Regulatoare Automate

Estimatori de stare. Proiectarea unui compensator stabilizator

Laborator 10

RA.LAB.10.A

L10 - 1/17

Coninut 1. Introducere ......................................................................................................................2

1.1. Scop .........................................................................................................................2 1.2. Aria de utilizare.........................................................................................................2 1.3. Documentaie asociat .............................................................................................2

2. Estimatori de stare..........................................................................................................3 2.1. Observabilitate..........................................................................................................3 2.2. Observatorul Luenberger..........................................................................................4 2.3. Proiectarea compensatorului stabilizator cu observator Luenberger........................6 2.4. Estimatoare minimale ...............................................................................................7 2.5. Proiectarea compensatorului stabilizator cu estimator minimal................................8 2.6. Exemple....................................................................................................................9

3. Cerinele lucrrii de laborator ......................................................................................17

Lista de figuri Figura 10.1 Estimator / observator de stare .............................................................................3 Figura 10.2 Schem de compensare utiliznd un observator Luenberger...............................6 Figura 10.3 Elementele unui compensator stabilizator cu estimator Luenberger ....................6 Figura 10.4 Compararea strilor reale i a celor estimate cu un observator cu predictie ......13 Figura 10.5 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator cu predictie .........................13 Figura 10.6 Evoluia strii x2 i a estimatei ei cu un observator cu predictie .........................14 Figura 10.7 Evoluia strii x3 i a estimatei ei cu un observator cu predictie .........................14 Figura 10.8 Compararea strilor reale i a celor estimate cu un observator redus................15 Figura 10.9 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator redus ..................................15 Figura 10.10 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator redus ................................16 Figura 10.11 Compararea ieirii cu estimator cu predictie, redus i fr estimator ...............16 Figura 10.12 Evoluia ieirii: A)estimator cu predicie, B) fr estimator, C) estimator redus 17

1. Introducere

1.1. Scop Acest laborator urmrete:

Descrierea a dou tipuri de observatoare / estimatoare de stare: cu predicie i redus

Prezentarea proiectrii compensatorului stabilizator n cazul celor 2 estimatoare

Proiectarea n Matlab a compensatoarelor stabilizatoare i verificarea rezultatului obinut prin simularea sistemului rezultant i analiza polilor acestuia

1.2. Aria de utilizare Laboratorul se adreseaz n principal studenilor Facultii de Electrotehnic, din anul III, care urmeaz cursul du Regulatoare Automate.

1.3. Documentaie asociat C. Ila, M. Priboianu Teoria sistemelor de reglare automat. ndrumar de laborator, Ed.

Matrix Rom, Bucureti, 2004.

A. Sarca Contribuii la comanda cu procesoare de semnal a acionrilor electrice, Tez de doctorat, UPB, 1997

C. Ila, D. Boghiu Teoria sistemelor de reglare automat. Culegere de probleme, Litografia UPB, Bucureti, 1994

L10 - 2/17

2. Estimatori de stare Aplicarea unei legi de comand dup stare presupune cunoaterea mrimilor de stare. Din punct de verere practic, msurarea tuturor mrimilor de stare nu este o soluie recomandat datorit costurilor foarte ridicate ale traductoarelor i interfeelor aferente.

Soluia la aceast problem o reprezint observatorii / estimatorii de stare. Un observator de stare (vezi Figura 10.1) estimeaz strile unui proces pe baza modelului matematic al acestuia utiliznd doar mrimile de intrare (comand) i cele de ieire (msurate) din proces. Cum mrimea de comand este cunoscut, singurele mrimi care trebuiesc msurate sunt cele de ieire.

Utilizarea estimatoarelor de stare poate aduce economii importante. De exemplu n cazul unui proces cu 4 mrimi de stare i o singur ieire, n locul a 4 interfee de msur cte una pentru fiecare mrime de stare se va folosi o singur interfat de msur pentru mrimea de ieire.

u ynRx

Estimator de stare

1

^x

nx^

Figura 10.1 Estimator / observator de stare

Pentru ca un estimator de stare s funcioneze corect sunt necesare 3 condiii:

model procesului s corespund cu bun aproximaie procesului real

comanda luat n calcul n estimator s corespund cu cea trimis ctre proces

mrimea de ieire s fie citit cu precizie

ndeplinirea primei condiii depinde doar gradul de cunoatere al procesului. ndeplinirea celei de-a treia condiii depinde de calitatea traductoarelor utilizate. ndeplinirea celei de-a doua condiii depinde ns i de modul de implementare a estimatorului.

