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Pós Graduação em Educação Matemática UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA Parte 2: Matemática Comercial e Financeira Prof. Ilydio Pereira de Sá

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Matemática discreta

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  • Ps Graduao em Educao Matemtica UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA

    Parte 2: Matemtica Comercial e Financeira

    Prof. Ilydio Pereira de S

  • Matemtica Comercial e Financeira para Educadores Matemticos Prof. Ilydio Pereira de S

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    1) A MATEMTICA E O DINHEIRO

    A Matemtica Comercial e Financeira e os Fatores de Correo

    Introduo

    Em primeiro lugar gostaramos de registrar que a melhor fonte de consulta e pesquisa para a nossa ao docente na Escola Bsica, com a Matemtica Comercial e Financeira, so os jornais dirios e as revistas de circulao semanal As pginas dos jornais e revistas esto repletas de assuntos vivos e que esto presentes no cotidiano de todas as pessoas. Assim sendo, um estudo sobre porcentagens e juros, por exemplo, pode e deve ser iniciado de uma forma provocativa e contextualizada a partir de um texto, grfico ou manchete de um desses meios jornalsticos.

    Acreditamos que o conceito de fatores de correo (aumento ou reduo) se constitui na mais importante noo da Matemtica Comercial e Financeira e que ele pode (como j fazemos h vrios anos) ser iniciado j nas classes de 5 ou 6 srie do Ensino Fundamental, devendo sempre ser retomado e ampliado (ensino em espiral) nas sries posteriores.

    No presente captulo, vamos iniciar da forma que propusemos anteriormente, a partir de uma notcia de jornal e, aps as discusses, provocaes e questes que forem geradas em classe, o conceito de fator de correo poder ser sistematizado.

    A linguagem e exemplos que usaremos no captulo so adequadas s sries citadas anteriormente (5 e 6) ou mesmo para um curso inicial da Educao de Jovens e Adultos. Ao longo dos captulos desenvolveremos dilogos, como se voc estivesse conversando, questionando ou apresentando o tema a seus alunos.

    Se voc quer vencer na vida muito simples:Se voc quer vencer na vida muito simples:Se voc quer vencer na vida muito simples:Se voc quer vencer na vida muito simples: conhea o que faz; aconhea o que faz; aconhea o que faz; aconhea o que faz; ame o que faz;me o que faz;me o que faz;me o que faz;

    e acredite no que faz.e acredite no que faz.e acredite no que faz.e acredite no que faz. (Will Rogers)(Will Rogers)(Will Rogers)(Will Rogers)

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    Vejamos uma notcia extrada do Jornal do Brasil.

    Jornal do Brasil 30 de abril de 2004

    O MNIMO DO MNIMO

    Piso nacional passa para R$ 260 e representa ganho real de apenas 1,2% sobre a inflao registrada em um ano

    BRASLIA - Em meio ao indisfarvel constrangimento e a uma saraivada de crticas da oposio, o governo decidiu ontem, aps um ms inteiro de discusses, elevar o valor do salrio mnimo de R$ 240 para R$ 260. O reajuste - que passar a vigorar a partir de 1 de maio - significa ganho real de apenas 1,2% sobre a inflao de 7,02% registrada pelo ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC) ao longo de um ano.

    Podemos verificar que a reportagem apresentada coloca uma srie de questes e enfoca conceitos importantes da Matemtica Financeira. Ser importante que o professor leia o texto com a turma e, aps reforar as questes surgidas, voltar ao texto aps o estudo dos fatores de correo e confirmar (ou no) todos os dados envolvidos na reportagem.

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    Diz o texto que o salrio mnimo teve um aumento de 8,33% e que isto representa um ganho real de apenas 1,2%. O que significa ento ganho real? Como se obtm esse aumento de 8,33% e esse ganho real de 1,2%? O que tem a inflao a ver com tudo isso? O que inflao?

    Esperamos que, ao trmino do captulo, voc j esteja em condies de responder a todas essas perguntas.

    Os Fatores de Correo:

    Devemos ressaltar a nossos alunos que, sem a Matemtica, no conseguiramos escolher a melhor opo entre dois produtos (com embalagens diferentes) oferecidos em um Supermercado, entender descontos ou aumentos de salrios (dos pais deles ou deles mesmos), identificar os produtos que aumentaram demasiadamente de preo, constatar e criticar as propagandas enganosas, reivindicar direitos trabalhistas, perdas salariais, etc.

    Nossa abordagem inicial ser, como j dissemos antes, atravs do mais importante segredo da Matemtica do dinheiro os fatores de correo. Voc ir constatar rapidamente que, este conceito, a base de quase tudo o que se estuda na Matemtica Comercial e Financeira e, com o auxlio de uma calculadora simples, poderemos resolver ou mostrar a nossos alunos como se resolve diversos problemas importantes em nossa vida.

    Todos sabemos que todo nmero fracionrio possui uma representao decimal, e vice-versa. Por exemplo a frao 3/4 representa 0,75 (o que voc obtm ao dividir 3 por 4). Esta frao ainda equivalente a 75/100 que a razo de 75 para 100 ou 75%.

    Sabemos tambm que o nmero decimal multiplicado por 100 assume a sua representao percentual. Vejamos alguns exemplos iniciais.

    a) 0,45 (. 100) corresponde a 45% b)1,45 (.100) corresponde a 145% c) 0,7896 (.100) corresponde a 78,96 % d) 3,567 (.100) corresponde a 356,7 %.

    Vamos imaginar agora que uma mercadoria ser aumentada em 23%. Voc poder descobrir o novo preo de vrios modos distintos:

    1) Multiplicando o preo antigo por 23 e dividindo por 100, somando o resultado com o preo antigo. 2) Multiplicando o preo antigo por 0,23 e somando o resultado com o preo antigo. 3) Simplesmente multiplicando o preo antigo por 1,23.

    O nmero 1,23 do exemplo denominado fator de correo para um acrscimo de 23% e foi obtido a partir de 100 % (preo antigo) mais 23 % (aumento) em seguida dividimos por 100 para obter a forma de nmero decimal.

    Se, no exemplo apresentado o preo fosse diminudo em 23 %, o fator seria 0,77, pois 100% menos 23% igual a 77%. Conclumos que os fatores que representam aumentos so maiores que 1 e os que representam reduo so menores que 1.

    F = (100 + k ) :100 (Fator de Aumento de k%)

    F = (100 - k ):100

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    (Fator de Reduo de k%)

    Vejamos mais alguns exemplos:

    1) O senhor Enkren Kado, gerente de um supermercado, tem que aumentar os preos de todos os produtos de um setor em 32,5 %. Qual o fator de aumento? Quanto passar a custar uma mercadoria do setor, que custava R$ 60,00?

    SOLUO : Fator de aumento : 1,325 [(100 % + 32,5 %) : 100]

    Novo preo : R$ 79,50 (60 x 1,325 )

    2) Maurinho, em Setembro, obteve uma correo salarial de 35%, sobre o salrio de Agosto, passando a receber R$ 337,50. Quanto recebia em Agosto?

    SOLUO: A x 1,35 = 337,50 A = 337,50 :1,35 = 250,00. Logo, em agosto Maurinho recebia R$ 250,00

    3) Um remdio estava custando R$ 34,00, e passou a custar R$ 47,00. Qual o fator e qual o percentual de aumento?

    SOLUO : 34 x F = 47

    F = 47 : 3440 = 1,3824 (Fator de correo)

    1,3824 x 100 - 100 = 38,24 % (Aumento)

    4) Vamos supor que , no exemplo anterior, o remdio custasse R$ 47,00 e sofresse uma reduo de preo para R$ 34,00. Qual seria o fator de reduo e o percentual de reduo correspondente ?

    SOLUO: 47 x F = 34

    F = 34 : 47 = 0,7234 (Fator de Reduo)

    0,7234 x 100 = 72,34 % (Valor Final)

    100 % - 72,34 % = 27,66 % (Reduo Percentual)

    5) Uma loja est vendendo um produto com um desconto vista de 30%, ou ento com pagamento normal , sem desconto, com um cheque pr-datado para 30 dias. Quanto estar pagando de juros , em um ms, o cliente que optar pela segunda forma de pagamento?

    SOLUO : Vamos supor que o produto custe 100 dlares. Para quem pagar vista ele custar 70 dlares (30% de desconto). Para quem escolher o cheque pr-datado, estar, na realidade pagando 100 dlares por algo que custa 70 dlares. Logo o fator de correo inserido neste aumento : 100 : 70 = 1,4286, o que corresponde ao pagamento de 42,86% de juros em um ms.

    Aumentos ou Redues Sucessivos

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    Voc sabe que em nosso dia-a-dia bastante comum encontrarmos situaes de aumentos ou redues sucessivas, como na caderneta de poupana, nas liquidaes, nos reajustes de impostos ou mesmo de salrios (menos comum, infelizmente). O que ser que ocorre com os fatores de correo nesses casos?

    Vejamos um exemplo: Uma mercadoria sofreu dois reajustes consecutivos, de 3% e de 4%, respectivamente. Qual o aumento percentual correspondente a essas duas correes?

    Voc poderia usar um recurso, bastante vlido, de supor um preo inicial para essa mercadoria (normalmente usamos o valor de 100 reais, pois facilita nossos clculos). Em seguida, aumentar esse preo em 3% e depois em mais 4% sobre a primeira correo. Comparando o preo final com os 100 reais, teremos a variao percentual procurada. Vejamos esse tipo de soluo.

    Preo inicial = 100 reais primeira correo (3%) = 103 reais segunda correo, 4% sobre 103 reais, ou seja, 0,04 x 103 = 4,12 reais, logo, o preo final ser de 103 reais + 4,12 reais = 107,12 reais. Se compararmos o preo final de 107,12 reais, com o preo inicial de 100 reais, temos que o aumento foi de 7,12 reais e, como esse acrscimo sobre 100 reais, temos tambm que o aumento percentual foi de 7,12%.

    Gostaramos de alert-lo novamente sobre a agilidade que voc pode adquirir, usando para esse tipo de questes os fatores de correo, como j vimos anteriormente. Vejamos essa outra possvel soluo.

    Vamos chamar o primeiro preo da mercadoria de P. Voc j deve estar sabendo que, com um aumento de 3%, usando os fatores de correo, esse preo passar a ser de P x 1,03 (certo?). Com o segundo aumento de 4%, o preo passar a ser de P x 1,03 x 1,04 o que corresponde a P x 1,0712, j que a multiplicao associativa. Isto vai significar que, independentemente do preo inicial ele est, aps os dois aumentos sucessivos, sendo multiplicado pelo fator 1,0712, o que corresponde a uma variao percentual de 7,12%, a mesma resposta que achamos na primeira soluo comentada.

    Gostaramos que voc observasse esse importante fato nas transaes comerciais e na Matemtica Financeira. Aumentos sucessivos (muito comuns em pases como o Brasil) geram um aumento acumulado que pode ser obtido atravs do PRODUTO dos fatores de aumento correspondentes s taxas desses aumentos. Um raciocnio parecido com esse seria feito para o caso de redues sucessivas de preos ou salrios.

    Redues sucessivas podem ser tambm calculadas atravs do PRODUTO dos fatores de reduo correspondentes s taxas dessas redues.

