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Universidade do Minho

Margarida Cristina Pereira da Silva Oliveira

junho de 2015

Da modelação matemática à simulação computacional A experimentação matemática no ensino

Escola de Ciências

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Tese de Doutoramento em Ciências Especialidade em Matemática

Trabalho realizado sob a orientação da

Professora Doutora Maria Elfrida Ralha

da

Professora Doutora Suzana Nápoles

e do

Professor Doutor José Francisco Rodrigues

Universidade do Minho


junho de 2015

Escola de Ciências

Da modelação matemática à simulação computacional A experimentação matemática no ensino

ii

DECLARAÇÃO


Endereço eletrónico: [email protected]

Título da tese:

Da modelação matemática à simulação computacional

A experimentação matemática no ensino

Orientadores:

Professora Doutora Maria Elfrida Ralha

Professora Doutora Suzana Nápoles

Professor Doutor José Francisco Rodrigues

Ano de conclusão: 2015

Doutoramento em Ciências. Especialidade: Matemática

É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTA TESE APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.

Universidade do Minho, 5 de junho de 2015

Assinatura: ________________________________________________

mailto:[email protected]

iii

DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE

Declaro ter atuado com integridade na elaboração da presente tese. Confirmo que em todo o

trabalho conducente à sua elaboração não recorri à prática de plágio ou a qualquer forma de

falsificação de resultados.

Mais declaro que tomei conhecimento integral do Código de Conduta Ética da Universidade

do Minho.

Universidade do Minho, 5 de junho de 2015

Nome completo:


Assinatura:

__________________________________________________________________

v

Agradecimentos

Gostaria de começar por agradecer à Escola de Ciências da Universidade do Minho, e em

particular ao Departamento de Matemática, por me terem permitido desenvolver a presente

dissertação.

Gostaria de deixar uma palavra muito especial, de agradecimento, à minha orientadora

Professora Suzana Nápoles com quem tudo começou. Pelo facto de me ter apoiado no meu

trabalho desde o início, por toda a disponibilidade que sempre manifestou e por todas as

conversas sobre os temas que nos aproximam e apaixonam com as quais muito aprendi. Por ter

acreditado!

Tenho ainda a agradecer à minha orientadora Professora Maria Elfrida Ralha o entusiasmo

que sempre demonstrou pelo meu trabalho e pelos valiosos contributos que deu em diferentes

fases. A sua análise sempre crítica e rigorosa, foi importante para a concretização deste trabalho.

Ao meu orientador Professor José Francisco Rodrigues quero agradecer a oportunidade que

me deu para poder partilhar com ele este tema da matemática e ensino. As suas contribuições

sempre acutilantes foram fundamentais para o desenvolvimento deste trabalho.

Gostaria ainda de agradecer ao Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da

Universidade de Lisboa por me ter proporcionado a possibilidade de realizar ações de formação

para professores.

Quero ainda deixar um agradecimento à Fundação Ilídio Pinho e à Fundação Calouste

Gulbenkian pelo apoio financeiro que me foi concedido na sequência da apresentação de projetos

e que tornou possível o trabalho de experimentação com os alunos. E ainda um agradecimento à

Fundação Montepio também pelo apoio financeiro que me foi atribuído para dar continuidade ao

presente trabalho nos próximos anos.

Ao

Sérgio,

Bruno e

Ricardo

vii

DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA À SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL A EXPERIMENTAÇÃO MATEMÁTICA NO ENSINO

Resumo

Com os recentes desenvolvimentos tecnológicos e a facilidade de acesso ao conhecimento e

à informação, o ensino tem que ser permanentemente repensado e atualizado, em particular o

ensino da matemática. O atual sistema de ensino deve preparar os alunos, do secundário e das

universidades, para a entrada no mercado de trabalho global, que, cada vez mais, exige

capacidade de inovação, envolvendo a utilização integrada de conhecimentos científicos, de

matemática e das novas tecnologias.

Mostra-se que a ênfase nas aplicações e a integração das novas tecnologias nas aulas de

matemática é uma prática que deve ser implementada em todos os níveis de ensino, do básico ao

superior. Nesta perspetiva apresenta-se uma reflexão sobre a articulação entre os atuais

currículos de matemática e a metodologia proposta para envolver as novas tecnologias no ensino

da matemática. Apresentam-se com detalhe vários exemplos de aplicações concebidas no âmbito

desta dissertação, envolvendo matemática, ciências e tecnologias, com vista a cobrir grande parte

das áreas dos currículos de matemática, incluindo os principais tópicos de matemática abordados

nos cursos superiores de ciências e engenharia. Os exemplos são essencialmente desenvolvidos

em ambiente de folha de cálculo e envolvem a programação de módulos interativos com

representações gráficas dinâmicas, apresentados na perspetiva de serem desenvolvidos pelos

próprios alunos como forma de potenciar a aprendizagem da matemática. Apresentam-se

aplicações com o objetivo de mostrar o interesse da folha de cálculo: i) no estudo dos principais

temas curriculares de matemática - números, funções, álgebra, geometria, cálculo diferencial e

integral, séries, transformadas de Fourier, equações diferenciais, … e ii) para efetuar simulações

computacionais no âmbito do estudo de problemas de modelação matemática de fenómenos

naturais onde se privilegiam as relações entre a matemática e as outras ciências.

Apresentam-se resultados de várias experiências pedagógicas em contexto de sala de aula,

desenvolvidas no decurso desta dissertação, com diferentes turmas e diferentes níveis de ensino.

Estas experiências decorreram no âmbito de projetos apresentados e coordenados pela autora da

dissertação e financiados por diferentes entidades.

Por fim salienta-se a importância do desenvolvimento de sites para divulgação dos

resultados obtidos e da organização de cursos de formação de professores com parcerias entre

universidades e outras instituições, na perspetiva de contribuir para um ensino da matemática

mais próximo das novas apetências dos alunos e que vá ao encontro das novas exigências do

mercado de trabalho que cada vez mais requer capacidade de inovação com vista ao aumento da

competitividade.

ix

FROM MATHEMATICAL MODELLING TO COMPUTATIONAL SIMULATION MATHEMATICAL EXPERIMENTATION ON TEACHING

Abstract

With recent technological developments and ease of access to knowledge and information,

the teaching paradigm must be in permanent update and change, especially, the teaching

paradigm of Mathematics. The current teaching system must prepare students, both from high

schools and universities, to their entrance in the global labor market that, more than ever before,

demands for more innovation capacity concerning the integrated usage of scientific knowledge,

Mathematics and new technologies.

It's shown that the emphasis on applications and the integration of the new technologies in

Mathematics classes is something that must be implemented on all teaching levels, from basic

school to university. Considering this, a reflection upon the articulation between the actual

mathematics curriculum and the presented methodology to entwine the new technologies in the

teaching of Mathematics will be presented. It will be shown, in depth, several examples of

applications designed in the scope of this thesis, covering mathematics, sciences and

technologies, with the purpose of covering the majority of the areas delivered in the actual

mathematics curriculums, also including the main mathematics topics taught on university

courses of sciences and engineering. These examples are mostly developed using a Spreadsheet

and they cover the programming of interactive modules with dynamic GUIs, shown on this thesis

with the perspective of being developed by students themselves as a way to increase and grow

the learning of Mathematics. Some presented applications have the purpose of showing the

interest and usefulness of the Spreadsheet to: i) study the main topics of the Mathematics

curriculum – numbers, functions, algebra, geometry, differential and integral calculus, series,

Fourier Transforms, differential equations, … and ii) perform computational simulations in the

scope of problems related to the mathematical modeling of natural phenomena, where the

relationship between Mathematics and other sciences is the main point of concern. Results of

various pedagogical experiences performed during classes, developed during this thesis, are

presented. These experiences were conducted with different classes as well as different teaching

levels and were conducted in the scope of projects presented and coordinated by the author of

this thesis and financed by several entities.

Lastly, it's important to remark the role of website development to the publication and

spreading of the obtained results and the organization of teacher formation courses with

partnerships between universities and other institutions, in the perspective of contributing to a

mathematics curriculum that is closer to the newly acquired skills of the students and that it

meets the needs of an ever evolving labor market that more and more often requires innovation

with the increase of competitiveness in sight.

xi

Índice

1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................. 1

1.1 Enquadramento e objetivos ................................................................................................................. 1

1.2 Estrutura do trabalho ........................................................................................................................ 10

2 COMPUTADORES NO ENSINO DA MATEMÁTICA:

UM NOVO PARADIGMA ........................................................................................ 13

2.1 Considerações iniciais......................................................................................................................... 13

2.2 Os computadores no ensino da matemática. Os últimos 25 anos ................................................... 15

Influência da evolução dos computadores no ensino da matemática .............................................. 15 2.2.1

Projetos em Portugal ....................................................................................................................... 18 2.2.2

Experiência de outros países com os computadores no ensino da matemática ............................... 22 2.2.3

2.3 Software para o ensino da matemática .............................................................................................. 25

Applets e jogos................................................................................................................................ 26 2.3.1

Programas utilitários para o estudo de funções. O Autograph ........................................................ 28 2.3.2

Programas de geometria dinâmica .................................................................................................. 29 2.3.3

Plataformas de programação: Scratch, VBA, MatLab. ................................................................... 32 2.3.4

Programas CAS – Computer Algebra Systems ............................................................................... 39 2.3.5

2.4 Nas aulas de matemática com as novas tecnologias ......................................................................... 40

Novas dificuldades e novas possibilidades ..................................................................................... 40 2.4.1

Programação. Estruturação do raciocínio ....................................................................................... 42 2.4.2

2.5 As folhas de cálculo no ensino da matemática.................................................................................. 45

2.6 Programação em Excel ....................................................................................................................... 49

2.7 Considerações finais ........................................................................................................................... 50

3 DESENVOLVIMENTO DE APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS PARA O

ESTUDO DA MATEMÁTICA. DO BÁSICO AO SUPERIOR ............................ 53

3.1 Considerações iniciais......................................................................................................................... 53

3.2 Números e operações .......................................................................................................................... 54

xii

3.3 Teorema de Pitágoras ........................................................................................................................ 62

3.4 Estudo de funções ............................................................................................................................... 70

Coordenadas cartesianas e simulação de movimento ..................................................................... 72 3.4.1

Funções de proporcionalidade direta .............................................................................................. 76 3.4.2

Funções quadráticas ........................................................................................................................ 78 3.4.3

Funções trigonométricas ................................................................................................................. 82 3.4.4

Função derivada .............................................................................................................................. 92 3.4.5

3.5 Circunferência, limite, Arquimedes e o número .......................................................................... 97

3.6 Matrizes e folha de cálculo .............................................................................................................. 105

Métodos gráficos computacionais. Visualização de sólidos geométricos em perspetiva. ............ 105 3.6.1

Valores e vetores próprios de matrizes simétricas. Visualização gráfica ..................................... 111 3.6.2

3.7 Estudo da conexão entre as funções trigonométricas cos(x) e sen(x) e a função exponencial ex.

A fórmula de Euler para os complexos. .......................................................................................... 117

3.8 Séries de Fourier .............................................................................................................................. 121

Decomposição de funções em ondas sinusoidais. Série de Fourier .............................................. 122 3.8.1

Determinação do valor da constante correspondente ao primeiro termo da série de Fourier ....... 127 3.8.2

Determinação dos coeficientes an e bn, de cada onda n ................................................................ 127 3.8.3

Somatórios de Fourier, séries de Fourier e integrais de Fourier ................................................... 129 3.8.4

Somas de Fourier para aproximar uma função de variável discreta definida por partes. 3.8.5

Aplicação para Excel. ................................................................................................................... 129

Representação da Série de Fourier na forma complexa: Transformada Discreta de Fourier ....... 132 3.8.6

3.9 Considerações finais ......................................................................................................................... 134

4 DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA À SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL .. 137

4.1 Considerações iniciais ...................................................................................................................... 137

4.2 Parábolas e Projéteis ........................................................................................................................ 139

Lançamento de um projétil na vertical ......................................................................................... 141 4.2.1

Lançamento de uma bola de basquetebol ..................................................................................... 146 4.2.2

4.3 Parábola ou catenária? .................................................................................................................... 149

Equilíbrio de cabos suspensos ...................................................................................................... 149 4.3.1

Equilíbrio de forças e estabelecimento da equação de um cabo suspenso sob a ação do peso de um 4.3.2

tabuleiro ........................................................................................................................................ 153

Equilíbrio de forças e estabelecimento de um cabo suspenso sob a ação do seu próprio peso ..... 154 4.3.3

xiii

Implementação computacional ..................................................................................................... 160 4.3.4

4.4 Matemática e Astronomia ................................................................................................................ 162

Movimento da Terra em torno do Sol ........................................................................................... 163 4.4.1

Sombras e medição do tempo ....................................................................................................... 165 4.4.2

Relação que existe entre as horas assinaladas por um relógio de Sol e por um relógio mecânico no 4.4.3

mesmo local .................................................................................................................................. 174

Orientação em alto mar ................................................................................................................. 193 4.4.4

Eratóstenes e a determinação do raio da Terra .............................................................................. 200 4.4.5

4.5 Estudo do movimento oscilatório de um sistema massa-mola ...................................................... 208

Estabelecimento da equação diferencial e determinação da solução exata ................................... 209 4.5.1

Como usar a folha de cálculo para obter uma representação gráfica da solução .......................... 212 4.5.2

Usando a folha de cálculo para representar esquematicamente a mola e simular o seu movimento 4.5.3

oscilatório ..................................................................................................................................... 215

Estudos paramétricos .................................................................................................................... 220 4.5.4

Curva de estado tempo. Visualização tridimensional ................................................................... 224 4.5.5

4.6 Movimento de um pêndulo .............................................................................................................. 230

Fundamentação física e matemática ............................................................................................. 230 4.6.1

Métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias ..................................... 232 4.6.2

Equação diferencial que descreve o movimento de um pêndulo de haste rígida. Programação em 4.6.3

Excel. ............................................................................................................................................ 238

Como usar o Excel para obter representações gráficas da solução ............................................... 238 4.6.4

4.7 Movimento oscilatório de um edifício de três pisos. Resultados experimentais e modelação. ... 243

Uma experiência para descobrir os modos naturais de vibração de um sistema mecânico com 4.7.1

vários graus de liberdade .............................................................................................................. 243

Solução analítica. Frequências naturais e modos de vibração ....................................................... 244 4.7.2

Aplicação ao caso do modelo físico de um edifício de três pisos ................................................. 248 4.7.3

4.8 Mecânica dos sólidos. Resolução da equação de Navier pelo método dos elementos finitos ...... 255

Mecânica dos Sólidos: estabelecimento do problema ................................................................... 256 4.8.1

Estado de tensão e de deformação num ponto do interior duma estrutura .................................... 257 4.8.2

Equações fundamentais da mecânica dos sólidos ......................................................................... 258 4.8.3

Equação de Navier ........................................................................................................................ 261 4.8.4

Forma fraca da equação de Navier ................................................................................................ 262 4.8.5

Resolução numérica pelo método dos elementos finitos............................................................... 262 4.8.6

Aplicação ao caso de uma barragem ............................................................................................. 266 4.8.7

Programação do MEF em Excel ................................................................................................... 277 4.8.8

xiv


5 EXPERIÊNCIAS LETIVAS, PROJETOS, AÇÕES DE FORMAÇÃO, MANUAL

INTERATIVO .......................................................................................................... 285

5.1 Considerações iniciais ...................................................................................................................... 285

5.2 O Projeto Matemática Dinâmica .................................................................................................... 288

O Contexto ................................................................................................................................... 288 5.2.1

O Projeto - Aspetos relevantes ..................................................................................................... 290 5.2.2

Planificação das atividades ........................................................................................................... 295 5.2.3

Trabalhos realizados pelos alunos ................................................................................................ 300 5.2.4

Aspetos didáticos do trabalho desenvolvidos pelos alunos .......................................................... 310 5.2.5

Aspetos relevantes do trabalho dos alunos. .................................................................................. 313 5.2.6

Resultados escolares ..................................................................................................................... 315 5.2.7

5.3 O Projeto Tópicos de Física em Experimentação virtual. ............................................................. 317

O Projeto ....................................................................................................................................... 317 5.3.1

5.4 O projeto Espiral. Fundação Calouste Gulbenkian ...................................................................... 321

Enquadramento ............................................................................................................................. 322 5.4.1

Resumo do Projeto ....................................................................................................................... 323 5.4.2

Objetivos específicos .................................................................................................................... 323 5.4.3

Resultados esperados .................................................................................................................... 326 5.4.4

MATTIC ....................................................................................................................................... 326 5.4.5

4º ano de escolaridade. Simulação de um moinho em movimento em geogebra ......................... 337 5.4.6

5.5 Laboratório de Matemática em cursos superiores ........................................................................ 340

5.6 Formação de professores. As Tecnologias no ensino Básico e Secundário .................................. 341

Ações de Formação realizadas ao longo de três anos ................................................................... 341 5.6.1

Trabalhos produzidos pelos professores participantes no curso ................................................... 346 5.6.2

Observações finais ........................................................................................................................ 352 5.6.3

5.7 Divulgação ......................................................................................................................................... 354

Manual interativo .......................................................................................................................... 354 5.7.1

Portal Casa das Ciências ............................................................................................................... 356 5.7.2

Publicações na revista “Spreadsheets in education” ..................................................................... 356 5.7.3

Participação no concurso “Matemática no planeta TERRA” ....................................................... 357 5.7.4


xv

6 CONCLUSÕES E PERSPETIVAS FUTURAS ..................................................... 363

6.1 Os objetivos e os resultados ............................................................................................................. 364

Articulação entre aprender matemática e programar. Desenvolvimento de competências em 6.1.1

matemática, Ciências Experimentais e Tecnologia. ...................................................................... 364

Modelar, programar, simular! Desde quando? Que tipo de linguagem? Até quando? ................. 365 6.1.2

A aula de matemática. O papel do professor. ................................................................................ 367 6.1.3

Desenvolvimento de aplicações computacionais na folha de cálculo. .......................................... 368 6.1.4

6.2 Contribuições inovadoras ................................................................................................................ 369

6.3 Perspetivas futuras ........................................................................................................................... 372

xvii

Índice de figuras

Figura 1.1 - A tecnologia, para o desenvolvimento equilibrado/harmonioso da conceptualização, manipulação e

aplicações, enquanto ferramenta preciosa.

Figura 2.1 - Aplicações destinadas ao desenvolvimento da capacidade de raciocínio (Instituto Freudenthal).

http://www.uu.nl/en/research/freudenthal-institute/studying/freudenthal-repository

Figura 2.2 - Applets apresentados na página web do NCTM.

Figura 2.3 - Applets e atividades destinadas ao estudo da Análise Real (Mathematical Association of America)

http://mathdl.maa.org/.

Figura 2.4 - Gráfico da função y=cos x e da família de funções y = cos (a.x).

Figura 2.5 - Aplicação desenvolvida em Geogebra para estudo de rotações de uma figura.

Figura 2.6 – Interface do Scratch 1.4 (linguagem desenvolvida no MIT na sequência do LOGO desenvolvido

por Papert). Exemplo de um programa para desenhar polígonos regulares.

Figura 2.7 – Esquema ilustrativo dos procedimentos para desenhar um polígono regular de 8 lados.

Figura 2.8 - Ecrã do VisiCalc (1979) http://www.bricklin.com/history/saiearly.htm.

Figura 2.9 - “Pirâmide de números” – Jogo desenvolvido em Excel para treino da adição de números inteiros

relativos.

Figura 2.10 - Aplicação desenvolvida para estudo do desenvolvimento em série de Taylor (MacLaurin) das

funções y=cos x, y=sen x e y=ex (Oliveira, 2007).

Figura 2.11 - Programa desenvolvido em MATLAB.

Figura 2.12 - Exemplo de programa utilitário (applets, jogos e tutoriais) para apoio ao estudo dos

Figura 2.13 – Aplicação para estudar os divisores de um número.

Figura 3.1 - Jogo de cálculo mental. Adição de números inteiros.

Figura 3.2 – Duas situações de jogo.

Figura 3.3 – Jogo para treino. Sistema de numeração decimal.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/calculoMental_1ciclo.html

Figura 3.4 – Código de um botão de verificação.

Figura 3.5 – Aplicação para determinação das abcissas de dois pontos localizados numa reta numérica.

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=136

Figura 3.6 – Módulo computacional para resolução de uma equação de 1ª ordem do tipo ax+b = c.

Figura 3.7 – Aplicação Divisores.xls

Figura 3.8 - Adaptação da aplicação Divisores.xls para cálculo dos divisores de dois números naturais.

Figura 3.9 – Estudo de propriedades.

Figura 3.10 – Determinação de números primos utilizando o Crivo de Eratóstenes.

Figura 3.11 - Decomposição em fatores primos de um número natural.

Figura 3.12 – Processo demonstrativo do Teorema de Pitágoras feito por Hermann Baravelle.

Figura 3.13 - Sequência de passos que ajudam a compreender uma demonstração geométrica do teorema de

Pitágoras. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=38

xviii

Figura 3.14 – Sequência de passos para acompanhar a justificação geométrica do puzzle anterior.


Figura 3.15 – Aplicação desenvolvida em Excel para conjeturar sobre se a soma das áreas de retângulos

construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do retângulo construído sobre a

hipotenusa. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=110

Figura 3.16 – Figura concebida por Euclides para auxiliar a demonstrar o teorema de Pitágoras (Boyer, 2003).

Figura 3.17 – Interface da aplicação demonstrativa do raciocínio de Euclides na demonstração do Teorema de

Pitágoras. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=109

Figura 3.18 – Justificação geométrica da demonstração do teorema de Pitágoras feita por Euclides.

Figura 3.19 - Aspeto global da aplicação TGV.xls. Na primeira figura o conteúdo da célula E3 é zero, logo o

TGV está parado (na posição inicial). Na segunda figura E3=15, o TGV desloca-se.

Figura 3.20 - Dependência das células da coluna B em relação à célula E3.

Figura 3.21 – Estudo da função y kx, k .

Figura 3.22 - Representação gráfica da função y kx, k para k=0,5 e k=4,5.

Figura 3.23 – Aplicação para simular o alongamento de uma mola sob a ação de um peso.

Figura 3.24 – Gráficos peso-alongamento de uma mola para diferentes valores de rigidez.

Figura 3.25 – Representação gráfica da função quadrática. Significado geométrico de diferentes parâmetros.

Figura 3.26 - Aplicação desenvolvida em Excel para visualização do gráfico correspondente à função

2

v vy a x x y .

Figura 3.27 - Visualização das consequências da alteração dos valores de a e das coordenadas do vértice da

parábola.

Figura 3.28 – Quadrilátero EFGH em que os pontos E, F, G, H são marcados sobre os lados do retângulo

ABCD de tal forma que AE BF CG DH x .

Figura 3.29 – Gráfico da função A(x), área do quadrilátero.

Figura 3.30 – Ligações entre Geometria e Funções com o Excel.

Figura 3.31 – Utilizando razões trigonométricas marcam-se segmentos de reta com a mesma origem, fazendo

entre si ângulos de 300. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=148

Figura 3.32 – Seno e coseno de um número real x.

Figura 3.33 – Gráficos das funções seno e coseno.

Figura 3.34 – Título original da obra de Durer.

Figura 3.35 – “Curva do seno”. Imagem de Albrecht Durer

Figura 3.36 – Traçado da circunferência recorrendo à equação cartesiana.

Figura 3.37 - Desenho de uma circunferência, em Excel, recorrendo a coordenadas polares.

Figura 3.38 - Variação do seno e coseno de um ângulo no circulo trigonométrico e traçado do respetivo gráfico

das funções f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x).

Figura 3.39 – Aplicação que simula o movimento das pás de um moinho eólico.

Figura 3.40 – Rotação em torno da origem do referencial e ângulo de amplitude .

Figura 3.41 - Determinação de uma reta tangente como o limite de uma sequência de retas secantes.


xix

Figura 3.42 – Relação entre o gráfico de uma função quadrática f e da função derivada.

Figura 3.43 – Relação entre o gráfico de uma função e o gráfico da função derivada.

Figura 3.44 - A reta tangente passa nos pontos de abcissa x1 e x2. cs representa o comprimento do segmento de

reta.

Figura 3.45 - Organização da folha de cálculo.

Figura 3.46 – Visualização dinâmica da aproximação de por excesso e por defeito com recurso a áreas de

polígonos regulares com número crescente de lados, circunscritos e inscritos numa circunferência unitária.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/geometria.html

Figura 3.47 - Regularidades no triângulo e quadrado.

Figura 3.48 - Tabela com vista à introdução das coordenadas polares dos vértices dos polígonos inscritos na

circunferência.

Figura 3.49 – Circunferência inscrita num hexágono com vista à determinação de Rext.

Figura 3.50 - Circunferência circunscrita num hexágono com vista à determinação de Rint.

Figura 3.51 – Organização da folha de cálculo.

Figura 3.52 – Três polígonos inscritos na circunferência.

Figura 3.53 – Três polígonos circunscritos à circunferência.

Figura 3.54- Relação entre as coordenadas polares de dois pontos num referencial cartesiano. OP=r

Figura 3.55- Vista dos planos de projeção em perspetiva. Projeções de um sólido geométrico.

Figura 3.56 - Tabela com as coordenadas dos vértices da pirâmide. Sequência que permite o desenho de todas

arestas.

Figura 3.57 – Vista tridimensional de uma pirâmide e projeções nos três planos.

Figura 3.58 – Implementação no Excel.

Figura 3.59 – Vista tridimensional de um cubo e representação de um “corte”.

Figura 3.60 – Interface da aplicação vvp.xls para interpretação geométrica dos valores e vetores próprios de

matrizes quadradas, reais e simétricas.

Figura 3.61 – Interface da aplicação vvp.xls para interpretação geométrica dos valores e vetores próprios de

matrizes (2x2) quadradas, reais e simétricas.

Figura 3.62 – Interpretação geométrica dos valores e vetores próprios da matriz A (3×3).

Figura 3.63 - Funções seno e coseno.

Figura 3.64 – Relação entre a hipérbole e a função exponencial de base e = 2.71828…

Figura 3.65 - Para qualquer ponto P sobre a curva, o triângulo PAB, cuja hipotenusa é tangente à curva em P,

tem sempre cateto horizontal unitário: AB 1 .

Figura 3.66 – Fórmula de Euler para os complexos: a. “The most remarkable formula in mathematics”. b. “A

mais bela fórmula matemática”.

Figura 3.67 – Fórmula de Euler para os complexos. Demonstração com base no desenvolvimento em série de

MacLaurin das funções cos(x) , sen(x) e ex.

Figura 3.68 – Colapso da ponte de Tacoma Narrows (EUA 1940) sob a ação de forças cíclicas devidas a um

vento de intensidade moderada.

xx

Figura 3.69 - Representação de funções do tipo onda harmónica. a) Interpretação geométrica dos parâmetros

envolvidos. b) Visualização com o módulo ondas.xls.

Figura 3.70 - Decomposição em ondas sinusoidais de uma função f(t), definida num intervalo [0, T] (Oliveira,

et al., 2012).

Figura 3.71 – Utilização do conceito de integral para cálculo do valor médio de uma função num intervalo

0,T .

Figura 3.72 – Representação gráfica da função 2cos t e do respetivo valor médio 1/2 no intervalo [0,2]

Figura 3.73 – Interface da aplicação desenvolvida em Excel.

Figura 3.74 – Resultados obtidos após utilização da aplicação anterior.

Figura 3.75 – Aproximação de uma função usando séries de Fourier.

Figura 3.76 – Aproximação de uma função por somatórios de Fourier com 5, 10, 20 e 50 ondas.

Figura 4.1 – Bola a cair. Trajetória retilínea.

Figura 4.2 – Lançamento de uma bola ao cesto. Trajetória parabólica.

Figura 4.3 – Fotografias estroboscópicas do lançamento de uma bola na vertical.

Figura 4.4 – Ajuste dos pontos por uma parábola.

Figura 4.5 – Interface da aplicação projetil.xls.

Figura 4.6 – Resultados da aplicação projetil.xls

Figura 4.7 – Gráficos tempo-velocidade e tempo-aceleração para diferentes velocidades iniciais.

Figura 4.8 – Gráfico altura-tempo.

Figura 4.9- A componente horizontal do vetor velocidade é constante.

Figura 4.10 – Simulação do lançamento de uma bola ao cesto.

Figura 4.11 – Simulação do lançamento de uma bala de canhão.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/parabolas.html

Figura 4.12 – Poster: Funções quadráticas e o estudo do movimento de projéteis.

Figura 4.13 - Corrente suspensa.

Figura 4.14 - Cabo suspenso e desenho de um arco de alvenaria invertido com a forma do cabo (catenária).

Arcos catenários em alvenaria (material que resiste à compressão).

Figura 4.15 – Parábolas e catenárias. Da observação à modelação.

Figura 4.16 - Equilíbrio de forças num troço de um cabo suspenso sob a ação do peso de um tabuleiro.

Figura 4.17 - Equilíbrio de forças num troço de um cabo suspenso sob a ação do seu peso.

Figura 4.18 - Catenária assimétrica

Figura 4.19 – Representação gráfica de uma catenária assimétrica.

Figura 4.20 – Adaptação de uma parábola à forma de um cabo suspenso da ponte 25 de Abril.

Figura 4.21 - Posições da Terra ao longo de um ano: solstícios e equinócios. Vistas em projeção sobre o plano

da órbita.

Figura 4.22 - Posição do Sol na esfera celeste: traçado da eclíptica. Quando é Inverno no hemisfério norte, o

Sol está abaixo do equador celeste (a); quando é Verão, o Sol está acima do equador celeste (b).

Figura 4.23 - O ângulo entre a linha Sol-Terra e o eixo da Terra varia entre 90º- (Verão, no hemisfério

Norte) e 90º+ (Inverno), tomando o valor de 90º nos equinócios.

xxi

Figura 4.24 - Movimento aparente do Sol observável em Lisboa segundo duas vistas diferentes.

Figura 4.25 - Movimento aparente do Sol, observável no Pólo Norte.

Figura 4.26 - Esquema representativo de um relógio de sol equatorial.

Figura 4.27 – Representação visual dos arcos diurnos para uma determinada latitude e época do ano.

Figura 4.28 - Marcações de um relógio horizontal a partir de um relógio equatorial.

Figura 4.29 – Passos para a construção de um relógio de sol horizontal (latitude de Lisboa).

Figura 4.30 – Graduação num plano equatorial e correspondência com a graduação no plano horizontal. Vista

do plano equatorial após rebatimento para o plano horizontal.

Figura 4.31 - Estrutura da folha de cálculo para desenhar um mostrador de um relógio de Sol horizontal para

qualquer latitude. Neste caso a latitude é 360.

Figura 4.32 – Referencial adotado, centrado no Sol, e condições iniciais (t = 0).

Figura 4.33 - Referenciais adotados.

Figura 4.34 - Conceito de área “varrida” pelo vetor posição no instante de tempo t .

Figura 4.35 – Velocidade tangente.

Figura 4.36 – Condições iniciais e outros parâmetros envolvidos na modelação do movimento da Terra.

Figura 4.37 – Tabela com coordenadas polares , r( ) e coordenadas cartesianas (x, y)

Figura 4.38 - Órbita da Terra. Comparação com uma circunferência.

Figura 4.39 – Resultados da resolução numérica (método de Euler) da equação diferencial não linear que

descreve o movimento da Terra em torno do Sol.

Figura 4.40 – Organização de uma folha de cálculo contendo os valores de (t) e r r(t) bem como a

subrotina em VB.

Figura 4.41 –Movimento da Terra na sua órbita elítica (com excentricidade ampliada). A aplicação permite

visualizar a 2ª Lei de Kepler.

Figura 4.42 – Elipticidade da órbita da Terra.

Figura 4.43 – Estudos para implementação computacional da influência da obliquidade da eclíptica no

movimento da Terra.

Figura 4.44 – Obliquidade da eclítica.

Figura 4.45 - Efeitos da elipticidade da órbita da Terra e da obliquidade da eclíptica.

Figura 4.46 – Programa desenvolvido em MatLab “Relógio de Sol”.

Figura 4.47 - Corte meridional da Terra. Esfera celeste e horizonte para dois observadores colocados em

diferentes locais.

Figura 4.48 - Azimute de uma estrela.

Figura 4.49 - Ilustração das coordenadas horizontais: altura (h) e azimute (z).

Figura 4.50 - Latitude do lugar X e sua relação com a distância zenital z e a declinação d. z d .

Figura 4.51 – Astrolábio Náutico (http://astrolabes.org/pages/mariner.htm).

Figura 4.52 - Corte por um plano da esfera celeste ao meio dia solar.

Figura 4.53 - Aspecto da aplicação astrolabio.xls.

Figura 4.54 – Introdução dos dados na aplicação astrolabio.xls.

Figura 4.55 – Trabalho em grupo. Construção de um relógio de sol.

xxii

Figura 4.56 - Esquema ilustrativo do raciocínio de Eratóstenes.

Figura 4.57 – Aplicação para estudar o processo de Eratóstenes para medir o perímetro da Terra.

Figura 4.58 - Sistema massa-mola. Estabelecimento da equação diferencial através do equilíbrio entre as forças

de inércia, de amortecimento e elástica.


Figura 4.60 - Gráfico tempo-deslocamento.

Figura 4.61 - Gráfico tempo-deslocamento e curva de estado.

Figura 4.62 - Geometria do desenho da mola.

Figura 4.63 - Tabela contendo os parâmetros da geometria da mola.

Figura 4.64 – À direita: Gráfico dinâmico da mola (posição dos extremos dos segmentos). À direita:

Alongamento e compressão da mola ao longo do tempo.

Figura 4.65 – Tabelas para determinação das coordenadas dos extremos dos segmentos (elos) que compõem a

mola.

Figura 4.66 – Aplicação final.

Figura 4.67 – Influência do valor de k rigidez da mola. No caso (a) k=8 e em (b) k=45.

Figura 4.68 – Influência do coeficiente de amortecimento c. (a) c = 0,3 (b) c = 0.

Figura 4.69 – Influência de u0 e de v0: (a) u0>0 e v0=0 (b) u0 <0 e v0>0.

Figura 4.70 – Curva de estado tempo para o sistema massa mola

Figura 4.71 – Organização da folha de cálculo para o cálculo da matriz de rotação.

Figura 4.72 – Curva estado tempo do problema da mola.

Figura 4.73 - Amortecimento nulo e elevada rigidez.

Figura 4.74 – Amortecimento diferente de zero e baixa rigidez.

Figura 4.75 – Pêndulo. Equilíbrio de forças.

Figura 4.76 – Esquema ilustrativo do método de Euler.

Figura 4.77 – Esquema ilustrativo do método de Heun.

Figura 4.78 – Esquema ilustrativo do método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

Figura 4.79 – Implementação do método de Euler, de Heun e de Runge-Kutta numa folha de cálculo.

Figura 4.80 – Utilização do Excel para comparação de métodos numéricos para resolução de equações

diferenciais ordinárias. Método de Euler, de Heun e de Runge-Kutta de 4ª ordem. Discretização do domínio: a)

h = 0,4; b) h = 0,1.

Figura 4.81 – Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para estudo do movimento de um pêndulo.

Figura 4.82 – Interface da aplicação pendulo.xls.

Figura 4.83 – Movimento oscilatório de um pêndulo na hipótese de grandes oscilações. Resolução numérica da

equação diferencial ordinária não linear pelo método de Runge-Kutta, na folha de cálculo.

Figura 4.84 - Experiência laboratorial: Observação dos modos de vibração de um edifício de 3 pisos.

Figura 4.85 - Modelo simplificado utilizado para simular o comportamento dinâmico do modelo físico do

edifício de 3 pisos que foi ensaiado.

Figura 4.86 – Movimento oscilatório do edifício de três pisos para uma força sinusoidal de frequência 3.8 Hz

(f = 3.8×2) aplicada no piso superior.

xxiii

Figura 4.87 - Decomposição de uma série temporal, de comprimento T (p. ex., série observada num sensor

colocado numa obra sob excitação ambiental), em ondas sinusoidais (Oliveira, 2007).

Figura 4.88 – Modelo físico do edifício de três pisos e acelerogramas medidos em cada um dos pisos.

Figura 4.89 - Decomposição em “ondas” do acelerograma medido no piso superior. Espectro de amplitudes.

Figura 4.90 - Espectros de amplitudes correspondentes aos acelerogramas medidos nos três pisos do edifício.

Figura 4.91 – a) Perspetiva do modelo do edifício em análise e representação esquemática da decomposição em

ondas dos acelerogramas registados em cada um dos pisos do edifício. Em cada piso identificam-se três ondas

principais cujas frequências correspondem às frequências próprias do edifício. b) Análise comparativa das

principais ondas identificadas nos pontos observados, para cada uma das três frequências identificadas

(resultados obtidos pelos alunos de Engenharia Civil nas aulas de MAEC, Isel 2010)

Figura 4.92 – Deformação de um corpo elástico sob ação de forças exteriores.

Figura 4.93 – Mecânica dos sólidos. Estabelecimento do problema para o caso geral tridimensional.

Figura 4.94 – Estado de tensão e estado de deformação num ponto do interior de um sólido.

Figura 4.95 – Incógnitas num problema de mecânica dos sólidos.

Figura 4.96 – Relações entre deformações e deslocamentos.

Figura 4.97 – Relações entre tensões e deformações.

Figura 4.98 – Relações entre tensões e forças mássicas. Equação de equilíbrio.

Figura 4.99 – Equações fundamentais da Mecânica dos Sólidos. Formulação em deslocamentos: equação de

Navier.

Figura 4.100 - Discretização do cabo em quatro elementos finitos (Oliveira, 2005) e representação de uma

solução aproximada dada pela combinação linear de funções simples definidas por troços lineares (funções de

interpolação, Ni(x)).

Figura 4.101 -Funções de interpolação definidas por elemento: a) utilizando um elemento finito de barra com

dois pontos nodais e um grau de liberdade de translação por nó; b) utilizando um elemento finito de placa com

quatro pontos nodais e dois graus de liberdade de translação por nó.

Figura 4.102 – Exemplo utilizado para implementação do MEF em Excel. Barragem em betão.

Figura 4.103 - Modelo bidimensional da barragem sujeita apenas à ação da gravidade.

Figura 4.104 - Malha de elementos finitos (discretização). Coordenadas dos nós da barragem (9 m de altura) e

definição dos elementos (tabela de incidências).

Figura 4.105 - Esquema de mudança de referencial (Oliveira, 2012).

Figura 4.106 – Definição das funções de interpolação em coordenadas locais (no elemento “master”)

Figura 4.107 - Representação dos prismas em que se subdivide o volume sob o gráfico da função (integral).

Pontos de Gauss e respetivos pesos.

Figura 4.108 - Ilustração do processo de assemblagem ou espalhamento das várias matrizes de rigidez

elementares na matriz de rigidez global para o caso em que a secção foi discretizada em 4 elementos finitos.

Figura 4.109 - Representação do vetor elementar das forças nodais equivalentes ao peso próprio para o

elemento finito quadrangular com 2 G.L. de translação por nó.

xxiv

Figura 4.110 - Forças nodais equivalentes ao peso próprio distribuídas pela estrutura. Processo de

espalhamento das forças elementares no vetor das forças globais equivalentes ao peso próprio. Discretização

em 4 elementos finitos.

Figura 4.111 - Representação do vetor dos deslocamentos nos pontos nodais para o elemento finito

quadrangular com 2 G.L. de translação por nó.

Figura 4.112 – Resolução numérica da equação de Navier pelo MEF. Programação em Excel para o caso de

uma barragem discretizada em três elementos finitos planos de quatro nós.

Figura 4.113 – Cálculo da matriz de rigidez elementar para o caso do elemento 1 (página Elem1).

Figura 4.114 - Cálculo da matriz de rigidez elementar para o caso do elemento 2 (página Elem2).


Figura 4.116 – Cálculo da matriz de rigidez global, do vetor das forças nodais e da inversa da matriz de rigidez

com vista à obtenção da solução u .

Figura 4.117 - Programação em Excel para o caso de uma ponte em arco discretizada em onze elementos

finitos planos de quatro nós.

Figura 5.1 – Aula de Matemática (Projeto Matemática Dinâmica).

Figura 5.2 - Trabalhos dos alunos no âmbito do Projeto Matemática Dinâmica.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/

Figura 5.3 – Dois posters que fizeram parte da exposição no âmbito do Projeto Matemática Dinâmica. A

exposição pode ser visitada em

Figura 5.4 – Trabalho desenvolvido pelas alunas, em Excel, para resolverem a questão1.

Figura 5.5 – Resolução da questão 2 em Excel.

Figura 5.6 – À esquerda foto do trabalho no computador e impressão. À direita apresentação feita pelas alunas.

Figura 5.7 – Aplicação desenvolvida em Excel por três alunos do 7º ano de escolaridade. Pode consultar-se em

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/numeros.html

Figura 5.8 – Parte da ficha “Legos em torre”. Item do IAVE.

Figura 5.9 – Parte do trabalho realizado por um grupo de alunos do 8º ano sobre o item anteriormente

apresentado.

Figura 5.10 – Interface da aplicação desenvolvida para estudar a função afim.

Figura 5.11 – Relatório realizado por Ana Cardoso e Carolina (8ºA) sobre o estudo da função afim.

Figura 5.12 – Aplicação que recria a demonstração do teorema de Pitágoras feita por Euclides.

Figura 5.13 - Relação entre as células C2 , B6 e C6

Figura 5.14 – Gráfico antes da formatação.

Figura 5.15- Planificação do trabalho a desenvolver com os alunos.

Figura 5.16 – Poster apresentado no Ministério da Educação.

Figura 5.17 - Aplicação mola.xls. Varia-se, de um exemplo para o outro, a rigidez da mola.

Figura 5.18 - Aplicação corridadecarros.xls. No primeiro exemplo os carros percorrem 400 km um a 150 km/h

e outro a 100 km/h. No segundo exemplo os carros percorrem 500 km um a 100 km/h e outro a 200 km/h.


Figura 5.19 - Picoboard Scratch.

xxv

Figura 5.20 - Aspeto de alguns trabalhos realizados com os alunos.

Figura 5.21 – Processo de construção de um triângulo isósceles, no Geogebra.

Figura 5.22 – Rotação do triângulo isósceles em torno de um os vértices do triângulo.

Figura 5.23 – Introdução de um seletor no Geogebra.

Figura 5.24 – Aula de matemática do 4º ano. Projeto Espiral.

Figura 5.25 - Estudo dos máximos absolutos de funções. Aplicação desenvolvida em Excel.

Figura 5.26 – Interface da aplicação semelhança.xls.

Figura 5.27 - Desafios numéricos.

Figura 5.28 – Interface da aplicação para apoio ao estudo das frações.

Figura 5.29 – Representação na reta numérica de frações.

Figura 5.30 – Aplicação desenvolvida em Excel

Figura 5.31 – Estudo das funções racionais. Variação dos parâmetros.

Figura 5.32 – Organização da folha de cálculo com vista à construção da aplicação

Figura 5.33 – Lançamento de seis moedas consecutivas.

Figura 5.34 – Simulação em Excel

Figura 5.35 – Aplicação para praticar o cálculo mental. Implementação na sala de aula.

Figura 5.36 – Transformações de uma função cúbica. Trabalho realizado por um professor no âmbito da ação

de formação “Novas Tecnologias”. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=158

Figura 5.37 – Guião para estudar as transformações simples de funções.

Figura 5.38 – Aspeto do manual interativo no tema Teorema de Pitágoras e demonstrações.

Figura 5.39 – Documento publicado na Casa das Ciências. Consultar em

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemid=23&search_phr

ase=a0002%20semelhan%C3%A7a&search_mode=all&ordering=newest#

Figura 5.40 - http://www.imaginary.org/ (Oliveira, et al., 2013)

Figura 5.41 - http://www.imaginary.org/film/sundials (Nápoles, et al., 2013)

Figura 5.42 - http://www.casadasciencias.org/iencontrointernacional/livro_resumos_final.pdf

xxvii

Índice de aplicações computacionais desenvolvidas numa folha de cálculo

Página

APLICAÇÃO 1: Rotações (Geogebra) 31

APLICAÇÃO 2: Polígonos regulares (Scratch) 33

APLICAÇÃO 3: Pirâmide de números. Jogo 37

APLICAÇÃO 4: Visualização gráfica do desenvolvimento em série de Taylor

das funções y = cos x, y=sen x e y=ex 37

APLICAÇÃO 5: Representação gráfica de uma “membrana elástica” (MatLab) 38

APLICAÇÃO 6: Divisores de um número 44

APLICAÇÃO 7: Jogo de cálculo mental. Adição de números inteiros. 55

APLICAÇÃO 8: Jogo sobre o sistema de numeração decimal 56

APLICAÇÃO 9: Reta numérica 58

APLICAÇÃO 10: Equações de 1ª ordem 58

APLICAÇÃO 11: Divisores de um número 59

APLICAÇÃO 12: Divisores de dois números 61

APLICAÇÃO 13: Ampliação da aplicação divisores.xls 61

APLICAÇÃO 14: Crivo de Eratóstenes 61

APLICAÇÃO 15: Teorema fundamental da aritmética 61

APLICAÇÃO 16: Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras 65

APLICAÇÃO 17: Investigações geométricas 67

APLICAÇÃO 18: Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras 69

APLICAÇÃO 19: Coordenadas cartesianas 73

APLICAÇÃO 20: Estudo da função de proporcionalidade direta 76

APLICAÇÃO 21: Alongamento de uma mola 78

APLICAÇÃO 22: Estudo da função quadrática 80

APLICAÇÃO 23: Quadriláteros e função quadrática 82

APLICAÇÃO 24: Relógio mecânico 84

APLICAÇÃO 25: Circunferência 88

APLICAÇÃO 26: Círculo trigonométrico 90

APLICAÇÃO 27: Moinho eólico 91

APLICAÇÃO 28: Reta tangente como limite de uma sequência de retas secantes 93

APLICAÇÃO 29: Relação entre o gráfico de uma função f e o da função derivada 95

APLICAÇÃO 30: Aproximação de 99

APLICAÇÃO 31: Vistas dos planos de projeção em perspetiva de uma pirâmide 107

APLICAÇÃO 32: “Corte” de um cubo 110

APLICAÇÃO 33: Interpretação geométrica de valores e vetores próprios de matrizes 2x2 113

APLICAÇÃO 34: Proporcionalidade inversa e função logarítmica 118

APLICAÇÃO 35: Função exponencial. 119

xxviii

APLICAÇÃO 36: Representação gráfica de uma função do tipo sinusoidal 124

APLICAÇÃO 37: Aproximação de funções através de séries de Fourier 130

APLICAÇÃO 38: Lançamento de uma bola na vertical. 142

APLICAÇÃO 39: Ajuste dos pontos por uma parábola. 142

APLICAÇÃO 40: Lançamento de um projétil 143

APLICAÇÃO 41: Lançamento de uma bala de canhão 148

APLICAÇÃO 42: Catenária assimétrica 160

APLICAÇÃO 43: Arcos diurnos 169

APLICAÇÃO 44: Mostrador de um relógio de sol 173

APLICAÇÃO 45: Dados para simular o movimento da terra 185

APLICAÇÃO 46: Cálculos 187

APLICAÇÃO 47: Órbita elítica da Terra e velocidade angular não constante 188

APLICAÇÃO 48: Elipticidade da órbita da Terra 189

APLICAÇÃO 49: Obliquidade da eclítica 191

APLICAÇÃO 50: Sobreposição dos efeitos da elipticidade da órbita da Terra e da obliquidade da eclíptica 191

APLICAÇÃO 51: Astrolábio 198

APLICAÇÃO 52: Medição do perímetro da Terra pelo método de Eratóstenes 201

APLICAÇÃO 53: Gráfico tempo/deslocamento com animação 214

APLICAÇÃO 54: Gráfico tempo-deslocamento e plano de fases. 215

APLICAÇÃO 55: Desenho esquemático da mola, gráfico tempo-deslocamento e plano de fases. 219

APLICAÇÃO 56: Curva estado-tempo 226

APLICAÇÃO 57: Método de Euler e método de Runge-Kutta 236

APLICAÇÃO 58: Pêndulo 240

APLICAÇÃO 59: Espectro de amplitudes 252

APLICAÇÃO 60: Implementação do MEF na folha de cálculo. Barragem 278

APLICAÇÃO 61 - Implementação do MEF na folha de cálculo. Ponte em arco. 282

APLICAÇÃO 62: Relação entre os valores da área e do perímetro de um quadrado. 292

APLICAÇÃO 63: Simulação do feito de Eratóstenes para medição do perímetro da Terra. 292

APLICAÇÃO 64 – Funções e Geometria 343

1 1 INTRODUÇÃO

1.1 Enquadramento e objetivos

Na generalidade das áreas de atividade da sociedade moderna, a matemática é cada vez mais

reconhecida como imprescindível, o que está bem resumido na frase do matemático Cédric

Villani, diretor do Instituto de Poincaré desde 2009, detentor da medalha Fields 2010 e do

Prémio Fermat 2009 entre outras condecorações: “Se o mundo fosse um carro, a matemática

seria o motor”. No entanto, parece continuar a ser encarada pela generalidade dos alunos como

uma disciplina sem utilidade. Ao mesmo tempo confrontam-se diariamente, com informação

sobre os constantes avanços tecnológicos (internet cada vez mais rápida, novos equipamentos de

GPS, naves que viajam até Marte ou programadas para se aproximarem de cometas, novos

telemóveis e computadores com ecrãs tácteis, etc.) e, intuitivamente, percebem que tais avanços

resultam do trabalho de cientistas e engenheiros que têm que se apoiar nos seus conhecimentos

de matemática, de ciências experimentais e tecnologias (MST, 2006) (STEM, 2012).

Na sociedade atual parece existir uma preocupação crescente com o facto de uma parte

significativa dos alunos revelar dificuldades em compreender e utilizar conhecimentos de

matemática nas mais diversas áreas. Os professores sentem-se frustrados por constatarem que

não se está a conseguir inverter a situação e os governos, conscientes da importância da

2

matemática nomeadamente para a competitividade da economia (MST, 2006), têm procurado

implementar diversas medidas com vista à melhoria de resultados (OECD, 2012).

No entanto, e apesar dos esforços, o problema persiste e agrava-se um sentimento

generalizado de que os alunos que saem das nossas escolas e entram na vida ativa, não possuem

os conhecimentos matemáticos essenciais para responderem às exigências da sociedade

moderna, nomeadamente no que diz respeito à capacidade de utilização da matemática para

resolverem problemas e para aplicarem os conhecimentos adquiridos a novas situações (Hoyles,

2014) (Polya, 2004).

Um outro problema é que entre os matemáticos e os especialistas em educação matemática

há diversas correntes de opinião, muitas vezes divergentes, no que se refere à natureza das metas

curriculares para a aprendizagem da matemática. Uns defendem que no ensino da matemática, o

estudo das aplicações deve ter um peso significativo (argumentando que a generalidade dos

alunos na vida profissional irá usar a matemática sobretudo do ponto de vista das suas aplicações

e não como matemáticos profissionais) outros entendem que o importante é ensinar os diferentes

tópicos curriculares numa perspetiva puramente matemática; uns defendem que o formalismo

característico da linguagem matemática deve ser introduzido com toda a generalidade desde

muito cedo, enquanto os especialistas em educação matemática defendem que é possível

aprender e apreciar matemática sem dominar todo o formalismo desde o início e que este pode

ser introduzido de uma forma mais gradual.

Paul Lockhart é um investigador matemático e lecionou a disciplina de matemática para

níveis elementares. O livro “A Mathematician’s Lament” é um pequeno livro da sua autoria, que

ficou popularizado pela eloquente crítica ao ensino da matemática devido ao excesso de

formalismo que os professores normalmente usam e pela ausência de estratégias para apelar à

intuição e mostrar a beleza da matemática. Ele defende que, para os alunos passarem a gostar de

matemática, é urgente mostrar-lhes a sua verdadeira essência. Compara a matemática com a

música a qual, diz, poder ser apreciada sem que se saiba ler ou escrever pautas musicais

(Lockhart, 2010). No seu mais recente livro, “Measurement” Lockhart diz que fazer matemática

é descobrir e depois explicá-la da forma mais simples e elegante que for possível (Lockhart,

2012).

Há ainda quem defenda que a tecnologia não acrescenta nada de significativo no processo de

aprendizagem da matemática enquanto outros consideram fundamental que o ensino da

matemática procure a melhor forma de aproveitar as possibilidades oferecidas pela tecnologia

(estes argumentam que as empresas procuram, cada vez mais, profissionais que sejam capazes de

integrar os conhecimentos de matemática em aplicações computacionais mais ou menos

sofisticadas) (Hoyles, 2014). O que resulta de todas estas diferentes correntes de opinião é uma

enorme dificuldade em encontrar o necessário equilíbrio para se definir um caminho trilhável

para o futuro do ensino da matemática. Na altura em que o presente trabalho teve início,

encontrava-se em vigor o Programa de Matemática do Ensino Básico na sua versão homologada

a 28 de Dezembro de 2007 (Ponte, et al., 2007) e o Programa de Matemática do Ensino

3

Secundário nas suas versões homologadas entre 2001 e 2002 (Secundário, 2003). Com a

mudança de governo, mudaram-se as políticas respeitantes à educação e em particular à

educação matemática e, com a introdução das metas curriculares (Bivar, et al., 2013), acentuou-

se o debate sobre as diferenças de opiniões que acabaram por se extremar. A Associação de

Professores de Matemática disponibilizou na sua página documentos curriculares oficiais tais

como as posições institucionais, pareceres e artigos de vários especialistas sobre esta temática

(APM, 2013) que demonstram bem as divergências acerca daquilo que é considerado relevante

na matemática escolar.

Tendo presente este tipo de dificuldades, alguns países como a Noruega (MST, 2006),

Estados Unidos da América (Officers, 2009) e Reino Unido (Kingdom, 2011) têm reunido

equipas envolvendo matemáticos profissionais, especialistas em educação matemática,

engenheiros, economistas, gestores, investigadores das várias áreas das Ciências Experimentais e

professores dos vários níveis de ensino para que, em conjunto, consigam definir os melhores

caminhos para o futuro do ensino da matemática. Em termos genéricos as conclusões dessas

equipas têm apontado no sentido de que é fundamental desenvolver nos alunos competências ao

nível da utilização conjunta da Matemática, Ciências Experimentais e Tecnologia. A tecnologia,

presente em praticamente todas as áreas da nossa sociedade, continua afastada das nossas aulas

de matemática, e o seu lugar, apesar dos inúmeros esforços, ainda não está claramente definido.

Devido ao rápido desenvolvimento tecnológico, a sociedade moderna tem sofrido nos

últimos anos grandes mudanças associadas geralmente ao denominado efeito da globalização

(Friedman, 2006). Com a rápida proliferação do conhecimento e da informação, e com os

desenvolvimentos que têm ocorrido recentemente nas várias áreas da ciência, o modelo de

ensino tem que ser permanentemente repensado e atualizado, em particular o ensino da

Matemática. Neste sentido, espera-se que o ensino da matemática prepare os alunos, que saem

das escolas secundárias e das universidades, para competirem num mercado de trabalho global,

nas diversas áreas de emprego emergentes (Seeley, 2010) - só assim será possível aumentar os

níveis de competitividade dos países (MST, 2006).

Atualmente é reconhecida a importância de apostar nas áreas da investigação e

desenvolvimento, mas para isso é fundamental desenvolver nos alunos as competências em

matemática, ciências experimentais e tecnologias, (Sutherland, 2011) pois são estas as que

promovem a inovação global e as principais potenciadoras de crescimento. No entanto as escolas

têm encontrado diversos obstáculos que dificultam o acompanhamento dos novos desafios

impostos pelo desenvolvimento tecnológico presente em quase todos os setores de atividade.

Existe um desfasamento entre a escola e a sociedade, que se tem acentuado nos últimos tempos

devido essencialmente ao facto de as tecnologias não estarem a ser devidamente integradas nos

currículos de matemática (Hoyles, et al., 1987), na formação inicial dos professores (Joubert,

2007) na avaliação dos alunos e, em muitos casos, devido ao facto de as escolas ainda não terem

os meios informáticos suficientes.

4

A não integração das tecnologias nos currículos de matemática verifica-se também na

generalidade dos cursos superiores o que inevitavelmente afeta a formação dos professores nesta

área, com as inevitáveis consequências negativas ao nível do trabalho com os alunos. Para se

quebrar este ciclo é necessário intervir simultaneamente nos vários níveis de ensino, repensando

os conteúdos e metodologias de ensino nas disciplinas de matemática dos cursos superiores (o

que se refletirá positivamente na formação inicial dos professores), atualizando os currículos de

matemática do ensino básico e secundário e promovendo a formação contínua dos professores de

matemática no sentido de melhorar as suas competências em Matemática-Ciências Expe-

rimentais-Tecnologia.

Existe atualmente uma grande oferta e diversidade de recursos informáticos vocacionados

para o ensino da matemática. Muitos manuais escolares incorporam aplicações computacionais

normalmente em formato digital e até guiões com sugestões para utilização do computador no

apoio a alguns tópicos do currículo de matemática. Muitas escolas já se encontram

razoavelmente bem apetrechadas com equipamentos informáticos nomeadamente computadores

portáteis e fixos, ligação à Internet com e sem fios, quadros interativos e vídeo projetores. Com a

facilidade de ligação à Internet, as escolas têm oportunidade de aceder facilmente a diversos

tipos de informação e software educacional.

É genericamente reconhecido que nos últimos anos as condições para utilização dos

computadores no ensino da matemática têm melhorado significativamente na generalidade das

nossas escolas, do básico ao superior. Têm sido desenvolvidas diversos projetos envolvendo o

uso dos meios computacionais disponíveis e, no entanto, continuam a persistir dúvidas no que

diz respeito à eficácia e ao “valor acrescentado” que a utilização do computador traz para a

aprendizagem da matemática (Hoyles, et al., 2010). Os professores questionam-se

frequentemente sobre os benefícios reais da utilização do computador nas aulas de matemática,

muitas vezes concluindo que o ganho é insuficiente quando comparado com o tempo

despendido. Perante estas dificuldades, a utilização do computador tende a ocorrer pontualmente

e de forma marginal.

Estudos realizados sobre este assunto identificam algumas razões que justificam a

resistência à utilização dos computadores nas aulas de matemática:

A inexistência de orientações claras e explícitas sobre a utilização dos computadores para

ensinar matemática, nos currículos nacionais; as poucas referências são vagas e

imprecisas, principalmente quando comparadas com outras orientações patentes nos

mesmos programas.

As atuais práticas de avaliação não contemplam o uso das tecnologias; Os exames que os

alunos têm de realizar no final de alguns anos, continuam a condicionar inevitavelmente,

as práticas de ensino.

A insuficiente preparação profissional dos professores na área da utilização das

tecnologias, resultante, em parte, da não adequação dos currículos dos atuais cursos do

ensino superior no que diz respeito à integração das tecnologias no ensino da matemática

5

(Joubert, 2007), mas consequência também da insuficiência de ações de formação

contínua focalizadas na utilização do computador para promover a aprendizagem da

matemática. As rotinas profissionais dos professores condicionam a auto formação.

A perceção que os professores têm de que é uma mais valia recorrer às tecnologias para

melhorar a qualidade da apresentação das matérias, com recurso a ferramentas do tipo

“PowerPoint”; tiram partido da facilidade em adquirir materiais educativos (via Internet),

da estética apelativa de muitos desses produtos construídos por outros e da facilidade de

incorporação nos planos de aula, as quais acabam por assumir um caráter acentuadamente

expositivo (MST, 2006).

Problemas de natureza logística, que mesmo que possam surgir ocasionalmente, são

muitas vezes incontornáveis em tempo útil (tempo que decorre uma aula) o que contribui

para desmobilizar os professores para futuras utilizações (Hoyles, et al., 1987).

Os professores só sentem uma verdadeira necessidade de incorporar as tecnologias no

ensino, quando eles próprios experimentarem o valor de usar uma determinada ferramenta

computacional na resolução de um problema (Hitt, 1998). Em geral há uma tendência para se

reproduzir o tipo de ensino que se recebeu o que dificulta a mudança para a implementação de

novas metodologias de ensino mais baseadas no uso da tecnologia (Selden, et al., 2008). O

investimento na formação contínua dos professores pode ser uma prioridade, mas nem sempre

tem sido fácil orientar esta formação no sentido de proporcionar a exploração e investigação de

problemas de natureza matemática com recurso ao computador. Esta forma de experimentação

matemática, permitiria a perceção direta de que a utilização do computador pode, de facto,

constituir uma importante mais-valia na resolução de alguns tipos de problemas permitindo

estabelecer ligações entre a matemática e outras ciências e aprofundar o conhecimento sobre os

tópicos de matemática estudados. É convicção que reconhecendo a importância da utilização do

computador a este nível, os próprios professores tenderiam naturalmente, a implementar este tipo

de trabalho de experimentação matemática com os alunos.

Existe evidência de que a prática com as tecnologias pode ajudar os alunos a

compartimentar, organizar e estruturar o pensamento de forma a estimular a inovação e

criatividade (Norton, et al., 2006).

Com o presente trabalho pretende-se, estimular o recurso à utilização do computador

recorrendo a ambientes de desenvolvimento como as folhas de cálculo, com as quais professores

e alunos desenvolvem aplicações computacionais interativas, com componentes gráficas e de

animação.

A opção pelas folhas de cálculo prende-se com vários aspetos, resultantes em parte de

pesquisas feitas sobre o assunto mas também da experiência com este tipo de programas,

vivenciada pela autora do presente trabalho, que durante um longo período de tempo que

antecedeu o início da investigação, se colocou no papel de utilizadora/observadora. Desta

experiência resultou uma forte expectativa de que esta ferramenta poderia ser muito poderosa

para complementar o ensino/aprendizagem da matemática.

6

Uma importante vantagem das folhas de cálculo é serem programas de utilização geral

(utilizadas por profissionais das mais diversas áreas) e não estarem dirigidas especificamente

para o ensino: não dispõem, por exemplo, de ferramentas que permitam desenhar gráficos de

funções de forma automática, o que acaba por constituir uma importante vantagem quando se

pretende proporcionar aos alunos um ambiente computacional favorável à construção da

aprendizagem da matemática. O facto da folha de cálculo não possuir automatismos e permitir

usar diferentes tipos de linguagens, tais como a linguagem corrente, numérica e simbólica, e o

facto de todos os procedimentos usados ficarem registados na folha e de uma forma visível, faz

com que seja possível observar as etapas do desenvolvimento da aplicação e receber de uma

forma imediata o feedback (Hillel, 1992) das suas ações, podendo assim ir retificando os erros

cometidos.

As folhas de cálculo permitem que professores e alunos construam as suas próprias

aplicações para todos os níveis de ensino desde as mais simples destinadas aos alunos do ensino

básico, até às mais sofisticadas para os alunos do ensino superior, com possibilidade de

programação de interfaces interativas incluindo botões de controlo para facilitar a mudança de

parâmetros e com possibilidade de incluir facilmente representações gráficas sugestivas com ou

sem efeitos de animação (Baker, et al., 2007). Podem ser desenvolvidas aplicações com o

propósito de estudar os principais temas curriculares de matemática (números, funções, álgebra,

geometria, cálculo diferencial e integral, séries, equações diferenciais, números complexos,

transformadas de Fourier, …) mas também é possível utilizar esta plataforma para efetuar

simulações computacionais no âmbito do estudo de problemas de modelação matemática de

fenómenos naturais onde se privilegiam as relações entre a matemática e as outras ciências. Esta

vantagem ao nível da sua sequencialidade ao longo dos ciclos de ensino parece ser de grande

utilidade pois o investimento feito inicialmente é recuperado nos anos posteriores cada vez com

maiores ganhos (Baker, et al., 2007).

Por todas estas razões, as folhas de cálculo, quando devidamente exploradas, parecem

constituir ferramentas com enormes vantagens para os alunos aprenderem matemática.

Matemática, Ciências experimentais e tecnologia

A matemática constitui um modelo de raciocínio exato, um desafio absorvente para a mente

humana, uma experiência estética para os criadores e alguns estudantes, um pesadelo para muitos

estudantes e uma verdadeira saída para a visualização do poder da mente (Kline, 1981). Mas,

historicamente e intelectualmente, a matemática é a melhor criação para investigar a Natureza. A

matemática é valiosa essencialmente devido às suas contribuições para a compreensão do mundo

físico (Kline, 1981). Apesar de tudo há matemáticos, ditos puristas, como é o caso de Hardy que

afirmou: “…Nenhuma descoberta minha fez ou fará, direta ou indiretamente, para o bem ou

para o mal a menor diferença para o bem-estar da Humanidade” (Hardy, 1992).

Hardy era um pacifista e, com esta reflexão, certamente quis exprimir o desejo de que o

trabalho dos matemáticos, e o dele em particular, nunca fosse utilizado para fins bélicos. Todavia

7

alguns resultados de Hardy no âmbito da Teoria dos Números viriam a ser utilizados na Física

Quântica e a História já mostrou que o futuro de muitas invenções veio a provar ser muito

diferente do que originalmente se idealizou para a invenção. Mas, a par deste ideal matemático

de Hardy, muitos outros matemáticos realizaram trabalhos que ajudaram a compreender o mundo

que nos rodeia e influenciaram de forma decisiva a história da Humanidade. No livro “Cinco

equações que mudaram o mundo” (Guillen, 1998) ilustra-se bem a importância da matemática no

mundo moderno e como ela tornou possível feitos anteriormente tidos como irrealizáveis: a

descoberta da eletricidade, dos aviões, a energia nuclear, a ida à Lua e mesmo a descoberta das

leis da natureza relacionadas com vida e a morte (entropia).

É certo que os avanços nas ciências experimentais estimularam muitas vezes o aparecimento

de novas ideias em matemática: Newton, por exemplo, para compreender a força gravítica e o

movimento dos planetas em torno do Sol, desenvolveu um novo ramo da matemática (o Cálculo

Diferencial, também descoberto por Leibniz de forma independente). Outras vezes são os

avanços em matemática que conduzem ao progresso das ciências experimentais: a teoria da

relatividade geral de Einstein (1915) encontrou na geometria de Riemann (1850) os fundamentos

matemáticos que necessitava; a descoberta da primeira antipartícula, o positrão ou anti eletrão

(Greene, 2010) foi resultado de uma previsão matemática de Paul Dirac (1928) confirmada

experimentalmente em 1932 por Carl Anderson quando estudava a radiação cósmica; muito

recentemente a descoberta experimental do bosão de Higgs (LHC – Cern 2012) foi muito

celebrada pelo físicos de todo o mundo porque permitiu confirmar a consistência matemática do

denominado modelo padrão da Física que explica as interações entre as partículas elementares

constituintes da matéria através das quatro forças da natureza até agora identificadas (força forte,

força fraca, força eletromagnética e força gravítica).

O inquestionável poder da linguagem matemática para nos ajudar a entender o mundo está

historicamente documentado e a título de exemplo, pode-se salientar o extraordinário feito de

Eratóstenes quando, há bem mais de 2000 anos, já fez uso dos seus conhecimentos de

matemática para determinar o raio da Terra.

Esta interligação da matemática com as ciências experimentais tem sido continuamente

fortalecida com o rápido desenvolvimento tecnológico. A matemática, a física e as engenharias,

aliadas à tecnologia, promovem a inovação e são as principais responsáveis por gerar

crescimento numa sociedade (Walport, et al., 2010).

Negar esta associação seria o mesmo que parar de refletir sobre a importância que as escolas

têm no desenvolvimento de competências nos alunos sobre os quais recai o futuro, dando o seu

contributo para os avanços científicos e tecnológicos de um país. A organização de um sistema

de ensino assente num currículo que incorpora disciplinas sem qualquer ligação entre elas, com

uma carga horária pré-estabelecida e professores focalizados somente nas áreas que lecionam,

não estimula as ligações entre os diversos campos de conhecimento.

Um sistema de ensino alheio às tecnologias e às suas mais-valias na consolidação e

aprofundamento das matérias, não estimula a curiosidade e a inovação. Constitui pois um

8

desafio, a descoberta de um equilíbrio entre a complexidade e o caráter multifacetado da

matemática, a sua aplicabilidade às ciências experimentais bem como uma utilização criteriosa

das tecnologias.

Elon Lages Lima, matemático brasileiro reconhecido amplamente também pelos seus

contributos na área do ensino da matemática (e da geometria em particular), defende que existem

três componentes fundamentais para garantir uma aprendizagem da matemática efetiva, a saber,

a conceptualização, a manipulação e as aplicações (Lima, 2004). Ele considera que é no

equilíbrio destas três componentes que se poderá melhorar o processo ensino-aprendizagem em

todas as suas dimensões. Esta ideia continua atual reconhecendo-se que, apesar de existirem

alterações na natureza da matemática que os alunos hoje precisam e no tipo de raciocínio

matemático necessário, os fundamentos de um currículo de matemática equilibrado, mantêm-se.

No essencial os alunos devem compreender os conceitos e ideias matemáticas de tal forma que a

matemática faça sentido (conceptualização). Devem conhecer factos matemáticos e revelar

destreza na realização de procedimentos matemáticos (manipulação) e devem ainda ser capazes

de resolver um vasto conjunto de problemas em vários contextos, refletindo, raciocinando e

aplicando a matemática que aprenderam (Seeley, 2010).

Pretende-se neste trabalho mostrar como, tirando partido da utilização das folhas de cálculo,

se pode reforçar e ampliar as três componentes de um currículo de matemática equilibrado

(Figura 1.1).

Figura 1.1 - A tecnologia, para o desenvolvimento equilibrado/harmonioso da conceptualização,

manipulação e aplicações, enquanto ferramenta preciosa.

O ICMI – International Commission on Mathematical Instruction é uma comissão fundada

em 1908 que desenvolve diversas iniciativas para promover a qualidade no ensino/aprendizagem

da matemática. Em dezembro de 2006 numa conferência no Vietnam debateu-se o papel das

tecnologias no ensino da matemática tendo-se concluído que é necessário definir a maneira de

Aplicações

Matemática Ciências

Tecnologia

modelação

Conceitos Representa-

Tecnologia Tecnologia

Conceptualização Manipulação

matemáticos/ ção de ideias/Cálculo

aritmético

Cálculoalgébrico/simbólicoformulações gráficos

9

integrar as tecnologias, estabelecer trajetórias de aprendizagem recorrendo aos computadores

evitando apenas a adaptação das tarefas tradicionais com papel e lápis. A conceção de tais tarefas

exige um esforço grande de inovação e criatividade.

O desafio que se coloca na presente investigação é o de incluir de forma natural em cada

uma das componentes propostas por Elon Lages Lima, a componente “Tecnologia”. Não se

pretende substituir qualquer componente, do modelo original, nem sobrecarregar esse modelo

com a introdução de uma nova categoria. Acrescentando uma nova vertente, a vertente

computacional, espera-se poder proporcionar aos alunos uma perspetiva esclarecedora, com as

oportunidades de estabelecer pontes que sem a tecnologia, ou não existiam ou pelo menos, não

eram tão acessíveis.

Ao nível da conceptualização, a tecnologia irá ser integrada de modo a que a criação de

aplicações computacionais para estudar diversos tópicos de matemática proporcione o

estabelecimento da sempre difícil relação entre o caráter abstrato de um conceito

matemático e a dimensão concreta das suas representações; do recurso à tecnologia espera-

se, aqui obter uma maior mobilização de conhecimentos matemáticos que os alunos vão

adquirindo ao longo do seu percurso escolar, espera-se um maior aprofundamento dos

mesmos e uma maior possibilidade da comunicação das ideias matemáticas envolvidas.

A manipulação envolve o domínio de competências ao nível do cálculo aritmético e do

cálculo algébrico simbólico. Também nesta componente se podem tirar vantagens da

utilização dos computadores pois estes executam com rapidez e eficiência cálculos

rotineiros de somenos importância e com isso é possível dedicar mais tempo à

compreensão e aprofundamento dos próprios conceitos e das suas propriedades-chave.

Finalmente na componente do desenvolvimento de aplicações a tecnologia surge

naturalmente como ferramenta fundamental na simulação de fenómenos observados.

Em suma, o objetivo principal deste trabalho consiste essencialmente em proporcionar aos

alunos situações em que, partindo da observação de fenómenos, se possa criar um modelo

matemático, simulá-lo computacionalmente numa folha de cálculo e em seguida verificar a

validade do modelo comparando os resultados obtidos, através do modelo, com os observados na

realidade. Estas quatro fases: observação, modelação, simulação e verificação, usadas ao longo

da história da Matemática e da Humanidade adquirem agora, com o recurso ao computador, um

novo e estimulante impulso para o fortalecimento das ligações da matemática com o mundo que

nos rodeia.

Pretende-se promover o desenvolvimento e utilização de aplicações em ambiente de folha

de cálculo nomeadamente o Excel, com módulos computacionais desenvolvidos em Visual Basic

(linguagem de programação incorporada no Excel), que permitam aos alunos estruturar o seu

pensamento matemático e aprofundar os conhecimentos em diferentes temas do currículo

nacional da disciplina de Matemática. As aplicações computacionais propostas, a desenvolver

http://www.matematicadinamica.com/ficheiros/relatorio_v4.pdf

http://www.matematicadinamica.com/ficheiros/relatorio_v4.pdf

10

por alunos e professores em ambiente escolar, incluem componentes de animação e

interatividade cuja conceção pode facilitar a compreensão e aprofundamento dos conceitos

matemáticos envolvidos. Algumas delas permitem evidenciar as conexões entre vários tópicos da

matemática, outras evidenciam as ligações entre a matemática e as outras ciências.

Espera-se com este trabalho dar um contributo que leve a repensar os currículos de

matemática, no que diz respeito à explicitação clara dos conhecimentos matemáticos e das

competências necessárias para usar o computador em atividades de modelação matemática e

resolução de problemas, que envolvam a programação.

1.2 Estrutura do trabalho

Este trabalho encontra-se organizado em seis capítulos em que o primeiro corresponde à

presente introdução e o último corresponde às conclusões e perspetivas futuras.

No capítulo 2 começa-se por apresentar a evolução, no que diz respeito à utilização dos

computadores no ensino da matemática, em Portugal, ao longo dos últimos trinta anos, referindo-

se projetos desenvolvidos e algumas medidas tomadas nesta área. Relatam-se também

experiências consideradas significativas em alguns países do mundo. São apresentadas ainda

diferentes perspetivas de utilização dos computadores no ensino da matemática, realçando-se

aspetos didáticos tais como os critérios considerados na escolha do software e a sua

adequabilidade ao ensino da matemática, as potencialidades gráficas e computacionais bem

como as diversas representações que os computadores oferecem. Salientam-se aspetos

pedagógicos tais como o papel do professor e a perspetiva do aluno quando se utiliza o

computador dentro da sala de aula e a natureza das tarefas e a organização das aulas.

Neste capítulo apresentam-se ainda as características de diferentes tipos de software que

podem ser utilizados no ensino da matemática, descrevendo com maior detalhe as folhas de

cálculo com programação incorporada em Visual Basic que constitui o software escolhido para o

desenvolvimento do presente trabalho.

No capítulo 3 propõe-se uma abordagem baseada no recurso à folha de cálculo ilustrada com

a apresentação de vários exemplos que percorrem, aqueles que se consideram serem os

principais tópicos de matemática dos atuais currículos, desde o básico ao superior. Inicia-se o

capítulo com o estudo dos números, coordenadas cartesianas, funções e função derivada,

conceito de limite e o número pi, o número e a fórmula de Euler para os complexos, as séries de

Fourier e termina-se com exemplos em que se recorre ao cálculo matricial.

Ao longo dos vários exemplos salienta-se a importância de recorrer a representações

gráficas sugestivas e dinâmicas, elaboradas pelos próprios alunos, como forma privilegiada de

obter um conhecimento mais profundo dos tópicos de matemática e estabelecer ligações entre

diversas áreas da matemática. A escolha dos tópicos de matemática resulta da sua relevância ao

nível dos currículos nacionais de matemática e da importância que assumem na formação base

dos alunos. A abordagem utilizada procura que toda a matemática apresentada aos alunos faça

http://www.matematicadinamica.com/ficheiros/Relogios-de-Sol-3D_vfin1.xls

11

sentido e nada surja aos seus olhos descontextualizado e destituído de significado matemático.

Para cada exemplo, os conceitos matemáticos envolvidos são devidamente tratados e as

representações gráficas são escolhidas criteriosamente, sendo em alguns casos usadas a par de

outros recursos que se considerem também úteis (incluindo o papel e lápis). Reforça-se esta ideia

de que é fundamental usar o computador conjuntamente com o papel e lápis pois o

desenvolvimento das aplicações inclui que se faça previamente um trabalho de planificação e é

útil fazer primeiro alguns esboços no papel e mais tarde empreender a tarefa da conceção com a

folha de cálculo. A planificação é uma atividade cognitiva onde o desenvolvimento de uma

estratégia apropriada de resolução de um determinado problema começa, constituindo por isso

um processo que os alunos deverão utilizar para desenvolver as capacidades de resolução de

problemas (Norton, et al., 2006)

Opta-se por apresentar exemplos desde o básico ao superior para salientar a ideia de que a

abordagem usada é transversal a todos os níveis de ensino.

No capítulo 4 apresentam-se vários exemplos de aplicações da matemática para ilustrar

como se podem explorar conexões entre a matemática, as ciências experimentais e a tecnologia

em diferentes níveis de ensino.

Com a abordagem adotada em cada aplicação pretende-se apresentar com detalhe

(recorrendo a representações gráficas sugestivas) as diversas fases do trabalho de modelação

matemática:

i) observação;

ii) formulação matemática;

iii) resolução/simulação computacional;

iv) verificação.

Em cada exemplo coloca-se um especial enfoque nos pormenores a ter em conta no

processo de observação de um dado fenómeno, as hipóteses que é necessário formular enquanto

observadores e explica-se com detalhe como essas hipóteses podem ser escritas inicialmente

numa linguagem corrente e depois em linguagem matemática cujo formalismo vai gradualmente

aumentando. Após atingida a pretendida formulação matemática do problema há que escolher o

método de obter a solução, o qual em exemplos simples, pode ser o método analítico e noutros

casos o método numérico/computacional.

Em geral verifica-se que quando se avança no sentido de implementar computacionalmente

a formulação matemática, isso conduz a uma nova forma de “olhar” para o problema, sob

diferentes perspetivas, e isso ajuda ao aprofundamento do assunto em estudo.

Quando se é colocado no papel de programador e se pretende utilizar uma plataforma

como por exemplo uma folha de cálculo, a formulação matemática obtida anteriormente precisa

de ser novamente revista no sentido de facilitar a sua implementação computacional

nomeadamente há que clarificar os parâmetros do modelo, as incógnitas (quer sejam funções

e/ou variáveis) e ainda há que idealizar quais as representações gráficas mais sugestivas que

12

ajudam a interpretar os resultados obtidos e que ajudem a verificar se os resultados do modelo

estão de acordo com as observações que constituíram o ponto de partida.

No capítulo 5 descrevem-se experiências realizadas ao longo do desenvolvimento do

presente trabalho. O Projeto “Matemática Dinâmica” e o projeto “Tópicos de Física em

Experimentação virtual” foram dois projetos, apoiados pela Fundação Ilídio Pinho e

desenvolvidos nos anos letivos 2008/2009 e 2009/2010 respetivamente, envolvendo duas turmas

do ensino básico. Tendo em vista a implementação das abordagens apresentadas,

desenvolveram-se diversas ações de formação para professores ao longo de três anos

consecutivos.

Na sequência do desenvolvimento e implementação do Projeto Matemática Dinâmica no ano

letivo 2008/2009, estabeleceu-se como prioridade, dar continuidade à metodologia adotada, mas

agora de uma forma mais alargada aos restantes níveis de ensino. Considerou-se importante a

criação de oportunidades para que outros professores, com outras turmas, e em diferentes níveis

de ensino, pudessem efetivamente utilizar os computadores, nas aulas de matemática em

contexto curricular. Surge assim o Projeto “Espiral”, financiado pela Fundação Gulbenkian e em

desenvolvimento no ano letivo 2012/2013.

O trabalho termina com a apresentação das conclusões e das perspetivas que se podem

delinear para o futuro. Aponta-se de que forma deve ser feita a articulação entre a aprendizagem

da matemática e a atividade de programação e de que forma essa articulação pode contribuir para

o estabelecimento das ligações entre a matemática, as ciências experimentais e as tecnologias.

Referem-se ainda os desafios que se colocam aos professores no que diz respeito ao seu papel

como principal promotor das atividades em sala de aula.

13

2 2 COMPUTADORES NO ENSINO DA MATEMÁTICA:

UM NOVO PARADIGMA

2.1 Considerações iniciais

O tema das tecnologias no ensino e aprendizagem da matemática, tem sido alvo de amplos

debates, por professores, investigadores e matemáticos, quer a nível nacional quer a nível

internacional. Simultaneamente inúmeras experiências de utilização das tecnologias no ensino,

têm sido desenvolvidas por professores com alunos, e vários projetos de investigação surgem

para se obterem respostas às questões que se vão colocando continuamente.

Há quem considere que, no momento atual, é preciso uma “nova visão” sobre como utilizar

esta enorme oferta tecnológica, com que somos confrontados diariamente, para levar os alunos a

interessarem-se pela matemática e para levar os alunos a estudá-la com gosto curiosidade e

profundidade (Artigue, 2010).

Há quem defenda a ideia de que, o que é mesmo preciso, é uma mudança profunda na

formação inicial e contínua dos professores, e consideram que estes só terão confiança para usar

14

as tecnologias com os alunos quando eles próprios forem capazes de as usar com desenvoltura

(Joubert, 2007).

Celia Hoyles, presidente do Institute of Mathematics and Aplications, refere numa entrevista

concedida à publicação “Mathematics TODAY” que, enquanto presidente do IMA, entre

diversas preocupações, está aquela que diz respeito à exploração das potencialidades das

tecnologias digitais para o ensino/aprendizagem da matemática e nas oportunidades que elas

oferecem na criação de ligações entre a matemática escolar e a matemática que é usada na

sociedade em geral (Hoyles, 2014).

Há ainda quem considere que o ensino da matemática está desatualizado e

descontextualizado e que a solução passa por utilizar os computadores através da programação,

ao mesmo tempo que se desenvolve a modelação matemática e a simulação computacional

(Wolfram, 2010). Conrad Wolfram, na sua famosa palestra intitulada “Stop teaching calculating;

Start Teaching Math” referindo-se aos problemas do ensino da matemática conclui que uma das

soluções para os resolver assenta na utilização dos computadores e em particular na programação

(Wolfram, 2010). O matemático Conrad Wolfram faz uma reflexão sobre o ensino da

matemática e afirma categoricamente, que algo está mal, devido principalmente ao

descontentamento generalizado que se verifica por todos e sugere que se devia usar os

computadores na ótica da programação. Os alunos e professores devem saber programar para se

tornarem autónomos e criativos e para se prepararem devidamente para as diversas funções que

ocuparão na sociedade.

A investigação sobre o papel da programação no ensino/aprendizagem da matemática

remonta há cerca de trinta anos atrás quando Seymour Papert liderou uma equipa de especialistas

que desenvolveram a linguagem de programação, LOGO (LOGO, 2014) que apresentava

características do ponto de vista computacional e educacional que a tornavam numa linguagem

de programação própria para ensinar matemática (Papert, 1991).

Atualmente existem plataformas para programação muito intuitivas que facilitam a tarefa de

programar pois verificam automaticamente a sintaxe, possuem ferramentas que fazem a deteção

automática de erros e ao mesmo tempo têm interfaces muito apelativas. Por essa razão é

pertinente colocar a questão de saber se tais linguagens de programação, quando usadas

criteriosamente, poderão constituir ferramentas poderosas no processo ensino/aprendizagem da

matemática.

O presente capítulo inicia-se com uma análise da utilização dos computadores no ensino da

matemática ao longo das últimas três décadas, em Portugal e a nível internacional destacando-se

os momentos mais significativos, e que de alguma forma constituem marcos importantes.

Dá-se ainda a conhecer algum do software que existe, e que pode ser usado pelos

professores na preparação das suas aulas, salientando os aspetos positivos e negativos que cada

um deles apresenta. Ao longo da descrição do software, apresentam-se exemplos de exploração

desenvolvidos no âmbito desta dissertação, realçando as características próprias de cada um.

15

Os desafios que se colocam atualmente aos professores relacionam-se com a forma como os

computadores podem ser introduzidos nas aulas de matemática com vantagens significativas para

os alunos. Assim, neste capítulo referem-se ainda as novas dificuldades e as novas oportunidades

com que os professores se debatem destacando-se os aspetos didáticos e pedagógicos mais

relevantes.

Tendo em conta que um dos principais objetivos deste trabalho consiste no desenvolvimento

da ideia de que os alunos podem aprender matemática (clarificando conceitos, aprofundando

outros, observando aplicações, desenvolvendo simulações) recorrendo, entre outras tarefas, à

atividade de programação, (entendendo programação não no sentido informático puro, mas no

sentido de, conceção de aplicações dinâmicas intimamente ligadas aos conteúdos matemáticas) é

da maior importância a escolha da plataforma mais adequada que sirva de base a essas

construções. Nesse sentido optou-se pela folha de cálculo que incorpora uma linguagem de

programação denominada Visual Basic for Aplications o VBA. O capítulo termina com uma

descrição das folhas de cálculo (com programação integrada em VBA) e dos aspetos relevantes

que elas evidenciam para desenvolver um ensino da matemática criativo e atual.

2.2 Os computadores no ensino da matemática. Os últimos 25 anos

Influência da evolução dos computadores no ensino da matemática 2.2.1

No início do séc. XVII, John Napier um matemático escocês inventou um dispositivo

mecânico que facilitava a realização das operações aritméticas, apresentando-o orgulhosamente

(em 1614 no seu “minlogarithmorum canonisdescriptio”) da seguinte forma: “Dando-me conta

de que na prática matemática não há nada mais problemático, nem que causa mais dissabores aos

calculadores do que as multiplicações, as divisões e a extração de raízes quadradas e cúbicas de

números grandes – que para além do tempo despendido são na sua maioria propensa a erros –

começei a magicar numa arte certa e imediata que removesse esses inconvenientes.” Criou assim

as tabelas de logaritmos cujas aplicações se expandiram rapidamente.

Muito tempo antes da invenção das calculadoras e computadores, as tábuas de logaritmos

constituíram uma ferramenta tão importante que rapidamente ganharam notoriedade e utilidade;

sem auxílio desta preciosa “máquina”, Kepler, por exemplo, dificilmente poderia ter

compreendido o movimento dos planetas ou Newton entendido a força gravitacional.

A tabela de logaritmos foi depois otimizada num instrumento, a régua de cálculo, que foi

usado até cerca de 1980, altura em que surge a primeira calculadora de bolso.

Na mesma altura John Von Neumann, um célebre matemático americano de origem

húngara, deparou-se com equações diferenciais com derivadas parciais não lineares quando

estudava as turbulências hidrodinâmicas. A não existência de métodos analíticos para a resolução

destas equações levou-o a considerar o cálculo numérico como a única possibilidade para

16

determinar a solução (numérica) e esta descoberta levou-o à atualmente denominada ciência da

computação. A Von Neumann se deve o computador convencional que hoje se conhece.

John von Neumann propôs que as instruções, lidas na época por cartões perfurados, fossem

gravadas na memória do computador; o que faria com que a sua execução e leitura fossem

significativamente mais rápidas. (Bentley, 2009).

Os dois episódios referidos constituem dois momentos marcantes da história do

desenvolvimento da tecnologia. Desde as primeiras tábuas de logaritmos e as réguas de cálculo

até ao primeiro computador de Von Neumann passaram cerca de 300 anos! Por volta de 1940

começaram a surgir em Portugal as primeiras reflexões sobre a pertinência da utilização das

tecnologias no ensino da matemática com a visão de Bento de Jesus Caraça que perspetivava o

uso do computador, por todos os alunos:

“Duvidamos que as tábuas de logaritmos, como instrumento de trabalho, conservem por muito

tempo a soberania que tiveram. Em certos ramos de aplicação da Matemática à vida corrente, a tábua

de logaritmos está hoje de largo ultrapassada pela máquina de calcular (…).Cada época cria e usa os

seus instrumentos de trabalho conforme o que a técnica lhe permite; a técnica do século XX é muito

diferente da do século XVI, quando os logaritmos apareceram como necessários para efetuar certos

cálculos. O ensino do liceu que é, ou deve ser, para todos, deve ser orientado no sentido de

proporcionar a todos o manejo do instrumento que a técnica nova permite” (Caraça, 1942).

Os computadores de grande porte começaram a aparecer nas instituições do ensino superior

para uso dos alunos que, com os cartões perfurados, realizavam trabalhos científicos envolvendo

cálculos consideráveis. Este trabalho implicava um grande esforço e empreendimento, por parte

dos alunos, que muitas vezes tinham de aguardar cerca de um ou dois dias pelos resultados do

programa que tinham submetido.

Nas escolas do ensino secundário (antigos liceus) os computadores, objetos pesados e muito

pouco práticos ainda não tinham feito o seu aparecimento. No entanto, Sebastião e Silva tecia já

algumas considerações sobre o seu uso no ensino da matemática:

Na verdade o uso dos computadores tem vindo a acentuar a importância do método

experimental na investigação matemática, permitindo aperfeiçoar processos ou mesmo abrir caminhos

inteiramente novos.

(...) logo na primeira aula deve-se [pôr] o aluno em contacto com o conceito de aproximação.

(...) a ideia dos métodos de aproximação, que domina toda a análise numérica moderna, ligada ao uso

de computadores.

Haveria muitíssimo a lucrar em que o ensino destes assuntos fosse normalmente orientado a

partir de centros de interesse e tanto quanto possível laboratorial, isto é, baseada no uso de

computadores, existentes nas próprias escolas ou fora destas, em laboratórios de cálculo (Silva, 1965-

66).

17

Em 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) dos EUA publicava, sob

o título genérico "Uma Agenda para a Ação", as "Recomendações para o Ensino da Matemática

nos Anos 80". Entre outras recomendações podia ler-se:

"Para além do conhecimento do papel dos computadores e calculadoras na sociedade, a maioria

dos estudantes deve saber trabalhar com eles e usá-los na resolução de problemas.

(...) Todos os estudantes devem ter acesso a calculadoras e cada vez mais aos computadores ao

longo dos seus programas de Matemática nas escolas.

(...) Calculadoras e computadores devem ser usados de formas imaginativas para explorar,

descobrir, e desenvolver conceitos matemáticos e não somente para verificar resultados ou realizar

exercícios práticos.

Os professores devem conduzir a sua aula de forma que o uso de computadores por cada

estudante em atividades isoladas não substitua a interação dos estudantes com os colegas e com o

professor.

(...) Os educadores devem ter cuidado na escolha do software que se ajuste aos objetivos e

metas do programa e não perverter os objetivos e a sequência do desenvolvimento para se adaptarem à

tecnologia e software disponível.

(...) Todos os professores de Matemática devem adquirir formação básica em computadores,

quer através dos programas de formação inicial quer através dos programas de formação em serviço

(...).

No MIT, em 1980, Seymour Papert lançou o livro “Mindstorms – Children, Computers and

Powerful Ideas” no qual apresentava sugestões para a utilização dos computadores no ensino da

matemática utilizando a linguagem de programação LOGO por ele inventada em 1968. Papert

era um visionário e em plena década de 60 já defendia que cada criança deveria ter um

computador só para si, dentro da sala de aula. Com esta linguagem de programação, pretendia

que os alunos aprendessem a construir, eles próprios, as suas aplicações. Esta ideia, que Papert

defendia acerca da utilização de uma linguagem de programação para aprender matemática, teve

a sua continuidade quando em 2007 foi desenvolvido também no MIT, o Scratch, linguagem de

programação gráfica (esta abordagem de programação gráfica é utilizada pelos profissionais na

área da engenharia eletrónica nomeadamente com o LabVIEW, National Instruments) que

permite às crianças a partir dos 8 anos desenvolverem, criarem e partilharem uma grande

diversidade de projetos ao mesmo tempo que aprendem importantes ideias matemáticas e

aprendem a pensar com criatividade, raciocinar sistematicamente e trabalhar colaborativamente

(MIT, 2007)

Outro marco bastante relevante na história da evolução dos computadores tem a ver com o

aparecimento em 22 de Maio de 1990 do Windows 3.0, uma versão inovadora do sistema

operativo Windows. Começavam assim a abrir-se novas possibilidades para os utilizadores. Nos

anos seguintes a facilidade em interagir com o computador aumentou e as pessoas puderam

18

começar a criar os seus próprios conteúdos digitais e a usar representações digitais para os

textos, dados numéricos, gráficos, mapas etc.

Nesta altura registaram-se também grandes evoluções ao nível do software para apoio à

programação nomeadamente à programação por objetos orientada por eventos. É o caso do VBA

(Visual Basic for Applications) para Excel que surgiu em 1993 mas que tem vindo sofrer

importantes melhoramentos.

Projetos em Portugal 2.2.2

Por volta de meados da década de 80 começou a constatar-se que um dos principais

problemas na utilização das tecnologias da informação no ensino, consistia exatamente em saber

qual a função dos computadores e qual a melhor estratégia para o integrar nas atividades

educativas.

O Projeto MINERVA - Meios Informáticos no Ensino: Racionalização, Valorização,

Atualização - constituiu um marco na introdução das tecnologias no ensino, ao proporcionar a

exploração das potencialidades dos computadores para a aprendizagem da matemática.

Este projeto, considerado o primeiro projeto português para a introdução das TIC

(Tecnologias da Informação e Comunicação) nas escolas, resultou de um acordo entre um grupo

de investigadores universitários e o Ministério da Educação e decorreu entre 1985 e 1994. A

coordenação das atividades ficou a cargo dos Pólos Minerva que estavam localizados em

diferentes instituições do ensino superior.

O Projeto MINERVA pretendia (ME, 1985):

a inclusão do ensino das tecnologias da informação nos planos curriculares do ensino não

superior;

a introdução das tecnologias da informação como meios auxiliares do ensino não superior;

a formação de orientadores, formadores e professores para o ensino das tecnologias da

informação e para a sua utilização como meios auxiliares de ensino.

Ao longo da avaliação do Projeto Minerva, surgem questões relacionadas com a

ineficiência das ações de formação dos professores bem como o inevitável desgaste dos

equipamentos. Com efeito, embora o Projeto Minerva tenha proporcionado oportunidades para

as escolas desenvolverem experiências utilizando predominantemente software educacional, essa

perspetiva foi remetida para segundo plano principalmente pela oferta que começou a existir ao

nível da formação de professores, que contemplava mais o uso de software do tipo utilitário.

Assim prevaleceu a ideia de utilização do computador como ferramenta de apoio ao ensino,

no desenvolvimento de trabalhos de natureza interdisciplinar.

A cooperação entre a investigação, o ensino superior e as escolas constituiu um enorme

desafio. No entanto esta relação revelou-se difícil de manter. A integração dos computadores nos

19

planos curriculares, na vida das escolas e na formação de professores não foi conseguida (Ponte,

et al., 2007)

A Sociedade Portuguesa de Matemática (SPM) empreendeu diversos debates sobre a

revisão curricular e a Associação de Professores de Matemática (APM) organizou um encontro,

em 1988, que reuniu diversos matemáticos, professores e educadores matemáticos para

debaterem os programas de matemática.

Os programas foram reformulados por uma equipa do Ministério da Educação e pela

primeira vez surge uma referência ao uso das novas tecnologias em que “se admite o seu uso

quando possível e se necessário”.

Por esta altura havia já um sentimento generalizado e fortes convicções de que as

tecnologias eram com certeza muito úteis para o ensino/aprendizagem da matemática, mas havia

também a perceção de que os professores ainda não estavam preparados para as usar e por isso

não se sabia ao certo que caminho seguir. Repare-se que a maioria dos professores em 1990 tinha

feito a sua escolaridade numa altura em que praticamente não havia qualquer contacto com as

tecnologias.

Os programas FOCO e Nónio Séc. XXI surgiram precisamente para responder às

dificuldades sentidas pelos professores.

O Programa FOCO (1991/1993) foi uma iniciativa da Direção do Departamento de

Programação e Gestão Financeira do Ministério da Educação, cujo principal objetivo consistia

em dotar as escolas de equipamento atualizado e em garantir a formação técnica dos professores.

Tal programa não teve o impacto pretendido. Não se chegou a desenvolver modelos concretos de

utilização das tecnologias de informação na sala de aula e a produção nacional e divulgação de

software e de materiais de apoio, apesar de fortemente estimulada, continuou a ser insuficiente

(Ponte, et al., 2007).

O Programa Nónio Século XXI criado em 1996 tinha como objetivos: i) apetrechar com

equipamento multimédia as escolas dos Ensinos Básico e Secundário e promover a formação dos

professores; ii) apoiar o desenvolvimento de projetos de escolas em parceria com instituições

especialmente vocacionadas para o efeito; iii) incentivar a criação de software educativo e

dinamizar o mercado da edição; iv) promover a disseminação e intercâmbio nacional e

internacional de informação sobre educação através do apoio à realização de simpósios,

congressos, seminários e outras reuniões de carácter científico-pedagógico (Santos, et al.).

Com o ajustamento do programa de matemática do ensino secundário em 1997, a

calculadora tornou-se obrigatória e surgem as primeiras referências explícitas ao uso da

tecnologia:

“A utilização obrigatória da tecnologia [calculadoras e computadores] que além de ferramenta,

é fonte de atividade, de investigação e de aprendizagem, pretende preparar os alunos para uma

sociedade em que os meios informáticos terão um papel considerável na resolução de problemas de

índole científica.”

20

Neste ajustamento, refere-se o uso das folhas de cálculo e dos programas Derive e

Mathematica, no entanto a prática demonstrou que tais programas nunca foram efetivamente

usados no ensino da matemática.

Num seminário (24 Abril de 1994) intitulado “Portugal na Internet”, em Lisboa, foi

apresentado ao público pela primeira vez a Internet em funcionamento. Nesse ano o acesso à

Internet estava reservado apenas aos meios científicos e académicos. A comercialização e

acessibilidade da Internet ao grande público só se verificaram a partir de 2000.

Com a generalização da Internet também o correio eletrónico se disseminou.

No início de 2000 os computadores fixos eram muito mais poderosos e mais acessíveis em

termos de custo do que os computadores portáteis, mas em finais de 2008, os portáteis

começaram a tornar-se mais acessíveis e com maior capacidade em termos de velocidade de

processamento de cálculo e de memória e por isso a sua utilização começou a generalizar-se.

As potencialidades dos computadores para trabalhar em rede (usando a Internet) abrem,

naturalmente, novas possibilidades para aprender matemática. Grupos de alunos podem ser mais

interativos e colaborativos, quando uma estrutura de trabalho em rede é implementada para

partilhar e discutir tópicos de matemática e práticas de ensino, quer seja dentro da sala de aula ou

fora (Sinclair, 2005).

Em 2005, o Governo assume como uma prioridade política a criação de um plano de

mudança para a sociedade portuguesa no que diz respeito à problemática das TIC nas escolas.

