m9 2 bim_aluno_2014

Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014

EDUARDO PAESPREFEITURA DA CIDADE DO RIO DE JANEIRO

CLAUDIA COSTINSECRETARIA MUNICIPAL DE EDUCAÇÃO

REGINA HELENA DINIZ BOMENYSUBSECRETARIA DE ENSINO

MARIA DE NAZARETH MACHADO DE BARROS VASCONCELLOSCOORDENADORIA DE EDUCAÇÃO

ELISABETE GOMES BARBOSA ALVES MARIA DE FÁTIMA CUNHA COORDENADORIA TÉCNICA

SÍLVIA MARIA SOARES COUTOORGANIZAÇÃO E ELABORAÇÃO

FRANCISCO RODRIGUES DE OLIVEIRAGIBRAN CASTRO DA SILVASIMONE CARDOZO VITAL DA SILVAREVISÃO

FÁBIO DA SILVA MARCELO ALVES COELHO JÚNIORDESIGN GRÁFICO

EDIOURO GRÁFICA E EDITORA LTDA.EDITORAÇÃO E IMPRESSÃO

O que temos neste Caderno Pedagógico: Racionalização de denominadores

Relação entre potência e raiz

Equações

Equação de 2º.grau

● Introdução

● Raízes

● Coeficientes

● Equações incompletas

● Equações completas – Fórmula de Bhaskara

● Discriminante

● Soma e produto das raízes

Irracionais na reta numérica

Semelhança de polígonos

Triângulo retângulo

Relações métricas no triângulo retângulo

Teorema de Pitágoras

Tratamento da informação

Matemática - 9.º Ano / 2.º BIMESTRE - 2014 4

Ginástica de cérebroExercitar os neurônios pode ser um bom modo de solucionar problemas de memória ou dificuldades para aprender. E existe até academia para isso...Texto: Rachel Tôrres - Adaptado

A fila do caixa está grande? O dentista atrasou a consulta? Sem problemas. Uma estudante tem sempre à mão

um recurso para as horas vazias. Desde a infância, a jovem é viciada em jogos de raciocínio: coleciona quebra-cabeças e não

abre mão do tabuleiro de campo minado. Só sai de casa acompanhada por um jogo de cálculo sudoku, o cubo mágico ou uma

palavra cruzada. Quem a vê com essas companhias, porém, nem sempre entende. “O sudoku, então, é o mais rejeitado!”,

brinca. É aí que, armada de paciência professoral, ela se oferece para explicar como pode ser interessante preencher os

quadradinhos com números.

Para a menina, os exercícios de lógica são pura diversão. E há quem leve ainda mais a sério que ela, a “malhação” de

neurônios oferecida por essas atividades. Há pessoas que até frequentam uma academia para exercitar as ideias – uma rede

de escolas de ginástica cerebral criada por um engenheiro do ITA (o Instituto Tecnológico de Aeronáutica, referência no país

em ciências exatas). Para aperfeiçoar a concentração e o raciocínio, o método usa alguns desses jogos, como o sudoku e as

cruzadas, e opções clássicas como o ábaco, a primeira calculadora criada pelo homem.

jujubamld.blogspot.com


___________

5

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES

É incrível como a Matemática pode ser vista como diversão!

Observe!Racionalizar o

denominador em pode ser fácil! 2

3

Basta encontrar uma fração equivalente

a com denominador racional.23

Para obter uma fração equivalente,basta multiplicar o numerador e odenominador pelo mesmo número.

Qual é o número que multiplicado por

torna o denominador igual a 2?

2

Agora, multiplique numerador e

denominador por esse número.

Legal! equivale à metade de .2323

Racionalize os denominadores de

312)

36)

52)

c

b

a

AGORA,É COM VOCÊ!!!


RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E RAIZ

Você sabe calcular ? É uma potência com expoente fracionário.

As propriedades do expoente inteiro

aplicam-se ao expoente fracionário.


23

4

Comparando...

2 3232

2

23

323

23

444

82²24

xxx

xxxx

8244 3322 3

!!!FIQUE LIGADO

n mnm

aa

86442 3

ou

1) Calcule:

41

31

23

21

00010 )27 )

9 )25 )

dc

ba

2) Indique se as igualdades são falsas ou verdadeiras:

21

33

3 223

31

3

33 )1111 )

55 )77 )

dc

ba

3) Calcule:

21

031

1

32

31

4238)

10100100)

b

a

ou

→


A - Movendo 2 palitos, tire o lixo de dentro da pá.

B - Mova somente 3 palitos para formar apenas 3 quadrados.

Não poderá sobrar palito algum. Todos os quadrados têm o mesmo tamanho.

guiagratisbrasil.com

guia

grat

isbr

asil.

com

D - Observe a sequência, complete a igualdade de cada figura abaixo e responda à pergunta final.

Veja mais jogos com palitos clicando aqui

1=1² 1 + 3 =___= __² 1 + 3 + 5 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 = ___ = __² 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = ___ = __²

Se n representa um número natural qualquer, quanto vale a soma: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ... + (2n 1) ? _____

http://www.youtube.com/watch?v=abHXg156AvU

1 7 5 9 4 3 6 8 2

9 6 3 7 8 2 1 5 4

2 4 8 6 1 5 3 7 9

4 5 1 2 3 6 7 9 8

7 2 6 8 9 4 5 3 1

3 8 9 5 7 1 2 4 6

5 3 4 1 2 8 9 6 7

8 1 7 3 6 9 4 2 5

6 9 2 4 5 7 8 1 3

C - SUDOKU


EQUAÇÕES

8

A Matemática possui muitas curiosidades.

Você sabia que 1,5 + 3 é igual

ao triplo de 1,5?

Verificando...

1 , 5 1 , 5+ 3 , 0 x 3

4 , 5 4 , 5

Interessante, não?

