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PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

SUBSECRETARIA DE ENSINO

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

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PREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

SECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

SUBSECRETARIA DE ENSINO

COORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

COORDENADORIA TÉCNICA

SILVIA MARIA COUTOVÂNIA FONSÊCA MAIA

ELABORAÇÃO

LEILA CUNHA DE OLIVEIRANILSON DUARTE DORIA

SERGIO FERREIRA BASTOSSIMONE CARDOZO VITAL DA SILVA

REVISÃO

LETICIA CARVALHO MONTEIROMARIA PAULA SANTOS DE OLIVEIRA

DIAGRAMAÇÃO

BEATRIZ ALVES DOS SANTOSMARIA DE FÁTIMA CUNHA

DESIGN GRÁFICOPROFESSORES COLABORADORESFrancisco Carlos de Melo – EM PIO XRenato de Aguiar Pereira – EM REPÚBLICA DO PERU Cláudia Aparecida das Chagas Moura – EM PARÁAna Lúcia Caetano dos Santos – EM COELHO NETOKeila Cardoso da Silva – EM EMBAIXADOR JOÃO NEVES DA FONTOURAGustavo de Souza Bruno Lima – EM JACQUES RAIMUNDOMário Cesar Ferme – RODRIGO OTÁVIO

AS 7 MARAVILHAS DO RIO

http://www.velhosamigos.com.br/7maravilhas.html

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AS 7 MARAVILHAS DO RIO

http://www.velhosamigos.com.br/7maravilhas.html

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Mas os murais da Escola são pequenos

e quadrados. Será que podemos aumentá-los?

Vamos falar com o Jorge. Ele sempre tem boas ideias!

O mural da frente podemos aumentar 50 cm na largura.

Observe!

x 50

x

Podemos determinar a

expressão que representa a área desse novo mural.

Pensando...

a) A área (A) é calcula multiplicando a largura __________ pela altura __________.

b) Temos, então: ______________________________.

c) Logo, a área pode ser calculada por ___________________.

O Rio de Janeiro é realmente uma das 7 maravilhas do

mundo moderno. Lindo, não?

Essa ideia de mostrar as 7 maravilhas do Rio, foi

brilhante!

Podemos fazer murais, no nosso grêmio, falando a

respeito desses lugares, pois creio que muitos de nossos colegas não os conhecem.

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2012A= __________ cm² = __________m²

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Essa é uma expressão de 2º grau, não é?

Exatamente! A medida da área, neste caso, é determinada em função da medida do _________ do mural.

Então, supondo que o lado (x) do mural meça 90 cm, qual a expressão que encontramos para calcular a área total do novo mural?

Vamos usar sua suposição e verificar se, acrescentando

os 50 cm na largura, teremos superfície suficiente.

Calculando...A = x² + 50x → sendo x = ____ , temos A = _________________________A = _________

Convertendo para metros quadrados, temos... m² dm² cm²

1 2 6 0 0 ,

,

Observe! A medida do lado do mural, sem acréscimo da largura, mede 80 cm. Precisamos encontrar a área.

Se a medida do lado do mural sem acréscimo da largura , mede 80 cm,

precisamos encontrar a área.

Como a área está em função da medida do lado do mural, então vamos encontrar a área com x = ____cm.

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_____________________________________ __________________

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1- Determine você, agora, a área real desse mural com o acréscimo de 50 cm de lado.

Para montarmos o mural sobre a Ilha Grande,

podemos usar o mural que fica em cima da escrivaninha

ou o da parede oposta.

Eu sei que os dois murais são quadrados e que podemos aumentar 30 cm na largura e 10 cm na altura,

em cada um.

Vamos pedir ao Jorge que nos ajude.

Observando o desenho, podemos determinar a expressão que determina a área desses novos murais.

x 30

x

10

Pensando...

a) A largura de cada mural passou a ser __________ e cada altura agora é _________.

b) Logo, a expressão que representa a área de cada mural é y = _______________________________________.

A área de cada novo mural é representada por uma sentença de uma função de 2º grau.

Uma sentença que defineuma função de 2.º graupode ser generalizadapor y = ax² + bx + c,(um trinômio de 2ºgrau).

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Sabendo que o lado do mural, que fica em cima da escrivaninha mede 90 cm, vamos calcular a nova superfície

desse mural.

Sabendo que x = ____ cm e que y = ______________________________, calcule a área y desse novo mural.

Em metros quadrados, temos ________________ . m²

Eu descobri que, se aumentarmos 30 cm na largura e 10 cm na altura no mural da parede

oposta, teremos uma área de 1,43 m². Descubra a medida do lado desse mural, sem

os acréscimos.

O lado do mural quadrado, sem os acréscimos, mede ________ cm ou __________ m.A equação de 2º grau possuiduas soluções, mas, emalguns casos, apenas umadelas atende ao problema.Discuta com seus colegasesta questão.

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Vamos verificar o que você aprendeu?

1. Uma parede, representada na figura abaixo, deverá ser revestida com papel de parede.

x

x - 7

De acordo com as dimensões dadas na figura, em metros, podemos afirmar que:

a) A largura da parede mede _______ metros.

b) A altura da parede mede _________ metros.

c) Calculando a área da parede, temos: _____ ( ________ ) = _________.

d) Então, considerando y como a área da parede, ela pode ser representada por y = _______ metros quadrados.

e) O valor da área y é determinado em função de _____________.

f) Esta é uma função __________________________

i) Se a largura da parede medir 10 metros, sua área será de _________ metros quadrados.

_____________________________________________________________________________

ii) Se a área da parede for de 18 metros quadrados, a medida de sua largura será de ______ metros e de seu e

sua altura será de _______ metros.

________________________________________________________________________

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2. A empresa de Jorge, para atender aos muitos pedidos das peças que fabrica, aumentou sua produção. Mas para seu espanto, ao invés de lucro, obteve prejuízo. Para aumentar a produção, contratou mais funcionários e comprou mais matéria-prima.Para resolver esse problema, resolveram contratar um consultor financeiro.

Tem que haver um equilíbrio entre os gastos e o número necessário de peças para venda.

Diminuir a quantidade de peças produzidas não atende à clientela. Porém, produzir peças demais, o mercado não consome.

Como isso foi acontecer? Como você pode nos ajudar?

Fiz uma pesquisa nos custos da empresa e na procura do produto no mercado. Considerando como n o número de

peças a serem produzidas, e p o resultado aproximado da produção (lucro ou prejuízo), em mil reais, cheguei a

seguinte sentença: p = n² + 60n - 500

Entendi! O resultado da produção está em função do número de

peças produzidas.

Vamos verificar a produção ao fabricar 60 peças.

É verdade! Mês passado produzimos 60 peças e tivemos um prejuízo de, aproximadamente, __________mil reais.

Clip

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Vamos verificar o quantitativo de peças produzidas que não acarretariam nem em lucro

nem em prejuízo, isto é, p = 0.

Se produzirmos _____ ou _____ peças, a empresa não terá nem lucro nem prejuízo. Quando produzimos 60 peças, obtivemos _____________.

E se produzirmos 30 peças?

Com a produção de 30 peças, o lucro poderá ser de _____________________________________________.

Vamos construir uma tabela para entender melhor como essa produção acontece em função do número de peças que se produz.

número de peças 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

resultado da

produção

Para que não haja prejuízo, a produção mensal deve ser de _____ peças a _________ peças.

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Vou propor uma atividade para vocês! Quero que construam um retângulo cujo

perímetro seja 14 cm e que tenha a maior área possível. Quem vai tentar?

Como o retângulo tem lados iguais dois a dois, a

soma de 2 lados diferentes só pode ser

________.

Sendo assim, um lado mede x e o outro mede _________.

Para calcular a área de um retângulo, basta ________________________ as medidas de seus lados.

É uma função do 2º grau.A área depende do valor de

______.

Agora, é só montar a sentença que calculará

a área.