Apresenta-se o grande objetivo do denominado Plano Tecnológico:

“A equipa tem como missão a conceção, desenvolvimento, concretização e avaliação de

iniciativas mobilizadoras e integradoras no domínio do uso dos computadores, redes e

Internet nas escolas e nos processos de ensino-aprendizagem”.

Este plano estabelece que, em Janeiro de 2006, todas as escolas públicas devam estar ligadas

à Internet de banda larga e foi ainda criado um sistema para incentivar os professores e alunos a

adquirirem os seus próprios portáteis com ligação à Internet (rede móvel).

No mesmo ano foi criada a equipa de Missão Computadores, Redes e Internet nas Escolas

(Missão CRIE) que tinha como principais objetivos a promoção da integração das TIC nos

currículos, o apoio, apetrechamento e manutenção dos equipamentos informáticos das escolas, a

dinamização de projetos utilizando as TIC e a promoção de formação de professores nesta área.

Esta equipa de Missão CRIE lançou entre outras a iniciativa “Escolas, Professores e portáteis”

que previa o fornecimento de 10 computadores portáteis por escola, para professores, e 14

computadores portáteis por escola, para desenvolvimento de trabalho com os alunos, acrescidos

de um projetor de vídeo. Apesar do acesso a esta iniciativa ser feito mediante a apresentação de

projetos, cerca de 93% das escolas que se candidataram, viram os seus projetos aprovados,

ficando assim resolvido o problema diagnosticado pelas escolas da dificuldade em aceder às

salas com computadores.

21

Em 2007 é criada a Equipa de Recursos e Tecnologias Educativas/Plano Tecnológico da

Educação (ERTE/PTE) e extinta a equipa multidisciplinar ECRIE. A esta equipa

competia genericamente conceber, desenvolver, concretizar e avaliar iniciativas mobilizadoras e

integradoras no domínio do uso das tecnologias e dos recursos educativos digitais nas escolas e

nos processos de ensino-aprendizagem, com o objetivo de posicionar Portugal entre os cinco

países europeus mais avançados em matéria de modernização tecnológica das escolas até 2010.

O programa e.escolinha surge no âmbito do PTE e visa garantir o acesso dos alunos do 1º

ciclo do ensino público e privado a computadores portáteis pessoais adequados a este nível de

ensino (computadores Magalhães). Com o programa e.escolinha, pretende-se generalizar o uso

das tecnologias de informação e comunicação nas primeiras fases da aprendizagem e contribuir

para a igualdade de acesso ao computador e à Internet de todos os alunos do 1.º ciclo do ensino

básico.

O relatório elaborado pelo Gabinete de Estatística e Planeamento da Educação sobre o Plano

Tecnológico (Carneiro, et al., 2011) apresenta alguns resultados e recomendações. Entre outros

pode ler-se

“A generalidade dos alunos – 96% - declara utilizar o computador para aceder à internet

(100% declaram utilizar a internet). Para os alunos, computador e internet não são conceitos

dissociáveis. A internet é utilizada para ver o correio eletrónico (94%), jogar (88%), aceder a redes

sociais (64%), relacionar-se com os amigos (64%) mas menos para acesso a notícias (41%) ou

consulta de informação não noticiosa (23%) a não ser que se trate de informação para trabalhos da

escola (73%). Nem o contacto com os professores nem o acesso à comunidade on-line da escola são

usos habituais da internet para este universo.”

A internet é atualmente uma importante componente da tecnologia disponível para a

educação, oferecendo novas oportunidades para os alunos aprenderem matemática e para

aprenderem sobre matemática. O acesso à internet nas escolas varia de escola para escola cada

uma com a sua especificidade. Algumas dispõem de um laboratório com computadores ligados à

internet através de uma rede. Em alguns casos, também as salas de aula têm acesso, pelo menos

para ser utilizada através do projetor e com um quadro interativo. Algumas salas de aula contêm

mais do que um computador ligado à internet, permitindo assim o trabalho em pequenos grupos.

Noutros casos bastante menos frequentes, o acesso à internet existe para todos os alunos em

qualquer momento. Estes modelos distintos de utilização da internet têm claramente efeitos

distintos na forma como esta pode ser usada para aprender matemática (Kissane, 2008)

Estas novas evoluções ao nível da conectividade entre as pessoas, resultante da enorme

facilidade em utilizar um computador (portátil) em qualquer lugar, ligar-se à Internet, consultar

determinada informação e enviá-la para outra pessoa, trouxe também uma nova forma de encarar

o trabalho em equipa e dentro das escolas também se fez sentir esta nova realidade. Os

professores não só podem consultar diversos sites para organizar as suas aulas, como também

podiam trabalhar em conjunto com outros professores partilhando fichas, testes e outros

22

materiais e ainda numa fase mais avançada até conceber eles próprios, sites e blogues para

inserirem conteúdos e torná-los acessíveis aos alunos e professores.

Também ao nível do software se verificam algumas evoluções. Por um lado a possibilidade

de ligação à Internet permite o acesso a uma enorme diversidade de materiais incluindo software

educacional. O NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) disponibiliza na sua

página oficial (NCTM) um conjunto de aplicações (denominadas applets) destinadas aos alunos

de todos os níveis de ensino não superior, percorrendo todos os temas dos currículos de

matemática. A acompanhar as applets é também disponibilizado um guião de utilização e uma

ficha de trabalho. A DGIDC (Direção Geral de Inovação e Desenvolvimento Curricular) também

faz chegar a todas as escolas informações sobre software livre educativo disponível na sua

página oficial. O ClicMat, por exemplo, é um conjunto de 32 atividades, problemas e jogos que

se encontra disponível no site da DGIDC. Ainda no início de 2000, foi criado na Áustria, por

Markus Hohenwarter o Geogebra, um programa de geometria dinâmica que foi traduzido em

mais de 25 idiomas incluindo o português. A partir de 2006 este programa foi apoiado pelo

Ministério da Educação Austríaco por forma a ser possível manter o seu caráter gratuito para a

educação matemática de todas as escolas do mundo.

É de salientar que estes projetos têm uma duração limitada e, embora de diferentes formas,

há na maioria deles uma preocupação com a produção e disponibilização de materiais, a

formação dos professores e a integração efetiva do computador nos currículos. Também o

apetrechamento das escolas com material informático é uma preocupação transversal a estes

projetos. No entanto é importante referir que o equipamento torna-se inevitavelmente obsoleto

passado algum tempo, sendo por isso necessário que estas medidas de apetrechamento das

escolas – tal como com qualquer outra área laboratorial – pudessem ser encaradas como algo que

tem de ser feito com alguma periodicidade, organizando-se também equipas de peritos

informáticos para proceder à sua manutenção.

Experiência de outros países com os computadores no ensino da matemática 2.2.3

Neste subcapítulo descrevem-se alguns projetos de implementação das tecnologias digitais

no ensino da matemática, desenvolvidos em diferentes partes do mundo. Os projetos diferem

entre si em muitos aspetos no entanto todos eles evidenciam na sua génese uma preocupação em

melhorar o ensino/aprendizagem da matemática recorrendo aos computadores.

O projeto Enciclomedia, desenvolvido no México, destina-se ao ensino primário e tem

como objetivo complementar os manuais escolares existentes, com programas computacionais e

recursos para serem usados no quadro interativo. Estes livros de texto têm sido complementados

com links para aplicações computacionais concebidas para ajudar os professores a ensinar todas

as matérias.

23

Este projeto procura identificar conceitos e problemas que surgem nos livros de texto e onde

os alunos apresentam habitualmente dificuldades e complementa os textos com ferramentas

baseadas nas tecnologias. As dificuldades são identificadas através de resultados da investigação

existente, das conversas com os professores em sala de aula e mais aprofundadamente através da

análise dos manuais escolares principalmente dos capítulos que levantam mais problemas. As

ferramentas resultantes variam em termos da sua interatividade mas estão sempre relacionadas

com as ideias conceptuais apresentadas nos livros e colocam sempre um problema de exploração

para os professores explorarem com os alunos.

A investigação realizada em sala de aula após a utilização dos materiais produzidos permite

proceder a melhoramentos e aperfeiçoamentos das ferramentas desenvolvidas.

O projeto [email protected], desenvolvido em Itália destina-se a alunos da faixa etária 6-10 anos.

Este projeto articula diretamente com o currículo e centra-se particularmente na ideia de um

laboratório de matemática na sala de aula. O projeto envolve, tanto o desenvolvimento de

materiais de ensino e aprendizagem, e talvez mais importante a formação de professores para o

uso destes materiais. Através de um modelo de formação de formadores, o projeto pretende

abranger todos os professores dos alunos desta faixa etária em poucos anos. São usados vários

tipos de software matemático, incluindo o Excel e programas de geometria dinâmica. Os

programas desenvolvidos destinam-se a apoiar as atividades de exploração e a estabelecer uma

mediação entre os significados concretos que os alunos naturalmente trazem consigo, e os

significados científicos mais abstratos. O projeto centra-se em quatro áreas temáticas: números e

algoritmos, geometria, relações e funções e ainda processamento de dados. Existem ainda três

temas transversais: medida, argumentação e conjetura, resolução de problemas. Cada atividade

contém a descrição de um problema bem como um conjunto de diversos recursos incluindo uma

ficha de trabalho e uma aplicação computacional apelativa (usualmente denominada por applet).

As atividades desenvolvem-se a partir de uma situação problemática para a qual não existe um

procedimento rotineiro para a resolver. Aos estudantes são fornecidos vários recursos que podem

ser usados para explorar o problema.

Mais uma vez, uma das vertentes mais importantes do projeto envolve a formação de

professores que depois são responsáveis por dar formação a outros professores.

Outro projeto destinado ao ensino primário (3-8 anos) é o Sketchpad for Young Learners

(SYL) nos Estados Unidos da América. Uma vez que não existe um currículo nacional (o

currículo é estabelecido pelos estados membros ou pelas escolas distritais) o projeto SYL foi

implementado com os currículos que sofreram reformas e desenvolveram-se materiais que se

adequem a estes currículos. O objetivo principal do projeto é desenvolver sketchs e atividades

que usem as capacidades de visualização dinâmica do sketchpad para ajudar os alunos a explorar

e compreender conceitos matemáticos e a resolver problemas. A maior parte das atividades

envolve sketchs interativos, onde os alunos podem arrastar objetos, mudar parâmetros, realizar

construções simples e alterar estilos dos elementos. Cada atividade é acompanhada de um guião

de utilização pormenorizado, com sugestões para o professor adaptar. A maior parte das

24

atividade são destinadas a uma situação de laboratório embora algumas estejam concebidas para

usar com o grupo turma.

(http://www.dynamicgeometry.com/General_Resources/Classroom_Activities/KCPT/Activi

ties_for_Young_Learners/Sketchpad_for_Grades_3-5/Activities.html).

O projeto TELMA ( http://www.ioe.ac.uk/study/departments/cpat/25772.html ) é um projeto

europeu de investigação na área da tecnologia avançada de aprendizagem em matemática,

apoiado pelo Network of Excellence Kaleidoscope. O projeto reúne seis equipas com um

histórico de pesquisas relacionadas com o uso da tecnologia no ensino e aprendizagem da

matemática. O objetivo do projeto é promover a integração de equipas participantes com

diferentes experiências na utilização das tecnologias no ensino/aprendizagem da matemática.

Estas diferentes visões poderão ser de grande valor didático e científico dentro e fora do

Kaleidoscope bem como para a preparação de jovens investigadores.

É importante realçar que, uma característica comum a todos os projetos apresentados

consiste em disponibilizar aplicações computacionais apelativas aos professores, para eles as

usarem posteriormente com os seus alunos. No entanto a programação em ambiente de folha de

cálculo por parte dos alunos, enquanto atividade de elevado valor didático no

ensino/aprendizagem da matemática, não aparece em nenhum destes projetos.

Uma pesquisa mais aprofundada sobre a existência de projetos envolvendo a utilização da

folha de cálculo numa perspetiva de construção de aplicações computacionais por parte dos

alunos (tirando partido da linguagem de programação incorporada, Visual Basic for Aplications),

mostra que este tipo de projetos é inexistente, levando a pensar que existe uma lacuna nesta área

que deverá ser preenchida.

Na dissertação de mestrado intitulada "A aprendizagem da trigonometria num contexto de

Aplicações e Modelação com recurso à folha de Cálculo." (Carreira, 1993) é apresentado um

estudo sobre o papel das aplicações da matemática e da modelação matemática no ensino da

matemática utilizando a folha de cálculo, sem recurso à programação em visual basic.

Michele Artigue num artigo intitulado "From Programming to Visualization and

Experimentation: A First University Experience" (Artigue, 1998) salienta a importância da

programação na aprendizagem de conceitos matemáticos e refere a insuficiência de investigação

nesta área e a urgente necessidade de inverter esta tendência.

Em "Mathematical Modeling with Microsoft Excel" (Neuwirth, et al., 2005) apresentam-se

diversos problemas onde se usa a folha de cálculo Excel para construir modelos que permitam

facilmente visualizar as relações entre determinado problema e o respetivo modelo no

computador. Os autores consideram que, usando a folha de cálculo esbatem-se as barreiras que

normalmente se criam quando se usa uma linguagem de programação mais sofisticada para

desenvolver a modelação matemática.

No relatório "The Final Report of the National Mathematcis Advisory Panel" (Education,

2008), pode ler-se a seguinte recomendação "O Painel recomenda que a programação seja

considerada como uma ferramenta efetiva para os alunos do ensino básico no desenvolvimento

http://www.dynamicgeometry.com/General_Resources/Classroom_Activities/KCPT/Activities_for_Young_Learners/Sketchpad_for_Grades_3-5/Activities.html

http://www.dynamicgeometry.com/General_Resources/Classroom_Activities/KCPT/Activities_for_Young_Learners/Sketchpad_for_Grades_3-5/Activities.html

http://www.ioe.ac.uk/study/departments/cpat/25772.html

25

de conceitos específicos de Matemática (e aplicações) e para desenvolver a capacidade de

resolver problemas. O relatório refere ainda que ainda não existem estudos rigorosos sobre

categorias de software para fazer recomendações sobre a sua utilização.

Em suma, pode-se afirmar que, desde o primeiro computador pessoal, em 1980, até aos dias

de hoje, as tecnologias tiveram uma grande evolução e continuam a surgir novos equipamentos

tais como os tablets, pocketPC etc. Hoje as pessoas têm ao seu dispôr uma grande diversidade

de equipamento informático e software, com potencialidades muito superiores das que estavam

disponíveis no final da década de 80 quando se começou a generalizar a utilização dos

computadores pessoais do tipo desktop. No entanto, atualmente os professores, ainda procuram o

melhor caminho para incorporar estas tecnologias nas suas aulas de uma forma estruturada e

objetiva. Diariamente os professores debatem-se com a dificuldade de conciliar a utilização das

tecnologias com o cumprimento dos currículos. Hoje, tal como afirmava Bill Gates existe uma

enorme quantidade de informação, facilmente acessível com a ponta dos dedos. Como retirar a

maior vantagem de toda a potência de cálculo dos computadores? Qual o papel do professor e do

aluno neste novo paradigma tecnológico? Que software utilizar? Quais as novas dificuldades que

se colocam aos professores e quais as novas possibilidades?

2.3 Software para o ensino da matemática

Atualmente é possível encontrar, com alguma facilidade, recursos digitais para serem

utilizados nas aulas de matemática com um determinado objetivo idealizado pelo professor.

Basta navegar um pouco pela internet ou consultar web sites específicos de educação

matemática, para encontrar aquilo que se pretende. A questão principal está em aferir a

qualidade, adequabilidade e versatilidade dos programas que se encontram.

Neste ponto apresentam-se alguns recursos digitais existentes tendo em conta que, não sendo

possível fazer uma listagem exaustiva de todos, opta-se por aqueles que são mais difundidos e

em última análise mais utilizados nas salas de aula de matemática.

Uma vez que se defende que a programação é uma atividade a ser considerada nas aulas de

matemática como complemento a uma melhor aprendizagem desta disciplina optou-se por

apresentar o software, desde aquele que não exige qualquer tipo de intervenção por parte do

utilizador (neste caso o aluno apenas utiliza os programas) até aos que constituem plataformas de

programação. Começa-se por fazer referência às applets e aos programas utilitários para estudo

de funções. Em seguida far-se-á uma breve incursão pelos programas de geometria dinâmica que

do ponto de vista do utilizador são mais versáteis. Na categoria das ferramentas de programação,

e apesar de existirem inúmeras linguagens de programação optou-se por aquelas que são mais

adequadas ao ensino e aprendizagem da matemática. É o caso do Scratch, folhas de cálculo com

VBA incluído e MATLAB. No final faz-se uma breve referência aos programas tipo CAS.

26

Applets e jogos 2.3.1

Existem atualmente disponíveis, nomeadamente em páginas de educação, e também na

Internet, programas desenvolvidos por equipas de professores, matemáticos e programadores

destinadas ao ensino da matemática. Estas aplicações, têm uma forte componente interativa e,

uma parte gráfica bastante apelativa. Denominam-se habitualmente por “applets” (algo

apelativo) e são desenvolvidos numa linguagem de programação que permite posteriormente

disponibilizá-los autonomamente.

Será útil fazer uma classificação das diferentes “applets”, para ajudar a escolher aquele que

mais se adequa ao que se pretende, no entanto, justifica-se salvaguardar o facto de não existir

uma separação rígida entre as diferentes categorias que se apresentam em seguida.

- Applets que oferecem uma realidade virtual, são usadas para representar e simular objetos

e processos do mundo à nossa volta.

- Applets que oferecem representações que podem ser uma grande ajuda na construção e

compreensão de objetos e conceitos matemáticos mais abstratos.

- Applets que oferecem um micromundo matemático. Nestas, objetos matemáticos como por

exemplo fórmulas, equações e gráficos são descritos e usados para ilustrar conceitos e problemas

matemáticos (Boon, 2006).

Um pouco por todo o mundo, institutos de investigação, escolas, universidades têm-se

dedicado à produção de applets e à conceção de páginas web contendo este tipo de ferramentas.

O Instituto Freudenthal, o NCTM ( National Council of Teachers of Mathematics), o MAA

(Mathematical Association from America), apresentam nas suas páginas web secções de recursos

e materiais onde aparecem listagens de applets.

O Instituto Freudenthal, organismo holandês, tem como objetivo desenvolver investigação

para a inovação e melhoria da educação matemática. Logo desde o início da introdução dos

computadores na educação matemática que as suas potencialidades têm sido seriamente

investigadas neste instituto. A par da investigação surge o desenvolvimento de software

adequado para ensinar matemática. Novas tecnologias e ferramentas de programação aceleraram

o desenvolvimento de variados recursos informáticos, destinados a melhorar a aprendizagem da

matemática. A este período de grande euforia, em que o enfoque era dado exclusivamente à

conceção de aplicações, seguiu-se um período de testagem dos materiais. Foram desenvolvidos

projetos de investigação para aferir a qualidade dos materiais e a sua adequabilidade à prática em

sala de aula, num espírito de colaboração com os professores de matemática (Boon, 2006). Na

sua página web, este Instituto apresenta vários recursos incluindo um conjunto de aplicações

destinadas exclusivamente a desenvolver nos alunos competências como o raciocínio lógico e

matemático e a resolução de problemas Os materiais estão divididos pela adequação ao nível

etário, pelo tipo de recurso (jogo ou aula) e pelo tópico matemático. O aluno terá de selecionar o

que pretende e em seguida escolher a aplicação (Figura 2.1).

27

Figura 2.1 - Aplicações destinadas ao desenvolvimento da capacidade de raciocínio (Instituto

Freudenthal). http://www.uu.nl/en/research/freudenthal-institute/studying/freudenthal-repository

O Conselho Nacional de Professores de Matemática (NCTM) é uma organização americana

fundada em 1920, que se tornou, hoje em dia, uma referência mundial incontornável no campo

da educação matemática. Tem como objetivo ajudar os professores a assegurar uma

aprendizagem matemática de elevada qualidade para todos os estudantes. Nos últimos anos a

página desta associação de professores de matemática tem vindo a aumentar a oferta de recursos

e materiais e tem crescido a oferta de applets. Na Figura 2.2, apresentam-se a página do NCTM

relativa aos recursos para ensinar matemática.

Figura 2.2 - Applets apresentados na página web do NCTM.

http://illuminations.nctm.org/Search.aspx?view=search&type=ac&st=g

O MAA – Mathematical Association of America é uma associação constituída por pessoas

que se dedicam a assuntos relacionados com a matemática enquanto ciência. Esta associação tem

proporcionado aos matemáticos de todo o mundo documentos de enorme qualidade científica,

proposto problemas motivadores e fornecido artigos de referência dedicados ao ensino da

http://www.uu.nl/en/research/freudenthal-institute/studying/freudenthal-repository

http://illuminations.nctm.org/Search.aspx?view=search&type=ac&st=g

28

matemática. Para além de diversos recursos que a página disponibiliza, existe uma secção

dedicada a aplicações computacionais, que percorrem uma vasta lista de temas matemáticos e

são especialmente destinados ao ensino superior (Figura 2.3).

Figura 2.3 - Applets e atividades destinadas ao estudo da Análise Real (Mathematical Association of

America) http://mathdl.maa.org/.

A utilização de uma metodologia que incorpora a utilização de applets para ajudar os alunos

a apreender melhor os conhecimentos matemáticos, sendo potencialmente muito interessante,

apresenta todavia algumas limitações. Um dos problemas é que as applets oferecem-nos um

produto acabado, não flexível e que não se constrói. E, nestas condições, normalmente a

utilização de uma applet por parte dos alunos não lhes permite aprofundar os conhecimentos

(Boon, 2006).

Embora exista uma enorme variedade de applets disponíveis, e muitas vezes elas constituam

uma vantagem na planificação de uma aula, há no entanto muitas situações, que envolvem

alguma especificidade, onde o que se pretende é uma aplicação com um propósito muito

concreto e definido. Por vezes o professor confronta-se com dificuldades em encontrar tal

aplicação que corresponda exatamente ao seu ideal. Frequentemente o professor tem a perceção

de que a metodologia usada numa aula não foi eficaz, ou que a explicação não foi suficiente para

os alunos compreenderem determinado conceito ou problema. Ao idealizar uma aplicação

computacional interativa e dinâmica, adequada à situação, confronta-se com as dificuldades ao

nível da insuficiência de conhecimentos informáticos que lhe permitam criar tal aplicação

"personalizada". Nesses casos o recurso á programação torna-se determinante (ver 2.3.4).

Programas utilitários para o estudo de funções. O Autograph 2.3.2

No que diz respeito ao software para construção de gráficos e estudo de funções existe uma

grande oferta destacando-se o Autograph (Butler, et al., 2000). É um programa gráfico,

http://mathdl.maa.org/

29

dinâmico, incorporando um sistema de coordenadas cartesianas, transformações geométricas,

gráficos estatísticos e outros procedimentos relacionados com análise estatística (Oldknow, et al.,

2012). Apresenta uma interface inicialmente preparada para construir gráficos e menus (no topo

e na lateral) contendo comandos. Por exemplo: para construir um gráfico o trabalho consiste

basicamente em escrever a expressão analítica da função e imediatamente surge o gráfico

desenhado.

Ao utilizar este tipo de programas, o aluno reduz o seu trabalho a “abrir” e “fechar”

pequenas caixas de diálogo que vão surgindo no decorrer da execução de determinada tarefa.

Na Figura 2.4 apresenta-se a interface do programa quando se constroem dois gráficos,

y = cos(x) e y = cos(a.x) e em seguida se observa o efeito que o parâmetro tem no gráfico. Neste

caso basta selecionar “Equação” no menu de cima e em seguida introduzir a equação na forma

y = …. Para observar o efeito do parâmetro basta optar pelo “controlador da constante” também

na barra de comandos no topo e em seguida depois de definir a discretização é possível controlar

o parâmetro.

Figura 2.4 - Gráfico da função y=cos x e da família de funções y = cos (a.x).

Programas de geometria dinâmica 2.3.3

Atualmente existe ainda um tipo de software denominado software de geometria dinâmica,

cujos principais representantes são por ordem cronológica do seu aparecimento, o

Cabri-Géomètre, o Geometer's Skecthpad e o Geogebra.

As últimas versões do Cabri e do Sketchpad acrescentam elementos de geometria analítica

às suas características, proporcionando assim a possibilidade de estabelecer ligações entre temas

como a álgebra, a geometria e as funções. Estes dois programas existem disponíveis para

30

aquisição e ao fazê-lo adquirem-se licenças de utilização e atualização. O Geogebra é de acesso

livre bastando fazer o download na página oficial (Geogebra, 2008).

Apresentam-se em seguida, os aspetos mais relevantes e que são comuns a este tipo de

programas:

- Executam rotinas de geometria euclidiana; tais como o traçado de segmentos, retas e

circunferências, perpendiculares, paralelas, mediatrizes e bissetrizes, polígonos ou a

determinação de pontos médios e de pontos de intersecção;

- Efetuam transformações geométricas tais como translação, rotação, reflexões e homotetias;

- Efetuam, e podem escrever no ecrã, os resultados de medições habituais em geometria;

amplitudes de ângulos, áreas, perímetros, declives de retas, etc.

Estes programas têm ainda a possibilidade de construir e memorizar rotinas mais complexas

que podem ser depois escolhidas em determinados contextos. Estas rotinas assumem

denominações diferentes dependendo do programa. No Cabri chamam-se macros, no Sketchpad

são os scripts e no Geogebra ferramentas (Veloso, 1998).

O recurso a programas computacionais de geometria dinâmica, de acordo com o Programa

de Matemática do Ensino Básico (Ponte, et al., 2007), favorece a compreensão dos conceitos e

relações geométricas (2.º ciclo) e deve ser utilizado em tarefas exploratórias e de investigação

(3.º ciclo). Relativamente ao 1.º ciclo embora não exista qualquer referência à utilização deste

tipo de programas menciona-se a importância da utilização do computador em sala de aula de

modo a possibilitar explorações que possam enriquecer as aprendizagens realizadas no âmbito da

Geometria. Atualmente, com a introdução das metas curriculares, este assunto relativo à

utilização dos computadores nomeadamente à utilização deste tipo de programas de geometria

dinâmica, passou para segundo plano e não se encontra qualquer referência a este tema.

A nível internacional as indicações vão no mesmo sentido das diretivas nacionais de 2007.

As orientações expressas pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2007)

indicam que, desde os primeiros anos de escolaridade, os alunos deverão desenvolver a

capacidade de visualização através de experiências concretas com uma diversidade de objetos

geométricos e através da utilização das tecnologias, que permitem rodar, encolher e deformar

uma série de objetos bidimensionais e tridimensionais

Vários projetos, envolvendo a utilização de programas de geometria dinâmica, têm sido

desenvolvidos, quer em Portugal, quer ao nível internacional. O Geogebra tem adquirido maior

expressividade, pelo facto de ser um software de acesso livre e, dessa forma, os alunos poderem

usá-lo fora da escola, sem qualquer custo adicional.

Em Julho de 2009 realizou-se na Universidade de Linz na Áustria, o primeiro encontro

internacional de Geogebra. Estiveram reunidas cerca de 114 pessoas, desde investigadores,

professores e informáticos, provenientes de 35 países que, durante quatro dias discutiram e

partilharam experiências e ideias acerca do Geogebra, em cinco áreas temáticas distintas:

“Desenvolvimento de software e sistemas on-line”, “experiências de ensino nas escolas

31

primárias e secundárias”, “criação de materiais para a aprendizagem”, “Geogebra nas

universidades e na formação de professores” e “institutos Geogebra”.

A conferência foi caracterizada por um forte sentido de comunidade onde foram

apresentadas várias propostas para melhoramento do próprio software Geogebra como também

para novos projetos de investigação e criação de novos institutos Geogebra em diferentes partes

do mundo. Foram também apresentadas várias comunicações sobre a criação de materiais para a

sala de aula e a sua importância na planificação das aulas de matemática. Surgiram inclusive

contribuições ao nível de representações tridimensionais, usando para o efeito o cálculo matricial

(Oliveira, 2009).

Para avaliar as principais potencialidades do Geogebra foram desenvolvidos, numa primeira

fase, vários módulos computacionais relacionados com os conteúdos curriculares de matemática

de diversos níveis de ensino. Em seguida apresenta-se um pequeno módulo desenvolvido neste

contexto. Trata-se de uma aplicação para ser usada com alunos do 2º ciclo, versando o tema das

transformações geométricas no plano e em particular da rotação. A sua utilização com alunos

prevê uma planificação adequada e pormenorizada para se tirar a maior vantagem da aplicação

computacional. Surge num contexto de aplicação dos conhecimentos a novas situações e como

complemento à planificação da aula com o objetivo de clarificar e aprofundar conceitos.

Pretende-se que a interface da aplicação seja simples e esclarecedora.

A aplicação, cuja interface se apresenta na Figura 2.6 começa por apresentar duas figuras

geométricas em que uma é transformada da outra por uma rotação. De entre os vários pontos

representados no plano apenas um representa o centro de rotação. Utilizando as ferramentas do

Geogebra, o aluno terá de indicar a figura original, o centro de rotação e a amplitude do ângulo

de rotação e confirmar as suas conjeturas. A aplicação apresenta ainda uma opção que permite

esconder a imagem para que o aluno possa ir realizando diversas experiências.

APLICAÇÃO 1: Rotações (Geogebra)

Figura 2.5 - Aplicação desenvolvida em Geogebra para estudo de rotações de uma figura.

32

Em Portugal têm sido dinamizados várias iniciativas para promover o uso do Geogebra nas

aulas de matemática, nomeadamente com a realização de cursos em encontros nacionais

promovidos pela Associação de Professores de Matemática e também com a realização de

diversas ações de formação dinamizadas pela Sociedade de Portuguesa de Matemática bem

como por alguns Centros de Formação Creditados.

Depois da primeira conferência na Áustria, têm surgido muitos outros encontros e vários

institutos Geogebra surgiram por todo o mundo. Os avanços que se têm verificado ao nível do

software são enormes bem como ao nível da divulgação e partilha de experiências.

Existe atualmente uma publicação destinada à partilha e publicação de artigos e experiências

(Antohe, 2010)

Plataformas de programação: Scratch, VBA, MatLab. 2.3.4

SCRATCH

Seymour Papert (1928) matemático, considerado um dos maiores visionários da utilização

das tecnologias nas salas de aula de matemática, desenvolveu no MIT (Instituto de Tecnologia

de Massachusetts) por volta de 1967 uma linguagem de programação destinada exclusivamente à

educação. o Logo deu origem à linguagem Scratch (criada em 2007 no Media Lab do MIT).

Segundo Papert uma das melhores formas de aprender é ensinar e, nesse sentido, ele defendeu

que os alunos ao programarem estão a “ensinar” o computador e assim estão a experimentar um

das melhores formas de aprendizagem.

A partir dos anos 80 começou-se a integrar esta linguagem no ensino da matemática, após a

publicação do livro intitulado Mindstorms, Children, computers and powerful ideas onde Papert

apresentou ideias e sugestões para utilização dos computadores nas aulas de matemática (Teresa,

2009).

A linguagem de programação Scratch (Figura 2.6) apresenta características que a tornam

adequada às crianças pois é baseada em procedimentos muito intuitivos. O aluno apenas tem de

transmitir ordens ou comandos para o gato executar o que pretende. É por isso relativamente

fácil, pelo menos em teoria, o aluno criar novos termos ou procedimentos, com os comandos

básicos que fazem parte do seu quotidiano (Valente, 1998).

Em 2008 surge em Portugal o Scratch, programa educacional resultante de uma parceria

ente a Portugal Telecom e a Universidade MIT de Boston, EUA. Este programa inovador

disponibiliza ferramentas de programação informática com base nas quais é possível desenvolver

vários projetos que permitem exercitar a criatividade e o raciocínio científico, lógico e

matemático. O Scratch é uma ferramenta de aprendizagem que pode ser utilizada precocemente

num ambiente lúdico, com os alunos do 1º ciclo (Scratch, 2008).

Existem inúmeros projetos desenvolvidos no Scratch, abrangendo diversas temáticas, no

entanto este programa apresenta características que o tornam verdadeiramente útil para a

matemática (Scratch, 2008).

33

Para clarificar melhor esta ideia apresenta-se em seguida um exemplo de uma tarefa que

pode ser desenvolvida em Scratch. Trata-se de um programa para desenhar um polígono regular

com um número qualquer de lados (Figura 2.6).

APLICAÇÃO 2: Polígonos regulares (Scratch)

Figura 2.6 – Interface do Scratch 1.4 (linguagem desenvolvida no MIT na sequência do LOGO

desenvolvido por Papert). Exemplo de um programa para desenhar polígonos regulares.

Para o aluno desenvolver um programa em que, dado um número qualquer de lados, surge

no ecrã um polígono regular com esse número de lados terá de começar por definir uma variável

que representa o número de lados do polígono (que poderemos chamar nlados) e em seguida dar

instruções ao sprite (neste caso gato) que avance um determinado número de passos e depois

vire. Será o aluno a determinar qual a amplitude do ângulo necessário, que, neste caso,

corresponderá a 3600/nlados. Na zona gráfica aparece uma barra deslizante que permite variar o

número de lados do polígono. De notar que na zona dos comandos inclui-se um objeto

denominado “Repita nlados” que não é mais do que um ciclo (em linguagem de programação),

no entanto os alunos deste nível de ensino, não necessitam de adquirir a linguagem técnica

rigorosa, uma vez que a necessidade de repetir um procedimento surge naturalmente.

Na Figura 2.7 apresenta-se o trabalho do aluno do ponto de vista matemático. O

procedimento do script, neste exemplo consiste em “andar” 50 passos (matematicamente

significa desenhar um segmento de reta de comprimento 50 unidades) e em seguida “virar”

3600/nlados (matematicamente significa marcar um ângulo de amplitude 360

0/nlados. Em

seguida basta repetir este procedimento (“andar” e “virar”) o número de vezes correspondente ao

número de lados. Obtém-se assim um polígono regular.

34

Figura 2.7 – Esquema ilustrativo dos procedimentos para desenhar um polígono regular de 8 lados.

O caráter construtivo deste programa torna-o possível de realizar pelos alunos mais novos.

Nesta plataforma de programação, de acesso gratuito, não existem linhas de código ou comandos

ininteligíveis. O Scratch mostra de uma vez só todos os comandos disponíveis e separados por

categorias. É uma lógica de programação não convencional assente em objetos visuais.

Esta ideia de ser o aluno a transmitir aquilo que o computador deve fazer, está na base do

conceito de programação. Neste caso, é o aluno que passa as informações ao computador.

Para "ensinar" o computador a realizar uma determinada tarefa, o aluno deve utilizar

conteúdos e definir estratégias. Por exemplo, para programar o computador usando uma

linguagem de programação, o aluno realiza uma série de atividades que são de extrema

importância na aquisição de novos conhecimentos. Numa primeira fase a interação com o

computador através da programação requer a descrição de uma ideia em termos de uma

linguagem formal e precisa para que o computador execute fielmente a descrição fornecida e o

resultado obtido é condicionado pelo que foi solicitado à máquina. O resultado obtido permite ao

aluno refletir sobre o que foi solicitado ao computador e se o resultado não corresponder ao

esperado, terá de rever e melhorar a ideia original. A construção do conhecimento acontece pelo

facto do aluno ter que procurar novas informações para complementar ou alterar o conhecimento

que já possui. Além disso, o aluno cria as suas próprias soluções, reflete e aprende sobre como

procurar e usar novas informações. (Valente, 1997)

FOLHAS DE CÁLCULO COM VBA INCORPORADO

As folhas de cálculo são constituídas globalmente por uma matriz de células que podem

conter informação numérica ou textual. Os dados são introduzidos pelo utilizador ou então

calculados dentro da própria folha de cálculo, através de instruções (normalmente fórmulas)

fornecidas pelo utilizador. O uso de fórmulas permite que certos valores contidos em algumas

35

células dependam de outros valores colocados noutras células de tal forma que um conjunto

considerável de cálculos possa ser executado em simultâneo na mesma folha de cálculo.

As fórmulas na folha de cálculo geralmente têm um aspeto diferente das fórmulas

algébricas, embora tenham exatamente a mesma função.

A folha de cálculo também apresenta um processo de copiar uma fórmula para um conjunto

de células. Este procedimento automático é de grande utilidade na geração de tabelas de dados.

Em Outubro de 1979 foi lançada a primeira folha de Calculo denominada VisiCal, por Dan

Bricklin e Bob Frankston para a plataforma Apple II. Foi concebida e desenvolvida para executar

os cálculos repetitivos que Bricklin tinha de realizar no âmbito dos seus estudos em Harvard

Business School (Figura 2.8).

Figura 2.8 - Ecrã do VisiCalc (1979) http://www.bricklin.com/history/saiearly.htm.

Em 1982, Bricklin e Frankston venderam os direitos da Visicalc à empresa Lotus que

desenvolveu então a folha de cálculo Lotus 1-2-3, para o IBM PC. Esta nova folha de cálculo

incorporava uma base de dados rudimentar e algumas funcionalidades gráficas.

Durante mais de uma década, a Lotus dominou o mercado das folhas de cálculo. Nos anos

80, existiam ainda no mercado, além da Lotus e Visicalc, mais três folhas de cálculos: Supercalc,

Multiplan e Quattro Pro.

Em 1985 a Microsoft lançou uma folha de cálculo, o EXCEL, que rapidamento se tornaria

líder de mercado, destacando-se até hoje das demais.

No início, as folhas de cálculo enquanto simplificadoras de cálculos, forneciam ao utilizador

uma folha onde ele escrevia e, ao mesmo tempo, disponibilizavam uma calculadora integrada

nessa mesma folha. Todavia as funções desta aplicação são, atualmente, bem mais sofisticadas e

podem ir desde as conhecidas funções matemáticas e estatísticas até à sua grande versatilidade

na construção de gráficos e a possibilidade de gerar macros (conjunto de operações que pode ser

executado como um todo sendo usadas essencialmente para automatizar tarefas que são

executadas frequentemente) (Baker, et al., 2007).

Em Outubro de 2000 surgiu o OpenOffice.org, que consiste num conjunto de aplicações

livres, distribuída para a Microsoft Windows, Unix, Linux e Mac. O principal objetivo foi

http://pt.wikipedia.org/wiki/Supercalc

http://pt.wikipedia.org/wiki/Multiplan

http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Quattro_Pro&action=edit&redlink=1

36

fornecer uma alternativa de baixo custo, de alta qualidade e de código aberto. O OpenOffice.org

Calc é uma folha de cálculo semelhante ao Microsoft Excel compatível com os formatos de

arquivo do Microsoft Office, no entanto, certas funções são implementadas de forma diferente

nas duas aplicações. Por exemplo no que diz respeito à linguagem das macros, ela é semelhante

mas quando são importadas e guardadas dentro dos documentos do OpenOffice, não é possível

executá-las diretamente sem antes se procederem a alguns ajustes de linguagem, uma vez que o

Excel usa a linguagem Visual Basic for Applications e o OpenOffice.org usar o StarBasic.

A folha de cálculo é, atualmente, a segunda aplicação mais utilizada nos computadores

pessoais, sendo somente ultrapassada, naturalmente, pelo processamento de textos.

O Excel incorpora, desde 1993, uma linguagem de programação o Visual Basic for

Applications (VBA) - que permite criar programas estruturados diretamente na folha de cálculo e

embora não seja a única folha de cálculo a incorporar uma linguagem de programação, os seus

méritos são inquestionáveis: a facilidade em aceder a botões de controlo, tais como botões de

comando e barras de deslocamento, e inseri-los na folha de trabalho com uma programação

muito reduzida, faz com que o Excel seja considerado uma ferramenta poderosa para o ensino

(Walkenbach, 2004). Isto é especialmente útil para quem está a iniciar-se na programação pois é

possível desenvolver programas com algum grau de sofisticação sem que para isso seja preciso

dominar, com muita profundidade, uma determinada linguagem de programação.

Com o VBA conseguem-se resultados surpreendentes em termos de animações gráficas (de

grande valor pedagógico) à custa de alguns conceitos básicos de programação. O professor pode

assim, construir aplicações de elevado valor didático, destinadas a ultrapassar problemas

específicos que surgem no processo de aprendizagem dos alunos e o investimento que terá de

fazer é mínimo quando comparado com o ganho em termos de planificação das suas aulas. Terá

ainda possibilidade de ir criando as suas próprias aplicações e usá-las posteriormente em

situações semelhantes.

No próximo capítulo irá apresentar-se, em pormenor, de que forma se pode utilizar uma

folha de cálculo com VBA (o Excel) para o desenvolvimento de diversas aplicações com vista ao

estudo de conteúdos matemáticos transversais a todos os ciclos de ensino, no entanto os dois

exemplos que se seguem, servem para ilustrar, as características que se consideram

imprescindíveis para o desenvolvimento do presente trabalho.

Na Figura 2.9 e Figura 2.10 ilustram-se duas aplicações interativas desenvolvidas em Excel,

a primeira destinada ao ensino básico e a segunda ao ensino superior. Em ambos os casos é

patente a simplicidade dos códigos envolvidos.

No primeiro caso trata-se de um jogo para treino da adição de números inteiros relativos. A

folha começa por ser formatada para apresentar o aspeto que tem na figura. As células são

identificadas pelo número da linha seguido do número da coluna (cells(1,2) refere-se à célula

A2) e depois basta definir um botão de comando (neste caso denominado “Novo jogo”) que, ao

ser clicado, faz surgir números aleatórios (positivos e/ou negativos) em determinadas células

previamente definidas. O utilizador (neste caso o aluno) deverá preencher as restantes células

http://pt.wikipedia.org/wiki/Folha_de_c%C3%A1lculo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Microsoft_Excel

http://saber.sapo.cv/wiki/Microsoft_Office

37

tendo em conta a mensagem escrita no ecrã. O botão “pontuação” avalia o número de respostas

certas e erradas atribuindo um ponto por cada resposta correta transmitindo no ecrã o resultado

final. O aluno pode gerar inúmeros casos e assim treinar a adição de números inteiros relativos a

par do cálculo mental.

APLICAÇÃO 3: Pirâmide de números. Jogo

Figura 2.9 - “Pirâmide de números” – Jogo desenvolvido em Excel para treino da adição de números

inteiros relativos.

No segundo caso a aplicação pretende apoiar o estudo dos desenvolvimentos em série de

Taylor da funções. Esta aplicação dirigida aos primeiros anos das disciplinas de matemática dos

cursos de ciências e engenharias, também resulta essencialmente de um trabalho de organização

e estruturação do raciocínio matemático. Neste exemplo a maioria parte da programação faz-se

diretamente na folha de cálculo, sendo apenas inserido um botão denominado “Animação” que

permite visualizar em forma de filme a aproximação da função utilizando as séries de Taylor.

APLICAÇÃO 4: Visualização gráfica do desenvolvimento em série de Taylor das funções y = cos x,

y=sen x e y=ex

Figura 2.10 - Aplicação desenvolvida para estudo do desenvolvimento em série de Taylor

(MacLaurin) das funções y=cos x, y=sen x e y=ex (Oliveira, 2007).

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/seriesTaylor.html

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/seriesTaylor.html

38

MATLAB, MATHEMATICA, DERIVE

O MATLAB pertence às plataformas de programação. Trata-se de um sistema interativo,

baseado na representação matricial, que permite, realizar trabalhos de cálculo, resolução

numérica, processamento de dados e visualização recorrendo a uma forma de programação

relativamente acessível. O interface MATLAB é utilizado como ferramenta de cálculo e

visualização em muitos trabalhos de investigação e no apoio à resolução de problemas

quotidianos nas áreas das engenharias. Considera-se que o ambiente de programação

proporcionado pelo MATLAB apresenta uma linguagem de fácil apreensão, disponibiliza várias

ferramentas de apoio ao programador (nomeadamente o “workspace”, que permite visualizar o

conteúdo dos “arrays” em memória) e tem incorporada uma grande diversidade de funções

matemáticas que facilitam a programação de operações matriciais, assim como poderosas

funções para representação gráfica de dados/resultados (Attaway, 2009).

As potencialidades do módulo GUIDE do MATLAB para a programação de interfaces

gráficas são também relevantes, agora na perspetiva de desenvolvimento de aplicações

interativas. Na Figura 2.11 apresenta-se um pequeno programa desenvolvido em MATLAB

(apenas cinco linhas de código). O código mostra como, apenas com algumas funções simples, é

possível utilizar este programa para desenvolver as ligações entre a matemática e a arquitetura.

A par deste tipo de programa encontram-se os Wolfram Mathematica

(http://www.wolfram.com/mathematica/?source=nav)

e o Derive (http://www.chartwellyorke.com/derive.html)

APLICAÇÃO 5: Representação gráfica de uma “membrana elástica” (MatLab)

Figura 2.11 - Programa desenvolvido em MATLAB.

http://www.wolfram.com/mathematica/?source=nav

http://www.chartwellyorke.com/derive.html

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WEB SITES PROGRAMAÇÃO/MATEMÁTICA

Ainda pouco difundidos em Portugal, embora em franca expansão, existem várias páginas

web (de elevada qualidade) organizadas com o propósito de desenvolver nos utilizadores,

competências ao nível da resolução de problemas matemáticos num contexto de programação.

Estas páginas apresentam normalmente problemas matemáticos que deverão ser resolvidos

recorrendo à programação, não apresentando limitações quanto à linguagem de programação a

utilizar.

Entre outros projetos destacam-se o “Project Euler” (Euler, 2001), e o “CodeChef”

(CodeChef, 2009). Neste projetos, são apresentados vários problemas com diferentes graus de

dificuldade e os participantes têm de os resolver recorrendo a conhecimentos matemáticos e à

utilização do computador através de competências ao nível da programação. Os participantes

nestes campeonatos vêm de todas as partes do mundo gerando-se assim um clima saudável de

competição. O facto de existir liberdade total quanto à escolha da linguagem de programação a

utilizar faz com que alguns problemas apresentados nem sempre sejam adequados a níveis de

ensino elementares. No entanto, o formato destes campeonatos é atrativo e a ter em conta num

futuro próximo como forma ideal de motivar as novas gerações para o desenvolvimento de

competências ao nível das matemáticas, ciências experimentais e tecnologia. Embora em

Portugal não se conheça qualquer tipo de iniciativa semelhante, crê-se que é um caminho a

seguir como forma de preparar os jovens para uma sociedade em crescimento ao nível das

tecnologias e informação.

Programas CAS – Computer Algebra Systems 2.3.5

O cálculo algébrico simbólico (conhecido por CAS) é um conjunto de programas cujo

objetivo, como o próprio nome sugere, resolve basicamente problemas de álgebra e de cálculo;

como por exemplo: equações derivadas e integrais etc. (Mahoney, 2003). As nossas calculadoras

mais avançadas já trazem este sistema incorporado, mas também nos computadores já é possível

aceder a programas CAS sendo o Mathematica e o Derive os mais conhecidos.

Parecendo não restarem muitas dúvidas sobre a introdução dos sistemas de manipulação

algébrica nos currículos de matemática há já um número substancial de matemáticos que usam

CAS para apoiar o seu ensino, em qualquer nível. Importa a este propósito voltar a reportar que a

utilização deste tipo de software obrigará necessariamente a reorientar as nossas práticas

educativas por forma a desenvolver cada vez mais, procedimentos que apelem à compreensão

dos conceitos e se perca menos tempo com procedimentos rotineiros e mecânicos.

40

2.4 Nas aulas de matemática com as novas tecnologias

A utilização do computador nas aulas de matemática com o objetivo de ensinar matemática,

pode ser encarada pelos professores de diversas formas, dependendo do software escolhido, da

organização que se faz da aula e dos objetivos que se pretendem atingir.

O relatório recente (Setembro de 2011) elaborado por um grupo de trabalho do Joint

Mathematical Council do Reino Unido, intitulado “Digital Technologies and Mathematics

Education”, apresenta o ponto de situação da utilização dos computadores no ensino da

matemática referindo que efetivamente os computadores não estão a ser usados largamente no

âmbito da disciplina de matemática, e que, embora seja mundialmente reconhecido o seu

potencial, ele não é devidamente explorado pelos professores de matemática (Sutherland, 2011).

Apontam-se, em seguida, as razões justificativas contidas no relatório anterior e que, em

nosso entender, reforçam a convicção de que é necessário promover uma utilização dos

computadores original e criativa por parte dos alunos, não os considerando como um

complemento das atividades letivas, mas sim como fazendo parte integrante dessas atividades a

par do "papel e lápis", do manual, da calculadora e de outros materiais. Para o efeito há que

planificar as atividades letivas por forma a incorporar o computador, no momento certo, e com

objetivos muito bem definidos.

Considera-se que esta forma de encarar a utilização dos computadores para ensinar

matemática, de uma forma criativa e integrada nas atividades letivas, proporciona oportunidades

únicas para aprofundar conceitos matemáticos e para o desenvolvimento de competências que

permitam fortalecer as ligações entre a matemática, tecnologia e ciência tal como é referido no

relatório citado.

Novas dificuldades e novas possibilidades 2.4.1

“… a integração das TIC no processo de ensino e de aprendizagem não representa, para a

generalidade dos sujeitos, uma mudança de metodologia de ensino mas uma nova ferramenta que é

integrada no método em uso. Para os pais e docentes, esta perturbação do processo tradicional de

ensino poderá afetar a qualidade das aprendizagens. Este fator, aliado à inércia associada à introdução

de novos processos ou técnicas, é um poderoso inibidor da utilização das TIC. Trata-se aqui, da

dificuldade em determinar as vantagens concretas da integração das TIC no processo de ensino e de

aprendizagem.” (Carneiro, et al., 2011).

Embora seja consensual que a grande oferta de recursos ao nível dos meios informáticos

existentes, seja um aspeto positivo, há também a perceção de que tal diversidade conduz por

vezes a uma maior dispersão, tanto nos professores como nos alunos. Para os professores o

desafio consiste em efetuar escolhas (do vasto leque de ofertas disponíveis) adequadas aos

objetivos dos currículos quer ao nível de software quer ao nível de informação específica. A

oferta é grande e corre-se o risco de optar por recursos que se revelem ineficazes. Para os alunos,

41

com os sucessivos incentivos a utilizações lúdicas do computador, a dispersão é muito maior. A

utilização do computador em ambiente de sala de aula é frequentemente percecionada pelos

alunos como uma oportunidade que têm de consultar algo que, a maior parte das vezes, não têm

possibilidade de fazer em casa. Este tipo de atitude provoca sempre alguma turbulência no

funcionamento da aula.

Em termos de utilizações para fins escolares verifica-se que os alunos usam frequentemente

programas utilitários como o processamento de texto e “power point” e acedem à Internet para

realização de trabalhos, mas os resultados ficam-se na maior parte das vezes pelo exercício do

sistema de “copy-paste”.

Em síntese, é necessário analisar convenientemente os currículos, neste caso os de

matemática e não perdendo de vista os objetivos definidos, organizar as aulas integrando os

computadores eficazmente e, se necessário, tomar medidas que diminuam o efeito de dispersão

que a utilização dos computadores em ambiente de sala de aula provoca nos alunos (Joubert).

Normalmente, nas nossas escolas, as experiências que se realizam utilizando os

computadores com alunos resultam de iniciativas individuais ou de pequenos grupos de

professores, não parecendo existir uma cultura estratégica de implementação das TIC, transversal

quer às disciplinas quer aos respetivos professores.

Embora os professores refiram que a utilização das TIC é útil para preparação de aulas e

para ilustrar melhor as matérias, ainda se está muito longe da situação ideal em que os

professores dominam as tecnologias com destreza e confiança para as usarem de uma forma

sistemática (Carneiro, et al., 2011)

Mas as tecnologias também podem, elas próprias potenciar novos desafios e ajudar os

professores a ultrapassarem estas dificuldades de preparação. É necessária uma mudança na

forma como os professores trabalham nas escolas, no sentido de otimizar os recursos humanos

existentes e rentabilizar os conhecimentos informáticos de cada um. Esta partilha de

conhecimento poderá ser facilitada, precisamente, com a oferta ao nível das plataformas de

comunicação e assim diminui-se o risco de exclusão dos professores menos preparados em TIC.

É possível utilizar as novas tecnologias com os alunos, para ensinar um dado tópico, sem

que daí se tire um real proveito em termos da aprendizagem da matemática.

Por exemplo considere-se a situação em que o professor começa por fazer uma pesquisa na

Internet sobre o tema que está no momento a lecionar e encontra um applet que lhe parece

especialmente interessante. Em seguida poderá optar por o apresentar a toda a turma explicando

e realçando os aspetos matemáticos envolvidos.

Neste tipo de abordagem os alunos, com a orientação do professor, concentram-se no

conteúdo matemático. Trata-se de uma aula de matemática em que o aluno utiliza uma aplicação

previamente escolhida pelo professor, num determinado momento da aula, mas não participa na

construção do conteúdo matemático que ela envolve. É uma forma expositiva de encarar a

utilização do computador para ajudar o professor a clarificar determinado conceito. Pode-se

42

considerar que se está perante uma situação em que as tecnologias são fortemente utilizadas!

Começando com a pesquisa na Internet, a utilização do videoprojetor até ao applet propriamente

dito, pode-se afirmar que foram utilizados diferentes meios informáticos. No entanto, neste caso,

o aluno não participa na construção do seu próprio conhecimento, é apenas um mero utilizador.

Considera-se que este exemplo ilustra uma das principais dificuldades no uso das

tecnologias. É evidente que elas são utilizadas mas provavelmente não retirando daí grande

vantagem para a aprendizagem do aluno cujo papel se resumiu a observar a aplicação escolhida

pelo professor. E esta não é, no âmbito da presente investigação, a abordagem – ensino da

Matemática com recurso às novas tecnologias – que se defende.

Programação. Estruturação do raciocínio 2.4.2

Neste trabalho defende-se uma forma de utilizar as tecnologias no ensino da matemática em

que o papel do aluno é o de construir ele próprio as aplicações que posteriormente usa. O

processo construtivo tem como objetivos centrais o aprofundamento de tópicos matemáticos e o

estímulo das ligações entre a matemática e outras ciências, sempre na perspetiva de que é o

próprio aluno, devidamente tutorado pelo professor, que cria um ambiente onde esses objetivos

serão cumpridos. Realce-se o facto de que o método de trabalho é particularmente facilitado pelo

recurso às atuais plataformas existentes ao nível da programação.

É importante salientar que quando se fala em programação feita por alunos (e professores) o

que se propõe realmente é recorrer a uma técnica de programação por objetos (controlados por

eventos, do tipo “clik”, “change”, “scroll”) que pode ser desenvolvida nas versões mais recentes

do Office (ou do OpenOffice) e noutros programas utilitários, uma vez que já é disponibilizado

um “módulo de programação” em que o utilizador/programador recorre a diversos “objetos” tais

como barras de deslocamento (“scrollbars”) e botões de comando (“comandbuttom”) que são

programáveis em Visual Basic (VBA – Visual Basic for Aplications).

No caso de uma folha de cálculo, como o Excel, estes objetos são diretamente inseridos na

folha em que se inicia o trabalho e permitem controlar de forma interativa e/ou automática os

valores de qualquer célula ou conjunto de células.

Assim, nesta perspetiva, para que um aluno consiga ficar apto a desenvolver programas úteis

de apoio ao estudo e à aprendizagem da matemática terá “apenas” que conhecer um pequeno

conjunto de comandos (que se conseguem apreender num curto espaço de tempo) o que lhe

permite concentrar-se completamente nos conteúdos matemáticos per si.

Exemplificam-se em seguida duas abordagens de um mesmo tema em que o envolvimento

dos alunos é distinto: no primeiro caso são meros utilizadores, no segundo caso são criadores.

Um dos tópicos do Programa de Matemática do Ensino Básico, para o 2º ciclo é o estudo do

mínimo múltiplo comum (mmc) e o máximo divisor comum (mdc) de dois números inteiros. No

Programa estabelece-se ainda que a determinação do mmc e do mdc de dois números deve ser

feita usando, quer a decomposição em fatores primos, quer a representação dos seus múltiplos e

dos seus divisores (Ponte, et al., 2007).

43

A abordagem adotada para ensinar estes tópicos consiste habitualmente em seguir

intuitivamente um roteiro (familiar a todos os professores e comum à generalidade dos temas a

lecionar) que passa por, inicialmente, transmitir os conhecimentos, seguido de resolução de

exercícios, finalizando com eventual resolução de problemas (AgênciaProalv). Esta abordagem

pode ou não, em alguns momentos, incluir a utilização de calculadoras e/ou de computadores.

De que forma se pode tirar partido das tecnologias disponíveis para ajudar a complementar

este roteiro? Esta questão leva-nos a refletir e a analisar as opções que existem.

Uma opção a ter em conta é a procura de aplicações existentes nos diversos circuitos

comerciais e internet, e a escolha de uma, que se adeque ao perfil dos alunos e às suas

necessidades. A propósito deste assunto encontra-se facilmente um jogo (até de certo modo

conhecido) que ajudará os alunos a interiorizar o conceito de divisor de um número.

Na Figura 2.12 apresenta-se a interface do jogo, denominado Trinca-Espinhas. Trata-se de

um jogo entre o aluno e o Trinca-espinhas. O aluno escolhe um número e o Trinca-Espinhas fica

com os divisores desse número. Ganha quem totalizar o maior número de pontos que se obtém

somando os números que cada um vai arrecadando. Neste contexto, para ganhar, o aluno terá de

desenvolver uma estratégia que irá reforçar o conhecimento que adquiriu sobre os divisores de

um número. No entanto, este jogo não promove, em nossa opinião, um verdadeiro trabalho de

experimentação matemática por parte do aluno, no sentido em que não existe um trabalho de

estruturação do pensamento, de criatividade ou de resolução de problemas.

Figura 2.12 - Exemplo de programa utilitário (applets, jogos e tutoriais) para apoio ao estudo dos

múltiplos e divisores de um número.

A utilização deste tipo de programas pode até chegar a constituir momentos de

aprendizagem relevantes, mas o professor deverá estar consciente de que não está a extrair todas

as potencialidades que o computador oferece para acrescentar algo de novo à formação

matemática dos alunos. Mas, partindo (por exemplo) de uma folha de cálculo "em branco" é

possível criar aplicações, com elevado grau de interatividade, cuja construção potencia a

44

utilização de conhecimentos matemáticos adquiridos e cuja exploração serve para ampliar os

conhecimentos matemáticos sobre o assunto.

Este trabalho passa por duas fases distintas, ambas com conteúdo matemático: a criação da

aplicação (envolvendo a aplicação de conhecimentos a novas situações) e a sua

utilização/exploração (ampliando os conhecimentos matemáticos). O recurso a alguns

conhecimentos informáticos, embora muito reduzido, surge essencialmente ao longo da primeira

fase que, uma vez incorporados no vocabulário dos professores e alunos, serão facilmente usados

noutras situações.

Na Figura 2.13 apresenta-se uma aplicação, que pode ser desenvolvida em Excel por alunos

do 2º ciclo do ensino básico e que tem como objetivo a determinação dos divisores de um

número.

A sua construção implica a utilização de uma estratégia bem delineada. O trabalho

matemático terá de ser desenvolvido com “papel e lápis” antes de dar início ao trabalho com a

folha de cálculo. O aluno terá de refletir muito bem sobre o significado de divisor de um número,

pois será ele a “dizer” ao computador como os vai calcular. Neste caso, se N é o número de que

se pretendem conhecer os divisores, estes serão os números i menores ou iguais que N tais que a

divisão por i é exata. Para o código associado ao botão de comando há apenas que traduzir esse

facto: basta usar a função Int que calcula a parte inteira dos cocientes N/i e ter em conta que i

será divisor de N se o produto de Int(N/i) por i for igual a N.

APLICAÇÃO 6: Divisores de um número

Figura 2.13 – Aplicação para estudar os divisores de um número.

A construção desta aplicação necessita de um domínio dos conceitos matemáticos

envolvidos e a sua utilização permite desenvolver a experimentação matemática. A possibilidade

de estudar casos concretos para formular conjeturas com vista a estabelecer generalizações é uma

45

abordagem que fica facilitada quando se utiliza uma folha de cálculo organizada para esse fim.

Neste caso, a possibilidade de escrever uma lista de divisores de um número, de uma forma

rápida e rigorosa, facilita a exploração do conceito de máximo divisor comum e liberta tempo

para desenvolver outro tipo de competências.

É de salientar que a abordagem apresentada representa um acrescento ao que existe e não

um substituto.

As orientações das Normas Curriculares dos EUA apontam neste sentido:

"Num currículo coerente, as ideias matemáticas estão associadas e construídas umas sobre as

outras, de forma que os conhecimentos e a compreensão dos alunos sejam aprofundados e a sua

capacidade de aplicação da matemática se amplie." (NCTM, 2007).

Tendo esta ideia em mente, é necessário que o professor esteja continuamente atento à

forma como organiza as tarefas. Constitui um desafio para o professor encontrar uma forma de

transmitir aos alunos a ideia de que determinado tópico é relevante e que conduz ao

desenvolvimento de outros conhecimentos, abrindo assim novas perspetivas aos alunos.

Em conclusão, a decisão sobre se é útil ou não utilizar o computador para ensinar

determinado tópico matemático, deve basear-se numa análise prévia da situação para avaliar se,

dessa forma, os alunos adquirem competências que de outra forma não adquiriam ou por outro

lado se a aquisição das competências é comprometida pelo uso de procedimentos meramente

“tecnicistas”.

Tendo em conta a importância de que se revestem as folhas de cálculo (com programação

incluída) neste trabalho, pois é a plataforma escolhida, em torno da qual tudo se irá desenvolver,

justifica-se a atenção dada nos dois próximos pontos. No ponto 2.5 será feita uma breve incursão

no tempo sobre o sucessivo aparecimento das folhas de cálculo no mercado e os seus

melhoramentos. No ponto 2.6 faz-se uma breve análise da importância e da adequabilidade ao

ensino da matemática, do trabalho de programação nas folhas de cálculo.

2.5 As folhas de cálculo no ensino da matemática

Por volta de 1984, apenas um ano depois da folha de cálculo Lotus 1-2-3 ter aparecido nos

circuitos comerciais, os potenciais utilizadores começaram a discutir sobre o interesse da sua

utilização em educação. Argumentava-se que, embora se soubesse que os computadores eram

úteis para a educação em geral, uma das principais desvantagens era a de que eles se tinham de

ser programados. Em muitos casos, nesta altura, os alunos tinham mesmo de aprender uma

linguagem de programação para tirarem verdadeira vantagem dos computadores.

As folhas de cálculo vieram ajudar a contornar este problema (Hsiao, 1985). Esta mesma

visão foi também sustentada por vários outros autores que consideraram as folhas de cálculo,

verdadeiros sistemas de programação.

Um projeto que explorou as possibilidades do uso da folha de cálculo para a aprendizagem

da álgebra foi levado a cabo em simultâneo na Inglaterra e no México (Rojano, 1996). Teve

46

origem na constatação das dificuldades manifestadas pelos alunos na utilização de métodos

algébricos aquando da resolução de problemas (relatadas em vários estudos e relatórios), a

tendência em considerarem que a utilização de processos de tentativa-erro constituem um

obstáculo ao progresso na aprendizagem da álgebra e à crescente evidência de que os ambientes

computacionais podem ajudar a superar as dificuldades e a resistência face ao simbolismo

algébrico. Foi também influenciado por algumas perspetivas baseadas na história do pensamento

algébrico, em especial, (i) o risco de se dar ênfase a uma álgebra meramente sintática e

manipulativa sem prévia construção de significados para os símbolos algébricos; (ii) a

importância de trabalhar com problemas que desafiem o conhecimento adquirido pelos alunos; e

(iii) a importância de não negar o conhecimento prévio dos alunos e as suas competências, por

mais informais que sejam.

Este projeto tinha como objetivos principais: (i) investigar a forma como os alunos utilizam

o ambiente da folha de cálculo para representar e resolver problemas algébricos, a sua relação

com as suas experiências anteriores em aritmética e a sua evolução no uso da linguagem

simbólica; (ii) caracterizar os processos de resolução de problemas na dimensão aritmética-

algébrica no ambiente da folha de cálculo; e (iii) desenvolver e avaliar uma sequência didática

que ajude os alunos a fazer ligações entre a folha de cálculo e a sintaxe algébrica tradicional. Foi

desenvolvido em três etapas, ao longo de três anos, simultaneamente no México e na Grã-

Bretanha. A primeira etapa desenvolveu-se com alunos com idades de 10 e 11 anos de idade, a

segunda etapa com alunos com 14 e 15 anos com dificuldades na utilização da Álgebra e,

finalmente, a terceira etapa com alunos de 10 e 11 anos com bom desempenho escolar (Rojano,

1996)

Os autores do projeto concluíram que o ambiente da folha de cálculo é um ambiente

favorável ao estudo da álgebra pois permite distinguir as diferenças entre parâmetros e variáveis

de uma forma intuitiva. (Rojano, 1996).

As pessoas que utilizam as folhas de cálculo para programar são aquelas que nunca tiveram

qualquer tipo de treino em programação, mas que mesmo assim conseguem realizar algumas

tarefas. De facto, um dos grandes méritos das folhas de cálculo é que os utilizadores não pensam

neles próprios como estando a programar. (Robin, et al., 2009).

Sabita D'Souza e Leigh Wood, ambos professores do Departamento de Matemática da

Universidade de Tecnologia em Sidney, desenvolveram um estudo em que comparam a

aprendizagem da matemática baseada na utilização da tecnologia (em particular a utilização da

folha de cálculo) com a aprendizagem mais tradicional (baseada no papel e lápis). Eles estavam

interessados em perceber as diferenças (a existirem) entre estes dois métodos de aprendizagem,

bem como perceber se o uso das folhas de cálculo aumentava a motivação dos alunos (D'Souza,

et al., 2007). Estes autores referem que quando os alunos estão a usar a folha de cálculo

assumem um papel ativo estando constantemente a ter de fazer opções acerca de como gerar,

manipular e apresentar informação. Além disso desenvolvem a capacidade de tomar decisões e

definir objetivos, podendo estar permanentemente a verificar os progressos do seu trabalho.

47

Etsuo Morishita, Yohei Iwata, Kentaro Yuki e Haruhiko Yoshida, professores na Graduate

School of Engineering, Department of Aeronautics and Astronautics, University of Tokyo

realizaram estudos sobre a utilização da folha de cálculo no ensino da dinâmica dos fluidos e

mostram que as equações da dinâmica dos fluidos podiam ser resolvidas de uma forma eficiente

usando uma folha de cálculo. Afirmam que a experiência que têm em computação os leva a

concluir que demora muito tempo a ensinar linguagens de programação e que muitas vezes é

difícil obter resultados aceitáveis num intervalo de tempo aceitável. Uma opção bastante

razoável consiste em usar uma folha de cálculo que consideram muito acessível e possibilita o

desenvolvimento de simulações com base em métodos numéricos. Ao utilizar a folha de cálculo

como plataforma para o desenvolvimento de atividades de programação, o aluno é colocado

perante uma situação em que pode conceber aplicações de elevado valor didático, mesma que a

sua experiência em programação seja reduzida (Martin, 2000). Se o objetivo não é ensinar uma

linguagem de programação, mas alcançar a compreensão de um tema/conceito através da

utilização de determinado software, então as folhas de cálculo (com programação incluída)

deverão ser a primeira escolha (Baker, et al., 2007).

A utilização da folha de cálculo com VBA incorporado, no ensino da matemática tem sido

objeto de estudo por parte de alguns educadores matemáticos internacionais. Sergei Abramovich,

professor em State University of New-York em Potsdam, tem dedicado muito do seu tempo ao

estudo da viabilidade da utilização da folha de cálculo na educação matemática. Tem dezenas de

artigos publicados que relatam algumas das experiências concretizadas por ele próprio e pelos

seus colaboradores. Atualmente é membro da equipa editorial da revista on-line, criada em 2003

"Spreadsheets in education". A revista apresenta vários artigos de investigação na área da

utilização da folha de cálculo no ensino, bem como permite aceder aos ficheiros que

acompanham os artigos, desenvolvidos em Excel. Não está dirigida a nenhum nível de

escolaridade específico e por conseguinte estão publicados artigos que percorrem diversos níveis

de ensino (eJSiE).

Michéle Artigue no artigo "The future of Teaching and Learning Mathematics with Digital

Technologies" apresenta uma reflexão intitulada "From Programming to Visualization and

Experimentation: A First University Experience". Neste tópico refere a importância da

programação na aprendizagem de conceitos matemáticos e termina afirmando a insuficiência de

investigação nesta área (Artigue, 1998).

Erich Neuwirth e Deane Arganbright no livro intitulado "Mathematical Modeling with

Microsoft Excel"(2004) apresentam diversos problemas e usam a folha de cálculo Excel para

construir modelos que permitam visualizar facilmente as relações entre o problema original e o

modelo no computador (Neuwirth, et al., 2004).

No relatório "The Final Report of the National Mathematcis Advisory Panel" concebido pelo

Departamento de Educação dos Estados Unidos da América, editado em Março de 2008, pode

ler-se a seguinte recomendação "O Painel recomenda que a programação seja considerada como

uma ferramenta efetiva, para os alunos do ensino básico, no desenvolvimento de conceitos

48

específicos de Matemática e aplicações e para desenvolver a capacidade de resolver problemas.

Os efeitos são grandes quando se usa uma linguagem de programação, e os alunos são

devidamente orientados nessa tarefa." O relatório refere ainda que ainda não existem estudos

rigorosos sobre outras categorias de software para fazer recomendações sobre a sua utilização

(Education, 2008).

No artigo “Programming as mathematical narrative” (Int. Journal of Continuing

Engineering Education and Life-Long Learning, Vol. 18, No. 2, 214-233) Richard Noss e

Yishay Mor escrevem:

"O nosso argumento é que a programação pode ser a chave para resolver a tensão entre as

diferentes estruturas da representação e do formalismo matemático. Encaramos a programação

como uma atividade expressiva, uma forma de escrever e compor, condicionada ao contexto e

usada propositadamente para realizar ações. Defendemos que a programação pode permitir

desenvolver ambientes favoráveis para representar conceitos matemáticos" (Yishay, et al.,

2008).

Em Portugal, o programa de matemática do ensino básico (Ponte, et al., 2007), integra

algumas referências à folha de cálculo:

"A calculadora e o computador (por exemplo, através da folha de cálculo e applets)

permitem experiências com números e regularidades numéricas e o trabalho com situações reais

que sem estes recursos seriam difíceis de realizar";

"A folha de cálculo é um recurso tecnológico importante no desenvolvimento do

pensamento algébrico uma vez que permite realizar com rapidez experiências com números e pôr

em evidência relações numéricas";

"O computador, com a folha de cálculo, oferece aos alunos amplas possibilidades de

organizar e representar dados em tabelas e gráficos."

"As tarefas a propor aos alunos devem privilegiar a resolução de problemas e a modelação

de situações, usando conceitos e procedimentos algébricos de complexidade crescente, sem

perder de vista a consolidação dos procedimentos algébricos de rotina. O computador (por

exemplo, com a folha de cálculo) é um bom recurso para apoiar os alunos no estabelecimento de

relações entre a linguagem algébrica e os métodos gráficos, na realização de tarefas de

exploração e investigação e na resolução de problemas"

No entanto, talvez a utilização mais comum da folha de cálculo, nas nossas escolas, se

encontre no tratamento e apresentação de informação numérica e a correspondente tradução em

forma de gráficos, para a caracterização das avaliações dos alunos.

Também se podem encontrar algumas boas práticas com suporte nesta ferramenta em

diversos projetos da Área Escola, de Clubes ou de outros espaços curriculares não disciplinares,

mas não se encontram referências à sua utilização dentro da sala de aula, excetuando algumas

incursões na abordagem de temas de estatística.

49

2.6 Programação em Excel

As folhas de cálculo estão entre os sistemas de programação mais amplamente utilizados em

todo o mundo. Pessoas com pouca experiência ao nível da programação escolhem as folhas de

cálculo como plataforma para desenvolverem um trabalho muito semelhante ao da programação.

De facto, uma das grandes vantagens das folhas de cálculo é precisamente a de que os seus

utilizadores não se vêm a si próprios como estando a programar mas apenas a "escrever

fórmulas" e a "construir modelos" (Baker, et al., 2007).

Ao contrário da maior parte das linguagens de programação, é possível começar a usar

folhas de cálculo sem qualquer experiência em programação. Por exemplo, um utilizador pode

começar a usar as folhas de cálculo introduzindo apenas valores em algumas células de uma

coluna. Se o utilizador quiser depois obter o resultado da soma dos valores introduzidos, basta

usar o operador "+" ou então usar a função "Soma" e imediatamente a folha de cálculo se

transforma num programa. Ou seja alterando os valores introduzidos por outros, o resultado

altera-se automaticamente. Por outro lado o utilizador obtém um feedback constante daquilo que

vai construindo na folha de cálculo, dos progressos que vai fazendo mesmo antes de terminar o

programa (Robin, et al., 2009).

Conforme já se referiu, a incorporação da linguagem Visual Basic for Applications (VBA)

na folha de cálculo alargou as suas potencialidades. Opta-se neste trabalho pela folha de cálculo

do Excel para o desenvolvimento de aplicações, uma vez que este programa, além de

genericamente difundido nas escolas é reconhecidamente aquele que contem a melhor

implementação da linguagem VBA.

Esta ferramenta não é geralmente reconhecida como uma plataforma para o

desenvolvimento de aplicações computacionais na perspetiva do atual conceito de “creative

computing”. Frequentemente o Excel é encarado apenas como uma ferramenta útil para

representação de dados e análise estatística, no entanto, como se irá mostrar nos próximos

capítulos, o Excel, com o módulo de programação em VBA pode ser encarado como um

verdadeiro ambiente de desenvolvimento de aplicações que podem envolver cálculo numérico e

representações gráficas relativamente sofisticadas (Oliveira, 2005). Apesar de estar

principalmente preparado para gráficos bidimensionais, podem ser desenvolvidas sofisticadas

aplicações com gráficos tridimensionais.

O facto de, por exemplo, o Excel não disponibilizar comandos que permitam desenhar

automaticamente o gráfico de uma função dada a sua expressão analítica (como acontece com

outros programas utilitários) é uma das suas maiores vantagens para utilização nas aulas de

matemática. No Excel, há que pensar na expressão analítica, no intervalo do domínio em que se

pretende fazer a representação (na discretização pretendida) na construção da tabela de valores

da função e, finalmente para se construir o gráfico é necessário indicar expressamente os valores

assumidos pela variável independente e os valores da função (variável dependente). Depois é

necessário pensar na formatação do gráfico, indicando os valores máximo e mínimo das escalas,

dos eixos e ainda adequar as escalas e as dimensões do gráfico. Trata-se de um processo

50

claramente mais trabalhoso do que o exigido pelos programas de geração automática de gráficos

(do tipo Autograph), mas com um pouco de prática os alunos conseguem construir gráficos

muito rapidamente e com ganhos de aprendizagem incomparavelmente maiores.

Esta ausência de automatismos é uma mais-valia para os alunos que estão a tomar contacto

pela primeira vez com o conceito de função. Quando há um dado parâmetro envolvido, o Excel

com o VBA incorporado, permite construir uma barra de deslocamento para controlar de forma

interativa a sua variação. O aluno deverá indicar explicitamente da localização da célula em que

se encontra o parâmetro que ele pretende fazer variar.

Com o Excel podem-se desenvolver aplicações, desde o 1º ciclo até ao ensino superior, em

todas as áreas temáticas dos currículos de matemática e ciências experimentais. Nos capítulos

seguintes apresentam-se vários exemplos dessas aplicações percorrendo todos os ciclos de ensino

e diversos temas.

O Excel é um programa utilizado a nível profissional em muitas áreas de atividade por isso a

sua utilização no ensino e aprendizagem da matemática em todos os níveis de ensino pode

contribuir para esbater as fronteiras existentes entre a escola e a sociedade.

Se os alunos devem estar preparados para as novas exigências da sociedade atual em termos

da sua preparação ao nível das tecnologias, da matemática e das ciências experimentais, é

fundamental escolher desde cedo ferramentas tecnológicas que à partida se saiba serem usadas

em diferentes setores da sociedade. Assim a escola estará a cumprir uma das suas funções

primordiais que é fornecer aos alunos competências que os ajudem a desempenhar no futuro

funções em diversos ramos.

O Excel tem disponíveis várias funcionalidades que fazem dela uma ferramenta poderosa

numa grande variedade de situações em aula de matemática. Pode-se fazer uma utilização deste

programa baseada na simples utilização das funcionalidades elementares, ou então utilizá-la de

um modo mais sofisticado obtendo assim efeitos muito interessantes ao nível da interatividade e

animação. Qualquer uma destas utilizações implica um investimento de tempo inicial por parte

do utilizador, neste caso, o aluno. No entanto depois de estar familiarizado com tais

funcionalidades, os processos tornam-se rotineiros, e obtêm-se resultados muito surpreendentes e

de grande valor didático.

2.7 Considerações finais

Ao longo do presente capítulo mostrou-se o papel dos computadores no ensino da

matemática, em Portugal e em alguns países. Em seguida foram apresentados os programas

computacionais mais significativos, as suas características principais, mostrando até com alguns

exemplos as vantagens e desvantagens na sua utilização. A alusão às dificuldades que surgem

quando se incorpora a utilização das tecnologias nas planificações das aulas de matemática e ao

mesmo tempo a alusão às oportunidades que aparecem, leva-nos a refletir na metodologia que se

51

deve adotar quando se colocam os alunos perante esta máquina tão poderosa que é o

computador.

A visão que se apresenta neste trabalho passa por um entendimento do computador como

uma ferramenta complementar ao que existe. Não se trata de substituir práticas, mas sim o de

criar oportunidades para que os alunos reforcem as ligações entre áreas que surgem normalmente

aos seus olhos como aparentemente distintas. Nesse sentido a programação é a palavra-chave. É

convicção que quando o aluno programa algo, está a criar, está a desenvolver ligações entre

temas, está a aplicar o que aprendeu. Em síntese, quando o aluno programa está a desenvolver

ligações entre a matemática as ciências experimentais e as tecnologias e este tripé pode ser

considerado (como foi visto no capítulo1) o alicerce que o aluno deve ter quando cumpre a

escolaridade obrigatória e entra no mercado de trabalho.

Ao longo dos dois próximos capítulos serão apresentados os exemplos considerados

significativos para defender esta ideia.

Embora exista consenso generalizado sobre a importância em usar os computadores nas

aulas de matemática, existem também dificuldades em encontrar o caminho certo para que essa

utilização constitua uma mais-valia para o aluno e não seja apenas mais uma experiência pontual.

E o caminho certo terá obviamente de ter em conta uma cultura instalada do “papel, lápis e

manual” e uma metodologia instalada de “exposição, exercícios, trabalhos de casa”.

Se há uns anos atrás existiam problemas logísticos de falta de equipamento nas escolas, essa

situação tem tendência a inverter-se e hoje, principalmente nas universidades, já é comum

encontrarem-se os estudantes com o seu portátil individual. Esta situação, à qual os docentes

universitários não podem ficar indiferentes, implica inevitavelmente uma redefinição das

estratégias de ensino que terão de contemplar esta nova realidade. Se assim acontecer, os

estudantes que saem das universidades já terão uma formação atualizada às necessidades da

sociedade atual e tentarão reproduzir aquilo que aprenderam nas funções que irão ocupar, com

consequências muito positivas em particular no que diz respeito ao ensino. Os estudantes que se

preparam para virem a ser professores irão obviamente ter em conta este problema da integração

dos computadores no ensino da matemática, de forma critica e construtiva.

Nas escolas básicas e secundárias, a situação também já está a encontrar alguma estabilidade

no que diz respeito à existência de equipamento. Para além dos próprios alunos em muitas

situações terem o seu computador, também existem cada vez mais projetos a que as escolas

podem concorrer e assim conseguirem financiamento para a aquisição do equipamento em falta.

É de salientar que, em todos estes projetos não está previsto o desenvolvimento de materiais,

sketchs ou aplicações, por parte dos alunos. Estes são utilizadores de algo que é previamente

construído por professores ou peritos informáticos. Outra característica transversal a estes

projetos consiste no caráter estanque de que se revestem as aplicações desenvolvidas a serem

usadas pelos alunos. As aplicações têm um fim específico, contemplam um determinado tópico

curricular e não abrem possibilidades a diferentes explorações. São produtos acabados,

normalmente com uma interface gráfica atrativa. Em nenhum dos projetos o objeto de estudo se

52

centra no papel das folhas de cálculo, como ferramentas eventualmente poderosas para o

desenvolvimento de aplicações pelos alunos, com programação.

53

3 3 DESENVOLVIMENTO DE APLICAÇÕES COMPUTACIONAIS PARA O ESTUDO DA

MATEMÁTICA. DO BÁSICO AO SUPERIOR


O desenvolvimento de programas computacionais de natureza matemática recorrendo a

linguagens de programação simples e acessíveis, pode constituir uma oportunidade para os

alunos desenvolverem competências ao nível da resolução de problemas e utilização de

conhecimentos matemáticos a novas situações, uma vez que, a conceção dos referidos

programas computacionais implica organização, planificação e capacidade de abstração.

Neste capítulo apresentam-se exemplos de aplicações computacionais, desenvolvidas em

ambiente de folha de cálculo, nomeadamente no Microsoft Excel.

Ao longo dos vários exemplos, que percorrem tópicos curriculares de matemática de

diferentes níveis de ensino, salienta-se a importância de recorrer a representações gráficas

sugestivas, elaboradas pelos alunos, como forma privilegiada de obter um conhecimento mais

profundo dos tópicos de matemática envolvidos, de estabelecer conjeturas e ligações entre

diversas áreas da matemática.

54

Apresentam-se como exemplo dois tipos de aplicações interativas: as que visam

essencialmente proporcionar uma melhor compreensão de conceitos e as que tiram partido dos

conceitos para desenvolvimentos num contexto aplicado.

Em alguns casos estas aplicações são suscetíveis de ser construídas pelos alunos, mediante a

utilização de um guião e sempre com apoio do professor. Noutros casos destinam-se apenas a

constituir uma ferramenta de apoio à lecionação, já que, dificuldades inerentes à sua construção,

quer sejam resultantes da imaturidade dos alunos quer da complexidade envolvida,

desaconselham a sua construção em ambiente escolar. Em cada caso reportamo-nos sempre a

temáticas dos Programas de Matemática nacional e indicam-se os objetivos pretendidos, bem

como o público-alvo.

3.2 Números e operações

Neste ponto irá mostrar-se como é que, recorrendo a uma folha de cálculo, é possível criar

ambientes matemáticos que permitem aos alunos realizar exercícios rotineiros sobre um mesmo

assunto. Optou-se pelo desenvolvimento de pequenos jogos com pontuação incluída ou com

opção de verificação da resposta, pois considera-se que o feedback do trabalho do aluno é de

grande utilidade para a consolidação dos seus conhecimentos. Não se trata de desenvolver

aplicações com interfaces gráficas muito sofisticadas, nem contendo efeitos especiais, mas sim o

de desenvolver aplicações estruturadas versando determinado tópico matemático (curricular),

mas onde a geração de vários exemplos é um ponto comum. Este conceito pode ser aplicado a

vários níveis de ensino e a vários conteúdos matemáticos. Começa-se por apresentar o

desenvolvimento de aplicações para o 1º ciclo do ensino básico sobre números e operações.

O estudo das operações com números inicia-se no 1º ciclo, continuando ao longo do ensino

básico. O recurso a programas computacionais para aumento da destreza na execução de

operações, mentalmente, é bem aceite por todos, alunos e professores, pois tais programas

oferecem a possibilidade de gerar uma grande quantidade de casos diferentes e assim

proporcionar experiências diversificadas que enriquecem a aprendizagem da matemática por

parte dos alunos.

Embora se defenda a ideia de que o aluno deve, ser ele próprio a desenvolver as aplicações

para as usar posteriormente, considera-se, que neste nível de ensino o envolvimento dos alunos

na construção de tais aplicações, em folha de cálculo, não constitui uma opção credível devido

principalmente ao facto de esse tipo de trabalho exigir uma capacidade de concentração elevada

em períodos de tempo relativamente longos.

Mas isso não obsta a que os professores possam criar “puzzles” numéricos que

proporcionem o treino das operações usando exclusivamente cálculo mental. Estes “jogos”

podem inclusive ser facilmente adaptados aos diferentes universos de números a trabalhar nos

subsequentes ciclos de ensino.

55

Na Figura 3.1 apresenta-se a interface de um jogo de cálculo mental desenvolvido numa

folha de cálculo. É possível programar botões de comando (neste caso denominados por “Novo

jogo” e “Pontuação”) de uma forma simples e intuitiva bastando para isso utilizar procedimentos

como o RND (random) que gera números aleatórios e INT (inteiro) que fornece, a parte inteira

de um número. Nesta situação, o aluno clica no botão “Novo jogo” para gerar novos números

que são automaticamente colocados nas caixas amarelas e segue as instruções que surgem na

caixa de texto podendo consultar no final a pontuação obtida e melhorar o seu resultado.

APLICAÇÃO 7: Jogo de cálculo mental. Adição de números inteiros.

Figura 3.1 - Jogo de cálculo mental. Adição de números inteiros.


Para a construção desta aplicação começa-se por definir o formato visual do jogo. Neste

caso basta selecionar um conjunto de células numa dada disposição, aplicar cores e definir

limites para obter o efeito desejado. Por fim introduzem-se dois botões de comando, um que ao

ser acionado gera aleatoriamente números naturais e outro que informa sobre a pontuação obtida

após a realização do jogo. O código utilizado para programar estes botões é escrito em

Microsoft Visual Basic for Applications, no entanto dada a sua simplicidade, as instruções vão

sendo transmitidas aos alunos de uma forma progressiva à medida que vão sendo necessárias.

Basta para isso desenvolver nos alunos uma nova forma de raciocínio intuitivo e lógico baseado

na ideia de funcionalidade. Por exemplo, no caso do botão “Pontuação” é necessário

questionarmo-nos sobre o que se pretende exatamente obter quando se clica no referido botão. E

a resposta surge naturalmente “Se o valor que se introduzir for igual à soma dos dois valores, que

estão nas caixas amarelas, então é atribuído mais um ponto e assim sucessivamente”. Para

executar este processo basta utilizar uma instrução de controlo denominada por “If… Then”.


56

Na Figura 3.2 apresentam-se duas situações do jogo. Note-se que a pontuação obtida na

Figura 3.2 (a) assinala haver um erro que se constata, comparando com a Figura 3.2 (b) que

traduz o puzzle corretamente preenchido. Isto destina-se a não penalizar o jogador que erra no

preenchimento de uma caixa azul, mas preenche corretamente as caixas cinzentas. Ao verificar

que não tem a pontuação completa o jogador (aluno) pode procurar e corrigir o erro.

(a)

(b)

Figura 3.2 – Duas situações de jogo.

Alterando os códigos dos botões, a geração aleatória pode estender-se a outros universos de

números e as ligações controladas pela pontuação podem contemplar outras operações.

Mas ainda para o 1ºciclo podem construir-se aplicações que ajudem a desenvolver a

compreensão do sistema de numeração decimal, como no exemplo da Figura 3.3. A verificação

do resultado com um simples “click”, o feedback imediato e a possibilidade de tentar de novo

estimula o aluno a gerar outros exercícios e, em vez de resolver apenas o número mínimo é

provável que queira resolver muitos mais.

APLICAÇÃO 8: Jogo sobre o sistema de numeração decimal

Figura 3.3 – Jogo para treino. Sistema de numeração decimal.


A título de exemplo, e para atestar a simplicidade de programação dos botões de verificação,

apresenta-se na Figura 3.4 o código do botão destinado a verificar a última igualdade. Note-se

que as células da folha de cálculo são identificadas por cells(nº da linha, nº da coluna).


57

Figura 3.4 – Código de um botão de verificação.

Esta simplicidade, associada à criatividade dos professores, potencia outros desenvolvi-

mentos que permitam explorar vários tópicos dos diferentes ciclos de ensino de uma forma

interativa e propor aos alunos atividades de treino, motivadoras e com caráter lúdico e

competitivo. Note-se que o conhecimento, por parte dos professores, das instruções básicas que

constam nos códigos descritos acima, pode constituir uma mais-valia, muito útil em situações

que surgem naturalmente ao longo da sua prática letiva. Apenas com os comandos RND e INT e

uma restruturação da grelha da folha de cálculo é possível desenvolver outras aplicações noutros

contextos. Do ponto de vista formativo, o conhecimento de ferramentas para programação abre

novas perspetivas de abordagens de diversos assuntos matemáticos e pode mesmo estimular a

autoformação tão importante para colmatar as lacunas que existem ao nível dos conhecimentos

matemáticos por parte dos professores.

Apresentam-se seguidamente duas aplicações computacionais destinadas aos 2º e 3º ciclos e

cuja construção assenta no mesmo princípio das apresentadas anteriormente. Ilustram em

particular que o domínio de algumas instruções de programação, mesmo que a um nível muito

elementar, pode constituir uma mais-valia para desenvolvimentos futuros em muitos contextos

diversificados. Nos casos anteriores privilegiou-se o cálculo mental, no entanto com as mesmas

instruções, é possível desenvolver aplicações com outros objetivos completamente distintos

como se verá já em seguida.

No 2º ciclo do ensino básico, a representação de números racionais na reta numérica e a

comparação e ordenação de números racionais na forma fracionária, constituem tópicos

curriculares. As imagens visuais das frações através de barras-fração poderão contribuir para que

os alunos raciocinem de forma mais flexível quando comparam números assim representados

(NCTM, 2007). Os alunos devem ainda ser estimulados a raciocinar sobre a posição relativa de

frações numa reta numérica (NCTM, 2007) (Nápoles, et al., 2009)

A aplicação, cuja interface surge na Figura 3.5, apresenta um modelo geométrico de uma

reta numérica e dois pontos A e B representados na forma fracionária. Os alunos terão de

escrever a fração correspondente aos dois pontos. O botão “Novas frações” gera aleatoriamente

dois novos pontos e representa-os na reta numérica e o botão “Verificação” transmite o feedback

acerca da correção ou não das respostas.

58

APLICAÇÃO 9: Reta numérica

Figura 3.5 – Aplicação para determinação das abcissas de dois pontos localizados numa reta

numérica. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=136

No 3º ciclo constitui um objetivo a atingir, a resolução de equações do primeiro grau. A

construção de uma aplicação para treino na resolução de equações do primeiro grau (Figura 3.6)

segue um conjunto de procedimentos em tudo análogos àqueles que são usados para construir as

anteriores. São igualmente definidos dois botões de comando, um para gerar aleatoriamente os

coeficientes da equação e outro para indicar a solução da equação. É de salientar a importância

que reveste este tipo de programação como forma de agilizar o cálculo algébrico e simbólico. O

desenvolvimento desta aplicação é acessível aos alunos do 3º ciclo do ensino básico.

No ensino secundário, o desenvolvimento deste tipo de aplicações surge naturalmente

noutros contextos como por exemplo do estudo dos polinómios e das suas raízes.

APLICAÇÃO 10: Equações de 1ª ordem

Figura 3.6 – Módulo computacional para resolução de uma equação de 1ª ordem do tipo ax+b = c.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/equacoes1Grau.html

O caminho necessário para desenvolver cada uma das aplicações apresentadas anteriormente

é comum a todas elas. Começa-se por fazer o enquadramento curricular e estabelecer as



59

definições matemáticas para, em seguida, explicitar os objetivos que se pretendem atingir com o

desenvolvimento da aplicação computacional. Por fim a passagem para o ambiente da folha de

cálculo exige a escrita de um código em VBA e que incorpore as definições matemáticas e os

conceitos matemáticos estabelecidos e eventualmente outros. Em todas as aplicações

apresentadas, o traço comum a todas elas consiste na introdução de botões de comando que

proporcionam diferentes casos. Nos casos das aplicações 7, 8 e 9, quando se clica no botão de

comando “Novo jogo” são gerados números aleatórios e inseridos nas células para proporcionar

novas situações de jogo. Na aplicação 10 embora não seja apresentada uma situação de jogo, o

objetivo consiste em proporcionar diferentes localizações para pontos na reta numérica, que

ajude o aluno a identificar através de abcissas os respetivos pontos. Por isso quando se clica no

botão “Novas frações” surgem aleatoriamente pontos na reta para que os alunos os identifiquem

posteriormente. Na aplicação 11 (pretende-se obter diferentes equações gerando diferentes

coeficientes.

Em síntese, trata-se de reutilizar conhecimentos informáticos adquiridos, em situações

matemáticas muito diversas. O conceito de “geração de números aleatórios” que do ponto de

vista informático é um conceito elementar acaba por se revelar de grande utilidade numa enorme

diversidade de situações matemáticas. Repare-se que, no desenvolvimento de todas as aplicações

apresentadas anteriormente, o fio condutor de todas elas consiste precisamente na utilização de

apenas três conceitos informáticos, a saber a geração de números aleatórios a escrita de

números em células e a utilização de comandos condicionais “Se...Então”.

Ainda no âmbito do tema “Números e Operações” é possível proporcionar aos alunos o

desenvolvimento de aplicações com vista ao estudo das propriedades dos números (Figura 3.6).

Neste caso, para além dos conceitos informáticos descritos no parágrafo anterior é ainda

necessário acrescentar outros. Apresenta-se na Tabela 3.1 a trajetória a seguir com vista ao

desenvolvimento das aplicações.

APLICAÇÃO 11: Divisores de um número

Figura 3.7 – Aplicação Divisores.xls



60

Tabela 3.1 – Do currículo de matemática para a folha de cálculo. Um exemplo sobre Números e

Operações

Enquadramento

curricular

metas

Definição

matemática

Estabelecimento

dos objetivos da

aplicação

Divisores.xls e

multiplos.xls

Código VBA

Mínimo múltiplo

comum

Máximo divisor

comum

Utilizar corretamente a

expressão “múltiplo

de”

Identificar o mínimo

múltiplo comum de

dois números naturais

por inspeção dos

múltiplos de cada um

deles

Utilizar corretamente

as expressões “divisor

de” e “divisível por” e

reconhecer que um

número natural é

divisor de outro se o

segundo for múltiplo

do primeiro

Dados dois números

naturais a e b, diz-se

que b é um múltiplo

de a se b=na para

certo inteiro n.

Se a é diferente de

zero então pode-se

afirmar que b/a é um

número inteiro.

Se b é múltiplo de a

então diz-se que a é

divisor de b.

Divisores.xls:

O utilizador introduz

um número na célula

K7. Após clicar no

botão de comando

surge a lista dos

divisores do número.

Múltiplos.xls:

Após a introdução de

dois números naturais

a e b, em duas células

pré estabelecidas,

clicar num botão de

comando por forma a:

surgirem listas de

alguns múltiplos dos dois

números a e b.

surgirem com cor

diferente os múltiplos

comuns a cada um dos

dois números a e b.

Divisores.xls:

PrivateSub

CommandButton1_Click()

n = 6

V = Cells(7, 11)

For i = 1 To Cells(7, 11)

If V = i * Int(V / i) Then

n = n + 1

Cells(n, 12) = i

End If

Next i

End Sub

Notas:

Designando por V o número

que se introduz na célula K7

que, em código, se escreve

V=Cells(7,11), para cada

número natural i até V testa-

se a divisão de V por i: Se V

for igual ao produto de i pela

parte inteira de V/i (Int(V/i))

então deverá surgir na célula

(linha n, coluna 12) o valor

de i. O incremento para n

permite a mudança de linha.

O ciclo For, next e o

comando condicional If,

Then, EndIf permite

implementar este teste.

Esta interligação entre diferentes campos de conhecimento, desde a análise do programa, estabelecimento

rigoroso das definições matemáticas, estabelecimento rigoroso dos objetivos da aplicação que se pretende

desenvolver até à escrita do problema em código, dá origem à aplicação.

Após a escrita do código basta voltar ao ambiente da folha de cálculo e verificar se a

aplicação está realmente a funcionar permitindo assim retificar eventuais erros. Este trabalho

pode ser depois melhorado desenvolvendo outras aplicações com objetivos diferentes. Por vezes

uma pequena adaptação na aplicação original oferece um novo ambiente matemático de

exploração e alargamento de conhecimentos. É o caso das aplicações que se apresentam na

Tabela 3.2.

61

Tabela 3.2 – Aplicações desenvolvidas pelos alunos, em articulação com os objetivos do atual

programa de matemática do ensino básico

Identificar o máximo

divisor comum de

números naturais por

inspeção dos divisores

de cada um deles.

(Bivar, et al., 2013)

APLICAÇÃO 12: Divisores de dois números

Figura 3.8 - Adaptação da aplicação Divisores.xls para cálculo dos

divisores de dois números naturais.


Reconhecer que num

produto de números

naturais, um divisor de

um dos fatores é

divisor do produto.


APLICAÇÃO 13: Ampliação da aplicação divisores.xls

Figura 3.9 – Estudo de propriedades.

Conhecer e aplicar

propriedades dos

números primos:

Identificar um

número primo como

um número que tem

exatamente dois

divisores: 1 e ele

próprio.

Utilizar o crivo de

Eratóstenes para

determinar os

números primos

inferiores a um dado

número natural.

…”teorema

fundamental da

aritmética”…


APLICAÇÃO 14: Crivo de Eratóstenes

Figura 3.10 – Determinação de números primos utilizando o Crivo de

Eratóstenes.


APLICAÇÃO 15: Teorema fundamental da aritmética

Figura 3.11 - Decomposição em fatores primos de um número natural.





62

3.3 Teorema de Pitágoras

Para além das potencialidades computacionais e do processamento de dados, as folhas de

cálculo quando devidamente programadas também proporcionam importantes perspetivas

dinâmicas. Representações dinâmicas de conceitos matemáticos favorecem a compreensão de

problemas e possibilitam uma metodologia de experimentação matemática.

As potencialidades das folhas de cálculo (com VBA incluído) ao nível das vertentes

dinâmicas e interativas podem ter um papel importante na clarificação dos processos de

demonstração. Para muitos alunos, as demonstrações constituem um ritual sem significado, pelo

excesso de formalismo que normalmente envolvem.

A demonstração é central em matemática e como tal, devia constituir uma componente da

educação matemática. Esta ênfase pode ser justificada não apenas porque a demonstração

constitui o âmago da prática matemática, mas também porque pode ser uma ferramenta essencial

para promover a compreensão da própria matemática (Deborah, et al., 2002).

Estes autores consideram que é necessário fazer um debate rigoroso para chegar a um

consenso sobre o papel da demonstração no ensino da matemática. É necessário desenvolver

uma perceção mais refinada do papel da demonstração, desenvolver estudos práticos e promover

uma compreensão profunda dos processos e complexidades envolvidas na aprendizagem das

demonstrações. Deverá ainda desenvolver-se, implementar e avaliar estratégias de ensino

efetivas que promovam a habilidade para os alunos realizarem demonstrações em todos os níveis

de ensino, desde o básico ao superior (Deborah, et al., 2002).

