CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIACLCULO FINANCEIRO Pgina 1 I PARTE: OPERAES FINANCEIRAS BSICAS CAPTULO 1: INTRODUO - CONCEITOS BSICOS 1. Objecto Do Clculo Financeiro Oobjectodocalculofinanceiroaplicaralgicaeosmtodosdamatemticaao estudoeanlisedasoperaeseconmicasatravsdasquaisfeitaaaplicao financeira ou o investimento directo de capitais, determinando o seu progresso em resultado e em funo de uma predeterminada rentabilidade, ou a sua produtividade em funo do processo desenvolvido. frequente o uso da expresso Matemtica(s) Financeira(s) em vez de Clculo Financeiro. No se discute esta dualidade. O juzo seguido foi o de que no existe na realidade nenhuma matemtica financeira. O que ocorre a necessidade natural dequantificarasoperaeseconmico-financeirascomrecursoobvio matemtica. Fazer contas calcular, no fazer matemtica. Comumfimdeentreajuda,oqueosmatemticostmfeitoelaborar sistematizaesespecficasdematemticasparaeconomistasefinanceiros, simplificando deste modo o trabalho destes. A aplicao financeira e o investimento de capitais oferecem trs aspectos basilares que constituem outros tantos ngulos de observao das operaes: i)ageraoeacumulaodosrendimentosobtidos,ousejaoprocessode capitalizao; ii) o retorno de capitais sua espcie monetria original aps concludo o ciclo da aplicaorealizada,ousejaoprocessode amortizao/reintegrao/recuperao; iii) aavaliaodosprprioscapitaisemfunodosfluxosderendimentoque produzem nos seus investimentos , ou seja o processo de actualizao. Estesngulosdevisotranscendemocamporestritodasoperaesfinanceiras tradicionaisdedepsitoeemprstimo,abarcandoassimtodoodomnioda microeconomia,dentrodoqualautilizaodocrditoconstituitosomenteum caso particular. Destemodo,passa-sedaanlisedoprocessoedarentabilidadedasoperaes financeirasstrictosensuparaaanlisedoinvestimentoerentabilidadede quaisquer capitais em geral. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 2 bastantehabitualempregaraexpressoClculoFinanceiroparaotratamento matemtico dos problemas de avaliao e deciso sobre investimentos. No se v a necessidadenemavantagemdaquelaexpresso,quandoumabrevereflexo evidencia rapidamente que a expresso clssica de clculo financeiro se aplica com plenapropriedadeerigoratodaamicroeconomia.Sugere-sequeaexpressoou ttulo de Clculo Econmico sejam reservados ao domnio da macro economia. NapticaadoptadaoCapitalpodeassumirqualquerdasformassobquese apresentanavidaeconmicareal:monetria,instrumentodeproduoouvalor intangvel de suporte. apenas um valor stock aplicado ou investido num processo econmico. Orendimentoourendadesteprocessoprodutivopode,emconsequncia,assumir qualquerdasfacetassobqueseconsidereemparticular:juro,aluguer(renda)ou lucro, consoante se trate respectivamente da cedncia do uso do capital-monetrio, dacednciadousodocapital-instrumento(capitalmobilirioouimobilirio),ou dosresultadosvariveisecontingentesdocapital-empresa(investimentodirecto num processo produtivo). Eataxaderentabilidade(rendibilidadeouprodutividade),portanto,arelao entre o rendimento produzido e o capital stock que o gerou dentro de cada perodo de produo considerado/ definido, seja qual for a natureza desse capital. Tal taxa de rentabilidade designar-se- por taxa de juro, taxa de retorno, taxa de lucro, taxa de produtividade, etc., consoante a espcie do capital stock e a situao econmico-jurdica da aplicao ou investimento. O juro (tal como o aluguer ou renda) geralmente pr fixado, podendo, no entanto, variaraolongodoprocessodeaplicao,enuncapodetervaloresnegativosem termos nominais. O lucro essencialmentevarivelepode ter valores nominais negativos(prejuzo visvel). Nestapticaalargadainsere-se,poroutrolado,umconceitoconsequenteque tantoextremamentegeralcomoimensamentetil:oconceitodefluxolquidoou fluxo de caixa (cash flow), que uma maneira de exprimir um rendimento atravs de valores contabilsticos especficos relativos operao de um certo capital stock. Comefeito,orendimentocalculadofazendoadiferenaentreasreceitase encargosefectivamenteimputveisquelaoperaocomplenaexclusividade.Por esteprocesso,obtm-seumataxaefectivaespecficaderentabilidade(ditataxa interna) do capital stock em causa. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 3 Assimtambmojuroumfluxolquidodecaixa,depoisdededuziraovalor recebido do muturio qualquer despesa especfica incorrida e tambm os impostos que sejam devidos (como o de aplicao de capitais e de selo). Neste contexto, o Clculo Financeiro poder ser mesmo definido como a tcnica de anlisedefluxosdecaixadecapitaisinvestidos,procedendosuatransformao emfluxosequivalentesquepermitamcomparaesedecisescomvistaa manobrar a aplicao dos capitais pela forma mais rentvel possvel. Porm(enoobstanteestageneralizaoeabstracoquantorentabilidadedos capitais)ojuropermaneceavarivelestratgicacentraldavidaeconmicae financeira,ebemassimavarivelbasilardoClculoFinanceiro.Deve,pois,ser-lhe dedicada uma ateno terica especial, no s para assentar em slido alicerce aqueladisciplinatcnica,comotambmparapenetrarnocernedoconceitoeda teoriadorendimentoemgeral.Naverdade,tendograndeparte,ouamaiorparte, doscapitaisinvestidosnasempresasorigemnocrdito,evidentequeataxade jurodosemprstimosnomercadodecapitaiscomandaefectivamenteonveldo investimentoeonvelrealizveldelucrolquidoempresarial,ousejadataxade rentabilidadedoinvestimentoglobal(capitaisprpriosealheios).assimqueo aumentodocustododinheiroconduzquebradoinvestimento,poispodefazer com que no valha a pena o esforo e o risco de investir. 2.Sntese Dos Conceitos De Capital, Dinheiro E Juro 2.1. Capitais e Dinheiro e o Preo do Seu Uso Desde que vivemos em economia monetria que as expresses capital e dinheiro se utilizam indistintamente num sentido abstracto equivalente. A palavra capital tanto se usa para significar um bem ou instrumento de produo denaturezafsicaoutangvel,utilizadodemododirectoouindirectonoprocesso deproduo,comoumvalorintangveltosomenteincorporadonopatrimnio contabilsticodumaempresa.Ou,maisabstractamenteainda,parasignificaro montante do direitodos proprietrios da empresa (capital accionista), ouas fontes definanciamentodoactivodasempresas(capitalprprioecapitalalheiooude crdito). A palavradinheiro significa indistintamente ouglobalmente o dinheiro moeda eo dinheiro crdito bancrio.Emparalelocomestasabstracesmonetaristasdocapital,dinheiroecrdito, tambm a noo genrica do juro de que este o preo de mercado daqueles bens ouvalores,ousejaopreopeloqualosdetentoresdosmesmosvaloresesto dispostos a ceder o seu uso. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 4 Notemosagoraqueotraocomumdoscapitais,dinheiroecrditoseremuma propriedadedealgum(ouosseusdetentoreslegais).Daqueosvocbulos renda ou aluguer que vulgarmente se utilizam para traduzir o preo pago pela utilizaodepropriedadesimobiliriasemobiliriasseremequivalentes,na realidade,aojuroemtermoseconmicos.Emsntesetem-sepoisqueojuroo preodoscapitais(eorendimentodosrespectivospossuidores),assimcomoo salrio o preo do trabalho humano ( e o rendimento das pessoas que trabalham) 2.2. A Lgica do Juro Hojeestultrapassadaavelhaquestolevantadapelosfilsofosdaantiguidade acerca da injustia do juro. Este o preo econmico da reconstituio dos capitais, quesotrabalhohumanoacumuladoparaaumentaraproduofutura(oupara usufruiremconsumofuturo),talcomoosalrioopreopelareconstituio permanente do trabalho humano. O que acontece que, por deficincias humanas, tanto o juro como o salrio podem serinjustosemdeterminadassituaesouocorrncias,querporserem excessivamentealtosquerporseremexcessivamentebaixosemrelaoaovalor econmico correcto que deveriam ter. E repare-se que as situaes de injustia - tal como delas se pode aperceber e julgar o senso comum- so sempre motivadas por posies relativas de fora. Suponhamosquenumailhaumreduzidogrupodehabitantesvivenumestado primitivodeproduo.Vivemquaseexclusivamentedepeixe,quepescamcom anzisimprovisadosoucomasprpriasmos.Emsuma,comosmeios rudimentares de que dispem carecem de trabalhar duramente para conseguirem os alimentosdiaadia....Imaginemosqueelesdecidemconstruirumaredeeuma canoa com o que podero duplicar, por exemplo e desde logo a produo de peixe. Este grupo tem dois caminhos: 1) Todos resolvem produzir a maior soma possvel de pescado, e ao mesmo tempo reduziroseuconsumodepeixeaomnimopossvel,demodoaconstruirum fundodepeixesecocapazdealimenta-losenquantotodos(outodosnuma primeirafaseealgunsnumasegundafase)tmdeabandonarapescaparase dedicarem fabricao da redee da canoa. 2)Partedaspessoascontinuaapescarenquantoaoutraparte-anecessriano mnimo - se devota construo da rede e da canoa, consequentemente em mais tempo do que na primeira hiptese,mas de qualquer modo significando sempre um sacrifcio na produo e no consumo, presentemente, de peixe. