maizena com água: fluído não-newtoniano
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Universidade Estadual de Campinas Instituto de Física Gleb Wataghin
F-609: Tópicos de Ensino de Física I Primeiro semestre de 2007
Relatório Final
Maizena com água: fluído não-newtoniano
Aluna: Mariele Katherine Faria Motta (RA 024627)
Orientador: Prof. Mário Noboru Tamashiro [email protected]
Coordenador da disciplina: Prof. Jose Joaquín Lunazzi
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1 – Objetivos
Este projeto visa compreender o interessante e exótico comportamento dos
chamados fluídos não-newtonianos, em especial, da mistura de amido de milho
(cuja denominação comercial no Brasil é maizena) com água. Vamos demonstrar
experimentalmente as alterações sofridas pelo material quando sujeito a tensões
ou pressões externas e tentar fornecer uma explicação de fácil compreensão ao
fenômeno. Também veremos que existem diversas substâncias que apresentam
comportamento de sólido e líquido dependendo apenas das forças a que estão
submetidas em uma escala temporal característica de cada material.
2 – Introdução
A compreensão dos fenômenos que serão apresentados a seguir é objeto
de estudo da Reologia. O termo Reologia foi introduzido pelo Professor Bingham
do Lafayette College para descrever a ciência que estuda a deformação e o fluxo
da matéria. Seus primeiros estudos foram em propriedades e comportamentos de
uma grande variedade de materiais de grande importância científica e tecnológica
na atualidade, tais como asfalto, lubrificantes, plásticos, borrachas, suspensões,
polímeros, detergentes e tintas de impressão, dentre outros. Podemos também
destacar sua grande importância em áreas como ciências biológicas, indústrias de
biotecnologia, alimentos, química, petrolífera etc.
Para melhor compreender o comportamento dos chamados fluídos não-
newtonianos é de grande utilidade fazermos uma revisão sobre os conceitos
clássicos de sólido e líquido. Veremos como ocorreu o desenvolvimento desde o
século XVII, com Newton e Hooke, passando pelo século XIX, diante da
necessidade de introdução de novos modelos para explicar o comportamento dos
materiais que foram sendo descobertos e sintetizados, além dos avanços que
ocorreram no século XX impulsionados pela Segunda Guerra Mundial e pela
indústria de novos materiais.
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O que são um sólido de Hooke e um líquido de Newton?
Entender quais são as definições tradicionais de sólido e líquido é
fundamental para entender o comportamento de diferentes substâncias com
propriedades reológicas [1]. Por isso, vamos estudar quais são as definições
clássicas de um sólido de Hooke e de um líquido de Newton.
Em 1678 Robert Hooke desenvolveu uma teoria sobre a elasticidade
intitulada True Theory of Elasticity (A verdadeira teoria da elasticidade). Ele propôs
que “a força de uma mola está em mesma proporção que a tensão a ela aplicada”.
Em outras palavras, se dobrarmos a tensão aplicada, a extensão da mola também
é dobrada. Esta é a premissa básica da teoria clássica da elasticidade.
No outro extremo temos Isaac Newton, que propôs em seu livro Principia,
publicado em 1687, uma hipótese associada ao fluxo de líquidos, como mostrado
na Fig. 1: “A resistência surge da falta de deslizamento de duas partes adjacentes
do líquido e é proporcional à velocidade com que estas partes se movem uma em
relação às outras”. Esta falta de deslizamento é o que chamamos de viscosidade,
ou atrito interno, sendo uma medida da resistência ao fluxo. A força por unidade
de área necessária para produzir este movimento é F/A, onde F é a força aplicada
para produzir o deslocamento e A, a área da região que está sofrendo o
deslocamento. Esta razão, chamada de pressão de cisalhamento, é denotada por
σ, sendo também proporcional ao gradiente de velocidade U/d, onde U é a
velocidade relativa entre os dois planos adjacentes e d é a distância entre eles.
Assim, se dobrarmos a força, dobramos o gradiente de velocidade. A constante de
proporcionalidade, η, é chamada de coeficiente de viscosidade, ou simplesmente
viscosidade, e pode ser descrita pela equação:
dU
AF ησ == . (1)
27-3
Apesar de Newton ter introduzido a sua idéia em 1687, foi somente no
século XIX que Navier e Stokes, independentemente, desenvolveram uma teoria
tridimensional para o que hoje é chamado de Líquido Newtoniano. As equações
que governam este tipo de fluído são chamadas de Equações de Navier-Stokes.
Podemos ilustrar o cisalhamento que ocorre em um líquido através da Fig. 1. A
pressão de cisalhamento σ resulta em um fluxo que, no caso de líquidos
newtonianos, persiste enquanto a pressão externa estiver sendo aplicada.
A U,F
F
y
x
Figura 1: Representação de dois planos paralelos, cada um de área A, um localizado em y = 0 e o
outro em y = d. O espaço entre os planos é preenchido com líquido. O plano superior move-se com
velocidade relativa U em relação ao de baixo. O tamanho das flechas entre os planos é
proporcional à velocidade local na direção x do líquido.
No caso de um sólido de Hooke, uma pressão de cisalhamento aplicada a
uma superfície localizada em y = d resulta em uma deformação instantânea, como
mostrado na Fig. 2. Quando este estado de deformação é alcançado, não há mais
movimento, desde que se mantenha a pressão aplicada. O ângulo γ é chamado de
“elasticidade”, sendo definido pela relação
γσ G= , (2)
onde G é chamado de módulo de rigidez. A Equação (2) é válida para ângulos
pequenos, quando vale a aproximação linear senθ ~ θ, em radianos.
A lei de Hooke para os sólidos e a lei de Newton para os líquidos
satisfizeram a todos por aproximadamente 200 anos. A lei de Newton, que era
conhecida e funcionava bem para alguns líquidos comuns, foi assumida como
uma lei universal, da mesma forma que suas famosas Leis de Gravitação e de
Movimento.
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a b
c d
a' b'
c' d'
γ
σ
σ
yy
x x
Figura 2: Representação mostrando o resultado da aplicação de uma força de cisalhamento σ a um bloco de Hooke (é mostrada apenas a seção lateral). Quando aplicamos uma força no bloco, há
uma deformação de abcd para a’b’c’d’.
No século XIX Wilhelm Weber, fazendo experimentos com fios de seda,
observou que eles não eram perfeitamente elásticos. Quando uma tensão era
aplicada ao fio, havia um aumento instantâneo do comprimento. Posteriormente,
no entanto, era observado um aumento adicional do comprimento, gradual, com o
tempo. Por outro lado, quando a tensão era removida, ocorria uma redução
imediata de comprimento, seguida posteriormente por uma diminuição gradual
com o tempo. Isso ocorria até o fio restabelecer seu comprimento original. Este
era um material sólido cujo comportamento não podia ser descrito somente pela
lei de Hooke. A forma com que o material se deformava apresentava algumas
propriedades que eram típicas de um líquido.
Em 1867, James Clerk Maxwell, através de um trabalho intitulado On the
Dynamical Theory of Gases, propôs um modelo matemático para um fluído
possuindo algumas propriedades elásticas. Este modelo assume a existência
simultânea de viscosidade e elasticidade no material. Não é um exagero assumir
que esta hipótese seja válida para todos os materiais. A resposta de um material a
um dado experimento depende da escala de tempo de observação em relação ao
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tempo natural do material. Se um experimento é relativamente lento, a amostra irá
parecer viscosa e não elástica, enquanto se ele for relativamente rápido, ele irá
parecer elástico e não viscoso. Em escalas de tempo intermediárias uma resposta
ambivalente, viscoelástica, apresentando ambos os tipos de comportamento, será
observada.
Segundo a sua resposta a estímulos externos, os fluídos não-newtonianos
podem ser classificados em:
• Fluídos viscoelásticos: são capazes de armazenar energia sob a forma
elástica durante a ocorrência de escoamentos transientes.
• Fluídos tixotrópicos [2]: são os que apresentam comportamento transiente
quando solicitados em regime permanente e que, além disso, são
incapazes de armazenar energia sob a forma elástica.
No século XX, o estudo da reologia dos materiais teve um grande impulso,
principalmente na Segunda Guerra Mundial. É possível citar diversos exemplos,
como materiais usados em lança-chamas com propriedades viscoelásticas, que
geraram um volume considerável de pesquisa visando seu emprego na guerra.
Outros exemplos de suma importância na atualidade:
• A laponite [3] é uma argila aquosa que apresenta ambas características,
viscoplásticas e tixotrópicas, sendo um fluído presente nas máquinas de
perfuração de plataformas petrolíferas. Nessas condições, os fluídos
associados devem conter aparas de rochas em suspensão, mas também
aditivos sólidos (polímeros) que permitem controlar sua densidade para
manter uma pressão hidrostática superior à pressão da rocha, além de
terem a função de evitar a sedimentação das aparas, refrigeração do
processo de corte realizado e revestir o furo para evitar a perda de fluído
para a envolvente sólida.
• Algumas argilas tixotrópicas são utilizadas para fins de engenharia. Em
locais sujeitos a muitos abalos sísmicos, elas compõem a estrutura de
prédios e construções. Elas se liquefazem diante de tremores, absorvendo
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a energia dissipada e recuperando a sua forma original (sem se quebrar ou
sofrer cisalhamento) depois de cessarem os abalos.
