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Programade IniciaçãoCientífica Júnior – PIC

Manual

OlimpíadaBrasileira deMatemática das Escolas Públicas –OBMEP

CoordenadorGeral daOBMEP: Claudio Landim (IMPA).

Programade IniciaçãoCientífica – PIC

Coordenador doPIC:Mário Jorge Dias Carneiro (UFMG).

CoordenadoraAcadêmica: Claudia Vasconcelos (OBMEP).

Coordenadora daComunidadenoFórum: Sonia Regina Di Giacomo (UFMS).

Coordenadores doFórum: Ana Lúcia da Silva (UEL), Francisco Dutenhefner (UFMG), LucianaCadar Chamone (MG), Luzia Casati (UFES), Moacir Rosado Filho (UFES), Victor Gonzalo LopesNeumann (UFU) e Walter dos Santos Motta Junior (UFU).

Coordenadores Regionais de Iniciação Científica: AC: Jerssiney de Oliveira – Escola Joa-quim Falcão Macedo, AL: Sinvaldo da Gama – UFAL, AM: Danilo Benarós – UFAM, AP:MarcioBahia – UNIFAP, BA: Luzinalva Morim – UFBA, CE: Onofre Farias – C7S, DF: Kellcio Araújo– UNB, ES: Luzia Casati – UFES, GO: José Hilário – UFG, MA: João de Deus da Silva – UFMA,MG01: Gilcione Costa – UFMG, MG02: Fernanda Moura – UFV, MG03: Francinildo Ferreira– UFSJ, MG04: Luiz Alberto Salomão – UFU, MG05: Marise Silveira – Unimontes, MG06:Wevesson Dalmaso Sellin – UFVJM, MG07: Regis Castijos Alves Soares Junior – UFJF, MG08:Alexandre Alvarenga Rocha – UFV, MS: Sonia Regina Di Giacomo – UFMS, MT:Martinho Araújo– UFMT, PA: João Pablo Pinheiro da Silva – UFPA, PB: José de Arimatéia – UFCG, PE: JorgeAntonio Hinojosa – UFRPE, PI: Gilvan de Oliveira – UFPI, PR01: Ana Lucia da Silva – UEL,PR02: Florinda Miyaoka – UFPR, RJ01: Jair Salvador – UFRJ, RJ02: Jones Colombo – UFF,RJ03: Ivail Muniz – Pedro II, RN: José Querginaldo – UFRN, RO:Carlos Vinícius Ramos – UNIR,RR: Raimundo Nonato Araújo – UFRR, RS01: Elizabeth aa Costa – UFRGS, RS02: Márcio LuísMiotto – UFSM, SC01: Lício Bezerra – UFSC, SC02: Lucia Menoncini – UFFS, SE: Valdenbergda Silva – UFS, SP01: José Carlos Rodrigues – FTC - UNESP, SP02: Jéfferson Luiz Rocha Bastos– UNESP, SP03: Raul Ribeiro – Anglo Atibaia, SP04: Pablo Ganassim – Etapa, SP05: DéboraBezerra e Silvana Pucetti – UMESP, SP06: Ires Dias – ICMC - USP, SP07: José Arnaldo FrutuosoRoveda – UNESP, TO: Dirlei Ruscheinsky – UFT.

0 • Sumário

1 Quase tudo que você deve saber sobre o PIC 11.1 O que é a Iniciação Científica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 A equipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Como funcionará o PIC-2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 PIC a distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 A Bolsa do CNPq para o PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 As obrigações dos alunos que participam do PIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.7 Como aproveitar bem os encontros presenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8 Como participar do fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 Algumas boas ideias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.10 Regras de participação no fórum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11 Certificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.12 Encontro do Hotel de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Conteúdos 92.1 Grupo 1 – Nível 1 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Grupo 2 – Nível 1 – Multiplicidade 2 e Nível 2 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . 102.3 Grupo 3 – Nível 2 – Multiplicidade 2 e Nível 3 – Multiplicidade 1 . . . . . . . . . . . 112.4 Grupo 4 – Nível 2 – Multiplicidade 3 e Nível 3 – Multiplicidade 2 . . . . . . . . . . . 112.5 Grupo 5 – Nível 2 – Multiplicidade 4 e Nível 3 – Multiplicidade 3 . . . . . . . . . . . 122.6 Grupo 6 – Nível 3 – Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.7 Grupo 7 – Nível 3 – Multiplicidades 5, 6 e 7 – foi G6 no PIC 2011 . . . . . . . . . . . 13

3 O que é TEX? 153.1 Knuth inventou o TEX... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2 ... e Lamport criou o LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Escrevendo e desenhando no fórum 194.1 Exemplos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2 Letras Gregas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.3 Aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.4 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

iii

iv Sumário

4.5 Setas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.6 Símbolos Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.7 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.8 Matrizes e Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.9 Somatórios e Produtórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.10 Diversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.11 Construindo figuras com LATEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Calendário dos Encontros 27

6 Coordenadores Regionais de Iniciação Científica – CRICS 49

7 Clubes de Matemática da OBMEP 53

8 O PECI 55

1 •Quase tudoque você devesaber sobre oPIC

Você foi convidado a participar do Programa de Iniciação Científica da OBMEP (PIC), assim, antesde tudo, saiba que participar desse programa é um privilégio. Além de aprender Matemática muitointeressante e tecnologias modernas de comunicação, você vai conhecer colegas de todo o Brasil quetambém têm interesse em Matemática.

É muito importante que você entenda o que é esse programa, conheça suas obrigações comoaluno e que se prepare para aproveitá-lo da melhor maneira possível. Vamos lá!

1.1Oque é a IniciaçãoCientífica?A Iniciação Científica em Matemática tem como objetivo transmitir a você, aluno, a cultura matemá-tica básica, possibilitando que se familiarizem com suas técnicas e métodos. Pretende-se auxiliar odesenvolvimento de habilidades de leitura e redação de textos matemáticos, bem como o raciocínioanalítico e a capacidade de aprender coisas novas de modo independente e autônomo. Muitos pro-blemas interessantes e desafiadores serão utilizados durante o programa para que você exercite a suacriatividade.

1.2A equipeComo todas as atividades da OBMEP, o PIC é de responsabilidade da Coordenação Geral da OBMEP,que conta com a seguinte equipe para sua execução:

• Coordenação Acadêmica

• Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC)

1

2 Quase tudoque você deve saber sobre oPIC

• Administradores do Fórum (AF)

• Coordenadores do Fórum (CF)

• Moderadores do Fórum (MF)

• Professores Orientadores (PO)

• Monitores

• Tutores Virtuais

Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica (CRIC’s), em sua maioria professores uni-versitários, são os responsáveis regionais pelo PIC. Consulte-os sempre que achar necessário. Osdados para contato podem ser encontrados ao fim deste manual ou no site www.obmep.org.br.