2.1. Observabilitate Pentru a putea estima strile unui sistem, acesta trebuie s fie este observabil.

Un sistem este observabil dac exist un interval de timp finit t n care starea iniial

00 )( == ttxx se poate determina din cunoaterea evoluiei mrimii de comand i a celei de ieire ],0[),( tttu ],0[),( ttty .

Din punct de vedere practic, testatea observabilitrii unui sistem se face astfel:

se construiete matricea de observabilitate

L10 - 3/17

(10.1)

=

1nAC

ACC

Q M

dac nQrang =)( , unde este dimensiunea sistemului (n nxnRA ), sistemul este observabil

n cazul particular al unui sistem cu o singur mrime de ieire, adic cu , matricea de observabilitate devine o matrice ptratic:

1=p

(10.2) nxn

nT

T

T

R

Ac

Acc

Q

=

1

M

Not: n Matlab, matricea de observabilitate se obine cu funcia obsv i rangul unei matrici cu funcia rank. Exemplu: >> A=[1 2 3;1 1 1;1 0 1]; >> cT=[0 0 1]; >> Q=obsv(A,cT) Q = 0 0 1 1 0 1 2 2 4 >> rank(Q) ans = 3 Not: Controlabilitatea i observabilitatea sunt proprieti duale. Astfel, dac la un triplet

: ),,( CBA Perechea este controlabil ),( BA perechea este observabil ),( TT AB Perechea este observabil),( AC perechea este controlabil ),( TT CA

2.2. Observatorul Luenberger Observatorul Luenberger este descris de relaia (10.3) unde s-a notat cu vectorul mrimilor de stare estimate:

x

(10.3) ( )xcylpbuxAx T ' ++= Observatorul include ecuaia (10.4) pentru a calcula evoluia mrimii de stare estimate la

care se adaug o corecie proporional cu eroarea dintre ieirea a sistemului

real i cea calculat pe baza strii estimate:

xnRlp y

xcy T =

L10 - 4/17

(10.4) buAxx +='

Dac se noteaz cu:

(10.5) xxe =

eroarea de estimare, scznd (10.4) din (10.3) i innd cont c se obine ecuaia xcy T= (10.6) care descrie evoluia erorii de estimare:

(10.6) eclpAe T )(' =Soluia ecuaiei (10.6) este:

(10.7) unde ( )( )

( )

=

Zt ,ecplA

Rt ,eetetT

tcplA T

0

000 )( == ttee este eroarea iniial

Evoluia erorii este dictat de valorile proprii ale matricei care depind de modul de alegere al factorului de corecie . Avnd n vedere c

TclpA lp

(10. 8) )()()( TTTTT lpcAclpAclpA ==

problema determinrii astfel nct valorile proprii ale matricei s poat fi

alocate dup dorin este identic cu cea a calculului unei legi de comand care impune

valorile proprii ale matricei .

Tlp TT lpcA Tk

TbkA

n concluzie, determinarea se face aplicnd algoritmul Ackermann cu urmroarele date de intrare:

Tlp

pe post de perechea 1, nxnxnT RcRA ),( bA

mulimea valorilor proprii dorite pentru estimator } ..., , ,{e n21 =

La ieire, se obine: TT klp =

Not: Pentru a putea aplica algoritmul Ackermann, perechea trebuie s fie

controlabil ceea ce este echivalent cu perechea s fie observabil;

),( cAT

),( AcT

Observatorul Luenberger se mai numete i observator sau estimator cu predicie. Elementul de predicie se poate remarca mult mai uor n cazul estimatoarelor cu timp discret unde relaia (10.3) devine:

(10.9) ( )iTiiii xcylpbuxAx 1 ++=+ adic la pasul curent i, se estimeaz starea pentru pasul urmror i+1.

L10 - 5/17

2.3. Proiectarea compensatorului stabilizator cu observator Luenberger Un compensator stabilizator se obine prin combinarea unei legii de comand dup stare cu un estimator de stare. n cazul cnd se folosete un observator Luenberger, se obine schema de compensare din Figura 10.2.