Será que existe um número que

somado a 5 seja igual ao

seu quíntuplo?

Equacionando...

Consideremos esse número como x:x + 5 = 5xResolvendo...4x = 5 25,1x

Verifique se esse número é, realmente, 1,25.


!!!FIQUE LIGADOLembrando...Equacionar uma situação é escrever, matematicamente, asituação, através de uma igualdade algébrica.

1) Qual é o número y para que 6 + y = 6 . y?

2) Qual é a fração que, somada com ou multiplicada por ,

dá, nos dois casos, o mesmo resultado?53

53

3) Na expressão abaixo, existem dois números reais que

podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?

( + 3)² = 64

4) Na expressão abaixo, existem dois números reais que

podem ser colocados no lugar de . Quais são eles?

( 2)² = 81


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INTRODUÇÃO

9

2) Arrume a equação da forma mais simples e determine seu

grau.

Dividi 4 por um número e encontrei um resultado igual a 4 menos esse

número.

Equacionando a situação, temos:

044²²4444 xxxxx

x

Esta é uma equação de 2.º grau?

!!!FIQUE LIGADO

Equação de 2º grau de incógnita x é toda equação do tipo:

ax² + bx + c = 0

onde a, b, c são números reais e a 0.

Verifique se os números 2 e 4 atendem à situação acima,

substituindo x, na igualdade, por esses números.


Numa equação de 2.º grau, o maior expoente da incógnita (letra) é 2.

1) O grau de um polinômio é determinado pelo maior

expoente da variável.

Sendo assim,

3x² - 5x + 4 é um polinômio do _______ grau, pois o maior

expoente da variável é ______.

Logo, 3x² - 5x + 4 = 0 é uma equação de _______ grau.

Observe as equações abaixo e determine seu grau.

a) 2x³ + x² + 5x – 3 = 0 _______

b) 5x – 7 = 0 ___________

c) x² - 5x + 2 = 0 ___________

a)(x + 3)(x – 5) = 7 _______________ = 0 ____ grau

b) 3x – 5 = 2x – 2 _____________ = 0 ______ grau



O quadrado de um número, somado a 9, é

igual a 25. Que número é esse?

1)

2) Considere a equação do 2.º grau: x² + 3x 10 = 0.a) 2 é solução dessa equação?

b) 2 é solução dessa equação?

c) 5 é solução dessa equação?

d) 5 é solução dessa equação?

3) Verifique se 3 e 3 são soluções da equação z² 3z = 0.

Fiquei intrigada! Como pode haver dois

valores diferentes que servem para a mesma

equação?

Uma equação de 2.º grau tem, no máximo, 2 resultados, que são chamadas de raízes da

equação. Esses valores podem ser iguais ou diferentes.

!!!FIQUE LIGADORaiz de uma equação é o valor que a incógnita assume,

tornando a igualdade verdadeira.

4) Substitua os valores de x pelos dados abaixo, na equação

x² 3x 10 = 0, e determine quais deles são raízes dessa

equação.

x = 5 _____________________________

x = 2 _____________________________

x = 0 _____________________________

x = 2 _____________________________

x = 5 _____________________________

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - RAÍZES


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - COEFICIENTESAlgumas equações

aparecem escritas em ordem decrescente do expoente da incógnita, como x² - 5x + 6 = 0.

Essas equações se apresentam

na forma normalou reduzida.

Há equações com menos termos em que não aparecem todas as

potências da incógnita.

É que essas equações são incompletas. Por exemplo, 6x³ 3x² – 4x + 2 = 0 é uma equação do 3º grau completa pois todos os coeficientes são diferentes de zero. Já

x4 – 10 =0 é uma equação do 4º grau incompleta, pois os coeficientes de x³, x²

e x são nulos.

O que são coeficientes?

São as constantes que acompanham a incógnita (letra).

Observe!

clipart

Entendi! Quando o coeficiente é

zero, a incógnita não aparece e a

equação é considerada

incompleta. Legal!

Glossário: termo independente – é o valor que aparece sem a incógnita (letra), na equação.

Introdução à equação de 2.º grau


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

1) Determine os coeficientes nas equações abaixo:


a) 7x² + 5x + 8 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

b) y² ─ y ─ 1 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

c) z² + 3z = 0 a = _____ b = ____ c = ____

d) 3x² ─ 4 = 0 a = _____ b = ____ c = ____

e) 5x² = 0 a = _____ b = ____ c = ____

2) Numa equação do tipo ax² + bx + c = 0, o que acontece se

a = 0, porém b ≠ 0 e/ou c ≠ 0?

___________________________________________

3) Coloque as equações na forma reduzida e coloque, nos

parênteses, I se a equação for incompleta e C se a equação

for completa .

( ) 3x(x 7) = x² 5 ______________

( ) 5x + 4x² = 3x(x + 2) x 3 _________

( ) (x + 2)² = x + 4 _________________

4) Verifique se 2 é raiz das equações abaixo:

a) x² - 2x = 1

b) 3x² 1 = 11

c) x³ = 2

d) ( x 1) ( x 3) ( x 4) = 2

5) Podemos afirmar que 2 e 3 são raízes da equação

3x² + 2x 21 = 0?

6) Classifique as afirmações em V (verdadeiras) ou F (falsas):

a) O número 9 é raiz da equação x² 9x + 9 = 0.

b) As raízes da equação 6x² 5x + 1 = 0 são .31

21 e


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - INCOMPLETA

Precisamos cercar essa

área.

A área de lazer

continua quadrada?

Não. Ampliaram 1 m no comprimento e reduziram 1 m na

largura.

Sabendo que a nova área mede 8 m² e considerando a medida

do lado do terreno inicial como x,

x + 1

x 1

13

A Escola de Dona Mercedes está sendo reformada.