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 5 Este exemplo muito simples encerra em si e desencadeia logicamente as seguintes dedues e ilaes: -A construo de bens de capital- meios ou processos coadjuvantes, directos ou indirectos,deaumentaraprodutividadeeaproduonofuturo-representae significa sempre um certo sacrifcio de consumir. -Que este sacrifcio de consumir - que chamamos poupana - a base essencial enecessriaparaconstruirbens(ouinstrumentos)decapital(ouproduo)- acto este de construo que chamamos investimento. -Queosbensouinstrumentosdeproduosoumapartedaproduototalde uma colectividade, constituindo trabalho acumulado com o intuito de criar lucro futuro a partir dos acrscimos sucessivos da produtividade. O nosso grupo de nufragospodefabricarmaisredesecanoasparavenderouemprestaraos habitantes de uma outra ilha prxima, que se dedicam a produzir, por exemplo, sementesemexcessodassuasprpriasnecessidadesequepodemtrocarpor redes e canoas. -Queocapitalacumuladopodesersubstitudoporoutromaisprodutivo, carecendoemqualquerhiptesedeserconstantementesubstitudo,renovado, reforado,aperfeioadoesofisticado,paraalmdanecessidadedoesforode manuteno daquele que permanece em uso. -Queoacto de poupar (abstenode consumo), sendo condio necessria do investimento(construodosbens,instrumentosouequipamentosde produo) no condio suficiente pois que a poupana apenas libera factores deproduodosectordosbensdeconsumoparaosectordosbensdecapital, peloquesetornaindispensvelconsumaradecisodeproduzirmesmoestes bens de capital para haver realmente investimento. Poupanasemadecisodeinvestirentesouramentoeeste,seultrapassaro limite relativo admissvel de reserva de valor, acabar por tornar intil o esforo da poupana realizado e estancar a realizao de poupana futura. -Que o ganho ou lucro obtido com a capitalizao de factores de produo , portanto, sempre representado por um acrscimo na produo futura, acrscimo essequedependedaprodutividadedocapitalenvolvido(oqualtambmse chamadesdeKeinesaeficinciamarginaldocapital)equeprecisamenteo juro. 2.3. Produtividade Lquida Ou Eficincia Marginal Do Capital CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 6 VamosdardoisexemplosextradosdocompndioEconomics-AnIntrodution AnalysisdePaulSamuelson,umadasmelhoresobrasdecaractergeralquese publicaram dentro dos conceitos econmicos actuais. -Umamquinaquenoscustou100unidadesmonetrias(UM)duraumanode trabalhointenso.Podeseralugadaduranteesseanopor115UM.A produtividadelquidaoueficinciamarginalde115-100=15UM,ea respectiva taxa de 15UM / 100UM (custo original) ou seja 15%. -Umcertoequipamentoqueduraemprincipioindefinidamentepoderenderno mercado,em cada ano, uma vigsima parte do seu valor de custo, o qual foi de 1.000.000deUM.Vistoquetalequipamentonotemdesgastefsico,entoo seurendimentobrutode50.000(iguala1/20x1.000.000UM)podeser tratado como um rendimento lquido. Assim, a taxa de produtividade lquida de 5% = (50.000 / 1.000.000). Conclui-sedestesexemplosqueaprodutividadelquidadumcapital,na verdade, expressa por uma taxa de rendimento sobre o seu custo . Ovocbuloeficinciasignificaqualquermedidadegraudefuncionamentoou desempenhoemtermosdeumpadroouobjectivoprdeterminado,pordizer respeitoaumbemdecapital,operaesdetodaanatureza,funcionamentode organizaes, ou desempenho de indivduos. Em economia, a eficincia traduz: a capacidade/habilidade de produzir a uma dada taxa com menores custos; a capacidade/habilidade de produzir a uma maior taxa com menos custos. Em sentido lato, por conseguinte, significa no fundo o mesmo que lucratividade ou rentabilidade,masemsentidotcnicorestritootermoeficincia(oueficcia) eliminaquaisquernveistransitrios(bastantealtosoubaixos)queoslucros oferecem, pois aponta para um nvel esperado ou standart de rentabilidade. Aexpressomarginaltraduzumexcedente,incremento,oudiferencialalmda reproduo, reconstruo de um valor de custo. Este excesso ou margem constante, portanto, a nica fonte possvel de lucrolquido. E aqueleexcessosomente ser este lucro lquido se no houver mais nenhum custo a incorrer. Poisbem,ataxadejuronumestadonaturaldaeconomiaexactamentea produtividade lquida ou a eficincia marginal do capital. Esta taxa tem como justificao, do lado da oferta dos capitais, a compensao pela esperadosquepoupamoueconomizam,isto,deixamdeconsumiragorapara CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 7 faze-lomaistarde,realizandoassimumsacrifcio;enoladodaprocuraa justificao reside na disposio ou preferncia dos tomadores de capitais em pagar um certo prmio ou gio pelo uso dos mesmos, a comear imediatamente, em vez de fazerem uma acumulao prvia de fundos durante um determinado perodo de tempo eles prprios. Masadeterminaodonveldastaxasdejuromuitomaiscomplexadoque aquilo que ficou dito, e se j no h praticamente discordncia quanto explicao dofundamentoeconmicodosjuros,continuasemformulaounanimemente aceite uma teoria unitria que explique o nvel das taxas de juro, isto , porqu 3%, 5%, 10% ou 20% ao ano. Vamos no seguimento procurar dar uma ideia do estado deste problema 2.4. Taxas de Juro do Mercado Vimos que a taxa natural, que o mesmo que uma taxa pura, uma funo: -de haver utilidades/pessoas que poupem, esperando receber mais no futuro; -daeficciadastecnologiasetcnicasdeproduo,sendoevidentequemaior produtividade comporta maior taxa de juros; -da escassez relativa de capital e/ou de mo de obra, uma vez que maior procura decapitalelevaporsisosjuros,assimcomomaiorprocurademodeobra elevaossalrios-eaelevaodesteselevaocustodosbensou equipamentos/instrumentos de capital, arrastando consigo o aumento daprpria taxa, por fora da expectativa de aumentos futuros continuados. Mas nos mercados reais outras foras intervm para influenciar o valor das taxas de juro,ecomimpactostoimportantescomoosdascausasprimriasqueditamas taxas naturais ou puras. Essasforasfazemintervirpelomenosmaisquatroelementosnaformaoe composio das taxas de juro: i) O risco das aplicaes, dependendo de serem tomadores prsperos ou tomadores decomportamentoduvidoso;oudeseremttulosdoEstado,daAdministrao Regional ou do domnio privado; ou de serem operaes de longo prazo ou de curto prazo. A taxasermenor para tomadores deelevado crditoe para o Estado; ser maior para operaes a longo prazo, uma vez que envolvem um maior risco que as operaes de curto prazo. ii)Ocustodaintermediao,ousejaataxaagregadaaointermediriofinanceiro em funo principalmente do custo de captao dos recursos. iii)Acorrecomonetria,isto,aparcelanecessriapararepornofimdo perodo - em situao inflacionria - o poder aquisitivo do capital emprestado. Esta parcela pode ter um impacto tanto ou mais relevante do que os ingredientes da taxa CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 8 pura, tanto mais que se confunde tambm com a expectativa de inflao futura, isto , com a taxaesperada da elevaodo ndice de preos no futuro prximo- facto que Keines ps em especial relevo na sua teoria do juro. iv)Porltimo,osimpactosdirectose/ouindirectosdaspolticasmonetriase fiscaisdogovernonosentidodecontrolar,reorientar,realinhar,estimularou incentivar a economia. O efeito desteelemento de polticaeconmicae financeira do governo tanto pode sernosentidodeagravarcomodedesagravarataxadejuros,ediferentemente conforme o sector da economia, consoante os objectivos que haja em vista naquela poltica. Em sntese tem-se que: -Ataxanaturaloupura,acrescidadasparcelasderiscoedecustoda intermediao do sistema bancrio, constitui a taxa de juros real; -Acrescendo-seacorrecomonetriaeacorrecodiscricionriaearbitrria decretadapelogoverno(correcoquepodeterefeitopositivoounegativo) obtm-se a taxa de juros nominal ; -A taxa nominal sempre a taxa do mercado, enquanto que a taxa real a taxa de mercadoemtermosdeumaeconomiaemsituaodefuncionamentoperfeito. As duas taxas aproximam-se na medida em que aumenta a estabilidade de preos e emprego e o governo se abstenha de intervir. 2.5. Taxa de Juro e Inflao Jdissemosqueainflaoumdoselementosfundamentaisqueintervmna determinaodataxanominaldejuros.Narealidadeasimplesexpectativade continuada subida do nvel geral de preos tem de ser reconhecida agora como uma dasvariveismaissignificativasnadeterminaoemgeraldosagentes econmicos. Na taxa de juros, a inflao passou a ser no momento que vivemos a parcelamaisimportantenacomposiodoseuvalor.Atnumaeconomiada dimenso dos Estados Unidos, por exemplo, quando a Prime Rate est em 10% isso significa que a taxa real de 4% a 5% e o restante traduz a inflao esperada nos meses prximos. Mas uma forte correlao entre a taxa nominal de juros e o nvel de preos fora j umfactoobservadoemperodospassadosdealtaepersistenteinflao(ou deflao). Emtaisperodosdepersistenteealtavariaonospreos,osseusefeitossempre assumiram magnitude que se sobreps aos efeitos das outras variveis normalmente componentes dos fenmenos econmicos e mais significativamente no juro. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina 9 KeineschamouaestacorrelaodeParadoxodeGibson(oeconomistaingls A.H. Gibsonescreveuvrios artigosacerca do relacionamentoentre o rendimento dos ttulos de longo prazo e o nvel de preos na Inglaterra). Eumparadoxoporqueemtermosdeeconomiaclssicaataxadejurosdeveria em princpio descer se a massa monetria subisse (oferta de moeda maior, logo um preomenor...),oraaconteceocontrrio...(porm,amassamonetrianoa oferta. Logo no h paradoxo). OeconomistaeestatsticonorteamericanoIrvingFisher,nofinaldosculo passado, j havia feito uma anlise muito simples e muito directa da relao entre a taxadejuroseainflao,aproveitandoaobservaodeumaquedaacentuadae prolongadaquenessapocaocorreunastaxasdejurosnosEstadosUnidos.Sem quaisquer preconceitos derivados das aparncias tericas da teoria quantitativa que entoimperava,etosomenterecolhendoosresultadosreaismensurveisda observao. Fisher concluiu que, na realidade, a taxa de juros nominal do mercado composta de dois elementos conceptualmente independentes: - a taxa de juros real (a eficincia marginal do capital e o risco das transaes) - a expectativa de variao nos preos. Chamemos(i)taxadejurosnominale(r)taxadejuroreal.Umaunidade monetria emprestada taxa (r) dever proporcionar ao mutuante no final do ano a quantia(1+r).Massehouveraexpectativadequenoprximoperodoospreos voterumasubida,oemprestadorapenascontinuaraoferecerosseusrecursos financeiros se a taxa (r) for acrescida de um valor (uma sobretaxa) correspondente variao esperada no ndice de preos. Porconseguinte,sendo(f)ataxadeinflaoesperada,aquantiaqueomuturio (tomador de fundos) dever devolver ao emprestador ter de ser (1+f) vezes maior doquequandonoexistiamexpectativasinflacionrias.Ouseja,aquantiaem causa dever ser agora: (1+r) (1+f) e a relao entre as taxas (i) e (r) ser ento: (1+i) = (1+r) (1+f) resolvendo a igualdade obtm-se: i = r+f+r*f r+f(1+r) f+r(1+f) r = (i-f)/(1+f) Paraumasituaoinflacionriapersistentementecrescente,ovalorde(f)tende para tomar em considerao no apenas a expectativa a curto prazo, mas antes um valor mdio das expectativas a mdio prazo. Assim,sendo (Po) o ndice de preos nopresente,(Pn)omesmondicenofimdoprazo(n)considerado,e(Pn)a variao desse ndice ao longo do tempo (n), ter-se- que: CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina10 f= (Pn/n) (1/P0) ovalortendencialsuperiorsimplesexpectativadeinflaonoperodo(ano) seguinte: f > f = (P1/P0) Uma situao de inflao continuadamente crescente arrasta consigo a expectativa duma continuada subida dos preos, donde resulta um estado de esprito estimulado paraumaantecipaodecompraseformaodestocks,sendoosprodutosde consumo durvel os que atingem o mximo da procura. Acontece, assim, uma dissoluo da funo da moeda como reserva de valor. Mas emcontraste,aprocurademoeda(decrdito)pararealizarodesideratode antecipar compras e fazer stocks contribui s por si para o crescimento da taxa de juro. a bola de neve de efeitos combinados acelerativos. 