É uma função do 2º grau.A área depende do valor de

______.

Sendo y a medida da área do retângulo, temos y = ______________ y = _________________

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Vamos montar uma tabela com alguns valores para x e observar as

áreas que encontramos.

x 1 2 3 4 5 6

Área

Pela tabela, as maiores áreas são referentes aos valores de x = _____ e

x = _____ .

Só usamos valores inteiros para as medidas

dos lados.E se houver uma área

maior com outros valores?

Vamos montar um gráfico.

Assim, poderemos ver

todos os valores.

Mas esta é uma função de 2º grau. Construímos da mesma forma que um gráfico da função de 1º grau?

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1313

Vamos experimentar!!!É só assinalar os pontos na tabela e,

depois, ligamos.Já marcamos o ponto (1 , 6).

y

x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

LEMBRETE

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Que tal usarmos para x o valor 3,5?

x 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

y

Veja! É uma

curva!

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Eu conheço esta figura. Chama-se parábola.

É uma curva simétrica.Parábola?Simétrica?

Não estou entendendo.

mat

7ano

.no.

sapo

.pt c

olhi

da e

m

11/7

/11

Veja aqui algumas figuras simétricas.

Parece que um lado reflete o outro, em relação ao eixo de simetria, marcado em

cada figura.

Veja o que fiz com a parábola do gráfico

que esboçamos.

O lado esquerdo da curva coincide com o lado direito

da curva (simetria).

Interessante! A curva cresce até o valor 3,5 de x.

A partir deste ponto, ela decresce.

Este ponto( 3,5 ; 12,25) é chamado de VÉRTICE.

mat

7ano

.no.

sapo

.pt

col

hida

em

11

/7/1

1

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Olhando o gráfico, percebi que se x = 3 ou x = 4, o valor de y é o mesmo. Isto

é, y = _____.A média aritmética entre 3 e 4 é

______.

Veja! Se x = 2 ou x = 5, o valor de y = ____ e a média

aritmética entre 2 e 5 é ______.

Valores de x com a mesma distância do

centro, geram valores iguais para y.

Isso mostra que a curva é simétrica. A linha pontilhada é

o eixo de simetria.

PARÁBOLA é uma curva cujos pontos distam, igualmente, de uma reta fixa

chamada eixo de simetria. O eixo de simetria passa pelo vértice da parábola. O

vértice é o valor máximo ou o valor mínimo da parábola.

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_________________

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Vamos montar outro gráfico e fazer novas

descobertas?

Olha esta aqui! Seja a função y = x² - 4x + 3.

Vamos montar uma tabela?

Que tal começarmos a achar os valores de x

para y = 0?

Eu me lembro! A abscissa é o valor de x no par ordenado (x , y).

Chamaremos de xv , a abscissa do vértice.

Veja! Para achar o xv, somamos as raízes e

dividimos por 2!

Agora, temos dois valores para x. Ambos têm y = 0.

Podemos achar o x do vértice.

Esses valores de x são as raízes da função ou os zeros da função porque são os valores de x que anulam o y.

Isto é, para os quais y = 0.

Para determinar os zeros da função, basta igualar a expressão a ______ e calcular os valores de x.

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Para calcular a abscissa do vértice, de uma função definida por

y = ax² + bx + c, basta usar a fórmula .abxv 2

Acho que descobrimos uma fórmula para calcular o x do vértice. A soma das raízes

de uma equação de 2º grau é . Lembre-se:

a média aritmética de dois valores será a soma desses dois valores divididos por 2.ab

2

Agora, temos três valores para x.Podemos começar a montar nossa

tabela.

Para facilitar, vamos arrumá-los em ordem crescente.

Podemos acrescentar mais dois valores para garantir que nossa parábola fique

bem certinha.

x y

0

1

2

3

4

(xv , yv)

Chegou a hora de determinarmos os valores de y.Já sabemos que quando x = 1 e quando x = 3, o y

é__________.

Colocando o ponto do vértice no meio da

tabela, fica mais organizado.

Nessa forma de arrumar a tabela, também podemos ver os pares de valores de x que geram o mesmo y.

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Vamos, então, montar nosso gráfico.Estou curiosa!

x y

0

1

2

3

4

(xv , yv)

Curioso! Esta parábola ficou no sentido contrário.Vou pesquisar e descobrir porque as parábolas podem

ficar em posições diferentes.

Descubra os valores de y.

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1- Determine os zeros das funções definidas por:

a) y = x² - 5x + 6 b) y = x² - 4x – 5 c) y = 2x² - 5x + 2x² - 5x + 6 =__ x² - 4x – 5 = __ 2x² - 5x + 2 = __

2 - Determine os zeros das funções nos gráficos abaixo.

Os zeros da função são _____ e _____. Os zeros da função são _____ e _____.

Os zeros da função são os valores de xonde a parábola corta o eixo horizontal.

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x y

3 4

d) Completamos os valores de x, em ordem crescente, de cima para baixo.

e) Substituímos o valor de x para encontrar seu correspondente y.

f) Marcar os pontos no plano cartesiano e, depois, ligá-los.

1. Esboce o gráfico da função definida por y = x² - 6x + 5

a) Vamos encontrar o xv (a abscissa do vértice). abxv 2

3126

vv xx

b) Substituindo xv na sentença, encontramos yv.

yv = ___________ yv = ______

c) Começamos a montar a tabela pelo ponto do vértice, colocando-o bem no centro da tabela.y

x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

8765432 1

-1-2-3-4-5-6

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2 - Esboce o gráfico da função definida por y = -x² + 6x - 5

a) Vamos encontrar o xv (a abscissa do vértice). abxv 2

b) Substituindo xv na sentença, encontramos yv.

yv = _________________ yv = ______

c) Começamos a montar a tabela pelo ponto do vértice, colocando-o bem no centro da tabela.

y

x-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011

8765432 1

-1-2-3-4-5-6

x y

3 4

d) Completamos os valores de x, em ordem crescente, de cima para baixo.

e) Substituímos o valor de x para encontrar seu correspondente y.

f) Marcar os pontos no plano cartesiano e, depois, ligá-los.

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Repararam que, as parábolas que traçamos, ficaram uma em posição

contrária a outra?

As sentenças que as define são bem parecidas.

Vamos observar em que uma difere da outra.

y = x² - 6x + 5 y = -x² + 6x - 5

A da esquerda tem a concavidade para cima. A da

direita tem a concavidade para baixo

Na sentença que define a da esquerda o a em y = ax² + bx + c é positivo e na

da direita o a é negativo.

Concavidade da parábola

Uma função quadrática definida por y = ax² + bx + c tem como representação

gráfica uma parábola com concavidade

para cima, quando a é ___________.

para baixo, quando a é ___________

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Esboce os gráficos das funções quadráticas a seguir.

1) y = x² - 6x + 8

8

2) y = -2x² + 8x - 6 8

32

2424

226

1281466 2

vx

xx

x

x

22

1331

448

2262488 2

vx

xx

x

x

x x2 – 6x + 8 y

x -2x2+ 8x 6 y

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Vamos traçar o gráfico da função definida por

y = x² - 4x + 5

x y

a) Calculando o x do vértice, temos

b) Determinando o y do vértice, temos

2124

vv xx

Vejam! A parábola não corta o eixo horizontal.

Será que esta função não tem zeros?

Vamos igualar a expressão a zero e verificar.

abxv 2

________________________________.

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y= x² - 4x + 5 y = 0

2

4412

51444

0542

2

xx

xx O radicando é negativo. Portanto, as raízes não

são reais.

Vamos fazer a mesma experiência com concavidade para baixo,

esboçando o gráfico da função y = -x² + 4x - 5

a) Calculando o x do vértice, temos

b) Determinando o y do vértice, temos 2

124

vv xx

x y 8

Resolvendo a expressão -x² + 4x – 5 = 0 onde y = 0, temos

________________________________

________________________________.

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y = x² - 4x + 5 y= -2x² + 8x - 6y = 2x² - 4x + 2

a)Esta parábola corta o eixo de y no valor _____b)O valor de c, na sentença é____

a)Esta parábola corta o eixo de y no valor _____b)O valor de c, na sentença é ___

a)Esta parábola corta o eixo de y no valor ______b)O valor de c, na sentença é ___

Sempre que o ponto possui coordenada x igual a zero, sua localização é no eixo dos ____ .

