matemÁtica bÁsica

Matemática Básica

1

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS � � � 0, 1, 2, 3, 4, … � �� ú�� . � � � �… � 3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, … � �� ú�� .

� ! " # "⁄ � % & �, ' # � , ' ( 0 ) �� ú�� .

*� � + " , "⁄ � √2, √3 , √5 / , … 0, �, … � �� ú�� . A diferença entre um número racional e um número irracional: Número Racional é todo número cuja representação decimal é sempre finita ou infinita e periódica (possui dízima). Exemplo de números racionais:

a) 1 23 � 0,3 é um decimal finito.

b) 2 4 � 0.1666 … é um decimal infinito e periódico com dízima 6.

c) 6 7 � 2 é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional.

Número Irracional é todo número cuja a representação decimal é sempre infinita sem ser periódica. Exemplo: a) 0 � 3,1415927 … representa a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

0 � :;<=>?<@AB; C% :?>:DAE@>êA:?%C?â<@B>; C% :?>:DAE@>êA:?% � 3,1415927 … é ��

� � 2,7182818 … , é �� J�� K�L��.

√2 � 1,4142135 … é um número infinito sem dízima. Definimos o conjunto dos números Reais sendo a união dos conjuntos dos números racionais e dos irracionais.

M � N � �� ú�� . M * Exercícios: Dados os números abaixo, identifique os números racionais e os números irracionais: a) 3,12 e) 0 i) - 9 b) 0,3333... f) - 6,8 j) 17,323232...

c) 1,73205... g) √4 l) 0,5

d) 25 h) - 1,4142... m) 7 1

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RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os números reais, o número zero representa a origem da reta. Os números da reta real são simétricos e opostos.

-6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -√2 -1 0 1 √2 2 3 3,14... . . . I I I I I I I I I I I I I I I I.... r reta real * Os números da reta que estão a esquerda de um número em questão sempre serão menores que esse número. Exemplo: 1 ��á � ��P�� 2 logo 1 Q 2 R�6S ��á � ��P�� R�5S L�T� R�6S Q R�5S R�2,3S ��á � ��P�� R�1,5S L�T� R�2,3S Q R�1,5S Em geral ...�4 Q �3 Q �2 Q �1 Q 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 … *Os números da reta que estão a direita de um número em questão, sempre serão maiores que esse número. Exemplo: R� 1S��á � �� R�4S L�T� R� 1S U R�4S

V� √2 W��á � �� R�3,1415 … S L�T� R � √2 S U R�3,1415 … S

OPERAÇÕES COM OS NÚMEROS REAIS ADIÇÃO: A soma de números reais resulta em um número real. Sinais iguais: somam-se os números e conserva-se o sinal. Exemplos: RXS X RXS � RXS �� R�S X R�S � R�S a) 2 X 9 � 11 c) (�2 S X R� 9S � �11 b) 15 X 10 � 25 d) (�15 S X R�10S � �25 YZ[\Z] ^Z_`a`[b`]: subtraem � se os números e dá � se o ]Z[\o ^p q\Zpa em módulo R maior algarismoS. Exemplos: a) R�3S X 5 � 2 v�� 5 é � �� LT�� é v��w�. b) R�15S X 10 � � 5 v�� 15 é � �� LT�� é ��T��w�. S 7 X R�3S � 4 �S 4 X R�10S � � 6 SUBTRAÇÃO: é a operação INVERSA da adição. A subtração de números reais resulta em um número real. Toda subtração é uma adição. O sinal positivo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) �8 X R 9 S � �8 X 9 � 1 b) �8 X R�9S � �8 � 9 � �17c) 12 X R�15S � 12 � 15 � �3 O sinal negativo na frente de parênteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parênteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o número do interior do parênteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( �4S � RX 6S � R�4S � 6 � �10 b) � 16 � R�20S � �16 X 20 � 4 c) 9 � R�10S � 9 X 10 � 19

3

MULTIPLICAÇÃO : ou produto de números reais sempre será um número real. Sinais iguais multiplicam-se os números e dá-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) RX 5S . RX4S � X 20 b) R�3 S . R�6S � X18

YZ[\Z] ^Z_`a`[b`] multiplicam � se os números e ^á � ]` p ]Z[\o V– W [`{\bZ|p. Exemplo: a) RX8S . R�5S � �40 b) R�1,5S. RX10S � �15 DIVISÃO: é a operação inversa da multiplicação, a regra de sinal é a mesma da multiplicação.

Exemplo: X1}~} � X 7

R�6SR��S � X 6

� 72

R ��S � � 3

R�2�S

1 � � 6 QUADRO DE SINAIS

. :

X �

X

X �

�

� X

Exercícios: Resolver as operações indicadas abaixo: a) 27 X 20 � e) R�15S � R�15S � b) 65 � 30 � f) 23 X R�45S � c) R�41S X 39 � TS R�90S � R90S � d) 87 � R�7S � h) R�1S � R�1S �

X � Adição Somar Subtrair X ��L X Sinal do maior em módulo Subtrair Somar � Sinal do maior ��L � em módulo

Respostas a) 47 b) 35 c) �2 d) 94 e) 0 f) �22 g) �180 h) 0

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EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES: Para resolver expressões seguiremos alguns passos: 1º ) Resolver primeiro o que estiver entre os parênteses, colchetes e chaves. 2º ) Efetuar primeiro a multiplicação ou divisão, seguindo ordem em que aparecem na expressão. 3º ) Efetuar a adição ou subtração na ordem em que aparecem na expressão. Exemplo Resolvido: Resolver as expressões numérica:

a ) �5 X �4 � 6R�1 X 3S X 237 ( 2 �4 S�� X 1 � b ) �� 6 X 4 .3 � � 5 � R1 � 9S��

{5 X �4 � 6R 2S X 5R�2 S�� X 1 � ��6 X 12 � � 5 � R�8S�� 5 X �4 � 12 � 10�� X 1 � ��6 X 12 � � 5 X 8�� 5 X ��8 � 10�� X 1 � ��6 X 12 � � 13�� 5 X ��18�� X 1 � ��6 X 12 � 13� � �5 � 18� X 1 � ��7 � � 7 �13 X 1 � �12 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as expressões numéricas abaixo:

a ) 20 X R�9 X 12S � R�15 X 20S � b ) 2 � ��11 X � R17— 12S X 10W � 3 � � �

c ) 55 X R�10S. R�4S � ��2 � V6 � R�3SW X 2� � d ) 31 X R�40S: 2 � � R�9 X 9S � 7 � �

e) �� 9 X �2� + 4 R�4S X R�19 � 1S� � f) 10 � � 6 � R9 � 4S � . � R�2S 5 � �

g) 60 � R�5S � V�1 R�1SW X 13 � h) } ~ 4R�6S � �R�7S

�7 �

i) R� �S

26 � � . 7 ~ 6 � j) 7 � 4 . 1 � 7R�7S

6 ~ 1R�7S �

Respostas:

a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0 h)

27 i) �4 j) 6

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5

FRAÇÃO: Dois números naturais a e b, com b( 0, quando escritos na forma % & representam uma fração.

% & = �D<@>%C;>

�@A;<?A%C;> R( 3S � �� P�� R �� M�� ã� �"�� w��ã� v�� S. O denominador representa o número de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o número de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e

consideramos 3 partes (numerador). A fração será:

Exemplo de frações: 27 ; � 7

1 ; �2} ; 2

233 ; � 4 } ; 6

6 ; � 2 ; 3

6 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algébrica do denominador.

Exemplo: 7 1 X 23

1 � 4 1 � 7 ~ 23 �4

1 � 4 1 � 2

2 } � �

} X 6 } � 2 – � ~ 6

} � �6 } � � 6

}

Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor múltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2

Exemplo: 7 1 � 1

} X 2 7 � 73�2�~2}

13 � 73�2�~2} 13 � 2�

13 3- 5- 1 3 1- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30

1 6 X }

� X 2 7 � 4 ~ } ~ 6

� � 2} �

m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente.

Exemplo: } � . 7

1 � } . 7� . 1 � 23

76 � } 27 � 0,42

7 } . 1

6 . R� 2 4 ) = 7 . 1 R�2S

} . 6 . 4 � R�4S 273 � � 2

73

35

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6

NÚMEROS INVERSOS: dois números são inversos quando a multiplicação entre eles dá 1. Na prática, para achar o inverso de um número, basta inverter o numerador com o denominador.