    Uma crtica que fazemos maioria dos livros didticos do Ensino Fundamental que eles normalmente s abordam os chamados juros simples e, nesse caso, dando ao aluno a falsa impresso de que os dois aumentos desse exemplo gerariam um aumento total de 7%. Tal fato s estaria correto se os dois aumentos fossem sobre o valor inicial da mercadoria, ou seja, se eles no fossem acumulativos, ou sucessivos o que caracteriza uma situao denominada juros compostos.

    Voc, professor ou estudante de matemtica, saberia me dizer o porque de tal assunto no ser normalmente abordado nos livros da Escola Bsica? Ser que um

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    aluno de 6 srie, por exemplo, no teria capacidade de entender como funciona o clculo de juros sobre juros, usando os fatores de correo? Exemplo: Qual a variao percentual acumulada, gerada por dois aumentos sucessivos de 30%?

    Soluo: Aplicando direto o conceito de fatores de correo, teremos: 1,3 x 1,3 = 1,69. Logo houve um aumento acumulado de 69%.

    Verifique que, se usssemos valores monetrios, formando uma seqncia, como se trata de taxa fixa de correo, teramos uma situao muito particular e j conhecida nossa, vejamos:

    Supondo um valor inicial de 100 reais.

    Com um primeiro aumento de 30%, teremos um segundo valor de 100 x 1,3 = 130 reais. Com um segundo aumento de 30%, teremos um terceiro valor de 130 x 1,3 = 169 reais.

    Logo, temos a seqncia (100, 130, 169), que uma PROGRESSO GEOMTRICA de razo igual a 1,3 (ou 1,30) o que corresponde a uma variao percentual fixa de 30% de aumento.

    O Fato que verificamos acima ir sempre acontecer quando as taxas de variao forem constantes e aumentos ou redues sucessivas. Teremos sempre a formao de progresses geomtricas.

    Dessa forma, temos aqui uma outra excelente oportunidade de trabalhar conceitos da matemtica financeira (agora no ensino mdio). Quando trabalhamos progresses geomtricas podemos (e devemos) procurar exemplos de aplicao de juros compostos.

    Podemos resumir atravs dos exemplos dados que, quando temos o fator de aumento e queremos obter o percentual de aumento correspondente.

    Exemplos: Fator de aumento Aumento gerado Percentual de aumento

    1,45 1,45 1 = 0,45 45% 1,953 1,953 1 = 0,953 95,3% 1,065 1,065 1 = 0,065 6,5% 2, 86 2,86 1 = 1,86 186%

    Analogamente, quando temos o fator de reduo e queremos obter o percentual de reduo correspondente:

    Dado um fator de aumento, devemos subtrair 1 dele, para conhecer o aumento havido.

    Dado um fator de reduo, devemos subtra-lo de 1 para conhecer a reduo ou desconto havido.

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    Exemplos:

    Fator de reduo Reduo gerada Percentual de reduo 0,45 1 0,45 = 0,55 55% 0,95 1 0,95 = 0,05 5% 0,76 1 0,76 = 0,24 24% 0, 86 1 0,86 = 0,14 14%

    Vejamos mais dois exemplos importantes:

    1) Esta historinha ocorreu (ou melhor, no chegou a ocorrer) na loja do Sr. Manoel, meu vizinho, h muitos anos atrs.

    Sr. Manoel pretendia usar uma estratgia para tentar movimentar sua loja aumentaria o preo de tabela de todas as mercadorias em 20% e depois, anunciando uma grande liquidao, daria descontos de 20% para todos os artigos que vendia. Achava ele que, agindo dessa forma, venderia pelos mesmos preos de antes, com a vantagem de estar anunciando uma liquidao.

    Antes de continuar a leitura dessa histria, ser importante saber de nossos alunos qual a opinio deles sobre a estratgia do Sr. Manoel? Quando comeou a efetuar os clculos para compor a tabela fictcia que usaria como referncia, teve o susto de verificar que no ocorria como havia planejado e que seria obrigado a vender por um preo inferior ao que cobrava anteriormente. Chamou-me para perguntar o que estava ocorrendo, onde estava o erro de sua estratgia e, desistiu do artifcio aps minha explicao.

    Vejamos o que ocorreu ...

    Vamos supor que uma mercadoria custasse 100 reais, o Sr. Manoel, para compor a tabela, teria de colocar o preo de 120 reais e quando fosse na tal liquidao, teria que dar um desconto de 20% sobre os 120 reais, que corresponderia a um desconto de 24 reais. Logo, teria de vender a mercadoria por 120 24 = 96 reais, gerando para ele uma perda de 4 %. O fato simples de ser entendido se voc lembrar que o aumento inicial e o desconto posterior foram ambos de 20%, s que sobre valores diferentes. Enquanto o aumento foi sobre os 100 reais, o desconto teria de ocorrer sobre os 120 reais e, bvio que 20% sobre 120 maior que 20% sobre 100.

    Gostaria de lembrar que essa questo tambm um caso de correes sucessivas (aumento, seguido de reduo) e, como j vimos anteriormente, podemos usar mais uma vez os fatores de correo.

    1,2 representa o fator de correo ou multiplicador para um acrscimo de 20%, certo? e 0,80 (ou 0,8) representa o fator de correo para um desconto de 20%.

    O produto 1,2 por 0,8 (aumento e reduo sucessivos) gera um resultado 0,96, que um fator de reduo. Qual o percentual dessa reduo (que para o Sr. Manoel seria uma perda)? Acertou se pensou em 4%. (lembra que temos de calcular 1 0,96 = 0,04 ou 4%).

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    2) Vamos apresentar agora uma histria bastante comum na vida de todas as pessoas.

    Uma loja anuncia a venda de um aparelho de som, com duas possibilidades de pagamento. A vista por R$ 1500,00 ou com uma entrada de 50% e uma segunda parcela de R$ 900,00, paga 30 dias depois. Quanto est pagando de juros a pessoa que escolher a segunda opo de pagamento?

    Um aluno meu apresentou a seguinte soluo:

    Preo a vista = R$ 1500,00 Preo pago em duas parcelas = R$ 750,00 + R$ 900,00 = R$ 1650,00 Valor pago a mais (juros) = R$ 1650,00 R$ 1500,00 = R$ 150,00 Percentual pago como juros (taxa) = 150 : 1500 = 0,10 = 10%

    Voc concorda com essa soluo de meu aluno? Em caso negativo, apresente uma outra e compare em seguida com o comentrio que faremos. Verifique comigo que esta soluo (que aparentemente no tem nada de errada) no est correta j que, quando o cliente paga a entrada de 50% (R$ 750,00), ele assume uma dvida de R$ 750,00 e sobre esse valor que nossos clculos devem ser efetuados ( o que denominamos de saldo devedor). Logo, os juros cobrados devem ser calculados verificando-se o aumento de R$ 750,00 para R$ 900,00.

    Devemos determinar o percentual de juros comparando-se os R$ 150,00 cobrados a mais, com R$ 750,00, ou seja, 150 : 750 = 0,20 ou 20%.

    Se formos usar os fatores de correo, teremos que, neste caso, o fator de aumento corresponde a 900 : 750 = 1,20. O fator 1,20 corresponde a um acrscimo de 1,20 - 1 = 0,20 = 20%.

    Verifique que uma resposta bem diferente da que meu aluno calculou e ns, por desconhecimento ou falta de ateno, muitas vezes somos levados a calcular erradamente os juros que esto inseridos nas compras que fazemos.

    Podemos assim resumir, os principais conceitos que aprendemos nas historinhas que apresentamos:

    Voc aprendeu que:

    Todo fator de aumento um nmero superior a 1. O fator de aumento pode ser obtido pela soma (100% + taxa de aumento

    percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de aumento para um acrscimo de 24% = 100% + 24% = 124% = 124 /100 = 1,24.

    Todo fator de reduo um nmero inferior a 1. O fator de reduo pode ser obtido pela subtrao (100% - taxa de

    aumento percentual) cujo resultado deve ser posto na forma decimal? Exemplo: fator de reduo para uma perda de 24% = 100% - 24% = 76% = 76 /100 = 0,76.

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    Aumentos ou redues (ou mistura dos dois) consecutivos, devem ser calculados pelo PRODUTO DOS FATORES DE CORREO, e no pela soma das taxas a eles correspondentes.

    OBSERVAO:

    Todos os conceitos mostrados nesta introduo podem (e devem) ser enfocados nas sries iniciais do Ensino Fundamental - 2 Segmento (5 e 6 sries).

    Sugiro inclusive, que os professores aproveitem essas aulas sobre fatores de correo para incitar aos alunos o uso das calculadoras, sem esquecer, claro, de um trabalho prvio sobre o uso correto das mquinas de calcular.

    EXERCCIOS PROPOSTOS

    1) A populao de um pas era de 3 000 000 de pessoas em 1999. Sabe-se que essa populao cresceu a uma taxa constante de 2% ao ano. Que populao o pas atingiu em 2002?

    2) Uma bomba de vcuo retira, em cada suco, 2% do gs existente em certo recipiente. Depois de 6 suces, quanto restar do gs inicialmente existente?

    3) Qual a variao da rea de um retngulo cuja base sofre um aumento de 10% e a altura sofre uma reduo de 10% do seu valor?

    4) (Escola Naval) Aes de certa companhia valorizaram-se 10% ao ms, durante cinco meses consecutivos. Quem investiu nessas aes obteve, durante esses cinco meses, um lucro aproximado igual a: a) 40% b) 50% c) 55% d) 60% e) 70%

    5) (UFRJ) Certa populao de bactrias dobra a cada hora. Num certo dia, s 8 horas da manh, a populao de 1000 bactrias. A que horas a populao ser de 512 000 bactrias?

    6) Qual a reduo acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30%?

    7) Uma loja vende seus artigos com pagamento em duas prestaes, "sem juros". A primeira prestao paga no ato da compra e a segunda, um ms aps. Entretanto, um desconto de 25 % concedido se o cliente pagar vista. Na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a:

    8) (TRT - 1993) Certa categoria de trabalhadores obteve em junho um reajuste salarial de 50 % sobre os salrios de abril, descontadas as antecipaes. Como ela havia recebido em maio uma antecipao de 20 % (sobre o salrio de abril), a percentagem do aumento obtido em junho, sobre o salrio de maio, de:

    9) Uma mercadoria teve seu preo aumentado em 20 %. Em seguida, o novo preo foi rebaixado em 20 %. O preo final da mercadoria, em relao ao preo inicial :

    10) A inflao acumulada de um bimestre est em 13,5% e no ms seguinte acusou uma taxa de 5,6%. Qual a inflao acumulada no trimestre em questo?

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    GABARITO 01) 3 183 624 02) 88,6% 03) reduo de 1% 04) D 05) 17 h

    06) 51% 07) 100% 08) 25% 09) reduo de 4% 10) 19,86%

    1.2) INFLAO, DEFLAO E DESINFLAO: TAXA NOMINAL E TAXA REAL CLCULO DE NDICES.

    Na maioria dos pases do mundo especialmente no Brasil no preciso ser economista para se ter uma correta noo intuitiva do que a inflao: um aumento generalizado e persistente dos preos ou, vendo por outro ngulo, uma diminuio persistente do poder aquisitivo do dinheiro. A determinao da taxa de inflao feita mediante determinados clculos que envolvem mdias ponderadas e sobre uma lista de produtos que compe o que chamamos de cesta bsica. O que determina a inflao e a deflao a mdia geral de preos e no de um produto isolado. Se apenas o preo do arroz sobe ou desce durante um perodo, isso no pode ser chamado de inflao ou deflao. Houve apenas uma reduo ou aumento no valor do produto. Deflao o contrrio de inflao. Significa queda do nvel geral dos preos e no de um ou outro produto isolado. No se deve confundir deflao com desinflao, que a reduo do ritmo de alta de preos num processo inflacionrio. Quando a inflao cai do patamar de 5% ao ms para o de 2%, por exemplo, pode-se dizer que houve desinflao. Deflao quando os preos mdios recuam, ou seja, a taxa torna-se negativa.