Compensator Stabilizator

-k ^x ESTIMATOR

DE STARE

u y

xcy

ubxAxT =

+='

Figura 10.2 Schem de compensare utiliznd un observator Luenberger

n acest caz, comanda se calculeaz utiliznd estimarea celor n mrimi de stare:

(10.10) xku T =

||| PROCES

Compensator stabilizator

u

u

y

y

Figura 10.3 Elementele unui compensator stabilizator cu estimator Luenberger

Ecuaiile compensatorului stabilizator se obin nlocuind (10.10) n (10.3):

(10.11) ( )

=

+=

xku

ylpxclpkbAxT

TT

'

L10 - 6/17

Relaiile (10.12) indic:

modul de obinere al elementelor pentru reprezentarea n spaiul strilor a compesatorului stabilizator

),,( ccc cbA

ieirea compensatorului care este comanda ctre proces

comanda compensatorului care este ieirea din proces

(10.12) =>

( ) {

{

=

+=

xku

ylxclkbAx

c

cc

c

T

bA

TT444 3444 21

'

=

==

==

yuuy

kc

lbclkbAA

c

c

TTc

c

TTc

Funcia de transfer a compensatorului stabilizator se obine cu relaia:

(10.13) lpclpkbAIkbAIcH TTTccTcC ++==

11 )()()()(

Combinnd ecuaiile procesului cu ecuaiile compensatorului se obin ecuaiile sistemului rezultant:

(10. 14)

=

xx

clpkbAclpkbA

xx

TTT

T

''

care are ca valori proprii:

(10.15) T

TT

TTT

T

R lcAIlcbkAI

lpcbkAIlpcbkAIAI

++=

++=

0

Relaia (10.15) evideniaz un rezultat fundamental cunoscut drept principiul separrii: valorile proprii ale matricei sistemului rezultant reprezint reuniunea disjunct a valorilor proprii impuse prin legea de comand dup stare i a valorilor proprii impuse estimatorului.

(10.16) )()()( TTR clpAkbAA = &

Not: Principiu separrii i menine validitatea i n cazul estimatorului minimal prezentat mai jos. El permite ca proiectarea legii de comand i a legii de estimare s se fac n mod independent.

2.4. Estimatoare minimale Estimatoarele minimale numite i estimatoare reduse pot fi utilizate n cazul proceselor cu o singur mrime de ieire, cnd aceasta este identic cu una din mrimile de stare. n acest caz, se poate renuna la estimarea tuturor strilor, una fiind deja disponibil, aplicndu-se o form redus de estimator cu predicie care furnizeaz doar celelalte n -1 mrimi de stare.

Procesele la care o mrime de stare este msurat la ieire, pot fi puse sub forma:

L10 - 7/17

(10.17)

[ ]

=

+

=

yx

y

ub

yx

aaA

yx

T

1

11

1

211

10 L

Prima relaie din (10.17) aranjat sub forma:

(10.18) 11

'1211

'1

xauyy

ubyaxAxT =

++=

poate fi vzut ca fiind o reprezentare n spaiul strilor a unui proces cu x1 stri n care este comanda i este ieirea. n acest caz, ecuaia unui

estimator cu predicie pentru sistemul ubya + 12 uyy

'

(10.18) este:

(10.19) )( 11'

1211'

1 xauyylrubyaxAxT +++=

Dac (10.19) se scade din prima relaie (10.18) i se ine cont de cea de-a doua relaie, se obine ecuaia (10.20) care descrie evoluia erorii de estimare:

(10.20) ealrAe T = )( 11'

Prin urmare calculul se poate face aplicnd algoritmul Ackerman perechii i impunnd n-1 valori proprii dorite pentru estimator.

lr ),( 11 aAT

2.5. Proiectarea compensatorului stabilizator cu estimator minimal n cazul utilizrii unui estimator de stare minimal, legea de comand va fi:

(10.21) unde: ykxkyx

ku yTT =

= 11

1 [ ]k k kT T y= 1

Pentru a elimina y din relaia (10.19), se poate aplica schimbarea de variabile:

(10.22) ylrwx +=1

n acest caz, (10.19) i (10.21) devin:

(10.23) ylralralrlrAulrbwalrAw TT +++= )()()( 211111'

(10.24) yklrkwku yTT += )( 11

nlocuind (10.24) n (10.23) se obine reprezentarea n spaiul strilor a unui compensator stabilizator bazat pe un estimator minimal:

