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SÉRIE DUPLA DE FOURIER E CONVERGÊNCIA DAS

SÉRIES DE FOURIER

Ana Paula Nogueira Luz*

Rodrigo Nunes Shinkado*

Vanessa Milhomem Schmitt*

Resumo

Trata do assunto Séries Duplas de Fourier, que são definidas por bases ortogonais dos espaços

cp [a , b ] → {f i ( x ) }ecp [c , d ] → {g j ( y ) }, e apresentam o conjunto de todos os produtos

{f i ( x ) . g j ( y )} por uma base de cp ( R ) , onde R é um retângulo R=[ a , b ] ,[c , d ]. Descreve a

convergência das Séries de Fourier, a partir do seguinte corolário: funções são ditas

convergentes em R quando f for uma função periódica de período 2 L e se f e f ' forem

seccionalmente contínuas em [−L, L]. Elas convergem para f (x0) se f for contínua em x0 e

convergem para a média aritmética dos limites laterais em x0 se f for descontínua em x0.

Demonstra a Identidade de Parseval, também conhecida como a Igualdade de Parseval, a qual é

o Teorema de Pitágoras aplicado aos espaços vetoriais completos. E para caso do referente

trabalho desenvolvida para as Séries de Fourier. Conclui com a importância e as aplicações das

séries para o universo tecnológico.

Palavras-chave: Séries Duplas de Fourier, Convergência, Identidade de Parseval.

1. Introdução

O presente trabalho trata do conceito séries de Fourier, o qual representa grande

importância para os estudantes de engenharia, aprofundando-se na formulação e

desenvolvimento dos seguintes temas: série dupla de Fourier, convergência de série de

Fourier e teorema de Parseval. Além de fazer uma abordagem das explicações e

demonstrações dos referentes temas com intuito de expandir o conhecimento e

proporcionar um estudo mais aprofundado aos alunos.

*Alunos de graduação do curso de Engenharia, Universidade Federal Fluminense, 24024-000 Niterói, Brasil

http://pt.wikilingue.com/es/Espa%C3%A7o_vectorial

http://pt.wikilingue.com/es/Teorema_de_Pit%C3%A1goras

2Série Dupla de Fourier e Convergência das Séries de Fourier

a b

c

d

y

x

R

2. Série Dupla de Fourier

Diz-se que uma função é contínua por partes num retângulo R do plano se:

I) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número finito

de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em

ambos, e

II) Existe lim( x , y )→( x0 , y0)

f (x , y ) quando (x0 , y0 ¿ é um ponto de descontinuidade de f e (x , y ¿

tende a (x0 , y0) pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é dividida pelos

arcos de descontinuidade.

Figura1

¿ f , g>¿∬R

f ( x , y ) g (x , y ) dR

¿ f , g>¿∫a

b

∫c

d

f (x , y ) g ( x , y ) dxdy

Extensão:

¿ f , g>¿∭… f (x , y , z ,…) g (x , y , z ,…)dxdy…


R

-

-

x

y

TEOREMA: Sejam { f i(x)} e {g j( y )} bases ortogonais dos espaços euclidianos cp[ a , b ] e

cp [ c , d ], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos

{ f i (x ) g j( y)} , i=1,2 , … j=1,2 ,… , é uma base de cp(R), onde R é o retângulo

a ≤ x≤ b , c≤ y ≤d .

Seja a série dupla de Fourier abaixo:

f ( x , y )=∑i , j

α ij hij ( x , y )

1) Base para cp [ – π , π ]

f ( x )∈cp [−π ,π ] , x∈ [−π , π ]

{cos nx , sin mx } n=0,1,2…m=1,2,3…

2) Base para cp [ – π ,π ]

f ( y )∈ cp [−π , π ] , y∈ [−π ,π ]

{cos py ,sin qy } p=0,1,2…q=1,2,3 …

Assim,

3) Base para cp (R)

Figura 2


{cos nxcos py ,cos nx sin qy , sin mx cos py ,sin mx sin qy }

2.1 Cálculos dos Coeficientes de Fourier

f ( x , y )∈cp(R)

f ( x , y )=∑i , j

α ij hij(x , y)

