LOQ 4083 - Fenômenos de Transporte I

Atenção: Estas notas destinam-se exclusivamente a servir como roteiro de estudo. Figuras e tabelas de outras fontes foram reproduzidas estritamente com fins didáticos.

FT I – 04

Pressão e Estática dos fluidos

Prof. Lucrécio Fábio dos Santos

Departamento de Engenharia Química

LOQ/EEL

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Ao concluir esta Unidade você deverá ser capaz de:

Objetivos

Determinar a variacao da pressao em um fluido em repouso;

Calcular as forcas exercidas por um fluido em repouso em superficies submersas planas ou curvas;

Analisar o empuxo

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Esta unidade trata dos fluidos em repouso. Nesta situação, as tensões de cisalhamento são nulas e as únicas forças que atuam nestas superfícies são as provocadas pela pressão.

Introdução

O principal objetivo é o estudo da pressão, de como ela varia no meio fluido e seu efeito sobre superfícies submersas.

A ausência das tensões de cisalhamento simplifica muito a modelagem dos problemas e, como veremos, nos permite obter soluções relativamente simples para muitos problemas de engenharia.

A pressão é definida como uma força normal exercida por um fluido por unidade de área.

Pressão

Unidade: 2m

NPa1

m

N1

2

Outras três unidades de pressão muito utilizadas na prática, principalmente, na Europa são: bar, atmosfera padrão e quilograma-força por centímetro quadrado.

atm9679,0cm/kgf1

bar9807,0cm/kgf1

Pa10x807,9m/N10x807,9cm/N807,9cm/kgf1

bar01325,1KPa325,101Pa325.101atm1

KPa100MPa1,0Pa10bar1

2

2

42422

5

4

Pressão absoluta e pressão relativa

5

A pressão é uma grandeza escalar que pode ser medida em relação a qualquer referência arbitrária.

Duas referências são utilizadas na medida de pressão:

O vácuo absoluto1; e

A pressão atmosférica local (patm, local)

1Vácuo absoluto é a região do espaço onde não há matéria, inclusive ar atmosférico

Assim, definem-se: Pressão absoluta – aquela que tem como referência o vácuo absoluto, abreviada por pabs; e

Pressão relativa (efetiva, manométrica ou piezométrica) – aquela que tem como referência a pressão atmosférica local, abreviada por prel .

6

Graficamente:

Patm, local (< Patm, padrão) Pressão barométrica

Patm , padrão (nível do mar)

1 atm = 760 mmHg

Pabs 1 > 0

Prel 1 > 0

Pabs 2 > 0

Prel 2 < 0

Vácuo absoluto (Pabs = 0)

Pressão no reservatório 2

Pressão no reservatório 1

Associação de níveis e pressões para definição de pressão absoluta e pressão relativa (efetiva)

pabs = patm local + prel (1)

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Graficamente:

Patm, local (< Patm, padrão)

Patm , padrão

1 atm = 760 mmHg

Pabs 1 > 0

Prel 1 > 0

Pabs 2 > 0

Prel 2 < 0

Vácuo absoluto (Pabs = 0)

Pressão no reservatório 2

Pressão no reservatório 1

pabs = patm local + prel

Supondo: 680 mmHg

500 mmHg

Qual será a Prel?

Pressão em um ponto

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Por questão de simplicidade as forças atuando na direção y não são apresentadas e o eixo z é vertical.

Forças atuando em um elemento fluido

pxΔz Δy

Δy

Δx

Δz

z

x

y

θ

θ

psΔs Δy

pzΔx Δy

VρgΔ

Δs

Considere o elemento fluido com formato de cunha mostrado na Figura abaixo. Vamos aplicar a segunda lei de Newton para as direções x e z, em que o volume é ΔV = (ΔxΔyΔz)/2.

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Ao aplicar a segunda lei de Newton ao elemento, para as direções: x e z.

sensz

cossx

xsxxx a2

zyxsenyspyzpmaF

(2)

zszzz a2

zyxcosysp

2

zyxgyxpmaF

(3)

2

xapp x

sx

(4)

2

z)ga(pp z

sz

(5)

Qual o significado disso???

xF m

Analisando a geometria da figura, tem-se:

Substituindo os valores de Δz e Δx nas equações (2) e (3), respectivamente, tem-se:

Note que, no limite em que o elemento diminui até um ponto:

0z

0x

O lado direito das equações (3) e (4) vão a zero, mesmo para fluidos em movimento, resultando que, em um ponto,

szx ppp

Ela age igualmente em todos as direções em um determinado ponto, tanto para um fluido estático como para um fluido em movimento na ausência de tensões de cisalhamento.

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Obs.: Como θ é arbitrário, essa relação é valida para todos os ângulos em um ponto. O plano xy também poderia ser analisado e, então, concluiríamos que px = py = pz = ps.

Ou seja, a pressão no fluido é constante em um ponto (a pressão é uma função escalar).