(10.25 ) unde:

+=+=

crcrcrTcrcr

crcrcrcrcrudxcyubxAx '

wxcr = este starea estimatorului minimal

yucr = este intrarea n estimator egal cu ieirea din procesul controlat

L10 - 8/17

uycr = este ieirea din estimator egal cu comanda procesului

TTTcr klralrkbAA 11111 +=

)()( 11211 yTT

cr klrklrblralralrlrAb ++=

Tcr kc 1=

yT

cr klrkd = 1

Not: innd cont de faptul c cele n-1 stri estimate sunt date de relaia ylrwx +=1 , dac starea iniial a procesului este nenul atunci estimatorul redus trebuie iniializat cu:

(10.26) 0100 nxlrxw =

unde este estimarea iniial iar valoarea iniial a ultimei stri egal cu ieirea . Prin urmare, chiar dac estimarea iniial 10x 0nx

yxn = 010 =x , estimatorul minimal trebuie s plece cu o stare iniial care va fi diferit de zero dac valoarea iniial a ultimei stri a procesului este nenul.

00 nxlrw =

Funcia de transfer a compensatorului stabilizator cu estimator de stare minimal este:

(10.27) crcrcrTcrcr dbAIcH +=

1)()(

Utilizarea estimatoarelor minimale ofer avantajul obinerii unui compensator cu un ordin redus cu 1. Fa de estimatorul cu predincie unde nu exist nici o informaie despre starea iniial, estimatorul minimal pornete cu o estimare iniial mai bun dat de (10.26) care se bazeaz pe o mrime msurat. n majoritatea cazurilor, cunoaterea exact a unei mrimi de stare este un avantaj, deaceea estimatorul minimal este preferat celui cu predicie cnd mrimea de ieire este una din mrimile de stare. Exist ns i situaii cnd zgomotul de msur este considerabil i atunci utilizarea unui estimator total poate da rezultate mai bune deoarece prin estimarea strilor se realizeaz i o filtrare.

2.6. Exemple 1. S se construiasc un observator de stare Luenberger pentru procesul descris prin

funcia de transfer ( ) ( )( )1001100

++=

sssH . Valorile proprii ale observatorului sunt

. { }2,1 =eSoluie: Se construiete o realizare controlabil a funciei de transfer : )(sH

[ ]0100 ,10

,10110010

=

=

= TcbA

Fiind un sistem cu timp continuu, ecuaia observatorului este:

( )xcylpbuxAx T ++= unde se calculeaz aplicnd algoritmul Ackermann perechii cu valorile proprii dorite . Utiliznd Matlab:

lp )( cAT

{ 2,1 =e }>> A=[0 1;-100 -101];

L10 - 9/17

>> cT=[100 0]; >> P=[-1 -2]; >> lp=acker(A',cT',P) lp = Column 1 -0.9800 Column 2 98.0000 Prin urmare:

[ ]

=

=1019900198

010098

100/9810110010TclpA

i ecuaia observatorului devine:

uyxx

+

+

=

10

9898.0

1019900198

2. Un sistem liniar cu timp continuu are reprezentarea n spaiul strilor:

]100[,100

,101111321

=

=

= TcbA i starea iniial:

=

321

0x

Se cere:

a) S se construiasc un compensator stabilizator bazat pe un observator de stare Luenberger cu predicie. Valorile proprii dorite pentru legea de comand dup stare sunt

i pentru observator { 3 ,2 ,1 = } { }6,5,4 = e b) S se construiasc un compensator stabilizator bazat pe un observator de stare minimal

pentru aceleai valori proprii ca la punctul a) pentru legea de comand i { }5,4 = e pentru observator

c) S se compare evoluia mrimilor de stare estimate cu cele reale pentru cele 2 tipuri de compensatoare stabilizatoare

d) S se compare evoluia ieirii procesului sub legea de comand pentru cazurile cnd mrimile de stare sunt: msurate, estimate cu un observator cu predicie, estimate cu un observator minimal

