matemÁtica aplicada ao planejamento da produÇÃo e ... · o planejamento e programação da...

Apoio Financeiro:

Silvio A. de AraujoSocorro Rangel

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MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA

PROGRAMA

Introdução

1. Modelagemmatemática: conceitos básicos

2. Problemas clássicos de logística

3. O problema de dimensionamento de lotes

4. O problema de sequenciamento de tarefas

5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes

6. Outros problemas integrados

Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução



3. O problema de dimensionamento de lotes


5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes


Considerações Finais

PROGRAMA

Introdução



3. O problema de dimensionamento de lotes (PDL)


5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamentode lotes


7. Considerações Finais

3.1 O PDL monoestágio único-item

3.2 Métodos básicos de solução

3.3 Reformulações

3.4 O PDL monoestágio multi-itens

3.5 O PDL multiestágio

Motivação

Existem duas maneiras de aumentar a eficiência de uma loja, empresa, ou indústria:

melhoria tecnológica, ou seja, atualização dos equipamentos, mudança tecnológica, descoberta

de novos tipos de matéria prima.

A outra maneira, até hoje muito menos utilizada, envolve melhorias na organização do

planejamento da produção(Kantarovich (1939))

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes

O Planejamento e Programação da Produçãoé responsável pela coordenação de todas as atividades do processo produtivo, desde a aquisição das matérias-primas até a entrega dos produtos.

• O planejamento estratégico:metas globais, longo prazo (por exemplo: instalação de fábricas e compra de equipamentos).

• O planejamento tático: caminhos para cumprir o planejamento estratégico; decisões de médio prazo (por exemplo: plano de produção ao longo de um horizonte de tempo e manutenção de máquinas).

• O planejamento operacional: decisões do dia-a-dia; programação detalhada da produção (por exemplo: sequenciar os pedidos nos centros de trabalho e programar a distribuição).


Definição

- determinar a quantidade de itens a ser produzida em uma ou várias máquinas, em cada período, de modo satisfazer determinadas restrições e a atender uma certa demanda otimizando uma função objetivo (por exemplo, minimizar custos)

- Problema de planejamento da produção em nível tático


Elementos Conhecidos:

- Considere um horizonte de planejamento de T períodos. No qual se deve planejar a produção de um único item.

-Dados:

- dt demanda no período t

- St custo fixo para produzir no período t (custo de preparação)

- ct custo unitário de produção no período t

- Ht custo unitário de estocagem no período t

- Considere M um número grande

Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.1 O PDL monoestágio único-item

Considere o seguinte exemplo: Elementos Conhecidos: • Certa indústria de moveis, que fabrica um determinado tipo de

guarda-roupa, deseja fazer um planejamento da produção para um horizonte de quatro dias (T=4)

- Sabe-se que a demanda para estes quatro dias será de d1=104, d2=174, d3=46 e d4=112unidades.

- Suponha que a firma faça no máximo uma preparaçãode máquina a cada dia e que não haja restrição de capacidadede produção.

-O custo para preparar a máquina é de St= $150,00 (t=1,...,4)por preparação e custo de estoque é Ht= $2,00 (t=1,...,4) por unidade estocada a cada dia. Considere ainda, que o custo unitário para produzir uma unidade é ct=1 (t=1,...,4).

Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.1 O PDL monoestágio único-item

Elementos Desconhecidos:

-Como determinar a quantidade que deve ser produzida em cada período de forma a atender a demanda com custo mínimo?

- Quanto produzir a cada dia?

- Quanto estocar a cada dia?

- Em quais dias as máquinas serão preparadas?

Função objetivo:Minimização dos custos de produção estoque e preparação das máquinas.

Restrições:- Atendimento a demanda;

- As máquinas devem ser preparadas sempre que há produção



Elementos desconhecidos: Variáveis (para t=1,..., T)

- Xt = quantidade produzida no período t

- I t = quantidade estocada no período t

-



=contrário caso, 0

período no produçãohouver se, 1 tYt

- Formulação(Função Objetivo e Restrições):




-



=contráriocaso

tperíodonoproduçãohouverseYt ,0

,1

∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min

TtdIXI

aSujeito

tttt ,...,1

:

1 ==−+−

TtMYX tt ,...,10 =≤−TtYt ,...,1}1,0{ =∈TtIeX tt ,...,10 =≥

Função Objetivo

Índices:t=1, ..., T períodos

Dados:St custo de preparação Ht custo unitário de estocagemct custo unitário de produção