O Inverso de } � é

� } O Inverso de 1

2 é 7 2 � 2

O Inverso de 7 1 é

1 7 O Inverso de �

7 é 7�

*O número zero não admite inverso: o inverso de 3 2 é

2 3 nos M�� não existe divisão por zero.

DIVISÃO DE FRAÇÕES: conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a divisão das frações abaixo:

a) 7 } :

1 � � 7

} . � 1 � 7 . �

} . 1 � 26 2}

b) � �

�/ � 4 � . 1

7 � 4 . 1� . 7 � 2�

26 � � �

c) 2} �/ � 15 .

1 7 � 2} . 1

7 � 6} 7

Exercício resolvido: Resolver as operações aritméticas:

a) 7 1 . 6

� X } 7 : 2

6 � 7.61.� X }

7 . 6 2 � �

72 X 737 � �

72 X 23 2 � �

72 X 72.23 72 � �~723

72 � 72� 72

b) 1 2 X4

1� 3 2 � 12 X 82 22 � 32

� 92 � 1 2

� 9 2 . �� 7 2 � � � 2�

7 � � 9

c)

/� ~ ��

� . ��

�� /

� ~ �� . �� . �

�� /

� ~ � . / � . �

��

� / � ~ ��

� ��

�� /

� ~ ��

��

� � ��

� ��

��

� . 6 �� . 6

� . �� 2 . 2 7 . 2 � 2

7

Matemática Básica

7

EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Resolver as operações abaixo:

a) 2� �

/ ~ � �

� ��

�

b) 9 10 . 5 3 X 8 3 � 2 1 5 �

c) � 1 6 X 7

1 � � 7 � : R� }

27 S �

d) �

� � ~ �

� �

e) 7 (� 6 � X 7 ) �

f) R� 7 � � 7 . 6

1 S 18 �

Respostas: aS � 1 bS � 0,033 … cS 5 dS 10 e) 45 f) �52

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8

POTENCIAÇÃO: Potência de um Número Natural: Seja � # M, chama-se Potência de base � e expoente �, � # �, � � �, o número

� �� que é o produto de � �� iguais a �.

�A � �. �. �. � … � � ' onde � � '�� "v�� ' � v��ê� �� Exemplos: a) 47 � 4 . 4 � 16 b) R�2S1 � R�2S . R�2S . R�2S � �8 c) 07 � 0 . 0 ¡ R 3,14S. R 3,14S ¡ 9,87 d) R�3S1 � R�3S. R�3S. R�3S � �27 Base negativa com expoente ímpar tem-se potência negativa. e) R�3S6 � R�3S. R�3S. R�3S. R�3S � 81 Base negativa com expoente par tem-se potência positiva. *ATENÇÃO: R�6S7 ( � 67, pois R�6S . R�6S ( � 6 . 6 36 ( �36 Potência de expoente nulo (zero): Por definição, qualquer número, exceto o número 0 R��S,elevado a potência zero é igual a 1. Exemplos:

53 � 1 R�1S3 � 1 03 � ? R��çã� ) R�3S3 � 1 13 � 1

�7}�3

� 1 R�0,25S3 = 1

Qualquer número elevado ao expoente 1 R��á��S é igual ao próprio número. Exemplos:

32 � 3 R�9S2 � � 9 02 � 0 12 � 1 �1��2 � 1

�

Exercícios: Resolver as potências dos números abaixo: a) 103 � 'S 123 � c) 102 � d) R�3S1 �

e) R�2S6 � f) R�8S2 � g) R�1S3 �

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Inverso da Potência: Sejam � # M¤, R� ( 0S, o inverso de �A representado por

��A � 2%¥

Exemplos:

a) 5�7 � 2

}� � 27} d) R�3S�7 �

2R�1S� � 2

�

b) 2�2 � 2

7� � 27 e) R�3S�1 �

2R�1S/ � 2

�7� � � 127

c) 1�2 � 22� � 1 f ) 2�6 �

27� � 2

24

PROPRIDADES da potência de mesma base: Sejam �, ' # M � � , � # � , tem-se: # O produto de potência de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.

�< . �A � �<~A a) 37 . 31 � 37~1 � 3} � 243 b) 21 . 27 . 2 � 21~7~2 � 24 � 64 c) 107 . 10�1. 106 � 107 � 1 ~ 6 � 101 d) R�5S7. R�5S}. R�5S�4 � R�5S7~}�4 � R�5S2 � �5 # O quociente de potência de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

�< � �A � �<�A

a) 61 � 66 � 61�6 � 6�2 � 2

4� � 2 4

b) 6�6/ = 4}�1 � 47 � 16

c) �� = 76 � 4 � 7�7 � 1

72 � 1 49

e) 7�7¦/ = 27 –R� 1S � 27~1 � 2} � 32

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# A potência do produto é igual ao produto das potências.

R � . ' SA � �A . 'A a) R 7 . " S7 � 77 . "7 � 49 "7 b) R�2 . �S1 � � 21 . �1 � � 8 . �1 # A potência do quociente é igual ao quociente das potências.

� % & �A � %¥

&¥

a) � }4 �1 � }/4/ � 27}

724 ¡ 0,58

b) � 1 6 ��1 � 1¦/

6¦/ ��

//�

�/� 2

7� . 462 � 46

7�

c) �� § } �7 � X §�

}� � §� 7}

# A potência de uma potência é igual ao produto das potências.

R�<SA � �< . A a) R"7S1 � "7.1 � "4 b) R 27 . ��2S7 � R27S7. R��2S7 � 26 . � 16 . ��7

Propriedades de potência de expoente racional: Sejam os números �, ' # M, R�, ' U 0S, =

¨ , >© # .

P1 ) � ª « . � ¬ � � ª « ~ ¬

P2 ) � ª « � � ¬ � � ª « � ¬

P3 ) R� . 'S ª « � � ª « . ' ª «

P4 ) R� � 'S ª « � � ª « � ' ª « ou �%&�

ª« � %

ª« &

ª« P5 ) R� ª « S¬

� � ª « . ¬

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EXERCÍCIOS PROPOSTOS: resolver as potências abaixo, utilizando as propriedades de potência:

a) 9} . 9�} � b) 106 . 10�4 �

c) 123. 122. 12�1 �

d) �2��7

X 8�7 �

e) �� 21 �

7 � �� 1 2 �3 �

f) �R�3" S1 X R�3S7"1� � R�2S"1 � g) R�'S6 � R�'S�6 � h) R27S�2 � R4�2S7 � i) 106 . 10�7 . 10�1 �

j) 104: �106 . 10�2� �

l) 23¦/. 23�

R23�S/ �

m) 23¦�: 23/

R23�S¦/ �

Respostas:

a) 1 b) 0,01 c) 1 d) 1 32® e) 17 72® f) 9 g) R�'S8 h)

124

i) 0,1 j) 101 l) 0,01 m) 10

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RADICIAÇÃO: É a operação inversa da potenciação. Definição: Dado um número real não negativo � e um número natural �, � � 1, chama-se �� é�� é�� ú�� L � �ã� ��T��w� (b� ¯S tal que 'A � �, ��

√� � � ° � � � onde √ ± �� L � ± radicando , � � ¯ ' ± raiz , � ¯ � ± í�� L, � � ³ ´ � # �

√� � √�� Lê � �� P��

√�3 Lê � �� ú'� � ��

√�4 Lê � �� P�� Exemplos:

a) √16 � ? ° R ? S7 � 16 , qual é o número positivo que elevado ao quadrado resulta no número 16?

Resposta: O número é 4, pois 47 � 16, logo, raiz quadrada de 16 é 4, isto é, √16 � 4

b) √8 / � ? ° R ? S1 � 8 µ √8/ � 2 ¶ 21 � 8, portanto 2 é � �� ú'� � �� 8.

c) √1 � � ? ° R ? S} � 1 µ √1� � 1 ¶ 1} � 1 , portanto 1 é � �� ú'� � �� 1.

d) √16� � 2 ¶ 26 � 16 portanto 2 é � �� P�� 16.

Índice Par : Quando � í�� ·¸¹ a restrição é que � � 0 , pois não existe no conjunto dos números reais raiz quadrada de número negativo, ou seja , não existe um número que elevado ao quadrado resulte em número negativo.

√�16 � º R �ã� �"��S�� M �� º P�� L�w�� P�� L�� R�16S.

