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Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica Valdir Bindilatti Instituto de Física da USP Departamento de Física dos Materiais e Mecânica 17/maio/2013 Valdir Bindilatti (Universidade de São Paulo) Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica 17/maio/2013 1 / 32

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Máquinas Térmicas e a Segunda Lei daTermodinâmica

Valdir Bindilatti

Instituto de Física da USP

Departamento de Física dos Materiais e Mecânica

17/maio/2013

Valdir Bindilatti (Universidade de São Paulo) Máquinas Térmicas e a Segunda Lei da Termodinâmica 17/maio/2013 1 / 32

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Sumário I

1 Introdução

2 Máquinas TérmicasEficiência de Máquinas Térmicas

3 Segunda Lei da TermodinâmicaSadi CarnotEnunciado de ClausiusEnunciado de Kelvin-Planck

4 Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas TérmicasEficiência Máxima das Máquinas TérmicasCiclo de CarnotEscala Termodinâmica de TemperaturaEficiência das Máquinas de Carnot

5 O Ciclo de Carnot para um Gás IdealEquações de Estado e Escala de Temperatura do Gás IdealDiagrama T∗VTrabalho e CalorEquivalência entre a escala do Gás Ideal e a escada Termodinâmica

6 Referências

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Introdução

A Segunda Lei da Termodinâmica se baseia no fato experimental de que

o calor só flui espontaneamente do quente para o frio.

Consequências da Segunda Lei:

Limite para conversão de calor em trabalho: a eficiência de máquinas térmicas é limitada.Escala absoluta de temperatura: escala definida independentemente de qualquer

termômetro.Entropia: uma nova função de estado que é a ponte entre a Termodinâmica e a

Mecânica Estatística.Processos irreversíveis: é a única lei da física que estabelece uma direção para a flexa do

tempo.

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Máquinas Térmicas

Exemplos de máquinas térmicas:

Máquina a vaporMotor de combustão internaTurbina a vaporTurbina a gás (turbo-hélice)

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Máquinas Térmicas

Motores térmicos:

Produzem trabalho útil a partir do calor extraído de uma fonte quente.Parte da energia extraída da fonte quente é rejeitada como calor para uma fonte fria.

Refrigeradores ou Bombas de Calor:

Transferem calor de uma fonte fria para uma fonte quente a custa de trabalho.O calor transferido para a fonte quente é maior que o calor extraído da fonte fria.

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Máquinas TérmicasMáquinas Cíclicas

MotorTérmico

Wm

Qmf

Qmq

θf

θq

W g

Qgf

Qgq

θf

θq

Refrigerador ouBomba de Calor

Nas Máquinas Cíclicas, a substância de trabalho (gás, vapor, etc..) volta ao estado inicialdepois de cada ciclo.

A Primeira Lei aplicada à substância de trabalho resulta:

∆Uciclo = ∆Q−W = 0⇒ ∆Q = W ,

onde ∆Q é o calor total recebido pela substância de trabalho no ciclo, eW o trabalho total realizado pela substância de trabalho no ciclo.

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Máquinas TérmicasMáquinas Cíclicas

MotorTérmico

Wm

Qmf

Qmq

θf

θq

W g

Qgf

Qgq

θf

θq

Refrigerador ouBomba de Calor

No caso de um motor térmico:

∆Q = Qmq − Qm

f = Wm.

No caso de um refrigerador ou bomba térmica:

∆Q = Qgf − Qg

q = −Wg.

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Máquinas TérmicasEficiência de Máquinas Térmicas

Wm

Qmf

Qmq

θf

θq

Eficiência =benefício

custoMotor térmico:

benefício: trabalho total realizadocusto: calor absorvido da fonte quente

Rendimento: (éta)

η =Wm

Qmq

= 1−Qm

f

Qmq

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Máquinas TérmicasEficiência de Máquinas Térmicas

W g

Qgf

Qgq

θf

θq

Refrigerador:

benefício: calor absorvido da fonte friacusto: trabalho necessário

Coeficiente de desempenho:

CODR =Qg

f

Wg=

Qgf

Qgq − Qg

f

Bomba de Calor:

benefício: calor fornecido à fonte quentecusto: trabalho necessário

Coeficiente de desempenho:

CODBC =Qg

q

Wg=

Qgq

Qq − Qgf

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Segunda Lei da TermodinâmicaSadi Carnot

Em seu livro Reflexões sobre a potência motriz do fogo (1824)abordou, pela primeira vez de forma científica, o problema dorendimento das máquinas térmicas que já existiam há um século.

Conceitos que introduziu:

Reservatório térmico,Processos cíclicos,Processos reversíveis,Ciclo de máxima eficiência: ciclo de Carnot.