De modo geral, o interesse em materiais com estas propriedades cresceu
muito com o advento das fibras sintéticas, indústrias de processamento de
plásticos, óleos multigraduados, tintas que não pingam, adesivos de contato e
aparência de detergentes. Também houve importantes desenvolvimentos em
indústrias farmacêuticas, de alimentação e medicina moderna com pesquisas
envolvendo bioreologia. Um outro exemplo de fluído tixotrópico é o líquido sinuvial
presente nas articulações, que tem viscosidade para que haja deslize entre as
articulações, sendo capaz, portanto, de absorver impactos.
Exemplos cotidianos de fluídos não-newtonianos:
O caso do nosso estudo, a mistura de amido com água, é um material como
o fio de seda ou o fluído elástico de Maxwell, pois apresenta características tanto
de um sólido como de um líquido. São necessários estes dois conceitos para
classificar a mistura e distinguir em que ocasiões devemos utilizá-los
simultaneamente ou separadamente, ou seja, quando uma destas características
está predominando no processo.
O ketchup e a pasta de dentes também são materiais tixotrópicos, ou seja,
eles se tornam menos viscosos sob ação de uma força de cisalhamento, voltando
a recuperar sua viscosidade, de forma gradual, quando esta força cessa. Este
efeito é dependente do tempo de observação. Muitas tintas também são
tixotrópicas. Um pintor observador munido somente com um pincel percebe que a
tinta recupera sua viscosidade após um curto intervalo de tempo depois que foi
passada no pincel. A lama, algumas vezes, apresenta também este
comportamento. Se colocarmos o pé rapidamente na superfície “dura” da lama,
poderemos andar sobre ela. Mas se pisarmos por um tempo maior, nossos pés
irão afundar dentro da lama “liquefeita”.
Porém, há uma diferença crucial entre o comportamento da mistura de
amido-água e do ketchup. No último caso, há uma diminuição de sua viscosidade
com o aumento da força de cisalhamento. No nosso caso da maizena, pelo
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contrário, ocorre um aumento concomitante da viscosidade com a força de
cisalhamento. Estes materiais, similares à maizena misturada com água, são
conhecidos como dilatantes [4]. Um outro exemplo de dilatante é um famoso
brinquedo chamando “Silly Putty”. Este brinquedo é bastante viscoso, mas quando
posto em um pote toma sua forma em pouco tempo, caracterizando um líquido. Se
fizermos uma pequena bola com esta geléia e a deixamos cair no chão, ela pula
como uma bola, característica de um material sólido. A mistura de areia fina e
água apresenta um comportamento similar. Podemos pegar um punhado de areia
e fazer castelos de areia na praia. Vemos que ela flui entre nossos dedos como
um líquido, mas conseguimos andar e correr sobre ela sem afundar, um
comportamento de sólido. Entretanto, não podemos fazer castelos com maizena e
Silly Putty da mesma forma que fazemos castelos de areia fina com água. Isso
ocorre porque quando uma estrutura alta é feita com Silly Putty ou maizena, a
pressão que os mantêm mais rígidos está sendo aplicada apenas sobre sua base
devida ao peso do restante do material que fica no topo. Como este material no
topo não está sob nenhuma força significativa, possui viscosidade bem menor e
vai escorrendo. Aos poucos, todo o conteúdo que forma a estrutura se liquefaz. Já
uma estrutura com areia e água se mantém porque os grãos de areia são rígidos e
muitos grandes comparados às moléculas de água. A tensão superficial da água
não é suficiente para mantê-los como uma suspensão, então eles se apóiam uns
sobre os outros e a maior parte da água flui rapidamente, saindo da estrutura.
3 – Montagem Experimental e Materiais
Utilizados
Para analisarmos o comportamento da mistura, basta adicionarmos água à
maizena na proporção de 1:2 dos volumes de cada um, aproximadamente,
conforme mostra a Fig. 3.
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Figura 3: Mistura de amido de milho (maizena) e água. Na ausência de tensões externas, o fluido
escorre da mesma forma que um líquido comum, apesar de sua elevada viscosidade.
A demonstração do comportamento da mistura é de extrema facilidade e
pode ser realizada de diversas formas. Podemos simplesmente pressionar a
mistura com a mão, ou com algum outro objeto, como uma colher de metal.
Vemos que, quando exercemos uma rápida e forte pressão, a mistura endurece e
praticamente não cede. Se mantivermos essa pressão por um tempo maior,
vemos que a mistura cede lentamente e afundamos o objeto aos poucos.
O mesmo acontece para retirar um objeto da mistura. A retirada brusca é
extremamente difícil comparada à lenta. Isso porque aos movimentos bruscos está
associada uma maior tensão aplicada ao material, que devido às características
em estudo, se comporta como um sólido. Podemos também constatar este efeito
visualizando a massa de amido com água se quebrar como um sólido diante de
grandes tensões.
Podemos fazer “bolinhas” da massa se a mantivermos sobre pressão, mas
quando deixamos de pressioná-la, esta se liquefaz novamente, como mostra a
Fig. 4 a seguir:
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Figura 4: Comportamento da mistura de amido de milho (maizena) e água quando submetida a
forças externas. Na foto à esquerda é possível manter uma pequena porção da mistura sob a
forma esférica através da aplicação incessante de uma tensão externa, enquanto na foto à direita,
ao se remover essa tensão, a mistura se liquefaz, escorrendo como um líquido comum.
Simulamos também um interessante experimento em que estudantes
preencheram uma piscina com este material e conseguiram correr sobre ela! Veja
fotos a seguir (Fig. 5), retiradas do sítio de vídeos na internet YouTube
(http://www.youtube.com/watch?v=f2XQ97XHjVw). Quando diminuíam sua
velocidade, ou ficavam parados no mesmo lugar, afundavam lentamente, como se
estivessem sobre areia movediça, que tem comportamento semelhante. Para
tanto, utilizamos um recipiente plástico com dimensões de aproximadamente 25
cm de largura, 45 cm de comprimento e 10 cm de profundidade, onde
depositamos a água e o amido (como numa pequena piscina), e fizemos correr
sobre o fluído uma pequena esfera de metal, um cilindro pesado de metal e uma
bola de sinuca.
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Figura 5: Piscina preenchida com mistura de amido de milho (maizena) e água. É possível
caminhar sobre a superfície da mistura sem mergulhar, desde que se caminhe sobre ela com uma
certa velocidade mínima. Não há também submersão comprimindo-se continuamente a mistura
com os pés, podendo-se permanecer no mesmo local.
É interessante esclarecer que ao jogarmos a pequena esfera de metal, esta
ricocheteia devido ao endurecimento do material, e não pelo efeito análogo que
pode ser obtido jogando-se um objeto (comumente pequenas pedras), geralmente
com uma rotação, em um certo ângulo na superfície da água. Para que a pedra
jogada na água pule, são necessárias diversas condições favoráveis, como
formato da pedra (de preferência achatada e pouco rugosa). Um exemplo com
valores razoáveis pode ser usado como comparação [5]:
Massa= 0,1 kg
Ângulo= 10o
Velocidade= 2m/s, a velocidade mínima para que haja ricocheteio com
estes valores de massa e ângulo.
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Para ângulos maiores que 20o, o efeito começa a ser difícil de ser obtido.
No nosso caso, utilizamos velocidades baixas e ângulos variados, de modo que
ficou evidente que não ocorreu um ricocheteamento similar ao obtido com líquidos
usuais. Além disso, o movimento do cilindro e da bola de sinuca mostram
decisivamente que a mistura se solidifica, tornando possível suportar o peso do
objeto em movimento.
4 – Discussão
Suspensões: possíveis explicações para este comportamento
Ainda não explicamos o que ocorre com a nossa mistura em termos
microscópicos. Como o amido e a água interagem de modo que, sob pressão, a
mistura se solidifique? Veremos que existem duas possíveis explicações, sendo a
primeira melhor do que a segunda, embora ambas não sejam definitivas e
incontestáveis.
Há alguns materiais, chamados de suspensões coloidais, que são
compostos de um tipo de partícula que suporta outras partículas. O amido com
água é uma suspensão, onde a fase dispersora é a água, constituindo-se portanto
num hidrossol. Para entender as propriedades de suspensões, vamos
primeiramente mostrar alguns exemplos. O molho de espaguete é um bom
exemplo de suspensão. Nele há vários tipos de outras partículas, como carne,
pedaços de vegetais e temperos, flutuando no molho de tomate. Esta é uma
suspensão onde podemos ver as partículas suspensas, mas em muitos casos de
interesse estas partículas são muito pequenas para serem vistas a olho nu, como
no caso do creme batido (chantilly). Ele é formado por pequenas bolhas de ar que
ajudam a sustentar mecanicamente as partículas de gordura, constituindo um
aerossol, já que a fase dispersora que compõe as bolhas é o ar. Nós não
conseguimos observar diretamente as partículas de gordura ou as bolhas de ar, e
o material parece um “sólido” macio. Observamos que o creme batido possui uma
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estrutura consistente, formada pelas bolhas de ar, que consegue suportar o peso
da gordura e de vários objetos que podem ser colocados sobre ele. Mas sabemos
que algumas suspensões são estruturas instáveis. Por exemplo, o creme batido
perde sua estrutura e transforma-se em um líquido comum quando é aquecido,
não retornando a sua forma espessa quando a temperatura inicial é restaurada.
Por outro lado, há suspensões que perdem sua consistência quando forças
laterais são aplicadas a sua estrutura. Podemos visualizar isto como se fosse uma
casa de cartas. Enquanto não aplicamos forças nas laterais da casa, a estrutura
permanece estável, mas quando aplicamos uma força lateralmente, toda a
estrutura vem abaixo. É o que acontece com o ketchup e a pasta de dente.