Uma demonstração em matemática é um processo psicológico para convencer as pessoas

que uma determinada afirmação matemática é verdadeira. A estrutura e a linguagem usada na

formulação da demonstração será o resultado da criação da pessoa, mas deve ter em conta o

público a que se destina. Não existe uma “única” ou “correta” ou “melhor” demonstração de um

dado resultado (Krantz, 2010).

No sentido de dar um contributo nesta área, propõe-se uma abordagem do Teorema de

Pitágoras que contemple a utilização de módulos computacionais dinâmicos desenvolvidos com

o objetivo de complementar o estudo e a compreensão das suas demonstrações.

O Teorema de Pitágoras é, porventura o primeiro “teorema” que os alunos encontram no seu

percurso académico. Constitui um tópico curricular do 3º ciclo do ensino básico e são inúmeras

as abordagens, incluindo as de argumentação demonstrativa, que se lhe pode associar.

Basicamente enuncia-se da seguinte forma: Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é

igual à soma dos quadrados dos catetos, o que desde logo, coloca a ênfase numa das implicações,

a saber “se o triângulo é retângulo, então o quadrado da sua hipotenusa é a soma dos quadrados

dos seus catetos” em detrimento da outra que, regra geral não aparece nos programas, nem nos

manuais escolares e, por conseguinte, os professores não abordam o resultado.

Importa igualmente esclarecer que, historicamente, este resultado aparece pela primeira vez

registado no mais célebre tratado matemático de todos os tempos – “Os Elementos”, de Euclides

onde se lhe atribui um lugar de particular destaque porquanto ordenado como sendo as duas

63

últimas proposições do Livro I (I 47 e I 48). Ora é exatamente neste tratado que se encontra a

histórica demonstração conhecida por “a demonstração do moinho” de caráter exclusivamente

geométrico, onde surge informação sobre as áreas de quadrados construídos sobre cada um dos

lados de um triângulo retângulo: adicionando a medida das áreas dos quadrados construídos

sobre os catetos de um triângulo retângulo obtém-se a medida da área do quadrado construído

sobre a hipotenusa (Boyer, 2003).

Inúmeras demonstrações do Teorema de Pitágoras têm vindo a ser publicadas por diversos

autores mas também por curiosos anónimos; pode-se citar uma demonstração dinâmica de

autoria de Hermann Baravalle publicada em 1945 (Figura 3.12) e outra do presidente americano

James A. Garfield que publicou uma demonstração algébrica em 1876 (Galeti, et al., 2012).

A vantagem em utilizar as demonstrações dinâmicas do Teorema de Pitágoras, nas aulas de

matemática tem a ver sobretudo com o facto de o próprio processo envolver vários conceitos

matemáticos e isso potenciar o desenvolvimento do raciocínio matemático e o estabelecimento

de ligações entre diferentes assuntos. Repare-se que a demonstração de Hermann Baravelle

baseia-se na equivalência de polígonos. Estes são deslizados, mantendo as características

principais, por forma a que a área permaneça a mesma.

Figura 3.12 – Processo demonstrativo do Teorema de Pitágoras feito por Hermann Baravelle.

As demonstrações dinâmicas e o uso de modelos e tecnologias em aula têm como referência,

o “aprender fazendo”, segundo o qual o processo de ensino se centra nas experiências e nas

descobertas dos alunos, no desenvolvimento da criatividade, no uso de materiais didáticos

adequados e no trabalho em grupo, onde o aluno constrói o conhecimento e o professor é o

veículo para essa construção. Existem vários “filmes”, apresentando animações, com o objetivo

de visualizar demonstrações geométricas do teorema de Pitágoras. Estas demonstrações

geométricas assentam na ideia da decomposição de figuras com a mesma área.

Área. Equicomposição e decomposição

O conceito de área, que surge logo no 1º ciclo do ensino básico, é um conceito intuitivo e

normalmente acessível aos alunos. Matematicamente define-se área como sendo uma

aplicação ( ) que associa a certos subconjuntos A do plano, um número real (A) , tal que

a) (A) 0 ;

64

b) Se então (A B) (A) (B) A B= ;

c) Se A’ é uma figura obtida por um movimento euclidiano partindo da figura A, então

(A') (A) ;

d) Se Q é um quadrado de lado 1, então (Q) 1 ;

Duas figuras são equidecomponíveis se é possível decompor uma delas num número finito

de partes, e por meio de um rearranjo dessas partes, obter a outra figura.

Esta afirmação foi demonstrado em 1832 por Farkas Wolfgang Bolyai e independentemente,

em 1833 por Phillip Gerwien. É conhecido por Teorema de Bolyai-Gerwien. Desde o início do

século XVIII, a equidecomposição tem surgido na matemática recreativa como forma de

descobrir que diferentes tipos de polígonos uma vez “cortados” e as suas peças reagrupadas, dão

origem a outros polígonos. Mas, esta ideia tem aparecido também em muitas situações da

geometria nomeadamente nas demonstrações do teorema de Pitágoras.

Demonstração do Teorema de Pitágoras por Henry Perigal

A prova de Henry Perigal partiu de uma decomposição do maior dos dois quadrados

construídos sobre os catetos do triângulo retângulo, em quatro partes congruentes, tal que, estas

peças congruentes juntamente com o menor quadrado de lado igual ao menor cateto

equicompõem o quadrado construído sobre a hipotenusa.

A aplicação desenvolvida na folha de cálculo, que se apresenta na Figura 3.13, ilustra de uma

forma dinâmica a informação relativa às áreas dos quadrados construídos sobre os catetos e a

hipotenusa de um triângulo retângulo, usando decomposição e rearranjo de figuras geométricas.

A utilização desta aplicação é útil, numa primeira fase, pois convence os alunos de que os

quatro quadriláteros obtidos pela divisão do quadrado (médio), juntamente com o quadrado mais

pequeno, se podem "arrumar" no quadrado construído sobre a hipotenusa. A presença das barras

de deslocamento permite realizar várias experiências e testar a demonstração para um grande

número de triângulos retângulos, promovendo a experimentação em matemática.

65

APLICAÇÃO 16: Demonstração geométrica do Teorema de Pitágoras

Figura 3.13 - Sequência de passos que ajudam a compreender uma demonstração geométrica do

teorema de Pitágoras. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=38

(Oliveira, et al., 2011)

Esta abordagem, no entanto, é insuficiente se o professor não estimular os alunos a

questionarem-se sobre como obter esta decomposição e porque é que efetivamente todo o puzzle

funciona. Na Figura 3.14 apresentam-se os passos necessários para efetuar a decomposição dos

dois quadrados mais pequenos e acompanhar a justificação matemática.

Passo 1: Construção de um triângulo retângulo escaleno e de três quadrados sobre cada um

dos seus lados; determinação do centro do maior dos quadrados construídos sobre os catetos

através da interseção das suas diagonais; construção de duas retas passando por esse ponto uma

paralela à hipotenusa do triângulo retângulo e outra perpendicular.

Passo 2: Os quatro triângulos sombreados são iguais.

Passo 3: O quadrado maior (construído sobre um dos catetos) fica decomposto em quatro

quadriláteros iguais.

Passo 4: Através de translações, “colocam-se” os quatro quadriláteros no quadrado

construído sobre a hipotenusa.

Passo 5: As cinco peças preenchem completamente o quadrado construído sobre a

hipotenusa, uma vez que, por construção, os segmentos de reta a azul são paralelos e iguais

garantindo assim que o polígono [ABCD] é um quadrado.

Passo 6: Através de uma translação “coloca-se” no espaço livre o quadrado mais pequeno.


66

Passo 1

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Passo 6

Figura 3.14 – Sequência de passos para acompanhar a justificação geométrica do puzzle anterior.


É possível ampliar o campo de estudos sobre este tema, estimulando os alunos a conjeturar

sobre uma possível generalização do Teorema de Pitágoras, tirando partido das potencialidades

das folhas de cálculo para a construção de aplicações dinâmicas.

Nomeadamente é pertinente colocar questões do tipo será que a soma das áreas de

retângulos construídos sobre os lados de um triângulo retângulo verifica a relação? Mesmo sem

usar qualquer imagem, a intuição sugere que não, uma vez que uma das dimensões de cada um

dos retângulos é livre, o que origina áreas diferentes.

A experimentação pode ser implementada explorando a ligação da álgebra com a geometria,

como se faz na aplicação apresentada em seguida. A utilização de barras de deslocamento para a

experimentação de muitos casos, associada ao cálculo dos cocientes entre as medidas dos lados

do retângulo, leva a conjeturar que é necessário que os três retângulos sejam semelhantes.

A Figura 3.15 apresenta a interface de uma aplicação que incorpora quatro tipos de

representações:

- a zona gráfica onde se visualiza um triângulo retângulo e três retângulos construídos sobre

os catetos e a hipotenusa deste triângulo. As medidas dos comprimentos dos catetos do triângulo

retângulo identificam-se por a e b e as medidas dos retângulos que não dependem de a e b

identificam-se por d, e, f.

A

B

C

A

B

C


67

- a zona das barras de deslocamento que permitem variar as medidas a, b, d, e, f.

- as duas zonas de cálculo que englobam duas tabelas, uma que apresenta os valores das

razões entre os comprimentos dos lados de cada um dos retângulos e outra que apresenta os

valores das áreas do retângulo C e da soma das áreas dos retângulos A e B.

As quatro zonas distintas estão ligadas. Quando se interage com os valores de a, b, d, e, f, os

valores são atualizados e a figura altera-se Repare-se que, apenas quando os quocientes forem

iguais é que se verifica a igualdade entre as áreas. A figura é atualizada à medida que se alteram

estes valores.

Note-se a este propósito o trabalho publicado na Casa das Ciências. Consiste num conjunto

de textos de apoio ao estudo da semelhança de figuras. Ao longo da sua leitura, é possível,

utilizando módulos computacionais desenvolvidos em Excel, estudar e visualizar conceitos

matemáticos relacionados com o tema das semelhanças. Por exemplo, recorrendo a módulos

computacionais interativos é possível visualizar graficamente o efeito da aplicação a figuras

planas de diferentes razões de semelhança. Através da manipulação do comprimento dos lados

de retângulos semelhantes e do facto de escala, o módulo computacional desenvolvido, ajuda a

compreender de que forma os comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois

retângulos semelhantes estão relacionados entre si. São ainda sugeridas catividades que tirem

partido dos itens estudados e faz-se um estudo rigoroso do Teorema de Thales (Oliveira, et al.).

O trabalho encontra-se publicado também nas páginas do Projeto Espiral e do manual interativo.

Poderá consultar as referidas aplicações e a respetiva fundamentação matemática em:

http://www.matematica-interactiva.com e http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com.

APLICAÇÃO 17: Investigações geométricas

Figura 3.15 – Aplicação desenvolvida em Excel para conjeturar sobre se a soma das áreas de

retângulos construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do retângulo construído

sobre a hipotenusa. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=110

http://www.matematica-interactiva.com/

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/


68

A construção destas aplicações implica o recurso a simples conceitos de geometria

cartesiana e transformações geométricas. O domínio das técnicas necessárias à construção das

aplicações proporciona a possibilidade de concretizar situações ainda relacionadas com o

teorema de Pitágoras. É o caso da aplicação desenvolvida para ilustrar a demonstração do

teorema de Pitágoras por Euclides. Acompanhar os sucessivos passos de Euclides no seu

raciocínio, envolve vários conceitos matemáticos do currículo do ensino básico.

Os matemáticos indianos na Idade Média, em vez de descreverem os princípios geométricos,

ilustravam-nos com desenhos muito sugestivos e escreviam apenas “Olha!” (Fetissov, 1985). Se

se aplicar este método para compreender a demonstração do Teorema de Pitágoras que surge no

Livro I do tratado “Elementos de Euclides” provavelmente encontram-se algumas dificuldades,

ainda mais se isso for feito com os alunos. No referido livro surge apenas uma figura que bastou

a Euclides para construir uma demonstração do Teorema de Pitágoras. Esta prova consiste na

demonstração de que polígonos não congruentes podem ter a mesma área, usando várias etapas

intermédias e linhas auxiliares.

(i) A área do quadrado em AB iguala duas vezes a área do triângulo FAB, ou duas vezes

a área do triângulo BAD, ou à área da retângulo BDLM.

(ii) A área do quadrado em AC é igual a duas vezes a área do triângulo KAC ou duas

vezes a área do triângulo ACE ou à área da retângulo CELM.

Figura 3.16 – Figura concebida por Euclides para auxiliar a demonstrar o teorema de Pitágoras

(Boyer, 2003).

A demonstração feita por Euclides, oferece uma oportunidade aos alunos para estabelecerem

conexões entre diferentes tópicos de matemática, ao mesmo tempo que refletem sobre o

significado histórico da demonstração e apreciam a sua beleza. A figura apresentada por

Euclides, é insuficiente para os alunos compreenderem na totalidade todo o seu pensamento.

69

Com a ajuda de um módulo computacional é possível integrar esta demonstração, num processo

de resolução de problemas, alternando entre a dedução e a experimentação, usando

representações dinâmicas e interativas. Esta interatividade expressa pela “mão/olho” é essencial

para os alunos compreenderem todas as relações envolvidas na demonstração. Neste caso, a

verdadeira interação consiste em alternar o dinâmico e o estático: dinâmico quando se clica e

arrastam objetos geométricos, estático quando se estabelecem relações matemáticas.

Assim, tirando partido das potencialidades da folha de cálculo como ambiente de

programação, foi desenvolvida uma aplicação (Figura 3.17), que contém sete botões de comando

e uma zona gráfica. Clicando sucessivamente em cada um dos botões pode-se acompanhar uma

sequência de etapas que ajudam a compreender a demonstração de Euclides. É fundamental

existir um domínio dos alunos sobre o seu próprio ritmo de aprendizagem. A aplicação permite

que eles possam parar, refletir e testar usando o feedback dado pelas imagens gráficas.

APLICAÇÃO 18: Demonstração de Euclides do Teorema de Pitágoras

Figura 3.17 – Interface da aplicação demonstrativa do raciocínio de Euclides na demonstração do

Teorema de Pitágoras. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=109


70

A Figura 3.18 mostra a sequência que pode ser visualizada na aplicação.

Figura 3.18 – Justificação geométrica da demonstração do teorema de Pitágoras feita por Euclides.

No capítulo 5 apresenta-se uma descrição do trabalho desenvolvido com os alunos,

utilizando as aplicações computacionais referidas anteriormente (ponto 5.2.4).

3.4 Estudo de funções

O conceito de função que hoje pode parecer simples, é o resultado de uma lenta e longa

evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios

utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos

tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com o

seu comprimento. Nesta época o conceito de função não estava claramente definido: as relações

entre as variáveis surgiam de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico.

Só no séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas,

se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar

analiticamente funções. A Matemática recebe assim um grande impulso, nomeadamente na sua

71

aplicabilidade a outras ciências - os cientistas passam, a partir de observações ou experiências

realizadas, a procurar determinar a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. A

partir daqui todo o estudo se desenvolve em torno das propriedades de tais funções. Por outro

lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a

"criação" de novas curvas, imagens geométricas de funções definidas por relações entre variáveis

(GrupoVirtuous , 1998).

Um dos objetivos da Matemática é explorar conceitos que permitam estudar uma grande

variedade de situações concretas a que se aplica um sistema de ideias comuns. Identificadas e

selecionadas, essas ideias servem de base à construção de uma noção abstrata que é aplicável às

situações concretas que lhe serviram de modelo por partilhar com elas algumas características

essenciais. É o caso do conceito de função (Sanches, 2002).

O conceito de função estabelece-se como uma ferramenta da matemática que ajuda o

homem a entender os processos de fluência e de interdependência que são intrínsecos às coisas e

aos seres do Universo (Caraça, 2003). Saber que a variação de uma grandeza depende da

variação da outra é um aspeto importante no estudo do conceito de função, mas que se torna

incompleto se não se conseguir dar qualidade e quantificar este processo de variação (Caraça,

2003).

Um estudo sobre o desenvolvimento do ensino de funções polinomiais, do primeiro e

segundo grau e de funções exponenciais e logarítmicas no ensino básico e secundário, mostrou a

predominância de uma abordagem algébrica e estática do conceito de função (Botelho, 2005).

Neste subcapítulo mostra-se como é possível desenvolver pelos alunos, aplicações

computacionais, para a aprendizagem das funções nos vários níveis de ensino, recorrendo a

alguns comandos básicos de uma folha de cálculo como o Excel.

Uma vez que o conceito de função é transversal ao ensino básico e secundário, a escolha

incide sobre as famílias de funções estudadas nos diferentes anos de escolaridade: funções de

proporcionalidade direta (8º ano), funções quadráticas (10º ano) e funções trigonométricas (11º

ano).

É de realçar o recurso sistemático a representações gráficas das funções como forma de

compreender e visualizar os aspetos fundamentais das mesmas. Note-se a importância de

distinguir entre gráfico e representação gráfica.

Dada uma função real de variável real f de domínio D, o gráfico G da função f é um

conjunto de pares ordenados (x,y) em que x percorre o domínio da função f e y é exatamente o

transformado do x correspondente, por meio de f. Ou seja 2G (x, y) : x D e y f (x) .

O gráfico de uma função real de variável real contém toda a informação sobre o comportamento

da função.

No próximo ponto apresenta-se uma abordagem para o estudo das coordenadas cartesianas,

que contempla a construção de uma aplicação computacional pelos alunos. Dá-se especial

importância a este processo por se considerar que ele é demonstrativo da ideia que se defende

neste trabalho.

72

Na revista Educação e Matemática foi publicado um artigo intitulado “Aprender matemática

com o Excel. Aplicações computacionais” da autora desta dissertação, onde é apresentado com

detalhe de que forma é possível utilizar a folha de cálculo para o estudo das funções de

proporcionalidade direta, quadrática e trigonométrica. É ainda apresentado um exemplo de

modelação matemática desenvolvido com alunos do ensino secundário a propósito do estudo das

funções trigonométricas (Oliveira, et al., 2009).

Coordenadas cartesianas e simulação de movimento 3.4.1

"Identificar e assinalar pares ordenados no plano cartesiano", constitui um objetivo

específico dos Novos Programas de Matemática do Ensino Básico (Ponte, et al., 2007).

Mas também nas metas da matemática se faz referência às coordenadas “identificar, dado

um plano munido de um referencial cartesiano, a “abcissa” (respetivamente “ordenada”) de um

ponto P do plano como o número representado pela interseção com o eixo das abcissas

(respetivamente ordenadas) da reta paralela ao eixo das ordenadas (respetivamente abcissas) que

passa por P e designar a abcissa e a ordenada por “coordenadas” de P (Bivar, et al., 2013).

A abordagem deste tópico deve proporcionar aos alunos a oportunidade de explorar

conceitos diversos como posição, orientação e movimento. Através da representação de figuras

em papel quadriculado, da criação de grelhas de coordenadas e da descrição de uma trajetória,

usando linguagem corrente e recorrendo ao vocabulário geométrico, desenvolve-se o raciocínio

geométrico (NCTM, 2007).

Por outro lado, uma das principais preocupações da álgebra é a investigação de processos

dinâmicos de variação, através da criação e análise de modelos simbólicos. Esta visão da álgebra

é particularmente propícia à utilização de ferramentas tecnológicas tais como as folhas de

cálculo. Muitos investigadores analisaram as vantagens de uma abordagem dinâmica da álgebra

e recomendaram o seu ensino num ambiente de utilização da folha de cálculo (Sutherland, 2011).

Neste contexto apresenta-se uma aplicação computacional cuja construção foi feita pelos

alunos do 7º ano de escolaridade em dois anos consecutivos. Pretende-se mostrar como a

construção, por parte dos alunos, de uma aplicação computacional que permita visualizar o

movimento de um “TGV”, pode potenciar o desenvolvimento de competências ao nível da

álgebra e ainda o desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas, através da

utilização de formas diferentes de representação tais como gráficos, desenhos e expressões

simbólicas (Gwendolyn, et al., 2010). Pode ainda alertar os alunos para o facto de que a

matemática não é um conjunto de temas soltos, estanques mas que constitui um campo de

estudo integrado (NCTM, 2007), na medida em que, ao longo da construção da aplicação, vai

sendo necessário utilizar diferentes conceitos matemáticos para resolver os problemas que vão

surgindo.

O desenho de um “TGV” é feito através de uma tabela de coordenadas de pontos de

referência e uma barra de deslocamento (scrollbar) que, associada a uma dada célula, permite

73

efetuar manualmente o movimento do comboio. Inclui-se ainda um botão que simula

automaticamente o movimento do “TGV” (Figura 3.19).

APLICAÇÃO 19: Coordenadas cartesianas

Figura 3.19 - Aspeto global da aplicação TGV.xls. Na primeira figura o conteúdo da célula E3 é

zero, logo o TGV está parado (na posição inicial). Na segunda figura E3=15, o TGV desloca-se.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/prop_direta.html

Utilizando uma grelha de coordenadas de uma figura, neste caso do “TGV”, faz-se a leitura

das coordenadas de pontos de referência e da sua organização numa tabela. A folha de cálculo

permite criar de uma forma rápida e eficiente a representação gráfica de um conjunto de dados

organizados em tabela.

Para criar a ideia de movimento horizontal do “TGV” é necessário alterar as coordenadas

dos pontos (mais precisamente as abcissas). Utiliza-se para isso uma expressão algébrica, que

exprima as abcissas dos "novos" pontos de referência. Estas serão iguais às abcissas dos pontos

iniciais, adicionadas de uma certa quantidade t (símbolo algébrico). Os valores de t variam entre

0 e um determinado valor máximo.

Apresentam-se em seguida (Tabela 3.3) as sucessivas etapas necessárias ao

desenvolvimento da aplicação e salientam-se os aspetos matemáticos relevantes.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/prop_directa.html

74

Tabela 3.3 - Etapas para o desenvolvimento da aplicação.

Desenho do “TGV” em papel quadriculado.

Determinação das coordenadas de pontos de

referência. Esta etapa não envolve o

computador.

A (0,0)B (1,3)C (15,3)...

Organização dos dados obtidos, numa tabela

da folha de cálculo com duas colunas, uma das

abcissas e outra das ordenadas dos pontos de

referência escolhidos anteriormente.

Esta etapa proporciona o desenvolvimento da

capacidade de organização do raciocínio. É

necessário introduzir manualmente os dados por

uma determinada ordem.

Representação gráfica a partir da tabela

construída.

A folha de cálculo permite criar um ambiente

propício à visualização em simultâneo, da

tabela contendo as coordenadas dos pontos e

sua representação gráfica. Inicia-se o processo

de organização, no sentido de uma visualização

conjunta de todo o processo de construção.

A folha de cálculo não possui comandos

automáticos de animação ou movimento.

Para obter o desejado movimento do TGV é

preciso compreender que o desenho do TGV na

posição A corresponde a uma tabela de

coordenadas diferente da que corresponde ao

desenho do TGV na posição B.

75

Para criar a tabela de coordenadas correspondente à posição B é preciso fazer o seguinte:

Na célula E3 (Figura 3.20) introduz-se um valor numérico qualquer (por exemplo 3) que

poderá depois ser alterado. À célula E3 atribui-se um nome (em linguagem da folha de

cálculo): t.

A todas as abcissas dos pontos de referência anteriormente definidos (tabela de posição

A) será adicionado o valor de t. Quando t muda, as abcissas também mudam.

Esta etapa é muito importante na medida em que os alunos começam a interiorizar o valor

da linguagem algébrica com a utilização de um símbolo algébrico para representar uma ideia.

Por outro lado leva-os a apreciar o valor da matemática para alcançar uma generalização ao

perceberem que podem explicitar essa regularidade através de uma expressão matemática.

A utilização da folha de cálculo desta forma, nesta etapa concreta, permite verificar que a

concretização desta ideia proporciona efetivamente a mudança de posição do TGV. Basta alterar

o valor de t (em linguagem matemática poder-se-á dizer que a variável t assume diferentes

valores) e observar os efeitos produzidos no desenho, ou seja observar diferentes posições do

TGV.

Figura 3.20 - Dependência das células da coluna B em relação à célula E3.

A alteração dos valores da variável t (colocada na célula E3) simula o movimento do TGV.

A barra de deslocamento é inserida no final, pois ela irá estar associada à célula. Por fim define-

se o valor mínimo e máximo da barra de deslocamento. Este automatismo, simples de

implementar, produz efeitos visuais surpreendentes pois acionando a barra de deslocamento, esta

altera continuamente os valores da célula E3 do qual dependem todas as abcissas dos pontos da

figura. Esta interdependência das células e entre estas e os gráficos constitui uma vantagem que

poderá ser explorada com benefícios claros para a aprendizagem de conceitos matemáticos.

76

No capítulo 5 apresentam-se resultados da experiência desenvolvidos com os alunos do 7º

ano de escolaridade ( ver 5.2.5).

Funções de proporcionalidade direta 3.4.2

Quando se estudam as funções de proporcionalidade direta, y kx , kIR, explora-se o

significado do parâmetro k dito constante de proporcionalidade, pelo que, associar a esta análise

a uma representação gráfica do resultado da variação deste parâmetro permite, pelo menos ligar

os aspetos algébricos com os geométricos num simbiose natural que se sabe contribui fortemente

para a compreensão dos conceitos matemáticos em causa. Com auxílio da folha de cálculo pode

desenvolver-se um módulo computacional que permite trabalhar simultaneamente com a

expressão analítica da função, y=f(x), com aspetos numéricos/aritméticos expressos em tabelas

de valores, do tipo (x, f(x)) e com a informação geométrica visual patente numa representação

gráfica. Com a inclusão de uma “barra de deslocamento” associada à célula que contém o valor

da constante de proporcionalidade direta k, o módulo é munido de uma interatividade controlada

pelo aluno que permite a observação do efeito na representação gráfica, da variação de k.

Esta aplicação, suscetível de ser desenvolvida pelos alunos, devidamente acompanhados

pelos professores, conjuga três representações de funções uma expressão algébrica, uma

tabela numérica/aritmética e uma representação gráfica: uma vez que a tabela de dados é

construída a partir da expressão e a representação gráfica surge a partir dos valores da tabela,

quando se atua sobre a barra de deslocamento (ou seja quando se altera o valor de k) a tabela e o

gráfico são automaticamente atualizados (Figura 3.21). Esta combinação vai ao encontro da

seguinte recomendação: “No 3º ciclo do ensino básico é essencial que os alunos reconheçam

diferentes tipos de representações de funções, particularmente a representação gráfica, a

representação através de uma tabela de coordenadas e aquela que usa a expressão algébrica.”.

APLICAÇÃO 20: Estudo da função de proporcionalidade direta

Figura 3.21 – Estudo da função y kx, k .



77

Para além de alguns aspetos relacionados com a parte estética do módulo desenvolvido,

como por exemplo a sua formatação (cor de fundo, espessura do traço, cor do traço), e que não

são de desprezar uma vez que tornam as representações gráficas mais apelativos, é necessária

ainda a redefinição da escala imprescindível do ponto de vista matemático.

Na Figura 3.22 ilustra-se o que acontece ao gráfico da função quando se atua sobre a barra

de deslocamento. No 1º caso a constante de proporcionalidade é 0,5, no 2º caso a constante é 4,5.

Figura 3.22 - Representação gráfica da função y kx, k para k=0,5 e k=4,5.

Por um processo análogo é possível desenvolver uma aplicação para estudar a função afim,

definida por y kx b k,b , agora com duas barras de deslocamento, uma para controlar a

variação de k e outra para a variação de b.

O conceito de proporcionalidade direta pode ser estudado em vários contextos,

particularmente, nos que realcem as conexões da matemática com as outras ciências. É pertinente

associar o conceito de proporcionalidade direta a fenómenos físicos que concretizem o

significado da constante de proporcionalidade k. Por exemplo, quando se estuda o alongamento

de uma mola com um peso suspenso, é útil os alunos realizarem algumas experiências. Neste

contexto o recurso à folha de cálculo pode constituir uma vantagem pois o ambiente

computacional que é criado favorece a simulação. Por outro lado a utilização de tais simulações

elimina de certa forma os erros inerentes à experimentação física.

Na Figura 3.23 apresenta-se a interface da aplicação com vista a desenvolver a

experimentação num ambiente virtual. Desenvolvida em Excel, simula o alongamento de uma

mola quando aplicado um peso. A aplicação apresenta uma representação gráfica que exprime a

relação de proporcionalidade direta entre o alongamento da mola e o peso aplicado. Esta

aplicação dá um significado físico à constante de proporcionalidade que representa, neste caso, a

rigidez da mola. A experimentação está associada ao facto de ser possível alterar os valores da

rigidez da mola bem como do peso e observar o que acontece à mola e ao gráfico. Consultando o

site com o endereço indicado na Figura 3.23 pode-se ainda ter acesso à exploração feita com

base na aplicação do alongamento da mola.

78

APLICAÇÃO 21: Alongamento de uma mola

Figura 3.23 – Aplicação para simular o alongamento de uma mola sob a ação de um peso.


Na Figura 3.24 alteraram-se os valores da rigidez da mola. No primeiro caso o valor da

rigidez é 6, enquanto no segundo caso é 0,5. É notória a diferença no que diz respeito quer à

mola quer à representação gráfica. No primeiro caso a mola aparece mais comprimida do que no

segundo e a reta tem uma maior inclinação.

Figura 3.24 – Gráficos peso-alongamento de uma mola para diferentes valores de rigidez.

Funções quadráticas 3.4.3

O estudo da função denominada de quadrática definida por 2y ax bx c onde

a / 0 e b,c , insere-se no 10º ano, prevendo-se, no programa nacional, o estudo das

suas propriedades e das suas representações gráficas. Recomenda-se ainda a exploração gráfica

de famílias de funções quadráticas mediante a variação dos parâmetros das suas expressões

analíticas e a sua associação à modelação de fenómenos físicos. Um aspeto importante para a

utilização da folha de cálculo neste tópico é a possibilidade de visualização simultânea das

representações gráficas permitindo aos alunos experimentar e descobrir o efeito da alteração dos

parâmetros. A utilização do Excel neste tema promove uma associação sistemática a aplicações

computacionais que complementam uma clara abordagem analítica, levando os alunos a


79

compreenderem os parâmetros envolvidos nas expressões analíticas, atribuindo-lhes um

significado geométrico específico. Na Tabela 3.4 apresenta-se na primeira coluna a expressão

analítica definidora da função quadrática, em diferentes formas, e na segunda coluna respetivas

representações gráficas (parábolas) construídas em Excel.

Tabela 3.4 – Representação gráfica de uma função quadrática escrita em diferentes formas

Expressão analítica

Representação gráfica

v v

2f (x) x x ya

2f (x) xa x cb

21f (x) x xxa x

Figura 3.25 – Representação gráfica da função quadrática. Significado geométrico de diferentes

parâmetros.

80

Associando interatividade ao primeiro gráfico da figura anterior através de três barras de

deslocamento (Figura 3.26), e começando por tomar xv= yv =0, observa-se o efeito da variação

do parâmetro a, no formato (mais ou menos “alongada”, mais ou menos “aberto”), o sentido da

concavidade (para cima, para baixo), das parábolas com vértice na origem que as representam

graficamente. Seguidamente, fixando a e yv e fazendo variar xv, observa-se que os gráficos

mantêm a forma, mas sofrem translações horizontais. Analogamente, fixando a e xv e fazendo

variar yv, observa-se que os gráficos mantêm a forma, mas sofrem translações verticais.

APLICAÇÃO 22: Estudo da função quadrática

Figura 3.26 - Aplicação desenvolvida em Excel para visualização do gráfico correspondente à

função 2

v vy a x x y .


Na Figura 3.27, visualizam-se as consequências da alteração dos valores de a e das

coordenadas do vértice da parábola.

Figura 3.27 - Visualização das consequências da alteração dos valores de a e das coordenadas do vértice

da parábola.


81

Numa perspetiva de favorecer o estabelecimento de conexões entre álgebra e geometria é

possível construir-se uma aplicação computacional que proporcione o estudo da variação de uma

função associada a um problema geométrico. Exemplo: Determinação das dimensões do

quadrilátero EFGH de área mínima, em que os vértices E, F, G, H são marcados sobre os lados

do retângulo ABCD de comprimento c e largura l, de tal forma que AE BF CG DH x ,

como se indica na Figura 3.28.

Figura 3.28 – Quadrilátero EFGH em que os pontos E, F, G, H são marcados sobre os lados do

retângulo ABCD de tal forma que AE BF CG DH x .

Considere-se a função S que associa cada valor de x à área do quadrilátero EFGH . Tem-se

que S(x) = cl – [x (c – x) + x(l – x)]. Tratando-se de uma função quadrática em que o coeficiente

de x2 é positivo (igual a 2), a sua representação gráfica é parte de uma parábola com a

concavidade voltada para cima (Figura 3.29), pelo que o valor de x para o qual a área é mínima

corresponde à abcissa do vértice.

Figura 3.29 – Gráfico da função A(x), área do quadrilátero.

Se E “iniciar o seu movimento” a partir do vértice A (Figura 3.28), o quadrilátero EFGH

vai mudando de forma e de área. Esta é máxima quando E e A coincidem (x = 0), decresce à

medida que x aumenta e atinge o valor mínimo quando x = c/2. Se o vértice E “continuar a

deslocar-se” sobre o lado AD a área recomeça a aumentar e atinge o máximo quando E e D

coincidem. Este movimento pode ser simulado (Figura 3.30), fazendo variar os valores de x com

auxílio de uma barra de deslocamento. Em simultâneo é feito o gráfico da função S.

82

APLICAÇÃO 23: Quadriláteros e função quadrática

Figura 3.30 – Ligações entre Geometria e Funções com o Excel.


Repare-se que a construção desta aplicação, em ambiente escolar enriquece fortemente o

conteúdo matemático do problema em questão, que poderia, sem este aparte, resumir-se à

determinação das coordenadas do vértice de uma parábola. Promove-se, assim uma planificação

integradora da folha de cálculo alternando o trabalho de programação com o trabalho matemático

propriamente dito (com lápis e papel), a saber:

(i) Desenho do retângulo inicial com uma escolha conveniente dos vértices;

(ii) Desenho do quadrilátero inscrito e implementação da interatividade resultante da variação de

x através de uma barra de deslocamento;

(iii) Determinação da expressão analítica da função S que exprime, para cada valor de x, a área

do quadrilátero correspondente;

(iv) Construção do gráfico da função S.

O envolvimento direto dos alunos na construção da aplicação obriga-os a repensar vários

conceitos matemáticos e a estabelecer conexões, tarefa pouco habitual ao longo do percurso

escolar.

Funções trigonométricas 3.4.4

A trigonometria estuda a relação entre os comprimentos dos lados de um triângulo e os seus

ângulos internos. Para além de constituir um instrumento potente de cálculo, é utilizada em

várias situações práticas e teóricas que envolvem fenómenos periódicos tais como eletricidade,

termodinâmica, ótica entre outros.

Pensa-se que a trigonometria deu os seus primeiros passos devido aos problemas gerados

pela astronomia, agrimensura e navegação, por volta dos século IV a.C., com os egípcios e


83

babilónios (Boyer, 2003). Terá sido desenvolvida pelos gregos e indianos, que, na prática,

criaram situações para medição de distâncias inacessíveis.

A partir do século XV, a modernidade dos cálculos criou novas situações teóricas e práticas

relacionadas com o estudo dos ângulos e das medidas. Daí a necessidade de desenvolver um

ensino desta matéria eficaz e baseado na compreensão dos conceitos e não na memorização de

fórmulas.

O conceito de seno de um ângulo é introduzido no ensino básico (9º ano) através das

denominadas razões trigonométricas que relacionam os comprimentos dos lados de triângulos

retângulos. No 10º ano, mediante a introdução do denominado círculo trigonométrico,

generaliza-se o conceito para um ângulo qualquer e, no 11º ano, estuda-se a função que a cada

xIR faz corresponder o seno de x. A forma geral de uma função do tipo f(x)=asen b(x-c)

introduz os conceitos de amplitude (a), frequência (b) e ângulo de fase (c). O estudo das funções

periódicas, nestes níveis de ensino, poderá terminar com o processo de somar duas ou mais

curvas sinusoidais, como preparação prévia para o estudo das séries de Fourier.

O fio condutor natural entre estes três momentos, desenvolvidos em níveis escolares

diferentes e, em muitos casos, por professores diferentes, é frequentemente difícil de se manter.

Como resultado, a abordagem das funções trigonométricas é essencialmente algébrica e

desligada das muitas aplicações que estas funções têm em contextos variados.

A propósito do estudo da trigonometria, ao nível do 9º ano de escolaridade, pode propor-se o

desenvolvimento de uma aplicação, que simule um relógio mecânico. É uma atividade que

implica a aplicação das razões trigonométricas num contexto não matemático e, por essa razão,

proporciona aos alunos momentos de reflexão matemática associada naturalmente à utilização

das tecnologias. Na Figura 3.31 apresenta-se a interface da aplicação e ainda um esquema

auxiliar para desenhar segmentos de reta com a mesma origem fazendo entre si ângulos de 300,

uma vez que é necessário efetuar a divisão de um círculo em 12 partes iguais por forma a obter

intervalos de 5 minutos. A aplicação contém um botão que quando ativado acerta o relógio e,

para além de mostrar em tempo real o movimento dos ponteiros, mostra também as horas em

formato digital. Para desenhar o segmento de reta AB, com um dos extremos coincidindo com a

origem do referencial e fazendo um ângulo de 300 com o eixo das abcissas, basta introduzir as

coordenadas dos extremos A e B. Considerando que o comprimento do segmento AB é 10

unidades, as coordenadas de B serão (10, 10tg(300). A partir daqui será possível fazer as

restantes marcações.

84

APLICAÇÃO 24: Relógio mecânico

Construção da aplicação

Figura 3.31 – Utilizando razões trigonométricas marcam-se segmentos de reta com a mesma origem,

fazendo entre si ângulos de 300. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=148

A vertente dinâmica desta aplicação isto é o funcionamento dos ponteiros do relógio

consegue-se recorrendo a uma função da folha de cálculo denominada Timer. Esta função dá as

horas desde as 0 horas do dia atual, em segundos.

No ensino secundário generaliza-se a noção de ângulo e faz-se o estudo das funções

trigonométricas utilizando o denominado círculo trigonométrico, circunferência de raio unitário

centrada na origem de um referencial ortonormado direto no plano 1 2O,e ,e

Considere-se o ângulo orientado cuja medida em radianos é x. Esse ângulo determina

uma semi-reta a partir da origem O do referencial, que interseta o círculo trigonométrico num

único ponto P.

O seno de um número real x é a ordenada do ponto P no referencial cartesiano onde o

círculo trigonométrico está inserido enquanto o coseno de um número real x é a abcissa do ponto

P (Figura 3.32). O que se está a fazer não é mais do que definir duas funções, a função seno que

associa a cada número real x o valor do seno de x e a função coseno que associa a cada número

real x o valor do coseno de x (Figura 3.33).


85

Figura 3.32 – Seno e coseno de um número real x.

Figura 3.33 – Gráficos das funções seno e coseno.

Importa neste momento fazer um breve parêntesis para referir, mesmo que brevemente, o

extraordinário trabalho de Albrecht Durer.

Durer tinha um projeto que consistia em fazer da pintura uma arte liberal, fundamentada na

geometria. Publicou assim um tratado de geometria intitulado “Underweysung der messung / mit

dem zirckel und richtscheyt/ in Linien ebnen unnd gantzen corporen/ durch Albercht

Dürerusamen getzogen/ und zu nutz aller kunstliebhabenden mit zu gehörigen figure/ in truck

gebracht/ im jar M. D. XXV.” traduzido “Instruções para a medida/ com régua e compasso/ das

linhas, planos e corpos sólidos/ reunidas por Albrecht Durer/ e impressas com as figuras

correspondentes/ para o uso de todos os amadores da arte/ no ano de 1525” (Flores, 2007)

(Figura 3.34).

x

1

2-1

x

1

2-1

f(x) = sen(x)

f(x) = cos(x)

86

Figura 3.34 – Título original da obra de Durer.

No tratado de geometria, Durer apresenta um esquema onde explica como construir uma

curva, a que hoje se chama “curva do seno” a partir da projeção de pontos sobre a circunferência

de um círculo (Figura 3.35). É interessante notar o paralelismo com o que se faz atualmente com

os alunos do ensino secundário a propósito do estudo das funções trigonométricas.

Figura 3.35 – “Curva do seno”. Imagem de Albrecht Durer

O desafio que se coloca aos alunos consiste em criar um ambiente computacional propício

ao estudo das funções trigonométricas, a partir do círculo trigonométrico. Tal ambiente, uma vez

implementado numa folha de cálculo, servirá de base para futuras explorações, no entanto, mais

uma vez a grande vantagem não reside no produto final mas sim nos processos que conduzem a

esse produto final. Se o objetivo consistir em criar uma aplicação para visualizar o círculo

trigonométrico, bem como o aparecimento das funções seno e co-seno, à medida que o ângulo

orientado (referido anteriormente) varia, então é vantajoso concretizá-lo ao longo de

pequenas tarefas, a saber:

87

1. Construção de uma circunferência de raio unitário;

2. Marcação, no círculo trigonométrico, do ângulo, bem como dos seno e co-senos desse

ângulo;

3. Construção das representações gráficas das funções f(x)=sen(x)o e f(x)=cos(x);

4. Implementação de uma vertente dinâmica, para visualização do aparecimento dos

gráficos das funções referidas em 3.

Relativamente ao ponto 1, construção de uma circunferência de raio unitário, pretende-se

introduzir esta atividade no 10º ano de escolaridade a propósito do estudo da circunferência. A

diferença entre a utilização de uma folha de cálculo e porventura um outro programa de

geometria dinâmica é que, na folha de cálculo, a ausência de ferramentas de caráter geométrico

obriga a que o aluno se concentre na equação cartesiana da circunferência e no seu significado.

Não é possível obter este efeito quando se utiliza um programa de geometria dinâmica que

tem incorporado vários comandos que automatizam este tipo de construções. Num programa de

geometria dinâmica, para desenhar uma circunferência basta fornecer as coordenadas do centro

e o valor do raio que imediatamente surge no ecrã o seu traçado.

Considere-se então que se pretende traçar uma circunferência de centro (a,b) e raio R. Sabe-

se que o significado da equação 2 2 2x a y b R não é mais do que a condição a que

estão sujeitos os pontos da circunferência. Mas para o seu traçado, é preciso reescrever esta

equação de uma forma explícita, isto é escrevê-la em ordem a uma das variáveis, considere-se

em ordem a y, e em seguida definir uma tabela de pontos. Ter-se-á em conta que os valores das

coordenadas do centro a e b e o valor do raio R também poderão ser alterados.

Esta reorganização do trabalho com os alunos, a propósito deste tópico, conduz a uma maior

reflexão sobre os conceitos envolvidos e proporciona, pelo menos, uma nova forma de olhar o

problema. O que se obtem, neste caso, é uma aplicação cuja interface se apresenta na Figura

3.36. É nesta fase que os alunos compreendem que a equação fornece a possibilidade de traçar

duas semicircunferências. É de notar que todos os elementos que surgem no desenho resultam de

instruções dadas pelo aluno para que efetivamente tais elementos possam aparecer. Reforça-se a

ideia de que nada surge automaticamente, mas sim após devidamente programado.

88

APLICAÇÃO 25: Circunferência

Figura 3.36 – Traçado da circunferência recorrendo à equação cartesiana.


Se o objetivo consiste em estudar o círculo trigonométrico e as funções trigonométricas, não

constitui vantagem o recurso à equação cartesiana, com vista ao seu traçado. Assim, tendo em

conta que se quer traçar a circunferência, fazendo variar o ângulo, será útil a representação dos

pontos sobre a circunferência, em coordenadas polares. Neste nível de ensino (11º ano de

escolaridade) e, apesar de tal tópico não fazer parte do currículo de matemática, considera-se que

é pertinente levar os alunos a refletir, não só sobre aquilo que fizeram no 10º ano, mas também

ajudá-los a projetar o que querem obter, por forma a levá-los a reconhecer as limitações, em

termos de implementação computacional, do uso da equação da circunferência.

Os alunos terão de perceber que um ponto P do plano pode ser representado em coordenadas

cartesianas x, y ou em coordenadas polares por r, e a relação que existe entre elas consiste

em que dado um ponto P com coordenadas polares r, , se 0 2 e r 0 obtêm-se as

seguintes relações

x r cos

y rsen

(3.1)

Considerando r = 1 basta definir 3 colunas, uma com alguns valores das amplitudes dos

ângulos, de 0 a 2 , e outras duas com os valores de x e de y (Figura 3.37).


89

Figura 3.37 - Desenho de uma circunferência, em Excel, recorrendo a coordenadas polares.

Para a identificação dos segmentos cujos comprimentos traduzem os senos dos vários

ângulos, é necessário ter presente que à medida que a amplitude do ângulo que o raio faz com o

eixo dos xx vai variando em 0,2 , o lado extremidade deste ângulo intersecta a circunferência

num único ponto cuja ordenada é o seno desse ângulo.

Para visualizar a representação do gráfico da função f definida por f (x) sen(x) à medida

que a amplitude do ângulo vai variando no círculo trigonométrico, terá de se introduzir um botão

de comando que ficará associado a um código. Sempre que o botão é ativado visualiza-se o

aparecimento da representação gráfica da função definida por f(x) = sen(x) para valores

incrementados de x.

O facto de ser necessário introduzir um botão de comando, está relacionado com o aspeto

visual pois neste caso pretende-se relacionar o gráfico da função definida por f(x)=sen(x) com o

circulo trigonométrico, e observar que à medida que o seno do ângulo varia (no círculo

trigonométrico), o gráfico vai sendo traçado gradualmente. Do ponto de vista da programação

exigida, este objetivo é conseguido utilizando um procedimento de ciclo iterativo.

Na Figura 3.38 é apresentada uma sequência daquilo que é possível visualizar após ativar o

botão de comando que promove a animação.

90

APLICAÇÃO 26: Círculo trigonométrico

Figura 3.38 - Variação do seno e coseno de um ângulo no circulo trigonométrico e traçado do

respetivo gráfico das funções f(x)=sen(x) e g(x)=cos(x).


Com auxílio desta aplicação é também possível fazer-se o estudo completo das funções seno

e coseno.

Para tirar partido dos conceitos trigonométricos num contexto aplicado foi desenvolvida

uma atividade com um grupo de alunos finalistas da Licenciatura em Ensino da Matemática.

Consiste no desenho de um moinho eólico e simulação do seu movimento. A Figura 3.39

apresenta a forma final do moinho. O botão de comando, quando ativado, faz rodar as pás e a

barra de deslocamento permite efetuar esse movimento manualmente.

Esta tarefa foi ainda proposta a alunos do ensino secundário (11º ano de escolaridade) a

propósito do estudo das funções trigonométricas. O desafio é ambicioso para este nível de

ensino, no entanto, a prática mostrou que os alunos, quando confrontados com um problema para

o qual não têm a resposta imediata e cuja solução envolve aplicação de conhecimentos

matemáticos anteriores, procuram as respostas de uma forma persistente.


91

APLICAÇÃO 27: Moinho eólico

Figura 3.39 – Aplicação que simula o movimento das pás de um moinho eólico.


Apesar da sua aparente simplicidade, o desenho do moinho e a simulação do seu movimento

envolvem, não só conceitos matemáticos estudados no ensino secundário, como conceitos

estudados nos 1os

ciclos do ensino dito superior (nomeadamente nas áreas científico

tecnológicas).

Embora o desenho de uma pá envolva apenas a marcação de pontos através das suas

coordenadas, o desenho das outras pás não pode ser feito do mesmo modo, uma vez que a

simulação do movimento obriga a uma ligação entre as três. Os vértices da segunda e terceira pás

deverão ser obtidos, através de uma rotação em torno da origem dos vértices da pá inicial, de 120º

e 240º respetivamente, o que envolve a utilização de fórmulas correspondentes à transformação

geométrica de rotação em torno da origem.

Mais precisamente, depois de desenhada uma pá através da introdução das coordenadas dos

seus vértices, para obter os vértices das duas novas pás basta efetuar uma rotação da pá inicial em

torno da origem do referencial (Figura 3.40). Este conceito associado aos conceitos

trigonométricos constitui uma novidade para os alunos.


92

Figura 3.40 – Rotação em torno da origem do referencial e ângulo de amplitude .

O ponto A' x ', y ' obtém-se à custa de A da seguinte forma

x' = x cos θ + y sen θ

y' = - x sen θ + y cos θ

Esta abordagem quando concretizada com os alunos do final do ensino secundário, prepara os

alunos para as potencialidades da álgebra linear em termos de computação gráfica. Mais á frente

irá analisar-se este assunto com mais pormenor.

Neste caso é θ =1200 e θ =240

0 para a 1ª pá e 2ª pá, respetivamente.

Para visualizar a rotação das pás do moinho basta inserir numa célula o valor de um ângulo que

irá variar entre 00 e 360

0 introduzindo em seguida uma barra de deslocamento que permite fazer

variar o ângulo.

Função derivada 3.4.5

Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas funções que Fermat deu conta das limitações

do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva

num único ponto. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo

de traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto - esta dificuldade ficou conhecida na

História da Matemática como o " Problema da Tangente".

Fermat resolveu esta dificuldade de uma maneira muito simples: para determinar uma

tangente a uma curva num ponto P considerou outro ponto Q sobre a curva; considerou a reta PQ

secante à curva. Seguidamente fez deslizar Q ao longo da curva em direção a P, obtendo deste

modo retas PQ que se aproximavam duma reta t a que Fermat chamou a reta tangente à curva no

ponto P. Na Figura 3.41 apresenta-se a interface de uma aplicação desenvolvida em Excel para

visualizar este conceito introduzido por Fermat. A aplicação é suscetível de ser desenvolvida

pelos alunos do ensino secundário. O facto da abordagem ser essencialmente numérica obriga a

93

que seja feita uma reflexão sobre o decréscimo a que está sujeito o valor de h. Matematicamente

trata-se de um limite quando h tende para zero, no entanto isso não é observável.

APLICAÇÃO 28: Reta tangente como limite de uma sequência de retas secantes

Figura 3.41 - Determinação de uma reta tangente como o limite de uma sequência de retas secantes.


Fermat notou que, para certas funções, nos pontos onde a curva assumia valores extremos, a

reta tangente ao gráfico devia ser uma reta horizontal, já que ao comparar o valor assumido pela

função num desses pontos P(x, f(x)) com o valor assumido no outro ponto Q(x+E, f(x+E))

próximo de P, a diferença entre f(x+E) e f(x) era muito pequena, quase nula, quando comparada

com o valor de E, diferença das abcissas de Q e P. Assim, o problema de determinar extremos e

de determinar tangentes a curvas passam a estar intimamente relacionados.

Estas ideias constituíram o embrião do conceito de derivada e levaram Laplace a considerar

Fermat "o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial". Contudo, Fermat não dispunha de

notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.

No séc.XVII, Leibniz algebriza o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de

variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar "a menor possível

das diferenças em x e em y. Desta notação surge o nome do ramo da Matemática conhecido hoje

como "Cálculo Diferencial".

Assim, embora o conceito de limite e o conceito de derivada, só tivesse sido introduzido por

Cauchy, no séc. XIX a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, o Cálculo Diferencial torna-

se um instrumento indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

Este assunto, estudado nos cursos do ensino secundário, é da maior importância na medida

em que marca a transição para o ensino superior. É comum as abordagens dos tópicos

curriculares originarem uma compartimentação destes assuntos, que estimula nos alunos a


94

aquisição de procedimentos automatizados em detrimento de uma compreensão global. A

associação da derivada de uma função num ponto, ao declive da reta tangente à curva da função

nesse ponto e a definição de função derivada como sendo a função que a cada valor de x associa

o valor de f’(x), sofrem frequentemente dessa compartimentação: o desenvolvimento do tema

centra-se na utilização das tabelas de derivadas. Esta tendência pode ser invertida tirando partido

de representações que evidenciem estas ligações (Figura 3.42).

No site http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=29 encontra-se

um estudo desenvolvido pela autora do presente trabalho sobre o tema das derivadas. O conjunto

de textos contem aplicações para uma melhor compreensão dos conceitos matemáticos. No menu

“Construção de módulos interativos” apresenta-se um guião que apoia o aluno na construção das

aplicações.

Figura 3.42 – Relação entre o gráfico de uma função quadrática f e da função derivada.

A utilização de módulos animados constitui um recurso a explorar, mas há que ter em conta

que a mais valia poderá ser reduzida se os alunos forem meros espetadores. Mas se os alunos

participarem na sua construção a situação pode alterar-se substancialmente.

Apresenta-se em seguida uma aplicação dinâmica e interativa (em Excel) que permite

ilustrar como, à medida que as retas tangentes percorrem o gráfico de f, os correspondentes

declives originam o traçado do gráfico da função derivada f’. A função escolhida é uma função

polinomial de grau 3 expressa analiticamente em função dos seus zeros.

Esta aplicação permite também ilustrar as ligações entre o sentido de variação da função e o

sinal da função derivada e entre a existência de extremos e os zeros da função derivada. Permite

ainda explorar uma generalização da reta tangente já que, regra geral o que os alunos retêm é


95

uma imagem de tangência enquanto interseção/toque em um único ponto (na sequência do que se

passa entre uma circunferência e uma sua reta tangente) (Figura 3.43).

APLICAÇÃO 29: Relação entre o gráfico de uma função f e o da função derivada

Figura 3.43 – Relação entre o gráfico de uma função e o gráfico da função derivada.


A construção desta aplicação pelos alunos constitui uma oportunidade de realização de

trabalho matemático pois exige o recurso a diferentes tópicos de matemática. O trabalho de

programação consiste em dar resposta a uma sequência de problemas que vão surgindo. É um

trabalho que implica uma elevada estruturação de pensamento e que fortalece a consolidação dos

conteúdos relacionados com o tópico Derivadas. O trabalho contempla diversas etapas:

- Construção do gráfico de uma função cúbica na forma 1 2 3f (x) a x x x x x x

com a possibilidade de variar o parâmetro a e os zeros reais x1, x2 e x3.

- Construção do gráfico da função derivada.

- Construção de uma reta tangente ao gráfico da função f num dado ponto.

Começa-se por considerar um segmento de reta de comprimento fixo (chamemos-lhe

cs) cujo ponto médio é o ponto de tangencia de abcissa x0 e ordenada f(x0).


96

1 1x , y e 2 2x , y são as coordenadas dos extremos do segmento de reta tangente ao

gráfico no ponto de abcissa 0x . Sempre que se altera a abcissa do ponto de tangência, os

valores de 1x e 2x mudam e consequentemente também os valores de 1y e 2y (Figura

3.44).

- Para cada 0

x há que calcular:

O declive da reta m: 0m f '(x )

A ordenada na origem b: 0 0b f (x ) mx

O ângulo/inclinação : 1tg (m)

O comprimento cx que depende do ângulo: cx cs*cos( )

As coordenadas dos pontos correspondentes aos extremos do segmento 1 1x , y e 2 2x , y

: 1 0

cxx x

2 e 2 0

cxx x

2 1 1y mx b e 2 2y mx b

Figura 3.44 - A reta tangente passa nos pontos de abcissa x1 e x2. cs representa o comprimento do

segmento de reta.

A aplicação computacional é desenvolvida tendo como referência o valor de 0x (Figura

3.45) que consta numa determinada célula, neste caso célula D11.

Repare-se que todos os restantes valores são calculados em função de 0x .

97


A construção desta aplicação promove o desenvolvimento de conexões entre diferentes

tópicos de matemática, obriga a estruturar o raciocínio e implica trabalho matemático no sentido

em que é necessário relacionar os tópicos matemáticos estudados, definir expressões

matemáticas que não existindo disponíveis no Excel têm obrigatoriamente de ser escritas e

introduzidas na folha de cálculo pelos alunos.

A aplicação anteriormente apresentada constituiu um tópico das ações de formação para

professores. No ponto 5.6 apresenta-se uma breve descrição do trabalho desenvolvido nas ações

e alguns resultados.

3.5 Circunferência, limite, Arquimedes e o número

Os matemáticos gregos que viviam na época de Euclides pensavam que dois segmentos

quaisquer eram sempre comensuráveis ou seja que era sempre possível encontrar um terceiro

segmento, talvez muito pequeno, que caberia um número inteiro de vezes em cada um dos

segmentos dados.

Dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existir um terceiro segmento, que cabe

um número inteiro de vezes no segmento AB e um número inteiro de vezes no segmento CD .

Só admitiam os números naturais imaginando-os como medidas de segmentos e encaravam

as frações a

b como razões entre dois números inteiros e não como números racionais.

Foi apenas por volta do século IV a.C., quando se tentou determinar o valor da hipotenusa

de um triângulo retângulo de catetos unitários, que se percebeu que os valores respeitantes à

hipotenusa e a cada um dos catetos não eram comensuráveis, ou seja, percebeu-se que não se

conseguia encontrar um terceiro segmento que se pudesse usar como unidade de medida para

98

medir o lado e a diagonal de um quadrado. Esta descoberta originou uma enorme crise mesmo

entre os próprios pitagóricos que ficou conhecida como a “crise dos incomensuráveis”.

Aristóteles refere-se a uma demonstração onde se começa por considerar que a diagonal e o

lado do quadrado são comensuráveis para se chegar a um absurdo.

Considere-se AB e DB lados de um quadrado, segmentos comensuráveis. Então existe

um segmento u e dois números inteiros m e n tais que AB mu e DB nu . Pelo teorema de

Pitágoras 2 2 2n m m ou seja 2 2n 2m . Portanto

2n

2m

. Seja

a

b uma fração irredutível

tal que n a

m b . Como

2a

2b

então 2 2a 2b logo 2a é par e consequentemente a é par. Mas

uma vez que a

b é uma fração irredutível b tem de ser ímpar. Uma vez que a é par, existe um

inteiro k tal que a=2k. Como 2 2a 2b então 2 24k 2b e por conseguinte 2b é par e portanto b é

par, o que nos conduz a um absurdo pois tinha-se verificado que b era ímpar.

Com a descoberta dos incomensuráveis adveio um método que era possível aproximar a área

de uma região curva pela soma das áreas de polígonos inscritos nessa região. Este método, mais

tarde, ficou conhecido como o método de exaustão.

O método de exaustão consiste em aproximar a área de uma região curva pela inscrição de

um polígono com área conhecida, e duplicar o número de lados desse polígono até que a sua área

seja a mais próxima possível da área da região curvilínea.

Um nome que, na historiografia da matemática se encontra presente quando se trata do

método de exaustão, é o de Arquimedes de Siracusa (287 – 211 a.C.), tido como um dos maiores

matemáticos da antiguidade. Arquimedes utilizou o método de exaustão nos seus trabalhos como

na medição do círculo, quadratura da parábola, sobre espirais, sobre conóides e esferóides e

sobre flutuantes.

O método utilizado por Arquimedes para o cálculo de um valor aproximado do número

consiste em aproximá-lo através do cálculo do perímetro de polígonos inscritos e circunscritos a

uma circunferência. Boyer refere que “Em seu trabalho, desenvolveu também o método de

exaustão, creditado a Eudoxo, pelo qual se aproxima a quantidade desejada pelas somas parciais

de uma série ou pelos termos de um sequência. Obteve aproximações da área de um círculo

comparando-a com as áreas de polígonos regulares inscritos e circunscritos”

O número surge transversalmente nos currículos dos vários ciclos do Ensino Básico e do

Ensino Secundário e em vários contextos.

A aplicação apresentada em seguida (desenvolvida em Excel) é inspirada no método de

Arquimedes. Destina-se a explorar aproximações do número obtidas com recurso à geometria.

99

Este número é aproximado por excesso e por defeito com recurso a áreas de polígonos regulares

com número crescente de lados, circunscritos e inscritos numa circunferência unitária.

Além de permitir permite visualizar de uma forma dinâmica um processo semelhante ao

utilizado por Arquimedes para obtenção do número , a aplicação (Figura 3.46) representa

graficamente as sucessões das áreas dos polígonos regulares inscritos e circunscritos à

circunferência e, à medida que o número de lados dos polígonos aumenta, os valores das áreas

dos polígonos inscritos e circunscritos são atualizados. Proporciona assim a observação de

aproximações por excesso e defeito e a exploração intuitiva da ideia de limite de uma sucessão.

É importante salientar que, embora a sua construção só possa ser proposta a alunos do

ensino secundário, ela pode ser usada para apoio letivo no 3º ciclo do ensino básico. No âmbito

deste nível de ensino a aplicação proporciona uma oportunidade para desenvolver conexões entre

a Álgebra e a Geometria a propósito do estudo dos números irracionais e do estudo dos

polígonos regulares inscritos numa circunferência.

APLICAÇÃO 30: Aproximação de

Figura 3.46 – Visualização dinâmica da aproximação de por excesso e por defeito com recurso a áreas

de polígonos regulares com número crescente de lados, circunscritos e inscritos numa circunferência

unitária. http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/geometria.html


100

De notar que o desenvolvimento da aplicação conduz a uma mobilização de saberes

matemáticos desde a trigonometria à geometria analítica e sintética.

A sua construção desdobra-se em várias etapas:

Traçado da circunferência unitária com centro na origem de um referencial;

Traçado dos polígonos inscritos e circunscritos;

Determinação dos termos gerais das sucessões das áreas dos polígonos inscritos e

circunscritos.

A primeira etapa já foi comentada anteriormente (3.4.4 Funções trigonométricas)

Para desenhar os sucessivos polígonos inscritos na circunferência usa-se um procedimento

semelhante ao utilizado para desenhar a circunferência. É necessário introduzir uma tabela com

as coordenadas dos vértices dos polígonos (em coordenadas polares). Considera-se sempre o raio

da circunferência de comprimento 1 unidade.

A constatação de algumas regularidades poderá ser vantajosa para a posterior introdução de

dados na folha de cálculo.

Comece-se por observar um triângulo e um quadrado inscritos num circunferência (Figura

3.47). Um dos vértices pertence ao eixo das abcissas. Considere-se o ângulo com origem no

centro dos polígonos, lado origem coincidente com o eixo das abcissas e lado extremidade

passando pelo vértice consecutivo do polígono no sentido anti-horário. Pretende-se descobrir

uma expressão que relacione o número de lados dos polígonos (que se designa por nl) e a

amplitude do referido ângulo.

Na Figura 3.47 apresentam-se regularidades verificadas no triângulo e no quadrado. Os

vértices estão numerados, começando em 0, a partir de A, no sentido anti-horário.

0360

ângulo3

Vértices Amplitude do

ângulo (graus)

A - 0 ÂOA 0

B - 1 ÂOB 1 120 120

C - 2 ÂOC 2 120 240

0

360ângulo

4

Vértices Amplitude do

ângulo (graus)

A - 0 ÂOA 0

B - 1 ÂOB 1 90 90

C - 2 ÂOC 2 90 180

D - 3 ÂOD 3 90 270

Figura 3.47 - Regularidades no triângulo e quadrado.

101

Na tabela da Figura 3.48 apresenta-se uma sistematização essencial para organização e

estruturação do raciocínio e que servirá de base para o trabalho a desenvolver no Excel.

Vértices Vértices

numerados

Amplitude dos ângulos

(em graus)

Coordenadas dos

vértices

A 0 360ÂOA 0nl

ˆ ˆcos(AOA),sen(AOA)

B 1 360ÂOB 1nl

ˆ ˆcos(AOB),sen(AOB)

C 2 360ÂOC 2nl

ˆ ˆcos(AOC),sen(AOC)

D 3 360ÂOD 3nl

ˆ ˆcos(AOD),sen(AOD)

E 4 360ÂOE 4nl

ˆ ˆcos(AOE),sen(AOE)

... ... ... ...

X n 360ÂOX nnl

ˆ ˆcos(AOX),sen(AOX)

Figura 3.48 - Tabela com vista à introdução das coordenadas polares dos vértices dos polígonos

inscritos na circunferência.

No caso dos polígonos circunscritos, o procedimento é em tudo semelhante ao anterior.

Resta apenas determinar o comprimento do segmento de reta que une o centro do polígono a um

dos seus vértices. Na Figura 3.49 onde é apresentado o caso particular do hexágono, designa-se

por Rext o comprimento do segmento referido.

Figura 3.49 – Circunferência inscrita num hexágono com vista à determinação de Rext.

Utilizando semelhança de triângulos estabelece-se a seguinte igualdade (Figura 3.50):

102

intext

ext int

R1 1R

R 1 R

Figura 3.50 - Circunferência circunscrita num hexágono com vista à determinação de Rint.

Conhecido o valor de r - raio da circunferência, resta determinar o valor de Rint -

comprimento do segmento de reta que une o centro do polígono ao ponto médio do lado do

polígono inscrito (Figura 3.50). A organização da folha de cálculo requer mais uma vez uma

planificação prévia. É necessário hierarquizar os procedimentos por forma a obter aquilo que se

pretende. Assim, partindo da organização feita anteriormente para os polígonos inscritos, é

necessário agora definir uma tabela com as coordenadas do ponto médio do lado do polígono

inscrito e em seguida definir uma célula contendo o valor de Rint que se obtém utilizando a

fórmula da distância entre dois pontos (Figura 3.51).

Figura 3.51 – Organização da folha de cálculo.

O trabalho desenvolvido até este momento envolve o estabelecimento de conexões entre

diferentes áreas da matemática e proporciona ao aluno a oportunidade de utilizar conhecimentos

103

matemáticos anteriormente adquiridos e de compreender a sua utilidade num contexto de

resolução de problemas. De notar que o desenvolvimento da aplicação conduz a uma

mobilização de saberes matemáticos desde a trigonometria à geometria analítica e sintética.

Para concluir a aplicação basta construir o gráfico das sucessões das áreas dos polígonos

inscritos e circunscritos. Mais uma vez a observação de regularidades é essencial. Na Figura 3.52

observa-se uma sequência de três polígonos inscritos na circunferência com vista ao

estabelecimento de uma expressão que nos dê a área em função do ângulo .

Figura 3.52 – Três polígonos inscritos na circunferência.

Observando a sequência de figuras (Figura 3.52) pode-se construir a seguinte tabela:

Número de lados do

polígono Ângulo Área do polígono inscrito

4 0180

4

0 0

44

180 180sen c

4os

5 0180

5

0 0

55

180 180sen c

5os

6 0180

6

0 0

66

180 180sen c

6os

Para cada polígono de n lados inscrito na circunferência de raio r a expressão que dá a sua

área em função do número de lados é

0 0180 180n sen cos

n n

Na Figura 3.53 observa-se uma sequência de três polígonos circunscritos na circunferência

com vista ao estabelecimento de uma expressão que nos dê a área em função do ângulo .

104

Figura 3.53 – Três polígonos circunscritos à circunferência.

Observando a sequência de figuras (Figura 3.53) pode-se construir a seguinte tabela:

Número de lados do

polígono Ângulo

Área do polígono

circunscrito

4 0180

4

0

44

180tg

5 0180

5

0

55

180tg

6 0180

6

0

66

180tg

Para cada polígono de n lados, circunscrito na circunferência de raio r=1 a expressão que dá

a sua área em função do número de lados é

0180

n tgn

Para concluir a aplicação resta implementar em Excel as expressões que traduzem as áreas

dos polígonos inscritos e circunscritos em função do número de lados, tanto para a indicação das

aproximações por excesso e por defeito como para o traçado gráfico das sucessões associadas

(Oliveira, et al., 2011)

105

3.6 Matrizes e folha de cálculo

Métodos gráficos computacionais. Visualização de sólidos geométricos em 3.6.1

perspetiva.

Rotações no plano e no espaço. Matriz de rotação.

A utilização de operações matriciais (no âmbito dos métodos gráficos computacionais)

constitui um tópico da matemática dita superior muito útil ao desenvolvimento de aplicações

computacionais que permitem visualizar projeções de sólidos geométricos dadas as suas

coordenadas numa posição de referência inicial. A posição do sólido geométrico no espaço é

controlada interactivamente.

Espera-se que com auxílio deste tipo de aplicações, os alunos se apercebam da importância

do cálculo matricial e das suas aplicações ao mesmo tempo que desenvolvem uma ferramenta de

grande interesse para o desenvolvimento das competências ao nível da visualização espacial.

Dadas as coordenadas espaciais dos vértices de um sólido, (numa sequência que permita o

desenho de todas as suas arestas) é possível obter no Excel as suas projeções nos planos xoy, yoz

e xoz de uma forma imediata, escolhendo respetivamente as colunas relativas ao xy, yz e xz para

desenhar os respetivos gráficos cartesianos.

A alteração das posições do sólido, no espaço, reflete-se nas vistas em projeção podendo

obter-se uma aplicação interativa recorrendo a barras de deslocamento para controlar os ângulos

de rotação do sólido em torno de cada um dos eixos.

As coordenadas dos vértices do sólido na posição inicial podem ser transformadas em novas

coordenadas, após a rotação pretendida, multiplicando a matriz das coordenadas iniciais por uma

matriz de rotação que envolve apenas as razões trigonométricas dos ângulos de rotação definidos

pelo utilizador.

Para um dado ponto P no plano, de coordenadas (x,y), a matriz de rotação que nos permite

obter uma nova posição de P correspondente a rodar o vetor posicional OP em torno da origem,

de um ângulo pode ser obtida como se mostra na Figura 3.54.

Figura 3.54- Relação entre as coordenadas polares de dois pontos num referencial cartesiano. OP=r

106

O ponto P é definido pelas seguintes coordenadas polares

x r cos

y r sen

(3.2)

O ponto P’ surge após a rotação do ponto P em torno da origem do referencial e de um ângulo

correspondente à soma de com .

x ' r cos

y ' r sen

(3.3)

que é equivalente a

x ' r cos cos sen sen

y ' r sen cos cos sen

(3.4)

ou

x ' x cos ysen

considerando r =1y ' ycos xsen

(3.5)

Na forma matricial

cos sen

x ' y ' x ysen cos

(3.6)

Este exemplo proporciona aos alunos a oportunidade de apreciar a existência de ligações

entre vários tópicos da matemática. É de reparar que no desenvolvimento da aplicação surge a

necessidade da aplicação de tópicos como a trigonometria, matrizes e geometria no espaço. Por

um lado o desenvolvimento da aplicação computacional em níveis adequados (primeiros anos do

ensino superior) fornece pistas que sugerem tais ligações ao mesmo tempo que é apresentada

uma aplicação da álgebra, em particular da teoria das matrizes ao processamento de imagens.

Projeções ortogonais de sólidos geométricos

Com o objetivo de facilitar a compreensão das projeções ortogonais de sólidos geométricos,

propõe-se o desenvolvimento de uma aplicação que permita visualizar, em perspetiva, os planos

de projeção e as projeções de um sólido geométrico situado no primeiro octante num referencial

tridimensional ortonormado.

Ao nível do ensino secundário uma aplicação deste tipo pode ser desenvolvida pelos

professores com o objetivo de proporcionar aos alunos uma ferramenta que permita aprofundar o

107

estudo da geometria espacial e em particular que facilite a compreensão das projeções ortogonais

de sólidos geométricos.

Ao nível do ensino superior e no âmbito de uma disciplina de Álgebra Linear, esta aplicação

pode ser construída pelos alunos no âmbito do estudo do cálculo matricial, dando-lhes a

oportunidade de ver uma aplicação do cálculo matricial na área dos métodos gráficos

computacionais (Figura 3.55) e pôr em prática ligações entre vários tópicos da matemática.

APLICAÇÃO 31: Vistas dos planos de projeção em perspetiva de uma pirâmide

Figura 3.55- Vista dos planos de projeção em perspetiva. Projeções de um sólido geométrico.


Na construção desta aplicação, após a definição da zona onde se vão posicionar as barras de

deslocamento e da área do desenho, procede-se à construção de uma tabela contendo as

coordenadas espaciais dos vértices do sólido geométrico, numa dada posição denominada

posição inicial (num referencial xyz). As coordenadas dos vértices devem surgir numa sequência

que permita o desenho de todas as arestas. No caso do desenho da pirâmide da Figura 3.55

apesar de este só ter cinco vértices, a tabela que permite desenhar todas as arestas é a seguinte:

Figura 3.56 - Tabela com as coordenadas dos vértices da pirâmide. Sequência que permite o

desenho de todas arestas.

Vértice x y z

1 4 3 7

2 7 3 6

3 7 3 4

4 4 3 3

1 4 3 7

5 4 7 5

4 4 3 3

3 7 3 4

5 4 7 5

2 7 3 6

Coordenadas Posição inicial


108

Neste caso, não se pretende apresentar apenas a projeção da pirâmide (na posição original ou

rodada) no plano XecranYecran ("plano do ecrã"), mas também a projeção no "plano do ecrã" dos

próprios planos de projeção (xoy; xoz e yoz) e das figuras que correspondem às projeções da

pirâmide (Vista de frente - projeção em xoy; Vista de cima ou planta - projeção em xoz; e Vista

lateral - projeção em yoz). A posição da pirâmide no referencial xyz, é controlada pelas barras de

deslocamento associadas aos ângulos , e ( - rotação em torno do eixo ox; - rotação em

torno do eixo oy e - rotação em torno de oz). A posição do conjunto de todos os elementos a

desenhar no plano do ecrã (a pirâmide numa posição após rotação, o referencial xyz e as três

projeções da pirâmide) no referencial global designado por referencial do ecrã XEcranYEcranZEcran

é controlada por outras três barras de deslocamento associadas a outros três ângulos E, E e E.

A matriz de transformação TL que permite controlar a posição da pirâmide no referencial

local xyz depende dos ângulos , e , e a matriz de transformação TG que permite controlar a

posição do conjunto de todos os elementos a desenhar no referencial global XEcranYEcranZEcran

depende dos ângulos E, E e E.

A matriz de transformação TL é definida para permitir rodar a pirâmide em torno de eixos

paralelos aos eixos do referencial local xyz, mas com origem num ponto CR (Centro de Rotação)

de coordenadas (xCR,yCR,zCR) localizado no interior da pirâmide (as coordenadas do ponto CR

podem ser as do centro geométrico do sólido ou mais simplesmente as médias das coordenadas

dos vértices) (Figura 3.57).

Figura 3.57 – Vista tridimensional de uma pirâmide e projeções nos três planos.

Para obter a rotação da pirâmide em torno dos referidos eixos centrados em CR é necessário

efetuar uma translação da pirâmide para a origem do referencial xyz, em seguida rodá-la (com

base nos valores dos ângulos , e ) e por fim voltar a efetuar uma translação para o centro de

rotação CR. Estas cinco transformações são condensadas na matriz TL a qual é dada pelo

109

seguinte produto que envolve duas matrizes de translação (matrizes de 4x4) e três matrizes de

rotação:

CR CR CR

Rotação em torno de ox Rotação em torno de oyTranslação para a origem

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0. .

0 0 1 0 0 0 0 0

-x -y -z 1 0 0 0 1 0 0 0 1

c s

c s

s c s c

LT

CR CR CR

Rotação em torno de oz Translação para CR

1 0 0 00 0

0 1 0 00 0. .

0 0 1 00 0 1 0

x y z 10 0 0 1

c s

s c

em que c e s representam respetivamente cos e sen (P.Santo, 1984).

Multiplicando a matriz das coordenadas dos vértices da pirâmide apresentada na Figura 3.56

(depois de se ter acrescentado uma coluna contendo apenas uns) por TL obtêm-se uma matriz a

que chamamos matriz CoordP contendo as coordenadas da pirâmide na posição final após

rotação.

A matriz de transformação TG corresponde ao produto de três matrizes de rotação e depende

dos ângulos E, E e E:

Ecran EcranRotação em torno de OX Rotação emRotação em torno de OY

0 01 0 0 0 0 0

0 1 0 00 0 0 0. .

0 00 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1

E E

E E E E

E E E E

G

E E

c s c s

c s s c

s cs c

T

Ecran torno de OZ

Para projetar o conjunto pirâmide, referencial xyz e projeções no plano XecrãYecrã basta

multiplicar a matriz Coord pela matriz TG obtendo-se assim uma nova matriz final que servirá de

base à obtenção do desenho.

Seguidamente para efectuar as projeções da pirâmide em xoy basta definir uma matriz com

os valores de x e y calculados anteriormente e em que os valores de z são zero. De uma forma

semelhante se definem mais duas matrizes para as coordenadas das figuras projetadas nos planos

xoz e yoz. Para projetar estas figuras no plano XecrãYecrã procede-se da mesma forma, ou seja

multiplicam-se as matrizes pela matriz TG.

A projeção no "plano do ecrã" XecrãYecrã dos próprios planos de projeção (xoy; xoz e yoz)

efetua-se exatamente da mesma forma.

Criar desenhos em perspetiva é uma atividade que proporciona aos alunos oportunidades de

pensar espacialmente. A possibilidade de usar uma folha de cálculo para implementação dos

desenhos abre novos desafios e proporciona contextos matemáticos ricos. Apreendida a técnica

computacional é possível depois desenvolver muitas outras aplicações.

110

Figura 3.58 – Implementação no Excel.

Na Figura 3.59 apresenta-se uma aplicação desenvolvida com o objetivo de ajudar os alunos

a visualizarem os possíveis “cortes” num cubo. A aplicação permite ainda estudar outros sólidos

desde que se introduzam as suas coordenadas.

APLICAÇÃO 32: “Corte” de um cubo

Figura 3.59 – Vista tridimensional de um cubo e representação de um “corte”.


A possibilidade de implementar computacionalmente, numa folha de cálculo, esta técnica de

projeção de uma figura no plano do ecrã do computador, permite desenvolver outro tipo de

aplicações, no âmbito de estudos que envolvam visualizações tridimensionais. Sendo uma


111

técnica relativamente acessível, e tendo a folha de cálculo disponíveis, ferramentas para o

desenvolvimento do cálculo matricial, reveste-se de grande importância quer ao nível da

formação de professores quer para os alunos dos primeiros anos dos cursos científicos, pelas

inúmeras possibilidades que oferece.

Valores e vetores próprios de matrizes simétricas. Visualização gráfica 3.6.2

O cálculo de valores e vetores próprios de uma matriz é um tópico da álgebra matricial que

tem diversas aplicações noutros campos da matemática e em problemas de física e engenharia.

Na análise matemática aplica-se, por exemplo, na resolução de sistemas de equações diferenciais

com o objetivo de efetuar a respetiva diagonalização com vista a obter sistemas de equações

independentes (como se mostra no ponto 4.7). Ao nível da física e da engenharia utiliza-se, por

exemplo, na análise de estados de tensão nomeadamente para cálculo de direções principais de

tensão e correspondentes valores de tensão principais.

Neste ponto mostra-se como o problema do cálculo de valores e vetores próprios de matrizes

reais, quadradas e simétricas pode ser abordado, introduzindo gradualmente o formalismo

matemático que permite a generalização do conceito, recorrendo inicialmente a interpretações

geométricas para os casos mais simples, nomeadamente para os casos bidimensional (recorrendo

ao Excel) e tridimensional (recorrendo ao MATLAB).

Começa-se então por mostrar que para a compreensão do conceito de valores e vetores

próprios de uma matriz de 2x2 é útil perceber que é possível associar a cada matriz uma elipse

que pode ser facilmente desenhada em Excel.

Caso bidimensional. Matrizes 2×2

Considere-se por exemplo a matriz de 2×2 2 0.5

A0.5 3

, quadrada e simétrica.

Por definição, os correspondentes vetores próprios são os vetores 2×1 tais que quando

multiplicados pela matriz A dão origem a um vetor com a mesma direção: . Assim para

obter analiticamente os vetores próprios da matriz A tem que se resolver a seguinte equação em

ordem a

A (3.7)

Como se constata uma solução imediata é o vetor nulo 0 que naturalmente não é uma

solução que nos interesse. A questão é que este problema ou tem a referida solução trivial

(solução nula) ou tem uma solução indeterminada, como se mostra em seguida.

1 adj A I

A 0 A I 0 A I .0 .0A I

(3.8)

112

ou seja

0

A I

(3.9)

Como se pode ver a única hipótese de a solução anterior ser não nula é impor que o

denominador seja nulo, o que significa que se trata de um problema em que as soluções não

nulas são indeterminadas.

Neste caso obtém-se

2

2 0.5A I 0 0 5 5.75 0

0.5 3

(3.10)

ou seja, existem dois valores de para os quais a solução é não nula: estes dois valores,

1 2

5 2 5 2e

2 2

, são denominados os valores próprios da matriz A .

Para cada valor próprio pode-se agora resolver o correspondente sistema A I 0

(indeterminado) e assim calcular o respetivo vetor próprio. Tem-se então:

1 1 1

2 2 2

15 2A I 0 k , k

2 1 2

15 2A I 0 k , k

2 1 2

(3.11)

Esta é a abordagem analítica. Em seguida mostra-se que uma abordagem geométrica,

implementada no Excel, pode ser de grande interesse na medida em que permite aos alunos

refletir sobre os anteriores resultados e olhar para o problema do cálculo de valores e vetores

próprios numa perspetiva diferente.

A ideia consiste em utilizar vários vetores unitários n com diferentes direções (fazendo

variar o ângulo que fazem com o eixo horizontal, desde 0 até 360 graus) e experimentar para

todos eles se verificam a condição n nA desenhando simultaneamente o resultado nA e

comparando com os vetores n que também se devem desenhar. Verifica-se que, enquanto os

vetores n descrevem uma circunferência unitária, os correspondentes vetores nA descrevem

uma elipse, que, na prática, pode ser entendida como uma representação geométrica da matriz A .

Os semieixos desta elipse correspondem aos valores próprios da matriz e as correspondentes

direções correspondem às direções dos vetores próprios como se pode ver na aplicação

desenvolvida em Excel (Figura 3.60).

113

APLICAÇÃO 33: Interpretação geométrica de valores e vetores próprios de matrizes 2x2

Figura 3.60 – Interface da aplicação vvp.xls para interpretação geométrica dos valores e vetores

próprios de matrizes quadradas, reais e simétricas.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/valoresVetoresProprios.html

Na figura seguinte mostram-se os resultados obtidos com a aplicação vvp.xls para três

matrizes diferentes o que permite ilustrar o interesse e as potencialidades da aplicação.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/valoresVetoresProprios.html

114

Figura 3.61 – Interface da aplicação vvp.xls para interpretação geométrica dos valores e vetores

próprios de matrizes (2x2) quadradas, reais e simétricas.

115

Caso tridimensional. Matrizes 3×3

A generalização dos resultados anteriores para casos de dimensão superior a 2 é imediata.

Contudo a visualização gráfica não é viável para casos de dimensão superior a 3. Em seguida

mostra-se como se pode utilizar o MATLAB para visualizar elipsoides associados a matrizes

quadradas, simétricas de dimensão 3. Mesmo nestes casos de dimensão 3 também poderemos

utilizar o Excel recorrendo às matrizes de transformação utilizadas em computação gráfica como

se mostrou no ponto anterior, contudo opta-se por mostrar as potencialidades do MATLAB.

Considere-se então, como exemplo, a matriz de 3x3

5 2 0.35

A 2 2 0.25

0.35 0.25 2

.

Neste caso o problema de valores e vetores próprios conduz à resolução de uma equação do

3º grau cujas raízes correspondem aos três valores próprios da matriz. Utilizando o comando

eig() do MATLAB para efetuar o cálculo dos valores e vetores próprios obtém-se uma matriz

com os vetores próprios (um em cada coluna) e uma matriz diagonal com os correspondentes

valores próprios.

Com o programa seguinte obtém-se a pretendida representação tridimensional do elipsoide e

também da esfera de raio unitário definida pelos vários vetores unitários n com diferentes

direções.

% Valores e vetores próprios de matrizes 3x3 % Desenho do correspondente elipsóide close all; clear all; clc % %% Matriz 3x3 % A=[5 2 0.35; 2 -2 -.25; 0.35 -.25 2]; %% Esfera de raio unitário [x y z]=sphere(25); surf(x,y,z,'faceColor','k','facealpha',0.40,'edgecolor','k') %[0.319 0.319 0.319]) %% Desenho do elipsoide for i=1:length(x(:,1)) for j=1:length(x(1,:)) n(1,1)=x(i,j); n(2,1)=y(i,j); n(3,1)=z(i,j); vt=A*n; %calcula o vetor para desenhar o elipsóide multiplicando % a matriz A pelos vetores n (unitários: raios da esfera) xx(i,j)=vt(1); yy(i,j)=vt(2); zz(i,j)=vt(3); r(i,j)=vt'*n; % Valor usado para a escala de cor end end hold on; axis equal; grid on xlim([-5 5]); ylim([-5 5]); zlim([-5 5]);

surf(xx,yy,zz,r,'facealpha',0.60,'edgecolor',[0.219 0.219 0.219]);

colorbar('east')

116

Na figura seguinte mostra-se o resultado obtido com o programa anterior em que o elipsoide

é semitransparente por forma a que seja possível visualizar no interior a esfera de raio unitário

cujos vetores-raio são utilizados para gerar o elipsoide como se pode ver no código em

MATLAB atrás apresentado.

Figura 3.62 – Interpretação geométrica dos valores e vetores próprios da matriz A (3×3).

Uma importante propriedade referente aos valores e vetores próprios de matrizes quadradas

a qual é utilizada mais à frente (ponto 4.7.3) na resolução de sistemas de equações diferenciais

ordinárias que descrevem o movimento oscilatório de sistemas mecânicos com vários graus de

liberdade (sistemas do tipo massa-mola envolvendo várias massas e molas) envolve a

transformação segundo a qual é possível obter uma matriz diagonal multiplicando a matriz A

pela denominada matriz dos vetores próprios (um vetor próprio em cada coluna),

concretamente, multiplicando à esquerda pela inversa 1 e à direita por para obter uma matriz

diagonal com os correspondentes valores próprios da matriz A.

1A (3.12)

Esta transformação é válida para matrizes quadradas simétricas e não simétricas. Quando a

matriz A não é simétrica podem ocorrer valores e vetores próprios complexos que, como se verá

mais à frente ocorre na diagonalização do sistema de equações diferenciais que descreve

movimentos oscilatórios de sistemas mecânicos de vários graus de liberdade (ponto 4.7.3).

117

3.7 Estudo da conexão entre as funções trigonométricas cos(x) e sen(x) e a

função exponencial ex. A fórmula de Euler para os complexos.

Quando se pretende estudar a conexão entre as funções trigonométricas e a função

exponencial surgem os dois números irracionais mais conhecidos na matemática: o número e

o número e.

Quanto ao número , como se viu no ponto 3.4.5, é um número indissociável da

circunferência e está historicamente ligado aos estudos primordiais de Arquimedes. Como se

representa na Figura 3.63 as funções seno e coseno (que são a chave da análise de Fourier que se

estuda no ponto seguinte), são funções de período 2 que é o valor do perímetro de um círculo

de raio unitário.

Figura 3.63 - Funções seno e coseno.

Quanto ao número e este surge também ligado a uma importante curva: a hipérbole. Na

Figura 3.64 mostra-se como a função exponencial está ligada à hipérbole (função f x 1 x ): a

função que representa a área A sob a hipérbole medida a partir de x=1, com valor positivo para a

direita e valor negativo para a esquerda, é a função logarítmica f x ln x . Quando a referida

área sob a hipérbole é unitária verifica-se que o valor de x deve ser x = 2.71828… ou seja x deve

ser igual ao número e . Isto significa que a função f x ln x assume o valor 1 quando x = e.

A inversa desta função que representa a área sob a hipérbole é a função exponencial.

x

y

R=1

P ( , )

sen

cos

cR

=

c

amplitude do ângulo , em radianos

y

x

y

R=

xR

=

sen y

R=

cos xR

=

c comprimento do arco correspondente ao ângulo

R raio da circunferência (unitário)

x y

(rad)

(rad)

118

APLICAÇÃO 34: Proporcionalidade inversa e função logarítmica

Figura 3.64 – Relação entre a hipérbole e a função exponencial de base e = 2.71828…

Um facto interessante relativo às funções f(x) = cos(x) e f(x) = sen(x) está relacionado com

as suas propriedades quanto à derivação: sucessivas derivações acabam sempre por conduzir à

própria função

cos(x) derivação

-sen(x) derivação

-cos(x) derivação

sen(x) derivação

cos(x) …

Um comportamento deste tipo, mas ainda mais surpreendente, pode ser encontrado no caso

da função exponencial: a derivada da função exponencial xe é exatamente a própria função

exponencial! Considerando a curva xf x e . Em cada ponto P da curva, a distância entre os

pontos A e B onde a vertical e a tangente cortam o eixo dos x é constante igual a 1.

A

119

APLICAÇÃO 35: Função exponencial.

O declive da tangente é igual em todos os pontos da curva

Figura 3.65 - Para qualquer ponto P sobre a curva, o triângulo PAB, cuja hipotenusa é tangente à

curva em P, tem sempre cateto horizontal unitário: AB 1 .

Talvez estas propriedades relacionadas com a derivação das funções cos(x) , sen(x) e xe ,

tenham levado Euler a procurar estabelecer uma fórmula que permitisse relacionar estas três

funções. Na realidade teve que introduzir o número imaginário i 1 para conseguir o seu

objetivo tendo obtido uma das mais famosas fórmulas de toda a matemática a qual mostra uma

surpreendente relação entre as referidas funções

ixe cos(x) isen(x)

No famoso livro de Richard Feynman “The Feynman Lectures on Physics” esta fórmula é

referida como se mostra na Figura 3.66a. A mesma fórmula foi considerada pelos leitores da

revista “Physics World” como a mais bela das fórmulas da matemática (Figura 3.66b.).

120

a. “The most remarkable formula in mathematics”

b. “A mais bela fórmula matemática”

(Texto de Nuno Crato no Expresso de 27 de Novembro de 2004, Revista Atual)

“O que pode fazer a beleza de uma fórmula? A resposta dividirá certamente os leitores. Para alguns, a

pergunta será irónica - que beleza poderão ter esses gatafunhos incompreensíveis que se atravessam

manhosamente pelos manuais escolares? Mas, para outros, que ultrapassaram os escolhos académicos da

matemática e ganharam gosto por essa disciplina, certas equações apresentam a informação de forma tão

simples que faz todo o sentido dizer que são belas. Muito belas.

O difícil é explicar as razões de tal beleza. Uma delas reside na estranha condensação da realidade que as

fórmulas comportam. Uma realidade que pode ser geométrica, física, biológica ou puramente ideal. Outra

será a sua flexibilidade, pois uma fórmula pode aplicar-se num número infinito de situações insuspeitas.

Outra ainda pode ser o seu próprio grafismo.

Em matemática, ninguém se espanta com a existência de fórmulas - a condensação de relações através de

símbolos parece definir a própria disciplina. Mas elas revelam ainda um enorme poder explicativo e

preditivo nas ciências. …

Graham Farmelo, que há dois anos editou a obra It Must Be Beautiful: Great Equations in Modern Science

(Granta, Londres), afirmava aí que «uma equação é a expressão de um equilíbrio perfeito», que se torna

bela quando é uma «síntese da verdade sem um único símbolo desperdiçado». …

Figura 3.66 – Fórmula de Euler para os complexos: a. “The most remarkable formula in

mathematics”. b. “A mais bela fórmula matemática”.

Na Figura 3.67 apresenta-se esquematicamente a demonstração da fórmula de Euler para os

complexos baseada no desenvolvimento em série de MacLaurin das funções f(x)=cos (x),

f(x)=sen (x) e xf (x) e . Na figura mostra-se graficamente (gráficos obtidos na folha de

cálculo), para estas três funções, a aproximação que se consegue considerando a soma dos

primeiros n termos da correspondente série de MacLaurin. Em seguida apresenta-se a soma

termo a termo dos primeiros termos das séries correspondentes à função cos x e ao produto

i sen x o que permite confirmar que os termos da série resultante correspondem ao

desenvolvimento em série da função xie .

121

ou seja xie cos(x) sei n(x) c.q.d.

Figura 3.67 – Fórmula de Euler para os complexos. Demonstração com base no desenvolvimento em

série de MacLaurin das funções cos(x) , sen(x) e ex.

3.8 Séries de Fourier

Um dos tópicos de matemática com mais aplicações em ciência e engenharia é, certamente,

a análise de Fourier. Trata-se de um tema que surge na maioria dos planos de estudo dos

primeiros anos dos cursos de matemática e engenharia. Neste ponto apresenta-se uma

metodologia de ensino que permite aprofundar a compreensão dos conceitos matemáticos

envolvidos na análise de Fourier.

Existem hoje disponíveis no mercado vários módulos computacionais (incorporados por

exemplo no MATLAB, Scilab, Excel, …) que permitem calcular a Transformada de Fourier de

uma função, de forma rápida e eficiente surgindo habitualmente com a sigla FFT (“Fast Fourier

Transform”). Muitos dos alunos que frequentam os cursos técnicos e científicos, serão potenciais

utilizadores destes módulos computacionais pelo que a sua preparação científica nesta área deve

ser adequada para que possam usar o software disponível para cálculo de FFT’s de forma

eficiente e com o necessário sentido crítico.

A abordagem que se apresenta mostra que este tema pode ser estudado, interligando

conhecimentos matemáticos já conhecidos dos alunos, de uma forma estruturada e coerente.

Nomeadamente, neste caso é possível compreender a transformada discreta de Fourier partindo

do conceito da soma de funções harmónicas (que conduz à série de Fourier na forma

trigonométrica) e utilizando a fórmula de Euler para os complexos.

- - -

Euler, um dos maiores matemáticos de sempre, descobriu a célebre fórmula que relaciona a função

exponencial e as duas principais funções trigonométricas

cos x + i sen xe =ix

Partindo do desenvolvimento em série de MacLaurin das funções cos x , sen x e ex

f '' (0) f ''' (0) f (0)+ + + +f(x) = f(0) + f '(0) x

2!x2

3!x3 ...

(n)

xn

n!

2!

x2

+4!

x4

-6!

x6

+8!

x8

... sen x3!

x3

+5!

x5

-7!

x7

+9!

x9

... e = 1 x2!

x2

+3!

x3

+4!

x4

+5!

x5

...x++

(rad) x (rad) x

x

Verifica-se que cos x = 12!

x2

+4!

x4

-6!

x6

+8!

x8

...

i sen x = ix3!

ix3

+5!

ix5

-7!

ix7

+9!

ix9

...

--

-+

e = 1 ix2!

x2

3!

ix3

+4!

x4

+5!

ix5

...ix- +

6!

x6

7!

ix7

+8!

x8

+9!

ix9

ou seja cos x + i sen xe =ix

n=1 n=3 n=5 n=7 n=9 n=1 n=3 n=5 n=7 n=9

n=2 n=4 n=6 n=8 n=10

n=1

n=2

n=3

n=4

n=5

n=2 n=4 n=6 n=8 n=10

= x-cos x = 1 -

122

Recorre-se a representações visuais das principais ideias matemáticas envolvidas por forma

a que elas possam suscitar a reflexão crítica e o levantar de questões por parte dos alunos.

Considera-se que esta componente é essencial para a compreensão do tema em profundidade.

A representação de ideias matemáticas tem sido uma preocupação dos matemáticos ao longo

dos tempos. Quer seja uma representação geométrica, algébrica ou gráfica é consensual, que a

aprendizagem da matemática fica facilitada quando se recorre a diferentes tipos de

representações. O acréscimo será ainda maior quando são os próprios alunos a construir as

representações.

Neste ponto sugere-se a utilização de aplicações computacionais desenvolvidas em Excel

que permitam visualizar de uma forma dinâmica alguns dos conceitos matemáticos envolvidos. É

possível, por exemplo, recorrendo a um módulo computacional denominado ondas.xls (Figura

3.69), estudar funções trigonométricas do tipo f(t)=acos(ωt)+b sen(ωt) e observar o que acontece

aos gráficos destas funções quando se faz variar os valores de a, b e . Recorrendo ao módulo

aproximação.xls (Figura 3.70) é possível visualizar um filme que mostra a aproximação de uma

função, definida num dado intervalo, por uma série de Fourier.

A utilização deste tipo de aplicações dinâmicas ganha maior expressividade quando

comparada com a utilização de livros de texto. Durante muito tempo utilizou-se o livro de texto

que continha apenas imagens de natureza inevitavelmente estática. Com o desenvolvimento das

tecnologias foram surgindo aplicações computacionais apelativas que proporcionam

visualizações gráficas com animação, habitualmente desenvolvidas numa linguagem de

programação sofisticada e que constituem uma ferramenta de ensino a considerar, mas apenas na

perspetiva do utilizador.

A utilização da folha de cálculo permite o desenvolvimento pelos próprios alunos de

módulos computacionais com animações, que constituem uma mais-valia relativamente à

utilização de módulos já construídos.

O site “Spreadsheets in education” publica periodicamente trabalhos na área da utilização

das folhas de cálculo na educação matemática. O trabalho que se apresenta em seguida, foi

publicado neste site em 2012 e, desde aí, ocupa permanentemente o lugar nos “Most Popular

Papers”. Este site, para além de apresentar artigos dos quais é possível fazer download, apresenta

também as aplicações desenvolvidas em Excel. Assim, para a leitura deste tópico relacionado

com as séries de Fourier recomenda-se também a consulta do site e visualização das aplicações

(Oliveira, et al., 2012).

Decomposição de funções em ondas sinusoidais. Série de Fourier 3.8.1

Em muitas áreas da ciência e da engenharia estudam-se situações que envolvem a análise de

grandezas que variam ao longo do tempo. Estas variações são descritas por funções do tempo

f = f(t) as quais, em geral, têm variação arbitrária e, por isso, não podem ser expressas por

intermédio de uma expressão matemática. É o caso, por exemplo, da velocidade do vento v = v(t)

numa ponte (Figura 3.68), ou do deslocamento no topo de um edifício durante um sismo u = u(t).

123

Figura 3.68 – Colapso da ponte de Tacoma Narrows (EUA 1940) sob a ação de forças cíclicas devidas a

um vento de intensidade moderada.

No estudo deste tipo de fenómenos, descritos por funções que variam ao longo do tempo de

forma arbitrária, pode-se recorrer a uma interessante propriedade das funções, descoberta por

Fourier (1768-1830), segundo a qual “qualquer função representável graficamente pode ser

decomposta numa soma de infinitas ondas harmónicas”.

Para facilitar a escrita designa-se por "onda" de frequência uma função harmónica do tipo

u(t) a cos( t) bsin( t) (3.13)

cuja representação gráfica se apresenta na Figura 3.69a, salientando o significado geométrico dos

parâmetros a, b e . A aplicação ondas.xls (Figura 3.69b) permite alterar os valores da

amplitude e frequência da onda e observar os efeitos produzidos no gráfico.

124

a.

b.

APLICAÇÃO 36: Representação gráfica de uma função do tipo sinusoidal

Figura 3.69 - Representação de funções do tipo onda harmónica. a) Interpretação geométrica dos

parâmetros envolvidos. b) Visualização com o módulo ondas.xls.

Na Figura 3.70 mostra-se a representação gráfica de uma função f(t) definida no intervalo

0,T , e a sua decomposição em “ondas” (de frequência crescente), o que corresponde ao

conceito matemático que está base da análise de Fourier.