Se substituirmos x por zero em y = ax² + bx + c, encontraremos y = ____, pois as duas primeiras

parcelas da sentença ficarão __________.

Estava observando esses três gráficos que traçamos e comparei com as sentenças que os definem.

Vejam!

Nestes gráficos, o valor de cé o igual ao valor em que a parábola corta o eixo de y.

Será coincidência?

Não! Isto acontece em todos os gráficos de funções.

Observe as anotações abaixo!

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baixo.

FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA

a) Ela é definida pela sentença y = _______________.

b) A sua representação gráfica, num plano cartesiano, é uma curva chamada ________________________

c) Os pontos que formam a parábola têm a mesma distância do eixo de simetria. Sendo assim, dizemos que a parábola é

uma curva _______________ em relação a esse eixo.

d) Quando a , na sentença que define a função quadrática, é positivo, a concavidade da parábola é voltada para _______

e) Quando a , na sentença que define a função quadrática, é negativo, a concavidade da parábola é voltada para ______

f) Os zeros ou raízes de uma função quadrática são os valores de ____, para os quais ______ é igual a zero.

g) Observando uma parábola, podemos determinar os zeros da função, pois são os valores onde a parábola corta o eixo

de ____.

h) Quando a parábola não passa pelo eixo de ______, sabemos que suas raízes não são números _____________

i) O ponto da parábola onde a curva muda o seu sentido de variação é chamado de ____________, cujo par ordenado é

( xv , yv ).

j) Para determinar o valor de xv, podemos:

calcular a ________________ dos zeros da função ou utilizar a fórmula:

k) Para determinar o valor de yv, substituímos o x da sentença, que define a função, pelo valor de _________

l) O valor de c na sentença é o valor que a parábola corta o eixo de _______

abxv 2

Ficou muito legal!Vou copiar para servir de

estudo.

Nossa! Quanta coisa já aprendemos sobre função

quadrática!Veja o resumo que fiz.

Professor, sugerimos utilizar o livro didático e outros recursos para propor mais atividades sobre esse assunto.

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As atividades a seguir são de análise de gráficos. Vamos fazê-las.

1- Complete os itens abaixo, de acordo com o gráfico.

Este é o gráfico de uma função do tipo y = ax² + bx + c.

Sendo assim:

a) esta é uma curva chamada ____________

b) o valor de a, na sentença, é __________ , pois sua concavidade está

voltada para ____________

c) os zeros da função são x = ____ e x = ________

d) o ponto do vértice é (__________).

e) o valor de c, na sentença, é _________

f) assinale a sentença que define a função representada no gráfico.

( ) y = x² - 2x + 3 ( ) y = -x² - 2x - 3 ( ) y = x² - 2x - 3

2- Observando os pontos da parábola, podemos afirmar que:

a) se x = -1, y = _____ d) se x = -2, y = ____

b) se x = 3, y = _____ e) se x = 4, y = _____

c) Logo, se y = 0, x = ___ ou x = ____ f) se x < -1 ou x > 3, y ____0.

8

g) se x = 0, y = ______ i) se x = 2, y = ____

h) se x = 1, y = ______

j) se x > -1 e x < 3, y ____ 0.

Nesta função, o valor de y é zero quando x ____-1 ou x _____ 3. o valor de y é positivo quando x ____-1 ou x _____ 3. o valor de y é negativo quando x _____ -1 e x _____ 3 ou ______ < x < ______

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3- De acordo com os gráficos A e B, complete os parênteses com a letra do gráfico que corresponde a afirmação.

8A

8B

( ) A concavidade da parábola está voltada para baixo.( ) O valor de a na sentença que define a função é positivo.

( ) Os zeros da função são 1 e 3.

( ) O valor de c na sentença que define a função é -3.

( ) O ponto do vértice é (3 , 2).

( ) Se x = 0, então y = 3.

( ) Se y = 0, então x = 1 ou x = 5.

( ) Se x = 2, então y é negativo.

( ) Se y é positivo, então x > 1 e x < 5.

( ) Se y é negativo, então x > 1 e x < 3.

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Neli, atarefada com seus afazeres, esqueceu de pagar a conta do condomínio.

Como fui esquecer!A cada dia terei de pagar

5% de juros. Acho que vou pedir ajuda a Beth.

Fique tranquila! São juros simples.

Qual é o valor da cota?

A cota deste mês é de R$ 320,00.

Estou com 7 dias de atraso.

Pensando...

Como a multa é em juros simples, basta calcular 5% de R$ _____________, multiplicar pelo número de dias de

atraso e acrescentar ao valor da cota.

a) Sendo 5%= 0,05, 5% de 320 = ____________

b) 16 . 7 = ______

c) 320 + ________ = _________

Acho que deve haver uma fórmula para esse

cálculo...

Generalizando...

Considerando C como o capital (cota a ser paga), i como a taxa de juros, n como o período (tempo em que os juros

serão cobrados) e M o total a ser pago com os juros, temos:

a) Calculando os juros de cada dia fazemos C . i

b) Para calcular o total da multa a pagar, fazemos Ci. n = Cin

c) Para calcular o total a pagar, temos C + Cin .

d) Colocando C em evidência, encontramos M = _________________

Descobri!Se precisar calcular com qualquer taxa

de juros ou período, agora, conseguirei

fazer sozinha.

Verifique esta situação, usando a fórmula;______________________________________________________________

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1- Pedro pegou um empréstimo de R$ 800,00 para pagar em 10 dias, a 4 % ao dia, em juros simples. Qual o total que Pedro deverá pagar ao final de 10 dias?

Sendo 4% = 0,04...

____________________________________________________

Ao final de 10 dias Pedro deverá pagar _____________

2- Marcos emprestou uma quantia a Maria por 8 dias, com juros simples de 2% ao dia. Ao final de 8, dias Maria pagou R$ 348,00. Que quantia Marcos emprestou a Maria?

Sendo 2% = 0,02

______________________________________________________________

Marcos emprestou ________________ à Maria.

3- Júlia pegou R$ 450,00, a juros simples de 5% ao dia e pagou R$ 675,00. Qual foi o período do empréstimo?

Júlia pegou o empréstimo por _____ dias.

4- O prédio em que Inês reside instituiu uma regra interessante para o pagamento da taxa de condomínio. A cada dia

anterior à data do vencimento, o morador tem um desconto de 2%. Inês pagou sua taxa de condomínio com 12 dias

de antecedência. Sabendo que o valor da cota é de R$ 350,00, quanto Inês pagou esse mês?

Nesse mês, Inês pagou pela taxa de condomínio ______________________

Nesse caso, vou descontar

os juros.

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Tatiana ganhou R$ 1.200,00 por um trabalho de publicidade que fez. Resolveu investir. Seu pai orientou-a que, no banco em que ele trabalha, há um investimento cujo capital rende 6% ao mês.

Pai, pelos meus cálculos, 6% de 1.200 = 0,06 . 1.200 = ______

No 1.º mês, terei R$ __________No 2º mês, terei R$ 1.344,00.

Não é bem assim! Os investimentos trabalham com

juros compostos.Seu cálculo no 1.º mês está correto, mas no 2.º mês, os juros de 6% incidem sobre o

total que você já possui. Isto é, 6% de 1.272 reais.Acho que vou

montar uma tabela para fazer os

cálculos.Capital Juros 6% Cálculo Montante

C0 1.200 1.200

C1 1.200 1.200 . 0,06 1.200 + ______ ___________

C2 1.272 1.272 . 0,06 1.272 + ______ ____________

C3 1.348,32 _________ . 0,06 ______________ ___________

C4 ______ ______________ _____________ _____________

Considerar o número até a 2.ª

casa decimal.

Deve haver uma fórmula que nos ajude a calcular mais rápido...

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Considere como C0 o capital investido, C1 o total do 1º mês e assim por diante...

