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CAPÍTULO I

MÁQUINAS ELÉTRICAS ROTATIVAS: CONCEITOS BÁSICOS

1) CONCEITOS ELEMENTARES

As máquinas elétricas rotativas são equipamentos destinados a converter energia mecânica em energia elétrica, ou vice-versa. No primeiro caso elas recebem o nome de motores elétricos e, no segundo, geradores elétricos. O processo de conversão se realiza por meio dos fenômenos estuda-dos e consolidados pelas leis fundamentais da eletricidade e do magnetismo:

• Lei da indução eletromagnética, Lenz-Faraday • Lei do circuito elétrico, lei de Kirchhoff • Lei circuital do campo magnético, lei de Ampére • Lei da força atuante sobre condutor situado em um campo magnético, lei de Biot-Savart

As máquinas elétricas são projetadas e construídas de forma tal a realizarem com a máxima facilidade e eficiência possíveis o processo de conversão. Elas possuem, basicamente duas partes: uma parte que é fixada ao solo ou a alguma outra superfície, chamada de estator e uma parte móvel montada sobre um eixo, alojada no interior do estator de forma a permitir sua rotação, chamada rotor. O que distingue uma máquina elétrica na sua operação como motor ou gerador é o sentido do percurso da energia através dela: no gerador, energia mecânica “entra” na máquina pelo eixo do rotor, atravessa, por meio do fluxo magnético, o espaço estreito existente entre o rotor e o estator chamado entreferro, é convertida em energia elétrica e “sai” pelos terminais do estator. No motor elétrico é exatamente o contrário: energia elétrica “entra” na máquina pelos terminais do estator, atravessa o entreferro, é convertida em energia mecânica disponível no eixo do rotor. Assim, uma primeira e importante qualidade das máquinas elétricas rotativas é que uma mesma máquina pode operar como motor ou como gerador. Quanto à natureza da corrente, as máquinas elétricas podem ser de corrente contínua (CC) ou de corrente alternada (CA). Os campos de aplicação dessas máquinas são distintos como será mostrado posteriormente, mas os princípios que governam os seus desempenhos são os mesmos, havendo apenas algumas particularidades de natureza construtiva que as diferenciam.

A lei de Lenz-Faraday, dtde λ

−= , descreve, sob os pontos de vista quantitativo e de sentido,

a indução de tensões produzidas por um fluxo magnético que varia no tempo. A conversão eletro-mecânica da energia ocorre quando a variação do fluxo magnético é provocada por um movimento mecânico rotativo. Nas máquinas elétricas rotativas, as tensões são induzidas em grupos de bobinas que estão ligadas entre si segundo uma determinada ordem, formando os enrolamentos, basicamen-te, de três maneiras:

1ª) Fazendo girar um campo magnético constante (imã permanente ou criado por corrente

contínua) de forma que as linhas de força do campo enlacem as bobinas. O enrolamento se encontra montado na parte fixa da maquina denominada armadura ou estator e o flu-xo magnético é criado na parte rotativa denominada rotor. Os geradores síncronos são exemplos típicos desta montagem.

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2ª) A armadura e o seu enrolamento giram, enquanto o campo magnético constante produ-zido por imã permanente ou por corrente contínua é montado na parte fixa da máquina. O enrolamento da armadura é enlaçado no seu movimento rotativo pelas linhas de força do fluxo magnético. As máquinas de corrente contínua são construídas segundo esse modelo.

3ª) O enrolamento da armadura está montado no estator e é alimentado por corrente alterna-

da capaz de criar um campo girante no espaço. O fluxo desse campo enlaça o enrola-mento montado no rotor, nele induzindo tensões e correntes. As máquinas de indução constituem o exemplo típico desta montagem.

Tanto as bobinas da armadura quanto as do rotor são enroladas sobre núcleos de ferro que

reduzem a relutância magnética ao fluxo que as enlaça. Devido ao ferro da armadura ser submetido também às variações do fluxo magnético, nele, por sua vez, são induzidas correntes que não contri-buem para o desempenho da máquina, pelo contrário, são perdas que aquecem a máquina e afetam o seu rendimento. Os núcleos são montados como pacotes de chapas de aço de espessura reduzida que diminuem os efeitos dessas correntes chamadas correntes de Foucault ou correntes parasitas. O espaço entre o rotor e a armadura ou estator é chamado de entreferro e, por ser de ar, nele se con-centra a maior parte da relutância do circuito magnético no interior da máquina.

1.1) Máquinas Síncronas Elementares A figura 1.1 representa de uma forma muito simplificada um gerador síncrono monofásico

de CA. Este tipo de máquina, apesar de poder ser construída, não existe na prática. Ela serve apenas para fins de estudo. É chamada gerador elementar. O enrolamento da armadura é constituído de uma única bobina de N espiras que estão concentradas em duas únicas ranhuras diametralmente opostas na periferia interna do estator. Quando o rotor girar, acionado por um órgão primário, o fluxo magnético através da bobina vai variar e serão induzidas tensões no enrolamento da armadura.

Fig. 1.1 – Gerador síncrono elementar

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A seção transversal dos dois lados da bobina é indicada pelas letras +a e –a. Os condutores que formam estes dois lados da bobina são paralelos ao eixo da máquina e são ligados em série por conexões nas extremidades, não mostradas na figura. O enrolamento que produz o campo magnéti-co no rotor é alimentado por corrente contínua que é conduzida até ele por meio de escovas de car-vão que deslizam sobre anéis coletores. O rotor gira a uma velocidade constante, acionado por um órgão primário (uma turbina hidráulica ou a vapor nas centrais hidrelétricas ou térmicas) acoplado mecanicamente ao eixo do rotor. Os caminhos do fluxo magnético estão indicados por linhas trace-jadas.

A distribuição espacial da indução magnética B no entreferro é mostrada na figura 1.2 em função do ânguloθ ao longo da periferia interna do estator. A forma de onda da indução magnética das máquinas reais pode se aproximar de uma onda senoidal pela conformação adequada da forma das sapatas polares.

Fig.1.2 – (a) Distribuição espacial da indução magnética (b) Forma de onda da tensão gerada

À medida que o rotor gira, o fluxo magnético associado à onda de indução magnética enlaça

a bobina de N espiras do estator induzindo nela uma tensão e, função do tempo e com a mesma forma de onda da distribuição espacial. A tensão induzida passa por um ciclo completo de valores para cada rotação da máquina de 2 polos da fig.1.1.

Fig. 1.3 – Gerador síncrono elementar monofásico de 4 polos

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A freqüência em ciclos por segundo (hertz) é igual à velocidade do rotor em rotações por se-gundo (RPS). A freqüência elétrica está sincronizada com a velocidade mecânica do rotor, donde o seu nome de máquina síncrona. Portanto, em uma máquina síncrona de dois polos o rotor precisa girar a 3600 rotações por minuto (RPM) para produzir tensões e correntes na freqüência de 60 Hz.

Muitas máquinas síncronas têm mais de dois polos. Como exemplo, a fig. 1.3 mostra um ge-rador elementar de 4 polos, também monofásico. As bobinas que criam o campo magnético são ligadas de modo a criar polos alternados NSNS.

Há dois ciclos completos na distribuição espacial da indução magnética ao longo do entre-ferro como mostra a fig. 1.4. O enrolamento da armadura agora é constituído de duas bobinas (a1,-a1) e (a2,-a2) ligadas em série por conexões feitas nas suas extremidades

Fig. 1.4 – Distribuição espacial da indução magnética numa máquina de 4 polos

O passo1da bobina, distância medida em graus entre os dois lados da bobina, é igual à me-

tade do comprimento da onda de indução magnética. Quando um lado da bobina está sob um pólo N, o outro, necessariamente, deve estar sob o pólo S e a conexão entre os lados deve ser feita de forma a poder somar as tensões induzidas em cada lado. A tensão induzida passa por dois ciclos completos para cada rotação do rotor. Logo, a freqüência f é o dobro da freqüência da máquina de dois pólos girando à mesma velocidade.

Quando uma máquina possui mais de dois pólos, para entender os fenômenos que ocorrem, basta concentrar a atenção sobre um único par de polos e reconhecer que as mesmas condições elé-tricas, magnéticas e mecânicas estão presentes em todos os outros pares de pólos. Por esta razão é conveniente expressar ângulos em graus elétricos ou radianos elétricos em lugar de falarmos em graus geométricos ou mecânicos. Assim, a distância entre os eixos magnéticos de um pólo N e um pólo S é igual a 180º elétricos ou π radianos elétricos, independente do número de pólos da máqui-na. A distribuição da indução magnética numa máquina de P pólos correspondente a um par de pó-los é igual a 360º elétricos ou radianos elétricos. Como há P/2 comprimentos de onda de indução magnética completos ou ciclos em uma rotação completa podemos escrever:

gePθθ2

= [1.01]

sendo θe ângulo elétrico e θg ângulo geométrico ou mecânico. A tensão induzida na bobina de uma máquina de P pólos passa por um ciclo completo toda vez que um par de pólos passa por ela, isto é, P/2 vezes em cada rotação. A freqüência da onda de tensão induzida será então:

1 Este conceito e outros associados às bobinas serão definidos na próxima seção.

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60602pnnPf == [1.02]

sendo 2Pp = , o número de pares de pólos, n a rotação da máquina em RPM e f a freqüência. A

freqüência angular ω ou pulsação da onda de tensão induzida é igual a:

mm pP ωωω ==2

[1.03]

sendo ωm a velocidade mecânica em radianos por segundo. Para a freqüência de 60 Hz, a pulsação é igual a 377 radianos por segundo. A relação entre ωm em radianos por segundo e n em RPM é dada por:

602 n

mπω = [1.04]

Os rotores mostrados nas figuras 1.1 e 1.3 têm pólos salientes e enrolamentos concentrados.