Seu trabalho foi reformulado por Clausius e Kelvin, incorporando alei da conservação da energia, criando a Termodinâmica.

É considerado o fundador da Termodinâmica.

Nicolas Léonard SadiCarnot

(1796-1832)

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Segunda Lei da TermodinâmicaEnunciado de Clausius

Qgf

Qgq

θf

θqUm refrigerador “perfeito.”

Não viola a Primeira Lei se Qgf = Qg

q.

Mas o calor só flui espontaneamente do quente parao frio.

É proibido!

Enunciado de Clausius para Segunda Lei daTermodinâmica:

É impossível qualquer processo cujoúnico resultado seja a transferência decalor de um corpo frio para um corpoquente.

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Segunda Lei da TermodinâmicaEnunciado de Kelvin-Planck

Wm

Qmq

θf

θqUm motor térmico “perfeito.”

Não viola a primeira lei se Wm = Qmq .

Mas poderia ser usado para construir umrefrigerador perfeito.

É proibido!

Enunciado de Kelvin-Planck para Segunda Lei daTermodinâmica:

É impossível qualquer processo cujoúnico resultado seja a transformaçãocompleta de calor em trabalho.

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Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas Térmicas

W

Qgf

Qgq

Qmf

Qmq

θf

θq

Combinação de um motor térmico (m) e umrefrigerador (g) trabalhando entre os mesmosreservatórios térmicos, θq > θf, ajustados de formaque Wm = Wg em cada ciclo.

O único resultado da combinação é a transferênciade uma quantidade de calor Qg

q − Qmq = Qg

f − Qmf do

reservatório frio para o reservatório quente.

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Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas Térmicas

W

Qgf

Qgq

Qmf

Qmq

θf

θq

Como um refrigerador perfeito é impossível, estaquantidade deve ser negativa ou no máximo nula:

Qgq − Qm

q = Qgf − Qm

f ≤ 0

Assim, para qualquer combinaçãomotor–refrigerador:

Qgq

W≤

Qmq

We

Qgf

W≤

Qmf

W

ouWQg

q≥

WQm

qe

WQg

f≥

WQm

f(1)

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Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas Térmicas

Suponha duas máquinas, 1 e 2, que sejam reversíveis, ou seja, que possam funcionarcomo motor ou como refrigerador com o mesmo desempenho.

Seus rendimentos como motores sendo

η(1)r =

W(1)

Q(1)q

e η(2)r =

W(2)

Q(2)q

,

suas eficiências como refrigeradores são

COD(1)r =

Q(1)f

W(1)=

1

η(1)r

− 1 e COD(2)r =

Q(2)f

W2=

1

η(2)r

− 1.

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Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas Térmicas

W

Q(2)f

Q(2)q

Q(1)f

Q(1)q

θf

θqNa combinação em que a máquina 1 funciona comomotor e máquina 2 como refrigerador, a SegundaLei, através da eq. (1), exige que:

η(2)r ≥ η(1)

r .

Na combinação inversa, a Segunda Lei exige que:

η(1)r ≥ η(2)

r .

Portanto:

η(1)r = η

(2)r = ηr.

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Consequências da Segunda LeiLimites à Eficiência de Máquinas Térmicas

Ou seja:

1 o rendimento de qualquer máquina cíclica reversível operando entre os mesmos doisreservatórios térmicos é o mesmo.

2 Isto significa que este rendimento é independente da substância de trabalho utilizadae é função unicamente das temperaturas θq e θf dos reservatórios.

3 Como veremos adiante, este rendimento das máquinas reversíveis, ηr, é o máximopossível.

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Consequências da Segunda LeiEficiência Máxima das Máquinas Térmicas

Retomemos o resultado geral da Eq. (1), válido para qualquer par motor-refrigeradoroperando entre os mesmos reservatórios térmicos:

WQg

q≥

WQm

qe

WQg

f≥

WQm

f.

Tomando o refrigerador como uma máquina reversível, W/Qgq = ηr, e obtemos para o

rendimento de qualquer motor térmico:

η =WQm

q≤ ηr.

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Consequências da Segunda LeiEficiência Máxima das Máquinas Térmicas

Tomando o motor como uma máquina reversível, W/Qmq = ηr, resultando para qualquer

bomba de calor ou refrigerador:

W/Qgq ≥ ηr e W/Qf ≥

ηr

1− ηr.

Substituindo este resultado nas definições de eficiência, obtemos para qualquer dos doiscasos:

COD ≤ CODr.

As eficiências das máquinas reversíveis são o limite superior para qualquer máquinatérmica equivalente operando entre os mesmos reservatórios térmicos.