Soluie: Calculele se fac cu ajutorul urmtorului program Matlab A=[1 2 3;1 1 1;1 0 1]; b=[0; 0; 1]; %vector coloana cT=[0 0 1]; %vector linie x0=[1;2;3]; %starea initial [num,den]=ss2tf(A,b,cT,0) %funcia de transfer a procesului %Calcul lege de comand dup stare kT R=ctrb(A,b); %Matricea de controlabilitate rangR=rank(R) %Verificare rang R Pk=[-1 -2 -3]; %Valorile proprii dorite pentru legea de comand kT=acker(A,b,Pk); %kT=[kT(1) kT(2) kT(3)] - vector linie %Calcul compensator stabilizator cu estimator de stare cu predicie Pl=[-4 -5 -6]; %Valorile proprii dorite pentru estimator Q=obsv(A,cT); %Matricea de observabilitate rangQ=rank(Q) %Verificare rang Q

L10 - 10/17

lpT=acker(A',cT',Pl); %lpT - vector linie lp=lpT'; %lp - vector coloana %Reprezentarea n spaiul strilor a compensatorului cu estimator de stare cu predicie Ac=A-b*kT-lp*cT bc=lp cc=-kT %Starea iniial a estimatorului cu predictie este nul xe0=[0;0;0]; % Funcia de transfer a compesatorului cu estimator de stare cu predicie [num_cp,den_cp]=ss2tf(Ac,bc,cc,0) % Pentru verificare se calculeaz funcia de transfer a sistemului rezultant [num_r,den_r]=feedback(num,den,num_cp,den_cp,+1); % Rdcinile numitorului trebuie s fie coincid cu valorile proprii impuse % pentru legea de comand i estimator adic: -1,-2,-3,-4,-5,-6 roots(den_r) %--------------------------------------------------------------- %Calcul compensator stabilizator cu estimator de stare redus %Definirea elementelor sistemului redus A1=A(1:2,1:2); %primele (n-1)x(n-1) elemente din A a2=[A(1,3);A(2,3)]; %primele n-1 elemente - ultima coloana A a1T=[A(3,1) A(3,2)]; %primele n-1 elemente - ultima limie A alfa=A(3,3); %ultimul element din A b1=b(1:2); %primele n-1 elemente din b beta=b(3,1); %ultimul element din b k1T=kT(1:2); %primele n-1 elemente din kT ky=kT(3); %ultimul element din kT Pr=[-4 -5]; %valorile proprii dorite pentru estimatorul redus lrT=acker(A1',a1T',Pr); %lrT - vector linie lr=lrT'; %lr - vector coloana %Reprezentarea n spaiul strilor a compensatorului cu estimator de stare redus Acr=A1-b1*k1T-lr*a1T+lr*beta*k1T bcr=a2-lr*alfa+A1*lr-lr*a1T*lr-(b1-lr*beta)*(k1T*lr+ky) ccr=-k1T; dcr=-k1T*lr-ky %Starea initial a estimatorului redus w0=xe0(1:2)-lr*x0(3); % Funcia de transfer a compesatorului cu estimator de stare redus [num_cr,den_cr]=ss2tf(Acr,bcr,ccr,dcr) % Pentru verificare se calculeaz funcia de transfer a sistemului rezultant [num_rr,den_rr]=feedback(num,den,num_cr,den_cr,+1); % Rdcinile numitorului trebuie s fie coincid cu valorile proprii impuse % pentru legea de comand i estimator adic: -1,-2,-3,-4,-5 roots(den_rr) n urma rulrii programului de mai sus se obin urmtoarele rezultate: num = Columns 1 through 4 0 1.0000 -2.0000 -1.0000 den = Columns 1 through 4 1.0000 -3.0000 -2.0000 2.0000 rangR = 3 rangQ = 3 Ac = 1.0000 2.0000 -109.0000

L10 - 11/17

1.0000 1.0000 -123.0000 -6.0000 -10.0000 -26.0000 bc = 112 124 18 cc = -7.0000 -10.0000 -9.0000 num_cp = 1.0e+003 * Columns 1 through 4 0 -2.1860 -0.0500 2.1360 den_cp = 1.0e+003 * Columns 1 through 4 0.0010 0.0240 -1.9370 -0.7080 ans = -6.0000 -5.0000 -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 Acr = 67.0000 112.0000 97.0000 161.0000 bcr = 2620 3772 ccr = -7.0000 -10.0000 dcr = -246 num_cr = -246.0000 28.0000 274.0000 den_cr = 1.0000 -228.0000 -77.0000 ans = -5.0000 -4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000 Pentru a compara evoluia strilor reale cu cele estimate cu observatorul cu predicie s-a folosit schema de simulare din Figura 10.4. Rezultatele sunt prezentate n Figura 10.5, Figura 10.6 i Figura 10.7. Strile reale apar cu linie albastr i cele estimate cu linie roie.