α ij=¿ f , hij>¿

∥ hij∥2 ¿

α ij=1

∥ hij∥2 ∫

−π

π

∫−π

π

f ( x , y )h ij ( x , y ) dxdy⏟φ i ( x ) φ j( y)

Assim,

f ( x , y )=∑n=0

∑p=0

αnp cosnx cos py+∑n=0

∑q=1

α nqcos nxsin qy+∑m=1

∑p=0

αmp sin mx cos py+∑m=1

∑q=1

αmq sin mx sin qy

Onde,

∥cos ( ix )cos ( jy ) ∥2={ 4 π2

2 π2

π2 ,i ≠ 0e j ≠ 0

Ex.: F ( x , y )=xy

α np=1

∥cosnx cos py∥2 ∫−π

π

∫−π

π

xy cosnx cos pydxdy=0

α nq=1

∥cosnx sin qy∥2 ∫−π

π

∫− π

π

xy cosnx sin qy dxdy=0

α mp=1

∥sin mx cos py∥2 ∫−π

π

∫−π

π

xy sin mx cos py dxdy=0

α mq=1

∥sin mx sin qy ∥2 ∫−π

π

∫−π

π

xy sin mx sin qydxdy


xy= f ( x , y )=4 [sin x sin y− sin x sin 2 y1 ×2

− sin 2 x sin y2 ×1

+ sin x sin 3 y1 ×3

+…]⇒ f (x , y )=xy=4∑

m=1

∞

∑q=1

∞

(−1)m+q sin mx sin qymq

α mq=∫− π

π

∫−π

π

x sin mx dx ysin qydy

∫−π

π

∫−π

π

sin2 mx sin2 qy dxdy

∫−π

π

∫− π

π

sin2mx sin2qy dxdy=π2

α mq=1π2 ∫

−π

π

∫−π

π

x sin mx dx ysinqy dy

α mq=1π2 ∫

−π

π

x sin mx dx∫−π

π

ysin qy dy

α mq=4π2∫

0

π

xsin mx dx∫0

π

y sin qy dy

x sin mx dx=(−1)m+1 πm

y sin qy dy=(−1)q+1 πq

α mq=4π2 [(−1)m+1 π

m ] [(−1)q+1 πq ]=(−1)m+q 4

mq

De um modo mais geral, o conjunto de funções

sin(mπa

x )sin (nπb

y ) ,sin(mπa

x )cos( qπb

y) , cos( pπa

x )sin ( nπb

y ), cos ( pπa

x)cos( qπb

y)é uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo

−a ≤ x≤ a ,−b ≤ y ≤ b.


TEOREMA: Seja R o retângulo −π ≤ x ≤ π ,−π ≤ y ≤ π , e suponhamos que F seja

contínua em R e que ∂ F∂ x

, ∂ F∂ y

,e ∂2 F∂ x ∂ y

existam e sejam limitadas em R. Então, a série

dupla de Fourier de f converge pontualmente para F em R.

3. Convergência das Séries de Fourier

3.1 Convergência em Média

Em um espaço de funções com produto interno expresso por um integral a afirmação

segundo a qual

limk → ∞

‖f k−f‖=limk → ∞ (∫

a

b

[ f k ( x )− f (x ) ])1/ 2

=0

não é o mesmo que dizer que a seqüência { f k } converge para a função f em todo ponto

de [ a ,b ] (convergência pontual). Em Análise Matemática, essa convergência via

produto interno é conhecida como convergência de média, para enfatizar que ela é

calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizado.

Ex: A seqüência de funções {x , x2 , x3 , …} converge em média para zero em e [−1 ,1 ]

(espaço das funções contínuas no intervalo fechado [−1 ,1 ]).

De fato,

limk → ∞

‖xk−0‖=limk →∞ (∫

−1

1

x2k dx)1 /2

=limk →∞ ( 2

2 k+1 )1/2

=0

Entretanto, {x , x2 , …} não converge para zero em cada ponto.

O exemplo dado mostra que a convergência em média é diferente da pontual.


