matemática 5ª série

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Os Números Naturais O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Considerando-se a sucessão: O menor número natural é o zero (0). Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita. Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: (a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos. Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: (a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 1

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Os Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 

Observe que a sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior. 

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 

Considerando-se a sucessão: O menor número natural é o zero (0). Não existe o maior número natural, ou seja, ela é infinita. 

Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. 

Exemplos: (a) 1 e 2 são números consecutivos. (b) 5 e 6 são números consecutivos. (c) 50 e 51 são números consecutivos. 

Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 

Exemplos: 

(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. (b) 5, 6 e 7 são consecutivos. (c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma seqüência real seja um outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação seqüência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: 

P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...) O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamado, a seqüência dos números ímpares. 

I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,...}

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Calculando com os números naturais

Vamos recordar as quatro operações matemáticas, que você já aprendeu. 

+  adição

-  subtração

X multiplicação

:  divisão 

A adição é uma operação ligada a situações que envolvem as ações de juntar quantidades ou de acrescentar uma quantidade a outra. 

A subtração é uma operação que está ligada a três idéias diferentes: tirar uma quantidade de outra, completar quantidades (quanto falta) e comparar (quanto a mais). 

Idéia de retirar De 8, tiro 6, restam ... 

Idéia de comparar Quanto 8 é maior que 6? ou Quanto 6 é menor que 8? 

Idéia de completar Tenho 6 para completar 8, faltam...

A multiplicação é uma operação que pode estar ligada a idéia de juntar quantidades iguais, a uma idéia combinatória, à idéia de organização retangular ou à idéia de comparação (dobro, triplo etc.). 

A divisão é uma operação que está ligada à idéia de repartir uma quantidade em partes iguais ou à idéia de verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra. 

Agora resolva estes exercícios, e escreva ao lado qual operação você utilizou para resolver o exercício: 

1) Em um ônibus cabem 35 pessoas sentadas e 20 pessoas em pé. Quantas pessoas cabem dentro deste ônibus? 

Dentro deste ônibus cabem _____ pessoas.  Operação utilizada: _______________________  

2) Maisa tem 15 balas e quer dividir igualmente essas balas em 3 pessoas.Quantas balas cada pessoa irá ficar? 

Cada pessoa irá ficar com _________ balas.

2

Operação utilizada: _____________________

3) Um prédio tem 5 andares, cada andar tem 4 apartamentos. Quantos apartamentos têm neste prédio? 

Neste prédio tem _____apartamentos.  Operação utilizada: __________________

4) Gabriel comprou um saco com 20 balas. Ele deu 14 balas pra sua prima. Com quantas balas Gabriel ficou? 

Gabriel ficou com _______ balas.  Operação utilizada: ________________________

5) Luiza tem 40 papéis de carta e Marina tem 60. Quantos papéis de carta Marina têm a mais que Luiza?

Marina tem ________ papéis de carta a mais que Marina.   Operação utilizada: _________________________

6) Mirella tem 12 bombons e ganhou mais 13 bombons da sua tia. Com quantos bombons Mirella ficou? 

Mirella ficou com ______bombons.   Operação utilizada:___________________________ 

7) Carolina tem 12 anos, e sua irmã Camila tem o dobro da sua idade. Quantos anos Camila têm?

 Camila tem _______ anos.  Operação utilizada: _________________________

Divisão de Números Naturais

O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. 

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Relações essenciais numa divisão de números naturais 

Numa divisão de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 

35 : 7 = 5 

Numa divisão de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 

35 = 5 x 7 

Então para ter certeza de que um resultado de uma conta está correto, é só multiplicar o quociente pelo divisor, se o resultado desta conta for igual ao dividendo da conta de divisão confirma que ela está correta, este processo pode ser aplicado em todas as operações. 

Propriedades da Divisão com números naturais 

Fechamento: Esta propriedade não é satisfeita pela divisão, pois, por exemplo, 1 dividido por 2 não pertence aos conjunto dos números naturais. 

Associatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois (15 : 5) : 3 é diferente de (3 : 5) :15, por exemplo. 

Existência de Elemento Neutro: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é 2, mas 1 dividido por 2 não pertence aos naturais. 

Comutatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é diferente de 1 dividido por 2, o qual nem pertence aos naturais. 

Vamos resolver estes probleminhas: 

Marli tem 48 balas e quer dividir igualmente entre os seus 8 sobrinhos. Com quantas balas cada sobrinho de Marli vai ficar? 

