máquinas térmicas y segunda ley de la termodinámica física ii
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Máquinas térmicas y segunda ley de la termodinámica
Física II
Máquinas térmicas y la segunda ley de la termodinámica
La segunda ley de la termodinámica establece cuáles procesos pueden ocurrir y cuáles no en la naturaleza. Los siguientes son ejemplos de procesos que son consistentes con la primera ley de la termodinámica pero que proceden de un orden gobernado por la segunda ley:
•Cuando dos objetos a diferente temperatura se ponen en contacto térmico entre sí, la energía térmica siempre fluye del objeto más caliente al más frío, nunca del más frío al más caliente.
•Una bola de hule que se deja caer al suelo rebota varias veces y finalmente queda en reposo, pero una bola que se encuentra en el suelo nunca empieza a botar por sí sola.
•Debido a los choques con las moléculas de aire y la fricción, un péndulo oscilante finalmente se detiene en el punto de suspensión. La energía mecánica se convierte en energía térmica; la transformación inversa de energía nunca ocurre.
Representación esquemática de una máquina térmica. La máquina absorbe energía térmica Qc de un depósito caliente,
libera la energía térmica Qf al depósito frío y efectúa un trabajo
W. Una máquina térmica lleva a cierta sustancia de trabajo a través de un proceso de un ciclo durante el cual 1) la energía térmica se absorbe de una fuente a alta temperatura, 2) la máquina realiza trabajo, y 3) la máquina expulsa energía térmica a una fuente de menor temperatura. Depósito frío a Tf
Motor
Deposito caliente a Tc
Qc
Qf
W
A partir de la primera ley de la termodinámica vemos que el trabajo neto W hecho por la máquina térmica es igual al calor neto que fluye hacia ella. Como podemos ver de la figura, Qneto = Qc - Qf; por lo tanto
W = Qc - Qf
El trabajo neto hecho por un proceso cíclico es el área encerrada por la curva que representa el proceso en el diagrama PV.
Diagrama PV para un proceso cíclico arbitrario. El trabajo neto realizado es igual al área encerrada por la curva.
La eficiencia térmica, e, de una máquina térmica se define como el cociente del trabajo neto realizado a la energía térmica absorbida a una temperatura más alta durante el ciclo:
c
f
c
fc
c Q
Q
Q
Q
We
1
Esta fórmula muestra que una máquina tiene un 100% de eficiencia sólo sí Qf = 0. Es decir, no se entrega energía
térmica al reservorio frío.
La forma de Kelvin-Planck de la segunda ley de la termodinámica establece lo siguiente:
Es imposible construir una máquina térmica que, operando en un ciclo, no produzca otro efecto que la absorción de energía térmica de un depósito y la realización de una cantidad igual de trabajo.
Depósito frío a Tf
Motor
Deposito caliente a Tc
Qc
W
Ejemplo
Calcule la eficiencia de una máquina térmica que absorbe 2000 J de energía de un depósito caliente y entrega 1500 J a un depósito frío.
c
f
c
fc
c Q
Q
Q
Q
We
1
EjemploUna máquina térmica tiene una eficiencia del 26%, ¿cuál es el trabajo realizado si el depósito frío absorbe 240 J?
c
f
c
fc
c Q
Q
Q
Q
We
1
TareaUna máquina térmica absorbe 360 J de energía y realiza 25.0 J de trabajo en cada ciclo. Encuentre a) la eficiencia de la máquina, y b) la energía liberada al depósito frío en cada ciclo.
c
f
c
fc
c Q
Q
Q
Q
We
1
Procesos reversibles e irreversibles Un proceso reversible, es uno que puede efectuarse de manera tal que, a su conclusión, tanto el sistema como sus alrededores, hayan regresado a sus condiciones iniciales exactas. Un proceso que no cumple con esta condición es irreversible.
TODOS LOS PROCESOS EN LA NATURALEZA SON IRREVERSIBLES
Gas a Ti
MembranaVacío
Muro aislado Arena
Depósito caliente
Refrigeradores y bombas de calor
Los refrigeradores y las bombas de calor son máquinas térmicas que operan a la inversa. La máquina absorbe energía térmica Qf del
depósito frío y entrega energía térmica Qc al depósito caliente.
Esto puede lograrse sólo si se hace trabajo sobre el refrigerador.
