masuero_introducaoamecanicaestrutural

8/12/2019 Masuero_IntroducaoAMecanicaEstrutural

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SUMRIO

PREFCIO - COMENTRIO DOS AUTORES.......................................11

CAPTULO 1 - EQUILBRIO ...................................................................151. FORAS, RESULTANTES E DECOMPOSIO DE FORAS....152. FORAS ESTATICAMENTE EQUIVALENTES

MOMENTO DE UMA FORA ........................................................173. CARGAS EM UMA ESTRUTURA..................................................19

3.1. Cargas Concentradas..........................................................193.2. Cargas Distribudas .............................................................193.3. Momentos ou Binrios .........................................................22

4. MOVIMENTOS DE CORPO RGIDO

E EQUAES DE EQUILBRIO ....................................................235. VNCULOS......................................................................................256. ESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA .......................................29

6.1. Estrutura hiposttica ou mecanismo....................................296.2. Estrutura isosttica ou estticamente determinada.............296.3. Estrutura hiperesttica ou estaticamente indeterminada ....30

7. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.....................................................34EXEMPLO 1 - Foras no brao de uma empilhadeira .....................37EXEMPLO 2 - Foras no brao de uma retroescavadeira ...............39EXEMPLO 3 - Equilbrio de foras em relao ao momento .............41EXEMPLO 4 - Equilbrio de foras em cabo e roldana .....................41EXEMPLO 5 - Equilbrio de foras no espao em um sarrilho ..........42EXEMPLO 6 - Reaoes de vigas no plano .....................................44

EXEMPLO 7 - Equilbrio no espao em uma tampa circular e cabo...45EXEMPLO 8 - Dispositivo para amplificao de foras ....................46EXEMPLO 9 - Prtico plano com cargas e barras inclinadas............. 48EXEMPLO 10 - Prtico plano com vnculos inclinados ....................50

CAPTULO 2 - SOLICITAES .............................................................531. ESFOROS OU SOLICITAES .................................................53

1.1. Esforo normal - N ...............................................................561.2. Esforo cortante ou de cisalhamento - Vx ou Vy.................561.3. Momento toror - Mt ou T ...................................................571.4. Momento fletor - My ou Mz ..................................................57

2. DIAGRAMAS DE SOLICITAES ................................................582.1. Mtodo das equaes..........................................................58

2.2. Relaes entre q, V e M ......................................................602.3. Mtodo das reas ................................................................622.4. Mtodo da anlise da carga.................................................632.5. Aplicao do mtodo da anlise da carga...........................65

3. SISTEMAS ESTRUTURAIS ...........................................................693.1. Viga ......................................................................................693.2. Prtico plano ........................................................................69


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6 Sumrio

3.3. Grelha ..................................................................................703.4. Trelia plana.........................................................................703.5. Trelia espacial ....................................................................703.6. Prtico espacial....................................................................70

4. SOLICITAES EM TRELIAS PLANAS.....................................715. SOLICITAES EM PRTICOS ESPACIAIS............................... 74

EXEMPLO 1 - Solicitaes em uma seo - estrutura plana ...........76EXEMPLO 2 - Solicitaes em uma seo - carga distribuda ..........77EXEMPLO 3 - Solicitaes em uma seo - estrutura espacial ........78EXEMPLO 4 - Solicitaes em uma trelia plana ...........................80EXEMPLO 5 - Diagramas de solicitaes em um prtico espacial ....82EXEMPLO 6 - Diagramas de solicitaes - rtula interna c/ carga ....86EXEMPLO 7 - Diagramas de solicitaes em barras curvas.............90EXEMPLO 8 - Diagramas de solicitaes em arco parablico ..........95EXEMPLO 9 - Integrao de carga para obteno de solicitaes....97

CAPTULO 3 - PROPRIEDADES GEOMTRICAS DAS SEES.......991. INTRODUO................................................................................992. REA ............................................................................................1003. MOMENTO ESTTICO AXIAL OU DE PRIMEIRA ORDEM .......1004. CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO...........................1015. PRODUTO DE INRCIA ..............................................................1056. MOMENTO DE INRCIA AXIAL E

MOMENTO DE INRCIA POLAR ................................................106

6.1. Raio de Girao.................................................................1076.2. Teorema dos eixos paralelos ou teorema de Steiner........1077. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INRCIA......................108

EXEMPLO 1..............................................................................110

CAPTULO 4 - TENSES E DEFORMAES ....................................1131. RESISTNCIA DOS MATERIAIS.................................................1132. TENSES.....................................................................................1133. TENSO NORMAL.......................................................................1164. TENSO TANGENCIAL...............................................................1165. DEFORMAES..........................................................................1196. DEFORMAO SOB TENSO NORMAL...................................1207. DEFORMAO DEVIDO A TENSES DE CORTE....................121

8. PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS .....................1228.1. Ensaio de trao e compresso simples...........................1228.2. Diagrama tenso deformao para materiais dcteis.......124

Comportamento elstico:.....................................................124Escoamento.........................................................................125Encruamento........................................................................125Estrico ..............................................................................125


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Mecnica Estrutural 7

Tenso de Ruptura ..............................................................125Deformao permanente.....................................................126Comportamento em descarga .............................................126

8.3. Diagrama tenso deformao para materiais frgeis........1268.4. Ensaio de Cisalhamento....................................................127

9. RELAES TENSO DEFORMAO .......................................127Lei de Hooke generalizada .......................................................127Estado Plano de Tenses.........................................................128Estado Plano de Deformaes .................................................129

10. TENSES NO ENTORNO DE UM PONTO...............................13011. CRCULO DE MOHR..................................................................13212. TEORIAS DE RESISTNCIA.....................................................138

12.1. Teoria de Rankine............................................................13912.2. Teoria de Guest ...............................................................14012.3. Teoria de Saint Venant ....................................................14112.4. Teoria de Coulomb ..........................................................14212.5. Teoria de von Mises.........................................................142EXEMPLO 1 - Anlise triaxial de tenses por Crculo de Mohr.......145EXEMPLO 2 - Anlise de tenses com efeito de temperatura ........146EXEMPLO 3 - Efeito de temperatura e confinamento biaxial ..........147EXEMPLO 4 - Anlise de tenses bidimensional por autovalores ...150EXEMPLO 5 - Anlise de tenses tridimensional por autovalores...153

CAPTULO 5 - TENSES E DEFORMAES DEVIDAS

AO ESFORO NORMAL ............................................1571. PRINCPIO DE SAINT - VENANT................................................1572. DEFORMAES DEVIDAS AO ESFORO NORMAL...............1583. CONCENTRAO DE TENSES...............................................1594. CRCULO DE MOHR PARA TENSES DEVIDAS

AO ESFORO NORMAL ............................................................1615. PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS..............163

EXEMPLO 1 - Tenses e deformaes em caso simples...............165EXEMPLO 2 - Esforo normal seccionalmente constante ..............166EXEMPLO 3 - Concentrao de tenses por reduo de seo .....167EXEMPLO 4 - Pea de seo continuamente varivel ...................168EXEMPLO 5 - Indeterminao esttica - cabos com folga .............169EXEMPLO 6 - Indeterminao esttica - cabos e barras rgidas .....170

EXEMPLO 7 - Indeterminao esttica - cabos, roldanas e barras .172EXEMPLO 8 - Arrancamento e centro de giro instantneo ............175EXEMPLO 9 - Caso elastoplstico - tenses residuais ..................177

CAPTULO 6 - TENSES E DEFORMAESDEVIDAS AO CORTE .................................................181

1. TENSES DE CORTE.................................................................181


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8 Sumrio

2. CORTE SIMPLES E DUPLO........................................................183Corte simples ............................................................................183Corte duplo................................................................................183

3. ESTADO DE TENSES NO CISALHAMENTO...........................1844. PROCEDIMENTO DE ANLISE ..................................................185EXEMPLO 1 - Pea em corte duplo.....................................................186EXEMPLO 2 - Puncionamento por cisalhamento ..................................186EXEMPLO 3 - Cisalhamentos em eixos de polias .................................187EXEMPLO 4 - Cordes de solda .........................................................188

CAPTULO 7 - TENSES E DEFORMAES DE FLEXO ..............1911. TENSES E DEFORMAES DE FLEXO...............................1912. SEES COM DOIS EIXOS DE SIMETRIA ...............................1943. SEES COM UM EIXO DE SIMETRIA .....................................1954. SEES SEM EIXO DE SIMETRIA ............................................1965. ESTADO DE TENSES NA FLEXO - CRCULO DE MOHR....1966. FLEXO ELASTOPLSTICA - RTULAS PLSTICAS..............1987. CONCENTRAO DE TENSES NA FLEXO .........................1998. FLEXO DE VIGAS DE MATERIAIS DIFERENTES...................2019. CISALHAMENTO NA FLEXO ....................................................20310. PROCEDIMENTO DE ANLISE................................................206

EXEMPLO 1 - Flexo simples em seo com 2 eixos de simetria ...207EXEMPLO 2 - Flexo simples em seo com 1 eixo de simetria.....208EXEMPLO 3 - Concentrao de tenses por reduo de tenses..209

EXEMPLO 4 - Enrigecedores......................................................210EXEMPLO 5 - Flexo em seo assimtrica e material frgil .........211EXEMPLO 6 - Flexo em sees circular cheia e coroa circular.....213EXEMPLO 7 - Tenses tangenciais em seo retangular..............214EXEMPLO 8 - Tenses tangenciais em seo "I" assimtrica .......216EXEMPLO 9 - Flexo de seo composta por 2 materiais .............218EXEMPLO 10 - Flexo de seo composta por 2 materiais ...........220EXEMPLO 11 - Flexo elastoplstica ..........................................221

CAPTULO 8 - TENSES E DEFORMAES DE TORO .............2251. TENSES E DEFORMAES DE TORO .............................2252. RVORES DE TRANSMISSO...................................................2283. ESTADO DE TENSES NA TORO - CRCULO DE MOHR ..229

4. TORO EM SEES FECHADAS DE PAREDE FINA............2305. TORO EM SEES DE OUTRAS FORMAS .........................2325.1. Seo Elptica ....................................................................2325.2. Seo Retangular ..............................................................2335.3. Seo Retangular Alongada..............................................2335.4. Seo Composta por Retngulos Alongados....................2336. TORO ELASTOPLSTICA - SEO CIRCULAR...........234


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7. TORO DE EIXOS DE SEO CIRCULAR COMPOSTA DEMATERIAIS DIFERENTES .........................................................235

