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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ESTRUTURAL E CONSTRUÇÃO CIVIL CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
LUTER CAIO DA CRUZ NOBRE
ANÁLISE DE PILAR DE PONTES PELOS MÉTODOS DA NBR 6118:2003
FORTALEZA 2010
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LUTER CAIO DA CRUZ NOBRE
ANÁLISE DE PILAR DE PONTES PELOS MÉTODOS DA NBR 6118:2003 Trabalho de conclusão de curso submetido à Coordenação do Curso de Engenharia Civil da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. (a) Magnólia Maria Campelo Mota Co-orientador: Joaquim Eduardo Mota.
FORTALEZA 2010
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N671a Nobre, Luter Caio da Cruz Análise de pilar de pontes pelos métodos da NBR 6118:2003 / Luter Caio da Cruz Nobre. – Fortaleza, 2010.
88 f. il.; color. enc.
Orientadora: Profa. Dra. Mota, Magnólia Maria Campelo Co-orientadora: Prof. Dr. Joaquim Eduardo Mota
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia. Depto. de Engenharia Estrutural e Construção Civil, Fortaleza, 2010.
1. Pontes-fundações e pilares 2. Normas técnicas (Engenharia) I. Mota, Magnólia Maria Campelo (orient.) II. Mota, Joaquim Eduardo III. Universidade Federal do Ceará – Graduação em Engenharia Civil. IV. Título
CDD 620
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RESUMO
Em alguns problemas de engenharia é necessário que a estrutura seja considerada em sua configuração deformada para efetuar uma análise mais precisa. Trazendo essa realidade para o contexto de dimensionamento de pilar, esse fato tem ganhado uma importância crescente devido ao desenvolvimento tecnológico apresentado pela engenharia civil, que proporciona, cada vez mais, uma concepção de projetos com elementos estruturais mais esbeltos. Assim, esse trabalho trás como proposta uma análise dos métodos mais simples (métodos aproximados) da NBR 6118 (ANBT, 2003) a partir de um método mais rigoroso (método geral) de análise de efeitos de segunda ordem proposto pela mesma norma. Essa análise ocorrerá aplicando os três métodos em um pilar de ponte com alturas, e conseqüentemente esbeltez, crescentes e comparando os resultados obtidos. Para isso, é importante que seja exposto os aspectos gerais de um projeto de ponte a fim de obter um maior entendimento das possíveis cargas atuantes em um pilar desse tipo de estrutura. Palavras-chaves: Métodos aproximados, método geral, norma brasileira.
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LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Gráfico tensão deformação do concreto armado (SCADELAI: 2003). ...............13 Figura 2.2-Diagrama simplificado para o dimensionamento de peças de concreto armado (NBR 6118 ABNT: 2003) . ......................................................................................................15 Figura 2.3 – Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais elásticos (SCADELAI: 2004)..................................................................................................................17 Figura 2.4 – Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais inelásticos (SCADELAI: 2004)..................................................................................................................17 Figura 2.5 – Relação entre momento externo e curvatura para flexo-compressão e compressão axial usando a equação completa (SCADELAI: 2004). ...........................................................18 Figura 2.6 – Relação entre momento externo e curvatura para flexão composta usando a equação reduzida (SCADELAI: 2004).....................................................................................18 Figura 2.7 – Seção genérica de concreto armado .....................................................................19 Figura 3.1 – Cargas e excentricidades iniciais no topo e na base dos pilares (SCADELAI: 2004).........................................................................................................................................25 Figura 3.2 – Esquema estrutural para o cálculo dos momentos no topo e na base do pilar (SCADELAI: 2004)..................................................................................................................26 Figura 3.3 – Desaprumo do prédio (SCADELAI: 2004)..........................................................27 Figura 3.4 – Imperfeições locais (PINHEIRO: 2007). .............................................................29 Figura 3.5 – Pilar biapoiado do caso 01. ..................................................................................32 Figura 3.6 – Pilar engastado para o caso 03. ............................................................................33 Figura 4.1 –Método geral por carregamentos sucessivos (SCADELAI: 2004). ......................35 Figura 4.2 – Método geral por excentricidades sucessivas (SCADELAI: 2004).....................35 Figura 4.3 – Deformada estável (SCADELAI: 2004). .............................................................37 Figura 4.4 – Elástica do pilar padrão (PINHEIRO: 2007). ......................................................39 Figura 4.5 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs(Figura 17.2 da NBR 6118 ABNT: 2003)............................................................................................................................44 Figura 5.1 – Trem tipo com o veículo e cargas distribuídas p e p’ (NBR 7188 ABNT: 1984)...................................................................................................................................................51 Figura 5.2 – Veículo do trem tipo (NBR 7188 ABNT: 1984)..................................................52 Figura 5.3 – Trem tipo para ponte ferroviária (NBR 7189 ABNT: 1985). ..............................52 Figura 5.4 – Linha de influência para reação de apoio em um viga biapoiada. .......................53 Figura 5.5 – Linha de influência para reação de apoio de vigas com balanço .........................54 Figura 5.6 - Veículo na posição mais desfavorável na seção transversal de uma ponte. ........55 Figura 5.7 – Influência do veículo tipo nas vigas.....................................................................56 Figura 5.8 – Trem tipo(vista longitudinal). ..............................................................................56 Figura 5.9 –Empuxo de terra numa ponte. ...............................................................................59 Figura 5.10 – Largura de cálculo de um pilar para determinação do empuxo atuante.............60 Figura 5.11 – Fator de forma para cada tipo de seção transversal do pilar. .............................61 Figura 5.12 –Deslocamento (D) provocado pela força (H) ......................................................63 Figura 5.13 – Deslocamento total no topo do pilar. .................................................................66 Figura 6.1 – Pilar analisado. .....................................................................................................69 Figura 6.2 – Arranjo da armadura na seção transversal. .........................................................76
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LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn em função de b (NBR 6118 ABNT: 2003) .22 Tabela 5.1 – Cargas do veículos (NBR 7188 ABNT: 1984). ...................................................51 Tabela 5.2 – Características dos veículos (NBR 7188 ABNT: 1984) ......................................51 Tabela 5.3 – Cargas do trem tipo (NBR 7189 ABNT: 1985)...................................................52 Tabela 5.4 – Relação entre a largura real e a largura de cálculo do pilar.................................60 Tabela 6.1 – Comprimento adotado para cada esbeltez. ..........................................................70 Tabela 6.2 – Peso próprio para cada caso de esbeltez. .............................................................71 Tabela 6.3 – Normal de cálculo para cada caso de esbeltez.....................................................71 Tabela 6.4 – Comprimento equivalente (Le) adotado para cada caso......................................72 Tabela 6.5 – Desaprumo e excentricidade acidental para cada caso. .......................................72 Tabela 6.6 – Esbeltez limite para cada caso. ............................................................................73 Tabela 6.7 – Momentos finais pelos métodos da rigidez e da curvatura aproximada..............73 Tabela 6.8 – Diferença percentual entre os métodos aproximados. ........................................74 Tabela 6.9 – Momentos obtidos pelo método geral .................................................................77 Tabela 6.10 – Diferença percentual entre os métodos aproximados e o método geral ............78
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO..................................................................................................................9 1.1 Problemática ...............................................................................................................9 1.2 Justificativa...............................................................................................................10 1.3 Objetivos...................................................................................................................11
1.3.1 Objetivo geral ...................................................................................................11 1.3.2 Objetivos específicos........................................................................................11
1.4 Estrutura da monografia ...........................................................................................12 2 CONCEITOS BÁSICOS..................................................................................................13
2.1 Não linearidades .......................................................................................................13 2.2 Comportamento do concreto ....................................................................................14 2.3 Linha elástica e curvatura.........................................................................................15 2.4 Relação momento curvatura .....................................................................................16 2.5 Diagrama (M, N, 1/r)................................................................................................18 2.6 Efeitos de segunda ordem.........................................................................................20
3 DIMENSIONAMENTO DE PILARES ...........................................................................22 3.1 Dimensões mínimas..................................................................................................22 3.2 Comprimento equivalente.........................................................................................22 3.3 Raio de giração .........................................................................................................23 3.4 Índice de esbeltez......................................................................................................24 3.5 Classificação dos pilares...........................................................................................24
3.5.1 Classificação quando às solicitações iniciais....................................................24 3.5.2 Classificação quanto à esbeltez ........................................................................24
3.6 Excentricidade de 1ª ordem ......................................................................................25 3.6.1 Excentricidade inicial .......................................................................................25 3.6.2 Excentricidade acidental...................................................................................27
3.6.2.1 Imperfeições globais.....................................................................................27 3.6.2.2 Imperfeições locais.......................................................................................28 3.6.2.3 Momento mínimo..........................................................................................29
3.6.3 Excentricidade de forma...................................................................................30 3.6.4 Excentricidade suplementar..............................................................................30
3.7 Esbeltez limite ..........................................................................................................31 3.8 Excentricidade de segunda ordem ............................................................................33
4 MÉTODOS PARA A CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM...34 4.1 Método geral.............................................................................................................34
4.1.1 Formulação do método .....................................................................................35 4.2 Métodos aproximados ..............................................................................................38
4.2.1 Pilar padrão.......................................................................................................38 4.2.2 Método da curvatura aproximada.....................................................................40 4.2.3 Método da rigidez κ aproximada......................................................................41
4.2.3.1 Método da rigidez aproximada pelo método direto.....................................41 4.2.4 Pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua ............................42 4.2.5 Cálculo simplificado.........................................................................................43 4.2.6 Flexão composta oblíqua..................................................................................44
5 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM PROJETO DE PONTE ............................................46 5.1 Sistemas Estruturais..................................................................................................46
5.1.1 Pontes em lajes .................................................................................................47 5.1.2 Pontes em vigas ................................................................................................47
viii
5.1.3 Pontes em arco..................................................................................................47 5.1.4 Pontes em pórtico .............................................................................................47 5.1.5 Pontes estaiadas, suspensas ou pênseis ............................................................48
5.2 Cargas em pontes......................................................................................................48 5.2.1 Peso da Estrutura ..............................................................................................48 5.2.2 Cargas úteis ......................................................................................................48 5.2.3 Elementos Naturais...........................................................................................48 5.2.4 Deformações internas .......................................................................................49 5.2.5 Cargas especiais................................................................................................49 5.2.6 Carga Permanente.............................................................................................49 5.2.7 Carga móvel......................................................................................................49 5.2.8 Trem tipo ..........................................................................................................50 5.2.9 Linha de influência ...........................................................................................53 5.2.10 Impacto Vertical ...............................................................................................54 5.2.11 Cálculo do trem tipo utilizando a linha de influência.......................................55 5.2.12 Frenagem e aceleração......................................................................................57 5.2.13 Força do vento ..................................................................................................58 5.2.14 Empuxo de Terra ..............................................................................................58 5.2.15 Ação dinâmica da água.....................................................................................60 5.2.16 Esforços devido à variação de temperatura e à retração...................................61
5.3 Esforços atuantes nos pilares....................................................................................62 5.4 Cálculo da rigidez de pilares de concreto armado....................................................62
5.4.1 Coeficiente de rigidez global............................................................................64 5.4.2 Coeficiente de Rigidez do Apoio......................................................................64 5.4.3 Coeficiente de Rigidez da Função....................................................................65 5.4.4 Dedução do coeficiente de Rigidez Global ......................................................65
5.5 Distribuição dos esforços longitudinais por pilar .....................................................67 5.6 Distribuição dos esforços transversais por pilar .......................................................68
6 ANÁLISE DE UM PILAR DE PONTE...........................................................................69 6.1 Análise pelos métodos aproximados ........................................................................69 6.2 Análise pelo método geral ........................................................................................75
7 CONCLUSÕES................................................................................................................80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................82 APÊNDICE A – Tutorial da planilha de cálculo de pilares. ...................................................83
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1. INTRODUÇÃO
Nesse capítulo, será apresentado o tema do trabalho, seus objetivos e a
importância de estudar esse tema.