( x + 1 ) . ( x 1 ) = 8 x² 1 = 8 x² = 9

Essa é uma equação de 2º grau.

Isso mesmo! Observe!

(+3)² = 9 ou (3 )² = 9.

x² = 9 x = 3 ou x = 3

Como x + 1 e x 1 representam medidas, x só pode ser 3.

Medidas dos lados: x + 1 = 4 e x 1 = 2

Para cercar essa área, serão necessários 2.(4 + 2) = 12 m de cerca.

equacionamos a situação:

E se a nova área medisse 15 m², quantos metros de cerca

seriam necessários.


Sabendo que


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA

Augusto e Beto precisam cercar um terreno.

O terreno era quadrado, mas

ampliaram para12 metros no comprimento.

A superfície do terreno ficou 5 vezes maior que a

área do terreno quadrado.

x

x + 12

Equacionando...

x ( x + 12 ) = 5x² x² + 12x = 5x²Reduzindo a equação...

4x² 12x = 0

Fatorando o polinômio 4x² 12x, temos

4x ( x 3 ) = 0

Área do terreno quadrado x²

O que acontece quando dois fatores geram um produto igual a zero?

Temos um produto de dois fatores ( 4x e x 3 ) igual a

zero.

4x = 0 x = 0 x 3 = 0 x = 3

a) Qual é o valor de x que serve para essa situação?b) Determine a medida de cada lado do terreno.

c) Quantos metros de cerca serão necessários para

cercar todo o terreno? ________

AGORA,É COM VOCÊ!!!1) O produto de um número pela soma desse número mais

3, é igual ao quádruplo do quadrado desse número.

Determine quais os números que podem atender a essa

igualdade.

_________________

_____

__________


e) x (x + 2) = 2x + 25 ____________________________________________________

c) 9x² = 54x ___________________________________

____________________________________

15


1) Determine as raízes das equações abaixo:a) x² - 49 = 0

b) 2x² - 32 = 0

c) 5x² - 50 = 0

d) 2x² + 18 = 0

2) Fatore as expressões algébricas a seguir:

a) x² + 7x = __________ b) 3y² 12y = ___________

c) 12z + 9z² = ____________

3) Resolva as equações a seguir:

a) 3x ( x + 2) = 0 _________________________

b) x (2x + 5) = 2x _____________________________

4) Agora, resolva essas equações:

a) 5x² 10x = 0 ____________________________________________________________

b) 3x² 7x = x(2x – 4) _________________________

_________________________

_________________________

d) (x – 5)(x – 6) = 30 _____________________________________________________

5) Observe, na atividade 4, as equações incompletas e suas

raízes.

a) O que acontece quando a equação é incompleta porque

b = 0? _____________________________________

b) O que acontece quando a equação é incompleta porque

c = 0? _______________________

6) A área do retângulo abaixo é de 75 cm². Determine o seu

perímetro.

y + 5

y 5

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - INCOMPLETA


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU!!!FIQUE LIGADO

Forma geral da equação de 2.º grau:

ax² + bx + c = 0

• em que x é a incógnita que pode ser representada por

qualquer letra ( y, z, w... );

• a, b e c são valores constantes, chamados de ____________.

As equações de 2.º grau podem ser completas ou incompletas.

a) Em ax² + bx + c = 0, se a 0, b 0 e c 0, podemos afirmar

que é uma equação de 2.º grau ___________.

b) Porém, se a 0, b = 0 e < 0, a equação será ___________,

do tipo ax² + c = 0, e suas raízes serão __________________.

c) Se a ≠ 0, b = 0 e > 0, as raízes ______________________.

d) Quando a 0, b 0 e c = 0, a equação será também

_____________, do tipo ax² + bx = 0, e uma de suas raízes

será _____________.

e) Quando a = 0, temos uma equação do tipo bx + c = 0. Esta é

uma equação do ____ grau.

ac

ac


1) Escreva a equação de 2.º grau do tipo ax² + bx + c = 0,

em que os coeficientes sejam a = 3, b = -2 e c = 7.

__________________

2) Na equação py² + 3y – 2 = 0, quais devem ser os

valores de p para que ela seja de 2.º grau?

_______________________________________________

3) Em ( m – 3 )w² - 5w + 4 = 0, quais devem ser os valores

de m para que a equação seja de 2.º grau?

4) Na equação do exercício 3, o valor de m pode ser 2?

5) Em 2z² - 3z + ( n – 2 ) = 0, determine n de modo que

uma de suas raízes seja zero.

6) Em 2z² - 3z + ( k + 1 ) = 0, determine k de modo que uma de suas raízes seja zero.


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU

7) A equação ( 2m − 6 )x² + 6x + 3 = 0 é do 1.º grau. Sendo

assim, podemos afirmar que o valor de m é _____.

8) Na equação x² + ( 2p + 6)x p = 0, o valor de p pode ser 3,

para que as raízes sejam reais, opostas ou simétricas?____

Por quê? ____________________________.

9) A equação (n 3)x² + 5x + (n² 9) = 0 é do 2.º grau e uma de

suas raízes é zero. Determine o valor de n.

Preciso que o senhor aumente em 1m o

comprimento e a largura do mural quadrado do pátio e coloque uma

moldura.A superfície do mural

terá 9 m² de área.

Quantos metros de

moldura vou precisar?

y + 1

y + 1

( y + 1)² = 9

O cálculo da área do

quadrado é lado ao

quadrado.

y + 1 = 3 y + 1 = 3 y = 2

y + 1 = 3 y = 4

y = 4 y + 1 = 4 + 1 = 3 não pode ser a medida do

lado do mural.

y = 2 y + 1 = 2 + 1 = 3 o lado do mural mede 3 m.

Logo, ele vai precisar de 4 . 3 = 12 m de moldura.