3. O Processo De Capitalizao ACapitalizaoaaco-etambmoefeito-deadicionarcumulativamentea um capital os juros produzidos em consequncia de uma aplicao econmica desse capital. Paraefeitodoclculodojuro,otempodivididoemperodosdedurao constante. O ano a unidade de tempo bsica do processo de capitalizao, pois o perododoexerccioeconmico-administrativodavidadasempresas,deoutras instituiesemgeral,edasactividadesoramentalefiscaldosgovernos.Nos nossosdias,oanotornou-seuniversalmentecoincidentecomoanodecalendrio (de 1 de Jan. a 31 de Dez.). Mas no clculo financeiro o ano um perodo qualquer de doze meses consecutivos. Ojuroemcadaperododecapitalizaoigualaocapitalnoiniciodoperodo multiplicado pela taxa de juro referida mesma unidade de tempo.Este produto do capital por uma taxa em cada data de vencimento do juro foi, desde temposremotos,abaseempricadoClculoFinanceiroequeconstituioalicerce sobre o qual assenta toda a construo terica do mesmo. Em smbolos matemticos, sendo Jn o juro do perodo (n); Cn-1 o capital no incio do perodo (n), ou seja no fim do perodo (n-1); e (i) a taxa de juro convencionada, tem-se por definio que: Jn=Cn-1i CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina11 onde sucessivamente n =1,2,3,.... Quantoaodestino,perodoaperodo,dosjurosproduzidoshdois comportamentos extremos possveis: os juros serem liquidados (levantados) no vencimento de cada perodo; os juros serem adicionados ao capital. No primeiro regime, os juros de cada perodo so sempre calculados sobre o capital primitivo(inicial),ditotambmdeprincipal.Portanto,senuncahouveralterao da taxa de juro estipulada, o juro peridico ter invariavelmente o mesmo valor. Este processo de clculo e de liquidao do juro constitui o regime de juro simples. tambm chamado de processo de juro constante ou de capitalizao linear. No segundo regime h capitalizao dos juros, sendo a liquidao do capital e juros acumuladosefectuada no final do processo de capitalizao. O valor dos juros vai crescendoemcadaperodosucessivoporforadeoclculoserfeitosobreuma basedevalorprogressivamenteaumentada.Esteprocessodeclculoede liquidaodojuroconstituioregimedejurocomposto.tambmdesignadopor processodecapitalizaogeomtricaporquantoomontanteacumuladocresceem progresso geomtrica. Tambm se diz que h anatocismo num processo de capitalizao quando os juros produzidossoacumuladosaocapitalprincipalgerandoporsuavezjurosno futuro..Anatocismo,pois,aproduodejurospelosprpriosjuros.Ecapital acumulado o resultado do anatocismo do seu rendimento. Entreosdoisextremosdosregimessimplesecompostohumainfinidadede regimesmistosconcebveis,emqueumapartearbitrriadejurosliquidada conformeoprocessodejurosimpleseaoutraparterecapitalizadaconformeo processo de juro composto. Porm, estes regimes mistos no tm qualquer interesse para a construo terica do clculo financeiro. Parafinalizar,deixemosregistadoqueotermocapitalizao/capitalizartambm assumeoutrossentidosnalinguagemeconmico-contabilstica.Designadamente, significaregistarnumacontapatrimonialdeactivofixo(imobilizado)ovalorde custo (ou aquisio) de um bem ou instrumento de capital, cuja contribuio para o processo produtivo e correspondentes benefcios esperados acontecero ao longo de CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina12 umcertonmerodeperodosfuturos,consoanteavidatildaquelebemou instrumento. E em pura linguagem contabilstica e fiscal, capitalizar tambm significa incorporar lucros lquidos, livres e no distribudos, na conta de capital social. Mas mais generalizadamente, capitalizar significa a absteno de retirar da empresa rendimentosproduzidos(equeseriamlegitimamenteapropriadospelos empresrios), reservando-os para fins de autofinanciamento do crescimento futuro, ou por precauo para fins de segurana face ameaa de riscos provveis. 4. O Processo De Actualizao Aactualizaoaoperaoinversadacapitalizao.Pelacapitalizao,comose viu,adiciona-seojuroaumcertocapital,constituindoessasomaomontante acumulado. Pela actualizao, deduz-se ou desconta-se o valor daquele mesmo juro de modo a reconstituiraquelemesmocapitalprimitivo.Emtermosmatemticosecomos smbolos j utilizados, o valor de um capital no fim dum perodo (n) igual ao seu valor no fim do perodo anterior (n-1) mais o juro produzido aolongo do perodo (n), ou seja: Cn = Cn-1+Jn = Cn-1 + Cn-1 * i Cn = Cn-1 (1+i) emqueCn-1ocapitalprimitivoeCnomontanteacumulado.Entoovalorde Cn-1 tira-se imediatamente: Cn-1=Cn/(1+i) =Cn(1+i)-1 Estes processos inversos ou recprocos podem ter uma representao grfica como por exemplo: Processo de capitalizao (C0C1>C0 Ospontos(0),(1),(2),...,(k),...,(n)soosperodossucessivosdecapitalizao emqueoponto(0)aorigemdoprocesso,eoscapitaisC0eCnsoocapital inicial e o capital acumulado no final. Os juros podem ser produzidos por qualquer dos regimes simples, composto ou misto (em termos de processos de clculo), no sendo em qualquer caso nunca, por hiptese retirados do bolo. Asomadetodososjurosproduzidos,(semnuncaseremretirados),aocapital principalC0irproduzindosucessivamenteaolongodoprocessooscapitaisde valor crescente C1, C2,...,Ck,...Cn-1, Cn. Aextirpaoemsentidoinversodosjurosrelativosacadaperodo,apartirdo capital final Cn, ir reconstruindo os capitais primitivos no incio dessesperodos, atsechegarnestemovimentoderetroacoaocapitalprincipalinicialdo momento zero. Esteprocessodeactualizardenomina-sedemtodoracional,porquantoa actualizaodumcapitaldevelogicamenteseraacodereproduziroseuvalor medianteodescontodosjurosqueeleprpriotenhageradonumprocessode capitalizao.Anecessidadequesurgiunoclculofinanceiroparaempregaro vocbuloracional,emalgoquejracionalemsimesmo,foimotivadapelo facto de existir consagrado na prtica um outro mtodo de abordagem e de clculo que,comoveremosmaistardenaalturaprpria,temdeserclassificadode irracional. Aactualizaoassumeumsentidoequivalenteaodeavaliaosedissermosque vamosachar(avaliar)ocapitalqueproduziuumacertasucessodejuros peridicos durante um dado tempo. Este modo de considerar o problema confirma que o mtodo racional no processo de actualizao , tal como no de capitalizao, calcular os juros sempre sobre o valor do capital no incio de cada perodo. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina14 Nestemomentopodemosresumiroquadrodasexpressesquesocorrentemente utilizadas,noclculofinanceiroenaprticafinanceira,emrelaocomos processos de capitalizao e de actualizao: Operao de Capitalizao (Acumulao) C0 - Capital inicial ou principal; Cn ou M - Capital ou Valor Acumulado, ou Valor Adquirido; J - Juros globais produzidos durante o perodo (n); i-Taxadejurooudecapitalizao,queojurodocapitalunitrionotempo unitrio; (1+i) - Factor de capitalizao unitrio Operao de Actualizao (Desconto) C0 ou V - Valor actual, ou valor presente ou valor descontado. Tem de ser : C0= C0= V; Cn ou M - Valor futuro ou final. Tem de ser: Cn= Cn= M; E - Desconto global efectuado pelo tempo (n). Tem de ser E=J; - Taxadedescontooudeactualizao,queodescontodocapitalunitriono tempo unitrio. Dentro do esquema racional definido tem de ser: =i 1/(1+i) = (1+i)-1

( factor de actualizao unitrio que obviamente) (1+i)-1=(1+)-1 Este esquema em sntese ordenado e com smbolos simtricos faz sugerir uma outra maneira de daruma ideia palpvel dos processos de capitalizaoe actualizao- um objecto e a sua imagem invertida num espelho. 5. Operaes Financeiras Na Prtica 5.1. Conceitos e Definies CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina15 Operaesfinanceirasoaquelasemqueseencontramenvolvidoscapitaiscom direitoaorecebimentodumjuroexplcito,oudandolugaraplicaodeumjuro implcito. Nestahiptesebasilardaexistnciadeumcertojuroassentamqueraprpria naturezadumaoperaofinanceiraquertodaaestruturatcnicadoclculo financeiro. Comobjectivosprticos,aclassificaofundamentaldasoperaesfinanceiras: (1) a curto, mdio e longo prazos; (2) operaes certas e incertas. Operaescertassoaquelasemqueaduraoesttaxativamentefixada,no dependendo da ocorrncia de nenhum evento aleatrio ou contingente. A alterao do prazo de vigncia poder vir a ter lugar mediante acordoentre as partes, assim comoseralteradaataxadejuroououtroelementodaoperao,queestano deixar de ser certa, porquanto de uma maneira ou deoutra ser sempre realizada dentro do prazo que em definito vier a ser fixado. Numaoperaoincertaasuaduraoestdependentedaocorrnciadeum determinadoeventoaleatriooucontingente,eventoessecujaverificaonunca deixadeserconsideradaaindaqueosoutroselementosoufactoresdaoperao sofram qualquer modificao posterior realizao do contrato. Asoperaescertasconstituemodomniodoclculofinanceiro.Asoperaes incertasoualeatriasconstituemodomniodoclculoactuarial,noqualtemde entrar como ingrediente uma taxa de probabilidade da ocorrncia aleatria, alm da taxa de juro que de modo geral se acha implcita nas operaes de seguro de vida e nas reservas tcnicas dos seguros. Asoperaescertasacurtoprazodestinam-seessencialmenteaalimentaras necessidadesdetesourariaemtermosdeefectividadedeliquidez.Asoperaes certasalongoprazo(globalmentealmde1ano)destinam-seafinanciaros projectos de investimento. Asoperaesincertasacurtoprazoconstituemocampodossegurostemporrios deduraoaqumdeumano,paraprotecodosriscosinerentesvidaou doenadossereshumanos,ouqueafectamosbenseconmicos.Asoperaes incertasalongoprazoconstituemocampodossegurosamaisdeumano,ou vitalcios,relativosvidahumana,eossegurosprorrogveisporanossucessivos relativos aos bens econmicos. 