Quando aplicamos forças laterais, estas substâncias, que possuem uma forma
sólida, apresentam um comportamento de líquido (segundo a definição de
Newton), ou seja, as partes adjacentes da substância conseguem deslizar umas
sobre as outras com menor resistência.
Há suspensões coloidais que apresentam um comportamento inverso,
como o amido com água, por serem dilatantes, se tornam mais viscosos quando
aplicamos força sobre eles. Uma explicação para este comportamento da mistura
amido de milho e água é que, quando a solução está em repouso, os grânulos de
amido são envolvidos por moléculas de água. A tensão superficial da água impede
que ela flua completamente pelos espaços existentes entre os grânulos. A
almofada d'água oferece lubrificação considerável, permitindo que os grânulos se
movam livremente. Porém, se o movimento for abrupto, a água é espremida para
fora dos espaços entre os grânulos, e a fricção entre eles aumenta de forma
drástica. Um comportamento similar é observado na mistura de areia fina e água.
A segunda explicação dada para este comportamento seria que as
moléculas de amido de milho estão sob a forma de longas cadeias, chamadas
polímeros, que se esticam quando a mistura é revolvida. Elas também podem se
emaranhar, não deslizando facilmente umas sobre as outras. Isto faria sentido se
fibras esticadas oferecessem mais resistência ao movimento, similar à resistência
de um elástico de borracha esticado ou uma mola sob tensão. Mas o argumento
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do emaranhamento não explica a razão do movimento rápido aumentar a
viscosidade. As fibras não estariam emaranhadas quando a mistura estivesse
imóvel ou se movendo lentamente? Na verdade, o movimento rápido poderia
quebrar as fibras. Outro problema desse modelo é que o amido não está separado
em moléculas individuais, mas está na forma de grânulos muito maiores (ainda
que macroscopicamente muito pequenos), que são basicamente esféricos.
5 – Conclusões
Vimos que não há uma resposta única para o problema, nem mesmo um
modelo que responda todas as questões de uma forma completa e inequívoca.
Esta dificuldade de modelar e caracterizar o comportamento de um
material, como sólido ou líquido, leva a respostas inadequadas. Uma forma de
resolver este problema é classificá-los pelo seu comportamento em uma
“vizinhança” experimental, ou seja, em uma determinada situação. Deste modo
podemos colocar a substância em uma determinada categoria dependendo das
condições experimentais. A grande vantagem deste método é que podemos
classificar os materiais como pertencentes a modelos “vizinhos” dependendo do
seu comportamento.
De qualquer forma, foi de grande valia analisarmos materiais que estão
presentes no nosso dia-a-dia, mas que apresentam comportamentos que fogem
ao nosso senso-comum. Embora este seja um assunto que possa suscitar
explicações através de teorias que requerem conhecimento muito avançado,
conseguimos ter uma compreensão considerável, de forma razoavelmente
simples, dos mecanismos envolvidos que caracterizam seu comportamento.
6 – Bibliografia
As referências [3] e [4] encontram-se como anexos do arquivo no formato pdf.
27-14
[1] J. F. Steffe, Rheological methods in food process engineering, 2nd edition. East
Lansing MI, Freeman Press, 1996.
[2] D. C.-H. Cheng, Characterisation of thixotropy revisited. Rheologica Acta 42:
372-382 (July 2003).
[3] A. S. Pereira e F. T. Pinho, Reologia de suspensões tixotrópicas de base
argilosa (laponite). Disponível no endereço eletrônico
http://paginas.fe.up.pt/~fpinho/pdfs/MecExp99.pdf
[4] J. D. Bourke. Sludge handling characteristics in piped systems. Disponível no
endereço eletrônico
http://www.moyno.com/website/ffs.php?subdir=catalogs%5C%5Csalesman%5C%
5Cmisc%5C%5C&docfile=shcps_article.pdf
[5] L. Bocquet, The physics of stone skipping. Am. J. Phys. 71: 150-155 (Feb.
2003).
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SLUDGE HANDLINGCHARACTERISTICSIN PIPED SYSTEMS
BY J. DAVID BOURKE
SLUDGE HANDLINGCHARACTERISTICS IN PIPED SYSTEMS
ABSTRACTDepending on the percentage, size and condition of solids; pipe size; and
many other factors, sludge flow may exhibit near-Newtonian fluid characteris-tics, non Newtonian homogeneous, or hetero-homogeneous characteristics. Asurvey of data for sludge flow characteristics in piping shows the diversity ofresults expected from the immense possibility of variables. Hazen-Williams orthe Fanning equations may be used for friction loss calculations in piping,using factors derived from previously published data, as long as the user recog-nizes the margin of error possible due to the many variations in sludge content.Vacuum filter cake can be best described in non-Newtonian terminology as“False-Body” and a useful tool appears to be the Power Law relationship of;
where:P is friction pressure drop d = diameter of pipeL is length of pipe n = power law factorQ is flow rate
INTRODUCTION
Although flow behavior ofmost liquids has been mathe-matically described and empir-ically verified, similar knowledgeabout solid-liquid mixtures is notavailable. Because of the com-plex nature of solid-liquid mix-tures, postulations about theirflow dynamics are presently be-yond the reach of the mostsophisticated computer programs.It has thus become neces-sary to gain this knowledgethrough empiricisms. Even thougha substantial amount ofdata is beginning to accumulate,there exist wide variationsamong the results of differentinvestigators — more as a conse-
quence of the complexity of thephenomena rather than errors ininvestigation.
The following is a discussionof the various fluid classifica-tions, what complicates the flowcalculations, how this applies tosewage sludge, and what can bedone to predict its behavior in apipe.
First, in the terminology ofrheologists, is a description ofthe various types of flow be-havior that can take place in apipe.
The initial classification is intosingle phase and multi-phasefluids. A layman’s definition ofa single phase fluid would de-scribe it as a single liquid ora liquid-solids mixture so finely
dispersed that it moves as a sin-gle liquid regardless of the ve-locity; i.e., a homogenous mix-ture. Although this reference isa liquid-solids mixture, it ob-viously could also be a liquid-gas, or a liquid-liquid mixture.
A discussion of the types ofsingle phase fluids and theirbehaviors would have to start withNewtonian fluids such as water,oil, etc. Here, the rate of shearof the fluid is directly propor-tional to the shearing stress. Theproportionality constant whichwe call viscosity, doesn’t changewith velocity or shearing rate.Sludge under low concentrationswill often approach this condi-tion.
From there we move into themore commonly encounteredphenomena of non-Newtonianfluids . . . those which displaypseudoplastic, dilatant, thixo-tropic, or rheopectic properties.Pseudoplastic and dilatant fluidsare time independent. Pseudo-plastics drop in apparent vis-cosity as shear rate or pipevelocity increases, while dila-tants increase in viscosity. Dila-tant phenomena in slurries to behandled by pipe lines are veryuncommon. Certain very highsolids contents fluids and filtercakes of calcium carbonate haveshown dilatant properties; but, asewage sludge would seldom, ifever, display those characteristics.
Rheopectic is the time-depen-dent equivalent of dilatant. Notonly does the apparent viscosityincrease with an increase in
FIGURE 1
shear rate or pipe velocity; but,apparent viscosity also increaseswith time, The faster you shearit and the longer you shear it,the most viscous it apparentlybecomes, as witnessed by theamount of force required.
Were sewage sludge trulyhomogenous, thixotropic be-havior could probably best de-scribe its properties. Thixotropicfluids become less viscous as therate of shear (or agitation) isincreased, and also with thelength of time they are agitatedor sheared. In those instanceswhere sludge exhibits these ten-dencies, you would find thateven though the velocity in thepipe was the same at two differ-ent points, the viscosity of thesludge at one point would behigher at that moment than at thepoint a mile further down theline, because it has been sub-jected to the shearing stresses offlow for a lesser time interval.This time-dependency of sludgeviscosity is obviously trouble-some when it comes to predictingpipe line specifications, orfor that matter, laboratory test-ing. It rules out valid data ob-tained through recirculation ofthe sludge. Even laboratory testsperformed with uncirculated sludgeare of questionable validity; for,if the identical sludgehas been transported it is nolonger in the same conditions ofshear rate and time that it wouldbe subjected to in the system.
The author of a recent techni-cal paper on the subject des-cribed that to the best of hisknowledge he was keeping allconditions constant and his re-peatability was ± 40%. Such re-search is not only discouraging,but deleterious to the acquisi-tion of further knowledge.
In addition to the above mentionedphenomena of apparent viscosityvarying with shear and time, manyfluids exhibit a yield stress belowwhich no movement occurs.They exhibit rigidity as forceis applied up to a certaindegree and then break downexhibiting usually pseudoplasticor thixotropic tendencies. Theymay be called yield pseudoplas-tics, Bingham plastics, falsebodies, or any other name anauthor may care to coin. Vacuumfilter cake, centrifuge discharge,and other high concentrations ofsludge exhibit this characteristic,Although it continues to drop inapparent viscosity with an in-crease in agitation or shear stress,when at rest a filter cake still ex-hibits a rigid shape that requiresa certain minimum force (thoughdiminished from the original)to make it flow again. In hisattempt to categorize different
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types of thixotropic behavior,Pryce-Jones labeled this phe-nomenon “faIse-body” (noteFigure 2.)
Probably one of the most con-venient formulas for the predic-tion of non-Newtonian flow is thepower law originally proposedby Ostwald. Whereas Newton’slaw for true fluids stated thatthe shear stress varied directlyas the shear rate, the power lawsays that for true fluids, pseudo-plastic, or dilatant fluids theshear stress varies as the shearrate to the “n”th power. Thepower factor “n” is equal to 1for Newtonian or true fluids;is greater than one fordilatant fluids; and, is less thanone for pseudoplastic or thixotropicfluids.