1) Fatore o trinômio e resolva as equações:


EQUAÇÃO DE 2º GRAU

a) x² - 2x + 1 = 4

b) x² + 6x + 9 = 49

c) 4y² - 4y + 1 = 25

d) 9z² + 12z + 4= 64

2) Determine um número cujo quadrado de sua soma

com 3 resulte em 36.

3) Sabendo que a área do retângulo mede 4 cm, equacione

sua área, na forma reduzida.x

x 3

Essa equação é completa. O trinômio não é um quadrado perfeito.

Acho que terei que usar a Fórmula de Bhaskara para resolvê-la.

Bhaskara foi matemático, professor,astrólogo e astrônomo indiano, o maisimportante matemático do século XII eúltimo matemático medieval importanteda Índia.

Adaptado - http://www.xtimeline.com


EQUAÇÃO DE 2º GRAU – FÓRMULA DE BHASKARA

Vamos descobrir juntos a fórmula de Bhaskara?

A ideia é genial: tentar escrever ax² + bx + c como um produto.

Vamos lá!

Considerando a equação de 2.º grau como

ax² + bx + c = 0, onde a 0.

a) Subtraímos c de ambos os membros da equação:

ax² + bx + c - c = 0 – c, tem-se ax² + bx = c.

b) Multiplicamos os dois membros da equação por 4a:

( ax² + bx ) . 4a = – c . 4a, tem-se 4a²x² + 4abx = 4ac.

c) Adicionamos b² a ambos os membros:

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b², tem-se 4a²x² + 4abx + b² = b² 4ac.

Que legal!!!Com esse processo, transformamos o 1.º

membro da equação em um trinômio quadrado perfeito!

4a²x² + 4abx + b²

↓ ↓ ↓

2ax 2 . 2ax . b b

Logo, 4a²x² + 4abx + b² = ( 2ax + b )²

d) Temos, então, a igualdade: (2ax + b )² = b² - 4ac

e) Extraindo a raiz quadrada dos dois membros,

encontramos 2ax + b = acb 4²

Agora, é só isolar o x!

f) Subtraímos b de ambos os membros:2ax + b – b = b, isto é, 2ax = b ac4²b ac4²b

g) Dividindo ambos os membros por 2a, tem-se

x =a2

ac4²bb

Esta é a Fórmula de Bhaskara!

Para achar os valores de x,basta substituir os valores de a, b e c da equação na

fórmula.


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA

Vamos resolver a equação x² 3x 4 = 0,

utilizando a fórmula de Bhaskara.

Sendo a equação geral de 2.º grau ax² + bx + c = 0, então em

x² 3x 4 = 0

a = 1, b = 3 e c = 4.

Substituindo, na fórmula,

12

414332

4² 2

xa

acbbx

2253

21693

xx

122

428

253

2253

x

x

xx

São as raízes da equação 1 e 4.

EQUAÇÕES DE 2.º GRAU

O quadrado de um número, diminuído do seu triplo, é igual a 40.

Equacionando x² 3x = 40 → x² − 3x − 40 = 0.

Os coeficientes são : a = 1, b = −3 e c = −40.

Calculando ∆,

Aplicando à fórmula de Bhaskara:

As raízes são 8 ou 5.

169401434² 2 acb

5

82133

121693

2

xx

xxa

bx

Vamos calcular o radicando primeiro?

Verifique se esses valores estão corretos, substituindo cada

um na equação.

O radicando b² 4ac é chamado de discriminante da equação e é

representado pela letra grega delta (∆).



2) O quadrado de um número, acrescido de 4, é igual a

seu quíntuplo. Determine esse número.

1) Determine as raízes das equações a seguir:a) x² 5x + 6 = 0

b) 2y² + 3y 14 = 0

c) (2x + 3) (x 1) = 3

3) A área do retângulo é igual à área do quadrado.

Observe as figuras abaixo e determine suas dimensões:

x 3

2x 2

x 1

x 1

EQUAÇÃO DE 2º GRAU - COMPLETA


EQUAÇÃO DE 2º GRAU - DISCRIMINANTE

Agora, serão propostas três equações de 2.º grau para que você as resolva.

Use a fórmula de Bhaskara.Preste atenção a cada ∆ e relacione com

as raízes encontradas. Você fará uma incrível descoberta!

I) Determine as raízes de x² – 4x + 4 = 0.

Que valor encontrou para ? ______Como são as raízes? _________

II) Resolva a equação: x² + x – 12 = 0

O valor que você encontrou para é positivo ou negativo? __________________As raízes são iguais ou diferentes? ____________

III) Quais são as raízes de x² – 2x + 10 = 0?

O valor de é positivo ou negativo? __________Por que as raízes não são reais?

_______________________________________________

_______________________________________________

!!!FIQUE LIGADODiscriminante da equação de 2.º grau

Se ∆ = 0, suas raízes são reais e iguais.

Se ∆ > 0 (positivo), suas raízes são reais e diferentes.

Se ∆ < 0 (negativo), suas raízes não são reais.

Vou sempre calcular o ∆ antes de resolver a equação. Assim, já

sei que tipo de raízes vou encontrar.


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU - DISCRIMINANTEAgora, eu sei porque ∆ se chama

discriminante. Ele indica se as raízes de uma equação de 2.º grau são reais e

iguais, reais e diferentes ou se não são reais.


1) Complete a sentença abaixo, determinando o tipo de raízes.

A equação 2y² – y – 8 = 0 possui raízes _________________ ,

porque o discriminante () é ____________________.

2) De que tipo são as raízes da equação: w² + 10w + 25 = 0?

Justifique sua resposta.

3) Sabendo que a equação x² – 2x + (m – 3) = 0 tem raízes

reais e iguais, qual é o valor de m?