8. CONCENTRAO DE TENSES EM TORO........................237EXEMPLO 1 - Distribuio das tenses em seo circular.............238EXEMPLO 2 - Problema estaticamente indeterminado em toro...239EXEMPLO 3 - Toro em eixo cnico ..........................................241EXEMPLO 4 - Toro em seo circular oca ................................241EXEMPLO 5 - Concentrao de tenses em toro ......................243EXEMPLO 6 - Toro de seo tubular de parede fina ..................244EXEMPLO 7 - Toro elastoplstica - tenses residuais................245EXEMPLO 8 - Toro em flange aparafusada ..............................247EXEMPLO 9 - Seo aberta x fechada em toro .........................249

CAPTULO 9 - SOLICITAES COMPOSTAS...................................2531. TENSES DEVIDAS COMPOSIO DE SOLICITAES.....253

1.1. Esforo Normal e Momento Fletor.....................................2541.2. Flexo Oblqua ou Flexo Composta ................................2541.3. Esforo Normal e Flexo Composta..................................2551.4. Compresso ou Trao Excntrica ...................................2561.5. Esforo Cortante e Momento Toror .................................2571.6. Esforo Normal, Esforo Cortante, Momento Fletor e

Momento Toror ................................................................2582. ROTEIRO DE DIMENSIONAMENTO OU VERIFICAO ..........2583. MOLAS HELICOIDAIS .................................................................259

EXEMPLO 1 - Dimensionamento de mola helicoidal........................255EXEMPLO 2 - Rigidez de mola helicoidal ........................................ 263EXEMPLO 3 - Dimensionamento de mola helicoidal......................264EXEMPLO 4 - Eixo submetido a flexo e toro ...........................266EXEMPLO 5 - Compresso excntrica - pilar de seo circular......268EXEMPLO 6 - Compresso excntrica - pilar de seo retangular..270EXEMPLO 7 - Rebite em trao e cisalhamento ...........................272EXEMPLO 8 - Grelha sob solicitaes compostas .......................273EXEMPLO 9 - Flexo oblqua em perfil "I" ....................................276EXEMPLO 10 - Flexo oblqua em pilar de seo "L"...................... 277EXEMPLO 11 - Clculo de um pilar de edifcio em ao e concreto 282

BIBLIOGRAFIA .....................................................................................287

ANEXO 1 - PROPRIEDADES GEOMTRICAS DE PERFISLAMINADOS .......................................................................289

ANEXO 2 - PROPRIEDADES MECNICAS DOS MATERIAIS ..........295


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Prefcio

Comentrio dos autores

Nossa capacidade de analisar estruturas tem aumentado enormemente

nos ltimos 20 anos deviso ao desenvolvimento de mtiodos numricos ea acessibilidade de microcomputadores. Existem programas ou mtodoscomputacionais (elementos finitos, diferenas finitas, elementos decontorno) que permitem a anlise de quase qualquer tipo de problemaestrutural, permitindo o tratamento de diversos componentes estruturaisconectados entre si como um todo nico. Contudo, a complexidade daanlise de dados numricos pelo projetista frente a comportamentosesperados tanto maior quanto mais integrada for a anlise, quantos maiscomponentes tiver a estrutura e quanto mais complexa ela for. Nestecontexto, a capacidade de desmembrar uma estrutura complexa em partescomponentes simples e de fcil verificao terica torna-se imprescindvelpara a construo de um modelo de clculo aproximado que permitacalibrar o modelo numrico de comportamento global.

Este livro estuda os tpicos tradicionais da Resistncia dos Materiais,como tenses, esforos e deformaes em barras, vigas e eixos,constitudos de materiais elsticos lineares. O objetivo ensinar aosestudantes os princpios bsicos de anlise de tenses, deformaes eesforos, constituindo-se em um primeiro contato dos estudantes deengenharia com problemas reais em estruturas. A teoria da MecnicaEstrutural muito simples e se resume a aplicao de equaes deequilbrio e da Lei de Hooke, mas ao mesmo tempo suficiente paraconstruir modelos matemticos simples que, aplicados sobre peas oucomponentes esrutruturais, permitem muitas vezes uma aproximaobastante boa do seu comportamento real.

Embora estudando os mesmos problemas da maioria dos livros similares,

tomou-se bastante cuidado com relao a dois aspectos importantes: Antes de analisar uma estrutura, quer analiticamente, quer atravs dos

poderosos recursos numricos e computacionais atualmentedisponveis, devemos model-la. Este passo inicial (a passagem daestrutura real ao seu modelo matemtico) pode introduzir errosimportantes que no sero sanados pela anlise ulterior, por exata queela seja. Este livro coloca bastante nfase neste tema cada vez mais


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12 Prefcio - Comentrio dos autoresimportante, pois a disponibilidade de mtodos computacionais aumentaa complexidade do processo de modelamento.

Com o crescente emprego de novos marteriais em estruturas, osaspectos de comportamento estrutural que se afastam docomportamento idealizado esto se tornando cada vez maisimportantes. A resistncia real de uma estrutura depende, na maioriados casos, de vrios fatores como ductibilidade, resistncia, rigidez eresistncia fadiga. Sem entrar na anlise detalhada destesproblemas, este livro tenta indicar claramente os limites de validade dashipteses empregadas e ainda introduz alguns efeitos importantescomo deformao plstica e concentrao de tenses. So tambm

considerados problemas simples de tenses trmicas, de estruturasestaticamente indeterminadas e de estruturas compostas de diferentesmateriais, como uma preparao para a anlise de estruturas emmateriais compsitos e concreto armado.

Tradicionalmente os contedos deste curso de Mecnica Estrutural sodivididos em Esttica, Isosttica e Resistncia dos Materiais. A uniodestes cursos em um nico texto bsico permitiu que os contedos fossemestudados de forma mais uniforme e sistemtica, dando nfase nosprocedimentos e metodologias que seriam posteriormente maisempregados e realando a abrangncia de cada conceito apresentado.

Desta forma, toda a parte de determinao de esforos em estruturas(Esttica e Isosttica) abordada a partir dos conceitos bsicos de efeitos

cinemticos das foras e equilbrio. Os problemas de resistncia dosmateriais so sempre resolvidos a partir de consideraes de deformao,equilbrio e equaes constitutivas. Em particular, estruturas simplesestaticamente indeterminadas so abordadas para mostrar como a chavede sua soluo est em acrescentar consideraes sobre sua deformaos equaes de equilbrio.

Uma nfase especial foi dada a apresentao de problemas no lineares,especificamente com materiais elastoplsticos perfeitos, to logo osconceitos gerais sobre determinao de tenses e deformaes fossemestudados, de modo a salientar que a mudana de uma anlise elsticapara uma elastoplstica se d apenas nas equaes constitutivas,mantendo as demais inalteradas.

Sem entrar nas particularidades do projeto de estruturas de concretoarmado, procurou-se mostrar como as equaers usuais de felxo-compresso e flexo-trao podem ser espandidas para sees compostasde materiais diferentes, em especial barras inclusas em uma matriz deoutro material, preparando o estudante para a compreenso docomportamento do concreto.


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Mecnica Estrutural 13Este livro conta apenas com exerccios ou exemplos resolvidos. Mais doque uma mera aplicao dos conceitos abordados no desenvolvimentoterico inicial de cada captulo, os exemplos foram cuidadosamenteescolhidos de modo a a apresentar uma particularidade, metodologia oupropriedade nova, implcita no desenvolvimento terico mas noexplicitada. Desta forma, uma parte considervel do contedo tericoest abordado atravs dos exemplos, de modo que os mesmosdevem ser considerados como uma extenso obrigatria do contedoterico de cada captulo .

Este livro fruto de uma experincia considervel em sala de aula. Estaexperincia foi fundamental para a coleta de situaes nas quais mais

comumente so feitos raciocnios incorretos por parte dos alunos degraduao em engenharia, ou o fenmeno fsico por trs das equaes mal entendido. Um cuidado especial foi tomado na redao dos captulos edos exemplos para que estes pontos crticos no aprendizado fossemparticularmente detalhados, justificando a correta interpretao dosfenmenos e equaes.

A gnese deste livro se deu a partir de um curso de anlise estruturalbsica voltada para profissionais de nvel mdio. Neste texto inicial, ondepossvel, tentou-se evitar a complexidade matemtica, no utilizando-seclculo diferencial e integral para definir equaes e propriedades. Estaproposta foi mantida no grande processo de ampliao e enriquecimentodo texto inicial para adequ-lo ao uso por estudantes de engenharia, de

modo que, em alguns tpicos, os conceitos so mostrados e definidostanto utilizando-se diferenciao e integrao como de outras formas.


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Captulo1

EquilbrioNeste captulo ser feita uma reviso dos conceitos bsicos de mecnica,em especial o efeito da aplicao de foras sobre o deslocamento docorpo. As condies de equilbrio sero estabelecidas para situaesplanas e espaciais. O efeito da restrio ou impedimento ao deslocamentoser abordado nas situaes de vinculao interna e externa. Os tipos devinculao e de carregamento mais usuais em estruturas sero mostrados.Ser definido grau de hiperestaticidade de uma estrutura.Ao final do captulo, o estudante ser capaz de definir se uma estruturapode ou no ser calculada a partir das equaes de equilbrio, bem comocalcular o valor das reaes vinculares no vnculos externos, bem comonos elementos de conexo entre partes da estrutura.

1. FORAS, RESULTANTES E DECOMPOSIO DE FORAS

Foras so grandezas vetoriais caracterizadas por mdulo (intensidade),direo (reta suporte sobre a qual a fora atua) e sentido. Sendo vetores,

devem ser somadas (ou subtradas)vetorialmente.

Considerando um ponto material Psubmetido a um sistema de foras F1,F2 e F3, pode-se mostrar que a situaoa) equivalente situao b), na qualas foras so substitudas por outra,resultado da soma vetorial de F1, F2 e

F3, chamada de Resultante(R).

A soma vetorial pode ser feita graficamente colocando-se aextremidade inicial de um vetor na extremidade final do anterior, eassim por diante. A resultante o vetor unindo a extremidade inicial doprimeiro vetor e a extremidade final do ltimo.

P

F1F2

F3

a)

F1

F2

F3

R

RP

b)


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16 Captulo 1 - EquilbrioPercebe-se que possvel fazer o processo inverso, ou seja, dada umafora F, consider-la como resultante de outras foras, aplicadas nomesmo ponto em outras direes e sentidos.