C1 = C0 + C0 (in ) = C0 ( ________ )

C2 = C1 + C1 (ij ) = C1 ( ________ )

Como C1 = C0 ( 1 + ij )

C2 = C0 (_______________ ) ( _______________ ) C2 = C0 ( ____________ )²

Sendo assim, C3 = C0 ( _________ )___ .

Logo, para calcular o montante em 4 meses, podemos usar a

fórmula: C4 = _________________________

Compreendi! Para calcular o montante de um investimento, a

juros compostos, ao final do tempo i, posso usar a fórmula

Ci = _______________________________________

Resolvendo, agora, pela fórmula, verifique a situação de Tatiana. Considere até a 2.ª casa decimal.

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Uma empresa resolveu pedir, a um banco, empréstimo de R$ 18.000,00 para reparos na tubulação.

Para um período de dois meses, qual a proposta de vocês?

A taxa de juros compostos é de 8% ao mês.

Vamos calcular para ver se vale a pena.

Vou calcular

pela tabela.

Capital Juros 8% Cálculo Montante

C0 18.000 18.000

C1 18.000 0,08 . 18.000

C2

Fiz o cálculo pela fórmula.

Sabendo que a fórmula é C2 = _______________,Temos: _______________________________________

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JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS

Considerando:

C0 Capital Inicial

M = Ci Montante

i taxa de juros

n Período da aplicação

Juros Simples

______________________

Se houver desconto...

______________________

Juros Compostos

_____________________________

Complete com as descobertas que

fizemos.

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a) O amigo vai lhe cobrar a taxa de 10% ao mês, no sistema de juros simples.

b) O banco impôs a cobrança de juro composto a taxa de 10% ao mês.

Calculando...

10 % de 3.000= ________ x ______ = ______.

Usando a fórmula...a) Como o amigo emprestou R$ _______ a taxa de ___% ao mês, juro simples, por ____ meses,

C0 = _______ n = ___ i = _____Ci = C0 . ( 1 + i . n ) C3 = ________________ C3 = _________ C3 = ______

Após três meses, Beto deverá pagar ao seu amigo, R$ ___________.b) Como o banco emprestou R$ _______ à taxa de ___% ao mês, juro composto, por ____meses,

C0 = _____ n = _____ i = ______Ci = C0 . ( 1 + i )n C3 = _____________C3 = ____________ C3 = __________

Após três meses, Paula deverá pagar ao banco, R$ ___________

Comparando as duas modalidades, verificamos que a mais vantajosa para Beto é a de _______________________

1- Beto pediu um empréstimo de R$ 6.000,00 por três meses, sendo R$ 3.000,00

a um amigo e R$ 3.000,00 de um banco.

Complete a tabela para comparar os valores:

O capital inicial (principal) pode

crescer, devido aos juros, segundo duas

modalidades:

Juros simples - ao longo do tempo,

somente o principal rende juros.

Juros compostos -após cada período,

os juros são incorporados ao

principal e passam, por sua vez, a render juros.

Também conhecido como "juros sobre

juros".

Amigo Banco

Capital 3.000 3.000

dívida após 1 mês 3.000 + 300 = ______ 3.000 . ____________

dívida após 2 meses 3.300 + ___________ 3000 . ______________

dívida após 3 meses ____________________ ___________________

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a) O saldo negativo de Tânia é de _______ reais. b) A taxa de juros mensal é de _____ %.c) Para calcular o juro de um mês, consideramos 15% = ______d) O juro será: 600 x ______ = _______e) O valor acrescido de juro que Tânia deverá pagar é de:

600,00 + _______ = ________

1- A taxa de juros do cheque especial do Banco Baú está em 15% ao mês. Se Tânia ficar com um saldo negativo de R$ 600,00 durante um mês, quanto terá que pagar de juro?

Sabendo que a cobrança bancária é calculada com juros compostos, se Tânia deixar para quitar a dívida daqui a dois meses, ela pagará R$ ___________

Resolvendo:

2- Tiago quer comprar uma TV no valor de R$1.900,00 com o valorfinanciado em 2 anos. A loja cobra juros simples de 100% ao ano. Umamigo emprestaria esta quantia cobrando juro simples de 9% ao mês.

Qual das opções devo escolher?

Analisando a oferta da loja:

a) a taxa de juro simples da loja em um ano é _____%;

b) em 2 anos, a taxa de juros será ____% x 2 =___ %;

c) o juro da loja em reais será de:1900 x ____ % = 1900,00 x ___ =................

A TV sairá por R$ ________ pelo financiamento da loja.

Analisando a oferta do amigo:

a) a taxa de juro simples ao mês é de ____%.

b) em um ano, a taxa de juros será : ___ % x12 = _____ %.

c) a taxa de juro do amigo em 2 anos será de:___________.

d) O total a pagar ao seu amigo será:

1.900,00 x _______% = 1 900,00 x ____ = _________.

Se Tiago aceitar o empréstimo do amigo, pagará

R$___________ pela TV.Resposta:A melhor opção é a ___________

Não vou deixar essa dívida passar desse mês, se não pagarei juro sobre juro...

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a) O C1 é R$ _________

b) O capital é C0 = R$ _________

c) A taxa é n = x

Aplicando a fórmula, temos: C1 = C0 . ( 1 + n)1

1308 = 1.200 ( 1 + x )¹

_______ = ______ + _______

x = _________ = _____ =____= __ %39

É fácil! Podemos resolver

de 2 formas: uma delasé a proporção.

Ah! Já sei!A outra é usar

a fórmula:Ci = C (1 + i)n

Aplique R$ 1.200,00 e receba R$ 1.308,00

no final de 1 mês.

Esse é um ótimo Investimento!!!

guia

dica

s.co

m

Qual será ataxa de juro?

3- Júlio e Neli estão empolgados com uma propaganda sobre aplicação financeira.

guia

dica

s.co

m

guiadicas.com

Agora, através da fórmula:Calculando por proporção...

a- O capital aplicado é R$1.200,00 = 100%. Então, formamos a razão

b - Para saber quantos por cento representa R$1.308,00, usamos a razão

c - Para calcular, formamos a proporção: =

______ . x = 100 . _______ x = ______.

Se 100% corresponde a R$1200,00, então R$1308,00 corresponde a _____%,

Logo, ____ % - 100%= _____%. A taxa de juros aplicada é de ____% .

.100

1200

x1308

1001200

x1308

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No dia 2 de julho, Regina investiu R$ 3.000,00 na Caderneta de Poupança.Durante os meses de junho, julho e agosto, o rendimento médio pago foi de 0,8% aomês. Nesse período, não fez depósitos ou retiradas. Em 2 de setembro, que quantiaela possuía na Caderneta de Poupança?

Lembre-se: 0,8% = 0,008

a) Em 2 de julho, foram creditados os rendimentos de junho .

b) Em 2 de agosto, foram creditados os rendimentos de julho.

c) Em 2 de setembro, foram creditados os rendimentos de agosto.

Saldo em 2 de setembro= R$___________

A Caderneta de Poupança paga 0,5% ao mês mais a TR

(Taxa de Referência) que varia dia a dia. Por isso, os

jornais publicam, mensalmente, o rendimento

da Caderneta dePoupança no mês em curso. Os valores calculados são,

obrigatoriamente, arredondados em dois dígitos.

4- Regina quer investir R$ 3.000,00. Junto com os amigos, está escolhendo a melhor opção.

Você pode investir em ações, na Caderneta de Poupança... A Caderneta de Poupança é

mais segura e seu dinheiro cresce sempre, pois utiliza

juros compostos.

d) Em 2 de setembro, Patrícia tinha na Cadernetade Poupança R$ __________. Nesse período, elarecebeu R$ __________ de rendimentos nessaaplicação.

Que tal a Caderneta de Poupança?

