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MA14 - Aritmetica

Resumo 3

Sistemas de Numeracao

Abramo Hefez

PROFMAT - SBM

Aviso

Este material e apenas um resumo de parte do conteudo dadisciplina e o seu estudo nao garante o domınio do assunto.

O material completo a ser estudado encontra-se no

Capıtulo 4 - Secao 4.1

do livro texto da disciplina:

Aritmetica, A. Hefez, Colecao PROFMAT.

Estes resumos contaram com a colaboracao de Maria Lucia T.Villela.

PROFMAT - SBM Aritmetica - Unidade 3 - Resumo - Sistemas de Numeracao slide 2/21

Sistemas de Numeracao

Sabemos que existem infinitos numeros naturais.

Os primeiros tantos possuem ate nomes. Por exemplo:

um, dois, tres, . . . ,

cem, cento e um . . .

. . .

um trilhao, um trilhao e um . . .


E impossıvel dar um nome para cada um dos numeros naturais,mas e possıvel de modo engenhoso dotar cada um deles de umarepresentacao com um pequeno numero de sımbolos, por meio doschamados sistemas de numeracao.

O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns pararepresentar os numeros inteiros e o sistema decimal posicional.

Podemos nos restringir a representacao dos numeros naturais,pois todo numero inteiro negativo e representado por um numeronatural precedido pelo sinal − e zero tem seu proprio sımbolo quee 0.


Sistema decimal

No sistema decimal, todo numero natural e representado por umasequencia formada pelos algarismos

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

acrescidos do sımbolo 0 (zero), que representa a ausencia dealgarismo.

Por serem dez os algarismos, o sistema e chamado decimal.

O sistema e tambem chamado posicional, pois cada algarismo,alem do seu valor intrınseco, possui um peso que lhe e atribuıdoem funcao da posicao que ele ocupa no numero.


Peso do algarismo

Esse peso, sempre uma potencia de dez, varia do seguinte modo: oalgarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre dadireita para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; oseguinte tem peso mil, etc.

Portanto, os numeros de um a nove sao representados pelosalgarismos de 1 a 9, correspondentes. O numero dez e representadopor 10, o numero cem por 100, o numero mil por 1000.

Por exemplo, o numero 12019, na base 10, e a representacao de

1 · 104 + 2 · 103 + 0 · 102 + 1 · 10 + 9 = 1 · 104 + 2 · 103 + 1 · 10 + 9.


Ordem de um algarismo/Classe de uma terna de ordens

Cada algarismo de um numero possui uma ordem contada dadireita para a esquerda.

Assim, no numero 12019, o primeiro 1 que aparece (nao seesqueca, sempre da direita para a esquerda) e de segunda ordem,enquanto que o ultimo e de quinta ordem. O 9 e de primeiraordem, enquanto que o 2 e de quarta ordem.

Cada terna de ordens, tambem contadas da direita para aesquerda, forma uma classe. As classes sao, as vezes, separadasumas das outras por meio de um ponto.


Classes e ordens

Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens:

Classe das Unidades

unidades 1a ordemdezenas 2a ordemcentenas 3a ordem

Classe do Milhar

unidades de milhar 4a ordemdezenas de milhar 5a ordemcentenas de milhar 6a ordem

Classe do Milhao

unidades de milhao 7a ordemdezenas de milhao 8a ordemcentenas de milhao 9a ordem


Expansao na base b

Os sistemas de numeracao posicionais baseiam-se no resultado aseguir, que e uma aplicacao da divisao euclidiana.

TeoremaDados numeros inteiros a e b, com a > 0 e b > 1, existem numerosinteiros n ≥ 0 e 0 ≤ r0, r1, . . . , rn < b, rn 6= 0, univocamentedeterminados, tais que a = r0 + r1b + r2b2 + · · ·+ rnbn.

A representacao dada no teorema acima e chamada de expansaorelativa a base b.

Quando b = 10, essa expansao e chamada expansao decimal.

Quando b = 2, ela toma o nome de expansao binaria.


Demonstracao

Aplicamos sucessivamente a divisao euclidiana, permitindodeterminar a expansao de a na base b, como segue:

a = bq0 + r0, 0 ≤ r0 < b,

q0 = bq1 + r1, 0 ≤ r1 < b,

q1 = bq2 + r2, 0 ≤ r2 < b,

e assim por diante. Como a > q0 > q1 > · · · , deveremos, em umcerto ponto, ter qn−1 < b e, portanto, de

qn−1 = bqn + rn,

decorre que qn = 0, o que implica 0 = qn = qn+1 = qn+2 = · · · , e,portanto, 0 = rn+1 = rn+2 = · · · .Temos, entao, que

a = r0 + r1b + · · ·+ rnbn.


Exemplo 1

Vamos determinar a expansao na base b = 2 do numero 53.

53 = 2 · (26)︸︷︷︸q0

+ 1︸︷︷︸r0

;

26 = 2 · (13)︸︷︷︸q1

+ 0︸︷︷︸r1

;

13 = 2 · 6︸︷︷︸q2

+ 1︸︷︷︸r2

;

6 = 2 · 3︸︷︷︸q3

+ 0︸︷︷︸r3

;

3 = 2 · 1︸︷︷︸q4

+ 1︸︷︷︸r4

;

1 = 2 · 0︸︷︷︸q5

+ 1︸︷︷︸r5

;

Logo, 53 = 1 + 0 · 2 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 + 1 · 25.


Exemplo 2

Vamos determinar a expansao de a = 113 na base b = 3.