Dos exemplos abaixo, constata-se que :

P

F

P

F

F1

F2P

F1

F2

PF

PF

F1

F2 P

F1

F2

A resultante de um par de foras pode ser obtida pela diagonal doparalelogramo que tem por lados as foras a serem somadas.Analogamente, as componentes de uma fora em duas direesquaisquer correspondem aos lados do paralelogramo paralelos a estasdirees, cuja diagonal a fora a ser decomposta.

Do ponto de vista analtico, bastante conveniente tratarmos as forasatravs de suas componentes nas direes dos eixos ortogonais de umsistema cartesiano, geralmente denominados x, y e z. A soma das foras dada pela soma das respectivas componentes em cada uma das dire-es x, y e z.

PF1

P

F1F1y

F1x

=

P

F2y

F2x

+

F2

=

P

F2y

F2x

F1y

F1x

F2

R

Numericamente:

( ) ( )

( ) ( )

F F F F R F F F F

F F F FR

F F

R

F F

x x x x y y

y yx x y y

1 1 1 2 2 2 1 22

1 22

1 1 1 2 2 21

1 2

1

1 2

= = = + + +

= = =+

=+

cos cos

sen sen cos sen


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Mecnica Estrutural 172. FORAS ESTATICAMENTE EQUIVALENTES

MOMENTO DE UMA FORA

Considere-se a situao abaixo, na qual uma placa que pode girar emtorno do eixo "e"est submetida a uma fora F.

Inicialmente, a fora F est aplicada de talmodo que tem como reta suporte a reta unin-do P ao eixo.

Nesta situao, o efeito de F sobre a placa comprimi-la contra o eixo, mas no h ne-nhuma tendncia a fazer a placa girar emtorno do eixo.

Dizemos que dois sistemas de foras soestaticamente equivalentesquando os doissistemas produzem o mesmo efeito (emtermos de movimento) sobre um corpo (ouseja, quando tm resultantes iguais, aplicadasno mesmo ponto).

Considere-se a situao a), na qual se desejatransladar a fora F de P para E, mantendo omesmo efeito sobre o corpo (isto , de formaestaticamente equivalente). Percebe-se que asimples transposio de F de P para E -situao b) - mantm o mesmo efeito sobre aplaca, ou seja, produz apenas compresso doeixo contra a mesma.

Uma fora F tem o mesmo efeito sobre um corpo, qualquer que seja oponto de aplicao da mesma ao longo de sua reta suporte.

Observao:A propriedade acima valida se forem considerados apenasos deslocamento do corpo sobre o qual atua a fora, sendo o mesmo nodeformvel (a posio relativa dos seus diversos pontos no se altera). Adeformao do corpo - alterao da posio relativa de seus diversos

pontos - alterada pelo deslocamento do ponto de aplicao da fora.Considere-se agora a situao em que a fora F est aplicada perpendicu-larmente reta EP, e que deseja-se translad-la estaticamente para oponto E. Percebe-se que o efeito de F sobre a placa comprimi-la contra oeixo na direo y e, ainda, provocar a rotao da mesma em torno do eixo.A "tendncia" rotao definida como o Momento da Foraem relaoao eixo, dado pelo produto do mdulo da fora pela distncia de seu ponto

E PF

e

e E F P

e E F P

a)

b)


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18 Captulo 1 - Equilbriode aplicao ao eixo, medida perpendicularmente reta suporte da fora.Esta distncia chamada de brao de alavanca.

Logo, se F transportada de P para E,essa "tendncia" rotao deve sermantida na mesma intensidade, ou seja,o momento de F em relao ao eixodeve permanecer inalterado.

Se F for simplesmente transladada de Ppara E, o momento original de F emrelao ao eixo, dado por M=F.d1passapara M=F.d

2 , menor que o original.

necessrio, portanto, acrescentar ummomento de valor F(d2 - d1) para tornaros sistemas estaticamente equivalentes.

Para mudar estaticamente o ponto deaplicao de uma fora, necessrio

adicionar o momento desta fora, em sua posio original, em relaoao novo ponto de aplicao, dado por F.d, onde d a componente dadistncia entre os pontos, medida perpendicularmente reta suportede F.

O momento de uma fora pode ser representado por uma seta curva em

geometrias bidimensionais e por um vetor de dupla flecha em geometriastridimensionais (regra da mo di-reita). uma grandeza vetorial,podendo ser somada e decom-posta como qualquer vetor.

Considere-se agora uma terceirasituao, na qual a fora F estnuma direo qualquer e P, oponto de aplicao, em umaposio qualquer.

Para levar estaticamente F de P para E, pode-se decompor F segundo oseixos cartesianos ortogonais x e y, e levar suas componentes de P para E.

Na situao a) o momento de F em relao ao eixo

M F d F dx y y x1 1 1= +

e, na situao b)

M F d F dx y y x2 2 2= +

e EF

Pd2

d1

dx

y

e

E

F PM

M

M

M

M


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Mecnica Estrutural 19Logo, preciso adicionar um momento de

( ) ( )

M M M

M F d F d F d F d

M F d d F d d

M F d F d

x y x y y x y x

x y y y x x

x y y x

=

= +

= +

= +

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

dado pelo produto das componentes da fora pelas componentesperpendiculares a elas da distncia entre o ponto original e o novo pontode aplicao.

Na maioria das situaes, ao transladarestaticamente uma fora de um pontopara outro, vantajoso trabalhar comreferncia a um sistema cartesianoconsiderando os momentos dascomponentes das foras, com oscorrespondentes braos de alavanca nasdirees dos eixos cartesianos, ao invsde encontrar o brao de alavanca nadireo perpendicular reta suporte dafora..

3. CARGAS EM UMA ESTRUTURAEm uma estrutura qualquer, as cargasatuantes podem ser consideradas como

3 tipos bsicos:

3.1. Cargas Concentradas

So foras ou presses aplicadas a uma estrutura atravs de uma rea decontato pequena o suficiente para ser considerada puntual, quandocomparada com asdemais dimensesda pea. So re-

presentadas comovetores fora apli-cados no pontoque representa ocentro geomtrico da rea de aplicao real das cargas.,.

3.2. Cargas Distribudas

e

E F

P

d2x

d1x

dx

x

y

Fx

Fyd1yd2y

dy

a)

e

E

Fx

Fy

P

M

b)


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20 Captulo 1 - EquilbrioConsidere-se uma placa retangular apoiada nos quatro lados sobre a qualso empilhados sacos de areia, mantendo pilhas de mesma altura emtodos os pontos.

Tomando-se uma rea de 1 x 1 m emqualquer ponto da placa, e verificando-sea presso ali atuante, conclui-se que amesma ser dada por q = P/A = h.1.1. /1.1 onde h a altura da pilha, o pesoespecfico do material (peso da areia porunidade de volume) e h.1.1 o volumeconsiderado sobre a rea selecionada.

Percebe-se que o valor de q independe darea considerada, e representa a intensidade de fora por unidade desuperfcie(equivalente presso).

Considere agora uma viga sobrea qual so empilhados sacos deareia. Como o componente es-trutural tratado como um ele-mento linear unidimensional, decomprimento L, a carga distribu-da deve ser considerada nomais por unidade de superfcie,mas por unidade de comprimen-

to, dada por q = P/L1 = .e.L1 / L1, o que tambm independe do compri-mento considerado.

Representaes usuais deste tipo de carregamento so mostradas abaixo.

qa) qb) c)

A situao b) pode ser imaginada com a analogia dos sacos de areia,tendo a pilha altura diferente em cada ponto. Quanto menor o tamanhodos sacos, menor sua base, mais prxima fica a aproximao .

So cargas distribudas: peso prprio, elementos apoiados, vento, pres-ses de fluidos e as prprias cargas concentradas (distribudas em umpequeno comprimento ou rea).

L1

e


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Mecnica Estrutural 21Na figura abaixo, pode-se considerar uma carga distribuda a) como umasucesso de pequenos trechos b) que podem ser substitudos, semgrande erro, por cargas concentradas c).

q

a) b)

L/5 L/5 L/5 L/5 L/5 L1

P

q q qqq qL/5

c)

qL/5qL/5

qL/5qL/5

L/5 L/5 L/5 L/5 L1+L./10

P

L

Deseja-se substituir estaticamente a carga distribuda par uma fora e um

momento aplicados em um ponto P qualquer. Utilizando a aproximao dacarga distribuda mostrada em c), resulta

ForaqL

qL= =55

MomentoqL

LL qL

LL qL

LL

qLL

L qLL

LqL L

L

= +

+ +

+ +

+ +

+ +

= +

5 10 5

3

10 5

5

10

5

7

10 5

9

10 2

1 1 1

1 1 1

Para substituir a carga concentrada por uma nica fora, que tenha omesmo efeito (seja estaticamente equivalente), resulta

( ) ( )F qL

Fd qL L L F L L

d L L

=

= + = +

= +

1 1

1

2 2

2

O que foi feito de forma aproximada nas equaes anteriores pode ser fei-to, atravs do clculo diferencial e integral, considerando-se uma funode carga distribuda q(x) qualquer como formada por uma infinidade de tre-chos de largura infinitesimal dx, cada uma delas podendo ser aproximadapor uma carga concentrada de valor igual rea do trecho, ou seja q(x)dx.

xA

xB

q(x)

x dx


16/302

22 Captulo 1 - Equilbrio

R q x dx

R x q x xdx

xq x x dx

q x dx

x

x

Gx

x

Gx

x

x

x

A

B

A

B

A

B

A

B

=

=

=

( )

. ( )

( )

( )

Uma carga distribuda pode ser substituda por uma RESULTANTE de

MDULO igual ao valor da REA do diagrama da carga distribuda(considerando-se a intensidade como altura), aplicada no CENTRO DEGRAVIDADE da figura.

Observao:A propriedade acima valida se forem considerados apenasos deslocamento do corpo sobre o qual atua a carga distribuda, sendo omesmo no deformvel. A deformao do corpo, bem como a distribuiode foras internas dentro do mesmo pode ser totalmente diferente para acarga distribuda original e a resultante estaticamente equivalente.

q

P=qL

L

L/2 L/2

q

P=qL/2

L

2L/3 L/3

Carga

Distribuda

Resultante

Estaticamente

Equivalente

3.3. Momentos ou Binrios


17/302

Mecnica Estrutural 23Considere-se a situao a) abaixo. Se as foras F forem levadas estatica-mente ao ponto P, resulta a situao b): as foras se anulam e sobra a

diferena F.L1- F.L2= F (L1-L2) = F.L dosmomentos em relao a P.

A carga tipo MOMENTO pode ser con-siderada como o efeito de um par deforas iguais (mdulo F) e sentidos con-trrios, distantes d=M/F uma em relao outra, distncia medida perpendicu-larmente s retas suportes das foras.