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Consequências da Segunda LeiCiclo de Carnot

Toda máquina térmica reversível operando entre dois reservatórios térmicos executa cicloparticular denominado ciclo de Carnot.

Este ciclo decorre da necessidade de reversibilidade da máquina operando entre doisreservatórios térmicos, conforme a consequência 1, que demanda que todas as etapas doprocesso cíclico devem ser reversíveis.

Qualquer processo termodinâmico reversível é necessariamente quasi-estático. Seenvolver deslocamento mecânico, não pode haver atrito

Para que as trocas de calor sejam reversíveis, elas devem se dar apenas com a substânciade trabalho à mesma temperatura do reservatório térmico, ou seja, elas devem seprocessar isotérmicamente: à temperatura θq e à temperatura θf.

Não pode haver troca de calor enquanto a temperatura da substância de trabalho estámudando de θq para θf ou vice-versa: portanto, as mudanças de temperatura devem se daradiabaticamente.

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Consequências da Segunda LeiCiclo de Carnot

Representação de um ciclo de Carnot para um fluido no diagrama θV.

θq

θf

V4 V3V2V1

4 3

21Os processos 1↔ 2 e 3↔ 4 são isotérmicos.

Os processos 1↔ 4 e 2↔ 3 são adiabáticos.

Para um motor, o ciclo é percorrido na sequência1→2→3→4→1.

Para um refrigerador ou bomba de calor, nasequência 4→3→2→1→4.

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Consequências da Segunda LeiEscala Termodinâmica de Temperatura

A consequência 2 foi utilizada por Kelvin[1] para definir uma escala de temperaturaabsoluta, ou seja, independente de qualquer termômetro, a chamada EscalaTermodinâmica de Temperatura.

Como qualquer máquina de Carnot entre dois reservatórios tem o mesmo rendimento,

ηr =WQr

q= 1−

Qrf

Qrq

, implica que a razão entre os calores trocados nos dois reservatórios é

função apenas das duas temperaturas.

A razão entre as duas temperaturas absolutas é definida como a razão entre os calorestrocados:

Qrf

Qrq

= f (θq,θf) ≡Tf

Tq. (2)

Veremos, depois, que esta escala é completamente equivalente à escala de temperaturado gás ideal, usando o mesmo ponto fixo para sua definição.

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Consequências da Segunda LeiEficiência das Máquinas de Carnot

Em termos da Escala Termodinâmica de Temperatura, a eficiência das máquinas de Carnotoperando entre um reservatório quente a Tq e um reservatório frio a Tf se expressam como:

Motor: ηr =WQr

q= 1−

Qrf

Qrq

= 1−Tf

Tq

Refrigerador: CODr =Qr

f

W=

Qrf

Qrq − Qr

f=

Tf

Tq − Tf

Bomba de Calor: CODr =Qr

q

W=

Qrq

Qrq − Qr

f=

Tq

Tq − Tf

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealEquações de Estado e Escala de Temperatura do Gás Ideal

Por enquanto, vamos denotar como T∗ a temperatura na Escala do Gás Ideal.

Nesta escala, as equações de estado se escrevem:

PV = nRT∗, (3)

e U = U(T∗), (4)

oudUdT∗

= ncV(T∗). (5)

As equações (4) e (5) significam que a energia não depende do volume ou da pressão dogás, mas unicamente da sua temperatura.

O particular gás ideal é identificado pela função cV(T∗).

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealDiagrama T∗V

Representação do ciclo deCarnot para um motor cujasubstância de trabalho é um gásideal, no diagrama T∗V.

W1↔4 W2↔3

W3↔4 Qf

W1↔2Qq

T ∗q

T ∗f

V4 V3V2V1

4 3

21

Na expansão isotérmica 1→2 o gás recebe ocalor Qq do reservatório quente, à temperatura T∗qe realiza um trabalho positivo W1↔2.

Na expansão adiabática 2→3 o gás esfria de T∗q aT∗f e realiza um trabalho positivo W2↔3.

Na compressão isotérmica 3→4 o gás rejeita ocalor Qf para o reservatório frio, à temperatura T∗fe realiza um trabalho negativo −W3↔4.

Na compressão adiabática 4→1 o gás aquece deT∗f a T∗q e realiza um trabalho negativo −W1↔4.

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealTrabalho nas Adiabáticas

Nas adiabáticas, ∆Q = 0 e a Primeira Lei para o gás resulta

∆U = ∆Q−W ⇒ W = −∆U.

Assim:W2↔3 = U2 − U3 = U(T∗q )− U(T∗f ),

e W1↔4 = U1 − U4 = U(T∗q )− U(T∗f ).

Ou seja

W2↔3 = W1↔4 =

∫ T∗q

T∗f

ncV(T∗)dT∗.