Os Administradores do Fórum e os Coordenadores do Fórum dirigem os trabalhos virtuais numfórum, batizado em 2009 de Hotel de Hilbert (HH).

Os Professores Orientadores e os Monitores trabalham com os alunos em encontros presenciais.A Coordenação Acadêmica, sediada no IMPA, dá o suporte administrativo a todas as atividades

do PIC.

1.3Como funcionará oPIC-2012

O PIC consta das seguintes atividades:

• Encontros presenciais e virtuais.

• Discussões virtuais no Hotel de Hilbert.

• Tarefas para serem executadas em casa e no Hotel de Hilbert.

• Estudo em grupo ou individual.

• Outras atividades virtuais.

Os encontros presenciais são dirigidos por Professores Orientadores. Em cada encontro presen-cial, os alunos recebem material de estudo, orientações e cronograma de estudos relativos aos temas aserem estudados até o próximo encontro. Esse material é discutido no fórum, entre os alunos, sob ori-entação dos Moderadores do Fórum. Os Professores Orientadores e os Moderadores em sua maioriasão professores universitários.

1.4PIC adistância

Os alunos que residem em localidades de difícil acesso aos polos participarão do PIC 2012 na moda-lidade a distância. Essa forma de participação inclui as seguintes atividades:

1. Participação em 2 (dois) Encontros Presenciais.

ABolsa doCNPqpara oPIC 3

2. Reuniões de estudo semanais de duas horas de duração com tutores virtuais, por meio decomunicação via Internet, para discussão de dúvidas e soluções de exercícios. A avaliaçãodesses alunos será feita na forma a distância e consiste em uma parte escrita e uma parte oral,com o Tutor virtual. Os temas dessas reuniões estão descritos no planejamento acadêmico dogrupo do PIC ao qual o aluno pertence.

3. Os tutores virtuais são estudantes universitários, medalhistas da OBMEP, que já participaramdo PIC e que conhecem bem o material bibliográfico usado. Cada tutor virtual será respon-sável por no máximo três alunos e será supervisionado por um professor universitário.

4. A participação no Fórum (Hotel de Hilbert) acontecerá de forma idêntica aos demais alunosdo PIC.

Aos alunos que não tiverem acesso à Internet será oferecido outro tipo de contatocomo tutor virtual.

1.5ABolsa doCNPqpara oPICSer bolsista do CNPq é um diferencial na vida de um aluno pela excelência que caracteriza essa bolsa.Com certeza, é uma valorização especial do currículo de qualquer aluno! Espera-se de um bolsistauma grande dedicação ao programa e que sua participação seja uma experiência enriquecedora emarcante.

Atenção! Só pode ter bolsa do CNPq o aluno que durante a vigência do PIC estiver regu-larmente matriculado em escola pública. Por isso, no início do programa, você deverá enviar ocomprovante de matrícula em escola pública.

1.6As obrigações dos alunos queparticipamdoPIC• Bom desempenho nas atividades de estudos: atenção, dedicação, cumprimento das tarefas;• Assiduidade nas aulas presenciais de, no mínimo, 80%, exceto para os alunos de Nível 3 Mutipli-

cidades 4, 5, 6 e 7 que estão dispensados dos encontros presenciais;• Participação regular nas atividades do Hotel de Hilbert. A ausência do fórum por um período

superior a 45 dias acarretará no desligamento automático do programa;• Cumprimento do calendário do PIC;• Envio dos documentos solicitados;• Manter seus dados atualizados;• Atender as normas disciplinares do PIC.

Além dos encontros presenciais, os alunos devem dedicar de 4 a 6 horas se-manais, no mínimo, para cumprir suas atividades do PIC (estudar conteúdos,resolver problemas, participar do fórum, etc).


E ainda: Para cada encontro presencial os alunos terão uma Avaliação Presencial com o ProfessorOrientador e uma Tarefa de Fórum, sendo que os alunos do Nível 3 com multiplicidades 4, 5, 6, 7 nãofarão as avaliações presenciais. As Tarefas de Fórum deverão ser feitas nos prazos pré-estabelecidos edivulgados no Fórum pela Coordenação Acadêmica.

• Cada Avaliação Presencial receberá um conceito A, B, C, D ou E.

• A Tarefa de Fórum será dividida em duas partes. A primeira parte será composta de três questõesdemúltipla escolha, com 5 alternativas. A segunda parte será composta de uma questão discursiva.

• A Tarefa de Fórum será avaliada da seguinte forma:

Na primeira parte o aluno receberá 1 (um) ponto por resposta correta, podendo ficar com 0, 1, 2 ou3 pontos. Caso o aluno deixe de responder a todas as questões, ele receberá um conceito X.

Na segunda parte o aluno receberá um dos seguintes conceitos:

• A - ótimo

• B - bom

• C - deve melhorar

• D - deve melhorar muito

• E - insuficiente ou não fez a questão

O aluno que atender a pelo menos uma das 3 condições seguintes, será desli-gado do Programa e, se bolsista, terá a bolsa cancelada:

1. Receber 5 (cinco) ou mais conceitos X nas tarefas de fórum;

2. Receber 5 (cinco) ou mais conceitos E nas tarefas de fórum;

3. Faltar a mais de 2 (dois) encontros presenciais.

1.7Comoaproveitar bemos encontros presenciais

• Não espere aulas expositivas como as da escola, elas serão raras.

• Discuta com seu Professor Orientador e colegas os assuntos e problemas tratados no fórum.

• Avalie com o Professor Orientador o cumprimento do seu cronograma de estudos.

• Apresente pontualmente as tarefas que lhe foram solicitadas.

• Estude com antecedência omaterial a ser tratado no encontro presencial e aproveite esses encontrospara esclarecer as dúvidas.

Comoparticipar do fórum 5

1.8Comoparticipar do fórum• O fórum é acessado pelo Portal do PIC 2012: http://pic2012.obmep.org.br.

• O seu acesso ao fórum será mediante o login e a senha.

• Acesse o fórum com frequência para estar em dia com os assuntos em discussão.

• Participe das discussões com perguntas, sugestões, dúvidas e respostas.

• Tente resolver os problemas e postar soluções ou ideias de solução.

• Tire suas dúvidas sobre os textos estudados.

• Sinta-se à vontade para propor problemas.

• Lembre-se de que existem várias maneiras de resolver um mesmo problema. Assim, se um de-terminado problema no fórum já foi resolvido, leia a solução do seu colega com atenção. Casotenha alguma dúvida, peça esclarecimentos. Escreva também a sua solução no fórum, mesmo queo problema já tenha sido resolvido.

• Obedeça às regras de participação no fórum.