5.2. Glossrio de Operaes fundamentais As seguintes operaes so a essncia da vida financeira: 5.2.1.Depsito CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina16 Emsentidomaisgenricoodepsitosignificaaguardadedinheiro,ttulos,ou quaisqueroutrosvaloresporumaterceirapessoa,sobconfiana,porumperodo limitadodetempo.Apessoaquedepositaodepositanteeaqueguardao depositrio. O depsito bancrio uma operao pela qual uma pessoa confia a um banco, por umperododesdelogodeterminadoouno,comousembenefciodeumjuro, fundos que poder ou no utilizar livremente. Assim, o depsito bancrio pode ser concretizado de dois modos: (1) registado numa conta ordem da qual podem ser feitos saques sem restrio at ao montante do mesmo depsito (e neste caso pode nohaverlugaraodireitodeumjuro,ouestesermeramentesimblico);(2) registadonumacontaespecialaprazosujeitaalevantamentosemconformidade com os termos de uma conveno pr estabelecida e vencendo um juro adequado. As intenes e finalidades do depsito bancrio podem ser de trs ordens: i)colocar fundos ao abrigo dos riscos de perda, roubo, incndio, etc. ummotivo de segurana. ii) Beneficiar dos vrios recursos das tcnicas bancrias comvista liquidao de dvidas(pagamentosaterceiros,transferncias,compensaes,movimentaes cambiais, etc.); ou para fins de cobrana de crditos (cobrana de cheques, ordens de pagamento, letras de cmbio, etc.). um motivo de comodidade. iii) Aplicarfundosresultantesdepoupanas(ouaforro)compropsito remunerador. um motivo de investimento ou capitalizao. esteterceiromotivoqueoriginaosdepsitosaprazo.Buscandouma colocao estvelesegura,osdepositantespermitemaosistemabancrioadisponibilidade defundosemvolumeeconsistncianecessriosconcessodecrditosaprazos mais longos e consequentemente em operaes mais lucrativas do que as tm como base de sustentao a massa flutuante dos depsitos ordem. Atravsdosistemabancriocomointermedirio,odepsito,pois,umaforma efectiva de capitalizao e a fonte mais importante do emprstimo, que por sua vez abasedeapoioimprescindvelaoinvestimentonaseconomiasmonetrias.O depsito e o crdito bancrios constituem, de facto, o binrio estrutural das aces financeiras ao servio das aces econmicas. Emestreitarelaocomostermosdepsitoedinheirosurgenavidafinanceirae comercial corrente um termo de generalizada utilizao: fundo ou fundos. Por detrs da sua vulgaridade, este vocbulo oferece um amplo espectro de sentidos que convm referir: -Noplural-fundos-otermoequivalenteacaixa-dinheiro,oudinheiros,ou pretende abarcar a globalidade do capital circulante, ou simplesmente doactivo disponvel. -A palavra composta fundo-de-maneio significa precisamente a diferena entre o activo e o passivo correntes. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina17 -Maisespecificamente,significaomontantedodinheiro,ttulosdecrdito,ou mesmo outros valores activos, colocados nas mos de um fiel depositrio e cuja soma principal e rendimentos sero administrados, aplicados ou despendidos nos termosreguladosporumcontratoformal,quepodeserdotipodocontratode adeso. -Aindadentrodesteexemplododinheiro-espcie,significaummontantepr fixadodecaixa-dinheiro,separadodosoutrosdinheiros,eespecificamente consignadooudestinadoaumacertafinalidadedeutilizaonotempo decorrente. -Numsentidolegaleemcontabilidadepblica,umfundoasomadedinheiro (oumesmodeoutrosvalores)constituindoumaentidadecontabilstica autnoma,quecriadaemantidaparaumdeterminadofimespecfico,ecujas movimentaes e transaces delas derivadas esto sujeitas a regras e restries legais e administrativas. -Masemsentidofinanceiropropriamentedito,umfundoomontante sistematicamenteacumuladoatravsdeumoumaisdepsitosnecessrioseda integraonessesdepsitosdosjurosproduzidos,sendoestesmovimentos registadosnumacontaespecficacomoobjectivodeprovidenciarpelo pagamento, liquidao ou cobertura de uma responsabilidade assumida, ou uma contingnciadeterminada.Poroutrolado,aconstituiodefundosdesta naturezaecomestesobjectivoscompreendenecessariamentecaixa-dinheiroe outros valores activos disponveis ou realizveis, at concorrncia dos valores desses fundos. 5.2.2.Emprstimos Em termos de extrema simplicidade, o emprstimo a cedncia de alguma coisa a algum com o compromisso deste de a restituir ao fim de um certo tempo. Nodomniofinanceiroquenosocupa,acoisaemprestadadinheiro-monetrioe hsemprelugaraopagamentodeumdeterminadojuro(porvezes antecipadamente), e para finalizar estes entendimentos invariavelmente elaborado um contrato, ou h um contrato proposto por uma das partes ao qual a outra adere. de interesse a seguinte classificao dos emprstimos: a) Quanto ao caracter pblico ou privado do muturio: EmprstimospblicoscontradospeloEstado,Municipalidades,eempresas pblicas; Emprstimos contrados por particulares e empresas privadas. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina18 b) Quanto nacionalidade do mutuante: Emprstimos externos (contrados com entidades estrangeiras) Emprstimosinternos(contradosnoespaonacionalcomentidades nacionais ) c) Quanto ao nmero de mutuantes: Um nico mutuante (emprstimos ordinrios) Vrios mutuantes (emprstimos por obrigaes) d) Quanto garantia que encerram: Emprstimossemgarantiaespecialparaalmdaqueemgeralgozamos credores em face dos princpios da lei civil. Emprstimoscomgarantiaespecial,quepodeserreal(hipotecaoupenhor) ou pessoal (fiana e aval). e) Quanto onerosidade ou gratuidade: Emprstimos com juros (caso normal) Emprstimossemjuros-nosooperaesfinanceirasenotmnenhum interesse no mbito do calculo financeiro. f) Quanto obrigatoriedade de emprestar Emprstimos voluntrios, que so os normais Emprstimos forados - sob a forma de depsitos obrigatrios reembolsveis, vencendoounojuros,eobviamenteemqueoEstadoomuturioeos mutuantessosempreoscidadosouempresasprivadas.Noum emprstimo mas verdadeiramente um quase-imposto. g) Quanto finalidade: Financiar o consumo (como as vendas a prestaes) Financiaroinvestimento(parafinanciarinfra-estruturas,equipamentose outros bens de capital em geral ou para financiar a produo). h) Quanto durao do emprstimo: Emprstimosperptuosouconsolidados-spodemserdainiciativado Estado Emprstimos temporrios - a curto prazo (at 1 ano), a mdio prazo (de 1 a 5 anos) e a longo prazo (alm de 5 anos). i) Quanto ao processo de amortizao CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina19 De amortizao sistemtica, que o caso normal De amortizao no sistemtica (por pagamentos soltos e aperidicos) Masaessnciaeconmicadoemprstimoqueatravsdeleosrecursos financeirosresultantesdapoupanadaquelesquenodesejaminvestir(ouno esto em condies de investir) so colocados ao servio daqueles que no dispem desses recursos em quantidade suficiente, mas tm o desejo e a capacidade (e esto em condies) de poder investir com sucesso previsvel.Semo dinamismo impulsionado pela existncia do emprstimo seria inimaginvel o progresso que tem caracterizado a era moderna industrial, e nem sequer o avano cientfico e tecnolgico que est implcito nesse progresso. Pode notar-se nesta altura que a poupana dos indivduos e das empresas constitui a fonte material dos fundos de emprstimos. Nalinguagemdotempopresente,ostermosfinanciamentoeemprstimousam-se indistintamentecomidnticosignificado.Averdadequequandoserefere emprstimoest-seapensarnosaspectoscontratuais(jurdicos).Quandose referefinanciamentoest-seapensarnosaspectoseconmico-financeirosda operao. Osemprstimosoufinanciamentosvoocuparumapartesubstancialdeste compndio, como aplicao que so da teoria matemtica das rendas. Convm,noentanto,introduzirjaquinestepargrafodegeneralidadesos conceitos fundamentais que dizem respeito estrutura dosemprstimose forma de proceder quanto sua liquidao. As variveis elementares que enquadram o emprstimo so: a) O capital emprestado (C); b) Oprazoouduraodoemprstimoqueotempo(n)duranteoqualdeveser reembolsadoocapitalemprestadoepagososjurosproduzidos,aolongodesse tempo, sobre os saldos em dvida no incio de cada perodo de pagamento; c) A taxa de juro (i) convencionada; d) Omododeefectuarospagamentosperidicos,oqueenvolveadefiniodos perodosdepagamento(anual,semestral,etc.)eamaneiradetratara amortizao do capital e a liquidao dos juros; Sendo (Qk) a parcela da amortizao no perodo (k) e (Jk) a parcela do juro devido nessemesmoperodo,esendo(J)oencargofinalnominaldetodososjuros,o montante(M)queodevedorvaipagarnoconjuntodetodosos(n)perodosda liquidao do emprstimo ser obviamente: nn M = C+J = Qk +Jk k=1k=1 em que tambm obviamente CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina20 nn C = Qk J=Jk k=1 k=1 claro que (Qk) e (Jk) poderiam ser quaisquer valores no decurso dos (n) perodos, nacondiodequeseverificassemasigualdadesacima.Naprticaporm,so praticadasapenasquatromaneirasfundamentaisdefazeraliquidaodum emprstimo: i)Reembolsaratotalidadedocapitalepagaratotalidadedosjurosnomomento final do prazo do emprstimo. o sistema do montante final; ii) Pagarosjurosvencidosnofimdecadaperodo(sempredeigualvalor)e reembolsaratotalidadedocapitalnofinaldoemprstimo,juntamentecomo pagamentodojurodoltimoperodo.osistemadopagamentoperidicode juros, ou sistema de juro constante; iii) Pagarumaprestaoigualemtodososperodosdeliquidao,contendocada prestaoumaparcelarelativaamortizaodocapital(Qk)eumaparcelado juro do perodo (Jk) de tal modo que sempre constante a soma (Qk+Jk) para os sucessivostemposK=1,2,3,...,n.osistemadeprestaes(ouanuidades) constantes.desdelogoevidentequeosvaloresdosjurosperidicosso decrescentes, sendo necessariamente crescentes os valores das quotas peridicas deamortizao.Oclculodestesvaloresexigeoestudoprviodasrendas Assuntoqueiremosabordarposteriormente).Paraj,bastareconhecerqueo capitalremanescentevai-setornandocadavezmenor,doqueresultairem diminuindoosjurosdecadaprestaoporincidiremsobreumabasesempre menor.Ecomoovalordaprestaoconstante,claroestqueaparcelade amortizao de cada prestao vai aumentando com o tempo. iv) Pagar uma prestao constante como amortizao do capital emprestado, isto : Q=C/n,epagarconsequentementeosjurossobreosnsaldosremanescentesdo capitalemcadaperodo.osistemadeamortizaesconstantes,deaplicao muito fcil e portanto bastante popular. Continua, como no sistema precedente a ser vlida a relao: Prestao = Amortizao + Juro mas agora as prestaes so decrescentes uma vez que os juros em cada perodo sucessivo tambm o so. Neste sistema no necessrio a aplicao da teoria das rendas,poisfcilreconhecerqueoclculodasprestaessegueoseguinte processo elementar: a) Calcular a parcela constante de amortizao mediante a diviso do capital pelo nmero de perodos (pagamentos); b) Calcularosjurosdecadaperodosucessivopelaaplicaodataxada operao sobre o valor do capital remanescente no incio de cada perodo; c) Calcular o valor de cada prestao pela soma do valor (a) com o valor (b). Estesquatrosistemaspodemservisualmenteconfrontadosatravsdosseguintes grficos ilustrativos: CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina21 i)Capital + Juros0 1 2 n TempoSistema do Montante Final ii)Capital + Juros do Perodo (n)Juro Simples0 1 2 n TempoSistema do Juro Constante iii)JurosAmortizao0 1 2 n Tempo Sistema das Prestaes Constantes CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina22 