Índice Ímpar: Quando o índice for ímpar não há restrição, por exemplo, existe número que elevado ao cubo resulte em um número negativo.

a) √� 8 3 � ? ° R ? S1 � �8 µ √�83 � �2 ¶ R�2S1 � �8, portanto �2 é � �� ú'� � �� 8.

b) √�243� � �3 ¶ R�3S} � �243, portanto �3 é � �� P�� 243. Exercícios: Calcular, caso exista, as raízes dos números abaixo:

a) √0 �

b) √1 �

c) √ 81 4 �

d) √� 27 3 �

e) √�4 �

f) √�16 4 �

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Propriedades da radiciação: a, b # M~ +, � , ' � 0, � # � , R�, v � 2S # �.

P1 ) √�<¥ � √�<.=¥.ª

Ex.: √"73 � √"7.}3.5 � √"2315

P2 ) √�. '¥ � √� ¥ . √' ¥ Ex.: ¼". ½ � √" . ¼½

P3 ) ¾ % &

¥ � √%¥√&¥ R' ( 0S Ex.: ¾ �

7� / � √�/

√7�/ � 71

P4 ) V √�¥ W< � √�<¥ Ex.: V √�3 W1 � √�13 � �

P5 ) ¼ √� ¥ª � √� ª.¥ Ex.: ¼√5 �3 � √5 3.2 � √56

Potência de expoente racional: Sejam os números � # M~, R� U 0S, v # � , P # � , P � 1, J��

·��ê� �� '�� "v�� ¿À � �� P��é�� é�� =.

� ª« � √�=«

Exemplos:

a) 251 2 � √252� � √25 � 5

b) 81 3 � √823 � 2

c) 23 2 � √21� � √8

√�=« � � ª

« quando o índice do radical e o expoente da base forem múltiplos entre si, podemos simplificar.

Exemplos:

a) √57� � 5�� 52 � 5

b) √77� � 7

c) √413 � 4

d) √576 � √523 � √53

e) √576 � √523 � √53

f) √9267 � √971 � 97 � 81 EXERCÍCIOS PROPOSTOS: Resolver as operações com radicais:

a) √�273 X √83 �

b) ¼3126 � ¼533 �

c) √0 X √1 X √413 – � √24 �6 �

Respostas a) �1 b) 4 c) 3

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POTÊNCIA DE 10: É a potência onde a base é o número 10. Valem todas as propriedades de potência.

10A � ' 102� � 1 000 000 000 000 000 000 R �"� S K 102} � 1 000 000 000 000 000 R v�� S · 1027 � 1 000 000 000 000 R �� S Á 10� � 1 000 000 000 R T�T� S Â 104 � 1 000 000 R ��T� S Ã 101 � 1 000 R P��L� S Ä 107 � 100 R J� �� S J 102 � 10 R �� S �� 10�2 � 0,1 R �� S � 10�7 � 0,01 R �� S 10�1 � 0,001 R ��L� S � 10�4 � 0,000 001 R �� S Å 10�� 0,000 000 001 R �� S � 10�27 � 0,000 000 000 001 R v� � S v 10�2} � 0,000 000 000 000 001 R �� S � 10�2� � 0,000 000 000 000 000 001 R �� S � Transformando um número decimal em potência de 10: Exemplos:

a) 0,5 � 510 � 5

101 � 5. 10�2 b) 0,05 � 5

100 � 5102 � 5. 10�7

c) 0,005 � 51000 � 5

103 � 5. 10�1 Deslocando-se a vírgula de um decimal para a direita, esse número fica multiplicado por 10, 100, 1 000 ..., o

expoente da potência de 10 diminui ³¯�³, ³¯��, ³¯�Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número aumenta o expoente diminui. Çº . 10A Exemplos: a) 1,7 � 1,7. 103 � 17 . 103�2 � 17 . 10�2 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a direita, logo, o expoente na base 10 diminui 1 unidade. b) 2,45 � 2,45. 103 � 245 . 103�7 � 245 . 10�7 deslocar a vírgula 2 casas decimais à direita, logo, o expoente na base 10 diminui 2 unidades. c) 84,052 � 84052 . 10�1 Exercícios : Dado o número 0,01234 escreva-o deslocando a vírgula para a direita: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais

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Deslocando-se a vírgula de um número para a esquerda, esse número fica dividido por 10, 100, 1 000, ..., o

expoente da potência de 10 aumenta ³¯³, ³¯�, ³¯Æ, … na mesma ordem do deslocamento da vírgula.

Resumindo, o número diminui o expoente aumenta. Çº . 10A Exemplos: a) 17 � 17 . 103 � 1,7 . 103~2 � 1,7 . 102 deslocar a vírgula 1 casa decimal para a esquerda, logo, o expoente na base 10 aumenta 1 unidade. b) 245 � 2,45 . 107 deslocar a vírgula 2 casas decimais para a direita, o expoente na base 10 aumenta 2 unidades. Exercícios : Dado o número 1234 escreva-o deslocando a vírgula para a esquerda: a) Uma casa decimal d) Quatro casas decimais b) Duas casas decimais e) Cinco casas decimais c) Três casas decimais f) Seis casas decimais Adição e Subtração de potência de base 10: É necessário que os expoentes da base 10 sejam iguais.Exemplos: a) 5 . 107 X 4 . 107 � R 5 X 4 S107 � 9 . 107 expoentes iguais b) 29. 10�1 � 1. 10�1 � R29 � 1S10�1 � 28. 10�1 c) 1 .10�7 X 3 . 10�7 � 7 . 10�7 � R1 X 3 � 7 S. 10�7 � � 3 . 10�7

d) 106 + 106 X 106 � 1. 106 X 1. 106 X 1. 106 � R1 X 1 X 1S106 � 3 . 106

Na adição ou subtração, quando os expoentes da base 10 não forem iguais temos que transformá-los para o mesmo expoente. Exemplos: a) 6 . 101 X 4 . 107 � 60 . 107 X 4 . 107 � R 60 X 4 S107 � 64 . 107 transformar o expoente de uma das parcelas, igualando a outra, 6 . 101 � 60. 107 b) 0, 29 . 10�2 � 147. 10�1 � 29 . 10�2�7 � 147. 10�1 � 29. 10�1 � 147. 10�1 � �118 . 10�1 expoentes diferentes expoentes iguais c) 0,09 .10�2 X 10�7 � 3 . 10�1 � 9 .10�2�7 X 10 .10�7�2 � 3 . 10�1 � 9 .10�1 X 10.10�1 � 3 . 10�1 � 16. 10�1 expoentes diferentes expoentes iguais

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Exercícios Propostos: a) 15 . 101 X 13 . 101 � b) 21 . 107 � 107 � c) 44 . 106 X 4 . 106 � 8 . 106 �

d) 666 . 104 X 2220 . 10} � e) �5,9 . 10�7 X 9 . 10�1 � f) 6 . 101 � 101 X 40 . 107 �

Respostas a) 28 . 101 b) 20 . 107 c) 40 . 106 d) 888 . 104 e) �50 . 10�1 f) 9 . 101 Multiplicação de Potência de base 10: Multiplicam-se os coeficientes e somam-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a) 4. 10} . 2. 10�7 � 4 . 2 .10}�7 � 8 . 101 b) 8. 10�4 . R� 3. 106S � 8 . (-3) .10�4~6 � �24 . 10�7

c) 7. 10} . 10�7. 2. 10�1 � 7.1.2 .10}�7�1 � 14. 103 � 14.1 Divisão de Potência de base 10: Dividem-se os coeficientes e subtraem-se os expoentes da base 10. Exemplos:

a) 6 . 23� 7 . 23¦� �

6 7 .10}�R�7S � 2 . 10�

b) 76 . 23¦�

6 .23/ � 76 6 . 10�4�1 � 6 . 10��

c) } . 23/ � .23¦� �

} � . 101�R�2S � 0,56 . 106

d) 7}.23�~23�

3,2.23¦� . 7.23¦/ � R7}~2S.23�R3,2S.7 .23¦�¦/ � 74.23�

3,7.23¦� � 743,7 . 107~� � 130 . 10�

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Exercícios Propostos: Resolver as operações de potência de base 10:

a) 23. 10�} X 0,023. 10�7 � b) 99 . 101 � 89. 101 X 90 . 107 �

c) 7 .23�~ 1,1 .23/

�22 .23¦� ~ 72. 23¦� �

d) 48 .107X2 .107,106X 4 .106 �

e) 2 7 . 10� X

7 1 . 10� �

f) 2 R 2.104 � 4. 104 S X 5 R 2 . 10} X 10}S �

g) 1 } . 106 � 2

7 . 101 �

h) � 1 4 . 10�7 X 7

1 . 10�1 X 10�1 �

Respostas:

a) 46. 10�} b) 19. 101 c) 35. 10} d) 107 e) 1,17.10� fS � 25. 10} g) 5,5. 101 h) �0,83. ..