1.1 Problemática
Os avanços tecnológicos em várias áreas da engenharia civil acarretaram melhoras
no desempenho dos materiais empregados na construção, possibilitando estruturas mais
esbeltas e arrojadas, com um menor consumo de material e, conseqüentemente, com maior
economia. No entanto, com esse aumento na esbeltez é de fundamental importância que sejam
considerados corretamente os efeitos de segunda ordem no dimensionamento dos pilares das
estruturas.
Khouri (2001 p.1) ressalta as condições fundamentais em um projeto estrutural
numa obra de engenharia, especialmente no caso de pontes:
Em uma ponte, como nas demais obras de engenharia, há uma condição fundamental relativa à sua função: ter estabilidade e durabilidade por certo período previamente estabelecido. Essas condições, se bem que essenciais em uma ponte, não devem ser únicas e nem exclusivas. De modo geral, a engenharia não deve se limitar ao mero estudo da estabilidade de suas construções.
Segundo esse autor, a idéia de responder às exigências de concepção cada vez
mais arrojadas das estruturas de pontes e a constante motivação econômica, tem exigido do
engenheiro a necessidade de um conhecimento cada vez mais preciso e refinado do
comportamento estrutural dessas obras.
Os efeitos de segunda ordem ocorrem devido ao deslocamento da estrutura
causado pelos carregamentos iniciais, esse efeito proporciona um aumento nos esforços e se
somam aos esforços de primeira ordem. A norma brasileira NBR 6118 (ABNT, 2003)
apresenta alguns métodos para a consideração desses efeitos.
A norma classifica os pilares em curtos, moderadamente esbeltos e esbeltos, os
efeitos de segunda ordem só precisam ser considerados nos dois últimos tipos de pilares, para
pilares esbeltos usa-se o método geral.
10
O método geral fundamenta-se numa metodologia mais rigorosa, aonde as não
linearidades são consideradas de forma bastante precisa. Esse método pode ser aplicado a
qualquer pilar, porém sua aplicação é trabalhosa e requer o uso de softwares.
A NBR 6118 (ABNT, 2003) apresenta ainda dois métodos aproximados para a
consideração desses efeitos, o método do pilar padrão com curvatura aproximada e o método
do pilar padrão com rigidez κ aproximada, em ambos a não linearidade geométrica é
aproximada por uma deformação senoidal da barra, a não linearidade física, no primeiro
desses, é considerada a partir da curvatura na seção crítica, enquanto no segundo ela é levada
em conta por uma aproximação da rigidez.
Os pilares de pontes geralmente estão submetidos a condições iniciais distintas
das normalmente encontradas em edifícios, estando submetidos a carregamentos resultantes
da frenagem e aceleração dos veículos que transitam sobre a mesma, além de estarem sujeitos
a ações do vento, empuxo de terra e eventualmente cargas provenientes de correnteza dos
rios. Além disso, um aspecto muito importante no projeto de pontes é a consideração da carga
dinâmica e seus efeitos, outro detalhe fundamental em qualquer projeto é a consideração da
fluência dos materiais.
Khouri (2001 p. 7) faz, em seu trabalho, as seguintes considerações sobre pilares
de pontes:
Os pilares de pontes não apresentam dificuldades especiais do ponto de vista do cálculo quando tratados como elementos isolados. Tal afirmativa não é verdadeiramente clara quando na análise propõe-se considerar condições mais adequadas de sua vinculação com o contexto estrutural (infra-estrutura – e superestrutura), comportamento não linear e formas geométricas especiais.
Nesse trabalho, será mostrada uma descrição dos métodos apresentados pela norma
brasileira, em seguida serão apresentados os aspectos gerais de um projeto de pontes. Feita
essas etapas iniciais, será analisado um pilar de ponte pelos métodos da norma apresentados,
no final será realizada uma comparação entre os resultados e uma análise de eficiência dos
métodos aproximados.
1.2 Justificativa
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É de fundamental importância que esses métodos aproximados sejam estudados e que
seja verificada a sua eficiência em relação ao método geral, visando ainda estabelecer as suas
limitações, pois isso contribuirá com o aumento do nível de segurança dos projetos e tornará
mais seguro o uso de pilares de concreto armado.
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivo geral
Os métodos aproximados da NBR 6118 (ABNT, 2003) apresentam a vantagem de
uma aplicação mais simples, além de não precisar de um software específico e apresentar
resultados satisfatórios dependendo de suas condições de aplicação, já o método geral, apesar
de gerar resultados bem mais exatos, apresenta uma aplicação menos prática, sendo
necessário o uso de softwares específicos.
A análise dos métodos aproximados a partir de um método mais rigoroso (o geral)
contribuirá para o conhecimento das limitações dos primeiros. Assim, o objetivo desse
trabalho é apresentar cada um desses métodos e aplicá-los a um pilar de ponte, comparando os
resultados obtidos a fim de verificar a eficiência dos métodos simplificados.
1.3.2 Objetivos específicos
Para alcançar o objetivo geral desse trabalho, será traçado uma série de objetivos
específicos.
Inicialmente, pretende-se realizar um estudo sobre os aspectos gerais no
dimensionamento de um pilar e dos efeitos locais de segunda ordem, visto a importância da
consideração dos mesmos nas estruturas esbeltas que são freqüentemente encontradas nos
projetos atuais, bem como será apresentado os critérios de dispensa desses efeitos.
Após a apresentação desses conceitos, intenta-se apresentar o método geral e os
métodos aproximados para a consideração dos efeitos de segunda ordem, buscando-se
12
caracterizá-los e descrevê-los. Esses métodos estão apresentados na NBR 6118 (ABNT,
2003).
Serão apresentados aspectos gerais para o projeto de pontes, mostrando uma
metodologia para obtenção dos esforços num pilar isolado. Feito isso, será analisado um pilar
de ponte conforme os modelos da NBR 6118 (ABNT, 2003). Ao final desse trabalho, visa-se
analisar e comparar os resultados obtidos.
1.4 Estrutura da monografia
Esse trabalho apresenta sete capítulos, sendo o primeiro destinado à apresentação
do trabalho, mostrando o tema de estudo, os objetivos do mesmo, bem como a importância de
realizá-lo.
O segundo capítulo trás os conceitos básicos necessários ao desenvolvimento
desse trabalho, o terceiro mostra aspectos do dimensionamento de um pilar, o quarto
apresenta os métodos para consideração dos efeitos de segunda ordem na NBR 6118 (ABNT,
2003), o quinto mostra os aspetos relativos a um projeto de ponte, o sexto mostra a análise de
um pilar de ponte e o sétimo conclui o trabalho com as conclusões de toda a análise.
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2 CONCEITOS BÁSICOS
Apresentam-se aqui os conceitos básicos necessários ao desenvolvimento desse
trabalho.
2.1 Não linearidades
É comum a confusão entre os conceitos de linearidade e de elasticidade de um
material, no entanto, esses conceitos são distintos, nota-se isso facilmente quando se diz que
um material tem comportamento elástico-linear.
Um material é dito elástico quando nele é aplicada uma carga que o deforma e,
após cessar essa aplicação, a deformação se anula, ou seja, o corpo deformado não apresenta
deformação residual. Se ao cessar a aplicação da carga houver deformação residual, o material
não tem comportamento elástico. Graficamente esses comportamentos estão representados na
figura abaixo.
Figura 2.1 – Gráfico tensão deformação do concreto armado (SCADELAI: 2004).
Se o material apresentar comportamento elástico, ao cessar a força atuante, a
deformação retorna pela linha curva, senão ele retorna pela linha reta.
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Em alguns materiais, ocorre uma relação de proporcionalidade entre as tensões e
as deformações. Nesse caso, considera-se que eles obedecem à lei de Hooke. Quando isso
ocorre, o diagrama das tensões vs. deformações é uma reta. Assim, considera-se que o
material apresenta comportamento linear. Quando não ocorre essa proporcionalidade devido à
alguma característica do material, tem-se a não linearidade física.
Em alguns casos o material apresenta comportamento linear, mas está sujeito a um
carregamento que deforma a estrutura a ponto dessas deformações acarretarem esforços
adicionais a estrutura. Daí torna-se necessária a consideração da estrutura na sua forma
deformada para a análise estrutural. Quando isso ocorre, a relação entre tensão e deformação
deixa de ser linear. Nesse caso, ocorre a não linearidade geométrica.
2.2 Comportamento do concreto
O concreto armado resulta da associação entre dois materiais, o aço e o concreto,
e apresenta um comportamento de difícil descrição. O diagrama tensão deformação do
concreto não é linear e varia de acordo com a classe do concreto.
Considera-se que o concreto é um material elasto-plástico, apesar disso, para
tensões menores que 30% da sua tensão máxima de compressão, ele apresenta comportamento
elástico linear.
A NBR 6118 (ABNT, 2003) adota um diagrama simplificado para o
dimensionamento de peças de concreto de seção qualquer no estado limite último. A Figura
2.2 mostra esse diagrama.
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Figura 2.2-Diagrama simplificado para o dimensionamento de peças de concreto armado (NBR 6118 ABNT:
2003) .
Nesse diagrama, a primeira parte é uma parábola do 2º grau que vai de 0 a 2º/oo
nas abscissas e tem ordenada máxima 0,85.fcd . A segunda parte é um trecho reto com valores
de abscissas de 2º/oo a 3,5º/oo.
2.3 Linha elástica e curvatura
Scadelai (2004), em seu trabalho, demonstra que a curvatura, numa barra, pode
ser calculada em função da segunda derivada da linha elástica de acordo com a expressão
abaixo:
2/32
2
2
1
1
+
=
dx
dy
dx
yd
r ( 2.1)
É possível simplificar a expressão acima se considerarmos que as deformações na
barra são pequenas, sendo o valor dy/dx desprezível e conseqüentemente seu quadrado
também. Assim, a expressão simplificada fica na seguinte forma:
2
21
dx
yd
r= (2.2)
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Ainda em seu trabalho, Scadelai (2004) mostra que, em peças de concreto armado,
a curvatura pode ser calculada em função da deformação máxima no concreto e no aço de
acordo com a expressão abaixo:
drsc εε −
=1
(2.3)
Essa equação é válida para casos de flexão composta, considerando-se a validade
da lei de Bernoulli.
2.4 Relação momento curvatura
Se um material apresenta linearidade física, ele obedece a lei de Hooke e então a
curvatura relaciona-se ao momento da seguinte forma:
EI
M
r−=
1 (2.4)
Scadelai (2004) afirma em seu trabalho que se existe proporcionalidade entre
tensões e deformações num material (ou seja, o material apresenta linearidade física), a
curvatura é proporcional ao momento interno. Caso contrário, se no material não houver
proporcionalidade entre tensões e deformações, a relação entre o momento interno e a
curvatura não é linear. A figura abaixo representa os dois casos:
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Figura 2.3 – Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais elásticos (SCADELAI: 2004).
Figura 2.4 – Relação entre o momento interno e a curvatura para materiais inelásticos (SCADELAI: 2004).