iv)JuroAmortizao0 1 2 n Tempo Sistema da Amortizao Constante 5.2.3.Desconto De Efeitos Viu-seanteriormentenaanlisedescritivadoprocessodeactualizaoqueo desconto a operao que conduz determinao do valor primitivo de um capital realizvel no futuro aps a acumulao de um certo juro. Sob um ponto de vista mais generalizado, pode dizer-se que, sendo estipulado que uma certa soma (c) pagvel dentro de um determinado prazo (n) o seuvalorem qualquer poca anterior necessariamente menor que (c). A operao que consiste emcalcularestevalorrealnomomentopresente(ouvaloractual)chama-se desconto. Emtermoseconmicospuros,tem-sequequalquercapitalofereceumfluxode rendimentosesperadosnofuturo.Consequentemente,sercapitalizadopelos compradoresevendedoresnomercadoemfunodessesrendimentoseportanto avaliado na base do valor actual presente dos mesmos rendimentos. Destas circunstncias resulta que um dado capital (c)- valor para o seu detentor- podesertransaccionadoporumoutrovalor(c)maioroumenorque(c),tudo dependendodovaloractualdosseusrendimentosfuturosemexpectativa.Ento tem-se: C > C - existe lucro C < C - existe prejuzo C = C - o capital no tem rendimento nem expectativa de perda. Masnaprticafinanceiraecomercial,descontoaoperaopelaqualuma instituiodecrditoadquireapropriedadedeumaletradecmbio,extractode factura,promissriaoulivrana,pagandoimediatamenteoseuvaloraoportador delasantesdovencimento,deduzidodecertapercentagemproporcionalaotempo quefaltaataovencimentodosttulos.Estapercentagemumjuroedesigna-se por prmio de desconto. Odescontoconstituiaviamaiscorrentementeutilizadaparamobilizarocrdito bancrio.Nofundo,odescontobancrioumemprstimoconcedidopelobanco ao cedente (portador da ttulo de crdito). CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina23 CAPTULO 2: OPERAES FINANCEIRAS DE CAPITAIS INDEVISOS 1. Processos De Capitalizao Simples E Composta 1.1. Domnios de Aplicao do Juro Simples e do Juro Composto O regime simples deve ser encarado como de excepo no domnio do clculo das operaes financeiras. A realidade que ele ficou consagrado pela prtica habitual de sculose pela facilidade de clculo que oferece, porquanto o tratamento lgico matemticoquefoimuitodepoisdesenvolvidoterianaturalmente institucionalizadoousouniversaldojurocomposto,quesorespeitoporfactos consumados no permitiu. Osseguintestiposdeoperaessosusceptveisdeutilizaratcnicadojuro simples : a) As cedncias de dinheiro de uns bancos a outros por prazos curtos (em regra da ordemdosdias),comvistaaequilibraromercadomonetriomediantea movimentaodamoedadaquelesbancosqueatenhamemexcessodassuas necessidades de liquidez para outros que dela carecem momentaneamente; b) Oscrditos(emprstimos)acurtoprazo(atumano)queosbancoseoutras instituies financeiras concedem aos seus clientes; c) O desconto pela banca dosefeitos comerciais queos fornecedores recebem dos seuscompradoresemliquidaodevendasefectuadasacurtoprazo(mais frequentemente at 180 dias); d) A manuteno, dentro de cada perodo anual, das contas correntes comerciais ou bancrias com juros; e) Oclculodospagamentosescalonadosemcasodevendasaprestaes. Contudo,nadalegalmenteimpedequenestecasoparticularosclculossejam efectuados pelo regime do juro composto; Paraoperaesamdioprazoealongoprazooregimedejurocompostoalei universalmente seguida nos mercados financeiros. Quando aplicado,o regime composto incidente desdeomomento inicial (tempo zero) das operaes, isto , nunca se aplica o regime simples para o primeiro ano e oregimecompostoparaosanosseguintes.Noobstante,tudooacimaexpostoe determinado,nodevedeixardeserobservadoqueaplicaroregimedejuro simplesouoregimedejurocompostopoderserencaradocomoumaquestode mera conveno entre os interessados (devedor e credor), j que sempre possvel escolher uma taxa de juro para um regime que produza o mesmo resultado final, a outrataxadeefeitoequivalentenooutroregime,tantoparaumamesmadurao CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina24 total da operao como para duraes diferentes. O que no legitimo empregar a mesma taxa em ambos os regimes. Seestataxaforataxacorrentedomercado,umadaspartesficarcomumamais valiacustadaoutraparte.Seforumataxasuperior,seraindamaisgravetal apropriao abusiva. 1.2. Montante Acumulado a Juro Simples (Js) Oesquemaabaixodesenvolvedemodovisveloprocessodecapitalizaoajuro simples definido anteriormente: C0 C0C0C0C0C0Tempo 0123n-1 n J1=J2 =j3 =Jn-1= Jn Juros produzidos Ojurosempreeexclusivamenteproduzidopelocapitalinicialtaxaanualde juros (i) ou seja: J1 =J2 = J3 = ...=Jn-1 = Jn = C0 i E o juro global , obviamente: J = J1+J2+...+Jn-1+Jn = C0 i n ou seja (n) vezes o juro constante (C0 i) tomando um capital qualquer (C) tem-se: J = C i n que a frmula bsica do juro simples : CAPITAL x TAXA x TEMPO. Para o capital unitrio e o tempo unitrio, o juro igual taxa, como por definio foi estabelecido. Admite-se que o juro capitalizado e adquirido dia a dia, mas que apenas pagvel emintervalosregulares,ounovencimentodocontrato.Assim,nofimdecada perodo, o capital em divida (C0+C0 i). Se o juro (C0 i) for pago imediatamente, o capitalemdvidavoltaaserocapitalinicial(CO),oqueahiptesedebasedo regime de juros simples. Mas podemos admitir e convencionar que o juro constante peridico no seja liquidado e antes guardados, sem vencer juros, para ser pago em globonofinaldoprocessodecapitalizaojuntamentecomocapitalinicial,ou seja a soma global (C0+C0in). Considerando uma capital qualquer (C) tem-se: M=C(1+in) CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina25 queafrmuladomontanteajurossimples,isto,ovaloracumuladodeum capital a juro simples taxa (i). Estaoperaodotipoj=a+bx;porissoojurosimplessedizdecapitalizao linear.Avarivel dependente o capital acumuladoe a varivel independente o tempo, sendo constante o capital inicial e a taxa de juro. O montante acumulado a juro simples cresce, pois, em linha recta. Adiante se far a sua representao grfica em conjunto com o montante acumulado a juros compostos. Ahipteseformuladodeojuroperidiconoserpagoperodoaperodo,sendo sucessivamenteadicionadoaocapitalprimitivosemdireitoavencerjuros,pode ocorrernaprtica.Nestecasocostumachamar-seaoprocessoderegimedito simplesparadistinguirdoregimesimplespuroemqueojurosucessivamente retirado nas datas de vencimento. Da frmula do montante obtm-se as frmulas derivadas do prazo e da taxa, como segue: n=(M-C)/(Ci) i=(M-C)/(Cn) 1.3. Montante Acumulado A Juro Composto Para o processo a juro composto o esquema antes utilizado tem a seguinte estrutura: C0 C1C2C3Cn-1CnTempo 0123n-1 n J1k ik = u e o coeficiente de fraccionamento vem: = i/u ouseja:oquocienteentreataxaanualdescontnuaeataxaanualcontnua. Retomemosoutravezaequaodataxaequivalenteetransformemo-lapor logaritmizao neperiana: (1+i)=(1+ik)k CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina40 L(1+i)=k L(1+ik) Sendo o primeiro membro uma constante, quando (k) crescer indefinidamente ter forosamentequedecrescerindefinidamenteovalordeL(1+ik).Etorna-sebvio que este no limite o valor da taxa infinitsima de capitalizao que produz a taxa anual contnua (u ), isto : limk > k L(1+ik) =limk >kik = u= L(1+i) donde 1+i=eu Um exemplo ser til para ilustrar toda esta anlise. Sejam: i=12% = 0,12 Fraccionamento mensal: km=12 Taxa proporcional: i12=0,12/12=0,01 Taxa equivalente: im =11212, -1=0,0099489 Taxa anual correspondente: i=mim=12*0,009489=0,113868 Coeficiente de fraccionamento: = immi = 0,12/0,113868 = 1,053852 Reproduo da taxa bsica (i): i= i=1,053852*0,113868=0,12 Taxa instantnea (contnua): ueL=L(1+i) u =L1,12 =0,113329 alternativamente: u =log( )log1+ ie =0 0492180 4342945,, =0,113329 Coeficiente de fraccionamento instantneo: = iu = 0,12/0,113329=1,058864 chegadaaalturadeapresentarumpanoramageraldaproblemticado fraccionamento do tempo no processo de capitalizao composta. No quadro 1 est feito um resumo de smbolos e formulas das taxas de juro para os perodos mltiplos e submltiplos do ano. Note-se em especial o tipo de simbologia CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina41 adoptadaparadistinguirastaxasproporcionaiseequivalentes,aqualser invariavelmenteseguidaaolongodestecompndio.Nabasedoquadroesto tambmresumidasasrelaesmatemticasfundamentaisrespeitantesstaxas equivalentes. Noquadro2estotabuladososvaloresdasvriastaxasproporcionaise equivalentes,emordem decrescente da durao do perodo de tempo, desde o ano at ao instante. Foi escolhida para este efeito a taxa anual bsica de 24%, com vista aobterresultadoscomdiferenassuficientementevisveiseavaliveisdentrodo campode5decimais.Narealidade,vimosqueadiferenaentreastaxas proporcionaiseequivalentesgeralmentebastantereduzidaemesmodesprezvel tantoparaperodoscurtoscomoparataxasdejurodebaixovalor.Astaxas proporcionais constantes da coluna (3) deste Quadro (devalor i/k) so tambm as taxas equivalentes (reais e efectivas) no caso da capitalizao a juro simples. E no casodacapitalizaocomposta,essastaxasproporcionaissoapenastaxas nominais, sendo as taxas reais as que constam das colunas (4) e (5). A taxa instantnea a juros contnuos apenas exprimvel em termos anuais, j que, comoseviu,ataxafraccionriaparaotempoinstantneopodetosomenteser representada pelo smbolo matemticolimk > L(1+ik). TAXAS DE JUROS QUADRO I RESUMO DE SMBOLOS E FRMULAS PERODO TAXAS PROPORCIONAIS TAXAS EQUIVALENTES COMPOSTAS Anual (Bsica)ii=(1+i)1-1 =i i= 11+ i -1 =i Quadrienal 4i=4iiQ=(1+i)4-1 Trienal (Trianual) 3i=3iiT=(1+i)3-1 Bienal (Bianual) 2i=2iiB=(1+i)2-1 Semestral i2=i2 is= 1+ i -1 Quadrimestral i3=i3 iq= 13+ i -1 Trimestral i4=i4 it= 14+i -1 Bimestral i6=i6 ib= 16+i -1 Mensal i12=i12 im= 112+i -1 Semanal i52=i52 iw= 152+i -1 Diria i365=i365 id= 1365+i -1 CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina42 Instantneauu =log( )log1+ ie=log( ),10 4342945+ i 1+i=(1+ik)k 1+ ik=1+ik 1+i=ue u =log( )log1+ ie=L(1+i) CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIACLCULO FINANCEIRO Pgina 1 QUADRO II Perodo do Ano (1) Fraco do Ano (2) Taxas Proporcionais a 24% (3) Taxas Equivalentes a 24% (4) Taxas Anuais Equivalentes s Taxas Proporcionais (5) Coeficientes de Fraccionamento =(3)/(4) Semestral 12,0 11,35529 25,440000 1,05678 Quadrimestral 1/3 8,0 7,43371 25,97120 1,07618 Trimestral 6,0 5,52501 26,24770 1,02597 Bimestral1/64,0 3,6502326,531901,09582 Mensal 1/12 2,0 1,80876 26,82418 1,10573 Semanal 1/52 0,461539 0,41453 27,05484 1,11340 Dirio 1/365 0,065753 0,05895 27,11330 1,11540 Horrio 1/2760 0,0000273973 0,0000245564 27,12421 1,11568 Instantneo 1K 24,0 anual 21,51114 anual 27,12492 1,11570 i=24%1/ki/k ik= 1+ ik-1 i=(1+ik)k-1 =ik ki CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIACLCULO FINANCEIRO Pgina 1 TodoocontextodestequadroIIevidenciaqueomontanteacumuladoajuros compostosaumentamedidaqueonmerodecapitalizaesaumenta,atingindoa intensidademximacomacapitalizaocontnuadeinstanteainstante.oquese comprova nogrfico abaixo: Para um certo capital (C) e uma taxa anual (i), a curva correspondenteaosmontantesemfunodonmerodecapitalizaes,numtempo constante,temaconcavidadeparaoeixodasabcissas,nocrescendo proporcionalmentecomoaumentodessascapitalizaes,masantescadavezmais lentamente. M=C(1+ik)knc0 n Sendo(n)umtempoconstante,omontante(M)nestadefinioparticularolimite da capitalizao quando (k) tende para infinito. 