A fig. 1.5 mostra, esquematicamente, um rotor de 2 pólos não salientes ou pólos lisos. O campo magnético é criado por um enrolamento distribuído em ranhuras dispostas de modo a produzir no entreferro uma distribuição espacial da onda de indução magnética a mais próxima possível de uma senoide. Este tipo de rotor é típico dos geradores síncronos das usinas térmicas, pois as turbinas a vapor que os acionam giram a altas velocidades (3600 e 1800 RPM). A altas velocidades os rotores de pólos lisos têm um comportamento dinâmico mais estável do que os de pólos salientes. Tais ge-radores são facilmente identificados por terem diâmetros do estator relativamente pequenos compa-rados com o seu comprimento. São chamados de turbo-geradores. Numa máquina de pólos lisos o entreferro é de espessura constante ao longo de toda a circunferência interna, diferente da máquina de pólos salientes, cujo entreferro é estreito na frente das faces polares e mais largo entre os pólos.

Fig. 1.5 – Enrolamento de campo distribuído por várias ranhuras numa máquina de polos lisos

Com poucas exceções, os geradores síncronos são máquinas trifásicas, isto é, o seu enrola-

mento da armadura deve ser montado de forma tal que possam ser induzidas nele tensões trifásicas equilibradas defasadas 1/3 de período. Para isto é necessário que o enrolamento seja formado de no

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mínimo 3 bobinas deslocadas entre si 120º elétricos no espaço. A fig. 1.6a mostra de forma simpli-ficada um enrolamento trifásico de uma máquina de 2 polos.

Fig. 1.6 – Geradores síncronos elementares: (a); 2 polos; (b): 4 polos; (c) conexão das bobinas em estrela ou Y para o gerador de 4 polos

As bobinas estão designadas por (a,-a), (b,-b) e (c,-c). Em cada uma delas o fluxo magnético

girante do rotor induzirá uma tensão. As tensões induzidas estão defasadas entre si 1/3 de período. Sendo a máquina de 4 polos, serão necessários 2 conjuntos de bobinas iguais para formar o enrola-mento, conforme mostra a fig. 1.6b. O ângulo geométrico entre cada uma das bobinas é igual a 60º que correspondem a 120º elétricos. A fig. 1.6c mostra a conexão entre as bobinas da máquina de 4 pólos para formar um enrolamento ligado em estrela.

Se os terminais do enrolamento não são ligados a nenhuma carga trifásica não circula ne-nhuma corrente. Nesta condição diz-se que a máquina está operando a vazio. Quando os terminais são ligados a uma carga trifásica a corrente trifásica que circula no enrolamento da armadura cria um fluxo magnético no entreferro que gira à mesma velocidade síncrona do fluxo magnético do rotor. Esse fluxo interage com o fluxo do rotor resultando um conjugado eletromagnético devido à tendência dos dois fluxos magnéticos se alinharem. Num gerador, este conjugado tem um sentido de atuação oposto à rotação e, portanto, é necessário que um órgão acionador (uma turbina) forneça um conjugado mecânico no eixo para manter a rotação. Num motor o conjugado eletromagnético atua no mesmo sentido da rotação do rotor e, portanto, ele é capaz de fornecer conjugado mecânico no seu eixo para acionar alguma carga.

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O aparecimento deste conjugado eletromagnético é o fenômeno essencial da conversão ele-tromecânica da energia que ocorre nas máquinas rotativas. Mais adiante ele será estudado em maio-res detalhes.

2) FORÇA MAGNETOMOTRIZ (FMM) DE UM ENROLAMENTO

A operação de todas as máquinas elétricas, de corrente contínua ou corrente alternada, é ba-

seada no princípio de interação entre campos magnéticos, isto é, quando dois campos magnéticos distintos estão no raio de ação um do outro eles interagem fazendo aparecer entre eles uma força. Se os elementos que geram esses campos magnéticos (imãs permanentes, eletroímãs, enrolamentos de máquinas elétricas, etc) tiverem alguma possibilidade de se mover, eles o farão, atraídos ou repeli-dos pela força que aparece entre eles. As máquinas elétricas rotativas são construídas de forma a propiciar uma ação efetiva entre dois campos magnéticos, um na armadura ou estator e o outro no rotor, e utilizar a força resultante. Para melhor entendermos a atuação desses campos magnéticos, vamos, antes, estabelecer o conceito importante de FMM de um enrolamento.

A fig. 1.7 representa uma máquina rotativa monofásica elementar (tal como a da fig. 1.1, mas diferindo daquela no que se refere ao rotor, que é liso). O enrolamento do rotor não está repre-sentado. O enrolamento da armadura representado na fig. 1.7 é chamado de enrolamento concen-trado de passo pleno. Concentrado porque as suas N espiras estão concentradas em um único para de ranhuras e não distribuídas por várias ranhuras. Nas máquinas reais, o enrolamento se encontra distribuído por várias ranhuras. De passo pleno porque a distância entre os lados da bobina é igual a 180º graus elétricos ou 2π radianos elétricos ou um passo polar. O enrolamento das máquinas reais é feito, em muitos casos, com um passo menor do que o passo pleno ou polar para eliminar a pre-sença de harmônicos. Neste caso o enrolamento é chamado de enrolamento de passo encurtado ou passo fracionário.

Fig. 1.7 – FMM de uma bobina concentrada de passo pleno

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Quando uma corrente elétrica percorre o enrolamento do estator cria-se um campo magnéti-co que, dependendo da natureza da corrente, pode ser estacionário no espaço e no tempo, se a cor-rente for contínua, ou pulsativo, se a corrente for alternada. Este último varia no tempo, mas man-tém o seu eixo magnético fixo no espaço, mudando apenas o seu sentido, à medida que a corrente alterna. Eixo magnético é o eixo que indica o sentido do fluxo magnético no interior de uma bobina, definido sua polaridade, isto é, seu lado N e seu lado S. Por convenção, pelo lado N da bobina as linhas de força “saem” e pelo lado S elas “entram”.

Pela geometria da máquina elementar da fig. 1.7, as linhas de força atravessam o entreferro duas vezes. A relutância do ar é, como sabemos, muito maior do que a do ferro que compõe os nú-cleos do estator e do rotor a ponto de podermos admitir que, praticamente, toda a relutância do cir-cuito magnético da máquina se concentra nos dois entreferros. Vê-se pela própria simetria da má-quina que a intensidade do campo magnético correspondente a um ânguloθ sob um pólo tem o mesmo valor absoluto do que a intensidade correspondente a π+θ sob o pólo oposto, mas os dois campos são de sentidos opostos.

De acordo com a Lei Circuital de Ampére, ao longo de qualquer percurso fechado das linhas de força de um fluxo magnético, a FMM entre os lados da bobina será Ni, conforme indica a fig. 1.7a. Sendo o campo do lado N da bobina igual e oposto ao do lado S, o módulo da FMM corres-pondente a cada um valerá Ni/2. A distribuição espacial da onda de FMM ao longo do entreferro é retangular, pois, tratando-se de um enrolamento de uma única bobina concentrada, admite-se que não há linhas de força dispersas, de modo que todo o fluxo através dela varia, bruscamente, do seu valor num sentido para o outro, de sentido oposto. A fig. 1.7b mostra também o harmônico funda-mental da onda da FMM cuja expressão indicada na equação [1.05] foi obtida a partir da série de Fourrier:

θπ

cos2

41

NiF = [1.05]

O ângulo θ é medido a partir do eixo magnético da bobina do estator. F1 é o valor da FMM em qual-quer ponto do entreferro definido pelo ângulo θ. Seu valor máximo se dá para θ = 0, ou seja,

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1NiF m π

= , cuja direção coincide com o eixo magnético da bobina.

O enrolamento da armadura das máquinas reais não se concentra em um par de ranhuras conforme mostrado na figura 1.7a. Ele se distribui por várias ranhuras conforme indica a figura 1.8a O enrolamento distribuído por várias ranhuras permite criar uma onda de FMM espacial que se aproxima o máximo possível de uma senoide. Isto faz com que os harmônicos de ordem superior que a compõem tenham uma menor intensidade. Ao invés de uma distribuição retangular da FMM, como a da máquina elementar da figura 1.7b, a FMM que se obtém de um enrolamento distribuído é, aproximadamente, trapezoidal conforme mostra a fig. 1.8b. Na figura está indicada apenas a FMM da fase a,pois as fases b e c do enrolamento não estão presentes na figura. Além FMM trape-zoidal a figura mostra também sua principal componente, a FMM do harmônico fundamental se-noidal. A amplitude desta onda fundamental é menor do que a soma das amplitudes das ondas se-noidais produzidas por cada par de bobinas do enrolamento (em cada ranhura temos dois lados de bobinas) porque os eixos magnéticos de cada bobina não são colineares com o eixo da fundamental resultante. Em outras palavras, a FMM resultante é uma soma vetorial e não uma soma escalar das FMM de cada bobina.