Newton’s Law ofFluid Mechanics
The fluid analysis techniquesat Moyno over the years havebeen based primarily on this pre-cept. (Figure 3) Any functionraised to a power will produce
FIGURE 2
FIGURE 3
Page 3a straight line on a log-log graph.By plotting viscometer readings(either rotational or capillary orboth) on such a curve, one canextrapolate to the nominal shearrate in the pipe and pick off anapparent viscosity that is used inthe Fanning equation to estimatepipe friction losses. If sufficientmaterial is available for a pumptest, the curve may be verifiedor altered by adding additionaldata points. These points are ga-thered by running what is termeda “cavitation curve”. (Figure 4)Using Newtonian fluids of vary-ing viscosities such as glucose orsilicone oils, it is simple to de-velop characteristic curves ofthe point of deviation from thestraight line capacity vs speedcurve and shape of the curvefor each true viscosity at a givenN.P.S.H. Obviously the higher theviscosity the lower the speedof cavitation. When a non-New-tonian fluid is run under thesame conditions, it is usuallyfound that it matches none ofthe Newtonian curves, but be-haves like one viscosity at speedA, another viscosity at speed B,and a third viscosity at speed C.Knowing the average shear ratein the pump at those speeds, wethen have additional points to af-firm or contradict the slurry’sadherence to the power law;and, additional confidence thatthe pipe friction calculations willeffect a practical degree of ac-curacy. (Note Figure 4)
Worth showing at this time,is the velocity profile within a
pipe for various values of thefactor “n”. (figure 5) For a truefluid where n=1, the flow pat-tern for streamline flow is para-bolic with the maximum velocityat the center of the pipe doublethat of the average velocity. Fora dilatant fluid (where “n” isgreater than 1) the larger thenumber, the closer the velocityapproaches that of the purelytheoretical perfect dilatant wheren=f. That shape is conical ra-ther than parabolic and the maxi-mum velocity at the center of thepipe is three times the average.As mentioned previously this dil-atant or rheophetic phenomena(“n” greater than 1) does not existin any known sewage sludge flowconditions. On the other hand,the perfect pseudoplast, wheren=0, would flow as a solidplug, with no difference in ve-locity from the pipe walls to thecenter. Even though a perfectpseudoplast could not possiblyexist, note that for a pseudo-plastic or thixotropic slurry witha power factor “n” equal to 1/3,there is no appreciable differencein velocity over the inner thirdof the pipe, so the center por-tion flows as a plug.
Moving back into sewagesludge, how would the variousconcentrations fit into any ofthese categories? Vaughn Behnpublished one set of curves ranwith a capillary viscometer that,although it is obviously going todiffer with results from othertypes of sludges, shows at aglance some discouraging facts.
(figure 6) Remember, that if theshear stress is proportional to theshear rate to the “n” power whenwe plot one against the otheron log-log curve, we would havea straight line. If n = 1 or theshear varies directly as the rateof shear, the fluid is New-tonian and would have a slopeof 1 on the curve or a 45 degreeangle. For a perfect pseudoplast,(n = 0), the line would be hori-zontal, and for a perfect dilatant(n =f), the line would be verti-cal. Behn’s curve shows waterto have its expected 45 degreeslope; and, sludge of 2.8% solidsis parallel to it, thereby showingNewtonian tendencies or a con-stant (although higher) viscosityover a wide shear rate. On thisparticular sludge a constant multi-plier to water curves regardlessof pipe sizes and flow rates, isvalid for streamline flow up to3%. However, what happens asthe percentage of solids goesover 5%. The line is no longerparallel to water, indicating thatthe flow is no longer Newtonianand that a constant multiplier towater curves would no longerbe accurate. In fact, not onlyis the line not parallel; but, itis no longer straight. Calculatingthe “n” factor at various pointsfor 10.5% solids shows a rangeof almost three to one over therange of velocities or shear rate.So, even the convenient power lawcalculations do not fit unlessused over a relatively narrowrange of pipe velocities.
This really wouldn’t surpriseanyone with any knowledge ofslurry flow; because, as previous-ly mentioned, the relationshipsreally exist for only homogene-ous or single phase flows, i.e.,slurries that flow at a continuousmass velocity without tendencies toseparate or flow at different ratesfrom that of the carrier fluid. Thisusually exists only when the size ofthe particles is in the extremely smalllow micron range. Obviously, sewagesludge doesn’t fit this descrip-tion. Although there is a portionof the sludge that is fine enoughto flow as a homogeneous slurry,there are obviously enough largeparticles to throw it into the wild,wild world of two phase orheterogenous flow. When youponder the wide variation in solidsdensity, shape, and size that wouldnormally exist in a sewage sludge,you don’t wonder whether its flow isfollowing the power law, but whether
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some of it is flowing at all! Thelargest particle reported to theauthor as having flowed througha 6 inch pipe line was a 12 footextension ladder. The mainten-ance superintendent who report-ed it stated that it had to havebeen pumped through the linesince that was the only way itcould have gone into his new di-gestor. The contractor swore hedidn’t leave it; so, there was noother way to explain it’s presence.
The only mention here of thetheory of heterogeneous flow isto say, it’s obvious that thetotal energy gradient or headloss for a two phase water slurrywould be equal to the head lossfor the water alone, plus energyloss as a result of suspendedsolids. How to calculate thisenergy loss is where the theoristsdiffer. The number of variablesinvolved are so many that thetask of purely theoretical analysisis hopelessly impossible at thepresent time. Scientists are stillworking with graded sphericalparticles, etc, trying not to findout why the solid particles arebehaving in a particular manner;but, what is their particular man-ner of behavior. They’re a longway from predicting sludge be-havior with high accuracy; but,some of the things that they dofind are interesting and applic-able. Particles of reasonable den-sity, under 300 microns, tend toflow in suspension while largerparticles tend to move down-stream faster than the fluid (suchas heavy particles flowing down
in a vertical pipe). They also mi-grate and concentrate around thewalls of the pipe. When theparticles tend to move down-stream slower than the carrier,they migrate to the center of thepipe. Buoyant particles with thesame density as the carrier flowin a ring surrounding the axis,about half way between the cen-ter and the wall of the pipe. Achange in the amount of fine par-ticles in suspension changes thefall-out velocity of a coarse par-ticle. A small percentage of fineparticles in water actually re-duces the friction head loss. Tur-bid water flows at a greater vol-ume under the same head thanclear water. Apparently, in a so-lution with a very small per-centage of flowing solids the par-ticles act as guide vanes and re-duce the water turbulence. When
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you stop to consider that parti-cles are lagging, or leading thefluid, migrating into more con-centrated areas, etc., you realizethat even the percentage of solidsis not constant at every point inyour pipe line. In addition, con-sider the necessity of calculatingthe energy required to move atcertain velocities those particlesnot flowing with the liquid, buttumbling along either a station-ary or sliding bed of concentratedsolids settled at the bottom ofa horizontal pipe; and, even themost talented rheologist scratcheshis head.
The state of the art, at present,is that calculations and predic-tions can be made in two-phaseflow with doubtful accuracy, ifyou can be sure that all of yourparticles are spheres of the samesize and density. A lot of workby very talented scientists con-tinues to go on; and progress isbeing made. But look at all of thevariables in sewage sludge. Theparticles aren’t spheres - - orcubes or discs, but each with adifferent shape, a different dragcoefficient, a different surfaceto volume ratio, etc. The particledensities vary from lighter thanwater through hard heavies. Theparticle sizes vary from fine mi-cron silts to 12 ft. extension lad-ders. And just when you’ve hadthem all completely classified foryour particular sludge and beginyour calculations, you find thatwhat was a particle yesterday, isa gas bubble today, or has con-glomerated into a different shapeand density completely.
You can easily see that loca-tion of the plant, type of grit re-moval, type of sludge, mechani-cal action from preceeding op-
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eration, chemical treatment andmany other variables will changethe complete flow characteristicsof the sludge. Anyone who sayshe can accurately predict the ac-tion of any sludge in a pipe lineis misleading you and himself.What can be done then? Ob-viously some estimate has to bemade. Even laboratory tests tendtoward irrelevance. More thanone engineer has haphazardlyopened a bulged plastic bottleof sludge shipped in from Texas,or where-ever, and discoveredthat the properties have changedfrom the time when it was pour-ed into the bottle to the timewhen he wiped it from his face,clothing, lab walls, . . . . Ob-viously whatever method is usedto calculate sludge pipe frictionlosses, it must be empirical andbased on past experience withsimilar sludges at similar flow
conditions. This must be withthe full realization that the flowcharacteristics of no two sludgeswill he exactly the same; and,a sizeable margin of error exists.
Speaking in generalities, sludgesbelow 3% are usually(as mentioned previously) nearNewtonian; and, multipliers towater curves for friction loss arevalid regardless of the shearrate or velocity. An increase ofapproximately 25% of the valuefor water should suffice. Whenthe percent of solids is higherthan that, the thixotropic or pseu-doplastic properties begin to takeover; and, a constant multiplierto water curves is no longervalid. One test indicated 9%sludge to have friction losses ofalmost 10 times that of waterof 1 ft/sec pipe velocity, whilethe same sludge had only 3 timesthe friction loss of water at 3
ft/sec velocity. Using our com-puter and data reported in asmany papers on sludge handlingas could be found, one of ourengineers, Harry Conrad, workedup a series of sludge frictionloss tables or curves for 4”, 6”,and 8” pipe (figure 7), plottedby percent of solids for sludgebands varying from raw throughcomplete digestion.