• É esperado que o estudante do PIC participe ativamente do fórum postando mensagens em suaturma virtual, semanalmente. O aluno do PIC poderá ser advertido pela Coordenação Acadêmicada OBMEP pela baixa participação no fórum.

1.9Algumas boas ideias• Mantenha-se em dia com o seu Cronograma de Estudos – não se atrase!

• Tente ler tudo de “primeiramão”, antes de qualquer explicação. Caso não entenda, não se desespere,isso é absolutamente normal e um excelente exercício para o seu cérebro. Leia outra vez e muitasoutras vezes mais.

• Não desista nunca, alguns assuntos e problemas são mesmo duros de vencer e exigem tempo, pa-ciência e “garra”.

• Estude com antecedência o material a ser tratado no encontro presencial ou no fórum.

• Aproveite para se tornar um autodidata e usufruir disso pelo resto da vida!

1.10Regras de participaçãono fórum

1. A tarefa de fórum é uma atividade individual.


2. As regras de convivência e boas maneiras usuais em qualquer sala de aula são essenciais nofórum.

3. No PIC utilizamos o português formal. Não use linguagem de Internet, como vc no lugar devocê, Aki no lugar de aqui, etc.

4. Não escreva textos utilizando apenas letras maiúsculas. Utilize maiúsculas apenas quandonecessário.

5. Evite usar fontes grandes demais ou pequenas demais.

6. Evite abusar de cores nas mensagens do HH. Elas só devem ser usadas para destacar parte damensagem.

7. Não esqueça que o Hotel de Hilbert é um ambiente de ensino-aprendizagem. Não escreva oucoloque imagens que fujam desse objetivo.

8. Mensagens que fogem ao conteúdo abordado em determinado subfórum podem ser movidaspara outros subfóruns e as que fugirem ao conteúdo do fórum podem ser apagadas.

9. Antes de criar um novo tópico, verifique se um tópico com o mesmo problema ou assunto jáfoi criado, evitando a duplicação de tópicos.

10. Não coloque um novo problema em um tópico já criado. Se você quer propor um novoproblema, crie um novo tópico.

11. Links para sites externos são permitidos somente quando tratar de material relacionado aoconteúdo estudado no fórum.

12. Para usar imagens, faça upload diretamente no fórum. Não utilize sistema de compartilha-mento de terceiros porque nesses sistemas as imagens são apagadas após determinado tempo.

13. Procure escrever mensagens com enunciados de problemas completos e soluções claras. Usea ferramenta LATEX para conteúdos com equações e símbolos matemáticos.

14. Procure colocar no título das mensagens uma descrição do problema proposto, como “Al-tura do triângulo a partir dos lados”. Jamais utilize títulos do tipo: “Mais um problema”,”Resolvam essa”, “Problema Fácil”.

15. O fórumpoderá ser fechado emdias específicos paramanutenção técnica ou emdias de provasimportantes, como a primeira fase da OBMEP.

O principal objetivo do fórum é a troca de conhecimento entre todos os seus usuários. Não se preo-cupe em postar apenas as soluções para os problemas propostos. Escreva soluções ainda que incompletas,leia as soluções de seus colegas de turma, esclareça suas dúvidas e as de seus colegas, seja participativo.Além da discussão de problemas, o fórum deve ser usado também para que o aluno esclareça dúvidassobre a teoria estudada.

1.11CertificadoOs alunos que cumprirem o programa, com bom aproveitamento e assiduidade, receberão um certi-ficado de participação.

Encontro doHotel deHilbert 7

1.12Encontro doHotel deHilbertO Encontro do Hotel de Hilbert é um evento a ser realizado em Julho de 2014 e para o qual serãoselecionados os 200 alunos com os melhores desempenhos no PIC 2012. Nesse encontro os alunosparticiparão de minicursos, gincanas e atividades sociais, culturais e esportivas.

Quem foiHilbert?

O alemão David Hilbert (1862 – 1943) foi um dos maiores matemáticos do século XX, com impor-tantes contribuições em diversos ramos da matemática. Em 1900, ministrou uma importante confe-rência no Congresso Internacional de Matemáticos, na qual propôs uma lista de problemas em aberto,os quais segundo Hilbert, deveriam nortear a matemática do século.

Saibamais sobre oHotel deHilbert

O Hotel de Hilbert é o cenário de vários resultados contra-intuitivos. Considere um hotel com infi-nitos quartos, com os números 1, 2, 3, . . . . Suponha que todos os quartos estejam ocupados e chegaum novo hóspede. Como a gerência do hotel poderá acomodar o novo hóspede?

A solução é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o 3 e assim por diante.O novo hóspede poderá ser então acomodado no quarto 1.

Solução análoga poderá ser aplicada se chega ao hotel um ônibus com qualquer quantidade finitade hóspedes.

Suponha agora que chegue ao hotel um ônibus com uma quantidade infinita de passageiros, aco-modados nas poltronas 1, 2, 3, . . . . Como a gerência pode acomodar estes infinitos hóspedes?

A solução ainda é fácil. Basta passar o hóspede do quarto 1 para o 2, o do 2 para o quarto 4, o do3 para o 6 e assim por diante, isto é, o hóspede do quarto n passa ocupar o quarto 2n. Procedendoassim, todos os quartos ímpares ficarão vazios e poderão ser ocupados pelos passageiros do ônibus.

Deixamos agora o seguinte problema: Suponha que estão para chegar ao hotel infinitos ônibusmarcados com os números 1, 2, 3, . . . . Cada um destes ônibus trará infinitos passageiros que estãoacomodados em poltronas numeradas com 1, 2, 3, . . . . O Hotel de Hilbert poderá receber todos esteshóspedes? Se a resposta for afirmativa, ajude o gerente a fazer a distribuição dos quartos.

2 •Conteúdos

Os conteúdos estudados no PIC variam de acordo com o nível (1, 2 ou 3) e com o número de par-ticipações no programa, o qual chamamos de multiplicidade. Assim, um aluno que participa pelasegunda vez do programa tem multiplicidade 2.

2.1Grupo 1 –Nível 1 –Multiplicidade 1

Aritmética:

Encontro 1 - Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistema de-cimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra.

Encontro 2 - Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Múltiplos e divisores. Resto da soma edo produto. Números primos. Critérios de divisibilidade: 2, 3, 5, 9 e 10. Fatoração numérica:decompor um número em fatores primos.

Encontro 3 - Resolução de problemas. MMC e MDC.

Geometria:Encontro 4 - Medida, comprimento e razão de segmentos. Reconhecer e identificar as principais

figuras geométricas: ponto, reta, segmento, triângulo, quadrilátero, polígonos, etc. Ângulose medida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das propriedadesde triângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência. Propriedadesdos triângulos e quadriláteros, triângulos isósceles e equiláteros, paralelogramos e trapézios.

