucesores de Descartes y Fermat quienes introducirıanlos numeros negativos (otra de las dificultades que debio enfrentar eldesarrollo del algebra) en la geometrıa analıtica, y esto le darıa quizasel mayor impulso a la aceptacion de estas “extranas” cantidades.

La segunda etapa del algebra comenzo por aquella misma epoca con laaparicion en 1770 de la Introduction to Algebra de Euler en la que definıael algebra como la teorıa de los calculos con cantidades de distintostipos. La primera parte de su libro contenıa la teorıa del calculo connumeros enteros, fracciones ordinarias, raıces cuadradas y cubicas, teorıade logaritmos, progresiones, teorıa de calculos con polinomios, y la teorıade la serie binomial de Newton. La segunda parte consistıa en la teorıade las ecuaciones de primer grado y sistemas de tales ecuaciones, y enla teorıa de las ecuaciones cuadraticas y de soluciones a las ecuacionesde tercer y cuarto grado mediante radicales. Tambien mostraba que laecuacion de Fermat x3 + y3 = z3 no podıa resolverse mediante numerosenteros x, y, z (“Problema de Fermat” para n = 3).

Ya a finales del siglo XVIII y comienzos del XIX, un problema hastaentonces particular del algebra llegarıa a ser su eje central: la teorıa de la


solucion de ecuaciones algebraicas. Este problema consistıa en encontrarlas soluciones a la ecuacion algebraica con una incognita:

a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x+ an = 0

donde los coeficientes a0, a1, a2, ..., an son numeros enteros. Y esto suce-dio no solo como consecuencia natural de la importancia del problemapara la matematica pura y aplicada, sino tambien debido a la dificul-tad y profundidad de la mayorıa de teoremas conectados con ella. Laformula general de solucion para la ecuacion lineal ax+ b = 0 con a 6= 0

es bien conocida como x = − ba, y la formula general para la ecuacion

cuadratica

ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0,

tambien conocida por todos, es

x =−b±

√b2 − 4ac

2a

Ademas, los algebristas del siglo XVI encontraron reglas generales analo-gas, aunque mas complicadas, para las ecuaciones de tercer y cuartogrado. 4

Sin embargo, resolver de manera general ecuaciones de grado superiorresulto ser una empresa imposible. Los mas grandes matematicos de lossiglos XVI, XVII, XVIII y principios del XIX crearon un impresionanteedificio de teoremas y metodos conectados con este problema. De he-cho, el influyente texto de algebra de Joseph Alfred Serret aparecido en1866 (aproximadamente 100 anos despues del de Euler) definıa “alge-bra”como la teorıa de las ecuaciones algebraicas. Aun ası, bien mereceanotarse aquı que el algebra de todo este perıodo se representa bien enlos libros de texto que hoy conocemos como algebra superior, todos ellosevidentemente inspirados en el Introduction to Algebra de Euler.

Ya en la segunda mitad del siglo XX ocurrio (sobre la base de las ideasdel matematico frances Evariste Galois [1811-1832] en la primera mitad

4Si el lector esta interesado en profundizar en los temas algebraicos desarrolladosaquı, recomendamos “Hall, Henry y Samuel Knight (1948), Algebra Superior,Uteha”.


del siglo XIX acerca de la teorıa de las ecuaciones algebraicas) un pro-fundo desarrollo en estructuras matematicas como la teorıa de gruposy la teorıa de las ecuaciones algebraicas, que permitieron el desarrollodel aparato algebraico en diversas direcciones; por ejemplo, la teorıa dedeterminantes, matrices, formas cuadraticas, transformaciones lineales,y la teorıa de invariantes, abarcados todos dentro de la estructura de“espacio vectorial”, tuvieron el impulso desde la mecanica y la fısica.

Se comenzaron a estudiar, mas y mas, objetos que ya no eran numerosy para los cuales era natural considerar operaciones de adicion, subs-traccion y, algunas veces, de multiplicacion y division, pero que estabansujetas a leyes diferentes de las que aplicamos a los numeros: vectores,matrices, tensores, espines, numeros hipercomplejos, todos estos objetosse denotaban, nuevamente, mediante letras pero con leyes de operaciondiferentes a las de los numeros. Ası, si un conjunto de objetos satis-facıa ciertas operaciones o leyes de operacion, entonces decıamos que sehabıa definido un “sistema algebraico”. Surgieron sistemas algebraicosabstractos como la teorıa de grupos, la teorıa de anillos, la teorıa deespacios vectoriales (que es la base del algebra lineal), etc., y esta esla que hoy se conoce como algebra abstracta o moderna. Sin embargo,debe reconocerse que su base de construccion fue, precisamente, la grancantidad de material algebraico recogido a lo largo de muchos siglos deesfuerzos.



1. Indique como, cada una de las siguientes propiedades de los nume-ros, tambien puede establecerse geometricamente, suponiendo quea, b son cantidades positivas:

a) (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2 b) a2 − b2 = (a+ b)(a− b)

2. [Formula de Heron de Alejandrıa] Es posible ofrecer una pruebaesencialmente algebraica y trigonometrica del teorema de Heron deAlejandrıa (ya probado geometricamente en los ejercicios comple-mentarios de la leccion 1), sobre el area de un triangulo en termi-nos de sus lados y su semi-perımetro. El ejercicio aquı consiste enseguir atentamente esta prueba:

A =√

p(p− a)(p − b)(p − c) (formula de Heron)

donde a, b, c son las longitudes de los lados y p =a+ b+ c

2es el

semiperımetro.

aA

b

C

c

B

En efecto, consideremos el triangulo de la figura de arriba. De larelacion trigonometrica en el triangulo ABC, sen2 C + cos2C = 1,tendremos que senC =

√1 − cos2 C. Ası,

Area ABC = 12ab senC = 1

2ab√

1 − cos2 C

Ahora: de la ley de cosenos se tendra que

cosC =a2 + b2 − c2

2ab


Y, por consiguiente,

Area ABC =1

2ab

√

1 − (a2 + b2 − c2

2ab)2

=1

4

√

(2ab)2 − (a2 + b2 − c2)2

=1

4

√

(2ab+ a2 + b2 − c2)(2ab − a2 − b2 + c2)

=1

4

√

((a+ b)2 − c2)(c2 − (a− b)2)

=1

4

√

(a+ b− c)(a+ b+ c)(c + a− b)(c− a+ b)

=√

p(p− a)(p − b)(p − c)

Es evidente aquı la mayor simplicidad de esta prueba, comparadacon la prueba geometrica de la leccion 1.

3. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a)

(3x

3 + x

)(x

3− 3

x

)

b)

5

3− 2

17

1 +3

8· 2

9

c)−2

3+

5

8

8 +

(9

2

)2 d) 1 − 11

x+ 1

e)

a

a− b− a

a+ bb

a− b+

b

a+ b

f)

(2

3− 1

4 + x+

1

4 − x

)

3 + x

2 + x− 4 − x

2 − x


4. Simplifique las siguientes expresiones algebraicas:

a)(a− b)2(b− c)3(c− a)4

(b− a)(c − b)2(a− c)3

b)30a2b3c4 − 25a3b2c5 + 20a4b4c7

−5ab2c3

c)3(x− y)4 − 2(x− y)3 + 5(x− y)2

(y − x)2

d)4a7(3ab3c2)[(abc2)

bc

]

e)3

√

27x6y15

b9z12

f) 6√

(x4y2 − 2x3y3 + x2y4)3

5. Simplifique las potencias siguientes:

a) (2a2x3y7)5 b) (a2bmc3)2n

c) (ambnc2n)n d) (−ab2c3)(a3b)2(−ac3)5

e) (−2x2y4)2(bx7y12)3 f) (3a3b)2(b2c3)3(2ac)


a)(a− b)2(b− c)3(c− a)4

(b− a)(c− b)2(a− c)3b)

4a7(3ab3c2)5

(abc)3

abc

c)30a2b3c4 − 25a3b2c5 + 20a4b4c7

−5ab2c3d)

a2 − ab

a3 − a2b+ ab− b2

e)a

(a− b)(a− c)+

b

(b− c)(b− a)+

c

(c− a)(c − b)


7. Reduzca cada uno de los siguientes radicales a su forma mas simplecon exponentes fraccionarios:

a) (81)3

4 b)3

√

a−1 4√a3 c) ((3a)a)a

d)b−

1

312√b−5

b−1√b−2

e) (8)−5

2 f)

(1√x−5

)−4

g) x−1

2

√

y−3 h) b3√b4

6√b5 i)

x−2√

y−3

y−2√x−3

j)√

23√

24√

2 k)

√35√

75

l)10√

5

m)6√

34√

5n)

2√

3

3√

2o)

√6√

10√

15

p)43√

2q)

2√

35√

65√91

r)4

√

3√a2

8. Pruebe que el coeficiente de x4 en la expansion de (1 + 2x+ 3x2)5

es 530.


a) x5 − 1 b) x4 − y4

c) x5 − 32 d) x6 − y6

e) 4(ab+ cd)2 − (a2 + b2 − c2 − d2)2 f) 4(1 − b2 − ab) − a2

g) a2bc− ac2d− ab2d+ bcd2 h) a3(a− b) + b3(b− a)

i) 3x6 − 192y6 j) x− x2 + 42

k) (ax+ by)2 − (bx− ay)2 l) (x2 + 2x− 1)2 − (x2 − 2x+ 1)2

m) abcx2 + (a2b2 + c2)x+ abc n) x2n − 3xn − 18

o) x2(y − z) + y2(z − x) + z2(x− y) p) yz(y − z) + zx(z − x) + xy(x− y)


10. Reduzca los siguientes radicales a su forma mas simple:

a)3

√

1 − a3

b3b)

√

a+ b

a− b

c)4√

a4b4 − 2a3b5 + a2b6 d)

√

ax2

b3− 2ax

b2+

1

b

11. Resuelva para x las siguientes ecuaciones:

a) 15 − (7 − 8x) = 2x+ (3 − 4x)

b) x(x+ 3) − 4x(x− 5) = 3x(5 − x) − 8

c) (x+ a)(x+ b) = (x− a)2

d) x = 1 +x

2+x

3+x

4

e) 3 − 5 − 2x

5= 4 − 2 − 8x

10

f)(m

n+n

m

)

x =m

n− n

m− 2x

g) ((a+ b)x− c)2 = ((a− b)x+ c)2

h) (x− 2)(x+ 3)(2x − 5)(3x+ 2) = 0

i) x− 7 −√x− 5 = 0

j) 3√√

x+ a =√b

12. Una mezcla de 25 litros de las sustancias A y B contiene 30 porciento de la sustancia A. ¿Cuantos litros de la sustancia A debenagregarse a la mezcla inicial para obtener una mezcla final quetenga un 45 por ciento de la sustancia B ? [Indicacion: Usted

podrıa arribar a la ecuacion7·5 + x

25 + x= 0·55 donde x es la cantidad

pedida de litros de la sustancia A].

13. Jorge puede contestar un parcial de microeconomıa en 3 horas,pero cuando lo hace con Norman, lo pueden contestar en 1 hora.¿Cuanto tiempo necesitarıa Norman para contestar el parcial sinla ayuda de Jorge?

14. Dos lugares X y Y estan a una distancia a entre sı. A su vez,dos personas parten en el mismo momento de cada uno de los


lugares hacia el otro sitio. El que sale de X viaja a una velocidadpromedio vX , y el que sale de Y viaja a una velocidad promediovY . Muestre que las personas se encontraran a una distancia x de

X determinada por la ecuacionx

vX=a− x

vY. ¿Cual es el valor de

x?

15. Una suma A se reparte entre cierto numero de personas por partesiguales. Si el numero de personas hubiera aumentado en 1

5 , cadauna habrıa recibido 1

60A. ¿Que parte de A recibio cada persona ycuantas personas habıa?

16. Ana invierte 23 de su salario en arriendo y alimentacion, y 1

5 engastos generales. Sin embargo, en un ano logra ahorrar $2′400.000.¿Cuanto es su salario mensual?

17. El padre de una familia dejo una cantidad de 650 millones de pesosde herencia a la madre, al hijo y a la hija. El testamento decıa quela madre debıa recibir el doble del hijo, y que la hija 50 millonesmas que el hijo. ¿Cuanto recibio cada uno?

18. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produceal precio de $20, 000 cada uno. Le cuesta $12, 500 producir cadaartıculo por los materiales y la mano de obra, y tiene un costoadicional de $7′000, 000 al mes, con el fin de operar la planta.Encuentre el numero de unidades que debe producir y vender paraobtener una utilidad de $5′000, 000 mensuales.

19. La produccion diaria de cierto artıculo cuesta $2, 000 la unidad.Hay unos costos fijos (local, materiales) diarios de $50, 000. ¿Acomo se debe vender cada artıculo para obtener utilidades de porlo menos $15, 000 diarios si se venden 50 artıculos?

20. Un ganadero compro 100 reses a $1′500, 000 cada una. ¿Mınimo,a como debe vender cada una, para obtener una utilidad total depor lo menos $20′000, 000?

21. Expanda las expresiones siguientes mediante la formula binomialde Newton:

a)(

x2

3 + y−2

3

)3b)

(

x1

2 − y1

4 z1

4

)4


22. Encuentre el sexto termino de(

1 +x

2

)12.

23. Encuentre el coeficiente de x4 en (3 − 2x)7.

24. ¿Cual es, si existe, el termino constante de

(

x+1

x

)5

?

* 25. Pruebe las siguientes identidades algebraicas:

a)a(b− c)2

(c− a)(a− b)+

b(c− a)2

(a− b)(b− c)+

c(a− b)2

(b− c)(c− a)= a+ b+ c

b)a3(b+ c)

(a− c)(a− b)+

b3(c+ a)

(b− a)(b− c)+

c3(a+ b)

(c− b)(c − a)= cb+ ca+ab

c) (b+ c)3 + (c+ a)3 + (a+ b)3 − 3(b+ c)(c+ a)(a+ b) = 2(a3 +b3 + c3 − 3abc)

* 26. En el siglo XVIII, Euler descubrio la identidad

(a21+a2

2+a23+a2

4)(b21+b22+b23+b24) = (−a1b1+a2b2+a3b3+a4b4)

2+

(a1b2 + a2b1 + a3b4 − a4b3)2 + (a1b3 − a2b4 + a3b1 + a4b2)

2+

(a1b4 + a2b3 − a3b2 + a4b1)2

que muestra que si dos numeros son la suma de cuatro cuadra-dos, entonces su producto tambien lo es. Corrobore la identidadde Euler. El matematico frances Joseph L. Lagrange [1736-1813]utilizarıa esta identidad para probar la version del teorema de Fer-mat que afirma que todo numero natural puede expresarse como lasuma de, a lo mas, cuatro cuadrados.

* 27. Joseph Liouville [1809-1882] al probar (utilizando el teorema deFermat) que todo numero es la suma de, a lo mas, 53 potencias degrado cuatro, utilizo la siguiente identidad, que pedimos al lectorverificar:

6(a21 + a2

2 + a23 + a2

4)2 = (a1 + a2)

4 + (a1 + a3)4+

(a2 + a3)4 + (a1 + a4)

4 + (a2 + a4)4 + (a3 + a4)

4+

(a1 − a2)4 + (a1 − a3)

4 + (a2 − a3)4 + (a1 − a4)

4+

(a2 − a4)4 + (a3 − a4)

4.

Leccion 3

La geometrıa analıtica de Descartes y

Fermat1

Introduccion

La geometrıa analıtica es la parte de las matematicas que, aplicandoel metodo coordenado, investiga objetos geometricos mediante metodosalgebraicos. Aparecio a principios del siglo XVII como una rama com-pletamente nueva de las matematicas y no lo hizo por accidente. Latransicion en Europa a los nuevos metodos de manufactura requerıan elavance de muchas ciencias y, poco antes, la mecanica (fısica) habıa sidodesarrollada por Kepler y Galileo, ademas de que existıan muchos datose informacion acumulada de investigaciones dispersas. Los metodos deobservacion estaban perfeccionandose y las obsoletas teorıas escolasticasestaban permitiendo el paso a nuevos paradigmas.

Por otro lado, el arte de la guerra tambien requerıa matematicas; elipsesy parabolas, cuyas propiedades ya conocıan los griegos 2000 anos antes,no estarıan mas en el reino de la geometrıa. Despues de que Kepler hu-biera descubierto que los planetas giran alrededor del sol en elipses, yGalileo hubiera afirmado que una bala de canon disparada al aire tra-zaba una parabola, era necesario calcular estas elipses y encontrar estasparabolas. Era necesario entender tambien que la presion atmosfericadecrece con la altura (Pascal); y ademas, era necesario calcular areasy volumenes de muchos cuerpos solidos. Problemas como estos dieronvida a nuevas ramas de las matematicas como la geometrıa analıtica y

1Con la colaboracion de Marıa Cristina Rodrıguez.

125


el calculo diferencial, y estas dos areas le cambiarıan la cara a las ma-tematicas completamente, pues permitıan resolver y entender problemasque hasta ese momento eran considerados imposibles.

Fueron Pierre de Fermat [1608-1665] y Rene Descartes [1596-1650], dosde los mas grandes matematicos franceses de todos los tiempos, quie-nes han recibido (especialmente el segundo) todos los creditos de ser los“creadores” de la geometrıa analıtica. Descartes, en su Discours de laMethode pour Bien Conduire sa Raison et Chercher la Verite dans lesSciences plus la Dioptrique, les Meteores et la Geometric qui sont deessais de lette methode publicado en 1637 presenta, en su ultima parte,una descripcion suficientemente completa (aunque algunas veces confu-sa) de la teorıa matematica que desde entonces se ha llamado geometrıaanalıtica. 2

Descartes querıa crear un metodo general que pudiera aplicarse a la solu-cion de problemas geometricos. Para esto, baso su teorıa en dos concep-tos: el concepto de coordenadas y el concepto de representar, medianteestas, cualquier ecuacion algebraica con dos incognitas en la forma deuna curva en el plano. Por coordenadas de un punto en el plano, Descar-tes entendıa la abscisa (o corte) y la ordenada de este punto; es decir, losvalores x y y de sus distancias (con signos correspondientes) a dos rectasperpendiculares entre sı (ejes coordenados) que se cortan en un puntode coordenadas llamado origen. Con esto, Descartes habıa “aritmetiza-do” la geometrıa: en lugar de calcular cualquier punto geometricamente,calculaba sus coordenadas x, y con respecto al origen (ver figura 1).

Figura 1: Coordenadas cartesianas

P (x, y)

O x

y

abscisa X

ordenada Y

2Desafortunadamente, las ediciones comerciales que encontramos del Discours dela Methode no incluyen la ultima parte del texto original que es donde aparecenlas ideas fundacionales de la geometrıa analıtica.

Leccion 3: geometrıa analıtica 127

En referencia al segundo concepto de Descartes, deberıa decirse pri-mero que, hasta su epoca, toda ecuacion algebraica con dos incognitasF (x, y) = 0 se consideraba indeterminada, ya que de la ecuacion era im-posible caracterizar cada una de las incognitas: podrıan existir multiplessoluciones. Sin embargo, Descartes vio el problema de forma diferente:propuso que en una ecuacion con dos incognitas, a x se le considerara laabscisa y a y la ordenada, y ası, variando x, podrıamos calcular los po-sibles valores correspondientes de y, obteniendo un conjunto de puntos(x, y) que describirıan una curva en el plano coordenado. De esta mane-ra, asignaba a cada ecuacion algebraica de dos variables (F (x, y) = 0),una curva del plano completamente determinada (ver figura 2). Estaobservacion de Descartes abrirıa la puerta a las matematicas que hoyconocemos.

Figura 2: Curva en el plano

x

y

F (x, y) = 0

Fermat, por su parte, solo compuso un corto tratado sobre la geometrıaanalıtica llamado Ad Locos Planos et Solidos Isagoge de 1629 que es unlibro dedicado a la lınea, a la circunferencia, y a las secciones conicas. Sutrabajo comienza con la afirmacion de que “aunque los antiguos estudia-ban lugares geometricos (loci), esto lo encontraban difıcil en la medidaen que en algunos casos les era imposible establecer el problema en for-ma general”. Fermat entonces proponıa remitir la teorıa de los lugaresgeometricos a un analisis que creıa que sı era apropiado a tales problemasy que, segun el, abrirıa el camino al estudio de lugares geometricos gene-rales. Pero Fermat no solo introduce la geometrıa analıtica sino tambienla inmensamente util idea de variable algebraica. Su vision dio significa-do a ecuaciones en dos incognitas (que antes habıan sido rechazadas por


la geometrıa) permitiendo a una de las variables tomar valores sucesivosa lo largo de una lınea medida sobre un eje dado, a partir de un puntoinicial, y a la otra variable corresponder a los valores determinados porla primera variable. Para los antiguos griegos la curva aparecıa prime-ro; luego le superponıan ciertas lıneas asociadas que hacıan las vecesde “coordenadas”, y finalmente venıa una descripcion verbal a partirde las propiedades geometricas de la curva. Fermat hizo posible invertiresta situacion, pues comenzando con una ecuacion algebraica, mostrabacomo esta ecuacion podıa definir cierta curva con respecto a un sistemacoordenado dado. Pero aunque ni Fermat ni Descartes inventaron lascoordenadas, ni fueron los primeros en utilizar representaciones grafi-cas, ademas de que el razonamiento analıtico ya habıa sido utilizadoen matematicas desde por lo menos la epoca griega, y la aplicacion delalgebra a la geometrıa habıa llegado a ser un lugar comun, parece queno se entendıa antes de ellos que, en general, una ecuacion algebraicaen dos incognitas determina, per se, una curva geometrica unica. El re-conocimiento de este principio, junto con su uso como procedimientoalgorıtmico formalizado, constituirıan una contribucion decisiva al desa-rrollo de las matematicas.

1. El plano cartesiano

El metodo de Fermat y Descartes que se emplea para dibujar en el planolos pares de numeros, consiste entonces en elegir una recta horizontal,que se denomina eje X, y una recta perpendicular a esta, llamada ejeY . El punto de interseccion de los ejes X y Y recibe el nombre de origeny se designa por la letra O. Se elige una unidad de medida, que suele serla misma en cada eje (aunque esto no es indispensable); se acostumbraestablecer los sentidos positivos de los ejes X y Y hacia la derecha yhacia arriba del origen, respectivamente. A cada par ordenado ( a, b ) denumeros se le asocia un unico punto P del plano de la siguiente forma:Por el punto de coordenada a sobre el ejeX y por el punto de coordenadab sobre el eje Y se trazan segmentos de rectas perpendiculares a losejes X y Y , respectivamente. La interseccion de estos dos segmentosde rectas perpendiculares determina el punto P asociado con un par denumeros ( a, b ) (ver figura 3). El primer numero, a, recibe el nombrede abscisa o coordenada x de P ; y el segundo, b, se denomina ordenada


o coordenada y de P . Recıprocamente, a cada punto P del plano se leasocia un par ( a, b ) de numeros, donde a y b son las coordenadas de lasproyecciones perpendiculares de P a los ejes X y Y , respectivamente. Aesta correspondencia biunıvoca3 entre los pares ordenados de numeros ylos puntos del plano se le conoce como el sistema coordenado cartesianorectangular o, simplemente, plano cartesiano.

−1−2−3−4−5 1 2 3 4 51

2ordenada b b P (a, b)

aabscisa

x

y

Figura 3: Plano cartesiano

Los ejes coordenados dividen entonces al plano en cuatro cuadrantes. Elinterior del primer cuadrante es aquel en el cual tanto la abscisa comola ordenada son positivas; esto es, el cuadrante superior derecho. Losotros cuadrantes se enumeran en sentido contrario al del movimiento delas manecillas del reloj; por lo tanto, el cuarto cuadrante es el inferiorderecho. La figura 4 muestra los cuadrantes y los signos correspondientesa los puntos que estan en el interior de cada uno de ellos.

(+,+ )primer cuadrante

(+,− )

segundo cuadrante(−,+ )

tercer cuadrante(−,− )

cuarto cuadrante

x

y

Figura 4: Cuadrantes del plano cartesiano

Ejemplo 1. (Ubicacion en el plano cartesiano)Los puntos (1, 1), (−2, 1), (−3,−1) y (2,−1) estan indicados en el planocartesiano de la figura 5.

3Es decir, uno a uno.


•(1, 1)(−2, 1 )•

(−3,−1)• •(2,−1)

x

y

Figura 5: Ubicacion en el plano cartesiano

1 2 3 4−1−2−3−4

1

2

−1

−2

El primer ejemplo sobre la conveniencia de “algebrizar”, de forma car-tesiana, la geometrıa euclidiana, lo encontramos en la “formula de ladistancia” entre dos puntos en el plano. Veamos como se hace este pasoque, aunque simple, fue trascendental en el desarrollo de las matematicasde hoy.

a). Distancia entre dos puntos

Encontremos la distancia d entre los puntos P1 y P2, cuyas coordenadasen el plano son (x1, y1), (x2, y2) respectivamente. En el triangulo de lafigura 6 obtenemos, utilizando el teorema de Pitagoras, que

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Figura 6: Recta en el plano cartesiano

P1(x1, y1)x2 − x1

y2 − y1

P2(x2, y2)

d

x

y


Ejemplo 2.

a) La distancia entre los puntos A y B, cuyas coordenadas en el planoson (3, 5) y (7, 11) es:

d =√

(7 − 3)2 + (11 − 5)2 =√

42 + 62 =√

52 ≈ 7.2

b) La distancia entre los puntos C y D, cuyas coordenadas en el planoson (6, 7) y (12, 14) es:

d =√

(12 − 6)2 + (14 − 7)2 =√

62 + 72 =√

85 ≈ 9.2

Ejercicios 1

Ubique en el plano cartesiano los siguientes puntos:

a) (3, 1) b) (−1, 2) c) (−4,−2) d) (4, 3)

e) (0,−1) f) (−2,−2) g) (1,−4) h) (3, 3)

Indique, ademas, a que cuadrante pertenece cada uno, y tambien calculela distancia entre cada dos de ellos.

2. La ecuacion de primer grado

De la formula de la distancia entre dos puntos del plano, pasar a la ecua-cion de la recta, es inmediato. Veamos como se “algebriza” el conceptogeometrico de recta. Sean entonces P1 y P2 dos puntos cuyas coordena-das en el plano son (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente (ver figura 7).

P1(x1, y1) A B

P2(x2, y2)

P3(x, y)

Figura 7: Ecuacion cartesiana de una recta

x

y


Segun la geometrıa griega, un punto P3 en el plano con coordenadas(x, y) esta en la recta que pasa por P1 y P2 si, y solo si, los triangulosP1AP3 y P1BP2 son semejantes; es decir, si, y solo si, sus lados respec-tivos son proporcionales:

y − y1

x− x1=y2 − y1

x2 − x1(1)

Ası, si llamamos m ≡ y2 − y1

x2 − x1= tan(∠P2P1B) (pendiente de la recta)

obtenemos la forma estandar

y − y1 = m(x− x1)

o bien,

y = m(x− x1) + y1

Por lo tanto, si conocemos la pendiente de la recta (m) y un puntoP (x1, y1) por el cual pasa, entonces la ecuacion de la recta sera

y = m(x− x1) + y1 (2)

que se conoce como forma punto-pendiente de la recta. (¿Cual es aquı laecuacion F (x, y) = 0 de la que hablaban Fermat y Descartes?) 4

Definicion 1. (Ecuacion general de primer grado)La ecuacion general de primer grado (ecuacion de la lınea recta) en elplano cartesiano tiene la forma Ax + By + C = 0 donde A,B,C sonconstantes no todas nulas. Claramente, en este caso, si B 6= 0, entonces

y = −ABx− C

B

y la pendiente sera

m = −AB

4En estos argumentos hemos supuesto que x1 6= x2. Si x1 = x2 entonces la rectase regira por una ecuacion de la forma x = x1 que consiste en la recta perpendicularal eje X (recta vertical) que pasa por (x1, 0).


Ejemplo 3.

Encontremos la ecuacion de la lınea que intercepta el eje X en x = −3,y al eje Y en y = 4.

Solucion.

Esta lınea pasa entonces por (−3, 0) y (0, 4). Utilizando la forma (1)para la ecuacion de la recta, encontramos

y − 0

x− (−3)=

4 − 0

0 − (−3)o

y =4

3(x+ 3)

que es la ecuacion pedida (ver figura 8).

0 1 2 3 4−1−2−3−4−5

1

2

3

4

5

6

Figura 8

y = 4

3(x + 3)

x

y

Ejemplo 4.Encontremos la ecuacion de la lınea recta que pasa por los puntos (1,−2)y (−3, 4).

Solucion.

i) Primer metodo. Si en la ecuacion Ax+By+C = 0 substituimossucesivamente las coordenadas de los puntos dados, obtenemos:

A− 2B + C = 0−3A+ 4B + C = 0

que, resolviendo, resultan en

A = 3C y B = 2C


y que, a su vez, reemplazando en Ax + By + C = 0 muestra que3Cx+ 2Cy + C = 0 y, dividiendo por C, que

3x+ 2y + 1 = 0

que es la ecuacion requerida (ver figura 9). (¿Por que podemosdividir por C ?)

1 2−1−2−3−1

−2

−3

y

x

Figura 9

ii) Segundo metodo. Sabemos que m ≡ y2 − y1

x2 − x1, por tanto m =

−3

2. Reemplazando las coordenadas del punto (1,−2) en la forma

punto-pendiente y = m(x− x1) + y1. tenemos

y = −3

2(x− 1) − 2

de donde3x+ 2y + 1 = 0

De forma similar, si reemplazamos las coordenadas del punto (−3, 4),tenemos

y = −3

2(x+ 3) + 4;

de donde3x+ 2y + 1 = 0

que es la misma ecuacion encontrada antes.

a). Rectas paralelas y perpendiculares

Dos tipos de relaciones fundamentales entre rectas en la geometrıa griegaeran las rectas paralelas y las rectas perpendiculares. Veamos entoncesla caracterizacion algebraica que la geometrıa analıtica de Descartes yFermat le da a estos dos conceptos.


Definicion 2. (Rectas paralelas y perpendiculares)

i) Dos rectas no-verticales y = m1x+ b1 y y = m2x+ b2 son paralelassi sus pendientes son iguales; es decir, si m1 = m2 donde m1 esla pendiente de la primera recta, y m2 la pendiente de la segundarecta (ver figura 10). 5

Figura 10: Rectas paralelas

x

y

ii) Dos rectas, y = m1x+ b1 y y = m2x+ b2, son perpendiculares si lapendiente de una de ellas es el recıproco negativo de la pendiente

de la otra. Es decir, si m1 = − 1

m2donde m1 es la pendiente de

la primera de las rectas, y m2 la pendiente de la otra recta (verfigura 11).

Figura 11: Rectas perpendiculares

x

y

La justificacion detras de esta ultima definicion algebraica de perpendi-cularidad entre rectas, se encuentra en el siguiente argumento: Conside-remos, de nuevo, las dos rectas no-verticales y = m1x+b1 y y = m2x+b2

5Las rectas verticales x = x1 y x = x2 siempre seran paralelas y, por ello, norequieren de ninguna descripcion algebraica desde la geometrıa analıtica.


(ver figura 12). Ademas, sean θ1 y θ2 las inclinaciones (angulos) respec-tivas(os) de las dos rectas. Geometricamente, tenemos que α = θ2 − θ1,y ası se llega a

tan(α) = tan(θ2 − θ1) =tan(θ2) − tan(θ1)

1 + tan(θ1) tan(θ2)

despues de utilizar la formula correspondiente de la suma de angulospara la tangente (ver leccion 1). Pero esto nos conduce a

tan(α) =m2 −m1

1 +m1m2

ya que m1 = tan(θ1) y m2 = tan(θ2). Ahora: Para estudiar el caso

α =π

2, que es cuando las rectas son perpendiculares, entonces recu-

rrimos a un “argumento de aproximacion”: Puesto que tan(α) creceindefinidamente cuando el angulo agudo α se acerca a π

2 , de la ultimaformula tendrıamos que esto obligarıa a que 1 +m1m2 decreciera haciacero cuando α se acerca a π

2 , y ası, es plausible asumir que

1 +m1m2 = 0

sea la condicion algebraica de perpendicularidad entre lıneas rectas. 6

θ2

θ1α

Figura 12: Condicion m1m2 = −1 de perpendicularidad

x

y

Ejemplo 5.a) Las rectas 2x− 3y = 8 y 5x+ 4y = 7 no son paralelas puesto que lapendiente de la primera es 2

3 , y la pendiente de la segunda es −54 .

6¿Existe alguna condicion algebraica de perpendicularidad cuando alguna de lasdos rectas es vertical?


b) Las rectas y = x y y = −x son perpendiculares; y, de forma similar,

las rectas y = 2x+ 1 y y = −x2

+ 7 son perpendiculares.

c) La ecuacion de la recta que es perpendicular a la recta de ecuacion5x− 3y+2 = 0 en el punto donde x = −1 se obtiene ası: Reemplazandox = −1 en la ecuacion dada, se llega a que y = −1. Ademas, la pendientede la recta dada es 5

3 , y, por tanto, la pendiente de la recta perpendiculares −3

5 . De esta manera, la ecuacion de la recta perpendicular que pasapor (−1,−1) y tiene pendiente −3

5 es

y − (−1) = −3

5(x− (−1)) o y = −3

5x− 8

5

Ejercicios 2

1. Dibuje en el plano cartesiano las rectas siguientes:

a) x+ y = 0 b) x+ y + 3 = 0

c) 5x+ 2y = 0 d) 5x− 12y − 60 = 0

2. Encuentre la ecuacion de la recta que contiene el punto (1,−2) yque:

a) Tiene pendiente − 1

4b) Pasa por el punto (4,−5)

c) Pasa por(0, 2) d) Pasa por(1, 0)

Dibuje en el plano cartesiano en cada caso.

3. Determine, en cada caso, si el punto pertenece a la recta corres-pondiente:

a) 3x− 4y + 12 = 0; (−3,−1

2) b) 21x+ 7y = 0; (1,−3)

c) 12x− 5y + 18 = 0; (−1, 4) d) 2x− y = 0; (2, 4)

4. ¿Cuales son las pendientes de las rectas siguientes?:

a) 3x+ 5y + 7 = 0 b) x− y − 8 = 0

c) − 7x− 8y + 1 = 0 d) y − 8 = 0

Dibuje en cada caso.


5. De las rectas de los ejercicios 1, 2, 3, 4, inmediatamente anteriores,¿cuales son paralelas o perpendiculares entre sı?

6. Muestre que la ecuacion de la lınea que pasa por (1,0) y forma unangulo de 150◦ con el eje X positivo, es x+

√3y = 1.

*7 Muestre que las lıneas perpendiculares a 3x+4y = 1 y que formancon los ejes coordenados triangulos de area 8, son 4x−3y = ±8

√3

(¿Por que son dos rectas?).

*8 Encuentre una lınea recta de pendiente 23 y que forme con los ejes

X y Y un triangulo de area 43 . ¿Es unica esta recta?

3. La ecuacion de segundo grado

El siguiente paso en la descripcion de formas estandarizadas dentro delplano cartesiano es el estudio de la ecuacion general de segundo grado

Ax2 +Bxy +Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde A,B y C no pueden ser, todas, cero. Un punto central aquı es que,en general, es posible obtener estas formas estandar como ecuacionesde las curvas de interseccion cuando un cono circular recto se cortamediante diferentes planos. Debido a esto, a tales curvas se les conocecomo secciones conicas o, simplemente, conicas (ver figura 13).

El gran matematico griego alejandrino, Apolonio [262 - 192 a.C.], suce-sor de Euclides, fue, quizas, el primero en estudiar las formas conicas(la parabola, la elipse y la hiperbola) de una manera sistematica en eltexto clasico (por extraordinario y monumental) conocido como Sec-ciones Conicas, consistente en ocho libros y en, aproximadamente, 400proposiciones. De hecho, los terminos elipse, parabola e hiperbola fuerontraıdos por el mismo Apolonio de la antigua terminologıa pitagorica. Aeste conocimiento puramente geometrico de Apolonio, le agregarıa sucasi contemporaneo Arquımedes, varios trabajos: Sobre la Esfera y elCilindro, Sobre Conoides y Esferoides, y la Cuadratura de la Parabola.Todos ellos trataban de extensos calculos de areas y volumenes median-te el metodo introducido por Eudoxio, y que mas tarde serıa conocidocomo el metodo de exhauscion. Estos problemas se resuelven de manerageneral, hoy en dıa, mediante el Calculo Integral a traves del metodo delımites y de la nocion de integral (ver volumen II: Calculo).


Circulo, Elipse, Parabola, Hiperbola

Figura 13: Conicas

Los griegos se preocuparon tambien por el problema de la reflexion de laluz mediante espejos de distintas formas. Entre estos se cuentan la Ca-toptrica de Arquımedes y Sobre el Espejo Quemante de Apolonio, am-bos, desafortunadamente, hoy perdidos. Los “espejos quemantes” eranespejos concavos en la forma de porciones de esfera, o de paraboloidesde revolucion (formados al girar una parabola alrededor de su eje), yelipsoides de revolucion (formados al girar una elipse alrededor de sueje) (ver secciones b) y c) adelante). Apolonio, por ejemplo, mostrabaque un espejo paraboloidal refleja la luz que emana de su foco en un hazde luz paralelo al eje del espejo (ver figura 14).

b Foco

Figura 14: Reflexion de la luz en una parabola

Y, viceversa, si los rayos provienen paralelos al eje del espejo, ellos seconcentraran, despues de la reflexion, en el foco. Por ejemplo, los rayosdel sol concentrados de esta forma producen una gran cantidad de caloren el foco, y de allı el termino de “espejos quemantes”. Esta es, precisa-mente, la propiedad que se dice que Arquımedes utilizo para concentrar


rayos del sol sobre los barcos romanos, que asediaban su ciudad de Si-racusa (hoy en Italia) y ası quemarlos. Apolonio tambien sabıa de laspropiedades de reflexion de las otras conicas, tales como que los rayosque emanen de uno de los focos de un espejo elipsoidal se reflejaran enel otro foco (ver figura 15).

Ya en el siglo XVII, la conveniencia del metodo de Descartes y Fermaten problemas que antes solo podrıan tener un tratamiento geometricomucho mas complicado, opacarıa el metodo geometrico de los antiguosgriegos, y le abrirıa al estudio de las ecuaciones de segundo grado unespacio mas profundo dentro del analisis.

Figura 15: Reflexion de la luz en una elipse

bb FocoFoco

a). La ecuacion de la circunferencia

De las secciones conicas es, con seguridad, una circunferencia la mas sen-cilla en descripcion. Una circunferencia, sabemos, es el lugar geometricodel plano formado por los puntos que estan a una distancia constante(llamada radio) de un punto fijo del plano (llamado centro) (ver figura16).

Como consecuencia del teorema de Pitagoras aplicado al triangulo rectangu-lo de la figura 16, un punto M (cuyas coordenadas en el plano son (x, y))esta en la circunferencia de radio r > 0 y centro en el origen O(0, 0) sisu distancia al origen es igual a r; es decir, si

√

(x− 0)2 + (y − 0)2 = r

o bien, si

x2 + y2 = r2 (circunferencia con centro en (0, 0))

En general, la ecuacion de una circunferencia con centro en (h, k) y radior > 0 esta dada por

(x− h)2 + (y − k)2 = r2 (circunferencia con centro en (h, k))


x

y

O(0, 0)

M(x, y)r

x

y

C(h, k)

r

Figura 16: Circunferencias con centros en (0,0) y (h, k)

Ejemplo 6.La ecuacion de la circunferencia de radio 3 y centro (−1, 2) es

(x+ 1)2 + (y − 2)2 = 9o

x2 + y2 + 2x− 4y = 4

Ejemplo 7.

Confirmemos que la ecuacionx2 + y2 + 6x− 4y + 9 = 0

es la de una circunferencia. En efecto: Basta, en primer lugar, escribir

x2 + y2 + 6x− 4y + 9 = (x− h)2 + (y − k)2 − r2

= x2 + y2 − 2hx− 2ky + h2 + k2 − r2

Luego, comparando termino a termino, obtenemos que h = −3, k = 2 yh2 + k2 − r2 = 9; y ası r = 2. Por lo tanto, nuestra ecuacion es la de lacircunferencia (x+ 3)2 + (y − 2)2 = 4.

Ejemplo 8.Encontremos la ecuacion de la circunferencia que pasa a traves de lospuntos (0, 6), (4,−2), y (9, 3).

Solucion.

Escribiendo la ecuacion de la circunferencia de la forma

x2 + y2 − 2hx− 2ky + (h2 + k2 − r2) = 0,obtenemos en cada caso:

i) Si (x, y)=(0,6): 36 − 12k + (h2 + k2 − r2) = 0

ii) Si (x, y)=(4,-2): 20 − 8h+ 4k + (h2 + k2 − r2) = 0

iii) Si (x, y)=(9,3): 90 − 18h − 6k + (h2 + k2 − r2) = 0

De las dos primeras ecuaciones tenemos que h = 2k − 2; y de las dosultimas tenemos que k = 7 − h. Resolviendo simultaneamente, tenemosentonces que h = 4 y k = 3. Por tanto, la ecuacion de la circunferenciasera

(x− 4)2 + (y − 3)2 = 25

b). La ecuacion de la elipse

La segunda conica que estudiaremos es la elipse. Esta es su definicion:Una elipse es el lugar geometrico del plano formado por los puntos enlos que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamadosfocos) es constante (ver figura 17). 7

Para encontrar la ecuacion cartesiana de la elipse, utilizamos sus propie-dades geometricas. De la figura 17 y de la definicion de elipse, tenemosque

FM + F ′M = 2a para cierta constante fija a,

b b

F (c, 0)

A(a, 0)

B(0, b)

F ′(−c, 0) x

y

O

M(x, y)

Figura 17: Elipse

donde la distancia entre ambos focos, F y F ′ con c < a, es 2c. Ası,F (c, 0) y F ′(−c, 0) son las coordenadas de los focos, y (a, 0), (−a, 0) son

7Como afirmabamos antes, el termino “elipse”, que en Griego significa “ausencia”,fue acunado por Apolonio en el siglo III a.C. en su trabajo clasico “Secciones Conicas”.

las coordenadas de los vertices. Ahora: M(x, y) pertenece a la elipse si,y solo si, satisface la ecuacion

√

(c− x)2 + (y − 0)2 +√

(c+ x)2 + (y − 0)2 = 2a

Trasponiendo el primer radical y elevando al cuadrado a ambos lados dela ecuacion resultante se obtiene que

x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 − 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2

Y algo mas de algebra (simplificando y, de nuevo, elevando al cuadrado)nos conduce a la expresion

(a2 − c2)x2 + a2y2 = (a2 − c2)a2

Pero si llamamos a2 − c2 ≡ b2 (podemos hacer esto pues a > c) entoncesobtenemos

b2x2 + a2y2 = a2b2

o bien, dividiendo a ambos lados de la ecuacion por a2b2, arribamos a

x2

a2+y2

b2= 1 (ecuacion de la elipse)

En la figura 17, al segmento OA se le llama semieje mayor de la elipse;

al segmento OB se le llama semieje menor ; y al numero e =c

a< 1 se

le llama la excentricidad de la elipse. En el caso de una circunferencia,se tiene c = 0, y, por tanto, e = 0.8

Ejemplo 9.Encontremos las longitudes del semieje mayor y del semieje menor, ylocalicemos el foco y los vertices de la elipse 9x2 + 16y2 = 144 (verfigura 18).

Solucion.

Escribiendo la ecuacion de la elipse de la forma

x2

42+y2

32= 1

identificamos que a = 4, b = 3, y c =√a2 − b2 =

√7.

8Esto ultimo explica el origen del termino “excentricidad”.


b b√7

4

3

−√

7 x

y

O

Figura 18: Elipsex2

42+y2

32= 1

Ejemplo 10.Encontremos la ecuacion de la elipse con centro en (0, 0), que tiene foco(3,0) y vertice en (−5, 0).

Solucion.

Sabemos que c = 3 y a = 5; y como b =√a2 − c2 entonces obtenemos

b = 4. Luego la ecuacion de la elipse tiene la formax2

52+y2

42= 1 (ver

figura 19). N

b b

35−5

4

−3 x

y

O

Figura 19: Elipsex2

52+y2

42= 1

Nota 1. (Elipses en las leyes de Kepler)Quizas la mas impresionante muestra de consistencia de la doctrina grie-ga de que la naturaleza podrıa estar matematicamente disenada se en-cuentra en los trabajos de Nicolas Copernico [1473-1543] y JohannesKepler [1571-1630]. Hasta el siglo XVI, la unica teorıa astronomica utily “solida” era el sistema geocentrico de Hiparco y Ptolomeo. En 1507,Copernico escribio la primera version de su trabajo clasico On the Revo-lutions of the Heavenly Spheres, aunque el libro solo aparecio en 1543, el


ano en que murio. En el, Copernico utilizaba el esquema ptolomaico deepiciclos (ver ejercicio 9 de los ejercicios complementarios) para descri-bir los movimientos de los cuerpos celestes, solo que con la importantediferencia de que ahora era el sol el centro del sistema, y la Tierra soloun planeta que se movıa en un epiciclo mientras rotaba sobre su eje.

Pero la mas notable simplificacion la lograrıa Kepler. Este habıa teni-do la fortuna de ser asistente del famoso astronomo Ticho Brahe quientenıa a su disposicion las mas extensas y nuevas observaciones de loscuerpos celestes desde la epoca griega. Con estas observaciones y lasrealizadas por el mismo, encontro algunas relaciones matematicas ar-moniosas. Estos importantes resultados se conocen hoy como las tresleyes de Kepler del movimiento planetario; las dos primeras aparecenen La Nueva Astronomıa de 1609; y la tercera ley aparece en Comen-tarios sobre el Movimiento del Planeta Marte. La primera de estas tresleyes (primera ley de Kepler) es particularmente notable pues, con ella,Kepler rompıa una tradicion de mas de dos mil anos sobre que los movi-mientos celestes se describıan bien en circunferencias, esferas y epicicloscomo habıan dicho Ptolomeo y Copernico. Kepler encontro que una solaelipse era suficiente. Su primera ley afirma que cada planeta se muevesobre una elipse, y que el sol esta en uno de los focos de cada una deestas trayectorias elıpticas (ver figura 20).

b b

b

Sol

Planeta

Figura 20: Primera ley de Kepler

Pero, ademas, las observaciones de Kepler le mostraban que un planetamoviendose en su elipse no viaja a una velocidad constante. De hecho,lo hace “barriendo” areas iguales en tiempos iguales; es decir (ver figura21), el movimiento es tal que el area PSQ es igual al area P ′SQ′. Ası,se moveran mas rapido en las vecindades del sol que en otras regionesde la elipse (esta es la “segunda ley de Kepler”).


b

Sol(S)

Q

PP ′

Q′

Figura 21: Segunda ley de Kepler

Mas aun: Kepler encontro otra “ley” (la “tercera ley de Kepler”) en elmovimiento de los planetas. Mediante una sorprendente combinacion deargumentos matematicos y musicales, encontro que si T es el periodode revolucion de un planeta y D es su distancia media al sol, entoncesT 2

D3es una constante que es la misma para todos los planetas! Esto lo

publicarıa en 1619 en The Harmony of the World.

c). La ecuacion de la parabola

La tercera conica que estudiaremos es la parabola. Veamos su definicion.Una parabola es el lugar geometrico del plano formado por los puntos enlos que las distancias a un punto fijo (llamado foco) y a una lınea rectafija (llamada directriz ), son iguales (ver figura 22). El punto medio dela perpendicular del foco a la directriz, es el vertice de la parabola.9

Para encontrar la ecuacion cartesiana de la parabola, utilizamos la pro-piedad geometrica que la define. En la figura 22, el eje de la parabolacoincide con el eje x; el vertice con el de un cono, en este caso comoorigen O(0, 0); y el foco F con el punto (a, 0). La ecuacion de la directrizDD′ es x = −a.Tomemos un punto cualquiera P (x, y) sobre ella, y dibujemos una per-pendicular desde P a la directriz DD′. Entonces P (x, y) debe satisfacerque FP = PQ. Es decir,

√

(a− x)2 + y2 = a+ x

9Al igual que la elipse, el termino “parabola”, tambien fue acunado por Apolonioen el siglo III a.C. Este vocablo se deriva del griego “parabole” que significa “compa-racion”. En nuestro caso, posiblemente se hace referencia a la “comparabilidad” entreel cono y el plano que lo atraviesa.


que, por simplificacion, es x =y2

4a(ecuacion de la parabola). La excen-

tricidad de la parabola esta definida por e = PF/PQ = 1.

x = −a

Q

•P (x, y)

O(−a, 0) F (a, 0)

D

x

yD′

Figura 22: Parabola

De la misma forma, es facil mostrar que la parabola de la figura 23 tiene

como ecuacion y =x2

4a.

b

b

O x

y

F (0, a)

y = −a

Figura 23: Parabola y =x2

4a

Ejemplo 11.La tıpica parabola y = x2 tiene su foco en el punto (0, 1

4), y su directrizes la recta y = −1

4 . Por su parte, la tıpica curva “raız cuadrada” y =√x

es la mitad superior de la parabola y2 = x con foco en (14 , 0) y directriz

x = −14 . Invitamos al lector a ilustrar lo anterior con las correspondientes

graficas.

Otras ecuaciones de la parabola

Por un procedimiento similar al anteriormente descrito, se pueden mos-trar otras ecuaciones-tipo para la parabola con vertice en (h, k) (ver


figura 24) donde a > 0:

(y − k)2 = 4a(x− h), (x− h)2 = 4a(y − k)

(y − k)2 = −4a(x− h), (x− h)2 = −4a(y − k)

b

F (h+ a, k)

x=h−a

v(h, k)

y

x

(y − k)2 = 4a(x− h)

bb b

y

v(h, k)

F (h− a, k)

x=h

+a

x

(y − k)2 = −4a(x− h)

b

b

x

y

F (h, k + a)

v(h, k)

y = k − a

b

b

x

y

F (h, k − a)

v(h, k)

y = k + a

(x− h)2 = 4a(y − k) (x− h)2 = −4a(y − k)

Figura 24: Ecuaciones de parabolas

Ejemplo 12.Localicemos el vertice, el foco, y la ecuacion de la directriz de la parabolay2 − 24x+ 6y + 57 = 0.

Solucion.

La ecuacion y2 − 24x+ 6y + 57 = 0 es equivalente a

(y + 3)2 = 4 · 6(x− 2)


Luego h = 2, k = −3, a = 6. El vertice entonces esta en (2,−3); el ejea lo largo de la lınea y = −3; y el foco a 6 unidades a la derecha delvertice, es decir, en (8,−3); la directriz es x = −4 (ver figura 26).

b F (8,−3)

x

y

b

Ox

=−

4

v(2,−3)

Figura 26: Parabola y2 − 24x+ 6y + 57 = 0

Nota 2. (Parabolas en la descripcion del movimiento)

La parabola tiene numerosas aplicaciones. Por ejemplo, Galileo Galilei(1632) en Dos Nuevas Ciencias describe el movimiento de un proyectillanzado hacia abajo desde cierta altura, como la composicion de un mo-vimiento horizontal igual, y de un movimiento naturalmente aceleradohacia abajo, que conlleva a que la trayectoria descrita sea una curvasemi-parabolica.

Sin embargo, Galileo tambien creıa que cuando uno sostenıa un cablepesado de ambos lados, la figura que se conformaba era una parabola.Y estaba equivocado: la figura es lo que se conoce como una catenaria(tambien llamada “coseno hiperbolico”(ver volumen II: Calculo)). Perolo que sı es cierto es que la curva que conforman los cables en un puenteen suspension, es una parabola. Y la razon de esto, que escapa a nuestraexplicacion a este nivel, es que el peso del puente “se distribuye” a lolargo de la curva, llevando el cable de la forma de catenaria a la formaparabolica.

Pero debe senalarse que tambien la configuracion parabolica es util ensituaciones donde la radiacion necesita concentrarse en un punto. Porejemplo, en radiotelescopios, antenas parabolicas de T.V., y colectoresde radiacion solar, entre otros.


d). La ecuacion de la hiperbola

Por ultimo, analizaremos el comportamiento de la cuarta conica: lahiperbola. Esta es el lugar geometrico del plano formado por los puntosen los que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos (llamadosfocos) es constante (ver figura 27). 10

Para hallar la ecuacion cartesiana de la hiperbola, utilizamos la propie-dad geometrica que la define. En la figura 27, el eje transversal de lahiperbola coincide con el eje x, y el centro esta en el origen. Designemoslos focos por F (c, 0) y F ′(−c, 0); y los vertices por v(a, 0) y v′(−a, 0),donde c > a.

bb b

•••

P (x, y)

F (c, 0)F ′(−c, 0) v(a, 0)v(−a, 0)

y

x

Figura 27: Hiperbola y sus asıntotas

Tomemos un punto P (x, y) cualquiera sobre ella. Entonces P (x, y) debesatisfacer que

PF ′ − PF = ±2a

con el signo ± dependiendo de la “rama” de la hiperbola a la que per-tenezca el punto (x, y) (¿Sabe el lector por que podemos asumir que laconstante de la definicion de la hiperbola es 2a?). O, en otra forma,

√

(x+ c)2 + y2 −√

(c− x)2 + y2 = ±2a;

que, al simplificarse trasponiendo el radical PF y elevando al cuadrado,arroja una ecuacion mas simple:

10Al igual que la elipse y la parabola, el termino “hiperbola”, que en Griego significa“lanzar mas alla”, tambien fue acunado por Apolonio en el siglo III a.C.


x2 + 2cx+ c2 + y2 = 4a2 ± 4a√

(x− c)2 + y2 + x2 − 2cx+ c2 + y2

Aquı, dejando solo el termino radical de la derecha, y trasponiendo losotros terminos a la izquierda, y elevando nuevamente al cuadrado, noslleva a

c2x2 − 2a2cx+ a4 = a2(x2 − 2cx+ c2 + y2)

o

(c2 − a2)x2 − a2y2 = a2(c2 − a2)

y esto a la ecuacion

x2

a2− y2

c2 − a2= 1

Pero como c > a, podemos definir b2 ≡ c2 − a2, y ası obtenemos

x2

a2− y2

b2= 1 (ecuacion de la hiperbola )

La excentricidad de la hiperbola es e = c/a. Observe que e > 1.

Ahora, ademas, podemos mostrar que para cualquier hiperbola con estaultima forma estandar, las ecuaciones de las dos asıntotas, es decir, lasde las dos rectas a las cuales se aproxima la curva cuando x es grande(positivo o negativo) (las diagonales en la figura 27) son

x

a± y

b= 0 o y = ± b

ax

que son los factores del lado izquierdo de la ecuacion de la hiperbola

x2

a2− y2

b2= 1

En efecto, de esta ultima ecuacion se obtiene que

y = ± ba

√

x2 − a2


y observemos que cuando x es muy grande entonces la diferencia entrela hiperbola y la recta es aproximadamente 0; 11 es decir,

y = [± ba

√

x2 − a2] − [± bax] ≈ 0

Ejemplo 13.Encontremos la ecuacion de la hiperbola con centro en (0, 0), verticeen (3, 0) y foco en (5, 0). Encontremos tambien las ecuaciones de lasasıntotas.

Solucion.

Sabemos que a = 3 y c = 5, por lo que obtenemos, de b2 = c2 − a2, queb = 4. Podemos entonces escribir la ecuacion de la hiperbola de la forma

x2

9− y2

16= 1

cuyas ecuaciones para las asıntotas son

x

3± y

4= 0

Nota 3. (Hiperbolas en la radionavegacion)El sistema de navegacion LORAN (Long Range Navigation) utiliza lashiperbolas de una manera muy conveniente. Transmite, simultaneamen-te, senales de radio desde las estaciones F y F´(ver figura 27) que a suvez son escuchadas por un avion ubicado en P en dos momentos dis-tintos. Ası, la diferencia en tiempo permite determinar 2a y, por tanto,la hiperbola sobre la que se encuentra P, puesto que la distancia entrelas estaciones F y F´ es conocida. Inmediatamente despues, otro par desenales da otra hiperbola sobre la que se encuentra P, y la interseccion delas dos hiperbolas fija la posicion aproximada del aeroplano. El calculotiene un error de, aproximadamente, 50 metros o menos.

El sistema LORAN fue originalmente desarrollado como mecanismo deradionavegacion para el servicio de guardacostas de los Estados Unidos.Existen, aproximadamente, unas 20 estaciones LORAN en asocio con losservicios de guardacostas de Canada y Rusia para proveer del servicioen sus mares.

11Aquı esta implıcito el concepto de lımite que estudiaremos en la leccion 1 delvolumen II (Calculo).

e). Ecuacion general de segundo grado

Como decıamos antes, la ecuacion general de segundo grado en el planotiene la forma

Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0

donde al menos uno de A,B,C es no nulo. Observese que la circunferen-cia, la elipse, la parabola y la hiperbola satisfacen, todas, una ecuacionde segundo grado. Sin embargo, si tenemos una de estas ecuaciones serıaimportante tener algun criterio que nos permitiera clasificar que tipo deconica es la que describe. Esto es, que si simplificamos la ecuacion desegundo grado mediante traslaciones y/o rotaciones entonces podrıamosllevarla a una de las formas canonicas de la circunferencia, de la elipse,de la parabola, o de la hiperbola, como las que hemos estudiado previa-mente. Esta caracterizacion (Euler (1770)), de hecho, existe, y se tieneen el siguiente resultado de clasificacion (que se mostrara en el ejerciciocomplementario 28, al final de la presente leccion):

Sea ∆ = 2(4AC−B2)F+2BDE−2E2A−2D2C. Si tenemos que ∆ 6= 0,entonces la ecuacion general de segundo orden


es:

i) Una parabola si B2 − 4AC = 0

ii) Una elipse si B2 − 4AC < 0 y ∆(A+ C) < 0

iii) Una hiperbola si B2 − 4AC > 0

Ejemplo 14.Clasifiquemos la cuadratica dada por la ecuacion 8x2 − 12xy + 17y2 −4√

5x− 2√

5y − 15 = 0.

Solucion.

Comprobemos el signo de B2−4AC y de ∆(A+C). De la ecuacion, sabe-mos que A = 8, B = −12, C = 17, de forma que B2−4AC = −400 < 0.

Tenemos que ∆ = −16, 000, y ası ∆(A + C) = −400, 000 < 0. Por ii)del resultado anterior, tenemos entonces que la ecuacion corresponde auna elipse.

Ejemplo 15.Clasifiquemos la cuadratica dada por la ecuacion 2x2 +4xy+2y2−6x−6y + 10 = 0.

Solucion.

De la ecuacion general de segundo grado Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+Ey+F = 0 sabemos, comparando con la ecuacion propuesta, que A = 2,B = 4 y C = 2; luego B2 − 4AC = 0. Por la parte i) del resultado dearriba, tenemos entonces que la ecuacion corresponde a una parabola.

Ejercicios 3

1. Encuentre la ecuacion de la circunferencia y dibuje la figura:

a) De radio 5 y centro en (4, 0). R/ (x− 4)2 + y2 = 25

b) Que contiene a (1,−4) y tiene centro en (0, 0).

c) Que contiene el origen y tiene centro en (3, 0).

2. Compruebe que la ecuacion de la circunferencia que pasa por lospuntos (2,3), (1,4), y (5,2), es (x− 5)2 + (y − 7)2 = 25.

3. a) Encuentre el foco, los semiejes y dibuje las siguientes elipses:

i) 9x2 + 25y2 = 225

ii) 4x2 + 9y2 = 36

iii) 3x2 + y2 = 9

iv) 25x2 + 16y2 = 400

b) Encuentre la ecuacion de la elipse con centro en (0, 0), y dibujela figura, que:

i) Tiene foco en (4, 0) y longitud de semieje mayor horizon-tal igual a 5.

ii) Tiene foco en (0, 1) y longitud de semieje menor horizon-tal igual a 4

3 .


4. La orbita de la Tierra alrededor del Sol es una elipse con el Solcomo foco. Si las distancias mas corta y mas larga del Sol a la Tie-rra son (aproximadamente) 93’000,000 millas y 96’000,000 millas,respectivamente, ¿cual es la excentricidad de la orbita terrestre?

5. Encuentre la ecuacion de la parabola y dibuje la figura con:

a) Foco en (1, 0), vertice en el origen.

b) Foco en (15 , 0), vertice en el origen.

c) Vertice en el origen, directriz x = 3.

d) Vertice en el origen, directriz y = −2.

e) Vertice en el origen, directriz y = −13 .