El enunciado de Clausius afirma lo siguiente:
Es imposible construir una máquina que opere en un ciclo y que no produzca ningún otro efecto más que transferir energía térmica continuamente de un objeto a otro de mayor temperatura.
En términos simples, la energía térmica no fluye espontáneamente de un objeto frío a uno caliente.
Diagrama esquemático de un refrigerador.
Diagrama esquemático de un refrigerador imposible.
Depósito frío a Tf
Motor
Deposito caliente a Tc
Qc
Qf
W
Depósito frío a Tf
Motor
Deposito caliente a Tc
Qc
Qf
FuncionamientoTodo liquido que se evapore fácilmente a bajas temperaturas es un potencial refrigerante.Es posible evaporarlo y licuarlo alternadamente, haciéndolo circular a través de tubos en los que varíe la presión.En la mayoría de los refrigeradores domésticos, el refrigerante es uno de los compuestos conocidos como clorofluorocarbonos o freones.Los tubos del interior del refrigerador son de grueso calibre, por lo que dentro de ellos la presión es baja y el líquido que allí circula se evapora. Con ello se mantiene frió el tubo y se absorbe el calor de los alimentos.Un motor eléctrico succiona el gas frío de los tubos, lo comprime para que se caliente y lo manda al tubo serpentín de la parte trasera del refrigerador.El aire que circunda al serpentín absorbe el calor y hace que el gas vuelva a condensarse, todavía a muy alta presión.Después, un tubo de calibre muy angosto, llamado capilar, devuelve el líquido de alta presión a los tubos ensanchados del interior, el líquido se evapora de nuevo y el ciclo se repite.
motor
InteriorExterior
capilar
Eficiencia Una bomba de calor es un dispositivo mecánico que transporta energía térmica de una región a baja temperatura a una región a temperatura mayor.
La figura es una representación esquemática de una bomba de calor. La temperatura exterior es Tf y la
energía térmica absorbida por el fluido circulante es Qf. La bomba de calor
realiza un trabajo W sobre el fluido, y la energía térmica transferida de la bomba de calor hacia el interior del edificio es Qc.
Depósito frío a Tf
Motor
Deposito caliente a Tc
Qc
Qf
W
La eficacia de la bomba de calor, en el modo de calentamiento, se describe en función de un número conocido como el coeficiente de realización, CDR.
Éste se define como la razón entre el calor transferido al depósito y el trabajo que se requiere para transferir el calor:
CDR (bomba de calor) W
Q
bombalaporhechotrabajo
otransferidcalor c
Una máquina térmica en un ciclo de Carnot que opere a la inversa constituye una bomba de calor; de hecho, es la bomba de calor con el coeficiente de rendimiento más alto posible para las temperaturas entre las cuales opera. El máximo coeficiente de realización es
CDRf (bomba de calor) fc
c
TTT
El refrigerador trabaja de un modo muy similar a una bomba de calor; enfría su interior bombeando energía térmica desde los compartimientos de almacenamiento de los alimentos hacia el exterior más caliente. Durante su operación, un refrigerador elimina una cantidad de energía térmica Qf del interior del
refrigerador, y en el proceso (igual que la bomba de calor) su motor realiza trabajo W. El coeficiente de realización de un refrigerador o de una bomba de calor se define en términos de Qf:
CDR (refrigerador) W
Q f
En este caso, el coeficiente de realización más alto posible es también el de un refrigerador cuya sustancia de trabajo se lleva por un ciclo de máquina térmica de Carnot a la inversa.
CDRf (refrigerador) fc
f
TT
T
Ejemplo¿Cuál es el coeficiente de realización de un refrigerador que opera con una eficiencia de Carnot entre las temperaturas -3.00°C y +27.0°C?
fc
f
TT
TCDR
EjemploCierto refrigerador tiene un CDR de 5. Cuando el refrigerador está en funcionamiento, su potencia de entrada es de 500 W. Una muestra de agua de 500 g de masa a 20ºC de temperatura se coloca en el compartimiento del congelador. ¿Cuánto tarda en congelar el agua a 0º C? suponga que las otras partes del refrigerador permanecen a la misma temperatura y no hay fugas de energía al exterior, así que la operación del refrigerador resulta en sólo la energía que se extrae del agua.