Encontro 5 - Ângulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos de umtriângulo, bissetriz, mediatriz, altura. Lugares geométricos básicos. Circunferência e propri-edades.

Encontro 6 - Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogra-mos e trapézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas.

9

10 Conteúdos

Encontro 7 - Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 módulos. Sugere-seque sejam trabalhados desafios de temas variados, principalmente sobre geometria.

Contagem:Encontro 8 - Exploração do princípio multiplicativo através da resolução de vários exemplos dos

materiais selecionados.

Encontro 9 - Probabilidade – Princípios básicos.

Encontro 10 - Criptografia.

2.2Grupo 2 –Nível 1 –Multiplicidade 2 eNível 2 –Multiplici-dade 1

Aritmética:Encontro 1 - Discussão de alguns problemas do tema paridade para motivação inicial. Sistema de-

cimal e operações. Bases numéricas. Aritmética sem álgebra.

Encontro 2 - Aritmética com álgebra, Resolução de problemas. Algoritmo da divisão. Resto da somae do produto. Múltiplos divisores. Números primos. Critérios de divisibilidade: 2, 3, 5, 9 e10. Fatoração numérica: decompor um número em fatores primos.

Encontro 3 - Resolução de problemas. MMC e MDC.

Geometria:Encontro 4 - Ângulos e medida de ângulos. Comentar sobre o uso do transferidor. Quando falar das

propriedades de triângulos, comentar a desigualdade triangular como condição de existência.Propriedades dos triângulos e quadriláteros; triângulos isósceles e eqüiláteros, paralelogramose trapézios. Ângulos entre retas paralelas cortadas por uma transversal, soma dos ângulos deum triângulo, bissetriz, mediatriz, altura. Circunferência e propriedades. Lugares geométricosbásicos.

Encontro 5 - Congruência e semelhança de triângulos.

Encontro 6 - Áreas e perímetros de figuras geométricas simples: retângulos, triângulos, paralelogra-mos e trapézios. Áreas e perímetros em malhas quadriculadas. Teorema de Pitágoras.

Encontro 7 - Dobraduras. Problemas sobre todos os assuntos estudados nos 3 encontros. Sugere-seque sejam trabalhados desafios de temas variados, principalmente sobre geometria.

Contagem:Encontro 8 - Exploração do princípio multiplicativo através da resolução de vários exemplos dos

materiais selecionados.

Encontro 9 - Probabilidade – Princípios básicos.

Encontro 10 - Criptografia.

Grupo 3 –Nível 2 –Multiplicidade 2 eNível 3 –Multiplicidade 1 11


AritméticaElementar:Encontro 1 - Números naturais. Sistema decimalposicional. Múltiplos divisores, critérios de divi-

sibilidade (2, 3, 5, 9, 10), potenciação. Números primos, crivo de Erastóstenes. TeoremaFundamental da Aritmética.

Encontro 2 - Números inteiros (múltiplos divisores, paridade, MMC,MDC). Algoritmo de Euclides,relação de Bezout. Equações Diofantinas lineares.

Encontro 3 - Aritmética dos restos e critérios de divisibilidade. Equações Diofantinas.

Geometria:Encontro 4 - Semelhança de triângulos. Teorema de Pitágoras (história, enunciado, recíproca, ternos

pitagóricos, generalização, teorema do espaço).

Encontro 5 - Áreas. O número π. Problemas.

Encontro 6 - Trigonometria do triângulo retângulo.

Encontro 7 - Introdução às construções geométricas elementares, lugares geométricos.

AnáliseCombinatória:Encontro 8 - Métodos de contagem e probabilidade.

Encontro 9 - Análise combinatória

Encontro 10 - Princípio da Casa dos Pombos.


Aritmética eCriptografia:Encontro 1 - Algoritmo da divisão. Algoritmo do MDC de Euclides. Aplicações da Relação de Bè-

zout. Equações Diofantinas Lineares.

Encontro 2 - Congruências. Teorema Chinês do Resto.

Encontro 3 - Criptografia RSA.

Geometria:Encontro 4 - Construções Elementares. Lugares geométricos. Expressões algébricas.

12 Conteúdos

Encontro 5 - Trigonometria do Triângulo Retângulo

Encontro 6 - Extensões das funções trigonométricas. Leis do seno e do cosseno.

Combinatória:Encontro 7 - Combinações. Triângulo de Pascal. Combinações completas. Teorema Binomial de

Newton.

Encontro 8 - Probabilidade Condicional.

InduçãoMatemática:Encontro 9 - Processo e método de indução. Método de indução e conjecturas por analogia.

Encontro 10 - Problemas Elementares clássicos. Outros modelos do método de indução.


Aritmética eCriptografia:Encontro 1 - Divisibilidade e restos. Congruência e equações diofantinas.

Encontro 2 - Aritmética Modular. Teorema de Euler (via teoria de números, sem usar grupos).

Encontro 3 - Sistemas de Congruências. Teorema Chinês do Resto. Criptografia RSA.

GeometriaAnalítica eNúmerosComplexos:Encontro 4 - Geometria analítica plana: coordenadas, distâncias, equações da reta.

Encontro 5 - Geometria analítica plana: ângulo entre retas, área de um triângulo, circunferência.

Encontro 6 - Forma algébrica e forma trigonométrica de um número complexo. Raízes da unidade.

EquaçõesAlgébricas:Encontro 7 - Polinômios complexos. Divisão de polinômios. Redução do grau de uma equação al-

gébrica.

Encontro 8 - Teorema Fundamental da Álgebra. Relação entre coeficientes e raízes. Equaçõesalgébricas com coeficiente reais.

Grafos:Encontro 9 - Grafos: conceitos, contagem de arestas, grafos de Euler.

Encontro 10 - Grafos: isomorfismo, árvores, teorema de Euler, grafos orientados.

Grupo6 –Nível 3 –Multiplicidades 4, 5, 6 e 7 13

2.6Grupo6 –Nível 3 –Multiplicidades 4, 5, 6 e 7

JogosCombinatórios:Encontro 1 - Jogos: pseudo-jogos - brincadeiras, simetria, posições vencedoras, análise a partir do

final do jogo - um método para encontrar vencedoras.Encontro 2 - Invariantes: introdução, coloração, restos como variantes.Encontro 3 - Desigualdades: quem é maior?, a desigualdade principal, transformações, indução e

desigualdades, desigualdades para todos.