4) O valor de k, para que a equação 2w² – 2w – k = 0

tenha raízes reais e diferentes, pode ser zero?

5) Podemos afirmar que a equação 3 x ² – 4 x + 1 = 0 possui

raízes reais e diferentes? _____ Por quê?

6) Na equação 4 x ² – (p + 1) x + (p – 2) = 0, determine os

valores de p, para que a equação tenha raízes reais e

iguais.


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA DE RAÍZES

clipart

Fiz uma experiência e descobri algo

incrível.

Mostre para nós o que você

descobriu.

Sabemos que a equação geral de 2.º grau é

a x ² + b x + c = 0.

Através da fórmula de Bhaskara, as raízes podem ser assim

encontradas:

aacbbx

24²

1

a

acbbxe2

4²2

Se somarmos as raízes, temos:

x1 + x2 =a2

ac4²bba2

ac4²bb

Como os denominadores são iguais, podemos colocar a soma

toda sobre o mesmo denominador.

x1 + x2 =a2

ac4²bbac4²bb ab

ab

22

Vamos testar?

Determine as raízes de z² − 7z – 30 = 0.

Verificando...

a) z1 + z2 = _____________

b) Utilizando a regra que encontramos... 7

17

ab

ab

Não é que deu certo?z² − 7z – 30 = 0.

AGORA,É COM VOCÊ!!!Determine a soma das raízes das equações:

a) 9x² 9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y 3 = 0


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – PRODUTO DE RAÍZES

clip

art

Descobriu mais alguma coisa?

Agora, vamos multiplicar as raízes:

aa

acbbacbbxx

aacbb

aacbbxx

224²4²

24²

24²

21

21

Como, no numerador, há um produto da soma pela diferença,

temos:

21

22

21 ²44² xx

aacbbxx

²a4ac4²bb2

Retirando os parênteses:

a²acbbxx

4422

21

Simplificando:ac

aacxx

²44

21

Sim! Veja que interessante! clipart

Vamos testar com a mesma equação?z² − 7z – 30 = 0

Verificando...

a) z1 . z2 = ___________

b) Utilizando a regra encontrada...

As suas raízes são 3 e 10.

AGORA,É COM VOCÊ!!!1) Determine o produto das raízes nas equações:

a) 9x² 9x + 2 = 0 b) 4y² + 4y 3 = 0

2) Determine a soma e o produto das raízes em2y² 3y + 1 = 0



EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – SOMA E PRODUTO DE RAÍZES

Uma equação do 2.º grau é da forma

ax² + bx + c =0, com a 0.

1) Assinale o par de números que são raízes de uma equação

de 2.º grau, cuja soma dessas raízes é – 7, o produto é 12 e

onde o coeficiente de x² é um (a = 1).

( ) 2 e 6 ( ) – 8 e 1 ( ) – 3 e – 4

2) Determine a soma (S) e o produto (P) das raízes dasequações:

a) x² – 6x – 7 = 0 (S) = ______ (P) = ______

b) 3y² + 4y + 1 = 0 (S) = ______ (P) = ______

3) Se a soma das raízes da equação x² – ( 2k – 3)x – 12 = 0 é

igual a 7, determine o valor de k:

4) Na equação 4y² – 8y + 4p = 0, o produto de suas raízes é 1.

Determine o valor de p.

5) Em uma equação de 2.º grau, a soma de suas raízes é 5 e o

produto dessas raízes é – 14. Sabendo que o coeficiente do

termo em x² é 1, então essa equação é ______________

6) Determine a soma e o produto das raízes das equações do tipo ax² + bx + c = 0 a seguir.

a) z² − 7z – 30 = 0 b) 4x² 12x + 9 = 0

7) Descubra o produto das raízes da equação

x² 3mx + 4m = 0, sabendo que a soma de suas raízes é 6.


EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – COMPOSIÇÃONossa! Na atividade 5 da página anterior,

montamos uma equação!

Será que podemos compor equações a partir das raízes?

Escreva uma equação de 2.º grau (ax² + bx + c = 0) que tenha

raízes 3 e -4.

Consideremos o coeficiente a = 1.

A soma das raízes é 3 + (4) = 1.

Como a soma das raízes é =

O produto das raízes é 12.

Como o produto das raízes é =

A equação é x² + x 12 = 0.

Pensando...x - 3 = 0 x = 3 e x + 4 = 0 x = 4

Então: (x 3) (x + 4) = 0 x² + x 12 = 0

Resolva a equação e verifique se as raízes são 3 e 4.

111

, bbab

.12121

, ccac

Veja como pensei!

Descobri!Se considerarmos a = 1, podemos compor

uma equação de 2º grau usando a fórmula:

x² Sx + P = 0, sendo S a soma das raízes e P o produto delas.

Utilizando o produto de binômios, formados com os simétricos das raízes, também encontramos a

equação.

Componha a equação ax² + bx + c = 0, em que a = 1 e suas

raízes são 5 e 3.



EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO

A minha última descoberta foi a mais incrível!

Através da soma e do produto, é bastante simples achar as raízes das equações de 2.º grau, se as raízes

forem números inteiros. clip

art

Vamos brincar um pouco?Diga 2 números que, somados, deem

7 e cujo produto seja 10.

Soma 7: 0 e 7, 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4.O par, cujo produto é 10, é 2 e 5.

Montando o produto, temos:

(x – 2 ) (x – 5 ) = 0 x² 2x 5x + 10 = 0

x² 7x + 10 = 0

Resolva a equação e verifique se as raízes são 2 e 5.


Descubra os dois números inteiros que atendam às condições propostas a seguir:

a) se somados dão 6 e se multiplicados resultam em 5? ______.

b) cujo produto é 15 e cuja soma é 8. São eles: ____ e _____ .

c) cujo produto é 30 e cuja soma é -1. São eles: _______.