Observao:A propriedade acima validase forem considerados apenas os desloca-mentos do corpo sobre o qual atua o par deforas, sendo o mesmo no deformvel.

Para a deformao, bem como a distribuio de foras internas, asubstituio acima pode resultar em efeitos diferentes.

P

FFa)

d

P

F/2

2d

b)

F/2

P

c) M=F.d

SITUAES ESTATICAMENTE EQUIVALENTES

4. MOVIMENTOS DE CORPO RGIDO

E EQUAES DE EQUILBRIO

Um corpo no espao, submetido ao de um sistema de foras, pode sedeslocar de forma uniforme ou acelerada, de tal modo que seus pontosmantenham entre si a mesma distncia relativa que havia antes da aplica-o do sistema de foras. Este tipo de movimento chamado de Movi-mento de Corpo Rgido(MCR) do corpo, incluindo tanto deslocamentoslineares quanto angulares.

Pelas leis da Mecnica, um corpo sob a ao de uma fora aceleradoem um movimento de translao na razo a = F/m, onde F a foraaplicada, m a massa do corpo e a a acelerao produzida. Logo, paraum corpo permanecer em repouso ou em movimento retilneo uniforme(a=0), preciso estar sob a ao de um sistema de foras cuja resultanteseja nula. Da mesma forma, um corpo sob a ao de um sistema de forascuja resultante de momentos no seja nula est em movimento de rotao.

P

F F

L1

L2 L

P

F

F

F.L2

F.L1

a)

b)


18/302


Para que um corpo esteja em equilbrio esttico, preciso que asresultantes de foras e momentos tenham componentes nulas nasdirees em que o corpo pode ter movimentos de corpo rgido.

Considerando uma situao de equil-brio no plano, um corpo qualquer podese deslocar linearmente em qualquerdireo, ou girar em torno de um pontoqualquer, se as componentes das re-sultantes de foras e momentos noforem nulas nestas direes.

O corpo ao lado apresentar um mo-vimento de corpo rgido linear se a re-sultante de F1, F2, F3 no for nula. conveniente referenciarmos este mo-vimento a um sistema cartesiano tra-tando com as componentes nas dire-es x e y das foras. Assim, no

haver MCR na direo x se as resultantes de foras na direo x for nula.

F F Fx = = 0 01 3cos No haver MCR na direo y se

F F Fy = = 0 01 2sen e, no havendo MCR nas direes x e y, no haver em nenhuma direo.

Da mesma forma, um corpo no girar em torno de um ponto P qualquerse a resultante de momentos de cada fora em relao a este ponto fornula.

M F d F d F dP = = 0 01 1 2 2 3 3 ou, referenciando foras e braos de alavanca ao eixos x e y, resulta

F d F d F d F dx y y x y x x y1 1 1 1 2 2 3 3 0+ =

Para que haja equilbrio de foras no plano

F

F

M

x

y

P

=

=

=

0

0

0

F1

F3

F2

P

d3d1

d2

x

y


19/302

Mecnica Estrutural 25Analogamente

Para que haja equilbrio no espao

F

F

F

M

M

M

x

y

z

x

y

z

=

=

=

=

=

=

0

0

0

0

0

0

onde Mx, My e Mz so as resultantes de momentos em torno dos eixos x,y e z respectivamente.

Observao 1: Pode-se mostrar que, aplicando equivalncia esttica,uma vez cumpridas as equaes de equilbrio de foras, se a equao deequilbrio em momentos se verifica para um ponto, pertencente ou no estrutura, ela se verifica para qualquer ponto.

Observao 2: Na realidade, as condies de equilbrio no plano exigemque 3 equaes de equilbrio linearmente independentes se cumpram,podendo as mesmas serem as indicadas acima (o mais usual), ou duasequaes de momento (em relao a dois pontos diferentes) e uma deforas em uma dada direo, ou trs equaes de momento.

Observao 3:Assim como, no equilbrio no plano, o ponto P pode ser umponto qualquer, nas equaes de equilbrio no espao os eixos em tornodo qual se aplicam os somatrios de momentos podem ser quaisquer

eixos paralelos a x, y e z, pertencentes ou no estrutura em anlise.

Observao 4:O momento de uma fora em relao a um ponto, em umasituao plana, , na realidade, momento de uma fora em relao a umeixo, o qual perpendicular ao plano de anlise, tornando-se um ponto.

Define-se como momento de uma fora em relao a um eixo o produto dacomponente da fora perpendicular ao eixo pela distncia entre a retasuporte da fora e o eixo. A reta suporte da fora, a distncia e o eixo emquesto so mutuamente perpendiculares.

5. VNCULOS

Normalmente os corpos estruturais no esto livres no espao, estandopresos ou ligados ao meio (a Terra) em alguns pontos. Estes pontos deligao ou vinculao so chamados Vnculos.

Vnculo um elemento que impede o movimento (translao e/ou rotao)do corpo em uma determinada direo no ponto em que ele aplicado.Como, para impedir um determinado movimento, necessrio aplicar uma


20/302

26 Captulo 1 - Equilbriofora ou momento na direo correspondente, anulando as componentes,naquela direo, das demais foras aplicadas, as foras que surgem nosvnculos na direo dos deslocamentos impedidos so chamadasReaes Vinculares, pois so foras que reagem tendncia aodeslocamento. Estas foras somente so mobilizadas quando da aplicaode outras foras que tenderiam a deslocar o corpo, chamadas forasativas.

Assim, no plano, um vnculo poder impedir o deslocamento linear so-mente em uma dada direo, em duas direes perpendiculares e/ouimpedir o giro naquele ponto.

A representao e nomenclatura dos vnculos mais usuais para situaesplanas so dadas abaixo.

Apoio simples ou de 1aordem (impede o deslocamento linear nadireo perpendicular base, deixando livres os demais).

Rtula ou Apoio de 2a ordem (impede todos os deslocamentolineares)

Engaste ou Vnculo de 3aordem (impede todos os deslocamentoslineares e rotaes)

As foras reativas ou reaes vinculares surgem nas direes do(s)deslocamentos(s) ou rotaes impedido(s).

Alm desses vnculos mais usuais, outras combinaes possveis so:

a) Impedir o giro, deixando livresos deslocamentos lineares.

b) Impedir o giro e odeslocamento linear em umadireo, deixando livre odeslocamento linear na direoperpendicular direo impedida.

F FyFx FyFx

M


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Vnculos e Elementos de Ligao Bidimensionais

Fonte: Mecnica Vetorial para Engenheiros - Vol.1. F.P. Beer e E.R.Johnston Jr. McGraw-Hill


22/302

28 Captulo 1 - EquilbrioVnculos e Elementos de Ligao Tridimensionais

Fonte: Mecnica Vetorial para Engenheiros - Vol.1. F.P. Beer e E.R.Johnston Jr. McGraw-Hill


23/302

Mecnica Estrutural 296. ESTATICIDADE DE UMA ESTRUTURA

Em funo do nmero de movimentos de corpo rgido e da vinculaoexistente restringindo estes movimentos, pode-se classificar as estruturascomo:

6.1. Estrutura hiposttica ou mecanismo: quando o nmero de restri-es vinculares ou suadisposio no impedema totalidade dos movimen-tos de corpo rgido de umcorpo, de modo que o

mesmo adquire movimen-to sob a ao de foras(mecanismo). O nmerode equaes de equilbriolinearmente independentes maior que o nmero de incgnitas (restriesvinculares).

6.2. Estrutura isosttica ou estaticamente determinada: aquela naqual o nmero e a disposio das restries vinculares impede a totalidadedos movimentos de corporgido da estrutura. O n-mero de equaes deequilbrio linearmente in-dependentes igual aonmero de incgnitas

No basta que o nmerode restries iguale o nmero de MCR. preciso tambm que os vnculosestejam convenientemente dispostos para impedir o movimento. As estru-turas ao lado apresentam 3 movimentos de corpo rgido e 3 restries vin-culares, mas os movi-mentos no so total-mente impedidos. Nocaso A pode ocorrer des-locamento horizontal e no

caso B giro em torno doponto P.

De um modo geral, estruturas planas so isostticas quando restringidaspor:

um engaste

Deslocamento Livre Giro Livre

P

A B

Fx=0 !? Mp=0 !?


24/302

30 Captulo 1 - Equilbrio uma rtula e um apoio simples

trs apoios simples, desde que no todos alinhados (restringindo omovimento na mesma direo - situao A - e no todos convergentes(reta suporte das direes dos movimentos restringidos convergindopara o mesmo ponto - situao B.

Sempre que uma estrutura plana apresenta rtula interna, existem, na rea-lidade, mais movimentos de corpo rgido parciais. Na estrutura abaixo,pode-se considerar a rtula interna em B como um elemento de ligaoentre as partes AB e BC, o qual restringe apenas os deslocamentos hori-zontal e vertical de uma parte em relao outra. Se a parte BC for deslo-cada para a direita, ser preciso deslocar tambm a parte AB, visto que artula em B as une (no h liberdade total de movimento). Contudo, aparte AB (ou BC) pode ser girada livremente em torno da rtula B, vistoque a mesma no oferece nenhuma resistncia ao giro. Portanto, osmovimento de corpo rgido possveis so:

Deslocamento do conjunto noplano, traduzido por suascomponentes horizontal e vertical.

Giro do conjunto em torno de umponto.

Giro relativo das partes AB e BCem torno da rtula B

Considerando agora outra estrutura abaixo, constata-se que os movimen-tos de corpo rgido so:

Deslocamento do conjunto (horizontal e vertical).

Giro do conjunto em torno de um ponto.

Giro relativode BC em relao AB e BD.

Giro relativode BD em relao ABe BC.

O giro relativo de AB em relao a BC eBD pode ser considerado como umacombinao linear dos dois anteriores,no sendo independente.

Pode-se concluir que, em estruturasplanas, cada rtula interna acrescenta (No de barras conectadas - 1)movimentos de corpo rgido independentes, o que implica no mesmonmero de restries vinculares que devem ser acrescentadas para tornara estrutura isosttica.

A

B

C

BA C

D


25/302


HIPOSTTICAISOSTTICAISOSTTICA

6.3. Estruturas hiperestticas ou estaticamente indeterminadas: soaquelas nas quais o nmero de restries vinculares maior que onmero de movimentos de corpo rgido, ou seja, h mais vnculos que os

necessrios para impediros movimentos daestrutura. Este tipo deestrutura resulta em umsistema (esttico) deequaes indeterminado,o qual no pode serresolvido somente comequaes de equilbrio. (ser mostrado posteriormente que necessrioacrescentar equaes provenientes de consideraes sobre a deformaodo corpo para poder resolver o sistema).