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POLINÔMIOS:

Monômio: Na variável " é uma expressão do tipo � È� onde � � �� ô��, � # Ê. � � T�� ô��, � # �. Grau do monômio: É o expoente da variável. Exemplo:

a) 4 "7 é um monômio na variável " de 4 � �� ô�� 2 � T�� ô�� µ ��ô�� é �� 2º T�� b) 6 ½ é um monômio na variável ½ de coeficiente 6 e grau 1.

c) } 7 � é um monômio na variável � de coeficiente 5

2 e grau 1. d) 9 é um monômio de coeficiente 9 e grau 0. e) 0 é um monômio de coeficiente 0 e sem definição de grau.

f) 8"�7 não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e �� # �.

g) 3"2 7⁄ não é monômio pois contraria a definição , o expoente tem que ser um número natural, e ³� # �.

POLINÔMIO: Representa a soma algébrica de monômios na mesma variável.

PRxS � �A"A X �A�2"A�2 X �A�7"A�7 X Í X �7"7 X �2"2 X �3 Os números complexos ( �A, �A�2, �A�7, … , �7, �2, �3S �ã� �� v�L��ô�� de variável " e � # �. Grau do Polinômio: É o expoente de maior grau entre os monômios de mesma variável. Exemplo: a) 3"7 X 2" � 1 é um polinômio de 2º grau de variável " e coeficiente 3. b) 12� � 5 é um polinômio de 1º grau de variável � e coeficiente 12. c) 9"1 X 2"7 � 3" X 7 é um polinômio de 3º grau de variável " e coeficiente9. Exercícios Propostos: Para cada polinômio abaixo, identificar o grau e o seu respectivo coeficiente e variável: a) 2"6 X 3"1 � 3"7 X 8" � 1 b) �4�7 X � � 1 c) �'"7 X �" � '

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Adição e Subtração de polinômios: Somam-se os coeficientes dos monômios de mesmo grau. Exemplo

a) 3"7 X 2" � 1 X 9"1 X 2"7 � 3" X 7 � 9"1 X R3 X 2S"7 X R2 � 3S" � 1 X 7 � ÎÈÆ X ÏÈ� � È X Ð b) 7"1 � 5"7 X 2" X 1 � R �"1 X 2"7 � 4" X 3S � trocar o sinal de cada monômio dentro do parênteses. 7"1 � 5"7 X 2" X 1 X "1 � 2"7 X 4" � 3 � somar os coeficientes dos monômios de mesmo grau. 8"1 � 7"7 X 6" � 2 Produto de Polinômios: aplicamos a propriedade distributiva. Multiplicamos cada monômio do primeiro fator com todos os monômios do segundo fator, não se esquecendo de aplicar as propriedades de potenciação. Propriedade Distributiva: R� X 'S. R X �S � � . X � . � X '. X '. � Exemplo: a) R2" X 5S . R" � 1S � 2". " � 2". 1 X 5. " � 5.1 � 2"7 � 2" X 5" � 5 � 2"7 X 3" � 5 b) " . R" � 1S � ". " � ". 1 � "7 � " c) 2"7R " � 3S � 2"7. " � 2.3"7 � 2"1 � 6"7 d) ( 3"7 X 2" � 1) . (8"1 � 7"7 X 6" � 2S � 3.8"7~1 � 3.7"7~7 X 3.6"7~2 � 3.2"7 X 2.8"2~1 � 2.7"2~7 X 2.6"2~2 � 2.2" � 1.8"1 X 1.7"7 � 1.6" X 1.2 � 24"} � 21"6 X 18"1 � 6"7 X 16"6 � 14"1 X 12"7 � 4" � 8"1 X 7"7 � 6" X 2 � 24"} X R�21 X 16S"6 X R18 � 14 � 8S"1 X R�6 X 12 X 7S"7 X R�4 � 6S" X 2 � 24"} � 5"6 � 4"1 X 13"7 � 10" X 2

Divisão de Polinômios: O divisor é um polinômio não nulo (( 0S. (8"1 � 4"7 X 6" � 2) : ( 2"7 X 3" � 5 S � 8"1 � 4"7 X 6" � 2 2"7 X 3" � 5 R( 0S �8"1 � 12"7 X 20" 4" � 8 0 �16"7 X 26" � 2 16"7 X 24" � 40 0 50" � 42 (Resto) Exercícios propostos: Calcular as operações com os polinômios abaixo: a) �5"7 X " X 2 � "R6" � 2S � b) R3"7 � 7" X 1S" �

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Produtos notáveis:

1) Trinômio do Quadrado Perfeito: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" X ½S7 � R" X ½S. R" X ½S � �vL� �� v��v�� '��w� �� R" X ½S7 � "7 X 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R" X 5S7 � "7 X 2. " .5 X 57 � "7 X 10" X 25 2) O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Demonstração: R" � ½S7 � R" � ½S. R" � ½S � �vL� �� v��v�� '��w� �� R" � ½S7 � "7 � 2. ". ½ X ½7 Exemplo: R2 � �S7 � 27 � 2.2. � X �7 � 2 � 4� X �7 3) O Produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. R " X ½ S . R " � ½ S � "7 � ½7 Exemplos:

a) R " X 3 S. R " � 3 S � "7 � 37 � È� � Î

b) R � � 4 S. R � X 4 S � �� ³Ð

c) R 2" X 5 S. R 2" � 5 S � R 2" S7 � 57 � ÑÈ� � �Ï

d) V 6È� � 1W. V 6È� X 1W � R 6È� S7 � 17 � ÆÐÈÑ � ³

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Exercícios propostos: Calcular os produtos abaixo: a) R 2� X 3 S. R 2� � 3 S � b) 5"R 4 � � S � c) R �7 � 7 S. R�7 X 7 S � d) R" X 1S7 � " X 1 � Fatoração de polinômios: É escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Exemplos:

a) Fatorar o polinômio 2�2"5 X 4�3"3 Podemos escrever o polinômio desta maneira:

��"7. ÈÆ X 2. ��. �. ÈÆ � ��ÈÆ. R"7 X 2 �S Foi colocado em evidência : o maior divisor comum dos números � �. �. . R4 , 2S � � e as potências repetidas de menor expoente: ��ÈÆ b) Fatorar o polinômio 6"2 � 3" 6"7 � 3" � ÆÈ R 2" � 1 S , �. �. . R6 , 3S � Æ menor expoente: È c) Fatorar o polinômio 6 "4 X 4"3 � 12"2 6 "6 X 4"1 � 12"7 � 2 "7 R3 "7 X 2" � 6 S �. �. . R6, 4 , 12S � � menor expoente: È�

d) Fatorar o polinômio 8�6'} X 20�1'7

8�6'} X 20�1'7 � 2. Ñ. ��. �7. �. '1 X 5. Ñ. �. ��. � �. �. . R8, 20S � Ñ � 4�7'7R 2�7'1 X 5� S menor expoente: ��

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Frações algébricas: O quociente de dois polinômios, indicado na forma fracionária, na qual duas ou mais variáveis aparecem no denominador, tendo o denominador não nulo ( ( 0S. Exemplos de frações algébricas:

§ 2"2X3"�5 ,

} §~} ,

§§�2

Adição e Subtração de frações algébricas:

a) §

7§� X 71§ � 1.§

4§� X 7.7§4§� � 1§~6§

4§� � �§4§� � �

4§ m.m.c (2 , "7, 3 , "S 2

1, "7, 3 , " 3 1, "7, 1 , " " 1, " , 1, 1 " 1, 1 , 1, 1 6"7

b) §

§�Ó X 2§~Ó X Ó�§

§��Ó� � §.R§~ÓSR§�ÓS.R§~ÓS X 2.R§�ÓS

R§�ÓS.R§~ÓS X Ó�§R§�ÓS.R§~ÓS �

� "2X".½X"�½X½�"V"�½W.R"X½S � "2X".½

V"�½W.R"X½S � "R"X½SV"�½W.R"X½S � "

V"�½W Multiplicação e Divisão de frações algébricas:

a) §

R§�ÓS . §/

R§~ÓS � §.§/

R§�ÓS.R§~ÓS � §�§��Ó�

b) R§�ÓS/R§~ÓS : R§~ÓS

R§�ÓS� � R§�ÓS/R§~ÓS . R§�ÓS�

R§~ÓS � R§�ÓS�R§~ÓS2

Atenção: Só podemos simplificar frações algébricas quando tiver produto no numerador, denominador ou em ambos. É errado: simplificar frações algébricas onde tem adição ou subtração no numerador,denominador ou em ambos.