    Taxas de deflao podem ser espordicas, o que pode ser registrado quando a inflao muito baixa. Os preos ficam estveis e num ou outro momento a taxa torna-se negativa.

    Mas a deflao como um processo mais contnuo est em geral associada recesso, ou seja, queda da atividade econmica. As vendas caem com a perda do poder aquisitivo dos

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    consumidores. As empresas reduzem preos como nica alternativa de venda e podem ir falncia devido s perdas que tm vendendo abaixo do custo.

    Exemplo: Jornal do Brasil 9 de julho de 2005

    Junho fecha com deflao de 0,02% Preos administrados respondem por um tero da inflao no primeiro semestre, em al ta de 3 ,16% Pela primeira vez em dois anos, o ndice de Preos ao Consumidor Amplo (IPCA), que baliza as metas de inflao do governo, registrou deflao em junho. A taxa ficou em 0,02%, aps alta de 0,49% em maio. A informao do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE). A ltima vez que o indicador oficial ficou abaixo de zero foi em junho de 2003 (- 0,15%). O resultado, porm, no foi decorrente do aperto monetrio implementado pelo Banco Central, que elevou em nove meses a taxa bsica de juros de 16% para os atuais 19,75% mas da taxa de cmbio em queda e da normalizao da safra. No ano, o IPCA acumula alta de 3,16%. Os maiores culpados da inflao no semestre so os preos administrados - tarifas e combustveis -, que responderam por um tero da elevao dos preos no perodo. Em junho, porm, vrios itens investigados apresentaram deflao em junho. Gasolina (-1,51%) e lcool (-8,79%) ficaram mais baratos devido reduo da cotao da cana-de-acar e da concorrncia entre postos de combustveis. No grupo alimentao e bebidas houve queda de 0,67% graas ao aumento na oferta de vrias lavouras. Os destaques foram a batata-inglesa (-18,74%), a cenoura (-16,89%) e o tomate (-10,79%). Determine os seguintes fatores de correo, de acordo com a notcia acima:

    a) da deflao registrada em junho de 2005

    b) da variao do preo da gasolina

    c) da variao do preo do lcool

    d) da variao do preo da batata-inglesa

    e) da variao do preo da cenoura

    f) da variao do preo do tomate

    g) da variao do IPCA acumulado no ano (at a data da notcia)

    Os ndices / taxas de inflao

    Institutos de pesquisa analisam quanto as famlias de diversas faixas de renda gastam com alimentao, roupas, aluguel, transportes, sade, educao, lazer, comunicao e despesas em geral. Com base nessa cesta bsica, mostram a variao dos preos. A exceo o IGP-M da Fundao Getlio Vargas, no qual esses gastos respondem por apenas 30% do ndice. por isso que h vrios nmeros de inflao no pas, normalmente diferentes, que vo depender da frmula e dos critrios aplicados por cada um desses Institutos.

    Histrico

    O Brasil detm o recorde de ser o pas que durante mais tempo viveu com preos descontrolados. A inflao chegou a 1630% em 1989 e bateu em 2490% em 1993. Seis planos econmicos e cinco trocas de moeda em sete anos tentaram domar o monstro, que teve seu crescimento acelerado nos anos 1970, com o "milagre econmico". A meta era crescer a qualquer custo. O poder pblico era o grande gerador de empregos, construindo

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    estradas e hidreltricas, gastos que no geravam riqueza. Para cobrir suas despesas, o governo emitia papel-moeda. Mais dinheiro em circulao dava sensao de alto poder aquisitivo, mas no havia bens para atender demanda por consumo. Com isso os preos subiam. "Os salrios se esfacelaram e a economia quase entrou em colapso", recorda-se o economista Jos Dutra Sobrinho. Indstrias no investiam em produo, pois o mercado financeiro dava mais retorno. O Plano Real, em 1993, quebrou esse crculo vicioso e fez com que a inflao fosse mantida em patamares razoveis. A Lei de Responsabilidade Fiscal, aprovada em 2000, prev punies para os governantes que gastarem mais do que o arrecadado, o que inibe a volta da inflao causada pelo aumento dos gastos pblicos.

    Valores nominais x valores reais

    Em estudos e aplicaes prticas envolvendo anlise e comparao de valores monetrios em perodos de tempo distintos, necessrio que esses valores, antes da anlise, sejam corrigidos do efeito da inflao. o que costumamos denominar de transformao de valores nominais em reais. No clculo desses valores reais de ganhos ou perdas, poderemos usar os fatores de correo que estudamos anteriormente, como mostraremos a seguir. Dessa forma, podemos dizer que uma taxa de correo nominal a que tem inserida no seu clculo a inflao do perodo. Uma taxa real de correo aquela em que a inflao do perodo foi desencaixada, ou seja, representa a variao (ganho ou perda) sobre a inflao.

    Vejamos alguns exemplos:

    1) No ano de 2003 o salrio de um trabalhador era de R$ 450,00 e em 2004 passou a receber R$ 549,00. a) Qual a correo nominal que este salrio recebeu? b) Qual a correo real, supondo que a inflao acumulada do perodo tenha sido de

    18%? SOLUO:

    a) Usando os fatores de correo, temos que a taxa nominal de correo foi de (549 : 450 1 = 0,22 ou 22%).

    b) O salrio corrigido pela inflao seria de 450 x 1,18, ou seja, R$ 531,00. Logo, o ganho real foi o que transformou 531 reais em 549 reais, ou seja, o que se estabeleceu acima da inflao. Dessa forma, a taxa real de correo foi de (549 : 531) 1 = 0,034 (aproximadamente) ou 3,4%.

    Verifique que tal taxa (ganho ou perda real) pode ser obtida diretamente dos fatores de correo (nominal e de inflao), mediante a seguinte relao:

    No nosso exemplo, teramos:

    Ou seja, um ganho real de 3,4%

    1)1()11(

    +

    +=

    i

    n

    r ii

    034,0118,122,1

    =ri

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    2) Vimos, na introduo do captulo (reportagem do jornal do Brasil), que a inflao acumulada em um ano, calculada pelo INPC, foi de 7,02% e que o salrio mnimo aumentou de 240 reais para 260 reais. Vamos calcular a taxa nominal de reajuste do salrio mnimo, bem como a taxa de ganho real correspondente inflao dada e verificarmos se os dados da notcia esto corretos.

    a) Fator de correo do salrio = 260 : 240 = 1,0833..., que corresponde a uma taxa de 8,33% (taxa nominal)...logo est certa a notcia nesse aspecto.

    b) o que confirma novamente a notcia.

    Como feito o clculo da inflao?

    A lei que instituiu o salrio mnimo no Brasil em 1936, dizia que ele deveria ser suficiente para assegurar a rao essencial de um trabalhador. Foi feito um levantamento do consumo efetivo em diversas regies e dois anos depois, um decreto-lei estabeleceu que a rao essencial diria de um trabalhador do Rio de Janeiro consistia em 200g de carne, 1 copo de leite, 150g de feijo, 100g de arroz, 50g de farinceos, 200g de batata, 300g de legumes, 4 pes, 20g de caf, 3 frutas, 100g de acar, 25g de banha de porco e 25g de manteiga, capazes de fornecer-lhe 3 457 calorias dirias (ser que com o salrio mnimo vigente no Pas o trabalhador consegue comprar todos esses itens?)

    A variao de preos de uma cesta como essa poderia ser a base de um ndice de inflao. As cestas hoje efetivamente usadas pela maioria dos institutos so muito mais complicadas e abrangem centenas de produtos, cujos pesos so estabelecidos segundo levantamentos estatsticos cuidadosos. No para definir uma "rao essencial" mnima, mas sim refletir o que em mdia, as famlias dentro das faixas de renda consideradas realmente consomem. Isso pode incluir, por exemplo, cigarros, bebidas alcolicas e motis, tanto quanto a chamada "cesta bsica".

    No caso do Brasil o ndice oficial hoje o IPCA (ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo) calculado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatstica (IBGE), criado em 1980. Representa as necessidades mdias de famlias com renda (salarial ou no) de 1 a 40 salrios mnimos em onze capitais brasileiras que contm 30% da populao do pas (Rio de Janeiro desde janeiro/1979; Porto Alegre, Belo Horizonte e Recife desde julho/1979; So Paulo, Braslia e Belm desde janeiro/1980; Fortaleza, Salvador e Curitiba desde outubro/1980; e Goinia desde janeiro/1991). O IPCA recebeu o adjetivo "amplo" para distingui-lo do ndice Nacional de Preos ao Consumidor (INPC), criado em 1979 para representar as necessidades dos consumidores de famlias com renda de 1 a 8 salrios mnimos e chefe assalariado. Ou seja, nele as necessidades e preferncias da classe mdia tm um grande peso. Ele reflete o custo de reproduo da vida social, ao passo que o INPC reflete mais estritamente o custo de reproduo da fora de trabalho.

    No Brasil, vale notar, h muitos outros indicadores de custo de vida, calculados por instituies com variveis graus de autonomia em relao ao Estado, que recebem contnua ateno da imprensa e do mercado financeiro. Para citar os mais importantes em escala nacional, h o ndice de Custo de Vida do Departamento Intersindical de Estudos Estatsticos e Socioeconmicos (ICV-DIEESE, que pesquisa famlias com renda de 1 a 30 salrios mnimos), o ndice de Preos ao Consumidor da Fundao Getlio Vargas (IPC-FGV, famlias de 1 a 33 salrios mnimos) e o ndice de Preos ao Consumidor da Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas da Universidade de So Paulo (IPC-FIPE, famlias de 1 a 20 salrios mnimos). Alm disso, ao contrrio do que ocorre na maioria dos pases, grande

    1,2% 012,010702,10833,1

    =r

    i

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    parte do mercado prefere confiar no num ndice de preos ao consumidor, mas no ndice Geral de Preos da Fundao Getlio Vargas (IGP-FGV) uma mdia mais ou menos arbitrariamente ponderada entre o ndice de preos ao consumidor (IPC), ndice de preos no atacado (IPA) e ndice nacional de construo civil (INCC) como principal indicador de inflao.

    Dessa forma, existem diversas frmulas e metodologias usadas para o clculo da inflao. A mais usada a Frmula de Laspeyres que deriva das nossas mdias aritmticas ponderadas. Para que possamos melhor entender esses clculos vamos estudar um pouco sobre o que chamamos de nmeros ndices. Mostraremos essa frmula no prximo item de nosso estudo.

    Os nmeros ndices

    Mede-se a inflao atravs de indicadores ou ndices que tentam refletir o aumento de preos de um setor em particular ou de um segmento de consumidores. Efetivamente, existem diversos ndices que so calculados para o atendimento a vrias finalidades.

    Os ndices de preos ao consumidor tentam medir a inflao mdia de um conjunto de produtos e servios que se pressupe sejam os adquiridos por um consumidor com determinadas caractersticas de renda.

