ELT502

7. MAPAS DE KARNAUGH A partir de uma tabela, pode-se obter a sua função pelo do método de Lagrange. Entretanto, esse método exige que se faça simplificações na expressão obtida para se atingir a forma simplificada. Como exemplo, considere a tabela a seguir, e sua respectiva função:

A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 l 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1

CABF

CAAABF

ABCABAF

CCABBBCACCBAF

ABCCABCABCBABCACBAF

ABCCABCBABCACBAF

+=

++=

++=

+++++=

+++++=

++++=

)(

)()()(

Observe que na primeira simplificação, os termos CBA e BCA apresentam uma parte comum, ou “constante” ( BA ) e uma parte “variável” (C eC ). Após essa primeira simplificação, pode-se observar que a parte constante fica mantida e a parte variável desaparece. O mesmo ocorre com os termos CAB e , resultando em ABC AB , com os termos CBA e CAB , resultando em AB , e finalmente com BA e AB resultando em . B Apesar de se atingir os resultados esperados, corre-se o risco de não simplificar a função adequadamente, ou pior ainda, pode-se cometer erros nas simplificações. O método de leitura por “Mapas de Karnaugh” elimina-se esses problemas, visto que a leitura já é dada na forma mais simplificada possível. 7.1 Metodologia de Leitura Ao invés de se apresentar toda a teoria e a descrição formal do método, será visto a metodologia de leitura e a seguir alguns exemplos ilustrativos são apresentados. 1. Todos 1 devem ser lidos pelo menos uma vez. 2. Grupos de 1 em potência de 2, e retangulares formam uma leitura. 3. O grupo deve ser o maior possível. 4. Deve-se ter o menor número possível de leituras. 5. A leitura corresponde às variáveis que se mantiverem constantes. Exemplos: A B F B A 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 AF = 1 0 1 1 1 1

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 27

B A 0 1 Z XY 00 01 11 10 RN

M 0 1 RN M 0 1

0 1 1 0 1 0 0 1 00 0 0 00 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 01 0 0 01 1 1 11 0 0 11 1 1 10 0 0 10 1 1

BAF += ZXYF += 0=F 1=F

Z

XY 00 01 11 10 C AB 00 01 11 10 Z

XY 00 01 11 10 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1

XYF += ACCAF += XYXZZYF ++=

Neste caso, XY é uma leitura indevida e corresponde ao termo fantasma.

MS

KL 00 01 11 10 00 01 11 10 00 1 1 1 00 1 01 1 1 1 01 1 1 ERRADO 11 1 11 1 1 1 10 1 1 10 1 1

LKMSMLSLF +++=

6. A leitura deve-se iniciar pelos 1 mais isolados. 7. Os 1 com mais de uma opção de leitura são deixados para o final.

CS FL 00 01 11 10

00 1 01 1 1 11 1 1 1 10 1 1

FLSLCLFCG ++=

7.2 Leitura pelos zeros Se um dado mapa de Karnaugh apresentar muitos 1 e poucos 0, pode-se fazer a leitura pelos 0, resultando em uma expressão mais simplificada. Neste caso, como se faz a leitura pelos 0, obtém-se a função invertida e, portanto deve ser invertida novamente para ser apresentada na forma normal. Adicionalmente a leitura pelos 0 serve para se apresentar uma função sob a forma de produto de somas. Considere o exemplo a seguir.

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 28

A BC 00 01 11 10

0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 ))(( CBCAF

BCCAF

++=

+=

7.3 5 Variáveis

7.3.1 Primeira Forma: Sobreposição de Mapas de Quatro Variáveis O mapa final pode ser visualizado como sendo dois mapas de quatro variáveis sobrepostos. Um dos mapas, referente a E=0, corresponde à parte inferior da linha diagonal de divisão das células do mapa final. O outro mapa, referente a E=1, corresponde à parte superior da linha diagonal de divisão das células do mapa final. Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leitura em um dos mapas for igual (sobreposta) à leitura do outro mapa, estas duas leituras formam uma única leitura.