Pentru a compara evoluia strilor reale cu cele estimate cu observatorul redus s-a folosit schema de simulare din Figura 10.8. Rezultatele sunt prezentate n Figura 10.9 i Figura 10.10. Strile reale apar cu linie albastr i cele estimate cu linie roie.

Pentru a compara evoluia ieirii procesului cu estimator cu predicie, redus i fr estimator (mrimile de stare sunt msurate) s-a folosit schema de simulare din Figura 10.11. Rezultatele sunt prezentate n Figura 10.12.

L10 - 12/17

Figura 10.4 Compararea strilor reale i a celor estimate cu un observator cu predictie

0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

timp [s]

x1, x

1ep

Figura 10.5 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator cu predictie

L10 - 13/17

0 1 2 3 4 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

timp [s]

x2,

x2e p

Figura 10.6 Evoluia strii x2 i a estimatei ei cu un observator cu predictie

0 1 2 3 4 5-30

-20

-10

0

10

20

30

timp [s]

x3,

x3e p

Figura 10.7 Evoluia strii x3 i a estimatei ei cu un observator cu predictie

L10 - 14/17

yw2

u

w1

x1e_r

x2e_r

x3

x3 = y

x2, x2e_r

x1, x1e_r

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

proces

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

proces

lr

lr

-K-

ky + k1T * lr

-K-

k2

-K-

k1

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

est minim

Sum4

Sum

Mux

Mux5

Demux

Demux2

Demux

Demux1

Demux

Demux

Mux

.

Figura 10.8 Compararea strilor reale i a celor estimate cu un observator redus

0 1 2 3 4 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

timp [s]

x1, x

1er

Figura 10.9 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator redus

L10 - 15/17

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

timp [s]

x2,

x2e r

Figura 10.10 Evoluia strii x1 i a estimatei ei cu un observator redus

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

proces

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

proces-K-

k3

-K-

k2-K-

k1

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

compensator cu estimator redus

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

compensator cu estimator cu predictie

Sum

Scope

Mux

Mux

Demux

Demux

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

proces

Figura 10.11 Compararea ieirii cu estimator cu predictie, redus i fr estimator

L10 - 16/17

0 1 2 3 4 5-30

-20

-10

0

10

20

30

timp [s]

x, x

c p, x

c r

A

B

C

Figura 10.12 Evoluia ieirii: A)estimator cu predicie, B) fr estimator, C) estimator redus

3. Cerinele lucrrii de laborator

1. Un proces cu are funcia de transfer ( )1

12 +

=s

sH . S cere:

a) se calculeze un compensator stabilizator (reprezentare n spaiul strilor i funcia

de transfer) care plaseaz toate valorile proprii ale sistemului rezultant n -1.

Estimarea strilor se va face:

i) cu un observator Luenberger cu predicie

ii) cu un observator redus

b) se vor verifica rezultatele obinute calculnd rdcinile sistemului rezultant

c) se vor simula comparativ ieirea sistemului pentru cele 2 tipuri de estimatoare

plus cazul cnd strile nu se estimeaz (vezi Figura 10.11) considernd starea

iniial

== = 2

1)( 00 ttxx

2. Se vor repeta cerinele de la punctul 1 pentru cazul cnd procesul este discretizat cu

pasul de eantionare T = 3/ , avnd funcia de transfer ( )( )

1

121

2 +

+=

zz

zzH .

Compensatoarele stabilizatoare vor plasa toate valorile proprii ale sistemului rezultant n

(echivalentul n planul Z, al punctului Tez = 1=s din planul s)

L10 - 17/17

1. Introducere1.1. Scop1.2. Aria de utilizare1.3. Documentaie asociat

2. Estimatori de stare2.1. Observabilitate2.2. Observatorul Luenberger2.3. Proiectarea compensatorului stabilizator cu observator Luenberger2.4. Estimatoare minimale2.5. Proiectarea compensatorului stabilizator cu estimator minimal2.6. Exemple

3. Cerinele lucrrii de laborator