Ainda segundo Scadelai (2004), o cálculo do momento externo pode ser realizado
pela equação da linha elástica na sua forma reduzida ou completa tanto para casos de
compressão simples como de flexão composta, entretanto, apenas com a equação completa é
possível calcular esse momento levando em consideração os efeitos de segunda ordem.
Em casos de flexão composta, pode-se usar a forma reduzida e encontrar esses
momentos considerando os efeitos de segunda ordem, contudo, os deslocamentos de segunda
ordem usados no processo não são reais. As figuras 2.5 e 2.6 mostram a relação entre o
momento externo e a curvatura para os casos descritos acima.
18
Figura 2.5 – Relação entre momento externo e curvatura para flexo-compressão e compressão axial usando a equação completa (SCADELAI: 2004).
Figura 2.6 – Relação entre momento externo e curvatura para flexão composta usando a equação reduzida (SCADELAI: 2004).
2.5 Diagrama (M, N, 1/r)
Em seu trabalho Borges (1999 p. 34) faz a seguinte consideração sobre o assunto:
A análise de problemas de instabilidade, como de outros problemas da Engenharia, baseia-se em equações de equilíbrio e de compatibilidade. Essas equações referem-se a estados de deformação desde solicitações muito baixas até atingir a ruína, seja por esgotamento da resistência do concreto ou deformação excessiva da armadura, seja por perda de estabilidade. Isso se dá porque os diagramas numa seção podem não pertencer aos domínios de deformação, mas serem constituídos por uma reta qualquer correspondente a uma situação de serviço ou a uma fase intermediária entre uma situação de serviço e uma de ruína.
Scadelai (2003 p. 20) faz outra consideração importante:
A análise de pilares de concreto armado submetidos à flexo-compressão envolve a consideração da teoria de 2a ordem, sendo essencial definir uma relação entre a
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curvatura e os esforços, através de diagramas de interação força normal - momento fletor - curvatura. Esses diagramas são a ferramenta básica de qualquer cálculo de verificação da estabilidade.
Utiliza-se a metodologia do trabalho de Borges (1999) para obter-se o diagrama
(M, N, 1/r):
Admitindo-se um pilar esbelto de concreto armado, sendo conhecidos: dimensões,
quantidade e distribuição da armadura, tipo de aço e concreto e vinculações, sujeito a força de
compressão excêntrica N. Determina-se o máximo momento interno que a seção pode
desenvolver em função da curvatura da deformada naquela mesma seção.
Figura 2.7 – Seção genérica de concreto armado (SCADELAI: 2004).
Seja a seção fletida da figura 2.7 com armadura conhecida. Rearranjando a eq. que
relaciona curvatura e deformações, tem-se:
drsc ||||1 εε −
= (2.5)
Por semelhança de triângulos:
||||r
ycoc += εε (2.6)
||||r
ycos −= εε (2.7)
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Para atingir-se o estado limite último devem-se ultrapassar os seguintes limites:
ooc
oc r
y/º5,3|||| ≤+= εε (2.8)
ooc
os r
y/º10|||| ≤−= εε (2.9)
Portanto, a seção, para uma dada curvatura 1/r, terá capacidade resistente
enquanto não se chegar a um valor (εo)máx que faça ser atingida, no concreto ou no aço, suas
deformações específicas limites. Assim, para cada par de valores (1/r, εo) têm-se definidos os
valores de cálculo dos esforços Nd e Md capazes de serem resistidos pela seção.
Assim, para cada curvatura arbitrada (1/ri), determinam-se os vários pares de
valores (Md, Nd) correspondentes a essa curvatura, ou seja, obtém-se, para uma dada
curvatura, os grupos de valores (1/ri, Md, Nd), referentes às variações de εo, até se atingir
εo,máx. Com isso, tem-se conhecido o terno (M,N,1/r). Adotando-se outros valores da curvatura
e mantendo-se fixos os demais dados, obtém-se o diagrama (M,N,1/r).
2.6 Efeitos de segunda ordem
Efeitos de segunda ordem são os esforços resultantes da deformação da estrutura,
esses efeitos conduzem à não linearidade entre ações e deformações. Chamam-se essas não
linearidades de geométrica.
Sob atuação das ações, os nós da estrutura se deslocam na direção horizontal,
nesse caso têm-se os efeitos globais de segunda ordem. Na estrutura, algumas barras
apresentam desvios no eixo, nesse caso têm-se efeitos locais de segunda ordem.
A NBR 6118 (ABNT, 2003) define estruturas de nós fixos como aquelas aonde os
deslocamentos horizontais dos nós da estruturas são suficientemente pequenos para que os
efeitos causados por eles (efeitos globais de segunda ordem) sejam desprezíveis. Nesse caso,
consideram-se apenas os efeitos locais de segunda ordem para análise estrutural.
Se os deslocamentos não forem desprezíveis, os efeitos globais de segunda ordem
não podem ser desprezados. Nesse caso, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2003), a estrutura é
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classificada como estrutura de nós móveis. Assim, consideram-se os efeitos de segunda ordem
locais e globais.
Segundo Scadelai (2004), nas estruturas de nós fixos, permite-se considerar
isoladamente cada elemento comprimido, como barra vinculada nas extremidades aos demais
elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da
estrutura segundo a teoria de 1a ordem. Submetida às ações horizontais, a estrutura é sempre
calculada como deslocável. O fato de a estrutura ser classificada como sendo de nós fixos
dispensa apenas a consideração dos esforços globais de 2a ordem, mas não sua análise como
estrutura deslocável.
A NBR 6118:2003 considera elementos isolados:
a) os elementos estruturais isostáticos;
b) os elementos contraventados;
c) os elementos das estruturas de contraventamento de nós fixos;
d) os elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis desde que, aos
esforços nas extremidades, obtidos numa análise de 1a ordem, sejam acrescentados os
determinados por análise global de 2a ordem.
22
3 DIMENSIONAMENTO DE PILARES
Pinheiro (2007) define pilar com elementos estruturais lineares de eixo reto,
usualmente disposto na vertical, em que as forças normais de compressão são preponderantes
e cuja função principal é receber as ações atuantes nos diversos níveis e conduzi-las até as
fundações.
No dimensionamento de pilares, a determinação de suas características
geométricas é um dos pontos iniciais.
3.1 Dimensões mínimas
A NBR 6118 (ABNT, 2003), no seu item 13.2.3, estabelece que a seção
transversal dos pilares, qualquer que seja a sua forma, não deve apresentar dimensão menor
que 19 cm. Em alguns casos, permitem-se dimensões entre 19 cm e 12 cm, desde que no
dimensionamento se multipliquem as ações por um coeficiente adicional dado por:
bn ⋅−= 05,095,1γ (3.1)
b é o menor lado da seção do pilar.
Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn em função de b (NBR 6118 ABNT: 2003)
b (cm) 19 18 17 16 15 14 13 12
nγ 1000 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35
Em qualquer caso, não se permite pilar com área de seção transversal menor que
360 cm2.
3.2 Comprimento equivalente
23
A NBR 6118 (ABNT, 2003) define comprimento equivalente (le) do pilar, suposto
vinculado em ambas extremidades, como o menor dos valores:
+≤
l
hll oe (3.2)
lo é a distancia entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos
horizontais, que vinculam o pilar;
h é a altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura;
l é a distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está
vinculado.
Para pilares engastados:
lle ⋅= 2 (3.3)
3.3 Raio de giração
É a raiz quadrada da razão entre o momento de inércia e a área da seção
transversal.
A
Ii = (3.4)
Para seção transversal retangular:
12
hi = (3.5)
24
3.4 Índice de esbeltez
É a relação entre o comprimento equivalente e o raio de giração.
i
l e=λ (3.6)
3.5 Classificação dos pilares
3.5.1 Classificação quando às solicitações iniciais
Quanto à solicitação os pilares podem ser internos, de borda ou de canto, sendo
que o primeiro não apresenta excentricidade inicial, estando este submetido à compressão
simples; no segundo, há excentricidade inicial em uma direção, estando submetido à flexão
composta normal; e no último, ocorrem excentricidades nas duas direções, estando submetido
à flexão composta oblíqua.
3.5.2 Classificação quanto à esbeltez
Segundo Pinheiro (2007) quanto à esbeltez, podem-se classificar os pilares em:
a) Pouco esbeltos λ < λ1;
b) Esbeltez média λ1<λ<90;
c) Esbeltos 90 <λ< 140;
d) Excessivamente esbeltos 140 < λ<200.
25
3.6 Excentricidade de 1ª ordem
3.6.1 Excentricidade inicial
A excentricidade inicial, oriunda das ligações dos pilares com as vigas nelas
interrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto. As excentricidades iniciais no topo e na
base são obtidas pelas equações 3.7 e 3.8, levando em consideração as ações em cada tramo
do pilar:
N
Me topo
topoi =, (3.7)
N
Me base
basei =, (3.8)
Figura 3.1 – Cargas e excentricidades iniciais no topo e na base dos pilares (SCADELAI: 2004).
Os momentos são calculados considerando a figura 3.2:
26
Figura 3.2 – Esquema estrutural para o cálculo dos momentos no topo e na base do pilar (SCADELAI: 2004).
Em casos onde não se tenha um estudo rigoroso da influência da solidariedade das
vigas com os pilares, pode-se considerar o momento nos apoios extremos como o momento de
engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes abaixo:
a) Viga:
supinf
supinf
334
33
rrr
rr
vig ++
+ (3.9)
b) Tramo superior do pilar:
supinf
sup
334
3
rrr
r
vig ++ (3.10)
c) Tramo inferior do pilar:
supinf
inf
334
3
rrr
r
vig ++ (3.11)
d) ri é a rigidez do elemento i no nó em questão, dada pela seguinte equação:
27
i
ii l
Ir = (3.12)
3.6.2 Excentricidade acidental
As imperfeições de eixo dos elementos na estrutura descarregada podem ser
classificadas em globais e locais. Essas imperfeições não são consideradas pelos coeficientes
de segurança, portanto devem ser consideradas explicitamente devidas sua grande influência
na estabilidade da construção.
3.6.2.1 Imperfeições globais
Dever ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a
figura abaixo:
Figura 3.3 – Desaprumo do prédio (SCADELAI: 2004).
l100
11 =θ (3.13)
28
2
11
1na+
= θθ (3.14)
l é a altura total da estrutura (em metros);
n é o número total de elementos verticais contínuos;
θ1min = 1/400 para estruturas de nós fixos ou 1/300 para estruturas de nós móveis
e imperfeições locais.
O valor máximo de θ1 será de 1/200.
3.6.2.2 Imperfeições locais
Para verificação de um lance de pilar, deve ser considerado o efeito do desaprumo
ou falta de retilinidade do eixo do pilar. Usualmente, basta considerar o segundo caso.
29
Figura 3.4 – Imperfeições locais (PINHEIRO: 2007).
Para pilar em balanço, basta considerar o desaprumo:
lea ⋅= 1θ (3.15)
3.6.2.3 Momento mínimo
É dado pela seguinte expressão:
)03,0015,0(min,1 hNM dd +⋅= (3.16)
30
Usualmente, admiti-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido, se for
respeitado esse valor de momento mínimo. Para pilares submetidos à flexão oblíqua
composta, esse valor deve ser respeitado em cada uma das direções separadamente.
3.6.3 Excentricidade de forma
Ocorre quando os eixos baricêntricos das vigas não passam pelo centro de
gravidade da seção transversal do pilar, as reações da viga apresentam excentricidades que
são denominadas excentricidades de forma.