Assim sendo, a expressão da FMM dada pela equação [1.05] só poderá ser aplicada às má-quinas reais se ela for corrigida por um fator menor do que1(um) que leve em conta esta não colinearidade dos eixos magnéticos das bobinas distribuídas. Porém, não é apenas o problema da não colinearidade que reduz o valor da FMM fundamental. Além dele, há também o problema do

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colinearidade que reduz o valor da FMM fundamental. Além dele, há também o problema do com-primento do passo da bobina isto é, se as bobinas que constituem o enrolamento forem de passo fracionário, que é uma situação comum das máquinas reais, a onda fundamental de FMM resultante será também reduzida pelo encurtamento do passo2.

Fig. 1.8 – FMM de uma fase de enrolamento de armadura distribuído, trifásico, 2 polos,com bobinas de passo pleno.

Chamando de Kd , o Fator de Distribuição e Kp o Fator de Passo, a equação [1.05], para

uma máquina de P polos com um enrolamento distribuído e tendo N espiras em série, por fase, de-verá ser corrigida como indica a equação [1.06]:

θπ

cos41 apda i

PNKKF = [1.06]

sendo Fa1 a FMM fundamental espacial produzida pela corrente ia da fase A; θ o ângulo ao longo do entreferro, medido a partir do eixo magnético da bobina. Se a corrente da fase A for uma corrente

2 O cálculo dos Fatores de Distribuição e de Passo será visto como exercício na seção 5.

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contínua, então ela produzirá uma FMM estacionária no espaço e no tempo. Se ela for alternada, por exemplo, tIi ma ωcos= , ela produzirá uma FMM pulsativa e a sua expressão será dada por:

θωπ

coscos41 tI

PNKKF mpda = [1.07]

O valor máximo se dará para ωt=0 e θ=0, isto é:

mpdam IPNKKF

π4

= [1.08]

O produto KdKp é chamado Fator de Bobinagem ou Fator de Enrolamento. A equação [1.07] será então escrita como segue:

θω coscos1 tFF ama = [1.09]

A unidade usada para medir a FMM de uma bobina é Ampére-espira representada por Ae. 3) CAMPO MAGNÉTICO GIRANTE

Para compreender a teoria de máquinas de corrente alternada (CA) polifásicas, em especial as trifásicas, é necessário estudar a natureza do campo magnético produzido por um enrolamento polifásico. Em particular, serão estudadas as configurações de FMM de um enrolamento trifásico tal como os encontrados no estator de máquinas síncronas e de indução.

A idéia mais simples de um campo magnético girante é aquela que nos é dada pela figura 1.1: o rotor de um gerador síncrono elementar constituído por dois polos criados por corrente contí-nua ou por um imã permanente, acionado por um órgão externo, girando a uma velocidade constan-te ao redor de um eixo que passa pelo seu centro geométrico. O campo magnético criado pelos po-los gira no espaço com a mesma velocidade do rotor. Vejamos alguns conceitos e definições que vão nos ajudar a melhor compreender como se pode obter um campo magnético girante a partir de correntes trifásicas.

3.1) CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Um campo magnético é chamado estacionário quando a sua intensidade não varia no tempo

e no espaço. O campo magnético criado por um imã permanente ou por um solenóide alimentado por corrente contínua (CC) é um exemplo de um campo magnético estacionário. Na fig. 1.1, estan-do o rotor parado, o campo magnético produzido é um campo estacionário. No caso da fig. 1.7, se a corrente que percorre a bobina de N espiras for contínua, o campo magnético criado será também estacionário. Em termos do seu harmônico fundamental de FMM, este campo foi definido pela e-quação [1.05] repetida abaixo.

θθπ

coscos2

41 mFNiF == [1.10]

sendo 2

4 NiFm π= .

3.2) CAMPO MAGNÉTICO PULSATIVO

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Considerando ainda a máquina elementar da fig. 1.7, se a bobina de N espiras da armadura

for percorrida por uma CA da forma tIi m ωsen= , o campo magnético que resulta é um campo que pulsa na mesma freqüência da corrente, isto é, sua intensidade varia ao longo do eixo magnético à medida que a corrente varia, em fase com ela. Sua distribuição ao longo do entreferro fica afetada pela variação da corrente. O harmônico fundamental de FMM desse campo foi definido pela equa-ção [1.09], repetida abaixo.

θω coscos1 tFF ama = [1.11] 3.3) CAMPO MAGNÉTICO PROGRESSIVO OU GIRANTE Um campo magnético é chamado progressivo quando sua intensidade é constante com o tempo, porém seu eixo magnético se desloca no espaço a cada instante. Quando o deslocamento se dá ao longo do entreferro de uma máquina rotativa, o campo progressivo passa a ser chamado de campo girante. Assim, o rotor da máquina elementar da fig. 1.1, girando a uma velocidade cons-tante, produz um campo magnético girante. A expressão matemática do harmônico fundamental da FMM de um campo magnético progressivo ou girante, cuja distribuição espacial seja também se-noidal, é dada pela seguinte equação:

( )θω ±= tFF m cos [1.12]

As letras têm o mesmo significado do das equações anteriores. Esta onda de FMM se deslo-ca para a esquerda ou para a direita à medida que o tempo varia ou, se considerarmos o entreferro de uma máquina rotativa, no sentido direto ou inverso da rotação do rotor.

O sinal negativo (-) na equação 1.12 significa que o campo se desloca para a direita, enquan-to o sinal (+), para a esquerda. A fig. 1.9 mostra as posições da onda de FMM da equação [1.12] em

dois instantes: 0=t e 4Tt = , sendo T, o período da onda senoidal igual a

ωπ2

=T . A onda do lado

esquerdo da fig. 1.9 se deslocou para a esquerda depois de transcorrido um tempo igual a T/4 do período; a onda do lado direito, avançou para a direita depois de transcorrido o mesmo tempo T/4.

Fig. 1.9 – Posições de duas ondas de FMM em dois instantes

Vamos, agora, considerar a máquina elementar trifásica da fig. 1.10. Os inícios de cada bo-

bina estão deslocados entre si, no espaço, 120º elétricos que no caso da máquina de 2 polos corres-pondem a 120º graus geométricos. Os eixos magnéticos das bobinas mostram este deslocamento. O eixo da fase A é tomado como referência para medir o ângulo θ de deslocamento.

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Fig. 1.10 – Enrolamento trifásico simplificado para uma máquina de 2 polos

Cada uma das 3 bobinas será percorrida por uma corrente de uma fonte trifásica que estarão

defasadas entre si, 1/3 de período, isto é: tIi ma ωcos= [1.13a]

)º120cos( −= tIi mb ω [1.13b] )º240cos( −= tIi mc ω [1.13c]

Cada uma delas dará origem a uma FMM pulsativa ao longo do eixo magnético de sua res-

pectiva fase, ou seja: tFF ma ωθ coscos ⋅= [1.14a]

( ) ( )oomb tFF 120cos120cos −−= ωθ [1.14b]

( ) ( )oomc tFF 240cos240cos −−= ωθ [1.14c]

O efeito resultante da atuação simultânea das três FMM em um ponto do entreferro situado a

θ graus elétricos do eixo da fase a será igual à sua soma vetorial:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−++−

+

−++−

+

++−=++=

omm

omm

mmcba

tFtF

tFtF

tFtFFFFF

480cos21cos

21

240cos21cos

21

cos21cos

21

ωθωθ

ωθωθ

ωθωθθ

[1.15]

Utilizamos a transformação trigonométrica [1.16] para chegarmos à expressão [1.15].

( ) ( )[ ]bababa −+−= coscos21coscos [1.16]

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Os termos da equação [1.15] contendo os ângulos ( )tωθ + , ( )ot 240−+ωθ e

( )ot 480−+ωθ são 3 senoides iguais defasadas entre si 120º. Sua soma é, portanto, igual a zero. A equação [1.15] se reduz a:

( )tFF m ωθθ −= cos23

[1.17]

A equação [1.17] é um campo magnético da mesma natureza do que foi definido na equação [1.12]. A onda senoidal espacial de FMM Fθ gira no entreferro da máquina a uma velocidade angu-lar de ω radianos elétricos por segundo, sendo fπω 2= . Para uma máquina de P polos a velocidade

mecânica do eixo será ωωPm2

= ou P

fn 120= . Podemos concluir que 3 campos magnéticos pul-

sativos defasados no tempo de 1/3 de período e no espaço de 120º elétricos produzem um campo magnético girante da mesma natureza do produzido por imã permanente ou eletroímã que gira a uma velocidade constante. Pode-se demonstrar que um campo girante de amplitude constante será produzido por um enrolamento de m fases quando percorrido por correntes m-fásicas, com as res-

pectivas fases deslocadas mπ2 radianos elétricos no espaço. O valor máximo da onda de FMM re-

sultante será 2m vezes o valor máximo da onda de FMM de qualquer uma das fases. No caso do

enrolamento trifásico, como vimos, m = 3 e o valor máximo da onda de FMM resultante é mF23 .

