matematica - apostila história da trigonometria

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1 Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA) (Fevereiro 2005) Trigonometria Captulo I. Um pouco de Histria ApalavratrigonometriatemorigemnaGrciadapalavratrigonos(tringulo) +metrm(medida). Etimologicamente, trigonometria significa medida de tringulos. Por vezes pensa-se que a origem da Trigonometria est exclusivamente ligada resoluo de situaes de medio de terrenos ou determinao de medidas sobre a superfcie da terra. No entanto, enquanto ramo do conhecimentocientfico, impossvelsepararaTrigonometriadaAstronomia.Daqueoseu desenvolvimento como cincia exata viesse a exigir medies e clculos de grande preciso. neste contexto que o astrnomo grego Hiparco de Niceia (180-125 a.C.) considerado o fundador da Trigonometria. Foi ele que introduziu as medidas sexagesimaisem Astronomia e elaborou a primeira tabela trigonomtrica. Hiparco utilizouatrigonometriaparafazermedies,prevereclipses,fazercalendriosenanavegao. AHiparcoseguiram-seoutrosnoestudoedesenvolvimentodatrigonometria,como,porexemplo, Ptolomeu. No sc.III, os indianos e os rabes deramnova dimenso trigonometria ao introduzirem a trigonometria esfrica.ATrigonometriatemcomoobjetivoprincipaloestudodasrelaesentreladosengulosdeum tringuloeconstituiinstrumentoindispensvelnarespostaanecessidadesdaAstronomiaeaindada navegao,cartografiaedatopografia.Oestabelecimentodecertasrelaesquehojechamamosfrmulas fundamentais da Trigonometria deve-se aos matemticos hindus, do sc. V ao sc. XII. De entre eles destaca-se Aryabhata (sc.VI), um astrnomo indiano, tendo j nesta altura associado o seno de um ngulo ao centro medidadacordacorrespondenteeelaboradotambmumatbuadevaloresdoseno.Matemticosrabes, depois de traduzirem as obras deixadas pelos hindus, desenvolveram o estudo das razes trigonomtricas em tringulos retngulos e estabeleceram, para qualquer tringulo, o chamado teorema ou lei dos senos.

Atrigonometriacomeaaafirmar-secomocinciaautnomaapartirdosc.XIquandoAl-Biurine rene todas asdemonstraes, quer de origem grega, quer de origemindiana, at ento conhecidas e usadas emTrigonometria.Deve-seaindaaosrabesaintroduodestacincianaEuropaOcidental.NaEuropa,a instituio da Trigonometria como cincia autnoma em relao Astronomia, iniciada atravs da traduo epublicaodosmanuscritosclssicos,bemcomodaelaboraodeumaintroduocompleta Trigonometria,eficouadever-seaJohanessMller,umastrnomoprussiano,maisconhecidopor Regiomontano(1436-1476).AobradeRegiomontanocontinha,porexemplo,a "Leidossenos"aplicadaa tringulosesfricos.Nosc.XVI,FranoisVite(1540-1603)estabeleceuvriasrelaestrigonomtricas tendo-asassociadossoluesdeequaesdo3grau-aligaodatrigonometrialgebra.Vite introduziunovosteoremasquepermitiramrelacionarladosengulosdetringulosnoretngulos.Nepere Briggsusaramoclculologartmicoparaestabeleceremnovasfrmulastrigonomtricas(sc.XVII).No sc.XIX,atrigonometriaatingeoseupontomximo,ficandoligadaanliseatravsdassries.Hoje,a trigonometria usa-se em muitas situaes, nomeadamente na fsica. 2 Captulo II. O Tringulo Retngulo O tringulo retngulo construdo utilizando-se dois lados perpendiculares entre si chamados catetos e um outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa construo muitos teoremas importantssimos foram construdos e um dos mais importantes o chamado Teorema de Pitgoras. 90 = + II.1 O Teorema de Pitgoras Esse talvez seja o principal teoremaque expressa uma relao mtrica para os ladosde um tringulo retngulo. O quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retngulo igual soma dos quadrados das medidas dos catetos.