Se forem aplicadas mais equaes de equilbrio que os movimentos decorpo rgido da estrutura, o sistema obtido continuar indeterminado, poisas equaes no sero linearmente independentes.

As consideraes acima aplicam-se inicialmente para determinar a estati-cidade externade uma estrutura, ou seja, em relao sua vinculao.Contudo, se as diversas barras componentes de uma estrutura forem iso-ladas, explicitando-se as foras de iterao entre elas, e forem aplicadosos critrios acima, pode-se determinar a estaticidade (ou hiperestaticidade)interna de uma estrutura.

Considere-se a estrutura ao lado, aqual isosttica em relao vinculao. Se a mesma forseparada em suas quatro barras

componentes, e, em cada ligaoentre barras, forem explicativas asforas de interao ou de ao ereao entre as diversas partes(duas foras e um momento paracada ligao, pois a mesma rgida, no permitindo nenhum deslocamento ou giro relativo das barras

q

P

M

A B

C D


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32 Captulo 1 - Equilbrioconectadas) e computados o nmero de incgnitas em cada barra e onmero de equaes de equilbrio disponveis (trs por barra) resulta:

Parte AB:3 equaes

6 incgnitas Ma, Xa, Ya

Mb, Xb, Yb

Parte AC:3 equaes

3 incgnitas Mc, Xc, Yc

Parte BD:3 equaes

3 incgnitas Md, Xd, YdParte CD:3 equaes

3 incgnitas Vc, Vd, Hd

_____________________________

TOTAL 12 equaes

15 incgnitas

Estrutura 3 vezes hiperesttica(internamente)

A partir das consideraes anteriores de nmero de equaes de equilbrioe nmero de incgnitas, pode-se montar a seguintes equaes paracalcular o grau de hiperestaticidade de uma estrutura plana.

Grau de hiperestaticidade externa

g e r ae = + + 3 2 3

onde e o nmero de engastes da estrutura, r o nmero de rtulasexternas (vnculos de segunda ordem) e a o nmero de apoios simples.

Grau de hiperestaticidade interna

g L C bi i i= + 3 3 onde Li o tipo de vinculao entre as barras em um determinado n (3para engaste ou ligao rgida entre as barras, 2 para rtula interna ouexterna e 1 para apoio simples), sem levar em conta a vinculao externa;

q

Xa

Ya

Ma

Xb

Yb

Mb

Ya

Xa

Ma

Yc

Xc

Mc

M

Yb

Xb

Mb

Yd

Xd

Md

P

Xc

Yc

Mc Xd

Yd

Md

Vc VdHd


27/302

Mecnica Estrutural 33C o grau de conexo do n (nmero de barras ligadas ao n -1) e b onmero de barras da estrutura.

Grau de hiperestaticidade total

g g gi e= +

importante ressaltar que a aplicao pura e simples das equaes acimano garantem que uma estrutura seja isosttica, visto que leva emconsiderao apenas o nmero de vnculos, e no sua disposio. Almdisso, uma hiperestaticidade externa pode numericamente compensaruma hipoestaticidade interna, sem que isto realmente signifique

impedimento dos movimentos de corpo rgido.1

2 3

4 5 6

1

1

2

3

3

4

12 3

2

4

2=4

6 7

1

3=5

3

5

4

Para o exemplo 1, com um apoio de segunda ordem e um de primeira, ograu de hiperestaticidade externa dada por:

ge = 2 + 1 - 3 = 0

Para avaliar o grau de hiperestaticidade interna, os ns 1 e 6 tm grau deconexo nulo, visto existir somente uma barra conectada a cada um deles.Para os demais ns, todos com ligaes rgidas, os produtos 3 vezes.(Node barras conectadas -1) resultam nos valores 3, 6, 3 e 6, respectivamentepara os ns 2, 3, 4 e 6. Descontando deste somatrio 3 vezes o nmero

de barras da estrutura e somando 3, resulta:gi = 0 + 3 + 6 + 3 + 6 + 0 - 3.6 + 3 = 3

O grau de hiperestaticidade total dado por

g = gi + ge = 3

sendo a estrutura, portanto, 3 vezes hiperesttica.


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34 Captulo 1 - EquilbrioAs equaes abaixo foram aplicadas com os termos seguindo a numera-o dos ns.

2: ge = 3 + 2 + 1 - 3 = 3 gi = 0 + 4 + 0 + 0 - 3.3 + 3 = -2 g = 1

3: ge = 2 + 2 - 3 = 1 gi = 4 + 2 + 2 + 4 - 3.5 + 3 = 0 g = 1

4: ge = 2 + 1 - 3 = 0 gi = 2 + 2 + 2 + 6 + 6 + 0 + 0 - 3.7 + 3 = 0g = 0

Quando existem barras concorrendo em um n se conectando entre si deforma diferente (Ex. 4, ns 2 e 3) pode-se imaginar uma barra extra,conectando as barras que se ligam de uma forma (ligao rgida - barras

2-3 e 3-7) com as que se ligam de outra forma (rtula - barra 1-3 emrelao ao resto da estrutura), como mostrado no detalhe.

7. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

Chama-se Diagrama de Corpo Livre de um corpo (estrutura inteira, partedela ou apenas um componente) a representao deste corpo com todasas foras nele atuantes, sejam elas ativas ou reativas (reaes vincularesou ao do restante da estrutura sobre o componente em anlise), ou seja,o corpo livre no espao submetido a um sistema de foras ativas e reativasequilibrado.

O diagrama de corpo livre extremamente importante para adeterminao tanto das reaes vinculares que surgem em uma estrutura(interao entre o corpo e o meio) como as foras atuantes em elementosde ligao internos e as prprias foras internas atuantes em umcomponente (interao entre partes da estrutura, ou entre um componentee o resto da estrutura).

Considere-se a estrutura abaixo. Da anlise dos deslocamentos impedidospelos vnculos, pode-se determinar o nmero de foras/ momentosincgnitos que surgiro em cada ponto de ligao com o meio (Rtulasbidimen-sionais ou pinos: impedem as translaes em qualquer direo -foras reativas em x e y).

Da anlise dos deslocamentos impedidos e permitidos no elemento deligao C, verificamos as foras internas que representam o efeito da parteABC sobre a parte CD e vice-versa. Verifica-se, com base na Terceira Leide Newton - Ao e Reao - que as foras que representam a ao deABC sobre CD so as mesmas (mesma direo e mdulo) que as querepresentam a ao de CD sobre ABC, com sentidos contrrios.

Do diagrama de corpo livre dos componentes isolados, vem


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150 kgf

90 kgf 50 kgf

100 100 10075

200

100

150

Dimenses em mm

45o

90 kgf

150 kgf

50 kgf

REPRESENTAO ESQUEMTICA

90 kgf 50 kgf

DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

106.1 kgf106.1 kgf

A

B

C

D

A

B

C

DAx

Ay

Dx

Dy

90 kgf

50 kgf

106.1 kgf

106.1 kgf

A

B

C

Ax

Ay

Dx

Dy

C Cx

Cy

Cy

Cx

DIAGRAMA DE CORPO LIVREDOS COMPONENTES ISOLADOS

Componente ABC:

F A C

F A C

M C C

x x x

y y y

A y x

= =

= + =

= + + =

0 90 0

0 0

0 100 450 300 90 0. . .

Componente CD:

F C D

F D C

M C C

x x x

y y y

D x y

= + + =

= + =

= + + =

0 1061 0

0 1061 50 0

0 450 200 4501061 2001061 100 50 0

,

,

. . . , . , .


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36 Captulo 1 - EquilbrioResolvendo o sistema resultante, de 6 equaes com 6 incgnitas, resulta:

Ax = 2,62 kgf Cx = -87,38 kgf Dx = -18,72 kgf

Ay = -123,21 kgf Cy = 123,21 kgf Dy = 67,11 kgf

onde os sinais negativos indicam que o sentido das foras o contrrio doinicialmente arbitrado (indicado no desenho).

O mesmo problema poderia ser resolvido com uma combinao de equa-es de equilbrio aplicadas sobre toda a estrutura ou apenas sobrepartes, na seguinte ordem:

MF

M

F

A

y

C

x

==

=

=

00

0

0

toda a estrutura - obtem Dtoda a estrutura - obtem A

parte CD - obtem D

toda a estrutura - obtem A

y

y

x

x

Reaes externas

F

F

y

x

=

=

0

0

parte ABC ou CD - obtem C

parte ABC ou CD - obtem C

y

x

Foras internas em C

Desta maneira evita-se a soluo de um sistema de equaes lineares.

importante verificar que o nmero de movimentos de corpo rgido daspartes ABC e CD, consideradas isoladamente, de 3+3=6, coincidindocom o nmero de foras incgnitas - estrutura isosttica.

Considerando o diagrama de corpo livre da estrutura como um todo, apa-recem 4 incgnitas (duas reaes por vnculo) e aparentemente apenas 3equaes de equilbrio. Contudo, em funo da rtula interna em C, possvel tambm o movimento de corpo rgido no qual as partes ABC e CDmudam o ngulo que fazem entre si (giro relativo). A equao de equilbriocorrespondente resulta em somatrio nulo dos momentos das forasatuantes na parte ABC ou na parte CD, em relao ao ponto C (visto que,se a estrutura est em equilbrio e a rtula no causa nenhumimpedimento ao giro, a estrutura no tem sua partes girando em torno dartula. O momento aplicado na rtula, que causaria o giro, nulo).


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Mecnica Estrutural 37EXEMPLO 1 (Mechanics of Engineering Materials, P.P.Benham, R.J.Crawford, Longman,

UK, 1987)

Encontrar as foras reativas externas e as foras internas atuantes nasconexes dos componentes da empilhadeira abaixo, sabendo que o pesoa ser levantado de W = 500 Kgf.

AB

C

D E

1,5 m 0,5 m

1,0 m

D

C

FHD

B

FVD

FHC

FHB

FVC

FVB

FHD

FHA

FVA

W

FHB

FVB

B

FHE

E

C

A

FHE

FHC

FVC

FVA

FHA

W

Metodologia de Anlise

Para resolver o problema preciso inicialmente considerar os movimentosrestringidos nos vnculos externos da estrutura, em A (todos os desloca-mentos) e em D (deslocamento horizontal, considerando o pisto G comoparte da estrutura), resultando em reaes horizontal e vertical em A (FHAe FVA) e uma reao horizontal em D (FHD). A seguir, considera-se cadaelemento da estrutura isoladamente, obtendo-se os diagramas de corpolivre dos diversos componentes, onde so explicitadas as foras internasnas diversas conexes (foras de iterao entre as diversas partes daestrutura). Com a aplicao das equaes de equilbrio em uma ordemconveniente, encontramos as foras procuradas.