Calor extraído del agua: Qf = mcT – mLf = m (cT – Lf )
Energía proporcionada al refrigerador: CDR = Qf / W
W = Qf / CDR
Potencia: P = W/t t = W/P
Tarea
Un refrigerador tiene un coeficiente de realización igual a 5.00. el refrigerador admite 120 J de energía de un depósito frío en cada ciclo. Encuentre a) el trabajo requerido en cada ciclo, b) la energía expulsada al depósito caliente.
W
Q fCDR
Carnot y Clausius
Rudolf Julius Emanuel ClausiusFísico Alemán que nació en Köslin, Pomerania (ahora Koszalin, Polonia) el 2 de enero de 1822 y murió en Bonn el 24 de agosto de 1888.
Físico francés que nació el 1 de junio de 1796 en París y murió allí mismo el 24 de agosto de 1832; pertenecía a una familia distinguida de Francia; ya que su padre, Lazare Nicolas Marguerite Carnot fue el general francés que organizó a los ejércitos republicanos.
Equivalencia de la 2ª ley de Kelvin-Planck y Clausius
Motor
W
Motor
Q2
Q2
Clausius Motor
Q1
Q2
Motor
W
Kelvin - Planck
Q1
Motor
W
Kelvin - Planck
Q1
Motor
Q2
Q1 + Q2
Refrigerador
Motor
Q2
Q2
Clausius
La máquina de Carnot El teorema de Carnot puede enunciarse como sigue:
Ninguna máquina térmica real que opera entre dos depósitos térmicos puede ser más eficiente que una máquina de Carnot operando entre los mismos dos depósitos.
Describiremos brevemente algunos aspectos de este teorema.
Primero supondremos que la segunda ley es válida. Luego, imaginamos dos máquinas térmicas que operan entre los mismos depósitos de calor, una de las cuales es una máquina de Carnot con una eficiencia ec, y la otra, cuya eficiencia, e, es más grande que ec.
Si la máquina más eficiente se opera para accionar la máquina de Carnot como un refrigerador, el resultado neto es la transferencia de calor del depósito frío al caliente. De acuerdo con la segunda ley, esto es imposible. En consecuencia, la suposición de que e > ec debe ser falsa.
Motor
W
Motorec e
El ciclo de Carnot
Para describir el ciclo de Carnot supongamos que la sustancia que trabaja entre dos temperaturas Tf y
Tc, es un gas ideal contenido en un
cilindro con un émbolo móvil en el extremo.
Las paredes del cilindro y el émbolo no son conductoras térmicas.
En la figura anterior se muestran cuatro etapas del ciclo de Carnot, y el diagrama PV para el ciclo se muestra en la figura siguiente.
El ciclo de Carnot consta de dos procesos adiabáticos y dos procesos isotérmicos, todos reversibles.
•El proceso A B es una expansión isotérmica a temperatura Tc, en la cual
el gas se pone en contacto térmico con un depósito de calor a temperatura Tc. Durante la expansión, el gas absorbe energía térmica Qc desde el
depósito a través de la base del cilindro y efectúa trabajo WAB al levantar el
émbolo.
•En el proceso B C, la base del cilindro se sustituye por una pared que no es conductora térmica y el gas se expande adiabáticamente; es decir, ninguna energía térmica entra o sale del sistema. Durante la expansión, la temperatura cae de Tc a Tf y el gas realiza trabajo WBC al elevar el émbolo.
•En el proceso C D, el gas se coloca en contacto térmico con un depósito de calor a la temperatura Tf y se comprime isotérmicamente a temperatura
Tf. Durante ese tiempo, el gas libera la energía térmica Qf hacia el depósito
y el trabajo realizado sobre el gas por un agente externo es WCD.
n la etapa final, D A, la base del cilindro se sustituye por una pared no conductora y el gas se expande adiabáticamente. La temperatura del gas aumenta a Tc y el trabajo efectuado sobre el gas por un agente externo es
WDA.
Eficiencia de la máquina de Carnot•Proceso A B
Qc = WAB = nRTc lnVB/VA
•Proceso B C
TcVB-1 = TfVC
-1
•Proceso C D
Qf = |WCD| = nRTf lnVC/VD Qf /Qc = Tf ln(VC/VD) / Tc ln(VB/VA)
•Etapa final, D A
TcVA-1 = TfVD
-1 de aquí VB/VA = VC/VD
Se deduce que: eC = 1 – Qf /Qc = 1 – Tf /Tc
Todas las máquinas de Carnot que operan de modo reversible entre las mismas dos temperaturas tienen la misma eficiencia.