9. Montante Acumulado A Juro Contnuo E Formulas Derivadas Logaritmizando a equao da taxa instantnea nas bases neperiana e decimal obtm-se as relaes 1+i =ue L(1+i) = uL e log(1+i) = ulog e dondeseisolamasfrmulasdastaxasdescontnuaecontnuaemfunoumada outra: i = ue-1 u= L(1+i) u= log( )log1+ ie CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina46 E considerando a taxa fraccionria equivalente (ik) tem-se: (1+ik)k = ue K L(1+ik) = u= k log (1+ik) = ulog e donde ik = uke-1 ik=L ike( ) 1+ -1 u= k L(1+ik) u= kekilog( )log1+ Generalizando a equao da taxa instantnea para o tempo (n) e o capital (C), obtm-se imediatamente as seguintes equaes do montante acumulado contnuo e frmulas derivadas: M= Cu ne C=Mneu J=C(u ne -1) CAPTULO3:PROCESSODEACTUALIZAOEDESCONTODE CAPITAIS 1.Valor Actual E Desconto Em Juro Simples Viu-se atravs da anlise do processo de actualizao que o valor actual de um capital (C), s realizvel numa poca futura (n), o capital (V) que, colocado a juros taxa (i)duranteotempo(n),produzirumvaloracumuladoiguala(C).Nestestermos tem-se: V+Vin=C V(1+in)=C V=Cin 1+ frmula do valor actual a juro simples. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina47 Por definio, o desconto (E) ser a diferena entre o capital futuro (C) e o seu valor actual (V): E=C-V Substituindo valores tirados da frmula do valor actual, o desconto vem expresso em funo de (C) e de (V) pelas frmulas seguintes: E=C(1- 11+ in) = Cinin 1+ E=V(1+in) - V = Vin Lembrando que ovalor do juro simples J=Cin, v-se facilmente que (J)e (E) esto relacionados entre si pela equao: J=E(1+in) = E+Ein isto ,o jurosimples do capital (C) igual ao desconto a juro simples desse capital mais o juro do mesmo desconto.As frmulas anteriormente deduzidas traduzem o tratamento racional e o valor terico correctododescontoajurosimples,queporissosechamadescontoracionale vulgarmente desconto por dentro.Na prtica comercial, aoperao dodesconto foi desde sempree fundamentalmente mobilizada atravs do crdito bancrio. Os empresrios obtm dos seus banqueiros o pagamentoimediatoantecipadodosefeitoscomerciaisdassuastransaes mediante a deduo do desconto (prmio de desconto bancrio). E os bancos, por bvio motivo de simplicidade, calculam este desconto pela aplicao dataxadejurosobreoprpriovalornominaldocapitalfuturoexplcitonottulo descontado, isto : D=Cin frmuladodescontobancrio,tambmchamadocomercialoudescontoporfora (clculodirectosobreocapitalconhecido-valorporfora-emoposioaoclculo sobre a valor actual desconhecido - valor de dentro). Portantotem-sequeodescontopordentroojurodovaloractualdocapital, enquanto que o desconto por fora o juro do valor nominal do mesmo capital. A frmula do valor actual no regime de desconto por fora deduz-se ento: V=C-D = C-Cin =C(1-in) frmula do desconto comercial CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina48 A relao entre os valores dos descontos por dentro e por fora obtm-se facilmente a partir da frmula do desconto por dentro: E=Cinin 1+ =Din 1+ D=E(1+in) D=E+Ein ou seja,o desconto por fora igualao desconto por dentro mais o jurodo desconto por dentro. Por outras palavras, a diferena entre o desconto por fora e o desconto por dentro o juro do desconto por dentro. Assim, o excesso do desconto por fora sobre o desconto por dentro tanto mais acentuado quanto maior for a taxa de juro (i) e maior aduraodotempo(n).Comefeito,ojurosimplescresceindefinidamentecomo tempo. Em absoluto contraste, o desconto por dentro uma fraco que tende para o valor do capitalnominal(C)quandootempo(n)cresceindefinidamente,epermanecendo sempre abaixo desse valor. Na verdade E=Cinin 1+=Cini1+ = limn E = Cii = C O grfico abaixo ilustra estas realidades que derivam do aumento do tempo: D CEn1/i (D) cresce indefinidamente, (E) cresce a caminho de (C), e quando o tempo atinge o valor 1/i, o valor do desconto por fora igual ao valor do capital nominal descontado, enquanto o desconto por dentro nesse momento precisamente a metade; e para n>1/i o desconto por fora excede o capital descontado. por isto que na prtica o emprego do desconto por fora limitado a operaes de curto prazo - mais frequentemente at 180 dias, como j se disse. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina49 Paraalmdocurtoprazo,oumuitocurtoprazoparataxaselevadas,odescontopor foraseriaimpraticvel-salvoadoptandotaxasdejuroadequadamenteinferioress taxas correntes no mercado. Na verdade, pelo emprego do desconto por fora, o banco est a emprestar um capital actualV=C-Dmasacobrarumjurosobreocapitalnominal,eodevedor (descontante)ficaapenasadispordocapitalactual,maspagandojuroscomose dispusessedocapitalnominal.Oraocorrectoserpagarjurostaxadomercado sobreocapitaldequeefectivamentesedispe.Daqueemrelaoaestecapital que deve ser analisada a taxa de juro que efectivamente se paga, isto : e(taxa efectiva)= Juro AnualCapitalUtilizado = CiV = iin 1 Ao mesmo resultado se chega fazendo a equivalncia entre os valores entre os valores actuais racional e bancrio: 11+ en=(1-in) 1+e n-in-ie n2=1 e -i-ie n=0 donde se tira: e =iin 1i=ee 1 n e >ii M M2= M Isto , qualquer forma de ciso, ou de operao que modifique os pontos focais rompe oequilbrioprecedente,passandoahavernovasequivalncias,Oqueteriaa CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina64 aparnciadeserfinanceiramentelgiconoacontecematematicamentecomojuro simples.Estamaisumaparticularidadequelevaalgunsautoresaafirmarqueo regimedejurocomposto(econsequentementeodescontocomposto)constituio verdadeiro sistema racional do clculo financeiro. 2. Casos Particulares De Equivalncia Financeira 2.1. Substituio ou Reforma de Efeitos Comerciais. Vencimento Mdio Na vida comercial surge constantemente a necessidade ou o interesse de substituir um conjuntodeobrigaesoucapitaisporoutroconjuntofinanceiramenteequivalente. Para esseefeito, as partes intervenientes devem concordar sobre aestrutura do novo conjunto, uma taxa de juro a aplicar, e a nova ou novas datas de liquidao. Portanto, aresoluodesteproblemaprticoconsistesempreemestabelecerumaadequada equao de valor, igualando um s capital a um conjunto de capitais, ou um conjunto de capitais a outro conjunto. Quando o caso substituir um conjunto de obrigaes por uma nica obrigao, cai-senoproblemadeacharocapitalcomumcomorespectivovencimentocomum: vrios Ck (k=1,2,3,...), com vencimentos respectivamentenk (k=1,2,3,...) devemser substitudos por um nico capital (C) com vencimento no prazo (n). Este capital comum resulta das equaes: -Em juro simples com desconto racional Cin 1+ = Cin111+ + Cin221+ + ...+ Cinkk1+ = Cinkk1+ -Em juro simples com desconto bancrio C(1-in) = c1(1-in1) + C2(1-in2) + ...+ ck(1-ink) =C1 - C1in1 + C2 - C2in2 + ...+Ck - Ckink donde CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina65 C(1-in) = Ck(1-ink) -Em juro composto C(1+i)n = C1(1+i)1n+C2(1+i)2n+...+Ck(1+i)kn = Ck(1+i)kn Neste caso, a incgnita vulgarmente o (C); mas pode ser o (n) ou mesmo o (i). Na situaodojurocomposto,oclculodataxadejuronicaspodeserfeitopor tentativasprticas.Masseastaxasdoscapitais(Ck) foremdiferentesde(i)esejam evidentementedadas,entooclculodataxa(i)paraocapitalnicopodeser calculada algebricamente mesmo em juro composto: C(1+i)n = Ck(1+i)kn (1+i)n = CC ik knk( ) 1+ i=CC ik knnk( ) 1+ -1 Em todas as frmulas desenvolvidas foi pressuposto que os capitais (C), (c1), ..., (Ck) socapitaisdiferentesediferidos,paraosquaisseprocuraumacondiode equivalncia, sendo apenas implcita a evidncia de que o capital comum (C) deve ser maior que qualquer dos capitais do conjunto (em condies normais de taxas de juro). Maspe-seocasoparticulardesedesejarqueocapitalcomumeosvrioscapitais que lhe sejam equivalentes tenham valores nominais iguais, ou seja: C = C1+C2+...+Ck oqueumahiptesenicaentreainfinidadedehiptesesadmissveis.Nestecaso particularovencimentocomumtomaadesignaodevencimentomdio(ouprazo mdio). Com esta hiptese, nenhuma alterao algbrica vivel na frmula do juro simples comdescontoracional,assimcomonadojurocomposto.Nocasodojurosimples comdescontobancrio,oseguintedesenvolvimentoconduzaumafrmulamais simplificada e com uma implicao de interesse (o que importante, por ser o regime CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina66 de juro simples com desconto bancrio aquele queoferece mais aplicao na prtica no tocante ao problema da substituio de efeitos comerciais). Tem-se: C - Cin = Ck - iCknk, mas Ck = C, logo C - Cin = C - iCknk Cn = Cknk C = C nnk k n = C nCk kk = C nnk k isto , no caso particular de ser (C=Ck) tanto o capital comum como o vencimento comum(vencimentomdio)sototalmenteindependentesdataxadejuro.Eagora tambm se v porque se chama a (n) vencimento mdio: , com efeito, prazo mdio da operao ponderado com os capitais. Emregimedejurocompostotambmassumeinteresseparticularahiptesedeum capitalcomumigualarasomadoscapitaisproduzindojuro.Desdelogo,ovalordo capital nico passa a ser um dado conhecido (C=Ck), pelo que a nica incgnita de interessequerestaacharovencimentocomum-quepassaaserovencimentoou prazo mdio. Exemplificando, calcule-se o vencimento (prazo) mdio das seguintes obrigaes: 10.000 dentro de um ano; 15.000 dentro de um ano e nove meses 20.000 dentro de trs anos e meio sendo o juro de 12% aa 45.000x1,12n' = 10.000x1,121+15.000x1,121 75 ,+20.000x1,123,5 = 34.681,5 1,12n' = 34 681545000. ,. = 0,7707 1,12n' = 1,297522 CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina67 n = log ,log ,129752212 = 2,3 E agora a frmula prtica: n = 10000 1 15000 175 20000 3545000. . , . ,.x x x + + = 2,35 ento n = 2,3 2 anos 3 meses 18dias n = 2,35 2anos 4 meses 6 dias Se for C= C1+C2+...+Ck os valores (n) e (n) afastam-se com o aumento da diferena e com o agravamento da taxa de juro. A frmula intuitiva e emprica. Postoisto,consideremosagoraoproblemaaoinvs,ousejasubstituirumanica obrigao por um conjunto de obrigaes. A este problema chama-se desdobramento deumcapitalouefeito.bvioqueasequaesantesdesenvolvidaspermanecem imutveis:apenassucedequeocapitalnico(C)passaaserumdadoeoscapitais (C1,C2,...,Ck)soasincgnitas.Maslogosetornadeigualmodobvioqueo problemastemsoluoprticapossvelnocasoparticulardeoscapitais desdobradosseremtodosdomesmovalor,ouexistirentreelesumarelaoque permitaexprimirtodosdosegundoaoltimoemfunodoprimeiro(variandoem progressoaritmtica,emprogressogeomtrica,oucadaumserummltiplodo primeiro capital). Ora a hiptese de os capitais serem de igual valor a mais corrente, sendo portanto: C1 = C2 = ...=Ck = T Assim, as equaes que fornecem o valor de (T) apresentam-se como segue -Em juro simples com desconto racional T (111+ in+112+ in+...+11+ ink) = Cin 1+ T 11+ ink = Cin 1+ -Em juro simples com desconto bancrio CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina68 T ( ) ( ) ... ( ) 1 1 11 2 + + +