Para um enrolamento bifásico no qual as bobinas do estator estão defasadas 90º elétricos no espaço,

m = 2 e o valor da FMM resultante será ( )tFF m ωθθ −= cos22 .

3) TENSÃO INDUZIDA EM MÁQUINAS ROTATIVAS

O campo girante produzido no interior de uma máquina rotativa pode ter, como vimos, duas origens:

a) Fazendo girar a uma velocidade constante um campo estacionário produzido no rotor de um gerador síncrono.

b) Fazendo circular uma corrente m-fásica por um enrolamento m-fásico. O enrolamen-to pode se localizar no estator e/ou no rotor.

O primeiro caso é típico de uma ação geradora e o segundo, de uma ação motora. Em ambos

os casos, o fluxo associado ao campo magnético girante vai induzir no enrolamento da armadura uma tensão alternada cujo valor, a cada instante, será dado pela lei de Lenz-Faraday:

dtde λ

−= [1.18]

sendo λ o fluxo enlaçado com a bobina de cada fase do enrolamento do estator.

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Para deduzirmos uma expressão para o valor eficaz da tensão induzida, vamos considerar o gerador síncrono elementar monofásico da fig. 1.11 em que o rotor é acionado por um órgão primá-rio externo não mostrado.

Fig. 1.11 – Máquina elementar monofásica de 2 polos com bobina de N espiras no estator

Quando o eixo do campo magnético do rotor e o eixo magnético da bobina do estator são coincidentes, o fluxo enlaçado será φλ N= , (N é o número de espiras em série) porque, nesta posi-ção, todo o fluxo por pólo φ atravessa a bobina. Em qualquer outra posição, por exemplo, como a mostrada na fig. 1.11, o fluxo enlaçado será diferente porque algumas linhas de força que compõem o fluxo φ não chegam a atravessar a bobina. Na posição em que o eixo do campo magnético do ro-tor é perpendicular ao eixo magnético da bobina, o fluxo enlaçado é zero. Supondo que a distribui-ção das linhas de força no entreferro seja senoidal, como sempre fazemos, e tomando o eixo magné-tico da bobina do estator como referência, podemos dizer que o fluxo através dela será função da posição do rotor e será igual a:

αφϕ cos= [1.19]

sendo ϕ o fluxo que atravessa a bobina no momento em que o rotor ocupa a posição dada pelo ân-gulo α, medido entre os eixos magnéticos da bobina e do rotor. Estando o rotor girando a uma velo-cidade angular constante de ω radianos elétricos/segundo, então, α representa o ângulo descrito pelo rotor num determinado tempo t, ou seja, tωα = . Portanto, o fluxo ϕ varia no tempo de acordo com:

tωφϕ cos= [1.20]

φ é o valor do fluxo por pólo. O instante em que o eixo magnético do rotor coincide com o eixo magnético da bobina será considerado o início, sendo t=0. A tensão induzida a cada instante será dada por:

( ) tNdtdN

dtNd

dtde ωφωϕϕλ sen=−=−=−= [1.21]

O seu valor máximo se dará para 1sen =tω , isto é para

15

422 TttT

t =∴=⋅=ππω [1.22]

Isto significa que somente após o tempo 4Tt = , sendo T um período, a tensão induzida na bobina

atingirá o seu máximo ou seja, ela está atrasada 90º elétricos ou 2π radianos elétricos em relação ao

fluxo que a cria. O seu valor máximo será: φωNEm = . O valor eficaz será igual a:

fNfNNEE m φπφφω 44,4

22

22==== [1.23]

O valor de E será obtido em volts para φ em weber e f em Hz. Nas máquinas reais que pos-suem enrolamento distribuído com bobinas de passo encurtado a equação [1.23] deverá ser corrigi-da pelo produto Kd.Kp, ou seja:

bpd KNfKKNfE φφ 44,444,4 == [1.24]

Fizemos o produto KpKd=Kb, sendo Kb chamado de Fator de Bobinagem. O fluxo por pólo φ poderá ser obtido em função da indução magnética com que a máquina vai operar e das dimensões de alguns de seus elementos. A indução magnética no entreferro da máquina sendo senoidal pode-mos tirar da fig. 1.11 a seguinte igualdade :

θcosmBB = [1.25]

Bm é o valor máximo da indução magnética no entreferro que se dá no eixo magnético do ro-tor. Sendo dSBd ⋅=φ , o fluxo por pólo será obtido fazendo-se a integração da indução magnética sobre toda a área interna do estator que faceia com o pólo N, isto é, a área compreendida entre os lados da bobina. Considerando que o comprimento axial do estator seja l e o raio da circunferência interna seja r, a área infinitesimal dS será igual a dS = lrdθ.. O ânguloθ deve ser medido em radia-nos. O fluxo por pólo será então:

∫ ∫+

−

+

−

===2

2

2

2

2coscos

π

π

π

π

θθθφ rlBrldBdSB mmm [1.26]

Se a máquina tiver P pólos, o valor de φ obtido em [1.26] será igual a:

PrlB

PrlB mm 4

2

2==φ [1.27]

16

Uma outra expressão equivalente à da equação [1.24] pode ser obtida a partir da fig 1.12 que mostra a face de um pólo S e um condutor de comprimento l que faz parte de um circuito fechado. O condutor se desloca perpendicularmente às linhas de força do campo magnético, bem rente à face

Fig. 1.12 – Tensão induzida em um condutor que se desloca

polar, com uma velocidade v, para a direita. (O fenômeno da indução que vai ocorrer seria o mesmo se o condutor permanecesse fixo e o campo se deslocasse para a esquerda, como é o caso das má-quinas de CA). A indução magnética em qualquer ponto da face polar é constante e de valor igual a B. A parte ativa do condutor que vai ficar sob a ação do campo magnético tem o comprimento l. Após o condutor se deslocar para a direita e ocupar a posição tracejada, o fluxo através do circuito fechado aumenta; portanto, haverá tensão induzida nos extremos do circuito que estão ligados ao voltímetro V. Chamando de dφ o aumento do fluxo para um deslocamento dx do condutor num tempo dt, podemos escrever:

BlvdtBldxBdSd ===φ [1.28]

A tensão induzida e, dada pela lei de Faraday, será obtida através de [1.29]

Blvdt

Blvdtdtde ===φ

[1.29]

A tensão e induzida será constante pois B,l e v são constantes e perpendiculares entre si.

Sendo ela induzida pelo movimento do condutor que se encontra sob a ação do campo magnético, podemos admitir que é exatamente nas extremidades do condutor que aparece a tensão induzida, os condutores flexíveis do circuito servindo apenas para ligar o condutor ao voltímetro para se fazer a leitura do valor induzido. Assim, podemos falar em tensão induzida em um condutor que “corta” as linhas de força de um campo magnético, independentemente de ele fazer parte ou não de um circui-to fechado ou mesmo de uma bobina. Esta é exatamente a situação que ocorre nas máquinas rotati-vas: os condutores que compõem os lados de uma bobina, alojados nas ranhuras, “cortam”, a cada instante, as linhas de força do campo magnético girante no entreferro. Os lados das bobinas são li-gados de modo que as tensões induzidas nelas sejam somadas, isto é, a tensão nos terminais da bo-bina será o dobro da tensão induzida em cada lado. Se a bobina for de passo pleno, concentrada e tiver N espiras em série, o valor da tensão induzida a cada instante será igual a:

17

( )vNlBe 2= [1.30]

As equações [1.29] e [1.30] foram obtidas a partir da suposição de que a indução magnética é constante e que o deslocamento do condutor se faz sempre paralelamente à face polar a uma velo-cidade constante. Isto significa dizer que a tensão induzida e representa não apenas o valor instantâ-neo, mas também, o valor médio e valor eficaz. Nas máquinas reais, como vimos, a distribuição da indução magnética ao longo do entreferro é suposta senoidal, conforme a equação θcosmBB = ; de outro lado, a velocidade v é a velocidade tangencial relativa entre o lado da bobina e o rotor que gira com a velocidade ω radianos/s e está ligada a ela através da expressão rv ⋅= ω , sendo r o raio in-terno do estator ou o externo do rotor. (a diferença é apenas o entreferro que é de espessura a míni-

ma possível). Pela fig. 1.5, tt ωθωπθ sencos2

=∴−= . Substituindo B, v e θ em [1.30] teremos:

( ) tNrNltBe m ωφωωω sen)2.sen == [1.31]

Trata-se da mesma expressão obtida em [1.21]. Em conclusão, ambas as abordagens de como a ten-são é induzida numa máquina rotativa conduzem ao mesmo resultado, como não poderia deixar de ser. Podemos, portanto, usar uma ou outra.