De acuerdo con el teorema de Carnot, la eficiencia de cualquier máquina reversible que opera en un ciclo entre dos temperaturas es más grande que la eficiencia de cualquier máquina irreversible (real) operando entre las dos mismas temperaturas.
Todas las máquinas reales son menos eficientes que la máquina de Carnot porque están sujetas a dificultades prácticas como la fricción y las pérdidas térmicas por conducción.
EjemploUna máquina de vapor opera a 500 K, la temperatura del depósito frío es de 300 K ¿cuál es la eficiencia térmica máxima de la máquina? ¿cuánto trabajo máximo realiza si absorbe 200 J del depósito caliente durante cada ciclo?
TareaLa eficiencia máxima de una máquina es de 30% y su deposito frío esta a 300 K, ¿Cuál es la temperatura de su depósito caliente? Si hace 60 J de trabajo, ¿Cuál es el calor que absorbe del depósito caliente y cuál es el que emite al depósito frío?
c
f
c
f
c
fc
c T
T
Q
Q
Q
QW
e
11
La escala de temperatura absoluta
La proporción Qf /Qc depende sólo de la temperatura de los
dos depósitos térmicos.
La proporción Tf/Tc puede obtenerse operando una máquina
térmica reversible en un ciclo de Carnot entre estas dos temperaturas y midiendo Qf y Qc.
Una escala de temperaturas puede determinarse respecto a ciertas temperaturas de punto fijo.
La escala de temperatura absoluta o kelvin se definió al elegir 273.16 K como la temperatura del punto triple del agua.
La temperatura de cualquier sustancia puede obtenerse de la siguiente manera:
1) se somete la sustancia a un ciclo de Carnot
2) se mide la energía térmica Q absorbida o liberada por el sistema a alguna temperatura T
3) se mide la energía térmica Q3 absorbida o liberada por el
sistema cuando está a la temperatura del punto triple del agua. La temperatura desconocida es:
3
16.273Q
QT
El motor de gasolina
El motor de gasolinas puede describirse mediante el ciclo Otto, el cual se
ilustra en la figura
•Durante la carrera de admisión O A, se introduce aire al cilindro a presión atmosférica y el volumen aumenta de V2 a V1.
•En el proceso A B (carrera de compresión), la mezcla de aire y combustible se comprime adiabáticamente del volumen V1 a V2, y la temperatura aumenta de TA a TB.
El trabajo realizado por el gas es el área bajo la curva AB.
•En el proceso B C, la combustión ocurre y se añade la energía térmica Qc al gas.
Esto no es una entrada de energía térmica, sino más bien una liberación de energía térmica del proceso de combustión. Durante este tiempo la presión y la temperatura aumentan rápidamente, aunque el volumen permanece constante. No se efectúa trabajo sobre el gas.
A
B
C
D
O
P
V
Qc
Qf
V2 V1
Procesos adiabáticos
A
B
C
D
O
P
V
Qc
Qf
V2 V1
Procesos adiabáticos
•En el proceso C D (carrera de potencia), el gas se expande adiabáticamente de lo que origina que la temperatura descienda de TC a TD. El trabajo realizado por el gas es
el área bajo la curva CD.
•En el proceso D A se extrae la energía térmica Qf del gas a medida que su presión
disminuye a volumen constante al abrir una válvula de escape. No se hace trabajo durante este proceso.
En el proceso final de la carrera de escape A O, los gases residuales se expulsan a presión atmosférica, y el volumen disminuye de V2 a V1. El mismo ciclo se repite
después.