2 2 2c b a + = Veja que na figura ao lado, h uma srie de semelhanas de tringulos. ABC CAE BEA . Com isso conseguimos algumas relaes entre elas: abchabch= = . Tambm temos que:am a babbm a = =2 2 (I) Uma terceira relao dada porbchmbhcm= = . Como abch = , temos que: acabcbcm2. = = . Substituindo o valor de m na equao (I) vem: 2 2 2c b a + = Teorema de Pitgoras 3 II-) Relaes trigonomtricas no tringulo retngulo Tendocomobaseotringuloretngulo dafig.1,podemosdefiniralgumasrelaesqueenvolvemos ngulosdotringuloretngulo.Soelasoseno,ocossenoeatangente.Definimosessaslinhas trigonomtricas da seguinte forma:

hipotenusa oposto cat .sen =hipotenusa ajacente cat .cos = ajacente cat oposto cat..tan =Da figura: ngulossencostan ac= senab= cosbc= tanab= senac= coscb= tan

Reparequeparaquaisquere cos = sen e cos = sen assim,tiramosumadasrelaesmais importantes da Trigonometria: ) 90 cos( sen = O seno de um ngulo igual ao cosseno do seu complementar

Existem alguns ngulos notveis e necessrio que todo pr-vestibulando conhea o seno o cosseno e a tangente desses arcos. Veja a tabela abaixo: ngulos0 30 45 60 90seno012 22 231 cosseno1 23 22 21 0 tangente0 33 1 3 4 Nvel I P1-) Dados as figuras abaixo, determine o que se pede:

a) o valor de AE; b) o valor de CE; c) o valor de DE; d) o valor de tg sen , cos , ; e) o valor de tg sen , cos , ; P2-)Dadososgruposdetrsnmerosabaixo,digaquais desses no podem representar lados de tringulos retngulos. a-) 2,3 e 4 b-) 3, 4 e 5 c-) 6, 7 e 8 d-) 1, 3 e 2 e-) 2, 60, 8f-) 6, 8, 10 P3-)Umamulhersobenumamesaquandovumratono cho. A altura damesa de 50 cm e a altura da mulher de 1,50m.Oratoseencontraparado,rindodacaradela,5 metrosdamesa.Calculeadistnciadosolhosdamulherao rato. P4-)Umpostedeluzde5metrosdealturaproduzuma sombranochode8metros.Qualadistnciadapontado poste ponta da sombra deste no cho? P5-)Afiguramostraaposiodeumavioobservadoa partir de dois pontos, A e B, localizados no solo e distantes 1 Kmumdooutro.Sabe-seque,nesseinstante,oaviodista, respectivamente,88km e 9km, dos pontos A e B. Nessas condies,determineaalturadoavio,emrelaoaosolo, no instante considerado. P6-) (FUVEST) Na figura a seguir o ngulo do vrtice B reto, quanto vale x? 60xB3010 cmCAD P7-) Calcule o valor da expresso abaixo: ) 89 ).(cos 88 )...(cos 2 ).(cos 1 ).(cos 0 (cos) 90 ).( 89 )....( 3 ).( 2 ).( 1 (2 2 2 2 22 2 2 2 2sen sen sen sen senI = P8-) Dado o tringulo retngulo ABC. O valor de x + y : a)3 5 b)3 5 + c)) 3 1 ( 5 d)) 3 1 ( 5 + e)3 3 P9-)Umarodadebicicletatem40cmdedimtero.Quantas voltas completas ela d em 1km ? Gabarito P1)(a)10 33(b) 109(c) 20 33(d)10 109109sen = 3 109cos109 = 103tg = (e) 3 109109sen = 10 109cos109 = 310tg = P2) a, cP3)29 d =P4) 89 d = P5) 6 2 H =P6) 5 3 x =P7)1 P8) dP9) 795 5 Captulo III. Crculo Trigonomtrico A circunferncia trigonomtrica de extrema importncia para o nosso estudo da Trigonometria, pois baseado nela que todos os teoremas sero deduzidos. Trata-sedeumacircunfernciacomcentronaorigemdosistemadeeixoscoordenadosederaio1, como mostrado na figura abaixo: III.1 ngulo central Qualquer ngulo cujo vrtice o centro da circunferncia chamamos de ngulo central. Como exemplo temos o ngulo (AB). III.2 Unidades de medidas de ngulos; Existem algumas unidades conhecidas com as quais podemos medir um ngulo. A mais conhecida o grau,mashalgumasoutrasquepodemaparecernonossovestibular!!!!Vamosentendercomocadauma dessas unidades foram definidas. Grau: Dividindo uma circunferncia em 360 partes iguais, ligamos o centro a cada um desses pontos marcadosnessacircunferncia.Comessaoperaoconseguimosdeterminar360nguloscentrais. Cada um desses ngulos chamado de 1 grau. Grado: Da mesma forma que foi feita a definio de um grau, faremos para definir um grado. A nica diferena entre essas medidas que para o grau dividimos a circunferncia em 360 arcos iguais e para o grado dividiremos essa mesma circunferncia em 400 partes iguais.