Cada sobrinho irá ficar com______ balas.  

Joana comprou 15 copos, e ela quer dividi-los igualmente para guardar em seu armário que tem 3 prateleiras. Então, quantos copos Joana vai colocar em cada prateleira? 

Joana vai colocar _______ copos em cada prateleira.  Um professor de educação Física vai promover um campeonato de futebol na sua escola, e 72 alunos vão participar deste campeonato. Em cada time é preciso ter 8 jogadores, então quantos times vai ter ao todo neste campeonato? 

4

Neste campeonato vão ter ________ times.

Expressão Numérica com Números Naturais

Uma expressão numérica é como se alguém tivesse anotado, em uma única linha, de uma folha de caderno, alguns cálculos a serem efetuados. 

Exemplo: 2 + 3 x 4 - 1 + 8 

Fazer estes cálculos todo mundo sabe. Entretanto, o que muitas vezes nos faz errar estes cálculos, é a ordem em que se deve efetuar cada uma das contas da expressão numérica. 

Portanto precisamos seguir a ordem certa, para o resultado ser correto. 

Veja: 

* Nas expressões numéricas que apresentam somente adições e subtrações, as operações são feitas na mesma ordem em que elas estão, ou seja, da esquerda para a direita.

Por exemplo:15 + 7 + 12 -13 = 22 + 12 - 13 = 34 - 13 = 21 

* Nas expressões numéricas efetuamos as multiplicações antes das adições. 

Por exemplo: 28 + 7 + 15 x 3 = 28 + 7 +45 = 35 + 45 = 80 

* Nas expressões numéricas efetuamos a divisão antes da subtração. 

Por exemplo: 87 - 36 : 3 - 8 = 87 - 12 - 8 =75 - 8 = 67 

* Nas expressões numéricas efetuamos a multiplicação e a divisão antes da adição e da subtração. 

  Agora vamos calcular a expressão citada no inicio deste capitulo: 

2 + 3 x 4 - 1 + 8 x 2 = 2 + 12 – 1 + 4 =14 – 1 + 4

5

= 13 + 4 = 17 

Para determinarmos uma expressão numérica que apareça potenciação, efetua-se primeiramente a potenciação, logo efetua-se as divisões e multiplicações, e por fim a subtração e adição.

Divisores e Múltiplos de Números Naturais

A Divisibilidade 

Um número é divisível por outro quando, ao ser dividido, o resultado é sempre exato, ou seja, o resto é sempre igual a 0. 

A verificação da divisibilidade de um número natural por outro número natural feita pela divisão é trabalhosa e demorada, neste caso podemos fazer de um jeitinho mais simples utilizando algumas regrinhas, na qual chamamos de critérios de divisibilidade. 

Critérios de Divisibilidade 

Divisibilidade por 2 

Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.  

Exemplos: 

5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. 

Divisibilidade por 3 

Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. 

Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. 

Divisibilidade por 4 

Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. 

Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. 

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Divisibilidade por 5Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. 

Exemplos: 

1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Números Primos

Um número primo é um número natural maior do que 1, cujos divisores são 1 e o próprio número. Caso um número seja maior do que 1 e não seja primo, ele é chamado de composto. 

Os números primos são infinitos. Os vinte primeiros números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 e 71. Exemplos:

1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo. 

Observações:

=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Reconhecimento de um número primo 

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: 

* uma divisão exata: o número não é primo pois tem mais de dois divisores, e quando ele não é primo ele é divisor: * uma divisão não exata com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. O número é primo porque só tem como divisores o 1 e ele mesmo. 

Acompanhe este processo para saber se o número 113 é primo: Podemos usar os critérios de divisibilidade para saber se o número 113 é divisível por 2, 3, 5: 

113 não é divisível por 2, pois não é um número par. 113 não é divisível por 3, pois a soma dos seus algarismos não é divisível por 3. 113 não é divisível por 5, pois o algarismo da unidade não é 0 e nem 5. 

7

Já que nenhum desses números primos é divisível por 113, vamos efetuar a divisão pelos outros números primos, até que encontremos uma divisão exata ou um quociente menor ou igual ao divisor. 

13 : 7 = 16 resta 1 

O quociente é maior que o divisor, e a divisão não é exata. 

113 : 11 = 10 resta 3 

O quociente é menor que o divisor. Como a divisão de 113 por 11 resultou em um quociente menor que 11, e a divisão por 11 não é exata, podemos dizer que 113 é um número primo.