Eficiencia del ciclo OttoEl trabajo realizado es:
W = Qc – Qf
Los procesos B -> C y D -> A ocurren a volumen constante entonces
Qc = nCV(TC – TB) y Qf = nCV(TD – TA)
La eficiencia es:
En A -> B se cumple: TAVA-1 = TBVB
-1
En C -> D se cumple: TCVC-1 = TDVD
-1
Sea V1 = VA = VD y V2 = VC= VB sustituyendo en la anteriores y simplificando se llega a
Donde V1/V2 es la razón de compresión
BC
AD
c
f
TTTT
Q
Qe
11
121 /
11 VV
e
Ejemplo
Vdesplazamiento = 3L = 0.003 m3
rpm = 4000 rpmr = 9.5PA = 1.00 x 105 PaTA = 300 KTC = 1623 KcV = 718 J/kg KcP = 1005 J/kg KR = 287 kPa/m3/kg K = 1.4
VB = Vdesp/(6(r–1)) = 5.88235 x 10–5 m3
VA = r VB = 0.000558824 m3
m = PA VA/(RTA) = 6.49 x 10–4 kg
PB = PA (VA/VB) = 2.34 x 106 PaTB = PB VB/(R m)= 738.26 KPC = m R TC/VB = 5.14 x 106 PaPD = PC (VB/VA) = 2.20 x 105
TD = PD VA/(m R )= 659.52 KcP – cV = 287Qc = Qentra = m cV (TC – TB) = 412.30 JQf = Qsale = m cV (TD – TA) = 167.54 JWneto= Qc – Qf = 244.76 JPotencia = (6/2) (rpm/60) Wneto = 48951 W = W/740 = 66.15 hp
Un motor de gasolina opera con un volumen de desplazamiento de 3L a 4000 rpm y una razón de compresión de 9.5. Suponga TA = 300, R = 287 kJ/kg K, TC = 1623 K y se utilizan calores específicos no molares.
Solución con octave
Datos
Vdesp = 0.003;rpm = 4000;r = 9.5;PA = 1e5;TA = 300;TC = 1623;cV = 718;cP = 1005;R = 287;gamma = 1.4;
Solución
VB = Vdesp/(6*(r-1))VA = r*VBm = PA*VA/R/TAPB = PA*(VA/VB)^gammaTB = PB*VB/R/mPC = m*R*TC/VBPD = PC*(VB/VA)^gammaTD = PD*VA/R/mcP-cVQc = m*cV*(TC-TB)Qf = m*cV*(TD-TA)W = Qc-QfPot = 6/2*rpm/60*WPot = Pot/740
El motor Diesel
A
B C
D
O
P
V
Qc
Qf
V2 V1
Procesos adiabáticos
V3
En el motor Diesel se comprime aire con una razón de compresión mayor que en el motor Otto. El combustible es inyectado en el punto máximo de la compresión.
Los procesos O -> A, A -> B, D -> A y A -> O son iguales que en el ciclo Otto.
El proceso B -> C corresponde a una expansión isobárica cuando el combustible es inyectado y se enciende. En este proceso hay una entrada de calor QC.
El proceso C -> D es una expansión adiabática de los gases calientes.
Eficiencia del ciclo dieselEl trabajo realizado es:
W = Qc – Qf
Los procesos B -> C y D -> A ocurren a volume4n constante entonces
Qc = nCP(TC – TB) y Qf = nCV(TD – TA)
La eficiencia es:
En A -> B se cumple: TAVA-1 = TBVB
-1
En C -> D se cumple: TCVC-1 = TDVD
-1
Sea V1 = VA = VD y V2 = VB y V3 = VC= sustituyendo en la anteriores y simplificando se
llega a
Donde r = V1/V2 es la razón de compresión y rc = V3/V2 es la relación de corte de admisión definida como la relación de los volúmenes del cilindro después y antes del proceso de combustión
BC
AD
BCP
ADV
c
f
TTTT
TTC
TTC
Q
Qe
111
1/
11
1
121 c
c
rr
VVe
Ejemplo
Vdesplazamiento = 2L = 0.002 m3
rpm = 3000 rpmr = 22PA = 1.00 x 105 PaTA = 300 KTC = 1623 KcV = 718 J/kg KcP = 1005 J/kg KR = 287 kPa/m3/kg K = 1.4
VA = 2L/4 = 0.0005 m3
VB = Vdesp/(6(r–1)) = 5.88235 x 10–5 m3
m = PA VA/(RTA) = 5.81 x 10–4 kg
PB = PA (VA/VB) = 7.57 x 106 PaTB = PB VB/(R m)= 1,030 KTC = 2TB = 2,060 K
PC = PB
PD = PC (VC/VD) = PC (VC/VB)(VB/VD) = PC (rc)(r) = 2.64 x 105 PaTD = PD VA/(m R )= 792 KcP – cV = 287Qc = Qentra = m cP (TC – TB) = 601 JQf = Qsale = m cV (TD – TA) = 205 JWneto= Qc – Qf = 396 JPotencia = (4/2) (rpm/60) Wneto = 39600 W = W/740 = 53 hp
Un motor de Diesel opera con un volumen de desplazamiento de 2L a 3000 rpm, una razón de compresión de 22 y una razón de compresión crítica rc = 2. Suponga TA = 300, R = 287 kJ/kg K y se utilizan calores específicos no molares.