Em seguida mostra-se que os coeficientes na e nb , de cada “onda” n, podem ser

determinados recorrendo a conceitos de matemática elementar (nomeadamente recorrendo ao

conceito de valor médio de uma função num dado intervalo) e que o conceito de Transformada

de Fourier pode ser simplificadamente entendido como o resultado de juntar na e nb numa única

função complexa da forma n n(a i b )T / 2 . Em rigor n na a( ) e n nb b( ) são funções reais

22+ b=A a

T/2

=

= 2 /T

t2T=

b

3T/4T/4)(

abarctg a>0 , b>0

+ 2

+

)(ab

ba

( )arctg

arctg

a<0

a>0 , b<0

A

u(t)

0

-A

b

b

A

a

=aa

/

A - Wave amplitude

T - Wave period

- Wave frequency (rad/s)

u(t) = a cos(t) + b sen(t)

u(t) = A cos(t - )) u(t) = A cos(t - ))

f = 1 / Tf - Wave frequency in Hz or cycle/s

- Horizontal position of the maximum (between 0 and T)

- Phase angle (between 0 and 2)

A u(t) = cos ( .t - )

/

a a

=

a = 0

A

b

b

A =

-A

0

u(t)

A

u

u(t) = Re e

a>0 , b<0

a<0

arctg

arctg )(ab

ba

( )

+

2+

i.( .t - )( )A

Representação de uma função do tipo onda harmónica

a>0 , b>0arctg

+a2

ba

( )

b2

T/4 3T/4

u(t) = cos ( .t) + sen( .t)

b =

1u0

u0

a b

T= 2

t

= 2 /T

u(t) = cos . t - A (( ))

=

T/2

aA = b+2 2

A - Amplitude da onda

Período da ondaT -

Frequência da onda (rad/s)-

= 1 / Tf

Frequência da onda em Hz ou ciclo/sf -

Posição do ponto máximo (valor entre 0 e T)-Ângulo de fase (valor entre 0 e 2 ) -

A u(t) = cos ( .t - )

/

a a

=

a = 0

A

b

b

A =

-A

0

u(t)

A

u

u(t) = Re e

a>0 , b<0

a<0

arctg

arctg )(ab

ba

( )

+

2+

i.( .t - )( )A


a>0 , b>0arctg

+a2

ba

( )

b2

T/4 3T/4

u(t) = cos ( .t) + sen( .t)

b =

1u0

u0

a b

T= 2

t

= 2 /T

u(t) = cos . t - A (( ))

=

T/2

aA = b+2 2


Período da ondaT -


= 1 / Tf



A u(t) = cos ( .t - )

/

a a

=

a = 0

A

b

b

A =

-A

0

u(t)

A

u

u(t) = Re e

a>0 , b<0

a<0

arctg

arctg )(ab

ba

( )

+

2+

i.( .t - )( )A


a>0 , b>0arctg

+a2

ba

( )

b2

T/4 3T/4

u(t) = cos ( .t) + sen( .t)

b =

1u0

u0

a b

T= 2

t

= 2 /T

u(t) = cos . t - A (( ))

=

T/2

aA = b+2 2


Período da ondaT -


= 1 / Tf



125

de variável discreta e a transformada de Fourier n n nF( ) (a ib )T / 2 é uma função complexa

de variável discreta (Transformada Discreta de Fourier).

Figura 3.70 - Decomposição em ondas sinusoidais de uma função f(t), definida num intervalo [0, T]

(Oliveira, et al., 2012).

Fourier, no âmbito dos seus estudos sobre a propagação do calor em sólidos, descobriu que

podia aproximar “qualquer” função f(t) num intervalo de comprimento finito T através de uma

série – série de Fourier – correspondente à soma de uma constante e de um conjunto de infinitas

“ondas” harmónicas com períodos iguais a T e aos seus submúltiplos:

1 = 1. 2 = 2. 3 = 3. 4 = 4.vmed

1 = 1.

2 = 2.

vm

1a cos( .t)1 + b 1sin( .t)1

2a cos( .t)2 + b 2sin( .t)2

3 = 3.

3a cos( .t)3 + b 3sin ( .t)3

The Discrete Fourier Transform of f (t) is defined as the complex function:

F( ) = na - i b n n

2n, < <- +

where a = a( ) and b = b( ) are real functions representing the waves coefficients.n n

T

T

...

T

n n

6

7

8

9

10

11

=

Onda n = na cos( .t)n + b nsen( .t)n

n

T2

= n.= n.te

= c

Valor médio de f(t) no intervalo T

na n= a( )

n= b( )nb

nanb,

T2

f (t) = + + + + + ...T

Onda 1 Onda 2 Onda 3 Onda 4c te

t

Onda 0

Onda 1

Onda 2

Onda 3

Onda 4

Onda 5

Onda 6

Onda 7

Onda 8

Onda 9

Onda 10

Onda 11

f(t)

0 T

2

3

0

4

5

126

T T T

T , , , ... , ...2 3 10

(3.14)

São ondas com frequências crescentes dadas por

1 2 3 10

, , , ... , .. e.T T T T

m Hz (3.15)

ou

2 2 2 2, 2. , 3. , ... 10. ,... ( )

T T T T em rad / s

(3.16)

Considerando 2

T

, as frequências das referidas "ondas" escrevem-se na forma seguinte

1 2 3 4 n, 2 , 3 , 4 , ... n (3.17)

Assim, a expressão que corresponde à aproximação em série de Fourier de uma dada função

f(t), num dado intervalo de comprimento T, pode ser escrita simplificadamente da seguinte forma

1 2 3 n

T

2 3 n

f (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ... onda n ...

(3.18)

Nesta expressão cada uma das ondas harmónicas (“onda n”) pode ser escrita como uma

combinação linear das funções trigonométricas (coseno e seno), ou seja

n n n nonda n a cos t b sen t

(3.19)

vindo

1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

T

a cos t b sen t a cos t b sen t a cos t b sen t

f (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ...

(3.20)

O problema que se coloca agora é o de saber como se pode determinar a constante c e os

coeficientes an e bn das várias ondas que permitem aproximar uma dada função f(t) num dado

intervalo 0,T .

127

Determinação do valor da constante correspondente ao primeiro termo da série de 3.8.2

Fourier

Na expressão anterior é possível determinar a constante c, recorrendo ao conceito de valor

médio de uma função num intervalo (Figura 3.71).

O valor médio de uma função num intervalo de

comprimento T corresponde à altura de um

retângulo de base T cuja área é igual à área sob

a função no referido intervalo:

T

m T

0

1v f (t) f (t)dt

T

Figura 3.71 – Utilização do conceito de integral para cálculo do valor médio de uma função num

intervalo 0,T .

Dado que os períodos das várias ondas são submúltiplos de T, então o valor médio de cada

“onda n” no intervalo T é sempre nulo ou seja onda n 0T , com n = 1,2,3 …

Desta forma pode-se escrever

T

0 0 0

f (t) c onda 1 onda 2 onda 3 ... T T T T T (3.21)

donde se conclui que o valor da constante c é igual ao valor médio da função f(t) no intervalo T,

ou seja

T

0

1c f (t) f (t)dt

T T (3.22)

Determinação dos coeficientes an e bn, de cada onda n 3.8.3

Para determinar os coeficientes da “onda 1”, é útil verificar que o valor médio em 0,T de

cada onda multiplicada por 1cos( t) é sempre nulo, exceto no caso da própria “onda 1.

Assim pode-se escrever

T 1 1 1 1 1

0 0 0

f (t).cos .t c.cos .t onda1.cos .t onda2.cos .t onda3.cos .t ... T T T T T

(3.23)

ficando simplesmente

0 t

f

T

Avm

vm T A=. = vm= T

A

f = f(t)

1

128

1 1f (t).cos .t onda1.cos .t

T T (3.24)

ou seja

1 1 1 1 1 1f (t).cos .t a .cos .t b sen .t .cos .t T T (3.25)

o que permite obter finalmente

2 1

1 1 1 1 1 1

10a /2

af (t).cos .t a .cos .t b .sen .t .cos .t

2

T TT (3.26)

dado que o valor médio da função cos2(t) no intervalo 0,2 é precisamente 1/2 (Figura 3.72).

Figura 3.72 – Representação gráfica da função 2cos t e do respetivo valor médio 1/2 no intervalo

[0,2]

Assim, pode-se obter o coeficiente a1 como o dobro do valor médio em [0,T] da função f(t)

multiplicada por 1cos( t) , ou seja

T

1 1 1

0

2a 2. f (t).cos .t f (t) cos( t)dt

T T (3.27)

Da mesma forma, o valor médio em [0,T] de cada onda multiplicada por 1sen( t)

também é sempre nulo, exceto no caso da onda 1, o que permite determinar b1, de forma análoga

à utilizada na determinação de a1. Assim conclui-se que deverá ser

T

1 1 1

0

2b 2. f (t).sen .t f (t) sen( t)dt

T T

(3.28)

129

Aplicando este raciocínio às subsequentes ondas conclui-se que todos os coeficientes an e

bn podem ser determinados através de expressões análogas às anteriores. Assim, a determinação

dos coeficientes das várias ondas da série resume-se à determinação de valores médios.

Em síntese pode-se concluir que a aproximação em série de Fourier de uma

função f(t), num dado intervalo de comprimento T, pode ser representada (na

forma trigonométrica) através da seguinte série (somatório de infinitas ondas)

T n n n n

n 1 n 1

f (t) c onda n c a cos t b sen t

, n n , 2

T

cujos coeficientes são obtidos através das seguintes médias T

0

1c f (t) f (t)dt

T T

T

n n nT0

2a 2. f (t).cos .t f (t) cos( t)dt , n=1, 2, 3, ...

T

T

n n nT0

2b 2. f (t).sen .t f (t) sen( t)dt , n=1, 2, 3, ...

T

Somatórios de Fourier, séries de Fourier e integrais de Fourier 3.8.4

Nesta fase é interessante notar que para o caso da função de variável discreta definida em

intervalos limitados (casos que são ) a aproximação é obtida com base num somatório de

Fourier. No caso de funções de variável contínua definidas em intervalos não limitados ( por

exemplo 0, a aproximação é obtida com base em integrais de Fourier.

Somas de Fourier para aproximar uma função de variável discreta definida por 3.8.5

partes. Aplicação para Excel.

Considere-se a função f(t) definida no intervalo T 0,2 , de comprimento T 2

t , 0 tf (t)

1 , t 2

(3.29)

Para obter a aproximação desta função através de uma série de Fourier pode-se

desenvolver uma aplicação computacional que permita, para cada onda n, calcular

automaticamente os valores de n n n,a ,b .

130

Na Figura 3.73 mostra-se a aplicação desenvolvida em Excel. Constrói-se uma tabela com

os valores de (t, f(t)) e seguidamente acrescentam-se duas colunas para calcular n

f (t) cos( t)

e n

f (t) sen( t) . Inicialmente reserva-se uma célula para inserir o valor de T e outra para

calcular 2 / T . Para cada onda n (cujo valor é introduzido na célula D5), é calculado o

valor de n

n . Uma vez que n n

a 2 f (t)cos( t) e n n

a 2 f (t)sen( t) , basta recorrer

à função Average() do Excel que permite calcular o valor médio de um conjunto de valores.

APLICAÇÃO 37: Aproximação de funções através de séries de Fourier

Figura 3.73 – Interface da aplicação desenvolvida em Excel.

A Figura 3.74 mostra os resultados obtidos após a utilização da aplicação anterior para as

ondas 1, 2, 3 e 10.

131

Figura 3.74 – Resultados obtidos após utilização da aplicação anterior.

Para completar a aplicação será útil acrescentar um botão de comando que permita

visualizar graficamente a aproximação da função por uma soma de ondas, através de uma

animação.

Na Figura 3.75 mostra-se uma tabela que é construída automaticamente após “clicar” no

botão "Fourier Coefficients". Na coluna BF é introduzida uma fórmula que calcula a soma dos

valores das colunas anteriores recorrendo à função Soma() do Excel.

Ao adicionar esta última série de dados no gráfico, obtém-se a aproximação pretendida.

t0T

Mean value

vmvm

Wave n = 1 a = -0.63501

b = 0.36301

( Period T )

Wave n = 2

( Period T )

Wave n = 3

Wave n = 10

2

( Period T )3

( Period T )10

Sum of waves 1 to 10

v = 1.2846m

a = 0.0009752

b = -0.49952

a = -0.06973

b = 0.12103

a = 0.00097510

b = -0.099910

t0

T

t0

T

t0

T

t0

T

t0

T

132

Figura 3.75 – Aproximação de uma função usando séries de Fourier.

Na Figura 3.76 pode-se visualizar a aproximação da função para uma soma parcial de 5, 10,

20 e 50 ondas.

Figura 3.76 – Aproximação de uma função por somatórios de Fourier com 5, 10, 20 e 50 ondas.

Representação da Série de Fourier na forma complexa: Transformada Discreta de 3.8.6

Fourier

A expressão anteriormente deduzida referente ao desenvolvimento de uma função em

série de Fourier (função definida num intervalo de comprimento T)

T med med n n n n

n 1

f (t) v onda1 onda 2 onda3 ... v a cos t b sen t

(3.30)

133

corresponde à denominada forma trigonométrica da série de Fourier.

Neste ponto mostra-se como esta expressão pode ser escrita de forma mais compacta,

recorrendo à representação complexa das funções coseno e seno, obtendo-se assim a

denominada representação da série de Fourier na forma complexa.

De facto, utilizando a fórmula de Euler ixe cos x isenx pode-se escrever

n n n ni t i t i t i t

n n

e e ie iecos( t) e sen( t)

2 2

(3.31)

e portanto, com base nestas expressões, obtém-se a pretendida expressão correspondente à forma

complexa da série de Fourier. De facto, notando que 0i t0 0m

a ibv e

2

.

n n n n

n n

0 n n

i t i t i t i t

T m n n

n 1

i t i tn n n nT m

n 1

1i t i t i t0 0 n n n n

T

n 1 n

e e ie ief (t) v a b

2 2

a ib a ibf (t) v e e

2 2

a ib a ib a ibf (t) e e e

2 2 2

(3.32)

o que, admitindo agora n = … ,-3, -2, -1, 0 ,1, 2, 3, … , pode ser simplificado para a seguinte

forma

ni tn nT

n

a ibf (t) e

2

(3.33)

denominada forma complexa da Série de Fourier.

Tendo em conta as anteriores expressões para an e bn verifica-se que

n

T

i tn nT

0

a ib 1f (t)e dt

2 T

(3.34)

convencionando-se designar por Transformada Discreta de Fourier da função f(t), no intervalo

finito de comprimento T, a função complexa F(n) (função de variável real discreta, n) dada

por

n

T

i t

T n

0

n nT n

F ( ) f (t)e dt

ou

a ibF ( ) .T

2

T

(3.35)

134

A função FT(n) é, como se vê, uma função complexa cujas partes real e imaginária são,

respetivamente

n

n

n

n

a( )T , ( )

2

e

b( )T ,

Parte real de F

Parte imaginária )F(2

de

(3.36)

A possibilidade de conhecer as “ondas” que constituem uma função, para além de permitir

desenvolver poderosas ferramentas matemáticas para a resolução de equações diferenciais, pode ter uma

aplicação direta e de grande interesse prático na análise de resultados experimentais como se mostra no

ponto 4.7 em que se analisam acelerogramas medidos num edifício de três pisos (acelerogramas medidos

durante sessenta segundos com um intervalo de amostragem de t = 1/250 segundos).

Utilização de módulos computacionais para cálculo de Transformadas Discretas de Fourier

Nos pontos anteriores analisaram-se séries de Fourier e transformadas de Fourier para o caso de

funções reais y = f(t) de variável real contínua t, em que o domínio correspondia a um intervalo limitado

de comprimento T, do tipo [0, T] ou [-T/2, T/2]. Contudo, em casos práticos, referentes, por exemplo, à

análise de resultados experimentais é usual recorrer ao cálculo de transformadas de Fourier de funções

reais f(tn) de variável real discreta nt 0, t,2 t, N t [0,T] , com t T / N . Nestes casos o

objetivo é decompor em ondas harmónicas a função f(tn), definida num intervalo de comprimento finito T

cujos valores n ny f (t ) são dados em pontos tn uniformemente distribuídos ao longo do intervalo do

domínio. Com os meios computacionais atualmente disponíveis, o mais usual é recorrer a um comando

do tipo fft para cálculo de TDF - Transformadas Discretas de Fourier (comando disponível em diversos

programas comerciais ou de acesso gratuito). Desta forma evita-se o processo mais trabalhoso e

computacionalmente menos eficiente, baseado no cálculo direto das médias que surgem na definição

original dos coeficientes an e bn das séries de Fourier.

A diferença é que para funções n ny f (t ) de variável discreta nt n t (com n = 0,1,2 …N e

t T / N ) a aproximação de Fourier através da sobreposição de ondas harmónicas é obtida como um

somatório de apenas N/2 ondas (ver aplicação no ponto 4.7) e não através de uma série, correspondente à

soma de infinitas ondas.


Neste capítulo apresentaram-se vários exemplos sobre como a folha de cálculo pode ser

usada para definir uma nova forma de planificar temas matemáticos que constam nos currículos

em vários níveis de ensino. Uma característica fundamental destas planificações consiste em usar

135

a folha de cálculo como plataforma para construção de aplicações computacionais dinâmicas e

interativas, com objetivos distintos e por parte dos alunos.

Alguns aspetos comuns a todos os exemplos apresentados podem ser salientados:

As técnicas associadas à programação na folha de cálculo resumem-se a

procedimentos elementares do ponto de vista informático, mas com resultados

apelativos do ponto de vista matemático. Tais procedimentos adquirem-se numa

fase inicial de aprendizagem bastando em seguida reproduzi-los em situações

matemáticas distintas.

Note-se a este propósito a abordagem apresentada no tema “Números e operações”.

Com apenas quatro comandos da folha de cálculo é possível desenvolver inúmeras

aplicações ao longo de toda a escolaridade, com grande interesse do ponto de vista

matemático pois tais aplicações permitem estabelecer generalizações (quando, por

exemplo, se constroem aplicações para resolução de equações) permitem

desenvolver o cálculo mental (quando se constroem aplicações de treino) e

permitem também estudar propriedades dos números.

A folha de cálculo permite abordar os assuntos matemáticos utilizando diferentes

formas de representação nomeadamente numérica, visual e algébrica

proporcionando ainda uma ligação natural entre elas. A visualização e a

manipulação concreta de conceitos abstratos pode ser realçada com auxílio da folha

de cálculo, que potencia a construção do conhecimento matemático.

A metodologia associada ao desenvolvimento das aplicações não se restringe única

e exclusivamente ao manuseamento informático, mas passa pelo estabelecimento

prévio das formulações matemáticas. A componente associada à simulação

computacional implica organização e aplicação dos saberes matemáticos a

situações novas. Mas, em muitas situações, obriga a um “novo olhar” sobre os

assuntos por forma a que seja facilitada a implementação computacional.

A possibilidade de usar a mesma abordagem em todos os níveis de ensino, desde o

básico ao superior, constitui uma enorme vantagem pois permite aprofundar os

conhecimentos matemáticos/informáticos e reutilizá-los nas mais diversas

situações. O gasto inicial de tempo é compensado posteriormente.

No manual interativo

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=27 são apresentados textos

com aplicações computacionais dinâmicas e interativas, elaborados pela autora da presente

dissertação que servirão para complementar a leitura do tópico 3.4 relativo ao estudo de funções.

No manual são tratadas as funções racionais e irracionais (11º ano de escolaridade) bem como as

funções exponencial e logarítmica (12º ano).


137

4 4 DA MODELAÇÃO MATEMÁTICA À

SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL


A modelação matemática é um assunto de especial importância no processo de

ensino/aprendizagem da matemática. Fornece aos alunos experiências valiosas que

mostram como os conceitos matemáticos podem ser úteis para uma melhor

compreensão do mundo físico. A matemática estando profundamente relacionada com diversas

áreas do conhecimento pode funcionar como uma "força unificadora" (Borwein, 2000).

Neste capítulo apresenta-se uma sequência de exemplos de aplicação da matemática ao

estudo de fenómenos físicos. Em cada exemplo começa-se por expor o fenómeno físico

salientando a importância da observação e o conhecimento das leis físicas fundamentais

envolvidas. Com base nestas leis estabelecem-se as equações que descrevem matematicamente

os fenómenos em estudo.

Dedica-se um especial cuidado ao uso de diversas representações para ilustrar as ideias

envolvidas bem como à escolha das notações utilizadas e à representação gráfica das principais

138

grandezas nomeadamente forças e deslocamentos. Desta forma pretende-se mostrar o interesse

didático do processo que nos permite partir da observação dos fenómenos e com base em

considerações físicas, estabelecer as equações que os descrevem matematicamente. Salienta-se

que na generalidade dos casos a compreensão completa dos fenómenos é conseguida recorrendo

à formulação matemática.

Pretende-se mostrar que a perspetiva de estabelecer a formulação matemática adequada para

a sua implementação computacional conduz a uma compreensão mais profunda do problema em

estudo. Por esta razão o desenvolvimento matemático feito em cada um dos exemplos é

apresentado com detalhe para salientar a diferença de abordagem entre uma formulação

convencional apresentada em livros de matemática e uma formulação construtivista adequada à

implementação computacional. Neste caso, como se verá, existem pormenores de escrita

matemática cujo interesse só se descobre quando a intenção é desenvolver uma aplicação

computacional. Quando estes pormenores são evidenciados no momento em que se programa

uma dada formulação, atinge-se, em geral, uma compreensão mais profunda e mais abrangente

da matemática envolvida e do próprio fenómeno em estudo. Assim, opta-se por escrever com

detalhe as formulações não porque elas não possam ser encontradas em muitos livros de texto

mas porque é na própria reescrita que se vai delineando o caminho para a posterior

implementação computacional. Não perdendo de vista que o objetivo final é o de simular os

fenómenos físicos, numa folha de cálculo, a formulação matemática ganha um significado mais

amplo, na medida em que é necessário um esforço contínuo de antevisão do que se pretende

simular para que todo o investimento que se faça ao nível do estabelecimento das equações seja

útil e passível de implementar computacionalmente.

Os exemplos escolhidos envolvem diversos tópicos da matemática desde o ensino

secundário ao superior, tais como trigonometria, funções e cálculo diferencial e integral, análise

vetorial, séries, transformadas de Fourier, análise complexa, geometria no espaço, álgebra

matricial, equações diferenciais ordinárias e com derivadas parciais e métodos numéricos para

resolução de equações diferenciais.

Mostra-se que estes tópicos podem surgir interligados em estudos que envolvam modelação

matemática de um dado fenómeno físico como por exemplo o movimento oscilatório de um

pêndulo, o movimento oscilatório de um edifício de vários pisos ou a deformação elástica de

uma barragem sob a ação de forças exteriores.

Após a observação dos fenómenos físicos e subsequente formulação das hipóteses iniciais, a

linguagem matemática é usada na escrita dos modelos que descrevem os referidos fenómenos.

Em seguida podem ser utilizados métodos numéricos e ferramentas computacionais como o

Excel (Benacka, 2007) para obter resultados sob a forma numérica e gráfica, resolvendo as

equações estabelecidas e, por fim, comparam-se os resultados obtidos com os resultados

observados.

Em todos os casos apresentados utiliza-se uma folha de cálculo como plataforma

computacional para programar as equações obtidas com vista a obter soluções numéricas e

139

representações gráficas sugestivas, utilizando programação por objetos (VBA - Visual Basic for

Applications, do Excel). Utilizam-se objetos pré-programados como a barra de deslocamento e o

botão de comando, para obter aplicações interativas e animações que facilitam a realização de

estudos paramétricos.

Desde o primeiro exemplo que envolve parábolas e catenárias as quais são apresentadas

como formas estruturais que se utilizam em pontes e em grandes estruturas de pedra como é o

caso de algumas catedrais (Sagrada Família em Barcelona) até ao último exemplo que envolve a

resolução numérica de equações diferenciais com derivadas parciais recorrendo a um dos mais

poderosos métodos utilizados para resolução deste tipo de equações, que é o método dos

elementos finitos (estudado ao nível de cursos de mestrado e doutoramento em cursos de

matemática computacional ou em engenharia mecânica, civil e aeroespacial), que o valor

didático do Excel é salientado através da descrição detalhada da estrutura concebida para

implementação de cada exemplo.

4.2 Parábolas e Projéteis

O trabalho que irá ser apresentado neste subcapítulo foi desenvolvido e implementado com

alunos do ensino secundário tendo culminado com a elaboração de posters. Os resultados foram

apresentado no congresso “Didactics of Mathematics as a Mathematical Discipline” que se

realizou em outubro de 2009 na Universidade da Madeira, Funchal. A apresentação intitulada

“From mathematical modelling to computational simulation” focou essencialmente os aspetos

matemáticos que estão na base do desenvolvimento de simulações computacionais relacionadas

com a distinção dos fenómenos físicos da queda dos graves e lançamento de projéteis.

O fenómeno da queda dos graves despertou a atenção dos filósofos da antiguidade que

procuraram descobrir algumas das suas características. O grande filósofo Aristóteles (300 a.C.)

pensava que a velocidade de queda de um corpo era proporcional ao seu peso. Acreditava que a

queda não se processava em movimento uniforme porque o ar, ao preencher o vazio deixado

pelo corpo na sua deslocação, produzia a sua aceleração.

Galileu (1564 – 1642) impôs a experimentação como método de trabalho na análise dos

fenómenos físicos e, através de experiências engenhosas, destruiu as falsas ideias que vigoravam

até então sobre a queda dos graves. Contrariamente a Aristóteles, Galileu não viu no ar a causa

do movimento mas sim um fator perturbador. Conta-se que teria atirado da torre de Pisa, ao

mesmo tempo, esferas de pesos diferentes, mas todas de densidade elevada para reduzir a

resistência do ar, e que teria verificado que todas elas chegavam ao solo em simultâneo. Mas foi

através da utilização de um plano inclinado que realizou as experiências que lhe permitiram

formular as suas conclusões. De facto, à data, os meios de medição não permitiam medir os

intervalos de tempo muito curtos correspondentes à duração da queda livre e o plano inclinado

permitia retardar a queda. Verificou, fazendo variar a inclinação do plano, que as suas

140

conclusões se mantinham, pelo que elas se podiam estender à queda livre, embora nesse caso a

aceleração fosse mais elevada.

Quando se deixa cair uma bola, ou quando uma bola é lançada ao cesto, que características

têm os movimentos?

Uma bola largada de uma certa altura descreve uma trajetória retilínea (Figura 4.1). A partir

do momento em que é largada (instante t=0), a altura a que ela se encontra relativamente ao solo

decresce até ao momento em que ela o atinge (altura=0). Construindo o gráfico que representa a

altura da pedra relativamente ao solo em função do tempo, verifica-se que este é,

aproximadamente, uma parábola.

Figura 4.1 – Bola a cair. Trajetória retilínea.

Quando uma bola é lançada ao cesto, descreve uma trajetória que se identifica com uma

parábola (Figura 4.2)

Figura 4.2 – Lançamento de uma bola ao cesto. Trajetória parabólica.

Os dois fenómenos físicos apresentados têm em comum o facto de ambos estarem

relacionadas com parábolas e consequentemente com a função quadrática. São ambos objeto de

141

estudo no ensino secundário mas nem sempre é claro para os alunos a diferença entre eles

chegando a haver confusões entre as trajetórias e os gráficos altura/tempo.

O estudo detalhado da função quadrática constitui um tópico do tema Funções e Gráficos a

lecionar no 10º ano. Neste tema recomenda-se a exploração gráfica de famílias de funções

quadráticas (ver 3.4.3), a sua associação a transformações dos respetivos gráficos e à modelação

de fenómenos físicos.

Usando módulos interativos e dinâmicos, devidamente programados pelos alunos, é possível

seguir o caminho que levou à descoberta das leis do movimento da queda e ascensão dos corpos,

exemplificando situações concretas de modelação matemática em que o conceito de derivada

desempenha um papel fundamental.

Vai-se ainda redescobrir as leis do movimento de uma bola quando lançada ao cesto,

constatando a importância do estudo do cálculo vetorial bem como a composição de funções,

uma função linear e uma função quadrática.

Lançamento de um projétil na vertical 4.2.1

Desprezando a resistência do ar, um corpo em movimento ascendente, ou em queda livre,

está apenas sujeito à acão da força gravítica que a Terra exerce sobre ele. Neste movimento, a

aceleração adquirida é constante.

Durante a subida, um corpo está animado de movimento retilíneo uniformemente retardado,

(porque a velocidade e a aceleração são vetores que têm sentidos opostos) e durante a queda está

animado de movimento retilíneo uniformemente acelerado (porque a velocidade e a aceleração

são vetores que apontam no mesmo sentido).

Na Figura 4.3 apresentam-se, do lado esquerdo, duas fotografias estroboscópicas do

lançamento vertical de uma bola (de uma altura de 0,54m e uma velocidade inicial de 4,6m/s),

contendo “flashes” que se sucedem em intervalos de 1/30 segundos (a bola sobe e naturalmente

desce) e do lado direito a representação numa folha de cálculo do resultado da justaposição de

uma sequência de fotografias num eixo horizontal de acordo com uma escala adequada de tempo

(neste caso 1/30 segundos). Esta representação dá a perceção do gráfico que iremos obter para a

função que traduz a altura a que se encontra a bola em função do tempo, uma parábola.

142

APLICAÇÃO 38: Lançamento de uma bola na vertical.

Figura 4.3 – Fotografias estroboscópicas do lançamento de uma bola na vertical.


A representação na folha de cálculo permite complementar este conjunto, com a construção

de um gráfico de uma função quadrática (escrita na forma canónica) e a introdução de barras de

deslocamento para a variação dos seus parâmetros. Inserindo este gráfico no referencial que

contem a sequência de fotografias, é possível realizar experiências para descobrir os parâmetros

da função quadrática que melhor se ajusta à sequência de fotografias.

Na Figura 4.4 apresenta-se a aplicação com a funcionalidade incorporada. A função que

melhor se ajusta ao conjunto de pontos é 2f (x) 4,9x 4,6x 0,54 . A implementação

computacional (já apresentada em 3.4.3) segue os procedimentos usuais.

APLICAÇÃO 39: Ajuste dos pontos por uma parábola.

Figura 4.4 – Ajuste dos pontos por uma parábola.


143

Calculando a primeira derivada e a segunda derivada da função f, obtém-se

f´(x) = -9,8 x + 4,6 e f´´(x) = -9,8. A partir da expressão da função derivada pode-se concluir

que o movimento do projétil tem velocidade inicial f´(0) = 4,6 m/s e a partir da segunda derivada

que a aceleração é constante.

Esta experiência conduz à formalização da expressão analítica da função que traduz, em

cada instante, a altura a que se encontra o projétil se lançado a partir de uma altura y0. Mais

precisamente, e no caso de o movimento se realizar na Terra, para uma determinada velocidade

inicial v0, a função que melhor se ajusta às posições exprime-se analiticamente por

y(t) = -1/2gt2

+ v0t + y0 em que g = 9,8m/s2 é a aceleração da gravidade terrestre. Se v0 = 0, esta

expressão traduz em cada instante a altura a que se encontra um projétil em queda livre a partir

de uma altura y0. Se o projétil for lançado a partir do solo, a expressão analítica toma a forma

y(t) = -(1/2) gt2 + v0t.

Numa folha de Excel, e uma vez obtida a expressão y(t) = -(1/2) gt2 + v0t + y0, que traduz,

em cada instante a altura de um projétil lançado de uma altura y0 com velocidade inicial v0,

podem simular-se lançamentos de diferentes alturas, com diferentes velocidades iniciais e em

locais fora da Terra introduzindo barras de deslocamento que permitem fazer variar os valores de

y0, v0 e g (Figura 4.5)

APLICAÇÃO 40: Lançamento de um projétil

Figura 4.5 – Interface da aplicação projetil.xls.


A Figura 4.6 apresenta os resultados da utilização da aplicação anterior, no caso A, para

diferentes valores de velocidade inicial e, no caso B, para diferentes alturas iniciais.


144

A B

Figura 4.6 – Resultados da aplicação projetil.xls

Na Figura 4.7 ilustram-se os gráficos da primeira e segunda derivadas y’(t) = -9,8 t + v0 e

y’’(t) = -9,8, que permitem confirmar tratar-se de um movimento com aceleração constante. No

que diz respeito à segunda derivada (ver aplicação) todos os gráficos coincidem, sendo retas

paralelas ao eixo das abcissas passando pelo ponto (0; –9,8).

Figura 4.7 – Gráficos tempo-velocidade e tempo-aceleração para diferentes velocidades iniciais.

http://temp.comyunit.com/matematica/uploadedfiles/files/pedra_ap3_v4_abril.xls

145

Suponhamos que, na superfície terrestre, um projétil é lançado do solo com velocidade

inicial v0 = 49 m/s. Neste caso a altura a que o projétil se encontra em cada instante é dada por

y(t) = - 4,9 t2

+ 49 t. O gráfico tempo altura é uma parábola que, neste caso, é simétrica em

relação à reta t = 5, pelo que o tempo de subida e o tempo de descida são ambos iguais a 5

segundos (Figura 4.8).

Figura 4.8 – Gráfico altura-tempo.

Observando o gráfico da correspondente função derivada, verifica-se que a velocidade de

chegada é igual, em grandeza, à velocidade inicial.

Fazendo variar a velocidade inicial à custa da correspondente barra de deslocamento,

continua-se a verificar que o tempo de subida é igual ao tempo de descida e que a velocidade

com que o projétil atinge o solo é igual em grandeza à velocidade inicial. Esta sequência de

experiências permite conjeturar se, desprezando o atrito, o tempo de subida de um projétil é igual

ao tempo de descida e se a velocidade inicial é igual à velocidade de chegada ao solo.

Com efeito, o tempo de subida tem que ser igual ao tempo de descida porque todos os

gráficos tempo-altura são segmentos de parábolas cujos vértices têm como abcissa o instante em

que a velocidade se anula.

No que respeita às velocidades, todos os gráficos tempo-altura são segmentos de reta cujo

ponto médio tem coordenadas (tv,0) em que tv é o instante em que o projétil atinge a altura

máxima, pelo que as ordenadas dos seus extremos, que traduzem a velocidade inicial e a

velocidade de chegada ao solo, são iguais em grandeza e com sinais contrários.

Esta análise pode ser feita de um ponto exclusivamente analítico, determinando os instantes

em que y(t) = -(1/2) gt2 + v0t = 0. Obtém-se t=0 e t= 2v0/g.

146

No instante da chegada 02vt

g a velocidade é 0

0 0

2vv(t) g v v

g

Confirma-se assim que a velocidade de chegada é igual à velocidade inicial mas de sinal

contrário.

Lançamento de uma bola de basquetebol 4.2.2

Galileu foi provavelmente o primeiro a perceber que o movimento de um projétil, lançado

para o ar numa direção oblíqua relativamente à horizontal podia ser imaginado como dois

movimentos independentes e simultâneos:

- Movimento horizontal (idealmente de velocidade constante); e

- Movimento vertical gravítico (idealmente com aceleração constante).

Considere-se um objeto como por exemplo uma bola de basquetebol lançada em direção ao

cesto. Em cada momento, o vetor velocidade pode ser decomposto em duas componentes

perpendiculares. O movimento faz-se como se fosse composto por dois movimentos simultâneos

separados x yv v v (Hecht, 2000).

Numa primeira etapa os alunos devem desenhar um esquema para observar o movimento da

bola, de tal forma que consigam visualizar que a componente horizontal do vetor velocidade é

constante (Figura 4.9).

Figura 4.9- A componente horizontal do vetor velocidade é constante.

A partir da observação do fenómeno físico é possível estabelecer duas equações.

A primeira corresponde ao movimento horizontal

147

0x 0

dxv , t 0 x(0)=x

dt (4.1)

A segunda refere-se ao movimento vertical

2

0 0y2

d yg , t 0 y(0)=y e y(0)=v

dt (4.2)

A solução das duas equações é a seguinte

0x 0

2

0y 0

x(t) v t x

1y(t) gt v t y

2

(4.3)

A partir daqui é relativamente simples desenvolver uma aplicação computacional que simule

o lançamento da bola ao cesto dada a velocidade inicial v0 e o ângulo α formado pelos braços do

jogador e a com a direção horizontal. O movimento é composto por dois movimentos

independentes, um vertical com velocidade inicial 0y 0v v sin( ) e outro horizontal com

velocidade inicial 0x 0v v cos( ) .

Figura 4.10 – Simulação do lançamento de uma bola ao cesto.

A simulação de uma bala de canhão é em tudo semelhante ao lançamento da bola ao cesto

(Figura 4.11). O desafio de construir uma aplicação em Excel para simular o lançamento de uma

bala a partir de uma plataforma, constitui uma excelente oportunidade para os alunos usarem os

seus conhecimentos matemáticos e físicos. Usando barras de deslocamento ajustam os

parâmetros a diversas situações, e clicando no botão “Animação” visualizam a trajetória da bala.

148

APLICAÇÃO 41: Lançamento de uma bala de canhão

Figura 4.11 – Simulação do lançamento de uma bala de canhão.


Este tópico foi desenvolvido com alunos do 12º ano que elaboraram o seguinte poster-resumo.

Figura 4.12 – Poster: Funções quadráticas e o estudo do movimento de projéteis.


149

4.3 Parábola ou catenária?

A curva obtida quando um cabo é suspenso por dois pontos, chamou a atenção de muitos

estudiosos por volta de 1625. O problema de encontrar a equação que representa essa curva pode

ser considerado um dos mais famosos e difíceis problemas do cálculo. Tal problema foi

abordado, entre outros, por Leonardo da Vinci e por Galileu, que acreditavam que essa curva era

uma parábola.

Figura 4.13 - Corrente suspensa.

O problema do cabo suspenso não é um problema puramente matemático, porque envolve

aspetos mecânicos. Foi lançado oficialmente para a comunidade matemática em maio de 1690 no

Acta eruditorum, jornal fundado por Leibniz. No jornal, Jakob Bernoulli (1654-1705) desafiou a

comunidade científica propondo um concurso para encontrar a forma da corrente suspensa.

Foram precisos mais de cinquenta anos para a solução ser encontrada e ser comunicada

oficialmente pelo irmão de Jakob, Johann Bernoulli, motivo que teria contribuído para aumentar

a tão conhecida rivalidade entre eles. Numa carta escrita por Johann a um amigo refere que “...

Os esforços do meu irmão foram inúteis. Quanto a mim, fui mais feliz, pois encontrara a

habilidade (e digo isto sem me gabar, por que deveria esconder a verdade?) para resolvê-lo

inteiramente... Na manhã seguinte, cheio de alegria, fui encontrar o meu irmão, que ainda

lutava miseravelmente com esse nó górdio, sem chegar a parte alguma, sempre achando, como

Galileu, que a catenária era uma parábola. Pare! Pare! Disse-lhe, não se torture mais tentando

provar a identidade da catenária com a parábola porque ela é inteiramente falsa.”

A descoberta da equação da catenária pode ser considerada como um dos maiores feitos da

história do cálculo. Além de Johann Bernoulli, Leibniz e Huygens também resolveram o

problema. A palavra catenária tem origem na palavra latina catena que significa cadeia e foi

batizada por Leibniz.

Equilíbrio de cabos suspensos 4.3.1

Os cabos são elementos estruturais que resistem apenas a tensões de tração. Quando

suspensos em dois pontos fixos e sujeitos à ação do seu próprio peso deformam-se formando

150

uma curva conhecida como catenária. No entanto, e como foi demonstrado por Galileu, quando

os cabos sustêm o peso de um tabuleiro, tomam a forma de uma parábola.

Durante muito tempo as curvas catenárias foram confundidas com as parábolas devido à

notória semelhança geométrica destes dois tipos de curvas. Matematicamente a curva “catenária”

foi determinada em 1691, independentemente, pelos matemáticos Leibniz, Huygens e Johann

Bernoulli, em resposta a um repto lançado por Jacob Bernoulli (irmão e rival de Johann), para

determinar, exatamente, a forma de um cabo suspenso entre dois pontos (sob a ação do peso

próprio): estes trabalhos constituíram, na altura, uma das primeiras aplicações do cálculo

diferencial e integral.

Em engenharia, a curva catenária é uma forma geométrica que surge em muitas obras de

alvenaria. Dado que a alvenaria resiste à compressão, contrariamente aos cabos que só resistem à

tração, verifica-se que a deformada de um cabo (catenária), corresponde à forma ideal de um

arco de alvenaria, mas na posição invertida. Gaudi, o famoso arquiteto/engenheiro catalão, usou

esta ideia para projetar algumas das suas famosas obras, como é o caso da catedral da Sagrada

Família em Barcelona (ainda em construção!). Durante a fase de Projeto da Sagrada Família,

Gaudi construiu modelos físicos de cabos suspensos, com pequenos pesos devidamente

distribuídos para representar adequadamente (a uma escala reduzida) o peso da alvenaria de

pedra dos arcos que suportam as abóbadas da catedral.

Figura 4.14 - Cabo suspenso e desenho de um arco de alvenaria invertido com a forma do cabo (catenária).

Arcos catenários em alvenaria (material que resiste à compressão).

Esta dicotomia, parábola versus catenária, pode ser explorada numa cadeira de cálculo de

um curso de Matemática, Engenharia ou Física e proporciona o desenvolvimento de um processo

de modelação que pode ser complementado com a construção de um módulo interativo.

Pretende-se determinar a função que traduz a forma dos arcos descritos por um cabo

suspenso:

i) Sujeito à ação do peso do tabuleiro;

ii) Sujeito à ação de um peso próprio.

151

Para obter uma verdadeira compreensão do problema é vantajoso utilizar diferentes

representações do fenómeno em estudo. Neste caso, é útil começar por fazer uma representação

gráfica indicando, de uma forma esquemática, as forças envolvidas no equilíbrio de um troço de

cabo.

Salienta-se a importância da abordagem assente na experimentação matemática.

Inicia-se o estudo pela observação de algumas obras de arquitetura e da posterior análise da

forma das curvas que surgem. Em seguida opta-se pela representação esquemática das curvas e

da indicação de todos os elementos que virão a ser essenciais para o estudo posterior. Esta fase é

de grande importância pois é necessário utilizar conhecimentos de Física que, embora

elementares, constituem o verdadeiro ponto de partida para o estabelecimento das equações. De

facto, o estabelecimento da equação diferencial resulta do facto de, quando um troço de cabo se

encontra em equilíbrio o somatório das forças envolvidas é nulo.

Para encorajar os alunos a explorar este problema apresenta-se uma tabela (Figura 4.15)

contendo a informação necessária para a compreensão global do problema, realçando as

semelhanças e diferenças entre as duas situações e mostrando os passos do processo de

observação - modelação - simulação computacional. Esta fase, que engloba a compreensão do

problema, deve ser devidamente enquadrada historicamente para que os alunos possam apreciar

o verdadeiro trabalho dos matemáticos e a sua evolução ao longo dos tempos.

Posteriormente apresentam-se todos os processos de cálculo. É de salientar a importância de

resumir numa tabela as principais etapas, na perspetiva de que os alunos (do ensino superior)

possam observar as diferentes representações do mesmo fenómeno e passar de uma

representação para outra. Finalmente a fase em que se implementa computacionalmente numa

folha de cálculo o modelo obtido é fundamental para que seja possível realizar experiências e se

possam efetuar comparações com o modelo teórico.

152

CABO DE UMA PONTE SUSPENSA

PARÁBOLA

CORRENTE DE PROTEÇÃO

CATENÁRIA

Equilíbrio de forças. Representação gráfica

Equilíbrio de forças. Equação diferencial

0

dy px

dx F

Solução geral:

2

0

py(x) x C

2F

22

2

0

d y p dy1

dx F dx

Solução geral:

kx kx

0

py(x) a.e b.e c , k

F

Figura 4.15 – Parábolas e catenárias. Da observação à modelação.

L

x2L 2

-

y

0

p.x

sF0

F(x)

x Peso

x

Peso

p (kN/m)

desprezável

y = y(x)

L

x2L 2

-

y

0

p.s

sF0

F(x)

x

ds

dx

dy

x

y = y(x)

Peso

p (kN/m)

153

Equilíbrio de forças e estabelecimento da equação de um cabo suspenso sob a ação 4.3.2

do peso de um tabuleiro

O equilíbrio de um cabo suspenso sob a ação do peso de um tabuleiro pode ser estudado

com base na seguinte representação gráfica onde se mostram as forças envolvidas no equilíbrio

de um troço de cabo, de comprimento s, em que uma das extremidades é coincidente com o

ponto de flecha máxima (no ponto de flecha máxima a força de tração no cabo assume o valor

mínimo, F0 neste caso).

Figura 4.16 - Equilíbrio de forças num troço de um cabo suspenso sob a ação do peso de um

tabuleiro.

F0 - Força de tração horizontal na extremidade correspondente ao ponto de flecha máxima

(x=0);

F = F(x) - Força de tração na extremidade direita do troço (ponto de abcissa x): força com a

direção da tangente ao cabo;

P = p.x - Força correspondente ao peso do troço de cabo de comprimento s (p representa o

peso do cabo por unidade de comprimento). É usual admitir que p é positivo quando o seu

sentido é contrário ao sentido positivo do eixo y.

Para garantir que o troço de cabo indicado está em equilíbrio basta ter em conta que os

somatórios das forças verticais e das forças horizontais são ambos nulos, ou seja

VF 0 F.sen p.x (4.4)

H 0F 0 F.cos F (4.5)

L

x2L 2-

y

0

p.x

sF0

F(x)

x Peso

x

Peso

p (kN/m)

desprezável

y = y(x)

154

Dividindo membro a membro as duas equações anteriores obtém-se uma única equação que

traduz o equilíbrio do troço de cabo em análise

0

p.xtan

F (4.6)

em que tan representa o declive da reta tangente ao cabo no ponto da extremidade direita do

troço em análise (ponto com abcissa x).

Assim, pode-se concluir que o equilíbrio do troço de cabo em análise pode ser traduzido

pela seguinte equação diferencial

0

dy p.x

dx F (4.7)

cuja solução geral é a seguinte (integração direta)

2

0

py(x) x C

2F (4.8)

Para obter a solução particular há que ter em conta a condição

L

y 02

(4.9)

a partir das quais se obtêm os valores das constantes de integração

2

0

pLC

8F

e assim pode-se finalmente escrever a solução particular na forma

2

2

0 0

p pLy(x) x

2F 8F (4.10)

o que confirma que os cabos de uma ponte de suspensão (caso da ponte 25 de abril) assumem a

forma parabólica.

Equilíbrio de forças e estabelecimento de um cabo suspenso sob a ação do seu 4.3.3

próprio peso

O equilíbrio de um cabo suspenso sob a ação do peso próprio pode ser estudado com base na

seguinte representação gráfica onde se mostram as forças envolvidas no equilíbrio de um troço

de cabo, de comprimento s, em que uma das extremidades é coincidente com o ponto de flecha

155

máxima (no ponto de flecha máxima a força de tração no cabo assume o valor mínimo, F0 neste

caso).

Figura 4.17 - Equilíbrio de forças num troço de um cabo suspenso sob a ação do seu peso.

Neste caso a força correspondente ao peso do troço de cabo de comprimento s é dada por p.s.

O equilíbrio do troço de cabo em análise pode ser traduzido pela equação diferencial

0

dy p.s

dx F (4.11)

que pode ser escrita apenas em função das derivadas de y = y(x). De facto dado que

2ds dy

1dx dx

(4.12)

derivando equação (4.11) em ordem a x obtém-se

2

2

0

d y p ds

dx F dx (4.13)

e substituindo ds/dx pela expressão (4.12), obtém-se a equação diferencial que descreve o

comportamento de cabos suspensos sob a ação do seu peso p (em que p representa o peso por

metro de cabo [kN/m]).

L

x2L 2

-

y

0

p.s

sF0

F(x)

x

ds

dx

dy

x

y = y(x)

Peso

p (kN/m)

156

22

2

0

d y p dy1

dx F dx

(4.14)

Derivando ambos os membros da equação anterior em ordem a x fica

23

3

0

d y p d dy. 1

dx F dx dx

(4.15)

O problema resume-se agora a calcular a derivada que surge no 2º membro, que é dada por

0

1 12 2 22 2

2 20 0

p ds

F dx

ds

dx

d dy 1 dy dy d y 1 dy p ds dy p1 1 . 2 . . . .

dx dx 2 dx dx dx dx F dx dx Fdy1

dx

(4.16)

Desta forma a equação (4.15) pode ser escrita na forma

3

3

0 0

d y p dy p. .

dx F dx F

(4.17)

ou seja

23

3

0

d y p dy0

dx F dx

(4.18)

ou ainda

3

2

3

0

d y dy pk 0 , k

dx dx F (4.19)

o que mostra que o equilíbrio de um cabo suspenso sob a ação do seu próprio peso pode ser

descrito matematicamente por uma equação diferencial linear homogénea de 3ª ordem.

Para resolvermos esta equação pode-se começar por admitir, por simplificação, que o

coeficiente k = p/F0 é unitário. Neste caso a equação toma a forma

3

3

d y dy0

dx dx (4.20)

157

Uma vez que se trata de uma equação diferencial linear homogénea de 3ª ordem a sua

solução geral deverá corresponder à combinação linear de três soluções particulares linearmente

independentes: procuramos funções y = y(x) tais que a diferença entre a sua terceira derivada e a

primeira derivada seja nula. A função exponencial y = ex é solução da equação anterior e o

mesmo acontece com a função y = e-x

e a função constante y = 1.

Assim, a solução geral é da forma

x xy(x) a.e b.e c , com a,b e c constantes reais (4.21)

Para o caso geral em que p/F0 corresponde a um coeficiente k não unitário a equação pode

ser escrita na já referida forma geral

32

3

d y dyk 0

dx dx (4.22)

Neste caso há que procurar funções do tipo xy e que sejam solução da equação anterior.

Como

xdy.e

dx

22 x

2

d y.e

dx

33 x

3

d y.e

dx

substituindo em (4.22) obtém-se

3 x 2 xe k .e 0 (4.23)

Isto é

3 2 xk .e 0 (4.24)

ou ainda

3 2 2 2k 0 k . 0 k k 0 (4.25)

Assim as funçõeskxy e ,

kxy e e y 1 são três possíveis soluções de (4.20) e a solução

geral de (4.20) é da forma

kx kxy(x) a.e b.e c , com a,b e c constantes reais (4.26)

A determinação da solução particular para o caso de um cabo suspenso em dois pontos à

mesma cota (catenária simétrica) requer que sejam utilizadas três condições de fronteira que,

para o sistema de referência apresentado na figura anterior (flecha máxima no ponto de abcissa

x=0), podem ser as seguintes

x 0

dy0

dx

2

2

x 0

d yk

dx

Ly 0

2

158

Com base nestas três condições pode-se determinar o valor das constantes a, b e c como se

mostra de seguida

x 0

22 2

2

x 0

L L L Lk k k k

2 2 2 2

dy0 a.k b.k 0 a b

dx 1a b

2.kd yk a.k b.k k k. a b 1

dx

L 1y 0 a.e a.e c 0 e e c 0

2 2.k

Assim a solução particular para as condições de fronteira referidas

L L

k kkx kx 2 2

1 1 1y(x) e e e e

2.k 2.k 2.k

(4.27)

ou

1 L

y(x) cosh k.x cosh kk 2

(4.28)

Para o caso mais geral de um cabo suspenso em dois pontos a cotas diferentes (catenária

assimétrica) a determinação da solução particular, ou seja, a determinação das três constantes a,

b e c que figuram na solução geral dada na forma

kx kxy(x) a.e b.e c (4.29)

requer que sejam utilizadas novamente três condições de fronteira em que uma delas é

tomada no ponto de flecha máxima cuja posição x=LM é agora desconhecida. Assim, para o

sistema de referência apresentado na figura seguinte (flecha máxima no ponto de abcissa x =

LM), devemos adotar uma quarta condição por forma a determinarmos a posição do ponto de

flecha máxima (x=LM)

y 0 0 y L H

Mx L

dy0

dx

M

2

2

x L

d yk

dx

159

Figura 4.18 - Catenária assimétrica

Com base nas quatro condições anteriores determina-se o valor de LM e das constantes a, b

e c

M M

M

M M

M

kL kL

kL kL

x L

2kL kL2 2

2

x L

y 0 0 a b c 0

y L H a.e b.e c H

dy0 a.k.e b.k.e 0

dx

d yk a.k .e b.k .e k

dx

Obtendo-se

2 2 kL kL

M kL

k.H k .H (e 1).(e 1)1L . ln

k (e 1)

e

M

M

kL

kL

M

1a .e

2k

1b .e

2k

1a .cosh(k.L )

k

L

x

y

y = y(x)

0M

H

L

160

Implementação computacional 4.3.4

Na folha de cálculo

No Excel a visualização das soluções particulares da equação diferencial que descreve o

equilíbrio dos cabos suspensos, assume uma grande simplicidade pois basta reservar algumas

células para os dados e em seguida definir uma tabela com os valores de (x,f(x)) e contruir o

respetivo gráfico.

Em seguida fazem-se os estudos paramétricos por forma a atribuir significado geométrico

aos parâmetros envolvidos (Figura 4.19).

APLICAÇÃO 42: Catenária assimétrica

Figura 4.19 – Representação gráfica de uma catenária assimétrica.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/catenarias.html

No Geogebra

É possível criar em geogebra um ambiente propício à experimentação matemática tendo em

conta a potencialidade que este programa tem de inserir imagens. Na Figura 4.20 ilustra-se uma

aplicação (em geogebra) que prevê a utilização de três cursores para aproximar a forma dos

cabos de uma ponte de suspensão por uma parábola. A aplicação encontra-se disponível na

exposição “Formas & Fórmulas” que está em exibição no Museu Nacional de História Natural e

da Ciência da Universidade de Lisboa, desde 2013.


161

Figura 4.20 – Adaptação de uma parábola à forma de um cabo suspenso da ponte 25 de Abril.

Os problemas envolvendo parábolas são muito comuns no ensino secundário, e estão

presentes com frequência em livros de texto e também nos exames nacionais. As catenárias são

por vezes associadas à arte e arquitetura mas, tratando-se de gráficos de funções transcendentes,

o seu estudo está fora do âmbito do ensino pré universitário.

A sequência atrás apresentada é apenas uma proposta que pode ser adaptada ao nível de

ensino que se leciona, mas pretende mostrar todo o caminho que nos leva da observação dos

fenómenos físicos, neste caso os cabos suspenso sob a ação do peso próprio ou não e a partir daí

estabelecer toda a formulação matemática com base em princípios físicos, terminando com a

utilização das tecnologias para a construção de simulações computacionais.

162

4.4 Matemática e Astronomia

Se recuarmos à Antiguidade deparamo-nos com os feitos geniais de astrónomos gregos que,

usando geometria elementar, conseguiram determinar as dimensões dos raios da Terra, da Lua e

do Sol.

Também a medição do tempo preocupou os sábios da antiguidade e a associação entre a

Astronomia e a Matemática foi fundamental. Questões como “O que origina a variação da

direção das sombras dos objetos ao longo do dia?” e “Como tirar partido dessa variação para

medir o tempo?” estiveram certamente presentes na invenção do relógio de Sol. Com o

aparecimento dos relógios mecânicos surgiu naturalmente a pergunta “Que relação existe entre

as horas assinaladas por um relógio de Sol e por um relógio mecânico no mesmo local?”

Pretende-se neste ponto mostrar como é que todas estas questões podem ser abordadas em

aulas de matemática, adequando-as a vários níveis de ensino, realçando o poder da matemática

para explicar os fenómenos observáveis da Natureza. A abordagem contempla as três principais

vertentes presentes ao longo deste trabalho, desde a explicação dos fenómenos até à sua

interpretação matemática há ainda a preocupação da implementação computacional como forma

de completar e aprofundar o estudo. Considera-se um tema de excelência para desenvolver nos

alunos a consciência da importância da matemática na interpretação de fenómenos observáveis e

da importância das tecnologias na simulação dos referidos fenómenos. É nesta perspetiva que a

observação da Natureza, a sua matematização e simulação são aspetos que devem merecer

especial atenção em currículos de matemática de todos os níveis de ensino.

Ao longo do presente sub capítulo apresentam-se alguns aspetos teóricos relacionados com o

movimento da Terra em torno do Sol para em seguida mostrar como tirando partido da direção

das sombras se pode medir o tempo recorrendo a relógios de sol. Finalmente apresenta-se, com

algum detalhe, a relação que existe entre as horas assinaladas por um relógio de Sol e por um

relógio mecânico no mesmo local.

Esta abordagem recorre, sempre que possível, a representações gráficas e esquemáticas por

forma a aumentar o grau de compreensão dos alunos nesta matéria e é apoiada com a utilização

de aplicações interativas desenvolvidas numa folha de cálculo. Este tipo de ambiente

proporciona o controlo e exploração de ideias matemáticas e desenvolve a curiosidade por este

tipo de trabalho ligado às novas tecnologias.

Pretende-se mostrar como a conceção de aplicações computacionais interativas e dinâmicas

podem contribuir para esclarecer os conteúdos matemáticos utilizados a par com a interpretação

física dos fenómenos astronómicos. As aplicações referidas ao longo do texto foram construídas

na folha de cálculo encontrando-se disponíveis no site www.matematica-interactiva.com

Na International Conference of Education, Research and Innovation realizada em Madrid

em 2010, foi apresentada uma comunicação intitulada Sundials Mathematics and Astronomy

with a spreadsheet. Nessa comunicação descreve-se o trabalho (que será apresentado em

seguida) desenvolvido sobre o assunto em pormenor (Oliveira, et al., 2010) .

163

Movimento da Terra em torno do Sol 4.4.1

Para se perceberem os movimentos dos astros que se podem observar a partir da Terra

(também ela em movimento), é fundamental recorrer a conhecimentos de Geometria no Espaço.

Sabe-se que a Terra se move em torno do Sol (movimento de translação) de tal modo que o

seu centro descreve uma órbita aproximadamente elíptica de que o centro do Sol é um dos focos.

Dada a pequena excentricidade da referida elipse é possível, para muitos efeitos, supor que se

trata de uma circunferência centrada no Sol e que o movimento é uniforme (Figura 4.21).

Figura 4.21 - Posições da Terra ao longo de um ano: solstícios e equinócios. Vistas em projeção

sobre o plano da órbita.

De uma forma pouco consciente, o homem primitivo ter-se-á apercebido de que o Sol parece

mover-se e que a sua luminosidade varia, alternando períodos de luz com períodos de escuridão.

Também terá associado os dias mais frios a períodos mais curtos de luz e Sol mais baixo, e os

dias mais quentes a períodos mais longos de luminosidade e Sol mais alto.

Muito provavelmente, para o homem primitivo a primeira unidade de tempo usada terá sido

o intervalo decorrido entre o nascer e o pôr-do-Sol. A este intervalo corresponde um período de

luz solar e um período de escuridão entre o pôr e o nascer do Sol. Cada um destes períodos foi

dividido em 12 partes designadas por horas temporárias.

Como os períodos de luz e escuridão variam ao longo do ano, as horas temporárias tinham

duração variável.

Hiparco (cerca de 190-125 a.C.) dividiu o conjunto dos dois períodos em 24 horas iguais

que, mais tarde, foram divididas por Ptolomeu (séc. II) em 60 minutos e estes em 60 segundos.

164

O movimento aparente do Sol resulta do movimento de rotação da terra em torno do seu

eixo. A variação da duração dos períodos de luz resulta do movimento de translação da Terra em

torno do Sol. Neste movimento a Terra mantém o eixo inclinado relativamente ao plano da sua

órbita, que é aproximadamente elíptica, ocupando o centro do Sol um dos focos.

São a inclinação do eixo da Terra relativamente à sua órbita em torno do Sol e a forma

elíptica desta que originam a variação da altura do Sol.

Esfera Celeste

Designa-se por Esfera Celeste uma superfície esférica imaginária com centro coincidente

com o centro da Terra mas de raio muito superior ao raio da Terra. O raio da esfera celeste é tão

grande comparativamente com o raio da Terra que esta pode ser representada por um ponto no

centro da Esfera Celeste.

Um observador na Terra apenas pode ver a parte da esfera celeste que está acima da linha do

horizonte, ou seja metade da esfera celeste. As estrelas, apesar de estarem a diferentes distâncias

da Terra, surgem como pontos de luz “colados” sobre a Esfera Celeste.

Apenas o Sol, que é a única estrela que se pode considerar próxima da Terra, não ocupa uma

posição fixa na esfera Celeste: o Sol parece mover-se ao longo do ano sobre a Esfera Celeste (a

uma velocidade angular de cerca de 1º por dia) sobre uma linha denominada eclíptica a qual está

contida num plano que faz um ângulo =23,5º com o plano do equador Celeste (coincidente com

o plano do equador da Terra).

Na figura seguinte mostra-se em (a) uma representação da Esfera Celeste quando a Terra

está na posição correspondente ao solstício de Inverno: o Sol está abaixo do plano do equador

celeste (hemisfério Norte da Esfera Celeste). Na mesma figura mostra-se em (b) a Esfera Celeste

quando a Terra está no solstício de Verão: agora o Sol situa-se acima do plano do equador

celeste (hemisfério Sul da Esfera Celeste).

(a) Inverno no hemisfério norte

(b)

(b) Verão no hemisfério norte

Figura 4.22 - Posição do Sol na esfera celeste: traçado da eclíptica. Quando é Inverno no hemisfério

norte, o Sol está abaixo do equador celeste (a); quando é Verão, o Sol está acima do equador celeste (b).

165

Na Figura 4.23 está representada a órbita da Terra em torno do Sol. O planeta Terra está

representado em quatro posições ao longo da sua órbita. O plano do equador terrestre está

inclinado cerca de 23,50 relativamente ao plano da órbita da Terra. O ângulo entre o eixo da

Terra e os raios do Sol varia ao longo do ano desde um valor máximo de 90º+ no Solstício de

Inverno até um valor mínimo de 90º- no Solstício de Verão, passando pelo valor médio de 90º

nos Equinócios.

A declinação é a amplitude do ângulo que os raios solares fazem com o equador celeste. O

ângulo de declinação, denominado por d, varia sazonalmente, devido à inclinação da Terra sobre

o seu eixo de rotação. Se a Terra não fosse inclinada sobre o seu eixo de rotação, a declinação

seria sempre 0°. No entanto, a Terra está inclinada 23,45° e o ângulo de declinação varia, mais

ou menos este valor. Apenas nos equinócios da Primavera e Outono é que o ângulo de

declinação é igual a 0°.

Figura 4.23 - O ângulo entre a linha Sol-Terra e o eixo da Terra varia entre 90º- (Verão, no

hemisfério Norte) e 90º+ (Inverno), tomando o valor de 90º nos equinócios.

Sombras e medição do tempo 4.4.2

Um conhecimento profundo da geometria da esfera permite-nos compreender os princípios

da construção de um relógio de sol. Em diferentes dias do ano e durante determinada hora solar,

a sombra de uma estaca vertical não percorre, em geral, ângulos iguais, uma vez que a inclinação

dos raios solares relativamente ao eixo da Terra varia. Na Figura 4.24 pode-se observar o

movimento aparente do Sol no solstício de Verão (arco mais à esquerda), no solstício de Inverno

(arco mais à direita) e nos equinócios da Primavera e do Outono (arco central) num local com a

latitude de Lisboa. No esquema da direita é bem visível a diferença de amplitude dos ângulos

entre os raios solares e o eixo da Terra em cada uma das estações e consequentemente ao longo

do ano.

166

Figura 4.24 - Movimento aparente do Sol observável em Lisboa segundo duas vistas diferentes.

No Pólo Norte um observador vê o Sol mover-se (no respetivo movimento diurno)

aproximadamente em círculos paralelos ao plano horizontal (entre os equinócios de Março e de

Setembro). Neste caso, a sombra projetada por uma estaca vertical varia de comprimento ao

longo do ano, mas o ângulo correspondente a uma hora será exatamente o mesmo, 150.

Figura 4.25 - Movimento aparente do Sol, observável no Pólo Norte.

Imagine-se que a Terra é uma superfície esférica, cujo eixo de rotação passa pelo centro, e

que se encontra parada enquanto o Sol se move de Este para Oeste e um instrumento constituído

por um disco D atravessado por um eixo que lhe é perpendicular, colocado num local O da

superfície terrestre com latitude L.

À medida que o Sol efetua o seu movimento aparente, a sombra do eixo da Terra “cai” no

plano equatorial e move-se 15º por hora (150 = 3600/24). No disco D, se a partir da posição da

sombra quando o Sol passa no meridiano do lugar (meio-dia solar) marcarmos ângulos múltiplos

de 15º, obteremos a marcação das horas do dia. Com efeito, o instrumento constituído pelo disco

e pelo eixo reproduz respetivamente, o plano equatorial e o eixo da Terra, pelo que a sombra do

eixo sobre o disco move-se 15º por hora, independentemente da estação do ano (Figura 4.26).

167

Figura 4.26 - Esquema representativo de um relógio de sol equatorial.

O instrumento constituído pelo disco graduado (mostrador ou quadrante) e pelo eixo

(gnómon, palavra de origem grega que significa “o que indica”) é um relógio de Sol, uma vez

que determina as divisões do dia através do movimento da sombra de um objeto. Trata-se de um

relógio equatorial uma vez que o plano das marcações é paralelo ao plano equatorial.

Se a utilização da sombra de um objeto (estaca ou menir) para ter uma ideia qualitativa do

passar do tempo remonta aos primórdios da humanidade, a marcação das horas levantou muitos

problemas. Com efeito, a sombra de um objeto vertical muda de direção com o passar dos dias, o

que dificultava fazer uma marcação que indicasse a hora solar em qualquer dia do ano. Muitos

séculos passaram até à descoberta da posição do gnómon que permitia fazer essas marcações: o

gnómon deverá ser colocado paralelamente ao eixo da Terra, pelo que deverá fazer com o plano

horizontal um ângulo igual à latitude do lugar a que se destina.

A aplicação arcosdiurnos.xls

As considerações feitas anteriormente são fundamentais para compreender não só o

funcionamento dos relógios de sol como também a sua construção. Realce-se a importância de

recorrer a desenhos e esquemas rigorosos. Para ajudar o desenvolvimento do estudo dos relógios

de sol no âmbito do ensino básico, desenvolveu-se uma aplicação computacional dinâmica e

interativa, numa folha de cálculo.

O programa “arcosdiurnos.xls” elaborado numa folha de cálculo, permite visualizar, numa

determinada latitude (Hemisfério Norte), o movimento aparente do Sol ao longo de um

determinado dia, bem como a sombra (projetada num plano horizontal com a graduação de um

Relógio de Sol) de uma estaca com a direção do eixo da Terra (denominada “gnómon” pelos

antigos gregos).

O programa tem por objetivo facilitar a compreensão da geometria envolvida no

funcionamento de um relógio de Sol, mostrando-se o gnómon devidamente apontado para a

Estrela Polar e o plano horizontal com a respetiva graduação (diferente para cada latitude). As

168

animações propostas mostram que a velocidade angular da sombra não é, em geral, constante ao

longo de um dia solar. Apenas no Pólo Norte a velocidade angular da sombra é constante ao

longo de um dia solar, pois é o único ponto da Terra em que o gnómon (eixo da Terra) fica

perpendicular ao plano horizontal em que se projeta a sombra.

O programa permite igualmente visualizar a variação do comprimento da sombra projetada

no plano horizontal (variação com a hora solar e com o dia do ano) (Figura 4.27)

Com auxílio do programa, o utilizador introduz a latitude pretendida, utilizando a barra de

deslocamento (fazendo variar a latitude de00 até

090 ) ou diretamente. Surgirá o desenho

atualizado para a nova latitude, com a graduação da base do relógio de Sol, de acordo com os

ângulos correspondentes às horas (ao meio dia solar a sombra aponta exatamente para Norte).

Ao lado da barra de deslocamento surge um esquema (em corte) que representa a posição do

gnómon, no local correspondente à latitude escolhida. Repare-se que o gnómon tem sempre a

direção do eixo da Terra.

Em seguida é possível escolher a época do ano em que se pretende visualizar o relógio de

Sol. As posições de Inverno, Primavera, Verão ou Outono, correspondem respetivamente a 00 ,

090 ,0180 e

0270 ; utilizando a respetiva scrollbar o utilizador pode escolher qualquer época do

ano. Para uma dada latitude a posição do Sol nascente varia ao longo do ano o que pode ser

visualizado facilmente com esta opção. Do lado direito da “Época do ano” surge um esquema

(vista de cima) que representa a posição da Terra correspondente à época do ano escolhida.

O utilizador poderá visualizar que o Sol nasce exatamente a Este, nos Equinócios da

Primavera e Outono e, a Sul ou a Norte do ponto Este, consoante seja Inverno ou Verão

respetivamente.

Após a escolha da latitude e da época do ano, pode-se finalmente visualizar o movimento

aparente do Sol ao longo de um dia, optando pelo botão de “Animação” ou usando o Scrollbar

em que o arco diurno do Sol vai surgindo no ecrã.

É ainda possível visualizar um esquema que representa o plano horizontal do Relógio de

Sol, com a graduação respetiva dependente da latitude escolhida, e onde se marca o “rasto” da

sombra do gnómon.

Este programa pode ser utilizado em diferentes níveis de ensino, com diferentes propósitos.

Ao nível do ensino básico e secundário para exploração por parte dos alunos. Ao nível do ensino

superior é possível propor aos alunos a construção do programa com vista à aplicação dos

conteúdos matemáticos e sua interligação. A construção deste programa envolve a manipulação

das expressões matemáticas que descrevem os fenómenos observáveis e ainda a aplicação de

conhecimentos da álgebra matricial (apresentados em 3.6).

O programa fez parte da exposição “Medir o Tempo, Medir o Mundo, Medir o Mar” que

esteve em exibição no Museu Nacional da Universidade de Lisboa desde outubro de 2009 até

abril de 2010.

169

APLICAÇÃO 43: Arcos diurnos

Figura 4.27 – Representação visual dos arcos diurnos para uma determinada latitude e época do ano.


Construção de um relógio de sol horizontal

Podem construir-se variantes de relógios de sol, com gnómon paralelo ao eixo da terra,

mudando a posição do plano do mostrador assim como o seu formato.

São muito comuns em Portugal os relógios com mostrador horizontal relógios

horizontais, e os relógios com mostrador vertical relógios verticais. Nestes, uma vez que o

mostrador está inclinado relativamente ao plano do equador, o movimento da sombra não é

uniforme, sendo mais lento em torno do meio-dia. Assim, as marcações não estão igualmente

intervaladas: correspondem às projeções das marcações horárias igualmente intervaladas de um

relógio equatorial com o mesmo gnómon.

Apresenta-se, em seguida, a construção de um relógio horizontal por um processo

geométrico já referenciado em textos do século XVI, determinam-se as marcações de um relógio

de sol, utilizando trigonometria plana e exemplifica-se como este processo pode ser

implementado numa folha de cálculo de forma a permitir o traçado de mostradores para relógios

horizontais em qualquer latitude.

Na Figura 4.28 apresentam-se dois esquemas para auxílio do traçado das marcações de um

relógio de sol horizontal. Para desenhar as marcações de um relógio horizontal num plano ’,

sendo o gnómon implantado no ponto O’ desse plano, considera-se, como auxiliar, um relógio de

Sol equatorial com o mesmo gnómon. Assim, as marcações do relógio equatorial, igualmente


170

intervaladas de 15º, situam-se num plano que faz com ’ um ângulo igual ao complementar da

latitude L do lugar onde se quer construir o relógio de Sol (Figura 4.28(a)).

Rebatendo α sobre α' através de uma rotação de 90º + L, obtém-se um processo geométrico

para a determinação das marcações em α' como se exemplifica na Figura 4.28 (b).

Figura 4.28 - Marcações de um relógio horizontal a partir de um relógio equatorial.

É possível desenvolver com os alunos um trabalho interdisciplinar centrado nas ligações

entre a matemática, astronomia e tecnologia envolvendo várias etapas consoante o nível de

ensino em que os alunos estão inseridos. Pode consultar-se no capítulo 5, no âmbito do

desenvolvimento do trabalho “Relógios de Sol” englobado no Projeto Matemática Dinâmica

(5.2.2), diferentes abordagens que podem ser concretizadas com os alunos ao longo do 3º ciclo.

Tendo como objetivo a construção de um relógio de sol horizontal para a nossa latitude,

apresentam-se duas abordagens concretizadas com os alunos, sendo a primeira adequada para o

7º ano de escolaridade aquando do estudo da geometria plana e a segunda a ser desenvolvida no

9º ano de escolaridade a propósito do estudo das razões trigonométricas. Em ambas estará

sempre presente a ideia de que o conhecimento constrói-se através das experiências realizadas e

da construção dos processos. Existem atualmente disponíveis na Internet, kits prontos a usar,

permitindo, em muito pouco tempo, contruir um relógio de sol, no entanto tais materiais não

acrescentam nada de novo ao conhecimento dos alunos tratando-se apenas de mero trabalho

manual. Os resultados são rápidos e agradáveis mas só aparentemente se pode considerar um

verdadeiro trabalho matemático.

Construção de um relógio de sol horizontal para a nossa latitude. Transferidor, régua e lápis.

Na figura Figura 4.29 apresentam-se os passos necessários para a construção de um relógio

de sol horizontal.

171

1. Colocação do gnómon num relógio de Sol com mos-

trador horizontal. O gnómon corresponde ao cateto do

triângulo retângulo, cujo ângulo é a latitude do lugar.

2.Utilização de uma folha de acetato para materializar

o mostrador de um relógio de Sol Equatorial.

3. Marcação do ponto P, extremidade superior do

gnomo na folha de acetato.

4. Divisão do mostrador equatorial em ângulos de 15o,

com centro em P.

5. Mostrador do relógio de Sol equatorial.

6. Colocação de uma vara metálica para materialização

do gnómon do relógio equatorial.

7. Marcação das linhas horárias no mostrador horizontal

partindo das linhas do mostrador equatorial.

8. Aspeto final do relógio de Sol horizontal

Figura 4.29 – Passos para a construção de um relógio de sol horizontal (latitude de Lisboa).

172

Mostrador de relógios de sol em diferentes latitudes. A folha de cálculo.

Com vista à construção de um relógio de sol para usar num local qualquer, do hemisfério

Norte, é necessário proceder à graduação do seu mostrador para a latitude do lugar. O desafio

que se coloca aos alunos será o de construir uma aplicação em Excel de tal modo que, após a

introdução do valor da latitude de um local, surja o desenho do mostrador com a graduação.

Observando a Figura 4.30 que corresponde à parte b ampliada da Figura 4.28, pode-se

constatar que aquilo que se pretende determinar é exatamente os comprimentos dos segmentos

O'F, O'H, O'J e O'K para determinado valor de L (latitude do lugar).

Plano equatorial (rebatido) Plano horizontal

Figura 4.30 – Graduação num plano equatorial e correspondência com a graduação no plano

horizontal. Vista do plano equatorial após rebatimento para o plano horizontal.

Usando os triângulos retângulos FEO’, FHO e FHO’ e conhecimentos elementares de

trigonometria plana lecionados no 9º ano de escolaridade, temos o seguinte:

Como EO’F = L e FOH = 15º, tem-se que sin L =FO

FO '

tan 15º =FH

FO e tan FO’H =

FH

FO ' =

0FO tan15

FO' isto é tan FO’H = (sin L) (tan 15º).

Analogamente, sendo FOJ = 30º, FOK = 45º, tem-se que

tan FO’J = (sin L) ( tan 30º), tan FO’K = (sin L) ( tan 45º) e assim sucessivamente.

Na Figura 4.31 apresenta-se a interface de uma aplicação desenvolvida pelos alunos de 9º

ano, na folha de cálculo, cujo objetivo consiste no desenho de um mostrador de um relógio de sol

173

para uma latitude qualquer. Para obter o mostrador começa-se por desenhar uma circunferência

e reserva-se uma célula (no exemplo a célula C3) para o valor da latitude. Na coluna E

introduzem-se as amplitudes dos ângulos de 15º em 15º, a começar em 0º. Na coluna F a fórmula

para determinação dos ângulos de um relógio horizontal determinada anteriormente e, nas

colunas G e H, as coordenadas dos extremos dos segmentos de reta (Figura 4.31).

Colocando na célula C3 o valor da latitude do lugar onde se pretende implantar o relógio,

será imediatamente desenhado o mostrador com as marcações horárias.

APLICAÇÃO 44: Mostrador de um relógio de sol

Figura 4.31 - Estrutura da folha de cálculo para desenhar um mostrador de um relógio de Sol

horizontal para qualquer latitude. Neste caso a latitude é 360.


O estudo dos relógios de sol, os seus fundamentos, a construção e o seu funcionamento

constitui uma excelente oportunidade para desenvolver nos alunos uma verdadeira perceção da

importância da matemática para descrever o mundo que nos rodeia mas também da sua

relevância ao longo dos tempos. Complementar este estudo com as tecnologias, desenvolvendo

aplicações dinâmicas para ilustrar os conceitos que vão surgindo, através de múltiplas

representações, é fundamental para uma verdadeira compreensão dos fenómenos.

Sendo inevitável a comparação entre as horas marcadas pelos relógios de sol e os relógios

mecânicos há que desenvolver estratégias para justificar perante os alunos as discrepâncias que

se verificam. No próximo ponto irá apresentar-se a razão de tais discrepâncias.


174

Relação que existe entre as horas assinaladas por um relógio de Sol e por um 4.4.3

relógio mecânico no mesmo local

Comparando a hora de um relógio de sol com a hora dos nossos relógios de pulso verifica-se

que existem diferenças que, por exemplo, em Lisboa chegam a atingir, no verão, mais de 100

minutos. Esta discrepância pode ser quantificada experimentalmente se ao longo de um ano, à

mesma hora de cada dia (no nosso relógio), marcarmos um ponto no mostrador de um relógio de

Sol a assinalar a extremidade da sombra do gnómon. Unindo os pontos obtidos a figura tem a

forma de um oito alongado, assimétrico e ilustra a posição do Sol ao longo do ano. É

denominada analema. Geralmente a hora escolhida é o meio-dia mas pode obter-se o analema de

qualquer hora do período diurno.

Qual será a razão da forma dos analemas?

Os relógios de Sol assinalam as horas solares e o meio-dia solar (momento em que o Sol

passa sobre o meridiano do lugar, pelo que atinge a maior altura diária) marca o tempo solar

verdadeiro.

Se a órbita da Terra fosse circular e o seu eixo fosse perpendicular ao plano da eclíptica, o

intervalo de tempo que medeia entre duas passagens consecutivas do Sol pelo meridiano do lugar

seria igual a 24 horas. No entanto, como a velocidade da Terra varia (1ª e 2ª leis de Kepler) e o

seu eixo está inclinado em relação ao plano da eclíptica, a velocidade angular média aparente do

Sol varia durante o ano. Como consequência, a duração dos dias solares e, consequentemente, a

duração das horas solares, não é constante. Só em quatro dias do ano, 16 de Abril, 14 de Junho, 2

de Setembro, e 25 de Dezembro, mais dia, menos dia conforme os ajustamentos de ano bissexto,

é que o dia solar tem 24 horas.

Sendo determinante para os relógios mecânicos (ou eletrónicos) ter horas com igual duração,

definiu-se o tempo solar médio como sendo o tempo que um “sol fictício” levaria a percorrer o

equador celeste (neste caso não existiria obliquidade da eclíptica) com uma velocidade angular

constante (neste caso a órbita seria circular). O tempo solar médio é dividido em horas minutos e

segundos que são as unidades indicadas pelos relógios modernos.

À diferença variável entre o tempo solar médio e o tempo solar verdadeiro, medido em horas

solares pelos relógios de Sol, chama-se equação do tempo. Esta diferença é registada num

gráfico, em função dos dias do ano, com os avanços e atrasos registados em minutos. A

conjugação da altura variável do Sol com os avanços e atrasos anteriormente referidos faz com

que este astro, no seu movimento aparente, desenhe um oito alongado que traduz graficamente a

equação do tempo. Caso a órbita da Terra fosse perfeitamente circular e contida num plano

exatamente perpendicular ao eixo de rotação, então a posição da extremidade da sombra às 12

horas do relógio mecânico não variava ao longo do ano. Em vez dos vários pontos que compõem

o analema surgiria apenas um ponto.

175

Do anteriormente exposto resulta que a forma da órbita da terra e a obliquidade da eclíptica

determinam a equação do tempo. Irá estudar-se separadamente estes dois efeitos, registando

graficamente e em separado as variações que eles originam e, por fim, verificar como a sua

sobreposição dos dois efeitos permite o registo gráfico da equação do tempo. Para isso começa-

se por analisar a forma da órbita da terra e simular computacionalmente as duas primeiras leis de

Kepler.

Johannes Kepler (1571-1630) concluiu que as órbitas dos planetas eram elipses (e não

circunferências perfeitas) em que o Sol ocupava um dos focos, sendo a velocidade dos planetas

maior quando estes passavam mais próximo do Sol. As denominadas leis de Kepler, publicadas

em 1609 e que revolucionaram a astronomia e a física do seu tempo, foram obtidas

empiricamente a partir da análise dos resultados da observação dos movimentos planetários

compilados meticulosamente pelo astrónomo dinamarquês Tycho Brahe ((1546-1601).

1ª lei – Lei das órbitas elípticas: Os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol,

que ocupa um dos seus focos.

2ª lei – Lei das áreas: O raio vetor que liga cada planeta ao Sol descreve áreas iguais em

tempos iguais.

3ª lei – Lei dos tempos: Os quadrados dos períodos de revolução são proporcionais aos

cubos das distâncias médias do Sol aos planetas.

Isaac Newton (1643-1727) conseguiu demonstrar matematicamente os resultados

experimentais de Kepler e Tycho Brahe relativos aos movimentos planetários, o que é ainda hoje

considerado um dos maiores feitos científicos de sempre.

Diz-se que, certo dia, quando Newton estava sentado sob uma macieira a refletir sobre as

leis do movimento, a queda de uma maçã suscitou na sua mente a ideia fundamental da famosa

Teoria da Gravitação Universal. Apesar desta história ser uma lenda popular é possível que

Newton ao observar a queda de uma maçã tenha reparado que aquela queda correspondia a um

movimento uniformemente acelerado que deveria ser provocado por uma força que denominou

força da gravidade – a aceleração da maçã seria, portanto, a aceleração da gravidade (g = 9,8

m/s2). Newton considerou que a força da gravidade atuaria também sobre outras maçãs, mesmo

que estivessem em árvores muito mais altas.

Seria essa mesma força da gravidade que atuaria sobre a Lua mantendo-a no seu movimento

em torno da Terra? E seria também essa mesma força da gravidade que mantinha a Terra a rodar

em torno do Sol?

A equação (4.30) estabelece a relação entre dois corpos de massas m e M, separados por

uma distância r

r2

M.mF G u

r (4.31)

176

em que ru é um vetor unitário com a direção da linha Sol-planeta e em que 11 2 2G 6,67 10 N.m .kg é uma constante de proporcionalidade denominada constante da

gravitação universal (esta constante foi determinada experimentalmente por Cavendish através

de uma famosa experiência que envolveu a construção da denominada “balança” de Cavendish).

Juntando a lei da gravitação universal de Newton à sua também famosa lei da dinâmica F m.a

(conhecida como 2ª lei de Newton: a força é igual ao produto da massa pela aceleração).

r2

2

2

M mF G u Leida Gravitação

r

d rF m 2ª Leide Newton

dt

(4.32)

obteve a seguinte equação diferencial (a aceleração é a 2ª derivada da posição em ordem ao

tempo).

2

r2 2

d r MG u

dt r

(4.33)

cuja solução, coincide exatamente com os resultados de Kepler! Newton conhecia bem as

famosas Leis de Kepler obtidas empiricamente a partir da análise dos resultados da observação

dos movimentos planetários compilados meticulosamente por Tycho Brahe. De facto, algumas

dezenas de anos antes de Newton, Kepler havia concluído, surpreendentemente, que as órbitas

dos planetas eram elipses (e não circunferências perfeitas) em que o Sol ocupava um dos focos e

que a velocidade dos planetas era maior quando estes passavam mais próximo do Sol.

O facto de Newton ter conseguido demonstrar matematicamente os resultados experimentais

de Kepler e Tycho Brahe relativos aos movimentos planetários é ainda hoje considerado um dos

maiores feitos científicos de sempre! Nos pontos seguintes apresenta-se uma sequência com a

resolução da anterior equação diferencial - versão moderna da demonstração de Newton de que

os planetas se movem em órbitas elípticas, com velocidade não uniforme. A abordagem

geométrica utilizada por Newton é depois apresentada sumariamente, recorrendo a uma

interpretação de Richard Feynman a qual é facilmente apreendida se for utilizado um programa

de Geometria dinâmica, como se ilustra com o GeoGebra.

Sistema de eixos gerais e condições iniciais

Com vista à obtenção de uma solução da equação diferencial (vetorial) anteriormente

deduzida

2

r2 2

d r MG u

dt r (4.34)

177

x

x

1

2

r

u r

u

é conveniente começar por se considerar um referencial com origem no centro do Sol e ao

qual associamos uma base unitária 1 2e ,e .

Admite-se que no instante inicial (t = 0) a Terra ocupa uma determinada posição no eixo dos

xx, a uma distância 0r da origem e com velocidade inicial 0

v representada por um vetor

velocidade (tangente à trajetória) e perpendicular ao eixo dos xx (Figura 4.32). À medida que o

tempo passa, a Terra descreve um movimento de translação sobre uma trajetória curvilínea que

deverá corresponder a uma linha fechada.

A posição da Terra sobre a sua trajetória pode ser descrita por intermédio de coordenadas

cartesianas (x,y) ou por intermédio de coordenadas polares (r, ) em que r é o módulo de um

vetor posição r que forma um ângulo com o semieixo horizontal Ox (Figura 4.32). No

instante inicial, 00 .

Figura 4.32 – Referencial adotado, centrado no Sol, e condições iniciais (t = 0).

Sistema de eixos local

No desenvolvimento que se segue veremos que é útil considerar um sistema de eixos móvel,

com origem na Terra e que acompanha o seu movimento. Para esse efeito suponhamos que a

Terra ocupa uma determinada posição na sua trajetória dada pelas suas coordenadas polares

(r,). Nesse ponto pode-se definir o vetor unitário ru que tem a direção do vetor posição r e

sentido contrário, e o vetor unitário u perpendicular a r

u (Figura 4.33).

Figura 4.33 - Referenciais adotados.

x

y

r Te1

e2

0

178

Os vetores ru e u

escrevem-se à custa dos vetores da base 1 2e ,e da seguinte forma:

1 2u sen e cos e

r 1 2u cos e sen e

Pode-se notar desde já que as derivadas destes vetores em ordem ao ângulo revelam uma

interessante propriedade:

r

1 2

dusen e cos e u

d

e

1 2 r

ducos e sen e u

d

Considerações geométricas sobre a área varrida pelo vetor posição

Nesta fase também é útil notarmos que a variação da área varrida pelo vetor posição r em

função do tempo pode ser relacionada com a variação do ângulo (t) e com o módulo do

vetor posição r r . Recorrendo à conhecida fórmula que nos dá a área de um sector circular

2A r2

pode-se associar a um incremento infinitesimal d um elemento infinitesimal de área

dA através da seguinte relação (Figura 4.34).

2ddA r

2

(4.35)

Donde resulta que

2dA 1 dr

dt 2 dt

(4.36)

Derivando em ordem ao tempo obtém-se a seguinte relação que, como veremos, será de

grande utilidade no desenvolvimento que se segue.

2

2

2

d A 1 1 1r 2rr r r 2 r

dt 2 2 2 (4.37)

179

Figura 4.34 - Conceito de área “varrida” pelo vetor posição no instante de tempo t .

Fundamentação matemática

Uma vez que se pretende fazer uma simulação na folha de cálculo das 1ª e 2ª Leis de Kepler,

isto é, criar uma aplicação dinâmica onde seja possível visualizar a elipticidades das órbitas dos

planetas e a variação da velocidade angular, irá proceder-se a manipulações algébricas de modo a

facilitar a implementação computacional. Esta etapa é fundamental do ponto de vista matemática

pois implica não só o domínio de técnicas como envolve a compreensão dos conceitos na medida

em que é necessário compreender muito bem o que se pretende obter.

Comecemos por calcular dr

dt partindo da igualdade r

r r u

r r

r

d r u dudr dr d d dru r

dt d dt d dt d d

(4.38)

Portanto, recorrendo aos resultados obtidos anteriormente fica

r r

dr dr dru ru u r u

dt d d

(4.39)

Derivando novamente, vem

2

r

r2

dudud rru r r u r u

dt d d

(4.40)

ou

2

2

r r2

d rru r u r u r u r u

dt

(4.41)

x

y

r

e1

e2

d

d

180

Por fim obtem-se

2

2

r2

d rr r u 2r r u

dt

(4.42)

portanto a equação fundamental da gravitação pode ser escrita em coordenadas polares na forma

2

r r2

Mr r u 2r r u G u

r

(4.43)

o que é equivalente ao seguinte sistema de duas equações diferenciais

2

2

Mr r G

r

2r r 0

(4.44)

em que as incógnitas são as funções r r(t) e (t) . Alternativamente, em vez de r r(t)

pode-se tentar obter a função r r( ) que descreve a forma da órbita e em que (t) descreve

a cinemática do movimento.

A segunda equação do sistema anterior pode ser desenvolvida conforme se segue, tendo em

conta os resultados obtidos anteriormente

2r r 0

2 2

te

2 2

2 d A d A dA0 0 c

r dt dt dt

É de notar que este resultado significa que a área varrida pelo raio vetor r , durante o

movimento é sempre a mesma para iguais intervalos de tempo! Isto corresponde exatamente ao

enunciado da 2ª Lei de Kepler e como se acabou de ver resulta diretamente do facto da força de

gravidade ser uma força central ou seja, uma força que aponta sempre para um centro, neste caso

o Sol (portanto a 2ª Lei de Kepler ou “Lei das áreas varridas” não depende do facto da força ser

proporcional ao inverso do quadrado da distância).

Retomando o resultado anterior obtém-se por fim as seguintes equivalências

te 2 te 2 tedA 1 dc r c r c

dt 2 dt

(4.45)

Conclui-se portanto que o produto da velocidade angular pelo quadrado da distância Sol-

Terra deve ser constante ao longo do movimento. Pode-se assim adotar os valores iniciais 0 e 0

r

como sendo, por exemplo os correspondentes à velocidade e à posição da Terra no periélio.

Assim, tendo em conta que 0 0 0r v a equação anterior escreve-se usualmente na seguinte forma

181

2 2 2

0 0 0 0r r r v r

Figura 4.35 – Velocidade tangente.

Nota: no caso da Terra sabe-se que, quando esta passa no periélio, 0 0 0r v 68,3 km / s e

0r 47862400 km .

O sistema (4.44) pode ser escrito na forma

2 2

2 0 0

2 3 2

0 0 0 0

2 2

M v r Mr r G r G

r r r

v r v r

r r

(4.46)

Determinação das funções r r( ) e (t)

Neste ponto mostra-se que, através da resolução do sistema anterior, pode-se obter

analiticamente a pretendida função r r( ) e, em seguida, pode-se determinar numericamente a

função (t) pelo método de Euler.

Cálculo de r = r ( )

Retomando então a primeira equação do sistema anterior

2 2

0 0

3 2

v r Mr G

r r (4.47)

Considerando dr

p(r(t))dt

pode-se escrever

2

2

d r dp dp dr dpp

dt dt dr dt dr (4.48)

substituindo na equação (4.46) obtém-se a seguinte equação de 1ª ordem

s = r

r

(t)

r = r

v

182

2 2

0 0

3 2

v rdp GMp

dr r r (4.49)

que pode ser resolvida em ordem a p p(r) por integração direta. De facto, multiplicando

por 2 e integrando em ordem a r obtém-se a solução geral seguinte

2 2

2 0 0

12

v r 2GMp C

r r (4.50)

Dado que no instante inicial (t=0) é r(0) 0 ou seja p(r(0)) 0 então deverá ser

2

1 0

0

2GMC v

r (4.51)

Com este resultado, e tendo em conta que p r , a equação diferencial anterior pode ser

escrita na forma

2

2 2 0

0 2

0

r 1 1r v 1 2GM

r r r

(4.52)

que corresponde agora a uma equação diferencial de primeira ordem (não linear) em que a

incógnita é r = r(t).

Contudo, como o objetivo é exprimir r em termos de , pode-se dividir ambos os membros

da equação pelo quadrado dos membros correspondentes da equação 2

0 0r r v (segunda equação

do sistema) o que permite obter

2

2 0

2 0 2

0

4 2 2

0 0

r 1 1v 1 2GM

r r r1 r

r r v

(4.53)

como r dr dt dr

d dt d

obtém-se finalmente uma equação diferencial de segunda ordem, não

linear em que a incógnita é a pretendida função r r( )

2

4 2 2 2 2

0 0 0 0

1 dr 1 1 2GM 1 1

r d r r r v r r

(4.54)

Com o objetivo de simplificar a escrita é usual adotar o seguinte parâmetro h

2 2

0 0

GMh

r v (4.55)

183

e efetuar a seguinte mudança de variável

2 2

0 2 4

0

1 1 du 1 dr du 1 dru , u , ,

r r d r d d r d

(4.56)

o que permite transformar a equação diferencial anterior na seguinte equação

2

2 2

0 0

duu u 2hu 2hu

d

(4.57)

ou

2 2

0

duu h u h

d

(4.58)

Agora a questão é decidir qual o sinal que deve ser adotado. Sabe-se que 2

0 0r v r é

positivo. Também sabemos que r tem um mínimo em t = 0 e por isso deve ser r 0 na

vizinhança de t = 0. Assim pode-se concluir que

2

dr r du 1 dr0 e 0

d d r d

(4.59)

logo adota-se o sinal negativo!

Escrevendo a equação na forma

2 2

0

1 du1

du h u h

(4.60)

pode-se integrar ambos os membros em ordem a e obter

1

2

0

u hcos C

u h

(4.61)

A constante C2 deverá ser zero porque para = 0 temos 0u u e

1cos (1) 0 . Portanto fica

0

u hcos

u h

(4.62)

ou seja

0u h u h cos (4.63)

184

Uma vez que u 1 r conclui-se finalmente que

0

1r

h (u h)cos

(4.64)

ou

T 0

T

1 e rr r( )

1 e cos

(4.65)

o que corresponde à equação de uma elipse (em coordenadas polares) com excentricidade

2

0 0

T

r ve 1

GM (4.66)

Demonstrou-se, a partir da lei da gravitação de Newton, que a órbita de um planeta como é o

caso da Terra é uma elipse com um foco no Sol. Em seguida irá verificar-se, no cálculo de

(t) que o facto da órbita ser elíptica implica que a velocidade angular dos planetas no seu

movimento de translação, não pode ser constante.

Cálculo de = ( t )

Se, para além da forma da órbita se pretender construir um módulo computacional numa

folha de cálculo (Excel) que permita visualizar a não uniformidade da velocidade angular do

movimento da Terra em torno do Sol, tem de se resolver a segunda equação do sistema (4.46).

Esta equação assume a forma não linear seguinte (1ª ordem) pelo que será resolvida

numericamente mais à frente.

2

T0 0

0 22

T 0

1 e cosv r dv

r dt 1 e r

(4.67)

Simulação do movimento da Terra em torno do Sol. Animação numa folha de cálculo

Tirando partido da folha de cálculo irá apresentar-se de que forma se pode criar um módulo

computacional que permita visualizar o movimento da Terra em torno do Sol.

A preparação da folha de cálculo deve iniciar-se com a introdução das várias constantes

envolvidas devidamente identificadas como se mostra na Figura 4.36.

185

APLICAÇÃO 45: Dados para simular o movimento da terra

Figura 4.36 – Condições iniciais e outros parâmetros envolvidos na modelação do movimento da

Terra.

A variação de r em função de pode ser representada através de um gráfico xy que é

construído a partir de uma tabela como se mostra na figura

Figura 4.37 – Tabela com coordenadas polares , r( ) e coordenadas cartesianas (x, y)

Numa dada coluna introduz-se o valor do ângulo variando de 0º até 360º com um

espaçamento de 1º , por exemplo. Na coluna seguinte introduz-se a expressão T 0

T

1 e rr( )

1 e cos

.

Por fim nas 3ª e 4ª colunas as expressões cx a e r cos e y r cos .

Na Figura 4.38 mostra-se a representação gráfica da órbita da Terra obtidas a partir de uma

tabela como a anterior, ampliando o desenho.

Mostra-se a pequena diferença entre uma circunferência (a vermelho) e a forma real da

órbita da Terra (a azul).

No caso da Terra, a excentricidade é mínima e por isso a diferença entre o movimento de

translação e um movimento circular uniforme não é muito significativa. Contudo é suficiente

para, ao longo de um ano, se acumularem alguns minutos de diferença entre as horas “reais”

medidas num relógio de Sol e as horas dos relógios mecânicos baseados na hipótese de que o

movimento de translação da Terra é circular e uniforme.

186

Figura 4.38 - Órbita da Terra. Comparação com uma circunferência.

Utilizando a folha de cálculo, é possível, para além do simples traçado da órbita elíptica,

construir um pequeno módulo computacional que permita visualizar uma animação que se

mostre o movimento da Terra em torno do Sol, e verificar assim que a velocidade da Terra varia

consoante esteja mais ou menos próxima do Sol: a velocidade é mínima quando a Terra está

mais próxima do Sol (periélio).

Como vimos anteriormente, a equação diferencial que descreve o movimento da Terra em

torno do Sol, é uma equação diferencial de 1ª ordem não linear. Mais precisamente é a seguinte

equação diferencial cuja função incógnita é uma função (t) .

2

T

0 2

T 0

1 e cosdv

dt 1 e r

(4.68)

Sendo uma equação diferencial não linear só pode ser resolvida numericamente. Opta-se

pelo Método de Euler pois é um dos métodos mais simples para a resolução numérica de

equações diferenciais e que, no caso de equações de 1ª ordem se revela eficiente.

Para implementar o Método de Euler na folha de cálculo começa-se por discretizar o

domínio (tempo) em sub intervalos de igual comprimento h e em seguida aplica-se a fórmula de

Euler '

n 1 n nh

Considerando, por exemplo, h= 30000 s (0,34 dias) obtêm-se os seguintes resultados

(Figura 4.39):

187

APLICAÇÃO 46: Cálculos

Figura 4.39 – Resultados da resolução numérica (método de Euler) da equação diferencial não linear

que descreve o movimento da Terra em torno do Sol.

Para se obter o efeito de animação pretendido ( A Terra a rodar em torno do Sol!) basta

encontrar uma forma de escrever sucessivamente em duas células da folha de cálculo os valores

de (t) e r r(t) , obtidos a partir dos resultados anteriores. Em seguida bastará passar destas

coordenadas polares para coordenadas cartesianas e construir o gráfico.

Para isso, é necessário recorrer a alguns conhecimentos básicos de programação para

escrever uma pequena sub-rotina (em Visual Basic), que ficará associada a um botão

“Animação” e cuja função será apenas o de ir transportando sucessivamente os valores de (t)

para uma dada célula (Figura 4.40 e Figura 4.41).