((in in ink = C(1-in) T (k-i nk) = C(1-in) T = C ink i nk( ) 1 -Em juro composto C (1+i)n = T( ) ( ) ... ( ) 1 1 11 2+ + + + + +

(( i i in n nk C = T( ) ( ) ... ( ) 1 1 11 2+ + + + + +

(( i i in n n n n nk T = Cin nk( ) 1+ b) Pagamentos parciais variveis Com frequncia, os compromissos financeirosso liquidados atravsde uma srie de pagamentos parciais (ou prestaes) ao longo do prazo contratual, em vez de por um pagamento nico no vencimento desse prazo. Tal questo equivalente ao problema dodesdobramentodeumaobrigaonumconjuntodeobrigaesparciais.As frmulasderesoluodoproblemaforamjapresentadasparaessahiptese.No entanto, para a liquidao de dvidas comerciais com relativamente reduzido nmero depagamentos,tambmmuitocorrenteocasodepagamentosvariveiscom intervalos variveis de tempo. EstetipodeproblemapodeserresolvidocomaregradeMERCHANT, pelaqual estabelecida uma equao de valor com a data de avaliao coincidente com a data de vencimento.Ojurocalculadosobreadvidaoriginalesobrecadapagamento parcial at data do vencimento. A importncia final em dvida a diferena entre o montanteacumuladodadvidaoriginaleasomadospagamentosparciaisantes efectuados. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina69 Portanto,oproblemacentraldestescasosacharosaldofinalapagarnadatado vencimento aps ter sido efectuada uma srie de pagamentos parciais. Exemplo com juros simples Umaobrigaode200.000comjurosde15%aavence-sedentrodeumano.O devedorpaga60.000nofimde5mesese80.000nofimdenovemeses.Acharo saldo devedor (ltimo pagamento) na data do vencimento. Tem-se 200.0 (1+0,15) = 60.000 (1+0,15 x 712) + 80.000 (1+0,15 x 312) + X X = 81.750 Uma equao genrica ser: A (1+i) = T1 (1+i n nn1) + T2 (1+i n nn2) + ...+ Tk (1+i n nnk) X Nocomrcio,costumafazer-seosclculosnumadisposiovertical.Paraonosso exemplo numrico como se segue: DescrioValores Dbito original200.000 Juros de 15% (12 meses)30.000 Soma230.000 Primeiro pagamento60.000 Juros de 7 meses x 60.000 5.250 Segundo pagamento80.000 Juros de 3 meses x 80.000 3.000 Soma148.250 Saldo em dvida81.750 230.000 Exemplo com juros compostos Umaobrigaode200.000comjurosde15%aavence-sedentrode20meses.O devedor paga 40.000 no fim de 7 meses; 50.000 no fim de 12 meses; 70.000 no fim de 16 meses; e o saldo no vencimento. Achar o valor deste ltimo pagamento. Paracalcularcomanosprecisoprimeirotransformarosmesesemanos equivalentes: CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina70 7 meses 7/12 = 0,5833 anos 12 meses = 1 ano 16 meses 16/12 = 1,3333 anos 20 meses 20/12 = 1,6667 anos O tempo a decorrer entre cada pagamento e o vencimento final o seguinte: Para 7 meses 1,0833 = 13 meses Para 12 meses 0,6667 = 8 meses Para 16 meses 0,3334 = 4 meses Para 20 meses 0= 0 meses Ento tem-se: 200000(1+0,15)1 6667 ,=40000(1+0,15)1 0833 ,+50000(1+0,15)0 6667 ,+70000(1+0,15)0 3334 ,+X X = 77.700 Numa tabulao vertical tem-se: Descrio Valores Dbito original200.000 Juros de 15% (20 meses) 52.460 Soma252.460 Primeiro pagamento40.000 Juros de 13 meses x 40.0006.540 Segundo pagamento 50.000 Juros de 8 meses x 50.000 4.882 Terceiro pagamento 70.000 Juros de 4 meses x 70.000 3.338 Soma174.760 Saldo em dvida 77.700 252.460 Comosmesmossmbolosadoptadosparaoexemploajurosimples,pode-se estabelecer para o juro composto a seguinte equao de valor genrica: A(1+i)n=T1(1+i)n n 1 + T2 (1+i)n n 2 + ...+ Tk (1+i)n nk + X CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina71 Apenasparaojurosimpleseumreduzidonmerodepagamentos,oproblemaem causapodeserresolvidoporumaoutraregradesignadadejurosobreosaldo devedor,oufrmuladocapitalemdvida.Porestaregra,ojurocalculado sistematicamentesobreosaldoporliquidardadvidaapscadapagamentoparcial efectuado. No caso de um pagamento exceder o juro ento devido, a diferena aplica-separareduzirodbito.Seopagamentomenorqueojurodevido,entoo pagamentopermanecesemjurosatqueoutrosparciaissejamefectuadoseasua soma exceda o juro devido no momento do ltimo dos pagamentos parciais. Tomandoosdadosdoexemplocomjurossimplesilustrativodaregrade MERCHANTafrmuladocapitalemdvidaparaaregradojurosobreosaldo devedor desenvolve-se assim: {|200.000(1+0,15512)-60.000| (1+0,15412)-80.000}(1+0,15312)-X = 0 X = 83.130 No habitual desenvolvimento vertical os clculos so como se segue: DESCRIOVALOR Dbito original200.000 Juros de 5 meses12.500 Dvida aps 5 meses212.500 1 pagamento60.000 Sub-total152.500 Juros de 4 meses7.625 Dvida aps 9 meses160.125 2 pagamento80.000 Sub-total80.125 Juros de 3 meses3.005 Dvida aps 12 meses83.130 ltimo pagamento83.130 3. Taxa Mdia De um Conjunto De Capitais Dado um conjunto de capitais C1, C2, ..., Ck, aplicados durante os prazos n1, n2, ..., nk s taxas de juro respectivamente i1, i2, ..., ik designa-se por taxa mdia desseconjunto CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina72 taxa(i)quesubstituindoparacadacapitalassuastaxasi1,i2,...,ikproduzomesmo capital comum no mesmo momento comum.Este problema de achar uma taxa nica que substitua (k) taxas distintas produzindo o mesmoresultadofinanceirotemsoluesespecficasparaacapitalizaosimplese composta. Em Capitalizao Simples: A equao de equivalncia : C1(1+i1n1)+C2(1+i2n2)+...+Ck(1+iknk) = C1(1+in1)+C2(1+in2)+...+Ck(1+ink) Desembaraando de parntesis e tomando os somatrios obtm-se: Chhk=1+ C i nh h hhk=1 =Chhk=1+ C i nh hhk=1 ou seja C i nh h hhk=1 = i C nh hhk=1 donde se v que a equivalncia dos valores acumulados se reduz equivalncia entre os juros. A taxa mdia ponderada , portanto: i= C i nC nh h hhh hhk==11 que a mdia ponderada das (k) taxas distintas. Em Capitalizao Composta A equao de equivalncia agora : C1(1+i1)n1+C2(1+i2)n2+..+Ck(1+ik)nk= C1(1+i)n1+C2(1+i)n2+...+Ck(1+i)nk CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina73 ou sinteticamente C ih hnhhk( ) 11+= =C ihhhk( ) 11+= Como sabido, a resoluo desta equao em ordem varivel (i) s poder ser feita portentativasourecorrendoamtodosnoalgbricosdesoluodeequaesno lineares. Semdvida,aviaalgbricaaseguirexpostaforneceumresultadoperfeitamente aceitvelparaamaioriadoscasosprticos;ou,pelomenos,umvalortoprximo queumvalormaiscorrectoedefinitivamenteaceitvelpoderseralcanadonuma segunda tentativa. Ossucessivostermosdosomatriocomataxamdia(i)podemescrever-sepelo desenvolvimento binomial: C1(1+i1)n1 = C1112 11 121+ ++ +

(((n in ni in( ). . . C2(1+i2)n2 = C2112 22 222+ ++ +

(((n in ni in( )... Ck (1+i3)nk = Ck1122+ ++ +

(((n in ni ikk knk( )... operando e consolidando todos os somatrios obtm-se: C i C i C n i Cn ni Cn n nih hhk k k kk kkk k knhkk( )( ) ( )( )... 1121 262 31+ = + ++ + + = O primeiro membro o montante comum, o qual se calcula. Osegundomembro,toma-separavalorde(i)-emtodosostermosdepotncia superior a (i2) - a mdia ponderada das (k) taxascomo se fosse um clculo em juro simples CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina74 i=C i nC nh h hhh hhk==11 e com este valor calculam-se todos os termos em i3, i4, ..., ik Fica-se, finalmente, com uma equao de segundo grau em (i), a qual se solucionava. E a taxa procurada. Um exemplo ilustrar este processo: C1= 200i1= 12%n1= 1 C2= 300i2= 15%n2= 2 C3= 400i3= 20%n3= 3 C4= 500i4= 22%n4= 4 Ento teremos: C1(1+i1)= 200 x 1,12=224 C2(1+i2)2 = 300 x 1,15=397 C3(1+i3)3 = 400 x 1,20=691 C4(1+i4)4 = 500 x 1,22= 1108 2420 C1n1= 200 x 1 =200 C2n2= 300 x 2=600 C3n3= 400 x 3= 1200 C4n4= 500 x 4= 2000 4000 C1i1n1= 200 x 0,12= 24 C2i2n2= 600 x 0,15= 90 CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina75 C3i3n3= 1200 x 0,20= 240 C4i4n4= 2000 x 0,22= 440 794 A mdia ponderada das taxas : i_ = C n iC nk k kk k = 7944000 = 19,85% O desenvolvimento binomial dos termos em (i) : C1(1+i) = C1+ C1i C2(1+i)2 = C2+ 2 C2i + C2i2 C3(1+i)3 = C3 + 3 C3i + 3 C3i2 + i3 C4(1+i)4 = C4 + 4 C4i + 6C4i2 + 4C4i3 + i4 Substituindo as incgnitas pelos valores obtm-se: C1(1+i) = 200 + 200i C2(1+i)2 = 300 + 600i + 300i2 C3(1+i)3 = 400 + 1200i +1200i2 + i3 C4(1+i)4 = 500 + 2000i + 3000i2 + 2000i3 + i4 A soma dos termos em (i3) e (i4) i4 + 2000i3 + i3 = 0,19854 + 2001 x 0,19853 = 15,651374 CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina76 E a equao de 2 grau em (i) vem: 4500i2 + 4000i + 1400 + 15,6514 = 2420 ou 4500i2 + 4000i - 1004,35 = 0 E dividindo por 100: 45i2 + 40i - 10 = 0 Donde: i = + + 40 40 18002 452x = + 40 340090 = 40 58 3190, = 18 3190, = 0,20345 Ensaiando: 200 x 1,20345 + 300 x 1,203452 + 400 x 1,203453 + 500 x 1,203454= =241 + 434 +697 + 1048 = 2420 ousejaomesmovalordomontantecomumexacto.Ataxamdiadoconjuntode capitais em causa , pois, de 20,345%. II PARTE - RENDAS CERTAS CAPTULO 5: CONCEITOS E ANLISE GERAL 1.Definies E Classificao Das Rendas No estudo das equaes de valor traduzveis da equivalncia de capitais, foi tratado o caso geral de conjuntos de capitais quaisquer, subordinados a taxas de juro variveis, evencveisemdiferentespocasentresidistanciadasporquaisquerintervalosde tempo. E viu-se como calcular o capital comum dum conjunto de capitais numa data focal,achou-seovencimentocomumparaumdadocapitalnicoequivalenteaum conjunto de capitais. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina77 Uma renda um caso particular dum conjunto de capitais, em que os vencimentos so peridicoseequidistantes,ataxadejuronica,eocapitalcomumcalculado essencialmente em dois momentos - ou o tempo actual(tempo zero) ou o tempo final (vencimento do capital extremo), conforme o seguinte esquema geral: C1C2C3 Cn2Cn1 Cn ----------|--------|--------|---------------|--------|--------| 0 1 23 n-2 n-1 n Aequidistnciadoscapitaisemsucessoeaconstnciadojuroso,assim,as condiesbsicasdaexistnciadumarenda.Noobstante,nodomnioprtico tambmoscapitaisnosoquaisquernasoperaesfinanceirascorrentes,apenaso sendonodomniodaactividadeeconmicaemqueasrendassoutilizadascomo instrumento analtico. Existemautoresque,emtotalgeneralizao,tambmconsideramcomorendas sucessesdecapitaisnoequidistantes,chamando-lhesrendasnoperidicas.E outros h que deixam de chamar rendas a sucesses de capitais quaisquer, ainda que vencveis periodicamente e sujeitos a um mesmo regime de taxa de juro. Trata-se de opiniesextremistas,aprimeiraporexcessoeasegundapordefeito,asquaisno ponderam as seguintes questes de fundo: i)o caracter naturalmente peridico das sries ou sucesses cronolgicas resultantes daobservao,registo,anliseeavaliaodosfenmenoseconmicosoupor qualquer forma ligados vivncia humana. ii) acircunstnciainevitveldeseremdevalorinconstanteeportantodesucesso irregular as medidas periodicamente tomadas daqueles mesmos fenmenos, e para cujaanliseemensuraoasrendasconstituemuminstrumentocientfico adequado. Asseguintesdefinies-comoscorrespondentessmbolosalgbricos-so necessrios para enquadrar a estrutura geral duma renda qualquer: Rk - Cada um dos valores R1, R2, ..., Rn que formam a sucesso com vencimentos peridicos (smbolo que se passar a usar aqui especificamente em vez do smbolo Ck).Certamenteporanalogiacomqualquersucessonumrica,designa-seportermo da renda ao valor de cada uma das quantias R1, R2, ., Rn. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina78 Conformeanaturezadasoperaesqueestejamassociadassrendas,assimos termospodemdesignar-secomoprestao,pagamento,desembolso,depsito, reembolso, custo ou rendimento. p- Perododarenda,ousejaointervalodetempoconstanteentrecadadoistermos consecutivos. n-Duraototaldarenda,ouprazo;quantidadequetambmdefineonmerode termos ou de perodos. i - Taxa de juro efectiva, definida em consonncia com a periodicidade da renda. S - Valor acumulado da renda, ou seja, o somatrio dos valores acumulados de todos os termos capitalizados at ao final dos (n) perodos. A - Valor actual da renda , ou seja, o somatrio dos valores actuais no momento zero de todos os termos da renda descontados para o incio dos (n) perodos. Servio duma renda a produo da sua constituio efectiva atravs dos termos. Comrespeitoaclassificao,asrendaspodemserconsideradassobosseguintes aspectos e critrios: 1.1. Quanto ao Objectivo da Constituio i)Renda de Capitalizao - quando destinada a constituir um certo capital no final deumdeterminadoprazoemqueessecapitalterumautilizaoprogramada. Tambm se chama renda de colocao, aplicao ou acumulao. o valor (S) que ficou definido. ii) RendadeAmortizao-quandodestinadaafazeroserviodojuroedo reembolso dum emprstimo, ou a operar a gradual extino ou depreciao de um capital ou bem-de-capital. o valor (A) definido anteriormente. iii) Renda de Avaliao - quando destinada a avaliar, definir ou quantificar/medir a rendibilidade dum certo capityal ou investimento econmico. o mesmo valor (A) atrs referido. iv) Renda de Remunerao - quando apenas destinada a fazer a mera remunerao de um capital utilizado por terceiros, ou da prestao dum servio. o caso do juro simplesproduzidoemcadaperododecapitalizao,oudamensalidadedevida pelo aluguer de bens-de-capital (sem haver transferncia do ttulo de propriedade). Tambmomesmovalor(A)traduzestetipoderenda,massignificandoto somente o valor actual do capital que produz os rendimentos simples estipulados. CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina79 Asrendasdeamortizao(emsentidoestrito),avaliaoeremuneraoformamo conjunto das rendas de actualizao; ou rendas de amortizao (em sentido lato). 1.2. Quanto ao Regime de Capitalizao do Processo de Constituio da Renda i)Rendas a Juro Composto - so as rendas normalmente constitudas, tanto mais que asoperaesenvolvidasso,emregra,amdiooulongoprazos,apontando portanto para o juro composto. ii) RendasaJuroSimples-estasrendassoexcepcionalmenteutilizadas,mas quandooso-particularmenteparaos(n)pagamentosemvendasaprestaes- tanto se aplicamem prazos inferiores a um ano, como nos mdios prazos (at um mximo de cinco anos) a que tais operaes se realizam. Para longos prazos, nunca devem ser utilizadas rendas em regime de juro simples. 1.3. Quanto ao Nmero dos Termos ou Durao i)RendasTemporrias-seonmerodetermoslimitado,oquetraduzuma durao finita. ii) RendasPerptuas-seonmerodetermosilimitado,oquesignificauma duraoinfinitaouindefinida(emclculofinanceiroumtempoinfinitodeveser interpretado como um tempo indefinido ou indeterminado). 1.4. Quanto ao Valor dos Termos i)RendasConstantes-quandoovalordetodosostermosconstante (R=R=...=R=R).Tambmsedizemrendasdetermosconstantesesoalarga maioria das rendas que surgem na prtica das operaes financeiras. ii) Rendas Variveis -quando os termos tmvalores diferentes, podendo avariao de valor obedecer a uma dada lei (o que o caso em operaes financeiras), ou no seguirnenhumalei(oqueaconteceemgeralcomosfluxosdevalores econmicos). 1.5. Quanto ao Vencimento dos Termos em Cada Perodo i)Rendas Antecipadas (de termos antecipados) - quando os termos forem vencveis noinciodecadaperodo(algunsautoreschamam-lhesrendasadiantadas,alis com propriedade). CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina80 ii) RendasPostecipadas(determospostecipados)-quandoostermosforem vencveis no fim de cada perodo a que correspondem. Normalmente, as rendas so de termos postecipados. esse o caso natural de todas as rendas de actualizao e nasrendasdecapitalizao;apenasasdeacumulaoatravsdedepsitosem dinheiro so naturalmente antecipadas, desde a data zero inicial de constituio do fundo.Assim,asrendaspostecipadassocorrentementedesignadasporrendas normais ou ordinrias. 1.6. Quanto ao Incio do Servio ou poca de Liquidao i)Numarendaqualquerpodemserencontradosquatromomentosrelevantese cruciais: -Omomentozerodaoperaooucontrato,noqualficaimplcitaaobrigaode constituir a renda, e em que necessariamente comea a contagem dos juros taxa fixada e com o regime de capitalizao convencionado; -Omomentoinicialdoprimeiroperododoserviodarenda,oudaconstituio propriamente dita; -Omomentofinaldoltimoperododarenda,noqualestaseconsidera definitivamente liquidada e extinta; -O momento focal, ou aquele a que referido, ou reportado, o valor actual da renda. Omomentoinicialpodecoincidirounocomomomentozero,quernasrendasde capitalizao quer nas de actualizao. O momento final pode coincidir ou no como fim doperodo de servio nas rendas de capitalizao e dever sempre coincidir nas rendas de actualizao. O momento focal em regra coincidente com os tempos inicial ou final; mas pode ser outroqualqueremqueconvenhaavaliararenda,particularmenteummomento anterior ao incio do perodo correspondente ao primeiro termo do servio. Posto isto, podem definir-se: -RendasImediatas-aquelasemqueomomentoinicialdoprimeiroperododo servio da renda coincide com o momento zero, devendo tambm o momento final doltimoperododoserviocoincidircomomomentofinaldeliquidaoda renda no caso das rendas de capitalizao. -RendasDiferidas-aquelasemque,paraasrendasdeamortizao,omomento inicial do primeiro perodo de servio apenas ocorre a partir do momento inicial de um certo perodo de ordem (k) posterior ao momento zero; ou ainda, para as rendas de capitalizao, quando a liquidao do seu fundo acumulado at ao fim do ltimo CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina81 perododoservioapenasocorrenofimdeumcertotempo(k)posterioraeste momento. Os diagramas cronolgicos (I), (II), (III) e (IV) seguintes contm respectivamente os esquemasdasrendasimediataspostecipadas,imediatasantecipadas,diferidasde actualizaoantecipadasoupostecipadas,diferidasdecapitalizaotambm antecipadas ou postecipadas. 1.7. Quanto Relao Entre os Perodos da Renda e da Taxa de Juro i)Rendas Inteiras - se sa coincidentes os perodos da renda (do termo) e da taxa de juro. ii) RendasFraccionadas-sesodiferentesosperodosdarendaedataxadejuro (acontecendomaisnormalmentequeoperododataxamaiorqueoperododa renda). 1.8. Quanto Dependncia de Factores Aleatrios Externos i)Rendas Certas - aquelas em que esto perfeitamente definidos todos os elementos da renda: prazo da renda, nmero e valor dos termos. Estas so as rendas de que se ocupao Clculo Financeiro. ii) Rendas Contigentes - aquelasem que umou mais elementos da renda dependem dealgumfactoraleatriocomumacertaprobabilidadedeocorrncia.Soas rendas de que se ocupa o Clculo Actuarial. 2. Diagramas Cronolgicos Das Rendas i) Rendas Imediatas Postecipadas R R R RR R R i A |---- -|------|-^-^-^-^-^-|------|-^-^-^-^-^-|------|---- | S 0P12 K K+1 n-2 n-1n Perodo ii) Rendas Imediatas Antecipadas R RR R R RRi CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA MULTIMDIA CLCULO FINANCEIRO Pgina82 A|---- -|------|-^-^-^-^-^-|------|-^-^-^-^-^-|------|------| S 0P12 K K+1 n-2 n-1n Perodo iii) Rendas Diferidas com Processo de Actualizao RR RR R RR R

Diferimento do servio A |k, a frmula de extenso vem: khh k hkkhhkhh h khh h k h k h k hk ha i s sfinalmente ei iiiiiiiiiiiiiiiii i i iii iiis) 1 () 1 (1 ) 1 () 1 (1 ) 1 () 1 ( 1) 1 (1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 () 1 (1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 (+ =+ ++ ++ + + ++ ++ + + + + + + + += em que ka a renda unitria de amortizao ( semelhana de ks ). Se por mera hiptese se considerar hk, a frmula de extenso vem: khh k hkhhkhhk h h h k hk hs i a aiii aiiiiiii i i iiia + + = ++ + + ++ + + + + + + =) 1 (1 ) 1 () 1 () 1 ( 1) 1 () 1 ( 1) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ) 1 ( 1) ( Para h