    Introduo:

    Os nmeros ndices so um importante instrumento para sintetizar modificaes em variveis econmicas durante um perodo de tempo. Esses nmeros indicam a variao relativa no preo, na quantidade , ou no valor (preo x quantidade) entre um ponto anterior no tempo (perodo-base) e, um perodo qualquer, normalmente o atual. Por exemplo, se uma pessoa percebe que o preo de um produto atualmente o quntuplo do que custava h dois anos, est fazendo uso de certo tipo de nmero ndice comparativo.

    Quando um s produto est em jogo, o ndice dito ndice simples, enquanto que uma comparao que envolva um grupo de artigos chamada de ndice composto. Nos ndices compostos necessrio no s incluir as variaes de preos, mas tambm as variaes de quantidades, a fim de que possamos ter um quadro mais preciso da variao global.

    Em resumo, podemos destacar:

    Um nmero ndice usado para indicar variaes relativas em quantidades, preos, ou valores de um artigo, durante um dado perodo de tempo.

    Um nmero ndice a razo usada para avaliar a variao entre dois perodos de tempo.

    B) Nmeros ndices Simples:

    Um nmero ndice simples avalia a variao relativa de um nico item ou varivel econmica entre dois perodos de tempo. Ele calculado como a razo entre preo, quantidade ou valor num dado perodo para o correspondente preo, quantidade ou valor num perodo-base.

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    Podem-se calcular nmeros ndices, chamados de relativos de preo, quantidade e valor, mediante as seguintes frmulas:

    relativo de preo = 100.0p

    pn

    relativo de quantidade = 100.0q

    qn

    relativo de valor = 100..

    .

    00 qpqp nn

    po o preo de um item na data base. qo a quantidade de um item na data base. pn o preo de um item em determinada data. qn a quantidade de um item em determinada data.

    Exemplo:

    A empresa Kobra Karo S.A, em 2002 vendeu 300 unidades do produto "X", cobrando 20 dlares por pea e, em 2003, vendeu 450 unidades do mesmo produto, cobrando 25 dlares por pea. Determinar os relativos de preo, quantidade e valor em 2003, tomando como base 2002.

    Soluo: usual a notao 2002 = 100, para denotar que 2002 o ano base. Relativo de preo - 2002

    25p 2003 .100 12520

    = =

    Relativo de quantidade - 150100.30045020032002 ==q

    Relativo de valor - 5,187100.20.30025.45020032002 ==v

    Obs: Devemos notar que houve um aumento de 25 % no preo, em relao ao ano base, um aumento de 50 % na quantidade e um aumento de 87,5 % no valor. O aumento do valor , portanto, o aumento acumulado do aumento de preo pelo aumento de quantidade, ou seja , o produto dos ndices de preo e quantidade o ndice de valor: (1,25 x 1,5 = 1,875).

    C) Relativos em Cadeia:

    O relativo em cadeia o ndice de base fixa, ou seja, todos os relativos so calculados tomando-se por base uma determinada poca.

    Exemplo: Vamos supor um bem de consumo que apresentou no perodo 2000/2003 os seguintes preos (em dlares): 40 , 45, 50, 65. Os relativos em cadeia, tomando como base o ano de 2000, sero:

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    5,112100.404520012000 ==p

    125100.405020022000 ==p

    2000652003 .100 162,540

    p = =

    Poderamos compor a seguinte tabela com os preos nos referidos anos e os relativos em cadeia, ano base 2000.

    ANOS 2000 2001 2002 2003 PREOS 40 45 50 65 RELATIVOS 100 112,5 125 162,5

    D) Elos de Relativos:

    Vrios relativos formam elos quando cada um deles calculado tomando por base o perodo anterior, o que chamamos de base mvel.

    usual, nesse caso, no representarmos o relativo do primeiro perodo, j que no existe anterior como referncia.

    Exemplo: Vejamos, com os mesmos dados do exemplo anterior, como ficariam os elos de relativos. 5,112100.

    404520012000 ==p

    Teremos agora a seguinte tabela de preos e elos de relativos: ANOS 2000 2001 2002 2003 PREOS 40 45 50 65 RELATIVOS - 112,5 111,11 130

    E) ndices Agregativos:

    Os ndices que estudamos at agora servem apenas para caracterizar a marcha de preos referentes a um nico bem. No entanto a variao de preos normalmente exige a observao da variao de um conjunto de bens, como no caso do clculo da variao da cesta bsica. Para atingirmos esse objetivo, lanamos mo de um novo tipo de ndice, denominado agregativo.

    O ndice agregativo poder ser simples (se todos os bens tiverem a mesma importncia no seu clculo). Os principais ndices agregativos desse grupo so:

    Mdias de relativos (aritmtica, geomtrica ou harmnica) Indice agregativo simples.

    O ndice agregativo poder ser ponderado (se os bens tiverem importncia ou pesos diferenciados no clculo do ndice). Os principais ndices agregativos desse grupo so:

    Mdias Ponderadas de relativos (aritmtica, geomtrica ou harmnica) ndices ponderados de Laspeyres, Paasche, ou Fischer,.

    11,111100.455020022001 ==p 130100.50

    6520032002 ==p

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    Vejamos como podemos calcular os principais desses ndices:

    O ndice agregativo simples a razo entre a soma dos preos ou quantidades numa poca qualquer e a soma dos preos ou quantidades na poca base.

    100ou 10000

    xqq

    xpp

    I ttas

    =

    O ndice agregativo simples e as mdias simples apresentam a vantagem de um clculo simplificado e a desvantagem de considerarem todos os bens com a mesma importncia no clculo do ndice.

    Exemplo: Calcular o ndice Agregativo Simples para preos em 2003, tomando como base o ano de 2002, para o conjunto de mercadorias visto na tabela abaixo:

    Mercadoria (espcie) Preo em 2002 Preo em 2003 A 40,00 50,00 B 50,00 100,00 C 120,00 200,00

    Total 210,00 350,00

    Soluo: Ias = 350 : 210 = 1,67 ou 167 %.

    ndices agregativos ponderados - Frmulas de Laspeyres, Paasche e Fischer:

    No clculo do ndice agregativo simples, todos os itens so colocados com uma mesma importncia ou peso. Sabemos, porm, que na prtica isso no acontece; h bens de importncia maior do que outros, no clculo de um ndice . Evitamos tais distores atribuindo a cada item a importncia que lhe cabe atravs de coeficientes de ponderao e as mdias de ndices passam a ser ponderadas. De acordo com o que consideramos como peso e com o tipo de mdia utilizada, temos tambm algumas variantes de frmulas para o clculo de tais ndices agregativos.

    "O ndice de Laspeyres" ou Mtodo da poca Bsica

    o ndice ponderado dos relativos (preos ou quantidades), sendo os pesos da ponderao os valores (preo x quantidade) do ano base. Ou seja, a mdia aritmtica ponderada dos relativos de preos, ponderados aos valores do ano base. o ndice mais usado pelos Institutos e rgos que calculam a inflao.

    A frmula para o ndice de Laspeyres, referente aos preos ser:

    =

    00

    000

    ,0 qp

    qxppp

    Lp

    t

    t

    Ou ento, simplificada, nos d:

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    =

    00

    0,0 qp

    qpL tt

    Exemplo: Considere a tabela abaixo e calcule o ndice ponderado de preos de Laspeyres, tomando 2003 como ano base.

    BENS 2003 2004 preos quantidades preos quantidades

    A 200 4 280 3 B 400 3 560 3 C 150 8 300 12

    162,5ou 625,112001200800240016801120

    8.1503.4004.2008.3003.5604.28020042003 =++

    ++=

    ++

    ++=Lp

    Na prtica o clculo desse ndice feito considerando-se as quantidades como fixas.

    "O ndice de Paasche" ou Mtodo da poca Atual

    Este ndice calculado pela mdia harmnica ponderada dos relativos (preos ou quantidades), ponderados aos valores do ano dado. O ndice de Paasche, referente aos preos, com as devidas simplificaes, ser:

    =

    t

    tt

    qpqp

    tPp0

    0

    Exemplo: Calcule o ndice ponderado de preos de Paasche, ano base 2003, usando a mesma tabela do exemplo anterior:

    170ou 70,11800120060036001680840

    12.1503.4003.20012.3003.5603.28020042003 =++

    ++=

    ++

    ++=Pp

    Observao: Existe ainda o importante ndice de Fischer que a mdia geomtrica dos dois ndices anteriores: Laspeyres e Paasche, ou seja, o ndice de Fischer igual raiz quadrada do produto dos ndices de Laspeyres e de Paasche. Para o exemplo apresentado, o ndice de Fischer seria:

    20032004 1,625.1,70 1,66Fp = = ou 166

    OBS: A existncia de distintos ndices, significa que a seleo do ndice mais apropriado para medir a ``inflao'' relevante para uma pessoa ou empresa em si um problema complicado pois no necessariamente os ndices disponveis refletem a variao de preos relevante para cada caso em particular.

    Trabalhando com seus alunos:

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    A inflao do passado criou um padro de consumo irracional

    Desde a dcada de 1970 at a metade da dcada de 1990, o povo brasileiro conviveu com um monstro impiedoso: a inflao. Ela engolia o salrio das pessoas de forma assustadora. Por isso, criou-se o hbito de comprar tudo e estocar. O medo do aumento de preos fazia com que as pessoas comprassem muito mais do que podiam consumir. "Esse perodo que estamos vivendo de estabilidade o mais longo e nico na histria do pas. Mas esse costume de estocar ainda cultural, e por isso que educar as crianas to necessrio", argumenta Cssia. Isso sem contar com o bombardeio de propaganda a que crianas e jovens esto expostos diariamente. "Eles precisam perceber como funciona o mercado, a propaganda e o consumo para ter conscincia antes de comprar", diz.

    Lembre-se de que seus alunos mais jovens podem no saber o que inflao, nos moldes do que se viveu h algumas dcadas. Por isso, responsabilidade dos educadores (incluindo os pais, claro) formar um novo consumidor, mais atento. Confira a evoluo da inflao no pas desde 1960. Voc pode usar a tabela abaixo com alunos de 5 a 8 sries. Sugira que faam pesquisas sobre como as pessoas viviam, recebiam seus salrios, programavam o oramento e consumiam. Entrevistas com os prprios pais e avs pode ser uma boa fonte de informaes sobre o tema.

    Em 1939, foi criada a Fundao Instituto de Pesquisas Econmicas (Fipe). Ela comeou a medir a inflao em 1940, quando era de 9,31% ao ano. Dali pra frente, o ndice no parou de crescer.