Tarea
En un cilindro de un motor de automóvil, justo después de la combustión, el gas se confina en un volumen de 50.0 cm3 y tiene una presión inicial de 3.00 x 106 Pa. El pistón se mueve hacia afuera a un volumen final de 300 cm3 y el gas se expande sin pérdida de energía por calor. a) Si = 1.40 para el gas, ¿cuál es la presión final?
A
B
C
D
O
P
V
Qc
Qf
V2 V1
Procesos adiabáticos
PCVC = PDVD
Tarea (extra)Demuestre que la eficiencia del motor Diesel es:
1/
11
1
121 c
c
rr
VVe
Donde r = V1/V2 es la razón de compresión y rc = V3/V2 es la relación de corte de admisión definida como la relación de los volúmenes del cilindro después y antes del proceso de combustión
Entropía Otra función de estado, relacionada con la segunda ley de la termodinámica, es la entropía.
Considere un proceso infinitesimal en un sistema entre dos estados de equilibrio.
Sea dQr es la cantidad de energía térmica que se transferiría si el
sistema hubiera seguido una trayectoria reversible, entonces el cambio en la entropía dS, independientemente de la trayectoria real seguida, es igual a la cantidad de energía térmica transferida a lo largo de la trayectoria reversible dividida entre la temperatura absoluta del sistema:
TdQ
dS r
Cuando la energía térmica es absorbida por el sistema, dQr, es positiva y por lo tanto la
entropía crece. Cuando la energía térmica es liberada por el sistema, dQr, es negativa y la
entropía disminuye.
En la mecánica estadística, el comportamiento de una sustancia se describe en función del comportamiento estadístico de átomos y moléculas contenidos en la sustancia. Uno de los principales resultados de este tratamiento es que:
Los sistemas aislados tienden al desorden, y la entropía es una medida de dicho desorden.
Todos los procesos físicos tienden a estados más probables para el sistema y sus alrededores. El estado más probable siempre es el de mayor desorden. Debido a que la entropía es una medida del desorden, una manera alternativa de decir lo anterior es:
La entropía del universo aumenta en todos los procesos.
Estado ordenado Estado desordenado
Para calcular el cambio en la entropía en relación con un proceso finito, debemos recordar que T por lo general no es constante.
Si dQr es la energía térmica transferida cuando el sistema está a
una temperatura T, entonces el cambio de entropía en un proceso reversible arbitrario entre un estado inicial y un estado final es
f
i
f
i T
dQdSS
Debido a que la entropía es una función de estado, el cambio en la entropía de un sistema al ir de un estado a otro tiene el mismo valor para todas las trayectorias que conectan los dos estados.
Es decir, el cambio en la entropía de un sistema solo depende de las propiedades del estado de equilibrio inicial y final.
Considere los cambios en la entropía que ocurren en una máquina térmica de Carnot que opera entre las temperaturas Tf y Ti. En un ciclo, la máquina absorbe energía
térmica Qi del depósito cliente y libera energía térmica Qf al depósito frío. De modo
que, el cambio total de entropía para el ciclo es
f
f
i
i
T
Q
T
QS
Donde el signo negativo representa el hecho de que la energía térmica Qf es liberada
por el sistema. Para el ciclo de Carnot se cumple que
c
f
c
f
T
T
Q
Q
Al usar este resultado en la expresión para S, encontramos que el cambio total en la entropía para la máquina de Carnot que opera en un ciclo es cero.
Tf
Ti
Qi
Considere ahora un sistema que sigue un ciclo arbitrario.
Puesto que la función entropía es una función de estado y, por lo tanto, sólo depende de las propiedades de un estado de equilibrio determinado, concluimos que S = 0 para cualquier ciclo.
En general, podemos escribir esta condición en la forma matemática
0T
dQr
Donde la integral es sobre un ciclo cerrado.
Proceso reversible y cuasiestático para un gas ideal
Un gas ideal experimenta un proceso reversible y cuasiestático de un estado inicial Ti, Vi a otro final Tf, Vf. Calculemos el cambio de entropía en este
proceso.