Radiano:Outraunidadechamadaderadiano.Essaumadasmaisimportanteseaquemais faremosusononossocursodetrigonometria.Sejamosprticos:Desenhamosnochouma circunferncia de raio r. Agora fazemos uma formiga andar sobre essa circunferncia (sobre a curva) o equivalente r. Marcamos o lugar que ela pra. Agora marcamos o ngulo central que corresponde esse arco que a formiga andou. Esse ngulo central formado mede 1 radiano (1 rd). Faa a seguinte experincia!!!! 1.Como auxlio de um compasso, desenhe uma circunferncia de raio R = 10cm. 2.Pegue um pedao de barbante e cubra essa circunferncia por inteiro. 3.Estique esse barbante e mea o seu tamanho (L) com uma rgua. Oseixosdividemacircunfernciaem4partes iguais denominados quadrantes. Convenciona-sequeosentidoanti-horrioo sentido positivo na circunferncia trigonomtrica. 6 4.Calcule o valor da razo expressa por RLk = . 5.Anote o resultado em uma tabela. 6.Repita esse procedimento para circunferncias de raios 5cm e 8cm. 7.Compare a sua tabela com a tabela abaixo. R = 10cm RLk =R = 8cm RLk =R = 5cm RLk =L = 62,8cm6,28L = 50,4 cm6,28L = 31,4cm6,28 ReparequenoimportaovalordeRquevocuse,quandovoccalcularovalorde RLk = oresultado surpreendentemente,sempreomesmoeaproximadamenteigual6,28.Essaconstantepodesercalculada com exatido, mas para isso necessrio o uso de uma matemtica mais pesada, essa constante chamamos de 2. Assim, o comprimento de qualquer circunferncia dado por L = 2R. No caso do nosso estudo, o raio vale 1 por definio. Assim, a nossa circunferncia mede 2. Como foi dito acima, 1(um) radiano o valor de um ngulo que equivale um arco que mede r (no nosso caso r = 1). Como nossa circunferncia mede 2, cabem nela 2 radianos. Assim, dizemos que na circunferncia inteira temos: 360 ............equivale .............2 radianos........... que equivale ...........400 grados Para efeito de converses, temos a seguinte relao:gd rad 200 180 III.3 Arcos QuandomarcamosdoispontosA,Bsobreumacircunferncia,estaficadivididaemduaspartes. Podemosaindadefinirarcocomosendoaporodacircunfernciadelimitadaporumngulocentral qualquer. Veja!!!! Tanto a parte I como a parte II so chamadas de arcos de circunferncia. Se A coincide com B, diz-se que temos o arco nulo (I) e o arco de volta inteira (II). Muito importante: se no for mencionado qual dos arcos se est falando, assume-se que trata-se do menor arco. III.4 Unidades d