3.6.4 Excentricidade suplementar
Leva em conta o efeito da fluência, sendo obrigatória a sua consideração para
pilares com esbeltez maior que noventa. Em sua apostila, Pinheiro (2007) apresenta a seguinte
formulação simplificada para seu cálculo:
−
+= − 1718,2 sge
sg
NN
N
asg
sgc e
N
Me
ϕ
(3.17)
⋅⋅=
2
10
el
IEN cci
e (3.18)
a) Msg e Nsg são, respectivamente, o momento e a normal com a combinação quase
permanente;
b) φ é o coeficiente de fluência;
c) Ne é a força de flambagem de Euler;
d) Ic é o momento de inércia no estádio I;
e) ea é a excentricidade acidental;
31
f) Eci é o módulo de elasticidade secante do concreto.
3.7 Esbeltez limite
Segundo a NBR 6118 (ANBT, 2003), os efeitos de 2ª ordem locais em elementos
isolados, podem ser desprezados quando o índice de esbeltez for menor que um valor limite,
definido pelas expressões:
b
he
αλ )/.5,1225( 1
1
+= (3.19)
9035
1 ≤≤ λα b
(3.20)
Onde e1 é igual ao menor valor da excentricidade de 1ª ordem, no trecho
considerado.
O coeficiente αb é calculado conforme as equações abaixo:
a) Caso 01 – Pilares biapoiados sem forças transversais:
4,0)(4,06,0 ≥⋅+=a
bb M
Mα (3.21)
4,01 ≤≤ bα (3.22)
Ma é o momento fletor de 1ª ordem no extremo A do pilar (maior valor absoluto
ao longo do pilar biapoiado).
Mb é o momento fletor de 1ª ordem no outro extremo B do pilar (toma-se para Mb
o sinal positivo se tracionar a mesma face que Ma e negativo em caso contrario).
32
Figura 3.5 – Pilar biapoiado do caso 01.
b) Caso 02 – Pilares biapoiados com forças transversais significativas, ao longo da altura
1=bα (3.23)
c) Caso 03 –Pilares em balanço
85,0)(2,08,0 ≥⋅+=a
cb M
Mα (3.24)
85,00,1 ≤≤ bα (3.25)
Ma é o momento fletor de 1ª ordem no engaste;
Mc é o momento fletor de 1ª ordem no meio do pilar em balanço.
33
Figura 3.6 – Pilar engastado para o caso 03.
d) Pilares biapoiados ou em balanço com momentos fletores menores que o momento
mínimo
1=bα (3.26)
3.8 Excentricidade de segunda ordem
Excentricidades de segunda ordem são as deformações geradas pelas forças que
atuam na configuração indeformada da estrutura, a determinação dos efeitos gerados por essa
excentricidade pode ser feita através dos métodos da NBR 6118 (ABNR, 2003).
34
4 MÉTODOS PARA A CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS DE SEGUNDA ORDEM
Agora, serão mostrados os métodos que a NBR 6118 (ABNT, 2003) apresenta
para a consideração dos efeitos de segunda ordem.
4.1 Método geral
Segundo Scadelai (2004), o método geral consiste em efetuar uma análise não-
linear de 2ª ordem, com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-
curvatura real em cada seção e consideração não aproximada da não linearidade geométrica.
Para Pinheiro (2007), esse método justifica sua utilização pela qualidade dos
resultados, que retratam com maior precisão o comportamento real da estrutura, pois
considera a não-linearidade geométrica, de maneira bastante precisa. Além disso, é aplicável a
qualquer tipo de pilar.
Apesar de apresentar ótimos resultados, a aplicação do método geral é trabalhosa,
pois requer a solução numérica de equações diferenciais. Assim, sua aplicação requer o uso de
softwares.
O método geral estuda o comportamento da barra à medida que se dá o aumento
da carga aplicada ou de sua excentricidade, determinando seus valores críticos. Além disso,
ele considera que a curvatura é igual à segunda derivada da linha elástica. Como a aplicação
do método depende da discretização da barra, a qualidade de seus resultados será melhor
quanto mais a barra apresentar subdivisões.
A análise por carregamentos sucessivos ocorre por etapas. Nela aplica-se uma
carga por incrementos progressivos em cada etapa e calcula-se o deslocamento característico
do efeito de 2ª ordem, que entra no cálculo do momento da próxima etapa. No diagrama
abaixo, o valor assintótico desse processo é o carregamento crítico.
35
Figura 4.1 –Método geral por carregamentos sucessivos (SCADELAI: 2004).
Nessa análise, podem-se utilizar os diagramas (M, N, 1/r) para o cálculo dos
deslocamentos.
No processo por acréscimos de excentricidades, as etapas são as mesmas, no
entanto, adotam-se cargas constantes e excentricidades de 1ª ordem variáveis. No diagrama
abaixo o valor assintótico é a excentricidade crítica.
Figura 4.2 – Método geral por excentricidades sucessivas (SCADELAI: 2004).
4.1.1 Formulação do método
Ao receber uma carga, o pilar se deforma e gera um momento adicional Nd.y, que
provoca novas deformações e novos esforços. Se o pilar conseguir resistir às solicitações
externas, o processo continua até que se encontre um equilíbrio entre as ações externas e as
forças resistentes no pilar (para todas as seções). No caso de forças externas maiores que as
resistentes, ocorre a perda de estabilidade.
36
Banki (2004 apud Scadelai 2004), em seu trabalho, apresenta um roteiro para
aplicar o método geral:
a) Divide-se o pilar em n trechos de comprimento:
nLx /=∆ (4.1)
b) Arbitra-se um valor para a flecha a:
ay =0 (4.2)
c) Conhecendo-se a força normal Nd, calcula-se o momento de 2ª ordem no engastamento:
aNM ddo ⋅=2 (4.3)
Conhecendo-se a excentricidade inicial e1, calcula-se o momento fletor total na
seção engastada:
dd MMM 210 += (4.4)
d) A partir do diagrama (µ, ν, 1/r), para ω, ν, e µo conhecidos, obtém-se a correspondente
curvatura 1/ro.
e) Usando-se a fórmula aproximada da curvatura e com o emprego das diferenças finitas,
obtém-se y1:
ooo
o yr
xy
rx
yyy
dx
yd +
⋅∆−=∴
−=∆+⋅−=
1
2
12 2
1211
2
2
(4.5)
f) De posse de y1, repete-se o processo a partir do item c:
112 )( yNM dd ⋅= (4.6)
37
1211 )( mmM += (4.7)
g) Utilizando novamente o diagrama (µ, ν, 1/r), obtém-se a curvatura (1/r)1.
h) Calcula-se y2 através da expressão:
11
22
12
212
21122
yr
xyrx
yyy
dx
yd o ⋅+
⋅∆−=∴
−=∆+⋅−=
(4.8)
i) Continua-se o processo para as demais seções utilizando-se a expressão genérica.
iiii r
xyyy
⋅∆−−⋅= −+
12 2
11 (4.9)
j) Chegando-se à seção do topo deve-se ter yn = 0; caso contrário, recomeçam-se as
tentativas arbitrando-se novo valor da flecha a.
A Figura 4.3 ilustra o método:
Figura 4.3 – Deformada estável (SCADELAI: 2004).
38
4.2 Métodos aproximados
Os métodos aproximados apresentam a vantagem de maior praticidade em sua
aplicação, não sendo necessitando do uso de computador, entretanto, sua aplicação exige que
várias condições sejam satisfeitas.
Segundo Araújo. (2007 p. 7), as normas adotam dois tipos básicos de métodos
simplificados para o dimensionamento de pilares de concreto armado, sendo o primeiro:
Em um primeiro tipo de formulação arbitra-se uma configuração deformada para o eixo do pilar, bem como a curvatura máxima na seção crítica. Com isto, obtém-se uma expressão para a excentricidade de segunda ordem e pode-se calcular o momento fletor máximo para o dimensionamento.
Araújo.(2007 p. 7) define, no mesmo trabalho, o segundo tipo como:
Em um segundo tipo de formulação, resolve-se a estrutura de maneira exata, considerando um comportamento elástico linear do material. Para isto, arbitra-se uma rigidez à flexão equivalente e obtém-se o momento fletor máximo para o dimensionamento.
4.2.1 Pilar padrão
Segundo Pinheiro (2007), é um pilar em balanço com uma distribuição de
curvaturas que provoquem, na sua extremidade livre, uma flecha (a) dada por:
base
e
baser
l
r
la
⋅=
⋅= 1
104,0
22
(4.10)
Demonstra-se a expressão de acordo com a formulação do mesmo autor segundo a
figura abaixo:
39
Figura 4.4 – Elástica do pilar padrão (PINHEIRO: 2007).
Assim, tem-se:
⋅−= xll
ayππ
cos.' (4.11)
⋅= xl
senl
ayππ
.''2
(4.12)
Como:
2
21
dy
xd
r= (4.13)
Para seção média, tem-se:
( ) 2
2/2/
''1
⋅==
=
=l
ayr lx
lx
π (4.14)
Assim, a flecha máxima pode ser:
2/2
2 1
lxr
la
=
⋅=π
4.15)
40
Para o caso do pilar em balanço, tem-se:
base
e
r
la
⋅= 1
10
2
(4.16)
Em que π2 = 10.
O momento total é obtido a partir da flecha máxima:
aNM base ⋅=,2 (4.17)
base
ebase r
lNM
⋅⋅= 1
10
2
,2 (4.18)
4.2.2 Método da curvatura aproximada
O método é válido para pilares com esbeltez menor que 90, seção transversal
constante e armadura simétrica e constante ao logo do pilar. A não linearidade geométrica é
aproximada por uma configuração deformada seinodal da barra. Uma expressão para
curvatura na seção crítica aproxima a não linearidade física. A excentricidade de segunda
ordem é dada por:
r
le e 1
10
2
2 ⋅= (4.19)
A curvatura é aproximada pela seguinte expressão:
hhr
005,0
)5,0(
005,01 ≤+
=ν
(4.20)
41
Aonde h é a altura de seção transversal e ν é a força normal adimensional dada
por:
Ade
dAdbtotd Mr
lNMM ,1
2
,1,
1
10≥
⋅⋅+= α (4.21)
4.2.3 Método da rigidez κ aproximada
Esse método é válido para pilares retangulares de seção transversal constante, com
esbeltez menor que 90 e armadura constante e simétrica ao longo do pilar. Nesse método, a
não linearidade geométrica é considerada através uma deformação senoidal da barra e a não
linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da rigidez. Assim o
momento total é dado por:
AdAdb
totd MM
M ,1,1
,
1201
≥⋅−
=
νκλ
α (4.22)
E a rigidez k é dada por:
νκ ⋅
⋅⋅+⋅=d
totd
Nh
M ,5132 (4.23)
Como o momento depende da rigidez, na primeira expressão, e a rigidez depende
o momento, na segunda expressão, a NBR 6118 (ABNT, 2003) propõe um método iterativo
para obtenção desse momento, entretanto, existe um método direto para sua obtenção.