Variação da pressão com a profundidade

Para obter uma relação da variação da pressão com a profundidade, considere um elemento fluido retangular de altura Δz, largura Δx e profundidade unitária, em equilíbrio, como mostra figura abaixo:

Diagrama de corpo livre de um elemento fluido retangular em equilíbrio

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Um balanço de forças na direção z resulta em:

ΣF = m.a

P2Δx – P1Δx – ρgΔxΔz = 0

Onde W = mg = ρgΔxΔz é o peso do elemento fluido.

Dividindo por Δx e reorganizando, temos:

ΔP = P2 – P1 = ρgΔz = γΔz

(6)

(7)

zΔγ=zΔgρ=PΔ (7)

Para um determinado fluido, a distância vertical Δz às vezes é usada como medida de pressão e é chamada de carga de pressão.

Para gases, devido à sua baixa densidade, para pequenas à moderadas distâncias, a variação da pressão com a altura é desprezível,

A pressão em um líquido em repouso aumenta linearmente com a distância da superfície livre

Se considerarmos o ponto 1 na superfície livre de um líquido aberto para a atmosfera (figura ao lado), no qual a pressão é a pressão atmosférica (Patm), então a pressão a uma altura h da superfície livre é dada por:

ghρ=Pou ghρ + P=P manatm(8)

Caso que g pode ser considerada constante:

gρ-=dz

dP(9)

A equação 9 mostra que não há variação de pressão nas direções x e y, ou seja, no plano horizontal.

A pressão varia apenas na direção z.

Nota: dp é negativo se dz positivo, ou seja, a pressão diminui conforme ocorre o movimento para cima e aumenta quando o movimento é para baixo.

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Nível do mar

14.000m

g = 9,807 m/s2

g = 9,764 m/s2

≠ de 0,4%

Para fluidos cuja densidade varia significativamente com a altitude, a relação para a variação da pressão com a altitude pode ser obida dividindo-se a equação 6 por ΔxΔz e tomando o limite quando Δz 0, resulta em:

Quando a variação da densidade com a altitude é conhecida, a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2 pode ser determinada pela integração como:

ctezp

ou cte z pou zp

(10)

Para o caso de densidade e aceleração gravitacional constante, essa relação se reduz a equação 7 (ΔP = - ϒΔz).

A quantidade (p/ϒ + z) é muitas vezes chamada de carga piezométrica.

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(11)

A pressão de um fluido em repouso não depende da forma ou da seção transversal do contêiner. Ela varia com a distância vertical, mas permanece constante em outras direções (Figura abaixo).

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Este princípio foi publicado por Simon Stevin (1548-1620) e ficou conhecido como princípio (lei) de Stevin.

Pressão em diferentes pontos, abaixo de uma superfície livre

Em h1: pa = pb = pc =pd

Em h2: pA = pB = pC ≠ pD

ϒH2O ≠ ϒ Hg

Sejam dois pontos arbitrários Q e R.

PQ = ρhQg

PR = ρhRg

A diferença entre as pressões dos dois pontos é:

PR – PQ = (ρhRg) – (ρhQg)

PR – PQ = ρg (hR – hQ)

∆P = ρg∆h

A diferença de pressão entre dois pontos num fluido em equilíbrio é igual ao

produto entre a densidade do fluido, a aceleração da gravidade e a diferença

entre as profundidades destes pontos.

Teorema de Stevin

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Teorema de Stevin

Exemplo:

1. Calcule a pressão, em atm, em um ponto a 30 metros abaixo da superfície de um lago, localizado ao nível do mar .

Considerando Patm local = 105 Pa, ρ = 103 kg/m3 e g = 9,81 m/s2 .

Resposta: 3,89 atm

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Solução:

Dados: Patm local = 105Pa P = ? ρ = 103 kg/m3 g = 9,81 m/s2 h = 30 m

m30 . s2

m81,9 .

m3

kg10 3 Pa105p

s.m 2

kg300.294Pa105p

Pa

kPa3,394p

atm89,3kPa325,101

atm1kPa3,394p

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p = patm local + ϒh

p = patm local + ρgh

2. A pressão atmosférica é dada como 680 mmHg em uma localização montanhosa. Converta esta para quilopascal e metros de coluna d’água. Calcule também o decréscimo da pressão devido a um incremento de 500m de altitude, começando numa elevação de 2000 m, assumindo uma massa específica constante.

Dados: SGHg = 13,6; g = 9,81 m/s2 ; ρar, atm-padrão, a 2000m = 1,007 kg/m3 (tabelado)

Solução:

Equação básica: h.g.hp HgHg

Para convertê-la em metros de coluna d’água, temos:

90,7kPaou Pa722.90m680,0x)s

m81,9x

m

kg600.13(p

23

água de m25,99810

722.90ph

O2H

2

2

m

N Pa

;s

kg.m N

:que lembrando

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Para achar o decréscimo de pressão, usamos a equação (7) e uma tabela de massa específica.

zp padrãoatm,ar

Pa4940m500 x s

m 81,9 x

m

kg007,1p

zg p

23

padrãoatm,ar

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Lei de Pascal

Uma consequência da pressão de um fluido permanecer constante na direção horizontal é que a pressão aplicada a um fluido confinado aumenta a pressão em todo o fluido na mesma medida. Essa é a lei de Pascal.