De acuerdo con la primera ley, dQ = dU + dW, donde dW = PdV. Recuerde que para un gas ideal dU = nCVdT, y por la ley del gas ideal, tenemos que P =
nRT/V. En consecuencia, podemos expresar la energía térmica transferida como
V
dVnRTdTnCPdVdUdQ Vr
Podemos integrar ambos términos
V
dVnR
T
dTnC
T
dQV
r
Suponiendo que CV sea constante sobre el intervalo en
cuestión, e integrando a partir de Ti, Vi a Tf, Vf obtenemos
i
f
i
fV
f
i
r
V
VnR
T
TnC
T
dQS lnln
Esta expresión muestra que S sólo depende de los estados inicial y final y es independiente de la trayectoria reversible. S puede ser positiva o negativa dependiendo de si el gas absorbe o expulsa energía térmica durante el proceso. Por último, en un proceso cíclico, vemos que S = 0.
Cambio de entropía en un proceso de fusión
Un sólido tiene un calor latente de fusión Lf se funde a una temperatura Tm. Calcule el cambio en la entropía
m
f
mm
r
T
mL
TQ
dQTT
dQS
1
Un cubo de hielo se funde, 3 cm de lado, 30 cm3 de volumen, L = 3.33x105 J/kg.
S = (0.030 kg)(3.33x105 J/kg)/(273 K) = 40 J/K
Ejemplo
Una bandeja de hielo contiene 500 g de agua a 0°C. Calcule el cambio en la entropía del agua cuando se congela lenta y completamente a 0°C. Lw = 3.33x105 J/kg.
Qr = –mLw = (0.5)(3.33x105) = 1.67x105 .
S = –610 J/K
-610 J/K
Tarea
La superficie del Sol tiene una temperatura aproximada de 5700 K, y la temperatura de la superficie de la Tierra es de casi 290 K. ¿Qué cambio de entropía ocurre cuando 1000 J de energía se transfieren por radiación del Sol a la Tierra?
ejemplo
Un gran objeto frío está 273 K y un gran objeto caliente a 373 K, el caliente transfiere 8 J al frío. demostrar que el calor fluye del caliente al frío.
Cambios de entropía en procesos irreversibles
Se ha encontrado experimentalmente que el cambio de entropía es el mismo para todos los procesos que ocurren entre un conjunto de estados inicial y final.
Calculemos ahora los cambios de entropía para procesos irreversibles entre dos estados de equilibrio ideando un proceso reversible (o serie de procesos reversibles) entre los mismos dos estados y calculando para el proceso reversible.
El cambio de entropía para el proceso irreversible es el mismo que el del proceso reversible entre los dos mismos estados de equilibrio.
TdQr /
Expansión libre de un gas
Gas a Ti
MembranaVacío
Muro aisladoCuando se rompe la membrana, el
gas se expande irreversiblemente de modo que ocupa un volumen más grande.
f
i rr dQ
TT
dQS
1
Para calcular Qr sustituimos el proceso por un proceso isotérmico reversible.
Como la expansión es isotérmica:
i
f
V
VnRS ln
Proceso irreversible
Proceso reversible
El gas se expande
en un proceso
cuasiestático
Gas a Ti
ri
f QV
VnRTW ln
Entonces:
Transferencia irreversible de calor
Una sustancia de masa m1, calor específico c1 y temperatura inicial T1, se pone en contacto térmico con una segunda sustancia de masa m2, calor específico c2 y temperatura inicial T2, donde T2 > T1. La temperatura final Tf es:
2211
222111
cmcm
TcmTcmT f
El calor lo calculamos con: dQ = mcdT
El cambio en la entropía es:
222
1112211 lnln
21 T
Tcm
T
Tcm
TdT
cmTdT
cmS ffT
T
T
T
ff
Ejemplo
Sea m1 = m2 = 1 kg, c1 = c2 = 4186 J/kg K, T1 = 273 K y T2 = 373 K y Tf = 323 K, en el caso anterior. Entonces el cambio de entropía es:
S = (1)(4186)ln((323)/(273)) + (1)(4186)ln((323)/(373)) =
= 102 J/K
tareaUn carro de 1 500 kg se mueve a 20.0 m/s. El conductor frena hasta detenerse. Los frenos se enfrían a la temperatura del aire circundante, que se mantiene casi constante en 20.0°C. ¿Cuál es el cambio total en entropía?