GeometriaAnalítica Plana:Encontro 4 - Coordenadas na reta e no plano, distância entre dois pontos, gráfico de uma função, a

reta como gráfico de uma função afim.Encontro 5 - Retas paralelas, reta paralela a uma reta por um ponto dado, reta que passa por dois

pontos dados, retas perpendiculares.Encontro 6 - Linhas de nível, a reta como linha de nível, desigualdades lineares, retas paralelas e retas

coincidentes, distância de um ponto a uma reta.Encontro 7 - Sistemas lineares com duas incógnitas, equações paramétricas.Encontro 8 - Vetores no plano, o produto interno de dois vetores.Encontro 9 - Combinações afins, projeção ortogonal de um vetor.Encontro 10 - Áreas do paralelogramo e do triângulo, mudanças de coordenadas.

2.7Grupo 7 –Nível 3 –Multiplicidades 5, 6 e 7 – foi G6noPIC2011

Coordenadas no espaço:Encontro 1 - Coordenadas no espaço.Encontro 2 - Distância entre dois pontos.Encontro 3 - Vetores no espaço; operações com vetores.Encontro 4 - Equações paramétricas da reta e do plano; produto interno.Encontro 5 - O plano como superfície de nível; espaços com mais de três dimensões.Encontro 6 - Sistemas lineares: duas equações e três incógnitas; três equações e três incógnitas.Encontro 7 - Sistemas lineares: três equações e três incógnitas e escalonamento.Encontro 8 - Volumes e determinantes.Encontro 9 - Propriedades do determinante; o determinante do produto de duas matrizes.Encontro 10 - O Produto vetorial.

3 • Oque éTEX?

3.1Knuth inventouoTEX...

Oproblema de escrevermatemática no com-putador surgiu na década de 70. Um dos primei-ros grandes matemáticos a pesquisar em Ciênciada Computação, Donald Knuth da Universidadede Stanford, encontrou uma solução que conti-nua atual mais de trinta anos depois. Por volta de1976, Knuth tinha escrito os dois primeiros vo-lumes da coleção e Art of Computer Program-ming e estava totalmente insatisfeito com o resul-tado impresso. Ele não queria apenas que o livrofosse impresso, mas queria algo belo.

Knuth partiu para a busca de uma solução. Um dos primeiros passos foi a interrupção de suapesquisa por um ano para, acompanhado por sua esposa, assistir aulas de design com o professor dearte de Stanford, Matthew Kahn. A ideia era tentar capturar a essência do design, não apenas seu vi-sual. Por exemplo, como um processador deveria quebrar as linhas em um parágrafo? Esteticamente,o ideal é que não existam espaços excessivos entre as palavras e que não existam muitos hifens. Knuth

15

16 Oque éTEX?

transformou esse problema em combinatória e fez um algoritmo que calcula a maneira ótima de que-brar as linhas em um parágrafo.

Como resultado do seu trabalho, surgiramo processador de textos TEX e o sistema de descrição defontes METAFONT, ambos colocados em domínio público. O TEX foi projetado com dois objetivosprincipais em mente: permitir que qualquer pessoa possa produzir livros de alta qualidade com umesforço razoável e dar exatamente o mesmo resultado em todos os computadores, agora e no futuro.

3.2... e Lamport criou oLATEXNo início da década de 80, o matemático Leslie Lamport planejava escrever o livro Great AmericanConcurrency Book e digitar utilizando TEX. Ele escreveu um conjunto de macros que facilitaram bas-tante o trabalho. Essas macros foram posteriormente colocadas em domínio público. Era o iníciodo LATEX. Lamport até hoje não escreveu o livro pretendido, mas em 1986 lançou o livro LATEX: ADocument Preparation System, que ajudou a popularizar o LATEX. De lá para cá, vários conjuntos demacros para TEX surgiram, como ConTeXt e JadeTeX, mas sem dúvida o LATEX é o mais utilizado.

Hoje o TEX é popular em todo o mundo, principalmente na área acadêmica, notadamente emmatemática, física, ciência da computação e engenharias.

Uma das vantagens do LATEX é a sua modularização. Qualquer um pode escrever um conjunto demacros que automatizam determinados procedimentos e facilitam a vida de todos. No caso do LATEX,estas macros são chamadas de pacotes e existem milhares de pacotes escritos por centenas de usuáriosao redor do mundo.

A principal desvantagem inicial do TEX é que não é um editorWYSIWYG (acrônimo da expressãoem inglês “What You See Is What You Get” – O que você vê é o que você recebe). Isto significa quedigitamos o texto usando uma linguagem específica, compilamos e depois vemos o resultado. Istopode parecer muito estranho para quem está acostumado a editores WYSIWYG, como o Word, masé uma barreira que pode ser facilmente superada.

... e Lamport criou oLATEX 17

•Curiosidades• Knuth até hoje não terminou a coleção e Art of Computer Programming. Dos sete volumes pre-

vistos inicialmente, somente três volumes completos foram lançados, além de cinco fascículos dovolume 4.

• Ele recebeu inúmeros prêmios como pesquisador em Ciência da Computação e em agosto de 1999seu nome foi dado a um pequeno planeta descoberto por P. Pravec and P. Kusnirák.

• Desde 2001, Lamport é pesquisador da Microso.

• Existem versões de TEX para praticamente todos os sistemas operacionais, incluindo Windows,Mac OS X e Linux.

• O código fonte do TEX foi colocado em domínio público, e Knuth recomenda modificações ouexperiências com esse código fonte, mas, para garantir a mesma saída em todas as versões do TEX,ele deseja que qualquer novo programa obtido tenha outro nome. Para garantir isso, a AmericanMathematical Society registrou a marca TEX e qualquer implementação do sistema deve passar porum teste antes de ser chamada de TEX.

• O nome TEX deve ser pronunciado como “tekh”. O X representa a letra grega χ (chi). TEX é umaabreviação de τεχνη (techn), que também é a origem da palavra técnico.

• Knuth escreveu cinco livros sobre TEX: e TEX book, TEX: e Program, e METAFONT book,METAFONT: e Program e Computer Modern Typefaces, todos lançados pela Addison-Wesley.

• As versões de TEX são numeradas como aproximações do número π. A versão atual é a 3.141592.Knuth deseja que, após a sua morte o TEX não seja alterado, com exceção da versão, que deverá sera π. Analogamente, as versões de METAFONT são numeradas como aproximações do número e,base dos logaritmos naturais.

• Atualmente, os grupos de usuários TEX (www.tug.org) de diversos países são responsáveis pela dis-tribuição, manutenção e atualizações nas macros para TEX.

4 •Escrevendo e desenhandono fórum

O fórum do Programa de Iniciação Científica está associado a uma instalação do programa LATEX,utilizado para digitar matemática.

Para tal, você deve digitar [tex] comandos [/tex].Por exemplo, digitando

[ t e x ] \ f r a c 3 8 [ / t e x ]

o sistema converterá seu código para uma imagem contendo 38. A imagem só é exibida na mensagem

a ser visualizada clicando no botão Prever ou no botão Enviar. Sugerimos que você aprenda inici-almente a escrever os exemplos básicos abaixo, os quais representam mais de 90% da utilização doLATEX no fórum.