É isso que nos permite elevar um automóvel facilmente com um braço, como mostra a figura ao lado.

Aplicação da lei de Pascal

E como isso acontece?

22

23

AA

FF

AF

AF

1

2

1

2

2

2

1

121 PP

Não é complicado!!!

Observando que P1 = P2, já que ambos os pistões estão no mesmo nível, a relação entre a força de saída e a força de entrada é determinada por:

(12)

A relação entre as áreas A2 / A1 é chamada de ganho mecânico ideal do elevador.

Por exemplo, usando uma relação A2 / A1 = 10 uma pessoa pode elevar um automóvel de 10.000 kg aplicando uma força de apenas 1000 kgf (= 9813 N)

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O barômetro de mercúrio

O barômetro é um instrumento para medir a pressão atmosférica (Figura abaixo).

Seu idealizador foi Evangelista Torricelli (1643).

Experiência para determinação da pressão atmosférica local com o barômetro de mercúrio

= 760 mmHg

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Manômetros

São instrumentos destinados a medir pressão. Os manômetros de tubo são equacionados com base na lei de Stevin. O estudo dos manômetros é conhecido como manometria.

Manômetro básico

Na Figura ao lado, a coluna de fluido diferencial de altura h está em equilíbrio estático e aberto para a atmosfera. Assim, a pressão no ponto 2 é determinada diretamente pela equação 8.

ghρ=Pou ghρ + P=P manatm2

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o Manômetro metálico ou de Bourdon

Manômetro metálico ou de Bourdon

O manômetro de Bourdon mede a pressão de forma indireta, por meio da deformação de um tubo metálico, daí seu nome (Figura abaixo ).

(a) Medidor de pressão de Bourdon e (b) esquema do medidor de pressão

O tubo, por estar externamente submetido à pressão atmosférica local, somente se deformará se a pressão tomada for maior que aquela.

Quando este manômetro ocupa um ambiente onde a pressão é diferente da pressão atmosférica local, a pressão indicada (pindicada) é dada por:

Pindicada = ptomada – pambiente

Onde: pambiente : pressão no ambiente onde está o manômetro; ptomada : pressão na tomada de pressão.

(13)

Quando: pambiente = patm local pindicada = prelativa

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Equação manométrica

É a expressão que permite, por meio de um manômetro, determinar a pressão de um reservatório ou a diferença de pressão entre dois reservatórios. Considere o esquema da figura abaixo:

A pressão no fundo do lado esquerdo é dada por:

pfe = pA + ϒA.(h1 – h2) + ϒLM.h2

A pressão no fundo do lado direito é dada por:

pfd = pB + ϒB.(h4 – h3) + ϒLM.h3 29

ϒB

ϒA

ϒLM

h3

h2

pA pB

h1 h4

Pressão entre dois reservatórios

pfe pfd

Como o fluido está em equilíbrio, então a pressão no mesmo nível deve ser a mesma. Logo, no fundo:

pfe = pfd

pA + ϒA.(h1 – h2) + ϒLM.h2 = pB + ϒB.(h4 – h3) + ϒLM.h3 Então:

pB = pA + ϒA.(h1 – h2) – ϒB.(h4 – h3) – ϒLM (h3 – h2) (14)

Isolando pB, tem-se:

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EQUAÇÃO MANOMÉTRICA

REGRA!!! Começando do lado esquerdo, soma-se à pressão pA a pressão das colunas

descendentes e subtrai-se aquela das colunas ascendentes. Observar que as cotas são

dadas até a superfície de separação de dois fluidos do manômetro.

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Exemplo:

Instalação contendo dois reservatórios, um manômetro de Bourdon e um tubo com

mercúrio

3. A instalação da figura abaixo fornece os seguintes dados: pressão no manômetro de Bourdon pindicada = 2,5 kgf.cm-2 e o peso específico do mercúrio ϒHg = 1,36.104 kgf.m-3 (MK*S). Determinar a pressão no reservatório 1.

Resposta: P = 4,54 kgf/cm2

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4. Dado o esquema da figura abaixo, pede-se: a) Qual é a leitura no manômetro metálico? b) Qual é a força que age sobre o topo do reservatório?

30o

ϒH2O = 10.000 N/m3

ϒO = 8.000 N/m3

60 cm

H2O

Óleo

Ar

20 cm

10 cm

Área do topo = 10 m2

patm

pM

Resposta: a) P = 200 N/m2

b) F = 2000 N

Resolver a lista de exercícios desta Unidade.