§

§ ~ 2 errado § � 2

§ errado § ~ 2§ � 2 errado

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Exercícios: Resolver as frações algébricas abaixo:

a) 1 " �1 " X 1 �

b) 6§~1

1§ X 4§� � 2

§ �

c) 2

§/ X 27§� � 1

§ �

d)

"X1 " ~ §

§ �

e) 7

1§/ X 2§� � 6§

1 �

f) 6 §1 � 2

4§ X 1 �

Respostas:

a) §

7§�2 b) 6§�~2�

1§� c) 2~27§�1§�

§/ d) §�~ § ~2

§� e) 7~1§�6§�

1§� f) �§�~4§�2

4§

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA BÁSICA 1) Resolver as expressões algébricas:

a) { 7" � � 3"R " � 1S � 6"� X 3"3" � � b) 3"7 . 7"1 X 13"} X 3"7. " . R�2"7S �

2) Resolver as operações de potências de base 10: a) 5 . 10� X 8 . 10� � 3. 10� �

b) 24 .23¦�~ 7.23¦�

7.23/ . 23/ �

c) 23�~ 23�

23¦� . 23¦� �

d) 27,1 .23¦/ � �,1 . 23¦/

7.23/ . 23¦/ �

e) 6 .23�� . � .23¦�77 .23�~23 .23� �

3) Resolver as equações :

a) 7�%1§ X &

7§ � � 1 b) 4

}§ � 27§� � 22

6 � � }}73

c) �2" X 15 � �R 5 � 8" S d) }§

� X 7R§~2S 1 � � §

�

e) �§~�

� � 7§~2 1 f)

1�§ � �7� � 4" X 5

Respostas:

1a) 16"

1b) 28"}

2a) 1023

2b) 9. 10�8

2c) 2. 1027 2d) 2. 10�1

2e)10}

3a) 2��3'�46

3b) }

27 3c) 2

3d) � 1 2

3e) �1,4

3f) �4

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FUNÇÕES: Função é uma relação que existe entre duas grandezas, tal que uma depende da outra. Exemplo: a) A área do quadrado depende do lado do quadrado, então dizemos que a área está em função do lado e escrevemos ¸ � �R ℓ S. Se ℓ varia então ¸ varia. b) Õ � �R � S, ��v�� ê� �� çã� �� . cS Ö � �R � S , w�L� �� çã� �� v�. Notação de Função: ×: M ± M ØÙÚí�ÛÙ RMS ± contra-domínio ( MS È ± Ü � ×RÈS � é uma função dos Reais nos Reais, onde para todo elemento È # ØÙÚí�ÛÙ RMS existe em correpondência um único elemento Ü � ×RÈS # contra-domínio(MS que é a sua imagem. Definição de função: Sejam È � Ü variáveis, tais que para cada valor atribuído a È existe em correspondência um único valor Þ . Dizemos que Ü é uma função de " e representamos por Ü � ×RÈS È � w��áw�L L�w�� v�� Ü � w��áw�L ��v�� PLANO CARTESIANO:

O plano cartesiano M �é representado pelos eixos das abscissas, ��"� " � ØÙÚ�R"S # M ordenadas, ��"� ½ � ßÚ�R"S # M . à��:1º. 2º , 3º � 4º Os eixos se cruzam na origem do sistema, no ponto ·R0,0S, formando quatro regiões chamadas de quadrantes. ½ ( contra-domínio) �º áâ�ãä��å´ ³º áâ�ãä��å´ RÈ Q 0, ½ U 0S RÈ U 0, ½ U 0S

0 È ( domínio da função ) Æº áâ�ãä��å´ Ñº áâ�ãä��å´ RÈ Q 0, ½ Q 0S RÈ U 0, ½ Q 0S

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Representando no plano cartesiano o ponto P de coordenadas ·R", ½S. ½ �R"S - - - - - -æ R abscissa, ordenada S 0 " " Exercícios: Representar no plano cartesiano os pontos abaixo: ·R 2 , 2 S ½ àR�1 , 2S 4 ¹R 3 , �2S 3

ç � 2 7 , 3� 2

ÁR�3 , 0S 1 èR 0 , 1S ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... " ÖR�4 , �3S - 1 - 2 - 3 Construindo Gráficos de Funções: Seja a função Ü � �È com domínio nos reais 1º Passo: Atribuímos valores para a variável independente È, encontramos as imagens que são os valores de Ü 2º Passo: As coordenadas R", ½S colocamos no plano cartesiano 3º Passo: Traçamos a função que passa pelos pontos encontrados. " Ü � �È ·R", ½S �2 ½ � 2. R�2S � �4 R� 2 , �4S ½ �1 ½ � 2. R�1S � �2 R�1 , �2S 4 . 0 ½ � 2 . 0 � 0 R 0 , 0S 3 1 ½ � 2 . 1 � 2 R 1 , 2S 2 . 2 ½ � 2 . 2 � 4 R2 , 4S 1 ... - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4... " - 1 . - 2 - 3 . – 4 Exercícios: Construir os gráficos das funções: a) ½ � 2" X 1 'S ½ � 2" � 1 c) ½ � �2" X 1 d) ½ � �2" � 1 e) ½ � " f) ½ � �"

" , ½

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Função Crescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³ , dizemos que a função é Crescente se as imagens �R"7S U �R "2 ) Função Decrescente: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³, dizemos que a função é Decrescente se as imagens �R"7S Q �R "2 ) Função Constante: Seja a função Ü � ×RÈS e sejam È³ e È� elementos do domínio da função com È� U "³, dizemos que a função é Constante se as imagens �R"2S � �R "7 ). Exemplo: A função é crescente nos intervalos: ½ Õ ê " ê ë e ì ê " ê í D E Ü � ×RÈS A B C F G H I J 0 " A função é decrescente nos intervalos: ¸ ê " ê î � K ê " ê Â A função é constante nos intervalos: î ê " ê Õ, ë ê " ê K , Â ê " ê ì Exercícios: Observando o esboço das funções nos gráficos, indique os intervalos do domínio onde a função for crescente, decrescente ou constante. ½ ½ ½ ½ 4 8 1 1 0 2 4 6 8 10 " 0 5 10 15 " 0 " 0 "

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Função Linear: Ü � �È X

� � Coeficiente Angular da reta: � � �T ï � Ó§ � ( ¯

É o valor da reta tangente à função com o eixo das abscissas. Se a função é crescente o coeficiente angular � é positivo, � U 0. Se a função é decrescente o coeficiente angular � é negativo, � Q 0. Se a função é constante o coeficiente angular � � �T 90° , º �T 90°, logo � não está definido. � Coeficiente Linear da reta: É o valor da ordenada quando a função corta o eixo das ordenadas no ponto ·R 0 , ½S. Exemplos: Sejam as funções, 1 ½ � 2" X 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � 2" � 1 Coeòiciente Angular � � 2 µ 2 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � �2" X 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± � �� 1 Coeficiente Linear ' � 1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 1S. ½ � �2" � 1 Coeòiciente Angular � � �2 µ 2 Q 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � �1 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , �1S. -1 ½ � " Coeòiciente Angular � � 1 µ 1 U 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � �" Coeòiciente Angular � � 2 � 1 µ �1 Q 0 ± � �� Coeficiente Linear ' � 0 µ corta o eixo y no ponto ·R 0 , 0S. 0 ½ � 3 Coeòiciente Angular � � �ã� ��á �� ± � �� 3 Coeficiente Linear ' � 3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , 3S. ½ � �3 Coeòiciente Angular � � �ã� ��á �� ± � �� Coeficiente Linear ' � �3 µ corta o eixo y no ponto ·R " , �3S. -3

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�2

Exercícios: Determine os valores do coeficiente angular � e coeficiente linear das funções �2 e �7 ,nos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 4 �2 �2 �7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 c) ½ d) ½ 6 �2 �7 35 �2 �7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Funções Lineares Periódicas do tipo: Onda Quadrada. Triangular, Dente de Serra e Trapezóide. Período ( T ) : São intervalos , ou ciclos, quando a função volta a se repetir novamente, da mesma maneira. A : é o pico máximo da onda. 1) Ondas Quadrada: É formada por funções constante. a) b) ½ ½ 9 3 4 0 1 �7 2 3 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " Á � 2 Á � 0,2 ¸ � 3 ¸ � 9 �2 � ½2 � 3 �� 0 ê " ê 1