Variáveis:It estoque no final do período tXt produção do período tYt indica se é cobrado custo de preparação no período t

∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min

Função Objetivo (Exemplo)

ct

t=1 t=2 t=3 t=4

1 1 1 1

Yt

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

Xt

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

min=2I1+2I2+2I3+2I4 + 1X1+1X2+1X3+1X4 + 150Y1+150Y2+150Y3+150Y4

St

t=1 t=2 t=3 t=4

150 150 150 150

Ht

t=1 t=2 t=3 t=4

2 2 2 2

It

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

Elementos Conhecidos

Elementos Desconhecidos

∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min





-



=contráriocaso


,1

∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min

TtdIXI

aSujeito

tttt ,...,1

:

1 ==−+−


Balanceamento de Estoques


Dados:dt demanda no período t

Variáveis:It estoque no final do período tXt produção do período t

TtdIXI tttt ,...,11 ==−+−

Balanceamento de Estoques (Exemplo)

t=1 0 + X1 – I1 = 104t=2 I1 + X2 – I2 = 174t=3 I2 + X3 – I3 = 46t=4 I3 + X4 – I4 = 112

Elementos Conhecidos (I0=0)

dt

t=1 t=2 t=3 t=4

104 174 46 112


Xt

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

It

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

I0=0 t=1 t=2

X1 X2 X3

d1=104 d2=174 d3=46

I1 I2I3

t=3

X3

d3=46

t=4

X4

d3=112

I4

TtdIXI tttt ,...,11 ==−+−





-



=contráriocaso


,1

∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min

TtdIXI

aSujeito

tttt ,...,1

:

1 ==−+−


Preparação


Dados:M número grande (por exemplo M= )

Variáveis:Xt produção do período tYt indica se é cobrado custo de preparação no período t

TtMYX tt ,...,10 =≤−

∑=

T

ttd

1

Preparação (Exemplo)

t=1 X1 ≤ MY1

t=2 X2 ≤ MY2

t=3 X3 ≤ MY3

t=4 X4 ≤ MY4


Xt

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

Yt

t=1 t=2 t=3 t=4

? ? ? ?

Elementos Conhecidos

M número grande (por exemplo M= )

TtMYX tt ,...,10 =≤−

∑=

T

ttd

1

Construção do Modelo:neste problema temos:

elementos conhecidos: dt St ct Ht

elementos desconhecidos: Xt I t Yt

objetivo a ser alcançado:

restrições:



∑∑∑===

++T

ttt

T

ttt

T

ttt YSXcIH

111

min

TtdIXI

aSujeito

tttt ,...,1

:

1 ==−+−


- Função Objetivo e Restrições:

Formulação para o Exemplo



4,...,10

4,...,1}1,0{

4,...,10

1112

346

2174

1104

:

15012

333

332

221

110

4

1

4

1

4

1

=≥=∈=≤−

==−+==−+==−+==−+

++ ∑∑∑===

tIeX

tY

tMYX

tIXI

tIXI

tIXI

tIXI

aSujeito

YXIMin

tt

t

tt

tt

tt

tt

Min 2I1 + 2I2 + 2I3 + 2I4 + 1X1 + 1X2 + 1X3 + 1X4 + 150Y1 + 150Y2 + 150Y3 + 150Y4

Sujeito a: I0 +X1 –I1 =104 t=1

I1+X2 –I2 =174 t=2

I2 +X3 –I3 =46 t=3 I3+X4 –I4 =112 t=4

X1 -MY1 ≤ 0 t=1

X2 -MY2 ≤ 0 t=2 X3 -MY3 ≤ 0 t=3

X4 -MY4≤ 0 t=4

Y1 ∈ {0, 1} t=1 Y2 ∈ {0, 1} t=2 Y3 ∈ {0, 1} t=3 Y4 ∈ {0, 1} t=4

X1 e I1≥ 0 t=1 X2 e I2≥ 0 t=2 X3 e I3≥ 0 t=3 X4≥ 0 t=4 I0 =0 e I4=0

- Diferentes métodos de solução foram desenvolvidos para os vários modelos que serão apresentados;

- A maioria destes métodos envolvem complexos conceitos matemático/computacionais e não serão tratados neste curso.