ATIVIDADES 

1) Observe os números abaixo, e coloque C quando for composto e P quando for primo. 

407 ( ) 225  ( ) 97 ( )

83  ( ) 211  ( )

A forma Fatorada de um Número Primo

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. 

Para obter a forma fatorada de um número natural através da decomposição, em fatores primos, temos que fazer o seguinte: 

Dado o número 64: 

Dividimos o número 64 pelo seu menor divisor primo. 

Logo, dividimos o quociente obtido pelo seu menor divisor primo. 

E assim por diante até chegar ao quociente 1. 

Veja: 

8

64 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 26→  forma fatorada   Todos os fatores são primos. 

As medidas de uma piscina em metros são dados por números primos. Nessa piscina cabem 70 metros cúbicos .Quais são essas medidas? 

Resolução: 

Devemos escrever 70 na forma fatorada 

70= 2 x 5 x 7 (forma fatorada) 

Todos os fatores são primos. 

Logo a medida da piscina é 2metros por 5 metros por 7 metros.

Decomposição em fatores primos

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Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. 

Decomposição do número 24: 24 = 2 x 2 x 3 x 2 

Decomposição do número 50: 50 = 2 x 5 x 5 ou 50 = 5 x 2 x 5 

Decomposição do numero 20: 20 = 2 x 5 x 2 ou 20 = 5 x 2 x 2

Decomposição do número 50: 50 = 2 x 5 x 5 ou 50 = 5 x 2 x 5. 

Agora, descubra qual é o número de cada decomposição: 

a) 2 x 3 x 5 =________ 

b) 2 x 5 = _________  

c) 2 x 5 x 5 = _________  

d) 2 x 3 x 7 = __________  

e) 3 x 3 x 5 = ________

Máximo Divisor Comum (m.d.c)

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. 

Usamos a abreviação m.m.c

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. 

Por exemplo: 

Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12. 

Os divisores de 18 são: 1, 2, 3, 6, 9 e 18. 

Os divisores comuns de 12 e 18 são: 1,2,3 e 6.

10

 Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. Agora veja as multiplicações com os números 20, 30 e 40. 

Os divisores de 20 são: 1, 2, 4, 5 10, 20. 

Os divisores de 30 são: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. 

Os divisores de 40 são: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40. 

Os divisores comuns de 20, 30, 40 são: 1, 2, 5, 10. 

Dentre eles 10 é o maior. 

Então chamamos o 10 de máximo divisor comum de 20, 30 e 40. Indicamos m.d.c.(20, 30, 40) = 10.

Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles. 

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... 

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... 

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... 

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. 

Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. 

Indica-se: m.m.c (4 e 6) = 12

Agora vamos achar os múltiplos comuns de 40 e 60. 

Múltiplos de 40: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400... 

Múltiplo de 60: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480... 

11

Os múltiplos comuns de 40 e 60 são: 0, 120, 360... 

O número 120 é o menor ou mínimo múltiplo comum dos números naturais 40 e 60. Indica-se: m.m.c (40 e 60) = 120. Existem outras duas maneiras de calcular o m.m.c de dois ou mais números naturais: 

Vamos começar determinando o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números 20 e 40. 

1º) Primeiramente, vamos decompor cada um dos números em fatores primos: 

Agora, consideramos todos os fatores na forma fatorada, cada um deles com seu maior expoente. 

Neste caso esses fatores são 23 x 5 O produto dos fatores encontrados será o m.m.c procurado, ou seja: 

m.m.c (20, 40) = 23 x 5 = 40 

2º) A outra maneira de calcular o m.m.c é fazendo uma decomposição simultânea, em fatores primos, considerando os mesmos números 20 e 40. 

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra o exemplo abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. 

12

ATIVIDADES 

1) Calcule o m.m.c dos números abaixo e depois marque a alternativa correta: 

a) 18 e 26 * 126 ( )* 234 ( )* 425 ( )

b) 24 e 36 * 72 ( )* 48 ( )* 66  ( )

c) 60, 80 * 320 ( )* 260 ( )* 240 ( )

d) 16 e 32 * 32   ( ) * 16   ( )* 360  ( )

e) 50 e 75 * 175 ( )* 150 ( )* 75   ( )

13

Operações com Frações

Adição e Subtração de Frações 

Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador. 