CONCLUSION
The wide range of possiblesolid-liquid mixture makes it veryunlikely that information aboutthe friction loss of a particularmixture will be listed in somebook or table. But consolidationof available data complementedby good judgement and a reason-able safety factor should enableany competent engineer to ob-tain reliable estimates.
FIGURE 7
REOLOGIA DE SUSPENSÕES TIXOTRÓPICAS DE BASE ARGILOSA(LAPONITE)
A. S. Pereiraa) and F. T. Pinhob)*a)Departamento de Engenharia Química, Instituto Superior de Engenharia do Porto
Rua de São Tomé, 4200 Porto, Portugalb)Centro de Estudos de Fenómenos de Transporte, DEMEGI, Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto,
Rua dos Bragas, 4099 Porto Codex, Portugal
SUMÁRIOA laponite é uma argila sintética que forma normalmente suspensões tixotrópicas e
viscoplásticas, e é muito utilizada na indústria de perfuração de poços de petróleo e gásnatural como aditivo dos fluidos lubrificantes.
Neste trabalho efectua-se a caracterização reológica de duas suspensões aquosas delaponite a 1 e 1.5% de concentração mássica e de uma suspensão de 0.5% de laponite numasolução aquosa viscoelástica de 0.07% de CMC. Estes fluidos serão posteriormente estudadosdo ponto de vista do comportamento hidrodinâmico numa conduta, simulando situações reaisda sua utilização, resultados a reportar no futuro.
A medição da tensão de cedência foi efectuada por métodos directos e indirectos e no seuconjunto estes dois tipos de ensaio permitiram determinar os seguintes valores de tensão decedência: 0.0 a 1.8, 2.2 e 3.4 Pa para as suspensões de 1% laponite, 0.5/0.07% laponite/CMCe 1.5% laponite. Dado o comportamento dependente do tempo destas suspensões aviscosidade viscométrica foi também medida após adopção de um adequado procedimento deequilíbrio. Por outro lado, os ensaios oscilatórios de corte não foram capazes de determinaruma elasticidade substancial para a suspensão de 1% de laponite, mas sugeremcomportamentos elásticos para as suspensões de 0.5/0.07% de laponite/CMC e 1.5% laponite.A comparação de alguns resultados reológicos relativos à suspensão de 0.5% de laponite e àsuspensão de 0.07% de CMC evidenciaram os efeitos sinergéticos de uma combinação argila-polímero.
INTRODUÇÃO determinado valor, a tensão de cedência,escoando-se para valores superiores detensão. Estes fluidos são designados deviscoplásticos ou fluidos com tensão decedência.
Alguns materiais de relevância industrialpossuem propriedades mecânicas que osidentificam simultaneamente como fluido ecomo sólido. A amostra de materialcomporta-se como um gel quando a tensãode corte aplicada é inferior a um
Por outro lado, o comportamento dosfluidos pode também ser dependente do
tempo havendo aqui que distinguir duassituações: por um lado existem os fluidoscapazes de armazenar energia sob a formaelástica durante a ocorrência deescoamentos transientes, e por outro ladoos fluidos que apresentam umcomportamento transiente quandosolicitados em regime permanente e que,além disso são incapazes de armazenarenergia sob a forma elástica. No primeirocaso estamos perante os fluidosviscoelásticos, enquanto que no segundocaso os fluidos se designam detixotrópicos.
Um dos primeiros trabalhos decaracterização reológica de fluidostixotrópicos com tensão de cedência foirealizado por Bingham e Green em 1920.Nos últimos trinta anos este tipo de fluidostem sido frequentemente estudado (Charm(1963), Keentok (1982), Nguyen e Boger(1983), Cheng (1984) entre outros) dada asua relevância em muitas situaçõespráticas: são exemplo destes fluidos umagrande variedade de produtos cosméticos efarmacêuticos (pasta dentífrica, creme debarbear, shampô, protectores solares),vários tipos de tintas industriais e tintas deimpressão, produtos de limpeza, produtosagrícolas, de construção e papel.
A laponite é uma argila sintética queforma suspensões aquosas comcaracterísticas tixotrópicas e viscoplásticas,sendo por isso ideal para simular os fluidosutilizados na indústria de perfuração(Escudier e Presti, 1996). Os fluidosexistentes durante operações de perfuração(drilling) contém em suspensão não só asaparas de rocha, mas também aditivossólidos que permitem controlar a densidadedo fluido para manter uma pressãohidrostática superior à pressão da rocha,evitando o seu colapso e a incursão deoutros fluidos, evitar a sedimentação dasaparas, lubrificar a operação de corte,refrigerar o processo de corte e revestir ofuro para reduzir a perda de fluido para aenvolvente sólida (Lockett, 1992).
Na secção seguinte apresentar-se-ão osequipamentos utilizados no programaexperimental e far-se-á uma breve descriçãodos ensaios reológicos efectuados, comespecial destaque para os ensaiosvocacionados para a detecção equantificação da tensão de cedência e datixotropia.
DESCRIÇÃO DO EQUIPAMENTOA caracterização reológica dos fluidos
efectuou-se num reómetro da Physica,modelo Rheolab UM/MC 100implementando o sistema Z1-DIN deduplos cilindros concêntricos descrito emCoelho e Pinho (1998). Esta geometriapermite efectuar medições de tensão decorte até 67 Pa, sendo limitadoinferiormente, por questões de precisão, auma tensão da ordem de 1% do valormáximo. A taxa de deformação máxima é de4031 s-1. O aparelho funciona no modo decontrole de tensão embora o seu hardwarepermita também a operação em controlo detaxa de deformação. Um banhotermostático controla a temperatura daamostra com uma incerteza da ordem de0.1°C, sendo que todos os ensaios foram
Estas funções são cumpridas com aajuda de outros aditivos do tipopolimérico, que reforçam a componenteviscosa deste tipo de fluidos lubrificantes.Fluidos com algumas destas característicassurgem também noutras aplicaçõesindustriais, pelo que o estudo das suascaracterísticas hidrodinâmicas pressupõe oconhecimento prévio da respectivareologia, o que constitui o objectivo dopresente trabalho.
2
efectuados à temperatura constante de25°C.
conforme estudado por Coelho e Pinho(1998).
Para além dos ensaios mais clássicos damedição da viscosidade viscométrica ( η ) e
dos módulos de elasticidade (G' ) eviscosidade (G") em escoamentooscilatório de corte, ambos já descritos emCoelho e Pinho (1998), o reómetro permitea medição da tensão de cedência dos fluidosviscoplásticos seguindo diferentesmetodologias.
A laponite RD é uma argila sintéticacom uma estrutura análoga à de uma argilanatural mineral, a hectorite do Wyoming. Éconstituída por camadas de silicato demagnésio, que são hidrotérmicamentesintetisadas a partir de silicatos simples, desais de lítio e de magnésio, na presença deagentes de mineralização. Mais detalhessobre a sua produção, química e estruturaconstam de Laponite (1990).A caracterização da tensão de cedência
dos fluidos é efectuada por via de métodosdirectos e indirectos descritos adiante. Nosmétodos directos recorre-se ao ensaio defluência e ao teste de aumento de tensão(stress growth experiment) ambosexplicados por Nguyen e Boger (1992). Oensaio de fluência também está descrito emCoelho e Pinho (1998), mas aí com oobjectivo de determinar um tempo derelaxação característico do fluido.
As argilas deste tipo dilatam à medidaque a água, ou solventes orgânicos polares,entram em contacto com as suas camadas,devido à hidratação dos catiões e placas aíexistentes. Estas argilas, ditas"smectíticas", possuem uma cargaestrutural negativa devido à substituiçãodos catiões nas suas camadasconstitutivas. No entanto, esta carganegativa é independente do nível e tipo deelectrólito em que a argila está suspensa.
CARACTERÍSTICAS E PREPARAÇÃODOS FLUIDOS
As suspensões aquosas diluídas delaponite com níveis baixos de electrólitotransformam-se em "sols" de baixaviscosidade com placas não interactivas emantém-se estáveis por longos períodos detempo uma vez que são totalmenteinorgânicos. Contudo, o nível de electrólitoe o seu tipo têm um efeito muito intenso naestabilidade e textura da dispersão departículas de laponite: à concentração de3% e superiores, a solução gelifica à medidaque as interacções interfaciais entre ascamadas duplas eléctricas das plaquetasindividuais as imobilizam. Isto conduz àformação de uma estrutura de equilíbrioque responde de forma elástica até que sejaaplicada uma tensão de cedência crítica.
Os fluidos a investigar são suspensõesaquosas de uma argila sintética pura etambém em combinação com um polímero.
A argila selecionada é a laponite RD,fabricada por Laporte Industries, eanteriormente utilizada por Escudier et al(1995) como aditivo para a fabricação deum fluido laboratorial simulando fluidosreais da indústria da perfuração. A misturadesta argila de hectorite com um polímeroespessante como o CMC 7H4C daHercules (celulose carboximetílica de sal desódio) permite simular com mais realismoos fluidos dessa aplicação industrial, que defacto são constituidos por misturas devários tipos de aditivos. Quanto ao CMC,este forma soluções aquosas decaracterísticas pseudoplásticas sem tensãode cedência e independentes do tempo,
Uma das características maisimportantes da reologia destas suspensõesé a sua capacidade de formar gelsfortemente tixotrópicos, transparentes,
3
inodoras e incolores. Outras informaçõesconstam de Laponite (L64)
intersticiais existentes entre as partículasde argila e/ou das moléculas de polímero.Antes de se proceder à caracterizaçãoreológica das suspensões, estas voltaram aser agitadas durante um período de 30minutos para garantir a sua totalhomogeneização. De acordo com esteprocedimento prepararam-se suspensõesaquosas de 1% e 1.5% em massa delaponite.