CD AB 00 01 11 10

00 1 1 1 1

E 01 11

11

10 11 1

11

1 11

10 1 1 1 1

CDBABDEEDAEDCEDCF ++++=

7.3.2 Segunda Forma: Espelhamento de Mapas de Quatro Variáveis

O mapa final pode ser visualizado como sendo dois mapas de quatro variáveis espelhados. Um dos mapas, referente a E=0, corresponde à parte esquerda da linha de simetria do mapa final. O outro mapa, referente a E=1, corresponde à parte direita da linha de simetria do mapa final, mas colocado de forma espelhada com relação ao primeiro mapa. Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leitura em um dos mapas for igual (espelhada) à leitura do outro mapa, estas duas leituras formam uma única leitura. Assim, leituras que englobam os dois lados do mapa final devem ser simétricas! Considere os exemplos a seguir.

↓ CD

EAB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 1 1 1 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1

↑ CDBABDEEDAEDCEDCF ++++=

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 29

DE ABC 000 001 011 010 110 111 101 100

00 1 1 1 01 1 1 1 11 1 1 1 1 1 10 1 1

BDECDEAECBDCBDBAF ++++=

7.4 6 Variáveis

7.4.1 Primeira Forma: Sobreposição de Mapas de Quatro Variáveis O mapa final pode ser visualizado como sendo quatro mapas de quatro variáveis sobrepostos. Um dos mapas, referente à EF=00, corresponde à parte superior das células do mapa final. O outro mapa, referente à EF=01, corresponde à parte esquerda das células do mapa final. O terceiro mapa, referente à EF=10, corresponde à parte direita das células do mapa final. Finalmente, o último mapa, referente à EF=11, corresponde à parte inferior das células do mapa final.

Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leitura em um dos mapas for igual (sobreposta) à leitura de outro mapa vizinho, estas duas leituras formam uma única leitura. Por mapa vizinho, entende-se aquele que tenha somente uma variável diferente. Assim, como exemplo, os vizinhos de EF=10 são EF=11 e EF=00. Da mesma forma, se as leituras dos quatro mapas estiverem sobrepostas, estas formam uma única leitura. Considere o exemplo a seguir.

CD AB 00 01 11 10

00 01 11 10

EF

DCBACEBAEDBCDEFAFEDCAF ++++=

7.4.2 Segunda Forma: Espelhamento de Mapas de Quatro Variáveis

O mapa final pode ser visualizado como sendo quatro mapas de quatro variáveis espelhados. Um dos mapas, referente a EF=00, corresponde à parte superior esquerda das linhas de simetria do mapa final. O outro mapa, referente a EF=01, corresponde à parte superior direita das linha de simetria do mapa final, mas colocado de forma espelhada com relação ao primeiro mapa. Os outros dois mapas, referentes a EF=10 e EF=11, correspondem às partes inferior esquerda e inferir direita do mapa final, respectivamente. Cada mapa apresenta a sua leitura individual. Se a leitura em um dos mapas for igual (espelhada) à leitura do outro mapa, estas duas leituras formam uma única leitura. Assim, leituras que englobam os dois lados da linha de simetria do mapa final devem ser simétricas! Da mesma forma, se uma leitura estiver presente em quatro mapas, estas formam uma única leitura. Considere o exemplo a seguir.

00

110110

1111

1

11

111 11

11

111 1

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 30

KLM XYZ 000 001 011 010 110 111 101 100

000 1 1 001 1 011 1 010 1 1 1 1 110 1 1 1 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 101 1 100 1 1

MLZYMXZLKLMMZYXMLYZF ++++= 7.5 Condições Opcionais

Eventualmente, devido a limitações impostas nos códigos de entrada de um circuito,

certos valores nunca são aplicados. Assim, para efeito de simplificação de circuito, estas condições podem ser deixadas sem um valor específico nos mapas de Karnaugh. Essas situações são conhecidas como “não-interessa” ou opcional, e são representadas nos mapas por um traço ou por um x. Desta forma. Os opcionais devem ser lidos se, e somente se, favorecerem ou ajudarem na leitura, isto é, se aumentar o tamanho dos grupos nas leituras.

Como exemplo, considere um guindaste cuja plataforma de carga possui três sensores de massa; 10Kg, 20Kg e 80Kg. Por motivos econômicos, de segurança ou ainda pessoais, as condições de operação do guindaste são dadas por: À vazio: deve operar Cargas maiores que 10Kg e menores que 20 Kg: não deve operar Cargas maiores que 20Kg e menores que 80 Kg: deve operar Cargas acima de 80 Kg: não deve operar

10Kg 20Kg 80Kg O circuito de controle deste guindaste deve ter a seguinte apresentação:

Circuito

A B C

G

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 31

C AB 00 01 11 10 0 1 - 1 0 1 - - 0 -

CBAG +=

Observe que ao considerar os opcionais, as leituras foram simplificadas.