4.2.3.1 Método da rigidez aproximada pelo método direto
42
Banki (2004 apud Scadelai 2004) apresenta uma formulação direta da seguinte
forma:
Substituindo a equação da rigidez na equação do momento total e considerando:
3840
12
1
λκ −= (4.24)
Tem-se:
( ) 055 ,1,1 ,1=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅
⋅⋅ AdbdtotdMbddtot MNhMNhKMAd
αα (4.25)
Resolvendo-se a equação, obtém-se:
( )10
252105 2121
221 MkNhMkkM
M ddtot
⋅+−⋅⋅⋅⋅++−⋅= (4.26)
Aonde
M1 = αb . M1d,A (4.27)
e
k2 = k1 . h . Nd (4.28)
4.2.4 Pilares retangulares submetidos à flexão composta oblíqua
Nesse caso, pode-se aplicar o método da rigidez k nas duas direções, desde que a
esbeltez seja menor que 90.
43
Devem ser verificados se os momentos de 1ª e 2ª ordem obtidos estão contidos na
envoltória de momentos resistentes para a armadura escolhida.
4.2.5 Cálculo simplificado
Para Pinheiro (2007), quando a força normal reduzida ν for maior ou igual a 0,7.
Pode-se considerar o caso como de compressão centrada equivalente da seguinte forma:
⋅+⋅=h
eNN sdedsd β1, (4.29)
MSd,eq = 0 (4.30)
cdc
sd
fA
N=ν (4.31)
hN
M
h
e
sd
sd= (4.32)
h
d'8,0)01,039,0(
12
⋅−⋅+=
αβ (4.33)
Sendo o valor de α dado por:
α = -1/αS, se αS < 1 em seções retangulares;
α = αS, se αS ≥ 1 em seções retangulares;
α = 6, se αS > 6 em seções retangulares;
α = -4, em seções circulares.
Sendo, ainda:
44
)1(
)1(
−
−=
v
hs n
nα (4.34)
A disposição da armadura na seção deve seguir fielmente as considerações de
cálculo.
Figura 4.5 – Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs(Figura 17.2 da NBR 6118 ABNT: 2003).
4.2.6 Flexão composta oblíqua
Ainda segundo Pinheiro (2007), a expressão abaixo representa outro método para
considerar a flexão oblíqua simples ou composta:
1,
,
,
, =
+
αα
yRd
yRd
xxRd
xRd
M
M
M
M (4.35)
MRd,x; MRd,y são as componentes do momento resistente de cálculo em flexão
oblíqua composta, segundo os dois eixos principais de inércia x e y, da seção bruta, com um
45
esforço normal resistente de cálculo NRd igual à normal solicitante NSd. Esses são os valores
que se deseja obter;
MRd,xx; MRd,yy são os momentos resistentes de cálculo segundo cada um dos
referidos eixos em flexão composta normal, com o mesmo valor de NRd. Esses valores são
calculados a partir do arranjo e da quantidade de armadura em estudo;
α é um expoente cujo valor depende de vários fatores, entre eles o valor da força
normal, a forma da seção, o arranjo da armadura e de suas porcentagens. Em geral pode ser
adotado α = 1, a favor da segurança. No caso de seções retangulares, pode-se adotar α = 1,2.
46
5 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM PROJETO DE PONTE
Denomina-se ponte a obra destinada a transposição de obstáculos à continuidade
do leito normal de uma via, tais como rios, braços de mar, vales profundos ou outras vias etc.
Dependendo do seu uso, podem ser classificadas em rodoviárias, ferroviárias ou passarelas.
Quando estão cruzando um rio, geralmente recebem a denominação de pontes. Se
estiverem cruzando uma área urbana podem receber o nome de viaduto e se estiverem
atravessando um pequeno córrego recebem o nome de galeria.
As pontes de uma maneira geral podem ser dividias em três partes principais:
infraestrutura, mesoestrutura e superestrutura:
a) Infraestrutura ou Fundação – Constituída pelos elementos que transmitem diretamente os
esforços ao solo. São portanto os blocos, sapatas, estacas ou tubulões e ainda as peças de
ligação destes elementos como os blocos de coroamento de conjunto de estacas e vigas de
rigidez.
b) Mesoestrutura – Constituída pelos elementos intermediários que transmitem os esforços
atuantes na pista de rolamento ou tabuleiro aos elementos da fundação. É constituída
normalmente por pilares isolados ou aporticados e de aparelhos de apoio metálicos ou de
borracha. A mesoestrutura sofre também ações diretas como a pressão do vento e da água em
movimento e eventualmente de empuxos de terra.
c) Superestrutura - Constituída basicamente pelos elementos que recebem diretamente a
carga útil da ponte como a laje do tabuleiro, vigas principais e secundárias.
5.1 Sistemas Estruturais
Quanto ao tipo estrutural, as pontes podem ser classificadas em:
a) laje;
b) vigas retas;
47
c) alma cheia;
d) treliça;
e) quadros rígidos;
f) arcos ou abóbadas;
g) pênseis ou suspensas.
5.1.1 Pontes em lajes
Sendo utilizadas para vãos pequenos, tem como sistema estrutural a própria laje,
sem vigamentos.
5.1.2 Pontes em vigas
Geralmente apresentam duas ou mais vigas longitudinais (longarinas ou vigas
principais) ligadas por vigas secundárias transversais (transversinas).
5.1.3 Pontes em arco
Apresentam um arco como estrutura principal. Nessas estruturas as solicitações
são transmitidas para os suportes por força de compressão axial no arco.
5.1.4 Pontes em pórtico
Nelas o tabuleiro e os pilares funcionam como um todo, havendo engastamento da
viga com os pilares e com os encontros.
48
5.1.5 Pontes estaiadas, suspensas ou pênseis
Nelas tabuleiro é apoiado pôr meio de cabos fixados em torres.
5.2 Cargas em pontes
5.2.1 Peso da Estrutura
Além das cargas externas atuantes na estrutura, a ponte deve também resistir a seu
próprio peso. O peso próprio depende do material empregado e das dimensões da ponte.
5.2.2 Cargas úteis
São as cargas dos veículos que cruzam a ponte. Deve-se considerar a influência do
movimento dessas cargas na estrutura, para isso usa-se o chamado coeficiente de impacto
vertical.
Essas cargas geram também esforços horizontais na estrutura devido à frenagem e
a aceleração dos carros. Em obras curvas ocorrem ainda esforços horizontais devido à força
centrífuga.
5.2.3 Elementos Naturais
Ocorrem devido à ação do vento, da água ou da terra, que geram pressões sobre a
estrutura quando estão em contato com ela.
49
5.2.4 Deformações internas
São originadas pelas deformações internas da estrutura que, por sua vez, resultam
de variações de temperatura, retração ou resultam da fluência.
5.2.5 Cargas especiais
Outras cargas também têm que ser consideradas:
a) Carga horizontal sobre guarda-corpos;
b) Carga horizontal sobre guarda-rodas ou barreiras de proteção;
c) Carga horizontal sobre pilares de viadutos, sujeitos a choques acidentais de veículos.
5.2.6 Carga Permanente
É a carga resultante do peso próprio de elementos da estrutura e de elementos
construtivos que ficam sobre a estrutura (pavimentação, guarda-corpo, postes).
Primeiramente, essas ações são calculadas baseadas na geometria inicial da ponte.
Se após o dimensionamento baseado em todas as cargas atuantes, for necessário mudar a
geometria inicial da ponte, deve-se verificar se é necessário o redimensionamento da ponte
baseado no novo peso próprio. Em casos onde esse novo peso próprio diferir menos de 5% do
inicial, não é necessário recalcular essa ponte.
5.2.7 Carga móvel
50
A consideração da carga móvel deveria considerar os máximos esforços para cada
carga móvel de acordo com sua posição, no entanto, isso é extremamente complicado. Assim,
adota-se uma simplificação utilizando-se o conceito de trem tipo.
Trem tipo de uma longarina é a carga móvel que leva em conta a geometria da
ponte, ele é posicionado transversalmente de forma a gerar esforços máximos na longarina em
questão. Numa ponte com duas longarinas, essa posição é a extremidade da seção transversal
(próxima ao guarda rodas).
Na direção longitudinal, o trem tipo pode ocupar qualquer posição. Assim é
necessário determinar, para cada seção da longarina, a posição da carga que gera o máximo
esforço, bem como o valor desse último. Esse processo é feito a partir da linha de influência.
Com os máximos valores para cada seção, determina-se a envoltória de esforços.
Assim, dimensiona-se a longarina a partir dessas (e por conseqüência, com os maiores
esforços possíveis) garantindo a segurança da longarina para qualquer posição da carga
móvel.
5.2.8 Trem tipo
A NBR 7188 (ABNT, 1984) define trem tipo como sistema de carga
representativo dos valores característicos provenientes do tráfego a que a estrutura está sujeita
em serviço.
Essa norma classifica as pontes de acordo com o trem tipo utilizado (de peso 450
kN, 300 kN ou 120 kN) no seu projeto.
Ainda segundo essa norma, os trens tipos compõem-se de um veículo e de cargas
uniformemente distribuídas. Apresentam-se as tabelas 5.1 e 5.2 e as figuras 5.1 e 5.2 aonde a
norma classifica os trens tipos e os descreve.
51
Tabela 5.1 – Cargas do veículos (NBR 7188 ABNT: 1984).
Veículo Carga Uniformemente distribuída
Peso total P P’ Classe da ponte Tipo
kN tf kN/m2 Kgf/m2 Kn/m2 Kgf/m2
Disposição de
carga
45 45 450 45 5 500 3 300 Carga p em
toda pista
30 30 300 30 5 500 3 300
12 12 120 12 4 400 3 300
Carga p’ nos
passeios
Aqui P é a carga devido aos outros veículos que trafegam na pista e P’ é a carga
devido aos pedestres.
Figura 5.1 – Trem tipo com o veículo e cargas distribuídas p e p’ (NBR 7188 ABNT: 1984).
Tabela 5.2 – Características dos veículos (NBR 7188 ABNT: 1984)
Unidade Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12
Quantidade de eixos Eixo 3 3 2
Peso total do veículo KN-tf 450-45 300-30 120-12
Peso de cada roda dianteira KN-tf 75-7,5 50-5 20-2
Peso de cada roda traseira KN-tf 75-7,5 50-5 40-4
Peso de cada roda intermediária KN-tf 75-7,5 50-5 -
Largura de contato b1 de cada roda dianteira m 0,50 0,40 0,20
Largura de contato b3 de cada roda traseira m 0,50 0,40 0,30
Peso b2 de cada roda intermediária m 0,50 0,40 -
Comprimento de contato de cada Roda m 0,20 0,20 0,20
Área de contato de cada roda m2 0,20 x b 0,20 x b 0,20 x b
Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00
Distância entre os centros de roda de cada eixo m 2,00 2,00 2,00
52
Figura 5.2 – Veículo do trem tipo (NBR 7188 ABNT: 1984)
Há ainda outra norma, que define os trens tipos para ferrovias. Nessa norma, os
trens tipos são classificados por eixo (Tb -360. Tb – 270, Tb - 240, Tb – 270). A figura 5.3
tabela 5.3 discriminam as características de cada um desses trens tipos:
Figura 5.3 – Trem tipo para ponte ferroviária (NBR 7189 ABNT: 1985).
Tabela 5.3 – Cargas do trem tipo (NBR 7189 ABNT: 1985)
TB Q (kN) q (kN/m) q’ (kN/m) a (m) b (m) c (m)
360 360 120 20 1,00 2,00 1,00
270 270 90 15 1,00 2,00 2,00
240 240 80 15 1,00 2,00 2,00
170 170 25 15 11,00 2,50 5,00
Q = carga por eixo;
53
q e q’ = cargas distribuídas na via, simulando, respectivamente, vagões carregados
e descarregados.
