low re theory

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Escoamento de Stokes (homenagem à Stokes) é um tipo de escoamento onde a força de inércia (termos convectivos) são pequenos comparados com a força viscosa. O número de Reynolds é pequeno. Freqüentemente ocorre em situações onde a velocidade do fluido é baixa, a viscosidade é alta ou onde a dimensão característica do escoamento é pequena. Ele é aplicado na área de transporte de particulados e suspensões (emulsões, polímeros), meios porosos, lubrificação, dispositivos micro-eletromecânico entre outras áreas.

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Slide 1

ESCOAMENTOS COM RE 0 Utilizando-se escalas tpicas de escoamento viscosos:

A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assinttico, quando Re ->0, para equao de Stokes;

As eq. N-S. podem ser escritas na forma adimensional como: A dependncia no tempo de V vem diretamente das C.C. que dependem do tempo; uma vez cessada a variao no tempo da C.C. o campo de V deixa de ser transiente.

O processo Re -> 0 A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assinttico, quando Re ->0, para equao de Stokes ou, Stokes uma soluo aproximada para N-S;

Quando Re ->0 significa que as foras viscosas so muito maiores que as foras de inrcia;

A fora motriz a presso que, por sua vez, balanceada pelas foras viscosas.

Aproximaes da soluo quando ReL -> 0 podem ser obtidas expandindo-se V em potncias de Re (tcnica de perturbao)

Campos de P e V Desacoplados No domnio de Stokes pode-se mostrar que os campos de V e P esto desaclopados; Deixando de lado a forma adimensional das equaes e considerando um caso sem c.c. variando no tempo, o gradiente de presso est relacionado com o campo de velocidade por meio de: Alm disto, o campo de velocidades deve satisfazer e equao da massa:

Desacolplamento campo de PRESSO Tomando o divergente da Eq. Q. Movimento Reconhecendo que o escoamento incompressvel, divV=0;

Desacoplamento campo de VELOCIDADE Tomando o rotacional da Eq. Q. Movimento

Reconhecendo que, rot(gradP) =0 e aplicando novamente o rot

porm, da identidade:

0Note que 2V um vetor, logo a eq. Bi-harmnica possui 3 componentes.Desacoplamento campo de VELOCIDADE casos 2D ou Axi-simtricos - Foi visto que a Eq. Quantidade de Movimento 2D ou axi-simtrico: Campos 2D ou axi-simtricos em regime permanente permitem a definio de uma funo corrente e reduzem a vorticidade para uma componente apenas. Considere um escoamento no plano XY:

A equao de Q. Movimento, regime permanente, reduz para equao bi-harmnica da funo corrente.

Equaes de P e V Desacoplados Para regime permanente a soluo do campo de presso e de velocidade no dependem da viscosidade! A soluo do campo de velocidades depende somente da forma do contorno e da distncia . O valor de estabelece uma proporo entre P e V:

Caractersticas das Eq. Stokes - LINEARIDADE As equaes para V e P so lineares.

Pode-se aplicar o princpio da superposio para V e P onde novos campos de V e P so determinados a partir da combinao linear de campos conhecidos.

Note que a superposio linear no pode ser aplicada para escoamentos potenciais porque o campo de V quadrtico (exemplo: Eq. Bernoulli).

Caractersticas das Eq. Stokes - REVERSIBILIDADE O escoamento reversvel pq no h inrcia. Havendo a supresso da fora externa o escoamento cessa; Se a fora externa for revertida o escoamento reverte; Se o histrico de aplicao da fora externa for repetido ento o escoamento e sua histria sero revertidos e a partcula de fluido re-traar sua trajetria;

Kinematic reverse Re < 1Kinematic irreverse Re > 1Kinematic reverse Re < 1 (2)

Irreversibilidade do Escoamento com InrciaCaractersticas das Eq. Stokes - SIMETRIA O escoamento ao redor de corpos simtricos simtrico pq a difuso de V se propaga a montante e a jusante com igual efetividade. As formas das linhas de corrente a montante e a jusante coincidem. Objetos simtricos no possuem esteiras.

Re < 1Re > 1Caractersticas das Eq. Stokes - SIMETRIA

Soluo numrica do escoamento viscoso atravs de um orifcio circular (Re = 4aU/).

As figuras mostram os contornos da funo corrente e da vorticidade (Mills 1968)

Re = 0 a vorticidade difunde-se igualmente a montante e a jusante.