4) CONJUGADO ELETROMAGNÉTICO O conjugado eletromagnético é o resultado da interação entre dois campos magnéticos.

Quando, por exemplo, dois imãs permanentes são colocados próximos um do outro, entre eles apa-rece uma força de atração ou de repulsão que os faz se movimentar. Nas máquinas elétricas rotati-vas são criados dois campos magnéticos de forma tal que a interação entre eles resulta no apareci-mento de um conjugado que é aplicado na parte móvel da máquina, o rotor, fazendo-o girar. Este é o caso dos motores. No caso dos geradores também aparece o conjugado, porém o seu sentido de atuação é ao contrário da rotação do rotor e, desta forma ele deve ser equilibrado pelo conjugado de um órgão primário (uma turbina).

O conjugado eletromagnético é conseqüência da tendência dos campos magnéticos se ali-nharem quando um deles se encontra sob a ação do outro. O exemplo mais simples que podemos dar desta tendência é o da agulha magnética usada nas bússolas. Ela se encontra dentro do campo magnético terrestre, as linhas de força que “saem” do pólo N da terra, entram no pólo S da agulha que está sempre apontando para o N magnético terrestre. Quando ela é tirada de sua posição por meio de uma ação externa, ela retorna, procurando se alinhar. Portanto, para haver conjugado ele-tromagnético é necessário que os eixos magnéticos dos campos não estejam alinhados, pois quando o alinhamento se faz o conjugado cessa.

A fig. 1.13 mostra os eixos dos campos magnéticos do estator e do rotor, estando o campo magnético do rotor dentro do campo magnético do estator. Há entre eles um ângulo δrs o que signi-fica que o eixo do rotor tende a se alinhar com o do estator. Ambos os campos são criados por cor-rentes que percorrem os respectivos enrolamentos (r, -r) e (s, -s). Se o campo do estator for girante, então o rotor também gira, tentando alinhar os dois campos. O conjugado que se desenvolve depen-de do ânguloδrs e, obviamente, da intensidade dos campos. Quanto maior a intensidade, maior o conjugado resultante.

18

Fig. 1.13 – Máquina de 2 polos elementar com rotor liso com enrolamentos distribuídos

As maiores porções dos fluxos criados pelos enrolamentos do estator e do rotor atravessam o entreferro e se somam vetorialmente e o fluxo resultante é chamado fluxo mútuo magnetizante ou simplesmente fluxo magnetizante ou fluxo de entreferro. Este fluxo enlaça as bobinas do estator e do rotor. Uma pequena porção de cada um dos fluxos componentes não atravessa o entreferro, enla-çando apenas o seu enrolamento de origem. São chamados fluxos de dispersão do estator e do ro-tor. Estes fluxos afetam o desempenho da máquina porque eles induzem tensões nos respectivos enrolamentos. Estas tensões são iguais e opostas às quedas de tensão produzidas pelas respectivas correntes nas denominadas reatâncias de dispersão do estator e do rotor. Esses fluxos de dispersão não colaboram para a produção do conjugado eletromagnético, mas somente o fluxo magnetizante. Vamos representar as ondas senoidais espaciais de FMM do estator e do rotor por meio de fasores cujos módulos são iguais às respectivas amplitudes. Como esses fasores estão acoplados magneticamente, eles giram à mesma velocidade angular mantendo, portanto, o mesmo ângulo δrs em graus elétricos entre eles, conforme mostra a fig. 1.14.

A partir dessa figura, e considerando que estamos tratando com uma máquina de dimensões físicas definidas, podemos deduzir uma expressão geral do conjugado conforme a equação [1.32].

srrso FF

gDlPC δπµ

sen22⋅⋅−= [1.32]

As letras têm o seguinte significado:

P = número de polos da máquina. µ = permeabilidade magnética do ar = 4π10-7 ohm-s/m D = diâmetro médio das circunferências interna do estator ou externa do rotor em m. l = comprimento da máquina (igual ao comprimento do lado da bobina) em m. g = espessura do entreferro em m. Fs = amplitude da onda espacial girante de FMM do estator. Fr = amplitude da onda espacial girante de FMM do rotor. δsr = ângulo espacial entre os eixos magnéticos do estator e do rotor

19

Fig. 1.14 – Diagrama fasorial das ondas de FMM da máquina da fig. 1.17

A fig. 1.14 mostra que o fasor Fs da FMM do estator está à frente do fasor Fr da FMM do ro-

tor, adotando o sentido de giro dos fasores como anti-horário. Assim sendo, o ângulo δsr é negativo e o seu seno, também negativo, o que torna a expressão do conjugado positiva. Esta é a razão do sinal negativo na equação [1.32]. O fasor Fr tende a se alinhar com o fasor Fs,, mas como ambos estão animados da mesma velocidade angular, o fasor Fr estará sempre “correndo atrás” de Fs,, sem nunca alcançá-lo, tentando fechar o ângulo δsr, ou seja, o rotor está girando sob a ação de um conju-gado. Esta é a condição dos motores elétricos: um campo magnético girante é criado no estator, quando ele é ligado à rede elétrica e o campo magnético girante do rotor, acompanha-o, na tentativa de alinhar os eixos magnéticos. O ângulo δrs é chamado ângulo de carga porque ele varia com a carga no eixo do motor. Por exemplo, se o motor está girando sem carga no seu eixo, δsr é muito pequeno pois o conjugado exigido é apenas o necessário para vencer o conjugado da perda mecâni-ca (ventilação + atrito). Se a carga aumenta no eixo do motor o fasor Fr se atrasa em relação a Fs, ou seja, δsr aumenta. Com isto o conjugado aumenta e atua sobre o rotor no sentido de fazê-lo voltar à sua posição anterior fechando o ângulo de carga. Em outras palavras, o conjugado atua no mesmo sentido da rotação.

Se o fasor Fr estivesse à frente de Fs, o ângulo δsr seria positivo, seu seno também positivo e a expressão do conjugado seria negativa. Isto significa que o conjugado está atuando sobre o rotor em sentido contrário ao do caso anterior ao tentar alinhar os eixos magnéticos, isto é, no sentido contrário ao da rotação do rotor. Assim sendo, o rotor tenderia a parar se a rotação não fosse sus-tentada por algum órgão externo acoplado ao rotor. Esta condição é a dos geradores elétricos: o rotor com seu campo magnético, acionado por uma turbina, gira a uma velocidade angular constante e induz no enrolamento do estator tensões e correntes que, por sua vez, criam um campo magnético girante que “corre atrás” do campo girante do rotor, sem nunca alcançá-lo. O conjugado eletromag-nético aparece como uma força retardadora, equilibrando o conjugado desenvolvido pela turbina.

Tendo sido feitas estas considerações, podemos abandonar o sinal negativo da equação [1.32] e reafirmar apenas o seguinte:

20

• O conjugado eletromagnético que aparece nas máquinas elétricas rotativas atua sobre o ro-tor sempre no sentido de fechar o ângulo de carga entre os eixos magnéticos das FMM do rotor e do estator.

• Quando se tratar de um motor, o fasor da FMM do rotor estará atrasado em relação ao fa-sor da FMM do estator. O conjugado atua sobre o rotor no mesmo sentido da rotação.

• Quando se tratar de um gerador, o fasor da FMM do rotor estará adiantado em relação ao fasor da FMM do estator. O conjugado atua sobre o rotor no sentido contrário ao da rota-ção e deve ser equilibrado por um conjugado igual e contrário desenvolvido por um órgão externo.

Outras expressões do conjugado podem ser tiradas da fig. 1.14 que, na sua essência, não di-

ferem da equação [1.32], pois são apenas expressões matemáticas equivalentes. Já sem o sinal nega-tivo, podemos escrever:

srsso FFgDlPC δµπ sen

22= [1.33]

rrsro FFgDlPC δµπ sen

22= [1.34]

Além destas, outras expressões mais usadas na prática podem ser obtidas levando-se em conta as relações existentes entre as grandezas, conforme abaixo:

o

rsrsrs

ors

gBFFg

Bµ

µ=∴= [1.35]

Substituindo, por exemplo, em [1.33], teremos:

rrrs FBDlPC δπ sen22

= [1.36]

Substituindo Brs pelo valor dado na equação [1.27], isto é, DlP

rlP

B rsrsrs 24

φφ== , podemos es-

crever a seguinte equação:

rrsrFPC δφπ sen22

2

= [1.37]

Para a equação [1.34] as mesmas substituições darão a equação [1.38].

srssFPC δφπ sen22

2

= [1.38]

Qualquer uma das expressões de [1.32] a [1.38] podem ser usadas para determinar o conju-gado eletromagnético, obtendo-se o mesmo resultado.

21

5) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

5.1) Demonstrar que numa máquina elétrica rotativa a potência mecânica do rotor é conver-

tida em potência elétrica no estator (gerador), ou vice-versa (motor), a menos das perdas, através do campo magnético girante.

SOLUÇÃO

Para resolver o problema, vamos considerar a fig. 1.1 que mostra um gerador síncrono ele-mentar de 2 polos que está sendo acionado por uma turbina.