- Existem ainda pacotes computacionais, os quais têm métodos embutidos e podem ser utilizados para resolver problemas com mais facilidade

- Embora não seja o enfoque desde texto apresentamos alguns métodos básicos de solução para problemas de dimensionamento de lotes com um único item sem restrição de capacidade.



� Lote-por-lote:

•A produção visa atender a demanda de apenas um período;

Exercício:fazer os cálculos para o nosso exemplo

Iníciopara t=1,..., T faça

Xt=dt

Fim



� Heurística de Silver-Meal:Início

Faça: C(1)=S1t´=1, t=2Enquanto t ≤ T faça

Calcule: C(t) =

Se C(t) > C(t-1) Então: Xt´ = dt´ + dt´+1 + ... + dt-1;

t´=t Se t=T então Xt=dt

t=t+1Fim do Enquanto

Fim



t

dHHHdHHdHS tt )..(..)( 121321211 −++++++++

� Heurística do custo unitário mínimo :Início

Faça: C(1)=S1t´=1, t=2Enquanto t ≤ T faça

Calcule: C(t) =

Se C(t) > C(t-1) Então: Xt´ = dt´ + dt´+1 + ... + dt-1;

t´=t Se t=T então Xt=dt

t=t+1Fim do Enquanto

Fim



∑=

−++++++++t

jj

tt

d

dHHHdHHdHS

1

121321211 )..(..)(

� O método ótimo de Wagner e Whitin (1958):

� existe uma política ótima que somente produz quando o nível de estoque for zero (It-1Xt=0).

X1 = d1 ou X1 = d1 + d2 ou X1 = d1 + d2 + .... + dT

X2 = 0 ou X2 = d2 ou X2 = d2 + d3 ou X2 = d2 + d3 + .... + dT

. . . . . . . . . . . . . .

XT = 0 ou XT = dT



� O método ótimo de Wagner e Whitin:

O arco arc (t,j) para t<j está associado ao custo total (Ct,j) para produzir uma quantidade que atenda as demandas do período t até o período j-1

Exemplo: C1,5 = custo total para produzir no período 1 uma quantidade que satisfaça as demandas do período 1 até o período 4.

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.2 Métodos básicos de solução

1 54 3 2 C 12

C 13

C 14

C 15

C 23

C 24

C 25

C 34

C 35

C 45

•O método utiliza a seguinte fórmula recursiva:

ft = para t = 1, ... , T

Condição final: fT+1= 0

Onde:

Ct,j=St+Htdt+(Ht+ Ht+1)dt+2+(Ht+Ht+1+Ht+2)dt+3+...+(Ht+Ht+1+....+Hj-2 )dj-1

para t = 1, 2, ... , T e j = t+1, t+2, ..., (T+1).



)(min , jjttj

fC +>

� O método ótimo de Wagner e Whitin:Para o nosso exemplo tem-se:

t=1, 2, 3, 4 e j=2, 3, 4, 5.

C1,2 = 150 C1,3 = 150 + 2 x 174 = 498C1,4 = 150 + 2 x [174 + (46 x 2)] = 682C1,5 = 150 + 2 x [174 + (46 x 2) + (112 x 3)] = 1354 C2,3 = 150 C2,4 = 150 + 2 x 46 = 242C2,5 = 150 + 2 x [46 + (112 x 2)] = 690C3,4 = 150 C3,5 = 150 + 2 x 112 = 374C4,5 = 150



1 54 3 2 C 12

C 13

C 14

C 15

C 23

C 24

C 25

C 34

C 35

C 45

- próximo passo: obter o custo mínimo de planejamento para cada período através da aplicação da fórmula anterior:

� O método ótimo de Wagner e Whitin:- próximo passo: obter o custo mínimo de planejamento para cada período através da aplicação da fórmula anterior:

f5 = 0f4 = = = 150 (neste caso só há uma opção)- o mínimo ocorre em j = 5

f3 = = = = = 300

- o mínimo ocorre em j = 4

f2 = = = = = 392


f1 = = = = = 542


)(min ,44

jjj

fC +>

)(min 55,4 fC +

)(min ,33

jjj

fC +>

++

55,3

44,3min

fC

fC

++

0374

150150min

374

300min

)(min ,22

jjj

fC +>

+++

55,2

44,2

33,2

min

fC

fC

fC

+++

0690

150242

300150

min

690

392

450

min

)(min ,11

jjj

fC +>

++++

55,1

44,1

33,1

22,1

min

fC

fC

fC

fC

++++

01354

150682

300498

392150

min

1354

832

798

542

min

� O método ótimo de Wagner e Whitin:política de produção ótima: basta verificar os cálculos:

-no período 1 o valor ótimo de j é j = 2 logo X1=d1= 104;

-no período 2 o valor ótimo de j é j = 4 logo X2=d2+d3=174+46 =220

-no período 4 o valor ótimo de j é j = 5 logo X4=d4=112.