6. Encuentre la ecuacion de la hiperbola con centro en el origen, ydibuje la figura, que:

a) Tiene foco en (−5, 0) y vertice en (3, 0).

b) Tiene foco en (0,−13) y vertice en (0,−5).

7. Utilizando el resultado de clasificacion de conicas, identifique, si esposible, el tipo de cuadratica en cada uno de los casos siguientes:

a) 4x2 + 24xy + 11y2 − 48x− 44y + 24 = 0

b) 3x2 + 2xy + 3y2 − 20x− 12y + 32 = 0

c) 2xy − 4x+ 4y − 9 = 0

d) 144x2 − 120xy + 25y2 − 668x− 454y − 125 = 0

e) 5x2 − 4xy + 2y2 − 9x− 2 = 0

f) x2 + 3xy − 2y2 + 3x+ 2y + 5 = 0

8. Que no toda ecuacion de segundo grado es una conica, lo vemosen el caso x2 + 2xy + y2 = 0 ¿por que? [Indicacion: Factorice].Observe, ademas, que en este caso △ = 0, y ası el teorema declasificacion no aplica.


4. Curvas trigonometricas

Como afirmamos en la leccion 1, aunque la palabra trigonometrıa pro-viene de las palabras griegas trigonus (triangulo) y metros (medida), eltermino mismo solo fue acunado en 1595 por Bartholomaeus Pitiscusen su trabajo Trigonometria sive de Dimensione Triangulea. Siglos deinterpretacion sobre la geometrıa de los triangulos rectangulos, y las re-laciones de sus lados y angulos similares, condujo ası, desde Hiparco yPtolomeo en la Grecia alejandrina, hasta este esquema de descripcionen coordenadas cartesianas de las curvas trigonometricas. Con el desa-rrollo del calculo diferencial en el siglo XVII, las curvas trigonometricasentrarıan entonces a la escena del analisis matematico, y el uso primariode la trigonometrıa en la cartografıa, la astronomıa y la navegacion, setransformarıa, dos mil anos despues, en una herramienta indispensabley central del pensamiento matematico moderno. Con ayuda de la geo-metrıa analıtica de Descartes y Fermat, fue entonces realmente facil ladescripcion grafica de las tres curvas trigonometricas mas importantes:la curva seno, la curva coseno y la curva tangente que aquı presentamos.En la leccion 4 presentaremos las tres curvas trigonometricas restantes.

a). La curva seno

Como ya habıamos establecido en la leccion 1, al parecer el primer tra-bajo en referirse a la idea del seno es el Aryabhatiya del siglo VI d.C.Despues, la etimologıa conducirıa, a traves de la version latina de Ge-rardo de Cremona en 1150, a la palabra sinus que significa curva. Laprimera vez que aparecio el sımbolo sen para la palabra seno fue enun texto de trigonometrıa de Herigone en 1634. La grafica de la curvay = senx (conocida como curva seno) aparece en la figura 28.

En esta figura, el eje θ tiene como unidad de medida el angulo de un

radian (=180◦

π), y el eje y tiene una medida numerica estandar. Una

tabla de valores para esta curva es la siguiente:

θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

sen θ 0 12

√2

2

√3

2 1 0 -1 0


Tabla de valores de la curva seno

−2π −3π2

3π2

−π2

π2

−π π 2π

y = sen θy

θ

1

−1

Figura 28: La curva seno

Observe que esta curva, basada en las propiedades trigonometricas es-tablecidas al final de la leccion 1, 12 consiste en una serie de jibas haciaarriba y hacia abajo, en perıodos de longitud π. Ademas:

i) La curva intercepta al eje θ (es decir, se anula) en ...,−2π,−π, 0, π, 2π, ....El intercepto con el eje y es 0.

ii) Dado que sen(−θ) = −sen(θ), los cambios simultaneos de θ por −θ, yy por −y, dejan la curva sin ningun cambio; es decir, la curva es simetricacon respecto al origen.

iii) La curva seno solo toma valores entre 1 y −1; es decir, tiene amplitud1. 13

iv) La curva seno es periodica: se repite cada perıodo de 2π pues paraangulos α entre 0 y 90 grados se tiene que sen(2π + α) = sen(α).

b). La curva coseno

La grafica de la curva y = cos θ (conocida como curva coseno) y queaparece en la figura 29, se obtiene inmediatamente de un desplazamientocomplementario de la curva seno pues (ver figura 29)

cos θ = sen(θ +π

2)

Una tabla de valores para la curva coseno, es la siguiente:

12sen(π ± α) = ∓ senα.13Esto se desprende de que para angulos α entre 0 y 90 grados, es claro, de la

definicion, que tanto senα como cosα son numeros entre 0 y 1, y que para los demasangulos se tienen las identidades trigonometricas sen(π

2+ α) = cosα; sen(π ± α) =

∓ senα; sen( 3π2

+ α) = cosα.


θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

cos θ 1√

32

√2

212 0 -1 0 1

Tabla de valores de la curva coseno

Ella surgio, es aparentemente claro, de la necesidad de calcular el seno delangulo complementario. El nombre coseno, recordemos, fue acunado porEdmund Gunter en 1620. Lo escribıa como co.sinus; este se convertirıaposteriormente en coseno.

De manera similar a lo observado con la curva seno, en este caso podemosnotar que:

3π2−3π

2π−π −π

2π2

3π2

y = cos θy

θ

1

−1

Figura 29: La curva coseno

i) La curva intercepta al eje θ (es decir, se anula) en ...,−3π

2,−π2

,

π

2,

3π

2, ... El intercepto con el eje y es 1.

ii) Puesto que cos(−θ) = cos(θ), el cambio de θ por −θ deja inaltera-da; es decir, la curva es simetrica con respecto al eje y.

iii) La curva coseno solo toma valores entre 1 y −1; es decir, tieneamplitud 1.

iv) La curva coseno tiene perıodo 2π.

c). La curva tangente

La grafica de la curva y = tan θ =senθ

cos θ(conocida como curva tangente)

aparece en la figura 30. Observese las asıntotas en ...,−3π

2,−π

2,π

2,3π

2, ...

que es donde cos θ se anula. Observemos, ademas, que la curva tangentees periodica de perıodo π. El termino tangente, que proviene del Latintangere que significa tocar, fue introducido en 1583 por Thomas Fincke.


Figura 30: La curva tangente

θ

y y = tan θ

π−π 2π−2π π2

−π2

3π2

− 3π2

Una tabla de valores para esta curva es la siguiente:

θ 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π

tan θ 0√

33 1

√3 no existe 0 no existe 0

Tabla de valores de la curva tangente

Ejercicios 4

1. Dibuje las siguientes curvas trigonometricas, y establezca sus res-pectivas amplitudes y perıodos:

a) y = sen(θ +π

4)

b) y = 2 cos(θ − π

2)

c) y = 4 cos(2θ)

2. a) Dibuje y = sen2θ entre −π y π, utilizando la identidad trigo-

nometrica y = sen2θ =1

2(1 − cos 2θ). ¿Es periodica?

b) Dibuje y = cos2 θ entre −π y π, utilizando la identidad trigo-

nometrica y = cos2 θ =1

2(1 + cos 2θ). ¿Es periodica?

3. Dibuje las curvas: a) y = tan (θ+π

2); b) y = tan (

θ

2). Establezca

sus respectivas amplitudes y perıodos.


4. Explique el comportamiento de las curvas senα, cosα y tanα, apartir del tradicional cırculo con centro en (0, 0) (ver figuras) en

donde senα =y

r, cosα =

x

r, tanα =

y

x.

α

x

y

(x, y)r α

x

y

(x, y)

r

Definicion de seno y coseno en el primero y segundo cuadrantes

α

x

y

(x, y)

r

α

x

y

(x, y)r

Definicion de seno y coseno en el tercero y cuarto cuadrantes

5. Vectores

En su Mecanica Analıtica, publicada en 1773, el matematico francesJoseph L. Lagrange [1736-1813] “aritmetizaba” fuerzas, velocidades yaceleraciones de la misma forma que Descartes y Fermat habıan ya arit-metizado puntos con su geometrıa analıtica. Esta idea de Lagrange seconvertirıa posteriormente en la teorıa de vectores que tan util ha proba-do ser en Fısica y en otras ciencias. La palabra vector proviene del Latinvehere, que significa transportar, y fue acunado, ochenta anos despues deLagrange, por William R. Hamilton en 1853. De esta epoca en adelante


datan los primeros desarrollos de la teorıa de vectores, particularmenteen la mecanica y en la teorıa de la electricidad, constituyendose en unateorıa general que entonces dieron en llamar analisis vectorial, y que esun constitutivo esencial de la geometrıa analıtica. Veamos, de forma untanto esquematica, en que consiste este objeto matematico.

a). Definicion, norma e igualdad de vectores

En geometrıa y Fısica se utilizan dos clases de cantidades: escalares yvectores. Un escalar es un numero cualquiera: longitud, temperatura yvoltaje, son ejemplos de escalares. Un vector, por su parte, es un con-cepto determinado, no solo por su longitud, sino por su direccion; unafuerza, una velocidad, y una aceleracion son ejemplos de vectores, y, porello, tambien a los vectores se les llama flechas o segmentos de recta di-rigidos. Desde esta perspectiva, un vector (como flecha) tiene un puntoinicial A (cola de la flecha), y un punto final B (cabeza de la flecha). A

tal vector se le nota entonces como−−→AB (ver figura 31).

A

B

−→AB

Figura 31: Vector−−→AB

A la longitud de la flecha se le llama la norma del vector . La longitud,

‖−−→AB‖, del vector−−→AB con cola A y cabeza B, cuyas coordenadas en el

plano son (x1, y1), (x2, y2) respectivamente, se determina, utilizando elteorema de Pitagoras (ver figura 32):

‖−−→AB‖ =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2

Pero si se elige un sistema de coordenadas XY del plano, podemos anclarla cola A de cualquier vector al punto (0,0) del sistema XY, y determinarla cabeza B del vector, mediante una pareja coordenada (x, y). De esta

manera, la descripcion del vector−−→AB se reduce a la del punto B = (x, y),

y su norma a la de la distancia de (x, y) a (0, 0).


Entonces, desde esta perspectiva, dos vectores−→A = (x1, y1) y

−→B =

(x2, y2) seran iguales si, y solo si, estos son iguales como parejas denumeros, es decir, cuando x1 = x2 y y1 = y2. Aquı estaremos suponiendo

entonces que dos vectores−−→AB y

−−→CD son iguales, si cuando ellos son

anclados al origen (0,0) (es decir, cuando A y C son transportados alorigen) entonces coinciden en direccion y magnitud, (es decir, B y Dtambien coincidiran) (ver figura 33).

Figura 32: Norma de un vector

A(x1, y1)x2 − x1

y2 − y1

B(x2, y2)

‖ −→AB ‖

x

y

−→AB

b

O

Y aunque esta puede parecer una forma un poco extrana de definir laigualdad entre vectores (y, de hecho, algunos autores prefieren llamarlos“equivalentes” pues no es claro el por que los vectores se puedan “trans-portar” de esta manera), para nuestros propositos algebraicos sera sufi-ciente con este tipo de “vectores transportables”. 14

A

B

C

D

−→AB

−−→CD

Figura 33:−−→AB =

−−→CD

14Para un tratamiento mas amplio del concepto de vector, ver volumen I: Algebralineal.


b). Algebra de vectores

i) Los vectores pueden sumarse: Si−→A = (x1, y1) y

−→B = (x2, y2)

entonces el vector suma−−−−→A+B, puede definirse mediante la “regla

del paralelogramo” (ver figura 34) ası:−−−−→A+B = (x1 + x2, y1 + y2)

x

y

B

A

A+B

Figura 34: Suma por regla del paralelogramo

Al vector de igual longitud que−→A pero con direccion opuesta, se

le llama el vector inverso de−→A , y se denota por −−→

A . Ası, si ~A =

(x1, y1) entonces − ~A = (−x1,−y1) y, por lo tanto,−→A + (−−→

A ) =(0, 0).

x

y

−→−A

−→A

Figura 35: Vector inverso −−→A

ii) Y tambien los vectores pueden multiplicarse por escalares (nume-

ros cualquiera). Si−→A = (x1, x2) es un vector y k es un escalar

dado, entonces el producto de−→A con el escalar k, notado k

−→A , es


el vector−→kA = (kx1, kx2) cuya longitud es igual a la de

−→A mul-

tiplicada por k si k es mayor que cero, o por −k si k es menor

que cero; y ademas su direccion es igual a la de−→A si k es mayor

que cero, o a la opuesta de−→A si k es menor que cero (ver figura 36).

−→A −→

kA

k > 0

x

y

x

y

Figura 36: Multiplicacion de un vector por un escalar

Ejemplo 16.

Si−→A = (3, 4) y

−→B = (5, 6) calculemos

a)−−−−→A+B b)

−−−−→A−B c)

−→3A d)

−−→−2B e)−−−−−−→3A− 2B f)

−−−−−→−A−B

Solucion

a)−−−−→A+B = (3 + 5, 4 + 6) = (8, 10)

b)−−−−→A−B = (3 − 5, 4 − 6) = (−2,−2)

c)−→3A = 3(3, 4) = (9, 12)

d)−−→−2B = −2(5, 6) = (−10,−12)

e)−−−−−−→3A− 2B = 3(3, 4)−2(5, 6) = (9, 12)−(10, 12) = (9−10, 12−12) =(−1, 0)

f)−−−−−→−A−B = −(3, 4) − (5, 6) = (−3 − 5,−4 − 6) = (−8,−10)


Ejemplo 17.

Si−→A = (−2, 1) y

−→B = (3,−4) entonces ‖−→A‖ =

√

(−2)2 + (1)2 =√

5, y

‖−→B‖ =√

(3)2 + (−4)2 =√

25 = 5.

Sobre vectores y sus propiedades algebraicas profundizaremos en la lec-cion 4 del volumen I: Algebra lineal.

Ejercicios 5

1. Para cada uno de los siguientes pares de vectores:

a)−→A = (0, 1);

−→B = (3, 0) b)

−→A = (−1,−3);

−→B = (−2,−5)

c)−→A = (4,−8);

−→B = (1,−6) d)

−→A = (−7, 1);

−→B = (2,−4)

calcule las siguientes operaciones a partir de las propiedades alge-braicas de vectores:

i)−−−−−−−−→3(−A) + 2B ii)

−−−−−−→2A− 1

2B iii)

−−−−−→−A−B

iv)−−−−−→−A+B v)

−−−−→A−B vi)

−−−−−−→2A+ 3B

Dibuje en un plano cartesiano cada uno de los pares de vectoresanteriores y aquellos resultantes de las operaciones indicadas.

2. Calcule la norma (longitud) de cada uno de los vectores del ejemplo1 anterior.

3. Ubique en el plano cartesiano los vectores−→A = (0, 0),

−→B = (8, 0),−→

C = (8,−6) y calcule el area del triangulo ABC.

6. Coordenadas polares

Las coordenadas polares 15, que fueran introducidas por Jacob Bernoullialrededor de 1700, es una forma alternativa a la descripcion cartesianade ubicacion en el plano. Veamos en que consiste.

15Material optativo.


Sea O un punto fijo, al que llamaremos polo, sobre una lınea fija hori-zontal, a la que llamaremos eje polar , y una direccion positiva a lo largodel eje polar (ver figura 37).

xO

θ

r

P (r, θ)

O

θ

r

P (r, θ)

x

y

Figura 37: Coordenadas polares

Sea P (r, θ) cualquier punto cuya ubicacion relativa al polo y al eje polar

se describe mediante el vector−−→OP de la figura donde r es su longitud

(el radio-vector), y θ (el angulo polar) el angulo formado por−−→OP con la

direccion positiva del eje polar. Se acostumbra asumir que el eje polar esuna lınea horizontal cuya direccion positiva es a la derecha. Esto facilitael uso de coordenadas rectangulares y polares dentro de la misma grafica.El eje polar se identifica entonces con el eje X y el polo con el origen.La relacion entre coordenadas polares y rectangulares se establece ası:Dado el vector P (r, θ) se tiene que (ver figura 37),

x = r cos θ y = r sen θ

r =√

x2 + y2 tan θ =y

x

Ejemplo 18.

i) Encontremos la ecuacion en coordenadas polares de la circunferen-cia x2 + y2 − 2x = 0.

ii) Encontremos la ecuacion en coordenadas cartesianas de la ecuacionen coordenadas polares

r =2 sen2 θ

cos θ


Solucion.

i) Puesto que x2 + y2 = r2 y x = r cos θ, entonces la ecuacion esr2 − 2r cos θ = 0 o r(r − 2 cos θ) = 0; pero r = 0 es el polo O yeste punto esta ya descrito por la ecuacion r = 2cos θ para, por

ejemplo, θ =π

2; luego (∗) es la ecuacion buscada.

ii) De r =2 sen2 θ

cos θobtenemos r =

2(y

r)2

x

r

=2y2

rxo, lo que es igual,

r2 =2y2

x, o x2 + y2 =

2y2

x, o y2 =

x3

2 − xque esta representada

en la figura 38.

2x

y

Figura 38: y2 =x3

2 − x

a). Ecuacion polar de una lınea recta

Puesto que la ecuacion cartesiana general de una lınea recta es

ax+ by + c = 0

entonces su forma polar general sera

r(a cos θ + b sen θ) + c = 0

Ahora: si p es la distancia OD perpendicular desde el polo O hasta lalınea recta, y α mide la inclinacion de OD, entonces la ecuacion puededescribirse como

p = r cos(θ − α) (∗∗)que es la ecuacion normal polar de la lınea recta (ver figura 39).


x

y

θα

r

P (r, θ)

D

O

Figura 39

x

y

α

Figura 40

Por ejemplo, de la ecuacion (∗∗) arriba, obtenemos la forma de las lıneasrectas que pasan por el polo O pues en este caso p = 0, y ası cos(θ−α) = 0o

θ = α± π

2

donde α es el angulo formado por la perpendicular a la recta con el ejex (ver figura 40). Por ejemplo, la recta y = x se describe mediante θ =3π4

+−

π2 , que incluye las semirrectas inferior y superior, respectivamente.

Ejemplo 19.

i) La recta y = 2x + 1 se escribe en forma polar como r(2 cos θ −sen θ) + 1 = 0.

ii) La recta y = −3x+ 2 se escribe en forma polar como r(−3 cos θ−sen θ) + 2 = 0.

iii) La recta paralela al eje polar a traves de (8, 150o) es p = r cos(θ−α)donde p = 8 sen 30o; α = 90o, es decir, 8 sen 30o = r cos(θ − 90o)o r sen θ = 4 (ver figura 41).

x

y

150o

Figura 41: Recta r sen θ = 4

8


b). Ecuacion polar de una circunferencia

Si una circunferencia de radio a tiene su centro en el polo (origen), suecuacion polar es, simplemente, r = a.

b

b

x

C

y

θ θ0

r

P (r, θ)

r1

a

Figura 42: Circunferencia en forma polar

Pero si la circunferencia no esta centrada en el polo, su ecuacion polares mas complicada (ver figura 42): Sea P (r, θ) un punto cualquiera sobrela circunferencia de radio a y centro C(r1, θ0); entonces, aplicando la leyde cosenos de la trigonometrıa basica, encontramos que:

a2 = r2 + r21 − 2r1r cos(θ − θ0)

Y si r1 = a, simplificando llegamos a la ecuacion del cırculo que pasapor el polo, r = 2a cos(θ − θ0), donde los casos θ0 = 0 y θ0 = π

2 sonparticularmente importantes. Del primero resulta r = 2a cos θ y del se-gundo r = 2a sen θ. Las graficas para estos casos son, respectivamente,las de las figuras 43 y 44.

Figura 43: r = 2a cos θ

b

b

b b

Figura 44: r = 2a sen θ

a) b)

(a, 0)

(a, π2 )


Ejemplo 20.

La grafica de r = 8cos θ corresponde a la de una circunferencia concentro (4, 0) y radio 4 (ver figura 45).

b bb

(4, 0)

Figura 45: r = 8 cos θ

Ejemplo 21.

Encontremos la ecuacion polar de la circunferencia (x−2)2+(y+3)2 = 4.

Solucion.

Reemplazando x = r cos θ, y = r sen θ en la ecuacion dada, obtenemosque

r2 cos2 θ + r2 sen2 θ + 4 + 9 − 4r cos θ + 6r cos θ = 4

Y al simplificar llegamos a que r2 + r(6 sen θ − 4 cos θ) + 9 = 0, que esla forma polar de la circunferencia dada.

Ejemplo 22.

Encontremos la ecuacion polar para cada una de las circunferencias delas figuras 46 y 47.

Figura 46: r =√

3

b bb

Figura 47: r = − cos θ

a) b)

radio =√

3

centro (0, 0)

radio = 1

2

centro (− 1

2, 0)


Solucion.

a) Como la circunferencia de la figura 46 tiene centro en el origen, suecuacion polar es r =

√3.

b) La circunferencia de la figura 47 tiene su centro en el punto (−12 , 0)

y su radio es 12 ; por lo tanto, su ecuacion polar es r = −2(1

2 ) cos θ =− cos θ.

Ejemplo 23.

Tracemos la grafica de la circunferencia r = −2 sen θ, y especifiquemoslas coordenadas del centro y la longitud del radio.

Solucion.

Como 2a = −2, la circunferencia esta situada debajo del eje polar y suradio es r = 1. Las coordenadas de su centro son (−1, π

2 ) (ver figura 48).

b

Figura 48: r = −2 sen θ

(−1, π2 )

c). Ecuacion polar de una conica

En general, la ecuacion polar de una conica (elipse, parabola o hiperbola)no es sencilla, pero si el foco (o uno de sus focos) se situa en el polo(origen) (ver figura 49) y su directriz d esta a p unidades de distanciade este, la ecuacion que define la conica toma una forma mas simple.

Observemos, en efecto, que la ecuacion PF = e(PQ) toma la forma

r = e(p ± r cos θ)

donde e es la excentricidad de la conica; o, aun mas simplemente,

r =ep

1 ± e cos θ

donde

a) e > 1 (hiperbola); b) e = 1 (parabola); c) e < 1 (elipse)

b

b

Qp

directriz

θ

F

r

P (r, θ)

Figura 49

bQ

θ

p

F

P (r, θ)

directriz

Figura 50

Si la directriz esta a la derecha del foco como en la figura 49, en laecuacion se toma el signo positivo, y si la directriz esta a la izquierdadel foco como en la figura 50, en la ecuacion se toma el signo negativo.

Las siguientes figuras ilustran el caso en que la directriz es paralela al

eje polar. La ecuacion polar para la figura 51 es r =ep

1 + e sen θ, y para

la figura 52 es r =ep

1 − e sen θ.

b

b

F (0, 0)

F (0, 0)directriz

directriz

Figura 51: r =ep

1 + e sen θFigura 52: R =

ep

1 − e sen θ

Ejemplo 24. (Parabola en forma polar)Para trazar la grafica de r = 2/(1 − cos θ), observamos primero que


e = 1, y, por lo tanto, la formula corresponde a una parabola (ver figura53); ademas, como ep = 2, entonces p = 2. La ecuacion cartesiana de ladirectriz es x = −2. El vertice de la parabola se obtiene dandole a θ elvalor de π: r = 2/(1 − cos π) = 1 y ası, v = (1, π).

Figura 53: r =2

1 − cos θ(parabola)

bbv

directriz

F (0, 0)

Ejemplo 25. (Hiperbola en forma polar)

Para trazar la grafica de r = 12/(2+4 sen θ), comenzamos escribiendolaen la forma r = 6/(1 + 2 sen θ). Allı vemos que e = 2 y, por lo tanto, laecuacion representa una hiperbola. Puesto que ep = 6 entonces p = 3,y la directriz tiene ecuacion cartesiana y = 3. Los vertices aparecencuando θ = π/2 y θ = 3π/2, de manera que son (2, π/2) y (6, π/2). Sugrafica es la de la figura 54.

Figura 54: r =12

2 + 4 sen θ(hiperbola)

b

b

b directriz

v(6, π

2)

v(2, π

2)

F (0, 0)


Ejemplo 26. (Elipse en forma polar)Encontremos la ecuacion de la elipse con e = 1

2 y directriz y = −4.

Solucion.

Como la directriz es paralela al eje polar, la ecuacion de la elipse es (verfigura 55):

r =12(4)

1 − 12 sen θ

o r =4

2 − sen θ

Figura 55: r =4

2 − senθ(elipse)

b

b

b

directriz

v(4, π

2)

F (0, 0)

v(43 ,

3π2 )

No sobra aquı anotar que ahora podrıa ser claro para el lector que ladescripcion de las conicas mediante coordenadas polares es, en general,engorrosa. Sin duda, la descripcion cartesiana es mas clara y directa.

d). Ecuaciones polares de curvas clasicas

Cinco de las mas hermosas figuras clasicas que pueden expresarse me-diante formulas polares relativamente simples, son las siguientes:

i) La rosa de cuatro hojas ii) La cardioider = a sen 2θ para a > 0 r = a(1 − cos θ)

45◦135◦

Figura 56

120◦ 60◦

Figura 57


iii) La lemniscata de Bernoulli iv) La espiral de Arquımedes

r2 = 2a2 cos 2θ r =θ

π

225◦ 315◦

135◦ 45◦

Figura 58 Figura 59

v) La limacon(r − a cos θ)2 = b2

Figura 60

i) La rosa de cuatro hojas (o quadrifolium) (ver figura 56) apare-cio por primera vez en los escritos del matematico italiano GuidoGrandi [1671-1742] en 1713. Esta curva es simetrica con respec-to al eje polar. El rango de variacion de r esta entre −a y a yaque sen(2θ) solo toma valores entre 1 y −1. La curva tocara lacircunferencia con centro en el polo y radio a, en cuatro puntosregularmente espaciados en los valores θ = 45◦, 135◦, 225◦, 315◦

donde sen(2θ) toma los valores maximo y mınimo. Algunos de losvalores para esta curva son los de la siguiente tabla:

θ 0o 15o 30o 45o 60o 90o

r 0 a2

a√

32 a a

√3

2 0

Tabla de valores de la rosa de cuatro hojas

ii) La cardioide recibio tal nombre de G.F. Salvemini [1708-1791] en1741. Esta curva (ver figura 57) tiene intersecciones con el eje polar


en (0, 0◦) y (2a, 180◦). Corta la lınea que pasa por el polo y quees perpendicular al eje polar, a una distancia de a unidades arribay abajo del polo. Ademas, es simetrica con respecto al eje polar.Una tabla de valores para la cardioide se puede ver enseguida:

θ 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o

r 0 0.13a 0.29a 0.5a a 1.5a 1.71a 1.87a 2a

Tabla de valores de la cardioide

iii) La lemniscata de Bernoulli fue mencionada por primera vez porJacobo (Jacques) Bernoulli en 1694, pero la teorıa analıtica dela curva se debe a Euler (1751,1752). La lemniscata (ver figura58) interseca el eje polar

√2a unidades a ambos lados del polo.

Ademas, es simetrica con respecto al eje polar, al polo, y a la lıneaque pasa por el polo y es perpendicular al eje polar. Tambien, elrango de r varıa entre 0 y

√2a. Debido a la simetrıa y a la longitud

de la lemniscata, es suficiente tabular r para valores de θ entre 0◦

y 45◦. Veamos una tabla de valores:

θ 15o 22.5o 30o 45o

r ±1.32a ±1.19a ±a 0

Tabla de valores de la lemniscata de Bernoulli

iv) La espiral de Arquımedes (o helice como Arquımedes la llamo enel 225 a.C.) se asocia generalmente con la curva que se forma so-bre un cilindro al cortarse en un angulo constante. La espiral deArquımedes (ver figura 59) tiene infinitos intersecciones con el ejepolar y tambien con la lınea que pasa por el polo y es perpendicu-lar al eje polar. La curva es simetrica con respecto a esta ultima,ya que nada cambia en la ecuacion r = θ/π si cambiamos r por −r,y θ por −θ. En la figura 59 hemos omitido la grafica para valores


negativos de r, que esperamos el lector pueda construir sin dificul-tad a partir de los valores para r positivo que son los que aparecenen esa grafica. Una tabla de valores que nos ayuda a trazar estacurva es la que aparece enseguida:

θ 0 π4

π2

3π4 π 5π

43π2

7π4 2π

r 0 14

12

34 1 5

432

74 2

Tabla de valores de la espiral de Arquımedes

v) La palabra francesa limacon significa “caracol”; esta curva, queaparece en la figura 60, fue estudiada por primera vez en el sigloXVII por Etienne Pascal (el padre de Blaise Pascal). Su descrip-cion, imitando lo hecho anteriormente para las otras curvas, quedacomo ejercicio para el lector.

Ejercicios 6

1. Para cada una de las siguientes circunferencias encuentre su ecua-cion polar, halle su centro y dibuje su grafica:

a) x2 + 2x+ y2 = 0 b) x2 − 16x+ y2 = 0

c) x2 + (y − 5)2 = 25 d) 2x2 + 2y2 = 8

e) x2 + y2 = 5 f) 3(x− 7)2 + 3(y + 4)2 = 69

2. Escriba la ecuacion polar de la conica con foco en el polo, a partirde los datos dados:

a) e = 23 , directriz x = 3 b) e = 4, directriz y = 5

c) e = 1, vertice (5, π2 ) d) e = 0.4, vertice (2, 0)


e) e = 43 , directriz x = −3 f) e = 5

6 , directriz x = 7

3. Para cada una de las cuatro siguientes conicas, encuentre:

i) Excentricidad. ii) Vertice (o vertices).

iii) Directriz. iv) Grafica.

a) r =10

3 − 2 sen θb) r =

7

2 + 5 sen θ

c) r =1

4 − 3 cos θd) r =

4

1 + 3 cos θ

7. Coordenadas parametricas

Para la geometrıa analıtica de los siglos XVIII y XIX, en ocasiones fueconveniente representar una curva en el plano por medio de dos ecua-ciones; una, dando la coordenada x, y la otra, la coordenada y, de unpunto en terminos de una variable t que llamaban parametro, y quenormalmente era el parametro “tiempo”. A las dos ecuaciones las llama-ban ecuaciones parametricas de la curva. Claramente, si se eliminaba elparametro t de ambas ecuaciones, se obtenıa la ecuacion cartesiana. Vea-mos como operan las ecuaciones parametricas en las figuras cartesianasmas elementales.

Ejemplo 27. (Ecuacion parametrica de la recta (Cauchy (1826)))

Una ecuacion parametrica de la lınea determinada por los puntosA(x0, y0)y B(x1, y1) es, por similitud de triangulos (ver figura 61),

x− x0

x1 − x0=

t√

(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2;

y − y0

y1 − y0=

t√

(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2

o x = x0+t(x1 − x0)

√

(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2; y = y0+

t(y1 − y0)√

(x0 − x1)2 + (y0 − y1)2


B(x1, y1)

A(x0, y0)

P (x, y)t

Figura 61: Ecuaciones parametricas de la recta

b

b

b

Ejemplo 28. (Ecuaciones parametricas de las conicas)

i) Ecuaciones parametricas de la circunferencia x2 + y2 = a2 sonx = a cos t, y = a sen t como el lector inmediatamente puede com-probar.

x

y

ta

(a cos t, a sen t)

Figura 62: Ecuaciones parametricas de la circunferencia

ii) Ecuaciones parametricas de la elipsex2

a2+y2

b2= 1 son x = a cos t,

y = b sen t como facilmente se observa.

x

y

tb

a

(a cos t, b sen t)

Figura 63: Ecuaciones parametricas de la elipse


iii) Segun la mecanica clasica de Galileo y Newton, una ecuacion pa-rametrica de un proyectil lanzado en una direccion formando unangulo α con la horizontal y con la velocidad inicial v0 es:

x = (v0 cosα)t, y = (v0 senα)t− 12gt

2

donde t es la variable “tiempo” medida en segundos; g es la acele-racion gravitacional medida en mts/seg2; x y y son las posicionescon respecto al origen O y estan medidas en metros.

x

y

O

P (x, y)

v0

α

Figura 64: Ecuaciones parametricas de movimientos parabolicos

iv) Una ecuacion parametrica de la hiperbolax2

a2− y2

b2= 1 es x =

a sec t, y = b tan t como el lector puede comprobar recurriendo ala descripcion analıtica y geometrica de la hiperbola previamenteestudiada.

x

y

b

t

(a sec t, b tan t)

Figura 65: Ecuaciones parametricas de la hiperbola


Ejercicios 7

1. Dibujar en un plano cartesiano xy (eliminando el parametro t) lassiguientes ecuaciones parametricas:

a) x = 4 + 2t, y = 2 − 3t

b) x =1

1 − t, y =

t

1 − t

c) x = 3 sen t, y = 4cos t

d) x = cos t, y = cos 2t

[Indicacion: En algunos casos “despeje” t en ambas ecuaciones eigualelas para ası eliminar el parametro t; en los otros, utilice al-guna identidad trigonometrica adecuada.]

2. Escriba las ecuaciones parametricas de la recta que pasa por lospuntos: a) (1, 2), (3, 4) b) (−1, 2), (0, 0). 16

8. Teorema fundamental del algebra

Al final de la leccion 2, se habıa senalado sobre los intentos durante tressiglos por resolver mediante radicales la ecuacion algebraica general degrado n

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + ...+ an−1x+ an = 0

donde a1, a2, ...an−1, an son numeros enteros cualquiera, y que este pro-blema resulto ser tan profundo y difıcil que condujo a la creacion denuevos conceptos matematicos.

En el siglo XVII ya era claro que la solucion por radicales estaba lejosde ser posible para todas las ecuaciones algebraicas y, aun en el caso deestar disponible, era de escaso valor practico debido a su complejidad,excepto en el caso lineal y en el de la ecuacion cuadratica. Por lo tanto, el

16Si el lector esta interesado en profundizar en la geometrıa analıtica hasta estepunto, recomendamos “Smith, Edward, Meyer Salkover y Howard Justice (1959),Analytic Geometry, Wiley”.

trabajo comenzo a dirigirse en tres direcciones: (1) Hacia el problema deexistencia de raıces; (2) Hacia el problema de que podıamos saber de lassoluciones a partir de los coeficientes de la ecuacion pero sin resolverla(por ejemplo, si tienen soluciones racionales (fraccionarios), y cuantas);y finalmente, (3) Hacia el calculo aproximado de las raıces de la ecuacion.

Primero que todo, la pregunta era si la ecuacion algebraica general tenıasiempre raıces. La respuesta afirmativa a esta pregunta, el teorema fun-damental del algebra, es uno de los resultados mas importantes de lasmatematicas modernas, aunque permanecio por mucho tiempo sin unaprueba rigurosa. De hecho, su nombre contrasta con sus tecnicas dedemostracion, pues la mayorıa de ellas estan mas relacionadas con elcalculo diferencial que con el algebra. La primera “prueba” fue dada porJean L. R. d’Alembert (1745) aunque, como despues se hizo claro, estatenıa un problema que consistıa en que d’Alembert asumıa como trivialla proposicion general del calculo diferencial de que una funcion continua(es decir, que “no tiene interrupciones”) definida sobre un intervalo ce-rrado de numeros (o sea, los numeros x tales que a ≤ x ≤ b para ciertosnumeros fijos a y b con a < b) alcanzaba el mınimo en algun punto. Yaunque esto es cierto, debıa probarse. La primera prueba de esta ultimapropiedad se obtuvo en la segunda mitad del siglo XIX, mas de cien anosdespues de las investigaciones de d’Alembert, y hoy se le conoce comoteorema de Weierstrass (ver leccion 1 del volumen II (Calculo)). La pri-mera demostracion rigurosa del teorema fundamental del algebra se leatribuye a Karl F. Gauss (1799). Hoy existen diversas demostracionesde este teorema.

En lo que sigue daremos los elementos para comprender este y otrosresultados y, para ello, comenzamos con la nocion de numero complejoy su representacion en coordenadas polares.

a). Numeros complejos

Las dificultades que condujeron a la creacion de la teorıa de los nume-ros complejos se encontraron primero al intentar resolver ecuacionescuadraticas de la forma ax2 + bx+ c = 0. ¿Que podemos hacer si, en laconocida formula, que mostraremos adelante y que senala las soluciones

x =−b±

√b2 − 4ac

2a,


el termino b2−4ac, bajo la raız cuadrada, es negativo? No existe numero,ni positivo, ni negativo, que sea la raız cuadrada de un numero negativo.Despues de largas dudas de mas de un siglo, los matematicos llegaron ala conclusion de que era necesario introducir nuevos “numeros”.

Quizas fue Jeronimo Cardano [1501-1576] en su Ars Magna de 1545 elprimero en obtener soluciones en numeros complejos al resolver ecua-ciones cuadraticas. Al estudiar la ecuacion x(10 − x) = 40, Cardanoobtenıa las raıces 5 +

√−15 y 5 −

√−15 y “haciendo a un lado las

torturas mentales involucradas” multiplicaba 5 +√−15 y 5 −

√−15 y

obtenıa 25−(−15) = 40. Cardano necesariamente tuvo que verse obliga-do a pensar en numeros complejos al resolver las ecuaciones (cuadraticay cubica): aunque buscaba y obtenıa solo numeros reales, sus formulastambien arrojaban raıces complejas cuando estas estaban presentes.

Por su parte, Descartes tambien rechazaba las raıces complejas y fueel quien acuno el termino “imaginario” para estas raıces. En cualquiercaso, para Descartes no eran numeros.

Tampoco Newton consideraba las raıces complejas como algo con sen-tido, probablemente porque hasta ese entonces estos no tenıan un sig-nificado geometrico inmediato que era la forma tıpica del pensamien-to newtoniano: solo cuando los problemas no tuvieran sentido fısico ogeometrico podrıan aparecer las raıces complejas.

Para Leibniz, la utilizacion de los complejos solo la justificaba con elargumento de que nada ilogico surgıa de su uso. Y aunque trabajo conellos formalmente, era claro que no tenıa ninguna comprension de sunaturaleza. “[Un] anfibio entre ser y no ser, ... [es] la raız imaginaria dela unidad negativa” decıa con respecto a

√−1.

A pesar de la evidente falta de una clara comprension de los numeroscomplejos durante los siglos XVI y XVII, los procedimientos operaciona-les habıan avanzado. En su Algebra de 1685, John Wallis fue el primeroen mostrar como representar geometricamente, en el plano, raıces com-plejas de una ecuacion cuadratica con coeficientes reales. Wallis decıaque los numeros complejos no eran mas absurdos que los mismos nume-ros negativos. Sin embargo, las abstracciones de Wallis fueron ignoradaspor los matematicos de su epoca.

En 1751, Euler publico un artıculo titulado Investigations on the Imagi-nary Roots of Equations en el que obtuvo el extrano resultado (con un


argumento incorrecto) de que

log(a+ ib) = log(reiθ) = (log r) + i(θ ∓ 2nπ)

(donde e = 2.7182... y i =√−1) para cualquier numero n = 1, 2, 3, ...,

utilizando la forma polar de un numero complejo

(

r =√a2 + b2, tan θ =

b

a

)

que veremos adelante. Y a partir de allı dedujo la famosa formula

eiθ = cos θ + i sen θ

Sin embargo, el artıculo de Euler nunca pudo ser entendido por los ma-tematicos de su epoca.

Cauchy, en su famoso Cours d’analyse (1821), decıa que expresionescomo a + b

√−1 no tenıan sentido como totalidad, sino solo como re-

presentacion simbolica de una ecuacion entre cantidades reales. Ası, laigualdad

a+ b√−1 = c+ d

√−1

era cierta si, y solo si, a = c y b = d. Siempre evito el uso de terminosescuetos como

√−1.

Pero fue Gauss, en 1831, el primero que al describir la representaciontrigonometrica (polar) de los numeros complejos y su adicion y multi-plicacion, facilitarıa el camino para que los numeros complejos alcanza-ran el lugar que hoy ocupan dentro de las matematicas. Afirmaba que“aquı [en la representacion geometrica] esta sustentada la demostraciondel significado intuitivo de

√−1 y no se necesita mas para admitir estas

cantidades en el dominio de los objetos de la aritmetica”.

Y aunque el camino hacia la aceptacion de los numeros complejos comen-zaba a despejarse, no lo harıa del todo hasta tanto el concepto mismode numero real hubiese sido aclarado. Fue, sin duda, esta relacion de losnumeros complejos con los vectores, y el que al usarse en pasos interme-dios de argumentos matematicos los resultados finales fueran correctos,lo que hizo que los matematicos los utilizaran efectivamente, a pesar delas dudas que seguıan despertando.

Al final de avatares, el siglo XIX de Cauchy y Weierstrass recibe laversion moderna de los numeros complejos. Esta introduce un nuevocaracter abstracto i ≡

√−1 tal que i2 = −1, y estudia numeros de la


forma a+ ib donde a y b son numeros reales, a los que llaman numeroscomplejos. Dos numeros a + ib y c + id seran iguales si, y solo si, a =c y b = d. La suma de dos de estos numeros, a + ib y c + id, es elnumero complejo (a+c)+ i(b+d), y su diferencia es el numero complejo(a−c)+i(b−d). En la multiplicacion se acuerda multiplicar estos numeroscomo si fueran numeros corrientes solo teniendo en cuenta que i2 = −1.Ası,

(a+ ib)(c+ id) = ac+ iad+ ibc+ i2bd = (ac− bd) + i(ad + bc)

Pero tambien es posible dividir numeros complejos, es decir, tiene sentido

escribira+ ib

c+ idpues si multiplicamos numerador y denominador de esta

fraccion por el numero complejo c − id (al que se acostumbra llamar elconjugado del numero complejo c+ id) obtendrıamos que

a+ ib

c+ id=

(a+ ib)(c − id)

(c+ id)(c− id)=

(ac+ bd) + i(bc − ad)

c2 + d2=ac+ bd

c2 + d2+i

bc− ad

c2 + d2

Ası, se muestra que podemos sumar, restar, multiplicar, y dividir nume-ros complejos, algo que hasta esa epoca solo podıa hacerse con los nume-ros ordinarios. Es decir, ahora era posible operar de manera formal conobjetos que no eran intuitivamente claros, ni tampoco “evidentes porsı mismos”. Este paso de pensar en “estructuras abstractas” en lugar denumeros concretos, serıa fundamental en el desarrollo de las matemati-cas como las conocemos hoy en dıa.

Ahora: tambien podemos establecer una conexion interesante de losnumeros complejos con objetos aparentemente disımiles. Si en el numeroa + ib, pensamos en a y b como coordenadas rectangulares, entonces lasuma y producto por escalar de numeros complejos coinciden con lasde los vectores que habıamos descrito antes; es decir, con la de segmen-tos dirigidos que van desde el origen (0, 0) hasta el punto (a, b), puesası tendrıamos la identificacion

z1 = a+ ib ≡ (a, b) , z2 = c+ id ≡ (c, d)

y ademas

z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) ≡ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) =(a+ c) + i(b+ d)


kz1 = k(a+ ib) = k(a, b) ≡ (ka, kb) = ka+ i(kb) para k un numerocualquiera.

Por esto, en ocasiones (es decir, cuando el analisis lo requiere), se llamaal plano cartesiano el plano complejo (ver figura 66).

x

y

z = (a, b)

Figura 66

x

y

(a, b)

(c, d)z1 + z2 = (a+ c, b+ d)

z1

z2

Con respecto al significado vectorial de los numeros complejos, esto sepuede ver facilmente si consideramos la norma del vector (a, b) (queen este contexto llamaremos modulo ρ del numero complejo (a+ ib)) yel angulo φ que forma el vector con el eje positivo x (a este angulo lollamaremos aquı el argumento (amplitud) del numero complejo a+ ib).En la figura 67 observamos que a = ρ cosφ, b = ρ senφ (y ası, ρ =√a2 + b2 y tanφ =

b

a). Luego,

a+ ib = ρ(cosφ+ i sen φ)

que es la representacion polar del numero complejo a+ ib.

x

y

ρ

φ

(a, b) = a+ ib

Figura 67: Representacion polar


Ası, si multiplicamos a+ib = ρ1(cosφ1+i senφ1) con c+id = ρ2(cos φ2+i senφ2) obtenemos que

ac− bd = ρ1ρ2(cosφ1 cosφ2 − senφ1 senφ2)

= ρ1ρ2 cos(φ1 + φ2)

bc+ ad = ρ1ρ2(senφ1 cosφ2 + cosφ1 senφ2)

= ρ1ρ2 sen(φ1 + φ2)

y ası,

(a+ ib)(c + id) = (ac− bd) + i(ad+ bc)

= ρ1ρ2[cos(φ1 + φ2) + i sen(φ1 + φ2)]

y, con un poco de trigonometrıa, tambien que

a+ ib

c+ id=ρ1(cos φ1 + i sen φ1)

ρ2(cos φ2 + i sen φ2)

=ρ1

ρ2[cos(φ1 − φ2) + i sen(φ1 − φ2)]

Ademas (y esto muestra la conveniencia de la representacion polar), siz = a+ ib = ρ(cosφ+ i senφ) entonces

zn = (ρ(cosφ+ i sen φ))n = ρn(cosnφ+ i sennφ)

Esta relacion (conocida como teorema de De Moivre) fue sugerida porAbraham de Moivre [1667-1754] en 1730 pero al parecer ya el mismo laconocıa en 1707.

Y aunque no podemos probarlo aquı, para efectos de exposicion, asu-miremos como cierta, por ahora,17 la ecuacion de Euler que habıamosmencionado antes:

eiφ = cosφ+ i senφ (∗)

Por lo tanto, tambien sera cierto que e−iφ = cosφ− i senφ y que

senφ =eiφ − e−iφ

2icosφ =

eiφ + e−iφ

217Ver la seccion de ejercicios complementarios, leccion 3, volumen II (Calculo).


La igualdad (∗) de arriba relaciona la base e (que dara origen a la funcionexponencial y que en numeros decimales corresponde a e = 2.7182...),el numero imaginario i, y las funciones periodicas seno y coseno. Es lafuente de muy importantes desarrollos en las matematicas de hoy. Unaconsecuencia, simple y profunda, resulta cuando en (∗) hacemos φ = π;en tal caso obtendremos eiπ = −1, que relaciona en forma compactacuatro numeros fundamentales de la matematica: la unidad (1), el areadel cırculo de radio 1 (π), la base exponencial (e), y la unidad imaginaria(i).

Ejemplo 29.

a) Escribamos los siguientes numeros de la forma a + ib, donde a, bson numeros cualquiera:

i) (5 + 3i) + (2 − 4i) = (5 + 2) + (3 − 4)i = 7 − i

ii) (6 + 2i) − (3 + 4i) = (6 − 3) + (2 − 4)i = 3 − 2i

iii) (2+3i)(1+4i) = 2+2(4i)+3i+(3i)(4i) = 2+8i+3i+12i2 =(2 − 12) + (8 + 3)i = −10 + 11i

iv) (1+ i)2 = (1+ i)(1+ i) = (1+ i)+ i(1+ i) = 1+ i+ i+ i2 = 2i

v)5 + 7i

2 − 4i=

(5 + 7i)(2 + 4i)

(2 − 4i)(2 + 4i)=

−18 + 34i

20= − 9

10+

17

10i

b) Para encontrar la forma polar de a + ib = (1 +√

3i), tenemosprimero que ρ =

√1 + 3 = 2; luego encontramos el valor de θ tal

que cos θ = aρ

= 12

y sen θ = bρ

=√

32

. Este valor de θ es π3

y, portanto,

1 +√

3i = 2(

cosπ

3+ i sen

π

3

)

= 2eπ3i

c) Encontremos tambien la forma polar a + ib =3

2+

3√

3

2i. Aquı,

tenemos que ρ =

√

36

4= 3, y podemos encontrar el valor de θ

tal que cos θ =a

ρ=

32

3= 1

2y sen θ =

b

ρ=

3√

32

3=

√3

2. Este θ es


tambien π3

y, por tanto,

3

2+

3√

3

2i = 3

(

cosπ

3+ i sen

π

3

)

= 3

(

1

2+ i

√3

2

)

= 3eπ3i

d) Para hallar los numeros complejos a + ib tales que su cuadradosea el numero −7 − 24i, podemos proceder ası: Si a y b son dosnumeros tales que

−7 − 24i = (a+ ib)2 = a2 + 2abi− b2

entonces, igualando terminos, se tendra que:

a2 − b2 = −7 (1)

2ab = −24 (2)

Por lo tanto, (a2 + b2)2 = (a2 − b2)2 + (2ab)2 = 49 + 576 = 625; yası se tiene que

a2 + b2 = 25 (3)

De (1) y (2) se obtiene que a2 = 9, b2 = 16 y, por consiguiente,a = ±3, b = ±4. Pero como de (2) vemos que ab es negativo,entonces los numeros complejos seran 3 − 4i y −3 + 4i.

* e) ¿Cual es el “error” que nos lleva a la siguiente contradiccion?: Seana, b dos numeros positivos; entonces

i)√−a

√−b =

√

(−a)(−b) =√ab

ii)√−a

√−b = (

√a√−1)(

√b√−1) = (

√a i)(

√b i) = −

√ab

b). Raıces de una ecuacion algebraica

Una ecuacion algebraica de grado n con una incognita, es una ecuacionde la forma

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + ...+ an−1x+ an = 0

donde a1, a2, ..., an son coeficientes dados, y resolver esta ecuacion al-gebraica es encontrar todos los numeros x’s que la satisfacen. A estosnumeros x’s se les llama raıces (o ceros) de la ecuacion.

Estudiemos los cuatro primeros casos: las ecuaciones de primero, segun-do, tercer y cuarto grado.

i) La ecuacion algebraica de primer grado (o ecuacion lineal) es laecuacion de la forma

x+ a = 0

cuya solucion esx = −a

ii) La ecuacion algebraica de segundo grado (o ecuacion cuadratica)puede escribirse como

x2 + bx+ c = 0

y su solucion tambien es muy simple: Transfiramos c al lado dere-

cho de la ecuacion y luego sumemosb2

4a ambos lados para obtener

x2 + bx+b2

4=b2

4− c

Pero como

x2 + bx+b2

4=

(

x+b

2

)2

entonces obtendremos que(

x+b

2

)2

=b2

4− c

o, lo que es equivalente,

x+b

2= ±

√

b2

4− c

y, ası, las soluciones son:

x = − b2±√

b2

4− c =

−b±√b2 − 4c

2

que es la muy conocida formula de solucion de la ecuacion cuadrati-ca. Aquı, la expresion b2−4c (conocida como el discriminante de laecuacion cuadratica) determina cuando este numero es real o com-plejo: Si b2−4c < 0 tendremos soluciones complejas; si b2−4c ≥ 0,las soluciones seran reales.


iii) Sin embargo, la ecuacion algebraica de tercer grado (o ecuacioncubica), que puede escribirse como

x3 + ax2 + bx+ c = 0

ya no es tan simple de resolver como las dos anteriores. Baste de-cir que requirio de profundas consideraciones y que resistio a todoslos esfuerzos de los matematicos de la antiguedad. Solo pudo re-solverse a principios de los 1500′s (en la era del Renacimiento enItalia) por el matematico italiano Scipio del Ferro. Este, siguiendola costumbre de su tiempo, no publico sus descubrimientos y solose los comunico a uno de sus estudiantes. Despues de la muertede del Ferro, este estudiante reto a uno de los mas grandes ma-tematicos italianos de la epoca, Tartaglia [1500-1557], a proponeruna solucion a la ecuacion de tercer grado. Este ultimo acepto elreto, y encontro un metodo para resolver cualquier ecuacion cubicade la forma x3 + px + q = 0. En Milan, Cardano [1501-1576], sa-biendo de los hallazgos de Tartaglia, le pidio a este que le revelarael metodo, a lo cual Tartaglia finalmente accedio con la condicionde que Cardano lo mantuviera en secreto. Cardano, por el con-trario, publico el resultado de Tartaglia en su Ars Magna. Ası, laformula para la solucion de la ecuacion cubica, que se conoce comoFormula de Cardano, deberıa ser llamada, justamente, Formula deTartaglia. El siguiente es, en forma moderna, el metodo utilizadopor Tartaglia para resolver la ecuacion cubica.

Consideremos, de nuevo, la ecuacion de tercer grado

x3 + ax2 + bx+ c = 0 (1)

y hagamos x = y − a

3. Sustituyendo esta ultima expresion en (1)

obtenemos(

y − a

3

)3+ a

(

y − a

3

)2+ b

(

y − a

3

)

+ c

= y3 − 3a

3y2 + 3y

(a

3

)2−(a

3

)3+ a(y2 − 2y

a

3+(a

3

)2) + b

(

y − a

3

)

+ c

= y3 − ya2

3+ 2

(a

3

)3− a

3b+ by + c

= y3 −[a2

3− b

]

y +a

3

[

2(a

3

)2− b

]

+ c = 0


que es una ecuacion de la forma

y3 + py + q = 0 (2)

donde p = −[a2

3− b

]

y q =a

3

[

2(a

3

)2− b

]

+ c. Ahora: para

resolver la ecuaciony3 + py + q = 0

hagamos, en (2), y = u+ v y uv = −p3. Entonces obtenemos

(u+ v)3 + p(u+ v) + q = 0

ou3 + v3 + q + (3uv + p)(u+ v) = 0

ou3 + v3 + q = 0 pues (3uv + p = 0)

Ası, tendremos que u, v deben satisfacer

u3 + v3 = −q

u3v3 = −p3

27

y, consecuentemente, u3 y v3 son las raıces de la ecuacion cuadrati-ca

z2 + qz − p3

27= 0 (3)

Resolviendo (3) se tiene que

u3 = −q2

+

√

q2

4+p3

27

v3 = −q2−√

q2

4+p3

27

y, hemos ası arribado a la Formula de Cardano para una raız dela ecuacion cubica dada por la ecuacion (2):

yTartaglia =3

√

−q2

+

√

q2

4+p3

27+

3

√

−q2−√

q2

4+p3

27


Mas adelante veremos que, entonces, es inmediato obtener las otrasraıces de la ecuacion cubica (2). Pasar de allı a las raıces de laecuacion cubica general, es directo mediante la sustitucion x =

y − a

3.

iv) Poco despues de que Tartaglia resolviera la ecuacion de tercer gra-do, Ferrari [1522-1565] resolvio la ecuacion algebraica de cuartogrado (o ecuacion cuartica)

x4 + ax3 + bx2 + cx+ d = 0 (4)

Y lo hizo de la siguiente forma: Re-escribamos (4) ası:

x4 + ax3 = −bx2 − cx− d

y sumemos a ambos ladosa2x2

4; Entonces tendremos a la izquierda

un cuadrado perfecto:

(

x2 +ax

2

)2=

(a2

4− b

)

x2 − cx− d

y sumando a ambos lados(

x2 +ax

2

)

y+y2

4, donde y es una nueva

variable, se tiene otro cuadrado perfecto:

(

x2 +ax

2+y

2

)2=

(a2

4− b+ y

)

x2 +(ay

2− c)

x+

(y2

4− d

)

y se ha reducido el problema a uno con dos incognitas.

Ahora: si seleccionamos y tal que satisfaga la ecuacion cubica

(ay

2− c)2

− 4

(a2

4− b+ y

)(y2

4− d

)

= 0 (5)

entonces la segunda parte de la ecuacion (4) sera un cuadradocompleto:

(

x2 +ax

2+y

2

)2=

[(a2

4− b+ y

)

x+(ay

4− c

2

)]2

(6)


y ası

x2 +ax

2+y

2= ±

[(a2

4− b+ y

)

x+(ay

4− c

2

)]

y si conocemos y, entonces de (6) obtenemos las cuatro solucionesbuscadas. Esta y se puede encontrar, si es necesario, resolviendo,mediante la formula de Cardano, la ecuacion (5).

Ejemplo 30.

Encontremos, mediante la formula de Cardano, una raız de la ecuacionde tercer grado

x3 + 2x2 + x− 9 = 0

Solucion.

Podemos escribir la ecuacion x3 + 2x2 + x − 9 = 0 de la forma y3 +py + q = 0. Segun lo anterior, para ello debemos encontrar p y q comoalla, y esto lo hacemos recordando las igualdades (2) de arriba: Comoa = 2, b = 1, c = −9 entonces

p = −(a2

3− b

)

= −(4

3− 1) = −1

3

q =a

3

[

2(a

3

)2− b

]

+ c =2

3

[

2

(2

3

)2

− 1

]

− 9 = −245

27

Encontremos ahora las raıces u3 y v3 de la ecuacion cuadratica z2 +qz−p3

27= 0. Estas son, para p = −1

3y q = −245

27:

u3 = −q2

+

√

q2

4+p3

27= 9·07

y

v3 = −q2−√

q2

4+p3

27= 0·00015

Tenemos entonces que y = 3√

9·07+ 3√

0·00015 = 2·1390345, y, por tanto,

x = y − a

3= y − 2

3= 1·47236786. Las otras dos raıces de la ecuacion

cubica original se pueden hallar mediante la formula cuadratica comoentenderemos en la proxima seccion (ver ejercicio 8, Ejercicios 8).


Ejemplo 31.

Resolvamos la ecuacion

12x4 − 56x3 + 89x2 − 56x+ 12 = 0

Solucion.

Si dividimos esta ecuacion por x2 (¿por que podemos hacerlo?) obtene-mos

12

(

x2 +1

x2

)

− 56

(

x+1

x

)

+ 89 = 0 (7)

y haciendo x+1

x= w se tendra que x2 +

1

x2= w2 − 2, y, por lo tanto,

de (7) se tendra que

12(w2 − 2) − 56w + 89 = 0

Y ası se tiene que w =5

2o w =

13

6. Reemplazando x+

1

x= w =

5

2,

13

6,

tendremos que

x = 2,1

2,

3

2,

2

3.

Nota 4.Ası era como resolvıan los matematicos italianos las ecuaciones de ter-cer y cuarto grado en los 1500’s. Este exito produjo un gran efecto: erala primera vez que la ciencia moderna habıa descubierto algo verdade-ramente nuevo que los antiguos no sabıan. Hasta entonces, sobre todoen la Edad Media, el proposito de los matematicos de Occidente habıasido, principalmente, entender el trabajo de los antiguos. Pero ahora,finalmente, se habıan conquistado terrenos imposibles para ellos. Y estosucedıa en los 1500’s, mas de un siglo antes de la invencion de nuevasramas de las matematicas como la geometrıa analıtica y el calculo di-ferencial e integral que, finalmente, afirmaron el despegue de la nuevaciencia.

Despues de estos exitos de los italianos, no existio matematico impor-tante que no intentara extender sus logros resolviendo las ecuacionesde quinto, sexto y superiores grados de forma analoga a lo hecho para


las de segundo, tercero y cuarto. Por ejemplo, un importante algebristadel siglo XVII, Tschirnhansen [1651-1708], creıa haber encontrado unmetodo general de solucion de la ecuacion de quinto grado basado enla transformacion de una ecuacion a una mas simple que implicaba lasolucion de otras ecuaciones auxiliares. Mas tarde se mostrarıa que estemetodo requerıa de la solucion de una ecuacion auxiliar de sexto gradocuya solucion no se conocıa. Despues de tres siglos de esfuerzos por partede muchos matematicos, no fue sorpresa cuando en 1824 el matematiconoruego Niels Heinrich Abel [1802-1829] dio prueba de que no existıaninguna expresion en radicales de los coeficientes de una ecuacion degrado mayor o igual a 5. Ası, se habıa demostrado que el problema deencontrar formulas para las soluciones de una ecuacion algebraica soloera posible si su grado era 1,2,3, o 4. Desarrollos casi simultaneos de es-ta teorıa fueron los del matematico frances Evariste Galois [1811-1832]quien obtuviera resultados en este sentido muy avanzados para su tiem-po, y que vendrıan a jugar un papel central en el desarrollo del algebramoderna y, en general, en las matematicas de hoy.

c). Polinomios

Conectados ıntimamente con las ecuaciones algebraicas (y, por tanto, consus soluciones) estan los polinomios, que son expresiones de la forma

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + a2xn−2 + · · · + an−1x+ an

donde a0 6= 0, a1, a2, ..., an son numeros independientes de x, y a las quellamaremos, mas explıcitamente, polinomios en x de grado n.

Ası, por ejemplo, en p(x) = 5x6 − x3 + 2x2 + x − 3 tenemos que n =6, a0 = 5, a1 = a2 = 0, a3 = −1, a4 = 2, a5 = 1, a6 = −3; y en q(x) =x5 −x4 +2x3 +5x2 −x+1 tenemos que n = 5, a0 = 1, a1 = −1, a2 = 2,a3 = 5, a4 = −1, a5 = 1.

