matemática aplicada

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Matemtica Aplicada

CONJUNTO DOS NMEROS REAIS 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , , 0 , . . . .

2, 3 , 5, ,

A diferena entre um nmero racional e um nmero irracional: Nmero Racional todo nmero cuja representao decimal sempre finita ou infinita e peridica (possui dzima). Exemplo de nmeros racionais: a) b) c) 0,3 um decimal finito. 0.1666 um decimal infinito e peridico com dzima 6. 2 um nmero inteiro, todo nmero inteiro um nmero racional.

Nmero Irracional todo nmero cuja a representao decimal sempre infinita sem ser peridica. Exemplo: a) 3,1415927 representa a razo entre o comprimento da circunferncia e o seu dimetro.

3,1415927 .

2,7182818 , 2 1,4142135 um nmero infinito sem dzima.

Definimos o conjunto dos nmeros Reais sendo a unio dos conjuntos dos nmeros racionais e dos irracionais. .

Exerccios: Dados os nmeros abaixo, identifique os nmeros racionais e os nmeros irracionais: a) 3,12 b) 0,3333... c) 1,73205... d) 25 e) 0 f) - 6,8 g) 4 h) - 1,4142... i) - 9 j) 17,323232... l) 0,5 m)

RETA REAL: Na reta real podemos representar todos os nmeros reais, o nmero zero representa a origem da reta. Os nmeros da reta real so simtricos e opostos. -6 -5 -4 -3,14 -3 -2 -2 -1 ...I I I I I I I I

0 I

1 2 2 I I I

3 3,14... I I I

I....

r

reta real

* Os nmeros da reta que esto a esquerda de um nmero em questo sempre sero menores que esse nmero. Exemplo: 1 6 2,3 3 2 logo 1 5 1,5 2 1 0 1 2 2 6 3 5 2,3 4

1,5

Em geral ... 4

*Os nmeros da reta que esto a direita de um nmero em questo, sempre sero maiores que esse nmero. Exemplo: 1 4 1 4 2 3,1415 2 3,1415

OPERAES COM OS NMEROS REAIS ADIO: A soma de nmeros reais resulta em um nmero real. Sinais iguais: somam-se os nmeros e conserva-se o sinal. Exemplos:

a) 2 b) 15

9 11 10 25 : subtraem 5 10 3 10 2 4 5 6

c) ( 2 d) ( 15 se os nmeros e d 5 15

9 10 se o

11 25 em mdulo m aior alg arismo . . .

Exemplos: a) 3 b) 15 7 4

SUBTRAO: a operao INVERSA da adio. A subtrao de nmeros reais resulta em um nmero real. Toda subtrao uma adio. O sinal positivo na frente de parnteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parnteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o nmero do interior do parnteses com o mesmo sinal. Exemplo: a) 8 9 8 9 1 b) 8 9 8 9 17c) 12 15 12 15 3 O sinal negativo na frente de parnteses , colchetes ou chaves : podemos eliminar esses parnteses, bem como o sinal que o precede, escrevendo o nmero do interior do parnteses com o sinal trocado. Exemplos: a) ( 4 6 4 6 10 b) 16 20 16 20 4 c) 9 10 9 10 19

MULTIPLICAO : ou produto de nmeros reais sempre ser um nmero real.

Sinais iguais multiplicam-se os nmeros e d-se o sinal ( + ) positivo. Exemplo: a) 5 . b) 3 . Exemplo: a) 8 . b) 1,5 . 4 6 20 18 multiplicam 5 10 40 15 se os nmeros e .

DIVISO: Exemplo:

a operao inversa da multiplicao, a regra de sinal a mesma da multiplicao. 7

3 6

QUADRO DE SINAIS .:

Adio Somar Subtrair Sinal do maior em mdulo Somar

Subtrair Sinal do maior em mdulo

Exerccios: Resolver as operaes indicadas abaixo: a) 27 b) 65 c)d) 87

20 30 397

e)

15 45 90

15

f) 23

41

901

h)

1

Respostas

a) 47

b) 35

c)

2

d) 94

e) 0

f)

22

g)

180

h) 0

EXPRESSES NUMRICAS COM AS QUATRO OPERAES: Para resolver expresses seguiremos alguns passos: 1 ) Resolver primeiro o que estiver entre os parnteses, colchetes e chaves. 2 ) Efetuarmos primeiro a multiplicao ou diviso, seguindo ordem em que aparecem na expresso. 3 ) Efetuarmos a adio ou subtrao na ordem em que aparecem na expresso. Exemplo Resolvido: Resolver as expresses numrica: a) 5 4 6 1 3

{5 4 6 2 5 2 5 4 12 10 1 5 8 10 1 5 18 1 5 18 1 13 1 12

(

1

2 4

1

b)

6 12 5 8 6 12 5 8 6 12 13 6 12 13 7 7

6

4 .3

5

1

9

EXERCCIOS PROPOSTOS: Resolver as expresses numricas abaixo: 20 9 12 15 20 2 11 17 12 10 3

a)

b)

c)

55

10 .

4

2

6

3

2

d)

31

40 : 2

9

9

7

e)

9

+4

4

19

1

f) 10

6

9

4

.

2 5

g)

60

5

1

1

13

h)

i)

.

j)

.

Respostas: a) 18 b) 1 c) 93 d) 18 e) 18 f) 20 g) 0h)

i)

4

j) 6

FRAO: Dois nmeros naturais a e b, com b

0, quando escritos na forma

representam uma frao.