Por outro lado, o CMC 7H4C é umpolímero de elevado peso molecular (3*106
kg/kmol) comummente utilizado comoespessante quer nas aplicações industriaisquer de investigação (Ernst, 1966, Walters,1980). O CMC é produzido pelamodificação química da celulose alcalinacom monocloroacetato de sódio. Ohidrogénio do grupo hidróxilo da glucose ésubstituído pelo grupo carboxi-metilo dogrupo sódio. O CMC também formasoluções aquosas inodoras, transparentes enão tóxicas.
O efeito sinergético criado pelacombinação de polímero e argila foiinvestigado por recurso a três fluidosdiferentes, a saber: uma mistura de 0.5% delaponite com 0.07% de CMC em água, asuspensão aquosa de 0.5% de laponite e asolução de 0.07% de CMC, todas elas emconcentração mássica.
A adição deste polímero à laponiteaumenta a gelificação da suspensão e arespectiva viscosidade viscométrica. Asinergia desta combinação é conhecida(Laponite L61), embora de uma formalimitada, e foi também utilizada nainvestigação por Escudier et al (1995). Noentanto, o tipo de CMC utilizado nestetrabalho (CMC 7H4C da Hercules) édiferente do utilizado por aqueles autores(Aldrich Chemical Co.), caracterizando-sepor um maior peso molecular e um efeitoespessante mais intenso comodemonstrado no estudo comparativo deEscudier et al (1998).
Todos os ensaios foram efectuados àtemperatura constante de 25°C.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Viscosidade viscométricaAs três suspensões aquosas de laponite
(1%, 1.5% e 0.5/0.07% de laponite/CMC)produzem fluidos tixotrópicos epseudoplásticos com tensão de cedência.Devido às dificuldades de caracterizaçãodos fluidos tixotrópicos, utiliza-se umprocedimento de teste em equilíbrio(Alderman et al, 1988): aplica-se umatensão de corte à amostra e a taxa dedeformação correspondente é monitorizadaao longo do tempo até se atingiremcondições de regime permanente. Umexemplo deste teste está patente na Fig. 1para a suspensão de 1.5% de laponite. Acurva superior representa a resposta dofluido quando se dá um aumento súbito datensão imposta de 0 para 15 Pa. De acordocom alguns dos modelos fenomenológicos(Papenhuijzen, 1972), a tixotropia ocorrenos fluidos que formam uma estruturainterna. Nesta estrutura forma-se uma rede
De cada vez prepararam-se 4 kg defluido não-Newtoniano utilizando água darede do Porto. Para eliminar a degradaçãobacteriológica a que estão sujeitos osfluidos orgânicos adicionaram-se 100 ppmde formaldeído. Para aumentar a tensão decedência das suspensões aquosas delaponite acrescentou-se ainda 60 ppm decloreto de sódio, como efectuadoanteriormente por Escudier et al (1995). Assuspensões foram então agitadas durante90 minutos, e posteriormente deixadas emrepouso durante 24 horas para permitir acompleta hidratação dos espaços
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de ligações e, em simultâneo, a deformaçãodo material impõe roturas nessas ligações.Na presença de uma deformação imposta aestrutura na situação de equilíbrio resultade um compromisso entre as taxas deformação e rotura de ligações internas. Acurva superior da Fig. 1 corresponde pois àevolução de uma situação de estruturatotalmente formada (τ = 0 Pa para t < 0s) para uma situação de equilíbrio.
foram ajustados aos dados experimentaispelo método dos mínimos quadrados. Osparâmetros desses modelos constam daTabela I.
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0 1000 2000 3000 4000
η[Pas]
t [s]
Por outro lado, a curva inferiorcorresponde a uma queda súbita da tensãoaplicada de 35 Pa para 15 Pa. Na ausênciade qualquer estrutura interna as duascurvas deveriam coincidir, mas esse não é ocaso. O equilíbrio estrutural justifica aindaque ambas as curvas apresentem um tempode resposta semelhante, embora a variaçãoda taxa de deformação (viscosidade) sejamenor na curva inferior. Isto significa queas modificações estruturais na passagem de35 Pa para 15 Pa são menos intensas doque na variação de 0 Pa para 15 Pa. Aformação de uma estrutura interna nassuspensões de laponite, pelo menos naausência de deformação imposta, estátambém confirmada em Laponite (1990).
Figura 1- Evolução no tempo da viscosidadeviscométrica da suspensão aquosa de 1.5% delaponite correspondente à aplicação no instante t=0s de uma tensão de corte de 15 Pa. O: τ= 0 Pa parat<0 s; ∆ : τ= 35 pa para t< 0 s.
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
10-2 10-1 100 101 102 103 104
µ[Pas]
γ [s-1]
O tempo de resposta obtido nos ensaiosde viscosidade é da ordem dos 3000 s e éidêntico para ambas as curvas. Este valor éconfirmado pelas experiências de Escudiere Presti (1996) com misturas de laponite-CMC que encontraram valores de tempode equilíbrio da mesma ordem de grandeza.
Seguindo este procedimento obtém-seao fim de algum tempo o valor daviscosidade correspondente à situação deequilíbrio. Repetindo o processo paraoutros valores de tensão de corte é entãopossível obter uma curva da viscosidadeem função da taxa de deformação de cortena situação de equilíbrio. Essas curvasestão patentes nas Figs. 2 e 3. As figurasincluem os modelos reológicos de Herschel-Bulkley e Casson (equações 1 e 2) que
Figura 2- Viscosidade viscométrica das suspensõesna situação de equilíbrio. O 0.07% CMC; ∆ 0.5%laponite; G 0.5%/0.07% laponite/CMC; H 1%laponite; I 1.5% laponite; linhas a cheiorepresentam ajustamento pelo modelo de Herschel-Bulkley.
As suspensões de laponite exibem umaumento da viscosidade com aconcentração e um forte comportamentopseudoplástico sem o patamar Newtoniano
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a baixas taxas de deformação. A ausênciadeste patamar é típica de fluidos quepossuem uma estrutura interna e éindicador da existência de uma tensão decedência (a tensão de cedência equivale àdefinição de uma viscosidade infinita parauma taxa de deformação nula). As curvasde viscosidade das suspensões maisconcentradas de laponite mostram quemesmo estes fluidos apresentam uma baixaviscosidade a taxas de deformação elevadas.
suspensão de 0.5% de laponite cuja curvaindicia também a existência de uma tensãode cedência. O efeito sinergético da misturaestá bem patente na respectiva curva daviscosidade que apresenta um andamentoparecido com o da suspensão de 1.5% delaponite pura, mas com um total deaditivos que é só cerca de 1/3. Este tipo deefeito está sugerido em Laponite (L61),embora neste trabalho se apresentemresultados para um único valor da taxa dedeformação. Confirmam-se assim asvantagens da mistura polímero-argila.
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
10-2 10-1 100 101 102 103 104
η[Pas]
γ [s-1]
O modelo de Casson é dado pelaequação
τ = τCas + η∞ ˙ γ ( ) (1)
onde τCas é a respectiva tensão de
cedência e η∞ a viscosidade no limite de
taxas de deformação infinitas. Este modelofoi criado por Casson (1959) para ajustarmedições da viscosidade de tintas deimpressão e tem como grande vantagem acapacidade de prever simultaneamente apseudoplasticidade e a viscoplasticidade deum fluido recorrendo exclusivamente a doisparâmetros, mas está naturalmente limitadona intensidade da pseudoplasticidade que éfunção das raízes quadradas utilizadas. Ummelhor ajuste a resultados experimentaisrequer um modelo com mais graus deliberdade como é o caso do modelo deHerschel-Bulkley que combina uma tensãode cedência τ HB com um fluido de lei de
potência de parâmetros K e n
Figura 3- Ajustamento pelo modelo de Casson(linha a cheio) à viscosidade viscométrica dassuspensões na situação de equilíbrio. G0.5%/0.07% laponite/CMC; H 1% laponite; I 1.5%laponite.
A Fig. 2 inclui ainda as viscosidades dasuspensão de 0.5% de laponite e dasolução de 0.07% de CMC, queisoladamente são cerca de 10 vezes menosviscosas do que a mistura 0.5% laponite/0.07% CMC para taxas de deformaçãoentre 10 s-1 e 1000 s-1. A solução de 0.07%CMC é claramente mais "espessa" do que a
τ = τ HB + K ˙ γ n (2)
Tabela I- Parâmetros dos modelos de Casson e de Herschel- Bulkley ajustados à viscosidadeem equilíbrio das suspensões aquosas de laponite e de laponite/ CMC.
Solução η∞ [Pas] τCas [Pa] n K [Pasn] τ HB [Pa]
0.5/0.07% lap/CMC 0.0039 2.3 0.492 0.3469 1.8
1% laponite 0.00146 0.8 0.6851 0.03274 0.9
1.5% laponite 0.00083 3.3 0.6758 0.03686 3.4
6
As linhas a cheio na Fig. 2 representamo ajustamento do modelo de Herschel-Bulkley enquanto que na Fig. 3representam o modelo de Casson. Aqualidade dos dois ajustamentos é muitosemelhante para o caso das suspensões delaponite, enquanto que para a mistura delaponite/ CMC se nota um melhorajustamento pelo modelo de Herschel-Bulkley como seria de esperar de ummodelo com maior versatilidade.
ver na Tabela 2 que resume valores típicosda razão G'/G" em duas gamas defrequência.