5.2.9 Linha de influência
Se f(x) é a linha de influência do esforço “E” na seção “S” da estrutura abaixo,
então a ordenada f(x) é o valor de “E” na seção “S” quando uma carga vertical unitária é
aplicada no ponto de abscissa x.
Linhas de influência de reações de apoio – viga biapoiada:
Figura 5.4 – Linha de influência para reação de apoio em um viga biapoiada.
Linha de influência de reações de apoio com balanço nas extremidades
54
Figura 5.5 – Linha de influência para reação de apoio de vigas com balanço
5.2.10 Impacto Vertical
Representa o aumento das cargas devido ao movimento das mesmas sobre a
estrutura, sendo causado pelos seguintes fatores:
a) Efeito do deslocamento das cargas;
b) Irregularidades no pavimento.
Sua determinação é feita experimentalmente através da determinação dos
coeficientes de impacto, que representam os aumentos relativos dos efeitos elásticos
provocados pelo deslocamento de cargas. Sua fórmula, empírica, é dada por:
L⋅−= %7,04,1ϕ (5.1)
Aqui L é o vão (em metros) do tramo considerado. Para vãos simplesmente
apoiados, L é o próprio vão teórico. Para vigas contínuas, com ou sem articulações, aonde o
menor vão é no mínimo 0,7 do maior, considera-se L como média aritmética de todos os vãos.
Para balanços, adota-se L como o dobro do comprimento do balanço.
Esse efeito não é considerado nas ações das cargas móveis sobre o solo, nem no
caso de encontros entre pilares e fundações e nem nas cargas dos pedestres (atuantes sobre o
passeio) devido a sua pequena influência nesses casos.
55
5.2.11 Cálculo do trem tipo utilizando a linha de influência
Para esse cálculo, posiciona-se veículo na posição mais desfavorável da seção
transversal, colocando-se a primeira roda do veículo próximo ao guarda roda e a outra roda
2m afasta da primeira (distancia entre rodas).
Figura 5.6 - Veículo na posição mais desfavorável na seção transversal de uma ponte.
P e P’ são, respectivamente, a multidão que atravessa a ponte e as cargas
adicionais que representam veículos mais leves que ao mesmo tempo estão utilizando a ponte,
em uma faixa secundária.
Para calcular a influência das cargas do veículo tipo nas vigas, utiliza-se o
processo de Linha de Influência, através do cálculo da máxima reação de apoio.
56
Figura 5.7 – Influência do veículo tipo nas vigas.
Com isso monta-se o trem tipo longitudinal da seguinte forma:
R = ( Peso Total do Veículo Tipo / 6 ) . ( n3 + n4) = ..... KN
m1 = P (carga dos veículos adicionais) . A1 = ..... KN/m
m2 = P’ (passeio) . A2 = .... KN/m
Cada um desses parâmetros é multiplicado pelo coeficiente de impacto vertical
(φ).
Figura 5.8 – Trem tipo(vista longitudinal).
57
Após obter o valor das cargas do Trem-Tipo, podem-se calcular as reações e os
esforços máximos e mínimos que estão atuando na ponte, em relação à carga móvel.
Para isso, deve ser utilizado o processo de linha de influência, na vista
longitudinal da ponte da seguinte forma:
a) Colocam-se cada uma das forças concentradas R nas 3 ordenadas máximas da
linha de influência da seção examinada respeitando o espaçamento de 1,5m entre elas;
b) Colocam-se as cargas m1 e m2 através da vista longitudinal do trem tipo;
c) Multiplica-se cada carga concentrada por sua ordenada e cada carga m por sua
área de influência;
d) Somam-se todas essas influências e multiplica-se o resultado pelo coeficiente
de impacto para obter a reação na seção escolhida.
Posicionando o trem na parte positiva do diagrama, tem-se os valores de reação
positiva e posicionando-o na parte negativa tem-se os valores de reação negativa.
O ideal é se fazer diagramas de Linha de Influência para várias seções, pois dessa
forma estará se aplicando o conceito de carga móvel.
Após a obtenção dos esforços máximos e mínimos, para as n seções, tem-se que
fazer uma Envoltória desses resultados, para finalmente chegar nos valores mais
desfavoráveis para o dimensionamento.
5.2.12 Frenagem e aceleração
Esses esforços seguem a seguinte fórmula:
g
aQamF ⋅=⋅= (5.2)
m é a massa do veículo;
a é a aceleração do veículo;
58
Q é o peso do veículo;
g é a aceleração da gravidade.
Considerando-se a aceleração constante, a força representará uma fração do peso
no veículo. Assim, para pontes rodoviárias tem-se o seguinte:
a) Aceleração – 5% da carga móvel aplicada sobre o tabuleiro;
b) Frenagem – 30% do peso do veículo tipo.
No caso de pontes ferroviárias:
a) Aceleração – 25% do peso dos motores:
b) Frenagem – 15% da carga sobre o tabuleiro.
Esses esforços se referem ao peso do veículo sem a aplicação do coeficiente de
impacto vertical, pois se considera aplicado sobre uma superfície lisa.
5.2.13 Força do vento
Essa carga, considerada horizontal e normal ao eixo da ponte, é representada por
uma pressão horizontal média de:
a) Ponte descarregada: 150 kgf/m2;
b) Ponte carregada: 100 kgf/m2;
c) Passarela de pedestres: 70 kgf/m2.
5.2.14 Empuxo de Terra
59
É a força resultante do contato do solo com a estrutura. Numa ponte, pode-se
considerar a sua atuação na cortina e nos pilares.
Figura 5.9 –Empuxo de terra numa ponte.
Empuxo de terra na cortina devido ao solo (Eg1);
Empuxo de terra na cortina devido carga móvel (Eg3);
Empuxo de terra no pilar (Eg2).
221 2
1hKEgEg a ⋅⋅⋅== γ
(5.3)
hqKEg a ⋅⋅=3 (5.4)
Coeficiente te impulso ativo do solo;
−=2
452 ϕtgKa (5.5)
60
φ é o ângulo de atrito interno do solo.
Largura de cálculo do pilar para empuxo:
Figura 5.10 – Largura de cálculo de um pilar para determinação do empuxo atuante.
Tabela 5.4 – Relação entre a largura real e a largura de cálculo do pilar.
Largura real Largura de cálculo
b < 1m 3b
1m<b<3m 3m
b>3m b
5.2.15 Ação dinâmica da água
É dada pela seguinte fórmula:
2vkq ⋅= (5.6)
k é o fator de forma;
61
v é a velocidade da água;
Figura 5.11 – Fator de forma para cada tipo de seção transversal do pilar.
5.2.16 Esforços devido à variação de temperatura e à retração
Quando submetida a uma variação da temperatura, a estrutura sofre uma variação
de comprimento dada por:
TLx ∆⋅⋅=∆ α (5.7)
α é o coeficiente de dilatação linear do concreto;
∆T é a variação de temperatura;
Na estrutura, há um ponto indeslocável que é o centro de massa das rigidezes. O
deslocamento do topo de cada pilar é dado por:
xLx ⋅⋅=∆ α (5.8)
Aonde x é a distância entre o ponto indeslocável e o topo do pilar.
62
O efeito da retração é considerado pela variação de -15ºC na estrutura.
5.3 Esforços atuantes nos pilares.
Os pilares recebem o peso próprio da superestrutura (carga permanente) e os
esforços resultantes da carga móvel. Para contabilizar essa carga permanente, o peso próprio
de cada elemento da superestrutura deve ser calculado, para contabilizar a carga móvel, deve-
se usar o processo do trem tipo, na direção longitudinal, com a linha de influência para os
apoios da ponte.
É necessário considerar a distribuição, nos pilares, dos diversos tipos de ações de
direção horizontal que agem na superestrutura, ações estas representadas principalmente por:
a) Frenagem ou aceleração;
b) Variação de temperatura;
c) Vento;
d) Protensão;
e) Retração do concreto;
f) Fluência do concreto;
g) Empuxos de terra.
Pode acorrer a necessidade de considerar a distribuição de ações horizontais que
atuam diretamente nos elementos da meso-estrutura:
a) Vento;
b) Empuxos de terra;
c) Ação da corrente líquida;
d) Choques diversos (veículos, embarcações, etc).
5.4 Cálculo da rigidez de pilares de concreto armado
63
Esse parâmetro é muito importante para a distribuição dos esforços nos pilares.
Considerando uma barra AB, de material homogêneo e com eixo vertical, de comprimento L,
engastada na base e livre no topo, e admitindo regime de elasticidade do material que a
constitui, seja D o deslocamento produzido por uma força H aplicada na seção do topo, com
linha de ação normal ao eixo da barra. Admitindo que ao longo do comprimento L da barra as
seções tenham os respectivos eixos centrais de inércia situados em planos verticais, a força H
produzirá flexão reta na barra e o deslocamento D ficará situado na linha de ação da força H.
Figura 5.12 –Deslocamento (D) provocado pela força (H)
Dependendo da relação entre o H e o D, têm-se duas relações possíveis. Ou o
deslocamento é proporcional à força, ou ocorre o contrário. Do primeiro caso, tira-se a
definição de flexibilidade que é numericamente igual ao deslocamento provocado pela
aplicação de uma força unitária no topo da barra.
HD ≈ (5.9)
HfD ⋅= (5.10)
Se F = 1, D = f.
64
No segundo caso, obtém-se a definição de rigidez que é numericamente igual à
força que, aplicada na seção do topo da barra e nas condições indicadas, provoca um
deslocamento unitário nesse topo.
DH ≈ (5.11)
DKH ⋅= (5.12)
Se D = 1, H = K. (5.13)
Das expressões anteriores, deduz-se imediatamente:
Kf
1= (5.14)
E
fK
1= (5.15)
5.4.1 Coeficiente de rigidez global
Para a determinação do coeficiente de rigidez final do pilar, o qual será designado
por “coeficiente de rigidez global”, devem-se levar em conta os coeficientes de rigidez do
aparelho de apoio e da fundação do pilar juntamente com o do pilar.
5.4.2 Coeficiente de Rigidez do Apoio
Para os tipos de aparelhos de apoio mais usuais em pontes tem-se:
65
a) Aparelho de apoio móvel:
0=nK (5.16)
b) Aparelho de apoio fixo:
∞=nK (5.17)
c) Aparelho de apoio de neoprene:
e
AGK n
⋅= (5.18)
Sendo:
G = módulo de elasticidade transversal do neoprene (em geral, com valor de 10 a
12 kgf/cm2);
A = área das placas de neoprene;
e = espessura do neoprene.
5.4.3 Coeficiente de Rigidez da Função
Depende da solução utilizada no projeto da ponte para essa fundação (se é
superficial ou profunda) e do tipo de solo.
5.4.4 Dedução do coeficiente de Rigidez Global
De acordo com a figura 5.13:
66
Figura 5.13 – Deslocamento total no topo do pilar.
Define-se:
npf DDDD ++= (5.19)
D=deslocamento total da superestrutura, em correspondência ao pilar
Considerado:
Df = parcela de deslocamento devida ao recalque da fundação;
Dp = parcela de deslocamento devida à flexão do fuste do pilar;
Dn = parcela de deslocamento devida à deformação do aparelho de apoio de
neoprene.
Portanto:
ff K
HD = (5.20)
pp K
HD = (5.21)
nn K
HD = (5.22)
67
Designado por K o coeficiente de rigidez global do pilar, deve ser:
K
HD = (5.23)
Igualando a expressão para o deslocamento total com as expressões para o
deslocamento de cada um dos componentes:
npf K
H
K
H
K
H
K
H++= (5.24)
Ou
npf KKKK
1111++= (5.25)
Expressão que permite determinar o coeficiente de rigidez global do pilar.