!!!FIQUE LIGADOSe o produto de 2 números for

positivo, os números têm sinais iguais.

negativo, os números têm sinais diferentes.

Se os 2 números possuem

sinais iguais, a soma é o resultado da adição de seusmódulos com o mesmo sinal desses números.

sinais diferentes, a soma é o resultado da subtração deseus módulos com o sinal do número com maior módulo.

Lembre-se de que

• o módulo ou valor absoluto de um número real é o próprionúmero, se ele for positivo.

• o módulo ou valor absoluto de um número real será o seusimétrico, se ele for negativo.


clipart

Mas como podemos utilizar a soma e o produto para descobrir as raízes de uma

equação de 2.º grau?

clip

art

Sabemos que uma equação do tipo ax² + bx + c = 0, em que a =

1 pode ser determinada porx² Sx + P = 0, onde S é a soma

e P o produto das raízes.

1) Utilizando a soma e o produto das raízes, determine as

raízes das seguintes equações:

a) x² 9x + 18 = 0.


b) 2z² + 4z 30 = 0.

2) Determine as raízes da equação x² + 3x 28 = 0,

utilizando a soma e o produto das raízes.

3) Agora que você está craque, resolva, mentalmente, as

equações a seguir.

a) x² 9x + 14 = 0

b) y² + 6y + 8 = 0

c) z² z 12 = 0

d) w² + 5w 6 = 0

e) x² + 4x + 4 = 0

EQUAÇÃO DE 2.º GRAU – CÁLCULO DE RAÍZES PELA SOMA E PELO PRODUTO


Agora, resolva a equação y² 2 = 0.Localize, aproximadamente, suas raízes

na reta numérica.

clip

art

LOCALIZAÇÃO DE NÚMEROS IRRACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

Observe as setas. Quais delas apontam para os valores mais próximos das

raízes dessa equação?

clip

art

Entre que inteiros está

?2

2411

Eu utilizei a calculadora.

É um pouco mais de 1,4.

Sendo a equação , determine suas raízes e

assinale, na reta, a localização mais próxima dessas raízes.

03² yy


SEMELHANÇA DE POLÍGONOS

Essas duas fotos são semelhantes.

Essas duas fotos não são semelhantes.

Em Matemática, para que a redução de uma figura sejasemelhante à figura original é necessário que semantenham as devidas proporções.

Observe os trapézios ACFD e BCFE.

Trace, num papel quadriculado, uma figura similar à figura abaixo.

Meça os ângulos de cada trapézio.Os ângulos correspondentes têm a mesma medida? _____

Determine a razão ___________________________

Verifique se a razão é a mesma em

ACBC

.CFBEe

DFEF

Podemos concluir que os trapéziosACFD e BCFE são semelhantes.

!!!FIQUE LIGADODescobrimos que dois trapézios são semelhantes quandoseus ângulos correspondentes são congruentes (têm amesma medida) e seus lados correspondentes sãoproporcionais.

clipart


SEMELHANÇA DE POLÍGONOSAGORA,

É COM VOCÊ!!!

1) As figuras abaixo são semelhantes. Sendo assim, determine

as medidas x e y.

6 cm

4 cm

x

y

15 cm20 cm

2) Sabendo que a razão de semelhança entre dois quadrados é

e que o lado do maior desses quadrados mede 16 cm,

podemos afirmar que o lado do menor quadrado mede ___cm.43

3) Verifique se os trapézios abaixo são semelhantes.

Justifique sua resposta.

6cm

3cm

8cm

6cm

10cm

10cm

4) Um quadrado cujo lado mede 7 cm e um losango cujo

lado também mede 7 cm são semelhantes?

Encontramos a razão de semelhança, observando as duas figuras:


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Trace, em uma folha de papel quadriculado, dois triângulos retângulos

como o modelo abaixo.

Meça seus lados e ângulos e verifique se são semelhantes.

A B D E 3cm 5cm

60° 60°

C

Trace, em uma folha de papel quadriculado, um triângulo cujos lados

meçam 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Observe abaixo.

Multiplique por 2 as medidas dos lados do triângulo traçado e

construa, na folha de papel quadriculado, o novo triângulo.

Recorte os triângulos e sobreponha seus ângulos correspondentes.O que descobriu?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

É possível desenhar quadriláteros,pentágonos, hexágonos e outros polígonoscom lados proporcionais e ângulosdiferentes. Porém, com os triângulos não épossível desenhá-los desta maneira.

F


SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

1) Determine as medidas dos lados dos triângulos ABC e

CDE, sabendo que são semelhantes numa razão de


.31

A 4 B

_____

CEAC

2) De acordo com a figura abaixo, responda:

6cm

3cm

10cm

A

B

D

C 4cm E

a) Os triângulos ABE e DCE são semelhantes?

b) Qual é a razão de semelhança entre os triângulos ABE

e DCE?

c) Qual é a medida de

d) Qual é a medida de

?DE

?BE


TRIÂNGULO RETÂNGULO

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Preciso reforçar esse

teto!

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O triângulo ABC é retângulo em Â. é a altura relativa à

hipotenusa.AH

C

AB

H

B C H

Um triângulo é chamado de retângulo quando um de seusângulos é reto, isto é, mede 90º. Seus lados possuemnomes especiais. A hipotenusa é o lado oposto ao ânguloreto. Os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º.

Analisando o triângulo retângulo ABC...a) Qual é o nome dado ao lado

b) Qual é o cateto maior?

c) Qual é o cateto menor?

d) O triângulo HBA é semelhante ao triângulo ABC?

e) O triângulo HAC é semelhante ao triângulo ABC?

f) Os triângulos HBA e HAC são semelhantes?