Novamente, o efeito sinergético damistura sobre a elasticidade dos fluidosestá bem patente. Isto está provavelmenteassociado ao reforço da estrutura internaque é promovido pela interacção entre asmoléculas de polímero e as partículassólidas (Boger, 1994 a).
Tabela 2- Razão típica entre os módulos deelasticidade e de viscosidade dos fluidos
testados.Ensaio oscilatório de corte
O teste oscilatório de corte, descritocom detalhe em Coelho e Pinho (1998),permite medir os módulos de elasticidadeG' e de viscosidade G", proporcionais àelasticidade e viscosidade de um fluidorespectivamente. A resposta a este tipo deensaio só é independente da amplitude dadeformação sinusoidal desde que esta sejapequena (Bird et al, 1987). Isto sugere que,na primeira parte do ensaio, se determine aamplitude de deformação crítica abaixo daqual a resposta do fluido é linear eindependente da amplitude da deformação.Uma amplitude de deformação inferior aovalor crítico deve então ser utilizada nosensaios posteriores para estudo do efeitoda frequência de oscilação.
Solução G'/G" G'/G"
Frequência 1-5 5-10
1% laponite 0.12 0.14
1.5% laponite 3.1 1.7
0.5/0.07 lap/CMC 2.9 1.9
Neste tipo de ensaio não se tornanecessário efectuar qualquer procedimentode equilíbrio uma vez que a amplitude dadeformação é tão baixa que o teste não édestrutivo da estrutura interna dos fluidosnão havendo por isso uma evolução parauma situação de equilíbrio. Esta é aliás umadas diferenças mais significativas entre esteensaio e outros testes utilizados paraquantificar grandezas elásticas (caso damedição da primeira diferença de tensãonormal ou da viscosidade elongacional).
Para todos os fluidos estudados aamplitude de deformação crítica foi tãopequena que se tornou difícil efectuarmedições precisas. Isto deriva do factodeste reómetro operar com rolamentos deesferas que introduzem um "ruído" defundo dificultando medições precisasquando os fluidos forem muito diluídos.Apesar disso foi possível efectuar algunsensaios que mostraram haver algumaelasticidade nas suspensões de laponite.
Tensão de cedênciaA tensão de cedência está intimamente
relacionada com as forças de ligação no seioda estrutura da suspensão sendo umamedida da força necessária a romper essaestrutura quando ela está totalmenteformada. Para valores de tensão superioresà cedência a estrutura interna é dinâmica, ie,formam-se e rompem-se ligações internaspassando o fluido a exibir ocomportamento tixotrópico já demonstradona Fig. 1.
Para as suspensões de 1% e 1.5% delaponite a elasticidade do fluido foi inferiorà da mistura de 0.5/0.07% de laponite/CMC a elevadas frequências como se pode
Embora o conceito de tensão de cedênciaseja muito útil, a sua existência foi porvezes contestada (Barnes e Walters, 1985)com base no argumento de que os materiaisse escoarão desde que se espere um temposuficientemente longo. Por exemplo, umapelícula de tinta aplicada a uma paredevertical escoar-se-á certamente por efeitoda gravidade, mas para uma boa tinta esteprocesso é muito mais lento do que astaxas de evaporação do solvente e dasalterações de carácter químico queconduzem à sua secagem. Neste caso oconceito de tensão de cedência torna-seapropriado, descrevendo o valor da tensãoabaixo da qual o escoamento do fluido setorna desprezável dentro de limites detempo razoáveis (Boger, 1994 b). Umconhecimento preciso do valor da tensão decedência torna-se importante em processosde manuseamento, armazenamento,transporte em reservatórios de suspensõesindustriais concentradas e transporte emcondutas, entre outros.
medição da tensão de cedência segundo osvários procedimentos disponíveis e ainferição das respectivas conclusões. Esta éa filosofia adoptada no presente trabalho,utilizando-se como métodos directos oensaio de fluência e o teste de aumento detensão. Efectuaremos também adeterminação indirecta da tensão decedência, o que envolve a extrapolação dosresultados experimentais da relação entre atensão e a taxa de deformação de corte emescoamento de Couette em regimepermanente. Neste caso a tensão decedência será o valor limite de tensão parauma taxa de deformação nula e aextrapolação pode efectuar-se por viagráfica ou numérica, directamente sobre osresultados experimentais ou por recurso aoajustamento de modelos reológicosviscoplásticos adequados.
No caso vertente da medição de fluidostixotrópicos as duas famílias de métodospoderão resultar em valores algo diferentesuma vez que se relacionam com diferentestempos de resposta do fluido e diferentesequilíbrios estruturais.
Como a maioria dos materiaisviscoplásticos possui uma estruturainterna, a sua reologia depende fortementeda história de deformação anterior e atensão de cedência pode ser muito sensívelà duração dos testes efectuados para a suamedida (Cheng, 1986). Assim, nos fluidostixotrópicos como os que estamos aestudar aqui a tensão de cedência é umafunção da estrutura e, consequentemente,do tempo.
Métodos directos
Ensaio de FluênciaNeste ensaio aplica-se à amostra uma
pequena tensão de corte constante eobserva-se a respectiva resposta ao longodo tempo. O teste vai-se repetindo paranovos valores de tensão progressivamentesuperiores. A Fig. 4 apresenta, para amistura laponite/CMC, curvas típicas doensaio de fluência para vários níveis detensão aplicada. Para tensões inferiores aovalor da cedência, e uma vez que o fluido secomporta como um sólido elástico,inicialmente a deformação aumenta com otempo até atingir um valor de deformaçãoconstante, recuperando completamente aofim de algum tempo após a remoção
A determinação da tensão de cedênciapode efectuar-se por via directa ouindirecta (Nguyen e Boger, 1992) havendopara cada método mais do que uma técnica.Cada uma tem as suas limitações esensibilidade próprias e por isso não épossível dizer-se qual a mais versátil,precisa e capaz de cobrir todo o espectrode tensões de cedência e características defluidos. Assim, a melhor metodologia é a
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completa da tensão (caso dos ensaios a 2.5,2.75 e 2.9 Pa). Já para tensões de cortesuperiores ao valor da cedência adeformação aumenta indefinidamente como tempo atingindo-se eventualmente umataxa de deformação constante, umaindicação de que se alcança um escoamentopuramente viscoso. Após remoção datensão há alguma recuperação elástica dadeformação mas que não é total, i.e., fica nofinal uma deformação residual.
representa os valores medidos no ensaio deaumento de tensão a descrever de seguida.
Ensaio do aumento da tensãoNeste ensaio controla-se a taxa de
deformação aplicada. A amostra de fluido ésujeita a uma deformação caracterizada porum valor constante e baixo de taxa dedeformação, monitorizando-se a evoluçãono tempo da correspondente tensão decorte. A resposta típica da tensão ao longodo tempo está esquematizada na Fig. 5.Consiste basicamente num comportamentoinicialmente linear, indicador de respostaelástica, seguido de uma região decomportamente não-linear correspondenteao início de escoamento puramenteviscoso. Dá-se então um "overshoot" detensão antes da sua estabilização num valorconstante.
Este método é muito sensível paraverificar os limites da deformação eescoamento elástico/ plástico/ viscoso. Étambém um dos métodos menosdestrutivos da amostra uma vez que atensão de cedência é aproximada porvalores inferiores, evitando-se assimperturbações excessivas sobre a amostra defluido.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 2 4 6 8 10 12
γ
t [s]
.
B
A
t
tens
ão
Figura 5- Resposta em tensão num ensaio deaumento da tensão. Ponto A indica fim de regiãode comportamento linear e ponto B indica"overshoot" de tensão na região não-linear.Figura 4- Variação com o tempo da deformação
num teste de fluência para a medição da tensão decedência numa suspensão de 1% de laponite: O τ=2.5Pa; ∆ τ= 2.75Pa; G τ= 2.9Pa; H τ= 3Pa. A medição da tensão de cedência por
este método tem duas interpretações:alguns autores (Mewis e Meire, 1984 eNagase e Okada, 1986) são da opinião quea tensão de cedência corresponde à tensãono final da zona linear (ponto A da Fig. 5),enquanto que outros investigadores (Pryce-Jones, 1952 e Papenhuijzen, 1972) indicamque o valor máximo da tensão em B é que
A Tabela 3 sumaria os valores da tensãode cedência medidos pelos diferentesmétodos directos descritos no texto para assuspensões de 1% e 1.5% de laponite epara a mistura aquosa de 0.5/0.07% delaponite/CMC. τc designa os valoresobtidos no ensaio de fluência e τs
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representa a tensão de cedência.Recentemente Liddell e Boger (1996)reinterpretaram este ensaio e sugeriram queestes dois valores representam duastensões de cedência de um material. Atensão inferior (ponto A) corresponde àtransição entre os comportamentoscompletamente elástico e viscoelásticoenquanto que a segunda tensão (ponto B)corresponde à transição entre os regimesviscoelástico e puramente viscoso. Dito deoutro modo, estes dois valorescorrespondem de facto às tensões decedência estática e dinâmica,respectivamente.
estrutura e é por isso uma medida datensão de cedência correspondente aoponto B da Fig. 5. A figura mostra que atensão de cedência aumenta com aconcentração de laponite, e que a misturalaponite/CMC tem uma tensão de cedênciaintermédia das duas suspensões de 1% e1.5% de laponite.