Figura 4.40 – Organização de uma folha de cálculo contendo os valores de (t) e r r(t) bem

como a subrotina em VB.

188

APLICAÇÃO 47: Órbita elítica da Terra e velocidade angular não constante

Figura 4.41 –Movimento da Terra na sua órbita elítica (com excentricidade ampliada). A aplicação

permite visualizar a 2ª Lei de Kepler.


Influência da elipticidade da órbita da Terra na diferença entre o tempo solar verdadeiro e o

tempo solar médio

Em cada dia do ano a diferença entre a duração de um dado dia solar verdadeiro e a duração

do dia solar médio (ao qual chamaremos dia de referência e que corresponde a 24h=1440min) é

proporcional à diferença entre o ângulo θ(t)calculado no ponto anterior e um ângulo de

referência refθ (t) correspondente ao movimento circular uniforme.

Com a animação feita em Excel é possível visualizar o “atraso” e o “adiantamento” da Terra

na sua órbita elíptica (Figura 4.42). É possível ainda traçar o gráfico que representa a diferença

entre a duração de um dia solar verdadeiro e um dia solar médio ao longo de um ano. É uma

sinusoide com período anual e amplitude máxima de 7,6 minutos. Assim, a partir do periélio o

desvio cresce até aos 7,6 minutos, enquanto em torno do afélio há um abrandamento da

velocidade angular da Terra e consequentemente um encurtamento do dia solar.

Em Janeiro, quando a Terra está mais próxima do Sol (periélio), a diferença entre a duração

de um dia solar verdadeiro e um dia solar médio é zero. A partir de Janeiro a diferença vai-se

acumulando diariamente até Abril. De Abril até Julho este desvio vai diminuindo até Julho altura

em que essa diferença volta a ser zero (Figura 4.42).


189

APLICAÇÃO 48: Elipticidade da órbita da Terra

Figura 4.42 – Elipticidade da órbita da Terra.


Influência da obliquidade da eclíptica na diferença entre o tempo solar verdadeiro e o tempo

solar médio

Em seguida irá estudar-se o efeito da obliquidade da eclíptica independentemente do efeito

da elipticidade, pelo que admitimos que a órbita da Terra é circular e que, por isso, o movimento

anual da Terra tem velocidade angular constante.

Sendo o objetivo final a construção de uma aplicação em que se visualizam os “atrasos” e os

“adiantamentos” da Terra há que compreender exatamente aquilo que se pretende implementar

na folha de cálculo e preparar assim todos os dados necessários para o efeito.

Observando a Figura 4.43 considere-se o movimento anual aparente do Sol projetado no

plano do equador celeste. Nesta projeção o movimento anual aparente do Sol já não é um

movimento circular uniforme, ou seja o ângulo projetado p p (t) não varia de forma uniforme

ao longo do tempo:

p p

tg(t) arctan

cos

(4.69)

em que (t) é o ângulo medido sobre o plano da eclíptica e que tem uma variação uniforme ao

longo do tempo na hipótese de independência do efeito da elipticidade.


190

Projeção da eclíptica sobre o plano do equador celeste.

Considere-se AB 1

Vista de cima

DBsen DB

AB

ADcos AD

AB

DC DCcos donde DC sen cos

senDB

1

p p

DC sen costg tg cos donde tg (tg cos )

cosAD

Figura 4.43 – Estudos para implementação computacional da influência da obliquidade da eclíptica

no movimento da Terra.

A diferença entre a duração de um dado dia do ano e a duração do dia de referência (dia

solar médio: 24h=1440min) depende diretamente da diferença (em cada dia do ano) entre o

ângulo p p (t) calculado a partir da equação anterior e o ângulo de referência (t)

correspondente ao movimento circular uniforme sobre o plano do equador celeste. Utilizando

uma folha de cálculo pode-se traçar o gráfico que representa a diferença entre a duração de um

dia solar verdadeiro e um dia solar médio ao longo de um ano. É uma curva sinusoidal, com um

período aproximado de 6 meses. (Figura 4.44)

191

APLICAÇÃO 49: Obliquidade da eclítica

Figura 4.44 – Obliquidade da eclítica.


A sobreposição dos dois efeitos anteriores, a elipticidade da órbita da Terra e a obliquidade

da eclíptica, permite-nos obter o gráfico da “equação do tempo”, que é soma dos dois gráficos

anteriores.

Mais uma vez se pode utilizar uma folha de cálculo para desenvolver uma aplicação que

permita visualizar um conjunto de gráficos com animação, representando a evolução da sombra

de uma estaca vertical às 12 horas à medida que a Terra percorre a sua órbita e assinalando os

efeitos diários traduzidos na equação do tempo (Figura 4.45).

APLICAÇÃO 50: Sobreposição dos efeitos da elipticidade da órbita da Terra e da obliquidade da

eclíptica

Figura 4.45 - Efeitos da elipticidade da órbita da Terra e da obliquidade da eclíptica.




192

Um aluno do curso de engenharia civil, tendo frequentado a cadeira de MAEC (matemática

aplicada à engenharia civil), e tendo tido a oportunidade de desenvolver diversos módulos

computacionais em folha de cálculo, revelou grande destreza e eficiência no desenvolvimento de

programas associados a diversos assuntos matemáticos. A desenvoltura com que criou diversos

módulos na folha de cálculo permitiu-lhe com bastante facilidade passar para outras plataformas

de programação mais sofisticadas nomeadamente em MatLab. Esta competência foi

inclusivamente valorizada no momento da seleção para o seu primeiro emprego.

Na sequência das atividades a que tem estado ligado, o aluno tendo como base as anteriores

aplicações, desenvolveu um programa em MatLab precisamente para o estudo do tema

astronomia e matemática. Considerando a importância do tema para todos os alunos que

frequentam as escolas, sentiu-se a necessidade de se dispor de um programa que se adequasse a

cada faixa etária. Surge assim o programa “Relógio de Sol” . O programa contém sete menus

auto suficientes que contém informação e aplicações dinâmicas e interativas.

Figura 4.46 – Programa desenvolvido em MatLab “Relógio de Sol”.

A propósito do desenvolvimento de trabalhos de projeto com os alunos em diferentes níveis

de ensino, que incidam sobre as ligações entre a matemática e a astronomia recorrendo sempre

que possível a uma folha de cálculo ou a um programa de geometria dinâmica para criar

representações gráficas suficientemente esclarecedoras, há que realçar o facto de que é um tema

abrangente que pode ser abordado logo no 1º ciclo, continuando a desenvolver-se em etapas

posteriores. No ponto seguinte apresenta-se um projeto no âmbito da navegação astronómica e

instrumentos náuticos. As relações que se estabelecem entre diversas áreas tais como geografia e

geometria, bem como o estudo dos ângulos per si constituem motivos para considerar este tema

como o tema de eleição para desenvolvimento de trabalhos de projeto.

193

Orientação em alto mar 4.4.4

Apresenta-se em seguida uma metodologia que se revelou bastante adequada para

desenvolver um trabalho com recurso às tecnologias, no âmbito da navegação astronómica e dos

instrumentos náuticos utilizados pelos navegadores. Tem como objetivo o desenvolvimento em

Excel de uma aplicação para simular o funcionamento de um astrolábio. Ao longo desta secção

abordam-se os tópicos de astronomia considerados fundamentais para uma total compreensão

deste instrumento de navegação tão importante para a navegação em alto mar. Veremos nos

pontos seguintes todos os aspetos necessários para a simulação de um astrolábio numa folha de

cálculo como o Excel, desde os astronómicos até aos computacionais incluindo os matemáticos,

bem como alguns procedimentos considerados necessários para a construção da aplicação.

O presente trabalho foi apresentado no International Technology, Education and

Development Conference em Valencia em março de 2011. Pode ver-se a apresentação em

http://iated.org/concrete2/view_virtual_online.php?abstract_id=15373.

Este trabalho, realizado com os alunos do 9º ano de escolaridade, não dispensa a construção

de um astrolábio usando um transferidor e um cartão. Esse modelo artesanal pode, por exemplo,

ser usado no 7º ano, para a determinação da altura do edifício da escola (ver ponto 5).

A navegação em alto mar foi encarada durante muitos anos como uma atividade cheia de

perigos e muito arriscada que punha em risco a vida dos marinheiros.

Durante a Idade Média os primeiros marinheiros deparando-se com inúmeras dificuldades,

navegavam essencialmente junto à costa. Neste tipo de navegação, a orientação era feita

utilizando pontos de referência em terra. Devido a esta limitação, o conhecimento de novas terras

era muito reduzido.

Foi o acumular de conhecimentos sobre os céus, durante anos, que permitiu desenvolver a

navegação astronómica.

Ao longo do século XV deu-se um avanço significativo nas viagens atlânticas que

implicavam percursos que podiam durar meses em pleno mar alto. Era necessário desenvolver

técnicas para os navegadores conhecerem as suas posições e qual o rumo que deviam seguir. As

viagens das Descobertas não seriam possíveis sem o génio e o engenho dos matemáticos e

cosmógrafos, que colocaram nas mãos dos navegadores um instrumento tão simples e eficaz: o

astrolábio. Este instrumento permite medir a distância zenital ao meio dia, sendo este

conhecimento suficiente para determinar a latitude do lugar.

Posição dos astros tomando como base a linha do horizonte: coordenadas horizontais

Na Figura 4.47 esquematiza-se um corte da Terra por um dos seus meridianos, e dois

observadores em diferentes locais. Para cada observador A e B existe um zénite diferente. O

zénite corresponde ao ponto mais alto do céu que se encontra sobre a cabeça do observador.

194

Figura 4.47 - Corte meridional da Terra. Esfera celeste e horizonte para dois observadores colocados

em diferentes locais.

Pode-se situar qualquer ponto na esfera celeste utilizando as chamadas coordenadas

horizontais. Esta forma de referenciar a posição de um astro recorre à linha do horizonte. As

coordenadas horizontais são a altura h e o azimute z, que se ilustram na Figura 4.48 e na Figura

4.49.Para obter o azimute (Figura 4.48 (a)) traça-se uma semi-reta com origem no ponto onde

está situado o observador (O) e o ponto que designa o Pólo Sul (S). Em seguida traça-se uma

linha que une o zénite e o ponto que designa a posição da estrela, continuando até esta intersectar

a linha do horizonte. Designando por L o ponto de intersecção entre essa linha e a linha do

horizonte, o ângulo formado pelas duas semi-retas OS e OL é o azimute (z).

Observando a Figura 4.48 (b) pode verificar-se que todos os astros que se encontram sobre a

linha zénite-estrela têm o mesmo azimute, o que determina a necessidade de definir outra

coordenada, a altura.

(a) (b)

Figura 4.48 - Azimute de uma estrela.

195

Traça-se a semi-reta que une o observador e o astro e a semi-reta que une o observador ao

ponto de intersecção L da linha zénite-estrela com o horizonte (Figura 4.49). O ângulo formado

por estas duas semi-retas é a altura do astro.

Figura 4.49 - Ilustração das coordenadas horizontais: altura (h) e azimute (z).

Determinação da latitude através do cálculo da altura meridiana do Sol e da sua declinação

A latitude geográfica de um lugar é o ângulo medido ao longo do meridiano do lugar, com

origem no equador e extremidade no zénite do lugar. Varia entre -90° e +90°. O sinal negativo

indica latitudes do hemisfério sul e o sinal positivo hemisfério norte.

Os portugueses desenvolveram uma técnica de navegação na primeira metade do século XV

para contornar ventos e correntes no regresso da Guiné. Manobravam ao largo durante cerca de

um a dois meses, sem vista de terra, precisando de conhecer a localização e altura da Estrela

Polar na sua passagem meridiana. Comparando essa altura com a que a estrela atingia em Lisboa

ou Lagos, facilmente deduziam o número de léguas que tinham que percorrer até chegarem ao

porto de destino. A altura da estrela polar em relação à linha do horizonte indicava diretamente o

valor da latitude do lugar. Mas os navegadores depararam-se com um problema. Quando

chegavam à linha do equador a estrela polar deixava de ser visível. Persistia ainda o problema de

o sol não poder ser considerado um corpo celeste "fixo" em relação à Terra.

A latitude passou a ser calculada com base na altura meridiana do Sol e da sua declinação no

dia de observação, para o que se construíram tábuas de declinação solar. Datam de 1483 os

primeiras cartas de declinação solar, tendo os navegadores portugueses utilizado a que foi

compilada por um astrónomo de Salamanca, Abraão Zacutto.

(http://www.infopedia.pt/$instrumentos-e-tecnicas-de-navegacao)

O esquema representado na (Figura 4.50) apresenta um corte meridional da Terra no Inverno

e a representação do ângulo correspondente à latitude do lugar que se denomina por X. Nesse

local encontra-se um observador. Para esse local mostra-se um esquema da esfera celeste bem

como a indicação da direção dos raios solares ao meio-dia, a distância zenital z que corresponde

196

à medida do arco compreendido entre a linha observador-zénite (vertical do lugar) e a linha

observador-estrela. Mostra-se também a declinação d. Na figura a declinação assume um valor

negativo pois o sol situa-se a sul do equador celeste. Aplicando conhecimentos sobre ângulos de

lados paralelos pode-se concluir que o ângulo é igual à soma dos valores correspondentes à

distância zenital e à declinação.

Figura 4.50 - Latitude do lugar X e sua relação com a distância zenital z e a declinação d. z d .

A distância zenital do Sol é o complementar da sua altura. Os navegadores portugueses

podiam determinar a latitude de um lugar a partir da medição da altura do Sol ou da Estrela

Polar.

Após medirem a altura do sol, num determinado local e hora, obtinham a distância zenital.

Em seguida consultando as tábuas de declinação solar construídas por Abraao Zacuto

calculavam finalmente a latitude.

O astrolábio

O astrolábio é um instrumento astronômico que teve muita importância na astronomia,

principalmente na astronomia náutica, quando os astros visíveis no céu constituíam o principal

referencial dos primeiros grandes navegadores.

O astrolábio que existia no início da época das Descobertas era o chamado astrolábio

planisférico, que foi introduzido na Península Ibérica pelos árabes resultando de uma ideia antiga

da Grécia (sec. IX A.C).

O astrolábio náutico resulta de uma simplificação do anterior, feita por navegadores

portugueses. É constituído simplesmente por um aro graduado, com um eixo no centro, seguro

por uma armação em cruz, e uma mira, chamada medeclina, que roda nesse eixo (Figura 4.51).

http://cvc.instituto-camoes.pt/ciencia/d29.html

197

Figura 4.51 – Astrolábio Náutico (http://astrolabes.org/pages/mariner.htm).

O astrolábio náutico era utilizado para medir a altura de astros, nomeadamente da Estrela

Polar ou do Sol ao meio-dia. Para o efeito, a medeclina tinha duas pequenas placas, as pínulas,

com orifícios nas partes centrais através dos quais se espreitava para as estrelas ou se projetava a

luz do Sol, para alinhar essa mira com a direção do astro.

O esquema da Figura 4.52 mostra um corte por um plano da esfera celeste ao meio dia solar

e um diagrama do astrolábio. Esta representação é fundamental para se compreender o seu

funcionamento. O observador aponta a medeclina do astrolábio para o Sol e lê diretamente no

mostrador do instrumento a distância zenital. Considerando que a declinação do Sol depende do

dia do ano, e se encontrava em tabelas que acompanhavam os navegadores nas suas viagens,

bastava então verificar que a latitude correspondia à diferença entre a distância zenital e a

declinação.

Figura 4.52 - Corte por um plano da esfera celeste ao meio dia solar.

http://cvc.instituto-camoes.pt/ciencia/d29.html

198

Simulação de um astrolábio em Excel. A aplicação astrolabio.xls

A aplicação astrolabio.xls simula o funcionamento de um astrolábio. Permite efetuar a

medição da distância zenital de um astro e através de alguns cálculos obter a latitude de um

lugar.

A aplicação dispõe de uma interface que incorpora vários esquemas que facilitam a compreensão

do funcionamento de um astrolábio (Figura 4.53).

Esquema 1: Vista em corte por um plano meridional celeste, da esfera celeste ao meio dia solar

bem como um esquema de um astrolábio náutico. Visualiza-se ainda a posição relativa da estrela

polar e do sol nos solstícios e nos equinócios. A ação do utilizador consiste em posicionar a

medeclina de modo a ficar alinhada com o sol.

Esquema 2: Movimento anual da Terra e a verificação de que o ângulo que os raios solares

fazem com o eixo da Terra varia ao longo do ano.

Esquema 3: Vista em corte por um plano meridional terrestre, da Terra com o seu eixo e a linha

do equador. Pode ver-se ainda (em corte) o ângulo relativo à latitude, o plano horizontal bem

como a esfera celeste nesse lugar.

Utilizando a aplicação é possível escolher um determinado local da Terra, no hemisfério

Norte (barra de deslocamento azul), escolher ainda a época do ano (barra de deslocamento

laranja) e efetuar uma simulação da medição, com o astrolábio, da distância zenital (barra de

deslocamento vermelha) apontando a medeclina para o Sol.

Clicando no botão “Cálculo da latitude” surge o valor resultante da medição.

APLICAÇÃO 51: Astrolábio

Figura 4.53 - Aspecto da aplicação astrolabio.xls.


Esquema 1

Esquema 2

Esquema 3


199

Apresentam-se em seguida alguns aspectos relevantes para a construção desta aplicação.

Basicamente, é necessário introduzir três barras de deslocamento, uma para escolher o local,

outra para escolher o dia do ano e para simular a medição com o astrolábio (Figura 4.54)

Figura 4.54 – Introdução dos dados na aplicação astrolabio.xls.

Em seguida basta introduzir um botão de comando que realizará os cálculos para

determinação da latitude. Um valor aproximado para a declinação pode ser obtido com a

seguinte fórmula d = 23.43 x sin [360 / 365 x (284 + N), onde N representa o número de dias.

Na época da navegação o cálculo da latitude de um lugar ainda não era conhecida a fórmula

para a determinação da declinação do Sol, por isso os navegadores recorriam a tábuas Almanach

Perpetuum do astrónomo Abraão Zacuto publicadas em Leria em 1496 (referência).

No uso do astrolábio, os navegantes ajustavam o dispositivo até ele ficar alinhado com o

astro e, então, liam a sua distância zenital, na escala graduada. Tal como com o quadrante

comum, a vertical era estabelecida por um fio de chumbo.

Na Figura 4.55 apresentam-se fotografias que mostram o trabalho dos alunos no âmbito do

Projeto “Matemática Dinâmica”.

Não havendo a possibilidade de apresentar uma descrição completa dos trabalhos que os

alunos desenvolveram, sugere-se a visita à página do projeto no separador “Geometria”. Aí é

possível encontrar mais detalhadamente os trabalhos executados pelos alunos bem como tarefas

propostas pelos professores e aplicações computacionais desenvolvidas em folha de cálculo.

Figura 4.55 – Trabalho em grupo. Construção de um relógio de sol.



200

Eratóstenes e a determinação do raio da Terra 4.4.5

A evolução no que respeita aos processos e técnicas para realização de medições das

dimensões da Terra tem sido muito grande e atualmente já é possível realizá-las através da

utilização de satélites, obtendo assim resultados rigorosos. No entanto não é possível deixar de

fazer referência ao grande feito de Eratóstenes que por volta do ano 230 a. C. Mediu com uma

precisão notável o raio da Terra através de um processo muito simples e suscetível de ser

explorado com alunos do ensino básico.

Através de documentos da biblioteca de Alexandria, Eratóstenes terá tomado conhecimento

de que, ao meio dia do Solstício de Verão, em Siena (atual Assuão), situada no trópico de

Câncer, o Sol não produzia qualquer sombra. Este facto terá resultado da observação da imagem

deste astro no fundo de um poço. Colocando duas colunas iguais, uma em Siena e outra em

Alexandria,(Figura 4.56) verificou que, ao meio dia do solstício de verão, apenas a coluna

colocada em Alexandria, que fica 792km (5000”stadium) a norte, produzia sombra. Nesse

momento, mediu o ângulo formado pela direção dos raios solares com a vertical do lugar um

ângulo igual. Verificou que este ângulo é igual a 7,2º, o que corresponde a 1/50 de uma

circunferência. Designando por P a medida do perímetro da Terra e por d a distância entre

Alexandria e Siena. Como, neste caso, o ângulo ao centro θ correspondendo ao arco de

comprimento d é igual a , tem-se que P = 50 x 792 km, uma vez qued P

=θ 360

. Para obter a

medida do raio da terra, basta dividir P por 2π.

Esta experiência pode ser feita em qualquer outro dia ou hora. Nesse caso ambas as colunas

produzem sombra, pelo que há que medir dois ângulos α e β. Uma vez que α = +, tem-se que

θ = α – β.

Figura 4.56 - Esquema ilustrativo do raciocínio de Eratóstenes.

201

Note-se que os cálculos matemáticos envolvidos na determinação do raio da Terra são

extremamente simples baseando-se apenas numa proporção. É por isso uma oportunidade de

transmitir aos alunos todo este procedimento.

A possibilidade de recriar esta experiência num ambiente computacional permite abordar o

assunto de uma forma rápida. A aplicação Eratóstenes.xls representa um corte por um meridiano

(meridiano de Assuão) da Terra, onde se podem ver a localização das duas cidades, Alexandria e

Assuão. Neste mesmo esquema estão representados os raios solares cuja inclinação varia ao

longo do dia, como se simula atuando sobre a barra de deslocamento que se encontra no topo. Os

alunos poderão recriar a experiência fazendo com que os raios solares incidam verticalmente na

coluna em Assuão e verificar qual o ângulo que os raios solares fazem com a coluna em

Alexandria. Como neste caso , ao introduzirem esse valor na célula indicada, serão

realizados os cálculos automaticamente e surge uma mensagem sobre a correção desse mesmo

valor, assim como a medida do raio de Terra. Podem também verificar que, no caso de ambas as

colunas produzirem sombra, se tem sempre .

APLICAÇÃO 52: Medição do perímetro da Terra pelo método de Eratóstenes

Figura 4.57 – Aplicação para estudar o processo de Eratóstenes para medir o perímetro da Terra.


Os exemplos apresentados pretendem evidenciar como a interação entre a Astronomia e a

Matemática, pode ser aproveitada para desenvolver com os alunos atividades interdisciplinares,

fazendo realçar os aspetos matemáticos subjacentes por forma a promover um ensino ligado à

realidade que nos rodeia. As tecnologias podem ser de grande utilidade neste tipo de estudo pois

favorecem a criação de ambientes computacionais propícios à simulação de fenómenos naturais.

http://temp.comyunit.com/matematica/uploadedfiles/files/eratostenes_v8.xls


202

Em seguida apresenta-se um roteiro de uma possível abordagem, desde o 1º ciclo ao ensino

superior, situando os temas matemáticos na Astronomia e no contexto dos currículos nacionais

(básico, secundário e superior).

A Tabela 4.1 apresenta uma abordagem para os 1ºe 2º ciclos, assente sobretudo na

observação dos fenómenos e experimentação materializada.

As Tabela 4.2 e Tabela 4.3 apresentam possíveis trajetórias de aprendizagem, para o 3º

ciclo, que contemplam as medições de distâncias inacessíveis. Neste ciclo a possibilidade de

simular computacionalmente alguns fenómenos irá abrir novas perspetivas de aprendizagem da

matemática.

A Tabela 4.4 apresenta uma possível abordagem no ensino secundário com principal

enfoque no 11º ano a propósito do estudo das funções trigonométricas. Realce-se neste ciclo a

possibilidade de desenvolver ligações entre a Física e a Matemática.

Finalmente o ensino superior é apresentado na Tabela 4.5 onde se privilegia a construção de

aplicações tendo como suporte para essas construções os vários conhecimentos matemáticos

desde equações diferenciais até álgebra matricial.

203

Tabela 4.1 - 1º e 2º ciclos. Observação de fenómenos

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

1º E 2º CICLOS

Observação do céu;

Observação dos

movimentos da Terra ;

Movimento aparente do

Sol;

Ângulos.

Neste nível de ensino os alunos deverão ganhar sensibilidade para

a importância de observar o céu. É a partir da observação que se

pode constatar a existência de fenómenos repetitivos tais como a

sucessão dos dias e das noites, o movimento aparente do Sol e as

estações do ano. Mas se forem incentivados a observar o céu

noturno verificam que as estrelas parecem “coladas” no interior de

uma grande esfera a denominada esfera celeste e que existe uma

estrela que aparentemente não roda, a Estrela Polar.

Tratar aspetos simples como, descobrir a direção do Norte através

da observação do comprimento da sombra de uma estaca espetada

no chão, a identificação dos movimentos de translação e de rotação

da Terra com as estações do ano, e os dias e as noites,

respetivamente.

Perceber o significado de horizonte de um lugar pelo facto de que

cada pessoa tem o “seu” horizonte, e a importância das

coordenadas geográficas de um lugar e sua relação com os

ângulos.

Nestes níveis de ensino é importante os alunos familiarizarem-se

com todos os conceitos atrás expostos e fazerem representações

esquemáticas de cada um deles. Incentiva-se a realizar

experiências com bolas de tamanho diferente para representar a

Terra e o Sol, discos para representar o horizonte e um transferidor

e estacas. Depois da realização de experiências os alunos podem

usar um programa de geometria dinâmica para fazer esboços do

que aprenderam através da experimentação.

204

Tabela 4.2 – 3º ciclo. Medição de distâncias

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

3º CICLO

Medição de distâncias

incessíveis;

Medição do perímetro da

Terra;

Estudo dos instrumentos de

navegação;

No 3º ciclo os alunos abordam a medição de distâncias inacessíveis

recorrendo apenas a uma estaca espetada no chão e ao

comprimento de sombras. Esta tarefa envolve conhecimento

matemático relativo a semelhança de triângulos.

O método de Eratóstenes para determinar o raio da Terra pode ser

usado pelos alunos que, ao compreenderem tal processo, terão de

usar conhecimentos de geometria como ângulos de lados paralelos

e proporções. A aplicação Eratostenes.xls irá ajudá-los nesse

trabalho.


Os alunos devem reconhecer a importância do desenvolvimento de

técnicas, para os navegadores conhecerem as suas posições e qual o

rumo que deviam seguir quando se encontravam em alto mar. Os

instrumentos de navegação devem ser objeto de estudo,

começando por abordar conceitos como coordenadas horizontais

das estrelas, que não são mais do que ângulos, determinação da

latitude de um lugar através da Estrela Polar e da limitação deste

processo quando os navegadores passavam o equador e deixavam de

ver a Estrela Polar. A aplicação astrolábio-xls permite aos alunos

colocarem-se no papel de um navegador que precisa de determinar

a latitude do lugar onde se encontra. Para compreenderem os

fundamentos que estão na base do astrolábio, os alunos recorrem a

tópicos matemáticos como ângulos ao centro, trigonometria e

propriedades dos ângulos.




205

Tabela 4.3- 3º ciclo. Medição de distâncias

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

3º CICLO

Construção de um relógio

de sol horizontal a partir de

um relógio equatorial.

O conhecimento das sombras e do movimento aparente do Sol

permite construir um relógio de Sol. Os alunos poderão envolver-se

no desenvolvimento de um projeto (ao longo de um ano letivo) que

envolva a compreensão dos fundamentos que estão na base da

construção de um relógio de Sol.

A aplicação computacional arcosdiurnos.xls tem como objetivo

facilitar a compreensão da geometria envolvida no funcionamento

de um relógio de Sol, mostrando-se o gnómon devidamente

apontado para a Estrela Polar e o plano horizontal com a respetiva

graduação (diferente para cada latitude). As animações propostas

mostram que a velocidade angular da sombra não é, em geral,

constante ao longo de um dia solar. Neste contexto é necessário

recorrer a conhecimentos de trigonometria e geometria do espaço.


No âmbito de projetos de parcerias com escolas estrangeiras poderá

ser oportuno questionar aos alunos sobre a possibilidade de

construírem um relógio de Sol como oferta para uma escola parceira

por exemplo em Inglaterra (latitude de 51.50°N) ou mais escolas.

Neste caso descobrir um processo automático que resolva este

problema poderá ser um incentivo para a construção de uma

aplicação computacional que desenhe o mostrador (graduado) de

um relógio de Sol para qualquer latitude. Neste caso a

trigonometria assume especial importância bem como a marcação

de pontos em referências cartesianos. Graduação .xls




206

Tabela 4.4 – Ensino Secundário. Geometria no espaço, trigonometria.

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

ENSINO SECUNDÁRIO

Estudo do Analema;

Estudo da Equação do

tempo.

Neste nível de ensino é possível abordar a questão relativa às

discrepâncias que existem entre a hora de um relógio de Sol e a hora

do nosso relógio de pulso. Os alunos podem verificar

experimentalmente que se ao longo de um ano, à mesma hora de

cada dia (no nosso relógio), marcarmos um ponto no mostrador de

um relógio de Sol a assinalar a extremidade da sombra do gnómon e

unirmos os pontos obtidos, a figura tem a forma de um oito

alongado assimétrico que ilustra a posição do Sol ao longo do ano

(analema). Os alunos podem usar as aplicações ecliptica.xls e

orbita.xls e neste caso terão de recorrer à geometria no espaço, à

trigonometria e à capacidade de visualização espacial para

compreender os fundamentos das referidas aplicações. A aplicação

orbita.xls permite visualizar a 2ª Lei de Kepler.



207

Tabela 4.5 – Ensino Superior. Astronomia e Matemática

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

ENSINO SUPERIOR

Equações diferenciais;

Cálculo matricial;

Métodos numéricos.

Utilização da 2ª Lei de Newton e da Lei da Gravitação Universal

para determinação da equação diferencial 2

r2 2

d r mMG u

dt r

que descreve o movimento da Terra em torno do Sol.

Resolução da equação diferencial para obter a forma da órbita

r r( ) por métodos analíticos e a cinemática do movimento

(t) através de métodos numéricos.

Desenvolver uma aplicação computacional para visualizar a órbita

elíptica da Terra e a 2ª lei de Kepler e para visualizar o efeito da

obliquidade da eclítica.

208

4.5 Estudo do movimento oscilatório de um sistema massa-mola

Neste ponto desenvolve-se o estudo do movimento oscilatório de um sistema massa-mola

começando por apresentar os fundamentos físicos e matemáticos que conduzem à equação

diferencial que o descreve e determina-se a sua solução geral, estudando-se depois várias

soluções particulares com base em diferentes condições iniciais.

A abordagem que se apresenta ilustra a utilidade das equações diferenciais no

desenvolvimento de modelos matemáticos para a simulação de fenómenos físicos e o interesse

do desenvolvimento de módulos computacionais em Excel para serem usados como ferramentas

estruturantes no apoio à modelação e análise de resultados.

Utiliza-se uma folha de cálculo devidamente estruturada para interpretar as diversas

soluções obtidas, com base em estudos de sensibilidade da resposta aos vários parâmetros

efetuados com o apoio de representações gráficas adequadas. Mostra-se que o desenvolvimento

de módulos computacionais interativos, com boas capacidades gráficas e de animação,

proporciona a possibilidade de estudar e utilizar de forma integrada conceitos matemáticos de

áreas distintas, o que permite desenvolver o estudo de conexões entre vários ramos da

matemática. Apresentam-se também alguns dos procedimentos essenciais para a construção de

aplicações em Excel vocacionadas para o apoio ao estudo deste tipo de problemas de modelação.

O processo da sua construção contempla as seguintes fases:

1. Definição do problema;

2. Observação e análise da situação do ponto de vista físico;

3. Modelação matemática. Caracterização da função, definição dos parâmetros e definição

do intervalo em que se pretende visualizar a função;

4. Idealização e projeto da estrutura na folha de cálculo (fase estruturante que ajuda os

alunos a sedimentarem os conceitos matemáticos abordados na fase anterior);

5. Programação na folha de cálculo de acordo com a estrutura definida na fase anterior. Esta

fase envolve a programação da expressão geral obtida para a função que corresponde à solução

obtida do problema e á construção dos gráficos;

6. Análise dos resultados em que os alunos estudam a influência da alteração dos vários

parâmetros físicos envolvidos e os efeitos produzidos nos respetivos gráficos. Com o Excel este

estudo de variação de parâmetros pode ser efetuado interactivamente com auxílio de barras de

deslocamento facilmente programáveis em VBA- Visual basic for aplications.

O presente estudo, que pode ser desenvolvido no âmbito de uma cadeira de Cálculo do 1º

ciclo do ensino universitário, foi publicado na revista “Spreadsheets in education” sob o título

“Using a Spreadsheet to Study the Oscillatory Movement of a Mass-Spring System”. Esta revista

publica artigos, de qualidade certificada através de revisores qualificados (de várias áreas), sobre

o papel das folhas de cálculo na educação para uma melhor compreensão do seu papel na

promoção de ambientes educativos construtivistas (Oliveira, et al., 2010).

http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol3/iss3/2

209

Estabelecimento da equação diferencial e determinação da solução exata 4.5.1

A equação diferencial (4.70) que descreve o movimento oscilatório de um corpo suspenso

numa mola pode ser obtida através do equilíbrio de forças que se verifica em cada instante t,

entre a força exterior aplicada F (pode ser nula, ou constante no tempo, por exemplo a força da

gravidade ou até, no caso geral, uma força variável F=F(t) ao longo do tempo) e as forças de

inércia Fi, de amortecimento Fa, e elásticas Fe

i a eF F F F 0 (4.70)

Fe é proporcional ao deslocamento e atua sempre na direcção oposta do deslocamento:

eF ku(t)

Fa é proporcional à velocidade e atua sempre na direção oposta da velocidade: aF cu t

Fi é proporcional à aceleração e atua sempre no sentido oposto ao da aceleração:

iF mu t (note-se que, para valores negativos de u, a aceleração é sempre positiva qualquer

que seja o sinal da velocidade, e para valores positivos de u, a aceleração é sempre negativa)

A equação do movimento da massa é

força externaforça força força elásticade inércia de amortecimento

mu(t) cu(t) ku(t) F 0 (4.71)

ou

mu(t) cu(t) ku(t) F (4.72)

onde m representa a massa (medida em kg), c representa o coeficiente de amortecimento

(N/(ms-1

)) e k representa o coeficiente de rigidez (N/(ms-2

)) e u(t) representa o deslocamento da

massa medido.

A equação de equilíbrio (4.72) é um equação diferencial ordinária de segunda ordem,

completa e não homogénea que descreve o movimento oscilatório de um corpo suspenso numa

mola ao longo do tempo, em que du

udt

e 2

2

d uu

dt .

A Figura 4.58 apresenta um esquema representativo de um sistema massa-mola com

indicação das forças envolvidas. Apresenta-se um gráfico dos deslocamentos da massa ao longo

do tempo. É de realçar a importância desta representação não só para o estabelecimento da

equação diferencial como também para aumentar a compreensão do problema. Mais uma vez

salienta-se a enorme necessidade de apresentar aos alunos representações rigorosas de todos os

problemas abordados a fim de facilitar a sua visualização.

210

Figura 4.58 - Sistema massa-mola. Estabelecimento da equação diferencial através do equilíbrio

entre as forças de inércia, de amortecimento e elástica.

A formulação completa do problema de vibração requer que se especifiquem duas condições

iniciais, nomeadamente, a posição inicial 0u e a velocidade inicial 0v da massa.

0 0

mu cu ku 0

u(0) u u(0) v

(4.73)

Matematicamente, este problema de valores iniciais (PVI) tem uma única solução: Se um

corpo é colocado em movimento a partir de uma certa posição inicial e com uma dada

velocidade inicial, a sua posição pode ser determinada em cada instante. A posição do objeto em

cada instante é determinada pelo problema de valor inicial (4.73). No entanto muitas vezes não é

imediato encontrar as soluções de equações diferenciais. Uma abordagem possível será procurar

de entre as funções mais conhecidas as que pareçam ser a solução da equação diferencial, sendo

depois relativamente simples verificar se tal função é de facto solução ou não, bastando para

isso efetuar uma substituição.

Neste caso é usual procurar se existem valores de que façam com que as funções do tipo tu(t) e sejam solução do problema (4.73).

Substituindo tu(t) e ,

tu(t) e e 2 tu(t) e na equação inicial (4.73) obtém-se

t2 e 0m c k

polinómio caracteristico

(4.74)

F = -k u .

..

0

No external

force

F = -c ued

F = 0

F = -m ui

F + F + F = 0i d e

t

u0

1

v0

211

que conduz a uma equação algébrica de segunda ordem

2m c k 0 (4.75)

cujas raízes

2c c 4mk

2m 2m

e

2c c 4mk

2m 2m

conduzem à solução geral da

equação diferencial:

t tu(t) ae be a,b (4.76)

Existem três tipos de soluções diferentes consoante o discriminante (c2 – 4mk) seja positivo,

negativo ou nulo. Para elevados valores de c, o valor do discriminante é positivo e, neste caso,

não há oscilação. Isto pode ser observado no caso de uma massa e uma mola imersos num meio

viscoso (óleo por exemplo) a que corresponde um elevado amortecimento que impede o

movimento oscilatório (Braun, 1991).

Em seguida apresenta-se apenas o caso em que existe oscilação, isto é, o caso

correspondente a baixos valores de amortecimento c, tais que c2 < 4mk (o valor 4mk

corresponde ao denominado amortecimento crítico: críticoc 4mk ). Neste caso pode-se escrever

λ = -α+ωi e λ = -α -ωi

com c

α =2m

e 24mk - c

ω =2m

24mk -c > 0 .

Para determinar a solução particular da equação (4.74) correspondente ao problema de valor

inicial (4.73) 0u(0) u e 0u(0) v tem-se

00

0 0

a b uu(0) u

u(0) v a b v

(4.77)

Resolvendo o sistema em ordem a a e b obtêm-se:

0 00

A - Bia

u v2, A u , B

A + Bib

2

(4.78)

Substituindo a e b na equação (4.76) e tendo em atenção que t t i te e e , tem-se

212

i t i t i t i tte e e e

u(t) A B i e2 2

(4.79)

Tendo em conta que 1

ii

e usando a fórmula de Euler para os números complexos vem

i t i t i t i t

t

cos( t ) sin( t )

e e e eu(t) A B e

2 2i

(4.80)

então a solução do PVI (4.73) é

t0 0

0

u vu(t) u cos( t) sin( t) e

(4.81)

O parâmetro

24mk - cω =

2m é usualmente denominado frequência natural amortecida

(quando o coeficiente de amortecimento c não se anula).

À medida que o coeficiente de amortecimento c se aproxima de zero, o parâmetro

aproxima-se de n k m , usualmente conhecido por frequência natural ou frequência natural

não amortecida.

Note-se que é usual definir também o parâmetro críticoc c c 4mk que se denomina

coeficiente de amortecimento relativo (razão entre o amortecimento e o amortecimento crítico).

Assim, usando n e , os valores de e escrevem-se da seguinte forma

2

n n

2

n n

i 1

i 1

(4.82)

Como usar a folha de cálculo para obter uma representação gráfica da solução 4.5.2

Usando uma folha de cálculo pode-se obter o gráfico da solução calculada no ponto anterior

u(t) que expressa a relação entre o tempo t, desde o instante inicial, e o deslocamento da massa

u(t). Ao mesmo tempo é também possível visualizar a denominada curva de estado que

representa, de uma forma paramétrica, o gráfico posição velocidade em cada instante do

movimento.

Uma vez que a solução particular do problema é uma função dependente apenas dos

parâmetros m (massa), c (amortecimento) e k (rigidez) e ainda da posição inicial da massa 0u e

213

velocidade inicial 0v , irá apresentar-se uma construção de gráficos que podem ser

interactivamente modificados usando barras de deslocamentos.

Organizar a folha de cálculo antecipadamente é por si só um trabalho fundamental para o

posterior desenvolvimento da aplicação. Deve ser dada especial atenção a esta fase. É um

momento de estruturação do pensamento matemático sobre o assunto em questão. Por esta razão

é importante projetar a estrutura do módulo computacional, não apenas em termos da matemática

envolvida, mas também em termos do especto visual que se pretende obter. É fundamental

definir células para os parâmetros m, c e k e ainda para as condições iniciais 0u e 0v .

Na Figura 4.59 apresentam-se os valores da massa m (célula C4), do coeficiente de

amortecimento c (célula C5) e da rigidez da mola k (célula C6) os quais serão controlados

através de barras de deslocamento. Nas células J4 e J5 introduzem-se os valores das condições

iniciais, 0u e 0v respetivamente. Nas células C7 e E7 introduzem-se as fórmulas relativas

respetivamente, à frequência natural amortecida e ao parâmetro α.


Com estes parâmetros é possível construir uma representação gráfica em que se representa o

deslocamento da massa em função do tempo t. Este gráfico é construído com base numa tabela

com os valores de t e u(t). A variável independente t (tempo) assume valores desde 0 até um

dado valor máximo (tmax, célula C9) com incrementos Δt (célula J7) (Figura 4.60).

214

APLICAÇÃO 53: Gráfico tempo/deslocamento com animação

Figura 4.60 - Gráfico tempo-deslocamento.

http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol3/iss3/2/

Para incluir barras de deslocamento (Scrollbar) que permitam controlar os valores dos

parâmetros m, c, k e as condições iniciais u0 e v0 é necessário escrever para cada uma delas umas

linhas de código em Visual Basic indicando apenas os valores máximo, mínimo e a célula

associada a cada scrollbar. Apresenta-se em seguida, como exemplo, o código associado à barra

de deslocamento que controla o valor de m (o objeto scrollbar1 é acionado por dois eventos:

scroll e change):

Private Sub ScrollBar1_scroll()

' Massa (valores entre 1 e 10 kg)

scrollbar1.min=10

scrollbar1.max=100

Cells(4, 3) = ScrollBar1.Value / 10

End Sub

Private Sub ScrollBar1_Change()

' Massa (valores entre 1 e 10 kg)

scrollbar1.min=10

scrollbar1.max=100

Cells(4, 3) = ScrollBar1.Value / 10

End Sub


215

Seguindo um procedimento semelhante ao anterior, programam-se as restantes barras de

deslocamento para os outros parâmetros e para as condições iniciais.

Para concluir a aplicação inclui-se a denominada curva de estado (Figura 4.61). Trata-se de

uma representação da solução através de um gráfico paramétrico (parâmetro t) em que no eixo

das abcissas se representam os valores do deslocamento u(t) e no eixo das ordenadas os valores

da velocidade v(t). Este gráfico é construído de uma forma semelhante ao anterior mas agora

com base na tabela (u(t), v(t)).

APLICAÇÃO 54: Gráfico tempo-deslocamento e plano de fases.

Figura 4.61 - Gráfico tempo-deslocamento e curva de estado.


Usando a folha de cálculo para representar esquematicamente a mola e simular o 4.5.3

seu movimento oscilatório

No ponto anterior construiu-se uma aplicação computacional para visualizar os gráficos do

tempo/deslocamento e a curva de estado relativos a um sistema massa-mola. De facto,

considerando uma massa suspensa numa mola numa dada posição e em seguida a largarmos,

sabe-se que a massa se irá mover de pontos de deslocamento máximo relativo para pontos de

deslocamento mínimo relativo e assim sucessivamente até se aproximar de zero (considerando

que existe amortecimento).

Para enriquecer a aplicação e de modo a que ela retrate o melhor possível o fenómeno em

estudo, irá incluir-se o desenho de uma mola por forma a que seja possível ver o seu movimento

em simultâneo com o aparecimento dos gráficos. Tudo isto será ativado por um botão de

comando.


216

Na Figura 4.62 mostra-se uma representação esquemática de uma mola, incluindo elementos

imprescindíveis para efetuar um desenho dinâmico. Note-se que foram numerados alguns pontos

relevantes começando pelo centro da massa (0) e terminando no ponto onde se segura a mola

(24). Indicou-se por L0, o comprimento do segmento de reta que vai do ponto 0 até ao 24.

Salienta-se a vermelho o segmento de reta (correspondente a um elo) de comprimento S e um

triângulo retângulo cujo ângulo irá variar à medida que a mola se comprime e alonga.

Figura 4.62 - Geometria do desenho da mola.

Considera-se a origem do referencial coincidente com o centro da massa, quando a mola se

encontra na posição inicial indeformada (sem forças aplicadas). Em seguida, escolhem-se na

folha de cálculo as células para os seguintes valores: comprimento total da mola 0L ;

comprimento de cada segmento S e número de segmentos N (entre os pontos 1 e 23 existem N+1

segmentos). Todos estes valores são previamente definidos. É necessário ainda definir uma

célula para o valor do comprimento da mola sL em cada instante (não se tem em conta os

segmentos verticais das extremidades).

0s 0

LL = L - u -3

20

Repare-se que em cada instante em que u é calculado, o valor sL é atualizado.

Com o objetivo de visualizar o alongamento e a compressão da mola, é necessário ter em

conta que o ângulo varia e consequentemente Sy e Sx também variam (Figura 4.62). As

expressões que se seguem são usadas para o cálculo de cada um destes valores em cada instante

t.

0

12

.

4

6

20

22

3

5

7

21

2324

......

L0 20

L0 10

S

Sx

Sy

L0

217

1

sy

LS

N

1sin

yS

S

cos

2x

SS

Todos estes valores são organizados numa tabela como a que é apresentada na Figura 4.63 e

em seguida define-se uma tabela com as coordenadas dos extremos dos segmentos que forma a

mola (Figura 4.62).

Figura 4.63 - Tabela contendo os parâmetros da geometria da mola.

Na Figura 4.64 apresenta-se um esquema que irá ajudar na conceção da parte dinâmica da

aplicação da mola, em Excel.

Figura 4.64 – À direita: Gráfico dinâmico da mola (posição dos extremos dos segmentos). À direita:

Alongamento e compressão da mola ao longo do tempo.

A simulação do movimento oscilatório da massa implica o cálculo da posição de cada

vértice da mola, tendo em conta uma distribuição linear dos deslocamentos entre os pontos 1

(deslocamento máximo vertical u) e 23 ( deslocamento vertical zero).

.u

u10

0L+

u10

0L+

2

yS+

u10

0L+

2

yS+ yS+

u10

0L+

2

yS+ yS+2

...

Parâmetros da

geometria da mola

218

A posição horizontal de cada vértice é ajustada tendo em conta a rotação de cada segmento

em torno do seu ponto médio.

Na tabela da Figura 4.65 apresentam-se algumas fórmulas para calcular as coordenadas dos

primeiros pontos. Observando o padrão existente, para calcular as coordenadas dos outros pontos

basta usar as potencialidades do Excel no que diz respeito à repetição.

n x y

0 0 = u

1 0 0

10

Lu

2 = 2

xS 0

10 2

ySLu

3 = 2

xS 0

10 2

y

y

SLu S

4 =2

xS 0 2

10 2

y

y

SLu S

. . .

. . .

. . .

Figura 4.65 – Tabelas para determinação das coordenadas dos extremos dos segmentos (elos) que

compõem a mola.

Finalmente, é possível, a partir da tabela da Figura 4.65 construir o desenho da mola com

animação.

Para obter uma aplicação que permita visualizar o movimento da mola em simultâneo com o

desenho do gráfico do tempo/deslocamentos e a curva de estado é preciso programar um botão

de comando que quando acionado pelo utilizador, reconstrói gradualmente as tabelas

correspondentes aos gráficos anteriores (ciclo For ... Next) o que resulta numa animação em que

os gráficos anteriores vão sendo desenhados de forma automática durante alguns segundos ( a

velocidade da animação pode ser controlada no código através da instrução DoEvents). O código

do botão de comando para obter a pretendida animação é o seguinte:

Parâmetros da

geometria da mola

Geometria da mola

219

Na Figura 4.66 pode-se visualizar uma saída da aplicação finalizada. Repare-se na

representação da mola, do gráfico tempo-deslocamento e do plano de fases. O botão de comando

"Animação" quando accionado permite ver o aparecimento dos gráficos, sob a forma de uma

animação (os gráficos coloridos surgem sobre os gráficos construídos inicialmente representado

a cinzento).

APLICAÇÃO 55: Desenho esquemático da mola, gráfico tempo-deslocamento e plano de fases.

Figura 4.66 – Aplicação final.


Private Sub CommandButton1_Click()

Range("F13:F513").Clear ' Apaga o conteúdo de todas as células desde F13 à F513.

Range("H13:I513").Clear ' Apaga o conteúdo de todas as células de H13 à I513

Sheets(2).Range("E13:G513").Clear 'Apaga o conteúdo de todas as células de E13 à G513 na folha 2

For Line = 13 To 513

DoEvents

Cells(9, 3) = Cells(Line, 2) 'Coloca na célula C9, os valores de t que estão em B13:B513

Cells(Line, 6) = Cells(Line, 3) 'Coloca em F13:F513, os valores do deslocamento que estão em C13:C513

Cells(Line, 9) = Cells(Line, 4) 'Coloca em J13:J513, os valores da velocidade que estão em D13:D513

Next Line

End Sub


220

Estudos paramétricos 4.5.4

Irá agora mostrar-se como se pode usar a aplicação computacional para analisar a influência

dos diferentes parâmetros no comportamento do sistema massa-mola que foi matematicamente

descrito pelo problema de valores iniciais

0 0

0

(0) (0)

mu cu ku

u u u v

Em seguida estuda-se a influência dos cinco parâmetros envolvidos:

Massa, m

Amortecimento, c

Rigidez, k

Deslocamento e velocidade inicial.

A introdução das barras de deslocamento na aplicação computacional (uma por cada um dos

parâmetros) é de grande interesse pois permite analisar a sua variação de uma forma interativa

dando uma visualização imediata dos gráficos correspondentes à solução do problema de valores

iniciais.

221

Influência do parâmetro k – rigidez da mola

(a)

(b)

Figura 4.67 – Influência do valor de k rigidez da mola. No caso (a) k=8 e em (b) k=45.

A comparação das Figura 4.67 (a) e Figura 4.67 (b) permitem-nos concluir que à medida que

a rigidez da mola aumenta, a sua frequência de oscilação (número de ciclos por unidade de

tempo) também aumenta. Repare-se que se pode obter a frequência de oscilação (em ciclos/s)

contando os “ picos” que ocorrem no intervalos de tempo considerado (0 a 20 neste caso).

222

Influência do parâmetro c – amortecimento da mola

(a)

(b)

Figura 4.68 – Influência do coeficiente de amortecimento c. (a) c = 0,3 (b) c = 0.

É interessante verificar que o gráfico da Figura 4.68 (a) tem uma assintota horizontal

correspondente ao eixo do tempo, o que significa que as amplitudes das oscilações vão

decrescendo ao longo do tempo. A curva de estado é uma espiral paramétrica em que os pontos

(0, u(0)) e (0, v(0)) coincidem, respetivamente, com a posição e a velocidade iniciais e, ao longo

do tempo, os valores de u(t) e v(t) vão-se aproximando de zero.

223

Na Figura 4.68 (b) apresenta-se uma situação em que não há amortecimento (esta é uma

situação idealizada pois não ocorre normalmente). Neste caso as amplitudes mantêm-se

constantes ao longo do tempo sendo a curva de estado uma linha fechada.

Influência do parâmetro da posição inicial u0 e da velocidade inicial v0

(a)

(b)

Figura 4.69 – Influência de u0 e de v0: (a) u0>0 e v0=0 (b) u0 <0 e v0>0.

Na Figura 4.69 (a) a tangente ao gráfico no instante inicial tem declive igual a zero. Na

Figura 4.69 (b) o declive da reta tangente é positivo e igual à velocidade inicial.

224

Curva de estado tempo. Visualização tridimensional 4.5.5

Para cada valor de t num determinado intervalo o ponto t,u(t),u(t) descreve no espaço uma

curva denominado curva de estado tempo.

Pode-se construir esta curva associada à solução obtida para o sistema massa mola.

Figura 4.70 – Curva de estado tempo para o sistema massa mola

Com o objetivo de construir o gráfico da curva de estado – tempo, tem de se ter em conta

que o gráfico é um gráfico tridimensional e por essa razão é necessário recorrer ao cálculo

matricial. Definem-se inicialmente os ângulos de rotação em torno de cada um dos eixos: Rv, Ru

e Rt. Na folha 2 da aplicação apresentada, estes valores estão respetivamente nas células F2, F3 e

F4.

Em seguida definem-se as matrizes de rotação em cada um destes eixos (já apresentadas no

capítulo anterior).

cos 0

cos 0

0 0 1

v v

v v v

sin

R sin

cos 0

0 1 0

0 cos

u u

u

u u

sin

R

sin

1 0 0

0 cos

0 cos

t t t

t t

R sin

sin

A matriz de rotação é o produto das três matrizes anteriores:

v u tT R R R

225

No Excel definem-se as matrizes vR , uR e tR e em seguida utiliza-se a função Mmult que

efetua a multiplicação de duas matrizes.

Uma vez que se quer representar a curva tridimensional , ( ), ( )t u t v t no plano (ecrã do

computador) basta descobrir as coordenadas no plano bidimensional (x’, y’, z'). Para isso basta

fazer o seguinte produto:

' ' 'x y z x y z T

e tomar apenas duas colunas da matriz ' ' 'x y z escolhidos em função do plano de projeção

pretendido. Por exemplo a projeção no plano x' y' obtêm-se fazendo o gráfico correspondente às

duas primeiras colunas.

Na Figura 4.71 pode-se observar a organização da folha de cálculo (sheet 2) com vista à

representação da curva de estado. Estão representadas as três matrizes anteriormente referidas

bem como a matriz final de rotação.

Figura 4.71 – Organização da folha de cálculo para o cálculo da matriz de rotação.

Em seguida basta multiplicar os valores calculados na folha 1 referentes a t, u(t) e v(t) e que

estão nas células B3:D513 (499x3), com a matriz de rotação (3x3). O resultado é uma matriz

(499x3). Representando graficamente as soluções u(t) e v(t) obtém-se a curva de estado – tempo.

O Excel dispõe de ferramentas para o desenvolvimento do cálculo matricial no entanto é

necessário conhecer bem a técnica de o realizar. Por exemplo para multiplicar duas matrizes tem

de selecionar primeiro um bloco de células onde se quer que apareça o resultado. Em seguida

escreve-se na barra de fórmulas o comando Mmult e depois com o rato seleciona-se a primeira

matriz e em seguida a segunda. Finalmente fazemos Ctrl-Shift-Enter em vez de apenas Enter.

Na Figura 4.72 pode-se observar nas colunas A, B e C, a começar na linha 13 os resultados

obtidos bem como o gráfico relativo a uma situação concreta.

226

APLICAÇÃO 56: Curva estado-tempo

Figura 4.72 – Curva estado tempo do problema da mola.

Na Figura 4.73 e na Figura 4.74 apresentam-se alguns resultados após alterações nos

parâmetros da equação.

Figura 4.73 - Amortecimento nulo e elevada rigidez.

Figura 4.74 – Amortecimento diferente de zero e baixa rigidez.

t

u

v

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Curva de estado tempo (u,v,t)

t

u

v

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

Curva de estado tempo (u,v,t)

227

Experiências curriculares

O estudo completo de um sistema massa mola, tal como o que foi apresentado

anteriormente, abrange conhecimentos que atravessam várias áreas do conhecimento, a Física

quando é necessário estabelecer a equação diferencial governativa do movimento com base nas

leis físicas, a Matemática quando se resolve a equação diferencial homogénea ordinária de 2ª

ordem, e às tecnologias, quando se simula computacionalmente o movimento da mola.

A abordagem apresentada, dirigida aos alunos que frequentam a disciplina de matemática

dos primeiros anos dos cursos técnicos e científicos, pode no entanto ser apresentada a alunos de

outros níveis de ensino com as devidas adaptações.

No Programa de Matemática do Ensino Básico aponta-se como um dos principais objetivos

do ensino da matemática o de que os alunos “devem ser capazes de estabelecer conexões entre

diferentes conceitos e relações matemáticas e também entre estes e situações não matemáticas”

(Ponte, et al., 2007) e no Programa de Matemática do Ensino Secundário pode ler-se que “As

funções trigonométricas são importantes noutras disciplinas como “Física” e “Química”, pelo

que o estudo das funções trigonométricas para os alunos dos respetivos cursos gerais deverá

levar em conta este facto. Por isso, é bastante importante haver uma colaboração estreita entre os

professores de Matemática e os das outras disciplinas. A utilização de exemplos concretos dessas

disciplinas, a realização de catividades comuns ou a lecionação de algum aspeto numa dessas

disciplinas para posterior aprofundamento na disciplina de Matemática são algumas das

possibilidades que se oferecem aos professores.” (Ponte, et al., 2001).

Tendo estas orientações presentes, considera-se que é possível iniciar o estudo da mola logo

no 7º ano de escolaridade a propósito do estudo da função de proporcionalidade direta.

Neste caso trata-se de estudar uma família de funções do tipo y=kx mas em que as variáveis

assumem significados físicos, y corresponde ao alongamento da mola e x ao peso do corpo

suspenso.

Neste nível de ensino os alunos podem construir uma aplicação computacional, e em

seguida utilizá-la para formular e resolver problemas e ir descobrindo o poder da modelação

matemática como forma de compreender os fenómenos físicos.

No capítulo 5 apresenta-se com mais pormenor o trabalho realizado com alunos do 7º ano de

escolaridade a propósito deste tema no âmbito do desenvolvimento do Projeto “Tópicos de Física

em experimentação virtual”.

No 12º ano a propósito do estudo das derivadas e das funções trigonométricas e como forma

de interligar os conceitos matemáticos, é possível realizar uma atividade transversal às

disciplinas de Física e de Matemática que passa pela construção de um modelo matemático pelos

próprios alunos. A equação diferencial mu ku 0 equivalente a mu ku não é mais do que

procurar uma função cuja segunda derivada seja igual ao simétrico da própria função! O

conhecimento das derivadas das funções deverá estimular nos alunos novas formas de

pensamento matemático e a constatar que, da mesma forma que para verificar se um número é

solução de uma equação, também para verificar se uma função é solução de uma equação

228

(diferencial) basta substituir a função na equação (diferencial). A função u(t) = sen(t) é uma

opção interessante para resolução da equação anterior.

Neste nível de ensino embora algumas etapas da sequência anterior não possam ser

concretizadas, existe naturalmente uma abordagem baseada na intuição e na experimentação que

estimula nos alunos a curiosidade por este tipo de problemas.

Finalmente no caso em que o coeficiente de amortecimento não é nulo, estamos em presença

de uma solução da equação diferencial que envolve funções trigonométricas e a função

exponencial. Neste caso será interessante desenvolver um estudo conjunto com a disciplina de

Física baseado na utilização do modelo e na sua interpretação e análise. A aplicação

computacional atrás apresentada poderá ser usada pelos alunos como ambiente de

experimentação matemática.

Apresenta-se uma possível sequência para desenvolver este tema no terceiro ciclo do ensino

básico no ensino secundário e superior.

229

Tabela 4.6 – Estudos do sistema massa-mola ao longo de três ciclos de escolaridade.

CICLOS DE ENSINO E

OBJETIVOS

INDICAÇÕES

METODOLÓGICAS

3º CICLO

Reconhecer funções de

proporcionalidade direta;

Analisar situações de

proporcionalidade direta

como funções do tipo

f(x) = kx;

Resolver problemas, e

modelar situações,

utilizando funções de

proporcionalidade direta,

em diferentes contextos.

No site com o endereço


encontram-se diversas aplicações computacionais, relacionadas com

o tema das funções de proporcionalidade direta, que poderão servir

de inspiração para desenvolver trabalhos com os alunos, sempre na

perspetiva de serem eles a construir as aplicações computacionais.

Na sequência desse estudo sugere-se um problema de modelação

matemática:

Recurso a representações distintas, algébrica, gráfica e tabular de

uma função na interpretação e modelação do fenómeno físico do

alongamento de uma mola sob a ação de um peso.

Neste contexto a função de proporcionalidade direta y=ku assume

uma especial importância pois aparece no contexto do problema

escrita da seguinte forma Alongamento k peso .


No caso da aplicação computacional referente ao estudo da mola

sugere-se que os alunos construam o gráfico da proporcionalidade

direta e em seguida respondam às questões. O desenho da mola é

sugestivo e está interligado com o gráfico.

ENSINO SECUNDÁRIO

Utilização de funções

trigonométricas na

modelação de

situações reais.

Estudar o movimento oscilatório de um sistema massa mola em que

não existe amortecimento.O problema resume-se a descobrir uma

função u = u(t) que verifique

2

0 0 0 0

mu ku 0 u u 0, k / m

u(0) u u(0) v u(0) u u(0) v

u(t)=sen(t) e u(t)=cos(t) verificam a equação. Em geral uma

combinação linear das duas também verifica

0 0u(t) u cos( t) v sen( t)

Desenvolver uma aplicação (mass-mola.xls) para estudar os casos

do movimento de uma mola com amortecimento nulo.

Desenvolver estudos paramétricos. http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol3/iss3/2/

ENSINO SUPERIOR

Equações diferenciais

Estudar o comportamento de um sistema massa mola em que existe

amortecimento.O problema resume-se a descobrir uma função

u u(t) que verifique

0 0

mu(t) cu(t) ku(t) 0

u(0) u u(0) v

Desenvolver estudos paramétricos.






230

4.6 Movimento de um pêndulo

Nesta secção desenvolve-se o estudo do movimento oscilatório de um pêndulo para mostrar

o interesse da utilização de equações diferenciais na modelação matemática de fenómenos físicos

e o interesse do desenvolvimento de módulos computacionais em folha de cálculo como

ferramentas estruturantes de apoio à modelação e análise dos resultados.

Começa-se por apresentar a fundamentação física e matemática que conduz à equação

diferencial que descreve o movimento oscilatório e à respetivas soluções. São estudadas diversas

soluções particulares tendo em conta diferentes tipos de condições iniciais.

Fundamentação física e matemática 4.6.1

Um pêndulo simples pode ser construído com uma haste rígida de comprimento L (massa

desprezável) em que uma das extremidades é fixa num dado ponto, em torno do qual a haste

pode rodar num dado plano, e na outra extremidade é colocado um corpo de massa m.

Suponhamos que o corpo se encontra na posição OA e em seguida é libertado.

O pêndulo oscilará até uma posição simétrica de A, mais precisamente OF se não existisse

amortecimento (Figura 4.75).

Figura 4.75 – Pêndulo. Equilíbrio de forças.

Atendendo a que o deslocamento da massa m ocorre sobre uma trajetória circular de raio L,

a distância percorrida pela massa m sobre a trajetória é dada por s = θL . Para obter a equação

diferencial que descreve o movimento oscilatório basta ter em conta que, em cada instante t, o

somatório de todas as forças aplicadas sobre a massa m deve ser zero.

Esta condição de equilíbrio de forças deve verificar-se tanto para as componentes das forças

na direção radial como para as componentes da direção tangencial.

F

E

D

C

B

A

s

m

F=m.s

I

F

F=d

c.s

mgsin=

gm=F

0

= (t)

L

O

231

Para o estudo do movimento do pêndulo, é suficiente considerar apenas o equilíbrio de

forças na direção tangencial (direção do movimento).

Neste caso trata-se do equilíbrio entre as componentes tangenciais da força de inércia IF , da

força de amortecimento dF e da força gravítica gF que é traduzido pela seguinte equação

I d gF F F 0 (4.83)

em que

IF ms Força fictícia proporcional à aceleração s e à massa m; ( o sinal negativo indica

que o sentido da força de inércia é contrário ao da aceleração s )

dF cs Força proporcional à velocidade s representando c o coeficiente de

amortecimento viscoso;

F mgseng Força exterior, gravítica em que g representa a aceleração da gravidade.

A equação (4.83) é equivalente à seguinte

m s c s m g sen 0 (4.84)

a qual pode ser escrita em termos do ângulo (t) . De facto atendendo a que s L = e,

portanto, d

s Ldt

e

2

2

ds L

dt

vem:

2

2

d dmL c mgsen 0

dt dt

(4.85)

Como se pode constatar trata-se de uma equação diferencial de 2ª ordem não linear, devido à

presença do termo que envolve sen e por isso não tem solução analítica trivial.

A teoria matemática e os métodos para resolução de equações diferenciais lineares estão

amplamente desenvolvidos no entanto para as equações diferenciais não lineares os métodos

para encontrar as soluções passam pela utilização de métodos numéricos.

No ponto seguinte apresentam-se os três métodos numéricos mais utilizados e desenvolve-se

um módulo computacional em Excel para implementação dos referidos métodos explicando com

detalhe os procedimentos usados (Oliveira, et al., 2011).

232

Métodos numéricos para resolução de equações diferenciais ordinárias 4.6.2

No próximo ponto apresentam-se alguns métodos numéricos para resolução de equações

diferenciais, com o objetivo de mostrar o seu valor e utilidade.

MÉTODO DE EULER

É um dos métodos mais simples para a resolução numérica de equações diferenciais. Trata-

se de um método que se aplica a equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem ou a sistemas de

equações diferenciais de 1ª ordem.

Consideremos então o seguinte problema de valor inicial em que a função incógnita é

u = u(t)

0 0

u ' f (t,u) , t 0,

u(t ) u

(4.86)

Na resolução numérica deste problema, deve-se começar por discretizar o domínio em

intervalos iguais de comprimento h.

Integrando ambos os membros da equação diferencial em cada intervalo, entre n n 1t e t ,

obtém-se a seguinte igualdade

n 1 n 1

n n

t t

t tu '(t) dt f (t,u(t))dt

(4.87)

equivalente a

n 1

n

t

n 1 nt

Aproximado pela área do rectângulo

u(t ) u(t ) f (t, u(t))dt

(4.88)

ou

n 1 n nu u h.u ' (4.89)

ou ainda

n 1 n n nu u h .f t ,u (4.90)

que é a conhecida fórmula de Euler (Figura 4.76)

233

Figura 4.76 – Esquema ilustrativo do método de Euler.

MÉTODO DE HEUN

Trata-se de um aperfeiçoamento do método de Euler. Em cada intervalo pode ser calculada

uma primeira aproximação n 1u de pelo método de Euler (“previsão”), para em seguida se poder

calcular n 1u ' (Figura 4.77).

n 1 n 1 n 1u ' f (t ,u ) (4.91)

Assim o valor final de n 1u pode ser calculado pela fórmula de Heun (Figura 4.77).

n n 1n 1 n

Área do trapézio

u '(t ) u '(t )u(t ) u(t ) h.

2

(4.92)

ou

n n 1 n n

n 1 n

u ' f t ,u h u 'u u h.

2

(4.93)

00

u'

xx

nu'

h

x xx xn+1n

u'(x)

un

un+1

x xn n+1 xx

u u(x)

n 1 n n nu u h .f t ,u

n nu h.u '

234

Figura 4.77 – Esquema ilustrativo do método de Heun.

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE 4ª ORDEM

O método de Runge-Kutta de 4ª ordem corresponde a uma generalização do anterior método

de Heun (trapézio). Neste caso utiliza-se um declive médio no intervalo e não apenas o declive

nos extremos. Enquanto no método de Euler o incremento de área sob a função derivada é

aproximado através da área de um retângulo e no método de Heun através da média das áreas de

dois retângulos (área de um trapézio) no caso do presente método de Runge-Kutta, a

aproximação é efetuada através da média ponderada das áreas de quatro retângulos (Figura 4.78).

Figura 4.78 – Esquema ilustrativo do método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

O valor de n 1u é então calculado pela fórmula

x0 x xx x

u

u

n

n+1

n+1n

h

u u(x) u'

x0

n+1u'

u'(x)

x xx xn+1n

nu'

h

n n+1

n+1

n

u

u

xx0x xx

u u(x)

h22

h

u'n+1

u'

n n+1xx0x

u'n

u'(x)

xx

n n n 1 n n

n 1 n

f (t ,u ) f t ,u h u 'u u h.

2

235

1 2 3 4n 1 n

(f 2f 2f f )u u h

6

(4.94)

em que

1 n n

2 n n 1

3 n n 2

4 n 1 n 3

f f (t , u )

h hf f (t , u f )

2 2

h hf f (t , u f )

2 2

f f (t , u h f )

(4.95)

IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS NUMÉRICOS NA FOLHA DE CÁLCULO

Atualmente existem vários estudos que fazem referência à importância da utilização de uma

folha de cálculo na análise numérica. É realçado o caráter intuitivo desta ferramenta na

implementação da recursividade.

A versatilidade das folhas de cálculo é bem patente quando se pretende desenvolver cálculos

numéricos, permitindo efetuá-los com rigor e eficácia. As fórmulas necessárias são facilmente

introduzidas e os procedimentos necessários para implementação do método numérico são

efetuados de uma forma intuitiva e organizada, permitindo ao aluno desenvolver uma maior

compreensão do método. Com o aumento das capacidades gráficas dos computadores, é ainda

possível visualizar a representação gráfica dos valores da variável em cada iteração sucessiva

(Soper, et al., 1994).

Para ilustrar de que forma é que se podem implementar na folha de cálculo os métodos

numéricos anteriormente apresentados, consideremos o seguinte problema de valores iniciais em

que a função incógnita é u = u(t)

0

duku t 0,5

dt

u(0) u

(4.96)

Esta equação é uma equação diferencial de 1ª ordem linear cuja solução é a função kt

0u(t) u e . U ma vez que a solução exata é conhecida, não é necessário obviamente recorrer

aos métodos numéricos para resolver o problema de valores iniciais. No entanto, o facto de

conhecermos a solução exata permite-nos avaliar a precisão dos métodos numéricos e a sua

fiabilidade.

Na folha de cálculo (Figura 4.79) começa-se por introduzir numa célula o valor de h por

forma a discretizar o domínio em intervalos de comprimento igual. Em seguida estabelecem-se

os valores para os parâmetros k e u0. Neste caso k=2 e u0=4.

236

O valor inicial corresponde a u0 e o valor da derivada no instante inicial é o valor da

derivada da função incógnita em t = 0. Nas células G12, I12 e K12 é introduzido o valor 4 e nas

células H12, J12, L12 é introduzida a expressão –kG12, -kI12 e –kK12 respetivamente,

correspondentes às derivadas da função incógnita em t=0. Nas células G13, I13 e K13 são

introduzidas as fórmulas de cada um dos métodos.

APLICAÇÃO 57: Método de Euler e método de Runge-Kutta

Figura 4.79 – Implementação do método de Euler, de Heun e de Runge-Kutta numa folha de cálculo.

Após a introdução das fórmulas é possível usar as potencialidades de repetição da folha de

cálculo e com auxílio do rato “arrastar” as referidas fórmulas e obter todos os valores

aproximados da função incógnita no intervalo 0,5 . Este processo iterativo é implementado

quase instantaneamente sendo possível posteriormente obter as representações gráficas das

soluções obtidas e compará-las com a solução exata.

É ainda oportuno introduzir uma barra de deslocamento que faça variar o valor de h e

observar as aproximações das soluções numéricas em relação à solução exata (Figura 4.80).

A realização de experiências é indispensável por forma a ganhar maior sensibilidade às

fórmulas envolvidas e também à eficácia dos três métodos. A possibilidade de visualizar

graficamente as soluções permite rapidamente conjeturar que o método de Runge-Kutta é mais

eficaz em termos de aproximação à solução exata do que os métodos de Euler e de Heun. Por

essa razão será utilizado para resolver numericamente (também com a folha de cálculo) a

equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo apresentada em (4.85). A resolução

apresenta-se no ponto 4.6.3.

n 1 n n nu u h .f t ,u

=G12+h*H12

n n n 1 n n

n 1 n

f (t ,u ) f t ,u h u 'u u h.

2

=I12+1/2*(J12-k*(I12+J12*h))*h

1 2 3 4

n 1 n

(f 2f 2f f )u u h

6

=K12+h/6*(L12+2*M12+2*N12+O12)

237

a)

b)

Figura 4.80 – Utilização do Excel para comparação de métodos numéricos para resolução de equações

diferenciais ordinárias. Método de Euler, de Heun e de Runge-Kutta de 4ª ordem. Discretização do

domínio: a) h = 0,4; b) h = 0,1.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

1 Equação diferencial ordinária de 1ª ordem

2

3 Métodos numéricos k = 1,5

4 u0 = 45

6 h = 0,47

8

9

10 t u0e-kt

n t un u'n un u'n un f1 = u'n f2 f3 f4

11 0,000 4,000 0 0,00 4,000 -6,000 4,000 -6,000 4,000 -6,000 -4,200 -4,740 -3,156

12 0,001 3,994 1 0,40 1,600 -2,400 2,320 -3,480 2,198 -3,296 -2,307 -2,604 -1,734

13 0,002 3,988 2 0,80 0,640 -0,960 1,346 -2,018 1,207 -1,811 -1,268 -1,431 -0,953

14 0,003 3,982 3 1,20 0,256 -0,384 0,780 -1,171 0,663 -0,995 -0,696 -0,786 -0,523

15 0,004 3,976 4 1,60 0,102 -0,154 0,453 -0,679 0,364 -0,547 -0,383 -0,432 -0,288

16 0,005 3,970 5 2,00 0,041 -0,061 0,263 -0,394 0,200 -0,300 -0,210 -0,237 -0,158

17 0,006 3,964 6 2,40 0,016 -0,025 0,152 -0,228 0,110 -0,165 -0,115 -0,130 -0,087

18 0,007 3,958 7 2,80 0,007 -0,010 0,088 -0,132 0,060 -0,091 -0,063 -0,072 -0,048

19 0,008 3,952 8 3,20 0,003 -0,004 0,051 -0,077 0,033 -0,050 -0,035 -0,039 -0,026

20 0,009 3,946 9 3,60 0,001 -0,002 0,030 -0,045 0,018 -0,027 -0,019 -0,022 -0,014

21 0,010 3,940 10 4,00 0,000 -0,001 0,017 -0,026 0,010 -0,015 -0,011 -0,012 -0,008

22 0,011 3,935 11 4,40 0,000 0,000 0,010 -0,015 0,006 -0,008 -0,006 -0,007 -0,004

23 0,012 3,929 12 4,80 0,000 0,000 0,006 -0,009 0,003 -0,005 -0,003 -0,004 -0,002

24 0,013 3,923 13 5,20 0,000 0,000 0,003 -0,005 0,002 -0,002 -0,002 -0,002 -0,001

25 0,014 3,917 14 5,60 0,000 0,000 0,002 -0,003 0,001 -0,001 -0,001 -0,001 -0,001

26 0,015 3,911 15 6,00 0,000 0,000 0,001 -0,002 0,001 -0,001 -0,001 -0,001 0,000

27 0,016 3,905 16 6,40 0,000 0,000 0,001 -0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

28 0,017 3,899 17 6,80 0,000 0,000 0,000 -0,001 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

29 0,018 3,893 18 7,20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

30 0,019 3,888 19 7,60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

31 0,020 3,882 20 8,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

32 0,021 3,876 21 8,40 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

33 0,022 3,870 22 8,80 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

34 0,023 3,864 23 9,20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

35 0,024 3,859 24 9,60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

36 0,025 3,853 25 10,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

37 0,026 3,847 26 10,40 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

38 0,027 3,841 27 10,80 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

39 0,028 3,835 28 11,20 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

40 0,029 3,830 29 11,60 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

41 0,030 3,824 30 12,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Solução

exactaMétodo de HeunMétodo de Euler Método de Runge-Kutta

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

u(t)

t

Solução exata

Método Euler

Método Heun

Método Runge-Kutta

0

duku 0

dt

u(0) u

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y

1 Equação diferencial ordinária de 1ª ordem

2

3 Métodos numéricos k = 1,5

4 u0 = 45

6 h = 0,17

8

9

10 t u0e-kt

n t un u'n un u'n un f1 = u'n f2 f3 f4

11 0,000 4,000 0 0,00 4,000 -6,000 4,000 -6,000 4,000 -6,000 -5,550 -5,584 -5,162

12 0,001 3,994 1 0,10 3,400 -5,100 3,445 -5,168 3,443 -5,164 -4,777 -4,806 -4,443

13 0,002 3,988 2 0,20 2,890 -4,335 2,967 -4,451 2,963 -4,445 -4,112 -4,137 -3,824

14 0,003 3,982 3 0,30 2,457 -3,685 2,555 -3,833 2,551 -3,826 -3,539 -3,560 -3,292

15 0,004 3,976 4 0,40 2,088 -3,132 2,201 -3,301 2,195 -3,293 -3,046 -3,064 -2,833

16 0,005 3,970 5 0,50 1,775 -2,662 1,895 -2,843 1,889 -2,834 -2,622 -2,638 -2,439

17 0,006 3,964 6 0,60 1,509 -2,263 1,632 -2,449 1,626 -2,439 -2,256 -2,270 -2,099

18 0,007 3,958 7 0,70 1,282 -1,923 1,406 -2,109 1,400 -2,100 -1,942 -1,954 -1,807

19 0,008 3,952 8 0,80 1,090 -1,635 1,211 -1,816 1,205 -1,807 -1,672 -1,682 -1,555

20 0,009 3,946 9 0,90 0,926 -1,390 1,043 -1,564 1,037 -1,555 -1,439 -1,448 -1,338

21 0,010 3,940 10 1,00 0,787 -1,181 0,898 -1,347 0,893 -1,339 -1,238 -1,246 -1,152

22 0,011 3,935 11 1,10 0,669 -1,004 0,774 -1,160 0,768 -1,152 -1,066 -1,072 -0,991

23 0,012 3,929 12 1,20 0,569 -0,853 0,666 -0,999 0,661 -0,992 -0,917 -0,923 -0,853

24 0,013 3,923 13 1,30 0,484 -0,725 0,574 -0,861 0,569 -0,854 -0,790 -0,794 -0,734

25 0,014 3,917 14 1,40 0,411 -0,617 0,494 -0,741 0,490 -0,735 -0,680 -0,684 -0,632

26 0,015 3,911 15 1,50 0,349 -0,524 0,426 -0,638 0,422 -0,632 -0,585 -0,589 -0,544

27 0,016 3,905 16 1,60 0,297 -0,446 0,367 -0,550 0,363 -0,544 -0,503 -0,507 -0,468

28 0,017 3,899 17 1,70 0,252 -0,379 0,316 -0,474 0,312 -0,468 -0,433 -0,436 -0,403

29 0,018 3,893 18 1,80 0,215 -0,322 0,272 -0,408 0,269 -0,403 -0,373 -0,375 -0,347

30 0,019 3,888 19 1,90 0,182 -0,274 0,234 -0,351 0,231 -0,347 -0,321 -0,323 -0,299

31 0,020 3,882 20 2,00 0,155 -0,233 0,202 -0,303 0,199 -0,299 -0,276 -0,278 -0,257

32 0,021 3,876 21 2,10 0,132 -0,198 0,174 -0,261 0,171 -0,257 -0,238 -0,239 -0,221

33 0,022 3,870 22 2,20 0,112 -0,168 0,150 -0,224 0,148 -0,221 -0,205 -0,206 -0,190

34 0,023 3,864 23 2,30 0,095 -0,143 0,129 -0,193 0,127 -0,190 -0,176 -0,177 -0,164

35 0,024 3,859 24 2,40 0,081 -0,121 0,111 -0,166 0,109 -0,164 -0,152 -0,153 -0,141

36 0,025 3,853 25 2,50 0,069 -0,103 0,096 -0,143 0,094 -0,141 -0,131 -0,131 -0,121

37 0,026 3,847 26 2,60 0,058 -0,088 0,082 -0,123 0,081 -0,121 -0,112 -0,113 -0,104

38 0,027 3,841 27 2,70 0,050 -0,075 0,071 -0,106 0,070 -0,105 -0,097 -0,097 -0,090

39 0,028 3,835 28 2,80 0,042 -0,063 0,061 -0,092 0,060 -0,090 -0,083 -0,084 -0,077

40 0,029 3,830 29 2,90 0,036 -0,054 0,053 -0,079 0,052 -0,077 -0,072 -0,072 -0,067

41 0,030 3,824 30 3,00 0,031 -0,046 0,045 -0,068 0,044 -0,067 -0,062 -0,062 -0,057

Solução

exactaMétodo de HeunMétodo de Euler Método de Runge-Kutta

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

u(t)

t

Solução exata

Método Euler

Método Heun

Método Runge-Kutta

0

duku 0

dt

u(0) u

238

Equação diferencial que descreve o movimento de um pêndulo de haste rígida. 4.6.3

Programação em Excel.

Para problemas que envolvem equações diferenciais de segunda ordem, a aplicação deste

método requer que a equação de segunda ordem seja expressa por um sistema de duas equações

de primeira ordem onde as incógnitas são o deslocamento angular e a velocidade angular .

A equação diferencial que descreve o movimento de um pêndulo é

2

2

d dmL c mgsen 0

dt dt

(4.97)

neste caso, fazendo vem

mL c mgsen 0

(4.98)

O problema de valores iniciais escreve-se então da seguinte forma

0 0

c gsen

mL L

(0) e (0)

(4.99)

Como usar o Excel para obter representações gráficas da solução 4.6.4

Usando uma folha de cálculo (Excel) é possível obter o gráfico da solução numérica discreta

(t) , que estabelece a relação entre o tempo t, desde o instante inicial, e a posição angular de um

corpo de massa m.

Pode-se ainda visualizar o denominado plano de fases que não é mais do que a representação

paramétrica da posição angular versus velocidade angular em cada instante do movimento.

Uma vez que uma solução particular do problema é uma função que depende dos parâmetros

m (massa), c (amortecimento), L (comprimento) e g (gravidade), e também da posição inicial 0

do corpo de massa m bem como da velocidade angular inicial 0 , irá mostrar-se como construir

gráficos que podem ser modificados interactivamente usando barras de deslocamento.

A organização da folha de cálculo é um processo fundamental para o desenvolvimento do

módulo computacional devendo dar-se uma atenção especial. É uma fase em que se estrutura o

pensamento matemático sobre este assunto. Por todas estas razões é importante planificar

cuidadosamente toda a estrutura do módulo computacional, quer em termos da matemática

239

envolvida, quer em termos do aspeto visual desejado. É importante definir à partida as células

que se irão utilizar para os parâmetros m, c, L e g e ainda para as condições iniciais 0 e 0 .

A folha de cálculo será organizada inicialmente de forma a que seja possível uma

visualização simultânea dos parâmetros m, c, g e L e as condições iniciais. Em seguida será

introduzido o valor h numa célula (C13) por forma a implementar os métodos numéricos (Figura

4.81).

A implementação do método da Runge-Kutta na folha de cálculo obriga a uma redefinição

do problema de valores iniciais em termos da notação utilizada.

0 00 0

f (t, , )c g

sen g(t, , )mL L

(0) e (0)(0) e (0)

(4.100)

As fórmulas do método de Runge-Kutta apresentadas em (4.95) podem ser agora escritas

para o presente problema de valores iniciais, tendo em conta que estamos em presença de um

sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem

1 n n n n

1 n n n n n

2 n n 1 n 1 n 1

2 n n 1 n 1 n 1 n 1

3 n n 2 n 2 n 2

3 n n

f f (t ,ω ,θ ) = ω

c 9,81g g(t ,ω ,θ ) = - ω sen θ

mL L

h h h hf = f (t ,ω g ,θ f ) = ω g

2 2 2 2

h h h c h 9,81 hg g(t ,ω g ,θ f ) = - ω g sen θ f

2 2 2 mL 2 L 2

h h h hf = f (t ,ω g ,θ f ) = ω g

2 2 2 2

hg g(t ,ω

2

2 n 2 n 2 n 2

4 n 1 n 3 n 3 n 3

4 n 1 n 3 n 3 n 3 n 3

h h c h 9,81 hg ,θ f ) = - ω g sen θ f

2 2 mL 2 L 2

f = f (t ,ω hg ,θ hf ) = ω hg

c 9,81g g(t ,ω hg ,θ hf ) = - ω hg sen θ hf

mL L

(4.101)

A folha de cálculo poderá ser organizada conforme a Figura 4.81. As fórmulas são

introduzidas nas células e em seguida por “arrastamento” são preenchidas as restantes até ao

valor t=30.

240

Figura 4.81 – Método de Runge-Kutta de 4ª ordem para estudo do movimento de um pêndulo.

As representações gráficas surgem naturalmente, bastando para isso selecionar os dados

pretendidos e o botão de construção de gráficos. Na Figura 4.82 apresenta-se o ambiente

proporcionado pela aplicação computacional desenvolvida. É possível controlar os parâmetros da

solução bem como as condições iniciais. Do lado esquerdo surge uma representação esquemática

de um pêndulo e o plano de fases. Do lado direito tem-se as representações gráficas da

posição/tempo, velocidade/tempo e aceleração/tempo. Com o botão de “Animação” visualiza-se

o movimento do pêndulo bem como o aparecimento dos três gráfico.

APLICAÇÃO 58: Pêndulo

Figura 4.82 – Interface da aplicação pendulo.xls.

Na Figura 4.83 mostra-se um esquema do movimento de um pêndulo com a indicação

esquemática das forças envolvidas e apresentam-se graficamente (no domínio do tempo e no

plano de fases) os resultados obtidos com a aplicação do método de Runge-Kutta em três

situações distintas:

241

Amortecimento e

velocidade inicial

nulos. O pêndulo

não pára.

Existência de

amortecimento e

velocidade inicial

nula.

Amortecimento e

velocidade inicial

não nulos.

242

O pêndulo dá uma

volta e continua no

seu movimento

oscilatório até

estabilizar.

Figura 4.83 – Movimento oscilatório de um pêndulo na hipótese de grandes oscilações. Resolução

numérica da equação diferencial ordinária não linear pelo método de Runge-Kutta, na folha de cálculo.

243

4.7 Movimento oscilatório de um edifício de três pisos. Resultados

experimentais e modelação.

O movimento oscilatório de sistemas mecânicos representáveis por modelos com vários

graus de liberdade é determinado fisicamente pelas suas características geométricas, de massa e

de rigidez. Cada sistema tem os seus modos preferenciais de vibração, com frequências bem

determinadas. Neste ponto, irá ver-se como se podem identificar matematicamente os modos

naturais de vibração de um dado sistema, partindo da equação diferencial estabelecida com base

num adequado modelo estrutural de vários graus de liberdade. Veremos ainda de que forma a

existência de modos naturais de vibração pode ser utilizada para facilitar a formulação

matemática que descreve o movimento oscilatório de um dado sistema.

Uma experiência para descobrir os modos naturais de vibração de um sistema 4.7.1

mecânico com vários graus de liberdade

Como se referiu, o movimento oscilatório de um sistema mecânico é determinado pelo facto

de cada sistema ter os seus modos próprios de vibração, com frequências bem determinadas. É

possível realizar uma experiência simples que nos permite observar este facto através da

observação direta de um modelo físico. Para tal pode-se recorrer ao já referido modelo de um

edifício de 3 pisos no qual se instala, no piso superior, um pequeno motor elétrico rotativo (cuja

frequência de rotação pode ser controlada facilmente, rodando um botão que controla a

intensidade da corrente fornecida), no qual se coloca uma massa excêntrica de forma a que,

durante a rotação, se desenvolva uma força centrífuga. A componente desta força centrífuga

numa dada direção pré-definida (neste caso interessa a direção em que o edifício apresenta

menor rigidez) tem uma variação harmónica com uma frequência que corresponde à frequência

de rotação do motor.

A experiência, realizada com os alunos que frequentam a cadeira de MAEC (matemática

aplicada à engenharia civil) lecionada no ISEL (instituto Superior de Engenharia de Lisboa)

consiste em fazer variar a frequência de rotação do motor e observar como é que o edifício oscila

para cada uma das frequências impostas.

Observa-se que, quando o motor atinge uma frequência de cerca de 4 voltas/s (4 Hz), o

edifício tende a oscilar com grandes amplitudes mas quando se aumenta um pouco a frequência

de rotação do motor as oscilações do edifício reduzem-se consideravelmente. Contudo se a

frequência de rotação do motor aumentar até cerca das 12 voltas/s (12 Hz), o edifício volta a

apresentar grandes oscilações só que agora parece oscilar de uma forma diferente. Aumentando

mais um pouco a velocidade de rotação as oscilações tornam a diminuir acentuadamente até que,

para uma frequência de 18 voltas/s (18Hz), observa-se de novo oscilações de grande amplitude

mas agora o movimento dos pisos é de novo diferente.

244

Estes resultados correspondem a uma verificação experimental de que o edifício tende a

vibrar preferencialmente nas frequências de 4 Hz, 12 Hz e 18 Hz.

Repetindo a experiência, agora com o objetivo de analisar, para cada uma daquelas

frequências preferenciais, de que forma os pisos se movimentam uns relativamente aos outros

verifica-se que:

- para a frequência de 4 Hz, os três pisos movimentam-se sincronizadamente da direita para

a esquerda e vice-versa;

- para a frequência de 12 Hz, quando o piso superior se movimenta para a direita os dois

pisos inferiores movimentam-se para a esquerda e vice-versa;

- para a frequência de 18 Hz, quando o piso superior se movimenta para a direita o piso

intermédio movimenta-se para a esquerda e o inferior movimenta-se para a direita em sintonia

com o piso superior.

Na Figura 4.84 representa-se esquematicamente os modos próprios de vibração do edifício.

1º Modo de vibração

Frequência natural: ~4 Hz





Figura 4.84 - Experiência laboratorial: Observação dos modos de vibração de um edifício de 3 pisos.

Solução analítica. Frequências naturais e modos de vibração 4.7.2

O movimento oscilatório de sistemas mecânicos com vários graus de liberdade é descrito

por uma equação diferencial semelhante à que descreve o movimento oscilatório do sistema

massa-mola de um grau de liberdade estudado anteriormente (ponto 4.5), assumindo agora uma

forma matricial. Neste caso tem-se um problema de valores iniciais que envolve uma equação

diferencial matricial em que a incógnita é um vetor u u(t) cujas componentes descrevem os

deslocamentos dos vários graus de liberdade do sistema ao longo do tempo

245

0 0Condições iniciais :

mu c u k u f

u (0) (0) v u u

(4.102)

em que

u u(t) - vetor dos deslocamentos nos N graus de liberdade correspondentes à

discretização espacial adotada (incógnita u u(t) )

f f (t) - vetor das forças aplicadas no N graus de liberdade da estrutura

m - matriz de massas da estrutura (NN)

c - matriz de amortecimento da estrutura (NN)

k - matriz de rigidez da estrutura (NN)

0u - deslocamentos iniciais

0v - velocidade inicial

A equação diferencial anterior corresponde a um sistema de equações diferenciais de

segunda ordem que pode ser transformado num sistema de primeira ordem considerando v u

em que as funções incógnitas são os deslocamentos u u(t) e as velocidades v v(t) ao longo

do tempo

0 0Condições iniciais :

v u

m v c v k u

f

u(0) u v(0) v

(4.103)

O sistema pode ainda ser escrito na forma

1 1 1

u v

v m k u m c v m f

(4.104)

matricialmente fica

1 1

FA

u u 00 I

v m k m c v f

u uA F

v v

(4.105)

ou

0Condições iniciais :

x A x F

x(0) x

(4.106)

246

Com o objetivo de obter um sistema de equações diferenciais independentes, a anterior

equação diferencial pode ser diagonalizada calculando os valores e os vetores próprios da matriz

A (ponto 3.6.2) denominada matriz de estado (eq. (3.12)). Sendo a matriz dos vetores próprios

de A e a matriz dos correspondentes valores próprios (diagonal), e considerando a seguinte

mudança de variável

1z x (4.107)

ou seja

x z e x z (4.108)

obtém-se

z A z F (4.109)

Multiplicando ambos os membros por 1 e dado que A (por definição de vetores e

valores próprios de A), ou seja 1A , pode-se escrever

1

1

0 0

Q

Condições iniciais

z z F

: z(0) z x

(4.110)

que corresponde a um sistema de equações diferenciais independentes dado que é uma matriz

diagonal.

Para o caso do sistema de 3 graus de liberdade correspondente ao edifício de três pisos

apresentado anteriormente, esta equação matricial corresponde a seis equações diferenciais

independentes de 1ª ordem

m m m mz z Q m 1,2....,6 (4.111)

em que os valores próprios correspondem, neste caso, a três pares de números complexos

conjugados da forma 2

n n n ni 1 como foi obtido atrás, na equação (4.82) para o caso

de um sistema massa-mola com 1 grau de liberdade. Neste caso n é a frequência natural do

modo de vibração n (em rad/s) e n é o correspondente amortecimento modal relativo. Note-se

que n n n n ne Re / . O significado físico dos modos naturais de vibração de

um sistema mecânico e correspondentes frequências foi atrás referido para o caso de um edifício

de três pisos (oscilador de 3 graus de liberdade).

247

A solução geral de cada uma das seis equações anteriores (m = 1 a 6) é da forma

m

0Solução geralda equação

Solução particular homógenea

mm

t(t )t

z ae e f ( ) d ,a

(4.112)

Tendo em conta as condições iniciais 0z(0) z ou m 0mz (0) z obtém-se a pretendida

solução particular em função da variável zm

m 0m

0

mm

t(t )t

z (t) z e e f ( ) d

(4.113)

A integração ao longo do tempo pode ser efetuada computacionalmente com base na

seguinte fórmula recursiva, a qual é obtida admitindo que o domínio do tempo é discretizado em

intervalos Dt (de comprimento constante) em cada um dos quais se admite que a força assume

um valor médio constante if . Considerando que para um dado intervalo de tempo [ it , i 1

t ] ,

de comprimento Dt, o valor da resposta no início do intervalo corresponde ao valor da resposta

no fim do intervalo anterior obtém-se a pretendida fórmula recursiva

m m i

m

m mi 1 i

t t1z (t ) z (t ) e e 1 f

(4.114)

A solução final pretendida, x x(t) , obtém-se, por fim, recorrendo à equação (4.108)

x z . Assim, para cada instante calcula-se

i 1 i 1x(t ) z(t )

(4.115)

É de notar que se obtêm sempre valores reais como resultado do anterior produto entre a

matriz complexa e o vetor complexo i 1z(t )

.

Em seguida apresenta-se um exemplo de aplicação ao caso do modelo físico de um edifício

de três pisos, para o qual se calculam pelo método anterior as frequências naturais dos modos de

vibração comparando os resultados obtidos com os correspondentes valores determinados

experimentalmente.

248

Aplicação ao caso do modelo físico de um edifício de três pisos 4.7.3

Cálculo das frequências naturais com base nos valores próprios da matriz estado

Considerando o modelo físico do edifício de três pisos atrás referido com uma altura total de

60 cm, mostra-se que, com o anterior modelo matemático (3 graus de liberdade), é possível

simular com boa aproximação, o comportamento medido experimentalmente, nomeadamente em

termos das frequências naturais e da configuração dos três primeiros modos de vibração.

Na

Figura 4.85 apresentam-se as características geométricas, de rigidez, de massa e de

amortecimento do modelo físico do edifício e as respetivas matrizes k, m e c . A matriz de

rigidez é determinada pela rigidez pk de cada pilar (força que é necessário aplicar para provocar

um deslocamento horizontal unitário num pilar entre pisos; cada pilar, entre pisos, tem uma

altura de 20 cm, sendo de alumínio com secção retangular de 3×18 mm): como indicado na

figura, cada coluna da matriz de rigidez contém as forças a aplicar para obter deslocamentos

horizontais unitários em cada piso. A matriz de massas é uma matriz diagonal que contém, na

diagonal principal, a massa de cada um dos pisos ( pm 5 kg ). Quanto à matriz de

amortecimento, os seus valores são usualmente estabelecidos de forma empírica, tendo-se

considerado, neste caso, a existência de amortecedores fictícios ao nível de cada piso cujos

coeficientes surgem na diagonal principal. Quanto aos termos não diagonais considerou-se que

correspondem a uma percentagem de 0,08% do correspondente termo da matriz de rigidez.

Figura 4.85 - Modelo simplificado utilizado para simular o comportamento dinâmico do modelo

físico do edifício de 3 pisos que foi ensaiado.

F= 0

F= - 4k

F = 4k1

- 4k 8k

- 4k

- 4k

F= - 4k

0

1

Reacção= - 4k

F = 8k

F= 0

F = 8k1

F= - 4k

F= - 4k

pp

pp

p p

p

p

p

p

p

p

pp

p

2x

u (t)

1x

x3

u (t)

u (t)

1

2

3

Rigidezde um pilar

k

( 5 kg ) de cada piso massam

p

L

mm = 0

m

p

p0

0

0

0

kp= 4500 N/m

pMatriz de rigidez

Matriz de massas

c =

Matriz de amortecimento (proporcional, hip. de Rayleigh)

m + k

0m p

8k

k =- 4k

0

4k

F= 0

F= - 4k

F = 4k1

- 4k 8k

- 4k

- 4k

F= - 4k

0

1

Reacção= - 4k

F = 8k

F= 0

F = 8k1

F= - 4k

F= - 4k

pp

pp

p p

p

p

p

p

p

p

pp

p

2x

u (t)

1x

x3

u (t)

u (t)

1

2

3

Rigidezde um pilar

k

( 5 kg ) de cada piso massam

p

L

mm = 0

m

p

p0

0

0

0

kp= 4500 N/m

pMatriz de rigidez

Matriz de massas

c =

Matriz de amortecimento (proporcional, hip. de Rayleigh)

m + k

0m p

8k

k =- 4k

0

4k

249

Utilizando a formulação de estado que foi apresentada no ponto anterior determinaram-se os

modos de vibração e as respetivas frequências naturais e amortecimentos modais, através do

cálculo dos valores e vetores próprios da matriz de estado A tendo-se obtido para as frequências

naturais, nn

f / 2 (em Hz) os valores f1=4,25 Hz, f2=11,9 Hz e f3=17,2 Hz, (valores próprios

calculados com o comando eig(A) do MATLAB). Para o caso de uma força sinusoidal aplicada

no piso superior (correspondente à existência de um motor rotativo de massa excêntrica) com

uma frequência f e uma amplitude af obtêm-se resultados do tipo indicado na figura

Figura 4.86 – Movimento oscilatório do edifício de três pisos para uma força sinusoidal de

frequência 3.8 Hz (f = 3.8×2) aplicada no piso superior.

Identificação experimental das frequências naturais do edifício. Decomposição em ondas das

histórias de acelerações observadas nos três pisos

Com o objetivo de verificar se os valores das frequências naturais do edifício calculados

anteriormente coincidem com os valores experimentais apresenta-se, neste ponto, os resultados

de um ensaio de vibração realizado em laboratório. Neste ensaio foram utilizados três

acelerómetros para medir as acelerações horizontais ao nível de cada piso do edifício quando

este é excitado por intermédio de pequenas pancadas. As histórias de acelerações que foram

medidas ao nível de cada piso são analisadas com base na análise de Fourier, que como se

referiu permite decompor os registos medidos em ondas harmónicas.

A possibilidade de conhecer as “ondas harmónicas” que constituem uma dada função

(neste caso temos funções do tempo correspondentes aos acelerogramas medidos em cada piso),

para além de permitir desenvolver poderosas ferramentas matemáticas para a resolução de

250

equações diferenciais, como foi apresentado no capítulo 3, pode também ter uma aplicação direta

e de grande interesse prático na análise de resultados experimentais.