?BC

H

B A

H

A C

A

B CH

A

________________

________________

Qual será a medida da viga

de sustentação?________________


TRIÂNGULO RETÂNGULOAGORA,

É COM VOCÊ!!!Observe o triângulo retângulo ABC, de ângulo reto em B e

determine o que se pede.

A

B

CD

4

6

a) Podemos afirmar que a medida do ângulo é igual à medida

de ? _____ Por quê?

___________________________________________________

___________________________________________________

b) Podemos afirmar que o triângulo ABD é semelhante ao

triângulo BCD? _____ Por quê?

___________________________________________________

___________________________________________________

c) O lado AB, do triângulo ABD, corresponde ao lado ________

do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos ao

ângulo reto.

d) O lado BD, do triângulo ABD, corresponde ao lado

________ do triângulo BCD, porque ambos os lados são

opostos ao ângulo .

.e) O lado AD, do triângulo ABD, corresponde ao lado _____

do triângulo BCD, porque ambos os lados são opostos aos

ângulos e , sabendo que = .

f) Se o lado BD mede 6 cm e o lado CD mede 4 cm, então

o lado AD mede ______.

____x______x_________

______

BD___

CDBD

TRIÂNGULO RETÂNGULO


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Nomeando as medidas dos segmentos que compõem o

triângulo retângulo...

São elas:

a → a medida da hipotenusa

b → a medida de um cateto

c → a medida do outro cateto

h → a medida da altura

A altura divide a hipotenusa em dois segmentos (m e n), que

são as projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.

m → é a medida da projeção ortogonal de b.

n→ é a medida da projeção ortogonal de c.

Já sei que, ao traçar a altura relativa à hipotenusa, num triângulo retângulo, obtenho

três triângulos retângulos semelhantes.Agora, vou verificar as relações que posso

obter com as medidas de seus lados.

A 1.ª relação eu descobri. Se eu somar as medidas das projeções dos catetos, obtenho

a hipotenusa.• Então, a = ____+ _____ (1.ª relação)

Comparando os dois triângulos maiores.

Como os triângulos ABC e HAC são semelhantes, percebo a

igualdade com os lados correspondentes.

ba

mb

ACBC

HCAC

Multiplicando meios e extremos...

b . b = a . ___ → _________

A 2.ª relação mostra que o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa

pela projeção desse cateto.• Então, b² = am (2.ª relação)

bb

A A

B

c

C C

h

am

H


RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULOComparando o triângulo maior com o menor.

Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes, percebo a


ca

nc

ABBC

HBAB


c . c = a . ___ → _________

A 3.ª relação mostra que o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa

pela projeção desse cateto.• Então, c² = a.n (3.ª relação)

Comparando os triângulos menores...

Como os triângulos HBA e HAC são semelhantes, percebo a


hn

mh

HABH

HCHA


h . h = m . n→ _____________

A 4.ª relação mostra que o quadrado da medida da altura é igual ao produto das

projeções dos catetos.• Então, h² = mn (4.ª relação)

b

A

B

c

Ca

h

A

B

c

Hn

h

A

B

c

Hn

b

A

C

h

mH


RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO

Comparando os dois triângulos maiores novamente...

hc

ba

AHAB

ACBC


a . ___= ____ . c → ____________

Na 5.ª relação, descobri que o produto da medida da hipotenusa, pela medida da

altura relativa a ela, é igual ao produto das medidas dos catetos.

Então, ah = bc (5.ª relação)

A 5.ª relação é que irá nos ajudar a resolver o projeto da viga no telhado que precisa ser

reforçado.

Retomando o projeto (página 34) ...

De acordo com as medidas da figura acima, complete e

calcule a medida do comprimento da viga de sustentação.

H

a) Considerando as representações das medidas dos elementos de um triângulo retângulo...

a = ____ b = ___ c = ___ h = ____

b) Utilizando a 5.ª relação...

ah = bc _______________________________

c) A viga de sustentação deve medir ________ m.

B

A

C

3 m

5 m

4 mb

A

B

c

Ca

b

A

C

h

mH


TEOREMA DE PITÁGORAS

que Pitágoras é conhecido pelo famosoteorema que leva seu nome? Era filósofo eastrônomo, além de matemático?

que Pitágoras foi o fundador de uma escolade pensamento grega denominada, em suahomenagem, de Pitagórica, cujos princípiosforam determinantes para a evolução geralda Matemática e da Filosofia Ocidental?

Imagem retirada de http://www.suapesquisa.com/pesquisa/pitagoras.htm

Existem mais de 350 demonstrações do Teorema de Pitágoras.

A próxima atividade utilizará um processo com base em umadessas demonstrações.

Nesta figura, vemos dois quadrados:

Um claro de lado a.

Um escuro de lado (b + c).

A área do quadrado claro é a².

Para achar a área do quadrado claro,podemos calcular a área do quadrado

grande e tirar a área desses 4 triângulos retângulos escuros.

Vamos calcular a área do quadrado escuro:

a) Se o lado do quadrado grande é b + c, a área da figura

toda é (b + c)².

b) Desenvolvendo esse quadrado:

(b + c)² = b² + 2bc + c²

c) A área de cada triângulo retângulo é a metade da área de

um retângulo de lados b e c. Veja!

b

c

Um triângulo

Quatro triângulos 2bc

bc22bc4

d) Retirando, da superfície do quadrado escuro, a área dos

quatro triângulos retângulos, temos:

b² + 2bc + c² - 2bc = b² + c²

e) Igualando as áreas do quadrado claro, temos a fórmula de

Pitágoras a² = b² + c²


TEOREMA DE PITÁGORASTambém podemos demonstrar o Teorema de

Pitágoras usando as relações que encontramos. Observe.

Na soma b² + c², substituímos o b e o c pelas expressões

que deduzimos.

b² = am e c² = an.