0
1
2
3
4
5
0 5 10 15 20
τ [P
a]
t [s]
O ensaio de aumento de tensão foidefinido pelo Instituto Americano doPetróleo como um procedimento standard aadoptar na medição da estrutura de fluidosna indústria da perfuração (Speers et al,1987). A norma especifica que o teste sedeve efectuar com um viscosímetro decilindros concêntricos e a uma taxa dedeformação de corte constante de 5.11 s-1.
Figura 6- Resposta em tensão, com "overshoot",num ensaio de aumento de tensão: O 0.5%/0.07%lap/CMC; ∆ 1.5% laponite; G 1% laponite.
O reómetro utilizado neste trabalhoapresenta uma incerteza na medição dobinário que pode ser elevado nalgumascircunstâncias. Assim, na medição de umasolução de 0.4% CMC ela é de 56.6% e6.2% para taxas de deformação de 0.73 s-1
e 10.4 s-1, respectivamente. Contudo, assuspensões de laponite apresentam umatensão peo menos dez vezes superior à doCMC, para idêntico valor de taxa dedeformação, pelo que a correspondenteincerteza não ultrapassa os 5%. A ausênciadas regiões iniciais linear e não-linear antesdo "overshoot" de tensão na Fig. 6, a qualapresenta a evolução temporal da tensão decorte para as diferentes suspensões delaponite, deve-se a uma limitação doaparelho que não é capaz de respondersuficientemente depressa à solicitaçãoimposta. O pico inicial no valor da tensãocorresponde assim à rotura completa de
Tabela 3- Valores de tensão de cedênciaobtidos pelos métodos directos [Pa]
Solução τc τs
0.5/0.07% laponite/CMC 2.2 2.3
1% laponite 1.8 1.7
1.5% laponite 5.8 4.8
As tensões de cedência obtidas pelosdois métodos directos podem comparar-sena Tabela 3, verificando-se que para asuspensão de 1% de laponite e de0.5/0.07% de laponite/CMC háconcordância entre os valores obtidos. Poroutro lado, para a suspensão de 1.5% delaponite existe uma diferença inferior a20%.
O teste do aumento de tensão aparentasofrer dos problemas normalmenteobservados na determinação de tensão decedência em aparelhos rotacionais:
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deslizamento na parede, efeitos inerciais doinstrumento, sensibilidade a perturbaçõesexternas e fractura do fluido após acedência foram identificadas por Nguyen eBoger (1992) como as principais razões defalta de reprodutibilidade neste tipo deensaio.
apresentamos nas Figs. 7 e 8 os valoresmedidos para a suspensão de 1% delaponite juntamente com os 3 polinómiosajustados em coordenadas lineares elogarítmicas, respectivamente.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 1000 2000 3000 4000
τ[Pa]
γ.
Métodos indirectos
Extrapolação directa de dadosexperimentais
Neste método os resultadosexperimentais da tensão em função da taxade deformação de corte são ajustados porum polinómio que permite a extrapolaçãoda tensão para um valor que corresponde auma taxa de deformação nula. Obviamente,o valor extrapolado depende sobretudo dasmedições mais baixas da tensão (Barnes etal, 1989) bem como do grau do polinómioajustado. Mesmo que a extrapolação sejaefectuada cuidadosamente, os valores decedência obtidos por este métodoapresentam um grau de incerteza elevado,sobretudo quando as suspensões sãoconcentradas, porque estas apresentamuma relação francamente não-linear entre atensão de corte e a taxa de deformação. Aprecisão destes métodos dependefortemente da existência de valoresexperimentais medidos a baixas taxas dedeformação. Ora, a elevada incerteza doactual reómetro para baixos valores de taxade deformação afecta as medições daviscosidade nessa gama econsequentemente reduz a precisão dosvalores obtidos por extrapolação.
Figura 7- Efeito do grau polinomial no ajustedirecto da tensão de corte para a suspensão de 1%de laponite em coordenadas lineares: linha a cheio(cúbica); tracejado longo (4ª ordem); tracejado curto(5ª ordem).
0
2
4
6
8
10
12
14
10-1 100 101 102 103 104
τ[Pa]
γ.
Figura 8- Efeito do grau polinomial no ajustedirecto da tensão de corte para a suspensão de 1%de laponite em coordenadas logarítmicas: linha acheio (cúbica); tracejado longo (4ª ordem); tracejadocurto (5ª ordem).
Para as soluções estudadas foramajustados polinómios de 3º, 4º e 5º grau deque resultaram os valores da tensão decedência da Tabela 4. Polinómios de grausuperior apresentam um comportamentofisicamente irrealista e por isso não foramconsiderados. A ilustrar este método
Para todos os fluidos o aumento do graudo polinómio resulta numa diminuição datensão de cedência, mas as variações sãopequenas, da ordem de 10% para 1% de
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laponite, e para a mistura de argila epolímero e de 3% para 1.5% de laponite.
conceptual e fisicamente diferentes dosmétodos directos quando os fluidos emanálise apresentam tixotropia. De facto,durante um ensaio de fluência não hádestruição ou pelo menos uma forte re-estruturação da estrutura interna do fluido,enquanto que as medições da viscosidadeviscométrica resultam de uma situação deequilíbrio que levou muito tempo a atingir.Só se deverá esperar uma coincidência dosvalores obtidos nestes dois tipos de testese os valores de tensão mais baixos doensaio da viscosidade viscométrica, quedeterminam em larga medida aextrapolação, não tiverem subjacentes umagrande alteração da estrutura interna dosfluidos quando estes são tixotrópicos, i.e.,se corresponderem realmente a taxas dedeformação bastante reduzidas.
Do conjunto obtido por extrapolaçãodos três polinómios os valores medidos,designado por τ p , foram de 2.2, 1.0 e 3.6Pa para as suspensões de 0.5%/0.07%laponite/CMC, 1% e 1.5% de laponite.
Extrapolação por via de modelosreológicos
Um método de extrapolação quiçá maisadequado baseia-se no ajuste prévio dosdados experimentais por um modeloreológico viscoplástico. Este ajustamento,já efectuado nas Figs. 2 e 3 para osmodelos de Herschel-Bulkley e de Casson,conduziu aos parâmetros listados naTabela 1. Esta técnica de extrapolaçãojustifica-se quando o comportamentoobservado experimentalmente fôrsatisfatório paa o modelo assumido.
A Tabela 5 resume os valores de tensãode cedência medidos neste trabalho com osvários métodos directos e indirectos. Osresultados são naturalmente diferentes,embora não muito diferentes nalguns doscasos, e confirmam as limitações esensibilidades de cada técnica. Em todos oscasos a tensão de cedência aumenta com a
CONCLUSÕESDe notar que os valores da tensão de
cedência obtidos pelos dois métodos deextrapolação resultam de ensaiosexperimentais efectuados em condições deequilíbrio. Por isso estes dois métodos são
Tabela 4- Valores da tensão de cedência obtidos por ajuste directo de polinómios aos dadosexperimentais
Solução 3ª ordem 4ª ordem 5ª ordem
Lap 0.5%/0.07% CMC 2.30 2.14 2.07
laponite 1% 1.02 0.96 0.88
laponite 1.5% 3.60 3.60 3.52
Tabela 5- Comparação entre os valores de tensão obtidos pelos vários métodos. τc : fluência;τs : aumento de tensão; τ p : ajuste polinomial; τCas : ajuste pelo modelo de Casson; τ HB :
ajuste pelo modelo de Herschel-Bulkley.
Solução τc τs τ p τCas τ HB
Lap 0.5%/0.07% CMC 2.2 2.3 2.2 2.3 1.8
laponite 1% 1.8 1.7 1.0 0.8 0.9
laponite 1.5% 5.8 4.8 3.6 3.3 3.4
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concentração de aditivos e é curioso que,afinal de contas, a tensão de cedênciaobtida da curva de equilibrio até seja muitosemelhante ao valor obtido nos ensaiosdirectos.
Bingham, E. C. e Green, H. 1920. Paint, aplastic material and not a viscous liquid;the measurement of its movbility andyield value. Proc. Amer. Soc. Test. Mat.,20, pp 640-675.
A diferença entre os vários métodosacentua-se com o aumento da concentraçãodas suspensões. Note-se ainda que osmétodos directos resultam quase sempreem tensões inferiores às obtidas nosmétodos directos o que vem consubstanciaros argumentos sobre a relação entre atixotropia e a estrutura interna dos fluidose o tipo de ensaio utilizado para medir essaquantidade.
Bird, R. B., Armstrong, R. C. e Hassager,O. 1987. Dynamics of polymericliquids. Vol. I: Fluid Mechanics. 2nd
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Boger, D. V. 1994 a. Rheology ofsuspensions. Lecture Series 1994-03"Non-Newtonian Fluid Mechanics",Von Kárman Institute for FluidDynamics.
Todas as soluções baseadas na laponitederam provas de tixotropia com um tempode resposta da ordem dos 3000s eobrigaram à adopção de um procedimentode equilíbrio para a medição da viscosidadeviscométrica.
Boger, D. V. 1994 b. Yield stressmeasurements. Lecture Series 1994-03"Non-Newtonian Fluid Mechanics",Von Kárman Institute for FluidDynamics.
Casson, W. 1959. A flow equation forpigment-oil suspensions of the printingink type. in "Rheology of DispersedSystems", ed. C. C. Mill, Pergamon, p.84.
AGRADECIMENTOSOs autores agradecem o apoio financeiro
da JNICT, através do projectoPBICT/CEG/2427/95 sem o qual estetrabalho não se teria realizado. O nome dosautores está apresentado por ordemalfabética.
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