DEFINIÇÃO: Diz-se que uma série infinita ∑k =1

∞

uk de vetores de um espaço euclidiano

converge para o vetor u a seqüência associada das somas parciais converge para u

no sentido que limkn→ ∞

‖uk−u‖=0.

Se este é o caso, escrevemos

u=∑k=1

∞

uk

e dizemos queu foi desenvolvida em série infinita. Mais detalhadamente,

∑k =1

∞

uk

converge para u para cada número real ε>0 existe um inteiro K tal que

‖∑k =1

N

uk−u‖<ε

toda vez que N>K . O real ε pode ser entendido como o “erro”. Na verdade, ‖∑k =1

N

uk−u‖

é a “distância” da soma ao vetor u .

É sabido que todo espaço euclidiano de dimensão finita tem uma base ortonormal

u1 ,u2 , u3 , …,uNe que todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sob a

forma

u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN

É possível generalizar este resultado para espaços euclidianos de dimensão infinita.

Assim,

u=(u ∙u1 ) u1+…+( u∙ uN ) uN+…

ou

u=∑k=1

∞

(u ∙uk )uk


Entretanto, sem informações mais detalhadas, não existe, evidentemente, nenhuma

garantia que esta série convirja para u. É claro que se converge (e isto ocorre em

inúmeras situações), justifica-se escrever ∑k =1

∞

( u∙ uk ) uk , e dizemos que a série converge

em média para u.

Os produtos internos (u ∙ uk ) se denominam de coordenadas ou coeficientes de Fourier

(generalizados) de u em relação a base (ou conjunto ortonormal) u1 ,u2, … .

É comum escrever u ∑k=1

∞

(u ∙uk ) uk, onde o símbolo é para ressaltar que a série em

questão pode não convergir para u.

Caso convirja justifica-se usar o símbolo de igualdade.

TEOREMA: Seja ∑k =1

∞

ak uk qualquer série infinita que converge em média para u, isto é,

u=∑k=1

∞

ak uk.

Então, ak=u ∙uk para cada inteiro k .

É claro que se a série converge em média para u vale escrever

limN → ∞‖u−∑

k=1

N

ak uk‖=0

Onde

∑k =1

N

ak uk

é soma parcial SN.

Se o espaço euclidiano em tela for cp [a ,b ] deve-se entender ucomo f ( x ), ak como AN,

BN e uk como sin ( N x ) e cos ( N x ) (a=−π , b=π ), se f periódica de período 2 π .

3.2 Desigualdade de Bessel e Igualdade de Parseval


TEOREMA: Seja u1 ,u2 ,..., um conjunto ortonormal de vetores de um espaço euclidiano

de dimensão infinita, e seja u um vetor arbitrário deste espaço. Então,

∑k =1

∞

(u , uk )2≤ ∥u∥2 ,

(Desigualdade de Bessel)

esta expressão é chamada de desigualdade de Bessel. Além disso, u1 ,u2..., é uma base

do espaço em questão ↔

∑k =1

∞

(u1 ,u2)2=∥ u∥2 ,

(Igualdade de Parseval)

que é a igualdade de Parseval.

No caso das séries de Fourier a igualdade de Parseval é dada por:

∥ f ∥2= 1π ∫

−π

π

( f ( x ))2 dx=a0

2

2+∑

K =1

∞

(ak2¿+bk

2) , ¿

onde ak e bk são os coeficientes de Fourier.

De fato:

f =¿ f , 1>1∥1∥2 +∑

k=1

∞

¿¿

Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação (1) por f obtém-se:

¿ f , f >¿∥ f ∥2=¿ f , 1>¿ f ,1> ¿∥1∥2 +

¿ f , cos (kx )>¿ f , cos (kx )∥cos(kx)∥2 +

¿ f , sin (kx )>¿ f ,sin (kx )∥sin(kx)∥2 ¿

Tendo em vista que:

∥1∥2=∫−π

π

dx=2 π ,

∥ f ∥2=∫−π

π

( f ( x ) )2dx ,


∥cos ( kx )∥2=∫−π

π

cos2 (kx )dx=π ,

∥sin (kx ) ∥2=∫−π

π

sin2 (kx ) dx=π

Conclui-se que:

¿¿¿

∫−π

π

f ( x ) cos (kx ) dx¿¿=ak

¿¿¿

∫−π

π

f ( x ) sin(kx )dx¿¿=bk

Assim,

1π ∫

−π

π

(f ( x ))2 dx=a0

2

2+∑

k=1

∞

(ak2¿+bk

2).¿

C.Q.D.