5.5 Distribuição dos esforços longitudinais por pilar
Os esforços longitudinais se dividem entre os pilares de acordo com sua rigidez.
Assim, a força atuante no tabuleiro acarretará a seguinte força em cada pilar:
FK
KF i
i ⋅=∑ (5.26)
Se em cada linha de apoio, houver mais de um pilar, divide-se essa força pelo
numero de pilares da linha de apoio.
68
5.6 Distribuição dos esforços transversais por pilar
Na direção transversal, geralmente os pilares estão ligados por uma viga
formando, portanto, pórticos nessa direção. Quando ocorre uma solicitação transversal, se
cada pórtico tiver a mesma rigidez, o tabuleiro sofrerá apenas translação, pois o centro de
massa das rigidezes coincide com o local de aplicação da força. Se as rigidezes dos pórticos
forem diferentes, ocorrerá além da translação a rotação do tabuleiro. No primeiro caso, a
distribuição de esforços ocorre de maneira semelhante à distribuição dos esforços
longitudinais, usando-se no lugar da rigidez de pilar uma rigidez de pórtico.
Segundo Araújo (1999), no caso em que há rotação e translação, pode-se usar a
seguinte expressão para o cálculo da força em cada pórtico:
⋅Σ⋅±⋅= ∑ 2
1
ii
iires
xK
xe
KKFF (5.27)
a) Fres : resultante das forças horizontais atuantes no tabuleiro;
b) F: força resistida por cada pilar devido à translação θn;
c) xi: distância do pilar ao ponto O (“centro de massa” das rigidezes);
d) e: distância entre o centro de aplicação da força e o “centro de massa” das
rigidezes;
e) Ki: a rigidez do pilar (ou eixo) na direção do deslocamento.
“Centro de massa” das rigidezes é obtido por analogia ao centro de gravidade de
uma seção qualquer:
∑∑ ⋅
=K
xKxcm (5.28)
O procedimento aqui apresentado é válido quando não há juntas no tabuleiro.
69
6 ANÁLISE DE UM PILAR DE PONTE
Para essa parte do trabalho, foi desenvolvida uma planilha em Excel para o
cálculo de pilares conforme os métodos aproximados da NBR 6118 (ABNT, 2003). Essa
planilha foi elaborada baseada nos conceitos expostos nesse estudo. O anexo A apresenta um
tutorial para o seu uso.
Agora, serão analisados dez casos de um pilar de ponte, onde, em cada caso, o
mesmo pilar é analisado adotado uma esbeltez maior que a do caso anterior. Serão obtidos os
momentos na base do pilar, em cada caso, pelos três métodos para consideração de efeitos de
segunda ordem. No final, os momentos obtidos pelos métodos aproximados serão comparados
com os momentos obtidos pelo método geral.
6.1 Análise pelos métodos aproximados
O seguinte pilar será usado como exemplo:
Figura 6.1 – Pilar analisado.
Dados: A seção transversal é quadrada de dimensões 80 cm x 80 cm. Fck = 25 MPa Fyk = 500MPa
70
Hq = 50 kN Rg
= 1720 kN Rq
+ = 1450 kN γf= 1,4(coeficiente de majoração das ações) γ = 25 kN/m3(peso específico do concreto) γc= 1,4 (coeficiente de minoração da resistência do concreto) γs=1,15(coeficiente de minoração da resistência do aço)
Como serão analisados pilares com esbeltez variadas, organiza-se inicialmente
uma tabela com a relação entre a esbeltez e a altura de cada caso. A relação entre um pilar
quadrado e sua esbeltez é expressa da seguinte forma:
b
Le⋅=
46,3λ (6.1)
Como se trata de um pilar engastado, então:
Le = 2 . L (6.2)
logo,
=⋅⋅
=8,0
246,3 Lλ 8,65 . L (6.3)
A tabela 6.1 mostra os valores de altura para cada esbeltez:
Tabela 6.1 – Comprimento adotado para cada esbeltez.
Caso Λ L (m) 1 30,00 3,47 2 40,00 4,62 3 50,00 5,78 4 60,00 6,94 5 70,00 8,09 6 80,00 9,25 7 90,00 10,40 8 100,00 11,56 9 110,00 12,72
10 120,00 13,87
Como a altura dos pilares varia, os mesmos estarão sujeitos a pesos próprios
distintos. O peso próprio é dado pela seguinte expressão:
P = Ac . L . γ = 0,802 L . 25 = 16L (6.4)
A tabela 6.2 mostra o valor do peso próprio para cada caso:
71
Tabela 6.2 – Peso próprio para cada caso de esbeltez.
λ P(kN) 30,00 55,49 40,00 73,99 50,00 92,49 60,00 110,98 70,00 129,48 80,00 147,98 90,00 166,47 100,00 184,97 110,00 203,47 120,00 221,97
Para a força normal, será usada a seguinte combinação de esforços:
N = 1,35 . (Rg + P) + 1,5 . Rq (6.5)
Para força horizontal, usa-se a seguinte combinação de esforços:
Hd = 1,35 . Hg + 1,5 . Hq (6.6)
Hg = 0 (6.7) Hd = 1,5 . Hq (6.8)
Hd = 1,5 . 50 = 75 kN (6.9)
A tabela 6.3 mostra a normal de cálculo para cada caso:
Tabela 6.3 – Normal de cálculo para cada caso de esbeltez.
λ P(kN) Nd (kN) 30,00 55,49 4571,913 40,00 73,99 4596,884 50,00 92,49 4621,855 60,00 110,98 4646,827 70,00 129,48 4671,798 80,00 147,98 4696,769 90,00 166,47 4721,74 100,00 184,97 4746,711 110,00 203,47 4771,682 120,00 221,97 4796,653
Como se trata de um pilar engastado, como já foi dito anteriormente, a tabela 6.4
mostra a relação entre L e Le. Aonde L = 2Le.
72
Tabela 6.4 – Comprimento equivalente (Le) adotado para cada caso.
L (m) Le (m) 3,47 6,94 4,62 9,25 5,78 11,56 6,94 13,87 8,09 16,18 9,25 18,50 10,40 20,81 11,56 23,12 12,72 25,43 13,87 27,75
Procede-se agora com o cálculo das excentricidades. Para esse exemplo,
considera-se uma excentricidade inicial nula, como se o pilar fosse um pilar de centro. Assim:
ei = 0 (6.10)
Calcula-se agora a excentricidade acidental para cada caso. A tabela 6.5 mostra
essa excentricidade acidental para cada caso:
Tabela 6.5 – Desaprumo e excentricidade acidental para cada caso.
λ θ1 ea (m) 30,00 0,0054 0,0186 40,00 0,0047 0,0215 50,00 0,0042 0,0240 60,00 0,0038 0,0263 70,00 0,0035 0,0284 80,00 0,0033 0,0308 90,00 0,0031 0,0347 100,00 0,0029 0,0385 110,00 0,0028 0,0424 120,00 0,0027 0,0462
Obtém-se o momento devido a essa excentricidade e compara-se com o momento
mínimo. Escolhe-se o maior deles.
O momento devido a excentricidade acidental é:
M = Hq . L + Nd.ea (6.11)
Em todos os casos esse momento foi maior que o mínimo.
73
Para esse cálculo, compara-se o valor θ1 com um valor mínimo θ1mín e usa-se o
maior desses. O próximo cálculo é obter as excentricidades devido à fluência do concreto. A
excentricidade devido à fluência deveria ser considerada para pilares com λ a partir de 90. No
entanto, o programa usado para calcular o método geral não faz essa consideração. Assim, a
excentricidade suplementar não foi considerada.
Agora, será verificado a esbeltez limite a partir da qual é necessário considerar os
efeitos de segunda ordem em cada caso. A tabela 6.6 apresenta esses limites:
Tabela 6.6 – Esbeltez limite para cada caso.
λ λ 1
30,00 37,85
40,00 37,95
50,00 38,03
60,00 38,08
70,00 38,13
80,00 38,16
90,00 37,18
100,00 36,97
110,00 36,74
120,00 36,5
Os efeitos de segunda ordem só serão considerados para casos aonde λ > λ 1.
Esses efeitos causarão momentos que se somarão aos momentos de primeira ordem. Com
exceção do primeiro caso, em todos os outros esses efeitos deverão ser considerados. A tabela
6.7 mostra os momentos finais, levando em consideração esses efeitos, calculados de acordo
com os métodos aproximados da norma.
Tabela 6.7 – Momentos finais pelos métodos da rigidez e da curvatura aproximada.
Mc(kN) Mr(kN) 345,42 345,42 655,95 540,54 887,29 743,12 1150,39 990,36 1443,36 1282,64 1773,86 1628,49 2142,45 2028,56 2549,01 2480,85 2991,05 2981,75 3464,90 3526,20
74
Mc é o momento obtido pelo método da curvatura aproximada e Mr é o momento
obtido pelo método da rigidez aproximada.
O gráfico 6.1 mostra os resultados obtidos pelos dois métodos. Observando-o,
nota-se que o método da curvatura chega a momentos mais elevados para uma esbeltez até
aproximadamente 110, a partir daí, o método da rigidez aproximada apresenta valores
maiores.
Gráfico 6.1 – Momentos obtidos pelos métodos aproximados.
A tabela 6.8 mostra os erros do método da curvatura em relação ao método da rigidez:
Tabela 6.8 – Diferença percentual entre os métodos aproximados.
λ Erro(%) 30 0 40 21,36 50 19,40 60 16,16 70 12,53 80 8,93 90 5,61 100 2,75 110 0,31 120 -1,74
Métodos ap roximados
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130Esbeltez
Momentos
Curvatura Rigidez
75
O gráfico 6.2 apresenta a diferença percentual entre os valores obtidos pelo
método da curvatura e o método da rigidez. Nota-se, mais uma vez, que para valores até
aproximadamente 110, o método da curvatura apresenta-se a favor da segurança, a partir daí,
o método da rigidez esse comportamento passa a ser exibido pelo método da rigidez. Como o
gráfico apresenta um comportamento tipicamente linear, é possível afirmar que para uma
esbeltez maior que 110 o método da rigidez sempre apresenta resultados a favor da segurança
em relação ao método da curvatura.
Comparação entre os métodos aproximados
-5
0
5
10
15
20
25
30,00 40,00 50,00 60,00 70,00 80,00 90,00 100,00 110,00 120,00 130,00
esbeltez
Dife
renç
a pe
rcen
tual
Mc
- M
r
Gráfico 6.2 – Diferença percentual entre Mc e Mr.
6.2 Análise pelo método geral
Os momentos na base do pilar foram calculados com base na excentricidade de 1a
ordem, 2a ordem e acidental, usando a rigidez secante proposta no item 15.3.1 da NBR 6118
(ABNT, 2003) e num programa de pórtico plano com não linearidade geométrica proposto no
trabalho de Mota (2009).
Para utilizar o cálculo da rigidez secante, usou-se a seguinte configuração de
armadura na seção do pilar:
76
Figura 6.2 – Arranjo da armadura na seção transversal.
Variando-se a área de cada barra, foram obtidas 5 configurações diferentes para a
seção transversal. No primeiro caso usam-se barras com área de 1,22cm2, no segundo 2 cm2,
no terceiro 4,9 cm2, no quarto 8 cm2 e no 10 cm2.