Sabemos da lei de Biot-Savart que quando um condutor está situado em um campo magnéti-co conduzindo uma corrente elétrica, sobre ele atua uma força dada por βsenBIlF = , sendo B a indução magnética do campo, I a corrente que percorre o condutor e l o seu comprimento ativo, isto é, o comprimento situado sob a ação do campo magnético, β o ângulo entre as linhas de força do campo e o condutor. A força atua perpendicularmente ao condutor e seu sentido vai depender dos sentidos das linhas de força do campo e da corrente. Esta situação ocorre nas máquinas elétricas onde os lados das bobinas são alojados em ranhuras fazendo ângulos de 90º com as linhas de força dos polos N e S (fig. 1.1) e B representa a indução magnética no entreferro.

O valor eficaz da tensão induzida em uma bobina é dado pela equação [1.30]. (Vamos es-crever a equação [1.30] com a tensão eficaz em letra maiúscula que é a escrita convencional).

vNlBE )2(= [1.39]

Por outro lado, se os condutores da bobina são percorridos por uma corrente I, cada lado da bobina será submetido a uma força F dada por:

)(NlBIF = [1.40]

As duas forças atuam em sentidos opostos, originando um conjugado cujo valor será dado por:

dNlBIdFC )(=⋅= [1.41]

d é a distância em linha reta entre os lados da bobina que corresponde ao diâmetro interno do estator ou externo do rotor (a diferença entre eles é apenas a espessura do entreferro). Estando o rotor gi-

rando a uma velocidade constante ω, a velocidade tangencial v será igual a ω

ω vddv 22

=∴⋅= .

Substituindo F e d na equação [1.41] teremos:

ωvNlBIC 2)(= [1.42]

Dividindo membro a membro as equações [1.39] e [1.42], teremos:

22

EICIC

E=∴= ωω

[1.43]

O produto Cω (conjugado mecânicoxvelocidade) representa a potência mecânica fornecida

pelo órgão primário que é convertida em potência elétrica EI nos terminais da bobina, a menos das perdas mecânicas, magnéticas e elétricas que ocorrem no rotor. A potência total fornecida pelo ór-gão primário é igual à soma das perdas no rotor com a potência EI transferida aos terminais da bo-bina. Na potência elétrica EI estão embutidas as perdas que ocorrem no estator.

Se se tratasse de um motor, a equação [1.43], para ficar coerente com o fluxo de potência, deverá ser escrita conforme [1.44], ou seja:

ωCEI = [1.44]

Neste caso, a potência transferida ao rotor é a potência de entrada nos terminais da bobina subtraída das perdas elétricas e magnéticas que ocorrem no estator. A potência útil disponível no eixo do motor será igual à potência EI menos as perdas do rotor indicadas acima.

5.2) Uma máquina elétrica (motor) de 2 pólos tem uma distribuição espacial da indução magnética ao longo do entreferro segundo uma onda de forma retangular, sendo de 0,4 teslas a sua altura. O seu comprimento axial é 0,2 m e o diâmetro interno da circunferência do estator 0,2 m. O rotor é de polos lisos (semelhante ao da figura 1.7 que mostra também uma distribuição retangular da indução no entreferro). O rotor possui uma única bobina de passo pleno com 20 espiras. A bobi-na do estator é percorrida por uma corrente contínua de 5 A. Pede-se:

a) Calcular o fluxo por pólo, em webers, que pode enlaçar a bobina do rotor. b) Qual o conjugado que a máquina desenvolve? c) Supondo que o conjugado calculado em b) produza uma rotação de 900 RPM, calcular a

tensão induzida na bobina. d) Obtenha o resultado da letra c) por outro procedimento. e) Qual a potência mecânica desenvolvida?

SOLUÇÃO

a) O fluxo através de uma área infinitesimal é definido como o produto da indução magnéti-ca no ponto correspondente àquela área pela área, isto é: ∫=∴= BdsBdsd φφ . Sendo B constante, a expressão se reduz a BS=φ , sendo S a área resultante da integração. No nosso caso, esta área é a que faceia um pólo que, neste caso, corresponde à metade da área interna do estator, ou seja,

0628,01,02,02

2=== xrhS ππ m2 ∴ φ = 0,4x0,0628 = 0,0251 Wb. (R)

Observação: a equação [1.27] não pode ser usada neste problema porque a distribuição da indução magnética não é senoidal.

b) De acordo com a equação [1.41] do exercício anterior, sendo a máquina um motor, o con-

jugado que ela desenvolve, incluindo o conjugado associado às perdas do rotor será:

23

( ) 6,12,0502204,0)( ===⋅= xxdNlBIdFC Nm (R)

c) De acordo com a equação [1.43] do exercício anterior, teremos:

16,305

25,946,1==

⋅=

xI

CE ω V (R)

d) Pela equação [1.39], teremos:

( ) 16,301,025,942,02024,0)2( === xxxvNlBE V (R)

e) 8,150516,3025,946,1 ====⋅ xEIxC ω watts (R) 5.3) Resolver o problema anterior supondo que a distribuição espacial da indução magnética

ao longo do entreferro seja senoidal sendo o seu valor máximo igual a 0,4 teslas. a) Sendo a distribuição espacial da indução magnética da forma senoidal, isto significa que

em cada ponto da área correspondente a um pólo e ao longo do comprimento axial l = 0,2 m a indu-ção terá um valor dado por θcosmBB = . O valor médio de uma onda senoidal é igual a

2546,04,06366,02=== xBB mmed π

teslas.

O fluxo por pólo será 016,00628,02546,0 ==⋅= xSBmedφ Wb. (R) Outra solução é usarmos diretamente a equação [1.27] que, como vimos, foi deduzida para

uma distribuição espacial senoidal da indução magnética.

016,02

2,01,04,044

2

2====

xxxP

rlBP

rlB mmφ Wb. (R)

As demais respostas serão: b) C = 1,0184 Nm; c) 19,19 V; d) 19,19 V; e) 95,98 W

5.4) Desenvolver uma expressão para cada um dos Fatores de Distribuição Kd e de Passo Kp de uma bobina de N espiras que se acha distribuída por n ranhuras/pólo/fase, sendo γ o ângulo elé-trico entre duas ranhuras contíguas. SOLUÇÃO Para considerarmos separadamente os efeitos dos Fatores de Distribuição e de Passo, vamos tomar a equação [1.06] duas vezes e, a partir dela, desenvolvermos as expressões solicitadas. Para determinar, o efeito separado do Fator de Distribuição, vamos considerar na equação [1.06] Kp = 1, isto é, a bobina é de passo pleno, mas distribuída por n ranhuras/pólo/fase. A fig. 1.15 reproduz exa-tamente esta condição.

24

Kd representa a relação entre as FMM de uma mesma bobina em duas situações: a) Quando ela tem suas N espiras distribuídas por n ranhuras/pólo/fase e b) Quando suas N espiras estão con-centradas em duas únicas ranhuras por pólo/fase. A relação entre os valores de FMM obtidas nestas duas situações será definida como Fator de Distribuição. Podemos escrever:

( )( )c

dd FMM

FMMK =

A fig. 1.15a representa os fasores correspondentes às FMM de cada uma das bobinas distri-

buídas por 3 pares de ranhuras. (Na fig. 1.8 a bobina está distribuída por 4 pares de ranhuras). Entre duas ranhuras contíguas o ângulo é γ. A (FMM)c será a soma escalar das FMM das bobinas parciais, pois os três fasores representativos seriam colineares. Pela fig. 1.15b vemos que cada uma das FMM parciais será igual a AB = BC CD. Podemos escrever:

:

2sen02

2sen0

2γγ AABAAaAB

=∴==

Esta FMM, como vimos, é produzida apenas por um lado da bobina que está contida em 2 ranhuras. As n ranhuras por pólo vão produzir a (FMM)c, isto é:

( )2

sen02 γnAnABFMM c ==

Fig. 1.15 – Determinação do Fator de Distribuição.

A soma fasorial das FMM parciais (AB, BC, CD) na fig. 1.15b de cada bobina dá como re-

sultante o fasor AD que é a (FMM)d. De outro lado, podemos escrever:

( )dFMMnAADnAAdAD=

=∴

==

2sen02

2sen0

2γγ

25

Dividindo membro a membro as duas igualdades acima teremos a expressão procurada para o Fator de Distribuição de uma bobina ou de um enrolamento de uma máquina elétrica rotativa.

( )( )

2sen

2sen

2sen2

2sen2

γ

γ

γ

γ

n

n

nAO

nAO

FMMFMM

Kc

dd === [1.45]

OBSERVAÇÃO

A expressão [1.45] poderia ser obtida a partir da relação entre tensões, isto é, c

dd E

EK = ,

sendo Ed a tensa induzida no enrolamento distribuído e Ec a tensão induzida no enrolamento con-centrado.Vamos usar esta propriedade para deduzir a expressão geral para o Fator de Passo Kp.