-Assim, a política ótima para este exemplo pode ser denotada por X=(104, 220, 0, 112).

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.2 Métodos básicos de solução

1 54 3 2 C 12

C 13

C 14

C 15

C 23

C 24

C 25

C 34

C 35

C 45

Apresentaremos duas reformulações para o problema dedimensionamento de lotes, são elas:

Reformulação como umproblema do caminho mínimo;

Reformulação como umprob. de localização de facilidades;

- Observa-se que termos de limitantes inferiores, obtidospela relaxação linear, ambas as formulações são mas fortesque a formulação clássica vista anteriormente;

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.3 Reformulações

Reformulação como um problema do caminho mínimo


- a propriedade de otimalidade de WW(I t-1X t=0) da origem ainterpretação do problema como umproblema de caminho mínimo.

- uma formulação como umproblema de caminho mínimo éapresentada a seguir

1 54 3 2 CV 12

CV 13

CV 14

Cv 15

CV 23

CV 24

CV 25

CV 34

CV 35

CV 45



- Exemplo:cv14 = H1d2+ H1d3 + H2d3

1 54 3 2 CV 12

CV 13

CV 14

Cv 15

CV 23

CV 24

CV 25

CV 34

CV 35

CV 45



- Nova variável: para representar o uso ou não da aresta

ztk: indica se a aresta (t,k) que representa a produção no período t para satisfazer a demanda do período t até o período k-1será usada (ztk =1), ou não (ztk =0).

- Observe que a solução para a formulação clássica pode

ser recuperada por:

Exemplo:X1=d1z12+d1z13+d2z13+d1z14+d2z14+d3z14+d1z15+d2z15+d3z15+d4z15

∑ ∑+

=

−

=

=1 1

)(T

tk

k

ttkt zdX

ττ



Considere a função objetivo:

- inclui um custo fixo de utilização da aresta para representar o preparo da linha de produção no período t.

- Assim, além da soma dos custos das arestas, como e usual no problema de caminho mínimo, consideramos também a soma dos custos fixos de utilização das arestas.



Considere a função objetivo:Exemplo:Min S1Y1+cv12z12+cv13z13+cv14z14+cv15z15 +

S2Y2+cv23z23+cv24z24+cv25z25 +

S3Y3+cv34z34+cv35z35 +

S4Y4+cv45z45

1 54 3 2 CV 12

CV 13

CV 14

Cv 15

CV 23

CV 24

CV 25

CV 34

CV 35

CV 45



Considere as restrições de atendimento a demanda:

- As restrições de conservação de fluxo a seguir garantem o atendimento da demanda de todos os períodos



Considere as restrições de atendimento a demanda:- Exemplo:

z12+ z13+ z14+ z15=1

z12= z23+ z24+ z25

z13+ z23 = z34+ z35

z14+ z24 + z34= z45

1 54 3 2 CV 12

CV 13

CV 14

Cv 15

CV 23

CV 24

CV 25

CV 34

CV 35

CV 45



Considere as restrições de preparação da linha de produção:

- é necessário garantir que uma aresta (t,k) é incluída no caminho deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período t




-Exemplo:

z12+ z13+ z14+ z15≤ Y1

z23+ z34+ z35≤ Y2

z24+ z25≤ Y3

z45≤ Y4

Reformulação como um problema localização de facilidades


- Uma estratégia similar a usada anteriormente é usada para obter a reformulação baseada no problema de localização de facilidades;

- O problema e representado por uma rede G(V;A) com |V | = T vértices, e a aresta (t,k) ∈ A, representa um percentual da demanda do período k (cliente k) atendida pela produção no período t (facilidade instalada no local t).



1 2

43



Exemplo:cv14= H1d4+ H2d4+ H3d4



- Nova variável: para representar o uso ou não da aresta

: indica se a aresta (t,k) que representa a produção no período t para satisfazer a demanda do período k será usada ( =1), ou não ( =0).