I). Suma y resta de Polinomios

Si p1(x) y p2(x) son polinomios en x, podemos sumar (restar) p1(x)y p2(x) encontrando otro polinomio s(x) tal que sus terminos son lasuma (resta) de los terminos de igual grado de los polinomios p1(x) yp2(x). Esto es, s(x) se obtiene sumando (restando), termino a termino,los coeficientes de los terminos de igual grado.


Ejemplo 32.

i) Si p1(x) = −12x

4 +8x3 − 3x2 +2x− 4 y p2(x) = 12x

4 − 6x3 + 43x

2 −5x+ 1, entonces

s(x) = p1(x) + p2(x) =

(

−1

2x4 + 8x3 − 3x2 + 2x− 4

)

+

(1

2x4 − 6x3 +

4

3x2 − 5x+ 1

)

= 2x3 − 5x2

3− 3x− 3

ii) Si p1(x) = 13x

5 + 38x

3 − 25x+3 y p2(x) = 2

3x4 − 1

8x3 + 1

5x2 − 3x− 1,

entonces

s(x) = p1(x) − p2(x)

=

(1

3x5 +

3

8x3 − 2

5x+ 3

)

−(

2

3x4 − 1

8x3 +

1

5x2 − 3x− 1

)

=1

3x5 − 2

3x4 +

1

2x3 − 1

5x2 +

13

5x+ 2

II). Multiplicacion de polinomios

Si p1(x) y p2(x) son polinomios en x, podemos multiplicar p1(x) porp2(x) y encontrar otro polinomio m(x) tal que sus terminos son la mul-tiplicacion de cada uno de los terminos de p1(x) con cada uno de losterminos de p2(x).

Ejemplo 33.

i) Si p1(x) = 5x2 + 3x y p2(x) = 3x3 − 2x2 + x− 4 entonces

m(x) = p1(x)p2(x) = (5x2 + 3x)(3x3 − 2x2 + x− 4)

= 5x2(3x3 − 2x2 + x− 4)

+ 3x(3x3 − 2x2 + x− 4)

= 15x5 − x4 − x3 − 17x2 − 12x


ii) Si p1(x) = 12x

4 + 32x

3 + 2 y p2(x) = 12x

4 + 2x2 − x+ 1, entonces

m(x) = p1(x)p2(x) =

(1

2x4 +

3

2x3 + 2

)(1

2x4 + 2x2 − x+ 1

)

=1

4x8 +

3

4x7 + x6 +

5

2x5 +

3

2x3 + 4x2 − 2x+ 4

III). Division de polinomios

Si p1(x) y p2(x) son polinomios en x, con el grado de p1(x) mayor oigual que el de p2(x), podemos dividir p1(x) por p2(x) encontrando otrospolinomios q(x) y r(x) tales que

p1(x) = p2(x)q(x) + r(x)

donde el grado de r(x) es inferior al de p2(x). Al polinomio q(x) se leconoce como cociente, y al polinomio r(x) como residuo.

Ejemplo 34.

i) En la igualdad x3 + 2x2 − 3x− 4 = (2x− 1)(x2 + 52x− 7

4) − 398 se

tiene p1(x) = x3 +2x2−3x−4; p2(x) = 2x−1; q(x) = x2 + 52x− 7

4 ;r(x) = −39

8 , como el lector puede comprobar.

ii) En la igualdad 4x2 + 11x + 10 = 4(x2 − 2x + 3) + (19x − 2) setiene que p1(x) = 4x2 + 11x + 10; p2(x) = x2 − 2x + 3; q(x) = 4;r(x) = 19x− 2, como el lector puede tambien comprobar.

iii) Dividiendo el polinomio 2x4 + 3x3 − x− 3 entre x+ 2, obtenemos

q(x) = 2x3 − x2 + 2x− 5

y el residuo es r(x) = 7 como facilmente se comprueba.

iv) Dividiendo el polinomio 3x3 − 5x2 +3x− 1 entre x− 1, obtenemos

q(x) = 3x2 − 2x+ 1

y el residuo es r(x) = 0, como el lector puede comprobar.


Ejemplo 35.

Dividamos p1(x) = x4 − 45x2 + 22x− 5 entre p2(x) = x− 7.

Solucion.

i) Dispongamos inicialmente los polinomios en la siguiente forma:

x4 − 0x3 − 45x2 + 22x− 5 |x− 7

ii) Tomamos ahora x elevada a la potencia, tal que multiplicada porla x del divisor x− 7, nos arroje el termino x4 del dividendo x4 −45x2+22x−5. Este termino buscado es x3. Despues, multiplicamosx3 por x − 7 y el resultado lo colocamos, con signos contrarios,debajo del dividendo, y sumamos los terminos que aparecen en lasdos filas a la izquierda; ası:

x4 −0x3 −45x2 22x −5| x− 7

x3

−x4 +7x3

7x3 −45x2 22x −5

iii) Ahora repetimos el proceso con 7x3 − 45x2 + 22x− 5 en lugar deldividendo original x4 − 45x2 + 22x− 5, y se obtiene, que

x4 −0x3 −45x2 +22x −5| x− 7

x3 + 7x2

−x4 +7x3

7x3 −45x2 +22x −5−7x3 +49x2

4x2 +22x −5

iv) Una vez mas, repetimos la operacion anterior con 4x2 +22x−5 enlugar de 7x3 − 4x2 + 22x− 5, y se tiene que

x4 −0x3 −45x2 +22x −5 | x− 7

x3 + 7x2 + 4x−x4 +7x3

7x3 −45x2 +22x −5−7x3 +49x2

4x2 +22x −5−4x2 +28x

50x −5


v) Y finalizamos reiterando la operacion anterior, ahora con 50x− 5en lugar de 4x2 + 22x− 5:

x4 −0x3 −45x2 +22x −5 | x− 7

x3 + 7x2 + 4x+ 50−x4 +7x3

7x3 −45x2 +22x −5−7x3 +49x2

4x2 +22x −5−4x2 28x

50x −5−50x +350

345

Por lo tanto, q(x) = x3 + 7x2 + 4x+ 50 y r(x) = 345; es decir,

x4 − 45x2 + 22x− 5 = (x− 7)(x3 + 7x2 + 4x+ 50) + 345

Ejemplo 36.

Dividamos p1(x) = x5 − 5x4 + 2x+ 8 entre p2(x) = x2 + 7x− 9

Solucion.

i) Dispongamos inicialmente los polinomios en la siguiente forma:

x5 − 5x4 + 2x+ 8 |x2 + 7x− 9

ii) Tomamos ahora x elevada a la potencia tal, que multiplicada por lax2 del divisor x2+7x−9, nos arroje el termino x5 del dividendo x5−5x4 + 2x+ 8. Este termino buscado es x3. Despues, multiplicamosx3 por x2+7x−9 y el resultado lo colocamos, con signos contrarios,debajo del dividendo, y sumamos los terminos que aparecen en lasdos filas a la izquierda; ası:

x5 −5x4 0x3 0x2 2x 8| x2 + 7x− 9

x3

−x5 −7x4 9x3

−12x4 9x3 0x2 2x 8


iii) Ahora repetimos el proceso con −12x4 + 9x3 + 2x+ 8 en lugar deldividendo original x5 − 5x4 + 2x+ 8, y se tiene que

−12x4 9x3 0x2 2x +8| x2 + 7x− 9

x3 − 12x2

−12x4 84x3 −108x2

93x3 −108x2 2x 8

iv) De nuevo, repetimos la operacion anterior y llegamos a que

93x3 −108x2 2x 8| x2 + 7x− 9

x3 − 12x2 + 93x−93x3 −651x2 837x

−759x2 839x 8

v) Y finalizamos reiterando la operacion anterior,

−759x2 839x +8| x2 + 7x− 9

x3 − 12x2 + 93x− 759759x2 5313x −6831

6152x −6823

Por lo tanto, q(x) = x3 − 12x2 + 93x − 759 y r(x) = 6152x − 6823; esdecir,

x5 − 5x4 + 2x+ 8 = (x2 + 7x− 9)(x3 − 12x2 + 93x− 759)+ 6152x− 6823

Seguimos adelante, presentando uno de los teoremas mas importantes enel estudio de los polinomios y, en general, en el estudio de las ecuacionesalgebraicas:

Teorema 1. (Teorema del residuo)Si un polinomio p(x) se divide por x−a (para a fijo) entonces el residuode la division de p(x) por x− a es p(a).

Demostracion

En efecto, puesto que existen q(x) y r(x) tales que

p(x) = (x− a)q(x) + r(x)


entonces, en particular, para x = a, se tiene que

p(a) = r(a)

Pero como el grado de r(x) es menor que 1, entonces r(x) = r es cons-tante; ası

p(a) = r �

En este punto serıa interesante que, a manera de ejercicio, el lectorcorroborara este teorema mediante el ejemplo 35, probando que si re-emplazamos la x por 7 en x4 − 45x2 + 22x − 5 obtenemos el residuo345.

Inmediatamente, del teorema 1 se obtiene un resultado fundamental parala teorıa de las ecuaciones algebraicas:

Corolario 1. (Teorema del factor)

p(a) = 0 si, y solo si, x− a es un factor de p(x).

Definicion 3. (Raız de un polinomio)Si consideramos la curva que representa en coordenadas rectangularesal polinomio

p(x) = a0xn + a1x

n−1 + · · · + an−1x+ an

entonces los puntos de interseccion de la grafica con el eje x, es decir,aquellos a0 donde p(a0) = 0 se llaman las raıces reales de la ecuacionpolinomial p(x) = 0.

Por ejemplo, la grafica de p(x) = x3 − 3x+ 1 (figura 68), y la grafica dep(x) = x4 + x3 − 4x2 + 4x− 1 (figura 69) ilustran la localizacion de susraıces.

x

y

Raız Raıcesb b b

Figura 68: Raıces de p(x) = x3 − 3x+ 1


x

yRaız Raız

Raız

b b b

Figura 69: Raıces de p(x) = x4 + x3 − 4x2 + 4x− 1

Teorema 2.Un polinomio de grado n no puede tener mas de n raıces.

Demostracion

En efecto, si un polinomio p(x) de grado n es divisible por (x − a)

entoncesp(x)

x− aes un polinomio de grado n−1, y el proceso se repetirıa.

�

Ejemplo 37.

a) x = 3 es una raız de p(x) = x3−2x2−9 pues p(3) = (3)3 −2(3)2−9 = 27 − 18 − 9 = 0

b) Un polinomio cuyas tres raıces son 2, 12 ,−1, es el polinomio de

grado 4, p(x) = (x− 2)2(x− 12)(x+ 1).

Teorema 3.Si a+ ib es raız de la ecuacion polinomial entonces su conjugado a− ibtambien es raız de la ecuacion.

Demostracion

En otro caso, el polinomio tendrıa numeros complejos como coeficientes.�

Ejemplo 38.

i) En la ecuacion polinomial x2 + 1 = 0 las raıces son x = i, x = −i.


ii) Para hallar una ecuacion polinomial cuyas unicas raıces son 2+ 3iy 2− 3i escribimos (x− (2+3i))(x− (2− 3i)) = 0; ası, la ecuaciones

x2 − 4x+ 13 = 0

Corolario 2.

Todo polinomio puede expresarse como el producto de factores linealesy cuadraticos. Cada factor lineal es de la forma x − a donde a es unaraız real; y cada factor cuadratico es de la forma x2 + bx+ c con raıcesconjugadas, es decir, de la forma z = d+ ie y z = d− ie.

Ejemplo 39.Un polinomio cuya unica raız real es x = 1 y las otras dos son losnumeros complejos x = 2 + 3i, x = 2 − 3i, es:

p(x) = (x− 1)(x − (2 + 3i))(x − (2 − 3i))

= (x− 1)(x2 − 4x+ 13) = x3 − 5x2 + 17x− 13

Teorema 4. (Raıces racionales)

Sip

qes una raız racional de la ecuacion polinomial con coeficientes en-

teros a0xn + a1x

n−1 + ...+ an−1x+ an = 0 con a0 6= 0, an 6= 0 entoncesp divide a an y q divide a a0.

Demostracion.

En efecto, comop

qes una raız de la ecuacion polinomial dada, entonces

podemos escribir a0xn + a1x

n−1 + ...+ an−1x+ an = (qx− p)(b0xn−1 +

b1xn−2 + ...+ bn); donde todos los b′is son enteros; ası,

a0 = qb0 y an = −p bny, por tanto, q divide a a0 y p divide a an. �

Ejemplo 40.Encontremos las raıces racionales de la ecuacion 3x5 − 8x4 + x2 + 12x+4 = 0.

Solucion.

Segun el teorema 4, las unicas posibles raıces racionales son ±1,±2,±4,±1

3 ,±23 ,±4

3 . Por inspeccion, notamos que, de estas, 2 y −13 son las unicas


raıces. Sin embargo, esta ecuacion tiene una caracterıstica particular: laraız 2 tiene doble multiplicidad. ¿Como lo notamos? Primero, dividamos3x5 − 8x4 + x2 + 12x+ 4 = 0 por (x− 2)(3x+ 1) = 3x2 − 5x− 2 ası:

3x5 −8x4 +x2 +12x +4| 3x2 − 5x− 2

x3 − x2 − x− 2−3x5 +5x4 +2x3

−3x4 +2x3 +x2 +12x +43x4 −5x3 −2x2

−3x3 −x2 +12x +43x3 −5x2 −2x

−6x2 +10x +46x2 −10x −4

0

De nuevo, por el teorema 4, las unicas posibles raıces racionales delcociente x3 − x2 − x − 2 = 0 son ±1 y ±2. Y de estas, solo 2 es raız.Ahora: si dividimos x3 − x2 − x− 2 por x− 2 obtenemos

x3 −x2 −x −2| x− 2

x2 + x+ 1−x3 +2x2

x2 −x −2−x2 +2x

x −2−x +2

0

Y, finalmente, las raıces de x2+x+1 = 0 son−1 ±

√3i

2. Con esto hemos

encontrado las cinco raıces: −1

3, 2, 2,

−1 ±√

3i

2.

Teorema 5. (Relacion coeficientes-raıces)Si r1, r2, · · · , rn, son las n raıces de

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + · · · + an−1x+ an = 0


entoncesa1 = −(r1 + · · · + rn)

a2 = r1r2 + r1r3 + · · · r2r3 + · · · + rn−1rn

a3 = −(r1r2r3 + r1r2r4 + · · · + rn−2rn−1rn)

.

.

.

an = (−1)nr1r2 · · · rn

Demostracion

El resultado se obtiene de la siguiente igualdad entre polinomios:

xn+a1xn−1+a2x

n−2+· · ·+an−1x+an = (x−r1)(x−r2) · · · (x−rn−1)(x−rn)

= xn−(r1+· · ·+rn)xn−1+(r1r2+r1r3+...+rn−1rn)xn−2+· · ·+(−1)nr1r2 · · · rn�

Ejemplo 41.

i) Resolvamos la ecuacion x3 +8x2 +5x−50 = 0 si sabemos que unade las raıces es doble.

ii) Caractericemos las raıces de la ecuacion 3x3 − 6x+ 2 = 0.

iii) Dos de las raıces de 2x3 + 3x2 − 23x − 12 = 0 son 3 y −4; ¿Cuales la otra?

Solucion

i) Si r1, r2 son las raıces, entonces, por el teorema anterior, 2r1+r2 =−8, r21 +2r1r2 = 5, r21r2 = 50. Resolviendo obtenemos que r1 = −5y r2 = 2.

ii) Si r1, r2, r3 son las raıces, entonces, por el teorema anterior, −(r1+r2) = 0; r1r2 + r1r3 + r2r3 = −2; r1r2r3 = −2

3 . (¿Que mas podrıadecirse de r1, r2 y r3?).

iii) La restante es −32 − (3 + (−4)) = −1

2 .


Ejemplo 42.

Si r1 y r2 son las raıces de x2−px+ q = 0, calculemos el valor de r1 + r2y el de r31 + r32.

Solucion.

i) Puesto que r1 + r2 = p, r1r2 = q entonces r21 + r22 = (r1 + r2)2 −

2r1r2 = p2 − 2q

ii) Ahora: (r1)3 + (r2)

3 = (r1 + r2)(r21 + r22 − r1r2) = p[(r1 + r2)

2 −3r1r2] = p(p2 − 3q) N

Y ahora presentamos uno de los resultados mas importantes, no solo delalgebra o de la geometrıa analıtica, sino de todas las matematicas:

Teorema 6. (Teorema fundamental del algebra)Cualquier ecuacion algebraica

zn + a1zn−1 + ...+ an−1z + an = 0

con coeficientes enteros a1, ..., an tiene exactamente n raıces reales ocomplejas (no necesariamente distintas todas). 18

Ejemplo 43.La ecuacion algebraica x3 − 2x2 − 4x+ 8 = (x− 2)2(x+ 2) = 0 tiene ax = 2 como raız doble, y a x = −2 como raız simple, lo que da, en total,tres raıces ¿Podrıa el lector dibujar este polinomio?

Ejemplo 44.La ecuacion algebraica x3+3x2−3x−14 = (x−2)(x2+5x+7) = 0 tiene

3 raıces: 2, −5+√−3

2 y −5−√−3

2 ¿Podrıa el lector dibujar este polinomio?.

Ejemplo 45.La ecuacion algebraica 2x4 − 9x3 + 10x2 + x− 2 = (2x− 1)(x− 2)(x2 −2x − 1) = 0 tiene cuatro raıces: 1

2 , 2, 2.41 y −0.41. Una grafica delpolinomio serıa conveniente en este punto.

18La demostracion de este inmenso resultado requiere de conocimientos en analisisde variable compleja, y esta (mucho) mas alla de los alcances de este texto.


Ejemplo 46. (Raıces de la unidad)Sabemos que si x = r(cos θ + i sen θ) es la forma polar de un numerocomplejo, entonces xn = rn(cosnθ+ i sennθ) y, por tanto, las n solucio-nes de la ecuacion xn = 1 son de la forma x = cos 2πk

n + i sen 2πkn con k =

0, 1, 2, · · · , n−1. Por ejemplo, si n = 3, las tres soluciones de la ecuacionalgebraica x3 = 1 son x1 = 1, x2 = cos 2π

3 + i sen 2π3 = (−0.5) + i(0.87),

x3 = cos 4π3 + i sen 4π

3 = (−0.5) + i(−0.87) (ver figura 70).

En general, las raıces de la unidad forman un polıgono regular de nlados, con cada vertice sobre la circunferencia unitaria.

b

b

b

xx1

x2

y

x3

2π

3

2π

3

Figura 70: Raıces de x3 = 1

Ejemplo 47. (Solucion de otras ecuaciones)

Ocurre, en ocasiones, que una ecuacion con apariencia no-polinomicapuede todavıa resolverse mediante metodos como los estudiados en estaseccion para ecuaciones algebraicas, recurriendo a una sustitucion ade-cuada, o a algun otro artificio. Veamos un ejemplo de esto.

Para resolver la ecuacion

x2 − 5x+ 2√

x2 − 5x+ 3 = 12

sumamos 3 a ambos miembros de la igualdad para obtener

x2 − 5x+ 3 + 2√

x2 − 5x+ 3 = 15

y ası, haciendo w =√x2 − 5x+ 3, tener que nuestra ecuacion original

se transforma en


w2 + 2w = 15

cuyas soluciones son w = 3 o w = −5. Ası,

√

x2 − 5x+ 3 = 3 o√

x2 − 5x+ 3 = −5 (1)

(la segunda igualdad es posible puesto que no podemos descartar lassoluciones complejas). Elevando al cuadrado ambas ecuaciones en (1) y

resolviendo, se obtiene x = 6 o x = −1 de la primera, y x = 5±√

1132 de la

segunda. Sin embargo, llevando estas soluciones a la ecuacion original,encontramos que solo x = 6 y x = −1 la satisfacen, y estas son susunicas soluciones. (¿Podrıa el lector decir por que se “filtraron” otrosnumeros que no son raıces de la ecuacion original?)

Ejercicios 8

1. Calcule el modulo y el argumento de los siguientes numeros com-plejos:

a) (i) b) (1 + i) c) (−i)

d) (√

3 + 2i) e) (√

3 − i) f) (−√

3 + i)

g) (5 + 3i) h) (6 + 4i) i) (7 − 4i)

2. Escriba en forma compleja a+ ib:

a)

(1 + i

2 − 3i

)

b)

(1

1 + i

)

c)

(3 − i

4 + 2i

)

d)

(1 + i

1 − i

)3

3. Escriba todos los numeros complejos de los ejercicios 1, 2 anterio-res, en representacion polar.

4. a) Resuelva la ecuacion cuadratica 3x2 + 5x− 1 = 0.

b) Calcule los numeros x tales que sumando a su recıproco,1

x,

da como resultado 10.

c) Muestre que la ecuacion x2 − 10x + a = 0 tiene dos raıcesreales distintas si, y solo si, a < 25.

5. Multiplique, en cada caso, los siguientes polinomios:

a) p1(x) = 5x3 − 3x2 + 2x+ 1, p2(x) = 3x2 + x− 2

b) p1(x) = 7x2 − 2x+ 1, p2(x) = 3x3 − 2x2 + 5

c) p1(x) = x4 − 2x2, p2(x) = 2x5 + x4 + x3 − x2 + 2x− 1

6. a) Divida:

i) p1(x) = 5x4 + 6x+ 2 por p2(x) = x+ 4

ii) p1(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1 por p2(x) = 3x− 2

iii) p1(x) = 53x5 + 6x4 − 2x3 − x2 − 2x + 4 por p2(x) =x2 + 2x− 1

b) Si p1(x) = 4x4 − (a− 1)x3 +ax2 − 6x+1 se puede dividir porp2(x) = 2x− 1, encuentre el valor de a.

7. Encuentre, en cada caso, una ecuacion algebraica cuyas raıces son:

a) a,−b, a+ b b) 3, 4,1

2,−1

3, 0

c) 1,−1, 0 d)1

3, 3, 2, b

8. Halle las tres raıces de la ecuacion cubica x3 + 3x2 − 2x − 4 = 0[Indicacion: No se apresure a utilizar la formula de Cardano: laecuacion tiene una raız muy simple].

9. Cada una de las siguientes ecuaciones tiene una o mas raıces ra-cionales; calculelas en cada caso:

a) x3 − x2 − 14x+ 24 = 0

b) 3x4 + 11x3 + 9x2 + 11x+ 6 = 0

c) x5 − 7x4 + 10x3 + 18x2 − 27x− 27 = 0

d) 2x4 − 17x3 + 25x2 + 74x − 120 = 0


e) 4x5 − 9x3 + 6x2 − 13x+ 6 = 0

f) 5x6 − 7x5 − 8x4 − x3 + 7x2 + 8x− 4 = 0

g) x4 − 39x2 + 46x− 168 = 0

10. Resuelva completamente las ecuaciones siguientes:

a) x4 = 1 b) x5 = 2 c) x6 = 3

11. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 6√x =

5√x− 13

b) 8 + 9√

(3x− 1)(x− 2) = 3x2 − 7x

c)

√x

1 − x+

√

1 − x

x=

13

6

12. Encuentre dos numeros cuya suma sea 1, y cuyo producto sea −72.

*14 Un terreno rectangular, con uno de sus lados a la orilla de un lago,debe cercarse con 300 metros de malla. ¿Que longitudes debentener sus lados para que el area que quede encerrada sea lo masgrande posible? [Indicacion: Usted podrıa llegar a la igualdad 2a+b = 300 donde a y b son los lados del terreno (b es el lado queesta sobre el lago). Si busca maximizar el area ab, tendra quemaximizar a(300 − 2a) = 2[(75)2 − (a − 75)2] ¿Que a escogerıausted?]

*15 ¿Sera que entre todos los rectangulos de perımetro fijo, es el cua-drado el que encierra la mayor area?

*16 ¿Sera que entre todos los rectangulos inscritos en un cırculo dado,es el cuadrado el de mayor area? 19

19Para los estudiantes interesados en la teorıa del teorema fundamental del algebra,recomendamos “Spivak, Michael (1968), Calculus, Editorial Reverte”.


9. Superficies

Por ultimo en esta leccion, una vez descritas algunas curvas fundamenta-les en el plano (curvas trigonometricas, circunferencias, elipses, parabo-las, hiperbolas y polinomios), pasamos a describir las superficies en elespacio. Veamos algunas de ellas, pero antes introduzcamos su definicion.

Una ecuacion f(x, y, z) = 0, donde x y y son la abscisa y la ordenada,respectivamente, y z la “altura”, representara cierta superficie que puedeobtenerse levantando perpendiculares de “altura” z sobre los puntos(x, y) del plano cartesiano OXY .

i) La ecuacion de primer grado en tres variables Ax+By+Cz+D = 0representa, en general, un plano en el espacio (figura 71).

x

y

z

Figura 71: Plano en el espacio

ii) La superficie que representa la ecuacion x2+y2+z2 = r2 representauna esfera de radio r y centro en (0, 0, 0) (figura 72).

x y

z

Figura 72: Esfera

iii) La ecuacionx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1 es una elipsoide (figura 73).


yx

z

Figura 73: Elipsoide

iv) La ecuacionx2

a2+y2

b2− z2

c2= 1 es un hiperboloide de una hoja

(figura 74).

yx

z

Figura 74: Hiperboloide de una hoja

v) La ecuacionx2

a2− y2

b2− z2

c2= 1 es un hiperboloide de dos hojas

(figura 75).

yx

z

Figura 75: Hiperboloide de dos hojas

vi) La superficie que representa la ecuacion z = xy aparece en la figura76.


x

y

z

Figura 76: Silla de montar z = xy

vii) La ecuacionx2

a2+y2

b2− z2

c2= 0 es un cono de dos hojas (figura 77).

yx

z

Figura 77: Cono de dos hojas

viii) La ecuacion z =x2

a2+y2

b2es un paraboloide elıptico (figura 78).

yx

z

Figura 78: Paraboloide elıptico

ix) La ecuacion z =x2

a2− y2

b2representa un paraboloide hiperbolico

(que es similar a la silla de montar (¿Por que? (ver ejercicio com-plementario 28 adelante))) (figura 79).


x y

z

Figura 79: Paraboloide hiperbolico

x) La ecuacionx2

a2+y2

b2= 1 representa un cilindro (figura 80).

x y

z

Figura 80: Cilindro

Nota 5.Aunque Descartes sı mencionaba la geometrıa analıtica de solidos (su-perficies), realmente no avanzo en esto. El primer trabajo sobre geo-metrıa analıtica de tres dimensiones fue escrito por Antoine Parent en1700. Por su parte, Alexis C. Clairaut (1729) fue el primero en escribirsobre curvas de “doble curvatura”. El tercero en contribuir de formaimportante en este punto fue Euler (1748), con cuyo trabajo el analisisde superficies alcanzo un mayor nivel. Por ejemplo, Euler clasifico lassuperficies de segundo orden Ax2 +By2 +Cxy+Dx+Ey +F = 0 ins-pirado, evidentemente, en la clasificacion que los griegos habıan hechode las conicas.20

20Si desea ampliar su estudio sobre el tema de superficies, recomendamos el yacitado texto “Smith, Salkover y Justice (1959), Analytic Geometry, Wiley”.


Ejercicios 9

1. Dibujar mediante computador y un software adecuado, las siguien-tes superficies:

a) 3x+ 2y + z = 1 (plano)

b) 5x− 3y + 3z = 7 (plano)

c)x2

9− y2

4= 1 (cilindro hiperbolico)

2. Dibujar en computador, mediante algun software apropiado, ejem-plos concretos de las superficies indicadas en esta seccion 9, y com-pruebe la forma (sencilla) de la figura presentada en el texto.

10. Nota final

Despues de Descartes y Fermat, un paso importante en el desarrollode la geometrıa analıtica fue la aparicion en 1748 del ya comentadoIntroduction to Algebra de Euler. Allı, entre otras cosas, relaciona lageometrıa analıtica con la teorıa de funciones y otras ramas del analisis,haciendo un estudio detallado de ecuaciones de segundo orden y ordenesmayores. El siguiente paso relevante de la geometrıa analıtica fue eldesarrollo de la teorıa de vectores por parte de Lagrange en 1773. Allı,como dijimos, Lagrange “aritmetizo” fuerzas, velocidades y aceleracionesde la forma en que Descartes y Fermat habıan aritmetizado puntos.

Luego vendrıa el desarrollo de la geometrıa analıtica del espacio que, co-mo mencionamos en la Nota 5 anterior, habıa comenzado Clairaut tam-bien en la primera mitad del siglo XVIII. El estudio de rectas, planos,superficies, “transformaciones afines y ortogonales” de estos, e invarian-tes bajo estos tipos de transformaciones, convergirıa, en particular, enla geometrıa proyectiva; es decir, en la geometrıa de los objetos vistos enproyeccion de perspectiva, que fuera utilizada empıricamente desde tiem-pos remotos por los artistas en sus “leyes de perspectiva”. La geometrıaproyectiva fue pensada a comienzos del siglo XIX como una extension dela geometrıa euclidiana, y fue Jean V. Poncelet [1788-1867] el primero envisualizar esta posibilidad pues ahora probar resultados geometricos se


habıa facilitado notablemente mediante los metodos algebraicos de la geo-metrıa analıtica introducidos por Descartes y Fermat mas de cien anosatras. Desde entonces, la geometrıa analıtica se desarrollo notablementey produjo muchas nuevas ideas que abrirıan el espectro de estudios ma-tematicos en areas tales como el algebra lineal, el analisis funcional y lageometrıa algebraica.

Sin embargo, a comienzos del siglo XIX ninguna rama de las matemati-cas estaba segura desde el punto de vista de la logica. El sistema de losnumeros reales, el algebra, las geometrıas no euclidianas y la geometrıaproyectiva no tenıan fundamentacion adecuada; y al calculo diferencial eintegral (y sus extensiones) le faltaba, no solo los fundamentos logicos delos numeros reales y del algebra (que allı se utilizaban libremente), sinotambien claridad sobre sus propios conceptos (la derivada, la integraly las series infinitas y, fundamentalmente, el concepto de lımite). Sintemor a error, podrıa decirse que hasta hace menos de doscientos anos,nada en matematicas tenıa una base solidamente establecida. Inclusive,muchos matematicos de estas epocas ni siquiera se preocupaban por en-contrar una prueba completa de determinado resultado: se contentabancon afirmar que no lo probarıan porque estaban “seguros” de que eracierto; y ademas utilizaban ese resultado para inferir otros.

Quizas la preocupacion por los fundamentos provenıa de que los ma-tematicos se daban cuenta de que las matematicas habıan venido cam-biando su morfologıa: ya los conceptos no eran idealizaciones o abs-tracciones que partıan de la experiencia: los numeros irracionales, losnumeros complejos, los infinitesimales, etc., no tenıan una base empıricainmediata, sino que eran creaciones de la mente humana. Los matemati-cos habıan venido contribuyendo con conceptos que no eran abstraıdosdel mundo real y, por tanto, apelar a “verdades evidentes por sı mismas”que partıan de la experiencia no podrıa ser base para una axiomaticacomo la euclidiana. Pero nadie, por los 1850’s, imagino siquiera que el ob-jetivo de darle fundamentacion a todas las matematicas existentes serıatan difıcil y sutil. Precisamente sobre este arduo proceso discutiremosen la proxima leccion.



1. Transforme a coordenadas polares cada una de las siguientes cur-vas:

a) x = 4 b) xy + 12 = 0

c) y2 = 12x+ 36 d) x2 = 12y

e) (x2 + y2)2 = 2a2(y2 − x2) f) ay2 = x3

2. Muestre que la ecuacion en coordenadas cartesianas de la limacones

(x2 + y2 − ax)2 = b2(x2 + y2)

3. Transforme a coordenadas cartesianas cada una de las siguientescurvas:

a) r = 3 sec θ b) r2 cos 2θ − 6 = 0

c) r =6√

2

cos(θ + 45o)d) r2 sen 2θ = −10

e) r =3

2 + cos θf) r = 4cos θ − sec θ

4. Encuentre la ecuacion polar de la lınea determinada por las con-diciones siguientes:

a) A traves del punto (2, 150o) y formado por el angulo de 60o

con el eje polar.

b) A traves del polo y el punto (2, 30o). R/ θ =π

6

5. Encuentre la ecuacion polar del cırculo determinado por las con-diciones dadas, y dibuje tambien la figura, en los siguientes casos:

a) Centro en el polo y radio 4. R/ 12 cos(θ − π4 )

b) Radio 5 y tangente al eje polar en el polo.

c) Centro en (6, 45o) y radio 6.


6. Clasifique y dibuje las conicas siguientes:

a) r =3

1 − cos θb) r =

1

2 −√

3 cos θ

c) r =9

4 − 5 cos θd) r =

16

3 − 5 cos θ

*7. En los siguientes casos, dibuje la grafica:

a) r = tan θ (curva kappa)

b) r = a sec θ ± b (concoide)

c) r = a(4 cos θ − sec θ) (trisectrix )

d) r =a

θ(espiral hiperbolica)

[Indicacion: Construya una tabla de valores r vs θ]

* 8. Un cırculo de radio a gira sin deslizar sobre el eje x. Un puntoP del cırculo inicialmente coincide con el origen. Demostrar quelas ecuaciones parametricas de la curva trazada por P , utilizandocomo parametro el angulo t (en radianes) a traves del cual hagirado el radio a P , son:

x = a(t− sen t) y = a(1 − cos t)

(a esta curva se le llama la cicloide) [Indicacion: En la figura 81 sepuede observar que x = OQ−MQ; y = a−NC].

b

b

x

y

O

2πa

C

t

M Q

NP(x, y

)

Figura 81: La cicloide


En el volumen III ((Optimizacion y dinamica) (leccion 4)) proba-remos, con metodos del “calculo de variaciones”, que la forma dela curva a lo largo de la cual debe rodar una bola para caer enel menor tiempo posible de un punto a otro es, precisamente, lacicloide. Esta curva fue primero estudiada por Bouelles en 1501;luego atrajo la atencion de Galileo en 1599 y tambien la del fısicoChristian Huygens [1629-1695] en 1673, debido a que sus propie-dades se han aplicado al movimiento del pendulo.

**9. Un cırculo de radio b rueda sin deslizarse sobre la parte externade un cırculo de radio a y centro en el origen O. Un punto P (x, y)del primer cırculo inicialmente coincide con A(a, 0). Utilizando co-mo parametro al angulo t descrito por el radio-vector al centro Cdel cırculo que rueda (ver figura 82), muestre que las ecuacionesparametricas de la curva trazada por P son:

x = (a+ b) cos t− b cos

(a+ b

b

)

t

y = (a+ b) sen t− b sen

(a+ b

b

)

t

[Indicacion: Provisionalmente, llame t′ al angulo OCP ]

bC

t′

b

bb

b

x

y

O

P (x, y)

A

t

a b

Figura 82: Epicicloide


A esta curva se le llama la epicicloide, y fue reconocida por Hiparcoen el ano 140 a.C. al tratar el problema de los epiciclos celestes.Tambien Desargues (1639) y Euler (1781) se interesaron en estacurva.

10. a) Muestre que el cociente y el residuo de la division de 3x7 −x6 + 31x4 + 21x + 5 por x + 2 son, respectivamente, 3x6 −7x5 + 14x4 + 3x3 − 6x2 + 12x − 3 y 11.

b) Muestre que el cociente y el residuo de la division de 3x5 −8x4 − 5x3 + 26x2 − 33x + 26 por x3 − 2x2 − 4x + 8 son,respectivamente, 3x2 − 2x+ 3 y −5x+ 2.

11. a) Si p(x) = x4+16x3+72x2+64x−129, pruebe que el polinomiop(x− 4) es x4 − 24x2 − 1.

b) Si p(x) = ax8 + bx5 + cx+d pruebe que p(x+h)−p(x−h) =16axh(x6 +7x4h2+7x2h+h6)+2bh(5x4 +10x2h2 +h4)+2ch.

12. Encuentre el cociente y el residuo cuando el primer polinomio sedivide por el segundo, en los siguientes casos:

a) 5x4 + 6x+ 2; x+ 4

b) x5 − 1; 2x+ 1

c) 3x4 − 5x3 − 11x2 + x− 1; x2 − 2x− 2

d) x5 − 5x4 + 7x2 − 2; x3 − 3

e) x6 − 4x3 + 8x2 − 14; x2 − 5x+ 8

f) x6 + 7x4 + 9x3 − 5; 2x3 − 4x2 + 7

g) x7 + 8x2 + 7x − 11; 5x4 − x+ 3

h) x8 − 4x6 + 11x3 − 2x2 + 15; x3 + x2 − 3

i) x9 − 7x7 − 5x4 + 7x2 − 2; x5 + x4 − 3


13. Escriba en la forma a+ bi los siguientes numeros complejos:

a)√−49 b)

√−8

√−14 c) (

√−2)2

d) i13 e) i−9 f) (2 +√−3)(1 +

√−2)

g) (4 + 2i)2 h) (1 + 2i)3 i)4 + 6i

1 + i

j)c+ di

c− dik)

1 + i3

1 − il)

4

1 +√−3

14. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) x2 + 2x = 35 b) 9x2 + 6x+ 5 = 0

c) 12x2 + 56x − 255 = 0 d) (x− 2)2(x− 7) =

(x+ 2)(x − 3)(x− 6)

e)2x

x+ 2+x+ 2

2x= 2 f)

x+ 1

x+ 1 =

x

x− 1

g)4

x− 1− 1

4 − x=

3

x− 2− 2

3 − xh) x2 − 6acx+ a2(9c2 − 4b2) = 0

i) x2 − 2ax+ a2 − b2 = 0 j) 3x2 + (9a− 1)x− 3a = 0

15. Encuentre dos enteros consecutivos cuyo producto sea 506. R/22 y 23.

* 16. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) x4 − x3 − 5x2 − 7x+ 12 = 0 b)x4 + x2 + 1 = 0

17. Resuelva, recurriendo, si lo considera conveniente, al ejemplo 46(raıces de la unidad), las siguientes ecuaciones:

a) x3 − 5 = 0 b) x3 + 8 = 0

c) x4 + 1 = 0 d) x4 + 2 = 0


* 18. Resuelva las siguientes ecuaciones:

a) 3x3

2 − 4x3

4 = 7 b) (x2 − 4)(x2 − 9) = 7x2

c) x2 +1

x2= a2 +

1

a2d)

√x+

√

x−√

1 − x = 1

19. Resuelva simultaneamente el sistema de ecuaciones y − x2 = 0, y,x− y2 = 0. Lo mismo para y − x3 = 1, y, x+ y3 = 1.

20. Forme la ecuacion de menor grado con coeficientes enteros, en laque una de las raıces sea:

a)√

3 +√

2i b)√

5 − i c) −√

2 −√

2i d)

√

2 + 5√

6

21. Encuentre el polinomio (con coeficientes enteros) de menor gradoposible que tenga como raıces 1

2 ,32 ,−2,±i.

22. Si α, β, γ son las raıces de 2x3 + 3x2 − x − 1 = 0, encuentre unaecuacion cuyas raıces son:

a) − α,−β,−γ c) α− 1, β − 1, γ − 1

* 23. Utilizando la formula de Cardano, resuelva la ecuacion cubica x3−6x2 + 6x− 2 = 0.

24. Determine los lımites entre los que puede variar p para que laecuacion:

2ax(ax+ pc) + (p2 − 2)c2 = 0

tenga raıces reales (asuma a y c conocidas y no-nulas).

25. a) Encuentre todas las raıces del polinomio p(x) = x4 − 16x3 +86x2 − 176x+ 105, si dos de ellas son 1 y 7.

*b) Encuentre todas las raıces del polinomio p(x) = 6x4 −29x3 +40x2 − 7x− 12 siendo el producto de dos de ellas igual a 2.

26. Muestre que las dimensiones de un rectangulo cuyos lados estanen una relacion de 4 a 9, y cuya area es igual a la de un triangulode base 84 mt y altura 42 mt, son 28 mt y 63 mt.

27. Calcule las dimensiones de un lote rectangular de area 360 mt2ycuyo perımetro es 80 mt.

** 28. En la presente leccion se afirmo que para ∆ = 2(4AC − B2)F +2BDE − 2E2A − 2D2C, si tenemos ∆ 6= 0 entonces la ecuaciongeneral de segundo orden


es:

i) Una parabola si B2 − 4AC = 0

ii) Una elipse si B2 − 4AC < 0 y ∆(A+ C) < 0

iii) Una hiperbola si B2 − 4AC > 0

Veamos una demostracion guiada de esto, y el ejercicio para elestudiante aventajado aquı, es que complete los detalles faltantesde la siguiente prueba:

Primero buscamos eliminar los terminos de primer grado (x y y)de la ecuacion de segundo orden


Para ello, escribimos las ecuaciones de traslacion de ejes

x = x′ + h , y = y′ + k

y las sustituimos en la ecuacion de segundo orden, para obtenerque

Ax′2 +Bx′y′ + Cy′2 + (2Ah+Bk +D)x′ + (Bh+ 2Ck + E)y′+

(Ah2 +Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F ) = 0

Pero como deseamos encontrar h y k tales que

2Ah+Bk +D = 0 , Bh+ 2Ck + E = 0

entonces para resolver estas dos ecuaciones lineales, debemos tener,al menos, que

B2 − 4AC 6= 0


Es decir, podemos eliminar los terminos de primer grado x y y si,y solo si, B2 − 4AC 6= 0. Y arribamos entonces a la ecuacion desegundo orden transformada a nuevos ejes con origen (h, k)

Ax′2 +Bx′y′ + Cy′2 + F ′ = 0

donde F ′ = Ah2 +Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F .

Pasamos ahora a realizar la rotacion. Escribimos entonces las ecua-ciones para una rotacion a traves de un angulo θ:

x′ = X cos θ − Y sen θ , y′ = X sen θ + Y cos θ

(¿Podrıa el lector corroborar estas formulas en la figura de abajo?Solo note que x′ = OM = ON −MN y que y′ = MP = NM ′ +QP ).

O

θ

θ

θ

x′M N

M ′Q

P (x′, y′)

Y

y′

XY

Figura 37: Ecuaciones de rotacion

Sustituyendo estas transformaciones en la ecuacion cuadratica in-mediatamente anterior, se obtiene que

(A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ)X2 +[B(cos2 θ− sen2 θ)+2(C−A) sen θ cos θ]XY +(A sen2 θ−B sen θ cos θ+C cos2 θ)Y 2 +F ′ = 0

Pero como queremos que el “termino de rotacion” XY desapa-rezca, debemos encontrar θ tal que

B(cos2 θ − sen2 θ) + 2(C −A) sen θ cos θ = 0

de donde obtenemos, con un poco de trigonometrıa y asumiendoque A− C 6= 0, la igualdad

tan 2θ =B

A− C


Para resumir hasta este punto, hemos podido entonces reducir laecuacion cuadratica


a la ecuacion cuadratica (sin terminos x, y ni xy)

A′x2 + C ′y2 + F ′ = 0

dondeA′ = A cos2 θ +B sen θ cos θ + C sen2 θ

C ′ = A sen2 θ −B sen θ cos θ + C cos2 θ

F ′ = Ah2 +Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F, tan 2θ =B

A− C

y (h, k) estan determinadas (si B2 − 4AC 6= 0) por

h =BE − 2CD

4AC −B2, k =

BD − 2AE

4AC −B2

Ahora: Observese que sumando los coeficientes de X2 y Y 2 en laultima cuadratica se obtiene A+ C =

(A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ)+(A sen2 θ−B sen θ cos θ+C cos2 θ)

Y restando los mismos coeficientes de X2 y Y 2 se obtiene que

(A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ)−(A sen2 θ−B sen θ cos θ+C cos2 θ) =

(A− C) cos 2θ +B sen 2θ

lo que nos lleva, despues de algunos calculos trigonometricos, a que

(A cos2 θ+B sen θ cos θ+C sen2 θ)−(A sen2 θ−B sen θ cos θ+C cos2 θ)

= B

√

(A−C

B)2 + 1

y esto nos permite reducir la ecuacion cuadratica


a la ecuacion cuadratica y rotada

(A+ C +B

√

(A−CB )2 + 1

2)X2+(

A+ C −B√

(A−CB )2 + 1

2)Y 2+F ′ = 0

donde

F ′ = Ah2 +Bhk + Ck2 +Dh+ Ek + F

y (h, k) estan determinadas (si B2 − 4AC 6= 0) por

h =BE − 2CD

4AC −B2, k =

BD − 2AE

4AC −B2

i) El caso parabolico ocurre cuando B2 − 4AC = 0. Para estocompruebe que B2 − 4AC es invariante ante la rotacion deejes, ya que su valor no cambia con un giro.

ii) Cuando B2 − 4AC < 0 y A+ C > 0 entonces

A+ C +B√

(A−CB )2 + 1

2> 0,

A+C −B√

(A−CB )2 + 1

2> 0

y ası el caso elıptico ocurre cuando −F ′ > 0, y esto es equiva-lente a que ∆ = 2(4AC−B2)F +2BDE−2E2A−2D2C < 0como el lector puede comprobar. Para verificarlo apoyese enel mismo argumento del caso anterior. De manera similar, siB2 − 4AC < 0 y A+ C < 0 entonces

A+ C +B√

(A−CB )2 + 1

2< 0;

A+C −B√

(A−CB )2 + 1

2< 0

y ası el caso elıptico ocurre cuando −F ′ < 0, y esto es equiva-lente a que ∆ = 2(4AC−B2)F +2BDE−2E2A−2D2C > 0como el lector puede, nuevamente, corroborar.

iii) Cuando B2 − 4AC > 0 se tiene el caso hiperbolico. Para estosuficiente que A′C ′ sea negativo. ¿Por que?


Ejemplo 48.Mediante una traslacion y una rotacion, reduzcamos la cuadraticadada por la ecuacion 4x2 − 4xy + 7y2 + 12x + 6y − 9 = 0, a suforma estandar.

SolucionColocando x = x′ +h, y = y′ +k obtenemos que debemos resolver

8h− 4k + 12 = 0, −4h+ 14k + 6 = 0

Y esto nos conduce a que el nuevo origen debe ubicarse en

h = −2, k = −1

Ademas,

F ′ = 4(−2)2 − 4(−2)(−1) + 7(−1)2 + 12(−2) + 6(−1) − 9 = −24

Ası que la nueva ecuacion es

4x′2 − 4x′y′ + 7y′2 − 24 = 0

La rotacion apropiada de ejes esta determinada por el angulo θque satisface que

tan 2θ =B

A− C=

4

3

Por lo tanto, la suma de los coeficientes a, c de esta cuadratica esa + c = A + C = 11, y su resta es a − c = B csc 2θ = −5, lo quenos lleva a que a = 3, c = 8. La ecuacion final es entonces la de laelipse 3X2 + 8Y 2 = 24 o, lo que es lo mismo,

X2

8+Y 2

3= 1

29. Encuentre la forma canonica de la elipse (desplazada) 3x2 + 5y2 −6x+ 20y + 8 = 0

30. Muestre que la ecuacion y =1

xcorresponde a la hiperbola rotada.

¿Donde estan ubicados sus focos?

31. En el teorema presentado en el ejercicio 28 anterior, ¿cuales serıancondiciones suficientes para que la conica sea un cırculo?

Leccion 4

Sobre los fundamentos para las

matematicas contemporaneas

Introduccion1

Ası como Euclides trajo a la geometrıa griega la rigurosidad, el pen-samiento ordenado y la presentacion sistematica de muchos anos dedesarrollo matematico, ası tambien surgio la necesidad de colocar so-bre bases solidas lo que Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, ymuchos otros, habıan creado. Pero colocar toda una teorıa de mas dedos mil anos de actividad obligaba un completo examen de su desarrollopara tener una idea clara de a que exactamente se le iba a proveer defundamento. A comienzos del siglo XIX comenzarıa un periodo de crıti-ca y sistematizacion de los fundamentos del analisis del que surgierondefiniciones precisas de numero real, variable, funcion, lımite y continui-dad por parte de Augustin Louis Cauchy [1789-1857], Karl Weierstrass[1815-1897] y Bernard Bolzano [1781-1848], entre otros.

Pero, aun ası, ninguna de estas definiciones podıa considerarse comoabsolutamente rigurosa. A pesar de que Euclides, y todos los matemati-cos mas de dos mil anos despues de el, no dudaban en considerar alos Elementos como el lımite maximo del rigor logico, una vision con-temporanea de los fundamentos desde las geometrıas no-euclidianas nosmuestra que no existe la idea de rigor “final” o “absoluto” dentro de las

1Algunos de los lineamientos historicos que aquı y en lecciones anteriores hemospresentado, estan parcialmente inspirados en el excelente libro de Morris Kline(1980), Mathematics, the Loss of Certainty, Oxford.

229


matematicas. Es posible decir que en los fundamentos de cualquier teorıamatematica de hoy subyacen particulares concepciones de precision logi-ca y de estructura axiomatica. La profundizacion en los conceptos basicosy en la logica llevo finalmente a nuevas y, tal vez, mas profundas con-prensiones de lo que hoy entendemos por “matematicas”.

1. Sımbolos logicos

La logica matematica se desarrollo, precisamente, como el resultado delas dificultades intrınsecas que surgieron en las matematicas y sobreel problema de que, exactamente, deberıamos entender por “prueba” o“demostracion” matematica. Un resultado de este esfuerzo es una de lascaracterısticas fundamentales de las matematicas modernas: el metodoaxiomatico basado en la teorıa de conjuntos y en instrumentos logicosprecisos de demostracion. Este punto de vista le debe su importanciaal hecho de que resume (en cierto sentido) el rico contenido de todaslas matematicas que le precedieron y son conceptos primitivos desde loscuales se puede describir casi toda la matematica actual.

La logica fue fundada por Aristoteles en su Organon en (aproximada-mente) el ano 300 a.C. Allı decıa que los principios de razonamiento uti-lizados por los matematicos eran abstraıbles y que, fundamentalmente,eran los mismos que se aplicaban a cualquier otro tipo de razonamiento.Mas de dos mil anos despues, el mundo cientıfico todavıa aceptaba lalogica aristotelica, a pesar de que esta no era, quizas, mas que una logicade silogismos.

En el siglo XVII, Descartes y Leibniz intentaron ampliar las leyes de lalogica aristotelica a una universal de pensamiento, y propusieron utilizarun simbolismo (similar al del algebra) que aclarara y facilitara el uso delas leyes de razonamiento. El plan de Leibniz era el de construir inicial-mente los elementos de su logica universal, y el primer elemento fue el dela characteristica universalis o lenguaje cientıfico que pudiera aplicarsea cualquier razonamiento; el segundo elemento era el calculus rationatorque era una coleccion de formas logicas de razonamiento que le permitie-ra pasar de principios a deducciones; el tercero era el ars combinatoriao coleccion de conceptos basicos en terminos de los cuales pudieran de-finirse todos los conceptos en un alfabeto que asignara sımbolos a toda

Leccion 4: Fundamentos matematicas contemporaneas 231

idea para permitir su tratamiento en combinaciones de sımbolos mascomplicados. Aunque podrıa decirse que Leibniz fue el fundador de lalogica simbolica, su trabajo en esta area solo se conocio hasta 1901.

Pero no fueron ni Descartes ni Leibniz quienes desarrollaron el calculosimbolico de razonamiento que hoy utilizamos. Fue George Boole [1815-1864] quien en An Investigation of the Laws of Thought (1854) introdujolo que ahora llamamos logica de proposiciones. En su interpretacion, unaproposicion P serıa algo como “Horacio es un estudiante”; y, por ejem-plo, la ley del tercero excluido (es decir, que una proposicion es ciertao es falsa, pero no ambas cosas) Boole la notaba algebraicamente porP + (−P ) = 1 donde 1 representaba una proposicion siempre verdade-ra (o “la verdad”); el producto PQ de dos proposiciones significaba laconjuncion de ambas, y P +Q su disyuncion. Era evidente que buscabahacer algebraico el calculo simbolico de proposiciones.

La logica de proposiciones fue expandida por Charles Peirce [1839-1914]fundamentalmente sobre la idea de que el razonamiento podıa exten-derse a funciones proposicionales como “z = 3x2 es cierto” en lugar deafirmar “75 = 3 · 52 es cierto”. Ademas, fue precisamente Peirce quienintrodujo lo que hoy llamamos cuantificadores. La frase “para todo x”es un cuantificador que Peirce notaba Vx (y que despues se convertirıaen ∀x) y la frase “existe al menos un x tal que” es otro cuantificadorque, utilizando la notacion de Giuseppe Peano, escribıa ∃x. Ası, podrıadecirse que el aporte fundamental de Peirce fue el de extender la logicade Aristoteles, Leibniz y Boole a relaciones, a funciones proposicionalesy a cuantificadores, reuniendo los tipos de razonamiento utilizados enlas matematicas dentro de un sistema logico organizado.

Otro paso del siglo XIX buscando establecer un sistema logico paralas matematicas fue dado por Gottlob Frege [1848-1925]. Este tomo loselementos peirceanos de la logica de proposiciones, de las relaciones pro-posicionales, de las funciones proposicionales y de los cuantificadores, eintrodujo ademas la distincion entre la simple afirmacion de una proposi-cion y la afirmacion de que esta fuera cierta. Su trabajo de organizaciondeductiva de la logica fue desarrollado desde Concept - Writing (1879)y The Foundations of Arithmetic (1884) hasta The Fundamental Lawsof Arithmetic (1893, 1903).


Otra figura importante en esta busqueda por los fundamentos logicosde las matematicas fue el ya mencionado Giuseppe Peano [1858-1932].Peano afirmaba que las matematicas deberıan estudiarse unicamente consımbolos (lenguaje formal), pues estos evitaban el peligro de apelar a lasintuiciones asociadas con el lenguaje comun. El trabajo de Peano fuemuy influyente debido tambien a que editaba una revista de matemati-cas (Rivista di Matematica) y a la publicacion en cinco volumenes de suFormulary of Mathematics (1894-1908). Los trabajos de Peirce y Fre-ge, sin embargo, pasaron desapercibidos hasta que Bertrand Russell losdescubriera, tambien, en 1901.

A partir de Boole, Peirce, Frege y Peano, las innovaciones en logicaconsistieron en la aplicacion de simbolismo y prueba deductiva a partirde axiomas de la logica. Este metodo descartaba entonces discusionesepistemologicas, psicologicas y hasta metafısicas que ninguno de los ma-tematicos hasta entonces habıa podido evitar.

a). Proposiciones

Quizas sea claro de lo anterior que el concepto basico de nuestra teorıaes el de proposicion. Veamos entonces en que consiste.

Definicion 1. (Proposicion)Una proposicion es una expresion de la cual podemos afirmar que esverdadera o que es falsa.

Ejemplo 1.

1. “Caracas esta al nivel del mar” es una proposicion.

2. “Ayer, la tasa de interes estuvo por encima del 13%” es una pro-posicion.

3. “El ano pasado, mas del 60% de los colombianos estuvieron pordebajo de la lınea de pobreza” tambien es una proposicion.

4. “Es mejor ser rico que pobre” es una proposicion.

5. “La gente no se muere de cancer sino de envidia” tambien es unaproposicion.


6. “Los estudiantes de economıa de todas las universidades del paıstienen un promedio semestral superior a 2.0/5.0” es una proposi-cion.

7. “El ano pasado no salı de vacaciones” es una proposicion.

8. “¡Que frıo hace!’ ’ no es una proposicion (¿Por que?)

9. “¿Podrıa ayudar a empujar el carro?” tampoco es una proposicion.(¿Por que?)

De hecho, ninguna frase interrogativa o exclamativa puede ser unaproposicion. Estas deben ser frases indicativas.

b). Los sımbolos conectivos de la logica

Consideraremos aquı los cinco sımbolos que conectan las proposiciones,y que nos permiten crear unas nuevas: son las “operaciones” del algebrade proposiciones. Tambien especificamos los cuantificadores universal yexistencial:

Si P y Q son proposiciones,

i) ∼ P es la negacion de P . 2

ii) P ∧Q es la conjuncion de P y Q.

iii) P ∨Q es la disyuncion de P y Q. 3

iv) P =⇒ Q es la implicacion de P (como antecedente (hipote-sis)) a Q (como consecuente (tesis)).

v) P⇐⇒Q es la equivalencia de P y Q. 4

i) El cuantificador universal “Para todo x” se escribe ∀x .

2El sımbolo de negacion ∼ fue introducido por Bertrand Russell en 1908 en suartıculo Mathematical Logic as Based on the Theory of Types.3El simbolo ∨ aparece en el mismo articulo de Bertrand Russell de 1908 Mathe-matical Logic as Based on the Theory of Types.4El sımbolo ⇐⇒ se le atribuye al famoso matematico norteamericano Paul Hal-mos[1916-2006].


ii) El cuantificador existencial “Existe un x” se escribe ∃x. 5

c). Las tablas de verdad: axiomas de la logica

Del lenguaje ordinario podemos obtener las siguientes sıntesis, llama-das “tablas de verdad” de la logica ordinaria, sobre las cuales estaranbasadas, en adelante, todos nuestros argumentos formales.

I). Tabla de verdad para la negacion

Si P es una proposicion entonces la proposicion ∼ P (que se lee “no P”)es su negacion, y se rige por la tabla de verdad de la figura 1.

P ∼ P

V FF V

Figura 1: Tabla para la negacion

II). Tabla de verdad para la conjuncion

Si P y Q son proposiciones, entonces P ∧ Q (que se lee “P y Q”) essu conjuncion. La conjuncion de proposiciones se rige por la tabla deverdad de la figura 2. Ası, la unica forma en que la conjuncion de dosproposiciones es verdadera es que ambas proposiciones sean verdaderas.

P

Q

∧ V F

V V FF F F

Figura 2: Tabla para la conjuncion

5El sımbolo ∀ fue utilizado, por primera vez, en 1935 en el “Investigations intoLogical Deduction” de Gerhard Gentzen [1909-1945]. Allı, debido a que, en suFormulaire, Peano habıa llamado al cuantificador del Existe, ∃ , con una E al reves,entonces utilizo el sımbolo de una A al reves, ∀, para designar al cuantificador dePara Todo, que en Aleman es All-Zeichen .


III). Tabla de verdad para la disyuncion

Si P y Q son proposiciones, entonces la proposicion P ∨ Q (que se lee“P o Q”) es su disyuncion. La disyuncion de proposiciones se rige por latabla de verdad de la figura 3. Ası, la unica forma en que la disyuncionde dos proposiciones es falsa es que ambas proposiciones sean falsas.

P

Q

∨ V F

V V VF V F

Figura 3: Tabla para la disyuncion

IV). Tabla de verdad para la implicacion

Si P y Q son proposiciones, entonces la proposicion P ⇒ Q (que selee “P implica Q”; o “si P entonces Q”; o “P es condicion suficientepara Q”; o “Q es condicion necesaria para P”) es su implicacion. A laproposicion P se le llama hipotesis y a la proposicion Q se le llama tesis.La implicacion de proposiciones se regira por la tabla de verdad de lafigura 4. Ası, la unica forma en que la implicacion de P a Q es falsa escuando la hipotesis P es verdadera pero la tesis Q es falsa.

P

Q

=⇒ V F

V V FF V V

Figura 4: Tabla para la implicacion

V). Tabla de verdad para la equivalencia

Si P y Q son dos proposiciones, entonces la proposicion P ⇐⇒ Q (quese lee “P si, y solo si, Q”; o “P es condicion necesaria y suficientepara Q”) es su equivalencia. La equivalencia de proposiciones se rige porla tabla de verdad de la figura 5. Ası, para que la equivalencia de dosproposiciones sea verdadera, ambas deben ser verdaderas o ambas falsas.


P

Q

⇐⇒ V F

V V FF F V

Figura 5: Tabla para la equivalencia

VI). Cuantificadores

Los cuantificadores ∀ y ∃ estan relacionados mediante negacion:

∼ ((∀x)P (x)) ⇔ (∃x)(∼ P (x))

donde P (x) es una proposicion que depende de x. Similarmente,

∼ (∃x)(P (x)) ⇔ (∀x)(∼ P (x))

d). Tautologıas

A partir de las proposiciones, los conectivos logicos y las tablas de ver-dad, podemos construir otras proposiciones conocidas como tautologıas;es decir, proposiciones que son siempre verdaderas sin importar la ver-dad o falsedad de las proposiciones involucradas en su construccion. Esprecisamente sobre estas tautologıas que se fundamentan todos los meto-dos de demostracion en nuestras matematicas basicas. Veamos algunosejemplos.

i) P ⇐⇒ P

P ⇐⇒ P

V V VF V F

Esta tautologıa afirma que toda proposicion es equivalente a sı mis-ma.

ii) [P ∧ P ] ⇐⇒ P

Esta tautologıa afirma que la conjuncion de una proposicion con-sigo misma es equivalente a esta proposicion.