    Ano Inflao do

    ano Ano

    Inflao do ano

    1960 32,20% 1987 367,12%

    1970 17,46% 1989 1.635,85%

    1977 41,10% 1990

    (Plano Collor) 1.639,08 %

    1979 39,91%

    1992 (Renncia de Fernando Collor)

    1.129,45%

    1980 84,77% 1993 2.490,53%

    1983 164,09% 1994 1.172,96%

    1984 178,56% 1995 10,04%

    1985 228,22% 1998 -1,79%

    1986 (Plano Cruzado)

    68,08% 2003 9,9%

    Fonte: Nova Escola

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    LISTA DE EXERCCIOS

    1) Qual o fator de correo correspondente a um aumento de 34,5 %? a) 3,45 b) 4,45 c) 1,345 d) 2,345

    2) Qual o aumento gerado pelo fator de 2,4567? a) 245,67% b) 345,67% c) 145% d) 145,67% e) 95,87%

    3) Um preo aumentou de 120 para 150 reais. Qual o percentual de aumento correspondente? a) 47% b) 25% c) 35% d) 45% e) 34% 4) Um preo reduziu de 150 para 120 reais. Qual o fator de reduo e qual o percentual de reduo correspondente? a) 25% b) 15% c) 10% d) 40% e) 20%

    5) Qual o aumento acumulado, gerado por dois aumentos consecutivos de 30 %? a) 40% b) 60% c) 69% d) 65% e) 62%

    6) Qual a reduo acumulada, gerada por dois descontos consecutivos de 30 %? a) 51% b) 60% c) 54% d) 69% e) 62%

    7) Num certo ms, o aumento das mensalidades escolares foi de 42,7%. Se em uma escola essa mensalidade passou a ser de R$ 927,60, qual era o valor antes do aumento? a)R$ 531,50 b)R$ 650,00 c) R$ 582,00 d) R$ 499,00 e) R$ 624,00

    8) O preo de uma mercadoria subiu 300%. Calcule que porcentagem se deve reduzir do seu preo atual, de modo a retornar ao seu valor de antes do aumento? a) 25 % b) 75 % c) 300 % d) 400 % e) 20 %

    9) Um funcionrio teve um reajuste de 34 % num certo ms; no ms seguinte um novo reajuste de 38%, passando a receber R$ 221,90. Quanto recebia antes desses dois reajustes (aproximadamente)? a) R$ 120,00 b) R$ 90,80 c) R$ 118,00 d) R$ 124,80 e)R$ 132,00 10) Uma mercadoria sofreu trs redues sucessivas de 12 %; 14 % e 24 %. Qual a reduo total acumulada? a) 50 % b) 48 % c) 52 % d) 42,48 % e) 43,89 %

    11) (TASA 1993) A inflao de um determinado ms foi de 25% e nesse ms o quilo do caf subiu de preo em 50%. O aumento real do preo do caf, isto , o aumento alm da inflao, foi de: a) 50% b) 25% c) 20% d) 16,6% e) 10%

    12) (Telerj 1993) Uma mercadoria teve seu preo aumentado em 20%. Em seguida, o novo preo foi rebaixado em 20%. O preo final da mercadoria, em relao ao preo inicial : a) igual b) 4% maior c) 4% menor d) 8% maior e) 8% menor

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    13) (BACEN 1994) Um investimento rendeu 68% em um ms no qual a inflao foi de 40%. O ganho real nesse ms foi de: a) 20% b) 22% c) 24% d) 26% e) 28%

    14) Considere a tabela abaixo, referente a preos e quantidades de um conjunto de artigos, nos anos 2004 e 2003. Obtenha o nmero ndice de variao correspondente ao clculo pela frmula de Laspeyres.

    2003 2004 Artigo Preo (R$) Quantidade Preo (R$) Quantidade

    A 20 1000 22 1000 B 25 800 28 1000 C 30 1200 35 1200 D 40 900 50 1200

    a) 117,32 b) 118,45 c) 121,34 d) 116,50 e) 122,45 15) Calcule agora o ndice de variao da tabela anterior, de acordo com a frmula

    de Paasche. a) 117,83 b) 118,54 c) 115,58 d) 116,90 e) 119,80

    16) Um investimento obteve um ganho nominal de 34%, num perodo de inflao correspondente a 28%. Qual a taxa real dos juros recebidos por esse investimento? a) 6% b) 5,23% c) 4,69% d) 3,98% e) 4,5%

    A tabela a seguir, se refere s questes, de 17 a 19 e se refere a preos praticados e quantidades produzidas de trs artigos, em 2001 e 2002.

    2001 2002 Artigos Preo unitrio

    (dlares) Quantidades (toneladas)

    Preo unitrio (dlares)

    Quantidades (toneladas)

    A 3,00 2 4,00 4 B 6,00 5 6,00 6 C 4,00 7 5,00 3

    Fonte: Dados hipotticos

    17) Calcular o ndice de Laspeyres para os preos de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 121,63 % b) 114,06 % c) 128,32 % d) 133,44 % e) 138,28 %

    18) O ndice de Paasche para os preos de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 121,45 % b) 134,56 % c) 113,78 % d) 109,78 5 e) 111,67 %

    19) Calcular o ndice agregativo simples para os preos de 2002, tomando como base o ano de 2001. a) 110,26 % b) 120,32 % c) 116,67 % d) 115,38 % e) 121,67 %

    20) Calcular o ndice agregativo simples para os preos de 2001, tomando como base o ano de 2002. a) 86,67 b) 88,75 c) 98,45 d) 112,45 e) 89,95

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    GABARITO - 1 LISTA DE EXERCCIOS 01) C 02) D 03) B 04) E 05) C 06) A 07) B 08) B 09) A 10) D 11) C 12) C 13) A 14) A 15) A 16) C 17) B 18) E 19) D 20) A

    H trs classes de pessoas infelizes: a que no sabe e no pergunta,

    a que sabe e no ensina, a que ensina e no faz.

    (V. Beda)

    PROGRESSES ARITMTICAS: JUROS E DESCONTOS SIMPLES

    1) INTRODUO

    Observe as seguintes situaes, tiradas de situaes do cotidiano ou de diversos ramos da prpria matemtica:

    1. Vincius tem, guardados em seu cofrinho, 350 reais. Resolveu, a partir desse momento, fazer uma poupana de forma que colocaria no cofrinho um real no primeiro dia, dois no segundo, trs no terceiro...e assim sucessivamente, at o 30 dia. Quanto ele ter em seu cofrinho, passados os 30 dias?

    2. A populao de uma cidade cresce 2% a cada ano. Se em 1990 a populao era de 25 000 habitantes, quantos sero os habitantes dessa cidade, em 2007, mantida a mesma taxa de crescimento anual?

    Problemas como os que apresentamos acima, que envolvem seqncias especiais, so estudados nos captulos das progresses aritmticas e geomtricas. Em nosso curso, no faremos um estudo detalhado das progresses pois a nossa maior preocupao a relao que existe entre as progresses e os juros.

    Quando escrevemos qualquer quantidade de nmeros, um aps o outro, temos o que chamamos de seqncias. As seqncias so, freqentemente, resultado da observao de um determinado fato ou fenmeno. Imagine, por exemplo, que uma pessoa acompanhasse a variao do dlar (compra) nos primeiros dez dias (teis) do ms de abril de 2003. Vejamos o resultado de sua pesquisa na tabela a seguir:

    Dia til (Abril de 2003)

    Dlar (Compra)

    1 R$ 3,335 2 R$ 3,278 3 R$ 3,255 4 R$ 3,246 5 R$ 3,171

    Dia til (Abril de 2003)

    Dlar (Compra)

    6 R$ 3,164 7 R$ 3,184 8 R$ 3,214 9 R$ 3,213

    10 R$ 3,181

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    Verifique que os valores listados, que possuem uma certa ordenao, constituem uma seqncia.

    Voc pode usar as seqncias para registrar diversas observaes, como a produo de uma fbrica em cada ms, o nmero de telefonemas que voc d por dia, a taxa de inflao mensal etc. No exemplo que mostramos, da variao do dlar, no teramos como saber, por exemplo, a sua cotao no dia 15, ou no dia 20, j que a seqncia varivel e depende de diversos fatores no previsveis.

    Em nosso curso vamos estudar umas seqncias muito especiais. Por sua regularidade, conhecendo alguns termos, podemos calcular qualquer outro. A primeira delas chama-se Progresso Aritmtica. Uma progresso aritmtica uma seqncia na qual, dado um primeiro termo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade. Por exemplo, vamos partir do nmero 7 e acrescentar 3, diversas vezes:

    7 10 13 16 19 22 ... +3 +3 +3 +3 +3

    Como a razo a quantidade que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte, podemos dizer que: A razo de uma progresso aritmtica a diferena entre qualquer termo e o anterior, a partir do segundo termo.

    2) FRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.A

    Passemos ento a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a seguinte progresso aritmtica (de agora em diante representada por PA) de razo R: a1 a2 a3 a4 a5 a6 .... an

    +R + R + R + R + R + R ....

    Suponha que voc conhece o primeiro termo (a1), e a razo (R). Como faremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades:

    a2 = a1+ R a3 = a1 + 2R a4 = a1 + 3R a5 = a1+ 4R ...................

    a10 = a1 + 9R

    Vemos ento que, para calcular um termo qualquer (an) preciso somar ao 1 termo, (n -1)

    vezes a razo, ou seja:

    Frmula do termo geral: an = a1 + (n - 1).R

    Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que voc est no 1 degrau de uma escada e deseja chegar ao 10. Quantos degraus deve subir? claro que so 9. Se voc est no 1 degrau e deseja chegar ao 25, quantos deve subir? Deve subir 24, lgico. Ento, para chegar ao degrau nmero n, devemos subir (n -1) degraus.

    Observe a aplicao dessa frmula nos exemplos seguintes.

    EXEMPLO 1: Escreva a P.A obtida, quando inserimos 5 nmeros entre 1 e 25?

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    Nesse caso, estamos querendo formar uma P.A, com sete termos, sendo que os extremos so os nmeros 1 e 25. Esse tipo de problema o que chamamos de INTERPOLAO ARITMTICA. claro que o que falta obter a razo desta P.A. (1, __, __, __, __, __, 25).

    an

    = a1 + (n - 1).R ou a7 = a1 + 6. R ou 25 = 1 + 6.R ou ainda 24 = 6. R, o que acarreta R = 4. Logo, a P.A procurada : ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25)

    EXEMPLO 2: Em janeiro, de certo ano, Ldia estava ganhando R$ 270,00 por ms. Seu patro prometeu aumentar seu salrio em R$ 8,00 todos os meses. Quanto Ldia estar ganhando em dezembro do ano seguinte?

    Soluo: Se o salrio de Ldia aumenta R$ 8,00 todos os meses, ento a seqncia dos salrios uma progresso aritmtica de razo igual a 8.

    Vamos Montar uma tabela, para melhor entender a situao: janeiro _ a1 = 270,00 fevereiro _ a2 = 278,00 ............................................

    ............................................

    dezembro _ a12 = janeiro _ a13 = ............................................

    dezembro _ a24 = ? Logo, o que queremos o valor do 24 termo dessa P.A. Usando a frmula do termo geral, teremos:

    a24 = a1 + 23.R a24 = 270 + 23.8 a24 = 270 + 184 a24 = 454

    Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Ldia estar ganhando, em dezembro do ano seguinte, R$ 454,00.

    Uma outra maneira (Recorrncia) Imagine que voc se encontra no 3 andar de uma escada e que deseja atingir o 9 andar. Quantos andares voc ter de subir? claro que a resposta 6 andares. Isso, em linguagem matemtica pode ser representado por: a9 = a3 + 6 . R. De modo geral, se estamos no degrau de nmero n e desejamos chegar ao degrau de nmero m, devemos subir (m n) degraus. No caso da P. A, teremos uma outra maneira mais geral de escrever a frmula, relacionando dois termos quaisquer e no obrigatoriamente como primeiro termos. a seguinte frmula: a

    m = a

    n + (m n) . R.

    Exemplo 6: A mesada de Luciana aumenta todos os anos de um valor constante de reais, combinado com o seu pai. Sabemos que no 5 ano aps o acordo, a mesada estava em R$ 80,00 e que no 8 ano estava em R$ 110,00. Qual era o valor da mesada de Luciana no incio desse acordo?