M F F kgf

F F F kgf

F F F kgf

B HE HE

X HB HB

Y VB VB

= = =

= = =

= = =

0 500 0 5 10 0 250

0 250 0 250

0 500 0 500

. , . , (Brao B)

(Brao B)

(Brao B)


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38 Captulo 1 - EquilbrioM F F kgf A HD HD= = = 0 500 2 0 10 0 1000. , . , (Tudo)

M F

F kgf

F F F kgf (

F F F kgf (Br

F F F kgf (Tudo

F F F kgf (

C VD

VD

Y VC VC

X HC HC

X HA HA

Y VA VA

= + =

=

= = =

= + = =

= + = =

= = =

0 500 0 75 250 0 5 1000 0 5 0 75 0

0

0 500 0 500

0 250 1000 0 1250

0 1000 0 1000

0 500 0 500

. , . , . , . ,

(Brao BCD)

Brao BCD)

ao BCD)

)

Tudo)

interessante observar que a estrutura do brao da empilhadeira, paraqualquer configurao, resulta em fora vertical no ponto D (VD) nula, demodo que o pisto hidrulico somente necessrio para colocar o braoem uma determinada posio, mas no para mant-lo. Pode-se demons-trar isto considerando a configurao genrica abaixo

AB

C

D E

Va

Ha

Hd

L1 a

L2

B

D

C

Vd

Vc

Vb

Hd

Hc

Hb

P

He

Vb

Hb

Considerando o equilbrio de todo o conjunto:

M HdP a L

LA = = +

01

2

( )

Considerando o equilbrio da p B:

M HbPa

L

F Vb P

E

Y

= =

= =

02

0


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Mecnica Estrutural 39Considerando equilbrio do brao BCD

M VdC = = 0 0 EXEMPLO 2 (Mechanics of Engineering Materials, P.P.Benham, R.J.Crawford, Longman,

UK, 1987)

Quando a retro-escavadeira mostrada abaixo est removendo terra, afora exercida na p de 15 kN, horizontal. Para a posio indicada,calcular as foras exercidas pelos 3 pistes hidrulicos A, B e C,considerando que os componentes do brao so rotulados em D, E, F, G,H, I e J. O peso dos componentes deve ser desprezado. Dimenses em

metros.

A

B

C

D

EF

G

H

I

30o20o

40o1,0 m

3,5 m

0,5 m

J

0,7 m

2,0 m

1,5 m

0,5 m

2,0 m


Considere-se uma barra retilnea, rotulada em ambasas extremidades, que tem cargas aplicadas somentenas rtulas. Considerando que sua ligao com o restoda estrutura feita atravs das rtulas, somente

podem estar sendo transmitidas atravs das mesmascomponentes horizontal e vertical de uma fora, a qualpode estar em uma direo qualquer. Esta fora podeser decomposta em componentes na direo do eixoda barra e perpendicular ao mesmo. Se a estruturaoriginal qual pertence esta barra est em equilbrio, abarra, com as foras transmitidas pelas rtulas, tam-


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35/302

Mecnica Estrutural 41EXEMPLO 3 (Mecnica Vetorial p/ Engenheiros-Esttica, F.P.Beer, E.R.Johnston Jr.,

Makron Books, 1991)

Duas hastes AB e DE esto ligadas por um perfil, como ilustrado abaixo.Determinar a maior fora que pode ser aplicada pela haste AB no perfil seo maior valor permitido para a reao em C de 2000N.

A

B

C

D

E90

o

100 mm 100 mm

113 mm75 mm


Pelas cotas indicadas, encontra-se que o ngulo da linha BC com a hori-zontal de 36,87oe , conseqentemente, o da haste AB com a vertical de 36,87o. Considerando-se que as hastes AB e DE somente transmitemforas na direo de seus eixos, pode-se montar o diagrama de corpo livredo conjunto, no qual aparecem como foras aplicadas as foras nashastes AB e DE e as reaes horizontal e vertical em C.

Utilizando-se as equaes de equilbrio em uma ordem conveniente:

F C F

C F

M C C F F

C F

X X ABo

X AB

D X Y ABo

ABo

Y AB

= =

=

= + =

=

0 36 87 0

0 6

0 113 150 36 87 250 36 87 38 0

163

. sen ,

, .

. . . cos , . . sen , .

, .

A reao total na rtula C ser ento

F C C F F mxima kNC X Y AB AB= + = = =2 2 174 2000

174

114943, .

,

,

EXEMPLO 4 (Mecnica Vetorial p/ Engenheiros-Esttica, F.P.Beer, E.R.Johnstons Jr.,Makron Books, 1991)

Na figura abaixo, a polia utilizada para manter um dada trao na correiade transmisso CDE. A base triangular contm uma mola helicoidal queaplica um binrio de momento M no brao AB que, por sua vez, empurra a


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42 Captulo 1 - Equilbriopolia B, de raio 60 mm, contra a correia. Sabendo que na posio ilustradaa fora de trao na correia T = 300 N, determine

a) O momento M do binrio aplicado ao brao AB

b) As componentes horizontal e vertical da fora aplicada em A pelo braoAB.

A

B

C D

T

T

120 mm

30o

30

o

60 mm

B

D

T

T

30o

AY

A XM



O suporte em A, rotulado mas com uma mola, pode ser considerado para

efeito de anlise na posio especificada como um engaste, tendo comoreaes o momento M procurado e as foras na horizontal Ax e vertical Ay.Um diagrama de corpo livre do conjunto incluiria ainda as foras de traona correia. Da aplicao das equaes de equilbrio em uma ordem con-veniente, encontra-se a resposta.

M M M Nmm

F A A N

F A A N

A

Y Y Y

X X X

= = =

= = =

= + = =

0 300180 300180 30 0 7234 6

0 300 30 0 150

0 300 300 30 0 40 2

0

0

0

. . . cos ,

.sen

. cos ,


Um sarilho utilizado para erguer uma carga de 750N. Determinar omdulo da fora horizontal P que deve ser aplicada em C para manter oequilbrio e as reaes em A e B, supondo que o mancal em B no exerceempuxo axial.


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A

B

C

P

750 N

150 mm

200 mm

100 mm

250 mm

r = 100 mm


Obtm-se o diagrama de corpo livredo conjunto considerando que osmancais impedem somentedeslocamentos em 3 (A) ou 2 (B)direes (o que verdade se alargura dos mancais, medida nadireo axial, for pequena).

Aplicando as equaes de equilbriono espao, vem:

M P P NXAB = + = = 0 250 75000 0 300.

M A A N

F B B N

ZB

Y Y

Y Y Y

= = =

= + = =

0 750 350 200 0 1312 5

0 1312 5 750 0 562 5

. . ,

, ,

M P A A NYB

Z Z= + = =

0 100 200 0 150. .

F B B N

F A

Z Z Z

X X

= + = =

= =

0 150 300 0 450

0 0

P

ByBz

AzAy

Ax

750N

75000Nmm

x

y

z


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44 Captulo 1 - EquilbrioEXEMPLO 6 (Mecnica Vetorial p/ Engenheiros-Esttica, F.P.Beer, E.R.Johnstons Jr.,

Makron Books, 1991)

A tampa de um duto de raio r = 240 mm e massa 30 Kg mantida naposio horizontal pelo cabo CD. Supondo que o mancal em B no exeraqualquer empuxo axial, determine a fora de trao no cabo e ascomponentes das reaes em A e B.

B

A

240 mm

240 mm

240 mm

100 mm

r = 240 mmT

0,286 T

0,857 T

0,429 T

294 N

A

A

A

y

z

x

B

B

y

x



Considerando-se que os mancais tem pequena espessura, de modo a no

restringir individualmente os giros, obtm-se o Diagrama de Corpo Livre aolado. A fora T est em umadireo oblqua, devendo serexpressa em funo de suascomponentes Tx=0,857.T,Ty=0,429.T e Tz=0,286.T. Ovalor das componentes podeser obtido dividindo-se dire-tamente o valor dos lados doprisma abaixo pela diagonalprincipal, prisma esse obtidocom as distncias indicadasno desenho acima. O peso

da tampa dado pelo produto de sua massa pela acelerao dagravidade, resultando 294N, considerado aplicado no centro de gravidadeda mesma.

M T T N

F T A A N

ZAB

Z Z Z

= = =

= = =

0 0 429 480 294 240 0 342 7

0 0 286 0 98 0

, . . . ,

, . ,

T

Tz

TyTx

480mm

160mm

240mm

560mm


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Mecnica Estrutural 45M A A N

F B B N

XB

Y Y

Y Y Y

= = =

= + + = =

0 294 240 0 429 342 7 240 480 0 73 5

0 73 5 0 429 342 7 294 0 73 5

. , . , . . ,

, , . , ,

M A

A N

F B B N

YB

X

X

X X X

= + =

=

= + = =

0 480 0 286 342 7 480 0 857 342 7 240 0

4883

0 48 83 0 857 342 7 0 244 83

. , . , . , . , .

,

, , . . ,

EXEMPLO 7

O mecanismo abaixo freqentemente utilizado como um amplificador deforas, no qual, dependendo da configurao, se obtm uma reao Rmuitas vezes maior que a fora aplicada F. Em situaes na qual se pre-cisa puncionar um determinado material, ou estampar uma pea, ou reali-zar um corte , consegue-se reduzir o tamanho do pisto hidrulico neces-srio, representado no desenho abaixo pela fora F.

Calcular o fator de amplificao de foras R/F para uma situao genricadada pelo ngulo , e o fator de reduo de deslocamentos 2 / 1.

L

R

F

1

2

B

AC


Considerando que a ligao do mecanismo com a base, em A, impede osdeslocamentos lineares, e que o bloco em C pode se deslocar livrementesobre a base (superfcie sem atrito ou com atrito desprezvel), considera-se a existncia de uma reao vertical em A (Va), horizontal em A (Ha), evertical em C (Vc).

Por simetria: Va = Vc = F/2 ou


40/302


M F L Vc L VcA = + = 0 2 0. . cos . . cos

Fator de amplificao de foras:

M F L R L RF

BBC = = = 0 2 0 2/ . . cos . . sen tan

Fator de reduo de deslocamentos:

1 1

2 2

2

1

22

= =

= =

= =

d L

dd L d

d Ld d L d

( sen ). cos .