�2 � ½2 � 9 �� 0 ê " ê 0,1

�7 � ½7 � 0 �� 1 ê " ê 2 �7 � ½7 � 4 �� 0,1 ê " ê 0,2

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2) Ondas Triangulares: Utilizaremos a fórmula

½ � ½3 � � R " � "3 S , � � Ó § , · R "3 , ½3 S

a) b) ½ ½ 6 �2 �7 35 �2 �7 0 2 4 6 8 " 0 7 14 21 28 " Á � 4 Á � 14 ¸ � 6 ¸ � 35

�2 é �� , � ê 0 ô � � � Ó § �2 é �� , � � 0 ô � � X Ó

§ substituindo ·R 2, 0S # �2 na fórmula substituindo ·R 0, 0S # �2 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 4

7 R" � 2S �2 � ½2 � 0 � 1}

� R" � 0S

�2 � ½2 � �3" X 6 �� 0 ê " ê 2

�2 � ½2 � 5" �� 0 ê " ê 7

�7 é �� , � � 0 , � � X Ó § �7 é �� , � ê 0 ô � � � Ó

§ substituindo ·R 2, 0 S # �7 na fórmula substituindo ·R 14, 0 S # �7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �7 � ½ � 0 � 4

7 R" � 2S

�7 � ½ � 0 � � 1} � R" � 14S

�7 � ½7 � 3" � 6 �� 2 ê " ê 4

�7 � ½7 � �5" X 70 �� 7 ê " ê 14

P

Matemática Básica

31

c) ½ 10 �2 �7 0 5 10 15 20 " -10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Á � 20 ¸ � 10

�2 é �� , � ê 0 ô � � � Ó § �7 é �� , � � 0 ô � � Ó

§ substituindo ·R 5, 0S # �2 na fórmula substituindo ·R 15, 0S # �7 na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 23

} R" � 5S �7 �7 � ½ � 0 � 23

} R" � 15S

�2 � ½2 � �2" X 10 �� 0 ê " ê 10

�7 � ½7 � 2" � 30 �� 10 ê " ê 20

3) Ondas Dentes de Serra: a) b) ½ ½ 4 �2 �2 �7 5 0 3 6 9 " 0 0,1 0,2 0,3 0,4 " -5 Á � 3 Á � 0,2 ¸ � 4 ¸ � 5

�2 é �� , � ê 0 , � � � Ó § �2 é �� , � � 0 , � � X Ó

§ ·R 3, 0S # �2substituindo na fórmula ·R 0, 0S # �2 substituindo na fórmula ½ � ½3 � � R " � "3 S ½ � ½3 � � R " � "3 S �2 � ½ � 0 � � 6

1 R" � 3 S �2 � ½2 � 0 � }

3,2 R" � 0S

�2 � ½2 � � 6

1 " X 4 �� 0 ê " ê 3

�2 � ½2 � 50" �� 0 ê " ê 0,1

�7 é �� , � � 0 , � � X Ó § , ·3R0,2 , 0S # �7

�7 � ½7 � 0 � }

3,2 R" � 0,2S

�7 � ½7 � 50" � 10 �� 0,1 ê " ê 0,3

Matemática Básica

32

4) Ondas trapezóides ½ õ � Æ ö � ÷ ×³ � ÷È ø´ ¯ ê È ê ³ ×� � ÷ ø´ ³ ê È ê � 7 ×Æ � �÷È X �³ ø´ � ê È ê Æ 0 1 2 3 4 5 " Exercícios Propostos: Determine as funções para um período dos gráficos abaixo: a) b) ½ ½ 7 10 3 0 3 6 9 12 " 0 2 4 6 8 " c) d) ½ ½ 18 �2 6 �2 �7 0 3 6 9 " 0 2 4 6 8 " -6 e) f) ½ ½ 20 �2 35 �2 �7 0 5 10 15 20 25 " 0 7 14 21 28 "

P

Matemática Básica

33

Função Exponencial: Chama-se função exponencial qualquer função �: M ± M dada por uma lei da forma:

×RÈS � �È base � # M , � U 0 � ( 1 Função Exponencial na base ´ � �, ÷³ù … RúÙ�øå��å´ ã´ ûâü´äS. Ü ö � ordenada do ·R0, ¸S

1. �R " S � ö . ´�È A �R"S é Õ�� . 0 "

Para ¸ � 1 , � � 1 ⇒ �R " S � 1. �1." ½ ³ � a ordenada do ·R0,1S

1.1 �R " S � ´È 1 0 " ½ 2. �R " S � ö . ´��È A �R"S é ë� �� . 0 "

Para ¸ � 1 , � � �1 ⇒⇒⇒⇒ �R " S � 1 . ��1." ½

2.1 �R " S � ´�È

1 �R"S é ë� �� . 0 "

Matemática Básica

34

Equação Exponencial na base ´ � �, ÷³ù …: são equações onde a incógnita está no expoente. Para isolar a incógnita devemos utilizar as propriedades de potência , afim de deixar na mesma base e poder fazer as simplificações necessárias. Exemplos:

a) �7§�7 � 1 sabemos que �3 � 1 , então podemos escrever

�7§�7 � �3 encontrada a mesma base e podemos simplificá-las, restando os expoentes

2" � 2 � 0 isolamos a incógnita " encontramos valor que satisfaz a equação. " � 1

b) 3 . �" + 2 . �§ � 5 . ��§~�

R3 X 2S�" � 5 . ��"X8 colocamos em evidência o termo comum �§

5. �" � 5 . ��"X8 simplificamos as bases iguais restando os expoentes

" � �" X 8 " X " � 8

2" � 8 µ " � � 7 µ " � 4

c) ��7§ � 2 @� tomemos o inverso da potência no 2º membro da equação

��7§ � ��4 simplificamos as bases iguais restando os expoentes

�2 " � �6

" � �4 �7 µ " � 3

Exercícios Propostos: Resolver as equações exponenciais abaixo: a) ��1 � �6�§

b) ��§ � 2 �2

c) 1 � �§�2 d) �7§ � 1 Respostas: a) 7 b) 0,25 c) 1 d) 0

Matemática Básica

35

Função Exponencial do tipo: Ü � ö R ³ � ´��ÈS , " � 0 Muito utilizada em circuitos elétricos. Ü

Quanto maior o È mais a curva se aproxima de A A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A função tende a A quando È tende ao infinito. 0 "

Tabela de valores de ´È

Exemplo: Esboçar o gráfico da função ½ � 2 R 1 � ��§ ) Solução: A = 2 " � � ½ � ¸R1 � ��"S Ü 0 2R1 � �3S � 2.0 � 0

2 . . . . . . . . . . . . 1 2R1 � ��2S � 2R1 � 2 � ) ¡ 1,26

2 2R1 � ��7S � 2R1 � 2 �2) ¡ 1,73

3 2R1 � ��3S � 2R1 � 2 �3) ¡ 1,9

Quanto maior o valor de x a função mais se aproxima de 2. ý ý ý ý Exercícios: Esboçar o gráfico das funções abaixo:

a) ½ � 3 R 1 � ��§S b) ½ � 2 R 1 � ��7§S c) ½ � 1 R 1 � ��§S d) ½ � 7 R 1 � ��7§S

" �3 �2 �1 0 1 2 3

�§ 0,05 0,14 0,37 1 2,72 7,39 20,09

0 1 2 3 4 " x

Matemática Básica

36

Logaritmo: É a operação inversa da potência ( cálculo do expoente n ) . Definição : Logaritmo de um número b real positivo, na base � real positiva e diferente de 1 é o número � ao qual se deve elevar a base � para se obter a potência b.

log% ' � � ¶ �A � ' ' � üÙþ�äÛåÚ��ãÙ ' U 0 µb # M~¤ . � � �ø´, � U 0 � � ( 1 � � üÙþ�äÛåÚÙ Exemplos: log7 16 � � ¶ 2A � 16 � � � Ñ é o logaritmo de 16 na base 2

log} 5 � � ¶ 5A � 5 � � � 1 log% 1 � � ¶ �A � 1 � � � ¯ é o logaritmo de 1 em qualquer base R� U 0 � � ( 1S

¤ º �ãÙ ´ÈÛøå´ logaritmo de número negativo o[R �ÆS.