TEOREMA: Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[−π , π ] (f

tem uma derivada primeira contínua por partes em [−π , π ]). Então, o desenvolvimento

em série de Fourier de f converge pontualmente em [−π , π ] e tem o valor f ¿¿ em cada

ponto x0 do interior do intervalo, e f ¿¿ em ± π .

Note que ao escrevermos a série de Fourier de f como:

f ( x )=a0

2+∑

k=1

∞

(aK cos (kx )+bk sin(kx ))

significa que a série em questão converge em média para f .

limN → ∞

∥ f −∑k=0

N

¿¿¿


ou seja,

f ( x )= f .1∥1∥2 +∑

K=1

∞

¿¿

(média)

Ressaltamos que convergência em média não significa que a série converge

pontualmente no sentido que

f ( x0 )=a0

2+∑

k=1

∞

¿¿

para todo x0em[−π , π ].

Contudo, o teorema apresentado explicita sob que condição a convergência pontual

ocorre, ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função f ∈ [−π , π ] ,

continuamente diferenciável por partes converge, de fato, para f ¿) quando x0 é um

ponto de continuidade de f (ou seja, converge na reta inteira).

TEOREMA: Seja f uma função contínua em (−∞, ∞), com período 2 π , e considere que

f tenha derivada primeira contínua por partes.

Então, a série de Fourier de f converge uniforme e absolutamente para f em todo

intervalo fechado de x se f for contínua diferenciável por partes em (−∞, ∞) com

período 2π. Então, a série de Fourier definida converge uniformemente para f e

qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.

3.3 Derivação e Integração das Séries de Fourier

TEOREMA: Seja f uma função contínua em (−∞, ∞), com período 2π, e considere que

f tenha derivada primeira f ' contínua por partes. Então, a série de Fourier de f 'pode ser

obtida derivando a série def termo a termo, e a série derivada converge pontualmente

para f ' ( x ) se f ' ' (x ) existe.

Ou seja,


Se

f ( x )=a0

2+∑

k=1

∞

( aK cos (kx )+bk sin (kx ))

f ' ( x )= ddx

( f ( x ) )= ddx ( a0

2+∑

k =1

∞

( aK cos (kx )+bk sin ( kx )))

f ' ( x )= ddx ( a0

2 )+∑k=1

∞ ddx ( aK cos (kx )+bk sin (kx ) )

f ' ( x )=∑k=1

∞

k (bK cos ( kx )−ak sin (kx ) )

f ' ( x )=∑k=1

∞

(k bK cos ( kx )−kak sin (kx ) )

TEOREMA: Seja f uma função contínua por partes em (−∞, ∞) com período 2π, e seja

a série de Fourier de f

f ( x )=a0

2+∑

k=1

∞


Então,

∫a

b

f ( x )dx=∫a

b [ a0

2+∑

k=1

∞

(aK cos (kx )+bk sin ( kx ) )]dx

∫a

b

f ( x )dx=a0

2(b−a)⏟

A0 /2

+∑k=1

∞

aK ¿¿¿

Em outras palavras, a integral definida de f , de a até b, pode ser calculada integrando-se

a série de Fourier de f termo a termo.