Saldo em 2 de julho = R$ _________

Saldo em 2 de agosto = R$ ___________

Mês Os valores

Julho 3.000,00 . _____ = _______

Agosto ____________ = ________

Setembro ____________= _________

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5- Marcelo recebeu uma gratificação de R$ 2.000,00. Investiu esta quantia a uma taxa de juros compostos de 2,5% aomês. Na mesma data, seu colega Paulo solicitou um empréstimo da mesma quantia a uma financeira, com taxa dejuros compostos de 7% ao mês e prazo de vencimento em 90 dias.a) Qual o montante do investimento de Marcelo ao fim de 3 meses? __________

b) Qual a dívida de Paulo no vencimento do empréstimo? ___________

c) Quanto Paulo teria economizado se Marcelo lhe emprestasse o dinheiro nas mesmas condições do investimento?_____________

Extraído do livro Matemática Financeira para escola básicaCoordenação: Lílian Nasser, UFRJ – Projeto Fundão

Se eu pagasse ao Marcelo, economizaria...

pozo

sdec

alda

s.ol

x.co

m.b

r

6- Bruno comprou o tênis do anúncio. A taxa de juros real, expressa

em porcentagem, que Marcos pagou é de __________ .

lojaklin.com.br

À vista R$ 500,00ou

Entrada de 350,00 + 300,00 em 30 diasPensando...A diferença entre as duas parcelas é _____. Então, o juro é de R$ ________

Calculando mês a mês:

Mês Investimento Marcelo Empréstimo de Paulo

1.º mês

2.º mês

3.º mês

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CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

A nossa tarefa é medir quatro objetos circulares e, depois, montar uma

tabela.

Precisamos registrar, na tabela, as medidas do comprimento e do

diâmetro desses objetos.

Após, dividiremos o comprimento pelo

diâmetro.

No final,comparamos os resultados.

Veja o resultado encontrado pelo grupo:

pt.d

ream

stim

e.co

m

Nossa!!!Quando dividi o comprimento

da circunferência pelo diâmetro, encontrei em

todas as situações, aproximadamente,_____.

jrthomaz.blogspot.com

epsodistribuidora.com.b

artenaveia-celena.blogspot.com

cienciamao.usp.br

Objetos Comprimento (em cm) Diâmetro Resultado da

divisão

Valor aprox. 2ª casa decimal

Boca de um copo de geléia ______ cm ______ cm _________ _________

CD ______ cm ______ cm ________ _________

Boca de um balde ______ cm ______ cm _________ _________

Boca de uma lata de leite ______ cm ______ cm ________ _________

24,5 7,8

38,4 12,2

85,5 27,2

30,2 9,6

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Círculo é toda figura plana onde sua superfície é limitada por uma circunferência, a linha cujos pontos distam igualmente de seu centro.

Círculo

O O

raio

O

diâmetro

O

Circunferência

O

corda

A linha que contorna o círculo se chama _______________

O segmento que liga o centro do círculo a um ponto da circunferência é chamado de ____

O segmento que liga dois pontos de uma circunferência é conhecido como __________

A maior corda de uma circunferência passa pelo centro e sua medida é o dobro da medida

do raio. Seu nome é ________________

O resultado da divisão entre a medida da circunferência e o diâmetro é, aproximadamente,

______ .Este número é conhecido como______ .

Ah! Agora entendi, Edna!Vamos usar sua informação

para fazer novas descobertas.

Oi, Rita! O que encontramos foi o número , que é a razão entre a

circunferência e seu diâmetro. Terá sempre o mesmo valor, não

importando o tamanho do círculo.

Veja as anotações que fiz para o começo de

nosso estudo.

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Considerando como C o comprimento da circunferência e d o diâmetro, então: .

Temos, C = d .Considerando o raio como r e sabendo que a medida do diâmetro é o dobro da

medida do _________, podemos afirmar que o diâmetro = 2 . _____.

Logo, C = 2 . ____ . ______ ou C = 2 ______

Vamos descobrir a fórmula que calcula a medida da circunferência.

Se consideramos = 3,14, fica fácil!

Interessante!!! Com o , podemos calcular o comprimento de qualquer circunferência, se conhecermos o

raio.

44

O símbolo é uma letra do alfabetogrego que começou a ser usadapelos matemáticos a partir do séc.XVIII, para representar o valor exatoda razão:

comprimento da circunferência diâmetro dessa circunferência

Na Grécia Antiga, Arquimedes atribuía a um valor intermediário entre .

O papiro de Ahmes, escrito cerca de 1.500 anos a.C., nos mostra que os egípcios utilizavam 3,16 para .

Sabe-se que um matemático chinês, por volta de 480 d.C., chegou a um valor entre 3,145926 e 3,145927.

O árabe al-Kashi, por volta de 1430, escreveu com 16 casas decimais.Na Europa, de 1600 a 1700, o foicalculado com 30 casas decimais.

Atualmente, pode ser calculado com mais de 1.000.000 de casas decimais.

77103

713 e

1- Uma pista de atletismo circular possui 70 m de raio. Qual a medida, em metros, da circunferência dessa pista?

70m

a) Se o raio r mede ______ metros, então, o diâmetro que é o dobro do raio

( 2 . r ), mede _______ metros.

b) Se o comprimento da circunferência C = 2 . r . , e o valor de = 3,14 , então,

esse perímetro mede:

C = _____

C = ____________________________________

Logo, o comprimento da pista de atletismo mede _________ metros.

dC

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Tenho uma piscina circularde 50,24 m de perímetro. Qual

será o raio dessa piscina.Existe uma fórmula?

Usamos a mesma fórmula. Se o perímetro

é 50,24 m e = 3,14, basta substituir o valor na fórmula.

50,24mrO

2- Se o comprimento C = 50,24 m e C = 2πr então, ________________________

Se 6,28 r = 56,52 então r = ______ , logo r = _______

O raio da piscina tem aproximadamente ______ metros.

Minha mãe quer colocar pedrinhas em parte do contorno da

piscina, um arco de 60°.Como ela deve calcular?

Como a medida completa de uma circunferência em graus é 360°, e

conhecemos a medida completa da circunferência, podemos aplicar a

regra de três simples e direta. Veja!

3- A partir das medidas conhecidas, escreva:

a) O comprimento total da circunferência da piscina é ________ m, o comprimento do arco será _____ .

b) A medida total em graus da circunferência é _______ e o arco que quero calcular mede _______.

Assim, formamos a proporção:

{ 360°_________________2 r 2 . 3,14 . 8 = 50,2460°__________________ x

Temos:

_____ =______ (simplificando a 1ª razão) ____ = _____

36060

50,24x

50,24x

x =

Logo, a medida do arco é de, aproximadamente, ________________.

c) Deverão colocar pedrinhas em aproximadamente _________ do contorno da piscina.

60°

x

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Para construir as máquinas e diversos objetos são usadas as

relações existentes entre as medidas dos elementos da circunferência.

Como já vimos!

Vimos que o comprimento da circunferência é diretamente

proporcional ao seu diâmetro, e o quociente é a constante .

Vimos, também, que o comprimento de um arco é diretamente proporcional

à medida do ângulo central.

rCentãor

CSe 2,2

A razão, isto é, a divisão, entre o comprimento da circunferência (C) e o

seu diâmetro (d) é igual a ___, (aproximadamente ________).

____ = ______ 360

r2

Medida (em graus) Comprimento do arco

r

2º360

Se uma volta completa são 360°, e o comprimento da circunferência é 2 r, para determinar a

medida um arco correspondente ao ângulo α, temos:

A circunferência é uma das formas geométricas mais usada em objetos e

máquinas. Aliás, a roda é uma das mais importantes invenções humanas.

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O que faço para achar o comprimento de uma

circunferência de raio 8 cm?

Pensando...

π = _______ r = ______O comprimento da circunferência é ______cm.

O raio da roda da bicicleta mede _____ cm.

OA

r = ____, C =

ℓ = ℓ = ______ O arco da roda mede ______ cm.

Considerando π 3,14, basta substituir os valores na

fórmula: C = 2πr.

O aro da roda de uma bicicleta mede 65 cm.

Qual é a medida desse raio?Fácil! Vamos usar a mesma

fórmula C = 2πr.