Logaritmo Neperiano:

Chamado de logaritmo Natural é o logaritmo que usa como base o número e ( constante de Euler).

log@ ' � � ¶ �A � ' ou o[ � � ¶ ´� � ln � � 1 ¶ �2 � � ln 1 � 0 ¶ �3 � 1 Propriedades dos logaritmos: ·2: o[R ö .�S � o[ ö X o[� Logaritmo do produto é a soma dos logaritmos.

·7: o[ � ö � � � o[ ö � o[� Logaritmo do quociente é a diferença dos logaritmos.

¸��ç�õ! �� ( ln � �

� �

·1: o[ ´Ú � q . o[ ´ � Ú . ³ � Ú Logaritmo da potência é o expoente da potência multiplicado pelo logaritmo da base dessa potência. ·6: o[ ö � o[ � ¶ ö � � Se dois logaritmos são iguais então seus logaritmandos também são.

Matemática Básica

37

Função Logarítmica na base ´ � 2,718 …

½ � L�"

" ½ � ln " 1 ln 1 = 0 e ln e = 1 ½ e2 ln e2 = 2.lne = 2.1 = 2 ½ � L�" e3 ln e3 = 3.lne = 3.1 = 3 e4 lne4 = 4.ln e = 4.1 = 4

ý Í Í Í Í Í Í Í ý 0 P(1,0) " � lne� � �. ln � � � ý Í Í Í Í Í Í � ý Conjunto dos números Naturais Equação Logarítmica na base ´ : Temos que isolar a incógnita da equação utilizando as propriedades de logaritmo. Exemplos: a) lnR " X 5S � 1 Restrição: " X 5 U 0 µ " U �5

lnR " X 5S � L� � sabemos que 1 � ln �

" X 5 � � simplificamos os ln

" � � � 5 isolamos a incógnita "

" � 2,72 � 5 " ¡ � 2,28 satisfaz a restrição: � 2,28 U �5

Podemos resolver a mesma equação utilizando a definição de logaritmo:

lnR " X 5S � 1 ¶ �2 � " X 5 " � 2,72 � 5 µ " ¡ � 2,28 bS ln 7" X ln 3" � ln 5 Restrição: " U 0 lnR 7" . 3" S � ln 5 7.3 ". " � 5 21 "7 � 5 " � √0,24 µ " � X 0,5 " � � 0,5 não convém pois, " U 0

Matemática Básica

38

c) lnR 8 xX1 x S � 0 Restrição:

� ~2 �3 > 0 µ " U � 2

�

lnR 8" X 1S � ln " � 0 lnR8" X 1S � ln " 8" X 1 � " 8" � " � �1

7" � �1 µ " � � 2 � satisfaz a restrição � 1

7 U � 1 8

d) ln ��~1§ � 2 Restrição: ��~1§ U 0 , �§ U 0 �7 X 3" � 2 3" � 2 X 7

3 " � 9 µ " � 3 satisfaz a restrição �1 U 0 Exercícios: 1 Resolver as equações logarítmicas abaixo: a) lnR 2" � 4S � 0 Restrição:R 2" � 4S U 0 " U 2 b) 1 � lnR" � 24S Restrição:R " � 24S U 0 " U 24 c) 1 � ln "7 � 24 Restrição: "7 U 0 " U 0 d) 1 X ln 2 � ln " Restrição: " U 0 Respostas:

a) 5 2® b) 5,2 c) 26,8. 106 e) 2

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39

Trigonometria no Triângulo Retângulo: é todo triângulo que possui um â�T�L� �� 90°.

ì�v�� é o lado oposto ao ângulo reto : îÕ � �

' � Õ�� são os lados opostos a cada ângulo agudo: ¸î � � ¸Õ � '

Teorema de Pitágoras: �7 � '7 X 7 A c B

Razões Trigonométricas:

�´�Ù

Seno de um ângulo agudo é o quociente , entre o cateto oposto a esse ângulo e a hipotenusa.

b a ø´� � :%B@B; ;=;©B; %; âA�D�; ��?=;B@AD©% � &

% c

� � �äú ø´� & %

Exemplo: Calcular o valor do arco no triângulo retângulo:

3 6 �� 1

4 � 2 7

� � �äú ø´� 2 7 � 30°

�Ùøø´�Ù

Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto adjacente a esse ângulo e a hipotenusa.

b �� :%B@B; %C�%:@AB@ %; âA�D�; ��?=;B@AD©% � :

% c õ��þ´�å´

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo.

�T � � �� v��

& : ô �T � � ©@A�

:;©�

�

�

C

�

�

a

�

Matemática Básica

40

Exemplos:

a) �� 0,7071067 � � �äú ø´� 0,7071067 � � � 45°

b) �� 0,8660254 � � �äú úÙø 0,8660254 � � � 30°

c) �Tï � 1,7320508 ï � �äú åþ1,7320508 � ï � 60°

Exercícios propostos:

Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:

a) ��ï � 0,8660254 d) �Tï � 1

b) �� 0,7071067 e) �T� � 2,7474774

c) �T� � 1,7320508 fS �Tï � �1,7321

g) �T� � �0,5773 h) �T� � �1

Relações Fundamentais :

1) sen2α + cos2α = 1

2) åþ � ø´� úÙø

Ângulos Notáveis:

ÂNGULOS 30° 45° 60°

ç�� 12 √2

2 √32

�� √32

√22

12

�T √33

1 √3

Matemática Básica

41

Exercícios propostos:

1) Calcule o que se pede nos triângulos retângulos abaixo:

4 6 9

8 2 9 √2

ï � ï � ï � �� ï � ��ï � ��ï � �� ï � ��ï � ��ï � �T ï � �T ï � �T ï �

2) Calcular o valor aproximado de cada arco especificado abaixo:

a) ��ï � 0,8660254 d) �Tï � 1

b) �� 0,7071067 e) �T� � 2,7474774

c) �T� � 1,7320508 fS �Tï � �1,7321

g) �T� � �0,5773 h) �T� � �1

Matemática Básica

42

TRIGONOMETRIA Arco : de uma circunferência é qualquer segmento da circunferência limitado por dois pontos distintos

B AB = arco menor e AÔB = ângulo central = " ��R ¸î S � �� R ¸Ôî S � "

Unidades de medidas : Graus e radianos

Grau ( ° ) 1 ° = 2

143 da circunferência, então

90° � 2 6 da circunferência

180° � 2 7

270° � 1 6

360° � 1 circunferência

Radiano R ä�ã S 1 �� raio da circunferência

Õ � 20 � comprimento de uma circunferência

� � 1 ��

Õ � 20 ��

Conclusão: Õ � 360° � 20 ��, logo 90° � � 7

180° � 0 ��

90° � �7 �� 180° � 0 0° � 360° � 20

ý ý 270° � 1�

7

Transformar graus para radianos e vice-versa: Regra de três simples

180° 0 ��

30° " " � 30° . 0 ��180° � 06 ��

Graus 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°

Radianos 06

04

03

02 π 30

2 2π

O � A

Matemática Básica

43

�â�çãÙ �´�Ù : ½ � �� "

Sobre os eixos cartesianos traçamos uma circunferência de raio unitário ä � ³ com o centro coincidindo com a

origem do sistema.

Tomemos um arco ·¹ ou o ângulo ".

Seno do arco ·¹ ou do ângulo È é a ordenada do ponto P, projeção do segmento OP sobre o ´ÛÈÙÜ. ½

1

Arco ·¹ � "

�� " � �Ã

Â�á�� : �´�óÛã´

½ . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�20 � 1�7 � 0 � �7 0 �7 0 1�

7 20 "

A ×â�çãÙ ø´�Ù é Í�æö� pois é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ).

ø´� R�È S � � ø´� R È S , �� 7 � � � ��

7

Período ( Á � 20S � é o período de tempo quando a função se repete.

Amplitude R ¸ U 0 S : é a metade da distância entre o ponto máximo e mínimo da onda.

ö � �á§?<; – <íA?<;7

" � 0 � 0 2 0 0

2 π 302

2π

�� " 0 � 1 0 1 0 � 1 0

Ã......... P " 1 -1 0 R "

-1

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 v��í�� Á � 20

Matemática Básica

44

�â�çãÙ �Ùøø´�Ù : ½ � cos "

Seja o arco AP = ângulo x ,denominamos

Cosseno do ângulo " , a abscissa do ponto P , projeção do segmento OP sobre o eixo È , eixo das abscissas.