Essas configurações abrangem os seguintes casos de esbeltez:
a) O primeiro caso abrange uma esbeltez de 30 a 70;
b) O segunda caso abrange uma esbeltez de 80;
c) O terceiro caso abrange uma esbeltez de 90;
d) O quarto caso abrange uma esbeltez de 100 e 110;
e) O quinto caso abrande uma esbeltez de 120.
Para esses casos, foram obtidas, respectivamente, as seguintes rigidezes:
a) JII = 0,013;
b) JII = 0,013;
c) JII = 0,019;
d) JII = 0,026;
e) JII = 0,030.
0
80
0 80
77
O pilar foi divido em dez partes para a análise. Com essas rigidezes e os demais
dados geométricos da seção, os momentos obtidos foram os seguintes:
Tabela 6.9 – Momentos obtidos pelo método geral
λ Mg (kN.m) 30 366 40 496 50 647 60 834 70 1082 80 1444 90 1482 100 1562 110 1934 120 2168
Mg é o momento obtido pelo método geral.
O gráfico 6.3 mostra os resultados obtidos pelos três métodos utilizados:
Gráfico 6.3 – Resultados obtidos pelos três métodos.
Comparando-os com os momentos obtidos pelos métodos aproximados, tem-se o
erro percentual:
Métodos aproximados
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 Esbeltez
Método da curvatura Método da rigidez Método Geral
Momentos
78
Tabela 6.10 – Diferença percentual entre os métodos aproximados e o método geral
λ Mc-Mg (%) Mr-Mg (%) 30 -5,62 -5,62 40 32,25 8,98 50 37,14 14,86 60 37,94 18,75 70 33,40 18,54 80 22,84 12,78 90 44,56 36,88 100 63,19 58,83 110 54,66 54,18 120 59,82 62,65
O gráfico 6.4 compara o método da curvatura com o método geral:
Comparação entre o método geral e o método da curvatura
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
Esbeltez
Err
o (%
) M
c-M
g
c
Gráfico 6.4 – Comparação entre o método geral e o método da curvatura.
A partir de uma esbeltez próxima a 90, os erros obtidos começam a ser mais
significativos que os obtidos para esbeltez menores. Os erros obtidos pelo método da
curvatura são consideráveis, mesmo para uma esbeltez menor que 90, os erros se situam entre
20% e 40%.
A diferença percentual entre os resultados obtidos pelo método da rigidez e o
método geral são expostos no gráfico 6.5:
79
Comparação entre o método da rigidez e o método geral
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
Esbeltez
Err
o(%
) M
r -M
g
Gráfico 6.5 – Comparação entre o método da rigidez e o método geral.
Novamente, os erros obtidos são mais significativos para uma esbeltez acima de
aproximadamente 90. O método da rigidez apresenta valores bem mais próximos do método
geral do que os valores obtidos pelo método da curvatura para uma esbeltez menor que 90. Na
faixa de esbeltez de 30 a 80, as diferenças percentuais são menores que 20%.
Nos dois gráficos, os métodos aproximados sempre apresentam valores a favor da
segurança em relação ao método geral, menos no caso de esbeltez menor que 30, entretanto, o
mesmo não é considerado na análise já que nesse caso os efeitos de segunda ordem são
desprezíveis.
80
7 CONCLUSÕES
Nesse trabalho, foram apresentados conceitos básicos para o dimensionamento de
pilares, em seguida os métodos para consideração dos efeitos de segunda ordem e os aspectos
gerais de um projeto de ponte.
Em relação a um projeto de ponte, apresentaram-se conceitos relativos a
elementos estruturais componentes do projeto, bem como as cargas normalmente atuantes
nesse tipo de estrutura. A partir do exposto nessa parte do estudo, foi possível ver a grande
importância da consideração dos efeitos dinâmicos das cargas atuantes em pontes.
Foi mostrada também, nesse trabalho, uma metodologia para isolar um pilar de
uma ponte, obtendo os esforços nele atuantes. A partir do exposto, notou-se que a distribuição
dos esforços horizontais deve ser realizada considerando que eles atuam tanto no sentido
longitudinal como no sentido transversal da ponte e, em alguns casos, a distribuição desses
esforços vai ser realizada usando metodologias diferentes dependendo do sentido dos
mesmos.
Quanto ao pilar analisado, foi possível obter algumas conclusões em relação aos
métodos utilizados para a obtenção dos efeitos de segunda ordem. Comparando os métodos
aproximados entre si, verifica-se que o método da curvatura apresenta-se a favor da segurança
em relação ao método da rigidez para valores de esbeltez até próximos a 110. Além disso, a
diferença percentual entre esses métodos apresenta comportamento decrescente em relação ao
aumento da esbeltez.
O método da curvatura aproximada é o método mais simples para a consideração
desses efeitos e apresentou diferenças de resultados consideráveis em relação ao método geral
mesmo para um esbeltez menor que 90 (erros de até 40%). Sendo o método de aplicação mais
imediato, por ser de simples aplicação é bom que os seus resultados se situem a favor da
segurança o que está de acordo com os resultados obtidos nessa análise.
O método da rigidez aproximada é um pouco mais refinado que o método da
curvatura e apresentou resultados satisfatórios para um esbeltez menor que 90. Os erros
obtidos por esse método foram menores que 20% no intervalo de esbeltez de 30 a
aproximadamente 90, chegando a serem menos que 13% para esbeltez até 80. Para todos os
casos analisados, os resultados estavam a favor da segurança. Como seus resultados são
melhores, é aconselhável o seu uso desde que sejam respeitadas as suas condições de
aplicação.
81
O método geral é de aplicação trabalhosa e exige o uso de softwares, por isso,
apesar de apresentar resultados mais precisos, é importante que os métodos aproximados
ainda continuem a serem empregados, desde que se respeitem as suas condições de aplicação.
Para dar continuidade ao trabalho, recomenda-se que sejam realizados estudos
com pilares com outro tipo de vinculação e com outras formas de seção transversal, bem
como a utilização de outros métodos para o cálculo dos efeitos de segunda ordem, como o
método do pilar padrão acoplado ao diagrama (µ, ν, 1/r), que não foi exposto aqui. Seria
benéfico, também, que fossem realizados estudos incluindo a excentricidade suplementar de
fluência.
82
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 6118 – Projeto de estruturas de concreto. Rio de janeiro, 2003.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre. Rio de janeiro, 1984.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT. NBR 7189 – Carga móvel em pontes ferroviárias. Rio de janeiro, 1985.
ARAÚJO, D. L. Projeto de pontes em concreto armado com duas longarinas. Goiás:Universidade Federal de Goiás, 1999.
ARAÚJO, J. M. Métodos simplificados para consideração dos efeitos de segunda ordem no projeto de pilares de concreto armado. Revista do IBRACON, n.27, p.3-12, São Paulo, 2001. ARAÚJO, J. M. de. Revista do Ibracon. São Paulo: No. 27. p 3 – 12 Nov/Dez. 2001. Jul. 2007.
BORGES, A.C.L. Análise de pilares esbeltos de concreto armado solicitados à flexo-compressão oblíqua. 1999. 110p. Dissertação (mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
KHOURI, M. E. Contribuição ao projeto de pilares de pontes de concreto armado com consideração das não linearidades física e geométrica e interação solo-estrutura. 2001. 231p. Tese (Doutor em engenharia de estruturas) – Escolas de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
MOTA, J. E. Contribuição ao projeto de estruturas multi-piso reticuladas em concreto pré-moldado. 2009. 246p. Tese (Doutor em engenharia de estruturas) – Escolas de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos.
PINHEIRO, L. M. Fundamentos do Concreto e Projeto de edifícios. São Paulo: Escola de Engenharia de São Carlos, 2007.
SCADELAI, M. F. P. Dimensionamento de pilares de acordo com a NBR 6118. 2004.136p. Dissertação (Mestre em engenharia de estruturas) – Escolas de Engenharia de estruturas, Universidade de São Paulo, São Carlos.
83
APÊNDICE A – Tutorial da planilha de cálculo de pilares.
Essa planilha foi elaborada baseada nos fundamentos teóricos apresentados nesse
trabalho e consiste numa planilha para o cálculo do momento atuante numa seção crítica do
pilar. Abaixo, será apresentado um tutorial para a utilização dessa planilha.
1º Passo: Os dados relativos aos materiais são inseridos no campo indicado
abaixo:
Figura A 1 – Características dos materiais
2º Passo: Os coeficientes de segurança são inseridos no campo indicado abaixo:
Figura A 2 – Coeficientes de segurança
84
3º Passo: As dimensões da seção transversal do pilar são inseridas,de acordo com
as legendas da planilha, no campo indicado na Figura A3:
Figura A 3 – Características geométricas do pilar
4º Passo: Seleciona-se o tipo de vinculação do pilar digitando a opção escolhida
no campo abaixo:
Figura A 4 – Vinculação do pilar
5º Passo: Se o pilar for biapoiado, preenchem-se os campos necessários de acordo
com a legenda e a figura da planilha. A figura abaixo ilustra esse campo:
Figura A 5 – Comprimento do pilar
6º Passo: Se o pilar for engastado, insere-se o comprimento do pilar no campo
indicado na figura A6:
85
Figura A 6 – Comprimento do pilar engastado.
Os parâmetros relativos às características geométricas do pilar são calculados
baseados nesses dados de entrada. Esses valores são mostrados na planilha de acordo com a
figura abaixo:
Figura A 7 – relativos às características geométricas do pilar
7º Passo: Devem-se inserir as cargas atuantes no pilar, de acordo com as legendas
da planilha, no campo indicado abaixo:
Figura A 8 – Cargas no pilar.
8º Passo: Baseado no momento mínimo, no momento atuante de 1ª ordem e na
vinculação dos pilares seleciona-se o coeficiente αb para o cálculo de λ1 conforme a figura
abaixo:
86
Figura A 9 – Escolha do caso para o cálculo do αb.
9º Passo: Define-se o tipo de pilar para o cálculo da excentricidade inicial
preenchendo-se o campo indicado abaixo:
Figura A 10 – Escolha do tipo de pilar.
10º Passo: Se o pilar for de canto ou de borda, os campos indicados nas figuras A
11 e A 12 para o cálculo da excentricidade inicial devem ser preenchidos de acordo com as
legendas e com as figuras da planilha:
87
Figura A 11 – Dimensões para o cálculo da excentricidade inicial.
Figura A 12 – Características da viga ligada ao pilar.
Esses campos são preenchidos para as duas direções em análise, a direção x e a
direção y.
A planilha consta com um campo aonde são mostradas as excentricidades iniciais
encontradas no problema, elas dependem os valores preenchidos na etapa anterior e da opção
selecionada na etapa 9.
Figura A 13 –Excentricidade iniciais
11º Passo: Se a esbeltez do pilar for maior que 90, devem-se inserir os dados
necessários para o cálculo da excentricidade suplementar, de acordo com as legendas da
planilha, de acordo com figura A14:
88
Figura A 14 – Dados para o cálculo da excentricidade suplementar.
Após esse passo, são mostradas as excentricidades suplementares iniciais no
campo indicado abaixo:
Figura A 15 – Excentricidade suplementar .
Os momentos mínimos para o dimensionamento de uma seção e os momentos
totais são mostrados nos campos indicados nas figuras A16 e A17 abaixo:
Figura A 16 – Momentos mínimos e momentos obtidos pelo método da curvatura aproximada.
89
Figura A 17 – Momentos obtidos pelo método da rigidez aproximada.