A decomposição em ondas harmónicas, pela técnica de Fourier, de uma história de

acelerações (medida num dado ponto de uma estrutura) permite descobrir as frequências das

ondas com maior amplitude que não são mais do que as frequências dos principais modos de

vibração. Na Figura 4.87 mostra-se a decomposição de uma função (história de acelerações) em

ondas harmónicas. Apresentam-se as várias “ondas” constituintes da função e para cada uma

delas apresenta-se os respetivos valores das amplitudes. Estes valores são representados num

gráfico em que no eixo das abcissas são marcados os valores da frequência de cada onda.

Figura 4.87 - Decomposição de uma série temporal, de comprimento T (p. ex., série observada num

sensor colocado numa obra sob excitação ambiental), em ondas sinusoidais (Oliveira, 2007).

O comprimento T do registo determina o espaçamento em frequência das várias ondas

constituintes da série temporal (para se aumentar a precisão em frequência é necessário aumentar

o comprimento T das séries temporais).

Em seguida apresentam-se as etapas necessárias para usar a técnica de decomposição de

acelerogramas medidos, em “ondas harmónicas” e proceder à análise do comportamento

dinâmico de estruturas com vários graus de liberdade. Neste caso irá analisar-se o

comportamento dinâmico do modelo físico do edifício de três pisos quando sujeito a uma

excitação do tipo sequência de forças impulsivas. Para isso mediram-se as acelerações

horizontais nos três pisos recorrendo a três pequenos acelerómetros que mediram acelerações

durante 60 segundos com uma frequência de leitura de cerca de 100 valores por segundo (Figura

4.88).

251

Figura 4.88 – Modelo físico do edifício de três pisos e acelerogramas medidos em cada um dos

pisos.

Como foi apresentado no capítulo 3 (3.8.5) a aplicação desenvolvida em Excel para

determinação das “ondas” que compõem uma função definida num certo intervalo de

comprimento T, não faz mais do que calcular para cada onda n os respetivos valores de

n , n n a e b . A mesma aplicação pode agora ser usada para decompor o acelerograma do

piso superior do edifício. Basta introduzir numa tabela os valores das acelerações medidas

(Figura 4.89). Se em seguida for construído um gráfico frequência/amplitude onde fique

registado para cada valor da frequência de uma onda a respetiva amplitude obtém-se um

gráfico denominado usualmente por espetro de amplitudes. Na Figura 4.89 observam-se três

ondas que se destacam pela sua maior amplitude, onda n = 241 de frequência 4,017 Hz;

onda n = 720 de frequência 12,002 Hz; e onda n = 1079 de frequência 17,986 Hz. No

espetro de amplitudes, surgem claramente os três picos correspondentes às frequências

destas ondas que correspondem fisicamente, às três frequências próprias do edifício.

Assim, verifica-se que, apenas com base na análise de Fourier de um acelerograma obtido

num dos pisos, consegue-se determinar o valor experimental das três frequências próprias

do edifício. No ponto anterior estes valores foram calculados analiticamente sendo de notar

que, apesar da simplicidade do modelo de cálculo, foi conseguido um bom acordo entre as

frequências naturais identificadas experimentalmente (4.02; 12.00; 18.00 Hz) e as

frequências naturais calculadas (4.30; 11.89; 17.02 Hz).

252

APLICAÇÃO 59: Espectro de amplitudes

Figura 4.89 - Decomposição em “ondas” do acelerograma medido no piso superior. Espectro de

amplitudes.

Na Figura 4.90 apresentam-se os três espetros de amplitudes correspondentes aos

acelerogramas obtidos nos três pisos do edifício. Para cada piso tem-se um espetro com três

“picos”, que ocorrem para valores de frequência coincidentes com as frequências próprias do

edifício.

253

Figura 4.90 - Espectros de amplitudes correspondentes aos acelerogramas medidos nos três pisos do

edifício.

É interessante notar que, a cada um dos “picos” dos anteriores espetros de amplitude,

corresponde uma “onda” harmónica como se mostra esquematicamente, em perspetiva, na Figura

4.91. Portanto, pode-se verificar que para o acelerograma de cada um dos pisos são identificadas

três ondas principais cujas frequências correspondem às frequências próprias do edifício.

254

a)

b)

Figura 4.91 – a) Perspetiva do modelo do edifício em análise e representação esquemática da

decomposição em ondas dos acelerogramas registados em cada um dos pisos do edifício. Em cada piso

identificam-se três ondas principais cujas frequências correspondem às frequências próprias do edifício.

b) Análise comparativa das principais ondas identificadas nos pontos observados, para cada uma das três

frequências identificadas (resultados obtidos pelos alunos de Engenharia Civil nas aulas de MAEC, Isel

2010)

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Am

pli

tud

e

t (s)

ONDAS DE FREQUÊNCIA 17,986 Hz

Piso Superior

Piso Intermédio

Piso Inferior

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Am

pli

tud

e

t (s)


Piso Superior

Piso Intermédio

Piso Inferior

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Am

pli

tud

e

t (s)


Piso Superior

Piso Intermédio

Piso Inferior

0,135

0.087

0.038

1ºModo

0,124

0.132

0.127

2ºModo

0,039

0.122

0,097

3ºModo

255

4.8 Mecânica dos sólidos. Resolução da equação de Navier pelo método dos

elementos finitos

O estudo das deformações e das tensões em corpos elásticos sob a ação de forças exteriores

(ver Figura 4.92), que é o objetivo principal da mecânica dos sólidos, é efetuado

matematicamente com base na equação de Navier, que é uma equação diferencial que envolve

derivadas parciais de segunda ordem de um campo vetorial (campo de deslocamentos: incógnita

principal do problema), em ordem às coordenadas espaciais.

Figura 4.92 – Deformação de um corpo elástico sob ação de forças exteriores.

A deformação de uma grande ponte ou da fuselagem de um avião sob a ação das forças

exteriores atuantes é muitas vezes estudada considerando a hipótese de comportamento elástico

dos materiais (o betão e os metais como o aço ou o alumínio têm um comportamento que, em

geral, é bem descrito admitindo as hipóteses da teoria da elasticidade e, em particular, admitindo

a hipótese de comportamento elástico linear: numa ponte verifica-se que o comportamento é

elástico-linear, ou seja, “para o dobro da carga ocorre o dobro do deslocamento”).

Na generalidade dos problemas que se colocam em Física e em Engenharia envolvendo a

deformação de corpos sólidos com geometria complexa verifica-se que não é possível recorrer a

métodos analíticos para resolver a equação de Navier e as respetivas condições de fronteira.

Assim, torna-se necessário recorrer a métodos numéricos que permitam resolver a referida

equação com uma aproximação aceitável, em problemas de qualquer tipo de complexidade.

O mais conhecido dos métodos numéricos para resolução de equações diferenciais, e

largamente utilizado na mecânica dos sólidos, é o método dos elementos finitos1, o qual envolve,

naturalmente, a discretização espacial do domínio em estudo (corpo sólido).

1 As primeiras referências à utilização do Método do Elementos Finitos na resolução numérica de equações

diferenciais datam do final da década de 40 e surgiram no âmbito do programa de exploração espacial da NASA. Tal

como tem acontecido em muitos outros domínios da Matemática, as ideias fundamentais que estão na base do MEF

surgiram da necessidade de resolver problemas práticos: neste caso era necessário encontrar uma boa aproximação

da solução de equações diferenciais governativas de problemas complexos referentes à condução do calor e à

Mecânica dos Sólidos em domínios geometricamente irregulares e com condições de fronteira que tornavam

impossível a utilização de métodos analíticos e dos métodos numéricos conhecidos. nte a década de 1960 e, com a

evolução dos meios computacionais, surgem importantes aplicações à indústria durante a década de 1970.

256

Grande parte dos programas de cálculo automático de estruturas (utilizados na indústria

aeronáutica e aeroespacial, na engenharia civil, na engenharia mecânica, etc.) baseiam-se

precisamente na resolução da equação de Navier com base no método dos elementos finitos

(MEF), e adotando os deslocamentos como incógnitas principais (deslocamentos nos pontos

nodais da discretização espacial do domínio). Salienta-se que o facto de o Excel permitir a

resolução deste tipo de problemas envolvendo equações diferenciais com derivadas parciais,

recorrendo a um dos mais poderosos métodos numéricos, mostra bem as enormes

potencialidades desta ferramenta computacional ficando claro que, efetivamente, o Excel pode

ser usado com os alunos desde os primeiros níveis de escolaridade até aos últimos anos dos

cursos superiores de engenharia e ciências. Mostra-se que neste tipo de problemas o Excel é de

grande valia na aprendizagem do método dos elementos finitos e que facilita o processo que

permite aos alunos evoluírem para outras plataformas de desenvolvimento como o MATLAB,

também muito utilizado no ensino, e a nível profissional.

Mecânica dos Sólidos: estabelecimento do problema 4.8.1

Na mecânica dos sólidos o objetivo é calcular os campos de deslocamentos, deformações e

tensões que se instalam devido à atuação de forças exteriores (Figura 4.93).

Na hipótese de comportamento elástico linear dos materiais, a resolução deste problema

envolve o estabelecimento das equações fundamentais da mecânica dos sólidos que, nessa

hipótese, conduzem a um sistema de equações diferenciais lineares (equação de Navier), cuja

solução numérica pode ser obtida utilizando o MEF.

Figura 4.93 – Mecânica dos sólidos. Estabelecimento do problema para o caso geral tridimensional.

Fronteira com

tensões aplicadas

Fronteira livre

Fronteira com

deslocamento imposto (nulo)

E = 30 GPa

= 0,2

x2

x1

x3

Forças mássicas aplicadas:

- Forças gravíticas

- Forças sísmicas

P

mg~

- m (u+a ) - c u~.. .

~ s~

u1

u2

u3

u~ =

u

uu

1

2

3

x1( x2 x t3 ), , ,

x1( x2 x t3 ), , ,

x1( x2 x t3 ), , ,

(3 1)

Função incógnita (vetorial) :

Propriedades do material

aS~tT

0(3 1)

Acelerograma sísmico na base

g~

=

0

0

-9.81 m.s -2

Aceleração da gravidade

m =2,4 ton/m3

DADOS:

- Geometria da estrutura

- Propriedades elásticas do material

- Forças mássicas

- Condições de fronteira:

Tensões aplicadas na fronteira

Deslocamentos impostos na fronteira

RESULTADOS A OBTER:

- Campo de deslocamentos

- Campo de deformações e de tensões

u~~

~

f~

= mg -m (u+a ) - c u~.. .

~~ s~

)

)

)

257

Estado de tensão e de deformação num ponto do interior duma estrutura 4.8.2

Enquanto que para descrever o estado térmico num ponto P do interior de um sólido se

utiliza um único número (por exemplo TP = 27 ºC pois a temperatura é uma grandeza escalar),

para descrever o deslocamento desse ponto já são necessários três números correspondentes às

componentes de um vetor no espaço, pois o deslocamento é uma grandeza vetorial.

Para descrever o estado de tensão em P (e o estado de deformação) é necessário recorrer ao

conceito de grandeza tensorial. No caso geral tridimensional, a tensão em P é matematicamente

descrita por um tensor de segunda ordem que, num dado sistema de eixos ortogonal x1, x2, x3 é

representado por uma matriz de 3×3 denominada matriz de tensões como se mostra na Figura

4.94a. O mesmo se passa para o caso do estado de deformação (Figura 4.94b).

Fisicamente, para se conhecer o estado de tensão num ponto P é necessário conhecer todos

os vetores de tensão em qualquer faceta de corte em P (estes vetores de tensão formam o

denominado elipsoide de Lamé que, matematicamente, corresponde a uma representação

geométrica de uma matriz de 3x3, como foi atrás tratado no ponto 3.6.2, e representado na

Figura 3.62, para uma matriz genérica A, a qual, neste caso, corresponderá à matriz de tensões

que a seguir se define). Na prática pode-se verificar que basta conhecer os vetores de tensão em

três facetas de corte mutuamente ortogonais, e, por esta razão, o estado de tensão em P fica

perfeitamente definido através de uma matriz 3x3 que, em cada linha, contém as componentes de

cada um dos três vetores de tensão referidos (Figura 4.94a).

Da mesma forma, o estado de deformação num ponto fica perfeitamente definido

conhecendo os três vetores de deformação associados a três fibras ortogonais (Figura 4.94b).

a. b.

Figura 4.94 – Estado de tensão e estado de deformação num ponto do interior de um sólido.

ESTADO DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO NUM PONTO

x2

x1

x3

ESTADO DE DEFORMAÇÃO

P

n(n)

Vetor de tensão em P, numa

faceta de normal n

22

11

33

12

13

23

21

32

31

x2

x1

x3

11 12 13

(1)

= ( )

21 22 23

(2)

= ( )

31 32 33

(3)

= ( )

11 12 1321 22 2331 32 33

=(x x x )1 2 3

P

três componentes

normais

três componentes

de distorção

22

11

33

12

13

23

21

32

31

11 12 1321 22 2331 32 33

=(x x x )1 2 3

, ,

, ,

, ,

11 12 13

(1)

= ( )

21 22 23

(2)

= ( )

31 32 33

(3)

= ( )

, ,

, ,

, ,

x2

x3

x1

x1

x2

Deslocamento sem

ocorrência de defor-mação em P

P

P'

CASO I CASO II CASO III

Deformação em P só com varia-

ção de comprimento das fibrasDeformação em P só com

variação do ângulo entre fibras

P dx1

du1

du2

dx2

du1

du2

dx1

dx2

11

du1

dx1

= 22

du2

dx2

= 12

du1

dx2

=du 2

dx1

+12=

1

2+

tg =

tg =

Pequenas

deformações

[rad]

Em geral ocorrem situações com sobreposição dos três casos acima identificados.

A sobreposição dos casos II e III permite definir o estado de deformação num ponto.

P

1

2

dx1

dx2

ESTADO DE TENSÃO

~

11

22

33

23

31

12

= ~

11

22

33

23

31

12

2

2

2

=

três componentes

normais

três componentes

tangenciais

258

Equações fundamentais da mecânica dos sólidos 4.8.3

No estudo do comportamento de um corpo sólido sob a ação de um dado conjunto de forças

exteriores (Figura 4.95) o objetivo é determinar para qualquer ponto do sólido P (x1,x2,x3):

i) o deslocamento u (vetor com três componentes);

ii) o estado de deformação (tensor com seis componentes independentes);

iii) o estado de tensão (tensor com seis componentes independentes).

Figura 4.95 – Incógnitas num problema de mecânica dos sólidos.

À partida conhece-se:

1. A geometria do sólido;

2. As propriedades do material;

3. As forças mássicas (três componentes: kN/m3);

4. As condições de fronteira – forças (kN) e/ou tensões aplicadas na fronteira (kN/m2) e

deslocamentos impostos (m); as zonas da fronteira em que se impõem deslocamentos

nulos denominam-se zonas com apoios rígidos (também podem ser considerados

apoios elásticos).

Relações entre deslocamentos e deformações (derivadas dos deslocamentos)

Na Figura 4.94b (casos II e III), apresenta-se a definição de deformação normal e de

deformação distorcional. No caso tridimensional existem três componentes de deformação

normal e três componentes de deformação distorcional que são dadas pelas seis equações

diferenciais seguintes que se escrevem matricialmente recorrendo ao operador diferencial L que

se indica na Figura 4.96.

No cálculo de uma estrutura submetida a um dado conjunto de forças exteriores o

objectivo é conseguir determinar para qualquer ponto da estrutura P (x , x , x ):

i) O deslocamento (vector com três componentes, funções de (x , x , x ) );

ii) O estado de deformação (tensor com seis componentes independentes);

iii) O estado de tensão (tensor com seis componentes independentes).

~

11

22

33

23

31

12

=

u~ =

uuu

1

2

3

~

11

22

33

23

31

12

2

2

2

= u~

~

~

À partida conhece-se:

i) a geometria da estrutura; ii) as propriedades dos materiais; iii) as forças mássicas (três componentes: kN/m );

iv) as condições de fronteira - forças aplicadas na fronteira e apoios ( rígidos ou elásticos).

Em cada ponto da estrutura é possível estabelecer 15 equações, que relacionam:

i) deslocamentos e deformações (seis equações de compatibilidade - diferenciais);

ii) deformações e tensões (seis equações constitutivas - algébricas);

iii) tensões e forças mássicas (três equações de equilíbrio - diferenciais).

EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE

RELAÇÕES DEFORMAÇÕES- DESLOCAMENTOS

EQUAÇÕES CONSTITUTIVAS

RELAÇÕES TENSÕES - DEFORMAÇÕES

EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO

RELAÇÕES TENSÕES - FORÇAS MÁSSICAS

L u~ ~ ~ ~

D (6 1) (3 1)

L f 0~ ~ ~

T

(3 1) (3 1)(6 1)(3 6)(6 1) (6 1)

3

1 2 3

1 2 3

Pu

2

3

u1

u

259

Figura 4.96 – Relações entre deformações e deslocamentos.

Relações entre tensões e deformações. Equação constitutiva.

No caso de um material elástico isotrópico com módulo de elasticidade E (kN/m2) e

coeficiente de Poisson (adimensional com valor da ordem de 0,2 para materiais como o aço ou

o betão), a deformação normal 11 de uma fibra na direção do eixo x1 é dada por 11 11 E , se

existir apenas a componente de tensão normal 11 (o módulo de elasticidade E corresponde a

uma constante de proporcionalidade entre tensões e deformações); no caso geral em que as

componentes 22 e 33 não são nulas, a deformação 11 depende também do coeficiente de

Poisson e dos valores de 22 e 33 , como se mostra na Figura 4.97 (para uma tensão normal

aplicada numa dada direção, o coeficiente de Poisson corresponde ao valor absoluto do

quociente entre a deformação que ocorre na direção transversal e a que ocorre na direção da

tensão aplicada). No caso geral tridimensional as relações entre tensões e deformações no caso

de materiais elásticos e isotrópicos apresentam-se na Figura 4.97 onde se indicam as componentes

da matriz de elasticidade inversa D-1

.

ESTADO DE TENSÃO E DE DEFORMAÇÃO NUM PONTO

x2

x1

x3

ESTADO DE DEFORMAÇÃO

P

n(n)

Vetor de tensão em P, numa

faceta de normal n

22

11

33

12

13

23

21

32

31

x2

x1

x3

11 12 13

(1)

= ( )

21 22 23

(2)

= ( )

31 32 33

(3)

= ( )

11 12 1321 22 2331 32 33

=(x x x )1 2 3

P

três componentes

normais

três componentes

de distorção

22

11

33

12

13

23

21

32

31

11 12 1321 22 2331 32 33

=(x x x )1 2 3

, ,

, ,

, ,

11 12 13

(1)

= ( )

21 22 23

(2)

= ( )

31 32 33

(3)

= ( )

, ,

, ,

, ,

x2

x3

x1

x1

x2

Deslocamento sem

ocorrência de defor-mação em P

P

P'

CASO I CASO II CASO III

Deformação em P só com varia-

ção de comprimento das fibrasDeformação em P só com

variação do ângulo entre fibras

P dx1

du1

du2

dx2

du1

du2

dx1

dx2

11

du1

dx1

= 22

du2

dx2

= 12

du1

dx2

=du 2

dx1

+12=

1

2+

tg =

tg =

Pequenas

deformações

[rad]

Em geral ocorrem situações com sobreposição dos três casos acima identificados.

A sobreposição dos casos II e III permite definir o estado de deformação num ponto.

P

1

2

dx1

dx2

ESTADO DE TENSÃO

~

11

22

33

23

31

12

= ~

11

22

33

23

31

12

2

2

2

=

três componentes

normais

três componentes

tangenciais

x1

u1

11 =

x2

u 2

22 =

x3

u 3

33 =

23 = +

1

2

x3

u 2 x2

u 3

31 = +

1

2

x1

u 3 x3

u1

12 = +

1

2

x2

u1 x1

u 2

L u~ ~

(6 1) (3 1)

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

2

3

3 2

2

3 1

1

u

u

u

1

2

3

11

22

33

23

31

12

2

2

2

=

L(6 3)

Operador

diferencial

260

Material elástico e isotrópico (dois parâmetros elásticos: E, )

Figura 4.97 – Relações entre tensões e deformações.

Relações Tensões-Forças mássicas. Equação de equilíbrio

Em cada ponto do interior de uma estrutura deve-se garantir o equilíbrio entre as tensões

(kN/m2) e as forças mássicas f (kN/m

3). Para tal basta considerar o equilíbrio de forças num

volume infinitesimal como se ilustra na Figura 4.98 (repare-se no esquema referente ao

equilíbrio de forças na direção do eixo x1).

Figura 4.98 – Relações entre tensões e forças mássicas. Equação de equilíbrio.

~ ~D

~ ~D

-1

(6 1) (6 1)

E - módulo de elasticidade

- coeficiente dePoisson

G =E

2(1 + )módulode distorção

E1E

- E1

E-

E-

E1

E-

E-

E-

G1

G1

G1

11

22

33

23

31

12

2

2

2

=

11

22

33

23

31

12

D-1 Matriz de

elasticidade inversa(material

isotrópico)

11 =

22 =

33 =

23 =

31 =

12 =

11E

- 22E

- 33E

22E

- 11E

- 33E

33E

- 11E

- 22E

23G

31G

12G

11

22

33

11

2

2

2

Equilíbrio de um

cubo infinitesimal

x1

x3

x2

x2

x

3

x1

x3

x

2

x

1

11

22

33

23

31

12

1

2

3

f

f

f

1

11x

2

21x

+ 3

31x

+ +1

f = 0

1

12x

2

22x

+ 3

32x

+ +2

f

1

13x

2

23x

+ 3

33x

+ +3

f

L f 0~ ~ ~

T

(3 1) (3 1)(6 1)(3 6)

F1x = 0

F2x = 0

F3x = 0

x 1

x1

x 3

x2

x3x

2

11 11+111f

2131 31+

31

= 0

= 0 11 x

2x

3

21 x

1x

3+

31 x

1x

2+ +

1f x

1x

2x

3 = 0

21 21+

261

Equação de Navier 4.8.4

Como se mostra na Figura 4.99 é possível obter uma equação diferencial que relaciona os

deslocamentos com as forças mássicas a qual é denominada equação de Navier. Trata-se da

equação fundamental da mecânica dos sólidos (formulação em deslocamentos).

Figura 4.99 – Equações fundamentais da Mecânica dos Sólidos. Formulação em deslocamentos:

equação de Navier.

Num problema de mecânica dos sólidos formulado em deslocamentos, há então que resolver

o seguinte problema de valores de fronteira, envolvendo a equação de Navier (equação

diferencial com derivadas parciais de segunda ordem da função incógnita u ).

T

a verificar em toda a estrutura V

Condições de fronteira

D = 0 ,L L

u f (4.116)

Com exceção de alguns casos elementares, não é possível obter uma solução analítica exata

para o anterior problema de valores de fronteira. Em geral recorre-se a métodos numéricos,

nomeadamente ao MEF que é, atualmente, o método mais utilizado para obter soluções

aproximadas das equações da mecânica, em problemas de qualquer tipo de complexidade.

f

Forças

u

Deslocamento

~

~ ~

Tensões

mássicas

~

Deformações

6 Equações de

compatibilidade

3 Equações de

equilíbrio

6 Equações constitutivas

L u~ ~

Lf0~ ~ ~

T

~ ~D

L(DLu) f = 0~ ~ ~

TEquação de Navier

Pu

2

3

u1

As forças mássicas podem ser

forças gravíticas (peso específico),

forças de inércia associadas a acelera-

ções sísmicas ou ainda forças de

amortecimento.

f~

NOTA:

~

11

22

33

23

31

12

2

2

2

=~

11

22

33

23

31

12

=

u~ =

u

u

u

1

2

3

x1( x2 x3), ,

x1( x2 x3), ,

x1( x2 x3), ,

~=

f

f1

f2

f3

x2

x1

x3

u

x

x

x

x

x

x

x

x

x

L=

1

2

3

3 2

2

3 1

1

(6 3)

Operador

diferencial

Comportamento elástico linear

262

Forma fraca da equação de Navier 4.8.5

Para se utilizar o MEF com vista a obter soluções numéricas da equação de Navier atrás

apresentada é necessário começar por obter a correspondente forma integral ou forma fraca o que

se consegue através da aplicação do Lema Fundamental do Cálculo Variacional2

e do teorema de

Green Gauss à anterior forma forte (nota: utilizando o Princípio dos Trabalhos Virtuais pode-se

obter diretamente a forma fraca da equação de Navier).

A aplicação do LFCV à equação (4.116) permite escrever :

T T

V

V


D dV = 0 , CL L

v . vfu (4.117)

e por aplicação do teorema de Green-Gauss (correspondente à aplicação do teorema da

integração por partes em problemas unidimensionais) obtém-se

T T

V

V V


D dV = dV , CL L

v v vu f (4.118)

sendo de notar que nesta forma apenas surgem derivadas parciais de primeira ordem da função

incógnita u .

Resolução numérica pelo método dos elementos finitos 4.8.6

Na resolução numérica de problemas de valor de fronteira pelo método dos elementos finitos

(Zienkiewicz, 1967) (Oliveira, 1968) o domínio é discretizado em NE elementos de dimensão

finita ligados entre si por pontos nodais e o problema, no caso da mecânica dos sólidos, reduz-se

à determinação dos deslocamentos em todos os NP pontos nodais (no caso de problemas

tridmensionais há que determinar três componentes de deslocamento por nó). A ideia chave do

MEF consiste em adotar a hipótese de que o campo de deslocamentos 1 2 3x , x , xu = u pode ser

2 Lema Fundamental do Cálculo Variacional (LFCV)

Se F(x) é uma função contínua definida em V 0,L então,

V

V

(x) (x)F(x) 0, x V F(x) dx 0 , para toda a função de teste C. v v

Nota: as funções de teste (x)v referidas neste Lema são funções contínuas infinitamente diferenciáveis de suporte

compacto em V, que correspondem ao conceito de campos de deslocamentos virtuais que é utilizado no enunciado

do Princípio dos Trabalhos Virtuais.

263

aproximado através de uma combinação linear de funções Ni com valor unitário nos nós,

denominadas funções de interpolação (para um dado nó i a função de interpolação Ni assume o

valor 1 nesse nó e valor nulo em todos os outros nós). Para ilustrar graficamente o conceito de

funções de interpolação e respetiva combinação linear para aproximar a solução, mostra-se na

Figura 4.100 a aplicação do MEF à análise de um cabo elástico suspenso nas extremidades

(Oliveira, 2005).

Figura 4.100 - Discretização do cabo em quatro elementos finitos (Oliveira, 2005) e representação de

uma solução aproximada dada pela combinação linear de funções simples definidas por troços lineares

(funções de interpolação, Ni(x)).

Para facilitar a implementação computacional do MEF é conveniente trabalhar por elemento

finito: aplica-se o LFCV a cada elemento finito de volume Ve e consideram-se as funções de

interpolação correspondentes aos pontos nodais de cada elemento. Na

Figura 4.101 mostram-se as funções de interpolação de um elemento finito linear de dois

pontos nodais (como os usados no exemplo anterior do cabo elástico) e as funções de

interpolação de um elemento finito de placa com quatro ponto nodais e dois graus de liberdade

por nó (que serão usados no exemplo que se apresenta no ponto seguinte referente a uma

barragem).

1

21 32 3 44 51

u(x)

N

Solução aproximada (MEF)

4u

3u2

u

1 1

u = 05

u = 0

u(x) = N + N + N + N + N321 541

u2

u3

u4

u5

u

u(x) = N N N N N 1u

2u

3u

4u

5u

1 2 3 4 5

(x)2

N(x)3

N(x)4

N(x)5

N(x)

(x) (x) (x) (x) (x) u(x) = N u

1

264

a. Elemento finito unidimensional com dois nós (1 grau de liberdade por nó)

b. Elemento finito bidimensional com quatro nós (2 graus de liberdade por nó)

Figura 4.101 -Funções de interpolação definidas por elemento: a) utilizando um elemento finito de barra com dois

pontos nodais e um grau de liberdade de translação por nó; b) utilizando um elemento finito de placa com quatro

pontos nodais e dois graus de liberdade de translação por nó.

1 2

N2N1

1 1

ue11 ue2

1

uPP

0,75

0,25

N1

1

1º

2º3º

N2 N3

N4

1

1

1

ue11

ue1

2

ue21

ue22

ue31

ue3

2

ue41

ue4

2

e1

e1 e2 1

P 1 1 e2

1

uu 0,75 u 0,25 u 0,75 0,25

u

e1

1

P 1 2 e2P

1

uu N N

u

P

(8 1)(2 1) (2P)

e

P8

N u

u

e1

1

e1

2

e2

1

e21 2 3 4 2

e31 2 3 4 1P P

e3(2x1) N (2x8)2

e4

1

e4

2

(8x1)

1

2

u

u

u

u

N 0 N 0 N 0 N 0 u

0 N 0 N 0 N 0 N u

u

u

u

u

265

O campo de deslocamentos em cada elemento finito é dado pela combinação linear das

correspondentes funções de interpolação de acordo com a seguinte expressão

eNuu (4.119)

em que u representa os deslocamentos de um ponto qualquer P do interior do elemento finito, N

representa a matriz com os valores das funções de interpolação em P e eu representa o vetor

com os valores dos deslocamentos dos nós do elemento.

Admitindo que, também os campos de deslocamentos virtuais num elemento finito

(funções de teste) podem ser aproximados por uma expressão idêntica à anterior

eNv v (4.120)

então a forma fraca da equação de Navier apresentada em (4.118) pode ser escrita para um

elemento finito de volume Ve introduzindo as duas expressões anteriores, obtendo-se

e e

T Te e e e

V V

N D Nu dV = N dV , = NL L v v v vf (4.121)

A condição anterior pode ser verificada considerando apenas as funções N que formam a base

do espaço linear das funções e= Nv v ficando

e e

T e T

V V

N D N dV u = N dV L L f (4.122)

em que surge a matriz NL com as derivadas parciais das funções de interpolação que

usualmente é designada por B N= L (Zienkiewicz, 1967), escrevendo-se então

e e

T e T

V V

B DB dV u = N dV f (4.123)

ou

e e eK u F (4.124)

em que,

e

e T

V

K B DB dV é a matriz de rigidez do elemento finito;

e

e T

V

F N dV f é o vetor das forças nodais do elemento, equivalentes às forças mássicas.

266

Aplicação ao caso de uma barragem 4.8.7

Para implementar computacionalmente o MEF no Excel com vista à resolução da equação

de Navier num caso de elasticidade bidimensional, apresenta-se em seguida o exemplo de uma

barragem, cujas características geométricas e propriedades elásticas se apresentam na Figura

4.102.

Figura 4.102 – Exemplo utilizado para implementação do MEF em Excel. Barragem em betão.

Admitindo que se trata de uma barragem de betão e que está sujeita apenas à ação da

gravidade (peso próprio: 3

betão 24 kN/m ), pretende-se calcular os deslocamentos da barragem

resolvendo a equação de Navier através do MEF, programando uma folha de cálculo com vista a

determinar o referido campo de deslocamentos e também o campo de tensões.

I. Escolha da aproximação a adotar quanto ao tipo de equilíbrio

Tendo em conta a geometria da barragem é aceitável analisar apenas uma secção plana, ou

seja, considera-se um modelo bidimensional como se apresenta na Figura 4.103.

Figura 4.103 - Modelo bidimensional da barragem sujeita apenas à ação da gravidade.

20 m

5 m

30 m

E = 20 GPa

= 0.20

x1

x2

u

2

u1

u

P

267

Visto tratar-se de um exemplo de elasticidade bidimensional há que determinar, em cada

ponto, duas componentes de deslocamento, três componentes de deformação e três componentes

de tensão:

11 11

1

22 22

2

12 12

uu

u2

(4.125)

II. Matriz de Elasticidade D

Admite-se a hipótese de material elástico e isotrópico e considera-se que as deformações

segundo a direção perpendicular à secção plana são nulas. Deste modo, diz-se que se trata de um

estado plano de deformação (E.P.D.) em que 33 23 310 e 0 . A tensão normal 33 ,

segundo o eixo x3 não será nula, e a matriz de elasticidade assume a seguinte forma [Chen &

Saleeb, 1994]:

11 11

22 22

12 12

33 11 22

E(1 ) E0

(1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )

E E(1 )0

(1 )(1 2 ) (1 )(1 2 )2

E0 0

2(1 )

D

E( )

(1 )(1 2 )

(4.126)

III. Tipo de elementos finitos

Para o caso de estruturas planas em equilíbrio de placa, há que adotar uma discretização em

elementos finitos com dois graus de liberdade por nó (deslocamento segundo x1 e deslocamento

segundo x2). Podem ser utilizados elementos finitos quadrangulares ou triangulares tendo-se

optado, neste caso, por utilizar elementos finitos quadrangulares de 4 nós com dois graus de

liberdade por nó. Para estes elementos o deslocamento em cada ponto P do seu interior é obtido

como uma média ponderada dos deslocamentos dos seus quatro nós, sendo os fatores de

ponderação correspondentes aos valores das funções de interpolação nesse ponto. Assim, as duas

268

componentes de deslocamento são dadas por e1 e2 e3 e4

1 1 1 2 1 3 1 4 1u N u N u N u N u e

e1 e2 e3 e4

2 1 2 2 2 3 2 4 2u N u N u N u N u (3), o que, escrito na forma matricial, corresponde à já referida

equação que traduz a aproximação fundamental do MEF para este tipo de elementos finitos:

e1

1

e1

2

e2

1

e21 2 3 41 2

e31 2 3 42 1P P

e3(2x1) N (2x8)2

e4

1

e4

2

(8x1)

u

u

u

N 0 N 0 N 0 N 0u u

0 N 0 N 0 N 0 Nu u

u

u

u

(4.127)

IV. Discretização em elementos finitos

Dado tratar-se de um exemplo ilustrativo, e com vista a facilitar a implementação em Excel,

opta-se por uma discretização com apenas três elementos finitos, como se mostra na Figura

4.104. É de notar que, na prática devem adotar-se malhas com maior refinamento, por forma a

obter soluções numéricas mais próximas da solução exata.

Figura 4.104 - Malha de elementos finitos (discretização). Coordenadas dos nós da barragem (9 m de

altura) e definição dos elementos (tabela de incidências).

(3)

Os valores N1, N2, N3 e N4 correspondem aos valores das funções de interpolação no ponto P do interior do

elemento finito, sendo que 1 2 3 4N N N N 1 .

ESTRUTURA (discretizada em EF2D, com 4 nós)

1

3

5

7

2

4

6

8

u 2

u 1 u

3

u 4

u 6

u 5 u

7

u 8

u 11

u 12

u 9

u 10

u 13

u 14

u 15

u 16

coord 0 9

2 9

0 7.5

2 7.5

0 4

45.266

0 0

09

elem 4 2

6 4

1 3

3 5

8 6 5 71

2

3

NP = 8

NE = 3

NGLNO= 2

NNOE= 4

x 1

x 2 1 nó

o2 nó

o3 nó

o4 nó

o

NGL = NPNGLNO = 16

K u = F(16x1)(16x16) (16x1)

x 1

x 2

esp=1 mu

(16x1)

E = 20 GPa

-240

f =

Peso próprio

=

u 1

u 2

u 3

u 4

u 5

u 6

u 7

u 8

u 9

u 10

u 11

u 13

u 14

u 15

u 16

u 12

apoios

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

1 1

1 1

~

~ ~

~

imat

1

1

1

269

V. Equação de equilíbrio de um elemento finito e da barragem discretizada

Neste caso, de elemento finitos planos de 4 nós (com 2 G.L. de translação por nó), a equação

de equilíbrio assume a forma matricial seguinte (atrás deduzida eq. (4.124)) onde se indica a

dimensão da matriz de rigidez elementar, do vetor elementar das forças nodais equivalentes e do

vetor de deslocamentos nodais,

e e e

(8 8) (8 1)(8 1)

K u F

(4.128)

Considerando toda a barragem, a equação de equilíbrio global é do mesmo tipo e obtém-se

por sobreposição ou assemblagem das matrizes elementares anteriores. A dimensão da matriz de

rigidez global, do vetor global das forças nodais equivalentes e do vetor de deslocamentos nodais

depende do número total de graus de liberdade da discretização adotada (NGL=2NP), vindo

assim,

2NP 2NP 2NP 12NP 1

K . u F

(4.129)

VI. Coordenadas gerais e coordenadas locais. Transformação de coordenadas

Na programação do método dos elementos finitos é conveniente utilizar o conceito de

elemento finito “master” o qual é definido como um quadrado de dimensões 2 2 , com eixos

locais y1 e y2 com origem no centro do quadrado. Desta forma os vários elementos finitos de

uma dada discretização (com diferentes características geométricas no referencial geral x1,x2)

são tratados da mesma forma no referencial local do “master”: há apenas que ter em conta a

matriz jacobiana J que caracteriza a transformação entre coordenadas gerais e locais (

Figura 4.105).

Figura 4.105 - Esquema de mudança de referencial (Oliveira, 2012).

y1

y2

x 1

x 2

y1

y2

y1

y2

1º

2º

3º

4º1º

2º3º

4º1º

2º3º

4º

0 1 2 3 4

1

1

2

3

4

1

1

1

1

1

0

0

0

Transformação de coordenadas

caracterizada por uma matriz

Jacobiana J ( J é variável de elemento para

elemento e de ponto para

ponto em cada elemento)

Elemento "master"

No elemento mestre (definido nos

eixos locais) a integração para obter

a matriz de rigidez é efectuada sobre

um domínio quadrado:

Eixos locais: y , y

Eixos gerais: x , x21

21

y1

y2

-1 +1

-1 +1

Nos eixos gerais a integração para obter a matriz de rigidez teria

de ser efectuada em domínios do tipo quadiláteros irregulares:

Ke

= dx dxBTD Be

21 Ke

= dy dyBTD Be

21J

-1

1

-1

1

Matriz com as derivadas das funções de interpolação: espessura

Matriz de elasticidade

Determinante da

matriz Jacobiana

(1, 1)

(1,-1)

(-1,1)

(-1,-1)

( 2 2)

( 3 3)

(38)

( 8 8)

y1

-1 1, y2

-1 1

B = L N (32) (28) em ordem a x e x1 2

ue2

1

ue2

2

ue1

1

ue12

ue3

1

ue3

2

ue4

1

ue4

2

270

As funções de interpolação e as respetivas derivadas são facilmente definidas no elemento

“master” em termos das coordenadas locais como se mostra na Figura 4.106.

Figura 4.106 – Definição das funções de interpolação em coordenadas locais (no elemento “master”)

e das respetivas derivadas parciais em ordem a y1 e y2.

No caso geral de elementos finitos com geometrias irregulares, a matriz jacobiana varia de

ponto para ponto no interior do elemento finito: traduz, em cada ponto, “o grau de distorção” do

elemento finito no referencial geral relativamente ao elemento “master” (referencial local).

Para obter a matriz jacobiana em cada ponto de um elemento finito, é necessário conhecer as

coordenadas gerais x1 e x2 dos pontos nodais e as derivadas parciais das funções de interpolação

em ordem às coordenadas locais. A matriz jacobiana em cada ponto P do interior dum elemento

finito é então dada pelo seguinte produto matricial:

1 1

1 2

2 2

e1 e2 e3 e41 211 12 1 1 1 1

P e1 e2 e3 e43 321 22 2 2 2 2P(2x2)

1 2

4 4

1 2 P

N N

y y

N N

y yJ J x x x x J .

N NJ J x x x x

y y

N N

y y

(4.130)

u 1

u 2

e1

e1

u 1

u 2

e2

e2

(1,-1)

(-1,-1)

u 1

e3

u 2

e3

u 1

u 2

e4

e4

3º

4º

2º

1º

1

2

3

x 1

x 2

P

u 2

u 1

P

P

y 1

(-1,-1)

(1,1)

(1,-1)

y 2

(-1,1)

Elemento "master"

APG1Local= 1

eixos locais

(y , y )1 2

(e1)

(e2)(e3)

(e4)

(e1)

(e2)(e3)

(e4)

N4

N2

N1

1

11

3º

4º1º

2º 3º

4º1º

2º

3º

4º1º

2º

y

y

1

21

3º

4º1º

2º nó

y

y

1

2

y

y

1

2

y

y

1

2

(1 + y )1

1

4(1 - y )

2=

(1 + y )1

1

4(1 + y )

2=N

3(1 - y )

1

1

4(1 + y )

2=

(1 - y )1

1

4(1 - y )

2=

(1,-1)

(1,1)(-1,1)

(-1,-1)

e

P

1 2 3 4

1 2 3 4

N

e1

2

e2

2

e3

2

e4

e1

1

e2

1

e3

1

e4

1

2 P P

u

2

1

u

u

N 0 N 0 N 0 N 0

0 N 0 N 0 N 0

u

u

u

uN

u

u

u

u

PONTO (PG1 : coordenadas locais y = 0.57735, y =-0.57735)1 2

N1

N 2

N 3

N 4

N_col N N1

N1

N2

N2

N3

N3

N4

N4

0

0 0

0

0

0

0

0 dNdy dN dy1 1

dN dy2 1

dN dy3 1

dN dy4 1

dN dy1 2

dN dy2 2

dN dy3 2

dN dy4 2

=

PG1

PG1

PG1

xe

x1

x 2

e1

e1

x1

x 2

e2

e2

x1

x 2

e3

e3

x1

x 2

e4

e4

1 nóo

2 nóo

3 nóo

4 nóo

dN dy1 1

dN dy2 1

dN dy3 1

dN dy4 1

dN dy1 2

dN dy2 2

dN dy3 2

dN dy4 2

PG1

dNdx dN dx1 1

dN dx2 1

dN dx3 1

dN dx4 1

dN dx1 2

dN dx2 2

dN dx3 2

dN dx4 2

= dN dy1 1

dN dy2 1

dN dy3 1

dN dy4 1

dN dy1 2

dN dy2 2

dN dy3 2

dN dy4 2

PG1PG1

-1J11 J12

J21 J22

J11 J12

J21 J22

(1-y)2

1

4=- (1+y)

1

1

4

(1+y)2

1

4(1+y)

1

1

4

- (1+y)2

1

4(1-y)

1

1

4

- (1-y)2

14

- (1-y)1

14

=(1+y )(1-y )

1 2

1

4

(1+y )(1+y )1 2

14

(1-y )(1+y )1 2

1

4

(1-y )(1-y )1 2

1

4

J

dN dx1 1

dN dx1 2

dN dx1 2

dN dx1 1

0

0

dN dx2 1

dN dx2 2

dN dx2 2

dN dx2 1

0

0

dN dx3 1

dN dx3 2

dN dx3 2

dN dx3 1

0

0

dN dx4 1

dN dx4 2

dN dx4 2

dN dx4 1

0

0

B

y

y

1

21

3º

4º1º

2º nó

N3

PG1

= D B ue

~ ~PG1

=

PG1

11

22

21

PG1

Estado de tensão num ponto

P

e

P N uu

271

VII. Cálculo da matriz de rigidez elementar

Como se mostrou anteriormente, a matriz de rigidez de um elemento finito é calculada como

o integral de uma matriz, dada pelo produto T

B D B , estendido ao volume do elemento finito,

Te

1 2 3

V

K B D B dx dx dx (4.131)

sendo, B a matriz com as derivadas parciais das funções de interpolação em ordem às

coordenadas gerais. Uma vez que se trata de uma estrutura plana, o integral anterior pode ser

escrito na seguinte forma, em coordenadas locais:

1 1

e T

1 2

1 1

K B D B J dy dy

e (4.132)

sendo e a espessura do elemento finito e 1 2 1 2dx dx J dy dy . No exemplo em análise

correspondente ao modelo plano da barragem pode-se usar e = 1 m para os três elementos finitos

da discretização adotada.

Integração numérica da matriz de rigidez elementar pelo método de Gauss

Em geral, não é possível calcular analiticamente o integral anterior, recorrendo-se deste

modo ao método numérico de integração de Gauss para efetuar o seu cálculo. Este método

consiste em transformar o integral numa soma de volumes de prismas em que se subdivide o

volume sob o gráfico (Figura 4.107). Utilizando quatro pontos de Gauss, o integral corresponde à

soma do volume de quatro prismas, em que a área da base é o denominado peso de Gauss e a

altura é o valor da função a integrar nas coordenadas de cada ponto de Gauss.

57735,0y57735,0y

21

00,1

22

57735,0y57735,0y

21

00,1

21

57735,0y57735,0y

21

00,1

12

57735,0y57735,0y

21

00,1

11

1

1

2121

2

1

4PG

2

1

3PG

2

1

2PG

2

1

1PG

)y,y(f.HH)y,y(f.HH

)y,y(f.HH)y,y(f.HHdydy)y,y(f

Figura 4.107 - Representação dos prismas em que se subdivide o volume sob o gráfico da função

(integral). Pontos de Gauss e respetivos pesos.

y

y

1

2

1º

2º3º

4º nó

PG1

PG3

PG2

PG4

f (y1,y2)

H1 =1,0 H2 =1,0

H1 =1,0

H2 =1,0

272

Deste modo, o cálculo numérico da matriz de rigidez e

K é dado pelo seguinte somatório:

1 1 1 1

2 2 2 2

Área da Área da Área da Área dabase base base base

e T T T T

1 1 1 2 2 1 2 2

PG1 PG2 PG3 PG4y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735 y 0,57

K H H B D B J H H B D B J H H B D B J H H B D B J

735

(4.133)

Determinação da matriz B

Para concluir o cálculo da matriz de rigidez elementar falta apenas conhecer a matriz B. Esta

matriz, definida em cada ponto, contém as derivadas parciais das funções de interpolação em

relação às coordenadas gerais 1 2x , x . Como se mostrou anteriormente, a matriz B é obtida

através da aplicação do operador diferencial L à matriz das funções de interpolação, isto é,

B L N . Em cada ponto de Gauss, as derivadas parciais das funções de interpolação em ordem

às coordenadas gerais obtêm-se através do produto da matriz das derivadas em ordem às

coordenadas locais e da inversa da matriz jacobiana:

PG

1 1 1 1

1 2 1 2

2 2 2 2

11 2 1 2

3 3 3 3

1 2 1 2

4 4 4 4

1 2 1 2PG PG

N N N N

x x y y

N N N N

x x y yJ

N N N N

x x y y

N N N N

x x y y

(4.134)

Então, para cada ponto de Gauss e tratando-se do presente caso bidimensional de um

elemento finito com 4 nós, a matriz B em cada ponto de Gauss PG é dada por:

31 2 4

1 1 1 1

31 2 4PG

2 2 2 2(3x8)

3 31 1 2 2 4 4

2 1 2 1 2 1 2 1

NN N N0 0 0 0

x x x x

NN N NB 0 0 0 0

x x x x

N NN N N N N N

x x x x x x x x

(4.135)

273

Assim, a matriz de rigidez Ke é uma matriz quadrada com um número de linhas e colunas

igual ao número total de graus de liberdade do elemento.

VIII. Assemblagem da matriz de rigidez global e introdução das condições de

fronteira (apoios)

Uma vez calculadas as matrizes de rigidez elementares, a matriz de rigidez global K obtém-

se através da sobreposição das várias matrizes de rigidez elementares (na folha de cálculo será

utilizada uma página para cada elemento sendo que no final de cada página a correspondente

matriz de rigidez elementar). Este processo de sobreposição (ou assemblagem) exige o

estabelecimento da correlação entre os graus de liberdade locais de cada elemento (GLE) e os

graus de liberdade gerais (GLG) de toda a barragem.

Na Figura 4.108 apresenta-se esquematicamente o processo de assemblagem para a estrutura

em estudo.

A matriz de rigidez global é também uma matriz quadrada (simétrica) com um número de

linhas e colunas igual ao número total de graus de liberdade da discretização.

Por fim, ainda é necessário introduzir as condições de fronteira ou de apoio, na matriz K. A

existência de um apoio de rigidez Ka segundo um dado grau de liberdade, pode ser considerado

numericamente adicionando o valor da rigidez desse apoio Ka, à diagonal da matriz K na posição

(linha e coluna) correspondente ao grau de liberdade apoiado. No caso de se tratar de um apoio

rígido, este pode ser encarado como um apoio elástico mas com uma rigidez muito elevada,

como por exemplo 1015

ou 1020

kN/m.

274

Figura 4.108 - Ilustração do processo de assemblagem ou espalhamento das várias matrizes de

rigidez elementares na matriz de rigidez global para o caso em que a secção foi discretizada em 4

elementos finitos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 81

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

11k

11k

25k

1

3

5

7

2

4

6

8

21 3

4

65 7

8

1112

910

1314

1516

1

2

3

3

4

2

1

65 3

4

87 1

21

3

4

2

1

5 3

12

78

2

46

3

4

2

1

34

56

78

12

3

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8

77k

e1K

K

e2K e3K

(16x16)

(8x8)(8x8) (8x8)

+ +=

(falta completar)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

e1K(16x16)

Após espalhamentoe2K

(16x16)

e3K(16x16)

Após espalhamento Após espalhamento

22k

55k

66k

33k

44k

77k

88k

15k

85k

75k

45k

35k

65k56k 53k 54k 57k 58k 51k 52k

11k

25k22k

55k

66k

33k

44k

88k

15k

85k

75k

45k

35k

65k56k 53k 54k 57k 58k 51k 52k

22k

33k

44k

55k

66k

77k

88k

12k 13k 14k 15k 16k 17k 18k

21k

31k

41k

51k

61k

71k

81k

11k

22k

33k

44k

55k

66k

77k

88k

12k 13k 14k 15k 16k 17k 18k

21k

31k

41k

51k

61k

71k

81k

11k

22k

33k

44k

55k

66k

77k

88k

12k 13k 14k 15k 16k 17k 18k

21k

31k

41k

51k

61k

71k

81k

77k

11k

25k22k

55k

66k

33k

44k

88k

15k

85k

75k

45k

35k

65k56k 53k 54k 57k 58k 51k 52k

275

IX. Cálculo do vetor elementar das forças nodais equivalentes ao peso próprio

Na Figura 4.109 deduziu-se a equação que traduz o equilíbrio de um elemento finito

(formulação em deslocamentos) em que o vetor elementar das forças nodais equivalentes ao peso

próprio era dado por:

e T

1 2 3

V

F N f dx dx dx (4.136)

onde f é o vetor das forças mássicas atuantes (que neste caso equivale ao peso específico do

material).

De forma idêntica ao que foi apresentado para a matriz de rigidez elementar, o integral

anterior pode ser transformado no seguinte somatório (método de integração de Gauss):

1 1 1 1

2 2 2 2

Área da Área da Área da Área dabase base base base

T T T Te

1 1 1 2 2 1 2 2

PG1 PG2 PG3 PG4y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735y 0,57735 y 0,57735 y 0,57735 y 0,577

F H H N f J H H N f J H H N f J H H N f J

35

(4.137)

Assim, o vetor elementar das forças nodais equivalentes ao peso próprio da estrutura

apresenta um número de linhas igual ao número total de graus de liberdade do elemento (Figura

4.109).

Figura 4.109 - Representação do vetor elementar das forças nodais equivalentes ao peso próprio para o

elemento finito quadrangular com 2 G.L. de translação por nó.

X. Assemblagem do vetor global das forças nodais equivalentes ao peso próprio

Para ter em consideração esta acão, aplicam-se forças equivalentes ao peso próprio em todos

os pontos nodais da estrutura, como se pode observar na figura que se apresenta.

F1,H

F =e

(8x1)

F1,V

Nó 1

F2,H

F2,V

F3,H

F3,V

Nó 2

Nó 3

F4,H

F4,V

Nó 4

276

Figura 4.110 - Forças nodais equivalentes ao peso próprio distribuídas pela estrutura. Processo de

espalhamento das forças elementares no vetor das forças globais equivalentes ao peso próprio.

Discretização em 4 elementos finitos.

Então o vetor das forças globais equivalentes ao peso próprio apresenta um número de

linhas igual ao número total de graus de liberdade em toda a estrutura.

XI. Cálculo dos deslocamentos nos pontos nodais da estrutura

Os deslocamentos nos pontos nodais da estrutura obtêm-se a partir da equação que traduz o

equilíbrio global de toda a estrutura:

1

K u F

u K F

(4.138)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1

2

3

4

5

6

7

8

11f

25f

1

3

5

7

2

4

6

8

21 3

4

65 7

8

1112

910

1314

1516

1

2

3

3

4

2

1

65 3

4

87 1

21

3

4

2

1

5 3

12

78

2

46

3

4

2

1

34

56

78

12

3

e1f

F

e2f e3f

(16x1)

(8x1)(8x1) (8x1)

+ +=

e1F(16x1)

Após espalhamentoe2F

(16x1)

e3F(16x1)

Após espalhamento Após espalhamento

55f

15f

85f

75f

45f

35f

65f

21f

31f

41f

51f

61f

71f

81f

1

2

3

4

5

6

7

8

11f

21f

31f

41f

51f

61f

71f

81f

1

2

3

4

5

6

7

8

11f

21f

31f

41f

51f

61f

71f

81f

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

25f

55f

15f

85f

75f

45f

35f

65f

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1625f

55f

15f

85f

75f

45f

35f

65f

277

tendo o vetor de deslocamentos um número de linhas igual ao número total de graus de liberdade

de toda a estrutura, como se mostra na Figura 4.111.

XII. Cálculo das tensões num ponto genérico P

Para determinar as tensões num ponto qualquer P num dado elemento e utiliza-se a

expressão obtida na Figura 4.111, em que:

e

P D D B u (4.139)

A matriz B apenas tem de ser calculada no ponto P e o vetor com os deslocamentos nodais

eu é o correspondente ao elemento no qual se considera o ponto.

NP – número de pontos total da estrutura

Figura 4.111 - Representação do vetor dos deslocamentos nos pontos nodais para o elemento finito

quadrangular com 2 G.L. de translação por nó.

Programação do MEF em Excel 4.8.8

Neste ponto descreve-se pormenorizadamente como é que a formulação apresentada no

ponto anterior (em doze passos) pode ser implementada no Excel. Na primeira página da folha

de cálculo (Figura 4.112) introduzem-se os dados do problema que, neste caso, correspondem às

coordenadas dos pontos nodais da discretização da barragem (NP=8), à tabela de incidências

para os três elementos finitos da discretização (NE=3) e ainda os parâmetros elásticos (módulo

de elasticidade E=20 GP e coeficiente de Poisson =0,2). Neste caso foi programada a

possibilidade do utilizador controlar estes parâmetros com auxílio de barras de deslocamento. Os

resultados dos cálculos (que são efetuados nas páginas seguintes da folha de cálculo) são

apresentados graficamente na primeira página, nomeadamente apresenta-se logo na primeira

página o desenho da barragem indeformada e o desenho da barragem após a deformação devida

às ações aplicadas que neste caso é apenas a ação gravítica (peso próprio).

u1,H

1,V

2,H

2,V

NP,H

NP,V

.

.

.

.

.

.

u

u

u

u

u

u =(2NPx1)

278

APLICAÇÃO 60: Implementação do MEF na folha de cálculo. Barragem

Figura 4.112 – Resolução numérica da equação de Navier pelo MEF. Programação em Excel para o

caso de uma barragem discretizada em três elementos finitos planos de quatro nós.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

Como se mostra nas três figuras seguintes (Figura 4.113 à Figura 4.115) o cálculo da matriz

de rigidez de cada elemento finito é efetuado em páginas separadas da folha de cálculo. Neste

caso, logo a seguir à página inicial surge uma página (Figura 4.113) denominada Elem1 na qual

se efetuam os cálculos necessários para obter a matriz de rigidez elementar do elemento 1 assim

como o respetivo vetor das forças nodais equivalentes às forças aplicadas (peso próprio). Como

se pode ver esta página está organizada por forma a permitir o cálculo da matriz TB DB J em

cada um dos quatro pontos de Gauss e a respetiva soma conduz à pretendida matriz de rigidez

elementar que é devidamente inserida na matriz de rigidez global com a referida técnica de

assemblagem ou espalhamento. Observando detalhadamente a organização desta página

denominada Elem1 e apresentada na Figura 4.113 torna-se mais fácil compreender a sequência

apresentada em doze passos no ponto anterior para a programação do cálculo da matriz de

rigidez de um elemento finito. Neste sentido entende-se que a melhor forma de compreender o

MEF e em particular os detalhes da sua programação é mesmo recorrer a uma folha de cálculo.

Para calcular a matriz de rigidez dos restantes elementos basta copiar duas vezes a página

Elem1 para se obter as páginas Elem2 (Figura 4.114) e Elem3 (Figura 4.115) correspondentes

aos dois elementos finitos restantes. Nestas páginas a programação é efetuada de forma a que

alterando apenas o número do elemento surge automaticamente a matriz com as coordenadas

gerais dos pontos nodais do novo elemento e os cálculos de todas as restantes matrizes são


279

efetuados também automaticamente sendo de notar que também o espalhamento pode ser

programado.

Figura 4.113 – Cálculo da matriz de rigidez elementar para o caso do elemento 1 (página Elem1).

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI

1 Elem. 12 1 2 3 4 E= 20 D= 20,8 4,2 0 f= 0

3 1 2 2 0 0 = 0,2 4,17 21 0 -0,024

4 2 7,5 9 9 7,5 0 0 8,333

5

6 PG1 d/dy1 d/dy2 d/dx1d/dx2 BT.

D.B.|J | NTf

7 y1= 0,57735 N1 0,39 -0,39 J = 1 0 N1 0,39 -0,5 B= 0 0 0 0 -0 0 -0 0 4,2 -1,9 -1,1 0,3 -1,1 0,5 -2,0 1,1 0,0000

8 y2= -0,57735 N2 0,11 0,394 -0 0,75 N2 0,11 0,5 0 -1 0 0,5258 0 0 0 -0,1409 -1,9 5,3 1,1 -4,1 0,5 -1,4 0,3 0,2 -0,0112

9 N3 -0,1 0,106 N3 -0,1 0,1 -1 0 1 0,1057 0 -0 -0 -0,3943 -1,1 1,1 1,9 0,5 0,3 -0,3 -1,1 -1,3 0,0000

10 N4 -0,4 -0,11 J-1

= 1 0 N4 -0,4 -0,1 0,3 -4,1 0,5 4,4 -0,1 1,1 -0,7 -1,4 -0,0030

11 6E-16 1,33 N= 1 0 0 0 0 0 0 0 -1,1 0,5 0,3 -0,1 0,3 -0,1 0,5 -0,3 0,0000

12 0 1 0 0,1667 0 0 0 0,16667 0,5 -1,4 -0,3 1,1 -0,1 0,4 -0,1 0,0 -0,0008

13 |J |= 0,75 -2,0 0,3 -1,1 -0,7 0,5 -0,1 2,6 0,5 0,0000

14 1,1 0,2 -1,3 -1,4 -0,3 0,0 0,5 1,3 -0,0030

15 PG2 d/dy1 d/dy2 d/dx1d/dx2

16 y1= 0,57735 N1 0,11 -0,39 J = 1 0 N1 0,11 -0,5 B= 0 0 0 0 -0 0 -0 0 1,9 -0,5 -1,1 -1,1 -1,1 1,3 0,3 0,3 0,0000

17 y2= 0,57735 N2 0,39 0,394 3E-16 0,75 N2 0,39 0,5 0 -1 0 0,5258 0 0 0 -0,1409 -0,5 4,4 -0,3 -4,1 0,7 -1,4 0,1 1,1 -0,0030

18 N3 -0,4 0,106 N3 -0,4 0,1 -1 0 1 0,3943 0 -0 -0 -0,1057 -1,1 -0,3 4,2 1,9 -2,0 -1,1 -1,1 -0,5 0,0000

19 N4 -0,1 -0,11 J-1

= 1 0 N4 -0,1 -0,1 -1,1 -4,1 1,9 5,3 -0,3 0,2 -0,5 -1,4 -0,0112

20 -0 1,33 N= 0 0 1 0 0 0 0 0 -1,1 0,7 -2,0 -0,3 2,6 -0,5 0,5 0,1 0,0000

21 0 0 0 0,622 0 0 0 0,04466 1,3 -1,4 -1,1 0,2 -0,5 1,3 0,3 0,0 -0,0030

22 |J |= 0,75 0,3 0,1 -1,1 -0,5 0,5 0,3 0,3 0,1 0,0000

23 0,3 1,1 -0,5 -1,4 0,1 0,0 0,1 0,4 -0,0008


25 y1= -0,57735 N1 0,11 -0,11 J = 1 0 N1 0,11 -0,1 B= 0 0 0 0 -0 0 -0 0 0,3 -0,1 0,5 -0,3 -1,1 0,5 0,3 -0,1 0,0000

26 y2= 0,57735 N2 0,39 0,106 3E-16 0,75 N2 0,39 0,1 0 -0 0 0,1409 0 1 0 -0,5258 -0,1 0,4 -0,1 0,0 0,5 -1,4 -0,3 1,1 -0,0008

27 N3 -0,4 0,394 N3 -0,4 0,5 -0 0 0 0,3943 1 -0 -1 -0,1057 0,5 -0,1 2,6 0,5 -2,0 0,3 -1,1 -0,7 0,0000

28 N4 -0,1 -0,39 J-1

= 1 0 N4 -0,1 -0,5 -0,3 0,0 0,5 1,3 1,1 0,2 -1,3 -1,4 -0,0030

29 -0 1,33 N= 0 0 0 0 1 0 0 0 -1,1 0,5 -2,0 1,1 4,2 -1,9 -1,1 0,3 0,0000

30 0 0 0 0,1667 0 1 0 0,16667 0,5 -1,4 0,3 0,2 -1,9 5,3 1,1 -4,1 -0,0112

31 |J |= 0,75 0,3 -0,3 -1,1 -1,3 -1,1 1,1 1,9 0,5 0,0000

32 -0,1 1,1 -0,7 -1,4 0,3 -4,1 0,5 4,4 -0,0030


34 y1= -0,57735 N1 0,39 -0,11 J = 1 0 N1 0,39 -0,1 B= 0 0 0 0 -0 0 -0 0 2,6 -0,5 0,5 0,1 -1,1 0,7 -2,0 -0,3 0,0000

35 y2= -0,57735 N2 0,11 0,106 -0 0,75 N2 0,11 0,1 0 -0 0 0,1409 0 1 0 -0,5258 -0,5 1,3 0,3 0,0 1,3 -1,4 -1,1 0,2 -0,0030

36 N3 -0,1 0,394 N3 -0,1 0,5 -0 0 0 0,1057 1 -0 -1 -0,3943 0,5 0,3 0,3 0,1 0,3 0,1 -1,1 -0,5 0,0000

37 N4 -0,4 -0,39 J-1

= 1 0 N4 -0,4 -0,5 0,1 0,0 0,1 0,4 0,3 1,1 -0,5 -1,4 -0,0008

38 6E-16 1,33 N= 0 0 0 0 0 0 1 0 -1,1 1,3 0,3 0,3 1,9 -0,5 -1,1 -1,1 0,0000

39 0 0 0 0,0447 0 0 0 0,62201 0,7 -1,4 0,1 1,1 -0,5 4,4 -0,3 -4,1 -0,0030

40 Espalhamento |J |= 0,75 -2,0 -1,1 -1,1 -0,5 -1,1 -0,3 4,2 1,9 0,0000

41 Ke -0,3 0,2 -0,5 -1,4 -1,1 -4,1 1,9 5,3 -0,0112

42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

43 Geral Local 5 6 3 4 7 8 1 2 9 9 9 9 9 9 9 9 Fglobal Ke= 22,3 -7,8 -2,7 -2,6 -11,1 7,8 -8,4 2,6 0 Fe= 0,0000

44 1 5 22,3 -7,8 -8,4 2,6 -2,7 -2,6 -11,1 7,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -7,8 28,4 2,6 -20,5 7,8 -14,2 -2,6 6,4 0 -0,0180

45 2 6 -7,8 28,4 -2,6 6,4 2,6 -20,5 7,8 -14,2 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,0180 -2,7 2,6 22,3 7,8 -8,4 -2,6 -11,1 -7,8 0 0,0000

46 3 3 -8,4 -2,6 22,3 7,8 -11,1 -7,8 -2,7 2,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -2,6 -20,5 7,8 28,4 2,6 6,4 -7,8 -14,2 0 -0,0180

47 4 4 2,6 6,4 7,8 28,4 -7,8 -14,2 -2,6 -20,5 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,0180 -11,1 7,8 -8,4 2,6 22,3 -7,8 -2,7 -2,6 0 0,0000

48 5 7 -2,7 2,6 -11,1 -7,8 22,3 7,8 -8,4 -2,6 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 7,8 -14,2 -2,6 6,4 -7,8 28,4 2,6 -20,5 0 -0,0180

49 6 8 -2,6 -20,5 -7,8 -14,2 7,8 28,4 2,6 6,4 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,0180 -8,4 -2,6 -11,1 -7,8 -2,7 2,6 22,3 7,8 0 0,0000

50 7 1 -11,1 7,8 -2,7 -2,6 -8,4 2,6 22,3 -7,8 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 2,6 6,4 -7,8 -14,2 -2,6 -20,5 7,8 28,4 0 -0,0180

51 8 2 7,8 -14,2 2,6 -20,5 -2,6 6,4 -7,8 28,4 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,0180 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

52 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

53 10 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

54 11 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

55 12 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

56 13 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

57 14 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

58 15 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

59 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

60

280



1 Elem. 22 1 2 3 4 E= 20 D= 20 0 0 f= 0

3 1 5,266 2 0 0 = 0,2 0 20 0 -0,024

4 2 4 7,5 7,5 4 0 0 10

5

6 PG1 d/dy1d/dy2 d/dx1 d/dx2 BT.

D.B.|J | NTf

7 y1= 0,57735 N1 0,4 -0,4 J = 2,29 -1,29 N1 0,17 -0,1 B= 0,17 0 0 0 -0 0 -0 0 2,8 -0,7 -0,4 -0,2 -0,7 0,2 -1,6 0,7 0,0000

8 y2= -0,57735 N2 0,1 0,4 0 1,75 N2 0,05 0,26 0 -0,1 0 0,2593 0 0 0 -0,1872 -0,7 2,0 1,8 -1,7 0,2 -0,5 -1,3 0,3 -0,0598

9 N3 -0,1 0,1 N3 -0,05 0,03 -0,1 0,17 0 0,0462 0 -0 -0 -0,1724 -0,4 1,8 2,9 0,5 0,1 -0,5 -2,6 -1,8 0,0000

10 N4 -0,4 -0,1 J-1

= 0,44 0,32 N4 -0,17 -0,19 -0,2 -1,7 0,5 5,5 0,0 0,5 -0,3 -4,2 -0,0160

11 0 0,57 N= 0,62 0 0 0 0 0 0 0 -0,7 0,2 0,1 0,0 0,2 0,0 0,4 -0,2 0,0000

12 0 0,62 0 0,1667 0 0 0 0,1667 0,2 -0,5 -0,5 0,5 0,0 0,1 0,3 -0,1 -0,0043

13 |J |= 4 -1,6 -1,3 -2,6 -0,3 0,4 0,3 3,8 1,3 0,0000

14 0,7 0,3 -1,8 -4,2 -0,2 -0,1 1,3 4,0 -0,0160

15 PG2 d/dy1d/dy2 d/dx1 d/dx2

16 y1= 0,57735 N1 0,1 -0,4 J = 1,35 -1,29 N1 0,08 -0,17 B= 0,08 0 0 0 -0 0 -0 0 1,0 -0,3 -0,7 -1,2 -0,5 1,2 0,2 0,3 0,0000

17 y2= 0,57735 N2 0,4 0,4 0 1,75 N2 0,29 0,44 0 -0,17 0 0,4411 0 -0 0 -0,1182 -0,3 1,5 0,8 -2,9 -0,3 0,7 -0,2 0,8 -0,0094

18 N3 -0,4 0,1 N3 -0,29 -0,16 -0,17 0,08 0 0,2932 -0 -0 -0 -0,0786 -0,7 0,8 8,6 3,0 -5,7 -3,0 -2,3 -0,8 0,0000

19 N4 -0,1 -0,1 J-1

= 0,74 0,55 N4 -0,08 -0,12 -1,2 -2,9 3,0 11,2 -1,1 -5,2 -0,8 -3,0 -0,0351

20 0 0,57 N= 0,17 0 1 0 0 0 0 0 -0,5 -0,3 -5,7 -1,1 4,6 1,1 1,5 0,3 0,0000

21 0 0,17 0 0,622 0 0 0 0,0447 1,2 0,7 -3,0 -5,2 1,1 3,2 0,8 1,4 -0,0094

22 |J |= 2,35 0,2 -0,2 -2,3 -0,8 1,5 0,8 0,6 0,2 0,0000

23 0,3 0,8 -0,8 -3,0 0,3 1,4 0,2 0,8 -0,0025


25 y1= -0,57735 N1 0,1 -0,1 J = 1,35 -0,35 N1 0,08 -0,04 B= 0,08 0 0 0 -0 0 -0 0 0,3 -0,1 1,0 -0,3 -1,3 0,3 0,0 0,1 0,0000

26 y2= 0,57735 N2 0,4 0,1 0 1,75 N2 0,29 0,12 0 -0,04 0 0,1182 0 0 0 -0,2408 -0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 -0,9 -0,4 0,4 -0,0025

27 N3 -0,4 0,4 N3 -0,29 0,17 -0,04 0,08 0 0,2932 0 -0 -0 -0,0786 1,0 0,2 4,4 0,8 -3,6 -0,8 -1,8 -0,2 0,0000

28 N4 -0,1 -0,4 J-1

= 0,74 0,15 N4 -0,08 -0,24 -0,3 0,3 0,8 2,7 1,2 -1,1 -1,7 -1,9 -0,0094

29 0 0,57 N= 0,04 0 0 0 1 0 0 0 -1,3 0,3 -3,6 1,2 4,7 -1,2 0,1 -0,3 0,0000

30 0 0,04 0 0,1667 0 1 0 0,1667 0,3 -0,9 -0,8 -1,1 -1,2 3,3 1,7 -1,4 -0,0351

31 |J |= 2,35 0,0 -0,4 -1,8 -1,7 0,1 1,7 1,7 0,4 0,0000

32 0,1 0,4 -0,2 -1,9 -0,3 -1,4 0,4 2,9 -0,0094


34 y1= -0,57735 N1 0,4 -0,1 J = 2,29 -0,35 N1 0,17 -0,03 B= 0,17 0 0 0 -0 0 -0 0 2,4 -0,2 0,6 0,0 -0,9 0,0 -2,1 0,2 0,0000

35 y2= -0,57735 N2 0,1 0,1 0 1,75 N2 0,05 0,07 0 -0,03 0 0,0695 0 0 0 -0,2593 -0,2 1,2 0,5 0,2 1,5 -0,8 -1,8 -0,6 -0,0160

36 N3 -0,1 0,4 N3 -0,05 0,22 -0,03 0,17 0 0,0462 0 -0 -0 -0,1724 0,6 0,5 0,4 0,1 0,4 -0,1 -1,4 -0,5 0,0000

37 N4 -0,4 -0,4 J-1

= 0,44 0,09 N4 -0,17 -0,26 0,0 0,2 0,1 0,5 0,4 1,1 -0,5 -1,8 -0,0043

38 0 0,57 N= 0,17 0 0 0 0 0 1 0 -0,9 1,5 0,4 0,4 2,0 -0,4 -1,6 -1,5 0,0000

39 0 0,17 0 0,0447 0 0 0 0,622 0,0 -0,8 -0,1 1,1 -0,4 3,8 0,5 -4,2 -0,0160

40 Espalhamento |J |= 4 -2,1 -1,8 -1,4 -0,5 -1,6 0,5 5,1 1,8 0,0000

41 Ke 0,2 -0,6 -0,5 -1,8 -1,5 -4,2 1,8 6,6 -0,0598

42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

43 Geral Local 9 9 9 9 5 6 3 4 7 8 1 2 9 9 9 9 Fglobal Ke= 16,2 -3,1 1,2 -4,2 -8,4 4,2 -9,0 3,1 0 Fe= 0,0000

44 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -3,1 12,3 8,3 -10,5 4,2 -3,8 -9,4 2,0 0 -0,0877

45 2 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 1,2 8,3 40,6 11,2 -21,8 -11,2 -20,0 -8,3 0 0,0000

46 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -4,2 -10,5 11,2 49,5 1,3 -11,9 -8,3 -27,1 0 -0,0649

47 4 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -8,4 4,2 -21,8 1,3 28,9 -1,3 1,2 -4,2 0 0,0000

48 5 5 0 0 0 0 28,9 -1,3 -21,8 1,3 1,2 -4,2 -8,4 4,2 0 0 0 0 0,0000 4,2 -3,8 -11,2 -11,9 -1,3 26,2 8,3 -10,5 0 -0,0649

49 6 6 0 0 0 0 -1,3 26,2 -11,2 -11,9 8,3 -10,5 4,2 -3,8 0 0 0 0 -0,0649 -9,0 -9,4 -20,0 -8,3 1,2 8,3 27,8 9,4 0 0,0000

50 7 3 0 0 0 0 -21,8 -11,2 40,6 11,2 -20,0 -8,3 1,2 8,3 0 0 0 0 0,0000 3,1 2,0 -8,3 -27,1 -4,2 -10,5 9,4 35,6 0 -0,0877

51 8 4 0 0 0 0 1,3 -11,9 11,2 49,5 -8,3 -27,1 -4,2 -10,5 0 0 0 0 -0,0649 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

52 9 7 0 0 0 0 1,2 8,3 -20,0 -8,3 27,8 9,4 -9,0 -9,4 0 0 0 0 0,0000

53 10 8 0 0 0 0 -4,2 -10,5 -8,3 -27,1 9,4 35,6 3,1 2,0 0 0 0 0 -0,0877

54 11 1 0 0 0 0 -8,4 4,2 1,2 -4,2 -9,0 3,1 16,2 -3,1 0 0 0 0 0,0000

55 12 2 0 0 0 0 4,2 -3,8 8,3 -10,5 -9,4 2,0 -3,1 12,3 0 0 0 0 -0,0877

56 13 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

57 14 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

58 15 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

59 16 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

60

281


Finalmente na Figura 4.116 apresenta-se a quinta e última página da folha de cálculo

programada para este exemplo da barragem. Nesta página calcula-se a matriz de rigidez de

global para a discretização adotada (matriz 16×16) a qual resulta simplesmente da soma das

matrizes de rigidez elementares calculadas nas três páginas anteriores (note-se que é uma soma

matricial simples das matrizes de rigidez elementares já devidamente espalhadas). Nesta última

página apresenta-se também o vetor global das forças nodais equivalentes à ação gravítica (peso)

o qual é também obtido através da soma das forças elementares calculados para cada elemento

nas três páginas anteriores da folha de cálculo.

Nesta página apresenta-se também a inversa da matriz de rigidez global e os pretendidos

deslocamentos nodais que se obtém através do produto da inversa da matriz de rigidez pelo vetor

global das forças nodais. Estes deslocamentos são remetidos de forma automática para a página

inicial por forma a que o desenho da deformada da barragem seja imediatamente atualizado na

página inicial sempre que o utilizador faça variar algum dos parâmetros de cálculo,

nomeadamente o módulo de elasticidade ou o valor do peso específico do material da barragem.


1 Elem. 32 1 2 3 4 E= 20 D= 20 0 0 f= 0

3 1 9 5,3 0 0 = 0,2 0 20 0 ####

4 2 0 4 4 0 0 0 10

5

6 PG1 d/dy1d/dy2 d/dx1d/dx2 BT.

D.B.|J | NTf

7 y1= 0,57735 N1 0,4 -0,4 J = 4,1 -1,5 N1 0,1 -0,1 B= 0,1 0 0,03 0 -0 0 -0 0 2,8 -1,0 -1,8 -0,3 -0,8 0,3 -0,2 1,0 0,0000

8 y2= -0,57735 N2 0,1 0,4 0 2 N2 0 0,22 0 -0,1 0 0,22 0 0,03 0 -0,12355 -1,0 3,4 1,7 -4,3 0,3 -0,9 -1,0 1,8 -0,1226

9 N3 -0,1 0,1 N3 -0 0,03 -0,1 0,1 0,22 0,03 0,03 -0 -0 -0,09605 -1,8 1,7 3,9 0,5 0,5 -0,5 -2,6 -1,7 0,0000

10 N4 -0,4 -0,1 J-1

= 0,2 0,2 N4 -0,1 -0,1 -0,3 -4,3 0,5 7,7 0,1 1,1 -0,3 -4,6 -0,0328

11 0 0,5 N= 0,62 0 0,17 0 0,04 0 0 0 -0,8 0,3 0,5 0,1 0,2 -0,1 0,1 -0,3 0,0000

12 0 0,62 0 0,17 0 0,04 0 0,16667 0,3 -0,9 -0,5 1,1 -0,1 0,2 0,3 -0,5 -0,0088

13 |J |= 8,2 -0,2 -1,0 -2,6 -0,3 0,1 0,3 2,8 1,0 0,0000

14 1,0 1,8 -1,7 -4,6 -0,3 -0,5 1,0 3,3 -0,0328

15 PG2 d/dy1d/dy2 d/dx1d/dx2

16 y1= 0,57735 N1 0,1 -0,4 J = 3 -1,5 N1 0 -0,2 B= 0,03 0 0,13 0 -0,1 0 -0 0 1,9 -0,4 -2,5 -1,4 -0,1 1,4 0,7 0,4 0,0000

17 y2= 0,57735 N2 0,4 0,4 0 2 N2 0,1 0,29 0 -0,2 0 0,29 0 -0 0 -0,07853 -0,4 3,6 0,6 -5,8 -0,1 0,6 -0,2 1,6 -0,0242

18 N3 -0,4 0,1 N3 -0,1 -0 -0,2 0,03 0,29 0,13 -0 -0,1 -0 -0,0349 -2,5 0,6 7,3 2,3 -2,8 -2,3 -1,9 -0,6 0,0000

19 N4 -0,1 -0,1 J-1

= 0,3 0,2 N4 -0 -0,1 -1,4 -5,8 2,3 11,4 -0,3 -2,6 -0,6 -3,1 -0,0904

20 0 0,5 N= 0,17 0 0,62 0 0,17 0 0 0 -0,1 -0,1 -2,8 -0,3 2,2 0,3 0,8 0,1 0,0000

21 0 0,17 0 0,62 0 0,17 0 0,04466 1,4 0,6 -2,3 -2,6 0,3 1,3 0,6 0,7 -0,0242

22 |J |= 6,1 0,7 -0,2 -1,9 -0,6 0,8 0,6 0,5 0,2 0,0000

23 0,4 1,6 -0,6 -3,1 0,1 0,7 0,2 0,8 -0,0065


25 y1= -0,57735 N1 0,1 -0,1 J = 3 -0,4 N1 0 -0 B= 0,03 0 0,13 0 -0,1 0 -0 0 0,3 -0,1 0,3 -0,4 -1,0 0,4 0,4 0,1 0,0000

26 y2= 0,57735 N2 0,4 0,1 0 2 N2 0,1 0,08 0 -0 0 0,08 0 0,17 0 -0,20405 -0,1 0,3 0,2 -0,2 0,4 -1,2 -0,4 1,1 -0,0065

27 N3 -0,4 0,4 N3 -0,1 0,17 -0 0,03 0,08 0,13 0,17 -0,1 -0 -0,0349 0,3 0,2 2,4 0,6 -1,2 -0,6 -1,5 -0,2 0,0000

28 N4 -0,1 -0,4 J-1

= 0,3 0,1 N4 -0 -0,2 -0,4 -0,2 0,6 1,8 1,4 0,6 -1,6 -2,2 -0,0242

29 0 0,5 N= 0,04 0 0,17 0 0,62 0 0 0 -1,0 0,4 -1,2 1,4 3,8 -1,4 -1,6 -0,4 0,0000

30 0 0,04 0 0,17 0 0,62 0 0,16667 0,4 -1,2 -0,6 0,6 -1,4 4,6 1,6 -4,0 -0,0904

31 |J |= 6,1 0,4 -0,4 -1,5 -1,6 -1,6 1,6 2,7 0,4 0,0000

32 0,1 1,1 -0,2 -2,2 -0,4 -4,0 0,4 5,1 -0,0242


34 y1= -0,57735 N1 0,4 -0,1 J = 4,1 -0,4 N1 0,1 -0 B= 0,1 0 0,03 0 -0 0 -0 0 1,6 -0,3 0,2 -0,1 -0,9 0,1 -0,9 0,3 0,0000

35 y2= -0,57735 N2 0,1 0,1 0 2 N2 0 0,06 0 -0 0 0,06 0 0,19 0 -0,21612 -0,3 0,9 0,5 -0,1 1,5 -1,3 -1,7 0,4 -0,0328

36 N3 -0,1 0,4 N3 -0 0,19 -0 0,1 0,06 0,03 0,19 -0 -0 -0,09605 0,2 0,5 0,4 0,1 0,8 -0,1 -1,4 -0,5 0,0000

37 N4 -0,4 -0,4 J-1

= 0,2 0 N4 -0,1 -0,2 -0,1 -0,1 0,1 0,6 0,4 1,8 -0,5 -2,3 -0,0088

38 0 0,5 N= 0,17 0 0,04 0 0,17 0 1 0 -0,9 1,5 0,8 0,4 3,1 -0,4 -3,0 -1,5 0,0000

39 0 0,17 0 0,04 0 0,17 0 0,62201 0,1 -1,3 -0,1 1,8 -0,4 6,1 0,5 -6,6 -0,0328

40 Espalhamento |J |= 8,2 -0,9 -1,7 -1,4 -0,5 -3,0 0,5 5,4 1,7 0,0000

41 Ke 0,3 0,4 -0,5 -2,3 -1,5 -6,6 1,7 8,4 -0,1226

42 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

43 Geral Local 9 9 9 9 9 9 9 9 5 6 3 4 7 8 1 2 Fglobal Ke= 16,6 -4,3 -9,4 -5,1 -7,1 5,1 -0,1 4,3 0 Fe= 0,0000

44 1 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -4,3 20,7 7,4 -25,9 5,1 -7,0 -8,2 12,2 0 -0,1861

45 2 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -9,4 7,4 35,0 8,8 -6,9 -8,8 -18,7 -7,4 0 0,0000

46 3 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -5,1 -25,9 8,8 53,8 3,7 2,4 -7,4 -30,3 0 -0,1563

47 4 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -7,1 5,1 -6,9 3,7 23,4 -3,7 -9,4 -5,1 0 0,0000

48 5 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 5,1 -7,0 -8,8 2,4 -3,7 30,5 7,4 -25,9 0 -0,1563

49 6 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 -0,1 -8,2 -18,7 -7,4 -9,4 7,4 28,3 8,2 0 0,0000

50 7 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 4,3 12,2 -7,4 -30,3 -5,1 -25,9 8,2 44,1 0 -0,1861

51 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0000

52 9 5 0 0 0 0 0 0 0 0 23,4 -3,7 -6,9 3,7 -9,4 -5,1 -7,1 5,1 0,0000

53 10 6 0 0 0 0 0 0 0 0 -3,7 30,5 -8,8 2,4 7,4 -25,9 5,1 -7,0 -0,1563

54 11 3 0 0 0 0 0 0 0 0 -6,9 -8,8 35,0 8,8 -18,7 -7,4 -9,4 7,4 0,0000

55 12 4 0 0 0 0 0 0 0 0 3,7 2,4 8,8 53,8 -7,4 -30,3 -5,1 -25,9 -0,1563

56 13 7 0 0 0 0 0 0 0 0 -9,4 7,4 -18,7 -7,4 28,3 8,2 -0,1 -8,2 0,0000

57 14 8 0 0 0 0 0 0 0 0 -5,1 -25,9 -7,4 -30,3 8,2 44,1 4,3 12,2 -0,1861

58 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 -7,1 5,1 -9,4 -5,1 -0,1 4,3 16,6 -4,3 0,0000

59 16 2 0 0 0 0 0 0 0 0 5,1 -7,0 7,4 -25,9 -8,2 12,2 -4,3 20,7 -0,1861

60

282

Figura 4.116 – Cálculo da matriz de rigidez global, do vetor das forças nodais e da inversa da matriz

de rigidez com vista à obtenção da solução u .

Note-se que o processo atrás apresentado pode ser aplicado a outras estruturas, adotando

eventualmente uma discretização diferente. Na Figura 4.117 apresenta-se o resultado da

programação em Excel do MEF para o caso de uma ponte em arco discretizada em onze

elementos finitos planos de quatro nós.

APLICAÇÃO 61 - Implementação do MEF na folha de cálculo. Ponte em arco.

Figura 4.117 - Programação em Excel para o caso de uma ponte em arco discretizada em onze

elementos finitos planos de quatro nós.


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T

1 MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL (K) E VETOR GLOBAL DAS FORÇAS NODAIS (F)

2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F

3 1 22,28 -7,81 -8,39 2,60 -2,75 -2,60 -11,14 7,81 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

4 2 -7,81 28,36 -2,60 6,37 2,60 -20,54 7,81 -14,18 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,018

5 3 -8,39 -2,60 22,28 7,81 -11,14 -7,81 -2,75 2,60 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

6 4 2,60 6,37 7,81 28,36 -7,81 -14,18 -2,60 -20,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,018

7 5 -2,75 2,60 -11,14 -7,81 51,19 6,48 -30,16 -1,27 1,21 -4,24 -8,35 4,24 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

8 6 -2,60 -20,54 -7,81 -14,18 6,48 54,54 -8,56 -5,53 8,26 -10,50 4,24 -3,79 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,083

9 7 -11,14 7,81 -2,75 -2,60 -30,16 -8,56 62,85 3,36 -20,01 -8,26 1,21 8,26 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

10 8 7,81 -14,18 2,60 -20,54 -1,27 -5,53 3,36 77,87 -8,26 -27,12 -4,24 -10,50 0,00 0,00 0,00 0,00 -0,083

11 9 0,00 0,00 0,00 0,00 1,21 8,26 -20,01 -8,26 51,18 5,64 -15,92 -5,64 -9,38 -5,13 -7,07 5,13 0,000

12 10 0,00 0,00 0,00 0,00 -4,24 -10,50 -8,26 -27,12 5,64 66,12 -5,64 4,41 7,37 -25,94 5,13 -6,97 -0,244

13 11 0,00 0,00 0,00 0,00 -8,35 4,24 1,21 -4,24 -15,92 -5,64 51,18 5,64 -18,74 -7,37 -9,38 7,37 0,000

14 12 0,00 0,00 0,00 0,00 4,24 -3,79 8,26 -10,50 -5,64 4,41 5,64 66,12 -7,37 -30,31 -5,13 -25,94 -0,244

15 13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -9,38 7,37 -18,74 -7,37 1,00E+12 8,19 -0,15 -8,19 0,000

16 14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -5,13 -25,94 -7,37 -30,31 8,19 1,00E+12 4,31 12,18 -0,186

17 15 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -7,07 5,13 -9,38 -5,13 -0,15 4,31 1,00E+12 -4,31 0,000

18 16 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5,13 -6,97 7,37 -25,94 -8,19 12,18 -4,31 1,00E+12 -0,186

19

20

21 INVERSA DA MATRIZ DE RIGIDEZ K-1

Solução

22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 u

23 1 0,333 0,136 0,299 -0,02 0,177 0,108 0,181 -0 0,053 0,052 0,041 -0,03 6,62E-13 1E-12 3,38E-13 -1E-12 -0,0161

24 2 0,136 0,14 0,131 0,008 0,061 0,09 0,062 0,029 0,012 0,038 0,012 -0 2,2E-14 1E-12 -2,2E-14 8,04E-28 -0,0207

25 3 0,299 0,131 0,333 -0,03 0,181 0,107 0,178 -0 0,052 0,052 0,042 -0,03 6,63E-13 1E-12 3,37E-13 -1E-12 -0,0159

26 4 -0,02 0,008 -0,03 0,09 0,009 0,029 0,007 0,04 0,004 0,022 0,005 0,005 1,03E-14 7,78E-13 -1E-14 2,22E-13 -0,0140

27 5 0,177 0,061 0,181 0,009 0,148 0,06 0,133 0,008 0,045 0,04 0,038 -0,02 6,57E-13 8,33E-13 3,43E-13 -8,3E-13 -0,0110

28 6 0,108 0,09 0,107 0,029 0,06 0,09 0,063 0,029 0,012 0,038 0,012 -0 2,17E-14 1E-12 -2,2E-14 6,95E-28 -0,0201

29 7 0,181 0,062 0,178 0,007 0,133 0,063 0,143 0,007 0,048 0,04 0,035 -0,02 6,51E-13 8,33E-13 3,49E-13 -8,3E-13 -0,0110

30 8 -0 0,029 -0 0,04 0,008 0,029 0,007 0,039 0,004 0,022 0,005 0,005 9,96E-15 7,78E-13 -1E-14 2,22E-13 -0,0134

31 9 0,053 0,012 0,052 0,004 0,045 0,012 0,048 0,004 0,04 0,011 0,02 -0,01 6,2E-13 4,44E-13 3,8E-13 -4,4E-13 -0,0028

32 10 0,052 0,038 0,052 0,022 0,04 0,038 0,04 0,022 0,011 0,038 0,012 -0 2,34E-14 1E-12 -2,3E-14 3,49E-28 -0,0142

33 11 0,041 0,012 0,042 0,005 0,038 0,012 0,035 0,005 0,02 0,012 0,033 -0,01 6,54E-13 4,44E-13 3,46E-13 -4,4E-13 -0,0030

34 12 -0,03 -0 -0,03 0,005 -0,02 -0 -0,02 0,005 -0,01 -0 -0,01 0,02 -1,4E-14 4,15E-13 1,37E-14 5,85E-13 -0,0039

35 13 7E-13 2E-14 7E-13 1E-14 7E-13 2E-14 7E-13 1E-14 6E-13 2E-14 7E-13 -0 1E-12 -1,2E-38 1,05E-23 9,05E-39 0,0000

36 14 1E-12 1E-12 1E-12 8E-13 8E-13 1E-12 8E-13 8E-13 4E-13 1E-12 4E-13 4E-13 -1,2E-38 1E-12 -5E-39 1,42E-38 0,0000

37 15 3E-13 -0 3E-13 -0 3E-13 -0 3E-13 -0 4E-13 -0 3E-13 1E-14 1,05E-23 -5,1E-39 1E-12 3,33E-39 0,0000

38 16 -0 9E-28 -0 2E-13 -0 9E-28 -0 2E-13 -0 5E-28 -0 6E-13 7,38E-39 7,11E-39 3,22E-39 1E-12 0,0000

39


283


Problemas de modelação matemática aparecem muitas vezes em livros didáticos.

No entanto, uma vez que eles são apresentados de uma forma estática, muitas vezes não

conseguem ser plenamente compreendidos pelos estudantes. Por exemplo, não é possível, apenas

consultando um livro mudar o parâmetros de uma expressão algébrica e observar os efeitos nos

gráficos de uma forma rápida e eficiente. Esta tarefa de experimentação matemática só é possível

se forem usadas as ferramentas computacionais que existem à nossa disposição (Confrey, et al.,

2007).

A modelação matemática de fenómenos físicos baseia-se no estabelecimento e resolução de

equações diferenciais. Muitos dos problemas que se colocam atualmente em física e em

engenharia exigem a resolução de equações diferenciais. Contudo, em geral não é possível obter

as pretendidas soluções por intermédio de métodos analíticos pelo que os métodos numéricos

para resolução de equações diferenciais têm vindo a assumir uma crescente importância,

sobretudo nas últimas décadas devido ao grande desenvolvimento dos meios computacionais.

De entre os vários desenvolvimentos ao nível dos métodos numéricos destaca-se o Método

dos Elementos Finitos (MEF) como um dos mais utilizados atualmente em física e em

engenharia.

A grande divulgação do MEF deve-se à sua grande generalidade, eficiência computacional e

versatilidade na resolução de equações diferenciais mais complicadas definidas em domínios de

geometria irregular e sujeitas a qualquer tipo de condições de fronteira.

No presente capítulo pretendeu-se contribuir para o desenvolvimento das metodologias de

ensino dos métodos numéricos de resolução de equações diferenciais e, em particular, do Método

dos Elementos Finitos (no último ponto) através de uma estratégia em que os principais

conceitos são introduzidos de modo acessível, recorrendo a exemplos sugestivos cuja resolução é

efetuada com auxílio de ferramentas computacionais de acesso generalizado como a folha de

cálculo.

No caso particular do último exemplo referente à programação do método dos elementos

finitos na folha de cálculo é especialmente surpreendente verificar as vantagens da utilização

deste tipo de plataforma para se conseguir uma compreensão completa do método. A folha de

cálculo é estruturada em várias páginas desde a inicial que contém os dados do problema até à

última página contendo a solução de um sistema de equações algébricas, que é estabelecido

tirando partido das potencialidades para automatizar os cálculos e as ligações entre células e

páginas o que pode ser explorado com vista a obter uma estrutura com elevado valor didático.

Refere-se ainda que, partindo do Excel, a passagem para outras plataformas de programação

como o MATLAB (“Matrix Laboratory”) surge de forma natural na medida em que o próprio

Excel está estruturado sob a forma de uma grande matriz de células sobre a qual os alunos vão

construindo “sub matrizes” facilmente visualizáveis e que são a base da programação noutras

plataformas com outras potencialidades.

285

5 5 EXPERIÊNCIAS LETIVAS,

PROJETOS, AÇÕES DE FORMAÇÃO, MANUAL

INTERATIVO


Neste capítulo apresentam-se diversas ações desenvolvidas durante o tempo que decorreu a

presente investigação. Uma vez que um dos objetivos deste trabalho, consistia em avaliar de que

forma a conceção de aplicações dinâmicas e interativas numa folha de cálculo, pode facilitar a

compreensão e aprofundamento dos conceitos matemáticos envolvidos, considerou-se

importante analisar o problema em questão sob diferentes perspetivas. Para além das

experiências em sala de aula com o grupo turma, com vista a analisar as reações dos alunos face

a um tipo de trabalho com o qual não estavam familiarizados, desenvolveram-se ainda ações de

formação junto dos professores e futuros professores no sentido de perceber se este tipo de

metodologia poderia ser passível de ser implementada por outro professor de matemática. As

ações desenvolveram-se num formato em que se transmitiu não só os procedimentos técnicos

inerentes à folha de cálculo, necessários para a implementação deste tipo de metodologia, mas

também o enquadramento matemáticos dos assuntos tratados.

286

Um aspeto transversal a todas as experiências e ações realizadas consistiu no

desenvolvimento de tarefas para os alunos e na avaliação constante da sua adequabilidade ao

grau de ensino a que se destinavam.

As experiências assumiram um "caráter" crítico, na medida em que permitiram confirmar,

alterar ou ampliar o conhecimento sobre o objeto em estudo, neste caso perceber como o

trabalho de programação articulado com o trabalho matemático, num contexto de aula de

matemática, pode ajudar os alunos a desenvolverem competências que lhes permitam

compreender a matemática que estudam e a sua relação com o mundo que nos rodeia.

No decorrer do desenvolvimento destas ações houve sempre a preocupação de interpretar os

dados, no sentido de obter explicações para aspetos particulares. Apesar de não se poder falar em

generalização dos resultados no sentido tradicional do termo, espera-se que os resultados

alcançados, possam ser devidamente analisadas por outros professores e incorporados nas suas

práticas letivas em contextos semelhantes.

Houve ainda a preocupação de que o estudo fosse fiável no sentido em que fosse possível

diferentes investigadores, utilizando os mesmos instrumentos chegarem a resultados idênticos

(Schofield, 1993). Neste tipo de estudo, esta questão da fiabilidade encontra alguns obstáculos

pois efetivamente as situações são irrepetíveis e dificilmente podem ser reconstruídas. As turmas

apresentam, cada uma, as suas características, e os professores têm estilos próprios e motivações

diferentes. No entanto, para que o projeto tenha pertinência e validade, a questão da fiabilidade

deve ser colocada. Yin aborda esta questão da fiabilidade e incentiva os intervenientes a

realizarem descrições pormenorizadas de todos os fatores envolvidos e a "conduzir os trabalhos

como se alguém estivesse sempre a espreitar por cima do seu ombro" (Yin, 1994). Ao longo da

investigação foram registados aspetos considerados relevantes para que os resultados deste

estudo possa sugerir pistas para investigações futuras. Frequentemente recorreu-se a registos em

formato digital com a criação de páginas web e foi ainda criado um manual interativo (em fase

de desenvolvimento).

Outro aspeto importante consiste na validade interna do estudo e isto relaciona-se com o

rigor ou precisão dos resultados obtidos. É importante reduzir ao mínimo a influência da

subjetividade inerente ao autor da ideia. É importante garantir que as interpretações que o

professor envolvido faz, não são fragmentos da sua vontade e imaginação e que não existe falta

de objetividade nas conclusões obtidas. Para minimizar os efeitos da subjetividade, as

experiências letivas foram alargadas a outros professores e a outros níveis de ensino

nomeadamente ao 1º ciclo do ensino básico e ao ensino superior.

Foram desenvolvidos projetos decorrentes de candidaturas (feitas pela autora do trabalho, na

sua escola - Escola E.B. 2,3 Piscinas Lisboa) a Fundações nomeadamente à Fundação Ilídio

Pinho, à Fundação Calouste Gulbenkian, ao Proalv através do Programa Comenius

(AgênciaProalv) e mais recentemente à Fundação Montepio.

No ano letivo 2008/2009 foi ainda proposta (e aprovada) para ser integrada no plano de

estudos do 2º ano do curso de engenharia civil do Instituto Superior de Engenharia de Lisboa,

287

uma área curricular denominada Laboratório de Matemática Aplicada à Engenharia Civil

lecionada por um professor da área da engenharia com vasta experiência em modelação

matemática, que tinha como objetivo desenvolver essencialmente atividades de modelação

matemática em ambiente de folha de cálculo.

A solicitação constante por parte de professores e alunos, de materiais e documentação sobre

a metodologia proposta, que possibilitasse uma maior autonomia, levou a que se iniciasse o

desenvolvimento de um manual digital interativo. Composto por diversos módulos que poderão

ser utilizados em diferentes níveis de escolaridade e em diferentes contextos disciplinares e não

disciplinares, este livro pode constituir um apoio ao professor nas aulas de Matemática para

clarificar determinados conceitos matemáticos ou pode ser utilizado para levar os alunos a

construir as suas próprias aplicações. O livro está dividido em cinco partes: a primeira parte

dirigida ao 3º ciclo do ensino básico, a segunda parte dirigida ao ensino secundário, e a terceira

parte com pequenos projetos interdisciplinares e transversais a vários níveis de escolaridade e a

quarta parte dedicada à exemplificação da construção de algumas das aplicações computacionais

que figuram nas três primeiras partes. Há ainda uma secção dedicada à apresentação de trabalhos

feitos por professores no âmbito das ações de formação. Cada módulo inicia-se com a

apresentação do tema ou conteúdo programático bem como os objetivos que se pretendem atingir

e propõe-se um problema que crie situações de interdisciplinaridade entre a Matemática e as

outras ciências e evidencie também conexões entre temas de Matemática, que será explorado

recorrendo às potencialidades do Excel.