4.1ExemplosBásicos

3+5 ......................... 3 + 5

7-2 ......................... 7 − 2

\times ......................... ×3\times2 .................. 3× 2

3\cdot2...................... 3 · 2\frac38 ................. 3

8

3/8 ........................... 3/8

\dfrac38 ...............3

820\div3 .................. 20÷ 3

\ne ............................. =\pm ............................. ±10\% ......................... 10%a_1 ............................ a1

b_23 ....................... b23

x^11 ....................... x11

\sqrt2 ....................√2

\sqrt[3]2 ................3√2

< ................................ <

2<3 ........................ 2 < 3

\le ............................. ≤a\le b ................... a ≤ b

\ge ............................. ≥a\ge b ................... a ≥ b

(1,2) ...................... (1, 2)[1,2] ....................... [1, 2]\ ................................

\ ................................

\1,2\ .................... 1, 2

\mid-3\mid ............... | −3 |

19

20 Escrevendo e desenhandono fórum

Atenção! A melhor maneira de aprender a digitar em LATEX é praticando.Você não precisa decorar todos os comandos. Consulte-os neste manual,quando precisar. Após alguma prática, você já conhecerá os principais co-mandos e com certeza terá prazer em escrever usando o LATEX.

4.2LetrasGregas

\pi .............................. π

\Pi ............................. Π

\alpha ......................... α

\beta ........................... β

\gamma .......................... γ

\Gamma .......................... Γ

\Delta ......................... ∆

\delta .......................... δ

\epsilon ....................... ϵ

\phi ............................ ϕ

\lambda ........................ λ

\mu .............................. µ

\rho ............................ ρ

\sigma .......................... σ

\Sigma ......................... Σ

\theta .......................... θ

\Omega ......................... Ω

\omega ......................... ω

4.3Aritmética

\equiv .............................................................................................................. ≡\pmodn ................................................................................................. (mod n)a\equiv b\pmodn ............................................................................. a ≡ b (mod n)\phi(n) ......................................................................................................... ϕ(n)\lfloor x\rfloor ............................................................................................. ⌊x⌋\lceil x\rceil ................................................................................................ ⌈x⌉

Geometria 21

4.4Geometria

\angle ABC ................................... ∠ABC

\measuredangle ABC ........................ ∡ABC

A\hatBC ...................................... ABC

\widehatABC ................................. ABC

r\parallel s .................................. r ∥ s

r\perp s ....................................... r ⊥ s

\circ ................................................ 90^\circ ....................................... 90

\overlineAB ................................... AB

\vecv .............................................. v

\arcoAB..........................................AB1

\triangle ABC .............................. ABC

\cong ................................................ ∼=\triangle ABC \cong \triangle XYZ

ABC ∼= XYZ

\sim .................................................. ∼

\triangle ABC \sim \triangle XYZ

ABC ∼ XYZ

4.5Setas

\iff .......................................... ⇐⇒\Rightarrow ..................................... ⇒\Leftarrow ....................................... ⇐\Longrightarrow .............................. =⇒\longrightarrow .............................. −→\mapsto ........................................... 7→\rightarrow ..................................... →

\searrow ......................................... \downarrow ........................................ ↓\swarrow ......................................... \leftarrow ....................................... ←\nwarrow ......................................... \uparrow ........................................... ↑\nearrow .........................................

1Comando personalizado para o fórum


4.6SímbolosDiversos

\$ ............................... $\dots............................. . .

\ldots............................ . .

\vdots................................

\cdots..........................· · ·

\ddots............................

\ell................................ℓ

\infty...........................∞

\therefore ................... ∴\approx ........................ ≈\bullet ....................... •\diamond ...................... ⋄\Diamond ..................... 3

\Box .......................... 2

\heartsuit .................. \spadesuit .................. ♠\diamondsuit ...............

\clubsuit ................... ♣\star............................ ⋆\bigstar....................... ⋆\square ...................... \blacksquare ............... \TeX ......................... TEX

\LaTeX ..................... LATEX

\S ...............................

\P .............................. ¶

4.7Conjuntos

\in ........................... ∈\not\in ....................... ∈\subset......................... ⊂\not\subset .................. ⊂\cap ............................ ∩

\cup ............................ ∪\emptyset ...................... ∅\mathbbN .................... N\mathbbZ .................... Z\mathbbQ .................... Q

\mathbbR .................... R\mathbbC .................... C\mathcalP(X)........... P(X)

4.8Matrizes eDeterminantes

\beginmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endmatrix ...........................................................1 2

3 4

\beginpmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endpmatrix ....................................................

(1 2

3 4

)\beginbmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endbmatrix .....................................................

[1 2

3 4

]\beginBmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endBmatrix ....................................................

1 2

3 4

\beginvmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endvmatrix ......................................................

∣∣∣∣1 2

3 4

∣∣∣∣

Somatórios e Produtórios 23

\beginVmatrix1 & 2\\ 3 & 4\endVmatrix .....................................................

∥∥∥∥1 2

3 4

∥∥∥∥\beginpmatrix1 \\ 2 \\ 3\endpmatrix ...........................................................

1

2

3

\detA ........................................................................................................ detA

4.9Somatórios e Produtórios

\sum_i=1^n i^2......................................................................................∑n

i=1 i2

\displaystyle\sum_i=1^n i^2........................................................................

n∑i=1

i2

\sum_i=1^100 i(i+1)........................................................................∑100

i=1 i(i + 1)

\displaystyle\sum_i=1^100 i(i+1)..........................................................

100∑i=1

i(i + 1)

\prod_i=1^10 \fracii+1...................................................................∏10

i=1i

i+1

\displaystyle\prod_i=1^10 \fracii+1...................................................

10∏i=1

i

i + 1

\displaystyle\sum_i\ge 1 \frac1i^2 = \frac\pi^26..........................∑i≥1

1

i2=

π2

6


4.10Diversos

\begincasesx+y=10\\ x-y=4\endcases...................................................

x + y = 10

x − y = 4

1\overbrace22\dots2^405 ....................................................................... 1

40︷︸︸︷22 . . . 2 5

\underbrace11\dots1_100 ........................................................................... 11 . . . 1︸︷︷︸100

(\dfracax+bcx+d)................................................................................... (ax + b

cx + d)

\left(\dfracax+bcx+d\right).................................................................

(ax + b

cx + d

)

Você poderá praticar e aprender mais sobre LATEX no fórum de Suporte.Acesse o tópico Escrevendo Matemática com comandos LATEX.No mesmo fórum, você aprenderá a inserir imagens e a criar figuras com oLATEX.