Temos que analisar dois casos: 

1º) denominadores iguais 

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador. Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador. 

Observe os exemplos: 

2º) denominadores diferentes 

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. 

Exemplo: somar as frações 

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.

(10:5). 4 = 8  

 

(10:2).5 = 25

     

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o

caso 1.      

Multiplicação e divisão de números fracionários  

Nas multiplicações de frações multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto. 

Veja os exemplos:

 

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário simplifique. 

Veja o exemplo abaixo:

Os números decimais

Hoje em dia os números são usados para tudo, mas já houve uma época na história, muito antiga, em que os homens nem conheciam os números. Foi preciso um longo período para que os homens inventassem os números, outro bom período até que os números começassem a ser escritos, de forma primitiva, e muito tempo ainda até se

escrever os números naturais como os escrevemos hoje em dia: no sistema de numeração decimal. 

Neste sistema, os algarismos têm valores posicionais e cada posição tem 10 vezes o valor da posição mediante à sua escrita. 

Na seqüência dos números naturais, o sucessor de 97 é 98, e não existem números naturais entre 97 e 98. Para escrever um número maior que 97 e menor que 98, sem usar frações, passou-se outro longo período até o surgimento de uma idéia fantástica e simples: colocar uma vírgula no fim de um número natural e continuar escrevendo algarismos também depois da vírgula. 

O que caracteriza os números decimais é a vírgula. Leia o texto abaixo: 

Cada salto em distância de algumas espécies de cangurus corresponde a 10 metros. Já o sapo pula 5,5 metros. Em termos de altura, o canguru alcança 2,7 metros, menos que o puma (3,1 metros) e mais que o coiote (1,2 metros). O avestruz mede de 1,80 a 2,50 metros de altura – o mesmo tamanho de um camelo. As girafas atingem os 7 metros, o mesmo que um prédio de 2 andares. Agora reescreva os números no quadro abaixo. (Na ordem que eles aparecem no texto). 

Números Naturais Números Decimais

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Agora responda: a) O que diferencia os números decimais dos naturais? 

• a vírgula ( )• a quantidade de números ( )• os números antecessores ( )

O fato de nosso sistema de numeração ser posicional e ter base dez permite que as frações sejam representadas com números decimais. 

* Em quantas partes o inteiro foi dividido? Foi dividido em ( ) partes.

* Quantas partes foram pintadas?  Foram pintadas ( ) partes.

* Podemos representar o desenho acima de seguinte forma: 

Se dividirmos a unidade em 10 partes iguais, cada uma dessas partes será um décimo.

Porcentagem

Definição 

Porcentagem pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades. 

É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços. 

Alguns exemplos: 

- O Leite teve um aumento de 25% Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00 

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00 

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Calculando Porcentagens 

Para calcular a porcentagem primeiramente se calcula a porcentagem por 100. 

Feito isso é só multiplicar o resultado pelo valor do qual se quer saber a porcentagem: 

Acompanhe este cáuculo: 

25% de 200 25 : 100 = 0,25 0,25 x 200 = 50 

ATIVIDADES 

1) Calcule e marque a alternativa correta: 

a) 15% de 120 • 19 ( ) • 18 ( )• 25 ( )

b) 20% de 150 • 40 ( )• 50 ( ) • 30 ( )

c) 35% de 100 • 25 ( )• 15 ( ) • 35 ( )

d) 40% de 240• 86  ( ) • 96  ( ) • 48  ( )

e) 30% 250 • 75  ( ) • 87  ( ) • 96  ( )

Potenciação de Números Naturais

Dados dois números naturais x e y, a expressão Xy, representa um produto de y fatores iguais ao número x: 

Xy = x . x . x . x ... x . x . x 

y vezes 

O número que se repete como fator denomina-se base que neste caso é X. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é y. O resultado denomina-se potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais. 

Exemplo: 

Esta operação abaixo é chamada de potenciação: 23 = 2 . 2 . 2 = 8 

Neste caso o número 2 é a base, e o número 3 é o expoente, e o número 8 é a potência O expoente é o número de vezes que a base irá se repetir, a potência é o resultado. 

Observe estas potências: 

52 = 5 . 5 = 25 → Cinco elevado à segunda potência.

43 = 4 . 4 . 4 = 64 → Quatro elevado a terceira potência.

Propriedades da Potenciação 

* Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja sempre que a base for 1 a potência será igual a 1. 