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    Soluo: Pelo que vimos na frmula anterior, poderemos relacionar diretamente os valores do 8 e do 5 ano de mesada. a8 = a5 + 3 . R

    Substituindo os valores conhecidos, temos: 110 = 80 + 3R, logo, teremos que 3. R = 30 ou R= 10. Podemos agora, relacionar um desses termos (o 5 ou o 8) com o primeiro e determinar o valor da mesada de Luciana no incio do acordo (no primeiro ano de acordo) a5 = a1 + 4 . R ou 80 = a1 + 4.10 ou a1 = 40. Resposta: No incio (e durante todo o primeiro ano) a mesada de Luciana era de R$ 40,00.

    PROGRESSES ARITMTICAS E CALCULADORAS (De: Telecurso 2000 Fundao Roberto Marinho)

    Hoje em dia, todos ns usamos uma mquina simples para facilitar nossos clculos: a mquina de calcular. Alm de realizar as quatro operaes (soma, subtrao, multiplicao e diviso), a mquina calcula raiz quadrada e tem memria. Vamos ver uma forma interessante e simples de usar a calculadora para facilitar o trabalho com progresses aritmticas.

    Como exemplo, vamos considerar a progresso aritmtica de razo R = 7, comeando em a1 = 9. Para visualizar quantos termos voc quiser, digite:

    A primeira vez que voc acionar a tecla = a mquina vai mostrar o termo 16 (segundo termo da P.A). Nas outras vezes que voc acionar a tecla =, sucessivamente, o visor da mquina mostrar: 23, 30, 37, 44, ...at o termo que voc desejar.

    A mquina de calcular tambm soma os termos de uma progresso aritmtica. Se no forem muitos os termos que precisamos somar, o uso da calculadora bastante eficiente. Vamos mostrar, como exemplo, como obter a soma dos 5 primeiros termos de uma PA, cujo primeiro termo 15,86 e cuja razo 0,17. Para obter os 5 termos, procedemos como no exemplo anterior. Devemos apenas, aps cada termo que aparecer no visor, apertar a tecla M+ . Isto faz com que os termos da progresso sejam acumulados na memria da calculadora. Depois que voc apertar pela quinta vez a tecla M+ , aperte a tecla MR e a soma dos 5 termos da progresso aparecer no visor. O esquema da operao que vamos fazer o seguinte:

    Iniciando por 15,86 e usando a razo 0,17, voc ir obter o valor 81 para soma dos 5 primeiros termos da progresso.

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    3) JUROS SIMPLES E PROGRESSO ARITMTICA

    Muitas vezes, em nossas aulas de matemtica, ensinamos aos alunos do ensino mdio o que so progresses, mostramos as frmulas, resolvemos exerccios de aplicao e, normalmente, no aproveitamos a oportunidade para trabalhar o conceito de juro, bem como suas aplicaes em situaes de emprstimos ou investimentos. As reformas curriculares, os parmetros curriculares nacionais, enfatizam que devemos procurar relacionar os contedos ministrados com o dia-a-dia das pessoas. Esta uma excelente oportunidade para ns, professores de Matemtica.

    Crescimento em PA (Juros Simples)

    Os juros simples se caracterizam pelo fato de que o valor que acrescido ao valor inicial a cada perodo sempre constante e determinado por i . C0. Dessa forma, fica caracterizada na seqncia dos montantes obtidos, uma Progresso Aritmtica, de razo igual a i . C0. Temos que i a taxa unitria de juros simples (ou taxa de crescimento aritmtico). Ou seja, ao final de n perodos, teremos um acrscimo de C0.ni. Sendo assim, o montante final de uma aplicao a juros simples, pode ser representado por:

    Vejamos alguns exemplos:

    1) Qual o montante final de uma aplicao de R$ 5000,00, a juros simples contratados 1,5% ao ms, por 10 meses?

    Soluo: i = 0,015 n = 10 C0 = 5000

    M = 5000 . (1 + 0,015 x 10) = 5000 x 1,15 = 5750 reais.

    Comentrio: Como se trata de juros simples, poderamos ter calculado o ganho fixo mensal, que igual a 0,015 x 5000 = 75 reais, e multiplicar esse ganho pelo nmero de meses (10 x 75 = 750 reais de juros). Logo, teramos que o montante ser igual a 5000 + 750 = 5750 reais.

    Devemos incentivar a nossos alunos novas descobertas, para que eles no se sintam presos ao uso de frmulas, poderamos inclusive, mostrar, aps as suas tentativas que o que ocorreu nada mais foi que um acrscimo de 15% (1,5% x 10) aos 5000 reais iniciais. Isso corresponde a multiplicar 5000 por 1,15, o que ser mostrado com mais detalhes no captulo dos FATORES DE CORREO.

    2) Qual a taxa mensal de juros simples que, em uma aplicao por 8 meses, elevou um capital de R$ 3 000,00 para R$ 3 780,00?

    Soluo: 3000 x (1 + 8i) = 3780 1 + 8i = 3780 : 3000 = 1,26 8i = 0,26 ou i = 0,26 : 8 = 0,0325 ou ainda 3,25% ao ms.

    )ni1.(Cni.CCM 000 +=+=

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    Novamente seria conveniente mostrar a nossos alunos (caso no percebessem sozinhos) que o que foi feito nada mais foi do que se obter o fator de correo correspondente a um aumento de 3000 para 3780 reais, ou seja, 3780 : 3000 que igual a 1,26. Esse fator corresponde a uma taxa de 26 % para os 8 meses da aplicao, logo, acarreta uma taxa de 3,25% ao ms.

    3) Durante quanto tempo esteve aplicado, a juros simples, um capital de R$ 1200,00, para gerar um montante de R$ 1500,00, sob taxa fixa de 2,5% ao ms?

    Soluo: Vamos descobrir primeiramente qual foi o fator de correo correspondente ao perodo total desse investimento. Basta dividir 1500, por 1200, o que acarreta um fator de correo igual a 1,25. Isso significa uma correo total de 25%. Como sabemos que a taxa mensal de 2,5%, determinamos que a aplicao foi por 10 meses (25 : 2,5).

    interessante tambm que, atravs dos exemplos mostrados, alertemos a nossos alunos que, como os juros simples so proporcionais ao capital inicial e ao tempo da aplicao, as questes desse assunto podem tambm ser resolvidas atravs de regras de trs.

    4) Durante quanto tempo um capital qualquer foi aplicado, a juros simples de 4% ao ms, para triplicar de valor?

    Soluo: claro que um capital, para triplicar de valor, precisa ter um ganho correspondente a 200% de seu valor (que somado aos 100% iniciais totalizam 300%). Montando ento uma regra de trs, teremos:

    4% ______________________ 1 ms 200 % ____________________ x meses

    A resposta ento ser o resultado da diviso de 200 por 4, ou seja, 25 meses, ou ainda 2 anos e 1 ms.

    Caro colega aluno ou professor,

    Reflita e tente responder:

    1) Vocs conhecem no mercado financeiro brasileiro alguma aplicao que tenha o comportamento de juros simples?

    2) Por que acham que os nossos livros da escola fundamental ou mesmo do ensino mdio raramente mencionam os juros compostos, ficando com um enfoque superficial dos juros simples (que quase no esto presentes na vida dos brasileiros)?

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    EXERCCIOS PROPOSTOS

    1) O capital de R$ 360,00 foi colocado a juros simples durante 3 anos e 2 meses, sob taxa de 0,5 % ao ms. Qual o montante final? a) R$ 68,40 b)R$ 428,40 c)R$ 542,60 d) R$ 654,00 e) R$ 420,00

    2) Qual foi a taxa anual a que foi aplicado um capital de R$ 150,00, durante 60 dias, para produzir, a juros simples, um montante de R$ 153,00? a) 8% b) 10% c) 12% d) 15% e) 20%

    3) Qual o tempo necessrio para que um capital, aplicado a juros simples de 5% ao ms, triplique de valor? a) 3 anos 4 meses b) 2 anos c) 5 anos 4 meses d) 1ano 4 meses e) 3 anos 6 meses 4) O preo de uma mercadoria era R$ 2800,00, ou ento, uma entrada de 20% e mais um pagamento de R$ 2688,00, aps 40 dias. financiamento a juros simples. Qual a taxa anual de juros que est sendo cobrada pela loja? a) 120% b) 130% c) 140% d) 170% e) 180%

    5) (TRT - 1990) Se uma pessoa deseja obter um rendimento de R$ 2700,00, dispondo de R$ 9000,00 de capital, a que taxa de juros simples quinzenal o dinheiro dever ser aplicado no prazo de 5 meses? a) 10% b) 5% c) 3% d) 8% e) 5,5% 6) O juro e o montante em uma aplicao a juros simples esto entre si, como 4 est para 20. O tempo de aplicao foi de 5 anos. Qual a taxa anual do investimento? a) 3 % b) 4 % c) 5 % d) 6 % e) 7 %

    7) (Banco do Brasil) Certo capital, acrescido do juro simples resultante de sua aplicao durante 8 meses, eleva-se a $ 231 000,00. O mesmo capital, acrescido dos juros simples resultantes de 13 meses de aplicao, mesma taxa, eleva-se a $ 234 750,00. Qual a taxa anual da aplicao? a) 1 % a.a b) 2% a.a c) 2,5 % a.a d) 3 % a.a e) 4 % a.a

    8) Qual a taxa mensal de uma aplicao a juros simples, que sextuplicou um capital, em 2 anos e 1 ms? a) 5% b) 10% c) 15% d) 20% e) 25%

    9) (BEMGE - 1992) Qual o tempo necessrio para que um capital qualquer, aplicado a juros simples e taxa de 40 % ao bimestre, triplique o seu valor? a) 10 meses b) 1 ano c) 1 ano e 2 meses d) 1 ano e 4 meses e) 18 meses

    10) Qual a taxa mensal de uma aplicao a juros simples, que elevou um capital de 540 dlares a 945 dlares, em trs meses? a) 15 % b) 20 % c) 18 % d) 25 % e) 30 %

    11) (Banco do Brasil - 1992) Qual o tempo em que um capital aplicado a 12 % a. m, rende 3/5 do seu valor, aplicado a juros simples? a) 4 meses b) 5 meses c) 6 meses d) 7 meses e) 8 meses

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    12) (AFTN - 1991) Um capital no valor 50, aplicado a juros simples a uma taxa de 3,6 % ao ms, atinge, em 20 dias, um montante de : a) 51 b) 51,2 c) 52 d) 53,6 e) 68

    13) (Fiscal de Posturas Municipais - So Gonalo - RJ - 1992) Um certo tipo de investimento, a juros simples, duplica o capital aplicado em 2 meses. Essa aplicao render 700 % de juros, no prazo de : a) 4 meses b) 6 meses c) 8 meses d) 10 meses e) 14 meses

    14) (Receita Federal) A taxa de juro simples semestral, equivalente ou proporcional taxa simples de 16% quadrimestral, : a) 15 % b) 20 % c) 20 % d)24 % e) 30 %

    15) (Banco do Brasil, SP 1998) Uma geladeira vendida vista por R$ 1000,00 ou em duas parcelas, sendo a primeira como uma entrada de R$ 200,00 e a segunda, dois meses aps, no valor de R$ 880,00. Qual a taxa mensal de juros simples utilizada? a) 6% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2%

    GABARITO 01) B 02) C 03) A 04) E 05) C 06) C 07) E 08) D 09) A 10) D 11) B 12) B 13) E 14) D 15) B

    4) Descontos Simples:

    Desconto Simples - o valor a ser deduzido de um ttulo, calculado a juros simples, por antecipao do resgate. O desconto poder ser por fora, ou por dentro, conforme calculado sobre o valor nominal do ttulo ou sobre o valor atual ( valor presente ou valor de resgate ).