( cos ) . sen .

sen

costan

Pela tabela abaixo percebe-se que o fator de amplificao de foras oinverso do fator de reduo de deslocamentos.

R / F 2 / 1

45o 0,5 2

30o

0,87 1,1526,56o 1 1

10o 2,83 0,35

Das equaes acima percebe-se que, na situao = 0, a fora R se tornainfinita. por um equacionamento similar que se mostra que um cabosujeito ao seu peso prprio, para ficar perfeitamente na horizontal, precisa-ria ser tensionado por uma fora infinita, o que nenhum material capazde suportar. Por isso, um cabo quando tensionado, forma uma curvachamada catenria.


Determinar as reaes nos apoios das vigas para as condies de carre-gamento indicadas:


41/302


A B

9 kN/m

0,2 m 0,3 m

a) 3 kN/m

AB

0,9 m2,5 m1,5 m

c)

12 kN/m

A B

0,5 m1,5 m

d)

A B

1,2 m 0,9 m

b)

2,5 kN/m

3,33 kN/m

2,4 kN/m

BA

1,2 m 1,8 m 1,2 m

e)

A

3,6 m

f) 1 kN/m

1,2 kN/m

B


Desenham-se os Diagramas de Corpo Livre para as diversas vigas, substi-tuindo-se as cargas distribudas pelas suas resultantes, aplicadas nocentro de gravidade de cada trecho de carga. As reaes so obtidas pelaaplicao das equaes de equilbrio no plano, na ordem

F M FX A Y= = = 0 0 0 .

VA

HA

MA4kN

1,125kN

0,60m 0,90m

b) VA=2,875kNMA

=0,713kNm

=0,59kNm

VA

10,2kN

3,20m 0,80m

c) VA=2,04kN

VB

VB=8,16kN

VA

9kN

1,00m 0,33m

d) VA=5kN

VB

VB=7kN

3kN

0,66m

HA

VA

818,2kN

0,55m 0,65m

f)VA=480kN

VB

VB=-840kN

2,4m

1178,2kN

HA

VAHA

1,44kN

0,30m 0,80m

e)

VA=6,87kN

VB

VB=6,78kN7,2kN

1,90m

VA

1,8kN 1,35kN

0,10m 0,20m

a)

VA=3,15kN

MA

HA

M


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48 Captulo 1 - EquilbrioEXEMPLO 9

Calcular as reaes do prtico abaixo.

50kN/m 180 kNm

40kN/m

A

B C

D

E

2,5m 2,5m 2,0m3,0m

3,0m

6,0m

He

Va Vd

Metodologia de anlise

Considere-se uma barra de comprimento L inclinada de a em relao horizontal, submetida a uma carga uniformemente distribuda q. Aresultante desta carga q.L aplicada no centrode gravidade do diagrama, em L/2. As

componentes horizontal e vertical da resultanteso, respectivamente, q.L.sen e q.L.cosConsiderando que L.sen a projeo verticaldo comprimento da barra, pode-se calcular acomponente horizontal da resultante comosendo a taxa de carga original multiplicada pelaprojeo vertical do comprimento da barra.Da mesma forma, a componente vertical daresultante a taxa de carga originalmultiplicada pela projeo horizontal docomprimento da barra. Alm disso, a resultanteoriginal estaria aplicada na metade docomprimento da barra, de forma que acomponente horizontal da resultante estaplicada na metade da projeo vertical dabarra, e a componente vertical na metade daprojeo horizontal. De forma anloga, pode-setratar a carga triangular com resultados simila-res.

L

q

q.L

q.L.sen

q.L.cos

L.cos

L.sen

L/2

L/2.cos

L/2.sen


43/302


As componentes da resultante de uma carga distribuda de forma qual-quer aplicada a uma barra inclinada, bem como seus pontos de aplica-o, podem ser obtidos considerando a funo de carga original sedistribuindo sobre a projeo da barra perpendicular componente aser calculada. Assim, a componente VERTICAL obtida aplicando afuno de carga distribuda original sobre a PROJEO HORIZON-TAL , e vice-versa.

Substituindo as cargas distribudas pelas componentes horizontais everticais de suas resultantes, obtm-se

50.3/2

180 kNm

40.2

A

B C

D

E

3,5m 3,5m 1,0m2,0m

He

Va Vd

40.6

3,0m

50.6/2

4,0m

Aplicando as equaes de equilbrio na ordem conveniente, vem:

F He He kNX = = = 0 50 6 2 40 6 0 90. / .

M

He Vd

Vd kN

F Va Vd Va kN

A

Y

=

+ + + =

=

= + = =

0

50 3 4 50 6 8 180 9 40 2 9 40 6 3 10 0

174

0 50 3 2 40 2 0 19

. / . / . . . . . .

. / .

Onde os sinais negativos indicam sentido real das foras invertido emrelao ao arbitrado.


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50 Captulo 1 - EquilbrioEXEMPLO 10

Calcular as reaes do prtico abaixo:

40kN/m

30kN/m

A

E

B C

D

200kNm

4m

4m

3m 3m 3m 3m Rd

Ha

Va


As cargas distribudas aplicadas sobre as barras AE e CD exprimem fisi-camente o mesmo comportamento (exceto pelo valor da carga aplicada).H simplesmente uma diferena de notao. A carga em AE est indicada

por comprimento de projeo da barra sobre a qual est aplicada, aopassa que a da barra CD est indicada por comprimento real (inclinado) dabarra. A carga em CD poderia ser expressa de forma similar AE, unifor-memente distribuda por unidade de comprimento em projeo. Para quefossem equivalentes, o valor da taxa de carga seria 30.5/3 = 50 kN/m paragarantir que o valor total da carga (resultante) permanea inalterado. Soexemplos reais das cargas acima o peso prprio de uma estrutura incli-nada (ex. escada), ou a neve que se acumula em um telhado.

A rtula em A exprime o impedimentototal dos deslocamentos lineares emqualquer direo do plano. Estes des-locamentos podem ser decompostos

segundo a direo da barra e perpen-dicularmente ela, ou nas direesusuais horizontal e vertical. De formacorrespondente, as reaes vincularespodem ser indicadas em qualquer umdesses sistema. Na realidade, as duas

reaes, em qualquer dos sistemas, resultam em uma mesma foraaplicada em uma direo qualquer, a qual desconhecida. Portanto, tem-

A

Va

AHa

RaRa


45/302

Mecnica Estrutural 51se sempre duas incgnitas: ou a reao na direo da barra eperpendicular ela, ou a reao horizontal e vertical, ou o mdulo de umanica reao em uma direo qualquer e sua direo.

J o apoio inclinado em D impede apenas o deslocamento na direo dabarra CD. Portanto, a reao vincular, ao contrrio da anterior, tem direoconhecida, resultando apenas em uma incgnita: seu mdulo. Contudo, autilizao de suas componentes horizontal e vertical em geral permitemuma abordagem mais simples do problema.

Aplicando as equaes de equilbrio em uma ordem conveniente, resulta:

M Rd Rd kN

F Ha Ha kN

F Va Va kN

A

X

Y

= + = =

= = =

= + = =

0 12 30 510 5 40 4 200 0 193 2

0 193 2 0 115 9

0 40 62 30 5 193 2 0 115 4

4

5

6

235

45

. . . , . . ,

. , ,

. . . , ,


46/302

Captulo2SolicitaesNeste captulo ser mostrado como as cargas atuantes em uma estruturase distribuem no interior das barras que a compe sob a forma de esforosinternos ou solicitaes.

Sero apresentados trs mtodos bsicos para a obteno de grficos queexprimem a variao das solicitaes ao longo das barras - os diagramasde solicitaes.

Os tipos estruturais bsicos sero definidos, evidenciando os movimentosde corpo rgido possveis e as solicitaes existentes.

1. ESFOROS OU SOLICITAES

Considere-se a estrutura abaixo, da qual deseja-se remover a parte AB,permanecendo apenas com a parte BCD, mas mantendo o efeito que aparte removida teria sobre a que permanece. fcil verificar que, paramanter o efeito de AB sobre BCD, preciso levar todas as foras (ativasou reativas) aplicadas em AB estaticamente at a seo B. Ser tomadocomo ponto de aplicao o baricentro da seo B.

A

B C

D

100 100 200 100 100

200

200

2 kgf/mm

Dx=600kgfAx=600kgf

Ay=800kgf

B C

D2 kgf/mm

600kgf

600kgf

30000kgf.mm

600kgf


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48/302


parte da estrutura sobre a outra, se anulam, resultando aparecer somenteas foras externas, ativas ou reativas.

Para encontrar as solicitaes atuantes em uma dada seo, bastacortar a estrutura nesta seo, esboar o diagrama de corpo livre paraqualquer uma das partes resultantes e, atravs das equaes de equi-lbrio, encontrar as foras que devem ser aplicadas na seo de cortepara manter a parte isolada em equilbrio. Estas foras correspondems resultantes das foras aplicadas na parte cortada, levadas estatica-mente at o centro da seo.

Deseja-se isolar uma pequena fatia outrecho da estrutura ABCD, centrada naseo ou ponto B, mantendo o efeitodo resto da estrutura sobre esta fatia(ou seja, mantendo uma situaoestaticamente equivalente). Na faceesquerda dessa fatia, deve-se aplicaras resultantes das foras e momentosaplicados na parte AB, levadosestaticamente at essa face.

Analogamente, na face direita devem ser as resultantes de foras emomentos aplicados em BCD, levados estaticamente at essa face. Oresultado final a fatia ou trecho estar submetido a foras e momentos de

mdulo e direo levemente diferentes (em funo de alguma cargaaplicada sobre essa fatia) e sentidos opostos. Se a largura dessa fatiafosse sendo gradativamente diminuda, at alcanar um tamanho muitopequeno (infinitesimal), ter-se-ia isolado praticamente uma seo transver-sal da pea, e as foras aplicadas nas faces seriam iguais em mdulo e di-reo, e opostas em sentido.

As foras internas que atuam ao longo de uma seo transversal so cha-madas de Esforosou Solicitaes. Fundamentalmente essas foras po-deriam ser representadas, em cada seo, por uma resultante de foras,em uma direo qualquer, e uma resultante de momentos, tambm emuma direo qualquer, aplicadas no baricentro da seo transversal. Con-tudo, visando distinguir os efeitos de deformao causados por essas re-sultantes e a facilidade de interpretao, trabalha-se no com as resultan-

tes de fora e momento, mas com suas componentes ao longo de um sis-tema de eixos locais x', y' e z'. Estes eixos so definidos da seguinteforma: dada uma seo transversal (ou seja, perpendicular ao eixo dapea em um dado ponto), o eixo x' perpendicular seo, e os eixos y' ez' esto contidos na seo. Cada uma das componentes da resultante de

B 600kgf

30000kgf.mm

600kgf

600kgf

30000kgf.mm

600kgf


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58 Captulo 1 - Solicitaes

foras ou de momentos tem um nome e um determinado efeito sobre apea.