4.11Construindo figuras comLATEX

É possível fazer desenhos dos mais variados tipos usando LATEX. Existem centenas de pacotes parafazer figuras. No fórum foram instalados os pacotes pstricks e pst-eucl. Os comandos para desenharfiguras devem estar entre as tags [teximg] e [/teximg].

Apresentamos a seguir alguns exemplos básicos de figuras feitas com pstricks. Em todos os casos,a imagem mostrada à direita contém, para facilitar a compreensão, uma grade de pontos que nãoconsta no código exibido.

Construindo figuras comLATEX 25

4.11.1Traçando segmentos de reta

Os comandos abaixo definem uma caixa com extremidades (0,0) e (4,4) e três segmentos de retaque têm por extremidades os pontos designados. O parâmetro opcional no segundo segmento([linestyle=dashed]) muda o estilo da linha para tracejado.

\beginpspicture(0,0)(4,4)

\psline(0,1)(1,4)

\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,4)

\psline->(1,0)(4,3)

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

4.11.2Circunferências

Para construir uma circunferência, devemos informar o centro e o raio com o comando\pscircle(x,y)r, sendo (x,y) as coordenadas do centro da circunferência e r o raio.

Na segunda circunferência, aumentamos a espessura da linha com o parâmetro [linewidth=2pt].


\pscircle(2,2)2

\pscircle[linewidth=2pt](3,3)1

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4


4.11.3RotulandoPontos

O pacote pst-euclides nos permite dar nome aos pontos e depois utilizar os nomes dados para fazeroutras construções. O comando \pstGeonode[PosAngle=α](x,y)Nome marca um ponto de coorde-nadas (x,y) com o rótulo Nome. O ângulo do rótulo em relação ao ponto é dado pelo parâmetroopcional PosAngle.


\pstGeonode(4,3)A

\pstGeonode[PosAngle=90](1,4)B

\pstGeonode[PosAngle=180](0,1)C

\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0)D

\psline(A)(B)(C)(D)(A)

\endpspicture

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

b A

bB

bC

b

D

4.11.4Utilizando coordenadas polares

É possível utilizar coordenadas polares para definir os pontos. Neste caso, devemos indicar a distânciar do ponto à origem e o ângulo θ formado entre o segmento de reta que une esse ponto à origem e oeixo x.

As coordenadas polares devem ser separadas por ponto e vírgula: (r;θ).

\beginpspicture(-2,-2)(2,2)

\psline(2;0)(2;72)

\psline(2;72)(2;144)

\psline(2;144)(2;216)

\psline(2;216)(2;288)

\psline(2;288)(2;0)

\psline[linestyle=dashed](2;0)(2;144)

\pscircle(0,0)2

\endpspicture

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

5 •Calendário dosEncontros

A parte presencial do Programa de Iniciação Científica será realizada em dez encontros presenciais,cada um com 8 horas/aula.

Os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica devem indicar as datas dos encontros nospolos, respeitando o seguinte calendário.

Encontro Datas ProváveisZero A partir de 23/03/131 06/04/132 27/04/133 18/05/134 08/06/135 06/07/136 03/08/137 31/08/138 28/09/139 26/10/1310 23/11/13

Nas páginas a seguir, você encontrará espaço para anotar a agenda dos encontros presenciais.Nossa sugestão é que você faça a anotação no final da aula, juntamente com o seu Professor

Orientador.

27

Encontro1•Data: / /

•Local: Nota daAvaliação:

•ConteúdosTrabalhados:

•Conteúdos a seremestudados emCasa: (indicarmaterial e páginas)

•ExercíciosResolvidos:

28

29

•Exercícios a seremresolvidos emCasa:

•Anotações:

•Comunicações entre a Família e oProfessorOrientador:






30

31


•Anotações:







32

33


•Anotações:







34

35


•Anotações:







36

37


•Anotações:







38

39


•Anotações:







40

41


•Anotações:







42

43


•Anotações:







44

45


•Anotações:







46

47


•Anotações:


6 • Coordenadores Regionaisde IniciaçãoCientífica –CRICS

O Coordenador Regional de Iniciação Científica (CRIC) é o responsável em sua Região/UF pelo Pro-grama de Iniciação Científica (PIC), bem como pelo acompanhamento dos bolsistas da OBMEP.Abaixo, encontra-se a relação de todos os Coordenadores Regionais de Iniciação Científica. AlgunsEstados estão divididos em sub-regiões.

• AC – Jerssiney Correa de OliveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (68) 9962-1643

• AL – Sinvaldo Silva da GamaEndereço Eletrônico: [email protected]: (82) 3214-1407

• AM – Danilo Benarrós (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (92) 3647-4400

• AP – Marcio Aldo Lobato BahiaEndereço Eletrônico: [email protected]: (96) 3312-1700

• BA – Luzinalva Miranda de Amorim (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (71) 3283-6287

• CE – Onofre Campos da Silva FariasEndereço Eletrônico: [email protected]: (85) 9673-0309

• DF – Kellcio Oliveira AraujoEndereço Eletrônico: [email protected]: (61) 3107-6488

• ES – Luzia Maria CasatiEndereço Eletrônico: [email protected]: (27) 4009-7665

49

50 CoordenadoresRegionais de IniciaçãoCientífica –CRICS

• GO – José Hilário da CruzEndereço Eletrônico: [email protected]: (62) 3521-1288

• MA – João de Deus Mendes da SilvaEndereço Eletrônico: [email protected]: (98) 8121-9137

• MG01 – Gilcione Nonato CostaEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3409-5790

• MG02 – Fernanda MouraEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3899-3006

• MG03 – Francinildo Nobre FerreiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (32) 3379-2549

• MG04 – Luiz Alberto Duran SalomãoEndereço Eletrônico: [email protected]: (34) 3239-4156

• MG05 – Marise Fagundes SilveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (38) 3229-8274/75

• MG06 – Wevesson Dalmaso SellinEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 3522-6037

• MG07 – Regis Castijos Alves Soares JuniorEndereço Eletrônico: [email protected]: (32) 9111-2334

• MG08 – Alexandre Alvarenga RochaEndereço Eletrônico: [email protected]: (31) 9124-0985

• MS – Sonia Regina Di GiacomoEndereço Eletrônico: [email protected]: (67) 3345-7043

• MT – Martinho da Costa Araujo (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (65) 3615-8917

• PA – João Pablo Pinheiro da SilvaEndereço Eletrônico: [email protected]: (91) 8112-2227

• PB – José de Arimatéia Fernandes (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (83) 3310-1161

51

• PE – Jorge Antonio HinojosaEndereço Eletrônico: [email protected]: (81) 332-64-84