    A) Desconto por Fora (Bancrio ou Comercial)

    a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor nominal ( ou valor de face ) do papel. Podemos resolver os exerccios de desconto por fora de modo anlogo ao procedimento que adotamos em operaes comerciais de lucro sobre o preo de venda (Regra de Trs) (Nominal = 100 %).

    B)Desconto por Dentro (Racional ou Real)

    a parcela a ser deduzida do ttulo, calculada a juros simples sobre o valor atual ( ou valor de resgate ) do papel. Podemos resolver os exerccios de desconto por dentro de modo anlogo ao procedimento que adotamos em operaes comerciais de lucro sobre o preo de custo (Regra de Trs) (Atual = 100 %).

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    Exemplo: Um ttulo de R$2 000,00 ser descontado a 12 % ao ms, 2 meses antes o vencimento. Determinar o valor atual (ou valor de resgate), considerando:

    a) Desconto simples bancrio.

    Soluo:

    N = 2 000 , taxa de desconto = 12 . 2% = 24%

    A(x) D N( 2 000) (76%) (24%) (100%

    ( N - D = A )

    2 000..................... 100% x ........................76%

    x = 2000 76

    100x

    = 1520 reais

    b) Desconto simples racional.

    Soluo:

    A(x) d N( 2 000) (100%) (24%) (124%)

    ( A + d = N )

    2 000 124% x 100%

    x = 2000 100

    124x

    = 1612,90 reais

    Observaes:

    a) Na prtica o que existe o desconto por fora (bancrio) (voc pode imaginar o motivo, observando o exemplo anterior).

    Logo, se um problema qualquer no mencionar o tipo de desconto simples utilizado , voc deve usar o desconto por fora.

    OBS: temos uma forma prtica, usando os fatores de correo, para o clculo do valor atual de um papel, a partir de seu valor nominal. Se o desconto for do tipo por fora, temos a relao: A = N . Fr Se o desconto for do tipo por dentro, temos a relao: A = N : Fa

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    100

    Fr indica o fator de reduo correspondente taxa do desconto e Fa indica o fator de aumento correspondente a essa mesma taxa. Como se explicam as duas relaes mencionadas acima?

    C) Equivalncia De Capitais

    Dois capitais representados por papis ou ttulos financeiros sero equivalentes para uma determinada data, sujeitos a juros simples, se os valores atuais, nesta data (data zero ou focal) , forem iguais.

    Exemplo: Qual o valor nominal de um papel com vencimento para 45 dias, sob taxa de 30% ao ms, e que equivalente a outro ttulo de R$ 600,00, para 15 dias, sob taxa de 40 % ao ms (descontos simples comerciais)?

    Soluo: a) Ttulo dado: N = 600 ; i = 40% ao ms, n = 15 dias, logo a taxa global do desconto ser de 20 %.

    A D N= 600 80% 20% 100%

    Logo, teremos A = 80 600100x

    = 480,00

    b) Ttulo equivalente procurado: A = 480, i = 30 % ao ms, n = 45 dias, logo a taxa simples corresponde a 1 % ao dia e a uma taxa global de 45 %.

    A = 480 D N = ? 55% 45% 100%

    Ento, teremos: N = 480 10055x

    = 872,73 reais

    EXERCCIOS (DESCONTOS SIMPLES)

    1) (Fiscal de Posturas - RJ - 1992) Um ttulo de valor nominal de $ 500 000,00 foi descontado 60 dias antes de seu vencimento, taxa simples de desconto de 10 % ao ms. O valor lquido do ttulo : a) $ 400 000,00 b) $ 50 000,00 c)$ 100 000,00 d) $30 000,00 e) $ 300 000,00

    2) (Banco do Brasil - 1992) Calcule o desconto por fora de um ttulo de valor nominal igual a $550 000,00 antecipado em 120 dias taxa de 3,5 % ao ms. a) $ 60 000,00 b) $ 58 000,00 c)r$ 77 000,00 d) $ 30 000,00 e) Cr$ 300 000,00

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    101

    3) Qual o valor atual de um ttulo que, descontado por dentro a 8 % ao ms, faltando 2 meses e 15 dias para vencer, produziu desconto simples de R$ 120,00? a) R$ 480 ,00 b)R$ 600 ,00 c) R$ 640 ,00 d) R$ 720 ,00 e) R$ 580 ,00

    4) (Banco Central - 1990) Um ttulo de valor nominal de $ 600 000,00 foi descontado taxa de 18 % ao ms, 15 dias antes do vencimento (desconto comercial simples). O banco cobrou uma comisso de 3 % sobre o valor nominal do ttulo. Qual o valor lquido recebido? a)$ 565 000,00 b)$ 549 000,00 c)$ 537 000,00 d) $ 528 000,00 e) Cr$ 465 000,00

    5) (Banco Central - 1990) Um ttulo foi descontado taxa de 20 % ao ms, um ms antes do vencimento, desconto simples racional ou por dentro. Se o valor lquido recebido foi de $ 1200,00, qual era o valor nominal? a)$1970,00 b)$1800,00 c)$ 1400,00 d)$1440,00 e)$ 1600,00

    6) Um ttulo, no valor de R$ 12 000,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 9 000,00. Qual foi a taxa mensal aplicada nesta operao de desconto bancrio? a) 6% b) 4% c) 5% d) 3% e) 10%

    7) Um ttulo produziu desconto simples igual a 0,3 do valor nominal, faltando 2 meses e 15 dias para o vencimento. Qual a taxa do desconto? a) 10 % a.m b) 12 % a.m c) 6 % a.m d) 8 % a.m e) 5 % a.m

    8) Uma promissria descontada por dentro a 3 meses do vencimento, taxa de 7% ao ms, sofreu reduo de R$ 630,00. Qual o valor nominal? a) R$3630,00 b) R$3500,00 c)R$ 6300,00 d) R$ 3640,00 e) R$ 5350,00

    10) Um ttulo, de valor nominal de R$ 12000,00, descontado racionalmente a 36% ao ms, 20 dias antes do vencimento, ser substitudo por outro, para 45 dias, sob taxa de 40 % ao ms, desconto tambm racional. Qual ser o valor nominal desse novo ttulo? a) R$15 483,00 b)R$ 16 000,00 c)R$ 18 200,00 d)R$ 23 400,00 e)R$ 14 760,00

    11) (TTN - 1989) Utilizando o desconto racional (36% ao ano), o valor que devo pagar por um ttulo com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de $ 29 500,00 , de: a) $ 24 000,00 b) $ 25 000,00 c)$ 27 500,00 d) $ 18 880,00 e) $ 24 190,00

    GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples)GABARITO (Descontos Simples) 1) A 2) C 3) B 4) D 5) D 6) C 7) D 8) A 9) A 10) B

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    AS PROGRESSES GEOMTRICAS E A MATEMTICA FINANCEIRA

    INTRODUO

    Consideremos agora a seguinte situao: uma mercadoria, que em 1999 custava 100 reais, teve seu preo reajustado nos 4 anos seguintes, sob taxa de 10% ao ano, sobre o preo do ano anterior. Vejamos uma tabela representativa desses preos:

    Ano Preo (R$) 1999 100,00 2000 110,00 2001 121,00 2002 133,10 2003 146,41

    Se voc pegar sua calculadora e dividir os valores de dois termos consecutivos dessa seqncia, vai observar agora que os quocientes dessas divises sero todos iguais. Vejamos: 110 : 100 = 1,10 121 : 110 = 1,10 133,10 : 121 = 1,10 146,41 : 133,10 = 1,10 Se lembrarmos que o nmero decimal 1,10 corresponde a 110/100 ou 110%, constataremos que cada preo est sendo reajustado em 10% sobre o preo do ano anterior.

    Esse tipo de seqncias, onde cada termo (a partir do segundo) obtido atravs da multiplicao do termo anterior por um fator fixo, denominado razo (q), o que chamamos de Progresso Geomtrica (PG) e que estudaremos nesse captulo.

    As progresses geomtricas so fundamentais para clculos que envolvem matemtica comercial e financeira e o valor do dinheiro no tempo. Financiamentos e investimentos com parcelas peridicas fixas (prestaes ou depsitos) tm os clculos de todos os seus elementos obtidos atravs das progresses geomtricas. Esses financiamentos e investimentos so denominados de Sistema Francs ou Price e sero estudados no presente captulo.

    Vejamos um exemplo inicial, para fixarmos o que j mostramos. Imagine uma progresso geomtrica, de razo igual a 2, comeando no nmero 3.

    Perceba que, se fosse uma progresso aritmtica, de razo igual a 2, comeando no trs, o crescimento seria bem mais lento: 3 5 7 9 11 13 15 17 21 ...

    + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Voc pode perceber, claramente, a mensagem que existe em frases do tipo: A produo de alimentos cresce em progresso aritmtica, enquanto a populao mundial cresce em progresso geomtrica, que traduz a teoria de Malthus sobre crescimento demogrfico.

    x

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    O socilogo e economista ingls Thomas Malthus o primeiro a teorizar sobre o desequilbrio ambiental. No livro Ensaio sobre o princpio da populao, de 1798, estabelece uma relao entre o crescimento populacional e o de alimentos conhecida como lei de Malthus: enquanto a produo de alimentos cresce em escala aritmtica, a populao cresce em escala geomtrica. Malthus prev que chegar o momento em que o contingente populacional ser superior capacidade do planeta de aliment-lo. Mais tarde, os avanos tecnolgicos aplicados agricultura permitem relativizar o rigor da viso malthusiana. Na atualidade, porm, suas idias so retomadas com um outro sentido: o crescimento da populao mundial aumenta a presso sobre o meio ambiente e pode tornar invivel a vida no planeta.

    Podemos ento resumir que uma P.G uma seqncia onde cada termo, a partir do segundo, obtido pelo produto do termo anterior por um fator fixo, denominado razo.

    Podemos ainda afirmar que: A razo da PG igual a qualquer termo dividido pelo anterior.

    FRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G

    Vamos usar um raciocnio semelhante ao que vimos para as progresses geomtricas.

    Podemos, dessa forma, inferir que a frmula para o clculo de um termo qualquer de uma P.G :

    )1n(1n q.aa =

    FATO CURIOSO: Se voc comparar as definies dos dois tipos de progresses que estamos estudando (aritmticas e geomtricas), observar que o que na P.A uma soma, na P.G se transforma em uma multiplicao. O que na P.A uma multiplicao (ou soma de parcelas iguais), na P.G uma potenciao (ou multiplicao de fatores iguais). Se lembrar tambm que a razo da P.A indicada por R, enquanto que a da P.G indicada por q, ter um poderoso artifcio para transformar as propriedades e frmulas obtidas para a P.A, para as propriedades e frmulas da P.G.

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    Comparemos as frmulas dos termos gerais, da P.A e da P.G:

    P.A an

    = a1 + R. (n - 1) P.G )1n(1n q.aa =

    Mas, mesmo sabendo essas frmulas, muito mais importante do que elas saber que, como numa escada, quantos saltos devemos dar para ir de um termo ao outro. Somando sempre um valor fixo, no caso da P.A e multiplicando sempre um valor fixo, no caso da P.G.