P ∧ P ⇐⇒ P

V V V V VF F F V F

iii) [∼ (P ∨Q)] ⇐⇒ [∼ P∧ ∼ Q]

Esta tautologıa afirma que si se requiere demostrar que no es ciertala disyuncion de dos afirmaciones, es suficiente probar que ningunade las dos es cierta.

∼ (P ∨ Q) ⇐⇒ ∼ P ∧ ∼ Q

F V V V V F F FF V V F V F F VF F V V V V F FV F F F V V V V

Quizas no sobre aquı, utilizando la tabla de verdad de esta tauto-logıa, explicar como se construye una tabla como esta. Inicialmen-te, se colocan los valores posibles (verdadero (V) y falso (F)) de lasproposiciones P y Q, en las respectivas columnas 2 y 4 de la tabla.Despues, en la columna 3 de la disyuncion (∨), se colocan los valo-res V o F, de acuerdo a la tabla de verdad para la disyuncion (verfigura 3). Enseguida, se colocan, en la columna 1, los valores denegacion (∼) de la columna 3 para la disyuncion segun la tabla deverdad para la negacion (ver figura 1). Despues, en las columnas6 y 8, se colocan los valores de negacion ∼ de las proposicionesP (columna 6) y Q (columna 8), respectivamente. Enseguida, enla columna 7, se establecen los valores de la conjuncion ∧ de lasnegaciones de P y Q, utilizando la tabla de verdad para la conjun-cion (ver figura 2). Finalmente, se comparan las columnas 1 (∼) y7 (∧), y se aplica la tabla de verdad de la equivalencia ⇐⇒(figura5), para obtener la columna 5, en la que deben aparecer todos losvalores como verdaderos (V) para que la proposicion original sea,efectivamente, una tautologıa.


iv) [∼ (P ∧Q)] ⇐⇒ [∼ P ∨ ∼ Q]

Esta tautologıa afirma que si se requiere demostrar que no es ciertala conjuncion de dos afirmaciones, basta con probar que alguna delas dos no es cierta.

∼ (P ∧ Q) ⇐⇒ ∼ P ∨ ∼ Q

F V V V V F F FV V F F V F V VV F F V V V V FV F F F V V V V

v) [P ∧Q] =⇒ P

Esta tautologıa afirma que si requerimos probar una proposicionP , y sabemos que la conjuncion de ella con otra proposicion Q esverdadera, entonces estara ya garantizada la verdad de la propo-sicion P .

P ∧ Q =⇒ P

V V V V VV F F V VF F V V FF F F V F

vi) [P =⇒ Q]⇐⇒[∼ Q =⇒∼ P ]

Una consecuencia de esta tautologıa es que si debemos probarque una proposicion P implica otra proposicion Q, entonces bas-tara con probar que la negacion de Q implica a la negacion deP . Esta tautologıa es, precisamente, el principio de demostracionconocido como “reduccion al absurdo”.

P ⇒ Q ⇐⇒ ∼ Q ⇒ ∼ P

V V V V F V FV F F V V F FF V V V F V VF V F V V V V


vii) [P =⇒ Q] ⇐⇒ [∼ (P∧ ∼ Q)]

Una consecuencia de esta importante tabla de verdad es que sidebemos probar que una proposicion P implica a otra proposicionQ, bastara con probar que es falsa la conjuncion de P y la negacionde Q.

P ⇒ Q ⇐⇒ ∼ (P ∧ ∼ Q )

V F F V F V V VF V F V V F F VV V V V V V F FF V V V V F F F

viii) [P =⇒ Q ∧Q =⇒ R] =⇒ [P =⇒ R]

Una consecuencia de esta tautologıa es que si sabemos que la pro-posicion P implica a la proposicion Q, y tambien sabemos que laproposicion Q implica a la proposicion R, entonces podemos estarseguros de que, tambien, la proposicion P implica a la proposicionR.

P ⇒ Q ∧ Q ⇒ R ⇒ P ⇒ R

V V V V V V V V V V VV F F F F V F V V F FF V V V V V V V F V VF V F V F V F V F V FF V F V F V V V F V VF V V F V F F V F V FV F F F F V V V V V VV V V F V F F V V F F

Ejercicios 1

1. a) ¿Cual es la negacion de la proposicion “En el grupo hay almenos dos personas que tienen camisas diferentes”?

b) ¿Cual es la negacion de la proposicion “Toda persona de ca-misa blanca tiene zapatos blancos”?


2. a) Que conclusiones pueden deducirse con respecto a la verdado falsedad de las proposiciones P , Q, R, a partir de las si-guientes proposiciones:

i) Si P es cierta entonces Q es cierta.

ii) Si Q es cierta entonces R no es cierta.

iii) P es cierta.

¿Que sucederıa si cambiaramos iii) por iii’): “Q es falsa”?

b) Lo mismo, ahora para P , Q, R, S, en el siguiente caso:

i) Si P es cierta entonces Q es cierta.

ii) Si R es cierta entonces S no es cierta.

iii) Si Q es cierta entonces S es cierta.

iv) P es cierta.

3. a) Sean

P : La tasa de inflacion, hoy, es alta.

Q: Altas tasas de inflacion producen altas tasas de desempleo.

R: Altas tasas de desempleo reducen la demanda agregada dela economıa.

Si P ,Q y R son ciertas, ¿que podemos afirmar como cierto deesta economıa?; ¿que proposiciones deducidas de las tablasde verdad esta aplicando?

b) Sean

P : Estudiar matematicas dos horas diarias mejora las notasde los estudiantes de economıa.

Q: Dos horas de estudio diarias de matematicas reduce eltiempo de estudio de macroeconomıa.

R: Un estudiante de economıa puede dedicar 2 horas al dıa aestudiar matematicas o a estudiar macroeconomıa.

Si P , Q y R son ciertas, ¿que podemos afirmar como cierto deltiempo que dedican los estudiantes diariamente?; ¿que tauto-logıas de las estudiadas en esta Leccion esta aplicando?

4. Corrobore las dos siguientes tautologıas y senale con claridad enque situaciones de demostracion pueden ser utiles:

a) (P ∨Q) ∨R⇐⇒ P ∨ (Q ∨R)


(P ∨ Q) ∨ R ⇐⇒ P ∨ (Q ∨ R)

V V V V V V V V V V VV V F V V V V V F V VF V V V F V F V V V FF F F F F V F F F F FF F F V V V F V F V VF V V V V V F V V V VV V F V F V V V F F FV V V V F V V V V V F

b) [P ∧ (Q ∨R)] ⇐⇒ [(P ∧Q) ∨ (P ∧R)]

P ∧ Q ∨ R ⇐⇒ P ∧ Q ∨ P ∧ R

V V V V V V V V V V V V VV V V V F V V V V V V F FF F F V V V F F F F F F VF F F F F V F F F F F F FF F V V V V F F V F F F VF F V V F V F F V F F F FV V F V V V V F F V V V VV F F F F V V F F F V F F

5. Corrobore la tabla de verdad de la tautologıa

[P =⇒ (Q ∧R)] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∧ (P =⇒ R)]

y analice en que situaciones de demostracion podrıa ser util.

P =⇒ (Q ∧ R) ⇐⇒ P =⇒ Q ∧ P =⇒ R

V F F F V V V F F F V V VV F F F F V V F F F V F FF V V F F V F V V V F V FF V V V V V F V V V F V VF V F F F V F V F V F V FF V F F V V F V F V F V VV F V F F V V V V F V F FV V V V V V V V V V V V V


6. Pruebe que las siguientes proposiciones son tautologıas :

a) [P =⇒ P ]

b) [(P ∨ P ) =⇒ P

c) P =⇒ P ∨Qd) [P ∨Q] ⇐⇒ [Q ∨ P ]

e) [P ∧Q] ⇐⇒ [Q ∧ P ]

f) [(P ∧Q) ∧R] ⇐⇒ [P ∧ (Q ∧R)]

g) [P ∨ (Q ∧R)] ⇐⇒ [(P ∨Q) ∧ (P ∨R)]

h) [(P ∨Q) ∧R] ⇐⇒ [(P ∧R) ∨ (Q ∧R)]

i) [P =⇒ (Q ∨R)] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∨ (P =⇒ R)]

j) [P =⇒ Q] ⇐⇒ [(P ∧Q) ⇐⇒ P ]

k) (P =⇒ Q) ⇐⇒ (∼ P ∨Q)

l) [(P ⇐⇒ Q) ∧ (Q⇐⇒ R)] =⇒ [P ⇐⇒ R]

m) [P ∧ (P =⇒ Q)] =⇒ Q

n) [P =⇒ Q] =⇒ [(R ∨ P ) =⇒ (R ∨Q)]

o) [P ⇐⇒ Q] ⇐⇒ [(P =⇒ Q) ∧ (Q =⇒ P )]

7. ¿Seran tautologıas las siguientes proposiciones?:

a) [∼ P =⇒∼ Q] =⇒∼ [P ∨Q]

b) ∼ (P ∧Q) =⇒ [(∼ P ) ∧ (∼ Q)]

c) ∼ (P ∨Q) =⇒ [(∼ P ) ∨ (∼ Q)]

d) [P =⇒ Q] =⇒ [Q =⇒ P ]

e) [∼ P ∧ (P =⇒ Q)] =⇒∼ Q

f) [P =⇒ (Q =⇒ R)] =⇒ [(P =⇒ Q) =⇒ (P =⇒ R)]

* 8. Reconstruya, en terminos de proposiciones, la demostracion de “Sia es par entonces a2 tambien es par” que aparece planteada en losejercicios complementarios de la leccion 1.

* 9. Reconstruya, en terminos de proposiciones, la demostracion de “Sia2 es par entonces a tambien es par”.


* 10. Reconstruya, en terminos de proposiciones, la demostracion porreduccion al absurdo de “

√2 es un numero irracional” que aparece

en los ejercicios complementarios de la leccion 1.

* 11. Reconstruya, en terminos de proposiciones, la demostracion de laproposicion 1 del Libro I de los Elementos de Euclides que apareceen la leccion 1.

* 12. De manera similar a lo afirmado en el ejercicio anterior, llevelo acabo ahora para la proposicion 2 del Libro I de los Elementos deEuclides que aparece en la leccion 1.

2. Nociones de la teorıa de conjuntos

Hacia principios del siglo XX, las matematicas ya tenıan, aparentemente,una estructura ideal similar a la delineada por Euclides en sus Elemen-tos: se tenıan bases axiomaticas rigurosas para los numeros (como expli-caremos mas adelante), y para la nocion de lımite (como veremos en elvolumen II: Calculo); ademas las pruebas deductivas basadas en la logicade Boole, Pierce, Frege y Peano, habıan reemplazado a las conclusionesbasadas en la intuicion. Pero mientras se celebraba, algunos desarrollosque estaban en camino vendrıan a perturbar esta tranquilidad.

La nueva teorıa que dio origen a serias preocupaciones fue la teorıa de losconjuntos infinitos. La formalizacion del analisis de Weierstrass y otros,habıa llegado al punto de distinguir perfectamente entre series infinitasque convergıan (es decir, que tenıan sumas finitas) y las que divergıan(que tenıan sumas infinitas), a traves del concepto de lımite. Pero untipo particular de series ya conocidas, llamadas series de Fourier (en ho-nor de Joseph Fourier [1768-1830]), vino a jugar un papel central cuandoalgunas preguntas surgidas de allı fueron respondidas por George Cantor[1845-1918]. Cantor, al intentar resolver estos problemas, desemboco enla teorıa de conjuntos infinitos donde vio la necesidad de entenderlos co-mo totalidades y asignarles ciertos numeros que dio en llamar cardinalesdel conjunto; es decir, introdujo definiciones que determinaban cuandodos conjuntos infinitos tenıan el mismo o diferente numero de objetos,y su idea basica fue la correspondencia uno-a-uno. Ası como 8 libros y8 casas pueden expresarse mediante el mismo numero pues ellos pueden


emparejarse uno con una, de la misma manera Cantor aplico la corres-pondencia uno-a-uno a los conjuntos infinitos. Entonces encontro queexistıa una correspondencia uno-a-uno entre todos los numeros enterospositivos y los numeros pares positivos ası:

1 2 3 4 5 ...

l l l l l ...

2 4 6 8 10 ...

De esta forma, a cada numero entero positivo le corresponde uno, y soloun numero par, y viceversa. De allı, Cantor afirmo que los dos conjuntostenıan el mismo cardinal, es decir, el mismo numero de objetos. Queun conjunto de numeros pudiera colocarse en correspondencia uno-a-uno con apenas una parte de ese conjunto, no parecıa razonable, y estoharıa mas difıcil el avance de la teorıa de los conjuntos infinitos. PeroCantor definıa, precisamente, que un conjunto era infinito cuando podıacolocarse en correspondencia con un subconjunto propio de sı mismo.Por este camino probo que tambien habıa una correspondencia uno-a-uno entre los puntos de una lınea y los puntos de un plano.

Por los primeros 1900’s su teorıa de conjuntos comenzaba a emplearseen otras areas de las matematicas e, inclusive, el y Richard Dedekindcreıan que serıa util en la fundamentacion de todas las matematicas, yesto tambien empezaban a entenderlo Emile Borel [1871-1956] y HenriLebesgue [1871-1941]. Pero Cantor habıa descubierto, en 1895, un pro-blema con su teorıa. Estudiando los numeros cardinales, intento buscarel mas grande de estos y, para ello, penso en el conjunto de todos losconjuntos. Y como ya antes habıa probado que siempre habıa un nume-ro cardinal mas grande que cualquier cardinal propuesto previamente,entonces la conclusion era que existıa un cardinal mas grande que elmas grande! Con esta dificultad en frente, afirmaba que era mejor noconsiderar el conjunto de todos los conjuntos ni su cardinal.

Con solo esta (conocida despues como “la paradoja de Russell”) y otrasparadojas similares, la mayorıa de los matematicos no dudarıan en estarintranquilos en el paraıso que las matematicas que Cauchy y Weierstrasshabıan creado en el siglo XIX, y con su rigor. Ademas, tambien estabanpreocupados debido a los resultados de Cantor, puesto que sabıan que,en algun punto de sus trabajos, habıan utilizado conceptos similares a la


idea de asignarle un numero al conjunto de todos los conjuntos, no solo enlas nuevas creaciones sino tambien en las matematicas (supuestamente)bien establecidas. Entonces llamaron a estos problemas “paradojas” puescreıan que eran simples contradicciones que podrıan resolverse con lasmatematicas ya disponibles.

Ejemplos no matematicos de paradojas que, de alguna forma, involucra-ban el problema del todo como parte de sı mismo, eran ya abundantesmucho tiempo atras, pero en esos tiempos solo se consideraron comodivertimentos mentales. Una clasica es la “paradoja del mentiroso” dis-cutida desde la epoca de Aristoteles. La version clasica tiene que vercon la afirmacion “esta frase es falsa”; si esta afirmacion es verdadera,entonces lo que dice es cierto, y ası la afirmacion es falsa. Y si la afir-macion es falsa, entonces tambien lo es lo que dice, y ası la afirmaciones verdadera. Otro caso de estos es la afirmacion “toda regla tiene suexcepcion”.

Mientras que muchos matematicos de principios del siglo XX no le pres-taban atencion a las paradojas pues ellas implicaban, de alguna forma,la teorıa de conjuntos de Cantor, otros reconocıan que sı afectaban elrazonamiento matematico. Algunos logicos como el joven (y tambieneconomista) Frank P. Ramsey [1903-1930] trataron de distinguir entreparadojas semanticas y paradojas logicas. Creıa que una definicion es-tricta de estos conceptos resolverıa el problema. Bertrand Russell, en1905, por su parte, creıa que todas las paradojas surgıan de una falaciaque el llamo “el principio del cırculo vicioso” y que describıa ası: “Loque involucre todo de una coleccion no debe ser uno de la coleccion”.En otra forma, si para definir una coleccion de objetos uno debe usar lacoleccion del todo, entonces la definicion no tiene sentido.

El problema sobre como construir unas bases matematicas que elimina-ran estas (y otras) contradicciones surgidas de la teorıa de conjuntos,abrio el espıritu crıtico de los matematicos a examinar todo lo que antesse habıa aceptado sin ninguna preocupacion. En este proceso, fijaron suatencion en una hipotesis aparentemente inocente que aun las matemati-cas de Cauchy y Weierstrass utilizaban. Esta hipotesis consistıa en quedada una coleccion de conjuntos, finita o infinita, uno puede elegir unobjeto de cada conjunto y con estos elementos formar un nuevo conjunto(por ejemplo, de cada departamento en Colombia podemos elegir una


persona y, con ellas, formar un nuevo conjunto). Esta hipotesis, conoci-da en adelante como el axioma de eleccion (nombre acunado por ErnestZermelo [1871-1953] en 1904) serıa central a la matematica futura. Dehecho, este axioma habıa sido utilizado por Cantor en 1887 de manerainconsciente, y tambien aparecerıa en algunas pruebas de las matemati-cas de la epoca. Sin embargo, el axioma de eleccion serıa un punto deserias disputas, fundadas en el hecho de la importancia (o no) de la reglaexplıcita con que se determinaba la eleccion.

El punto neuralgico en todo esto era que siempre se desembocaba en ladiscusion sobre que era lo que deberıa considerarse legıtimo y acepta-ble en matematicas. Sobre los fundamentos en matematicas existıan, enaquella epoca de principios del siglo XX, dos filosofıas basicas: la logi-cista y la intuicionista. Diametralmente opuestas, la primera afirmabaque toda la matematica debıa ser derivable de la logica que, para estaepoca, ya habıa sido desarrollada en “leyes de la logica” como cuer-po de verdades. La segunda escuela aseguraba, en vez, que cualquierafirmacion matematica solo era solida y aceptable si podıa “concebirsementalmente”.

Pero estas dos filosofıas darıan origen a una tercera escuela de pensa-miento, llamada formalista y desarrollada por David Hilbert [1862-1943];y a una cuarta, llamada la escuela de teorıa de conjuntos, iniciada porZermelo. Para los formalistas, las matematicas eran una coleccion de sis-temas formales donde cada uno construye su propia logica, y sus propiasmatematicas; es decir, sus propios conceptos, axiomas, reglas de deduc-cion y, por tanto, sus propios teoremas. El desarrollo de estos sistemasdeductivos independientes de la realidad era el verdadero proposito delas matematicas, y este fue el programa Hilbert para la construccionde las matematicas presentado en 1900. De otro lado, la escuela de lateorıa de conjuntos creıa que si se lograba construir una teorıa de nume-ros mediante conceptos de conjuntos, entonces todas las matematicas sededucirıan de ella, y para construir esta teorıa creyeron que una fun-damentacion axiomatica cuidadosa removerıa todas las paradojas de lateorıa de conjuntos.

La axiomatizacion de la teorıa de conjuntos fue, inicialmente, el trabajode Zermelo en 1908. Este, como otros, creıa que las paradojas surgıanporque Cantor no habıa definido bien el concepto mismo de conjunto, y


confiaba en que unos cuantos axiomas claros y explıcitos darıan cuentade ellas. En particular, Zermelo asumio el axioma de eleccion. Sin em-bargo, el sistema axiomatico de Zermelo fue revisado y mejorado en 1922por Abraham Fraenkel [1891-1965] debido a que, en particular, Zermelono habıa logrado distinguir entre la propiedad que define a un conjun-to, y al conjunto mismo. El sistema resultante, conocido como sistemaZermelo-Fraenkel, podrıa describirse, verbalmente, ası:

i) Dos conjuntos son identicos si tienen los mismos miembros.

ii) El conjunto vacıo existe.

iii) Si A y B son conjuntos, entonces el par {A,B} tambien es unconjunto.

iv) La union de un conjunto de conjuntos existe.

v) Los conjuntos infinitos existen.

vi) Cualquier propiedad que pueda formalizarse en el lenguaje de lateorıa puede utilizarse para definir un conjunto.

vii) Es posible formar el conjunto de todos los posibles subconjuntos deun conjunto dado.

viii) El axioma de eleccion es cierto.

ix) Ningun conjunto pertenece a sı mismo.

Con estos axiomas, se puede mostrar (aunque no lo haremos aquı) quees imposible la existencia del conjunto de todos los conjuntos, y que to-das las paradojas (logicas o semanticas) se reducen a absurdos logicos.Mas aun, son adecuados tambien a las necesidades del analisis clasico; y(lo mas importante) con ellos se pueden definir los numeros naturales y,desde allı, toda la matematica pura fue reducida a la teorıa de conjuntos.Este trabajo (desde una axiomatica de conjuntos mas complicada) fuellevado a cabo por Alfred Whitehead y Bertrand Russell en el PrincipiaMathematica de 1913. Desde este momento en adelante, la teorıa de con-juntos sirve como fundamento para las matematicas. De hecho, un grupode importantes matematicos que operaban bajo el seudonimo colectivode Nicolas Bourbaki llevo a cabo, en 1936, la tarea de demostrar que


si se aceptan los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teorıa de conjuntos(incluyendo algunas modificaciones posteriores de Paul Bernays y KurtGodel), y ciertos principios de la logica, entonces era posible construirtodas las matematicas que conocemos.

Por los 1930’s, habıan cuatro aproximaciones diferentes a las matemati-cas y todas ellas en conflicto. En aquel entonces ya no se podıa decirque un teorema matematico estaba correctamente probado sin especifi-car los estandares bajo los cuales era cierto. Y los desarrollos del sigloXX han corroborado la vision de que siempre seran necesarias revisionesconstantes de los fundamentos de las matematicas.6

a). Nocion de conjunto y definiciones basicas

En nuestra discusion, un conjunto sera una coleccion de objetos dondese puede decir (mediante alguna caracterıstica o regla bien especificada),de cualquier objeto, si este pertenece o no a la coleccion.

Si un conjunto A consiste de los objetos a, b, c, ..., y no de otros, entoncesescribiremos, en notacion de Cantor (1895),

A = {a, b, c, ...}Y si el conjunto A consiste de los objetos x que satisfacen cierta propo-sicion ϕ(x) entonces escribiremos

A = {x| ϕ(x)}o bien

A = {x : ϕ(x)}Los objetos que conforman un cierto conjunto se llamaran (sus) elemen-tos. El hecho de que un objeto pertenezca a un conjunto A se escribira,en notacion de Peano(1894) y Russell (1903), en la forma

a ∈ A

y se leera “a pertenece a A’ ’ o “a es un elemento de A”. Si un objeto mno pertenece al conjunto A, se acostumbra escribir como

m /∈ A6Para aquel estudiante que desee profundizar mas en este tema, lo remitimos al

buen texto “ Munoz, Jose M. (2002), Introduccion a la Teorıa de Conjuntos, Univer-sidad Nacional de Colombia”.


Definicion 2. (Igualdad entre conjuntos)Sean A y B dos conjuntos; entonces

A = B si, y solo si, (∀x)(x ∈ A⇐⇒ x ∈ B)

Definicion 3. (Conjunto vacıo (Bourbaki (1939))Al conjunto φ determinado por la regla de no tener elementos, es decir,por la regla (∀x)(x /∈ φ), lo llamaremos conjunto vacıo.

Definicion 4. (Inclusion entre conjuntos (Schroder (1890)))Sean A y B dos conjuntos; entonces,

A ⊆ B si, y solo si, (∀x)(x ∈ A =⇒ x ∈ B)

A

B

Figura 6: Inclusion entre conjuntos

Teorema 1. (Propiedades de la inclusion 7)Sean A , B, C tres conjuntos; entonces

i) A = B ⇐⇒ A ⊆ B ∧ B ⊆ A ii) A ⊆ A

iii) φ ⊆ A iv) A ⊆ φ =⇒ A = φ

v) A ⊆ B ∧ B ⊆ C =⇒ A ⊆ C

Demostracion

i) a) Supongamos A = B; entonces x ∈ A⇐⇒ x ∈ B =⇒ x ∈ B ;ademas x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A =⇒ x ∈ A; luego A ⊆ B ∧B ⊆ A.

7En adelante, el lector encontrara multiples demostraciones en la que debera ob-servar cuales de las tautologıas estudiadas en la seccion anterior han sido aplicadas.


b) De manera similar, si A ⊆ B ∧B ⊆ A se tiene que x ∈ A =⇒x ∈ B y x ∈ B =⇒ x ∈ A; luego x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B y esta esla definicion de A = B.

ii) x ∈ A =⇒ x ∈ A siempre es cierto.

iii) x ∈ φ =⇒ x ∈ A es cierto pues la proposicion x ∈ φ es falsa.

iv) Si A ⊆ φ entonces, como por iii) tambien φ ⊆ A, se tiene queA ⊆ φ ∧ φ ⊆ A y, por i), A = φ.

v) Si A ⊆ B ∧ B ⊆ C se tiene que x ∈ A =⇒ x ∈ B y x ∈ B =⇒x ∈ C; luego x ∈ A =⇒ x ∈ C. �

b). Operaciones entre conjuntos

En lo que sigue, estudiaremos las cuatro operaciones basicas de la teorıade conjuntos: la interseccion, la union, la diferencia y el complemento.

Definicion 5. (Interseccion de conjuntos (Peano (1888)))Sean A y B dos conjuntos; definimos el conjunto interseccion de A y B(notado A ∩B) ası:

x ∈ A ∩B si, y solo si, x ∈ A ∧ x ∈ B

A B

Figura 7: Interseccion de conjuntos


Teorema 2. (Propiedades de la interseccion)Sean A ,B ,C conjuntos; entonces:

i) A ∩B = B ∩A.

Demostracion

x ∈ A∩B ⇐⇒ x ∈ A∧ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B ∧ x ∈ A⇐⇒ x ∈ B ∩A.�

ii) (A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩C).

Demostracion

x ∈ (A ∩ B) ∩ C ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈B) ∧ x ∈ C ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈(B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∩ (B ∩ C). �

iii) A ∩A = A.

Demostracion

x ∈ A⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ A⇐⇒ x ∈ A ∩A. �

iv) A ∩ φ = φ.

Demostracion

x ∈ A ∩ φ ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ φ ⇐⇒ x ∈ φ pues las dos ultimasproposiciones son falsas ya que la proposicion x ∈ φ es falsa. �

v) A ∩B ⊆ A ; A ∩B ⊆ B.

Demostracion

i) x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ A.

ii) x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ B. �

vi) A ⊆ B ⇐⇒ A ∩B = A.

Demostracion

i) Supongamos A ⊆ B; entonces:

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A∧ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A (¿Por que es ciertoesto ultimo?); luego A ∩B = A.


ii) Supongamos A ∩B = A; entonces:

x ∈ A ⇐⇒ x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B =⇒ x ∈ B. LuegoA ⊆ B. �

Definicion 6. (Union de conjuntos (Peano (1888)))

Sean A y B dos conjuntos; definimos el conjunto union de A y B (notadoA ∪B) ası:

x ∈ A ∪B si, y solo si, x ∈ A ∨ x ∈ B

A B

A ∪B

Figura 8: Union de conjuntos

Teorema 3. (Propiedades de la union)

Sean A, B, C conjuntos. Entonces:

i) A ∪B = B ∪A.

Demostracion

x ∈ A∪B ⇐⇒ x ∈ A∨x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B∨x ∈ A⇐⇒ x ∈ B∪A. �

ii) (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Demostracion

x ∈ (A ∪ B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈B)∨ x ∈ C ⇐⇒ x ∈ A∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ A∪ (B ∪C). �


iii) A ∪A = A.

Demostracion

x ∈ A ∪A⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ A⇐⇒ x ∈ A. �

iv) A ∪ φ = A.

Demostracion

x ∈ A ∪ φ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ φ⇐⇒ x ∈ A puesto que la afirmacionx ∈ φ es siempre falsa. �

v) A ⊆ A ∪B ; B ⊆ A ∪B.

Demostracion

i) Probemos primero A ⊆ A ∪B.

x ∈ A =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∪Bii) Ahora probemos B ⊆ A ∪B.

x ∈ B =⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∪B �

vi) A ⊆ B ⇐⇒ A ∪B = B.

Demostracion

i) Supongamos A ⊆ B; entonces:

x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ B. Luego A ∪B = B

ii) Supongamos A ∪B = B; entonces:

x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ B. Luego A ⊆ B �

vii) A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇐⇒ A ∪B ⊆ C.

Demostracion

i) Supongamos A ⊆ C ∧B ⊆ C. Entonces:

x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B =⇒ x ∈ C ∨ x ∈ C =⇒ x ∈ C.

ii) Supongamos A ∪B ⊆ C. Entonces:

x ∈ A =⇒ x ∈ A ∪B =⇒ x ∈ C; y x ∈ B =⇒ x ∈ A ∪B =⇒x ∈ C. �


Teorema 4. (Relaciones entre la interseccion y la union deconjuntos)

Sean A, B, C conjuntos; entonces:

i) (A ∪B) ∩ C = (A ∩C) ∪ (B ∩ C)

Demostracion

x ∈ (A∪B)∩C ⇐⇒ (x ∈ A∨ x ∈ B)∧ (x ∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A∧ x ∈C) ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∩ C) ∨ x ∈ (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈(A ∩ C) ∪ (B ∩ C). �

ii) (A ∩B) ∪ C = (A ∪C) ∩ (B ∪ C)

Demostracion

x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇐⇒ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈B) ∨ x ∈ C ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ C) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇐⇒ x ∈(A ∪ C) ∧ x ∈ (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). �

Definicion 7. (Diferencia de conjuntos)Sean A y B dos conjuntos; definimos el conjunto diferencia de A y B(notado A−B o A \B) ası:

x ∈ (A−B) si, y solo si, x ∈ A ∧ x /∈ B

A−B

BA

B −A

BA

Figura 9: Diferencia entre conjuntos

Teorema 5. (Propiedades de la diferencia de conjuntos )Sean A, B, C conjuntos. Entonces:


i) A−A = φ

Demostracion

x ∈ A − A ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ A ⇐⇒ x ∈ φ siendo la ultimaequivalencia cierta pues ambas proposiciones son falsas. �

ii) A− (A ∩B) = A−B

Demostracion

x ∈ A − (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ (A ∩ B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x /∈A ∨ x /∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ A) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ⇐⇒ x /∈φ ∨ x ∈ (A−B) ⇐⇒ x ∈ φ ∪ (A−B) ⇐⇒ x ∈ A−B. �

iii) A ∩ (A−B) = A−B

Demostracion

x ∈ A ∩ (A − B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈ A − B) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x ∈A∧ x /∈ B) ⇐⇒ (x ∈ A∧x /∈ B) ⇐⇒ x ∈ A−B. ¿Podrıa explicarel lector el por que de la tercera equivalencia? �

iv) (A−B) ∪B = A ∪BDemostracion

x ∈ (A −B) ∪B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ x ∈ B ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈B) ∧ (x /∈ B ∨ x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∪B ¿Podrıatambien aquı decir el lector el por que de la tercera equivalencia? �

v) (A ∪B) −B = A−B

Demostracion

x ∈ (A ∪ B) − B ⇐⇒ x ∈ (A ∪ B) ∧ x /∈ B ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈B) ∧ x /∈ B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x ∈ B ∧ x /∈ B) ⇐⇒ x ∈A ∧ x /∈ B ⇐⇒ x ∈ A−B. �

vi) (A ∩B) −B = φ

Demostracion

x ∈ (A ∩B) −B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∧ x /∈ B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈B) ∧ (x ∈ B ∧ x /∈ B) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ (B − B) ⇐⇒ x ∈(A−B) ∧ x ∈ φ⇐⇒ x ∈ (A−B) ∩ φ⇐⇒ x ∈ φ. �


vii) (A−B) ∩B = φ

Demostracion

x ∈ (A − B) ∩ B ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ B ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈B) ∧ x ∈ B ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x /∈ B ∧ x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ φ, puesx ∈ B ∧ x /∈ B es siempre falso. �

viii) A− (B ∪ C) = (A−B) ∩ (A− C)

Demostracion

x ∈ A − (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ (x /∈ B∧ /∈ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈B) ∧ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∧ x ∈ (A − C) ⇐⇒ x ∈(A−B) ∩ (A− C). �

ix) A− (B ∩ C) = (A−B) ∪ (A− C)

Demostracion

x ∈ A − (B ∩ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ x /∈ (B ∩ C) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x /∈B) ∨ (x ∈ A ∧ x /∈ C) ⇐⇒ x ∈ (A − B) ∨ x ∈ (A − C) ⇐⇒ x ∈(A−B) ∪ (A− C). �

Definicion 8. (Complemento de un conjunto)Definimos el complemento de un conjunto A, notado A (o Ac, o tambienA′), ası:

x ∈ A si, y solo si, x /∈ A

A

A

Figura 10: Complemento del conjunto A


Teorema 6. (Leyes de DeMorgan)

i) El complemento de la union de dos conjuntos es igual a la inter-seccion de los complementos de dichos conjuntos. Ası, si A y Bson dos conjuntos, entonces

(A ∪B) = A ∩B

Demostracion

x ∈ (A ∪B) ⇐⇒ x /∈ (A∪B) ⇐⇒ x /∈ A∧x /∈ B ⇐⇒ x ∈ A∧x ∈B ⇐⇒ x ∈ (A ∩B). �

BA

Figura 11: A ∪B = A ∩B

ii) El complemento de la interseccion de dos conjuntos es igual a launion de los complementos de dichos conjuntos. Ası, si A y B sondos conjuntos, entonces

A ∩B = A ∪B

Demostracion

x ∈ (A ∩B) ⇐⇒ x /∈ A ∩ B ⇐⇒ (x /∈ A) ∨ (x /∈ B) ⇐⇒ (x ∈A) ∨ (x ∈ B) ⇐⇒ x ∈ (A ∪B). �

Definicion 9. (Familia de conjuntos)Un conjunto C es una familia de conjuntos si, y solo si, (∀X)(X ∈C =⇒ X es un conjunto).


BA

Figura 12: A ∩B = A ∪B

Definicion 10. (Union de una familia de conjuntos)Si C es una familia de conjuntos, definimos la union de la familia deconjuntos de C (notada

⋃

A∈CA) ası:

x ∈ ⋃

A∈CA si, y solo si, x ∈ A para algun A ∈ C

Si C = {A1, A2, A3, · · · , An, · · · } entonces⋃

A∈C

A se escribira∞⋃

i=1Ai.

Definicion 11. (Interseccion de una familia de conjuntos)Si C es una familia de conjuntos, definimos la interseccion de la familiade conjuntos de C (notada

⋂

A∈C

A) ası:

x ∈ ⋂

A∈CA si, y solo si, x ∈ A para todo A ∈ C

Si C = {A1, A2, A3, · · ·An, · · · } entonces⋂

A∈CA se escribira

∞⋂

i=1Ai.

Teorema 7. (Propiedades de la union e interseccion de fami-lias)

i) Si C ⊆ D entonces⋃

A∈CA ⊆ ⋃

A∈DA

ii)⋃

A∈CA =

⋂

A∈CA

iii)⋂

A∈CA =

⋃

A∈CA


iv) Si C = C1 ∪C2, entonces (⋂

A∈C

A) = (⋂

A∈C1

A)⋃

(⋂

A∈C2

A)

Demostracion

i) x ∈ ⋃

A∈CA⇐⇒ x ∈ A para algun A ∈ C =⇒ x ∈ A para algun

A ∈ D. �

ii) x ∈ ⋃

A∈C

A⇐⇒ x /∈ ⋃

A∈C

A⇐⇒para todo A ∈ C, x /∈ A⇐⇒ x ∈⋂

A∈CA. �

iii) x ∈ ⋂

A∈CA⇐⇒ x /∈ ⋂

A∈CA⇐⇒ x /∈ A para algun A ∈ C ⇐⇒ x ∈

A para algun A ∈ C ⇐⇒ x ∈ ⋃

A∈CA. �

iv) x ∈ ⋂

A∈CA⇐⇒ x ∈ A para todoA ∈ C

⇐⇒ x ∈ A para todo A ∈ C1 o para todo A ∈ C2

⇐⇒ x ∈ A para todoA ∈ C1 ox ∈ A para todoA ∈ C2

⇐⇒ x ∈ ⋂

A∈C1

A o x ∈ ⋂

A∈C2

A

⇐⇒ x ∈ (⋂

A∈C1

A)⋃

(⋂

A∈C2

A) �

Ejemplo 2.

Sea C = {A1, A2, A3} donde A1 = {1, 2, 3}, A2 = {−1, 2, 4}, A3 ={0, 2, 6}. Entonces:

a)⋃

A∈CA =

3⋃

i=1Ai = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 6}

b)⋂

A∈CA =

3⋂

i=1Ai = {2}

Mas adelante, cuando hayamos desarrollado formalmente los conjuntosde numeros, daremos otros ejemplos de estas operaciones de familias deconjuntos.


Finalmente, desarrollamos la ultima operacion entre conjuntos sobre laque haremos enfasis.

Definicion 12. (Conjunto de partes)Si A es un conjunto cualquiera, definimos el conjunto de partes de A,

notado P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A; es decir,

B ∈ P(A) ⇐⇒ B ⊆ A

Ejemplo 3.

i) Si A = {1, 2} entonces P(A) = {φ, {1}, {2}, A}.

ii) SiA = {a, b, c} entonces P(A) = {φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}.

Nota 1.Si el cardinal de A (es decir, su numero de elementos) es n, entoncesel cardinal de P(A) es 2n. ¿Podrıa el lector probar esto? (ver ejerciciocomplementario 4).

Teorema 8. (Propiedades del conjunto de partes)

i) Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B)

ii) P(A) ∩ P(B) = P(A ∩B)

iii) P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪B)

Demostracion

i) C ∈ P(A) ⇐⇒ C ⊆ A =⇒ C ⊆ B ⇐⇒ C ∈ P(B). �

ii) C ∈ P(A ∩ B) ⇐⇒ C ⊆ A ∩ B ⇐⇒ C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇐⇒ C ∈P(A) ∧ C ∈ P(B) ⇐⇒ C ∈ P(A) ∩ P(B). �

iii) C ∈ P(A) ∪ P(B) ⇐⇒ C ⊆ A ∨ C ⊆ B =⇒ C ⊆ (A ∪ B) ⇐⇒C ∈ P(A ∪B). �


Ejercicios 2

1. a) Kurt Godel [1906-1978], quizas el mas importante logico delsiglo XX, escribıa la siguiente paradoja: “En mayo 4 de 1934,A hace la afirmacion siguiente: “Toda afirmacion que A hagaen mayo 4 de 1934 es falsa””. Analizarla similarmente a laParadoja del Mentiroso.

b) Bertrand Russell [1872-1972] presento una paradoja que, ensu forma popular, se conoce como la Paradoja del Barbero:“En un pueblo, su unico barbero afirmaba que no afeitarıaa nadie que se afeitara a sı mismo, y que solo afeitarıa aaquellos que no lo hicieran ası”. ¿Quien afeita al barbero?

c) Russell en su Principia Mathematica de 1913, considerabaotra paradoja. La Ley del Tercero Excluido establece que to-das las proposiciones son falsas o verdaderas, y no ambas.Pero esta ley, por sı misma, es una proposicion. Russell diceque, por tanto, esta ley puede ser falsa. Analice.

2. En un diagrama apropiado, como los ensenados en esta seccion,ilustre los siguientes conjuntos:

a) A ∩B b) A ∩Bc) (A ∩B) ∪ (A ∩B) d) (A ∪B) ∩ (A ∪B)

3. Si S = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}, describa los elementosde los siguientes subconjuntos:

a) A = {a ∈ S/a es divisible por 8}b) B = {b ∈ S/b es divisible por 4}

c) C = {c ∈ S/c

10es un numero primo}

d) D = {d ∈ S/4d

3∈ S}

4. Con los conjuntos A,B,C y D anteriores, determine:

a) A b) A ∪Bc) A ∩B d) A ∩ Ce) (A ∩ C) ∪D f) A ∩Bg) A ∪D h) A ∪B ∪ C ∪D

5. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones sobre S,A,B,C,D del ejer-cicio 3, son ciertas?:

a) B = D b) A ∪B ⊆ B

c) A ∩ C = S d) A ⊆ C

6. Si S = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, halle sus siguientes subconjuntos:

a) A = {a ∈ S/ a > 3.5}b) B = {b ∈ S/ b− 7 = 7 − b}c) C = {c ∈ S/ 4c− 4 < 3c}d) D = {d ∈ S/ 3 + d = 20 − d}

7. ¿Sera cierto que para cualquier tres conjuntos A,B,C, se tiene que(A−B) ∩ C = (A ∩C) ∩ (C −B)?

8. Si A y B son dos conjuntos, se define la diferencia simetrica de Ay B como el conjunto

A △ B = (A−B) ∪ (B −A)

Pruebe entonces que:

a) A △ φ = A

b) A △ B = B △ A

c) (A △ B) △ C = A △ (B △ C)

d) A ∩ (B △ C) = (A ∩B) △ (A ∩ C)

e) A = B ⇐⇒ A △ B = φ


f) A △ C = B △ C implica A = B

¿Podrıa el lector establecer algun tipo de semejanza entreesta operacion de conjuntos y las operaciones estandar de losnumeros?

9. Si A es un conjunto cualquiera, ¿cuales de las siguientes afirma-ciones son verdaderas?:

a) φ 6= {φ} b) A ⊆ {{A}, A}c) A ∈ {{A}, A} d) {A} ∈ {{A}, A}

10. Si A1 = {12 ,

13 ,−1

4 , 1}, A2 = {34 ,

13 , 1}, A3 = {1}, calcule

3⋃

i=1Ai,

3⋂

i=1Ai,

(3⋃

i=1Ai

)

,

(3⋂

i=1Ai

)

,3⋃

i=1Ai,

3⋂

i=1Ai.

11. Calcule P(A) si:

a) A = {1} b) A = {1, 2}c) A = {1, 2, 3} d) A = {1, 2, 3, 4}

Muestre que 2, 4, 8 y 16 son los correspondientes cardinales de losconjuntos en a), b), c) y d).

3. Los numeros reales

Ya antes habıamos afirmado que desde los tiempos de los egipcios ylos babilonios se utilizaban numeros enteros naturales, fracciones y aunnumeros irracionales como

√2 y

√3. Obviamente, la base empırica de

utilizacion de estos numeros impedıan un analisis mas crıtico. El primertratamiento logico conocido sobre los numeros enteros naturales fueronlos Libros VII, VIII y IX de los Elementos de Euclides (ver leccion 1).Allı, Euclides daba definiciones tales como unidad (“en virtud de la cuala algo se le puede llamar uno”) y numero (como una cantidad compuestade unidades). Claramente estas definiciones son inadecuadas, e inclusivealgunas de las pruebas son equivocadas. Aun ası, los griegos y sus suce-sores creıan que la teorıa de los numeros enteros era satisfactoria hasta


el punto de que se permitıan hablar acerca de razones entre numeros en-teros (que generaciones mas tarde llamaron fraccionarios) aunque estasno estaban definidas.

Dos mil anos despues de los griegos, fue Weierstrass el primero en darsecuenta de que no podıa hacerse riguroso el analisis matematico (y, enparticular, el calculo diferencial e integral) sin una mejor comprensiondel sistema de los numeros, y fue el el primero en dar una definicionrigurosa de numero irracional, y en derivar sus propiedades basadas enlas propiedades ya familiares de los numeros racionales. Este trabajo seconocio en los 1860’s. Posteriormente, Dedekind y Cantor tambien de-finieron los numeros irracionales (dando por conocidos los racionales) yestablecieron sus propiedades. Los trabajos de ambos fueron publicadosen los 1870’s.

Pero la logica de los numeros racionales aun faltaba. En 1888, Dedekind,en su The Nature and Meaning of Numbers, describio las propiedadesbasicas de lo que podrıa ser un aparato axiomatico para los racionales.Peano basandose en ideas de Dedekind y de Hermann Grassmann (Text-book on Arithmetic (1861)) logro, en su Principles of Arithmetic de 1889,producir los numeros racionales a partir de axiomas sobre los numerosenteros. Con esto, finalmente, se tenıa una estructura logica de los nume-ros reales: ¡ En 1890, seis mil anos despues de los egipcios y babilonios,los matematicos habıan podido finalmente probar que 1 + 1 = 2.

a). Los numeros naturales (N): descripcion

Comenzamos el estudio de los fundamentos de los sistemas numericoscon los numeros naturales (o enteros positivos) que estan en la basemisma de la construccion hipotetico-deductiva de las matematicas con-temporaneas. Los numeros naturales, es decir, los “numeros de contar”se acostumbran notar mediante el conjunto

N = {1, 2, 3, 4....}

Los reconocemos aquı (mas no los definimos) mediante ciertas propieda-des con respecto a la suma (adicion) y multiplicacion (o producto) queson:

I. Propiedades de N para la suma (+)

i) a+ b ∈ N para todo a, b ∈ N (la suma de dos numeros natu-rales es otro numero natural).

ii) a+ b = b+ a para todo a, b ∈ N (conmutatividad).

iii) a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a, b, c ∈ N (asociatividad).

II. Propiedades de N para el producto (·)

i) a·b ∈ N para todo a, b ∈ N (la multiplicacion de dos numerosnaturales es otro numero natural).

ii) a · b = b · a para toda a, b ∈ N (conmutatividad).

iii) a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ N (asociatividad).

iv) existe un numero natural 1 (uno) tal que a · 1 = a para todoa ∈ N.

III. propiedad de distributividad en N

Para todo a, b, c ∈ N,

a · (b+ c) = a · b+ a · c

IV. Propiedades de orden en N

Sobre N se define un “orden”, notado “<” (se lee “menor que”),ası: para a, b ∈ N, diremos que a a) si, y solo si, existe un c ∈ N tal que a+ c = b.

Algunas propiedades del orden < en N son:

i) Para todo a, b ∈ N, se tiene una, y solo una, de las siguientestres relaciones:

i) a b iii) a = b

ii) Si a < b y b < c entonces a < c, para todo a, b, c ∈ N

(transitividad).

iii) Si a < b entonces para todo c ∈ N

a+ c < b+ c (monotonicidad de la suma)

iv) Si a < b y 1 < c entonces

ac < bc (monotonicidad de la multiplicacion)

En la recta numerica, los numeros naturales aparecen como en la figura13.

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 13: Los numeros naturales

b). Los numeros enteros (Z): descripcion

La creacion de los numeros enteros esta motivada, claramente, por lanecesidad de que la operacion de sustraccion fuese siempre posible. Losnumeros enteros, es decir, los numeros de la forma n o −n, donde n esun numero natural (ademas del 0) y −n su opuesto negativo, formanun conjunto notado por Z (del aleman Zahlen (entero)) en el que tam-bien estan definidas las operaciones basicas de suma y multiplicacion.Estas operaciones, ademas, satisfacen propiedades similares a las de losnumeros naturales, que son:

I. Propiedades de Z para la suma (+)

i) a+b ∈ Z para todo a, b ∈ Z (la suma de dos numeros enteroses, de nuevo, un numero entero).

ii) a+ b = b+ a para todo a, b ∈ Z (conmutatividad).

iii) a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a, b, c ∈ Z (asociatividad).

iv) Para todo a, b ∈ Z existe un unico c ∈ Z tal que a + c = b(existencia de inverso).

En particular, esta ultima propiedad implica que existe un uniconumero entero notado 0 (cero) tal que a + 0 = a; y que la sumatiene una “operacion inversa” (sustraccion o resta) valida en Z ynotada “ − ” tal que para todo a ∈ Z, existe un unico numeroentero, notado −a, tal que a+(−a) = 0; a esta operacion a+(−a)la acostumbramos notar a−a; y en general, a la operacion a+(−b)

la notaremos a−b, dando ası sentido a la afirmacion de que “−” (laresta o diferencia) es tambien una “operacion” entre los numerosenteros.

II. Propiedades de Z para el producto (·)

i) a ·b ∈ Z para todo a, b ∈ Z (la multiplicacion de dos numerosenteros es, nuevamente, un numero entero).

ii) a · b = b · a para todo a, b ∈ Z (conmutatividad).

iii) a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ Z (asociatividad).

iv) Existe un numero entero 1 (uno) tal que a · 1 = a para todoa ∈ Z.

III. Propiedad de distributividad en Z

Para todo a, b, c ∈ Z

a · (b+ c) = a · b+ a · c

IV. Propiedades de orden en Z

Sobre Z tambien se define un “orden” notado “<” (que igualmentese lee “menor que”), ası: para a, b ∈ Z, diremos que a a) si, y solo si, existe un c ∈ N tal quea+ c = b.

Algunas propiedades del orden < en Z son:

i) Para todo a, b ∈ Z, se tiene una, y solo una, de las siguientestres relaciones:

i) a b iii) a = b

ii) Si a < b y b < c entonces a < c, para todo a, b, c ∈ Z (transi-tividad).

iii) Si a < b entonces para todo c ∈ Z

iv) Si a 0 entonces

a · c < b · c (monotonicidad de la multiplicacion)

En la recta numerica, los numeros enteros aparecen como en la figura14.

0 1 2 3 4−1−2−3−4

Figura 14: Los numeros enteros

Observemos que, con estas caracterısticas, N ⊆ Z.

Nota 2.Una consecuencia de los axiomas es que a · 0 = 0 para todo a ∈ Z. Enefecto, a · 0 = a · (0 + 0) = a · 0 + a · 0, y ası a · 0 = 0.

Nota 3.Quizas el punto principal en la multiplicacion de numeros positivos ynegativos es la conocida regla de signos a · (−c) = (−c) · a = −(a · c)y (−a) · (−a) = a · a (esta ultima conocida como la regla del “menospor menos da mas”). Probar, por ejemplo, que a · (−c) = −a · c es facila partir de las otras propiedades: Puesto que a · c + (−(a · c)) = 0 ytambien a · c+ a(−c) = a · (c+ (−c)) = a · 0 = 0 entonces se tendra que−(a · c) = a · (−c).

c). Los numeros racionales (Q): descripcion

La segunda extension en el sistema numerico natural es la de los numerosracionales (o fraccionarios). Hacer el paso de los numeros enteros a losfraccionarios cambia sustancialmente el escenario: del numero de cosas,debemos seguir a la medida de las mismas. Los numeros racionales, es

decir, los numeros de la formam

ndonde m y n son enteros y n 6= 0

forman un conjunto (notado por Q (del Ingles quotient (cociente))) enel que tambien estan definidas las operaciones basicas. Estas operacionessatisfacen algunas propiedades como las siguientes:


I. Propiedades de Q para la suma (+)

i) a + b ∈ Q para todo a, b ∈ Q (la suma de dos fraccionarioses un fraccionario).

ii) a+ b = b+ a para todo a, b ∈ Q (conmutatividad).

iii) a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a, b, c ∈ Q (asociatividad).

iv) Para todo a ∈ Q existe un unico c ∈ Q tal que a+ c = 0; esteb usualmente se nota −a (existencia de inverso).

II. Propiedades de Q para el producto (·)

i) a · b ∈ Q para todo a, b ∈ Q (el producto de dos fraccionarioses otro fraccionario).

ii) a · b = b · a para todo a, b ∈ Q (conmutatividad).

iii) a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ Q (asociatividad).

iv) Para todo a, b ∈ Q, a 6= 0 existe un unico c ∈ Q tal quea · c = b (existencia de inverso).

En particular, esta propiedad implica que existe un unico numeroracional notado 1 (uno) tal que a · 1 = a; y que la multiplica-cion tiene una “operacion inversa” (division) valida en Q y notada“/”(o “÷”) tal que para todo a ∈ Q, a 6= 0, existe un unico nume-

ro racional notado1

atal que a · 1

a= 1; a esta operacion a · 1

ala

acostumbramos notara

a(o a/a, o a ÷ a); y en general, a la ope-

racion a · 1

b, para b ∈ Q, b 6= 0, la notamos

a

b, dando ası sentido

a la afirmacion de que la division “/” es una “operacion”entre losnumeros racionales.

III. Propiedad de distributividad en Q

(a+ b) · c = a · c+ b · c

para todo a, b, c ∈ Q.

IV. Propiedades de orden en Q

Sobre Q esta definido un “orden”notado “<” (se lee “menor que”)

ası: para a, b ∈ Q, diremos que a =m

n 0, si, y

solo si, q ·m < n · p, donde en la ultima desigualdad utilizamos elorden < de Z.

Algunas propiedades de < en Q son:

i) Para todo a, b ∈ Q, se tiene una, y solo una, de las siguientestres relaciones:

i) a b iii) a = b.

ii) Si a 0 entonces

a · c < b · c (monotonicidad de la multiplicacion)

v) Si a < b existe un c ∈ Q tal que a < c < b (densidad delos numeros racionales). En particular, podemos escoger c =a+ b

2.

xa|

a+b

2

|b|

Figura 15: Densidad de los numeros racionales

Con estas propiedades se tendra entonces que N ⊆ Z ⊆ Q.

Ahora: es facil observar que los numeros racionales (con estas propieda-des) son insuficientes aun para medir todas las cantidades y, en particu-lar, para medir la longitud de ciertos intervalos. Para ver esto, tomemosuna lınea, un origen (el numero 0) y una cantidad de escala (el numero


1). Entonces queda claro lo que significa un segmento con punto final en12 ,

14 ,

15 , etc. En general, es posible asignarle, a cada numero racional, un

punto sobre la recta (se acostumbra a colocar los racionales positivos ala derecha y los racionales negativos a la izquierda) que es el punto finaldel segmento de recta con tal longitud dirigido a la derecha si el numeroracional es positivo, y dirigido a la izquierda si el numero racional esnegativo (ver figura 16).

x-2 - 3

2 -1 - 1

2 0 1

2 1 3

2 2

Figura 16: Los numeros racionales

Sin embargo, no a toda longitud de segmento de recta se le puede asignarun numero racional. Por ejemplo, ya los antiguos griegos (en particular,desde los pitagoricos), sabıan que la longitud de la diagonal de un cua-drado de lado 1 no puede medirse mediante ningun numero racional.8

Ası que podemos concluir que la recta de arriba esta “agujereada” pueshabra longitudes a las que no es posible asignarles numeros racionales.Sin embargo, los griegos nunca lograron desarrollar metodo alguno paradefinir, aritmeticamente, los numeros que no eran racionales (irraciona-les). Esto fue el resultado de los desarrollos del siglo XIX. 9

La idea general de numero irracional aparecio al final del siglo XVII comoconsecuencia de la introduccion a los numeros decimales que necesita-ban los logaritmos neperianos. Si transformamos un numero racional enuno decimal, podemos obtener infinitos decimales (aunque periodicos),o simplemente, un numero finito de ellos; un caso tıpico es 1

3 = 0.3333....Sin embargo, todo numero irracional se transformara en uno decimal coninfinitos decimales no-periodicos. Ası, podrıa establecerse la nocion denumero irracional a traves de aproximaciones por numeros racionales.

8Es el numero√

2.9Una anotacion con respecto a la palabra irracional. Es, sin duda, la traducciondel latın de la palabra griega “αλoγos”, que, presumiblemente, significa “inex-presable”. Esto porque los nuevos numeros no podıan (como sı los racionales)expresarse mediante la razon de dos numeros enteros. La equivocacion de colocarsobre la palabra latina “razon” el sentido de “razonable”, parece todavıa estaranclado al termino “numero irracional”.


El problema de averiguar como es posible determinar la posicion de unnumero arbitrario sobre la lınea, fue la idea que condujo al concepto denumero real. Habıamos dicho que Cantor y Dedekind, simultaneamenteen 1872, dieron las bases al concepto de numero. Dedekind, en particular,partıa de que los numeros racionales eran conocidos. Para alcanzar ladefinicion de numero irracional, Dedekind creo la nocion de corte en eldominio de los numeros racionales: si a es un numero, entonces separala totalidad de los numeros racionales en dos partes A y B tales quecualquier numero en A es menor que cualquier numero en B, y todonumero racional pertenece a uno (y solo a uno) de estos dos conjuntos.A estos cortes propios se le anteponen los cortes impropios que sonseparaciones de todos los numeros racionales en dos clases, A y B, enlas que no hay, ni uno mas pequeno racional en B, ni uno mas grandeen A. Facilmente se ve que un corte es propio si el decimal es periodico,e impropio si no es periodico.

A B

a

Figura 17

Con estas definiciones como base, Dedekind define que un corte en eldominio de los racionales se llama “racional” si el corte es propio, e“irracional” si el corte es impropio. Y dos numeros son iguales si sonel mismo corte. Serıa difıcil aquı extendernos mas en la concepcion denumero de Dedekind; basta con decir que, simultaneamente a esta de-finicion, Cantor formulaba en el Mathematische Annalen de 1872 unaxioma para los numeros que ya habıa sido establecido por la geometrıaanalıtica de Descartes y Fermat: este principio fundamental decıa que,correspondiente a todo numero racional o irracional, existe un punto quetiene este numero como abscisa en una recta; y, recıprocamente, que co-rrespondiente a todo punto sobre la lınea existe un numero racional oirracional del cual aquel es su abscisa. A este axioma que establece unacorrespondencia entre los numeros reales, de un lado, y los puntos de unalınea recta, del otro, se le conoce como axioma de Cantor o de continui-dad. Basados en los desarrollos de Weierstrass, Dedekind y Cantor, hoycontamos con una definicion (axiomatica) precisa de numero real como“extension continua” de los numeros racionales. Veamos cuales son estaspropiedades.


d). Los numeros reales (R): definicion axiomatica

Se asume que existe un conjunto de objetos, llamados numeros reales,sobre los cuales se han definido “operaciones”, suma y producto, notadas(+) y (·) respectivamente, las cuales satisfacen las siguientes propieda-des:

I. Propiedades de R para la suma (+)

i) a + b ∈ R si a, b ∈ R (la suma de dos numeros reales es, denuevo, un numero real).

ii) a+ b = b+ a para todo a, b ∈ R (conmutatividad).

iii) a+(b+ c) = (a+ b)+ c para todo a, b, c ∈ R (asociatividad).

iv) Existe un numero real 0 (cero) tal que a + 0 = a para todoa ∈ R.

v) Para todo a ∈ R existe un unico c ∈ R (notado −a) tal quea+ c = a+ (−a) = 0 (existencia de inverso).

II. Propiedades de R para el producto (·)

i) a · b ∈ R si a, b ∈ R (el producto de dos numeros reales es,de nuevo,un numero real).

ii) a · b = b · a para todo a, b ∈ R (conmutatividad).

iii) a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ R (asociatividad).

iv) Existe un numero real 1 (uno), 1 6= 0, tal que a · 1 = a paratodo a ∈ R.

v) Para todo a ∈ R, a 6= 0 existe un unico c ∈ R (notado a−1 o1

a) tal que a · c = 1 (existencia de inverso).

III. Propiedad de distributividad en R

Para todo a, b, c ∈ R

(a+ b) · c = a · c+ b · c

IV. Propiedades de orden en R

Supondremos que existe un cierto subconjunto R++ ⊆ R (con-junto de numeros reales positivos) que satisface los tres axiomassiguientes:

i) Si x, y ∈ R++ entonces x+ y ∈ R++ y x · y ∈ R++.

ii) Si x 6= 0, entonces x ∈ R++ o −x ∈ R++, pero no ambos.

iii) 0 /∈ R++.

Notacion

• x > y (se lee “x es mayor que y”) si, y solo si, x− y ∈ R++.Ademas x > y tambien puede escribirse y < x.

• x ≥ y (se lee “x es mayor o igual que y”) si, y solo si, x > yo x = y. Ademas x ≥ y tambien se puede escribir como y ≤ x.

V. Axioma de completez (o de continuidad) en R

Como veıamos antes, la diferencia esencial entre los numeros racionalesy los reales es que estos ultimos se pueden caracterizar mediante unacorrespondencia uno-a-uno con los puntos de una lınea recta continua.Pero axiomatizar esto, requiere de una definicion fundamental:

Definicion 13. (Conjunto acotado superiormente)Diremos que un conjunto no vacıo A de numeros reales es acotado su-periormente si, y solo si, existe un numero real M tal que para todoa ∈ A,

a ≤M

A este numero M se le llama una cota superior de A.

A M

)

cota superior

b

Figura 18: Conjunto acotado superiormente

Ejemplo 4.

El conjunto {x ∈ R/− 1 ≤ x ≤ 0} es acotado superiormente por 0, perotambien por cualquier numero real mayor que 0. N

El siguiente axioma es, como ya lo discutıamos, el mas profundo y difıcilsobre el comportamiento de los numeros reales:

Axioma de completezTodo conjunto no vacıo de numeros reales, acotado superiormente, tieneuna mınima cota superior; es decir, si c es tal mınima cota superior deA, y M es otra cota superior de A, entonces c ≤M .

