CAPÍTULO 7 1) Se P(x)= anx

n+an-1xn-1+...+a1x+a0, com an≠0 e p(x)= bpx

p+bp-1xp-1+...+b1x+b0, com n ≥ p

e bp≠0, tome q0(x)= pn

p

n xb

a − . P(x)−p(x)q0(x)= 1n1p

p

n1n xb

b

aa −

−−

− + ... tem grau no máximo

igual a n−1. Pondo P(x)−p(x)q0(x) para desempenhar o papel de P(x), vemos que existe um polinômio q1(x) tal que P(x)−p(x)q0(x)−p(x)q1(x)= P(x)−p(x)[q0(x)+q1(x)] tem, no máximo, grau n-2. Prosseguindo, vemos que existe um polinômio q(x)= q0(x)+q1(x)]+...+qn-p(x) tal que P(x)−p(x)q(x) tem grau, no máximo, igual a p−1. Chamando P(x)−p(x)q(x) de r(x), está provado o que se queria demonstrar. 2) Se P(x)=p(x)q1(x) + r1(x) e P(x)=p(x)q2(x) + r2(x) com os graus de r1(x) e de r2(x) ambos menores que o grau de p(x), temos, subtraindo, p(x)[q1(x)−q2(x)]= r2(x)− r1(x),. Se q1(x)−q2(x) não for identicamente nulo, o grau do primeiro membro será igual a ou maior que o grau de p(x), ao passo que o grau do segundo membro será menor que o grau de p(x). Logo, q1(x)−q2(x) é identicamente nulo, ou seja, q1(x)=q2(x). Substituindo, obtemos 0= r2(x)− r1(x), ou seja, r1(x)= r2(x). 3) a) Se α é raiz simples de p(x) então p(x)=(x-α)q(x), com q(α) ≠ 0. Daí, p(α)=(α-α)q(α)=0 e, como p’(x)=(x-α)’q(x)+(x-α)q’(x)= q(x)+(x-α)q’(x), p’(α)=q(α) ≠ 0. b) Se p(α) = 0 e p’(α) ≠ 0, então p(x)=(x−α)q(x) pois α é raiz de p(x) e, como p’(x) = (x-α)’q(x)+(x-α)q’(x)= q(x)+(x-α)q’(x), q(α) = p’(α) ≠ 0. c) Se α é raiz dupla de p(x) então p(x)=(x-α)2q(x), com q(α) ≠ 0. Daí, p(α)=(α-α)q(α)=0 e, como p’(x)=[(x-α)2]’q(x)+(x-α)2q’(x)= 2(x−α)q(x)+(x-α)2q’(x) e p’’(x) = 2q(x)+4(x−α)q’(x)+ (x-α)2q’’(x), p’(α)=0 e p’’(α) = 2q(α) ≠ 0. d) Se p(α) = p’(α) = 0 e p’’(α) ≠ 0, então p(x)=(x−α)q(x) pois α é raiz de p(x) e, como p’(x) = (x-α)’q(x)+(x-α)q’(x)= q(x)+(x-α)q’(x), q(α) = p’(α) = 0; logo, α é raiz de q(x) e, portanto, q(x) é divisível por (x−α), o que garante a existência de um polinômio q1(x) tal que q(x)=(x−α)q1(x). Então p(x)=(x−α)q(x) = (x−α).(x−α)q1(x) = (x-α)2q1(x); como p’(x)= [(x-α)2]’q1(x)+(x-α)2q1’(x)= 2(x−α)q1(x)+(x-α)2q1’(x) e p’’(x) = 2q1(x)+4(x−α)q1’(x)+

(x-α)2q1’’(x), p’’(α) = 2q(α), q(α) = )(''p21 α ≠ 0.

4) Errado. Se p(x)=x2-1, temos p’(x)=2x. 0 é raiz simples de p’(x) mas não é raiz dupla de p(x).

5) p(x)= 2)42)(32)(12()4x)(3x)(1x(

−−−−−−

+1)41)(31)(21()4x)(3x)(2x(

−−−−−−

+4)41)(31)(21()4x)(3x)(2x(

−−−−−−

+

3)41)(31)(21()4x)(3x)(2x(

−−−−−−

= .15x3

65x10x

34 23 +−+−

6) Seja p(x)= anxn+an-1x

n-1+...+a1x+a0 e suponhamos an>0. Seja k o maior dos números .a,...,a,a 1n10 −

Se x>1, 011n

1n axa...xa +++−− ≤ 01

1n1n axa...xa +++−

− ≤ 011n

1n axa...xa +++−− ≤

kxn-1+...+kxn-1+kxn-1=nkxn-1. Se tomarmos um valor para x que, além de ser maior que 1,

seja também maior que na

nk, teremos x>

nank

, anx>nk, anxn>nkxn-1> 01

1n1n axa...xa +++−

− ,

p(x)>0.

Se x< −1 , 011n

1n axa...xa +++−− ≤ 01

1n1n ax.a...x.a +++−

− ≤ 1n

xk−

+...+1n

xk−

+1n

xk−

=n1n

xk−

. . Se tomarmos um valor para x que, além de ser menor que −1, seja também

menor que −na

nk, teremos x< −

nank

, anx< −nk, anxn < −nkxn-1 (como n é ímpar, xn-1 é

positivo), 1nn

n xnkxa−> (na desigualdade anterior os dois membros são negativos; de

dois números negativos, o menor é o que tem o maior módulo),

>nnxa 01

1n1n axa...xa +++−

− e, como anxn é negativo, p(x)<0.

Caso fosse an < 0, bastava aplicar a conclusão ao polinômio −p(x). Pela continuidade do polinômio, se p(x1)<0 e p(x2)>0, existe x0 compreendido entre x1 e x2 tal que p(x0)=0.

7) 1 não é raiz do polinômio pois p(1)=n+1≠0. Se x ≠1, p(x)=1x

1x 1n

−−+

. Como n é par, não

existe x real, x≠1, tal que xn+1=1. Logo, p(x) ≠ 0 também para todo x real diferente de 1. 8) Obtém-se x0=3; x1=2,333; x2=2,238; x3=2,236; x4=2,236. Como 2,2362<5 e 2,2372>5, a resposta é 2,236. 9) Devemos determinar a raiz real de p(x)=x3-a. A fórmula do método de Newton é

xn+1= nx)x('p

)x(p

n

n− =2

n

3n

nx3

axx

−− =

2n

nx3

ax

32 + .

No caso a=2, a fórmula fica xn+1= 2

nn

x3

ax

32 + . Começando com se x0=1, obtém-se

x1=1,3333; x2=1,2639; x3=1,2599; x4=1,2599. Como 1,25993<2 e 1,26003>2, a

aproximação de 3 2 com 4 decimais exatas é 1,2599.