7.6 Aplicações de Karnaugh

7.6.1 Mapas de Karnaugh a partir de Mintermos & Maxtermos Os mintermos/maxtermos, visualizados inicialmente na forma de tabelas, também podem ser visualizados na forma de mapas de Karnaugh. O tamanho do mapa de Karnaugh depende do número do maior índice dos mintermos/maxtermos, mas sempre se tentando usar o menor mapa possível. Como exemplo, a tabela e o mapa a seguir marcam as posições dos índices dos mintermos/maxtermos.

i A B C BC A 0 1

0 0 0 0 00 0 4 1 0 0 1 01 1 5 2 0 1 0 11 3 7 3 0 1 1 10 2 6 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1

Para exemplificar, considere a função dada a seguir:

∏∑

=

=

)6,4,3,0(

)7,5,2,1(

MG

mG

Esta função pode ser apresentada sob a forma de tabela e de mapa. Uma vez que o

mintermo/maxtermo tenha sido inserido no mapa (ou na tabela), pode ser lido da forma desejada.

i A B C F BC A 0 1

0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 1 1 01 1 1 2 0 1 0 1 11 0 1 3 0 1 1 0 10 1 0 4 1 0 0 0 5 1 0 1 1 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1

CBAACCBG ++=

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 32

Eventualmente, pode ser necessário apresentar termos opcionais nas listagens de mintermos/maxtermos. No caso de mintermos, ao somatório dos termos iguais a 1, faz-se o somatório dos termos opcionais, normalmente indicados por ∑ d . Já para os maxtermos, faz-se a multiplicação do produtório dos maxtermos pelo produtório dos termos opcionais, normalmente indicado por ∏ . Considere os exemplos a seguir, com os respectivos mapas e suas funções.

M

∏ ∏∑∑

=

+=

)3,2,1().7,4,0(

)3,2()5,1,0(

DMH

dmF

BC

A 0 1 BC A 0 1

00 1 0 00 0 0 01 1 1 01 - 1 11 - 0

CBAF +=

11 - 0

CBCBH +=

10 - 0 10 - 1 7.6.2 Mintermos & Maxtermos a partir de Mapas de Karnaugh Da mesma forma, dada uma função em um mapa de Karnaugh, pode-se apresentar essa função na forma de mintermos/maxtermos. Como exemplo, o mapa a seguir marca as posições dos índices dos mintermos/maxtermos. CD

AB 00 01 11 10 00 0 4 12 8 01 1 5 13 9 11 3 7 15 11 10 2 6 14 10

Para exemplificar, considere a função ))(( CDABAF ++= , a seguir colocada em um mapa de Karnaugh e apresentada sob a forma de maxtermos. CD

AB 00 01 11 10 00 0 1 0 0 01 0 1 0 0 11 0 1 1 1

∏= )14,13,12,10,9,8,3,2,1,0(MF

10 0 1 0 0 7.6.3 Conversão Soma de Produtos/Produto de Somas Uma dada função, apresentada sob a forma de produto de somas, pode ser convertida para a forma de soma de produto, ou vice-versa, com o uso do mapa de Karnaugh. Vale ressaltar que para a leitura na forma de produto de soma, faz-se a leitura do mapa de Karnaugh pelos zeros, e faz-se a inversão da função. Como exemplo considere a função

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 33

DCABCACDBAF )()( ++++= , a ser apresentada na forma de soma de produto e produto de somas, como ilustrado a seguir. CD

AB 00 01 11 10 00 0 0 1 1

ADCACBDCF +++=

01 0 0 0 0 ou 11 0 1 1 1 10 1 1 1 1

))()(( DBACADCF

DBACADCF

++++=

++=

7.6.4 Fatoração em Soma de Produtos/Produto de Somas Eventualmente pode ser necessário obter uma expressão na forma fatorada, que é feito de forma direta usando os mapas de Karnaugh. Considere o exemplo a seguir.

CD AB 00 01 11 10

00 0 0 1 1 01 0 0 0 0

DCABCACDBAF )()( ++++=

11 0 1 1 1 10 1 1 1 1

DCBACDBADCBADABC

ABCDDCABDBCABCDADCBAF

+++

+++++=

UNIFEI - NOTAS DE AULA DE ELT502 34