= .

O denominador representa o nmero de partes que o INTEIRO foi dividido e o numerador representa o nmero de partes que queremos considerar, ou seja, tomemos 1 inteiro e dividimos em 5 partes iguais (denominador) e consideramos 3 partes (numerador). A frao ser: 3 5

Exemplo de fraes:

;

;

;

;

;

;

;

ADIO E SUBTRAO DE FRAES: Mesmo denominador: conserva o denominador e fazemos a soma algbrica do denominador. Exemplo:

2

Denominadores diferentes: Devemos achar o m.m.c. (menor mltiplo comum dos denominadores). m.m.c.(3- 5- 2) 2 Exemplo: 3- 5- 1 31- 5- 1 5 1-1-1 2.3.5 = 30

m.m.c.(4-8-2) 2 2-4-1 2 1- 2- 1 2 1- 1- 1 2.2.2 = 8

MULTIPLICAO DE FRAES: Multiplicamos os numeradores e os denominadores separadamente. Exemplo:

. . .

.

. .

0,42

) =

.

.

NMEROS INVERSOS: dois nmeros so inversos quando a multiplicao entre eles d 1. Na prtica, para achar o inverso de um nmero, basta inverter o numerador com o denominador. O Inverso de

O Inverso de

1 2

2

O Inverso de

O Inverso de

no existe diviso por zero.

*O nmero zero no admite inverso: o inverso de

nos

DIVISO DE FRAES: conservamos a primeira frao e multiplicamos pelo inverso da segunda. Exemplo: Calcular a diviso das fraes abaixo:

a)

: .15 .

.. . .

. .

b)

c)

Exerccio resolvido: Resolver as operaes aritmticas: a)

.1 2

:41 2 2 2

. .

.9 2 1 2

.

b)

1

3 2

8 2 3 2

9 2

.

9

c)

.

. .

. .

.

.

.

.

.

EXERCCIOS PROPOSTOS.

Resolver as operaes abaixo:

a)

b)

9 10

.

5 3

8 3

21 5

c)

:

d)

e)

7(

7)

f)

.

18

Respostas:

a

1

b

0,033

c

5

d 10

e) 45

f)

52

POTENCIAO: Potncia de um Nmero Natural: Seja que o produto de , chama-se Potncia de base iguais a . onde 4 .4 2 . 3 3 16 2 . 2 . 2 8 9,87 27 3 81 Base negativa com expoente mpar tem-se potncia negativa. Base negativa com expoente par tem-se potncia positiva. e expoente , , , o nmero

. . . Exemplos: a) b) c) d) e) 4

3,14 . 3,14 3 . 3 . 3 . 3 . 6 3 3 .

*ATENO:

6 .

6 36

6 , pois 6.6 36

Potncia de expoente nulo (zero): Por definio, qualquer nmero, exceto o nmero 0 Exemplos: 5 1 3 1 1 Qualquer nmero elevado ao expoente 1 Exemplos: 3 3 9 9 ,elevado a potncia zero igual a 1. 1 1 0,25 1 1 0

?

)

=1

igual ao prprio nmero. 0 0 1 1

Exerccios: Resolver as potncias dos nmeros abaixo: a) 10 1 c) 10 d) 3 e) f) g) 2 8 1

Inverso da Potncia: Sejam

,

0 , o inverso de

representado por

Exemplos: a) 5 b) 2 c) 1 d) e) 3 3

1 27

1

f) 2 , , tem-se:

PROPRIDADES da potncia de mesma base: Sejam ,

# O produto de potncia de mesma base conserva-se a base e somam-se os expoentes.

.a) b) 3 .3 3 2 10 5 5 3 243 2 64 10 5 5 2 . 2 .2

c) 10 . 10 . 10 d) 5 . 5 .

# O quociente de potncia de mesma base conserva-se a base e subtraem-se os expoentes.

a) 6b)

6

6 4 7

616

=4 =7 =2

c)

1 72

1 49

e)

2

2

32

# A potncia do produto igual ao produto das potncias.

.a) b) 7. 2.

.7 . 2 . 49 8.

# A potncia do quociente igual ao quociente das potncias.

a)

0,58

b)

.

c)# A potncia de uma potncia igual ao produto das potncias..

a) b)

.

2 .

2

.

2 .

16 . , , 0 , , .

Propriedades de potncia de expoente racional: Sejam os nmeros ,P1 )

.

P2 )

P3 ) P4 ) P5 )

..

.ou

EXERCCIOS PROPOSTOS: resolver as potncias abaixo, utilizando as propriedades de potncia: a) 9 . 9 b) 10 . 10 c) 12 . 12 . 121

d)

81 3

e)

2

f)

3

3

2

g) h) 2 i) 10 . 10 4 . 10

j) 10 : 10 . 10 l).

m)

:

Respostas: a) 1 b) 0,01

c) 1

d) 1 32

e) 17 72 f) 9

g)

8

h)

i) 0,1

j) 10

l) 0,01

m) 10

RADICIAO: a operao inversa da potenciao. Definio: Dado um nmero

real

no

negativo

e um nmero (b tal que onde

natural , ,

1,

chama-se

3 4

radicando , raiz ,

,

Exemplos: a) 16 ? ? 16 , qual o nmero positivo que elevado ao quadrado resulta no nmero 16? 16, logo, raiz quadrada de