F

Fx'=N

Fy'=Vy

Fz'=Vz

F

M

Mx'=MT

Mz'

My'

1.1. ESFORO NORMAL - N

Corresponde componente Fx' da resultante de foras perpendicular se-o transversal (ou tangente ao eixo longitudinal). Esta solicitao temcomo efeito sobre a pea a tendncia de distend-la ou comprimi-la

(encurt-la), ou seja, sendo a pea retil-nea, aumentar ou diminuir seu compri-

mento. A conveno de sinais utilizada que o esforo normal positivo sempreque a componente de fora em questoestiver saindo de ambas as faces deuma fatia isolada da pea, ou seja, emtrao.

1.2. ESFORO CORTANTE OU DE CISALHAMENTO - Vx ou Vy

Corresponde s componentes Fy' e Fz' da resultante de foras contidas noplano da seo transversal . Esta solicitao tem como efeito sobre a peaa tendncia a fazer as di-versas sees transver-

sais deslizarem, umassobre as outras, perpen-dicularmente ao eixolongitudinal. Para estrutu-ras planas, a convenoutilizada esforo cortan-te positivo quando as for-

N N

s1 s2 s2'

+

s1 s2

Vy + Vys2'


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as aplicadas nas faces de uma fatia representarem um binrio no sentidohorrio, e negativo caso contrrio.

Em muitas bibliografias o esforo cortante indicado por Q, ao invs de V.

1.3. MOMENTO TOROR - Mt ou T

Corresponde componente Mx' da resul-tante de momentos perpendicular seotransversal (ou tangente ao eixo longitudi-nal). Seu efeito sobre a pea a tendnciadas diversas sees transversais girarem

umas em relao s outras, em torno doeixo longitudinal, torcendo a pea. A con-veno utilizada o esforo toror positivoquando, em uma fatia da pea, os momen-tos estiverem saindo das faces.

1.4. MOMENTO FLETOR - My ou Mz

Corresponde s componentes My' e Mz' da resultante de momentos conti-das na seo transversal (perpendiculares ao eixo). Seu efeito sobre a

pea a tendncia a encurvar ou fle-tir seu eixo longitudinal, fazendo comque as sees transversais girem

umas em relao s outras, em tornode um eixo contido na seo trans-versal. Essa deformao causa tra-o em parte das fibras da pea, ecompresso em outras.

A conveno de sinais em prticosplanos e vigas obtida escolhendo-se uma das faces de cada barra(inferior ou superior) atravs de uma linha pontilhada desenhada junto aoeixo da pea, e considerando-se positivo o momento que tracionar asfibras do lado pontilhado. Para vigas, a face escolhida sempre a inferior,ou seja, momento positivo aquele que traciona as fibras inferiores.

As solicitaes so, na realidade, resultantes de pequenas foras elemen-tares que atuam ao longo de toda a superfcie da seo transversal, cha-madas de Tenses, objeto de estudo do Captulo 4.

Experimentalmente constata-se que, para um dado valor de uma solicita-o qualquer, quanto menor for a seo transversal, maior a deformao emenor a resistncia da pea. Isto indica que a resistncia do material

s1 s2

+Mt

Mt Mt

Mt

s1 s2

s1' s2'

MzMz

+


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est ligada a uma grandeza que est distribuda por toda a superfcie daseo, e no concentrada em seu baricentro.

2. DIAGRAMAS DE SOLICITAES

Diagramas de solicitaes nada mais so do que grficos das solicitaesfeitos sobre o eixo longitudinal das barras ou componentes de uma dadaestrutura, representando o valor de cada solicitao em todas as seestransversaisda mesma.

As solicitaes Esforo Cortante, Momento Toror e Esforo Normal so

representadas sobre o eixo da pea como funes comuns, com os valo-res positivos acima do eixo e os negativos abaixo, considerando-se o eixolongitudinal da pea como o eixo das abcissas, na posio usual para gr-ficos (horizontal). No caso especfico do momento fletor, o diagrama sempre desenhado sobre o eixo da viga para o lado das fibras t raciona-das . comum hachurar-se os diagramas atravs de retas perpendicularesao eixo das barras, indicando a que barra eles pertencem.

Existem trs formas bsicas de se obter os diagramas de solicitaes:atravs de equaes que decrevem as solicitaes em qualquer ponto;atravs das reas dos diagramas de carga e esforo cortante e atravs daanlise da carga.

2.1. MTODO DAS EQUAESEste mtodo consiste em seccionar a estrutura em uma seo genrica s,a uma distncia qualquer de um ponto de referncia, sendo esta distnciarepresentada por uma varivel que percorre o comprimento da pea, e re-presentar o Diagrama de Corpo Livre de uma das partes da estrutura.

A seo genrica s est referenciada a uma varivel, por exemplo x. Comoa distncia dessa seo genrica ao ponto de referncia est amarrada ax, tambm estaro os braos de alavanca e comprimentos de trechos decarga distribuda, de forma que se obter as solicitaes como funes dex, ou seja, funes solicitaes.

Considere-se ao lado, na qual L1 =

1,5 m, L2 = 4,5 m, P = 5 kN e q = 2kN/m. As reaes vinculares podemser facilmente obtidas por:

F BX X= = 0 0

Pq

L1 L2A

B C

a)


52/302


53/302


[ ]

F N x

F V x B P q x L

V x x kN

X

X Y

= =

= =

=

0 0

0

917 2

1

( )

( ) ( )

( ) , .

( ) ( )

[ ]

M M x B x L P x qx L

M x x x kNm

S Y= =

= +

0 2917 19

11

2

2

( ) .

( ) ,

Esboando os diagramas das funes V(x) e M(x) resulta:

- --5

6,17

-2,83

3,09-7,5

2,0

-+

3,09[ V ] [ M ]

importante perceber que o ponto de mximo do Momento Fletor

corresponde ao ponto em que o diagrama de Esforo Cortante passa porzero, como ser mostrado posteriormente. No caso de cargauniformemente distribuda, esta distncia pode ser calculada como

x V q= , onde V o valor do esforo cortante no incio do trecho retilneo,

q o valor da taxa de carga no trecho e x a distncia a partir do incio dotrecho. Para o exemplo acima, x = 6,17/2 = 3,09 m.

As equaes das funes solicitaes so importantes para a obteno daforma da configurao deformada da estrutura.

2.2. RELAES ENTRE q, V e M

Considere-se a estrutura abaixo, da qual foi retirada uma fatia de compri-mento infinitesimal dx, mantida de forma estaticamente equivalente suasituao original. As solicitaes atuantes em cada face da fatia so leve-mente diferentes, visto estar a fatia submetida a uma carga distribuda defuno qualquer q(x).

Por ser o comprimento da fatia infinitesimal, pode-se considerar constantea taxa de carga atuante sobre a mesma, ou seja, sob a ao (local) de


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uma carga uniformemente distribuda. (A mesma considerao se aplicas fatias adjacentes, mas com o valor da taxa de carga no ne-cessariamente igual. Desta forma, a funo taxa de carga, originalmentecontnua, aproximada tanto quanto se queira por uma funoseccionalmente constante do tipo "escada".

Considerando que aestrutura originalestava em equilbrio e,portanto, a parteisolada tambm estem equilbrio, resulta

F V qdx V dV V dV V qdx

dV

dxq

M M M dM V V dV

Y

Pdx dx

= = + + =

=

= + + + + =

0

0 02 2( ) ( )

sendo o ltimo termo um infinitsimo de ordem superior, vem

Vdx dM

dM

dxV

=

=

De onde se conclui que:

a)A derivada da funo momento fletor em relao ao comprimento doeixo da pea a funo esforo cortante, e a derivada da funo esfor-o cortante em relao mesma varivel igual a menos a taxa decarga. As descontinuidades no cortante e fletor em funo de cargasconcentradas podem ser consideradas mediante funes Delta de Di-rac e Salto Unitrio.

b) De modo anlogo, pode-se mostrar que a integrao das funesde carga resulta na funo Esforo Cortante, e que a integrao destaconduz funo Momento Fletor.

2.3. MTODO DAS REAS

S1 S2

dx

P

S1 S2dx

V+dV

V

q(x)q

M+dMM


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Este mtodo vlido para a obteno de diagramas de Esforo Cortantee Momento Fletor, sejam eles pertencentes a uma situao plana ou te-nham as deformaes correspondentes (deslisamento das sees e en-curvamento do eixo longitudinal) pertencentes ao mesmo plano em umasituao espacial. Est baseado nas relaes entre as funes taxa decarga, esforo cortante e momento fletor deduzidas no item anterior, consi-derando-se que a funo Esforo Cortante a integral da funo Taxa deCarga, e que a funo Momento Fletor a integral da funo Esforo Cor-

tante.

Para obter o diagrama deesforo cortante, deve-se

somar o valor das cargasconcentradas ou a rea dascargas distribudas, da ex-tremidade esquerda da peaat a seo considerada,computando como positivastodas as cargas que fizeremmomento no sentido horrioem relao seo trans-versal, e negativas casocontrrio. Se as reas foremcomputadas a partir da ex-tremidade direita da pea,

valem as mesmas conven-es.

Para obter o diagrama demomento fletor, deve-se so-mar a rea do diagrama deesforo cortante desde a ex-tremidade esquerda da peaat a seo considerada,alm das cargas tipo binrio

ou momento, sendo considerados positivos momentos tracionando as fi-bras do lado pontilhado e reas de cortante do lado oposto ao pontilhado,e negativos caso contrrio. Se forem computadas as reas a partir da ex-

tremidade direita da pea, a rea do diagrama de esforo cortante a serconsiderada positiva a que aparece no lado pontilhado da barra.

Na obteno do diagrama de esforo cortante, percebe-se que o mtododas reas em tudo equivalente ao mtodo das equaes, j que ambosesto somando foras na direo perpendicular ao eixo da barra na seoconsiderada, de um lado ou de outro da seo.

A B C D E

50kNm10 kN/m

15 kN/m

50kN 30kN

2m 4m 2m 3m

41,67kN 108,33kN

41,67[V]

1,67

-48,33

-78,33

30

50108,33

-90

-50

masuero_introducaoamecanicaestrutural

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