Então, b² + c² = __________

Colocando a em evidência, temos : b² + c² = _____

Como m + n = a, encontramos: b² + c² = a . _____

Logo, b² + c² = a²

!!!FIQUE LIGADORELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULO

a = m + n

b² = am

c² = an

h² = mn

ah = bc

a² = b² + c²

Oi, amigos! Sou treinador de um time de futebol da minha comunidade.

Gosto de mostrar diversas jogadas para que os jogadores conheçam boas

estratégias de jogo. Esta jogada é uma delas. Observe.

Imag

em a

dapt

ada

de: h

ttp://

ww

w.g

oogl

e.co

m.b

r/em

4/6

/10

Determinando as distâncias dos jogadores 1, 2 e 3, nesse

momento, é possível ver que suas posições formam um triângulo

retângulo e que a distância entre o jogador 1 e a bola é a altura relativa à hipotenusa desse

triângulo.


RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO RETÂNGULOAGORA,

É COM VOCÊ!!!

1. De acordo com as representações das medidas de um

triângulo retângulo e pensando no triângulo maior, podemos

dizer que

a distância entre os jogadores 2 e 3 é a __________________.

a distância entre os jogadores 1 e 2 é o _______________.

a distância entre os jogadores 1 e 3 é o _________________.

a distância entre o jogador 1 e a bola é a _____________.

a distância entre o jogador 2 e a bola é _______________

_______________________________.

a distância entre o jogador 3 e a bola é__________________________________.

A distância do► jogador 2 até a bola é de 3,2 m.► jogador 3 até a bola é de 1,8 m.

2. Qual é a distância entre os jogadores 2 e 3?

3. Qual é a distância, em metros, entre os jogadores 1 e 2?

4. Determine a distância entre os jogadores 1 e 3.

5. Escolha uma fórmula adequada e determine a distância

entre o jogador 1 e a bola.



1. Um cabo de aço ligará 2 prédios (veja o desenho

abaixo). Determine a medida x do cabo de aço.

40 m

20 m

x

25 m

A medida x é de ________________.

2. Determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

3. Determine o valor de x, y, z e w no triângulo retângulo abaixo:

B

A

CH

a

4 5

B

A

CH

w

50

18

y z



4. Jorge quer cercar seu terreno. Sua forma e algumas de

suas dimensões estão representadas na figura abaixo.

12 m13 m

32 m

18 m

a) Trace uma paralela à altura pelo outro vértice superior

da figura.

b) As medidas que você deverá encontrar estão

assinaladas como x, y e z na figura a seguir.

12 m13 m

32 m

18 m

x y

z

c) Calcule, primeiro, x, depois, y e, por último, o valor de z.Assim, ficará mais fácil.

Resolução da questão:



5. Um quadro será restaurado. Para tal, sua moldura foi

retirada. Para que a moldura se mantenha intacta, foi

colocada uma tira de madeira na diagonal. Veja o modelo.

Sabendo que a moldura é quadrada e seu lado mede

1 metro, qual deve ser a medida da tira de madeira?

Dos valores assinalados na reta numérica abaixo, o mais

próximo de é o ____ .2

6. Determine a medida de x nos quadrados abaixo:

x

5

a)

x

b)24

7. Determine a medida da altura do triângulo equilátero abaixo:

6h

1

1


TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

Paula faz tortas para cobrir seus gastos pessoais. Assim, não

compromete o orçamento doméstico.

Controlo direitinho todo dinheiro que recebo com as tortas.

Observe a tabela que fiz para controlar a quantia que sobra ao final do mês.

CONTROLE DE 2014

JaneiroR$

FevereiroR$

MarçoR$

AbrilR$

MaioR$

Recebi pelas tortas

480 320 600 280 640

Gastos pessoais

250 150 420 300 400

Sobra 230 180 ̶ 20

De acordo com a tabela acima, determine o que se pede.

a) O mês em que Paula teve a maior sobra foi __________,no valor de R$ _________.

b) Ela teve que usar parte do orçamento doméstico paracobrir seus gastos em __________, no valor de R$ _______.

c) O maior gasto pessoal foi em ________, no valor de R$_____________.

d) Observando a tabela, podemos garantir que ela vendeu

mais tortas em _______ e menos tortas em _______.

A quantia que sobra, em cada mês, coloco na Caderneta de Poupança.

De acordo com a afirmação de Paula, desde o início deste ano,

ela colocou R$ _________na Caderneta de Poupança.

Sabendo que Paula cobra, por torta, R$ 40,00, complete oquadro abaixo.

TORTAS VENDIDAS

Janeiro Fevereiro Março Abril Maio

Nº de tortas

12

Monte um gráfico de colunas, utilizando a tabela acima.


TRATAMENTO DA INFORMAÇÃOO gráfico de colunas mostra as notas, de 0 a 5, dos alunos

de uma turma, em um teste de Geografia.

a) Quantos alunos tiraram nota 3? ____ E nota um? _____ b) Complete a tabela com os dados do gráfico:

c) Sabendo que todos os alunos da turma fizeram o teste,

quantos alunos há nessa turma? ______

d) Qual foi a média da turma? _______

e) Quantos alunos ficaram abaixo da média da turma?______

0 1 2 3 4 5

Notas 0 1 2 3 4 5

Nº de alunos 2

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) fez

uma análise sobre a taxa de desemprego no Brasil, dos

anos de 2002 a 2008, que gerou o gráfico abaixo.

De acordo com esse gráfico, podemos afirmar que

a) o ano de _________ teve a maior taxa de desempregodesse período.

b) O maior número de habitantes empregados, nesse período,foi em ___________.

c) A maior queda, na taxa de desemprego, desse período, foinos anos de _________ e ________.

Fonte IBGE

m9 2 bim_aluno_2014

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