No caso de integral indefinida fica (teorema da integração):

Seja função arbitrária de cp[−π , π ] com série de Fourier:


f ( x )=a0

2+∑

k=1

∞


Então, a função

∫a

x

f ( t ) dt ,−π<x<π

Tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do intervalo

[-π ,π ¿, e

∫0

x

f (t ) dt=∑k=1

∞ bk

k+∑

k=1

∞ (a¿¿ K+(−1)k +1a0)k

sin ( kx )−∑k=1

∞ bk

kcos(kx)¿

Pode-se entender que

ddx ∑k

¿∑k

ddx

¿⇒∫∑

k¿∑

k∫

5. Conclusão

Os assuntos de Séries de Fourier abordados no trabalho permitem concluir a sua

importância para o estudo da engenharia no cálculo de produtividade, na análise de

sinais. Enfim, permitem o advento de tecnologias aplicadas em diversas áreas do

conhecimento ao proporcionar uma melhor compreensão do comportamento de séries

de dados, decompondo-as em diversas harmônicas independentes.

6. Agradecimentos

A Deus, ao professor Altair por compartilhar seu grande conhecimento na área

tecnológica com seus alunos e aos colegas que ajudaram na elaboração do trabalho.

7. Referências


Notas de aula do professor Altair Souza de Assis, da disciplina de Métodos

Matemáticos I no segundo período de 2010.

Introdução à análise linear, R. KREIDER, D. R. OSTBERG, R. C. KULLER e F. W.

PERKINS. Editora UNB e ao livro técnico, RJ, 1972

Apêndice 1 – Fenômeno de Gibbs

As somas parciais das séries de Fourier tendem a ir além dos valores da função próximo

a um ponto de descontinuidade.

Figura3 Figura4

Assim, os valores de f (x) entre duas descontinuidades quaisquer estão no intervalo

(−π /2 , π /2), enquanto que os de SN(x ), a n-ésima soma parcial, percorrem um

intervalo um pouco maior, [−α N , α N ]. O valor de α N quando N →∞ determina aquele

que é conhecido como intervalo de Gibbs de f .

Apêndice 2 – Convergência Uniforme

TEOREMA: M de Weierstrass. Se,

x


∑k =1

∞

M k

é uma série convergente de números reais positivos e, se

∑k =1

∞

f k (x )

é uma séria de funções tais que |f k ( x )|≤ M k para todo k e todo x no intervalo a ≤ x≤ b,

então

∑k =1

∞

f k (x )

é uniforme e absolutamente convergente em a≤ x≤ b.

OBSERVAÇÃO 1: Se ∑k

¿ f k ( x )∨¿¿ converge, diz-se que a série converge

absolutamente.

OBSERVAÇÃO 2: Diz-se que uma sequência { f k (x )} converge uniformemente para

função f (x) no intervalo a ≤ x≤ b, se qualquer que seja ε>0 existe um inteiro positivo K

, dependendo de ε , mas não de x, tal que |f k ( x )−f ( x )|<ε quando k ≥ K e x esta no

intervalo dado.

Note que se { f k (x )} for a sequência das somas parciais {Sk (x)} a série correspondente

converge uniformemente.

|Sk ( x )−f (x )|<ε quando k>K⇒

limk →∞

|Sk ( x )−f ( x )|→0 , ∀ x .


Figura 5

Quando k → ∞,

S∞ ( x )=limk → ∞

Sk ( x )=∑k=0

∞

ûk (x)

“coincide” exatamente com f ( x ) ,∀ x∈[a ,b ]. A convergência uniforme é “global”.

OBSERVAÇÃO: A sequência {Sk ( x ) } é construída a partir da sequência {ûk ( x ) }. Para o

caso da série de Fourier

Sk ( x )=∑N =0

k

¿¿

Ou seja,

S0 ( x )=A0

S1 ( x)=A0+ A1 cos(x )+B1sin( x)

.

.

Sk ( x )=A0+ A1cos ( x )+B1sin ( x )+…+ Ak cos (kx )+¿B k sin (kx )¿

⇒S∞ ( x )=∑

N =0

k

¿¿

(Série de Fourier)

Apêndice 3 – Teorema


Seja f contínua por partes em (−∞,∞), com período 2 π , e considere que

f ( x )=12¿

Então, a série de Fourier de f converge para f (x0) e cada ponto x0 em que f tem

derivada à direita e à esquerda. Em particular, se f é continuamente diferenciável por

partes, sua série de Fourier converge para f (x) em relação a todo x (Condição de

Direchlet).

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