A Mc

) bb

mınima cota superior de A cota superior de A

Figura 19: Conjunto con una cota superior mınima

Facilmente, se puede probar que esta mınima cota superior es unica,pues si existiera otra mınima cota superior c′, entonces, como c es unacota superior de A, se tendra que c′ ≤ c; y, de manera similar, como c′

es una cota superior de A, se tendra que c ≤ c′; por lo tanto, c = c′ (estaultima igualdad se obtiene de un resultado que se deduce de los axiomasde orden, y que probaremos abajo en b) xii)).

A esta unica mınima cota superior del conjunto acotado y no vacıo, A,se le denota por SupA (se lee “el supremo de A”, o “extremo superior deA” o, simplemente, “el Sup de A”). Si SupA ∈ A entonces escribiremosSupA = MaxA (maximo de A).

Ejemplo 5.

i) Para el conjunto A = {x ∈ R/x ≤ 0} se tiene que SupA =MaxA = 0.

ii) Para el conjunto B = {x ∈ R/x < 0} se tiene que SupA = 0, maseste conjunto no tiene maximo.

iii) Para el conjunto C = {1 − 12 , 1 − 1

3 , 1 − 14 , ..., 1 − 1

n , ...}, se tieneque SupC = 1. Claramente, este no pertenece al conjunto y, portanto, C no tiene maximo. N

El axioma de completez distinguira entonces a los numeros reales, R,de cualquier otro conjunto (como el de los numeros racionales, Q) quesatisfaga los otros dos conjuntos de axiomas (algebraicos y de orden).


Un ejercicio interesante aquı es que el lector muestre que el conjunto delos numeros racionales, Q, no satisface el axioma de completez. Tome,por ejemplo, un conjunto de racionales que tenga como extremo superiora√

2.

Nota 4. (Propiedades de los numeros deducidas de los axio-mas)

Utilizando los axiomas se puede probar que, tambien, las siguientes soncaracterısticas algebraicas basicas de los numeros reales. Se podra ob-servar (y esto es lo realmente notable del metodo axiomatico) como apartir de unos pocos axiomas, es posible deducir cualquier otra propie-dad ya conocida de los numeros con que operabamos en la aritmetica yel algebra en lecciones previas. Advertimos que, para simplificar un pocola notacion, en adelante escribiremos, en general, ab en lugar de a · b.

a) Algunas propiedades algebraicas que pueden ser deduci-das de los axiomas:

i) Si a, b, c ∈ R y a+ b = a+ c entonces b = c

ii) Dados a, b ∈ R existe uno y solo un x ∈ R tal que a+ x = b.A este x se le designa b− a. Ası, b− a = b+ (−a)

iii) −(−a) = a

iv) a(b− c) = ab− ac

v) 0 · a = a · 0 = 0

vi) Si ab = ac y a 6= 0 entonces b = c

vii) Dados a, b ∈ R, a 6= 0, existe un unico x ∈ R tal que ax = b.

Esta x se denota por x =b

a. Ademas,

1

atambien se escri-

bira como a−1 (recıproco de a)

viii) Si a 6= 0,b

a= b(a)−1

ix) Si a 6= 0, (a−1)−1 = a

x) Si ab = 0 entonces a = 0 o b = 0

xi) (−a)b = −(ab) ; (−a)(−b) = ab

xii)a

b+c

d=ad+ bc

bdsi b 6= 0, d 6= 0


xiii)a

b

c

d=ac

bcsi b 6= 0, d 6= 0

xiv)

a

bc

d

=ad

bcsi b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0

xv) −0 = 0

xvi) 1−1 = 1

xvii) −(a+ b) = −a− b

xviii) (ab)−1 = a−b−1 si a 6= 0, b 6= 0

xix) −(a

b

)

=−ab

=a

−b si b 6= 0

xx)(a

b

)

−( c

d

)

=ad− bc

bdsi b 6= 0 y d 6= 0

Demostracion

[Probaremos i), ii), iii), iv), v), vi) y viii). Las pruebas de lasdemas propiedades quedan como ejercicio para el lector.]

i) Si a, b, c ∈ R y a+ b = a+ c entonces (−a)+ (a+ b) = (−a)+(a+ c); luego, por asociatividad de la suma, ((−a) + a) + b =((−a)+a)+c; despues, por el axioma de existencia de inversopara la suma, se tiene que 0 + b = 0 + c; de esta manera, porla condicion iv) para la suma, se tendra b = c, que es lo quese querıa mostrar.

ii) Si a + x = b entonces (−a) + (a + x) = (−a) + b; luego,por asociatividad, se tiene que ((−a) + a) + x = (−a) + b;despues, por el axioma de existencia de inverso para la suma,0 + x = (−a) + b; y ası, por la condicion iv) para la suma, setendra que x = (−a) + b; finalmente, por la conmutatividadpara la suma, se obtiene x = b + (−a). Por tanto, b − a =b+ (−a) que era lo que se querıa mostrar en segundo lugar.

iii) Como (−a) + a = 0 segun el axioma de existencia de inversopara la suma, y (−a)− (−a) = 0 pues esta es la solucion a laecuacion (−a)+x = −a, entonces, por la parte i) anterior, setendra que a = −(−a) que era lo que se querıa probar aquı.

iv) a · 0 = a(0 + 0) = a · 0 + a · 0 y ası a · 0 = 0 por ii) arriba.

v) a(b− c) = a(b+ (−c)) por ii) arriba. Luego, a(b− c) = ab+a(−c) por la propiedad distributiva de R. Pero a(−c) = −(ac)pues ambos son soluciones a la ecuacion ac+x = 0: en efecto,ac+a(−c) = a(c+(−c)) = a ·0 = 0, siendo esto ultimo ciertopor la condicion iv) anterior.

vi) De la ecuacion ax = b se tiene que, por la propiedad v) para elproducto de R, (a−1)ax = a−1b; y por la propiedad asociativadel producto iii) se tiene que (a−1a)x = a−1b; luego por lapropiedad v) para el producto se tiene que 1 · x = a−1b; y, fi-nalmente, por la propiedad iv) para el producto, se tendra quex = a−1b.

viii) En efecto, puesto que segun vii) arriba, a(b

a) = b; y tambien

a(ba−1) = a(a−1b) por la propiedad conmutativa de la mul-tiplicacion; y a(a−1b) = (aa−1)b por la propiedad asociativade la multiplicacion; y (aa−1)b = 1b = b por la propiedad iv)del producto; entonces, como consecuencia, a(ba−1) = b; pe-

ro como ya tenıamos que a(b

a) = b entonces, por vii) arriba,

b

a= ba−1.

b) Algunas propiedades de orden que pueden ser deducidasde los axiomas:

i) Para a, b, c ∈ R, se tiene una, y solo una de las tres relaciones:

a < b, b < a, a = b

ii) Si a 0 entonces ac < bc (monotonicidad de lamultiplicacion)

v) Si a 6= 0 entonces a2 > 0

vi) 1 > 0

vii) Si a bc

viii) Si a −b ; y ası, si a < 0 entonces −a > 0

ix) Si ab > 0 entonces a > 0 y b > 0, o a < 0 y b < 0

x) Si a < c y b < d, entonces a+ b < c+ d

xi) Si a > 0 entonces1

a> 0; y si a < 0 entonces

1

a< 0

xii) Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b

Demostracion[Probaremos i), ii), iii), iv), v) y vi). Las pruebas de las demas propie-dades quedan como ejercicio para el lector.]

i) Sea x = a−b; entonces, por la propiedad i) de orden en R, se tieneque si a 6= b entonces a > b o b > a.

ii) Si a < b y b < c entonces b− a ∈ R++ y c− b ∈ R++. Luego por lapropiedad i) de orden de R, se tendra que (b− a) + (c− b) ∈ R++.Pero despues de utilizar las propiedades conmutativa, asociativa,de existencia de cero (0), y de inverso para la suma, encontramosque c− a ∈ R++; es decir, a < c.

iii) Si a a+ c.

iv) Si a ac.

v) Si a 6= 0 entonces, por la propiedad ii) de orden en R tendremosa > 0 o −a > 0, pero no ambos. Pero si a > 0 entonces a2 > 0por la propiedad i) de orden en R; y, de manera similar, si −a >0 entonces (−a)(−a) > 0; pero (−a)(−a) = a2 por propiedadesalgebraicas de los numeros, ya deducidas (¿cuales?).

vi) Puesto que 12 = 1, basta aplicar la propiedad v) anterior paraobtener que 1 > 0. �

Nota 5. (Definicion de N, Z y Q)

Partiendo de los axiomas de los numeros reales desarrollados en esta sec-cion, podemos definir formalmente los numeros naturales N, los numeros


enteros Z, y tambien los numeros racionales Q, que habıamos estudiadoantes de una manera descriptiva. Para ello, definimos los numeros natu-rales de la siguiente forma: N es el menor conjunto (en el sentido de lainterseccion de la familia de todos los conjuntos) que satisface:

i) 1 ∈ N ii) Si n ∈ N entonces n+ 1 ∈ N

(Observese que R mismo, y tambien R++, satisfacen las condiciones i)y ii), y, por tanto, la interseccion que define a los naturales no es vacıa).Ahora: los enteros Z se definen como la union de N con {0} y con losinversos para la adicion de los numeros naturales N. Finalmente, losnumeros racionales se definen como los cocientes de los numeros enterosZ (obviamente sin considerar la “division por 0”). N

Otra consecuencia de los axiomas de los numeros reales es una propiedadprofunda de los numeros reales: el axioma arquimediano.

Teorema 9. (Axioma arquimediano)Si a > 0, b ∈ R, entonces existe un numero natural n tal que na > b.

b

0 a

na

b na

Figura 20: Ilustracion del axioma arquimediano

Demostracion

i) En primer lugar, probemos que el conjunto de los numeros natu-rales N ⊆ R no es acotado superiormente, pues, si lo fuera, por elaxioma de completez, existirıa un n = SupN; por lo tanto n−1 nopuede ser cota superior de N, y ası debe existir un m ∈ N tal quem > n− 1; es decir, un m ∈ N tal que m+ 1 > n. Pero m+ 1 ∈ N

y acabamos de afirmar que era mayor que la mınima cota superiorn; esto es una contradiccion y, ası, los numeros naturales no sonacotados.

ii) Si para todo n ∈ N, na ≤ b entonces, de n ≤ b

a, deducirıamos

que los numeros naturales son acotados, y esto, segun i) arriba, esimposible. �

Notacion.Es posible extender la propiedad de orden deducida ii) (a < b y b < cimplica a < c), y entonces utilizar la siguiente notacion:

• El par de desigualdades a < b y b < c se escribiran como a 0 y, ademas, a ≤ b ≤ a+c

npara todo numero natural

n, entonces b = a.

Demostracion

Se deduce del axioma arquimediano. En efecto, si b > a entonces existeun numero natural n0 tal que n0(b−a) > c, y esto conduce, aplicando laspropiedades algebraicas y de orden de los numeros reales ya conocidas, a

que b > a+c

n0, y esto, a su vez, contradice la hipotesis de que b ≤ a+

c

n0.

Pero como b ≥ a por hipotesis, entonces necesariamente b = a. �

Teorema 10. (Existencia de raıces cuadradas)Si a ≥ 0 entonces existe un unico numero b ≥ 0 tal que b2 = a (estenumero lo llamaremos la “raız cuadrada (positiva) de a”, y se notara por√a o a

1

2 ).

Demostracion

En primer lugar, si a = 0 entonces, claramente, b = 0. Ahora: si a > 0,tomemos

T = {x ∈ R /x2 ≤ a}

Puesto que (a + 12)2 > a entonces T es acotado, y ademas T 6= φ pues

0 ∈ T . Por el axioma de completez, T tiene una mınima cota superior;sea b = SupT , y veamos que b2 = a. Para probar esto, descartemos lasposibilidades b2 > a y b2 < a:

i) b2 > a es imposible pues, en tal caso, tomando c =b

2+

a

2bse

tendra que c2 =b2

4+a

2+

a2

4b2> a, siendo esto ultimo cierto pues

b

2− a

2b> 0 por hipotesis; y ası c serıa una cota superior de T que,

ademas, es mayor que 0 y menor que b, puesb

2+

a

2b< b es equivalente

a a < b2, que es cierto por hipotesis.

ii) Pero b2 < a tambien es imposible, pues si tomamos un c con 0 < c b, no puede ser queb sea cota superior de T .

Finalmente, para probar que solamente existe una raız cuadrada, bastasuponer dos raıces diferentes b1 y b2 y utilizar la igualdad algebraica(b1)

2 − (b2)2 = (b1 − b2)(b1 + b2) para obtener una contradiccion. �

Nota 6. (Sobre las raıces n-esimas)De manera similar a lo realizado para la raız cuadrada, para un numeronatural impar n podrıamos encontrar que para todo numero real a exis-te un unico numero real b tal que bn = a. A este numero se le conocecomo la raız n-esima de a. Sin embargo, en el caso en que n sea par, elnumero b puede ya no ser unico. De todas maneras, la notacion cono-cida b = n

√a = a

1

n , se asigna, en cada caso, a la raız n-esima positiva(ver el ejercicio 8, Ejercicios 3). Las propiedades de exponentes ente-ros y fraccionarios que estudiamos en la leccion 2 (Algebra) se sigueninmediatamente a partir de los axiomas de los numeros reales y de laspropiedades deducidas de ellos. De hecho, las demostraciones que hici-mos alla asumiendo la existencia de las raıces n-esimas, podrıan veniraquı, nuevamente, satisfaciendo bien los requerimientos formales de estainstancia.

Ejercicios 3

1. Defina los terminos: conjunto acotado inferiormente ; cota inferior;y demostrar, utilizando el axioma de completez, que todo conjunto

no vacıo, acotado inferiormente, tiene una maxima cota inferiorque, ademas, es unica. A este numero se le denota por “ınf A” yse lee “el ınfimo de A”, el “extremo inferior” o, simplemente, “elInf de A”. [Indicacion: considere el conjunto −A = {−x/x ∈ A} ydetermine Sup(−A)].

2. Confirme (unicamente dibujando el conjunto sobre la recta numeri-ca) el supremo y el ınfimo (si existen) en cada uno de los siguientescasos:

a) A = {x ∈ Z/x < 1}; supA = 1; ınf A no existe.

b) A = {x ∈ Q/1 ≤ x ≤ 2}; supA = 2; ınf A = 1

c) A = {(−1)n

n}n∈N; supA =

1

2; ınf A = −1

d) A = { 1

n2}n∈N; supA = 1; ınf A = 0

3. ¿Sera que, siempre, ınf A ∈ A? De hecho, si ınf A ∈ A, diremosque A tiene valor mınimo y, por tanto, mınA = ınf A.

4. (El sımbolo sumatoria (∑

)) Existe un sımbolo muy util y simple,introducido por Euler en 1736, que permite escribir una suma devarios numeros reales

a1 + a2 + a3 + ...+ an (∗)

de una manera muy simple, utilizando la letra griega sigma:

n∑

i=1

ai

que se lee “sumatoria de los ai desde i = 1 hasta i = n” donde a i sele llama el “ındice de la sumatoria”, y que puede reemplazarse porcualquier otra letra; es decir, a la suma (∗) tambien la podremosescribir en notacion de sumatoria ası:

n∑

k=1

ak o

n∑

j=1

aj , etc.

Por ejemplo:

a)

3∑

i=1

i = 1 + 2 + 3 = 6 b)

4∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30

c)

3∑

i=1

ii = 12 + 22 + 33 = 32 d)

4∑

i=1

1

i=

1

1+

1

2+

1

3+

1

4=

25

12

Y tambien:

a)

n∑

i=1

k = k + k + ...+ k = nk b)

n∑

i=1

i = 1 + 2 + · · · + n

c)

n∑

i=1

(2i− 1) = 1 + 3 + · · · + (2n − 1) d)

n∑

i=1

i2 = 1 + 4 + · · · + n2

El ejercicio aquı consiste en que el lector calcule las siguientessumas:

a)

7∑

i=1

(2i + 1) b)

4∑

k=1

22k+1

c)

5∑

j=1

1

j(j + 1)d)

6∑

m=1

1

m2

5. [Densidad de los numeros racionales] Dados dos numeros realesfijos a y b con a < b, pruebe que existe un numero racional rtal que a < r < b. [Indicacion: Si a esta “lejos”de b entoncesexiste al menos un numero entero (y, por lo tanto, racional) entreellos. Si a esta “cerca”de b, entonces “ampliamos” la distanciaentre a y b ası: existe N ∈ N tal que N(b − a) > 1 (propiedadarquimediana); es decir, Nb−Na > 1. Por lo tanto, existe m ∈ Z

tal que Na < m < Nb; o sea que a <m

N< b. Sea r =

m

Ny

concluya].

6. Sean a, b ∈ R. Pruebe que si a − 1

n b, y aplique el axioma


arquimediano para garantizar la existencia de un n ∈ N tal que

n(a− b) > 1; es decir a− 1

n> b y concluya]

* 7. Pruebe que si A y B son dos conjuntos de numeros reales tales quemaxA y maxB existen, entonces max(A + B) = maxA +maxBdonde A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ b}. De manera similar, sepuede probar que si minA y minB existen, entonces min(A +B) = minA+minB. Ilustre ambas igualdades mediante ejemplosconcretos de conjuntos A y B. [Indicacion: Sean a ∈ A, b ∈ B;entonces a ≤ maxA y b ≤ maxB, y ası a + b ≤ maxA + maxB;luego max(A+B) ≤ maxA+maxB, pues esta ultima es una cotasuperior de A + B. De otro lado, dado n ∈ N sean a′ ∈ A, b′ ∈ B

tales que a′ > maxA − 1

ny b′ > maxB − 1

n; entonces a′ + b′ >

maxA+maxB− 2

n; y ası max(A+B) > maxA+maxB− 2

n; pero

como esto ultimo es cierto para todo n ∈ N, aplicamos el ejercicio 6anterior para llegar a que max(A+B) ≥ max+maxB. Concluya].

** 8. En consonancia con la Nota 6, pruebe que si a > 0 y n ∈ N,existe un unico b > 0 tal que bn = a. Esta es la raız n-esima dea. [Indicacion: Siga las ideas de la demostracion del teorema 10(existencia de raıces cuadradas)]

9. [Un problema existencial ] ¿Donde esta el problema logico del si-guiente argumento?: “1 es el mayor de los enteros. En efecto, repre-sentemos por x el maximo entero; si fuera x > 1, entonces x2 > xy, por tanto, no serıa x el maximo. En consecuencia, x debe serigual a 1” [ Aquı el problema fue asumir que los numeros ente-ros, efectivamente, tienen un maximo. Este es un ejemplo claro (ysimple) de que las pruebas de existencia son esenciales y no debensoslayarse en ningun caso].

4. Intervalos de numeros reales

Algunos subconjuntos tıpicos de los numeros reales (muy importantespara el analisis matematico) son los intervalos. Existen cuatro tipos basi-cos:

a) El intervalo cerrado: Si a, b ∈ R con a < b, definimos el intervalocerrado (con extremos a y b), notado [a, b], como el conjunto denumeros,

[a, b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}

/ / / / / / /[ ]a b

Figura 21: Intervalo cerrado [a, b]

b) El intervalo abierto: Si a, b ∈ R con a < b, definimos el intervaloabierto (con extremos a y b), notado (a, b), como el conjunto denumeros,

(a, b) = {x ∈ R/a < x < b}

( )a b

Figura 22: Intervalo abierto (a, b)

c) El intervalo semiabierto: De manera similar, definimos los inter-valos semiabiertos

(a, b] = {x ∈ R/a < x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R/a ≤ x < b}

[ )

a b

( ]

a b

Figura 23: Intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b)

d) Y, finalmente, los intervalos infinitos:

(−∞, b) = {x ∈ R/ x < b}

(−∞, b] = {x ∈ R/ x ≤ b}(b,+∞) = {x ∈ R/ x > b}

[b,+∞) = {x ∈ R/ x ≥ b}(−∞,+∞) ≡ R

cuyas graficas correspondientes sobre la recta real el lector no de-berıa tener problemas en dibujar.

Ejemplo 6.Una manera de ilustrar la conveniencia de definir el concepto de in-tervalo, la vemos utilizando las propiedades de orden deducidas de losaxiomas de los numeros reales, y resolviendo (para x) las desigualdadessiguientes:

i) 2(2x + 3) − 10 < 6(x− 2) ; ii) − 3 ≤ 4 − 7x < 18

Solucion.

i) Simplificando tenemos que 4x− 4 < 6x− 12. Y ası, debemos tenerque x > 4; es decir, las soluciones son los numeros del intervalo(4,∞).

ii) Simplificando tenemos que −7 ≤ −7x < 14; por tanto, −2 < x ≤1; es decir, las soluciones son los numeros del intervalo (−2, 1].

Ejemplo 7.

i) Mostremos que solo los numeros x del intervalo (−∞,−2) ∪ (0, 1)satisfacen la desigualdad x(x+ 2)(x− 1) < 0.

ii) Mostremos que solo los numeros x del intervalo (−2,−1) satisfacen

la desigualdadx

x+ 1> 2.

iii) Mostremos que solo los numeros x del intervalo (1,∞) satisfacen

la desigualdad 0 <1

x< 1.

iv) Sean a, b, c, d, e, f , numeros positivos, cone

bperteneciente al inter-

valo

(d

a,f

c

)

; mostremos qued+ e+ f

a+ b+ cpertenece al mismo inter-

valo.

Solucion.

i) Para analizar cuando x(x + 2)(x − 1) < 0, podemos comenzardistinguiendo que:

a) La condicion x < 0 divide la recta real en dos intervalos signadoscomo lo ilustra la figura 24:

)

+ + + + +

0 x

Figura 24

b) La condicion x + 2 < 0, a su vez, divide la recta real en dosintervalos signados como se ve en la figura 25:

) )

+ + + + + +

−2 0 x+ 2

Figura 25

c) Finalmente, la condicion x − 1 < 0 divide la recta real en dosintervalos signados como en la figura 26:

) ) )

+ + +

−2 0 1 x− 1

Figura 26

Si incluimos las tres rectas signadas anteriores, encontramos lasiguiente figura 27:

) ) )

+ + + + + +

−2 0 1 x

) ))

+ + + + + + + + + + + +

−2 0 1 x+ 2

) ) )

+ + + + +

−2 0 1 x− 1

Figura 27

Y de aquı podemos deducir, multiplicando los signos de cada unade las semirrectas en cada uno de los intervalos (−∞,−2), (−2, 0),(0, 1), (1,+∞), que solo en los intervalos (−∞,−2) y (0,1) se sa-tisface la condicion x(x+ 2)(x − 1) < 0.

ii) Para determinar cuandox

x+ 1> 2 analizamos dos casos:

a) Si x + 1 > 0 (es decir, si x > −1) obtenemos x > 2(x + 1); yesto es equivalente a x < −2 que, a su vez, conjuntamente con lacondicion x > −1 nos da una interseccion vacıa como lo muestrala figura 28.

) ) )

/ / / / / / / / /

−2 −1 0 x+ 1

) ) )

/ / / / / / /

−2 −1 0 x+ 2

Figura 28

b) Si x + 1 < 0 (es decir, si x < −1) entonces tendremos quex < 2(x+1); y esto implica que x > −2. Las condiciones x < −1 yx > −2 nos conducen al intervalo (−2,−1) como solucion, y estolo muestra la figura 29.

) ) )

//////////

−2 −1 0 x+ 1

) ) )

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /

−2 −1 0 x+ 2

Figura 29

iii) De la condicion 0 <1

x< 1 se obtiene inmediatamente que x > 1,

y ası la solucion es el intervalo (1,+∞).

iv) Seaf

c= r, entonces se tiene que

d

a< r y

e

b< r. Puesto que a y

b son positivos, entonces d < ar y e < br; ademas, f = cr. Portanto,

d+ e+ f < ar + br + cr

luego,d+ e+ f < r(a+ b+ c)

y asıd+ e+ f

a+ b+ c< r

porque a+ b+ c es positivo. Por lo tanto,

d+ e+ f

a+ b+ c<f

c

La parted

a<d+ e+ f

a+ b+ cde la desigualdad se puede demostrar de

forma similar.

Ejercicios 4

1. Muestre que:

a)

∞⋃

n=2

[1 +1

n, 2 − 1

n] = (1, 2) b)

∞⋂

n=2

(1 +1

n, 2 − 1

n) = {3

2}

2. Resuelva las siguientes desigualdades:

a) 5x− 1 ≥ x− 8 b) x(x− 2)(x+ 4) ≤ 0

c) x(x− 3) ≤ 5 d) x2 + x− 6 ≤ 0

e) − (x− 1) − 4 ≥ −2(x− 7) − 4x f)3

4− x− 3

2≤ x− 2

3

g) x2 ≥ 0 h) x2 < 0

i)2

3x− 1

x< 1 j)

1

x+ 2+

1

3≥ 1

2

k)3

x− 2+ 3 ≥ 5 − x

x− 2l) x ≤ 1

x

5. Valor absoluto de un numero real

Un concepto central en la comprension cabal de la recta numerica, es elde valor absoluto. El valor absoluto de un numero real a se define comosu distancia al origen. Ası, este es igual a a si a ≥ 0, es decir, si a es nonegativo; igual a −a si a ≤ 0, es decir si a es negativo.

Definicion 14. (Valor absoluto de un numero real)

Si a ∈ R, entonces definimos

|a| =

{

a si a ≥ 0

−a si a < 0

bOb

0bb

a

bO

0b

b

−a

|a|

|a|

Figura 30: Valor absoluto

En consecuencia,

|a− b| = a− b si a− b ≥ 0 ; es decir, si b ≤ a

|a− b| = −(a− b) si a− b < 0 ; es decir, si a < b

Teorema 11. (Propiedades del valor absoluto)

Para todo par de numeros a, b ∈ R,

i) |a| ≥ 0 ii) |a| = 0 si, y solo si, a = 0

iii) − |a| ≤ a ≤ |a| iv) Para a ≥ 0, |x| ≤ a si, y solo si, − a ≤ x ≤ a

v) |a+ b| ≤ |a| + |b| vi) |a|2 = a2

vii) |a| =√a2 viii) |ab| = |a||b|

ix) |ab| =

|a||b| , si b 6= 0 x) |a+ b| ≥ |a| − |b|; |a− b| ≥ |a| − |b|

xi) ||a| − |b|| ≤ |a− b| xii) Si a ≥ 0, |b| ≥ a si, y solo si, b ≤ −a o b ≥ a

Demostracion

i) Es inmediato de la definicion.

ii) Tambien es inmediato de la definicion.


iii) • Si a ≥ 0 entonces de −a ≤ a ≤ a se tendra que −|a| ≤ a ≤|a|.

• Si a ≤ 0 entonces de a ≤ a ≤ −a se tendra que −|a| ≤ a ≤|a|.

iv) • Supongamos |x| ≤ a; entonces −a ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ a;luego −a ≤ x ≤ a.

• Supongamos ahora −a ≤ x ≤ a; entonces:

◦ Si x ≥ 0 tendremos que |x| = x ≤ a; y

◦ Si x ≤ 0 tendremos tambien que |x| = −x ≤ a.

v) Como −|a| ≤ a ≤ |a| y −|b| ≤ b ≤ |b|, entonces sumando se tieneque −(|a|+ |b|) ≤ a+b ≤ |a|+ |b|. Luego por la propiedad anterior,|a+ b| ≤ |a| + |b|.

vi) • Si a ≥ 0 entonces |a2| = (a)2

• Si a ≤ 0 entonces |a|2 = (−a)2 = a2. Luego, en cualquiercaso, |a|2 = a2.

vii) Es consecuencia inmediata de vi).

viii) |ab|2 = (ab)2 = a2b2 = |a|2|b|2 y el resultado se sigue.

ix) |b|∣∣∣a

b

∣∣∣ =

∣∣∣∣

ab

b

∣∣∣∣= |a|; luego

∣∣∣a

b

∣∣∣ =

|a||b| .

x) • |a| = |a + b − b| ≤ |a + b| + | − b| = |a + b| + |b|; luego|a+ b| ≥ |a| − |b|.

• |a| = |a− b+ b| ≤ |a− b| + |b|; luego |a− b| ≥ |a| − |b|.

xi) • |a| ≤ |a− b| + |b| segun x); luego |a| − |b| ≤ |a− b|.• De manera similar, |b|− |a| ≤ |b−a| = |a− b|, y, por lo tanto,

−|a− b| ≤ |a| − |b|.• De las dos desigualdades anteriores obtenemos que

−|a− b| ≤ |a| − |b| ≤ |a− b|

que es equivalente a

||a| − |b|| ≤ |a− b|

xii) Se deja como ejercicio al lector. �

Ejemplo 8.

Hallemos el valor de cada una de las siguientes expresiones si x = 3 yy = −6:

i) |3x+ 2y| = |3(3) + 2(−6)| = |9 − 12| = | − 3| = −(−3) = 3

ii) |3x| + |2y| = |3(3)| + |2(−6)| = |9| + | − 12| = 9 − (−12) = 21

iii) |xy| = |3(−6)| = | − 18| = −(−18) = 18

iv) |x− y| = |3 − (−6)| = |9| = 9

v)|x||y| =

|3|| − 6| =

3

−(−6)=

1

2

Ejemplo 9.

Resolvamos la desigualdad |x2 + 2x− 9| < 6.

Solucion.

Si |x2 + 2x − 9| < 6, entonces −6 < x2 + 2x − 9 < 6. Para resolver ladesigualdad debemos hallar un conjunto de valores de x que satisfaga,simultaneamente,

x2 + 2x− 9 < 6 y x2 + 2x− 9 > −6

De la primera desigualdad se obtiene

x2 + 2x− 15 < 0 o (x+ 5)(x− 3) < 0

Resolviendo graficamente obtenemos la figura 31.

(++ + + + + + + + + + + + +

−5

x+ 5

(+ + +

3x− 3

Figura 31

Por tanto (x + 5)(x − 3) < 0 se tendra para aquellos x tales que x + 5y x− 3 tengan signos opuestos, lo que se puede representar de la figura32. Es decir, la solucion es el intervalo (−5, 3).

) (+ + + +

−5 3

Figura 32

De forma similar, de la otra desigualdad se obtiene

x2 + 2x− 3 > 0 , o (x+ 3)(x− 1) > 0

En este caso, el conjunto solucion es la union de los intervalos (−∞,−3)∪(1,∞).

La interseccion de las dos soluciones obtenidas es, por tanto,

(−5, 3) ∩ [(−∞,−3) ∪ (1,∞)] = [(−5, 3) ∩ (−∞,−3)] ∪ [(−5, 3) ∩ (1, ∞)]

= (−5,−3) ∪ (1, 3)

Ejemplo 10.

Determinemos el conjunto solucion para la desigualdad |x−3|+2|x| < 5.

Solucion.

Sabemos que

|x− 3| =

{

x− 3 si x ≥ 3

3 − x si x ≤ 3

Por lo tanto, resultara fundamental encontrar el signo de |x − 3| + 2|x|en los intervalos (−∞,0), [0,3), [3, ∞). Se tiene entonces que:

|x− 3| + 2|x| = 3 − x− 2x = 3 − 3x si x < 0

|x− 3| + 2|x| = 3 − x+ 2x = 3 + x si 0 ≤ x < 3

|x− 3| + 2|x| = x− 3 + 2x = 3x− 3 si x ≥ 3

De manera que se han de resolver tres problemas:

a) 3− 3x < 5 junto con x < 0; o sea x > −23 y x < 0, lo que da como

resultado −23 < x < 0.

b) 3 + x < 5 junto con 0 ≤ x < 3; o sea x < 2 y 0 ≤ x < 3, lo que dacomo resultado 0 ≤ x < 2.

c) 3x − 3 < 5 junto con x ≥ 3; o sea x < 83 y x ≥ 3. Y como no

existen numeros que satisfagan estas dos condiciones, el resultadoes vacıo.

Ası pues, la solucion de la desigualdad dada es:

(−23 , 0) ∪ (0, 2) ∪ φ = (−2

3 , 2)

Ejemplo 11.

Determinemos el conjunto solucion de la desigualdad

|2 + |x− 1|| ≤ 3

Solucion.

a) Si x ≥ 1 entonces, |2 + |x − 1|| ≤ 3, si, y solo si, |2 + x − 1| ≤ 3, yesto si, y solo si, |x + 1| ≤ 3 o −3 ≤ x + 1 ≤ 3 o −4 ≤ x ≤ 2. Luego lasolucion para este caso es [1, 2].

b) Si x < 1 entonces, |2 + |x − 1|| ≤ 3 si, y solo si, |2 + 1 − x| ≤ 3, si,y solo si, |3 − x| ≤ 3, o −3 ≤ x − 3 ≤ 3 o 0 ≤ x ≤ 6. Luego la solucionaquı es [0, 1).

La solucion total es, entonces, el intervalo cerrado [0, 2].

Ejemplo 12.

Resolvamos la desigualdad |x− 1| + |x− 2| > 1

Solucion.

Por definicion de valor absoluto,

|x− 1| =

{

x− 1 si x ≥ 1

1 − x si x ≤ 1

|x− 2| =

{

x− 2 si x ≥ 2

2 − x si x ≤ 2

Teniendo en cuenta que los puntos en los cuales x−1 y x−2 cambian designo son 1 y 2 respectivamente, analizaremos los siguientes intervalos:(−∞, 1), (1, 2) y (2,∞).

a) Si x ∈ (−∞, 1) entonces |x − 1| = 1 − x y |x − 2| = 2 − x. Ası,|x− 1|+ |x− 2| > 1 equivale a que 1− x+ 2− x > 1 o sea −2x+ 2 > 0,o x < 1. Luego el conjunto (−∞, 1) es parte de la solucion. Claramente,x = 1 no pertenece a la solucion.

b) Si x ∈ (1, 2) entonces |x − 1| = x − 1 y |x − 2| = 2 − x, luego|x− 1| + |x− 2| = (x− 1) + (2 − x) = 1. Por lo tanto, ningun x ∈ (1, 2)es parte de la solucion.

c) Si x ∈ (2,∞) entonces |x − 1| + |x − 2| = (x − 1) + (x − 2) > 1; esdecir, 2x− 3 > 1, o x > 2. Luego todo el intervalo (2,∞) hace parte dela solucion. Ademas, claramente x = 2 no pertenece a la solucion.

El conjunto solucion de la desigualdad es, entonces, la union de las solu-ciones parciales que encontramos en a), b) y c) arriba: (−∞, 1)∪ (2,∞).

Ejercicios 5

1. Resuelva en Z (es decir, encontrar los numeros enteros que satis-facen las siguientes condiciones):

a) |x| < 3 b) |3x| < −1

c) |2x+ 3| ≤ 5 d) |x− 1| < 3x− 10

2. Resuelva en R:

a) |x3| ≤ 0 b) |2x+ 1| < 2

c) |x− 1| + 1 < 3x d) |2x− 1| < 2

3. ¿Para que valores de x son validas las siguientes proposiciones?:

a) |x− 5| = x− 5 b) |x+ 8| = −(x+ 8)

c) |5x− 2| = 7x+ 2 d) |3x− 7| = 1

4. Encuentre todos los numeros x para los cuales se cumple:

a) |x− 1| + |x− 2| > 1 b) |x− 1| + |x+ 1| < 2

c) |x− 1| − |x+ 1| < 1 d) |x− 1||x+ 1| = 0

e) |x− 1||x+ 2| = 3 f) |x| + |x− 1| = 2

5. Represente en la recta real los siguientes conjuntos:

a) {x/x > 1} ∩ {x/1 > x} b) {x/x < 1} ∩ {x/1 > x}

c) {x/0 < 1

x< 1} d) {x/x2 > 0}

e) {x/x2 + 1 > 2x} f) {x/(x− 1)2 + (x− 2)2 < 1}

6. a) Pruebe que la desigualdad

(x− 1)(x + 5)

x− 3≥ 0

solo se satisface en [−5, 1] ∪ (3,∞).

* b) Pruebe que la desigualdad

5x− 1

x+ 1<

12x+ 5

x− 3

solo se satisface en(

−∞,−33 −

√1033

14

)

∪(

−1,−33 +

√1033

14

)

∪ (3,∞)

Dibuje este conjunto en la recta real.

c) Pruebe que la desigualdad

|x− 2| ≤ 4 + |3x− 5| + 3x

solo se satisface en el intervalo [−7,∞).


6. Relaciones y funciones

Los distintos objetos o fenomenos que observamos en la naturaleza pa-recen estar organicamente conectados unos a otros; dependen unos deotros. Desde mucho tiempo atras se sabe de algunas relaciones simples(y otras complicadas) que se conocen como “leyes” fundamentales de lanaturaleza. Estas leyes senalan que si distintas magnitudes caracterizanun fenomeno natural, entonces algunas de ellas estan determinadas porlas otras. Por ejemplo, el area de un rectangulo esta determinada por lalongitud de sus lados; el volumen de una cantidad dada de gas esta de-terminado por la temperatura y la presion a la que esta sometida el gas;la potencia de un circuito electrico varıa proporcionalmente a la resis-tencia, y al cuadrado de la corriente, etc. Uniformidades de esta clasefueron las que dieron origen al concepto de funcion.

Los conceptos de variable y funcion, que hoy utilizamos, surgieron de ma-nera paulatina a partir de los trabajos de muchos matematicos. Quizasel proceso comenzo con Neper en conexion con la funcion logarıtmica yavanzo de una forma mas o menos clara (aunque no definitiva) con Des-cartes, Fermat, Newton, Leibniz y los hermanos Bernoulli. Estos ultimosutilizaban el concepto de funcion solo en ejemplos tales como polinomioso funciones trigonometricas. Posteriormente, Euler, en su Introductionto Algebra de 1770, da dos diferentes explicaciones de la palabra funcion:una, es que una funcion es una expresion y(x) conformada por polino-mios, logaritmos y funciones trigonometricas, etc., pero no aclara cualesclases de combinaciones eran admisibles; la otra, que una funcion y(x)se tendrıa cuando se pudiera dibujar una curva en el sistema coordenadocartesiano XY . Para Lagrange, en su Theorie des Fonctions Analytiques(1797), la nocion de funcion se restringe solo a aquellos casos que resul-tan de potencias de x. Posteriormente, Fourier en su principal trabajoTheoire Analytique de la Chaleur de 1822 analizaba complicadas funcio-nes al estudiar el problema de la conduccion del calor en una superficie,y esto ampliarıa la idea de lo que deberıa considerarse como funcion.

Pero fue Lejeune Dirichlet (1854) quien primero definio una funcion:si de alguna forma se determina un valor y para cada valor x en unintervalo dado, entonces a y se le llama una funcion de x. Su forma pre-sente, como aparece en esta leccion, se remonta a los trabajos de Cauchy,Weierstrass, Dedekind, Cantor y, particularmente, de Kazimierz Kura-


towski [1896-1980] (este ultimo a comienzos del siglo XX). En especial, ladefinicion rigurosa general de par ordenado desarrollada por Kuratowskien 1921 (basandose en el sistema de Zermelo-Fraenkel) desempena unpapel central en el estudio general de relaciones y funciones que ahoravamos a adelantar.

Definicion 15. (Par ordenado (K. Kuratowski (1921))10)Si a y b son dos elementos de un conjunto, el par ordenado con primeracomponente a y segunda componente b, simbolizado ( a, b ), se definemediante el conjunto { { a }, { a, b } }. Esto es, ( a, b ) ≡ {{ a }, { a, b } }.

No es entonces difıcil probar que dos pares ordenados ( a, b ) y ( c, d ) soniguales si, y solo si, a = c y b = d; es decir, (a, b) = (c, d) si, y solo si,a = c y b = d. En efecto, si {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} entonces puedenocurrir dos situaciones: i) Que {a} = {c} y {c, d} = {a, b} en cuyo casoa = c y, por tanto, b = d, al igualar los conjuntos. ii) Si, en vez, sucedeque {a} = {c, d} y {a, b} = {c}, entonces a = c = d y a = b = c; y, portanto, a = c y b = d.

Definicion 16. (Producto cartesiano)El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, que se nota A × B, esel conjunto de todos los pares ordenados ( a, b ) con a perteneciente a Ay b perteneciente a B; esto es,

A×B = { ( a, b ) : a ∈ A y b ∈ B }

Ejemplo 13.

a) Si A = {−1, 0, 2 } y B = {−1, 1 }, entonces

A×B = { (−1,−1 ), (−1, 1 ), ( 0,−1 ), ( 0, 1 ), ( 2,−1 ), ( 2, 1 ) }B ×A = { (−1,−1 ), (−1, 0 ), (−1, 2 ), ( 1,−1 ), ( 1, 0 ), ( 1, 2 ) }B ×B = { (−1,−1 ), (−1, 1 ), ( 1,−1 ), ( 1, 1 ) }

b) Si A × B = {(0, 0), (0, 2), (1, 0), (1, 2), (2, 0), (2, 2)} entoncesA = {0, 1, 2} y B = {0, 2}

10Kuratowski, Kazimierz (1921), Sur la Notion de L’Ordre dans la Theorie desEnsembles, Fundamenta Mathematicae 2.


c) Si A = {−1, 4} y B = {−2, 3} entonces la representacion de A×Ben el plano cartesiano son los cuatro puntos que aparecen en lafigura 33.

x

y

b

b b

b(−1,−2)

(−1, 3) (4, 3)

(4,−2)

3

−2

4−1

Figura 33

a). Relaciones

Y pasamos ahora a un concepto central de las matematicas contem-poraneas: la nocion de relacion. Estas tienen por objeto permitir “or-denar la informacion” acerca de una coleccion de objetos para poderentender mejor cual es el problema matematico que tenemos a la mano.Veamos esta definicion.

Definicion 17. (Relacion (Bourbaki (1939)11))Sean X y Y dos conjuntos no vacıos. Diremos que ℜ es una relacion deX en Y (o de X a Y , o entre X y Y ) si, y solo si, ℜ ⊆ X × Y . Si lapareja (x, y ) esta en ℜ, se escribe (x, y ) ∈ ℜ, o xℜy, y se dice que xesta relacionado con y por ℜ (o segun ℜ).

Definicion 18. (Dominio de una relacion)El dominio de una relacion ℜ de X en Y , que se denota Dℜ, es elconjunto de elementos de X que estan relacionados por ℜ con algunelemento de Y ; esto es

Dℜ = {x ∈ X/ existe algun y ∈ Y tal que (x, y ) ∈ ℜ}11Bourbaki, Nicholas (1939), Elements de Mathematiques, Hermann, Parıs.


Definicion 19. (Recorrido de una relacion)El recorrido (o rango) de una relacion ℜ de X en Y , que se denota Rℜ,es el conjunto de elementos de Y que estan relacionados por ℜ con algunelemento de X; es decir,

Rℜ = { y ∈ Y/ existe algun x ∈ X tal que (x, y ) ∈ ℜ}

Definicion 20. (Igualdad de relaciones)Dos relaciones ℜ1,ℜ2 de X en Y son iguales si, y solo si, son igualescomo conjuntos.

Definicion 21. (Grafica de una relacion de numeros reales)Si X y Y son conjuntos no-vacıos de numeros reales, la grafica de larelacion ℜ de X en Y es el conjunto de todos los puntos (x, y ) delsistema coordenado para los cuales (x, y ) ∈ ℜ.

Ejemplo 14.

a) Dada la relacion ℜ = { (−1, 1 ), (−1, 0 ), ( 1, 1 ), ( 1, 2 ) }, entoncesDℜ = {−1, 1 }, Rℜ = { 1, 0, 2 }, y la grafica de ℜ es la de la figura34.

b

b

b

b

x

y

(−1, 0)

(−1, 1) (1, 1)

(1, 2)

Figura 34

b) Dado X = {1, 2, 3, 4, 5} y la relacion

ℑ = {(x, y)/x ∈ X,xy = 5} ={(1, 5),

(2, 5

2

),(3, 5

3

),(4, 5

4

), (5, 1)

}

entonces Dℑ = X, Rℑ ={1, 5

4 ,53 ,

52 , 5}

(ver figura 35).


b

b

b

bb

x

y

(1, 5)

(2, 5

2)

(3, 5

3)(4, 5

4)(5, 1)

1 2 3 4 5

5

Figura 35

c) Dado X = {1, 2, 3, 4}, y la relacion

ℑ = {(x, y)/x ∈ X, y = 5} = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)}

El rango de ℑ es Rℑ = {5}, y el dominio de ℑ es Dℑ = X (verfigura 36).

b b b b

x

y

5

1 2 3 4

(1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5)

Figura 36

Y ahora nos concentramos en ciertos tipos particulares de relacionesde un conjunto en sı mismo, y que resultaran de notable importanciaposteriormente.

Definicion 22. (Tipos basicos de relaciones (Bourbaki (1939))12)

i) Una relacion ℜ de X en X se llamara reflexiva si para todo x ∈ X,xℜx.

12Bourbaki, Nicholas (1939), Elements de Mathematiques, Hermann, Parıs.


ii) Una relacion ℜ de X en X se llamara simetrica si para todo x, y ∈X, xℜ y implica yℜx.

iii) Una relacion ℜ de X en X se llamara transitiva si para todox, y, z ∈ X, xℜ y y yℜ z implica xℜ z.

iv) Una relacion ℜ de X en X se llamara completa si para todo x, y ∈X, se tiene que xℜ y o yℜx.

v) Una relacion ℜ de X en X se llamara antisimetrica si para todox, y ∈ X, xℜ y y yℜx implica x = y.

Ejemplo 15. (Ejemplos abstractos de relaciones)Si X = {a, b, c}, entonces:

i) La relacion

ℜ = {(a, a), (a, b), (b, b), (c, c), (c, a)}

es una relacion reflexiva de X en X pues (a, a), (b, b), (c, c) ∈ ℜ.

ii) Si X = {a, b, c}, entonces la relacion

ℜ = {(a, b), (a, a), (b, a), (c, c), (c, a), (a, c)}

es una relacion simetrica porque (a, b), (b, a) ∈ ℜ y (c, a), (a, c) ∈ ℜ.

iii) Si X = {a, b, c}, entonces la relacion

ℜ = {(a, b), (a, a), (b, c), (c, c), (a, c)}

es una relacion transitiva porque (a, b) ∈ ℜ , (b, c) ∈ ℜ y tambien(a, c) ∈ ℜ.

Definicion 23. (Tipos especiales de relaciones (Bourbaki (1939)))

i) Una relacion ℜ de X en X se llamara un preorden si es reflexivay transitiva. Y es un preorden completo si es, tambien, completa;en otro caso tambien se llamara un preorden parcial .

ii) Una relacion ℜ de X en X se llamara un orden parcial si es reflexi-va, transitiva y antisimetrica. Y es un orden completo si, ademas,es una relacion completa.


iii) Una relacion ℜ deX en X se llamara de equivalencia si es reflexiva,simetrica y transitiva.

Ejemplo 16.

a) En los numeros reales R, la relacion definida por aℜ b si, y solosi, a ≤ b es un orden completo. En efecto: ℜ es reflexiva porquea ≤ a para todo a ∈ R; es transitiva porque a ≤ b y b ≤ c implicaa ≤ c para todo a, b, c ∈ R; es antisimetrica porque a ≤ b y b ≤ aimplica a = b para todo a, b ∈ R; y es completa porque para todoa, b ∈ R, a ≤ b o b ≤ a.

b) En la familia de conjuntos {A1, A2, ..., An}, la relacion Ai ℜAj si,y solo si, Ai ⊆ Aj , es un orden parcial que no es completo puesdados Ai, Aj no podemos garantizar que Ai ⊆ Aj o Aj ⊆ Ai.

c) En el conjunto de los numeros naturales {1, 2, 3, ...}, la relacionaℜ b si, y solo si, b es divisible por a, es un orden parcial quetampoco es completo, ya que dados dos naturales a, b, no podemosasegurar que a sea divisible por b, o que b sea divisible por a.

d) Si X = {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2),(1, 2), (2, 2), (3, 2)} entonces la relacion ℜ definida por (a, b)ℜ (c, d)si, y solo si, a ≤ c y b ≤ d, es una relacion de orden. Muestre queno es un orden completo.

e) En un conjunto no vacıo cualquiera de numeros, si definimos larelacion aℜ b si, y solo si, a = b, es claro que es una relacionde equivalencia sobre ese conjunto. Es, sin duda, la relacion deequivalencia mas elemental.

f) SiX = Z, y aℜ b si, y solo si, a−b es par, es una relacion de equiva-lencia sobre Z, como es facilmente comprobado. ¿Y si cambiamosla palabra “par” por “impar”?

g) Si X es el conjunto de todos los triangulos del plano y aℜ b si, ysolo si, a y b son triangulos semejantes, entonces ℜ es una relacionde equivalencia sobre X. N

Ahora: descomponer un conjunto dado en subconjuntos disjuntos entresı, juega un papel muy importante en muchos problemas matematicos.


Por ejemplo, el plano R2 = R × R considerado como un conjunto depuntos, puede descomponerse en lıneas paralelas al eje X; o en lıneasparalelas al eje Y ; o, inclusive, en discos concentricos con centro en(0, 0). Otros ejemplos incluirıan los habitantes de una ciudad descritosen terminos de edad, o de estrato social, etc. A estas descomposiciones seles llama particiones del conjunto. Sin embargo, la posibilidad de estasparticiones exige cierta condicion, que consiste en que sobre el conjuntoen cuestion se haya definido una relacion de equivalencia. Veamos esto.

Definicion 24. (Clase de equivalencia)Si ℜ es una relacion de equivalencia sobre X y a ∈ X, entonces la clasede equivalencia de a es

[ a ] = {b ∈ X/ bℜ a}

Teorema 12. (Relacion de equivalencia y particiones)

i) Toda relacion de equivalencia ℜ sobre X determina una particionde X; es decir, determina una coleccion de subconjuntos de X, mu-tuamente disjuntos (que incluye al conjunto vacıo) cuya union es,precisamente, X; estos subconjuntos son, exactamente, las clasesde equivalencia generadas por ℜ sobre los elementos de X.

ii) Toda particion sobre un conjunto X define una relacion de equi-valencia sobre el.

Demostracion

i) Mostremos que la familia de clases de equivalencia {[ a ]}a∈X es unaparticion de X. En efecto, pues es suficiente ver que [ a ]∩[ b ] = ∅ sia no esta relacionada con b; y esto es cierto, ya que si existiera x ∈[ a ]∩[ b ] entonces xℜ a y xℜ b, y ası, por transitividad, tendrıamosque aℜ b, y esto es una contradiccion a la hipotesis de que a noesta relacionada con b.

ii) Si {Xi}i∈I es una particion de X, definamos una relacion sobre Xası: aℜ b si, y solo si, a y b pertenecen al mismo Xi. Entonces esclaro que:

• ℜ es reflexiva pues aℜ a, para todo a ∈ X.


• Si aℜ b entonces bℜ a, para todo a, b ∈ X.

• Si aℜ b y bℜ c entonces aℜ c, para todo a, b, c ∈ X. �

Ejemplo 17. (Ejemplos de clases de equivalencia)

a) En el conjunto de los numeros enteros, Z, la relacion de equivalen-cia aℜ b si, y solo si, a− b es par, divide el conjunto en dos clasesde equivalencia: los numeros pares y los numeros impares.

b) En general, tambien en el conjunto de los numeros enteros, Z, larelacion de equivalencia aℜ b si, y solo si, a − b es divisible porun numero natural fijo m, divide el conjunto de los enteros en mclases de equivalencia: los numeros enteros que al dividirlos porm tienen residuo 0; los numeros enteros que al dividirlos por mtienen residuo 1; ... los numeros enteros que al dividirlos por mtienen residuo m− 1.

b). Funciones

Hemos ası llegado a la definicion de una de las nociones centrales delas matematicas modernas: la nocion de funcion. Ejemplos de funcionesabundan en cada entorno: en un cırculo de radio r, su area A esta de-terminada por la “funcion” A = πr2; el volumen v de un cono recto deradio r y altura h, esta dado por la “funcion” v = 1

3πr2h; el periodo de

oscilacion T de un pendulo de longitud l esta dado por T = 2π

√l

gdonde

g es la constante de aceleracion gravitacional en la Tierra. Fundamentaresta idea de “funcion” (en una y dos variables) dentro del marco generalde la teorıa de conjuntos, y, en particular, de la teorıa de relaciones, esnuestro proposito en este resto de capıtulo.

Definicion 25. (Funcion (Dirichlet (1854), Kuratowski (1921)))Sean A y B dos conjuntos no vacıos. Una funcion f de A en B es unarelacion de A en B que satisface la condicion de que para todo elementox de A existe un unico elemento y de B tal que (x, y ) ∈ f . Esto esequivalente a que:

a) Todo elemento x de A es la primera componente de alguna parejade f .


b) Si (x, y1 ) ∈ f , y (x, y2 ) ∈ f , entonces y1 = y2; es decir, en f nohay dos parejas distintas con la primera componente igual.

Ejemplo 18. (Ejemplos elementales (e inutiles) de funcion)

a) f = {(2, 3), (7, 1), (8, 2), (10,−1)} es una funcion del conjunto{2, 7, 8, 10} en Z.

b) g = {(1, 2), (4, 5), (−1, 8)} es una funcion de {1, 4,−1} en N.

c) h = {(3, 4), (2, 7), (3, 5)} no es una funcion pues el elemento 3 tienedos imagenes: 4 y 5.

d) La relacion f de la figura 37 no define una funcion porque b notiene imagen por f (asumimos que a, b y c son distintos entre sı).

ba

bb

bc

b x

b y

b z

Figura 37: Relacion que no es funcion

e) La relacion f de la figura 38 no define una funcion porque ( c, x ) ∈f y ( c, z ) ∈ f y, sin embargo, x 6= z (asumimos que x, y y z sondiferentes entre sı).

ba

bb

bc

b x

b y

b z

Figura 38: Relacion que no es funcion


f) El diagrama de la figura 39 sı define una funcion con dominio{ a, b, c } y recorrido {x, z } (suponemos a, b y c distintos):

ba

bb

bc

b x

b y

b z

Figura 39: Relacion que sı es funcion

Notacion.

Si f es una funcion de A en B, escribiremos, indistintamente,

f : A −→ B

x 7→ y = f(x)o

Af−→ B

x 7→ y = f(x) 13

Para cada x ∈ A, al unico y ∈ B tal que (x, y ) ∈ f se le denotay = f(x) y se dice que y es la imagen por f de x; tambien se dice que xes una preimagen de y por f , aunque esto ultimo no es de uso corriente.

Esta condicion de una funcion, consistente en que a cada elemento lecorresponde uno, y solo un elemento del recorrido, esta aparentementefundamentada en el hecho de que al escribir f(x), se asegure que este esun solo elemento y no varios, lo que la hace conveniente para la mayorıade los propositos particulares del analisis matematico.

Ejemplo 19.a) Si A = {1, 2, 3, 4} entonces f : A −→ A definida por f(1) = 2, f(2) =

3, f(3) = 4, f(4) = 1 es una funcion.

b) Si A = {1, 2, 3, 4} entonces g : A −→ A definida por g(1) = 1, g(2) =1, g(1) = 3, g(4) = 3 no es una funcion.

Teorema 13. (Igualdad de funciones)Dos funciones f : A −→ B, g : C −→ D son iguales si, y solo si,A = C, B = D y f(x ) = g(x ) para todo x ∈ A.

13Aunque no ocultamos nuestra preferencia por la primera forma de notacion.

Demostracion

Se deduce inmediatamente de la definicion de funcion y de la definicionde igualdad de relaciones. �

Definicion 26. (Funcion real)Si f : (A ⊆ R) −→ (B ⊆ R) es funcion, se dice que f es una funcionreal de variable real o simplemente una funcion real. En lo que sigue,notaremos a toda funcion real f mediante f(·). Aquı, con esta notacion,siempre estaremos implıcitamente asumiendo que Df = A, y Rf ⊆ B.

Nota 7.Observemos que una relacion de A(⊆ R ) en B(⊆ R ) es una funcion sitoda recta paralela al eje Y que intersecte la grafica, solo la intersectaen un punto.

b

A

B Un solo puntode interseccion

x

y

Figura 40: Funcion(izquierda) y no-funcion (derecha)

A

B

b

b

b

Varios puntosde interseccion

x

y

Ejemplo 20.

a) Sea f : R −→ R definida por f(x) = x2 + x. Entonces:

i) f(0) = 02 + 0 = 0 ii) f(1) = 12 + 1 = 2

b) Sea f : R −→ R la funcion real definida por

f(x) =

1/x si x < 0

x2 + 2x− 1 si 0 ≤ x < 1

x si x ≥ 1


Hallemos los siguientes valores:

a) f(−2 ) b) f

(1

10

)

c) f

(

− 1

5

)

d) f

(9

10

)

e) f( 5 ) f) f( 10 )

Solucion.Teniendo cuidado en evaluar la funcion de acuerdo al intervalo en el quese encuentra el valor en cuestion, encontramos que:

a) f(−2 ) =1

−2= −1

2; b) f

(1

10

)

=

(1

10

)2

+ 2

(1

10

)

− 1 = − 79

100

c) f

(

−1

5

)

= −5; d) f

(9

10

)

=

(9

10

)2

+ 2

(9

10

)

− 1 =161

100

e) f( 5 ) = 5; f) f( 10 ) = 10

Ejemplo 21.

a) El cırculo unitario {(x, y) ∈ R2/ x2 + y2 = 1} es una relacion de[−1, 1] en [−1, 1], que no es funcion pues, por ejemplo, para x = 0tenemos dos imagenes diferentes: y1 = 1, y2 = −1.

b) Para la forma funcional f(x) =1

x2 + xtendremos que

Df = {x ∈ R/x2 + x 6= 0} = {x ∈ R/x(x+ 1) 6= 0} = R − {0,−1}Notemos, y esto lo haremos siempre, que tomamos el mayor conjunto,para el cual la forma funcional tenga sentido en los numeros reales.

c) Para la forma funcional

f(x) =1

12x4 − 56x3 + 89x2 − 56x+ 12

encontramos que

Df = R −{

2,3

2,2

3,1

2

}

despues de observar las soluciones de la ecuacion 12x4 − 56x3 +89x2 − 56x + 12 = 0 que encontramos en el ejemplo 31 de laleccion 3 (Geometrıa analıtica). ¡Para objetivos como este es quees importante saber resolver ecuaciones algebraicas!


d) Para la formal funcional

f(x) =√

x2 + 2x− 3

se tiene queDf = {x ∈ R/x2 + 2x− 3 ≥ 0}

= {x ∈ R/(x+ 1)2 − 4 ≥ 0}= {x ∈ R/|x+ 1| ≥ 2}= (−∞,−3] ∪ [1,+∞)

e) Si f(x) =x2 − 1

x− 1entonces Df = R− {1}. Pero notemos que, para

x 6= 1, f(x) =(x− 1)(x + 1)

x− 1= x+1, que, aunque sı esta definida

en x = −1, coincide con la forma funcional original solo cuandox 6= −1.

Definicion 27. (Funcion sobre)Una funcion f : A −→ B es sobreyectiva (o simplemente sobre) si, y solosi, el recorrido de f es B o, en forma equivalente, si todo elemento de Bes la imagen de al menos un elemento de A.

Ejemplo 22.Mostremos que la funcion f : R − { 1 } −→ R − { 2 } definida por

f(x ) =2x+ 3

x− 1es sobreyectiva (ver figura 41).

Solucion.

Basta ver que para cualquier y ∈ R−{ 2 } existe algun x ∈ R−{ 1 } tal

que y =2x+ 3

x− 1; es decir, debemos ver que para cualquier y ∈ R−{ 2 },

la ecuacion y =2x+ 3

x− 1tiene solucion para x ∈ R−{1}. En efecto, para

y ∈ R − { 2 } se tiene que

y =2x+ 3

x− 1si, y solo si, xy − y = 2x+ 3 y x 6= 1

si, y solo si, x(y − 2) = y + 3 y x 6= 1

si, y solo si, x =y + 3

y − 2y x 6= 1; y 6= 2


y esto significa que Rf = R − {2}. En la figura 41 representamos estafuncion. No se preocupe el lector si en este punto no comprende com-pletamente como se dibujo esta grafica. Sin embargo, por ahora podrıaintentar construir una tabla de valores x vs f(x) (particularmente parax cercanos a 1) y corroborar el comportamiento de esta figura.