Qual deve ser a medida do arco AB, se mede 6 cm?

3606068,37

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2- O diâmetro deste relógio é 36 cm. Os seus ponteiros formam um ângulo de 120°. Qual será a medida, em

centímetros, do arco A B ?

a) O diâmetro da circunferência desse relógio mede 15cm = ________

b) Se C = 2 π r , então, o comprimento será C = ________

c) Logo, o comprimento da circunferência do relógio é _______ cm.

d) Para calcular o arco, temos:

e) Então, o valor de x é _______

f) A medida do arco é _______

1- Este é um lago circular que tem 360m de diâmetro.a) Qual o perímetro desse lago?

A fórmula para encontrar o comprimento é

Se , 2 . r = _____ e π = 3,14

Então ________________________________

b) Uma pessoa percorreu 16.956 m em torno desse lago.

Como a circunferência possui ______m, quantas voltas precisou dar?

Então, ela deu ______voltas completas.

C= ______

A

B

1203601,47 x

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49

3- No centro de um mural retangular ABCD de lados 45 cm e 60 cm será colocada uma logomarca na forma de um

círculo para ilustrar a ideia reflorestamento, cujo diâmetro é igual a do comprimento da diagonal BD do mural.51

A B

CD

Para descobrir a medida do diâmetro do círculo, precisamos achar a __________ do retângulo.

Sendo assim, BD² = _________ BD² = _______ BD = _____

A medida do diâmetro do círculo é

Para contornar o círculo, será colocado um barbante. O grupo possui 50 cm de barbante.

Calculando a medida da circunferência do círculo:

A quantidade de barbante que o grupo possui é suficiente para contornar o círculo?

157551

4- Para cercar um terreno de forma circular, são necessários 75,36 m de tela. Considerando = 3,14, o diâmetro

aproximado desse terreno é de ___________ .

Coo

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ador

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4- Aos sábados, Pedro passeia com sua bicicleta.

O diâmetro da roda da minha bicicleta, contando com o pneu, é de 25 polegadas.

a) Sabendo que 1 polegada equivale a cerca de 2,54 cm, o diâmetro de cada roda da bicicletade Diogo tem ____ cm. Cada volta da roda dessa bicicleta tem, aproximadamente, ________

b) Pedro andou, no último sábado, 10 km com sua bicicleta. Neste dia, cada roda deu,aproximadamente, ________ voltas completas.

C= 2. . r

5- A linha do equador é uma linha circular em torno da Terra, que tem um comprimento aproximado de 40.000 km. Quantos km tem, aproximadamente, o raio da Terra?___________

6- Um marceneiro deverá transformar uma tábua quadrada, com 56 cm de lado, numa circular, aproveitando o máximopossível da tábua.

a) O diâmetro do círculo deve medir __________ cm.

b) Para dar um acabamento, ele contornará a tábua redonda com uma tira de alumínio.

c) Qual a medida aproximada que deverá ter essa tira? Deverá ter ______________ aproximadamente.

c) Para percorrer toda a pista onde Pedro treina, cada roda dá 1000 voltas. A distância dessa pista é, aproximadamente__________ m.

Coo

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CDeAB

A

B

D

C

P

A

B

D

C

P

Sabemos que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma ______________

Então, o ângulo APD do triângulo da esquerda tem a mesma medida do ângulo ________ do triângulo da direita.

O ângulo de vértice A determina o arco ___na circunferência. O ângulo de vértice C determina o arco __ na circunferência.

Podemos afirmar que a medida de A é _______a de C, porque ambos determinam o mesmo arco.

Veja como o terreno circular foi dividido!

Temos que determinar a medida de . PB

É verdade, Bruno.são duas _______, pois

ligam dois pontos distintos da circunferência.

Você reparou que elas se cortam no

ponto P? Este ponto não é o

centro da circunferência.

Deve haver alguma relação entre essas cordas. Vamos ligar A a D e C a B para ver

o que acontece.

Formamos dois triângulos, ADP e CBP.

Será que são semelhantes?

Não custa verificar.Observando P como vértice, vemos dois

ângulos opostos pelo vértice.

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Então, os lados correspondentes são

___________________Vamos montar a relação.

A

B

D

C

P

Sabemos que A , P e D são ângulos do triângulo APD. Então A + P + D = _____º.

Sabemos que C , P e B são ângulos do triângulo CPB. Então C + P + B = ____.

Logo, A + P + D = C + P + B

Descobrimos que P é igual nos dois triângulos e A = C.

Substituindo, C + P + D = C + P + B ___=

O lado PA do triângulo APD, corresponde ao lado _____do triângulo CPB.

O lado PD do triângulo APD, corresponde ao lado ____do triângulo CPB.

Multiplicando meios e extremos temos, PA . ___= PC ._____.

Aplicando no problema...

Se PA = , PC = e PD = , então: PA . PB = PC . PD ___. x = _________

O segmento PB mede_____.

PDPCPA

PDPCPA

PB

A

B

D

C

P

Quando duas cordas AB e CD se encontram

num ponto P, interior à circunferência, podemos

afirmar que: PA . ____= _____. PD.

2 5 10

Como os ângulos correspondentes dos dois triângulos têm a mesma

medida, os triângulos ADP e CBP são_____________

Eu sabia que encontraríamos

uma relação entre as cordas!

__

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1- Na circunferência da figura ao lado, as cordas e se cruzam no ponto P. sabendo que o

segmento mede 8,2 cm, o segmento mede 2 cm e o segmento mede 4 cm, determine a

medida do segmento . C

A

B

D

P

O 8,2

2

4

x

PA PDPB

AB CD

2- Duas cordas e , cortam-se no ponto P interno a uma circunferência. Qual a medida do segmento

sabendo que os segmentos = 6 cm, = x , = x + 2 e = 4?

AB CDPAPBPD PC PD

a) Pelas relações das cordas, temos:

b) Para a medida de , escolhemos x .

Temos medida de = ____cm, de = __ cm e de = __ cm

Então:___________________

Então, a medida do segmento é _______cm.

PDPCPBPA ..

PA PB PD

PC

PC

A

B

C

D

P

a) Pelas relações das cordas, temos:Temos:

Então:

Temos a equação:

Então, a medida do segmento é _____ cm e a medida do segmento PD é __________cm.

PDPCPBPA .. acbbx 42

2a

Lembrete

Para calcular ovalor de x, bastaaplicar a fórmula

PC

PC

2

10212

2414²22 xx

6212

428

x

3- Na figura, é perpendicular ao diâmetro do círculo de centro O, = 4 cm e = 9 cm. A medida da corda , em cm, é ________.

Temos: ____________ Logo, ______

EF AB AP BPEF

P

F

E

A B

PFPEPBPA ..

636362 xxx

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Então, o ângulo APD do triângulo da esquerda tem a mesma medida do ângulo _______ do triângulo da direita.

A secante está dividida em dois segmentos: ___________ .A secante está dividida em dois segmentos: ___________

.

54

são duas secantes, traçadas a partir de um ponto P exterior, cortando a circunferência em dois pontos cada uma.

PCePA

B

C

A

D P

O ângulo de vértice A determina o arco ___na circunferência. O ângulo de vértice C determina o arco___ na circunferência.

Podemos afirmar que a medida de A é _______ a de C, porque ambos determinam o mesmo arco.

Sabemos que A , P e D são ângulos do triângulo APD. Então A + P + D = _____º.

Sabemos que C , P e B são ângulos do triângulo CPB. Então C + P + B = _____º.

Logo, A + P + D = C + P + B

Como P é igual nos dois triângulos e A = C,

Substituindo: C + P + D = C + P + B __ = __

Agora, me empolguei!Veja esta figura.

Temos que determinar a medida de . PC

Vamos verificar a relação entre essas secantes.

Vamos ligar B a C e A a D para ver o que acontece.PA

PC

Formamos dois triângulos, ADP e CBP.

Será que são semelhantes?

Não custa verificar.Observando P como

vértice, vemos que este ângulo atende aos dois

triângulos.