    Cabe ainda ressaltar que, a frmula da P.G pode ser escrita a partir de um termo inicial que denotaremos por a0 o que se mostrar bastante vantajoso em diversos exemplos prticos que mostraremos, como na biologia e na matemtica financeira. Nesses casos, a frmula assumir o seguinte aspecto:

    n0n q.aa =

    De nada vale tentar ajudar aqueles que no se ajudam a si mesmos.

    (Confncio)

    CALCULADORAS E PROGRESSES GEOMTRICAS

    (De: Telecurso 2000 Fundao Roberto Marinho)

    Exemplo 1: Sr. Gasto aplicou R$ 1000,00 num investimento que valorizava o seu dinheiro 2% ao ms. Quanto ele vai ter, 4 meses aps o incio da aplicao?

    Soluo: Esse tipo de situao, da Matemtica Comercial e Financeira, o que denominamos JUROS COMPOSTOS ou JUROS SOBRE JUROS formar sempre uma Progresso Geomtrica, como vimos no exemplo da introduo, a razo dessa P.G o que

    Verifique, a frmula da P.A se transforma na da P.G, bastando substituir a soma por produto, a razo R, por q e o produto por uma potncia.

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    denominamos FATOR DE CORREO. Nesse exemplo, o fator de correo ser igual a 1,02, pois 100% + 2% corresponde a 102% ou 1,02. Logo, teremos de calcular o resultado de 1000 . (1,02)4. Na calculadora basta fazer 1,02 x 1000 = = = = 1082,43.

    O que vimos no exemplo acima um dos grandes usos das progresses em nossa vida a Matemtica do Dinheiro. As progresses geomtricas podem (e devem) ser observadas como uma seqncia de termos com taxa de variao constante (seja para aumento ou para reduo).

    SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSO GEOMTRICA

    Seja n1n2 n321 a aa ........ a a aS ++++++= Vamos multiplicar todos os termos dessa igualdade por q. Teremos ento:

    q.a .qaq.a ........ .qa .qa .qaS.q n1n2 n321 ++++++=

    a2 a3 a4 an 1 an Subtraindo a primeira expresso da segunda, teremos:

    q.S S = an . q - a1 e agora, colocando o termo S, em evidncia, teremos:

    S. (q 1) = an . q - a1

    S = 1qaq.a 1n

    A frmula acima pode assumir um outro aspecto, bastando substituir o an

    pela respectiva expresso do termo geral da P.G. A frmula da soma dos termos da P.G (finita) ficar ento:

    S = )1q()1q(

    .an

    1

    Portanto, temos duas expresses distintas para o clculo da soma dos termos de uma P.G finita. A escolha de qual usar em cada situao problema depender obviamente dos parmetros envolvidos em cada caso. Essa frmula ser muito importante para o clculo de todas as parcelas envolvidas num financiamento pelo Sistema Price, como mostraremos a seguir.

    Exemplo 2: Obtenha a soma dos 10 primeiros termos da P.G (2, 4, 8, ...)

    Soluo: Para este caso, melhor usarmos a segunda expresso da frmula da soma da P.G, pois temos o primeiro termo, o nmero de termos que queremos somar e a razo (q = 2).

    S = )1q()1q(

    .an

    1

    = 2046)11024.(2)12()12(

    .210

    ==

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    VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO: VISTA OU A PRAZO?

    Vamos agora mostrar que um aluno do Ensino Mdio, com o conhecimento dos fatores de correo e de progresses geomtricas, pode resolver as principais questes que se apresentam na matemtica do dinheiro. Emprstimos, investimentos, compras financiadas, ..., sem qualquer uso de frmulas mirabolantes. claro que, ao longo de nosso estudo, tais temas sero retomados com maiores detalhes. Nesse momento s queremos destacar a importncia dos fatores de correo no mbito da matemtica comercial e financeira. Dependendo do nmero de parcelas ou prestaes, esse tpico poder inclusive ser abordado numa classe de 8 srie do Ensino Fundamental, bastando conhecimentos bsicos de equaes de primeiro e de segundo grau.

    Um dos problemas mais comuns de encontrarmos no nosso dia-a-dia refere-se deciso de comprar vista ou a prazo uma determinada mercadoria. Somos sempre tentados pela propaganda, com promoes do tipo 20% de desconto vista ou em trs vezes sem acrscimo. A melhor deciso depender de uma srie de elementos, como taxas de juros, disponibilidade do comprador. Vamos mostrar nessa seo que, mais uma vez, o valor do dinheiro no tempo, os fatores de correo e as progresses geomtricas sero fundamentais para nossa escolha correta.

    claro que existiro casos que as opes sero equivalentes, nesses casos, tanto faz uma escolha ou outra. Vejamos um exemplo: Ana conseguiu um tipo de investimento que lhe paga juros de 5% ao ms pelo dinheiro que aplicar. Ela entrou numa loja e viu que uma cala jeans pode ser comprada a vista por 80 reais ou ser adquirida com um cheque pr-datado, para 30 dias, por 84 reais. Repare que, nesse exemplo apresentado, as duas opes so equivalentes, pois se ela aplicar os 80 reais por 30 dias, vai receber de juros 4 reais (5% de 80) o que permitir exatamente cobrir o cheque pr-datado.

    Portanto, todas as decises que envolvem compras ou investimentos esto apoiadas no fato do valor que o dinheiro ter ou teve numa outra data, levando-se em conta a taxa de juros que incide sobre os valores aplicados (pode ser a da caderneta de poupana, por exemplo).

    Logo, se a taxa vigente para as aplicaes (taxa de atratividade do mercado) for de 3% ao ms, 100 reais hoje valero 103 reais em um ms, valero 106,09 reais em dois meses (multiplicando 100 x (1,03)2), valero 109,27 reais em trs meses (multiplicando 100 x (1,03)3), e valero 100 x (1,03)n daqui a n meses.

    Podemos assim resumir o que acabamos de mostrar: Um valor monetrio M, valer daqui a n meses, aplicado sob taxa fixa i, ao

    ms, M x (1 + i)n . (com a taxa i expressa na sua forma decimal)

    M M x (1 + i)n

    Analogamente, caso o valor fosse considerado num perodo anterior, ou seja, n meses ou perodos antes, o valor do dinheiro seria igual a M : (1 + i)n

    M M : (1 + i)n

    PODEMOS AFIRMAR QUE NA MATEMTICA FINANCEIRA, NO REGIME DE JUROS COMPOSTOS (OU JUROS SOBRE JUROS), TODOS OS PROBLEMAS SE RESOLVEM

    VALORIZAO NO TEMPO

    DESVALORIZAO NO TEMPO

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    COM O QUE ACABAMOS DE MOSTRAR. O VALOR DO DINHEIRO NUMA DATA FUTURA FICA MULTIPLICADO POR (1 + i)n (OU Fn )E NUMA DATA ANTERIOR, FICA DIVIDIDO POR (1 + i)n (OU Fn ).

    Nesse caso estamos adotando para o fator (1 + i) a simbologia F (fator de correo), visando simplificar as notaes das frmulas e exerccios.

    Exemplo: Ldia comprou um relgio, com uma taxa de juros de 5% ao ms e a ltima parcela, de 80 reais, teria de ser paga no dia 10 de setembro de 2003. Acontece que Ldia ganhou um dinheirinho extra e est propondo loja, pagar a sua dvida no dia 10 de agosto de 2003, ou seja, um ms antes da data estipulada. Quanto Ldia ter de pagar? Soluo: Como se trata de uma antecipao de pagamento claro que Ldia pagar um valor menor. Aplicando o que vimos anteriormente, o valor ser igual a 80 : (1,05) = 76,19 reais.

    Exemplo: Vincius tomou um emprstimo de R$ 5000,00 a juros mensais de 5%. Dois meses depois, ele pagou R$ 2500,00 e, um ms aps esse pagamento, liquidou seu dbito. Qual o valor desse ltimo pagamento?

    Soluo:

    Entendemos que fica mais fcil perceber o que est ocorrendo mostrando um grfico da situao o que chamamos de fluxo de caixa.

    5000

    0 1 2 3

    2500 x

    2500 x 1,05 + x = 5000 x (1,05)3

    2625 + x = 5788,13

    x = 3163,13

    Resposta: Vincius dever pagar uma segunda parcela de R$ 3163,13

    Exemplo: Uma loja oferece uma mercadoria a vista por 400 reais ou ento em duas parcelas iguais de 220 reais (para 30 e 60 dias). Qual a taxa de juros sobre o saldo devedor que est sendo cobrada pela loja?

    Devemos empurrar todos os valores para uma mesma data (por exemplo para o ms 3) e igualar as entradas (emprstimo) com as sadas (pagamentos peridicos).

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    Soluo: Nesse caso est faltando o valor da taxa de juros cobrada, sugerimos chamar a incgnita do problema de F, que o nosso fator de correo. Fica mais simples trabalhar com essa varivel do que com 1 + i. No final do problema, subtraindo 1 do valor encontrado, teremos a taxa procurada.

    Vejamos o fluxo de caixa do problema. 400

    1 2

    220 220

    400 . F2 = 220 . F + 220 40 . F2 = 22 . F + 22 ou 20. F2 11. F 11 = 0

    Resolvendo a equao do segundo grau, teremos:

    4064,3111

    40100111

    40)11.(20.412111F ==

    Como s nos serve a resposta positiva, teremos F = 067,140

    64,42

    Logo, 1 + i = 1,067 ou i = 0,067 ou ainda i = 6,7%

    UMA ABORDAGEM PARA ALUNOS DA 8 SRIE DO ENSINO FUNDAMENTAL

    claro que os exemplos que vimos anteriormente, envolvendo fluxo de caixa, poderiam recair em equaes de graus maiores do que as de 2 grau, dependendo do nmero de parcelas envolvidas. Esses casos sero estudados posteriormente, com mais detalhes, nos captulos de amortizao e capitalizao compostas. Para um aluno de Ensino Fundamental poderamos mostrar um enfoque mais simples, para pagamentos em at 3 parcelas (entrada mais duas), recaindo sempre em equaes do segundo grau, quando o elemento desconhecido fosse a taxa do financiamento. Vamos ver agora como poderia ser tal abordagem:

    VISTA OU A PRAZO? Com o emprego de uma simples noo de fator de correo e com a resoluo de uma equao do 2 grau, os nossos alunos do Ensino Fundamental ou da EJA podero responder questo acima para pagamentos em duas prestaes, com ou sem entrada. Para maior nmero de prestaes, poderemos formular equaes de grau superior, sendo que a sua resoluo depender de tcnicas que s sero estudadas no ensino mdio.

    um tipo de atividade que normalmente os professores no abordam em suas aulas do Ensino Fundamental, perdendo uma excelente oportunidade de contextualizao atravs da

    Sugerimos agora empurrar todos os valores para a data 2 e igualar as entradas (valor a vista) com as sadas (prestaes).

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    Matemtica Comercial e Financeira, to presente na vida de todas as pessoas e que costuma deixar todo mundo atordoado diante de decises de compras, diante de escolhas sobre o plano ou oferta mais conveniente (por que ser que a Escola Bsica e a Formao de Professores costumam ignorar contedos to significativos para nossos alunos?).

    Vamos supor, como referncia a nossos exemplos, que estamos vivendo um momento em que a caderneta de poupana (que o investimento bsico para a maioria das pessoas) est gerando rendimentos mensais de 2,0%. Voc entrou numa loja, para comprar uma geladeira e o vendedor lhe ofereceu as seguintes opes de compra:

    1) Pagar vista R$ 700,00 2) Pagar em dua