Figura 41

1 x

y

2

y =2x+ 3

x− 1

Definicion 28. (Funcion uno-a-uno)Una funcion f : A −→ B es uno-a-uno (o inyectiva) si, y solo si, paratodo x1, x2 en el dominio de f ,

si f(x1 ) = f(x2 ) entonces x1 = x2

Nota 8.Observemos que una funcion real es una funcion uno-a-uno si, y solosi, en el plano cartesiano, toda recta paralela al eje X que intersecte lagrafica, solo la intersecta en un punto.

Ejemplo 23.

Sea h(·) definida por h : R −→ R, donde h(x ) = x2−2x+4 (ver figura42):

a) h(·) no es uno-a-uno, ya que si x1, x2 ∈ R y h(x1 ) = h(x2 ),entonces

x21 − 2x1 + 4 = x2

2 − 2x2 + 4

o(x1 − x2 )(x1 + x2 − 2 ) = 0


y, por tanto,x1 = x2 o x1 = 2 − x2

Ası que, por ejemplo, tomando x2 = 0 y x1 = 2 se tiene x1 6= x2,pero h(x2 ) = h( 0 ) = 4 = h( 2 ) = h(x1 ).

b) h(·) no es sobreyectiva porque para y ∈ R,

y ∈ Rh si, y solo si, existe algun x ∈ R tal que y = x2 − 2x+ 4;

si, y solo si, existe algun x ∈ R tal que x =2 ±

√

4 − 4( 4 − y )

2;

si, y solo si, existe algunx ∈ R tal que x = 1 ±√

y − 3

O sea, Rh = { y ∈ R : y ≥ 3 } = [ 3,+∞ ). Por tanto, Rh 6= R.

Observemos que, en este caso, el rango de h(·) tambien se puedehallar ası:

y = x2 − 2x+ 4 si, y solo si, y = (x2 − 2x+ 1 ) + 3

si, y solo si, y = (x− 1 )2 + 3

Luego, y ∈ [ 3,+∞ ) ya que (x− 1 )2 ≥ 0 para todo x ∈ R.

Ahora: si se restringe el dominio de h(·) al intervalo [ 1,+∞ ) o(−∞, 1 ] y el rango al intervalo [ 3,+∞ ), entonces la funcion h1(·)definida como:

h1 : [ 1,+∞ ) −→ [ 3,+∞ ) o h1 : (−∞, 1 ] −→ [ 3,+∞)

con h1(x ) = x2 − 2x+ 4, es uno-a-uno y sobre. Serıa convenienteen este punto que el lector mostrara, utilizando la figura 42, quela funcion no es uno-a-uno sobre todo su dominio, utilizando elcriterio de la Nota 8 anterior. N

Figura 42: Funcion que no es uno-a-uno

x

y

3

1

h(x) = x2 − 2x+ 4b

Definicion 29. (Funcion biyectiva)Una funcion f de A en B es biyectiva (o biunıvoca) si, y solo si, f esuno-a-uno y sobreyectiva.

Ejemplo 24.

La funcion g : R−{−3} −→ R definida por g(x ) =x− 2

x+ 3es uno-a-uno

(ver figura 43). En efecto, si x1, x2 ∈ R − {−3}, entonces

g(x1 ) = g(x2 ) si, y solo si,x1 − 2

x1 + 3=x2 − 2

x2 + 3

si, y solo si, x1x2 − 2x2 + 3x1 − 6 = x1x2 − 2x1 + 3x2 − 6

si, y solo si, x1 = x2

Sin embargo, la funcion g(·) no es biyectiva puesto que no es sobreyectiva.En efecto, si y ∈ R y x ∈ R − {−3}, entonces

y =x− 2

x+ 3si, y solo si, yx+ 3y = x− 2

si, y solo si, x =3y + 2

1 − ycon y 6= 1

Luego, Rg = R − { 1 }. Observemos, sin embargo, que si se define

g1 : R − {−3 } −→ R − { 1 }, donde g1(x ) =x− 2

x+ 3, entonces g1(·)

sı es ahora biyectiva.

Figura 43: g(x) =x− 2

x+ 3

x

y

-3

1

Ejemplo 25.

Sea f : R −→ R la funcion real definida por

y = f(x) =

1/x si x < 0

x2 + 2x− 1 si 0 ≤ x < 1

x si x ≥ 1

Mostremos que esta funcion (ver figura 44) es sobreyectiva pero no esuno-a-uno.

Figura 44

x

y

1

bc

Solucion.

En primer lugar, para y ≥ 1 se tiene que y = x; luego en este caso lafuncion es sobreyectiva. Para el caso en que y < 0 se toma x ∈ R tal

que x =1

yy se satisface la condicion de sobreyectividad. Sin embargo,

para 0 ≤ y < 1, debemos analizar un poco mas cuidadosamente:

y ∈ Rf si, y solo si, existe algunx ∈ R tal que y = x2 + 2x− 1

si, y solo si, existe algunx ∈ R tal que x =−2 ±

√

4 + 4( 1 + y )

2

si, y solo si, existe algunx ∈ R tal que x = −1 ±√

2 + y

Por lo tanto, para cada y ∈ R existe x ∈ R tal que y = f(x ), y podemosconcluir que f(·) es sobreyectiva. Sin embargo, no es uno-a-uno pues,por ejemplo, un valor como f(x) = 1 es tomado por x = 1, y por otrovalor (¿cual es este?). No sobrarıa aquı que el lector corroborara que noes uno-a-uno utilizando el metodo grafico indicado en la Nota 8 anterior,es decir, trazando rectas paralelas al eje x y observando que, en algunoscasos, la recta corta la curva en mas de un punto.

c). Formas funcionales basicas

Comenzamos definiendo funciones reales basicas para analisis posterio-res. Estas son algunas de las mas simples:


a) Una funcion f(·) se dice constante si existe un numero real c talque para todo x en el dominio de f(·), f(x ) = c. Por ejemplo,

f : R −→ R

x 7→ f(x ) = 2

g : R −→ R

x 7→ g(x ) = −3

Figura 45: Funcion constante

c

x

y

f(x) = c

b) Si A ⊆ R es un conjunto no vacıo, la funcion identica sobre A sedefine como:

f : A −→ A

x 7→ f(x ) = x

Por ejemplo, la funcion identica sobre R esta dada por

f : R −→ R

x 7→ f(x ) = x

y su grafica es la de la figura 46.

Figura 46: Funcion identica

x

y

f(x) = x


c) Una funcion f : R −→ R se dice lineal (o afın) si f(x ) = a1x+a0

para algun numero a1 6= 0; su grafica, para a1 > 0 es como en lafigura 47.

Figura 47: Funcion lineal

x

y

f( x ) = a1x+ a0

d) La funcion f : R −→ R definida por f(x ) = x2 se denomina lafuncion parabolica (o cuadratica) y su grafica es la de la figura 48.

Figura 48: Funcion cuadratica

x

y

f( x ) = x2

e) La funcion f : R −→ R definida por f(x ) = a2x2 + a1x + a0

para a2 6= 0 se denomina la funcion cuadratica general.

f) La funcion f : R −→ R definida por f(x ) = x3 se denomina lafuncion cubica y su grafica es la de la figura 49.

g) La funcion f : R −→ R definida por f(x ) = a3x3+a2x

2+a1x+a0

para a3 6= 0 se denomina la funcion cubica general .


Figura 49: Funcion cubica

x

yf(x) = x3

h) En general, la funcion f : R −→ R definida por

f(x ) = anxn + an−1x

n−1 + · · · + a1x+ a0

donde n es un entero no negativo y an, an−1, · · · , a1, a0 son cons-tantes reales, se llama funcion polinomica o polinomial (ver figura50). Si an 6= 0, el grado de la funcion polinomica es n.

Figura 50: Funcion polinomial

x

y

i) Una funcion f(·) se dice racional si se puede expresar como elcociente de dos funciones polinomicas; es decir, si f(·) puede ex-presarse en la forma

f(x ) =g(x )

h(x )

donde g(·) y h(·) son funciones polinomicas. El dominio de unafuncion racional consiste en todos los numeros reales excepto losque anulan el denominador; es decir, Df = {x ∈ R /h(x ) 6= 0 }.Las siguientes son funciones racionales:

a) f(x ) =x4 − x3

x− 4; Df = R−{ 4 }, pues x−4 = 0 si x = 4.


b) g(x ) =2x3 + x− 4

x2 − 2x− 3; Dg = R−{−1, 3 }, pues x2−2x−3 =

= (x− 3)(x+ 1) = 0 si x = −1 o x = 3.

j) Si R+ = {x ∈ R /x ≥ 0 }, la funcion f : R+ −→ R+ definida porf(x ) =

√x se denomina la funcion raız cuadrada y su grafica es

la de la figura 51.

Figura 51: Funcion raız cuadrada

x

y

f(x) =√x

k) La funcion f : R − { 0 } −→ R definida por f(x ) = 1/x sedenomina (en ocasiones) la funcion hiperbolica y su grafica es lade la figura 52.

Figura 52: Funcion hiperbolica

x

y

f(x) =1

x

l) La funcion f : R − { 0 } −→ R definida por f(x ) = a +b

x,

a, b 6= 0 se denomina la funcion hiperbolica general y su grafica,para a, b > 0, es como la de la figura 53.

Figura 53: Funcion hiperbolica general

x

y

f(x) = a+b

x

a

m) La funcion f(x ) = |x | se denomina la funcion valor absoluto yse define como

f(x) = |x | =

{

x si x ≥ 0

−x si x < 0

Puesto que f(x ) ≥ 0 para x ∈ R, el dominio de f(·) es R y elrango R+. Su grafica es como en la figura 54.

Figura 54: Funcion valor absoluto

x

y

y = |x|

n) A una funcion cuya grafica consiste en la union de segmentos derectas se le llama lineal a trozos (o seccionalmente lineal). Porejemplo, la funcion f(x ) de la figura 55 es seccionalmente lineal.

Figura 55: Funcion lineal a trozos

x

y

f(x) =

4 si 4 < x

x si − 2 ≤ x ≤ 4

−2 si − 2 > x4

4

-2

-2

o) La funcion definida por f(x ) = [[x ]] es la funcion mayor enterocontenido en x (o funcion parte entera de x ). Esta funcion sepuede expresar como

f(x) = [[x ]] = n si n ≤ x < n+ 1

donde n es un numero entero. Es decir, [[x ]] es el mayor entero quees menor o igual que x. Su dominio es R y su rango son los numerosenteros. Por ejemplo, [[ 1 ]] = 1, [[ 1.25 ]] = 1, [[−0.5 ]] = −1,[[−1.5 ]] = −2 y su grafica es la de la figura 56.

Figura 56: Funcion parte entera

x

y

p) Consideremos una circunferencia en R2 de radio r > 0, centro( 0,0 ) y un punto (x, y ) sobre este cırculo. Tomemos el angulo θformado por el eje x y por el rayo que pasa por el punto (x, y ).Esto se ilustra en la figura 57.


Figura 57: Cırculo trigonometrico

x

y

r

(x, y)

θ

i) La funcion seno, denotada sen (·), se define por sen θ =y

r

ii) La funcion coseno, denotada cos (·), se define por cos θ =x

r

iii) La funcion tangente, denotada tan (·), se define por tan θ =y

x

iv) La funcion cosecante, denotada csc (·), se define por csc θ =r

y

v) La funcion secante, denotada sec (·), se define por sec θ =r

x

vi) La funcion cotangente, denotada cot (·), se define por cot θ =x

y

A las seis funciones anteriores se les conoce como funciones trigonometri-cas. Sus graficas son las siguientes:

Figura 58: Funcion seno

x

y

y = senx

π|

−π|

2π−2π


Figura 59: Funcion coseno

x

y

y = cos x

π|

−π|

2π|

−2π|

Figura 60: Funcion tangente

x

y

y = tan x


−π2

3π2

− 3π2

Figura 61: Funcion cosecante

x

y

y = cscx


|−π

2

|3π2

|− 3π

2

|


Figura 62: Funcion secante

x

y

y = secx

π|

−π|

2π−2π π2

−π2

3π2

− 3π2

Figura 63: Funcion cotangente

x

y

y = cot x


−π2

3π2

− 3π2

d). Algebra de funciones reales

Las siguientes son las tres operaciones basicas para el algebra de funcio-nes reales: la suma, el producto, y el cociente de funciones.

Definicion 30. (Algebra de funciones)Sean f(·) y g(·) dos funciones reales con Df y Dg los respectivos domi-nios. Se definen ahora las siguientes funciones:

a) La suma de f(·) y g(·), denotada ( f + g )(·), definida por

( f + g )(x ) = f(x ) + g(x )

b) El producto entre f(·) y g(·), denotado ( f · g )(·), definido por

( f · g )(x ) = f(x ) · g(x )

c) El cociente entre f(·) y g(·), denotadof

g(·), definido por

(

f

g

)

(x ) =f(x )

g(x )

El dominio de cada una de estas funciones esta dado por Df ∩Dg yen el caso c) se excluyen los valores de x para los cuales g(x ) = 0.

Ejemplo 26.

Dadas las funciones

f(x ) =

{

x si x ≥ 0

0 si x < 0y g(x ) =

{

−x si x ≤ 0

0 si x > 0

Hallemos a) ( f + g )(·) , b) ( f − g )(·) , c) ( f · g )(·) y d)f

g(·)

y sus graficas.

Solucion.

a)

( f + g )(x ) = f(x ) + g(x ) =

x+ 0 si x ≥ 0

x− x si x = 0

0 − x si x < 0es decir,

( f + g )(x ) = f(x ) + g(x ) =

{

x si x ≥ 0

−x si x < 0

Esta funcion coincide con la funcion valor absoluto. Su grafica esla de la figura 54.

b)

( f − g )(x ) = f(x ) − g(x ) =

{

x si x ≥ 0

x si x < 0

Como puede verse, la funcion ( f − g )(·) coincide con la funcionidentidad f(x) = x.

c)

( f · g )(x ) = f(x ) · g(x ) = 0

O sea que es la funcion constante nula que graficamente corres-ponde al eje x.

d) Para x < 0,(f

g

)

(x ) =f(x )

g(x )= −0

x= 0

Para x ≥ 0, g(x ) = 0 y asıf(x)

g(x)no esta definida. Graficamente,

la funcionf

g(·) es el semieje negativo de las x′s.

e). Composicion de funciones reales

La siguiente es una cuarta operacion para el estudio de funciones: lacomposicion de funciones.

Definicion 31. (Funcion compuesta)Sean las funciones g : A −→ B y f : B −→ C. La compuesta de f y g,denotada por ( f ◦ g ), es la funcion definida por

f ◦ g : A −→ C

x 7→ ( f ◦ g )(x ) = f( g(x ) )

El dominio de ( f ◦ g ) consta de todos los elementos x en el dominio deg para los cuales g(x ) esta en el dominio de f ; es decir,

Df◦g = {x /x ∈ Dg y g(x ) ∈ Df }


Nota 9.El elemento de entrada x se convierte en el elemento de salida g(x )mediante la funcion g. Si el objeto de salida g(x ) pertenece al dominiode la funcion f , entonces f puede operar sobre g(x ) para producir unnuevo objeto de salida f( g(x ) ) (ver figura 64).

Figura 64

Entrada de xg f

g(x) Salida de f [g(x)]

Funcion compuesta f ◦ g

Ejemplo 27.

Sean las funciones reales f(·), g(·) y h(·) definidas para todos los nume-ros reales y dadas por

f(x ) = x2 + 1, g(x ) = 2x− 3, h(x ) = x3

Determinemos:

a) ( f ◦ g ) b) ( g ◦ f )

c) ( f ◦ f ) d) ( ( f ◦ g ) ◦ h )

Solucion.

a) ( f ◦ g )(x ) = f( g(x ) ) = ( 2x− 3 )2 + 1 = 4x2 − 12x+ 10

b) ( g ◦ f )(x ) = g( f(x ) ) = 2(x2 + 1 ) − 3 = 2x2 − 1

c) ( f ◦ f )(x ) = f( f(x ) ) = (x2 + 1 )2 + 1 = x4 + 2x2 + 2

d) ( ( f ◦ g ) ◦ h )(x ) = f( g(h(x ) ) ) = 4(x3 )2 − 12x3 + 10 =

4x6 − 12x3 + 10.


Nota 10. (Propiedades de la funcion compuesta)Puede notarse en el ejercicio anterior que se cumple la propiedad aso-ciativa para la operacion de composicion de funciones. Y esto es ciertoen general. Mas aun: puede probarse que esta propiedad se cumple paracualquier tres (o mas) funciones. Esto es,

( f ◦ g ) ◦ h = f ◦ ( g ◦ h )

Sin embargo, en general, no es cierto que se cumpla la propiedad con-mutativa. Es decir, en general,

( f ◦ g ) 6= ( g ◦ f )

Ejemplo 28.Probemos que ( f◦g )(·) 6= ( g◦f )(·) en los siguientes casos y encontremossus respectivos dominios:

a) f(x ) =√x , g(x ) =

2

x; Df = R+, Dg = R − {0}

b) f(x ) = sen x , g(x ) = 1 + x; Df = R, Dg = R

c) f(x ) = cos x , g(x ) =1

x2 + 1; Df = R, Dg = R

Solucion.

a) ( f ◦ g )(x ) = f( g(x ) ) =

√

2

x; Df◦g = {x/x > 0} = R++

( g ◦ f )(x ) = g( f(x ) ) =2√x

; Dg◦f = {x/x > 0} = R++

b) ( f ◦ g )(x ) = f( g(x ) ) = sen( 1 + x ); Df◦g = R

( g ◦ f )(x ) = g( f(x ) ) = 1 + senx; Dg◦f = R

c) ( f ◦ g )(x ) = f( g(x ) ) = cos

(1

x2 + 1

)

; Df◦g = R

( g ◦ f )(x ) = g( f(x ) ) =1

cos2 x+ 1; Dg◦f = R


f). Inversion de funciones reales

Otra operacion basica en el estudio de funciones es el calculo de la llama-da funcion inversa. Sea f una funcion biyectiva con dominio A y rangoB (es decir, para cada x ∈ A existe un unico y ∈ B tal que y = f(x )(por ser f funcion), y para cada y en B existe un unico x en A tal quey = f(x) (por ser uno-a-uno y sobre)). Como a cada y ∈ B le corres-ponde un unico x ∈ A, se puede definir la funcion g de B en A tal queg(y) = x, donde y = f(x). A esta funcion g se le llama funcion inversade f y se denota por f−1.

Como se aprecia en la figura 65, g invierte la asignacion dada por f .Como g( y ) = x y f(x ) = y, donde x ∈ A y y ∈ B, se tiene, porsustitucion, que

g( f(x ) ) = x y f( g( y ) ) = y

o, en otra forma, que

( g ◦ f )(x ) = x y ( f ◦ g )( y ) = y

para todo x ∈ A y todo y ∈ B.

Figura 65:Diagrama de la funcion inversa

x y

f

g = f−1A B

Definicion 32. (Funcion inversa)Sea f una funcion biyectiva con dominio A y rango B. La funcion f−1

con dominio B y rango A es la funcion inversa de f si, y solo si,

f−1( f(x ) ) = x para todo x en A

f( f−1( y ) ) = y para todo y en B


Ejemplo 29.

Calculemos la funcion inversa, si existe, de las siguientes funciones reales:

a) f : R+ −→ R+ definida por f(x ) = x2

b) f : R −→ R definida por f(x ) = x3

c) f : R − { 0 } −→ R − { 0 } definida por f(x ) = 1/x

Solucion.

Observemos que si definimos

a) f−1 : R+ −→ R+ por f−1(x ) =√x (ver figura 66)

b) f−1 : R −→ R por f−1(x ) = 3√x

c) f−1 : R − { 0 } −→ R − { 0 } por f−1(x ) = 1/x

entonces f( f−1( y ) ) = y y f−1( f(x ) ) = x en cada caso.

Figura 66: Funcion inversa de f(x) = x2

x

y y = x

f−1(x) =√x

f(x) = x2

Nota 11.

a) En la figura 67 se observa que la funcion f−1(·) es la imagen es-pectral de la funcion f(·); es decir, la funcion f−1(·) es el “reflejo”de la funcion f(·) a traves de la recta y = x.


Figura 67: Funcion inversa de f(·)

x

y y = x

f−1(·)

f(·)

b) En algunos casos es facil obtener la funcion inversa de una funcionbiyectiva con un procedimiento algebraico consistente en seguir lossiguientes pasos:

i) Verifique si la funcion es biyectiva en todo su dominio.

ii) “Despeje” x en terminos de y de la ecuacion y = f(x ) obte-niendo una ecuacion de la forma x = f−1( y ).

iii) Verifique las condiciones f−1( f(x ) ) = x y f−1( f(x ) ) = xpara todo x en los dominios de f(·) y f−1(·), respectivamente.

Sin embargo, el exito de este metodo depende de la naturaleza de la ecua-cion y = f(x ), y se requiere que sea posible “despejar” x en terminosde y. Ilustremos con un ejemplo.

Ejemplo 30.

a) Ya habıamos estudiado antes que la funcion g : R − {−3} −→ R

definida por g(x ) =x− 2

x+ 3(ver ejemplo 24) no es biyectiva puesto

que no es sobre, a pesar de ser uno-a-uno. Y encontrabamos quesi y ∈ R y x ∈ R − {−3}, entonces

y =x− 2

x+ 3si, y solo si, yx+ 3y = x− 2

si, y solo si, x =3y + 2

1 − ycon y 6= 1


Pero tambien observabamos que si se definıa g1 : R − {−3 } −→R − { 1 }, donde g1(x ) =

x− 2

x+ 3, entonces g1(·) sı era ahora

biyectiva. Claramente, la funcion inversa de esta g1(·) es g−11 (y) =

3y + 2

1 − ycon dominio R − { 1 } y recorrido R− {−3 }.

b) Siguiendo el ejemplo 22, se ve que f : R− {1} → R− {2} definida

por f(x) =2x+ 3

x− 1es, ademas de sobreyectiva, biyectiva, pues

tambien es uno-a-uno como el lector puede comprobar. Allı es claro

que f−1 : R−{2} → R−{1} esta determinada por f−1(y) =y + 3

y − 2.

g). Funciones trigonometricas inversas

Cuando en lecciones anteriores estudiabamos las ideas centrales de la he-rramienta trigonometrica, notabamos que las seis curvas basicas (seno,coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante) al estar determina-das por el movimiento alrededor de una circunferencia, necesariamentetendrıan que ser periodicas, es decir, se repetıan, una y otra vez, cadaperıodo. En lenguaje formal esto significa que si f(·) representa una delas seis funciones trigonometricas, entonces existe un numero positivo Ttal que f(x ) = f(x+ T ) para todo x; y, por lo tanto, no son funcionesbiyectivas y sus relaciones inversas no son funciones. Sin embargo, to-davıa podemos realizar cierta tıpica manipulacion con estas curvas parahacerlas biyectivas: basta restringir sus dominios. Veamos como.

a) Consideremos (abusando un tanto de la notacion) la funcion

y = sen x :[

−π2,π

2

]

−→ [−1, 1 ]

Entonces, con esta restriccion de dominio, la funcion sen(·) es ahorabiyectiva. Su inversa, denotada por arcsen(·) o sen−1(·), se definecomo

x = sen−1(y) : [−1, 1 ] −→[

−π2,π

2

]

Las graficas de sen(·) y sen−1(·) se ilustran a en la figura 68.


Figura 68

x

y

y = sen x

π2

|−π

2

|

1−

-1−

y

x

y = sen−1 xπ2 −

−π2 −

1|

-1|

Por tanto, y = sen−1 x si, y solo si,x = sen y,−π2 ≤ y ≤ π

2 ,−1 ≤x ≤ 1. Por ejemplo, sen−1

(12

)= π

6 ya que sen π6 = 1

2 .

b) Consideremos ahora la funcion y = cos x : [ 0, π ] −→ [−1, 1 ].Con esta restriccion de dominio, la funcion es ahora biyectiva. Porconsiguiente, puede definirse la funcion coseno inverso, denotadapor arccos(·) o cos−1(·) como

x = cos−1 y : [−1, 1 ] −→ [ 0, π ]

Por lo tanto, y = cos−1 x si, y solo si, x = cos y, 0 ≤ y ≤ π,−1 ≤ x ≤ 1. De esta manera, cos−1(−1 ) = π porque cos π = −1.Las graficas de cos(·) y cos−1(·) se muestran en la figura 69.

Figura 69

x

y = cos x

π2

πp

1

-1−

y = cos−1 x

x

π2

π −

1-1|

c) Es natural restringir el dominio de la funcion tangente a(−π

2 ,π2

)

para que sea biyectiva y, por tanto, poder definir su inversa. Lue-go, si y = tan x : (−π

2 ,π2 ) −→ R, la funcion tangente inversa,

denotada por arctan(·) o tan−1(·), se define ası

x = tan−1(y) : R −→(

−π2,π

2

)

Figura 70

x

y

y = tan x

π2

−π2

x

y = tan−1 x

π2

−π2

Luego y = tan−1 x si, y solo si, x = tan y, −π2 < y < π

2 , x ∈ R.Ası, por ejemplo, tan−1(−1 ) = −π

4 ya que tan(−π

4

)= −1

Definicion 33. (Funcion estrictamente creciente)Una funcion f(·) definida en un intervalo I se dira estrictamente cre-ciente en ese intervalo si, y solo si,

f(x1 ) < f(x2 ) siempre que x1 < x2

para cualquier x1, x2 ∈ I.

Definicion 34. (Funcion estrictamente decreciente)Una funcion f(·) definida en un intervalo I se dira estrictamente decre-ciente en ese intervalo si, y solo si,

f(x1 ) > f(x2 ) siempre que x1 < x2

para cualquier x1, x2 ∈ I.

Ejemplo 31.

i) La funcion lineal f(x ) = ax+ b, a 6= 0 sobre R es estrictamentecreciente si a > 0, pues si x1 < x2, entonces ax1 + b < ax2 + b. Deotro lado, si a < 0 la funcion lineal es estrictamente decreciente.

ii) La funcion f(x ) = x3 sobre R es estrictamente creciente ya que(x1)

3 < (x2)3 siempre que x1 < x2.

iii) La funcion f(x ) = x2 definida sobre R+ = {x/x ≥ 0} es estric-tamente creciente ya que (x1)

2 < (x2)2 siempre que 0 ≤ x1 < x2.

Sin embargo, la funcion f(x ) = x2 para x ≤ 0 es estrictamentedecreciente ya que si x1 < x2 ≤ 0 entonces x2

1 > x22. N

El siguiente teorema relaciona las nociones de crecimiento y decrecimien-to estricto con la existencia de inversa para una funcion real:

Teorema 14.Una funcion real que es creciente estrictamente o decreciente estricta-mente en un intervalo de numeros reales, es uno-a-uno en ese intervalo.

Demostracion

Supongamos que la funcion es creciente estrictamente en el intervalo. Six1 y x2 son dos numeros en el intervalo y x1 6= x2, entonces x1 < x2

o x2 < x1. Luego:

a) Si x1 < x2, entonces f(x1 ) < f(x2 ), o sea que f(x1 ) 6= f(x2 ).

b) Si x2 < x1, entonces f(x2 ) < f(x1 ) y, por tanto, f(x2 ) 6= f(x1 ).

Ası se deduce que f(·) es uno-a-uno en el intervalo. De forma similar sedemuestra si f(·) es decreciente estrictamente en el intervalo. �

Por lo tanto, si una funcion es estrictamente creciente (o decreciente) y,ademas, es sobreyectiva en su dominio, tendra una (su) funcion inversa.Por ejemplo, para las funciones del ejemplo 31 anterior, las inversas son,respectivamente:

i) f−1(y) =y − b

aii) f−1(y) = 3

√y

iii) f−1(y) =√y o f−1(y) = −√

y ¿por que dos funciones?

Ejercicios 6

1) Dado X = {1, 2, 3, 4}, ¿cuales de las siguientes relaciones sonreflexivas, simetricas, transitivas, antisimetricas, de equivalencia,preorden, orden parcial, u orden completo? :

a) ℜ1 = {(2, 1), (4, 4), (3, 3), (2, 2), (2, 3), (1, 1)}b) ℜ2 = {(1, 2), (3, 4), (4, 1)}c) ℜ3 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}d) ℜ4 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)}

2) ¿Cuales de las siguientes relaciones son de equivalencia? :

a) X es el conjunto de todas las rectas del plano y LℜM si, ysolo si, L es paralela a M .

b) X = Z y aℜ b si, y solo si, a = ±b.c) X = R y aℜ b si, y solo si, a > b.

d) X ≡ la gente del mundo hoy, y aℜ b si, y solo si, a y b tienenla misma madre.

¿Cuales son las clases de equivalencia en los casos en que la relaciones de equivalencia?

3) Dados los conjuntos A = { 1, 2, 3 } y B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }:

a) Exprese las siguientes relaciones de A en B:

ℜ = { (x, y )/(x, y ) ∈ A×B, y = x }ℑ = { (x, y )/(x, y ) ∈ A×B, y = x2 }℘ = { (x, y )/(x, y ) ∈ A×B, x < 0 }

b) ¿Cuales son sus dominios y recorridos?

c) Dibuje ℜ, ℑ, y ℘ en un sistema coordenado.

4) En los siguientes casos, dibuje, lo mejor que pueda, la funcion atrozos dada por:

a)

f(x ) =

1 si 0 ≤ x < 1

3 si 1 ≤ x < 2

2 si 2 ≤ x < 3

0 si 3 ≤ x < 4

b)

g(x ) =

x para x < −2.5

4 − x2 para − 2 ≤ x ≤ 2

x2 − 8 para 3 ≤ x < 4

c)

h(x ) =

1/x si x > 0

x3 si x ≤ 0

5) Si f(x ) = 2x2 − x y g(x ) = sen x, encuentre:

a) Df , Dg b) f2(·) , g2(·) y sus dominios

c)f(·)g(·) y su dominio d)

1

g(·) y su dominio

6) Dadas f(x ) = x2 − 1 y g(x ) =√x2 + 4x+ 2

a) Halle los dominios de f(·) y g(·).b) ¿Cual es el dominio de ( f ◦ g )(·)? ¿y el de (g ◦ f)(·)?c) ¿Cual es el rango de ( f ◦ g )(·)? ¿y el de (g ◦ f)(·)?

7) Considere las funciones reales f(·) y g(·) definidas ası:

f(x ) =x2 − x

x2 − 1g(x ) =

x

x+ 1

a) Dibuje, lo mejor que pueda, las funciones f(·) y g(·).b) Halle los dominios de f(·) y g(·) y sus rangos.

c) Calcule Df◦g y Dg◦f .


8) Si f(x ) =√x2 + x− 3 y g(x ) =

1

x(x− 1)(x+ 2)determine

Df , Dg, Df◦g, Dg◦f .

9) Dadas f(x) = a0 + a1x y g(x) = b0 + b1x, para a0, a1, b0, b1 cons-tantes, ¿sera que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f)(x)?

10) ¿Cuales de las funciones siguientes, definidas sobre sus dominios,son uno-a-uno? ¿Cuales son sobre? ¿Cuales biyectivas?:

a) f(x) = x2 − 1 b) f(x) =√

x2 + 4x+ 2

c) f(x) =√

x2 + x− 3 d) f(x) =1

(x− 1)(x+ 2)

En caso de ser biyectivas, encuentre sus respectivas funciones in-versas.

11) Si f : A→ B y g : B → C son dos funciones, pruebe que:

a) Si f y g son uno-a-uno entonces g ◦ f tambien es uno-a-uno.[Indicacion: Asuma que (g ◦ f)(x) = (g ◦ f)(y) para algunosx, y ∈ A. Entonces g(f(x)) = g(f(y)), y ası, como g(·) esuno-a-uno, entonces f(x) = f(y); y, a su vez, como f(·) esuno-a-uno, entonces x = y].

b) Si f y g son sobreyectivas entonces g ◦f tambien es sobreyec-tiva.

c) Si f y g son biyectivas entonces g ◦ f tambien es biyectiva.

d) Muestre, ademas, que las recıprocas de a), b) y c) no son, engeneral, ciertas, recurriendo a contraejemplos adecuados.

12) Restringiendo apropiadamente los dominios, construya las funcio-nes inversas de cot (cotangente), sec (secante), y csc (cosecante).14

7. Funciones de dos variables reales

Podemos adaptar algunos de los desarrollos anteriores para funcionesreales de una sola variable real, al caso de funciones de dos variables

14Si el lector esta interesado en profundizar sobre las secciones 3 a 6, recomen-damos el texto clasico Spivak, Michael (1968), “Calculus”, Editorial Reverte.


reales de la forma z = f(x, y), donde a cada par (x, y) le asignamos(mediante la funcion f(·, ·)) el numero real z = f(x, y). Ejemplos de estetipo de “uniformidades” abundan. Por ejemplo el area de un rectangulo,A, esta determinada por las longitudes de sus lados (b y h) mediantela regla A = b · h. Tambien el volumen de un cono esta determinadomediante la regla V = 1

3πr2h donde r es el radio del cırculo de la base,

y h es la altura del cono; otra de estas uniformidades es el perıodo deoscilacion de un pendulo regido por T = 2π

√

l/g donde l es la longitudde la cuerda y g es la constante de aceleracion gravitacional en la Tierra.Como decıamos antes, fueron uniformidades de este tipo las que, sinduda, dieron origen al concepto abstracto de funcion.

Definicion 35. (Funciones de dos variables reales)Si f : A(⊆ R2) −→ B(⊆ R) es una funcion (donde R2 = R × R) se diceque f(· , ·) es una funcion real de dos variables reales o, simplemente,que f(· , ·) es una funcion de dos variables.

En general, la grafica de una funcion de dos variables requiere, ya nodel plano bidimensional sino del espacio cartesiano tridimensional. Elresultado es la superficie tridimensional que describe la funcion.

yx

z

Figura 71: f(x, y ) = x2 + y2

Ejemplo 32.

Supongamos que A = R2 y f : R2 −→ R es tal que f(x, y ) = x2 + y2.Entonces su representacion grafica en el espacio tridimensional es la dela figura 71.


Ejemplo 33.

Supongamos que A = R2 y f : R2 −→ R tal que f(x, y ) = 1−x−y. Surepresentacion tridimensional es el plano de la figura 72. Y, en general,toda funcion de la forma f(x, y) = a0+a1x+a2y, con a0, a1, a2 numeroscualquiera, corresponde a un plano en el espacio.

x

y

z

Figura 72: f(x, y ) = 1 − x− y

Ejemplo 34.Supongamos A = {(x, y ) ∈ R2 /x2 + y2 ≤ 1} y f : A −→ R tal que

f(x, y ) =√

1 − x2 − y2. La grafica es la de la figura 73.

yx

z

Figura 73: f(x, y ) =√

1 − x2 − y2

Ejemplo 35.Supongamos A = R2 y f(x, y ) = x2 − y2. La grafica es la de la figura74. Esta es la misma g(x, y) = xy despues de realizar una rotacionconveniente (ver leccion 3, ejercicio complementario 28).


x y

z

Figura 74: f(x, y ) = x2 − y2

Definicion 36. (Curvas de nivel)Otro metodo para representar funciones de dos variables f(x, y ) es elde las curvas de nivel. Este metodo consiste en dibujar su “mapa to-pografico”, encontrando, para distintas elecciones de la constante α, elconjunto

Γα = {(x, y ) ∈ Df / f(x, y ) = α }

Este conjunto Γα es, simplemente, el “corte” de la superficie f(x, y ) alnivel α de altura sobre el plano xy, y luego proyectado perpendicular-mente al mismo plano xy (ver figura 75).

Figura 75: Curvas de nivel

x

z

y

Ejemplo 36.En el caso de la funcion f(x, y ) = x2+y2, las curvas de nivel para α > 0lucen como en la figura 76.


x

y

1-1

Circunferenciasx2 + y2 = α

Figura 76: Curvas de nivel de f(x, y) = x2 + y2

Ejemplo 37.En el caso de la funcion f(x, y ) = 1− x− y, las curvas de nivel α lucencomo en la figura 77.

Rectas y = 1 − x− α

Figura 77: Curvas de nivel de f(x, y) = 1 − x− y

x

y

Ejemplo 38.Cuando f(x, y ) =

√

1 − x2 − y2, las curvas de nivel para 0 ≤ α ≤ 1lucen como en la figura 78.

x

y

x2 + y2 = 1 − α2

1-1

Figura 78: Curvas de nivel de f(x, y) =√

1 − x2 − y2


Ejemplo 39.Cuando f(x, y ) = y2−x2, la curva tıpica de nivel para α > 0 luce comoen la figura 79.

x

y

hiperbola y2 − x2 = α

Figura 79: Curva de nivel α de f(x, y) = y2 − x2

Ejemplo 40.Supongamos que f(x, y ) = x2y2. Las curvas de nivel α > 0 estan dadaspor α = x2y2; es decir, por hiperbolas de la forma y =

√α/x. Dos de

estas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 80.

Figura 80: Curvas de nivel α > 0 de f(x, y) = x2y2

x

y

y =

√α

x

Ejemplo 41.Sea f(x, y ) = x

1

2 y1

2 . Las curvas de nivel α > 0 asociadas a esta funcion

estan dadas por α = x1

2 y1

2 ; es decir, por y = α2/x. Un par de estascurvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 81.


Figura 81: Curva de nivel α > 0 para f(x, y) = x1

2 y1

2

x

y

y =α2

x

Ejemplo 42.Consideremos la funcion f(x, y ) = x

1

2 y1

3 . La curvas de nivel α > 0

asociadas a esta funcion estan dadas por α = x1

2 y1

3 , es decir, por y =α3/x

3

2 . Un par de estas curvas se representan, en el primer cuadrante,en la figura 82.

Figura 82: Curvas de nivel α > 0 para f(x, y) = x1

2 y1

3

x

y

y =α3

x3

2


Ejemplo 43.Consideremos la funcion f(x, y ) =mın{x, y}. Las curvas de nivel α > 0asociadas a esta funcion estan dadas por α = min{x, y}. Un par de estascurvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 83.

Figura 83: Curva de nivel α > 0 para f(x, y) = min{x, y}

x

y

crecimiento de los niveles

y = α

Ejemplo 44.

Consideremos ahora la funcion f(x, y ) = max{x, y}. Las curvas de nivelα > 0 asociadas a esta funcion estan dadas por α = max{x, y}. Dos deestas curvas se representan, en el primer cuadrante, en la figura 84.

Figura 84: Curva de nivel α > 0 para f(x, y) = max{x, y}

x

y

crecimiento de los niveles

y = α


Ejercicios 7

1. Escribir, si es posible, las ecuaciones explıcitas de las curvas denivel α > 0 dado, para las siguientes funciones:

a) f(x, y) = x2 + y + 1 con x, y > 0

b) f(x, y) = x2y3 + 1 con x, y > 0

c) f(x, y) = 3xy + 2y + 1 con x, y > 0

d) f(x, y) = 4xy2 + 5y + 3 con x, y > 0

e) f(x, y) = y3 + x3 + 3 con x, y > 0

Represente estas curvas en el plano.


8. Contexto economico

a). Sobre los orıgenes de la economıa matematica

Con respecto a la Fısica y otras ciencias, la economıa, como ciencia ma-tematica, tiene un desarrollo tardıo. Hasta donde se conoce, el uso dellenguaje matematico tiene una tradicion que se remonta al ingeniero ita-liano Giovanni Ceva quien en 1711 escribiera sobre algunas aplicacioneselementales de las matematicas a la economıa, llamado De re Numma-ria, Quoad Fieri Potuit Geometrice Tractata. Mas tarde, en 1864, Ce-sare Beccaria escribirıa Tentativo Analytico sui contrabbandi en el queempleaba algo de algebra para describir los riesgos y beneficios del con-trabando; y a este le siguieron otras obras menores, entre las que podrıamencionarse el Der Isolierte Staat in Beziehung auf Landwirtschaft undNationalokonomie de Johann Heinrich von Thunen [1783-1850] de 1826y el Mathematical Exposition of some Doctrines of Political Economy deW. Whewell de 1829.

Pero el primer tratado en explorar el problema sistematicamente fue lapieza maestra de Antoine Augustin Cournot Recherches sur les Prin-cipes Mathematiques de la Theorie des Richesses, un trabajo inmensa-mente influyente publicado en 1838. Cournot [1801-1877] era matemati-co, filosofo y estudioso de la teorıa de la probabilidad. Sin embargo, alcomienzo, el libro de Cournot parecıa destinado al fracaso: era muy avan-zado para su tiempo. Sus metodos de solucion a ecuaciones simultaneasy, fundamentalmente, las tecnicas del calculo diferencial de Newton yLeibniz eran extranos para los economistas contemporaneos y sus razo-namientos demasiado intrincados para las crudas nociones de economıapolıtica de la epoca. Fue quizas el economista y logico ingles WilliamStanley Jevons [1835-1882], quien fuera reconocido por sus desarrollosde la teorıa de la utilidad, el primero en comprender las virtudes deltrabajo de Cournot y del metodo matematico. Sin embargo, serıa AlfredMarshall [1842-1924] el que atrajo la atencion de economistas serios enfavor del metodo y a su uso general aunque prudente. Desde entonces laeconomıa matematica ha recibido apoyos y desprecios por parte de loseconomistas en todas las epocas.

Sin duda, el valor de graficas y sımbolos para expresar hechos simples dela economıa es ampliamente reconocido y no requiere discusion. Pero es


el uso de sus desarrollos (derivadas, integrales, etc.) buscando organizarel cuerpo completo de la teorıa economica dentro de un conjunto indepen-diente de proposiciones matematicas, lo que causo mas controversia a lolargo del siglo XX. De todas maneras, es un hecho que las matematicaspueden extenderse a cualquier rama del conocimiento, incluida la eco-nomıa, siempre y cuando los conceptos esten bien definidos y permitanuna representacion simbolica exacta. Ademas, es claro que el metodomatematico facilita la inferencia en algunos problemas de pensamientoeconomico; en este sentido, su utilidad esta fuera de disputa.

De otro lado, no se ha establecido (al menos con las matematicas tradi-cionales que hoy ensenamos) que las matematicas puedan manejar todotipo de problemas economicos y mucho menos que sea posible una mate-matizacion fructıfera del cuerpo de la teorıa economica con las tecnicasde hoy. Tambien algunos sospechan que la economıa se utiliza simple-mente como una oportunidad para el ejercicio matematico, algo que esvalioso para los matematicos que se entrenan en este terreno, pero queofrecen un producto (en terminos de los problemas en que el economistaesta verdaderamente interesado) muy pequeno: es facil encontrar desa-rrollos matematicos que no hacen mas que re-establecer algun puntomuy obvio, pero ahora en “terminos esotericos”; sin embargo, tambienhay problemas economicos sustanciales en que esto no es ası. Y allı,precisamente, comienza el debate.

b). Algunos economistas sobre el metodo matematico eneconomıa (Cournot, Jevons, Marshall, Walras, Koop-mans, Kantorovich, Allais y Debreu)

La percepcion sobre si la matematizacion de la teorıa economica ayudaa estrechar o a ampliar la mirada de los problemas economicos es discu-tida enseguida por algunos de los mas importantes economistas de losdos ultimos siglos: Augustin Cournot, William Jevons, Alfred Marshall,Leon Walras, Tjalling Koopmans, Leonid Kantorovich, Maurice Allais yGerard Debreu.

I). Augustin Cournot (1838) sobre las matematicas en eco-nomıa

A. Cournot en la Introduccion de sus “Mathematical Principles of theTheory of Wealth” de 1838 decıa:


“La ciencia conocida como Economıa Polıtica, que porun siglo tanto ha atraıdo la atencion de pensadores, es hoymas difusa que antes. Comparte con la polıtica la atencion delos grandes periodicos, que son hoy el mas importante mediode difusion de la informacion; pero el publico esta tan can-sado de teorıas y sistemas que ahora busca lo que se llamacuestion “positiva”, esto es, en economıa polıtica, resume-nes de comportamientos de hogares, documentos, reportesgubernamentales, que arrojen luz de experiencias sobre lasimportantes cuestiones que hoy se agitan en el paıs, y quetanto interesan a todas las clases sociales.

No tengo objecion a esta tendencia; esta bien, y esta deacuerdo con las leyes que gobiernan el desarrollo de todaslas ramas de la ciencia. Solo harıa la observacion de que lateorıa no deberıa confundirse con los sistemas, aunque enla infancia de todas las ciencias el instinto de sistematizarnecesariamente pretende delinear las teorıas. Anadirıa quela teorıa deberıa siempre tener una parte, no importa lo pe-quena, en el desarrollo de una ciencia; y que, a un hombre demi profesion en particular, mas que a cualquier otro, deberıapermitırsele hacer consideraciones desde un punto de vistaexclusivamente teorico sobre un asunto de interes general quetiene tantos lados diferentes.

Pero el tıtulo de este trabajo no solo senala investigacio-nes teoricas; tambien muestro que intento aplicarle las for-mas y sımbolos del analisis matematico. Este es un plan queprobablemente, debo confesar, me colocara en la fila de loscondenados por parte de teoricos de renombre. Con seguri-dad se colocaran en contra del uso de formas matematicas, ysin duda sera difıcil escapar al prejuicio que pensadores, co-mo Smith y otros escritores mas modernos, han contribuidoa fortalecer. Las razones para este prejuicio parecen estar,de un lado, en el falso punto de vista desde el cual ha si-do considerada la teorıa por un numero pequeno de aquellosque han pensado en aplicarle matematicas; y, de otro lado,la falsa nocion que se ha formado de esta forma de analisispor hombres que en otros temas tienen un juicio correcto,


a la vez que son versados en Economıa Polıtica, pero paraquienes las ciencias matematicas no son familiares.

Los intentos que se han hecho en esta direccion han per-manecido muy poco conocidos, y apenas he podido cono-cer algunos de estos tıtulos, excepto uno, Les Principes del’Economie Politique de Canard, que es un pequeno traba-jo publicado en el ano X [de la Republica Francesa; 1801],y coronado por el Institut. Estos pretendidos principios sontan radicalmente equivocados, y la aplicacion de ellos es tanerronea, que un cuerpo distinguido de academicos no pu-dieron evitar atacarlos. Es facil ver porque ensayos de estanaturaleza no deberıan inclinar a economistas como Say yRicardo al algebra.

He dicho que la mayorıa de autores que se han dedica-do a la economıa polıtica parecen tambien tener una ideaequivocada de la naturaleza de las aplicaciones del anali-sis matematico a la teorıa de la riqueza. Imaginaban que eluso de sımbolos y formulas solo podıan conducir a calculosnumericos, y como fue claramente percibido que la materiano se adecuaba a tales determinaciones numericas de valo-res por medio de la teorıa unicamente, la conclusion que seobtuvo fue que el aparato matematico, si no conducıa a re-sultados erroneos, era por lo menos inutil y pedante. Peroaquellos sı habiles en el analisis matematico saben que suobjeto no es solo calcular numeros, sino que tambien se em-plea en encontrar relaciones entre magnitudes que no puedenexpresarse mediante numeros, y entre funciones cuya ley notiene ninguna expresion algebraica [...]

El empleo de sımbolos matematicos es perfectamente na-tural cuando las relaciones entre magnitudes estan bajo dis-cusion; y ası, si no son rigurosamente necesarias, difıcilmenteserıa razonable rechazarlas, solo porque no le son familiaresa todos los lectores o porque algunas veces son utilizadasequivocadamente, si ellas pueden facilitar la exposicion deproblemas, los hacen mas concisos, abren el camino a desa-rrollos ulteriores, y evitan las disgresiones de la argumenta-cion vaga.


Hay autores, como Smith y Say, quienes, al escribir so-bre economıa polıtica, han preservado todas las bellezas deun estilo puramente literario; pero hay otros, como Ricardo,quienes, al tratar la cuestiones mas abstractas, o al buscargran precision, no han podido evitar el algebra, y solo lahan disfrazado bajo largos y agotadores calculos aritmeticos.Cualquiera que entienda la notacion algebraica, lee inmedia-tamente en una ecuacion resultados que aritmeticamente solose alcanzan con mucho trabajo y dolor.

Me propongo demostrar en este ensayo que la solucionde las cuestiones generales que surgen de la teorıa de la ri-queza, depende esencialmente no del algebra elemental, sinode aquella rama del analisis que estudia funciones arbitrariasque simplemente se restringen a satisfacer ciertas condicio-nes. Como solo se consideraran cuestiones muy simples, losprimeros principios del calculo diferencial e integral seransuficientes para comprender este pequeno tratado. Tambien,aunque me temo que podrıa parecer demasiado obstruso ala mayorıa de la gente que tiene gusto por estos topicos, nome atrevo a esperar que vaya a merecer la atencion de ma-tematicos profesionales, excepto en la medida en que puedandescubrir aquı el germen de cuestiones que esten a la alturade sus potencialidades.

Pero hay una clase amplia de personas, y, gracias a unaescuela famosa, especialmente en Francia, quienes, despuesde un entrenamiento matematico intenso, han dirigido suatencion a aplicaciones de aquellas ciencias que le intere-san particularmente a la sociedad. Teorıas de la riqueza dela comunidad deben atraer su atencion; y al estudiarlas esseguro que sientan, como yo, la necesidad de utilizar sımbolosfamiliares en analisis que son generalmente indeterminadosy a menudo oscuros, cuando los autores solo utilizan recur-sos del lenguaje ordinario. Al pensar que sus reflexiones alrespecto los puedan conducir a seguir por este camino, es-pero que mi libro pueda ser de algun uso para ello, y puedafacilitarles su trabajo.”


II). William S. Jevons (1871) sobre las matematicas en eco-nomıa

William Stanley Jevons en su Theory of Political Economy and ThePrinciples of Science de 1871 decıa:

“Es claro que la economıa, si va a ser una ciencia, debeser una ciencia matematica. Existen muchos prejuicios con-tra los intentos por introducir los metodos y el lenguaje delas matematicas dentro de cualquier rama de las ciencias mo-rales. Muchas personas parecen pensar que las ciencias fısi-cas forman la esfera propia del metodo matematico, y quelas ciencias morales demandan un metodo diferente - yo nose cual. Mi teorıa de la economıa, sin embargo, es puramentematematica en caracter. Y, creyendo que las cantidades conlas cuales tratamos deben ser sujeto de variacion continua, nodudo en utilizar la rama apropiada de la ciencia matematica,implicando, si es necesario, consideraciones de cantidades in-finitamente pequenas. La teorıa consiste en aplicar el calculodiferencial a la nociones familiares de riqueza, utilidad, valor,demanda, oferta, capital, interes, mano de obra, y todas lasotras nociones cuantitativas de las operaciones diarias de laindustria. Ası como la teorıa completa de casi cualquier otraciencia implica el uso del calculo, nosotros no podemos teneruna teorıa verdadera de la Economıa sin ayuda.

Para mı, nuestra ciencia debe ser matematica, simple-mente porque trata con cantidades. Allı donde las cosas tra-tadas sean susceptibles de ser mayores o menores, las leyesy las relaciones deben ser matematicas por naturaleza.”

III). Alfred Marshall (1890,1906) sobre las matematicas eneconomıa

Como una ilustracion de la actitud de Alfred Marshall sobre la formaen que un economista debiera estudiar economıa, podemos tomar suspuntos de vista sobre el uso de las matematicas. Comenzando entoncescon su firme posicion de que la ciencia economica es fundamentalmente


valiosa, y no puede ser gimnasia intelectual y tampoco un medio de obte-ner verdades por su propio goce, sino como un ayudante de la etica y unsirviente de la practica, Marshall moldeo su trabajo a lo largo de lıneasque se acercaban a ese ideal. Aunque fue un habil matematico, utilizabalas matematicas cuidadosamente. Veıa que el apoyarse excesivamenteen este instrumento podrıa conducirlo a perseguir juegos intelectualeso a problemas imaginarios que no se ajustaban a las condiciones de lavida real; y mas aun, podrıan distorsionar nuestro sentido de la pro-porcion llevandonos a despreciar factores que no podrıan ser facilmenteconsiderados por la maquina matematica.

Cuando era joven, Marshall fue un matematico de considerable habili-dad y, por consiguiente, sabıa de la ventajas que tenıa el tratamientomatematico de un problema. En su Principios de Economıa de 1890decıa:

“El entrenamiento en matematicas es util pues da con-trol sobre un lenguaje maravillosamente terso y exacto paraexpresar claramente algunas relaciones generales y algunosprocesos cortos de razonamiento economico, los cuales pue-den, de hecho, expresarse en lenguaje ordinario, pero no conigual claridad. Y, lo que es de mucha mas importancia, laexperiencia en manejar problemas fısicos mediante metodosmatematicos da una comprension, que no puede obtenerseigualmente bien de ninguna otra forma de la interaccion mu-tua de los cambios economicos.”

Y en 1906, Marshall escribıa lo siguiente acerca de como deberıan utili-zarse las matematicas:

“(1) Utilice las matematicas como un lenguaje de simplifica-cion y no como una maquina para resolver preguntas.

(2) Mantengase cerca de ellas hasta que haya terminado.

(3) Traduzca al Ingles.

(4) Luego ilustre con ejemplos lo que sea importante en lavida real.

(5) Queme las matematicas.


(6) Si no tiene exito en (4), queme (3). Esto ultimo me hatocado hacerlo muy a menudo.”

¿Que era lo que encontraba objetable acerca del uso de las matematicascuando se utilizaban extensamente? Tal vez creıa que faltaban datos oinformacion que apoyaran las construcciones matematicas menos sim-ples; o quizas temıa que algunos factores que no podıan modelarse bienmatematicamente, fueran puestos a un lado. Pero todo parece indicarque, por encima de esto, estaba el temor a que existiera la tentacion dehacer “diversiones matematicas” con los difıciles problemas economicosreales.

Marshall siempre recibio bien todos los metodos que le ayudaran a hacerun trabajo constructivo y las matematicas fueron esto para el. Perosiempre creyo que se deberıa comenzar con el sistema economico real yque era una obligacion tratar de explicar como funcionaba y que solodeberıamos estar interesados en aquellas tecnicas que nos ayudaran aalcanzar el objetivo principal.

IV). Leon Walras (1900) sobre las matematicas en economıa

En su ultima edicion (1900) de los Elementos de Economıa Polıtica Pura,Leon Walras escribıa:

“(...) Poco despues de su publicacion, la Teorıa de Jevonsy la mıa fueron traducidas al italiano, ası como los prime-ros trabajos de Whewell o Cournot. Despues en Alemania,el libro de Gossen, al principio, se unio a trabajos ya cono-cidos de Thunem, de Mangoldt. Despues entonces en Ale-mania, Austria, Inglaterra, Italia y los Estados Unidos haaparecido un considerable numero de trabajos de economıamatematica. La escuela que se esta abriendo camino aho-ra no tendra dificultad alguna en determinar, entre todoslos sistemas, cual debe constituir la ciencia. En cuanto a loseconomistas que, sin saber matematicas, o incluso sin saberexactamente en que consisten las matematicas, ya han deci-dido que estas no pueden servir para elucidar los principioseconomicos, dejemosles seguir su camino repitiendo que “la


libertad humana nunca podra introducirse en ecuaciones” oque las matematicas hacen abstraccion de los roces que loson todo en las ciencias sociales y otras gentilezas de tantopeso como estas.

No podran impedir que la teorıa de la determinacion delos precios en libre competencia sea una teorıa matematicay, por tanto, se encontraran siempre ante la alternativa biende evitar esta disciplina elaborando la teorıa de la economıapolıtica pura, bien de abordar los problemas de economıapolıtica pura sin el instrumental necesario haciendo por tantono solo una economıa polıtica pura muy defectuosa, sino,tambien, unas malas matematicas (...)

En cualquier caso, el que esta conversion sea mas rapidao lenta, ni es asunto nuestro, ni debe preocuparnos. Hoy dıaes perfectamente claro que la economıa polıtica, como la as-tronomıa y la mecanica, es una ciencia tanto empırica comoracional. Y nadie puede reprochar a nuestra ciencia el ha-ber tardado tanto tiempo en unificar el caracter racional y elempırico. La astronomıa de Kepler y la mecanica de Galileonecesitaron de cien a ciento cincuenta o doscientos anos paraconvertirse en la astronomıa de Newton y Laplace, y en lamecanica de D’Alembert y Lagrange.

Pero ha pasado menos de un siglo entre la publicacion dellibro de Adam Smith y las aportaciones de Cournot, Gossen,Jevons y mıas. Estamos, por tanto, en nuestro sitio y hemoscumplido nuestra obligacion. Si la Francia del siglo XIX, queha visto nacer esta nueva ciencia, la ha ignorado completa-mente, la falta se debe a una concepcion de la cultura in-telectual, de una estrechez de mira burguesa, que la divideen dos compartimentos separados: uno que produce calcu-listas desprovistos de conocimientos filosoficos, sociologicos,historicos y economicos, y otro donde florecen las letras sinnocion alguna de matematicas.

El siglo XX, que no se encuentra lejos, hara sentir lanecesidad incluso en Francia, de poner las ciencias socialesen manos de hombres de cultura amplia, acostumbrados a ra-


zonar tanto inductivamente como deductivamente y que seencuentren familiarizados con el razonamiento y la experien-cia practica. Entonces la economıa matematica adquirira unrango parejo al de la astronomıa y la mecanica matematicas,y ese dıa se hara justicia a nuestro trabajo.”

V). Tjalling C. Koopmans (1957) sobre las matematicas eneconomıa

Mas de cincuenta anos despues de Walras, Tjalling C. Koopmans (pre-mio Nobel en economıa en 1975) en sus Tres Ensayos sobre el Estado dela Ciencia Economica de 1957 decıa al respecto lo siguiente:

“La utilizacion explıcita de las matematicas en economıadata de hace mas de un siglo. Igual de antiguo es el deba-te sobre las contribuciones de dicho instrumento. La vivapolemica sobre el papel de las matematicas en economıa a laque hemos asistido en los ultimos diez anos, la desataron pre-sumiblemente los dos nuevos desarrollos ya mencionados: elaumento de la cantidad de escritos economicos en forma ma-tematica, y la diversidad de teorıas y conceptos matematicosintroducidos en economıa.

Iniciada ante las objeciones planteadas por la sabidurıay la experiencia de E. B. Wilson y J. M. Clark, y reaviva-da recientemente por una respuesta bastante organizada a laapasionada y heroica defensa de tales objeciones por partede David Novick, la discusion ha clarificado razonablemen-te bien los temas generales que se debatıan. Se ha apeladoa la equivalencia logica esencial entre las matematicas y ellenguaje (Samuelson), junto a la mayor eficacia y concisiondel razonamiento matematico en numerosos problemas im-portantes (Samuelson, Stigler y otros). En lo que respecta ala relacion entre los supuestos y el razonamiento, se ha reco-nocido generalmente que la aplicacion correcta del metodomatematico fuerza al investigador a ofrecer una presentacioncompleta de hipotesis no contradictorias (Marshak, Samuel-son). A esto habrıa que anadir que al no tener los sımbolos


matematicos ningun significado natural mas que el que lesatribuyen los postulados o definiciones, las connotaciones delas palabras en el lenguaje comun no pueden interferir con elproceso de razonamiento. Sin embargo, como han senaladovarios de los autores citados (Clark, Ruggles, Bodenhorn),no hay nada en el metodo matematico per se que obligue alinvestigador a especificar criterios operativos que liguen losconceptos postulados con entidades observables. Esta tarea,esencial para la verificacion y la interpretacion de las con-clusiones obtenidas del analisis economico, suelen dejarla sinhacer los economistas matematicos que se concentran en elrazonamiento.

Tambien ha habido advertencias ante el exceso de enfasisen el razonamiento formal como un fin en sı mismo (Stigler,Allais). Existe un acuerdo general en que los economistasmatematicos - si no individualmente, sı como grupo - de-berıan esforzarse al maximo para comunicar en forma verballos supuestos y las conclusiones de su analisis, aunque mu-chas veces sea imposible su razonamiento de modo similar.Persisten diferencias de opinion respecto a donde comienzael “formalismo” esteril, y respecto a la relevancia y amplitudde aquellas partes de la economıa en que las matematicasson un instrumento esencial.

Como las cuestiones en que subsisten diferencias de opi-nion solo podran resolverse definitivamente a la vista de losdesarrollos futuros, parece innecesario continuar la discusionen los terminos generales en que se ha venido conduciendo.Sin embargo, merece la pena estudiar mas de cerca algunosdesarrollos concretos dentro de la variedad de instrumentosmatematicos utilizados, y los problemas que plantean parael economista general.