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Então, os lados correspondentes sãoVamos montar a relação.

O lado PA do triângulo PAD, corresponde ao lado _____do triângulo PCB.

O lado PD do triângulo PAD, corresponde ao lado ____do triângulo PCB.

Multiplicando meios e extremos temos, PA . ____= PC ._____.

Aplicando no problema...

Se PA =____, PB = __e PD =__, então: PA . PB = PC . PD _____= (x + 3) . __ x + ___= ___

x = ______ x =_____

Como PC = ____+ 3, então, o segmento PC mede _____.

PDPCPA

B

C

A

D P

PDPCPA

Quando duas secantes PA e PC se

encontram no ponto P, exterior à

circunferência, podemos afirmar que:

PA . ___= ___. PD, onde B é o outro ponto

que PA corta a circunferência e D é o

outro ponto que PC corta a circunferência.

Como os ângulos correspondentes dos dois triângulos têm a mesma

medida, os triângulos ADP e CBP são _______________

Atenção!PA é a secante e PB é o segmento

externo à circunferência, contido em PA.

__

______________

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1- De um ponto P externo à circunferência, partem e , dois segmentos secantes. Se

corta a circunferência, também, no ponto B e corta a circunferência também no ponto

D, =12 cm, = 10cm e = 8 cm. Então a medida de = ____ cm. PB

PA PC

PD ABCD

PA PC

a) Pelas relações das secantes, temos:

b) Considerando a medida de AB como x,

temos medida de PA = x + 8, de PB = 8 cm, PC = 14 + 6 = ____ e de PD = 6 cm, então:

Logo:

x =_____ cm

c) A medida de é _____cm.

Ax 8

6

14C

D

x 8

6

14

x + 8

14 + 6

PA B

C

D

PD.PCPB.PA

AB

2- Observe a figura, O é o centro da circunferência e as medidas são expressas em cm. O valor de x é _____cm.

x + 1 2

3

4

x + 1 2

3

47

P

C

A

AB

B

C

D

D

PD.PCPB.PA

a) Se PA = e PC =

Então, temos a equação:

B

P

P

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Se temos: = ___ = ___ = ___

Podemos considerar = x e = 11 – x

Então: ________________________________________________________

Se = ___ , então = ___.

3- e são duas cordas concorrentes de uma mesma circunferência e E é o ponto de concorrência.

Determine os seus comprimentos em centímetros, sendo = 3x, = x + 1, = 4x - 1, = x .

AB CD

ED EA EBEC

A

B

C

D

E

Se : = 4x-1 = ___ = x = ___ = x+1 = ____ = _____Então, = _______ cm e =12 + 5 = ____ cm

EA EB EC EDAB CD

4- Duas cordas, e interceptam-se num ponto P interno a uma circunferência.

Determine a medida do segmento , sabendo que os segmentos , e a

corda medem, respectivamente, 3 cm, 6 cm e 11 cm.

EP

EF GH

FP

GH

PH

HP

11

PH

E

FGFP EP

GP

GP PH

5- Considerando a circunferência abaixo, determine o comprimento das cordas e .

10

x

M

N

A

B

AB MN

AB

MN

Uma das estratégias paracalcular o valor da partede um todo conhecido,

é chamá-la de x.E a outra parte chamar de:

o todo menos x.

GH

ECEDEBEA ..

Glossário: ponto de concorrência – ponto onde as cordas se cruzam.

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Veja este caso, é um segmento tangente, onde P é exterior e A um ponto da

circunferência. é secante, cortando a circunferência nos pontos C e B.

58

P

A

B

C

PA E a relação entre tangentee secante, está relacionadaà semelhança de triângulos?

PB

A

C

P

B

Comparando os dois triângulos...

Os dois triângulos possuem o ângulo P, comum aos dois.

O ângulo B do triângulo à esquerda tem a mesma medidado ângulo A do triângulo à direita.

Então, o ângulo A, da figura da direita, tem a mesma medida do ângulo ____da figura da esquerda.

Logo, os triângulos ABP e CAP, são ____________e seus lados correspondentes são ______________

Como consequência podemos registrar:PAPB

PCPA

__² = __ . __

Sendo assim, o lado PA do triângulo à esquerda, corresponde ao lado _____ do triângulo à direita, pois ambos os lados ficam em frente a ângulos de mesma medida.

O lado PB do triângulo à esquerda, corresponde ao lado ______ do triângulo da direita.

Ao ligar A a C e A a B encontramos dois

triângulos: ABP e CAP.

^

^^

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2- Na circunferência abaixo, = 12 cm e = 4 cm. Nessas condições, determine o comprimento r do raio da circunferência.

Pela relação entre a tangente e secante, temos:

BC = ____ PB = _________

Então:

Logo, a medida do raio dessa circunferência é ______ cm.

PA PC

___² = ___ . ___

A

BC

P

r r

1- Numa circunferência podemos ver uma secante PC e uma tangente Sabendo que mede 4 cm e que BC mede 5 cm, determine a medida de AP.

P

C

B

A

4

5

x

3- No centro de um lago circular, será fincado um mastro e uma ponte será construída, ligando sua margem ao mastro.Na figura a seguir, vemos a representação do lago e as medidas conhecidas, em metros.Determine o comprimento da ponte.

Da entrada do parque ao ancoradouro, há _____m. PA = ____

Da entrada do parque à margem do lago, há ____ m. PB = ______

Considerando o comprimento da ponte como x, PC = _______

O comprimento da ponte será de _________ m.

PAPB

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Uma empresa produz lajotas em formas triangulares, quadrangulares e hexagonais.

Precisamos rever os conhecimentosde Geometria sobre polígonos

regulares inscritos numa circunferência.

Esses são modelos de lajotas semelhantes às que devemos fabricar.

Nossa matéria-prima são círculos com 12 cm

de diâmetro.

Precisamos determinar algumas medidas para fabricá-las.

As figuras das lajotas são polígonos regulares que estão inscritos nestas

circunferências.

Polígonos regulares são polígonos cujos lados têm a mesma

___________________________Então, esses polígonos, que formam

as lajotas, terão que ser: um hexágono regular, um quadrado e um

triângulo ____________

clip

art

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Marcamos o centro e um pontoP nessa circunferência.

P

Com a medida do raio, marcar 6 arcos consecutivos.

P

Traçar outro diâmetroperpendicular.

Unindo as cordas, temos o_____________________.

P

Marque um ponto P na Circunferência. P

Marcar 6 arcos consecutivos. Unindo esses arcos, o que temos é o _________________Inscrito.

Alternando esses arcos, traçoas cordas formando um_________________inscrito.

P

P

Marcar um diâmetro.PP P

P

Vamos construir uma tabela para comparar essas peças: polígonos inscritos numa

circunferência de mesmo raio.

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l4

Calculando a medida do lado do quadrado l4.

2²2 4422

4 rlrlrrl

Sabemos que o diâmetro da circunferência que circunscreve o quadrado deve medir ______ cm.

Como a medida do diâmetro é o _____ da medida do raio, podemos afirmar que o raio mede______ cm.

No caso do parafuso de cabeça quadrada: l4 = 6 cm.2

a4

O apótema do quadrado a4 mede a metade de seu____, isto é,

Como

No caso da lajota quadrada: mm.

.24

4l

a

222 44

rarl

232

264 a

Veja que legal! Um lado do quadrado l4 com os dois raios perpendiculares, formam um

triângulo

P

rr

l4

Quadrado inscrito numacircunferência

Lado do quadrado l4

Apótema do quadrado a4

24 rl

22

4ra

Precisamos determinar a medida dos lados de cada tipo

de lajota.Vamos começar pelo quadrado.

E se quisermos calcular o apótema do quadrado a4?

Apótema? Apótema é o segmento que liga o centro da circunferência

ao ponto médio do lado do polígono. Vejam!

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E F

G H

O

3- Observe o quadrado de lado 14 cm e responda:

a) A medida do diâmetro da circunferência na qual o quadrado ABCD está inscrito mede _______ cm.

b) A medida do apótema do quadrado é ____ cm.

c) Que relação existe entre a diagonal do quadrado e o diâmetro da circunferência onde ele está inscrito?