Vamos considerar a mesma bobina anterior de N espiras, só que as N espiras estão concen-tradas em duas ranhuras, ou seja, Kd = 1. Quando a bobina é de passo pleno, as tensões induzidas em cada lado se somam escalarmente para obter a resultante nos terminais da bobina que será o dobro da tensão em cada lado (Fig. 1.16a). Quando ela é encurtada de um ângulo β, as tensões in-duzidas não ficarão em oposição e, portanto, a resultante não será mais uma soma escalar e sim fa-sorial. (Fig. 1.16b)

A relação entre estes dois valores representa o Fator de Passo. Podemos escrever:

EEK r

p 2= [1.46]

Fizemos na equação [1.46] E1=E2=E.

Fig. 1.16a – Cálculo do Fator de Passo

Suponhamos que a bobina em questão tenha um encurtamento de passo de 20º elétricos. Isto significa dizer que os fasores de tensão induzida em cada lado da bobina estão defasados 160º e não 180º como seria o caso se ela fosse de passo pleno. (fig. 116b). Enquanto na fig. 1.16a a soma das tensões induzidas na bobina é igual a 2E, na bobina de passo encurtado a tensão resultante Er será igual à soma fasorial de E1 e E2. No caso da fig. 1.16b

26

teremos º10cos210cos2 1 EEE or == . De uma maneira geral podemos dizer que para um encurta-

mento de β graus, o Fator de Passo Kp será igual a:

2cos

22

cos2 ββ

==E

EK p [1.47]

O passo polar e o encurtamento de passo costumam ser medidos em número de ranhuras. Se for dado em ranhuras, a expressão para o Fator de Passo Kp poderá assumir a forma abaixo:

)2

sen( πλ=pK [1.48]

Nesta expressão, λ representa a relação entre o passo da bobina e o passo polar, ambos me-

didos em número de ranhuras. O Fator de Passo não pode ser escolhido arbitrariamente, mas depen-de do número de ranhuras da máquina. Por exemplo, se temos 6 ranhuras por pólo, os fatores de passo possíveis serão 6/6 (pleno), 5/6, 4/6 e 3/6. Um enrolamento de passo encurtado além de eco-nomizar cobre, pois as bobinas são menores, tem a propriedade de eliminar harmônicos de ordem superior na onda de tensão induzida e na onda espacial de FMM. A eliminação dos harmônicos é feita da seguinte forma: se o passo é encurtado de 1/n do passo pleno, o harmônico de ordem n será eliminado. Assim, se desejamos eliminar o harmônico de 5ª ordem da onda espacial de FMM de um motor, o passo de seu enrolamento deverá ser encurtado de 1/5, ou seja, 36º elétricos.

As figuras abaixo mostram os esquemas simplificados de enrolamentos distribuídos de passo pleno e de passo encurtado.

Fig. 1.17 – Enrolamento de armadura distribuído,

de passo pleno, trifásico, 2 polos

Como se pode observar, cada fase é composta de 4 bobinas (a1 – a4; b1 – b4; c1 – c4) cujos lados ocupam ranhuras opostas, distantes um passo polar. Esse tipo de enrolamento é chamado de enrolamento de duas camadas porque, como se pode ver da figura, cada ranhura comporta dois lados de bobina em camadas superpostas. A figura mostra ainda o diagrama fasorial das tensões. As

27

bobinas (a1,-a1) e (a2,-a2) estão situadas nas mesmas ranhuras, portanto, as tensões geradas em cada uma delas são somadas escalarmente e dão como resultante a tensão OX. As bobinas (a3,-a3) e (a4,-a4) pela mesma razão têm suas tensões geradas em cada uma delas somadas escalarmente, dando a tensão resultante OY. A resultante final entre as 4 bobinas será OZ, pois os eixos magnéticos das bobinas, duas a duas, não coincidem, estão separados 30º elétricos.

A Fig. 1.18 mostra um enrolamento trifásico distribuído, porém de passo encurtado. Obser-var que o encurtamento de cada uma das bobinas que vão compor as três fases é de 30º elétricos (as bobinas que ocupam a parte superior das ranhuras foram encurtadas 30º elétricos no sentido anti-horário; a bobina (a1,-a1), por exemplo, tem um passo de 150º elétricos). As tensões geradas nos lados a1 e a4 estão em fase, apesar de serem de bobinas diferentes, bem como os lados –a2 e –a3.

Fig. 1.18 – Enrolamento trifásico distribuído,

de passo encurtado, 2 polos

As bobinas (a1,-a1) a (a4,-a4) da fase A do enrolamento serão ligadas em série de modo a se obter uma tensão resultante maior do que a tensão induzida em cada uma das bobinas individuais. De qualquer modo que forem ligadas, as correntes e tensões induzidas nelas estão em fase. Assim, podemos considerar que (a2,-a1) constitui uma bobina equivalente de passo polar pleno, cuja tensão será OW; do mesmo modo, podemos considerar (a1,-a3), (a4,-a2), cuja tensão resultante é OX e (a3,-a4) cuja tensão será OY. A resultante das tensões será OZ, menor em módulo do que a soma escalar das bobinas em série. Para completar o exercício os alunos devem fazer um diagrama de ligação das bobinas con-forme indicado pela figura. 5.5) O estator de um gerador síncrono trifásico de 8 pólos, 60 Hz, possui 96 ranhuras. Cada ranhura contém 4 condutores em série. O passo de cada bobina é igual a 10 ranhuras. Supondo uma distribuição espacial senoidal da indução magnética ao longo do entreferro e sendo o fluxo por pólo igual a 0,06 teslas, pede-se calcular a tensão induzida, por fase, pelo fluxo girante.

A tensão induzida por fase é dada pela equação [1.24]

pd KKNfE φ44,4=

28

O problema consiste em calcular Kd e Kp e o nº N de espiras em série pois as demais grande-zas são dadas. Se o estator possui 96 ranhuras o passo polar medido em ranhuras será igual a

12896

= . Portanto, sendo 10 ranhuras a medida do passo da bobina, ela é, então, de passo encurta-

do. A relação λ entre o passo encurtado e o passo polar é igual a 1210

=λ . O Fator de Passo será

igual a:

9659,0212

10sen =

=

πpK

O Fator de Distribuição será dado pela equação [1.45] onde n e γ serão iguais a:

n = ranhuras/pólo/fase = 43

896=

÷

γ = ângulo entre ranhuras contíguas = o75,396360

= geométricos = 15º elétricos

Substituindo estes valores em [1.45] teremos:

Uma espira é igual a 2 condutores em série, ou seja, o número N de espiras é a metade do número de condutores. Sendo a máquina trifásica, o nº de ranhuras por fase é igual a 96/3 = 32 e em cada uma delas há 4 condutores, o nº N de espiras por fase será:

642

432==

xN espiras

A tensão induzida em cada fase será, então, igual a:

E = 4,44x64x60x0,06x0,9577x0,9659 = 946,3 V (R)

5.6) O enrolamento do estator de um motor de indução trifásico, de 4 polos, 60 Hz, é forma-

do de bobinas com passo pleno que possuem 320 espiras em série, por fase, sendo 48 o número total de ranhuras. A potência transferida ao rotor pelo campo magnético é igual a 10 kW, sendo 40 A a corrente do rotor por fase. O ângulo de carga δs nesta condição operacional é igual a 53º elétricos. Pede-se:

a) Calcular o módulo da FMM do campo girante criado pelo estator. b) Calcular o conjugado que o motor está desenvolvendo. c) Qual o fluxo por pólo? d) Qual a tensão/fase induzida no enrolamento pelo campo girante?

9577,0

215sen4

2154sen

2sen

2sen

===

x

n

n

Kd γ

γ

29

SOLUÇÃO

a) Sendo um motor trifásico, o módulo de sua FMM será dado pela equação [1.17]:

( )tFF m ωθθ −= cos23

e Fm dado pela equação [1.08].

mpdm IPNKKF

π4

=

Sendo as bobinas de passo pleno, Kp=1; Kd será obtido como no exercício anterior e igual a

0,9577. O valor de Fm será igual a:

55189577,04024

3204=⋅⋅=

πmF Ae

O módulo da FMM do campo girante será então

8277551823

23

=== mFFθ Ae (R)

b) Sendo Cω = EI, o conjugado será igual a 05,535,188

10000===

ωEIC Nm (R)

c) O fluxo magnetizante será obtido através da equação [1.36]

00125,053sen827722

405,53sen22

22

=∴

=∴

= rsrs

osrssFPC φφπδφπ Wb (R)

d) pd KKNfE φ44,4= . Substituindo os valores encontrados anteriormente teremos:

E = 4,44x320x60x0,00125x0,9577 = 103 V (R)

6) QUESTÕES PROPOSTAS

6.01 - Em que partes principais se divide uma maquina elétrica rotativa? 6.02 - Porque os núcleos do rotor e do estator das máquinas elétricas são feitos de chapas de

aço formando pacotes. 6.03 – O que é entreferro de uma máquina elétrica rotativa? 6.04 – O que é uma máquina rotativa elementar? 6.05 – Qual a diferença entre fluxo por pólo e fluxo enlaçado 6.06 – Dê um exemplo no campo das máquinas elétricas rotativas do significado do sinal

negativo que aparece na lei de Lenz-Faraday. 6.07 – O que é passo polar de uma máquina elétrica rotativa?