Acaso los instrumentos matematicos mas antiguos en eco-nomıa sean el ejemplo numerico y el diagrama. La naturalezade la utilizacion del ejemplo numerico ha ido cambiando a lolargo del tiempo. Inicialmente, el ejemplo numerico se em-pleaba como un instrumento de analisis propiamente dicho,


es decir, sin que las conclusiones que apuntaba se sostuvie-ran con la ayuda de otro instrumento mas poderoso o deaplicacion mas general. Mas adelante, el ejemplo numericoquedo reducido al papel de un instrumento expositivo; el dia-grama o el analisis matematico explıcito pasaron a utilizarsepara demostrar de modo mas concluyente las proposicionessugeridas por los ejemplos [...]

La representacion diagramatica, que por su naturalezaes mas aconsejable a efectos expositivos, ha ocupado duran-te mucho tiempo una posicion dominante como instrumentoanalıtico a pesar de que se disponıa de otras tecnicas masfiables. Su facilidad de interpretacion ha hecho aparecer aldiagrama como un atajo tentador hacia la verdadera visionen profundidad. Es cierto que muchas veces pueden estudiar-se correctamente problemas referidos a dos, o incluso a tresvariables, utilizando graficos como unico medio de analisisformal. La justificacion logica de esta practica reside en elhecho de que los postulados que subyacen a la descripcionanalıtica del espacio son identicos a los que se emplean pararepresentar la adicion, la sustraccion y el producto escalar decombinaciones de bienes. Los argumentos que se refieren tansolo a unas pocas variables pueden ser por tanto visualizadosen muchas ocasiones en un espacio bi o tridimensional. Perola vista es esencialmente un organo de percepcion mas quede razonamiento. No hay nada en el proceso de lectura deun grafico que fuerce a explicitar por completo los supues-tos de partida y que obligue a avanzar paso a paso hastalas conclusiones a traves de implicaciones sucesivas, comoes propio del razonamiento logico. Ciertas hipotesis puedenquedar encubiertas bajo la forma en que las curvas se trazan“habitualmente”, con el peligro de que se acepten incondi-cionalmente conclusiones que dependen en realidad de talessupuestos implıcitos.

Estos riesgos pueden parecer mayores cuando el instru-mento diagramatico lo utilizan nuestros estudiantes que cuan-do se deja en manos de analistas experimentados. En cual-


quier caso, el habito de inspeccionar graficos trazados de unamanera particular puede obstaculizar nuestra vision durantelargos periodos de tiempo, ¿como puede explicarse de otromodo, por ejemplo, que se hayan desatendido durante tantotiempo las importantes implicaciones del caracter no negati-vo de muchas variables economicas?

La utilizacion de diagramas, para ser adecuada, debe li-mitarse a la discusion heurıstica o expositiva de problemasrelativamente sencillos [...]

Trataremos a continuacion de los conceptos y teorıas ma-tematicas mas formalizados que han llegado a utilizarse eneconomıa. Los ultimos veinte anos han presenciado una am-pliacion considerable del horizonte del economista. Ya hemoscomentado en el primer ensayo de este volumen la tendenciaa abandonar el calculo como metodo para analizar el modoen que un sistema de precios puede servir para descentra-lizar la asignacion eficiente de recursos. Existen varias con-sideraciones que justifican esa tendencia. En primer lugar,como hemos visto, el calculo es un instrumento miope en labusqueda de configuraciones optimas; solo permite compa-rar posiciones dentro de un entorno reducido. Hemos vistotambien que los criterios sugeridos por el calculo deben modi-ficarse y complementarse cuando las restricciones que tomanla forma de desigualdades pasan a ser efectivas [...]

La teorıa de juegos de von Neumann y Morgenstern nosproporciona otro ejemplo. Se ocupa de una situacion que sur-ge solo en la esfera de los fenomenos sociales, donde cada unode dos o mas individuos controla unicamente alguna de lasvariables que determinan conjuntamente el resultado de unproceso en el cual los participantes tienen intereses al menosparcialmente opuestos. El concepto central de esta teorıa esel de estrategia, una regla segun la cual el individuo elige supropia respuesta frente a cualquier conjunto concebible deacciones por parte de sus adversarios [...] Se utiliza en teorıade juegos para determinar (cuando sea posible) que estrate-gia garantiza a cada participante la mayor ganancia posible


de la que no pueden privarle sus rivales. Esta formulacionconstituye un avance, desde el punto de vista de la cohe-rencia, en relacion con los analisis anteriores del oligopoliobasados en reglas simetricas de respuesta donde cada agenteatribuye a sus adversarios una conducta mas automatica ymenos calculadora que la que el mismo esta siguiendo.

La lista de ejemplos se podrıa ampliar. Se han utiliza-do teoremas topologicos15 fundamentales para investigar laexistencia de un equilibrio en un sistema economico perfecta-mente competitivo donde el ambito de eleccion de cada agen-te depende de las decisiones adoptadas por los demas. Losmetodos de la logica simbolica se han empleado para estudiarlas posibilidades de derivar un orden de preferencias sociala partir de las preferencias individuales de los miembros delgrupo. Aunque podrıan citarse mas ejemplos, los casos men-cionados son suficientes para ilustrar una tendencia hacia loque, a falta de un termino mejor, podrıan llamarse matemati-cas mas fundamentales. Una y otra vez nos encontramos conque es posible construir y deducir conceptos y proposicionesmatematicas a partir de los postulados basicos que se utili-zan para representar los fenomenos estudiados. La estructurapostulacional del instrumental matematico resulta ser para-lela a la de la teorıa substantiva que se pretende construir, yambas se estudian y se aprenden simultaneamente. Afortu-nadamente, el resultado es que la economıa “matematica” yla “literaria” tienden a aproximarse cada vez mas. Convergena traves de la exigencia comun en favor de un pensamientovalido y profundo establecido a partir de postulados basicosexplıcitos, mas que basados en la habilidad para manipular elcalculo, las ecuaciones diferenciales o los determinantes. Parailustrar este punto indicare que la “distancia”, en un senti-do intuitivo, entre la obra de A. P. Lerner, The Economicsof Control y la formulacion matematica de las proposicionesde la economıa del bienestar revisadas en el primer ensayode este volumen es, en mi opinion, muy pequena. Si existealguna diferencia, radica en lo sucinto de la exposicion mas

15Ver volumen II (Calculo) y volumen III (Optimizacion y dinamica).


que en el contenido, los conceptos o el objetivo.

Si estas afirmaciones tienen alguna validez, conducen auna concepcion sobre la ensenanza y el auto-aprendizaje delas matematicas por parte de los economistas bastante dis-tinta de la practica actual. En lugar de un curso de calculo,seguido en una minorıa de los casos por el estudio de ecua-ciones diferenciales, la necesidad primordial del economistaconsiste en leer o seguir un curso de fundamentos matemati-cos. El objetivo de este curso serıa introducirle a la estructurapostulacional y a los primeros teoremas de diversas teorıasmatematicas. Aunque la combinacion especıfica de teorıasseleccionadas no es crucial, las teorıas de conjuntos, de rela-ciones, del sistema de numeros reales, de funciones, calculoe integracion, de la probabilidad, de los espacios lineales yel algebra matricial, de la topologıa combinatoria y algunosresultados de topologıa general, han resultado todas apro-piadas y utiles en una u otra parte del analisis economico.

Probablemente, el beneficio mas importante que se ob-tendrıa del estudio de algunas de estas teorıas serıa el au-mento del interes del economista por los postulados basicosde las teorıas economicas que construye o examina. Ademas,este quedarıa mejor preparado para decidir, sobre la basede su area de interes en economıa, en que instrumentos ma-tematicos, llegado el caso, deberıa alcanzar un mınimo decompetencia tecnica.”

VI). Leonid V. Kantorovich (1975) sobre las matematicas eneconomıa

Leonid Vitaliyevich Kantorovich (Premio Nobel en economıa en 1975)en Las Matematicas en la Economıa: Logros, Dificultades, Perspectivasde 1975 decıa:

“En nuestra epoca, las matematicas han penetrado en laeconomıa de modo tan solido, generalizado y diversificado,y el tema escogido esta relacionado con tal diversidad dehechos y problemas, que nos sentimos inclinados a citar las


palabras de Kozma Prutkov, muy populares en mi paıs: “nopodemos abarcar lo inabarcable”. La aplicabilidad de estasabia oracion no disminuye por el hecho de que el nombredel gran pensador sea solo un seudonimo.

Quiero pues restringir mi tema a los elementos que mequedan mas cerca, sobre todo a los modelos de optimizaciony su empleo en el control de la economıa a fin de lograr eluso mejor de los recursos para obtener los resultados mejores[...]

Los metodos nuevos

En los anos veinte se realizaron los primeros intentos deutilizacion de las matematicas en las investigaciones economi-cas sovieticas. Podrıamos citar los conocidos modelos de de-manda de E. Slutsky y A. Konjus, los primeros modelos decrecimiento de G. Feldamn, el analisis de balance de “aje-drez” realizado en el Departamento Central de Estadıstica,que mas tarde se desarrollara en terminos matematicos yeconomicos por W. Leontief, con los datos de la economıanorteamericana. El esfuerzo de L. Jushkov por determinar laeficiencia de la tasa de inversion tuvo continuacion profundaen las investigaciones de V. Novojilov. Las investigacionesantes mencionadas tenıan algunos rasgos en comun con ladireccion matematica de la ciencia economica de Occidentedesarrollada al mismo tiempo y presentada en las obras deR. Harrod, E. Domar, F. Ramsey, A. Wald, J. von Neumann,J. Hicks y otros.

Quisiera referirme aquı sobre todo a los modelos de opti-mizacion aparecidos en nuestro paıs a fines de los anos treinta(y despues en los Estados Unidos, en forma independiente),que en cierto sentido fueron los instrumentos mas adecuadospara el tratamiento de los problemas aquı mencionados.

El enfoque de optimizacion es aquı una cuestion de pri-mordial importancia. El tratamiento de la economıa comoun sistema singular, que debe ser controlado hacia una me-ta congruente, permitio la sistematizacion eficiente de unacantidad enorme de material de informacion, y su analisis


profundo para la toma valida de decisiones. Resulta intere-sante el hecho de que muchas inferencias sigan siendo validasaun en los casos en que no pueda formularse esta meta con-gruente, ya sea porque la meta misma no este muy clara oporque este integrada por varias metas diferentes, cada unade las cuales deba ser tomada en cuenta.

Por ahora se utilizan sobre todo los modelos de optimiza-cion lineal de productos multiples. Supongo que ahora se hangeneralizado estos modelos en la ciencia economica en medi-da no menor que, por ejemplo, las ecuaciones de Lagrangedel movimiento en la mecanica.

No creo que deba describir en detalle este modelo bienconocido, basado en la descripcion de la economıa como unconjunto de clases principales de produccion (o actividades,segun el termino utilizado por el profesor T. Koopmans), ca-da una de ellas caracterizada por el uso y la generacion debienes y recursos. Es bien sabido que la eleccion del programaoptimo, es decir, el conjunto de intensidades de estas activi-dades sobre alguna restriccion de los recursos o del plan, setraduce en un problema de maximo de una funcion lineal demuchas variables que satisfaga ciertas restricciones lineales.

Esta reduccion ha sido descrita tan a menudo que puedetratarse como algo bien conocido. Es mas importante indi-car las propiedades que determinan su uso amplio y variado.Puedo citar las siguientes:

a) Universalidad y flexibilidad. La estructura del modelopermite diversas formas de su aplicacion; puede describir si-tuaciones reales muy diversas para ramas de la economıa yniveles de su control muy diferente [...]

b) Sencillez. A pesar de su universalidad y buena preci-sion, el modelo lineal es muy elemental en cuanto a sus me-dios, que son sobre todo los del algebra lineal, de modo queaun las personas dotadas de un adiestramiento matematicomuy modesto pueden entenderlo y dominarlo. Esto ultimoes muy importante para el uso creativo y no rutinario de losmedios analıticos provistos por el modelo.


c) Eficiencia de la computacion. La urgencia de la solu-cion de problemas lineales extremos condujo a la elaboracionde metodos especiales, muy eficientes, tanto en la URSS co-mo en los Estados Unidos (el conocido metodo simplex de G.Dantzig), ası como a la produccion de una teorıa detalladade estos metodos [...]

d) Analisis e indicadores cualitativos. Junto con la so-lucion de planeacion optima, el modelo produce utiles ins-trumentos de analisis cualitativo de tareas concretas y delproblema en conjunto. Esta posibilidad esta dada por un sis-tema de indicadores de las actividades y factores limitantesque encuentra al mismo tiempo que la solucion optima y deacuerdo con ella. El profesor T. Koopmans llamo “preciossombra” a estos indicadores; yo los llame “multiplicadoresde resolucion” porque se utilizan como un recurso auxiliarpara el hallazgo de la solucion optima, a la manera de losmultiplicadores de Lagrange [...]

e) Concordancia de los medios con los problemas. Aunquealgunas empresas individuales y aun los organismos guberna-mentales de estados de economıas capitalistas han utilizadocon exito estos metodos, su espıritu corresponde mas de cercaa los problemas de una economıa socialista [...]

Debo senalar tambien la posicion actual de la planea-cion optima y los metodos matematicos en las investigacionesteoricas de la ciencia economica sovietica. El modelo linealha resultado ser un buen medio de la descripcion logica massencilla para los problemas del control de la planeacion y elanalisis economico. Ha contribuido a grandes adelantos en losproblemas de la fijacion de precios [...] Ha producido tambienun enfoque cuantitativo para reflejar el factor del tiempo enlas inversiones [...]

Junto con el analisis de insumo-producto y los mode-los de optimizacion derivados de la actividad de una grancomunidad de cientıficos, la teorıa y la practica economicasobtuvieron herramientas analıticas tales como la programa-cion estadıstica y estocastica, el control optimo, los metodosde simulacion, el analisis de la demanda, la ciencia economica


social, etc. En resumen, podemos afirmar que tenemos algu-nos resultados importantes como consecuencia de cerca de 15anos de desarrollo y difusion de los metodos mencionados.

Las dificultades

Sin embargo, el nivel de desarrollo y sobre todo el de lasaplicaciones, puede producir un sentimiento de insatisfac-cion. No se ha completado la solucion de muchos problemas.Muchas aplicaciones son esporadicas, no se convierten en re-gulares ni se unifican en un sistema. En los problemas mascomplicados y de perspectiva, como los referentes a la pla-neacion nacional, no se ha encontrado hasta ahora formasde realizacion eficaces y generalmente aceptables. La actitudante estos metodos, como ante muchas otras innovaciones,paso a veces del escepticismo y la resistencia al entusiasmoy las esperanzas exageradas, y luego a cierto desencanto einsatisfaccion.

Podemos afirmar sin duda que los resultados no son de-masiado malos para un periodo tan breve como el que hatranscurrido. Podemos referirnos a los periodos mas largosde difusion de muchas innovaciones tecnicas, o a la fısicay la mecanica, donde no se han realizado algunos modelosteoricos a pesar de la experiencia de doscientos anos [...] Lasdificultades surgen de los aspectos especıficos del objeto in-vestigado y de los defectos de las investigaciones y de surealizacion practica.

La descripcion formal de las cuestiones economicas cons-tituye un objeto en vista de su complejidad y peculiaridad.Los modelos ponen de relieve solo algunos de sus aspectosy toman en cuenta la situacion economica real en formamuy burda y aproximada, de modo que generalmente, resultadifıcil estimar la correccion de las descripciones e inferencias[....]

A menudo una solucion de problemas economicos nue-vos, y en particular de los relacionados con la revolucion


cientıfica-tecnica, no puede basarse en los metodos existentessino que requiere ideas y enfoques nuevos. Tal es el problemade la proteccion de la naturaleza [...]

Perspectivas

A pesar de las dificultades mencionadas, observo con op-timismo las perspectivas de la difusion de los metodos ma-tematicos, sobre todo los referentes a la optimizacion en laciencia economica, y, en todos los niveles, del control economi-co. Tal difusion puede mejorar considerablemente nuestra ac-tividad de planeacion, puede generar un uso mejor de losrecursos, ası como el aumento del ingreso nacional y de losniveles de vida.

Las dificultades de la construccion de modelos y de datospueden superarse como han sido superadas las dificultadessimilares de las ciencias naturales y tecnicas. Mi esperanzase basa en la intensidad cada vez mayor de la investigacionde metodos y algoritmos nuevos en este campo, en el hechode la aparicion de nuevos enfoque teoricos y nuevos enun-ciados de problemas, en una serie de estudios concretos deproblemas generales y especiales referentes a diversas ramaseconomicas, en el hecho de que ahora trabaje en este cam-po todo un ejercito de jovenes investigadores talentosos. Seha alcanzado un adelanto importante en el desarrollo de lamaquinaria y los programas de computador y en su domi-nio. Los matematicos, los economistas y los administradorespracticos han logrado un mejor entendimiento recıproco[...]”

VII). Maurice Allais(1988) sobre las matematicas en economıa

En su discurso al recibir el premio Nobel en economıa de 1988, MauriceAllais escribıa:

“ (...) Constantemente me he visto obligado a utilizar lasmatematicas en todos aquellos casos donde la logica ordi-naria era manifiestamente insuficiente para el analisis de losfenomenos economicos, que son esencialmente cuantitativos,


y a menudo muy complejos. Esto me ha posibilitado obtenersoluciones rigurosas a problemas que, de otro modo, serıanintratables debido a su complejidad.

Sin embargo, las matematicas no son, y no pueden ser,mas que una herramienta, y todo mi trabajo descansa so-bre la conviccion de que en su uso, los unicos dos estadosrealmente fructıferos en la aproximacion cientıfica son, enprimer lugar, un examen completo de las hipotesis iniciales;y, segundo, una discusion sobre el significado y relevanciaempırica de los resultados obtenidos. El resto es solo calcu-lo tautologico que es de interes unicamente al matematico,y el rigor del razonamiento matematico nunca puede jus-tificar una teorıa basada en postulados si estos postuladosno corresponden a la verdadera naturaleza de los fenomenosobservados.

Aun el uso de las mas sofisticadas matematicas, nuncapuede considerarse como garantıa de calidad. Las matemati-cas son, y solo pueden ser, una forma de expresion y ra-zonamiento. La sustancia real sobre la cual el economistatrabaja, sigue siendo economica y social. De hecho, se de-be evitar el desarrollo de un aparato matematico complejosiempre y cuando no sea estrictamente indispensable. El pro-greso genuino nunca consiste en una exposicion puramenteformal, sino siempre en el descubrimiento de las ideas queestan detras de cualquier prueba. Son estas ideas basicas lasque deben ser establecidas y discutidas explıcitamente.

Las matematicas no pueden ser un fin es sı mismas. Pue-den y deberıan ser unicamente herramientas”.

VIII). Gerard Debreu (1991) sobre las matematicas en eco-nomıa

Gerard Debreu [1921-2004] (Premio Nobel en economıa en 1983) en TheMathematization of Economic Theory de 1990, y publicado en 1991 enThe American Economic Review (Vol. 81, No. 1, p. 1-7) decıa:


I

“ Cuando la Segunda Guerra Mundial estaba por finali-zar, la teorıa economica entro en una fase de matematizacionintensiva que transformo profundamente nuestra profesion.En varias de sus caracterısticas esenciales esa fase no tuvoprecedentes y no tendra sucesores. Explicarlo requiere unreconocimiento de analisis multidimensional de las contribu-ciones que se hicieron a la economıa, como tambien de lastensiones entre los economistas que se destacaron.

El desarrollo de la economıa matematica durante el pa-sado medio siglo puede verse en el numero total de paginaspublicadas cada ano por los principales periodicos en el cam-po, cuyos ındices ahora mostrare. Desde 1933, fecha en quecomenzaron ambas publicaciones, hasta 1959, Econometricay Review of Economic Studies muestran el declive desde unpunto alto, por encima de 700 paginas en 1935 hasta un pun-to mas bajo, inferior a las 400 paginas en 1943-1944. Pero1944 marco el comienzo de un periodo de crecimiento ex-plosivo en el cual a las dos revistas se les unio en 1960 elInternational Economic Review, en 1969 el Journal of Eco-nomic Theory, y en 1974 el Journal of Mathematical Eco-nomics. En 1977, estas cinco revistas juntas publicaron masde 5,000 paginas. Durante el periodo 1944-1977, el ındice sehacıa mas del doble cada nueve anos. De acuerdo con esto,1944 fue un punto crıtico en la historia de la economıa ma-tematica. Fue tambien el ano en el que John von Neumanny Oskar Morgenstern publicaron el Theory of Games andEconomic Behavior.

Mientras que los journals profesionales en el campo dela economıa matematica crecıa a una tasa insosteniblemen-te rapida, el American Economic Review llevo a cabo uncambio radical en identidad. En 1940, menos del 3% de laspaginas de su volumen 30 se aventuraron a incluir expresio-nes matematicas rudimentarias. Quince anos mas tarde, casi40% de las paginas del volumen 80 mostraba matematicasde un tipo mas elaborado.


Al mismo tiempo, la matematizacion de los economistasprocedio a un mas rapido paso en los 13 departamentos ame-ricanos de economıa etiquetados por una reciente valoracionde los programas de doctorado en los Estados Unidos como“distinguido” o “fuerte” de acuerdo a la calidad de estudiosen sus facultades. Cada ano los miembros de la EconometricSociety (ES) certifican nuevos miembros por eleccion en sugremio internacional, los cuales se incrementaron en tamanode 46 en 1940 a 422 en 1990. Para los 13 departamentos jun-tos, la proporcion de miembros en la ES entre profesores fuemenos del 1% en 1940; y ahora es aproximadamente 50%.Iguala o excede 50% para seis de ellos, los cuales estabanentre aquellos evaluados como los ocho mas fuertes. Ası, ma-tematizar una facultad supone que sus estudiantes tenganque considerar tener habilidades matematicas mınimas, y serequiere el conocimiento de calculo y algebra lineal, o estarmuy bien recomendado, para ser admitido a todos los 13programas.

Algunos reconocidos eruditos ponen un enfasis adicio-nal al papel que la cultura matematica esta ahora jugan-do en nuestra profesion. De los 152 miembros de la seccioneconomica de la American Academy of Arts and Sciences, 87son miembros de la ES; y de los 40 miembros de la seccioneconomica de la National Academy of Sciences of the UnitedStates, 34 son miembros de la ES. Desde 1969 hasta 1990, 30economistas fueron premios Nobel, y 25 de los laureados son,o fueron, miembros de la ES. Desde que fue primero otorga-da a Paul Samuelson en 1947, la medalla John Bates Clarkde la American Economic Association ha sido entregada a21 economistas, de los cuales 20 son miembros de la ES; yde los 26 pasados presidentes de nuestra asociacion, 13 sonmiembros de la ES.

Uno desearıa que esas cuentas no fueran hechas. Unopodrıa argumentar acerca de los puntos de su interpreta-cion. Pero ellas pertenecen a nuestro conocimiento comun,y su verdad es inequıvoca. Ellas indican que tan extensivafueron la matematizacion de la economıa y que tan profundo


el cambio que acompano nuestro campo en las pasadas cincodecadas.

La percepcion de la profundidad de dicho cambio es re-forzado por una comparacion de los niveles de matematicasrequeridas en 1940 y en 1990 para seguir los desarrollos de lateorıa economica en cada direccion que esta iba tomando. Ha-ce 50 anos, la preparacion en matematicas del estudiante eracasi siempre suficiente. Hoy, el entrenamiento en matemati-cas es necesario. Si, en lugar de ser un seguidor, uno deseaser un participante activo en ese desarrollo a lo largo de suscaminos mas tecnicos, se requiere un alto grado de profesio-nalismo matematico. Varios miembros de las facultades delos 13 departamentos de economıa mencionados fueron real-mente identificados como matematicos por sus doctorados;cuatro de ellos fueron presidentes de aquellos departamentosdurante los pasados 25 anos. Si aun el enfoque mas intensosacara a los lıderes intelectuales de ese desarrollo, prominen-te entre ellos es John von Neumann, uno de los principalesmatematicos de su generacion.

En ese proceso de desarrollo, los economistas matemati-cos estuvieron continuamente re-definiendo como incluir nue-vos territorios, moviendo fronteras y topicos que estuvieronalguna vez en la frontera y que se convirtieron en temasestandar del curriculum de la teorıa economica.

II

Antes del periodo contemporaneo de las pasadas cincodecadas, la fısica teorica habıa sido un ideal inaccesible ha-cia el cual la teorıa economica en ocasiones se dirigıa. Duran-te aquel periodo, esta busqueda se convirtio en un potenteestımulo en la matematizacion de la teorıa economica.

Las grandes teorıas de la fısica cubren un inmenso rangode fenomenos con una suprema economıa de expresion. Deesto, James Clerk Maxwell (1865)16 habıa dado un notableejemplo, al describir el campo electromagnetico por medio de

16Maxwell, James Clerk (1865), “A Dynamical Theory of the ElectromagneticField”, Wipf and Stock (1996).


ocho ecuaciones cuando la economıa matematica nacıa en lamitad del siglo XIX. Esta precision extrema fue posible porla relacion privilegiada, desarrollada a traves de varios siglos,entre la fısica y las matematicas. A su vez, esta presentaba aaquella con problemas abiertos, o encontraba que preguntassurgidas desde la teorıa fısica ya tenıan respuestas a la manodescubiertas por los matematicos en su abstracto universo.

Algunas veces el lazo causal de investigacion hecho encada uno de estos dos campos no podıa develarse facilmente;y, en ocasiones, el mismo cientıfico hacıa contribuciones aambas disciplinas con ideas interrelacionadas.

Los beneficios de esa relacion especial fueron grandes enambos campos; pero la fısica no se rindio completamente alespacio de las matematicas y su inherente compulsion haciael rigor logico. Los resultados experimentales y las observa-ciones verdaderas que estan en la base de la fısica, y que pro-veen una revision constante sobre sus construcciones teori-cas, ocasionalmente llevaban, por atrevidos razonamientos,a romper conocidos canones de la deduccion matematica.

En estas direcciones, la teorıa economica no podıa se-guir el modelo ofrecido por la fısica teorica. Al lado de lamas suntuosa herramienta cientıfica de la fısica, el supercon-ductor Super Collider, cuyo costo de construccion se esti-ma por el orden de $1010 [David P. Hamilton, 199017; vertambien Science, 5 de octubre de 1910], los experimentos dela economıa lucen excesivamente frugales. Estandole nega-da una base experimental suficientemente segura, la teorıaeconomica tiene que adherirse a las reglas del discurso logicoy debe renunciar a la facilidad de la inconsistencia inter-na. Una estructura deductiva que tolera una contradiccionlo hace ası bajo el castigo de resultar inutil, ya que cualquierafirmacion puede deducirse tonta e inmediatamente de esacontradiccion.

En su forma matematica, la teorıa economica estaabierta a un escrutinio eficiente de todos sus errores logicos.

17Hamilton, David P. (1990), “The SSC Takes On a Life of Its Own”, Science.


El rigor que se ha alcanzado como consecuencia esta en fuertecontraste con los estandares de razonamiento que eran acep-tados al final de los 1930’s. Pocos de los artıculos que apare-cieron entonces en Econometrica o en Review ofEconomic Studies pasarıan la dura prueba de retirar todaslas interpretaciones economicas y solo dejar su infraestruc-tura matematica. La mayor solidez logica del analisis masreciente ha contribuido a la rapida construccion contem-poranea de la teorıa economica. Ha posibilitado a los in-vestigadores construir sobre el trabajo de sus predecesores yacelerar el proceso acumulativo en el que estan participando.

Pero una Gran Teorıa Unificada permanecera fuera delalcance de la economıa, lo que la tendra apelando a una grancoleccion de teorıas individuales. Cada una de ellas trata conun cierto rango de fenomenos que intenta comprender y ex-plicar. Cuando alcanza una forma axiomatica, sus hipotesisexplıcitas delimitan su dominio de aplicabilidad y hacen fla-grante el traspaso de sus fronteras. Algunas de estas teorıastoman una vista comprehensiva de un sistema economico ytraen vision sobre las soluciones de varios problemas globales.Por ejemplo, los precios contribuyen a alcanzar un uso efi-ciente de recursos, a igualar oferta y demanda de mercancıas,y a prevenir la formacion de coaliciones desestabilizantes.En cada caso debe proveerse de una explicacion teorica. Lashipotesis que no pueden ser satisfechas por todas las obser-vaciones economicas, son el resultado presente de un procesode debilitamiento continuo.

Una vision global de una economıa que quiere tomaren cuenta el gran numero de sus mercancıas, el igualmen-te grande numero de sus precios, la multitud de sus agentes,y sus interacciones, requiere de un modelo matematico. Loseconomistas han construido exitosamente un modelo comoeste, debido a que el concepto central de cantidad de unamercancıa tiene una estructura lineal. Ası, la accion de unagente puede describirse listando la cantidad de insumos yproductos (con signos opuestos para diferenciar insumos deproductos). Tal lista puede tratarse como la lista de coor-


denadas en el espacio de mercancıas lineal. Similarmente, elsistema de precios de una economıa puede tratarse como unpunto en el espacio lineal de precios, dual del espacio de mer-cancıas, cuya dimension es tambien el numero de mercancıas.

En esos dos espacios lineales, la escena la colocaron losdeslumbrantes desarrollos matematicos que comenzaron conlos elementos del calculo diferencial y el algebra lineal, y quegradualmente requirieron de tecnicas mas amplias y poten-tes, y de otros resultados matematicos fundamentales. Ası,los tres roles de los precios dados antes como ejemplos fue-ron iluminados por teoremas matematicos basicos: el prime-ro, la obtencion de un uso eficiente de recursos, medianteresultados del analisis convexo; el segundo, la igualdad entreoferta y demanda para las mercancıas, mediante resultadosde la teorıa de puntos fijos; la tercera, el evitar la forma-cion de coaliciones desestabilizadoras, como resultado de lateorıa de la integracion y del analisis no-estandar. En esostres casos, el rezago entre la fecha del descubrimiento ma-tematico y la fecha de su aplicacion a la teorıa economicadecrece en el tiempo. Este rezago fue notablemente corto pa-ra el analisis no-estandar, fundado a comienzos de los 1960´spor Abraham Robinson, y aplicado a la economıa por DonaldBrown y Abraham Robinson (1972)18.

Elijamos el ultimo y mas recientemente desarrollado deestos tres ejemplos, para hacerle una ilustracion mas detalla-da, aunque podıamos haber elegido cualquiera de las otrasdos. La competencia es perfecta cuando la influencia de cadaagente sobre el resultado total de la actividad economica esinsignificante. La influencia de la totalidad de los agentes so-bre este total es, sin embargo, significativa. Fue precisamentedebido a los intentos por resolver el problema de obtener unasuma no-despreciable a partir de la agregacion de cantidadesdespreciables, que se invento el proceso de integracion. Enesta perspectiva, la aplicacion de la teorıa de la integracion

18Brown, Donald y Robinson, Abraham (1972), A Limit Theorem on the Coresof Large Standard Exchange Economies, Proceedings of the National Academyof Sciences, USA.


al estudio de la competencia economica es completamentenatural. Tal aplicacion requiere que el conjunto de agentessea mucho mas grande que el conjunto de enteros. Tratar elconjunto de agentes de una economıa como la coleccion depuntos de un intervalo de numeros reales ha sido muy fa-miliar en descripciones de datos economicos. Llego a ser fa-miliar en teorıa economica despues de que Robert Aumann(1964)19 probara que, en una economıa de intercambio purocompuesta por agentes insignificantes, se puede prevenir laformacion de coaliciones desestabilizadoras si, y solo si, todoslos agentes basan sus decisiones en un sistema de precios.

El concepto de un conjunto convexo (es decir, un conjun-to que contiene el segmento que conecta cualquiera dos de suspuntos) habıa sido colocado repetidamente en el centro de lateorıa economica hasta antes de 1964. Con la introduccionde la teorıa de la integracion en el estudio de la competen-cia perfecta, aquel concepto adquirio una nueva luz: si seasocia, con cada agente de una economıa, un conjunto ar-bitrario en el espacio de mercancıas, y despues se promediatodos esos conjuntos individuales sobre la coleccion de agen-tes insignificantes, entonces el conjunto resultante es necesa-riamente convexo. Y las explicaciones de las tres funcionesde los precios tomadas como ejemplos pueden apoyarse enla convexidad de los conjuntos derivada de un proceso detomar promedios como este. La convexidad en el espacio demercancıas obtenida por agregacion sobre una coleccion deagentes insignificantes es una mirada penetrante que la teorıaeconomica le debe, en su claridad revelante, a la teorıa de laintegracion.

Un economista que experimente una vision como esta per-tenece al grupo de economistas matematicos a cuyas venta-jas se adhiere. Las matematicas le proveen de un lengua-je y de un metodo que permite un estudio efectivo de sis-temas economicos de gran complejidad; pero es un maes-tro exigente. Constantemente esta pidiendo el debilitamiento

19Aumann, Robert J. (1964), “Markets with a Continuum of Traders”, Econome-trica.


de hipotesis, el fortalecimiento de las conclusiones, y mayorgeneralidad. Cuando toma la forma matematica, la teorıaeconomica se ve obligada a responder a tales exigencias. Losbeneficios en generalidad que se han alcanzado en poco masde un siglo, se ven claros cuando se comparan las prime-ras formulaciones de las teorıas del equilibrio general (LeonWalras (1874, 1877)) y del nucleo (core) de una economıa(Francis Edgeworth, 188120, pp.34-8.)

Las matematicas tambien dictan el imperativo de simpli-cidad. Constantemente buscan pruebas transparentes y cor-tas para los sistemas teoricos en los cuales se insertara. Alparticipar de esa busqueda, la teorıa economica ha sido con-ducida a veces hacia una mayor generalidad y mayor sim-plicidad en la misma direccion, y no en direcciones opues-tas. Generacion tras generacion, estudiantes de la teorıa delconsumidor han aprendido acerca del concepto de tasa desustitucion marginal decreciente, y acerca de su extension alcaso de varias mercancıas. Mucho mas general, y mucho massimple, es el concepto de convexidad del conjunto de puntospreferido a un punto dado en el espacio de mercancıas. Elbienestar economico presenta otro ejemplo. Uno de sus prin-cipales teoremas formula precisamente el principio enunciadopor Adam Smith (1776)21. Si todos los agentes de una eco-nomıa estan en equilibrio respecto a un sistema de precios,entonces utilizan sus recursos de forma optima. La pruebade ese teorema (Kenneth J. Arrow (1951)22) ha llegado a sertan simple que puede hacerse sin sımbolos matematicos. Es,al mismo tiempo, de la mayor generalidad; al relacionar dosconceptos basicos de la teorıa economica, no utiliza hipotesisalguna.

(...)

20Edgeworth, Francis Y. (1881), Mathematical Psychics, London: Paul Kegan.21Smith, Adam (1776), An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth ofNations, London.

22Arrow, Kenneth J. (1951), An Extension of the Basic Theorems of ClassicalWelfare Economics, Berkeley: University of California Press.


III

La lista de avances en que la matematizacion de la teorıaeconomica ha ayudado es ya larga; y en cierta forma puedeparecer grande. Ceteris Paribus, uno no puede permitir me-nos a mas rigor, menos a mas generalidad, o complejidad asimplicidad; pero otras cosas no son iguales, y, de acuerdoa muchos miembros de la Asociacion, el costo de esa ma-tematizacion a menudo sobrepasa sus beneficios. Dos de losdiscursos presidenciales confrontan esa dificultad y enfatizanel precio que la economıa paga por el aumento en el uso de lasmatematicas. Las observaciones de Wassily Leontief (1971)23

fueron directas en este punto, y tambien los comentarios deRobert A. Gordon (1976)24 fueron importantes cuando se hi-cieron en 1970 y en 1975. Y todavıa lo son, aunque, a pesarde su autoridad, aumentada por el sitio desde el cual esta-ban hablando, y a pesar de la amplia difusion de sus crıticas,ni Leontief ni Gordon alteraron el curso del desarrollo comobuscaban. En las ultimas dos decadas, la teorıa economica hasido llevada aun mas lejos por una corriente aparentementeirresistible que solo puede explicarse en parte por los exitosintelectuales de su matematizacion.

Los lazos que unen a los economistas en el estudio deun problema comun no ha sido probado unicamente a travesde las diferencias metodologicas. Tambien ha sido probadopor las diferencias en ideologıas. Buscando hacer de su cam-po una ciencia, los economistas deben renunciar a un mo-do muy popular de pensamiento –pensar con el deseo; de-ben ser espectadores imparciales de un juego en el cual ellosmismos son actores. Mientras intentan mantener ese estadoinhumano, son tambien presionados a dar respuestas inme-diatas a problemas sociales de inmensa complejidad y, porconsiguiente, a abandonar la lentitud exacta del paso-a-pasode la aproximacion cientıfica. Las divisiones de acuerdo a

23Leontief, Wassily (1971), Theoretical Assumptions and Non-observed Facts,American Economic Review.

24Gordon, Robert A. (1976), Rigor and Relevance in a Changing InstitutionalSetting, American Economic Review.


metodologıas e ideologıas, las crıticas desde afuera y desdeadentro, y las modas intelectuales que se despliegan por nues-tra disciplina, realzan cada uno de estos lentos desarrollos.Y la matematizacion de la teorıa economica ha sido uno deestos desarrollos durante siglo y medio. Durante las ultimascinco decadas ha llegado a ser uno de los movimientos prin-cipales en la transformacion de nuestro campo. El grado deesa matematizacion ha dado origen a discordantes argumen-tos sobre sus efectos y tambien a intentos por cambiar estaorientacion. Las re-afirmaciones acerca de los meritos de es-ta fase que la teorıa economica ahora recorre, y tambien losintentos por alterar el curso de esta evolucion, se verıan be-neficiados de un analisis detallado del proceso que la condujoa su estado actual”.

c). Sobre ciertas funciones de la teorıa economica

La idea detras de todo modelo matematico, tanto en las “ciencias exac-tas” como en las economicas y sociales, es buscar concentrar ysimplificar aquellos elementos aparentemente relevantes que, de acuerdoal juicio subjetivo de quien construye el modelo, le permitan una des-cripcion adecuada (es decir, simple, directa y clara) del problema quepretende estudiar de esta manera abstracta. Y, sin duda, en este sentido,las funciones, que han sido la herramienta fundamental en la modela-cion matematica de otras ciencias, han venido a jugar su papel tambienaquı en las ciencias economicas.

Las funciones, aplicadas a la teorıa economica, son herramientas queconllevan una gran cantidad de informacion comprobada o hipotetica, ysiempre marcadas por un halo de irrealismo. Pero hoy, para bien o no dela teorıa economica, ellas juegan un papel crıtico, y actualmente no se veforma alguna de desacreditar la razon de su presencia. En lo que sigue,describiremos entonces algunos de los principales tipos de funciones queutiliza la teorıa economica actual para el estudio de diversos problemas.

I). Funciones homogeneas

El primer tipo de funciones que estudiaremos son las funciones ho-mogeneas. Ellas son convenientes instrumentos en la descripcion de una


idea central que ha estado en el pensamiento de los economistasdesde, por lo menos, Adam Smith: la nocion de escala en los procesosde produccion y consumo.

Definicion 37. (Funcion homogenea)Decimos que una funcion (de una o dos variables) f : D −→ R eshomogenea si, y solo si, existe un α ∈ R+ tal que

f( tx ) = tαf(x )

para todo t > 0 y x ∈ D tal que tx ∈ D. En tal caso, diremos que f(·)es homogenea de grado α.

Ejemplo 45.

a) Si f(x ) =√x, x ≥ 0, entonces

f( tx ) =√tx =

√t√x = t

1

2

√x = t

1

2 f(x )

para todo t ≥ 0. Luego f(·) es homogenea de grado 12 .

b) Otro ejemplo es la funcion lineal f(x, y ) = x+ y, x, y ∈ R; aquı,

f( tx, ty ) = tx+ ty = t(x+ y ) = tf(x, y )

para todo t ∈ R. Luego, f(· , ·) es homogenea de grado 1.

c) Ahora consideremos la funcion f(x, y ) = xy, x, y ∈ R; aquı,

f( tx, ty ) = ( tx ) ( ty ) = t2xy = t2f(x, y )

para todo t ∈ R. Ası, f(· , ·) es homogenea de grado 2.

d) Finalmente, consideremos la funcion f(x, y ) =x

y, x ∈ R, y 6= 0;

aquı,

f( tx, ty ) =tx

ty=x

y= f(x, y )

para todo t 6= 0. Ası, f(· , ·) es homogenea de grado 0.

e) No sobra agregar que no todas las funciones son funciones ho-mogeneas. ¿Podrıa el lector dar ejemplos de esto?

II). Funciones con rendimientos decrecientes, constantes o cre-cientes a escala

El concepto de rendimientos a escala en el sentido tecnologico es tan an-tiguo como la economıa misma, aunque no fue cuidadosamente definidohasta, quizas, Alfred Marshall (1890)25. Marshall utilizaba el conceptode rendimientos a escala para capturar la idea de que las firmas pueden,alternativamente, enfrentar “economıas de escala” (es decir, ventajas detamano) o “deseconomıas de escala” (desventajas de tamano). Marshallpresentaba razones por las cuales las firmas podrıan enfrentar rendi-mientos a escala cambiantes.

La definicion de este concepto de rendimientos a escala fue discutidoposteriormente, con mas profundidad, por Knut Wicksell (1900, 1901,1902)26 , 27, 28, P. H. Wicksteed (1910)29 , Piero Sraffa (1926)30, AustinRobinson (1932)31, y John Hicks (1932, 1936)32 , 33, entre otros.

Definicion 38. (Rendimientos a escala)Diremos que la funcion (de una o dos variables) f : D −→ R, dondeD ⊆ R o D ⊆ R2 es tal que si x ∈ D, tx ∈ D para todo t > 1,

a) Tiene rendimientos decrecientes a escala si, y solo si, para todot > 1,

f( tx ) < tf(x )

b) Tiene rendimientos constantes a escala si, y solo si, para todot > 1,

f( tx ) = tf(x )

25Marshall, Alfred (1890), Principles of Economics, London, Macmillan and Co.26Wicksell, Knut (1900), Marginal Productivity as the Basis for Economic Distri-bution, M.E. Sharpe.

27Wicksell, Knut (1901), Lectures on Political Economy, Augustus M Kelley.28Wicksell, Knut (1901), On the Problem of Distribution, Routledge.29Wicksteed, P. H. (1910), The Common Sense of Political Economy: including astudy of the human basis of economic law, London: Macmillan and Co.

30Sraffa, Piero (1926), The Laws of Returns under Competitive Conditions, Routled-ge.

31Robinson, Austin (1932), The World’s Economic Outlook, Atlantic Monthly.32Hicks, John (1932), Marginal Productivity and the Principle of Variation, Trans-action Publishers

33Hicks, John (1936), Mr Keynes’s Theory of Employment, Economic Journal.

c) Tiene rendimientos crecientes a escala si, y solo si, para todo t > 1,

f( tx ) > tf(x )

Y el siguiente teorema relaciona los dos conceptos introducidos hastaaquı: homogeneidad y rendimientos a escala.

Teorema 15. (Homogeneidad y rendimientos a escala)Sea f : D −→ R+ con D ⊆ R+ o D ⊆ R2

+ tales que si x ∈ D entoncestx ∈ D para todo t > 1.

a) Si f(·) es homogenea de grado α con 0 < α < 1, entonces f(·)tiene rendimientos decrecientes a escala.

b) Si f(·) es homogenea de grado α = 1, entonces f(·) tiene rendi-mientos constantes a escala.

c) Si f(·) es homogenea de grado α > 1, entonces f(·) tiene rendi-mientos crecientes a escala.

Demostracion.

Para todo t > 1,

a) f( tx ) = tαf(x ) < tf(x ), pues 0 < α < 1.

b) f( tx ) = tαf(x ) = tf(x ), pues α = 1.

c) f( tx ) = tαf(x ) > tf(x ), pues α > 1. �

Nota 12.

El recıproco del teorema 15 no es necesariamente cierto, como podemosmostrar con mayor claridad en la leccion 1 del volumen III (optimizaciony Dinamica). ¿Cual de los tres casos sı es cierto de manera inmediata?

III). Funciones lineales como funciones de consumo

Para John Maynard Keynes (1936)34, la funcion de consumo de unaeconomıa es una funcion lineal del ingreso C : R+ −→ R, definida por

C( y ) = α+ βy, α > 0, 0 < β < 1

34Keynes, John Maynard ( 1936 ), The General Theory of Employment, Interest andMoney. London: Macmillan.

donde C( y ) es la variable consumo; y es la variable ingreso agregado;β es la propension marginal al consumo, es decir, la proporcion que esconsumida de cada unidad monetaria que se recibe; y α es el consumobasico de subsistencia.

Figura 85: Funcion de consumo

y

C(y)

α

C( y ) = α+ βy

IV). Funciones de demanda

Dos de las mas tıpicas funciones de demanda son las siguientes:

i) Funciones lineales como funciones de demanda

La funcion x : R+ × R+ −→ R definida por

x( p,m ) = α + β p + cm, α > 0, β < 0, c > 0

es utilizada a menudo como una funcion de demanda, donde xes la cantidad demandada de cierta mercancıa, p es el precio porunidad de esa mercancıa y m es el ingreso. Observemos que sip crece y m no varıa, x( p,m ) disminuye y viceversa (ley de lademanda). Ademas, a medida que aumenta el ingreso, aumenta lacantidad demandada y viceversa.

Figura 86: Funcion lineal de demanda

p

x(p)

αx( p ) = α+ βp


ii) Hiperbolas como funciones de demanda

La funcion x : R+ × R+ −→ R definida por

x( p,m ) = α +β

p+ cm, α, β, c > 0

se utiliza tambien como una funcion de demanda. Esta funcion dedemanda (ver figura 87) se caracteriza por ser una relacion inversaentre el precio y la cantidad demandada, y por ser una relaciondirecta entre el ingreso y la cantidad demandada.

Figura 87: Funcion hiperbolica de demanda

p

x(p)

x = α+β

p

V). Funciones de ingreso

Para Keynes (1936) (ver Hicks (1937)35) el ingreso agregado de unaeconomıa puede describirse mediante la funcion Y : R+ × R+ −→ R

definida por

Y (M,P ) = α+ βM

P, α > 0, β > 0

donde α es el gasto autonomo del gobierno, β es el “multiplicador mo-netario”, M es la cantidad de dinero disponible en efectivo y bonos, yP es el nivel agregado de precios (cuya variacion es una medida de lainflacion).

35Hicks, John (1937), Mr. Keynes and the Classics: A Suggested Interpretation,Econometrica.


Figura 88: Curva hiperbolica de ingreso

P

Y (P )

Y = α+ βM

p

VI). Curva de Phillips (1958)

Segun observaciones estadısticas del economista ingles A. W. Phillips(1958)36 en el Reino Unido, durante los anos 1861-1957, existio unarelacion inversa entre la tasa de desempleo y las tasas de cambio delos salarios monetarios. La curva de Phillips se asemejaba a la funcionestrictamente decreciente de la figura 89.

Figura 89: Curva de Phillips (1958)

Tasa de desempleo

Tasa de cambio de

salarios monetarios

6%

1861-1957

VII). El ciclo economico como una funcion oscilante

Muy vagamente, el problema del ciclo economico es el estudio de latrayectoria del nivel de actividad economica (aproximado por el nivel deingreso nacional) a traves de sus expansiones y contracciones, y de laidea basica de que estas ocurren en forma intercalada alrededor de unatrayectoria de largo plazo como se muestra en la figura 90.

36Phillips, A.W. (1958), The Relationship between Unemployment and the Rate ofChange of Money Wages in the United Kingdom 1861-1957, Economica.


Figura 90

Tiempo

Ingreso Nacional

Trayectoria de Largo Plazo

Los primeros esfuerzos alrededor de esta idea los encontramos en Keynes(1936)37, Schumpeter (1947)38 , y Hicks (1950)39, entre otros.

VIII). Funciones de produccion

Una tecnologıa que utiliza dos insumos para producir un unico productopuede describirse por medio de una funcion de produccion f : R2

+ −→ R

que indica el maximo nivel de producto que puede producirse por cadacombinacion de insumos. Despues de Cournot, fue, quizas, Philip Wicks-teed (1894)40 el primero en escribir una forma funcional y = f(x1, x2)para relacionar un producto y con sus factores x1, x2. Observese que alescribir ası las funciones de produccion, estamos excluyendo la produc-cion conjunta (es decir, procesos de produccion que arrojan mas de unproducto).

i) Funciones Cobb-Douglas (1928) como funciones de pro-duccion

Las funciones de produccion Cobb-Douglas son de la forma

f(x, y ) = xα yβ, x ≥ 0, y ≥ 0

37Keynes, J.M. (1936), The General Theory of Employment, Interest and Money.Ed. McMillan, C. London.

38Schumpeter, Joseph (1947), Theoretical Problems of Economic Growth, Journalof Economic History.

39Hicks, John (1950), A Contribution to the Theory of the Trade Cycle, OxfordUniversity Press.

40Wicksteed, Philip (1894), An Essay of the Co-ordination of the Laws of Distribu-tion.

donde α, β son constantes positivas41. Observemos que para todot > 0,

f( tx, ty ) = ( tx )α ( ty )β = tα+βxα yβ = tα+βf(x, y )

y, por tanto, las funciones Cobb-Douglas son siempre homogeneasde grado α+ β. Por el teorema 15 sabemos entonces que:

a) Si α + β < 1, la funcion Cobb-Douglas tiene rendimientosdecrecientes a escala.

b) Si α + β = 1, la funcion Cobb-Douglas tiene rendimientosconstantes a escala.

c) Si α + β > 1, la funcion Cobb-Douglas tiene rendimientoscrecientes a escala.

La funcion Cobb-Douglas fue introducida en 1928 por CharlesCobb y Paul Douglas en su artıculo A Theory of Production (Ame-rican Economic Review). Allı (aunque anticipados por Knut Wi-cksell (1901)42), afirmaban que esta funcion de produccion, conx=unidades de capital, y=unidades de mano de obra, α = 1

4 yβ = 3

4 , se ajustaba a los datos de la industria manufacturera delos Estados Unidos si no se consideraba el progreso tecnologico(ver figura 91).

Figura 91: Tıpica curva de nivel Cobb-Douglasx

y

41Por simplicidad, asumiremos α, β racionales positivos.42Wicksell, Knut (1901), Lectures on Political Economy, London:Routledge y KeganPaul.


ii) Funciones insumo-producto de Leontief (1936)43 como fun-ciones de produccion

La funcion de produccion insumo-producto fue introducida porWassily Leontief en 1936 en su Quantitative Input and Output Re-lations in the Economic System of the United States. La forma deesta funcion de produccion es

f(x, y ) = mın{ x

a,y

b

}

, x ≥ 0, y ≥ 0

donde a y b son constantes positivas, y por lo tanto, es homogeneade grado 1:

f( tx, ty ) = mın

{tx

a,ty

b

}

= tmın{ x

a,y

b

}

= tf(x, y )

para todo t > 0; Ası, la funcion insumo-producto de Leontief tienerendimientos constantes a escala.

Figura 92: Curvas de nivel de f(x, y)=mın{x, y}

x

րcrecimiento de los niveles

y

iii) Funciones lineales como funciones de produccion

La funcion de produccion lineal esta definida como

f(x, y ) = ax+ by, x ≥ 0, y ≥ 0

donde a y b son constantes positivas. Esta funcion, al igual que lafuncion insumo-producto de Leontief es homogenea de grado 1, yası, tiene rendimientos constantes a escala:

f( tx, ty ) = a( tx ) + b( tx ) = t( ax+ by ) = tf(x, y )

para todo t > 0.

43Leontief, Wassily (1936), Quantitative Input-Output Relations in the EconomicSystem of the United States, Review of Economics and Statistics.

Figura 93: Curvas de nivel de f(x, y) = ax+ by

x

y

ր crecimiento de los niveles

iv) Funciones CES (1961) como funciones de produccion

Las funciones de produccion CES44 son de la forma

f(x, y ) = A [ γ xρ + (1 − γ )yρ ]1

ρ x ≥ 0, y ≥ 0

donde A > 0, 0 < γ < 1, ρ ≤ 1.45 Observemos que para todot > 0,

f( tx, ty ) = A [ γ( tx )ρ + (1 − γ )( ty )ρ ]1

ρ

= t A [ γxρ + (1 − γ )yρ ]1

ρ = tf(x, y )

Las funciones de produccion CES son, entonces, homogeneas degrado 1 y, por tanto, todas tienen rendimientos constantes a escala.

Figura 94

x

y

44CES significa, en Ingles, “Constant elasticity of substitution” (es decir, elasticidadde sustitucion constante).

45Por simplicidad asumiremos que γ es racional positivo.


Esta funcion fue introducida en la teorıa economica en 1961 porArrow, Chenery, Minhas y Solow en Capital-Labor Substitution andEconomic Efficiency (Review of Economic Studies).

IX). Funciones de utilidad

En teorıa economica, una funcion de utilidad es una representacionnumerica de las preferencias que tiene un consumidor sobre las diferen-tes combinaciones de consumo que estan a su disposicion en el mercado.Mas precisamente, una funcion de utilidad u : R2 −→ R asigna, a cada“canasta”de consumo (x, y ) (donde x mide la cantidad de, digamos, elbien 1; y y mide la cantidad de, digamos, el bien 2), un numero realu(x, y) de tal forma que si el consumidor prefiere estrictamente una ca-nasta (x, y) a otra canasta (x′, y′), entonces u(x, y) > u(x′, y′) (es decir,el numero asignado a la canasta preferida es mayor); y si es indiferen-te entre las dos canastas de consumo, entonces u(x, y) = u(x′, y′) (lesasigna a ambas el mismo numero). Sobre el origen de las funciones deutilidad discutiremos con amplitud en el volumen II: Calculo (leccion3). Enseguida, sin embargo, examinaremos algunas de las funciones deutilidad que mas se utilizan en el analisis del comportamiento economico.

i) Funciones Cobb-Douglas como funciones de utilidad

Un ejemplo prototıpico de una funcion de utilidad es la funcionCobb-Douglas que, para el caso de dos bienes, esta definida por

u(x, y ) = xα yβ, x ≥ 0, y ≥ 0 ; α, β > 0 46

ii) Funciones CES como funciones de utilidad

Otro ejemplo de una funcion de utilidad es la funcion de utilidadCES, la cual esta definida por

u(x, y ) = (αxρ + βyρ )1

ρ

donde x, y ≥ 0; α, β > 0; ρ ≤ 1.

46Aquı, de nuevo, asumiremos que α, β son racionales positivos.

iii) Funciones de utilidad separable

Es usual en ciertos contextos asumir que la funcion de utilidad esaditivamente separable, es decir, que es de la forma

u(x, y ) = v(x ) + β v( y )

donde x ≥ 0 representa el consumo presente, y ≥ 0 el consumofuturo, y 0 < β < 1.

Este tipo de funciones de utilidad tiene ciertas propiedades a ve-ces convenientes: el requerimiento de que la utilidad del consumofuturo sea descontada (β < 1 ) significa que el consumidor es “im-paciente” en el tiempo: β cercano a cero significa que el consumidores “impaciente” y β cercano a 1 significa que el consumidor es “pa-ciente”. En otra forma, β cercano a cero significa que al consumidorle interesa, primordialmente, su consumo actual y no su consumofuturo; y β cercano a 1 significa que el consumidor esta preocupadopor su consumo actual pero tambien por su consumo futuro. Estaidea de “antes” y “despues” en el consumo puede trazarse al menoshasta Eugene Bohm-Bawerk (1889)47 e Irving Fisher (1930)48.

X). Funciones de costo

La funcion C : R+ × R+ −→ R definida por

C(w, y ) = wyα

es la funcion de costos de cierta firma, donde w es el precio del insumoutilizado en el proceso productivo y y es el nivel de produccion deseado.Observemos que si w crece y el nivel de produccion y no varıa, el costode produccion aumenta. Ademas, esta funcion de costos corresponde auna funcion de produccion con rendimientos crecientes a escala si α < 1,constantes si α = 1 y decrecientes si α > 1.

47Bohm-Bawerk, Eugene (1889), Capital and Interest, South Holland, LibertarianPress.

48Fisher, Irving (1930), The Theory of Interest: As Determined by the Impatienceto Spend Income and Opportunity to Invest it, Porcupine, editors.

En general, las funciones de costo de produccion y su analisis se deben alfamoso trabajo Foundations of Economic Analysis de Paul Samuelson(1947)49, y tambien al de Ronald Shephard (1953)50.

Figura 95: Funcion de Costo

y

C(y)

α < 1

α > 1 α = 1

XI). Funciones de beneficio

La funcion π : R+ × R+ −→ R definida por

π( p,w ) = Ap1

1−α wα

α−1

es la funcion de beneficios de cierta firma, donde A > 0 es constante, p >0 es el precio del producto y w > 0 es el precio del insumo. Observemosque si w aumenta y el precio del producto p no cambia, el beneficiodisminuye; y si p aumenta y w no cambia, el beneficio aumenta. Elprimer estudio de las funciones de beneficio fue el trabajo pionero deHarold Hotelling (1932)51.

XII). Funciones con interacciones economicas: algunos ejem-plos especıficos

Los problemas de eleccion en forma estrategica estan el corazon de latoma de decisiones economicas, y el intentar modelarlas ha servido pa-ra mostrar los enormes problemas que surgen al tratar de entender el

49Samuelson, Paul (1947), Foundations of Economic Analysis, Harvard EconomicStudies.

50Shephard, Ronald (1953), Cost and Production Functions, Princeton UniversityPress.

51Hotelling, Harold (1932), Edgeworth’s Taxation Paradox and the Nature of Su-pply and Demand Functions, Journal of Political Economy.


comportamiento humano al momento de interactuar unos con otros enpos de objetivos economicos. El primer esfuerzo consolidado en teorıaformal se ha dado en llamar teorıa de juegos, un termino evidentementetomado de los juegos de salon como el ajedrez y el bridge. Este apara-to teorico, desarrollado en sus inicios por John von Neumann y OskarMorgenstern en 1944 en su Games and Economic Behavior, ha provistoa la teorıa economica de un lenguaje preciso que describe la toma dedecisiones conscientes por parte de individuos con grandes capacidadespara calcular y evaluar las consecuencias futuras de decisiones tomadashoy. Sin embargo, como veremos mas adelante (ver volumenes I (Algebralineal)y III (Optimizacion y dinamica)), las limitaciones y debilidadesde esta aproximacion son ahora claras. Veamos, no obstante, algunosejemplos (simples) de como la teorıa economica moderna ha comenzadoa modelar los problemas de interacciones economicas.

i) Funciones de utilidad con interacciones

• Dos individuos quieren construir cierto bien. El proceso deconstruccion de este bien exige la disponibilidad de ciertosniveles de inversion por parte de los individuos. Medido enunidades monetarias, la utilidad que cada individuo obtengadepende del nivel de inversion que el otro individuo lleve acabo. Las funciones de utilidad podrıan ser de la siguienteforma:

u1(x, y ) = x( y − 1 )

u2(x, y ) = y(x− 1 )

donde x ≥ 0 y y ≥ 0 son los niveles de inversion de losindividuos 1 y 2, respectivamente.

• Consideremos una situacion en la cual la utilidad de un com-prador de automoviles depende, no solamente del automovilque el elija, sino tambien del que elija su vecina (¿por que?).La funcion de utilidad de este individuo podrıa ser de la si-guiente forma:

u(x, y ) =√x+ 2xy, x, y = 1,−1

donde x indica el tipo de carro elegido por el y y el tipo decarro elegido por la vecina. ¿Cual es la utilidad del individuosi el elige un carro tipo 1 y su vecina un tipo −1?

ii) Funciones de produccion con interacciones

Un grupo de pescadores puede pescar libremente en un lago. Mien-tras mayor sea el numero de pescadores, mayor sera el numero depeces atrapados. Si b pescadores estan pescando, el numero de pe-ces capturados es g( b ). Por tanto, si la reparticion de los peceses proporcional al numero de pescadores, la produccion de cada

pescador puede considerarse como f( b ) =g( b )

b. Observemos que

el numero de peces que recibe cada pescador depende del numerototal de pescadores en el lago.

iii) Funciones de costo con interacciones

Consideremos una economıa en la cual hay dos firmas: la firma 1produce el bien x y la firma 2 produce el bien y. El costo para lafirma 2 de producir y unidades de su producto es ( y−3 )3. Ademas,la produccion de x impone un costo de x2 sobre la firma 2. Porejemplo, la produccion de ciertas unidades de x genera polucionque afecta a la firma 2. Por tanto, la funcion de costos de estafirma es

C(x, y ) = x2 + ( y − 3 )3, x ≥ 0, y ≥ 3

iv) Funciones de beneficio con interacciones: el modelo deduopolio de Cournot (1838)

Supongamos que existen dos firmas que producen un bien ho-mogeneo. Los niveles de produccion de las firmas 1 y 2 seran de-notados q1 y q2, respectivamente. La funcion inversa de demandaes p(Q ) = α+βQ, donde α > 0, β < 0 y Q ≡ q1 +q2 es la produc-cion agregada. La firma i tiene una funcion de costos ci( qi ) = cqi,donde c > 0 para i = 1, 2. 52 Por tanto, las funciones de beneficiode las firmas 1 y 2 son, para q1, q2 ≥ 0,

π1( q1, q2 ) = [α+ β( q1 + q2 ) ]q1 − cq1

π2( q1, q2 ) = [α+ β( q1 + q2 ) ]q2 − cq2

N

52Cournot, A. (1838), Researches into the Mathematical Principles of the Theoryof Wealth, London: Macmillan.