113 = 3 · (37)︸︷︷︸q0

+ 2︸︷︷︸r0

;

37 = 3 · (12)︸︷︷︸q1

+ 1︸︷︷︸r1

;

12 = 3 · 4︸︷︷︸q2

+ 0︸︷︷︸r2

;

4 = 3 · 1︸︷︷︸q3

+ 1︸︷︷︸r3

;

1 = 3 · 0︸︷︷︸q4

+ 1︸︷︷︸r4

.

Logo, 113 = 2 + 1 · 31 + 0 · 32 + 1 · 33 + 1 · 34.


A expansao numa dada base b nos fornece um metodo pararepresentar os numeros naturais. Para tanto, escolha um conjuntoS de b sımbolos

S = { s0, s1, . . . , sb−1 },

com s0 = 0, para representar os numeros de 0 a b − 1.

Um numero natural a na base b se escreve na forma

xnxn−1 . . . x1x0,

com x0, . . . , xn ∈ S , e n variando, dependendo de a, representandoo numero

x0 + x1b + · · ·+ xnbn.


No sistema decimal, isto e, de base b = 10, usa-se

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Se a base b e tal que b 6 10, utilizam-se os sımbolos0, 1, . . . , b − 1.Se a base b e tal que b > 10, costuma-se usar os sımbolos de 0 a9, acrescentando novos sımbolos para 10, . . . , b − 1.

No sistema de base b = 2, temos que

S = { 0, 1},

e todo numero natural e representado por uma sequencia de 0 e 1.


Representacao na base 2

O numero 10 na base 2 representa o numero 2 (na base 10).Quando estivermos lidando com numeros em bases diferentes nummesmo contexto, utilizaremos sımbolos como [a]b significando quea e a representacao de um numero na base b. Portanto,

[10]2 = [21 + 0]10 = [2]10;

[11]2 = [21 + 1]10 = [3]10;

[100]2 = [22 + 0 · 2 + 0]10 = [4]10;

[101]2 = [22 + 1]10 = [5]10;

[110]2 = [22 + 2 + 0] = [6]10;

[111]2 = [22 + 2 + 1]10 = [7]10;

[1011]2 = [23 + 2 + 1]10 = [11]10.

O sistema na base 2 e utilizado nos computadores.


Exemplo 3

a) Representar na base 2 o numero cuja representacao na base 10e 53.

Segue do Exemplo 1 que

53 = 1 + 0 · 2 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 + 1 · 25,

entao [53]10 = [110101]2.

b) Representar na base 3 o numero cuja representacao na base 10e 113.

Segue do Exemplo 2 que

113 = 2 + 1 · 31 + 0 · 32 + 1 · 33 + 1 · 34,

entao [113]10 = [11012]3.


Exemplo 4

Representar na base 5 o numero cuja representacao na base 10 e723.

Por divisao euclidiana sucessiva,

723 = 144 · 5 + 3,144 = 28 · 5 + 4,28 = 5 · 5 + 3,5 = 1 · 5 + 0,1 = 0 · 5 + 1.

Portanto,

723 = 3 + 4 · 5 + 3 · 52 + 0 · 53 + 1 · 54,

e, consequentemente, 723 na base 5 se representa por 10343.


Exemplo 5

a) Representar na base b = 11 o numero cuja representacao nabase 10 e 3909.Usaremos S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α}, onde α e o sımbolopara 10 = b − 1. Aplicando sucessivamente o algoritmo euclidiano,temos

3909 = 4 + 3 · 11 + 10 · 112 + 2 · 113.

Logo, 3909 e representado na base 11 por 2α34.

b) Quais os numeros na base 10 representados na base b = 11 por10, 100, 11 e 12?

representacao na base 11 numero decimal

10 0 + 1 · b = b = 11100 0 + 0 · b + 1 · b2 = 112 = 12111 1 + 1 · b = 1 + 11 = 1212 2 + 1 · b = 2 + 11 = 13


Criterios de divisibilidade por 5 e por 10

Seja a = rn · · · r1r0 um numero representado no sistema decimal.Uma condicao necessaria e suficiente para que a seja divisıvel por 5(respectivamente por 10) e que r0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0).

Demonstracao

Sendo a = 10 · (rn · · · r1) + r0, temos que a e divisıvel por 5 se, esomente se, r0 e divisıvel por 5, e, portanto, r0 = 0 ou r0 = 5. Poroutro lado, a e divisıvel por 10 se, e somente se, r0 e divisıvel por10, o que somente ocorre quando r0 = 0.

�


Criterios de divisibilidade por 3 e por 9

Seja a = rn · · · r1r0 um numero representado no sistema decimal.Uma condicao necessaria e suficiente para que a seja divisıvel por 3(respectivamente por 9) e que rn + · · ·+ r1 + r0 seja divisıvel por 3(respectivamente por 9).

Demonstracao

Temos que

a−(rn + · · ·+r1+r0) = rn10n + · · ·+r110+r0−(rn + · · ·+r1+r0) =

rn(10n − 1) + · · ·+ r1(10− 1).

Sabemos que o termo a direita nas igualdades acima e divisıvel por9 (Exemplo na Unidade 2), logo, para algum numero q, temos que

a = (rn + · · ·+ r1 + r0) + 9q,

de onde segue o resultado. �


Exercıcio

Verifique que 9 nao divide 8285748537 e 3 divide 8285748537.

Solucao

Aplicaremos, sucessivamente, os criterios de divisibilidade por 9 epor 3.

Temos que

8 + 2 + 8 + 5 + 7 + 4 + 8 + 5 + 3 + 7 = 57 e 5 + 7 = 12.

E claro que 9 6 | 12 e 3 | 12.

Portanto,

9 6 | 12 se, e somente se, 9 6 | 57 se, e somente se, 9 6 | 8285748537 e

e 3 | 12 se, e somente se, 3 | 57 se, e somente se, 3 | 8285748537.


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