Ao longo do presente capítulo começa-se por apresentar o Projeto Matemática Dinâmica que

se desenvolveu no triénio 2008/2011 seguindo-se o Projeto “Tópicos de Física em

Experimentação virtual” implementado no ano letivo 2009/2010. Foram desenvolvidos no

âmbito de uma candidatura feita à Fundação Ilídio Pinho que anualmente abre a possibilidade às

escolas de desenvolverem projetos nas áreas das ciências e tecnologias.

Os projetos receberam uma menção honrosa e um prémio pecuniário no valor de 5 000 euros

cada um para além de um financiamento inicial para a sua execução.

Segue-se a apresentação do Projeto Espiral no âmbito de uma ação mais alargada, da

Fundação Calouste Gulbenkian, intitulado “Estímulo à melhoria das aprendizagens”. O

programa lançado pela Fundação a nível nacional, selecionou oito projetos a nível nacional. O

Projeto Espiral contou assim com um financiamento no valor de 26 mil euros para a sua

implementação. É de salientar um aspeto bastante inovador, que esteve sempre presente neste

projeto e que consistiu na criação de uma nova área disciplinar denominada Mattic (Matemática

e Tecnologias da Informação e Comunicação), com um programa próprio, e cujo objetivo

consistiu em proporcionar aos alunos a possibilidade de estudarem matemática com recurso às

tecnologias, em particular recorrendo às folhas de cálculo.

Os três projetos tiveram um papel determinante na presente investigação, pois permitiram

estudar, em ambiente de sala de aula, os efeitos produzidos nos alunos quando se utilizam os

computadores numa perspetiva criativa de programação, tendo em conta as necessidades atuais

288

impostas pela sociedade, e a necessidade de os alunos utilizarem software profissional que com

elevada probabilidade encontrarão, no futuro, nos seus locais de trabalho. Nos dois primeiros

projetos a professora das turmas envolvidas foi a autora do presente estudo, e foram direcionados

a alunos do 3º ciclo, enquanto que o Projeto Espiral surge pela necessidade de alargar as

experiências, em sala de aula, a outros professores e aos dois outros dois ciclos de ensino (1º e 2º

ciclos).

A importância de dar continuidade a este tipo de trabalho com os alunos, obrigou a uma

reflexão sobre o ensino da matemática ao nível superior. Apresenta-se o trabalho desenvolvido

no Instituto Superior de Engenharia de Lisboa (ISEL) por dois professores que, ao longo do

semestre desenvolveram com os alunos e em articulação com os professores da disciplina de

Equações Diferenciais, diversas aplicações computacionais numa folha de cálculo, por forma a

levar os alunos a compreenderem os conceitos matemáticos estudados nas aulas teóricas. O

presente trabalho encontra-se também documentado na página www.Maecisel.com

Tendo em conta a importância de alargar este tipo de trabalho a todos os professores surge a

necessidade de refletir sobre a versatilidade das ferramentas computacionais utilizadas.

Apresenta-se em 5.6 uma descrição do trabalho desenvolvido com os professores no âmbito de

diversas ações de formação realizadas ao longo do presente estudo. As ações, dirigidas a

professores de todos os ciclos de ensino, tiveram como objetivo dotar os professores dos

procedimentos necessários para serem eles próprios a criar as aplicações consideradas úteis para

ajudar a melhorar e a clarificar o ensino de conceitos matemáticos.

O capítulo termina com referência aos trabalhos publicados nomeadamente ao trabalho

publicado no portal da Casa das Ciências da Fundação Calouste Gulbenkian, e ainda a dois

artigos publicados na revista “Spreadsheets in Education”.

5.2 O Projeto Matemática Dinâmica

O Contexto 5.2.1

O projeto Matemática Dinâmica (iniciado em Janeiro de 2008), foi elaborado e coordenado

pela autora desta dissertação. A equipa do Projeto englobou três professores de Matemática e

seis professores de diferentes áreas a saber Ciências Físico-Química, Geografia, História, Inglês,

Educação Visual e Educação Tecnológica. A equipa contou ainda com a colaboração de uma

professora de Matemática do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da

Universidade de Lisboa, como consultora científica.

A Fundação Ilídio Pinho lança em Janeiro de 2008 um concurso dirigido à área científica de

Matemática. No Regulamento do concurso pode ler-se:

“A Fundação Ilídio Pinho e o Ministério da Educação celebraram um Protocolo com vista

à instituição de um prémio anual, o Prémio Fundação Ilídio Pinho "Ciência na Escola";

http://www.maecisel.com/

289

Este prémio visa motivar todos os alunos, da Educação Pré-Escolar, do 1º, 2º e 3º Ciclos do

Ensino Básico e Ensino Secundário, das diferentes vias de educação e formação, para a

aprendizagem das ciências e para a escolha de áreas tecnológicas.

Pretende-se estimular o interesse dos alunos pelas ciências através do apoio a projetos

inovadores.

Tais projetos deverão ter um caráter eminentemente prático e multidisciplinar, mobilizando

as várias áreas curriculares para o seu desenvolvimento, e envolver os estudantes em

experiências e trabalhos de grupo permitindo-lhes avaliar a importância do conhecimento e do

método científico nas suas atividades futuras.”

A experiência começou a ser desenvolvida no ano letivo 2008/2009 na Escola EB 2,3

Piscinas-Lisboa, com duas turmas do 7º ano de escolaridade, tendo continuidade nos dois anos

letivos subsequentes e consistiu na utilização da folha de cálculo para levar os alunos a

compreenderem melhor os conceitos matemáticos que constam no currículo nacional da

disciplina de Matemática. Nos dois anos seguintes estes mesmos alunos, uma vez familiarizados

com o software, demonstraram elevada autonomia na realização das tarefas propostas.

Na Figura 5.1 apresenta-se uma fotografia de uma aula de matemática, de uma das turmas

envolvidas no projeto. Note-se que os alunos trabalhavam sempre em pares, dispondo de

computadores portáteis.

Figura 5.1 – Aula de Matemática (Projeto Matemática Dinâmica).

http://www.matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/na_sala_aula.html

É de salientar que na altura, (em 2008), o debate em Portugal sobre a integração das

tecnologias no ensino e em particular no ensino da Matemática era intenso, assistindo-se com

frequência a iniciativas do Ministério da Educação, já referidas no capítulo 2, de alta

envergadura, nomeadamente o Projeto CRIE, que contemplou a dotação às escolas de

computadores portáteis (e outro material informático) após a apresentação de projetos. A par

desta preocupação havia também um debate sobre os resultados dos alunos nas provas

internacionais de Matemática (Pisa) e foi criado um Plano de Ação da Matemática (conhecido

http://www.matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/na_sala_aula.html

290

por PAM) com vista a apoiar os professores nas suas práticas letivas. Estas circunstâncias terão

contribuído para aumentar a reflexão sobre qual a melhor forma de integração dos computadores

nas aulas de Matemática e motivado a apresentação de um projeto nessa área muito concreta. Na

escola onde o Projeto foi desenvolvido, a área curricular não disciplinar de Estudo

Acompanhado, foi atribuída à professora de matemática das duas turmas.

No âmbito das reuniões de Acompanhamento do Plano de Ação da Matemática foram

apresentados resultados do projeto, favorecendo o debate sobre questões e dúvidas que iam

surgindo no decorrer da experiência. Uma dessas apresentações relacionou-se com o tema da

geometria. Pode-se ver a referida apresentação em

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/presentations.html

Ainda sobre este tema foram desenvolvidas diversas aplicações em geogebra sempre na

perspetiva do desenvolvimento de capacidades como a resolução de problemas.

O Projeto - Aspetos relevantes 5.2.2

Com o desenvolvimento do Projeto Matemática Dinâmica (Oliveira, 2008) pretendeu-se

evidenciar de que forma a apreensão de importantes conceitos matemáticos pode ser facilitada

quando se usam diversas ferramentas tecnológicas tais como uma folha de cálculo (Excel),

programas de geometria dinâmica (Geogebra) e outro tipo de software suscetível de ser usado

numa perspetiva construtiva, por parte do aluno. Privilegiou-se o desenvolvimento de

competências como a tomada de decisões, reflexão, resolução de problemas e desenvolvimento

de aplicações, e embora estas competências fossem uma prioridade na educação matemática, o

que se procurava era a criação de um ambiente natural e propício ao desenvolvimento de tais

competências de uma forma sistemática.

O Projeto pretendeu ainda dar resposta a questões relacionadas com a natureza dos

currículos de Matemática e a forma como eles podem integrar as tecnologias da informação

numa perspetiva de aumentar a compreensão da própria matemática. Em Portugal existe uma

tradição em separar aquilo que é Matemática daquilo que é Informática, estando esta limitada a

um papel lúdico, sempre restrita à utilização de programas informáticos concebidos por peritos

externos, apenas com o objetivo de motivar os alunos para a Matemática.

Houve também a preocupação de desenvolver atividades de carácter multidisciplinar por

forma a sensibilizar os alunos para as aplicações da Matemática. Por isso foram abordados temas

como o significado do número de controle dos nossos bilhetes de identidade (Buescu, 2001), a

evolução dos calendários desde os egípcios até aos atuais, a medição do perímetro da Terra pelos

antigos e a observação dos comprimentos das sombras para medir distâncias incessíveis, entre

outros. Todos estes assuntos foram abordados com auxílio de programas computacionais

desenvolvidos pelos alunos e por vezes pelos professores.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/presentations.html

291

Organização das aulas.

As atividades foram desenvolvidas nas aulas de Estudo Acompanhado, que decorriam

semanalmente e tinham a duração de 90 minutos dispondo-se de 15 computadores portáteis e de

uma sala equipada com um quadro interativo. Nestas aulas foram sempre tratados assuntos em

articulação com os conteúdos matemáticos que estavam a ser trabalhados nas aulas de

Matemática. No entanto as tarefas não se restringiam exclusivamente a um determinado

conteúdo matemático, mas desenvolviam-se em torno de um problema ou desafio. A aula

decorria a partir de uma proposta inicial e posteriormente teria diferentes níveis de

concretização. Os alunos trabalharam normalmente em grupos de dois ou três alunos com um

computador portátil, com o apoio da professora e auxílio de guiões e tarefas. Elaboraram

trabalhos que enviavam para a professora através do correio eletrónico que posteriormente lhos

devolvia com anotações e sugestões de melhoramento.

Um dos principais objetivos do projeto consistia em levar os alunos a desenvolver

aplicações computacionais para usarem posteriormente nas aulas de matemática. Enquanto

constroem as aplicações, têm de usar conhecimentos matemáticos e começam a compreender as

razões porque têm de aprender tantos assuntos e a compreender os conceitos de diferentes pontos

de vista.

Uma componente importante do projeto consistiu em desenvolver um trabalho contínuo

(semanal), para que os procedimentos básicos inerentes à conceção dos programas e

indispensáveis para desenvolver as aplicações, fossem rapidamente interiorizados pelos alunos.

Na Figura 5.2 apresentam-se quatro exemplos de aplicações computacionais desenvolvidas

pelos alunos na sala de aula. No estudo das propriedades dos números, os alunos elaboraram em

Excel, tabelas de múltiplos e divisores recorrendo à formatação condicional e em seguida

resolveram diversos problemas sobre esse tema. No início têm de se concentrar na definição de

múltiplos e divisores, para conseguirem obter uma aplicação o mais generalista possível e

posteriormente usam a aplicação para resolverem problemas de procura de regularidades e

padrões. Pode-se consultar o guião utilizado pelos alunos em

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/multiplos.pdf

Para o estudo da proporcionalidade direta os alunos partiram do seguinte problema: Sabendo

que o valor do perímetro de um quadrado varia linearmente com o valor do comprimento do lado

será que o valor da área também? No Excel, os alunos desenvolveram uma aplicação para ajudar

a responder a esta questão.

Partindo das coordenadas dos vértices, desenharam um quadrado de lado variável e os

gráficos dos valores do perímetro e dos valores da área em função do comprimento do lado. Em

seguida exploraram a aplicação e tentaram responder ao problema inicial. Para desenvolverem a

referida atividade usaram um guião que pode ser consultado em

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Perimetro_Area_Quadrado.pdf


http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Perimetro_Area_Quadrado.pdf

292

No tema dos ângulos os alunos estudaram o grande feito de Eratóstenes, há cerca de 2200

anos quando mediu o raio da Terra. Os alunos recriaram o processo construindo em Geogebra

uma aplicação onde fosse possível visualizar todos os passos seguidos por Eratóstenes e

utilizaram algumas aplicações em Excel construídas para clarificar conceitos. Em

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/geometria.html podem-se consultar

os trabalhos realizados pelos alunos a propósito do estudo da Geometria (7º ano)

APLICAÇÃO 62: Relação entre os valores da área e do perímetro de um quadrado.

APLICAÇÃO 63: Simulação do feito de Eratóstenes para medição do perímetro da Terra.

Figura 5.2 - Trabalhos dos alunos no âmbito do Projeto Matemática Dinâmica.


Os alunos e os encarregados de educação

Do ponto de vista escolar os alunos que constituíram as duas turmas envolvidas no projeto

eram alunos que, na sua maioria, tinham feito o seu percurso escolar sem incidentes importantes

a relatar. Relativamente ao contexto familiar, os encarregados de educação eram habitualmente

participativos indo regularmente às reuniões convocadas pelos diretores de turma. A

coordenadora do projeto participou sempre nessas reuniões a fim de prestar informações



293

relativamente ao desenvolvimento do projeto. Os encarregados de educação mostraram sempre

grande interesse e reagiram de uma forma muito positiva, disponibilizando-se inclusivamente

para colaborar no que fosse necessário, o que efetivamente veio a acontecer no 3º período

quando se fez uma exposição com todos os trabalhos dos alunos. Há a acrescentar que durante o

período em que as aulas decorriam, houve várias manifestações de interesse por parte dos pais

relativamente ao que estava a ser feito, por interpelação direta à professora ou via diretora de

turma chegando mesmo a haver a participação de encarregados de educação nas aulas.

Foi fundamental a colaboração de um conjunto de pais na montagem da exposição e na

elaboração dos posters. Na Figura 5.3 apresentam-se dois dos posters que integraram a

exposição. Os trabalhos “Escolha de tarifários” e “Segredos no bilhete de identidade” (Buescu,

2001) que constam nos posters dizem respeito a dois dos trabalhos desenvolvidos pelos alunos e

que são representativos da natureza das atividades.

Os encarregados de educação participaram intensamente chegando a manifestar

expressamente o seu agrado neste tipo de colaboração com a escola, por considerarem que assim

também tinham acesso a conhecimento matemático que de outra forma não teriam. Esta ligação

que se estabeleceu com os encarregados de educação foi muito importante na medida em que

havia um reforço positivo que era dado aos alunos, pelos pais, que valorizaram sempre o trabalho

que estava a ser realizado na área da matemática. Em alguns casos alguns pais pediram à

professora o esclarecimento de dúvidas relativamente ao Excel pois acompanhavam os alunos no

desenvolvimento das aplicações computacionais e verificavam que não dominavam todos os

procedimentos.

Figura 5.3 – Dois posters que fizeram parte da exposição no âmbito do Projeto Matemática

Dinâmica. A exposição pode ser visitada em

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/exposicao.html

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/exposicao.html

294

Natureza das tarefas

A aula era sempre organizada em torno de uma ideia central a partir da qual se desenvolvia

todo o trabalho dos alunos. Os momentos de exposição por parte da professora eram escassos,

havendo tarefas concretas para fazer, sempre em pequenos grupos e com a ajuda de uma ficha de

trabalho e/ou um guião. A natureza das tarefas no que diz respeito ao grau de complexidade foi

variando ao longo do ano letivo e posteriormente ao longo dos outros dois anos, pois no início os

conhecimentos que os alunos tinham no manuseamento dos programas quer do Excel quer do

Geogebra eram reduzidos ou inexistentes.

Mas existiram vários aspetos que foram variando ao longo dos três anos em que decorreu o

Projeto. Se por um lado no início do 7º ano de escolaridade, os alunos revelavam uma enorme

inexperiência no trabalho em grupo, esse problema foi completamente ultrapassado nos dois

anos seguintes.

Também a grande novidade que consistia em dispor de um computador todas as semanas na

aula de Matemática foi recebida no início com grande euforia e por vezes grande agitação muitas

vezes até dificultando a realização dos trabalhos, e mais tarde já encarada com tranquilidade. No

entanto também a forma como o computador foi usado, constituiu uma novidade para os alunos,

que tinham tendência para dizer que sabiam “tudo” sobre computadores, ficando depois

surpreendidos quando verificavam que afinal eram confrontados com uma folha de cálculo

“vazia” e que tinham de ser eles próprios a construir aquilo que depois iriam utilizar. Esta nova

forma de trabalhar com o computador, conjugando a matemática e as tecnologias através de uma

simples folha de cálculo, alternando entre o papel/lápis para refletir sobre os aspetos

matemáticos, e o computador para criar uma representação do que se está a estudar, foi sendo

interiorizada ao longo dos três anos. No início, os alunos estavam completamente dependentes da

professora e colocavam questões com muita frequência, não demonstrando hábitos de reflexão e

ponderação. Esta situação foi melhorando tendo atingido o seu auge no 8º ano de escolaridade

onde se notou uma elevado grau de autonomia e uma elevada qualidade nos trabalhos

produzidos.

O papel da professora revelou-se complexo pois era necessário apoiar os alunos e

simultaneamente criar estímulos para eles se tornarem cada vez mais autónomos. Era preciso por

um lado melhorar as aplicações construídas na aula (que eram corrigidas pela professora que

enviava sugestões de melhoramento para o aluno) mas também propor a construção de novas.

O primeiro trabalho – construção de uma aplicação para simular a deslocação de um TGV

(ponto 3.4.1) constituiu um momento importante pois foi a primeira vez que os alunos utilizaram

a folha de cálculo. A vertente dinâmica da aplicação foi determinante para gerar uma atitude de

grande entusiasmo, no entanto logo nesta primeira fase do trabalho se verificou uma discrepância

na qualidade dos trabalhos produzidos e no tempo despendido na sua conceção. Este facto foi

objeto de reflexão por parte da equipa do projeto que considerou que era necessário otimizar a

relação, tempo de execução/qualidade, das aplicações desenvolvidas.

295

Embora o programa mais utilizado tivesse sido a folha de cálculo, o Geogebra também

constituiu um recurso muito importante ao longo do primeiro ano principalmente no tema da

Geometria. No ponto seguinte apresenta-se a planificação das atividades, por temas, para a

implementação do Projeto ao longo dos três anos.

Planificação das atividades 5.2.3

Na Tabela 5.1 apresenta-se um quadro resumido com algumas das propostas feitas aos

alunos (durante o desenvolvimento do projeto) bem como do respetivo enquadramento

curricular. Este resumo pode servir de recurso e orientação a todos os que pretendam usar a folha

de cálculo como ferramenta computacional estruturante de apoio/complemento à aprendizagem

da matemática. Todas as propostas apresentadas apresentam endereços de páginas eletrónicas

para sua visualização.

Todas as tarefas apresentadas foram realizadas com os alunos e tiveram um grau de

concretização elevado a todos os níveis. Baseiam-se no princípio de que os alunos devem

também aprender matemática compreendendo-a e não apenas memorizando-a e ainda no

princípio de que os alunos devem assumir uma atitude crítica face à matemática que lhes é

apresentada bem como à forma como ela é apresentada. Essa atitude crítica permitirá aos alunos

ter vontade de “ver” realmente como é que a matemática “funciona” e de ter vontade de divulgar

aquilo que sabem.

Todas as tarefas começavam naturalmente com a apresentação do problema mas

contemplavam sempre a conceção de documentos escritos, desde relatórios até apresentações em

power point, para divulgação junto dos restantes colegas da turma e/ou colegas da escola.

Sendo manifestamente impossível apresentar no âmbito deste trabalho todas as tarefas

desenvolvidas com os alunos, adotou-se um formato que descreve sucintamente o objetivo de

algumas tarefas remetendo-se para a página do projeto uma consulta mais pormenorizada.

296

Tabela 5.1 - Quadro-Resumo das principais tarefas desenvolvidas ao longo do Projeto

Matemática Dinâmica.

ENQUADRAMENTO

CURRICULAR TAREFAS PROPOSTAS

NÚMEROS E

OPERAÇÕES

1.

Dado um número natural, programar um botão de comando que, após

clicado, apresente todos os seus divisores e alguns múltiplos (autoria:

alunos 7º ano). Resolver problemas relacionados.


2.

Estudar propriedades dos números primos utilizando o Crivo de

Eratóstenes e explicar os seus fundamentos. A aplicação computacional

CrivoEratostenes.xls foi desenvolvida pela professora para o efeito (7º

ano). Estudar a conjetura de Goldbach.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Primos.pdf


3.

Criar uma aplicação computacional (BI.xls) para verificar se um dado

número é ou não o dígito de controlo de um bilhete de identidade. (autoria:

alunos 7º ano).

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Fich-B.I..pdf


4.

Utilizar a folha de cálculo como ferramenta para desenvolvimento de

cálculos extensos a propósito do estudo da evolução dos calendários

(autoria: alunos 7º ano).

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/ev-calend-meu-

livro.pdf

5.

Utilizar a folha de cálculo para verificar a descoberta de Leibniz de que

“Qualquer número natural pode ser escrito como a soma de termos

distintos da sequência binária” e em seguida realizar um truque baseado

neste conceito, junto de outros colegas.( autoria: alunos 7º ano).

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Truque.pdf

6.

Construir uma aplicação computacional para descobrir qual o melhor

tarifário de telemóvel perante duas ofertas (autoria: alunos 8º ano)

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/numeros_racion

ais.html.

7.

Contruir aplicações computacionais com vista ao desenvolvimento do

cálculo mental. (autoria: alunos 8º ano). Em seguida os alunos usam as

mesmas aplicações para treino.

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/numeros_racion

ais.html


http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Primos.pdf




http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/ev-calend-meu-livro.pdf

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/ev-calend-meu-livro.pdf

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Truque.pdf

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/numeros_racionais.html




297

ENQUADRAMENTO

CURRICULAR

TAREFAS PROPOSTAS

ÁLGEBRA E FUNÇÕES

1.

Elaborar um módulo computacional para simular o movimento

de um TGV é uma tarefa de elevado valor didático. O trabalho

desenvolvido pelos alunos, atravessa várias fases sendo a primeira a

introdução das coordenadas dos pontos que constituem o desenho.

Em seguida a introdução de uma barra de deslocamento para

visualizar o movimento do comboio é fundamental.

Com o mesmo objetivo os alunos desenvolvem também um

módulo computacional que representa um foguetão e em seguida

introduzem duas barras de deslocamento uma que faça o foguetão

subir ou descer e outra que faça o foguetão deslocar-se para a direita

ou esquerda. (alunos - 7º ano).


2.

Recorrer a um módulo computacional desenvolvido em Excel pelos

próprios alunos, para abordar o problema físico de um automóvel

que se desloca com uma velocidade uniforme. Estudar a relação entre

o espaço percorrido e o tempo dada pela fórmula d v t bem como

o significado físico da constante de proporcionalidade direta. (alunos

- 8º ano).


3.

É fundamental que sejam apresentados aos alunos exemplos de

situações em que não exista proporcionalidade direta. A construção

de um módulo computacional em Excel para estudar a relação y

= ax+b e a variação dos parâmetros a e b constitui um bom ponto de

partida para o estudo de situações da vida real em que não exista

proporcionalidade direta. (alunos - 8º ano).


4.

Construir uma aplicação computacional para responder à questão

O perímetro de um quadrado varia linearmente com o comprimento

do lado e a área será que também? Começa-se por desenhar um

quadrado de lado variável e os gráficos do perímetro e da área em

função do comprimento do lado. (alunos - 7º ano).


5.

Construir uma aplicação computacional para resolver equações do

1º grau. (alunos - 7º ano)

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/equacoes.html






298

ENQUADRAMENTO


GEOMETRIA

1.

Construir uma aplicação computacional para estudar as

semelhanças de figuras geométricas (alunos 7º ano)

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/semelhancas.html

2.

A propósito deste tema foi elaborado um conjunto de textos e de

aplicações computacionais, publicados no site da casa das ciências.

Ao longo da leitura deste texto de apoio, é possível, utilizando

módulos computacionais desenvolvidos em Excel, estudar e

visualizar conceitos matemáticos relacionados com o tema das

semelhanças.

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=sear

ch_result&Itemid=23&search_phrase=a0002%20semelhan%C3%A7as&se

arch_mode=all&ordering=newest

3.

Utilizar uma aplicação computacional para estudar os possíveis

“cortes” num cubo. Visualização geométrica com auxílio do Excel.

(aplicações desenvolvidas pela professora) (7º, 9º anos)


“A Matemática das sombras”

Projeto trianual que tinha como objetivo estudar a importância de

saber olhar para as sombras e descobrir de que forma elas nos ajudam

a calcular distâncias.

1º- Medição do comprimento da sombra de um candeeiro ao

longo de um dia.

2º- Cálculo da altura do candeeiro com base na semelhança de

triângulos. Utilização de uma aplicação computacional desenvolvida

em Excel que permite estudar este tipo de problemas de medição de

alturas que estão inacessíveis.

3º- Compreensão de alguns aspetos básicos de Astronomia com

vista à construção de um relógio de Sol. Construção do mostrador

em Excel.

4º- Como é que os navegadores se orientavam no mar?

Construção de um quadrante. Construção do mostrador em

Geogebra. (alunos 7º ao 9º ano)


http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/semelhancas.html

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemid=23&search_phrase=a0002%20semelhan%C3%A7as&search_mode=all&ordering=newest





299

ENQUADRAMENTO


ESTATÍSTICA E

PROBABILIDADES

1.

Decifrar mensagens codificadas

No Excel construir uma aplicação computacional para estudar a

frequências das letras do alfabeto português em diferentes textos. Com tal

compreender os fundamentos dos códigos. (7º ano)

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/estatistica.html

2.

Será que alguém faz anos no mesmo dia do que eu?

O objetivo deste trabalho foi estimular nos alunos o gosto pela estatística.

Aproveitando a existência de um concurso que premeia trabalhos de

estatística foi solicitado aos alunos que desenvolvessem um trabalho nesta

área.

O tema escolhido foram as coincidências nos aniversários e o título do

trabalho é “Será que alguém faz anos no mesmo dia do que eu?”.

Todos os alunos colaboraram na recolha das datas de aniversário da

população da nossa escola e com ajuda do Excel elaboraram tabelas e

construíram gráficos.

Por fim utilizaram o Word para elaborar o trabalho final e o poster

ilustrativo do trabalho (alunos – 8º ano).

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/na_escola.html

É importante salientar que todas as tarefas apresentadas na tabela anterior foram

contextualizadas pela professora e exploradas do ponto de vista matemático. Para cada tarefa o

trabalho desenvolvido pelos alunos assumiu diferentes formas. Por um lado havia que

desenvolver a aplicação do ponto de vista computacional, o que só era conseguido fazendo uso

dos conhecimentos matemáticos gerais. Por outro lado havia que responder aos desafios

propostos pela professora do ponto de vista matemático. Estes consistiam habitualmente em

questões abertas e problemas que os alunos resolviam usando a aplicação desenvolvida. No

primeiro ano do projeto, o trabalho desenvolvia-se em torno de uma tarefa comum a todos os

grupos. Verificou-se grande discrepância em termos de ritmo na resolução das tarefas. No

segundo ano do projeto (8º ano de escolaridade), para um dado tema, eram apresentadas tarefas

diferentes a cada um dos grupos. Para a realização das tarefas apresentadas aos alunos (uma

tarefa diferente para cada grupo) era necessário percorrer várias etapas, começando pela leitura

atenta da ficha (em papel) e do delineamento de uma possível resolução. Esta passava

naturalmente pela utilização da folha de cálculo como principal ferramenta de trabalho

complementada com o papel e lápis. Finalmente a última etapa consistia em preparar uma

apresentação que seria feita aos restantes colegas da turma. Esta fase revelou-se muito

importante pois, por vezes, os alunos descobriam que o seu raciocínio não estava correto ou que

tinham cometido algum erro de cálculo e refaziam alguma parte da resolução. Por outro lado o

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/na_escola.html

300

desafio de terem de apresentar um assunto e depois serem avaliados pelos colegas levou-os

sempre a encarar este tipo de trabalho com grande responsabilidade e empenho. Esta forma de

trabalhar impôs-se principalmente ao longo do 8º ano fundamentalmente devido ao enorme

entusiasmo com que os alunos encaravam este tipo de trabalho. Tornou-se uma rotina semanal de

tal modo interiorizada pelos alunos que normalmente eram eles próprios a usar o intervalo que

antecede a aula para organizar a sala para a realização do trabalho em grupo.

No ponto seguinte apresentam-se a título exemplificativo alguns trabalhos realizados pelos

alunos bem como análises desses trabalhos. Mais uma vez a impossibilidade de apresentar todos

os trabalhos realizados impõe que sejam escolhidos os mais representativos deste tipo de

metodologia.

Trabalhos realizados pelos alunos 5.2.4

ESCOLHA DE TARIFÁRIOS – ATIVIDADE DESENVOLVIDA NO 8º ANO DE ESCOLARIDADE

Tarefa retirada do Projeto 1000 itens que se encontra disponível no site do Iave (Instituto de

Avaliação Educacional), e apresentada aos alunos. http://bi.iave.pt/bi/3eb/802/3579

O André comprou um telemóvel novo da rede Falabarato, mas ficou indeciso na escolha do tarifário:

“Tarifário A” ou “Tarifário B”.

Tarifário A

Destino por minuto

Rede Falabarato € 0.152

Outras redes nacionais € 0.599

1. Qual é o tarifário mais económico se, em média, o André realizar o mesmo o mesmo número de chamadas

para a rede Falabarato e para outras redes nacionais? Justifica a tua resposta.

2. Se o André realizar 10 chamadas por um mês para outras redes nacionais, qual é o nº mínimo de

chamadas que terá de realizar para a rede Falabarato para que o “Tarifário A”seja mais económico do que o

“Tarifário B”? Justifica a tua resposta.

Tarifário B

Destino por minuto

Todas as redes € 0.254

Os alunos, em pequenos grupos, dispunham de um computador portátil como era habitual

em todas as aulas. Uns grupos responderam apenas às perguntas recorrendo à calculadora. Duas

alunas, Anjeni e Sofia decidiram, desde o início, elaborar uma apresentação em PowerPoint e

utilizar a folha de cálculo para realização dos cálculos. Perceberam que podiam construir uma

tabela com os dados, pois assim seria mais acessível responder às perguntas.

As alunas Anjeni e Sofia, conceberam uma apresentação bastante pormenorizada como se

pode ver em seguida.

http://bi.iave.pt/bi/3eb/802/3579

301

1. É o tarifário B, pois para todas as redes, por minuto, o André gasta 0.508 enquanto que

no tarifário A para realizar o mesmo número de chamadas, para a rede falabarato e para

outras redes nacionais, fica mais caro com o preço de 0.751. Fizemos os cálculos no Excel

(Figura 5.4).

Figura 5.4 – Trabalho desenvolvido pelas alunas, em Excel, para resolverem a questão1.

2. Para que o “Tarifário A” seja mais económico o André terá que realizar, no mínimo, 34

chamadas. Fizemos os cálculos no Excel (Figura 5.5).

Figura 5.5 – Resolução da questão 2 em Excel.

A explicação feita pelas alunas foi considerada por todos os alunos muito clara e

elucidativa (Figura 5.6). Este foi o trabalho mais apreciado por todos os alunos da turma. As

alunas correspondiam a um nível médio/baixo a Matemática. A elaboração deste trabalho,

com auxílio do Excel, foi marcante para ambas as alunas que referiram que, inicialmente,

tinham tentado resolver a tarefa apenas com calculadora mas que depois se lembraram que

com o Excel podiam calcular rapidamente uma grande quantidade de dados. Contruíram

inicialmente apenas as tabelas e só depois, com o incentivo da professora contruíram os

respetivos gráficos. É de referir que o trabalho foi iniciado numa aula sendo terminado

posteriormente fora da aula, a pedido das duas alunas, com o apoio da professora. As alunas

302

demonstraram um desempenho excelente tendo mais tarde referido que a utilização do Excel

“tornou tudo mais claro principalmente coisas que não tínhamos percebido bem. Os gráficos

ajudaram muito a perceber até outras coisas.”

Figura 5.6 – À esquerda foto do trabalho no computador e impressão. À direita apresentação feita

pelas alunas.

NÚMERO DE CONTROLO DOS BILHETES DE IDENTIDADE

ATIVIDADE DESENVOLVIDA NO 7º ANO DE ESCOLARIDADE

A propósito dos estudo dos múltiplos e divisores, apresentou-se uma tarefa

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/Fich-B.I..pdf) cujo objetivo era

essencialmente ajudar os alunos a compreenderem o significado do dígito, denominado dígito

de controle, que surge em todos os bilhetes de identidade (ou cartões de cidadão), a seguir ao

número. A tarefa englobava uma ficha de trabalho e um guião que consistia na apresentação

de todos os passos para, na folha de cálculo, construírem uma aplicação em que, dado um

número qualquer, surgisse o dígito correto.

Na Figura 5.7 apresenta-se o aspeto da aplicação produzida por um grupo de três alunos

Figura 5.7 – Aplicação desenvolvida em Excel por três alunos do 7º ano de escolaridade. Pode

consultar-se em http://matematicadinamica.agpiscinasolivais.com/ficheiros/numeros.html



303

Este grupo de alunos elaborou um relatório sobre este trabalho:

“Com este trabalho aprendemos que o número que aparece à frente dos bilhetes de

identidade não é o número de pessoas com o mesmo nome como quase todas as pessoas acham.

É para ajudar aquelas pessoas que têm de meter muitos números todos os dias.

Mas afinal porque é que a soma tem de ser divisível por 11 e não pode ser por 10?

Primeiro porque tem de ser um número primo. Por exemplo se dividíssemos 28 por 4 dava 7

mas se dividíssemos 28 por 2 também estava certo. Por isso, para testar, não dá se ele não for

primo.

Depois tem de ser 11 porque é o primeiro número primo a seguir ao 10. No mínimo a soma

dos dígitos de um número de BI é 8 (se forem , no mínimo todos 1) Logo, o primeiro primo a

seguir ao 8 é 11. Mas nos códigos de barras já são mais dígitos e é a mesma coisa. “Rui Coelho

e Lucas 7ºB

Refira-se ainda que esta atividade desenvolveu-se em duas aulas e numa delas contou com a

presença de uma professora da escola que, tendo percebido pelos alunos que estavam a trabalhar

este tema, pediu autorização para assistir à aula. A professora (de Ciências) acabou por ficar

muito surpreendida com a justificação matemática dada pelos alunos estimulando-os a divulgar o

que tinham aprendido a outros colegas seus e professores, o que aconteceu no Dia do

Agrupamento. A importância da utilização da folha de cálculo como ferramenta privilegiada para

generalizar, revelou-se muito útil na divulgação, pois permitiu criar um clima de algum mistério

quando os alunos “adivinhavam” o dígito de controlo de qualquer pessoa, desde que esta lhe

fornecesse o número do BI. E isso acontecia num espaço de segundos…Bastava claro ter um

computador com a aplicação desenvolvida pelos alunos.

SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS

ATIVIDADE DESENVOLVIDA NO 8º ANO DE ESCOLARIDADE

“A investigação de regularidades, tanto em sequências numéricas finitas ou infinitas

(sucessões), como em representações geométricas deve ser tomada como base para o

desenvolvimento do pensamento algébrico.

No que se refere aos números, a generalização das propriedades das operações aritméticas

constitui uma forma de desenvolver o pensamento algébrico, representando uma diferença

substancial relativamente ao ciclo anterior.

Os alunos devem ser incentivados a utilizar terminologia e simbologia matemáticas em

situações variadas, a relacionar diferentes formas de representação e a linguagem matemática

com a linguagem natural. A elaboração de relatórios e de pequenos textos sobre as tarefas

realizadas e sobre assuntos matemáticos são boas ocasiões para essa utilização.

Recursos. A folha de cálculo é um recurso tecnológico importante no desenvolvimento do

pensamento algébrico uma vez que permite realizar com rapidez experiências com números e pôr

em evidência relações numéricas.”

Programa de Matemática 3º Ciclo 2007

304

A tarefa proposta aos alunos consistiu na resolução de um problema que consta no Projeto

1001 itens disponibilizado pelo IAVE:

Figura 5.8 – Parte da ficha “Legos em torre”. Item do IAVE.

http://bi.Iave.min-edu.pt/bi/3eb/802/1728

É de referir que, ao longo do 8º ano de escolaridade, tornou-se frequente o trabalho à

volta da resolução de um problema do Iave. Os alunos trabalhavam em grupos de 4 elementos

e elaboravam uma resolução de um item escolhido por eles, utilizavam o geogebra ou o excel

para construírem aplicações que contemplassem outras situações ou generalizações e

elaboravam uma apresentação para os restantes colegas da turma.

Este tipo de trabalho revelou-se muito positivo ganhando uma tal importância e significado

para os alunos, que constantemente pediam à professora para consultarem o site do Iave para

verificarem se já existiam problemas novos.

Os trabalhos produzidos eram alvo de avaliação pelos colegas da turma que teciam críticas e

sugeriam melhoramentos.

A investigação de regularidades (ver página 54) foi muito desenvolvida por estes alunos com

auxílio da folha de cálculo. É importante referir que no ano seguinte, estes mesmos alunos

obtiveram os melhores resultados nas questões sobre este tema, nos testes de diagnóstico que

são realizados por todos os alunos da escola, de determinado nível de escolaridade.

Esse aspeto foi constatado pelos professores que corrigiram os testes que observaram uma

enorme discrepância entre grupos de alunos.

http://bi.gave.min-edu.pt/bi/3eb/802/1728

305

Figura 5.9 – Parte do trabalho realizado por um grupo de alunos do 8º ano sobre o item

anteriormente apresentado.

ESTUDO DA FUNÇÃO y=mx+b

Estudar o significado dos parâmetros m e b da função afim recorrendo à folha de cálculo (ver

3.4.2) .

As alunas Ana Cardoso e Carolina começam por construir a aplicação apresentada na (Figura

5.10) e depois resolvem fazer uma aplicação com duas barras de deslocamento para fazer

variar o m e o b para exporem à turma. Em seguida fazem um guião com todos os

procedimentos usados (Figura 5.11).

Figura 5.10 – Interface da aplicação desenvolvida para estudar a função afim.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314

306

Figura 5.11 – Relatório realizado por Ana Cardoso e Carolina (8ºA) sobre o estudo da função afim.

307

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS FEITA POR EUCLIDES

A tarefa foi apresentada aos alunos do 8º ano, numa aula de matemática e teve a duração de

noventa minutos. Pretendia-se dar seguimento ao tratamento do tema relativo ao Teorema de

Pitágoras do qual tinham sido lecionadas várias aulas.

A aula foi planificada por forma a alternar momentos de exposição, discussão grupo-turma,

reflexão e análise da aplicação apresentada e finalmente redação de um pequeno relatório sobre o

assunto (ver 3.3).

Foi apresentada a aplicação e os alunos começaram a experimentá-la clicando nos

sucessivos passos. A possibilidade de clicar nos botões e recomeçar para observar novamente

revelou-se muito importante pois permitiu aos alunos concentrarem-se exatamente nas

justificações que se pretendiam.

Figura 5.12 – Aplicação que recria a demonstração do teorema de Pitágoras feita por Euclides.


Os alunos realizaram relatórios sobre a tarefa.

Nesta fase do trabalho verificou-se alguma dificuldade em escrever aquilo que já tinham

compreendido.

Mostra-se em seguida algumas conclusões a que os alunos chegaram.


309

Da experiência realizada realçam-se alguns aspetos que devem ser valorizados

nomeadamente o facto de ter sido possível, com recurso à aplicação computacional desenvolvida

para o efeito, seguir o raciocínio de Euclides que envolve noções matemáticas bem conhecidas

dos alunos. A aula revestiu-se de um caráter muito vivo e a possibilidade de repetir e voltar a

repetir todos os passos da demonstração tornou-a acessível à maior parte dos alunos. Aqui a

alternância das diferentes tarefas foi fundamental. Se por um lado o aluno tinha necessidade de

recorrer à aplicação por outro também era estimulado a ir justificando aquilo que via. No final

todos os alunos tinham registado as justificações.

Outro aspeto a salientar é o facto de ter sido possível, a propósito de estudo do Teorema de

Pitágoras, abordar outros temas de matemática que os alunos já tinham estudado anteriormente

nomeadamente triângulos equivalentes e igualdade de triângulos. Habitualmente os temas são

apresentados de uma forma estanque e sem ligação entre eles.

Explica o que observas.

é igual à do

310

Aspetos didáticos do trabalho desenvolvidos pelos alunos 5.2.5

Este ponto é dedicado à descrição e análise globais da experiência desenvolvida sendo

abordados aspetos relacionados com os conteúdos e processos matemáticos que os alunos

adquirem à medida que percorrem os níveis de ensino (desde o 7º ao 9º anos de escolaridade), e

utilizam uma folha de cálculo como principal ferramenta computacional. A descrição

apresentada resulta essencialmente da observação e reflexão contínuas que foram feitas ao longo

das aulas bem como dos registos diários de ocorrências significativas. Também contribuíram

para a análise, os trabalhos desenvolvidos pelos alunos.

Aula1:

O tópico curricular de matemática que estava a ser trabalhado com os alunos era a

representação de pontos num referencial cartesiano. Pretendia-se que os alunos visualizassem e

descrevessem posições, direções e movimentos bem como descrevessem a posição de figuras

desenhadas numa grelha quadriculada recorrendo à identificação de pontos através das suas

coordenadas e desenhassem figuras, dadas as suas coordenadas.

A proposta para a aula consistia em desenvolver uma aplicação em folha de cálculo que

simulasse o deslocamento de um comboio (ver 3.4.1). Partindo de um desenho (em papel

quadriculado) fornecido aos alunos estes teriam de registar numa tabela as coordenadas dos

pontos significativos do comboio, elaborar uma representação gráfica e finalmente incluir uma

barra de deslocamento para fazer variar os valores das abcissas. O trabalho foi desenvolvido

numa aula de 90 minutos.

Diferentes tipos de linguagem

O facto da folha de cálculo permitir usar diferentes tipos de linguagens, tais como a

linguagem corrente, numérica e simbólica, e o facto de todos os procedimentos que vão sendo

usados, poderem ficar registados na folha e de uma forma visível, faz com que os alunos possam

observar as etapas do desenvolvimento da aplicação e receber de uma forma imediata o feedback

das suas ações. Podem assim ir retificando os erros cometidos.

Após a leitura das coordenadas dos pontos de referência (a partir do desenho fornecido pela professora) e

construção do respetivo gráfico, alguns alunos observam que não surgiu no ecrã o desenho que esperavam. Isso

obrigou-os a rever as coordenadas e verificar os erros cometidos na leitura das mesmas. Este processo ajudou a

reforçar a aprendizagem do tópico matemático coordenadas cartesianas e a fazer a distinção entre abcissa e

ordenada.

Interiorização do conceito de variável

A possibilidade de escolher uma célula para colocar o valor de uma certa quantidade, que

será depois acrescentada às abcissas dos pontos iniciais, e atribuir-lhe um nome, é um processo

que só ganha maior expressividade quando os alunos realizam algumas experiências. Alteram o

valor da célula e observam as mudanças produzidas na tabela. É neste momento que interiorizam

o valor da linguagem simbólica e da importância do seu uso.

311

O Rui C. depois de introduzir as coordenadas do TGV na posição inicial fica apreensivo por pensar que terá de

fazer o mesmo para gerar outras tabelas para outras posições. Depois de observar que existia uma regularidade nas

abcissas dos "novos" pontos, compreendeu a importância de utilizar uma variável para representar o acréscimo.

Este aluno, tendo terminado a tarefa antecipadamente, no final da aula, construiu outra figura diferente (foguetão) e

imprimiu-lhe movimento horizontal e vertical, tendo assim alargado o seu campo de conhecimentos.

Linguagem de programação.

É de notar que o desenvolvimento da tarefa em ambiente de sala de aula exige um equilíbrio

entre um trabalho dirigido pelo professor e um trabalho autónomo por parte dos alunos. Tendo

sido esta a primeira atividade no âmbito do projeto Matemática Dinâmica, houve uma maior

orientação por parte do professor. Foi necessário transmitir aos alunos a ideia de que eles se

estavam a colocar no papel de "pequenos programadores" e transmitir os procedimentos básicos

inerentes à linguagem de Visual Basic. Nas tarefas seguintes esse trabalho já não foi necessário.

De um ponto de vista computacional, todas as operações necessárias são simples e tornam-se

repetitivas.

Alguns alunos revelaram dificuldades na utilização da linguagem associada à programação e a sua correspondência

com a linguagem matemática. Esta dificuldade só foi ultrapassada no decorrer do trabalho ao longo dos anos.

Outros alunos no entanto demonstraram muito à vontade. Estes alunos passariam a desempenhar o papel de

monitores em aulas seguintes, detetando rapidamente os erros de sintaxe cometidos pelos colegas. O João M.,

aluno com dificuldades de aprendizagem na disciplina de Matemática, e com uma atitude negativa face a esta

disciplina, revelou grande destreza no desenvolvimento deste tipo de aplicações em Excel e demonstrou sempre

grande participação e empenho. Ao longo do desenvolvimento do projeto este aluno teve uma mudança grande

quer ao nível da atitude como ao nível do seu desempenho chegando mesmo a atingir nível positivo na disciplina

no 3º período.

Aula 2:

A propósito do estudo das funções linear e afim no 8º ano de escolaridade os alunos do 8º

ano realizaram uma tarefa que consistiu na construção da aplicação para estudar as funções y=kx

e y=kx+b com k e b reais.

Com a inclusão de duas “barras de deslocamento” associadas às células que contêm os

valores dos parâmetros k e b, o módulo é munido de uma interatividade controlada pelo

utilizador que permite a observação do efeito gráfico da variação de k e de b.

A tarefa desenvolveu-se em duas aulas. A professora apresentou a aplicação e comunicou

aos alunos que eles iriam construir a aplicação desde o início usando-a posteriormente para

estudar as funções linear e afim.

As primeiras reações surgem apenas quando, após a construção da tabela, inserem o gráfico

e surge algo bastante diferente do que esperavam (Figura 5.15).

312

Gráficos na folha de cálculo

No início os alunos deverão construir uma tabela

de valores de (x,f(x)). No ambiente de trabalho da folha

de cálculo isso corresponde a utilizar duas células e

relacioná-las através de uma fórmula.

A Figura 5.13 mostra o valor na célula B6 e a

célula onde a fórmula foi editada (C6). A professora

alerta para a importância de usar a referência absoluta

$C$2 em contraponto com a referência relativa B6.

Quando a fórmula é copiada por arrastamento virá

sucessivamente $C$2*B7, $C$2*B8, $C$2*B9 etc., ou

seja o valor que está na célula C2 mantém-se inalterado.

O primeiro gráfico obtido não é exatamente aquele

que esperavam. Os alunos, de uma maneira geral,

reparam na escala do gráfico e no seu aspeto global.

Questionam a professora sobre como alterar a escala. A

professora indica os procedimentos necessários para

redefinir a escala e obter linhas de grelhas verticais. Os

alunos alteram os valores mínimo e máximo das

abcissas e das ordenadas. Realizam várias experiências

e obtêm um gráfico adequado ao que se pretendia.

Figura 5.13 - Relação entre as células C2 , B6

e C6

Figura 5.14 – Gráfico antes da formatação.

A introdução de uma barra de deslocamento para fazer variar o valor da constante k, seria a última fase da

aula. A utilização de um editor de código em Visual Basic surgiu de uma forma natural para conclusão da aplicação

e posterior estudo matemático das funções linear e afim.

Em seguida foi proposto aos alunos que construíssem uma aplicação para estudar a função y=kx+b e

conjeturassem sobre o significado dos parâmetros k e b. Note-se que os alunos estabeleceram um paralelismo entre

as duas atividades, não revelando dificuldades.

Figura 5.15- Planificação do trabalho a desenvolver com os alunos.

Programação, matemática e folha de cálculo. O papel do aluno

Existem disponíveis inúmeras aplicações desenvolvidas para estudar funções e o significado

geométrico dos parâmetros. No entanto considera-se que o desenvolvimento e construção de

aplicações como as que se apresentaram anteriormente, contribuem para que os alunos possam

ser colocados num papel mais interveniente. Sendo eles próprios autores das aplicações podem

0

10

20

30

40

50

0 10 20

Series1

313

alterá-las e alargar assim o seu campo de conhecimentos. Todos os passos da construção são

importantes para a consolidação dos conhecimentos.

Os alunos demonstram curiosidade em proceder a alterações no código da barra de deslocamento. O que

aconteceria se introduzíssemos outros valores para o mínimo e para o máximo? A Catarina altera o código e não

conclui nada. Acha estranho que tudo se mantenha e solicita ajuda à professora. Esta incentiva a aluna a pensar um

pouco mais para tentar ela própria encontrar a resposta. A Catarina realiza várias experiências. Decide alterar a

escala do gráfico e observar novamente o que acontece concluindo então que sempre que k é positivo, a reta situa-

se nos primeiro e terceiro quadrantes e quando k é negativo, a reta situa-se nos segundo e quarto. A possibilidade

de alterar o código de uma forma simples e direta permite à aluna alargar o seu campo de conhecimentos.

Uma situação idêntica ocorre quando é pedido para construir o gráfico de uma função do tipo y=kx+b. Várias

experiências permitem aos alunos conjeturar sobre o significado de b.

Aspetos relevantes do trabalho dos alunos. 5.2.6

Neste ponto apresenta-se a análise das tarefas desenvolvidas com os alunos do ponto de

vista da organização da aula e do papel do professor e do aluno. Também se estabelecem

algumas considerações acerca da escolha do software bem como dos aspetos logísticos que

realçam deste tipo de trabalho. O percurso dos alunos e o seu passado escolar será também

objeto de análise.

Uma nova forma de trabalhar em aula

O tipo de tarefas propostas aos alunos foram consideradas por eles próprios, contendo um

grau de complexidade ao qual não estavam habituados.

Os alunos foram estimulados frequentemente a utilizar a folha de cálculo para resolver

problemas, para criarem aplicações que depois exploraram e a desenvolverem trabalhos para

apresentarem aos colegas. No 7º ano de escolaridade, início do projeto, este tipo de trabalho

constituiu uma completa novidade. Os alunos nunca tinham trabalhado com uma folha de cálculo

nem tão pouco tinham desenvolvido trabalhos para apresentarem (habitualmente os alunos

pesquisam na Internet um determinado assunto fazendo em seguida uma cópia do documento

que encontram, sem qualquer espírito crítico, muitas vezes sem terem lido o próprio texto). Por

outro lado, tinham bastante enraizada a atitude de aguardar pelas orientações do professor para

realizar qualquer trabalho. Quando confrontados com a folha de cálculo (em branco) e a

necessidade de construírem um determinado trabalho questionavam diversas vezes sobre o que

fazer, mesmo depois de terem lido a ficha de trabalho proposta pelo professor. Durante o 7º ano,

verificou-se que o desenvolvimento do trabalho estava muito dependente das orientações do

professor, e só a meio do ano se verificou uma maior autonomia. É importante salientar que o

facto do trabalho ser desenvolvido semanalmente, criou nos alunos uma rotina e uma

interiorização do funcionamento das aulas.

314

O papel do professor e do aluno

Neste contexto inicial há que destacar o papel da professora que se revelou fulcral para o

bom desenvolvimento das aulas, em vários níveis. A autonomia e a tomada de decisões foram

competências difíceis de alcançar e só no meio do período correspondente ao desenvolvimento

do projeto é que se começaram a verificar atitudes por parte dos alunos que revelavam uma

maior autonomia e iniciativa. Já não questionavam tudo, decidiam se usar ou não o computador

em determinadas tarefas e frequentemente recorriam a trabalhos antigos para recuperar algum

conceito esquecido.

Por esta razão pode considerar-se que o 8º ano foi o momento alto do projeto pois foi o ano

em que os alunos demonstraram uma grande autonomia e a qualidade dos trabalhos foi muito

elevada. Gerou-se um ambiente de aula muito favorecedor para a aprendizagem da matemática.

Os alunos com maiores dificuldades contaram com o apoio dos outros alunos da turma. Todos os

alunos foram capazes, com maior ou menor apoio, individualmente ou em pequenos grupos, de

desenvolver aplicações informáticas na folha de cálculo, interativas e/ou dinâmicas, aplicações

essas que envolviam conhecimentos matemáticos. Pode considerar-se que foi possível

aprofundar conteúdos matemáticos que sem o recurso à folha de cálculo não seria possível.

Destacam-se as aplicações desenvolvidas pelos alunos para estudar a função linear e a função de

proporcionalidade inversa, suas representações gráficas e estudos paramétricos e a

contextualização em situações reais.

No 9º ano de escolaridade, a carga horária do Estudo Acompanhado passa a ser apenas 45

minutos, e tornou-se difícil desenvolver um trabalho semelhante ao realizado nos anos anteriores

onde se contava com 90 minutos. Neste ano foram propostas tarefas muito simples e diretas para

serem realizadas neste curto espaço de tempo, no entanto considera-se que mesmo assim os

resultados foram bastante positivos face à limitação temporal.

Folha de cálculo?

Sendo uma das questões centrais desta investigação procurar saber se a programação

computacional com a folha de cálculo deve ou não constituir uma forma de trabalho para

aprender matemática, considera-se que é fundamental integrá-la no ensino da matemática como

principal ferramenta informática para o desenvolvimento de diversas representações das ideias

matemáticas. A experiência mostrou que os alunos, quando interiorizam os principais

procedimentos inerentes à folha de cálculo, desenvolvem aplicações com elevado valor didático,

mostrando-se mais predispostos para aprender matemática recorrendo a conhecimentos

intuitivamente. A experiência mostra também que a aquisição de competências ao nível da

informática é feita muito rapidamente e o ganho posterior é muito elevado.

Aspetos logísticos

Um outro aspeto a ter em conta quando se pretende desenvolver uma metodologia baseada

na construção de aplicações em Excel, em sala de aula e pelos alunos, relaciona-se com questões

315

logísticas. Para que a sequência de aulas seja realmente concretizada sem interrupções é

necessário um esforço adicional por parte do professor para se certificar de que tudo funciona,

desde os portáteis até ao DataShow incluindo a verificação das baterias, ratos e Internet. É

preciso ainda que o professor mantenha uma grande disponibilidade para a resolução das dúvidas

que vão surgindo por parte dos alunos, quer dentro da sala de aula, mas principalmente fora da

sala de aula, via correio eletrónico ou plataforma Moodle. É neste espaços que os alunos

encontram, frequentemente, à vontade para colocar as suas dúvidas, para enviar um trabalho ou

para mostrar os avanços feitos numa determinada aplicação. Por isso o professor deverá

responder sempre que possível aos alunos com sugestões de melhoramento para trabalhos ou

mesmo esclarecimento de dúvidas relativamente a determinado aspeto mais técnico da folha de

cálculo. Este investimento no feedback (quase imediato) às ações dos alunos gera um clima de

confiança.

Questionários, opções do percurso escolar

Com vista à elaboração do projeto curricular de turma, os diretores de turma elaboram no

início de cada ano letivo um questionário que visa essencialmente caracterizar os alunos no que

diz respeito às suas preferências escolares e pessoais. Nas turmas do projeto, no 8º e 9º anos de

escolaridade, cerca de 70% dos alunos respondeu que a sua disciplina preferida era matemática

em contraponto com cerca de 30% na generalidade das turmas do 9º ano da escola.

No 9º ano de escolaridade cerca de 90% dos alunos seguiu um curso técnico científico

manifestando sempre, quer em entrevistas quer em questionários a sua preferência pela

matemática sendo essa a razão principal pela qual escolheram a via científica.

A professora responsável pela orientação escolar terá mesmo constatado ao longo do 9º ano

que estava em presença de alunos com grande motivação para as áreas da matemática, facto que

contrariava a tendência habitual.

Resultados escolares 5.2.7

No final do 3º ciclo, os alunos realizam um exame, a nível nacional, de Matemática. Os

alunos das duas turmas envolvidas no projeto, para além da grande motivação para as áreas

científicas e tecnológicas, como foi referido atrás, participaram nesta avaliação externa com

grande sentido de responsabilidade e empenhamento. A relação que estabeleceram com a

Matemática foi de tal forma natural, que estes alunos destacaram-se relativamente aos restantes

alunos do 9º ano da mesma escola, principalmente na forma como encararam o exame. Os alunos

constituíram grupos de preparação para o exame e demonstraram um enorme à vontade na

resolução de problemas. Estabeleciam com facilidade analogias com o que tinham realizado ao

longo dos anos do projeto.

É de salientar a ausência de níveis 1, no exame, por parte destes alunos.

316

Outro aspeto positivo consistiu no elevado número de níveis superiores ou iguais a 4 (31%

de níveis 4 e 5: 10% de níveis 5 e 21% de níveis 4). Pode considerar-se que o tipo de trabalho

desenvolvido promove a excelência e estimula os alunos mais fracos.

É possível desenvolver um trabalho equilibrado com diferentes níveis de proficiência. Todos

os alunos conseguem atingir determinado objetivo. Todos conseguem mobilizar conhecimentos

de matemática no sentido de os aplicar em contextos computacionais por forma a construir uma

aplicação que “funcione” e onde se percebam os conceitos. Uma vez que todos os alunos

participam nas tarefas com maior ou menor profundidade vão adquirindo ao longo do tempo

competências ao nível da utilização dos seus conhecimentos a novas situações permitindo-lhes

responder com eficácia às avaliações externas.

Na Figura 5.16 apresenta-se um poster, solicitado pelo Ministério da Educação, para estar

presente numa exposição de materiais.

Figura 5.16 – Poster apresentado no Ministério da Educação.

317

5.3 O Projeto Tópicos de Física em Experimentação virtual.

Na sequência do desenvolvimento do projeto Matemática Dinâmica, surge naturalmente por

parte dos professores e alunos envolvidos, necessidade de dar continuidade a uma metodologia

assente na utilização dos computadores de forma crítica e construtiva em particular na utilização

de uma folha de cálculo para ampliar e aprofundar matérias distintas.

A oportunidade de poder apresentar uma nova candidatura à Fundação Ilídio Pinho, agora

no âmbito da disciplina de Física, levou a que fosse concebido um novo projeto assente em

alicerces idênticos ao anterior, mas focalizado essencialmente nos fenómenos físicos e nas suas

ligações com a matemática. Também a necessidade de desenvolver o ensino experimental das

ciências com os alunos, esteve na base da candidatura elaborada pela autora desta dissertação

que foi consequentemente aprovada.

No próximos pontos apresentam-se sucessivamente os objetivos do projeto bem como

alguns exemplos de trabalhos realizados com os alunos. No capítulo 4, no ponto 4.4.4

apresentou-se com algum detalhe uma proposta de trabalho de projeto que foi concretizada no

âmbito deste projeto, relacionada com a expansão portuguesa e a orientação em alto mar. Trata-

se de um tema abrangente que percorre vários conhecimentos de diferentes áreas como sejam a

astronomia, matemática e física, apresentando-se uma aplicação desenvolvida em Excel para

mostrar o funcionamento do astrolábio, instrumento de navegação usado pelos descobridores.

O Projeto 5.3.1

As relações entre a Matemática e os fenómenos físicos observáveis são aspetos

fundamentais para a concretização de uma abordagem que privilegia a vertente laboratorial da

matemática, acompanhada da validação das hipóteses e das técnicas de modelação matemática

utilizadas para simular os fenómenos observados.

As potencialidades dos meios computacionais disponíveis permitem desenvolver trabalhos

com os alunos na área das relações entre os vários ramos do saber de uma forma rápida e

eficiente.

Neste ponto descreve-se o projeto desenvolvido na Escola E.B. 2,3 Piscinas em Lisboa, no

âmbito de um projeto promovido pela Fundação Ilídio Pinho sob o tema "As Artes da Física" e

apresentam-se alguns exemplos de atividades concretizadas com os alunos.

A utilização das tecnologias da informação e comunicação no ensino/aprendizagem em

diferentes níveis de escolaridade, começa a tornar-se uma prática cada vez mais frequente.

Conceitos que muitas vezes são apresentados de uma forma estática aos alunos, são mais

fáceis de apreender quando se utilizam tecnologias adequadas para lhes imprimir maior

dinamismo.

Atendendo a que existem dificuldades reais, de natureza prática para implementação de um

ensino experimental de alguns tópicos da Física, é possível apresentar aos alunos atividades

inseridas num contexto das novas tecnologias que fomentam a experimentação e o sentido de

318

descoberta, dois aspetos essenciais no ensino das Ciências Experimentais. Desenvolve-se assim a

experimentação virtual.

O projeto Tópicos de Física em Experimentação Virtual foi implementado nas mesmas

turmas que participaram no Projeto Matemática Dinâmica (quando estes se encontravam no 8º

ano).

As atividades apresentadas contemplaram tópicos dos currículos de Matemática e Física do

3º ciclo do ensino básico, tendo os alunos explorado aplicações computacionais e efetuado

pequenos trabalhos de investigação.

As atividades foram desenvolvidas em contexto de sala de aula e de clube ao longo de todo

o ano letivo e revestiram-se de elevado carácter experimental.

A escolha de software adequado ao desenvolvimento de simulações foi fundamental e recaiu

naturalmente em programas computacionais de fácil/gratuito acesso. O recurso ao Excel com a

sua componente de programação em Visual Basic bem como ao Geogebra, software de

geometria dinâmica foram opções naturais uma vez que os alunos já tinham tido experiência de

trabalho com os programas referidos no ano anterior. Mas também a linguagem de programação

Scratch foi introduzida e utilizada frequentemente.

A equipa do projeto constituiu-se por forma a incluir professores das áreas de TIC, Física e

Matemática.

As tarefas que foram realizadas ao longo do ano letivo, semanalmente, percorreram várias

áreas e incidiram essencialmente naquelas onde as relações entre a matemática e a física eram

mais evidentes.

O projeto foi apresentado na International Technology, Education and Development

Conference, em Valência (Espanha), em março de 2011 (Oliveira, et al., 2011).

Estudo do sistema massa-mola

Um exemplo estudado consistiu no estudo da relação que existe entre o peso suspenso numa

mola e o respetivo alongamento. Para isso elaborou-se (pelo professor) uma aplicação em Excel

que permite visualizar um esquema representativo de uma mola, bem como um gráfico que

exprime o alongamento da mola em função do peso aplicado. A aplicação permite ainda variar a

rigidez da mola. Os alunos utilizaram a aplicação para verificarem se a relação entre o

alongamento da mola e o peso aplicado é uma relação de proporcionalidade direta. Realizaram

ainda experiências para determinarem o peso que é necessário suspender na mola para que o seu

alongamento seja por exemplo 15 cm e vice-versa, para determinarem qual o alongamento

provocado na mola por um peso de 1,5 kgf. Puderam ainda alterar as condições de rigidez da

mola e verificarem os efeitos produzidos no gráfico (Figura 5.17).

319

Figura 5.17 - Aplicação mola.xls. Varia-se, de um exemplo para o outro, a rigidez da mola.


É de salientar que esta aplicação, em particular, foi usada por vários professores em contexto

de sala de aula a propósito do estudo da proporcionalidade direta. A sua exploração cuidadosa

permite aos alunos compreenderem o significado geométrico da constante de proporcionalidade

que não é mais do que o valor que se obtém quando se divide o alongamento (em cm) pelo peso

(em kgf). Esta constante (em cm/Kgf) de 1,5 significa então que para provocar um alongamento

de 1,5 cm é necessário aplicar um peso de 1 kgf. Uma mola mais rígida, tem um alongamento

menor, para o mesmo peso de 1 kgf. Uma mola com menor rigidez sofre um maior alongamento

para o peso de 1 kgf.

Desenvolvimento da aplicação corridadecarros.xls

Para o estudo proporcionalidade direta, um tema do 7º ano de escolaridade, foram utilizadas

aplicações desenvolvidas em Excel.

A aplicação corridadecarros.xls permite introduzir inicialmente a distância que os dois

carros irão percorrer e as velocidades dos dois carros. Clicando no botão "Animação" é possível

observar o andamento dos dois carros e o tempo que cada um leva a percorrer a distância

indicada. Esta aplicação foi construída com os alunos, em ambiente de sala de aula, ao mesmo

tempo que se formalizavam os conceitos matemáticos e físicos envolvidos (Figura 5.18). O que

se está a estudar não é mais do que a função d=vt em que d é a distância a percorrer, v a

velocidade e t o tempo gasto em percorrer a distância.

A construção da aplicação obriga a uma estruturação do pensamento matemático e físico. É

preciso formular muito bem o que se pretende e manipular as expressões. É uma oportunidade

para trabalhar conceitos matemáticos contextualizados numa situação física bem conhecida dos

alunos, num ambiente tecnológico.


320

Figura 5.18 - Aplicação corridadecarros.xls. No primeiro exemplo os carros percorrem 400 km um a

150 km/h e outro a 100 km/h. No segundo exemplo os carros percorrem 500 km um a 100 km/h e outro a

200 km/h. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=114

Scratch uma linguagem de programação criada pelo MIT

O Scratch é um ambiente de programação agradável e intuitivo. Tendo uma interface gráfica

muito simples, permite aos alunos explorar e experimentar conceitos de programação. Note-se

no entanto que permite implementar desde programas básicos a projetos de grande complexidade

tendo disponíveis várias funções matemáticas.

Com esta linguagem de programação é possível criar simulações e programas interativos. É

muito acessível por se basear em programação por blocos, que é uma sintaxe comum a muitas

linguagens de programação.

Para complementar o processo de aprendizagem com o Scratch concretizou-se a

possibilidade de ligar o mundo virtual ao mundo físico. Isto foi possível utilizando um kit

externo de sensores que se liga à porta USB do computador, começando de imediato a transmitir

dados que podem ser utilizados em programas Scratch. Este dispositivo é uma placa de circuito

que inclui um microcontrolador, um botão, um seletor deslizante, um sensor de luz, um

microfone e quatro portas para medir a resistência de circuitos (Figura 5.19).

Na prática o que acontece é que, consoante o sensor em causa, a resistência do circuito varia

em função de determinada propriedade como por exemplo a temperatura. Efetivamente um

projeto Scratch pode “sentir” o que se passa no meio físico em redor, e ser programado para

reagir de certa forma.


321

Figura 5.19 - Picoboard Scratch.

Foi notório o entusiasmo dos alunos quando viram os seus programas a “reagir” ao que se

passava fora do computador. Por exemplo:

Quando o valor detetado numa certa "porta" indica que a temperatura diminui ( porque se

colocou o sensor sob um cubo de gelo) ouve-se uma voz entretanto gravada “Ai que frio!” .

Um carro num programa Scratch desloca-se para a direita porque um aluno esta a rodar um

volante sobre o qual foram colocados 4 sensores interruptores de mercúrio que permitem que o

carro se desloque em quatro direções.

Mostra-se no Scratch a uma abelha para que flor deve ir colocando sobre a mesma um

sensor de luz.

Calcula-se a distância percorrida por uma roda que gira tendo colocado sobre ela um íman

que quando passa por determinado ponto aciona um sensor magnético. Uma imagem cheia de

cores e formas altera-se dinamicamente em função do som ou da luz detetada por um sensor

(Figura 5.20).

Figura 5.20 - Aspeto de alguns trabalhos realizados com os alunos.

5.4 O projeto Espiral. Fundação Calouste Gulbenkian

Contexto. Projeto E.M.A.

Em Janeiro de 2012, a Fundação Calouste Gulbenkian lançou um programa para todas as

escolas do país intitulado “Estímulo à melhoria das aprendizagens”. Com este programa a

322

Fundação pretendia “apoiar projetos das mais variadas áreas do conhecimento que tivessem

como objetivo incentivar o aparecimento, o desenvolvimento e a divulgação de projetos

inovadores, de qualidade, promovidos por Agrupamentos de Escolas/ Escolas públicas não

agrupadas, para fomentar o sucesso dos alunos através da sua participação em atividades

devidamente estruturadas e realizadas em parceria com entidades externas à comunidade

escolar. Esta iniciativa visa estimular a apresentação de propostas de intervenção que, para

além de refletirem a ligação à comunidade e a entidades e instituições públicas e/ou privadas,

bem como a outras escolas, facilitem as aprendizagens nas áreas disciplinares, fomentem a

criatividade e o empreendedorismo dos alunos e desenvolvam competências de formação

escolar, profissional e pessoal, conducentes à promoção da qualidade educativa.”

No âmbito deste programa, a Escola E.B. 2,3 Piscinas Lisboa apresentou uma candidatura na

área da matemática e tecnologias abrangendo três ciclos de ensino (do 1º ao 3º ciclo) . Nos

próximos pontos apresentam-se as linhas orientadoras do Projeto denominado Projeto Espiral.

Entender, Simular, Provar, Inovar, Refletir, Analisar, Ligar (Oliveira, 2012).

O documento encontra-se para consulta na página web do projeto


Enquadramento 5.4.1

O período de 2008/2012 foi intenso no que diz respeito ao lançamento de projetos e

programas, de iniciativa governamental, para o melhoramento do ensino da matemática, com o já

referido Plano de Ação da Matemática (PAM) e o lançamento dos novos programas do ensino

básico e secundário. Também no domínio da introdução dos computadores no ensino, foram

lançados programas como o Crie e o Plano Tecnológico (também já referidos anteriormente).

Em 2012 assistiu-se a uma relativa estagnação nestes domínios sendo importante referir o fim do

projeto e-escolinhas que, por um preço acessível, permitia aos alunos do 1º ciclo adquirirem

computadores portáteis, os denominados Magalhães. Este programa, terminou muito antes de se

ter definido um plano estratégico para a sua utilização com os alunos. Havia um sentimento

generalizado de que esta iniciativa não tinha sido positiva pois não tinha havido tempo para os

professores realizarem formação que lhes permitisse, com à vontade, utilizar os computadores

nas aulas e tirar daí algum proveito pedagógico.

Na sequência do desenvolvimento e implementação do Projeto Matemática Dinâmica no

triénio 2008/2011, no Agrupamento de Escolas Piscinas Olivais, estabeleceu-se como prioridade,

dar continuidade à metodologia adotada, mas agora de uma forma mais alargada aos restantes

níveis de ensino, envolvendo diferentes professores. Considerou-se importante a criação de

oportunidades para que outros professores, com outras turmas, e em diferentes níveis de ensino,

pudessem efetivamente utilizar os computadores, nas aulas de matemática em contexto

curricular.


323

Concluído o projeto Matemática Dinâmica, novas perspetivas de trabalho ficaram em aberto.

Por um lado a experiência adquirida permitia agora desenvolver as atividades de uma forma mais

consistente, rigorosa e alargada. Por outro lado, foi possível durante o desenvolvimento deste

projeto observar as reações dos alunos e a forma como eles encararam as propostas apresentadas

que incluíam a utilização dos computadores. Considerava-se que estavam reunidas as condições

para implementar uma metodologia assente no desenvolvimento das ligações Matemática -

Ciências Experimentais -Tecnologia, em todos os níveis de ensino e com diferentes professores.

Mas as dificuldades começaram imediatamente a surgir.

Constatou-se que o equipamento informático já não estava atualizado e verificaram-se

grandes limitações a este nível. Não existiam computadores portáteis suficientes para cada grupo

de dois alunos, e se se pretendia desenvolver um projeto alargado a todos os níveis de ensino do

agrupamento, então era necessário a aquisição de mais computadores, o que aparentava ser

impossível com as limitações financeiras com que a escola se deparava.

A autora da presente dissertação elaborou um projeto para apresentar à Fundação Calouste

Gulbenkian a fim de obter financiamento. A candidatura foi aprovada e em 2011/2012 deu-se

início então ao desenvolvimento do Projeto Espiral (coordenado pela autora) nos três ciclos de

ensino, dispondo-se de uma verba de cerca de 26 mil euros.

Resumo do Projeto 5.4.2

Com o Projeto ESPIRAL pretendia-se estimular o recurso à utilização dos computadores na

aprendizagem da matemática, recorrendo a ambientes de desenvolvimento como as folhas de

cálculo, com as quais professores e alunos desenvolvem aplicações computacionais interativas

com componentes gráficas e de animação.

Com esta abordagem pretendia-se ainda estimular os alunos a utilizarem os seus

conhecimentos de matemática de forma criativa, ao mesmo tempo que desenvolvem

competências ao nível da resolução de problemas, formulação de conjeturas, raciocínio

matemático e comunicação de ideias matemáticas

Pretendia-se igualmente valorizar as ligações entre a matemática, a tecnologia e as outras

ciências no sentido de realçar o poder da matemática para a simulação de fenómenos físicos.

As relações entre a Matemática e os fenómenos físicos observáveis são aspetos

fundamentais para a concretização de uma abordagem que privilegia a vertente laboratorial da

matemática, acompanhada da validação das hipóteses e das técnicas de modelação matemática

(modelos computacionais) utilizadas para simular os fenómenos observados.

Objetivos específicos 5.4.3

Pretendia-se com o desenvolvimento do projeto:

Envolver os alunos na construção de aplicações computacionais com objetivos

concretos para que eles clarifiquem e aprofundem conceitos matemáticos,

324

desenvolvam o hábito de pensar de forma organizada e apliquem os seus

conhecimentos e os mobilizem no sentido de resolverem novas situações;

Implementar com os alunos, uma estrutura de trabalho em rede (utilizando a

plataforma Moodle) para partilha de materiais, discussão de tópicos de

matemática abrindo assim novas possibilidades de comunicação entre os

professores e os alunos;

Desenvolver com os alunos trabalhos de natureza interdisciplinar, realçando

as aplicações da matemática num contexto experimental e computacional;

Estimular os professores a utilizarem os computadores nas aulas de

matemática, de uma forma criativa e adequada à abordagem de cada conteúdo

matemático, tentando ir ao encontro das dificuldades de cada aluno, bem como

dos seus interesses e motivações. Para isso deverão ficar aptos para elaborarem

instrumentos computacionais em Excel e/ou Geogebra, suscetíveis de criar

abordagens inovadoras de temas curriculares;

Desenvolver ações de formação para professores, com o objetivo de os dotar

dos conhecimentos técnico/científicos e didáticos para posteriormente

desenvolverem um processo de interação com os alunos através da referida forma

de utilização conjunta da matemática, ciências e tecnologia;

Criar páginas web (em português e em inglês) contendo todos os materiais

desenvolvidos, descrição das atividades e aplicações computacionais criadas pelos

professores e/ou pelos alunos.

Continuar a elaboração do manual interativo "Estudar Matemática com a

folha de cálculo", e alargar o projeto aos restantes níveis de ensino.

Metodologia

Apresentam-se em seguida algumas opções, nomeadamente o software escolhido, a forma

como o trabalho foi organizado, a planificação das atividades e as modalidades de formação

escolhidas.

É de salientar ainda que, ao longo do seu desenvolvimento, optou-se frequentemente pela

exploração de aplicações da matemática, nomeadamente ao nível da modelação de fenómenos

naturais, o que implica ter em conta os quatro passos seguintes:

1. Observação/compreensão de fenómenos (Física e Astronomia) e estabelecimento de

hipóteses simplificativas;

2. Desenvolvimento de modelos matemáticos adequados à descrição dos fenómenos em

análise e definição de métodos matemáticos para obtenção das soluções;

3. Implementação computacional dos métodos adotados, tendo em conta os modelos

escolhidos;

325

4. Exploração dos modelos computacionais desenvolvidos (estudando a influência dos

vários parâmetros do modelo) e comparação dos resultados obtidos numericamente com os

dados da observação.

Intervenientes

A experiência começou a ser desenvolvida em Outubro de 2012 e teve a duração de 6 meses.

A tabela seguinte apresenta esquematicamente todos os intervenientes no projeto:

1º Ciclo 2º Ciclo 3º Ciclo

Escola Nº 113

6ºB Prof. Isilda

Pedro

6ºC Prof. Isilda

Pedro

8ºA,B,C,D,E Prof Margarida Oliveira,

Prof. Filipa Albuquerque e Prof. Patrícia

Carvalho.

4ºA Prof. Carla Fonseca

4ºB Prof. Alexandra Almeida

4ºC Prof. Marisa Lourenço

Escolha do software

Para os alunos

Foram usadas ferramentas tecnológicas de simples utilização e acessíveis na generalidade

dos computadores disponíveis na escola. Nesta ótica considerou-se (após a experiência com o

projeto Matemática Dinâmica) que as folhas de cálculo apresentavam potencialidades e,

devidamente exploradas, proporcionavam ambientes de aprendizagem muito ricos.

Organização do trabalho na aula com os alunos

O trabalho foi desenvolvido ao longo do ano letivo 2012/2013, com duas turmas de 6º ano e

duas turmas do 3º ciclo em ambiente de sala de aula (contexto curricular) com uma periodicidade

semanal ou quinzenal. Envolveu também três turmas do 4º ano também em contexto de sala de

aula. Os professores envolvidos foram os professores do ensino regular do agrupamento.

Existiu um computador portátil disponível para cada grupo de dois alunos (nos 1º 2º e 3º

ciclos), ligação à internet e um quadro interativo nas salas de aula.

O papel do professor foi determinante para o sucesso do desenvolvimento das atividades.

Assim, o professor procurou sempre estabelecer um equilíbrio entre aquilo que constitui o

trabalho autónomo dos alunos e as sugestões que fornece ao aluno para que ele possa progredir

no trabalho. Se estas sugestões forem excessivas a resposta do aluno será ilusória. É necessário

dar tempo suficiente aos alunos e oportunidade para eles assumirem a sua própria

responsabilidade pelo desenvolvimento da tarefa.

326

Existiu um acompanhamento do trabalho dos alunos, por parte dos professores, recorrendo

ao correio eletrónico, por forma a garantir que fosse fornecido aos alunos todo o apoio

necessário para dar continuidade aos seus trabalhos.

Planificação das atividades

Os professores da equipa do projeto reuniram semanalmente para planificarem as atividades,

criarem materiais, fichas, guiões e aplicações computacionais. Realizaram ainda reuniões

intercalares para proceder a avaliações intermédias do projeto.

Resultados esperados 5.4.4

O Projeto Espiral assenta numa abordagem em que a resolução de problemas, as relações

entre a matemática e as outras ciências, a realização de projetos e a integração das tecnologias

são fundamentais. Espera-se que os alunos desenvolvam competências ao nível da resolução de

problemas, que desenvolvam capacidades para utilizar a matemática (de forma autónoma) para

modelar fenómenos observáveis recorrendo a modelos computacionais (numéricos), e que

utilizem sempre que necessário as tecnologias para o desenvolvimento de projetos e para

solucionar problemas matemáticos. Neste contexto, a evolução dos alunos ao longo do ano

constitui um fator importante de verificação sobre se os resultados esperados estão ou não a ser

alcançados. A análise da evolução dos alunos será feita com base em observações, entrevistas

periódicas e documentos escritos tais como trabalhos, testes e relatórios produzidos pelos

próprios alunos bem como das aplicações computacionais.

MATTIC 5.4.5

No final do ano letivo 2010/2011 foi divulgado um despacho ministerial que apresentava

uma revisão do currículo do ensino básico. Este documento continha uma nova matriz curricular

e contemplava, para além de outras medidas, o fim das áreas curriculares não disciplinares,

Estudo Acompanhado, Área de Projeto e Formação Cívica. As cargas horárias de algumas

disciplinas também sofreram alterações e surge ainda a possibilidade de a escola, por sua

iniciativa, oferecer uma componente curricular complementar com carga horária flexível que

contribuísse para a promoção integral dos alunos em áreas de cidadania, artísticas culturais,

científicas ou outras.

No Agrupamento de Escolas Piscinas-Lisboa a autora da dissertação propôs à direção da a

criação de uma oferta complementar denominada MATTIC (Matemática e Tecnologias da

Informação e Comunicação) para todos os alunos dos 8º anos de escolaridade. Essa oferta

complementar foi aprovada e lecionada por uma professora da equipa do Projeto Espiral sendo a

sua carga horária de 50 minutos semanais.

327

O programa de MATTIC

Não é ambição desta dissertação ter uma definição completa e acabada daquilo que deve ser

um currículo de matemática integrando a utilização sistemática do computador na ótica da

programação. Existe ainda muito trabalho a fazer, no entanto a mensagem parece ser muito clara:

“As folhas de cálculo facilitam a implementação de vários estilos de aprendizagem que podem

ser caracterizados por “situações abertas/fechadas, resolução orientada de problemas,

construtivismo, investigação, descoberta orientada, centrado no aluno.”

Para a lecionação da disciplina de Mattic, elaborou-se um documento onde se apresentava as

finalidades e objetivos de aprendizagem no âmbito da referida disciplina. Uma vez que se trata

de uma experiência curricular inovadora, o documento foi sendo atualizado com vista a integrar

os resultados obtidos.

O programa começa por apresentar um breve resumo sobre as grandes finalidades para o

ensino de Mattic, seguindo-se a apresentação de objetivos específicos.

O documento pormenorizado encontra-se na página do projeto para consulta

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com.

Na tabela seguinte apresenta-se um resumo onde se mostra como pode ser utilizada a folha

de cálculo tendo em conta o enquadramento curricular e o nível de ensino a que se destina.

Percorre-se todos os níveis de ensino desde o básico (1º ciclo) até ao superior. Apresenta-se

ainda o endereço de páginas web onde se poderão encontrar as aplicações computacionais e/ou

tarefas e/ou guiões de ajuda à construção das aplicações.

Espera-se que este documento possa servir de inspiração para a construção de novas

aplicações computacionais.


328

Tabela 5.2 - UTILIZAÇÃO DA FOLHA DE CÁLCULO. ENQUADRAMENTO CURRICULAR NO 1º CICLO

NÚMEROS

1º CICLO

ENQUADRAMENTO

CURRICULAR

FOLHA DE CÁLCULO NOTAS

De acordo com as metas curriculares do Ensino Básico, o estudo dos números racionais não negativos, surge nos 3º e 4º anos de escolaridade. Indicam-se como objetivos específicos a leitura e escrita de números na representação decimal e o relacionamento de diferentes representações.

Pretende-se também que os alunos localizem e posicionem números racionais não negativos na reta numérica. A escolha dos números deverá ser criteriosa, pois as frações deverão ter na generalidade numerador igual a 1, e os números decimais deverão ser preferencialmente da forma 1,5 ou 2,75.

Este tema é retomado no 2º ciclo. Pretende-se localizar e posicionar na reta numérica números racionais, alargando o conjunto de números.

Estudam-se as frações equivalentes, simplificação de frações e comparação, com vista ao desenvolvimento do estudo das operações com números racionais. No 3º ciclo alarga-se o estudo aos negativos. (Bivar, et al., 2013)

Aplicação reta_decimais.xls:

Apresenta a reta numérica com a

unidade dividida em 4 partes iguais.

Clicando no primeiro botão

observa-se um novo ponto na reta.

O objetivo consiste em indicar na

caixa amarela o valor da abcissa

desse ponto.

Aplicação reta_umafrac.xls:

Clicando no primeiro botão

observa-se que a unidade fica

dividida num determinado número

de partes (gerado aleatoriamente), e

surge na rectal um novo ponto A. O

objetivo consiste em indicar na

caixa amarela a fração

correspondente a esse ponto.

Ver aplicações em: http://www.matematica-

interactiva.com/matematica/index.php?ref=136

“Múltiplos e divisores” é um

dos tópicos curriculares a lecionar

na segunda metade do 1º ciclo.

Constituem objetivos deste tópico

a identificação de múltiplos e

divisores de um número natural e

a compreensão de que os

divisores de um número são

divisores dos seus múltiplos e que

os múltiplos de um número são

múltiplos dos seus divisores.


Aplicação

multiplosedivisores.xls:

A aplicação, ao calcular os

múltiplos e os divisores de qualquer

número, pretende contribuir para o

desenvolvimento desses objetivos.

Pode também ser utilizada no

contexto curricular do 2º ciclo para

a determinação do máximo divisor

comum e do menor múltiplo

comum de dois números.

Ver aplicações e planificação

em: http://www.matematica-

interactiva.com/matematica/index.php?ref=79

O cálculo mental constituía um

dos objetivos a desenvolver ao

longo dos três ciclos do Ensino

Básico, enquadrado no tema

Números e Operações. (Ponte, et

al., 2007).

Aplicação mental1.xls:

Destina-se a exercitar estratégias

de cálculo mental através de um

puzzle numérico destinado a

trabalhar a adição e subtração de

números naturais.

Ver enquadramento curricular

e guião de construção da

aplicação mental1.xls em http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

Ver outras aplicações em http://www.matematica-interactiva.com





329


NÚMEROS (CONTINUAÇÃO)

1º CICLO

ENQUADRAMENTO CURRICULAR


“Existem diferentes estratégias de

cálculo mental que devem constituir

objetivos de aprendizagem na aula de

Matemática, pois quanto maior for o

desenvolvimento das estratégias de

cálculo mental mais à-vontade se

sentirá o aluno no uso de estratégias de

cálculo mais convencionais como os

algoritmos das quatro operações. Uma

boa capacidade de cálculo mental

permite aos alunos seguirem as suas

próprias abordagens, usarem as suas

próprias referências numéricas e

adotarem o seu próprio grau de

simplificação de cálculos… ” (Ponte,

et al., 2007).

Aplicações 4operações.xls;

contasempe_somas.xls;

tabuada1ºciclo.xls;

jogo_tabuada.xls

jogo_claculo_mental.xls (desenvolvidas pela autora e pelos

professores Isabel Quaresma,

Susana Carvalho e Manuel

Pereira no âmbito da ação de

formação realizada);

As aplicações geram diferentes

situações (incompletas) envol-

vendo as quatro operações

elementares com números

naturais. Pretende-se que os

alunos desenvolvam a

compreensão da adição no sentido

de combinar e acrescentar e a

subtração no sentido de retirar.

Compreendam a multiplicação no

sentido aditivo e combinatório e

reconheçam situações envolvendo

a divisão.

Ver aplicações em http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

e http://www.matematica-interactiva.com

“… devem ser trabalhadas diferentes estratégias de cálculo baseadas na composição e decomposição de números…” (Ponte, et al., 2007).

Aplicação decomposição.xls

A aplicação proporciona

situações em que os alunos

trabalhem a ideia de

decomposição de um dado

número.

Ver aplicação em http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

“comparar números racionais

representados em diferentes formas”


Aplicação

comparação_racionais.xls


“Com a aprendizagem no 1º ciclo, os

alunos desenvolvem o sentido de

número e adquirem uma compreensão

dos números naturais e da sua

representação no sistema de

numeração decimal, sendo capazes de

ler e representar números até ao

milhão.” (Ponte, et al., 2007)

Aplicação unidades dezenas.xls e

decomposiçãorepvisual.xls







330


2º CICLO

ENQUADRAMENTO

CURRICULAR


O tema números racionais é

retomado no 2º ciclo. Neste ciclo

pretende-se também localizar e

posicionar na reta numérica

números racionais, alargando o

conjunto de números.

Estudam-se as frações

equivalentes, a simplificação de

frações e a comparação, com vista

ao desenvolvimento do estudo das

operações com números racionais.

(Ponte, et al., 2007)

Aplicação reta_duasfrac.xls:

Poderá ser usada numa fase final

do trabalho com números racionas

não negativos, no final do 2º ciclo, a

propósito da comparação e ordenação

de números na forma de fração ou no

início do 3º ciclo para revisão.

A aplicação apresenta dois botões

de comando "Novas frações" e

"Verificação". Clicando no primeiro

observa-se que a unidade fica dividida

num determinado número de partes a

verde, e noutro número de partes a

cor-de-rosa (ambos gerados

aleatoriamente). Surgem dois novos

pontos na reta, ponto A e ponto B. O

objetivo consiste em introduzir na

caixa amarela e na caixa azul os

valores correspondentes a esses dois

pontos.

Ver planificação http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

“Utilizar o crivo de Eratóstenes

para determinar os números

primos inferiores a um dado

número natural” (Bivar, et al.,

2013)

Aplicação Crivo_Eratostenes.xls

Ver http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com

De acordo com os novos

programas do Ensino Básico, a

determinação da área de um

triângulo constitui um tópico da

Geometria do 2º ciclo. Indicam-se

como objetivos específicos

compreender a relação entre as

fórmulas para calcular as áreas de

triângulos e retângulos e a noção

de figuras planas equivalentes, isto

é, que têm a mesma área.

Este tema é retomado no 3º ciclo

a propósito da determinação da

área de polígonos e,

posteriormente, no estudo do

Teorema de Pitágoras. (Ponte, et

al., 2007)

Aplicação areatriangulo.xls

Ilustra visualmente a variação da área

de um triângulo quando de alteram as

medidas de um dos lados e da altura

relativa a esse lado;

Ilustra também triângulos

equivalentes, contribuindo para

esclarecer eventuais confusões com

triângulos semelhantes.

Os alunos do 2º ciclo usam a

aplicação.

No 3º ciclo os alunos constroem a

aplicação.

Ver

Planificação

Guião areas_final http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com




331


3º CICLO

ENQUADRAMENTO

CURRICULAR FOLHA DE CÁLCULO NOTAS

Um dos principais propósitos

do ensino da matemática ao

longo do 3º ciclo consiste em

desenvolver nos alunos as

capacidades de resolver

problemas, de raciocínio e de

comunicação matemática.

O estudo detalhado dos

números primos e compostos constitui um tópico do tema

“Números e operações” a

lecionar no 2º ciclo.

No início do 3º ciclo

recomenda-se a exploração de

problemas envolvendo números

e os seus divisores.

Aplicação divisores.xls:

Calcula os divisores de qualquer

lista de números indicando ainda

os que são primos.

Os alunos devem resolver a tarefa

com auxílio da aplicação e/ou criar

aplicações mais simples

relacionadas com múltiplos e

divisores. (ver Tabela 3.1),

Aplicações relacionadas:

Crivo_eratostenes.xls

Primos.xls

Multiplos_comuns.xls

Ver tarefas

“Estudo dos números primos e

compostos.

Situações problemáticas”

Números perfeitos , deficientes

e abundantes em www.matematica-interactiva.com

Ver www.matematicadinamica.agpiscin

asolivais.com

Conceber e pôr em prática

estratégias de resolução de

problemas, verificando a

adequação dos resultados

obtidos e dos processos

utilizados.

Aplicação BI.xls

Depois de introduzido um número

de um bilhete de identidade é

possível verificar se o dígito de

controle está correto ou não, ou

então “adivinhar” o dígito de

controle.

http://matematicadinamica.agpis

cinasolivais.com/ficheiros/nume

ros.html

Aplicação e tarefa proposta aos

alunos.

A semelhança de figuras

planas é um tópico do tema

Geometria do 7º ano do ensino

básico que é posteriormente

utilizado em contextos variados.

Além da formulação do

conceito e identificação de

figuras planas semelhantes,

estuda-se a relação entre

perímetros e áreas de figuras

semelhantes e utiliza-se a

semelhança de triângulos para a

determinação de distâncias

inacessíveis.

Para o tratamento deste tópico

propõe-se uma associação entre

construções geométricas com

régua e compasso e aplicações

computacionais.

Aplicação razaodesemelhança.xls

Destina-se a ajudar a compreender

melhor o conceito de semelhança

de figuras.

aplicação retangulo_ang.xls

aplicação Quadri.xls

aplicação TRI.xls

Relaciona as áreas de dois

triângulos retângulos isósceles,

com um vértice comum e

hipotenusas sobrepostas

aplicação Sombra.xls

Recria a determinação da altura de

um objeto inacessível através da

comparação da sua sombra com a

sombra de uma vara, processo que

Thales de Mileto terá usado para a

determinação da altura de uma

coluna.

No site

http://www.casadasciencias.org/

Foi publicado um material

interativo “Semelhanças de

figuras” onde os alunos poderão

estudar este tema recorrendo às

aplicações interativas referidas.

“Compreender e usar a fórmula

da área de um paralelogramo…”


Aplicação

area_paralelogramo.xls








http://www.casadasciencias.org/


332


3º CICLO (CONTINUAÇÃO)

ENQUADRAMENTO


Teorema de Pitágoras

Prevê-se neste nível de ensino

que os alunos façam uma

aprendizagem progressiva de

deduções curtas. Os alunos

devem raciocinar indutivamente

quando procuram generalizar

propriedades encontradas num

determinado conjunto de dados


Os alunos devem relacionar o

Teorema de Pitágoras com a

semelhança de triângulos (Bivar,

et al., 2013)

A aplicação Pitagoras.xls

apresenta um triângulo retângulo e

três quadrados construídos sobre

os catetos e a hipotenusa.

O quadrado construído sobre o

cateto maior está decomposto em

quatro quadriláteros iguais.

A aplicação permite variar os

comprimentos dos catetos e clicar

no botão "Decomposição" para

observar o rearranjo dos quatro

quadriláteros e do quadrado

(construído sobre o cateto) para

cobrirem exatamente o quadrado

construído sobre a hipotenusa (ver

3.3)

Pitágoras-triângulos.xls

Pitágoras-rectângulos.xls

No site

http://www.matematica-

interactiva.com/matematica/index.php?ref=

38

no menu “8ºano/Teorema de

Pitágoras” apresentam-se

atividades relacionadas com a

demonstração do Teorema de

Pitágoras e ainda explorações

que se podem fazer com auxílio

das aplicações computacionais.

“Identificar e assinalar pares

ordenados no plano cartesiano”

(Ponte, et al., 2007)

A aplicação TGV.xls potencia o

desenvolvimento de competências

ao nível da álgebra e ainda o

desenvolvimento da capacidade de

resolução de problemas, através da

utilização de formas diferentes de

representação tais como gráficos,

desenhos e expressões simbólicas

(ver 3.4.1)



146

Apresenta-se a aplicação bem

como as etapas para o seu

desenvolvimento

A proporcionalidade direta é

um conceito transversal ao

ensino básico abordado em

contextos variados.

Aplicação

Perimetro_quadrado.xls permite fazer variar a medida do

lado de um quadrado e observar o

efeito produzido no gráfico da

função que relaciona o perímetro

do quadrado com o comprimento

do lado (ver 3.4.2).

Aplicações:

viagem_Lisboa-Porto.xls;

simulação_carros.xls

perimetro_area_quadrado.xls

mola.xls

perimetro_retangulo.xls

No site

www.matematica-interactiva.com, no

menu

“7º ano/proporcionalidade

direta/atividades” apresentam-

se diversas atividades realizadas

com os alunos do 7º ano, sobre

o tema da proporcionalidade

direta.

O estudo da função afim insere-

se numa primeira abordagem do

conceito de função. Constituem

objetivos específicos do 3º ciclo,

representar gráfica e

algebricamente uma função

linear e uma função afim e

relacionar as funções linear e

afim. (Ponte, et al., 2007)

Aplicação função_afim.xls permite visualizar os gráficos de

f(x)=ax+b correspondentes a

diferentes valores de a e b,

incluindo os casos particulares das

funções lineares e funções

constantes (ver 3.4.2).



117

Apresenta-se a aplicação bem

como propostas

de trabalho a desenvolver com

os alunos.

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/uploadedfiles/files/pitagoras.xls

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/uploadedfiles/files/pitagoras.xls

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/uploadedfiles/files/t.pit-rectangulos.xls











333


3º CICLO (CONTINUAÇÃO)

ENQUADRAMENTO


“Propor a análise de gráficos que

traduzam casos de

proporcionalidade inversa em

contextos da vida real” (Ponte, et

al., 2007).

Aplicação

proporcionalidade_inversa.xls

permite visualizar os gráficos de

f(x)=k/x + c correspondentes a

diferentes valores reais de k e c.

Aplicação

retangulos_area_constante.xls

permite trabalhar a relação de

proporcionalidade inversa tirando

partido de um problema

geométrico: a relação entre as

dimensões dos lados de retângulos

com a mesma área. Propõe-se uma

abordagem interativa que permita

observar o gráfico que traduz a

relação entre as medidas dos

lados.



16

“Compreender a noção de

termo geral de uma sequência

numérica e representá-lo usando

símbolos matemáticos

adequados” (Ponte, et al., 2007).

Aplicações

números_triangulares.xls;

numeros_pares.xls;

quadrados_perfeitos.xls

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/s

eqNum.html

http://matematicadinamica.agpiscinasolivais

.com/ficheiros/numeros.html

“Compreender as noções de

equação e de solução de uma

equação e identificar equações

equivalentes” (Ponte, et al.,

2007).

Aplicações

equações.xls;

equações_PedroSalvador.xls;

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/e

quacoes1Grau.html


.com/ficheiros/equacoes.html

“Resolver equações do 2º grau a

uma incógnita” (Ponte, et al.,

2007)

Para a resolução de equações do 2º

grau, ax2+bx+c = 0, propõe-se

com a aplicação

quadratica_zeros.xls explorar a

relação com os zeros das

correspondentes funções

quadráticas,

f(x) = ax2+bx+c.



14

“Resolver sistemas de equações

pelo método de substituição”;

“Interpretar graficamente as

soluções de um sistema de

equações” (Ponte, et al., 2007).

Aplicação sistemas_equações.xls

Permite determinar a solução de

um sistema linear de duas

equações e representa

graficamente a solução do sistema



119



118

“Identificar o seno, o coseno e a

tangente de um ângulo agudo

dado como razões obtidas a partir

de elementos de um triângulo

retângulo” (Ponte, et al., 2007)

Aplicação

razoes_trigonometricas.xls http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com




http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/seqNum.html

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/seqNum.html











334

Tabela 5.8 - UTILIZAÇÃO DA FOLHA DE CÁLCULO. ENQUADRAMENTO CURRICULAR NO SECUNDÁRIO

SECUNDÁRIO

ENQUADRAMENTO


O número surge

transversalmente nos currículos

dos vários ciclos do Ensino

Básico e do Ensino Secundário

em vários contextos.

Aplicação Arquimedes.xls:

Destina-se a explorar as

aproximações de obtidas com

recurso à geometria. Este número

é aproximado por excesso e por

defeito com recurso a áreas de

polígonos regulares com número

crescente de lados, circunscritos e

inscritos numa circunferência

unitária.

Permite várias utilizações e no

contexto do 10º ano poderão ser

exploradas questões como as

seguintes:

Determinação, com recurso

às razões trigonométricas, de

expressões analíticas que

permitam determinar o

comprimento dos lados dos

polígonos regulares com n

lados.

Determinação rigorosa das

áreas de polígonos inscritos e

circunscritos.

Observação de aproximações

por excesso e defeito e

exploração intuitiva da ideia

de limite de sucessões.

Ver tarefa

“O número pi”


.com/ficheiros/geometria.html

(separador geometria)

No estudo das funções

quadráticas recomenda-se a

exploração gráfica de famílias de

funções quadráticas, a sua

associação a transformações dos

respetivos gráficos e à modelação

de fenómenos físicos.

Para o estudo deste tópico

propõe-se uma associação

sistemática a aplicações

computacionais que completarão

uma abordagem analítica

rigorosa. Propõe-se também uma

sequência de propostas de

trabalho associadas às referidas

aplicações, explorando aspetos

concretos ligados a situações

reais e aspetos gerais

relacionados com transformações

geométricas de gráficos

associadas à variação de

coeficientes da função quadrática.