6.08 – Qual a diferença entre bobina e enrolamento de uma máquina elétrica rotativa? 6.09 – O que você entende por eixo magnético de uma bobina? 6.10 – O que é uma bobina de passo pleno?

30

6.11 – O que é um enrolamento concentrado de passo pleno? 6.12 – O que é uma bobina de passo encurtado ou fracionário? 6.13 – Porque nas máquinas elétricas exprimimos os ângulos em graus elétricos? 6.14 - Porque se usam bobinas de passo encurtado? 6.15 – O que é um enrolamento distribuído? 6.16 – Porque nas máquinas de C.C. a armadura é móvel e os polos são fixos e nas máquinas

de C.A. é o contrário? 6.17 – Nos geradores de C.C. a tensão gerada é alternada, com a mesma forma de onda da

indução no entreferro. Como se consegue obter tensão de natureza contínua? 6.18 – As máquinas elétricas rotativas de C.A. se diferenciam, basicamente, pela forma co-

mo é criado o campo de excitação que se localiza no rotor. Explique como se obtém a excitação nas máquinas síncronas e nas máquinas de indução.

6.19 – Explique a diferença entre valor instantâneo, valor máximo, valor médio e valor efi-caz de uma onda de tensão senoidal.

6.20 – Demonstre que o ângulo de carga de uma máquina de C.C. é 90º. 6.21 – Porque se usam enrolamentos distribuídos nas máquinas elétricas? 6.22 – O que é Fator de Distribuição? Fator de Passo? 6.23 – Explique porque a onda fundamental de FMM resultante de um enrolamento distribu-

ído é menor do que a soma das componentes fundamentais das bobinas individuais 6.24 – O que é um campo magnético estacionário? 6.25 – O que é um campo magnético pulsativo? 6.26 – Como se pode explicar a existência do conjugado eletromagnético em uma máquina

elétrica? 6.27 – Explique porque os sentidos de atuação do conjugado eletromagnético no motor e no

gerador são opostos. 6.28 – O que é ângulo de carga nas máquinas elétricas? Porque ele recebe este nome? 6.29 – O que é indutância de dispersão do estator e do rotor?

7) PROBLEMAS PROPOSTOS

7.01 – Desenhe, de uma forma simplificada, o enrolamento do estator de um motor elétrico monofásico de 2 e 4 pólos. Suponha que o enrolamento esteja sendo percorrido por uma corrente elétrica. Mostre em ambos os casos a formação dos pólos nos enrolamentos.

7.02 – Desenhe, de forma simplificada, o enrolamento do estator de uma máquina elétrica

trifásica de 2 e 4 pólos. Numere as bobinas, faça uma ligação entre elas de modo a se obter uma ligação triângulo. Mostre em ambos os casos a formação dos pólos nos enrolamentos quando eles são percorridos por uma corrente trifásica equilibrada. Faça os desenhos para dois instantes das cor-rentes para verificar o sentido de rotação do campo magnético.

7.03 – Demonstre que dois campos magnéticos pulsativos defasados no espaço e no tempo

de 90º elétricos criam um campo magnético girante. 7.04 – Em uma máquina monofásica há um campo magnético pulsativo criado pela corrente

i = Im cos ωt. Demonstre que este campo pulsativo é a resultante de dois campos girantes que giram em sentidos opostos, com a mesma freqüência angular ω, cuja amplitude é a metade da amplitude do campo pulsativo.

31

7.05 – Um pequeno gerador trifásico elementar de 4 pólos possui o seu enrolamento de esta-tor ligado em estrela. Cada bobina possui duas espiras em série e todas as bobinas de uma mesma fase estão em série. O fluxo por pólo é igual a 0,25 Wb e está senoidalmente distribuído no entre-ferro. O rotor gira a 1800 RPM. Qual a tensão eficaz, entre fases, induzida no enrolamento?

7.06 – O enrolamento do estator de uma máquina elementar monofásica de 2 pólos é consti-

tuído de uma bobina de 100 espiras em série. O rotor produz um campo magnético que está senoi-dalmente distribuído ao longo do entreferro e o valor máximo da indução magnética é igual a 0,80 teslas. O diâmetro interno do estator é 0,10 m e o comprimento axial 0,10 m. Se o rotor girar a 3600 RPM, pede-se:

a – Escrever uma expressão para a tensão induzida no enrolamento do estator. Considerar

como instante zero o momento em que o eixo magnético do rotor coincide com o eixo magnético da bobina do estator.

b – Calcular o valor da tensão ¼ de período após o instante zero. c – Calcular o valor eficaz da tensão. 7.07 – Uma bobina quadrada com 20 cm de lado possui 60 espiras e está colocada em um

campo magnético estacionário de forma que o seu eixo de rotação é perpendicular ao eixo magnéti-co do campo. A indução magnética do campo é constante e vale 0,06 teslas. Se a bobina for aciona-da a uma velocidade constante de 150 RPM, pede-se:

a – O fluxo máximo que passa pela bobina. b – O valor do fluxo máximo enlaçado. c – A tensão instantânea máxima induzida na bobina. Mostre por um desenho a posição da

bobina neste instante. d – O valor médio da tensão induzida na bobina em um ciclo. e – A tensão induzida na bobina no instante em que ela ocupa um plano inclinado 30º com a

vertical.. 7.08 – Uma máquina monofásica elementar de 2 pólos possui uma distribuição espacial se-

noidal da indução magnética no entreferro sendo 0,4 teslas a sua amplitude. A bobina do estator, de passo pleno, possui 50 espiras e um comprimento axial de 30 cm e um raio de 20 cm. Se o rotor gira a 600 RPM, pede-se:

a – Calcular o valor da tensão induzida no instante em que os eixos magnéticos do rotor e da

bobina do estator formarem um ângulo de 120º elétricos entre si. (Considerar como ins-tante zero quando os eixos magnéticos coincidirem).

b – Calcular a tensão máxima na bobina e a posição em que ela ocorre. c – Calcular o valor médio da tensão induzida na bobina. 7.09 – Um motor elétrico de 4 pólos possui um fluxo magnetizante resultante no entreferro

senoidalmente distribuído. O seu valor por pólo é 0,02 Wb. O motor aciona uma carga de modo que seu ângulo de carga δr = 36,7º. Qual o módulo de FMM do rotor necessária para produzir um con-jugado de 40 Nm.

7.10 – Um gerador monofásico de 4 pólos possui um fluxo por pólo igual a 0,035 Wb. O seu

rotor gira a 600 RPM. Pede-se:

32

a – Calcular a tensão eficaz induzida em uma bobina do estator, de 20 espiras, quando o ro-tor gira um passo polar.

b – A tensão eficaz induzida em um condutor da bobina. 7.11 – Uma bobina quadrada de 0,2 m de lado, possui 50 espiras e seu plano é perpendicular

a um campo magnético uniforme cuja densidade magnética é igual a 0,0775 teslas. A bobina gira 1/4 de volta em 0,08 s. Pede-se:

a – O fluxo máximo enlaçado com a bobina. b – A tensão média induzida durante 0,08 s. c – A tensão média induzida se a bobina girar a 150 RPM. d – As tensões instantâneas induzidas na bobina quando seu plano for perpendicular e para-

lelo às linhas de força do campo. 7.12 – Deseja-se induzir uma tensão média de 3,5 volts em uma bobina que está situada em

um campo magnético. O fluxo através dela varia de +0,002 a –0,002 Wb em um intervalo de tempo igual a 1/3 s. Determinar o nº de espiras da bobina.

7.13 – O enrolamento do estator de um motor trifásico de 4 polos, 60 Hz está ligado em es-

trela. O nº total de ranhuras do estator é 72. Cada fase possui 30 espiras em série e o passo de cada bobina vale 9 ranhuras. Supondo uma distribuição senoidal do fluxo girante no entreferro, qual deve ser o seu valor máximo para dar uma tensão eficaz induzida de 600 V entre fases?

7.14 – A figura1.19 abaixo mostra, simplificadamente, geradores e motores. Usando o con-

ceito de sentido de atuação do conjugado eletromagnético, pede-se: a – Indicar o sentido das correntes no rotor ou no estator para que o rotor gire no sentido in-

dicado pelas setas. b – Dizer se o conjugado magnético atua no sentido horário ou anti-horário.

Figura 1.19 – Geradores e motores

8) RESPOSTAS DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 7.05 – 461,4 V; 7.06 – a) e = 301,6 sen377t; b) 301,6 V; c) 213,26 V

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7.07 – a) 0,0024 Wb; b) 0,144 Wb; c) 2,26 V; d) 1,44 V; e) 1.13 V 7.08 – a) 65,3 V; b) 75,4 V; c) 48 V 7.09 – 133,15 Ae. 7.10 - a) 62,2 V; b) 1,55 V 7.11 - a) 0,155 Wb; b) 1,94 V; c) 1,55 V; d) 0 e 3,4 V 7.12 – 262 espiras 7.13 – 0,06410 Wb.