2- O apótema de um quadrado mede cm. Determine a medida do seu lado. 25

1- Calcular as medidas do lado e do apótema de um quadrado inscrito numa circunferência

de raio 10 cm.

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g) OD é um ________ da circunferência, OH + HD = _________

h) Como OH = HD, podemos afirmar que a medida de OH é a metade da medida de OD, ou o apótema do triângulo a3,

é a metade do ______da circunferência .

i) Ligamos O a C.

j) OC é um _______ da circunferência onde o triângulo está inscrito.

k) O triângulo OHC é __________, pois OH forma um ângulo de 90º com HC.

l) Temos: OC² = OH² + HC²

Vamos analisar as relações no triângulo

equilátero?

a) Traçamos a altura AH no triângulo ABC.

b) Como ABC é um triângulo equilátero, AH divide o lado BC ao ______

c) A medida de HC é a ________da medida do lado do triângulo .

d) OH é o _________do triângulo, pois é o segmento que liga o centro da circunferência ao meio do lado do triângulo.

.

A

B H C

O

23l

A

B H C

O

e)Prolongamos o lado BC para os dois lados.f)Por essa linha traçada, dobramos a figura.

A

B H C

O

D

B H C

23r

a

33422

² 322

323

222

32

rlrllrrlr

r

pixmac.com.br

E quanto à lajota triangular?

Olhem a experiência que fiz!

Observem! DH coincide com OH.Isto quer dizer que a medida de

DH é _________a de OH.

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a) Se o apótema é a metade do raio, e o raio mede ____cm, a medida do apótema será ___cm.

b) Se o lado é dado pela relação ____ , e o raio mede __cm, o lado mede ______ cm.

c) A altura do triângulo equilátero é a soma do raio ___cm com o apótema ____ cm , por isso Sua medida é ___ cm.

1- Um triângulo equilátero está inscrito numa circunferência de raio cm. Determinar a medida do lado e do apótema desse triângulo.

a) O raio da circunferência que circunscreve o triângulo mede _____ cm e para calcular o

lado usamos ______ , aplicando a fórmula, temos: _________________________

Então, o raio mede _____cm.

b) O apótema do triângulo é dado por , . Então, .

Logo, o apótema mede _______ cm.

2- Um triângulo equilátero inscrito numa circunferência possui perímetro igual a 18 cm.

Seu apótema mede cm.

65

A

B H C

O

36

3

23r

a 332

363 a

3

Vamos calcular analisando as situações.

Então, qual deve ser a medida do lado, da altura e do apótema do triângulo que

forma a lajota triangular?

Esse triângulo é equilátero, inscrito numa circunferência de _______ cm de diâmetro.

Triângulo inscrito numacircunferência

Lado do triângulo l3

Apótema do triângulo a3

33 rl

23r

a

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O triângulo AOB é isósceles, pois os lados OA e OB têm medidas

_______

66

E a lajota de forma hexagonal?

Falta calcular o lado e o apótema do hexágono

inscrito na circunferência com 12 cm de diâmetro.

A B

C

DE

F O

rF

A

C

B

O

E D

O segmento que liga o centro da circunferência ao vértice do polígono inscrito, é chamado de raio do

polígono regular. Sendo assim, são raios do hexágono: OA,___,___,___, ___e _____

Os raios OB e OC formam um ângulo chamado de ângulo central.

BA

C

DE

F O

BA

C

DE

F OAo traçar todos os raios, encontramos _____ângulos centrais.

Como o hexágono é regular, podemos afirmar que os 6 ângulos têm medidas _______

Uma volta completa corresponde a ____. Logo, cada ângulo central de um hexágono mede

Vamos observar o hexágono inscrito numa

circunferência.

Tracei todos os raios do hexágono. Veja

o que descobri...

.6

º360

Então os ângulos A e B têm a mesma _______

Como Ô é central, Ô mede º.Sabemos que A + B + O = _____º. Então, as medidas dos ângulos A e B são iguais a ___º. Este triângulo

é ____________

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A B

C

DE

F O

A B

C

DE

F OConsiderando o lado do hexágono

como l6, temos: .6 rl 6l

r r

23344²²4

42

622

626

26

222

6

22

raraarr

ar

rar

r

Hexágono inscrito numa circunferência

Lado do hexágono : l6

Apótema do hexágono: a6

rl 6

23

6r

a

O raio da circunferência onde o hexágono está inscrito mede ___mm.

O lado do hexágono cm

O apótema do hexágono cm

66 l

332

3666 aa

Entendi! Se o triângulo é equilátero, o lado do hexágono é

igual ao _______

Falta só descobrir o apótema do hexágono a6.

O apótema é a altura desse triângulo

equilátero....

É só usar o teorema de Pitágoras para

achar a6.

Agora, vamos calcular o lado e o apótema da lajota.

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1- Determinar a medida do lado e do apótema de um hexágono regular inscrito numacircunferência de raio 16 cm.

A medida do lado e do raio do hexágono são iguais.

.

O raio do hexágono mede 16 cm e para calcular o apótema temos , substituindo o valor de r,

temos: ,

Então, o apótema desse hexágono é cm.

23

6r

a

2316

6 a

38

2- Determinar o perímetro do hexágono cujo lado mede 16 cm.

b

h

3- Calcular a área do hexágono regular de 16 cm de lado, cujo apótema, já calculado, mede cm.

Análise da situação

a) O hexágono regular que pode ser repartido em seis triângulos equiláteros de mesma área.

b) Para calcular a área do triangulo usamos a fórmula .

c) A medida do lado desse triângulo é _____cm, então a base b desse triângulo é b =_____.

d) A altura (h) do triângulo é apótema do hexágono, então h = .

e) S e , temos = . A área de cada triângulo equilátero que compõe o hexágono mede cm² .

f) Como o hexágono é composto de 6 desses triângulos, cm².

g) A área do hexágono é de cm².

2hb

38

238.16 364

2hb

3384

3384364 . 6

38

364

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Complete a tabela com as fórmulas que descobrimos.

Polígono inscrito lado apótema

triângulo

quadrado

hexágono

1- Um triângulo equilátero, inscrito numa circunferência, tem 18cm de lado. Calcule:

a) o raio da circunferência. b) o seu apótema.

2- O apótema de um quadrado inscrito numa circunferência mede 10 cm. Calcule:

a) o raio da circunferência. b) o lado do quadrado.

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3) Se o lado de um quadrado, inscrito numa circunferência, mede 18 m, determine:

a) o lado do triângulo inscrito nessa circunferência. b) o lado do hexágono, inscrito nessa circunferência.

2

4) O apótema de um triângulo equilátero mede 10 dm, determine:

a) o lado do triângulo inscrito nessa circunferência. b) o lado do hexágono, inscrito nessa circunferência.

5) O apótema de um hexágono regular, inscrito numa circunferência, mede 4 m, determine:

a) O apótema do triângulo inscrito nessa circunferência. b) o perímetro do quadrado inscrito nessa circunferência.

3

6) Calcule a distância entre dois lados paralelos de um hexágono regular, inscrito numa circunferência, sabendo que

essa circunferência circunscreve um triângulo equilátero, cujo lado mede 12 mm.

Distância entre dois lados paralelos

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Em um estado, foram escolhidas quatro regiões para serem reflorestadas. Veja o gráfico e a tabela abaixo.

Região Superfície total

A 180 m²

B 90 m²

C 80 m²

D 60 m²

Comparando a superfície total da região com o percentual reflorestado, podemos afirmar que:

a) foram reflorestados ________ m² da região A.

b) foram reflorestados ________ m² da região B.

c) foram reflorestados ________ m² da região C.

d) foram reflorestados ________ m² da região D.

e) em relação à superfície total, a região que foi mais reflorestada foi a ________.

f) apesar das superfícies totais e do percentual da área reflorestada serem diferentes, as regiões que tiveram a

mesma medida de área reflorestada foram _________.

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