A medida que Re aumenta os contornos de e deixam de ser simtricos devido ao surgimento da inrcia na soluo.Re = 0 & Cd = 0Re = 10 & Cd = 0.463Re = 50 & Cd = 0.69Caractersticas das Eq. Stokes Ausncia de EsteiraRe < 1Re > 1

ESCOAMENTO EM CORPOS ESFRICOSCoordenadas Esfricas e a Funo Corrente de Stokes (simetria Azimutal )

Note que esta definio de automaticamente satisfaz a massa:

Formulao: Vorticidade - (simetria Azimutal ) O escoamento com simetria em s pode apresentar rotao (vorticidade , ) no plano (r,); isto , reduz a uma nica componente no nula, :

Formulao de Stokes:

Laplaciano de um vetor em coordenadas esfricas (extrado de Batchelor)

000Formulao: Funo Corrente - (simetria Azimutal ) A formulao funo corrente adequada para problemas 2D e axi-simetricos. Ela pode ser obtida atravs:(1) re-escrevendo a vorticidade em termos da funo corrente de Stokes e (2) substituir a vorticidade na Eq. Q. Momento. Substituindo as velocidades pela definio de Funo Corrente:

Operador E2

em funo do operador

Formulao: Funo Corrente - (simetria Azimutal ) 2. Expressando a vorticidade por na equao de StokesNa ausncia de c.c. variando no tempo (d/dt =0), expandindo as derivadas e simplificando os termos semelhantes:

O operador entre chaves a definio de E2, ento a formulao de Stokes reduz para a funo bi-harmonica:

Sua forma expandida contm muitos termos:

ESFERA DESLOCANDO-SE NUM FLUIDO ESTACIONRIO

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)condies de contornoaUEsfera de raio a deslocando-se na direo x com velocidade U

Na superfcie da esfera (r=a), todos os pontos se deslocam com velocidade U. A funo faz a velocidade resultante, em (r=a), sempre U ,verifique!Na superfcie (r=a), v = U.sin, condio de no deslizamento.

Longe da esfera o fluido est parado, = constante.

vrU > 0vEsfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equao de transporteA funo corrente deve satisfazer a equao E4=0. Possvel tcnicas de soluo: separao de variveis. Sugere-se como tentativa a funoO operador E2, de acordo com proposto, assume a forma: A equao bi-harmonicaPara satisfazer E4=0 necessrio que f-(2/r2)f = 0, ou seja:

(1)(2)(3)Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equao de transporteSubstituindo Eq. (3) em (2)A funo corrente , , definida pelas constantes A, B, C e D :

Que por sua vez sero determinadas pelas condies de contorno.Como /r2 0 para r , ento A = C = 0.Aplicando as duas c.c. para r = a (no deslizamento) encontra-se:Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)funo corrente e campo de velocidadeA funo corrente :O campo de velocidades:

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuio de pressoO campo de presso pode ser obtido resolvendo-se 2P = 0 entretanto no se conhece a priori o valor de P no contorno.Vamos calcul-lo a partir do campo de velocidades ou da vorticidade uma vez que esta j conhecida: As componentes r e da equao de quantidade de momento:

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuio de pressoA partir das componentes do gradiente de presso pode-se determinar o campo de presso: Integrando-se a expresso acima obtm:

Caractersticas das Eq. Stokes SIMETRIA & ANTI-SIMETRIA O escoamento num corpo simtrico apresenta uma distribuio de velocidade SIMTRICA

O escoamento num corpo simtrico apresenta uma distribuio de PRESSO ANTI-SIMTRICA Distribuio de presso na esfera (r =a) e em = 0 e

P U Aplicao em Tubos de Pitot Tubos de Pitot ou tubos de impacto so empregados para medida de velocidade atravs da diferena de presso entre o ponto de estagnao e a corrente livre. A presso da corrente livre e a presso de estagnao esto relacionadas por Bernoulli.

Cp = 1 vlido para Re >>1. Cp no ponto de estagnao da esfera (=0) para Stokes :

Ignorar efeitos viscosos quando Re b, corpo tipo agulha, Cn ~ 2Ct

Aplicao do Princpio da Superposio Suponha que o elipsoide faa um ngulo com relao a corrente livre que possui velocidade U. Determine o arrasto

No regime de Stokes a fora linear com a velocidade:U

Queda livre de um corpo tipo agulha, Cn=2Ct Durante a queda a fora resultante na agulha deve ser igual a sua fora de empuxo.

Relao entre e ngulo da agulha com horiz. - ngulo de U com a agulha Fn, Ft, E Foras normal, tan. e empuxo U velocidade de translao

Paradoxo de Whitehead Escoamentos 2D (cilindros) a equao de transporte de Stokes P=2V no possui uma soluo analtica exata; A c.c. no infinito no consegue ser satisfeita p/ geometria 2d. Pode-se entender esta limitao fazendo-se uma analogia com problemas puramente difusivos em conduo de calor em slidos semi-infinitosy=0, T=Tw mas y, T , no possvel atender c.c. T=T

r=r0, T=Tw mas r, T , no possvel atender c.c. T=T

r=r0, T=Tw e r, T T, C2= T e C1 = ro(Tw- T)

No Uniformidade Soluo Stokes p/ domnios infinitosescoamentos no-confinados A aproximao de Stokes vlida para Re 0. Isto verdade prximo da esfera, i.e. os termos inerciais so desprezveis. Entretanto, para r, os termos inerciais no so mais desprezveis. Escoamento Stokes numa esfera; estimado na ordem de magnitude dos maiores termos de difuso e conveco

A razo entre os termos:

No Uniformidade Soluo Stokes p domnios infinitosescoamentos no-confinados A razo dos termos mostra que mesmo para Re