Exemplos: 

16 = 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1 14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1 

* Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual a 1. 

Exemplo: 30 = 1 90 = 1 

* Todo numero natural elevado a 1 é igual a ele mesmo.

Exemplo: 

41 = 4 . 1 = 4 61 = 6 . 1 = 6 81 = 8 . 1 = 8

* Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos forem as unidades do expoente. 

Exemplo: 

103 = 10 . 10 . 10 = 1000 105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100.000

Raiz Quadrada exata de um número natural

Existem números naturais que representam os quadrados de outros números naturais. Esses números são chamados de quadrados perfeitos. 

No quadro abaixo, estão alguns números e seus quadrados perfeitos. 

Sendo assim: “5 elevado ao quadrado é 25, estamos nos referindo a raiz quadrada exata do número quadrado perfeito 25. 

Observe: 52 = 5 . 5 = 25, então 

Obs: Nem todos os números são quadrados perfeitos, o número 45, por exemplo, não possui raiz quadrada exata, por que ele não é um número quadrado perfeito. Portanto somente os números quadrados perfeitos possuem um número natural como raiz quadrada exata.

ATIVIDADES 

1) Indique qual a raiz quadrada exata dos números quadrados perfeitos abaixo: 

( )

( )

( )

( )

( )

Trabalhando com centésimos e milésimos

Dividimos 1 inteiro ou uma unidade em 10 partes iguais, 1 parte representa a um décimo e podemos representar assim: 

1/10 = 0,1 

Agora se dividirmos 1 inteiro ou uma unidade em 100 partes iguais, 1 parte representa a um centésimo e podemos representar assim: 

1/100 = 0,01 

Dividindo agora a unidade em 1000 partes iguais, 1 parte representa a um milésimo e podemos representar assim: 

1/1000 = 0,001 

• Décimos – se houver uma casa decimal. • Centésimos – se houver duas casas decimais • Milésimos – se houver três casas decimais. • E assim por diante. 

Decimais e o Real

               =     

• Quantas moedas de 10 centavos você precisa para obter R$1,00 real? Resposta: ( )  

• Qual número decimal do real que 2 moedas de R$ 0,10 centavos representa? 

Resposta: ( ) décimos.

Podemos dizer que 10 centavos é igual a 1 décimo do real. 

10 centavos = 0,1 do real.                                  

          =

a) De quantas células preciso para formar 100 reais? 

Resposta: ( )  

b) Quanto é um décimo de 100 reais? 

1/10 x 100 = ( )reais  

Ou 0,1 x 100 = ( ) reais

Trabalhando com Frações

Os numerais que representam números racionais não-negativos são chamados frações e os números inteiros utilizados na fração são chamados numerador e denominador, separados por uma linha horizontal ou traço de fração onde Numerador indica quantas partes são tomadas do inteiro, isto é, o número inteiro que é escrito sobre o traço de fração e Denominador indica em quantas partes dividimos o inteiro, sendo que este número inteiro deve necessariamente ser diferente de zero. 

Consideremos a fração 1/4, que pode ser escrita como:

Em linguagem matemática, as frações podem ser escritas tanto como no exemplo acima ou mesmo como 1/4, considerada mais comum. 

Observe esta figura 

Esta figura foi dividida em quatro partes, portanto, a parte mais clara representa um quarto da figura.

Leitura das frações 

Uma fração com o denominador menor que 10, podemos escrever assim: 

1/2 um meio ou metade 1/3 um terço ou a terça parte 1/4 um quarto ou a quarta parte 1/5 um quinto ou a quinta parte

1/6 um sexto ou a sexta parte 1/7 um sétimo ou a sétima parte 1/8 um oitavo ou a oitava parte 1/9 um nono ou a nona parte 

Uma fração com denominador maior que 10 e menor que 100, 1000, 10000..., acrescentamos a palavra avos após a escrita do denominador: 

1/17 um dezessete avos 1/23 um vinte e três avos 1/67 um sessenta e sete avos 1/98 um noventa e oito avos 

Uma fração com denominador de potencia de 10 ( 10, 100, 1000...) tem nomes especiais: 

1/10 um décimo ou a décima parte 1/100 um centésimo 1/1000 um milésimo. 1/10000 um décimo do milésimo 

Uma fração com o numerador maior que 1. 

5/4 cinco quartos 6/7 seis sétimos 17/60 dezesste sessenta avos 8/13 oito treze avos