• PI – Gilvan Lima de OliveiraEndereço Eletrônico: [email protected]: (86) 3215-5835

• PR01 – Ana Lucia da SilvaEndereço Eletrônico: [email protected]: (43) 3371-5868

• PR02 – Florinda Katsume MiyaokaEndereço Eletrônico: [email protected]: (41) 3361-3660

• RJ01 – Jair SalvadorEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2562-7505 r. 214

• RJ02 – Jones ColomboEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2620-5809

• RJ03 – Ivail MunizEndereço Eletrônico: [email protected]: (21) 2697-3631

• RN – Jose Querginaldo BezerraEndereço Eletrônico: [email protected]: (84) 3215-3780

• RO – Carlos Vinícius da Costa RamosEndereço Eletrônico: [email protected]: (69) 9983-1514

• RR – Raimundo Nonato Araujo PedroEndereço Eletrônico: [email protected]: (95) 3621-3141

• RS01 – Elizabeth Quintana Ferreira da CostaEndereço Eletrônico: [email protected]: (51) 3308-6217

• RS02 – Márcio Luís MiottoEndereço Eletrônico: [email protected]: (55) 9197-5446

• SC01 – Licio Hernanes Bezerra (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (48) 3721-9558 r.4205

• SC02 – Lucia MenonciniEndereço Eletrônico: [email protected]: (49) 9998-4388

52 CoordenadoresRegionais de IniciaçãoCientífica –CRICS

• SE – Valdenberg Araujo da Silva (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (79) 3212-6836

• SP01 – José Carlos Rodrigues (CR)Endereço Eletrônico: [email protected]: (18) 3229-5385/5359

• SP02 – Jefferson Luiz Rocha BastosEndereço Eletrônico: [email protected]: (17) 9123-4699

• SP03 – Raul Cintra de Negreiros RibeiroEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 4412-8163

• SP04 – Pablo Rodrigo GanassimEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 5084-7508

• SP05 – Débora BezerraEndereço Eletrônico: [email protected]: (11) 4366-5886

• SP06 – Ires DiasEndereço Eletrônico: [email protected]: (16) 9781-4063

• SP07 – José Arnaldo Frutuoso RovedaEndereço Eletrônico: [email protected]: (15) 3238-3400 r.3425

• TO – Dirlei RuscheinskyEndereço Eletrônico: [email protected]: (63) 3653-1531

7 • Clubes de Matemática daOBMEP

Projeto concebido para oferecer ambientes interativos nos quais será possível desenvolver, pesquisare criar atividades matemáticas de forma ampla e divertida.

Nesses espaços para estudar matemática, alunos do ensino fundamental e do ensino médiopoderão participar de atividades como gincanas regionais e nacionais, discussão de filmes, resoluçãode problemas, jogos; além de filmagens e atividades que utilizam programas de geometria dinâmica.

A participação nos Clubes de Matemática da OBMEP não será restrita a alunos de escolas pú-blicas, e um mesmo Clube poderá ter membros com níveis de escolaridade diferentes. Universitáriose até mesmo professores de matemática também poderão participar.

Você quer saber mais sobre este novo projeto da OBMEP? Então leia com atenção as informaçõesno endereço http://clubes.obmep.org.br/blog/ e venha participar dos Clubes de Matemática daOBMEP.

53

8 •OPECI

O PECI, Preparação Especial para Competições Internacionais, é um programa da OBMEP destinadoa preparar um grupo seleto de alunos da OBMEP para as competições internacionais. Ele foi criadoem 2009 e vem trazendo bons resultados.

As atividades são virtuais, no fórum do PECI, e presenciais, em encontros que ocorrem ao longodo ano. Em 2013 os alunos estão participando de 4 encontros presenciais, com professores com muitaexperiência em olimpíadas internacionais. Um grupo de 30 alunos do 9o ano do Ensino Fundamentalestá participando também de um novo grupo somente pela Internet, chamado PECI Virtual.

Nestes quatro anos, os alunos do PECI já obtiveram mais de 35 premiações internacionais, in-cluindo medalhas conquistadas na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO) de 2011 e 2012,realizadas respectivamente na Holanda e na Argentina.

A seleção para participar do PECI é realizada anualmente para alunos que cursarão o último anono ensino fundamental. Os alunos são escolhidos para participar da seleção a partir da premiação naOBMEP e do desempenho no PIC.

Apresentamos a seguir os problemas propostos na seleção do PECI para 2013. As soluçõespodem ser encontradas no blog do PECI no endereço http://peci.obmep.org.br/blog.

(1) André possui n pesos cujas massas em gramas são dadas pelos números 1, 2, . . . , n.

(a) É possível que André consiga dividir estes pesos em três grupos de mesma massa se n =2011?

(b) É possível que André consiga dividir estes pesos em três grupos de mesma massa sen = 2010?

(2) Fábio escreveu um número inteiro em cada uma das quarenta e nove casas de um tabuleiro 7×7.Ele fez isso demodo que, em cada quadrado 2×2 e em cada quadrado 3×3, a soma dos númerosescritos foi igual a 0.Prove que a soma dos números escritos por Fábio nas 24 casas que formam o bordo do tabuleirotambém é igual a 0.

55

56 OPECI

(3) Prove que a equação a2 + b2 = c2 + 3 possui infinitas soluções com a, b e c inteiros positivos.

(4) Os pontos A, B, C, D e E são vértices consecutivos de um polígono regular de 18 lados inscritoem uma circunferência de centro O. O ponto P está sobre a semirreta OA de tal modo que otriângulo OPB é isósceles de base OP.

(a) Determine a medida do ângulo CEB.

(b) Prove que PB = BE.

(c) Determine as medidas dos ângulos do triângulo PBC.

(5) Em uma fila existem 30 crianças marcadas com os números 1, 2, . . . , 30 da esquerda para adireita. Para cada criança marcada com o número i tal que 2 6 i 6 15, a quantidade de amigoscom número maior que i é igual a 1mais a quantidade de amigos com número menor que i. Paracada criança marcada com número i tal que 16 6 i 6 29, a quantidade de amigos com númeromenor que i é igual a 2 mais a quantidade de amigos com número maior que i.A criança 1 tem 19 amigos. Quantos amigos possui a criança 30?

(6) Colocamos 15 cavalos em um tabuleiro 15× 15 de modo que não existam dois cavalos em umamesma linha ou em uma mesma coluna. Cada cavalo faz então um movimento. Prove que agoraexistem dois cavalos na mesma linha ou na mesma coluna.Observação: O cavalo movimenta-se em L. Assim, um cavalo na casa marcada com

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podemover-se para as casas destacadas.

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manual - obmep2014.obmep.org.brobmep2014.obmep.org.br/docs/manualpic_2013_final.pdf ·...

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