- Observe que a solução para a formulação clássica pode

ser recuperada por:

Exemplo:X1=d1z11+d2z12+d3z13+d4z14

∑=

=T

tktkkt zdX

tkz

tkz tkz



1 2

43


Considere a função objetivo:- inclui um custo fixo de instalação da facilidade para

representar o preparo da linha de produção no período t.


Exemplo: Min S1Y1+cv11z11+cv12z12+cv13z13+cv14z14+

S2Y2+cv22z22+cv23z23+cv24z24 +

S3Y3+cv33z33+cv34z34 +

S4Y45 +cv44z44


Considere as restrições de atendimento a demanda:

- As restrições a seguir garantem o atendimento da demanda de todos os períodos


t=1,..., T

Exemplo:z11=1z12+ z22 =1z13+ z23+ z33 =1z14+ z24+ z34 + z44 =1



- é necessário garantir que quanto se atende a partir de uma facilidade deve-se pagar pelo preparo da linha de produção no período t


t=1,..., T k=t,..., T

Exemplo:z11≤ Y1 z22≤ Y2 z33≤ Y3 z44≤ Y4

z12≤ Y1 z23≤ Y2 z34≤ Y3

z13≤ Y1 z24≤ Y2

z14≤ Y1

Restrição de Capacidade e Tempo de Preparação

Elementos Conhecidos:

- Considere um horizonte de planejamento de T períodos. No qual se deve planejar a produção de N itens.

-Dados: -dit demanda do item i no período t

- Sit custo fixo para produzir o item i no período t

- cit custo unitário de produção do item i no período t

- Hit custo unitário de estocagem do item i no período t

- Considere M um número grande

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL monoestágio multi-itens

Elementos Conhecidos (continuação):- Dados Adicionais:

- bi tempo necessário para a produção de uma unidade do item i

- si tempo necessário para a preparação da máquina para produção de do item i

- CAPt capacidade de produção no período t

Como determinar a quantidade que deve ser produzida de cada item em cada período de forma a satisfazer as restrições de capacidade e atender a demanda com custo mínimo?



- Elementos Desconhecidos: Variáveis (para i=1,..., N t=1,..., T) :

- Xit = quantidade produzida do item i no período t

- I it = quantidade estocada do item i no período t



=contráriocaso

tperíodonoiitemdoproduçãohouverseYit ,0

,1

- Formulação: (Função Objetivo e Variáveis)



TtNidIXI

aSujeito

itititti ,...,1,...,1

:

1, ===−+−

TtCAPYsXb t

N

iiti

N

iiti ,...,1

11

=≤+∑∑==

TtNiMYX itit ,...,1,...,10 ==≤−

TtNiIeX itit ,...,1,...,10 ==≥

TtNiYit ,...,1,...,1}1,0{ ==∈

∑∑ ∑∑∑∑= = = == =

++T

t

N

i

T

t

N

iitititit

T

t

N

iitit YSXcIH

1 1 1 11 1

min

Exemplo:Considere o Exemplo Anterior.

- Suponha que, após uma pesquisa de mercado, a indústria, adquira uma máquina e passe a oferecer 4 opções de cores diferentes de guarda-roupas.

- Suponha ainda que a nova máquina tenha limitação de capacidade.

- Estender o Exemplo Anterior, considerando 4 tipos diferentes de produtos, um para cada cor.

- Deve-se adaptar e inventar novos dados, por exemplo: a demanda 104 unidades, passa a ser 29 unidades de produtos da cor 1 e, para produtos das cores 2, 3 e 4 a demanda passa a ser de 25 unidades cada.

-Após inventar novos dados deve-se reescrever o modelo de acordo com estes novos dados.


O problema de dimensionamento de lotes multiéstagio ocorre quando a produção de um item depende da produção de outros itens, conforme predecessores

3. O Problema de Dimensionamento de Lotes3.4 O PDL multiestágio

Novo dado:

r ij: quantidade de itens do tipo i necessária para compor uma unidade do item j.

Exemplo:


r31=3

r21=2

r43=1r42=2

Novo dado:

r ij: quantidade de itens do tipo i necessária para compor uma unidade do item j.


Nova restrição de balanceamento de estoques:

Exemplo i=4, t=2 X42+I 41 - I42=d42+r 42X22+r 43X32

Obrigado!!!!

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