As aplicações destinam-se a

ilustrar visualmente as diferentes

“famílias” de funções quadráticas

tal como são referidas na

generalidade dos manuais

escolares. Com a aplicação

quadratica-vertice.xls estudam-

se as quadráticas expressas em

função das coordenadas do vértice

e com a aplicação quadratica-

canonica.xls estudam-se as

quadráticas na forma canónica,

f(x) = ax2+bx+c, com a≠0.

Os alunos constroem uma das

aplicações e usam.

Ver tarefa

“Estudo da função quadrática”



149

(II Parte, 10º ano Funções)




335

Tabela 5.9 - UTILIZAÇÃO DA FOLHA DE CÁLCULO. ENQUADRAMENTO CURRICULAR NO SECUNDÁRIO

SECUNDÁRIO (CONTINUAÇÃO)

ENQUADRAMENTO


O estudo analítico e gráfico das

funções envolvendo radicais é

parte integrante do currículo do

11º ano. De acordo com as

orientações programáticas devem

ser privilegiadas funções que

relacionem variáveis com

significado concreto.

Aplicação tri_Isosceles.xls:

Proporciona o estudo das funções

irracionais num contexto

geométrico: dados triângulos

isósceles em que a medida do par

de lados iguais é fixa, estudar a

relação das respetivas áreas com a

medida do terceiro lado.

Ver

Funções irracionais



127

O estudo da derivada de uma

função num ponto é um tópico do

tema "Introdução ao Cálculo

Diferencial" do 12º ano do ensino

secundário que é posteriormente

utilizado em contextos variados.

De acordo com o programa em

vigor, além da formulação do

conceito, faz-se a representação

gráfica de funções tendo em

conta a localização de máximos,

mínimos e pontos de inflexão.

Resolvem-se também problemas

de otimização, em diferentes

contextos.

Apresenta-se a aplicação

Derivada.xls construída em

Excel, com o seguinte objetivo:

ilustrar visualmente o conceito de

derivada de uma função num

ponto: à medida que as tangentes

percorrem o gráfico de uma

função f, os correspondentes

declives originam o traçado do

gráfico da função derivada f’;

ilustrar as ligações entre o sentido

de variação da função e o sinal da

derivada e entre a existência de

extremos e os zeros da função

derivada.

Os alunos usam a aplicação.

No âmbito de um trabalho podem

construir a aplicação.

Ver planificação



30

O estudo das funções

diferenciáveis realizado no

contexto do 11º ano constitui um

precioso auxiliar para a

determinação rigorosa dos

extremos de funções.

Aplicação

algebra+geometria.xls: Proporciona o estudo dos

máximos absolutos de funções

associadas a um problema

geométrico: a determinação das

dimensões do retângulo de área

máxima com dois vértices no eixo

das abcissas e os outros dois sobre

o gráfico de uma função

quadrática da família

f(x)= ax2+ b com a e b

números reais positivos.


interactiva.com/matematica/ind

ex.php?ref=131







336

Tabela 5.10 – UTILIZAÇÃO DA FOLHA DE CÁLCULO. ENQUADRAMENTO TEMÁTICO

SUPERIOR

TEMAS DE MATEMÁTICA FOLHA DE CÁLCULO NOTAS Álgebra linear e geometria

analítica: Cálculo matricial.

Sugere-se a construção de uma

aplicação que permita visualizar as

projeções de um sólido nos três

planos ortogonais de um referencial

tridimensional.

Ver

http://projetoespiral.agpiscinasoli

vais.com/calculoMatricial.html

Equações diferenciais ordinárias

e métodos numéricos.

Movimento vertical de um corpo

num campo gravítico (sem atrito)

Movimento oscilatório de um

sistema massa-mola;

Movimento de um pêndulo;

Cabo suspenso sujeito à ação do

peso próprio;

Movimento da Terra em torno do

Sol;

Movimento oscilatório de um

edifício de três pisos;

Deverá usar-se uma metodologia

baseada no estabelecimento das

equações que descrevem os

fenómenos descritos e em seguida

realizar as manipulações

necessárias tendo em vista a

implementação computacional

numa folha de cálculo.

Recomenda-se que se desenvolva

um trabalho por forma a criar um

ambiente computacional integrado

onde as diferentes representações

estejam interligadas para

proporcionar uma visão completa

do fenómeno em estudo.

Ver


interactiva.com

http://epublications.bond.edu.au/e

jsie/vol3/iss3/2/

http://projetoespiral.agpiscinas


vais.com/catenarias.html

Séries de Taylor A construção de uma aplicação

dinâmica onde se visualize (em

filme) a aproximação de uma

função através de funções.


vais.com/seriesTaylor.html

Séries de Fourier e Transformada

de Fourier.

A importância de desenvolver

representações visuais que facilitem

a compreensão deste tema leva ao

desenvolvimento de um conjunto

de aplicações computacionais

dinâmicas e interativas.

Equações diferenciais com

derivadas parciais. Método dos

Elementos Finitos.

Deslocamentos, tensões e

deformações em sólidos de

comportamento elástico sob a

ação de forças exteriores.

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/calculoMatricial.html

http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com/calculoMatricial.html





http://projetoespiral.agpiscinas/



337

4º ano de escolaridade. Simulação de um moinho em movimento em geogebra 5.4.6

A ideia de concretizar um trabalho com os alunos do 4º ano de escolaridade, envolvendo a

utilização de computadores surgiu naturalmente como consequência do facto de se ter feito um

balanço muito positivo do mesmo tipo de trabalho noutros níveis de ensino (aquando do

desenvolvimento do Projeto Matemática Espiral).

Envolveram-se todas as turmas do 4º ano do Agrupamento de Escolas Piscinas Olivais e

desenvolveu-se um trabalho sistemático e continuado focando os temas matemáticos que os

alunos estavam a tratar com a professora, numa perspetiva de lhes proporcionar a possibilidade

de desenvolver aplicações (adequadas à sua idade).

A implementação do projeto Espiral no 4º ano que se passa a relatar, constituiu um grande

desafio, tendo em conta o seu caráter pioneiro neste nível de ensino.

O plano anual, prevendo a utilização do programa de acesso livre Geogebra nas três turmas

do 4º ano, foi delineado por um grupo de professores (dos três ciclos de ensino) numa perspetiva

de desenvolvimento de aplicações diretamente relacionadas com os tópicos curriculares em

estudo. As tarefas a realizar bem como o trabalho de planificação, de calendarização e de

estabelecimento de relações com os tópicos curriculares, foi feito por todos os professores

envolvidos.

A tarefa proposta aos alunos na última aula do 2º período (desenvolvida em 90 minutos)

consistiu na construção de uma aplicação para representar um moinho e implementar um

processo de simulação do movimento das suas pás. Com esta tarefa pretendia-se que os alunos

mobilizassem conhecimentos de geometria já trabalhados que se revelavam necessários à

concretização da aplicação. Optou-se por uma metodologia em que o professor apresenta a tarefa

e orienta o trabalho dos alunos, promovendo a explicação das ideias e processos envolvidos.

O primeiro passo consistiu no desenho de um triângulo isósceles (para representar uma pá

do moinho). Para desenhar um triângulo isósceles com o programa Geogebra há que percorrer as

mesmas etapas, da construção com régua e compasso mas agora recorrendo aos comandos

segmento definido por dois pontos, circunferência e intersetar duas linhas: Desenha-se um

segmento de reta e duas circunferências com centro nos extremos do segmento e raio superior ao

seu comprimento. Os pontos de interseção das duas circunferências distam igualmente dos

extremos do segmento (Figura 5.21). Este passo proporcionou uma excelente oportunidade para

chamar a atenção dos alunos para as propriedades da circunferência, para a classificação dos

triângulos e sua construção e também mostrar o valor da matemática que aprendem e a sua

utilidade.

338

Figura 5.21 – Processo de construção de um triângulo isósceles, no Geogebra.

A passagem à segunda fase surge naturalmente quando os alunos se apercebem que têm de

repetir este processo para obter as restantes pás do moinho. Mais uma vez o papel do professor é

fundamental para questionar os alunos sobre a existência de uma outra forma de as desenhar. De

que recursos matemáticos dispõem para facilitar este trabalho? O conceito de rotação surge

imediatamente havendo que definir o centro de rotação, o ângulo de rotação e o sentido.

O comando do geogebra utilizado, rodar em torno de um ponto com uma amplitude,

revela-se útil e intuitivo. Os alunos têm de indicar o centro e a amplitude do ângulo. A

possibilidade de visualizar imediatamente o resultado da sua ação proporciona confiança naquilo

que projetaram fazer. Caso errem podem rapidamente verificar o erro e corrigi-lo.

Figura 5.22 – Rotação do triângulo isósceles em torno de um os vértices do triângulo.

Finalmente o último passo consistiu na simulação do movimento das pás.

O processo consistiu na definição de uma variável denominada “ang” , associada a um

seletor e que assume valores entre 0o e 360

o (incremento 0,1).

Definindo uma rotação de toda a figura em que a amplitude do ângulo corresponde a “ang”

obtém-se o efeito desejado. A introdução deste seletor proporciona aos alunos do 4º ano um

primeiro contato com a noção de variável.

339

Figura 5.23 – Introdução de um seletor no Geogebra.

A motivação associada à utilização dos computadores faz, por si só, com que os alunos

estejam predispostos a aprender matemática, sendo elevado o seu grau de atenção e participação.

É importante salientar que o facto de o trabalho ser desenvolvido quinzenalmente, criou nos

alunos uma rotina e uma interiorização do funcionamento das aulas que permitiu ir apresentado

tarefas cada vez mais ambiciosas do ponto de vista matemática e da conceção das aplicações.

Também a familiarização com os comandos do Geogebra foi sendo feita gradualmente, tendo os

alunos demonstrado uma evolução muito rápida.

As aulas revestiram-se de um caráter muito prático, e atingem-se níveis de entendimento

diferentes sobre o que se está a estudar, no entanto, o facto de o aluno estar simultaneamente a

realizar um trabalho individual (cada aluno traz o seu computador magalhães) e a observar o que

o colega está a fazer, faz com que exista um estímulo natural proveniente muitas vezes de

perceberem que outros colegas já terminaram a aplicação e demonstraram efusivamente o seu

agrado.

Figura 5.24 – Aula de matemática do 4º ano. Projeto Espiral.

340

Os professores, que lecionaram as turmas do 4º ano, mostraram uma enorme recetividade e

entusiasmo pelo trabalho que tem vindo a ser desenvolvido. No início, quando confrontados no

Geogebra com uma janela em branco, estranharam, pois a expectativa que tinham, era a de que

iriam utilizar programas educacionais já desenvolvidos. Construir aplicações computacionais

com fins educativos usando este programa constituiu para os professores uma novidade, mas

rapidamente ultrapassaram as dificuldades técnicas e aderiram ao conceito. No entanto, constata-

se que demonstram ainda falta de autonomia, quer para o desenvolvimento da aula quer na

conceção das tarefas.

Existe um caminho a percorrer no sentido de dotar os professores de competências ao nível

das interligações entre a matemática e as tecnologias por forma a torná-los mais confiantes em si

próprios, e capazes de definirem autonomamente as estratégias e as tarefas.

5.5 Laboratório de Matemática em cursos superiores

No ano letivo 2010/2011 e na sequência da restruturação dos cursos de engenharia do

Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, foi proposta a criação de uma cadeira denominada

Matemática Aplicada à Engenharia Civil (MAEC) com o objetivo de colmatar lacunas já

detetadas nos alunos, ao longo dos anos, e que tinham a ver sobretudo com a dificuldade em

aplicar os conhecimentos adquiridos nas aulas de Equações Diferenciais aos problemas práticos

de engenharia. O professor proponente, também ele professor de cadeiras de engenharia e com

experiência profissional na área da modelação matemática e simulação computacional de

estruturas de grande porte, pretendia que os alunos atingissem um conhecimento mais profundo

da matemática que aprendiam, e sobretudo que a soubessem aplicar em contextos diversificados.

Cada aula desenvolvia-se normalmente em duas fases. Na primeira fase o professor fazia

uma breve introdução ao problema físico, desenvolvendo o modelo matemático correspondente,

enquanto na segunda fase os alunos desenvolviam uma aplicação computacional em Excel que

correspondia à simulação do fenómeno físico. Este trabalho teve a colaboração da autora desta

dissertação que acompanhou os alunos no desenvolvimento das aplicações computacionais, em

ambiente de sala de aula.

Foi criado um site de apoio às aulas onde o professor disponibilizava os materiais

necessários, desde fichas de apoio, guiões até textos teóricos.

https://sites.google.com/site/maecisel2/

Os temas tratados foram os seguintes:

Exemplo introdutório: Equação diferencial que descreve a queda de uma maçã

Arrefecimento de um provete de betão (Equação diferencial de 1ª ordem

Equilíbrio de catenária:

- Hipótese de pequena flecha (Equação diferencial linear de 2ª ordem)

- Hipótese de grande flecha (Equação diferencial linear de 3ª ordem)

Equilíbrio de vigas (Equação diferencial de 4ª ordem)

https://sites.google.com/site/maecisel2/

341

Análise dinâmica de um edifício de 1 piso (Equação diferencial completa de 2ª ordem)

Análise dinâmica de estruturas com vários graus de liberdade

Séries de Fourier. Aplicação na análise experimental de estruturas

Equações diferenciais com derivadas parciais

- Análise do equilíbrio de membranas e lajes

A motivação para as aulas era enorme sendo muito frequente os alunos chegarem antes do

início da aula e saírem muito depois de a aula ter terminado. O facto de disporem de um

computador e utilizarem uma folha de cálculo para o desenvolvimento das aplicações, não

deixava de os surpreender. Mas a mais valia deste tipo de aulas consistiu fundamentalmente na

possibilidade que abriu à compreensão da matemática que aprendiam nas aulas teóricas e no

paralelismo que estabeleceram entre os conceitos matemáticos e os problemas físicos.

É ainda de realçar que o trabalho desenvolvido com os alunos, no 2º ano da licenciatura em

engenharia civil, baseado na utilização da folha de cálculo para compreender conceitos

matemáticos, permitiu posteriormente (no último ano da licenciatura), desenvolver um trabalho

mais aprofundado ao nível da programação, utilizando uma plataforma de programação

diferente, a saber o MatLab.

Uma das dificuldades sentidas, pelos professores que lecionam disciplinas específicas dos

cursos de engenharia, quando pretendem que os seus alunos desenvolvam programas sofisticados

que porventura usarão na sua vida profissional, relaciona-se com a falta de raciocínio algorítmico

e estruturado. No entanto, os alunos que tiveram a possibilidade de frequentar a cadeira de

MAEC revelaram, quando confrontados com a necessidade de programar, uma enorme destreza

nesta tarefa, produzindo programas elaborados. As semelhanças entre o ambiente da folha de

cálculo (grelha matricial) e o ambiente do MatLab permitiu criar ligações e transferir

procedimentos e rotinas que se revelaram muito úteis para o desenvolvimento dos referidos

programas.

No final do ano letivo, os alunos organizaram uma exposição intitulada expMat. A

exposição apresentou um conjunto de posters ilustrativos do trabalho realizado nas aulas de

MAEC e decorreu no átrio do Isel.

5.6 Formação de professores. As Tecnologias no ensino Básico e Secundário

Ações de Formação realizadas ao longo de três anos 5.6.1

Entre Outubro de 2009 e Março de 2010 o Departamento de Matemática da Faculdade de

Ciências da Universidade de Lisboa realizou um curso de 40 horas intitulado “Da Modelação

Matemática à Simulação Computacional”, dirigido a professores do 3º ciclo do ensino básico e

secundário, com o objetivo de transmitir os conhecimentos necessários a quem quisesse

desenvolver um trabalho utilizando as tecnologias em vários níveis de ensino e contribuir para o

342

desenvolvimento de uma nova forma de olhar a Matemática, realçando as suas aplicações e a sua

vertente experimental e computacional. Os formadores foram dois professores do Departamento

de Matemática e a autora do presente estudo.

Durante as sessões, os formandos foram desafiados a criar aplicações computacionais, em

Excel e/ou GeoGebra suscetíveis de criar abordagens inovadoras de temas curriculares, com

especial destaque para os temas transversais a vários níveis de ensino. Os resultados foram

surpreendentes, tanto no que respeita à participação nas sessões como à qualidade da

generalidade dos trabalhos produzidos autonomamente.

O curso teve como principal objetivo, recorrendo apenas a algumas funções básicas de uma

folha de cálculo e ao Software de geometria dinâmica Geogebra, a criação de modelos

computacionais interativos que evidenciassem aplicações da Matemática e conexões entre os

vários tópicos curriculares nomeadamente:

Semelhanças;

Função quadrática e aplicações;

Representação gráfica de funções;

Representação gráfica de sucessões definidas recursivamente;

Experimentação computacional em probabilidades.

Com exemplos criteriosamente escolhidos pretendeu-se mostrar a necessidade de um

completo domínio dos conceitos matemáticos envolvidos na construção das aplicações. Por

exemplo, um dos problemas ilustrado virtualmente (Figura 5.25) proporciona o estudo dos

máximos absolutos de funções associados a um problema geométrico: determinação das

dimensões do retângulo de perímetro máximo com dois vértices no eixo das abcissas e os outros

dois sobre o gráfico de uma função quadrática da família f(x)= ax2+ b com a e b números reais

positivos e a diferente de zero. Para a construção da aplicação é necessário ir resolvendo o

problema, respondendo nomeadamente às seguintes questões:

Qual deverá ser o valor máximo da abcissa do ponto P?

Quais deverão ser as coordenadas dos vértices do retângulo tendo em conta a forma

como ele é construído?

Qual é a expressão analítica da função que dá o perímetro do retângulo em função da

abcissa do ponto P?

Como construir o gráfico do perímetro do retângulo de forma que seja possível vê-lo

aparecer à medida que o ponto P se desloca?

343

APLICAÇÃO 64 – Funções e Geometria

Figura 5.25 - Estudo dos máximos absolutos de funções. Aplicação desenvolvida em Excel.


Este problema estende-se naturalmente ao 11º ano no caso de se pedir as dimensões do

retângulo com área máxima. Neste caso a função a maximizar é do terceiro grau pelo há que

recorrer à sua derivada para a determinação da abcissa do ponto P que conduz a um retângulo

com área máxima.

Um outro exemplo que mostra a necessidade de recorrer e interligar conceitos matemáticos

relaciona-se com a geometria e mais especificamente com o estudo das semelhanças. Quando se

constrói uma aplicação para ilustrar o conceito de razão de semelhança, desenhando uma figura

através das coordenadas dos seus pontos, e em seguida ampliando-a ou reduzindo-a por um valor

correspondente à razão de semelhança, está a estudar-se as coordenadas cartesianas, a

representação gráfica e as semelhanças (Figura 5.26).

Figura 5.26 – Interface da aplicação semelhança.xls.




344

Na sequência desta formação foram realizadas mais ações de 15 horas dirigidas a

professores do 1º e do 2º ciclo do ensino básico. Nestes níveis de ensino a implementação do uso

de módulos interativos é necessariamente diferente. Com efeito, a limitação de recursos

matemáticos que os alunos possuem, torna-os essencialmente utilizadores de applets previamente

construídos, desejavelmente pelos respetivos professores.

A folha de cálculo constitui uma ferramenta muito adequada para experimentar, explorar e

exercitar o cálculo mental. Estas características propiciam a sua utilização para o

desenvolvimento de pequenos módulos computacionais que constituam um apoio efetivo ao

estudo das propriedades de números. Podem construir-se desafios muito elementares, como os

representados na Figura 5.27, trabalhando apenas adições e subtrações com números inteiros não

negativos para utilização no primeiro ano de escolaridade e comparação de números racionais no

2º ciclo. Considera-se que estes módulos destinados a trabalhar o cálculo mental têm grandes

vantagens em contraponto com a realização de exercícios com carácter repetitivo que constam da

generalidade dos manuais. Com efeito, a confrontação imediata com a justeza do resultado e a

capacidade de gerar aleatoriamente novas situações cria uma empatia com a repetição que não

está presente na generalidade dos alunos quando se trata de resolver exercícios de um manual.

Figura 5.27 - Desafios numéricos.


A programação deste desafio constituíram uma boa ocasião para os professores reverem os

algoritmos das operações elementares e construírem novos desafios envolvendo, por exemplo, as

quatro operações elementares em diferentes universos de números, a ordenação de números, a

decomposição de um número em fatores primos, a determinação do máximo divisor comum ou

menor múltiplo comum de dois ou mais números naturais.

Este tipo de aplicações permitiu adaptações a vários anos de escolaridade e despertou muito

interesse junto dos formandos que criaram autonomamente variações muito interessantes.

O Excel proporciona ainda a construção de módulos destinados a trabalhar as propriedades

dos números tirando partido de aspetos figurativos. A aplicação que se apresenta na Figura 5.28

http://matematicainteractiva_dm.fc.ul.pt/index.php?ref=76


345

destina-se a apoiar o estudo das frações facilitando as várias representações usando apenas dois

cursores.

Figura 5.28 – Interface da aplicação para apoio ao estudo das frações.


Também para a representação de frações na reta numérica é possível construir aplicações

que promovam a visualização da reta e apelem à compreensão do significado dos termos de uma

fração. A aplicação contem apenas um botão para gerar aleatoriamente frações e em seguida o

aluno escreve o numerador e o denominador de cada uma delas e clica no botão de verificação

para saber se o resultado está correto.

Figura 5.29 – Representação na reta numérica de frações.




346

O entusiasmo dos alunos quando confrontados com a construção e utilização de aplicações

reforça a ideia que este tipo de módulos interativos, construídos com software disponível na

generalidade dos PC, pode ter um papel importante na compreensão dos conceitos matemáticos e

na resolução de problemas. Pode também contribuir para a formulação de conjeturas e para o

desenvolvimento do raciocínio dedutivo. Com a ajuda das aplicações torna-se simples testar

diferentes casos o que permite formular questões que levam a percorrer o caminho da descoberta

e evidenciam a importância das demonstrações.

O interesse despertado por estas ações de formação e a adesão dos participantes às

atividades desenvolvidas, manifestada tanto ao longo das sessões como na avaliação da acão,

leva a pensar que esta aposta na ligação da modelação matemática à simulação computacional

pode de facto criar dinâmicas diferentes na sala de aula que conduzam ao desenvolvimento de

uma nova forma de olhar a Matemática.

Trabalhos produzidos pelos professores participantes no curso 5.6.2

A avaliação dos professores contemplou a realização de trabalhos executados ao longo das

sessões, bem como a realização de um trabalho final apresentado na última sessão ficando ao

critério do formando a escolha da ferramenta tecnológica a utilizar.

A diversidade dos trabalhos realizados em Excel (em número superior a 50% do número de

formandos) reflete o grau de adesão e interesse neste tipo de ferramenta para ensinar

matemática. Surgiram trabalhos dirigidos a diversos graus de ensino e percorrendo diversos

temas matemáticos. Na tabela apresentam-se alguns dos trabalhos desenvolvidos nas diferentes

ações. O facto de, para a maioria dos formandos, a utilização da folha de cálculo como

ferramenta que potencia a aprendizagem da matemática ajudando os alunos a aprofundar os

conceitos matemáticos e a interligá-los, constituir uma novidade, aliado à qualidade dos

trabalhos apresentados, demonstra bem a versatilidade da ferramenta computacional.

Alguns dos trabalhos desenvolvidos pelos participantes das ações formação fazem parte da

secção “Contribuições recebidas” do manual interativo que se encontra em desenvolvimento. No

endereço http://www.matematica-interactiva.com/matematica/ podem encontrar-se várias

aplicações feitas pelos professores e alunos e ainda algumas propostas de trabalho. Em seguida

apresentam-se, a título exemplificativo, alguns desses trabalhos.

http://www.matematica-interactiva.com/matematica/

347

Tabela 5.11 – Problema de otimização de Euclides

Problema de otimização de Euclides:

“De todos os retângulos de perímetro igual a 24 cm, qual é o que tem área máxima?”

Figura 5.30 – Aplicação desenvolvida em Excel

“Este problema pode ser aplicado ao nível do 10º ano de escolaridade no âmbito do tema

das Funções, por exemplo, no final do estudo das funções quadráticas. Pode ainda ser aplicado

ao nível do 12º ano de escolaridade, mas como introdução ao estudo de problemas de

otimização, ou como motivação aquando do estudo da relação da monotonia de uma função

com o sinal da respetiva derivada.

Esta aplicação em Excel parece-me especialmente importante para os alunos do 10º ano de

escolaridade, dado que ainda estarão relativamente pouco à vontade com as funções e com a

resolução de problemas deste tipo. Para além disto, é comum os alunos deste ano de

escolaridade revelarem dificuldades de visualização, pelo que aplicações deste género podem

ser excelentes auxiliares. Contudo, também poderá ser útil para o 12º ano, uma vez que os

alunos poderão observar o gráfico da função derivada da função área.

Através desta aplicação os alunos têm a possibilidade de ver diferentes retângulos com o

perímetro fixado (neste caso, igual a 24 cm) que vão aparecendo através do controlo manual

da barra de deslocamento e, em simultâneo, podem observar a variação das respetivas áreas

(gráfico 1 e gráfico 2). Acrescentei um terceiro gráfico, o da derivada da função área (gráfico

3), que permite a observação da variação da derivada de uma função quadrática, importante

para os alunos do 12º ano de escolaridade. Esta é uma aplicação que os próprios alunos

poderão construir sem grandes problemas, depois terem algumas noções do funcionamento do

Excel.”

Ana Filipa Faísca



348

Tabela 5.12 – Estudo das hipérboles

ACTIVIDADE em Excel:

Dada a seguinte família de funções e o seu gráfico (hipérbole)

kf (x) b

x c

Esta atividade tem como principal objetivo referir o seguinte facto :

O produto das distâncias de qualquer ponto da hipérbole às assimptotas é constante.

Figura 5.31 – Estudo das funções racionais. Variação dos parâmetros.

Ana Patrícia Gil Mendes


Nota: A construção desta aplicação foi feita por alunos do 10º ano de escolaridade com auxílio

de um guião. A folha de cálculo foi organizada por forma a ser possível ir visualizando a

sequência das etapas todas (Figura 5.32).

Figura 5.32 – Organização da folha de cálculo com vista à construção da aplicação


349

Tabela 5.13 - Probabilidades

O Jogo das Sobreposições

“Apresentamos neste trabalho uma atividade envolvendo a simulação de um jogo, que está

a ser realizada na nossa Escola em Matemática B (curso de Artes Visuais, a nível de 11º ano) e

em Matemática A (curso de Ciências e Tecnologia, a nível de 12º ano)4, na forma de um

trabalho de grupo. O enunciado do trabalho e os simuladores descritos adiante foram

apresentados aos alunos nas aulas; a resolução das questões das fichas que apresentamos em

anexo (anexos A e B, para Matemática A e Matemática B, respetivamente) está a ser feita pelos

alunos como trabalho de casa. Trata-se de estudar o chamado “Jogo das Sobreposições”.

As regras deste jogo são as seguintes: Dispomos de três moedas equilibradas cujas faces são

smiles(smile Alegre e smile Triste). Em cada jogada, o jogador paga ao casino uma certa

quantia, lança as três moedas seis vezes consecutivas e conta o número k de vezes que elas

saíram com a mesma face virada para cima, recebendo então k euros (pode receber 0, 1, 2, 3, 4,

5 ou 6 euros por jogada). No exemplo da Figura 5.33 o jogador recebe três euros,

correspondentes ao 2º, 5º e 6º lançamentos.

Nº do lançamento Lançamento Recebe um euro?

1 Não

2 Sim

3 Não

4 Não

5 Sim

6 Sim

Figura 5.33 – Lançamento de seis moedas consecutivas.

No trabalho procede-se ao estudo da variável aleatória XBin(6, 1/4), correspondente à

quantia recebida em cada jogada, nomeadamente estabelecendo a função massa de

probabilidade e calculando a sua esperança matemática. Pretende-se que os alunos utilizem um

simulador em Excel (ficheiro sobreposições2.xls, folha 1), para a verificação da concordância

dos “resultados experimentais” obtidos por simulação com os resultados teóricos. O simulador

foi também usado na aula em que o trabalho foi apresentado aos alunos, para motivação e

explicação do jogo e suas regras (Figura 5.34).”

António Pereira Rosa

350

Figura 5.34 – Simulação em Excel

Tabela 5.14 – Cálculo mental

“A aplicação “Vamos praticar … o Cálculo Mental!” foi construída com o objetivo de

desenvolver o cálculo mental, nomeadamente a memorização das tabuadas, com recurso à

Folha de Cálculo. Pretende-se, desta forma, num contexto de “Jogo”, contribuir para que as

crianças desenvolvam o cálculo mental, memorizem as tabuadas e, consequentemente,

aprofundem o conhecimento dos números, das operações e das relações entre as operações.

Apesar desta ter sido uma aplicação desenvolvida para ser trabalhada numa turma de 3º

ano, com recurso ao computador “Magalhães” e à “Folha de Cálculo”, a mesma poderá ser

utilizada ao nível do 2º e 4º anos de escolaridade, com as devidas adaptações, ao nível do

universo das tabuadas.”

Manuel Pereira

Figura 5.35 – Aplicação para praticar o cálculo mental. Implementação na sala de aula.



351

No âmbito das ações de formação desenvolvidas para os professores do ensino básico e

secundário, refira-se a importância dos professores adquirirem conhecimentos elementares ao

nível informático nomeadamente no manuseamento das folhas de cálculo que, quando

devidamente exploradas permitem desenvolver trabalhos de grande utilidade para utilização com

os alunos. A autonomia que a utilização deste tipo de ferramenta pode proporcionar aos

professores permitir-lhes-á conceber aplicações que, em dado momento, e para determinados

alunos sejam fundamentais. A constatação do professor de determinada dificuldade leva-o

frequentemente a procurar algo que dificilmente encontra por ser demasiado específico. O

domínio de uma ferramenta poderosa como o Excel juntamente com o Visual Basic abre novas

possibilidades de resolução de problemas concretos aos professores. Por exemplo a aplicação

que se apresenta na Figura 5.36 criada por uma professora (participante da ação de formação)

vem ao encontro da necessidade sentida por esta professora de ter disponível um módulo

computacional interativo que permitisse mostrar aos alunos de uma forma dinâmica o assunto

relativo às transformações de funções aquando do estudo das funções no 10º ano de escolaridade.

Figura 5.36 – Transformações de uma função cúbica. Trabalho realizado por um professor no âmbito da ação de

formação “Novas Tecnologias”. http://www.matematica-interactiva.com/matematica/index.php?ref=158

Neste caso a professora concebeu uma ficha/guião a acompanhar a construção da aplicação

que deveria ser feita pelos alunos (Figura 5.37).


352

Observações finais 5.6.3

Estudo de caso

No âmbito do desenvolvimento de uma tese de mestrado intitulado “ Formação Contínua de

Professores em TIC: Auto-eficácia e Utilização” foi desenvolvido um trabalho da autoria da

professora Joana Vaz com vista a avaliar o grau de auto-eficácia dos professores face à

utilização das TIC após a frequência de cursos de formação e a frequência de utilização de TIC

em contexto educativo pelos professores, após a frequência dos referidos cursos.

Para a realização do estudo foram aplicados questionários a um pequeno grupo de

professores a frequentar uma das ações de formação contínua atrás mencionada. Foram tidos em

conta dois momentos de observação, sendo que posteriormente foram analisados os dados de

cada momento per se e comparativamente.

A recolha de dados deste estudo foi efetuada na Faculdade de Ciências da Universidade de

Lisboa, onde decorreu, entre 25 de fevereiro e 24 de março 2012, uma formação contínua de

docentes intitulada “Matemática e Tecnologia no 3º ciclo do Ensino Básico e no Ensino

Secundário”. Esta ação de formação contou com duas turmas das quais, tendo em conta o âmbito

deste estudo, foi selecionada uma amostra de 16 professores.

Para se proceder à recolha de dados, foi realizado um inquérito que se encontra subdividido

em três partes: Parte 1 - Informação pessoal e profissional; Parte 2 - Formação na área das TIC;

Parte 3 - Questionário sobre auto-eficácia e utilização das TIC.

Os participantes foram informados acerca do propósito e da confidencialidade dos dados

recolhidos através do inquérito e elucidados quanto ao modo de preenchimento do mesmo.

Figura 5.37 – Guião para estudar as transformações simples de funções.

353

O questionário, que corresponde à parte 3 do inquérito, foi respondido duas vezes pelos

professores, em dois momentos distintos, na sessão inicial e na última sessão da formação, de

forma a comparar o impacto da ação de formação frequentada nas variáveis em análise: auto-

eficácia docente face à utilização de TIC e utilização de TIC com os alunos. Assim sendo, a

recolha de dados concretizou-se em dois momentos de observação distintos:

Observação1: Aplicação das três partes do inquérito, no início da formação;

Observação2: Repetição da aplicação da terceira parte do inquérito, no final da formação.

Um aspeto interessante a salientar após a análise dos resultados prende-se com as razões que

levaram os professores a escolher a ação em causa, que se inserem na categoria do

“Conhecimento”, para uma maior atualização dos conhecimentos e também na categoria

“Interesse pedagógico”, para criar materiais mais apelativos para os alunos em software como o

Excel e melhorar a prática pedagógica.

O estudo mostrou que no final da ação os professores se sentiram mais preparados para

utilizar as tecnologias na prática letiva e na preparação de materiais.

Alguns comentários dos professores:

“Esta formação fará toda a diferença na minha prática letiva na medida em que será possível

produzir os meus próprios guiões e planificar atividades para fornecer aos alunos no âmbito das novas

tecnologias da educação, consoante os conteúdos lecionados e objetivos pretendidos, bem como apoiar

os alunos sem qualquer dificuldade em atividades sugeridas nomeadamente nos novos manuais.”

Guiomar

“Esta acão foi fonte de enriquecimento e desenvolvimento profissionais. Apreciei a estruturação e a

pertinência dos temas abordados. Os formadores mostraram uma competência extraordinária a nível do

trabalho com o geogebra e com o excel e desenvolveram atividades que não são usais na utilização

destes programas.”

Alexandra

Os professores

As reações dos professores ao tipo de trabalho proposto ao longo das sessões de formação,

foram de grande recetividade e adesão. No início, quando confrontados com a folha de cálculo

em branco, estranharam, pois porventura a expectativa que tinham, era a de que iriam utilizar

programas educacionais já desenvolvidos. Construir aplicações computacionais com fins

educativos numa folha de cálculo constituiu para todos os formandos uma surpreendente

novidade e rapidamente alcançaram o objetivo da ação. A necessidade de recorrer ao papel e

lápis para realização de um eventual cálculo, ou para conceber a estrutura da folha de cálculo

tornou-se uma prática que consideraram positiva pois significava que se conseguia conciliar o

trabalho matemático com o trabalho com as tecnologias e que o papel do aluno não se resumia a

usar algo.

354

Nesta perspetiva, verificou-se que na realização do trabalho final, os professores optaram

por desenvolver aplicações que serviriam para a sua prática letiva e que vinham ao encontro de

uma necessidade já sentida anteriormente. Foram aplicações que percorreram os diferentes anos

de escolaridade e diferentes temas sendo algumas delas acompanhadas por um guião

pormenorizado de construção (o objetivo era fornecer o guião aos alunos para eles próprios as

construírem).

Alguns professores optaram pela implementação em sala de aula, com os alunos, da

metodologia de construção apresentando o resultado desse trabalho. A grande maioria dos

professores apontou como principal razão para a dificuldade em desenvolver aulas recorrendo ao

computador, as questões relacionadas com a falta de equipamento e/ou o seu fraco

funcionamento e o facto de haver normalmente necessidade de mudar de sala. Todas estes

fatores são obstáculos práticos que provocam um enorme desgaste e consumo de tempo quando

se pretende utilizar o computador em sala de aula.

5.7 Divulgação

Manual interativo 5.7.1

Ao longo do desenvolvimento dos diversos projetos foi notória a insuficiência de

documentação escrita dirigida aos professores que pretendiam dar continuidade ao trabalho

realizado nas formações. A oferta existente ao nível de manuais escolares, embora atualmente

integre vários recursos informáticos, não contempla a vertente dinâmica que muitas vezes é

fundamental para uma melhor compreensão de determinados conceitos matemáticos. Os manuais

são inevitavelmente estáticos.

Por outro lado, a utilização de uma simples folha de cálculo como principal plataforma de

trabalho para os professores e alunos programarem com recurso ao editor de Visual Basic, não

constitui uma referência habitual nos circuitos educativos habituais. A dificuldade por parte dos

professores que pretendem iniciar-se neste tipo de trabalho prende-se essencialmente com a

inexistência de recursos e materiais. Por essa razão concebeu-se um manual interativo

constituído por diversos módulos onde, através de um link se acede a uma aplicação

desenvolvida em Excel para melhor clarificar um conceito matemático (Figura 5.38).

355

Figura 5.38 – Aspeto do manual interativo no tema Teorema de Pitágoras e demonstrações.

Neste livro interativo pretende-se evidenciar de que forma a apreensão de importantes

conceitos matemáticos pode ser muito facilitada utilizando uma folha de cálculo.

Mostra-se como é possível desenvolver aplicações computacionais de grande interesse para

a aprendizagem da Matemática recorrendo apenas a algumas funções básicas de uma folha de

cálculo como o EXCEL. Este tipo de ambiente proporciona o controlo e exploração de ideias

matemáticas e desenvolve a curiosidade por este tipo de trabalho ligado às novas tecnologias.

Com esta ferramenta conseguem-se resultados surpreendentes em termos de animações gráficas

(de grande valor pedagógico) apenas com alguns conceitos básicos de programação em Visual

Basic (VBA – Visual Basic for Aplications).

O livro está dividido em cinco partes: a primeira parte dirigida ao 3º ciclo do ensino básico,

a segunda parte dirigida ao ensino secundário, a terceira parte com projetos interdisciplinares e

transversais a vários níveis de escolaridade, a quarta parte dedicada à exemplificação da

construção de algumas das aplicações computacionais que figuram nas três primeiras partes e

finalmente uma secção dedicada a contribuições recebidas.

Cada módulo inicia-se com a apresentação do tema que irá ser abordado bem como os

objetivos que se pretendem atingir e propõe-se um problema que crie situações de

interdisciplinaridade entre a Matemática e as outras ciências e evidencie também conexões entre

temas de Matemática, que será explorado recorrendo às potencialidades do Excel. Em todos os

módulos sugerem-se ainda outras explorações de ideias matemáticas relacionadas com os

problemas propostos e apresenta-se um exemplo de construção de uma das aplicações

computacionais apresentadas (Oliveira, 2011).

356

Portal Casa das Ciências 5.7.2

O Portal “Casa das Ciências” é um projeto da Fundação Calouste Gulbenkian que visa

recolher materiais dirigidos ao ensino das ciências e que utilizem as tecnologias da informação e

comunicação. Os materiais são avaliados do ponto de vista científico e didático por uma equipa

de pessoas qualificadas (refrees) que após essa avaliação o disponibiliza para a comunidade em

geral.

Foi publicado no portal um texto de apoio ao estudo da semelhança de figuras pela autora do

presente estudo e pela Prof. Suzana Nápoles. Ao longo da leitura do texto, é possível, utilizando

módulos computacionais desenvolvidos em Excel, estudar e visualizar conceitos matemáticos

relacionados com o tema das semelhanças. Por exemplo, recorrendo a módulos computacionais

interativos é possível visualizar graficamente o efeito da aplicação a figuras planas de diferentes

razões de semelhança. Através da manipulação do comprimento dos lados de retângulos

semelhantes e do fator de escala, o módulo computacional desenvolvido, ajuda a compreender de

que forma os comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois retângulos semelhantes

estão relacionados entre si. São sugeridas atividades que tirem partido dos itens estudados e faz-

se um estudo rigoroso do Teorema de Thales.

Figura 5.39 – Documento publicado na Casa das Ciências. Consultar em

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemid=23&search_phrase=a

0002%20semelhan%C3%A7a&search_mode=all&ordering=newest#

Publicações na revista “Spreadsheets in education” 5.7.3

Spreadsheets in education (eJSiE) é um jornal eletrónico que publica artigos relacionados

com estudos sobre o papel que as folhas de cálculo podem ter na educação. O seu principal

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemid=23&search_phrase=a0002%20semelhan%C3%A7a&search_mode=all&ordering=newest

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemid=23&search_phrase=a0002%20semelhan%C3%A7a&search_mode=all&ordering=newest

357

objetivo é o de proporcionar uma maior compreensão sobre a utilização criativa das folhas de

cálculo em contextos educacionais construtivistas.

A revista possibilita a partilha de ideias e permite que sejam publicados artigos que são

previamente revistos por peritos em diferentes áreas. Para além dos artigos, também se pretende

que sejam publicados os ficheiros em Excel criados pelos autores.

No âmbito do presente trabalho, foram publicados dois artigos “Using a spreadsheet to study

the oscillatory movement of a mass-spring system” e “Fourier Analysis: Graphical Animation

and Analysis of Experimental Data with Excel”. Desde a data em que foram publicados, os

editores da revista enviam para os autores o números de downloads registados. Relativamente a

estes dois artigos foram feitos 6271 downloads, sendo ainda importante referir que o artigo

“Fourier Analysis: Graphical Animation and Analysis of Experimental Data with Excel” se

encontra, desde o início da sua publicação até ao momento, numa rubrica denominada Most

Popular Papers que apresenta os dez artigos mais visualizados através do número de downloads

efetuados.

Participação no concurso “Matemática no planeta TERRA” 5.7.4

1. Estabelecimento de parcerias com o LNEC e FCUL (Participação no concurso

Matemática no planeta TERRA). Desenvolvimento de programas interativos em MatLab.

i. Sismos e estruturas (programa interativo)

ii. Relógios de Sol, matemática e astronomia (filme)

A participação no concurso Matemática no Planeta Terra 2013, permitiu o desenvolvimento

de módulos computacionais para apoio ao ensino da matemática (Figura 5.40 e Figura 5.41).

Figura 5.40 - http://www.imaginary.org/ (Oliveira, et al., 2013)

http://www.imaginary.org/

358

Figura 5.41 - http://www.imaginary.org/film/sundials (Nápoles, et al., 2013)

i. Apresentação de uma comunicação no 1º Encontro Internacional da

Casa das ciências (Oliveira, 2013)

Figura 5.42 - http://www.casadasciencias.org/iencontrointernacional/livro_resumos_final.pdf

http://www.imaginary.org/film/sundials

http://www.casadasciencias.org/iencontrointernacional/livro_resumos_final.pdf

359


Neste capítulo apresentou-se o trabalho de investigação, desenvolvido em três áreas distintas

.Uma das áreas da investigação consistiu em investigar a aprendizagem da matemática por parte

dos alunos tendo em conta a utilização de uma folha de cálculo de uma forma contínua e

sistemática, na perspetiva de o aluno como principal agente de condução da trajetória de

aprendizagem e desenvolvendo permanentemente um trabalho de experimentação e validação

das hipóteses. Para concretizar esta componente da investigação (trabalho com os alunos)

desenvolveram-se três projetos que se apresentaram em detalhe neste capítulo.

A segunda área considerada bastante relevante do ponto de vista da investigação, prende-se

com o estudo das atitudes dos professores face a adoção de uma metodologia baseada na

utilização da folha de cálculo na perspetiva enunciada. Apresentaram-se resultados das ações de

formação realizadas ao longo do trabalho.

Por último apresentaram-se várias formas de divulgação da presente abordagem, na

expectativa de que os artigos publicados (após revisão certificada), pudessem servir de

inspiração a quem pretenda implementar esta abordagem.

A relação entre estas três áreas esteve presente ao longo do trabalho. Por um lado o trabalho

com os alunos permitiu ir observando e tirar conclusões, úteis na partilha com os professores

cuja curiosidade era manifestada sob a forma de apresentação de questões e procura de respostas.

A preocupação com a publicação de artigos e desenvolvimento de um manual interativo advém

do facto de os professores manifestarem, frequentemente insatisfação com o facto de não existir

apoio para a implementação destas metodologias.

No que diz respeito à componente dos alunos a análise centra-se nas suas aprendizagens ao

longo do tempo e da focalização em casos particulares. Do longo trabalho realizado com os

alunos é possível aferir que, utilizar uma folha de cálculo para desenvolver aplicações

computacionais esperando que esse trabalho ajude no aprofundamento e interligação dos

conceitos matemáticos, representa uma mais-valia para o processo de aprendizagem da

matemática por parte dos alunos. A análise e reflexão dos resultados dos projetos desenvolvidos,

sugere que os alunos, ao longo do tempo, interiorizam esta forma de trabalho e vão adquirindo

segurança e auto confiança nas suas capacidades, demonstrando, perante os desafios propostos,

saber o que fazer e como fazer. Quando é preciso estabelecer formulações, elas são mais vezes

baseadas na perceção visual decorrente da aplicação desenvolvida e dos resultados visíveis no

ecrã e menos no campo teórico da matemática. Para que seja possível estabelecer as importantes

pontes entre os resultados empíricos obtidos no ecrã do computador e o formalismo inerente à

própria matemática, é necessário a intervenção do professor que terá aqui o seu papel principal.

O esforço do professor consistirá em proporcionar uma constante transferência de campos,

aquele estritamente matemático e o campo oferecido pelo ecrã do computador e que fornece os

resultados do trabalho experimental dos alunos.

Os dados mostram ainda que na maioria dos casos parece que a utilização da folha de

cálculo tem uma influência poderosa na compreensão da dialética matemática, em parte porque a

360

maior parte das tarefas envolve “fazer” a aplicação ou seja envolve ação. Quando os alunos

“refinam” a aplicação, no sentido de a melhorar ou mesmo de a corrigir, normalmente têm de

repensar a abordagem matemática usada. Este trabalho constitui trabalho matemático, daí que o

ambiente da folha de cálculo seja um ambiente propício às aprendizagens da matemática no

sentido do aprofundamento dos conceitos e do estabelecimento das suas relações.

A influência dos professores também parece ser muito importante no que diz respeito a

estimular os alunos a estabelecer conjeturas e a justificá-las. Mais uma vez o professor tem aqui

um papel determinante pois a experiência (através do desenvolvimento dos projetos) mostra que

é o professor que tem de conduzir os trabalhos de forma a que os alunos não divaguem em

explorações meramente técnicas e informáticas, mas se focalizem nos aspetos intrinsecamente

matemáticos. O aumento progressivo da autonomia dos alunos permite ao fim de um certo

período temporal, adquirir maior destreza ao nível da conceção das aplicações e dessa forma os

ganhos ao nível da aquisição dos conceitos matemáticos são cada vez maiores.

No que diz respeito às reações dos professores face a este tipo de trabalho, a experiência

mostrou uma enorme adesão, evidenciada sobretudo pelos trabalhos desenvolvidos ao longo das

formações realizadas. As dificuldades apontadas prendem-se essencialmente com a falta de

apoio bibliográfico para desenvolverem um trabalho autónomo. Os professores referiram, na

maioria dos casos, sentir falta de confiança para concretizarem esta abordagem com os seus

alunos pois não dispunham de apoio que os ajudasse a ultrapassar as dificuldades que vão

surgindo naturalmente. Esta insegurança, no entanto, foi-se diluindo com o decorrer das ações de

formação e na grande maioria dos casos, quase todos os professores realizaram o trabalho final

envolvendo os seus alunos.

A dificuldade que os professores referiram, como principal entrave a um trabalho junto dos

alunos, mereceu uma especial reflexão, e por isso foram sendo desenvolvidos materiais que

viessem colmatar esta lacuna. É de referir as páginas web que foram desenvolvidas no âmbito

dos projetos e que permitiram disseminar esta forma de trabalho. As três páginas

www.matematicadinamica.com, www.fisicaexpvirtual.com e www.espiral.agpiscinasolivais.com

contêm todo o trabalho desenvolvido com os alunos no âmbito dos projetos. O manual interativo

www.matematica-interactiva.com é um manual intitulado “Estudar matemática com a folha de

cálculo” e encontra-se em permanente atualização. Apresenta uma estrutura, já referida

anteriormente, que permite ao professor e/ou aluno utilizá-lo de mais de uma maneira. Por um

lado encontram-se explicações teóricas de alguns temas curriculares (3º ciclo e secundário)

sempre apoiadas com aplicações (em Excel), mas também contem uma parte respeitante a

projetos e outra parte que apresenta guiões para ajudar no desenvolvimento das aplicações numa

folha de cálculo.

É importante ainda referir que foram publicados dois artigos na revista “Spreadsheets in

education” intitulados “Fourier Analysis: Graphical Animation and Analysis of Experimental

Data with Excel” e “Using a Spreadsheet to Study the Oscillatory Movement of a Mass-Spring

http://www.matematicadinamica.com/

http://www.fisicaexpvirtual.com/

http://www.espiral.agpiscinasolivais.com/


http://epublications.bond.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?article=1113&context=ejsie

http://epublications.bond.edu.au/cgi/viewcontent.cgi?article=1113&context=ejsie


361

System”. Desde que foi publicado, o primeiro artigo apresenta um número bastante elevado de

downloads, mantendo-se sempre na categoria “Most Popular Papers”.


363

6 6 CONCLUSÕES E PERSPETIVAS

FUTURAS

A presente dissertação sob o título Modelação e simulação computacional – A

experimentação matemática no ensino, teve como principal objetivo avaliar a possibilidade de

integrar, o desenvolvimento de aplicações computacionais em ambiente de folha de cálculo, no

processo ensino/aprendizagem da matemática, em todos os níveis de ensino.

O estabelecimento deste principal objetivo tem por base a ideia de que a introdução de uma

metodologia baseada na aplicação dos saberes matemáticos ao desenvolvimento de aplicações

computacionais para aprofundar esses mesmos saberes, pode contribuir para o desenvolvimento

nos alunos, de competências relacionadas com o raciocínio matemático, a criatividade e o

empreendedorismo e ainda para uma melhor compreensão do mundo que nos rodeia.

A investigação constituiu um processo prolongado no tempo e contemplou várias etapas.

Pode considerar-se que, na génese deste estudo, encontra-se um trabalho, desenvolvido em 1988,

pela autora, intitulado “Para um novo ensino da matemática”. Neste trabalho de final de

licenciatura analisaram-se aspetos relacionados com o papel das tecnologias no ensino e

aprendizagem da matemática. Há 25 anos já existia uma perceção clara de que as tecnologias

podiam complementar o ensino da matemática de uma forma completamente nova e

surpreendente. No entanto vivia-se apenas o início daquilo que mais tarde se verificou ser o

boom tecnológico. As escolas não dispunham de material informático, o software estava ainda

364

pouco desenvolvido e a internet dava apenas os primeiros passos. Ao longo destes últimos 25

anos a situação nas escolas alterou-se o que levou a repensar o papel das tecnologias no ensino.

Este trabalho, concluído em 2015, é o resultado de uma atividade iniciada em 2007 e que,

nos primeiros anos foi marcada sobretudo por uma análise pormenorizada das folhas de cálculo e

avaliação das suas potencialidades no ensino da matemática. Assim, o presente estudo começou

precisamente com a conceção de aplicações computacionais em folha de cálculo versando temas

matemáticos muito diversos. Este trabalho prévio por parte da autora do trabalho, permitiu

desenvolver uma visão mais completa do fenómeno em estudo. Durante cerca de três anos foram

analisados currículos de matemática (desde o básico ao secundário e também alguns currículos

de matemáticas de cursos superiores) e criadas simulações computacionais relacionadas com

alguns tópicos de matemática. Este longo trabalho prévio foi determinante para o desenrolar da

investigação pois durante este período foi possível ir delineando o caminho que se pretendia

seguir. O facto de a autora do trabalho se ter colocado num papel participativo construindo todas

as aplicações computacionais, tornou-se a melhor forma de compreender as vantagens desse tipo

de trabalho. Colocando a si própria diferentes desafios em termos de implementações

computacionais foi possível desenvolver um verdadeiro trabalho de experimentação matemática

vivenciando as dificuldades e obstáculos e procurando as soluções. O passo seguinte consistiria

apenas em transpor a experiência pessoal para os alunos e professores.

6.1 Os objetivos e os resultados

Articulação entre aprender matemática e programar. Desenvolvimento de 6.1.1

competências em matemática, Ciências Experimentais e Tecnologia.

O primeiro grande objetivo da presente dissertação consistia em compreender de que forma

é possível integrar a atividade de programação nas aulas de matemática, como é que os alunos

reagem às tarefas propostas e de que forma se pode considerar que esta metodologia representa

uma mais valia no processo de aprendizagem dos alunos. A defesa desta ideia prende-se com o

facto de todos os estudos apontarem a inovação e a criatividade como sendo os fatores essenciais

para o desenvolvimento da economia a par do desenvolvimento de competências ao nível da

matemática, ciências experimentais e tecnologias (ver capítulo 1).

No capítulo 2 fez-se um enquadramento relativo à utilização dos computadores no

ensino/aprendizagem da matemática e apresentou-se a opção relativa à plataforma de

programação a utilizar com os alunos. A folha de cálculo foi a solução encontrada para dar

resposta à necessidade de, por um lado envolver os alunos em atividades de programação e por

outro fazerem-no num ambiente acessível, familiar e versátil. Não se pretende que os alunos

sejam efetivamente programadores no verdadeiro sentido do termo, pretende-se sim dotar os

365

alunos de competências ao nível da estruturação do raciocínio e de um conhecimento básico de

ferramentas de programação que, por serem muito elementares, são facilmente apreendidas e

aplicadas em contextos muito diversos. A folha de cálculo potencia o desenvolvimento de

aplicações bastante sofisticadas recorrendo a procedimentos muito simples que, uma vez

incorporados na linguagem dos alunos, podem ser utilizados inúmeras vezes.

No capítulo 3 apresentaram-se aplicações computacionais que foram desenvolvidas na folha

de cálculo, em temas variados, e em diferentes níveis de ensino. Os exemplos apresentados

mostraram que, para se criarem aplicações computacionais numa folha de cálculo, era necessário

“fazer” matemática, isto é era necessário raciocinar matematicamente. Ao mobilizarem os seus

conhecimentos matemáticos com vista ao desenvolvimento de uma aplicação computacional, os

alunos estão a reforçar a aprendizagem dos mesmos.

A conceção de uma aplicação computacional numa folha de cálculo, proposta pelo

professor, ou idealizada pelo aluno, é um trabalho que o obriga a desenvolver ações como

formulação matemática, validação dos resultados e ainda a fazer transições constantes entre o

ambiente de programação e o campo estritamente matemático. Todas estas ações, quando

devidamente realizadas, dão um resultado visível e funcional, materializado pela própria

aplicação computacional que apenas funcionará se se tiver realizado todos os passos

corretamente. Uma vez que o ambiente da folha de cálculo (como foi visto no capítulo 2) é um

ambiente não direcionado para o estudo da matemática, não contendo automatismos que

reduzam o trabalho matemático, o professor tem a garantia que o aluno teve mesmo de aplicar

os seus conhecimentos matemáticos para pôr a aplicação computacional a “funcionar” porque de

outra forma não há possibilidade de obter resultados.

O investimento que o aluno faz na conceção da aplicação computacional desde a tomada de

decisões que protagoniza, a habilidade que desenvolve para aprender rapidamente e eficazmente,

até ao estimulo da sua criatividade constituem motivos mais do que suficientes para concluir que

a atividade de programar deve ser contemplada nos currículos escolares quer integrada nos

currículos de matemática ou porventura como disciplina autónoma mas de complemento à

matemática.

Modelar, programar, simular! Desde quando? Que tipo de linguagem? Até 6.1.2

quando?

No capítulo 5, em particular no sub capítulo 5.4 apresentou-se o Projeto Espiral que

consistiu na implementação desta abordagem em três ciclos de ensino, 1º, 2º e 3º ciclos do

ensino básico. Por outro lado a realização de diversas ações de formação para professores

permitiu apresentar este conceito a professores do ensino secundário que junto dos seus alunos

concretizaram esta metodologia. Ao nível do ensino superior em particular no curso de

366

engenharia civil do Isel foi também concretizada esta forma de trabalhar com o computador, em

ambiente de sala de aula e numa vertente de programação. Presente, em todos os ciclos de ensino

esteve a preocupação de introduzir a experimentação matemática no sentido de que é no

estabelecimento das formulações matemáticas e sua implementação computacional para

posterior simulação computacional que reside o cerne desta investigação. É oportuno referir que,

em termos de resultados, se pode considerar que esta abordagem, que contempla a

experimentação matemática com recurso às folhas de cálculo, pode ser implementada em

qualquer nível de ensino, a partir do 2º ciclo. É necessário apenas adequar as tarefas ao nível

pretendido.

Considera-se por isso importante referir que, como se mostrou anteriormente, é logo nos

primeiros anos de escolaridade que se deve começar por introduzir o conceito de modelação e

simulação computacional. Como se viu no ponto 5.4.6 os alunos podem simular um moinho de

vento e tudo o que têm de fazer é, passo a passo, ir construindo o modelo matemático. À medida

que o fazem vão observando os resultados das suas ideias no ecrã do computador e validando ou

não o seu modelo. Este caminho deve ser concretizado o mais cedo possível pois só assim será

interiorizado e reutilizado nos anos seguintes noutras situações. É importante ainda referir que,

no 1º ciclo, a utilização da folha de cálculo deve ser feita com bastante critério pois, os requisitos

necessários para o desenvolvimento das aplicações são desadequados a este nível de ensino.

Nesse sentido, é conveniente utilizar um programa de geometria dinâmica para construir as

referidas aplicações computacionais no 1º ciclo em particular a começar no 4º ano de

escolaridade.

Este trabalho de modelação matemática e simulação computacional, tendo como pano de

fundo uma folha de cálculo, deve ser concretizado em todos os anos de escolaridade (desde o

mais cedo possível) e continuar até ao ensino superior onde é possível desenvolver um trabalho

com um maior grau de sofisticação e onde o acumular das experiências anteriores se revela

fundamental. No sub capítulo 5.2 mostrou-se que o facto de, a experiência levada a cabo pelo

projeto “Matemática Dinâmica”, ter sido uma experiência de três anos, envolvendo os mesmos

alunos, permitiu atingir um grau de proficiência muito elevado. Esta naturalidade com que os

alunos encaravam este tipo de trabalho sugere que ele deve ser concretizado com alguma

frequência e rotina ao longo dos anos.

Relativamente à questão que se colocou no início da investigação e que se prendia sobretudo

com a escolha do software a usar, também aqui é possível concluir que as folhas de cálculo são

ferramentas poderosas com potencialidades grandes ao nível da programação, uma vez que

incorporam uma plataforma de programação por objetos (Visual Basic for Aplications). As

folhas de cálculo são acessíveis e fazem parte das ferramentas usuais para um utilizador comum.

Isto significa que, com a presente abordagem, é possível um aluno ir aprendendo a utilizar as

folhas de cálculo em contextos matemáticos ao mesmo tempo que se familiarizam com um

software que, mais tarde, muito provavelmente encontrarão nos locais de trabalhos. Se se quer

dotar os nossos alunos de competências que sejam facilitadoras da sua integração na sociedade e

367

no mercado de trabalho, temos de nos preocupar em desenvolver um ensino atual e criativo. Por

estas razões, conclui-se que o investimento que se faz numa ferramenta específica é fundamental

para tirar proveitos futuros.

A aula de matemática. O papel do professor. 6.1.3

O papel do professor

Para o professor assegurar o bom desenvolvimento de uma aula em que se faça uso dos

computadores, para além das preocupações habituais, o professor tem uma preocupação

acrescida que emerge das condições físicas e materiais. O sucesso na utilização dos

computadores depende do bom funcionamento do hardware e do software. Por exemplo se o

professor pretende desenvolver uma aula em que os alunos utilizem uma folha de cálculo para

realizar determinada tarefa e pretendem que posteriormente imprimam o resultado do seu

trabalho e depois o enviem para o professor, então várias condições têm de estar asseguradas. O

programa deverá estar devidamente instalado nos computadores, a Internet deverá estar ligada e

a impressora a funcionar.

Durante muito tempo (e ainda atualmente), as aulas de matemática obedeciam a um roteiro

tradicional que consistia basicamente em exposição da matéria por parte dos professores,

explicação de um algoritmo ou demonstração para resolver determinado problema e resolução de

exercícios normalmente retirados dos manuais escolares.

A introdução de ferramentas tecnológicas nas aulas de matemática influencia o papel do

professor, não o substituindo mas dando-lhe uma nova dimensão de mediador. O professor

assumirá um papel de orientador do trabalho do aluno. Por um lado ajuda-o no desenvolvimento

das tarefas ao nível da utilização do computador e por outro lado ajuda-o a explicitar e a realçar

os aspetos matemáticos envolvidos. Os conhecimentos matemáticos construídos e desenvolvidos

num ambiente digital podem ficar escondidos ou dissimulados dentro do contexto tecnológico, a

menos que os professores tenham o cuidado de os tornar explícitos.

Existe naturalmente uma tensão entre as dimensões técnicas e conceptuais da atividade

matemática e os aspetos técnicos resultantes da utilização de determinado software. Os

professores devem reduzir esta tensão particularmente nos casos em que os alunos revelam

pouco experiência de utilização do software envolvido. O papel do professor será pois o de

ensinar os alunos a utilizarem as ferramentas tecnológicas sem prejudicar a atividade

matemática.

Um outro aspeto não menos importante que surge quando se utiliza o computador nas aulas

de matemática relaciona-se com o tipo de feedback dado. Muitas vezes esse feedback não é

familiar para o aluno. Por exemplo quando é pedido ao aluno que construa, no Excel, um gráfico

de uma função linear e faça variar o parâmetro, é usual o gráfico surgir, numa primeira análise,

totalmente desformatado não permitindo assim tirar conclusões acerca da variação do parâmetro

368

e efeitos produzidos nos gráficos. Aqui é fundamental a intervenção do professor no sentido de

transmitir ao aluno a necessidade de formatar o gráfico e em particular a escala.

O professor tem um papel crucial no desenvolvimento da aula. No início deverá apresentar

o trabalho que irá ser feito durante a aula e posteriormente deverá devolver os problemas aos

alunos. Esta fase de devolução do problema aos alunos é muito importante, na medida em que o

professor deve estabelecer um equilíbrio entre aquilo que constitui o trabalho autónomo dos

alunos e as sugestões que fornece ao aluno para que ela possa progredir no trabalho. Se estas

sugestões forem excessivas a resposta do aluno será apenas uma "ilusão". Existe um

compromisso social do professor, como que se ele se visse obrigado a ensinar algo acerca de

uma determinada matéria e os alunos, especialmente quando falham reclamam por esse

conhecimento.

A perspetiva do aluno

Papert, há quase 30 anos deu ênfase ao valor afetivo da utilização das tecnologias, quando

observava como é que a aprendizagem podia ser melhorada quando a motivação dos alunos

aumentava. Papert valorizava o facto de a utilização dos computadores fornecia um feedback

imediato e sem juízos de valor. Uma atividade baseada na utilização das tecnologias pode

envolver "experimentar qualquer coisa, observar os efeitos e responder ao feedback". A natureza

quase instantânea da resposta num envolvimento digital acompanhado de uma motivação natural

facilita a exploração de ideias.

É inevitável que quando a aula de matemática contempla a utilização do computador,

algumas mudanças ocorrem no comportamento quer dos alunos quer dos professores. O

comportamento dos alunos pode ser afetado por uma diversidade de fatores. Por exemplo a

forma de trabalhar pode mudar. Os alunos trabalham em grupos de dois ou em pequenos grupos,

pois não é frequente encontrar situações em que exista um computador por aluno. Por outro lado,

o fato de haver necessidade de interagir com o computador, e isso é feito usualmente através do

rato e do teclado, implica que seja apenas um aluno a faze-lo e o outro tenha um papel mais

passivo. Isto afeta o modo como os alunos colaboram nas atividades consequentemente com

graus de envolvimento diferentes. O trabalho dos alunos aparece no ecrã do computador o que

pode ser visto como tendo importantes implicações na educação. O "carácter público do ecrã"

fornece um ambiente natural para os alunos trabalharem em conjunto. O ecrã do computador

pode ajudar a tornar explícito o que é implícito. Nesta forma de trabalho, podem ocorrer

situações de interajuda espontânea entre os alunos.

Desenvolvimento de aplicações computacionais na folha de cálculo. 6.1.4

Neste trabalho apresentou-se uma abordagem sobre a utilização das tecnologias, numa

perspetiva de contribuir para o aperfeiçoamento das metodologias de ensino e aprendizagem da

matemática em todos os níveis de ensino, optando-se por centrar o estudo na utilização das folha

de cálculo.

369

Recorrendo a diversos exemplos, foram sendo introduzidos, no capítulo três, os aspetos

fundamentais das folhas de cálculo que se encontram disponíveis em quase todos os

computadores pessoais, bem como os aspetos matemáticos inerentes à tarefa de conceção das

referidas aplicações computacionais. No sentido de melhor responder aos objetivos

estabelecidos, a estrutura do texto foi pensada de tal forma que um professor com interesse pelo

tema possa naturalmente adotar as metodologias apresentadas com os seus alunos. Por esta razão

foram percorridos variados temas da matemática escolar, desde o 1º ciclo ao ensino superior.

No capítulo cinco descreve-se em pormenor as experiências realizadas com alunos de

diferentes níveis de ensino. Verifica-se que, ao nível do 1º ciclo, a criação e desenvolvimento de

aplicações computacionais em ambiente de folha de cálculo é desadequada face à complexidade

dos conhecimentos informáticos exigidos. No entanto não é de excluir a possibilidade de colocar

estes alunos como potenciais criadores de aplicações computacionais, desde que se opte por um

ambiente computacional mais intuitivo como é o caso de um programa de geometria dinâmica

em particular o geogebra. O trabalho realizado com três turma de 4º ano, apresentado no capítulo

5.4, revela a adequabilidade deste software e da importância que ele tem junto destes alunos mais

novos se for adotada uma perspetiva construtivista.

À medida que se avança nos níveis de ensino é possível observar o aumento da destreza e

manuseamento das folhas de cálculo com benefícios claros na sua utilização com vista a

implementar computacionalmente situações matemáticas puras ou aplicadas. Esta metodologia,

quando incorporada por alunos e professores abre novas perspetivas e permite “olhar” a

matemática como um assunto com significado. Constata-se a elevada importância em encarar a

implementação computacional como uma mais valia, como um ganho relativamente às

metodologias existentes. Não se trata de substituir algo existente mas o de complementar.

6.2 Contribuições inovadoras

No capítulo 1 do presente trabalho referiu-se como principal objetivo, a inclusão da

componente da tecnologia em todas as componentes essenciais a desenvolver no ensino da

matemática, a saber a conceptualização, a manipulação e as aplicações.

Programação/folha de cálculo

Considera-se que foi feita uma reflexão sobre qual a melhor forma de usar a tecnologia para

tirar maior vantagem para a aprendizagem da matemática. Com este trabalho mostrou-se um

caminho concreto para dar resposta às dúvidas existentes nesta matéria. Trata-se de optar por

uma solução construtiva, interventiva, isto é uma opção que dê aos alunos oportunidades para

usarem a sua criatividade e desenvolverem programas computacionais diretamente relacionados

com os tópicos de matemática estudados ou então aplicações computacionais que simulem

fenómenos físicos. Mostrou-se ao longo do trabalho que esta opção vem colmatar uma lacuna

existente no ensino da matemática, que é o abismo existente entre, as exigências da sociedade

370

moderna ao nível das competências matemáticas e a matemática que é ensinada na maioria das

escolas muitas vezes dando enfâse a processos meramente rotineiros e de memorização. Os

problemas reais com que nos deparamos exigem cada vez mais um entendimento global ao nível

da modelação matemática e simulação computacional

O debate à volta da melhor utilização do computador para ajudar os alunos a

compreenderem a matemática que lhes é ensinada e qual a sua aplicação, não é recente, no

entanto a literatura especializada mostra-nos que se tem vivido um grande impasse por não se ter

ainda concluído claramente qual a melhor opção de utilização. Com este trabalho pretende-se

contribuir para uma maior clarificação do papel do computador no ensino/aprendizagem da

matemática. É necessário que os alunos o utilizem de uma forma crítica, ativa e criativa e não se

coloquem no papel de espectadores, num papel passivo onde a sua ação se resume a um click de

resposta. O maior contributo reside no facto de que os alunos devem programar, devem interagir

com o computador de tal forma que o feedback resultante das sua ações seja proveitoso, em

conclusão devem acima de tudo criar e inovar, e devem fazê-lo o mais cedo possível, logo no

final do 1º ciclo. Não se trata de um trabalho de programação no verdadeiro sentido do termo

pois isso implicaria um investimento acrescido na aprendizagem de uma linguagem de

programação e de todos os formalismos daí decorrentes.

Na folha de cálculo é possível desenvolver aplicações dinâmicas, interativas tirando partido

da possibilidade de introduzir fórmulas e da interdependência entre células ou tirando partido da

programação por objetos. O manuseamento de uma folha de cálculo implica um conhecimento

prévio de algumas das suas funcionalidades, o que pode ser feito em paralelo com o próprio

desenvolvimento das aplicações, como aliás se viu ao longo do trabalho. Para além disso o

investimento que se vai fazendo significam ganhos para desenvolvimentos futuros. De facto tudo

se resume à aprendizagem de um código, tal como se aprende uma língua, que depois de

interiorizado pode ser sempre usado em qualquer momento.

Modelação matemática/simulação computacional

Outro aspeto importante no presente trabalho é o de contribuir para o desenvolvimento das

metodologias de ensino que privilegiem a modelação matemática. Conforme foi apresentado no

capítulo 4, adota-se uma estratégia de apresentação dos principais conceitos de modo acessível,

com exemplos e geralmente de acordo com o processo histórico do seu desenvolvimento,

procurando enriquecer o formalismo de forma progressiva com vista à obtenção das sínteses

desejadas.

Para além deste contributo são também de referir os seguintes:

- salientar a importância das equações diferenciais na modelação de fenómenos físicos e o

interesse dos métodos numéricos como ferramentas que facilitam a abordagem do tema da

determinação de soluções de equações diferenciais;

371

- salientar que o tema da dissertação requer a utilização integrada de conceitos de várias

áreas da matemática, permitindo assim visualizar conexões entre vários ramos da matemática o

que pode potenciar o desenvolvimento do gosto e interesse pela matemática.

Espera-se assim contribuir para aumentar o reconhecimento de que os assuntos matemáticos

estão não só eles próprios interligados como também se relacionam com outras matérias tais

como Física e Astronomia.

A utilização de exemplos físicos, das novas tecnologias e o uso das capacidades gráficas

dos computadores atuais, pode constituir uma via importante para a comunicação matemática,

quer na transmissão da informação quer na sua receção.

Quanto à folha de cálculo, e como foi apresentado no ponto 4.8, considera-se que se trata de

uma forma original de implementação do método dos elementos finitos, em que a folha de

cálculo é organizada de tal forma que, os passos para executar um cálculo, realçam de uma

forma lógica os passos correspondentes do método e a sua relação com o problema físico. Por

todas estas razões, considera-se até que é a forma mais adequada à implementação do MEF,

quando se está em fase de iniciação. Outro aspeto importante a salientar consiste no facto de,

sendo este método numérico bastante sofisticado e intrincado, ele é habitualmente lecionado nos

anos terminais dos cursos superiores científicos e de engenharia, não deixando tempo para os

alunos verem as suas aplicações. A abordagem aqui apresentada permite iniciar mais cedo este

assunto.

Pretende-se também que, com a construção e análise de algoritmos se abra um caminho para

a compreensão de conceitos matemáticos e simultaneamente para o desenvolvimento de um

raciocínio lógico cuidado.

Espera-se ainda que a forma como é apresentado o capítulo das aplicações, possa servir de

incentivo e inspiração para quem pretenda continuar a estudar este tipo de assuntos

Manual interativo como forma privilegiada de divulgação

Pretende-se que a abordagem defendida ao longo do trabalho, evidenciada largamente nos

exemplos apresentados, possa ser utilizada por professores para implementação junto dos seus

alunos. Neste aspeto assume especial relevância a formação de professores. Como já foi referido,

uma componente deste trabalho consistiu no desenvolvimento de inúmeras ações de formação

destinadas a professores de diferentes níveis de ensino. Na sequência de tais ações foi concebido

um manual interativo que se encontra em fase de desenvolvimento.

Neste livro interativo pretende-se evidenciar de que forma a apreensão de importantes

conceitos matemáticos pode ser muito facilitada utilizando uma folha de cálculo para estudar

matemática. Mostra-se como é possível desenvolver aplicações computacionais de grande

interesse para a aprendizagem da Matemática recorrendo apenas a algumas funções básicas de

uma folha de cálculo como o EXCEL(1). Este tipo de ambiente proporciona o controlo e

exploração de ideias matemáticas e desenvolve a curiosidade por este tipo de trabalho ligado às

novas tecnologias. Com esta ferramenta conseguem-se resultados surpreendentes em termos de

372

animações gráficas (de grande valor pedagógico) apenas com alguns conceitos básicos de

programação em Visual Basic (VBA – Visual Basic for Aplications). A execução de aplicações

tridimensionais envolve a utilização de ferramentas algébricas (cálculo matricial) que não

constam dos programas em vigor no ensino secundário. Algumas delas figuram na 3ª parte com

sugestões de utilização para a sala de aula.

Composto por diversos módulos que poderão ser utilizados em diferentes níveis de

escolaridade e em diferentes contextos disciplinares e não disciplinares, este livro pode constituir

um apoio ao professor nas aulas de Matemática para clarificar determinado conceito ou pode ser

utilizado para levar os alunos a construir as suas próprias aplicações.

O livro está dividido em quatro partes: a primeira parte dirigida ao 3º ciclo do ensino básico,

a segunda parte dirigida ao ensino secundário e a terceira parte com pequenos projetos

interdisciplinares e transversais a vários níveis de escolaridade e a quarta parte dedicada à

exemplificação da construção de algumas das aplicações computacionais que figuram nas três

primeiras partes.

Cada módulo inicia-se com a apresentação do tema ou conteúdo programático que irá ser

abordado bem como os objetivos que se pretendem atingir e propõe-se um problema que crie

situações de interdisciplinaridade entre a Matemática e as outras ciências e evidencie também

conexões entre temas de Matemática, que será explorado recorrendo às potencialidades do Excel.

6.3 Perspetivas futuras

Um dos principais objetivos do presente estudo consistia em conhecer melhor a realidade no

que diz respeito à aprendizagem da matemática, quando se implementa uma metodologia

baseada na utilização da tecnologia e sua ligação com a matemática e as ciências experimentais.

Um outro objetivo era o de dar um contributo para o corpo de conhecimento no domínio da

investigação no ensino da matemática, em termos de propostas inovadoras, sobre os quais outros

investigadores pudessem refletir e extrair informação no sentido de alargar as fronteiras deste

vasto campo de conhecimento.

O estudo começa por delinear um enquadramento teórico baseado nas conceções de alguns

investigadores na área do ensino da matemática nomeadamente Polya, Elon Lages Lima e Marie

Joubert, recorrendo também a estudo internacionais que apontam para a importância de

desenvolver um ensino da matemática atual e que dê resposta aos desafios da sociedade global

em que vivemos. É desenvolvido um enquadramento teórico baseado na ideia de que existem

três componentes fundamentais para garantir uma aprendizagem efetiva da matemática a saber, a

conceptualização, a manipulação e as aplicações . O enquadramento é alargado por forma a

incluir naturalmente em cada uma das componentes propostas por Elon Lages Lima, a

componente “Tecnologia” que permitirá estabelecer ligações entre vários domínios.

373

Retoma-se a ideia da enorme importância do computador no ensino da matemática

atualmente, mas procura-se aprofundar quando se propõe concretamente a atividade de

programação como principal forma de o usar pois o feedback daí resultante representa uma

acréscimo de qualidade significativo e que não pode nem deve deixar de ser considerado.

Ao longo de todo o estudo, esta ideia esteve sempre presente e norteou todas as intervenções

para que fosse possível extrair o máximo de informação sobre o assunto. Desde o investimento

pessoal que antecedeu o início da investigação, na procura, análise e reflexão do melhor caminho

a seguir, passando por todas as experiências junto dos alunos de todos os níveis de ensino, às

ações de formação para os professores de todos os níveis de ensino, até à preocupação constante

com a divulgação, com a criação de páginas web, publicação de artigos e desenvolvimento de

manuais, considera-se que foi dado um contributo relevante na investigação ao nível da educação

matemática.

Como se mostrou no capítulo 5 em particular em 5.6 houve uma preocupação em dar a

conhecer esta metodologia aos professores através das ações de formação e da publicação no

portal da Casa das Ciências. Constata-se que os professores desconhecem as potencialidades das

folhas de cálculo para a aprendizagem da matemática. Os resultados mostram a necessidade de

uma maior atualização por parte dos professores ao nível da sua formação contínua mas também

nos cursos de formação inicial deverá existir uma maior preocupação em integrar nos planos de

estudos a vertente tecnológica.

Uma nova disciplina integradora

No que diz respeito aos currículos de matemática há que referir que durante a realização do

estudo, havia um consenso generalizado sobre o que se desejava que os nossos alunos

atingissem. Pretende-se que os alunos compreendam os conceitos matemáticos e as ideias

matemáticas, conheçam factos matemáticos e desenvolvam capacidades matemáticas e usem a

matemática na resolução de problemas em vários contextos.

Com o presente trabalho pretendeu-se mostrar de que forma todas estas competências

podem ser desenvolvidas quando se coloca o aluno no papel de programador. Desta forma esta

metodologia constitui um acrescento ao que existe e não um substituto. Note-se que, no período

em que foi desenvolvido o Projeto Matemática Dinâmica, os professores contaram com uma aula

suplementar (Estudo Acompanhado) o que facilitou naturalmente o cumprimento dos programas.

No ponto 5.4.5 mostrou-se a pertinência de introduzir uma nova disciplina no plano de estudos,

(neste caso 8º ano) Mattic com um programa próprio onde foi possível desenvolver um trabalho

consistente e continuado com os alunos. É necessário para o futuro uma nova visão sobre o

ensino da matemática e uma compreensão sobre a importância de proporcionar aos alunos um

ensino da matemática equilibrado e coerente que dê resposta às necessidades atuais da sociedade.

É necessário, criar novas ofertas curriculares nos três ciclos de ensino e nos cursos científicos do

ensino secundário que consigam responder aos desafios que se colocam atualmente na sociedade

e que vão de encontro ao que efetivamente é preciso para ter um país mais próspero. Tal oferta

374

curricular deverá ter um currículo próprio (à semelhança do MATTIC) e integradora no sentido

em que deverá conter ações que visem a ligação entre a matemática as ciências experimentais e

as tecnologias.

O Projeto MatCode

O projeto MatCode surge para dar resposta à questão que inevitavelmente se coloca de saber

qual a melhor forma de alargar a metodologia e o conceito apresentado, a outros professores e

alunos. O projeto, apresentado a concurso à Fundação Montepio, está perspetivado para ser

implementado em 2015/2018 e prevê a criação de uma página web, estruturada de tal forma, que

contemple a programação em Visual Basic do Excel em articulação com os currículos de

Matemática.

O projeto irá ser coordenado pela autora desta dissertação e conta com um financiamento de

12500 euros para a sua execução. Pretende-se desenvolver ações que visem desenvolver o

pensamento computacional aplicado a situações de matemática, em todos os níveis de ensino.

Pretende-se desenvolver uma plataforma de comunicação disponibilizando tutoriais para

promover o trabalho autónomo por parte dos professores.

BIBLIOGRAFIA

Agência Nacional Proalv Programa Aprendizagem ao longo da vida. pt-

europa.proalv.pt/public/. [Online]

Antohe, V. 2010. Geogebra the new language of the third millennium. 2010.

APM. 2013. http://www.apm.pt/portal/index.php?id=205640. http://www.apm.pt. [Online]

2013.

Artigue, M. 1998. Teacher training as a key issue for the integration of computer

technologies. London : J.D. Tinsley&D.C. Jonhston, 1998.

—. 2010. The Future of Teaching and Learning Mathematics with digital technologies.

Paris : Springer, 2010.

Attaway, S. 2009. MATLAB A pratical introduction to programming and problem solving.

Burlington, Canada : Elsevier, Inc., 2009.

Baker, John e Sugden, Stephen J. 2007. Spreadsheets in education - The fist 25 years.

Spreadsheets in education. julho, 2007, Vol. 1, 1.

Benacka, J. 2007. Spreadsheet Numerical Modelling in Secondary School Physics and

Biology. 2007.

Bentley, P. 2009. The book of numbers. The secret of numbers and how they changed the

world. s.l. : FireFly, 2009.

Bivar, António, et al. 2013. Metas Curriculares. Ensino Básico; Matemática. . Lisboa :

s.n., 2013.

Boltianski, V. G. 1996. Figuras equivalentes e equicompostas. Coordenação Nilson José

Machado. São Paulo: Atual., 1996.

Boon, Peter. 2006. Designing didactical tools and microworlds for mathematics education.

Netherlands : Freudenthal Institute, Utrecht University, 2006.

Borwein, J., Morales, M., Polthier, K. and Rodrigues, J.F. (Eds.). 2000. Multimedia

Tools for Communicating Mathematics. s.l. : Springer, 2000.

Botelho, L. M. L. 2005. Funções Polinomiais na Educação Básica. Uma Proposta.

Niterói : Monografia de pós-graduação, 2005.

Boyce, W. e DiPrima, R. 2000. Elementary Differential Equations and Boundary Value

problems. New York : Wiley, 2000.

Boyer, Carl B. 2003. História da Matemática. São Paulo : Edgard Blucher Lda, 2003.

Braun, M. 1991. Differential Equations and their applications. s.l. : Springer, 1991.

Buescu, Jorge. 2001. O mistério do bilhete de identidade e outras histórias. s.l. : Ciência

Aberta. Gradiva, 2001.

Bull, Glen. 2009. Tutor, Tool, Tutee: A Vision Revisited. University of Virginia :

Contemporary Issues in Technology and Teacher, 2009.

Butler, D, Couzens, P. e Hatsell, M. 2000. http://www.autograph-math.com/. [Online]

2000.

376

Caraça, B. J. 2003. Conceitos Fundamentais da Matemática . s.l. : Gradiva, 2003.

—. 1942. Gazeta de Matemática. Lisboa : SPM, 1942.

Caraça, Bento de Jesus. 2003. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa : Gradiva,

2003.

Carneiro, R., et al. 2011. Relatório de resultados e recomendações do Observatório do

Plano Tecnológico da Educação (OPTE). Lisboa : GEPE, 2011.

Carreira, Susana Paula Graça. 1993. A aprendizagem da trigonometria num contexto de

aplicações e modelação com recurso à folha de cálculo. Lisboa : Associação de Professores

de Matemática, 1993.

CodeChef. 2009. http://www.codechef.com/. [Online] 2009.

Codeforces. 2010. http://codeforces.com/. http://codeforces.com/. [Online] 2010.

Confrey e Maloney, A. 2007. Modelling and Applications in Mathematics Education, The

14th ICMI study. 2007.

Curriculares, Metas. 2013.

http://dge.mec.pt/metascurriculares/index.php?s=directorio&pid=17.

http://dge.mec.pt/metascurriculares/index.php?s=directorio&pid=17. [Online] 2013.

Deborah, L., et al. 2002. The Teaching of Proof. s.l. : ICM, 2002.

D'Souza, Sabita e Wood, Leigh. 2007. Investigating the Effects of using spreasheets in a

collabrative learning environment. Austrália : ATCM, Inc, 2007.

Duarte, José. 2010. Conexões matemáticas e tecnologias. Educação e Matemática.

Novembro_Dezembro, 2010.

Education, U.S. Departament of. 2008. The Final Report of the National Mathematics

Advisory Panel. s.l. : Education Publication Center, 2008.

eJSiE. http://epublications.bond.edu.au/ejsie/. [Online]

Euler, Projet. 2001. http://projecteuler.net/. [Online] 2001.

Fetissov, A. 1985. A demonstração em geometria. s.l. : Mir Moscou, 1985.

Flores, Cláudia. 2007. Teoria e representação geométrica na obra de Albrecht Durer: um

ensino de matemática para pintores e artesãos. Revista iberoamerica de educacion

matemática. 2007.

Friedman, Thomas L. 2006. O Mundo é Plano. Uma história breve do século XXI. s.l. :

Actual Editora, 2006.

Galeti, Agda Jessica e Gandulfo, Ana Maria. 2012. Demonstrações dinâmicas como

recurso para o ensino do Teorema de Pitágoras. Brasília : s.n., 2012.

Gebeily, M. e Yushau, B. 2007. Curve Graphing in MS Excel and Applications.

Spreadsheets in education (ejSIE). epublications Bond, 2007, Vol. 2, 2.

Geogebra. 2008. http://www.geogebra.org/cms/. [Online] 2008.

Goldenberg, E. Paul. 2000. Thinking (And Talking) About Technology. s.l. : Education

Development Center, Inc., 2000.

Greene, Brian. 2010. O universo elegante. s.l. : Ciência aberta.Gradiva., 2010.

377

GrupoVirtuous . 1998. http://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php. [Online]

1998.

Guillen, M. 1998. Cinco equações que mudaram o mundo. Lisboa : Gradiva, 1998.

Gwendolyn, Loyd, et al. 2010. Developing Essential Understanding of Functions for

Teaching Mathematics in Grades 9-12. Virginia : NCTM, 2010.

Hardy, G.H. 1992. A Mathematician's Apology. Cambridge : Canto, 1992.

Hecht, Eugene. 2000. Physics: Calculus. s.l. : Brooks/Cole, 2000.

Hillel, J. 1992. The computer as a problem-solving tool; It gets a job done, but is it always

appropriate? New York : Springer-Verlag, 1992.

Hitt, F. 1998. Visualización matemática, representaciones, nuevas tecnologías y currículo.

Educación matemática. 1998, Vol. 10, 2.

Hoyles, C e Lagrange, J.B. 2010. Mathematics Education and Technology - Rethinking the

terrain. s.l. : Springer, 2010.

Hoyles, C. e Noss, R. 1987. Synthesising mathematical conceptions and their formalisation

through the construction of a LOGO-based school mathematics curriculum. s.l. :

International Journal of Mathematics Education and Science and Technology, 1987.

Hoyles, Celia. 2014. Mathematics Today. London : IMA, 2014, Vol. February.

Hsiao, F. 1985. Micros in mathematics education - Uses of spreadsheets in CAL. s.l. :

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 1985.

http://www.geogebra.org/cms/. [Online] [Citação: 12 de Janeiro de 2012.]

http://www.maths-ed.org.uk/mkit/Joubert_MKiT6.pdf. [Online] [Citação: 2 de Abril de

2012.]

Joubert, Marie. 2007. Classroom Mathematical Learning with Computers: the computer,

the teacher and the task. Bristol : University of Bristol, 2007.

—. Towards a research agenda: Using ICT in Mathematics. http://www.maths-

ed.org.uk/mkit/Joubert_MKiT6.pdf. [Online]

Kingdom, Joint Mathematical Councial of United. 2011. Digital Technologies and

mathematics education. 2011.

Kissane, B. 2008. Learning mathematics on the internet. Bangkok, Thailand : Murdoch

University, 2008.

Kline, Morris. 1981. Mathematics and the Physical world. s.l. : Dover, 1981.

Krantz, S. 2010. The Proof is in the Pudding. The Changing Nature of Mathematical Proof.

USA : Springer, 2010.

Lima, Elon Lages. 2004. Matemática e ensino. s.l. : Gradiva, 2004.

Lockhart. 2010. A Mathematician's Lament: How School Cheats Us Out of Our Most

Fascinating and Imaginative Art Form. 2010.

Lockhart, Paul. 2012. Measurement. London : Harvard University Press, 2012.

LOGO. 2014. http://www.terrapinlogo.com/. [Online] 2014.

378

Mahoney, J. F. 2003. Cálculo algébrico simbólico nas nossas escolas: alguns axiomas e

exemplos. Educação e Matemática. APM, 2003, Vol. 73.

Martin, A. 2000. An integrated introduction to spreadsheet and programming skills for

operational research students. s.l. : Jornal of the Operational Research Society, 2000.

ME. 1985. Despacho Ministerial 206/ME/85. Lisboa : Ministério da Educação, 1985.

—. 2007. Programa de matemática do ensino básico. Lisboa : Ministério da Educação,

2007.

Meij, J. 2007. Support for learning with multiple representations.Designing simulation-

based learning environments. Enschede : s.n., 2007.

Merriam, S. 1998. Qualitative Research and Case Studies Applications in Education:

Revised and Expanded from Case Study Research in Education. San Francisco : Jossey-Bass

Publishers, 1998.

Miller, D e Sugden, J. 2009. Insight into the Fractional Calculus via a Spreadsheet. s.l. :

eJSie, 2009.

MIT, Lifelong Kindergarten group at the. 2007. http://scratch.mit.edu/. [Online] MIT,

2007.

MST. 2006. A Joint Promotion of Mathematics, Science and Technology (MST). s.l. :

Norwegian Ministry of Education and Research, 2006.

Nápoles, S., Sequeira, L. e Freitas, P. 2009. Números e Operações - Programa de

Formação Contínua em Matemática para Professores dos 1º e 2º ciclos do Ensino Básico.

Lisboa : DGIDC, 2009.

Nápoles, Suzana e Oliveira, Margarida. 2013. Imaginary Open Mathematics. Sundials

Mathematics and Astronomy. [Online] 4 de Março de 2013.

NCTM. http://illuminations.nctm.org/. [Online]

—. 2007. Princípios e Normas para a Matemática escolar. USA : NCTM, 2007.

Neuwirth, E. e Arganbright, D. 2004. Mathematical Modeling with Microsoft Excel. The

Active Modeler. Belmont : s.n., 2004.

—. 2005. The Active Modeler: Mathematical Modeling with Microsoft Excel. s.l. :

Spreadsheets in Education (eJSiE); Vol1: Iss3, Article 5, 2005.

Norton, Stephen e Cooper, Tom. 2006. The integration of technology and mathematics

learning. Queensland : International Conference on Technology in Educational Research,

2006.

OECD. 2012. Pisa 2012 Results in Focus. What 15 years olds know and what they can do

with what they know. s.l. : OECD, 2012.

Officers, National Governors Association Center for Best Practices (NGA Center) and

the Council of Chief State School. 2009. Common Core State Standards for mathematics.

2009.

Oldknow, A., Taylor, R. e Tetlow, L. 2012. Teaching mathematics using ICT. London :

continuum, 2012.

379

Oliveira, E. R. A. 1968. Theoretical Foundations of the Finite Element Method. Int. J.

Solids Struct. 1968, Vol. 4, pp. 929-952.

Oliveira, M, Nápoles, S. e P.Silva. 2009. Aprender matemática com o Excel. Aplicações

computacionais. Lisboa : APM, 2009.

Oliveira, M. 2008. http://www.matematicadinamica.com/. [Online] 2008.

—. 2005. Dissertação de mestrado. s.l. : DMFCUL, 2005.

Oliveira, Margarida. 2012. http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com. [Online] 2012.

—. 2013. A tecnologia no ensino da matemática. Lisboa : FCG, 2013. 978-989-98309-0-5.

Oliveira, Margarida e Nápoles, Suzana.

http://www.casadasciencias.org/index.php?option=com_docman&task=search_result&Itemi

d=23&search_phrase=a0002%20semelhan%C3%A7a&search_mode=all&ordering=newest.

http://www.casadasciencias.org/. [Online]

—. 2011. Old Proofs new technologies. Portsmouth UK : ICTMT10, 2011.

—. 2010. Sundials Mathematics and Astronomy with a spreadsheet. Madrid : IATED, 2010.

—. 2010. Using a Spreadsheet to Study the Oscillatory Movement of a Mass-Spring System.

Spreadsheets in education. eJSiE, 2010, Vol. 3, 3.

Oliveira, Margarida. 2009. Examples of application in geogebra for implementation in the

classroom. Report of the First International GeoGebra Conference. 2009.

—. 2012. http://projetoespiral.agpiscinasolivais.com. [Online] 2012.

—. 2011. http://www.matematica-interactiva.com. [Online] 2011.

Oliveira, Margarida, Nápoles, Suzana e Oliveira, Sérgio. 2012. Fourier Analysis:

Graphical Animation and Analysis of Experimental Data with Excel. Australia : Bond

University, 2012.

Oliveira, Margarida, Nápoles, Suzana e Ralha, Elfrida. 2011. Learning mathematics with

Excel. Barcelona : Edulearn10 Conference, 2011.

—. 2011. Topics of Physics in Virtual Experimentation Virtual. Valencia : INTED2011,

2011. 979-84-614-7423-3.

Oliveira, Margarida, Suzana Nápoles, Sérgio Oliveira e Sivestre, André. 2013.

Earthquakes and Structures. Imaginary Open Mathematics. [Online] 4-7 de Março de 2013.

Oliveira, S. 2007. Folhas de apoio à disciplina de Matemática Aplicada à Engenharia

Civil. Lisboa : Instituto Superior de Engenharia de Lisboa, 2007.

—. 2012. Folhas de apoio a Mecânica dos Sólidos III. Lisboa, Portugal : Instituto Superior

de Engenharia de Lisboa, 2012.

—. 2007. Matemática Aplicada à Engenharia Civil - Folhas de apoio. Lisboa : Isel, 2007.

Oliveira, S., Mendes, P. e Espada, M. 2012. Análise dinâmica de estruturas pelo Método

dos Elementos Finitos. Aplicação a barragens e estruturas anexas. Lisboa, Portugal :

LNEC, 2012.

P.Santo, Harold. 1984. Métodos gráficos e geometria computacionais. Lisboa : dinalivro,

1984.

380

Papert, S. 1991. Situating Constructionism.In I. Harel & S. Papert (eds) Constructionism.

New Jersey : Ablex Publisshing Corporation., 1991.

Polya, G. 2004. How to solve it: A new Aspect of Mathematical Method. Princeton :

Princeton University Press, 2004.

Ponte, J.P. 1994. O Projeto Minerva. Introduzindo as NTI na Educação em Portugal. s.l. :

DEPGEF, 1994.

Ponte, João e Lurdes Serrazina, Henrique Guimarães,Ana Breda,Fátima

Guimarães,Hélia Sousa, Luís Menezes, Eugénia Graça Martins,Paulo Alexandre

Oliveira. 2007. Programa de Matemática do Ensino Básico. Lisboa : Dgidc, 2007.

Ponte, João P, et al. 2001. Programa de matemática do ensino básico. s.l. : DGIDC, 2001.

Ponte, João Pedro da. 1994. O Projecto MINERVA-Introduzindo as NTI na Educação em

Portugal. s.l. : DEPGEF, 1994.

Ponte, João Pedro, et al. 2007. Programa de Matemática do ensino básico. Lisboa :

Ministério da Educação, 2007.

research, Norwegian Ministry of education and. 2006/2009. A Joint Promotio of

Mathematics, Science and Technology (MST). 2006/2009.

Robin, A, Margaret, B. e Martin, E. 2009. Spreadsheet Programming. Hoboken, NJ :

John Wiley & Sons, Inc., 2009.

Rojano, T. 1996. Developing algebraic aspects of problem solving within a spreadsheet

environment. Netherlands : N. Bednarz et al, 1996.

Sacristán, A.I. e Noss, R. 2008. Computational construction as a mean to coordinate

representations of infinity. s.l. : International Journal of Computers for mathematical

learning, 2008.

Sacristán, Ana I., et al. 2010. The influence and shaping of digital technologies on the

learning - and learning trajectories - of mathematical concepts. s.l. : Springer, 2010.

Sanches, L. 2002. Introdução ao estudos de funções reais de variável real. Reanimat - FCG,

2002.

Santos, A.P. e Francisco, C. As TIC no desenvolvimento humano.

https://sites.google.com/site/ticsociedadeecidadania/Home/analise-de-dados/consideracoes-

finais/referencias-bibliograficas/autores. [Online]

Schofield, J. 1993. Increasing the geberalizability of qualitative research. London : The

Open University Press, 1993.

Scratch. 2008. http://kids.sapo.pt/scratch/. http://kids.sapo.pt/scratch/galleries/view/82.

[Online] 2008.

Secundário, Ensino. 2003. http://www.dgidc.min-edu.pt/ensinosecundario/. [Online]

DGIDC, 2003.

Seeley, C. 2010. Faster isn't smarter. Messages about Math, Teaching and Learning in the

21st century. A resource for teachers, leadrs, policy makers, and families. Sausalito,

California, USA : Math Solutions , 2010.

381

Selden, A. e Selden, J. 2008. Preservice teachers conceptions of mathematics and how to

teach. http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/curriculum-department-

guidelines-recommendations/teaching-and-learning/preservice-teachers-conceptions.

[Online] 2008.

Silva, J.S. 1965-66. Guia para a utilização do Compêndio de Matemática (2º e 3º volumes).

Lisboa : Min.Educação/OCDE, 1965-66.

Sinclair, N. 2005. Mathematics on the internet. Berkshire, UK : Open University Press,

2005.

Soper, J. B. e Lee, M. P. 1994. Computer spreadsheets for numerical analysis. s.l. :

International Journal of mathematics, Education, Science anda technology, 1994.

STEM. 2012. Higher Education in Science, Technology, Engineering and Mathematics

(STEM) subjects. London : House of Lordes, 2012.

Sutherland, R. 2011. Digital technologies and mathematics education. United Kingdom :

Alison Clark-Wilson, 2011.

Sutherland, R. e Balacheff, N. 1999. Didactical complexity of computational environments

for the learning of mathematics. International Journal of computaers for the learning of

mathematics. 1999, Vol. 4(1).

Sutherland, Rosamund. 2011. Digital Technologies and mathematics education. s.l. :

Alison Clark-Wison;Adrian Oldknow;Rosamund Sutherland, 2011.

Teresa, M. 2009. O computador para trabalho autónomo em matemática - Uma

experiência para o novo programa de 7º ano. Porto : Universidade Portucalense, 2009.

Valente, J. 1998. Computadores e conhecimento: repensando a educação. Campinas, SP :

UNICAMP/NIED, 1998.

—. 1997. O uso inteligente do computador na educação. Porto Alegre : Editora Artes

Médicas Sul, 1997.

Veloso, Eduardo. 1998. Geometria TEMAS ACTUAIS Materiais para professores. Lisboa :

Instituto de Inovação Educacional, 1998.

Walkenbach, J. 2004. Excel 2003 Power Programming with VBA. Indianapolis : Wiley

Publishing, Inc., 2004.

Walport, Mark, et al. 2010. Science and mathematics secondary education for the 21st

century. Report of the science and learning expert group. Executive summary . 2010.

Wolfram, C. 2010.

http://www.ted.com/talks/conrad_wolfram_teaching_kids_real_math_with_computers.html.

[Online] Ted Conferences, 2010.

Yin, R. 1994. Case Study Research: Design and Methods. Oaks : CA: SAGE Publications,

1994.

Yishay, M. e Richard, N. 2008. Programming as mathematical narrative. London : s.n.,

2008.

382

Zienkiewicz, O.C. 1967. The Finite Element Method in Continuum and Structural

Mechanics. s.l. : Ed. McGraw-Hill, 1967.

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