½

1

Arco ·¹ � "

��" � �Ç

-1

Â�á�� : �Ùøø´�óÛã´

Á � 20 ½

¸ � 1 . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�20 � 1�7 � 0 � �7 0 �7 0 1�

7 20 "

A função �� é ·¸¹ pois é simétrica ao eixo ½

�� R�" S � ��R " S cos R � �6 S � �� R �

6 S

Função Tangente: Ü � åþ È

�T" � ��" ��" , ��" ( 0 ��ã� " ( �7 X Ä0

A ��çã� ��T�� não está definida nos arcos � " � � 7 X Ä0 � � 90° , 270°, …

A ��çã� ��T�� é ÍÃ·¸¹: é simétrica a origem do sistema ( 0 , 0 ). �TR�"S � � �TR"S �T ��

6 � � � �T � 6

"

�0

��

7

0

� 7

π

1� 7

2π

�� " �1 0 1 0 �1 0 1

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

Á � 20

P " 1 -1 0 N R "

Matemática Básica

45

Função do tipo: Ü � � X ö ø´� È

� � deslocamento do ��"� " µ � � v��. Ãá"�� ¸

ö � ��vL�� ¸ U 0 , é � v�� é�� ö � �á§?<; – <íA?<;

7

� v��í�� õ � 7�&

·��. Ãá"�� X ¸

·��. �í�� ¸

Exemplo 1: Faça um esboço do gráfico da função Ü � � X Æ ø´��È

Solução: ¸ ��çã� é ø´�Ù. ½ Á � 0

� � 2 ��"� " ��L� �� 2 �� A ¸ � 3

' � 2 µ õ � 7�& �

7�7 � 0 �

·��. Ãá"�� X ¸ � 2 X 3 � 5 0 �7 0 1�7 20 "

·��. �í�� ¸ � 2 � 3 � �1

Exemplo 2: Faça um esboço do gráfico da função Ü � � X Æ úÙø�È Solução: ¸ ��çã� é úÙøø´�Ù. ½ Á � 0

� � 2

¸ � 3

' � 2 µ õ � 7�& �

7�7 � 0

·��. Ãá"�� X ¸ � 2 X 3 � 5 0 �6 �7 1�6 0 }�

6 "

·��. �í�� ¸ � 2 � 3 � �1

Exemplo 3: Faça um esboço do gráfico da função Ü � Ð ø´� ÑÈ

Solução: ¸ ��çã� é ��. ½ Á � 0 2®

� � 0 ¸ � 6

' � 4 � õ � 7�& �

7�6 �

�7 0

�� 6 1�

� �7 0 1�7 "

·��. Ãá"�� X ¸ � 0 X 6 � 6 ·��. �í�� ¸ � 0 � 6 � �6

�1 . . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . .

2 . ......................................

�1 . . . . . . . . . . .

5 . . . . . . . . . . . . . . .

......... 2......................................

�6 . . . . . . . . . . . . . .

6 . . . . . .

Matemática Básica

46

Exercícios:

1) Esboçar o gráfico das funções abaixo:

a) ½ � 1 X ��"

b) ½ � 1 X ��"

c) ½ � 3 X 2��2"

d) ½ � 2 X 3 ��2"

e) ½ � �� 4"

f) ½ � ��4"

2) Determine a função , para um período , de cada um dos gráficos abaixo:

a)

� T�á�� é �� çã� … … … … … … … … ½ Á �

·��. Ãá"�� ·��. �í��

� � ¸ � 0 �7 0 1�

7 20 "

' �

Resposta: ½ �

b)

� T�á�� é �� çã� … … … … … … … … ½ Á �

·��. Ãá"�� ·��. �í��

õ � 7�& � ' � ... 0 �7 0 1�

7 20 "

� � ¸ �

Resposta: ½ �

�1 . . . . . . . . . . . .

7 . . . . . . . . . . . . . . .

3 . . . . . . . . . . . . . . .

�4 . . . . . . . . . . . .

4 . . . . . . . . . . . . . . .

Matemática Básica

47

��çã� �� : ½ � �� R " X ïS

A função ½ � �� R " X ïS ��á �� em relação a função �� .

A função ½ � �� R " � ïS ��á �� em relação � ��çã� ��.

Exemplo 1: Esboçar o gráfico da função : Ü � ø´� R È X �Ð S

Solução: A função seno está defasada em 30°em relação a função seno.

ï � 06 � 30° ��çã� ��

Á � 20 ½ � �� 30°

¸ � 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�23�4

��1

��4

��4

�4�4 �}�

4�6�

4 ��7

��1

��4 0 �

4�1 � 7 6�

4}�4 0 ��

4��4

1�7

23�4

22�4 20 "

O ponto máximo : 90° � 30° � 60° � �1

O ponto mínimo: 270° � 30° � 240° � ��4

Corta o ��"� " nos pontos : ��Ð , 180° � 30° � 150° � Ï�Ð e 360° � 30° � 330° � ³³�

Ð

Exemplo 2: Esboçar o gráfico da função : Ü � ø´� R È X �Æ S

O ponto máximo : 90° � 60° � 30° � �4

O ponto mínimo: 270° � 60° � 210° � 706

Corta o ��"� " nos pontos : ��Æ , 180° � 60° � 120° � ��Æ e 360° � 60° � 300° � Ï�

Æ

ï � 03 � 60° ��çã� ��

Á � 20 ½ � �� 60°

¸ � 1 . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . .

�23�4

��1

��4

��4

�4�4 �}�

4�6�

4 ��7

��1

��4 0 �

4�1

� 7

6�4

}�4 0 ��

4��4

1�7

23�4

22�4 20 "

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 Á � 20

30°

. . . . . . . . . . . . . . . . .-1 . . . . . . . . . . . .

1 Á � 20

60°

Matemática Básica

48

Exercícios: Esboçar o gráfico das funções defasadas : a) ½ � �� R " X 0

4 S

b) ½ � �� R " X 02 S

c) ½ � ��R " � 03 S

d) ½ � ��R " X 04 S

e) ½ � ��R " � 02 S

Matemática Básica

49

Arcos Simétricos : 180° � " " X

- Sentido anti- horário = sentido positivo ( X ). 180° X " �

1º Quadrante R 0° � 90°S: As funções : seno, cosseno e tangente são positivas ( + ).

2º Quadrante ( 90° � 180°): Quanto falta para 180° ?

�� X �� T��

��120° � X �� R180° � 120°S � X��60° � 0,866 ��120° � � ��R180° � 120°S � � ��60° � � 0,5 �T120° � � �TR180° � 120°S � ��T60° � � 1,732

3º Quadrante R180° � 270°S: Quanto passou de 180° ?

" �� 180° X " �� T�� X

��210° � � �� R180° X 30°S � � ��30° � � 0,5

��210° � � ��R180° X 30°S � � ��30° � � 0,866 �T210° � X �TR180° X 30°S � X �T30° � 0,577

4º Quadrante R270°� 360°S: Quanto falta para 360° ?

" �� 360° � " �� X ��T��

��315° � � �� R360° � 315°S � � ��45° � � 0,707

��315° � X ��R360° � 315°S � X ��45° � X 0,707 �T315° � � �TR360° � 315°S � � �T45° � �1

360° � "

180° � "................. "

ý ý

Matemática Básica

50

- Sentido horário ou sentido negativo ( � ). 4º Quadrante 0° � R�90°S: �� " �� X � ��T��

��R�30°S � � �� 30° � � 0,5 µ �� é ��çã� Í�v��, ��R�"S � ��"

cosR�30°S � ��30° � 0,866 µ �� é ��çã� ·��, ��R�"S � ��"

�TR�30°S � � �T30° � � 0,577 µ ��T�� é ��çã� Í�v��, �TR�"S � ��T"

3º Quadrante R� 90°S � R�180°S:

" �� T�� X

��R�120°S � ��120° � �� R180° � 60°S � ��60° � � 0,866 cosR�120°S � ��120° � � ��R180° � 60°S � � ��60° � � 0,5 �TR�120°S � ��T120° � �V��TR180° � 120°SW � X�T60° � X 1,732

2º Quadrante R�180° S � R�270°S:

�� X �� T��

��R�210°S � ��210° � �V� �� R180° X 30°SW � X ��30° � X 0,5

cos R�210°S � ��210° � � ��R180° X 30°S � � ��30° � � 0,866 �TR�210°S � ��T210° � �VX �TR180° X 30°SW � � �T30° � � 0,577

1º Quadrante R�270°S � R�360°S: �� X ��R�315°S � ��45° � X 0,707

�� X cos R�315°S � ��45° � X0 ,707

��T�� X �TR�315°S � �T45° � X1

�"

Matemática Básica

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