Sobre la utilizacion especıfica de las funciones economicas estudiadas eneste “contexto economico”, regresaremos en los siguientes volumenes (I,II y III) del presente texto.

1) Pruebe que si a, b son numeros reales positivos (> 0), entonces

a+ b

2>

√ab

es decir, la media aritmetica de dos cantidades positivas es mayorque su media geometrica.

2) Pruebe que si a, b, c son numeros reales positivos (> 0), entonces

a2 + b2 + c2 > bc+ ca+ ab

[Indicacion: b2 + c2 > 2bc; c2 + a2 > 2ac; a2 + b2 > 2ab.]

3) Pruebe que si a2 + b2 ≤ 1 y x2 + y2 ≤ 1 entonces ax + by ≤ 1.[Indicacion: a2 + x2 ≥ 2ax; b2 + y2 ≥ 2by]

*4) (Induccion matematica) El metodo de induccion matematica (terminoacunado por Augustus DeMorgan en 1838 en la Penny Cyclopedia)es un metodo de demostracion que consiste en identificar cuandouna propiedad de los numeros es satisfecha por los numeros natu-rales: si el numero 1 satisface la propiedad; y cuando el numero nsatisface la propiedad entonces tambien el numero n+1 la satisfa-ce, tendremos que todos los numeros naturales la satisfacen (ver laNota 5 de la presente leccion para ver por que esta propiedad, dehecho, define a los numeros naturales). Esta caracterıstica esta enla raız de un tipo de argumento que se ha constituido en un metodode demostracion: es el metodo de induccion matematica.

i) Utilizando el metodo de induccion matematica, pruebe quepara todo n ∈ N:

a)1

2n<

1

n

b) 1 + 2 + 3 · · · + n =n(n+ 1)

2

c) 12 + 22 + · · · + n2 =n(n+ 1)(2n + 1)

6

d) 13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

[n(n+ 1)

2

]2

; es decir,

13 + 23 + 33 + ...+ n3 = (1 + 2 + 3 + ...+ n)2

e) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

f)n∑

i=0

ai =1 − an+1

1 − asi a 6= 1

[Indicacion: En cada caso, se requiere probar que la hipotesises cierta para n = 1; despues, se asume cierta la hipotesispara cierto numero natural n, y se prueba cierta tambienpara n + 1. El metodo de induccion matematica le aseguraque, entonces, la hipotesis es cierta para todos los numerosnaturales].

Para ilustrar esto, resolvamos los literales a) y b).

a) • Probar que1

2n<

1

nsi n = 1 es inmediato pues

1

2< 1.

• Supongamos ahora que1

2n<

1

npara un cierto n ∈

N, y probemos que, entonces, tambien es cierto que1

2n+1<

1

n+ 1. En efecto,

1

2n+1=

(1

2

)(1

2n

)

<

(1

2

)(1

n

)

=1

2n≤ 1

n+ 1

siendo esto ultimo cierto puesto que n + 1 ≤ 2n yaque n ≥ 1.

• Ası,1

2n<

1

npara todo n ∈ N.

b) • Probar que 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n =n(n+ 1)

2para

n = 1 es inmediato pues 1 =1(1 + 1)

2.

• Ahora supongamos que la hipotesis es cierta para n ∈N y probemosla para n+1; es decir, debemos ver que

1 + 2 + 3 + · · · + n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n + 2)

2


Pero, en definitiva, lo que debemos probar, dada la

hipotesis cierta de que 1+2+3+ · · ·+n =n(n+ 1)

2,

es que n + 1 =2(n + 1)

2lo cual es, evidentemente,

cierto.

• Ası, 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2para todo n ∈ N.

* ii) Pruebe, por induccion matematica, que si el cardinal del con-junto A es n, entonces el cardinal de P(A) es 2n. [Indicacion:Hagalo primero para n = 1, 2, 3]

* iii) Pruebe, por induccion matematica, que la suma de los coefi-cientes en la expresion de (a+ b)n es 2n. ¿Que relacion tieneeste resultado con el numeral ii)?

5) Pruebe que en X = R2++ (es decir, los pares (x1, x2) con x1, x2

≥ 0), la relacion (x1, x2)ℜ (y1, y2) si, y solo si, xα1x

β2 = yα

1 yβ2 para

α, β > 0, es de equivalencia. Dibuje las clases de equivalencia enque se establece la particion de R2

+. Pruebe que estas coinciden conlas curvas de nivel de la funcion Cobb-Douglas f(x1, x2) = x1

αx2β.

6) El mismo problema anterior, pero ahora con la relacion definida

por (x1, x2)ℑ (y1, y2) si, y solo si,x1

x2=y1

y2y la funcion f(x1, x2) =

x1

x2.

7) Dadas las siguientes funciones, determine su dominio y dibujelaslo mejor que pueda:

a) f(x ) =√x− 2 b) f(x ) =

√

x2 + 4x+ 4

c) f(x ) =x2

(x− 1 )(x+ 2 )d) f(x ) = −√

x

8) Dadas las funciones

f(x ) =1

x2 + 1y g(x ) = 3

√x x ≥ 0

halle:

a) ( f + g )(x ) b) ( f − g )(x )

c) ( f · g )(x ) d)

(f

g

)

(x )

y determine sus respectivos dominios.

9) Escriba la funcion f(x) =1√

x2 + 1como funcion compuesta en

dos formas diferentes.

10) Considere las siguientes funciones definidas cada una por la formu-la f(x ) = x2 − x− 2:

a)f1 : [−2, 2 ] 7→ R b)f2 :

(1

2, 5

]

7→ R

c)f3 : [−5, 3 ) 7→ R d)f4 : (−∞,∞) → R

y determine, en cada caso, si son o no inyectivas (uno-a-uno), so-breyectivas (sobre), biyectivas. Grafıquelas lo mejor que pueda.

11) a) Dibujando la funcion f(x) = |x − 1|, resuelva, graficamente,la desigualdad |x− 1| < 3.

b) Dibujando al funcion f(x) = 1/x muestre que solo en el in-tervalo (1,+∞) se satisface la desigualdad 0 < 1/x < 1.

c) Sabiendo que f(x) = x3 +x2 − 2x = x(x+2)(x− 1), resuelvagraficamente la desigualdad x(x + 2)(x − 1) < 0 y muestreque su solucion es (−∞,−2)

⋃(0, 1).

12) Grafique, lo mejor que pueda, las curvas de nivel α > 0 de lassiguientes funciones, distinguiendo claramente su direccion positivade crecimiento:

a)f(x, y ) = x2 − y b)f(x, y ) =1

x y

c)f(x, y ) = x2 − y3 d)f(x, y ) =1

x2 + y2


13) ¿Se podran extender las nociones de sobreyectividad (sobre), uni-vocidad (uno-a-uno) y biyectividad definidas para funciones de unasola variable a funciones de dos o mas variables?

* 14) Extienda el concepto de funcion real de una y dos variables a nvariables con n ≥ 3.

15) Si An =

(

− 1

n, 4 +

1

n

)

pruebe que∞⋂

n=1An = [0, 4].

16) Si An =

[1

n, 1 − 1

n2

]

pruebe que∞⋃

n=2An = (0, 1).

17) a) Si f : A→ B y M ⊆ A, definimos la imagen de M por f comoel conjunto

f(M) = {f(x)/x ∈M}

b) Si f : A → B y N ⊆ B, definimos la imagen recıproca de Npor f como el conjunto

f−1(M) = {x ∈ A/f(x) ∈ N}

c) Pruebe, mediante una grafica, que si f(x) = x2 entonces

a) f([0, 1]) = [0, 1]

b) f([−1, 1]) = [0, 1]

c) f−1([1, 4]) = [−2,−1] ∪ [1, 2]

** 18) Sea F : A −→ B una funcion cualquiera. Pruebe que:

a) Si M1 ⊆M2 ⊆ A entonces f(M1) ⊆ f(M2)

b) Si M1,M2 ⊆ A entonces f(M1 ∪M2) = f(M1) ∪ f(M2)

c) f

(⋃

i∈IMi

)

=⋃

i∈If(Mi) donde {Mi}i∈I es una coleccion no

vacıa de subconjuntos de A.

d) Si M1,M2 ⊆ A entonces f(M1 ∩M2) ⊆ f(M1) ∩ f(M2)

e) Si N1 ⊆ N2 ⊆ B entonces f−1(N1) ⊆ f−1(N2)

f) Si N1, N2 ⊆ B entonces f−1(N1 ∪N2) = f−1(N1) ∪ f−1(N2)


g) f−1

(⋃

i∈INi

)

=⋃

i∈If−1(Ni) donde {Ni}i∈I es una coleccion

no vacıa de subconjuntos de A.

h) Si N1, N2 ⊆ B entonces f−1(N1 ∩N2) = f−1(N1) ∩ f−1(N2)

i) f−1

(⋂

i∈INi

)

=⋂

i∈If−1(Ni) donde {Ni}i∈I es una coleccion

no vacıa de subconjuntos de B.

j) f−1(N ) = f−1(N) donde N ⊆ B es cualquier conjunto.(Aquı N denota el complemento de N)

Ilustre estos resultados con conjuntos y funciones especıficas.

19) Si f : A → B es una funcion, pruebe con contraejemplos que, engeneral,

a) f(M1 ∩M2) 6= f(M1) ∩ f(M2) para M1,M2 ⊆ A

b) f(M1) 6= f(M1)

20) (Nota sobre la cardinalidad en conjuntos de numeros) En la segun-da seccion de esta leccion afirmabamos, siguiendo a Cantor, que elconjunto de los numeros naturales (N) podıa colocarse en corres-pondencia (biyectiva) con el conjunto de los numeros naturalespares, ası:

1 2 3 4 5 6 ... n ...

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓2 4 6 8 10 12 ... 2n ...

y que esto mostraba una caracterıstica tıpica de los conjuntos infi-nitos que consistıa en que era siempre posible colocarlo en corres-pondencia (biyectiva) con un subconjunto propio de el. El proposi-to de este ejercicio es que el estudiante observe algunos de losproblemas que surgen al momento de establecer estas correspon-dencias entre los conjuntos de numeros que ya conocemos.

i) En primer lugar, desde Cantor se ha denotado el cardinal delos numeros naturales como ℵ0 (aleph cero), y, ası, dadas lascorrespondencias entre N y los numeros pares, entonces sucardinal es el mismo; es decir,


# {2n/n ∈ N} = ℵ0

ii) Similarmente, se puede establecer que existe una correspon-dencia entre N y los numeros naturales impares ası:

1 2 3 4 5 ... n ...

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓1 3 5 7 9 ... 2n− 1 ...

que muestra que, tambien,

# {2n− 1/n ∈ N} = ℵ0

A todos los conjuntos cuyo cardinal sea ℵ0 se les llama con-juntos contables (o numerables). Por lo tanto, los numeros(naturales) N, los numeros (naturales) pares, y los numeros(naturales) impares, son conjuntos contables.

iii) Pero notemos que tambien se puede establecer una corres-pondencia (biyectiva) entre los numeros naturales (N) y losnumeros enteros (Z), ası:

1 2 3 4 5 6 7 ... etc

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓0 1 − 1 2 − 2 3 − 3 ... etc

(¿cual es la regla general aquı?) que muestra que

# Z = ℵ0

iv) Mas aun: podemos mostrar que existe una correspondencia(biyectiva) entre los numeros naturales (N) y los numerosracionales Q. Notese que podemos ordenar los numeros ra-cionales de la siguiente forma:


0

1

−1

1−→ 1

1

−2

1−1

2

1

2

2

1−→ −→ −→

−3

1−→ −1

3

1

3−→ 3

1−→

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

donde el numero racional p/q, q > 0, esta en la fila |p| + q, yası establecer, de arriba a abajo, la siguiente correspondencia:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... etc

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓0

1−1

1

1

1−2

1−1

2

1

2

2

1−3

1−1

3... etc

Siguiendo esta idea, Cantor demostro que, tambien,

#Q = ℵ0

y, por lo tanto, Q es un conjunto contable.

v) Pero, al intentar continuar en este sentido, tambien Cantor,con un tipo de argumento que presentamos adelante, pruebaque los numeros reales R no son un conjunto contable y que,por tanto, los numeros irracionales (I) tampoco lo son (porquesi lo fueran, al unirse con el conjunto contable Q harıan deR = Q ∪ I, un conjunto contable). Es por esta razon que seafirma popularmente que “existen mas numeros irracionalesque racionales”.

Ahora: que el conjunto de los numeros reales no es contablese ve del hecho de que el intervalo [0, 1] tampoco es contable.En efecto, supongamos (por el contrario) que, de alguna for-ma sı hubieramos podido contar todos los numeros en [0,1].

Entonces podrıamos listarlos, en notacion decimal, ası:

α1 = 0. a11 a12... a1n ...

α2 = 0. a21 a22 ... a2n .... . . .. . . .. . . .αn = 0. an1 an2 ... ann .... . . .. . . .. . . .

donde aik es el k-esimo dıgito en la expansion decimal delnumero αi. Pero ahora tomemos el decimal

β = 0. b1 b2 ... bn ...

construido ası: como b1 escojamos cualquier dıgito (de 1 a 8)diferente de a11; como b2 cualquier dıgito diferente de a22, etc.Entonces β no puede coincidir con ninguno de los decimalesαi de la lista de arriba, y esto finaliza la prueba.

Al conjunto de los numeros reales se le asigna el cardinalnotado como ℵ (aleph53). Ası,

# R = ℵ

Por lo tanto, se acostumbra a escribir,

ℵ0 < ℵ

En este ejercicio le pedimos al lector que resuelva los siguien-tes literales:

a) ¿Podrıa dar ejemplos de otros conjuntos contables y no-contables de numeros?

b) Pruebe que la union de un numero finito de conjuntoscontables de numeros es, de nuevo, un conjunto contable.

c) Pruebe que todo conjunto infinito de numeros tiene unsubconjunto contable.

53Primera letra del alfabeto hebreo.


d) Pruebe que el producto cartesiano de dos conjuntos con-tables es, de nuevo, contable.

e) Pruebe que existe una correspondencia biyectiva entre elintervalo (0, 1) y todos los numeros reales, demostrandoque la funcion f : (0, 1) −→ R definida por

f(x) =

(1

πtan−1 x

)

+1

2

es un biyeccion entre estos dos conjuntos.

**f) Muestre, utilizando los resultados en este ejercicio, que:

i) Todo intervalo [a, b] es no-contable.

ii) R2 es no-contable.

iii) C = {a + bi/a, b ∈ R, i2 = −1} el conjunto de losnumeros complejos, es no-contable.

21) Una igualdad importante para ciertos calculos del algebra lineal(ver volumen I) es que si {aik}n

i,k=1 y {bik}ni,k=1 son dos conjuntos

de numeros cualquiera, entonces

n∑

i=1

[n∑

k=1

(bikaik)

]

=

n∑

k=1

(n∑

i=1

(bikaik)

)

Demuestre esta afirmacion. [Indicacion: Pruebe primero para n =2, 3 y 4].

* 22) Si en el teorema binomial de Newton (ver leccion 2) escribimos

(n

k

)

=n!

k!(n− k)!

para n, k numeros naturales con k ≤ n, donde n! = 1 · 2 · 3 · · · n seconoce como el factorial de n, o, simplemente, como “n factorial”(aquı, 0! = 1), entonces pruebe que

(a+ b)n =n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k


[Indicacion: Pruebe primero que si k ≥ 1 entonces

(n

k − 1

)

+(n

k

)

=

(n+ 1

k

)

. Despues utilice el metodo de induccion ma-

tematica para probar la proposicion del ejercicio. Se le pide alestudiante que llene los detalles de la siguiente demostracion deesto ultimo:

i) (a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k es cierto para n = 1 pues a+ b =(

1

0

)

a0b1−0 +

(1

1

)

ab1−1.

ii) Supongamos que la proposicion es cierta para n, y probemoslapara n+ 1. Debemos entonces probar que

n+1∑

k=0

(n+ 1

k

)

akbn+1−k = (a+ b)

n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k

Ahora:

(a+b)

n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k =

[n∑

k=0

(n

k

)

ak+1bn−k

]

+

[n∑

k=0

(n

k

)

akbn+1−k

]

Pero

n∑

k=0

(n

k

)

ak+1bn−k =n∑

k=1

(n

k − 1

)

akbn+1−k+

(n

n

)

an+1 (∗)

n∑

k=0

(n

k

)

akbn+1−k =

(n

0

)

bn+1 +

n∑

k=1

(n

k

)

akbn+1−k (∗∗)

Sumando (∗) y (∗∗), y utilizando el primer resultado de estaindicacion, obtendremos que

(a+b)

n∑

k=0

(n

k

)

akbn−k =

(n

0

)

bn+1+

n∑

k=1

(n+ 1

k

)

akbn+1−k+

(n

n

)

an+1

=

n+1∑

k=0

(n+ 1

k

)

akbn+1−k.


23) a) En la funcion Cobb-Douglas f(x, y ) = x2y3, evalue f( 0, 0 ),f( 1, 2 ), f( 0, 2 ).

b) En la funcion CES f(x, y ) = 3

[1

3x

1

2 +2

3y

1

2

]2

, evalue f( 0, 0 ),

f( 2, 3 ), f( 4, 1 ).

c) En la funcion de demanda x( p,m ) = 2 +4

p+ 3m, evalue

x( 4, 3 ), x( 2, 5 ), x( 7, 1 ).

d) En la funcion de consumo C( y ) = 100 +4

5y, evalue

C( 100 ), C( 220 ), C( 645 ).

24) Considere las siguientes funciones de produccion:

a) f(x, y ) = [mın{ ax, by } ]2 a, b > 0

b) f(x, y ) = (x1

2 + y1

2 )2

c) f(x, y ) = ax+√x y + b y a, b > 0

Determine si estas funciones son homogeneas y, si lo son, de que gra-do. Ademas, decida, si es posible, el tipo de rendimientos que tienecada una.

25) ¿Sera cierta o falsa la siguiente afirmacion?: “Toda funcion deproduccion tiene rendimientos decrecientes a escala, rendimientosconstantes a escala, o rendimientos crecientes a escala”. Explique.

26) ¿Sera cierta o falsa la siguiente afirmacion?: “Toda funcion conrendimientos constantes a escala es lineal”. Explique.

30) Halle la funcion inversa, si existe, de cada una de las funcionesde demanda e ingreso de la seccion “contexto economico” de estaleccion, e interprete economicamente cada una de ellas.

31) (Funcion de costos de electricidad). La electricidad se cobra a losconsumidores a una tarifa de $20 por unidad para las primeras50 unidades, y a $5 por unidad para cantidades que excedan las50 unidades. Determine la funcion C(x) que da el costo de usar xunidades de electricidad, y dibuje C(x) lo mejor que pueda.

32) (Funcion de costo del azucar). El azucar tiene un costo de $30por libra para cantidades hasta de 70 libras, y de $20 por libra enel caso de cantidades por encima de 70 libras. Si C(x) denota elcosto de x libras de azucar, exprese C(x) por medio de expresionesalgebraicas convenientes, y dibuje C(x) lo mejor que pueda.

33) (Contaminacion atmosferica). El ındice de contaminacion atmosferi-ca C(t) en cierta ciudad varıa durante el dıa ası:

C(t) =

2 + 4t si 0 ≤ t < 2

6 + 2t si 2 ≤ t < 4

14 si 4 ≤ t < 12

26 − t si 12 ≤ t < 24

donde t es el tiempo, con t = 0 siendo las 0:00 a.m. y T = 24 las12:00 p.m. Dibuje la grafica de C(t). ¿Cual es el nivel de contami-nacion a las 2:00 p.m.?

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Respuestas

Leccion 1: Sobre la geometrıa, aritmetica

y trigonometrıa griega


4.a) a =√

41 4.b) b =√

5 4.c) a = 20√

2 4.d) a = 25

5.a) 96 5.c) 35

7.180◦(n− 2)

n

13. Puesto que el area del cırculo, πr2, es a un angulo barrido de 2πradianes como el area del sector circular, As, es a un angulo barri-do de θ radianes, entonces basta resolver, para As, la proporcionπr2

2π=As

θ.

14. El area lateral del cono es πr2 +πrg donde r es el radio de la base,y g es la generatriz del cono, es decir, el lado que al girarse generael cono (note que g =

√( r2 )2 + h2 donde h es la altura del cono).

Por su parte, el area lateral del cilindro es 2πrh + 2πr2 donde res el radio de la base y h es la altura del cilindro. Finalmente, elarea lateral de un cubo es 6a2 donde a es su arista (que es el ladodel cuadrado que forma cada cara del cubo).

16. Segun el ejercicio 10 de esta seccion, el area de la base es√

34 a

2.

Luego el volumen del prisma es√

34 a

2h.

421

422 Matematicas Basicas para Economistas 0: Fundamentos

17. 125 unidades cubicas.

18. 125π/6 unidades cubicas.

20. El volumen de la esfera es 43πr

3 con r = l2 donde r es el radio

de la esfera y l es la arista de la caja cubica. Sabiendo que elvolumen de la caja es l3 = 125 unidades cubicas, entonces l = 5unidades lineales y, por consiguiente, el volumen de la esfera es43π(2.5)3 = 65.45 unidades cubicas.

21.a) 218 = 2 · 109 y 1540 = 22 · 5 · 7 · 11

21.b) mdc(218, 1540) = 2 21.c) mmc(218, 1540) = 22·5·7·11·109

21.d)i) El producto de dos numeros pares es par: En efecto, basta tomardos numeros pares de la forma m1 = 2k1 y m2 = 2k2 donde k1

y k2 son dos numeros naturales; entonces es inmediato ver quem1m2 = 2(2k1k2) tiene la forma de un numero par.

21.d)ii) El producto de dos numeros impares es impar: En efecto, bastatomar dos numeros impares de la forma m1 = 2k1 + 1 y m2 =2k2 + 1 donde k1 y k2 son dos numeros naturales; entonces se veinmediatamente que m1m2 = 2(2k1k2 + k1 + k2)+1 tiene la formade un numero impar.

21.d)iii) El producto de un numero par con uno impar es, de nuevo, unnumero impar: En efecto, basta tomar dos numeros de la formam1 = 2k1 y m2 = 2k2+1 donde k1 y k2 son dos numeros naturales;entonces es inmediato ver que m1m2 = 2(2k1k2+k1) tiene la formade un numero par.

23. 2.4444... = 2 + 0.4444... = 2 + 4(0.1111...) = 2 + 4(1

9) =

22

9

24.a) Aquı, cosα =4

5, cos β =

3√13

y, por tanto,

sen(α+ β) = senα cos β + sen β cosα =17

5√

13

25.a)ii) sen(π

2± α) = sen

π

2cos(±α) + cos

π

2sen(±α) = cosα

Respuestas 423

25.a)i) cos(π

2± α) = cos

π

2cos(±α) − sen

π

2sen(±α) = ∓ senα

25. b) sen(2α) = sen(α+ α) = senα cosα+ senα cosα = 2 senα cosα

25.f) tan(2α) = tan(α+ α) =tanα+ tanα

1 − (tanα)2=

2 tanα

1 − (tanα)2

25.g) sen(3α) = sen(2α + α) = sen(2α) cosα+ senα cos(2α)

= 2 senα cos2 α+ senα(2 cos2 α− 1)

= 4 cos2 α senα− senα

= 3cos2 α senα+ (cos2 α− 1) senα

= 3cos2 α senα− sen3 α

25.i) Se obtiene de sumar, termino a termino, las dos igualdades siguien-tes:

sen(α) = sen(α+ β

2+α− β

2)

= sen(α+ β

2) cos(

α− β

2) + sen(

α− β

2) cos(

α+ β

2)

sen(β) = sen(α+ β

2− α− β

2)

= sen(α+ β

2) cos(

α− β

2) − sen(

α− β

2) cos(

α+ β

2)

25.j) Esta identidad trigonometrica se obtiene restando las dos primerasigualdades en el ejercicio 25.i) anterior.

25.k) De forma similar, se obtiene de sumar, termino a termino, las dosigualdades siguientes:

cos(α) = cos(α+ β

2+α− β

2)

= cos(α+ β

2) cos(

α− β

2) − sen(

α− β

2) sen(

α+ β

2)

cos(β) = cos(α+ β

2− α− β

2)

= cos(α+ β

2) cos(

α− β

2) + sen(

α− β

2) sen(

α+ β

2)


25.o) Esta identidad trigonometrica es inmediata de la division de lasdos identidades obtenidas en 25.i) y 25.j).

26.a) Hagaα+ β

2= 35◦,

α− β

2= 25◦, y utilice el ejercicio 25.i).

26.c) Hagaα+ β

2= 70◦,

α− β

2= 50◦, y utilice el ejercicio 25.k).

26.e) Haga α = 105◦, β = 15◦, y utilice el ejercicio 25.i). Necesitara re-

cordar que sen 60◦ =√

32 y que cos 45◦ =

√2

2 .

27.a) sen(α+ β) + sen(α− β)

cos(α+ β) + cos(α− β)=

=senα cosβ + sen β cosα+ senα cos β − sen β cosα

cosα cosβ − senα sen β + cosα cos β + sen β senα

=2 senα cos β

2 cosα cos β= tanα

28.a) sen2 α − senα = 0 si, y solo si, senα = 0 o senα = 1. Luego

α = 0,π

2, π, 2π.

28.c) 2 senα cosα = 1 si, y solo si, sen 2α = 1. Luego α =π

4.

29.a) b = 50.32, c = 33.25, β = 118◦30′.

29.a) a = 125.38, α = 54◦50′, β = 65◦.

30. 2 + 9√

3 metros.

32. La altura del edificio es 5 metros.

33. En la figura del ejercicio se tiene queα

A=

2π

Cdonde C es la

circunferencia maxima de la Tierra; por lo tanto, C =2πA

α, y

Eratostenes pudo calcular que A = 5, 000 estadios y α = 150 (2π) =

0.1256 radianes. Por lo tanto, C = 250, 000 estadios.

Respuestas 425

Leccion 2: El algebra de los siglos XVI y

XVII

Ejercicios 1.

1.a) −144

71.c) −16

31.e)

30

7

2.a)ac(b− 1)

bc+ e

2.e)4

3− 47

144a

2.c) a(cd + bd− bc)

2.f) −15b

34

6. A = 4.11, B = 1.23, C = 1.64

Ejercicios 2.

1.a) a12b4c18

1.d) x14y56z49

1.b) 8a2x16y34

1.f) amnbn2

cmn

2.a) 3 · 2 1

2

2.k)z4

a2 x2

2.b) 14 · 3 1

2

2.o) 21

6 · 3 1

3

2.i) 21

4 x1

2 y3

4 z5

4

2.q) 35

12

2.d) 101

3

2.m) a5

6n

2.r) a1

2n

Ejercicios 3.

1.a) a(c+ d)(a− b)

1.e) (x−√

2)(x+√

2)(x+ 3)

1.c) x(x+ 1)(x2 + 1)

1.f) ((x+ 1)(x2 + x+ 1)

2.a) 3ax(2ax − 5y)(2ax+ 5y) 2.c) 6(x− 1√6)(x+ 1√

6)(6x2 + 1)

2.e) (x− y)(x2 + xy + y3)(x3 + y3)

2.i) (x− 1)(x+ 1)(x2 + 1)(x4 + 1)

2.j) (x− 1)(x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1)


2.m) (x+ 1)(x+ 2) 2.n) (x− 5)(x+ 6) 2.q) (ax+ b)(bx− c)

4.a) 9x2 + 12xy + 4y2 4.c) a8 − 4a6b+ 6a4b2 − 4a2b3 + b4

4.e) a6 + 3a5x− 5a3x3 + 3ax5 − x6

Ejercicios 4.

1.a)a

1

2 b3

5

ab

1.d)2x+ 2x2 − 2y2

2y

1.c)b−

√b2 − a2

a2

1.g)x

3

4 − x1

2 + x1

4 − 1

x− 1


3.a) x− 3 3.d) −x 3.e) 2

4.a) (b− a)(b− c)(a− c) 4.b) −6abc+ 5a2c2 − 4a3b2c4

4.d) 12a7b3c 4.f) xy(x− y)

5.a) 32a10 x15 y35 5.d) a12 b4 c18 5.e) 4x25y44b3

6.a) (a− b)(b− c)(a− c)

6.d)a

a2 + b 6.e)a− b+ c

(a− b)(a− c)(b− c)

7.b) a−1

12 7.d) b5

4 7.f) x−1

10

7.i) y1

2 /x1

2 7.l) 2 · 5 1

2 7.o) 30 7.r) a1

6

9.a) x5 − 1 = (x− 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1)

9.b) (x− y)(x+ y)(x2 + y2)

Respuestas 427

9.g) (ab− cd)(ac − bd) 9.h) (a− b)2(a2 − ab+ b2)

9.j) (3√

7+12 − x)(3

√7+12 + x)

9.k) ((a− b)x+ (a+ b)y)((a + b)x+ (a− b)y)

9.n) (xn − 6)(xn + 3)

9.p) yz(y−z)+zx(z−x)+xy(x−y) = zy2−zx2−yz2+xz2+yx2−xy2 =z(y − x)(y + x) − z2(y − x) − xy(y − x) = (y − x)(z(y + x) −z2 − xy) = (y − x)(z − x)(y − z). [Esta es de aquella clase deexpresiones algebraicas en que solo una heroica conviccion de quees factorizable nos lleva a lograrlo.]

10.a)3√b3 − a3

b10.b)

a+ b√a2 − b2

10.d)1

b

√ax2 − 2abx+ b2

11.a) x = −1/2 11.c)a(a− b)

3a+ b11.e) x = −9/2

11.g) x = 0, x = c/b 11.i) x = 9

13. Hora y media: En efecto, Jorge responde 13 del parcial en 1 hora; y

Norman contesta 1N del parcial en una hora (aquı N es el tiempo

que necesitarıa Norman para contestar el examen). Puesto quejuntos lo pueden responder en una hora, entonces 1

3 + 1N =1. De

allı queN = 32 . (Note aquı como es fundamental la hipotesis de que

el trabajo en el examen es directamente proporcional al tiempo, enforma lineal. Si esta hipotesis no se tuviera, el ejercicio no podrıaplantearse tan simplemente.)

15. Cada una de las 50 personas recibio 150 de la suma inicial A.

16. Ana recibe un salario mensual de $1, 500, 000.

17. La madre recibe 300 millones, la hija recibe 200 millones, y el hijo150 millones.

19. $3, 300 la unidad.


20. $1, 700, 000

21.a) x2 + 3x4

3 y−2

3 + 3x2

3 y−4

3 + y−2

22. 14.4375x6

23. 15, 120

24. No tiene termino constante.

Leccion 3: La geometrıa analıtica de Des-

cartes y Fermat

Ejercicios 1.

1.a) (3, 1) esta en el primer cuadrante.

1.c) (−4,−2) esta en el tercer cuadrante.

1.e) (0,−1) esta sobre el eje Y negativo; podrıa decirse que esta tantoen el tercero como en el cuarto cuadrante.

1.g) (1,−4) esta en el cuarto cuadrante.

Ejercicios 2.

1.a) Utilice algun software apropiado como Derive o Matlab.

2.a) 4y + x+ 7 = 0 2.d) x = 1

4.a) m = −35 4.b) m = 1

4.c) m = −78 4.d) m = 0

8. Son dos rectas y una de ellas es 3y − 2x = 4.

Respuestas 429

Ejercicios 3.

1.a) (x− 4)2 + y2 = 25 1.c) (x− 3)2 + y2 = 9

3.a)i) Longitud semieje mayor es 5; longitud de semieje menor es 3; elfoco esta en x = 4.

3.a)iii) Longitud semieje mayor es 3; longitud de semieje menor es√

3; elfoco esta en x =

√6.

3.b)i) La elipse esx2

25+y2

9= 1.

4. Por la definicion de la elipse, se debe tener que 93×106 +96×106 =2a. Ası que a = 94.5 × 106 millas. Y como a − c es la distanciamas corta entre la Tierra y el Sol, entonces c = a− (93 × 106) =(94.5− 93)× 106 = 1.5× 106 millas. Por lo tanto, la excentricidad

es muy pequena:c

a=

1.5

94.5= 0.0158; y esto indica que la orbita

de la Tierra alrededor del Sol es, aproximadamente, circular.

5.a) y2 = 4x 5.c) y2 = −12x 5.d) x2 = 8y

6.a) 16x2 − 9y2 = 144

7.a) Hiperbola 7.c) Hiperbola 7.e) Elipse

Ejercicios 4.

1. Utilice algun software apropiado como Derive o Matlab.



Ejercicios 5.

1.a)i) (6,−3) 1.a)ii) (−3/2, 2) 1.a)iii) (−3,−1)


1.a)iv) (3,−1) 1.a)v) (−3, 1) 1.a)vi) (9, 2)

2. Las longitudes son: a) 1; b)√

29; c)√

37; d) 2√

5.

3. 24 unidades cuadradas.

Ejercicios 6.

1.a) La ecuacion cartesiana es (x + 1)2 + y2 = 1 y, por lo tanto, elcentro es (−1, 0) y el radio 1. La ecuacion polar resulta de hacerx = r cos θ y y = r sen θ en la ecuacion cartesiana, lo que conducea la ecuacion r = −2 cos θ si r 6= 0.

1.c) La ecuacion cartesiana x2 + (y − 5)2 = 25 y, por consiguiente, elcentro es (0, 5) y el radio 5. De manera similar al ejercicio anterior,la ecuacion polar resulta de hacer x = r cos θ y y = r sen θ en laecuacion cartesiana, lo que conduce a la ecuacion r = 10 sen θ sir 6= 0.

2.a) r =6

3 + 2 cos θ

3.a) Escribamos primero la ecuacion en la forma canonica como r =10/3

1 − (2/3) sen θ. De allı podemos ver que e = 2

3 (elipse) y p = 5;

luego la directriz es y = −5, y los vertices son (10,π

2) y (2,

3π

2).

Ejercicios 7.

1.a) 3x+ 2y = 16 1.b) x− y = 1

1.c)x2

9+y2

16= 1

1.d) y = 2x2 − 1

Ejercicios 8.

1.a) 1,π

21.b)

√2,

π

4 1.c) 1,3π

2

Respuestas 431

1.d)√

7, 0.577 rad. 1.g)√

34, 0.54 rad. 1.i)√

65, 5.2332 rad.

2.a) − 1

13+

5

13i 2.b)

1

2− i

2i

4.b)5 ± 4

√6

2

4.c) Puesto que x =10 ±

√100 − 4a

2, entonces 100 − 4a > 0 si, y solo

si, a < 25.

5.b) p1(x)p2(x) = 21x5 − 20x4 + 7x3 + 33x2 − 10x+ 5

6.a)iii) El cociente es 53x3−100x2 +149x−399 y el residuo es 647x−395.

7.a) (x− a)(x+ b)(x− a− b) 7.c) x(x− 1)(x+ 1)

9.a) Las tres raıces son x = −4, x = 3 y x = 2.

9.c) Las raıces son x = 3 con multiplicidad 3, y x = −1 con multiplici-dad 2.

9.e) Las cinco raıces son x = i, x = −i, x = 32 , x = 1

2 , y x = −2.

9.g) Las raıces son x = −7, x = 6, x =1 ±

√15i

2.

10.a) x = 1, x = −1, x = i, x = −i

10.c) x = 31

6 , x = −31

6 , x = 31

6 (1 ±

√3i

2), x = 3

1

6 (−1 ±

√3i

2),

11.c) Haga z =

√x

1 − xy resuelva la correspondiente ecuacion para z.

Luego resuelva para x para encontrar que x = 913 y 4

13 .

Ejercicios 9.

1.a) Utilice Derive, Matlab, o algun software similar.



1.a) r cos θ = 4 1.d) r cos2 θ = sen θ si r 6= 0

1.e) r2 = −2a cos(2θ) si r 6= 0

3.a) (−2, 0); (0, 3); (−1, 1); (−2, 2√

3); (−√

3, 1)

3.b) xy = 3 3.c) x− y = 12 3.e) 3x2 + 4y2 + 6x = 9

4.b) θ = 30◦

5.a) r = 4 5.c) r = 12 cos(θ − 45◦)

6.a) Parabola 6.b) Elipse 6.c) Hiperbola

7. Despues de construir una tabla de valores, utilice un software ade-cuado como Derive o Matlab.

12.a) El cociente es 5x3 − 20x2 + 80x− 314, y el residuo es 1258.

12.c) El cociente es 3x2 + x− 3, y el residuo es −3x− 7.

12.e) El cociente es x4 +5x3 +17x2 +41x+77, y el residuo es 57x−630.

12.g) El cociente es 15x

3 + 125 , y el residuo es −3

5x3 + 8x2 + 176

25 x− 27825 .

12.i) El cociente es x4 − x3 − 6x2 + 6x− 6, y el residuo es 4x4 − 3x3 −11x2 + 18x− 20.

13.a) 7 i 13.b) (√

8 i)(√

14 i) = −4√

7

13.c) (√

2 i)2 = −2 13.g) 12 + 16i

13.i. Multiplicando el numerador y el denominador del numero complejopor el conjugado del denominador, obtenemos 5 + i. Corrobore surespuesta notando que (5 + i)(1 + i) = 4 + 6i.

14.a) x = 5 y x = −7

Respuestas 433

14.e) Haga z =2x

x+ 2y resuelva para z la ecuacion z +

1

z= 2. Esto lo

lleva a que z = 1 y, por lo tanto, x = 2 es la solucion de la ecuacionoriginal.

14.h) x = a(3c ± 2b)

15. Los numeros son 22 y 23.

16.b) Las raıces son x = 12(1 ±

√3i) y x = 1

2(−1 ±√

3i).

17a) Las raıces son x = 51

3 y x = 12(−5

1

3 ± (675)1

6 ).

17.d) Las raıces son x = 1

214

(−1 ± i) y x = 1

214

(1 ± i).

18.a) Haga y = x3

4 y resuelva la ecuacion resultante 3y2 − 4y − 7 = 0,

para obtener que y = −1, 73 . Por lo tanto, x

3

4 = 73 , lo que nos lleva

a que x = (73 )

4

3 .

18.d) Un poco de manipulacion algebraica lo puede llevar a 2√x −√

1 − x = 1, y, de allı, dos procesos (uno despues de otro) deelevacion al cuadrado lo conducirıan a la ecuacion 25x2 − 16x = 0,cuyas raıces son x = 0 y x = 16

25 . Pero x = 0 no es solucion de laecuacion original; ası que la unica solucion es x = 16

25 .

20.a) x4 − 2x2 + 25 = 0 20.d) x4 − 4x2 − 146 = 0

22.a) 2x3 − 3x2 − x+ 1 = 0

24. −2 ≤ p ≤ 2

25.a) Si r1 y r2 son las raıces desconocidas, entonces r1 + r2 + 8 = 16 y7r1r2 = 105; de donde r1 + r2 = 8 y r1r2 = 15, y esto nos lleva aque r1 = 5 y r2 = 3.


Leccion 4: Sobre los fundamentos para

las matematicas contemporaneas

Ejercicios 1.

1.a) La negacion de la proposicion es “Todas las personas del grupotienen la misma camisa”.

1.b) La negacion de la proposicion es “Hay una persona que tiene ca-misa blanca y zapatos que no son blancos”.

2.a) Se deduce que P y Q son ciertas, y que R no es cierta. En sulugar, si cambiaramos iii) por la proposicion “Q es falsa” entoncesdeducirıamos que P yQ son falsas, pero no hay criterio para decidirsobre la verdad o falsedad de R.

6.j) (P ⇒ Q ) ⇐⇒ ((P ∧ Q) ⇐⇒ P) es una tautologıa:

P ⇒ Q ⇐⇒ P ∧ Q ⇐⇒ P

V V V V V V VV F F V F F VF V V V F V FF V F V F V F

Ejercicios 2.

9.a) V 9.b) F 9.c) V 9.d) V

11.a) P(A) = {∅, {1}}

11.c) P(A) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Ejercicios 3.

4.a) 63 4.d)5, 396

3, 600

Respuestas 435

Ejercicios 4.

2.a) [−74 ,∞) 2.c) [3−

√29

2 , 3+√

292 ) 2.e) [175 ,∞)

2.g) (−∞,∞) = R 2.i) (−∞,−13) ∪ (0,∞)

2.k) R − {2} 2.l) (−∞,−1] ∪ (0, 1]

Ejercicios 5.

1.a) {−2, −1, 0, 1, 2} 1.b) ∅

2.a) {0} 2.b) [−3/2, 1/2] 2.c) (1/2, ∞)

3.a) (5, ∞) 3.b) (−∞,−8] 3.d) {8/3, 2}

4.a) (−∞, 1] ∪ [2, ∞) 4.f) {−1/2, 3/2}

5.a) ∅ 5.b) (−∞, 1) 5.c) (1,∞) 5.d) R − {0}

5.e) R − {1}

Ejercicios 6.

2.a) Es relacion de equivalencia. 2.b) Es relacion de equivalencia.

2.c) No es de equivalencia. 2.d) Es relacion de equivalencia.

3.a.i) ℜ = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} 3.a.ii) ℑ = {(1, 1), (2, 4)}

3.a.iii) ℘ = ∅

3.b.i) Dℜ = {1, 2, 3}, Rℜ = {1, 2, 3}

3.b.ii) Dℑ = {1, 2}, , Rℑ = {1, 4}

3.b.iii) D℘ = ∅, R℘ = ∅

5.a) Df = Dg = R


5.b) f2(x) = (2x2 − x)2; g2(x) = sen2(x); Df2 = Dg2 = R

5.c) (f/g)(x) = (2x2 − x)2/ sen x; (1/g)(x) = 1/ sen(x); Df/g =D1/g = {0,±π,±2π, ...,±nπ, ...}

9. En general, f◦g 6= g◦f , y aquı se confirma la regla pues (f◦g)(x) =a0 +a1b0 +a1b1x pero (g ◦f)(x) = b0 +a0b1 +a1b1x. Sin embargo,ambas funciones sı son rectas.

Ejercicios 7.

1.a) y = α− 1 − x2

1.d) y =−5 +

√

25 − 16(3 − α)x

8x


3.a) {40, 80} 3.c) {20, , 30, 50, 70}

4.a) {10, 20, 30, 50, 60, 70, 90, 100}

4.d) ∅

4.g) {10, 20, 50, 70, 90, 100} 4.h) {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 100}

5.a) F 5.b) V 5.c) V 5.d) V

6.a) A = {5, 7, 9, 11} 6.c) C = {1, 3}

7.a) Df = [2,∞) 7.b) f(x) =| x+ 2 |, Df = R

7.c) Df = R − {1,−2} 7.d) Df = [0,∞) = R+

8.a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) =1

x2 + 1+ 3

√x; Df+g = R

8.c) (f · g)(x) = f(x)g(x) =3√x

x2 + 1, Df ·g = R

Respuestas 437

9. f(x) = (g ◦ h)(x) donde g(x) =1√x+ 1

, h(x) = x2. Pero tam-

bien f(x) = (g ◦ h)(x) donde g(x) =1

x, h(x) =

√x2 + 1. (¿Por

que cree el lector que hemos asignado aquı este ejercicio?)

12. a) Las curvas de nivel α satisfacen la ecuacion y = x2 − α.

12. d) Las curvas de nivel α satisfacen la ecuacion y = ±√

1

α− x2 .

18.a) Sea f(x) ∈ f(M1) con x ∈M1; entonces, como por hipotesis tam-bien x ∈M2, se tendra que f(x) ∈ f(M2).

18.f) Sea x ∈ f−1(N1∪N2); entonces f(x) ∈ (N1∪N2), y, ası, f(x) ∈ N1

o f(x) ∈ N2; lo que nos lleva a que x ∈ f−1(N1) o x ∈ f−1(N2), ypor tanto x ∈ (f−1(N1)∪f−1(N2)). De otro lado, si x ∈ (f−1(N1)∪f−1(N2)) entonces x ∈ f−1(N1) o x ∈ f−1(N2) y, por esto, f(x) ∈N1 o f(x) ∈ N2, por lo que f(x) ∈ (N1 ∪N2), que nos lleva a quex ∈ f−1(N1 ∪N2).

23.a) f(0, 0) = 0; f(1, 2) = 8; f(0, 2) = 0

23.c) x(4, 3) = 12; x(2, 5) = 19; x(7, 1) = 39/7

24. a) Homogenea de grado 2, y, por tanto, tiene rendimientos crecientesa escala.

24. b) Homogenea de grado 1, y, por tanto, con rendimientos constantesa escala.

24. c) Homogenea de grado 1, y, ası, con rendimientos constantes a escala.

26. No: f(x, y) = x1

2 y1

2 para x, y ≥ 0 tiene rendimientos constantesa escala y, sin embargo, no es lineal.

30. Para 0 ≤ x ≤ 50, la funcion de costos de electricidad es C(x) =20x, pero para x ≥ 51 la funcion de costos es C(x) = 5x.

Indice alfabetico

Algebrade funciones, 323

Anguloagudo, 6de un segmento, 32obtuso, 6plano, 5rectilıneo, 6recto, 6solido, 45

Areadel paralelogramo, 23

algebra, 89Elementos de Aritmetica, 42

Abel, Niels Heinrich, 194Al-Khwarizmi, Mahommed, 89Apolonio, 55, 136, 137, 140Aristoteles, 43, 228, 243Aritmetica, 2, 56Aritmetica griega, 3Arquımedes, 55, 56, 136, 137At-Tusi, Nasir, 58Axioma

arquimediano, 36, 278de Cantor, 270de completez, 272de la logica, 232fundamentales de Euclides, 9

Babilonios, 2, 60Beccaria, Cesare, 345Bernays, Paul, 245

Bernoulli, Jacob, 163Bolzano, Bernard, 227Boole, George, 229Borel, Emile, 242Bourbaki, Nicolas, 245Brahe, Ticho, 143

Calculo integral, 52Cırculo, 7, 137

area, 50segmento, 32

Cantor, George, 241, 262Cardano, Jeronimo, 111, 181, 190Cardinales, 241, 347Cardioide, 173Cartografıa del cielo, 66Cauchy, Augustin Louis, 183, 227Ceva, Giovanni, 345Ciclo economico como una funcion os-

cilante, 381Cicloide, 217Cilindro, 47, 51, 213Circunferencia, 7, 50Civilizacion

babilonica, 55egipcia, 55

Civilizacion griega de Alejandrıa, 54Clairaut, Alexis C., 213, 214Clase de equivalencia, 304Clasificacion de conicas, 151Concoide, 217Conjunto, 246

acotado inferiormente, 280

439


acotado superiormente, 272cardinalidad, 397complemento, 254contable, 397de partes, 258interseccion, 248union, 250vacıo, 247contable, 398

Cono, 46de dos hojas, 212base, 47eje, 47

Coordenadasparametricas, 176polares, 163rectangulares, 184

Copernico, Nicolas, 57, 142Correspondencia uno-a-uno, 241Cosecante, 59, 60, 65Coseno, 59, 60, 64Cota inferior, 280Cotangente, 59, 60, 64Cournot, Antoine Augustin, 345Cremona, Gerardo, 64Cuadrado, 8

perfecto, 103Cuadrilateros, 7Cuantificadores, 234Cubo, 47, 53Curva

coseno, 155de nivel, 340de Phillips, 381kappa, 217seno, 154tangente, 156trigonometrica, 154

D’Alembert, Jean L. R., 180De Moivre, Abraham, 186Dedekind, Richard, 242, 262, 270Del Ferro, Scipio, 189

Democrito, 3Desargues, 219Descartes, Rene, 90, 98, 101, 112, 124,

138, 228Desigualdad triangular, 19Diametro, 7Diferencia

de conjuntos, 252de potencias en general, 105simetrica, 260

Diofanto, 56, 57Distancia a la Luna, 66Distancia entre dos puntos, 128Division de polinomios, 196Dodecaedro, 48, 53

Ecuacionalgebraica

de tercer grado, 189algebraica de primer grado, 188algebraica de segundo grado, 188cubica, 189cuartica, 191de la circunferencia, 138de la elipse, 140de la hiperbola, 148de la parabola, 144de primer grado, 129, 130de segundo grado, 136parametrica de la recta, 177polar

de curvas clasicas, 173de una conica, 170de una circunferencia, 167de una lınea recta, 165

Edad del oscurantismo, 76Egipcios, 2Eje polar, 164Elipse, 137, 140, 151, 222Elipsoide, 211Epicicloide, 218, 219Eratostenes, 55, 87Escalar, 159

Respuestas 441

Esfera, 43, 46, 51, 210centro, 46diametro, 46eje, 46

Espiral hiperbolica, 217Euclides, 3, 5, 28, 31, 34, 35, 37–40,

42, 43, 49, 52, 227, 261Elementos de, 3Libro I de, 5problemas, 15Libro II de, 28Libro III de, 31Libro IV de, 34Libro IX de, 40Libro V de, 35Libro VI de, 37Libro VII de, 38Libro VIII de, 39Libro X de, 43Libro XI de, 43Libro XII de, 49Libro XIII de, 52teorıa de numeros pitagorica, 38

Eudoxio, 56, 136Euler, Leonhard, 42, 58, 64, 101, 112,

182, 213, 219, 297Exponentes

enteros, 96fraccionarios, 99

Extremo inferior, 281Extremo superior, 273

Formulade Cardano, 191de Heron de Alejandrıa, 115de reduccion, 67de suma de angulos, 69para cualquier triangulo, 71trigonometricas, 67

Factorizacion, 102Familia de conjuntos, 255

interseccion, 256union, 256

Fermat, Pierre, 112, 121, 124, 138Ferrari, Lodovico, 191Figuras

rectilıneas, 7rectilıneas semejantes, 37solidas iguales y semejantes, 45solidas semejantes, 45

Figuras platonicas, 52Fincke, Thomas, 156Forma punto-pendiente, 130Fourier, Joseph, 241, 297Fraenkel, Abraham, 245Frege, Gottlob, 229Funcion, 305

biyectiva, 313cubica, 317cubica general, 316compuesta, 325constante, 315cosecante, 321coseno, 321cotangente, 321cuadratica, 316decreciente, 334hiperbolica, 318identica, 315inversa, 325, 328lineal, 316lineal a trozos, 319mayor entero contenido, 320parabolica, 316parte entera, 320polinomial, 317raız cuadrada, 318real, 308secante, 321seno, 321sobreyectiva, 310tangente, 321trigonometrica inversa, 331uno-a-uno, 311valor absoluto, 319


creciente, 333Funciones, 297

algebra de, 323CES como funciones de produc-

cion, 385Cobb-Douglas, 382con interacciones economicas, 388con rendimientos decrecientes,

constantes o crecientes a es-cala, 377

de beneficio, 388de costo, 387de demanda, 379de dos variables reales, 338de ingreso, 380de produccion, 382de utilidad, 386homogeneas, 375insumo-producto de Leontief, 384lineales como funciones de consu-

mo, 378

Godel, Kurt, 246, 259Galilei, Galileo, 123, 147Galois, Evariste, 113, 195Gauss, Karl F., 10, 35, 181, 182Gentzen, Gerhard, 232Geometrıa, 112Geometrıa del espacio, 43Geometrıa griega, 1Grados, 60Grassmann, Hermann, 262Gunter, Edmund, 64, 156

Herigone, 154Halmos, Paul, 231Hamilton, William R., 158Heron, 55, 65, 115

area del triangulo, 115Hicks, John, 377Hilbert, David, 54, 244Hiperbola, 137, 151, 222Hiperbolas en la radionavegacion, 150

Hiparco, 55, 57, 66, 67, 142, 154, 219Hiperboloide

de dos hojas, 211de una hoja, 211

Icosaedro, 48, 53Igualdad

de funciones, 307de relaciones, 300entre conjuntos, 247

Imagen, 307Imperio romano, 76Inclusion entre conjuntos, 247Induccion matematica, 392Intervalos, 283

abiertos, 284cerrados, 284infinitos, 284semiabiertos, 284

Jevons, William S, 345

Kepler, Johannes, 57, 123, 142Kuratowski, Kazimierz, 298

Lımite, 6Lınea, 5Lınea recta, 5Lagrange, Joseph L., 121, 158, 297Lebesgue, Henri, 242Leibniz, Gottfried, 52, 92, 93, 227, 228Lemniscata, 173Leonardo de Pisa, 92Ley

de cosenos, 30, 72de perspectiva, 214de senos, 71del tercero excluido, 259

Leyesde DeMorgan, 255fundamentales del algebra de nume-

ros, 91Leyes de Kepler, 142

Respuestas 443

primera ley, 143segunda ley, 143tercera ley, 144

Limacon, 173Lobachevski, Nicolai, 10

Metodo de exhauscion, 49, 52Metodo de induccion matematica, 392Metodo de lımites, 136Metodo inductivo, 76Magnitudes

conmesurables, 43inconmesurables, 43

Marshall, Alfred, 345Matematicas en economıa

Alfred Marshall, 350Augustin Cournot, 346Gerard Debreu, 365Leonid V. Kantorovich, 359Tjalling C. Koopmans, 354William S. Jevons, 350Leon Walras, 352

Medicion de la Tierra, 87Mileto, Tales de, 3Minuto, 60Modelo de duopolio de Cournot, 390Muir, James, 61Multiplicacion de polinomios, 196

Numeroscomplejos, 181, 182enteros, 264naturales, 262racionales, 266

densidad de los , 282reales, 261, 271compuestos, 38conmensurables, 39perfectos, 39, 42planos, 39primos, 38, 40solidos, 39

Neper, John, 58, 92, 112

Newton, Isaac, 52, 98, 101, 227Nociones comunes de Euclides, 10

Octaedro, 48, 53Operaciones entre conjuntos, 248

Pappus, 55Par ordenado, 298Parabola, 137, 151, 222Paraboloide

elıptico, 212hiperbolico, 212

Paradojadel barbero, 259del mentiroso, 259

Paradoja de Rusell, 242Paradoja del mentiroso, 243Paralelogramo, 23Parent, Antoine, 213Pascal, Blaise, 106, 123Peano, Giuseppe, 230, 262Peirce, Charles, 229Perpendicular, 6Piramide, 45, 50Pitagoras, 3, 62, 72

teorema de, 26, 27, 38Pitiscus, Bartholomaeus, 58, 154Plano

cartesiano, 126complejo, 184ortogonal, 44paralelo, 45

Plano en el espacio, 210Playfair, John, 54Polıgonos, 7Polıgonos regulares, 35Polinomios, 195Poncelet, Jean Victor, 214Pons asinorum, 15Potenciacion y radicacion, 96Preimagen, 307Preorden parcial, 302Prisma, 46


Producto cartesiano, 298Productos especiales, 103Progresion geometrica, 39, 42Propiedades

de la diferencia de conjuntos, 252de la inclusion, 247de la interseccion, 249de la union, 250del conjunto de partes, 258del valor absoluto, 290

Proposicion, 230Ptolomeo, 55, 57, 58, 60, 66, 67, 142,

154Punto, 5

Raızde la unidad, 206de un polinomio, 201de una ecuacion algebraica, 188enesima, 280, 283racional, 203

Racionalizacion, 109Radian, 61Ramsey, Frank P., 243Recta

ortogonal a un plano, 44paralela, 9, 132perpendicular, 132tangente, 31

Reflexion de la luz, 138Regla del paralelogramo, 161Regla y compas, 35Relacion, 297, 299

coeficientes-raıces, 204de orden, 302

completo, 302parcial, 302

de preorden, 302completo, 302

dominio de una, 299grafica de una, 300recorrido de una, 300antisimetrica, 302

completa, 302equivalencia, 303reflexiva, 301simetrica, 302transitiva, 302

Relacionesentre la interseccion y la union de

conjuntos, 252trigonometricas, 67

Rendimientos a escala, 377Representacion polar del numero com-

plejo, 185Resta de polinomios, 195Robinson, Austin, 377Rombo, 8Romboide, 8Rosa de cuatro hojas, 173Rudolff, Cristoff, 101Russell, Bertrand, 231, 243, 245, 259

Solido, 44Solidos regulares, 53Sımbolo

sumatoria (∑

), 281Sımbolo /, 92Sımbolo ·, 92Sımbolo (+), 92Sımbolo (−), 92Sımbolo (=), 92Sımbolo (×), 92Sımbolos, 92

conectivos de la logica, 231Sımbolos logicos, 228Secante, 59, 60, 65Secciones conicas, 136Sector de un cırculo, 32Segundo, 60Semicırculo, 7Seno, 59, 60, 64Serret, Jean P., 113Sexagesimal, sistema, 60Silla de montar, 211Sistema

Respuestas 445

LORAN, 151Stevin, Simon, 98, 112Stifel, Michael, 111Suma

de polinomios, 195y diferencia de cuadrados, 104

Superficie, 5plana, 5

Superficie de una esfera, 51Superficies, 210

Terminocosecante, 65coseno, 64cotangente, 64secante, 65seno, 64tangente, 64

Tablade valores trigonometricos, 63

Tabla de verdad, 232para la negacion, 232para la conjuncion, 232para la disyuncion, 233para la equivalencia, 233para la implicacion, 233

Tablas de cuerdas, 58Tangente, 59, 60, 64Tartaglia, 189

formula de, 190Tautologıas, 234Teorıa de conjuntos, 241Teorema

binomial, 106binomial de Newton, 401de Heron, 115del residuo, 200fundamental del algebra, 180de De Moivre, 186del factor, 200fundamental de la aritmetica, 40

Teorema fundamental del algebra, 205Tetraedro, 53

Theaetetus, 43Thomson, James, 61Tipos basicos de relaciones, 301Trapecio, 8Triangulo

semejante, 37acutangulo, 8equilatero, 8, 62escaleno, 8isosceles, 8obtusangulo, 8Pascal, 106rectangulo, 8, 62

Triangulos, 7Trigonometrıa, 57Trisectriz, 217Tschirnhansen, 194

Valor absoluto, 289Variable algebraica, 125Vector

norma, 159Vectores, 158

algebra de, 161Viete, Francois, 58, 90, 111Volumen de un cono, 51Volumen de un cubo, 50Volumen de un prisma, 50Volumen de una esfera, 51Volumen de una piramide, 50von Thunen, Johann Heinrich, 345

Wallis, John, 101, 112, 182Weierstrass, Karl, 183, 227, 262Whitehead, Alfred, 245Wicksell, Knut, 377Wicksteed, Philip H., 377

Zermelo, Ernest, 244

Matematicas basicas para economistas 0: Fundamentos 447

Matematicas basicas para economistas

Sergio Monsalve (editor)

Volumen 0: Fundamentos

Lec 1. Sobre la geometrıa, aritmeti-ca y trigonometrıa griega.Lec 2. El algebra de los siglos XVI yXVII.Lec 3. La geometrıa analıtica de Des-cartes y Fermat.Lec 4. Sobre los fundamentos para lasmatematicas contemporaneas.

Volumen I: Algebra Lineal

Lec 1. Sistemas de ecuaciones lineales:solucion por eliminacion gaussiana.Lec 2. Matrices y determinantes.Lec 3. Sistemas de ecuaciones lineales:solucion por matriz inversa.Lec 4. Vectores.Lec 5. Bases y dimension.Lec 6. Transformaciones lineales.Lec 7. Diagonalizacion en Rn.Lec 8. Conjuntos convexos.

Volumen II: Calculo

Lec 1. El metodo de lımites.Lec 2. La derivada.Lec 3. Elementos basicos de la teorıade la optimizacion.Lec 4. La integral.

Volumen III: Optimizaciony dinamica

Lec 1. Funciones concavas, convexas,cuasiconcavas y cuasiconvexas.Lec 2. Optimizacion estatica.Lec 3. Sistemas dinamicos.Lec 4. Optimizacion dinamica.

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