Os valores dos trabalhos nas adiabáticas dependem das propriedades do gás, mas elessão idênticos e não contribuem para o trabalho total do ciclo.

Obs.: No caso em que cV é constante entre as temperaturas T∗f e T∗q este trabalho ésimplesmente W2↔3 = W1↔4 = ncV

(T∗q − T∗f

).

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealTrabalho e Calor trocado nas isotermas

Nas isotermas, ∆T = 0 o que implica ∆U = 0, porque U é função unicamente datemperatura. Assim, a Primeira Lei para o gás resulta

∆U = ∆Q−W = 0⇒ ∆Q = W,

ou seja, o calor absorvido pelo gás é igual ao trabalho por ele realizado.

Usando a equação de estado mecânica, o trabalho num processo isotérmico para um gásideal à temperatura T∗ é:

W =

∫ Vf

Vi

PdV =

∫ Vf

Vi

nRT∗

VdV = nRT∗ ln (Vf/Vi) .

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealTrabalho e Calor trocado nas isotermas

Assim, para a isoterma a T∗q :

Qq = W1↔2 = nRT∗q ln (V2/V1) ,

e para a isoterma a T∗f :

Qf = W3↔4 = nRT∗f ln (V3/V4) .

As razões de expansão nas duas isotermas não não independentes, porque elas fazemparte do ciclo de Carnot, ou seja, são ligadas pelas duas adiabáticas.

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealRelação T∗ − V nas adiabáticas

Usando a Primeira Lei, na forma diferencial, para as adiabáticas, onde dQ = 0 temos:dU = dQ− PdV = −PdV.

Mas para o gás ideal dU = ncV dT∗ e PV = nRT∗, assim:

PdV =nRT∗

VdV = −ncV dT∗ ⇒

dVV

= −cV

RdT∗

T∗,

onde cV é função unicamente de T∗.

Integrando, obtemos: ln (Vf/Vi) =

∫ T∗i

T∗f

cV

RdT∗

T∗= f (T∗i ,T

∗f ).

Observamos que a razão de expansão, Vf/Vi, de uma transformação adiabática dequalquer gás ideal depende apenas das temperaturas extremas.

Obs.: No caso em que cV é constante entre as temperaturas T∗i e T∗f : f (T∗i ,T∗f ) = cV

R ln(T∗i /T∗f

).

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealTrabalho e Calor

Aplicando o resultado às adiabatas 1↔4 e 2↔3 do ciclo em questão, obtemos

ln (V4/V1) = f (T∗1 ,T∗4 ) = f (T∗q ,T

∗f )

ln (V3/V2) = f (T∗2 ,T∗3 ) = f (T∗q ,T

∗f )

}⇒

V4

V1=

V3

V2︸ ︷︷ ︸adiabatas

⇒V2

V1=

V3

V4= α.︸ ︷︷ ︸

isotermas

Levando para as expressões dos calores trocados nas isotermas, obtemos:

Qq = W1↔2 = nRT∗q ln (V2/V1) = nRT∗q ln (α)Qf = W3↔4 = nRT∗f ln (V3/V4) = nRT∗f ln (α)

}⇒

Qf

Qq=

T∗fT∗q.

Completando, podemos escrever o trabalho líquido realizado pelo gás no ciclo

W = W1↔2 −W3↔4 = Qq − Qf = nR(T∗q − T∗f

)ln (α)

e computar o rendimento:

ηr =WQq

= 1−Qf

Qq= 1−

T∗fT∗q.

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O Ciclo de Carnot para um Gás IdealEquivalência entre as Escala do Gás Ideal e a Escala Termodinâmica de Temperatura

Assim, para um ciclo de Carnot com um gás ideal como substância de trabalho:

Qf

Qq=

T∗fT∗q

=Tf

Tq,

porque, segundo a definição (2), Qf/Qq para um ciclo de Carnot é a razão entre astemperaturas termodinâmicas dos dois reservatórios Tf/Tq.

Ou seja, se adotarmos o mesmo ponto fixo de definição, podemos tomar

T∗ = T.

Verificamos que a Escala de Temperatura do Gás Ideal é completamente equivalente àEscala Termodinâmica de Temperatura.

Assim, termômetros baseados em propriedades de um gás ideal medem a temperaturatermodinâmica e se constituem em termômetros primários.

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Referências I

THOMSON, W. A escala termométrica absoluta baseada na teoria da potência motriz de Carnot e calculada a partir das observações deRegnault.Rev. Bras. Ensino Fís., v. 29,p. 487–490, 2007.Disponível em <http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1806-11172007000400002&lng=en&nrm=iso>.Acesso em: 3 mar. 2013.

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